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Full text of "Oeuvres de P.L. Tchebychef"

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/t/'^^^yf^^^^ *^i^~(^/f-(^^^^ /^.y?^-*--^'^ 



OEUVRES 



DE 



p. L. TOHEBYCHEF, 



PUBLIEES PAR LES SOINS 

de MM. A. MARKOFF et N. SONIN, 

MEMBRES ORDINAIRES DE l'aCADÉMIE IMPERIALE DES SCIENCES. 



TOME L 
(Jlvec portrait.) 




ST.-PÉTERSBOURG. 1899. 

Commissionaires de l'Académie Impériale des Sciences: 

J. Glasounof, M. Eggers & Cie. et C. Ricker à St.-Pétersbourg; Rf. Rarbasnikof à St.-Pétersburg 

Moskou et Varsovie; M. Klukine à Moscou; N. Ogiobline à St.-Pétersbourg et Kief; R[. Kynimel 

à Riga; Voss' Sortioient (G, llaessel) à Leipzig. 

Vrix: 17 MrJc. 50 Pf. 



Imprimé par ordre de l'Académie Impériale des sciences. 
Avril 1899. N. Doubrowine, Secrétaire perpétuel. 



IMPRIMERIE I)E l' ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. 
VftsH. Ostr. 9-e ligne, JVs 12. 



PRÉFACE. 



Après la mort de P. L. Tchebychef nous avons exprimé à 
l'Académie Impériale des Sciences l'avis qu'il serait désirable de 
procéder à la publication du recueil complet des travaux de son 
cMèbre membre. Peu après, le frère du défunt, le Général d'Ar- 
tillerie W. L. Tchebychef, mit à la disposition de l'Académie une 
s )mme de 5000 roubles pour les frais de publication, à la con- 
dition que le recueil complet parût dans les deux langues, en 
risse et en français, dans lesquelles le savant faisait paraître ses 
ti'avaux. C'est alors que l'Académie nous confia la mise en exé- 
cution de notre proposition, conformément au désir du donateur. 

Grâce au concours bienveillant et désintéressé de beaucoup 
de savants russes, principalement d'anciens élèves de feu Tche- 
bychef, nous avons eu à notre disposition les traductions des 
articles du défunt, qui, du vivant de l'auteur, ont été pubhés 
dans une seule langue. En exprimant ici, au nom de l'Académie, 
notre profonde reconnaissance à tous nos collaborateurs, nous pre- 
nons, naturellement, sous notre responsabilité les imperfections et 
l(is lacunes qu'il peut y avoir dans la présente édition. 

L'édition comprendra deux volumes. Elle renfermera tous les 
ti'avaux imprimés du vivant de l'auteur, sauf deux thèses publiées 
à part: une thèse pour le grade de magistre: „ Essai d'analyse 



î:^3G4G 



élémentaire de la théorie des prohahiUiés^^ Moscou, 1845, 4^\ 
II-»- 61-»- III pages, et une thèse de doctorat: ^^Théorie des con- 
gruenccs\ St.-Pétersbourg, 1849, 8^ IX -»- III -+- 279 pp. 

Pour la distribution des matières nous avons adopté l'ordre 
chronologique. 

Quant à la biographie de Tchebychef, nous comptons la 
faire paraître dans le second volume. 

A. Markoff. N. Sonin. 



TABLE DES MATIÈRES W TOME PREIER, 



PAGES. 



1 . Note sur une classe d'intégrales définies multiples 3 — 6 

2. Note sur la convergence de la série de Taylor 9 — 14 

3. Démonstration élémentaire d'une proposition générale de la 

théorie des probabilités 17 — 26 

4. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres pre- 

miers inférieurs à une limite donnée 29 — 48 l. 

5. Mémoire sur les nombres premiers 51—70 

6. Sur les formes quadratiques 73 — 96 

7. Note sur différentes séries 99 — 108 

8. Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélo- 

grammes 111 — 143 

9. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles 147 — 168 

1 0. Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une ra- 
cine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième 

degré 171—200 

] 1. Sur les fractions continues 203 — 230 

12. Sur la construction des cartes géographiques 233 — 236 

13. Sur la construction des cartes géographiques 239 — 247 

14. Sur la série de Lagrange 251 — 270 

3 5. Sur les questions de minima qui se rattachent à la repré- 
sentation approximative des fonctions 273 — 378 

16. Sur une nouvelle série 381 — 384 

j 7. Sur l'interpolation dans le cas d'un grand nombre de don- 
nées fournies par les observations 387 — 469 

18. Sur l'interpolation par la méthode des moindres carrés . . 473 — 498 

] 9. Sur le développement des fonctions à une seule variable . . 501 — 508 



— VI — 

PAGES. 

20. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles 511 — 514 

21. Sur rintégration do la diftérontielle -= ^ "^ ^ . dx . . 517—530 

22. Sur une modification du parallélogramme articulé de Watt . 533 — 538 

23. Sur l'interpolation 541—560 

24. Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une ra- 

cine cubique . . . ■ 563 — 608 

25. Sur les fractions continues algébriques 611 — 614 

26. Sur le développement des fonctions en séries à l'aide des 

fractions continues 617 — 636 

27. Sur une question arithmétique . • 639 — 684 

28. Des valeurs moyennes 687 — 694 

29. Notes et extraits, tirés du Bulletin de la Classe physico-ma- 

thématique de l'Académie Impériale des Sciences, années 
1853—1858. 

Lettre de M. le professeur Tchébychev àM. Fuss, 
sur un nouveau théorème relatif aux nombres premiers 

contenus dans les formes An -i- l et 4n -+- 3 697 — 698 

Sur l'intégration des différentielles qui contiennent 
une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du 

quatrième degré 699 — 700 

Sur une formule d'analyse 701—702 

Extrait d'un Mémoire sur les fractions continues . . 703 — 704 
Sur les questions de minima qui se rattachent à la 

représentation approximative des fonctions 705 — 710 

Sur l'interpolation des valeurs fournies par les obser- 
vations 711 — 714 



NOTE 



SUR UNE CLASSE 






(Li ou ville, Journal de mathématiques pures et appliquées. I série, VIII, 1843, 
p. 236—238.) 



r OF THE A 

OWIVERSSTY 



Note sur une classe d'intégrales définies 
multiples. 



Théorème. «Quelle que soit la forme de la fonction f, on a 

• • • 9i(^) 92 (^) 9zi^)- • ./X^"* -*-/-*- ^^-»-- • •) dxdy dz. . . 
= <Ï>(m) f{u) du, 

«équation où *P{'i) se détermine par les fonctions données v^(x), OgC^)? 
«3)3(^), ... au moyen des quadratures, en prenant 

(1) ^(^2)_lM£îk:li=Ji2^E2), 



«ou 



w)=: e- <p^(a;)e «'da; 92(2/) e "' dy \ 93(^)6 "'rf^... Ua». 



(2) ^{u 



Ce théorème suppose que les fonctions cpi, 925 ?3' • • • ^^'^^ telles que, 
V. ^ {n) et sa dérivée restent finies pour toutes les valeurs réelles et 

positives de m, ou pour toutes les valeurs imaginaires de u, dont la partie 

réelle est positive; 

2". la fonction 4^ («*) devient zéro pour 

u = a±2y — 1, ou u = ziïzaV — 1, 

lorsque a = 00, quelle que soit la valeur de z, pourvu qu'elle soit réelle et 
positive. 

1* 



— 4 — 

Soient, par exemple, 

dans ce cas, pour trouver la valeur de l'intégrale 

... af-'y'-' 0"-' . . ,f{x-+-y-^z-^. . .) dx dy dz..., 
on a d'abord par l'équation (2), 

^K^f)z= e-" x'^-U '*'dx\ ^'"^ e ""^ dy \ f-^e ""'dz... dd 
•^0 L -'o '^0 «^0 — 

= r-'[("rn«)(?;r(6)(^7r(c).. .]<*»= 

= r (a) r (6) r (C) . . . ^t2(a+6-H;+...) ^-a ^-(«+5-»^...) ^^ ^ 

= r(a)r(6)r(c). . .r(i— «— &— c— . . .)^^2(«+^^HH-...)^ 

et en substituant cette valeur de ^{ii) dans l'équation (1), on trouve 
^{u^)=ria)r{b). . .r( l-a-b- . . .) (>^)^^''-^^"Mg^-i)^^"^-^-"^ ^2(aH-6-HH-.- -1) 

= r(«) r© r(c)...r(i-a-6-c-...) «'°j ^(«-^^-^<^-^--) ^2(«+6^+...- d^ 

Cette équation donne 

^{u)=r(a) r(6) r(c). . .r(i— a-6-c-. . .) «i"^(«-^^-^^-*--) ^,0- 

Mais, d'après une propriété connue de la fonction F, on a 

^ _ ir(l— a-&-c — .■.) = r(a-Hb-^cH-.. 

donc l'intégrale 

n. . . af-^y^-^ ^-^. . .f{x-i-y-+-z-i-. . .) cia; c?^ dz. . . 
_ r(a)r(b)r(c)... f* a+6+<,.. 

r(a-<-6-*-c-i-...) ** 

ce qui a déjà été démontré par M. Liouville. 



,.<n-6-l-c-l-... -1 



'f{u)du, 



— 5 — 



2^ Soient 

m = n=^p = . . . = 2, 

(p^ (x) = cos ax, 92 (y) = cos hy^ cpg (^) = cos c^, . . . ; 
on aura, pour trouver l'intégrale 



i'H' 

d'abord 

^iu)=\ e- 



cosax cos 6a? cosc^. . .f{x^-t-y^-^z^-i-. . .) dx dy dz . . . 



m2 r"» _o^ p= 

'"'^a; cos6?/e "'^v/ 



—^ ue *" X ^7^ w e *" X -^^ w e ** X • • • 

2 y a 2 y a 2 y a 



cos c^ e "''dz... 
da 



da 



V. Ti^ \ e ^dx 



où [JL désigne le nombre des variables x, y, z, . . . , et p = a^-n &^-+- c^-+-. . . 
Mais on sait que, pour un nombre impair [x, on a 



w 

2"^ 



donc 



h tzî _„y; 
, i. Tz' V^ d^ .e 
■d^ = u — ^- — r 

— «* ETUv t=} ' 

2^-1)2 (dp) ^ 



Mil trî: _„y; 
, / X 1 TC ^ ci ^ .e 



et 



d'où 



(-1) 2 



id?) 



^(m2) = 



_ ^\){uV^^) — ^{—uV^^) :r ^ <i ^ . cos M y^ J^ . 



H^-l K--1 U ' 

2(-l)' (cip) ' 



4>(w) = 



TC 2 (? ^ . cos Vup 1 . 



2(-l)* (dp)' 



— 6 — 

donc, pour un nombre impair dos variables x^y^z^ . . . , l'intégrale 






cosrta; cos&î/ cosc^r. . .f{x^-\-'y'^-\-z--^. . .) dx i 

à ^ .cosVup /(t<) ^^ 



~ ^ \ ^ Vu 

2(-l) 2 Jo (dp) a 

ce qui est le théorème de M. Cauchy (Journal de l'Ecole Polytechnique. 
XIX* cahier), d'où il déduit, comme cas particulier, la formule de Poisson. 



2. 
NOTE 

SHR LA COHVKBGEHCE 

m Ll SÉRÏl BI TiLYLOK 



Dr elle, Journal flir die reine and angewandte Mathematik, B. 28, 1844, p. 279-283.) 



Note sur la eonverg-enee de la série de Taylor. 

D'après la règle de Mr. Cauchy la série 

sera convergente toutes les fois que 

OU , ce qui est le même , 

(1) lim. [(mod. <. mod. ^^|i^]J^^< 1 , 

et divergente, si 

(2) lim. [mod. ^^^Ç--^ /"''(^)]l<„> 1 • 
Mais on a 

— « 

lorsque la fonction f(a -+- re**^"^) est finie et continue, quel que soit p, pour 
r = R et pour une valeur quelconque de r plus petite que 72*), et de même 



(3) 

(4) 






*) Cauchy, Exercices d'Analyse et de Physique Mathématique. Tome I, page 356. 



10 






(5) r"-'\a) = ^ I r^-^\a H- i?e''^-^) dp, 

(6) 



si /"(a-*-re^^-^), r(« -^ ^t^''^"'), • • • /^""'H^^-^-e"^, /^"V -i- re"^" ) 
sont aussi finies et continues, quel que soit^, pour toutes les valeurs r qui 
ne surpassent pas R. 

Or l'intégration par parties donne 

f{a-^ Re^''^) dp = ^\ e-^"^ f{a -+- Be^'^) dp , 

r-« /«-Ht 

r(a -+- i?e'^=^) # = y e-='^=^ f (a -i- i^e*"^^) dp, 



— K — 1t 

— « — * 

ce qui change les équations (3), (4), (5) et (6) en celles-ci 
(7) fia) = ^. i J e-'"^ Aa -h iJe-''^) d^), 



dp, 



(9) 
(10) 



— « 

/^")(a) = ±.H|F=J e-""'^'f(a-^Be"^) dp, 



11 — 



Désignant par X la plus grande valeur du module de l'expression 
f{a-¥-Re^^~'^) pour toutes les valeurs de^, nous trouverons que les modules 

mod. [e-^^^' fia h- i?e^''^)], mod. [g-^^^^ f{a + Be^''~%. . . 
. . .mod. [e-C"-!)'^^ f{a -+- Re^''~')], mod. [e— ^^^ f{a -+■ Re^'^~')] 

ne surpassent pas X; car les modules des expressions 

^_pyzT ^_2py3i ^ ^ ^_(n-i)py-ï ^-npV~i 

sont égaux à l'unité. 

Cela étant, on conclut des équations (7), (8), (9) et (10) 

mod.^'<±.i.xr;<A, 

^Qd- 1.2.3...(n-l) <2l^'^i-^J ^^<^i' 



/'"(«) / ± ± > 1*1 ^ A 



'"o'î-îi:3^„<2^x-^-M<*i'< 



D'après cela la condition (1) de la convergence de la série 

A«)H-|r(«)-.-i^r(«)-H...-H ,.,,/"";_.) r-''w-^^^^/<-'w-H... 

se réduit à celle-ci: 

OU simplement à 

mod. 2 <,Ri 

la limite de X" pour w = oo étant l'unité. Donc la série de Taylor 

(U) f{a)^{na)^ ^A«)-H...H-o£^/^"-"(a)--OX:sr'(«)H-... 



— 12 — 

sera convergente si le module de z est plus petit que i?, oii, comme nous 
l'avons dit, les expressions 

/•(a-nrc'^^), f(aH-re'^^),.../'(-i)(«-+-re'^=î'), /^-)(a-4-re'^=i"),... 

restent finies et continues, quel que soit p, pour r = i^ et pour une valeur 
quelconque de r < 72. En d'autres termes: la série de Taylor 

/•(«)-H-f r(a)-«-,4r(«)-H. . ■^ .,,.r;„_./ "-'(«)-H^^;|^r'(«)H- . 

sera convergente si le module de z est au dessous du module de la valeur 
imaginaire de x qui rend infinie ou discontinue au moins une des fonctions 

Mais ces conditions toutes, sont-elles nécessaires pour la convergence 
de la série de Taylor? C'est-à-dire: la série de Taylor (11) est-elle tou- 
jours divergente pour une valeur de z, dont le module est plus grand que 
celui de la valeur de x qui rend au moins une des fonctions 

f{a-^x), fia^x), f\a-^x),...r^-'\a-^x), f^\a-^x),... 

infinie ou discontinue? Voilà ce que nous allons examiner. 

Si la fonction f^\a-\-x)^ par exemple, devient infinie ou discontinue 
pour x = X^ au moins une des séries 

f^\a -4- Z) = r^ (a) -I- ^ f^'\a) -^ ^ f^'^ (a)-*-... 
f^-^^\a -+- Z) = f^-*-^\a) -I- ^ f'^'\a) -*- g f "^>(a) -+-... 

sera divergente, ce qui ne peut avoir lieu qu'en supposant 



— 13 — 

Mais ces conditions peuvent être exprimées par 



L 1.2.3...n' ^ ^J„=oo L(mod. Xf-"* (»» — »» -i- 1). . .nj^^ J 

L 1.2. 3. ..w' ^ ^Jn=oo L(mod. Xf-^-M» -»»)•••»» J„=<»' 

1 1 

n.^ r (mod. ^r 1 In \ i;^ r/mod. ^\»» /mod. 2\"»~lir 

1 1 

T r (mod. ^)** 1 "IIT ^1- r/mod.zY /mod. Z\»H-i-i-;r 



et 



,. r/niod. 0\»« /mod. ZX»»"!» mod. -s ,. finod. XIh mod. ^ 

,. r/mod. ^\M /mod. Z\'»-»-nn mod. ^ ,._ Tmod. Z"] n mod. ^ , 

donc les inégalités donneront 

i™-H.i:,^r(«)]:_>^. 

En comparant cette inégalité avec la condition (2) de la divergence de 
la série 

/■(a)-H|r(«)-H^r(»)-H. . ■-H i.,.r.l-i /^"-"w-^o^/^"'('')-^- • - 

on voit que la série sera toujours divergente, si le module de est plus 
grand que celui de la valeur de x qui rendrait infinie ou discontinue au 
moins une des fonctions 

Nous voilà donc parvenus à ce théorème général: 
a La série de Taylor: 

est divergente ou convergente suivant que le module de z est plus grand ou 



- 14 — 

plus petit que celui de la valeur imaginaire x qui rendrait infinie ou dis- 
continue au moins une des fonctions 

fia-^x), fia-Hx), r{a-t-x),. . . f'*-'\a -+- x) , f^*'\a -*- x) , . . . 

C'est ainsi, par exemple, que la série 

(l-H^^f=lH-|-.»-H|^-|-(l-|-)^«-.- 

^|(i-|)(l-|)^-i(i-|)(l-|)(l-A).>»... 

est convergente ou divergente suivant que le module de la valeur de ^ est 
plus petit ou plus grand que l'unité qui est le module de la valeur x=V—l 

3 

pour laquelle la seconde dérivée et les suivantes de (1 -Ha;^)^ deviennent in- 
finies. 

Ce théorème n'est qu'une très simple conclusion des découvertes re- 
marquables de Mr. Cauchy; mais il est en partie contraire à la règle de la 
convergence des séries donnée par cet illustre Géomètre, dont l'énoncé est 
le suivant: 

«x désignant une variable réelle ou imaginaire, une fonction réelle ou 
imaginaire de x sera développable en série convergente ordonnée suivant les 
puissances ascendantes de x, tant que le module de x conserve une valeur in- 
férieure à la plus petite de celles pour lesquelles la fonction ou sa dérivée 
cesse d'être finie et continue^) *>. 

L'insuffisance de cette règle provient, ce me semble, de ce que Mr. 
Cauchy suppose la valeur de l'intégrale définie être développable en série 
convergente, lorsque la différentielle entre les limites de l'intégration peut 
être développée en série convergente; ce qui n'a lieu que dans des cas parti- 
culiers. 



) Cauchy. Exercices d'Analyse et de Physique Mathématique. Tome I, page i 






a 

DÉMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE 

D'UNfi PROPOSITION GÉHSRÀL.H; 

MT % ^ÏWAIQ TH^ T\'W^ P1Q AIR K 1RTT TT^H^Q 



(Crelle, Journal fur die reiue und angewandte Mathematik, B. 33, 1846, p. 259—267.) 



Démonstration élémentaire d'une proposition 
générale de la théorie des probabilités. 



§ 1. La proposition, dont la démonstration sera l'objet de cette note, 
est la suivante: 

«On peut toujours assigner un nombre d'épreuves tel, que la probabilité 
«de ce que le rapport du nombre des répétitions de l'événement E à celui 
«des épreuves ne s'écartera pas de la moyenne des chances de E au delà 
«des limites données, quelques resserrées que soient ces limites, s'approchera 
«autant qu'on le voudra de la certitude». 

Cette proposition fondamentale de la théorie des probabilités , contenant 
comme cas particulier la loi de Jacques Bernoulli, est déduite par 
Mr. Poisson d'une formule, qu'il obtient en calculant approximativement 
la valeur d'une intégrule définie assez compliquée (V. Recherches sur les 
probabilités des jugements, chap. IV). 

Toute ingénieuse que soit la méthode employée par le célèbre Géo- 
mètre, elle ne fournit pas la limite de l'erreur que comporte son analyse 
approximative , et par cette incertitude sur la valeur de l'erreur la démon- 
stration de la proposition manque de rigueur. 

Je vais montrer ici comment on peut démontrer rigoureusement cette 
proposition par des considérations tout à fait élémentaires. 

§ 2. Supposons que jPi, iJç^^ p^^ . . . p^ soient les chances de l'événe- 
ment E dans pi épreuves consécutives, P^ la probabilité que E arrivera au 
moins m fois dans ces [x épreuves. 

On parviendra, comme on sait, à l'expression de P^ en développant le 
produit 

{p,t -H 1 - i?,) {p,t -H 1 — Pa) iPsi -^ 1 -^'3) • • • iPy.^ -^ 1 —Pi.^ 

suivant les puissances de t et prenant la somme des coefficients de f"\ f"''*'\ ...t^. 

2 



— 18 — 

De là résultent évidemment ces deux pro])riétés de P^: 
1) Cette quantité ne contient p^, Jh^ 2h: • • • ^fx qu'aux degrés non su 
périeurs à Tunité; 2) elle est une fonction symétrique par rapport k p^, p^,. 

En vertu àv la pr(>mière propriété P^^ pourra être mise sous la forme 

U-t- Vp,-h-V^p^-*- Wp,p^, 

où U, F, Fj, W sont indépendantes de p^ et p^; en vertu de la seconde, I' 
et F^ sont égales. Donc la forme de l'expression P^ est 

U-i-V{p,-+-p^)-i-Wp,p,, 

où Z7, F, W ne contiennent ni^^ ni i^2- D'après cela il est facile de prouver 
sur l'expression P^ le théorème suivant: 

Théorème, «^i p^, Pç^ ne sont pas égales, on peut, sans changer les va- 
« leurs de Pj-i-i^g? i^s' • ■ • Pu.- *>ugmenter celle de P^ en prenant p^^^p^', o i 
«on peut parvenir à unt' des équations suivantes: 

«sans diminuer la valeur de P,„». 

Démonstration. Nous avons vu que l'expression de P^ peut être mis > 
sous la forme U-\-V{p^-\-p^-\-Wp^p^. où f/, F, TF sont indépendant! s 
de p^ et ^^2 . 

Or la formule TJ -\~V {p.^-*r- p^ -^Wp^p^ présente toujours un des trojs 
cas: TF>0, PF= 0, W <Ç>. 

Dans le premier cas la somme p^-^Vi n'^iQ la même, et la valeur do 
P^ augmente de \W{p^ — p^^^ quand on change p^^ p^ en ^(/îiH-iJg , 
— (Pj-f-Pg); car la différence 

U^V[jl-{p,-^p,)-+-Y{p,-*-P2)]-*-W^ip,-^p,)^ip,-^p,) 
— {U-hV(p,-^P,)-^Wp,p,\ 

se réduit à -^ W{p^ — p^f. 

Dans les deux autres cas on ne changera pas la valeur de la somn (^ 
p^-i-Pz et on ne diminuera pas ceUe de C/-*- V(p^-i-p^) -+- Wp^p^^ en chai - 
géant p^^ p^ en 0, p^-^p^ ou en 1, p-^-^p^ — 1; car 

U-^Vi^-^p,-^p,]-^W.X).{p,^p,) — \V-^V{p,-i-p,)-t-Wp,p,\ 

= — Wp^p^; 
U-^V[l~^p,-i-p—l]-+-WA.{p,-^p—l)-{U-i-V{p,-^p,)-i-Wp,p\ 

= — W(l—p^){l-p,). 



— 19 — 

Mais les valeurs 0, p^-t-p^ pourront être admises pour p^, p^ toutes 
ies fois que^jH-jOg ne surpasse pas 1; car elles sont alors positives et ne 
surpassent point l'unité; dans le cas contraire où p^-i- p^^ l , on pourra 
tîhanger Pi en 1, p^ en Pi-t-p^ — 1? ce qui prouve le théorème énoncé. Ce 
rhéorème nous conduit encore au suivant: 

Théorème. «La plus grande valeur que P^ peut avoir dans le cas oiî 
'Pi-*- P2~^ Ps~*~ • ' ' ~*~i'fA= *^5 correspond aux valeurs de p^, p^, jOg, . . .p 
«données par les équations 

i?i=0, |?2=0,. ..i?p=0, i?p+i=l, i?p+2=l,. ..i>p+.= l, 

_ S-a S-a _ S-a 

Pp+,+l „ _ _ 5 P?+^+2 „_û_aJ • • ' Pi^— u. — — af 



(OÙ p, (7 désignent certains nombres». 

Démonstration. Supposons que tu,, TCg, TUg, . . . tc soit le système des 
valeurs àe p^, p^, p^, . . . p qui, vérifiant l'équation 

Pi-*-P2-*-Pb-^ ' • • -+-P^,= S, 

donnent la plus grande valeur à P^ et renferment en même temps le plus 
^,rand nombre possible de valeurs égales à 1 et sous ces conditions. 

Soient d'ailleurs tc^ , Tig , . . . tc celles parmi les quantités tc^ , lUg , TUg , . . . tc 
(iui sont égales à 0; TCp+i, TCp^^g, • • • ^p^., celles qui sont égales à l'unité; 
toutes les autres î^p^_3^_l, îCp-f.j+2> • • -"^lii; étant selon la supposition différentes 
(le et 1, doivent être égales entre elles , comme nous allons le prouver 
toute à l'heure. 

En effet, si ^^^,+1 n'est pas égale à iip+a+s, il est possible, d'après le 
théorème précédent, ou de rendre P^^ plus grand, sans changer la somme 



< n prenant tx^_^.,^i= -k^^^^j ou de faire tz^^+i égal à 1 ou 0, sans diminuer 
Il valeur de P^. 

Mais l'un est contraire à la supposition que le système tij , Ug, "^3, • • • '^^^ 
( onne la plus grande valeur à P^ sous la condition 

TTi-*- 713-1-713-+- . . . -+-TZ^=S; 

l'autre est contraire à la supposition que de tous les systèmes qui ont cette 
propriété, tt^, Ttg, 7:3, . . . tt^ est celui qui renferme le plus grand nombre 
( e valeurs égales à 1 et 0. Donc il faut nécessairement qu'il soit 



"•p-Hi+2 






— 20 — 
Mais outre ces équations nous avons 

70,=: 0, 7C2=0, . . . TCp=0; TCp^i=l, 11:^+2= 1^ ••• '^p-t-a= 1; 

d'oii résultent les équations du théorème proposé. 

§ 3. Passons maintenant à la recherche des valeurs de l'expression de 
P^ qui correspondent à 

p^=0, p^=0, . . . p^=0, Pp+i=l, ^p+2== 1, • • -?'r+-==l^ 

_ S-a S- g __ S-a 

Pp+^-i-i — ^ _ p _ (j ' Pp+z-t-2 ^_p_o'----''i^ (J. — p — o' 

De la remarque que nous avons faite par rapport à l'expression P,^, il 
suit que la valeur de P^ qui correspond à 

p^=0, i?2=0,. .i^p=0, Pp+i=l, i?p-,-2= 1, • • -Pp-t-.^ ^ 

S— a S — o _ S— a 

est la somme des coefficients de ^*", r'~\ . . . f' dans le développement ( u 
produit 

\[X — p— C5 (X— P-O/ ' 

et que, par conséquent, elle est égale à 

1 2. ..(m-c). 1.2. .(ji-m - p) liJL- p -0/ \ ji - p - o / ( m - a i } [i - S - p 

IX. — m — p 5 — II — m — ç) — l S — o 
m — g-i-l(i — S — p m — g-H2 II — S — p 

fji — m — p S — a |JL — m — p — 1 S — c 



n — o-hIh — 5— p wî — 0-»-2 fJL — S — p ' ' ' y. — p — Ofx — 5 — ç ]' 

Voilà l'expression qui, en conséquence du théorème précédent, pour 
certains nombres entiers positifs p et a, sera la limite supérieure de tout s 
les valeurs de P^, dans le cas, où p^-^- p^~\- j)^-*- • ■ ■ -^P^^=^^ 

En remarquant que la valeur de l'expression 

.. {A — m — p S— a fi — w — p S— g li. — »i — p — 1 S — a 

m — G -*- 1 (JL — S — p m— a -¥- 1 ^l — S — p m— g-i-2 n — <S— p 

(j. — wt — p S — c y. — m — p — 1 S — a \ S — g 

*** m — (7H-lfi — /S— p m — a -*-2 fi— 6'— p''*|x— p — (jfx — /S-p 



- ^ — 21 — 

est plus petite que celle de 

li — m-p S — (S / [i — m — p S— G \2 l [L~ m — p S — c \p— 

m — a n — S—p \ m — G ii-S — p) '"' \ m — <s ii—S^j 

qui est le développement de 

/ [x — m — p S— G \|x-t»-p-n 
\ m — ff [1. — S — p) 
[i — »t — p S — (7 



7n — G [i— S— p 

OU de 



(w - 5) (fx - p - a) L V ^n-c ii-S-p) J' 



nous parvenons à ce théorème: 

Théorème. «Pour certains nombres entiers et positifs 9 et ct la valeur 
«de l'expression 

1.2...([Ji-p-tT) / S-(J Y'^-^/ii -S-p Y'-'"-?-*''^ ffl-g fi _/fJ^-"«-P ^-'^ U-m-p+i-i 

1.2...(m-(7)1.2. .([Ji-«i-p)\[JL-p-(7/ \fji— p-a/ m—S[_ \ m - a ii-S—p) J 

«surpasse la valeur P^ de la probabilité que dans ]k épreuves l'événement 
«E, ayant les chances Pi, p^, Ps^ . • ■ p^. arrivera au moins m fois, où S 
«est la somme |?j-H^2~*~i^3~^ • • • """iV"" 

§ 4. Arrêtons-nous au cas, où m surpasse S-^-l. Suivant le dernier 
théorème nous avons 



m — (7 ii—S—pl J 



p ^ 1.2 . ([x-p-g) I S-G \m-./[i.-^py-'»-P+Y»iz5\ri 

et à plus forte raison 

m P 1.2.. (jx-p-g) / s- a \m-./ ^-^-p W-m-p+im-ff 

y^f m^ 1.2...(m — (7).1.2...([JL — m — p) Vm. — p — (T/ \ii — p — <sj m — S' 

Mais m étant plus grand qiu' -Sn-l, la valeur de l'expression 

1.2 ..([x— p — g) / S — a Xm-^ tA- g— p \i^-'»-P+lOT — g 

1.2, . .(m — (j).1.2. . .([x — m — p) \fx— p — <r/ \ f^ - P — <7/ m — S 

augmentera par la diminution des nombres entiers positifs p et a. 

En effet, si nous divisons par C(^tte expression la valeur qu'elle prend 
après le changement de a- en o- — 1 , nous trouvons pour leur rapport 



22 — 



ou 


bien 






















s 


-a-4-1 /S — 
m — a \ S 


^r 


"'(ï 


[A — p 


— a y-p- 

ff-Hl/ 


■j+1 










— P — 


) 




ce 


qui, étant 


mis 


SOUS la forme 
















1 


-(m- 


-a)log(l- 


J-r-l)-»-^^ 


p-a+1) log (l • 


"t^-p- 


^) 




IH 


VI - 
















' S- 


-5-Hl 




se 


réduit à 

1 




m-S-1 1 1 
1 ^ 


1 TO-O 




1 1 , 


3 l(S-cj+l)3 




1 i 




1 (S-a+ip 


P--P- 


-a+l) ' 


(l^-P 


-=j+ip: 




i-"r 


s- 















/S— (J-H 1 

Or, cette valeur est évidement plus grande que 1; car 



est égale à 

VI — S— \ l_ hn — S—l V 1 hn — S— I V 



et ceci surpasse l'unité, parceque, w étant, par supposition, plus grand que 
S-i-1, m — «S — 1 aura une valeur positive. 
Quant aux valeurs de 



(5— (J-*-l)2 ^_p_(TH-l' (S— (1-4-1)3 (,x — p — (7-4-1)2» ••• ' 

elles sont positives, vu que, par supposition, m ■ — a surpasse S — a -+- 1 , et 
S — 0--*-! ne peut surpasser fji — p — oth-I; car autrement ^~^ , qui 
est la valeur d'une certaine probabilité (voyez § 2), serait plus grande que 
l'unité. 

Nous nous sommes donc convaincu qu'avec la diminution de g la valeur 
de l'expression 

1.2...(fx — p — o) / S — a y-^ u- s— py-»»-p-H m — a 

1.2...(w — o).1.2...(ki — 7n — p) \tx — p — ff/ y^_p_oj m — S 

augmente. Le même a lieu par rapport à p. 

Nous concluons de là que pour m><SH-l la valeur de l'expression 



1.2...(^-p-o) / S-o \m-o u-s - I 

1.2. . .(w — o).1.2...(|i — »n — p) \(JL — p — 0/ \|ji — p — ( 



py— iM-p-i-i m — 
m — S 



— 23 — 

(hius l'iuégalité (1) ue peut surpasser celle qui correspond à p:= 0, a= 
i^t qui est égale à 

l.2...m.l 2.. .([j.~m)\y.j \ fi / m — S' 

Nous pouvons donc déduire de l'inégalité (1) celle-ci: 

19] p ^ 1.2... IX /g\m /^^-gW-w.-M OT 

^"' m^ 1.2...w.l.2...((Ji — w)\(i/ V (A / m — 8'> 

01 w est supposé plus grand qu(^ S-\-\. 

§ 5. Mais on sait, que la valeur du produit \ .2 ...{x — 1) .a; est plus 

p( tite que 2,53 a; ^ e ^^* et plus grande que 2,50 a:; ^ e"''*). 
D'après cela la valeur de l'expression 



1.2. ..{x /jSXw / [JL — <g y-»H-i m 

1.2.. .m.l.2...(|ji. — w) Ifx / \ [x / m — /S 



.(|x — w) \fx/ \ [X / 

> t plus petite que 



2,53 e 



12 (Ji 



w ([X — m) 






*) Voici comment on parvient très simplement à ce résultat. 

[2. .(x X\.x \.2-..(x \\.x 

Eu divisant respectivement les valeurs des expressions — — ^ -^ , — — '-—\ — 

^-*-2 -^-^-ll^ ^-*-2 — 

X e X e 

crrespondantes à x^=n-i-l, par leurs valeurs, qui correspondent à x— n, on trouve pour leurs 
rji pports 

C( qui se réduit à 

e , e 

01 enfin à 

/i 3 \ 1 n 4_\ j 1 1 

\Î2 2.4.5/ (n+l)i"*'\12 2.5.6/ («+1)5 "^^ " " 12(M+ip 12(w+l)3 ■" 

e , e 

La première quantité étant plus grande que l'unité, la seconde plus petite, il est clair 

1 X , , j 1.2...(a;— l).a; , • . „ j 1 .2. . (a; — l).a; 
q le lorsque x augmente, la valeur de r-^^ rr— augmente aussi et celle de -z 

d mmue. x e x e 

Donc pour toutes les valeurs de x, moindres que s, on aura 

l.2...{x — l).x 1.2 ..(a — 1).8 1.2.. .{x — \).x 1.2. . .(s — l).s 



— 24: — 

et à plus forte raison plus petite que 



1 ./■*-2 

m — S' 






m (fi — m) 

car pour la plus graude valeur de e^^^, qui est e^^, le produit 

1 

2,53 12,. 

(2,50)* 

est encore plus petit que -^ . 
On a donc suivant (2): 

p ^ 2 ^ /g\m/t,-gW-nH-l m 



»l (fl — »î) 



OU, ce qui est le même: 



'»^2(m-.9) F Ht 






Cette inégalité donne le théorème suivant: 

Théorème. «Si les chances de l'événement E dans ^ épreuves couse - 
«cutives sont p^^ p^, p^, ... p et que leur somme est S, la valeur de l'ex- 
« pression 

2 (m 



1 y/ m (n - m) /^\m/ ^_g w. 

-5) r fj^ U; U-^«/ 



«pour m plus grand que S-t-1, surpasse toujours la probabilité que E arri - 
«vera au moins m fois dans ces fx épreuves». 



et, par conséquent, 

_j_ i_ _ 1 1 

(A) ].2.. {x-]).x<Te ^^'x'*'^e '"^'^^x^ \ .2. . .{x - \).x > T.r'^'^ e"", 
où T désigne la valeur de l'expression — — -^^ —. 

Mettons s = cxd et nommons Tq la valeur de " ' - pour s -= oo ; il suit de {A ) 

S e 
que pour toutes les valeurs finies de x on aura 

J. _ L J_ 

\.2...{x—\).x<TqX ^e "" ^2x^ 1.2 {x-\).x> T^x ^e'"", 

où Tq est une constante. 

En faisant dans ces inégalités x ^= 10, on trouvera que Tq est plus grand que 2,50 c 
moindre que 2,53; par conséquent les inégalités précédentes donnent 

1 1 1 

1.2. . .(X— 1) X <: 2,53a; ^e ^ , 1.2. . .(x — l).a; > 2,50x ' e . 



— 25 — 

En changeant m, p^, p^, p^,. . .p^, S en \i. — n, l~p,, l—p^, 
1 — i?3, ... 1 — p^, [>- — 8, il suit de ce théorème que, si la somme 1 — p^ 
-H 1 — i?2"*"l — P3~*~ • • ■ ~+" 1 — Pli est égale à pi — S, la valeur de 
l'expression 

2(5-m) r fi U-nj \«'/ 

pour |JL — »^>p^ — S-\-l surpasse celle de la probabilité que l'événement 
contraire à E arrivera au moins ji — n fois dans [x épreuves, où^j,^^, 
Pg, . . . i? sont les chances de E. 
En observant que les conditions 

se réduisent à 

V^-^^\-^P^-^ ■ ' ■ -*-Py. = S, n<S—l, 

et que l'événement contraire à E n'arrive pas moins de |x — n fois dans \l 
épreuves, si E ne se présente dans ces épreuves plus de n fois, nous arri- 
vons au théorème suivant: 

Théorème. «Si les chances de l'événement E dans \l épreuves consé- 
«cutives sont p^, P2, P^^ • • ■ Pin ^^ ^^^^ ^e"^' somme est S^, la valeur del'ex- 
« pression 

(x \y-~n) [nj 

«pour n plus petit que S — 1, surpassera toujours celle delà probabilité que 
«E n'arrivera dans ces épreuves plus de n fois». 

§ 6. Mais la répétition de l'événement £* ne peut donner lieu qu'à l'un 
de ces trois cas: ou l'événement reviendra au moins m fois, ou il ne reviendra 
pas plus de n fois, ou enfin il reviendra plus que n et moins que m fois. 

Donc la probabilité du dernier cas sera déterminée par la différence 
entre l'unité et la somme des probabilités de deux premiers cas. 

Donc, comme conséquence des deux derniers théorèmes, résulte le 
suivant : 

Théorème. «Si les chances de l'événement E dans fx épreuves consé- 
«cutives sont Pi, p^, p^, . .. p , et que leur somme est S, la probabilité que 
«le nombre des répétitions de l'événement i^ dans ces (x épreuves sera moindre 
«que m et plus grand que n, surpassera, pour m plus grand que S-t-l et 
«pour w plus petit que 5' — 1, la valeur de l'expression 

2{m-S)y II \m) [ii-mj 2(S-n)r V- Xl^-nj \n J 



— 26 — 

Pour déduire de ce théorème lu proposition énoncée an conimenc(^nic it 
de la note, nous remarquons que le rapport du nombre des répétitions de 
l'événement E dans fx épreuves au nombre a n'atteint pas les limites 

s s 

si E dans ces épreuves arrive moins que S-^]i.2 et plus que S — [x^ fois. 

Mais la probabilité que ceci a lieu, surpassera (d'après le demi 'r 
théorème) pour ^ >— , la valeur de l'expression 



2iiz y fx [ii-S-i-iiz) \S-i>.zl 

qui peut être mise sous la forme 






où l'on a fait pour abréger — = ^ et 



(4) {^r{,è^r-'=B; (,J^J-'(^-X_)'-=^,. 

Les équations (4) nous donneront pour les logarithmes naturels de 
H, H, les séries suivantes: 



2p 

et 






-P)\ 3 \-pI I2{l-p)^\'- 5 l-p) 



2p 6p2 • • * 2(1 

d'où il est clair que H, H^ ont des valeurs moindres que 1, 

Il suit de là que l'expression (3) s'approche indéfiniment vers 1 ]) ir 
l'accroissement de ^, de manière qu'on rendra sa différence de 1 bien pi is 
petite que Q, en prenant pour \j. un nombre quelconque plus grand que 



et 



logfi . logir, 

Nous sommes donc parvenus à la démonstration rigoureuse de la pi )- 
position qui est l'objet de cette note. 



4 

SOR LA FONCTION 

QUI DMEMma 
ÏNFÉPJSURS À UNS LIMITE DONNÉE. 



(Mémoires présentés à l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg par divers 

savants, VI, 1851, p. 141 — 157. Journal de mathématiques pures et appliquées. I série, 

XVII, 1852, p. 341—365.) 



&5tô onpedi^Aeuiu zucja m:>octmùX'6 zuceA'è ne npeSocxoc)jiîHUX'& dannotî 
SeMizumi'. 



(Teopia cpasHenifi. C.-IIeTepdypri., 1849, CTp. 209—229.) 



Sur la fonction qui détermine la totalité des 

nombres premiers inférieurs à une limite 

donnée. 

§ 1. Legendre, dans sa Théorie des nombres*), propose une for- 
male pour déterminer combien il y a de nombres premiers depuis 1 jusqu'à 
une limite donnée. Il commence par comparer sa formule avec l'énumération 
iEimédiate des nombres premiers faite dans les tables les plus étendues, 
nommément depuis 10000 jusqu'à 1000000, et l'applique ensuite à la so- 
lution de plusieurs questions. Malgré la concordance prononcée de la for- 
n ule de Legendre avec les tables des nombres premiers, nous nous per- 
nettons néanmoins d'élever quelques doutes sur son exactitude, et par 
conséquent aussi sur les résultats qu'on en a tirés. Nous fondons notre 
assertion sur un théorème, relatif aux propriétés de la fonction qui dé- 
termine combien il y a de nombres premiers inférieurs à une limite don- 
née, théorème dont on peut déduire plusieurs conséquences curieuses. Nous 
a Ions d'abord donner la démonstration du théorème en question, et nous 
ea présenterons ensuite quelques applications. 

I-er Théorème. 

^ 2. Si Von représente par ç(^) la totalité des nombres premiers infé- 
rieurs à X, par n un entier quelconque, enfin par 9 une quantité > 0, ^a 
s mime 

~ 1 ~] log^a; 



2[<p(.H-l)_,(.)-i^J'^^ 



jouira de la propriété de s'approcher d'une limite finie, à mesure que 9 
converge vers zéro. 



*) Tome 2, page G5 (Troisième édition). 



— 30 — 

Démonstration. Commençons par démontrer que la propriété eu 
question a lieu pour les fonctions que l'on obtient par la dilférentiation su( - 
cessive des trois expressions 

21og(l-^)-.-2^ 

par rapport à p; ici, comme par la suite, la sommation par rapport à n 
s'étend à tous les entiers depuis m = 2 jusqu'à m = oo, et par rapport i 
(X seulement aux nombres premiers, également depuis {jl = 2 jusqu'à ix = cx. 
Considérons la première expression. Il est facile de voir que l'on a 



dx, 



J±^x^dx = ^ —rrr •] e'-" x^ 
ex— 1 y I mH-p I 

«^o 

e-* x-^-^ dx = -\ e-^ x^ dx , 
Je .1 ' 



p 
et par conséquent 

\C»— 1 X 



2^ J^ -^0^ 
»ll-*-p p 



f «-* x?à 

Jo 



En vertu de cette équation la dérivée d'un ordre quelconque n d) 

2 ^^ï+p P^^ rapport à p sera égale à une fraction, dont le dénomina 

teur est M e""" x^ dxT^ et le numérateur une fonction entière des exprès 



\ (,^ - 1) ^-^ ^' log' ^ dx^ • • • [ (ei - 1) ^"' ^' l^g" ^ ^^' 

Je~* «^c^ic, e"'' x^ log rcrfrc, e"'' a;'' log^ xdx,. . . e'"" x^ log" x 
''O ''O ''O 



dx 



Or, une telle fraction, pour l^ = aussi bien que pour w > 0, s'ap 



31 



proche d'une limite finie à mesure que 9 converge vers zéro; car la limite 
(le l'intégrale J e~* x^ dx pour 9 = est 1 , et les intégrales 

I" (^ - i) «-" ^dx, \ (^j _ 1) .-' <c' logxdx, 
f iéï-l) e-'x'hfxdx,. . . f (^-1) e-xnog''xdx, 

e"* x^ log X dx, e~* x^ log^ xdx,. . . e~'' x^ log" :r dx 

pour 9 =: conservent évidemment des valeurs finies. 

Ainsi, il est certain que la fonction ^^^ïip^ ? aussi bien que ses 

dérivées successives, resteront finies à mesure que 9 convergera vers la 
limite zéro. 

Considérons actuellement la fonction 

log9 — 21og(l— j^). 
On sait que 

[(i-^)(i-p^)(i-.^) r 

, _i_ j_ j_ 

•'•"*" 21-*-p ~*~ 31+P "^ 4H-P ~*~ ' 

d'où l'on tire 

= l0g (1 -H2Ï?i.--l-3i^-H4Ï^-i-. . .), 

équation qui, d'après la notation admise plus haut, peut être écrite de cette 
manière 



donc 



~21og(l~^-i^) = log(l-^2ï^)' 

l0gp-2l0g(l— ^p)=:l0g(l-H2^)?; 



ou bien 



log p-2 log (1 -^) = log [1 -t-e-^-(2s^-7)?]• 



— 32 — 

Cette équation fait voir que toutes les dérivées de 

logp-21og(l-j^) 

suivant p, s'exprimeront au moyen d'un nombre fini de fractions, dont les 
dénominateurs seront des puissances entières et positives de 

et les numérateurs des fonctions entières de p, de l'expression 'V -4 

et de ses dérivées par rapport à p. Or, de telles fractions s'approcheront 
d'une limite finie à mesure que p convergera vers zéro; car l'expression 

l-+-p-i-( >^^Y^ jp, qui entre dans les dénominateurs de ces fractions, 

tendra vers la limite 1 à mesure que p s'approchera de zéro, et cela parce- 
que la différence N -^^ — — , dans cette hypothèse, reste finie comme 
nous l'avons démontré plus haut. Quant à ce qui concerne les numérateurs, 
comme ils ne contiennent la différence ^ -~ ^ et ses dérivées que sons 

ji^ mn-p p ^ 

forme entière, et que ces fonctions tendent vers une limite finie quand p 
converge vers zéro, il en sera de même pour ses numérateurs. 

Il nous reste encore à démontrer que la même propriété à lieu rela- 
tivement aux dérivées de la fonction 

Nous remarquerons d'abord que sa première dérivée sera 

Il est facile de voir par la forme de cette fonction que les dérivées des 
ordres supérieurs s'exprimeront également au moyen d'un nombre fini des 
termes tels que 

JogPj. 



1 






p, q, r n'étant par inférieurs à zéro. Mais chaque terme de cette nature, 
pour des valeurs de p non-inférieures à zéro, a une valeur finie; en effet, 
pour p = et p > 0, la fonction sous le signe 2 sera une quantité d'un 
ordre supérieur au premier par rapport à — . 



— 33 — 
Après nous être couvaiucu que les dérivées des trois expressions 

pour des valeurs de p convergentes vers zéro, tendent vers des limites finies, 
nous concluons que la même propriété aura également lieu par rapport à 
l'expression 



dp" dp»«-i 

laquelle, après les différentiations effectuées, ce réduira à 

_^ / -^ log"tJL >y^ log»-i m \ 

\ ,^i» (Jl1+P ,^j ??iH-p / • 

Ce qui vient d'être dit renferme le théorème énoncé plus haut, car 
il <^st facile de remarquer que, d'après notre notation, la différence! 

>r"' log" [i. ">^ log"— 1 m 

est identique avec l'expression 

2[,(.H-l)-,(.)-,„j,.]'f",^ 

ou bien, ce qui revient au même, avec 

■ l[9(.-i)-9(^)]!i^-r-I'^ 



a;i+P 



Pour le faire voir il n'y a qu'à observer que le premier terme de cette 
dii érence est simplement égal à'^, ^fiff j parceque le facteur cp {x-\-\) — 9 {x) 
de -^1^ se réduit, par la définition même de la fonction cp, à 1 ou à 
suivant que x est un nombre premier ou un nombre composé. Quant au 

second terme 'V "^"~^^ , il se transforme évidemment en N "f"i^/" par 

« = 2 

le changement de a; en w. 

De cette manière la proposition que nous avions en vue de démontrer, 
se trouve complètement établie. 



— 34 — 

^ .'). TiC tliéorènie dont on vient de donner la démonstration conduit à 
pliisi» urs propriétés curieuses de la fonction qui détermine combien il y a de 
nombns premiers inférieurs à une limite donnée. Et d'abord observons que 
la différence 



loga^' 



I loga 



pour X très ^rand, est une quantité infiniment petite du premier ordre par 
rai)port à , ; j)ar conséquent l'expression 



i 



dx \ log" X 

log X j 0^+9 ' 



pour X très grand, sera de l'ordre 2 -+- p relativement à ^; d'après cela, la 
somme 

1 Ja? \ log" X 

og a; log a; y a;i+p 

pour des valeurs de p non-inférieures à zéro, restera finie. Ajoutant cette 
somme à l'expression 

z = 2 

pour laquelle le théorème I-er a lieu, nous concluons que la valeur de 



V 



9(^-1- l)-9(^)-| ï^ 



■x+\ -, 



log« X J 

~rjr- dx 



restera finie à mesure que p convergera vers la limite zéro. De là on tir; 
le théorème suivant: 

ll-éme TIléorème. 

La fonction 9 (x), qui désigne combien il y a de nombres premiers in- 
férieurs à X, satisfera, entre les limites x = 2 et x^oo^ une infinité d°. 
fois aux deux inégalités 



'f^^)>\wi-^^. H ?W<j', 



dx^ OLX 

log X log" a;' 



quelque petite que soit la valeur de a, supposée positive, et quelque grand qce 
soit en même temps le nombre n. 



— 35 — 



Démonstration. Nous nous contenterons de démontrer l'une de ces 
deux inégalités, parceque l'autre s'établira tout-à-fait de la même manière. 
Choisissons, par exemple, la suivante: 



(1) 



9(^)<| ï^- 



Pour prouver que cette inégalité est satisfaite une infinité de fois, 
admettons d'abord que le contraire ait lieu, et voyons quelles seront les 
conséquences de cette hypothèse. Soit a un entier supérieure e"et supérieur 
en même temps au plus grand nombre qui satisfait à l'inégalité (1). Dans 
cette supposition on aura pour x'^a l'inégalité 



et par conséquent 
(2) 






ax OLX 1 .^ 



dx ^ 9.x n 

log X = log" a; ' log a; 



<1. 



Or, si l'on admettait les inégalités (2), il en résulterait, contrairement 
à ce qui a été démontré plus haut, que l'expression 



<^{x-v- \) — f^{x)- 



dx 
J logic 



log" X 
X^+9 ' 



au lieu de converger vers une limite finie pour des valeurs très petites de 
p, s'approcherait de la limite -i- cx). En effet, nous pouvons considérer cette 
expression comme la limite de 



«=« r~ /»«-*-! 

« = 2 L -^ X - 



log** X 

a;i+P 



pour s = oo. Supposant donc s > a, cette quantité peut être mise sous 
la forme 



(3) C-*- V 

a;=a+] 

en faisant pour abréger 

x = a 

G=y 



p(^H-l)-(p(^)-| j^^ 



cp(a;-+-l) — 9(a?)- 



(.X-t-l - 

dx 
log a; 

^ X 



log" X 
œl+P ' 



log" X 
a;i+P ' 



et observant que G désignera une quantité finie pour p = et p > 0. 

3* 



— 36 — 
Or, l'expression (3), en vertu de la formule connue 
• « 

a-t-l a+1 

et après avoir fait 



se transformera dans la suivante 

C — çp (« -♦- 1 ) 



dx 



log" X 



(fa; 



log« « 



9(5-+- 1) 



-/ 



da; 

log X 



log"s 
sn-p 



log" a; log"(a; — 1) 
"rei+P (a; — l)i+P 



qui, à son tour, en faisant > et < 1, pourra s'écrire comme il suit: 



cp (a H- 1 ) 



,0+1 - 

âx 
Tog X 



/v 



J 

-^ log a; 

»^2 



log« a 
ai+p ' 



p(8--l) 



da; 

log a; 

•^2 



1-i-p- 



log(a;-e) 



log" (a; — 0) 
(a; — 0)2+P • 



Si l'on représente par F la somme des deux premiers termes de cette 
expression, et si l'on observe de ])lus que le troisième est positif en vertu 
de la condition (2), on sera en droit de conclure que l'expression précédente 
a une valeur supérieure à 



^-2 



=?(^)-| ilî; 



i-p-i^ 



log {X - Û) 



lo g» (x - Q) 
(j; — 0)2+P • 



Les mêmes conditions (2) font voir que dans cette expression la fonction 
sous le signe 2 conservera une valeur positive entre les limites. En outre, 
on aura entre les limites de la sommation 1") 1 -i- p — -, — ^ — ^^ > 1 — ,— — ; 

'' " log (a;— 6) ^ logo' 

car f>0, x>a^\, < l- 2») ^ (x) _ f ,-|L > ^î^ ; car 
^ (^^ — î^ ^ \^x ^^ ^^^^^ ^^ ^^ première des inégalités (2), et en 



— 37 






vertu de la seconde la dérivée de j^^^, égale à ^^^ (l— î^)» ^^t 

positive, ce qui donne i^w^ > ion^(x — ey ^^^^ l'expression précédente 
surpasse la somme 

F_._V «(^-^) (i n \ log» (X - 6) 

-^ ~*~ ^ log« (a; — 6) V ^ log a) [x — Ô)2+p ' 

qui, après les réductions, devient 

or, cette dernière expression est évidemment supérieure à celle-ci 

a;=o-t-l 

laquelle, pour s = oo, se réduit à 

F + a(l— i-^|--) 2 ^< 



-al — , -755 

Jo 



da; 



11 est facile de faire voir que la quantité à laquelle nous sommes par- 
\enus converge vers la limite -+- cxd pour p = 0. En efi'et, on a d'abord 

J^ dx=-i-oc, e-^'dx^l, de plus a et 1 -j^ sont toutes deux 

(les quantités positives, la première par hypothèse, et la seconde en vertu 
de la dernière inégalité (2). 

Nous étant assurés de cette manière que, dans l'hypothèse admise, non 
seulement la somme 



.x+l -I 



/.X-f-1 



log" X 
'x^V^ 



mais aussi une quantité plus petite qu'elle se réduit à -k 00, nous sommes 
en droit de conclure que l'hypothèse en question est inadmissible, d'où dé- 
coule de suite la légitimité du théorème II. 



— 38 — 

§ 4. îl s(M-a fncilo nctiiellomeiit, ou vertu de la propositiou précédente, 
de démoutrcr \c tluMuriiu- qui suit: 



lll-éme Théorème. 

L'expression ~.~ — log x, pour x = oo, ne peut avoir une limite diffé- 
rente d( — 1. 

Démonstration. Soit L la limite de la différence -^^ — log x pour 
a; = oo. Dans ct^tte liypothésc on pourra toujours trouver un nombre N 
ti'llcmcut ^rand ({uc pour a; > iV la valeur de ^ — log x sera comprise 
entre les limites X — s et L h- £, s étant aussi petite qu'on voudra. Ainsi, 
jxtur (le semblables valeuis de a:, et lorsque £ > 0, on aura 

(4) ^T — log rr > X — e, -^ — log a; < X -h £. 

Mais, en vertu du théorème précédent, les inégalités 



-'2 «^2 



log" X 



sont satisfaites par une infinité de valeurs de x, et par conséquent aussi par 
des vakiurs de x supérieures à N, pour lesquelles les inégalités (4) ont lieu. 
Or, ces inégalités, combinées avec celles que nous venons d'écrire, con- 
duisent à 



r* 


- log a; > L — s, 


X 


— log a; < L-+-e; 


dx ax 
log X log« x 




dx ax 
logx ' log« X 

J2 




d'où l'on tire 









L -^ 1 < . ^^ 1 - 

dx ax 

log X log" X 

•^2 

/. H- 1 > ^ 

I dx ax 

I log x log" X 



— 39 — 

On voit par ces inégalités que la valeur numérique de L-*-l ne sur- 
passe pas celle de l'une des expressions qui en forment les seconds membres. 
D(î plus £ peut devenir aussi petite qu'on voudra dans l'hypothèse de N 
très grand, et on peut en dire autant de chacune des quantités 



^__(log^_l) ^i,f^=ï=ï^ 



Jdx ax 
log X ~*~ log" X 
2 

car, pour a; = 00, on trouve par les principes du calcul différentiel que 
leur limite commune est zéro. 

Nous étant ainsi convaincus que les limites 



-(loga;— 1) ' ' 



log X -t- log" X 



r dx _ 

log X "*~ i 

•^2 



delà valeur numérique de Lh-1 peuvent être diminuées cà volonté, nous som- 
mes en droit de conclure que L -*- 1 = 0, et par conséquent L = — 1 , ce 
qu'il s'agissait de démontrer. 

Ce que nous venons de prouver relativement à la limite de la valeur 
d(^ -^ — log X, pour a? = 00, ne s'accorde pas avec une formule donnée par 
Legendrepour déterminer approximativement combien il y a de nombres 
p]-emiers inférieurs à une limite donnée. D'après lui la fonction cp (a;), pour 
X très grand, est exprimée avec une approximation suffisante par la formule 



p(^). 



" log a; — 1,08366» 



qui donne pour la limite de -^^ — log x le nombre — 1 ,08360 au lieu de — 1 . 

§ 5. En partant du théorème II on peut déterminer la limite supérieure 
da dégre de précision avec lequel la fonction, désignée par cp {x\ peut être 
remplacée par toute autre fonction donnée f(x). Dans ce qui va suivre nous 
comparerons la différence f{x) — 9 (x) avec les expressions 



logic' log'^a;' log3 a;» * ' * 



— 40 — 

t>t. ixMir al)réii;er lo discours, nous dirons que A est une quantité de l'ordre 
,-^„^, quand le rapixu-t de A à . ;^ pour a; = oo, sera infini pour m > ?^ 
et zéro pour w < n. Cela posé, nous allons démontrer le théorème suivant: 

lY-éme Théorème. 



Quand Vcxiiress'wn 



^'^s" ^ / f(^\ _ -iî 



fix) 



log a; 



pour x = oc, (i pour limite une quantité finie ou infinie, la fonction f(x) 
IV p< uf n/>rrs(nt(r 9(2') exactement en quantités de V ordre ^^^^ff-^ inclu- 
siv( mint. 

Démonstration. Soit L la limite vers laquelle converge l'expression 



^-(/■w-{,-|^ 



à iiioiirc (jiic X sappidclu; de l'infini. Comme L, par hypothèse, est diffé- 
rente de zéro, elle ne pourra être égale qu'à une quantité positive ou négative. 
Su])posons la positive; notre raisonnement s'appliquera sans difficulté au cas 
de jL < 0. 

Si la limite L de l'expivssion que nous considérons, pour a; = cx), est 
su]>é]-ieure à zéro, nous ])ourrons trouver un nombre ^ assez grand et tel 
que, pour x > iV", la valeur de l'exju-ession 



'^'"^ (/■<-) .H-. 



reste constamment supérieure à une certaine quantité positive l. 
Nous aurons donc pour a;. > iV 



(5) '^(f(^-fê^>l- 



V 



W-Jjof.y 



— 41 — 

Mais, en vertu du théorème II, quelque petit que soit a = y, nous 
aurons pour un nombre infini de valeurs de x l'inégalité 

qui donne 

en la multipliant par -^?-^^ et observant que a = y? on trouve 



log"a; 



^(^)-| î^ 



<!^lA-)-?W]-l 



oa bien, en vertu de l'négalité (5), 

'-2Ç-^[ft^)-ç(^)]>i. - 

Or, cette inégalité ayant lieu en même temps que celles marquées par 
l«îs numéros (5) et (6) pour une infinité de valeurs de x prouve, à cause de 
-r > 0, que la limite de 

^[A^)-9(^)]. 

pour a; = 00, ne peut pas être égale à zéro. Si donc cette limite est diffé- 
rente de zéro, la différence f{x) — cp (x), d'après la convention établie plus 
liant, est une quantité de l'ordre j^"^ ^^^^ d'un ordre inférieur; par consé- 
({iient f{x) diffère de (^{x) d'une quantité de l'ordre j^4^, ou bien d'un 
ordre inférieur, ce qu'il s'agissait de démontrer. 

En nous basant sur ce théorème, nous pouvons faire voir que la formule 
• le Legendre wa; — i 08366 ' P^^"' laquelle la limite de l'expression 



! / X l dx \ 

l logx— 1,08366 I logo; ]' 



quand 3; = 00, est égale à 0,08366, ne peut exprimer (p(rr) avec un degré 
de précision allant jusqu'aux quantités de l'ordre j^-^ inclusivement. 

On trouve avec la même facilité les valeurs des constantes -4 et ^ telles 



42 



que la fonction ,^^^^,,l_^J^ puisse représenter 9 (a;) cavec une précision poussée 
aux (luantitt's do ronlrc ,4- inclusivement. En vertu du théorème précé- 
(lent (le toiles valeurs i\v A et Ji doivent satisfaire à l'équation 



lim. 



10g2^ / X j JZX \ 

^^ \^Alogx-t-B I log X J 



= 0. 



Le dévelloppement de ^ io„'^ _^ ^ donne 



732 



.4 1oga;-i-B ^ logx A^ log^ a; ^^ jogs a; 



De plus, intégrant 1 , '-- par parties, on trouve 



log X -' 



J. 

l0g3 X 
'J 2 



(ÎX X X 

log X log a; log* x 



En vertu de ce qui vient d'être trouvé l'équation précédente se réduit à 

y j ]„g2x / A ' log X A^ ' ïog2x ~*~ A^ ' logSx ' ' " \ I a 

( \ log X log2 a; J 2 log3 x / ) x—<x> 

ou bien 



52 1 

]i^ log X 



j cy log^ X r« da; ^ log^ x 

( * ' ■ X J 2 log^ X X 



Or, si l'on observe que tous les termes à partir du troisième convergent 
vers zéro pour des valeurs croissantes de x, on verra immédiatement qu'on 
ne peut satisfaire à l'équation précédente qu'eu faisant -j — 1=0, 
^^-+-1=0. D'où^=l, B = —\. 

Ainsi, de toutes les fonctions de la forme -j-, — ^ la seule 



^ log X -♦- .B log X — 1 

peut exi)rimer (p(ic) avec une précision poussée aux quantités de l'ordre 
,-^— inclusivement. 

§ 6. Démontrons actuellement un théorème concernant le choix de la fonc- 
tion qui détemdne, avec un degré de précision requis, la fonction que nous 
avons représentée par (^{x). 



43 — 



Y-éme Théorème, 

Si la fonction ç (x) qui désigne combien il y a de nombres premiers 
ivférieiirs à x, peut être représentée algébriquement avec une précision 
ji Hissée aux quantités de V ordre |^^ inclusivement au moyen des fonctions 
X. log ic, e"^, alors elle s' exprimera par la formule 

X \.x 1.2. a: 1 .2.3. . .(n— l)a; 

log X l0g2 X l0g3 X ' ' ' log" X 

Démonstration. Soit f{x) la fonction qui, contenant sous forme algé- 
liiique X, \ogx, e^, exprime cp(ic) exactement jusqu'aux quantités de l'ordre 
^-^~ inclusivement; l'expression 

log» X r /. . V ^ __ 1-^ 1.2.0; 1.2.3. ■■(n — l)a; ~| 

~~x L log X log2 X log' X ' ' ' log" X J 

I our des valeurs croissantes de x, devra converger soit vers zéro, soit vers 
une limite finie ou infiniment grande. En effet, s'il n'en était pas ainsi, la 
première dérivée de cette expression changerait de signe une infinité de fois 
pour des valeurs de accroissantes jusqu'à -i- oo, ce qui ne peut arriver, comme 
il est facile de s'en assurer, avec une fonction algébrique de x, log x, e^*). 
Ainsi, on aura nécessairement pour f{x) 

,„x v (log»a;/^. X X l.x 1.2a; 1.2.3. . .(n—l)a;\ ) 7- 



*) Il est très facile tic s'assurer qu'une fonction algébrique de x, log x, eP cesse de changer 
•le signe pour une valeur de x surpassant une certaine limite. Si la fonction dont il s'agit est 
intière, alors son signe dépendra d'un terme de la forme Kx^' Aog^" aj.c"*'"^, pour des valeurs 
de X plus ou moins considérables, ce terme ne changeant pas de signe pour a; > 1. Pour toute autre 
'onction algébrique de a;, log a;, e*, que nous représenterons par 2/, OQ démontrera la même pro- 
position de la manière suivante: observons d'abord que la fonction y sera la racine de l'équation 
'io2/"*-+-«i2/'"~^-t-«22/"*"~*-*-...-t-Wn,_i2/-t-Mm=0, '^q-, «1, %v««m— d w^ étant des fonctions enti- 
ères de X, log a;, é^\ si l'on représente par v la fonction qui résulte de l'élimination de y entre 
'équation précédente et sa dérivée, alors les fonctions Mq, u^ et v, comme entières, finiront par 
lie plus se réduire à zéro ou à changer de signe pour des valeurs de x surpassant une certaine 
limite; il arrivera donc que y conservera également son signe, car, pour des valeurs de x qui ne 
réduisent pas v à zéro, l'équation Uq î/"»h-m, y^^—^ -*-...-*- u^_i y -+- m^ — ne peut avoir de 
racines égales, et quand les racines sont inégales, le signe de l'une d'elles ne peut changer qu'en 
supposant que le signe de Uq ou ii^^ change. — Cette propriété peut être étendue à beaucoup 
d'autres fonctions, pour lesquelles, par cette raison, le théorème V ainsi que les conséquences qui 
s'en déduisent, auront également lieu. 



— 44 — 
Mais, d'un autre côté, il est facile de s'assurer que 






1.2.. {n-\)x 



cette équatiou ajoutée à la précédente donne 



r dx ' 

log X 
»/3 



= 0; 



lim. 






=i>. 



Or, comme par hypothèse f{x) représente 9(2;) exactement jusqu'aux 
quantités de l'ordre j^ inclusivement, et que d'après le théorème IV cela 
ne peut avoir lieu, si la limite de 



log"x 



ro 



;^)— \tgx 

•^2 



pour X = 00, n'est pas zéro, on aura L = 0; cela posé, l'équation (7), pour 
X = 0, se réduit à 



lim. 



|--[A..- 



X \.x 1.2. a; 

lofT X log^ X log3 X 



1.2.3. ..(n— l)a; ~| 
log" X J 



= 0, 



c<' qui jirouve que la fonction 



X 1.x 1 . 2x 

log X log* X log' X 



1.2.3...(n 



- l)x 



ne (litVéïv |);i- ilr f{j) de ([uantités de l'ordre 



]0g« X 



log" X 

et d'ordres inférieurs, et 



(jiK ji.ii- (•(»ii-r(iii(iit cllf peut, aussi bien que /"(a;), représenter (^{x) avec une 
j)ré( i>i(»ii p(»ii>>é(' jiis(iu'au.\(iuaiitités de l'ordre ,— ^ inclusivement, ce qu'il 
s'îifçisSiiit de démontrer. 

I)"ai)rès le théorème que nous venons d'établir, nous concluons que si 
la fonction <p (a;), (luirei)résente combien il y a de nombres premiers inférieurs 
à X, i>eut être exprimée algébricpiement au moyen de ic, logic, e^ jusqu'aux 
quantités des ordres j^, j^, i-^-,... inclusivement, elle devra s'ex- 
primer par 

g _«_ _^ Ig X 1.x 1.2.x 

logx' logx log'^x' logx~'~log2x~'~ log'x»* ' • 

De plus, comme ces sommes ne sont autre chose que les valeurs successives de 
^'"•^•'^'''^''' J iog^- P""««^^« aux quantités des ordres ^-^, j^., j^, • • • 



— 45 — 

nous sommes en droit de conclure que dans toutes ces hypothèses l'intégrale 

.— ^ exprimera ç (x) avec exactitude jusqu'aux quantités de l'ordre pour 

lequel elle peut encore s'exprimer algébriquement au moyen de x, log a;, e^. 
Il est facile de se convaincre par les tables des nombres premiers que 

l'intégrale j^^, pour a? très grand, exprime avec assez de précision combien 

il y a de nombres premiers inférieurs à x. Mais ces tables sont trop peu 

étendues pour pouvoir décider de la supériorité de la formule j^-^ sur la 

formule de Legendre ^^^ ^ _^^ ^gg^g ou sur toute autre analogue. Dans les 

limites de ces tables les deux fonctions ,— ^ et , ^, „qocc différent peu 

I log X log X — 1,08366 ^ 

entr'elles; mais leur différence ^ ^, „„„^„ — ,— ^, ayant un minimum 

' log a? — l,0oob6 I log a;' '' 

(1,08366)2 

poura; = e ^'^^^^^ =1247689, croitra constamment jusqu'à l'infini après 

cette valeur, et déjà pour a; > 10000000, aura une valeur considérable. C'est 
pour des nombres de cette grandeur que l'avantage de l'une des deux formules 

fi— ^' ^ ^, ^oQcc devra se manifester. Mais pour effectuer cette véri- 
log ic log a;— 1,08366 ^ 

3 

lication il faudrait avoir des tables de nombres premiers beaucoup plus éten- 
dues que celle que l'on possède. 



i— ^ pour la 

log X ^ 
2 



§ 7. En adoptant l'intégrale ^— ^ pour la valeur approchée de (p(ic) 



nous serons obligés de changer toutes les formules auxquelles Legendre est 
parvenu en partant de l'hypothsée cp {x) = ip a;— ^io8366 ' ^^^ formules ne 
seront pas plus compliquées que les siennes, et auront sur elles l'avantage 
d'être plus approchées d'après les théorèmes qui ont été démontrés plus haut. 
Appliquons notre formule à la détermination de la somme des deux 
séries 

L L 1. L 

2"*~8~*"5"^*'*~*~X» 

pour X très grand. 



— 46 — 

rtiiii- ilftciiniiirr la ^(miiiit' de l;i invmière do cos deux séries, uoiisob- 
s. r\,i(iii- (jnr. (l.iprrs la iKitatimi admise i)lus haut, rou a 

1 1 1 _^ _. J_ V 9{x-t-l)—9 (a) 

x = 2 

car, oix) r('i)iTS('iitant la totalité dos nombres premiers inférieurs à x, la 
dift'ért'HCo 9 (a* -h 1 ) — o(x) se réduira à zéro toutes les fois que x sera un 
nond)re (•um])iisé. et à 1. (|uand x sera premier. 

Sui)p(tsons X très f^rand, et désignons par X un nombre inférieur à X, 
mais assez grand eeix'udant ])our que la fonction 9(^), entre les limites 
x=\vtx=:X, puisse être représentée avec une exactitude suffisante parl'in- 

r dx 

tégrale j^-^. Dans cette hypothèse 1 équation précédente pourra s'écrire 
de cette manière: 



z=X-l x=S 

l-+-l-4-i-+- H-l= V (p (a: -t- 1) — y (a;) y cp (a; -t- 1) — 9 (g;) 
2 3 5 ■ ■ * X j^ X ^^ X 

x=2 x=l 

Remplarant dans la dernière somme 9(0;) par j^, on aura 

J 2 



1 1 1 

-2 -^ -T-*-^ 



j dx 

H- - = V 9{x-i-l)-9{x) ^ Jx 
X j^ X j^ X 

x=2 x=\ 

nx+l 

♦'^liiJ»' I i^^ peut être représentée par j^ avec exactitude 



Or. liiitégri 

J Wg X ^ - r 1' — 

x=X 

a;log 



X=X 

jusquaux quantités de Toi-dre 1; de plus, la s(mmie V / peut être 

X ' .^i^ a; log a; ^ 

x=X 

'"'''"'''•*'■'''■ '''"'■ '""'^'''^■'■'■''•'J ilf^ ''''''^' 1*' "i<^i»<' <l*'f^Té de précision. 
Sons (■«■s conditions réqMati(m i)rérédente deviendra 

^^ -^iJ a; a; log a; ' 

ou bien, effectuant rintégratitm, 

1 1 1 x=X-l 

— -4- — -♦- — -+- _i_ ' V <P («-+- 1) — <p(ar) 

1=2 



— 47 — 
Enfin, si l'on remplace par G la quantité 









V^<p(a;H-i)- 

»=2 


-9 (a;) 


■ log lo 


indépendante 


de 


a;, 


on trouvera 






[8) 




1 

2 


-l-i-.- 


-i= 


= C-*- 



X. 

Lorsque l'on aura déterminé la valeur de la constante 6\ cette équation 
pourra servir à trouver par approximation la somme de la série 
111 1 

quand X sera très grand. 

La formule que nous venons de trouver est plus simple que celle de 
Legendre, d'après laquelle on a 



1 1 1 



. -+-^=: log (log X— 0,08366) -+- G. 
Passons maintenant à la détermination du produit 

0-i)(i-i)(i-i)-(>-i)=^- 

Prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on aura la 
formule 

10gP=10g(l— |)-4-l0g(l— |)-*-l0g(l— |)H-...-Hl0g(l-i) 

qui peut encore s'écrire de la manière suivante: 

10gP=-(l-HlH-l^...-^l)-Hl-l-10g(l-|)H- 

-i-+-10g(l— -l)-4-^-l-l0g(l-|)-l-...-^^-+-l0g(l— ^). 

Observons actuellement que la série finie 

i-Hl0g(l-|)*i-Hl0g(l-]-)H-l-.l0g(l-l-)*...*^*l0g(l-i), 

aux quantités de l'ordre ^ près, peut être remplacée par la série infinie 

l^l0g(l_i)H-i-Hl0g(l-i-)-Hi-Hl0g(l -1) + . . . 

Or, la dififérence entre ces deux séries est évidemment inférieure à la somme 



— 48 — 
qui. cil.' nu'iuf. est intV'i-iciirc à Tlutég-rali' 



r[_l_|„.(l-l)]d^=l+(X-l)l«g(l-l); 

(le i)lus. comme la valour de 1 -♦- (X — 1) log (l — ^j pour X très grand, 
est inic quantitt'' intiiiimciit ju'titc du ijremicr ordre par rapport à ^j u^^us 
en coneliions (jiie la substitution (]iii vient d'ùtn; indiquée est permise. 

l)"ai)rès ce qui vient d'être dit, si Ton représente par C' la somme de 
la série infinie 



-log(l--;^)-*-^-Hl0-(l— |)-f-i-HlOg(l— -})- 



3 / 



la valeur de log P s'exprimera, aux quantités de l'ordre de ^ près, par la 
formule 

,„,,/'= -(1-h1-k]-h-...-^-^)-k(?'. 

Substituant pour 

i_ J_ i_ j_ 

la valeur (8) trouvée plus haut, on obtiendra 

log P = — (7 — log log X -I- (7', 
d'où 

C'-G 

p~^- 

log Z • 

Enfin, faisant pour abréger eC'-G=G,, et remplaçant P par le produit 
0-^)0-T)0-i)...(.-i), 

('-v)('-i)0-]-)-0-i)=^.. 

Legeudre a trouvé, pour la valeur du même produit, la formule suivante: 



nous aurons 



MÉMOIRE 



SUR 



JuJÊib cNuMBKfiio FKIaMIIxRox 



(i\iémoires présentés à l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg par divers 

sabrants, VII, 1864, p. 17—33. Journal de mathématiques pures et appliquées. I sériii, XVIl, 

18B2, p. 866-890.) 



Mémoire sur les nombres premiers. 



§ 1. Toutes les questions qui dépendent de la loi de répartition des 
riombres premiers dans la série 

|1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, etc. 

présentent en général de grandes difficultés. Ce qu'on parvient à conclure 
d'après les tables des nombres premiers avec une probabilité très grande, 
reste le plus souvent sans démonstration rigoureuse. — Par exemple, les 
t ibles des nombres premiers nous portent à croire qu'à partir de « > 3, il 
} a toujours un nombre premier plus grand que a et plus petit que 2a — 2 
(oe qui est le postulatum connu de M. Bertrand*)); mais jusqu'à présent 
Il démonstration de cette proposition a manqué pour des valeurs de a, qui 
surpassent la limite de nos tables. La difficulté devient encore plus grande, 
quand on se donne des limites plus étroites, ou qu'on demande à assigner la 
limite de a au-dessus de laquelle la série 

a-i- 1, a-+-2, 2a — 2 

contient au moins deux, trois, quatre, etc. nombres premiers. 

Il y a une autre espèce de questions très difficiles qui dépendent aussi 
d3 la loi de répartition des nombres premiers dans la série 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc. 

er, dont la résolution est très nécessaire. Ce sont les questions sur la valeur 
nimérique des séries, dont les termes sont des fonctions des nombres pre- 
miers 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. 



*) Journal de l'école polyteclmique, cahier XXX. 



— 52 — 

Eu 1er a prouvé <iuf l;i série 



i-^-r"-.^--7<'^n..-^i-i"-^"=- 



(It'vi.nt divcr-cntc pour les iiiômos valeurs do « ({uo colles qui rendent di- 

veru'cute la >érie 



1 L_4_ ^ -4- ^ 

2a ~^' 35 ~*~ 4" ~*~ 5« G" 7« 



^- 57i -«- TS -+- '" -*- '•" -^ -« "*~ ^^^•' 



savoir, p(uir r/^ 1. Mais pour certaines formes du terme w„ la convergence 
de la série 

n'est plus une condition nécessaire pour que la série 

Wg -+- «3 -f- W5 -H «7 -H Un -^ ''1.3 -*- ^*^- 

conserve une valeur finie. Tel est, par exemple, le cas de w„ = ;n^- ^^ 
effet, la valeur de la série 

2 log 2 "^ 3"Toi"3 ~*~ 5lhg^ ~^ 7" Toi' 7 ~*~ ^'^^'' 

connue il sera prouvé i»lus tard, ne surpasse pas 1,73, tandis que la série 

etc. 



1 1 L _4_ ' 1 

2 log 2 ~*~ 3 log 3 "*" 4 log 4 5 log 5 6 log 6 



r>t (li veillent e. Quel ost douc 1(! Critérium de la convergence des séries qui 
ur -mit (ouiiHtsées (juc de termes aux indices premiers 2, 3, 5, 7, 11, etc.? 
Et. dans !.• cas de leur convergence, comment assigner le degré d'approxi- 
mation (le leiii> \aleurs, calculées d'après leurs premiers termes? La réso- 
lution de ces questions par rapport aux séries de la forme 

z/g -H îi^ -+- Ur, -+- II-; -+- ?',^ -+- ?'j3 -+- etc. 

est très intéressante, car on les rencontre dans certaines recherches sur les 
nombres. 

Ce mémoin; contient la résolution des questions citées. J'y parviens eu 
traitant la fonction qui désigne la somme des logarithmes des nombres pre- 
miers au dessous d'une limite donnée. D'après une équation que cette 
fonction vérifie, on peut assigner deux limites entre lesquelles tombe la va- 
leur de; cette somme, l'armi les difterentes conclusions que nous en tirons, 
nous parvenons à assigner des limites entre lesquelles on trouve toujours 
au moins un nombre premier, ce qui nous conduit très simplement à prou- 



53 



ver le postulatum cité de M. Bertrand. — Quant à l'évaluation des séries 
de la forme 

Mjj -»- Wg H- Wg -H W7 -+- «*jj -t- etc., 

nous trouvons le critérium pour juger si elles sont convergentes ou diver- 
gentes, et dans le premier cas nous donnons la méthode pour calculer, avec 
un certain degré d'approximation, la différence de la valeur de ces séries 
avec la somme de leurs premiers termes. Nous donnons aussi une formule 
pour calculer, par approximation, combien il y a de nombres premiers qui 
ne surpassent pas une valeur donnée, et nous assignons la limite de Ter- 
reur de cette formule, ce qu'on ne pouvait faire jusqu'à présent. Dans un 
mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie deSt.-Pétersbourg, 
l'an 1848, j'ai prouvé que, si on rejette, dans l'expression de la totalité des 
nombres premiers qui ne surpassent pas a;, tous les termes qui sont zéro 
par rapport à 

XX X , 

iôglc' lôg^"» ïôgTS» ^'^^•' 

quand on fait a; = 00, cette expression se réduit à j^^; mais pour les va- 

'2 
leurs finicîs de x on se trouve dans l'incertitude sur la valeur des termes 
qu'on rejette. Quant à la formule de Legendre, son degré d'approximation 
u'est connu que dans les limites des tables des nombres premiers dont on 
se sert pour la vérifier. 

§ 2. Convenons de désigner en général par 6{z) la somme des loga- 
rithmes (hyperboliques) de tous les nombres premiers qui ne surpassent 
pas z. Cette fonction devient égale à zéro dans le cas où z est inférieur au 
plus petit des nombres premiers, savoir à 2. Il n'est pas difficile de s'assu- 
rer que cette fonction vérifie l'équation suivante*) 






{X) 


-4- e {%f 


1 

-f- {xY 


-4- {xY -1- 


etc. 


^e 


ix 
K"^) 


-Klf 


--(If 


--(#- 


etc. 


■^0 




--(If 


--^m 


^<>m-- 


etc. 


^6 




-m 


--(If 


--(If- 


etc. 


::::.:::.::::::;;::;;::::::) 



= log 1.2. 3... M, 



*) Nous écrirons pour abréger G( -~- j au lieu de ( — ] . 



— 54 



où iKHis (•iiii)l(»V(>iis \.>] pour dôsignor le i)Iiis ^^rand nombre^ entier contenu 
dans la vnli iir de ,/ . l.cs sriics (jiie cette équation contient sont prolongées 
jusqu'aux tcnuis (pii dcvicuncut zéio. 

Tour vérifier cette é(iuati(»n. nous remarquons que ses deux membres 
sont composés des t(MiiHs de la foinie K U)'^ a, où a est un nombre premier 
et A' un entier detei mine. D.ms le pivniier membre, K sera égal au nombre 
des ternn^s dans les séries 

XXX ,^ 

'-C, -^, y, X' ^^^- 

'■'■)^. (:f. cf. Cf. '■*- 

1 1 L 1 

(1) (^r, (^f. (vf, (t)% etc^. 



qui ne sont pas plus petits que a; car en général la valeur de 0{z) ne con- 
tient le terme log a que dans le cas où 2^ a. Quant au coefficient de log a 
dans le second membre, il est égal à la plus haute puissance de a, qui di- 
vise 1.2.3... [.?:]. Or, il s(^ trouve que cette puissance est aussi égale au 
nombre des termes des séries (1) qui ne sont pas plus petits que a; car le 
nombre des termes de la série 

XXX . 

^' Y' y T' ^"^^• 

qui ne sont pas plus petits que «, est égal à celui des termes de la série 

1, 2, 3, [x] 

qui sont divisibles par a. 

Le même rapport existe entre le nombre des termes de cette série di- 
visibles par «2, rt^, «*, etc. et le nombre des termes des séries 



(-)% (f)% (f f , (f f , etc. 
(-)'. (f f . (f f. (xf . «»c. 
(-)^ (îf . iW, (ff. ''te. 



qui ne sont pas plus petits que a. 



I 



55 



Donc, les deux membres de notre équation sont composés des mêmes 
termes, ce qui prouve son identité. 

L'équation que nous venons de démontrer peut être présentée sous 
cette forme 

(2) 4,(rr)^H|(^-)-+-.l,(-;;)-H4,(:;)^-... = r(x), 

en faisant pour abréger 



(3) 



log- 1.2.3 [x] = T{x) . 



En passant à l'application do ces formules, nous remarquerons que, d'après 
ce que nous avons dit par rapport à la valeur do (z) quand z est inférieur 
à 2, la fonction ^{z) devient zéro quand on fait ^ < 2, et par conséquent 
l'équation (2) ne présentera aucune exception dans les limites x=0, x=2, 
si on prend zéro pour la valeur de T{x) quand x est inférieur à 2. 

§ 3. D'après cette équation, il n'est pas difficile de trouver plusieurs 
inégalités que la fonction 4» (x) vérifie. Celles dont nous nous servirons dans 
ce mémoire sont les suivantes: 

t(x) > T(x) -,- r(|,) - rd )- t(|)- T(f ), 

m - <KI) < m - T(|,)- T(|) - T{-i) - T{f ). 

Pour prouver ces inégalités, nous cherchons d'après (2) la valeur de 

n-)-n£)-ïtî)-^(f)-^(f). 

ce qui nous conduit à cette équation 



(4). 



=r(.).T(,|)-r{|)^r(|)-T(f), 



— 56 — 
dont le premier membre se réduit à 

j,.H^)^^.'i(f)-^A*(f)-H^.+(f)-^ . • •-^^„^(:)-^ etc., 

A^, A^, A^, A^, . . J„, etc. étant des coefficients numériques. Or, en exa- 
minant la valeur de ces coefficients, il n'est pas difficile de s'assurer qu'ci 
général 

A^=l, si n = ^Om-*-l, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 

A^=0, si w=:30m-t-2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 21, 22, 25, 26, 27, 28 

A^^=— 1, si H = 30m-+-6, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 

A^= — 1, si ?î=30wH-30. 

En effet, dans le premier cas, n n'étant divisible par aucun des nombres 2 
3, 5, on ne trouve le terme ^ l^) que dans la première ligne de l'équa 
tion (4). Dans le second cas, n est divisible par un des nombres 2, 3, 5 
donc, outre le terme ^ l^j de la première ligne, l'une des trois dernières 
contiendra — ^ l^\, et, après la réduction, on trouvera pour coefficien 
de ijj (-^], Dans le troisième cas, n est divisible par deux des nombres 2 
3, 5. Donc, les trois dernières lignes de l'équation (4) contiendront deu:: 
termes égaux à — ^ (-^j, et comme la première ligne contient ']j l^L pri^ 
positivement, il ne reste dans le résultat que — ^ f-^V On arrive à la mèni' ' 
conclusion dans le dernier cas, où n est divisible par 30; car alors le termo 
— ^ (-J) se rencontre dans toutes les cinq lignes: deux fois avec le signe -+ 
et trois fois avec le signe — . 
Donc, pour 

n=30m-f- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15, 
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 3C 

nous trouvons 

J^= 1, 0, 0, 0, 0, — 1, 1, 0, 0, — 1, 1, — 1, 1, 0, — 1, 
0, 1, — 1, 1, — 1, 0, 0, 1, — 1, 0, 0, 0, 0, 1, — 1, 



— 57 — 
ce qui prouve que l'équation (4) se réduit à 

+(.)-+(!)-. 4'(f)-Hfô)-'^(ïï)-+(S)- «te, 

= T(,.)^T(^)-T(-|)_l(|-)-T(f), 

OÙ tous les termes du premier membre ont pour coefficient 1, alternati- 
vement avec le signe -»- et — . De plus, comme d'après la nature de la 
fonction ^ (x), la série 

est décroissante, sa valeur sera comprise entre les limites ^{x) et ^(x) 
— ^ (-|-j. Donc, d'après l'équation précédente, on aura nécessairement 

■H^) > m - t{^^ - T(f) - r(f )~ t(| ). 

.H.)-+(|)<T(.)^T(|,)-r('^)-r(f)-T(^). 

§ 4. Examinons maintenant la fonction T{x) qui entre dans ces for- 
mules. D'après (3), et en dénotant par a le plus grand nombre entier con- 
tenu dans la valeur de x^ que nous ne supposons pas inférieure à 1, nous 
avons 

T(:r) = log 1.2.3 a, 

ou, ce qui revient au même, 

T(a;) = l()g 1.2 3. . .a (a-4-1) — l(>g (an-l). 
Or, on sait que 

log 1.2.3. . .a<logl/2uH-a log a — a-^\ log a^~, 
log 1.2.3...rï(a-+-l)>logy27r-i-(a-f-l)log(aH-l) — («-i-l)-f-^log(aH-l); 
donc 

T{x) < log y27i: H- a log a — a H- y log a -4- j^. 

T{x) > log V2v: -4- (a H- 1) log {a -^- \) ~ {a -^ l) — \~ log {a-^l\ 



_ 58 — 

et par conséquent 

T(a-) < lo^- V2t,-+~x \og X — a; -h ^ log- ^ -*- 12 ' 

r(a;) > lo^' y 271 -H a; log rï; — x — ^ ^^^ ^' 

car a étant le plus grand nombre entier contenu dans la valeur de x, qui; 
nous ne supposons pas inférieure à 1, nous trouvons 

a<a;<a-+-l, a>l, 

ce qui entraine évidemment les conditions 

X log X — X -♦- ., ]o^- X -t- ^^^ a lo^' a — a -»- .^ iog a -»- —, 

X log .c — .r — ., log ,r < (rt -H 1) log {(i-t- \) — (a -H 1 ) — ., log (a -k 1). 

Les inégalités, que nous venons de prouver par rapport à T{x), nous 
donnent 

^(^0-^ ^t^) < - ^"^^ ^-^ -^- ^-^^i ^ 1^- ^-^ log 30^ - Il X 

-Hloga;— y log 30, 

T(.^)h- T( ^l^)>2 log y 27H- ^^ rr log .'T— rc log 30=^0 - ^ x - log x-t- | log 30, 



1 1 1 



^(1) -- ^'(1) -»- ^tf) < 3 log l/2u -^ ^ -H ^^^log^ -r^log 23 3^ 55 



30 

|-log:z;-4-log30, 



r(|)..T(|)-.r(|)>31ogy2u^^^log^-^log2^33 5-^^^^ 

Combinant ces inégalités par voie de soustraction; savoir: la première avec 
la dernière, la seconde avec la troisième, nous trouverons 



30'» 



3^ 
12' 



— 59 — 
ce que nous écrirons sous la forme 
T(^)-.-,T(|,)-T(|)-T(f)-T(|)<J^H-»los;-^_llogl800,.+ 

en faisant pour abréger 

111 

(5) J[.^log^^' = 0,92129202 



2 

12' 



L'analyse que nous avons employée pour démontrer ces inégalités suppose 
ic> 30; car, en traitant T{x), nous avons pris x^\, puis nous avons rem- 
placé X par 

" - "~ X 

et ^^. 



X X 

Y' ¥' 



Mais il n'est pas difficile de s'assurer qu'on aura des formules applicables à 
toutes les valeurs de x plus grandes que 1, si l'on remplace les inégalités 
précédentes par celles-ci, plus simples: 

m -^ r(|) - r(|) - t{^ ) - 7'(-|) <A^^ |. log ^, 

n-) - T{g) - 7'(|) - rd-) - T(l-) > ^. - I log . - l; 

car, en examinant ces inégalités pour les valeurs de x prises dans les li- 
mites 1 et 30, on reconnaîtra très aisément qu'elles ne présentent aucune 
exception. 

§ 5. En combinant ces inégalités avec celles que nous avons déduites 
plus haut par rapport à <J> (x) (§ 3), nous parvenons à ces deux formules 

^ (x) > Ax~ ^- log a; — 1, i|> (x) — ^ (^- ^ < Ax -i- ^ \og x, 

dont la première nous donne une valeur qui reste inférieure à ^ {x). 

Quant à la seconde, elle nous servira pour assigner l'autre limite de ^ (x). 
Pour y parvenir, nous remarquons que 

fx = l ^a; H-^^ l0g2;^ H-^ log X 

est une fonction qui vérifie l'équation 

nx)-f[^) = Ax-*-^\ogx. 



— 60 — 
Or, cette équation, retrancliée de l'inégalité 

donne 

-t'W-4'(|)-A.*)H-/"{|)<o, 

OU bien, ce qui revient au même. 

En changeant successivement dans cette formule ic en ^, 7I, . . . ,^, i 
trouverons 



•^(^)-m<'^il)-f(;)<m-f(:,)....<'^L^-t- 



X \ 



Si nous supposons actuellement que m soit le plus grand nombre entier qu 
vérifie la condition ^> 1, la quantité ^^ tombera entre 1 et y? ^t en 
examinant la valeur que prend ^ {z) — f{2) dans les limites ^ = 1 , s = ^ , 
on reconnaîtra que »]j(^) =; 0, et que — f{z) reste au-dessous de 1. Donc 
^ (ê^) — f\ë^i) <^ I7 ^'^ d'après les inégalités précédentes 

^{x) — f(x)<l. 

Enfin, en substituant pour /"(a;) sa valeur, nous aurons 

^ {X) < I Ax -^ ^^ log^ X -»- l log .; -H 1 . 

D'après les formules que nous venons de trouver, il ne sera pas difficib 
d'assigner deux limites entre? lesquelles tombe; la valeur de ^^{x), c'est i\, 
dire la somme des logarithmes de tous les nombres premiers qui ne sur 
passent pas x. 

En effet, d'après (3) nous trouvons 

1 1 1 

f^{x)—^ (xf = 6{x)-^0 (xf -+- {xf -H (itC, 

1 1111 

^ {x) — 2<|> (a;)â = 0{x) — [û (xf — (xf] — \0 (a;)* — {xfl — etc., 

ce qui prouve que 

(6) 0{x)^^{x)-Wf. 0{x)'^^{x) — 2^{x% 



— 61 — 

car les termes 

i. i- 1 i L i. 

sont évidemment positifs ou zéro. 
Mais nous venons de trouver 

+(^)<|^^-+-n^ iog2 x-^~ log x-^i, 



5 4 log i 

2 



5 

^{x)"^ Ax — Y log n; — 1 . 



ce 


qui 


donne 








^{xW<'^Ax^ 


5 




^ 16 log 6 






1 1 


-|log^- 


et 


par 


conséquent 





, 'i 5 

log' ^ -t- -g- 



tl> (a;) — tKa;) 2- < I ^a; — ^a;^ -H 4^ log2 a; -H A log a; -♦- 2 , 
^{x)- 2^{x)T::> Ax-fAxi - ^^^ log^ a;-^ log a;- 3. 

Donc d'après (6) 

16 - 5 5 

0{x)< 5 ^a; — ^a;2 h-^-j^ log^ a; h- -^ log a; h- 2 



(7) 

l/ï/'/>.^•\ Arv i? J^9 

8 log 



\e{x)> Ax-'-l Ax^ -,^ log^ X- 



Ainsi nous arrivons à la conséquence que la somme des logarithmes de tous 
les nombres premiers, qui ne surpassent pas x, est comprise dans les limites 

~-Ax — Ax^-t-^^^ log' a? -4- I log a;-*- 2, 
Ax — y ^^^ — 81^ log2 a; — ^ log x — 3. 

§ 6. Voyons maintenant ce qu'on peut tirer de ces formules sur la to- 
talité des nombres premiers compris dans des limites données. Soit L etl 
les deux limites en question, et supposons qu'il y ait m nombres premiers 
plus grands que l et ne surpassant pas L: la somme des logarithmes de ces 



— 62 — 

nombres sera comprise dans les limites m log l, m log L. Donc, d'après lu 
notation que nous employons, on aura 

[L) — (l) > m log l, 

0{L) — 0{lXm]og L, 
et par conséquent 

e(Z)-e(Z ) ^ QW-o(0 

^^ log/ ' ^^ logL • 

Mais, d'après (7), nous trouvons que la valeur O (L) — {1} est inférieure à 

et surpasse 

^ (l-I ^)-^(^Z^- /t)_-j^^(log2L H- 21og20-|(31o^^ 
Donc 

^/6^_A_^/iL_^r2)-^g^(2 1og^i-^log2/)^^(2logL-H3 1og7)-*--, 

m< ^^7 ' 

^> ^^ï • 

Ainsi, nous trouvons deux limites entre lesquelles tombe la quantité m, q li 
désigne combien il y a de nombres premiers plus grands que /, mais qui ne 
surpassent pas L. — La dernière de ces formules nous prouve que, dans 1 ^s 
limites l et L, on trouve plus de k nombres premiers, si k, L et l vérifie it 
cette condition 



AiL-^-l]~AifL^-r-^-^j^^{\o^^L^2\og^l)-l{^}ogL^2\ogl)- 



^< — -^ ^^z 

et comme l <iL, on vérifie cette condition en faisant 

^ — log L 

et par conséquent en prenant 



7 5 r ml 25 log2 L 5/25 , \ , -^ 



— 63 — 

Donc, si l'on prend cette valeur de /, on est sûr de trouver plus de h nom- 
bres premiers dans les limites l et L. Il faut y joindre encore la condition 
que Z et iv ne sont pas plus petits que 1, ce que nous avons supposé par 
rapport à a;, en traitant la fonction {x). 

Dans le cas particulier de â; = 0, nous concluons qu'il y a nécessaire- 
ment un nombre premier compris dans les limites l et L^ si l'on prend 

25 log» L 125 log L 25 

" 16 A loge 24 A 63* 

Ceci nous conduit très simplement à prouver rigoureusement le postulatum 
cité de M. Bertrand. — Il n'est pas difficile de s'assurer que les limites a 
et 2a — 2, dans le cas de a > 160, comprennent ces deux limites 

J— ^ T Ot\ 25 logg L 125 log L 25 j 

^ — "6"^""^^ 16^ loge 2n 63' ^' 

L étant une valeur convenablement choisie. En effet, pour que ces limites 
tombent entre 

a, 2 a — 2, 

on n'a qu'à vérifier ces conditions 

2a — 2>L, 

n ^ ^ T O A 25 logg L 125 log L 25 

a<-g- L — 2 i.2 — jg ^ j^g g 243 63- 

Or, on vérifie évidemment la première eu prenant i =: 2 ot — 3. Quant à la 
seconde, elle devient pour L=:2a — 3 

n^^fOn ^\ 0^{0n ^\ 2 5 log' (2 g -3 ) 125 log (2 a - 3 ) 25 

ft < -g- (2 (*— 3)— 2 y (2 « — 3) 16 A log e 243 e^' 

ce qui est juste pour toutes les valeurs de a, qui surpassent la plus grande 
racine de l'équation 

X-^(0^^o^_oV(Oa'—^) 25 1ogM2a^-3) 125 log (2 a; - 3) 25 
X— ^ [ZX—ô)—2 V {ZX—6) 16 A log 6 24^ 6^' 

et cette racine, nous la trouvons comprise entre les limites 159 et 160. 

Donc, toutes les fois que a surpasse 160, on peut assigner entre a et 
2a — 2 deux nouvelles limites 



25 logg L 125 log L 25 

' 16 A loge 24 A 6A 



•^0 Y 

r3' ^' 



— 64 — 

et comme celles-ci comprennent nécessairement un nombre premier, on serji 
certain de trouver un nombre premier qui surpasse a et reste inférieur ii 
2 a — 2, ce qui prouve le postulatum de M. Bertrand pour toutes les va- 
leurs de a qui surpassent 160. Quant aux valeurs de a qui ne sont pas pliM 
grandes que 160, ce postidatiim se vérifie directement à l'aide des tables 
des nombres premiers. 

§ 7. Au moyen de la" fonction Û(x) que nous employons pour désigner 
la somme des logarithmes de tous les nombres premiers qui ne surpassent 
pas rr, on peut facilement exprimer la somme 

Fia) -H F{?) H- F{y) -i- . . . -i- F{ç) = U, 

où a, J3, Y, . . . p sont les nombres premiers compris dans les limites don- 
nées. En effet, si a, p, y, ... 9 sont compris dans les limites l et L, cette 
somme peut être exprimée ainsi 

'-^^^^'^(0- *4ï,^^(^- i)-^^^li^ 

car, en général, la fonction lo x~ ' P^^^^ ^ entier, se réduit à 0, si r 
est un nombre composé, et à 1, si a; est un nombre premier. Donc 



.m=±i^)FiL), 



ou, ce qui revient au même, 



Or, si nous supposons que la fonction j^, dans les limites x=^l — 1 t 
rr = Lh- 1, reste constamment positive et décroissante, le signe de Û{1 — t) 
dans l'expression de U sera — , et le signe de chacune des fonctions 

0(1), û{l-^l),...âiL) 



— 65 — 

sera -+-. Par conséquent, d'après (7), et en faisant pour abréger 

(g 1 g g 

û^{x) = ^Ax — Ax^^^j—^ log2 a;-t-~- log a;-+- 2, 

I 0^,{x) = Ax-^-^Ax^ — ^^ log^ a; — ^ log x — S, 

nous aurons une valeur inférieure à U, si, dans son expression, nous rem- 
plaçons 

^{l—l) par ^,(^-1), et 0{l), 0{1-^1\...0{L) par ^„(/), 0^^{W\),...0^^{L). 

Au contraire, en remplaçant 0{l — 1) par â^^{l — 1), et 0{l)^ 0{1-^1\...0{L) 
par ^>j©, ^j(^-+-l),...6'j(L), nous trouverons une valeur plus grande que U. 
Donc 

-*- Lî^ ~ log(i--l)J ^11 ^^^ ■*- log(i-*-l) ^n^^)' 
"*" Ll^gï ~ log(L-i-l)J ^i y^) -*- log (i -4-1) ^A^^' 

et comme les seconds membres sont identiques avec les sommes 



x=zL 



'^(^-i)a-^.('-i)e]-2^(-)' 



x=l 



x=l 

nous en conclurons 



(9) 



u> 0,(1- i)lf-o^(i- i)g-i-H|;F(^) »"'-'-^"'- -i 



log a; 

«si 



a; = J!i 



^<^.(^-i).f!-^,.(^-i)ii-^:s^(-^) "^'Cf~" - 



D'après les formules que nous venons de trouver il n'est pas difficile de dé- 
montrer ce théorème: 

6 



— 60 — 

Théorème. 

Si la fonction F(x), passe c une certaine limite de x, reste positive, lo 
convergence de la série 

F(2) F(3) F(4) F(5) F{6) 

lo.ir 2 lo.ir 3 ](),i,' 4 ]o,tî 5 log G 

es/ une condition nécessaire et suffisante pour que la série 

Fi2) -i- F{3) -^ F{6) -^ F{7) -*- F{ll) -i- F{U) -t- . . . 
soit également convergente. 

Démonstration. 

Supposons que l soit la limite do x au-dessus de laquelle F{x) con- 
serve le signe h-, ~-^ représentant une fonction décroissante, et que a, (3 
y, . . . p soient des nombres premiers compris dans les limites l et L. Ei 
faisant 

6'=J^(2)-4-F(3)-i-F(5)H-...-t-F(a)-+-F(^)H-F(Y)-H...-+-F(p) = 

^0 -*- F{o^) -+- F((3) -H i^(y) -,-... -H F{^\ 
nous conclurons d'après (9) 



« = /, 



Ces inégalités font voir que, dans le cas où les expressions 



2^w °'-'^'To:f~" . 2^^(^ 



Oi(.r)-eH^-i) 

' loff X ' 



pour L = oo, restent finies, la série 

F {2) -4- i^ (3) -f- F(5) -4- F{1) -I- etc. 

sera convergente; au contraire, si la supposition de L = oo rend la valeu 
de ces expressions infinie, la série 

F(2) -4- F(3) -4- F(5) -*- F{1) -H etc. 
sera divergente. 



— 67 — 

La substitution des valeurs de (^^{x), 0j^{x) d'après (8) dans les expres- 
sions précédentes les réduit à 

2[^-y^("^^-">'(^-i))-8-4«(i<^-i<(^-i))-¥(>»g^-'<'g(=^-i))]^'. 

2[|^-^(yï-y(.;-l))*,,|-„ (log'^-log'(a;-l))-. l {logx-hg(:v-l))]^% 

x = t 

et comme les fonctions 

Vx — V{x — 1), log'' ic — log^ (a? — 1), log a; — log (rc — 1). 

pour des valeurs très grandes de x deviennent infiniment petites, nous con- 
cluons que dans le cas, où 

j^ logo; 

x=l 

a une valeur finie, les expressions 

« = / X — l 

pour L = oo, seront également finies; au contraire, pour L = oo, elles se- 
ront infiniment grandes, si la somme 



j^ logo;' 



avec l'augmentation de L, converge vers l'infini. Mais le premier cas a tou- 
jours lieu, si la série 

F(2) .^(3) F(4) F(5) .^(6) , 

log 2 log 3 log 4 log 5 log 6 ^^^' 

est convergente, et le second suppose la divergence de cette série, ce qui 
prouve le théorème énoncé. Ainsi, nous concluons de là que les séries 



-f-etc. 



2 log 2 3 log 3 5 log 5 7 log 7 11 log 11 

1 . 1 _^ 1 1 . 1 ^ etc 

2 log2 (log 2) ^^ 3 log2 (log 3)5 log* (log 5)"*" 7 log» (log 7) 11 log^ (log 1 1) 



— 68 — 
sont convergentes, tandis que les deux suivantes 

11111 , 



H- etc. 



2 log (log 2) 3 log (log 3) 5 log (log 5) 7 log (log 7) 11 log (log 11) 

sont divergentes. 

§ 8. Quand la série 

F(2) -*- F(3) -i- F(5) -+- F{7) ■+■ etc. 

est convergente nous trouverons sa valeur, avec une approximation aussi 
grande qu'on le voudra, en calculant la somme de ses premiers termes. En 
dénotant par S^ la somme de tous les termes qui précèdent F {a), a étant 1 î 
plus petit des nombres premiers contenus dans la série 

l, l-t- 1, l-i~2, etc. 

et l un nombre entier au-dessus duquel toutes les valeurs de x rendent ^''^ 
positif et décroissant, nous mettrons la série 

F(2) -+- F {3) -*- i^(5) -I- F{7) -+- F{1 1) -+- etc. = S 

sous cette forme 

S =S,-^Fioi)-^ F{^) -+- F (y) -h etc. = So-t-U. 

Cela posé, nous chercherons les limites entre lesquelles tombe U, en faisant 
L = oo dans les formules (9). De cette manière nous trouverons 






(10) 



La demi-somme de ces expressions donnera une valeur approchée de C7, ^t 
leur demi-différence sera la limite de l'erreur de cette valeur. Cette lim te 
sera d'autant plus petite, que le nombre l et, par conséquent, le nombre le 
termes de; la somme 8^ sera plus considérable. 



— 69 — 

Pour donner un exemple de ces calculs, nous allous cherclier la valeur 
approchée de la série 

<?— 1--^--^ ,1,1, 1 ■ ptc 

2 log 2 3 log 3 5 log 5 7 log 7 1 1 log 11 

Eu prenant 



1= 100, 



*^n o 1^,.. 



1 1 



^0 — 2log2 3 log 3 5 log 5 7 log 7 11 log 11 ^^ ' ' ^97 log 97' 

U étant déterminé par la série 

TT — 1 1 1 , , 

^ ~ 101 log 101 ~*~ 103 log 103 ~*~ 107 log 107 ~*~ ' 

nous trouverons, par les tables des nombres premiers, 
S,= 1,42, 

et les inégalités (10) pour ^X^) = ^i^? ^ = 1^^? ^^^^"^^ donneront 

TT^ On (99) ei(99) y^ On{x)-0ii{x-'i) ^ . . 

^^lOOlogMOO iOOlog^lOO ^ alog2^- ^^5^^J 

« = 100 

^. e,(i)9) _ e„ (99) . '-^ d,{x)-ei{x-i) ^ ^s 

^^100log2l00 100log2 100 ^ a;log2a; "^ ' * 

a = 100 

D'après ces inégalités nous concluons que la valeur de U ne diffère de 

0,28-4-0,14 ^ ^-, -,, ,.,, 1 ,., 0,28 — 0,14 ^ ^-r 

~ — 2 — ^— = 0,21 que dune quantité plus petite que - — ^ = u,07. 

Donc 

1,42 -+-0,21 = 1,63 

sera la valeur de la série 

H- etc. 



2 log 2 3 log 3 5 log 5 7 log 7 1 1 log 1 1 

exacte à 0,1 près. 

§ 9. La totalité des nombres premiers, compris dans les limites don- 
nées, se déduit comme cas particulier de la valeur de la série 

Fia) -H F(p) -H Fi^) -H ... -H F(p) 



— To- 
que nous avons examinée dans les paragraphes précédents. En effet, si l'on 
prend 

F{x)=l, 
la somme 

F(a) -H Flfl) -H- F(y) -H . . . -♦- 2^(9) 

se réduira à autant d'unités qu'il se trouve de termes dans la série des 
nombres premiers 

a, p, Y,. . .p. 

Donc, les formules (9), dans le cas de F{x) = 1, détermineront les limites 
entre lesquelles tombe la totalité des nombres premiers, compris entre l 
et L. Ces limites sont plus étroites que celles que nous avons trouvées dans 
le paragraphe G, en vertu des inégalités que la fonction 0{x) vérifie. Dans 
le cas particulier de Z = 2, nous trouvons que 



(11) 



sont des limites entre lesquelles tombe la totalité des nombres premiers de 
2 à L, ou bien, ce qui revient au même, la totalité des nombres premiers 
qui ne surpassent pas L. En calculant la demi-somme de ces limites (1 1) 
nous aurons une valeur approchée de la totalité des nombres premiers qui 
ne surpassent pas L. Quant à l'erreur de cette valeur, elle ne pourra sur- 
passer la demi-différence des expressions (11). Par des calculs très simples 
on parvient à reconnaître que le rapport de la demi-différence des expres- 
sions (11) à leur demi-somme devient égal à jj-j quand onfaitL = oo. 
Donc, pour de très grandes valeurs de X, ce rapport sera inférieur à ^, 
et par conséquent si l'on calcule, d'après nos formules, la totalité des nom- 
bres premiers qui ne surpassent pas une limite donnée, très grande, l'erreur 
sera inférieure à -^ de la quantité cherchée . 



Ôn(l) 
log 2 


h (1) V^ei(a;)-Oi(a;-l) 
log 2 j^ log a; 

*=2 


Ôl{l) 
log 2 


eii(l) , y 0„(a;)-Oi(a:-l) 
log 2 .^ log X 



6. 
SUR LES FORMES 



(Journal de mathématiques pures et appliquées, I série, T. XVI, 1851, p. 257 — '282.) 



Sur les formes quadratiques. 



1. 

Euler nous a déjà donné plusieurs exemples du parti que l'on peut 
tirer de la représentation des nombres par des formes quadratiques à 
déterminants négatifs pour reconnaître s'ils sont premiers ou non. Je vais, 
à présent, montrer que, dans ces recherches, on peut aussi bien se servir 
de certaines formes à déterminants positifs, ce qui est nécessaire pour 
rendi'e cette méthode tout à fait générale et même avantageuse pour des 
nombres d'une grandeur considérable. En effet, quand on se borne seule- 
ment aux formes quadratiques à déterminants négatifs, les différents nombres 
exigent l'emploi de plusieurs différentes formes, et chacune d'elles demande 
des procédés particuliers pour trouver facilement la représentation du nombre 
donné. De plus, le nombre de ces formes propres à distinguer le cas d'un 
nombre premier de celui d'un nombre composé étant limité, on peut rencon- 
trer des nombres qui ne peuvent prendre aucune de ces formes. On écarte- 
rait toutes ces difficultés si l'on pouvait considérer les nombres d'après leur 
représentation par des formes quadratiques à déterminants positifs; car alors, 
pour embrasser tous les cas possibles, il suffira d'un petit nombre de for- 
mes convenablement choisies, telles que, par exemple, 

on 

x^-i-y^, a;2-^-3l/^ 3^/^ — ic^; etc. 

D'ailleurs il ne sera pas difficile, en traitant chacune d'elles, de construire 
des tables qui faciliteront considérablement ces recherches, 

La totalité des représentations du nombre N pai' la forme Ajc^ -h By'^ 



— 74 — 

étant limitée, on distingue le cas de N premier de celui où il est composé, 
en cherchant le nombre de résolutions de l'équation 

A3C^-^By^ = N. 

Nous verrons que la même chose a lieu par rapport à l'équation 

x^ — Dy^ = ±N, 

si parmi ses solutions, qui sont en nombre infini, on ne compte que celles 
où X et y ne surpassent pas certaines limites, ce qui revient à ne compter 
que le nombre de certains groupes que présentent toutes les solutions pos- 
sibles de l'équation 

x^ — Dy^ = ±N. 

n. 

Soient a, (3 les plus petites valeurs de x, y qui, étant au-dessus de 
zéro, vérifient l'équation 

x^ — Dy^=l, 

et a, b des nombres positifs qui vérifient celle-ci, 

x^ — Ihf = zïiN. 

Par la multiplication des équations 

a2 — 7jp2 =1^ a^~Db^=drzN, 
nous trouvons 

{aa — h^Df — D {a^ — baf = ± iV, 

ce qui prouve que les nombres 

x=±:{aaL — b^D), y = zt:{a^ — 6a), 

vérifient aussi l'équation 

x^~Dy^ = dLN. 

De cette manière on pourra toujours passer d'une solution de l'équation 

x^~Dy^ = ±N 

à une autre, et, par conséquent, trouver plusieurs valeurs de x ai da y qui 



— 75 — 

la vérifient. Examinons maintenant dans quel cas les nombres positifs x, y, 
donnés par les formules 

(1) x = ±(aa — hi^D), 2/ = ±(«? — 6a), 

seront plus petits que les nombres a et h dont on est parti. Dans ces re- 
cherches, il faut faire attention aux signes =t= qu'on doit prendre dans les 
formules (1) pour rendre x, y positifs, et pour cela nous traiterons séparé- 
ment deux cas, 

a^ — Dy' = N, x' — Df=: — N. 

Dans le premier cas, nous aurons 

ce qui donne 

a = VDh^-t-N', 
de plus, d'après l'équation 

on trouve 



En mettant ces valeurs de a et a dans l'équation 

a; = ±(aa — &pD), 
on obtient 

x=± (VDh'-*-N. VDP^-*-! — 6^1)), 

d'où il est clair quax sera positif quand on prendra la formule ±{aoL—h^D) 
avec le signe -t-. Mais, pour que cette valeur de x = aa — bi^D soit 
plus petite que a, et, par conséquent, y plus petit que &, nous trouvons cette 
condition 

aoL — 6(3D < a. 
Cette inégalité donne 

et, en y mettant les valeurs de 6 et |3 tirées des équations 
nous trouverons . 

(gg - 1) (gz — N) 
a2 



>(a-l), 



— 76 — 

et, par conséquent, 



Donc les nouvelles valeurs de x et y seront toujours plus petites que celles 
dont on part, si la valeur de «surpasse l/ ^'"*"^^ ; par conséquent, eu tirant 
à Taide des formules (1) successivement d'une solution de l'équation 

une autre, on parviendra nécessairement à de telles valeurs de x ci y que 
la première ne surpasse pas 1/ ' — . Quant à la limite de la valeur de y, 

nous la trouvons égale à 1/ ^° ~J ; car, pour 

l'équation 
donne 

De cett(! manièr(^ se trouve établi le théorème suivant: 

Tlléorèllie. Si V équation 

x' — Dy' = N 

est possible^ on trouvera dans les limites 



des valeurs entières de x et y qui la vérifient^ x = (x. étant la plus petite so- 
lution, supérieure à Vunité, de Inéquation 

a^ — Dy^=:l. 
En passant au cas de 

a^ — Dy' = — N, 

nous remarquons que, d'après les équations 

a' — Db' = ~N, oi' — D^'=l, 
on aura 



a = VDb'--N, a = y 2)^2^1, 



— 77 — 
et, par conséquent, la valeur de 

pourra être mise sous cette forme, 



ou, ce qui revient au même, 

De là nous concluons que y est positif quand on prend la formule ±{a^ — ha.) 
avec le signe — , et que, par conséquent, pour rendre y inférieur à 5, nous 
devons vérifier cette condition 

— (a[3 — 6a)<^- 
Cette inégalité donne 

et, en y mettant les valeurs de a^ et i^^ d'après les équations 



nous trouvons 



(a-l)'< '^^'-y-^ 



ce qui donne définitivement 

Donc, toutes les fois que, dans la solution connue de l'équation 

x^ — Dy^== — N, 

la valeur de y surpasse "l/ ^" ^jj ? ^Q pourra en tirer, à l'aide des formu- 
les (1), une solution plus simple, et, par conséquent, on parviendra néces- 
sairement à une solution telle que y ne surpassera pas y '^jj ; cela 
suppose, d'après l'équation 

x^ — Dy^ = — N, 



— 78 — 

qiia X ne dépassera pas la limite l/^-^^^^y^- I>« cette manière nous parve- 
nons à ce théorème: 

Théorème. Si réquation 
est 2)ossihle, on trouvera dans les limites 



rr = 0, X- 



-f^=é^' y-'' y^V'"^^ 



des valeurs entières de x et y qui la vérifient, x = (x. étant la plus petite 
solution, supérieure à Vunité. de réquation 



m. 

Les limites entre lesquelles, d'après les théorèmes qui viennent d'être 
démontrés, on est sûr de trouver des nombres x et y qui vérifient l'équation 

x^—Dy'=±:N 

quand elle est possible, jouissent de cette propriété remarquable: 

Si x = a, y = b, x = a^, y:=b^, sont deux systèmes de valeurs de x 
et y qui ne surpassent pas les limites trouvées plus haut et vérifient Vune 
des équations 

x^ — Dy^ = N, x^ — Dy^ = — N, 

les nombres a\ -+- a^ b, ah^ ~ a^b ne seront pas divisibles par N, tandis que 
leur produit (a\ h- «j b) (ab^ — a^ b) sera un multiple de N. 

Pour établir cette propriété, observons d'abord que le produit des deux 
équations 

a' — Db^ = zt:N, a? — 7)6? = ± N, 

peut être mis sous la forme 

{aa, ± Dbb.f — B {ab, ± afif = N\ 

Cela posé, si nous admettons que ab^ riz a^ b pris avec l'un des signes h- ou 
— soit divisible pariV^, le nombre aa^z^Dbb^ pris avec le même signe devra 



— 79 — 

nécessairement, d'après l'équation précédente, être également divisible par 
N; on aurait donc, dans cette hypothèse. 



\ N ) ^[ N j— ^' 



^"^ ^ — '^ " ^^"^ étant des nombres entiers. Mais, comme nous suppo- 
sons que a est la plus petite valeur de x, autre que l'unité, satisfaisant à 
l'équation 

la formule précédente sera impossible si l'on établit l'inégalité 

Or nous allons démontrer que ceci a toujours lieu quand on prend pour a et 
«j des nombres qui ne surpassent pas 1/ ^^ ~^ > et pour &, 6, des valeurs 
non au-dessus de l/ ~^j] • (Les signes supérieurs se rapportent au cas 
de x^ — Dy^ = N, et les signes inférieurs à celui de x^ — Dy^ = — N). 
Pour prouver notre assertion, nous remarquerons que, a et a^ étant compris 

entre les limites et l/ ^°^~^^^ , b et b^ entre et l/ ^' "^^ » la valeur de 
[ ^~^ — -M^ ne pourra surpasser celle qu'on trouverait en admettant le 
signe -H dans la formule, et en y supposant de plus 

Or, comme dans cette hypothèse la valeur de ( °°^"^ — -) se réduit à a^, 
nous en concluons que, dans les limites données plus haut, le maximum de 
\ ^N I ^^* °'^' ^* ^^^ ^^ maximum n'a lieu que pour a = a^, b = b^. 
Donc, dans le cas que nous examinons, où a et 6 sont différents de a^, &j, 
on aura nécessairement 

ce qu'il s'agissait de démontrer. 

Nous venons donc d'établir qu'aucun des deux nombres a\-i-aj), 
abi — a^b n'est divisible par N. Quant à leur produit 

{ab^ -*- a^b) {ab^ — a fi) = a'b\ — a\ b\ 



— 80 — 

il est évulommout divisible par N; en effet, en substituant dans la formule 
a^ h\ — a\ b'^ les valeurs de cf, a^^, tirées des équations 

«2 _ Dfe2 ^ Ht N, al — Dbl = ± N, 

nous trouvons de suite 

aHl — alb' = zL{hl — h')N. 

Donc, si a, a, b, \ sont des valeurs entières de ic et de y comprises 
dans les limites 



et qui vérifient l'équation 

x' — Df=±N, 

ou trouvera nécessairem(;nt deux diviseurs de N en cherchant les facteurs 
communs à iV et aux nombres ab^ -+- aj), ab^ — a^. De là nous tirons ce 
théorème : 

Tlléorèiue. Si Véquation 

x" — Dy^=±: N, 
dans les limites 

x = 



peut être vérifiée par deux systèmes différents de valeurs de x et y, le nombre 
N est composé. 

Quant à a, ce nombre a ici la même signification que dans les théo- 
rèmes précédents. 

IV. 

D'après les théorèmes que nous venons de prouver, la représentation 
du nombre JV par la formule =t {x^ — Dy^) nous conduit à reconnaître que 
AN'st un nombre composé dans les deux cas suivants: 

1". Si, N étant de la forme des diviseurs linéaires de x^ — Dy^ sus- 
ceptibles d'être représentés par la forme zt {x^ — D?/), on ne trouve pas 
dans les limites 



= 0, . = v/!^^, , = 0, , = y/!^ 



— 81 — 

des valeurs entières de x^ y qui rendent l'expression dz {^^ — Dxf') égale à 
'N\ car alors, d'après l'un des deux premiers théorèmes, l'équation 

± {x" - By'') = iV 

sera impossible, et ceci n'aura lieu que pour iV composé; 

2". Si, dans ces limites, on trouve deux représentations différentes 
du nombre iV; d'après le dernier théorème, ceci suppose que iV est composé. 

Donc, le nombre 'N ne peut être premier que dans le cas où l'équa- 
tion 

dans les limites 

.==0, .= )/&^, 2/ = 0, . = /^^#?, 

n'a qu'une seule solution dans laquelle évidemment x doit être premier à y 
et à D. Mais toutes les fois que ceci a lieu, peut-on en conclure que le 
nombre iV soit nécessairement premier? 

En examinant sous ce rapport les formes 

±{x^ — I)y\ 

nous remarquons qu'elles se divisent en deux espèces. Les unes, dans les 
limites énoncées x étant premier à ?/ et à D, ne donnent une seule repré- 
sentation de TV que dans le cas où ce nombre est premier; telles sont, par 
exemple, les formes 

-±i{x^ — 2y\ ±{7? — ^y\ ±{x^—hy\ etc. 

Les autres, au contraire, donnent une seule représentation non-seulement 
pour des nombres premiers, mais aussi pour plusieurs nombres composés 
luand on prend les nombres x^ y dans les limites 

c étant premier à i/ et à D. Par exemple, en cherchant la représentation 
lu nombre composé 371 par la forme x? — 37 î/^, nous trouvons que les 
limites de a; et de ^ sont 



P = 0, » = |/<Ii:î:iM!l, , = o, , = / 



(73- 1).371. 
2.37 ' 
G 



— 82 — 
car la solution la plus simple de l'équation 

est la suivante: 

rr=73, «/=12. 

Or, dans ces limites, nous observons que l'équation 

a;2_37^2 = 371 
ne peut être vérifiée qu'en prenant 

a;=36, 2/=5. 

Nous ne donnerons pas ici une méthode générale pour distinguer à 
laquelle des deux espèces appartient une forme donnée zt (x^ — Dy^), 
comme Euler l'a fait par rapport aux formes Ax^ -+- By^; nous nous borne- 
rons quant à présent à assigner plusieurs formes de la première espèce, 
qu'on reconnaît très- aisément. 

V. 

Nous avons vu, dans le § II, que si l'équation 

est possible, on en trouvera au moins une solution dans les limites 

.=0, .=y^^, ,=0, ,=y^p. 

Nous allons démontrer maintenant que, dans ces limites, l'équation 

étant susceptible d'être vérifiée par 

ic = Z, y = m^ x^=l\ y =m\ 

aura au moins deux solutions, si les nombres Im-t-tm, Im — l'm ne sort 
pas divisibles par TV. 

Pour parvenir à cette conclusion, nous remarquons d'abord qu'en gém - 
rai, si x^ y, X, Y vérifient l'équation 

x^^Dy'=±N, 

et que les nombres xY-t-yX, xY — yX ne soient pas divisibles par iV, a 



— 83 — 

même chose aura lieu quand on aura remplacé x, y par les nombres x^, y^ 
tirés des équations 

(2) x, = ±{ax— ^yD), y, = ± {^x — a.y), 

dont nous nous sommes servi dans le § II. En effet, nous avons prouvé dans 
ce paragraphe que les valeurs de x^, î/p déterminées par les formules (2), 
vérifieront l'équation 

xl — Dyl=^.±:N, 
et comme 

X^ — DY''=±N, 
nous trouverons 

{xl — Dyl) {X^ ~-DY^) = N^ 

ou bien, ce qui revient au même, 

{x,X:±zDy,Y)' — D{x,Y±y,Xf = N'; 

il est clair de là que si x^ Y±y^ X, pris avec l'un des deux signes ±, 
était divisible par N, le nombre x^ Xdz Dy^ Y, pris avec le même signe, 
serait également divisible par JV". Mais cela ne peut avoir lieu; pour le faire 
voir, observons que xY-t-yX, xY — yX, d'après les formules (2), peuvent 
être mis sous la forme 

z±:{x, Yz^y.X) ri±^ {x,Xz^I)y, Y). 

Or, si les nombres a;, Y± y^ X, x^ X± Dy^ Z, pris avec l'un des deux 
signes zb, étaient divisibles par N, il s'ensuivrait aussi qu'un des nombres 
vY-+-yX, xY — yX serait également divisible par N, ce qui n'est pas. 
Donc aussi les nombres x^ Y-^y^ X, x^ Y — y^ X ne pourront pas être 
iivisibles par iV^. 

D'après cela, nous concluons que si les nombres IïyÎ h- l!m^ Im — l'm 
le sont pas divisibles par N^ et que a? = a, y = h soit une solution de 
l'équation 

x^' — Dy^^TÏzN 
dans les limites 

. = 0, . = /^M^, ,= 0, y = Y^W' 

lu'on trouve, d'après le § II, en partant de .-r ==/,«/ = m, et en passant 
successivement d'une solution à une autre à l'aide des équations (2), les 

6* 



— 84 — 

nombres am'-*-hl'. am'—hl' ne seront non i)his divisibles parA\ De la même 
manière nous conclurons que si a^, b^ est une solution de Téquation 

x" — ])if = ± N, 
dans les limites 

qu'on trouvera en partant de x = 1' , y = m', on ne rendra pas les nombres 
am -t-W, am — U' divisibles par N, en remplaçant /', m par a,, &,. Mais 
ceci suppose évidemment que les nombres a^, &, ne sont pas respectivement 
égaux aux nombres a, 6; car, autrement, am — U\ se réduisant à 

ab — ha= 0, 

deviendrait divisible par N. Donc, dans les limites 

X = 0, X 



on trouvera nécessairement deux solutions de l'équation 

si elle est susceptible d'être vérifiée par deux systèmes de valeurs 

x = l, y :=m, x = l', y = m\ 
et que les nombres Im -+- l'm, Im — l'm ne soient pas divisibles par N. 

VI. 

D'après ce que nous venons de prouver, nous allons montrer que toutes 
les formes =b (x^ — D/), dont tous les diviseurs quadratiques ont la 
forme Xa:" — ix.y^, peuvent servir pour examiner si un nombre donné est pre- 
mier ou non. 

Théorème. Soient x^ — Dy'^ une forme dont tous les diviseurs quadra- 
tiques ont la forme \x^ — fxî/'^, N un nombre premier par rapport à I) et 
ayant la forme des diviseurs linéaires contenus dans une seule forme quadra- 
tique ± {x"^ — J^y^)' Le nombre N sera premier si Von trouve^ dans les 



;=0, X = y^^^, y=0, , = Y 



2D ' 



— 85 — 

une seule représentation du nombre N par la forme ± {x^ — T)tf)^ et que, 
dans cette représentation^ x et y n'' aient point de facteur commun^ a étant la 
plus petite valeur de x supérieure à Vunité parmi les solutions de V équation 

Dans tous les autres cas le nombre N sera composé. 

Démonstration. Pour établir le théorème énoncé, nous allons faire voir 
que lorsque N est un nombre composé, l'un des trois cas suivants aura né- 
cessairement lieu: 

1°. On ne trouvera pas de représentation du nombre N par la forme 
=b {x^ — Dy"^) dans les limites 



.0, x=y^^-^, y = 0, y = y' 



2D • 



2°. On trouvera dans ces limites une représentation de N pour laquelle 
x, y ne seront pas premiers entre eux; 

3^. On trouvera dans ces limites plusieurs représentations du nombre N. 

Si parmi les facteurs du nombre N on trouve des nombres qui ne 
soient pas diviseurs de x^ — Dy^, l'équation 

ne sera pas possible, à moins que ces facteurs ne divisent x^ et y^. Donc, 
dans ce cas, ou bien la représentation du nombre iV par la forme ± (:r'^ — By^) 
sera impossible, ou bien dans la représentation du nombre N les nombres 
a; et 2/ ne seront pas premiers entre eux. 

En passant au cas où tous les facteurs de iVsont diviseurs de x^ — D/, 
supposons que 

Tous les diviseurs quadratiques de x^ — JDy'^ ayant, par supposition, la 
forme \x^ — pt.^^, nous concluons que les nombres N^^ N^ pourront être re- 
présentés ainsi: 

(3) N, = \xl-^,yl N, = \xl-Ml 

et comme leur produit iVa la forme db {x^ — D/), on trouvera 

Ag = Al , P-g ^^^ 1^1 

dans le cas de 

N=x^ — Dy\ 



— 86 — 
et 

Xg = Al , {J-2 = 1^1 

dans le cas de 

Donc 

N, N, = ±1 {\ x\ — 11.1 v/?) (Ài x\ — li-i //2), 

on bien, ce qui revient au même, 

i\^ A^2 = it= [(Xi a;i x^ db fxi ?/i ?/3)' — Xi ixi (a;i 7/2 ± y^ x^f] . 
D'après cette équation et en remarquant que 

N,N,=:=N, Xifxi-D, 
nous concluons que l'équation 

sera vérifiée par deux systèmes de valeurs de x, y, 



(4) 



jX=\x,x^-^lJ.i y, ^2 , X, = \ Xy x^ — ii-i y y y^ , 
I Y=x,y^-^y^x^, Fi =-x,y^ — y^x^. 



En cherchant, d'après ces formules, les valeurs de XF^-h FXj, XY^ — YX^ 
nous trouvons 

XZi -+- FXi = (Xi fl:;i x^ -*- ,u.i ?/i v/^) {x^ y^ — y^ x^) 
H- (Xi x^ x^ — (J.1 t/i 7/2) (a? 1 7/2 -t- 7/1 2:2) 
= 2 0^27/3 (X^a?? — \x^y\) =-2x^y^N^, 

XY,— YXy = (Xj X, x^ -^- ^^ y^ y^) [x^ y^ — y, x^) 

— {\ ^1 ^2 — 1^1 Pi Vi) (^1 Vi -+- Vx ^2) 

= — 2x^y^ {\xl-^,y''^== — 2x^y^N^. 

D'où il est clair que si x^ y^ est premier par rapport à iV^, et x^ y^ est pr( - 
mier par rapport à ^35 l^s nombres XY^-¥- ZX^, XY^ — YX^ ne seroi t 
pas divisibles par 



— 87 — 
ce qui, d'après le § V, suppose deux solutions de l'équation 

dans les limites 



Quant au cas où x^ z/, aurait un commun diviseur avec iV^, ou bien x^ y^ayec 
N^, il n'est pas difficile de s'assurer que les solutions (4) de l'équation 

ainsi que toutes les autres qu'on en pourrait tirer à l'aide des formules (2), 
contiendront des valeurs de x, y divisibles par un même nombre. 

C'est ainsi que nous nous convainquons que, dans les suppositions 
énoncées plus haut, on ne trouvera jamais un nombre composé N qui puisse 
avoir, dans les limites 



une seule représentation par la forme zb (x'^ — Dy^), pour des nombres x, y 
premiers entre eux. Donc ceci ne peut avoir lieu que pour iV premier; dans 
le cas contraire, d'après ce que nous avons vu dans le § V, on conclura 
que N est composé. 

vn. 

C'est de cette manière qu'on pourra reconnaître la nature d'un nombre 
donné d'après sa représentation par la forme quadratique x"^ — Dy^ ou 
— {x^ — Dy^) si tous les diviseurs quadratiques de x^ — Dy^ ont la forme 
Ix^ — jji?/2. Nous allons maintenant présenter une Table de ces formes les 
plus simples, avec les limites de rc, ?/, déterminées par les formules 



. = y/(5^, , = |/'^3^, 



ainsi que des formes linéaires des nombres qui peuvent être examinés au 
moyen de ces formes. 



! 

Formes 

quadratiques 

de.N. 


Limites 


de x, 2/- 


Formes linéaires de iV. 


1 

X2- 21/2 

— (a;2- 2»/2) 




2/ = -/2Vr 


iS^^8n-Hl, 7 


a:2— 32/2 

-(X2-31/2) 


-/î-. 
-)/^-. 




jV^12 n-Hl 
iV=^i2 n-f-ll 


X2- 5z/2 
-(X2-52/2) 


a; = V~bN, 
x^V'ÏN, 


XJ = V H 


i\^=20«-4-l,9, 11, 19 


a;2_62/2 

- (^2- 6^/2) 


x = VJn, 

X = y 2^; 




iV=24 «-h1, 19 
iV=24nH-5, 23 


x2- 72/2 

-(X2_7y2) 






i\^=28n-*-l, 9, 25 
A^=28n-+-3, 19, 27 


X2— 102/2 

- (a;2- I0y2) 


a; = VlÔN, 
x -=. /~9i\', 


2/=yiv^ 


■i^^40 n-Hl, 9, 31, 39 




a;2_ 112^2 
-(a;2-ll2/2) 






iS^=44« -1-1, 5, 9, 25, 37 
JV=44n-t-7, 19, 35,39,43 


a;2— 13J/2 
-(x2- 132/2) 


a; = ■/ 325iV, 
a; = y 324JV, 


2/ = y 25iV 


p^-^^"^\35,43, 49, 51 


29, 


x2- 142/2 
— (a;2— 142/2) 


œ = -/TA', 




J\r=56 n-t^l, 9, 11, 25, 43, 51 
Jv^ = 56 n -+- 5, 13, 31, 45, 47, 55 


a;2_ 152/2 

-(X2-I5y2) 






2\r=60nH- 1,49 
i\':^GO n-^U, 59 



89 — 



Formes 

quadratiques 

de JV. 


Limites 


de a;, y. 


Formes linéaires de N. 


a;2- 171/2 


x^V\6N, 




i 1, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 
.JV=68 n-+-{33, 35, 43, 47, 49, 53, .55, 
i 59, 67 


X2- 19t/2 

- (a;2- 19 3/2) 




^-/f- 
^ = >/^- 


i^^76n-.{J^5'9,17,25,45,49,61, 

AT 7ft « . / 3, 15, 27, 31, 51, 59, 67, 
^'^^**"^>71, 75 


a;2_21t/2 
-(x2-2l2/2) 


x = V28N, 
x = V27N, 


y-yv^ 
y^yû 


iV= 84 n -♦- 1, 25, 37, 43, 67, 79 
iV^^84n-t-5, 17, 41,47, 59,83 


a;2— 22^/2 
-(x2-22i/2) 


x = VWN, 
x^VdSN, 




Ar Qu ^ . / 1, 3, 9, 25, 27, 49, 59, 67, 

^^^^"-*'\75,81 

AT ft««^/7, 13,21,29, 39,61,63, 
^^^^"■*-\79,85,87 


a;2- 232/2 
-(a;2- 232/2) 






AT- 02 n-,- / 1' 9' 13' 25, 29, 41, 49, 73, 
^-^^""■^i 77, 81, 85 

Ar-q9«-4-/7> 11,15, 19, 43,51, 63, 
-^-^^""*"\67,79,83,91 


a;2_ 262/2 
- (a;2- 262/2) 


X'^-V26N, 
x = V 25N, 




JV-104n^-/l'^'l^'23, 25,49,55, 

AT iA^ „ . /5, 11, 19, 21, 37,45, 59, 
^^^•^^"-♦-UV, 83, 85, 93, 99 


a;2— 29»/2 
-(a;2- 292/2) 


x^V 4901N, 


, /4900 „ 


ri, 5, 7, 9, 13, 23,25,33, 

135, 45, 49, 51,53, 57, 59, 

N= 116 «-4-.; 63, 65, 67, 71, 81, 83, 91, 

93, 103, 107, 109, 111, 

ill5 


x^-V 4900JV, 


a;2— 302/2 
- (a;2- 302/2) 


x^VôN, 




iV^=120M-t-l, 19, 49, 91 
JV^^120n-t-29, 71, 101, 119 


ic2_31i/2 

-(a;2-3i2/2) 




y-y'4- 


(1,5,9,25,33,41,45,49, 
N=^ 124 « + < 69, 81, 97, 101, 109, 113, 

(l21 

(3, 11, 15, 23, 27,43,55, 
iVr= 124n-t-< 75, 79, 83, 91,99,115, 

{ 119, 123 


a;2— 33^2 

-(«2_33^2) 


œ = yi2^, 

a; = y lliV, 


y=yv^ 
y^yï^ 


iV-132n-H/l'25'31,37,49,67,91, 
iV_132n-t-^g^^ 103, 115 

AT 109^^/17,29,35,41,65,83,95, 
^-^^^"■^\ 101, 107, 131 



— 90 — 



vm. 



D'après ce que nous venons de trouver, on voit qu'il y a plusieurs 
formes à déterminants positifs dont on peut se servir pour examiner si un 
nombre donné est premier ou non. Quant aux limites de a;, ^, dans lesquel- 
les on doit chercher la représentât on du nombre examiné par la forme 
=t {x^ — Dy^), elles ne sont pas toujours plus étendues que celles qu'on 
trouve par rapport à la forme a;^ H- 2)</^. Ainsi, on voit d'après la Table précé- 
dente, qu'en cherchant la représentation du nombre iV par la forme 3 t/^ — ic^, 

on ne doit pas aller au delà de y= l/y, et, comme y ne peut pas être 
évidemment plus petit que l/y, on cherchera la valeur de y entre les li- 
mites I/-3-, 1/ 2"- De la même manière nous apercevons que, pour trouver 
la représentation du nombre N par la forme x^ — 3 y^, on cherchera x entre 
les limites ViV, l/l-JV; pour la forme x^ — 2y^, ces limites sont VN, 
y2N, etc. 

Nous allons maintenant montrer par un exemple qu'à l'aide de la 
forme it: {x^ — Dy^), convenablement choisie, il n'est pas difficile d'exami- 
ner si un nombre donné est premier ou non, même quand ce nombre est 
considérable. Nous choisissons le nombre 8520191; Legendre (voyez sa 
Théorie des Nombres, tome II, page 150), en cherchant deux nombres A et 
jÇ, tels que chacun d'eux soit égal à la somme des diviseurs de l'autre, 
celui-ci non compris, a trouvé que 

^=2^8520191, 5= 2^ 257. 33023 

vérifieront cette condition si le nombre 8520191 est premier. Mais jusqu'à 
présent on ne sait si ce nombre est premier ou non. 

En remarquant que le nombre 8520191 est de la forme 12 n-i- 11. 
et que tous les nombres premiers de cette forme peuvent être représentée 
par 3 2/' — x^, nous allons chercher la représentation de 8520191 par ki 
forme Sy^ — x^. D'après le procédé exposé plus haut, nous allons cherchei 
la valeur de y entre les limites 



^ /8520191 /si 

c'est-à-dire entre les limites 



1685, 2065. 



— 91 — 

Pour que la forme 3 2/^ — x^ représente un nombre impair, on prendra x 
impair et y pair, ou bien x pair et y impair. En faisant, dans le premier 

cas, 

a; = 2w-»-l, y^2n^, 

nous trouvons que 3 y ^ — x^ se réduit à 

ce qui ne peut être égal à 8520191, qui est de la forme 8 m — 1, si n^ est 
impair. Donc 

Wj = 2 /, 

et, par conséquent, on aura, dans le premier cas, 

y=4.l. 
En passant au cas de x pair et y impair faisons 

a; = 2 n, y=2n^-^\. 
Pour ces valeurs de x^ y la forme 3 2/^ — x^ devient 

3 H- 24 -i-^^-i -' — 4 ti^, 

et, en égalant cette quantité à 8520191, nous trouvons l'équation 

3-4-24 '*^^"^'*"^^ — 4^^ = 8520191. 
Or, comme cette équation se réduit à 

g»Mr»|^ii)_^2^2130047, 

nous en concluons que n est impair. 
Faisant donc 

w = 2 w -4- 1, 
l'équation précédente devient 

et, par conséquent, 

3 n.K -«-!) _ ^ rni^ _ 1065024, 



92 



ce qui suppose la divisibilité du nombre ^^i^iitl) par 4. Mais, pour que 
'^i ±J) soit divisible par 4, uu îles deux nombres w^ n^ -+- 1 doit être 
multiple de 8. Doue ou aura 

ou Wj = 8 1' ou Wj = 8 r — 1 . 

Eu prenant la première valeur de w,, nous trouvons 

y=lGl"—l, 

Ainsi y ne peut être que de l'une de ces formes: 

y = 4:l, y=l6l'-Hl, y=l6l"—l. 

De même, il n'est pas difficile de trouver les nombres auxquels y peut 
être congru suivant différents modules, et ensuite, au moyen de ces nombres, 
de trouver toutes les formes possibles de l, l\ l". Ainsi nous trouvons que 
pour 



et la seconde donne 



N=bm-^\ = 7m'-i-l = llw"-i-9 = 13/ 
ce qui est justement le cas de 

l'équation 
suppose 



-4 = 17m'"-i- 12, 



i\^= 8520191, 

^y-^ — x'^N 



7/ = 0, ±2 (mod. 5), 
l/==izl, ±2 (mod. 7), 
y=-±:\, ±2, d=5 (mod. 11), 
^ = 0, ±1, ±3, ±6 (mod 13), 
?y=±l, ±2, ±3, ±4, ±7 (mod. 17). 

De là il est facile de conclure que les nombres l^ l\ l", liés à y par les 
équations 

y = 4:l, î/=16/'-f-l, y=Ul"—l 

doivent avoir les formes : 



l— 5n-H0, 2, 3 

l^ 7n-+-2, 3, 4, 5 

î = 1 1 n -+- 3, 4, 5, 6, 7, 8 

l=lSn^{%^^^> 5,8, 9, 

7— i7«^/^4,5,6, 8,9, 11, 
(_17n-4-^j2, 13, 16 



l'^ 5n-t-l, 2, 4 
1'-= 7n-+- 0, 2, 4, 6 
l'^lln-t-O, 1, 3, 4, 6, 9 
r = 13n-H{g'2,3. 4,5,6, 

7' 17-^/0, 2, 3, 4, 5, 8, 
^ =^^"-^\ll, 14, 15,16 



l"^ 5n-t-l, 3, 4 
r= 7n-+-0, 1, 3, 5 
r= lln-t-0, 2, 5, 7, 8, 10 
r = 13n-H{î'j5.7,8,9. 10, 

r-17n-H/0' 1, 2, 3, 6,9, 
( - ^'"^\12, 13, 14, 15 



— 93 — 

D'après ces formes de /, l\ l'\ il est très-facile de trouver toutes les 
solutions de l'équation 

3^2_^2^8520191 
dans les limites 

i/>1685, 2/ < 2065. 
Dans les cas de 

nous trouvons que / doit être compris dans les limites 421 et 516. Si l'on 
prend, dans ces limites, tous les nombres de la forme 

13W-I-0, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 

et qu'on rejette, d'après l'équation 

/ = 5n-*-0, 2, 3, 

tous les nombres dont le dernier chiffre est 1, 4, 6, 9, on ne trouvera que 
ces trente nombres: 

425, 442, 455, 468, 485, 503, 

432, 445, 458, 472, 490, 507, 

433, 447, 460, 473, 497, 510, 

437, 450, 463, 477, 498, 512, 

438, 452, 465, 478, 502, 515, 

D'après l'équation 

;==7w-h2, 3, 4, 5 

on supprimera de cette Table tous les nombres qui, divisés par 7, donnent 
des restes égaux à 0, 1, 6, et l'on n'aura alors qu'à examiner dix-sept 
nombres parmi lesquels on reconnaîtra très-aisément ceux qui, divisés par 1 1 , 
ne donnent pas les restes 3, 4, 5, 6, 7, 8; tous ces nombres, d'après 
l'équation 

?=llwH-3, 4, 5, 6, 7, 8, 

doivent aussi être rejetés; alors il ne restera que les huit nombres suivants: 

425. 437, 458, 478, 
432, 445, 465, 502. 



— 94 — 

De plus, divisant ces nombres par 17, nous n'en trouverons que quatre: 

437, 458, 465, 502, 

qui s'accordent avec les formes 

;=17n-i-l, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 16; 

d'ailleurs, comme ces nombres conduisent à des valeurs de y qui ne véri- 
fient pas l'équation 

3^« — a;2 = 8520191, 

nous eu concluons que, dans les limites énoncées plus haut, cette équation 
n'a point de solution pour laquelle y serait de la forme 4 1. 
En passant au cas de 

y=lQl'-^-\^ 

nous trouvons que les limites de t sont 105 et 129 , et que, dans ces limi- 
tes, les nombres de la forme 

l3wH-0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 

qui, s'accordant avec les suivantes: 

r=5w-i-l, 2, 4, 

se terminent par 1, 2, 4, 6, 7, 9, sont 

106, 109, 117, 121, 

107, 112, 119, 122. 

Eu rejetant de là, d'après l'équation 

r=7nH-0, 2, 4, 6, 

tous les nombres qui, divisés par 7, donnent des restes différents de 0, 2, 
4, 6, et, de plus, tous les nombres qui n'ont pas l'une des formes 

llw-*-0, 1, 3, 4, 6, 9, 

il ne reste que les deux suivants: 

119, 121. 



— 95 — 
En cherchant, d'après ces valeurs de l\ celles de 

2/=16Z'-i-l, 
en substituant ces valeurs dans l'équation 

3^2_^2:= 8520191, 
nous trouvons que la seconde donne 

t/^1937, 
qui vérifie l'équation 

3^» — a;2^ 8520191, 
en prenant 

a; = 1654. 

Quant au dernier cas, c'est-à-dire celui de 

y=\U"—\, 

nous trouvons 105 et 129 pour limites de l"\ dans ces limites, d'après les 
équations 

r=13w-*-0, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 

r'=5w-t-l, 3, 4, 

nous aurons les nombres suivants: 

109, 113, 124, 128, 
111, 114, 126, 

dont il ne restera qu'un seul, 

126, 

quand on aura rejeté tous les nombres qui ne s'accordent pas avec les 
formes 

r'=7w-*-0, 1, 3, 5, r'=llw-f-0, 2, 5, 7, 8, 10, 

et comme le nombre 126 est de la forme 

17W-H7, 
et, par conséquent, ne s'accorde pas avec les formes 

r'=17n-»-0, 1, 2, 3, 6, 9, 12, 13, 14, 15, 
nous concluons que ce nombre doit aussi être supprimé. 



— 96 — 

Ainsi nous no trouvons qu'une seule représentation du nombre 



8520191 par la forme 3 y^ — x^^ en prenant y non su])érieur à l/— ^^'"^^ 
et comme, dans cette représentation, les valeurs de x et y^ nommément 
1654 et 1937, n'ont point de commun diviseur, nous en concluons avec 
certitude que 8520191 est un nombre premier. 

La méthode qui nous a servi à l'examen du nombre 8520191 à l'aide 
de la forme 3 ?/^ — rc^ peut être étendue à tous les nombres, en faisant usage 
de certaines formes quadratiques. Ces recherches, comme on a pu le re- 
marquer d'après l'exemple précédent, pourraient devenir très expéditives, 
même pour des nombres considérables, si l'on avait des Tables des solu- 
tions de la congruence 

Ax^^By'^^G (mod. i?), 

pour les valeurs les plus simples de ^, telles que 

p = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 

Ces Tables seraient peu nombreuses si l'on se servait des formes à déter- 
minants négatifs et en même temps de celles à déterminants positifs, car 
alors ou n'aurait pas besoin de recourir à plusieurs formes différentes. Ainsi, 
par exemple, on pourra examiner tous les nombres au moyen de ces trois 
formes 

x^ -\- 7/2, a;2 -+- 2 1/2, ic^ — 2 y\ 

La première servira pour examiner tous les nombres de la forme 

8*îH-l, 5; 

la seconde pourra être employée dans le cas du nombre 

8^-1-3; 
et enfin la dernière pour ceux qui ont la forme 

8W-+-7. 

On ven*ait de la même manière que tous les cas possibles pourraient égale- 
ment être traités au moyen de ces trois formes 

x^--t-y^, .x^-^Zf^ Zf — x^. 



7« 
NOTE 



SUR 






(Journal de mathématiques pures et appliquées. I série, T, XVI, 1851, p. 337—346.) 



Note sur différentes séries. 



On parvient à des formules très-intéressantes, comme, par exemple 
au développement de ê~^ en produit d'une infinité de facteurs, à l'expres- 
sion de sin x et cos x par des séries dont le calcul ne demande que la mul- 
tiplication de X par différentes constantes, et encore à plusieurs autres rela- 
tions curieuses, en cherchant la valeur def(l), f ix) étant une fonction 
liée à une autre F {x) par une équation de l'une de ces trois formes: 

F{x) = f{x) H- /•(2 x) -*- f{3 x) -i- f{A x) H- f{5 x)-i-f{Qx)-^.,. 
F{x) = f{x)-i-f{Sx)-^f{6x)-+-f{7x)-i-f{9x)-i-f{Ux)-^... 
F{x) = fix) — f{3 X) -t- f{6 x) — f{7 X) -^ f{9 x) — f{U x)-i- . , . 

Pour y parvenir, nous allons chercher quelle est la loi des séries qui 
déterminent la valeur de f {!) dans ces trois cas. 

Commençons par le premier où f (x) et F {x) sont liées par l'équation 

(1) Fix) = f{x) -^ f{2 X) -+- /-(S X) -4- m ^) -*- m x)~^f{Qx)-i-... 

11 est évident qu'en vertu de cette équation, la valeur cherchée de /*(1) 
sera exprimée par une série de la forme suivante : 

(2) f{l) = A,F{1)-^ A.^F{2)-h- Â^F{3) -^- . . .-i- A^F{m) -^- . . . 

oii A^, Â^, A^. . ., A^ sont des coefficients numériques indépendants des 
fonctions f {x) et F (x). Pour trouver ces coefficients, supposons 



m=^r, 



r étant une quantité quelconque supérieure à 1. Pour cette forme par- 

7* 



— 100 — 

ticulii'iv (le f{.r), In fonctiou F {.r), d'après l'équation (1), sera déterminée 
par ré(jiiatJ()ii 

1111 _i^ J\^ 

^(^)= xr-^ {:2i,f~*~W^r~*~ (4^r~*~ W^r'^ i('^^r~^ ' "' 

ou bien, ce qui revient au même, 



E'/ N 1 1 1 1 1 



Or, comme cette expression de F (x), conjointement avec 

doit vérifier l'équation (2), nous concluons que 

^~2^ ^~n^ ^~b'- ^ r 
et, par conséquent, 

D"après cette équation, et en remarquant que les coefficients A^, A^, 
^3, . . . , A^, . . . sont indépendants de r, on conclut qu'en général A^^ est 
égal au coefficient de —f dans le développement du produit 

Or, en examinant ce produit on s'aperçoit de suite qu'il n'y entre point de 
termes de la forme ^ toutes les fois que m est divisible par un carré; donc, 
pour de telles valeurs de m, le coefficients A^ sera égal à zéro. Quant aux 
autres valeurs de w, le coefficient A^^ se réduit à 1 lorsque m a un nombre 
pair de diviseurs premiers, et il est égal à — 1 quand le nombre des divi- 
seurs premiers de tn est impair. Ainsi nous trouvons la loi de la série (2) 
qui donne la valeur de /" (1) déterminée par l'équation 

F{x) = f{x) -f- /•(2 X) -*- f{d x) -+- f{4: x) H- f{6 x)-^f{Gx)-i-... 



— 101 — 

De la même mauièrc uoiis trouvcrous que, la fonction f {x) étant dé- 
I terminée par l'équation 

I la valeur de f {!) sera égale à 

B,F{l)-^B,F{2)-^B,F{^)^B,F{4:)-^. . .-^ B^^F{m)-^ . . ., 

où 5p ^a, ^3, JÇ^,..., 5^ sont lescoefticientsde 1, ^r» sr» irv-t ^n ^^^^ 
le développement du produit 

f î^ous concluons de là que 

([uand w est divisible par 2 ou par un carré, et que 

j?^ = -t-l ou —1, 

suivant que le nombre des diviseurs premiers de m sera pair ou impair. 
En passant au cas de 

F(x) = f{x) — f{S x)-^ f{5x) — f{7 x)-i-f{^J x) — f{n X) -\- . . . , 

nous trouvons 

ai) = C,F{l)-^G,F{2)-^G,Fi3)-^G,F(i)-i-...-^G,^F{m)-*-..., 

où Q, Cj, (7g, (7^, . . . , (7^ sont égaux aux coefficients de 1, gr, 3?? jrv > ,7r 
dans le développement du produit 

Donc, 

(7^ = 

dans le cas où m est pair ou divisible par un carré; 
Cl. = 1 



— 102 — 

si m a uu nombre pair dv diviseurs premiers de la forme 4 w -h 1, et enfin 

C„= — 1 

si le nombre de ces diviseurs est impair. 

D'après ce qui vient d"être établi, il est visible que pour chaque formule 
connue de l'une de ces trois formes: 

F[x) = f{x) -*- fi2 x) -*- A3 x) -+- f{4. X) -+- f{6 x)-^f{6x)-^..., 
F(x) = f[x) H- f (3 X) H- fip X) -H f (7 x)-^f{<dx)-^f{\lx)-^..., 
F{x) = f{x) — f(^x)-^f{6x)-f{7x)-^f{{)x)-f{Ux)-^..., 

ou aura une formule nouvelle. 
Ainsi, de la formule connue 

-^ = «-"'-4- a-'' -f- a-^' -+- a-'' -h- «-*' -h o"^' h- . . . 

a^— 1 



nous tirons 



_J l \ ^—^^ 

X—l «2—1 «3—1 «5—1 «6—1 



Le développement de log (1 — a^) nous donne une formule qui peut 
être mise sous cette forme: 

log (1 — «'^) a^ «2* «Sx a4x ojSx a^x 

X X 2 X 3 X 4x bx G x •••' 

d'où nous tirons, en cherchant la valeur de — — pour ic= 1, 

_ l0g(l— g) _ l0g(l-«'^) l0g(l-«3) log (1 - «5) 

1 2 3 5 

log (1 — gS) log (1 — a') log (1 — «1») 

"*" 6 7 ~*~ 10 

et, par conséquent, 

g-" == (l-a)(l-a^)»(l-a'")^V.. 

(1 —«2)^ (1 — «3)3 (1 — «5)6... 



En partant de la formule connue 
qui donne 



. XX «3* «5» a7« 

arc tang a = a — V ~+~ ^ ^" " 



;irc tang a"" a^ «3x «Sz «Tx 

X X 3 X ôx lie ' 



UNIVERS! 
— 103 — 

nous trouvons 

a = arc tang a h- | arc tang a^ — ^ arc tang a^ -+- y arc tang à' -i- 
Le développement de cos ^ en produit de facteurs donne 

d'où l'on conclut 

log (cos I) ^ log ( 1 - ^1) H- log (l — 3^,) 

-log(l~,-^)-log(l-^.)..., 
et, d'après cette équation, nous trouvons 

log ( 1 — ^) = log (cos a) — log (cos y) — log (cos y) 
— log (cos y) — log (cos ^) — log (cos ~) 
-+- log (cos ^) ~ log (cos ^) — log (cos ^) 
-f-log(cos|^) — .. ., 
ou, ce qui revient au même, 

ic2 — 4 a2 



cos — . cos -^ . cos — - . . . 

Voyons maintenant ce qu'on peut tirer de la valeur connue de la série 

cos 2 TC X X cos2.3fl:Xa; cos2.5tcXx cos 2.7tc Xo; 

j2 I p « p I 72 H . . . 

Pour 

où m est un entier, w une quantité positive qui ne surpasse pas -g , nous 
trouvons cette série égale à 

?(l-4<-), 



— 104 — 

expression (iiie nous pouvons mettre sous la forme 

|(l-4|Xa.|), 

eu dénotant par le si^ne [kx] la plus petite quantité qu'il faut ajouter à Xrc 
ou retrancher de ïjs pour avoir un nombre entier. On aura donc 

4-... = ^(l-4jX^l). 



12 ~^ 3"^ ' 52 72 

En faisant dans cette formule x^O, nous trouvons 



1 - 



± ± J_ 
32 -♦-52-*- 72" 



Cette équation, combinée avec la précédente, donne 



2 1 — cos2'rtXx 2 1 — cos2.37tXiC 



Tt2 X- Ti2 (3a;)2 

2 1 — cos2.5tcXx 2 1 — cos 2.7 7rXa; 



l_. 



(5a;)2 



(7^)2 



= Zi\'^x\ 



En cherchant, d'après cette formule, la valeur de -^ ^^l pour x= l, 

nous trouvons 

^ri — ros 27i:>^ — iAi_«3X} }5X} {7X} {lU) 

^2(1 COSZTUAj—^^ -32 52 72 n^ 



et, par conséquent, 
cos 2 7: X = 1 - 



{13X} { 15X} 
132 ~*~ 152 



( {_XJ^ { 3X } _ { 5X } { 7X } { llX } 



U3X} {15X} 
132 "*~ 152 



Voilà une expression de cos 2 tcX dont le calcul ne demande que la 
multiplication de X par 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15,. . . Nous trouverons une 
expression pareille pour sin 2 tcX, en remplaçant dans la formule précédente 
X par X — j, ce qui donnera la série 



sin 2 TC X = 1 - 



Mi l^^-TÎ I--II 1"-^ 



32 
11 ) 



52 

13) 



72 
15) 



105 



qui, par la propriété de la notation j j , se réduira à 

{S..1} {5.-1} |,X-.l) 



sin 2 TC X = 1 - 



l-i 



La même méthode nous conduira aussi aux valeurs des séries: 



3 5 ~*~ 7 "*~ 11 ■ 



J i_ _i_ J i_ 

13 17 ~*~ 19 ~*~ 23 29 



J_i L JL JL JL Jl^ J_ 

32~*"52"*" 72"^ 112~*~ 132~*~ 172~*~ 192"*" 232 



1 
'292' 



J i_ 2- J 1 L J_ J L 

33 53~*~73~*~ 11» 133 17»"*" 193~*~233 293 



d'après celles des séries suivantes: 







1 




1 






1 




1 




1 




1 








-♦- 






-+- 








-+- 








-H . . . 






3 
1 




5 
1 






y 
1 




11 

1 




13 
1 




15 
1 






-+- 


32 


-*- 


52 


72 


-+- 


P 


-+- 


112 


H- 


Ï32 


-H 


ÎP 


H-. . . 






1 




1 






1 




1 




1 




1 






33 


-l- 


53 


73 


-t- 


P 




ïP 


-+- 


ÎP 




ÎP 


H-. . . 



Pour y parvenir, nous remarquons que le produit 



3m ^ 5m ^ 7m ^ 11m *■ 1301 



se réduit à cette série -ci: 



1-4- 



i__._(izi)!' 

3m ~^ 5m "■*" 7m ~*~ gm ~»~ ijm ~^ 13m ~*~ 15m 



j^i-iy^ 



— 106 — 
et, par conséquent, 

log [^1 -f- -y,„ -H ^^„ -4- -^7^ -H ^-,^ H- -^pni- -^ 13m -+- -i^ 



(- l)'n 1 (- 1)2»' 1 (- 1)3"» 1 ( 


- 1)4"» 1 (_ 1)5"» 


- 3m ' 2 32"» ' 3 33'" 4 


34m ' 5 35m • ■ ■ • 


1 11 11 11 
~*~ 5"^~*~~2 52^"' ~*~ y 53»" ~*~ T 5*"» ~*~ 


1 -' -1- 

5 55"» ^^ • • 


(— 1)»» 1 (— 1)2'" 1 (— l)3"t 


1 (— 1)-"" 1 (- 1)5»» 

4 7*'" ' 5 75"» ~*~ - • 


• 7m ' 2 72"* ' 3 73»» ' 


(- 1)"» I (- If"^ 1 (- l)3m 


1 (— 1)4"» 1 (- 1)5"» 


11"» 2 112"» 3 iiam 


4 11*"» ' 5 lis»" ' • ■ • 


.1.1 1 .1 1.1 1 

~^ 13"» 2 132"» ~*~ 3 133»» "*~ 4 13*»» 


1 1 
"*~ 5 13*"» -»-••• 





De là nous tirons la formule 

eu dénotant la somme 

(3) i-*-tiil"-4--l-i-(-=iil!"-Hl-^t:i)!-V 1 . (-ir ^ 

"^ ^ 3"» 5"» 7"» 9"» 11"» 13»» 15"» "*"••• 

par 5j^, et les sommes de la forme 

(4) tiii:î_4_ 1 _x_ (-!)".(- 1)". 1 _^ 

en général, par 2^ . En changeant dans l'équation précédente m en mx et 
divisant ensuite tous ses termes par x, nous aurons 

d'où nous tirons, pour la valeur de 2 , 

2„ = log S„ - i log S,„ - i log S,„. - i log S^ 

"•"ilog^e» — ylogS,„ — . . . 



107 — 



Ainsi uous parvenons à déterminer la valeur de la série 2^ de la 
forme (4), composée seulement de nombres premiers, au moyen des valeurs 
des séries S^, S^^, S^^, S,^, S,^, ^im^- " ^^ la forme (3), composées de 
tous les nombres impairs. Dans le cas particulier de 

m=l, 2, 3, 
la formule que nous venons de trouver donnera 

2, = log-S, — |log.% — |log-S3 — |-log6; -*- i-log-Se — jlogS, -H . . ., 
2, :- log 6; — 4 log 5, - i log .^e — i log <5,o-H I log -Si,— j log 6f,,-i- . . ., 
^3 = log ^3 — 1 log 5e — ]- log 6-, - 1 log 6'i5-+- 1 log *S,8- 1 log -S,i -+-. . . . 
Mais on sait que 

s,= 
s.= 

Se = 

s,= 
s,= 





1 


-+- 


1 
5 


— 


T^ 


1 
9 


— 


11 


-H 


13 


— 


1 
15 


-*- 


1 
32 


-+- 


1 


-1- 


■72 ~*~ 


1 
92 


-*- 


1 
112 


-+- 


1 
132 


-+- 


1 
-15^ 


— 


1 
33 


-+- 


1 
53 


- 


73 ~*~ 


1 


— 


1 


-t- 


1 
133 


— 


1 
T53 


H- 


1 
34 


-+- 


1 
5î 


-*- 


74 ~*~ 


1 
9* 


-H 


1 

114 


-t- 


1 
134 


-+- 


1 


— 


1 


-*- 


1 


— 


W-^ 


1 
95 


— 


1 


+ 


1 
135 


— 


1 
155 


H- 


1 
36 


-1- 


1 


-+- 


"76 ~*~ 


1 
96 


-4- 


1 

116 


-♦- 


1 
136 


-+- 


1 

156 


— 


1 

3' 


-f- 


1 


— 


"77 ~^ 


1 

9' 


— 


1 
11' 


-f- 


1 
13' 


— 


1 
15' 


— 


1 
3^ 


H- 


1 


— 


79 ""*" 


1 
9» 


— 


1 
TÏ9 


-*- 


1 
139 


— 


1 
15» 


H- 


1 
3ÏÔ 


-1- 


1 
5ÏÔ 


-h- 


èô-^ 


1 
910 


-1- 


1 

1110 


-1- 


1 
1310 


-H 


1 
15W 



5tc5 
'1536' 

'960» 

61tc' 
~ 184320' 

277tc9 

'8257536' 

SlTcio 



Donc, d'après les formules précédentes, nous aurons 

^ 1 „ n i , «2 1 , tc3 1 1 57c5 1 , 7r6 1 , 61tc' 

2l = l0gT — ^l^^S- — ylOgg^—- 5-l0gj53g-H-g-l0g9g^-yl0gj-g^ 

10 "^ 2903040 • • • ' 

2, = l0g^ — ^l0g^-^l0g^-^l0g29Ô3Ô4Ô — ••••' 

v: i^^-rt' 1 , TC» 1 1 277tc9 

^3 = l0g32 — ^lOg^ — ^l0g^2^=^— ..., 



— 108 



ce 


qui donne 
















V 

^1 


1 1 


1 
7 


1 
îï 


-i^-A- 


1 

"19 


^... 


= 


— 0,33498..., 


V 

^2 


_ 1 . 1 _^ 1 

32 52 72 


-+- 


è- 


1 1 
132 -*" 172 -*- 


1 
192 


H-... 


= 


^0,20224..., 


V 


_ 1 _^ 1 
— — 35-*- 5-3- 


1 
~ 73 


1 

113 


"*" W "*■ Tt» 


-H 


1 




. = — 0,03225 . 



8. 



THEORIE DES MECANISMES 



COHHOS 



SOÏÏS m HOM m PlRlLLILOaRAlMIS. 



(Mémoires présentés à l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg par divers 
savants, VIT, 1854, p. 639-668.) 



(Lu le 28 janvier 1853.) 



Théorie des mécanismes connus sous le nom 
de parallélogrammes. 



§ 1. Quand il s'agit d'assurer la direction du mouvement rectiligne 
d'une pièce soumise à un effort oblique, il ne suffit pas de rendre les inéga- 
lités des guides peu sensibles à la mesure; les déviations, qui ne sont pas 
appréciables à l'oeil nu, se manifestent clairement par les résistances pas- 
sives qui en résultent. En guidant la tige du piston de la machine à vapeur 
à l'aide de coulisses ou glissoires, on prend un soin particulier de les exé- 
cuter avec une perfection aussi grande que possible. En remplaçant ces 
guides par le parallélogramme, on est de même obligé à augmenter le plus 
possible la précision de son jeu, et cela d'autant plus, que même dans les 
circonstances les plus favorables il présente des déviations bien plus grandes 
que celles qu'on ne saurait jamais admettre dans le mouvement de la tige 
guidée par les coulisses ou glissoires. Les efforts latéraux qui résultent du 
défaut du jeu du parallélogramme se manifestent souvent même par la for- 
mation d'une certaine ellipticité dans la boîte à étoupes. 

Or, dans l'état actuel de la Mécanique pratique, on n'a pas de régies 
sûres pour trouver les éléments les plus avantageux du parallélogramme. 
Faute d'une méthode directe, on détermine ses éléments d'après les condi- 
tions qu'on croit être nécessaires pour la précision du jeu de ce mécanisme. 
Ainsi l'on trouve la longueur de la tige-guide et le lieu de son axe d'oscil- 
lation, en cherchant à rendre la direction de la tige du piston tout-à-fait 
verticale au commencement, au milieu et à la fin de la course. D'après cela, 
et en supposant données les brides du parallélogramme, tout se réduit à dé- 
terminer convenablement la position normale de la tige par rapport au ba- 
lancier. On trouve cette position, en cherchant à placer la tige de telle ma- 
nière, que son prolongement passe par le milieu du sinus-verse de l'arc 
" décrit par l'extrémité du balancier. Ici, ainsi que partout dans la suite, nous 



— 112 — 

prenons pour rextrémité du lialaucior son point d'attachement à la bielle 
latérale. 

Si l'on trouve qu'il y ait un avantage particulier de donner à la tige 
du piston la direction tout-à-fait exacte au commencement, au milieu et à 
la fin de la course, la tige-guide qu'on trouve d'après la méthode dont nous 
venons de parler, est évidemment la seule qui remplisse cette condition. 
Mais ce cas, comme nous le verrons, n'est pas le plus favorable pour la 
précision du jeu du parallélogramme dans les autres points de la course du 
piston. Quant à la position la plus avantageuse de la tige du piston par rap- 
port au balancier, le principe précédent ne nous la donne pas. D'après la 
théorie que nous proposons dans ce mémoire, on verra que la tige du piston 
doit être plus ou moins rapprochée du centre du balancier, selon les dimen- 
sions du parallélogramme, et, dans les cas les plus ordinaires, sa direction 
ne passera pas par le milieu du sinus-verse de l'arc décrit par l'extrémité 
du balancier. Ainsi, dans le cas où le parallélogramme de Watt est con- 
struit sur la demi-longueur du bras du balancier (comme Watt l'a fait lui 
même, et comme on doit le faire, si l'on est maître de disposer des dimen- 
sions du parallélogramme) on diminue notablement la limite de déviation de 
la tige de sa direction normale, en l'approchant du centre du balancier plus 
qu'on ne devrait le faire d'après le principe dont nous venons de parler, 
savoir: 1) si, dans le cas où l'on cherche à rendre la position de la tige 
tout-à-fait verticale au commencement, au milieu et à la fin de la course, 
on prenait pour sa direction la ligne qui divise le sinus-verse de l'arc décrit 
par l'extrémité du balancier dans le rapport de 2 à 1, et 2) dans le cas, où 
l'on ne cherche pas l'exactitude absolue dans les deux positions extrêmes de 
la tige, on prenait pour sa direction la ligne qui divise ce sinus-verse dans 
le rapport de 5 à 3. 

Dans le dernier cas, la tige-guide ne sera plus déterminée par les po- 
sitions limites du balancier; on doit pour cela prendre les positions qui les 
précèdent à peu près d'un quarantième de l'amplitude de l'oscillation. Quel- 
que petites que soient les modifications dans la construction du parallélo- 
gramme de Watt que nous venons de mentionner, et qui ne sont que des 
résultats approximatifs tirés de nos formules, elles augmentent notablement 
la précision de son jeu. A l'aide de l'analyse on peut s'assurer facilement 
qu'avec ces modifications la limite de déviation de la tige par rapport à la 
ligne verticale diminue plus que de moitié. 

Cela nous prouve clairement que le principe qui est la base de la 
théorie actuelle du parallélogramme est loin de réduire au minimum la li- 
mite de ses déviations, si nuisibles par les efforts latéraux qui en résultent 
sur la tige du piston, et par conséquent, que non seulement pour la théorie, 



— 113 — 

mais aussi pour la pratique elle même, il est très important que, dans les 
recherches sur le parallélogramme, ce principe, qu'on ne cherche à vérifier 
qu'à l'aide des considérations inexactes, soit remplacé par une métliode di- 
recte; ce but atteint, on pourra, d'après la nature de ce mécanisme et sous 
les conditions qui se présentent dans la pratique, donner les éléments les 
plus convenables pour la précision de son jeu. C'est cette méthode que nous 
nous proposons de donner dans ce mémoire; elle embrasse le parallélo- 
gramme de Watt et toutes ses variétés qui sont en usage dans la pratique. 

§ 2. Lorsqu'on développe une fonction fx suivant les puissances de 
X — a, la somme des premiers termes nous donne un polynôme qui, parmi 
tous les autres du même degré, s'approche le plus près de fx dans le voi- 
sinage de x = a. On prend ce polynôme pour la valeur approchée de fx^ 
quand on la cherche sous la forme d'une fonction entière. Mais pour l'éva- 
luation de fx sous cette forme, on doit préférer un autre polynôme à celui-ci, 
si, au lieu de s'approcher le plus près possible de fx dans le voisinage de 
ic = «, on cherche à augmenter la limite de précision de sa valeur approchée 
dans l'intervalle donné de a;: ce second polynôme sera déterminé par la con- 
dition que la limite de ses écarts de fx^ dans l'intervalle donné, soit moindre 
que celle de tous les autres polynômes du même degré. A mesure que cet 
intervalle diminue, la seconde valeur approximative de fx s'approche de 
celle qu'on trouve par le développement de fx suivant les puissances de 
X — a, a étant convenablement choisi. Mais tant que cet intervalle reste 
fini, les coefficients de ces deux valeurs approximatives de fx dififèrent entre 
elles, et ces différences, même dans le cas où elles sont petites, ne peuvent 
être négligées dans la théorie des mécanismes dont nous nous occuperons. 
Nous avons déjà remarqué combien il était important de déterminer avec 
une approximation suffisante la position de la tige du pistou par rapport au 
balancier, ou, ce qui revient au même, les angles du parallélogramme dans 
sa position moyenne. Or, ces angles ne s'écartent que bien peu de 90°, et 
ces écarts ne sont que le résultat de la différence entre les coefficients des 
deux valeurs approximatives de la fonction, dont nous venons de parler; sa- 
voir, de la valeur qui donne le minimum de l'erreur dans le voisinage d'une 
valeur de x^ et de celle, dont la limite des erreurs, dans l'intervalle donné 
de a?, est un minimum. Si on ne tient pas compte de ces différences, on 
trouve 90° pour la valeur des angles du parallélogramme dans sa position 
moyenne, et l'erreur qu'on commet ainsi, quoique d'un petit nombre de 
degrés, suffit cependant le plus souvent pour diminuer de plus de dix fois 
l'exactitude du jeu de ce mécanisme. 

D'après ce que nous venons de dire, on voit que la théorie des paral- 
lélogrammes que nous nous proposons de donner, est impossible à l'aide des 



— 114 — 

formules approximatives qui ne sont déterminées que d'après la condition 
de donner le maximum d'exactitude dans le voisinage d'une seule valeur de 
la variable; cette théorie démande des méthodes d'approximation, qui puis- 
sent fournir le maximum d'exactitude par rapport à toutes les valeurs de 
la variable entre deux limites données. C'est en cela que consiste la diffi- 
culté de cette théorie. 

Relativement à la méthode d'approximation, dont nous venons de par- 
ler, nous n'avons que des recherches de M. Poncelet, qui a donné des for- 
mules linéaires pour l'évaluation de ces trois expressions 

y (rz;2 -H y^)^ V (x^ — y\ V {x" -r- / -+- z"), 

formules d'un grand usage dans la Mécanique pratique. Dans les problèmes 
de M. Poncelet, les équations qui déterminent les coefficients cherchés se 
résolvent facilement. Mais cela n'a lieu que dans des cas très particuliers. 
A plus forte raison, leur solution exacte est impossible, si l'on cherche la 
valeur générale de ces coefficients pour l'évaluation d'une fonction quel- 
conque; car alors ces équations, d'une forme très compliquée, contiennent 
une fonction arbitraire. Donc on ne peut donner des formules générales pour 
cette méthode d'approximation qu'à l'aide des séries. C'est ainsi que nous 
avons cherclié à résoudre la question suivante: 

«Déterminer les modifications qu'on doit apporter dans la valeur appro- 
«chée de fx^ donnée par son développement suivant les puissances de x — a, 
«quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre x^=a — h 
«et x = a-^h, h étant une quantité peu considérable». 

La théorie des parallélogrammes que nous proposons ici, est fondée 
sur la solution de cette question dans le cas, oii le développement de fx 
s'arrête au terme suivi d'un autre plus élevé d'un degré; c'est le cas qu'on 
rencontre le plus souvent dans l'évaluation des fonctions. 

§ 3. Soit fx une fonction donnée, TJ un polynôme du degré n avec 
des coefficients arbitraires. Si l'on choisit ces coefficients de manière à ce 
que la diff"érence fx — Z7, depuis rr = « — ^, jusqu'à it; = «-H/i, reste dans 
les limites les plus rapprochées de 0, la différence fx — U jouira, comme 
on le sait, de cette propriété: 

«Parmi les valeurs les plus grandes et les plus petites de la différence 
«/"ic — U entre les limites x = a — /i, x=a-*-}i, on trouve au moins wh-2 
«fois la même valeur numérique». 

Les valeurs que fx — U prend pour x = a — Ji^ x = a-i-h sont con- 
sidérées comme maximum ou minimum. 

D'après cela on trouve facilement les équations que les coefficients de 



— 115 — 

U doivent vérifier. Si uous convenons de dénoter par L la valeur numérique 
commune des n-+-2 maxima ou minima de fx — U qui doivent avoir lieu 
entre les limites x = a — h, x = a~t-h, l'équation 

(1) {fx—Uf — L' = 

doit avoir w -*- 2 racines comprises entre a — h et a-i- h, et toutes ces 
racines doivent vérifier l'équation 

dx ~^' 

qui est la condition du maximum et du minimum, ou bien se réduire aux 
valeurs a — /?, a-+-h] en un mot, les w -*- 2 racines de l'équation (1), com- 
prises entre a — h, a-i-h, doivent vérifier celle-ci 

(2) (x — a-i-h) {x — a — Ji)^^^^^^ = 0. 

Cela nous donne un nombre suffisant d'équations pour trouver les n -4-1 
coefficients du polynôme U et la valeur inconnue L; car chacune des n-t-2 
racines communes aux équations (1) et (2) suppose une équation entre les 
coefficients de U et la quantité L, ce qui fait eu total n-i-2 équations. La 
résolution de ces équations n'est évidemment possible que dans le cas, où 
l'on donne à la fonction fx une forme déterminée. Mais si la quantité h est 
assez petite, on peut laisser fx arbitraire et chercher les coefficients de U 
en séries ordonnée's suivant les puissances croissantes de cette quantité. Nous 
ne chercherons ici ces coefficients que pour les cas qui se présentent dans 
la théorie des parallélogrammes, mais notre méthode peut être étendue à 
tous les cas, où f{a-+-^), dans les limites ^^ = — h, z=-+-h, peut être 
développée d'après la série de Taylor, ce qui sera l'objet d'un autre mé- 
moire. 

Pour simplifier nos formules nous dénoterons par 

\l "'15 \l 

les valeurs 

fia) ^>) €1^ 



et par conséquent le développement de fx par la série de Taylor donnera 
fx = lcQ~^k^ (x — a)-i-k^{x — af-t- 



— 116 — 

De plus, nous ferons x — a^=]iz^ ce qui réduira le développement de 
fx à la forme 

et les limites 

x=^ a — h^ x = a ~\-h 

se changeront en celles-ci: 

Z ^= 1, ^=: -H 1. 

C(^la posé, le polynôme cherché TJ sera déterminé par la condition que 
dans les limites ^= — 1, ^ = -i-l la différence 

(3) ^^0-^^*1 hz-i-k,¥z'-^. . .— U= Y 

s'écnrte le moins possible de zéro. 

Or, si l'on ne tient compte que des quantités de l'ordre moins élevé que 
h^'*'\ la valeur de Z devient 

k,-^k, hz-^kjt'z'-^. . ,-^kJi''z''—U, 

et son minimmn est évidemment zéro ; car le polynôme cherché TJ étant du 
degré n^ on peut réduire Y à zéro, en prenant 

(4) U = k,-+-k, hz-i-k^lf-z'^-^. . .-^kji^'z''. 

Donc la valeur de U", exacte jusqu'aux quantités de l'ordre /i""^\ sera 
égale à 

k,-\-\ hz-^-k^¥z''-^. . .-^kji''z''. 

Il n'est pas difficile de s'assurer que l'ordre de précision de cette va- 
leur de U sera encore plus élevé, si dans la série 

k,-*-k^ hz-i~k,¥z'--i-. . .H-kJi''z''-^k^_^^ r-^' -^"-^^-4-. . ., 

le terme kji^z^ est suivi d'un certain nombre de termes égaux à 0. 
En effet, s'il arrive que 

(5) k =0, k = 0, . . . k = 0, 
la valeur de cette série peut être remplacée par 

k^-^kjiz-i-k^h'z'-i-. . -Hkji'z'' 
même dans le cas où l'on cherclie le polynôme U avec une précision poussée 



— 117 — 

jusqu'à l'ordre /^""^"*"*"^ Donc en général, la valeur exacte de U sera de 
cette forme 

(6) u=u,^v}r-^''-^\ 



ou 



-fe /«"/•, 



V étant un polynôme du degré w, dont les coefficients ne deviennent pas 
infinis pour A = 0, et m le nombre des équations (5). Ce nombre ne diffé- 
rera de que dans le cas où h^^^ = 0, ce qui n'a lieu que pour a égal à 
une des racines de l'équation /'"'*"^a; = 0; car nous dénotons par A;^^^ la 
valeur de -prû^^y -P^"^' ^^^® ^^ nombre soit 2, 3,... etc., il faut que cette 
racine de l'équation f""*"^ x^=0 soit double, triple, . . . etc. 

D'après (6) on voit que la valeur exacte de V sera composée de deux 
parties: U^, et F/^'""^""^^ La première partie n'est évidemment que la 
somme des n-^1 premiers termes du développement de f{a -i-hz) suivant 
les puissances de z\ quant à la seconde, elle détermine les changements 
qu'on doit faire dans les coefficients de cette valeur approchée, lorsque l'on 
cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs dans l'intervalle donné 
de la variable. En passant à la détermination de cette partie de ÎJ, nous 
mettons la somme Uf^ -h IT/^"*"*"""*"* à la place de U dans la valeur de 1^(3); 
d'après les équations (4) et (5), la valeur de Y devient. 

(^„-..H-, ^"*'"*' -*n*».^. A.»— ^ + . . .- F) r-»*'; 

c'est cette valeur que nous devons chercher à rendre la plus proche pos- 
sible de zéro entre les limites z = — 1, zz=-\-\. 

Si l'on supprime ici le facteur constant Ji^-*'^'^^ et qu'on ne tienne 
compte que des quantités de l'ordre moins élevé que h^ la valeur de F, 
exacte jusqu'à ce degré, sera déterminée par la condition que F soit celui 
des polynômes du degré w, pour lequel la différence 



s'écarte le moins possible de zéro depuis 3 = — 1 jusqu'à z = -*-l. 

Or, d'après le § 3, cela se réduit à un système de 2n -t- 4 équations 
de cette forme 



7)2_j;^2^0, li^LlLhmdri^ ZiJLl (^^^ — l) = Q , 



— 118 — 

La résolution de ces équatious à l'aide des méthodes ordinaires de 
l'Algèbre demande des calculs tout-à-fait impraticables par leur prolixité, 
tant que n, degré du polynôme cherché, n'est pas un petit nombre. Nous 
allons montrer qu'à l'aide du calcul intégral, on peut remplacer ces équations 
par d'autres dont le nombre, pour toutes les valeurs de n, ne surpassera 
pas 2 m, et même trouver leur solution générale dans le cas de m = et 
m = 1 , chose très importante pour la méthode d'approximation dont nous 
nous occupons; car, d'après ce que nous avons dit plus haut par rapport au 
nombre m, il n'aura une valeur considérable que dans des cas exceptionnels, 
très rares; sa valeur ordinaire est zéro. Ce dernier cas est celui qui se pré- 
sente dans la théorie des parallélogrammes. 

§ 4. En faisant pour abréger 

les équations qui déterminent F se présenteront sous cette forme 

(8) f-U^O,{z'-l)%^0, 

Ces équations, d'après les conditions du minimum que nous cherchons, 
doivent avoir li -+- 2 racines communes , comprises entre z =^ — 1 et 
^= H- 1. Or, y étant un polynôme du degré n-\-m-\- 1, cela suppose, 
comme nous allons le montrer, que la fraction 

y^ - X" 



se réduit à celle-ci: 



02 ' 



où P et Ç sont des fonctions entières, la première du degré 2 m, la seconde 
du degré m. 



En effet, soient 



les n-¥-2 racines communes à ces deux équations; parmi ces racines il y en 
aura au moins n qui, étant différentes de — 1 et -h 1 , ne pourront vérifier 
l'équation 



— 119 -^ 

qu'en réduisant ^ à 0. Or, si ^ = ^j est une de ces racines, la différence 
z — z^ divisera évidemment ^ et «/^ — L^. De plus, il est facile de s'assu- 
rer que if — 1} sera divisible par le carré {z — z^^\ car l'équation ^ = 0, 
qui a lieu pour z^=z^^ suppose la multiplicité de cette racine dans l'équation 
1/2 _2,2 = o. Donc, si 

sont les valeurs de z qui vérifient les équations 

sans réduire z^ — la zéro, les fonctions l^\ , y^ — U sont divisibles par 



et par conséquent, la fraction 



m 

se réduit à ^, où P^ est un polynôme du degré 2 (n-i-m-t-l) — 2n=2m-h-2, 
et Q du degré oi-i-m — n = ?n. Il nous reste à montrer, que le polynôme 
Pq est réductible à la forme P {z^ — 1). Pour cela nous remarquons que les 
équations 

se vérifient encore pas deux valeurs de z, savoir: 



Si ces valeurs ne réduisent pas ^ à zéro, elles sont égales à -f- 1 et 
— 1, et par conséquent, i/ — L^ est divisible par (z-t-l) (z — 1) = ^^ — 1. 
Mais ~ étant différente de zéro pour ^ = zt 1 , cela suppose que dans la 
fraction 7^, égale à - 



par conséquent, 

Po = P(^^-l). 

On peut réduire à la même forme le numérateur Pq, si une des va- 
leurs <3f,^j, <2f^^^, ou toutes les deux, vérifient l'équation ^ = 0. En effet, 



— 120 — 

gj ^ _ ^ r^^ud ? = 0? d'après ce que nous avons dit plus haut, le carré 
(z — z^^^f sera le diviseur commun des fonctions y^ — L^ (^ j , et par 
conséquent de celles-ci: P^, Q\ Or si Ton supprime ce facteur dans la 
fraction ^, et qu'on y introduise à sa place ^ -h 1 ou ^ — 1, on aura une 
fraction, dont les deux termes seront du même degré que ceux de ^, et le 
numérateur aura pour facteur ^-*-l ou z — 1. Cela nous montre qu'on 
aura, dans tous les cas possibles, cette équation différentielle 



qui se réduit à la forme 





yï 


u 


Pi 


«2- 


-1) 






{Ay 

\dz 


1 




(ê'' 


î 






dy 






Q 


dz 




y 


{y'- 


U)- 


y 


{z-^ - 


-1) 


F 



OÙ P et Q sont respectivement des degrés 2 }}i et m. 

Comme le premier membre de cette équation a pour intégrale 

2 l^fo y-y(^yi-L2y 

nous concluons que la différentielle 

2Qds 
Viz^—\)P 

sera du nombre de celles dont l'intégrale est réductible à un seul terme lo- 
garithmique de la forme log ^~^^ y j^ ^ où p, à un facteur constant près, sera 
la valeur de y, et par conséquent, d'après (7), la fonction p doit être du 
degré n h- m -i- 1 et ne pourra contenir de termes avec les puissances 
^n^m^ ^n-t-m-1^ ^nn-i j)'^pj.^g ^gj^ j^ méthode ingénicuse d'Abel pour 

l'intégration des différentielles de la forme -^ à l'aide d'un seul terme lo- 
garithmique nous donne 2 m équations entre les coefficients du polynôme 
P, ce qui est suffisant pour le déterminer; car il n'est que du degré 2 m, 
et un de ses coefficients peut être choisi arbitrairement. Les équations qui 
déterminent P sont les suivantes: 1) m conditions d'intégrabilité de 
V (z^ — DP ^^ P^'" ^^ formule log ^^^ yj, , P étant du degré wh-w-h 1; 
2) m équations qu'on trouve en égalant à zéro les coefficients de ^"'*'"*, 
^„_H„i_i^ ^„^i ^^^^ j^ valeur de p. D'après la méthode d'Abel les 

conditions d'intégrabilité de y(^^_\^p par la formule log ^^^ y j^ , p étant 
d'un degré déterminé, ainsi que le polynôme p sont donnés en fonctions des 



— 121 — 

seuls coefficients de P; donc, pour trouver ces coefficients et la valeur de;?, 
ou n'aura qu'à résoudre un système de 2 m équations avec 2 m inconnues. 
La valeur de p qu'on trouve ainsi nous donne le polynôme ?/, à un facteur 
constant près, qui sera déterminé d'après (7) par la condition que le coef- 
ficient de ^"-*-"*'^i soit égal à k^_^^^_^^ . 

De cette manière la détermination du polynôme y, et par conséquent 
de V (7), se réduit à la solution de 2 m équati(ms, tandis que, d'après (8), 
les coefficients de ces polynômes sont donnés par un système de 2 n -+- 4 
équations. D'après les méthodes de l'illustre Jacobi, toutes ces recherches 
se simplifient notablement, dans certains cas, à l'aide des fonctions ellipti- 
ques. L'importance de l'équation différentielle que nous venons de trouver 
pour déterminer y se manifeste sur le cas de m = 0, où cette équation 
s'intègre facilement et nous donne la valeur générale de y pour n quel- 
conque. D'après cette intégrale on trouve aussi la valeur générale de y 
pour m = 1 . 

§ 5. Les fonctions Q et P, dans l'équation différentielle 

Qdz dy 

sont, comme nous l'avons vu, respectivement du degré m et 2 m. Donc, si 
7/^ = 0, ces fonctions se réduisent à des constantes, et notre équation devient 

dz dy 



après quoi l'intégration donne 

^ ^ ° Z-V [z-^—\)~^^--^^-^ y-y [yï- L^)^ 

où la constante G est zéro; car pour z^±\ on aura y = ±L. Donc 

^ ^*^g z~yiz'^-i)-^''S ^izrvW^Tjjy 



et par conséquent, 



y^y{yl--L 1) 

y-y(y''~U)' 



'-\z-y{z^-\)) ' 



ce qui donne 

y = ± f [(. -f- y («iî - 1))* H- (. -y (.'^ - 1))^]. 

Pour déterminer les quantités LetX, nous remarquons que, d'après (7), 
m étant zéro, le polynôme y doit être du degré n -i- 1 et avoir pour 



— 122 — 

premier terme k^_^^ z"'*'\ Mais daus le développement de la valeur trouvée 
de y le terme affecté de la plus haute puissance de ^ a cette valeur 

=t2^-^ L/, 

qui ne peut être identique avec k^_^_^ z^'*'^ à moins qu'on n'ait 

(9) l^n-Hl, i: = ±^===fc%i. 

D'après cela nous trouvons pour l'expression de y, vérifiant les équa- 
tions (8), dans le cas de m = 0, cette valeur 

(10) 2/ = 2%-{ [(^-Hy(.'-i))"-'-4-(^-y(.^-i))»*'] 

et par conséquent, d'après (7), 

C'est ainsi que pour m = 0, et à l'ordre h près, nous trouvons la 
forme générale de V qui (§ 3) détermine les différences entre les coefficients 
de la valeur approchée de fx, trouvée par son développement suivant les 
puissances de x — a, et celle dont la limite des erreurs dans l'intervalle 
x=^a — h, x = a-^~h est minimum. Le cas de m = est celui où x=:a 
ne vérifie pas l'équation f^'*'^ {x) = 0, n étant l'exposant de la plus haute 
puissance de x dans la valeur approchée de fx qu'on cherche. Dans le cas 
{mx=:a est une racine simple de l'équation /""*"^iz; = 0, etpar conséquent, 
m=l, on trouve avec la même facilité la fonction F, exacte jusqu'aux 
termes de l'ordre h. En effet, pour m = 1 l'équation (7) nous donne 

et comme F est du degré w, nous concluons que^, outre le terme lCn-t-^^^^^^ 
ne contiendra que des puissances de z moins élevées que ^"'*'*; parmi les 
polynômes de cette forme, y est celui qui s'écarte le moins de zéro dans les 
limites «== — 1, ^=-h1. Or, d'après (10), on voit que parmi tous les 
polynômes, dont le terme affecté de la plus haute puissance de z est 
^„_^2 -^"^^j 1^ minimum des écarts a lieu pour celui-ci : 



R g-«-y(g2— i )N^n--f-2 /^ -y(g2 — i) \»-*-2-] 



— 123 



et comme dans ce polynôme le coefficient de ^""*"' est égal à 0, nous con- 
cluons que c'est la valeur cherchée de ?/ = ^„_^2 ^^^^ — ^- ^^^^^j P^^^r 
m =: 1 j le polynôme V sera déterminé par cette équation 

Dans le cas où m surpasse 1, la valeur de y = Jc^^^^^ ^n-»-mH-i — y^ 
et par conséquent F, peut être déterminée, comme nous l'avons vu, par un 
système de 2 m équations. 

C'est ainsi qu'on trouvera, dans tous les cas possibles, la fonction V 
exacte jusqu'aux termes de l'ordre h. Pour ce qui regarde une plus grande 
approximation de la valeur de F, elle ne demande que des opérations élé- 
mentaires d'Algèbre, comme nous le ferons voir dans les §§ suivants sur le 
cas de m = 0. 

Avant de passer à ces recherches nous nous arrêterons un moment 
sur la formule (10) pour montrer le parti qu'on peut en tirer par rapport 
aux propriétés des fonctions entières. Nous avons trouvé cette valeur de y, 
en cherchant celui des polynômes du degré n-t-l qui, ayant la forme 
h^_^_^ ^"'^^ — F, s'écartait le moins de zéro dans les limites ^ = — 1, 
." = H- 1 . Or, lorsque F est un polynôme arbitraire du degré n, la diffé- 
rence k^^^ z"''^^ — F est la forme générale de tous les polynômes du degré 
)? -H 1, où le coefficient de ^""*"^ est égal à k^_^,^. Donc, parmi tous ces po- 
lynômes, celui qui est donné par la formule (10) s'écarte le moins possible 
de zéro dans les limites 0= — 1, ^ = -*-l, et comme L, désignant le 
maximum de ses écarts, est égal à ± -^' (9), nous concluons que tous les 
autres polynômes de cette forme, depuis z = — 1 jusqu'à ^=:-f- 1, pré- 
sentent des écarts plus considérables, et par conséquent, leurs valeurs, comme 
celle de (10), ne peuvent être comprises dans des limites plus étroites que 
celles-ci: 



[• Ai-^^j , w -i- 1 par /, 



Tbéorème. 

Le coefficient de la plus haute puissance de x d^une fonction entière 





iM"-^%!^ 


h-t- a 






^„+, pîll- ^ 




2 

nous déduisons le théorème: 





— 124 — 

du degré l ('tant Â, cette fonction^ depuis x = a jusqu'à x = ?;, ne pourra 
être comprise dans les limites plus étroites que celles-ci: 

§ 6. Nous avons vu daus le § 3, que si l'on cherche le polynôme du 
degrés, dont la limite des écarts de f(x) depuis x:=a — h jusqu'à x = a-t-îi 
est minimum^ et que f'^~^^^ (a) n'est pas zéro, on trouve ce polynôme égal à 

où U est la somme des w h- 1 premiers .termes du développement de f{x) 
suivant les puissances de x — «, et F un polynôme du degré w, déterminé 
par cette condition: pour x — a = hz^ V devient un polynôme qui, dans les 

limites z = — 1 , ^ — -h 1 , s'écarte de k^_^^ z"'*'^ -h- k^^^ h z^'^'^-^ 

moins que tous les autres du même degré. Quant aux quantités 

^n-f-l? ^^ft-i-2' 

elles sont égales respectivement à 

/i^-^i^ (g) /(»->-2)(a) 
1.2 ..(»-t-l)' 1.2. ..(WH- 2)' 



Dans les §§ 4 et 5 nous avons cherché la valeur de F exacte jusqu'aux 
quantités de l'ordre /j, et nous l'avons trouvée égale à 

Nous allons donner à présent une méthode pour trouver le polynôme F avec 
une précision aussi grande qu'on le voudra. 



*) Ce théorème nous conduit à plusieurs autres par rapport à la solution des équations, 
par exemple: 

1) Si/(a;)^=a;'-t- J5x' i-+-Ca;'~2^. ^ qq trouvera entre les limites h et ^±41/1*= ^/(/i) 

au moins une racine de ces deux équations: f{x) = 0, f (x) = 0. On prendra le radical avec le 
signe — ou -*-, selon que/(/i) et/'(/t) sont de même signe ou de signes contraires. 

2) L'équation {x^-t-Bx''~^-t-Cx^~^-+- -+-Hx)^—K^=0 a au moins une racine entre 

les limites — 2 \^lK, -+-2 y^^'K. 

3) L'équation x^^-^^ -t- B x^^~^ -t- C x^^—'^-t-....-*- H x±K=^0 a au moins une racine entre 

2/+1 2/-1-I • a 2 ^/ 9 27~ 

les limites — 2 V^K, -h 2 Vl^ K; c'est ainsi qu'entre les limites — — ^l/«'— ««^-i^-^c, 

a 2 ^ / 9 27 
ô"~*~'q'1/^' — ir^^'*'ir^ ^^ trouvera nécessairement au moins une racine de l'équation 

cubique x^ ■+- ax^ -H ba; -«- c = 0. 



— 125 — 
Si l'on fait pour abréger 

la valeur de F, que nous venons de trouver aux quantités de l'ordre h près, 
peut être mise sous cette forme 



n-Hl 



B — y, 



et par conséquent, sa valeur exacte sera 

(12) r=i„^,."*'-?/-*-n;i, 

où Vq est un polynôme du degré n dont les coefficients restent finis pour 
]i=z 0. D'après la propriété du polynôme F, on trouvera ces coefficients, en 
cherchant à rendre minimum la limite des valeurs de 

K^, ^"■"' -*- K-.. '' ^"*' - K^^ ''^ ^""' -H ... - F 
= K^^ J' ^"""^ -*- K-^, h' z"^'^ . . . -H 2, _ F„ A 

dans l'intervalle = — 1, ^ = -i-l, ce qui suppose, comme nous l'avons vu 
dans le § 3, que les équations 

ont w -*- 2 racines communes entre les limites ^= — 1, ^ = h-1. 

Si l'on ne tient compte que des quantités de l'ordre moins élevé que ¥, 
ces équations denennent 

(13) [k^^^k,-'-^^y-V,hf-L,':=^0, 
Q4\ (^2 i \ ^ [^n-H2 fe ^""^^ -«- y — ^0 ^'] _. Q^ 

De plus, chose très importante pour nous, on peut remplacer la der- 
nière équation, avec le même degré de précision, par celle-ci: 

En effet, comme cette équation n'a pas de racines multiples (ce qu'on 
voit d'après la forme de y) on n'influera sur leurs valeurs numériques que 



— 126 — 

de quantités de l'ordre //, si, au premier membre de cette équation, on 
ajoute le terme 

après quoi elle deviendra identique avec l'équation (14). Donc, les racines 
de cette équation qui ne deviennent pas infinies pour /z = 0, et par consé- 
quent, toutes celles qui restent comprises entre les limites — 1 et -+- 1 
pour h fort petit, sont données par l'égalité 

avec une précision allant jusqu'au premier degré de li. Mais si dans les ra- 
cines de l'équation (14), autres que ^ = =±i 1, on fait une faute de l'ordre 
/^, l'erreur de la valeur de 

pour ces racines, est de l'ordre h^ ou plus élevé; car, d'après (14), sa pre- 
mière dérivée, pour ces valeurs de z^ est zéro au moins aux quantités de 
l'ordre h près. Quant aux racines 

^ = — 1, ^ = -t-l, 

pour lesquelles cette dérivée peut différer de zéro, elles sont exactes dans 
l'équation 

(.^-1)^-1 = 0. 

Donc, aux quantités de l'ordre li^ près, la valeur de V^h sera déter- 
minée par la condition que w -f- 2 racines de l'équation 

(.= -l)|f = 
vérifient celle-ci: 

qui se réduit à 

y' -^2 y {k^_^^ ^"-^ - Fo) h - L\ = 0, 

si l'on supprime ses termes contenant h^, et enfin à 



— 127 — 

quand on la multiplie par y. Mais, d'après ce que nous avons trouvé dans 
le § 5, le polynôme y, déterminé par la formule 

y = K*.\i — ^ — ') A — ^ — ) J' 

vérifie l'équation y^ — L^ = pour toutes les racines de l'équation 

as ' 

L étant égal à ± -^^ ; donc, pour ces valeurs de z, on peut dans l'équation 
précédente remplacer y^ par L^, ce qui donne 

Or, cette équation ne peut être vérifiée par les n -i- 2 racines de l'équation 

^ ^ dz 

que dans le cas où ces deux équations sont identiques entre elles; car elles 
sont du même degré w -i- 2 (ce qu'on voit en remarquant que y est du 
degré w-+- 1, F^ du degré n). Donc, leurs premiers membres sont égaux, à 
un facteur constant près, et par conséquent, 

(V- - L,'} y^2U (k^_^^ ,"*' - F„) h -C{,'~1)'£ = 0, 

OÙ G est une constante. 

Mais comme y est du degré n -*- 1 , manquant du terme avec la puis- 
sance z^, et que le degré de V^ n'est pas supérieur à n, on voit que dans 
cette formule le coefficient de ^"""^^ ne se réduit à que dans le cas où 

L' — L,' = 0, 
et par conséquent, L étant égal à =t ^^ , 

(15) i, = ±%r-^ 

D'après cela, l'équation précédente nous donne 

^0 — K-^z ^ 2^772 1^ ~ ^) T.' 



— 128 — 

Nous trouvons la coDstautc ^^, en observant que F^ ne doit pas contenir 
de terme avec -^"'*'^ Comme dans la valeur de (^^ — ^) '£•> ^^^ 

?/ ^ ^'n-. K 2 j -^ \ 2 ) J ' 

, cela suppose 



et par conséquent 

2ri2 = {^r:Hi)t„Ti* 

En mettant cette valeur de ^^y-j dans l'expression trouvée de F^, nous 
obtenons 

«-H2 y (»-»-l)^'n-n ^■^/ 

C'est ainsi que nous trouvons la valeur de F^, exacte jusqu'au premier 
degré de h, ce qui, d'après (12), nous donne cette valeur de F, exacte 
jusqu'à h^, 

(10, K=/._ ."--,-/._ (^"-^-„r:^^ '£) " 

où, comme nous l'avons vu, y a cette valeur 

§ 7. Sans nous arrêter sur cette approximation de F, nous allons 
montrer en général comment on trouvera sa valeur exacte jusqu'au degré 
//^', quand on a sa valeur aux quantités de l'ordre h^ près. 

Si nous dénotons par F^ cette dernière valeur de F, sa valeur exacte 
peut être mise sous cette forme 

Fg étant un polynôme du degré n, dont les coefficients restent finis pour 
h = 0. D'après la propriété de F (§ 5), le polynôme inconnu Fg sera dé- 
terminé par la condition que les équations 

[«:„ H, ^""' + K-^. '' ^"*' -- *„-H3 ''' ^""" . . - F, - F, 7/j^ - 7V = 0, 

(«2_ 1) 'i [«^n-n ^"^' -H t-nn-. * ^"-^' -^ t»-H, *' ^"-'-' H- ... - F, - F, /.'] ^ „ 



— 129 — 

lient w -H 2 racines communes comprises entre les limites ^ = — 1 et 
z = -\-l. Mais, si l'on ne tient compte que des quantités de l'ordre moins 
élevé que h^\ on peut supprimer dans ces équations les termes qui con- 
tiennent h'\ h^^'*'^, ¥^^^ et présenter le reste sous cette forme 

en faisant pour abréger 

\1")^ ...... ...,._ 



\s=K- 



^n-*-Z-«-i 

-f-/-Hl 



Quant aux équations qui déterminent Fj, valeur de V exacte seu- 
lement jusqu'à h\ nous pouvons les tirer des formules (17), en rejetant les 

termes qui contiennent h\ h^^^, //~^^, Ainsi, à la valeur de h^ près, 

Qous aurons pour 

les équations suivantes: 

dans lesquelles L^ est la valeur de L^ exacte jusqu'à 7^'; ce qui suppose 
l'équation 

(19) L^ = L^-^\h\ 

En passant à la détermination de F^, nous remarquons, comme dans 
le § précédent, que dans les conditions qui déterminent V^ll^ aux quantités 
de l'ordre /^^' près, la dernière des équations (17) peut être remplacée par 
celle-ci: 

et comme dans ces conditions il ne s'agit que des racines qui restent finies 
pour ^ = 0, cette équation, à son tour, peut être remplacée par une autre 
de la forme 

(^2_i)TF=0, 

W étant une fonction entière choisie de manière à ce que l'équation PF=0, 

9 



— 130 — 

à h^ près, contienne toutes les racines de l'équation -^j = qui ne devien- 
nent pas infinies quand on fait ]i=^ 0*). Comme ces racines ne sont qu'au 
nombre », car. pour h = 0, le polynôme y^, que nous considérons mainte- 
nant, devient égal à celui trouvé dans le § 5 (10) et qui n'est que du degré 
^; _^_ 1, nous concluons que le degré de l'équation W^=0 peut être abaissé 
jusqu'à n. Dans ce cas l'équation 

sera du degré w -+- 2, et d'a])rès les conditions qui déterminent V^ et y^, 
toutes ses w H- 2 racines doivent vérifier ces deux équations 

[y^-^Sh'-V,h'f-L,'=:--0, 

y,'-L,'=0, 

la première avec une précision allant aux termes de l'ordre h^ , et la se- 
conde jusqu'à h\ 

En mettant dans la première de ces équations la valeur L^ d'après 
(19) et en supprimant les termes qui contiennent h^\ nous obtenons l'éga- 
lité 

y,^-^2y, (S— Fg) ]/ — L,^ — 2\L,h^ = 

qui, étant multipliée par y^, nous donne 

iy,' — L,') y, -»- 2 y,' (S - V,) j/—2l L, h' y, = 0, 

équation qui, à lî^^ près, sera vérifiée par toutes les n-\-2 racines de 
l'équation 

Mais pour ces racines, à h^ près, nous avons aussi l'équation 



*) Voici comment on peut sépai'cr les racines de l'équation ii-i-livz=0, qui, pour 7i=0, ne 
deviennent pas infinies: 

Si l'équation m — n'a pas de racines égales, les racines de l'équation u-*-hv^=0, qui ne 
deviennent pas infinies pour ^ = 0, sont données par celle-ci: m^=0, avec une précision jusqu'au 
premier degré de h. Pour avoir ces racines exactes jusqu'à Tî^, on prendra u-i-/iJJ=-0, où B est 
le reste de la division de « par u; pour l'approximation jusqu'à 7j', on prendra u-»- /jjBi-=0, où 
lîi est le reste de la division de v par u-*-hB, et ainsi de suite. Dans le cas où l'équation u-=0 
a des racines égales, la même méthode est applicable, seulement l'approximation ne va pas si 
vite. 



— 131 — 

qui, étant multipliée par 2 (S — V^) h^ et retranchée de l'équation que nous 
venons de trouver, nous donne, avec une précision jusqu'à h^\ l'équation 
suivante : 

iy,' — L,') y, -H 2 L,' {S - V,) li' — 2\ L, h'y, = 0, 

ou, ce qui revient au même, 



V^k'-^f^y-Sh'-^^l^^^ = 0. 



Comme cette équation, aux termes de l'ordre h^^ près, a lieu pour 
toutes les racines de l'équation 

(0'— 1) W=0, 

avec le même degré de précision, son premier membre doit être divisible 
par {z^ — 1) PF, et par conséquent, si on dénote par Bq et R^ les restes 
qu'on trouve en divisant y^ h'' et 8 //-t- ^^^ ~^ i' ^^ - par (^^— 1 ) TT, l'expression 

dont les termes sont d'un degré moins élevé que [z"^ — 1) W, doit être 
identique avec zéro, aux quantités li^^ près. Donc, avec ce degré d'approxi- 
mation, on aura 

V,h'-^^^B, — B, = 0, 
et par conséquent 

V,h' = B,— ^j^^B,, 

ce qu'on peut mettre sous la forme 

V,}f^r-^[q~^)B,, 

en dénotant par g' et r le quotient et le reste qu'on trouve eu divisant B^ 
par Bq. 

Or, il n'est pas difficile de s'assurer que cette équation ne peut être 
vérifiée qu'en prenant 

et par conséquent, 

En effet, le polynôme cherché V^ est tout au plus du degré l^; la même 

9* 



— 132 — 

chose a lieu par rapport à r\ cette fonction est le reste de la division de B^ 
par i?o, et i?0 5 l"i même, est le reste de la division de y^ll par {z^ — 1) TF; 
donc le degré de r est inférieur au moins de deux unités à celui de (^^ — 1) PT, 
qui est du degré n-i-2. Au contraire, le reste Bq est nécessairement d'un 
degré plus élevé que w; car, si l'on fait h = 0, comme nous l'avons remar- 
qué ])lus haut, le polynôme y^ se réduit à y^ donné par la formule (10), et 
alors (^^ — 1) W devient {z"^ — 1) ^; mais, d'après la valeur de «/, on voit 
que le reste de la division de y par (^^ — 1) -£ contient un terme avec la 
puissance z^~^^. 

Donc, pour trouver la fonction V^h'' exacte jusqu'à F^, on procédera 
de la manière suivante: on divisera les fonctions 

2/,/»', Sh'-^- '^'^-^py 

par (0^ — 1) W; on divisera le second reste par le premier; le reste de la 
dernière division est la valeur de V^ h\ On trouve facilement le polynôme F 
d'après la fonction V^li\ en remarquant que V=V^-\- V^}f. 

Le quotient de la dernière division nous donne aussi une valeur très 
importante; ce quotient, que nous avons dénoté par g, est égal, comme nous 
l'avons vu, à la fraction j-\ par conséquent 'k = qLi, et d'après (19), 

L^ = L^ {l-i-qh\ 

Nous trouvons ainsi la constante L^ de l'équation (17), qui nous donne la 
limite des écarts du polynôme V relativement à la fonction 



n-f-i n-t-2 n-i-3 



entre z = — 1 et z = -i-l. 

D'après la méthode que nous venons d'exposer, on peut toujours pas- 
ser d'une valeur approchée de F à une autre plus précise. 

§ 8. Nous allons maintenant appliquer cette méthode à la solution de 
cette question, très importante pour la théorie des parallélogrammes: 

«Trouver les modifications qu'on doit apporter aux coefficients de la 
valeur approchée de fx 

f[a) -+- --- f (a) -*- ^-^ f {a) -*- \^ f {a) -+- \-^^ f (a), 

«pour que cette valeur, depuis x = a — h^ jusqu'à x = a-{-h^ s'écarte le 
«moins possible de fxy>. 



— 133 — 

Nous supposons la quantité h assez petite pour qu'on puisse dévelop- 
per les corrections cherchées des coefficients suivant les puissances ascen- 
dantes de h\ de plus, nous excluons le cas, où f [x) devient zéro poura;=a. 

D'après ce que nous avons dit dans le § 3, ces corrections seront don- 
nées par la formule 



où F, comme fonction de z = — ^ , sera déterminée par la condition de 
représenter un polynôme du quatrième degré, pour lequel la différence 

s'écarte le moins possible de zéro depuis 3 = — 1, jusqu'à ^ = -+- 1. 
Les coefficients k^, k^, k-j, sont respectivement égaux à 



fHa) /"^^ (g) Z"^" (g) 

1.2.3.4.5' 1.2.3. . .6' 1.2.3.. ..7' 



L'équation (16) du § 6 nous donne la valeur de F exacte jusqu'à ¥ 
sous cette forme 



/-!/ + 




^2-1 

5fcs 


dz] 


z-*-Vz^ - 


(z-V z^ 


— 1 



D'après ces formules nous trouvons 

Quant à la valeur de L^ qui détermine la limite des écarts de F et 
de la fonction k^z^-^-\ h is^ -*- kr, ¥ s"^ -*- , d'après (15), nous obtenons 

-^1—16* 

En passant à la détermination de F, exacte jusqu'à ¥, nous remar- 



— 134 — 

quons que les fonctions désij?néos dans lo § i^récédent par F^, z/^, S ont 
maiuteuaut les valeurs suivantes: 

F, = *, ( A .' _ A ,) ^ A, (I ^ - 1 .= H- 1) ^ 

.'/■ = h ^' - ^-0 '' ^' - '.. (I ^' - re ^) - '•■« (t ^' - Il -' - ^) * 

= ;,„, (/■ _ I .3 ^ ^^ ,) ^ ,, (,._ 1 ,. ^ 1| ,^ _ ^^) k; 
D'après les valeurs de V,,y„ S, la méthode du § précédent donne 

OÙ Fg est un polynôme qu'on trouvera à l'aide des procédés suivants: 

1) On cherchera l'équation du 4-ème degré qui, exacte jusqu'à h^, 
contient toutes les racines de l'équation 

qui restent finies, quand on fait h = 0. Comme le reste de la division de 
h (6/— 7^^^-+-^^) par /^, (s^'^ — ^ ^^-4-^) est égal à fc,(-^^3_^^ ^), 
d"a])rès la note du § 7, nous concluons que l'équation qui remplit ces con- 
ditions est la suivante: 

h (5 .* - V' ^^ -*- fe) -H ^-c (- 1 ^-^ - I ^) A = 0; 

et par conséquent, la fonction que nous avons représentée dans le § pré- 
cédent par TF, a cette valeur 



W-. 



= ^o(5^^-T^^-â)-^o(-|^^-^)^. 



2) On cherchera le reste de la division de y^P par (^^—1) W. Poui 
les valeurs de ijy et W que nous avons, et en supprimant les termes qu 
contiennent h^, h^, , on trouve ce reste égal à 



1^'-,^)*^ 



— 135 — 

3) On divisera la fonction 

par [z^ — 1) W\ dans le cas que nous traitons, le reste de cette division, 
exacte jusqu'à ^*, a cette valeur 

L 4Â;5 16^5 16 7^5 J 

, [-36k, ^k,-H2kr,k^1c,-k^\ i 87k^^k^-i-lOk^k^kj-6k^\ 2 . ^h^h-*-'^K Kh-h^ ~]-LZ 
L iëV ^ 64V ~ 64 V ^J • 

4) On divisera ce dernier reste par le premier 
Cette division fournira le quotient 

7fcsfc7-t-V 
4V 

et le reste 

36k,H,-^2k,k^k,~Jc^^ p,4 , 22fcs^,-V p^3 SI k,n,-*- 10 k.k^k, -6k^^ .^ ^^ 

iëv "^ ïëifc^^ 64V 

3U5fc,-3V ^2^ . 7Vfe,-i-2M6<^,-V ^3. 
64Ï^ '^ ^~* 64V ' 

d'où l'on conclura : 

1) La quantité V^h^^ exacte jusqu'à /«*, aura pour valeur 

36Vfe« -^2^-5^6^, -y ,3 , 22fc5fe,-V ,2 ^3 87k,H;^l0k,k^kj-5kQ^ ,3 2 
Î6V "^ Ï6I; '^ ^ 64V ^ 

31/.-5^,-3V .2 ^ _^ 7k^n,-*-2k,kek,-k^^ .3 
64a; ^ ^"^ 64V ' 

et par conséquent, on obtiendra, avec le même degré de précision, 



— 136 — 

2) La valeur de la constante L^ qui détermine la limite de la déviation 
du polynôme Y de la fonction 



entre ^=: — l,£; = -i-l,est égale à 

En multipliant la valeur trouvée de F par Iv' et remplaçant z par 
-7", nous obtenons la formule 

^l^^k.li'^^-^^i^rf-^ ) (x-af 

_(»,,;,^iiM^^;:«^ )(-«) 

dont les coefficients de {x — af, {x — af, déterminent les correc- 
tions qu'on doit faire dans ceux de la valeur approchée de f{x) 

f («) -H q^-' (^ - «) - i;i|' (x - af -^Q^,{x- af -H J^^ {X - a)\ 

quand on cherche à diminuer le plus possible la limite de ses erreurs entre 
x=^a — A, x=^a~h-h. Quant à la valeur de cette limite, d'après ce que nous 
avons trouvé relativement à F, elle est égale à L^ lc'=^ ± ^ M h — ^fr^ ^^) ^^^• 

§ 0. Jusqu'à présent nous n'avons cherché la valeur approchée des 
fonctions que sous la condition du minimum de la limite des erreurs dans 
l'intervalle donné. Mais souvent il est très important que l'erreur, pour 
les limites de l'intervalle, se réduise à zéro. Or, il n'est pas difficile de s'as- 
surer que ce cas, tant que l'intervalle est assez petit, se résout aussi par 
les méthodes que nous venons de donner. 

Soit fx une fonction dont on cherche la valeur approchée sous la forme 
d'un polynôme u du degré w, assujéti entre les limites x=^aL — y? a'=aH-T, 
aux conditions mentionnées plus haut. Comme la différence f{x) — u 
doit se réduire à zéro pour x = a — y, a; = a -h y, il ne restera dans le 



— 137 — 

polynôme m que n — 1 coefficients arbitraires qui, d'après la propriété du 
minimum que nous cherchons, seront déterminés par cette condition: 

«Parmi les valeurs les plus grandes et les plus petites de la différence 
c(fx — u, entre les limites x = a — y, x = a-*-y, on trouve au moins n 
«fois la même valeur numérique», ce qui suppose (§ 3) que pour certaine 
valeur de l les équations 

(fx-uf~.p = 0,^-^=^=0 

ont n racines communes, comprises entre les limites x = (x. — y, x = (x--i-y; 
par conséquent, si l'on remplace ces limites par d'autres plus étendues, 
x = a — h, x = a-^h, et choisies de manière à ce que pour ces limites la 
différence fx — ii devienne égale à -*- ? ou — l, les équations 

(20) {fx — îi)'' — l^=0, (x — a-i-h) {x — a — h)'^-^^-^^=:0 

auront n-\-2 racines communes entre les limites x^^a — h, x = a-^h. 
Donc, pour ces limites , le polynôme U=u donne la solution des équa- 
tions (2), dont nous nous sommes occupé dans les §§ précédents, et par con- 
séquent, vice versa, la solution de ces équations nous donnera le polynôme îi 
pour certaines valeurs de a — y, a -i- y, qu'on trouvera facilement en re- 
marquant que, d'après la propriété du minimum cherché, les valeurs 
x = OL — y, it; = a-t-y, comprises entre a — h, a-i-h, vérifient l'équation 

fx — u = 0, 

et, entre ces deux valeurs de x, il y sl n racines communes des équations 

Pour montrer une application de ce que nous venons de voir, nous 
allons chercher le polynôme u qui, étant du degré n, donne la valeur exacte 
de fx = k^^_^^ x"''^^ pour x = a — y, ic = a -h y, et ne s'écarte, entre ces 
limites, que le moins possible de la fonction fx = îc^^^ x^'^\ Pour cette 
valeur de fx, et 2/= ^^^=*=V»^~~^' x=a-+-Ji2, L=j^i, les équations (20) 
deviennent 

y>-V = 0, (.«_ 1)1 = 0, 

dont les î^-*- 2 racines communes seront comprises entre ^= — 1, ^=h-1. 
Or, 2/ = ^^^^^^^^^-^^Tnrn^ — ^^ étant un polynôme du degré w-i-1, dont 



— 138 -. 

le coefficient de z^^^ est égal à /c^^^, on voit, d'après (10), que cela ne 
peut avoir lieu à moins qu'on n'ait 

y = K-^.\\ — 2 — ) -^( — 2 — ) J' L = ±^- 

Je (a -*- Ji ^Y^~*~i — u X a l 

d'où, en remplaçant y par - ^^ipj , z par — ^, L par ^„^rj, nous 

obtenons 






Eu passant à la détermination des valeurs de a — y, a -*- y, pour les- 
quelles ce polynôme donne le minimum cherché, nous remarquons que 
l'équation 



-»=*..-.,[t 



x-a-i-V{x-af-h-^\^'^^ (x-a~V{x—af-h'^^'^^^ 



-0, 



qui se réduit à celle-ci: 

cos (l^-^- 1) cp =: 0, 

quand on fait x — a^h cos 9, aura les racines suivantes: 

a — h cos o"^K , a — /j cos ^ -^ , a-t-h cos ^ " „ , a-ï-h cos „— 

2n-H2' 2n-f-2' 2n-i-2' 2n-t 

Or, comme dans cette série on ne trouve que les deux valeurs 
a — ^ cos „ " „ , a-i-^ cos ^ ^ ^, 

2n-i-2' 2n-i-2' 

entre lesquelles sont comprises les n racines de l'équation 



d[Av^iX«-^i-«l "'^"-^1 



r /x-a-*-V(x-af—hiV^'^^ /x-a-V(x-a)2-h^Y n 



da; dx 

qui se réduit à -° g]^^~"^~ ^^ ^ P^"'^ '~~J^ = cos 9, nous concluons que 
a — Y, an- Y ne peuvent avoir d'autres valeurs que celles-ci: 

et par conséquent, a = a, h = — . 



— 139 — 
En mettant ces valeurs de a et h dans la valeur trouvée de m, l'on a 



u-i^X^'-K. 



r 4cos2- -/ l 4C082- 



Telle est la forme générale du polynôme du degré n qui devient égal 
à ^ _,_ oc^'^^ pour x= a — y, ic = a -♦- y et s'écarte le moins possible 
de cette fonction entre ces limites. Quant à la limite de ces écarts, nous 
avons trouvé 



i = ±':r.^h^^\ 


h ^ 


^«^2nH-2 



donc, la constante l, qui détermine cette limite, a la valeur suivante: 

h ^n-t-i 
J -I- %-«-l I 

2n-4- 

- u, OÙ u est un polynôme arbitraire 
du degré n, est la forme générale d'une fonction entière, dont le terme 
affecté de la plus haute puissance de x est égal à k^^^^ rr""*"^, les formules 
que nous venons de trouver nous conduisent à ce théorème: 

Théorème. 

Entre deux racines de réqiiation 

fx = Ax*'^'-i-Bx"^Ox''-' -+- = 



x = a, x^b, la valeur numérique de fx ne peut rester inférieure à 

2^/ a-b 



En traitant de la même manière le cas de fx=poi^-t-qx\ y étant très 
petit, nous trouvons, d'après les formules du § 8, que, à la quantité y^ près, 
le polynôme u du quatrième degré qui devient égal à px^-i-qx'' pour 
ic = — y, a; = -H y, et s'écarte le moins possible de cette fonction, entre 
a; = — y, ic = H- y, a la valeur suivante: 

/ bp 2 11 — sinl80cos540 A o 

/ hp 4 31 — 4 sin 18» cos 54» 6\ ^ 

\16cos4 180*V ~*~ 64cos6l80 ÎTj^* 



— 140 — 

Quant à la limite de déviation de ce polynôme de ]a fonction px^-i-qx\ 
entre .r = — y, x= -+- y, ou la trouve égale à 

^ Y^ 7 — sin W^ cos 54° 7 

?j 10. D'après les formules que nous venons de trouver, il est facile 
de déterminer les éléments les plus avantageux du parallélogramme dans 
tous les cas possibles. Mais ce n'est pas le seul résultat qu'on puisse tirer 
de nos formules. Nous avons vu qu'elles donnent certains théorèmes d'Al- 
gèbre dont la démonstration serait, peut être, impossible à l'aide des mé- 
thodes ordinaires. Il }' a aussi des questions de Géométrie dont la solution 
demande des méthodes d'approximation telles que celle dont nous nous 
sommes occupé. 

En voici un exemple. Soient deux courbes données, l'une contenant n 
paramètres arbitraires qui permettent, par leur choix convenable, de dis- 
poser à volonté des abscisses de n points d'intersection de ces deux courbes 
dans l'intervalle a; = « — h, x = a-\-h. Il est évident que, dans cet inter- 
valle, les courbes seront plus ou moins rapprochées l'une de l'autre selon 
la position de leurs points d'intersection. Quel est donc la disposition des 
points communs des deux courbes, entre x = a — h, x = a-i-Ji, qui rende 
mhiimiim la limite de leur déviation dans cet intervalle? 

Cette question tient évidemment à la méthode d'approximation dont 
nous nous sommes occupé dans les §§ précédents. L'application qu'on peut 
faire ici de nos formules donne des résultats très intéressants. 

Soit 

y = f{^) 

l'équation de la courbe avec tous ses paramètres donnés, et 

Y=F{x,li) 

celle dont les n paramètres arbitraires sont choisis d'après la condition du 
minimum que nous cherchons, entre les limites x=^a — ^, x = a-^h. 

Si l'on prend h = 0, la dernière courbe devient osculatrice à la pre- 
mière, au point x =^ a, et excepté certains points singuliers le contact ne 
sera que de l'ordre n — 1, de sorte qu'on aura 

(21) ~^à^ dx^- = a ^^^ valeur hnie, 

en même temps que les équations 

pour x = a, h = 0. 



— 141 — 

D'après cela, en supposant que les fonctions 

dfjx) â^f{x) d^fjx) 



'^^^' dx "> dx2 ^ dx"" 

{x, h) d^ F{x,h ) d'^ 

dx ' da;2 ' d^fî- 



F(X h) ^ ^ ^^' ^'^ d^F{x,h ) d^ F{x,h) 



restent continues dans le voisinage de ^ = 0, x = a, nous concluons que, 

pour h assez petit, et pour une valeur de x entre les limites x = a h 

x=:a-i-h, les fonctions 

Y— y ^(^-^) d^Y-y) d^jT-y) 

^' dx ' dx"^ ' dx"^ 

ne deviennent pas infinies. De plus, on peut mettre la fonction 

d^jT—y) d'^Fix,h) d^fjx) 

dx^ dx^ dx^ 

SOUS la forme 

N-^^{x), 
en faisant pour abréger 

jrr_ dn F{a,o) d^ fia) 

^^ ~ da^ da^ ' 

.UM-. dnF{x,h) dnF{a,o) d^ f{x) . d^ f{a) 
"rK-^)— dx^ da^ dx» da» ' 

D'après cela, pour x pris entre x = a — h et.i; = a-i-^, h étant assez 
petit, la série de Taylor nous donne 

Y-y^A-^B{x-a)-^G{x-af-^. . .^H(x-af-'-^^^^^=^^^^^^{x—af, 

où les quantités A, B, G,. . .H, N sont indépendantes de x et dont, de 
plus, la dernière 



N= 



_ d» F (a, o) d^ f{a) 

' da» da» ' 



d'après (21), diffère de zéro. Quant à la fonction ^{a-^0 {x — a)), pour 
les valeurs de x que nous considérons, elle devient infiniment petite en 
même temps que h. 

Cette formule nous montre que pour x entre les limites x^=a — h et 
x = a-+-'h, à l'ordre de grandeur h** inclusivement près, la valeur de Y — y 
sera égale à celle du polynôme 

A ■+- B {x — a) -i- G{x — af-*- . . . -i- H(x—af-'-+- Y:^{x — af, 



— 142 — 

et par consocinoiit. d'après le§ 5, le minimum cherclié n'aura lieu que dans 
le cas. où le })i»lynouic précédent, avec ce même degré de précision, se ré- 
duit à 

ce qui suppose» qu'entre les limites x = a — h, x = a -+-]i la valeur de 
Y — y à cette forme 



Y -v = r^, [(- -^'-*' )V (î 



-r/_-/(a;-a)2-/t^\" 



- Z/<", 



où Z est une quantité qui devient infiniment petite en même temps que h. 

D'après cette valeur de Y — y, les abscisses des points d'intersection 
des deux courbes que nous considérons sont données par l'équation suivante: 

Or, si l'on fait 

X — a 

cette équation devient 

, X 1.2 ..n.2"-i;j r, 

COS ( W <p) H ^ = , 

d OÙ, en supprimant le terme — '^ " " „ " — , nous tirons 

COS (w9) = 0, 
ce qui donne 

2«l-4-l 

m étant un nombre entier quelconque. 

La valeur de cp que nous trouvons ainsi, eu supprimant le terme 
— — '-^-^ dans notre équation, est évidemment exacte jusqu'aux quan- 
tités de l'ordre Z, car l'équation cos (wcp) = n'a pas de racines égales. 
D'après cela nous concluons que, aux quantités de l'ordre Zh près, les va- 
leurs cherchées de x seront déterminées par cette formule: 



x — a 2m-4-l 

~-j— = COS -^ 1 

h 2n 



et par conséquent, 



- 143 — 

Telle est l'expression générale qui donne, avec une exactitude allant 
jusqu'à h inclusivement, les abscisses des n points d'intersection des deux 
courbes dans le cas de minimum que nous traitons; l'expression trouvée 
conduit à cette construction très simple: 

«Du milieu de l'intervalle x = a — h^ x = a-i~h, pris sur l'axe des 
«abscisses, avec un rayon égal à la moitié de cet intervalle, on tracera un 
«cercle; on inscrira dans ce cercle un polygone régulier de 2n côtés, en le 
«disposant de manière à ce que deux de ses côtés soient perpendiculaires à 
«à l'axe de x; les sommets de ce polygone, aux quantités de l'ordre /2 inclu- 
«sivemeut près, détermineront les abscisses des points, où les deux courbes 
«doivent se couper pour que la limite de leur déviation, dans l'intervalle 
((X = a — h, x = a-+-h soit minimum.» 

Si l'on veut que les deux courbes passent par les mêmes points aux 
limites de l'intervalle, oii l'on cherche à les rapprocher autant que possible, 
la même construction (§ 9) aura lieu, avec la seule différence, qu'au lieu du 
rayon h, il faudra prendre le rayon . 

cos — 
2n 

Tels sont les deux résultats, qu'on tire de nos formules relativement à 
la disposition des points communs de deux courbes, dans le cas où l'on 
cherche à rendre minimum la limite de leur déviation dans un intervalle 
donné; ces points sont d'une grande importance dans plusieurs questions de 
la pratique. 

Dans les §§ suivants nous montrerons l'usage des formules que nous 
venons d'exposer pour trouver les éléments des parallélogrammes qui véri- 
fient les conditions les plus avantageuses pour la précision du jeu de ces 
mécanismes. 



9. 



SUR 



IRRATIONNELLES. 



(Journal de mathématiques pures et appliquées. I série, T. XVIII, 1853, p. 87—111.) 



Sur rintégration des dilTérenti elles 
Irrationnelles. 



§ I- 

Si la différentielle ^ -^, composée d'une fraction rationnelle ~ 

et d'une racine d'une fonction entière Ûx, s'intègre à l'aide des signes 
algébriques et logarithmiques, nous savons, d'après les recherches ingé- 
nieuses d'Abel et de M. Liouville, que l'intégrale f ^ — ^ se pré- 
sentera sous la forme suivante: 

ï7-+-^MogF<'-f-^'logF'-+-^"logF"-+- . . ., 

où ?7, F^, F', F",. . ., sont des fonctions rationnelles de x et "]/ Oxi 
A^^ Â^ A", . . . , sont des quantités constantes. 

Le terme algébrique U peut se déterminer facilement. On sait qu'il 

est de la forme -q{Ox) , où P et Q sont des fonctions entières que l'on 
trouvera à l'aide des procédés suivants *) : 

1°. On cherchera le plus grand commun diviseur entre les fonctions 
F^xOx et ■ °^ ^ , ce diviseur est le dénominateur Q du terme algébrique. 

2^ Si les degrés des fonctions 

QUx Q 



X [d x] 



*) Nous supposons que la différentielle ~— est réduite de manière que ô a; ne con- 

tient pas des facteurs d'un degré plus élevé que m — 1. 



— 148 — 

sont iuférieurs à — 1, le terme algébrique est 0. Dans le cas contraire, en 
désignant par n le plus petit nombre supérieur au degré de ces fonctions, 
on trouvera le numérateur F d'après la formule 

p=: B(,-^B^x-t-B^x--i- . . . -t- B^^ a;", 

où Jip, 7?j, J^o.. . . , B^ sont (les coefficients constants, dont la valeur se 
déterminera en cliercliant à rendre le polynôme 






FqX 6 X -r 



Q' 



\B,-^B,x-\-B^x^-^ . . . -^B^x"" 



1 



divisible par ^ , et avec cette condition que le quotient ne soit pas d'un 

degré plus élevé que '°^^J^' , D étant le plus grand commun diviseur 
entre les fonctions ^rr et O' x. 

Si ces conditions ne peuvent être remplies, on en conclura que l'in- 
tégration de ~- ^ à l'aide des signes algébriques et logarithmiques est 

^^ Vex 

impossible. Dans le cas contraire, on trouvera le terme algébrique, et si 

l'on ôte sa différentielle de ^ -^, le reste doit devenir intégrable à 

-^0^ y ex 

l'aide des seuls termes logarithmiques. C'est de cette intégration que nous 
allons maintenant nous occuper. 

Voici les questions dont nous donnerons les solutions dans ce Mémoire: 

V. Déterminer le nombre de termes logarithmiques dans la valeur de 
l'intégrale donnée. 

La solution de cette question, dans un cas particulier, donne la dé- 
monstration du théorème énoncé par M. Abel en ces termes: 

«... le théorème suivant très-remarquable a lieu : 

«Lorsqu\ine intégrale de la forme f ^?, oit ç et B sont des fonctions 

entières de x, est exprimable par des logarithmes, on peut toujours Vexpri- 
mer de la manière suivante: 



où A est constant et p et q des fonctions entières de x.» (Œuvres compl. 
tome I, page 65, éd. 1839). 



— 149 — 

2®. Trouver les conditions analytiques qui déterminent chaque terme 
séparément. 

On verra, en outre, d'après la solution de ces questions, que les cas 
connus d'intégrabilité des différentielles binômes de la forme 

X* {a -+- hx"')'" dx, 

sont les seuls où l'intégration de ces différentielles est possible par les 
signes algébriques et logarithmiques^ s, s', s" étant rationnels. 



§ n. 

Nous avons vu que les termes logarithmiques dans la valeur de 

l'intégrale ï~ — ^ sont de la forme 
•" ^ ^ Vdx 

A log F, 
où V est une fonction rationnelle de x et *\/ Ox. Donc en faisant, pour 



y^x=:^, 

et en désignant par 



(Po(A), 9i(A), ?2(A), 93W, •••. 
des fonctions rationnelles de x et A, nous aurons l'équation suivante: 

j'âf = ^'l«g^o(A)-H^'log9,(A)-f-.riog9,(A)-*- . . ., 

lorsque la valeur de l'intégrale f ^ y ne contient plus de termes algé- 
briques. 

Si nous remplaçons dans cette équation A par aA, a^A, . . ., a*"~^A, 
et si nous multiplions les résultats respectivement par 1, a, a^, . . ., «"""^ 
a étant racine primitive de l'équation 

ic*"— 1 = 0, 
nous trouvons une série d'équations, dont la somme sera 

^ I â T = ^^ l«g r^o (A) . ?ô («A) . 9? (a^ A) . . . (pf "' (a*""^ A)] 
-+- Â log [9, (A) . 9Î (aA) . 9f (a^ A) . . . 9^ "' (a"*"^ A)] 



— 150 — 

et, par conséqueut, 

(1) j§,j = A\gW„^A,\gn\-HA,igW,^..., 

OÙ TFo ; ^17 Wo,- ■ -, ïïunt des fonctions de la forme 

9(A)9"(aA)cp"'(a2A) . . . ©""""'(a"-' A), 

Aq, A^, ^25- • •' ^*'^ constantes. 

C'est sous cette forme que nous allons examiner la valeur de l'inté- 

1 f fx dx 

Nous commencerons par prouver que la valeur de l'intégrale J — -£ 
étant réduite au minimum de termes, les coefficients A^^, A^, A^,. , .^ ne 
peuvent vérifier l'équation 

N,A,-i-N,A,-i-N,A,-^ . . . = 0, 

dans laquelle Nq, N^, N^,. . . S(mt des nombres complexes de a. 
Eu effet, si cette équation a lieu, nous trouvons 

et, en substituant cette valeur de A^^ dans l'expression de l'intégrale 
JH ~, nous la transformons dans celle-ci: 

^ 

-A,\ogW,W, ''^ ..., 

qui contient moins de termes que l'équation (1); et chacun de ces termes, 
comme nous allons le démontrer, peut se réduire aussi à la forme 

A\og[^{^).Y{a^).^''\aL'^) . . . i^*""' (a"-' A)], 

où ^ (A) est une fonction rationnelle de a; et A. 
Pour réduire ainsi le terme 



A,\ogW,W, ^", 



nous mettons ^ sous la forme 

■"0 



X -f- n" a* -H 



— 151 — 

où w, w*^, w', n' ^ . . ., sont des nombres entiers réels (ce qui est toujours 
pctssible). D'après cela, le terme 

peut s'écrire ainsi: 

il lg[PFr,PF„-"".TF,7"'".Tf „-"""•■•], 

où la quantité mise sous le signe log se décompose en facteurs et diviseurs 
de la forme 

TT»^ = cpoc' (A) . 9=^'"*"' (aA) . c^'^^-'-'' (a^ A) . . . , 

et que l'on réduit à celle-ci: 

9(A)9«(aA)cp- (a^A)..., 

on remplaçant 9 (A) par 9 (a A). 

La même forme subsiste également après la multiplication et la divi- 
sion de ces quantités. 

Donc, à l'aide de l'équation 



= 0, 



on peut diminuer le nombre de termes dans la valeur de l'intégrale J^ -^ 
sans altérer leur forme principale, et, par conséquent, cette équation ne 
peut avoir lieu dès que la valeur de l'intégrale f ^ -^ ^st réduite au mi- 
nimum de termes, ce que nous supposerons toujours dans nos recherches. 

§ ni. 

Soit X une valeur de x qui rende W^ égale à ou 00. Il n'est 
pas difficile de s'assurer qu'on trouvera une puissance de a; — x\ dont le 
rapport à Wq sera fini pour x = x, et que l'exposant de cette puissance 
sera en général un nombre complexe de a. En effet, la fonction TTo? comme 
nous l'avons vu, est égale au produit 

9o(A).9,«(aA).9o*^(a2A). . ., 

où 9o est une fonction algébrique. Or, si l'on développe les facteurs 

9o(A), 9o(a^), ?o(a'A), . . . 



— 152 — 



selon les puissances de x — x\ et qu'on désigne par n\ n, n",..., les 
exposants de x — x dans les premiers termes, les nombres 'nP, n\ n\ . . . , 
sont rationnels, tt la somme 



est l'exposant de x — x dans le premier terme; du développement de W^- 
D'où il suit que N'q, étant égal au nombre complexe 

w*^ H- n' a -4- w" a^ H- . . . , 

w . • ' 

le rap])ort -^ reste tini pour x=^x. 

Soient N\, iV'g , . . . , les nombres complex(;s qui jouent le même rôle 
par rapport à PT,, TFj,. . . . Eu prenant 

J x — x' 

= A,]g{x — x)' " -*- A,]g{x — xY ' -^ A^\g{x — xf" -i- . . ., 
et retranchant terme à terme de celle-ci, 

nous trouvons 



Inr v'\ If 'v'\ 



w^ 



{x — x) (x — x') (x — X) 

Le second membre de cette équation étant finie pour x=x\ nous concluons 
que cette valeur de x ne rend pas infinie l'intégrale 

f r fj^ AoN'o^AyN\H-A^2r^-^... -[ . 
J iFxA ^3P J ^^' 

ce qui suppose que la limite de 

'\_Fxà x—x' J» 

pour X = X, est égale à zéro, et, par conséquent, 



— 153 — 

Cette équation nous prouve que les termes de la valeur de l'intégrale 
\ W~ "£ ^^ peuvent devenir infini^ que pour une valeur de x égale à l'une 
des racines de l'équation 

Fx = 0', 
car, d'après le § II, la somme 

sera différente de zéro, tandis que lim [ j^^^^a 1 ^^^ diffère de zéro que 
dans le cas où Fx contient le facteur x — x, le facteur A ne pouvant con- 
tenir X — X qu'à un degré inférieur à 1 (§ I, note). 

Cette équation nous prouve aussi que la limite de ~^^ \ ? pour 
X = x\ ne peut être infinie. 

Supposons maintenant qu'on désigne par x, x\ x'\ . . . , x^^^ toutes les 
racines de l'équation 

Fx = 0, 

et par K\ K", K"\. . . . , K^'^ la valeur de 

I n itf en 

pour 3=^x^ X ^ X ,..., x^'K 

L'équation que nous venons de trouver et celles qu'on obtient de la 
même manière en examinant les cas où a; = x'\ x'\ . . . , x^^\ pourront 
s'écrire ainsi: 

i=i i=t i=t 

(2) 2 ^'i ^i = ^'' 2 "^"i ^» = ^"' • • • ' 2 ^«- '' ^» = ^^'^' 

1 = 1 = |- = 

où t-hl est le nombre de termes de la valeur de l'intégrale f^ -^; Nq, Nq",...,Nq^'\ 
N^', iVj", . . . , N^^^\ etc., sont les nombres complexes choisis de manière que 
les rapports 





w„ 




l.-.f' 


(x-x"f"\ 


.,.-.<"" 


¥-"')"'' 


(.-."f". 


.,x-^<'"" 



restent finis pour x = x\ x\ x"\ . . . ,x^^\ et, par conséquent, pour toutes 
les valeurs finies de x; car, comme nous l'avons remarqué, les racines de 
l'équation 

Fx = 



— 154 — 

sont les seules valeurs finies de x (jui peuvent rendr(^ les fonctions 

ir,,, n\, W,, . . ., 

infinies ou l). 

En changeant, dans Féquation 

|-^^^ = ^,logTFo -H ^.logir.-^J.logTT, -+-..., 

X en —, et en traitant le cas de £? = 0, nous trouvons de la même manière 
l'équation 

(3) ^'^.A.^K^ 

où K" est la limite de ^^ pour x = oo, et [j-,, [j-^, ij.,,. . ., les degrés 
des fonctions W^ , W^ , W^ , . . • 

Cette équation nous prouve, eu outre, que la fonction -j^^ ne peut 
être d'un degré plus élevé que — 1; car, autrement, 

/i:<">=:limr#^J 

serait infinie, ce qui ne peut avoir lieu d'après l'équation trouvée. 

§ IV. 

Supposons maintenant qu'eu désignant par ]\P^ M', M", . . . , les 
nombres complexes de a, on cherche à vérifier les équations de la forme 

M'K'-\-M'K'-^M"K"-\~ ... =0, 

et que l'on ne trouve que >. équations de cette forme qui ue soient pas 
identiques entre elles par rapport à /C°, K\ K'\ . . . , K'^K 

D'après ces équations, on pourra évidemment exprimer X quantités de 
la série 

K\ K\ K\ . . . Z^') 

en fonctions linéaires des autres, et ces fonctions auront pour coefficients 
des nombres compleX(îS de a. Supposons donc qu'on parvienne a trouver 



(4) 



K'= y^ M.'Ki'^^'\ K'= 2 M!K^^-^'\ . . ., 



— 155 — 

Comme les quantités K'^, K\ K'\. . ., 7^^^^ ue peuvent vérifier plus de 
X équations différentes de la forme 

(5) M' K' -i-M'K'-i- M"K" -*-...= 0, 

les quantités 

prises séparément de 

A- K', K\ . . . , i^^-^ 

ne pourront vérifier une équation de cette forme; car, autrement, cette 
équation et les X équations (4), évidemment non identiques entre elles, don- 
neraient X -*- 1 équations de la forme (5), ce qui est contraire à la suppo- 
sition. 

D'après cela, il est facile de s'assurer que le nombre de termes, dans 
la valeur de l'intégrale f ^ ^, ne peut être au-dessous de l — X-»- 1; car, 
dans ce cas, le nombre des coefficients 

serait aussi moindre que l — X h- 1 ; et alors les ^ — X -h 1 équations der- 
nières de la série (2), après l'élimination de ces coefficients, donneraient au 
moins une équation entre K''^\ K''^^^\ . . . , K^^^ qui serait de la forme (5), 
ce qui est impossible. 

Le même résultat aurait lieu si l'une de l — X -f- 1 dernières équa- 
tions (2) était identique aux autres par rapport à toutes les quantités 
Aq^ ^1, 7^2, . . . Donc, au moyen de ces équations, il est possible de trou- 
ver l — X -t- 1 quantités de la série 

-^OJ -^U ^2' • • • 

en fonctions des autres et des quantités K''^\ K^^^'\ . . . , K'^^\ ces fonctions 
seront linéaires et auront pour coefficients des nombres complexes de a. 
Supposons qu'on parvienne ainsi à trouver les quantités 

Aq^ udj, . . . , Ai_x^i, 

et qu'on porte leurs valeurs dans l'équation 



— 156 -— 

ApW's cette sii])stitutiou la valeur do l'intégrale f^, y contiendra plu- 
sieurs tenues avec les coefticieuts 

K^'\ K^'^'\ . . . , K'\ 
^/_)+i, Ai_x+%i • • ' 1 Ai- 
Maïs si Ton rassemble dans un seul terme tout ce qui contient le même 
coefficient, on n^iura que l termes, dont la forme générale sera 

Z^'MogZ ou Â.logZ, 
et dans lesquels 

£o £i ^ 

z=wj'\w,'\w,'^% . . ., 

Po, P^, P^,- ■ : Q(i, Qi, Qi,- ■ -, étant des nombres complexes de a. Or, 
d'après ce que nous avons montré au§ II, il est certain que, quelque compli- 
quée que soit la forme de ces termes, ils pourront être réduits à une forme 
telle que celle-ci: 

^-logTF ou ^logW, 

où n est un nombre entier réel, et W une fonction de la forme 

iKA).i)j='(aA).tJ>»'(a2A) . . . ij^"'""' (a'""^ A). 

Donc, après la substitution dont nous venons de parler, la forme principale 
des termes n'est pas altérée; mais les / — X-t- 1 coefficients 

A-Oi ^1? • • • 5 Ai_x 

sont remplacés par 

^(X) _R:fX-t-i) ^(X-f-2) Kii) 

où w„, Wj, Wg,. . ., n^_^ sont des nombres entiers réels. 

Dans la suite, nous supposerons toujours que cette transformation à 
été faite; et par conséquent, dans l'équation 

I Èt = A^^g ^o-H-^4,log PF, -*-^,log TT,-»- . . . , 
nous prendrons 

où Wo, n^, Wj). . ., n^_j^ sont des nombres entiers réels. 



— 157 — 

Jusqu'à présent nous n'avons rien dit sur la forme des fonctions 
9o(A), <Pi(A), . . ., qui entrent dans la composition de Wq, W^,. . ., et qui 
sont rationnelles par rapport à a; et A; dans ce qui suit, nous les suppose- 
rons réduites à la forme la plus simple, c'est-à-dire 

T ' 

OÙ Xq, X,, X^,. . . , -X,„_i, Y sont des fonctions entières de x. De plus, le 
dénominateur Y se détruit dans la valeur de 

]^=^9(A).9"(aA).9"'^(a2A) . . . ^''""'(a"-^ A), 

à cause de l'égalité 

1 -H a -+- a^ H- . . . -t- a"*"^ = 0; 

nous pouvons prendre 7=1. 

§ V. 

Les équations (2), (3), (4) et (6), par l'élimination de 

K\ K\ K'\ . . . , K^'\ 
nous donnent 

t = t = 

i=l-\ i=t 

y M:n.A.= yN.'A., . 

»=0 1=0 

i=l-ï. i=t 

y M^"^-^^ n. A. = y^ iV/^-;' ^ . , 

»=0 »=0 

i = t 

«=o 



n,.,A-x = ^NI"Ai, 



— 158 — 

où les nombres complexes dési^iirs ]);ir .1/.'' sont déterminés par les équa- 
tious(4i.(iuid()nnrnt A", A". A", ... A ^' " en fonction de K'^\K^^-^'\...,K^^^; 
les nombres complexes désignés par X.'' sont inconnus et jouissent, comme 
nous Tavons vu, de cette propriété que le rapport 

Wi 



{x ~ x') {x — x") 



reste tini pour toutes les valeurs fiui(^s de x] le nombre désigné par [x^. dé- 
termine le degré de la fonction W.. Quant aux quantités Wo, w^, . . . , w^_, , 
ce sont des nombres entiers réels, également inconnus. 
Or, comme les coefticients 

•^07 -^15 ^27- • '•) 

ne peuvent vérifier aucune équation de la forme 

iYo A -+- iYj ^j -f- iV,^^ -+-... = 0; 

Yf,, A'j, Y,,. . ., étant des nombres complexes de a, les équations que nous 
venons de trouver doivent être identiques par rapport à J^? ^n ^sj- • • ? ce 
qui suppose les égalités suivantes: 

pi . = J/ . ' n. . N.' = M.' n. , N." = M!' w . , . . . , Y/'"'^ = iJf/'-^^ n . , 

iV,"-) = 0, iV/^+^) = 0, . . . , JV/-^— 1) = 0, iV/^+') = w., 

JV,''-^^+^) = 0,..., iY^^O 

pour i=z{). 1, 2,. . ., / — A, et 

a.. = 0, iv; = 0, iV/' = 0, iV/" =r 0, . . . 

pour i > / — A. 

D'après cela, en ayant égard au rapport qui existe entre la fonction 
W. et les nombres ^i.., iY.', Y.", . . . , nous concluons: 

1". Toutes les fonctions PFi_,^.i, W,_,^,^ TF,_,+,,. . . sont dudegréO, 
et aucune valeur de x ne peut les réduire à zéro ou à infini. 

2^ Pour i = 0, 1. 2,. . .^ / — X, le degré de W, est iJ/>.; et la 
fonction dont le rapport à W. reste fini, tant que x n'est pas infini, se pré- 
sente sous cett(î forme: 

[(.-./'■ . (,_,"/'.■•' . (,_,'",«'"■ . . . fo _ ,<*-n)^-'^-' . (^_^'^--.,]"% 

expression dû il ne reste d ineounu que le nombre entier et réel w.. 



— 159 — 

Telles sont les propriétés des foiictious 
W W W W 
qui entrent dans l'équation 

quand cette équation se trouve transformée par la méthode qu(; nous avons 
ilonnée au § IV. De plus, les équations (G) nous donnent l'égalité 

^i — ni ' 

ï étant égal à 0, 1, 2,. . ., / — À. 

§ VI. 
D'après ce que nous venons de trouver par rapport aux fonctions 

il n'est pas difticile de s'assurer qu'elles se réduisent à des ({uantités con- 
stantes. 

En effet, si la fonction W ne devient ni ni oo pour x = a, l'ex- 
posant de ic — a dans le premier terme du développement de W, selon les 
puissances de x — a, doit être zéro. Or, pour 

TF = 9 (A) . f (a A) . q>"' (a^ A) . . . 9-'""^ (a'"-^ A), 

cet exposant (§ II) est égal à la somme 

n*^ H- ^' a -f- n" a^ -I- . . . -t- n^"*"'^^ . 7.*""^ 

où n^, n, n", . . , n'"^^^^ sont des nombres réels rationnels, désignant le 
degré de ^ — a dans les premiers termes du développement de 

9 (A), 9 (a A), 9 (a' A),... 9 («"*"' ^), 

et a une racine primitive de l'équation 

Or cette somme ne peut se réduire à zéro, à moins qu'on n'ait 

^o = ^' = w" = ... = fi^'"-'^ 



— 160 — 

c'ost-à-dire à moins que le développement de 

9 (A), o (a A), 9 (a- A), ... , © (a"-' A) 

ne contienne dans ses premiers termes la même puissance de x — a; et 
alors nous trouvons que pour a; = a, (/ et j9 étant des nombres entiers, le 

Donc, si la fonction W reste finie pour toutes les valeurs finies de x, 
la même chose doit avoir lieu pour la fraction ^-^^j. 

De la même manière on parvient à conclure que le degré de la 
fonction ^-^^ est et, par conséquent, qu'elle reste finie pour ce = oo. 

D'après cela, nous trouvons que le produit 

(p(aPA) 9(ai^A) 9_(aP_A_) ^ _ ^ 9(a^A) 
9(A) * cp^aA) 'cp(a2A) 9(a"»-lA) 



reste fini pour toutes les valeurs de x. 

Mais ce produit se réduit à ^"' ^l' ^\ oii S est une fonction entière de 
X qui ne dépend pas de a; car 

6'= 9 (A) . a> (a A) . 9 {a? A) ... 9 (a"*"' A) 

est une fonction symétrique des racines de l'équation 

A*" = à une fonction entière, 

et 9 (Aj, comme nous avons vu, est une fonction entière de ic et A. Quant 
à 9"' (a'' A), cette fonction sera évidemment de même forme que 9 (A). 
{Voir § IV). 

Donc, en faisant 
(7) ?!L^) = ^(,PA), 

nous trouvons que ^ [aP A) est une fonction déterminée par l'équation 
4;(a^^A) = ^-f-§A-F-|iA2H-...-+-^^A-\ 

où 5, Z(j, Xj, X2.. . ., -X^_j sont des fonctions entières de x, — qui reste 
finie pour toutes les valeurs de x. Or nous allons prouver que cela ne peut 
avoir lieu, à moins que tous les termes de la valeur de ^ (a^A) ne soient 
constants. 



— 161 — 

En effet, d'après la valeur de ^ {aP A), pour i <Cfn, nous trouvons 

t|> (a^ A) -H a^' 4> (a*"-»-^ A) -i- a'^' (]j (a^^ A) -i- . . . -*- a-^"'-^)'^ (a^"*-»-^ A) 

^i A»" 

= m^A, 
et, par conséquent, 

1/ o-i-i *\ . -—ai .1. /'-.o-t-2 A\ . ~]m 



(J; (a^ A) -«- a-' 4^ (a^-^^ A) -t- a-^' i|; (a^^^ a) -4- ... ' 

_^_a-(m-l).-^j^(^|H-m-I^^ 



Le premier membre de cette équation étant composé de la fonction ^|; 
reste fini pour toutes les valeurs de x; mais le second ^^*"(^) A"**, 
tint qu'on ne le suppose pas constant, sera infini ou pour certaines va- 
lt3urs de x ou bien pour a; = oo, selon que la fonction rationnelle ^^"* (^) A*"* 
se réduira à une fraction simple ou à une fonction entière. 

Donc on ne pourra supposer aucun terme de la fonction '\i {aP A) va- 
riable, et par conséquent, d'après (7), on aura 

9(«''A) = C7^V/S, 

OÙ G est une constante et S une fonction qui ne dépend pas de a^. Or, si 
1 on forme, d'après cette équation, les valeurs des fonctions 

(p(A), (p(aA), (p(a^A),..., <p(a«-^A), 

et qu'on les porte dans la formule 

TT = (p ( A) . cp» (a A) . <f (a^ A) . . . 9""*"' («""' A), 
on trouve 

IMais la somme 

1 -f- a -*- a^ -H . . . -H a"*~^ 

se réduit à 0; donc W a une valeur constante. 

§ VIL 

Ayant démontré que dans la valeur de l'intégrale | —^ toutes les 
fonctions 



— 162 — 

ne peuvent être (jne des constantc^s. nous eu déduisons que les seuls termes 
variables sont 

Ao log TFo , A,\ogW,,..., ^_x log Wi_^ , 

et comme, d'après (6), les coefficients de ces termes sont de la forme 

où n. est un nombre entier, nous concluons que leur nombre ne peut sur- 
passer celui des termes de la série 

différents de zéro. 

En remarquant que / est le nombre des racines de l'équation 

et que 

se réduit à 0, si le degré de ^^ est inférieur à — 1, nous parvenons à éta- 
blir les théorèmes suivants: 

Théorème I. — Soient ^ une fraction rationnelle, x un polynôme 
dont les facteurs sont cVun degré moins élevé que m. Si la valeur de V intégrale 
f^^ nf contient que les termes logarithmiques, V intégrale j^w~=^ 
est égale à une somme de termes de la forme suivante: 

A log [cp (yôx) . f (a Vùx) . cp"' (a^ VÔx) . . . 9"""' (a*»-^ V^)]» 

où 9 i'y/dx) a^t une fonction entière de x et y'ëi, a est une racine primitive 
de V équation 

rr*"— 1=0; 

et le nombre de ces termes, suffisants pour donner la valeur de Vintégrale 

J T^,^5 ^6 surpassera pas le degré de Fx, la fonction \^_ étant d'un 
Vdx Fx VOx 

degré moindre que — 1 ; dans le cas contraire, le nombre de ces termes ne 

surpassera le degré de Fx que d'une unité. 

Dans le cas où Fx= 1, le théorème précédent se réduit à celui-ci: 
Ibéorème U. — Les fonctions fx, x étant entières, si Ox ne contiem 



163 



me des facteurs de degrés inférieurs à m, Vintégrale \ ,^ dx s' exprimant 
railleurs par les seuls termes logarithmiques, sera réductible à la formule 



A 



log [cp {VfJx) . cp" (a yOx) . 9"' (a^ ^Ox) . . . 9""* \ar-^ Vox)] • 



m op i^dx) est une fonction entière de x et "^ex, et a est une racine primitive 
le Véqiiation 

a;"* — 1 = 0. 

Dans le cas de m = 2, nous obtenons le théorème d'Abel, cité 
ians le § I. 

Théorème III. Vintégrale f ^^ dx n''fst pas réductible aux fonctions 



et logarithmique^ si Ox n'a pas de facteur multiple d^un degré 
dus élevé que m — 1 , et si la fonction fx est d\m degré moins élevé que 

X 

En effet, si l'on suppose que f ,~ dx soit réductible aux fonctions 

•' -y/Qx 

ilgébrique et logarithmique, d'après le § 1, ou parvient à conclure que 
sa valeur n'a point de terme algébrique. La même chose a lieu par rapport 
xux termes logarithmiques; car la différentielle ^ dx n'a pour dénomi- 

ûateur que y'o^ , et le degré de —^ est moins élevé que — 1 ; mais dans ce 

VQx 

cas, d'après le théorème I, le nombre de termes logarithmiques suffisant pour 

donner la valeur de f ^ dx est 0. Donc, si l'on suppose que l'intégrale 
•" i/Qx 

I ,;r^ ^^ est réductible aux fonctions algébrique et logarithmique, on sera 

forcé de conclure que sa valeur est une constante. 

Dans le cas de m = 2, cela se réduit au théorème donné par M, Liou- 
ville. 

§vm. 

A l'aide des théorèmes que nous venons de donner, on peut résoudre 
entièrement la question de l'intégration en termes algébriques et loga- 
rithmiques des différentielles binômes 

x' [a-^bx")'" dx, 

)ù s, s, s" sont des nombres rationnels. 



— 164 — 

L'intégrale de ces différentielles se réduit facilement à la forme 

où ;), q, w, m sont des nombres entiers et g' > 0, et l'on trouve, par les 
méthodes connues, la valeur de cette intégrale, si l'une des deux quanti- 
tés :^, ^H-— est un nombre entier. Dans le cas contraire, cette intégrale 
se réduit à la forme 

-dXf 






OÙ Uq est une fonction algébrique, p est le plus petit nombre positif congru 
à p selon le module g, et 7n" le plus petit nombre congru à — m selon le 
module m, ce qui suppose 

p < g, w" < m. 

Pour trouver le terme algébrique dans la valeur de l'intégrale ( —^ — j;^ dx, 



J(l -H «;?)•» 



d'après le § I, ou cherche le plus grand commun diviseur entre les 

fonctions (l-HrcV' et ^^^-^1^. Ce diviseur étant {l-^xY'~\ on 

conclut que le terme algébrique doit avoir pour dénominateur la fonction 

(l-+-a;V"~'. 

Mais, en examinant les fonctions 

gP -^ (1 -♦- a;?)*"' -^ (1 -4- a;?)"*"-^ 

où, comme nous avons vu, p < g, m" < w, p' > 0, on trouve que leur 
degré est au-dessous de — 1; ce qui, d'après le § I, prouve qu'il n'y a pas 

de terme algébrique dans la valeur de l'intégrale Ç— — ;;^, dx. 

J(l-t-a;î)'" 

Donc il ne reste plus qu'à chercher l'expression de sa valeur à l'aide 
des seuls termes logarithmiques. Mais une telle expression, d'après le § ILI, 

n'est possible que dans le cas où le degré de ^ ~ ^„ ne se trouve pas 

(l-*-a;7p 

au-dessus de — 1, et, en vertu du dernier théorème que nous venons de 
démontrer, ce degré ne doit pas être au dessous de — 1. Par conséquent, 
l'intégration de -^ dx, à l'aide des termes algébriques et loga- 



— 165 — 

rithmiques n'est pas possible , à moins que la fonction ^, ne soit 

(1 -t- x?p 

précisément du degré — 1 ; ce qui entraine cette équation entre les expo- 
santsi?, 2,—: 

Mais en passant aux nombres p et m', dont le premier est congru à p selon 
le module q et le second à — m" selon le module m, nous trouvons que 
l'équation précédente suppose que - -h — est un nombre entier. Donc, 
outre ce cas et celui où p est divisible par ^, l'intégrale 



représente une transcendante particulière; c'est ce qu'il s'agissait de dé- 
montrer pour être sûr que les méthodes ordinaires de l'intégration des 
différentielles binômes avec les exposants rationnels, comprennent tous les 
cas où cette intégration est possible en termes algébriques et logarithmiques. 



§IX. 

D'après ce que nous ayons trouvé dans les §§ IV, V et VI, on con- 
clut qu'en général le nombre de termes logarithmiques qui suffit pour don- 
ner la valeur de l'intégrale f ^x ^^^ ^ — X-t- 1, où l indique le degré 
de F x^QiX le nombre des équations (4). De plus, nous avons vu que l'inté- 
grale f ^ -^ peut être réduite de manière que, dans l'équation 

[fe? = Alog W,-^A, log TF.-i-A log W,-^. . ., 
tous les termes soient de la forme 

où n^ est un nombre entier non complexe; 

W, = 9, (A) . 9,- (a A) . ç,'^ (a» A) . . . f'""^ K"' A) 



— 166 — 

est du degré M^^. w,., et, pour toutes les valeurs finies de a;, reste en rapport 
tiui avec la fonctiou 

r Mi' „ Mi' ,„ Mi'" ^ ,^ ilf/^-^> ^^ .^ -ini 

lix—x) .{x—x') (x—x) . . .{x—x^-'^) . {x—x^^^*^)j • 

Quaut aux nombres ilT^^, iV//, ilf/', M!\..., ilf/^~''\ ils sont connus 
d'après les équations (4). 

Il n'est pas difficile» de s'assurer que, d'après cela, chaque terme de 
la vah ur de Tinté^nile | j^, '^' est complètement déterminé, c'est-à-dire 
que si Ton trouve les nombres 

et les fonctions 

qui puissent remplir les conditions mentionnées, la somme 



KO ,... rrr . A'(X--l) ,_ .., . 7.'(X+2) ,_ ^^^ . . Z(^) 



log W, -i- -"-^' log PF, -^ ^^^' loff TK 



■O 'M 



«/- 



bx l^S ^^-x 



sera la valeur de l'intégrale J^^^, lorsque celle-ci peut être exprimée 
à l'aide des termes logarithmiques. 

Eu effet, si cette somme n'est pas la valeur de l'intégrale f^^-y, 
supposons que 

B, log W\ J\ log W\ B, log W\ . . . , 5, log W^'^ 

soient hs termes qu'il faut ajouter à celle-là pour la rendre égale à f-^-^. 
On aura 

p fx dx 

J Fx T 

— log TToH---^- log PF,-*-^^ log TF,-+-. . .H-^^^ log W,_^ 
-*- B, log W'-^ B, log TF' -+- B, log TF" -♦-... -h J5^ log Pr^*\ 

Pour cett(! valeur de l'intégrale J^^ ^^^ équations (2) et (3) don- 
nent 

ÏTO X^ Za+0 X? -r. 

i=« (=0 



— 167 



K 



= 2^/' ^-2^/'^^' 



<=0 



OÙ v^., P/, P/', Pi" ... , P/^ sont les nombres complexes de a qui jouent le 
même rôle par rapport à la fonction TF^*^ que les nombres [jt.,., A'/, iV/', 
iV,.'", ... , iV/^^ par rapport à la fonction TF,.. 

Mais pour les valeurs trouvées de pt^., iV/, iV^/', iV/", ... , iV,/'^ (§ V), 
on a, comme il n'est pas difficile de s'en assurer, les égalités suivantes : 



<=0 


^i 




«=i-X 

<=0 


n; 





K"=2^/'^' 



<=1-X 



»=0 

Par conséquent, les équations précédentes donnent 



< = 



qui doivent être identiques par rapport à Bq, J5j, -Bj, ... , 5^, lorsque la 
somme 

B, log TT -I- Jg, log W H- ^2 log ÏF"-H ...-+- ^, log W^'^ 



— 168 — 
est réduite au plus petit nombre de termes (§ II). Donc on aura 

v^ = 0, p; = 0, p; = 0, . . . , P/'> =r 0, 

ce qui, d'après le § VI, nous fait conclure que chacun des termes 

B, log TFo, B, log Tr„ 5, log IF„ . . . , £f, log W, 
ne peut être que constant. 



SDR 

L INT1I{JKaTI0H[ dus BÏFFIIRIIHTÏIÏLLIIS 

QUI COHTmMfiNT 

UNS RACINE CARRÉE D'UN POLYNÔME DU TROISIÈME 
OU DU QUATRIÈME DEGRÉ. 



(Mémoires de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. Sixième série. 
Sciences mathématiques et physiques. Tome VI, 1857, p. 203—232.) 



(Lu le 20 janvier 1854.) 



Sur rintégration des différentielles qui contien- 
nent une racine carrée d'un polynôme du troi- 
sième ou du quatrième degré. 



§ 1. 

Dans le Mémoire Sur rintégration des différentielles irrationnelles, 
publié en 1853 dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées de 
M. Liouville, nous avons donné une méthode pour trouver la partie 
algébrique de l'intégrale \ w^ ;;—, en la supposant exprimable sous forme 

finie, et déterminer séparément tous les termes logarithmiques à l'aide de 
certaines conditions qu'ils doivent vérifier. A présent, nous allons montrer 
comment on peut trouver, d'après ces conditions, les termes logarith- 
miques dans le cas le plus simple et le plus intéressant, savoir, celui où 
la différentielle contient une racine carrée d'un polynôme du troisième ou 
du quatrième degré. Faute de méthode générale, on ne connaît que des 
cas très particuliers, où une pareille différentielle s'intègre sous forme 
finie; dans plusieurs autres cas, pour lesquels cette intégration a aussi lieu, 
on n'y parvient qu'en essayant différentes transformations, et le plus sou- 
vent ou renonce à l'idée de chercher l'intégrale après avoir fait beau- 
coup de tentatives sans succès. Or, d'après nos recherches citées plus haut, 
les méthodes particulières et les essais de différentes transformations qu'on 
emploie dans cette intégration, seront remplacés par une méthode gé- 
nérale et directe dès qu'on sera parvenu à définir les termes logarithmiques 
dans la valeur de { ~ ^ — d'après les conditions que 

J -^0^ Vx* -+- Pa;3 -*- yx^ -i- Sx -+■ X 

nous avons trouvées pour leur détermination. C'est ce que nous allons faire 
ici, en donnant la méthode, d'après laquelle la recherche de ces termes se 
réduit toujours à cette question résolue par Abel: 

«Trouver toutes les différentielles de la forme ^, où p et i? sont des 



— 172 — 

«fonctions entières de x^ dont les intégrales puissent s'exprimer parunefor- 
«miile de la forme log |^j^. {Oeuvres compL T. I, pag. 33, éd. 1839). 

Cette intégration sera donc due à Abel aussi bien par le principe fonda- 
mental, d'où nous sommes partis dans nos recherches sur l'intégration des 
différentielles irrationnelles, que par la méthode de résoudre la question citée, 
à laquelle se réduit finalement la détermination des termes logarithmiques 
dans la valeur de { ^ ^^ Ainsi, nos recherches, 

comme nous nous plaisons à le croire, rempliront, sous un certain rapport, 
une lacune qui restait entre les Mémoires de ce grand Géomètre, où il donne 
la forme générale des intégrales des différentielles algébriques, en tant 
qu'elles sont possibles sous forme finie, et ceux où il cherche leur valeur, en 
faisant une hypothèse particulière. 

La réduction de nos équations, dont nous venons de parler, est indis- 
pensable aussi pour simplifier l'intégration des différentielles plus compli- 
quées. Quant aux différentielles qui ne contiennent sous le signe du radical 
carré qu'une fonction du premier ou du second degré, cette réduction con- 
duit immédiatement à trouver la partie logarithmique de leurs intégrales. 
Outre cela, cette réduction est remarquable par différents résultats relatifs 
à la nature des intégrales qu'on peut en tirer, et cela nous fournit un rap- 
prochement très intéressant de la construction des valeurs irrationnelles 
avec la règle et le compas et l'intégration des différentielles sous forme finie. 
Ainsi on verra que, la somme des nombres w°, n\ n\.... étant impaire, l'intégrale 

\ X — a' X — a' j A (a;)' 



OÙ nous avons fait pour abréger A (ic) ^ V a;"^ -h ^x^ -+- ya;^ -»- Sic h- X, ne 
peut être exprimée sous forme finie, si d'après les quantités 



et à l'aide de la règle et du compas, on ne peut construire aucune des ra- 
cines de l'équation 

Par exemple, on reconnaît que les intégrales 

» 8 (2n' — nO - 1) „ 
^^n ^n^x-\ — i .'-+-C 



dx, — , , — dx, 

) J 1/ /M _^ 0/«2 Sa; H " 
C 



I yx*-»-2x2 — 8a;-*-9 ' J V x* -t- 2x^ — 8x -*- 

dx, 



V x*-^2x^ — 8x-t- 

etc, etc., etc. , 



— 173 — 

sont impossibles sous forme finie, parce qu'à l'aide de la règle et du 
compas on ne peut pas inscrire dans le cercle un polygone régulier de 7 
côtés, ce qui est nécessaire pour la construction des racines de l'équation 
x^-^2x^ — 8x -1-9 = 0. 

Il y a d'autres questions de l'Analyse transcendante, où la même mé- 
thode de réduction peut être avantageusement employée, savoir, quand on 
cherche à exprimer la somme des intégrales 



J a,x -*-?>, y Qx J a, 



fo^ 



-^, VQx 



par une somme d'un nombre déterminé d'intégrales semblables, en y ajou- 
tant une certaine fonction algébrique et logarithmique. 

Enfin, cette même méthode, appliquée aux nombres, nous donne un 
procédé à l'aide duquel on trouvera la représentation d'un nombre donné 
par la forme x^ — ny^, toutes les fois que ce nombre peut être mis sous 
cette forme et qu'on connaît la valeur de x, pour laquelle la forme x^ — n 
est divisible par ce nombre. Dans le cas de n = — 1 , cela se réduit à la 
méthode ingénieuse que M. H ermite a employée pour démontrer que tous 
les nombres premiers de la forme 4^ hh 1 sont toujours décomposables en 
une somme de deux carrés, et pour efi'ectuer en même temps cette décora- 
position. 

§ 2. 

Si dans les formules de notre Mémoire, cité plus haut, on fait 

w = 2, A — yûx = Vûx, 

on trouve que l'équation 

a;"* — 1 = 0, 

dont l'une des racines primitives nous a servi pour composer des nombres 
complexes, se réduit à a;^ — 1 = 0, et comme la racine primitive de cette 
équation est égale à — 1 , les nombres complexes que nous avons désignés 
par 

MP, M.\ m;\ 

deviennent réels et rationnels. De plus, la forme générale des termes loga- 
rithmiques 

A log [9(A).9«(aA).9-^(a2A). . .9"'""' (a"-^ A)], 



— 174 — 

à cause de m = 2. A = V Ox, devient 

A log [<p (V ûx) . 9-' (- V Ox)] = A log ^^y 
et comme q est une fonction entière, on aura 

Q {■VOx) = X^-^Xy Ox, cp {—V0x) = Xq — XV0x, 
où Xq, X sont des fonctions entières. 

I fx yôa;' 



Donc, les termes logarithmiques, dans la valeur de l'intégrale J--^ ^ 



s'écriront ainsi: 

En cherchant à déterminer ces termes, nous avons trouvé que le coef- 
ficient A sera égal aune valeur connue, divisée par un nombre entier inconnu, 
et si l'on désigne ce nombre par n.. le degré de la fonction ""^„ ,^ 
sera exprimé par le produit n^.MP, où MP est une valeur connue. De plus, 
cette fonction, pour toutes les valeurs finies de x^ sera en rapport fini avec 
la puissance w^°" de la fonction 

(x—x) \{x—x) .{x—x) . . .{x—x^^ *0 (^ — o;^ 0; 

où les nombres 

dans le cas que nous examinons, sont réels et rationnels. En passant à la 
détermination des inconnus n., Z^, X, nous remarquons que n. doit être 
susceptible de réduire les produits 

n.Mf, n.M!, n^M.", n.M.'", n.M.^-'^ 

à des nombres entiers: car le produit n.MP désigne le degré de ^"^x /Ox ' 
qui ne peut être fractionnaire, Z^, X étant des fonctions entières; la même 
chose a lieu relativement aux produits 

n^M;, n^M!', n.M!" . . .n.M,^-'\ 
qui sont égaux aux exposants de x — x\ x — x", x — x"\. . .x — x'^^'^^ dans 
les premiers termes du développement de ^"^xyto suivant les puissances 
croissantes de x — x\ x — x\ x~x" . . .x — x^^-''\ Donc, n. doit être di- 
visible par le plus petit dénominateur, auquel les quantités 



— 175 — 

peuvent être réduites, et par conséquent, si l'on désigne ce dénominateur 
par (7, et le quotient n. : o- par -i- p ou — p, on aura 

w^=±pa, 

où nous prendrons celui des deux signes qui appartient à la valeur de MK 
D'après cela, n.M?^ le degré de x'*^xv^x ^ ^^^^ exprimé par zizaJUf^.^p, 
où ± 0- M9 se réduira à un nombre entier et positif. En dénotant ce nombre 
par TC, et désignant, d'après la notation d'Abel, le degré de " "^ y ^^^ par 
l ^T~x7^' ^^^^ aurons, relativement à p, cette équation 

Quant à la fonction qui, pour toutes les valeurs finies de a;, reste dans 
un rapport fini avec la fonction ^'^x^/^x '' ®° vertu de n. = =ii pa, elle se 
réduit à 

[(x-x'f^ . (x-x")"'" . {x-x"f'"' . . . (^-x'^-")^'-**"" . {x-é'*')]~ " , 

et comme les produits (jM!, (sM!' (jMP'~^\ d'après la propriété du 

nombre ff, se réduisent à des nombres entiers, la fonction 

\{x — x) .{x — x) * .{x — X ) * . , .{x — x^ ^) .{x — rc^ 9j 

sera rationnelle. Donc, si nous faisons, pour abréger, 

\{x-A^^ \x-^f^\(x-=i"f^\ . Ax-é^-^^f^^~\{x-é^'^)\=^^^ 

où M, V sont des fonctions entières, et que nous convenons de désigner par 
la lettre T toutes les fonctions qui restent finies, tant que x n'est pas infini, 
la propriété de la fonction ^°]^^ .^^ en question sera exprimée par cette 
équation 

Xq — XV^x~^\v)' 

C'est d'après cette équation, combinée avec la suivante: 
5 Xo-i-xy ea; 



-XV ^x' 



= ^p, 



que nous devons chercher le nombre p et les fonctions Zq et X 

Ces équations seront le plus souvent très compliquées à cause du degré 



— 176 — 

élevé des fonctions u et v, et de la valeur considérable de ir. Or, nous allons 
montrer qu'on peut les réduire à la forme, où le degré de uv, plus le 
nombre tu, sera au-dessous du degré de Vûx. 



Il n'est pas difficile de s'assurer, que /9j, 0^ étant deux fonctions 
entières dont le produit est égal à Ox, et p et q des fonctions entières quel- 
conques, on peut mettre la fonction cherchée x^ — x^Ox ^^^^ ^^ forme 

en choisissant convenablement les fonctions entières P^ et Q^. En effet, le 
quotient 

XQ — XVOx'\py6^-qVoJ 

se réduit à 

(Zq H- XV Ox) {pVOi—qV e^)P _ {Xo-t-XV Qx) (pOi -qV 6x)? 
{X^ — XV ex) (pY Ùi-t-qV 62)? {Xq — XV 6x) {pdi -i- qV Ga;)P' 

expression qu'on peut mettre sous la forme p^~*^Qyl^ , en dénotant par P^ 
la partie rationnelle du produit {Xq-¥-XVûx) {pO^ — qVOxf^ et par 
QqVOx celle qui a pour facteur VOx. 

Mais, si l'on substitue dans les équations 

/Tx Xq-^XY^x rrl u\^ ^ Xq-^-XV^x 

>« P™d-t (f^^^^/ ^^f^ à la place de |^|^, elles se ré- 
duisent à celles-ci 

Po-ÇoVôx -^[v 'pVQ^-t-qVQj ^ 
^ Fo-i-ÇoVex _( s py6i-t-gy62 \ ^ 

et si les fonctions ^ et ^ sont choisies de manière à ce qu'elles vérifient les 

équations 

j? • Oi H- g y 62 il î^ . ^ pVQi-^qve^ 

pvo^ — qvoz t> *m" % y Oi - 3 y O2 ~ ""^1 ' 

les équations qui déterminent les nouvelles inconnues Po et Ç^ deviennent 

/nx Po-*-(?oyex _WuY c> Po-^QoyQa; _. ^^ 

V2) Po-ÇoV6a:-^lW' ^Po-Çoye:r-(^-^i)P- 



— 177 — 

Ces équations seront plus ou moins simples selon les valeurs de p et 
de 2. qu'on emploiera dans la réduction dont nous venons déparier. Or, nous 
allons montrer que dans les équations réduites (2) la somme du degré de 
u V et de la valeur numérique de tc — tc^ sera au-dessous du degré de VOx^ 
si l'on prend pour p Qi q des fonctions qu'on trouve de la manière suivante: 

1) On cherche une fonction entière 8^ pour laquelle les fractions 
gTOi-^TOg ^ — Oij- — 2 jjç, deviennent pas infinies, tant que x reste fini. 

2) On développe ^ en fraction continue, et parmi les fractions ré- 
duites on trouve une fraction dont le dénominateur est d'un degré moins 
élevé que l/ ^^^'^.y^^ ; mais qui est suivie d'une fraction dont le dénominateur 
est d'un degré plus élevé que "[/ "VorT ' 

M. 

3) En dénotant cette fraction par -^, on prend 

(3) q = N, p== SN— Muv. 

En effet, d'après les équations (3) et la propriété de la fonction S, on 
voit que les expressions 

u ' V 

restent finies pour toutes les valeurs finies de x. Donc, si l'on dénote par 

a, «1, «2) j ?j Pi5 Ps' ' 

les valeurs de x qui rendent ces expressions égales à zéro, et par 

f, fi, U, j 9i 9i, 92, , 

les exposants de 

X — a, X — a^, X — aj, , 

x — % a; — (3j, x — i^„ ' 

dans leurs développements suivant les puissances croissantes de ces diffé- 
rences, on aura 

^2lV^i:l^==, j^(a;_a/(a: — a/i(a; — a/ ; 

ilh::zîJ^==T,{x-?fix-i^,fH^-?,f' ; 

où T, , Jg désignent des fonctions qui restent finies pour toutes les valeurs 
finies de x. 

12 



^ 178 — 

Mais comme les exposants derr— a,a;— aj,a;— aj,....,^;— p,ic— p,,a;— pg,.--- 
dans les développements de ^2^L±XL^^ P ^^'^^^ ^ ne peuvent contenir 
d'autres fractions que y, ces équations se réduiront à cette forme 

où m', v\ w, w\ sont des fonctions entières, dont les deux dernières ne con- 
tiennent que des facteurs simples. Par la multiplication de ces équations 
nous trouvons 

^^—^ — ^— ? = T,T^uv yww, 
et par conséquent 

UV u' v' y ww' 13' 

Cette équation prouve évidemment, que T^T^ est une constante; car, 
d'après la propriété des fonctions Tj, Tg, leur produit ne devient ni zéro ni 
infini pour x fini, tandis que cette équation montre que le carré de I\ Tg 
est une fraction rationnelle , \~J , qui ne peut rester finie pour toutes 
les valeurs finies de x, à moins qu'elle ne se réduise à une constante. Donc 

et par conséquent l'équation précédente devient 

(5) ÉlLiL^h-^^G 

^ ^ uvu'v'V ww' 

Or cette égalité suppose que ww' est un carré parfait, et comme les 
fonctions w, w n'ont que des facteurs simples, cela ne peut avoir lieu à 
moins qu'on n'ait 

(6) w = w. 

D'après cela, en divisant les équations (4) l'une par l'autre, on trouve 

p'i Oi-t-qV O2 m u v' 

pV Oi — qV O2 T'û" 

en mettant, pour abréger, T à la place de ^ . 

Il nous reste maintenant à prouver que si l'on fait 

1 pVbi — qVO^^ 



— 179 — 

la somme de 8 {ii v) et de la valeur numérique de tc — ^'tcj sera au-dessous 
de hVOx. Or, selon que tz — tz^ est positif ou négatif, cette somme sera 
égale à 8 {lî v') -+- tc — tc^ ou à S {u v) — u h- tc^ . Nous allons montrer que 
ces deux quantités sont effectivement plus petites que 8 VOx^ tant que j? et ^ 
sont déterminés comme nous l'avons dit. 

Pour s'en assurer, nous remarquons qu'après la substitution de 
hx^ et 8 ^ .^ ^ ^ y^ - à la place de tc et tc^ , ces quantités deviennent 

h{:u:v')-^h ^iy^l\^ x-', h{u'v')-^ip-^-'f^^:x-^. 

Mais, d'après l'équation (5), nous trouvons 

\ y -^ uv 

Donc, les quantités précédentes sont égales ou inférieures à celles-ci 



p y Gi -H a 1' 62 V "^ 

Mais la première de ces quantités, par la substitution des valeurs de 
p Qi q d'après (3), devient 

quantité qui est au-dessous de hyOx^ tant que -^, dans la série des fractions 

réduites de —^ , est suivie par une fraction dont le dénominateur est 

d'un degré plus élevé que 'x/'^^y^- Quant à la seconde quantité, nous re- 
marquons qu'elle peut être mise sous cette forme 



28 



r j^ypi-gyea - \ 2qyo2 - ^ 
L — yVv — ^ "^ yuv ^ J' 



et par conséquent, qu'elle ne surpasse pas au moins l'une de ces deux va- 
leurs 

L y uv j L "/ w J 

12* 



— 180 — 

Mais comme nous venons de trouver que 2 3 ^^ \~^ — -x^ est plus 
petit que S Vox, et que nous avons pris q = N, d'un degré moins élevé que 



v 



^'''h-^^ ^ jl g'^,jj s^iit que ces deux quantités sont au-dessous de iVOx. 
Ainsi Ton parvient à s'assurer que les valeurs de j^etg, déterminées d'après 
la métliode énoncée, sont eftectivement susceptibles de réduire par la substi- 
tution 

X^ — XMix ~\pl 0,-gVoJ Tç^—q^yi^x 





Xo--XTOa;- 


les équations 






Xo-^-XT'Oa; 




X^, — XM}x~ 


à ces autres 






-i-Qç^VOx _ rp(r 
-Q^VOx—-" \i 



V(ix_rp(u\9 ^ Xo-+-XVQx 



l«»-^=(.-.,)p; 



où la somme du degré de n' v\ plus la valeur numérique de tt — tt^ , est au- 
dessous du degré de Vûx. 

Nous montrerons maintenant que cette réduction sera toujours pos- 
sible, tant que les équations primitives elles mêmes ne remplissent par la 
condition 

S (fw) -♦- Ti: < 8 y ^rc. 

Il est facile de remarquer que la détermination de p et q, dont nous venons 

de parler, ne suppose que l'existence de deux fractions réduites de ' 

telles que l'une ait pour dénominateur une fonction d'un degré moins élevé 
que y — yq^j tandis que la suivante a le dénominateur d'un degré plus 
élevé que j/^. 

Or nous verrons, que cela aura toujours lieu, tant que la condition 
^{m))-t-':z<.oVOx n'est pas remplie et que l'on décompose convenablement 

la fonction Ox en deux facteurs ^>j.^>3; savoir: de manière que l/ ^^yf,^ 
soit d'un degré fractionnaire. En effet, dans ces suppositions, le degré de 
^yl'^ est au-dessus de zéro et, par conséquent, si l'on commence la 

série des fractions réduites de ?— !i par -?-, où le dénominateur est du 

degré zéro, on est sûr de trouver parmi elles au moins une fraction dont le 
dénominateur soit d'un degré moins élevé que l/"^^'"^^. 



/ 



— 181 — 

Mais alors dans la série infinie des fractions réduites de — y^^ — on 
trouvera nécessairement deux fractions consécutives telles que l'une a pour 



dénominateur une fonction d'un degré moins élevé que l/ ^^^^if ? tandis 
que le dénominateur de l'autre est d'un degré plus élevé que \/ ^^yl'^ > si 

toutefois aucune des fractions réduites de — ^ n'a son dénominateur du 



même degré que "l/ "^yL^ ♦ Or cela n'aura pas lieu, tant que cette fonction 
est d'un degré fractionnaire; car, pour âx de degré pair, toutes les fractions 

réduites de ~ — - = ne contiennent que les puissances entières 



de X, et pour Ox de degré impair, le degré de V-^jj^ a la forme fc ± j, 
tandis que les degrés fractionnaires de x dans la fonction — £ — ^ sont de 



la forme ^-»- y. 



^-Vk 



Nous remarquerons encore que dans la série des fractions réduites de 
s- 



^^ on ne rencontrera des puissances fractionnaires de x 
qu'après la fraction -^, qui sert pour trouver les fonctions _?? et q. En effet, 
les puissances fractionnaires de x ne peuvent y entrer que dans le cas où 
Ûx est de degré impair. Mais alors toutes les fonctions de la forme ^/^^v'^ 
sont évidemment du degré et, par conséquent, it = 0. Or, ir étant égal à 
zéro, d'après ce que nous venons de dire sur la détermination de p et de q^ le 

dénominateur iV sera d'un degré moins élevé que |/^, et avec un tel dé- 
nominateur la fraction réduite ne donne, en général, la fonction, d'où elle 
résulte par le développement en fraction continue, qu'avec une exactitude 

jusqu'aux quantités de l'ordre plus élevé que J^^ =^1 = 1 1/|. 

\y VTx) 

'-Vf 
Mais la partie irrationnelle de — ^ est justement de cet ordre. 

M 

Donc, dans ce cas, cette partie n'a aucune influence sur la fraction ^, 

de manière qu'on peut la supprimer dans la formule — ^ , et chercher -^ 

par le développement seulement de — en fraction continue. 



— 182 — 



§ 4. 



Nous allons montrer maintenant le parti que l'on peut tirer de la ré- 
duction, qui vient d'être exposée, pour la résolution des équations 



= ^UJ' ^' x,-xyox = ''^^ 



dans le cas, où Ox est du S""^ ou du 4"' degré. Apres avoir trouvé les fonc- 
tions p et q, comme nous l'avons dit, et si l'on fait 



Xç^-t-XrOx / p VOi -H g yOg XP Pq -h ^0 VOx 

Xo-XVOx — ypYQi-qVoJ P^-Q^ViJx' 

on parvient à ces équations 

Pour trouver la fonction ^, on divisera ^^^y^ — q^û^ par iw. D'après la 
méthode qui nous a servi pour trouver les fonctions p et q, il est clair que 
le quotient de cette division sera d'un degré moins élevé que Vûx, et par 
conséquent, dans le cas de Ox du S*"" ou du 4"' degré, ce quotient sera, en 
général, représenté par ax-t-h. Mais, d'après les équations (5), (6), ce quo- 
tient, à un facteur constant près, est égal à u'v'w. Donc, l'une des trois 
fonctions 

u\ V, w 

sera égale à ax-¥- h, et les autres se réduiront à des constantes, et par 
conséquent, l'on sera conduit à l'un de ces trois cas 

^ ~ a^^rD ' ^' = ^^-*~^i ^ = à une constante. 

Mais en faisant x = — — dans les équations (4), où d'après (6) w'=w, 
on voit que le premier cas aura lieu, si cette valeur de x rend 



le second, si l'on a 



pj%:±jj%_Q 






— 183 — 
enfin le troisième, si, pour ic = — — , on trouve en même temps 

u ' v 

Donc, si nous convenons de désigner par e une valeur qui se réduit i 

-4-1, -1, 0, 
selon que, pour x = , on trouve 






OU, en même temps. 






la valeur de -, sera donnée par cette équation 



v' {ax -*- bf ' 

D'après cela, les équations qui déterminent Pq, Qq et p deviennent 

^^ Po-Ço^'ôa; — (aa;-*-6)ep' ^ P^-Q^VOx — ^^ ^i^?* 

Dans le cas, où a ne se réduit pas à zéro, ou peut mettre ces équations sous 
une forme plus simple, en introduisant à la place de x une nouvelle va- 
riable 12 d'après l'équation 

i, « 
ax-i~o =: — . 

z 

En effet, si l'on traite la valeur de p""^?"^!^ comme fonction de cette 
nouvelle variable, on parvient facilement à reconnaître, que, d'après les 
équations précédentes, la fonction p^"^^"!/!"^ en z, sera déterminée par ces 

■M) ~~ Vo ' ^^ 

propriétés: 

1) Elle reste finie, tant que z est fini et diffère de 0; car ces valeurs 
de z correspondent à celles de x différentes de — — et finies. 



2) Pour -^ = 0, la limite du rapport ^_q\^^ ' -^^"'""^^ reste finie; car 
ipport n'e 
pour x = oo. 



ce rapport n'est lui même que la limite de la valeur de p^'lçy^l • ^^' "'^'' 



— 184 — 
3) Pour ^ = 00, le rapport p ~^ ^ y^j^ : ^'^ reste fini, car ce rapport 

T b 

est égal à — p, qiiaud on fait x = — — . 

Donc, eu faisant ax-^b = — ^ on peut remplacer les équations (7) par 
celles-ci 



^^i^v^^iï^ -...-.. ,^^iV!(!^ 



-"-«o>/^('^') ' ^«-«oj/^^c-^) 



= £p. 



Mais il n'est pas difficile de s'assurer que, a étant différent de zéro, on 
aura 

TU =7Cj. 

En effet, comme Uj = ^ ^y^V^^^vo' » ^^ peut mettre les différences t: — tCj, 
Tij — 7c sous ces formes 

^^vOi-H^vo^^ — "^* — vïi^; — ^ ""^ — ï^^^ — ' 
Donc, si le coefficient a dans la valeur de ^'^^i ~ g' ^^2 __ ^^^ _^_ j ^'^^g^. 

«y 

pas égal à zéro, les différences 

Tt TTj , Ttj TT 

sont respectivement égales à 

2 § lii^VzjTllî J _ 1 o^ i>V0t-^g>Q2 -^ , 

Mais, d'après le § 3, on a 

et comme; ^ya; n'est que du 4'^^° ou du 3^"" degré, cela prouve que les diffé- 
rences 7c — TTi , TTj — 71 sont au-dessous de 1 , ce qui ne peut être à moins 
qu'on n'ait 71 = 71^. D'après cela, les équations qui déterminent P^ et Q^, 
en fonctions de ^, deviennent 



— 185 - 
formules que nous mettrons sous la forme 



pour délivrer la fonction radicale des puissances négatives de e. 

Or, la première de ces équations ne diffère que par la forme de celle, 
qu'Abel a traitée dans son Mémoire uSur V intégration de la formule diffé- 
rentielle ^, R et ç étant des fonctions entières», et d'après les recherches 
ingénieuses de ce grand Géomètre nous savons que cette équation est impos- 
sible, sauf le cas de Pq= 0, ou Q^^=0, si la fraction continue résultante de 

yz'^â ( "~ ^ \ n'est pas périodique, et dans le cas contraire, si l'on a 



^.*.(^')=.^i-_^. 



on vérifiera cette équation en prenant 



FqZ^ 1 

—^ — = r — I 



Quant à l'équation 



i_ 

»'2-*-— 1 



;5f:iMM!^)_ 



SP> 



on la vérifiera, en choisissant convenablement p, savoir en prenant 






— 186 
Donc, si l'on fait, pour abréger, 



(p(^) = r-t-^ 2. 



la valeur cherchée de ""^ J^"\/ , en fonction de z, sera 



et d'après l'équation ax-^h = —^ nous aurons, en fonction de rc, 
Quant au nombre p, on le trouvera d'après l'équation 



^^^^,^,^Y.^^) 



<f{z) 



-]/^^{^) 



Cette valeur de p nous montre que la solution des équations (8), que 
nous venons de trouver, ne peut être employée que dans le cas, oii i ne se 
réduit pas à zéro; car, pour £ = 0, cette valeur de p devient infinie, tandis 
que p désigne chez nous un nombre fini. Mais dans ce cas on vérifiera, évi- 
demment, nos équations par une valeur finie de p, en prenant une des solu- 
tions de l'équation 

que nous avons exclues, savoir: Ç^ ;= ou P^ = 0, ce qui donne 



— 187 — 

Dans ces solutions, pour e ^ 0, le nombre 9 reste arbitraire, et l'on 
pourra prendre p ^ 1 . Remarquons que ces solutions qu'on pouvait aussi 
tirer de la formule (9), en prenant (p(^) égale à ou 00, ne pourront être 
employées, à leur tour, que dans le cas de s = 0, car, autrement, p serait 
égal à 0, tandis que ce nombre doit être différent de zéro. 

Ainsi l'on trouve la fonction p" ^ ^ y^^ et le nombre p, si le quotient 
de la division de p^O^ — q^û^ par uv se réduit à ax-^-h, et que a ne soit 
pas égal à zéro. Mais s'il arrive que a = 0, les fonctions u, v, d'après ce 
que nous venons de dire relativement à leur détermination, se réduisent à 
des constantes, et par conséquent, les équations qui déterminent Pq, ^0 ^^ P 
deviennent 

Or, comme ces équations sont de même nature que les équations (8), 
et quesculcmenticiPo, Ço, ]/(7aj, TC — tc^ remplacent J\z'^^ Q^^ l/"^^^^!^"^)' 
e, nous concluons, d'après les formules précédentes, que la solution de ces 
équations sera donnée par ces formules 

Pq h- ^0 Vdx cpo {x) -\- Vdx 1 ^ cpo [x] H- ypa ; 

Pq— QoyOx cpo {x) - - Vùx ' P TC — Kl cpy (x) — VOx ' 

OÙ l'on prendra pour %{x) zéro ou l'infini, si 

TT 71, = 0, 

et dans le cas contraire, on développera Vûx en fraction continue 



et l'on prendra 



— 188 — 
Nous remarquerons encore que si les équations primitives 

Xo — xvox^-^yvl' ^ XQ-xrox~^ 
remplissent elles mêmes la condition 

h (UV) -*- 7t < y^X, 

on trouvera leur solution au moyen des formules que nous venons de don- 
ner pour résoudre les équations réduites 

Daus ce cas, on prendra tc au lieu de tu — ti:^, et l'on trouvera a, 6, s, 
en égalant 

u^ 1 

V {ax -+• 5)' * 



D'après ce que nous venons d'exposer sur la solution des équations 

nm x^^xvbx _ rr,(u\? ^ Xq + xvox 

^^^^ X^-XVOx—-^\v)^ ^ X^-XVQx — ^^' 

on peut prouver qu'elles sont impossibles, si, Ox étant du quatrième degré 
et ^^^ de degré impair, l'équation Ûx ~ n'est pas vérifiée, en prenant 
pour X une valeur composée des racines de l'équation iw = et des coef- 
ficients de f^x à l'aide des seuls radicaux carrés, et que, par conséquent, 
on ne peut pas exprimer en termes finis toutes les intégrales, dont la dé- 
termination se réduit aux équations (10) de cette catégorie. 

Pour le démontrer, nous remarquerons d'abord que dans le cas où 
^^ est de degré impair on peut exécuter la réduction des équations (10), 
d'après h; § 3, eu prenant cette décomposition de Ûx eu deux facteurs 

0^ = \^ 0^=0x, 

et si avec ces valeurs de 0^^ 0^ et en supposant connues les racines de 
l'équation ?/î; = on fait la réduction des équations (10), et qu'on cherche 
leur solution, on ne rencontre que l'extraction des racines carrées et Icg 
différentes opérations rationnelles. Donc, dans toute cette analyse, on n'aura 



— 189 — 

que des quantités qui ne peuvent vérifier l'équation 0x^=^0 dans le cas que 
nous examinons. Or nous allons prouver que tant que cela a lieu, on ne 
peut donner une solution des équations (10). 

D'après le § précédent, dans la solution des équations (10) on ne peut 

se passer du développement de y z^O y-^^\ ou V Ox en fraction continue 
que dans le cas, où l'on a £ ^= 0, ou tc — TCj = 0, « = 0. 

Mais nous savons (voyez § 4) que la quantité s ne se réduit à zéro 
que dans le cas, où la valeur a; = — — vérifie ces deux équations 

j? yOx H- g yog ç. p y Qi — g yog ^ 

et comme le produit ^ — ^-^ — ^ • - — ^—^ — ^ est égal a '^^^ —ax-i-b, 
cela suppose que le développement de 



suivant les puissances do x-t-— contient des exposants fractionnaires, ce 
qui ne peut avoir lieu, à moins que O^ouO^ ne contienne le facteur a; -h—, 
et par conséquent, cela suppose que la valeur x = — — vérifie l'équation 
O/J^ = Ox = 0, ce qui ne peut être admis, comme nous l'avons remarqué. 

Le cas de <i = 0, t. — tc^ = ne peut avoir lieu, car nous avons 
trouvé, dans le § précédent, 

1 vuv uv ' 



et comme 



cela nous donne 



P%-q% 



==ax-t-h, 



:1, 0,= ûx, 



Mais dans le cas que nous examinons la fonction "^^^ est de degré 
impair et la fonction ^^.^ ^^^ d'un degré entier; donc, si a — 0, la diffé- 

Vùx 

rence tc^ — tz est de la forme 2fc -+- 1 ; et, par conséquent, ne peut se ré- 
duire à zéro. 



— 190 — 

Il uoiis reste maintenant à prouver qu'on ne parviendra pas non plus 
à la solution de nos équations par le développement de Al z'^O (--^^^) ou 
V^ix eu fraction continue. Pour cela, nous allons montrer qu'en général, si 
aucune des racines de l'équation bicarrée 7? = ne peut être exprimée à 
l'aide des seuls radicaux carrés, la fraction continue, résultante de VJ?, ne 
peut être périodique, de la forme 



' 2r- 



En effet, si cela avait lieu, nous savons, par les recherches d'Abel, 
qu'on parviendrait, par ce développement de y 2?, à la solution de l'équation 

où Zq , Y sont des fonctions entières et G une constante ; le tout, étant dé- 
terminé par le développement de ^/ R, ne peut contenir que des quantités 
exprimables par les coefficients de B au moyeu des seuls radicaux carrés. 
Or, une telle solution de l'équation 

Y^—Y'B^G 
étant admise, supposons que 

soit celle parmi elles dans laquelle y diffère de zéro et soit en même temps 
du degré le moins élevé. 

D'après l'équation précédente nous trouvons 

et, par conséquent, 

Comme y^, — ^c^ y^,~\- \/c ne peuvent avoir de commun diviseur, cette 
équation ne peut être vérifiée à moins qu'on n'ait 

(1 1) y,-i-Vc= y,' B,, y,~yc = y^ li^, y^ y^ = y, R^ R^ = R, 



— 191 — 
et, par conséquent, 

Or, on ne peut pas supposer que l'une des fonctions i^j, R^ se réduise 
à une constante; car, en admettant, par exemple, que R^=c^^ on trouve, 
d'après (11), j?2 = -, et, par conséquent, l'équation précédente devient 

ou 

ce qui donne, contre l'hypothèse, une solution de l'équation 

où Y=y^ est d'un degré moins élevé que y. 

Mais les fonctions R^ , R^ ne peuvent être non plus de degrés supé- 
rieurs à zéro; car, autrement, on parviendrait à décomposer la fonction bi- 
carrée R en deux facteurs i?j . j^g ^t, par conséquent, à trouver au moins 
une racine de l'équation i? = au moyen des seuls radicaux carrés; car, 
d'après (11), pour trouver R^ et R^ on n'a qu'à chercher le commun divi- 
seur des fonctions y^ -+- yc et R, y^ — \/c et R. 



% 6. 

En terminant notre Mémoire, nous allons faire le résumé des procédés 
qui, d'après ce que nous venons d'exposer, constituent, avec nos recherches 
citées plus haut, une méthode générale d'intégration des différentielles qui 
contiennent une racine carrée d'un polynôme du S"*^ ou du 4"^ degré, en 
tant que cette intégration est possible sous forme finie. 

Nous supposons que préalablement la partie rationnelle de ces diffé- 
rentielles a été séparée et que le reste a été mis sous la forme ^ 7^» où 
f^x^ F^x n'ont point de commun diviseur; nous supposons ainsi que Ûx, qui 
n'est que du 3"' ou du 4"' degré, n'a pas de facteurs multiples; car, autre- 
ment, l'intégration de ^ -^ deviendrait très simple. 

Pour trouver l'intégrale J^ ^ sous forme finie, en tant que cela est 
possible, on procédera de la manière suivante: 



— 192 — 

1) Ou cherchera le plus faraud comrauu diviseur entre les fonctions 
F^pc (IX et LLitîli^^. Nous dénoterons ce diviseur par Q, 

O f X O 

2) Ou déterminera les dej^Tés des fouctious ;^~^, ^t^- Si ces fonctions 
sont de dej^rés inférieurs à — 1, le ternu^ algébrique dans l'expression de 
l'intégrale cluTcliée manque. Dans le cas contraire, on prendra n égal au 
plus petit nombre entier supérieur aux degrés de ces fonctions, et on cher- 
chera les coefficients du polynôme 

d'après cette condition: 

la fonction /i^— ^^^— V""^ ~Q^/ ^ ^^^^ ^^^^ divisible 

par Q et avoir pour quotient une fonction d'un degré qui n'est pas plus 
élevé que celui de "^^ ^ . 

Si cette condition ne peut être remplie, on conclura tout de suite que 
l'intégrale cherchée est impossible sous forme finie. Dans le cas contraire, 
on trouvera les coefficients du polynôme P, et l'on conclura que la partie 

algébrique dans l'intégrale cherchée a pour valeur ^ yûx. 

p 

3) On mettra la fonction y?-. — -^Ox —^ — sous la forme |?-, où /rr, 
Fx sont des fonctions entières qui n'ont point de commun diviseur; on 
cherchera les racines de l'équation Fx = et l'on calculera les quantités 
K'^, K', K'\ K"\ .... K^'^ d'après les équations 



J^O^r_Xfiç_l jr>_ f{x') ^„_ fjx") ^(/)__ 

[_Fx yfjxjx = 00 ' F' {x') VO {x') ' ^ — F' (x") VO (xy ""^ ~ j 



f{x') 



" {x') y [x') ' F' (x") VO {xy ' ' F\xf)VOixi) 

oh X, x\ . . . .a:<'> désignent les racines de l'équation Frr = et F'x = -^ . 
4) On cherchera les nombres entiers ilf , M\ M", .... M^'^ qui rendent 

Soient X \v nombre de toutes les équations de cette forme qui ne sont pas 
id(întiques entre elles par rapport à 

et 

<=o <=o <=o * <=o * 



— 193 — 
les valeurs de X termes de la série 

sn fonctions des autres, qu'on tire de ces équations. 

D'après cela on conclura que la partie logarithmique de l'intégrale 
îhercliée est composée de ces l — X -+- 1 termes 



"V iog W, H-^ -^ lOg PF,H- . . . . -.- „ ~ log )»',_„ 

où »*Q, Wj,. . . .Wi_x désignent des nombres entiers et TF^, TF"^,. . . . TFi_x 
des fonctions de la forme J~^ -vl/i^ - 

5) Pour trouver un terme quelconque — — log W^ on cherchera le 
plus petit dénominateur auquel les quantités M^^ M.\ M.", .... Mf'"^^ peu- 
vent être réduites. Eu dénotant ce dénominateur par a, ou fera 

7U=:±ilf/<7, 

en prenant celui des deux signes zti qui appartient à MP, et l'on mettra 
l'expression 

\_(x — x) * (x — x) * (x — x^*' '') ' {x — x^^ ')J 

sous la forme d'une fraction simple --. 

6) On décomposera âx en deux facteurs (\.0^^ de manière que 

\ ^^i/\x ^^ ^^^^ P^^ ^'^^ degré entier, on trouvera une fonction entière <S, 
pour laquelle les fractions 



M 



ne deviennent pas infinies, tant que x reste fini, et en développant l'ex- 
pression — ^ en fraction continue, on cherchera parmi les fractions ré- 

duites de — ^^ — ^ celle dont le dénominateur est du degré le plus proche 
de celui de y ^^^^Xx > ^^^^ moins élevé que celui de cette fonction. 

18 



— 194 — 

Eu dénotaut cette fraction par -^, on cherchera le quotient de la di- 
vision de 

par vv. Ce quotient sera toujours d'un degré au-dessous du second. 

7) Si ce quotient est une fonction du premier degré ax-i-h, on prendra 

K (^+i) ] ^^ -rrr K 0--*- i) , ^. (NS — Mtw) Y Oi -*- NT O2 

„. log ^r,.— _^^ ^^^ {Ns—Muv)yQi — Nyo.^^ 
dans le cas où les deux fonctions 

{NS— Muv) VOi -+- NVO-i {NS—Muv)yOi — Ny02 

U ' V 

se réduisent à zéro pour a; = . 

Dans le cas contraire, on aura 



— — - log W,= ^r—- log 



\P (ax^Y (^^\^y,^- 



(NS-Muv)^ Oi-NyO.^ /ax+b\^ I a \ y 



OÙ © {z) est une fonction égale à 



r H 1 



la fraction continue résultante de y ^^ ^^ {^^-^\ étant périodique et de la 
forme 

1 



r2-i-i- 1 



p le degré de ^ , ^ =, e =: h- 1 ou — 1, selon que a; = — - 

vérifie l'équation 

{NS — Muv) y 0, -I- iV y O2 _ ç. {NS--Muv)yùi — Ny6.i __ Q 



— 195 — 
8) Si ce quotient se réduit à une constante, on prendra 

n. ^"B ^U— ±0 ^"^ {NS — Muv) VO^ — NVO^'» 

dans le cas où L/g — my y'Q^^jvyo" ^^ ^^* ^^ degré zéro. Dans le cas con- 
traire, en désignant par e le degré de jjy^_ j/J^yo|_^jvyo^ ^ ' ^^ ^"^^ 

,2^ 10g yy . — .^ p^ log ^y^^^ _ ^^^^^ ^/^^^ _ ^yfjj'- ^^ ^^^ _ y^ J , 
où 



la fraction continue résultante de yOx étant périodique et de la forme 



1 

' 2r. 



p le degré de ?^ 



-VOx 



(f^x — VOx' 

9) Ce que nous venons de dire sur la détermination du terme 
^ log W^ ne sera applicable que dans le cas, où le degré de la fonction 

iivx^ surpasse 1. S'il arrive que le degré de uvx^ n'est pas au-dessus de 1, 
le terme — — log PT. sera aussi déterminé par les formules que nous ve- 
nons d'exposer, seulement on fera [^s-Mm)vl\-NVo. - 
a, h, £, en égalant — = / — iinÂé' ^^ ^^ prendra £ = tc, dans le cas de a = 0. 

10) Après avoir trouvé tous les termes logarithmiques, on différen- 
tiera leur somme. Si cette différentielle ne se réduit pas à |^y^, l'inté- 
grale cherchée est impossible sous forme finie; dans le cas contraire sa va- 
leur sera précisément donnée par la somme 

ç^^^-*-"V^^^ Tî'o-*--^— log PF, -+-.... -i-^^-^ log l^,_x. 



— 196 — 

S'il s'an^it, par exemple, de trouver l'intégrale 

f 2a;6 -+- 4x-5 ■+- Ta;* — 3x^ — x"^ — Sx — 8 



dx, 



J (2x2— l)2y'a;4-f-4x3-^2a;2-*- 1 

OU cherchera le ])liis graud commuu diviseur entre les fonctions 
Comme ce diviseur est 2x^ — 1 et que les fonctions 

(2x2 - 1) (2x6 H- 4x^ -+- 7x* — 3x3 _ 3.2 _ Sx — 8) 2x2—1 



(2x2 — 1)2 (X* -+- 4x3 ^ 2x2 -H 1) j ^ -/a;^ -,- 4x3 ^ 2x2 _,_~i 

sont de degrés au-dessous de 1, on cherchera les coefficients di; la fonction 
du premier degré r = B^x-i- B^. Pour cela on divisera 

r 1 (2x2 _ 1)2 (4a;3 ^ 12x2 + 4x) (2x2 _ 1)2 (a;4 ^ 4a;3 ^ 2x2 ^i).4x ~| . p J,. 

~lY 2x2-1 (2x2 _ 1)2 Jl^l«-»-^>0J 

par 2a;^ — 1 . Comme cette division donne le reste 

(47?, -4-. 9^0 — y) ^ -^ 1 ^1 -^ 4^0 
et qu'on trouve, en outre, dans le quotient le terme 
{l-B,)x' 



13 
" 2 ' 



, , (2x2 1)2 v'a;'*-!- 4x3 -4- 2x2-1- 1" , 

qui est (1 un degré plus eh^ve que ^ xcix^—i) ' ^" eg'ilt'ra tout 

cela à zéro, ce qui donne les équations 

47?^-^_y7?„ — ^ = 0, l/?^ h- 47?o — ^ = 0, 1 - 7?, = 0, 

et de là 

B,= l, B, = \, P = x-^\. 

Donc, le terme algébrique, dans l'expression de l'intégrale cherchée, a 
cette valeur 

1 



2^2^j Va;^H-4a;8-H2a;2-+- 1. 



— 197 
En réduisant l'expression 



2 . 



(2a;2_i)2 da; 

à la forme la plus simple, on parvient à 

Gx^ -*- 6x -i- 7 ^ 

2ic2 — 1 ' 

et comme les racines de l'équation 2x^ — 1^0 sont x= — y^, x = y^. 
on calculera les quantités K^^ K', K" d'après les formules 



T^o ]• r a; {Gx"^ -♦- 5a; -4- 7) _-^ j.i 6a;'2 -*- 5a;' -h 7 

L(2a;2 — 1) -Vx^ -H Ax^ -f- 2a;2 h- 1 J* = 00' Ax' Vx'* -t-4x'^ -t-2x'^-i-l ' 

j^n 6a;^^'-f-5a;''-i- 7 

4a;" Vx"* ■+■ 4x" ^ -t- 2a;" 2 -1- 1 ' 

en prenant x = — ^, x" = y^, ce qui donne 

et, par conséquent, on aura 

(12) M'K'-i-M'K'-i-M"K'' = 0, 

si l'on prend 

Jf«=l, Jf' = 0, i)r = 0, 
ou 

J^'=0, ilf'=l, M"=l. 

Quant aux autres valeurs de ]\P,M',M" qui satisfont à l'équation (12),. 
elles ne conduisent par rapport à K^, K\ K'\ qu'à des équations identiques 
à celles qu'où trouve en prenant les valeurs mentionnées de M^, M', M" 
D'après cela on conclut que la partie logarithmique de l'intégrale cherchée 
ne contient qu'un seul terme 

i log pp.. 

Les coefficients des expressions de K^ et K' en fonctions de K" n'étant 
pas fractionnaires, et le coefficient de K" dans la valeur de K^ étant zéro, 
on prendra 

a=l, 7i: = 0; 



— 198 — 



on mettra le produit 


-A) 


sous la forme d'une fraction 




^-72 




1 ' 





et après avoir décomposé aa^ -t- Ax^ -^ 2x^ -t- 1 en deux facteurs (aîh-I) 
(af-t-dx^ — x-t- 1), ou cherchera une fonction entière S pour laquelle les 
fractions 



S Vx -t- l -t-Vx^ -^ 3x'^ — X -t- l SVx-t-l—Vx^-i-3x^ — x-i-l 

1 î 1 

y 2 y 2 

ne deviennent pas infinies, tant que x reste fini; ou, ce qui revient au même, 
une fonction S qui, pour x:=y^^ x = — ^^j se réduise respectivement à 



-vm-^iy. 



Y--Ui 



y2/ y2 



/1 y2 ' 

et à 

D'après cela on trouve 

S=l--3x. 



V2 



_3^-|/^ 



■Sx^—x-Hl 



En cherchant la fraction réduite de — -, i \ / ^^i \ — > <iont le 

dénominateur est du degré le plus proche possible mais inférieur au degré d(3 

^ — V(x *-l4x^+2x^-+-i) — ^^ prendra pour cette fraction y, et comme 
[l . (l-3a;)-0 . (rc- :^)(a;-t- ^)J(rc-i-l)— P . (a;3-H3a;2— a;-f-l)===8a;«-4a;, 

divisé par (^ — ^ ) (^ -♦- ^ ) = ^^ — y» donne pour quotient 8x, et que 
x = rend nulle la dernière de deux expressions 



f- 



(1 — 3x)Vx-*-l-t- Vx» -t-3x^ — x-*-l (1 — 3a;) Va; -H 1 — /a;» -f- Sa^ — a; -t- 1 
''-V2 ' *-^F2 



199 



le terme logarithmique, d'après le w® 7, sera donné par la formule 



(1— 3a;)> 



Vx-t-l-t-Vx^-i-Sx^—x-t-l\ \xj 



(1— 3a:) T/a;-i-l— ya;3-H3a;2— a;-H 1 



.,(!)_ 



•/a;4-t-4a;3-+-2a;2H-l 



où ç) désigne le degré de 



Pour trouver la fonction 9 (^), on développera le radical 



en fraction continue. Comme on trouve 



2(^2_j_l)-|-y 



1 

■ 2^—2- 



on prendra 



ce qui donne 



9(2:) = 



1 

' 2ir— 2 - 



9(^) = 



^S — 5'* -H 3^3 -4- ^2 -+- 2 



et par conséquent p, degré de 



^(''-/ZEHSBzM 



égal à 10. 

Ainsi, en faisant pour abréger, 



est 



le terme logarithmique cherché aura cette valeur 



~2:b)l«g 






— 200 

ou, ce qui revient au même, 



T ^^ Ll(l-3a;)|/œn-l/a;3-H3a;2-a;H-l/ " 2x^-*-x^-^-Sx^-x-*-l-^-(2x^—x-*-l)^^• 

Donc, si l'intégrale cherchée peut être exprimée sous forme finie, cWa 
doit être égale à 



2^ 1 , ^ r/ ( 1 -S^y a;+ 1 +Vx^-t-Sx2-x+ 1 \ 2a;&-4-a:3-*-3a;2— r-nl— (2a;'— a;-t-l) A l 



2x2-1- ■ 4 ^"^ L\(l-3a;)l/. 
OÙ 



Effectivement, ou trouve par la différentiation que c'est bien la valeur de 
l'intégrale 

f 2x^ -+- 4x^ -*-7x* — 3x^ — x'^ — 8x — S 



J (2x2 _ 1)2 y xi _+. 4a;3 ^ 2a;2 -H 1 

sur laquelle nous avons opéré. 



- dx. 



SUR 

LIS fMGTÏOHS GOHTÏHÏÏUS, 

(TKADUIX PAR BIKNAYMÉ.) 



(Journal de mathématiques pures et appliquées. TI série, T. III, 1868, p. 289—323.) 



(Lu le 12 janvier 1855.) 



HcnpepiiêHux'& SpoSjix^. 

(yqeHua sanncKH HMnEPATOPCKoft AKaj;eMiH Hayn-B no nepsoMy h ipeiteMy OTji.-Éjie- 
HiaM-B, T. III, CTp. 636—664 C.-IIeTepdypri., 1855 r.) 



13* 



Sur les fractions continues. 



Au mois d'octobre de l'année dernière, j'ai eu l'honneur de présenter 
à l'Académie des Sciences un des résultats de mes recherches sur l'inter- 
polation : c'était une formule qui représente approximativement une fonction 
cherchée, d'après plusieurs de ses valeurs particulières, et dont les coeffi- 
cients sont déterminés par les conditions de la Méthode des moindres car- 
rés. Cette formule, comme on le voit par mon écrit inséré dans le Bulletin 
de r Académie (t. XIII, n*^ 13) sous le titre de Note sur une formule d^Ana- 
lyse"^'), s'obtient à l'aide du développement d'une certaine fonction en 
fraction continue. Ajournant ce qui touche aux conséquences de cette for- 
mule relatives à l'interpolation jusqu'à la fin de mes recherches sur ce 
sujet, je vais la considérer ici dans ses rapports avec les fractions continues, 
comme exprimant une propriété particulière de ces fractions. 

Je commencerai par la déduction de la formule que j'avais présentée 
sans démonstration dans l'écrit cité tout à l'heure. Ensuite je ferai voir ce 
qu'on peut en tirer relativement aux propriétés des fractions convergentes 
qu'on obtient en développant de certaines fonctions en fractions continues. 

§ 1. 

Nous commencerons nos recherches par la solution de la question 
suivante : 

On connaît des valeurs de la fonction F{x) pour n-\-\ valeurs de la 
variable, x = Xq,x^,x^,. . .x^, et Von suppose que la fonction puisse être 
représentée par la formule 

a-^-hx-h-cx^-t-, . 



*) Voir plus bas, à la fin de ce Volume. 



— 204 — 

r exposant m ne surpassant 2^as n. Il s'agit de trouver les coefficients de la 
formule en les assujettissant à ne laisser aux erreurs des valeurs F{Xq)^ 
F{x^), F{x^),. . . 'F{x^), que la moindre influence possible sur une valeur 
quelconque F{X). 

On obtient immédiatement cette suite d'équations 

F (Xq) = a-i-hxQ-+- cx^ -+-.... -H gxQ^~^ -+- hx^^ , 
F{x^) = a-H'bx^-h- cx^ Sr- . . . . -h gx^~^ -i- }ix^^\ 
F(x^ = a -H tiCg H- cx^ -+- . . 



F{x^= a-^hx^-^- cx^-^ -^gxj^'^-^hx^'^. 

Pour exprimer la valeur de F{X)^ à l'aide de ces équations, nous les 
multiplierons par des facteurs indéterminés \q^\^\^.,..\^ et nous en pren- 
drons la somme 

\ F{x,) -»- X, Fix,) -4- \ Fix,) -f- ...._+- X„ F{xJ 
= a{AQ-i-\-t-\-t-. . . .~i-\) 
-i-b{\xQ-*-\x^-+-\x^-+'. . . .-+-\xj 
-+- C Q\qXq^ -i-\x^^ -^\x^^ -t- . . . . -H \x^^) 



-^h{\x,'^^\x^'^-i-\x^"'-i~. . ..-t-l^x^^^y 

Si, maintenant, nous comparons cette somme à l'expression de F{X)j 
qui doit être 

F{X) = a-^bX-i-cX'-^. ...-*- gX""-'^ hX"^, 

nous trouverons que pour assurer la relation 

F{X) = \ F{x,) -4- X, F(x,) H- \F{x,) -4- . . . . -+- \F{x^\ 



— 205 — 
il suffit que les facteurs \,\,\' - ■ '\ satisfassent aux équations 

Xo -+-\ -+-X2 -4- -k-\ =1, 

AQXo~h\x^-\-\x^-t- -^Kcc„ =X, 



(1) 



n n 



\xQ^-i-\x^^-h-\x^^-t- -^\x^^ = X^, 






Lorsque m = n, ces équations déterminent complètement les facteurs 
Xq, \, \,. . . .\, puisque le nombre des unes et des autres est le même. 
Dans ce cas le système de facteurs ainsi calculé est le seul qui puisse for- 
mer les coefficients de l'expression générale 

F{X) = Xo F{x,) -^ \ F(x,) -I- X, F(x,) -h . . . . -i- X„ F(xJ. 

Si, au contraire, m < n, ces équations pourront être satisfaites d'une 
infinité de manières, et chaque système de valeurs assignées aux facteurs 
^oj ^5 ^2)- • • -^n' ^^^^ ^^ formule 

F{X) = Xo FK) + \ F{x,) -H X, F{x,) -4- . . . . -f- X„ F{x^\ 

fournira une expression particulière dejP(X). Mais, d'après la dernière con- 
dition du problème, il faut choisir, parmi toutes les expressions de F{X)^ 
celle dans laquelle les erreurs des valeurs F{x^, F{x^^ F(x^),. . . .F{x^) 
ont le minimum d'influence sur la grandeur cherchée F{X). Or on sait, par 
la théorie des probabilités, qu'on parviendra à ce but, en assujettissant les 
facteurs Xo, Xj, Xg,. . . .X^ de F{X) à réduire au minimum la somme 

V \' -*- K' \' -f- ^/ X,^ -H . . . . -i- V V» 

dans laquelle kj^, k{^, A;/, . . - .k^^ désignent des quantités proportionnelles 
aux moyennes des carrés des erreurs des valeurs F{xq), F{Xj), F(x^),.... F{xJ. 
On voit que, pour plus de généralité, nous supposons différentes les unes 



— 206 — 

des autres les lois des erreurs de ces w -h 1 quantités. Si la loi de proba- 
bilité est la même pour toutes, on a dans ce cas 

"'0 = "'1 = "'2 =^ • • • • ^^ "'n ' 

et l'on peut réduire ces multiplicateurs à l'unité. 

La solution de la question se trouve ramenée par ce qui précède à 
exprimer F{X) par la formule 

F{X)=:\F{Xo)-*-\Fix,)-*-\Fix,)-^. . . .-hX„F(^„), 

en déterminant les facteurs X par les équations (1) et par la condition du 
minimum de la somme 

/l:o'V-^^i'>^i'-^ W-*- • • • • -*- W- 

Remarquons, en passant, que cette condition peut être étendue au cas 
même, dans lequel m = n. Car les facteurs X sont alors complètement dé- 
terminés par les équations (1), et la condition du minimum de la somme 
des carrés n'exige plus rien; ce qui s'accorde avec ce qui a déjà été dit de 
ce cas particulier. 

Arrivant au calcul des facteurs \,\,\, \, supposons que Û{x) 

soit une fonction entière de x, qui pour les valeurs Xq, x^, x^, ^n^^ ^' 

prenne respectivement les valeurs j-, j-, y-, j-. La somme 

s'écrira sous la forme 

Xpg \i Xgg X„2 

Pour déterminer, par la condition du minimum de cette somme, les 

quantités \, \, \^ X^, liées entre elles par les équations (1), nous en 

prendrons la différentielle, et, suivant le procédé ordinaire des minima et 
maxima, nous l'égalerons à la somme des différentielles des équations (1), 
multipliées chacune par des arbitraires fx^, fXj, [i^,. • . . fJt^ respectivement. 

Égalant ensuite les termes qui auront pour facteurs d\, d\^ d\, d\, 

nous trouvons les (^ -f- 1) équations 



(2) 



— 207 — 



= H-0H-l^l^l-^l^2^1 






^(^n)' 



= l*-0-*-l^l«n-*-l^2^„ 



r m n 



Réunies aux équations (1), les équations (2) déterminent complète- 
ment les w -*- 1 inconnues 

et les w -*- 1 arbitraires 

Ainsi toute la difficulté est ramenée à la solution de ces équations. 
Voici le procédé particulier que nous emploierons pour y parvenir. 



En posant 



§ 2. 



, . _ i iQ^iiiX-t-ii2X^-^....-+-iima 



nous transformons les équations (2) en celles-ci: 

et nous en tirons 

(3) Xo = 6' M ? W, \ = ^' (^i) 9 (^i), . . . . \ = ^' W ? W- 



Transportant ces valeurs dans les équations (1), elles prendront la 



forme 



6^ (x,) cp (a^o) Xo ■+- e^ (iCi) 9 {x^ x^ - 
6\x,)^(x,)x,'Hr-6'(x,)^{x,)x,'- 









— 208 — 

Il n'est pas difficile de remarquer, sous cette forme, que les premiers 

membres sont les coefficients de -^, ^, ^, ^, ^ôtr, dans la série 

qu'on obtient en développant, suivant les puissances décroissantes de x, la 
fonction 

x — Xq x — Xi ' ' ' ' x — Xn' 

Les seconds membres sont de même les coefficients du développement de 

1 



Par conséquent ces équations peuvent être remplacées par la condition 
imposée à la difî'érence des deux fonctions 

x — Xq x — Xy '*■' X — Xn x — X^ 

de ne point renfermer dans son développement suivant les puissances des- 
cendantes de X les termes en -^, ^, ^, ^, ^nTPr- Si donc on met 

cette différence sous la forme d'une fraction ^, le degré du dénominateur 
N surpassera le degré du numérateur au moins de m -♦- 2. Les équations 
précédentes se réduiront donc à 

x — Xq x — Xi ' ' ' ' x — x^ x — X N' 

D'un autre côte en posant, pour abréger, 

(x — X,) {x — x^) (x — x^).... (x — x^) = f(x\ 

et désignant par Z7 la fonction entière, contenue dans la fraction ^' ^^^ -^/y ^^^ , 
on sait, par la tliéorie de la décomposition des fractions rationnelles en 
fractions simples, que 

OHx)<^{x)f'{x) ^jj ^ 0M^o)9(To) ^ (JHxy)cp{xy) ^ , ^Hx„)c?{Xn) 

f{x) X — Xq X — Xy '"'' x — Xn' 

L'équation formée tout à l'heure prendra donc la forme 

(i^x)^ix)f'{x) _jj 1_ _ M 

/(x) ^ x-X~ N^ 

ou bien, l'équivalente 

{x-X)f(x)()^(x) U(x-X)-^-l _ {x-X)M 
f(x) ^(x) ~~ 9(x)iV • 

En s'appuyant sur cette relation, il n'est pas difficile de trouver l'expression 
de la fonction <^{x). 



— 209 — 

liemarquons, en effet, que la fraction "T^x jy- est d'un degré infé- 
rieur au degré de -jt^.. Car cp (x) représente la quantité 

tAp -H |ii a; -«- [Xg g;' -f- -*-[i^x^ 



et, par suite, ne peut être d'un degré supérieur à m. Eu même temps le 
degré de N surpasse au moins de (m -+- 2) le degré de M; ainsi la fraction 
^^ ~,, ' — est d'un degré inférieur à celui de -^^. 

De là nous concluons que dans la relation ci -dessus la fraction 
U{x-X)-*-i j.g ,(j(^i^jj^ exactement la fonction (^-^) / W ^^ ^«') au moins 

<i>{x) ^ f{x) 

jusqu'au terme du degré de -^7^. inclusivement, c'est-à-dire jusqu'au terme 
dont le degré sera celui de l'unité divisée par le carré de son dénomina- 
teur. Mais, on le sait, ce degré d'exactitude appartient exclusivement aux 
fractions convergentes obtenues par la réduction de ^^^-^ — JT) — ^" 
fraction continue. En outre, dans la suite de ces fractions convergentes 
celle qui suivra / ^ aura nécessairement un dénominateur d'un 

degré supérieur à m. Car, sans cela, la différence 

{x-X)J'(x)b'^{x) U{x — X)-^l 

f{x) 9(aj) 

ne serait pas d'un degré inférieur à —r-r-m^ comme le suppose notre relation 

{x — X)f{x)(i'^{x) U{x — X)-i-\ {x — X)M 

f(x) (?{x) — 9(^)^ ' 

où, on l'a vu, la fraction -^ ne peut être d'un degré supérieur à 
( — m — 1). 

Ainsi, la fraction ^^~, , se trouvera au nombre des fractions con- 

irQ X) f (x) 6' (x) 

vergentes dont on formera la suite par le développement de jj^p — — 

en fraction continue; et dans cette suite la fraction convergente, qui viendra 
immédiatement après, aura un dénominateur de degré supérieur à m; de 
sorte que la fraction ^^^~?"^\ dont le dénominateur est d'un degré qui 
n'excède pas m, est nécessairement la dernière fraction convergente de 
dénominateur d'un degré qui n'excède pas m, dans la suite des fractions 

convergentes résultant du développement de l'expression — — j^^ , 

en fraction continue. 



— 210 — 

Chercliaut donc cette fraction convergente, si nous la représentons par 
'-7^,, nous aurons l'équation 

9o («) ' ^ 

V{x — X)+l cpQ(.T) . 

9 («) 9o (^) ' 

d'où 

_ 9» jx) cp (x) 



U{X—X)-^1: 



<Po i^) 



Cette équation suppose que le produit 9*^ (rc) 9 (rc) est divisible par 
%{x)', et comme les propriétés des fractions convergentes exigent que 
9" (x) et 9o (rr) soient premières entre eux, 9^ (x) ne saurait diviser le produit 
sans diviser 9(ic). Ueprésentant par q le quotient de cette division, nous 
aurons 

o{x) = q(^,{x\ 

et cette valeur, portée dans l'équation qui précède, donne 

U{x — X)-+-l=:q(p'(x). 

Pour tirer de là une expression de 9 (x), nous remarquons que 9 (x) ne peut 
être d'un degré supérieur à m. Si donc le facteur 9^ (x) est du degré m, le 
facteur q se réduit à une constante. Il est facile de la calculer, car en posant 
x = X, dans la dernière équation, il en résulte 



puis enfin, 



l=q9'{X) et q = ^^y 






Telle est la valeur de la fonction 9 (a;), quand 90 (x) est du degré m 
précisément. Dans tout autre cas, le degré de %{x), étant moindre que m, 
le facteur q de l'expression 

(?{x) = q%{x), 

peut recevoir pour valeur une fonction entière quelconque de x, pourvu que 
le degré du produit q % (x) ne surpasse pas m. Ainsi, dans ce cas. il y aura 
une infinité de valeurs de la fonction cherchée 9 (x). Mais si l'on convient 
de prendre parmi ces valeurs celle dont le degré est le moins élevé, on sera 
de nouveau obligé de prendre pour qune constante, et l'on trouvera, comme 
précédemment, pour 9 (a;) la valeur 

o (x) — ?^ 



— 211 — 

D'après les équations (3), la fonction ainsi déterminée donne 

X, = ù^ {x,) 9 {Xq\ \ = 0^ (a;,) 9 {x^), \ = O'' {x^ 9 (rcj, 

et ces valeurs sont les coefficients de la formule 

F{X) = \ F(x,) -f- X, Fix,) H- . . . . -+- \F(xJ, 

par laquelle F(X) est exprimée au moyen des valeurs particulières F{Xq), 
F{x,\F{x,\..,.F{x^). 

Donc on aura finalement pour F{X) l'expression 

Quant aux quantités cpo (^)j ?" (^j? on ^ vu qu'il suffisait, pour les déter- 
miner, de réduire en fraction continue la fonction 

et de prendre, dans la suite des fractions convergentes, la dernière de cel- 
les dont le degré du dénominateur ne surpasse pas m. Le numérateur de 
cette dernière fraction est <^^{x) et le dénominateur (po(^)- 

La question que nous nous étions proposée au commencement du pre- 
mier paragraphe est ainsi résolue. 



§ 3. 

En examinant la formule que nous venons de trouver, nous ne pouvons 
manquer de nous convaincre qu'elle doit présenter d'importantes simplifica- 
tions. Effectivement, d'après la nature de la question, la fonction cherchée 
FiX) doit être représentée par une fonction entière de X, tandis que la 
formule trouvée par nous contient le dénominateur 9^(X) et offre une 
composition telle, qu'on n'aperçoit pas comment X disparaîtra de ce dénomi- 
nateur. Cela résulte de ce que les fonctions q>°(^), 9o(^)? déterminées par le 
développement de l'expression ^^^^ — ji^ — ^^ fraction continue, renfer- 
ment X dans leurs coeffcients. 

Afin d'amener notre valeur de F {x) à une forme qui en laisse voir 
clairement la composition, nous allons montrer de quelle manière on passe 

14* 



— 212 — 

des fractions convergeutes de l'expression /•! j) ^^^ fractions conver- 
gentes du produit ;, — ^, et par suite, à la fraction ---r\. 

Tour plus de simplicité, nous admettrons que la fraction continue 

1 

^0 o. -1 



résultant du développement de !■, . ne contient que des dénomina- 

teurs ^1, ^25- • • • ^^^ premier degré en x; et que, par suite, les fractions 
convergentes 

lo gp gl -«- 1 % (Il g2 -t- «72 -*- ^0 

1' q, ' îi?.-*-! ' 



ont pour dénominateurs des fonctions des degrés 0, 1, 2,. . . . Nous repré- 
senterons ces fractions (convergentes respectivement par 

4'oG'^)' +i(a^)' 4>2(^)' 

Il convient de faire observer encore que dans la fonction ^^;, , 

^ Six) 

le degré du numérateur peut être moindre, mais d'une unité seulement, 

que le degré du dénominateui-; ce qui exclut certains cas spéciaux, dépendant 
de conditions particulières entre les coefficients des fonctions 0{x)Qtf{x) et 
donnant au développement en fraction continue une forme telle que plu- 
sieurs des dénominateurs ^j, ^25- • • • pourraient être du deuxième, du troi- 
sième degré, ou de degrés supérieurs. De plus, il est aisé de se convaincre 
que cette excejition ne sauiait exister dans la fraction 

«2-1- 



pour aucun des cas de l'interpolation ordinaire, oii îTo, x^, ^^^- - - ^„, raci- 
nes de l'équation f{x) = 0, ont des valeurs réelles toutes différentes les 
unes des autres, et où la fonction 0{x)^ ne renfermant aucun coefficient ima- 
ginaire, prend pour x = x^, x^, x^, x^ les valeurs finies ^, p, 

11 1 

^, Y' I^^°s <^6t^6 hypothèse, on a effectivement, en se servant de la 

notation de M. Cauchy (Journal de F École Polytechnique 25-e Cahier), 



l{n§^))-- 



1; 



— 213 — 

et, d'après le procédé qui sert à déterminer la valeur de J ((■^-Tpr^^)), 

il est visible que pour f{x) de degré [n -4- 1) elle reste toujours inférieure à 
(n-i- 1), si dans la fraction 



1 

-4- 

22 



^o-»-^_^l 



résultant du développement de fij^ •> un quelconque des dénominateurs 
^M %T %i ' • • ■ 6st d'un degré supérieur au premier. 

Convaincus par ces considérations que les limitations que nous avons 
apportées à la forme de la fraction continue déduite de la fonction ;, !y ^ 
n'ont point d'importance particulière, nous pouvons aborder à présent la 
détermination de ^-|^J, c'est-à-dire de la dernière des fractions convergen- 
tes fournies par le développement de l'expression ^ J. — ^, dont les 
dénominateurs n'ont pas un degré plus élevé que m. Nous démontrerons que 
cette fraction est exprimée par la formule 



^-^ [4>;„, {X) ^,„_^i {X) - 4>,n [x] ^^_^, (X)] ' 

dans laquelle ?^^!, ^"'"^'|^! désignent les fractions convergentes de l'expres- 
sion JA > dont les dénominateurs sont des degrés m et m-+- 1. 
/ w 

En effet, la composition de cette formule montre avec évidence que 
son dénominateur se réduit à une fonction entière d'un degré qui ne surpasse 
pas m. D'un autre côté, si nous prenons la différence entre cette même for- 
mule et l'expression (^i:^l/_p_^!_w ^ ^^^^g trouvons 

et cette différence ne peut être d'un degré supérieur à celui de 



î r^"^ ~1 x*" 



— 214 — 
Car, d'après les propriétés des fractions convergentes, les deux termes 

sont d'un degré moindre que -, — ^, et, par suite, que —j^. 
Ainsi, la fraction 



^-i^ [^„, (Z) <J.^^, {X) - ^,^ {X) 4>,„_^i (X)] ' 

qui a un dénominateur dont le degré n'excède pas m, donnera exactement 
les termes de la fonction 

{x-X)f'{x)()^x) 

jusqu'au terme dont le degré est le même que celui de l'expression 
1 j_ 

^— ^ \j>,„ iX) ^,^^, {X) - ^„, {X) ^,„^i {X)j 

Mais cette fonction ne peut être représentée avec cette exactitude que par 
les fractions convergentes que donne son développement en fraction continue, 
et seulement par celles qui sont suivies d'autres fractions convergentes dont 
les dénominateurs ont un degré supérieur à m. Par conséquent, notre 
fraction est au nombre de ces fractions convergentes, et comme le degré de 
son dénominateur ne surpasse pas m, (die est la dernière qui possède un 
dénominateur du cette; espèce et que nous avons désignée par ^^\. 

9o W 

Cette conclusion nous permet de remplacer, dans la formule du pa- 
ragraphe précédent 

les expressions 



9o [Xq) 9o (Xi) cfoJXn) 

c?0(X)' çO(X)' 90(X) 



par celles-ci respectivement : 



^-o-xb^ 


(X)^^ 


t-i-i K 


)-'i>ni-^AX)^,n{ 


^o)' 


Xi-xlj'"' 


AX)^r, 


iX)- 


^m-^AX)^m{X) 
)-^^^,{X)^^{ 




4'm(X)'^m-*-: 


iiX)~ 


'i>m-^AX)^m{X) 


> 




ccn-xb"^ 


(^)4'm-Hi(^« 


)-4>m-4-i(X)^l'm(' 


^n)] 



^m iX) ^m-i-i {X) - 4>m-f-i iX) ^m {X) 



— 215 — 

Mais le dénominateur commun de toutes ces expressions se réduit à ( — 1)"' 
d'après la théorie des fractions continues. De sorte que la formule qui donne 
F{X) se ramène à la forme 

F{X) = (— 1)^ ^m iX) ^,n-^, K) - ^m-Hi (^) ^m M ^2 (^^^ p^^^^ _^ 
(_ If ^'n (X) ^\>m^, (x,) - ^,,_^, jX) ^,, i^,) ^, ^^^^ ^ ^^^^ _^ 



On peut l'écrire sous cette forme abrégée: 

F{X) = (— If 2 ^" ^^^ ^'--^' ^^jl Z x"""' ^^^ ^" ^'''^ ^' W ^(^t)- 



Voilà donc une nouvelle formule propre à la détermination de F{X) 
au moyen des valeurs F(x^),F{x^),F{x^),....F{xJ. Elle se construit à 
l'aide des fonctions ^^ (x), 4^^_,_^ {x), qui sont les dénominateurs de deux des 
fractions convergentes obtenues par le développement en fraction continue 
de l'expression -^ fix) ' ^^ ^^ composition même de cette nouvelle forme 
on conclut sur-le-champ que c'est bien une fonction entière de X. 



§ 4. 

Nous allons maintenant faire voir comment la série, dont nous avons 

parlé dans la Note présentée l'année dernière à l'Académie, se déduit de 

cette formule; et elle nous servira aussi à l'exposé de quelques propriétés 

des fonctions ^q (x), ^^ (a;), ^^(x). . . ., déterminées par le développement de 

J, . en fraction continue. 

La formule que nous venons de trouver donne F(X) dans l'hypothèse 
de la forme 

F{x) = a -h- bx -i- cx^ -t- . . . . -t-gx'^^'^ -+- Tix^. 

Nous représenterons cette valeur de F{X) par Z^, et par Y^_^, la 
valeur de F(rr), qui serait déduite de l'hypothèse, où F{X) serait exprimée 
par 



— 216 — 

La formule nouvelle fournira les deux valeurs suivantes: 

(4) Z,„ = (- 1)'" 2 '^-^^^'^--^' ^^jl^'»^'^'^^^'»^"»-) 0' (a;.) i^(a:.); 

Y^^_^ = (_ 1 )-n-. ■^ V- , m -^.n W - K (^) ^„-, W ^. (^,) ^(^^.)^ 

» = 

Prenant la différence de ces valeurs, on trouve 
Y —Y = 

m m — 1 

1 = 

Les propriétés des fonctions ^^_^_^ (x), ^,„ (x), ^^_^ (x) permettent dé sim- 
plifier notablement cette différence. Ces fonctions sont, en effet, les dénomina- 
teurs de fractions convergentes résultant du développement de l'expression 
;,/ en une traction contmue 

32-i- 

' • . 1 

•-+-—- 1 

(Im-i 

dans laquelle les dénominateurs 

doivent être, par hypothèse, des fonctions linéaires de la variable x. Ou a 
donc conséquemment 

q^ = A^x-t-B^, 

qz = Â^x-i'B^, 



^m-«-i = ^m-f-i^-*-^m-^i' 



Par suite, la règle générale pour la formation des fractions convergentes 
donne 



— 217 — 

et de là 

Cliaugeant iz; en a;^. et en X, il en résulte 

Si l'on transporte ces valeurs dans celle de la différence Y^ — ^m— p 
on obtient 

Y —Y = 

m m — 1 

ou, en réduisant, 

• = 

Posons dans cette relation m—l, 2, 3,....,(w — 1), m successivement, 
nous aurons 

Y,— Y, = -A, ^, (X)'ï>, (a^,) ^^ {X,) F{x,y, 

« = 

r, - r, = ^3 4>, (X)' ^"t];, (:r,) ^^ (a; .) Fix,) ; 

» = 



I'»- i',,.- =(- ir-^^^.'l'^t^/j"'!',,. W^'(^i)^(^.); 

et la somme de ces équations donnera 

Y,— Y,= — A.'i», (X) ÎV K-) ^>' (^,-) ^(^t) -»--^3 ^^2 (^i^^+a (^e) ^' i^i) Fi^i) 

1 = 

Y^ aura donc pour valeur 

+(- 1)"^„.^.4'„,(^)'2"'1'„K) 6»(^.)F(^,)- 



— 218 — 

Pour détcimiuor la quantité Yq, faisons m = 0, dans la formule (4), 
nous trouvons 



^0 {^)i ^i {^) désignent les dénominateurs des deux premières fractions con- 



vergentes de l'expression f/^) \ ^^"^ ^^ développement en fraction 
tinue a reçu les formes 



fix) 



con- 



1 1 



«»-^^-Hi_^ =îo-2,,^B,^ 



Il en résulte 

et la fonction Yq devient 

i = * 

1 = 

qu'on peut écrire 

Y, = A, 4^0 (X)'i>, (a;.) ^2 (r.,) F{x^), 

1 = 

pourvu qu'on se rappelle que ij>o(a;)= 1. 

Au moyen de cette valeur, l'expression précédente de Z^, ou de la 
valeur de F{X) dans l'iiypotlièse 

F{x) = a-+- bx -y-cx"^ -^gx"^-' -+- hx"", 

prend la forme symétrique 

Ym = A^o i^)^\ i^i) 0'{x^) F{x,) - A, ^, (X) 1\ {x.) (j\xi F(^.)-i- • • • • 

• = < ..0 

■ • • •-^(- ir^„^,+„(X)'i"4,„(:..Vy'(^,)FK.). 



— 219 — 

Dans cette expression les fonctions ^q (^), ^^ (x), ^.^ (x), .... et les constan- 
tes Jj, A^, ^3,--. se déterminent par le développement de la fonction 
^J^^tiÉ en une fraction continue de la forme 



Les fonctions ^^ (x) , ^^ (x) , ^^(x),. . . . sont les dénominateurs des fractions 
convergentes que l'on déduit de cette fraction continue; et les constantes 
^1, ^2J ^3v- sont les coefficients de x dans les dénominateurs q^, q^, q^,... 
Dans le cas particulier pour lequel la loi des erreurs est la même pour 
toutes les quantités F(Xq)^ Fi^i), -^('^2)5 • • • ou peut, conformément au § I, 
prendre toutes les valeurs ^0 5 ^1 j ^2 ? • • • • <^galos à 1 , et par suite la 
fonction 0{x), déterminée par les équations 

se réduit elle-même à l'unité. La formule trouvée ci-dessus prend donc 
alors la forme 

r„ = A, t, iX)2\ (:.,) F(w,) - A, 4., (X) 2"+, (0^,) F{x,) -- . . . . 
. . . . -H (- 1 r ^,„_, +„ (X) 'i"4.„ (x,) Fix,). 

1=0 

Ici ^o{x), 4*1(3;), <^2(^)j- • • •' ^ij -^2» ^3J' • • • s^ déterminent par la 
fraction continue que donne la fonction jl^ . C'est de cette série que nous 
avons parlé dans la Note déjà mentionnée *). Mais à présent nous ne nous 
bornerons pas à cette hypothèse particulière, qui réduit la fonction â (x) à 
l'unité, et nous considérerons la série dans sa forme générale. Nous serons 
ainsi conduit à des propositions curieuses sur les fonctions t]>o (^), ^i (x), ^2 Wr • • • 



*)La Note de M. Tchebichef, eu date du 20 octobre (1 novembre 1854), ne contient 

effectivement que cette formule particulière. Les deux pages de cette Note se trouvent ainsi 

reproduites ici tout entières, à l'exception du corollaire que voici: 

n n — 2 n — 4 — ^ai 

«Dans le cas particulier de Xq^= — ^ Xi ^=^ , «2 = ,..., x„ = -— - , et ue 

«n infiniment grand, cette formule fournit le développement de F [x) suivant les valeurs de 
«certaines fonctions que Legendre a désignées par X"* [Exerc, part. V, § 10) et qui sont déter- 

«minées par la réduction de l'expression log r en fraction continue (Note du traducteur). 



— 220 — 

§ 5. 
Il n'est pas difficile de voir que si les quantités 

sont déterminées exactement par la formule 

F{x) = a-t-hx-¥- cx^ -+- -I- gx'''~' -+- Jix"^, 

notre série donnera l'expression exacte de cette fonction, quelle que puisse 
être la fonction Û (x). C'est ce qui devient évident, si l'on remarque que la 
série résulte de la formule 

F{X) = \ F{:x,) -4- X, F(:x,) H- . . . . -^ X^ F{xJ, 

et que d'après l'une des conditions qui fixent les valeurs des facteurs \, \, 
X^,. . . .X^, les équations suivantes doivent être satisfaites: 



Ao -H Xi -♦- X^ -*- . . 


..-+-X„ -:1, 


\x, -^\x^ -i~\x2 -+-• ' 


-^K^n =X^ 


>^O^o'-+-\^l' -+->^2^2'-*-- • 


..^\x^' =X\ 





Or, en vertu de ces équations, la somme 

\ F{x,) -f- X, F{x,) -*- X, F{x,) -»-.... -H X„ F{xJ, 

quand on y remplace les quantités F{Xq), F{x^), F{x^),. . . .F{xJ par leurs 
valeur tirées de l'équation 

F (x) =: a -i- hx -h cx^ -i- . . . .H- gx^~^ -h hx^'^^ 
se réduit à 

a H- 6X -4- cX2 -H ^gX"^-'-^ hX"^, 

expression exacte de F(X), d'après l'hypothèse même 

F{x) = a -^ hx -\- cx"^ -i- . . 



— 221 — 

Lors donc qu'il s'agit d'une fonction entière F(x)^ la formule du pa- 
ragraphe précédent permet de la représenter ainsi: 

F{X) = A, ^, (X) 'i>, (rr .) 6' (x.) F{x,) ~ A, 4>, (X) '!>, (rr .) 6' (x.) F{x,) 

«—0 »=0 

-*-■■■ •-»-(-l)'"^„^,+„(X)'î>„(r.,)<9«(rc,)F(a.,). 

♦ =0 

Si nous faisons 
nous trouverons 

^,n (^ ) = A *0 (^)' ^'^O i^i) ^' i^i^ ^m i^i) - A +1 (^) ^"+1 (^,:) ^' i^i) ^m (^e) 
»• -0 »=0 

«=0 

ou bien, en mettant tous les termes dans un seul membre, 
A, ^, {X)l\ (x,) ^„^ (x.) 0' (^,) - A, ^, {X)^\ (rr,) 4^^ {x^) 0' (^,) -H . . . . 

• • • • -^- 4'„ (X) [(" 1 )" K-.. 2>„ («.•) (^ (^,) - 1 )] = 0. 

j=0 

Mais comme les fonctions ^^ {x\ ij>i {x), 4*2 (^)î • • • • > sont respective- 
ment des degrés 0, 1, 2, 3,. . ., l'identité précédente suppose que chacun 
de ses termes s'évanouit séparément. On a donc, de toute nécessité, 

(- 1 )" ^m-./|V (^,) à' K-) -1 = 0, 



t=0 
< = 

La première de ces relations nous donne 



i>K.)^^(^..)=ëE 



222 



ot, en observant (|U(' les coefficients A^ 
les autres relations font conclure que 



, ^2, Jj diffèrent tous de zéro, 



(5) 



.2+m-i(^.-)'L(^,-)^'(^.-) = 0, 



• = o 



Il est par là manifeste que, pour di différent de m, la somme 

" ^m(^i)^m'(^t^^^(^i) ^'^^ égale à zéro. Si au contraire m = m, cette somme 



ficient A^^^ la valeur 



est égale à - — — comme on l'a vu tout à l'heure. On a donc pour le coef- 



(_!)«. 



2 ^\(Xi)O^Xi) 



On en déduit pour tous les autres coefficients A 



A - 


1 


^1 

4 


i = n » 

1 


^2 — 


i = n ) 




A = 


(_l)m 



^ *^mK-)Ô'(a?t) 



Si l'on introduit ces valeurs dans la formule 



F{X) = A,^,{X) ^ ^Jx,)0^x,)Fix,)-A,^,{X) 2 ^, (rr .) ^^ (:r .) JP (a;,.) 

»■ = I' = 



— 223 
elle jirend la forme 



2 4^0 i^i) 6' i^i) F {xi) ^ 'l,^ {xi) 62 [Xi) F (Xi) 



(6> 



2 VK-)OMa;f)^K-) 



2 Vmio^i)(iH^i) 



La composition de cette formule fait voir qu'elle ne change pas de 
valeur, quand on introduit des facteurs constants arbitraires dans les fonctions 
'•1^0 (^)j ^li^), ^zi^)^ ^^^- I^ s^i"^ ^^^^ possible de prendre pour déterminer 
ces fonctions le développement de f^ en une fraction continue de la 
forme 



quelles que puissent être les constantes L\ L'\ etc. On sait effectivement que 
les termes des fractions convergentes déduites d'une expression quelconque 
par le développement de cette expression en fraction continue de l'une des 
deux formes 



?2 -I- 52 - 



^o-^i;^^' ^o-*-r.-^l 



ne diffèrent que par des facteurs constants. 

De la même manière précisément les équations (5) resteront complè- 
tement exactes pour les fonctions ^q{oc), ^i{oo),^^{x), etc., déterminées par le 
développement de fix) ^° ^^^ fraction continue de la forme 

Î2 -H 



car elles ne seront point altérées par l'introduction de facteurs constants 
quelconques dans les fonctions ^oix), <J>i(^), ^^ix),. etc. Ainsi en procédant 



— 224 — 

actuellement aux applications de la formule (G) et des équations (5), nous 
ne serons point arrêtés par la sup])Osition faite d'abord dans les paragraphes 
précédents et d'après laquelle les numérateurs L\ L!\ etc. devaient être 
éf>aux à l'unité dans la fraction continue 



g^ H — L" 

92 



qui servait à construire les fonctions tj^o (^)) ^i {^)^ '^2 W' ^^^• 

p]n vertu de ces équations (5), il existe encore des relations remar- 
quables entre les fonctions ^q{(i')^ 4^1 (•'^)7 4^2 (•'^Oj ^^^-i ^^ ^^ Y parvient sans 
peine à l'aide de la formule (6 ), en la comparant pour m = n avec la for- 
mule d'interpolation de Laj^range. 

Pour m = w, en effet, la formule ((>) donne à Texpression d'une fonc- 
tion du n*^""" degré, ])ar les valeurs qu'elle reçoit pour des valeurs de la 
variable x = Xq^ x^^ x^. . . .x^^ la forme que voici: 

21 % {Xi) 62 [Xi) F {Xi) ^ 4^1 {Xi) Ô« {Xi) F {Xi) 

F{X)=.'-^^ U^)-^'-^^^ 'J>,(X)-f-.... 

^ V(^î)ÛM^i) 2 ^^{Xi)^'^{Xi) 

« = «• = 

2 ^>n{Xi)b''{xi)F{xi) 

La formule de Lagrange exprime la même fonction par la forme 



2 



{X-Xy) jX-x^). . . .{X~Xi_,) (X- av_,_i). . ■ . j^. . 
{Xi — x,) {Xi -x^).... {xi — Xi_i) {Xi — Xi^i) .... ^ i'' 



L'identité de ces deux expressions, quelles que puissent être les valeurs de 
F{Xq), F(x^)^ F{x^),. . ., F{xJ, exige que les termes qui ont ces fonctions 
pour facteurs soient les mêmes dans l'une et dans l'autre. Si donc on com- 
pare les termes qui multiplient F{x.), on aura la relation 

{X-x^){X-x^)....{X-Xi_^){X-Xi^i).... ^ 
{Xi— a;,) {xi — X2)... .{Xi— Xi_i) (a-,-— a:,-.,.,) . . . 

2 ^0^ {Xi) 62 {Xi) 2 ^i^ {Xi) 62 (X,-) 2 4'„2(a;,-) 6* {x ,•) 

<=0 iz=0 1 = 



— 225 — 
Si l'on fait X = x , pourvu que t) do soit pas égal à i, on obtient 

:2 ^0^ {Xi) 62 {Xi) 2 ^i" {Xi) 02 {Xi) 2 ^«2 (a; .) Ô2 (a; .) 

i = t = «■ = 

Par l'introduction du facteur -~^^ on peut écrire cette expression de 
la manière suivante: 

,, 'l'o (•ï-f) {Xi) i>o ('^'-n^ i^\) ^1 (^f) (^t) -^ . (^ï)) (^-n) '^n K-) {^i) 4^« (a^T]) (^vi) 

Q — — _ 1 L _j ___ 1 L_t__,^,H -__ '. L. 

2 %'' {Xi) 02 {Xi) I. ^l2 (^ .) 02 (^ .) 2 O^n" (^,-) 02 {Xi) 

1 = »■ = f = 

Faisant au contraire X = x., nous aurons 

^ ^ 4^o2 (x,-) 02 {xj) ^ 4>i" (a:,-) Q2 {xi) ^ _|_ _:}^i!M^!M_ 

2 ^o'^{Xi)OHXi) 2 4^i2 (^.) 02 (X,-) 2 ^„2 (a;.) 02 {xi) 

t = t = < = 



§6. 

Ces équations, réunies aux équations (5), établissent une propriété 
remarquable des fonctions déterminées par la formule 



1/ 2 'i>rn'{Xi)ÙHxi) 
' t = 

Désignons ces fonctions par (I^^ (x)] les équations construites tout à 
l'heure nous donneront 

^^2yjx;)0^{x^) = o, 

tant que •/) diffère de i, et 

'"2"<Z>„(x,)<P„^)=l, 

m = 

pour ï)=^. 

D'après la forme de la fonction '/^^(«) et les équations (5), il est aisé 
de remarquer que 

*^\{Xi)^mS^i) = 0, ou 1, 



— 226 — 

selon que w différera de m ou sera égal à m. Car la somme dont il s'agit 
devient, par la substitution des valeurs de ^^{x)^ ^m/(^)' 

i = n 

2 4'm(^t)<l'm,fx,-)e2(^,-) 



Or, d'après les équations (5), le numérateur s'annule si m^ n'est pas 
égal à w; et si m^ = m^ il devient égal au dénominateur, ce qui réduit la 
fraction à l'unité. 

Ces propriétés conduisent à une autre que possède encore la fonction 



,!,(,)= ^.-W»W 



y 2 ^2^(a:,-)62(a;j-: 



composée avec les fonctions '\q{x)^ 't^i (^), 4*2(^)5 ^^^-i ^"i servent de dénomi- 
nateurs aux fractions convergentes déduites du développement de la fonction 



f{x)(i^x) 



en une fraction continue de la forme 



L' 



^^-^û-^'^ 



Si de toutes les valeurs de la fonction ^T>^{x)^ obtenues en faisant 
m = 0, 1 , 2, . . . . , w e^ a; == a:^, a:, , rîJg) • • • • ^„5 ^w compose le carré 

cp,{x,\ 0,{x,l 0^(x,),....0^{xj, 
0,{x,\ 0,{x^\ ^sW, ...-^sW, 



^«W, 'Ki^i\ 'Ki^2\-- "'KK)^ 



la somme des carrés des termes d'aune rangée quelconque, horizontale ou ver- 
ticale^ sera égale à V unité; la somme des produits des termes correspondants 
de deux rangées horizontales ou verticales sera égale à zéro. 

La construction de carrés de cette espèce fait le sujet d'un Mémoire 
d'Eu 1er intitulé: Prohlema algebraicum ob affectiones prorsus singidares 
memorahile (N. Comm., t. XV). 



— 227 



§7. 

Les équations (5) démontrent encore facilement une propriété parti- 
culière aux fonctions 

comparées à toutes les fonctions de même degré et de même coefficient de 
la plus haute puissance de x : pour ces fonctions les sommes 



ont la pins petite valeur j 

En effet, comme les fonctions ^q {x)^ '^^ (a;), -^g C^)? - • • • , '^^ [x) sont 
respectivement des degrés 0, 1, 2. . . ., w/, toute fonction entière V du 
degré m peut être exprimée ainsi: 

F = ^'lo (^) -*- ^'^>^ (^) -f- 0];, (^) H- . . . . -f- ^^;^ (rr), 

Mais ici il faut prendre H= 1, puisqu'on suppose que le coefficient 
de x^ est le même dans F et dans ^p^ {x). On aura donc dans cette hypothèse 

V=A]^,{x)-^B^,{x)-y-0]^,{x)-^-.. . .-^'\>^{x). 

Il s'agit de trouver les valeurs des coefficients A, B, G, etc., qui ren- 
dent un minimum la somme 

^i\'ù^x,)=^\A\j,{x,)-^B^,{x,)-^0^,{x,)-^. . . .-^^^{x,)fO'ix,) 

»■ = « = 

Le procédé connu du calcul différentiel nous donne les équations sui- 
vantes: 

«■ = 

2 J J^^o i^i) -^ ^'^^1 (^,) -+- O^, (rr .) -,-....-*- -^^ (X,)] 'I, (:r .) 6^ (a;.) =^ 0, 
2* 2^+0 K-) -+- B']^, (x.) -t- Cl);, (x.) -^ . . . . -H -^^ (^.)] 4..^ (a;.) 0' (x.) = 0, 



— 228 — 
Los équations (5) les réduisent à un seul terme 

1 = 



1 = 



d'oii l'on tire 



^ = 0, B=0, G=0,. .. . 



Ainsi les conditions du minimum de la somme 2: F 0^{xX quand V 

t=:0 

est de la forme 

A^, (x) -+- B^, (x) -♦- C'^2 (x) -*-.... -*-^^ (x), 
sont 

^ = 0, B=0, (7=0, 

et, par suite, 

On démontre encore sans difficulté que si l'on emploie la formule (6) 

2 % (x,-) 62 (Xi) F (Xi) 2 4^1 (Xi) 02 (Xi) F (Xi) 



2 %^xi)b^xi) 2 ^iHxi)bHxi) 

i—0 f = 

2 ^rniXi)OHxi)F{Xi) 



à déterminer par approximation une fonction quelconque F{X), on obtiendra 
pour l'exprimer une fonction entière du degré m telle, que la somme des 
carrés des différences entre les valeurs de cette fonction entière et les valeurs 

correspondantes de F{X) pour X= X(^, x^, x^, , x^, multipliés chacun 

par ^^(a;o)i ^^(^i)? ^^W? ^^^-j respectivement, sera un minimum. 
Représentons eifectivement la fonction cliercliéc sous la forme 

A^, (Z) -f- B^, (X) -^G^X)-^....-^ m^ (X) 



— 229 — 

et cherchons les valeurs des coefficients A, B, G, , fl'pour lesquelles la 

somme 

'2 [F{x,) - A^, (x,) - B^, (x,) — C^, {x^ .... — ^*^ (^,)]^ 0'^ (^,) 

i = 

sera un minimum. Nous trouverons les équations 

il\F{x^~A^,{x^ - B^,{x^ ~ 0*2(^.-)....-^'^,„(^,)] U^hO\x^ ^ 0, 
1=0 

2'^ V(a;.) — A^, (2; .) — B^, (^.) - C^3 (^,). . . .-^^^ W] 4^1 (^,0 ^^ (^,) - 0, 

«•=0 
1 = 

Eu vertu des relations (5), ces équations se réduisent à la forme 

2' 2V(a; .) tjjo (a; .) ^^ (a; .) — 2^ ^''ij^o' (a^J ^' (a^,-) = 0, 
2* 2V(:r.) 4), (a;.) ^2 (a;.) _ 2B^^^ (rc.) ^2 (a;.) = 0, 

i' = » = o 

2* 2V (a;.) »];, (a;.) ^^ (a;.) — 2(7 2 V (^,-) ^' (^e) = 0. 
«=0 »=o 



2 2 i'Xa^i) +„.(^i)^'K-)— Sfl' 2 ij>S,(a;.) ^^ (a;.) = 0, 



d'où 



2 ^o(^i)ôM^.-)^(^i) 
2 V(^i)9M^,-) 



2 <l^i(a;t)eM^i)^(^i) 
7? » = o 

» = Q 



— 230 — 

i = n 

i = 

^ ^^HXi)(j^Xi) 



2 ']>rni^i)OHxi)F(xi) 

H='-^. . 

2 hnH^i)OHxi) 

En reportant ces valeurs dans l'expression 

A!^, iX) -4- B|, (X) -4- C\ (X) -- . . . . -K ff.|„ (X), 

nous trouvons, conformément à ce qui a été avancé, que la formule clierchée 
pour F{X) est précisément 

2 % (Xi) 02 (Xi) F {Xi) 2 4^1 (T,-) 62 (a;,-) F(a-,-) 
'^1^ ^oW-^ '-^^ ^, (X) -H 

«=o »=o 

2 4^2 (a^i) 02 {Xi) F {Xi) I.^»^ {Xi) 02 {xi) F{xi) 

'^^„ -|,(X)-H .... ^i^f^^ +„^(X). 

2 «1^22 (a-.) 02 (x,-) 2 ^'^n (a?t) 02 (Xj-) 



12. 
SUR LA CONSTRUCTION 

DIS CMTES GÉOGcMPÏÏïQÏÏIS. 



(Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie Impériale des sciences de 
St.-Pétersbourg, Tome XIV, 1866, p. 257-261.) 



(Lu le IS janvier 1856.) 



Sur la eonstruetion des cartes géographiques. 



Dans ]a construction des cartes géograpliiques on parvient facilement 
à reproduire la figure d'une partie quelconque de la surface du globe de 
manière qu'il y ait constamment similitude entre ses éléments infiniment 
petits et leur représentation sur la carte. Mais, le rapport d'agrandissement 
de différents éléments n'ayant pas la même valeur, les portions finies de la 
surface du globe, dans leur représentation sur la carte, se déforment plus 
ou moins, suivant les déviations de ce rapport de sa valeur normale, et 
comme ces déviations, dans les différents systèmes de tracé des cartes, 
présentent des valeurs plus ou moins considérables, on conçoit qu'il existe 
un système, qui, dans la représentation d'une portion donnée de la surface 
du globe, réduit ces déviations au minimum, et par conséquent représente 
sa figure le mieux possible. 

C'est de la détermination de ce système de tracé des cartes que nous 
allons nous occuper. La question que nous aurons à résoudre présente une 
grande analogie avec celles qui ont été l'objet de notre Mémoire, intitulé: 
TJiéorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes (Mémoires 
des savants étrangers, T. VII); oii nous avons cherché, par un choix con- 
venable des constantes d'une fonction donnée, à diminuer, autant que possible, 
ses déviations d'une autre fonction pour toutes les valeurs de la variable, 
comprises entre des limites données. Sous la condition d'un minimum de 
cette espèce, nous aurons à présent à chercher une fonction à deux variables, 
assujettie à vérifier une certaine équation aux différentielles partielles. Pour 
simplifier les formules, nous ne tiendrons pas compte de l'aplatissement de 
la terre; mais la même méthode peut être facilement étendue à toutes les 
hypothèses possibles sur la forme du globe. 

D'après la notation de Lagrange (Nouveaux Mémoires de l'Académie 
de Berlin. Année 1779), le rapport d'agrandissement s'exprime ainsi: 



— 234 — 
ce qui donne 

où la somme de deux premiers termes, composés des fonctions arbitraires, 
n'est évidemment que l'intégrale de cette équation 

du^ ~*~ dt^ ^• 

Donc, les écarts du rapport d'agrandissement dépendent des déviations 
de la fonction log -^ — ^^-=û et de l'intégrale de cette équation. Or, d'après 
les propriétés remarquables de cette équation, on parvient à reconnaître que 

le minimmn de déviation de sou intégrale de la fonction log -„ ^^i, 

dans rcsi)ace limité par une courb(; quelconque, ne peut avoir lieu, à moins 
que la différence 

n'ait sur cette courbe constamment la même valeur. 
Donc, par Fintégration de l'équation 

d^ d^u _ ^ 
sous cette condition, on aura la valeur de 

à une constante arbitraire près, et de là on tirera les valeurs des fonctions 

qui, à un facteur constant près, seront celles qui donnent la projection la 
plus avantageuse. Quant à leur facteur constant, qui reste inconnu, il se 
détermine facilement d'après la valeur normale du rapport d'agrandissement. 
D'après cela on parvient facilement à assigner tous les cas dans 
lesquels on peut parvenir à la projection de la carte la plus précise, en pre- 
nant pour méridiens et les parallèles des arcs de cercle. Dans son Mémoire, 
cité plus liant, Lagrange a montré que dans toutes les méthodes de pro- 
jection qui jouissent de cette propriété, très importante pour la pratique, 
le rapport d'agrandissement s'exprime ainsi: 



e» 2e-^ r^^ ^'^*'" "^ ^ "^ ^^^ ^^ k^-9)-*- ^"^ c— 2cu1 ^ 



— 235 — 

Donc, d'après ce que nous venons de dire, ces méthodes de projection 
ne peuvent donner la représentation la plus précise d'un pays quelconque, 
à moins que sur les bornes de ce pays on n'ait 

log m = — \og[-ir:^^=^\ye''''-*-2ah COS. 2c{t-g)^¥e-'^^^^^ 

ou, ce qui revient au même, 

(1) log m=[ e -t-e >^ constante. 

[ -log {ac'"-' ('-^)i/-i -*- he-'"-*-' ^'-^^ ^-'^)\ 

Pour simplifier cette équation, nous transformerons les coordonnées, 
en prenant pour le pôle, le point, où log m devient minimum, et pour pre- 
mier méridien celui qui passe par le pôle primitif. Soit t^ et 90" — ^^ la 
longitude et la latitude de ce point, et convenons de désigner par T et 
90° — Z la longitude et la latitude dans le nouveau système des coordon- 
nées. Si l'on observe que, d'après la notation de Lagrange que nous 
employons, «f désigne log (tang -|-j, 90° — étant la latitude relativement 
au premier pôle, et t la longitude, on parviendra facilement à ces équations 
très simples: 

tang §- -+- tang — e V-i 

e"-*-' ^-' = tang |- e' ^-' = ^— % e'« ^-' ; 



1- tang Ç tang — < 


tV-\ 




tang|îH-tang — e- 


-TV-i 




1 - tang ^ tang — e 


-TV- 


i 



' 1/-1 = f nno- A p-i V-l = ^ ? .-toV-i 



= tang|e-'>^-^ 



En portant ces valeurs dans l'équation (1), et en remarquant que log m 
devient minimum pour Z=^0, nous trouvons que cette équation, aux quanti- 
tés de l'ordre tang^ y près, devient 

^j=^ (cos^ T— sin2 T) tang^ | -h tang^ |^ .= constante, 

et comme dans la projection stéréographique, à une facteur constant 
près, on a 

X = tang Y sin T, y = tang -j cos T, 

cette équation nous donne 

sin^,„H-4c^_i sin^ .0-40^-^1 , ^ constante. 

8m2 Zç. sin' Zq '^ 



— 236 — 

Doue, si l'on cherclie la projection d'un pays assez petit, en prenant 
pour les méridiens et pour les parallèles des arcs de cercle, la projection ne 
peut s'approcher notablement de celle de la plus précise, à moins que ses 
limites, dans leur projection stéréographique, aux quantités de l'ordre tang^ — 
près, ne vérifient cette équation 



sm-' Zq 



qf = nOCT., 



et, par conséquent, ne présentent une courbe du second degré qui sera évi- 
demment une ellipse, car cette courbe doit être fermée. 

D'après l'équation précédente on voit qu'un des axes de cette ellipse 

suit la direction du méridien et que leur rapport est égal à l/ ^j^^ ^° ~ 4 ^2 [!^ | • 
Donc, s'il s'agissait de projeter une portion de la surface du globe, 
limitée par une pareille courbe dont les axes sont eu rapport de 1 : n, 
l'exposant de projection serait déterminé ainsi: 

(2c)2=l-+-^^ sin2 Co- 
cotte équation nous montre qu'il existe une liaison intime entre la 

configuration d'un pays et la valeur la plus avantageuse de l'exposant pour 

sa projection. 

D'après les équations dont nous venons de parler, quelle que soit la 

forme du pays, on peut déterminer et le centre de projection et la valeur de 

l'exposant de la manière la plus avantageuse pour la précision de sa carte. 

C'est ce que nous nous proposons de montrer dans un Mémoire détaillé sur 

la construction des cartes géographiques. 



i3. 
SUR LA CONSTRGCTÎON 

DXSCOUKS, 
PRONONCK LS 8 FÉVRIER 1856 

DANS LA SÉANCE SOLENNELLE DE L'UNIVERSITÉ IMPÉRIALE 
DE ST.-PÈTERSBOURG. 

(TRADUIT PAK D. A. GKAVÉ.) 



%(ip^cnic zcozpa<£u'cecâtioo'ô fiapin^. 

CoHuneuie, Hanucaume ôâh mopotcecmoeunaio auma 

("h ^M n epamopcfioMU <£ = SlemepSypzcâoMU, '^CHidcpcumcmiz , 

8 (peopajiH 185G loda. 



Messieurs ! 

Les Sciences Mathématiques ont été l'objet d'une attention particulière 
dès la plus haute antiquité. Elles excitent aujourd'hui encore un plus grand 
intérêt à cause de leur influence sur les Arts et l'Industrie. Le rappro- 
chement de la théorie et de la pratique donnent les résultats les plus 
féconds. La pratique n'est pas la seule à tirer profit de ces rapports: 
réciproquement les sciences elles-mêmes se développent sous l'influence de 
la pratique. C'est elle qui leur découvre de nouveaux sujets d'étude et des 
points de vue nouveaux sur les sujets connus depuis longtemps. Malgré le 
haut degré de développement auquel sont parvenus les Sciences Mathéma- 
tiques grâce aux travaux des grands géomètres des trois siècles derniers 
la pratique démontre clairement qu'elles sont incomplètes à plusieurs égards. 
En efî'et elle pose à la Science des questions essentiellement nouvelles et 
provoque ainsi la recherche des méthodes inconnues jusque là. Si la théorie 
retire un grand profit d'applications nouvelles d'une ancienne méthode ou 
de ses nouveaux développements, elle en tire encore un plus grand de la 
découverte des méthodes nouvelles. Dans ce cas la science trouve un guide 
sûr dans la pratique. 

L'activité pratique d'un homme embrasse de si multiples variétés que 
pour satisfaire à toutes ses exigences la science manque évidemment de 
beaucoup et de diverses méthodes. 

Mais entre ces méthodes ont une importance particulière celles qui 
sont nécessaires pour la solution de différentes variétés d'un même problème, 
applicable à toute l'activité pratique d'un homme : comment faut il disposer 
de ses moyens pour acquérir les plus grands avantages possibles. 

La solution de ce genre de problèmes fait l'objet de la théorie des 
maxima et des minima. Ces problèmes d'un caractère pratique ont aussi une 
importance particulière dans la théorie. Toutes les lois qui régissent les 
mouvements de la matière pondérable ou impondérable ne sont rien moins 
que des solutions de pareils problèmes. On ne saurait trop reconnaître leur 



— 240 — 

influence particulièrement favorable au dévelop])ement des sciences Ma- 
thématiques. 

Avant l'invention de l'Analyse des infiniment petits on ne savait à 
résoudre que quelques problèmes particuliers de ce genre. 

Cependant dans ces solutions se trouvait déjà le germe de la plus 
importante branche des Sciences Mathématiques connue à présent sous le 
nom de «calcul différentiel». Pour montrer l'influence qu'ont eu sur la dé- 
couverte de cette science les questions des maxima et des minima permettez 
moi de vous citer un passage de l'oeuvre immortelle de Newton «Philo- 
sophiae naturalis principia mathematica». L'auteur, rappelant les origines 
de cette découverte dont les applications et les résultats sont aujourd'hui 
innombrables, s'exprime ainsi: 

«Dans les lettres que j'ai échangées il y aune dizaine d'années (1677) 
avec l'habile géomètre Leibnitz, lui ayant annoncé que je possédais une 
méthode pour déterminer les maxima et les minima, conduire les tangentes 
et résoudre les questions semblables, et que cette méthode réussissait 
aussi bien pour les expressions irrationnelles que pour les autres; comme je 
la lui cachais sous des lettres transposées représentant la phrase suivante: 
étant donnée une équation qui contient des fluentes, trouver les fluxions et 
réciproquement, l'illustre Leibnitz me répondit qu'il avait également trouvé 
une méthode analogue qu'il me communiqua et qui ne différait de la mienne 
que par les mots et la notation». 

(Note sur la proposition VII du second livre, éd. 1713). 

Toutefois la découverte du calcul différentiel et la solution des problè- 
mes analogues à ceux qui avaient provoqué cette découverte n'ont pas 
épuisé complètement la matière. Les recherches de Newton lui-même en 
sont une preuve manifeste: en effet il a résolu la question suivante: «quelle 
forme doit avoir un corps se mouvant dans un fluide pour qu'il y éprouve 
la moindre résistance». Cette question présente le problème des maxima et 
des minima essentiellement diffèrent de ceux qui sont résolubles par le 
calcul différentiel. La méthode générale pour résoudre de tels problèmes, si 
importants pour la Mécanique Analytique, a conduit à la découverte d'un 
nouveau calcul connu sous le nom du «calcul des variations». 

Malgré ce grand développement des Mathématiques par rapport à la 
théorie des maxima et des minima il n'est pas difficile de remarquer que la 
pratique va plus loin. Elle exige en effet la solution, des problèmes d'un 
nouveau genre sur les maxima et les minima, essentiellement différents de 
ceux que l'on sait résoudre par le calcul différentiel et celui des variations. 

Comme exemple de pareilles questions et de la façon dont on peut les 
résoudre nous pouvons citer nos recherches sur le parallélogramme de Watt, 



— 241 — 

imprimées dans les «Mémoires des savants étrangers» de notre Académie, 
1854. On voit par les résultats que nous avons obtenus en considérant la 
méthode nécessaire pour la détermination d'une meilleure construction des 
mécanismes de ce genre, que dans ce cas les questions de la pratique mè- 
nent à plusieurs résultats théoriques intéressants pour la science, on voit 
aussi que les méthodes inspirées par la pratique présentent un moyen 
pour résoudre de nouvelles questions théoriques intéressantes même indé- 
pendamment de leur valeur pratique *). 

La construction des cartes géographiques présente un autre exemple 
des questions de ce genre particulièrement remarquable. Dans l'état actuel 
de la théorie des cartes géographiques on peut indiquer un nombre infini 
de différents procédés de les construire de telle sorte que les éléments 
infiniment petits de la terre conservent sur la carte leur forme originale. 
Mais d'après la propriété de la surface sphéroïdale de la terre le rapport 
d'agrandissement des différents éléments doit être nécessairement va- 
riable, donc les éléments égaux de cette surface pris dans différents lieux se 
présentent sur la carte avec diverses dimensions. Plus les changements du 
rapport d'agrandissement sont considérables plus la carte est altérée. 
Comme l'amplitude de ces changements du rapport d'agrandissement dans 
'étendue d'une même partie de la surface terrestre est plus ou moins consi- 
dérable en rapport avec la projection admise de la carte, la question sui- 
vante se pose d'elle même: 

Pour quelle projection ces changements du rapport d'agrandissement 
sont ils les plus petits? 



*) Ainsi nous trouvons ici entre autres la solution de la question suivante: 

«La fonction entière x^ -h Ax*'^ — ^ h- Bx^~^ ■+■ Cx^~*-*- ...-*- H varie évidemment 

avec x; quel est le moindre degré de ses changements?» Et puis «pour quelles valeurs de 

A, B, C,. . . fl" atteind-elle cette limite?». 

La solution de ce problème mène à beaucoup de résultats intéressants de l'Algèbre 

Supérieure. Par exemple: 

1) Si l'on a /(a;) = a;*» -+- Bx^—^ -h Cx"'—^ -4- -*- H on trouvera entre les limites h et 

^±4 T/dt|/(^) au moins une racine de l'une des équations /(») = 0, /(a;) = 0. Le signe 

du radical est déterminé par le signe de la fraction — éhrk • ^îette proposition a une applica- 
tion importante dans la théorie de la séparation des racines par la méthode de Fourier. 

2) L'équation a;^» -*- i + Ba;2«— i -+- Ca;^"— 3 -^ . . . -\-Hx±K—0 & toujours une ra- 
cine entre les limites 

2*1-1-1 2n-i- l 

d'où il résulte la propriété suivante des équations: 

Dans l'équation a;2"-+-i -*- J5a;2»— i -+- Gx^^—^ -+-...-*- flic ± ^ = 0, ne contenant que 
les degrés impaires de a;, où K est compris entre — 2 et -*- 2, on trouvera au moins une racine 
entre les mêmes limites. 

16 



— 242 — 

Dans une Note, lue par moi dans la séance du 1 8 Janvier à l'Académie 
Impériale des sciences, j'ai montré que cette question, traduite en langue d'Ana- 
lyse, se ramène à un problème particulier des maxima et des minima, essen- 
tiellement différent de ceux qui se trouvent résolus dans le calcul différentiel 
et dans celui des variations. Ce problème est semblable à ceux qui ont été 
l'objet de mon Mémoire ci-dessus mentionné sur le parallélograme de Watt, 
mais se rapporte à un ordre supérieur de pareils problèmes: on cherchait 
là certaines quantités constantes tandis qu'ici il faut trouver deux fonctions 
inconnues, ce qui correspond à la détermination d'un nombre infini de quan- 
tités constantes. Cela établit entre ces problèmes une distinction analogue 
à celle qui existe entre les problèmes du calcul différentiel et ceux du 
calcul des variations. Ce sujet est d'autant plus intéressant sous le rapport 
théorique qu'il se ramène à l'investigation d'une équation aux dérivées 
partielles extrêmement remarquable, qui exprime, p. ex., aussi l'équilibre 
de la chaleur dans les membranes infiniment minces. Ainsi la question 
sur la meilleure projection est liée à la propriété remarquable de la chaleur, 
à savoir: lorsque la chaleur est en équilibre dans une membrane circulaire 
infiniment mince, la température au centre est une moyenne des tempé- 
ratures dans tous les points de la circonférence; une proposition semblable 
est vraie pour la sphère: la température au centre est une moyenne des 
températures à la surface. 

La solution définitive du problème de la meilleure projection est très 
simple: la meilleure projection pour la représentation d'une certaine partie 
de la surface terrestre sur une carte est celle dans laquelle le rapport 
d'agrandissement conserve une même valeur sur la limite de la région 
représentée, valeur, qu'il est aisé de déterminer d'après la valeur normale 
du rapport d'agrandissement. Quant à la détermination de la projection 
ayant la propriété ci-dessus, elle se ramène à la solution d'un problème 
ordinaire dHntégration des équations aux dérivées 'partielles^ lorsqu'on donne 
la valeur de l'intégrale sur le contour, à l'intérieur duquel elle doit rester 
finie et continue. 

On trouvera ainsi la meilleure projection pour représenter chaque 
pays sur la carte. Cette projection sera déterminée par la position du pays 
par rapport à l'équateur ainsi que par la forme de sa frontière. De plus, 
les parallèles et les méridiens se représenteront par diverses courbes qui 
seront peu différentes de cercles et de droites, si on projette une partie peu 
considérable de la surface terrestre. On construit sans aucune difficulté ces 
lignes par points. Les cas, dans lesquels les méridiens et les parallèles se 
représentent exactement par cercles et par lignes droites sont particulière- 
ment remarquables; la construction des cartes de petites dimensions en de- 



— 243 — 

vient plus facile. Lagrange, dans ses Mémoires «Sur la construction des 
cartes géographiques», a déterminé toutes les projections où cette circon- 
stance a lieu. D'après les propriétés générales de la meilleure projection 
il est aisé de montrer pour quels pays ces projections seront les plus avanta- 
geuses: les contours de tels pays seront déterminés par des points pour les- 
quels le rapport d'agrandissement dans ce genre de projections conserve une 
même valeur. Les contours des pays déterminés de cette manière repré- 
sentent en général des courbes assez compliquées. Mais en diminuant les 
étendues des régions représentées sur la carte, ces courbes se simplifient et 
se rapprochent rapidement des ellipses, dont elles ne s'écartent qu'insen- 
siblement quand on représente des régions même assez considérables, telle 
que, par exemple, la partie Européenne de la Russie. Ces ellipses ont 
certaines positions déterminées: leur centre se trouve au centre de la 
projection et un des axes longe le méridien. Le rapport des axes de ces 
ellipses se détermine par la position de leur centre par rapport à l'équateur 
et par une quantité particulière nommée par Lagrange exposant de la 
projection. 

Inversement pour représenter sur la carte une partie de la surface 
terrestre, pas trop grande et limitée par une pareille ellipse, on peut trouver 
le mode de projection qui changerait les parallèles et les méridiens en 
cercles ou lignes droites et donnerait la représentation se rapprochant de la 
plus parfaite. Il faut pour cela, d'après ce que nous avons 'dit plus haut, 
prendre le centre de la projection et son exposant d'une manière conve- 
nable, tenant compte de la position du pays et de la forme de ses contours *). 

C'est pour cela que les cas particuliers des projections effectuées avec 
la conservation de la similitude des éléments infiniment petits, telles que^ 
par exemple: la projection stéréographique, polaire et horizontale, les pro- 
jections de Gauss et de Mercator, qui se déduisent toutes de la méthode 
générale dans les hypothèses particulières à l'égard de la position du centre 
de la projection ou de son exposant, ne peuvent donner la représentation 
se rapprochant à la plus parfaite que pour certains cas particuliers. 

Ainsi si l'ellipse mentionnée se transforme en un cercle, l'exposant 
devient égal à 1, et la meilleure projection se ramène en général à la pro- 
jection stéréographique horizontale, qui se transforme eu projection polaire, 
lorsque le centre du cercle coïncide avec le pôle terrestre. En diminuant 



*) L'exposant de la projection se détermine par la formule 1/ 1 -^^^-j^ ' 

la latitude du centre et n le rapport de l'axe dirigé suivant méridien à l'autre axe. 

(Voir ma Note: «Sur la construction des cartes géographiques», lue à l'Académie le 
18 Janvier). 



— 244 — 

l'axe de l'ellipse dirigé suivant le méridieD, la meilleure projection se rap- 
proche de celle de Gauss. Cette projection se transforme en celle de Mer- 
cator, en rapprochant le centre à l'équateur. 

Il est évident, que pour obtenir la meilleure carte des différents pays il 
ne faut pas se borner à un ou à quelques procédés particuliers de la pro- 
jection, mais il est nécessaire de faire usage de la méthode générale, en 
choisissant chaque fois d'une manière convenable le centre de la carte et la 
valeur de l'exposant. 

D'après ce qui a été dit plus haut, on fait aisément ce choix pour la 
représentation d'une telle région de la surface terrestre dont le contour est 
une ellipse avec un axe dirigé le long d'un méridien. Mais la pratique ne 
donne jamais des cas si simples; les contours des divers pays ont toujour la 
forme de courbes extrêmement irrégulières. Malgré cela, pour la meilleure 
représentation d'un pays peu étendu ou peut déterminer la position du 
centre de la projection, ainsi que la valeur de l'exposant, en comparant 
la forme du contour du pays avec une ellipse ou quelque autre section 
conique. Il suffit pour cela d'avoir seulement une représentation approxima- 
tive du pays, pour la carte duquel on cherche la meilleure position du centre 
et la meilleure valeur de l'exposant; on peut donc employer ici une carte 
construite d'après une méthode quelconque. 

On peut, à proprement parler, faire ici trois hypothèses différentes qui 
donnent lieu à trois solutions différentes; mais en les comparant entre elles 
il n'est pas difficile d'en trouver la plus avantageuse. Premièrement: on 
peut considérer la région projetée comme une partie de l'espace limitée par 
l'ellipse ayant son axe le long du méridien; cela correspond toujours à la 
solution la plus avantageuse pour les pays dont la plus grande extension 
dans la direction des méridiens et des parallèles se trouve sur ceux qui 
passent non loin du centre. Ce cas se rencontre le plus souvent dans la 
pratique. 

Deuxièmement, la région projetée peut être considérée comme la partie 
de l'espace entre deux ellipses, hyperboles ou paraboles disposées sembla- 
blement. Cela peut donner la solution la plus avantageuse pour représenter 
seulement des régions courbées en forme de faucille ou présentant une bande 
étroite inclinée par rapport aux méridiens et aux parallèles. 

Troisièmement, la région peut être comparée à l'espace compris entre 
les branches de 2 hyperboles inverses: ce qui correspond aux pays dont les 
contours sont considérablement concaves par rapport au centre *). 



*) Pour l'espace qui est limité par une ellipse ^ -^ f^ = 1 dans la projection stéréogra- 
phique horizontale de rayon = 1, la limite des écarts du rapport d'agraudis8ement(]a différence- 



— 245 — 

En nous arrêtant à la première supposition, à laquelle se rapporte la 
plupart des cas, qui se rencontrent dans la pratique, nous remarquons que 
de toute la multitude des ellipses, qui peuvent être circonscrites autour de 
la région représentée, la projection la plus avantageuse sera déterminée par 
la plus petite de ces ellipses, si nous prenons pour mesure de comparaison 
des différentes ellipses la longueur du diamètre moyen, qui est également 
incliné vers les deux axes. 

Il n'est pas difficile de trouver, d'après la forme du contour de la 
région représentée, les points sur lesquels cette ellipse sera appuyée, et de 
construire par ces points ses axes et son centre. Le centre de cette ellipse 
sera la position la plus avantageuse du centre de la projection. La position 
de ce centre et le rapport des axes de l'ellipse détermineront le meilleur 
exposant. — Tout cela se rapporte, à proprement parler, à la représentation 
sur la carte des contrées très petites; mais il est aisé de trouver pour des 
régions plus vastes par la méthode générale d'approximations successives des 
corrections dans la position du centre de la projection et dans la valeur de 
l'exposant. De cette manière sera déterminé le meilleur procédé de con- 
struction de la carte d'un pays donné dans laquelle les parallèles et les 
méridiens conservent leur forme circulaire. 

Nous voyons de là, que la construction des cartes géographiques appar- 
tient aux questions de la pratique qui se résolvent différemment pour divers 
pays. Le procédé de construction avantageux pour la représentation de la 
France, de l'Allemagne où de l'Angleterre peut être désavantageux pour 
la Russie. D'ailleurs la Russie, à cause de son étendue, présente des diffi- 
cultés particulières pour sa représentation sur la carte; par cette raison le 
choix de la projection, qui correspond le mieux à son étendue, à la forme 
de ses frontières et à sa position par rapport à l'équateur a une importance 
particulière. Sans parler des cartes qui embrassent toutes les parties de la 
Russie, les cartes de ses différentes parties donnent des changements très 



entre ses valeurs, la plus grande et la plus petite, divisée par sa valeur moyenne) s'exprime ainsi 
^^^; pour l'espace entre deux ellipses ^-»-|^=X2,^-i-|2 = l cette limite est égale 

^^.Ji. ; entre deux hyperboles |, _ | ^ XS |, - f, ^1 elleest égaleà ^^^^^T^; 

entre deux paraboles x^ = 2 py -\- a, x^ = 2py~hoL^ elleest égale à2(a — a^); enfin dans 

a;2 2/2 x^ y^ __ 

l'espace entre deux branches de deux hyperboles inverses -^ — Ti = ^'' "^""52 — ~^ 

la limite des écarts du rapport d'agrandissement est égale à V(a2 — feZ) • ^^^ résultats se 

déduisent des dernières équations de la Note citée, et ils sont exacts à tg3 — près, où u est la 

distance angulaire des points de la région projetée jusqu' au point qui est pris pour centre de 
la projection stéréographique. 



— 246 — 

sensibles du rapport d'agrandissement. Ainsi, en représentant sur la carte 
par la méthode de Gauss tout ce qui appartient à la Russie de ce côté des 
Monts Durais, ou admet des changements du rapport d'agrandissement qui 
surpassent ^, ce qui donne pour la mesure des surfaces une différence d'une 
lieue carrée sur dix, une erreur très considérable. L'erreur de la carte de- 
vient plus petite dans la projection stéréographique horizontale avec un 
centre convenablement choisi, mais ici encore les différences du rapport 
d'agrandissement atteignent ^, ce qui donne pour la mesure des surfaces 
une différence d'une lieu carrée sur dix-sept. Ces erreurs ne sont pas assez 
petites pour qu'on puisse les négliger; le moyen pour les diminuer consiste 
dans la détermination de la projection qui correspond mieux à la forme et 
à la situation du pays représenté. 

En examinant cette partie de la Russie sur la carte, nous remarquons 
que le contour général de ses frontières est loin de s'approcher des ellipses 
dont l'axe est dirigé le long du méridien, et dans ce cas il n'est pas possible, 
comme nous l'avons déjà vu, d'atteindre la meilleure représentation sur la 
carte en laissant les méridiens et les parallèles circulaires ou rectilignes. 
Une pareille simplification dans la construction de sa carte conduit à une 
diminuation considérable du degré de la régularité de la représentation. 
Pour atteindre la représentation la plus précise, il faut déterminer, d'après 
ce qui a été dit plus haut, le procédé de projection par l'intégration d'une 
équation particulière. Cette intégration devant se faire sous une condition 
qui dépend de la forme des contours et ces contours étant des courbes très 
compliquées, l'intégration exacte est évidemment impossible. Mais la pratique 
ne l'exige pas. Il lui suffit de se borner dans les changements du rapport 
d'agrandissement aux dixmillièmes, et dans ce cas tout se ramène à la déter- 
mination de quelques coefficients, qui sont faciles à calculer, avec une approxi- 
mation suffisante pour la pratique, d'après la forme du contour, quelque 
décourbé qu'il soit. Quant aux parallèles et aux méridiens, on peut les 
construire sans difficulté par points. 

Passant aux procédés les plus simples de la construction des cartes, 
où les parallèles et les méridiens sont des cercles et des droites, nous re- 
marquons que les domaines de la Russie de ce côté des Monts Ourals, y 
conclus le Caucase et la Géorgie, s'étendent plus du nord vers le sud que 
de l'est à l'ouest. On ne peut donc pas comparer cet espace avec un cercle 
et d'autant moins avec une ellipse dont l'axe dirigé du nord vers le sud est 
très petit en comparaison avec l'axe dirigé de l'est à l'ouest. Par consé- 
quent, d'après ce qui aété dit plus haut, ni la projection de Gauss, ni la pro- 
jection stéréographique ne correspondent pas à la figure de la région pro- 



— 247 — 

jetée. Nous remarquons, en appliquant dans ce cas la méthode indiquée par 
nous pour la détermination du centre et de l'exposant de la projection, que 
le centre de la plus petite ellipse se trouve entre Jaroslafif et Ouglitch sur 
la longitude 57° et la latitude 57° 36'. Cette ellipse, ayant son axe dirigé 
le long du méridien, embrasse tous les domaines de la Russie jusqu'aux 
monts Ourals, inclusivement avec le Caucase et la Géorgie, et le rapport de 
ses axes est égal à ^q- Prenant pour base cette ellipse nous trouvons qu'à 
la projection la plus avantageuse correspond l'exposant 1,0788*). Cette 
valeur diffère moins que d'une dixième de 1 qui est l'exposant de la pro- 
jection stéréographique. Néanmoins cette différence a une influence considé- 
rable sur le degré de précision de la construction. Nous avons vu que la pro- 
jection stéréographique, dans le cas de la position la plus avantageuse du 
centre, donne pour l'espace de la partie considérée de la Russie l'écart du rap- 
port d'agrandissement égal à ^. Prenant la valeur trouvée 1,0788 comme 
exposant de la projection et son centre entre Jaroslaff et Ouglitch (longitude 
57°, latitude 57°42'30"), nous avons obtenu une carte de cette partie de la 
Russie dans laquelle les écarts du rapport d'agrandissement ne surpassent 
pas r^. C'est la plus grande exactitude qu'on puisse atteindre avec des 
parallèles et des méridiens rectilignes ou circulaires. 

D'une manière semblable, Messieurs, la plupart des questions de la 
pratique se ramène à des problèmes des maxima et des minima, tout à fait 
nouveaux dans la science, et ce n'est que par la solution de ces problèmes 
que nous pouvons satisfaire aux exigences de la pratique, qui cherche par- 
tout le meilleur et le plus avantageux. 



*) La formule de la note *) donne, en posant l = 57°36', «^1,7, pour l'exposant de la 
carte la valeur 1,0675. Nous trouvons, en calculant les corrections, qu'il faut, ajouter 0,0113 à 
cette valeur; pour la latitude du centre de la projection on trouve 57°3G' -+- G'30" = 57°42'30". 
Sa longitude reste égale à 57°. 



SUR 



LA SURiU DU LAuJaAcNv^cJexx 



(Bulletin de la Classe Physico-Mathématique de rAcadémie Impériale des Sciences de 

St. -Pétersbourg, Tome XV, 1857, p. 289 — 807. Journal de Mathématiques pures et 

appliquées. Il série, T. II, 1857, p. 166—183; sans le dernier §.) 



(Lu le 30 janvier 1857.) 



Sur la série de Lagrange. 

§ 1. L'intégration par parties donne la série de Taylor et le terme 
complémentaire avec une extrême facilité; que manque-t-il à cette méthode 
pour donner d'une manière analogue la série plus générale, due à La- 
grange? Toutes les méthodes d'après lesquelles on parvient à la série de 
ïaylor sont plus ou moins susceptibles de donner la série de Lagrange; 
la méthode d'intégration par parties est la seule qui présente une exception. 
En cherchant à combler cette lacune, nous avons reconnu qu'il ne s'agissait 
que de donner une certaine extension à la méthode de réduction des intégra- 
les, connue sous le nom d'intégration par parties^ extension qui parait être 
utile dans plusieurs autres cas. 

L'intégration par parties se réduit à l'identité 

^0{x)^{x) dx = a {x) ^^{x) dx — \ 0'{x) [ J'| {x) dx} dx. 

Si l'on ne séparait point les facteurs du produit {x) '^ (a;), on pourrait 
écrire cette identité de la manière suivante: 

\0{X)^ [x) dx=jû {x') ^ (x) dx'-\ ^^' ("2:-^ ^""'^ ^^^ dx, 

en supposant qu'on supprime les accents de x et x" après avoir fait les 
opérations, qui se rapportent exclusivement à ces quantités. 

Or, en représentant sous cette forme l'intégration par parties, on re- 
connaît sans peine que rien ne s'oppose à ce qu'on l'applique au cas, où le 
produit Û {x') ^ {x) est remplacé par une fonction quelconque de deux lettres 
X et x\ C'est là le cliangement nécessaire pour qu'on puisse en tirer la série 
de Lagrange par le même procédé qui conduit à la série de Taylor. 
L'énoncé de cette réduction peut se faire en ces termes: 
Si Von convient de ne distinguer x et x" de x que dans les opérations 
qui se rapportent exclusivement à x ou x, on a 

(1) jf{x', x") dx =jfix', x") dx' _^mi^^ dx. 



— 252 — 

Il n'est pas difficile de remarquer que la réduction des intégrales, dont 
nous venons de parler, ne dififère que par son énoncé de celle que M. Ber- 
trand a donnée dans le VIII Tome du Journal de Mathématiques pures et 
appliquées de M. lÀouvïlle. 

Pour montrer la manière de se servir de cette réduction, supposons 
qu'il s'agisse de réduire l'intégrale 

J (cos ic -♦- e"^) dx. 

On commencera par mettre l'expression cosa;-i- e^ sous la forme d'une 
fonction de deux lettres x\ x\ ce qu'on peut faire, évidemment, de diffé- 
rentes manières. Si l'on s'arrête au cas, où l'on donne un accent à x sous 
le signe de cosinus et deux accents à l'exposant de e, l'expression 



devient 

cos X -f- e^'\ 

et alors, d'après la formule (1), on aura 

J (cos X H- e* )dx—j (cos x -i-e^ )dx — J -^'^ ^, — - — dx 

= siu X -+- X e^" — jx e^" dx, 

ou, en supprimant les accents, 

J(cos X -+- e^) dx = sin a; -H xe'^ — jxe^ dx. 

En intégrant par rapport à x nous avons pris pour constante zéro; mais 
rien n'empêche de prendre une valeur quelconque, qui peut être même une 
fonction de x'. Pour s'en assurer on n'a qu'à remarquer que la formule (1), 
étant différentiée par rapport à x, se réduit à cette identité 

f(^' J'\ — f(rr' rr"\ . dSf{x\x")dx' dSf{x',x")dx' 

§ 2. Passons maintenant à la démonstration de la série deLagrange. 
Nous supposerons qu'on ait 

X — a = ri^{X), 

et que l'on cherche le développement de F{X) suivant les puissances crois- 
santes de Y). 

Imitant la marche ordinaire qui mène à la série de Taylor, mettons la 
valeur F{X.) sous la forme 



F{X) = F {a) -I- f F' (x) dx. 



— 253 — 

Puis, remplaçant dans la dérivée F' {x) la lettre x par x\ nous trou- 
vons d'après la formule (1) 

J F' {x) dx = \F' {x") dx = j F' (x") dx - \ ^'^^'^^'y""' dx 

^iaf^OF'ix^-^'^^^^^P^dx, 
ce qui donne 

J- F' (a:--) dx = (x- - « - ^9 (aO) F' {x") _ J " (^' - « -_g(x"» '■" ¥' ) ^^^ 

en prenant 

= — a — ïjcp [x). 

Remarquons en passant que cette valeur de G présente une grande 
analogie avec celle que l'on emploie dans le même cas, en cherchant la série 
de Taylor. 

Si l'on applique de nouveau la formule (1) à l'intégrale 

J dx" ' 

on parvient à la réduction 

J dx" 
çd{x'~a-r^^>{x"))F'ix") ^j T* J ^ 



dx" 



■1^ 



d [x'— a — r](f> {x")) F' {x") ^^, 



dx — rr, dx 



_ 1 d(x'-a-T,cp{x"))^F'{x") 1 Ç d^ix'-a-rtCi>(x")YF'{x") , 

— 2 ' dJ^' Y J (d^T 

Il ne reste qu'à poursuivre la même marche et l'on obtient successi- 
vement 



r dHx'-a-ricf>{x")yF'ix") ^^ 
J (dx")'^ 



[dx"f 

_1_ ^2 (x' — a — Y]9 {x")Y F' {x") l_ r d^{x' — a — ri<s?{x")YF'{x") , 

"~ 3 {dx"f 3 J [dx"Y ^^' 

j* d^ (x' — a — -ricp {x")Y F (x") ^^ 

__ 1 d^{x' -a-ri<^{x")YF'{x") 1 [• d* (x'- n - -.jy {x")y F' [x" ) . 

4 {dx"f 4 J [dx"f 

et ainsi de suite. 

La substitution de ces valeurs donne pour l'intégrale indéfinie 

jF\x)dx 



~ 254 — 

cette expression 

)■ F' [:X) dx = (X' — a - 7)9 [X"))F' {x") — -i ^jx' -a~-,çix"))^F'(x") ^ 

J_ d^ {x'—a-riç jx"})^ F' {x") (— l)n— i dn-l{x'-a-ri(p (x"})» F' jx") 

2.3 {dx"f •'• 2.3....n (dx"yi=~i 

_. (-1)" f W» {x' — a- ir]cp (a;'0)» F' jx" ) , 
~*~2.3....nJ [d^ «^• 

Eu passant à l'intégrale définie 

I F (x)dx, 

on reconnaît d'abord que pour x = x =x" = a les termes hors du signe 
d'intégration deviennent 

-712^ w^w-Y d^ o d^5 ••••~2:3Z^ rf^^ï=ï — • 

Ensuite, pour x = x =x" = X^ X étant racine de l'équation 

X — a = Y)cp(Z), 

ces termes se réduisent tous à zéro à cause du facteur x' — a — y]<p {x") qui 
y reste, malgré toutes les dilïérentiations, et qui s'annule, en vertu de 
l'équation précédente, pour x = x" = X Donc 

Ç^-wi' ^ X j 7'/ \ / X r)2 dl<^' (a) 92 (a) ^3 d^ F' (a) <f'^ (a) 

]J^ {x}dx = 7il^ {a)cp{a)-t-\ Up_^_t-J_- ^ï^T-^-^ -»- 

^" d''-'F'ia)ci>n{a) (-If r^ d^ jx' - a -■r^<i> {x"))» F' (x") , 
2.-à....n d«"-i "*"2.3....nJ^ (rf^T ' 

et par conséquent 

F{X) = F{a)-t- Çf' {x) dx = 

•' a 

-hu \ 7V/ X / X 7)2 dF' («) ©2 (a) 758 rZ2 i<^' (a) 93 (a) 

10» d»-iJ"(a)y»(a) (-1)« f d^ ( x'-a—ti^[x"))^ F' jx") . 
~*~2.3....n da"-i "^2.3....«J^ {dx")^ 

Ainsi l'on parvient à la série de Lagrange 
F(X)^ F(a) H- ,1 7/ (a) ^ (a) + ^ I^^IM -^ 

T)3^ d2F^(a)<p3(a) Y]» (Z»-iK(a)y»(a) 

"*"2.3 da* ~*~* ; • •~*"2.3... n da»»-i 



— 255 — 
et l'on voit que le terme complémentaire a pour valeur 

(—1)" Ç^ cl"' {x' — a — -f](p (x^O)» F' jx") 



2.3... 



_ f d» jx'-a- T)cp jx"))» F' jx") . 
n J ^ {dx")» ' 



où on supprimera les accents de x et x" après avoir fait les différentiations 
par rapport à x". Cette valeur peut être, évidemment, présentée sous cette 
autre forme: 

1 f^ d» (T19 (x -H t) -f- g - xr F' (x -+- i) ^:,^ 

2.3. ...n J „ d^ ^^' 

en faisant ^ = après les différentiations. 

D'après ce que nous venons de voir la formule 

p/A'x 7v N iy/\ / ^ ri^dF'{a)<9-^{a) -q^ d^ F' (a) (i>^a) 



2.3 .. .n da"— ^ 



(-ir r d"{x'~-a-ri^>{x"))^F'{x') . 
"2.3. ...nj, (^?ÏT 

subsiste également pour toutes les valeurs de X qui vérifient l'équation 
X — a = Y)cp(X). 
Mais les premiers termes 



de cette expression, qui constituent le développement de F{X) d'après la 
série de Lagrange jusqu'à la {n-\- 1)^ puissance de t], ne donnent effecti- 
vement sa valeur, exacte aux quantités près du même ordre, que si le terme 
complémentaire 

(-1)" ^^ dn(x'-a-r^c^{x"))^F'{x") . ^ 
2.3. . . . n J ^ {dx"y^ 

1 f ^ d^ (t)(p {x + i)-t-a~ x)" F' {x-i-i 



2.3. 



_ r ^" (^9 {x-hi)-t-a~ x)" F' jx^i) ^^ 
. n J di'"' 



devient, pour t\ petit, de l'ordre y]""*"^ ou d'un ordre supérieur. Or, il est 
facile de remarquer, que cela a lieu nécessairement, tant que X est celle 
des racines de l'équation 

X-a = 7i<i>{X), 

qui se réduit à a pour y) = 0; car dans ce cas, en vertu de l'équation 

Z — a = 7j<p(Z), 



— 256 — 

la diflféroiice X — a est une quantité de l'ordre t), et par conséquent, l'in- 
tégrale 

r^ (7» (T^y {X -H t) -*- a- x)n F' {x -4- i) ^^^^ 

OÙ X — a reste compris entre et X — a, a tout au plus une valeur de 
l'ordre 7)"^'. 

§ 3. Le terme complémentaire, que l'on vient de trouver, permet 
d'assigner la limite du reste dans les développements construits d'après la 
formule de Lagrange et arrêtés à un terme de rang quelconque. Nous 
allons en donner des exemples sur les développements bien connus de rano- 
malie excentrique et du rayon vecteur selon les puissances croissantes de 
r excentricité. 

Pour le développement de V anomalie excentrique il faut poser dans nos 
formules 

F{x) ^=x^ ^ {x) = sin X, 

en supposant que X désigne Vanomalie excentrique^ a Vanomalie moyenne et 
Y) V excentricité. 

Dans ce cas l'équation 

X — a = 7)9 (X) 
devient 

X — « = 7) sin X 

et le terme complémentaire du développement de F(X) = X, prolongé 
jusqu'à Y]", s'exprime ainsi: 

2.3. ..«J, dî^ ^^' 

en prenant i ^ 0. 

Or, comme l'expression 

1 d" (y) sin (a; -t- -4- g — a;)" 
2.3. ...n dt» ' 



pour i = 0, n'est que la valeur de l'intégrale définie 

j_ j-^" / t] sin {x -4- reP^-^) -t- a - x \» 
2^Jo V »• / 



W--^)^a-x\" ,-npV-l. 



r étant une quantité quelconque, ce terme complémentaire peut être mis 
sous cette forme: 



— 257 — 

Pour assigner la limite que cette expression ne peut surpasser, nous 
allons chercher la plus grande valeur que peut avoir le module de 

[t) sin (x -*- r(^'^~^) -t-a — x]^ 

pour X compris entre a et X, racine de l'équation 

X — « = Tf) sin X, 

ou, ce qui revient au même, pour a compris entre x — yj sin a; et x. 
En dénotant par R le module de cette expression, l'on trouve 

R=[-fl sin {x -¥- re^^~^) -h- a — x] [tj sin {x -+- re"**^"^) -t- a — x], 
d'où, en cherchant la valeur de -^ , on a 

La valeur de -^ étant positive, on conclut que le maximum de R ne 
peut avoir lieu que pour les valeurs extrêmes de a, savoir: 

az=x, a = x — Tf) sin a;. 

Or pour a = a; là valeur de R devient 

Y) sin (ic -*- r€P^~^) . tq sin {x -\- re~^^~^), 
ce qui se réduit à 

^[cos(2ry — Isin^) — cos(2a;-H 2rcosp)] = 

ri2 re2r sin p _|- g-2r sin p "l 

~ 2 L ^ ^^^ (^^ "*" cos^n , 

et la plus grande valeur de cette expression a lieu, évidemment, pour 
sin ^ = 1, cos {2x h- 2r cos ^) = — 1, ce qui donne pour le maximum de 
R cette valeur: 

En prenant pour a son autre valeur extrême x — y) sin a;, on trouve 
que R devient 

yf [sin {x -+- re^^^~^) — sin rc] [sin (a; -h re"^^"^) — sin a;], 



— 258 — 
ce qui se réduit à 

4^2 eos (:, -+- 1 a'^'-') sin (I e"^-') . cos (a; -4- 1 e-'v'-') sin (I e-"^- ') ; 

et comme 

2 cos(a;-*- -^ e'^"^) cos (x-t-^ e-^'^~'^) = cos{rV — 1 sin^)-f-cos(2ic -*-rcos^) 

gr sin p ^- e— r sin p . 

= 1- COS {2x H- r cos_p), 

2 sin (y e^^-A sin ( -^ e"''^"^) = cos (r V — 1 sin p) — cos (r cos j9) 

on trouve pour E cette valeur: 



gr 8inp-4- e-r sinp 

: cos (r COS^), 



où. 

^__ e»-8mp-He — COS (r COS 2?), 

gr sin p_i_e-r sin p 
iSi= 2 *" ^^S (22^ -*- ^ COSp). 

On parvient facilement à reconnaître que cette valeur reste toujours 
au dessous du maximum de R que nous venons de trouver pour x = a. 
En effet, en chercliant les valeurs de p, pour lesquelles l'expression 



-cos(rcosjp) 



peut devenir maximum ou minimum^ on trouve l'équation 

fn\ e»" sin p_e-r sin p 

(2) 2 cos_p — sin(rcos^)sm^ = 0. 

Cette équation se vérifie évidemment quand on fait 

sin^ = ou cos^ := 0, 

et hors ces cas, elle ne peut être satisfaite; car, tant que sin p est différent 
de zéro, on a 

/gr sin p_e-r sin p\2 ^ „ . „ 

( ô ) >^^sm^^, 

et comme 

sin^ (r cos^) < r^ cos^ j^, 



— 259 — 
cela suppose 

/er8inp_e-rsmp\2 

i 2sin(rcosi.) ) > *^"^^' 

tandis que l'équation (2), pour cosp différent de 0, donne 

erainp — g—r sin p 

2sin(rcosp) =^^^SP' 
Donc, les maxima et les minima de l'expression 

grsinp-i-e-rBin 

^ ^ _ cos (r cosp), 

ne peuvent avoir lieu à moins qu'on n'ait 

cos^ = ou sin^ = 0. 
D'après cela, en remarquant que l'expression 

gr sin p H- g-r sin p 

5 cos {r cosjp) 



devient 






1 — cos r = 



2 2.3.4 2.3.4.5.6 



2 2.3.42.3.4.5.6 



selon qu'on prend cos ^ = ou sin i? = 0, et que la première valeur sur- 
passe la seconde, nous concluons que c'est cette valeur qui est le maximum 
de l'expression 

gr sin p_f-e-r sin p 

S= ^ COS (r COS ^). 

Mais comme l'autre facteur 

S^= ^'^"°^"*^^~'^"°^ H- cos [2x -H r cos^) 
de la valeur de R = 'f\^ SS^ ne peut être évidemment au dessus de 

il suit que cette valeur de B ne peut surpasser la limite 

17* 



— 2G0 — 
et, par conséquent, qu'elle est inférieure à 

ce qu'il s'agissait de prouver. 

Ainsi l'on parvient à reconnaître que la plus grande valeur que peut 
avoir le module de l'expression 

[t] sin (x -+- re^~^) -t-a — xY 

pour X compris entre a et X, racine de l'équation 

X — a = '>()sinX, 
est celle-ci: 

Il en résulte que l'intégrale 
qui représente le reste de la série en question, est au dessous de cette valeur: 

M 

Cette limite du reste sera plus ou moins grande selon la valeur de r. 
Mais comme r est tout-à-fait arbitraire, rien n'empêche de le choisir de 
manière que la limite 

devienne la plus petite possible, et, par conséquent, la plus proche de la 
vraie valeur du reste. On y parvient, en prenant pour r une valeur qui 
rende minimum l'expression 

V 2r j ' 

OU, ce qui revient au même, maximum celle-ci: 



— 261 — 

En dénotant par Je le maximum de cette expression, on aura pour la 
limite du reste la valeur 

et comme la différence X — «, en vertu de l'équation 

X — a = Tj sin X, 
ne surpasse pas y], on peut prendre pour cette limite l'expression suivante: 

Quant à la valeur de ^, on trouve que le maximum de 



a lieu pour r, racine de l'équation 

et que la valeur approchée de ce maximum est 0,66274. Donc 

/!;=: 0,66274. 

§ 4. Pour trouver la limite du reste dans le développement du raijon 
vecteur^ on prendra 

F(x):=\ — Y)Cosfl7, 9 (a:) = sin ic, 

en supposant toujours que X désigne Vanomalie excentrique^ a Vanomalîe 
moyenne et y) V excentricité. 

Ces valeurs de F{x) et 9 (^), en s'arrêtant dans la série deLagrange 
au terme 

?)» (j"— iF^(a)q)»(a) 
2.3 n da»— A » 

donnent pour le reste 

1 f^ d^ [y) sia [x H- i) (y) sin (a; -♦- 1) -#- a — a;)"] , 
2.3. ...n J„ W ^^' 

OÙ i = après les différentiations. 



— 2G2 — 

En suivant la même marclie que dans le paragraphe précédent, on 
mettra cette expression sous la forme 

1_ r^ r^" r. 3in {X -^ reP^-'^) (t] sin jx -t- ref^-^) h- g - a;)" ^-npV-l ^ ^^ 

On commencera la recherche de la limite supérieure du reste, ainsi 
transformé, par le calcul de la plus grande valeur que peut avoir le module de 

Y] sin {x -t- re^'^~'^) (t] sin {x h- re^^~^) -t-a — a;)" 

pour X compris entre a et X, racine de l'équation 

X — a = 71 sinX 

Or, nous venons de trouver dans le paragraphe précédent, que pour ces 
valeurs de x le plus grand module de l'expression 

[t] sin {x -+- r^^-'^) -*- a — xj 
est 

et que ce module n'a lieu que pour x = a, et, par conséquent, dans le cas 
oii l'expression 

[r, sin {x -h re^'^~^) -*-a — xj 
se réduit à 

[flsmix-^reJ'y-'jf. 

Donc, la valeur rf (^^-^^y— ^)^ est la limite des modules de chacune de 
ces deux expressions 

[t) sin {x -4- r6^>'-^) -+-a — xj, [y] sin {x -+- rt^-'')Y. 
D'où il suit que le module de 

Y) sin {x -i- re^^ -^) [t] sin {x -h re^^"^) -^-a — xf 
ne peut surpasser 



— 263 — 
et par conséquent, la valeur de l'intégrale 



qui est le reste de la série en question, doit être au dessous de cette limite: 
2^J«Jo V(-^— ) dpdx = {X-a)^-^[—^-) . 



Cette limite s'approche le plus près de la vraie valeur du reste, quand 
on prend pour r la valeur qui la réduit à son minimum, ce qui a lieu pour r 
déterminé par l'équation 

"^rr^ =0, 



n-*-l / e*" -4- e— ^Y 
2rn-*-i \ 2 



)" [(/_Or-^ (/-t-a-O] = 0. 



Mais on n'augmente pas notablement cette valeur, en prenant pour r 
la racine de l'équation 

(e^ — 6~0 r — e'* — e"'' = 0, 

qu'on trouve, en faisant dans l'équation précédente n infiniment grand. 
Avec cette valeur de r l'expression 



se réduit à la quantité que nous avons désignée par k, et alors l'expression 
trouvée de la limite du reste devient 



.(X_a)(lP 



De plus, comme la différence X — a ne surpasse pas v], on peut rem- 
placer cette limite par celle-ci: 

Les limites que nous venons de trouver pour le reste du développe- 



— 264 — 

ment de Vanomalie excentrique et du rayon vecteur seraient notablement 
diminuées, si dans l'évaluation de la limite du module de 

[y] siu [x -f- re^^~^) h- a — xf^ 
au lieu de remplacer, comme nous l'avons fait dans le § 3, les expressions 

g2r8inp-H e-2r8inp gr sin p _h g-r sin p 
2 -*-!' 2 -^1' 

grsinp-HC-rsinp 

2 ^OS V COS^j, 

pour toutes les valeurs de ^, par leurs maxima 

2 ^1' 2 *-^' 2 ^' 

ou tenait compte de leur diminution, quand sin p s'approche de zéro. Mais 
malgré cette hypothèse défavorable, les limites trouvées suffisent pour mon- 
trer clairement que les développements de Vanomalie excentrique et du 
rayon vecteur, selon les puissances croissantes de V excentricité, sont toujours 
convergents, si la valeur de l'excentricité est inférieure à la limite 
^=0,66274. C'est ce que Laplace a trouvé le premier et ce que 
M. Cauchy a démontré par une méthode très ingénieuse. Ces limites suffi- 
sent aussi pour prouver que dans ces développements V erreur est toujours 
au dessous du rapport de F excentricité à 0,66274, élevé au degré égal au 
nombre des termes qu'ion retient. 

On s'en assurera, si l'on remarque que dans les expressions 



KrP' ^'-ij^r' 



que nous avons trouvées pour ces limites, les facteurs h et hr sont inférieurs 
à 1; car la valeur de h est 0,66274 etr, racine de l'équation 

e^ -#_ e~' — r {e' — e~'') = 0, 

est au dessous de 1,2. — En supposant, comme nous l'avons fait, que dans 
ces développements on arrête la série de Lagrange au terme 

2.3 n da^—^ ' 

on trouve » -h 1 ou w -+- 2 termes, selon qu'il s'agit du développement de 



— 265 — 
V anomalie excentrique ou du rayon vecteur; car dans le premier cas on prend 

F{x) = x, 
et dans le second 

F{x) = 1 — •») cos rr, 

ce qui donne un terme de plus. 

§ 5. Dans le cas de plusieurs équations simultanées de la forme 

Z — c=(ùô{X, Y,Z, ), 

la réduction des intégrales, dont nous nous sommes servis pour trouver la 
série de Lagrange, conduit directement au développement des fonctions 
de chacun des inconnus X, Y, Z,.... selon les puissances croissantes 
Y], I, o, . . . . et donne les restes de ces développements. C'est ce que nous 
allons montrer à présent sur les deux équations 

(3) Z-a = y](p(X, 7), 

(4) Y-b = ^']^iX,Y), 

en cherchant le développement de F(X). 

En suivant la marche analogue à celle qui nous a conduit à la série de 
Lagrange, nous mettons la valeur cherchée F{X) sous la forme 

(5) F{X) = Fia)-i-ÇF\x)dx, 

et nous réduisons l'intégrale 

jF'{x)dx 

d'après la méthode mentionnée, en remplaçant F\x) par F'{x'). 
Ainsi nous trouvons 

^F\x)dx = ^F\x')dx = {x'-^G)F\x)—\'-^^^^^§P^dx, 

où C, comme nous le savons, peut être une fonction quelconque de x . 
On prendra pour G la valeur 

— a — 7)9 (a;", 2/), 



— 2G6 — 
en supposant que y est fonction de x" déterminée par l'équation 

(6) y~h = mx'\y). 

Ainsi pour la valeur de l'intégrale indéfinie /' jP(a:;) dx l'on trouve 

En passant à l'intégrale définie 

ÇF'{x)dx, 

nous remarquons qu'à la limite x = X, on a 

X = X, x" = X, 
et d'après (4) et (6) 

y = Y. 

Or pour ces valeurs de x\ x" et y rexj)ression 

{x'~-a — f\<^{x%y))F'{x\ 

en vertu de l'équation (3), devient zéro. 

Quant à la limite inférieure de l'intégrale f F'{x)dx, en prenant 

•'a 

X = x' = a, 
on trouve que cette expression se réduit à 

— Y)cp(a,2/o)i^'(a), 

î/o étant la valeur de y pour x = a. — Cette valeur de y, en vertu de (G), 
sera déterminée par l'équation 

(7) 2/0 — 2' = l'M«.2/o). 

Donc, d'après la valeur précédente de J F' (x) dx il viendra 



— 2G7 — 
ou, ce qui revient au même. 

En poursuivant la même marche, nous réduisons les intégrales qui 
sont contenues dans cette valeur de l'intégrale 

^ F'{x)dx. 
En réduisant l'intégrale 

J dx" ' 



nous trouvons 



f (?(a;^ — g — Y]9 {x\ y)) F' jx") ^^ 

J 1^' "^ — 2 dx'' 



d{x' — a — ri(? jx', y)) F' jx") ^^ ^^ d{x' ~ a — ri(p jx", y)Y F' {x") 

[dx") 



1 ^ d'^{x'-a-ri<9 jx", y)Y F' [x") ^^ 

2 J (d^^ ^^' 



et comme l'expression 

x—a — t\r^{x\y\ 

d'après ce que nous venons de voir, se réduit à ou à — 7)9 {a, y^^ selon 
qu'on fait 

X = ic" = X 
ou 

x' = x" = rt, 
cette équation nous donne 

f^ d(x'-a- r,y jx", y)) F' jx") ^^ _ r^^ dF' {a)(pHa,yo) 

J „ W ax——-^ ^ 

1 r^ d^ jx'-a- Ti? jx", y)Y F' jx") ^^ 

OU, ce qui revient au même, 

d{x'-a-ri<p jx", tj)) F' jx") , r^^ dF' (a) y^ (a, 6) 



c^ d{x'-a- Tjy [x", y)) F' [x") ^^ 
J „ dx" 



— Yj' 



1 f- d-^(x'-a — r,Q?{x'\y)YF'{x') 

2 J^ [dx"r 

^dJl''F'{a)^{a,y)<?y'{a,y)ây 



— 268 — 
Passant à l'intégrale 

nous remarquons que la même méthode de réduction, appliquée à l'intégrale 

nous donne 

j F' {a)<i>'y{a,y)dy = j F' {a)<p'y{a,î/)dy 

ce qui devient 

J ^' («) 9 y («, y) dy={y—b — 1'^ (a, y"}) F' (a) cp'^ («, ^") 

si l'on prend 

G= — h — l^{a,y"). 

Comme l'expression 

y—'b — ^{a,y"), 

en vertu de (7), se réduit à pour y =iy' ^=y^^ cette réduction amène 
^y (a) rsf'y (a, y) dy = F\a) 9^ {a, h) |'^ (a, &) 

Lorsqu'on substitue ces valeurs des intégrales 

e^dF'{x')(x' — a — ric?(x",y)) j Ç^°-r)' f \ ' i \j 

]„ dx'' '"^ dx, \^F {a)<?y{a,y)dy 

dans l'expression précédent de 

f F'{x)dx, 

^ a 

on trouve pour sa valeur 

_^ 1 ^ dHx'-a-r,^[x",y)YF'{x") ^^ . ,^3 ^ jf i^^ (^) 9 K y) 9^^/ K y) ^y 

py d (y^- & - S4> (g, y^O) i^^ («) ^'u (g, y^O ^ 

^Jj dy" ^' 



— 269 — 

Si maintenant nous continuons de réduire de la même manière les inté- 
grales de cette valeur de 

ÇF'{x)dx, 

•'a 

nous trouvons que 

a-ri^ix",y))^F'{x") , „ ^f, F' (a) 9 [a, y) cp'y (a, y) dy 



1 Ç^ d^(x'-a--n^{x",y))^F'{x") ^^ . ^. 



da 

__ j-yo d(y'-l-^^ (g, y")) F' {a) ^'^ (a, y") , 
^Jj dy" ^ 

se transforme en 

ij3 d'JP^(a)<p^(a,6) 1 p^ ^3 (x' — a- T19 (a;^^ y))3 F^ {x") ^^ 

2:3 d^2 2.3j„ (Ac'O» 

^3 C?^JfF-(a)9Ma,y)q>VKy)^y ^ ^3e: ^F-(a)(p(a,b)q>-fc(a,b)^(a,b) 
"^T 1^ ^ ^ dà 

^^o d{y'-h-l^ (g, y") F' (a) y (a, y^Q y ^ (a, y^Q , 
^ d^^ 2 dh 

et ainsi de suite. 

Répétant n fois cette réduction des intégrales dans la valeur de 
f F' {x)dx et en rejetant les termes pourvus du signe d'intégration, on 

parvient à ce développement de F{X) = F {a) -+- f F'{x)dx: 






i« d"— iP'©" 



^^SFyfct})^^^ ^^ -^••••-^ 1.2....(n-l).l d^ïi=5 



,2....(n-l).l da»— 2 

Tjjg d.F^9^fc^2 (n-2)ï)»— 2§g d»-2F^(p'* — Sep^ft^l; 

"*" 1.1.2 db "*"•"•"*■ 1.2...(n-2). 1.2 do«— 3 d6 

lT]^n-i d»-2F>^fcii<»-^ 
"*"l.l.2....(n-l) d6«-2 ■' 

OÙ, pour abréger, nous avons mis 

à la place de 

F' {a), <?ia,h), 9; (a, 6), ^{a.h). 



— 270 — 

Qucant aux termes qu'on rejeté et qui déterminent le reste dans cette 
valeur de F{X), ils peuvent être présentés sous cette forme: 

(-1)» f dnu-F'jx") . nr^n d»-iff JP- (a) q>»-M«, y) 9^ (a, 2/) ^^ 

1.2.3...nJ,, (rfx'O»» *"l.2...n.l da^—i 

(»-1)ti»-i h ài/^ 

1.2...(n — l).l da^—2 

H- 1-^ r dn-i[F'{a)^'y{a,y")v^-i] , 

— 1.1.2. ..(n-l)Jj (CZ2/T-» ^' 

en faisant, pour abréger, 

X — a — y]cp (x", y) = tt, 
y' —h—ma,y") = v. 

Nous terminerons par remarquer que la valeur trouvée de -F(X), 
pour w = oo, se réduit à une série infinie qui peut être présentée symbo- 
liquement de la manière suivante: 

en supposant que dans les termes du développement de cette expression on 
mette les facteurs 



en avant de toutes les fonctions, et qu'on prenne 
pour la notation de la dérivée 



DJ" B.'-'U 



da^ dh^' ' 

Cette série présente une grande analogie avec celle de Lagrange, 
qui donne l'expression symbolique 

F{a)-^ ' ^ ' F' (a) 

pour la valeur de F{X) dans le cas de 

X— rt = T,9(X). 



m. 



SUR 



LIS QÏÏISTÏOHS m MÏHÏMi 



aux S]S KATTAGK3SMT 



A LA REPRESENTATION APPROXIMATIVE DES FONCTIONS. 



(Mémoires de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. Sixième série. 
Sciences mathématiques et physiques. Tome YII, 1859, p. 199—291.) 



(Lu le 9 octobre 1857.) 



Sur les questions de minlina qui se rattachent à 
la représentation approximative des fonctions. 



I. 

§ 1 . Tant que la variable x reste dans le voisinage d'une même valeur, 
on parvient à représenter, par les principes du calcul différentiel, une fonction 
quelconque /"(a;), sous une forme donnée, avec la plus grande approximation 
possible. Ainsi l'on trouve la représentation approximative de f{x)^ dans le 
voisinage de a; = a, sous la forme d'un polynôme de degré n^ en s'arrétant 
dans son développement d'après la série de Taylor 

rt^) = ,^(a)-H^^7'(»)-H<-^r(a)-H. . . . 

au terme YY~n^^^^' ^^ obtient de même la valeur approchée de f(x) 
sous la forme quelconque Z, en égalant à zéro pour x = a la. différence 
f{x) — Z et ses premières dérivées. — S'il ne s'agit que des valeurs de x qui 
avoisinent a, ces expressions de f(x) la représentent avec la plus grande 
précision dont elles soient susceptibles d'après leur forme. Mais cela n'a 
plus lieu, si la variable x n'est assujettie qu'à rester dans des limites plus 
ou moins étendues. Dans ce cas les recherches des valeurs approximatives 
de f(x) demandent des méthodes essentiellement différentes de celles dont 
nous venons de parler. Comme le degré de précision des valeurs approchées 
des fonctions se détermine par la limite de leurs erreurs, il est clair que 
l'on doit prendre pour la représentation de f{x) celle des expressions qui, 
parmi toutes les autres de même forme, s'écarte le moins de f{x) dans 
l'intervalle, où l'on cherche sa valeur approchée. Or les expressions approxi- 
matives des fonctions, qu'on trouve par les principes du calcul différentiel, 
ne satisfont jamais à cette condition; elles ne donnent la valeur de f{x) 
avec la plus grande précision que dans le voisinage d'une même valeur 



— 274 — 

de a;, ou, co qui revient au même, daus un intervalle infiniment resserré. 
Par conséquent, lorsque x varie entre les limites plus ou moins étendues, 
comme cela a lieu dans la pratique, on est obligé de modifier plus ou moins 
les expressions approximatives de f{x) qu'on trouve d'après les méthodes 
ordinaires. 

§ 2. Dans notre Mémoire intitulé: n Théorie [des mécanismes connus 
sous le nom de parallélogrammes» nous avons traité le cas, oii l'on cherche 
l'expression approximative des fonctions sous la forme d'un polynôme et 
nous avons donné la solution de ce problème: 

Trouver les modifications qiCon doit apporter dans la valeur approchée 
de f{x), donnée par son développement suivant les puissances croissantes 
de X — a, quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre 
x = a — h et x^=a-\-h^ h étant mie valeur assez petite. 

La solution de ce problème procure facilement les éléments des para- 
léUogrammes qui remplissent les conditions les plus avantageuses pour la 
précision du jeu de ce mécanisme. Mais en cherchant à résoudre les autres 
questions de cette espèce, nous sommes parvenu à reconnaître combien il 
est important d'avoir une méthode générale pour la solution des problèmes 
analogues à celui que nous indiquons ici, et consistant à déterminer les 
expressions qui, parmi toutes les autres de même forme, entre deux limites 
données s'écartent le moins d'une fonction quelconque f\x). 

C'est de la solution de pareils problèmes que nous allons maintenant 
nous occuper. 

§ 3. Nous commencerons par exposer un théorème général relative- 
ment à la solution de ces problèmes, qu'on peut énoncer de la manière 
suivante : 

Etant donnée une fonction quelconque F(x) avec n paramètres arbi- 
traires ^j, P2T'--Pn} ^l s^agit par un choix convenable des valeurs 

Pxi Pzi Pn ^^ rendre minimum la limite de ses écarts de zéro entre 

x = — h et x= -t-h. 

Passant aux applications de ce théorème, nous montrerons comment 
il sert à obtenir les équations qui fournissent la solution du problème, où 
l'on se propose de représenter des fonctions sous la forme d'un polynôme 
ou d'une fraction rationnelle. — En définitive, nous montrerons le parti 
qu'on peut tirer de la résolution de ces équations dans certains cas parti- 
culiers, résolution que l'on effectue à l'aide des méthodes analogues à celles 
dont on se sert dans V Analyse de Diophante, et qui donne naissance à plu- 
sieurs théorèmes algébriques d'un genre tout-à-fait nouveau. 



— 275 — 

§ 4. Remarquons encore que les cas particuliers, qui seront traités 
ici, sont très importants pour la solution de ce problème général: 

Etant donnée la valeur approchée de f{x), déduite des méthodes ordi- 
naires, soit sous la forme d'un polynôme, soit sous la forme d\me fraction, 
trouver les changements quHl faut faire subir aux coefficients, quand on 
cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre x = a — h et 
x^a-i-h, h étant une valeur assez petite. 

Mais nous ne nous arrêterons pas cette fois à ce problème, résolu 
en partie dans le Mémoire cité plus haut et dont la solution fera l'objet 
d'un autre Mémoire. 

n. 

§ 5. La fonction quelconque F{x), entre les limites x= — h et 
x = -^h, ne s'écartera pas de zéro plus que d'une certaine quantité i, 
si toutes ses valeurs depuis x= — h jusqu'à x = -t-h sont comprises 
entre — L et -i- L, et que parmi elles il y en ait au moins une égale 
à -i-i ou — L. — Supposons que cette valeur de F{x) réponde h x = x^. 
Comme F (x), pour toutes les valeurs de x comprises entre x = — h, 
X =■■-+- h, ne doit pas surpasser -+- L, ni devenir inférieure à — L, il est 
clair que la valeur x = x^, qui réduit F{x) k±L, doit être ou l'une des 
valeurs de x, pour lesquelles la fonction F{x) devient soit maximum soit 
minimum, ou l'une des valeurs limites de x, c.-à-d. x=^ -^h, x= — h. ; 
D'après cela, et en faisant abstraction du cas où la dérivée F(a:;)pour.i; = x^ < 
devient infinie, nous concluons que x^ doit vérifier l'une de ces équations 

{^jc — h) {x-\-h) = (), F'{x) = 0, 

et par conséquent celle-ci 

{x — h){x-i-h) F'{x) = 0, 
ou 

{x^^h^)F'{x) = Q. 

La même chose aura lieu pour toutes les valeurs de x qui, entre les 
limites x = — h, x = -\-h, réduisent F{x) soit à -h i, soit à — L, ou, ce 
qui revient au même, qui vérifient l'équation 

F\x) = L\ 

D'après cela, en désignant par 

X„ X^, X 



— 276 — 

les valeurs de x dont nous venons de parler, nous concluons que les équations 

(1) F^{x) = L\ {x'' — h^) F'{x) = 

auront [i solutions communes 

x = x„ x^, x^, 

où a:,, rCg,. . . .ic sont des valeurs réelles, différentes entre elles et compri- 
ses entre x= — h ^i x= -^-h. 

C'est en ayant égard à ces solutions communes des équations (1) que 
nous chercherons à déterminer les valeurs des paramètres p^^ p^i- • • Pn^^ 
la fonction F{x)^ pour lesquelles la quantité i, qui désigne, comme nous 
l'avons vu, la limite des écarts de F{x) de entre x= — ^eta; = -4-^, 
devient la plus petite possible. 

§ 6. Pour simplifier ces recherches nous laissons de côté le cas, où 
F{x) et ses dérivées par rapport h x^ p^^ p^^. . . .p^ cessent d'être finies et 
continues entre x = — h et a; = -+- /i, et dans cette hypothèse nous allons 
établir le théorème suivant: 

Théorème 1. 

La quantité L qui désigne de combien la fraction F{x) s^écarte de 
zéro entre x = — h et x = -t- h, n'est pas réduite à sa plus petite valeur^ 
si le système des équations 





dF{x,). dF{x^). 
dp, ^1 "*- dp, ^2-*-- ■ 


•-^\-o, 


(2) 


dFiX,)y _^dF{X^)y^ ^ 

dp2 1 dp^ ^ ' ' 


-T^^.-o, 








dF{x,). dF{x,). 
1 dp„ \-*- dp, ^^-^■' 


■■^z^\-^ 


n'a pas d'autres solutions que 






x, = o, x, = o,. 


...\=0', 



x,, x^,. . . .x^ sont des valeurs de x, pour lesquelles la fonction F{x), entre 
^= — h etx = -+-h, atteint ses valeurs extrêmes -+-L et — L;p^,p^,. . .p^ 
désignent les paramètres arbitraires de F(x). 



— 277 



Déiiioiistratiou. 

Ce théorème découle évidemment des deux propositions suivantes que 
nous établirons d'abord: 

1) Si les équations (2) ne sont possibles qu'autant que \ = 0, 
Xg — 0, . . . .X|j^ =: 0, on trouvera des valeurs finies iVj, N^. . . .N^ satis- 
faisant aux [ji. équations 



(3) 



dPi 



N.- 



N.-^ 



dp, ^^2 



dF(x^) 
dp. 



N..- 



dF{x{) 
dpn 

dFjx,. 






dF{x^t)j^ _^dF{x^)-^ 
dpi 1 dp, 2 



dpn « ^ M-^ 



2) Au moyen des valeurs finies N^, N^,. . . .N^ qui vérifient les équa- 
tions (3) on peut assigner un système de valeurs des paramètres p^, Piv-Pn 
avec lesquelles la fonction 7^(a;), depuis x== — A jusqu'à x=-t-h, n'atteint 
ni la limite -*- L, ni la limite — L, et par conséquent, reste comprise dans 
des limites plus étroites. 

Démonstration de la première proposition. 

§ 7. Quand il s'agit d'équations du premier degré, dont les coefficients 
et les termes connus ont des valeurs finies, on parvient toujours à leur ré- 
solution en quantités finies, si toutefois, en les résolvant par une des métho- 
des usitées, on ne tombe pas sur une équation, où toutes les inconnues dispa- 
raissent et le terme connu ne se réduit pas à zéro. Or, si cela se présentait 
dans la résolution des équations (3), on pourrait les combiner de manière à 
avoir 



rdF(x,) .j dFjx,)^, 

L dp, ^1^ dp, ^^^^^ 

L dpy 1 dp, 2 



dFJ^) ■ 



dpn "J ^ 



rdF^ ^ dF{x^,)^ dF{x^,) ^ -1 . 



- F{x,)\-^F(x,)\-*'...-*-F{x^)X^; 



— 278 — 
où toutes les incouuues N^, K^, N^,. . . .N^ disparaissent et le terme 

ue s'anuule pas, ce qui suppose qu'on parviendrait à vérifier les équations 

dFiXi) y . dFjx^) ^ dF{x^). _^ 

dp^ ^ ~#r ^ — d^ i^~ ' 



dPn ^ dpn 2 dp^ \^ ' 

sans réduire l'expression 

F{x,)\-^F{x,)\^....-^F{x^)\ 

à zéro, et par conséquent, sans faire 

A, = 0, X,= 0, >^^ = 0. 

Donc, tant qu'on ne peut vérifier les équations (2) par des valeurs 
de \, \, . . .À^, autres que X^ = 0, X^ = 0, . . . .X — 0, on est certain 
de trouver des valeurs finies N^, N^^. . . .N^ satisfaisant aux équations (3), 
ce qu'il s'agissait de prouver. 

Démonstration de la seconde proposition. 

§ 8. Soit (ù une quantité positive, infiniment petite, iVj, iVg, . . . .iV„ 
des valeurs finies qui satisfont aux équations (3), Fq{x) la valeur que prend 
la fonction F{x) quand on change ses paramètres 

en 

P, — N,(ù, p^ — N^a, p^ — N^(ù. 

Comme il ne s'agit que du cas, où la fonction F{x) et ses dérivées par 
rapport à a?, p^, ^^a, • • • -P^ restent finies et continues pour toutes les va- 
leurs de X comprises entre x = — h et x = -t-h (les seules valeurs de x 
que nous aurons à considérer), la fonction Fq{x), qu'on trouve en chan- 
geant dans l'expression de F{x) les quantités 

Pi, Pa,- • • -Pr, 



— 279 — 

en 

2^-^i", i?2 — ^2«, Pn — K"^^ 

peut être représentée ainsi 

(4) i.,(.) = .F(z)-[^^,-H^'iV,^....^^^„]o-.floS 

oii B est une fonction de o et de x, qui ne devient pas infinie pour o = 0. 

D'après cela il est aisé de montrer que, depuis x = — h jusqu'à 
a; = H- ^, la valeur numérique de F{x) reste au-dessous de X, en suppo- 
sant bien entendu, que la quantité L n'est pas nulle, ou, ce qui revient au 
même, que la fonction F{x), entre x= — h etx = -i-h, n'est pas con- 
stamment égale à zéro. 

Pour s'en assurer nous remarquerons que d'après la formule (4) et en 
vertu des équations (3) on trouve pour x = x^ 

F^{x^) = F{x,) — F{x;}(ù-^(ù^R = Fix,){l—(^)-*-u^R, 

et comme F(x^) d'après (1) se réduit k ± L, valeur différente de zéro, et 
que to, par notre supposition, est une quantité positive infiniment petite, 
la valeur numérique de cette expression de F^ {x^) est évidemment au-des- 
sous de L. 

La même chose a lieu, si l'on donne à x une valeur dont la différence 
avec a?i ne surpasse pas une certaine limite finie. — En effet, d'après les 
équations (1) et (3), pour x = x^ les expressions 

dp^ 1 d])^ ^ dpn n 

ont la même valeur zt X, autre que zéro, et en vertu de la continuité des 
fonctions qui composent ces expressions, elles ne peuvent varier brusque- 
ment. D'oii il suit que dans le voisinage de x = x^ ces expressions auront 
des valeurs différentes de zéro et de même signe. Mais tant que cela a 
lieu, l'équation (4), où o est positif et infiniment petit, donne pour F^ {x) une 
valeur numériquement au-dessous de F{x), et par conséquent au dessous 
de X, qui est la limite des valeurs de F{x) entre x = — h et x = -t-h. 

On reconnaît semblablement que la valeur numérique de F(x) reste 
inférieure à X, si a; est dans le voisinage de ces valeurs 

Il reste à prouver que cela a lieu aussi pour toutes les autres valeurs 



— 280 — 

de X, comprises entre a; = — h etx= -t-h. Or, comme x^,x^,. . . .x sont les 
seules valeurs de x pour lesquelles la fonction F{x), entre x = — h et 
x^ -i- h, atteint ses valeurs limites — L et -+- Zy, et que F^ {x) ne diffère 
de F{x) que par des termes infiniment petits, il est clair, que dans le cas, 
où X n'est pas dans le voisinage de a\, x^, . . .x . les fonctions Fq{x) et 
F{x) ne peuvent s'approcher ensemble infiniment près de — Z et de -*- Z, 
et par conséquent, les valeurs de F^ {x) seront comprises dans des limites 
plus étroites. 

Ainsi on parvient à reconnaître que, depuis x = — /î jusqu'à a; = -\-}i, 
la fonction Fq{x) qu'on trouve en changeant dans la fonction F{x) les para- 
mètres 

Pi, P2,- • ■ Pn 

en 

ne peut atteindre ni la limite -i- L, ni la limite — L, ce qui prouve la 
proposition. 

m. 

§ 9. Le théorème que nous venons de donner nous servira pour trouver 
les équations, qui déterminent les valeurs des paramètres Pi, p^,- • ■ -Pn avec 
lesquelles la fonction Fix) s'écarte le moins de entre x=^ — h et x = -i-h. 
On trouverait facilement ces équations, si l'on connaissait d'avance le 
nombre ji ., qui désigne combien de fois, depuis x = — h jusqu'à x = -t-h^ 
la fonction F{x), avec les paramètres cherchés, atteindra ses valeurs extrêmes 
— L et -t- L; et l'incertitude, qui plane ordinairement sur la valeur de fji, 
produit la principale difficulté des présentes questions de minima. Nous 
allons montrer maintenant comment on peut toujours lever cette difficulté 
jusqu'à un certain point, et même complètement dans plusieurs cas spéciaux. 

Relativement au nombre pi il y a deux hypothèses à faire: 1) jx sur- 
passe n, nombre des paramètres arbitraires de F{x), 2) pi ne surpasse pasw. 
Chacune de ces hypothèses, comme nous verrons plus tard, peut avoir lieu; 
examinons-les. 

§ 10. Le nombre [i surpasse n. Dans ce cas il n'est pas important de 
connaître la vraie valeur de p. ; car, (jt étant plus grand que w, la série 

^1 > ^2 ) • • • • ^^ 

contiendra au moins w -h 1 valeurs différentes, et alors d'après le § 5 les 
équations 

F' (x) = U , {x'' — ¥) F' {x) = 



— 281 — 

doivent avoir au moins n-t- 1 solutions communes, ce qui entraine n -i- 1 
équations entre n-t- 1 quantités inconnues, savoir: n paramètres cherchés 
de F{x) et la quantité L qui désigne de combien la fonction F{x) s'écartera 
de zéro entre les limites: x= — h, x = -^h. Par la résolution de ces 
équations on aura toutes ces inconnues, si toutefois on ne tombe pas sur des 
équations identiques, ce qui ne peut avoir lieu que dans des cas exception- 
nels. Nous ne nous arrêterons pas à présent à ces cas particuliers, car ils 
ne se rencontrent point dans la solution des questions dont nous devrons 
nous occuper. 

Donc, si le nombre (x est plus grand que n, on se passera tout-à-fait 
des équations (2). D'ailleurs, il n'est pas difficile de remarquer que dans ce 
cas elles ne donnent rien ni par rapport h L, p^, p^^. . . .p^, ni par rapport 
k x^, Xj^,. . . .x^; car, \k étant plus grand que n, le nombre des équations (2) 
est au-dessous de celui des inconnues X,, X„, . . . .X... 

§ 11. Le nombre [i ne surpasse pas n. Dans ce cas les équations (2), 
par l'élimination de [x inconnues Xj, Xj, . . . . X , fournissent n — jt -h 1 équa- 
tions entre n -\- \i^ quantités 

Pi, Pi, Pn, 

D'autre part, en faisant dans les équations (1) 
x = x^^ ^2 5 • • • • ^n 5 

on trouve encore 2p. équations entre p^ p^.,- • . .p^, ^i, x,^,. . . .x et L. 
Donc, on aura en tout n -h jt -*- 1 équations entre le même nombre d'in- 
connues 

Pi, P2, P„, ^1, ^2, ^p.' L- 

Par la résolution de ces équations on parviendra à déterminer et la 
quantité L et les paramètres cherchés p^, P2,---Pn ^® ^^ fonction F{x). Mais 
comme ces équations changent essentiellement avec la valeur du nombre [i-, 
et pour embrasser tous les cas possibles, on examinera séparément ces n 
hypothèses: 

fx=l, 2, 3,....w, 

les seules possibles à cause de i^- <^ et [i. > 0. 

§ 12. Tant qu'on ne saura rien d'avance sur le nombre pi, on ne pourra 
connaître les paramètres cherchés de F{x)^ avec lesquels elle s'écarte le 
moins de zéro depuis a; =— /î jusqu'à x=-^h^ qu'en comparant entre 



— 282 — 

elles les valeurs de Z, trouvées dans les différentes hypothèses sur p., savoir: 
jjL > w et ix= 1, 2,. . . .n. Remarquons que l'importance de l'examen de 
divers systèmes des paramètres entrant dans F{x) et du choix de celui qui 
donne la solution cherchée tient à la nature de notre problème, où l'on cherche 
le minimum minimorum de i, ce qui exige qu'on ait les valeurs de tous les 
minima possibles. Mais souvent on parvient facilement à reconnaître que 
les équations (2), dans le cas de Xj, Àg,. . . .X autres que 0, sont impos- 
sibles pour certaines valeurs de \k\ alors le nombre des hypothèses possibles 
sur la valeur de jx diminue, et par là la solution de notre problème se 
simplifie notablement. 

Un de ces cas, à la fois le plus intéressant et le plus fréquent, est 
celui, où d'après la nature de la fonction F{x)^ les équations (2) entraînent 

\ = 0, X, = 0,....X^ = 0, 

tant que {jl ne surpasse pas n. Alors, suivant le théorème 1, on ne pourra 
réduire L à sa plus petite valeur sans faire [x > w, et, comme nous venons 
de le voir (cas de [j. > »^), la quantité L et les paramètres cherchés de F{x) 
seront déterminés par la condition que les équations 

F^ [x) — L' = 0, (x^ — ¥) F' {x) = 0, 

aient au moins n-i- 1 solutions communes. Comme ces solutions sont 

X — x, , X — Xa , X — Xo ,...., 

nous concluons, en vertu de ce que nous avons vu dans le § 5 par rapport 
à ces quantités, que les w h- 1 solutions communes de nos équations seront 
nécessairement inégales et comprises entre x= — h et x=~i-h. 



IV. 

§ 13. Pour montrer le parti que l'on peut tirer de ce que nous avons 
établi ci-dessus, nous allons examiner spécialement ces trois valeurs de 7^X^)- 

F{x) =i\x''~' -t-p.x''-' -+- -^-p^_^x-i-2\^— r, 

F(X) — ^' ^"~^~^ "^ Pi x^~^—^ -*-....-*- Pn—l—i X -t- pn—l _ Y 
Pn— 1-^.1 x^-*-Pn—l-i-i^^~'^-^- .^-i^naJ-Hl ' 

OÙ Y est une fonction de x qui reste finie et continue, ainsi que ses déri- 



— 283 — 

vées, depuis a; = — h jusqu'à x= -^h. La solution de notre problème, 
pour ces trois valeurs de F{x), est d'autant plus importante qu'elle se rat- 
tache évidemment à la représentation approximative des fonctions soit sous 
la forme d'un polynôme, soit sous la forme d'une fraction avec un dénomi- 
nateur donné ou arbitraire. 

Fretm'er cas. 

F{x)=p,x''-'-^p,x''~'-i-. . . .-^p^_^x-^p^ — Y. 

§ 14. Dans ce cas on parvient facilement à reconnaître que les équa- 
tions (2) supposent 

si (X ne surpasse pas w. 

En effet, la différentiation de 

par rapport Si p^, p^^. . . .i?„_p i>„ nous donne 

dF(x) ^ ^„_, dFjx) ^ ^n-2 dFjx) _ ^ clFjx) ^ ^ 

En vertu de cela, les équations (2) deviennent 



\x^-i-\x^-+- -^1^x^=0, 

\-*-\-^ -*-\=^^ 

et, en prenant la somme de ces équations, après les avoir multipliées respecti- 
vement par les quantités quelconques K^_^, ^n— 2'- • • -^i' ^oj ^^^^ ^^^^' 
nons 

OÙ 

^(x) = K^_y-'-^K^_^x''-'H-. . . .-i~K,x-*-K,. 
Or, comme 4^ {x) = K^_y~' -h ^„_2^"~' -^ -*-K,x-t-K, 



— 284 — 

peut représenter toutes les fonctions entières de degré au-dessous de w, on 
pourra faire 

iP{x)={x—x^){x—x^) (x—X^) = X^~'—{X^-^X^-+- . . .-+.x^)x^^'-+- 

si jJL ne surpasse pas n, et pour cette valeur de * (x) l'équation précédente 
devient 

\{x, — x^) {x, — x^) (x^ — x^) = 0; 

d'où résulte 

\ = 0, 

les quantités x^, x^, x.^,. . . .x étant toutes différentes entre elles. 
De la même manière on trouverait 

en prenant 

cp{x) = {x — x^){x — x^) .... {x — x^\ 



^{x) = {x — x,) {x — x^) .... {x — x^_^). 

De ce que nous venons de prouver par rapport aux équations (2) dans 
le cas de 

F{x) =p,x'"-' -t-p^x""-' -+-.... -+-i>„_j X -^p^—Y, 

et du § 12, on déduit ce théorème: 



Théorème 2. 

Les quantités p^^ p^,. . . .i?„_p i?„ étant choisies de manière à ce que 
la fonction 

F{x)=:p^x''-'-*-p,x'*-'^. . .,-*-p^_^x-*-p^—Y 

s'' écarte le moins possible de zéro depuis x = — h jusqu^à x^ -t-h, les 
équations 

F^ (x) — U = 0, {x^ — h^) F' {x) = 

ont au moins n-t- 1 solutions communes, différentes entre elles et comprises 
entre x= — h et x = -*- h. La quantité L désigne la limite des écarts 
de F{x) de zéro entre x = — h et x = -^h. 



285 — 



Deuxième cas. 

§ 15. En cherchant à résoudre notre problème pour cette valeur 
de F(ic), on pourra bien se borner au cas, où le dénominateur de la fraction 

j?t a;"— 1 -^ p^x"^—^ -\- . . . .-*-Pn-ii>^-*-Pn 
AqX^-+ AiX^—i-i- -¥- Ajn—i X -t- A^ 

ne s'évanouit pas entre a; = — h et x = -i-h. En effet, d'après la nature 
du problème, la fraction cherchée doit être nécessairement l'une de celles 
qui ne cessent d'être finies depuis ic = — h jusqu' k x^ -t-h. 
Par conséquent, si son dénominateur 



contenait des facteurs s 'annulant entre x=— hetx=-t-h, son numéra- 
teur 

devrait être divisible par tous ces facteurs. En vertu de cela la fraction 
cherchée serait réductible à la forme plus simple, où le dénominateur est la 
fonction A^x^ -t- A^x^~^ -^ . . . . -t- Â^_^x -t- A^, dépourvue de tous ses 
facteurs susceptibles de s'annuler entre x = — h et =-^ h, elle numéra- 
teur une fonction de la même forme que 

mais de degré inférieur k n — 1 d'autant d'unités qu'on trouve dans la 
fonction 

A.x'^ -i- A.x""-' -*- . . . .-*~A^_^x-^A^ 

de facteurs linéaires qui s'évanouissent entre x:= — heix=-i-h. 
Ainsi notre problème sur la valeur de 

-p(^\ — .Pi a^"~^ -f-f)a «;"-'-!-• - ■ -t-Pn-i^-i-Pn y 
^y^J — AoX^-^AiX^—i-i-....-*-Afn-i^-*-Ajn 

se réduit toujours au cas, où le dénominateur ne s'annule point entre les 
limites x = — h et x = -i-h. — C'est de ce cas que nous nous occuperons 
maintenant. 

Comme Y, par hypothèse, est une fonction qui reste finie et continue, 



— 286 — 

ainsi que ses dérivées, entre x-:^ — /> et rc = -+- J^, et que le dénominateur 
de la fraction 

Aq a;"* -h Ay a;^"""*-»- .... h- A^_^ x -i- A^^ 

ne s'annule pas dans ces limites, il est clair que dans cet intervalle ni la 
fonction 

^W Aox"^-*-AiX^—^+....-*-Ajn—iX-t-Ajn ' 

ni ses dérivées par rapport à a;, p^, P^,- - ■ -Pn—i^Pn ^^ cesseront d'être 
finies et continues. Donc, pour cette valeur de F{x) le théorème du § 6 
aura lieu. 

D'autre part, on reconnaît aisément qu'avec cette valeur de F{x) les 
équations (2), dans les cas de ii-<w, supposent que 

\ = 0, \ = 0,....1^ = 0. 

En effet, pour cette valeur de F(x) et en faisant pour abréger 

A.X'"' -+- A^X"^'' H- -+- ^„,_i^ -+- ^m^"? (^)' 

on trouve 

(IFjx) x'^-i dF(x) x«^ dFjx) _ jç_ dFjx) __ 1 

dPi ~ «P [x) ' dp2 ~" 9(a;) '• ■ • ■#„_! (?{xy dp„ <? {x)' 

En vertu de cela, les équations (2) deviennent 

(?{Xi) 9 («2) ■ ' ■ * *(V ' 

hx,^-' , X,a;,n-2 _^VV!l! = 



<p(a;i) 9(3:2) 9(3^(1) ' 

9^)^9(3^2) ?(V 

où 9 (a;/), <p (oîg) .... 9 {x ) sont des valeurs différentes de zéro, car la fonction 

ne s'annule pas entre x = — ^ et a; = -i-/i, et les valeurs x^, x^,. . . .x^, 
comme nous l'avons vu (§ 6), sont comprises dans ces limites. 



— 287 — 
En multipliant les équations précédentes respectivement par les quan- 



tités 



et prenant leur somme, on a 

9(^1) 9(%) -*-•••■+- cp(x^) — ^' 

Oll 

En répétant les raisonnements employés dans le premier cas, on conclut 
que cette équation, où cp(a;J, <^{x^),....(^(x^) sont des valeurs différentes de 0, 
entraîne \^0, X^ = 0, . . . .X^ = 0, tant que jx ne surpasse pas n. 

C'est pourquoi nous parvenons, comme dans le cas précédent, à ce 
théorème : 

Théorème 3. 

Les quantités P-^, p^,- . . •i?„_i, i?„ étant choisies de manière à ce que 
la fonction 

depuis x:= — h jusqii'à x = -+-h, s^ écarte le moins de zéro, les équations 

F2 (^) _ ^2 ^ 0, (x' - ¥) F' (x) = 

ont au moins n-i- 1 solutions communes, différentes entre elles et comprises 
entre x = — h et x = -t~ h. La quantité L est la limite des valeurs de F(x) 
entre x= — h et x= -^h. 

Troisième cas. 

pu\ — Pi a:^~^~^-^- P2 x»-^-^ -h. . . . + j)n_/_i x-t-p^-i j- 

Pn~l-t-i^^-*-Pn— t-t-2^^~^-^- ■■•-*- Pn^-*-'^ 

§ 16. On peut toujours supposer que la fraction 

Pi a;"— ^— 1 -4 - j)g a;"— ^— g -H. . . .-t- j?^_/_i x -t-Pn—l 
Pn-l-*-i^^-*-Pn-l-t-2'^^~'^-^-----*-Pn'^'*-^ 

est réduite à sa forme la plus simple. Dans cette supposition, et en re- 
marquant que la fraction qui résout notre problème de minimum ne cessera 
d'être finie entre x = — ^ et .'T = -+- ^, on conclut que son dénominateur 
restera différent de zéro entre ces limites, et dans ce cas ni la fonction 

J^/^^ _ Pi a;"~^~t -«- j?2 x»—^-^ -f- .... -4- Pn~l-i X H- pn-l y^ 



— 288 — 

ni ses dérivées par rapport k x, p^, p^,. . . .2'„_i, P„, ne peuvent devenir 
infinies ou discontinues pour les valeurs de x que nous aurons à considérer. 
Donc, le théorème du § 6 sera applicable aussi à cette valeur de F{x). 

Pour tirer de ce théorème les équations relatives k p^, p^,. . . .i>„_i, 
p^, i, nous commencerons par chercher les valeurs de 

dFjx) dF{x) dFjx) dF{x) 

D'après l'expression de F{x), et en faisant pour abréger 

Pi ^""'~' -*- Pi ^"~^~' -H .... -H p„_i_, X -*- p^_i = ^ (x), 

nous trouvons 

dF{x) a;»-^— t dFjx ) x"-^— ^ dFjx) _x dF(x) \ 

Ip^ ^[x] ' dp^ 9(a;) ^ ' ' ' ' dpn-l—i~ <9{xy dpn—i 9(aj)' 

dF{x) _ x^^{x) dFjx) __ x^—i'^jx) dFjx) _ x- ^ jx) dF{x) _ x'itjx) 

dpn—l-^i~ 9'^{x) ^ dpn-1^2^ 9^{x) ^""dpn^i^ qp2(a;)' dp^ " cp2(a:) * 

Dès lors les équations (2) deviennent 

1 -y n — / — 1 / ~ n — / — i X,, a;,," ' ^ 

^1 Xi ^ ^2^2 j_ _j M- y- __ Q 

9{Xi) cp(x2) (p{Xy) ' 



/- n — / — 2 \ v « — ' — 2 
1^1 _. ^2^2 |_ 

<p (Xj) cp [x^ 9 (a^fj 






^ ^ "■, , =0, 



cp(Xi) cp(a;2) cp(aJ,x) ' 

4s-i--K-»- -*--7^==o, 

<P(a;i) <?{Xi) 9(Xy) ' 

cp2(a;i) q>2(%) <pM^H^) ' 

h'Vixi)Xii-i \2^{x2)xJ-^ V^(VV~^ ^^ 

cp2(Xi) çMa;^) 9'MV ' 



Xt^(a;i)a;x=^ X,^(a;a)a;g» _VHfH>V^A 

92(Xi) cp2(X2) 9^(x^) ''' 

<t>M«i) 9Ma;2) «P^V ' 



289 — 



Il n'est pas difficile de montrer que ces équations, dans le cas 
de fjt,<w et Xj, Xg,. . . .X autres que 0, entraînent celles-ci: 



(5) 



j ^1 = 0, p^ = 0,....p^ = 0, 

OÙ 

d = n-k-l — ji.. 

Pour le prouver, prenons la somme de ces équations après les avoir 
multipliées respectivement par les facteurs arbitraires 

B„_,_„ B„_,_,,....B„ B„, C„ C,_„....C„ C„ 

ce qui nous donne 

en faisant pour abréger 

— x^{x)[CiX^-'-i-G^_^x-^-t- -4- (7^ a; -+- (7J. 

D'après cette équation on trouverait 

comme dans les cas précédents, si par un choix convenable des quantités 

dans la valeur de 

<ï> (a^) = 9 (x) [B^_,_, x^-'-' -f- 5„_,_,a;«-'-^ -^..,.-^B,x^B,-\ 

^x^{x)[GiX^-' -^Gi_^x^-''-^ -^G^x -+- (7J 

on pouvait faire 

<È> {x)={x-x^) {x-x^) {x-x^=x^-'-{x^-^x^-^ -^x^x^-""-^ . . . . , 

<!> {x)={x-x;) (x-x^ {x-x^=x^~ ^-(x^-k-x^-+- -+-x^x^~''-^ . . . . , 



^{X)=:{X~X,){X-X,). . . .{X-X^_;)=X^-'-{X,-^X,-^....-^X^_y 

19 



— 200 — 

D'après cela, pour prouver que les équations (2), dans le cas de fx<n 
et \, \,. . . '\ autres que 0, entraînent les équations (5), il suffit de 
montrer que la formule 

— x^{x)\G^x^~^ -^ G^_^x^~''-^ -+-C;a; -+- (7J 

peut représenter toutes les valeurs de ^ {x) mentionnées plus haut, si les 
équations (5) ne sont pas satisfaites. C'est ce que nous allons faire. 
Comme la fraction 



est irréductible, et que son dénominateur 

n'est pas divisible par x, il en résulte que les fonctions 9 (x) et x<\^ {x) sont 
premières entre elles et, par conséquent, qu'on peut trouver des fonctions M 
et N satisfaisant à cette équation: 

9 (x) M — x^{x)N=l. 
D'où nous tirons 

cï> (x) = ^ (x) [(^{x)M—x^ (x) N] 

= (i>ix)[^{x)M~x^(x)Q]—x^{x)[<P{x)N—<p{x)Ql 

Q étant une fonction quelconque. De cette expression de ^ (x) on conclut 
qu'elle est représentée par la formule 

9i^)[B„_,_y-'-'^B^_,_^x''-'-'^. . ..-^B.x^B,] 
— x^{x)[GiX^-'-i-Gi_y-^-i- -i-G^x -*- G,l 

si toutefois le choix convenable de Q abaisse les degrés des fonctions 

^J^(x)M—x^(x)Q, ^l^(x)N—(?{x)Q 

respectivement au-dessous de n — l, l. Or, comme nous le verrons tout à 
l'heure, on y parvient toujours dans le cas oîî les équations 

Pi = 0, i?2 = 0,....i)^ = 



— 291 — 

ne sont pas satisfaites, en prenant pour Q le quotient de la division 
de <î'(a;)ilf par x^]^{x). 

En effet, pour cette valeur de Q la fonction 

^{x)M — X'!^{x)Q 

se réduit h B, R étant le reste de la division de ^P (rc) ilf par X'\)(x)j et par 
conséquent, elle est de degré inférieur à celui de X'\i{x) ou x^~K 
En passant à la valeur de 

^^(x)N—c?{x)Q, 

nous remarquerons que les équations 

(^{x)M — x^{x)N=l, ^Pix)M—x^{x)Q = R 



donnent 



^ ^ l-^xi>{x) N ^ _ ^{x)M-B 



9 (a;) ' ^ x^{x) ' 

D'où résulte cette expression de Q: 

Q ^{x)-\-x^ (x) ^^{x)N-B^ {x) 

^ x^{x)(ip{x) ' 

et par là 

D'après cette valeur de 

^ix)N—(?ix)Q 

on reconnaît aisément que son degré sera inférieur à ?, tant que les équations 

ne seront pas satisfaites, ou, ce qui revient au même, tant que le degré de 
la fonction 

^{x)=p,x''-^~'-^p,x''-^-'-*-. . . .-^P„^i_,x-+-p^_i 

surpassera n — l — d — 1 , ou ji — / — 2, d étant égal à )i -f- 1 — h-. 

Pour s'en assurer, on remarquera que dans ce cas, la fonction ^I> (x) 
étant seulement de degré \^—l, le terme ^ sera de degré inférieur à 
^—l—{^ — l—l)=zl. Quant à l'autre terme de la valeur de 



— 292 — 

il est aussi de degré inférieur à /, car i?, comme nous l'avons vu, est de 
degré inférieur à celui de oc'\/{x), et la fonction 

ne peut pas être de degré plus élevé que l. 

Ainsi nous parvenons à reconnaître que, dans le cas oii les équations 

P, = 0, Pz = 0, p^ = 

ne sont pas satisfaites et où Q est le quotient de la division de *î> (x) M 
par X <\/ (x), les expressions 

^{x)M—x^{x)Q, *^{x)N—<^(x)Q 

sont respectivement de degrés inférieurs k n — l etl, ce qu'il fallait dé- 
montrer. 

De la même manière on parvient à reconnaître que, dans le cas où les 
équations 

Pn-l-^, = 0, p,_i^, = 0, . . . .p„_,_^d = 

ne sont pas satisfaites, les degrés des fonctions 

<î> (x) M— X ^ (x) Q, ^(x)N—(? (x) Q 

sont respectivement plus petits que n — / et /, tant qu'on prend pour Q le 
quotient de la division de ^î^ {x) N par 9 (x). 

En vertu de quoi, comme nous l'avons vu, les équations (2), pour 
[jL^w et Xj, Xgj....^ autres que zéro, entraînent certainement ces 
équations 

Pr = 0, p, = 0,... .p^ = 0, 

Pn-l-^, = 0, Pn-i^, = 0, . . . .p„_i^a = 0, 
où 

d = n-h- 1 — [j.. 

D'où découle, d'après le § 12, le théorème suivant: 
Théorème 4. 

Les quantités p^, P21' ' ' 'P ^^^^^ choisies de manière à ce que la 
fonction 

pi^\ __ Pi x'^~^~^ -t-pjX^—i-^-*-. . . .-t~Pn-l-i x-*-pn-l Y 

Pn-l-i-\!^''-*-Pn— l-i-r^^~^ -*-■-*- Vn^-*-^ 



— 293 — 

depuis X = — h jusqu'à x ^= -t- h, s'écarte le moins possible de zéro^ le 
nombre des diverses solutions communes aux deux équations 

F^{x)~U=0, {x^ — ¥)F'{x) = 

et comprises entre x = — h et x = -^h ne peut être inférieur à w h- 1 
de d unités, à moins qu'on n'ait 

P,= 0, p, = 0,... .p^ = 0, p^_i^^ = 0, p^_^_^^ -= 0, . . . .2?„_/^d = 0. 

La quantité L est la limite des valeurs de F(x) entre x= — h et 

Comme chaque racine commune aux deux équations entraîne une rela- 
tion particulière entre leurs coefficients, il est clair que par ce théorème on 
obtiendra m -h 1 — d équations entre les quantités 

Pi, 2^25 Pn^ Lj 

que les fonctions F^ (x) — L^, (x — h^) F' (x) contiennent, et comme on a, en 
même temps, 

Pi = ^, i^2 = 0, Pd = ^, 

Pn-l^x = 0, Pn-i^, = 0, . . . .p„_,_^a = 0, 

on aura en définitive n-t-d-^l équations entre les w h- 1 quantités 
cherchées: p^, 2hy- • - Pr»? ^- ^'^^ ^^ ^^^* ^"^' ^^"^ ^® ^^^ de d^O, ces 
équations ne sauront être satisfaites à moins que les données du problème 
elles mêmes ne vérifient certaines conditions, ce qui nous porte à conclure 
que le nombre d ne cesse d'être égal à que dans des cas exceptionnels, 
où les quantités comprises dans la fonction Y avec la valeur donnée de h 
vérifient certaines équations. 

Abstraction faite de ces cas, on aura 

d = 0, 

et alors, suivant le théorème démontré, le nombre des diverses solutions 
communes aux deux équations 

F'(x) — L^ = 0, {x^ — h^)F'(x) = 

et comprises entre x = — h et x = -*-h sera au moins égal hn-t-l, comme 
cela a lieu toujours pour les deux autres valeurs de F{x) déjà considérées. 



— 294 



V. 



§ 17. Pour montrer l'application des théorèmes relatifs aux trois 
valeurs particulières de F{x) nous chercherons la solution de ces trois 
problèmes : 

1) Quelle est la fonction entière qui, parmi toutes celles de la forme 
a;"-i-2)^a;"~'-i-jP2^"""^-*-- • • • -*-i^„_i^-*-p„, s'écarte le moins possible de 
zéro entre les limites x=^ — h et x^= -\- Ji? 

2) Quelle est la fraction qui, parmi celles de la forme 



AoX^~~^~^-i-AiX^—^—^-*-. . . .-i- Af^_l_2^-^^n—l- 
al|ant le même dénominateur AqX^'~^~'^-\-A^x^~^~^ -^-....-^-A 
s'écarte le moins possible de zéro entre les limites x=. — lu et x = -*-h? 
3) Quelle est la fraction qui, parmi toutes les autres de la forme 

p'x^ — ^—^ -H p" x'^—^—2 -t- -^-p{n—l—i)x^p{n—l) 



entre a; = — h et x = -*-h s'écarte le moins possible d'un polynôme donné 
x^'-'-^-Ax''-^-' -^Bx^'-'-'-ï-. ...? 

§ 18. Tous ces problèmes ne sont, évidemment, que des cas particuliers 
de ceux, dont nous nous sommes occupés dans les §§ 14, 15, 16, et d'après 
les trois théorèmes démontrés ci-dessus on parvient facilement aux équations 
qui déterminent leurs solutions. Mais, en passant à la recherche des résultats 
définitifs, on reconnaît tout de suite que les équations qui déterminent les 
quantités cherchées 

i^n i^2,- '"Pn-V Vn 

ne peuvent être résolues à l'aide des méthodes connues d'Algèbre, si ce 
n'est quand le nombre de ces quantités est très limité; car, ces équations 
étant de forme très compliquée, leur résolution, dans le cas de plusieurs 
inconnues, demande des calculs tout-à-fait impraticables. Donc, si l'on 
cherchait à résoudre nos problèmes au moyen de ces équations, on ne 
saurait aller au-delà d'un petit nombre de cas particuliers qui, pris isolément, 
ne présentent pas beaucoup d'intérêt. — Nous montrerons dans les pa- 
ragraphes suivants qu'on peut donner la solution générale de nos problèmes, 
en les réduisant aux questions d'Analyse indéterminée. 



— 295 — 

Nous parviendrons à opérer cette réduction, en observant qu'en vertu 
des théorèmes démontrés plus haut la solution de ces problèmes est caracté- 
risée par une propriété très simple dont jouit un système de deux équa- 
tions, composées des fonctions cherchées, et dont l'expression analytique, 
comme on verra, fournit des équations indéterminées de second degré entre 
les polynômes cherchés contenus dans les fonctions et certains autres poly- 
nômes qui jouent le rôle d'inconnues auxiliaires. C'est à l'aide de ces équa- 
tions indéterminées que nous obtenons la solution définitive de nos problèmes, 
solution qu'on ne pouvait trouver à l'aide des méthodes ordinaires d'Algèbre. 

§ 19. La même méthode peut être avantageusement employée dans 
plusieurs autres cas et, entr'autres, dans les recherches générales sur la 
représentation approximative des fonctions, soit sous la forme d'un poly- 
nôme, soit sous la forme d'une fraction quelconque, où elle donne la solu- 
tion du problème mentionné dans le § 4. C'est ce que nous nous proposons 
de faire dans un autre Mémoire, où l'on verra combien la solution des pro- 
blèmes particuliers, que nous donnerons à présent, est importante pour les 
recherches générales sur la représentation approximative des fonctions sous 
une forme rationnelle assignée. 

Sur la fonction qui, parmi celles de la forme 

s'écarte le moins possible de zéro entre les limites x = — he\x = -i-h. 

VI. 

§ 20. Comme la fonction 

n'est que la valeur de 

p,x''-'-+-p,x''-'-^. . . .-*-p^_,x-i-p^-Y 

pour le cas, où Y= — ic", nous concluons, en vertu du théorème 2, que, 
les coefficients 

Pi, P2,"'-Pn-V Pn 

étant choisis de manière à ce que l'expression 

Fix) = x''-+-pix''~'-^p^x''~''-+' -^î^^^x-^p^ 



— 29G — 
s'écarte le moins possible de zéro entre x= — ^ et ic = -*- ^, les équations 

(6) F^{x) — U = 0, {x^ — ¥)F'{x) = 

ont au moins n h- 1 solutions communes, différentes entre elles. 
Supposons donc que 

X = Xç, 

soit l'une de ces solutions. D n'est pas difficile de s'assurer qu'alors l'expres- 
sion 

(x^ — h^) {F\x) — U) 

sera divisible par {x — x^^. En effet, d'après la première des équations 
précédentes, l'expression 

[x^ — h^) {F\x)'-D) 

s'annule pour x^=Xq. De plus, comme sa première dérivée est 

2 [x'—JÎ') F{x) F' {x)-^2x {F^ {x) — U), 

elle se réduira aussi à zéro pour x=^Xq en vertu des mêmes équations, ce 
qui nous prouve que l'expression 

{x'^ — h^) [F^{x) — U) 
est divisible par {x — x^^. 

La même chose a lieu par rapport aux autres solutions, communes 
aux équations (6), et comme le nombre de ces solutions, différentes entre 
elles, n'est pas au-dessous de n -h 1, il en résulte que l'expression 

[x'^ — h^) {F\x) — U) 

est divisible par n-\-\ facteurs différents entre eux 

{X — X,)\ {X - x,)\ {x - x^)\ .,..{x- xj, 

et, par conséquent, par leur produit 

{x — x^f {X — X^j^ {x — x^^ {x — xj. 

Mais l'expression 

(f — l^) (F^{x) — L% 
cil 

F{x) = a;" -h-p^ x^~^ -^-i?2^"~* -♦-.... ■+-Pn-.i ^ ~*~Pn^ 



~ 297 — 

n'étant que de degré 2 w -h 2, le quotient de la division de cette expres- 
sion par le produit 

{X — X,f (X — X,? (x — x^f ....{x — xj 

ne peut être qu'une constante. Donc 

[x'—W) [F-\x)—U) = G[x—x,Y [x-x^)^ [x—x^y. . . .{x—x^\ 

Cette équation n'aura lieu, évidemment, que %ï x-^h ti x — h sont au 
nombre des facteurs 

Or, si l'on suppose 

X — XQ = x-t-h, X — x^^x — h, 

cette équation, divisée par {x -+- h) (x — h)=:x^ — }i\ devient 

2^2 (^) _ xa = G{x^ — h^) {x — x^Y {x — xj, 

ou 

(7) F^ {x) — L^ = {f — W) *2 {x\ 

en dénotant par <ï> {x) la fonction entière 

VCix — x^. . . .(x — x^). 

C'est à l'aide de cette équation que nous trouverons la fonction F{x) qui, 
parmi celles de la forme x"* -i-p^x^~^ -i-p^x'^~^-^ . . . . -i-p^_^x-i-p^, 
s'écarte le moins possible de zéro entre x==— hetx^-i-h. La quan- 
tité L, comme nous le savons, détermine la plus grande valeur de cette 
fonction pour x comprise entre les limites a; = — h et x = -+-h. 

§ 21. Pour trouver la fonction F{x) d'après l'équation (7), remarquons 
que celle-ci devient 

[_F(x) — ^ (x) Vx^ — ^'j [f{x) h- * (x) Vx^ — h^'j = L\ 
et par là 



F{x) — ^{x)'Vx^~}i' = 



i2 



F{x)-^^{x)Vx^ — h^ 



— 298 — 
D'où nous tirons 



Fix) 



= yx^—iù 



* {X) <I> (x) [F (x) -+■ <I' (x) Vx^ - h-i] ' 

ce qui prouve que la fraction ^^-||j est la valeur de Vx^ — li^ exacte 
jusqu'aux termes de l'ordre ^p-^ inclusivement. 

Mais ceci ne peut avoir lieu que si ~~ est l'une des fractions con- 
vergentes de Vx^ — /ï^, que l'on trouve par son développement en fraction 
continue. De plus, comme les fonctions F(x)^ ^1» (ic), en vertu de l'équation (7), 
sont nécessairement premières entre elles, et que 

F{x) = X^ -+-p^ X^~^ H- ^2 ^^~^ H- . . . . H-i>,j_i X H- }l^^ , 

il est clair que ^,^j est celle des fractions convergentes de Vx^ — K' dont le 
numérateur est de degré 7i. et que ses parties, à un facteur constant près, 
sont égales à F{x) et ^l>{x). On aura donc 

F{x) = G,P^, ^l^{x) = G,Q^, 

en dénotant par -^ celle des fractions convergentes de Vx^ — ¥, dont le 

Vn 

numérateur est de degré n. Quant à la constante (7o, on trouvera sa 
valeur, en remarquant que la fonction F{x) doit être de la forme 

x"^ -i- p^x^~'^ -¥~p^x*^~~^-i- ■+-i^„_i^-«-i^„, et que, par conséquent, le 

coefficient de x^ doit être égal à 1 . 



§ 22. D'après le développement de Vx'^ — h^ en fraction continue il 
n'est pas difficile de trouver la série de ses fractions convergentes et, par là, 
celle que nous avons désignée par -^ et qui détermine les fonctions F{x) 

Vn 

et <ï> (x). Mais on peut trouver directement les valeurs des fonctions P^ et Q^, 
comme nous allons le montrer. 
D'après l'identité 

(x - Vx^—h'} {x -t- y^2zri2) ^ /^2^ 

qu'on vérifie aisément, on a 



yx^ — h^ — x = - 



h^ 



x-i-Vx^ — h^ 2x-*-Vx^ — h^ — x^ 



— 299 — 
et par là on trouve 



Vx^ — h^ — x = - 



2x -*- Vx^ — h^ — x~ 



2x 



2x -+- Vx"^ — K^ — x 





2a;-»- 


ya;2- 


-h-i- 


7i2 

2a;- 


/i2 

2a; — 




7l2 

2x 



D'où l'on voit que l'expression Vx^ — ¥ se développe en fraction 
continue 

2x — • 



et que le quotient complet est égal à Vx"^ — ¥ h- x. Donc, en dénotant par 



la série des fractions convergentes de 



2x- 



Q^{Vx^-h^-^x)-h^Qm-i' 



et par là 



P.. — ^^V^r^ — ^' = 



Ji^(P,n-i-Qm-iy^^-h^) 



X -i' ix^ — ft2 

Comme 

W = {x-^ 'Vx^ — h^ {x — ^^x^ — ll^ , 

cette valeur de P^ — Q^^ 'Vx? — li^ nous donne 

^m — Qm V^C^^=^= {x — V^f—h') (P,„_, — Q^_^ Vx'-ll'), 

ou, ce qui revient au même, 



Pm-i-Qm-^y^'-h^ 

En faisant dans cette formule 

m = n, m = n — 1 , m = n — 2, .... w = 3, m = 2, 



— 300 
nous obtenons la série d'équations: 















= x — yx^ — h\ 



P„-Q^Vx^-h- 



Pi-QiVx^-h 

qui, étant multipliées entre elles, donnent 






Pi — Qi y^"^ — /'* 
D'où nous concluons 

en remarquant que la première fraction convergente de 



7i2 



Vx'' — ¥ = x — ^ h^ 

2a;— — 
2x- 



est égale à y, et que, par conséquent, 



P^ = x, Q^=^l, P^ — Q^Vx^ — h' = x — Vx'' — } 

L'équation 

P„ — Q^ Vx' — h^ ={x— Vx^ — h')'', 



par le changement du signe de Vx^ — h^, devient 

P„ -+- Q^ V^^^' = (x-^ Vx' — h^)"", 
et dès lors nous avons 



p __ (x-t- Vx^-h^)^-^(x-Vx^ - ft')» ^ (g-H Vx'^ — /t')»— (x- Vx^ - />')'* 



- 301 — 

D'après cela la fonction cherchée F{x)^ qui est égale, comme nous 
l'avons vu (§ 21), à G^P^^ s'exprime ainsi: 

p(y,\ ^ Q (a; H- Vx^ - h-'>-i-(x - Vx^ — h^)^ 

Cette valeur de F{x), développée selon les puissances de x, a pour 
^ premier terme 2"""^ GqX"*, et F{x) devant être de la forme 

il s'ensuit que 2"~^ Q = 1 • D'où 

r — -^ 

et, en portant cette valeur de Cq dans l'expression précédente de F{x), nous 
trouvons définitivement 

(8) p^^^^ (.^vwrn?>»^j..-vw^^)n ^ 

Telle est la valeur de la fonction F{x) qui, parmi celles de la forme 

ï-p^x**-' -t-p^^x""-' -+- -+-p^ 

de zéro entre x = — h et ic = -h ^. 



VIL 

§ 23. La valeur trouvée de F{x) fournit aisément la limite des écarts 
de zéro de cette fonction entre x = — h et x^ ~i-h, limite que nous 
avons désignée par L. 

En effet, remarquons que l'équation (7), pour x^h, donne 

F\h) — L^ = 0, 
et par là 

L = zhF{h}. 

Mais, en faisant x = h dans la valeur trouvée de F{x), on a 



donc 



— 302 — 

D'après cotte valeur de X, et en remarquant que notre fonction F{x) 
est celle qui, parmi toutes les autres de la forme 

s'écarte le moins de zéro entre x = — h et x = -\-h, nous parvenons à ce 
théorème : 

Théorème 5. 

La valeur numérique de la fonction x^ -i-p^x^~^ -+-. . . .H-i?„, entre 
x = — h et = -^-Ji, ne peut rester inférieure à 2 ( y j . 

§ 24. De ce théorème se déduisent plusieurs autres; nous en indique- 
rons quelques-uns. 

Théorème 6. 

Si la fonction f(x) est de la forme x'^-\-p^x^~^-\- . . . . -h- p^, et que la 
différence entre deux valeurs f{a — ^), f{a-ï-li) soit inférieure à 4 (-g) > 
la p)remière dérivée de f{x) change de signe entre x = a — -h et x = a-t-Ji. 

Pour le démontrer supposons le contraire, savoir, que f(x) ne change 
pas de signe entre x = a — h et x = a-i-Ji. Dans cette supposition, la 
fonction 

depuis x = — h jusqu'à x = -\-}i, ne pourrait être que constamment crois- 
sante ou décroissante, et par conséquent, resterait comprise entre ses deux 
valeurs extrêmes 

ffa — h) — /(«-*-^)-^-/(«-^0 = f{a-h)-fia-^h) ^ 
fUt -*- h) fi<^-*-h)-^f{a-h) ^ f(a-h)-fia-*-h) ^ 



D'oii il suit que sa valeur numérique, depuis x = — h jusqu'à 
x^= -\-}i^ ne surpasserait pas celle de ^" — — / (« -^- ) g^^ p^j. conséquent, 
serait inférieure à 2 (y) , cette valeur, d'après l'énoncé dutliéorème, étant 
numériquement plus grande que 



f{a-h)-f{a-^h) 
2 



— 303 — 
Mais comme la fonction 

est de la forme 

ceci ne peut avoir lieu en vertu du théorème 5, ce qui prouve le théorème 
énoncé. 

Théorème 7. 

Si la valeur numérique de Vintêgrale 

est inférieure à — ( ^~'^'^ ) , on trouvera au moins une racine de Véquation 

entre x = H(, et x = H. 

Pour le prouver, nous remarquerons qu'en faisant 

nï''{x''-'-^Ax''-' -+-.... -^K)dx = f{xl 
•'o 

Hq= a — h, 

H = a-i-h, 

on trouve 

f(a-+-h) — fia-h) = n\\x''-'-i-Ax''-'-^....~*-K)dx, 

et comme, suivant le théorème, l'intégrale définie 

f (x''-' -^ Ax""-' -i- . . . .-i- K)dx 

est numériquement inférieure à ^ (^^)", il en résulte que la valeur 
numérique de f{a-^h)^f{a — h) est au-dessous de 4 (|-)". D'où, en 
remarquant que 

f(x) = nWx''-'-^Ax''-'-^....^K)dx 






— 304 — 
est une fonction de la forme 

a;" -+-p^x"~^ H-. . . . -*-jp„, 
nous concluons en vertu du théorème précédent que l'équation 

f [x] = n {x''-' -H Ax""-' ^ -+-^)==0 

doit avoir au moins une racine comprise entre a — Ji^Hq, a-i~h = H, 
ce qu'il s'agissait de prouver. 

Théorème 8. 

Le nombre des variations de signes dans la suite 

f{x), f{x\ f"{x\....r-\x\ r{x\ 
où 

f{x) =zx'^ -i-A a;"—' -H .... H- ^, 

change toujours, quand on passe de la substitution quelconque x = t à celle 
déterminée par la formule x = t±4: y-^, en prenant le radical avec 
le signe contraire à celui de jttI., 

Nous ne traiterons ici que le cas où fit) et f [t) sont positives. Mais 
on reconnaîtra aisément que la même démonstration est applicable à tous 
les cas. 

Pour prouver notre théorème dans le cas où f{t) et f{t) sont positives, 
nous allons montrer que, ces valeurs étant au-dessus de zéro, au moins l'une 
des fonctions 

change de signe entre x = t — 4 j/'^ et x = t. En effet, si les fonctions 
f{x), f{x) demeuraient positives entre ces deux limites, la valeur 

serait positive et au-dessous de/* (a;), et par conséquent, la valeur numérique de 



— 305 — 
resterait au-dessous de f{t)^ ou, ce qui revient au même, au-dessous de 



'-F-^: 



Mais cela est inadmissible, car, en vertu du théorème 6, la valeur 
numérique de la différence 

ne peut être inférieure à 



à moins que f {x) ne change de signe dans les limites 

Donc, il est certain que dans ces limites au moins l'une des fonc- 
tions f{x), f {x) cesse d'être positive. 

Comme notre théorème devient évident, si f{x) change de signe entre 
ic = ^ — 4 1/'^^, x=^t^ nous n'avons qu'à examiner le cas où, dans ces 
limites, la fonction f{x) demeure positive et f'{x) change de signe. 

Puisque f {t) est positive, il est clair que dans le cas, où f {x) change 
de signe entre x = t — 4 "irM^ et x = t^ elle doit passer du négatif au 
positif. Mais ce changement de signe fera disparaître deux variations de 
signes dans la suite 

car, par hypothèse, f{x) est positive depuis x = t — 41/'^^^' jusqu'à a; = ^, 
et f'\x) ne saurait être négative, quand la fonction f (x) passe du négatif 
au positif, ce qui prouve notre théorème. 
Dans le cas particulier, où l'équation 

f{x) = 

n'a que des racines réelles, le théorème que nous venons d'établir entraîne 
celui-ci: 

20 



— 30G — 

Théorème 9. 

Si r équation 

f{x) = x''-^Ax''-'^. . ..H-ff=0 

n'a que des racines réelles, quelle que soit la valeur de t, on trouvera toujours 

-~j en prenant le radical 
avec le signe contraire à celui de jrrj: . 

Théorème 10. 

Si V équation x^ '^^ -ï- Ax~ ~^ -\- . . . . -\- J x -ï- K = ne contient que 

2/-I-1 2i-«-l 

des puissances impaires de x, entre les limites — 2 y —K, -+- 2 l/^/^ on 
trouvera au moins une de ses racines. 
Eu effet, si réquatioii 

x''-^' -i- Ax'^-' -1^ . . . .^ Jx-+- K = 

n'avait point de racines entre 

2ZH-1 2/-HI . 

la même chose aurait lieu pour celle-ci 

x'^^' -+- Ax'^-' -H .... -H Jx — K= 0, 
qu'on trouve, en changeant le signe de x dans l'équation 

sf^-*-' -*- A x'^-' -*-... .-4- Ja;-+-Z=0. 

D'où, en prenant le produit de ces équations, on serait porté à conclure 
que dans les mêmes limites l'équation 

^a;''-^^^Ax'^-'-^. . ..-^Jxf — K'==0 

n'a pas de racines. Mais comme la fonction 

x'^^'-+-Ax''-'-^....-*-Jx 

s'annule pour x = 0, cela suppose que sa valeur numérique, depuis 



.307 

2/-f 



x=^ — 2 1/ :j ^ jusqu'à a; = -t- 2 1/-^ jfiT, reste au-dessous de K, ce qui 
est inadmissible, car, d'après le théorème 5, la fonction de la forme 
^2i-Hi _^ ^^ ^d _j_ ^ _^p^^^^^ entre ces limites, ne peut rester numéri- 
quement au-dessous de 

D'où résulte notre théorème. 

Théorème 11. 

Si V équation 

ne contient qu^un terme — K^ x~^ avec la puissance paire de x, et que ce 
terme soit de signe contraire à celui du terme connu K, on trouvera au 

2l-t-l . 2^-1-1 

moins une de ses racines entre les limites x = — 2 'l/-^K, x == -h-2y -^K. 
En remarquant que l'équation 

x^^-*-' -^Ax""^-' -4- -^Jx-i- K— K,x'^ = 

par le changement de rj:; en — x devient 

x^^-^' -^Ax"^-' -f- -+- Jx — K-sr- K^x""^ = 0, 

et que ces équations, multipliées entre elles, donnent 

{x"^-*-' -*- Ax''^-^ -+- . . . . -f- Jrr)2 — (Â' — Zo x'^^f = 0, 

nous concluons, comme dans la démonstration précédente, que cette équa- 
tion n'aurait point de racines entre 

2l-¥-\ ïl-i-\ 

x = — 2y\K, x = -^-2^\K, 

si aucune des racines de l'équation 

x^^^' -t-Ax'^'' -H- . . . .-i-Jx-i-K—K,x'^ = 

n'était comprise dans ces limites, et par là que la valeur numérique de la 
fonction 

. . -f- Jx, 

20* 



— 308 — 

depuis a; = — 2 l/^^X' jusqu'à x = -^2y-^K, resterait au-dessous de 
celle de K — K^^x^^, Or cela est évidemment impossible, si l'expressiou 
K — KqX^^ s'annule dans ces limites, la valeur numérique n'étant jamais 
au-dessous de zéro. — Mais cela ne peut avoir lieu non plus, si dans ces 
limites l'expression K — K^x^^ ne s'annule pas; car dans ce cas, K^ et K 
étant de même signe, la valeur numérique de K — K^x^^ reste au-dessous 
de celle de K, et, d'après ce que nous venons de voir dans la démonstration 
du théorème précédent, la fonction 

x''^'-^Ax''-'^,..,-^Jx, 
dans les limites 






ne peut rester numériquement au-dessous de K, et, à plus forte raison, 
d'une valeur numériquement plus petite, ce qui prouve notre théorème. 



VIII. 

§ 25. Les théorèmes que nous avons donnés et plusieurs autres de la 
même espèce ne sont pas les seuls résultats qu'on puisse tirer de la valeur 
de la fonction entière qui, parmi celles de la même forme, s'écarte le moins 
possible de zéro entre les limites données. Nous allons montrer maintenant 
le parti que l'on peut en tirer par rapport à V interpolation. 

Soit f{x) l'expression exacte des valeurs que l'on cherche à représen- 
ter approximativement par la fonction entière 

A-^Bx^Gx^-+- -f-ZTrc"-' 

et 

f{x,\ f(x,\ .... f{x^) 

les n valeurs de f{x) au moyen desquelles on détermine les coefficients 
A, B^ G,. . . .H de l'expression cherchée de f{x). 
Comme l'on trouve les coefficients 

A, B, G, H, 

en égalant entre elles la fonction f{x) et son expression cherchée 

A-i-Bx-^Gx^-+- .... -*-Hx''-\ 



— 309 — 

pour x=:x^^ x^^. . . .x^^ la différence de ces deux fonctions se réduira à 
zéro pour toutes ces valeurs de x. Mais d'après cela, tant que la fonction 
f{x)Qi ses dérivées f {x)^ /"(^), • • • •f^""^^^)? P^\^) ne cessent d'être finies 
et continues dans les limites où sont comprises x^ x^, x^,.,. .x^^ on trouve 

f{x)-^{A^Bx-^Cx'-^ .... H-ZT^;"-^) = ^M.^x_x^)(^j,_a^^)_^^_^j^ 

où a est une quantité moyenne entre x, x^, x^,.... x^. 

§ 26. Comme la différence 

fix) — {Â-i-Bx-i~Gx^-^ -^Hx""-') 

désigne l'erreur de la valeur approchée de f(x) obtenue d'après la formule 

f[x) = A-i-Bx-\-Gz^-+-. . . .-♦-&""', 

l'équation précédente nous montre que le degré de précision des valeurs 
de f{x)^ qu'on trouve d'après cette formule, ou, ce qui revient au même, 
d'après l'interpolation, sera plus ou moins grand selon les valeurs de 
l'expression 



Puisque cette expression, dans l'étendue où l'on fait l'interpolation, 
peut atteindre des limites plus ou moins considérable selon les valeurs de 
x^, x^,. , . .x^, il est clair que le degré de précision des valeurs, obtenues 
par l'interpolation, dépend non seulement de la nature de la fonction interpo- 
lée et du nombre de termes f{x^), f{x^ f(x^, dont on se sert pour 

l'interpolation, mais aussi du choix plus ou moins convenable de ces termes. 
Plus l'expression 

s'approche de zéro dans les limites de l'interpolation, plus les valeurs 

f{x,\ f{x,\ .... f{xj 

sont avantageuses pour la précision des résultats. Mais comme l'on ne sait 
rien sur l'expression exacte de la fonction interpolée f(x), et par là sur la 

relation entre la valeur de /" (a) et celle de x, Xi, x^, a;„, il ne reste 

dans le choix de f{x,), f{x^ f{x^ qu'à chercher à diminuer autant que 

possible le facteur 

{x — x,){x — x^) {x — x^ 

entre les limites d'interpolation. 



— 310 — 

Donc, sous \v rapport de la précision des résultats d'interpolation, 
à tous les systèmes des valeurs de 

f{x,), f{x,) .... fixj, 

on préférera celui dans lequel la fonction 

{x — x^) {x — x^) . . . . {x — a;J, 

entre les limites d'interpolation, s'écarte le moins de zéro, et par conséquent, 
d'après le § 22, on prendra 

(X — X^) (X — X,) {X — X^) = - ^ -, 

s'il s'agit d'interpoler entre les limites 

X=: h, X=-¥-Jl. 

§ 27. La formule que nous venons d'obtenir nous montre, que les 
valeurs qu'on doit prendre pour x^, x^,. . . .x^^ dans l'interpolation entre 
les limites x = — h et x = -*- /^, sont les n racines de cette équation: 

(x -4- Vx^ — r^)^-t~ix - Vx^ — /t^)» ^ 

Or, si l'on fait 

x=:h COS9, 
cette équation devient 

ces (*^cp)=:0. 
D'où il suit 

2Â:-Hl 



9 = - 



2n ' 



k étant un nombre entier quelconque. 
Donc, les n racines de l'équation 

(x -f- Vx^ — h'^)»-i- (x — Vx'^ — /<-)" ^ 

2" — ' 

et, par conséquent, les valeurs de x^, x^,. . . .x^ dont nous venons de parler 
s'expriment ainsi: 

m\ 7 "^7 Stt 7 (2 W — 1)11 

(9) /icos— , h cos^, . . ..h cos- — - — —. 

^ ^ 2n' 2n' 2n 

L'avantage de ces valeurs de x^, x^,. . . .x^ sur celles équidistantes 



— 311 — 

qu'on emploie ordinairenieiit dans l'iiiterpolatiou, se manifeste très claire- 
ment. En effet, d'après le § 23, dans le cas où 

(x-x,) (x-x,) .... ix-x„) = i'c-.v^^^r^j.-v^^-^m'^ ^ 

le produit 

{x — x^){x — x^) {os — x^\ 

depuis x = — h jusqu'à x = -^Ji, n'atteint que le double de (^) , tandis 
que dans le cas de x^, x^^. . . .x^ équidistantes 

7 n — 87 n — 67 , 

ou trouve que le produit 

(a; — fl?i) (a; — iCg) . . . . (a; — x^) 

dans les mêmes limites x= — h. x= -t-h, ne reste pas inférieur au triple 
de (y) . Par exemple, pour 

w = 2, 3, 4, 5, 

on trouve qu'avec ces valeurs de x^, x^,. . . .x^le produit 

(x — x^) (x — x^) (x — xj, 

dans les limites x = — h, x^= -i-h, atteint les valeurs suivantes : 

. I h\2 \6 /h\9 256 /h Y ^ -./g / h \5 

De plus, en cherchant le maximum maximorum de cette fonction entre 
x = — h, X = -h-h, dans le cas de n grand, on trouve pour sa valeur 
asymptotique l'expression 

i^Y i (t) (y) j 

où le facteur de l-^j tend évidemment vers 00, à mesure que le nombre n 
augmente. 

§ 28. Comme la valeur de f^"\oc), dans l'expression de l'erreur d'inter- 
polation 

fX^ (^-^0 (^-^2) • • • • (^-^n\ 

reste inconnue, on ne peut se représenter nettement combien ou diminue 



— 312 — 

sou maximum maxlmonm, entre x = — /i et a; = -+- /j, en remplaçant les 
valeurs équidistautes x^^ x^^. . . .x^ par celles déterminées par les expres- 
sious (9). Mais il est facile de s'assurer que, outre le cas exceptionnel, où 
/'^")(0) = 0, le rapport de maximum maxmorum, de l'expression 

.^M.(^^-a;)ix-a;)....{x-x„) 

et de son facteur 

{x — x^) {x — x^) . . . . {x — x^), 

qu'on trouve entre x = — h et x = -t- h, en prenant les deux systèmes des 
valeurs de x^, x,,,. . . .x^ dont nous avons parlé, tendent vers la même 
limite, à mesure que h s'approche de zéro. 

En eifet, soient E, M les plus grandes valeurs des expressions 

/o ^"^^^ {oo — x^) (x — x^) .... (x — xj, 

{x — x^) (x — x^) (x — xj, 

dans le cas où x^, x^,. . . .x^ sont déterminées par (9), et où x reste entre 
les limites — Ji et -h /^. Comme le rapport 

E 
M 

sera compris entre la plus grande et la plus petite des valeurs que peut 
avoir l'expression 



depuis x = — h jusqu'à x = -^Ji, et que a est une quantité restant dans 
les mêmes limites que x^ x^, x^,. . . .x^, qui sont dans le cas actuel — h 
et -*- 11, nous trouvons 

E _ /(») (Q h) 
M 1.2. ...n' 

en désignant par û une valeur comprise entre — 1 et -♦- 1 . 
De la même manière nous obtenons 

^^_ /(n)(eife) 
M' 1.2 7i' 

en désignant par E', M' les plus grandes valeurs des expressions 

1.2. ...n (^ — ^l) (^ — ^2) • • • • i^ — \\ 



(X — X^) {X~X^) .... (x — xj, 



— 313 — 

qu'on trouve entre x^= — h et a:; = -f-/^, en prenant x^^ x^,. . . .x^ équi- 
distantes, et en désignant par Û^ une quantité comprise entre — 1 et -h 1. 
Or, en divisant l'une par l'autre les valeurs de 

E E[ 

M'> M''> 

on a 

E^ ,M __ /(») (e h) 

ce qui prouve que le rapport des valeurs 

E M 

tend vers l'unité, quand /î s'approche de zéro et que f^^\Oh), f^^^iû^h), 
pour ^ = 0, ne s'annulent pas, ce qu'il s'agissait de montrer. 

M 2 

Nous avons vu que le rapport ^^ reste inférieur à y. Donc, en vertu 
de ce que nous avons prouvé, il est certain que le rapport -^^j outre le cas 
exceptionnel /'^"^(0) = 0, sera nécessairement au-dessous de 1, tant que /î 
sera assez petit. 

Sur la fraction qui, parmi toutes celles de la forme 

Aq a;»»-'— 1 -+- Al xn-l—2 h- .... -t- ^^_;_i 

et avec le même dénominateur .4oa;"~'~'-f- J^a;"~'~^-H -*-^„_;_,, 

s'écarte le moins possible de zéro entre les limites x = — h Q\x = -+-h. 

IX. 

§ 29. La fraction dont il s'agit peut être mise évidemment sous la forme 



^0 x^—^—i -+- Al x^—^-2 -f- .... H- An—i^i Aq x^—^—^-t- Al œ«— ^-2 -t-....-i~An—i_i ' 

et comme cette expression n'est qu'un cas particulier de celle-ci: 

PiX'"''~^-i-p2X'"'~^-i- -*-Pn y 

AQX^-*-AiX^—'^-t-....-i-A^ ^' 

que nous avons traitée dans le § 15, nous concluons du théorème 3, que la 
fraction cherchée 

œ** -+-p 'x^—^ -t- -4-j)(^— i)a:H-j?W 

Aq a;"~'~i -+- Al x*^~^~^-i- -i- ^„_f_i 

que nous dénoterons pour abréger par F (a;), doit jouir de cette propriété: 



— 314 — 

Dans les équations 

F^ {x) — Z2 = 0, {x^ — h^) F' {x) = 

on trouve au inoins w -+- 1 solutions communes, différentes entre elles et 
comprises dans les limites x = — h, x = -i- h. 

Conformément à ce que nous avons dit dans le § 15, nous supposons 
que le dénominateur 

A,x''-^-' -i- A,x''-^-' -*- -+~A-i-, 

ne s'annule pas entre x = — h et x = -t-h. 

§ 30. En faisant pour abréger 

x^ -t- p x^^~^ -+- .... -^-^^"~^^'r-^-^^"^= Z7, 
A^x^'-'-'-^-Ay-^-'-^ -+-A^_i_^ = v, 

nous trouvons 

^^^ ~ ÂQx'^-^-i-t-Aj^ a;«-^-2-i-. . . .^ An-i-i ~ « ' 

et par là les équations 

F\x) — U = 0, (x^ — ¥) F'{x) = 
se réduisent à celles-ci: 

dU_ dv 

D'après cela on reconnaît aisément que, x = Xq étant une solution 
commune des équations 

F^ {x) — U = 0, {x^ — h^) F' {x) = 0, 

cette valeur de x vérifie aussi les deux équations suivantes: 

\x^ — h^){U^ — L''v^) = 0, 

■ dx 

En efi'et, la première de ces équations est une conséquence immédiate 
de celle-ci: 



— 315 — 
Quant à la seconde, elle se réduit à la forme 

où, en vertu de l'équation 

W — L'v' = 0, 

pour x = Xq, le premier terme s'évanouit, et le second, par la substitution 
de — à la place de L^ v, devient 

2 jx^ — Ifi) V I (UJ _ TTdv\ 
V \ dx dxj^ 

ce qui sera d'après l'équation 

dll__ dv 
{x^-h') ''^\, ^"" = 0, 

dont X = Xq est une racine. 

Mais tant que x= x^ vérifie les deux équations 

dix^ — h2){m-L^v'i) _^ 
dx ~^' 

la fonction 

(x'—h'){U^—L'v') 

a nécessairement pour facteur {x — x^^f. 

De ce que nous venons de montrer par rapport à la solution commune 
aux deux équations 

F' (x) — L^=0, [x^ — h'') F' {x) = 0, 

il résulte que la propriété de la fraction cherchée — = F{x)^ énoncée plus 
haut, suppose que la fonction 

{x^—h^){U^ — Dv') 

est divisible par les w -+- 1 facteurs 

{x — x^f, {x — x^j", {x — <^^)\ .... (^ — ^/, 

oii x^^ x^^ x^,. . . .x^ sont des valeurs inégales et comprises entre x=^ — h 
et a?= -1-^. D'oii il suit que cette fonction est divisible par le produit 

{x — x^f {x — x,f (^ — ^2)' .... {x — xj, 



— 316 — 

et que ce diviseur n'a point de facteurs communs avec v\ car la fonc- 
tion V, par la supposition, ne s'annule pas entre x^= — h et = -i- /i, et 
^0? ^1) ^'2- • • -^n ^^^^ comprises dans ces limites. 

Mais comme les fonctions C/" et v sont respectivement de degrés n et 
n — l — 1, le degré de {p? — h^) {U^ — L^v^) ne peut surpasser celui du 
produit 

{x Xof {x — x^f {x — x^f . . . . (x — xj^ 

et par là le quotient de la division de 

{x^—h^){U^ — L^v^) 
par 

{x — x,f {x — x,f (x — x;)^ .... (x — xj 

ne peut être qu'une quantité constante. Donc on aura 

{x^— ¥) {U^—U v"-) = G,{x — x,f {x — x,)"" {x — x^f .... (a; — xj. 

Cette équation suppose que deux des facteurs 

X — Xq, x — iCj, X — ajg, . . . . X — x^ 

sont respectivement égaux à 

x-\-h, X — 1%. 
Or si l'on fait 

X — XQ=:x-\-h, X — x^ = x — h, 

cette équation devient 

U' — L'v^ = C,(x^h) {x~h) {x — x^f (^ — ^J, 

et par là 

W — Uv^ = {x'' — ¥)W'', 
ou 

(10) C/2— W^ {x^ — h') = L'v\ 

en faisant pour abréger 

y~C,ix~x,)....ix — x^)=W, 
§ 31. C'est d'après l'équation 

U'—W'{x^ — h'') = n'v^ 



— 317 — 

que nous chercherons la fonction t/", désignant, comme nous l'avons vu, le 
numérateur de la fraction 



qui, parmi toutes les autres de même forme, s'écarte le moins de zéro, 
depuis x = — h jusqu'à x^-t-h. Nous supposerons qu'après la décom- 
position de la fonction 

en facteurs linéaires on trouve 

v = A,{x — oc,f^ {x — ccj^ , 

où a^, a^,. . . . sont des valeurs différentes entre elles. Comme la fonction v, 
par la supposition, ne s'évanouit pas entre a; =: — h et x^-k-Ji^ les 
quantités a^, «g, . . . . ne peuvent avoir d'autres valeurs réelles, que celles 
qui ne sont pas comprises dans les limites x = — h^ x = -i-h. D'autre part, 
puisque la fonction v est de degré n — l — 1 et que v est égale à 
Aq (x — xj' (x — olJ' . . . . , on aura 

(11) k-^h-*- • • • • =n — l—l. 

Enfin, comme 

{x^ — h') JV = yGo{x — x,) (x — x;) (x — x^) .... {x — xj, 

et que x^, x^, x^,. . . .x^ sont des valeurs comprises entre x = — h et 
a: = -H ^, la fonction (x^ — }i^)W ne pourra s'annuler pour x = cc^^ oc^,. . . . 

X. 

§ 32. En passant à la détermination de U d'après l'équation 
[72_ W''{x^ — h^) = Pv\ 
nous commencerons par chercher toutes les solutions de l'équation 

où {x^ — W) Y ne s'annule pas pour x^ol^.ol^, , la fonction v étant 

décomposable en facteurs linéaires de la manière suivante: 

v = A,{x-'OL,i^{x—aJ^ 



— 318 — 

Pour y parvenir couvenous de désigner par e^, £3- • • • l'unité prise 
avec Tun de deux signes =b , par P la partie rationnelle de l'expression 

ou, ce qui revient au même, de celle-ci: 



Ix —h X -t-h rt "1 / ^- — ^-V' (x — h x-^-h p, ■- / a;^ — hP-\k 



ttj — h a.y-k- h 



et par Q Vx^ — Jî^ sa partie affectée du facteur irrationnel Vx^ — h 
D'après cela on trouve 



Q2 (^2 7,2^ (x — h oc-^V-h I x-h _ oc-\-_h\^h 

2 h \2/, / 2h \^h 



*''* I p. -e v?^^= (/::h| _ ,, |/|^;. (^|E| _ ,^ |/ï±|)- 

et ces formules, multipliées entre elles, nous donnent 

{x'' — }i') = {^ 

— i^Tzip) i^;7^i5J ••••(^— «i) '(^ — «a) •••• 

D'où, en remarquant que le produit ' 

ix-cif^ix-a,r^.... 

est égal à v'^, à un facteur constant près, nous concluons que les fonctions P 
et Q ainsi déterminées vérifient cette équation 

(13) F'— ^2 (x^ — h') = G^'^v\ 

De plus, on reconnaît aisément que les fonctions P et ^ Yx^ — h^ ne 
s'annulent pas pour rc = a^, ag, . . . . , et que leur rapport — , pour 

ces valeurs de x, se réduit respectivement à Sj, 63 

Pour le mettre en évidence, remarquons que x = oc^ réduit à zéro ou 
l'expression 

^ / x — h -n/x-t-h 

ou l'expression 



/ X — h 1/ x-t- h 



— 319 — 

selon que s^ = -*- 1 ou e^ = — 1 , et que pour cette valeur de a;, aucune 
des expressions 

1 / a; — h 1 / x-+-h -■ / a; — h ■*/ x-\-h 

y Oj — h 2 y a^-t- h ' y «3 — h 3 r ttg-i- h'' ' ' ' ' 

-u / X — h 1 / X -+-h ~t / X — h 1 / X -i-h 

y ^^:^i — '^y ^^^h^ y ^^^ — '^y ^^-n.^---- 

ne peut s'annuler, les quantités a^, ag, ag,. . . . étant inégales entre elles. 
D'après cela, les formules (12) pour x = a^ donnent ou 



P—QVx^ — h'=^0, P^QVx^ — h^ = valeur finie, 



P -i- QV x^^ — h^ = 0, P — QV x^ — h^ = valeur finie, 
selon que s^ = -i- 1 ou — 1. Donc, toujours 



P—s^QVx^ — h^ = 0, P-+-z^QVx} — }i' = valeur fi-nie. 

Mais d'après ces équations on trouve, évidemment, des valeurs finies 
pour P et ^ Vx^ — h^, et la première d'elles donne — . = ^u ce qu'il 

s'agissait de montrer. 

§ 33. Il est facile maintenant de trouver toutes les solutions possible 
de l'équation 

X'—Y'ix^ — h') = G^'^v\ 

où YVx^ — h^ ne s'annule pas pour x = y,^, a^,. . . . 

Eu premier lieu, remarquons que cette équation, où 

v = Ao (a; — a,)'' (x — (x^y' . . . ., 

pour x = oc^, «2 , . . . . donne 

X^—T''(x^ — h'^) = 
et par là 



X=±TVx' — h\ 



et, comme la fonction YVx'^ — h^ ne s'annule pas pour x=:(x^, a^,. . . ., 
cela suppose que le rapport 



YVx^ — h^' 

duire à 1 avec l'un des deux signes ±. D'où il suit qu'on n'omettra aucune 
solution, en supposant que — ^ , pour x = (i^, ol^, , se réduit 



— 320 — 

respectivemeut à s^, £^,,. . . ., qui sont égaux à zt 1. Cela posé, nous allons 
montrer que les solutions cliercliées de l'équation 

(14) X'—Y'{x^ — h^) = G^'^ v" 

et les fonctions P et Q^ déterminées par (12), sont liées entre elles de la 
manière suivante: 

1) Les expressions PX — QY {x^ — h^), PY — QX sont divisibles 
par v^. 

2) Les fonctions 

^ _ PX-QYjx'^-h^) y _ PY-QX 

vérifient Véquation 

Xq^ — Yq^ {x^ — h^) = constante. 
En effet, par les équations (13) et (14) on trouve 

X' = Y' (a;2 — ¥) -*- C^'^ v\ P' = Q' {x^ — h') h- ^'^ v\ 
et en vertu de ces valeurs de X^ et T^, le produit 

{PX—QY(x' — h'}) {PX-i- QY{x' — ¥)) = P' X'—Q' Y' {x' - h'f 
se réduit à 

( y 2 (^2 _ ;^2^ _^ ç(0) ^2^ (^2 (^2 _ J^^j _^ ç(I) ^2) _ Q2 y2 (^2 _ ;^2^2 
= C^O) Q2 (^2 _ ;^2^ ^2 _^ QW J2 (^2 _ J^2^ ^2 _^ ^.(0) ^(1)^4^ 

D'où il est clair que le produit 

{PX—QY{x' — h')) {PX-i-QY{x'~h')) 

est divisible par v^. 

D'autre part, on reconnaît aisément que le facteur 

PX-^QY{x' — Ji^) 

ne s'annule pas pour ic = a^ , ag , . . . . 

Pour s'en assurer, remarquons que les fonctions 



Qyx^ — h\ YVx' — h^ 



— 321 — 

ne s'annulent pas pour ces valeurs de a?, et tant qu'elles restent différentes 
de 0, l'expression 

ne peut s'évanouir, à moins qu'on n'ait 

PX 



QY (a;2 - h'^) 

ou, ce qui revient au même, 

p X 



+-1 = 0, 



QVx^ — h'^ YVx^ — h-'^ 

Or, cela ne peut avoir lieu pour a; = a^, a^, . . . ., car nous avons vu 
que, pour ces valeurs de x, les rapports 



QVx^ — h^^ YVx^ — h^ 

se réduisent à Sj, Sg, . . . . , et, par là leur produit devient s^^, e/, .... valeurs 
égales à 1. 

Ainsi on parvient à s'assurer que l'expression 

PX-+-QYix' — h') 

ne s'annule pas pour ic = a^, a.^, et, par conséquent, qu'elle n'a point 

de facteur commun avec la fonction 

v = A^ (x — oc,)'' {x — OC^f' 

Mais comme nous venons de trouver que le produit 

(PX—QY{x' — h')) {PX-^QY{x' — ¥)) 

est divisible par v^, il en résulte que v^ divise le facteur PX—QY{x^ — ¥). 
Il nous reste à montrer que les fonctions 

_ PX-QY(x'^-h^) 
-^0 — f^ » 

vérifient l'équation 

X^^ — Yq^ (x''— h^) = constante. 



— 322 — 

Or ou y parvient très aisément, en remarquant que le produit des 
équations (13) et (14) peut être mis sous cette forme: 

{PX —QY (a.-' — h')f — {PY— QXy (x' — h^) = C^'^ (^'^ v' ; 

d'où, en divisant par v*, on obtient 

l^rx-Ort^-i^j _ ^Py~Q^J (^. _ ^'^ _ c<«' 0", 

et par là 

X,' — Jo' (^' — h'} = C^'^ œ\ 

en dénotant par X^, Yq les quotients de la division des fonctions 

PX — QYix' — h^ PY—QX 
par v^. 

§ 34. De ce que nous savons sur la relation des fonctions Pet Ç, 
déterminées par les formules (12), et les solutions cherchées de l'équation 

X^—Y''{x' — }v') = G^'^v\ 

il est clair qu'on tirera toutes ces solutions des formules 



X, 



To 



_FX—QY{x^-li-^) 



PY— QX 



en prenant pour Xq et Yq toutes les fonctions entières propres à vérifier 
l'équation 

Xq^ — Yq^ {x^ — h^) = constante. 

Or, d'après ce que nous avons vu dans le § 22 par rapport à l'équation 
F^ (x) — <ï>2 (x) {x^ — h') = L\ 
on ne pourra vérifier l'équation 

X^ — Y^ {x^ — h^) = constante, 
en prenant X^ du degré w, que par les valeurs de X^, Y^ déterminées ainsi: 

-^0 = ^0 -P„) ^0 "= ^0 ^n' 

P„ -+- Q„ Vx' — h'^ = {x -4- Vx' — h'T, 

p„ - Q„ yx^—h' = {x — Vx^—h^Y, 



— 323 — 

ou, ce qui revient au même, 



X,_ Y,V'¥^¥=G, (x — Vx' — h'T. 

D'où il suit qu'on trouvera toutes les solutions possibles de cette 
équation d'après les formules 

Xo -f- Jo Va;' — A' = C; [x -H Vx^ — K'f^ 

X, — Y, yx'—h' = a, (x — y^^:irfe2)\ 

en prenant pour l'exposant X un nombre entier quelconque. 

Nous concluons de là que toutes les solutions cherchées de l'équation 

se déterminent par ce système d'équations: 



X„ 



PX - QY {x^ - h'') y _ PY-QX 



|2 1 



Xo -H Y, Vx' — ¥ = C\ (x -f- Vx' — h:')\ 



X,-Y,Vx' — ¥ = G,(x — Vx' — hV , 

où P, Q sont des fonctions entières qu'on trouve au moyen des formu- 
les (12). 

§ 35. En passant à la recherche des valeurs de X et Y, nous remar- 
querons que les deux premières équations donnent 

x,^ Y,v¥^^ = ^'- Qy^^j^- ^^^^% 

Y V W^ li _ (P -H Ç y^^^TP) {X - YV^^^h-^) 

et, en vertu des deux dernières, ces formules deviennent 



Q (. _ v^^^Y = (p^«v^--^-)(/-^'--'-^') . 



— 324 — 
En remplaçant ici, d après (13), v par ^-Jjj -^ nous obtenons 



C,l:r-4- i/a; — /i; — o p2 _ ç. (^2 _ ,,2) — ^ p+çy^^î^r^' 

^^\X—VX —Il } —Ij p2_ç2(^2_;i2) — ^ p_çy^3=:p- 



D'où résultent ces valeurs Aq X-\-YVx^ — ¥ et X— YVx^ — ¥: 

X- yV^^^^'=^, (^_y^^zri^f {p-QV^^^~h^), 



qui, après la substitution des valeurs (12) de P -+- Q Vx^ — h^, 



P — Q y^"^ — h^, et faisant 

cm 



^0 n 



deviennent 

Ainsi nous parvenons à déterminer toutes les solutions de l'équation 

X^—Y'{x^ — ¥) = G^'^v'^ 



où YVx^ — h^ ne s'annule pas pour a; = a^, «g,. . . . La quantité 6\ et le 
et le nombre X sont des constantes arbitraires; e,, Sg, . . . . désignent d= 1. 



XI. 

§ 36. D'après les solutions trouvées de l'équation 

X'—Y'ix''~h^) = G^'^v'', 
nous voyons que l'équation 

^72— W ix' — }v') = Uv', 



— 325 — 

établie par rapport à la fonction cherchée JJ (§ 30), suppose 

et par là 

Ct {x — ya;2— /iï)^ / ^ /^^^ -, /a;-+-/i \2/i / ^ /x —h -, /T^iVh 



ya;2- 



Poiir déterminer les valeurs de X et de G^ observons que l'expression 
trouvée de C/", étant développée suivant les puissances descendantes de x^ 
donne pour premier terme 

X-Va^—h VoLi^i-h/ XVa^—h Va^-t-h/ 

et comme la fonction cherchée U est de la forme 
il eu résulte 



2^-1 G l-^^ -+- '' f' ( ' -+- '' Y ' . . . = 1. 

La première de ces équations, en vertu de (11), nous donne 
>, = ^ — {n — l — l) = ^-H 1, 
et en portant cette valeur de X dans la dernière, on en tire 

6V 



\yai— ft Vay^hl XVcn^—h Va^-t-hf 



— 326 — 
D'après cela les expressions précédentes de U ci W deviennent 



u= 



- Yx'^ — ;i2\/-+-i 



- /x —h -, /x -i-ft-i 2/, r- /x -h ^ Ix ■ 



Vai—h Voiy-i-h -1 






Vai2—h Vog-t-Zi 



W- 



(x — yx^ — }fl\^-*-^ 



' o'H-i y x^ — lii 



2/H-iya;2 — /i2 









V- /a; — /i -- /a; -+-h-i ^h r-^ /x —h t /^ "*~^* 



L ya 


1-^ 


• y.,+ft - 


y «1 




-yf:î-r 




1 


^ '' 



L- "/a, — 7j ya,-i-/i 



•- Vao—h Va,-»-/* -^ 



§ 37. Pour trouver la valeur de L, remarquons que pour x = h 
l'équation 

U'—W^x'- — }r) = LH'" 
donne 

U' = Uv', U=±Lv, 

ce qui prouve que la quantité L, au signe près, est égale à la valeur 
de — pour a; = /«, et comme les expressions précédentes de U et de y, dans 
le cas de x^=h^ fournissent 



f/=2(AY-- 






L-ya.-Zi ya.H-Zi- 



-V(X2—h Va^-t-h-^ 



_ (ai - hyi (gg - ;^)<2■ . . .hi+h+k+ • • ■ ■ + i 

et que d'après (11) 

l^-i-l^-\- . . . . = n — l — 1 , 

il en résulte cette valeur de L: 



' 2^ Aq (tti -+- £i Va^a - Z^2)'' (ot^ -h e^ Va^^ -~W)^K . . . ' 



— 327 
ou, ce qui revient au même, 



Mais comme on a 
on trouve 



et par là l'expression trouvée de L se réduit à celle-ci: 

7t« 



(15) L = =ti 



..„_,_.(.-../r:|;y(.../:_^.)".... 



§ 38. Dans les expressions de la fonction cherchée CTet de la quantité L 
il ne reste d'inconnu que les signes de £^ = db 1, e2:=i±: 1 . . . . 
Nous allons montrer maintenant qu'on doit prendre 

£i = -*-l, £2=-+-l, , 

si l'on désigne simplement par des radicaux 



)/i-$. >/i-|.----. 



celles des racines des équations 

X — 1 ^^2> X — i ^^2, , 

dont la partie réelle est positive. 

D'après l'expression de L on voit que son module, pour e, = -i-l, 
£2 = -+- 1 , . . . . , a la plus petite valeur de celles qu'on trouve dans toutes 
les hypothèses possibles sur les signes de Ej = =b 1, £3 = dt 1, . . . . ; car, 
les parties réelles des quantités 



étant positives, les modules de 



yi-^„ i.-|/i_|„.. 



— 328 - 
sont respectivement au-dessus de ceux de 



1- 



-}A^. i-v'i-^.---- 



D'autre part, on reconnaît aisément que la valeur de Z/, qu'on trouve 
en prenant e^ = -h 1, e^ = -*- 1, . . . . , est réelle. En effet, les quantités 
a^, a^,. . . . ne peuvent avoir, comme nous l'avons vu (§ 31), de valeurs 
réelles comprises entre x^= — /^ et ic = -*- A, et par là on voit que les 
expressions 






ne sauraient être imaginaires que dans le cas où a^, a^,. . . . le sont. 
Mais comme les facteurs imaginaires de la fonction réelle 

v^Aq (ic — a^y- {x — a^^' 

sont conjugués deux à deux, il suit que la même chose aura lieu par rapport 
aux facteurs imaginaires du produit 



(i->/i-?)"(^-/^^r- 



et alors notre formule donne pour U une valeur réelle. 

En vertu de ce que nous avons montré sur la valeur de L dans le cas 
de Ej = H- 1 , £2 = H- 1 , . . . . , on voit qu'elle sera la plus petite parmi les 
valeurs réelles de L, qu'on peut trouver d'après notre formule. Or, comme L 
désigne la limite des valeurs de la fonction cherchée — entre x^= — /^ et 
X = -t-Zi, et que, suivant notre problème, il s'agit de rendre cette valeur 
aussi proche de zéro que possible, il en résulte que la supposition 

£^ = -+-1, £^ = _h1, , 

donne la solution cherchée, si toutefois, en prenant ces valeurs de e^, Sg, . . . . 
dans nos formules, on trouve que la fraction — , depuis x = — h jusqu'à 
a; = -♦-/}, reste effectivement comprise entre — L et -hZ. C'est ce qu'on 
reconnait très aisément, comme nous allons le montrer. 



— 329 — 



En posant s^ = h- 1 , s^ = -i- 1 , . . . . dans les valeurs trouvées de U 
et TF, nous remarquons qu'elles se réduisent à cette forme: 



(lii) V = {- 



w 



2 / 






{x-+-Vx^-h^y-^ 



^ H 1/1 -yx^—h~ -^ H 1/1 ',yx^-h^ 



aiX — h"^ 



-V-^ 
)/^;-"^ 









2^-*-! >/a;2_7j2 



(a;_i/a;^_/t2)/-fr 



2<-«-iya;2._/j2 



-i 1/1 ^Vic-— /i~ -^ 1/1 7,yx 



y; 



et comme les facteurs des produits 



'x^ — W' 



1 / }fi 
eu vertu de ce que nous avons vu par rapport aux quantités l i — ^> 

l/i — ^,. . . ., sont ou réels ou imaginaires, conjugués deux à deux, on 
voit que les valeurs C/" et TF sont nécessairement réelles. Mais tant que les 
fonctions C/, W et la quantité L sont réelles, l'équation 

suppose que, depuis ^r = — h jusqu'à x^-^1%^ la fonction TJ'^ ne surpasse 
pas I}v^^ et par conséquent, la fonction — reste comprise entre — L 
et -f- Z, ce qu'il s'agissait de prouver. Ainsi nous parvenons à reconnaitre 



— 330 — 

que, la fonction V étant déterminée d'après la formule (16), la fraction — 
sera celle qui, parmi toutes les autres de la forme 



et avec le même dénominateur 

A.x"-'-' -_ A, x"-'-' H- . . . . H-^_,_„ 

s'écarte le moins de zéro entre x = — ^ et a; = h- h. Quant à Z, limite 
des valeurs de cette fraction entre x = — h ai x = -t- h, nous trouvons, en 
prenant dans la formule (15) Sj = 1, Sg = 1, . . . . , qu'elle s'exprime ainsi: 

x = ± 



2M„_,_, 1-H 



)/'-$y(--|/'-sr-' 



Comme toutes les autres fractions avec le dénominateur 

et le numérateur 

ic" -*-/a;"~' -+- -f-y"~'> x-^-p^''\ 

entre a; = — h et a: = -h A, s'écarteront de zéro plus que celle dont nous 
venons de parler, il en résulte que, dans cet intervalle, leur valeur ne pourra 
pas être au-dessous de la valeur trouvée de L, 



xn. 

§ 39. Indiquons maintenant le parti que l'on peut tirer pour l'Algèbre 
des résultats donnés sur les fractions de la forme 

x^-i p' x^—^ -H -+-p(»— Ox -Hp(") 

^0^;"— ^— 1 -4- A X»-'— 2-+-. . . .-l-^„_/_i* 



Si ttj, a^,. . . . sont réelles, les quantités 



i-)/l-$. l->/i-,T-' 



comme nous l'avons vu, le sont aussi, et leurs valeurs sont évidemment au- 
dessous de 2. D'autre part, si a^, ttg,. . . . sont des valeurs imaginaires et 



— 331 — 

que p soit la limite inférieure de leurs modules, on voit que les modules 
des quantités 



ne surpassent pas I-+-I/ 1 h — i^ et, par conséquent, restent au-dessous de 2 -1 — ; 
car l/l-#--^ < 1 H . D'après cela, en supposant que l'équation 

A.x^-'-'-^A.x''-^'-''-^.. . .-+-^„_,_^ = A(a;-a,y'(:r-a,)^ . . . = 0, 

a [JL racines imaginaires ai n — l — \ï. — 1 racines réelles, nous trouvons que 
le produit 

est plus petit que 2"-'-"-' (2 -^- })" = 2"-'-'(î^)^ et par là 



D'où, en vertu de la valeur de 



résulte, dans le cas de A^^_^_^ = 1, ce théorème: 

Théorème 12. 

Si le dénominateur de la fraction 



Aq x^ ' 1 -H J.1 a;" ^"~2 -+-.... -1^ ^,, — i— 2 ^ -♦- 1 

we s'annule pas entre ic = — h et x = -t-h, la valeur numérique de cette 
fraction, depuis x^= — h jusqu'à x=-i~1i, ne peut rester au-dessous de 
2 ( Y j L _^^J , Oit ji es^ ^e nombre des racines imaginaires de Véquation 

A,x''-'-'-^A,x''-'-'-^,.. 
et 9 la limite inférieure de leurs modides. 



— 332 — 

Si la fonction A^x'^ ' -+- A^ o^~ ~'^ - 
iv = — h et x = -i-h, dans ces limites la fraction 

x^ -t- p' a;**— 1 -t- -+- j)("— X -+- pW 

Aq a:«— '— 1 -1- A^ x"— '— 2 -i- . . . . -i- A^—i-i x -+- 1 

ne peut rester finie, à moins que son numérateur ne s'annule en même 
temps que le dénominateur. D'après cela le théorème actuel entraine celui-ci: 



Théorème 13. 

Bans les limites x = — h et x= -¥-h, où la fraction 

ne devient —, sa valeur numérique ne peut rester au-dessous de 
2(-^j (5 — ^) ) l*- étant le nombre des racines imaginaires de V équation 
Aq x^'~^~^ -f- A^ x^~^~~ -t- . . . . -+- A^_^_j3C H- 1 = et p la limite infé- 
rieure de leurs modules. 

Dans le cas, où le dénominateur 

A, x""-^-' -*- A^ "-'"' -+-.... -I- A^_i_ ^x -+- 1 

ne contient que des facteurs réels, le nombre [x se réduit à zéro, et le 
théorème précédent se change en cet autre: 

Théorème 14. 

Si la fraction 

a;" -t- p' a;"~i -+- . . . . -t- j?^" ^) x h- pW 



Aq a;"-'— 1 H- Al a;"-^-2 -+-. ...-+- ^n— /— 2 « "*- 1 

dont le dénominateur est composé de facteurs linéaires réels, ne devient -^ 
entre x:= — h et x =: -i- h, sa valeur numérique dans ces limites ne peut 
rester au-dessous de 2 (y) . 

§ 40. D'après ces théorèmes on démontre plusieurs propositions très 
simples par rapport à la résolution des équations. En voici quelques-unes: 



333 — 



Théorème 15. 

Si V équation Ax^^-^ Gx^'^~^ -\- . . . -+- Hx^ -+- Z = a jx racines 
imaginaires et que leurs modules ne soient pas inférieurs à ç, on trouve au 
moins une racine de Véquation 

entre x = — h et x = -t-h, tant que la valeur numérique de K ne surpasse 

En effet, si l'équation 
a;2^+i _^ ^ ^2x _^ ^^2x-i _^ ^^2x-2 _^ -^Hx^-^Jx--^-K=0 

n'avait point de solutions entre x = — h et x = -^- h, la même chose aurait 
lieu par rapport à celle-ci: 

^2X4-1 _^^2x_^jç^2x-i_(^^2x-2_^ —Hx^-^Jx — K=0, 

qu'on trouve en changeant a; en — x dans l'équation 

^2X+l _^ ^ ^2X _^ ^^2X-l _^ (0^2X-2 _^ ^ H X'^ -^ J X -*- K = 0, 

et par là il faudrait conclure que, dans les limites x = — ^ et = h- /^, on 
ne peut satisfaire à cette équation 

(a;2x+i_^ ^^2x-i_^ _+_ j^)2_(^^2x_^ Ca;2^-2H- -i-Hx^-^Kf=0, 

obtenue en multipliant entre elles les deux équations précédentes. Or cela 
est inadmissible, comme nous allons le montrer. 

Cette équation a évidemment une solution entre x = — h et x=-t-}i, 
si dans ces limites les deux fonctions 

^2X+l_^^^2X-l_^ ^jx^ 

Ax''' -H Cx"^-^ -+- -i-Hx'-*-K 

s'annulent ensemble. Dans le cas contraire la fraction 

x2^-*-i -f- B a;2^— 1 -H -+■ Jx 



a:2^-i--_a;2X— 2 , 



H 



entre x = — h et x=-^h, ne devient pas -q, et alors, d'après le 



— 334 — 

théorème 13, sa valeur numérique ne peut rester au-dessous de 
2(4) ( 2 ^ II ) ? ^'^ P^i' conséquent au-dessous de la valeur numé- 
rique de K, cette valeur étant, par hypothèse, tout au plus égale à 
2 (4 ) ( o -^/J • -^^^^ ^" mettant l'équation 

(x'^+i _4_ Bar"^-'-^ -*- Jxf—{Ax''''-+- Gx^'-^^-^- h- Hx^~^Kf = 

sous la forme 

:^-+-i t-2?a;2*— 1-+-....-+- Ja- \2 „„ _ 
— A-* ^ 0, 



^x2^^-|x'^^-2 f-.. .^^^a;2-t-i 



ou s'assure aisément qu'elle a au moins une racine entre x = — h et 
X = -\- h, tant que la fraction 



K K K 



qui s'annule pour ic = 0, ne reste pas dans ces limites numériquement 
au-dessous de K^ ce qui prouve le théorème énoncé. 

A l'aide de ce théorème on trouvera toujours les limites — ^ et -\-h 
où l'équation 

a;2^+i_^ ja;2^_4_^a;2x-i_^_cra^2x-2_^ ^Hx-'-^-Jx-^K^O 

a au moins une racine, en prenant pour h une valeur positive qui remplisse la 
condition 

Or si l'équation 

Axr'^-^Cx'''-^-^ -+-Ha;2H-Z=0 

n'a que des racines réelles, le nombre {jl se réduit à zéro, et alors cette 
condition devient 

I h \4i+2 = 



OU 



4X-t- 2 



— 335 — 

2X-4-1 



ce qu'on vérifiera en prenant pour h celle des deux valeurs -+- 2 l/~- /v , 

'zX-t-i 

— 2 y^K qui est positive. D'où résulte le théorème suivant: 



Théorème 16. 

zX-f-i 2X-1-1 

Bans les limites — 21/^/1^, -~^2y~K on trouve au moins une 
racine de Véquation 

si V équation Ax^^ -+- Cx^ ""^ -h . . . . jÇ= n'a que des racines réelles. 

§ 41. Eu remarquant que la condition (17) peut être mise sous la 
forme 



4(ir->i.^(i-ir, 



on voit aisément qu'on la vérifie par une valeur positive de /?, en prenant 

4X-I-2 p 4X-*-2_ 






2X+l-(i 



Pour s'en assurer, on n'a qu'à remarquer que, pour cette valeur de h, 
on trouve d'une part 

4X-2^+2 ^^^^ p4X-H2_ -,21. 

4X-*-2 

et de l'autre (à cause de /^ > 2 y-^K'^\ 

r- -i2(x r^^T^ n^*" 

D'où resuite l'inégalité 
qu'il s'agissait de vérifier. 



— 336 — 

En observant que, d'après l'expression ci-dessus de h, cette valeur 
propre à remplir la condition (17) est égale à 

avec l'un des deux signes dt, nous déduissons du théorème 15 celui-ci: 

Théorème 17; 

On trouve toujours au moins une racine de Véqiiation 

af-^^-t-Ax'^-i-Bx'^-' -+- Gx''^-^^ h- Hx^-^Jx-^K= 

entre les limites 



2X-HI r- 4X-I-2 -\f:r-^ — ; 

X-4-1 r 4X-1-2 -1— -!^^ — 



2X-4-1 

-2 



où |i. est le nombre des racines imaginaires de Véquation 

A x"^ ■+- Gx^^-' H- -+-Hx^-t-K = 

et p la limite inférieure de leurs modules. 

Si [i ne surpasse pas X, la fraction ._^ _^^ reste plus petite que 1, 
et alors *) 

. r- 4X-^-2 -I 1^ ^ 

d'où il résulte 

2X-4-1 r- 4X-1-2 -.2X-I-1— p. 2X-I-1 2X— fJl-l-l 

et le théorème précédent entraîne celui-ci: 



*) On reconnaît aisément que dans le cas de ^r > 0, m < 1 et > 0, la quantité (1 -+- zf^ 
est plus petite que 1 -I- r"», en remarquant que la fonction (1 -♦-£■)"» —1 — «"*, dont la pre- 
mière dérivée est m [(1 -f-^)"*~i — ;e"* i], reste décroissante pour toutes les valeurs positives 
de z et 8'annule pour « = 0. 



— 337 — 

Théorème 18. 

Si i^., le nombre des racines imaginaires de V équation 

ne surpasse pas X et leurs modules ne sont pas inférieurs à ç, on trouve 
toujours au moins une racine de Véquation 

entre les limites 

2X-»-l 2X — \l.±l 

2\-\-\ 2X— M- -»-l 

Dans le cas où l'équation 
se réduit à 

les quantités Z^^, tétant de même signe, on trouve que pi, le nombre de 

ses racines imaginaires, est égal à 2 X^, et toutes ces racines ont pour module 

2X0/-^ 

y -j^' Or, en prenant cette valeur pour 9 et posant ^ = 2\^ on obtient 

îX-l-l 2X — [J.-H1 2X-I-I 2(X — X o)-t-l 

2 )/ïz^- 2 )/^= 2 )/Tk-.- 2 )/ 1 iir„. 

D'où, en vertu du théorème précédent, résulte le suivant: 

TliéiTiiie 19. 

Si Véquation 



X' 



.2X+1 



-GxP-^-^ -^K.x"'^-^ -^Jx-^K-- 



ne contient qu\in terme Kq x^^° avec la puissance paire de x et que le coeffi- 
cient de ce terme soit de même signe que le terme connu K et V exposant ne 



— 338 — 

surpasse pas 'k, cette équation a au moins une racine^ comprise entre les 
limites 

2X-»-l 2(X — X o)-H 

2X-I-1 2(X— X o)-H 

Si les termes KqX^^" et K sont de signes contraires, on troiiverca, 
d'après le théorème 11 , au moins une des racines de l'équation 

dans ces limites plus rapprochées: 

2X-4-I 2X-I-1 

-2y\K, -H2)/liir. 
Donc, si l'on désigne par Zq, K des valeurs positives, les limites 

2X-1-1 2(X— Xo)-t-l 

2X-*-l 2(X — Xo)-4-I 

contiennent nécessairement au moins une racine de l'équation 

x^'-^^-^Gx'^-^-i- ztZo^'^o-H -t-Jird=Z=0, 

quels que soient les signes des termes K^x^'^" et K. 

XIII. 
Sur la fraction qui, parmi toutes les autres de la forme 

^,^n~l—i ^_pv^n— Z— 2_^ -i- p(n-l—\)x-*-p('^—h 

entre x = — h Çi\ x = -\- h, s'écarte le moins d'un polynôme donné 
x^-' -^ A x""-'-' -+- Bx""-'-' H- . . . . 

§ 42. Il est clair que cette fraction ne doit pas devenir infinie pour 
a; = et cela suppose que, dans son expression 

_p{n— /-Hi) g^l _^^(n— /-t-2) a;Z— 1 ^ -t-pW x -*- pi^-*-^)^ 



— 339 — 

le terme p^**'*'^^ ne se réduit pas à zéro. Mais tant que p^^'*'^^ n'est pas zéro, 
cette fonction peut être évidemment mise sous la forme 

PxX^~^—^-^-P2'^"~^~^-*-■ ■■•-*- Pn—l^i^-*-Pn—l 
Pn—l^iii^^+Pn-l-i-2^^~^-^-'--'^-Pn^-^'i- ' 

en dénotant 

«' «" «(«—'—1) p{n—l) p(n—l-*-i) p{n) 



p(n-+-i)' |j(n-t-i)'* • ■ ' _p(n-»-i) ' p(n-»-i)' p{n-*-i) ^ ' ' ' ' p{n-i-i) 

par 

Pi, P,,'" 'Pn-l-V Pn-V Pn-l^V ' " ' 'Pn' 

C'est sous cette forme que nous chercherons la fraction dont il s'agit. 
En désignant par F(x) la différence du polynôme donné 

et de la fraction cherchée 

Pi x^—^—^-i-poX^—^—'i-^ -t-Pn—l—i X -*-Pn—l 

p„_ /h_i x^ -+- jp„_/^_2 a;'— 1 -+- . . . . -I- 29„ a; -«- 1 

nous concluons du théorème 4 (§ 16), que le nombre des solutions commu- 
nes aux deux équations 

F\x) — U:=Q, (x^ — ¥)F'{x) = 

et différentes entre elles ne peut s'abaisser jusqu'à n-ï-1 — d^h moins que 
la fraction cherchée 

Pi a;"-^-i -t- j)2 a;»— ^— g -i-. . . .-t-pn-l—i ^ -^ Pn-l 
Pn- Z-t-i oc^ -+- Pn—l-^i «'~^ H- ....-*- i?^ a; H- 1 

ne se réduise à la forme 

Pn-l-*-d-^i^^~^-^- ■••-*- Pn^-*-^ 

Or, en faisant pour abréger 



/y**""' • A ^*^~^~1 . 7?/»."—^ — 2 



i^^.f^d-.x^'""' _H . . . . -4-i?„rr -H 1 = F, 



— 340 — 

on trouve 

T^f X V uV— u 

et par là les équations dont nous venons de parler deviennent 

§ 43. En suivant la même marche que dans le § 30, on reconnaît 
aisément que, x = Xq étant une solution commune à ces équations, l'expres- 
sion 

(^2_/^2) [(uV— Uf — L'V] 

est divisible par {x — x^f, et comme le nombre de ces racines, différentes 
entre elles, est au moins n-^ 1 — d, nous concluons que l'expression 

(a;2 _ h^) [(w V—Uf — IJ F^] 

est divisible par les w -h 1 — d différents facteurs 

{X — x,)\ {X - x,)\ {X - x,)-^, ....(x- x^_^f. 

D'où nous déduisons l'équation 

(a;2_/z2)[(2^F— £/)2.— L2 F2] = G{x—x,y(x—x,y(x—x^f Çx-x^_af, 

en remarquant que la fonction (x^ — h^) [{uV — Uy — L'^ F^], où 

u = x""-^ -f- A ^"~'-' -I- B x""-^-^ , 

ne peut être de degré plus élevé que son diviseur 

{x — x,f {x — x;f {x — x^f (« — a;„_/. 

Mais cette équation ne peut avoir lieu, évidemment, à moins qu'on ne 
trouve X — h et x-h-h parmi les facteurs 

X Xq, x X^ , X X^, . . . .X ^n—d ' 



— 341 — 

et si nous supposons, pour fixer les idées, qu'on ait 

X X(^ = X — /ï, X — x^^^x-^li^ 

elle devient 

{x^—W)l{uY—Vf—L^Y^^^ = G{x-}^)\x-^-}tf{x—x^\ . . .{x—x^_^\ 

et par là 

{u y— TJf — L'V^== G{x^ — ¥) (x — xj- (x- x^_J. 

D'où nous tirons l'équation 

(18) (uv—uy—r-v^=w' {x''—¥\ 

en désignant par W la fonction entière 

V G{x — x^ {x — x^_^;). 

Comme les fonctions U Qi V sont de la forme 

Pn-l-^d^, ^'~^ H- . . . . H-i)„ « -H 1 , 

leurs degrés ne surpasseront pas n — l — d — 1,^ — d. De plus, on voit 
facilement que le degré de F ne peut être au-dessous de Z — d; car autre- 
ment la fonction 

{uV~Uf~-UV^ 

serait de degré inférieur à 2{n — ^), et par conséquent l'équation (18) où 

W- {x^ — h^) = C{x — x^f (x — x^_^f {x^ ~ ¥) 

ne pourrait avoir lieu. Donc, la fonction V sera nécessairement du 
degré l — d. 

§ 44. Conformément à ce que nous avons dit dans le § 16, la fraction 

U __ Pd-*-i^^~^~^~^ -*-■■■•-*- Pn-l—iX-*-Pn-l 

est la valeur de la fraction cherchée réduite à sa forme la plus simple, 
et, par conséquent, les fonctions U et V sont premières entre elles. Cette 
valeur de la fraction cherchée peut présenter deux cas; savoir: celui où d 
est un nombre pair, et celui où d est impair. Mais nous réduirons le dernier 



— 342 — 

cas au premier, en supposant que, dans le cas de d impair, on introduise 
dans les fonctions f/, F, W un facteur commun, tel que 1 h- y ou 1 — -^j 
ce qui n'altère ni la forme de l'équation (18) ni la valeur de la fraction -p, 
seulement ses termes deviennent divisibles par une même fonction x-^li ou 
X — h. En vertu de quoi nous supposerons désormais que d est un nombre 
pair et que les fonctions U et F peuvent avoir un commun diviseur x ± h, 
diviseur qui ne présente aucun embarras dans nos recherches, comme on le 
verra ensuite. 

§ 45. En passant à la détermination des fonctions U et F, nous re- 
marquerons que l'équation (18) peut être mise sous cette forme: 

(^u V— U-^LV) {u V—U—LV) = {x^ — ¥) W^, 

ce qui prouve que la fonction (x^ — P) W^ est décomposable en ces deux 
facteurs: 

uV—U-^ LV, u F— U — LV. 

Comme ces facteurs, multipliés respectivement par L — w, L-^u, 
donnent en somme — 2 LU, et que leur différence se réduit à 2LV, il est 
clair que leur commun diviseur doit diviser aussi les deux fonctions 

u, V, 

et, par conséquent, qu'il ne peut être que de la forme x±h, car les fonc- 
tions U et F, comme nous l'avons vu (§ 44), ne peuvent avoir un commun 
diviseur de l'autre forme. En vertu de cela et en remarquant que la fonc- 
tion (x^ — h^)W^ ne peut être décomposée en deux facteurs soit pre- 
miers entre eux, soit avec un commun diviseur de la forme xzïzh, que de 
ces deux manières: 

{x — h)W,'.{x-+-h)W,\ 
nous concluons que l'équation 

(uV— U-^LV) {uV— U—LV) = {x^ — ¥) W^ 
entraine nécessairement l'une de ces quatre paires d'équations: 

tiV-^ U-^LV= TFo^ . îiV— U — LV={x^ — ¥) TFf ; 

uV—U-^LV={x — h)W,\ uV—U — LV={x^h)W,'; 
uV— V-\-LV = {x^-¥) W,\ uV— U — LV= TF^^; 
uV—U-t-LV = ix-i-h)Wo^ uV—U—LV={x-'h)W{'. 



— 343 — 

De ces quatre systèmes d'équations nous n'aurons qu'à considérer 
les deux premiers 

uV— U~i- LV= TFo^ uV— U—LV= {x^ — ¥) P^l^ 

sar les autres s'en déduisent par le changement du signe de la quantité L. 
De plus, comme les fonctions u, V sont respectivement de degrés n — l, 
l — d, et que le degré de U ne surpasse pas n — l — d — 1, on trouve 
que l'expression 

ast de degré n — d, et, par conséquent, d étant un nombre pair, cette 
expression sera de degré pair ou impair, selon que le nombre n lui-même 
est pair ou impair. D'après cela et en observant que des deux systèmes 
d'équations 

uV—U-i-LV== Wq\ ur—U—LV=ix' — ¥)W^^, 

uV—U-^LV={x — h)Wo^ uV—U—LV={x-^h)W,\ 

le premier suppose que la fonction 

est de degré pair, et le second qu'elle est de degré impair, nous concluons 
que le premier aura lieu dans le cas de n pair et le second dans le cas de n 
impair. 

Nous allons traiter à part chacun de ces cas. 

XIV. 
Le nombre n est pair. 

§ 46. Dans ce cas on aura ces deux équations: 

(19) uV- U-i-LV= TFo^, uV— U — LV={x^ — ¥) W^', 
qui étant résolues par rapport à U et V donnent 

(20) 2LV=Wo'' — ix' — ¥)W{', 

(21) 2LU=iu — L)Wo' — {u-^-L)ix' — ¥)W,\ 



— 344 — 

Comme les fouctions n, F sont respectivement de degrés n — /, / — d^ et 
que le degré de V ne surpasse pas n — l — d — 1, les équations (19) nous 
montrent que les fonctions W^^ W^ sont respectivement de degrés ^^^^, 

n—d ^ 

D'autre part, l'équation (21), étant mise sous la forme 
nous donne 



1^ / (M-t-Z)(ag-/i') _ 2LU 

ce qui prouve que la fraction -^ est la valeur de T/ ^""*"^_^~ ^V exacte 
jusqu'aux termes de même ordre que 



Wy [ Wq (m — i) -h TTi y{M2 — 1.2) ^a;2 — 7^2)] ' 

Or, comme les fonctions TF^, W^, u, par ce que nous avons vu plus haut, 

sont respectivement de degrés ^^~- , ^ 1, n — ^, et que le degré de U 

ne surpasse pas 71 — l — d — 1, on trouve que l'expression 
2£ u 

TTi [Wq{U—L)-+- Wi T/(M2_i2)(a;2_/i2)] 

n'est pas de degré plus élevé que —^ ;j3^ — ^- ^^^^^ 1^ 

X ^ .X ^ .x'^—^ 
fraction ~, d'après l'équation dont nous venons de parler, est la valeur de 

y u — L~ exacte au moins jusqu'aux termes de l'ordre ^. Mais 

comme TF, le dénominateur de la fraction ,5^, n'est que de degré 

— d 
—^ 1 < 2" ) cela ne peut avoir lieu, à moins qu'elle ne soit l'une des 

fractions convergentes de l'expression 



2 — ;t2) 

-L ' 



/ {u-^L){x^- 

y u-L 

qu'on trouve par son développement en fraction continue. 



2 



De plus, comme le déuo-minateur de la fraction -^f^ est de degré 
1 , elle ne peut donner la valeur de y (u ^ L) (x^^ h^) ^ exacte 

(x2-/t2) 



jusqu'aux termes ^, à moins que la fraction convergente del/ ^""^^^ 



— 345 — 

qui vient immédiatement après elle, n'ait pour dénominateur une fonction 
au moins de degré ^^-^ -+- 1 . D'où l'on voit, d'une part, que — ^ dans la 
suite des fractions convergentes de 1/ _j~ \ ^^t la dernière avec le 

dénominateur de degré au-dessous de ^, et de l'autre, que parmi ces frac- 
tions aucune n'a pour dénominateur une fonction de degré ^. Le premier 
point nous montre que les fonctions W^ et TFo, et conséquemment la fraction 
cherchée y sont tout-à-fait déterminées par la valeur de X; le second nous 
servira pour trouver la constante L, et d'après elle on aura facilement la 
valeur de la fraction y. 

§ 47. Pour y parvenir, supposons que 





h 2 




Qo- 


~û- 


22 — , 


/ {U -H i) {X^ 


-7l2) 




u-L 




Ga 


^ff 


L -t- 


-^H- 


-#H 


la 


X 


x^ 



soit le développement de 1/ ~^ u — L — ~ ^^ fraction continue, et que 



soit la valeur du quotient complet qu'on trouve en s'arrêtant au dénomina- 
teur q^. Dans cette supposition on a 



/ (M-hZ) (x2-/i2) ^ ^"^ 7.9 






»-X îo ,^___ 


h^ 


î,^.-%-'-%^-... 


lî^X 




G.^^^...: 



(23) 

La dernière de ces formules nous montre que les dénominateurs 

2 

sont des fonctions du premier degré, si les quantités 
Gq, G^, G^ 



— 346 — 

restent dififéreutes de zéro. Mais tant que îi, ^25- • • -în ^^^^ ^^^ fonctions 
du premier degré, le développement de 



y u-L 



/»2) 



en fraction continue 



Î0-- "' 

''-Û-. 



arrêté au dénominateur (/^j, donne évidemment une fraction convergente avec 
le dénominateur de degré y. Or, en vertu de l'équation (21), oiî L désigne 
la limite des valeurs de u — y entre x = — h et x = -t-h, cela ne doit pas 
avoir lieu, comme nous l'avons vu; donc, pour cette valeur dé L, au moins 
l'une de ces équations: 

(7o=0, (^1 = 0, G^_ =0 

aura lieu nécessairement. 

§ 48. Supposons maintenant que parmi toutes les valeurs dont L est 
susceptible dans le cas où cette condition est remplie, celle qui est numéri- 
quement la plus petite soit L^ . Comme — L et -t-L déterminent les li- 
mites où, depuis x = — h jusqu'à a) = -+~h, reste comprise la diiîérence de 
la fraction cherchée 

u ._ Pd-^-l a;"— ^-^— 1 -t-. . . .-*-p„_i_^x-t-pn-i 

ou ce qui revient au même (§41) 

u p'x^—^—i -t-p^a;"— ^— 2-f-. ■ . .H-;3(»-^— i)a;H-p("-0 

V jj(n— /-»-i) ^l _^_p(n—l-t-2) ^l—i _»-... .-i-pW x -+- p ("-^i) ' 

et du polynôme 

et que, d'après le sens de notre problème, il s'agit de rendre ces limites les 
plus proches possible de zéro, il est clair que dans sa solution on aura 



— 347 — 
si toutefois il est possible d'obtenir une fraction 

U p' a"— ^— ^ -i-p" a;"— ^—2 -+- -^- p{n—l—\) ^ _^.p{n—l) 

V p{n—l-t-i^ r^l _,_p(n— Z-t-2) r^l—\ _j__ . .-i-p{n) ^ ^ p[n-\-i) 

iont la différence avec w, depuis rr = — h jusqu'à a: = -f- /?,, reste comprise 
entre les limites aussi rapprochées que — L^ et h-Xq. 

Nous allons montrer maintenant que cela est possible et qu'on trouve 
me telle fraction d'après nos formules (20), (21), en prenant 

où ^ est la fraction convergente de 



y u-L 






qui correspond au dénominateur g^, la première des équations 
G,=^0, G,= 0, G^_ =0, 

2 

qui a lieu, dans le cas de L = Lq, étant 

§ 49. Pour y parvenir, remarquons, en premier lieu, que pour ces va- 
leurs de Lq, TFo, W^ les équations (20), (21) deviennent 

2 Xo F = 3P — (x^ — ¥) N^, 
2L,U={u — i'o) M' — (M H- Lo) (x' — h') N'; 

d'où résulte cette valeur de la fraction y-- 

,^c.^ U_ {u-L,)M'-iu-^Lo){x^-h^)N^ 

^^^^ V~ M^ — {x^ — h^)N^ 

D'autre part, comme 

est la première des équations 

G, = 0, G,= 0,....G^_^==0, 



— 348 — 

qui a lieu dans le cas de L = Lq, on voit d'après (22) que pour cette va- 
leur de L les fonctions 

Qi, Q2: Qa 

sont du premier degré, et q^_^_^ de degré plus élevé. D'où il suit qu'en s'ar- 
rétant dans le développement de 



2 - 7*2) 

y — inrj 

en fraction continue 



/ (u-Xo)(a;'- 



au dénominateur q^, on trouve une fraction convergente dont les termes sont 
respectivement de degrés a -h 1 , a, et dont la valeur ne diffère de 



y «-^>o 

que par des termes de degrés inférieurs à celui de ^oa-t-i • I^onc, comme ^^ 
est la fraction convergente de 1/ J_j~~ ' , qui correspond au dénomi- 
nateur q^, les fonctions M, N sont respectivement de degrés a-f- 1, a, et 
la différence 



M / (u-i-Xo)(x2- 

N y u-Lo 



h^) 



est une fonction de degré inférieur à — (2o--t- 1). 

En vertu de ce que nous venons de montrer sur les fonctions 



' ^ N y u — Lq ' 



il est facile de voir que la fraction 



u 

F' 



déterminée par la formule (24), se réduit à la forme 

p(n—l-t-i) J _^ p{n—l-t-2) a;/— 1 ^_ _^ p{n) ^ ^pinn-i)-' 

En effet, son numérateur 

(,, _ L,) 3P — (w -4- Lo) {x^ — W) iV^2 



— 349 — 
peut être mis sous la forme 

et comme les fonctions 



u, M, N, y^^i^^=m 

sont respectivement de degrés 

n — l, 0--+- 1, (7, 1, 
et que le degré de la différence 

M -j/ (u-t-Xo)(a;^"=rpj 

N y u-Lo 

est plus petit que — (2 a-i- 1), on trouve pour cette expression un degré 
inférieur h n — /, et, par conséquent, elle sera de la forme 

En passant à son dénominateur 

remarquons qu'il peut être mis sous la forme 

■ û ^-^'^ û ' 

et comme les fonctions 

M, N, u 
sont respectivement de degrés 

(7 -f- 1 , (J, n — l, 
et que 

(u - Lo) ]\P — {u -*- Lo) (x' — h') N', 

en vertu de ce que nous venons de voir, est d'un degré plus petit que n — l, 
on trouve que le degré de cette expression est égal à 2(j -t- 2 — {n — l). 
Mais C7 étant l'un des nombres 

0, 1, 2,....| — 1, 



~ 350 — 
le nombre 2 a h- 2 — {n — l) ne peut surpasser l. D'où il suit que la fonction 

M^~{x'' — h^)N^ 
est de la forme 

Ainsi nous parvenons à nous assurer, que la fraction y qu'on trouve d'après 
(24) est de la forme 

_p'a;«— ^— l-+-p"a;«~'~2_,_ ^ p{n—l—i) ^ ^ p{n—l) 

Il nous reste à montrer que sa différence avec ti, entre x = — h et ^ ^ h- A, 
est comprise dans les limites — Lq et -i- Lq. Pour y parvenir, nous remar- 
querons que d'après (24) on a 

/^, _ ^f _ X 2 _ __iV^!i^^_ .^2 _ .2) 
yu yj ^0 — [i,i2_2V2(a;2-/t2)]2V^ ^^' 

et comme M, N sont des fonctions réelles, et, que partant l'expression 

4 Lpg M^ N^ 
[M 2 - (a;2 — /i2) JV2J2 

ne peut devenir négative, cette équation montre que, depuis x = — h 
jusqu'à x= ~^h, la fonction 

ne surpasse pas L^^, ce qui prouve que la différence 

u 

U—y, 

depuis x=^ — h jusqu'à x = -^h, reste comprise dans les limites — Lq 
et -*-Xo- 

§ 50. Ainsi nous nous assurons que la fraction -y qu'on trouve d'après 
(24) est de la forme 

jj{n-l-i-i) ^l ^^(n— /-i-2)a;/— 1^ .... ^p{n) ^ -i-p{n-t-\) ' 

et que sa différence avec w, depuis x = — h jusqu'à x ==■■*- h, reste 



I 
I 



— 351 — 

comprise dans les limites — Lq et -\-Lq, D'où il suit, en vertu du § 48, 
que 



est effectivement la valeur de L qui répond à notre problème, et, par 



conséquent, qui détermine les limites des valeurs de m — y les plus proches 



de zéro. 

En remarquant que — Xq ^t -+- Lq sont les limites de la différence 

u 

entre x= — h et x=-*-Ji, les plus proches de zéro, on voit, d'après 
ce que nous venons de montrer par rapport à la fraction -p, déterminée 
par (24), qu'elle donne la solution de notre problème, où il s'agit de 
trouver la fraction -p de la forme 

p' X^ ' ^ -+- p" X^ ^ ~ -+-....-+- p^^ ^ ^) X -H m(" ') 



qui, depuis x = — h jusqu'à x=:-t-h, s'écarte le moins de u. 

De plus, on reconnaît aisément que c'est la seule solution possible 
de notre problème (sauf le cas, où l'on obtient pour Lq deux valeurs de 
signes contraires, dont chacune, d'après (24), peut donner la solution); car 
en vertu de ce que nous avons montré (§ 46) sur l'équation (21), les 
fonctions Wq et W^, et par conséquent la fraction y, sont complètement 
déterminées par la valeur de L. 

Ainsi on ne trouvera la quantité L = Lq et la fraction cherchée y 
qu'à l'aide du développement de l'expression 



V 



en fraction continue 



■(tt-4-i)(x2- 


-h^) 


u-L 









prolongée jusqu'au dénominateur g^, ce qui demande des calculs très longs. 

2 

Nous allons montrer maintenant comment on peut simplifier la détermi- 
nation de io 6t ^6 V' 



— 352 — 

XV. 

§ 51. Comme la fonction u est de degré n — l, l'expression 



- L) (x^ — h2) 



y u — L ' 

ne dififère évidemment de 



Vx^ — h^ 

que par les termes de l'ordre ^_^_^ ou moins élevés. D'où il suit qu'on 
trouvera la même formule par le développement des expressions 



' y * u — L ' 

en fraction continue, si l'on ne pousse pas ce développement au-delà de 
la limite, pour laquelle les fractions continues donnent leurs valeurs 
exactes jusqu'aux termes de l'ordre ^—i— ' I^'^P^ès cela et en remar- 



quant que y x^ — h^ (§ 22) se développe en fraction continue 



2x— , 



qui ne donne pas la valeur de V x'^ — h- exacte jusqu'à ^_^_ , si le 
nombre de ses dénominateurs ne surpasse pas 



-l— 2 n Z-h2 



2 2 2' 



nous concluons que dans le développement de 



f U — L ^0 <7, 

32- . , 

on trouvera 

q^ = x, q^ = 2x, q^ = 2x, g„ =2^, 

où li est le plus grand nombre entier compris dans la valeur de —^ , 



— 353 — 

D'où il suit que les (y — A;-f-lj fractions convergentes de 

l/ "*" u — x~ ^ ^^^* égales à celles de Vx^ — ¥ que nous avons dénotées 
;§ 22) par 

^1 ^2 ^3 

Çl' Ç2' Ç3' — ' 

ît dont les termes, comme nous l'avons vu, se déterminent ainsi: 

( -r, (x -+- Vx^ — h-'f-l- {x — Vx^ - ?»0^ 



(25) 



Q,= 



2 

(a; -+■ Vx^ — ^2)*^- (x — Vx^ — h 



2 Vx^ — ^2 



§ 52. D'après cela il est facile de trouver une certaine fonction qui, 
]>ar son développement, donne la partie de la fraction continue 

22 • . ^ 
(|ui suit après le dénominateur q^ . 

En effet, les fractions convergentes de 



^/ {u-^L)(x^-h^) _ h^ 



qui correspondent aux dénominateurs q^ , q^ étant 

- _fe_ 1 --k 



aous trouvons 



y U-L 






on dénotant par Z la valeur de la fraction continue 





/i2 




2 


-ft + l" 


2 


-fc 






2 


-4-t-l~ 


2 


-Jt 


3n 


-k~ 


-Z 





e^_ft+3~ • 



— 354 — 

et par là 



V[u-i-L)[x^-h-')Qn_^_^,-^''-^^^n_,^, 



z= 



z= 



V\u -*- L) (.r2 - h-') Qn_^- ^ « - ^^ Pn _ ^ 

l-lu substituaut ici les valeurs de 
tirées (les formules (25) que nous venons de mentionner, on a 



[(jr^Vx^-^4~'-ix-V^^^:^^)^~'W^^^A(^-^y^^^^^ ''Ax-^^'^^^)^ Vu-i 



et comme 



.Vx^ — ]r = - 



ir- 



cette valeur de Z se réduit à celle-ci: 

En multipliant dans cette expression de Z le numérateur et le déno- 
minateur par 

Vu-\-L -f- Vu — L, 

nous trouvons en définitive 



Z^ 



a: _H yï^::rft2 ^ (x -+- y^^rirp )"-2*_ ,,"-^-* u h- Vm^ - x^) 



Ainsi nous trouvons la fonction Z qui, par son développement, détermine la 
partie de la fraction continue 



52- 



qui suit après le dénominateur q^ , et par là les valeurs de 






— 355 — 

qui désignent les coefficients de — dans les quotients complets de la fraction 
continue 

'-'^-^■-.... 

arrêtée aux dénominateurs 

D'après cela on a 

(26) G^ =g,, G^ =g,,....Q^ =g,, 

en dénotant par 

les coefficients de — dans les h premiers quotients complets du développe- 
ment de Z en fraction continue 



Quant aux valeurs de 

2 

en remarquant que les dénominateurs 



dans la fraction continue 



32- 



comme nous l'avons vu (§ 51), sont égaux k 2x, nous trouvons 

(27) G„=-*;, e, = _*^,....(î^_^_^ = _^\ 

§ 53. Au moyen de ce que nous avons vu par rapport au développe- 
ment de 



■1 / [u -+- L) [x'^ 

Y u — 1 



L 



— 356 — 
en fraction continue 

la détermination de la constante Lq et de la fraction cherchée y se simplifie 
notablement, comme nous allons le montrer. 

D'après le § 48, on trouvera la valeur de L^ en cherchant parmi les 
racines des équations 

(70 = 0, G, = 0,....(y =0 

2 

la plus petite numériquement. 

Or, comme nous avons trouvé (27) 

r — _^' r — _^' r __^ 

^0 — 2 ' 1 — 2 ' • • • n i 1 — 2 ' 

il est clair que L = Zo ne peut être qu'une racine des équations 
G^ ==0, G^ =0, G„ =0, 

ou, ce qui revient au même d'après (26), de celles-ci: 

Ainsi nous parvenons pour la détermination de Lq à cette conclusion dé- 
finitive : 

On trouve la valeur de L = Lq, en cherchant parmi les racines des 
équations 

9i = 0, 92 = ^^ 9k = ^i 

celle qui est la 'plus petite numériquement; où g^, g^,. . . .g^^ sont les coeffi- 
cients de — dans les h premiers quotients complets du développement de 

^^ 1 x(:r-Hy^;^rzrp)"-^-^^_;,»-'^-^Ht^-t-yj^5z:T^) 

a; -H l/a;2 - /t^ i (a^ -4- Vx^ - h^T~^ - h''~^ (u -+- Vu^ - L^) 

en fraction continue, et k désigne le plus grand nombre entier que la quan- 
tité -^ contient. 

Nous ne disons rien de la forme de la fraction continue, dans laquelle 
on développera Z, en cherchant les valeurs de ^j, ^g, . . . .^^; car il est clair 



— 357 — 

que les quotients complets, aux facteurs constants près, seront les mêmes, 
qu'on développe Z en fraction continue de la forme 



|-ft + l 3n 



comme nous l'avons supposé jusqu'à présent, ou dans une de la forme 



où a', a ', a ", .... sont des valeurs constantes quelconques. 

Remarquons que la même chose se présente encore pour les termes 
des fractions convergentes que nous aurons à considérer plus tard. 

§ 54, En passant à la détermination de la fraction cherchée 

u 
F' 

supposons que 

soit la première des équations 

^1 = 0, ^2 = 0^ 9k=^^ 

qu'on vérifie en prenant 

Comme nous avons trouvé (§ 52) que 

2 

il suit que, dans cette supposition, l'équation 
sera la première parmi 



— 358 — 

qui a lieu pour L = Lo. D'où uous concluons, en vertu du § 48, que la 
fraction cherchée sera déterminnée par la formule (24), en prenant 

0- = — k-i~l 1, 

ce qui nous donne , 

U {u — Lq) M^-ju-t- Lq) (x' — h^) N^ 

V M^ — (a;2 — /i2j N^ J 



^2 
^1- 



Mais en dénotant par 



Ml M^ Ms 

iVi' N^^ iVg' 



la série des fractions convergentes de 



Z=— ^ m 



9n_ 



i + l g„ 



Ml 0_ M 2 h^ 



M h-^ ^, 



Mi 



D'où, en remarquant (§51) que les fractions convergentes de 



2.--- '.= 



qui correspondent aux dénominateurs q , a sont 

2 ^ 2 ^^ 

%-k + l \-k 



— 359- — 
nous concluons 



^-^r,.,^,^i-Qn.Mi^ 



et par là l'expression précédente de y devient 



OÙ le numérateur se réduit à 

et le dénominateur à 

Mais comme d'après (25) on trouve 

P^^ -H Q,^ (X' - h^) = U -*- vi^-:^-)^ ^ u - yF^r^)^^^ 



A A-i - ^. ^.-1 (^^ - /^^) = /^^''-^ X, 
ces valeurs de C/" et F deviennent 

[/■^ r/i"-2*-^2 ^ _ ^ (a; -H y 0:2 _ /,2)n-2ft-4-2 _H (a; - y a;2 - fe2)n-2A-4-2 -| ^ ^ 



— 360 — 

Ainsi nous parvenons pour la détermination de la fraction cherchée y 
à cette conclusion définitive: 

Si g. = est la prctnière des équations 

ûi = ^, 5^2 =0, ^^=0 

qu'on vérifie en prenant L = Lq, les termes de la fraction y^ qui parmi tou- 
tes les autres de la forme 

p{n—l-t-ï) xi-+-p(n—l-i-2) a;i— 1 _j_ -^-pW x -+- p{n-*-i) 

s'écarte le moins de 

entre x = — h et x = -i-Ji, sont données par ces formides: 

_ 2 [r-^- ^ u - Lq ^— y^^^^)»-^A-^> ^ U - y^^^)»-^-^^ j ^^ ^^ 

V = h"-'^ [h^ N.^ — 2xN. M. -f- M.^] , 
où Jfp N^ sont les termes de la i*"" fraction convergente de 

1 Ljx-i-y x'^ — }i^)n—2k-i-'z _ /^n— 2A+2 (^ _^ y ^2 _ ^2) 

a; -+- y a;2 — /t2 i (a; -h y x=^ — /,2)n— 2A- _ ^n— 2/f (j^ _^ y j^2_i2) 

qu^on trouve par son développement en fraction continue et parmi lesquelles 
on compte y 

XVI. 

Le nombre n est impair. 

§ 55. La méthode que nous venons de donner pour la détermination 
de Lq et de la fraction y dans le cas de n pair, peut être facilement appli- 
quée au cas où n est impair, comme nous allons le montrer. 



— 361 — 

Nous avons vu dans le § 45 que, le nombre n étant impair, on a ce 
système d'équations: 



(28) 



J u V—V-^L V= (x — h) TFo^ 
\uV—U — LV={x-i-h)W,', 

ou, ce qui revient au même, 

(29) 2L V={x — }i) W,^ — {x-^h) W{^, 

(30) 2LU=iu — L) {x — h)WJ' — {u-t~L) {x-^h)W,\ 

Comme les fonctions u^ F sont respectivement de degrés n — ?, / — d, et 
que le degré de U ne surpasse pas n — l — d — 1 (§ 43), les équations 
(28) prouvent que les fonctions 

sont de degré ^~^~\ Mais d'après l'équation (30) on trouve 



Wo ~,/ {u-^L){x-^-h) 

W^ y {u-L){x-h)—w,[W,{^ 



2LU 



(m - L) {x-h)-+-WiV (m2 - Z2) (a;2 - h^)] ' 

ce qui nous montre que la fraction 



est la valeur de 






Wo 






/(u-^L)(x- 


^h) 




|/ {u-L){x- 


-h) 


exacte jusqu'aux 


ter 


mes 


de l'ordre 

2i u 





Wi [Wo{u — L) {x — h)-hWiV («2 — i2) (a;2 — ^2)] ' 

et par conséquent, en vertu de ce que nous avons vu relativement aux 
degrés des fonctions Wq, W^, U, u, exacte jusqu'à ^^^i - Or, comme W^, 
le dénominateur de la fraction ^, n'est que de degré ^~^~ , cela ne peut 
avoir lieu, à moins que ^^ ne soit l'une des fractions convergentes de 



/ {u^L){x-*-h) 
y {u — L){x — h)^ 



— 362 — 

et que la fraction convergente qui suit celle égale à ^ n'ait pour dénomi- 
nateur une fonction de degré *L±li^. D'où l'on voit que parmi les frac- 
tions convergentes de l'expression 



1 / (m -4- L) {x-t-h) 
y (m — i) (X — h) 



n-t- 1 



aucune n'aura pour dénominateur une fonction de degré - 

§ 56. D'après cela, en répétant sur le développement de 

1 / {u -+-L)(x-t- h) 
y (u-L){x-h) 

en fraction continue 

ce que nous avons fait dans les paragraphes 47, 48, 49 avec le développe- 
ment de 



y u-L 

en fraction continue 



'»^ T., 

22- 



on reconnaît aisément que la valeur L doit vérifier au moins l'une de ces 
équations : 

Go = 0, G, = 0, G^^^ = 0, 

2 

où Goj ^15 • • • • ^n-1 sont les coefficients de -^ dans les ^^^ premiers quo- 
tients complets de 

-. / (u-*-L){x^^) _ 2h 

y iu-L)ix-h)-^o-^-_hl 

D'autre part, si l'équation 
est la première parmi 



— 363 — 
qui a lieu pour L = Lq, et qu'on fasse 



M 2ft , , 




^ = 2o-^^_^L^ 




22--. 


. . h^ 




3c' 



, . U_ (u- Lq) {X ~h)M^- (», + Xq) jx + /i) m 

^^^f V~ (x — h)M-^ — {x-^h)N^ » 

en traitant cette valeur de y de la même manière que celle donnée par la 
formule (24), on trouve qu'elle est de la forme 



p(n— /-f-i) ç^l _,_^(n— /-H2) a;i— 1 _t_. , . .-H_p(") a; _H_p(«^-i) 

et que sa différence avec u^ depuis x= — li jusqu'à a; = -t- /?, reste com- 
prise dans les limites — i^ et -+-Xo- 

D'après cela on conclut, comme dans le cas de n pair (§ 50), que la 
valeur cherchée de L est numériquement la plus petite parmi celles qui vé- 
rifient au moins l'une des équations 

2 " 

et que cette valeur étant L^=Lq^ et 
la première des équations 

2 

qu'elle vérifie, la fraction cherchée y ^^ détermine par la formule (31), en 
prenant pour -^ celle des fractions convergentes de 



1 / (u -*- Lq) [x h- h) ^ ^^^ 

y [U — Lq) {x — 



2o-+-^_^^ 



qui correspond au dénominateur q^. 

C'est ainsi qu'on parvient à déterminer la valeur de la constante L et 
de la fraction cherchée y dans le cas de n impair. 



364 — 



XVII. 



§ 57. Nous cherclierous maintenant à simplifier la détermination de L 
et de Y dans le cas de n impair, comme nous l'avons fait (section XV) pour 
le cas de n pair, et on verra qu'en définitive la détermination de Z et de y 
dans ce cas ne diffère point de celle que nous avons trouvée pour le cas de n 
pair. 

La fonction u étant de degré n — ?, les expressions 



1 / (U -H i) (X -4- h) ~a/x-\-h 

Y [u — L) (x — //)» y x — h 

ne diffèrent entre elles que par les termes de l'ordre -7r=i et moins élevés. 

D'oiî il suit que pour les développements de l/ i" '^ ^ fx — ft ! ^* VF^h ^^ 
trouvera la même fraction continue, si l'on ne pousse leurs développements 
au-delà de la limite, pour laquelle elles s'expriment par les fractions conti- 
nues avec l'exactitude jusqu'à -f^z^i. Or, puisque l'on trouve 



1 / x~t-h 
y X — h 



h ^ 2 h 

2x — ~- 
2x- 



et que cette fraction continue ne donne pas la valeur de l/|^-^ exacte 
jusqu'à -^n^i, si l'on conserve ^- — k de ses dénominateurs, k étant la 
partie entière de —^ , il est clair que dans le développement 



-^/ {u-i-L)ix-i-h) _ 
y (u — L) [X — h) ~ ^0 






(32) ^0=1, q, = 2x — h, q, = 2x, q^_^^ =^2x. 

D'où nous concluons que les fractions convergentes de 

-| / (u -*-L){x-t- h) 2/t 

y {u-L){x-h)~^o-^Yi-- 






— 365 — 
qui correspondent aux dénominateurs 

seront 



si l'on dénote par 

P(0) P(l) P(2) 

Ç(ô)' ÇÔ)' Ç(ï)' 

la suite des fractions convergentes de 



f x — h ^0 g^ — 



22— - 



pour la détermination desquelles on trouve aisément ces formules: 



(33) 






=). 

2-/ x-^h 



^V~ 



§ 58. Suivant ce que nous avons montré sur les fractions convergen- 
tes de 

y {u — L){x — h) 

qui correspondent aux dénominateurs 

"n-*-i _ j ' a n-f-i _ j _ j ' 

et en faisant 

— h^ 



±_fc+l g^ 



fi^-fc+2 i;;:;7- 



*) Oa vérifie facilement ces expressions de P^^', Ç^^\ en remarquant qu'elles donnent 
des valeurs exactes dans le cas de X = 0, X = l, et qu'elles vérifient les équations 
P(^) = 2 a; P(^— 1) — ft2 p(X— 2)^ Q(ï.) ^2x Ç^^—^'^ — h^ Q^^~^\ suivant la forme de la frac- 



2x-h-^ h^ 
2x- 



— 3(16 — 



, ,/{"-♦- L) {x-*-h)^ 

nous trouvons cette expression de y (^ ^l){x- h) • 



/ «-ti - 



?n-»-l fc — -^ 

D'où résulte cette valeur de Z: 

Q ("-^' -^) V{H-^L){x-^li) - P ("^ -"*) V(^^ — i)(^-^) 
qui, après la substitution des valeurs de 

pi"-^-'), pC^-'), qC^-'). qC^-'), 

en vertu des formules (33), devient 

En remarquant que n est un nombre impair et que 
on reconnaît aisément que cette valeur de Zpeut être représentée ainsi: 

.^y^^-^ |/„.irjy'?-j-'^|/î|^'fr/.»--]-]/«-z[(]/ïi^**-)/î|-»J-^"-] ' • 

et comme 

cette expression de Z se réduit à 

1 L {x -t- v^2zrh2)n—2k-H2 ^ j^n—ik+i (^ _^_ yi^?:rz2) 

X -H y x2 — /i2 X (a; _j_ y x2 — ;i«)«— 2& _^_ /in-2fc (m _^. y «2 _ L2) ' 

ce qui est identique, au signe de L près, avec la valeur de Z dans le cas de 
n pair (§ 53). 



— 367 — 

§ 59. En dénotant par 

9i, 92^ 9s, 

les coefficients de — dans les quotients complets de 



z= 



- 'f + 1 Çtn-i 



nous trouvons qu'on aura 

où 

suivant la notation admise dans le § 56, désignent les coefficients de — 
dans les quotients complets de 



y (u-L){x-h) ^0-^?!-^ 



quand on s'arrête aux dénominateurs g^ 
De plus, en vertu des valeurs de 

trouvées plus haut (§ 57), on reconnaît aisément que Oq, G^, ^av-^n— i ? 
les coefficients de -^ dans les ^-^-^ — k premiers quotients complets de 



y iu-L)ix-h)-^o-^q^^'l_ 

ont ces valeurs: 



<„ = h, G, = -'^, G, = -'^,....G^_=-'Ç. 



D'après cela il est clair que parmi les équations 

6^0 = 0, G, = 0, G, = 0,....G^_=0, 



- 3G8 — 

qui d'après le § 56 déterminent L = Lq, les *^ k premières ne peu- 
vent être satisfaites, et les dernières se réduisent à 

^1 = 0, 92 = ^, ^A=0, 

comme dans le cas de n pair; seulement L, en vertu de ce que nous avons 
vu sur l'expression de Z, sera remplacée par^ — L. 

§ 60. Eu passant à la détermination de la fraction cherchée y, sup- 
posons que 

soit la première des équations 

9i = Q, 92 = ^, 9k = ^^ 

qu'on vérifie par L=:Lq. Les quantités 

^05 ^1) <^25 • • • '^n—l t' 
2 

en vertu de ce que nous venons de voir, ne pouvant s'annuler, et puisque 

dans cette hypothèse l'équation 

sera la première parmi 

G, = 0, G, = 0, G, = 0,....G _^=0, 

2 

qui aura lieu pour L = Lq. Mais dans ce cas, en prenant 

n-+-l , . T n — 1 7 

a = — k-i-î — 1 = — a; -H ^, 

nous trouvons d'après (31) que la fraction cherchée y se détermine ainsi: 

U_ ju - Xq) {x - h) m^ - {u -*- Lq) {x -+- h) N2 
V {x — h}312 — {x-t-h)N^ ' 

OÙ 

M 2h ^^ 

g,— • 

• • . h^ 



— 369 — 
D'autre part, comme les fractions convergentes de 

qui correspondent aux dénominateurs 
sont 



qC^-") eC^-')' 



M 

et que la valeur précédente de ^ peut être mise sous la forme; 



M 2/4 ,, 

ï7 = ^o-+-^_^^_ 



• _Mi 

M- 

en désignant par ^ la i^"® fraction convergente de 



«n±i_fc + l- 



gn-f-l 



nous concluons qu'on aura 

Mais en vertu de ces valeurs de ikf et iV l'expression précédente de y de- 
vient 

D'où, par la substitution des valeurs de 

p(^-'), pe^-), q("-^'-'), qC^-^) 

d'après (33), on obtient les mêmes expressions de Z7et F, que dans le cas 

24 



— 370 — 

(le M pair (§ 54), et dans lesquelles, conformémeut à ce que uous avons vi 
(§ 51)) sur les équations qui déterminent L = Lq^ la quantité Lq se trouve 
remplacée par — L^. 

Ainsi on parvient à reconnaître que les résultats définitifs, obtenuii 
dans la section XV sur la détermination de la quantité Lq et de la fraction 
Y pour le cas de n j^air, sont applicables aussi au cas de n impair. 



XVIII. 

§61. Pour montrer une application de ce que nous avons exposé, sup - 
posons qu'il s'agisse de trouver une fraction de la forme 



-2 -I- li" /r«-^3 



^ p(n—2) X -t- p(n~i) 



qui, depuis x-= — h jusqu'à x^ -+-h, s'écarte le moins possible du poly- 
nôme donné 

x''-\ -^Ax''-'' -H Bx""-' -+- 

Comme on a dans ce cas 

1 = 1, 

on trouve que k, qui désigne la partie entière de ^^, est égal à 2. Poir 
cette valeur de A", et en prenant 



îl = X 



.M — 1 



-Ax^ ^ -\-Bx^ 



nous trouvons par le développement en séries 



u _4_ y^<2 _ ^2 = 2 x""-' -h- 2 A x""-' -*-2B rr"~' -+- , 

(rK-Hy^^IT^)"-^*-*-^^ {x^V¥^^Y-'=2''-' {x'"''-~*^h'x''-*-^...\ 

En portant ces valeurs de 
dans la formule 

^~ x-i-Vx^-h^ Z (a; -4- y a;2 - /i2)n-2ft _ h^-2k (^ _^ y ^^2 _ i?) ' 



— 371 — 
et en faisant 

on a 

^ 2"~2i [a;n-2-*^/i2a;«— 4-H. . . .] -/i«-2 [2ic«— i-i-2^a;«-2-*-. . . .] 

x-i-Vx^-h^ 2«-4i [x"-4-"^A2a;n-6^. , J — /j^-^ [2x«— i-f-2^a;«-2-i-. . . .] 

h2 xn—i ^ ^h2 A — 2 I^T * -^] ^" "^ -^ '»^ ^ a;»*-3-»- . . . . 
2 x" -♦- 2 ^ a;«— 1 — y x"— 2 -h 2 5 a;»»-2 -+-.... 

Cette valeur de Z, développée en fraction continue, nous donne 

7i2 



z = 



1 / 2 \2»-* ^2 . / 2 \«-2 ft2 



D'oii résultent ces fractions convergentes de Z: 
Ml _o^ M2 

Ni 1 ' Fg ; 



-m- 



et en cherchant les valeurs de g^, g^^. . . . , qui désignent d'après notre no- 
tation les coefficients de — dans les quotients complets de Z, nous trouvons 






2 • 



En passant à la détermination de L = Lq, remarquons que, d'après le § 53, 
dans le cas dont il s'agit, le nombre k étant égal à 2, la valeur de L = Lq 
doit vérifier au moins l'une de ces équations: 

7i2 ^ 1/2 \2«— 4 -j.» .(2 \»*— 2 T ^"^ (\ 

La première de ces équations est impossible; on n'a qu'à chercher les solu- 
tions de la dernière. Or, en résolvant l'équation 

1 /2\2n— 4 ^/2\»»— 2-r 7i2 

on trouve ces deux valeurs de Z: 



— 372 — 

De ces valeurs de L celle qui a le radical V A'^ h- h^ avec le signe contraire 
à celui de A sera la plus petite numériquement. Donc, en vertu de ce que 
nous avons montré dans le § 53 sur la détermination de L = Lq, on aura 



i. = (Ap(^±y3^^^), 



en supposant qu'on prend le radical avec le signe contraire à celui de A. 

Puisque cette valeur de Lq ne vérifie que la seconde des deux équa- 
tions 

1 /2\2«— 4 /2\«— 2 -, h^ 



on prendra 
et parceque 



1 / 2 \2M— 4 / 2 \n— 2 y- h^ ^ 



i = 2, 



la seconde fraction convergente de Z, est égale à 
on conclut que 



D'oiî, en vertu de ce que nous avons montré dans le § 54 sur la détermi- 

F' 



nation de y, et en remarquant que k=2^ nous parvenons à ces valeurs dî 



CAet F: 

v^ A-[.^(2.-.(|)-z,;_L^.(2.-.(|pzo)-.;.^] 

où 

u = x''-'-*-Ax''-''-i-Bx''~*-+- , 



— 373 
Tels sont les termes de la fraction 






qui, parmi toutes les autres de la même forme, depuis x=. — h jusqu'à 

X- 



î = -H ^, s'écarte le moins de î< = a?" ^ -+- Ax^ ^ -h Bx^ ' - 



§ 62. La valeur de L^ montre que pour la fraction y, ainsi détermi- 
née, les limites des valeurs de la différence 

u 

U—y, 

depuis x^ — h jusqu'à x = -+-h, sont 

en prenant le radical avec le signe contraire à celui de A. Comme ces limi- 
tes pour toutes les autres fractions ^ de la forme 

p' X^~^ -t- p" X^~'^ -H. . . .-l-^j(**~2^ a;_t-jp(**-~l^ 

sont plus étendues, et que la différence 

^_£^^n-i_^^^n-2_^ p'x^-^-^p"x'^-^-i-. . . .h-j^^"-^) a; -^p(»-i> 

oùp\ p\ . . .p^^~^\ P^^~^\ P^"\p^^'^^^ sont des quantités arbitraires, peut 
représenter toutes les fonctions de la forme 

X — a ' 

il en résulte ce théorème: 

Théorème 20. 

La fonction 

x""-' -H A x""-'-^ A'x""-'-*- .... -H ^("-^) -4- ^^"^ , 

X — a ' 

depuis x = — h jusqu^à x = -i-h, ne peut rester numériquement au-des- 
sous de 

où Von prend le radical avec le signe contraire à celui de A. 



— 374 — 
§ 63. En cherchant de la même manière la fraction 

p' x**—^ -i- p" x*^—* -*- -+-p(n— 3)a;_^.p(n— 2) 

qui, parmi toutes les autres de la même forme, s'écarte le moins de 

u = a;"-^ -f- Bx""-' -f- (7a^"-'-+- . . . . , 
entre a: = — 1% et x = -t- h, on prendra 

1=2, 
et comme pour cette valeur de l la quantité -^ est égale à | == 2|, on fera 

Or, en prenant 

u==x''-'-^Bx''-'-i-Gx''-'-i-.. . ., 

dans l'expression de Z (§ 53), on trouve 

. . . \ _ 2 h'^-2 {x^—2 H_ 5 X»—*-+- ....) 

. . . ] — 2 ft"— 4 (x»»— 2 -f- B x^—*-i-. ...) 

Cette valeur de Z, développée en fraction continue, nous donne 
Z= '- 



/ 2 un— g / \ / 2 \n— 4 /j4 

(t) £'-(4Ji-.(«-2)/.^)y L-- 



D'où résulte cette suite des fractions convergentes de Z: 



j^_o M,_ '"-irT '^ 



y,~ 1' iV^,~ 2x 



— 375 — 

et ces valeurs de g^, g^^. . . .: 

_ .(|)-x.-(...(,-..)(|p.-'^ 

qui désignent pour nous les coefficients de — dans les quotients complets. 

Comme fe = 2, on cherchera la valeur L = Zq parmi les racines de 
ces deux équations: 

l \2n— 8 / \ / 2 \n-4 ji* 



iW" 



La première de ces deux équations donne 
la seconde 

Dans le cas particulier de J5 = — *^-^^^î^ ces trois valeurs, au signe près, 
sont égales. Mais en faisant abstraction de ce cas, nous trouvons que la 
plus petite numériquement est celle qu'on trouve d'après la formule 

en prenant le radical avec le signe contraire à celui de J? -f- ^^^- h^. 
D'où, d'après le § 53, nous concluons 



— 376 — 

Cette valeur de L^, sauf le cas de B = — '^h\ ne vérifie que la seconde 
des équations 

h*' 



(9 \2n — « / \ / 2 \^ — ■* h* 

Donc, ou prendra 



^2' — / / 2 \"— * \'- 



i=2, 
et comme nous venons de trouver 



Mi __M2 






iïï"' 



N^ 2x ' 

on aura 

N. = 2x. 

Pour ces valeurs de M.^ N., et en remarquant que k = 2, les expressions 
de Z7 et F que nous avons trouvées dans le § 54 donnent 



y = r-.[4,,.^._4(A»_2(|p£.).^-^(F-2(|pi./] 

= r-'[8(|)"-L„.^^(.-2(|rL,;j. 
Tels sont les termes de la fraction 



u 

V 

qui, parmi toutes celles de la forme 

p' x»~3 -4- p" x?^^ -♦- -♦- jj(n— 3) a; ^ j,cn-x-2) 

_p(n— 1) g.z _^p{n) a._^p(n-*-i) » 

depuis a; := — A jusqu'à x = -♦- /i, s'écarte le moins de 



377 



Nous allons examiner maintenant le cas de 

que nous avons laissé de côté. 

D'après les valeurs de g^, g^, trouvées plus haut, on a, dans le cas de 






""-Kl) ^ 

Comme les racines des équations 

* L 



9^ = -t: -^ 



sont 



Kir 

L = 2(Ap 

x=-2(Ar 

valeurs, au signe près, égales, nous trouvons deux valeurs de L = Lq: 

A = 2(1)"- 

En prenant la première valeur de Lq, nous remarquons qu'elle ne vérifie 
que la seconde des équations 

_ 1 "'-Kl)""'^ ._.o 

..-2(1) L 



92-- 



Donc, on aura 



; _ 9 ^^M, 



et par là on trouve pour Î7 et F les mêmes expressions que dans le cas 
général oii l'on a aussi i = 2. 

En passant à l'autre valeur de L = Lq, nous remarquons qu'elle vé- 
rifie la première des équations 

9i = 0, g, = 0, 



— 378 — 
d'où il suit 

*— ^' Ni — Ni^ 

et comme 

iVi ~ 1 ' 

on trouve 

Pour ces valeurs de M.^ iV^, et en observant que 

nous trouvons, d'après les expressions de Z7 et F données dans le § 54, 

7-r 7 n— 2 „ T *^^ -*- l/a;2 - /i2)n-2 -^ (x — ya;2 — /jî)»— 2 

(7 — /i U — Ijq , 

D'où résulte la même valeur de y, qu'on trouve d'après les formules du 

cas général, en prenant Lq = — 2 [ y) *. 

§ 64. En vertu de ce que nous avons vu relativement à Lq qui déter- 
mine les limites des valeurs de la différence 

u 
entre a; = — /i et a; = -♦- ^ et en remarquant que 

*^ p{n— 1) a;2 -H pW X -+- 2j("^-i) 

peut représenter toutes les fonctions de la forme 

a; — a x — p ' 

nous parvenons à ce théorème: 

Théorème 21. 

La fonction 

a; — a a; — p ' 

depuis x= — h jusqu'à x= -^h, ne peut rester numériquement au-des- 
sous de 

où Von prend le radical avec le signe contraire à celui de la quantité 



£6. 

SUR 

ÏÏHI NOÏÏTIÏLLI SÉRm. 



Bulletin pliysico-matliématique de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. 
T. XVn, p. 2B7— 261. 



(Lu le 8 octobre 1858.) 



Sur une nouvelle série. 

Dans mon Mémoire sur les fractions continues, présenté à l'Académie 
en 1855 et publié dans ses Mémoires (Tome III), je suis parvenu à une 
formule qui, d'après les valeurs données d'une fonction, affectées d'erreurs 
quelconques, fournit directement sa valeur sous la forme d'un polynôme 
avec des coefficients indiqués par la méthode des moindres carrés. Cette for- 
mule comprend, comme cas particuliers, les développements connus des 
fonctions suivant les cosinus des arcs multiples et suivant les valeurs de 
certaines fonctions désignées par X^"\ On tire de notre formule plusieurs 
autres séries, en faisant différentes hypothèses particulières sur la suite des 
valeurs connues de la fonction cherchée. Dans l'hypothèse la plus simple, 
oii l'on suppose ces valeurs équidistantes, telles que 

u, = fÇhl u^ = f(2 h\ w„ = f{n h\ 

et leurs erreurs probables égales, notre formule fournit le développement 
de u = f{x) suivant les dénominateurs de la fraction continue qui résulte 
du développement de l'expression 



Mais comme on trouve que ces dénominateurs, à un facteur constant 
près et en prenant ^x = h, s'expriment par 

Af{x — h){x — 2h)....{x~lh){x — nli — h){x — nh — 2h)....{h — nh — lh), 

il en résulte, en vertu d'une transformation très simple des sommes, cette 
série remarquable: 

■ "^ \^.2\n{n^-i'^){n^-2^)h< ^ (^~^) (^—2^) {x—nh—h) {x—nh—2h) 
' -*- '"t^^^^^:^:^^^ A\x-h)ix-2h)ix-U)ix-nh-h){x-nh-2h)(x-nh-3h) 



— 382 — 

daDS laquelle les signes de sommation s'étendent à toutes les valeurs de 
depuis i = 1 jusqu'à i = n. 

De plus, on trouve que les fonctions 

A{x — h) {x — nh — h), 

A^ {x — h) {x — 2h) {x — nh — h){x — nh — 2h), 

A^ix — Ji) {x — 2h) (x—dh) {x — nh — h) {x — nh~2h) (x — nh — dh), 

5 

que nous désignerons, pour abréger, par 

A\ A^ A^...., 

sont liées entre elles par l'équation 

a' = (2^ — 1) h {2x — Jîh — h) A^~' —{l—lf [n^ — {l— \f] h' a'^^ 

d'où l'on tire aisément les valeurs de toutes ces fonctions: 

A^ = 'h{2x — nh — ^), 

A^ = 3/^2 {2x — nh — hf — {n^ — \) h\ 

A^ = 1 5¥ {2x — nh — hf — 3 (Sw^ — 7) h' {2x — nh — h), 

A*=105¥{2x—nh—hy—^0 {dn^—13)h'{2x—7ih-hf-*-9 {n^-1) {n^-9)h\ 

A'' = 945h''{2x — nh- hf — 1060 {n^ — 7)h' {2x — nh — hf 

-+- 15 (15w* — 230^2 -t- 4:07)h'{2x — nh — h), 

et l'on obtient sur le champ le développement de l'expression 



X — h X — 2h 

en fraction continue 



^" 12 („2 _ 12) ;j2 



La série que nous venons d'obtenir, pour l'évaluation de u d'après ses 
valeurs équidistantes, ne laisse rien à désirer pour l'interpolation paraboli- 



— 383 — 

que de telles valeurs, vu que dans cette série tous les termes se calculent 
très aisément d'après les différences consécutives des valeurs données. Dans 
le cas de 



et n infiniment grand, notre série se réduit à une suite ordonnée suivant 
les valeurs des fonctions X^^\ Dans le cas de 



et n infiniment grand, elle se réduit à la série de Maclaurin. D'autre part 
en multipliant ses termes par u. et sommant depuis ^ = 1 jusqu'à i = n, 
on en tire cette formule: 

V,, 2 _ (^»t)' . 3[2i(»-i)A»,-p 5 [Di {i H- 1) (n - i) jn-i- 1) A^m,-]» 
^'*» « "*" I2.«(n2— l2)/i2 -*- l2.22w(n2-12)(n2-22)/i4 

7 [>:t (^^ H- 1) {i -»- 2) (n - t) jn-i- 1) {n-i— 2) àhii]i 
~^ 12.22.32.w(n2— 12)(n2 — 22)(w2 — 32);i« 



qui, à son tour, dans le cas de 

n 

et n infiniment grand, devient 

■*- i-î^(£*'(i -^)'^" <^^r-^ • • • • 

Notons encore que les fonctions 

A{x — h) {x — Yth — ^), 

A^ {x — h){x — 2/^) {x — nh — h) (x — nh— 2^), 

A^x — h) {x — 2h) (x — U) {x — nh—h) {x — nh — 2li) (x — nh — dh), 



qui entrent dans notre série, sont très remarquables par des propriétés ana- 
logues à celles des fonctions deLegendre X''^\ 



— 384 — 

Ces fonctions, en outre, fournissent des expressions approximatives de 
la somme 

%F{ih) 

qui jouissent de la même propriété importante que celles qui ont été don- 
nées par Gauss pour les quadratures. 

Dans un de nos Mémoires ultérieurs on verra tous les détails néces- 
saires sur la série que nous venons de donner et les fonctions remarquables 
dont ses termes sont composés. 



17. 
SUR L'INTERPOLATION 



DANS IK CAS 



B'ÏÏH aMND NOMBKI DU DONMES 

FOURNIES PAR LES OBSERVATIONS. 



(Mémoires de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. VIP série. 
T. I, 1859, Ko 5, p. 1—81.) 



(Lu le 29 octobre 1858.) 



Sur rinterpolation dans le cas d'un grand 
nombre de données fournies par les obser- 
vations. 



Quand le nombre des valeurs données surpasse celui des termes que 
l'on conserve dans leur expression, l'interpolation peut être exécutée par 
diverses méthodes. Mais ces méthodes, dans chaque cas particulier, sont 
loin d'être également avantageuses; elles diffèrent entre elles soit par la 
prolixité plus ou moins grande des calculs, soit par la grandeur de l'erreur 
moyenne à craindre, tant qu'il s'agit d'interpolation de valeurs fournies par 
les observations et conséquemment affectées d'erreurs. Comme on ne peut 
gagner au delà d'une certaine limite sous un de ces rapports sans perdre 
sous l'autre, il est impossible de donner une méthode d'interpolation qui 
soit en général préférable à toutes les autres; car, suivant les cas, on tient 
plus ou à la simplification des calculs, ou à la précision des résultats. Si 
l'on ne connait qu'un petit nombre des valeurs d'une fonction interpolée, il 
se présente peu de ressources pour atténuer l'influence de leurs erreurs sur 
le résultat cherché, et alors il est important de tirer des données d'interpo- 
lation tout le parti possible pour diminuer l'erreur moyenne à craindre, ce 
qu'on ne peut faire qu'à l'aide de la méthode des moindres carrés. Dans le 
cas contraire, le nombre considérable des données qu'on a à sa disposition, 
nous dispense de recourir à la méthode des moindres carrés qui exige des 
calculs trop longs. Alors, pour la simplification des opérations numériques, 
on peut bien sacrifier une partie plus ou moins considérable de ce que les 
valeurs données offrent pour apprécier le résultat cherché. Dans le Mémoire 
Sur les fractions continues^ présenté à l'Académie en 1855, nous avons 
traité de l'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres car- 
rés *), et nous sommes parvenu à une série qui fournit directement les résul- 
tats d'une telle interpolation, indispensable, comme nous venons de le voir, 
si le nombre des valeurs connues de la fonction interpolée est assez petit. 



*) La traduction française de ce Mémoire, dont je suis redevable à l'obligeance éclairée 
î M. Bienaymé, vient de paraître dans le Journal de M. Li ou ville, T. III, 2ii>e Série. 

25* 



— 388 — 

Dans le présent Mémoire nous montrerons comment, d'après nos méthodes, 
on parvient à d'autres formules d'interpolation qui peuvent remplacer avec 
avantage celle dont nous venons de parler, en tant que son application, vu 
le grand nombre des valeurs données, cesse, d'une part, d'être importante, 
et de l'autre, devient peu praticable. 

Des divers cas particuliers que peut présenter l'interpolation suivant 
le nombre plus ou moins grand des valeurs données, nous nous bornerons à 
considérer celui qui est la limite de tous les autres où le nombre des va- 
leurs données est infini. Quoique, en réalité, ce nombre ne soit jamais infini, 
les formules qu'on trouve dans cette supposition peuvent être cependant 
d'une application utile; car elles présentent la limite vers laquelle conver- 
gent très rapidement les résultats d'interpolation, à mesure que ce nombre 
augmente, et il ne sera pas difficile de voir, dans chaque cas particulier, de 
quel degré d'approximation ces formules sont susceptibles d'après les va- 
leurs données. 

I. 

§ 1. Xous commencerons par exposer la solution du problème qui ser- 
vira de base à nos recherches. 

Problème. 

Etant donnée une suite de valeurs de F(x) = A^-^ A^x-t-. . . -t-A^x^ 
qui correspondent à des valeurs de x équidistantes et très rapprochées entr'^él- 
les, combiner les valeîirs de F(x), par la seule voie d^addition et de sou- 
straction, de manière à ce que le résidtat final ne contienne que le terme 
affecté du coefficient A^, et que ce terme soit le plus grand ptossiUe. 

Solution. 
Soient 

(1) F{x,\ F{x,l....F{x,) 

les valeurs données de 

(2) F{x) = A,-*-A^x-i- -+-^„a;". 

En supposant que 

^(^i), ^W, F{x^), 



(3) i^(a^,-H.'-.i), F(x,_^,,^,\ .... F{x,^,.^,,^l 



— 389 — 
soient les valeurs de F{x) prises avec le signe -+- , et 

Fix,^,), F{x,^,) Fiœ,,^,), 



celles qui auront le signe — , on trouve que la combinaison cherchée des 
valeurs 

F{x,), F{x,\....F{x,) 

s'exprime par la formule 

|JI.:=1 (JL=a+l |Jl=3+3'+l [J.= a+3'+3"-H 

Les valeurs 

X-^^, X^, . . . .Xf 

étant, par hypothèse, équidistantes, cette expression, à un facteur constant 
près et qui ne change eu rien la solution cherchée, est égale à 

[i=a^-a' |i=3+3'+3" ^l=3-|-3'+3"+ 3' 



2^(\»(^.-.-V-2^(V(^.*r^.)-2^MV..-^,)-2^(V(^.-^r^J-^- • • •. 

1 [X=:3+3'H-1 [JL=a+3'+0"-H 

- F(x)dx-^ j 

J Xr; J Xo 



ce qui se réduit à 



F{x)dx— I F{x)dx-\- I F{x)dx— F{x)dx-i- , 

les valeurs 

^15 X^, . . ' .X^ 

étant très rapprochées entre elles. 
Or, si l'on fait 

â?a = TQl , ^3+3' = ■'^2 J ^a+3'-l-3" = ""Is 5 • • • -5 

et que l'on désigne par a et 6 les valeurs extrêmes de x dans la suite 
et par v le nombre des valeurs 

•^3) ^3+r/5 iC3+3'H-3"j • * * 'J 



— 390 — 
l'expressiou précédente peut être représentée ainsi: 

pi nz fi3 H 

F{x)dx— F{x)dx-^- F{x)dx — -h(-i)' 



h 

(-1)' I F{x)dx. 



A cause de quoi notre problème se réduit à la détermination des quan- 
tités 

SOUS la condition que pour 

F{x) = A,-i-A,x..,.-t-A^x'' 
on ait 



pi r^2 p3 r& 

) F{x)dx— F{x)dx-*~ F{x)dx — h- (- 0' F{x)dx = sAi^ 



et que le facteur s soit le plus grand possible, en supposant, bien entendu, 
que, conformément au sens du problème, les valeurs 

«, ^1, 1^2' ^3, \^ ^ 

présentent une série croissante. 

§ 2. Pour tirer de ce qui précède les équations relatives à y]^, \^ 
T]3,. . . .Y)^ nous remarquerons que la formule (1), en prenant 

F{x) = A^-^A^x-\- -*- A^"^ 

devient 

A[— r^-i-2Ti, — 2ï),-i-2yî3 — __ 2 (-1)^71^-1- (-1/6] 

-4-l^,[-a^-F-2V-2V-4-2V- _2(-i)^v)./-H(-ir62] 

-»-y4[— a=^ -1-2 y]i3 — 2yi/-*- 27)3^ -+- — 2 {-\f '^^' -^- {-if }f\^ 

-»-T^/-.[-^^'-^2ï]/-2y)/h-2V— _ 2 (-1)^7],/-^ (-!/?;'] 

-*-,à^{~«'"'-*-2V""^-2V"^-+-2^3'-\ . .-2(-i)X'-'-.(-i)V-^] 

-^éi <-«"""^-27],"-^-2ti,"-*-^-.2yî3"-^- . . - 2(-])^;-^M-i)V-^] 
= 8 Al. 



(2) 



— 3^1 — 

D'où résultent les équations 

« — 27),-i-2y),— H-2(-irYi,-(-ir& = 0, 

«2— 2V-<-2V— -+-2(-i)'Y)^2_(_iyj2^0, 

a^— 2ïi/-+- 2r]2^— -i- 2 (-i)' 7],/_(-i)^6' = 0, 

a'-^^— 2y)/-*-^h-2ïi/-"^— .... -H2(-irïi/-^^ — (-ir6^-"^ = 0, 



avec la condition que la quantité 

(3) s = - ,-ij [«'-'- 2y,/-'-4- 2ri,'-'- .... -H 2(-ir ^/-'- (-1)' ft'*'] 

ait la valeur la plus grande possible, et par suite la méthode usitée des 
maxima relatifs nous fournit ces équations: 



. . \ sont des inconnues auxiliaires. 
Les dernières équations nous montrent que les quantités 

flu IQ2» ^v 

sont les racines de la même équation 

>„7l"-*- -^\rf -^^fi -t-\ ~ rf = 0. 

Comme cette équation est tout au plus de degré w, et que les quan- 
tités 

TQl, ^25 "^V 

sont différentes entre elles, il en résulte que v, nombre de ces quantités, ne 
peut surpasser n. Donc, relativement au nombre v, il n'y a que ces w -i- 1 
hypothèses à faire: 

v = w, v = n — l,,..v=l, v = 0. 



— 392 — 

De plus, on reconnaît aisément que la première hypothèse comprend 
comme cas particulier toutes les autres, tant qu'on admet des solutions où 
quelques unes des quantités 

sont égales à h. En effet, si l'on a 

dans nos formules fondamentales (1), (2), (3), p termes s'éliminent, et le 
reste devient identique à ce qu'on trouverait en prenant 

v = n — p, 
au lieu de 

w = v. 

C'est pourquoi, dans les recherches de ^ii, t]2,' - - '\, nous nous bor- 
nerons à la première hypothèse sur le nombre v, savoir: v:=w. 

Or, pour cette valeur de v, les formules (2) et (3) nous donnent 

a — 2Y]i-+-2ïi2— -h2(-i)"ïi^ — (-if &=0, 

«^— 2V-+-2V- H-2(-i)"V — (-l)"&^=:0. 



(4) 



,,'_27]/-4-2y]/- _^2(-irY)J — (-ir6'=0, 



^■^^-2V-*-^-4-2ï)2"-^^— _4-2(-if Y]/-*-'-(-i)"6"-'=:0, 

(5) 5=-,ii[^^^^^-2^/-^^2V-"^- .... -^2(-ir ^-M-if 6'""^]. 

Les équations (4) sont en nombre suffisant pour déterminer toutes les 
quantités yj^, ïjg,. . . .tq^. Ces équations pourront avoir plusieurs solutions, 
mais on distinguera facilement celle qui correspond à notre problème, en 
ayant égard à la valeur de 

« = -i4l[«'"'-2V*'+2V*'- . . . . H-2(-l)V*'-(-l)"6'"'], 

qu'on cherche à rendre aussi grande que possible. De plus, conformément 
à ce que nous avons vu, on rejetera toutes les solutions où les valeurs 

ne présentent pas une série croissante. 



— 393 — 

§ 3. Il serait très difficile de résoudre les équations (4) par les métho- 
des ordinaires d'Algèbre; mais on y parvient très aisément à l'aide d'une 
méthode particulière, dont nous nous sommes servi dans le Mémoire cité 
plus haut; c'est ce que nous allons montrer. 

En développant l'expression 

_j. 2_ 2 2(— ir (— ir 

x—a aj — Y)i x — -t]2 • • • • x—rin x—h 

suivant les puissances décroissantes de ic, on a 

_\ l__^_l _+_?iidf _(zii)"== 

X — a X — IQi X — TQ2 • • • • ^ — ^^ ^ — ^ 

i[«-27,,H-2Y,,- _h2(-i)"7)„-(-i)"6] 

^-à[«'— 2V-^-2ii/- -^aHrv-Mrft'] 

-+- 

-^,-7lr.K'-2^^'-^2V^'- . . , . H-2(-.)»vi„'-^'-(-0"6'"'] 
-+- 

H- ^, [«"■*-'- 2 V-^^-^2y]3"-^^- . . . . -+-2(-irY)/--^-(-irè"-^] 



D'où, en vertu des équations (4), (5), et en faisant, pour abréger 



iNnin-»-3 



nous obtenons 

_J 2_ _^ 2 _ 2 (-1)» _ (— 1)» _ _ il-t-l)s s' s" 

x — a x — -t]i a; — Tf)2 *""' a; — ïi„ a; — b x^"^* ^n-^-3 a;n-+-4 

D'autre part, en posant 

[(a; — ï]J (:î; — Yig) .... =9(«), 



(6) 



394 — 



nous trouvoE 


IS 








. _ V'ix) 
• •~*~ — 9ix) 




' -H ' -H.. 

a; - T}2 x-ri^ 





et par là l'équation précédente donne 

_J 2cf>' (x) 2^' (x) ( — 1)" {l-^-\)s s' 

x—a if(x) ^{x) x — h x^~*~^ a;""^3 -, 

D'où, en intégrant, 
log(a;-a)-2log9(a;)+21og^(a;)-(-i)"log(ir-6)=logC+- * * 



ou, ce qui revient au même, 

s s' s" 

(X — a) V (x) _ ^ JhTi ~ (n -+. 2) x"->-2 ~ (n -i^sj x"^^3 ~ ' " 
(—1)** 
(X — h) 9^^ (x) 

D'après la composition des fonctions 9(^), '\/(x), on voit que la plus 
haute puissance de x dans le développement de la fraction 

(x - g) ^■^ (x) 



iX-b)^ ') Cp2(a;) 



aura pour coefficient 1, et comme le premier terme du développement de 



QqX^-^ 1 (n -*- 2) x«-*-2 (n -4- 3) x»^-3 

est C, l'équation précédente suppose 

C=l, 

et elle se réduit alors à celle-ci: 



(x — g) <)>2 (x) _ ^J-i-i („ ^ 2) x"-*-2 (n -i- 3) x»-^-* 

ce qui nous donne 

, s __ s' s" 

(7) ^ (^) ■_ 1/ (3? - ^) ^~ ^^ ^2x^-^-1 ~ 2 (n H- 2) x»-»-^ ~ 2 (n -♦- 3)x»-*-3 " 

^ ^ 9 (x) r X — o 



— 395 — 

C'est au moyen de cette formule que nous trouverons le coefficient s dans 
l'équation (1) 



pi p2 p3 r& 

F{x)dx— F{x)dx-^ F{x)dx — -*-(-i)j Fix)dx = sA^ 



et les fonctions 

qui, d'après (6), déterminent les quantités 

^n "^2? "^s- • • • 

Mais pour y parvenir nous devons examiner séparément le cas de n pair et 
celui de n impair. 

Le nombre n est pair. 

§ 4. Dans le cas de n pair, l'équation (7) devient 



!H^ — -i/lH^e-'^'"*'^ 2 (w -+- 2) x«-^2 2(n-+-3)a;" 
<p(a;) y X —a 

D'oii il résulte 



4>(x) -^ /x-b 2x^-1-1 /x—b 2x^^-^ ( ^ 2 {n-i-2) x»^'-^ 2(n+3)a;"-*-3 "* A 

^)~yx-a^ -\ x-a^ X- V' 

et comme l'expression 



g 2(n-i-2)a;«-»-2 2 (n -*- 3) a;«-»-3 ■•" j 

développée en série, ne contient x que dans les degrés inférieurs à — (w-+" 1), 
il s'en suit que la fraction 

9 (a;) 
s 

est la valeur de l/^^ e^^ '*~\ exacte jusqu'à ^rx^ï- D'autre part, n étant 
un nombre pair, les fonctions 9 {x\ ^ (a;), déterminées par les formules (6), 
sont du degré -^, et dans ce cas la fraction ^^ ne peut représenter la va- 
leur de 

s 
y X —a 

exactement jusqu'à ^n^, à moins qu'elle ne soit égale à l'une des réduites 



— 396 



de la f 



fraction continue qui résulte du développement de y ^^-—^ e^^'*"\ De 

s 

plus, comme cette réduite doit représenter l/|-^-„ e-^"*"^ exactement jus- 
qu'à -n^^i 6t que son dénominateur ne sera pas de degré plus élevé que 

9(2;) ou x^ ^ la réduite qui vient après elle doit avoir un dénominateur de 
degré supérieur à -^ -H 1 . D'oii l'on voit que parmi les réduites de la 



fraction 



continue, résultant de l/ - — 6^^"*"^ celle qui détermine la va- 

y X — a 

leur de ^^^, est la dernière avec un dénominateur de degré inférieur à 
y-i-l. D'après cela, dès qu'on connaîtra la valeur de s, on trouvera la 
fraction ^^, et par là, les fonctions '\i(x)), 9(^), dépourvues de leur commun 
diviseur. Mais eu ayant égard à la composition des formules (1), (4), (5), (6), 
on voit que tous les facteurs communs des fonctions cp(:c), '\/{x) ne donnent 
naissance qu'aux valeurs y]j, y)<^, yjg. . . ,, égales deux à deux, et de telles 
valeurs de \, t]^, 7)3. . . ., dans les formules (1), (4), (5), ne produisent 
que des termes identiquement nuls. 

Ainsi l'on s'assure qu'en dénotant par 

Fn 

2_ 

Qn 



la dernière des réduites de l/ e^ ^''*'^ dont le dénominateur est de 

Y x — a 

degré inférieur à -^ h- 1 , et en faisant abstraction des facteurs communs 
des fonctions -^ (x), 9 {x) qui n'ont aucune influence sur la composition de 
nos formules définitives, on aura 

2 2 

011 Cq est une constante, et par là, en vertu de (6), les quantités 

ïll, T]3,. . . ., 
T[2, \, , 

seront déterminées par la résolution des équations 

2 
P=0. 



— 397 — 

Comme les quantités 

^n "^3, , 

présentent une série croissante, en disposant les racines des équations 

2 2 

par ordre de grandeur, on trouvera deux suites de termes respectivement 
égaux à 

\, -n,, , 

§ 5. D'après ce que nous avons montré, on trouvera facilement les 
quantités ri^, yj^, tQj, y)^,. . . ., dès qu'on connaîtra la valeur de la con- 

s 

stante s, qui entre dans l'expression l/|-^ e^^'^\ C'est la détermination 
de cette constante qui va nous occuper. 

En dénotant par y^ — celle des réduites de la fraction continue, ré- 

2-+-1 
S p 

sultant de l/-^^- e^*~*"\ qui vient immédiatement après --^ = '^^, nous 

y x-a ^ ^ ^ Qn Vi^V 

2 

trouvons que la diiïéreuce 

s p s 

iM _ 1 / ^-^ ^2x^-^1 _ _J _ ^ / x-h 2a:'-*-i 
c?{x) y x-a^ — Qn y x-a ^' 

2 

est du même ordre que l'expression 

1 

QnQn' 

2 2 

Mais nous avons vu que la fraction '^~. doit représenter la valeur de 

s 

l/l^-^ e^^"*"^ avec l'exactitude jusqu'à -^fipâ; donc cette expression ne 
peut être de degré supérieur à — (n h- 2), et par conséquent, la fonction 

Pu 

Q^ , dénominateur de la réduite qui vient après 7.^ = ^; , devra être d'un 

^ 2 

degré supérieur à celui de -q—- Or, d'après cela, on peut toujours trouver 



— 398 — 

toutes les valeurs de s satisfaisant à nos équations. En effet, le dénomina- 
teur de la fraction 

Qn 9(^)' 



étant tout au plus du degré -J, l'expression ^^p- ne peut être que de degré 
supérieur à ~ n- 1 . Donc, la réduite 

Qn 9 (a;)' 

avec un dénominateur de degré inférieur à ^ -i- 1 , sera immédiatement sui- 

vie de la fraction ^y" — , où le dénominateur est de degré supérieur à ~ -+- 1. 
^"-t-i 

D'où l'on voit ({uc la fraction continue, résultant du développement de 

1/^-6-^"^^ n'aura pas de réduite avec un dénominateur du degré 
^-+-1. Mais si l'on trouve toutes les valeurs de s, avec lesquelles l'ex- 
pression 

s 

^/ "Lui e^^'"*^' 
y X — a 

jouit de cette propriété'"), en examinant chacune d'elles à part, on distin- 
guera toutes celles qui, conformément à ce que nous avons vu sur la fiac- 

tion y. , rendent le degré de Q supérieur à celui de -tj— . 

2 -^ 2 

Ainsi on parviendra à déterminer les valeurs de s qui correspondent à 
toutes les solutions possibles de nos équations. Pour choisir parmi elles la 
valeur s qui résout notre problème, on exclura toutes celles qui conduisent 
à ses solutions impropres, c.-à-d., où les valeurs 

— \ -^1, ^2, ^3, ^4^ ^ -^^' 

contre le vrai sens du problème, ne sont pas toutes réelles ou bien ne pré- 
sentent pas une série croissante. Après cela, la valeur de s, numériquement 



*) Dans le Mémoire intitulé : Sur les questions de minima qui se rattachent à la représen- 
tation approxmative des fonctions, nous avons montré la marche à suivre pour trouver les va- 
leurs d'une constante, déterminée par une condition de ce genre. 



— 399 — 

la plus grande parmi celles qui restent, correspondra, évidemment, à la so- 
lution cherchée de notre problème, où il s'agit de rendre la quantité 

s = -,4^[«'-'-2 ^^'-.-2^-'-. . . ,_(_,)'6'-'] 

aussi grande que possible. 

En suivant la marche indiquée, on finira toujours par trouver la valeur 
de .<î qui résout notre problème et qui détermine, comme nous l'avons vu, 
toutes les autres inconnues de la formule 

ni p2 fi3 ç^ 

F{x)dx— F{x)dx-*- F{x)dx— . . .h-(-i)' F{x)dx = s\ 

Mais dans plusieurs cas particuliers la détermination de s se sim- 
plifie notablement; car souvent la série des valeurs parmi lesquelles on 
cherchera celle qui résout notre problème, se réduira à un seul terme qui 
ne pourra être que la valeur cherchée de s. — Kemarquons encore que 
dans toutes ces recherches on pourra faire abstraction des valeurs ima- 
ginaires de s qui ne sont pas conformes au sens du problème. 



Le nombre n est impair. 

> 6. Dans ce cas la formule (7) devient 



H^ __ 1 2z^-*- 1 2 (n-i-2) a;«-^2 2 (n-i-3) x" 

ce qui nous donne 



i>{x)___^ _e2 / 2 (nH-2) a;"-^2 2 (»h-3) a;«-»-3 -•* ^\ 

9 (a;) V{x—a} (x—b) V{x—a}{x-b) \ / 

Cette formule prouve que la fraction 



ne diffère de l'expression 



^2x'H 



V{x — a){x- 



— 400 — 

que par des termes d'un ordre moins élevé que -^iqr^, et comme d'après 
(G), pour n impair, ou trouve que 9(rc), déuomiuateur de cette fraction, 
est du degré ^-^5—, cela suppose qu'elle est égale à l'une des réduites 
de la fraction continue qu'on obtient par le développement de l'ex- 
pression 

s 

V{x-a){x-b)' 

De plus, on dénotant par 

■fii-i-i 



celle des réduites de la fraction continue, résultant de , qui 

y (x — a)(x — b) 

est éffale à ^^^,, et par 



la réduite qui vient immédiatement après q-^, on trouve que la différence 

S S 

2xi-*-i l'n.tA .2^^ 



<s?{x) y(y^^a){x — h) Qn-i-i Vlx — a){x-h) 
2 

est du même degré que 



2 ' 2 

D'où, suivant ce que nous avons remarqué relativement à la diffé- 



vj>(x) e 



<P(.t) ' y{x—a){x — h)^ 

il résulte que la fonction Q^^^ doit être de degré plus élevé que ^^. Mais 
comme ^-^ est égale à la fraction ^^, mise sous la forme la plus simple, 



— 401 — 

et que 9 (a;) n'est que du degré **^|^, cela nous prouve que Q^_^^ sera de 
degré supérieur à ^^^ . D'où l'on voit que la réduite 



2_ ^{X) 

2 

dont le dénominateur est de degré non supérieur à ^^^, est suivie im- 
médiatement de la réduite 

2 

Qn-i-z 

2 

avec un dénominateur de degré plus élevé que ^^^ . Donc, parmi les ré- 
duites de la fraction continue résultant du développement de l'expression 



2a;^-+-i 



y(.r — a)(a; — 6)' 

la fraction 

■ Pn-f-i 

2 __ ^{X) 

Q n-t-i 9 (a;) 
2 

sera la dernière avec un dénominateur de degré inférieur ou égal à ^^^ . 
Or, d'après ce que nous venons de montrer sur les réduites 

2_ 2 

Qn-t-i Qn-t-z 



et en suivant la même marche que dans les §§4 et 5, on parvient, rela- 
tivement à la détermination des quantités 

1Ql5 ^25 "^3? ^4î- • • •) ^5 

dans le cas de n impair, à ces conclusions : 
1) Les quantités 

sont les racines des équations 



e^, = o, P„_^=o, 



— 402 — 
où P„^i, Q,i-^i désignent les termes de la dernière réduite de la fraction 

~ li~ 2 

continue, résultant du développement de 

s 



V{x—a) (x—b) 



dont le dénominateur Ç„_^i est tout au plus du degré *^^^. 

2) On cherchera la valeur de s parmi celles qui ne donnent pas à la 
fraction continue, résultant du développement de l'expression 



^2X^H-X 



V{x — a){x — b) 



de réduite dont le dénominateur serait du degré *^-^ . — Dans la série des 
valeurs de s qui jouissent de cette propriété on exclura, en premier lieu, 

■P n-t-3 «ztl 

toutes celles avec lesquelles la réduite ^ ^ , qui vient après ^ ^ = — ^^, a 

2 2 

pour dénominateur une fonction moins élevée que ^ — , et de plus, toutes 

Vn-4-l 

2 

celles qui, d'après le J\h 1, donnent des valeurs 

"^IJ ^2? "^35 ^45 

ne répondant pas à notre problème (Voyez le §2). Parmi les valeurs restantes 
celle qui est numériquement la plus grande sera égale à la valeur cherchée 
de s. Dans tout cela on fera abstraction des valeurs imaginaires de s. 



n. 

§ 7. Pour montrer l'usage des méthodes exposées, nous allons cher- 
cher les coefficients de la fonction 

F{x) = AQ-^A^x-t-. . . . -H J^a;" 
dans les cas de 

w = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 

Pour simplifier les calculs, nous supposerons que les valeurs données 
de F{x) sont comprises entre x = — h et x=:-^h, ce qui revient à 
prendre dans nos formules 

a = — h, b = -*-h. 



— 403 — 

Pour ces valeurs de a et 6, et eu supposaut n pair, nous remarquerons 
(§§ 4, 5) que la détermination du coefficient Aq se rattache au développe- 
ment de l'expression 



V\ 






en fraction continue. Or, au moyen de la méthode ordinaire, on trouve 
aisément que la fraction continue, résultant de cette expression, a la valeur 
suivante : 



1-f- 



, {s-2hf -4- 32ft3 

2x -+- /i ~ 2 .s -+- .sS — \2hs= +■ 60fe2 s* — 720h* s^ _ 2880^5 s -4- 28807^6 

24 (s - 2/ij a; -4- 10 [(s - 2/i)» h- b2A3j a; -*- etc. ' 

En examinant la composition de cette fraction continue, on voit que 
ses trois premiers quotients ne cessent d'être du premier degré, et consé- 
quemment, donnent des réduites avec des dénominateurs respectivement des 
degrés 0, 1, 2, 3, tant que les quantités 

s — 2h, 

{s — 2hf-+-32h% 

s'—12hs' -t- 60h^s^ — 720¥s''—28S0h^s -+- 2880/i' 

restent différentes de zéro. 

Donc, pour que cela n'ait pas lieu, la quantité s doit vérifier au moins 
l'une de ces équations: 

s — 2h=0, 

{s — 2hf-^d2h^ = 0, 
s'^—12hs^-t-Q0h^s^~720¥s^ — 2880h''s-+-2880¥ = 0. 

D'autre part, en supposant consécutivement que la quantité s vérifie 
chacune de ces équations, on trouve que la fraction continue, résultant de 

. _L 

y ^^j e^^, dans ces trois hypothèses sur s, devient respectivement 



1-f^ 



g2 {s — 6h) 



48x^ •*■ etc. ' 

1 s~2h 

„ , s 3s^ — 30hs*-+- 80h^ s' — 240;i4 s -i- 480/1* 
2x-i-h H - 



1 s — 2h 



1920 (s — 2h) x^ -4- etc. 

"(£-2^)3-4-m3 

24(s — 2/i)a;-i- — 



404 



D'où, pour les réduites de 1/ ^-j-^ e"^, ou obtient 



. . 48x3- 
^^) T' 48^3-: 



(9) 

(10) 



3840 (,s — 2h) X* 



' 2x-^-h — ls^> 3840 (* — 2/i) a;4 -H ?••••? 

2a; - 7t -^ j g 48 {s — 27^) a:^ -h 12 (.s — 2fep a- h- (.s — 2hf -<- 32ft3 p^ 2H 
' 2a;-H/« — ^s' 48(.s — 2/t)œ'^ — 12 (,s — 2/1)2 œ -+-(« — 2/»)3-+-32/i3' " » îl'"*' 



en désignant par —,—,.... des réduites avec des dénominateurs de degrés 
supérieurs à 3. 

Ainsi nous parvenons à trouver tous les cas, où la fraction continue, 

résultant de y ~^l e" ^ , n'a pas de réduites avec des dénominateurs des 
degrés 1, 2, 3. D'après cela, en suivant la marche indiquée dans les §§ 4, 5, 
il est aisé de trouver la solution de notre problème pour w =: 0, 2, 4. C'est 
ce dont nous allons nous occuper. 

Cas de n = 0. 
§ 8. Dans ce cas on doit chercher la valeur de s parmi celles, avec 

s 
-^ / X h 2 X 

lesquelles la fraction continue, résultant du développement de y ^-^Th ^ » 
n'a pas de réduite dont le dénominateur soit du degré |-i-l = l. Or, 

s 

d'après ce que nous avons vu sur les réduites de y |^-^ e ^, cela n'a lieu 
que dans le cas où 

s — 2h = 0, 

et comme cette équation ne donne qu'une valeur de s 

s = 2h, 

nous concluons sur le champ que c'est elle qui résout notre problème. 
Pour trouver les quantités 

nous chercherons parmi les réduites (8), obtenues dans l'hypothèse 
8 — 2/^ = 0, 



— 405 — 

celle qui est la dernière avec un dénominateur de degré inférieur à ^* -h 1 = 1 . 
Comme cette fraction est {, il s'en suit 

2 2 

et par là on reconnaît que le nombre des quantités 

^1 ) '"12 > ^3> • ' • • ) 

qui se déterminent par les équations 

2 2 

se réduit à 0. 

Or, en portant dans la formule (1) la valeur trouvée de s et en rédui- 
sant la série des valeurs 

«, "^n ^25 ^3, , ^ 

à 

on obtient, pour n = et ^ = 0, 

n-i-h 

J-h 

équation qui se vérifie aisément, en remarquant que dans le cas de w = 0, 
la fonction 

F{x) = AQ-i-Â^x-^. . . .-^A^x"^ 

devient égale à une constante. 

Cas ûen = 2. 

§ 9. Si w= 2, on cherchera la valeur de s parmi celles avec lesquel- 
les la fraction continue, résultant de l'expression 



Vi 



x-t-h ^ ' 



n'a pas de réduite dont le dénominateur soit du degré | -+- 1 = 2. Or, 
comme nous l'avons vu (§ 7), cela ne peut avoir lieu que dans les cas où 
l'une des équations 

(11) s — 2h = 0, {s — 2hf-i-d2¥ = 



— 406 — 

est satisfaite. Pour choisir parmi les racines de ces équations celle qui ré- 
sout notre problème, remarquons que dans le cas de 

s — 2h=0, 

d'après (8), les réduites de la fraction continue, résultant du développe- 

s 

ment de y |^^ e^^ , présentent cette série: 



1 ' 48x3 _|. , . . . . 

Parmi ces fractions la dernière avec un dénominateur de degré inférieur à 
I -H 1 = 2 étant { , on aura, d'après notre notation, dans la supposition de 
s — 2h = 0, 

2 2 

Comme pour ces valeurs de Q^, Qn » ^^ degré de Q^ n'est pas su- 
périeur à celui de ^7^—, on conclut (§ 7) que l'équation 

2 

s — 2h = 

ne donne pas la valeur de s qui résoudrait notre problème. D'après cela il 
ne reste qu'à chercher cette valeur parmi les racines de la dernière des 
équations (11), et comme cette équation n'a qu'une racine réelle 

s = 2 (1— y4)/î, 

nous concluons sur le champ que c'est elle qui correspond à notre problème. 
Pour trouver les quantités 

^15 \, 1^3» > 

remarquons que, dans le cas de 

(s — 2/i)3-t-32fe« = 0, 
les réduites de la fraction continue, résultant du développement de 









— 407 — 
sont comme nous l'avons vu (9), 

1 2x — h-t-^s S8i0 {f^ — 2h) x^ - 
T ' 2x -+- /j — ^ s ' 3840 (« — 2h) x^ - 

La fraction 

2x — 7t -+- ^ s 



étant la dernière parmi elles avec un dénominateur de degré au dessous de 
|h- 1 = 2, nous concluons qu'on aura 

P^ = 2x — h-*-^s, Q^ = 2x-^h — \-s. 

2 2 

D'après cela, pour la détermination des quantités 

Y),, ï)3, , 

nous obtenons les équations 

2 

p^ = 2x — li-^~s = 0. 

2 

D'où il résulte 

h i h i ^ 

et en portant ici la valeur trouvée de s, on a définitivement 

En vertu de ces valeurs de 

et en remarquant que dans le cas actuel 

; — 0, a = — Ji, b = -^h, 
la formule (1) nous donne 

F{x)dx— F{x)dx^ F{x)dx = 2{\ —y4:)li A^. 

J-h -^-hVl -^hVl 



408 



Cas de w = 4. 



ij 10. Nous avons vu (§ 7) que la fraction continue, résultant du déve- 
loppemeut de T expression 



V 






n'a pas de réduite avec un dénominateur du degré 3 seulement dans le cas 
où s remplit l'une des équations 

.s»^— 12/^6'^ -4- 60/^2 6*— 720/^^2 — 2880/^^s• -4- 2880/i*^ = 0. 

D'après cela, comme le nombre -|--*- 1, pour w = 4, devient 3, on cher- 
chera, suivant le § 5, la valeur de s parmi les racines réelles de ces équa- 
tions. 

D'autre part, comme, dans la supposition 

(s — 2hf-*-32¥ = 0, 

nous avons trouvé que les fractions réduites sont 

1 2x — h-t-l ,s 3840 {a — 2h) x* -t- 

T' 2a; -4- 7i — ^ 6 » 3840 (s — 2/0 a;* -!-....'• " ' "' 

et que la fraction 



2iC H- ^ — ^ s » 

la dernière avec le dénominateur de degré inférieur à 3, est suivie de la 
fraction 

S840is — 2h)x^-i- 

3840(.s — 2/0a;4-t-....' 

dont le dénominateur n'est pas de degré supérieur à celui de 



2x-i-h — 

nous concluons que l'équation 

{s — 2hf-i-^2¥ = 

ne saurait donner la valeur cherchée de s, et par conséquent, qu'on doit la 
chercher parmi les racines réelles de l'équation 

6*^— 12/i 6-' -+- 60^2 6'^ — 720/2*6-2— 2880/î' 6' -♦- 2880/i*^ = 0. 



— 409 — 

Or, en cherchant les racines réelles de cette équation, on trouve que 
l'une d'elles est comprise entre s = 6Ji et s = 7 h, et l'autre entre s = 
et s = h. Pour reconnaître parmi ces valeurs de s celle qui se rapporte à 
notre problème, nous passons aux valeurs de 

\, "^2» "Hs? 

qui en résultent. 

Comme dans le cas de 

s^—l2}is^-i-Q0hH'^—720¥s^—2880h^s-i-28S0h^ = 0, 

d'après (10), les réduites de la fraction continue qui résulte de 



-h ^ 
sont 



Vr- 



J_ 2a; — /t -H j s 48 (s — 2h)x2 + l2{s — 2h'f x -t- {s — 2hf -+- 32/^3 p^ 
1' 2x-^h—\s'> A%{s — 2h)x^—\2{s — 2hfx-i-{s — 2hf-i-Z2h^'> q^^ ' ' ' "> 

et que parmi elles la dernière avec le dénominateur de degré au dessous 
de |-f- 1 =3, est 

48 (s — 2h) x^ H- 12 (g — 2h)^x-*-{s — 2h)^ -t- 32fe3 
48 (s — 2h)x^—l2{s — 2hf x-^r-{s — 2hf -*- 32^8 ' 

nous trouvons, pour la détermination de 

iQi» iQa» 5 

les équations 

48 {s — 2h)x^—l2{s — 2hyx-^is — 2hf -i- 32^3 ^ q, 

4.S{s~2h)x'^-*-12is — 2}ifx-+-(s — 2hf-+-32¥ = 0. 

Or, on reconnaît que ces équations n'ont point de solution réelle, si s 
surpasse 2 h. D'où nous concluons que la racine de l'équation 

s'— Uhs'-^- 60h^ s' — 7 20hH^ — 2880h^ s -^288011^ = 0, 

comprise entre s ^ 6 /i et s = 7 /î, ne donne pas de valeurs de 

\^ ^25 '^■i, \^ ' 

propres à la solution de notre problème, et, par conséquent, que c'est son 



— 410 — 

autre racine, comprise entre s = et s = A, et dont la valeur approchée 
est 0,83446 /«, qui correspondra à notre problème. 

En portant cette valeur de s dans les équations que nous avons trou- 
vées pour la détermination des quantités 

on a 

a;2 H- 0,291 38/ia; — 0,54362/^'' = 0, 

x^ ~ 0,29138A a; — 0,54362/^2 = 0, 

et comme les racines de ces équations, disposées par ordre de grandeur, 
sont 

— 0,89725/i, -f-0,60587/î, 

— 0,60587/î, -f- 0,89725^, 

nous concluons qu'on aura 

Y]i = — 0,89725/^, T)3=0,60587/î, 
ï]2 = — 0,60587/ï, 7],= 0,89725/i. 

Ainsi nous trouvons les valeurs des quantités 

s, TQi, iQa? "^3? ^4 
pour w = 4 et en prenant 

/ = 0, a = — h, h=-t-h. 

D'après cela la formule (1) nous donne 

— 0,89725A I — 0,60587/1 p0,60587/t /.0,89725/i çh 

F{x)dx~- F{x)dx-^\ F{x)dx—\ F{x)dx-^-\ F{x)dx = ^,^MiÇ>}iA^. 

—h J— 0,89725ft J— 0,60587;» J 0,60587/» Jo,89725/t 

Cas de w = i, 3, 5. 

§ 11. En cherchant pour ces valeurs de n la solution de notre pro- 
blème, relatif à la détermination de Aq, et en prenant toujours 

a= — h, b = -t-h. 



— 411 — 

on parvient définitivement aux formules identiques à celles que nous venons 
de trouver pour 

n = 0, 2, 4, 

respectivement; c'est ce qu'on pouvait prévoir, en remarquant que dans les 

formules 

rh 



|] 



-h 



F{x)dx— F{x)dx-+- Fix)dx = 2 (1 — 1/4)/^^, 

r'-0,8Q725h r— 0,60587?^ pO,60587/t p0,89725;i rh 

\F{x)dx—\ F{x) dx-^\F{x)dx—\ F{x) dx -+- F{x) (^a;=0,83446Uo 

J_/, J— 0,89725/j J— 0,60587/1 Jo,60587ft Jo,89725/i 



tous les termes de la fonction 

F{x) = Aq-^A^x-\-. . . . -+- ^^a;" 

avec les puissances impaires de x s'évanouissent. 

§ 12. En cherchant de la même manière la solution de notre problème 
pour 

^ = 1, n=l, 2, 3, 4, 5, 

et en supposant toujours 

a = — h, b = -i-h, 

nous parvenons définitivement à ces formules: 
Cas de w=l ou 2. 



rO çh 

F{x)dx— . 
J—h Jo 



h 

F{x)dx=—h'Â^. 



Cas de w = 3 ou 4. 

I — hV'^ fO chV^ rh 



r—hVl pO rhV ^ rh 

F{x)dx- F{x)dx-^ F{x)dx— F{x)dx = {y2 — l)}î' A^. 



412 — 



Cas de n = ô. 



p— 0,9l6S2/j p— 0,67418/t 

\F{a:)dx—\F[x)dx-A 

■—h J— 0,916827» 



rO r'0,Q74l8h pO,91682ft çh 

- F{x)dx— F{x)dx-^ F{x)dx— F{x)dx = — 0,S2277h\i^. 

J— 0,67418/1 Jo J 0,67418/1 Jo,91682/i 



De même pour 1=2 et en supposant successivement n = 2, 3, 4, 5, 
nous trouvons: 



Cas de w = 2 ou 3. 

F{x)dx— F{x)dx-^ I^ 
-h J-^h J^h 



F{x)dx— F{x)dx-^ F{x)dx = \¥A^ 

J—h J-Ui J\h 



Cas de w = 4 ou 5. 



r-0,87305h r'-0,31306h pO,37305/t pO,87305/i rh 

F(x) dx —\f{x) dx H- LF(a;) 6?a; — F{x) dx -+- Fi: 

J—h J— 0,87305/i J— 0,37305/j Jo,37305/j ^0,87: 



x)dx^-0,lbn9¥A^. 

,87305/8 

En prenant 1=3 etw=3, 4, 5, nous obtenons ces formules: 
Cas de w = 3 ou 4. 

— V^ h rO /»y^ h rh 

F{x)dx— F{x)dx-i- F{x)dx— F{x)dx = ~^¥A.,. 
-h J—y^h Jo Jv^h 

Cas de w = 5. 



x)dx 

— 0,55589/i 



= 0,0590UM, 



I — 0,89945A I — 0,55589/t rO 

F{x)dx— F{x)dx-t- Fi;. 

J—h J— 0,89945/1 J— 0,5 

pO,55589^ p0,89945ft çh 

— F{x)dx-i- F{x)dx— F{x)dx 

Jo J 0,55589/1 J 0,89945/1 

Le cas de / =: 4 et w = 4 ou 5 nous fournit l'équation 

V5-Hi ^ y5— 1 ^ ys-i y5-*-i 

F{x)dx— F{x)dx-i- F{x)dx— F(x)dx-^ F{x)dx= l^^Â^. 

J—h J y5-f-l , J Vô— 1, Jy5— 1 , J V5-¥-l , 



V6-_ 
4 



I 



— 413 — 

Enfin, pour le cas de ^ = 5 et w = 5, on obtient cette formule: 

— —h — ^ 

F{x)dx- F{x)dx-^ F{x)dx- F{x)dx^ F{x)dx- F{x)dx=-^ h^A, 
J—h ^ '^i, -' — 2^ -^0 -^'ih Jys 



§ 13. D'après ce que nous venons de trouver il est facile de composer 
la table des valeurs de v, s, ï]^, Yjg, ïJj, t)^, . . . . dans les cas de 

n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 

et en prenant pour limites de x les valeurs — h et -t-h. Une telle table se 
trouve à la fin de notre Mémoire, et on verra dans la Section IV le parti 
qu'on peut en tirer pour l'interpolation. Il est désirable que cette table soit 
prolongée jusqu'à des valeurs de n plus considérables. 



m. 

§ 14. Dans les paragraphes précédents nous avons donné la méthode 
générale pour trouver, suivant notre problème, les quantités 

s, \, \, ^35 

dans la formule 

ni p2 r^3 r^ 

F{x)dx— F{x)dx-\- F(x)dx — . . . .-h(-i)' F{x)dx = sAi, 

Ja J-fii Jri^ Jri^ 

quel que soit A^, coefficient de la fonction 

F{x) = A^-+-A^x-*- -t-^„«" 

que l'on cherche à déterminer. Nous allons montrer maintenant que cette 
méthode est susceptible d'une simplification notable dans le cas particulier, 
où il s'agit de la détermination de A^, dernier coefficient de la fonction 

F{x) = Aq-^-A^x--h -+--4„^**- 

Nous verrons que dans ce cas il est aisé de trouver directement les va- 
leurs de 

s, \, \, \, , 



— 414 — 

quel que soit le uombre n, et nous montrerons plus tard comment on peut 
en tirer une nouvelle formule d'interpolation. 

Nous supposerons toujours, pour simplifier nos formules, 

a = — h, b = h, 

et nous commencerons par le cas de n impair. 

Cas de n impair. 

§ 15. En faisant dans les formules du § 6 
a = — h, h = -^h, 
nous trouvons que, dans le cas de n impair et l^n, les quantités 

\, -^35 ^ 

^2, \, , 

se déterminent par les équations 

2 2 

OÙ p. . ,, 0..^, sont les termes de la dernière réduite de 



2a;'»-*-! 



dont le dénominateur Q^_^_^ n'est pas de degré plus élevé que *^^^. D'autre 
part, comme les expressions 



ne diffèrent entre elles que par les termes de l'ordre -^jqrj ou moins élevés, 
et que des termes de ces ordres n'ont aucune influence sur les fractions ré- 
duites avec les dénominateurs de degrés inférieurs à *^-|^, il est clair que 
dans la détermination de 



— 415 — 
suivant la méthode mentionnée, on peut prendre l'expression 



l/a;2 — h-^ 

au lieu de 



Or, d'après cela il est aisé de trouver l'expression générale des fonctions 
P et ^ , et pour y parvenir nous allons chercher la loi de coraposi- 

tion de la fraction continue qui résulte du développement de l'expression 

1 

Vx^—h^' 

§ 16. En remarquant que le produit des valeurs 
a; _ Vx^ — h\ X -+- Vx^ — h^ 
se réduit à /^^ nous concluons qu'on aura 



-Vx^-h^' 

OU, ce qui revient au même, 



et par là, au moyen des substitutions successives de 



à la place de 




_.=- 


2x-^{Vx^-h-^-x) 


on trouve 


Vx' — h' — x, 


Vx^. 


— ¥ 


/l2 




" 2x-^(yx^-h^-x) 




w 




2-^ f^z 




2X- ;j2 




^•^ 2x-^{Vx^-h^-x) 






ft2 






2. *' 




■ . "■' 



2x-i-{Vx^ — h'i — x) 



— 416 — 



D'où résulte ce développement de , en fraction continue: 



Pour trouver la loi de composition des réduites de cette fraction con- 
tinue, que nous désignerons par 

P(0) p(l) P(2) 

Ç(ô)» Ç(Ô' ç^)'' • • •' 

remarquons que leurs termes sont liés entre eux par les équations 

g(mH-2) ^ 2x Q^"^-^'^ — ¥ Q^'^K 

Mais en traitant ces formules, comme les équations aux différences finies, 
on en tire 

p("») = C (x-*~ Vx^ — h^)'^ -i-G,{x — Vx^ — ¥)"", 

g("») =G^(x-+- yirri2)m _^_ (7^ (^ _ y^ZZk2)m^ 

où 

sont des valeurs indépendantes du nombre m. Pour déterminer ces quanti- 
tés nous remarquerons que les valeurs précédentes de P^"^\ Q^"^\ pour 
m = 0, m =: 1, donnent 



p(o) = G^G,, P^'^ = G {x -H Vx' — ]f) -^G^x — Vx' — h^), 
gw= C;-*- G,, Q^'^ = C; ix H- Vx' — h') -f- G\ ix—Vx' — h'), 

et comme d'autre part, d'après le développement de -=== en fraction 
continue 



on trouve 



X — 


•7i2 

2x — 


2x— . 


• 3 


P(0) 


_ 
~ 1 ■ 


p(i) 


1 



— 417 — 
il en résultent les équations 

g{x-^ Vx^ — h^) -i-C,{x — Vx^ — h') = 1, 

G^x-i-Vx^^h^) -4- G^{x — Vx^ — h^)=x. 
Ces équations, étant résolues relativement à G, C^, G^, G^, nous donnent 



a-- 



r —1 r — i- 

et en portant ces valeurs de 0, Cj, C^, Cg dans les expressions de P^"'^ ^^""^ 
on trouve définitivement 



)(»«)_ (a^-^ 


Y^2-: 


rp)'«_ 


-U- 


-1/^ 


rr^)"» 






2y^ 








>("») _(«-+- 


ya;2- 


-lîT^ 


-Vo;*- 


-/i2)"^ 



2 

Telles sont les valeurs des termes dans les réduites 

P(o) P(i) P(2) p(m) 

de la fraction continue 

1 

X — 



2x — . ^ 

qui résulte du développement de ^ 

§ 17. D'après cela on voit que la dernière de ces réduites, dont le 
dénominateur n'est pas de degré plus élevé que ^^^, a pour termes les 
fonctions 



2 Vx^ — fe2 

n-t-i n-t-i 

jx-i-Vx^-h^) ^ -f-(.-c — T/a;2 — ft2) ' 
2 



418 



D'où, en vertu de ce que nous avons vu sur la détermination de 
il suit que ces quantités sont les racines des équations 



(12) 



(x-t-Vx^ — h^) ^ -t-jx-Vx^-h^) ' _ 



0, 



(x-t-Vx^ — h^) ^ —(x — Vx^ — h^) ' 
2 Vx^ — /i2 



= 0. 



Quant à la résolution de ces équations, on y parvient très aisément, en 
remarquant que, si l'on fait 

|=cos9, 
elles deviennent 



cos-g- 9 = 0, 



= 0, 



ce qu'on vérifie en général, en prenant 

(2k -H 1) Tt 



21% 

n-+-l ' • n-+-l' 



OÙ A; et ^ sont des nombres entiers, dont le dernier ne doit pas être divisible 
par ^^-^. D'après cela, en faisant successivement 

A; = "-^, k = -^, k = 2, k=l, Â: = 0, 

on trouve pour les raciues des équations (12), disposées suivant leur gran- 
deur, et, par conséquent, pour les quantités cherchées 



^2> ^4J- • • » 



les expressions suivantes; 



7) =/< cos -^- TC, T)..=/< cos "— , TT, . . . . y)„ „=/i cos ~^ , y)„=/^ cos — ^ , 

7 n— 1 j n— 3 7 2n 
T) =r /î cos —— Tî, 7) =/iCOS r TU, . . . . ■/)„ , = /i COS r. 



— 419 — 

§ 18. En passant à la détermination de la quantité s, remarquons que, 
d'après le § 6, on doit chercher sa valeur parmi celles avec lesquelles l'ex- 
pression 



ne diffère de la réduite 

2_ 

2 

que par les termes de l'ordre inférieur à • — (w-h 2), ce qui suppose l'équa- 
tion 



lim. 






Mais comme nous avons trouvé 



= 0. 

X =CS3 



p _ ix-+- Vx ^ — h^) ^ —( x~ Vx^ — h^) 



2 ix^ — h^ 

n-t-i n-i-i 

jx-t-V^^^^) ^ -j-jx — Vx^ — h^) ^ 



Q 

2 

et que 

s 

2a;n-+-i 1 _4_ ^ , ^^ ■ 

e — ^ ~*~ 2a;»»-^i Saj^n-^a -t- . . . . , 

cette équation devient 



lim. 




D'où, en remarquant que 



Vx'^-Kt 

{x-+-Vx'^-h^) ^ -^{x—Vx'^—h'^) 



= 0. 



j {x-^Vx'^ — h'i) ^ -(x — V x^-h^) ^ 2fc«-^i 



n-i-i (a:-Hya;2 — /»2)'»-^iH-;i«-^i' 



(a; -*- y'x2 — /i2) ^ H- (a; — ■/a;2 — ft2) 

V. r_J__ a;**-^2 -| s_ 



— 420 
on obtient 

- Uni 



2 



et comme l'expression 



{x -+- y œ2 — ;»2)n-+-i -+- ft»-»-! y a;2 — /i» ' 

pour rr := 00 , se réduit à -^^ , il eu résulte cette valeur de s : 

s — 2"— 1 • 
Ainsi dans le cas de n impair et en prenant 
a = — h, h = ]i, l = n, 
on parvient directement aux valeurs des quantités 

s, \, ri^, v]„, 

qui, d'après la formule (1), nous donnent 

fil p2 ç'^ 

F{x)dx— F{x)dx-^. . . .-!-(— If F{x)dx = sA^ 

J—h Jï}i Jr\n 

Cas de n pair. 
§ 19. Dans ce cas, en cherchant la valeur de 

2 

On' 



dernière réduite de la fraction continue, résultant de l/^-:^ e , avec 

le dénominateur Q^ de degré inférieur à -^ -i- 1, on peut prendre l'expres- 



/x-h 

y x-*-h 

au lieu de 



x — h 2a;**~*"i 



— 421 



qui n'eu diffère que par les puissances de x^ inférieures à ^ , et comme les 
termes des réduites de la fraction continue, résultant du développement de 



y x-*-h^ 

'expriment =^=) par les formules 




ir^'^v'-.TH^'^- 


-i/^T' 


2/i^ 


î 


{Vî'^v'-.T' (v^^t- 


-v-T' 


2/^7* 


î 



il en résulte pour P^, Q^ les valeurs suivantes: 






Q — 

^n /x — h 



2 



V- 



En vertu de ces valeurs de P^, Q^^ nous concluons, suivant le § 4, 

que les quantités cherchées ^ ^ 

sont les racines des équations 

K-t-h ^/x-h\^-^^ l/x-i-h /a; — M«-+-i 



2 1/1^ 



„ /a; -H fe 

2y-T- 

POur résoudre ces équations, on fera, comme dans le cas précédent, 



- = cos 9, 



*) Voyez notre Mémoire Sur les questions de minima qiii se rattachent à la représenta^ 
tion approximative des fonctions (§ 57). 



— 422 — 



d'après quoi elles deviennent 



n-t-l 



. = 0, 



ce qu'on vérifie, en prenant respectivement 



2i!TC (2 /.- -t- 1) 71 

' n-+- 1 ' ^ n-i-l ' 



OÙ les nombres entiers l, 2^-f- 1 ne dovient pas être divisibles par n-f- 1. 
Les racines des équations que nous avons obtenues pour la détermi- 
nation des quantités 



s'expriment donc ainsi: 

h COS 



"^25 ^45- • 



h COS 



(n — 2) TC 



h COS - 



h COS 



(n -\)K 



n-H 1 ' ■ * ' • ' '"""" n-t-l' 

(W — 3) TC 7 TC 

. ^ — ,...., « COS r , 



et comme ces racines sont disposées par ordre de grandeur, elles sont 
respectivement égales à 

\, %, , 

n-2, -^i, 

D'où l'on voit que les quantités 

■>Qn "^2» %J •^45 

s'expriment par les mêmes formules que dans le cas de n impair. 

§ 20. Pour trouver la quantité s nous remarquerons que, d'après le 
§ 5, elle doit remplir cette condition 



= 0. 



2 

Or, en substituant les valeurs trouvées de P„, Q^ et en développant 



g2x'»-^i en série, on a 
1 



Uni. 



t 



'x-h 
x-*-h 



2x»»-»-i 8x2"^-2 



( v'-^^ v'-^r-W'-^-v'-^T 



= 0, 



et comme 



f. 



423 






2» ' 



"^- Lf *-+-/* 2i^^i J —2' 

il en résulte 

s — 2"— 1 • 

Cette expression de s ne diffère de celle du cas de n impair que par 
son signe. Or il est aisé de remarquer qu'on embrassera ces deux cas, en 
introduisant dans la valeur de s le facteur ( — 1)" qui se réduit à -+- 1 ou 
— 1, suivant que n est pair ou impair. Ainsi on obtient pour s cette ex- 
pression: 

s — l -Ij 2«=i' 

qui subsistera pour toutes les valeurs de n. 



IV. 

§ 21. Bien que le problème actuel ne se présente point dans la prati- 
que, où les valeurs connues de la fonction cherchée ne sont jamais en nombre 
infini, les formules que nous avons trouvées, en partant de cette hypothèse, 
sont d'une application utile, comme nous allons le montrer. 

Tant qu'on connaît la fonction 

F{x) = A^-*-A^x-¥- H-^^a;", 

pour toutes les valeurs de x^ depuis a? = a?j jusqu'à a? = 3?^., et qu'on les 
considère comme équidistantes et infiniment rapprochées, on parvient à ti- 
rer, par la seule voie d'addition et de soustraction, les valeurs des coeffi- 
cients Jq, yij,. . . .^j^, pourvus de facteurs aussi grands que possible. Ces 
expressions qui déterminent les coefficients 

A) Aï- • • -^n 



— 424 — 

seront représentées, comme nous l'avons vu (§ 1), par la formule 

F{x)dx—\ F{x)dx-^ -*-(-!)' F(x)dx. 

Xi Jt)i Jri^ 

D'après cela toute la difficulté de la détermination des coefficients 

se réduit à l'évaluation des intégrales 

ni f-^z r^i 

F{x)dx, F{x)dx, F{x)dx. 

Or, comme ces intégrales, avec une approximation plus on moins 
grande, peuvent être évaluées au moyen d'un nombre limité des valeurs de 
F(x), il est facile de comprendre qu'on peut bien profiter de ces expres- 
sions déterminant les coefficients de ■ 

F{x) = A,-^A,x-^. . . .-i-A^x"", 

tant qu'on a un nombre suffisant de valeurs de F{x), à l'aide desquelles les 
intégrales 



J'-ni rr]2 rxi 

F{x)dx, F{x)dx, \ 1 
Xy Jtii Jri^ 

sont évaluables avec une approximation suffisante. 
§ 22. Quant à l'évaluation des intégrales 



F{x)dx 



F{x)dx, F{x)dx, \ 1 



(x) dx,.... F{x) dx, 



qu'on aura à faire dans les applications de nos formules, cela ne présente 
aucune difficulté. 

Pour y parvenir plus aisément, on n'a qu'à remarquer que les intégrales 

F{x)dx, F{x)dx, F{x)dx 

désignent respectivement les aires de la courbe 



— 425 — 

comprises entre x = x^ et x = \, x = \ et a; = rig , . . . .x= fi^ et x = x., 
et que chacune des valeurs données de F{x) détermine l'un des points de 
cette courbe. Ainsi l'évaluation des intégrales en question se réduit à ce 
problème de géométrie: 

Etant donnée une suite de points, déterminer pour la courbe, passant 
par ces points, les aires comprises entre des limites données. 

Or, un tel problème est susceptible d'une solution approchée, qu'on 
trouve aisément. Si l'on a la représentation graphique de la courbe 

y = F{x), 

construite d'après les valeurs connues de F{x), on trouvera ces aires direc- 
tement à l'aide du planiraètre. Dans le cas contraire, on pourra trouver ces 
aires à l'aide d'un calcul très simple, en prenant pour la courbe le polygone 
déterminé par les points donnés. Ainsi, en supposant que les valeurs con- 
nues de F{x) sont 

Fix,), F{x,),. , . .F{x^), F(x^_^),. . . .F{x,), F(x^^^),. . .., 

et que les quantités 

x = Xq, x = X 

sont comprises respectivement entre x^ et oc^_^^, x^ et x^^^, on trouve que 
l'aire de la courbe 

y = F{x), 

entre x=^Xç^ et x = X, s'exprime approximativement par cette formule 
très simple: 

H^o-^,-Xo) -^2^^0H-2 ^o)^i^a-Hi)-*-#^a-*-3-^o-+-i)^(^a-H2)- 



> ...... -.^(^^_^-^_JF(^J- 



2{xx^i-Xx) 



Pour donner une idée nette du degré de précision de cette formule, 
remarquons que la diiïérence entre l'aire de la courbe et celle du polygone, 
entre les limites x = Xf.etx = X, est égale à 



^^^^ 12 ^_^ {X-x;f{^x^_^-x-2X)--{:x,-x^f{^x^_^-x-2x, 
N étant une moyenne des valeurs de ^jjf entre x = Xq et x = X. 



— 426 — 

§ 23. Avec la formule (13) que uous venons de mentionner on trouve 
aisément la valeur approchée des expressions de la forme 

pi n-z r^i 

F{x)dx— F{x)dx-+- -+-(-1)' F{x)dx, 

d'après les valeurs connues de F{x) 

F{x,\ F{x,\....F{x,). 
Pour y parvenir on commencera par clierclier dans la suite 

a?, , x^, . . . .x^ 

les couples des termes qui sont respectivement les plus proches des quan- 
tités 

^1, \, -^3, \-V \' 

En désignant ces termes par 
on trouvera que les quantités 

«1, ^U "^2» ^v' ^t 

sont comprises respectivement entre x^ et x^, ^,', et x^^^^, Xi-, et x^^^^^ 
x^.r.. v+1, • • • • , "^ ,. .N, ^ /. ,N , ^ /.^ et ^ ,,, , ^. et ^.. D'après cela, 
en posant successivement dans la formule (13) 

X^-=X^ 3 -^ ^=^ "^1 J ^0 ^^^ ^1 ' ^a-f-1 ^^^^2 5 ^T ^^ ^t' ' ^T-Hl ^^^ ^»"+l ' 

on obtient, pour les aires de la courbe 

y^Fix) 

entre x^=x^ et a; = 7)j, ^ = '^i et 3^ = 7)3, rr = Yi2 et 3? = Tjg,. . . ., 
a; = Yi,^_j et :x=:7]^, ii:;=Yiy et x=X^ et conséquemment pour les intégrales 

fil ni fia fiv r^t 

F(a;)d:r, F(a:)f/fl;, F(^)r;a:, F{x)dx)A F{x)dx, 

*^^l *^1l \z '^T^V— 1 *'1V 



— 427 — 
les expressions approchées suivantes: 

\F{x)dx=l[x^~x,)F{x,)^l{x^-x,)F(x^)^^^^^ 

{xi'+i — rn)'i Fjxi') - jxi' — rii)2 F(a;r+i) 

2 {Xi'+i — Xi') ' 









2 V » +1 » -1; V » ; 2 (a;,"'+i-a;,"') ' 



^ ^>^^^ ^^"^^ 2?^ =^ ^ — -^ • • • • 



-+- 1 {Xi—x,_^) F{Xi_i) -i- 1 {Xi—Xi_,) F{x,). 
D'où, en faisant pour abréger, 

M^ = (^2 — ^1) ^(^1). ^2 = fe — ^1) ^(^2)^ ^3 = K— ^2) ^X^a), • • • • 
M,_, .= (a;, — x,_,) F{x,_,\ M, = {X, — x,_,) F{x,), 



F{x)dx- F{x)dx-^ F{x)dx~....-{-iy F{x) dx^{-\Y F{x)dx= 

^l....— (-i)^iif,(v-,)^,_...._ (_i)^iif,.(v)-f-(-iyiif.(v)^^-+-. . . . -*-(-iyM,j 

(xi'+i - THiP Fjxi') - jXi' - ï]i)2 Fjxi'+i) _^ (xi"+i — ri2)'iF{xi") — jXi' — yig)^ F{xi"+i) 

xi'-t-i — Xi' a;,"-f-i — Xi" 



428 



C'est ainsi qu'on aura les valeurs approchées des expressions de la 



forme 



^1 
F{x)dx- 



-\Fix)dx-\-\F{x)dx- -(-ly 



' \ F{x)dx-i-i-iy \F(x)dx, 



qui déterminent tous les coefficients de la fonction 

F{x) = AQ-^A^x-t- -+-^„^". 

§ 24. En vertu de ce que nous avons vu, d'une part, sur la détermi- 
nation des coefficients de la fonction 



F{x) = Ao-h-AiX. . . 
par des équations de la forme 

sA 



-Ax^ 



F{x)dx— F{x)dx-ï^ F{x)dx — -+-(-i)' \F{x)dx, 

et de l'autre, sur l'évaluation approchée de l'expression 

F{x)dx— F{x)dx-i- F{x)dx- -+-(-i)M i^i 



- (- 1)' F(x) dx 



d'après les valeurs connues de F{x) 

F{x,\ F{x,\....F{x^, 
tous les coefficients de la fonction 

F{x) = A^-\-A^x-\- -*- ^n^" 

seront donnés par la même formule 



(16) 



s^r 



[xi'+l-ri^fF{xi-)-{xi'-ii^YF{xi'+i) . {xi"+\-r^zW{oci")-{xi"-r]2W{xi"+\) 



Xi'-i-X — Xi' 



Xi"+\ — Xi" 



-(-■)' 



(X —ri^YF(x )-(x —ri^YF(x ) 



.•(^)+l .■(^) 



— 429 — 

en prenant pour 

s, \, 'r]2, \ 

les valeurs qu'on obtient dans les suppositions de 
1 = 0, 1, 2, n, 



et pour 



OOi' , X^r^i , XiO , Xif'^i , . . . . X^^^^ , ^,-(v)^ 



les termes de la suite 

iCj , X^j X^y....X^ 

les plus proches respectivement de 

§ 25. A l'aide de la méthode, donnée dans les §§ 4, 5, 6, on trou- 
vera toujours les quantités 

s, \, \,- • ' '%i 

qui entrent dans la formule (16). 

Mais dans les cas ordinaires de la pratique, où la fonction 

F{x) =^ Aq-^A^x-\- . . . ,-^A^x" 

reste de degré inférieur à 6, on peut, avec le secours de la table, jointe à 
notre Mémoire, s'épargner la peine de chercher ces quantités. 

Cette table contient les solutions de notre problème dans les cas de 

n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 

et en prenant pour limites de x les valeurs 

— h, -i-h. 

Donc, toutes les fois que dans la suite des valeurs données de F{x) 

F{x,), F{x,\....F{x,), 
on aura 

^i = — ^p 
et que w, dans l'expression de 

F{x) = AQ-+-AiX-h- -+-^„^"» 



— 430 — 

uv siiij)asstTa pas 5, les quantités 

pourront être déterminées par notre table, en prenant 



De plus, il n'est pas difficile de remarquer que si l'on cherche, au 
moyen de notre formule (16), les coefficients du développement de F{x) 
suivant les puissances de 

Xi ■+■ X{ 

quellesque soient les valeurs de x^ et x^^ les quantités 

dans les cas de 

l^ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 

seront aussi données par cette table, et que pour cela on doit prendre 



En effet, si l'on pose 



et que l'on cherche, d'après (16), les coefficients de la fonction 

en supposant connues ses valeurs pour 

correspondantes à celles de 

on trouve, pour la détermination des coefficients 



— 431 — 

ce système de formules: 

, lM,-*-M,-+- -4.iif.,_ii[f; _jf — M,.] 

(17) sK = -* ' 

{^i'-^i - ri,f F {^J^ -H X') - {Xi' - r,,Y F (^iÇ^' -^ X.'+i) 
Xi'+i — Xi' 

(Zr+1 - r,,)' F {^l^^Xr)- (X— %F F (ÎLiS ^Xr+i ) 
"• Xi"+l - Xi" 

Jf, = (:5C, - X,) i?(ïi±^ - Z,), M, = (X, - XJ i?(ïLi5£ -,- X,) . . . . 
i(f.._ =(Z,-X,_,) i^(^4:^ + X,_,), J»f,=(Z,-X,_.) F(ïi^- -^ X,), 
où les quantités 

s, \, yi2, — \ 

seront déterminées, en prenant pour les valeurs extrêmes de X celles-ci: 

x = x„ x = x.. 

Or, comme ces quantités, en vertu de l'équation 

se réduisent, au signe près, à 

on voit que, dans le cas de 

*î = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
ces solutions seront données par notre table, en prenant 



Quant au cas de w > 5, suivant ce que nous venons de voir, on trou- 
vera, pour ces valeurs de n, les quantités 



— 432 — 

de la formule (1), à l'aide de la méthode générale, en prenant les limites 
de X au signe près égales, ce qui entraîne beaucoup de simplification dans 
la recherche de ces quantités. 

Remarquons encore que si l'on remplace la variable 

X 

par la valeur 



les formules que nous venons de trouver pour la détermination des coeffi- 
cients Kq, K^y. . . .K^, dans le développement de F{x) suivant les puissan- 
ces de 



X = a; — ^i^*, 



deviennent 
(18) sK,=:l\ 

[xi'+i - Yii - V^ M F [Xi') — \xi' - TQi - ^ * j i [xi'-t-i) 



[XV'+I - Vl2- -J^— ' j F {Xi")- [xi" - Y]2 i-^ j F {Xi' 



'+1) 



3Ï, = {X, — X,) F (x,), M, = {x, — X,) F{x,\ , 

M,_, = {X, - x,_,) F{x,_,\ M. = {x, - x,_,) F{x,). 
Dans la formule (17) les quantités 

étant celles de la suite 

X,, x„....x. 

qui s'approchent le plus de 
on voit, d'après l'équation 



A — a; 2 — » 



qu'on trouvera les quantités 



X X X X XX 



— 433 — 
de la formule (18), en cherchant dans la suite 

^1, ^2» ^i 

les couples des termes respectivement les plus proches de 

X, -+- Xi X, -+- Xi X, -+- Xj 

§ 2G. Comme les quantités 

s, "^1, f\^i , \, 

comprises dans la formule (18), pour les cas les plus ordinaires de la pra- 
tique 

w = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 

se trouvent immédiatement par notre table, en prenant h = ^^~"^^ , et que 
cette table, à l'aide de la méthode donnée dans les §§ 4, 5, 6, peut être 
facilement étendue jusqu'à la limite plus considérable et au delà des valeurs 
de n dont la pratique a besoin, la formule (18), déterminant les coefficients 
du développement de la fonction 

F(x) = A,-^A,x-^.,,.-^A^x'', 
suivant les puissances de 



est très commode pour la recherche de son expression d'après ses valeurs 
connues 

F{x,\ F{x,\..,,F{x,). 

Cette formule ne donne l'expression de la fonction F{x) qu'approxi- 
mativement, à cause des erreurs qu'on commet dans les recherches des 
intégrales, en remplaçant la courbe par un polygone. Mais ces erreurs, à 
mesure que le nombre des valeurs données de F{x) augmente, convergent 
très rapidement vers zéro, et d'après ce que nous avons vu (§ 22), on pourra, 
dans chaque cas particulier, assigner leur limite. Tant que les valeurs connues 
de F{x) seront en nombre considérable et qu'elles sont déterminées par les 



— 434 — 

observations, le plus souvent ces erreurs seront au dessous de celles qui 
sont dues aux observations elles-mêmes. Dans ces cas notre formule, sans 
contredit, est très propre à la recherche de l'expression approchée de la 
fonction F{x), vu qu'elle détermine séparément tous les coefficients du dé- 
veloppement de F(x) suivant les puissances de 



et n'exige que des calculs très simples. 

L'usage de cette formule est d'autant plus expéditif que la plupart de 
ses termes et les seuls dont le nombre croisse avec celui des valeurs don- 
nées de F{x), savoir: 

Jf„ M,,.... M,, 

restent, au signe près, les mêmes dans la détermination de tous les coeffi- 
cients cherchés 

Ko, ^1, K^, 

et que les autres termes ne sont jamais en nombre supérieur au degré de 
F{x), ordinairement peu élevé. Quant à l'évaluation de tous ces termes, 
sous le rapport de la simplicité, elle ne laisse rien à désirer. Mais, comme 
nous l'avons remarqué plus haut (§ 22), on pourra, à l'aide du planimètre, 
s'épargner tout-à-fait la peine de faire ces calculs, tant qu'on aura la repré- 
sentation graphique de la fonction cherchée, et alors, d'après nos formules, 
on trouvera avec une extrême facilité son expression sous la forme 

An-h-A, x-t-. . . .-+- Ax^. 



V. 

§ 27. Pour montrer sur un exemple l'application de la formule (18), 
nous chercherons l'expression des changements de volume de l'eau à diffé- 
rentes températures, entre ^^=0° et ^ = 25°, d'après les observations 
qu'on trouve dans le Mémoire de M. Kopp (Annalen der Physik und Che- 
mie, von J. C. Poggendorf, 20. Band, page 45) et dont les résultats peuvent 
être présentés ainsi: 



435 



m 


^m 


F(PJ 


m 


^m 


n^j 


1 





0,000000 


16 


13,5 


0,000480 


2 


0,9 


— 0,000022 


17 


13,8 


0,000568 


3 


1,6 


— 0,000098 


18 


15,0 


0,000706 


4 


2,1 


— 0,000077 


19 


15,6 


0,000841 


5 


5,2 


— 0,000115 


20 


16,3 


0,000927 


6 


5,6 


— 0,000135 


21 


17,4 


0,001057 


7 


6,1 


— 0,000094 


22 


18,6 


0,001256 


8 


6,3 


— 0,000101 


23 


18,6 


0,001298 


9 


7,2 


— 0,000047 


24 


19,2 


0,001419 


10 


8,5 


— 0,000006 


25 


19,8 


0,001496 


11 


8,6 


0,000007 


26 


21,2 


0,001805 


12 


9,1 


0,000081 


27 


21,8 


0,001989 


13 


11,2 


0,000215 


28 


22,2 


0,002043 


14 


11,9 


0,000317 


29 


24,0 


0,002421 


15 


12,7 


0,000352 


30 


24,5 


0,002618 



où par x^ nous désignons des températures et par F{x^) des changements 
d'une unité de volume de l'eau à différentes températures au dessus de zéro. 
Nous cliercherons l'expression de F{x) par la formule 

Aq-\- A-^x -\- A^x'^ -\- A^ a^j 

et pour cela nous prendrons 

n = 3. 

D'autre part, comme dans la suite des valeurs connues de F(x) les limites 
de X sont 

x^ = 0, a;3o=24,5, 

on aura, suivant notre notation, 

x^ = 0, a;. = 24,5, ^=30, 

^^^^-^,^24,5-0^^^ 



et par là 



a^i -^ Xj -_ 0-^-24,5 __ j2 25 

D'après cela, en mettant la fonction F{x) sous la forme 
K,-+-K^{x— 12,26) -+-K^{x—l2,25f-^K^ix— 12,25f, 

28* 



— 436 — 
et en cliercliaut ses coefficients 

au moyeu de notre fonnule (18), on a 

, {M,-*~M,-i- M, — M,,^, — M,,^^— — il^'l 

(19) sK = - ' 

jxi'+i — 7)1 — 12,25)g Fjxi') - (xr--n, — 12,25)' Fjxj'+i) 

Xi'+l — Xi' 

^ (x,--*-! - ri2 - 12,25)2 F(x.") - (g,- - -02 - 12,25)2 F(.r,-'--,-i) 
a-i^'+i — Xi" 



V (^,('^'+1 - 1v - 12,25)2 i^(x.^v)) - (a;.(v) -^v- 12,25)2 F (a;. (v)_^^) 

OÙ les quantités 

s, V, Tlj, 7)2, 7)^ 

se trouvent par la table, jointe à notre Mémoire, en prenant 

n = 3, /i=12,25, 

ce qui nous donne ce système des valeurs de S; v, y)j, Yjg,. . . .tq^, corre- 
spondantes à / = 0, 1, 2, 3: 

s = — 1,17480.12.25 = — 14,3913: 

V =2; 

Ti, = — 0,79370. 12.25 = — 9,7228; 
7]2 = 0,79370. 12,25 = 9,7228. 

s =0,41421.12,25^ = 62,1579; 

V =3; 

T)i = —0,84090 . 1 2,25 = — 10,3010; 

^2 = 0; 

Y]3 = 0,84090 . 12,25 = 10,3010. 

1 = 2. 

s =0,5.12,25^ = 919,13; 

V =2; 

ïl, = — 0,5.12,25 = — 6,125; 
7)2 = 0,5.12,25 = 6,125. 



— 437 — 

^ = 3. 

s = — 0,25.12,25* = — 5629,7; 

V =3; 

7)^ = — 0,70711.12,25 = — 8,6620; 

iQ2 = 0; 

7)3 = 0,70711 . 12,25 = 8,6620. 

En vertu de cela et en remarquant que, d'après notre notation, 
désignent les couples des valeurs qui, dans la suite 

X,, X^, X., 

sont respectivement les plus proches des quantités 

Y)i-i-12,25, 7)2 -f- 12,25, 7)^ -+-12,25, 

on tire aisément de la formule (19) les équations qui déterminent séparé- 
ment cliacun des coefficients 

^01 ^IJ ^2' ^3 

de la fonction cherchée 

F{x) = Ko'+-K,{x—l2,2b)-^K,{x—l2/A'ôf-+-K^ix—12,2bf. 

§ 28. Pour déterminer le coefficient Eq, on prendra 

1=0, 
et on aura 

s=:_14^3913, v = 2, Y), = — 9,7228, y)2=9,7228. 

Comme dans la colonne des valeurs de x^ (§ 27), les plus proches de 

7)^ H- 12,25 = — 9,7228 -h 12,25 = 2,5272, 

7)2-+- 12,25 = 9,7228 h- 12,25 = 21,9728 
sont 

^, = 2,1, ^5 ==5, 2, a;27 = 21,8, ^^28=22, 2, 

on prendra, conformément à notre notation, 

Xi. = X^, Xi,^^=X^, Xin = X2T, ^i"-t.i==0r^28, 

i' = à r = 27. 



— 438 — 
Avec ces valeurs de 

la formule (19) nous donne 



-14, 39 1 3 7î:o = ^[ilfiH- JfgH-.. . .-*-Jf4 — ilf5—....—ilf27-H 3/28-»-. ...-*- 3f 30 

(0-5 — 2,5272)» F (a; J — {x^ — 2,5272)2 F{x^) 

x^ — x^ 

(g-gg — 21,9728)g F{x.^^) - {X2j — 21,9728)2 Fjx^,) 



En passant à la détermination du coefficient K^^ on fera 

et comme pour cette valeur de l nous venons de trouver 

s = 62,1579, v==3, t)^ = — 10,3010, ^12 = 0, y)3=10,3010, 
et que dans la colonne des valeurs de x^ les plus proches de 

Y)i -f- 12,25 = — 10,3010 -+- 12,25 = 1,9490, 

YigH- 12, 25 = -H 12, 25 = 12, 25, 

7)3-4-12,25 = 10, 3010 -H 12,25 = 22,5510, 
sont 

0:3=1,6, x^=2,], a:^,= ll,9, 0:15= 12,7 a:;o8=22,2, 2:29= 24,0, 

on aura, d'après notre notation, 

è' = 3, i"= 14, r=28. 

Alors, pour la détermination du coefficient K^ , la formule ( 1 9) nous fournit 
cette équation: 

(a;^ — 1,9490)2 F{x^) — {x^ — 1,9490)2 F{x^) 

X^ ^3 

^ {x,^ ~ 12,25)2 F{x,^ - (x,^ - 12,25)2 F(a;,5) 
(a;2.j — 22,5510)2 F{x.^^ — (ar^g — 22,5510)2 F{x^^) 

En cherchant de la même manière l'équation qui détermine le coefficient K^^ 
on prendra 

/ = 2, 



— 439 — 

et on aura 

s=919,13, v = 2, 7)^ = — 6,125, Yi3== 6,125, 

i'=7, é" = 21. 
Pour ces valeurs de 

h s, V, 7)j, Y)2, i\ i", 

la formule (19) devient 

{Xg — 6,125)2 p (ary) — (xj — 6,125)2 F{x^) 

{X22 — 18,375)2 F(a;2i) — (ar^i — 18,375)2 FÇa;;;) 

Enfin, pour la détermination de Zg, on fera 

1=3, 
et on trouvera 

s = --5629,7, v==:3, •/i^ = — 8,6620, t)2==:0, 7)3 = 8, 6620, 
i'=4, i"=14, r=25; 

d'après quoi la formule (19) donne 

__ [x^ — 3,5880)2 F {x^ — (x^ — 3,5880)2 F (x^) 
x^ — x^ 

^ {x,^ - 12,25)2 F{x,^) - (a^u - 12,25)2 J' (a;, s ) 
(0^26 - 20,9120)2 J^a^^s) - [x^^ - 20,^\20f F jx^^) 

Au moyen des formules que nous venons d'obtenir, on trouve aisément les 
coefficients de la fonction cherchée 

i^(a;) = Zo -H Z,(a;— 1 2,25) -H ^2(3; — ■ 12,25)2 -H 7i:3(a; ~ 12,25)^ 

comme nous allons le montrer. 

§ 29. Pour trouver les valeurs de 

^x = i^2 — ^i) F{x,), M, = {x^ — X,) F{x^\ M^ = {X, — x^) F{x,\ .... 
Jf,_i = (a;, — x,_^) F(a;,_i), M. = (x, - a^,_0 i^(a;..), 



— 440 

ou cliorchera les différences 

x^ —x^= 0,9— =0,9, 

x^ — ^1 = I56 — =1,6, 

x^ —x^= 2,1 — 0,9 = 1,2, 

x.^ — J3 = 5,2— 1,6 = 3,6, 

x^ —x^ = 5,6— 2,1 = 3,5, 

X. —x.^ = 6,1— 5,2 = 0,9, 

x^—x^= 6,3— 5,6 = 0,7, 

x^ —X. = 7,2— 6,1 = 1,1, 

^10 — ^8 = 8,5— 6,3 = 2,2, 

x^^ — x^= 8,6— 7,2 = 1,4, 

^12 — ^10= 9,1— 8,5 = 0,6, 

x^^ — x^^ = \\,2— 8,6 = 2,6, 

x^^ — x^^=\l,^— 9,1 = 2,8, 
^15 — ^13=12,7— 11,2 = 1,5, 
^iG — ^14= 13,5 — 11,9 = 1,6, 

En multipliant ces différences par les valeurs 

F{x,\ F{x,\....FU\ 



^17- 


-ri;,,= 13,8- 


-12,7= 1,1, 


^18- 


-a;,,= 15,0- 


13,5 = 1,5, 


^19- 


-a;i, = 15,6- 


-13,8 = 1,8, 


%- 


-a;,g=16,3- 


-15,0 = 1,3, 


^21- 


-a;,,= 17,4- 


-15,6 = 1,8, 


^22- 


-3^20=18,6- 


-16,3 = 2,3, 


^23- 


-X,, = IS,Q- 


-17,4=1,2, 


^24- 


-rr2,= 19,2- 


-18,6 = 0,6, 


^25- 


-a;,3=19,8- 


-18,6 = 1,2, 


^26- 


-^,,= 21,2- 


-19,2 = 2,0, 


^27- 


-a:2,= 21,8- 


-19,8 = 2,0, 


^28- 


-a;,, = 22,2- 


-21,2 = 1,0, 


«'ao- 


-a;2, = 24,0- 


-21,8 = 2,2, 


^30' 


-0^,3 = 24,5- 


-22,2 = 2,3, 


%- 


— ir2g = 24,5- 


-24,0 = 0,5. 



on obtient 



M^=^ 0,000000.0,9= 0,000000, 
M^ = — 0,000022. 1,6 = — 0,000035, 
. TIfg = — 0,000098.1,2 = — 0,000118, 
31^ = — 0,000077 . 3,6 = — 0,000277, 
M^ = — 0,000115.3,5= — 0,000402, 
M^ =—0,000135.0,9= — 0,000122, 
M^ = — 0,000094 . 0,7 = — 0,000066, 
M^ = — 0,000101.1,1= — 0,000111, 
M^ = — 0,000047 . 2,2 = — 0,000103, 
M^Q = — 0,000006 . 1,4 = — 0,000008, 
Ji„= 0,000007.0,6= 0,000004, 
M^^= 0,000081.2,6= 0,000210, 
Jfj3= 0,000215.2,8= 0,000602, 
M^,= 0,000317.1,5= 0,000475, 
M,^= 0,000352.1,6= 0,000563, 
M,^= 0,000480.1,1= 0,000528, 
M,,= 0,000568.1,5= 0,000852, 
Jf,8= 0,000706.1,8= 0,001271, 
iJfjg= 0,000841.1,3= 0,001093, 



— 441 



M,,= 


0,000927, 


,1,8 = 


0,001668, 


M,,= 


0,001057, 


.2,3 = 


0,002431, 


M,,= 


0,001256, 


.1,2 = 


0,001507, 


M,,= 


0,001298, 


.0,6 = 


0,000779, 


M.,= 


0,001419 


.1,2 = 


0,001703, 


M,.= 


0,001496 


.2,0 = 


0,002992, 


M.,= 


0,001805 


.2,0 = 


0,003610, 


M,,= 


0,001989, 


.1,0 = 


0,001989, 


^28 = 


0,002043 


.2,2 = 


0,004495, 


^«0 = 


0,002421, 


.2,3 = 


0,005568, 


itf^o- 


0,002618, 


.0,5 = 


0,001309. 



D'où l'on tire sur le champ les valeurs de toutes les combiuaisons des 
quantités 

que les expressions, déterminant les coefficients 



contiennent, savoir: 

M,-i-M^-*-. . . . -^-M—M,—. . . . —M,^-HM,s-i-. . . . -^-il^^3o= — 0,010523, 

M,-^M^-^ -t-M^—Ms—. . . . — il^2i-*-^22-+- -i-ilf3o=0,013457, 

D'autre part, par la substitution des valeurs de 

%5 ^4 5 ^6) -^6 5 ''^Tj ^85 ^14 5 ^15? ^215 ^22' ^25 5 "^26 j ^28 5 ^29 7 

F{x,), F{x,\ F{x,\ F{x,\ F{x,\ F{x,\ F{x,,\ F{x,,), F(%), Fix,,), 
F{x^,), F{x,,\ Fix^s), F{x^^\ 



(xs- 


-2,5272)2 F (0:4) - 


-(^4- 


-2,5272)2 JP(a?5)_ 


-(5,2-2,5272)2, 


,0,000077-i-(2,l- 


-2,5272)2 


.0,000115 


ixn- 


^5- 

-21,9728)2i^(x27)- 


~^4 


-21,9728)2i^(a;2g) _ 


5,2- 

= — 0,000170, 

_ (22,2-21,9728)2.0,001989- 


-2,1 

-(21,8- 


-21,9728).0,002043 


{^4- 


-1,9490)27^(3:3)- 




- 1,9490)2 F(a;4)_ 


= 0,000103, 

_ -(2,1-1,9490)2 


22,2 — 21,8 
.0,000098+(1,6- 


-1,9490)2 


.0,000077 



2,1 — ï,i 



= 0,000014, 



442 



(•^.5- 


-\2,25)^FiXn)- 


-(^u- 


-12,25)2 i'' (3^,5) 


1 (12,7—12,25)2 


.0,000317- 


-(11,9- 


-12,15)2.0,000352 




^15- 


-a=u 




= 0,000026, 


12,7- 


-11,9 






(X^ç,- 


-22,551 0)2 F(a;2,) 


-(^2r 


-22,5510)2^(29) 


(24-22,5510)2. 


0,002043- 


(22,2-22,5510)2 


.0,002421 




%9- 


-^28 




= 0,002217, 


24- 


-22,2 






(Xs- 


- 6,125)2 i/(x7)- 


-(^7- 


-0,125)2 F (arj 


_ -(6,3-6,125 


)2. 0,000094-»- (6,1- 


-6,125)2, 


.0,000101 



x^ — Xj 6,3 — 6,1 

= — 0,000014, 

(a-;2 -18,375)2F(a;2i)-(a;2i— 18,375)2^(0:22) (18,6-18,375)2.0,001057— (17,4-18,375)2.0,001256 

a:22 — SC21 1^>6 — 17,4 

= — 0,000951, 

{x^ — 3,588)2 j/(a;j _ (y^ _ 3,588)2 p(^^^) —(5,2— 3,588)2. 0,000077-*-(2,l — 3,588)2.0,000115 

Xc, — x^ 5,2 — 21 

= 0,000017, 

(rC26-2Q,912)2 i^"(a;25)-(a-25.-20,912)2 F{x^^) (21,2— 20,912)2. 0,Q01496-(19,8-20,912)2. 0,001805 

^26 — ^25 21,2 — 19,8 

= — 0,001505. 

Dès lors les équations que nous avons trouvées (§ 28) pour la déter- 
mination des coefficients 

^OJ ^n ^2) ^3 

nous donnent 

- 14,3913 ^0= nîM^^Ë^ -^ 0,000171 -+- 0,000103 = — 0,004987, 
G2,l 579 Z, = ^^-^ -0,000014-4-0, 000026 -0,0022 17=0, 00691 9, 
919,13^2=^^^^^-1-0,000014 — 0,000951 = 0,005791, 



:-^^^^^ -0,000017-4-0,000026-4-0,001 505=0,000268, 



et par là on obtient 



^0==^^' = 0,0003465, 
^. = '^^'-0,00011131, 



^3= =^^ = — 0,0000000476. 
En portant ces valeurs de 



— 443 



dans l'expression cherchée de F{x), on a 

F(a;) = 0,0003465-H-0,00011131(^— 12, 25)h-0,00000630(^— 12,25)2 

— 0,0000000476(a;— 12,25f, 

ce qui présente toutes les valeurs données de F{x) avec une approximation 
très suffisante, comme on peut le voir d'après cette table: 



m 


«•m 


Valeurs de F{Xjn) 
observées. 


Valeurs de F{Xjn) 
calculées. 


Diflférences. 


1 





0,000000 


-+-0,000016 


— 0,000016 


2 


0,9 


— 0,000022 


— 0,000036 


-t- 0,000014 


3 


1,6 


— 0,000098 


— 0,000067 


— 0,000031 


4 


2,1 


- 0,000077 


— 0,000085 


-+- 0,000008 


5 


5,2 


— 0,000115 


— 0,000107 


— 0,000008 


G 


5,6 


— 0,000135 


— 0,000101 


— 0,000034 


7 


6,1 


— 0,000094 


— 0,000089 


— 0,000005 


8 


6,3 


— 0,000101 


— 0,000083 


— 0,000018 


9 


7,2 


— 0,000047 


— 0,000049 


-+- 0,000002 


10 


8,5 


— 0,000006 


— 0,000020 


-4- 0,000014 


11 


8,6 


0,000007 


— 0,000007 


-+-0,000014 


12 


9,1 


0,000081 


0,000061 


-*- 0,000020 


13 


11,2 


0,000215 


0,000236 


— 0,000021 


14 


11,9 


0,000317 


0,000308 


H- 0,000009 


15 


12,7 


0,000352 


0,000398 


— 0,000046 


16 


13,5 


0,000480 


0,000495 


— 0,000015 


17 


13,8 


0,000568 


0,000534 


-f- 0,000034 


18 


15,0 


0,000706 


0,000698 


-+- 0,000008 


19 


15,6 


0,000841 


0,000789 


-f- 0,000052 


20 


16,3 


0,000927 


0,000891 


-t- 0,000036 


21 


17,4 


0,001057 


0,001080 


— 0,000023 


22 


18,6 


0,001256 


0,001295 


— 0,000039 


23 


18,6 


0,001298 


0,001295 


-H 0,000003 


24 


19,2 


0,001419 


0,001408 


-+-0,000011 


25 


19,8 


0,001496 


0,001525 


— 0,000029 


26 


21,2 


0,001805 


0,001813 


— 0,000008 


27 


21,8 


0,001989 


0,001942 


-H 0,000047 


28 


22,2 


0,002043 


0,002030 


-4-0,000013 


29 


24,0 


0,002421 


0,002447 


— 0,000026 


30 


24,5 


0,002618 


0,002568 


-+- 0,000050 



— 444 — 

§ 30. D'après la formule (14), et en prenant, suivant l'expression 
obtenue de F{x), 

F"(aO = 0,0000126 — 0,0000002850 0^.-12,25), 

on trouve que les erreurs qu'on commet dans nos valeurs des coeffi- 
cients 



en remplaçant, comme nous l'avons fait, la courbe y = F{x) par un poly- 
gone, sont comprises respectivement entre les limites 

— 0,0000023 et —0,0000040, 

-+-0,00000059 et -+-0,00000079, 

— 0,000000022 et —0,000000032, 

— 0,00000000059 et —0,00000000081. 

D'après cela on reconnaît aisément que ces erreurs sont notablement 
au-dessous de celles dues aux observations. Ces erreurs seraient encore plus 
petites, si les valeurs de l'argument des observations des u°' 4 et 5 n'étaient 
pas si éloignées entre elles, 

VI. 

§31. Par la méthode exposée dans les sections précédentes, on par- 
viendra à trouver les coefficients de la fonction 

F{x) = ^(j -H v4j a; -+-....-+- ^^ic", 

avec une approximation plus ou moins grande, suivant le nombre de ses va- 
leurs connues. Mais comme les quantités 

s, ■'11, ■'Q2)- • • -^j 

qui entrent dans nos formules dépendent essentiellement du nombre w, on 
ne peut les employer à la recherche de l'expression de F{x) sans fixer 
d'avance le nombre de ses termes conservés, et conséquemment, tant qu'on 
ne sait rien sur ce nombre, il est important d'examiner les différentes hy- 
pothèses qui s'y rapportent, et de chercher séparément, dans chacune d'el- 
les, l'expression de F{x)^ ce qui augmente considérablement les calculs. 
Nous allons montrer maintenant comment par notre méthode on parvient à 



— 445 — 

une formule d'interpolation, qui lève complètement cette difficulté. La for- 
mule que nous donnerons à présent embrassera toutes les hypothèses pos- 
sibles sur le nombre de termes dans l'expression de F{x), et répondra à 
chacune d'elles suivant qu'on prolonge plus ou moins la série que cette for- 
mule représente. Sous ce rapport elle ne laissera rien à désirer, seulement, 
comme toutes les autres formules de ce Mémoire, elle ne donnera pas de 
résultat avec la moindre erreur à craindre, résultat qu'on ne saurait trou- 
ver directement qu'à l'aide de notre série citée plus haut. 

§ 32. Pour parvenir à la formule d'interpolation dont nous avons parlé, 
convenons de désigner par le symbole 

l'expression de la forme 

pi p2 p3 r^ 

J—h Jt]i Jif]2 -^rin 

OÙ 

^1, ^3^ ^ 

fÏ2^ "^4? 



sont les racines des équations 

n-4-i 



2 ~^' 



(x ■+- Vx^ — h-'O ^ —{x — Vx^ — h 



dans le cas de n impair, et des équations 

/ /x-*-h /x—hV^-^^ I /x-v-h ^/x—h\P'-*-^ 



yV 



= 0, 



-/A"-^! 



/x-+-h 

y ~2~ 

dans le cas de n pair. 

D'après cette notation, les formules, trouvées dans la Section III pour 
la détermination du dernier coefficient de la fonction 

F{x) = AQ-\-A^x-t-. . . .-+-^„a;", 



446 



seront représentées aiusi: 



D'où, en substituant la valeur de F{x)^ nous tirons 

\\A,-i-A,x-^. . . . -^- A^x"") = A,j x' -*- A,j 0) -^ -i- A^fx'' = sA^, 

n n n 'n 

ce qui suppose 



}j' = 0, |a;=0, Ja;""' = 0. 



Soit maintenant 



une fonction dont on cherclie la valeur pour 



D'après la valeur de 

f(x) = Gq -*- a^x -i- a^x^ -^ . . . .-\- a^^ x"^ 
on a 

^f{x) = f («0 -I- a^ ic -H «2 a;^ H- . . . . -»- «^ ^^) 

'n "n 

= «„ \x^ -^a^{x~i- «2 \^x^ -H .... -H a I x'"; 

n n n n 

et comme nous venons de voir que 

jx, = 0, \^x = 0, jx^ = 0,... . Jo;"-' = 0, 

n 'n n n 

cela nous donne, dans la supposition de w < m -+- 1 , 

jm = aJx"-H «_, J^»- H- ... -H ajjc'\ 

n n n n 

D'où, en faisant 

n = 0, 1, 2, 3, , 

nous obtenons ce système d'équations: 



jf(x) = a,jx-+-a^]x^-^ _4_a^Ja;"\ 

(20) \jfix) = aJx^-^....-^aJx-, 

2 2 2 



~ 447 — 
Ces équations déterminent tous les coefficients 

«0, «1, «2^ «m 

de la fonction 

f{x) = «^0 -4- «j rr -f- «2 a;^ -f- . . . . -♦- «^ x^^ 

d'après lesquels on trouvera aisément sa valeur pour x = z. 

§ 33. Pour parvenir directement à la valeur de f{z)^ nous prendrons 
la somme des équations (20), après les avoir multipliées respectivement par 
les facteurs arbitraires 

Ainsi l'on obtient 

12 m 1 



1 m 

D'où résulte cette valeur de f{z) r= a^ h- «^ z -i- a^z^ -^ . . . .-t-a^z^: 

12 I» 

les facteurs 

Û,, 0^, 0,, o....o^ 
étant choisis de manière à ce qu'on ait 

(^Jrc^'^l, Ô^^x-^O^^x=z, ûjx^-i-û^jx^-+-0^jx^=z\. . . . 
^22) j 1 1 2 

I ^./..«H-tf J^^-H . . . . H-^„^, J^'»==."'. 
loi m 

Or, d'après la forme de ces équations on voit que les facteurs 

^1, ^>2, ^3,---- 

qui entrent dans l'expression (21) de f(z) sont les fonctions de z, respecti- 
vement des degrés 

0, 1, 2,...., 

et que leurs valeurs ne dépendent nullement de m, nombre de termes de la 
fonction cherchée. Donc si l'on fait m= co^ l'expression de f{z), donnée 



448 



par la formule (21), jouira de la propriété dont nous avons parlé dans le 
§31. Pour s'en assurer on n'a qu'à remarquer que, dans le cas de m = oo, 
la formule (21) se réduit à une série infinie 

1 2 

et que cette série, arrêtée au terme 0^_^Jf{x), donne la valeur de f{z) 
qu'on trouve d'après (21) dans la supposition de 

f(x) = Oq -t- a^x -i- a^x^ -¥- . . . . -h «^ x"\ 
§ 34. Nous allons chercher maintenant la loi de la série 

m = Ojfix) -f- O.jfix) -4- â,jf{x) -*-...., 
12 

qui résulte de la formule (21) dans le cas de 

m = oo. 

Les équations (22), qui déterminent les fonctions 

^n ^>2, 0,,...., 
pour m = oo , deviennent 



Û^jx-+- û^jx=z, 
(24) I 0,jx^-i-0^jx^-i-ôsjx'' = z^, 

12 

12 3 

Par la solution de ces équations on trouve aisément les fonctions 

mais il est difficile de reconnaître leur forme générale. Nous montrerons 
maintenant comment on y parvient par une méthode toute particulière. 

p]n vertu de ce que nous avons vu (§ 32) relativement aux expres- 
sions 



— 449 — 
on a 

1 2 3 

jx = 0, Jic = 0,. . . ., 

2 8 

3 

D'où il suit que, sans rien changer aux équations (24), elles peuvent être 
mises sous cette forme: 

1 2 

^1 J^ ~*~ ^^2 J^ ~*~ ^3 J^ "•" • • • • = -^7 
1 2 

ûJx^-+- OAx^-^ Ojx'-^ = ^2^ 

1 2 

ôAx^-^ ûJx^-t- Ojx^-i- = ^^ 

1 "2 

Or, si l'on multiplie ces équations respectivement par 

i. _?- A ± 

a2' a3' a*' a^'' * " ' ' 

a étant une quantité quelconque, et qu'on prenne leur somme, il en résulte 

-+- 

a2 a^ a* a^ ' 

et comme 

n n n n n *» 

J^ 2^ 3^2 4^ _ 1 

a2 "*" a3 "^ a* "*" a^ ~+~ • « * ' — (a — ^)2 ' 

29 



— 450 — 
cette formule se réduit à celle-ci: 
(25) 0^ [ , ^ ,, H- 0^ f , ^ ,, -4- <^Âf , ^ ,„ -V- = , ^ ,, . 

^ ^ 1 J (a — a;)2 2 J (a — a;)2 3 J (^ _ xf- (a — 2)2 

1 2 

Pour trouver les quantités contenues dans cette formule, remarquons 
que d'après notre notation 



0^ 
^2 



-*-(-!)" 


dx 
\ia-xr 


..-+-(- 


■0"^.; 



f^i r^2 r'^3 

r 1 dx dx dx 

J Ja-x)2 — (oi=xf ~ (^^=^^2 -»- (^^H^ 

D'oii il suit 

f^_ = L . 

J^(a— x)2 a-+-/t a— iQi " — 02 «— ^Qs 

et comme 

1_ _2 2_ 2 , jxn I 

a-t-/î a — Y], a — v^j a — Tjg • • • • V / ^^ — j^ 

d log (g-t-/;) 2dIog(a— t]i) 2d log (a--/i2) 2tZ log (a— ^03) . vw (^log(a — ft) 

da "*~ da doi da. •••• \ ) ^a. 

_^^"g («-ti,)2....(a-4-ftr" 



il en résulte 

r, Ina ("- ^1.)^^ - %)^ •••(«- ^) <- ^>" 
(26) r 1 ^ " (a-^^)^....(a-H;t) 

^ '^ J (a — x)2 da 

A l'aide de cette formule on obtient aisément la valeur définitive de 
Dans le cas de n impair, les quantités 

sont (§ 32) les racines des équations 



{x-^V x^-lfi) ^ -^ (a; - T/ ^2~rfe2) 2 _ 



2 
n-4-1 



(a;-4-ya;2— ftg) ^ — {x — V x"^ — K^) ' ^ 

2 >/a:2 — /t2 ' 



— 451 

et par là on trouve 



(a — ^i) (a ~ ^3)5 . • • • = (^0 2 



(a TQ.,) (a TlJ, . . . . = (7, ^ ■ , 

V J2/ V 14/) 1 2Va^ — h^ ' 

en désignant par Q et G^ des valeurs indépendantes de a. D'après quoi la 
formule (26), pour n impair, nous donne 



J> — a;)2 



/ n-Hi n-4-i 

«^logTrâ ^ 

^1 \ n-Hi M-t-i 



n-t- 1 4fe"-^-i 

~~ yi^irp (a -^ >/i[2z:p)«-*-i _ (« _ y^^z^^y^' ' 

En passant au cas de n pair, nous remarquerons que, pour ces valeurs 
de n^ les quantités 

sont les racines des équations 



et par conséquent 



2 j 






(a— ^,) (a— TjJ. . . .=6\ --^^^ 

2y-2~ 

D'après cela la formule (26), pour n pair, nous donne 



//,/a-4-/t /a-A\«-^i / /aH-7t /a-7A«-»-i\ 



^(a — a;)2 5^1 

n-»-l 4/t»-^i 

~" Va2 _ A2 (a H- y «2 _ ft2)»-^i — (a - Voî^ - 7i2)"-^i ' 



452 



Par les expressions trouvées de 
on obtient, pour ti = 0, 1 , 2, .... , 






1 



4h 



T/a2 _ ^2 oc H- i/a2 - /i2 — (a -H ya2 — /i2) ' 
2 4ft2 



(a — X)2 y ^2 _ /j2 (a -t- l/a2 — ;t2)2_ („ _ -,/„ï _ /j2)2 ' 

3 4h^ 



J 2{a — a;) 2 y^z' 



- /i2 (a -+- •/a2 — A2):^ _ (« — ya2 — /t2)=' ' 



eu vertu de quoi la formule (25) devient 



4 r feOi 

ya2— /i2 |^0(-+_>/(x2— /i2_(a — ■( 



-/l2) (a-f-/Gc2-/l2)2_(a_ya2— /i2)2 

, 3PQ3 n 1 

(a-*-ra2— /t2)-'— (a— l/a2-ft2y< ""J (a— 2)2' 

Pour simplifier cette formule nous poserons 



a -+- Va- — /i,2 



-.u, 



ce qui nous donne 



a — VoL^ — li^ 1 2 yo2 — /l2 



et d'après cela notre formule se change en celle-ci 



^(•-^) 



M «2 



26; 3ôj,_ 



-i u2-2 

M m2 






453 — 



§ 35. Les deux membres de cette équation se transforment dans des 
sommes très simples. En effet, comme 



1 1 1_ 

sX' 





u^- 


1 ~w^ 


^.X 


on trouve 










ei 


26, . 


36^ 



• • • ^ (2ix-l)XJ 



X--=cs=ix = 



....=22 



(2(x- 1)). • 



D'autre part, à l'aide de la décomposition en fractions simples, on obtient 



{z+Vz^-h^f z+Vz'^-h^ {z-Ve2-h^y z-Ye2_^h'^ 



(„2 JllVlY ""^^'^^-^^1 ('^"-^-"^^^-^)'' hu-z-V^^^^ {Uu-z+Vz^-h^f hu-z+V^-h^ 

et par là 

"A"~ m") '^ r ^<'(^-*-y^'^—'h^)u h{z — Vz^ — h^) u 



lu'i- — -i- if 2 Vz^ - /t2 [_{hu -z- iz'i-hif {hu-z-+- Vz'^ 

d'où résulte 



h2)u 1 



, IX f z-.Vz--n^ 



(^+yi5i:^2 j^_^_y^2_h2y 



h^u^ 



-»-3^- 



/i^m' 



g— •/^^2_/t2 (^_y^2_ft2)2 (^._-/22_/j2): 



4 y^» - /i2 .^ 



hu h^u^ h*u^ 

{z -+- Vz^ — h^y — (g — Vz-'i — h^y 



^ I 



D'après les transformations que nous venons de faire, notre formule 
devient 

V ^^tiltllJÈ, — ^ ^^^ u -H V^^=rh^y- (z- yi^:r7î27 

§ 36. Pour tirer de cette formule celle qui nous conduira aux valeurs 
cherchées des fonctions 



— 454 — 

nous riutégrerons depuis u=l, jusqu'à w = cxd, après l'avoir multipliée par 

où p est uu nombre arbitraire. Ainsi l'on obtient 
et comme les intégrales 






se réduisent à 



r logp-i {u)âu r logp— i(M)<fM 

(2h.-1)X+1 ' u'^-+-l 

il en résulte, après la suppression du facteur commun log^~^ f — j dx, 
V N? titliMx _ X' (g H- Vz^ ~ h^y — (g — Vz^ — /t'^)'^ 

.^ ^^ XP(2tx-l)p— .^ "^ 4/tT,p^/^^TZr;i^ ' 

X— 1 (1=1 T=l 

ou, ce qui revient au même, 

2^ xp ^(2(x-i)p— ^^ 4/iTTpyg2^37r2 

X=l (i=l T=l 

De plus, en remarquant que 

^ (2(ji — 1)P IP "*" 3P "*" 5P ~*~ 7P "*~ 9P "*" ■ ' ' ■ ' 

1 



■('-^.)(-^.)(-^.)---- 



on trouve que cette formule peut être mise sous la forme 
^ (_i)X-i xe^ 1 "V (g -H>'i^^^')^- (g -y^23^2) 



— 455 — 



et par là ou obtient 

^^^) 2à xp —Zi^ 4ft^Tpy.-5=P V 3PJl^ 5PJ\^ 7PJ---- 

C'est au moyen de cette formule que nous trouverons l'expression générale 
des fonctions 

^IJ ^2J ^3) 

§ 37. Pour trouver la valeur de 0^ remarquons que la formule (26), 
indépendamment du nombre p, ne peut avoir lieu, à moins que ses deux 
membres ne contiennent les termes avec ^ égaux entre eux. Or, dans le 
premier membre on trouve que ce terme est 

(-i)^~^xex . 

XP ' 

en passant à la recherche des termes correspondants dans le second membre, 
nous trouvons que le produit 

(i-À)(i-^.)(i-^.)-- 

se réduit à 

, \ \ 2 L J 

3P 5P 7P llP~^ 15P • • • • » 
qu'on peut mettre sous la forme 

p=\ 
en désignant par 

^U ^2^ ^3) 

des nombres impairs 

1, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 19, , 

sans facteur carré, et en supposant qu'on prenne le terme 

dpp 

avec le signe -+- ou — suivant que les diviseurs premiers de d sont en 
nombre pair ou impair. Le second membre de notre formule se réduit par 
conséquent à 



1.1 



lîIT- 



Ah^Vz^-h^ (^rfp)P' 



— 456 — 

et par là ou trouve que les termes avec ^ sont 

, , X -L 

À -L 

— rf^ A xp— • • • •' 

en désignant par 

d^, d^, 

ceux des diviseurs impairs du nombre X qui n'ont aucun facteur carré. 
Quant aux signes de ces termes, conformément à ce que nous avons vu, on 
prendra en général 

1. l_ 

dp X 

éh'^pVe'i—h^ 

avec le signe -»- ou — , suivant que les diviseurs premiers de d sont en 
nombre pair ou impair. 

En égalant entre eux les termes avec ^ que nous venons de trouver 
dans les deux membres de la formule (26), nous obtenons cette équation: 

, , , X x_ 

(—!/--» Xex -^ {z-j-Ve^—hir—iz—Vzi—h^f 1 X (z-i-Vz^—h^yi — (z—Vz^—h^)^i 1 





4h>^Vz' 


X 


xp- 


-d, 

X 


1 
XP 


±. 


X 

. . . , 


-h^ 


-f- 


X (z-i-Vz^- 


-/»2)d2-(^ 


-Vz^- 


-712)^2 






d. 


4h^2Vz^- 


^ 







ce qui donne pour la valeur cherchée de la fonction â^ 



— ( l)^~^ (z-h-Vz^-hif-iz—Vz-i-h^)^ ^ (— 1)^~^ iz-i-VJ^:ii^)d ^ _(g_y^2_;^2)d 1 

ih^l Vz^—h^ 

1. X 

^2 X — . • . . 

4h'^2Vz^—h^ 



— 457 — 

§ 38. Par l'expressiou trouvée de 0^^ ou obtient aisément toutes les 
fonctions 

0,, 6,, 0,, ^„...., 

suivant lesquelles est ordonnée notre formule (23). Ainsi, en remarquant 
que dans les cas de 

X=l, 2, 4, 

le nombre X n'a point de diviseur qui soit impair et en même temps sans 
facteur carré, nous trouvons pour 0^^ 0^^ 0^ ces valeurs: 





z-^^fz^ 


^r^2- 


-0-1- 


V^ 


-h^ _ 


1 




(^-^ 


^hVz- 


J_/i2 


-i^- 




2/i' 




Vz^- 


h^)'- 


-Vz^- 


-/»2/ 



_ _ (z -t- V^^ZThiy — {z- Vz2 _ ft2)4 4^3 — 2h'^z 

^ 4^4 VZ-^ — ft2 /i* 

Dans les cas de 

X=3, 5, 6, 

les diviseurs impairs de X et sans facteurs carrés étant 

(?j = 3, (?j=5, c^^ = 3, 

l'expression trouvée de 0^ nous donne 



n 2 ?_ 



^, ^ (,.^>/P=fe2)^_(^_/iii:^)^ 1 ^^T/pi:X2-^-»-/i^=P ^ 8^*-6/.2^2_^ - h^ 

^ ^ (.-.yi^2)e _ (,_y,-2zr2)« ^ 1 {z.V¥:W - (.-/I^2)2 ^ i6.^-i6;i2,3^g;,4, 

^ 4/i6y^2_^2 3 àh^Vz^—h^ f^^ 

Quant aux quantités 

12 3 

contenues dans notre formule (23), remarquons que, d'après le § 32, 

ni n2 p3 f^ 

jj{x)=\ f{x)dx— f(x)dx-h- f{x)dx — -t-(-i)" f{x)dx, 



— 458 
et d'après les §§ 17, 19, 



7 mr 1 (n — 2) tt 
Yi, = h COS ï , "îQo = « COS ^ '— , . 

, (n — l)7ï 7 (n — 3)tc 



ce qui uous donne 



n-K - (n— 1)tc , (»-2)ir 

ft COS «COS /t COS f- 

M-+-1 c n-Hl p n-*-l 



jj{x)= f{x)dx— f{x)dx-h- f{x)dx — -h(-i)" f(x)dx. 

J — Ji J ma -J , (n — 1)tc -^ , tc 



, (n-l)Tc 

f» uua r »s ^ur 

n-f-l 

D'où, en faisant 



n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, , 



on obtient 



j,m=ïf{^)dx, 
j-h 

S,m= \f(x)dx-\f{x)dx, 

J-h Jo 

p 2 p2 p^ 

J-/1 J 1 ^ J 1 , 

-Y^ y'' 

_ -1 A J- fe 

p y2 rO py2 p/i 

Lm--= f{x)dx— f{x)dx-+- fix)dx- f{x)dx, 

J—h *^ 1 r ^0 ->' 1 , 

Sji^)= ïmdx- \f{x)dx-*- \f{x)dx— \mdx-^ \mdx, 

— r-^ — r-^ -T-* —r-^ 

V3, 1 , 1 , 1 , 

r~ 2 r ^ f r^ r 2 p/i 

/^/-^a;) = f{x)dx — f{x)dx -h f{x)dx— f{x)dx -*- Aa^)^« — /"(a^)^^, 

J—h J VS, J 1, Jo ^^^3^ Jl. 



. V3, 



— 459 — 
En vertu des valeurs trouvées de 



^1, 0^, ^3, 0,,... 
l J, J. /,•••• 



notre formule (23) se réduit à ce développement de la fonction f{z)\ 



çh 

(2 7) fi^)^^Aax)dx- 

J-h 



çh 

f{x)dx- f{x)dx- 

h Jo 



f{x)dx- f{x)dx+ f{x)dx 

h J _ 1 , J 1 ,_ 

Y'^ pO ÇY'A çh 

(x) dx — f{x) dx -¥■ f{x) dx — f{x) dx 

■h -^ l , »^0 J 1 , 



4^3 _ 2h^z 



y5-i-i, Vô-i, ys-i , y5-t-i, 

f{x)dx— f{x)dx-i- f{x)dx— f{x)dx-i- f{x)dx 
J -h J Vô-i-i, J ys-i, -'V5-1, Jy5-i-i, 

L ^ h 4 ^* 4 ^ 4 '^- 

-p-T^ p-¥'* .0 pT^ pT'^ ./. 
/'(x)c;a;- /•(a;)^ri;+ f{x)dx- f{x)dx+ f{x)dx- f{x)dx 

J—h J VS, J 1 , Jo J 1 , Ji/3, 


16^5- 


h^ 

■lQh^z^^h*z 


h^ 



qui, suivant le nombre de termes qu'on y conserve, donne l'expression f{^) 
sous la forme d'un polynôme de degré plus ou moins élevé. 
Quant à l'évaluation approximative des expressions 



f{x)dx, 
-h 



À^ 



ï fix)dx 
J~h 



j: 

rO çh 

f{x)dx- m 

J—h Jo 

^h 

f{x)dx-v~ , 



f{x)dx, 



— 460 — 
d'après les valiiirt; duiinécs dv f\z) 

on y parviendra, comme nous l'avons montré dans le § 22, à l'aide du pla- 
nimètre, si l'on a la représentation graphique de la courbe 

dans le cas contraire on les cherchera à l'aide de la formule (15) qui, par 
le changement de x en ^, F {oc) en f{z)^ devient 

ç-^i n2 p3 ÇH 

(28) f{z)d2— f(z)dz^ f(g)dz — ....-+- {-ly f{z)dz = 



(^,-+l-Tll)2/M-(-gr-Tli)2/(^.-'+l) _^ (^>-'-H-Tfl2)V(^.-)-(^.-"-t]2)2/(^,--+l) 

Zi'+l — Zi' Zi"-y-l — Zi" 

— -*-(-v i —, ' 



.-(^1 .•(^) 



sont les couples de termes dans la suite 



*'!? *'2 5 '"Sî 



respectivement les plus proches des quantités 

et 

M^ = {z, — z,) f{z;), M^ = (^3 — z^) f{z,), .,.., 

M,_, = {z, - z,_^) f{z,_,\ M, = {z, - z,_,) f{z,) 

Dans la formule (27) les limites de la variable sont — h et -i- h, ce qui 
suppose que dans la suite des valeurs données de f{z) 



— 461 — 

les quantités z^ et z^ sont, au signe près, égales. Or, tant que cela n'a pas 
lieu, on y parvient très aisément par le seul changement de la variable, sa- 
voir, en prenant pour la nouvelle variable z la différence z — ^i-ij^'. 

§ 39. Pour montrer l'usage de la formule (27) nous allons l'appliquer 
au même exemple que nous avons traité plus haut (III). Dans cet exemple 
les valeurs limites de la variable sont x^ = 0, Xf= 24,5. Donc, conformé- 
ment à ce que nous avons dit, on prendra pour la nouvelle variable, que 
nous désignerons par z, la différence 



= a;— 12,25. 



D'après cela, la table des données que nous avons eue dans le | 
se change en celle-ci: 



27 



m 


'm 


fK) 


m 


^m 


fK) 


1 


— 12,25 


0,000000 


16 


1,25 


0,000480 


2 


— 11,35 


— 0,000022 


17 


1,55 


0,000568 


3 


— 10,65 


— 0,000098 


18 


2,75 


0,000706 


4 


— 10,15 


— 0,000077 


19 


3,35 


0,000841 


5 


— 7,05 


— 0,000115 


20 


4,05 


0,000927 


6 


— 6,65 


— 0,000134 


21 


5,15 


0,001057 


7 


— 6,15 


— 0,000094 


22 


6,35 


0,001256 


8 


— 5,95 


— 0,000101 


23 


6,35 


0,001298 


9 


— 5,05 


— 0,000047 


24 


6,95 


0,001419 


10 


— 3,75 


— 0,000006 


25 


7,55 


0,001496 


11 


~ 3,65 


0,000007 


26 


8,95 


0,001805 


12 


— 3,15 


0,000081 


27 


9,55 


0,001989 


13 


— 1,05 


0,000215 


28 


9,95 


0,002043 


14 


— 0,35 


0,000317 


29 


11,75 


0,002421 


15 


0,45 


0,000352 


30 


12,25 


0,002618 



on prendra 



Comme dans cette table les valeurs limites de z sont 

^, = -12,25, ^30=12,25, 

A= 12,25, 



— 462 — 

et pour cette valeur de h on aura, d'après la formule (27), ce développe- 
ment de la fonction f{z)\ 



(29) 



f(') = ^i 



12,25 

fiz)d2 

—12,25 



.J— 12 



[z) dz ■ 

,25 



- p— 6,125 

f{z)dz 

. J — 12,25 
—8,662 

f{z)dz- 

-12,25 



p6,125 

-J mdz- 



pl2,25 

- f{z)dz 
Jo 

■12,25 

f{z)dz 

'6,125 



150,06 



1838,26 



pO p8,662 

-\f(z)dz-^\az)dz 

J— 8.662 ^0 



/•12,25 



i,662 



4^3-300,13 2 



§ 40. Pour évaluer les expressions 



pl2,25 

f{z)d^ 

— 12,25 



f mdz- 

J -12,25 



J '12,25 
mdz, 




p— 6,125 p6,125 

nz)dz-\ f{z)dz- 

J— 12,25 J— 6 



-6,125 



■I 



12,25 

f{z)dz, 

6,125 



-8,662 

f{z)dz- 





f{z)dz- 

—8,662 



p8,662 



pl2,25 

J8,( 



^8,662 



on cherchera préalablement les valeurs de M^ , 31^,.... M^o d'après les formules 

M, = iz, — z,)f{z,), M,= {z, — z,)f{z,), M, = {z,--z,)f{z,\ 

-^29 = (^30— -2^28) fM, -^30=- (^30 — ^29) A%)- 

L'on obtient ainsi 



M^ =- 
M, =- 



-0,000000, 
-0,000035, 
-0,000118, 
-0,000277, 
-0,000402, 
-0,000122, 
-0,000066, 
-0,000111, 
-0,000103, 
-0,000008, 



^.3 = 
il^.n = 



0,000004, 
0,000210, 
0,000602, 
0,000475, 
0,000563, 
0,000528, 
0,000852, 
0,001271, 
0,001093, 
0,001668, 



^23 = 

^28 = 
^29 = 



0,002431, 
0,001507, 
0,000779, 
0,001703, 
0,002992, 
0.003610, 
0,001989, 
0,004495, 
0,005568, 
0,001309. 



— 463 — 

Ces valeurs étant déterminées, l'évaluation des expressions précédentes 
au moyen de la formule (28) devient très expéditive. 
Pour trouver l'intégrale 

pi 2,25 

f(z)dz, 

J— 12,25 

on prendra dans la formule (28) 

i=30, v = 0, 0, = — 12,25, £;.= 12,25, 
et par là on aura 



^12,25 



f{z) dz = \ (71f,-4- M,^ .... -I- J/30), 

12,25 



d'oii, en vertu des valeurs trouvées de M^^ M^,. . . .M^^, il résulte 



I 



12,25 

f{3) dz = \. 0,032407 = 0,016203. 

-12,25 



Pour trouver la valeur de l'expression 

pO pi 2,25 

f{z)dz- f{z)dz, 

J— 12,25 ^0 

on fera dans la formule (28) 

i=30, v=l, ^j = — 12,25, ^r.= 12,25, t)i=0, 
ce qui nous donne 



pO pl2,25 

\fiz)dz-\f{z)dz^lM, 

J— 12,25 Jo 



-.M,^...^M,-M,^,-...-M^)- -VH-yX^-^l..-..) ^ 



oiî, suivant notre notation, ^,-, ^,.^1 désignent la couple des valeurs de z^ 
les plus proches de O. — Comme dans la colonne des valeurs de z^ (§ 39) 
celles les plus proches de O sont 

^,, = — 0,35, % = 0,45, 
et que, d'après la table des valeurs de ifj, M^, . . . .M^^, 

M,-^M^-t- -4- Jfi, = 0,000049, 

M,,-^M,,-\- -I- 7)^30 = 0,032358, 



— 464 — 
la formule précédoute se réduit à celle-ci: 

f/-(.)d.-fS<i^ = i(0,O00O49-O,O32358)-!i^5i«=œ|p=12). 

J— 12,25 Jo ^ -> j 

D'où, en ayant égard aux valeurs de 

f{— 0,35) = 0,000317, f (0,45) = 0,000352, 
on obtient 

pO pi 2,25 

\rr\j \^/\^ l/Annaa^a aaooo-o\ 0,452.0,000317-0,352.0,000352 

f(z)d2- f{z)dz= 2 (0,000049—0,032308)— ^ 045-^035 

J— 12,25 Jo ' ' 

= — 0,016180. 

En posant dans la formule (28) 

é = 30, v = 2, ^, = — 12,25, ^.= 12,25, 
^^=:_6,125, ir), = 6,125, 

on a, pour la détermination de la valeur de 

-6,125 y-6,125 pl2,25 

f{z)dz— f{z)dz-i- I f{z)dz, 



-12,25 ^—6,125 J 6,125 

r6,i25 ri2,25 rM,-^M,-*-....-^Mi^ — M^.^, -....- 



1 — 6,125 r6,125 pl2,25 

f{z)dz—\ f{z)dz-^ mdz=l 

J— 12,25 J— 6,125 J6,125 



(^.-H-l-t-6, 1 25)2 / {2i') - {zi'+G, 125)^f{2i'+i) 

Zi'+l — Zi' 

^ (g."+i-6, 1 2bmzi")-{si"-Q,,\2hff{zi' '+1) 

Zi"^\ — Zi" ' 



désignent les couples des valeurs de z^ qui sont respectivement les plus 
proches des quantités 

— 6,125, 6,125. 

Comme dans la suite des valeurs de z^ les termes le plus proches de 

— 6,125, 6,125 
sont 

^7 = — 6,15, ^8= — 5,95, 
%=5,15, ^22=6j35, 



— 465 — 
cette formule nous donne 

-6,125 /»6,125 pl2,25 



p— 6,125 p6,125 pl2,2ô 

f{z)dz- f{z)dz^ md0^ l [M,-^M,-^...-^M,-Ms-...-M,,-^M,,-....-*-M,o] 

-^-12,25 J— 6,125 J 6,125 



(gg H- 6,125)V(£r,) - {z, H- 6,125)V(^8) 

^8 — ^1 
{z^^ - 6,l25rfM - (^ai - 6,125)2/(02,) 



et par là, en substituant les valeurs de 

^1, ^8, %» ^22) /"W, fW, fM^ /"W» 

on obtient 

I — 6,125 p6,125 pl2,25 

f{z)d0-^\ f{z)dz-\- /•(^)rf^ = ^0,013457H-0,000014 — 0,000951 

J— 12,25 J— 6,125 J 6,125 

= 0,005791. 
En cherchant de la même manière la valeur de 

p— 8,662 pO ^8,662 pl2,25 

f{z)dz— f(z)dz-^ f{z)dz— f{z)dz, 

J— 12,25 J— 8,662 Jo J 8,662 

on prendra dans la formule (28) 

e= 30, -?i = — 12,25, ^,.= 12,25, 
v=3, Y), = — 8,662, T)2 = 0, 7)3 = 8,662, 
/=4, i"=14, *'"=25, 

en vertu de quoi elle devient 



p— 8,662 pO p8,662 p 12,25 

f\z)dz-- f{z)dz-^ f{z)dz- f{z)dz^\ 

J— 12,25 J— 8,662 Jo ^8,662 



(jTs -4- 8,662)V(04) - (^4 -f- 8,662)2/(gt) 
(^^26-8,662)V(.g25)-(02S-8>662)«/(g2g) ^ 



— 466 — 
D'où, par la substitution des valeurs de 

fihl fi^sl fK\ f\^^^\ fM, fi^2e\ 
M,, Jfg, itfao, 

^4j -2^5, ^j4, ^15, ^25> ^26? 



on tire 



p— 8,662 rO r 8,662 pl2,25 

f{z)dz— f{z)d2-+- f{z)dz— f{z)dz = 0,0Q02m. 

J— 12,25 J— 8,662 Jo ^8,662 

D'après cela on trouve par la formule (29) ce développement de la 
fonction cherchée: 

/./ X 0,016203 0,016180 0,005791 /^ " iaa a^n 0,000268,. g oaa io \ 

«^)^ ^^4;^ -" i5ô;ô^ ^ -" -ï838;26 (2^"-^ 00'^^)- -i^ 

qui donne son expression sous la forme d'un polynôme de degré plus ou 
moins élevé, suivant le nombre de termes qu'on conserve dans cette série. 
Ainsi, en s'arrêtant au quatrième terme, on trouve, pour son expression 
sous la forme d'un polynôme du troisième degré, cette formule: 

0,016203 0,016180 0,005791 .^2 iQnnil 0,000268 ., 3 ^^^ ^^. 

24,5 ^ 150,06 ^^ 1838,26 ^"^^ lUU,U4j— 22519 i^^ ôUU,l^^j 

= 0,0003463 -t- 0,0001 1139^-*- 0,00000630^^ _ o,0000000475^^ 

ce qui ne diffère de l'expression, obtenue dans la section V, que par des 
quantités tout-à-fait négligeables. 



— 467 



TABLE 

des solutions de Téquation 

pi f^2 ni f'» 

F{x)dx— F{x)dx-^ F{x)dx — -^(-i)M F{x)dx = sAi 

qui correspondent à la plus grande valeur du facteur s, F{x) représentant 
le polynôme Âq-\-A^x~¥-. . . .-n^^a;". 



w = 0. 



^ = 0. 


v = 0. 
s = 2h. 



n=\. 



1 = 0. 


v = 0. 
s = 2h. 


1 = 1. 


v=l. 

s = — ¥. 



n = 2. 





v=2. 


1 = 0. 


T)j = — 0,79370 /i, 7)2 = 0,79370 /^. 




s = — 1,17480^. 




v=l. 


1=1. 


71, = 0. 




s = — h\ 




v = 2. 


1=2. 


'/l^ = — 0,6h, 7)2 = 0,5 A. 




s = 0,5 Zil 



468 — 



w=3. 



v = 2. 

\ = — 0,79370h, 7J2 = 0,79370à 
s = — l,174:S0h. 



1=1. 



v=3. 

\ = ~ 0,84090/i, 7)2 = 0, YJ3= 0,84090/i. 
s = 0,4142Ul 



^ = 2. 



v = 2. 



1=3. 



v = 3. 

7], = — 0,7071 1/ï, 7].3=:0, 7)3= 0,7071 U. 

s = — 0,2ôh\ 



w = 4. 



/ = 0. 



v = 4. 

7) = -0,89725/î, 7)2--0,60587/î, 7)3=0,60587/^, 7),= 0,89725 /i. 

s = 0,83446/i. 



v = 3. 

7)j= — 0,84090/î, 7)2=0, 7)3=0,84090^. 
s=0,4142Ul 



/ = 2, 



v = 4. 

7)^= -0,87305 A, 7)2--0,37305/i, 7)3-0,37305/^, 7),- 0,87305/^. 

s = — 0,15139/^1 



?=3. 



v = 3. 

7)j= — 0,7071U, 7)2=0, y]3=0,707lU. 

s = — 0,25/i*. 



/ = 4. 



v = 4. 

7),--0,80902;^,7)2-~0,30902/^, 7)3=0,30902/^,7)4=0,80902^. 

s=0,126h\ 



- 469 - 
w = 5. 



1 = 0. 



v = 4. 



T)^= — 0,89725A, 7)2= — 0,60587/^, 7)3= 0,60587/î, t),=:0,89725/î. 
s = 0,SSU6h. 



1 = 1. 



v = 5. 

Y)^= — 0,91682^,Y]2= — 0,67418/^,Yl3=0, 7)^=0, 67418^,yi5=0,91682A. 

s = — 0,22772^2. 



1 = 2. 



V=:4. 

7)i= — 0,87305/î, Y)2= — 0,37305/^, Yl3= 0,37305 /?, ï)^= 0,87305/^. 
s = — 0,15139/il 



/ = 3. 



v = 5. 

Y)^=-0,89945/î,Ti2= — 0,55589^,7)3=0, 7)^=0,55589/?, 7)5=0, 89945/i. 

s = 0,0590U*. 



1 = 4:. 



v = 4. 

7)^= — 0,80902/î, 7)3= — 0,30902 /?, 7)3= 0,30902/?, 7),= 0,80902/?. 

s = 0,125/?^ 



^ = 5. 



Y)^=_ 0,86602^, 7)2= — 0,5/?, 7)3=0, 7),= 0,5/1, 7)5=0,86602/?. 
s = — 0,0625/?^ 



i8. 
SÏÏR L'INTERPOLATION 



PAR LA MSTHODB 



BUS MOÏHBMS GIKRÉS. 



(Mémoires de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. YIP série. 
T. I, 1869, .^^2 16, p. 1—24.) 



(Lu Je 29 avril 1859.) 



Sur l'interpolation par la méthode des moindres 
carrés. 

Dans le Mémoire Sur les fractions continues j'ai donné la série qui 
présente le résultat définitif de l'interpolation parabolique par la méthode 
des moindres carrés. Comme cette série fournit directement l'expression de 
la fonction interpolée sous la forme d'un polynôme avec les coefficients les 
plus probables, et sans qu'on fixe d'avance le nombre de ses termes, on con- 
çoit que, sous le rapport théorique, elle ne laisse rien à désirer pour l'in- 
terpolation parabolique. Mais pour rendre son usage tout-à-fait praticable, 
il restait à indiquer la marche commode à suivre dans l'évaluation de ses 
termes. C'est ce que nous avons fait pour le cas le plus simple oii les va- 
leurs de la variable, correspondantes aux valeurs connues de la fonction 
interpolée, sont équidistantes. En traitant ce cas particulier dans la note 
Sur une nouvelle formule, nous avons indiqué une réduction de notre série 
à la formule que voici, très propre à l'application: 

^n(«2-l2)(n2-22)^ 1.2 1.2 ^^i'92K^) 

. 7 'V t(^-^l)(t^+2)(n-^)(n-^-l)(n-t•-2) 3 ,. 

"*" n(n2-12)(n2-22)(n2-32)^ 1.2.3 1.2.3 ^ '^i' rs\^^ 

-♦-etc., 

en désignant par 

Mj, u^, Wg,. . . .î*^ 

les valeurs données de u qui correspondent aux valeurs équidistantes de x 

x = x^, x^, x^, x^, 



_ 474 — 
et en faisant, pour abréger, 



«2 — ^i 

Dans cette série les signes de sommation s'étendent à toutes les va- 
leurs de i, depuis i = l, jusqu'à i = n, et 

?oW> 9iW» 92 W» 98 W» 

sont des fonctions entières de qu'on tire de la formule 

.// n-l\/ n-3\ / n-2l-hl\l n+l\ / n-f-3\ / n+2l-l\ 

en adoptant pour l les valeurs 

0, 1, 2, 3,.... 
Comme ces fonctions sont liées entre elles par l'équation 
9,(^) = 2 {21- 1) ^9,_,(^) - (/- 1)^ [n'-il - If] 9,_,W, 
et que 

on trouve sur le champ 
<^^{,) = l2z'-in'-l), 
93(-?)=120^— 6(3w2 — 7)^, 

<p^(^) = 1680^*— 120 (3 w^ - 13) ;?2 _^ 9 {n^— 1) (w^ — 9), 
<p,(^) = 3O24O0^ — 8400 (w2— 7) -s« -1-30(15 w*— 230^2-4-407)^, 

Ce développement de u qui résulte de notre série, tant que les valeurs 
%, rcg, ajg, x^ 

sont équidistantes, est très commode pour l'évaluation de l'expression de m, 
vu que ses termes, comme ceux de la formule d'interpolation de Newton, 
contiennent les différences 

Am., a\, ax,...., 



— 475 — 

dont les ordres vont en croissant, et que ces différences, sous les signes < 
sommation, ne sont accompagnées que des facteurs 



» n — » 

1 ' 1 ' 


.i)(n 




1) 


-l)(n- 






1.2 ' 

i(i_el){i-H2) 


1. 

(n 


2 

-t)(n 


> 
— t 


-2) 


1.2.3 ' 






1, 


,2.3 




> 



qui d'après la propriété connue des nombres polygonaux, s'évaluent aisé- 
ment par seule voie d'addition. Et comme cette série nous fournit l'expres- 
sion de u avec les coefficients les plus probables, on conçoit qu'elle ne laisse 
rien à désirer pour l'interpolation dans le cas particulier où les valeurs de 
la variable qui correspondent aux valeurs connues de la fonction sont équi- 
distantes. 

Mais ce n'est pas le seul parti qu'on puisse tirer de notre série pour 
l'application; son usage est aussi très utile dans tous les autres cas d'inter- 
polation parabolique, comme nous allons le montrer à présent, en indiquant 
la marche qui conduit aisément à la détermination successive de ses termes. 
On verra, d'après cela, que notre série procure un moyen très propre pour 
évaluer, terme par terme, l'expression de la fonction interpolée w, et qu'elle 
donne, en même temps, la somme des carrés des différences entre ses va- 
leurs connues 



et celles qui résultent de l'ensemble des termes trouvés pour son expression. 
D'après quoi on aura, sur le champ, l'erreur moyenne avec laquelle les ter- 
mes trouvés de u représentent ses valeurs données, et par là on reconnaîtra 
tout de suite celui auquel on peut s'arrêter. Ainsi, au moyen de notre série 
on trouvera tout à la fois et le nombre de termes de u qui sont importants 
pour l'interpolation et leurs coefficients déterminés par la méthode des 
moindres carrés. Pour faire comprendre la supériorité de cette méthode 
d'interpolation sur celles dont on se sert ordinairement, remarquons qu'elle 
donnera précisément, en général plus aisément, les mêmes résultats, que 
ceux que l'on trouve par la résolution des équations fournies par la méthode 
des moindres carrés qui suppose que le nombre des termes dans l'expres- 
sion de u soit fixé d'avance. D'autre part, en déterminant et le nombre de 
termes de u que l'on doit calculer et leurs valeurs prescrites par la mé- 
thode des moindres carrés, elle sera, si ce n'est dans certains cas exception- 



— 476 — 

nels, plus expéditive que la méthode d'interpolation de Cauchy qui est 
loin de donner les résultats les plus probables découlant de la méthode des 
moindres carrés. 

§1. 

D'après ce que nous avons montré dans le Mémoire cité plus haut, si 
les valeurs données de la fonction u 

U^, Mg, ^3, M„ 

qui correspondent à 

sont affectées d'erreurs de la même nature, et que l'on cherche son expres- 
sion, par la méthode des moindres carrés, sous la forme d'un polynôme de 
degré quelconque, on aura'^) 



sont des coefficients constants, et 

les dénominateurs des réduites de la somme 



X7 1 1 1 1 
> _ = — — 1 — — 1 — — 1- . . . . -f- 

qu'on trouve par son développement en fraction continue 



Dans cette fraction les constantes 

peuvent être choisies arbitrairement. Pour fixer les idées, nous supposerons 



*) Nous n'emprunterons de notre Mémoire antérieur que la forme de cette série; mais 
tout ce qui est important pour son application sera donné dans ce qui suit. 



— 477 — 

qu'elles sont choisies de manière à ce que les coefficients de x dans les 
quotients 

2l, ^2) ^3. 

soient égaux à 1, et nous désignerons par 

«j , «2 , «3 , . . . . 
les valeurs de 

ûtj, a2, ag,. . . . 

qui remplissent cette condition. D'après cela, et en remarquant que les dé- 
nominateurs 

2l, Î2, ^3, 

seront des fonctions du premier degré, on aura, pour la détermination des 
fonctions 

ce développement de 

j^^ X — Xi 

en fraction continue: 



^ 1 ai 

.^ x — Xi x — hi- 



D'où l'on tire, pour l'évaluation de ses réduites 

%{x)^ ^lixy ^^{xy ^xixy ' 

les formules suivantes: 

(^H +2 (a;)=(a;-&2) 4^^ (x) — a^ ^^ (x), cp^ {x)={x-\) op, (x) — a^ opo {x\ 
•K (^)=(^-^.) +x_i (^)-«x ^x-2 (^)' ?x (^)=(^-\^ ?x-. (^)-«x Tx-2 W' 



— 478 — 



et par là, en faisant 



(2) 






on obtient, relativement aux fonctions 

Rq, j?i, R^,....R^, 
cette suite d'équations: 



(3) 



B^={x — \)B,^ — a^B^, 



R^ = {x — h^) \_^ — a^B^_^. 



C'est au moyen de ces formules que nous parviendrons à déterminer 
toutes les quantités qui sont importantes pour l'évaluation des termes de 
notre série. 



n. 



Comme les réduites 



<Po(g) < Pi(g) 92 (a;) <PpL(a;) y|jL-t-i (a?) 

'l'ol^)' 4*1(0;)' ^2(0;)» 4'(,(a;)' v^TI^' 



de la fraction continue 



«1 

X — 5, 



«2 
a; — bj — . 



qui résulte du développement de 






— 479 — 
ont pour dénominateurs les fonctions 

respectivement des degrés 

0, 1, 2, [1., it-+-l, , 



la fraction 






représentera la valeur de 

^^ X — Xi 

exactement jusqu'à ^, et, par conséquent, la différence 

sera de degré inférieur à — 2 jjl. Mais la fonction 4» (x) étant du degré [x, 
cela suppose que l'expression 

est d'un degré inférieur à — [x, et de là on conclura que son développement 
ne peut contenir les termes avec des puissances de % supérieures à x~^~^ . 
Donc, on aura 

j> (^t*) _. (m-, |i -*- 1) (tx, [x-*-2) 

en désignant par 

(l*-, rt, (^ l^-<-l), (l»-, H--*- 2), 

les coefficients de 

1 1 1 

ajfi-t-n a;(*-+-2» a;t*-i-3 > • • • • 

dans le développement de R . 

D'après cela, en adoptant pour l'indice p, les valeurs 

0, 1, 2,....X — 2, X— 1, X, 



480 



ou trouve pour les fouctions 

^oj ^n -^25 ^-15 "^X-2' ^X 

les développements suivants: 

' -R _(o,o)_^(o,i)_^M_^ 



(4) 






R, 



x'^ X* X^ 



j. (X — 2, X - 2) (X — 2, X — 1) (X — 2, X) 

^X-2— ^X-1 ■*" a;X "^ a^--! 

„ (X— 1, X — 1) (X — 1, X) (X— 1, X-^1) 



^ _ (X,X) ^ (X, X+1) ^ (X, X-«-2) 
X x^-*-i a;X-*-2 a;''^-^^ 



(0,0), (0,1), (0,2),...., 
(1,1), (1,2), (1,3),...., 
(2,2), (2,3), (2,4),...., 

(X_2,X — 2), (X — 2,X-1), (X— 2,X),.... 
(X_i,X-l), (X— 1,X), (X— 1,Xh-1),.... 
(X,X), (X,X-f-l), (X,X-4-2), 



sont des valeurs constantes qui se présentent comme quantités auxiliaires. 



§ m. 

En portant dans les formules (3) les développements de 



— 481* — 
d'après (4), on obtiendra cette suite de formules: 

y 1 ^(0,0) ^ (0,1) ^ (0,2) ^ 

ji—i X — X.- X a;2 a;3 • • • • j 



x^ x"^ X* 



•=(-^)[^'-^'-^'-••••] 



—«1, 



(2,2) (2,3) (2,4) 

X^ X* X^ 



~^''' ^^^^ [_ X^ ^ X' x^ ^ • ' ' • J 

2 L a; ic2 ;C3 J' 

(X,X) (X,X-i-l) (X,X-i-2) . _. p (x-l,X-l) , (X-1,X) . (X-1,X+1) . -] 

a;À-+-i a;À-f-2 a;ÀH-n ^ A^L ^l ^X-Hi xK-t-2 J 

r (X-2,X-2) ^ (X-2,X-1) ^ (X-2,X) ^ ~\ 
^ L a;^— 1 x^ x^-*-^ ""j 

La première de ces formules, d'après le développement de 

j^ X — Xi 



en série 



nous donne 



X a;2 x^ 



^ _t_ ^t . 2^1^ . _ (0,0) (0,1) (0,2) 

D'où il suit 

(0,0) = ^xf, (0,1) = 2^., (0,2) = 2x,', .... 

. Par la seconde on obtient, en égalant entre eux les coefficients des 
mêmes puissances de x, 

= (0,0) — a,, = (0,1) — &,(0,0), (1,1) = (0,2) — &,(0,1), 
(1,2) = (0,3) -6, (0,2), (1,3) = (0,4) — &,(0,3), , 

ce qui nous donne 

a, = (0,0), b, = M 
(l,l)=(0,2)-fe,(0,l), (l,2)=(0,3)-&,(0,2), (l,3) = (0,4)-&,(0,3),. . . . 

31 



— 482 — 

En traitant de la même manière toutes les autres formules on recon- 
naîtra qu'en général, dans le cas de X> 1, les quantités a^ et h^ se déter- 
minent ainsi: 

_ (X-1, ;-l) , _ (X-1,X) (X-2,X-1) 

"à (X — 2, X — 2)' X (X— 1, X— 1) (X— 2, X — 2)' 

et que toutes les quantités 

(X, X), (X, X-1-1), (X, X-+-2), , 

en fonction de 

(X_2, X— 2), (X-2, X-1), (X — 2,X)...., 
(X_i, X— 1), (X— 1,X), (X— l,X-f-l),...., 

se trouvent par cette formule : 

(X, ii.) = (X— 1, ii-i-l) — &x(X— 1, H-) — «x(^— 2, ix). 

On trouvera ainsi successivement les quantités 



«I. 


h, 


«3, 


h, 


«3, 


K 



et avec ces quantités, d'après (1), on obtiendra aisément les fonctions 

+oW) i'ii^l +2(^X — 

qui entrent dans la composition des termes de notre série. 

§IV. 

En passant à la détermination des coefficients de notre série, nous 
montrerons qu'eu vertu des formules (2) et (4) ou aura 



(5) 


zxr^,(x,)==o, 


si |ji < >,, et 




(6) 


2xl<^^(x,) = (k,i.), 


si (A = ou > X. 





— 483 — 
Pour y parvenir, remarquons que d'après (2) 

et comme le reste de la division de ^^{x) par x — x^ est égal à ^^{x.), 
cette formule se réduit à celle-ci: 

où F{x, x^) est une fonction entière qu'on trouve en quotient dans la divi- 
sion de ^^ (x) par x — x^. Or si l'on décompose la somme 

en deux parties 

yF{x,xX y+àiîi), 

et que l'on développe, dans la somme 

X — Xi^ 

la fraction 











1 








X 


-Xi 


1 

X 


-+- 


Xi 


-+- 


Xi^ 



cette formule nous donnera 

ce qui suppose, d'après (5), l'identité de ces deux suites: 

(X, X) ^ (X,X-4-l) ^ (X,X-h2) ^ 
/çX-t-i a;^-*-2 a^"*"3 • • • • 

Mais comme 

sont des fonctions entières, cela ne peut avoir lieu à moins que les termes 
avec les dénominateurs 

X, x^, x\..,.x^, x^-^\ x^-^\,..., 



— 484 — 
dans CCS deux suites, ne soient respectivement égaux. Donc 

2 4;^ (X.) = 0, 2x. '\>^^ (X.) = 0,2 X.^ t];- (X.) = 0, ^ x}'' ^^^ {x^) = 0, 

2 x} ^^ {x^ = (X, X), 2 x}-^' ^, (a:,) = (X, X -f- 1 ),.... , 

ce qui prouve les équations (5) et (6). 

D'après cela il est aisé de déterminer les coefficients 

de la série 

Pour cela multiplions la série par x^^ où ^ est un nombre quelconque, et 
sommons ses termes pour toutes les valeurs de 

Nous obtiendrons ainsi 

2 x^u, =^K,^ xf^, {x^ -+- ^, 2 xf^, (:.,) -H Z, 2 xl^, {x^ -*-...., 

où par w^. nous désignons la valeur de u qui correspond à x^=x^^ et comme, 
en vertu de (5) et (6), on aura 

2 ^;'4^,.-.i (^e-) = 0,2 a; .^^^_^, {x^ = 0,2 o;.^ i|>^^3 (a.,) = 0, . . . . , 
il en résulte 
2rc.'^M. = (0,[x) Z,-4-(l,fx) Z, -*-...,-+-(!/.— l,fx) Z^_,-i-(fx,fA)Z^. 

D'où, pour la détermination du coefficient Z , en fonction des coefficients 
Z^, iiTj,. . . .Z _^, on tire cette formule très simple: 

En adoptant ici pour l'indice fx les valeurs 0, 1, 2, 3,. . . ., on obtient, 
pour la détermination successive des coefficients 

^(i-> ^^17 ^^25 -^3?- • • J 



— 485 
cette suite d'équations: 



-(0,0)' 

K _ ^a;,M,--(0,l)go 
^i~ (1,1) ' 

jr I Xj^Uj — (0, 2) gp — (1, 2) Kl 

^ ^ a;t%,- — (0, 3) -gp — (1, 3) gj — (2, 3) K^ 

^3"-~ (3,3) ' 



§ V. 

Il nous reste à montrer comment on parviendra d'une manière facile à 
trouver la somme des carrés des différences entre les valeurs données de u 

U^, U^, Wg, M„, 

correspondantes à 

et celles qui, pour les mêmes valeurs de x^ résultent de notre série arrêtée 
au terme K^ '\^ [x]^ X étant un nombre quelconque. 
Pour y parvenir, nous allons montrer qu'on aura 

(7) 2 4^^(^,)+v(^,-) = 0, 
tant que v < pi, et 

(8) ^^^{x^^^{x^ = {^,^\ 

dans le cas de ^jl = v. 

En effet, d'après (1), la fonction <]>^(ic) sera de la forme 

x" -H A^x'~^ -+- A^x^~'^ -*-.,.., 
et par conséquent on aura 

Mais en vertu de (5), dans le cas de v < p., toutes les sommes 



— 486 — 
se réduisent à zéro, et par là, d'après la formule précédente, on trouvera 

ce qui prouve l'équation (7). 
De même, dans le cas de 

on trouve, d'après (5) et (6), que la somme 
est égale à ([x, jx), et que les sommes 

2^;-'i(^.-), 2^n%(^i) 

s'annulent. En vertu de quoi, pour [j^ = v, la formule (9) nous donne l'équa- 
tion (8) 

Au moyen des équations (7) et (8), que nous venons de prouver, il est 
aisé de montrer qu'on aura toujours 

(10) 2u,'^^{x,) = (i^,v)K^. 

Pour s'en assurer, observons que notre série 

u = K.^oi^) -*- K, ^1 (x) -t- Zg^aC^) -+- 5 

prolongée jusqu'au dernier terme, représente exactement toutes les valeurs 
données de u 

et par là on aura 

2u, ^^ (x;) = K, ^, (a; .) -1^ (^.) -4- K, ^, {x^) ^^ {x,) -.- K, ^, (a; .) ']^^ {x.) -»--.... 

Mais d'après (7) les sommes . 

s'annulent, et d'après (8) on trouve 



— 487 — 
Donc le développement précédent de I,u^'\>{x.) se réduira à un terme 

ce qui nous donne l'équation (10). 

En vertu des équations démontrées, il est aisé de trouver la somme 

2 K - K, ^„ (x,) - K, 41, (a;,) _...._ ff^ 4,^ {x,)J, 
où 

pour * = 1, 2, 3, n, désigne les valeurs données de u 

^1, î*2» Wg, w„, 

et l'expression 

leurs valeurs approchées, obtenues par notre série, arrêtée au terme K^ <\>^ (x). 
Pour cela mettons le carré 

h - K, i;. (^,) - K, t (x,) - K, t, (a;,) _....- £-^ 4,, (a,)]2 
sous la forme 

H-K,^,ix,)[KMx,)^K,^,{x,)H-K,'\,,{x,)-^ .... -Hff,ix(^<)] 
-^K,^,{x,)[l<,U<',)-^K,i,,{x,)-^-KMx,)H- .... -i-K^i,{^,)] 

-f- 

-^K^<^^{x,)[K,^,ix,)-^K,^,ix,)+K,'h{x,)H~ .... --K^'^^ix,)], 
ce qui nous donne 

-t- 



— 488 — 
Mais d'après (10) nous aurous 

et d'après (8) et (9) 

^'U^,yU^,) = {0,i)), 2'],,{x,^,{x,) = {l,l), 2'|,(rr.)'^;,(a;,) = (2,2), . . . ., 

^'^A^i)i'oi^i) = 0, 2^,ix,)^,{x,) = 0, , 

^U^iV^d^i) = 0, 2'\>,{x,)^,{x,) = 0, , 

^'hi^i)U^,) = 0, 2^,ix,)'\^,{x,) = 0, ., 

En vertu de quoi la formule précédente devient 

^[u—KoU^,)-K,^,{x,)-K,^,{x,)- _^^4,,(^.)]2 

= :Eu.^—2{0,0)Ko''—2il,l)E^^ — 2{2,2)K^'— .... — 2(X,X)^.2 
-H(0,0)Zo^ + (l,l)Z/-+-(2,2)^,^-t- -^-(>,X)Z^^ 

et se réduit à celle-ci: 

2[u,- K,^,{x,)- K,^^(x,)-K,^,{x,)- -K^^^^(^,)Y 

=:2w/-(0,0)Zo^-(l,l)Z,2-(2,2)Z,^- .... -{l^)K^'. 

Telle est la formule donnant la somme des carrés des différences qui exi- 
stent entre les valeurs données de u et leurs représentations par la série 

u = Ko^,{x)-ï- K,^^{x)-+- K^^^ix) -+- , 

arrêtée au terme K^ '\/^ {x). En désignant, pour abréger, cette somme par 

nous aurons 

2d^':=:^u,^-{0,0)K,'-{l,l)K,'-i2,2)K,'- .... -(X,X)Zj^^. 
D'oii, pour la détermination successive des sommes 



— 489 — 

qui correspondent respectivement aux cas où notre série est arrêtée aux 
termes 1, 2, 3,. . . ., résulte cette suite d'équations: 

2^o' = 2V— (o,o)li:o^ 



§ vi. 

Nous allons maintenant résumer les formules définitives par lesquelles 
on parviendra à calculer, terme par terme, l'expression de u d'après la 
série 

et on connaîtra, en même temps, la somme des carrés des erreurs commises 
dans la représentation des valeurs données de u, en s'arrêtant aux termes 

1, 2, 3, X. 

Dans ces formules, suivant la notation employée, les valeurs données 
de la fonction u et de la variable x sont représentées par 

^1? ^25 ^3? • • • -^^n' 



Les sommations s'étendent à toutes les valeurs de l'indice i, depuis 
i=l, jusqu'à i = n, et I,d^^ désigne la somme des carrés des erreurs 
dans la représentation des valeurs données de u par notre série, arrêtée au 
terme Ky^ t];^ (x), somme d'après laquelle on trouvera l'erreur moyenne par 
la formule 



E 



-V^l^ 



Formules relatives à la détermination du terme Kq^q(x). 
(0,0) = 2^/ = n, 
K =^ 

^0 — (0,0)' 

+o(^)=l, 

2d^^ = :^u.^ — {0,0)K^\ 



— 490 — 

Formules relatives à la détermination du terme K^ ^^ (x). 

(0,1) = 2a;., (0,2) = 2a:/, 

a^ = (0,0) 

&,=M (1,1) = (0,2)-6,(0,1), 

^ _ i:xiUi- {0,1) Ko 

^1 — (1,1) » 

^d,' = Zd,'-il,l)K,\ 

Formules relatives à la détermination du terme K^ 'l^^ {x). 

iO,d) = 2x,\ (0,4) = 2a;,S 

(l,2) = (0,3)-6,(0,2), (1,3) = (0,4) -6, (0,3), 

a -M 

"2 — (0,0)' 

^=m-m (2,2) = (l,3)-&,(l,2)-a,(0,2), 

^ s Xj^Uj — (0,2) Kq — (1,2) Kl 

^2 (^) ={^ — \) ^, (^) — «2 ^^0 (^), 

2c^/ = 2(^i2_(2^2)J5:/. 



Formules relatives à la détermination du terme K^'\)^{x). 
(0,2X — 1) = 2xf-\ (0,2X) = ^x;\ 

(1,2X — 2) = (0,2a— 1) — 6, (0,2X~2), (1,2X— 1) = (0,2X) — &i (0,2X— 1), 
(2,2X-3)=(l,2X-2)-&2(l,2X-3)-a2(0,2X-3), (2,2X-2Hl,2X-l)-&2(l,2X-2)-a2(0,2X- 2), 
(3,2X-4)=(2,2X-3)-&3(2,2X-4)-fl3(l,2X-4), (3,2X-3)=(2,2X-2)-63(2,2X-3)-a3(l,2X-3), 



— 491 — 

(X— l,X)=(X~2,X-4-l) — 6^_^(X— 2,X) _a^_^(X— 3,X), 
(X_l,X-f-l) = (X— 2,X-+-2) — 6^_,(X— 2,X-t-l) — ax_i(^— 3,X-Hl), 

(X — 1, X-l) 

«X— (X — 2, X-2)> 

^ _ ^Xi>^ Ui - (0,X) ^0 - (1,X) -gi - (2,X).g2 — . . . .- (X - 1,X) gx-i 

^x— (X;X) ' 

+x (^) = (^ — ^) ^x-i (^) — «X ^X-2 W' 

§ VIL 

Les formules que nous venons de donner pour déterminer successive- 
ment les termes 

KM^), K,i,,{x), K,^M- ■ ■ ■ «x^ii^) 

dans le développement de u d'après notre série, et pour évaluer, en même 
temps, la somme des carrés des erreurs avec lesquelles les termes trouvés 
de u représentent toutes ses valeurs données, nous fournissent une méthode 
d'interpolation parabolique, importante sous plus d'un rapport. En vertu de 
la propriété remarquable de notre série, cette méthode donne l'expression 
de u sous forme d'un polynôme avec les coefficients les plus probables. 
Sans fixer d'avance le nombre de ses termes, par cette méthode, on les 
trouvera successivement l'un après l'autre, et on reconnaîtra tout de suite 
celui auquel on peut s'arrêter d'après la somme des carrés des erreurs avec 
lesquelles les termes trouvés de îc représentent ses valeurs données, somme 
qui donne sur le champ l'erreur moyenne de leur représentation. De plus, 
il est aisé de voir par la composition de nos formules que lorsque le nombre 
des valeurs données de u et celui des termes de son expression sont consi- 
dérables, dans notre méthode d'interpolation les calculs sont moins prolixes 
que dans celles maintenant en usage. 

Cette prolixité des calculs est due presque entièrement aux différentes 
multiplications et divisions dont le nombre s'accroît plus ou moins rapide- 
ment, avec ceux des valeurs données de u et des termes dans son expres- 
sion. C'est sous ce rapport que nous allons montrer l'avantage de notre mé- 
thode d'interpolation, en laissant de côté les additions et les soustractions 
qui, dans le travail de ces calculs, n'entrent que pour bien peu de chose, et 
pour lesquelles on peut aussi bien manifester l'avantage de notre méthode. 



— 492 — 

Pour trouver par nos formules l'expression de u avec X -+- 1 termes, 
on devra évaluer 3X-i- 1 sommes 

2u., 2x.u., 'Zx^u.,. . . . '2x.^îi.^ 
et au moyen de ces sommes, en cherchant les termes 

par ce que nous avons vu, et en les réduisant à la forme définitive 

A-+-Bx-^ Gx^ -+-...,, 

on n'aura à faire des multiplications ou divisions qu'en nombre 4X^-i- 2. 

Mais si l'on cherche cette expression de m, à l'ordinaire, par la mé- 
thode des moindres carrés^ on est porté à calculer les mêmes sommes 

:2.x., 2 a;. 2, 2 a;/, 2a;/\ 

2 u., 2 x^ u^ , 2 X? u. , . . . . 2 iCj.^ u. 

pour la composition des équations déterminant X -f- 1 coefficients de u, et 
en résolvant ces équations à X h- 1 inconnues, on tombe sur les multiplica- 
tions et les divisions dont le nombre, avec l'accroissement de X, croît, comme 
on le sait, bien plus rapidement que éX^-i- 2. 

D'après la méthode de Cauchy, en cherchant, dans le développement 
de u, les termes 

A-\-Bx-*-Œ''-+- -f-Frz;\ 

on doit, pour x = x^, x^, x^,... .x^, évaluer plusieurs fonctions, dont les 
degrés montent jusqu'à X, et composer par leur moyen les sommes qu'on 
nomme suhordonnées. Or cela exige, évidemment, bien plus de multiplica- 
tions qu'il n'en faut pour calculer les sommes 

2a;., 2a;^S 2,x.\ I.x;\ 

2m^., ^x.u., 2a;/M^.,.... 2x}u., 

qui se présentent dans l'évaluation de X h- 1 termes de notre série, et aussi 
pour trouver celle-ci: 

21./, 

qui entre dans la détermination des sommes 

par lesquelles,, dans notre méthode, on reconnaîtra le nombre des termes 
importants pour l'interpolation. 



— 493 ~ 

D'autre part, pour trouver les fonctions, comprises dans les sommes 
subordonnées, et pour évaluer par elles les coefficients A, B, G,. . . .H àe 
l'expression de 

u = A-+-Bx-t-Cx^-^-....-t- Hx^, 

dans la méthode de Cauchy, il est important de faire plusieurs multiplica- 
tions et divisions dont le nombre total, avec l'accroissement de X, croît plus 
rapidement que 4X^-i-X-h 3, nombre des mêmes opérations qui se présen- 
tent quand, par notre méthode, d'après les valeurs de 

:ex., ^xi, 2,x.\.... :ex.^\ 

2u., ^x.u., 2it;/w^.,. . . . ^.x^'u., 2^^/, 

on cherche l-t-l termes et on détermine successivement les sommes 

2c^„^ 2d,\ 2^/,.... 2d^\ 

Par là il est certain que, à cause du nombre de ses opérations, la méthode 
de Cauchy est loin d'être aussi simple que celle qui résulte de notre série. 
Mais comme plusieurs de ces opérations, dans la méthode de Cauchy, se 
simplifient de plus en plus à mesure que la convergence de la série 

u = A-i-Bx-t- Cx^ -*-....-+- Hx^, 

s'accroît; il n'y a aucun doute qu'on ne rencontre des cas particuliers où 
elle devient plus expéditive que la nôtre. 

§ viii. 

Pour montrer sur un exemple l'usage de notre méthode d'interpolation, 
nous allons l'appliquer à cette suite des valeurs de ic et w *): 



X, =0,15411 
x^ =0,19516 
X, =0,22143 

rr, =0,28802 


u, =19,47 
u, =21,83 
u, =23,11 
u^ =26,11 


x,^ =0,32808 


Mg =27,60 


xl =0,38183 
x^ =0,45517 


Wg =28,89 
u, =33,17 


x^ =0,57012 
x^ =0,75930 
a;^^= 0,91075 
a;,,= 1,13895 


u^ =33,38 
u, =32,31 
**,o= 31,88 
?^„ = 25,46. 



*) Ces valeurs représentent les résultats de la première série des observations de M. Ma- 
rie Davy sur la résistance au changement de conducteur qu'il donne dans son Mémoire, inti- 
tulé: EecJiercJies expérimentales sur Vélectricité voltaïque (Annales de chimie et de physique, sé- 
rie III, tome 19). — Par x nous désignons l'inverse de riutensité du courant, réduite à sa cen- 
tième partie, et par ti la résistance. 



— 494 — 
En cherchant h exi}rimer u par un seul terme 



on prendra 








(0,0) = 2a;.«=ll, u^ = 


19,47 




u^ = 


21,83 




u, = 


23,11 




u, = 


26,11 




u, = 


27,60 




u,= 


28,89 




u, = 


33,17 




u,= 


33,38 




u,= 


32,31 




Wio = 


31,88 




%= 


25,46 




2u,= 


303,21 




^'==m = 


27,564 



ce qui donne, exactement jusqu'à 0,001, 

^o^oW = 27,564. 

Pour trouver la somme des carrés des erreurs avec lesquelles le terme 
trouvé représente les valeurs données, on fera les calculs suivants: 

w/ ^ 379,08 
w/ = 476,55 
Mg^ = 534,07 
V= 681,73 
u^^ = 761,76 
Wg2 ^ 834,63 
m/ =1100,25 
V =1114,22 
< = 1043,94 
Wio'= 1016,33 
V= 648,21 



2m.2= 8590,77 
- (0,0) Zo' = — 8357,84 



— 495 — 
ce qui donne pour l'erreur moyenne 

JB = )/X^^ = |/lf? = 4,6. 

En remarquant d'après cela l'insuffisance de l'expression de u par un seul 
terme 

on cherchera le second terme 

et pour cela on calculera successivement 

(0,1) = 2a;., (0,2) = 2^/, 

«x = (0,0), 5, = M 

(1,1) = (0,2) — &,(0,1), 



^1 



^XiUi — {0,\)KQ 



ainsi qu'il suit: 



(1,1) 



+xW 



x^ =0,15411 
x^ =0,19516 
x^ =0,22143 
x^ = 0,28802 
«5 =0,32808 
x^ =0,38183 
X, =0,45517 
x^ =0,57012 
ajg =0,75930 
^,^=0,91075 
a;,j= 1,13895 

(0,1) = 2rr. = 5,40292 
«1 = (0,0) =11 





V 


= 0,02375 




X,- 


= 0,03809 




^/ 


= 0,04903 




^.' 


= 0,08295 




»/ 


= 0,10764 




V 


= 0,14579 




*,' 


= 0,20718 




V 


= 0,32504 




if/ 


= 0,57654 




*.«^ 


= 0,82947 




a;„« 


= 1,29721 


(0,2) 


= 2^/ 


= 3,68269 


-\ 


(0,1) = 


— 2,65378 



^ = ltl = ^'^^^^^ (l,l) = (0,2) — &, (0,1)= 1,02891 



— 496 — 

x^ u, = 3,00052 

x^ u^ = 4,26034 

0:3^3= 5,11725 

x^ u, = 7,52020 

x^u^= 9,05501 

x^u,= 11,03105 

x,u,= 15,09799 

x^u^= 19,03060 

rCg Wg = 24,53298 

XiqU^q= 29,03471 

Xi^u,^= 28,99767 

1x.u.= 156,67832 
— (0,1)^0 = — 148,92903 

2a;.w. — (0,l)Zo= 7,74929 

^];^ (^) = ir — 6^ = rr — 0,491 17. 

75r^.|^(a;)=r7,5315 (rc — 0,491 17)= 7,532 a; — 3,699. 
En passant à la détermination de ^d^, on prendra 

2 6^0^^232,93 

— {\,\)K^^ = — 58,37 

^d^^ = ^d^^ — {\,\)K^^=\14.,hS, 

d'où, pour l'erreur moyenne de la représentation des valeurs données de u 
par ses deux termes trouvés, résulte 

, / 174,56 



Donc, 



-V^f 



- = 3,98. 



Une erreur moyenne aussi considérable n'étant pas admisible, on cherchera 
le troisième terme 

et pour cela on déterminera successivement les quantités 

(0,3) = 2a:/, (0,4) = 2a;/, 

(l,2) = (0,3)-6,(0,2), (1,3) = (0,4) — ft, (0,3), 

/7 — (M h — M_M 
"2 — (0,0)» '^a — (1,1) (0,0)' 

(2,2) = (l,3)-fc,(l,2)-a,(0,2), 

2a;.n^., 2a;/w.-(0,2) K, — {\,1) K„ 

V _ i: art-'u,-- (0,2)^0- (1,2) gi 
2— (2,2) 



I 



497 — 



et la fonction -j^gl^) de la manière 


suivante : 




x^ =0,00367 




x^ =0,00056 


a;/ =0,00743 




x^ =0,00145 


0:3=^=0,01086 




x^ = 0,00240 


a;/ =0,02389 




x^ = 0,00688 


a;^^ =0,03531 




a;^* =0,01158 


a;^» =0,05567 




x^ =0,02126 


a;/ =0,09430 




o;/ =0,04292 


x^^ =0,18531 




X,' =0,10565 


x^ =0,43776 




x,' =0,33240 


a;io'= 0,75544 




:rio'= 0,68801 


a;„"^= 1,47745 




a;,i4= 1,68275 


(0,3) = 2a;/= 3,08709 


(0,4) =2a;/= 2,89586 


— &,(0,2)= —1,80884 


(1,3) = 


— Z>j(0,3)= —1,51630 


(l,2)=(0,3)-&,(0,2)= 1,27825 


= (0,4)— 6, (0,3)= 1,37956 


«2 = (^î = 0,09354 

(Tj!= 1^24235 

-|i) = -0,49117 




— 62(1,2) = — 0,96020 




— «2(0,2) = — 0,34446 


(2,2)^1,3) 


-62(I,2)-a2(0,2) = 0,07490 


'^ = W~m = '^''''' 


= 0,46241 






= 0,83145 




xiu. 


= 1,13311 




xl u. 


= 2,16596 




x}u. 


= 2,97075 




xi u. 


= 4,21199 




x,^ u, 


= 6,87215 




xiu^ 


= 10,84949 




x,^u. 


= 18,62790 




Xi^iHq 


= 26,44337 




^i>n 


= 33,02691 



2a;.2M.= 107,59549 

— (0,2)Zo = — 101,51151 

— (l,2)Zi = — 9,62778 



2x/u,-{0,2)K,~{l,2)K,= 



'\>^(x) = {x — \)^^{x) — a^ 



3,54380 

(2,2) 47,313, 

= (a; — 0,75118)(a; — 0,49117)- 
= a;3 — 1,24235 a; -♦- 0,27542. 



-0,09354 



— 498 — 
D'où il suit 

K^'\>,^{x) = — 4.7, 3U(x^— 1,24:2^6 x-+-0,27M2) 
= -— 47,313 x^ -H 58,779 a;— 13,031; 

et comme 

^d^^= 174,56, 

— (2,2)^/ = — 167,64, 



2^/ = 2^,2_(^2,2)Z/= 6,92, 
on trouve ijoiir l'erreur moyenne 

~ 3,92 



^-Vi^'V = )/'-^ 



:0,79. 



Eu procédant ainsi, ou obtiendra l'expression de u terme par terme, 
et par là l'erreur moyenne dans la représentation des valeurs données de u 
s'approchera de plus en plus de zéro. Mais si l'on trouve suffisant de réduire 
cette erreur à 0,79, on s'arrêtera aux termes trouvés 

K,']^oi^)=^ 27,564 

K^'\,^{x)= 7,532 a; — 3,699 

7i:2'^2(^) = — 47, 313 a;2-f- 58,779 a;— 13,031, 

et par là, pour l'expression cherchée de u, on aura 

-H 27,564 

— 3,699-1- 7,532 a; 

— 13,031 -*- 58,779 a;— 47,313 a.^ 



M :== 10,834 -f- 66,311 .'ï — 47,313 x\ 



SUR 

LI DÉYHLOPPIMIHT DIS f OHGTÏOHS 
À UNE SEULE VARIABLE. 



(Bulletin physico-mathématique de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. 
T. I, p. 193—200.) 



(Lîi le 14 octobre 1859.) 



Sur le développement des fonctions à une seule 
variable. 



§ 1. Dans mou Mémoire Sur les fractions continues j'ai montré que 
si l'ou cherche, d'après les valeurs données de la fonction F{x) 

F{^ù, -fW FK\ 

son expression approximative sous la forme d'un polynôme de degré quel- 
conque, avec des coefficients indiqués par la inéthode des moindres carrés, 
on parvient au développement de F{x) en séries analogues à celles de Fou- 
rier, et qui sont ordonnées suivant les dénominateurs des réduites de la 
fraction continue résultant du développement de l'expression 

les erreurs probables des valeurs données de F{x) 
F{x,\ F{x,\.. . F{x^) 



étant proportionnelles à 



1 1 1 



D'après cela, en faisant des hypothèses particulières sur la suite des 
valeurs 

et la forme de la fonction (x), on obtient, pour le développement des fonc- 
tions, plusieurs séries plus ou moins remarquables. 
Si l'on suppose les valeurs 

^11 ^2J- • • • ^n 



— 502 — 

éqiiidistautes, infiniment proclies entre elles, et que l'on fasse 

0\x)-- 



V\—xi^ 



l'expression 
se réduira à 



'V— -^ 



1 du 

J x—ti Vi — u^ > 



La fraction continue qui résulte de cette expression étant 



2a;-r-^ 
2x — • 



on reconnaît aisément que ses réduites ont pour dénominateurs des fonctions 
entières de x qui peuvent être représentées ainsi: 

COS9, cos2cp, cos3 9, . . . . 
où 

9 = arc cos x. 

Eu vertu de ce que nous venons de dire, on est conduit au développe- 
ment connu de Fourier de f{x) en série ordonnée suivant les cosinus des 
arcs multiples. 

En faisant la même hypothèse sur les valeurs de 

^1 J 3^2 , ... . X^^ 

et en supposant que 0"^ (x) se réduit à une constante 

^2 ^1 5 



on trouve que l'expression 

.^J X — Xi 



devient 



/ 



du , a; H- 1 



— 503 — 

et comme les réduites de cette expression ont pour dénominateurs les fonc- 
tions désignées par X^"\ il en résulte la série connue, ordonnée suivant les 
valeurs de ces fonctions. 

Dans une note lue à l'Académie eu 1858 j'ai indiqué l'expression 
très simple des dénominateurs des réduites de 

„^ X — Xi ' 

quand on a 

0{x)=l, 
et que les valeurs 

^15 ^2)' • • • ^n 

sont équidistantes. Ceci nous a fourni une nouvelle série pour le développe- 
ment des fonctions, série d'autant plus remarquable qu'elle ne laisse rien à 
désirer pour l'interpolation parabolique dans un des cas les plus ordinaires 
de la pratique. 

Nous allons indiquer à présent encore deux cas, où les dénominateurs 
des réduites de l'expression 

^J X — Xj- ' 

ont une forme remarquable, ce qui, en vertu de nos recherches antérieures, 
donne encore lieu à deux nouvelles séries pour le développement des fonc- 
tions, séries qui, dans certaines circonstances, fourniront les résultats avec 
la moindre erreur à craindre. 

§ 2. Si, depuis — oo jusqu'à -+- cx^, les différentes valeurs de la va- 
riable X ont la probabilité ]/ — e~ '"^ , et que l'on cherche pour toutes ces 
valeurs de x l'expression approximative de F{x), sous la forme d'un poly- 
nôme, avec la moindre erreur à craindre, on aura, d'après notre Mémoire 
cité plus haut, cette formule pour la détermination de l'expression cherchée 
de f{x): 

^]Le-^'^\^ix)F{x)dx ^^e-^^\i{x)F{x)dx 

F{X) = -^ '^;o (^) -+- -y^^r^ ']>! (^) 

y']^e-^^-^^^x)dx y^e~^''^i>,^x)dx 



^o(^), ^i(^), , 



— 504 — 
sout les dénominateurs des réduites de la fraction continue qui résulte de 
-#-00 

du, 

x — u 

— eo 

Or, ce développement de F{x) se réduit à une forme très remarquable, tou- 
tes les fonctions 

'W(^), '\'A^\ — '!/(«), — 

comme il est aisé de s'en assurer , étant exprimables de cette manière très 
simple : 

En eÔ'et, d'après ces valeurs des fonctions 
on trouve en général 

— 00 — esD *^ — 00 

-H 00 -I- osa -♦- eo 

= 1.2.3 l{2kf, 

en vertu de quoi la formule précédente devient 



(2) 



h ■+■ oi 



{x)dx.'\j^{x) 



n^) = ]/-! j e-T^-' F{x) dx . '^, {x)-^[ e-^-' F' 



U^) 



••l'oH 'I.W, 'l'a (a;), tal*) 



— 505 — 
sout des fouctious entières de x qui, d'après (1), ont les valeurs suivantes: 

'^,ix) = eJ^^'^^=:-2kx, 



3 



Cela nous donne en définitive cette série remarquable: 

-♦-ce -|-C\5 

F{x) = >/-| I e-^^' F{x) dx -*~ ]/^ e-^^' F' (x) dx . ~ 

— oo — oo 

-+- V^ e-^^' F"{x) dx . -y^ -*- /-^ e-*^^ F'" {x) dx . 

-h- etc. 

qui, sous forme de polynôme, fournit les expressions approximatives de F{x) 
avec la moindre erreur à craindre pour toutes les valeurs de a;, entre 
x = — oo et ic = -4-cx3, tant que leurs probabilités s'expriment par la 
formule y —e~ '^ . Si l'on fait fc = oo, cette série se réduit à celle de 
Maclaurin qui donne l'expression de F{x) avec la moindre erreur, tant 
qu'il ne s'agit que des valeurs de x dans le voisinage de a; = 0. Or c'est 



ce 



qu'on pouvait prévoir, vu que la fonction |/ — e ^^ , que nous avons 
prise pour exprimer les probabilités des différentes valeurs de x, dans le 
cas de Â; = cx), cesse de s'évanouir seulement pour x égal à zéro. 

D'après le développement de F{x) que nous venons d'obtenir, on trouve 
plusieurs identités intéressantes. Ainsi, eu cherchant, d'après (2), la valeur 
de l'intégrale 



-^'^'F'{x)dx, 

— os 

on parvient à cette formule: 



J 



" (x) dx 



/y) e-^^-'''F'ix)dx=i f e-^^'F{x)dx\ -^M\ e-^^' F' {, 

^2~h^\^j e-'^'F"{x)dx\ -t-^-^ {[ e-^^n^^"'{x)dx\ 



— 506 — 
D'autre part, en ayant é^ard aux valeurs (1) des fouctions 

^o(^), 'li(^), 'hi^\ , 

ou trouve qu'elles sont liées entre elles par l'équation 

'}, {x)=-2 kx '^^_^ (x) —2{l— 1) fe'|,.„^ (x). 

De là l'on tire aisément les valeurs de ces fonctions, et l'on trouve 
sur le champ ce développement de l'intégrale 



du 



eu fraction continue: 



du = - 



V2iz 



V2k.x- 



V2k.x — =— 



V2k.x-- 



§ 3. En passant à l'autre cas, nous supposerons que les valeurs de x 
sont comprises entre et -+- cx3, et que J(é~^^ désigne la loi de leur proba- 
bilité. En cherchant, dans cette supposition, et sous forme d'un polynôme, 
l'c^xpressiou de F{x) avec la moindre erreur à craindre, on aura, conformé- 
ment à ce que nous avons montré dans le Mémoire cité, 

f ke-''^ 4^0 i^) -f ' («) dx ï ke—^^ 4*1 (x) F {x) clx 

F{X)=-^L^ -IJ^) H- -°-,^ '^iC^)-^. . . ., 

r ke—'^'' %^ {x) dx r /ce-** ^^i^ (x) dx 



où 

+o(^), 'li(^), 

sont les dénominateurs des réduites de la fraction continue qui résulte du 
développement de la formule 

I x — u 



507 



Daus ce nouveau cas on trouve aussi les expressions très simples des 
fonctions ^^ (x), ^^ (x),. . . ., que voici : 

(3) |,(:.)=e*^e-^ .|,(^)=.*^^^,.,.. .|,(^)=«*^i?!^, 

D'où il suit en général: 

[ ke-'^'^,ix)Fix)dx=\ k^^F{x)dx 

= {—lfkïx'e~'^F^\x)dx, 

= {-l)'kï x'e~'''']^^^\x)dx 

= P.22 l\ 

La série précédente prendra donc cette forme: 

r r 

F{x) == Ue *^ F{x) dx.^,{x)—^h xe~^ F' (:^) dx . ^, {x) 

-^^^ kx^e~'^F\x)dx.'^,ix)~^^\ kx^e~'^F"'{x)dx.U^) 



où l'on aura, d'après (3), 

^,(^) = 6>.^ = -/r^^l, 

^^3 (^) = e*^ . ^^^5^ = — A;^^^ -*-■ 9 Â:V — 1 8 ^o;-»- 6, 



— 508 — 

Cette nouvelle série compreud aussi celle de Maclaurin comme cas 
particulier, correspondant à k = oo. En cherchant, d'après cette série, la 
valeur de 



\ e-''''F'{x)dx, 



on obtient cette identité: 

-[f e-''''F'{a:)dx = l f c-'"' F (x) dxj -^- p. ) xc''''' F' (x) dx 

-^i^:M x^e-'^F"{x)dx\-^^-^Jj x^e-'^F"\x)dx\ 

H- 

et, d'après les formules (3), on trouve que les fonctions 

sont liées entre elles par l'équation 

^]^^{x) = -{kx-2l -^ \) ']^,_^{x)-{l~\Y'\^_^{x), 
de là résulte ce développement de l'intégrale 



en fraction continue: 





J ^-" 



— du 



fcx — 3 — , — 32 

kx — b— -, 

kx — 1 — . 



20, 
SUR L'ÏNTÉGRATÏON 



(Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. T. LI, 1860, 
p. 46-48. Journal de mathématiques pures et appliquées. TI série, T. IX, 1864, p. 242—247.) 



Sur l'intégration des différentielles irration- 
nelles. 



En vertu de ce que nous avons montré dans le Mémoire «sur l'inté- 
gration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynôme 
du troisième ou du quatrième degré» {Journal de Mathématiques pures et 
appliquées de M. Liouville, 1857), l'intégration de la différentielle 

f{x) dx 



F{x) y a a;4 ^_ p 3,3 ^_ y a;2 ■+- ôa; -*- X ' 



en termes finis, quelles que soient les fonctions entières f{x) et F{x)^ se 
réduit définitivement à l'évaluation des intégrales de la forme 

f , "-""^ dx, 

oii /, m, n^p sont des valeurs connues et L une constante qui se détermine 
par la condition que ces intégrales soient exprimables en termes finis. Tant 
que cette condition peut être remplie, on trouve l'intégrale 

f-^ "-^ ^ .— dx, 

d'après la méthode d 'A bel, en développant en fraction continue l'expression 



y ic* -H /a;^ -H ntx^ -\- nx -t-p^ ^ 

et en poussant ce développement jusqu'à des dénominateurs où se manifeste 
leur périodicité. Mais comme cette périodicité n'a pas lieu dans le cas où 
l'intégrale 

\-j=^^Â==.dx 
J y ar* -4- te' -#- mx^-t- nx-t-p 



— 512 — 

pour toutes les valeurs de L, est impossible eu termes finis, on conçoit que 
cette méthode conduit à une série d'opérations qui peut aller à l'infini sans 
donner aucun résultat décisif. Cette difficulté ne saura être levée par la 
considération des intégrales qui déterminent la nature de la fonction 

f , "-"^ dx 

-' y a;* -4- Ix^ -+- mx"^ -+- nx -t-p 

et par lesquelles on peut reconnaître s'il y a lieu de chercher son expres- 
sion en termes finis, car pour cela il est indispensable d'avoir la valeur 
exacte de ces intégrales, tandis qu'elles ne peuvent être évaluées qu'appro- 
ximativement. Pour l'intégration en question, on doit avoir un moyen qui, 
d'après la nature des quantités l, m, w, p, et à l'aide des seules opérations 
algébriques eu nombre limité, puisse manifester si l'intégrale 



zdx 



est possible ou non en termes finis. C'est ce que nous avons cherché à faire, 
et nous y sommes parvenu, en tant que les quantités l, m, »^, p sont ration- 
nelles et le polynôme 

x^ -+- lor} -4- mx^ H- nx -\-p 

indécomposable en facteurs linéaires à l'aide des seuls radicaux carrés. Au 
moyen de la méthode que nous avons trouvée pour l'intégration des diffé- 
rentielles de ce cas, on parvient, par une série d'opérations identiques, ou 
à s'assurer que cette intégration est impossible en termes finis, ou bien à 
l'exécuter complètement. En tous cas le procédé se termine, et chaque fois 
on peut assigner la limite du nombre des opérations qu'on aura à faire. Eu 
remettant l'exposé de cette méthode à un Mémoire détaillé sur ce sujet, 
nous nous bornerons pour le moment à observer que, pour le cas que nous 
avons résolu, la méthode en question fournit un moyen infaillible d'assig- 
ner la limite oii, en cherchant l'intégrale par la méthode d'Abel, on peut 
toujours arrêter le développement en fraction continue. 

Cela posé, et en admettant, pour plus de simplicité, que la différentielle 
, = dx est réduite à la forme 

y x^-i-lx^ -i-mx^-*-nx-*-p 

, "-*-'' dx, 

y X* -+-px^ -+-qx-h-r 

p, g, r désignant des nombres entiers, la méthode d'Abel relative au cas en 
question peut être complétée ainsi qu'il suit: 



— 513 — 

Si dans la différentielle 



dx 



V x'^-t- px^ -t-qx-*-r 

le polynôme 

x^ -i- px^ -^ qx -i- r 

ayant pour coefficients des nombres entiers, n'est pas décomposable en 
facteurs linéaires à l'aide des seuls radicaux carrés, cette différentielle, 
quelle que soit la valeur de J., ne pourra être intégrée en termes finis, tant 
que dans la fraction continue résultant du développement de 



V x'^-+-px^-^qx-^r, 

aucun des 2N — 1 premiers dénominateurs n'est du deuxième degré, N 
étant le nombre des solutions entières des équations 

y^ — ^ x^ = p^ -+~ 12 r, 
Dans le cas contraire, pour une certaine valeur de A, la différentielle 

x'-\- A j 

. zdx 

v x*-^px'^-v-qx-h-r 

s'intègre en termes finis, et l'on trouve son intégrale par la formule 



_L Ino- ^i^)-*-'^ x*-t-px^ -4- ga; H- r 



' 9 (a;) — y a;4-i-jpx2-f-ga;-4-r' 

oii 9 {x) est la réduite qu'on obtient en s'arrètant dans le développement de 



V x^ -\- px^ -{- qx -\- r 

en fraction continue au premier dénominateur du second degré, et X le degré 
du numérateur de cette réduite. 

La méthode d'Abel ainsi complétée donne tout ce qui est nécessaire 
pour l'intégration des différentielles en question, vu qu'on peut toujours 
déterminer le nombre N qui désigne combien les équations 

2/^ — 3 ic^ = p2 -H 1 2 r, 

z" [4 x^ z-x" y^- 1 8 xyz-^-^ f^21 ^^J = {/^p^-^21 f) q^- 1 6 [{p'^-^rf-^^pq'^'] r, 
ont de solutions entières. 



— 514 — 

Eu effet, la deruière de ces éqnatious suppose que le carré de z divise 
le nombre 

(4i>^ -♦- 27 g^) ^2 — 1 6 \{f — 4 r)2 -+- ^:pq^)\ r. 

Donc, en cherchant les diviseurs carrés de ce nombre, on parviendra à 
assigner toutes les valeurs que peut avoir l'inconnue ^. D'autre part, en 
prenant pour z chacune de ces valeurs, avec le signe -+- ou — , on aura 
pour obtenir x et y deux équations qui déterminent complètement ces 
inconnues, et qui, d'après la forme de ces égalités, ne peuvent avoir plus 
de six solutions. Il sera donc facile d'énumèrer les solutions entières de ces 
équations, et on voit que leur totalité ne surpassera jamais le produit du 
nombre des diviseurs carrés de 

(if -H 27 q^) g2— 1 6 [(p^ — A rf -i- 'è pq^)\ r. 
par 12. 



SUR 

MHTÉ6MTÏ0H BU LA Dïf f ÉEmTÏILLIÏ 



x-v-A 

dx. 



y a;* -f- ao;^ -4- Pa;2 -+- ya; -+- 8 ' 



(Bulletin de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. T. III, 1861 
p. 1-12.) 



(Lu le 19 octobre 1860.) 



Sur rintégratlon de la différentielle 



dx. 



Vx*-^ ax3 -^ ^x^ -*- yx -t- à 

L'intégration de la différentielle 

""^^ dr, 

y X*-*- ax* -t- Çix"^ -*- yx -i- d 

ne présente aucune difficulté, si la fonction 

X*' -H (KX^ -+- PX^ -\- ^X -i- h 

a des facteurs égaux. En faisant donc abstraction de ce cas, nous suppose- 
rons dans tout ce qui suit que les facteurs de la fonction 

x^ -+- ax^ -t- i^x^ -h- fx -\- ^ 

sont tous différents entre eux. Dans cette hypothèse, comme l'on sait, l'in- 
tégration de 

dx 



V x'^-t- ax^ -t- ^x^ -i-yx-i-8 

en termes finis est impossible; de là on conclut que l'intégrale 

x-*-A 



J Vx* 



-i- oLx'^ ■+- Px* -*-yx-t-é 



■.dx 



ne peut être exprimée en termes finis que dans le cas où l'on donne à la 
constante A une valeur convenablement choisie. En effet, si l'on admettait 
que l'intégration de 

X-*- A 



y X* -+- OCX' -*- px2 -*- yX -i- d 



dx 



— 518 — 

en termes finis fut possible dans le cas de ^ = C aussi bien que dans celui 
de A = Cl, on trouverait que la même chose aurait lieu relativement à la 
différentielle 

dx 



V x*-t- ax^ -t- px* -H Y» -*- * ' 

qu'on obtient en retranchant les différentielles 

x-i-G j x-t- G, j 

= dx. ' = dx 

Y X* -+- aa;3 -t- Px* -t- yx -*- d Y x* -t- ax'^ -+- ?)X^ -t-yx-t-d 

l'une de l'autre, et en divisant leur différence par G — (7,, ce qui est inad- 
missible. D'après cela les différentielles de la forme 

-=^^£=dx 

V x*-t- ax^ -+- Px^-H yx-t-d 

présentent l'un des deux cas: ou, pour une certaine valeur de A, l'intégrale 

\-=^:^£=dX 

J y x4 -H ax» -*- px2 -I- px -^ Y 

s'exprime en termes finis, ou bien, pour toutes les valeurs de A, une telle 
expression de 

J y X* -*- ax^-*- Px2 -+- YX -+- d 

est impossible. La discussion de la différentielle 

''^^ -.dx 



y X* -♦- ax3 -H Px2 -»- YX -*- 5 

sous ce rapport est d'une très grande importance. C'est à cela que se réduit, 
en définitive, l'intégration des différentielles qui contiennent la racine car- 
rée d'un polynôme du 3°" ou du 4°"" degré, comme nous l'avons montré 
dans le Mémoire sur ces différentielles, et c'est par là seulement qu'on peut 
reconnaître, si la fonction elliptique donnée de la troisième espèce est ré- 
ductible ou non à celle de la première. Ces questions importantes surpas- 
sent les moyens que possède l'Analyse dans son état actuel, faute d'un cri- 
térium infaillible par lequel, d'après les valeurs des coefficients a, j3, y, o, 
on puisse reconnaître si l'intégration de 

y X* H- ax' -f- px2 -H YX -f- d 

pour toutes les valeurs de A^ est impossible en termes finis ou non. D'après 



— 519 — 

ce qu'A bel a donné dans gon ingénieux Mémoire sur l'intégration de la 
diftérentielle ^-=^, l'intégrale 

^-"^ =:dX 



J Vx*-i 



■ ax"^ -+- [ix2 -+- YX -+- d 



pour toutes les valeurs de A, n'est impossible en termes finis que dans le 
cas où la fraction continue, résultant du développement de 



V x'^ -*- OLX^ -*- ^x^ -f- ya? -I- 8, 

est dépourvue de périodicité. Mais c'est ce dont on ne peut s'assurer aussi 
loin que soit prolongé le développement de 



y x^-+- Qix^ -+- pa;^ -t- -^(X H- S, 

vu que le nombrs de termes dans une période reste arbitraire. De même on 
ne peut tirer, par rapport à cette question, aucun parti de la considération 
de certaines intégrales définies, d'après lesquelles on peut assigner analyti - 
quement tous les cas des différentielles de la forme 

zdx 



V x*-i- ox3 ■+- Ç,x^ -i- yx -t- à 



qui s'intègrent en termes finis; car, pour reconnaître par là que la différen- 
tielle donnée, pour toutes les valeurs de A, n'admet pas une telle intégra- 
tion, il est indispensable d'avoir les valeurs exactes de ces intégrales, tandis 
qu'elles ne peuvent être évaluées, d'après les coefficients a, ^, y. S, qu'avec 
une approximation plus ou moins grande. 

Pour la solution complète des questions importantes que nous venons 
de mentionner, on doit trouver un procédé qui, d'après les coefficients a, (3, 
Y, 8 et à l'aide d'une série d'opérations algébriques en nombre limité, con- 
duirait à reconnaître que par le choix convenable de A il est possible ou 
non de rendre l'intégrale 

\ , "-"-^ ^dx 

J y ic* -f- ax^ -i- ?ix^ -t- yx -*- d 

exprimable en termes finis. C'est ce que nous avons cherché à faire pour le 
cas de a, (3, y, 8 rationnels, et, pour ce cas, nous avons trouvé une méthode 
qui, au moyen des opérations algébriques et en nombre limité, conduit ou 
à trouver l'expression de l'intégrale 



J y a;* -H çta;3 -♦- pa;2 -f- yx H- ô 



— 520 — 

avec une certaine valeur de A, ou à reconuaître que pour aucune valeur de 
A cette intégrale n'est possible eu termes finis. 

Cette méthode d'intégration de la différentielle 

dx, 



V x*-+- %x^ ■+- Ç>x^ -i-yx-i- d 
Oll 

a, P, Y, ^ 

sont rationnels, consiste en ce qui suit: 
1) On réduira l'intégrale 

f- ^"-^ dx 

à la forme 






' V z*-i-lz^-*- mz"^ 

OÙ ?, ^/i, n sont des nombres entiers, ce qu'on peut toujours faire par la 
substitution linéaire 

x = %z-^\, 
si la fonction 

a;* -*- ax^ -f- px^ -*- yrc -»- S 

a un facteur rationnel du premier degré. Dans le cas contraire on réduira 
préalablement l'intégrale 

J / a;* -+- (LX^ -t- [ia;2 -4- Yo; -f- ô ' 

en posant 

iV. *^ — ' *!^ -*- 3 Y 



4[i — a2 



y a;* -I- ao;^ -*- ^x"^ -+--^x -*- 8 — x^ — 4 aa; - 

d'après quoi, en faisant 

— 3 g^ -H 16 a2(^ — 16 ay — 16 fi» -f- G4 » _ 

2a3 — 8aP-f-16Y ~ ^' 

-ia2-2p = 6, 
on obtiendra 

f aî-t-ji , If z-t-2 A — la -, li„^« 

=r rfa; = -TT ^ dz-^-— log ^, 



— 521 — 

où la nouvelle intégrale contient sous le signe du radical un polynôme doué 
du facteur rationnel z. 

2) On examinera si la fonction 

z'^ -+- Iz^ -4- mz^ -+- nz 

est décomposable en deux facteurs rationnels du second degré 

(^2 -f- j}^) {z^ -\-rz-\-s) 

dont les coefficients j^;, r, s vérifient l'équation 

(1) s (2?^ — j»r -I- s) = nombre carré ^ 
et au moins l'une de ces deux inégalités: 

(2) ^r— 2s>0. ou 4s — r^>0. 
Dans le cas où il est possible de décomposer la fonction 

i^ H- Iz^ -t- mz^ -H nz 
en deux facteurs 

{z^-^^z)^ {f-\-rz-\-8)^ 

qui remplissent ces conditions, et que ^ n'est pas égal à r, on réduira l'in- 
tégrale 






en posant 
ce qui donne 



mz"^ -+■ nz 



{p — '''Y (^^ "+" p^) 

(r — p) z -^s 



J > ^!* -*- ï^f^H- mz"^ ■+■ nz ^ J 



Zi-t-ir-p)i2B-p) 



V z* -t- Iz^-i- mz^-*-nz 2 J y ^^ [^^ -^-[p — rf] [{z^ -+-_p2 —^rf -i- 4 sz^] ^ 



La nouvelle intégrale 

I 






■^1 -«-(^•— .p) (2-B— jj) 



V z, [z, -^{p- rf] [(^,-Hjp2_^r)2 -*- 4 s^rj 



— 522 — 

se réduira de la mcme manière, eu tant que la fonction 

^1 [^1 -*-ip — rf] [(^1 -^p^ —prf H- 4 sz,] 

est décomposable en deux facteurs rationnels 

{^i^-^Pi^i)W-*-r^i-*-s,) 

qui remplissent les conditions 

^1 (Pi^ — Pi^i ~*~ ^i) "= nombre carré, 
p^r^ — 2Si>0, ou 4:S^ — r^^ > 0, 

2?i n'étant pas égal à r^. Et ainsi de suite. — Si, dans ces réductions, on 
rencontre une intégrale 

J y Zi* -+- lizi^ ■+- niiZi^ -*- niH * 

dans laquelle la fonction 

^i -+- li^^ -+- tn.z? -f- n^3^ 

se décompose en deux facteurs 

dont les coefficients j;^. , r^ sont égaux, on trouvera immédiatement l'expres- 
sion de cette intégrale, d'après la formule 



en prenant 

Dans le cas contraire on répétera ces réductions jusqu'à ce que l'on par- 
vienne à l'intégrale 

f ^x-*--Bx ^^ 

dans laquelle la fonction 

Z^y -+- lyZ^^y -*- my^Z\ ■+- Yl-^Z^ 

n'est plus décomposable en deux facteurs rationnels du second degré 



— 523 



qui remplissent les conditions 



s^ {p\ — p-^r-^ -I- Sy) = nombre carré j 
Pyr^ — 2 Sj^ > 0, ou 4 s. — r\ > 0, 

et on traitera cette intégrale par un procédé que nous allons exposer tout 
de suite. 

3) Ayant à intégrer la différentielle 



y ^r* -H W^ -+■ mz^ H 



où la fonction 

^* -I- Iz^ -I- mz^ H- nz 

n'est pas décomposable en deux facteurs rationnels 

{f -i-pz) {z^ -i~rz-i-s) 

qui remplissent les conditions 

s {p^ — pr -+■ s)=^ nombre carré, 
pr—2s>0, ou 4s — r2>0, 

on calculera, d'après les formules 





7 _ 7 a,-2-4m,)2 




S--H1 — ^i 2 Zf3 - 8 livii -*- 16 ni ' 




m,^^ = -2m,-^^l,^ 




^i^x==—'h-*-Yh^'i — ^h\ 




Iq = Ij mQ = m, nQ = n, 


nombres 






hl ^01 ^OJ 




l„ m,, Wj, 




^2) ^2> ^2J 



524 



ou poussant le calcul jusqu'à ce que l'on rencoutre daus cette suite une va- 
leur fractiounaire, ou que l'on trouve deux systèmes de nombres 

^y.^,^ ^V-*-v' \--v 

qui soient respectivement égaux. Dans le premier cas on conclura que 
l'intégrale 



J/lï" 



V z*-+- Iz'^ -*- ms^ -+■ 1 



: dZ, 



pour aucune valeur de B, n'est exprimable en termes finis. Dans le second 
cas il sera certain que cette intégrale, pour une certaine valeur de 5, est 
exprimable en termes finis, et son expression sera donnée par cette formule: 



(4) 



J Vz^ 



Vz^-i-h^' 



-+- mz'^ -h nz 



{2 _ 22 _ 2l*_ V 

^ 2f*-*-i 2l^-*-2 2t^-^^ 

-T^^ loiî \ Vz Vz . . . . yz~ 



-.!• 



sont des fonctions algébriques de z qui se déterminent ainsi: 

_. ïV, ?o-^ — \ ?o»'o -*- 2 ^0 

y .4 _^ 7o.3 -Tw^-^^-iT^o^ - ^2 _ i. z^, _ i^!o_i:k' ' 



(5) 



_jW—ih»h 



V Zi* -*- ï^z^^ -+- viiZ^^ -+- n^Zi — 



1 4wu-;i2 > 

2- Ml 8 



émi — lj^' 



Quant à la valeur de B, elle sera donnée par cette formule: 
(6) 

1 2^ / 1 , 1 , _J__7 \ 

[ 4 2^— 1 \2»* V ~*~ 2l^-»-i V-+-1 ~*~ • • • • "*^ 2»*-*-^— 1 >-t-v— l/* 



Le nombre des opérations qu'on aura à faire par cette méthode d'inté- 



— 525 — 

f,^ration sera toujours limité. Les réductions à exécuter, d'après le JVh 2, sur 
l'intégrale 



iV^- 



' V z*-*-lz'^-\-mz'^-\-nz ' 

dans le cas où la fonction 

z^ -H Iz^ -\- mz^ H- nz 

se décompose en deux facteurs 

{z'^-\-]pz) {z'^-v-rz-+-s)^ 

qui vérifient les conditions (1) et (2), seront en nombre inférieur au plus 
petit exposant des facteurs premiers dont se composent les termes de la 
fraction 



pr — 2 s -+- 2 y s ( j)g — pr -I- s) 

réduite à sa forme la plus simple. Le nombre des systèmes 
qu'on aura à calculer, d'après le ^« 3, en traitant l'intégrale 

J y z^-^lz^--h- mz^ ■+- nz 

OÙ la fonction 

z^ -+- Iz^ H- mz^ -*- nz 

ne se décompose pas en deux facteurs 

(^^ -\-pz) {z^ -4- r^ -f- s), 

vérifiant les conditions (1, 2), ne surpassera pas celui des solutions entières 
des équations 

Z" (4 X^Z - X^Y^ — 1 8 XYZ-t- 4 T^ -4- 27 Z^) 
= n^ (4 Pn — IV — 1 8 /ww -H 4 m' -+- 2 7 n^), 



— 526 — 

qui ne peuvent être qu'en nombre limité; en effet, d'après la dernière équa- 
tion, le carré de Tinconnue Z doit être diviseur de 

et tant qu'on fixe la valeur de Z, les deux autres inconnues se déterminent 
complètement par ces équations. 

Pour montrer sur des exemples l'usage de cette méthode, nous allons 
chercher, en premier lieu, l'intégrale 

Comme la fonction 

4 

n'a pas de facteur rationnel du premier degré, on réduira cette intégrale, 
d'après le Ah 1, eu posant 



2'"^^. 



y a* -»- «2 -H a; -4- A — a;2 — • 

De cette façon on obtient 
En remarquant que la fonction 

3^—2 3^ — Z 

ne se décompose en deux facteurs rationnels du second degré 

(z^-i-pz) (^^ -»- r^ -f- s) 
qu'en prenant 

p=l, r= — 1, s = — 1, 

et que ces valeurs ne vérifient pas la condition 

s {p^ — pr-^s) = nombre carré, 

on passera immédiatement à la recherche de l'intégrale 

JVz*-2e^ — e ' 



— 527 — 
suivant le ^'» 3. Pour cela on calculera les nombres 



d'après les formules (3), en prenant 

Z^O, w= — 2, w= — 1. 

L'on obtiendra de cette manière 

k= 0, mo = — 2, Wo = — 1, 
^1= 4, m^= 4, Wi= 1, 

/2 = — 4, ^2= 4, ÎÏ2 = — 1, 

^3= 4, m3= 4, W3= 1. 
En remarquant que le dernier système des nombres 

^3, ^3, Wg 

est identique au second 

on s'y arrêtera, et on conclura tout de suite que l'intégrale 

pour une valeur de 2Â, convenablement choisie, est exprimable en termes 
finis. Comme dans ce cas 

li.= l, v = 2, 
on aura, d'après (4), 

où les fonctions 

■^U ^2 5 ^3> 

en vertu de (5), se déterminent ainsi: 

- A ^0^ — k k'^o -+■ h Wq 



V z*-+- IqZ'^ -+- tHoS^ H- n^e — s^ — ^ IqS ■ 

I 

_ 2 

' Vz* — 2g^ — e — «2 -H 1 ' 



4 w?o — 1(,^ 



— 528 — 

1*6 'l^ i 'l"'l "^~ 5 **l 



^ = ^-4-1 

V Zi* -*- 4: Z{^ -H 4 ^l^ -H «j Zy'^ — 2 Zl 



4 Wl — ly^ 



V z^* -+- l^z-^ -*- m^z^ -H n^Zç^ — z^ — \ \k 



Am^ — /j^ 



V z^* — 4: Z2'^ -t- 4: z,/ — z^ ~ z^"^ -i- 2 z^ V z* — 2z'^ — z — z^'*-].' 

D'après cela ou trouve 

f ^*^^ d, = log (y^) -H i- log (l'i; vj) 

J V z* — 2 z"^ — z 

D'autre part, comme on a 

(X = 1 , V = 2, /o = 0, ^1 = 4, ?2 =: - 4, 
on obtient, d'après (6), pour la constante 2 A cette valeur: 

1 ^ 1 4/4 4\ 1 

T • ^ "^ 4 • 3 V 2 4 j — 3 • 



D'où il suit que 



A = \. 



D'après ces valeurs de l'intégrale 

f '-"^-^ dz 

J V z* — 2z^—z 

et de la constante A^ la formule (7) nous donne 

\-—=^^à=dx = I log U ^ -^ y (^ -f- iy~\ -H I log ^ 



En portant cette valeur de s dans l'expression précédente de l'intégrale 



— 529 
on obtient en définitive 



J V X* -t- x"^ -+- X -h- \ 



dx- 



__ J_, (3;2 — j -4- y a;^ -H x^ -4- a; -f- i)^ 



' (a;2 — y a;*-+-a;2-t-a;-i-i) (a;2 -t- ^ — ■/ a;* -+- x^ -4- a; h- ^)^ 
Oll 

72 = rK* -f- a;2 -H a; -f- -^ . 
4 

Prenons encore pour exemple l'intégrale 

J / 2* -♦- 5 ^3 H- 3 ^r2 _ 2 

Comme la fonction 

^* -+- 5 ^^ -f- 3 ^^ — 2 

se décompose en deux facteurs rationnels 

en prenant 

^=1, r:=4, s = — 1, 

et que ces valeurs vérifient la condition 

s {p^ — pr-+-s) = nombre carré 
et l'inégalité 

pr — 2 s > 0, 

on réduira, d'après le A^ 2, l'intégrale 
en posant 

(r— 23)^-^5 3^—1 1* 

On obtiendra de cette manière 

La fonction 

^,* — ^1^ — 81^2_^81^,, 



— 530 — 

étant composée de quatre facteurs rationnels du premier degré 

^1, ^1 — 9, ^i — 1, '^l-^-9, 

ou trouve, pour sa décomposition en deux facteurs rationnels du second 
degré 

{z^ -\-]pz) {z^ -I- r^ -4- s), 

trois systèmes de valeurs pour p, r, s, savoir: 

p = — 9, r= 8, s = — 9, 
^= — 1, r= 0, s = — 81. 
p= 9, r = — 10, s= 9. 

Or, comme aucun de ces systèmes ne rend la quantité s {p^ — pr-^s) égale 
à un carré parfait, on cherchera l'intégrale 



^1 -H 6 ^ — 3 






zdz. 



par le X?. 3. Mais, en passant à la détermination des nombres 



d'après les formules (3), on devra s'arrêter sur Z^, en remarquant qu'il ré- 
sulte pour lui une valeur fractionnaire 



1- 



(l-f-4.81)2 104979. 



-2 — 8. 1.81 -t- 16.81 646 ' 

de là on conclura tout de suite que l'intégrale 

J y?!* — ^i3 — 81 v-*-8i «I 

et conséquemment celle en question 

est inexprimable en termes finis, quelle que soit la valeur de la constante B. 



SUR UNE MODIFICATION 

Dît P1R1LLÉL06E1MMI MTÏGÏÏLÉ »I WATT, 



(Bulletin physico-matliématique de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. 
T. IV, p. 433-438.) 



(Lu le 18 octobre 1861.) 



Sur une modification du parallélog^ramme arti- 
culé de W^att. 



Le mécanisme connu sous le nom du parallélogramme articulé de 
Watt présente une solution de cette question importante pour la pratique 
dans certains cas: 

Par une combinaison des mouvements circulaires produire, avec une 
approximation suffisante, le mouvement rectiligne. 

Tout avantageux que soit ce mécanisme dans la pratique, on conçoit 
que, sous le rapport de la précision de son jeu et vu sa complication, il 
laisse encore beaucoup à désirer. Pour s'en assurer on n'a qu'à remarquer 
que le parallélogramme de Watt produit le même mouvement que le méca- 
nisme à fléau, quoique dans sa composition il contienne deux verges de 
plus, et que dans les mécanismes de ce genre chaque nouvel élément 
apporte, évidemment, de nouvelles ressources pour donner plus de précision 
à leur jeu. En cherchant à reproduire le plus exactement possible le mou- 
vement rectiligne, soit au moyen du mécanisme à fléau, soit au moyen du 
parallélogramme de Watt, on n'atteint que le mouvement ovale qui s'ap- 
proche du rectiligne cherché seulement au point d'avoir avec lui, tout au 
plus, cinq éléments communs. Or, un tel degré d'approximation est sans 
doute bien peu de chose pour un mécanisme aussi compliqué que le parallé- 
logramme de Watt, qui se compose de quatre pièces dont on est maître de 
disposer, et dont chacune, dans la composition du mécanisme, présente deux 
paramètres arbitraires, savoir: la longueur et la direction. En ayant égard à 
ce que les paramètres arbitraires sont ici au nombre de 8, on voit qu'il y a 
lieu de chercher à composer un mécanisme de même complexité que le pa- 



— 534 — 

rallélogramme de "Watt, capable de fournir un mouvement qui soit bien 
plus proche du mouvement rectiligne cherché, et qui ait, nommément, au 
lieu de cinq, huit éléments communs avec celui-ci. 

C'est ce que nous avons cherché à faire, et nous avons reconnu qu'on 
y parvient, en articulant entre elles et avec le balancier les quatre verges 
du parallélogramme de Watt de la manière suivante: 



Fig. 1. 




Dans cette figure AB est le demi-balancier sur lequel il s'agit de construire 
un mécanisme qui produise sensiblement un mouvement rectiligne suivant 
la verticale VV^ passant par l'extrémité B du balancier dans sa position 
horizontale; BC, DE, GF, FG sont quatre verges qui composent ce mécanisme, 
C est le point qui fournit le mouvement en question, G l'axe immobile de 
la verge FG présentant, comme dans le parallélogramme de Watt, un 
contre-balancier. Toutes ces verges sont articulées avec le balancier et entre 
elles de la même manière que dans le parallélogramme de Watt, avec cette 
seule différence que les verges DE et FG ne sont plus liées entre elles, 
mais assemblées à charnière avec le contre-balancier FG dans deux diffé- 
rents points E et F. En composant ce mécanisme, on fera les verges GF 
et FG égales à '^^■^^AB, et les distances BD et EG égales à '^^^^AB, 
en vertu de quoi la ligne BD représentera une moyenne proportionnelle 
entre toute la ligne AB et sa partie AD, et la ligne EF sera la moitié de 
AD. Aux verges BG et DE on donnera une même longueur qui peut être 
choisie arbitrairement, pourvu qu'elle ne surpasse pas sensiblement la demi- 
course du point G. Quant au point G, centre d'oscillation du contre-balan- 
cier FG, on le placera de manière que, dans la position horizontale du ba- 



— 535 — 

lancier, les verges BG et I)E soient verticales, et les verges GF et FG 
prennent la même direction horizontale, comme on le voit sur la figure 2. 



Telle est la composition du mécanisme qui, avec les mêmes pièces que 
le parallélogramme de Watt, donnera un mouvement qui s'approchera du 
rectiligne au point d'avoir avec lui huit éléments communs. C'est ce dont 
on s'assure très aisément, en déterminant les distances du point G de la 
verticale VV' (fig. 1) en fonction de l'inclinaison du balancier*); car par 
là on voit sur le champ que la courbe décrite par le point (7, dans le point 



*) Ces distances, comme il est facile de le voir, s'expriment par la formule 
AB (cos ^ — cos ç), 



où cp, ^ sont des angles qui, en fonction de a, inclinaison du balancier, se déterminent par ces 
deux équations: 



/, 3 — 1/5 Vb — l Y I^G 3 — /s. -/S — 1. \2 BC2 



/, 1/5+1 

\ 1 — cos an — cos cf 



1/5+1 ,Y (BC . 1/5-1-1 . y5-f-i . ,\2 

9 — cos vjj I -H ( y^ — sin an — sin cp-i — sin vj* 1 = 



■/5-f-l _,„ _, \2_ BC2 
' AB^' 



D'ofi, pour l'expression approximative de ces distances, on tire cette série: 
7 — 3l/5^B2 V6 — 2AB^ , 



32 BO 



16 BΠ



— 536 — 

correspoudant à la position horizontale du balancier, a pour tangente la 
verticale VV' avec laquelle, elle a, dans le voisinage de ce point, 7 éléments 
communs, et que cette courbe coupe la même verticale à une distance de G 
moindre que BC, ce qui entraine encore un élément commun entre ces 
lignes dans l'étendue de la course du point G. 

D'après cela on voit aussi avec quelle extrême rapidité les déviations 
du point G de la verticale VV' (fig. 1) diminuent à mesure que l'amplitude 
d'oscillation du balancier diminue, vu que ces distances, par rapport à l'in- 
clinaison du balancier sont du 7""' ordre. Quant aux cas ordinaires de la 
pratique où l'inclinaison du balancier ne présente jamais des angles d'une 
valeur considérable, on trouve que le jeu de ce mécanisme, sous le rapport 
de la précision, l'emporterait très notablement sur le parallélogramme de 
Watt. Ainsi, par exemple, si l'on considère le cas traité par Prony dans 
sa Note connue : Sur le parallélogramme du balancier de la machine à feu 
(Annales des mines, tome XII), oii la longueur du demi-balancier AB est 
2,515 mètres, la verge ^C est 0,762 de mètre et la limite de l'inclinaison 
du balancier est 17° 3 5' 30", on trouve que, dans ces circonstances, le mé- 
canisme dont il s'agit ne présenterait que des déviations de la verticale 
inférieures à 0,05 de millimètre. Mais dans ce cas, suivant Prony, le pa- 
rallélogramme de Watt présente les déviations qui vont jusqu'à une valeur 
40 fois plus grande, savoir 2 millimètres, et qui est loin d'être négligeable 
dans le jeu d'un pareil mécanisme. 

Jusqu'à présent, en cherchant à s'approcher le plus près possible du 
mouvement vertical, nous n'avons pris en considération que le nombre des 
éléments communs entre la verticale et la courbe décrite par le point G, 
tandis que le rapprochement de ces lignes et conséquemment la précision 
du jeu du mécanisme dont il s'agit dépend notablement de la position de 
ces éléments. Cette question a été l'objet de nos recherches dans la 1" par- 
tie du Mémoire sous le titre: Théorie des mécanisynes connus sous le nom 
des parallélogrammes, où nous avons proposé des méthodes pour rendre un 
tel rapprochement le plus parfait possible. Or, si l'on applique ces méthodes 
à notre cas actuel, on pourra trouver les petits changements qu'on doit 
faire dans les valeurs des paramètres du mécanisme pour rendre son jeu le 
plus précis possible. Au moyen de ces corrections, les déviations du point (J 
de la ligne verticale seront réduites à peu près en proportion de 1 à 2^ 
(§ 5 du Mémoire cité), et comme nous venons de voir que, dans les cas 
ordinaires de la pratique, ces déviations elles mêmes présentent des valeurs 
très petites, nommément, des centièmes parties du millimètre, on conçoit 
que, dans ces cas, par les corrections des éléments, la précision du jeu du 



— 537 — 

mécanisme pourra être portée jusqu'à une limite inaccessible aux moyens 
techniques de la construction des mécanismes. On est donc certain qu'il n'y 
a aucune raison, pour les cas ordinaires de la pratique, de rechercher un 
mécanisme qui serait capable de donner le mouvement rectiligne avec une 
précision encore plus grande. Et comme, conformément à ce que nous ve- 
nons de montrer, on parvient à ce degré de précision par un mécanisme 
composé des mêmes pièces que le parallélogramme de Watt, usité main- 
tenant, et dont les défauts du jeu se font souvent sentir dans la pratique, 
on conçoit que notre mécanisme modifié est digne d'une attention particu- 
lière. 

Kemarquons encore que si dans les valeurs données plus haut des 
éléments de ce mécanisme on change le signe du radical V 5, on parvient à 
cette nouvelle forme: 




4 ' 



BD=EG='^-^AB. 



Pour cette nouvelle forme le degré de précision du jeu de ce mécanisme 



— 538 — 

reste le même; seulement, pour sa construction, on sera obligé de prolonger 
le balancier au delà du point B d'une longueur égale à 

ce qui présente de grands inconvénients pratiques. 



28. 

SuR L ÏHTIxRPOLaTîOHx 

TKADUIT PAH G. A. POSSDS. 



GSts num^pnoAupoêaniu. 



(JIpHjioœeHie k-b IV-My TOMy SanncoKi, HMnEPATOPCKofl AKa^eniH HayKi,, JY» 5, 1864 r.) 



Sur l'interpolation. 



§ 1. Dans le mémoire sous le titre «Sur les fractions continues» j'ai 
donné une formule d'interpolation par la méthode des moindres carrés, quel- 
les que soient les valeurs données de la fonction à interpoler. Maintenant 
je vais montrer les simplifications dont cette formule est susceptible dans le 
cas particulièrement remarquable où les valeurs connues de la fonction sont 
prises pour des valeurs équidistantes de la variable. Dans ce cas, la formule 
générale d'interpolation, correspondant à la formule de Lag range, se ré- 
duit à une série, correspondant à la formule d'interpolation de Newton, 
contenant comme celle-ci dans ses termes les différences finies d'ordres suc- 
cessifs 1, 2, 3,. . . .etc., ce qui offre, comme on le sait, un grand avantage 
dans les applications. Cette série donne l'expression des quantités à inter- 
poler sous la forme des polynômes de différents degrés selon le nombre de 
termes qu'on y retient, les coefficients de ces polynômes étant les mêmes 
qu'on obtient par la méthode des moindres carrés eu résolvant tout un sy- 
stème d'équations dont la forme change quand on passe d'une supposition 
particulière sur le degré de l'expression cherchée à une autre. Il est facile 
de voir combien la recherche de telles expressions se simplifie par l'emploi 
de notre série d'où elles découlent directement et successivement de tous 
les degrés à partir du degré 0. Mais cette circonstance n'est pas le seul 
avantage qu'on puisse tirer en employant cette série pour l'interpolation; 
elle est encore très appropriée pour faire voir à combien de termes, ou, 
ce qui revient au même, à quel degré dans l'expression cherchée pouvons 
nous nous restreindre. Dans les procédés ordinaires de l'interpolation par 
la méthode des moindres carrés il nous faut refaire chaque fois le calcul de 
toutes les valeurs données à l'aide d'une formule particulière pour chaque 
supposition sur le degré de cette formule. Cela est d'autant plus pénible que 
ces calculs doivent être répétés plusieurs fois jusqu'à ce qu'on parvient à 



— 542 — 

une expression représentant les données avec un degré suffisant d'approxi- 
mation, car il est difficile de deviner d'avance le degré d'une telle ex- 
pression. 

Sous ce rapport, notre formule offre cet avantage important qu'en ajou- 
tant successivement un terme après l'autre dans l'expression à interpoler, 
nous pouvons en même temps voir comment diminue successivement la 
somme des carrés des erreurs qu'on commet en déterminant à l'aide de 
cette expression toutes les valeurs données, d'où il est aisé de déduire aussi 
la moyenne quadratique de ces erreurs, d'après laquelle on peut juger de la 
suffisance du nombre de termes retenus dans l'expression cherchée. 

§ 2. Soit 

«0, u„ ^<2, u^_^ 

la série des valeurs données de la fonction w, qui correspondent aux valeurs 
suivantes de la variable x: 

a; = 0, 1, 2, n—\. 

En appliquant dans ce cas la formule générale d'interpolation *), nous 
trouvons pour l'expression de u sous la forme d'un polynôme d'un certain 
degré à coefficients déterminés par la régie des moindres carrés ^ la série 
suivante : 

ï%{i)ui ï^,{i)ui î^^{i)Ui 

(1) u^\ U^)-^\ ^M-^\ u^)-^...., 

^V(') 2VW 2V(«) 



où 

désignent les dénominateurs des fractions réduites dans le développement de 

la somme 

111 1 
1 1 1_ _| 

X x—\ x — 2 X — n-i-1 

en fraction continue de la forme 

A? A> ^3i- ' • ■ étant des constantes. Dans le cas particulier que nous con- 
sidérons, les fonctions 

4^0 (^), i'ii^), 4^2 («),•••• 

*) Formule (6) du Mémoire mentionné. 



— 543 — 

s'obtiennent facilement sans qu'il soit nécessaire de recourir au développe- 
ment de la somme 

J_ 1 1 1 

X X — 1 X — 2 •••• ^ — n+l 

en fraction continue; on découvre en même temps, comme nous allons le 
voir, la loi très remarquable de leur formation en vertu de laquelle la série 
(1) prend cette forme, commode pour les appliquations, dont on a parlé 
dans le paragraphe précédent. 

§ 3. Pour obtenir les fonctions 

+oW. +i(^). +2Wj , 

sans recourir au développement de la somme 

111 1 
1 1 1_ _| 

X X — 1 ic — 2 * x — n-\-\ 

en fraction continue, remarquons que, d'après ce qui est démontré dans le 
Mémoire cité, ces fonctions, d'une part, sont des degrés 

0, 1, 2,...., 

et d'autre part, elles satisfont aux équations 

24^o(^)4'x(^) = 0, 2'J;,(e)^^(i) = 0,.... i4;^_^(i)^^(i)=:0, 



ou ce qui revient au même, 

(2) 2,Ki)4,,(i) = 0, 

^ 

pour [1. < X. 

Ces propriétés, comme il est facile de s'en convaincre, déterminent 
complètement les fonctions 

*o(^), ^A^\ 4^2 (^X — 

en faisant abstraction des facteurs constants qui restent tout à fait arbitrai- 
res tant qu'on ne fasse aucune supposition particulière sur les constantes 
Xj, Lg, jLg,. . . .dans la fraction continue 



— 544 — 
provenant du développement de la somme 

111 1 

X X — \ X — 2 X — n-\-V 

et qui se suppriment évidemment dans la formule (1). 

Pour faire voir que les propriétés énoncées des fonctions «j^o (ic), 4*1 (^)) 
^^{x)^. . . ., les déterminent à des facteurs constants près, soit 

m 

une fonction entière étant comme 4'x (^) de degré \ et satisfaisant comme 
celle-ci aux équations 

i 'J^o (^) m = 0,2 -4, f (i) = 0, .... 2 4.j^_^ (i) /•(*) = 0. 



Or, 

*o(^), 'J'il^X 'I^aC^X ^'x-iC^X 4^X^^) 

représentent une série de fonctions entières respectivement des degrés 

0, 1, 2, /v— 1, X; 

donc, la fonction entière f{x) de degré X peut être représentée par la 
somme 

A 'J^o W -H ^, 4, (ir) -H . . . . -4- ^^_^ ^;^ _^ {X) -4- ^j^ ^^^ (^), 

où 

-^Q} ^1, • . . • -^X—i} -^x 

étant des constantes. 

En portant cette expression de f{x) dans les équations précédentes, on 
trouve 

2 '^0 il) fii) =-A^ 'W («) -^ ^1 ^ 'lo (0 'I, (é) H- . . . . -+- A ^ 'J^o (^) ^^x (*) = 0, 





2 ']^.^_^ il) f{i)^A, 2 '|^_, {i) 4;o(i)-....-^x-i ^ ^x -I ©-A ^ 'Ix-i ® '^x(^i=0, 



d'où l'on tire, en vertu de (2) les égalités suivantes: 

A 2 'V (i) = 0, A 2 '1,^ (i) = 0, . . . . ^^ _^ 2 '|\_^ (i) = 0. 



— 545 — 
Cela suppose 

car les sommes des carrés 

_ 

composées des valeurs des fonctions réelles 4'o(^)? ^^i(^)j- • • -^x— 1(^)' ^® 
peuvent pas s'annuler. Or, les coefficients 

Aq, A^,. . . . A-^_^ 
dans la formule 

f{x) = Aq ^0 (^) -*- ^1 ^1 («) H- -*- ^x_i 'h-i (^) -*- A '\'i (^) 

étant nuls, on voit que la fonction f{x), satisfaisant comme ^-^{x) aux équa- 
tions mentionnées ci-dessus, est égale à 

A-^ désignant un coefficient constant; donc, ce n'est que par un tel coeffi- 
cient qu'elle diffère de ^-^{x), ce qu'il fallait démontrer. 

§ 4. D'après ce que nous avons démontré, la détermination des fonc- 
tions 

'^o(^), ^i(^), ^,{x), , 

à un facteur constant près, se réduit généralement à la recherche d'une 
fonction entière de degré X, susceptible à satisfaire à l'équation 

(3) 2<Ki)/-© = 0, 

'^ 

^^{x) étant une fonction entière de degré ji, et \k un nombre entier variant 
de à À — 1 inclusivement. 

Pour faciliter la recherche de la fonction f{i) d'après cette condition, 
nous allons la considérer comme la différence finie d'ordre X d'une certaine 
fonction F{i). Cela posé, mettant pour f(i) son expression 

(4) m = A^Fii), 

dans l'équation précédente, nous la réduirons à la forme suivante 



— 546 — 

Or eu remarquant que chaque somme de la forme 2 U. A^ V. peut être 
transformée comme il suit: 

(5) 2 u^^^v,= u,_^^'-'v-^u,_^^'^-'v,-^. . . ,-i-ifA'-^u,_^. v, 

(ce qu'on vérifie aisément en prenant les différences finies des deux mem- 
bres de cette égalité), nous trouvons d'après cette formule 



: 1^ (i) A^ F{i) = '1^ (« - 1 ) à'-' F(i) - A 'i,^ a — 2) \^-'F{i) - 



-(_l)^A^-.i (i-X).F(i) 



D'ailleurs, ^ {x) étant une fonction entière de degré moindre que a, la dif- 
férence A^t)> (z — X) se réduit à zéro et Texpression précédente de la 
somme 1.^ {i)ù} F{i) devient 

2 '1^ ii) A' F{ï) = 'l^^{i-l) A^-' Fii) - A '^^ {i - 2) A^"^ F(i)-v-.... 



D'où l'on voit que l'équation 



_(_l)>A^-'.J;^(i-X).F®-4-a 



sera satisfaite, si pour les limites 

les fonctions 

âi^'~'F(i}, A^-^F{i), F{i) 

se réduisent à zéro, ou, ce qui revient au même, si pour les mêmes valeurs 
de i, les expressions 

F(i), F(^-f-l), F(i-i-2l F(i-i-l — l) 

sont égales à zéro, car dans ce cas la fonction F{i) et ses X — 1 différences 
finies s'annulent pour i = et i = w. 
Or l'annihilation des fonctions 

F{i), F(i-Hl), F(i-i-2), F{i-^X — 1), 

pour ê = et i = n, suppose que la fonction F{i) s'annule pour 

i = 0, 1, 2, X— 1 



I 



— 547 — 

et pour 

i = n, w-t-1, n-4-2,.... n-t-X — 1, 

et contient par conséquent dans son expression les facteurs 

i, i — 1, i — 2,.... i — X-f-1, 
i — n, i — w— 1, i — n — 2,.... i — n — X-i-1. 

Donc, l'équation (3) sera satisfaite si, en posant 

nous prendrons pour F(i) une fonction contenant comme facteur le produit 

i(i—l) (^_2)....(^— X-i-1) (i—n) (i—n—l) {i—n—2)....{i—n—'k-t-l). 

D'autre part, pour que la fonction cherchée f(i) soit de degré X, la 
fonction F(i) dans la formule 

f(i) = ^'F{^), 

doit être évidemment de degré 2X et par conséquent du même degré que le 
produit 

i{i—l){i—2)....{i~'k-+-l){i—n){i—n—l){i—n—2)....(i~n-~'k-^l). 

D'où il suit que la fonction f{i) de degré X, susceptible à satisfaire à l'équa- 
tion (3) est donnée par la formule 

en prenant 

F{i) = i(i—l){i—2) (i—\-i-i) (i—n) (i—n—l) (i_n— X-h1), 

Par conséquent, en vertu de ce qui a été démontré dans le paragraphe 
précédent à l'égard des fonctions 

t\>,ix), ^^{x), ^^{x), , 

elles seront représentées généralement par la formule 

(6) rl,^(x)=a^à^x(x—l)....{x—l-t-l){x—n){x—n—l)....(x—n—'k-i-l), 
C^ étant un coefficient constant. 



— 548 — 
§ 5. A l'aide de l'expression trouvée des fonctions 

'\>,{X), '\;^{X), ^Jx\ , 

la détermination des sommes contenues dans notre formule 

v4^o(t)M,- î^i{i)ui î^ojijui 
u = ^ 'ho (x)-^-\ 'I, (x) -f- V ^, {X) - 

i:VW ^V« ^VW 



est considérablement simplifiée. 

Nous allons montrer maintenant que les sommes 



contenant les quantités w^, Wj, Wg,. . . . , se réduisent à des sommes, com- 
posées des différences finies de ces quantités d'ordres 0, 1, 2,...., et 
commodément calculables; quant aux sommes 



qui ne contiennent pas ces quantités, elles se déterminent définitivement. 

Pour transformer les sommes du premier genre, remarquons que leur 
forme générale est 



qui se réduit, après la substitution de l'expression (6) de ^) (ic), à la sui- 
vante : 

(7) C- 2w.A^^(i— 1) (:i—l-^-l){i—n){i—n—l) (i—n— 1-^-1). 



Or, en vertu de la formule 

mentionnée ci-dessus (5), en y posant 

U, = u„ 
F,.= é(« — 1). . . .(« — X-H l)(i — »)(» — n — 1). . . .(« — n — X-i-1), 



— 549 — 

et remarquant qu'alors la fonction V^ et ses différences AF^., A^ V.,...A^~^ V^ 
s'annulent pour i = et i = ^, nous trouverons 

2z<.A^i(i— 1) (i — X-t- l)(i — n){i — n—l) . . .{i — n — Xh-1) = 



{-lf2i{i—l) {i—'k-i-l){i—n)ii—n—l) . . ^ (i—n—l-t-l) A^ u._^^, 



ce qu'on peut représenter sous une forme encore plus simple, remplaçant 
dans la seconde somme i par i-t-\, ce qui donne 

Zu.A^i{i—l) (i — 'k -H 1) {i — n) {i — n— 1) (i_^_X-f-l)== 



n-X 

{—ly 2(i-i-X)(iH-X— l)....(iH-l){i-HX— w)(i-»-À-w-l)....(i-»z-+-l)A^w,., 

ou, ce qui revient au même, 

:Eu.^^i{i—l) {i—'K-^l){i — n){i — n—l) {i—n—'k-^l) = 



2(i-4-l)(i-4-2) (i-^X){n — i—l){n — i — 2) (n — i—'k)à^u.. 

Or comme dans la dernière somme à partir de i = — X k i= — 1, 
et de i = n — X à i = n — 1, la fonction se réduit à zéro, on pourra y 
remplacer les limites 

i == — X, i = n — X, 
par les suivantes: 

i = 0, i = n, 

sans en altérer la valeur et d'après la formule trouvée, on aura 

2u,à^i(;i—l) (i_x-+- l)(i — ^,)(i— w — 1) (i—n — 'k-+-l)z= 



2{i-^l){i-i-2) (^i^l)(n — i—l)(n—i — 2) (n— i — X) A^m,., 

ce qui donne, en vertu de (7), la formule suivante pour l'évaluation des 
sommes 



(8) "^'^xii)"i = 


n 

q:2(i-*-l)(i-H2) (i-+-l)(n — i—l){n—i—2) (w— i— X)A^w.- 



— 550 — 
§ 6. Passant au calcul des sommes 



remarquons que l'équation (8), pour 

donne, à l'égard de ces sommes, la formule générale 



Cl 2 (i-4- 1) (i-h-2) (in-X) (n—i — 1) (n—i—2) (n—i—'k) A^ ^^ (i). 

' ' 

En vertu de la formule (6), on trouve 

(7^A'^'(i— 1) ii — l-i-l){i — n)(i — n—l) {i — n — l-^1), 

ce qui nous donne 

et par suite l'expression précédente de la somme 

24-/© 



se réduit à la suivante 
(9) 

1.2 2X.C22 





'(i-Hl) {i-+-2) (i-i->^)X 

{n — i — 1) (w — i — 2) .... (w — i — X) _ 



Pour faciliter la transformation ultérieure de cette formule, remar- 
quons que 

A^(^-l-X)(^^-X— 1) (i — X-*- 1) = 

2X(2X— 1) (X-i-l)(^-l-X)(^-^-X— 1) («h-1); 

en vertu de quoi la formule (9) peut être représentée sous la forme 



24>-2(i)=i.2....X.q22 



\n~i—l){n — i—2). . .(w — i — X)X" 
A^(i-i-X)(i-f-X— 1) (i~X-i-l)_ 



— 551 — 
Appliquant à la somme 

2(n—i—l){n—i—2) (n— i— X) A\^-l-X) (i-f-X— 1) (i— X-h1) 



la formule (5) qui donne généralement 

2 U. A^ F,.= U._^ A^-' F — A Z7._^ A^"^ F.-*- .... — (— l )^ A^ -^ Î7._^ . F. 

-X- 



-(-l/2A^?7._^.F,-4-(7, 



nous devons poser 

U. = (n~i—l)(n — i — 2) (n — i — l), 

F. = (i -*- X) (i H- X — 1 ) (i — X -4- 1 ) . 

Or dans ce cas, les fonctions 

A^-^F., A^-'F..,....AF., F. 
s'annulent pour i = 0, et les fonctions 

ir.._„ Af/,_„....A'-'îr,_, 

pour i = n; donc en appliquant cette formule à notre somme, les termes 

U,_^ A^^~' F. — A U,_^ A^-^ F. H- .... — (— 1)^ A^-^ U,_^ . F. 
se détruisent et la somme se réduit à 



D'après la valeur mentionée ci-dessus de la fonction tT., nous trouverons 

A^Î7._^=:A^(n — i-f-X— 1) (w — z-i-X— 2) (n — i) 

= (—1)^1.2.3 X, 

et remarquant que 

F. = {i-f-X) (^-i-X — 1) (i_X-i-l), 

nous réduirons ainsi la somme 

: 2{n—i—l)(n — i — 2) (n—i—k)A^{i-t-X)(i-+~\--l) (i_X-t-l) 

I 

à la forme suivante : 
I 1.2.3 X2(i-^X) (i-f-X— 1) (^_Xh-1). 



— 552 — 

Qiiaut à la recherche de cette dernière, elle se fait facilemeut à l'aide des 
procédés connus du calcul inverse des différences. 
Ainsi, sachant que 

2(i-i-X) (i-*-X— 1) (i — X-*- 1) = 

_i_ (i_^X) (i-f- X— 1). . . .(i - X)-»- (7, 
et remarquant que l'expression 

^.{i-^-^) ii-^-^-l), . . .{i-l) 
se réduit à pour i = et prend la valeur 

_1_^. (^_t_X) (n-4-X — Ij. . . .(n — X) 
ou 

_1_ n {n' —V){n^ — 2') (w^ — X^), 

pour i = n, nous obtenons 

^(iH-A)(iH-X— 1) {i—A-i-1) = ^^n(n'—V)in^—2') (^'— A^). 

En vertu de cela, nous trouvons d'après la formule précédente que la 
somme 

2(w— i— 1) (w— i— 2). . . .'(w— i— X) A^(^-*-X)(i-^-X— 1) (i_X-*-l) 



est égale au produit 

1.2.3 >^'T^^^n{n^—V) {71^ — 2^) (n^ — l'); 

ce qui, étant substitué dans l'expression trouvée de la somme 2^^^(^), donne 
la formule 

(10) 2 4^,2 (,•) _ l-.2^....X^n(n^-lW-2--)....(n^-X^) ^^,_ 

§ 7, En vertu de ce que nous avons montré par rapport aux valeurs 
des fonctions '{^o(^)j 'J^i(^)j '■^2(^)>- • • •? renfermées dans la formule 



et aux sommes de la forme 



553 



cette formule se réduit à la série suivante : 

2m^- 3^(t-+- 1)(« — t— 1)Am/ 



(11) 



u - 



" 12. n(n2 — 12) 

5 i (t H- 1) {i -i-2){n — i— 1) {n — i — 2) A^m^- 



- A a; (a; — n) - 



12.22.W (n2— 12) (n2 — 2«) 

7 2 (î -H 1) (i -H 2) (i-i-S) [n - i - l){n - i - 2) [n - i - S) ^^Ui 

^ 

12. 22.32.n (n2 — 12) [n^ — 22) («2 — 32) 



A^x{x — 1) (x — n){x — n — 1) - 



x{x—l){x—2) X ~ 
Jx-n){x-n-l){x-n-2)_ 



l'expression du terme général étant: 

(2X^-l) >: (t-Hl) .... (^■-t-X) (n-i-l) .... (n-i-X) A^^j- 

. 9 /y 

12.22. .. .X2.n{n2— 12). .. .(n2-X2) 

Quant aux valeurs des fonctions 



'x(x — 1). . . .(x — l-i- 1) X 
_(x-n) {x—n-l)....{x~n—'k-^l)^ 



Ax(x 7l), 

A^x{x — 1) (x — n) {x — n — 1), 

A^x{x — 1) (x — 2) {x — n) (x — n — 1) {x — n — 2), 



dont dépendent les termes de cette série et que nous désignerons, pour 
abréger, de la manière suivante 

A{x), \'{x), A\x), , 

elles se déterminent facilement par les procédés ordinaires du calcul des 
différences finies. On peut d'ailleurs déduire sans peine plusieurs formules 
pour leur évaluation. Ainsi, en vertu de l'égalité connue 

A^t^F=F ,A^'U-t--AV , .A^~'£7 -t-^^^^^^A^F , A^'~^ U 

x' X X-+X X 1 X-+-X— i X 1.2 a?-i-X— 2 ^ x""i 

qui détermine la différence A^ d'un produit de deux fonctions, en y posant 

U^ = x{x—1) (a; — X-H 1), 

V^ = {x — n) {x — n — 1) . . . .(x — n — X -i- 1), 



— 554 — 
nous trouvons l'expression suivante de A^ {x): 
1.2. . . . X (a: -I- X — n) (a; h- X — n — 1 ) . . . .(x — n-t-1)-^ 

y. 2. 3 'k.l{x-i-l — n—l){x-i-'k—n — 2) (x — n -i- l) x -i- 

^^^^3.4 l.'k(k—l){x-t-l — n — 2) (x — n-i-l)x{x—l)-+- 

qu'on peut écrire d'une manière plus abrégée sous la forme: 



A''(^) = 1.2. 



'{x-\~'k — n) (x-i-'k — n — 1) . . . .{x — M -+- 1) 

-♦-p(^-4-X — n — 1). . . .{x — n-i-l)x 

"^ 12^^ (^-t-X — n — 2). . . .{x — n-^-l)x(x — 1) 



Une autre formule plus commode pour le calcul de A^ (x) se trouve au moyen 
de la formule connue 

f (^) = A^) -^- ^ A f W -H ^^:=^^^^fAzil) AV (X) -»- . . . . , 

en l'appliquant au développement du produit 

{x — n) {x — n — 1). . . .{x — n — X-+- 1) 

sous le signe A^ dans l'expression 

A'\x) = a'^x{x — 1). . . .{x — X-+-l)(a; — n)(x — n — 1). . . .{x — n — X-i-1), 

ce qui nous donne 

(12) A^'(a;)=1.2 X(X — w)(X — n— 1) (1— w) 

-f-y.2.3 (X-+-l).y(X — *^)(X — n— 1) (2 — w) 

-*-f .^.3....(X-H2).m^(X — n)(X— n-l)....(3— w) 



"(—1/1. 2. ...XX' 

_{n-l){n-2)....(n-^) 



1 _ M^-^-i) ^ . 

(X— l)X(X-«-l)(X-t-2) a; (g — 1) 
(n— l)(n — 2) 12.22 

(X — 2)(X — 1)....(Xh-3) a;(a:— l)(a; — 2) 
L (n — 1) (n — 2) (n— 3) 12. 22.32 



— 555 — 

On peut trouver en outre une équation pour la détermination successi- 
ve des fonctions 

Eemarquons dans ce but que les fonctions 

qui, d'après ce qui précède, s'expriment comme il suit: 

^;,(^) = C,,A*(x), 

doivent être liées par l'équation 

+X-.-X (^) = ^x-^i +x (^) -^ h-^i ^x-i (^) ; 
car les fonctions 

désignent les dénominateurs des réduites de la fraction continue 



ïo- 



?X-H^ 
3X-1-1- 



En même temps la fonction 
doit être linéaire, c'est à dire de la forme 

car, comme nous le savons, les fonctions ^^-+-1 (^)' ^x(^)' ^X— 1 (^) ^^^* ^^ 
degrés X-i- 1, X, X — 1, ce qui suppose, en vertu de l'équation précédente, 
qu6 â'x-f-i 6st du premier degré. Mettant ^ a? -+-5 à la place de q^^^ dans 
cette équation et substituant les valeurs trouvées ci dessus des fonctions 

'l^X -4-1(^)5 ^x(^)' "l^x— 1(^)5 "^"^ trouvons: 

q^^ A^^^ (^) = (^o; -f- 5) q A^^ {X) -f- i^_^^ q_^ a^-^ {x\ 

ce qu'on peut écrire, après avoir divisé par Gy_^_^^ comme il suit; 

A^^-^^ (.'>;) = {Mx -f- N) A^' (x) -+- P A^-' (x), 



— 556 — 
en posant 

7ir_ ^<^ A7_ -S<^X p _ A-t-l <^X-l 

Après avoir trouvé ainsi la forme de l'équation qui lie les fonctions 

nous trouverons facilement les constantes M, N, P qu'elle contient; on n'a 
que d'y substituer les valeurs des fonctions 

A'-^'ix), a\x), A^'-'{x), 

pour trois valeurs distinctes de x et chercher pour quelles valeurs des con- 
stantes M, N, P les équations ainsi obtenues se trouvent vérifiées. Ainsi, 
faisant successivement a; = 0, ^=1, x = 2, nous trouvons pour détermi- 
ner les constantes 

M, N, P, 
les trois équations suivantes: 

A^^-*-^ (0) = NA'' (0) -H PA^-' (0), 
A^'-^'{l) = iM-+-N)A^{l)-i-PA''-'il), 
A''^' (2) =- (2 M-t- N) a\2) -h PA^~' (2), 

d'où l'on tire pour 31, N, P les valeurs que voici: 

A>--^-i (2) _ A^~*-i (1) A^-^i(O) 

p A^(2) A>^(1) A^(0) 

A>-— 1(2) A>^-'(1) A^-— MO) ' 

A^'(2) A^^(l) A>^(0) 

^^^ A>-H-i(o) ^ A>-- ■ (0) 
A^^(O) * A^(0) ' 

^ ^ AA-*-! (1) _ A>--^MO) _ p / A>--M1) _ A>^-i (0) \ 
A>^(1) A>^(0) \ A>^(1) A^'IO) r 

ce qui donne, après la substitution des valeurs de 

A^'^-^O), A^^-'(l), A^^-^(2), 
a'^0), A^"(1), A^2), 
A^--^(O), A^-^(l), A'-^'{2), 



tirées des expressions trouvées ci-dessus de la fonction A^ (x), 

N =^ — {2\-^\){n— 1), 

et par conséquent, d'après ce qui précède, on obtient l'équation suivante 
entre les fonctions A^^"*"' (.^), A^(x), A^~' {x)\ 

A^-^' (x) = {21 -t- 1) i2x — n-i- 1) A^ {x) — 7^ {n^ — l^) A^~' (x). 

Eu vertu de cette équation et observant que 

A'ix)=l, 

A^{X) :=2X n -4- 1, 

nous trouvons successivement 

A^(x) = 3{2x — n-*-lf — n^-i-l, 

A^{x)=lb{2x — n-+'\f—3 {dn^ — 7){2x — n-\-l), 

A'{x)= 106{2x—n-i-lY—30{3n'—U){2x—n-i-lf-t-9{n^—l){n''-d), 

A'{x) = 94:o{2x — n-i-lf—1060{n^ — 7){2x — n-*-lf 

-t- 1 5 (1 5îi* — 230 w2 -+- 407) (2a; — w h- 1), 
etc. *). 

§ 8. En développant u à l'aide de la formule obtenue au § 7 et en y 
retenant un nombre plus ou moins grand de termes, nous obtiendrons les 
expressions de u sous la forme des polynômes de degrés plus ou moins 
élevés, représentant la fonction u avec une approximation respectivement 
plus ou moins grande. A l'aide de ces expressions approchées de m, on ob- 
tiendra ses valeurs 

avec des erreurs plus ou moins considérables; nous allons nous occuper 



*) Ces fonctions, comme il est facile de voir, satisfont à l'équation suivante aux diffé- 
rences iinies: 

(^ -I- 2) (X -*- 2 — w) A2 r-+-(2x-i-3-n — X2 — X)Ar— X(X-+-1) r=o, 

X désignant le degré de T. 



— 558 -~ 

mainteuaut de la déterminât iou de la somme des carrés des erreurs dans les 
valeurs de 

qu'on obtient de cette manière, en retenant un certain nombre donné de 
termes dans le développement de u. 

Eu prolongeant le développement de u d'après la formule (1) jusqu'au 
dernier terme, nous trouvons: 



(13) U=-^„ ^oi^)-^-n *i(^)- 



^^>nii}^i 



:^VW 



2^i^W 



^Wii) 



-*„(^), 



ce qui donne, comme il a été dit dans le Mémoire mentionné, tout à fait 
exactement toutes les n valeurs de la fonction ^/, 



Wn, %, II, 



Elevant au carré les deux membres de cette formule et sommant pour tou- 
tes les valeurs entières de x depuis x = jusqu'à x = n, nous aurons pour 
déterminer la somme 



2wA 



l'expression 






2VW 

L 



^ViO 



JO 



-*n(^) 



Or (§ 2), comme eu vertu de la propriété des fonctions ^o{x), ^i(.'ï), 
'j>2 (x), .... la somme 

^ 

s'annule pour des valeurs inégales de (x et v, l'expression précédente se ré- 
duit à celle-ci: 



- 4^0 (î) «t 



:^VW 



2-V(^)- 



_o 



2-^,2(i) -*-....- 



_0 



^'k'i^^ 



qui donne, après une réduction, l'expression suivante de la somme ^î\^: 





2n/ = - 



^•V« 



^^i^(i) 



^^nHi) 



559 



D'autre part, en faisant passer dans la formule (13) X-h 1 termes du 
second membre au premier, élevant au carré et sommant depuis x = 
jusqu'à x = n, nous obtenons d'une manière analogue pour déterminer la 
somme 



2 



^ ^0 (»■) ^i 



-')>o«-... 





l'expression suivante 



_0 



-'tx(^) 



^^^X-Hi^W 



2^X-H2Mi) 






Or, d'après la composition de cette somme, on voit qu'elle représente 
la somme des carrés des erreurs dans les valeurs 

Mo, U^, U^, . . . . U^_^, 

calculées à l'aide du développement de u en série 



lorsqu'on l'arrête au (X -+- 1)"° terme 

-^. ^xi^)- 



Donc en représentant, pour abréger, la somme de telles erreurs par 



:Ed,'' 



nous aurons, par ce qui précède 



^c;.2==VA ^--i-^i ^-^-....-f-^ L, 



^^l-^-iHi) 



^^iWii) 



^K'(}) 



— 560 — 
En comparant cette expression de la somme 2^^^^ à l'expression trouvée ci- 
dessus de la somme 2 m/, nous remarquons entre elles la relation que voici: 





vvW ^4^iMî) ^i'xHi) 



qui nous servira pour la calcul de ^di- 

Quant aux valeurs des termes qui figurent dans cette formule, remar- 
quons qu'en vertu de (8) et de (10), on a généralement pour toute valeur 
de A 

[ ï; v|;) (i) uA (2 X -H 1) / i (t-Hl) {i-t-2). . . .(i-f-X) {n-i—l) (n—i-2). . . .{n-i—l) A^ uA 

:^^}^{i) 12.22....X2.w(?i2-l2)(n2-22)....(n2— X2) 



par conséquent cette formule prend la forme 

„ l'iui) 3( i(i-+-l)(n~i-l)A«i-) 



n 12. n («2 — pj .... 

(2X-t-l)( i(iH-l)(i-t-2). . . .(i-t-À)(w— i-l)(n— i— 2)... .(n-ï-X)A^i/t-j 
12 . 22 . . . . X2 . n (n2 — 12) (»2 _ 22) . . . . (n2 — X2) ' 

et donne la relation suivante entre les sommes ^d^, 2c?^ ^^: 

(2Xh-1)( l(i-Hl)(t-4-2). . .(t-i-X)(n-i-l)(n— t— 2). . .(n-i-Vj t^uA 



i d-' 



'''À— 1 l2.22....X2.n(n2-l2)^n2— 22)....(n2-X2) » 

d'après laquelle il est facile de calculer successivement les sommes 

2dJ^, ^d,\ 2d,^.... 

et de voir comment elles diminuent à mesure que le nombre de termes re- 
tenus dans le développement de u augmente. 

Quant à la première somme 2 d^^, il est facile de voir d'après les for- 
mules précédentes, qu'elle est égale à la somme des carrés des différences 
entre les quantités 

Wo, u„ Wa, .... î^„_i 

et leur moyenne arithmétique ■ 

n 

^ 

n ' 

parce que cette moyenne représente le premier terme du développement d( 
m(11). 



24. 

SDR 

mHTÉSKlTÏOH DUS DÏFFÉRIÎHTÏIÎLLIS 

QUI CONTISNNKNT 

UNE RACÎNE CUBIQUE. 

(TKADUÏX PAIR X. L. PTASCKÏXZXY.) 



B5^ uumczpupoêaniu 9u<J:)(^epeHî{iaAoê'ô 



npHjioœenie k-b VII-My TOMy SanacoKi. ELunEPATOPCKOH AKa^eMin HayK-B, JVa 6, 1865 r.) 



(Lu Je 16 février 1865.) 



Sur l'Intégration des différentielles qui contien- 
nent une racine cubique. 



§ 1 . Dans le Mémoire sous le titre Sur V intégration des différentielles 
irrationnelles j'ai montré comment on trouve, dans l'intégration sous forme 
finie des différentielles contenant une racine quelconque, le terme algébrique 
ainsi que les équations qui déterminent séparément chaque terme loga- 
rithmique. Pour résoudre complètement la question sur l'intégration sous 
forme finie de ces différentielles, il reste à donner le procédé pour calculer 
les termes logarithmiques d'après les équations qui les déterminent. Jusqu'à 
présent un tel procédé n'a été donné que pour les cas les plus simples. 

Dans le Mémoire connu d'Abel sur l'intégration de la différentielle 
^ (Oeuvres compl., t. I, p. 65) nous trouvons un tel procédé pour le cas 
du radical carré, p étant une fonction entière et B une fonction sans fac- 
teurs multiples. Dans le Mémoire sous le titre Sur Vintégration des diffé- 
rentielles qui contiennent une racine carrée d^un polynôme du troisième ou 
du quatrième degré j'ai montré que par le même procédé on peut détermi- 
ner les termes logarithmiques de l'intégrale J^^ dx dans le cas même de p 
fractionnaire, pourvu que le degré du polynôme R ne dépasse 4. Ce procédé 
de la détermination des termes logarithmiques dans l'expression de l'inté- 
grale \4^dx consiste, comme on le sait, dans le développement du ra- 
dical y i^ en fraction continue de la forme 



les fractions réduites^ que l'on obtient en développant l'expression V i?, don- 
nent les deux fonctions inconnues qui figurent dans le terme logarithmique 

3G* 



— 5G4 — 

(le riutégrale J y-j, dx pour les cas considérés. On peut démontrer que ce 
procédé de la détermination des termes logarithmiques s'étend ù tous les 
autres cas de l'intégration des différentielles contenant une racine carrée 
et qu'il ne faut pour cela que prendre le développement du radical V J? eu 
fraction continue de la forme plus générale, savoir: 



où Sj, §2, -'^3 5 sont certaines fonctions de x. Mais si le cas des radicaux 

carrés peut être résolu toujours à l'aide des fractions continues, il n'est pas 
difficile à remarquer que les cas des radicaux des degrés supérieurs exigent 
une autre méthode: dans ces cas la détermination du terme logarithmique 
se réduit à la recherche des fonctions inconnues au nombre dépassant deux; 
tandis qu'à l'aide de fractions continues on ne résout que les questions à deux 
fonctions inconnues. Afin de montrer en quoi consiste la méthode rempla- 
çant, dans le cas des radicaux de degrés supérieurs, le développement en 
fraction continue qui donne les termes logarithmiques dans l'expression de 
l'intégrale [^n ^^ dépendant du radical carré, je montrerai dans le présent 
Mémoire l'intégration sous forme fini de la difi"érentielle 3—- dépendant 

d'un radical cubique Vi?, en supposant (comme l'a fait Abel dans le 
Mémoire cité ci-dessus, par rapport aux différentielles dépendant du radical 
carré) que p est une fonction entière et Vi? n'a pas de diviseur rationnel. 

§ 2. Comme la détermination du terme algébrique dans l'expression 
des intégrales en question ne présente, comme on l'a remarqué, aucune 
difficulté, nous supposerons que ce terme a été préalablement éloigné de 
l'expression de l'intégrale [3— dx. Cela posé, d'après le § III du Mémoire 

cité sur l'intégration des différentielles irrationnelles, le degré de l'expre- 
sion 

p 
Vb 

ne dépassera pas — 1, et, d'après le § VIII du même Mémoire, le degré de 
l'expression 

p 



— 565 — 

ne peut' être inférieur à — 1; car autrement le nombre de termes dans 
j 'intégrale ï~- dx serait égal à 0. Donc l'expression -^ doit être du 
ilegré — 1, ce qui suppose l'égalité des degrés des fonctions y'iî, — . En 
appelant X le nombre entier désignant le degré de la fonction rationnelle —, 
nous trouvons donc que la fonction i? doit être du degré 3X, c'est à dire de 
degré multiple de 3. D'autre part, comme, d'après l'hypothèse, le radical "l^J? 
n'a pas de facteur rationnel, la fonction B ne doit pas avoir de facteurs 
linéaires avec l'exposant supérieur à deux, et par suite elle sera, en géné- 
ral, de la forme 

B = B^. 7?/, 

(ài R^ , i?2 sont composés de facteurs linéaires distincts. 

Après ces remarques préliminaires nous passons maintenant à la déter- 
mination de l'intégrale \~ dx. Puisque ici, par supposition, p est une fonc- 
tion entière et le radical y itn'a pas de facteur rationnel, l'expression de 
cette intégrale par logarithmes sera, d'après le premier théorème du Mé- 
moire cité ci-dessus, de la forme suivante: 

(1) \j^dx = K\og[<!^{fll).f{ocfB).^^\o:'fli)l 

où (p {Vil) est une fonction entière de la variable x et du radical >^i?, K — 
une constante, a — une racine primitive de l'équation binôme 

a^— 1=0. 

Comme 9 {VB) est une fonction entière de x et de y'M, elle sera en 
général de la forme 

où X, r, Z sont fonctions entières de x, ce qui, en remplaçant M par 
B^ B\, se réduit à 



où les radicaux yB^B^, VB^B,^ se déterminent l'un par l'autre comme 
il suit: 

[fB;B}f=B,fB^,. 



— 506 — 

D'après cela, eu mettaut dans la formule précédente simplement Z à la 
place de ZJ\^^ nous coucluous que la fonction 9(1^1?) figurant dans l'expres- 
sion ci-dessus de l'intégrale 

sera eu général de la forme: 

où X, r, z sont fonctions entières, le radical i^B^ i?/ est identique à i^B 
et le radical VB^B^ se détermine ainsi: 

B, i^B^B, = {fBJÎ.'f = {i^B)\ 

Il n'est pas difficile à remarquer que dans cette exi)ression de 9 ( 1^ B) 
les polynômes X, Z, Z peuvent être censés délivrés de leur commun divi- 
seur; car cela est équivalent à la supression dans le produit 

cp {i^B) . (f (a fB) . 9=^' (a2 ^B) 

de ce facteur élevé à la puissance 1 n- a h- a-, et la somme 1 -f- a -h a^ se 
réduit à zéro, d'après la propriété des racines primitives de l'équation 
a' — 1=0. D'après cela nous supposerons toujours que dans l'expression 
de la fonction 9 (VB) par la formule 



(^{VB) = X-+-YyB, i?/ -+- Z VB,' B^ 

les polynômes X, Y, Z n'ont pas de diviseur commun. 

De plus, il est facile à voir que l'expression de l'intégrale par la formule 
(1) peut être présentée de sorte que les fonctions © (VB), <d {<xVB)^ 
ç (a- Vi?), s'aunulant pour une valeur quelconque x=^x,, ont pour facteurs 
des puissances entières (et nou fractionnaires) de a; — x^. En eifet, cette 
formule peut être représentée ainsi: 

^^dx=\K log [9^ ( VB) . 9^« (a fi?) . 9^=^^ (a^ fB)] 
ou 

\^^dx=K, log [90 (fi?) . Qo" (a ti?) . cp«^ (a^ fi?)] , 

Oll 

K, = \K, 9jf J?)=:f(fi?). 

La fonction 9o(f i?) a évidemment la même forme que celle de (9 V B), 
c'est à dire X h- Z yi?j i?2^ -h Z yi?^^ J?2 ; or, d'après son expression par 



— 567 — 

la fonction 9 {VB), on voit que si cpoC^'^ ^B) s'annule pour x=^x^ et con- 
tient en facteur la puissance n de x — x^, la fonction 9 (a** i^E) doit s'an- 
nuler de même pour x — x^ et contenir en facteur la puissance y de a; — x^, 
ce qui suppose n entier, car cp (Fit), étant une fonction entière de x et du 
radical cubique y M, ne peut contenir en facteur la puissance fractionnaire 
de X — x^ autre que celle qui a 3 pour dénominateur. 

Nous supposerons toujours que l'expression de notre intégrale est 
réduite à la forme dans laquelle les fonctions (^(VB), cpfaV-R), ^(a^l^i?), 
s'annulant pour une valeur quelconque x = x^, ont pour facteurs des puis- 
sances entières de x — x^, et que les polynômes 

X, r, z, 

qui figurent dans la fonction <^{yll), n'ont pas de diviseur commun. Cela 
posé, il n'est pas difficile à voir que pour aucune valeur de x toutes les 
trois fonctions 

^{fB), <?{afB), 9(a2fi?) 

ne peuvent s'annuler simultanément . En eftet, nous avons 

<^{\/ll) = X-^YfBjîJ-+-ZfB^,, 

ce qui donne pour la détermination des expressions: 

9(a >/i^) = X-H a YfB^^-t-OL'ZfB^, 
(p(a2 fR) = Xh- a2 YfB^-i- oi'ZfB^^; 

d'où il suit, en vertu de la propriété des racines de l'équation cx.^ — 1=0: 

9 (fB) -t- 9 (a fB) --H 9 (a^ fR) = 3 X, 
<^{fB)-+-ao{o:fB)-t-oc'^{QL^fB) = '6ZfB^, 
9 {fB) -t- a2 9 (a fB) -+- a^ 9 (a^ fB) = 3 YfÏÏ^. 

Or, on voit de ces équations que si toutes les trois fonctions 

(^{fB), ^{oifB), oipc'i/B) 



— 568 — . 

s'anuulent pour une valeur quelconque x = x^^ et, par suite, sont divisibles, 
d'après ce qu'on a démontré, par des puissances entières de a; — x^^ il en 
sera de même à l'égard des fonctions 



et comme d'autre part les fonctions R^, R^ sont composées de facteurs li- 
néaires distincts et, par suite, les radicaux 



VR^^R^, VR.R^ 

ne peuvent contenir en facteur une puissance supérieure à y de ic — x^^ 
cela suppose que les fonctions 

X, r, z 

contiennent le facteur x — x^^ par conséquent qu'elles admettent le diviseur 
commun; ce qui est contraire à notre supposition. 

§ 3. Comme p dans la différentielle en question 

•^dx 
Vu 

est une fonction entière, nous parvenons, eu vertu du § IX du Mémoire 
mentionné à la proposition suivante concernant la détermination de la 
fonction 9 (VR) qui figure dans l'expression de l'intégrale 

par la formule 

K log [cp [fR) . 9« (a fR) . 9«^ (a^ fR)] , 

L^ expression 

^(fR).f{xfR),(^^'i(x.^fR) 

reste finie pour toutes les valeurs finies de la variable. 

D'après cela il n'est pas difficile à démontres que les fonctions 

<^{fR), 9(afi^), <^{oL'fR) 

ne s'annulent pour aucune valeur finie de la variable. En effet, en supposant 
qu'une valeur quelconque x = x^ annule une ou plusieurs de ces fonctions 



— 569 — 

et désignant par (jl^, ]x^, jx^ les exposants du facteur x — x^ dans ces fonc- 
tions, nous trouvons que le degré du facteur x — x^ dans le produit 

9 (fa) . f (a fB) . 9«^ (a^ fE) 
doit être égal à 

H'o-»-l^ia-+-(^2a^; 

et comme, d'après la propriété énoncée, ce produit reste fini pour x = x^, 
la somme (ji. -h ^jl^ a -*-iJL2a^ doit se réduire à zéro. Mais, d'après la propriété 
des racines primitives de l'équation a^ — 1=0, l'égalité 

où ji-o, (Xj, \L^ sont, comme on l'a vu dans le § précédent, des nombres entiers, 
ne peut subsister que pour 

1^0=1*1 = 1^25 

ce qui ne peut avoir lieu, car cela suppose que toutes les trois fonctions 

cp(fi^), oioL^B), <^{0L^fB) 

s'annulent pour x==x^. 

Après avoir démontré qu'aucune de ces fonctions ne se réduira pas 
à pour une valeur finie de x, nous remarquons qu'il en sera de même 
à l'égard du produit 

9(>'i?).9(afi^).9(a2l^J?); 

et comme ce produit présente évidemment une fonction rationnelle et entière 
qui ne peut rester différente de zéro pour toutes les valeurs finies de la vari- 
able que dans le cas oii elle se réduit à une constante, nous en concluons que 

(2) 9 (fH) . 9 (a l^i^) . 9 (a^ fn) = G, 

où G désigne une quantité constante, 

§ 4. En vertu de la proprosition du § précèdent nous voyons que la 
possibilité d'exprimer l'intégrale 






570 — 



par la formule (1) suppose la possibilité de satisfaire à l'équatiou (2) par la 
fouctiou 9 (1^70 de la forme 



X-*-TVB, JR,' -f- Z VE,^ i?2, 

où X, Y, Z sont des fonctions entières de x, et 7?, lî^^ est la décompo- 
sition du polynôme 7? en produit de facteurs simples et doubles. 
Réciproquement, en supposant que la fonction 



(p (fB) = X -H Y VR, B.f -f- Z VR,' R, 
satisfait à cette équation, on prouvera par dilï'éreutiation que l'expression 

K log [9 (1^7?) . çp" (a fR) . cp^' (a^ f 7?)] , 
sera la valeur de l'intégrale: 

où Ço est une fonction entière. En appliquant à cette intégrale ce qu'on a 
dit dans le § 2 relativement à l'intégrale 






dx, 



nous remarquons que l'expression /-^ sera aussi du degré — 1. 

V B 

Outre cela, il est facile à voir que les intégrales de la forme 

ïj^dx 
i |/ B 

obtenues au moyen des solutions de l'équation (2), seront égales à un fac- 
teur constant près. 
En effet, soient 

J 1/22 ' J VB 

deux intégrales qu'on obtient au moyen du procédé indiqué ci-dessus en 
prenant pour 9 (i^R) deux solutions différentes de l'équation (2); ces inté- 
grales s'exprimeront seulement à l'aide des logarithmes, donc il en sera de 
même par rapport à l'intégrale 

r CoPo-giPi ^ 



— 571 — 

quelles que soient les valeurs des coefficients constants Gq et 6\ . Or, en choi- 
sissant convenablement les coefficients Q, (7^, on peut réduire l'expression 

Cq Po ~ ^1 Pi n Po n Pt 

à celle de degré inférieur à — 1, puisque d'après la remarque ci-dessus, 
les expressions 

Po Pi 

Vb^ Vb 

seront de degré — 1; mais dans ce cas (§ 2) le nombre de termes dans 
l'expression de l'intégrale 



r <^oPo— <^iPi 
I Vb 



dx 



se réduit à et, par suite, sa valeur est une constante^ ce qui suppose l'é- 
galité 

Cq Po — Cy Pi 

Vb 
D'où il suit que les intégrales 



\^dx, \^dx, 
H'B ' J |/i2 ' 



déduites des différentes solutions de l'équation, ne diffèrent que par des fac- 
teurs constants. 

Donc, il est clair qu'afin d'obtenir toutes les intégrales de la forme 



J i/B ' 



I VB 

exprimables par la formule (1), il suffit de trouver une solution de l'équa- 
tion (2), et qu'à l'aide de cette solution nous trouverons toutes les valeurs de 

la différentielle -^ dx, intégrables par une telle formule, en différentiant 

y B 

l'expression 

K log [9 (f J?) . 9^^ (a fB) . 9<^' (a^ fR)\ 

où la fonction ç {'VB) satisfait à l'équation (2) et K est un coefficient arbi- 
traire. Dans le cas, où il est impossible de satisfaire à l'équation (2) pour 
une certaine valeur de i?, aucune intégrale de la forme f — dx ne s'expri- 
mera par la formule (1). 



— 572 — 
Notre problème de l'intégration de la différentielle de la forme 

T-dx 
se réduit ainsi à la recherche de la solution de l'équation 

9 (f i?) . ç (a ti?) . 9 (a^ >/i^) = (7, 
où 

9 (fB) = X-^Y fÏÏ^-i- Z fÏÏfR^ 
et 

B^ J?2 ^^^ -^J 

c'est ce qui nous occupera dans les paragraphes suivants. 

Indiquons encore ici le lien qui existe entre la question sur l'intégra- 
tion de la différentielle 

V-dx, 

dont il s'agit, où B^= B^R^^ et la même question à l'égard de l'intégrale 
J Y- — dx^ où Rq = R^R^. En appliquant à la dernière intégrale ce qu'on 

a déduit relativement à la première, nous trouvons que l'expression de la 
nouvelle intégrale par l'expression de la forme (1) sera la suivante: 

\f^^dx = K, log [?„ ( fR,) . ç»" (« tiJo) . 9.-' (a^ fB,)] , 

OÙ la fonction 

9o(l^i?o) = ^0 -^ ^0 '^'W^2 -*- Z, fR^R} 

représente la solution de l'équation 

?o (M) • ?o (« T^^o) . ?o {^' ^^o) = O. 
En comparant la forme des fonctions 



9o (Vi^o) = X,-^Y, VR,' R, -4- Z, VR, R,% 



9o (a fR,) = Xo H- a r, fR,^ R, -f- a^ Z, ^R, R,^ 



— 573 — 
qui y figurent, avec celle des fonctions 

f^{i/ R) = X-^^ Y VÏÏ^^ -^ ZfR^^, 



qui déterminent la valeur de l'intégrale 

pour B = B^R^^ nous remarquons, d'après la forme de ces fonctions, qu'on 
peut poser 

Comme pour ces valeurs des 

ToCl^^o), 9o(a>'^o), ÇoCa'T^^o) 
l'équation 

se réduit à l'équation 

9 ( f 72) . ç (a f i?) . 9 (a2 >/j?) = (7, 

à laquelle satisfait la fonction 9(1/!?), il n'est pas douteux que ces valeurs 
des fonctions 9o(>^7?), 9o(al^i2), 9o(a2>^i2) correspondent complètement 
aux conditions de la formule ci-dessus qui donne la valeur de la nouvelle 
intégrale 

donc, nous trouvons d'après cette formule 

\^^dx = K, log [9 ( fR) . 9« (a^ fR) . 9»^ (a t J?)] . 
Ainsi la fonction 9 (i^R), que l'on obtient en résolvant l'équation 

9 ( ti?) . 9 (a l^i?) . 9 (a2 f i?) = (7, 



— 574 — 
va nous servir à déterminer l'inté^ïrale 

aussi bien dans l'hypotlièse de 
comme dans celle de 

dans le premier cas l'expression de cette intégrale sera donnée par la formule 

K log [9 {fjR) . f (a fB) . 9-=^' (a^ fR)], 
et dans le second cas par la formule 

K log [9 (fi?) . 9" (a^ fjR) . o^' (a fB)]. 
§ 5. Quant aux solutions de l'équation 

9 (l^i?) . 9 (a l^i?) . 9 (a^ >/i?) = C, 
où la fonction 9(1^7?) est de la forme 

il est facile à voir qu'au moyen d'une seule de ces solutions on peut eu 
trouver d'autres en nombre infini. En effet, si l'on satisfait à cette équa- 
tion en posant 

OÙ. 9o(y-R) est une fonction de la forme 

X-f- YfR^-^-ZfÏÏ^,, 

cette équation sera satisfaite aussi par 

9 (>^i?) = 9o^ ifB) . 9/1 (a fB) . 9of^2 (a^ fB), 

où [i, iXj , [ig sont des nombres entiers positifs quelconques; car la fonction 9 ( V^i?) 
donnée par cette formule sera aussi de la forme 



X-^YVB, B,' -+- Z VB.,^ B^ , 



— 575 — 

et l'équation dont il s'agit se réduit pour cette valeur de ^{VR) à l'égalité 

[9, (1^72). 9o (a ti?).9o (a^ 1^11)]^^^^^^^ = G, 

qui aura lieu si la fonction (^^{VE) vérifie notre équation. 

En vertu de cela il n'est pas difficile à montrer que pour chaque 
équation résoluble 

9 (l^i?).© (a -fi^).? (a^ fR) = G, 

on peut trouver une telle solution, dans laquelle la fonction cp (VR) est du 
degré négatif et les fonctions 9 (a i^Pi.) et 9 {7} i^B) sont de degrés positifs 
égaux entre eux. 
En effet, soit 

une solution quelconque de notre équation; n^, n^, n^les degrés des fonctions 

9o (fi?), 9o(afi?), ?o(a^f^) 

et N le plus grand des nombres w^, w,, n^. En posant dans la formule ci- 
dessus qui détermine les solutions de notre équation d'après l'une d'elles 

nous trouvons 

rf(fB) = ç,^-"» ifs.) . 9„^-". (« fS) . 9/--^ (a^ fB). 

En remarquant que, d'après l'hypotlièse, les fonctions (^^{VK), 90 (a VB), 
9o(a^fi?) sont des degrés îîqj *^ij '*h^ ^^"^ trouvons d'après cette formule 
que les degrés des fonctions 

ç (tJ?) = 9o*'-"« {fB) . 90"^-" (a fB) . 9,^-"^ {a? fB), 
9 (a fB) = 9,^-"» (« fB) . 9„*^-"' (a'^ f iJ) . 9o^-"^' ( tiJ), 
9 (a^ ti?) = 9,^-"° (*=> fB) . 9„^-"' (ti?) . 90*'-"' (a tiJ) 
ont les valeurs suivantes: 

iV («0 -+- w^ H- ^2) — V — Wi^ — w/, 
iV (Wo -+- Wi -*- W2) — Wo Wi — Wj ^2 — ^2 ^0 j 
iV (Wq -f- »?! -+- Wg) — Wo ^2 — **i *^o — »^a ^1- 



— 576 — 
Or la somme «o -i- n^ -+- n^ désignant le degré dû produit 

qui, d'après notre équation, se réduit à une quantité constante, cette somme 
doit être égale à 0; et, j^ar suite, les valeurs ci-dessus des degrés des fonc- 
tions 

9 {fjR), 9 (a i^R), 9 (a^ fR) 

se réduisent à celles-ci 

— rio^ — n^^ — n^^, — n^n^ — n^n^ — %n^, —ih^h — *^o»*i — w^n^, 

Il en résulte que la première de ces fonctions est du degré négatif et les deux 
autres sont du même degré, et comme la somme de tous ces degrés se ré- 
duit à — {riQ-t-n^-t- n^f = 0, on s'assure que les deux degrés égaux doi- 
vent être positifs. 

Après avoir démontré que parmi les solutions de notre équation il se 
trouve toujours une telle, dans laquelle l'expression cp(yi?) est du degré né- 
gatif et les expressions cp (a VR), 9 (a^ VR) sont du même degré positif, 
nous allons nous occuper maintenant de la recherche de cette solution. En 
appelant n le nombre désignant le degré des fonctions 9 (a Vi?), 9 (a^ VR) 
dans cette solution et remarquant que, d'après notre équation, la somme des 
degrés des fonctions a^iVR), 9 (a VR), (^{ol^ VR) est 0, nous trouvons que 
le degré de la fonction 9 (Vi^) sera égal à — 2w. Réciproquement, il est facile 
à voir que notre équation sera vérifiée toujours si, le degré de ^{VR) ne dé- 
passe — 2 m, et les degrés des fonctions 9 (a VR), 9 (a^ VR) ne dépassent 
n, où n est un nombre quelconque; car alors le degré du produit 

c^{fR).^{ocfR).o{y.^ fR) 

ne dépasse 0. Or il est clair d'après la composition de ce produit qu'il se 
réduit à une fonction rationnelle et entière et une telle fonction, étant du 
degré zéro, sera égale à une quantité constante, ce qui suppose l'égalité 

9 (1^i?).9 (a fR).f^{a? I/R) = C. 

Il en résulte que la détermination de la solution cherchée de l'équation (2) se 
ramène à la détermination de la fonction 9 (Vit) de la forme 

X-^YfR^'-^Zi^R^„ 



— 577 — 

telle que son degré ne dépasse — 2 n et les degrés des expressions 9 (a Vi?), 
9(a^ Vlî) ne dépassent n, on n est un nombre quelconque entier et positif. 
D'autre part, d'après la formule 

nous ti'ouvons, comme on l'a vu daus le § 2, 

3 X = 9 {fR) -+- 9 (a i/B) -+- 9 (a^ i/R), 



3 Y yB,Rf = ^ {VR)-i-a- 9 (a VR) h- a9 (a^ VR)^ 
3 Z fR,' R, = o{ i/R) -t- a 9 (a f^T?) h- a^ 9 (a^ fj?); 

d'où l'on voit, que dans la solution chercliée de l'équation (2) les termes 



Z, YVR.R^^ ZVR^^R, 
seront de degré ne dépassant ceux des fonctions 

9 {i^R), 9 (a fR), 9 (a^ fR), 

et, par conséquent, les degrés de ces termes ne dépasseront la limite n. 
Réciproquement, il est clair de la formule 

9 (\/R) = X-^Y fR^~^ Z i^RjR., 

que les fonctions 

9 (a VR\ 9 (a^ fR) 

seront de degrés ne dépassant n, si cela a lieu par rapport à chacun des 
termes 



Z, yVr.r^^ zVr.'r,. 

Donc, en vertu de la remarque précédente concernant la solution cherchée 
de l'équation (2), la détermination de cette solutiou se ramène à la recherche 
des trois polynômes X, Z, Z, pour lesquelles tous les termes de l'expression 

9 (i/R) = X-H Z fR^~k~Z fRjR, 

seraient de degrés ne dépassant n et le degré de cette expression elle-même 
ne dépasserait — 2 w, on n est un nombre entier positif quelconque. C'est 
de la détermination des polynômes 

X, Y, Z 



daus la formule 

9 ( f 7?) = X-+- r flïj^-^ Z flî^, 

d'après ces conditions, que nous nous occuperons maintenant. 

§ 6. En attribuant à n une valeur quelconque, nous trouverons, dans 
cette liypotlièse particulière par rapport à w, la limite supérieure des de- 
grés des poh'nomes X, y, Z, d'après la condition que les expressions 



doivent être de degré non supérieur à w; et pour déterminer les coefficients 
de ces polynômes nous remarquons que, d'après nos conditions, l'expression 

doit être de degré ne dépassant — 2 w et, par conséquent, dans son déve- 
loppement suivant les puissances descendantes de ir, tous les termes jusqu'à 
celui en -^^ doivent disparaître. On en tire le système d'équations qui doi- 
vent être vérifiées par les coefficients des polynômes X, F, Z et qui seront 
linéaires par rapport à ces coefficients. Si ces équations seront compatibles, 
leur solution va nous fournir les coefficients des polynômes X, Y, Z; dans 
le cas contraire il sera évident que la valeur considérée de n n'est pas 
admissible. Le nombre n étant inconnu, comme on le voit, une pareille dé- 
termination des polynômes X, Y, Z exige à éprouver les diverses valeurs 
du nombre w, jusqu'à ce qu'on ne parvienne aux équations qui admettent 
des solutions. De telles épreuves de diverses valeurs de n sont d'autant plib 
pénibles que, pour chaque valeur particulière du nombre w, il faudra for- 
mer de nouvelles équations, et ces équations, avec l'augmentation de n, de- 
viennent de plus en plus compliquées. Une pareille difficulté se présent» 
dans la résolution du problème que nous considérons aussi bien dans le ca^ 
du radical carré, mais dans ce cas ou l'écarté à l'aide de fractions continues 
car alors on n'a que deux polynômes à trouver et les conditions qui les dé 
terminent se réduisent à ce que les expressions X, Y V II soient de degré n( 
dépassant une certaine limite n et que la différence X — YV B soit ei 
même temps de degré ne dépassant — n\ ce qui démontre immédiat emcn 
l'identité du rapport ^ avec l'une des fractions réduites obtenues eu dévo 
loppant le radical V 7^ en fraction continue. Dans le cas que nous étudion 
ici, oii l'on a trois polynômes à trouver, il est évident que les fraction 



— 579 — 

continues ne peuvent être appliquées; le procédé, remplaçant ici le dévelop- 
pement en fraction continue, sera l'objet des paragraphes suivants. 

§ 7. L'expression 
ne peut être de degré inférieur à — 2 w, si ses termes 



et, par conséquent, les expressions 

cp (a^ fR) = X-^oc'Y fR^-^ ol Z fR^^ 
sont de degré non supérieur à n\ car autrement le degré du produit 

serait négatif, ce qui est impossible, par ce que ce produit se réduit à une 
fonction rationnelle et entière. On voit de là que les polynômes cherchés X, 
Z, Z, pour lesquelles l'expression 



ç ( Vi?) = X H- r Vi?^ J?/ -+- Z VR^' R, 

est de degré ne dépassant — 2n et dont chaque terme est de degré ne dé- 
passant n, réduisent cette expression à celle d'un degré le plus petit pos- 
sible, au quel elle peut être abaissée dans le cas où les degrés de ses termes 
ne dépassent pas la limite n. Il est clair de là que ces polynômes, pour une 
certaine valeur de N = n, fournissent la solution du problème suivant: 
Parmi les expressions de la forme 



X -+- r VR, 2?/ H- Z VR^' R, , 



dont les degrés des termes X, YvR^R^\ ZvR^R^ ne dépassent pas N, 
trouver celle du degré le plus petit. 

D'après cela, nos polynômes (si seulement l'équation est résoluble) se 
trouveront parmi les systèmes de valeurs des X, Z, Z que l'on obtient en 
résolvant notre problème dans l'hypothèse de X= 1, 2, 3, . . . . Parmi ces 
systèmes de valeurs des X, Y, Z nous reconnaîtrons aisément celui qui 
donne les polynômes cherchés; car pour ces valeurs des X, Y, Z le degré 



— 580 — 

de X-^ YyTi^B^-^ Z VB^Iu ne dépassera — 2î?, où n est la limite 
des degrés des X Y\'I\Ii^^ Zl^T?,^!/; pour toutes les autres valeurs des 
X, Y. Z le degré de l'expression 



sera plus élevé, comparativement à ceux des termes X, YvR^ R^^ Z vli^ i?o. 
Ainsi toute la difficulté dans la recherche de nos polynômes se réduit à la 
détermination des solutions du problème énoncé qui correspondent aux di- 
verses valeurs de N. C'est de cela que nous nous occuperons maintenant. 

En abordant ce sujet nous remarquons que pour toutes valeurs de N 
inférieures aux degrés de 1^7?^ 7?/ et de Vll^^ B^ l'expression 



X -f- r Vi?! B.^ -+- Z fB^^ i?2 
dans notre problème ne doit contenir de termes 



YVB.B,', ZyB.,^B.,; 

puisque leurs degrés, pour ces valeurs de N, seront toujours supérieurs à N. 
Par conséquent, pour ces valeurs de N, l'expression 

X-i-YfBjï} -i- Z flï^, 

se réduira au seul terme X; et comme le moindre degré de X est et ce 
degré correspond à la réduction de cette expression aune quantité constante, 
le problème considéré, pour toutes les valeurs indiquées de N, aura pour 
solution 

^{fB) = X^ YfB^-^ZfB^, = G. 

Pour les valeurs de X qui, n'étant inférieures au degré de VB^B^^, sont infé- 
rieures au degré de VB^^ B^ ou, au contraire, n'étant inférieures au degré 
de VB^B^^ sont inférieures à celui de VR^B^^, l'expression 

^{fB) = X-h-YflÇB^-*-ZfB^^ 

considérée dans notre problème n'aura que les deux termes: 
ou 

X-^YfBjR^^ 
ou 

X-^ZfBflï,, 



— 581 — 

suivant que le nombre N sera inférieur au degré de la fonction 'P'B^^ lî^ ou 
à celui de la fonction vli^ B.^. Dans l'un et l'autre cas, comme il est aisé à 
voir, notre problème se résout à l'aide de fractions continues; sans nous 
arrêter à ces cas particuliers, nous nous occuperons maintenant de la réso- 
lution générale de notre problème dans l'hypothèse où la fonction 

peut contenir tous les trois termes. 
§ 8. Comme l'expression 



9 (Vi?) = X -f- r VR, B,' -f- Z VB,' F,, 

et cliacun de ses termes ne changent pas leurs degrés après la multiplica- 
tion des trois polynômes X, r, Z par une quantité constante, nous ferons 
abstraction de facteurs constants communs à tous ces polynômes et compte- 
rons pour une solution toutes celles qui ne diffèrent que par de tels facteurs. 
Cela posé, nous allons maintenant montrer que pour chaque valeur donnée 
de N notre problème n'aura qu'une seule solution. Pour le démontrer sup- 
posons le contraire et soient 

x=x\ Y=r, z=z\ 

x=x'\ Y==r', z^z' 

les deux solutions de notre problème, ni le degré de l'expression 



X-+- r Vi?, B,' -+- Z VB,' i?2) 

réduit au minimum pour ces polynômes, Zi' et K' les coefficients respectifs 
de x^. Nos solutions étant supposées différentes, les rapports ^/, yr,, -^, ne 
peuvent se réduire à une quantité constante et, par conséquent, les trois 
différences : 

K' X" — S" X\ K'Y"—K" r , K' Z" — K" Z' 

ne peuvent disparaître à la fois. En prenant ces différences pour les valeurs 
des polynômes X, Z, Z dans l'expression 

X-+-Yi/BjX^-^Zi^'BfB^, 



— 582 — 
DOiis remarquons qu'elle se réduit à la différence 
K' \X"^ Y" y'BjQ-^ Z" f /^] —K" \X'-^ Y' fBJÏ}-^ Z' i^B^^, 

oîi, d'aju-ès la remanjue précédente concernant les coefficients de ^ dans 
les développements 

X' -+- Y' fRJÏJ-^ Z' flï^,, X" H- Y" fR^~+~Z" fÏÏfÏÏl, 

le terme en .r'" disparait et, par suite, le degré sera inférieur à m, ce qui, 
contrairement à l'hypothèse, fait voir qu'on peut abaisser le degré de l'ex- 
pression 

au dessous de w?, tout en laissant ses termes, conformément aux conditions 
du problème, de degré ne dépassant S; car il est clair que la limite de ces 
degrés sera la même pour les deux solutions de notre problème 

x=x\ Y= r, Z=Z', 
x= x\ Y=^r\ z=z'\ 

comme pour les polynômes X, Y, Z déterminés par les formules 

X=K' X"—K"X\ Y=K' Y"—K" Y\ Z== K' Z" — K" Z'. 

Après s'être convaincu que pour chaque valeur donnée de N notre 
problème n'a qu'une solution, nous passons maintenant à l'étude de la relation, 
qui existe entre ses solutions pour les diverses valeurs de N. 

Nous avons vu que pour toutes valeurs de X, inférieures au degré 
de i^R^Pi^^ et à celui de Vll^B.^^ notre problème a la solution suivante: 

9 ( i^R) = X-i-YfB,B.f H- Z tï^T^ = C, 

ou, en supprimant, conformément à la remarque précédente, le facteur con- 
stant G, 



Donc, en désignant par n^ le plus petit des degrés des fonctions VB^ 7?/, 
i^B{^ i?2 , nous aurons pour toutes les valeurs de N, depuis X= jusqu'à 
X= no exclusivement, 

<p{fB)=l. 



— 583 — 
En passant aux plus grandes valeurs de X^ désignons par 

9af i^) = X, -^ Zo t^Tl? -^ z, tï^Tï?;, 



9i 


(ti?) = 


= X, 


-t-Y,l/B.,B^^-i-Z,y'li,'B.^, 


<Pp 


{fR) = 


= ^ 


-^Y^i/B^Bi^Z^fR^'B, 



la suite de diverses valeurs de la fonction 

obtenues en résolvant notre problème quand on prend pour N successivement 
Wo, W0-+-I, W0-+-2, 

Comme le même système des polynômes X, T, Z et, par suite, la même va- 
leur de la fonction o {i^H} peut se présenter dans les diverses hypothèses 
concernant le nombre N, nous supposerons pour plus de généralité que 

9 {fjR} = 9o (fB) 

correspond aux valeurs de N depuis N= Hq jusqu'à N= n^ exclusivement, 
que 

9 (fB) = o, (fi?) 

correspond aux valeurs de N depuis N^n^^ jusqu'à N=n,2 exclusivement, 
etc., en général que 

9(fi?) = 9p(fi?) 

représente la solution du problème depuis X=w jusqu'à N=n exclu- 
sivement. 

§ 9. En abordant l'étude de la suite des fonctions 

9o(fi?), çjV^i?),.... 9p(ti?),...., 

que l'on obtient, comme nous venons de voir, en résolvant notre problème 
pour les diverses valeurs de X, nous allons considérer en premier lieu com- 
ment on détermine les solutions de notre problème. En désignant les degrés 
des fonctions VB^B^^ 'Pb^B^ par X, X', et remarquant que, d'après les 
conditions du problème, les degrés des termes de l'expression 



9 ( 1/7?) = X -t- r VB, i?/ H- z y 7?,2 B^ 



— 584 — 

e doivent dépasser X, nous en concluons que les polynômes X, Y, Z dol- 
ent être de la forme suivante: 

X = L^ x^' -+■ L., rr^"^ -\- . . . .-t-LyX-t- Z y+i , 
Y= M, x''-"- -4- 31, x''-^-' -4- -4- 3ïy_, X -+- 31 y 



Z=P, x''-"-' -t- F^ x-''-^'-' -i- -+- I\_y x^P, 






Lj, L,,^ . . . . Ly, Ly+n 
31,, 31,,. ,. 3Iy_„ My_,^„ 

sont des coefficients constants au nombre 'd X — X — X'-+-3. En substi 
tuant ces expressions des polynômes -X, Y, Z dans la formule 



o iVlî) = X-^Y Vit, i?/ -*- Z VR,^ B^ 
et remplaçant les radicaux 

par leurs développements suivant les puissances descendantes de x, nous 
trouverons pour la fonction 9 {VB) un développement de la forme suivante: 

K, x"" H- a; x""-^ -f- -H Ky_^ x"^-*-' H- 7^,v-m-Hi a;'" -+- , 

où les coefficients 

K„K„K„.... 

sont des fonctions connues, linéaires par rapport aux 3^^ — X — X'-t-3 
coefficients des polynômes X, Z, Z. En passant au cas où les polynômes 
considérés présentent la solution de notre problème et désignant par m le 
degré jusqu'au quel peut s'abaisser le degré de Texpression cp {VR) par ces 
polynômes, nous voyons que dans ce cas les polynômes X, F, Z doivent 
satisfaire aux équations 

Z, = 0, 7ir, = 0,.... Zv_=:0, Ky_„,^, = G, 

où G est une quantité différente de (elle sera calculée à l'aide des coeffi- 
cients des polynômes X, Z, Z dans la solution considérée de notre pro- 
blème). On voit de là que les équations 

K, = 0, /iT, = 0, . . . . AV. = 0, /Cv-„.^i = C\ 



— 585 — 

ne peuvent se trouver incompatihles lorsqu'on les résout par rapport au 
quantités 

D'autre part, il est facile à voir que ces équations ne peuvent avoir plus 
d'une seule solution. En effet en admettant le contraire et supposant que 

X\ r, Z'; X", Y'\ Z!' 

représentent les deux systèmes des polynômes X, T, Z dont les coefficients 
vérifient ces équations, nous en déduirons que Texpression 



pour 

X = X: — X:\ Y=Y'—Y", Z=Z—Z", 

se réduisant à la différence 

X -f- r t^r^-+- z' i/'ÏÏjB^ — (x" -4- Y" fË^-^ Z" fR^,), 

sera de degré inférieur à m, ce qui est contraire à l'hypothèse que m est la 
limite inférieure du degré de l'expression X-^ Y Vlî^Pi^ -^ Zi^Il^^ B.^ 
dans notre cas. 

En vertu de ce qu'on vient de voir, nous concluons que les équations 

Zj = 0, /C = 0, K^r_^ = 0, /i:v-,«+i = G, 

ne peuvent se trouver ni incompatihles, ni indéterminées, lorsqu'on les résout 
par rapport aux quantités 

Pj , Pg , . . . . P^_) /+1 , 

et cela suppose, comme on le sait, que le nombre d'équations n'est pas infé- 
rieur à celui des quantités inconnues; donc: 

iV — w-i-l>3iV — À — X'-f-3, 



— 586 — 

ce qui donne 

m< — (2iV— X — V-4-2). 

Cette formule est déduite dans Thypothèse de uN' non inférieur aux nombres 
X et V, degrés des fonctions V]\H^ et yil^ll-,\ dans le cas contraire, 
r expression 

ne peut contenir tous les trois termes; mais il n'est pas difficile à montrer 
que même dans ce cas la formule 

w< — (2A^— A — V-+-2), 

peut servir à déterminer la limite du degré de o {VB). 

En effet, si N<1' et >X la fonction sera, d'après le §7, de la forme 

et le problème se résout, dans ce cas, à l'aide de fractions continues comme 
il suit: Y sera trouvé dans la suite des fractions réduites obtenues en dé- 
veloppant — yji^Ii.2 en fraction continue et cette fraction sera la dernière 
dans la suite avec le dénominateur de degré ne dépassant N — À. En re- 
marquant que, d'après la propriété des fractions continues, la fraction y 
ainsi obtenue donne la valeur de 



rigoureuse jusqu'aux termes de degré de 



nous en concluons que l'expression 
sera de degré ne dépassant celui de 



et, par conséquent, le degré de l'expression 



X-\-YyB,B,^ 



— 587 — 

ne dépassera — {N — X -i- 1), comme cela suppose la formule 

m< — (2iV— X — V-i-2), 
pour X' > N. 

Nous trouverons le même pour iV< X et >X'. 

Quant aux valeurs de N qui sont inférieures à X et à X', dans ce cas, 
notre problème, comme on l'a vu, a pour solution 

et, par conséquent, on a ici m ^ 0, ce qui est encore conforme avec la for- 
mule générale pour m, qui pour X > N, X' > N donne 

m<0. 

Nous voyons donc que, pour toutes valeurs de N, la fonction cp (VB) 
obtenue par la résolution de notre problème sera de degré ne dépassant 
— (2iY — X — X'-*-2). En prenant N=n^__^^ — 1 et remarquant que, 
d'après notre notation, la fonction ç (VH) qui résout notre problème pour 
N=n^_^_^ — 1 est 

9p ifs:), 

nous en concluons que le degré de cette fonction ne dépasse pas — (2w — X-X') 
ou, ce qui revient au même, ne dépasse pas le degré de —~ — ^, car 7?, i?.,, 

d'après notre notation, est de degré X-»-V. Cela nous donne le théorème 
suivant concernant la suite des fonctions 



Tliéoième. 

Le degré de Vcxpressioyi o, {V-R) n'est ims 'supérieur à celui de 
271^ > ^'"^ **-H-i ^^^ ^^ limite des degrés des termes de la fonction 

§ 10. En vertu de ce qu'on vient de démontrer, le calcul des fonctions 

cpo(f-R), 9Af^), o.ifB),.,.. 

peut être réduit à la détermination des fonctions plus simples, dont les ter- 
mes sont de degrés inférieurs à celui de B^B^^ tandis que les degrés des 



termes des fouctious 9. ( VJ^), quand p grandit, deviennent de plus en plus 
élevés. Ces nouvelles fonctions s'expriment à l'aide des fonctions 



comme il suit: 



(3) 



(4) 



?;, = 9, (fB) . o, (a PB) . 9, (a^ ti?), 

v^ = ^^{fB).r^^{^i/B).^^{a'fB), 

^]^,{fB) = '^,{fB), 
']^, {i/B) = 9, (fB) . 9o (a fB) . 9o (a^ fB), 
'l^, {fB) ^ o, ( \/B) . 9, (a fB) . 9, (a^ fB\ 



'j;p ( fB) = 9p (>/i?) . 9p_^ (a f i^) 9p_^ (a^ fB). 
■ Dans les formules qui déterminent les fonctions 

^0 j "^'i 5 ^2 j • • • • j 

le radical disparaît évidemment et, par conséquent, ces fonctions sont des 
polynômes; tandis que dans les expressions des fonctions 

'^oifB), '^Af^), -^Jti^),.... 

le radical fB reste, et par suite, ces fonctions seront de la même forme que 
les fonctions 

%{fB), 9,(t^), 9, (fi?),...., 

c'est à dire de la forme 

X-^YfBJÏ^-ir-ZfBjB',. 

Mais ici tous les termes, comme nous allons le prouver, seront de degrés 
inférieurs à celui de B^B,, et il en est de même à l'égard des fonctions 

Pour s'en convaincre nous remarquons que, d'après le § 8, tous les 



589 



termes de l'expression çp,_^ ( K^j et, par suite, les expressions 9^_j (a Y Pi), 
9-^—t (o'^ yp) elles-mêmes seront de degrés non supérieurs à celui de 



X P \ 

et l'expression cp„ (Vi?), d'après le théorème du § 9, sera de degré non su- 
périeur à celui de — ^ — ^ ; d'où l'on voit que la fonction 

4^p (y -^) = 9p (ti?) . 9p_, (a fB) . cpp_, (a^ ti^) 
sera de degré ne dépassant celui de 

Or, la suite 

n„ Wj, ^2, 

étant composée, d'après notre notation (§ 8), des nombres entiers croissants, 
le nombre ^^p_^j — ''^p— i "^ ^^^^ P^^ inférieur à 2; donc nous concluons, en 
vertu du précédent, que la fonction ^ {VB) sera de degré non supérieur à 
celui de ^. 

En examinant pareillement les expressions des fonctions 

pour lesquelles la formule précédente donne 

•^^ (a fS) = 9p (« fB) . <pp_. («." fR) . Çp_, ( f iJ), 
^.p (a^ -PR) = 9p («^ T^iî) . ?,_. (T^iJ) . 9p_, (« T^'i^), 

nous concluons que ces fonctions seront de degrés ne dépassant celui de 

^np ^np_, B, R^ ^ E, R^ 

^2„p ^«p-«p-.' 

et, par suite, celui de 

X 

car, d'après notre notation, n _^ , n^ sont des nombres entiers dont le pre- 
mier est plus petit que le suivant. 



— 590 ~ 
Etant ainsi convaincu que toutes les trois expressions 

•|,(fiJ), ■IpCaV'iJ), t,(«^ti?) 

seront de degré non supérieur à celui de — ^— ^, nous en concluons qu'il en 
sera de même par rapport à leurs termes. 

En abordant l'examen du degré de la fonction v^ , nous remarquons 
que, d'après le théorème du § précédent, l'expression 9, (Vli) sera de degré 
non supérieur à celui de ^^^ ^^ , et, d'après notre notation, tous les termes 
des expressions 

sont de degré ne dépassant 71^^ ; donc, en vertu de la formule 
la fonction ^^, ne peut être de degré supérieur à celui de 

2n- . , ' * 2(n-_., — M.)' 

X '^^ X '^ ' 

et, par suite, à celui de 

car, n,^j , n^ étant des nombres entiers et w,^i >î?, , la différence *? — 7?^ 
ne peut être inférieure à 1. 

Après avoir déterminé ainsi la limite supérieure des degrés de nos 
nouvelles fonctions 

v^, ^;^, v^, , 

nous allons maintenant donner les expressions des fonctions cherchées 

qui fournissent la solution de notre problème, à l'aide de ces fonctions plus 
simples et ensuite nous nous occuperons de la détermination de celles-ci. 
D'après (4) nous avons l'égalité 



— 591 — 
qui. étant multipliée par 9^_j (l/B), donne 

•^'o i^^) ■ ?p- (T^^) = ?p C^^) • ?p-. (T^-K) • ?f- (« T^^) ■ ?p-. («' ^-K)- 
Or, d'après les formules (3), qui déterminent la valeur des fonctions 

Vo, V^, V^, , 

nous avons 

?p_, (1^^) . ?p_x ('^ fR) ' ?p_, (a' ^R) = ^p_, ; 

nous trouverons donc 

d'où l'on obtient la formule suivante, qui sert à déterminer <p {vB) d'après 

(5) ,^^B) = ^^-^^^^ . 

En remplaçant ici 9 par p — 1, 9 — 2,. ... 3, 2, 1 et remarquant que, 
d'après (4), (p^ {VB) = '\/q ( l^i^), nous obtenons une suite d'équations qui, étant 
multipliées membre à membre, donnent après la réduction 

(6) 9p(Vi?) = 7^; 7-^^ ^ . 

C'est ainsi qu'on exprime la fonction o (Vit) à l'aide des fonctions plus 
simples 

"^0 5 ^15 '^^2 , • • • • J 

§ 11. En passant à la détermination des fonctions 



c/Q, e^i, «^'SJ- • • -5 



nous trouvons, en vertu des formules (4), 

?p ( ti?) . ç^ (a fB) . 9p (a' fjR) . f^_^ (fS) . f^_^ (a fE) . f^_, {a' f R), 



— 592 — 
ce qui, d'après (3), douue l'égalité suivante 

•4^p ( 1^^) . ^p {^ ^^) ' i {^' ^^) = V, . v\^_^ ; 
d'où il suit 

(7) v^ = ;^^ ■4'p ( ti?) . -^^ (« fB) . \^ (a^ tfi). 

Cette formule va nous servir à calculer r, d'après i\_^^ lorsqu'on 
connaîtra la fonction 4». ( ^ i»'). 

En abordant la détermination de la fonction -];, {Vli)^ nous remarquons 
que dans les équations 

ainsi que dans les équations 

9,_i (a fB) = 0, cp._j (a2 fi?) = 0, 

peuvent se trouver des racines communes, ce qui, comme nous le verrons, 
complique considérablement la recherche de la fonction ^, {VB). Nous exa- 
minerons ces cas singuliers après, et maintenant nous allons nous occuper 
de la détermination de la fonction ^, {VB) dans le cas général, quand ni les 
équations 

v^ , = 0, t;, , = 0, 

p— 1 ' p— 2 ' 

ni les équations 

9p_i (a i^R) = 0, 9,_^ (a^ 1^7?) = 

n'ont de racines communes. 
D'après (4) nous avons 

^p {fB) = cpp ( t7?) . 9,_^ (a fi?) . 9^_^ (a^ 1^7?), 
%^, {fB) = cp,_^ {-pB) . 9._, (a i/B) . 9^_, (a^ V'T?). 

Elu déterminant à l'aide de la seconde de ces formules les valeurs des fonc- 
tions 

9p_, (a fB), 9p_^ (a^ fB) 

et les substituant dans la première formule, nous trouvons 

ïp (^-^) = -^ — —, —T~^ 



— 593 — 
ce qui, en vertu de l'égalité 

?P-. ( ^P^) • ?p-. i^ ^^^) ■ ?p_. (^' l^^) = «^p-2 . 
s(i réduit à ce qui suit 

Comme l'équation 

par l'hypothèse, n'a pas de racines communes avec l'équation 

^P-i = 0, 
la fraction 

cpp iî^B) . 9 p_2(a|^.R).cpp-2(a-l/-R) 

ne peut devenir infinie pour aucune racine de l'équation, 

et dans ce cas, comme ou le sait, on peut trouver toujours une fonction 
entière, de degré inférieur à celui de Vp_i, qui pour toutes les racines de 
l'équation 

aura la même valeur que la fraction 

^'p-2 

pour l'une quelconque des trois déterminations du radical t^i?. Dans le cas 
présent nous déterminerons la valeur du radical i^M de la manière suivante: 
d'après l'égalité 

chacune des racines de l'équation 

w, , = 

doit annuler la fonction 9 {VB) au moins pour l'une des trois détermi- 
nations du radical qui se distinguent par les facteurs a°, a, a^; et comme, 
par l'hypothèse, les équations 

?p_, (ati?)=:0, cp (a^ i/R) = 



— 594 — 
u'out (le racine commune, l'égalité 

pour chaque racine de l'équation 

n'aura lieu que pour une seule détermination du radical. C'est avec cette 
valeur du radical que nous considérerons la fraction 

9p &Ii) . 9p-a (« Vb) yp-2 («' i^-R) 

et soit, dans cette hypothèse, L la fonction entière de degré inférieur à 
celui de v^_^ qui pour toutes les racines de l'équation 

(supposées d'abord distinctes) a des valeurs égales à celles de la fraction. 
Pour cette fonction L, comme il est aisé à voir, la diiïérence 

^^_^ (a fi^)4p-x («' V^^).^-'^p (V^^) 
s'annulera pour toutes les racines de l'équation 

et pour chacune des trois déterminations du radical VB. 

En effet, en vertu de l'expression ci-dessus de la fonction ^ ( VB), 
cette différence se représente ainsi 

cpp(l"J^)-9p-2(a|/.R) cPp-2(a'v^J?) -| 

^^-^ -J' 

ce qui après la substitution des valeurs des fonctions 



■\,^_,{a)yB).i,.^_,(a?v'll)ll 



selon (4), et après le remplacement du produit 

ç, _, ( y'R) '. <p^_, (a fi?) . f p_, {«." fR) 
par ^^,_2, d'après (3), se réduira à ce qui suit 

9,_. (« Vil) . 9,_, (a^ VR) 9^_^ iflî) . ^.._, . 7), 



— 595 — 
ou 

Eu examinaut cette expression de la différence 

nous remarquons que, pour les racines de l'équation 

l'un de ces facteurs, à savoir 

s'annule si l'on attribue au radical vB celle de ses valeurs pour laquelle 
l'équation 

n'est pas vérifiée; dans le cas contraire, en vertu de la propriété de la fonc- 
tion L, s'annule son dernier facteur I). On voit donc que, pour chacune des 
trois déterminations du radical V'/i?, la différence 

s'annule pour les racines de l'équation 

En vertu de cela il n'est pas difficile à voir que notre différence, 
étant réduite à la forme X-^-Y fR^ iQ -h Z f i?,^ B^ = <^{ fit), con- 
tiendra tous les trois polynômes X, Z, Z divisibles par la fonction v ^^. 
En effet, d'après le § 2, les polynômes X, Z, Z qui figurent dans l'expression 

X-^YfBJi^^-^ZfR^^=:<!^{fR) 

doivent être divisibles par x — a^j, si x — x^, annulant les expressions 
9 ( VR), 9 (a Vi?), 9 (a^ V'T?), ne réduit 7^ à , ce qui aura lieu pour 
toutes les racines de l'équation 2?^_^=0 (car autrement, les équations 
?P_i (a vR) =" 0, 9p_^ (a^ VR) = 0, contrairement à l'hypothèse, auraient 
une racine commune). Donc, d'après ce que nous venons de démontrer à 
l'égard de la différence 



— 596 — 
les polyiiomos A', Y. Z (jiii figurent daus son expression par la formule 



X -+- r Vll^ j^/ -+- Z VB,^ B, 

doivent être divisil)les par chaque facteur linéaire de la fonction «; et, 
par suite, les racines de l'équation v,_^=0 étant supposées inéj^ales, par 
cette fonction elle-même. En posant 

nous parvenons ainsi à l'égalité 

'];^_/a>'7?)4^_^(a2 f B) .L-']^ ^{i^ B)-=Mv ^^_^-^Nv ^_^ fB^,UPv^_^ ^J^, , ' 

qui donne l'expression suivante de la fonction cherchée '\i^(vB): 

(8) '^.( '^B)=^^_^(afB).^^^_^(a^fB)X-{M-^N\/BJÎ'^^^^ j 

où Z, M, N, P sont certaines polynômes dont le premier, comme on l'a vu, 
est dt; degré inférieur à celui de ^p_i- i 

Nous avons trouvé cette expression de la fonction »]>, {i^B) eu suppo- ] 
sant inégales entre elles toutes les racines de l'équation 

mais il n'est pas difficile à voir que tout cela, par le passage à la limite, 
s'étend au cas de racines égales. Quant à notre hypothèse concernant les 
équations 

V. = ^' V2 = ^' ?p_, (at7?)=0, a)^_. (a2f7?) = 0, 

d'après laquelle ni les équations 

ni celles-ci 

9p_i (a ^^) = 0, ?:_i (a' \^B) = 0, 

ne doivent avoir de racines communes, il est aisé à montrer qu'elle aura 
toujours lieu, si le produit 

figurant dans l'expression trouvée pour 4>, ( V^^**), ^^'^ pas de facteur commun 
avec la fonction v._^^ qui évidemment appartiendrait aussi à la fonction 



— 597 — 
En effet, uous avons d'après (4) 

et, en remplaçant, d'après (3), le produit 

par «;p_^ , nous obtenons 

i^P_, (a 1^/^) . %^, K V'A') = cpp_, (a fi?) . 9p_^ (a^ fi?) . cpp_^ (fi?) . v^_^ ; 
d'où il est clair que le produit 

et la fonction ^; auront le facteur commun x — x^, si x = x^ est une ra- 
cine commune des équations 

11 en est de même, ^ï x = j\ est une racine commune des équations 

9p_,(afi?) = 0, 9,_,(a2fi?) = 0. 

Pour s'en convaincre remarquons que, A désignant la détermination du ra- 
dical y II avec laquelle ces équations ont lieu pour x = Xj^, nous pouvons 
les présenter ainsi: 

9p_, (aA)=:0, 9p_, (a^A)=:0. 

D'où il est clair, que le produit 

qui est égal, comme nous l'avons vu, à 

(Pp_, (a fi?) . <pp_^ (a^ fjR) . 9p_, {fB) . v^_^, 
s'annulera pour x = x^ et pour toutes les déterminations du radical VE 
fi?=:A, a A, a^A; 



— 598 — 

(•c qui (§ 2) suppose que cette expression contient en facteur une certaine 
puissance de x — x^. D'autre part, on voit par la formule 

?p_, ( ti?) . 9p_, (a ti?) . 9p_, (a^ ti^) = ^p_, 

que la réduction à zéra de la fonction <^._^{i^R) pour x=:x^ entraîne la 
divisibilité de la fonction entière «; par la même différence x — x^. 

§ 12. En vertu de ce qu'on vient de démontrer nous concluons que 
l'expression de la fonction ^J; {i^B) par la formule 

'];,_^ (a i^R) . '];p_, (a^ fB).L — {M-^N i^E.B^' -h F fB^) v^__^ 

aura toujours lieu, si le produit 

qui y figure n'a pas de diviseur commun avec la fonction v^ _^ . 

D'autre part, d'après la proposition du § 10, la fonction ^^{vB), 
après avoir été réduite à la forme 



X -*- r fB, 7?/ -f- Z fB,' B, , 
doit avoir tous les termes 

de degré ne dépassant celui de -^ et présenter elle-même l'expression de 
degré ne dépassant celui de -^. Si cela aura lieu pour un seul système 
des polynômes L, M, N, P qui figurent dans la formule 

^^^ ( f i?)=4)^_^ (oifB) . t]j^_^ {a}fB) L— {M-^-N fBjî}^PfB,m)v^_^ 

(en comptant identiques ceux qui ne diffèrent que par un facteur constant) 
la fonction ^ ( i^B) sera donnée immédiatement en calculant ce système des 
polynômes L, M, N, P. Mais si cela aura lieu pour les divers systèmes des 
polynômes X, If, N, P, il faudra choisir parmi eux le système convenable. 
Les moyens nécessaires pour y parvenir seront indiqués plus bas, mais quant 
à présent nous allons montrer qu'une pareille complication dans la détermi- 
nation de la fonction ^^ {'PB) par la formule 

^^^ {fB)='\>^^_^{a'i^B) . '\^_^ (oL'fB) L- {M^NfUJÇ'-i-PfB^^) v^_^ 
ne se présentera que dans des cas exceptionnels. 



— 599 — 
A cet effet uous remarquons que, d'après § 8, les termes de l'expression 

seront de degré ne dépassant n^_^ et, par suite, la fonction 9 (t^^) sera 
représentée par la formule suivante: 

(9) ?p_, {fB)=:A,x''9-^-^A,x''9~^-^-^. . . .-t-^np_, 



OÙ, d'après § 9, X, X' désignent les degrés des expressions VB^R^^ vB^B^, 
Or, comme la fonction 9p_^ {VB) peut être (§ 8) divisée par chaque facteur 
constant, l'un des 3ti ^^ — X — X'-h3 coefficients 



A, 


A,.. 


■ ■ ^«p-i 


P 


B„ 


B,,.. 


■ ■Snf_, 


1-1: 


o\, 


G,,.. 


■ ■ ^'"p-. 


1-''' 



peut être égalé à 1 et, par suite, dans l'expression de la fonction 9 _ (l^i?) 
il ne restera que 3t^ — X — X' -+- 2 coefficients inconnus. 
D'autre part, en portant dans la formule 

?P-. ( "^'R) ' ?p-i (a ^^i) . ?p_, K f^) = ^p_, 

les valeurs des fonctions 9p_j (V'-Zi'), 9p_, (a I^A'), ç _, (a^ V^B) tirées de 
(9) et développant en série les radicaux l/ B^B^\ i^B^^B^, nous trouvons 
pour la fonction v l'expression de la forme 

où Zj, ^2, Zg,. . . . sont fonctions des coefficients qui figurent dans l'ex- 
pression (9) de 9p_^(>'7?). Mais d'après § 10 la fonction v^^_^ doit être 
de degré ne dépassant celui de ^^ ou celui de rc^^ ^'-^^ par consé- 
quent nous aurons: 

K, = 0, K,= 0,.... Z3np_,-x-x'-^2 = 0, 



— GOO — 

ce qui présente autant d'équations qu'il y a de coefficients à trouver, d'après 
la remarque ci-dessus, pour déterminer la fonction 9,_^ (VB); et alors cette 
expression de v^_^ se réduit à la forme: 

D'où l'on voit que la fonction v^_^ sera en général du degré X-*-X' — 2 
et que son degré ne peut s'abaisser au-dessous de cette limite que dans ce 
cas particulier, où l'équation 

se vérifie en même temps que les équations 

Eu passant à la détermination de la fonction 

nous remarquons que d'après le § 10 tous ses termes, pris séparément, doi- 
vent être de degré ne dépassant celui de -^ ou de x^'^^'~^; et cette fonc- 
tion elle-même doit présenter l'expression de degré ne dépassant celui d( 
i'j^^ ou de x'*''-'. 

D'où l'on voit, d'une part, que les polynômes X, Y, Z sont d( 
degrés non supérieurs à X -+- a' — 1 , X' — 1 , X — 1 (les degrés de^ 
expression i^ïi^ 7//, V^/^^ B,, étant X, X') et, par conséquent, contiennent ai 
plus X -H X' -♦- X H- X' = 2X -f- 2X' coefficients, et , d'autre part, que ces 
coefficients doivent vérifier les trois équations que l'on trouve en égalant ;l 
zéro les coefficients de x^''*'^'~^, x^'^^'~^^ x^'^^'~^ dans le développemen ; 
de ^p{i^B). Comme dans la fonction 9 (1^7?) et, par suite, dans la fonction 
'I (iOt) on peut supprimer un facteur constant, l'un des 2X -+- 2X' coef 
ficients de la fonction ^ (V^J?) peut être égalé à 1 , et alors pour détermi - 
ner les 2X-»-2X' — 1 coefficients restants nous avons besoin, outre le, 
trois équations mentionnées plus haut, de 2Xh-2X' — 4 équations. Or C! 
nombre d'équations entre les coefficients de la fonction tj^, (vB), comme j i 
est aisé à voir, va nous fournir la formule 

pourvu que la fonction v^_^ reste du degré X-hX' — 2. En effet, d'après 
cette formule la différence 

^^ (fi?) - '^.._^ (a fi?) . '^^_^ {a? Pli) . L, 



— 601 — 

où L est im polynôme de degré inférieur à celui de v^^_ 
par conséqueut, de la forme A^x^^'^"~^-\-Arpc^'*"'^'~'^-^. . . .-*-^x+x'-2' 
doit être divisible par v ; et cela suppose que cette différence, censée ré- 
duite à la forme 

contient les polynômes X, Y, Z divisibles par v^^_^] d'où l'on tire, comme 
il est aisé à voir, 3 (X -h >.' — 2) équations entre les coefficients de (^{VB.) 
ai L; en y éliminant les X -i- V — 2 coefficients de la fonction 

on obtient 3 (X-hX' — 2) — (X-i-X' — 2)=2X-i-2X' — 4 équations qui manquaient 
justement pour la détermination des coefficients de la fonction 4", (v^)- 

§ 13. Pour embrasser tous les cas possibles qui peuvent se présenter 
dans la détermination de la fonction ^|;^ {^^^li), il nous reste à montrer com- 
ment se trouvera cette fonction si elle n'est pas déterminée complètement 
par la formule (8) ou si cette formule, comme on l'a remarqué ci-dessus, 
n'a pas lieu. 

Dans le premier cas, après avoir formé d'après la formule (8) et le 
§ 10 les diverses équations auxquelles doivent satisfaire les coefficients de 
^ (vB), nous trouvons leur solution générale^ ce qui n'est pas difficile à 
faire, vu que ces équations sont du premier degré. Les valeurs des coeffi- 
cients de la fonction ^^^ ( Vil) ainsi obtenues contiendront une ou plusieurs 
quantités indéterminées ; mais les valeurs de ces indéterminées se trouveront 
aisément eu s'appuyant sur ce que la fonction cp^ {vB) donnée par la for- 
mule (6) 

^0 (1^-^^) ■ 4^1 &R)- ■ ■ ■ 4^p.-i [V^ ■ ^p (t'-R) 

doit être, d'après les conditions du problème, de degré le plus petit possible. 
Kn passant au cas où la formule (8) n'a pas lieu, nous allons montrer 
qu'à la place de cette formule on peut former, pour la détermination des 
coefficients de la fonction ^|; (V K)^ à l'aide des fonctions 

une suite d'équations dont le nombre sera deux fois plus grand que celui 
des racines de l'équation 

comme cela a lieu quand on tire ces équations de la formule (8). 



— 602 ~ 
Désiguons par x^ uuc racine quelcouquc de l'équation 

et supposons que dans la suite d'équatious 

^p_2 = 0, V^_Z =0, 

la première qui ne se vérifie pas pour x=r.Xi est 

p— G 

Dans cette hypothèse, en posant x = Xi ai attribuant au radical vit celle 
de ses valeurs pour laquelle on a 

nous trouvons d'après (4) 

Comme la fonction ^._^{i^Ii), d'après (5), peut être présentée sous forme 

„ — . — j 

»p— 2-*'p— 3- • • .»p— 0-l-l-î'p-O 

pour préciser la valeur du radical avec laquelle ces é(iuations doivent être 
vérifiées pour x = Xi, nous pouvons prendre à la place de l'équation 

9p_i iflt) = 
celle-ci 

4^p-i (tB) ^p_g(ri?). . ■ .4^p_c_^■^(^/i^).cpp_o(^'J^) _ ^ 

«'p— 2-«'p— 3 »p_0-+-l-Vp— 

En remarquant que, d'après l'hypothèse, la fonction 

^P_o = 9p-o ( ^J^} • 9p_o (« ^^^') 9p-o («■' ^'^^ 
ne s'annule pas pour x = Xi^ nous pouvons diviser cette équation par 

~^^ et par cela, pour préciser la valeur du radical avec laquelle pour 

x = Xi les deux égalités 

it ral^i^) = 0, ^(<,'fE)--=0, 



— 603 — 

ont lieu, nous obtenons l'équation ne contenant que les fonctions 

tp-, (>'-«)■ %-^ (1^^) %-.-., (1^^). 

En répétant le même raisonnement pour chaque racine de l'équation 

nous déduirons relativement à la fonction ^^ (V^) une suite d'équations 
dont le nombre sera en général deux fois plus grand que celui des racines 
de cette équation. 

Nous ne trouvons pas nécessaire d'entrer dans de plus amples détails 
concernant les cas singuliers quand la formule (8) ne suffit pas pour calculer 
la fonction ^ {Vli) ou quand cette formule n'est pas applicable; car ces cas 
présentent peu d'intérêt sous le rapport théorique et ils ne se trouvent 
point dans les applications que nous avons en vue. 

§ 14. En excluant les cas singuliers mentionnés dans le paragraphe 
précédent, nous avons, d'après les §§ 11 et 12, pour le calcul successif des 
fonctions 

4^0 (ti?), '^;,(ti?), ']^,(^E),...., 

Vo, V,, V^, 

les formules suivantes 

assujeties à la condition que les termes de la fonction ^|^ {i^B) soient de 
degré inférieur à celui de B^ l?, ^^ ^^"^^ cette fonction elle-même se réduit à 
l'expression de degré ne dépassant celui de '^^. Les polynômes jC, ilf, N, 
F y entrent comme inconnues auxiliaires et le premier est, d'après le § 11, 
de degré inférieur à celui de v _, . 
Quant aux fonctions primitives 

elles se déterminent d'après le § 10 comme il suit: 

V, = cpo {i'R) . ?o (a f^) . ?o (a' ti^), 



— 604 — 

où 9(,(V^/?), d'après le § 8, désigue la solution de notre problème pour la 
plus petite valeur de N pour laciuelle l'expression 



9 (VE) .= X-^Y VB, B,' H- Z VB,' B, 

a des termes à radicaux. Si l'expression VB^B,^ est de degré inférieur à 
celui de V //f' //.,, le degré de cette expression sera égal à la valeur de A^ 
pour huiuelle on obtient la fonction 9(j(y /t') présentant la solution de notre 
problème. l^]n remarquant que pour cette valeur de N^ d'après les condi- 
tions de notre problème, le terme Z ~\^ B{- B^ ne peut figurer dans l'ex- 
pression 

(p(f/.>) = X-+- Yy'BjïJ'-+-Z^B,\R^ 

et le polynonu' Y doit être une quantité constante qui peut être supposée 
égale à — 1 (car ou peut diviser la fonction (^^^{vB), d'après le § 8, par 
un facteur constant) nous trouvons que (ù(^{VB) se réduira, dans le cas 
considéré, à la forme 

X— V'B.B^. 

Mais afin que cette expression, conformément aux conditions de notre pro- 
blème, soit de degré le plus petit possible, il faut preudre pour X la fonc- 
tion entière obtenue en extrayant la racine VB^B^^ car c'est la seule 
fonction entière qui ne diffère de l'expression v B^ /i*/ par des termes de 
degré positif ou nul. Ainsi, pour le calcul de la fonction 9^(1///), dans le 
cas où le degré de VBiB^ est inférieur à celui de V^JI^^B^^ nous obtenons 
la formule suivante 



,(f/0 = r,-ti?,7.V 



où >-j désigne la fonction entière obtenue en extrayant la racine yB^ B^. 

Pareillement, eu désignant par r^ la fonction entière obtenue en ex- 
trayant la racine VB^B.,^ nous trouvons que lorsque le degré de y B^ B^ 
est inférieur à celui de \^B^B^^ la fonction 9o(l^/i') aura pour valeur 



Eu dernier lieu , si les degrés des expressions i^B^ B^ et vB^ B^ sont 
égaux, le nombre N^ dans le calcul de la fonction 90(1^71), sera égal à ce 
degré et pour cette valeur de N^ conformément aux conditions de notre 
problème, la fonction 90 (1^7^) sera donnée par la formule 

9, ii/B) = X-i-oL flïjï} -*- p fBfR,. 



— 605 — 

où a, p sont des quantités constantes. Pour trouver les valeurs du polynôme 
X et des constantes a, p qui figurent dans cette formule, nous remarquons 
([u'elle peut être présentée ainsi: 

9jV'J?):^X-Hari-*-(3r2H-a ( v'i?, 1?/ — r,) -t- fi (fB^^ — r,). 

Kn réduisant cette expression de la fonction (î>^{VjR), conformément aux 
conditions de notre problème, au plus petit degré possible, nous remarquons 
([uc pour l'abaisser jusqu'au degré négatif, il faut poser 

et pour l'abaissement ultérieur il faut choisir ensuite les constantes a, [3 
de façon que la puissance la plus élevée de x provenant des développements 
des différences 

flÇnÇ' — r,, fR^^ — r^ 

disparaît dans l'expression de la fonction cpo(y7?) li l'aide de la formule 

9, ( f 7?) = a (f7?,i?/ — r,) -*- p [fU^, — r) 

On voit ([u'alors une des constantes a, p reste arbitraire; et par c(mséquent 
m peut la prendre égale à l'unité d'après le § 8. 

§ 15. Nous avons expliqué (§ 14), comment on peut déterminer les 
onctions 

+0 ( l^i^), V, 
t calcul(T successivement les fonctions 

V,, V^, V,, 

!es fonctions, d'après le§ 10, servent à exprimer les fonctions plus compli- 
piées 

lui sont introduites (§ 7) afin de parvenir à leur aide à la solution de 
'équation 

9 {fjî) . 9 (a fli) . 9 (a^ i^E) = C\ 

ù cela est possible. Or la solution de cette équation détermine la fonction 
p ( yli) qui, au moyen de la formule 

^^dœ = K\og [9 ( lyjR) . 9" (a fH) . 9»' (a^ f i^)] 



— G06 — 
donne toutes les intégrales de la forme 

J yB ' 
exprimables en termes finis. 

Comme la solution cherchée de l'équation 

9 (fB) . 9 (a fB.) . 9 (a^ fi?) = 0, 

doit, d'après le § 7, se trouver dans la suite des fonctions 

9o(>'^), 9i(V^^), 9-2 (T^^),.-. M 

l'une d'elles doit nous donner la solution de l'équation, si celle-ci est pos- 
sible. En désignant par 

% if S) 

celle des fonctions de la suite qui donne la valeur de 9 ( VB) satisfaisant à 
notre équation, nous voyons que cela suppose l'égalité 

et comme, d'après notre notation (§ 10), le produit 

9^ifB).<?^iai'B).<?^ia^fB) 

est égal à v . la fonction v doit se réduire à une constante. 

En vertu de cela il est facile à reconnaître dans la suite des fonctions 

V,, V„ V^, 

celle qui correspond à la fonction 9(1//?) fournissant la solution de notre 
équation: cette fonction v aura une valeur constante. 
Après avoir trouvé cette fonction dans la suite 

V„ V„ V„ , 

nous trouvons, d'après f6), en posant ç = [i- l'expression suivante 

4^0 (VB) ■ ^y (j/E) . ■ ■ ■ ^^-1 (|/J?) ■ ^(x &R) 

pour la valeur de la fonction o{VB) qui corresponde à v ' ce sera juste 
ment l'expression de la fonction (p{VB) vérifiant l'équation 

9 (fi?).9 (a fi?).9 (a2 V'i?) = 6' 



— 607 — 
et donnant, au moyen de la formule 

\^dx=:K]og [9 (f J?) . cp^ (a fj?) . cp«^ (a^ V'Rj] , 

toutes les intégrales de la forme 

J i/E 

exprimables en termes finis. 

Nous avons vu (§ 2) que dans l'expression de cette intégrale les fac- 
teurs rationnels de la fonction (^Çvll) disparaissent et, par suite, dans l'éva- 
luation de cette intégrale, on peut prendre à la place de l'expression pré- 
cédente de la fonction 9(1/7?) celle qui suit: 

De plus, il n'est pas difficile à montrer que, dans l'évaluation de cette 
intégrale, on peut s'arrêter aux fonctions ^^(V^) et v si v n'est composé 
que de facteurs figurant dans la fonction /?, R^. 

En effet, si 1) est le diviseur commun à tous les termes de l'expres- 
sion (^ (VE), nous trouvons, en posant 

(10) 9(fi?) = ?M:!|^), 

que 9 (VR) satisfait à l'équation 

9 (fR) . 9 (a fR) . 9 (a2 ^R) = (J. 
Pour le démontrer nous remarquons que, d'après (3), nous avons 

et, comme, d'après l'hypotlièse, v^ ne contient pas de facteurs différents de 
ceux de la fonction R^ R^^ il suit de cette équation, qu'aucune des expres- 
sions 

ne se réduira à pour les valeurs de x autres que les racines de l'équation 

et, en vertu de (10), il en sera de même à l'égard des fonctions 

9 (fi?), 9 (a \^R), r^{ci?fR). 



— 008 — 
Quant aux racines do l'équation 

elles ne peuvent, comme on le voit par la forme de la fonction 



9 (i/7?) = x-v- YVJh ni H- Z Vil^ //., 

annuliM' une des (expressions 

9 {i/B), 9 (a fB), 9 (a^ f 7?), 

sans annuler les deux autres; or, aucune valeur de x ne peut annuler à la 
fois toutes les trois expressions, d'après ce que nous avons démontré dans le 
§ 2 à l'égard de la fonction déterminée par la formule (10). Ou voit de là 
que la fonction 9 {VB) dont il s'agit ne s'annulera pour aucune valeur de .-r, 
quelle que soit la détermination du radical, et, par conséquent, elle satis- 
faira à l'équation 

9 ( V'i?).9 (a ti?).9 (a2 fi?) = C, 

et en même temps elle donnera l'expression de notre intégrale par la 
formule 

\r^dx = K log [9 ( f 7?) . 9« (a fB) . 9«^ (a^ fB)]. 

Or, en portant ici la valeur de la fonction 9(^/1') d'après (10) et remar- 
quant que 1 -i- a -H a^ = et que I) disparaît, nous trouvons que cette 
intégrale s'exprimera à l'aide de la fonction 9 (y 7?) comme il suit: 

\^^dx=ZK log [9^ ( fit) . 9/ (a f TJ) . 9^«' (a^ fll)\. 

D'où il est clair que dans l'évaluation de cette intégrale on peut poser 
9 {\^B) égal à 9 ( y' /?), si v ne contient pas de facteurs autres que ceux 
des fonctions B^ et B^; et, par suite, dans le calcul de la fonction 9(y7/) 
à l'aide de nos formules on peut même s'arrêter à la valeur v^ qui contient 
la variable ic; il suffit que cette fonction ne contienne de facteuis autres 
que ceux des fonctions B^ et B^. 



25. 

SUR LES FRACTIONS 

GOEfTfflïïïîS 1L6IBEÏQÏÏ1S. 



£dhe adzessée à Sïï. BzascAinann et Ciie (e iSJZO septcmêzc 1865 9ans (a 
séance 9e fa Société SÏÏatfiématique de dlloscou. 



(MaTeMaTH^ecicift CdopnHKi,, tomt. I, 1866 r., CTp. 291-296. Journal de mathématiques 
pures et appliquées. Deuxième série, X, 1865, p. 363—358.) 



Sur les fractions continues alg'ébrlques. 

Le 13 septembre 1865. 

Monsieur, 

Parmi les diverses applications des fractions continues algébriques 
qu'on a faites jusqu'à présent, celle que l'on rencontre dans Vinterpolation 
d'après la méthode des moindres carrés se distingue par un caractère tout 
particulier: dans ce cas les fractions continues servent à déterminer les 
termes dans certains développements de la fonction en série. Cette interpo- 
1 ition et toutes les séries qui en résultent n'embrassent encore qu'une par- 
tie minime du champ d'un tel usage des fractions continues, et qui est peut- 
être aussi vaste que celui d'usage ordinaire de ces fractions dans l'analyse. 
]']n effet, à l'ordinaire elles servent à trouver les systèmes des polynômes 
X, Y, qui rendent la différence uX — Z la plus proche possible de zéro, en 
supposant bien entendu que la fonction u soit développable en série ordon- 
iiée suivant les puissances entières et décroissantes de la variable, et que le 
degré d'approchement se détermine par sa plus haute puissance dans le 
reste. Pour résoudre la question concernant Vinterpolalion d'après la mé- 
thode des moindres carrés {Journal de Mathématiques pures et appliquées de 
ÎI. Liouville, 2* série, t. III, p. 235), il s'agissait de faire tendre le plus 
possible la différence de la forme uX — F, non pas vers zéro, mais vers 
une certaine fonction (vers ^_^ , d'après la notation du passage cité), et 
c'est ainsi qu'on est arrivé à un nouvel usage des fractions continues algé- 
briques. Or ce cas particulier d'approchement de l'expression iiX — Y h, 
une fonction donnée n'est pas le seul qui se présente dans l'analyse et qui 
demande un nouvel usage des fractions continues algébriques: quelle que 
soit la fonction donnée «;, la détermination des polynômes Z, J", qui rendent 
r expression iiX — Zla plus proche de y, se résout aussi à l'aide des frac- 
t ons continues, et par des formules analogues à celles que l'on trouve dans 
Vinterpolation d'après la méthode des moindres carrés. Cette question sur la 

39* 



— 012 — 

détermination des polynômes X, Y dans l'expression tiX — Zest d'autant 
plus intéressante, que par sa simplicité elle se place immédiatement après 
celle que l'on résout ordinairement au moyen des fractions continues algé- 
briques, c'est-à-dire où il s'agit seulement de rendre l'expression uX — I 
aussi proche de zéro qu'il est possible. 
Soit 

?2-4-. . . . 

la fraction continue qui résulte du développement de la fonction ?/, et 



A_go 


-P2_9o9i-^-l 


P,_P2q2-^Pi 


Çi~ 1' 


Q2 îi ' 


Qs Q2q2-*-Qi' 



ses fractions convergentes. Si l'on convient de désigner par E la partie en- 
tière d'une fonction, les polynômes X, Y, qui rendent la différence kX — Y 
la plus proche de la fonction v, seront donnés par les séries suivantes: 

X= (Eq.Q^v — q^EQ.v) Q,-{Eq,Q,v — q,EQ,v)Q,-^ . . . ., 

Y= - Ev-^iEq, Q,v~q,EQ,v) P^ — {Eq,Q,v- q,EQ,v) P,-*-....; 

Ces séries sont finies ou infinies en même temps que la série des fractions 
convergentes 

Pi Pi P^ 

et leurs termes, comme il n'est pas difficile de le remarquer, présentent des 
polynômes dont les degrés vont en croissant. Arrêtées aux termes couve - 
nables, ces séries fournissent pour X, Z des valeurs entières et de degrés 
plus ou moins élevés, suivant le nombre de termes que l'on prend, et e 1 
tout cas ces valeurs de X et Y sont celles qui rendent la différence uX—Y 
aussi procJie de v que cela est possible avec des fonctions entières de menus 
degrés que X et Y, et aussi avec des fonctions de degrés plus élevés ^ ma<s 
inférieurs aux degrés des fonctions que Von obtient en prenant dans les ea - 
pressions de X et Y ?m terme de plus. 

Les valeurs de X et Y qui jouissent de cette propriété remarquable 
résultent du développement de la fonction v suivant les valeurs des fom - 
tiens 

B, = uQ,-P„ n^ = uQ, — P„ B, = uQ, — P,,,.., 

dont les degrés sont au-dessous de zéro et vont en décroissant. Un tel d» - 
veloppcmeut de la fonction v est facile à obtenir. Si l'on ôte de v sa parte 
entière Ev, et que l'on divise le reste par i?i, le nouveau reste par B.^^ < t 
ainsi de suite, il est clair que les quotients de ces divisions, multipliés r. - 



— 613 — 

spectiveraent par i?i, i?2,. . . ., et ajoutés à Ev, douneront la valeur même 
de la fonction v exacte au dernier reste près. Or le développement de v que 
Ton trouve de cette manière présente, comme il est facile de s'en assurer, 
la série suivante: 

v = Ev-^{Eq,Q,v~q,EQ,v) B, — (Eg,Q,v-q,EQ,v) E,-i-. . . . 

où les termes sont certaines fonctions dont les degrés vont en décroissant. 

Dans le cas le plus ordinaire, où les dénominateurs ^i, q^^ f/3,. - . .de 
la fraction continue 

22-4-. ... 

^ont tous du premier degré, cette série se simplifie beaucoup; tous les fac- 
teurs qui accompagnent les fonctions /i\, B2, B^,. . . . deviennent constants, 
et leurs valeurs se déterminent très-aisément : ces facteurs se réduisent aux 
produits 

■^lA, Ahy Ah^ — 5 

où Al, A2, A^,. . . . désignent les coefficients de x dans les dénominateurs 
^ij â'25 îs,- • • • Gt Li, L2, L^,. . . . les coefficients de — dans les produits 

D'où résulte dans le cas en question la série suivante, pour le développe- 
ment de la fonction v: 

v = Ev-i~A,L,B, — A^L^B,-^, . . ., 

(t ces valeurs de X et Z, pour rapprocher la différence uX — Fie plus 

liossible de v: 

X= A^L^Q^ — A^L^Q^-t- , 

Y==—EvH-A^L,P, — A,L,P,-^.... 

Dans le cas où la fonction v peut être représentée par la somme 



^ ^ X .T. 



Ko _ Ko 



'E> (x) étant une fonction entière, et ^1, K^, K^,...., x^, x^, x^,.... des con- 
stantes, on trouve, en posant Q^=:^^{x), ft = +2(^)5 Q^^i'si^)- ■ • -j 
les expressions suivantes des quantités L^, L2, L^,....: 

L, = K,'\^,{x,)-^K,-]^,{x,)-^K,'\>,{x,)-^. . .. = 2K,'i^,ix,\ 
L, = K,^,{x,)-^K,^,{x,)-^KMx,)-^. . .. = ^K,i>,{x^), 



— 614 — 
Pour ces valeurs de L^^ L^, L^,. . . . les séries précédentes deviennent 

Y=-Ev-^A, 2K, ^, (x.) P, - A, 2K, ^, (x,) P, -+- A, 2K, ^, (x.) P,-..,., 
où Fou a 

^^1 (^) = ^1, ^2 {x) = ^2» '-1^3 (^) = %^ 

Dans le cas particulier où la fonction v se réduit à un seul terme 

on trouve, d'après la première de ces formules, le développement suivant 
de -^, 

^^ = A,^,{a) P,-^A,U^) 7?,H-^3^3(a) 7?3-. . . ., 

où chaque terme présente le produit d'une fonction de a par une fonction 
de X, comme cela a lieu dans la série qui résulte du développement de 
{x — a)~^ d'après la formule de Newton. 

En faisant dans les formules précédentes 

11 1 "^ 1 

M = 1 H. ...H = > , 

X — Xi x — x^ x—Xn ^^ X — ajj ' 

x — X^ X — X^ ' • ' ' ^ — j.^ ^^ ^ — gj^ » 

on trouve les valeurs des polynômes X et Zpar lesquelles la différence 

ji^ X — Xi 

s'approche le plus possible de ^, J_l. , et comme un tel rapprochement 
constitue la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme X ré- 
duise au minhnum la somme 



2{^-^w; 



(ce qui n'est pas difficile à montrer), il s'ensuit que l'cxpressiou de X, dé- 
terminée de cette manière, présente la formule A' interpolation cVaprcs la mé- 
thode des moindres carrés. 

Je n'insisterai plus sur le parti qu'on peut tirer du développement cr 
série suivant les fonctions déterminées par le moyen des fractions continues 
algébriques; ce que je viens de dire suffit pour faire voir tout l'intérêt qu( 
présente le sujet vers lequel m'ont porté vos leçons et vos précieux entretiens 

Agréez l'assurance d'une estime profonde, etc. 

P. Tchébicheff. 



.26x 

SUR 

LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTÎONS EN SERIES 

À L'AIDS 

BIS F EAGTÏOHS GOHTffiMS. 

TKADUIT PAK G. A. POSSlé. 



(9 pasAOc^cHÎu cjot^uâniiil ê% pjidu 

npu noMomu ucnpcpuêHUCciè dpoScu^ 



(IIpHaoateHio kt. IX-My TOMy BanHCOKt HMnEPATOPCKoS AKaji,eMiH HayKt, JVs 1, 1866 r.) 



Sur le développement des fonctions en séries 
à l'aide des fractions continues. 



§ 1. Soit 



^0-^.-7— i 



1 
-4- 

Î2- 



une fraction contiuue algébrique, les dénominateurs 

2u ?25 2ôJ 

étant des fonctions entières de la variable x^ u la valeur exacte de cette 

fraction et 

Il El ^ 

Qi' Q2' Qz' 

ses réduites, qu'on obtient en arrêtant le développement 

successivement à ^q, g-^, ^2? • • • • D'après les propriétés des réduites^ pour 
déterminer les valeurs des différences 

on a la formule 



£„ désignant la valeur de la fraction continue 
-^ 1 

et représentant, par conséquent, une fonction de degré négatif. 



— 618 — 
Ou voit par cette formule que les fonctions 

qu'on obtient en multipliant les différences 

par 

satisferont à l'égalité suivante: 

Nous allons nous occuper maintenant des séries formées à l'aide de 
ces fonctions. Pour abréger, nous représenterons ces fonctions par 

-^1 J ^^2 » ^^3 5 • • • • J 

en posant 

uQ,-P, = B,, uQ, — P, = B,, uQ, — P, = B,,.... 

§ 2. A l'égard des fonctions 7?^, i^g, J^g, .... en vertu de (1), on aura 
d'abord l'égalité 



(2) B^ 



_ (- 1)" 



D'ailleurs, ^,, ft, ^3, . . . . , les dénominateurs des réduites 

El ?A ?A 

représentent une série des fonctions de degrés croissants; donc, il est clair 
que dans la série 

-^u -^2> B^,. . . . 

toutes les fonctions seront de degrés négatifs, qui vont en décroissant. 
D'après cela, ayant une certaine fonction v, développable en série procé- 
dant suivant les puissances entières décroissantes de x, nous pouvons obte- 
nir, pour représenter la fonction v avec une approximation plus ou moins 
grande, une série dont les termes seront composés des fonctions entières de 
X multipliées par les facteurs /ij, R^^ B^,. . . . 

En effet, si nous convenons de représenter généralement par le signe 

Tj la partie entière des fonctions, la différence v — hv représentera une 



— 619 — 

fonction de degré négatif. En la divisant par B^ nous obtenons une fonction 
entière o^ comme quotient et un reste r^ de degré inférieur à celui de E^. 
En divisant r^ par B^ nous obtiendrons aussi une fonction entière o^ au 
quotient, et le reste r^ obtenu ainsi sera d'un degré inférieur à celui de B^ . 
En continuant de cette manière les divisions des restes successifs par 
i?i, i?2, . . . . nous trouverons une série de quotients 



w,, a)„, o„ 



représentant des fonctions entières, et une série des restes 

dont les degrés seront inférieurs à ceux de B^, B^^ B.^^. . . 
fonctions seront liées par les équations 

V — rjv = Wj i?j -*- r, , 
r^ = (a^B^-t~r^, 

^2 = 0)3 7)^3-1-^3, 



. , et toutes ces 



Or ces équations, après l'élimination de r^, r^, . . . 
formule suivante pour la représentation de la fonction v 



, »'„_j, donnent la 



(3) 



V = hiV -f- «j B^-h- 6)2 i?2 ~*~ "3 -^3 



Le degré de r^ étant, d'après ce qui précède, inférieur à celui de B^, 
cette formule donnera, pour la représentation de v exacte aux termes d'ordre 
de B^, l'expression suivante: 



-ijv - 



-(ù, B, 



(d^ Bc,-+- «o B., - 



n n' 



6), , 0» , 6)0 , 



. désignant des fonctions entières. 



Toutes les fois que la fraction continue 



^0 q^. 



1 
'92- 



sera illimitée, la série des fonctions 

^1) ^25 ^3J- • • •) 
déterminées par ses rédîiites, le sera aussi et par conséquent on pourra aug- 



— 620 — 

meuter indéfiniment le nombre n dans l'expression de v, trouvée ci-dessus, 
ce qui nous conduit à la série infinie suivante pour le développement de v: 

V = hjV -\- (d^ 7?j -I- «2 7/3 -«- O3 7?3 H- . . . . 

§ 3. Dans chaque cas particulier, les fonctions «j, Og, «3, , comme 

on a vu, peuvent être déterminées à l'aide des divisions successives; nous 
allons donner maintenant leur expression générale d'après laquelle chacune 
d'elles se détermine immédiatement. 

Pour cela, nous allons démontrer d'abord que les degrés des fonctions 

Wj, wa, cog, 

sont respectivement inférieurs à ceux àe q^, q^y q^,. . . .., qui figurent dans 
la fraction continue 



' = ï.-^ï;^I 



1 

•-4- 

32- 



En effet, d'après le § 2, ces fonctions représentent les quotients dans 
les divisions de 

V — hv, ^1, fa) 

par 

^15 ^2? ^35- • • •; 

or, d'après ce qu'on a remarqué à l'endroit cité, v — Fw est de degré 

moindre que 0, et r^ , rg, sont de degrés inférieurs à ceux de i?i , i^g» ' 

donc, il est clair que les fonctions 

CO^, «2, O3, 

seront de degrés inférieurs à ceux des expressions 

Bi^ B^^ 223'* • • • 
D'ailleurs, en vertu de (2), on trouve que les degrés de 

M,, 7?a, 7?3, . ... 
sont égaux à ceux des fonctions. 

J_ J_ J_ 
par conséquent les degrés de 



— 621 — 
seront égaux à ceux de 

Or, en remarquant que Q^^, Q3, Q^,. . . . désignent les dénominateurs des 
fractions réduites 

^ ^ ^ 

qu'on obtient en arrêtant le développement 

. u = qn-t-— 1 

3xH-- . 1 

successivement aux dénominateurs li, q^, Çts, • - ■ ■ , nous trouvons que 

^2 — îi' Q, — ^^^^Q,' Q,-^'^Q^'"- 
Il s'en suit que les fonctions 

et par conséquent 

^' ^' ^'' • • • 

seront de degrés égaux à ceux des dénominateurs q^, q^, q^,. . . .] donc, 
les fonctions 

"n «25 «3J 

seront des degrés moindres que celles-là. 

§ 4. Passant à la détermination des fonctions 

COj, 0)2, 0)3, , 

remarquons que la formule (3), après la multiplication par Q^, donne 

«„"=«„ E» -H W. K, e„ -+- CO, B, (?„-*-.... -H «„ 7΄ «„ H- »•„ Ç„. 

Le degré de r^ étant moindre que celui de i?^, et ce dernier, en vertu 
de (2), égal à celui de 7^ — , le terme r„ Q^ ne contient pas de partie 

entière; quant au terme Q^ rjv^ il représente évidemment une fonction 

entière. Il en suit qu'en déterminant la valeur de i^^Q^v^ d'après la formule 
précédente, on trouvera: 



— 622 — 
et retranchant cette formule de la précédente, on aura 

q^v—'Eq^v = «, B, q„—'Fjo, b, ^„-i-o, B, g„-E«^ n^Q^-i~.... 

En multipliant cette formule par q^ pour en tirer la valeur de 
rjq^ [Q^v — vjQ^vj, nous arrivons à l'égalité suivante: 

(4)Eî„(e„,>-Ee„^)=E3„(„,7?,e„-E«,y?,e„)*Eî„(„,B,ç„-E„,i?,e„) 

-I- -i-Eff («„7?„0 — Eq„ B ). 

Quant au terme rjq^r^Q^^ on voit de suite qu'il se réduit à zéro; car r^ est 
de degré moindre que B^ , et B^ en vertu de (2) de degré égal à celui de 
g — ; donc, le degré de (j^ r^ Q^ sera moindre que celui de q^ Q^ ^ — et 
par conséquent négatif, par ce que q^ Q^^ ^— ^, où ^„.^i = Q„ q„ -*- ^„^i, 
représente une expression du degré zéro. 

§ 5. Pour déduire de l'égalité obtenue (4) une formule servant à la 
détermination de la fonction o)^, nous allons calculer les valeurs des termes 
qui figurent dans le second membre de cette égalité. Remarquons dans ce 
but que d'après (1) 



uQ^ = P„-*- 



(- ir 



Qn-^i -*- e„ Qn ' 



Multipliant par Q^^, m étant l'un des nombres 1, 2, 3, .... (w — 1), 
n, nous aurons 

D'ailleurs, remarquant qu'en vertu de notre notation 

m ^m m' 

nous trouverons 

Substituant la valeur de nQ^ tirée de là, dans la formule précédente, 
nous avons 

d'où découle la valeur suivante du produit B^ Q^: 

(5) «»«»=^»«™-^»e„-i:::5=^„. 



623 — 



Déterminant à l'aide de cette formule la valeur de tio^ B^^ Q^ et remar- 
quant que G)^ (P^ Q^ — P^ Q^ est une fonction entière, nous obtenons 

E»„i?„ «?„=»„ (^„«3„-p„e„)-HE'-=£=:^. 

Or en considérant la fraction 



où le degré du facteur o^^, d'après le § 3, est moindre que celui de q^^ 
nous remarquons que le degré du numérateur y est inférieur au degré de 
^m Qm et par conséquent à celui de Ç,„_^^, par ce que Q^,_^,=Q^q^-^Q^_^. 
Donc, cette fraction représente une expression dont le degré est moindre 
que celui de 

Qm-+-i 
QnW 

et par conséquent, dans notre cas où m ne surpasse pas n^ le degré de cette 
expression sera négatif, car pour m = ou < w, le degré de la fonction 
Qm-i-\ ^e surpasse pas celui de (^„_^,. D'après cela, dans l'expression trou- 
vée ci-dessus de J^^^^^ 11^ Q^ le terme 

s'annule et elle se réduit à la suivante: 

Ew R Q =iù (PO —PQ). 
Or en vertu de (5) 

".^. Q. = ". ip.Q^ - p^ Qj - '-Z7^::t ' 

donc, d'après ce qu'on a trouvé ci-dessus 
d'où l'on aura pour déterminer la valeur de 

Etf (o n — -Eo B a] 

la formule suivante: 

C'est à l'aide de cette formule que nous trouverons les valeurs des 
termes du second membre de l'égalité (4), ce qui va nous servir pour la 
détermination de l'expression de la fonction o^. 



— 024 — 
§ 6. Nous avons vu (§ 5) que la fraction 

(- If-^ ^m Qm 
Çn-Hi -»- «n Qn 

représente une expression, dont le degré est inférieur à celui de ., "^' ; donc, 

Vn-f-i 

la fraction 

sera de degré moindre que 

gn Qn-t-i 

ou 

In Qm-*-i Qm-t-i 

Qn9n-^Qn-i o -*- ^ O 

Vn -+- — Vn— 1 
ïn 

D'où il suit évidemment que le degré de cette fraction, à partir de m = 
h m = n — 1, sera négatif. Donc, pour toutes ces valeurs de m 

Qn^y-*-tnQn ~~ ' 

et en vertu de l'expression trouvée ci-dessus de 

nous tirons cette conséquence que pour 

m^l, 2..... n — 1 
on aura 

E^ L n — Eo B Wo. 

D'ailleurs, en faisant dans la formule (6) 
nous aurons 

Pour en tirer la valeur de 

^'<ln (^«^n K Q« — 1^^W« K QX 
^n \^ n n ^n n n^nj' 

nous remarquons que l'expression 

Qn-^x-^^nQn ' 



— 625 — 
après la substitution de Q^ q^~v- Q^_^ au lieu de Ç„^p se réduit à 

ce qu'on peut aussi écrire de la manière suivante: 

în -+- ^n -• 7) 

Vn 

Quant à cette dernière, elle se réduit évidemment à ( — 1)"~^ « : car le 
degré du second terme de l'expression sous le signe ih est négatif, vu que 
6)^ est de degré inférieur à celui de q^, le degré de ^^_j moindre que le 
degré de Q^^ et celui de £^ négatif. 

En vertu de ce qui précède nous concluons que l'expression 

E^ (m ILQ — J^^« ^ Q ) 
se réduit à zéro pour m = l, 2, 3, . . . . {n — 1) et devient égale à 

pour m = n; donc la formule (4) se réduit à l'égalité suivante 

lk(e„^— Ee„.)=(-i)-'o„, 

qui donne pour la détermination de «^ la formule 

(') ''„ = (-i)"-'l'k(<3„«-I'^«„«') 

Eu y faisant 

n= 1, 2, 3, , 

nous trouverons les expressions de tous les facteurs 

"l, S) «3» 

qui figurent dans le développement de v d'après la formule 

V=zrJV-\~ cOi /^^ -i- «2 B.^-i~ «3 Z^3 -H . . . . 

La différence 

e„f-EG„« 

représentant la partie fractionnaire du produit Q^v, la détermination de o 

40 



— 626 — 

à l'aide de la formule (7) se ramène à la recherche de la partie entière dans 
le produit de q^ par la partie fractionnaire de Q^ v. 

D'autre part, en exécutant le calcul dans la formule (7) on aura 

»„=(-!)""' [Eî„ v„^-E (g„ Ee„f)], 

et, q étant une fonction entière, on obtient 

l'expression précédente de «^ se réduit ainsi à la forme suivante: 

lieiuarquant encore que «^ est une fonction entière de degré moindre que q^ 
et que le terme q^ E()^t' est le produit de q^ par une fonction entière, nous 
tirons de la formule précédente cette conclusion que o^^ affecté du signe 
H- ou — , représente le reste de la division par q^ de la fonction ili^^^ (^^v^ 
c'est à dire, de la partie entière du produit q^ Q^v. 
§ 7. Le développement de v à l'aide de la formule 

V r= rjv -i- w^ jR^-i- tog II, H- CO3 7?3 -H . . . . 

que nous avons indiqué, mérite surtout notre attention parce qu'il fournit 
la solution de la question suivante: 

^Déterminer les polynômes X, Y pour lesquels la différence uX — ï 
représente la fonction donnée v avec le plus grand degré d'exactitude quon 
puisse atteindre, lorsque le degré du polynôme X ne surpasse pas une limite 
donnée. 

Les polynômes X et Y, pour lesquels la différence nX — Z s'approche 
le plus de zéro, s'obtiennent, comme on sait, immédiatement à l'aide du déve- 
loppement de u en fraction continue et c'est en vertu de cela que les frac- 
tions continues algébriques donnent' le moyen de résoudre diverses que- 
stions de l'Analyse. Les polynômes X et Y, pour lesquels la différence 
uX — Y s'approche le plus non pas de zéro mais d'une certaine fonction 
donnée, ne s'obtiennent pas immédiatement par le développement de u eu 
fraction continue, mais, comme on va voir, se détermment par des séries 
d'un genre particulier, dont les termes peuvent être trouvés à l'aide du dé- 
veloppement de u en fraction continue, ce qui ouvre pour les fractions con- 
tinues algébriques un nouveau champ d'applications, dont on peut voir un 
exemple dans notre Mémoire sur les fractions continues, contenant une 
formule d'interpolation par la méthode des moindres carrés. 



— 627 ~ 

Soit m la limite du degré d'un polynôme X qu'on cherche à détermi- 
ner, en même temps que le polynôme Y, sous la condition que la différence 
uX — Y s'approche le plus d'une fonction donnée v, et soit Q^, dans la sé- 
rie des dénominateurs 

des réduites 

Il ?A 11 

<?i' Qz' Ç3' ' 

le dernier de ceux, dont le degré ne surpasse pas m. Dans cette supposi- 
tion le polynôme X sera de degré inférieur à celui de Qf^_^_^. Désignant 
par F^ et ?^ le quotient et le reste de la division de X par Q^, par F^_^ 
et p„_j le quotient et le reste de la division de p^ par ^„_i etc. et re- 
marquant que le reste de la division par Q^^=l est zéro, nous aurons la 
série suivante d'équations: 

9n = K-i Qn-^-*-9n-i^ 



92=^1^1, 

donnant par l'élimination de 

?„, P„_l, ?25 

l'expression suivante du polynôme cherché X: 

(8) x = F, Q, -,- i-; e. H- . . . . - F„_, y„_, -«- K Qn , 

où 

sont des fonctions entières inconnues. 

Ces fonctions étant les quotients des divisions des fonctions 

9-2^ hi 9n, ^ 

par 

leurs degrés seront respectivement égaux à ceux des expressions 

Qi' Qz' Qn-x' Qn 

40* 



— 628 — 
Or les fonctions 

étant les restes des divisions par 

Q.2: ft..... Q„. 

leurs degrés seront moindres que ceux des 

Q„ e,,.... Q„; 

d'ailleurs le degré de X est moindre que celui de Ç^^j, d'après ce qu'on a 
remarqué ci-dessus; donc, les degrés de 

Çl' Q2' Çn-i' Qn 

seront moindres que ceux de 

Q2 (h _9iL. 9it*=i 

<?i' Q2' Qu-i' Qn ' 

et par suite moindres que les degrés de 

fil, ^o,... . r/^_p q^, 
parce que, d'après les propriétés des réduites, on a: 

^2—,/ . £3_. . ^. JL"__^ Qn-2. <gn-4-i__g , Qn-i 

Qv~^'' Q2~^' Qz' (>n-i~^"-i Çn-i' Qn ~ ^" Qn' 

On voit de là que dans le développement (8) du polynôme inconnu X 
les facteurs 

F„ F„....7-'„_„ F„ 

seront des fonctions dont les degrés sont respectivement inférieurs à ceux 
des dénominateurs 

§ 8. Pour déterminer les fonctions 



dans l'expression du polynôme cherché X, donnée par la formule 
X = F, Q,^F, e,-. . . .H-i^„_, «„_.-Hi'; Q„, 

ainsi que le second polynôme inconnu Y, nous remarquons que d'après le 
conditions du problème la diiiérence 

uX—Y 



— 629 — 

doit représenter le plus près possible la fonction donnée v, ce qui exige que 
l'expression 

uX—Y—v 

s'approche le plus de zéro et par conséquent que le polynôme Z" représente 
le plus près possible la valeur de la fonction uX — v. 

Il en résulte que ce polynôme doit être égal à la partie entière de l'expres- 
sion îiX — V et par conséquent, d'après nos notations, nous aurons l'égalité 
suivante pour déterminer le polynôme Y: 

(9) Y=¥j{uX — v). 

D'autre part, en tirant de cette égalité que 

uX— Y—v = i{X — v — ¥j {uX — v), 

nous concluons que le degré d'exactitude avec laquelle la différence 

kX—Y 

donne l'expression de la fonction r est déterminé par le degré de la dif- 
férence 

uX — v — ¥j {uX — v), 

ou, ce qui revient au même, par le degré de la partie fractionnaire de l'ex- 
pression uX — V. 

Donc, pour satisfaire aux conditions du problême, le degré de la par- 
tie fractionnaire de l'expression 

iiX — V 

doit être rendu le plus petit possible. 

En vertu de cela, ayant le développement de la fonction v d'après la 
formule 

V = Fjv -f- Oj i?j -I- «2 i?2 ~*~ • • • • ) 

nous pourrons facilement trouver les facteurs 

jPi , 7^9 .... . F„ . , F„ 

dans l'expression du polynôme X, donnée par la formule 

ainsi que le second polynôme inconnu Y. 



— 630 ~ 

Mettons pour cela daus l'expressiou 

iiX — V 

les développements de X et de v, indiqués ci-dessus, ce qui donne: 

nX — r = F, Q,u -+- Fr^Q^îi -h- -4- F^_^ Q^^_^ u -*- F^ Q^ u 

— rjv — «1 IL — o., 7/0 — .... — 6) Pi — o B — ... 

^ ^ - - n n n-Hi n-t-i • • • • 

Or d'après nos notations 

B^=Q^u — F,, F, = Q,iL-r,,.... F^=:Q^u — P^. 
Substituant les valeurs des produits 

Q^u, Q-z'u,. . . . Q^u, 
qui en résultent, dans la formule précédente, nous aurons 
nX — v = — 7jv-i-F,P,-^F,P,-^- ~^F^P^ 

_ o p — . . . 

En considérant cette expression de la différence itX — v, nous remarquons, 
que les termes 

— Ez;-f-Fi P,-^F,P,-^...-^.F^P^ 

constituent une fonction entière, tandis que les autres représentent des fonc- 
tions de degrés négatifs, comme cela résulte de ce que les degrés des fac- 
teurs 

I?i, 7?2, 7?3,. . . ., 

d'après le § 2, sont égaux à ceux des expressions 

j_ _i_ j_ 1 1 1 

Q2~ Qi9i' Q3~ Q2 ?2 -^ (>i ' Qn-^-i ~ Qn ?n "^ Qn-i ' 

et les facteurs 

Fi — «1, F2 — «2, ^„— "„, "„+x, 

sont composés des fonctions 

Fu F,,.... F„, 

"1, "2,.... «„, «„^i,...., 



— 631 — 

dont les degrés (§ 3, § 7) sont moindres que ceux de^j, q^,.... q^, g„_j.j,.-'- 
En vertu de cela on trouve pour la partie entière de tiX — v, l'expression 

et pour la partie fractionnaire 

(F,— «,) 7?, -t- {K— «,) Il,-i- . . . . -i- (F^— «J F,^- o^^^ B^^—....; 

la première nous donne d'après (9) l'expression suivante du polynôme Y: 

T=-Y.v-^F,F,-^F,F,-^-. . . ,-^F^F^, 
la seconde va nous donner le moyen de déterminer les facteurs 

qui figurent dans les expressions des polynômes cherchés X et Y. 

§ 9. En examinant la composition des termes dans la partie fraction- 
naire indiquée ci-dessus de la fonction 









uX — V, 






nous remarquons que les degrés 


des facteurs 








^1, 


Ih,-. 


• ••«„- ^„^,. 






sont égaux 


à ceux des expi 


cessions 








1 


1 


1 1 


, . . . . 






1 1 




1 


1 






Qn-^x~ Qn^n-^ 


Qn-i-' 


' Qn-^2~ Qn-,.1' 


Ïn-Hi -^- 


Qn 


et les degr 


és des facteurs 












-^1 — «1, F, 


— «0: 


,. . . . F — co 


' ^n-Hi 


5 • 


sont inférieurs à ceux de 












Qi, 


^2,.. 


'• ^n' ^n-*-p-- 


• • 3 





mais pas plus petits que zéro, parce que ces facteurs représentent des fonc- 
tions entières. Par suite nous trouvons que le degré du terme 

(F, — co,)i?, 
sera moindre que celui de 

gi _, gi _ 1 



— G32 — 
niiiis pas plus petit que le degré de 

le degré du terme 

sera inférieur au degré de 



92 . 



<i% 



<?3 Q2i2-*-Qi 
mais pas plus petit que celui de 

Q,~ (h' 
etc. Or on voit d'après ces limites des degrés des termes dans la série 

(F - «0 i?, -^ (F- «,) 11, -f- .... -4- (F,.- «„) n- o„^, B„^,- .... 

que les degrés des termes y vont eu diminuant constamment et par consé- 
quent le degré de la partie fractionnaire de l'expression 

îiX—v, 

donnée par cette série sera d'autant plus petit qu'il sera plus grand \v 
nombre des termes qui évanouissent à partir du premier. 

Cela posé, il n'est pas difficile de trouver les valeurs des facteurs 

F,, l'\, ■■■■ P„, 
qui donnent la solution de notre problême. D'après les conditions de ce pro 
blême, le degré du polynôme X, représenté par la formule 

ne doit pas surpasser la limite donnée »i, ce qui suppose, en vertu du § 7, 
que le degré de F ne surpasse pas celui de '— et, d'après le § 8, ce poly- 
nùmc doit rendre le degré de la partie fractionnaire de l'expression 

îiX — V 

aussi petit que possible, ce qui exige, comme nous vouons de voir, l'éva- 
nouissement du plus grand nombre possible de termes à partir du premier 
dans la série 

(F, _ „ j 7?, -H (F, - o,) i?, -^ . . . . ^- (F,. - «„) B„ - «„^, «„^,- .... 

Or les w — 1 premiers termes disparaissent quand on suppose 

F, = o), , F^ = coo, . . . . F„__, = w„_. ; 



— 633 — 

CCS valeurs des facteurs F^, F^^. . . . F„_i, dont les degrés sont respective- 
ment moindres que ceux de 

diaprés le § 7, étant possibles, nous trouvons pour la solution de notre 
problême 

^l = «n ^2 = «2, • • • • ^n-i = "n-r 

Tour ces valeurs des facteurs F^, F^, . . . . F^_^ la partie fractionnaire de 
îtX — «; se réduit à 

où le premier terme peut être annulé par un cboix convenable du facteur 
Fj seulement dans le cas où le degré de 

ne surpasse pas celui de '^, ou, ce qui revient au même, quand le degré de 

Yn 

^'\i ^^n lie surpasse pas le nombre 7;?, qui est la limite du degré du polynôme X 
Dans le cas contraire, d'après les conditions du problême, le facteur F^ 
doit être de degré moindre que co^^, donc sa valeur n'influera sur le degré 
de l'expression 

(*;-"„)^''„-"„^, ««^■-•■•- 

Ainsi, lorsque le degré de (d^^ Q^ est supérieur à m, on peut prendre pour 
F^ toute fonction entière pour laquelle le degré du produit F^ Q^ ne sur- 
passe pas m, limite du degré du polynôme X. De toutes les valeurs de F^ 
satisfaisant à cette condition, la valeur égale à zéro mérite une attention 
particulière, car elle fournit les expressions les plus simples des polynômes 
X et Y, qui donnent la solution de notre problême. 

En vertu de ce que nous avons montré par rapport aux facteurs 

F F F 

dans les formules 



X=: 


F,Q,-^F,Q,-^ . . 


'■-^KQn: 


Y=- 


-Yjv-^FJ\-^F,_P^-i- . . 


"^KPn. 



on voit que la série 

«1 Qi -*- «2 ^^2 -*- "3 & -^- ^ • • • 5 
arrêtée au dernier des termes dont le degré ne surpasse pas m, donne la 
valeur du polynôme X dans la solution de nôtre problême et que la série 



- Tjv -h «^ P^ - 



— C34 ~ 

arrêtée au terme correspoudant. donne la valeur du polynôme F dans la 
même solution. Cette solution sera la seule possible, si le premier des ter- 
mes rejetés dans la série 

^'i Qi -»- ('^2 ft ■+- «3 ft -♦-•... 

contient le facteur Q^ de degré supérieur à m^ limite du degré de X. Dans 
le cas contraire ce sera la plus simple de toutes les solutions en nombre 
infini de notre problême, qui toutes donnent l'expression de v avec le même 
doii'ré d'exactitude et peuvent être obtenues de la solution la plus simple 
en y ajoutant aux polynômes X et 7 les termes 

OÙ F est une fonction entière quelconque qui, étant multipliée par ()^, 
donne un produit de degré ne surpassant pas m, limite du degré du polynôme X. 

Telle est la solution de notre problême sous la forme générale. 

§ 10. Les facteurs 



contenus dans le développement de la fonction v d'après la formule 

r = Er -+- «^ i?i -4- o, i?, -H . . . . 

et dans les séries 

X = 6)^ Q^ -+- «2 Q.,-i- w.j ft -f- . • • . , 

Y= iiiV -+- G)j Pj -h- o^, I\ -f- «3 7^3 -*--.... , 

qui déterminent les valeurs des polynômes X et Zpour lesquels la diffé- 
rence uX — Y exprime le plus près la fonction v, s'obtiennent, comme ou 
l'a vu (§ 6), à l'aide de la formule 

,,,„=(_ i)"-Eî„{ç„»'-Eç„«), 

ou 

",.=(-i)"~'[Eî„c„«-î„Ee„«]- 

Dans le cas qui se présente ordinairement, oiî les dénominateurs gj, g^, îa,.--- 
dans la fraction continue 



1 

-4- 

Î2 - 



^l=lq -i 1 

^'^ îiH 1 



îZ3-f-. ^ 

sont tous des fonctions du premier degré, les facteurs 

6),, «2, «3, .... 
se réduisent à des constantes dont les valeurs se déterminent aisément. 



— 635 — 
Eu effet, si 

q, = Â^x-i- B^, q^==A^x-+- JB^, . . . . q^=A^x-^B^, .... 
la première des expressions indiquées ci-dessus du facteur o^ donne 

"„ = (-!)""' E(A^-^'Sn)(e„«'-E«3„4 

D'ailleurs, remarquant que la différence 

ne contient dans son développement de termes ni de degré 0, ni de degrés 
positifs, nous concluons que le développement de cette différence aura la forme 

X x'^ x^ 

Or, étant multipliée par Â^x-^B^, la série précédente donne 



A.L-i- 



An M^ -t- Ln -B^ 



donc, en y rejetant la partie fractionnaire, nous aurons d'après la formule 
indiquée pour la détermination de o^: 

"„ = (-!)""' ^„i„. 

A^ étant, comme on l'a vu, le coefficient de x dans le dénominateur ^^, et 

i„ — le coefficient de — dans la différence Q v — j^^Q„v ou, ce qui revient 

au même, dans l'expression Q^ v, le terme Tj Q^ v ne contenant point des 
degrés négatifs de x. 

En tirant de cette formule les valeurs des facteurs 

"u "25 "35 • • • • > 

nous obtenons, en vertu du développement mentionné de la fonction v, la 
série suivante: 

V = £jv ~\- A^ L^ Bj^ — A^ L^B^-i- A^L^B^ — . . . . , 

et pour l'évaluation des polynômes X et T, avec lesquels la différence 
uX — Z représente la fonction v le plus près possible, nous aurons les séries 

X= A.L^Q^ — A^L^Q^-\- A^L^Q^— . . . ., 

Y=-'^v^A,L,P, — A,L,P,-^A^L,P^— ; 

où 

-^15 -^2? -"3? • • • • 



— 636 ~ 
désignent les coefficients de x dans les dénominateurs de la fraction continue 



et 

A> Aï ^3» • • • • 

les coefficients de — dans les développements des produits 

ft^, ft'^, Qz^, • • • • 

suivant les puissances descendantes de la variable x. 



27. 
SUR UNE 

(0?]RA»UXT PAÏl ». SÉLXVANOrr.) 



©Su cdnoM'è 



apueMcniuzecÂoM'6 Soripocin. 



(npHJioacenie k'b X-ny TOMy SaiiHCOKi. HMnEPATOPCKofl AKa3;eMiH HayKt, As 4, 1866 r.) 



Sur une question arithmétique. 



§ I- 

Etant donné le degré d'approximation de la différence y — ax vers 
zéro, ou détermine facilement les moindres nombres x qï y pour lesquelles 
cette approximation a lieu, en développant la quantité a en fraction continue. 
La question plus compliquée consiste à déterminer les nombres rc et ?/ de 
manière que la différence y — ax s'approche vers l avec le degré d'approxi- 
mation donné, & étant une grandeur donnée différente de zéro. Cette question 
peut être résolue aussi au moyen des fractions continues, comme nous allons 
le faire voir. 

Nous envisagerons la question sous deux aspects, selon qu'on cherche 
les nombres x, y de manière que la différence y — ax donne la valeur 
approchée de h par excès ou par défaut. Dans le premier cas la différence 
y — ax devant être supérieure à &, si l'on suppose que le degré d'approxi- 
mation, que l'on a en vue, ne laisse faire une erreur égale à 1, cette diffé- 
rence doit dépasser h d'une valeur moindre que 1, par conséquent en ce cas 
la quantité 

y — ax — l) = y — {ax-¥-h) 

est contenue entre et 1 ; le nombre inconnu y est donc égal au plus grand 
des deux nombres entiers entre lesquels est contenue la quantité ax -i- h. 
En dénotant en général par le symbole EA le nombre entier inférieur à A 
et le plus proche de A, nous remarquons que la quantité ax-\-h sera con- 
tenue entre les deux nombres 

ri {ax -+- h), Tj {ax -^h)-^l, 

et par conséquent l'inconnu y aura pour valeur 

y = Jb {ax -i- h) -\- 1 . 



— G40 — 

Pour cette valeur de y uous obtenons 

y — {ax --t-h) = Vj (ax -i- h) -+- \ — {ax -»- h). 

De cette manière ou détermine le degré d'approximation de la différence 
y — ax vers h dans le cas oii cette différence est plus grande que h. 

Eu discutant de la même manière le cas, où y — ax donne une valeur 
approchée de h par défaut, nous concluons que y doit être égal au plus petit 
des deux nombres entiers 

Tj {ax -+- 5), rj {ax -+- ?>)-+-!, 

qui comprennent la quantité ax -+- &, par conséquent 

y = Fj {ax -i- h), 
et 

y — ax — h =: Tj {ax -4- h) — {ax h- h) 

= — \ax-t-h — Fj {ax -+-h)\. 

Il en résulte que notre question se réduit à la détermination de la 
moindre valeur du nombre entier x satisfaisant à la condition que 

i!/ {ax -*- b) -i- 1 — {ax -+- h) 
ou 

ax-^b — Tj {ax -+- h) 

soit inférieure à une quantité donnée, qui détermine le degré d'approxima- 
tion de la différence y — ax vers b. 

§ n. 

En abordant cette question, désignons pour abréger 

I h {ax-^b)-i-l — {ax -t- Z)) = cp {x), 
(1) < 

y ax-+-h — ïj [ax -^h)^'\/ {x); 

calculons les valeurs 

9(0), 9(1), 9(2), 9(3),-..., 

^.(0), '1(1), -1(2), '1(3),...., 



— 641 — 

et dans chacime de ces suites de valeurs chassons tous les termes égaux ou 
supérieurs aux termes qui leurs précèdent. 
Eu désignant par 

9(iV„), 9(A',), <p(iV,),.... 9TO, <fiN^^,)...., 
i (M,), ■], [M,), (^r,), '3^ (M^), ^ (ilf.^,) .... 

les termes qui restent après cette opération, il est facile de remarquer qu'eu 
général le terme 

9 (^;) 

aura la plus petite valeur que peut prendre l'expression 9 {x) pour ic < N^_^_^ . 
En effet, on voit, d'après ce que nous avons dit sur la réduction des termes 
de la série 

9(0), 9(1), 9(2), 9(3),.... 

que le terme 9(iVg) ne peut rester que dans le cas, oii l'on a 

?(0)>9TO, 
9(1) > 9 W, 



cp(iY,— l)>9(i\). 
D'autre part pour qu'aucun des termes 

cp(xY,-f-l), 9(iY,-i-2),.... <^(N^^—1) 

ne reste après cette réduction, le moindre de ces termes ne doit être infé- 
rieur à 9 (-Yg), qui est le moindre des termes 

9(0), 9(1), 9(2),.... 9(^,); 

car autrement ce terme serait moindre que ceux qui le précèdent, et par 
conséquent ne pourrait pas être chassé de la suite 

9(0), 9(1), 9(2),.... 
La suite 

^{M,), ^{M,), ^{J\Q. . . . ^(i¥p), ^(iV,),. . . ., 

jouit de la même propriété, le terme 

4^ m 



— 642 — 

ayant la moindre valeur que puisse prendre ^ {x) pour les valeurs de x de 
j)uis x = jusqu'à x = 3Ï^_^^ — 1. 
Il en résulte que les suites 

çW, 9(iV,), 9TO, • • • • <pTO, <P(AW,), • • • ., 
4- (K„), ^ (M,), i, {M,), ....•], iaç, 4, (if^^,), 

obtenues par la réduction énoncée ci-dessus des termes des suites 

9(0), 9(1), 9(2), 9(3), ...., 

-KO), 'Kl), 'K2), -1(3),.. .., 

font voir le degré de petitesse que puissent atteindre les expressions 9 (x) 
'\/{x) pour les différentes valeurs de x. Pour cette raison ces suites peuven 
servir à la résolution de notre problème. 

Soit p. ex. o{N^) le premier terme de la suite 

9(i\g, 9(A;), <?{N,l .... 9(-^c-,), 9TO, • • • • 

ne surpassant pas une certaine limite s. Le moindre nombre x pour leque 
la différence y — ax, étant supérieure à h, exprime h k s près sera x=^ N^. 
La même chose s'obtient au moyen de la suite 

Ki>/o), 'H^i^i), 'H^Q^ • • • • K^p), ^i^,-^^ • . • . 

si l'on suppose y — ax moindre que h. 

La résolution de notre problème est ainsi réduite à la formation de . 
suites 

^{N,\ 9(iV,), o{N,\ . , . . 9(i\y, 9(AUi), • • • -, 

4.(3/0), K^i), K^^2), .... K^p), K^p-*-i). • • • • 

On calcule aisément les termes de ces suites, comme nous allons voir, au moyei 
des nombres x et y, pour lesquelles la différence y — ax s'approche le plu 
de zéro. On obtient ces valeurs de x et y, comme on sait, à l'aide des frac 
tions continues de la manière suivante. 

Après avoir développé a en fraction continue 

on calcule les réduites princijMles 

Po A ^ 

Qo' Qi' Qz' 



— C43 
et les réduites intermédiaires 



Pi Pi" 
IV PI 


Pi(?i-i) 

• • • Çi(7i-1)' 


Qz' Qo"'-' 


• • • Q./'h-'^)^ 


Po__ 1 

Qo 0' 


Pi _ 'lo 



et eu général 

Pe-^i^ Pele-^Pe-^ Pjt) ^ Pef -^ Pe-i 
Qe -Hi Ce ?e -+" (^e -i ' Çg'^) Qef-^ Qe-i ' 

Les nombres x Qi y pour lesquelles la différence y — ax^ tout en restant po- 
sitive, s'approche le plus possible de zéro sont 

., — p' p" 7j(?i-u /j p' p" 



taudis que les nombres :r et ^ pour lesquelles la différence reste négative 
et s'approche le plus possible de zéro sont 

y=i\, p;, p; p/'=-", p„ p;- 

Ces systèmes des valeurs Aa x ai y jouissent, comme on sait, de la 
propriété que chacun d'eux réduit la valeur absolue de la différence 
y — ax à un tel degré de petitesse que l'on peut atteindre dans la sup- 
position de y — «a; > ou y — «a; < 0, en laissant x invariable ou bien 
en le diminuant. Ainsi p. ex. en posant x ■= ()/, y =^ P/ on obtient la plus 
petite valeur possible de la différence y — ax pour x^= ou < Q[ et 
y — ax > 0. 

Par cette raison, en désignant par 

9,(1), 9,(2), 9,(3), .... 

les plus petites valeurs qu'obtient la différence y — ax pour a; = l, 2, 3,.... 
lorsque y — «:z; > 0, on conclut que dans la suite 

9,(1), 9,(2), 9,(3), .... 
chacun des termes 

?o(ft'), 9o(ft"), • . . . ?o(^/'^~''), ?o(ft), ?o(^/), . • . • 
sera inférieur à tous ceux qui le précèdent. De même, en désignant par 

-ii,{\\ -'W^), -•^..(S), .... 



— G44 -- 

les valeurs de la diftereiice y — ax les plus approchées de zéro pour 

a;=l, 2, 3, , 

lorsque 

y — ax< 0, 

nous remarquons que cliacuu des termes 

UQ.\ 'UQ2). 'MQ2). ■■" 'kiQ^''''^ ^om, . . • • 

de la suite 

^o(l), 4^0 (2), 'to(3),-..., 

sera inférieur à tous ceux qui le précèdent. 
On voit de là que les suites 

UQÙ. 'UQ2), 'lolO, • • • • ^o{Q2'''~% UQs)^ • • • - 



jouent le même rôle par rapport aux suites 

9o(l), 9,(2), cpo(3), . ■ . ., 
4>o(l), ']>oi2), *o(3), . • . ., 

que les suites considérées plus haut 

9 [N,), 9 {N,\ 9 (.%), .... 9 (iYj, 9 {N^_^^) . . . . , 
^(il/o), ^{M,), ^{3Q, .... ^(1/p), 'H^Vi) • • • •' 

par rapport aux suites 

9(0), 9(1), 9(2), , 

^{0), 1^(1), 4;(2), 

Pour abréger nous dénoterons les nombres 

^;, ^1", . .. • ft''^~^ (>2, w, • • ••. 
(>i, ft', ft", .... ^^2^'^^~'\ ^^3, 



par 

^0 5 ^15 ^*2 5 • • . • J 

Wo, ^>^i, w^2, . . . .; 
en vertu de quoi les suites 

?o(ft'), ?o(^r), • • . • ?o(ft^'^~0, ?0(^2), ?0(ft'),- 

'j^o(ft), ^0 ((>;), '^0(^2"), • . . • ^oiQ.'''~\ +o(ft), . 



— 645 — 
serout représentées ainsi: 

9oK)) ?oO*i)» ?oW, • • • -5 

'l^oK)? +oO'^), ^oK\ 

Les expressions 

comme il est facile de s'en convaincre, s'obtiennent des expressions 

cp (x) =zrj(ax~^'b)-h-l — {ax ~f- h), 
'i^ {x) := ax -^ h — rj {ax -+- h), 

quand on suppose h égale à zéro. En effet, pour que la différence y — ax 
s'approche le plus possible de zéro pour la valeur donnée de x, le nombre 
inconnu y doit s'approcher le plus possible de la quantité ax et, par consé- 
quent, doit être égal à un des nombres entiers qui comprennent la quantité 
ax. Mais puisque ces nombres sont 

E (ax) H- 1 , E (ax), 

les valeurs de y — ax les plus approchées de zéro seront 

E (ax) -+- 1 — ax, E (ax) — ax. 

La première de ces valeurs étant positive et la seconde négative, nous con- 
cluons en vertu de nos notations, que celle-là se représentera par 90 {x) 
et celle-ci par '\'q{x) de sorte qu'on aura 

I cp(j (x) = E (ax) -f- 1 — ax, 
(2) < 

^ ^^ (x) = ax — E (ax). 

§m. 

Pour parvenir à la détermination des termes 

<PTO, <fiN,), ?(.¥,), .... ?(iV,), ?(.V,^,) , 

'HM,), ^(M,), '3^ (M,), .... <\,(M^), KJfp^,) , 

uous cherchons d'après les formules (1) l'expression de la différence 

9(iV,)-9(A',-Hi), 



— 646 — 
L étant un nombre positif quelconque. Nous obtenons 

9 (.a;) — 9 ÙY^ -4- X) = E (a.A; -4- &) -f- 1 — m; -H &) 

— E (axYg -^aL-v-h) — 1 -i- aN^ -i-aL-+-h, 
ou, après la réduction, 

Mais il est facile de voir que pour ^1 > J5 la différence 

est égale à 

E(^ — 7?), 
ou à 

E(yl — 7?)-*-], 

ce qu'on peut évidemment exprimer par l'égalité suivante 

E.i-EB=K(j-i?)-H.ifi, 

en supposant que dans l'expression 

i±i 

2 

on choisit convenablement l'un des deux signes =b. 

Par cette raison l'expression trouvée ci-dessus de ia différence 

prend la forme 

9(Y,)-'^(Y,-»-Zj=:aL-E(«X) — if^; 
donc, en remarquant que d'après (2) 

aL-Vj{aL) = ^,{L), 
nous en concluons, qu'on aura 

9 (N,) - 9 (A; -*- i) = 4.„ (i) - if^ , 

où il faut choisir convenablement le signe dans l'expression — ^. 
Dans le cas particulier, où l'on a 



— 647 — 
cette formule nous donne 

Pour déterminer le signe qu'il faut y choisir, remarquons que le premier 
membre de cette égalité est positif, car les termes de la série 

? iN,X o {N,), cp {N,\ .... 9 {N^\ cp (^,^^), .... 

vont en diminuant; et que le premier terme du second membre 4^o(iVg^^ — N^) 
d'après (2) est inférieur à un. La formule ne peut donc avoir lieu que dans 
le cas où 

2 ^ ^' 

d'oîi il résulte évidemment que dans l'expression —=~ on doit prendre le 
signe inférieur. En choisissant ce signe nous obtenons 

(3) î W-?(a;^,)='I«W+, - Ay. 

11 en résulte que 

D'autre part il est facile de voir que pour 
aura lieu toujours l'inégalité 

4'«(i)>?(Ag. 

Pour le démontrer, supposons que L soit un nombre pour lequel cette iné- 
galité n'a pas lieu; nous allons voir que pour telle valeur de L l'inégalité 

est impossible. 

En effet, si l'on avait 

'i^,{L) non >9(.V,), 
la formule précédente 

9 (iV,) ~ y (W, -H L) =:= .j.. (i) ~- ^ , 



— 648 — 
110 peut être satisfaite que pour 

]Mais comme (^{N^-t-L), d'après le § 11, est inférieur à 1, cette inégalité 
u'aura lieu que pour le sigue inférieur it , ce qui réduit la formule précé- 
dente à celle-ci 

o(x,)-o(a;-4-l) = .i,„(L), 

qui exige 

9(^;-4-Z)<9(^). 

jMais d'après le § précédent aucune des valeurs 

9(.Y,-Hl), 9(A;-t-2),.... 9(iN^^,-l) 

ne peut être inférieure à (^{N^). Par conséquent cette inégalité est impos- 
sible, si N^ ■+- L est égal à un des nombres 

'a ' c-*-i 

ou, ce qui est la même chose, si 

Donc pour toutes les valeurs de Z inférieures à la différence Y^,^^ — Y^ 
on aura 

d'où il suit d'après (4) 

(5) ■|.(i)>|o(^%^,-j\V- 

On voit de là que dans la suite 

■W), '1.(2), |«(3),. . . . 4'o(^^W, --%).• • • • 
le terme 

est plus petit que tous ceux qui le précèdent, et par conséquent ou trou- 
vera ce terme dans la série 

^^oK), 4^0 K), +oK)> — » 

conformément à ce que nous avons dit (§ II) sur la formation de cette série. 
En désignant par 



— 649 — 
celui des termes de la série 

'l^oK), 'l^oK), ^oK)^ 

qui est égal à 

nous trouvons 

et d'après (3) 

9(.V„)-9(.V^^,) = 4,„(«V,). 

Ainsi pour déterminer N^^^ et cp(A^g^J au moyen des valeurs N^ et <^{N^) 
on aura les formules suivantes 

(6) ! '^-.=^^^-'"- 

Quant au choix du terme 'loO^^^a) *^^ ^^ ^^^^^ 

'hi^h), i'oi^^h), 'M^,), .... 

qui sert d'après (6) pour déterminer les valeurs de N^^^ et (p{N^^^) au 
moyen deiVg et (?{NJ, il est aisé de le faire. D'après la formule (4) le terme 

ne surpasse pas la valeur 
mais tous les termes 

qui le précèdent, d'après (5), sont supérieurs à (?{N^); donc le terme 

de cette série sera le premier, et, par conséquent, le plus grand des termes 
qui ne surpassent pas 9 (N^). 

En considérant de la même manière la différence 

pour L = M^_^^ — M^ et pour L < Jf^^^ — M^ on obtient 
(7) '-^' ' ^' 



— 650 — 
9o(>iv,) étant le plus grand des termes de la série 

9o(Wo), <?oOh), 9(70, , 

qui ne surpassent pas '\>{M^). 

§ IV. 

D'après les résultats obtenus dans le paragraphe précédent tous les 
termes des séries 

'\^{3Q,'HM,\'h{3Q, 

peuvent être calculés au moyen des premiers termes 9(-A'o), '|(-3^o)- 
Ainsi, en posant dans les formules (G) 

a=:0, 1,2,.... A-1, 
on trouve 

]\\ = No -»- W?^^ , 9 {X,) = 9 {Xo) — 4^0 (^'?!^o)' 

X, = N, -f- w?^j , 9 (iVy = 9 (.Y,) — 1^0 ("VA 
ce qui nous donne, en éliminant N^, Yg,..., Xy _^ , o (X^), 9 (N^),..., 9 (A'j _^), 

f Y, = Nq -+- 7)1 ^.^ -4- W?;j,^ -f- -+- «?^J_j , 

( 9 (iA\) = 9 (i%) — 4^0 [^y-o) — 4^0 (^",ai) — — ^0 0"n-i^ 5 

d'où il suit 

(9) 9 (.A^) = ^0 (^^Vo) -+- "J^o (»2|Xi) -^ -+-4^0 ("Vx-i) -*- ? (^V^)- 

D'après ce que nous avons dit au § III, 

sera le plus grand des termes 

+oK), .'-^oW, 'l^oK), — , 

qui ne surpassent pas o{Nq), ']^oO%i) ^^^'^ le plus grand de ceux qui ne sur- 
passent pas 9(^^j) = 9(^0) — 4*0(^^0)' 4'(.<^^"!J^J ^^^^^ 1^ Pl"s grand de ceux 
qui ne surpassent pas (?{X^)=o{X^)—^o{^^hh)=9{\)—'\^o{i^ii>.o)—'i^o{^^y-i), 
etc. 



— 651 — 
Donc la série 

qui, d'après la formule (9), donne la valeur de <^{N^) à (?{Ny) près, peut 
être obtenue quand on développe la quantité cp(Ay en une somme de 
termes de la forme 

'l^oW, ^oW, ^oK)' 5 

en détachant successivement de la quantité 9 (N^) les plus grands termes 
possibles de la série 

'J^oK). 'l^oK), -^^oK), — 

ou, ce qui est la même chose, quand dans le développement de (^{N^^) en 
série 

'j^o (wVo) -+- 'h (^>Vi) -+- -*- '-1^0 (^^Vx_i) -+- ? i^\) 

on a en vue que la série arrêtée à un terme quelconque ait une valeur 
moindre que 9(iVo) et la plus rapprochée à 9(^0)- 

En supposant que ce développement de la quantité 9 (Nq) prolongé 
indéfiniment conduit à la série 

+0 ("Vo) -+- ^0 (^'Vx) -+- 4^0 {mix,) -^ , 

on conclut que cette série plus ou moins prolongée sert à déterminer d'après 
les formules (8) les différents termes de la série 

9 (Ay, o (.¥,), ç(AV,.... 
et les nombres correspondants 

N N N 
En s'arrêtant au terme 4^oO'Vx— 1) ^^ ^^ ^^^'i^ 

'h (m^,,) -»- '^0 O'Vi) -^ 'h ("^u^) -+- — , 

on obtient d'après la formule (9) la valeur de 9 (iV^) avec l'erreur 9 (Ny). 
Donc pour déterminer le premier terme de la série 

9W), <?{N,\ 9W), ?(Ay,.... 

ne surpassant pas la limite s (ainsi qu'exige notre problème), il faut pro- 
longer la série 



— 652 — 
jusqu'il ce qu'on obtienne <p {Xq) à s près. Si l'on doit retenir pour cela X termes 

le premier terme de la série 

oTO, o{N,), 9(iV3),...., 
ne surpassant pas i, d'après (8), sera 

9 (.Y) = 9 (No) — 4^0 ('Wf^o) — 4^0 (^«fii) — — '\>o ('«fxx_i), 

et le nombre N correspondant aura la valeur 

N= Nq -+- m^^ H- m^^ -\- -f- m^,-^_^ . 

Ces expressions des quantités 9 {X) et du nombre N peuvent avoir 
des termes égaux entre eux. Pour trouver ce qu'on obtient en réunissant 
ces termes égaux remarquons que dans la série 

'|o O^Vo) -*- 'lo (^^Vi) -+- '% (^^^2) -+- , 

d'après ce que nous avons dit à l'égard de sa composition, chaque terme ne 
sera pas inférieur à celui qui le suit. Par conséquent la série considérée 
se réduit à 

OÙ 

^0 > ^1 5 ^2 ' • • • • ^'î ? • • • • 

désignent les nombres des termes égaux à 

+oK), 'loK). ^oK). — '\'oi^i}, — 

En comparant la série 

indéfiniment prolongée avec la série 

arrêtée au terme 4^o(^!J-x— i) "^"^ remarquons que dans les deux séries les 
termes 

+o(*"o)) 'toK)^ ^oK)^ 



— 653 — 
jusqu'aux termes égaux à 

entreut un nombre égal de fois. Mais les termes égaux à 
entrent en général dans la série 

mdéfiniment prolongée un nombre de fois plus grand de l unités, l désignant 
combien la série 

contient de termes qui suivent m.^y^_^ et qui lui sont égaux. 
La série 

arrêtée au terme 
se réduit donc à 

^0 +0 (^^^o) -+- \ ^0 {ni,) -i- .... -4- {h^-^^_— l) tj>o (m^x-i)j 
et la somme correspondante 

par la même raison, prend la forme 

En portant ces expressions des sommes 

dans les formules précédemment obtenues pour 9 {N) et N, on trouve 



— 654 — 
Le nombre /, d'après sa siguification, aura une des valeurs suivantes 

0, 1, 2 
quant aux nombres 

il est aisé de voir qu'ils sont les quotients de la division de ^{N^) par ']i^){m^), 
du premier reste par ^^^(771^), du second reste par 'l'Qim^) et ainsi de suite. 
En effet, d'après ce que nous avons dit sur les séries 

on voit qu'après les k^ termes égaux à '\>Q{ni^^), \ termes égaux à(};Q(mJ,...., h. 
termes égaux à '^^{m.)^ il n'y aura plus de termes égaux à "^(^{tn.) que dans 
le cas où 

o {h\) — i, 'lo (w^û) — K 'j^o (^^i) — — — h ^0 {i^\) < ^^0 K); 

mais comme ces séries arrêtées à un terme quelconque ont une valeur moindre 
que 9(xYo), on a 

9 (xA'û) — K "^ù {^h) — K +0 {^^h) — — — ^î 4^0 0'^-) > 0. 
Or pour 

i = 0, 1, 2, 

ces inégalités donnent 

9 (ÎVo) — ^^''o 4^0 (^^^o) < +0 (w«o) niais > 0, 

9 ÇS\) — k, '^0 (Woj — ^1 '|o {'"'h) < i^o (^>^i) mais > 0, 

9 (lY,) — k^ 4^0 ('«0) — ^i <^û (^^i) — K +0 (^«2) < ^0 (^>^2^ lûais > 0, 

et ainsi de suite. Il est clair de là que k^ est le quotient de la division de 
(^{Nq) par 4^0 (^^^0)5 ^^ Teste de cette division étant 9(Yq) — k^^^^{m^^), que k^ 
est le quotient de la division de ce reste par '^^(^'^i)' ^^ ve&ie de cette di- 
vision étant 9o(-Yo) — ^*oi^o(^^^o) — ^^i^q{^^^i)j K est le quotient de la division 
de ce reste par '^^{771^) et ainsi de suite. 
Quant au choix du terme 

et du nombre l pour lesquels les formules (10) expriment le premier des 
termes de la série 

ç(Yo), 9UAU ?TO,----, 

qui ne surpassent pas la limite donnée £, il est facile de le faire. 



— 655 — 
Nous avons vu que l'expression 

résulte de la somme 

par la réunion des termes égaux. Mais cette somme est la série 

arrêtée au premier terme avec lequel on obtient la valeur de <^{Nq) à s 
près. Il en résulte que le terme 

4^o(^«HtX-l) 

de la série 

et par conséquent le terme 

/\u.X_,'|o(^^Vx-i) 
de la série 

K '\>o i^^h) -*- K ^0 (w^i) -t- K 'l^o K) -»- — , 

sont les premiers termes avec lesquels ces séries donnent la valeur de ^{iS\) 
à £ près et que l est le plus grand des nombres 

0, 1, 2, . . . . ^ii.i__^ — Ij 
pour lesquels l'expression 

k, '^0 {m,) -+- K ^0 («^) -+- -*- (^P-X-i— +0 (^^^{^X-i) 

représente la valeur de 9(^y à e près. 

En considérant de la même manière la détermination des termes 

nous trouvons qu'on les obtient en développant la quantité tj; {M^) en série 

les nombres A'^,, /Cj, Agj- • • • étant les quotients de la division de '^(ifc/o) 
par cpo(^*o)) ^^ premier reste par cpoO^i), du second reste par 90(^^2); ^^ ainsi 
de suite. 



— G5G -- 

Supposons que pour obtenir la valeur de 'i^iM^) à i près, il faut s'ar- 
rêter au terme 

et que l soit le plus grand des nombres 

0, 1,2,.... k.^_,-l, 
pour lesquels la somme 

^0 ?o K) -*- ^'i ?o {'>h) -*- -+- (J^^'ç-i— ^ ?o (Wvp_i) 

donne la valeur de '^(-Mq) ^^ ^ P^"^^- ^'^^^i' déterminer le premier terme de 
la série 

|(il/„), •'.(ilf,), ••.(i¥,), ...., 

ne surpassant pas £ et le nombre correspondant M on obtient les formules 
suivantes: 






Notre question est ainsi complètement résolue; il reste encore à indiquer 
le calcul des différentes quantités qui entrent dans les formules (10) et (11 ). 

§v. 

D'après le § 11 la série 

Wo, ?^l, ^2, îlg, .... 

sera composée des nombres 

qui sont les dénominateurs de telles réduites principales et intermédiaires 
de la quantité a, dont la valeur est plus grande que a; la série 

9uK), ?o(Wi); %{:n^), .... 

est composée des valeurs de' la d;fféreuce u — ax pour x et y égales aux 
termes de ces réduites, à savoir 

pour ^ = Q^, (>/', CV^^~'', (>2, Q3, , 



— 657 — 
Posant pour abréger 



(12) 






(les quantités I)^ et T)f^ étant toujours positives d'après la propriété des 
réduites principales et intermédiaires) nous concluons que la série 

?oK), ToWj ?oK)5 • • • • 
est composée des termes 

Bf^ désignant 

ou, en d'autres termes, la valeur de la différence y — ax pour 

D'après les relations 

qui existent entre les termes des réduites principales et intermédiaires, on 
trouve que les quantités 

D„, A, -o;, !>;', ■■■■ A'"-", A, 

sont liées par les égalités suivantes 

En posant dans la première de ces égalités e = 1 et remarquant que 

2)o=Po- a(?o=l — «^-0 = 1, 
on trouve 

A=i-?,A; 



— G58 — 
d'où il résulte 

(15) I),~^q,J),= \. 

Or les équations (14), après rélimination de l\_y', nous donnent 

(16) n^!"=iK^,-^{g,-f)JK- 

En procédant au calcul de la série 

^'o?oW-+-^l9oW-^-^2?oK)-^ . . . ., 
remarquons qu'après l'introduction des valeurs obtenues pour 

^oM, 9oK); 9oK), ' • ' -, 

cette série prend la forme suivante 

^0 D; h- k, 7)/'-^- . ...-»- ^,._, 7),(^'-^^ -+- /;,._, 7), H- A;,. 7);-h /.,,,, 7);'-^- . . . , 

les coefficients 

^05 ^n ^25 • • • • 

d'après le § IV étant les quotients de la division de '|(il7o) par (ÙQ{nf^)=T)^\ 
du premier reste par 9q(Wi) = 7)/', du second reste par (^^{71^) = D^'\ et 
ainsi de suite. Eu remarquant que (d'après le § II) le dividende ^ (M^) est 
inférieur à un, que le premier reste est inférieur au premier diviseur D/ et 
ainsi de suite, nous concluons que 

et par conséquent 

/^O — -^ < — lY" ) «, — -^ < 2^7 , . • • . S.-2 ^ <- J)j(î.-l) 

En y portant Dg-i-r/, Z/j à la place de un d'après (15) et remplaçant 
les quantités 

B' B" D '*i~'^ 

X/j , i^j , . . . . X/j 

par leurs valeurs (16) on obtient après la réduction 

' ';^ D2-*-(rii-l)Di' 



i>2 -*-(?!- 2) I>l' 






— 659 — 
Tous les coefficients 



sont donc inférieurs à 2; mais, puisque ces coefficients sont des nombres 
entiers et positifs (§ IV), ils ne peuvent avoir qu'une des valeurs: ou 1. 
Désignons par h le premier des coefficients 



différent de zéro; on aura dans cette supposition 

D'après ce que nous avons dit sur la détermination de ces coefficients, nous 
concluons que le quotient de la division de '\i (M^) par 

doit être égal à zéro, mais en divisant par 

on obtient le quotient un, ce qui n'a lieu que pour 

^(ilfoXA'^ ^{M,)>D^'-^'\ 

En y portant les valeurs de B^^\ B^^'*'^'^ d'après (16) on trouve 

^{M,)<B,-^{q,-g)B,, 
^{M,)>B,^{q,-g-l)B„ 



ce qui nous donne 



(17) 



I ^iM,)-{B,-^B,) < iq,-g—l) B,, 



\ 



\ •H-^o)-(A -+- A) > fe -^ - 2) A- 

Comme g désigne un des nombres 

0, 1,2,3,.... g,- 2, 
la dernière inégalité suppose que 

^(iifo)>A-+-A. 



— 660 — 
Cette inégalité a toujours lieu quand la série 



contient un coefficient h dififérent de zéro. Par conséquent, si la condition 

n'est pas satisfaite, tous les coefficients 

sont égaux à zéro. Mais si cette condition est remplie il est facile de déter- 
miner g d'après (17). Remarquons pour cela que d'après (17) le rapport 

4>(Mo)-(2Ji-hD,) 

est compris entre les nombres 

(11— 9—^^ î]— ^— 2; 

par conséquent le moindre de ces nombres q^ — (f — 2 est le quotient de la 
division de 

par Dj . Eu désignant ce quotient par ocj nous aurons 

q^-~g—-2 = (t,; 
d'où résulte la valeur de ^: 

5' = ^! — «1 — 2. 
De cette manière on détermine ^, l'indice du premier des coefficients 

f^Qi I^M \i ■ • ' • '^qi—2, 

diiïérent de zéro et égal à un. Tous les coefficients suivants 

s'annulent, comme il est facile de s'en convaincre. 

En effet, d'après ce que nous avons dit sur la détermination des coef- 
ficients de la série 

k, d; -t- k, b;' h- . . . .-^kq^-, 2)/«i-^^ -+- kq^-i D,-+~ . . . . , 



I 



— 661 — 
les coefficients 
dans le cas où 

sont égaux aux quotients de la division de la différence '| (Mq) — D/^"*"'^ 
par Z)/^'^^^ du premier reste par D^'-^^^\ du second reste par D^^^'*"-*) et 
ainsi de suite. 

Les quotients de toutes ces divisions sont zéros, car la différence 

d'après (17) est inférieure à 

D, -4- A -H (î,- 3-1) A -A""", 

ce qui se réduit, en y introduisant la valeur de T)/^"^^^ donnée par la for- 
mule (16), à Dj qui, d'après (16), est inférieure à tous les diviseurs 

r) (3-*-i) T) (f/-»-3) T) (îi— 1) 

i^j , X/j , . . . . X/j 

Il en résulte que la série 

\ b; -*- \ b;' -»-....-+- kq^-2 D,^'^-'' -i- kq^-i B,-^.... 

ne contient aucun des termes 

k,B;, k,B;\.... fc,^_2A^'^~^^ 

ou n'en contient qu'un seul dont le coefficient sera égal à 1. 
Le premier cas a lieu quand 

^(iifoXA-^A; 

le second cas quand 

et dans le dernier cas un tel terme est 

aj étant le quotient de la division de la différence 

^(j/o)-(A-*-A) 

par Dj, Par cette raison la somme des termes de cette série jusqu'au terme 
kq _i Dg se réduit à zéro ou à B^^^~^^~^^ et par conséquent se représente 
en général par l'expression 

2 ^1 



— 662 — 

avec un dos deux sigues db. Le signe supérieur avec lequel cette expressiou 
se réduit à 

(Îl-Oi— 1) 

a lieu sous la condition 

-l(ilfo) >/>,-!- A; 

le sigue inférieur avec lequel l'expression devient nulle a lieu quand 
Ainsi notre série se réduit à la suivante 

ij|i D_(?.-«.-.) H- *:,,_! D^ H- tj. C; -4- . . . . , 

et le coefficient Jcq^-l d'après le § IV est égal au quotient de la division de 

par TJ^. En désignant ce quotient par a^ nous aurons 
En passant à la détermination des coefficients postérieurs 

remarquons qu'on les trouvera de la même manière que les précédents 

Kl '^n '^^1 • ■ ' • ^îi— 2 j 
et que tous les termes de la forme 



se réduisent à 



2 ^^3 J 



en y conservant le signe inférieur ou supérieur selon que la différence 

soit inférieure h D^-h- 1)^ ou non, le nombre ag étant le quotient de la di- 
vision de 

par Dj. 



\ c 

— 663 — ■'^-- 

Eu continuant de cette manière nous trouverons pour évaluation de la 
série, dont il s'agit, la formule suivante 

(18) '-^D:^^-^^-^Wo:,D,-^'^D.j'^~^^-'^-^y.,D,-^ .... 

§ VI. 
Les nombres 

^2 ' ^4 5 • • • • ? 

c'est à dire, les coefficients de 

V,, n,,...., 

dans la série (18), sont les quotients de la division de la différence 
par Dg, de la différence 

par Z>4 et ainsi de suite. Par conséquent on aura les inégalités suivantes 

(19) 0<^ {M,)- ^ D/^i-«i~^^-a, D,- ^ D,''^-^^''' -....- a,, D,,<D,,, 
qui font voir que la somme de la série (18) arrêtée au terme 

ne surpasse pas ']^(il^o) ^t n'en diffère que d'une valeur moindre que D^-^. 
Quant à la valeur qu'on obtient en s'arrêtant au terme de la forme 

1=^1 r)(22X-f-i-«2X-Hi-l) 

^ 2Â-f-l 

on devra distinguer deux cas que nous discuterons successivement. 

Premier cas. Le terme -^r— X)'^^^"*"^""^^"^*"" ' diffère de zéro. 

Cela arrive quand des deux signes d= on retient le signe supérieur; ce 
terme devient alors 

riteX-j-i-azX-i-i— 1) 

2A-t-l 



— 664 — 

et le nombre a.,, .^i, comme nous le savons, est le quotient de la division de 
la différence 

par I^.,)^_i, ce qui suppose les inégalités 
Mais comme d'après (16) 

2X-4-I ~ 2À-^2 ^SX-t-1^ ^^^ -^^X + l ' 

ou aura 

^A ^A j^_^j ^AH-1 

Ou voit de là que la somme de la série (18) arrêtée au terme 

i±iir,(?2\-^l-«2X-4-l-l) 

2 2X-1-1 ' 

ne surpasse pas ^(M^) et n'en diffère que d'une valeur moindre que 
J^s)-*-!' ^^ ^^ terme ne disparait pas. 

Second cas. Le terme ^-^ jr,fex+i-«2A-4-i-i) disparait. 

^ 2X-+-1 
Cela arrive quand des deux signes it on retient le signe inférieur, ce 
qui a lieu, comme nous l'avons vu, sous la condition 

(21) .J. (14) _Lii2> »■-«.-.)_ ,^j^___^^^j), < D^,^, H-7),,,_^,. 

Cette inégalité avec l'inégalité (19) fait voir que la somme de la série (18) 
arrêtée au terme 

1^1 r)(?2X-i-i-a2X-t-i— 1) 
2 ^2X-Hi 

(dans le cas où ce terme disparait) ne surpasse pas ^(-Mq) ^t n'en diffère 
que d'une valeur moindre que 1\,_^^ -h D^y_^_^. 

Eu se fondant sur les inégalités (19), (20), (21) il est facile de dé- 
montrer, que dans la série (18) les nombres aj, a^, ag,. . . . et les facteurs 



— 665 — 

-^— ont de telles valeurs, pour lesquelles cette série arrêtée à un terme 
quelconque donne la valeur la plus grande possible ne surpassant pas ^ {Mq). 
En effet, d'après (19) on voit directement que la somme de cette série ar- 
rêtée au terme 



aurait une valeur plus grande que 'J>(Mo), si même le coefficient de D^^ 
était augmenté d'une unité. Remarquons de même, que, d'après (16), si l'on 

augmente d'une unité le nombre a,^_^, la valeur de 2)^*=^>^-*-i~°'2X-f-i— ^augmen- 

^^-*-i 2X-+-1 

tera de D^i-i-i- P^i' conséquent pour une valeur plus grande de 0L2y_^_^ la 
somme de la série (18) arrêtée au terme 

avec le facteur — ^ = 1 aurait la valeur plus grande que ^ (ilfo) d'après 
les formules (20). Dans le cas, où le facteur — ^ de ce terme se réduit à 
zéro, on aurait l'inégalité (21). A cause de cette inégalité, la somme de la 
série (18) arrêtée au terme 

1 — 1 T)(22X-l-l-«2X-Hl— 1) 
2 ^2X^-1 

aurait la valeur supérieure à ^ (Mq), si on prenait le facteur ^-^ égal à 
un; car avec cette valeur du facteur -^ ce terme se réduirait à 

2)(32X-t-i— a2X-f-i— 1) 

2X-I-1 ' 

ce qui, d'après (16), n'est pas inférieur à -£^2X-i-2"~*" ^2X-f-i ' ^^^^ d'après (21) 
la somme 






-Y~^l -r- «2 ^2 -t- -r- c;c^^ x^^j -*- u^^_^^ -t- u^^^^ 

surpassera 



Donc les valeurs des nombres 

a^, ttg, «3,. . . . 

et des facteurs de la forme 

2 



— 666 — 

dans la série (18) sont détciiniuées par la condition que cette série arrêtée 
à un terme quelconque donne la valeur la plus grande possible ne surpas- 
sant pas '\'{Mq). 

Il n'est pas difficile de démontrer que dans cette série le coefficient a . 
du terme 



n'est pas supérieur à q^. — 1 , si le terme précédent 

1=^1 T)(32t-i-a2t-i-l) 

est différent de zéro; dans le cas contraire le coefficient a^. ne surpasse 
pas 2,.. 

En effet, le coefficient <x^.^ comme nous avons vu, résulte de la division 
de la différence 

par D^i- Or cette différence, d'après (21), est inférieure à 

si son dernier terme disparait, et d'après (20) est inférieure à 

si ce terme ne disparait pas. Par conséquent dans le premier cas 

"2f< D^i ' 

et dans le second 

Mais en remplaçant d'après (14) D^._^ par J^at-ni "*" â'g»- ^2i ^^ obtient 

^ -P2f->-l-^g2t-P2t . 



d'où 






— 667 — 
Or, D^.^^ étant moiudre que D^., on a 

par conséquent pour les valeurs entiers de a^,., q^^ la première inégalité ne 
peut subsister que quand le nombre a^. ne surpasse pas S'j/H- 1; mais la se- 
conde inégalité exige que a^. ne soit pas supérieur à q,^^. 
En déterminant les termes de la série 

^0 4^0 (^^o) -*- ^l 'l^o (^i) ■+- \ <Po (^2) -»- 1 

conformément aux §§ III et V, on trouve que cette série se réduit à la 
suivante 

les nombres (^i, Pa? Ps?- • • • ^^^"^^ entiers et positifs. Après avoir répété les 
mêmes raisonnements que nous avons faits par rapport à la série (18), nous 
arriverons aux conclusions suivantes : 1 ) on détermine les nombres ^ , ^2 , l^g , . • • • 
et les facteurs — ^ de manière que la somme de cette série arrêtée a un 
terme quelconque ait la plus grande valeur possible ne surpassant pas 9 (iV^); 
2) le coefficient ^^.^^ du terme ^^._^^ D^.^^ ne surpasse pas g^^-^^-^-l, si 
le terme précédent ^^ j)ii2i-hi-^) djsparait; dans le cas contraire ce 
coefficient ne surpasse pas q,j_^^] 3) la somme de cette série arrêtée au 
terme p^x.,.! ^2X-t-i ^ ^^ valeur ne surpassant pas 9 {N^) et ne différant de 
9 (iVo) que d'une valeur moindre que I>^y_^^ ; mais en s'arrêtant au terme 
~Y- I)^^_^^~ -^~ ) ou obtient une valeur ne surpassant pas 9(iVo) et n'en 
différant que d'une valeur moindre que B^^ ~¥- Dgx^-i ou J^ax suivant que ce 
terme disparait ou non. 

§ VII. 
Après avoir indiqué le calcul des séries 

nous passons à leur emploi pour déterminer, d'après les formules du § IV, 
le premier terme des séries 

i/(M,),^{M,),^M,),.... 



— 668 — 
et 

ne surpassant pas la limite donnée e. Nous avons vu (§ IV) qu'un tel terme 
^J; (M) et le nombre correspondant M se déterminent au moyen des formules 

^[M) = ^ [Mo) — A-o 9o K) — ^1 9o K) — .... — (^vp_ — l) 9o {n,^-X 

M=3lQ-t- h^ Wo H- A^i Wi -4- -+- (^vp_i— l) n,^_^ , 

où 

fcv._, 9o(Wvp_j) 

est le premier terme, auquel doit être arrêtée la série 

K 9o K) -+- K 9o (^i) -*- K 9o W -»- — 

pour fournir la valeur ^J; [Mq] à £ près, et l le plus grand des nombres 

0, 1,2, 3,.... fevp_-l, 
avec lequel l'expression 

^0 ?o (Wo) -+- ^1 9o (Wi) -t- -+- (^vp_,--0 9o (**Vp_j) 

a la valeur ^ (Mo) à s près. En calculant cette série nous avons obtenu 
(§ V) la formule 



i±i . 

2 



[ jr)^(?i-«i-i) _^ a, D, -♦- i^ D^ds-H-^) -^ . . . . , 
oii d'après notre notation (§ V) 

A =9o(ft), 



Il en résulte que les expressions des quantités ^ (M) et M prennent la forme 



— 669 — 
ou bien 
^{M) = i^ (M,) - '^ D/*i-i-^)_ a, 7), - ^ D^(î3-«3-x)_ .... 

/ 1^1 A j)i^zi-i - a2t-i-l) 

\ 2 / 2/— 1 ' 

Jf = M. -H Ifi (3/».-«.-)-H a, «2, -.- ^ii e'~"=-"H- • ■ • • 

\ ^ / 2î 1 

suivant que 
ou 

2 ^2.-1 

sera le premier terme, auquel doit être arrêtée la série 

l|i i)/^i-«i-i)-H OL,D,-^'-^ D^(?3-a3-i)_H .... 

pour avoir la valeur ^(Mq) à s près. Dans le dernier cas, d'après ce que 
nous avons dit plus haut, le nombre l doit être inférieur à —^ et par 
conséquent ne peut être différent de zéro. Mais pour / = les dernières 
expressions de ^|; {M) et M ont les mêmes valeurs que les premières pour 
l = OL^. . Donc les premières expressions de tj> (M) et M comprennent les 
deux cas en y admettant la valeur l=^oc^.. On pourra alors sans s'arrêter 
aux termes de la forme 

1±J T)(«2t-l-«2t-l-l) 

continuer la série jusqu'au terme de la forme 



avec lequel on obtient la valeur ^ [Mq) à £ près. 

Par conséquent pour déterminer '| (M) et ilf on a un seul système de 
formules 

_l^^(^2^-x-«2/-x-l)_ („^_;^ ^^.^ 
M = M,-^'§^ Ç/*i-«i-^)-i- a, ^, H- ifi ft^^3-a3-^)_^. .... 



— 670 — 

en désiguaut par 

le premier des termes 

avec lequel la série 

2 1 2 -'^2 ^^ 2 3 -t- . . . . , 

a la valeur '^ (i¥o) à £ près, / étant le plus grand des nombres 

0, 1, 2, 3,.... a^., 
avec lequel l'expression 

1^ i) «>-«.-'h- a, a -.- ifi D3<'3-«3-')h- .... -h (a^^_ Q i)^. 

donne -]; (Mo) à e près. 

Le nombre M ainsi déterminé est d'après le § II la plus petite valeur 
de X pour laquelle la différence y — ax^ en restant inférieure à 6, représente 
& à £ près; la quantité ^(M), d'après les §§ letll, sera égale à la valeur de 

— {y — ax — h\ 

la plus rapprochée de zéro pour x = M ^i y — ax <^h. 
Pour obtenir la valeur de y correspondant à 

x = M, 

~{y — ax — 'b) = ^{M), 

remarquons que ces égalités après l'élimination de x donnent 

y = 'b — ^{M)-\-aM. 

Or, en y introduisant les valeurs obtenues de M et '| {M) et remplaçant 
d'après (12) les quantités 

U^ , ^, X/g , X/4. . . . 

par 

on obtient après les réductions 

y = 6 ^ ail/„ - i, (il#„) H- ^ p/»i-«i-«-,- a^ P^ -t- ifi 7. fe-i.-.)^ .... 



— 671 — 

Afin de déterminer ^ (Mq) et Mq remarquons que d'après le § Il les 
séries 

4.(0), ^(1), 4^(2),.... 
et 

^TO, -H^i), 'J^W, 

commencent avec le même terme, par conséquent 

+ (ilf„) = <KO); 
mais d'après les formules (1) 

^(0)==6 — Eè; 
donc 

En portant ces valeurs de M^ et ^ (Mq) dans les expressions ci-dessus 
obtenues de a; = ilf et ?/ on trouve 

^ = ^ C/"-'-'-*- a, ft -H ifi Q^'-"'-''-»- .... 

,!/ = EJ -t- ifi P/î.-«l-')-H „^ P^ -H L|i p^(îs-%-» ^_ . . . . 

Ces expressions de x et y déterminent les moindres valeurs entières de x et 
y pour lesquelles la différence y — ax, en restant moindre que h, représente 
& à £ près. 

En comparant ces expressions dùx,y avec l'expression de v];(Jfo)=6 — ïhb 
donnée par la formule 

et remarquant que d'après (16) et (13) 

A"'""'"" = -D, -f- «, A -^ A, A'^""""" = A -H «3 A -^ A> • ■ • • , 

nous arrivons à la solution suivante de notre problème sur la détermination 
des moindres valeurs de x et y, pour lesquelles la différence y — ax, en re- 
stant inférieure à h, donne 6 à e près. 



— G72 ~ 

Développons la (quantité a en fraction continue 

calculons les réduites 

et les quantités 

Do, D„ i)„...., 

déterminées par les formules 

D,= \, D, = a-q,;.... D^^^ = D^_^- D^q^. 

Développons la quantité h — rJ) en une série de la forme 

les nombres entiers et positifs a^^ cl^, ol^, . . . . et les signes dans les facteurs 
de la forme -=^ étant choisis de manière que la série arrêtée à un terme 
quelconque ait la plus grande valeur possible ne surpassant pas b — rib. Au 

moyen de ce développement de la quantité b — ÏJ) on détermine de la ma- 
nière suivante les plus petites valeurs x, y pour lesquelles la différence 
y — ax^ en restant inférieure à b, donne bas, près: 
Arrêtons la série 

'-^{D,-^otJJ,-^D,)-^a,D,-^'-^(D,-i-a,D,H-D,) -*-.... 

au piremier terme de la forme ol^ D^, ol^D^,. . . . avec lequel la série donne 
b — rj& à £ près^ et dans cette expression de b — ii& approchons de zéro le 
dernier coefficient autant qu'il soit possible en le laissant entier^ sans augmen- 
ter par cela V erreur au delà de e. En remplaçant dans V expression appro- 
chée ainsi obtenue de la valeur .b — rJ) les quantités 

A, A, A, A, 

par les nombres 

— Qu -»-^25 —^3^ -^Q^^ 5 



— 673 — 

on obtient la valeur de Vinconnu x; et en remplaçant les mêmes quantités 
par les nombres 

-P„ -*-P„ -P3, -HP,,.... 

et en ajoutant rjb on trouve y. 

De même, en développant la quantité 9 {N^ en série 

p. A -^ if^ A"^~^^~" -*- Ps A -^ • • • • , 

on obtient la solution de notre problème pour le cas 

y — ax'^b. 
D'ailleurs les valeurs des quantités 

et des nombres 

■^1) -^aj ^3» • • • • j 

restent les mêmes, mais la quantité 
d'après le § II doit être remplacée par 

Cp(j\g==E/;-4- 1— &. 

Dans ce cas on détermine les plus petits nombres x, y avec lesquelles 
la différence y — ax donne h h b près de la manière suivante : 
Arrêtons la série 

au premier terme de la forme ^iD,, Pgi^g,. • • -, «^cc lequel on obtient la 
valeur Jcj6-f- 1 — b à i près, et dans V expression de la quantité Xj^-hI — b 
approchons de zéro le dernier coefficient autant qu'il soit possible en le lais- 
sant entier et sans augmenter V erreur de l'expression de tjb-^1 — b au delà 

de £. En remplaçant dans l'expression de tjb-\-l — b ainsi obtenue les 
quantités 

2>,, D„ D,, D,,.... 



— G74 — 
par les nomhrcs 

on obtient x; et en remplaçant les mêmes quantités par 
■'-11 -^ i") ■'■ ;î 7 -* 4 7 • • • • 

et en ajoutant rjb-+- 1 on trouve y. 

§ viir. 

Au moyen des formules obtenues il est facile de démontrer qu'en déter- 
minant x^ y de manière que la différence y — ax, en restant inférieure à h^ 
donne & à Sq près, on trouve pour x une valeur inférieure à ^,, si D^. ne 
surpasse pas i^. 

En effet, d'après (19) la différence 

a une valeur positive inférieure à B^. et par conséquent, sous la condition 
supposée, inférieure à Sq. En prenant cette différence pour s et déterminant 
par la méthode indiquée les moindres valeurs Aq x qï y pour lesquelles la 
différence y — ax^ en restant inférieure à e, représente 6 à s près, nous re- 
marquons que la série 

1^ j)i<i,-H-^) ^ a, I), -+- ^^ D,''^-H-^) -4- . . . . 
doit être arrêtée au terme 

car de cette manière on obtient une quantité dont la différence de ^ (Mq) 
est égale à e. En passant à la détermination du nombre l, qui est le plus 
grand des nombres 

0, 1, 2, 3,.... a^., 
avec lequel l'expression 

donne '-{/(I/o) à s près, on trouve l = 0; car c'est pour cette valeur de / que 
•|(Jfo) surpasse cette expression exactement de e. Par cette raison, d'après 



— 675 — 

les formules du § VII, on trouve dans le cas présent les valeurs suivantes de 
X et y. 



(22) 



.,-a2,-_i-l) 



, l±l p(g2i-l-«2t-l-^) , ^ p 

2 ,,• — , 2t il' 



Or, d'après ce que nous avons démontré au § VI sur les coefficients 
de la série 

_^ l±i jr)(?..--x-«..--i-i)^ A,-^ . • • . , 

2 2i— i 2* 2* ' 

on voit que dans l'expression de x\d, somme des coefficients de ^^(îi~°'i~^) 
et ^2^^ surpasse pas ^2~*~1> ^^ somme des coefficients de Q^'^^~^^~^^ et 
Q^ ne surpasse pas g^-n 1,...., la somme des coefficients de Q^ 



ifet— 1— «2t— 1 — 1) 



et Q,^. ne surpasse pas ^^f-^-l- Mais d'après les formules (13) on trouve que 



ifei— l-«2i-l-l) 



<< 



2i— 1 

Par conséquent la valeur de x obtenue ci-dessus ne peut pas dépasser la 
somme 

fe-^1) ^2-*-(^4-+-l) ft-*------*-fe-^l) ^2e- 

Les nombres q^} ^h^- • - -•> 9.2i ii'étant pas inférieurs à un, cette somme ne 
doit pas surpasser 

donc 

a^<2 (g2^2-+-Î4^4-+-- . '--^UQJ' 

Or d'après les formules (13) on obtient 

^3 = ft Î2-«-ft) 

^5= ^4 24-»- ^35 



ï/st-l-l ^2i ^2i "*" ^2» — 1' 



— 676 — 
L'élimination de ^3, ^5, .... , ^2,_i nous donne 

Par conséquent, Q^ étant égal à un (§ II), on aura 

Donc r inégalité obtenue pour x nous donne 

Mais d'après la propriété des réduites 

obtenues (§ II) par le développement de a en fraction continue, la différence 

est, comme on sait, inférieure à y, , donc 

^21-1-1 < ^-5 
par conséquent l'inégalité obtenue nous donne 

ce qu'il fallait démontrer. 

D'après l'inégalité qu'on vient d'obtenir 

où 

et e étant le degré d'approximation avec lequel la différence 

y — ax 

représente 6, on voit que pour les valeurs ic, y déterminées par les formules 
(22) la différence 

y — ax 



— 677 
en restant inférieure à &, représente & à 



près. Mais en remarquant qu'on obtient ces systèmes de valeurs àe x et p 
chaque fois qu'on arrête la série 

i.±ijr)(?i-ai-i) jy _^ i^i T) (?3-«3-i^_^ 

2 ^ -t- w<2 -^2 ^^ 2 3 -t- . . . . 

à un des termes 

en posant 1=0, nous concluons qu'il y aura une infinité de tels systèmes, si 
l'on prolonge la série indéfiniment. Or cette série peut évidemment se ter- 
miner dans un des deux cas: ou les quantités 

T)' T)" T) (?i— 1) T) 7) ' 

déterminées par le développement de a en fraction continue se présentent 
en nombre fini, ou bien les coefficients de la série 



1^1 T) (îi-«i-i)_|_ a 7> -t- i^i 7) (y3-«3-i)_+_ 

2 x/j -f- «2 jyg -»- 2 ^3 -I- .... , 

à partir d'un terme quelconque, deviennent nuls. Le premier cas, d'après le 
§ V, a lieu si la fraction continue provenant du développement de la quan- 
tité a se termine, c'est à dire, si a est commensurable. Dans le second cas, 
d'après le § YI, la série 

2 ^1 -t «2 x/g -t- 2 -^3 -+-...., 

prolongée jusqu'aux termes devenant nuls, donne la valeur 

au dernier des quantités 

près. Par conséquent cette série donne tout à fait exactement la valeur 



— GTS — 

4/(3/o\ si la fraction coutiuue provenant du développement de a est infinie, 
les quantités 

ayant pour limite zéro. En déterminant, d'après les formules du § VII, les 
valeurs de a;, y correspondant à cette quantité <]> (Mq) nous trouverons un 
système des valeurs x, y pour lesquelles la différence y — ax représente h 
tout à fait exactement. 

Il n'est pas difficile de démontrer que dans ce dernier cas, pour a incom- 
mensurable, on trouvera une infinité de valeurs x, y pour lesquelles la dif- 
férence 

y — ax^ 

en restant inférieure à l, représente h h — près. 
En effet, soit 

x = x„ y = y, 

un système des valeurs x, y pour lesquelles la différence y — ax est exacte- 
ment égale à h. Dans la série des réduites de la quantité a 

Pp Pi P2 F2\ F2\^l 

Ço' <?i' Q2' Q'A' <?2À-^i' ' 

pour a incommensurable, on trouve une infinité de fractions avec le dénomi- 
nateur supérieur à x^ et ayant une valeur moindre que a. Une de telles 
fractions étant 

■P2A-4-1 
(>2A-4-l ' 

il est facile de voir qu'en posant 

x = x^-+- C>2x_,.j , y = y, -+- Ax_^i 

ou obtiendra les valeurs x, y pour lesquelles la différence 

y — ax, 

en restant inférieure à ?>, représente h h — près. Pour le démontrer re- 
marquons que l'expression 

y — ax — h, 

pour les valeurs indiquées x, y, se réduit à 

y^ — ax, — h-^ ^"^X-Ki - «^2À-^i ' 



— G79 



est, d'après la supposition, égale à & et d'après la propriété des réduites la 
différence 

est inférieure à zéro et en diffère moins que -^ . Il en résulte que pour 

V2) ■ ' 



les valeurs considérées de x, y la différence y — ax, restant inférieure à h, 

donne h à y^ près 

V2X-1-1 

et ^2X-f-i > ^1 on a 



donne h à ^ près et par conséquent à — près, car pour ic = a^j -*- Q ^, 

V2X-1-1 ^ 



Nous voyons que dans tous les cas, pour a incommensurable, on trouve 
une infinité de valeurs x, y pour lesquelles la différence y — ax, en restant 
inférieure à h, donne ^ à — près. En considérant de la même manière les 
valeurs de x, y pour lesquelles la différence y — ax est supérieure à h, on 
arrive au même résultat. On peut donc énoncer le théorème suivant: 



Tlieorèiiie. 

Si a est une quantité incommensurable, on peut trouve}' une infinité de 
nombres entiers X, y pour lesquelles V expression y — ax différera d'une quan- 
tité donnée b par une valeur moindre que — ; pour les unes de ces valeurs 
on aura y — axy^b, pour les autres y — ax < b. 

En nous bornant au cas 1/ — ax <.b et posant 

y — ax — & = — d, 
nous aurons 

ax-i-b = y -i- d. 

D'après cette formule les termes de la progression arithmétique 

b, b -h- a, b -4- 2a, .... 

s'expriment par une somme d'un nombre entier y et d'une quantité d dé- 
signant la différence entre y — ax et b. Mais d'après ce que nous avons dé- 
montré, il existe pour a incommensurable une infinité de valeurs de x, y 



— 680 — 

pour lesquelles la différence d^h — {y — ax) est supérieure à zéro et infé- 
rieure à — . Donc pour un tel a la progression arithmétique 

6, 6-f-a, 6-4- 2a, . . . . 

contient une infinité de termes dont la valeur ax-i-b est égale à un nombre 
entier y avec une fraction moindre que — . Il en résulte le théorème suivant: 



Tlicol'èine. 

Si la différence d\me progression arithmétique est un nombre incom- 
mensurable, la progression contient une infinité de termes dont la partie frac- 
tionnaire est moindre que 2 divisé par le nombre des termes précédents. 

En terminant ce mémoire nous ferons voir qu'on peut trouver une 
inlinité de nombres entiers x^ y pour lesquels la différence 

A {Ix -+- my -H nf — A^ il^x -f- m^y -f- n^^ 

reste comprise entre zéro et 4 {Im^ — \m) VAA^, le nombre AA^ n'étant 
pas un carré parfait et Im^ — l^9n étant différent de zéro. 
L'expression 

A (Ix -+- my -t- nf — A^ {l^x -h m^y -+- n^f 

étant décomposée en facteurs linéaires prend la forme 

S(y — cix — (^) {y— 7., X — {\\ 
où 

s = 7n^ A — m^-A^ , 

__ hmiAi — lmA \m — /h?, y~TT 

vfi A — m^^Ai m^A — m^^A^ i ' 

_ ?i»Ji J, - IniA __ l^m - hiii -i/T7~ 
1 m-^A — mi^Ai m^.! — wîi^^j ''^^n 

a nimiAi—nmA w^m — m»i t/TT" 

r m^A — mi'^Ai m^^A — m^^Ai ^ ^^i' 

fj __ WiWîj^j — nmA niin — wm, -^/ j A 

^^ Ti^A — m^^Ai m^A — m{^A^ i * 

Puisque d'après la supposition AA^ n'est pas un carré parfait et 
l^m — Im^ est différent de zéro, la quantité a est incommensurable et dans 
ce cas, comme nous avons vu, on peut trouver une infinité de nombres 
entiers x, y pour lesquels la différence 

{y — ax) — ''^ 



— 681 — 

est contenue entre zéro et — et pour lesquels, par conséquent, aura lieu 
l'équation 

o 20 

le nombre 6 étant positif et inférieur à un. 

En portant de là la valeur de y dans l'expression 

S{y — a.x — ^) {y — OL^x — ^,\ 
ou la réduit à celle-ci 

ce qui, d'après les valeurs de «S, a, a^, p, ^i, prend la forme 

En nous fondant sur cette expression de la différence 

A {Ix -+- my -H nf — A^ {l^x -*- m^ y -+■ n^^ 

pour les valeurs x, y déterminées de la manière indiquée, nous allons dé- 
montrer que parmi ces valeurs il en existe une infinité pour lesquelles la 
différence considérée est contenue entre et 4 Qm^ — \m) VAA^ et cela a 
toujours lieu quand x surpasse la valeur x:=Xq pour laquelle les expressions 

M,7n — nm^ 1 m'^A — Wj^^l, 1 

hm — Im^ X ' (i^^ _ inx^) VaJi ^^ 

sont contenues entre les limites 

— y, -f-OO, 

et les expressions 

4 {n^m — nm,) -^ , 4 (m^A — m^^A^) ^, 
entre les limites 

— 4- { 4 {l{in — Im,) VaI, — E4 {l,m — Im,) VU, } , 
-+- y { E4 (l^m — Im,) VAA, h- 1 — 4 {l,m — Im,) VaI, | . 
En effet, puisque ces expressions s'approchent de zéro en même temps 



— 682 — 

que X augmente, elles seront contenues entre les mêmes limites pour a;>iCo; 
la même chose aura lieu après la multiplication par ^ < 1 . 
Il en résulte que pour x^ x^ la somme 

«,7n — WHi, 1 iii^A — m^A^ 

sera contenue entre les limites 

1, -+- OQ, 

et la somme 

entre les limites 

— { 4 i^^m — Im^) YIA, — E4 {l^m — ^w?,) VZT, | , 
-f- { E4 {l^m — Im^) VJI^ H- 1 — 4 {l^m — hn,) VU', } . 

Le premier système d'inégalités nous indique que dans la formule (23) 
le facteur de 

4 (l^m — hn-^) VAA^ , 

est positif; nous allons maintenant démontrer que le second système indique 
que ce facteur n'est ni égal à un, ni supérieur à un, et par conséquent l'ex- 
pression (23) est vraiment contenue entre et 4 {l^m — Im^) VAA,. 
Remarquons pour cela que ce facteur peut être mis sous la forme 

où 

liin—hn^ X {l,m~hni)VATi^-' 

Puisque le terme — (1 — û) est négatif, le facteur considéré 
1 —{l—ô)-i-T 
ne peut être égal à 1 ou surpasser 1 que dans le cas où 

et dans ce cas après la réduction des deux derniers termes la quantité 
1— (1 — ^)-f-T 



— 683 — 
se réduirait à 

0^ étant > et < 1. 

Or cette expression du facteur considéré est impossible. En effet, 
d'après (23) la différence 

A {Ix -f- m^y -+- nf — A^ {l^x -h m{y -+- w^)^, 
aurait la valeur 

4 {l^m — Im^) VÂÂ^ (1 -»- ^1 T), 

ou après l'introduction de T 

4 {l,m — Im,) yjl. H- Û/J [4 in,m — nm;) ^ -4- 4 '^'^-Jh'^i ^J . 

Mais comme 0^6/ > et < 1, et, d'après ce que nous avons remarqué, 
l'expression 

4 {n^m — nm^) -' -+- 4 {m^A — m^^A^) —^ 

est contenue entre les limites 

— { 4 {l,m — Im;) yJI^ — E4 {l^m — Zm,) VÂI^ } 

-H { E4 {l,m — Im,) yJJ[-+- 1 — 4 ftw — Zm,) VaI,}, 

la valeur de la différence considérée serait contenue entre 

E4 {l^m — Im^) VAA^ 
et 

E4 {l^m — Im^) y A Al -+- 1 , 

ce qui est impossible; car entre ces deux nombres entiers il n'existe aucun 
nombre entier et la différence considérée est un nombre entier. 

Il en résulte que, si dans le système des valeurs x, y déterminées de 
la manière indiquée, la quantité x surpasse Xq, la différence 

A {Ix -\- my -+- nf — A^ [l^x -i- m^îj -h n^^ 

pour ce système des valeurs sera contenue entre et 4 (l^m — Im^ yAA^; 
il existe une infinité de tels systèmes, comme nous avons vu, si AA^ n'est 
pas un carré parfait et si la différence l^m — Inii est différente de zéro. 



— 684 — 

De la même manière en déterminant les valeurs x^ y, pour lesquelles 
la différence y — aic, en restant inférieure à ^, donne ^ à — près, nous 
obtiendrons une infinité de valeurs entières a;, y pour lesquelles la différence 

A {Ix -f- my -+- nf — A^ {l^x -\- m^y -i- Wj)^ 

est contenue entre les limites et — 4 {l^m — Im^) VÂA[ . 



28. 



YILIÏÏES MOIMHIS. 



(TKADUXT PAIR K. N. »]S XKANIKODP.) 



(9 



(MaTeMaTaqecKÎH CdopHHKi., tomi. II, 1867 r., cip. 1—9. Liou ville. Journal de mathé- 
matiques pures et appliquées. 2 série, XII, 1867, p. 177—184.) 



(Lu le 17 décembre 1866.) 



Des valeurs moyennes. 

Si nous convenons d'appeler espérance mathématique d'une graudfur 
quelconque, la somme de toutes les valeurs qu'elle est susceptible de prendre, 
multipliées par leurs probabilités respectives, il nous sera aisé d'établir un 
théorème très-simple sur les limites entre lesquelles restera renfermée une 
somme de grandeurs quelconques. 

Théorème. 

Si Von désigne par a, h,c,. . . . les espérances mathématiques des quan- 
tités 

X, y, z, , 

et par a^^ h^, Ci,. . . . les espérances mathématiques de leurs carrés 

x^, if\ z^, , 

la probabilité que la somme 

X Ht- y -i- z -t- , . . . 

est renfermée entre les limites 



- 5 H- c ,...-♦- a Va. -H 6, -f- c, -+- . . . . — a^ — h~- 



a-i-h-^c. . . . — a Va^ -t-b^-t-c^-t-. . . . — a^ — b^ — e^ — . . , 
sera toujours plus grande que 1 2> Q.^^^ Q.^^ soîÏ a. 

Démonstration. 

Soient 

•^15 "^2 5 "^3 J • • • • "^Z 5 
Vxi 2/2» 2/3»---- Vm^ 
^\} ^25 ^35 -^nJ 



— C88 — 
toutes les valeurs imaginables des quantités a;, y^ z^ . 
Pu îh, Pb^-"' Pi, 

^11 ^'a' ^37 • • • • ^n' 



. . et soient 



les probabilités respectives de ces valeurs, ou bien les probabilités des hy- 
pothèses 

Z = ^j, ^2, Z^, . . . . Z^^ 



Conformément à ces notations, les espérances mathématiques des gran- 



deurs 



s'exprimeront ainsi: 



X, y, z, 
x\ y\ z\. 



(1) 



(2) 



a=p,x^-^p^x,_-^p^x^-^.. 


••-^Pi^n 


&=2i^i-+-Î2?/2-^?3 2/3-^-- 


--^Qmymy 


c^r,z,-^r,z,-^-r^z,-^.. 


•'^'\'n, 



[«1 


= p,x^^-^p^x^^-^p^x^^-^-.. 


..-Hjp^V, 


\ 


-=(iiyi-^^2yi-^^iyi-^-' 


'•^^myJ 


^1 


= »'iV-+-^2^2'-^^3-V-*--- 


..-*-»nC 



Or, comme les hypothèses que nous venons de faire sur les quantités 
X, y, z,. . . . sont les seules possibles, leurs probabilités satisferont aux 
équations suivantes: 



(3) 



Il nous sera facile de trouver, à l'aide des équations (1), (2) et (3), à quoi 
se réduit la somme de toutes les valeurs de l'expression 



Pl-^P-2^P3^-- 


'■-*-Pl =1, 


îl-^-Î2-*-Î3-^-- 


••-*-^m=l' 


n -+-^2-^**3 -^- • 


••-*-rr.=h 



K-^2/^ 



. — a — h — c — . 



'i^À^^^ 



si l'on y fait successivement 

X = l, 2, 3,.... ?; [i,= l, 2, 3,.... w; v= 1, 2, 3, . . . . )^; . . . . 
En effet, cette expression étant développée nous donne 

PxV-^ • • • • V-^-^x^^^• • •-y^^Pi^i,'^.'- '-^'-*- 
-*- 2i?x^,x^• • • • ^x2/^-*- 2i>x^^^ • • • -^//v-^- 2/>xï^^ • • • -2/^^-^ • • • • 

En donnant, dans cette expression, à X toutes les valeurs depuis X = 1 
jusqu'à \ = l, et en sommant les résultats de ces substitutions, nous obte- 
nons la somme que voici: 

q^,r^.... {p, xf -^r-p^ x^ -^p^ x^^ -\- . . . . -^p^ rr/) 

-*-(i?l-+-JP3-+-i^3-^-••••-+-i?/)^^^•..•V"*-^^l"*-^2-^^3-*-••••-^-i^/)^,.^••••^' 

-♦-. . 

-f-2 iPiX,-*-p^x^-^p^x^-*-.. .-^-pfCi) q^r^. . .îj^-*-2 {p,x,+p^x^-^p^x^-*-. . .^pf^ q^r^ ...z^ 

H- 

-^2{p^-^~p,-+-p^^....-^p;)q^r^...,y^z^. . 

— 2(a-+-&-*-c-f- . . . .)te^i-»-i^2^2-^-i>3^3-»- • • • • -*-Pi^i)9i,r, 

— 2{a-i-b-t-c-\-....)ip^ -ir-p^ H-^g -,-....-i-jp^ )^^x^••••2/^. 

— 2(a-i-&-t-CH-....)(i?i -+-i?3 -*-i?3 -f-....H-i?^ )î,x^••••'^'v 

Si, en vertu des équations (1), (2) et (3), nous mettons à la place des sommes 

Px ^x -+-PA -^Ps^s -t- • • • • -+-Pi^i: 

PiXi-+~P2^i^Pz^i-^- "" -*-Pi^n 

Pl-+-P2-*-P3-*----'-^Pl 

leurs valeurs a, a^ et 1, nous obtiendrons la formule que voici: 

-t-2aq^r^.... y^-^2aq^r^. . . , s^-i- . . . .-^2q^r^. . . . y^z^-^.... 

— 2 (a -+- 6 H- c -f- ) «S'a *'v — 2 (a -4- 6 -f- c -I- ) ?„ ^'v Vu. — 

— 2(a-H&-i-c-f-....)gj,^ z^—....-\-{a-\-b-+-c-^....fq^r^.... 

44 



— 690 ~ 

Donnons dans cette formule à jx les valeurs 

[^ = 1, 2, 3,.... w, 

puis sommons les expressions qui résultent de ces substitutions, et rempla- 
çons les sommes 

Ui Vi'-*- 92 yi-^ Qs %'•••• -^ Qm yJ^ 

par leurs valeurs &, h^ et 1 tirées des équations (1), (2) et (3), nous obtien- 
drons l'expression suivante: 

a^ r,^ ....-*- &j r^ .... H- r,^ .... 2!,^^ -+-,.. . 

-+- 2 ahr^ . . . . -t- 2 ar^ . . . . ^,^ -i- 2 h)\^ .... ^,^ -h 

— 2 (rï -f- & -f- c H- . . . .) ar^ — 2 (« -t- & -4- c h- . . . .) h\ 

— 2 (a H- 6 -f- c -I- . . . .) r^ z^ — -t- {a -i- h ~i- c -+- fr^ 

En traitant de la même manière v, . . . . nous verrons que la somme 
de toutes les valeurs de l'expression 

K -+- ?/f, -*- ^ -+-.•■• — « — & — c— .. . .fp^q^^r^ ...., 

qu'on obtient en faisant 

A=: 1, 2, 3,.... /; [i.= 1, 2, 3,.... m; v = 1, 2, 3, . . . . w; 

sera égale à 

«1 H- 6j -+- Cj -»- . . . . 

-+- 2 a& -H 2 «c -+- 2 Z^c -+- 

— 2 (a-f-&H-c-i- ....)«— 2 (a-i-&-i-c-i- ....)h — 2 [a-t-h-i-c-i- ....)c — .... 

-H (a -+- & -t- c -♦- . . . .y, 

Cette expression étant développée se réduit à 

a^ -4- &j -H Cj -+- . , . . — a^ — ¥ — c~ — .... 
D'où nous concluons que la somme des valeurs de l'expression 

(x)^ -t- y fj^ -i- z.^ -*-....— a — h — c — . . . . )2 
a2 (aj -♦- f^i -H q -H. . . . - «2 — 62 — c2 — . . . .) '^^V^ ' 

qu'on obtient en faisant 

X=l, 2, 3,.... ^; iJ.= l, 2, 3,.... m] v = I, 2, 3, . . . . w; . . . ., 



— 691 — 

sera égale h. -^. Or, il est évident qu'en rejetant de cette somme tous les 
termes dans lesquels le facteur 

i^X-*-yix-*-^i-*- —a — h — c— )2 

a2 (ai -f- bi -+- Cl -*- — «2 — fe2 — c2— ) 

est inférieur à 1, et en le remplaçant par l'unité partout où il est plus 
grand que 1, nous diminuons cette somme, et elle sera moindre que 



Mais cette somme, ainsi réduite, ne sera formée que des produits 

qui correspondent aux valeurs de ^^, y , ^,^,. . . . pour lesquels l'expression 

(^À -•- 2/[ji. -*- '2'v -»- — a — b — c— )2 



a2 (ai H- bi -4- Cl H-. . . . — a2 — 62 _ c2 — . . . . ) 



>1, 



et elle représentera évidemment la probabilité que x, y, 2,. . . . ont des va- 
leurs qui satisfont à la condition 

(A\ (x-Hy -H ^-H.... — g — &-C— ...QZ ^ 

^^ a2 (ffli -+- Z>i -+- Cl -»- . . . . - a2 — 62 — c2- . . . .) ^ -^ • 

Cette même probabilité peut être remplacée par la différence 

si nous désignons par P la probabilité que les valeurs des ic, ^, ^ . . . . ne 
satisfont pas à la condition (4), ou bien, ce qui est la même chose, que ces 
quantités ont des valeurs pour lesquelles le rapport 

{x -t-ij-\-z-t-. . . . — a — h — c — ....)• 
a2 («1 H- 67-+- Cl -i- — a2 — 62 — c2 — . . . . ) 

n'est pas > 1; et par conséquent, que la somme 

x-+~y-i-2-+- 

reste comprise entre les limites 



«-+-&-*- c-f- -f-a Va. -+-!), -i-c,-+- — a^ — b^ — c^ 



-1- & -i- c -f- . . . . — a y «1 -f- &i -+- Cl -+-... . — à^ — ¥ — c^ — 

D'oii il est évident que la probabilité P devra satisfaire à l'inégalité 

i--p<p. 



— 692 — 
qui nous donue 

ce qu'il s'agissait de prouver. 

Soit N le nombre de quantités x, y, z,. , . .; si l'on pose dans le théo- 
rème qu'on vient de démontrer 

et que Ton divise par N la somme 

iC -t- ?/ H- ^ H- , 

et ses limites 



a-f-6-t-c-»- -+-a Va, -+- 6, -h c, -h — a^ — h^ — c^ — . . 



a-Hh-i-c-i~ ..., — a /«j -H 6^ -+- Cj -t- — — a^ — b^ — c^ — , 

on obtient le théorème suivant concernant les valeurs moyennes. 

Théorème. - 

Si les espérmices mathématiques des quantités 

X, y, z,..., x\ y\ z\.... 
sont respectivement 

a, l, c,.... «1, \, c,,.,.., 

la probabilité que la différence entre la moyenne arithmétique des K quantités 
X, y, Zj. . . , et la moyenne arithmétique des espérances mathématiques de 
ces quantités ne surpassera pas 







1 i/ai-t-bi 


-H Cl 


-+-.... a^ 


-H62-l-c2-t-. ... 




t y 


N 




N 


sera 


toujours plus grande que 




















quel 


que soit t. 












Comme les fractions 














a, -f- 


î),-f-C,-4-.. 








N 


) 








a2-+ 


-1)2-I-C2-H.. 





— 693 — 
expriment les moyennes des quantités 

toutes les fois que les espérances mathématiques 
a, &, c, 

ne dépasseront pas une certaine limite finie, l'expression 

1 /«i -+- b| H- c, -H . . . . a^ -*- b^ -t- c"^ -*-... . 

y 2^ -^ 

aura aussi une valeur finie, quelque grand que soit le nombre N, et par 
conséquent il dépend de nous de rendre la valeur de 



t y N 



aussi petite que l'on voudra, en attribuant à t une valeur suffisamment 
grande. Or, comme, quel que soit f, l'accroissement du nombre iV jusqu'à 
l'infini rend nulle la fraction -j^, nous concluons, en vertu du théorème pré- 
cédent: 

Théorème. 

Si les espérances mathématiques des quantités 

u„ u„ u,,.... 

et de leurs carrés 

U^ U^ U^ 

ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la différence 
entre la moyenne arithmétique dhm nombre N de ces quantités et la moyenne 
arithmétique de leurs espérances mathématiques sera moindre qu'une quan- 
tité donnée, se réduit à Vunité, quand N devient infini. 
Dans l'hypothèse particulière que les quantités 

se réduiront à l'unité ou à zéro, selon qu'un événement E a ou n'a pas lieu 
dans la 1 ", 2®, S**, .... N""*^ épreuve, nous remarquerons que la somme 



— 694 — 

donnera le nombre de n'pétition de Tévénement E en ^^ épreuves, et la 
moyenne arithmétique 

Z7i-H ^2-t- ^3-t-....-t- Un 

N 

représentera le rapport du nombre de répétition de l'événement E au nombre 
des épreuves. Pour appliquer à ce cas notre dernier théorème, désignons par 

^15 ^2 5 ^ 3 5 • • • • ^ N 

les probabilités de l'événement E, dans la l"", 2\ 3% . . . . K''"'' épreuve; 
les espérances mathématiques des quantités 

et de leurs carrés 

£/,^ U,\ U,\.... u/ 

s'exprimeront, d'après notre notation, par 

P,.lH-(l— P,).0; P,.lH-(l-P,).0; P3.1-H(l-P3).0;.... 
P,.P-H(1— P,).02; P^.PH-d— P2).02; P3.p_j_(i_pj.02;.... 

D'où Ton voit que ces espérances mathématiques sont 

P P P 

et que la moyenne arithmétique des N premières espérances est 

Pl-t-P2-HP3-t-....H-P.V 

N ' 

c'est-à-dire la moyenne arithmétique des probabilités P^, Pg, Pg,. . . . P^- 
Par suite de cela, et en vertu du théorème précédent, nous arrivons à 
la conclusion suivante: 

Lorsfpie le nombre des épreuves devient infini, on obtient une probabi- 
lité^ aussi rapprochée que Von veut de Vunité, (pie la différence entre la 
moyenne arithmétique- des probabilités de cet événement, pendant ces épreuves^ 
et le rapport du nombre des répétitions de cet événement au nombre total 
des épreuves^ est moindre que toute quantité donnée. 

Dans le cas particulier où la probabilité de l'événement reste la même 
pendant toutes les épreuves, nous avons le théorème de Bernoulli. 






TIRES 



BULLETIN DE LA CLASSE PHYSICO-MATHEMATIQUE DE 
L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES 



A]\r]\f]6]eS 1853-1858. 



Lettre de M. le professeur Tehébyehev à 

M. Fus s, sur un nouveau théorème relatif aux 

nombres premiers contenus dans les formes 

4/^-+-l et 4?^-t-3. 

11 (23) MAES 1853. 

(Bull, phys.-mathém., T. XI, p. 208). _ 



La bienveillauce, avec laquelle vous avez toujours agréé mes recher- 
ches, m'engage à vous présenter un nouveau résultat relatif aux nombres 
premiers et que je viens de trouver. En cherchant l'expression limitative 
des fonctions qui déterminent la totalité des nombres premiers de la forme 
4w-f- 1 et de ceux de la forme An -¥-3, pris au-dessous d'une limite très 
grande, je suis parvenu à reconnaître que ces deux fonctions diffèrent nota- 
blement entre elles par leurs seconds termes, dont la valeur, pour les nom- 
bres 4w-+- 3, est plus grande que celle pour les nombres 4w -h 1; ainsi, si 
de la totalité des nombres premiers de la forme 4l^ -+- 3, on retranche celle 
des nombres premiers de la forme 4w -*- 1 , et que l'on divise ensuite cette 

différence par la quantité j—^, on trouvera plusieurs valeurs de ic telles, que 
ce quotient s'approchera de l'unité aussi près qu'on le voudra. Cette diffé- 
rence dans la répartition des nombres premiers de la forme 4w n- 1 et 
4n-*- 3, se manifeste clairement dans plusieurs cas. Par exemple, 1) à me- 
sure que c s'approche de zéro, la valeur de la série 

s'approche de -i- oo; 2) la série 
A3) — /•(5)-HA7)-*-ftll)-/'(13)-f(17)-f-Al9)-i-ft23)-F-.... 



— 698 — 

où f{x) est une fonction constamment décroissante, ne peut être conver- 
gente, à moins que la limite du produit x'^ f{x), pour x = oo, ne soit zéro. 
Je suis parvenu à ces résultats en traitant une certaine équation, re- 
lative aux nombres premiers, et qui comprend, comme cas particulier celle 
que M. A. de Poliguac et moi, indépendamment l'un de l'autre, nous 
avons trouvée dans nos recherches sur les nombres premiers. 

Agréez etc. 

Signé: P. Tchébychev. 

Le 10 mars 1853. 



Sur rintég'ratioii des différentielles qui contien- 
nent une racine carrée d'un polynôme du troi- 
sième ou du quatrième degré. 

20 JANVIEE (1 février) 1854. 

(Bull. phys. mathém., T. XII, p, 315—316). 



Dans ce Mémoire, l'Auteur donne une méthode générale et directe 
pour cette intégration, en tant qu'elle est possible sous forme finie. D'après 
ses reclierclies, publiées, en 1853, dans le Journal de Mathématiques pures 
et appliquées^ de M. Li ou ville, cette intégration se réduit à la détermi- 
nation des fonctions entières et des nombres qui vérifient certaines condi- 
tions. Dans le Mémoire présent il donne une méthode pour trouver ces 
inconnus, tant qu'il s'agit de l'intégration des différentielles en question, ce 
qu'il parvient à faire au moyen d'une certaine réduction de ses équations, 
d'après laquelle leur solution se réduit à un problème résolu par Abel 
{Oeuvres complètes^ T. J, p. 33). L'auteur remarque que cette réduction de 
ses équations est indispensable aussi pour simplifier l'intégration des diffé- 
rentielles plus compliquées, et qu'elle peut être avantageusement employée 
dans d'autres recherches d'Analyse Transcendante, et dans la Théorie des 
nombres elle-même, où cette méthode donne un procédé à l'aide duquel on 
trouvera la représentation des nombres par les formes quadratiques. Quant 
aux différentielles qui contiennent une racine carrée d'une fonction du qua- 
trième degré, cette méthode de réduction fournit un rapprochement très 
intéressant de la construction des valeurs irrationnelles, avec la règle et le 



— 700 — 

compas, et l'intégration des différentielles sous forme finie. En terminant 
son Mémoire, l'auteur fait le résumé des procédés qui, d'après ses recherches, 
constituent la méthode générale d'intégration des différentielles contenant 
une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré, en 
tant que cette intégration est possible sous forme finie. 



Sur une formule d'Analyse. 

20 OCTOBEE (1 novembee) 1854. 
(Bull, phys.-mathém., T. XIII, p. 210—211). 



Si l'on représente par f{x) une fonction entière du degré w, et que l'on 
connaisse ses »? -t- 1 valeurs 

f{x% f{x\ f{x ),.... f{x\ 

la formule deLagrange donne cette expression de f{x) 

{x—x')(x—x").... /.. ox _. {x — siP)(x — x").... j., f. 
{xO—x'}{aP—x").... ' ^'^ ^~^ {x'-x^){x'—x").... ' ^'^^~^ 

Cette valeur de f{x) peut être représentée sous différentes formes; l'une des 
plus remarquables est la suivante: 

A'^^ax')-r'^,ix)i\{x'}f{x')-^r''i^,^^^^ . . .; 

1 = « = i = 

où A', Â\ A"\ .... désignent les coefficients de x dans les quotients de la 
fraction continue 

21-4-;^ 1 

23-H. ^ 

résultante du développement de 



X — x^ x — x' • • • • 3. — ^(n) j 

et ijjj (x) tjjg {x), .... les dénominateurs des fractions convergentes qu'on en 
tire. 



— 702 — 

Cette formule a l'avantage de donner f{x) sous la forme d'une fonction 
entière, dont les termes, en général, présentent une série sensiblement dé- 
croissante. Dans le cas particulier de 



et n infiniment grand, cette formule fournit le développement de f(x) sui- 
vant les valeurs de certaines fonctions, que Legeudre a désignées par X"* 
(Exer. Partie Y, § 10). et qui sont déterminées ici par la réduction de l'ex- 
pression log ^--^-, en fraction continue. 

Mais la propriété la plus précieuse de cette formule est celle-ci: 
Si l'on ne prend dans cette formule que les premiers termes en nombres 
quelconque m, on trouve une valeur approchée de f{x) sous la forme d'un 
polj^nôme du degré m — 1 et avec les coefficients indiqués par la métJiode 
des moindres carrés, dans la supposition que les valeurs données de 

fix'^), fix), f{x\.... fix"") 

sont affectées d'erreurs de même nature. 

Dans peu de temps, j'aurais l'honneur de présenter à l'Académie un 
Mémoire, oii l'on verra, en outre, le parti qu'on peut tirer de cette formule 
pour l'Analyse. 



Extrait d'un Mémoire sur les fractions 
continues. 

12 JANVIER 1855 r. 

(Bull, pbys.-mathém., T. XIII, p. 287—288). 



Dans une Note, lue le 20 octobre de rtaunée passée, M, Tchébichev 
a présenté une certaine formule d'interpolation qui a l'avantage de donner 
l'expression de la fonction cliercliée avec les coefficients indiqués par la mé- 
tJiode des moindres carres. Dans le présent Mémoire, il traite ce sujet dans 
sa forme la plus générale, savoir: en supposant que les valeurs de la fonction 
cherchée sont affectées d'erreurs dont les lois de probabilité sont différentes, 
et, dans cette hypothèse, il montre comment, à l'aide du développement 
d'une certaine expression en fraction continue, on parvient à trouver la va- 
leur approchée de la fonction cherchée avec la moindre erreur à craindre. 
Pour la détermination de cette valeur il donne trois formules différentes, 
dont l'une comprend, comme cas particulier, celle qui a été l'objet de sa 
Note, citée plus haut. En définitive, il montre d'après ces formules les pro- 
priétés remarquables des expressions déterminées par le développement de 
certaines fonctions rationnelles en fraction continue. 

Ainsi, en désignant par 

les dénominateurs des fractions convergentes, résultantes du développement 
de l'expression 






' ^^^(rr), 



— 704 — 

en fraction continue, où x^, x^, x^,. . . . x^ sont des valeurs réelles, diffé- 
rentes entre elles, et û{x) une fonction entière qui ne s'annule pas pour 
x=:Xq, x^, x^,....x^, il montre que les fonctions ^^ix), ^^ix),...., 
parmi toutes celles du même degré, qui auraient le même coefficient de la 
plus haute puissance de x, se distinguent des autres par la moindre valeur 
des sommes 

*2\' (x.) â' {X.), 2 ^./ (X.) 6' (a;.), .... 

t=0 f = 

D'un autre coté, si l'on dénote par 9„(^) la fonction 

et qu'en prenant ses valeurs pour 

x=^Xf^^ x^,x^^. . . ., x^^ m = 0, 1, 2,. . . ., w, 
on figure le carré 

9oW> ?oW, 9oWj j %i\\ 

9iW, 9i(^i): 91(^2)5 , 9iK). 

92 W. 92(^1)5 92(^2), . 92 W' 



9nW, 9„(^i), 9„W, » 9nW' 

on trouvera que ce carré vérifie les conditions suivantes: 

1) la somme des carrés des termes d'une ligne verticale ou horizontale 
quelconque est égale à 1; 2) la somme des produits des termes correspon- 
dants de deux lignes quelconques, soit verticales soit horizontales, est 
égale à 0. 

Donc, cette fonction fournit la solution du problème, qui a été l'objet 
des recherches d'Euler dans son Mémoire: Prohlema algehraicum ad affec- 
tiones iworsus singulares memorahile. N. Comm. T. XY. 

Le Mémoire de M. Tchébichev, rédigé en russe, sera imprimé dans 
les VuenbiH 3aniiCKii. 



Sur les questions de mlnlma qui se rattaelient à 
la représentation approximative des fonctions. 

9 (21) OCTOBRE 1857. 
(Bull, phys.-mathém., T. XVI, p. 145—149). 



Dans le Mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom 
de parallélogrammes (Mémoires des savants étrangers, Tom. Vil), nous avons 
traité la représentation approximative des fonctions sous la forme d'un po- 
lynôme, et nous sommes parvenus à la solution de ce problème: 

Déterminer les modifications qu'on doit porter dans la valeur approchée 
de f{x) donnée par son développement suivant les puissances croissantes de 
X — a, quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre 
X = a — h et x = a~i~h, h étant une valeur peu considérable. 

Dans le présent Mémoire nous donnons le théorème général relatif à la 
solution des problèmes de cette espèce, problèmes qui peuvent être énoncés 
ainsi : 

Etant donnée une fonction quelconque avec des paramètres arbitraires 
Py, p^, .... p^, il s'agit j^ar un choix convenable des valeurs p^, p^, . . . . p)^, 
de réduite au minimum la limite de ses écarts de entre x = — h et 
x = ~+-h. 

D'après ce théorème on reconnaît aisément que dans les recherches 
des valeurs approximatives des fonctions, soit sous la forme d'un polynôme 

p^X^'-'-^-p^x""-^-*- -*-Pn-i^-*-Pn, 

soit sous la forme d'une fraction 

PiX»—^-i-p2X»—^-t-....-i-Pn—iX-*-Pn 

avec un dénominateur donné, les quantités Pi, Po, - ■ • • Pn ^^ déterminent 
par la condition que, dans l'étendue où l'on cherche à réduire au minimum 
la plus grande des erreurs, l'erreur atteint au moins n~i-l fois sa valeur 
limitative. 

45 



— 706 — 

Tel était notre point de départ dans le Mémoire cité plus haut, Mé- 
moire, où, comme il vient d'être dit, nous avons traité la représentation des 
fonctions sous la forme d'un polynôme. Mais le même théorème montre que 
cette condition s'altère dans le cas, où l'on cherche la représentation des 
fonctions sous la forme d'une fraction, ayant ses deux termes arbitraires, et 
qu'alors la condition dont il s'agit doit être remplacée par la suivante: 

Si 

est la fraction qui, depuis x = — h jusqu'à x = -^-h, s'' écarte de ta fonction 
donnée Y moins que toutes les autres fractions de la même forme, le nombre 
des valeurs réelles et inégales de x, pour lesquelles la différence 



j?i a;^— ^— 1 -i-jo^a;^— ^— 2- 



-Pn-l 



Pn—l-t-iX'-+-pn-i-^.oX' i^^.. ..-*-pnX- 



entre x = — h et x = -i-h atteint ses valeurs limitatives -h L et — L, ne 
peut être inférieur à n-i-1 de d unités, à moins qu'on n'ait 

1\ = 0, p, = 0, :Pa = ^, 

Pn-l-^r = 0, p^_^^^ = 0, . . . . p„_t^^ - 0. 

Dans cet énoncé on fait abstraction du cas, où la fonction Y et ses dé- 
rivées, pour des valeurs de x comprises entre x = — h et x = -^h, ces- 
sent d'être finies et continues, et on suppose que la fraction 

Pi a:"~^~i -t-p2 x"^~^~^-h- + jj„_/ 

Pn~l-t-i ^^ -*- Pn—l-t-2 ^'"' -+-.... H- J3„ a: -H 1 

est réduite à la forme la plus simple. 

En passant aux applications, nous cherchons la solution de ces problèmes: 

1) Quelle est la fonction entière qui, parmi toutes celles de la forme 

a," -f- j^i a;"~' -i-j)^ a;"~^ h- . . .-+- p^_^ x -i-p^ 

s'écarte le moins possible de entre les limites x^ — h et x -.= i- h? 

2) Quelle est la fraction qui, parmi toutes celles de la forme 

a:" -f- j) 'a;"~' ^ p" x^—^ ■+- -i- pi^ — ^) x -+- pi'^) 

-^o^"~'~' -♦- ^ia;""~^~~H-. . . .-f-^„._/_2a;-H ^„_/_i ' 

et avec le même dénominateur 

s'écarte le moins de zéro entre x = — h et x=:-+-h? 



— 707 — 
3) Quelle est la fraction qui, parmi toutes celles de la forme 

p^a;«-^— iH-y^a:^-^-2-H....-t-p(>^— 
p(n—l-t-i) ^l ^_^(n— /-I-2) a;^— 1 -+.. . . ,-i-p{n) a; ^^(n-Hi; » 

entre ic== — ^eta; = -i-^, s'écarte le moins possible d'un polynôme donné 

Malgré toute la complicité des équations qui déterminent les coeffi- 
cients inconnus ]p^^ p^^ • - ■ • Pni Pi V i • • • • y*^^\ ï'ous parvenons à la so- 
lution définitive de nos problèmes, eu les réduisant à des questions de 
V Analyse indéterminée, La même méthode peut être avantageusement 
employée dans plusieurs autres cas et entr'autres, dans les recherches gé- 
nérales sur la représentation approximative des fonctions sous la forme ra- 
tionnelle, oii cette méthode fournit la solution de ce problème: 

Étant donnée la valeur approchée de f{x), que Von trouve à l'aide des 
méthodes ordinaires, soit sous la forme dhin j)olynôme, soit sous la forme 
d'une fraction, trouver les modifications que l'on doit faire subir aux coeffi- 
cients de ces expressions de f(x), quand on cherche à réduire au minimum 
la limite de leurs erreurs entre x = a — h et x = a-+-h^ h étant une valeur 
assez petite. 

C'est ce que nous nous proposons de faire dans un autre Mémoire, où 
l'on verra combien la solution des problèmes particuliers, que nous donnons 
à présent, est importante pour les recherches générales sur la représen- 
tation approximative des fonctions sous la forme rationnelle. Pour cette fois 
nous nous bornons à montrer le parti qu'on peut tirer de notre méthode en 
ce qui concerne les propriétés des fonctions entières et fractionnaires. Ainsi 
nous parvenons à établir des théorèmes d'une espèce tout-à-fait nouvelle, 
tels que: 

filéol'ènie. 

La valeur numérique de la fonction 

x''-' -f- Ax""-'-' H- Bx""-'-' H- . . . . 

y) * 
Théorème. 

Dans les limites a; = — h et x = -¥-h où la fraction 

x^ -*- p' x^~^ -t-. . ■ .-«-p("~Oa;-»-pW 



— 708 — 
ne devient -^, sa valeur numérique ne peut rester au dessous de 

^ étant le nombre des racines ûnaginaires de Véquation 

A.x''-^-' H- Ay-^~' -H .... H- A^_i_^x-\~ 1 = 
et ^ la limite inférieure de leurs modules. 





Tliéorèiiie. 




La fonction 






x'^-^Ax""- 


^ _+. Bx""' -»- . . 


H 



dejmis x = — h jusqiCà x= -\- h, nepeut rester numériquement au dessous de 
où Von prend le radical avec le signe contraire à celui de A. 

îliéoiTiiie. 



La fonction 



x^ -\- Bx^ ~ -I- . , 



X — a. X - 



depuis x= — hjus(pi''à x=-\-h, ne peut rester numériquement au dessous de 

OÙ Von prend le radical avec le signe contraire à celui delà quantité B^-^îi^. 

D'après ces théorèmes on démontre plusieurs propositions très simples 
par rapport à la résolution des équations. En voici quelques unes: 

Si r équation 

x'^-*-' -^ Ax'^-' -H . . . .^lx-^K= 

ne contient que des puissances impaires de x, on trouvera, entre les limites 



2 / + 1 2< + l 

— 2yiK, -*-2yiK, 



au moins l'une de ses racines. 



— 709 — 

Si Véquation 

f{x) = x*'-+-Ax''-'-+-Bx''-^''-i- -1-^=0 

n'a que des racines réelles, quelle que soit la valeur /, on trouvera toujours 
au moins Vune de ses racines entre 



x = t U X = t±4: 



y 16 ' 



en prenant le radical avec le signe contraire à celui de jrr^y 
Si la valeur nufnérique de Vintégrale 

est inférieure à -, ( — ^ — ^] , on trouvera au moins une racine de 

' n -H 1 \ 4 y ' 

Véquation 

x"" ^ Ax""-' -^ Bx""-^ ^ . . . .~t~ K= 0. 

entre x = H et x = H^. 

On trouvera toujours au moins une racine de Véquation 

a;2>-^i -+- Ax''^ -*- Bx^''-' -*- Gx'^'-'' -4- -^Hx^-^Ix-+-K=0 

entre les limites 

.=-2]/p[i-.jy'iK^]"-'-', 

2X + 1 4X + 2 |x 

OÙ [JL est le nombre des racines imaginaires de Véquation 

Ax''^^Gx''^-''-+- -f-flâ;2-f-Z=0, 

et p la limite inférieure de leurs modules. 
Si Véquation 

^2À-i-i_^ ^^2X-i _^ ^ K.x''"^ -t-IxdtK=0 

ne contient qu''un terme KqX^^" avec la puissance paire de x et que son expo- 



— 710 — 

sanf 2\ ne sur2)asse pas 1, cette équation a au moins ime racine comjmse 
entre les limites 

2X- H 2(il -Xo)-«-l 

* = -2|/iif-2|/iif,; 

2\ -f -1 2 (X -X,i)-H 

^ = -^2|/iX^-2|/i^■„. 

Outre ces théorèmes et certains autres de la même espèce, nous mon- 
trons le parti que l'on peut tirer de nos recherches par rapport à Vinterpo- 
lation. 

28 septembre 1857. 



Sur rinterpolation des valeurs fournies par 
les observations. 

18 (30) MAES 1858. 

(Bull, phys.-raathém., T. XVI, p. 353—358). 



Si le nombre des valeurs interpolées surpasse celui des termes que l'on 
conserve dans leur expression, l'interpolation peut être exécutée par di- 
verses méthodes. Mais ces méthodes, dans chaque cas particulier, sont loin 
d'être également bonnes; elles différent entre elles, soit par la prolixité 
plus ou moins grande des calculs, soit par la grandeur de l'erreur moyenne 
à craindre, tant qu'il s'agit d'interpolation des valeurs fournies par les 
observations, et conséquemment affectées d'erreurs. Comme on ne peut gag- 
ner au delà d'une certaine limite, sous un de ces rapports, sans perdre sous 
l'autre, il est impossible de donner une méthode d'interpolation qui soit en 
général préférable à toutes les autres; car, suivant le cas, on tient plus ou 
à la simplification des calculs, ou à la précision des résultats. C'est ainsi 
que le choix de la méthode d'interpolation dépend du nombre des valeurs à 
interpoler. Si ce nombre est assez petit, les données d'interpolation n'of- 
frent que bien peu de ressources pour atténuer l'influence de leurs erreurs 
sur celle du résultat cherché, et alors il est important d'en tirer tout le 
parti possible pour diminuer l'erreur moyenne à craindre, ce qu'on ne peut 
faire qu'à l'aide de la méthode des moindres carrés. Dans le cas contraire, 
le nombre considérable des données qu'on a à sa disposition, nous dispense 
de recourir à la méthode des moindres carrés qui exige des calculs trop 
longs. Dans ce cas, à la simplification des opérations numériques, on peut 
bien sacrifier une partie plus ou moins considérable de ce que les valeurs 
interpolées offrent pour apprécier le résultat cherché. Dans le Mémoire sur 
les fractions continues^ présenté à l'Académie en 1854, nous avons traité 
l'interpolation d'après la méthode des moindres carrés^ et nous sommes par- 
venu à une série qui donne directement les résultats d'une telle interpo- 
lation, indispensable, comme nous venons de le voir, si le nombre des va- 



— 712 — 

leurs à interpoler est assez petit. Daus le présent Mémoire nous montrons 
comment, d'après nos méthodes, on parvient à d'autres formules d'interpo- 
lation qui peuvent remplacer avec avantage celle dont nous venons de par- 
ler, tant que son application, à cause du grand nombre des valeurs interpo- 
lées, d'une part, cesse d'être importante, et de l'autre, devient peu pra- 
ticable. 

Nous ne traitons pas les différents cas particuliers que peut présenter 
l'interpolation suivant le nombre, plus ou moins grand, des valeurs interpo- 
lées; nous nous bornons à considérer celui qui est la limite de tous les 
autres, où le nombre des valeurs interpolées est infini. Quoique, en réalité, 
ce nombre ne soit jamais infini, les formules qu'on trouve dans cette suppo- 
sition, peuvent être cependant d'une application utile: car elles présentent 
la limite vers laquelle convergent très rapidement les résultats d'interpo- 
lation, à mesure que ce nombre augmente, et il ne sera pas difficile devoir, 
dans chaque particulier, de quel degré d'approximation ces formules sont 
susceptibles d'après les valeurs interpolées. 

Ainsi, entre autres formules, nous parvenons à celle-ci: 



rm 






\f{x)dx-\f{x)dx 



'ça p2 p 2 ~ 

\f{x)dx-\f{x)dx-^\f{x)dx 

_J a J a J —a 



f{x) dx- 

a 

V2 

1/5-1-1 



-\fix)dx-^\f{x) 



dx- 



f(x)dx— f{x)dx- 
Vô-Hi Jvô— 1 



ys— 1 ^ 

4 



V2 -\ 

f{x) dx 



V5-4 1 ^ 
4 



p 4 C Ç 

y-\f{x)dx-\f{x)dx^\f{x)dx 

J y5_i J ys-Hl J — a 



I X-» — 6 «2 X2+ l a* 



.VI. 



[f{x) dx- {f{x) dx-*- [f{x) dx - {f{x) dx -4- \f{x) dx~ \f{x) dx 16^^ ^^^Je^'"' 
Jv3 Ja Jo J a J V3 J — a J 



-etc. 



Bien que cette formule contienne des intégrales, pour évaluer ses ter- 
mes avec une approximation suffisante et au delà de celle que les erreurs 
des données elles mêmes comportent, on n'a besoin ordinairement que d'un 
nombre très limité de valeurs de f{x) entre x = — a et x = -^ a. Mais 



— 713 — 

tant qu'on a un nombre suffisant de valeurs de f{x)^ cette formule peut être 
avantageusement employée pour l'interpolation; car ici, d'une part, les opé- 
rations numériques, eu égard à la complication du problème, sont assez 
courtes, et de l'autre, l'influence des erreurs des valeurs interpolées sur 
celles du résultat cherché est notablement atténuée. 

Pour s'en assurer remarquons que toute la difficulté de l'interpolation, 
d'après cette formule, se réduit à l'évaluation des intégrales 



ra ra pO 

f{x)dx, f{x)dx, f{a 

J — a Jo J — a 



x) dx, etc. 
i 

d'après les valeurs connues de f{x). Or, quoique le nombre des différentes 
opérations arithmétiques que cela exige croisse à l'infini avec celui des va- 
leurs interpolées de f{x), ces deux nombres ne sont que du même ordre de 
grandeur, tandis que dans la méthode des moindres carrés le premier est 
d'un ordre supérieur relativement au second. D'autre part, la composition 
de cette formule montre que l'erreur moyenne du résultat, provenant de 
celles des valeurs interpolées, est en général du même ordre de grandeur que 
l'unité divisée par la racine carrée de leur nombre, comme cela a lieu dans 
la méthode des moindres carrés. 

Quant à la détermination des intégrales 



pa ra nO 

f(x)dx, f{x)dx, f{x)dx, 

J~a Jo J—a 



etc. 



qui entrent dans notre formule, elles peuvent être évaluées d'après les va- 
leurs connues de f{x), avec une approximation plus ou moins grande. Mais 
si ces valeurs sont assez rapprochées, on pourra souvent, dans leur éva- 
luation approximative, se contenter de cette formule très simple: 

B 

où 

f{x,\ f{x,\. . . . ax^\ f{x,^,l.. . . f{x^_,\ f{x^__,\ f\x^) 

étant les valeurs connues de f{x), et 

celles de x, comprises entre x=^h et x=H. — L'erreur de cette expression 

Ç.E 

de l'intégrale J f{x) dx, comme il est aisé de le reconnaître, sera toujours 
inférieure à 



— 714 — 

où A, B désignent les plus grandes valeurs de f {x)^ f"{^) entre a; =/î et 
a; = if, et A la plus grande des différences 

^l — ^h «},_Hi ~ ^À' ^^ — \-,, H— x^. 

De plus, on pourra trouver les intégrales 

f{x)dx, f\x)dx etc. 

J~a 

à peu près sans calcul, si l'on a une représentation graphique de la fonction 
f{x), construite d'après ses valeurs connues; car alors, pour évaluer toutes 
ces intégrales, on n'aura qu'à déterminer les aires de la courbe 

entre x=^ — a etir = H-a, entre x = et x = a, etc., ce qui se fera très 
aisément à l'aide du planimètre. 

Remarquons encore qu'en faisant dans cette formule 



P 



f\x)dx== F{x), 
on trouve 

F{ahF{-a) F[a)-2F{o)-^F{-a) F[a)-2Fi'^+2F(--\-F{-a) 

F{a)-2Fi^\-^2F{o)-2Fl-^\^F{-a) 

Fia)-2Fl^-^ aUFl^-^' a)-2F{- ^^ oUfI- ^ a )-F(-«) 

a* V 5 -^ 

-H ^-^—L ^^ ^, ^ ^' ^— ^— ^ [UX'^-Ua'X^-^-la'X) 

-•-etc., 

formule qui peut être avantageusement employée pour la détermination de 
la première dérivée F' (a;), d'après les valeurs données de F{x)^ si toutefois 
ces valeurs sont assez proches entre elles, pour qu'on puisse évaluer d'après 
elles, avec une approximation suffisante, toutes les valeurs de F{x) qui fi- 
gurent dans la formule 

On reconnaît aisément l'avantage de cette formule sur celle que l'on 
trouve d'après le calcul des différences finies^ en remarquant qu'ici les di- 
viseurs sont comparativement plus grands, et par conséquent les erreurs des 
valeurs connues de F{x) ont moins d'influence sur celle de F' {X) qu'on 
cherche, ce qui est très important dans plusieurs cas. 



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