Skip to main content

Full text of "Die mathematischen und physikalischen theorieen der höheren geodäsie .."

See other formats


Google 


This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scannod by Google as pari of a projcct 

to make the world's books discoverablc online. 

It has survived long enough for the Copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 

to Copyright or whose legal Copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 

are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discover. 

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from the 

publisher to a library and finally to you. 

Usage guidelines 

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken Steps to 
prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying. 
We also ask that you: 

+ Make non-commercial use ofthefiles We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for 
personal, non-commercial purposes. 

+ Refrain fivm automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machinc 
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encouragc the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout this projcct and hclping them lind 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in Copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any speciflc use of 
any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search mcans it can bc used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. 

Äbout Google Book Search 

Google's mission is to organizc the world's Information and to make it univcrsally accessible and uscful. Google Book Search hclps rcadcrs 
discover the world's books while hclping authors and publishers rcach ncw audicnccs. You can search through the füll icxi of ihis book on the web 

at |http: //books. google .com/l 


Google 


IJber dieses Buch 

Dies ist ein digitales Exemplar eines Buches, das seit Generationen in den Realen der Bibliotheken aufbewahrt wurde, bevor es von Google im 
Rahmen eines Projekts, mit dem die Bücher dieser Welt online verfugbar gemacht werden sollen, sorgfältig gescannt wurde. 
Das Buch hat das Uiheberrecht überdauert und kann nun öffentlich zugänglich gemacht werden. Ein öffentlich zugängliches Buch ist ein Buch, 
das niemals Urheberrechten unterlag oder bei dem die Schutzfrist des Urheberrechts abgelaufen ist. Ob ein Buch öffentlich zugänglich ist, kann 
von Land zu Land unterschiedlich sein. Öffentlich zugängliche Bücher sind unser Tor zur Vergangenheit und stellen ein geschichtliches, kulturelles 
und wissenschaftliches Vermögen dar, das häufig nur schwierig zu entdecken ist. 

Gebrauchsspuren, Anmerkungen und andere Randbemerkungen, die im Originalband enthalten sind, finden sich auch in dieser Datei - eine Erin- 
nerung an die lange Reise, die das Buch vom Verleger zu einer Bibliothek und weiter zu Ihnen hinter sich gebracht hat. 

Nu tzungsrichtlinien 

Google ist stolz, mit Bibliotheken in Partnerschaft lieber Zusammenarbeit öffentlich zugängliches Material zu digitalisieren und einer breiten Masse 
zugänglich zu machen. Öffentlich zugängliche Bücher gehören der Öffentlichkeit, und wir sind nur ihre Hüter. Nie htsdesto trotz ist diese 
Arbeit kostspielig. Um diese Ressource weiterhin zur Verfügung stellen zu können, haben wir Schritte unternommen, um den Missbrauch durch 
kommerzielle Parteien zu veihindem. Dazu gehören technische Einschränkungen für automatisierte Abfragen. 
Wir bitten Sie um Einhaltung folgender Richtlinien: 

+ Nutzung der Dateien zu nichtkommerziellen Zwecken Wir haben Google Buchsuche Tür Endanwender konzipiert und möchten, dass Sie diese 
Dateien nur für persönliche, nichtkommerzielle Zwecke verwenden. 

+ Keine automatisierten Abfragen Senden Sie keine automatisierten Abfragen irgendwelcher Art an das Google-System. Wenn Sie Recherchen 
über maschinelle Übersetzung, optische Zeichenerkennung oder andere Bereiche durchführen, in denen der Zugang zu Text in großen Mengen 
nützlich ist, wenden Sie sich bitte an uns. Wir fördern die Nutzung des öffentlich zugänglichen Materials fürdieseZwecke und können Ihnen 
unter Umständen helfen. 

+ Beibehaltung von Google-MarkenelementenDas "Wasserzeichen" von Google, das Sie in jeder Datei finden, ist wichtig zur Information über 
dieses Projekt und hilft den Anwendern weiteres Material über Google Buchsuche zu finden. Bitte entfernen Sie das Wasserzeichen nicht. 

+ Bewegen Sie sich innerhalb der Legalität Unabhängig von Ihrem Verwendungszweck müssen Sie sich Ihrer Verantwortung bewusst sein, 
sicherzustellen, dass Ihre Nutzung legal ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass ein Buch, das nach unserem Dafürhalten für Nutzer in den USA 
öffentlich zugänglich ist, auch für Nutzer in anderen Ländern öffentlich zugänglich ist. Ob ein Buch noch dem Urheberrecht unterliegt, ist 
von Land zu Land verschieden. Wir können keine Beratung leisten, ob eine bestimmte Nutzung eines bestimmten Buches gesetzlich zulässig 
ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass das Erscheinen eines Buchs in Google Buchsuche bedeutet, dass es in jeder Form und überall auf der 
Welt verwendet werden kann. Eine Urheberrechtsverletzung kann schwerwiegende Folgen haben. 

Über Google Buchsuche 

Das Ziel von Google besteht darin, die weltweiten Informationen zu organisieren und allgemein nutzbar und zugänglich zu machen. Google 
Buchsuche hilft Lesern dabei, die Bücher dieser We lt zu entdecken, und unterstützt Au toren und Verleger dabei, neue Zielgruppcn zu erreichen. 
Den gesamten Buchtext können Sie im Internet unter |http: //books . google .coiril durchsuchen. 


II 


l^-i^i^ dL. uc 


l^z^if^ cL. uc 


^l^w 1 


'IQ ^ ^^ 


DIE 


MATHEMATISCHEN UND PHYSIKALISCHEN 


THEORIEEN 


DER 


HÖHEREN GEODÄSIE 


II. TEIL: 

DIE PHYSIKALISCHEN THEORIEEN, 

MIT UKTERSÜCHUNGEN ÜBER DIE MATHEMATISCHE ERDGESTALT 

AUF GRUND DER BEOBACHTUNGEN. 


VON 


Db. f. r. helmert, 

PBOFBSSOB AK DXB TBCHVISCBEV HOCHSCHULB XU A.ACHBir. 


laT IN DEN TEXT GEDHUCETEN FIGUREN UND ZWEI LITHOGRAPHIERTEN TAFELN. 



LEIPZIG, 

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. 

1884. 


Verlag Yon B. G. Teubner in Leipzig, 


Helmert, Dr. F. B., Professor an der tecbnißcben Hochschule zu Aachen, 
die mathematischen und physikalischen Theorieen der 
höheren Geodäsie. Einleitung u. I. Teil: Die mathematischen 
Theorieen. (Mit vielen Figuren im Text.) [XV u. 631 S.] gr. 8. 
1880. geh. n, JClS.— 

Bei der AbfMsnng dieses Werkes war es die Absicht des Verf., in einfacher and 
systematischer Form die wissenschaftlichen Grundlagen der Landesvermessungen und £rd- 
mesBungen zur Darstellung cu bringen, dabei wesentlich weiter als die Lehr- und Handbücher 
tlber diese Disaiplinen au gehen, ohne doch das . praktische Ziel, die Anwendung, als Haupt- 
sache auJlier acht zu lassen. Er hofft dadurch in gleicher Weise jangeren wie älteren Fach- 
genossen etwas Brauchbares zu bieten. 

Der 1. Teil enth&lt alles das, was auf rein mathematischem Wege zu erreichen Ist. 
Er entwickelt, nachdem eine allgemeine Einleitung vorausgegangen, zunächst die sphärische 
Geodäsie, geht dann über zur Hypothese des KotationBellipsoids und schliefst mit der Theorie 
der geodätischen HorizontalvermesBungen auf der wirklichen Erdoberfläche Der 2. Teil behandelt 
zunächst die Eigenschaften der Nireauflächen und die Bestimmung der Erdgestalt aus Schwer- 
mesBungen, sodann das geometrische und trigonometrische Nivellement ebenfalls im Hinblick 
auf die Bestimmung der Erdgestalt und bringt zum Schlüsse Abschnitte über die Beziehung 
der Abplattung zu gewissen astronomischen Daten, sowie über die Stabilität der Erdachse 
und dergl. 

Die ursprüngliche Absicht war, in streng organischer Entwicklung mit dem physika- 
lischen Teile zu beginnen. Bei der definitiven Bearbeitung fand es aber der Verf. weit über- 
sichtlicher, den erprobten Gang vom Einfachen zum Komplizierten innezuhalten, und also auch 
den mathematischen Apparat voranzustellen. 

Die mathematischen Entwiddungen sind dadurch nicht unwesentlich vereinfacht, dafs 
sich Verf. lediglich auf die Geodäsie auf der Kugel und dem BotationselUpsoid beschränkte, 
unmittelbar an letztere aber die Geodäsie auf der wirklichen Erdoberfläche mittels des Begriffs 
der Lotablenkung anschlofs. Dieses schon von Bessel angegebene Verfahren hat nach dem 
jetzigen Stande unserer Kenntnis der Erdgestalt volle Berechtigung. Indem nun die Formeln 
konsequent nur für die Kugel und das Botationsellipsoid abgeleitet wurden, war es möglich, 
zu den Fundamentaleigenschaften der geodätischen Linie zumteil ganz elementar zu gelangen 
(jedenfalls aber die Variationsrechnung ganz auszuschliefsen) , femer aber auch die Theorie der 
geodätiachen Dreiecke in dem Umfange, wie die Praxis derselben bedarf, auf ganz einfache 
Integrationen zurückzuführen. Zu gröfserer Anschaulichkeit sind in ähnlicher Weise wie füra 
Ellipsoid auch für die Kugel die Formeln für die geodätischen Dreiecke (die Formeln der 
sphärischen Trigonometrie also) aus den Differentialformeln durch Integration abgeleitet — ein 
nicht unbequemes Verfahren. 

Es versteht sich von selbst, dafs die Arbeiten von Gaufs und Bessel, Andrae, Hansen, 
Christoffel u. a., sowie die bedeutenderen Werke über Landes- und Gradmessungen im weitesten 
IJmfange benutzt sind. Doch ist die Darstellung eine formell durchaus sdbständige, mit sorg- 
fältiger Auswahl der Symbolik. Auch materiell dürften eich verschiedene Novitäten finden, 
wie in den Differentialformeln für die geodätische Linie (die bei Bessel weder vollständig noch 
korrekt sind) und in der Darstellung der Bechnung mit Sehnen und Horizontalwinkeln auf 
Kugeln und Ellipsoid. 

Alle wichtigeren imd komplizierteren Entwicklungen sind durch Beispiele in meist 
lOziffriger logarithmischer Bechnung geprüft. 

die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten 

Quadrate mit Anwendungen auf die Geodäsie und die Theorie der 
Messinstrumente. (XI u. 348 S.) gr. 8. 1872. geh. n, JC 7 . — 

Bei Vorlräg-en Qbcr Anwendangren der Methode der kleinsten Quadrate ist es ein Übel- 
stand, ^^ahienbeispiele an der Wandtafel vollständig entwickeln zu müssen. Der Verfasser glaubt 
diesem TJbelstandc, der schon bei den zur ersten Einführung nötigen, aber den praktischen Ver- 
hältnissen zu wenig entsprechenden kleineren und einfacheren Beispielen hervortritt, dadurch 
abhelfen zu können, dass er den Zuhörern Gelegenheit giebt, die Beispiele sich in der nur durch 
den Druck möglichen kompendiösen übersichtlichen Form zu verschaifen. Den Beispielen auch eine 
Zusammenstellung der Formeln nebst kurzer Enlwickelung der letxtern beizngeben, ^-ar deshalb 
geboten, weil es einesteils im Verlauf des Vortrags wünschenswert wird, auf 'Dagewesenes Ycr- 
weisen zu können und andernteils gerade die allgemeinen Formeln geeignet sind, den stets so 


einfachen Mechanismus der Rechnung erkennen zu lassen, der bei den Beispielen durch das Be- 
schwerliche der Zahlenrechnung ▼erdankelt wird — endlich aber war es die Absicht des Verfassers, 
durch Aufnahme solcher Abschnitte, welche für das gewöhnliclie Bedürfnis überflüssig sind und 


daher im Vortrage nur angedeutet werden können, den sich Interessierenden Gelegenheit zu bieten 
sich im AnschluJb an den Vortrag weiter zu bilden. 


DIE 


MATHEMATISCHEN UND PHYSIKALISCHEN 


THEORIEEN 


DRB 


HÖHEREN GEODÄSIE. 


VI Vorwort. 

Kondensation der (sichtbaren) Storungsmassen der Erdoberfläche auf 
eine zur Meeresfläche parallele Fläche in drei Meilen Tiefe entspricht 
und erlange dadurch erstens den Vorteil, dafs die Bedenken über die 
Anwendbarkeit des Ergebnisses des Glairautschen Theoremes auf die 
wirkliche Abplattung der Erde schwinden (8.237)| und erziele zweitens 
eine geradezu überraschende Übereinstimmung zwischen den Pendel- 
längen auf dem Festland und denen an den Küsten einerseits^ wie für 
die nach Zonen geographischer Breite von 10 zu 10" gruppierten Pendel- 
längen andererseits (S. 226 u. 240), so dafs an der grofsen Sicherheit 
des Endresultates nicht zu zweifeln ist. Es wird den Leser aller- 
dings vielleicht im ersten Augenblick befremden, wenn er eriUhrt, 
dafs ich die Pendellängen für die kleineu oceanischen Inseln von der 
Rechnung ausgeschlossen habe. Da aber, wie ich wohl zuerst zeige, 
im Mittel der Nord- und Südhälfte der Erdoberfläche in jeder Breite 
die Ausdehnungen von Festland und von Meer nach der geographischen 
Länge in nahezu gleichem Verhältnis stehen, und da ferner die Insel- 
stationen in verschiedenen Breiten im Vergleiche zu Festland- und 
Küstenstationen wesentlich dasselbe Verhalten zeigen, so entspricht 
das Verfahren lediglich der Forderung der Theorie nach gleichmäfsiger 
Verteilung der Pendelstationen über die Erdoberfläche, und die Ver- 
nachlässigung der Inselstationen ist nur eine scheinbare (S. 238 
und 242). 

Die kontinentalen Undulationen des Geoides gegen seine Normal- 
form hat man in neuerer Zeit vielfach aus den Anomalieen der 
Schwerkraft nach einer einfachen Proportionalität berechnet Dafs 
dieses Verfahren zu groben Irrtümern führen kann und theoretisch 
unhaltbar ist, wird durch Vervollständigung der betrefienden Formel 
(S. 261 u. 262) nachgewiesen. Aus einzelnen Werten jener Anomalieen 
würde man darnach nur „die Dicke der ideellen störenden Schicht*^ 
unterhalb der Station finden können, wenn bereits die Störung des geo- 
idischen Radiusvektors daselbst ermittelt wäre, wozu nach Stokes 
(S. 249) die Kenntnis der Schwerkraft auf der ganzen Erdoberfläche 
erforderlich ist. 

Um nun doch mit dem vorhandenen Beobachtungsmaterial einigen 
Aufschluß über die kontinentalen Undulationen zu erhalten, ermittele 
ich im vierten Kapitel (S. 313 u. £F.) die Störungswirkung der fünf 
als abgestumpfte, 4000*" dicke Kreiskegel betrachteten Kontinente 
der Erde auf einer homogen geschichteten Erdkugel. Ich begnüge 
mich dabei nicht mit der Ausrechnung der radialen Störungen (Tafel I), 
sondern bestimme auch durch dieselben mit Hilfe eines aus der 
Potentialtheorie geschöpften Theoremes die Störungen der Schwer- 
kraft, wonach sich zeigt, da(s der behandelte Fall dem Zustande der 
Erde (abgesehen von ihrer Abplattung) nicht entsprechend ist, dafs 
man vielmehr zur Herbeiführung der Übereinstimmung in der Erd- 
rinde noch ideelle (d. h. eventuell denjenigen in dem Erdinneren äqui- 
valente) Störungsmassen annehmen mu(s. Von den zwei möglichen 
Fällen: relativer Dichtigkeitsüberschufs der Erdkruste unter den oce- 
anischen Inseln oder relativer Dichtigkeitsmangel unter den Konti- 


Vorwort. Vir 

nenten, besitzt der letztere die grofsere Wahrscheinlichkeit, da es fär 
ihn allein und zwar durch die unter den grofsen Gebirgen Himalaya 
und JCaukasus (S. 228) konstatierten Massendefekte ein Analogon giebt. 
Damit aber gelange ich zu dem Endresultat, dafs die Figur der Erde 
einem einfachen Sphäroid im allgemeinen viel näher kommt als die 
Störungen der Kontinentalmassen allein (Tafel I) erwarten lassen 
(S. 365). 

Unter diesen Umständen ist der Wert der Gradmessungen zur 
Bestimmung der allgemeinen Abplattung der Erde erheblich gröfser 
als fQr den Fall des Bestehens grofser kontinentaler Undulationen 
des Geoides unterhalb der Kontinente. Mit Rücksicht auf die gegen- 
wärtige Ausbreitung und ungünstige Verteilung der Gradmessungen 
kann es aber trotzdem nicht befremden, dafs der aus ihnen nach 
Clarke folgende Abplattungswert 1 : 294 von dem oben angegebenen 
ziemlich stark abweicht. Dieser findet auch eine gute Bestätigung 
sowohl in den Mondstörungen (sechstes Kapitel S. 473) als in der 
Präzessionskonstanten. Man müfste diese letztere vermutlich erheb- 
lieh ändern, wollte man an dem von manchen acceptierten Abplat- 
tungswerte 1 : 289 festhalten und zugleich der Existenz eines Dichtig- 
keitsgesetzes für das Erdinnere in Form einer einfachen Potenzreihe 
grofse Wahrscheinlichkeit zuschreiben, da mit dieser Abplattung und 
dem Beobachtungswert der Präzessionskonstanten ein Gesetz von 
solcher Form nicht zu bestehen scheint (S. 488 u. 489). 

Nächst den oben erwähnten Untersuchungen enthalten das dritte^ 
und vierte Kapitel noch allgemeine Sätze über die kontinentalen Un- 
dulationen des Geoides und spezielle Betrachtungen über die Störungs- 
wirkungen gegebener Massen der Erdkruste von verschiedener Form. 

Der Anfang des fünften Kapitels entwickelt die Störungen des 
Lotes durch Mond und Sonne; weiterhin werden besonders die kleinen 
Bewegungen der Erdaxe im Erdkörper, namentlich unter dem Ein- 
flufs der Verschiebung von Massen auf der Erdoberfläche, an der 
Hand der Theorie und Erfahrung behandelt. Im sechsten Kapitel 
sind u. a. einige Blätter der Untersuchung gewidmet, inwieweit sich 
der Theorie nach aus Beobachtungen der lokalen Mondparallaxen 
die geozentrischen Koordinaten eines Erdortes bestimmen lassen, wenn 
angenommen wird, dafs die Mondbewegung aus den Mondtafeln nur 
für je einen halben Tag genau entnommen werden kann. Darnach 
ist im allgemeinen nur eine unvollständige Lösung dieses Problemes der 
Ortsbestimmung möglich. 

Bei der Theorie des geometrischen Nivellements im siebenten 
Kapitel gelange ich zu der Forderung, dafs in Ermangelung strenger 
Reduktion mittelst der beobachteten Intensität der Schwerkraft bei 
Berechnung der Meereshöhen wenigstens die Variation der Schwere 
mit der geographischen Breite berücksichtigt werde und dafs man 
sich hiervon durch die Unmöglichkeit der Berücksichtigung der Ano- 
malieen der Schwere nicht abhalten lassen darf, indem der Einflufs der 
letzteren in den Resultaten ausgedehnter Nivellements weniger zu 
fürchten ist, als derjenige der Variation mit der Breite. Beispiels- 


VIII Vorwort. 

weise enthält das unmittelbare Ergebnis eines Nivellements von der 
Ostsee nach dem Mittelmeer wegen dieser Variation Fehler, die je nach 
dem genommenen Wege bis zu mehreren Decimetern ansteigen können 
und sämtlich gleiches Vorzeichen haben. Der Einflufs der Anomalieen 
der Schwerkraft aber dürfte in diesem Falle kaum mehr als einige 
Gentimeter betragen, welche in den auf verschiedenen Wegen er- 
haltenen Resultaten nicht notwendig in gleichem Sinne auftreten. 

Bei der Theorie der Refraktion im achten Kapitel habe ich mich 
darauf beschränkt, solche Formeln abzuleiten, welche voraussetzen, 
dafs das Gesetz für die Änderung der Temperatur mit der Höhe durch 
eine stark konvergente Reihe nach Taylor darstellbar ist. Für diesen 
Fall sind die Formeln allgemein gültig, so dafs man die Konstanten 
aus zweckmäfsig angeordneten Beobachtungen bestimmen kann. Ein 
Zahlenbeispiel ist den von v, Bauernfeind publizierten Messungen ent- 
nommen. Übrigens tri£ft gerade in diesem Beispielsfalle, trotzdem 
mit Tagesmitteln gerechnet ist, die Voraussetzung nicht zu. Obwohl 
ich nun auch einige Erwägungen darüber anstelle; wie solchen anor- 
malen Verhältnissen beizukommen wäre^ glaube ich doch, dafs man 
bei Anwendung des trigonometrischen Verfahrens zur Bestimmung 
des Geoides nach Villarceau und Bruns am besten allen theoretischen 
Erwägungen durch Einschränkung auf mäisige Höhendifferenzen und 
kurze Distanzen, etwa 15 bis 20 Kilometer, aus dem Wege geht und 
mit der Kreishypothese rechnet. Wie man aber auch die Anordnung 
treffen möge, ein sehr mühsames Verfahren bleibt diese Methode des 
Detail-Studiums der Geoidform immer, und man wird seine Anwen- 
dung sicherlich möglichst beschränken. Ich bin überzeugt, dafs man 
durch die Methode der Lotabweichungen (Bd. 1 S. 564 u. ff.) die Form 
des Geoides ebenso genau und weit rascher findet, wenn man haupt- 
sächlich Meridian profile durch dichtgedrängte Breiteustationen bear- 
beitet, und habe für diese empfehlenswerte Methode den Namen asiro- 
nomisches Nivellement vorgeschlagen (S. 599). 

Bei der Bearbeitung des Buches bin ich von mehreren Seiten 
durch Darleihen von Originalwerken und schriftliche Notizen unter- 
stützt worden, was allein es ermöglicht hat, den mir notwendig 
scheinenden Grad von Vollständigkeit zu erreichen. 

Für diese freundliche Unterstützung danke ich auch an dieser 
Stelle. 

Die Tafel I hat Herr Hegemann, jetzt vereideter Geometer, während 
seiner Studienzeit hierselbst nach meinen Rechnungen entworfen, 
während Tafel H von Herrn Fenner, Ingenieur und Assistent der Geo- 
däsie an der Aachener technischen Hochschule, berechnet und ge- 
zeichnet ist. Derselbe hat sich auch bei der Revision der Druckbogen 
in für mich sehr dankenswerter Weise beteiligt. 

Aachen, September 1884. 

Der Verfasser. 


Inhaltsverzeichnis. 


1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Nlveaaflächen. 

Seite 

§ 1. Das Prinzip von d'Älembert 1 

§ 2. Bewegung des Erdschwerpunktes 2 

§ 3. Helative Bewegung der Erde gegen ihren Schwerpunkt 4 

§ 4. Die Zentrifugalkraft 5 

§ 5. Die Schwerkraft 6 

§ 6. Das Potential W der Schwerkraft g 8 

§ 7. Die Gleichung der Niveauflächen 9 

§ 8. Abstand benachbarter Niveauflächen 10 

§ 9. Das Potential W hat in jedem Punkte P des Baumes nur einen 

einzigen Wert 11 

§ 10. Die Schwerkraft g hat in jedem Punkte einen bestimmten endlichen 

Wert und eine bestimmte Bichtung, ausgenommen für </ = null . . 12 

§11. TT ist eine stetige Funktion des Ortes 14 

§ 12. Die Schwerkraft ändert sich nach Gröfse und Bichtung btetig ... 14 

§ 13. Der Lauf der Niveauflächen für <7>null 15 

§ 1 4. Die Niveauflächen der Erde in der Nähe der physischen Erdoberfläche 16 

§ 15. Die zweiten Diflerentialquotienten vou W 19 

§ 16. Transformation der Ausdrücke für die ersten Diff'crentialquotienten 

von ^ 20 

§ 17. Die zweiten und höheren Difl'erentialquotienten von W haben be- 
stimmte endliche Werte und ändern sich stetig, solange der Punkt 
P^ sich nicht an einer Stelle befindet, in welcher die Dichtigkeit G 

Singularitäten hat 24 

$ 18. Die zweiten Differentialquotienten von V beim Durchgange von P' 

durch Singularitätsstellen der Dichtigkeit 25 

§ 19. Fortsetzung: ^^ 28 

§ 20. Die übrigen zweiten Differentialquotienten 30 

§ 21. Transformation der Koordinaten, Differentialgleichung für K und W 32 
§ 22. Die ünstetigkeit in der Krümmung der Niveauflächen bei dem Durch- 
gänge dersdben durch eine ünstetigkeitsstelle der Dichtigkeit. ... 35 

§ 23. Fortsetzung 37 

§ 24. Wirkungssphäre der Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit 40 

§ 25. Potenzreihen für Niveauflächen sind unpraktikabel 44 

§ 26. Schwerkraft und Lotlinien beim Durchgange durch eine ünstetig- 
keitsstelle der Dichtigkeit 46 

§ 27. Die geographischen Meridiane und Parallelen 47 


X InbaltsYerzeichnifl. 

2. Kapitel. Bestimmang der Abplattang aas Schweremessungen. 

Seite 

§ 1. Entwicklung von in eine Potenzreihe 50 

§ 2. Fortsetzung: Die Koefficienten P 52 

§ 3. Die Entwicklung von — für r' = r 53 

c 

§ 4. Die KoefQcienten P in rechtwinkeligen und in Polarkoordinaten . . 56 

§ 5. Das Potential W der Schwerkraft aufeerhalb 58 

§ 6. Das Potential der Anziehung einer homogenen Eugelschale .... 60 

§ 7. Kugelfur^tionen 64 

§ 8. Der Einflufs des Luftmeeres auf das Potential W der Schwerkraft . 68 
§ 9. Erweiterung des Gültigkeitsbereiches der Reihenentwicklung für W 

aufserhalb 70 

§ 10. 1. Annäherung für das Potential W (aufserhalb) 72 

§ 11. Fortsetzung: Theorem von Clairaut 74 

§ 12. Theorem von Clairaut für ein Niveausphäroid ü =^ TTq, dessen 

Gleichung eine Kugelfunktion 4. Range« enthält 77 

§ 13. Polargleichung der Meridiankurve dieses Niveansphäroids 78 

§ 14. Formeln für die Beschleunigung g der Schwerkraft in Bezug auf 

dieses Niveausphäroid; Bestimmung von h 80 

§ 15. Zusammenstellung der Formeln für dieses Niveausphäroid 82 

§ 16. Numerische Anwendung der Formeln auf das Niveausphäroid des 

Geoids 83 

§ 17. Die Normalform der Niveauflächen (aufserhalb) und das Botations- 

ellipsoid 89 

§ 18. Die Formänderung der Niveausphäroide in der Nähe der physischen 

Erdoberfläche mit der Höhenlage 92 

§ 19. Fortsetzung: Die Niveausphäroide in der Nähe der physischen Erd- 
oberfläche stimmen alle in gleichem Grade mit Rotationsellipsoiden 

derselben Abplattung überein 98 

§ 20. Die normale Änderung der Beschleunigung g der Schwerkraft mit 
der Höhe in der Nähe der physischen Erdoberfläche, aufserhalb. 

Näherungsformeln für g und dg : dh 94 

§ 21. Die normale Änderung der geographischen Breite mit der Höhe 

wegen der Krümmung der Lotlinien 98 

§ 22. Die aufserst« Niveaufläche der Erde 100 

§ 23. Historische Notizen eu dem Theorem von Clairaut; Newton .... 103 

§ 24. Clairauts Darstellung des Newtonschen Problems 105 

§ 26. Huygens 107 

§ 26. Clairaut 109 

§ 27. Die Einführung des Potentials durch Legendre, Laplace u a. . . . 112 

§ 28. Sätze aus der Theorie der Kugelfunktionen 115 

§ 29. Potential des homogenen Rotationsellipsoids auf einen Punkt aufserhalb 117 

§ 30. Fortsetzung 120 

§ 31. Fortsetzung 122 

§ 32. Hauptträgheitsmomente des abgeplatteten, homogenen Rotations- 
ellipsoids. Dichtigkeit im Erdinnem 126 

§ 83. Potential des homogenen Rotationsellipsoids auf einen Punkt innerhalb 1 27 
§ 34. Das abgeplattete Rotationsellipsoid kann die Oberfläche einer ro- 
tierenden, homogenen Flüssigkeitsmasse bilden 130 

§ 35. Eine rotierende, nahezu kugelförmige, homogene flüssige Masse mufs 
die Form eines Rotationskörpers haben; dieser ist bis auf Grö&en 


Inhaltsverzeichnis. XI 

Seite 

der Ordnung n* jedenfalls ein abgeplattetes Eotationsellipsoid. Das 

dreictxige Ellipsoid ist als GleiehgewichtsfläcJie immöglich 133 

§ 3C. Schätzung der Abweichung der Oberfläche einer flüssigen Erde von 

der Gestalt eines ßotationsellipsoids 136 

3. Kapitel. Ableitung einer Formel für die Schwerkraft im Meeresnivean au8 
den Beobachtungen; kontinentale Abweichungen des Geoids. 

§ 1. Potential und Anziehung einer kreisförmigen Scheibe auf einen 

Punkt normal über dem Zentrum 141 

§ 2. Potential und Anziehung eines homogeuen, geraden Kreiscylinders 
auf einen Punkt seiner Aze, aufserhalb, sowie eines homogenen, 

geraden Ereiskegels auf seine Spitze 142 

§ 3. Potential und Anziehung eines homogenen Rotation sparaboloids auf 

einen Punkt seiner Aze, aufserhalb 143 

§ 4. Potential und Anziehung einer sphärischen Scheibe auf einen Punkt 
normal über dem Zentrum. Angemeiner Satz für die Anziehung 
einer mit Masse belegten Kugel fläche auf einen ihr naheliegenden Punkt 1 44 
§ 5. Abstand von Niveauspbäroid und Niveaufläche gleichen Potential- 
wertes: 'Theorem von Bruns 147 

§ 6. Untersuchung der Brauchbarkeit der Entwicklung des Potentials W 
der Schwerkraft nach negativen Potenzen des Radiusvektors bis zur 

Meeresfläche 148 

§ 7. Änderung des Potentials W durch Kondensation der äufseren Massen 

auf die Parallelfläche 149 

§ 8. Fortsetzung: Gebirgsmasse, Mazimalverschiebung der Meeresfläche 151 
§ 9. Fortsetzung : Wahrscheinliche Maximalverschiebung der Meeresflächc 154 
§ 10. Die Änderung der Schwerkraft im Meeresniveau durch dessen Ver- 
schiebung 155 

§ 11. Einflufs der Kondensation auf die Schwerkraft 155 

§ 12. Fortsetzung: Berechnung des Maximaleinflusses 159 

§ 13. Besultat der Untersuchung Ober die Brauchbarkeit der Entwicklung 

des Potentials W nach negativen Potenzen des Badiiisvektors . . . . 160 
§ 14. Einflufs der Kondensation auf Schwerpunktslage und Trägheits- 
momente der Erde 161 

§ 15. Die Reduktion der Schwerebeobachtungen im allgemeinen .... 162 
§ 16. Die übliche Reduktion der Schweremessungen auf das Meeresniveau 163 

§ 17. Fortsetzung: Unebenes Terrain 167 

§ 18. Fortsetzung: Beliebiges Terrain 169 

§ 19. Die Reduktion der Schwerebeobachtungen wegen der Kondensation; 

die Krümmung der Meeresfläche kann hierbei vernuchlässigt werden 172 
§ 20. Fortsetzung: Die Ausführung der Reduktion für die Kondensation . 176 

§ 21. Kondensationsreduktion für eine Inselstation 179 

§ 22. Küstenstation 181 

§ 23. Gebirgsstation 183 

§ 24. Uiifssatz: Für ein homogenes Sphäroid, welches von einem schwach- 
abgeplatteten Rotationsellipsoid nur wenig abweicht, ist es erlaubt, 
die Entwicklung des Potentials aufserhalb nach negativen Potenzen 
des Radiusvektors für die praktischen Zwecke als bis zur Oberfläche 

konvergent zu betrachten 186 

§ 25. Ältere Pendelbeobachtungen zur Bestimmung der Intensität der 

Schwere 191 

§ 26. Neuere Pendelbeobachtungen und absolute Bestimmungen 202 


XII InhaltBverzeichnis. 

Seite 

§ 27. Zasammenstellung von Bestimmungen am gleichen oder nahezu 

gleichen Orte 210 

§ 28. Ausgleichung der mehrfachen Bestimmungen 212 

§ 29. Übersicht der Längen des Sekundenpendels 215 

§ 30. Die Kondensationsreduktionen 223 

§ 31. Erfolg der Kondensattonsmethode 226 

§ 32. Die Ermittelung der Interpolationsformel für die Schwerkraft . . . 229 

§ 33. Die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate 231 

§ 34. Fortsetzung: Formel zur Genauigkeitsschätzung 233 

§ 36. Ableitung einer Interpolationsformel für die Länge des Sekunden- 
pendels und für die Schwerkraft im Meeresniveau 238 

§ 36. Fortsetzung: Plausible Grenzen der Abplattung 241 

§ 37. Die Schwerkraft auf der physischen Erdoberfläche 243 

§ 38. Allgemeines über die Ermittelung kontinentaler Undulationeu des 

Geoids 244 

§ 39. Strenge Relationen für die Abweichungen des Geoids vom zugehörigen 

Normalsphfiroid 245 

§ 40. Formel von Stokes zur Schätzung kontinentaler Abweichungen des 

Geoids 249 

§ 41. Fortsetzung: Summierung 251 

§ 42. Fortsetzung: Probe und Übersicht 254 

§ 43. Allgemeine Sätze für die Verteilung dei' kontinentalen Wellen des 

Geoids 257 

§ 44. Relation sunschen Schwerestörung, Störung im Badiusvektor und in 

der Dichtigkeit der störenden Schicht für einen Punkt des Geoids . 259 
§ 45. Die sogenannten Näherungsformeln zur Berechnung des Abstandes 

von Geoid und Normalsphäroid aus der Schwerestörung 262 

§ 46. Zusammenhang zwischen dem Mittelwert der reziproken Krümmungs- 
radien in einem Punkte und dem Diflerentialquotienten der Schwere 

nach der Höhe 264 

4. Kapitel. Synthetische Untersucliuiigeii über den Einflafs gegebener Massen 
auf die Niveaufläehen in der Mähe der Erdoberfläche. 

§ 1. Deformation der Niveauflächen aufserhalb durch einen kugeligen 
MassenzuwacJiS, oder einen kugeligen Massende ftkt ^ unterliälb des 

Terrains 266 

§ 2. Fortsetzung: Lotablenkung, Krümmungsradius 270 

«5 3. Fortsetzung: Die gestörte Schwerkraft 274 

§ 4. Fortsetzung: Vergleichung der Einwirkung auf r, r/, p u. s. w.. . . 276 
§ 5. Fundamentalformeln für die mittleren Teile langer, horizontaler 

Prismen 277 

§ 6. Fortsetzung 280 

§ 7. Allgemeine Formeln für die mittleren Teile eines langen Gdnrgs- 

rückens in Form eines liegenden, dreiseitigen Prismas 281 

§ 8. Deformationen durch einen gleichsehen keligen Gebirgsrücken . . . 286 

§ 9. Fortsetzung: Störungen der Schwerkraft 290 

§ 10. ' Fortsetzung: Störungen im Parallelismus der Niveauflächen .... 293 

§11. Fortsetzung: Die Lotstörungen auf dem Hange AC 295 

§ 12. Fortsetzung: Die Lotstörungen auf der Grundfläche AB 298 

§ 13. Fortsetzung: Die Krümmungsradien im Niveau der Grundfläche. . 302 

§ 14. Prismatische Thäler 306 

§ 15. Fortsetzung: Steile Böschung 307 


Inhaltsverzeichnis. XIIl 

Seite 

§ 16. Halbkugelförmiger Berg und halbkngelförmige Finge 309 

§ 17. Kleine Insel im Ocean 311 

§ 18. Deformationen durch kreisförmige Kontinente 313 

§ 19. Fortsetzung: Die Deformationen innerhalb 314 

§ 20. Fortsetzung: Die Deformationen in der Nähe des Randes aufserhalb 317 
§ 21. Fortsetzung: Die Brauchbarkeit der Formeln der letzten beiden 

Paragraphen mit Rflcksicht auf die endliche Dicke der Kontinente. 319 

§ 22. Die Lotstörung an der Küste eines cylindrischen Kontinents .... 321 

§ 23. Berücksichtigung der BOschung an der Küste 324 

§ 24. Der Einfiufs der Krümmung der Meeresfl&che auf die Formeln der 

Torhergehenden Entwicklungen 825 

§ 25. Die störende Wirkung der Kontinente in gpröfserem Abstände vom 

Zentrum M 329 

§ 26. Berücksichtigung der Schwerpunktsverschiebung 332 

§ 27. Mittelwert der Erhebungen h^ für einen Kontinent 334 

§ 29. Kleinste Erhebung der gestörten Niveaufläche 335 

§ 29. Zusammenstellung der Formeln für die Störungswirkung eines Kon- 
tinents mit Rücksicht auf Schwerpunktsverschiebung 336 

§ 30. Numerische Auswertung der elliptischen Integrale K und JS, , , , 340 

§ 31. Störungen durch Europa-Asien 343 

§ 32. Fortsetzung 346 

§ 33. Störungen durch Australien 348 

$ 34. Störungen durch Afrika, Nord> und Südamerika. Übersicht der 

Höhenstörungen 351 

§ 35. Zusammenwirkung der Störungen der 5 Kontinente 354 

§ 36. Die Schwerestörangen 357 

§ 37. Fortsetzung: Numerische Werte 359 

§ 38. Disktission der Bestiltate. Die störenden Massen der Erde .... 364 
§ 39. Berechnung des Einflusses der lokalen Massenanordnung auf die 

Lotrichtung 368 

§ 40. Fortsetzung: Die Ausführung der Rechnung 872 

§ 41. Erfolge von Berechnungen der lokalen Lotablenkungen 374 

§ 42. Bestimmung der mittleren Dichtigkeit der Erde aus Lotablenkungeu 379 

§ 43. Ph. V, Jollyi Bestimmung von O^ aus Wägungen 380 

5. Kapitel. Zeitliche Änderangen der Niveanfläehen. 

§ 1. Die Störungen in der Schwerkraft durch Sonne und Mond 383 

§ 2. Bewegung der Erde um ihren Schwerpunkt 386 

§ 3. Beziehung auf ein bewegtes Koordinatenaxensystem 388 

§ 4. DreJibewegung der als fester Körper hetracfUeten Erde um ihren 

Schwerpunkt 390 

§ 5. Drehbewegung mit Yemachlässigung der äufseren Kräfte und für 

A^B 391 

§ 6. Die Polhöhe von Pülkowa nach C. A. F. Peters 394 

§ 7. Dieselbe nach Nyrin 396 

§ 8. Der Einflufs einer Ungleichheit von A und B 400 

§ 9. Fortsetzung: B -- A sehr klein 404 

§ 10. Der Satz von der unveränderlichen Ebene 405 

§ 11. Die Bewegung der Momentanaxe im Räume, ab^^eschen von änfseren 

Kräften 406 

§ 12. Grundgleicfiungen für die Drehbewegung des nicht festen Erdkörpers 408 

§ 13. Fortsetzung: Modifikation der Gleichungen 410 


XIV lohaltsverzeichniB. 

Seite 

§ 14. Bewegung des veränderlichen Erdkörpers abgesehen von äufseren 

Kräften 413 

§ 15. Fortsetzung: Integpraüon und spezielle Fälle 415 

§ 16. Schätzung der Veränderung der Hauptträgheitsmomente 419 

§ 17. Verschwindender Einflufs von Flut und Ebbe auf die Lage der Ro- 

tationsaxe 423 

§ 18. Die Botationsaxe im Erdkörper unter dem Einflufs des Mondes und 

der Sonne 426 

§ 19. Fortsetzung 429 

§ 20. Notiz über Präzession und Nutation 434 

§ 21. Die Formänderung der Niveauflächen durch die Bewegung der 

Momentanaze und die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit. . . 438 

§ 22. Fortsetzung: Veränderliche Rotationsdauer 442 

§ 23. Fortsetzung: Bedeutendere Veränderungen 444 

§ 24. Wahrnehmungen über die Veränderlichkeit des Erdkörpers .... 445 

6. Kapitel. Verwertung astronomischer Angaben fär die Erkenntnis der 

Erdgestalt und des Erdinnern. 

§ 1. Allgemeine Bemerkungen 450 

§ 2. Bestimmung der geozentrischen Koordinaten eines Punktes der Erd- 
oberfläche aus Beobachtungen der Mondparallaxe 451 

§ 3. Fortsetzung: Die praktische Lösung 456 

§ 4. Bestimmung des Aquatoriälhalbmessers des Erdellipsoids aus der 
Mondparallaxe in Verbindung mit der Intensität der Schwere an der 

Erdoberfläche 460 

§ 5. Fortsetzung: Zahlwerte 463 

§ 6. Bestimmung der Differenz MK der Hauptträgheitsmomente der Erde 

sowie der Abplattung der Erde aus der Mondbewegung 466 

§ 7. Fortsetzung: Zahlwerte und Hansens Angaben von 1865 470 

§ 8. Die Trägheitsmomente der Erde und die Zunahme der Dichtigkeit 

nach dem Erdinnern 473 

§ 9. Die mittlere Dichtigkeit der Erdmasse in der Nähe der Erdoberfläche 

und die mittlere Dichtigkeit des Erdkörpers 476 

§ 10. Die Abplattung der inneren Erdschichten gleicher Dichtigkeit . . . 478 

§ 11. Fortsetzung: Entwicklung der Gleichungen 482 

§ 12. Auflösung und Endresultate 485 

§ 13. Die Schwerkraft im Erdinnern 492 

§ 14. Bestimmung der mittleren DicJUigkeit der Erde aus der Kombination 

von Beobachtungen der Schwerkraft auf und unter der Erdoberfläche 493 

§ 15. Fortsetzung: Unebenheiten des Terrains 496 

§ 16. Fortsetzung: Zahlwerte 499 

7. Kapitel. Das geometrische Nivellement. 

§ 1. Die unmittelbaren Resultate geometrischer Nivellements 500 

§ 2. Die strenge Beduktion der Nivellements 502 

§ 3. Bestimmung von Meereshöhen, Der Einflufs <fer normalen Variation 

der Schwerkraft auf die Nivellementsresultate 505 

§ 4. Fortsetzung: Die sphäroidischen Schlufsfehler der Nivellements- 
polygone 509 

§ 5. Die sphäroidische Depressionsdifferenz zwischen Ruck- und Vorblick 511 
§ 6. Der Einflufs der Anomalieen der Sdmerkraft auf die Nivellemcnts- 

resultate; Lotabweichungen 513 


InhaltsverzeicbniB. XV 

Seite 

§ 7. Schwerestorungen im Gebirge 517 

§ 8. Homogener Gebirgsrücken von der Form eines liegenden, dreiseiti- 
gen Prismas 520 

§ 9. Fortsetzung: Der Fehler in der nivellierten Höhe und der Schlufs- 

fehler des Nivellementspolygones ACBA 524 

§ 10. Fortsetzung: Übersicht des Verhaltens m einigen besonderen Fällen 528 

§ 11. Fortsetzi!ng : Gröfster Schlufsfehler 532 

§ 12. Einflufs eines unterirdischen Massendefekts von kugelförmiger Gestalt 534 
§ 13. Fortsetzung: Maximum des Schlufsfehlers ; Fehler der nivellierten 

Höhe 536 

§ 14. Zusammetifassung vorstehender Untersuchungen Über den Einflufs 

der Anofnaiieen der Schwerkraft 538 

§ 15. Die anormale Depressionsdifferenz zwischen Rück- und Vorblick . . 539 

§ 16. Fortsetzung: Die anormale Depressionsdifferenz im Gebirge .... 543 
§ 17. Der Einflufs der durch Mond und Sonne bewirkten Lotstörung auf 

die Nivellementsresultate 546 

§ 18. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen ; die physische Meeresfläche 519 

8. Kapitel. Die trigonometrische HShenmessniig. 

Mit Bemerkungen über die Lateralrefraktion und die Aberration. 

§ 1. Die Bedeutung der trigonometrischen Höhenmessung 550 

§ 2. Die Grundgleichung der sphärischen Uöhenrefraktion 553 

§ 3. Reihenentwicklung 554 

§ 4. Berechnung des Refraktionskoefflcienten k^ 556 

§ 5. Die gesamte Refraktion des Lichtstrahles 559 

} 6. Der Einflufs der Abplattung der Niveauflächen 561 

§ 7. Die regelmBfsige Lateralrefraktion. Notiz über die Aberration , . 564 
$ 8. Einflufs einer Abweichung der Luftschichten gleicher Dichtigkeit 

von der Normalform 566 

§ 9. Fortsetzung: Ausnahmefall 569 

§ 10. Zusammenstellung der Formeln 571 

$ 11. Der Refraktionskoefficient x als Funktion von Lufttemperatur und 

Luftdruck 575 

$ 12, Die Veränderlichkeit von x zeitlich und räumlich 578 

§ 13. Fortsetzung: BauemfeindB Beobachtungsreihe von 1877—80 .... 582 

S 14. BauemfeindB Refraktionstheorie 585 

(15. Fortsetzung: Kritische Bemerkungen 587 

§ 16. Refraktionstheorie von Jordan 590 

S 17. Formel bei gegenseitigen Messungen, wenn x in vier Punkten be- 
kannt ist 592 

§ 18. Übersicht der Methoden mit einer Anmerkung über das astronomische 

Nivellement 595 

§19. Formeln bei Beobachtungen zwischen drei Stationen unter Voraus- 
setzung normaler Form der Luftschichten 599 

§ 20. Skihletibeispiel 601 

(21. Über die Bedeutung trigonometrischer, ohne Rücksicht auf Lot- 
abweichung ermittelter Höhendifferenzen, mit einer Anmerkung über 

die Formel für barometrisches Höhenmessen 607 


Berichtigungen und Zusätze. 


Zu Bd. I. 

S. XV 8. u. 4. Z. y. u. ist X, anstatt 1^ zu lesen. 

S. 5 Anm. Yergl. dazu auch S. 613 und Bd. 2 S. 16 u. ff. 

S. 8 § 6. Vergl. dazu Bd. 2 S. 47 § 27. 

S. 16 0. Vergl. dazu Bd. 2 S. 364 § 38. 

S. 16 u. Über maximale Lotablenkung s. Bd. 2 S. 346. 

S. 17. Über Erümmungsänderungen der Niveanflächen vergl. Bd. 2 Kap. 4 die 
§§ 1 bis 16. 

S. 22 § 5 2. Absatz. Vergl. Bd. 2 Kap. 1 die §§ 22 bis 25. 

S. 80 mufs der Schlnfssatz von § 8 lauten: „falls das gegebene Gegenstück dem- 
jenigen der beiden aüderen gegebenen Stücke gegenüberliegt, welclics den 
grOfseren Sinus hat'*. 

S. 137 ist im Absatz hinter Gleichung (8) die Bemerkung über die Lage der 
grofsen Aze als irrig zu streichen. 

S. 138 ist in der 1. GL von o. überall sin ü anstatt cos U zu setzen. 

S. 158 ist inmitten bei dem Eleingedruckten k anstatt k zu losen. 

S. 314 ist in (7*)%iir< für M^ zu setzen. 

S. 375 (13) soll der Nenner in der 2. Z. lauten: 30340ao^ 

S. 393 u.'soU überall k anstatt k stehen. 

S. 459 fehlt in der 2. Formel (1) rechter Hand der Faktor sec r{. 

S. 463 (2) lies in der 1. Z. (B, - F)« anstatt (^)« und in der 2. Z. 
[1,4873099.71]: W„^\ 

S. 570 Fig. 45 ist das Wort Harzburg bei Fallgtein zu streichen und vor 
Ilsenbwrg anzubringen. 

S. 595 lies in der 2. Z. vor (*2] m + 1 anstatt m. 


Zu Bd. II. 

S. 87 Anm. u. 1. Z. {London) soll hinter Lq stehen. 

S. 94 2. Z. V. u. lies dg : dh anstatt dg, 

S. 173 4. Z. V. u. lies § 32 anstatt § 34. 

S. 225 Fig. 31 lies cot v anstatt cot v. 


Erstes Kapitel. 

Allgemeine Eigenscliaften der Niveanfläclieii. 

§ 1. Das Prinzip von d'Alembert. Wir beziehen die Erde 
auf ein System rechtwinkeliger Koordinaten x, y und z. Im Punkte 
{xyz) befinde sich das Massenelement dm^ auf dessen Masseneinheit 
die Kräfte X^ Y und Z bezw. in Richtung der positiven Axen der 
Xy y und z wirken. Alsdann ist für das Element dm die bewegende 
Kraft parallel zu den genannten Axen bezw. gleich 

« 

Xdm, Vdm, Zdm. (1) 

Nun ist aber die Beschleunigung des Punktes {xyz) parallel zu den 
drei Koordinatenaxen bezw. gleich 

d^x^ d^y^ d*z 
dt^ ^ dt* ' dt* ' 

wobei dt das DiiFerential der Zeit bezeichnet; es sind daher die Kom- 
ponenten der bei der Bewegung des im Punkte (xyz) lagernden 
Massenelements dm wirklich zur Geltung gelangenden bewegenden 
Kraft bezw. gleich 

■S~^^' ^fj^^' 1?'^^- (2) 

Die nicht zur Geltung gelangenden Differenzen der einander entspre- 
chenden Ausdrücke (1) und (2), nämlich die Ausdrücke 




dm 


werden die verlornen Kräfte genannt, wobei die Bezeichnung im 
algebraischen Sinne aufzufassen ist, da sie auch negativ sein können. 
Diese verlornen Kräfte müssen nach dem Prinzip von d'Alembert für 
den Komplex aller Massenelemente der Erde zusammengenommen im 
Gleichgewicht stehen und zwar gelangt man in Verbindung mit dem 
Prinzip der virtuellen Verrückungen zu der folgenden analytischen 
Formulierung des (fAiembertschen Prinzips: 

Hrlmertf mathem. n, physikal. Theorioon der höh. Gcodfisic. II. 1 


2 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

Es erfolgt die Bewegung dergestalt, da(s iu jedem Zeitmoment 
die Gleichung 


+ (.- 


-= 0, (3) 


in welcher die Summierung über alle Massenelemente erstreckt wer- 
den mufs, erfüllt ist. Sx^ Sy und dz bezeichnen hierbei die Axen- 
projektionen unendlich kleiner, sogenannter virtueller Verrückungen ös 
der Angrifispunkte (a;^z) der Kräfte, die nur den geometrisch-physi- 
kalischen Bedingungen für die gegenseitige Lage der Teile der Erde 
entsprechen müssen, die aber sonst willkürlich sind und daher mit 
den wirklichen Bewegungen im allgemeinen nicht zusammeufallen. 

Betrachten wir insbesondere die Erde als einen starren Körper, 
so haben die ös nur den Bedingungen für die unveränderte gegen- 
seitige Entfernung der Punkte zu genügen ; insoweit dies der Fall ist, 
erfolgt die Bewegung in der Art, dafs Gleichung (3) für jedes System 
der virtuellen Verschiebungen ds erfüllt wird. 

Im Sinne der Mechanik sagt die Gleichung (3) : Die mechanische 
Arbeit der verlornen Kräfte für die ganze Erde zusammengenommen 
ist in jedem Augenblicke für jedes System virtueller Verschiebungen 
der Angriffspunkte gleich null. 

Wir wenden die Gleichung (3) dazu an, um die Bewegung der 
Teile der Erde zu zerfallen in eine allen Teilen gemeinsame und mit 
derjenigen des Erdschwerpunktes übereinstimmende, sowie in eine 
relative um diesen Punkt. 

§ 2. Beweguiig des Erdschwerpunkts. Wie auch die Kon- 
stitution der Erde sei: zu den möglichen virtuellen Verschiebungen 
gehört jedenfalls auch eine solche der ganzen Erde um einen für alle 
Punkte gemeinsamen Betrag dx parallel zur a;-Axe. Dabei sind die 
öy und öz gleich null, sodafs in der obigen Gleichung (3) die 2. 
und 3. Glieder verschwinden. Aufserdem kann man den gemeinsamen 
Faktor öx wegdividieren und erhält: 

£ ^^^ d m'j ^ £ (Ädm). (1) 

Eine virtuelle Verschiebung parallel zur y-Axe führt zu der Gleichung: 

^{^^dfnj = 2(rdm), (2) 

eine solche parallel zur z-Axe zu 

^(^dnij^IliZdm). (3) 


§ 2. Bewegung des Erdschverpunkta. 3 

Bestimmt man nun einen mittleren Punkt (S^g) der Erde nach 
den Gleichungen 

iEdm=r^ 2:{xdm) 

ri2:dm = Siydm) (4) 

IZdm^Elzdm), 

wobei ^ das x^ ri das y^ g das z des Punktes bezeichnet, so heifst 
dieser Punkt der Schwerpunkt der Erde. Zweimalige Differentiation 
der (4) giebt: 

^•1 ^A v/^'^a: 


dt^ 


Zdm^z(^%dm) 


5'? Edm^ y^(^"y 
dt' 




*f VW«. v/ <**« 


Bezeichnen wir 2 dm mit ^, als Masse der Erde, so folgt aus 
(5) und (1) bis (3): 

^-^J =Z{Ädm) 

M ^^l = SiYdm) (6) 

Diese Gleichungen bestimmen die Bewegung des Schwerpunktes. 
Er bewegt sich darnach so, als ob alle Kräfte — parallel nach ihm 
verschoben — direkt auf ihn wirkten und alle Masse in ihm lagerte. 

Hierbei brauchen übrigens nur die äufseren Kräfte, also die An- 
ziehungen der Himmelskörper, berücksichtigt zu werden, da die innern 
Kräfte d. h. diejenigen bewegenden Kräfte, welche innerhalb der Erde 
durch gegenseitige Einwirkung der Massenelemente entstehen, wie 
alle gegenseitigen Wirkungen paarweise entgegeugesetzt gleich sind, 
mithin sich in den Summen auf der rechten Seite der Gleichungen (6) 
aufheben. 

Sehen wir nun von den Bewegungen der Massenelemente relativ 
zum Erdschwerpunkt ab, so haben sie alle dieselbe Bewegung wie 
dieser d. h. sie bewegen sich in jedem Augenblicke parallel. Irgend 
eine Meridianebene hat daher bei dieser Voraussetzung stets parallele 
Lagen inne und erleidet in sich keinerlei Drehung. 

Es ist nicht immer richtig aufgefafst worden, dafs nun umge- 
kehrt jegliche Drehung der Erde im Sinne der Dynamik bereits zu 
den relativen Bewegungen der Teile der Erde um ihren Schwerpunkt 
gehört. Man darf also nicht ausser der Bewegung des Schwerpunkts 
und der entsprechenden Parallelverschiebung der Erde nach den 


4 1. Kapitel. Allgemeine EigeDBcbaften der Niveauflächen. 

Gleichungen (6) sowie aufser der Drehung der Erde um ihren Schwer- 
punkt noch eine Drehung um einen andern Punkt annehmen. 

Man darf also auch nicht die Drehbewegung der Erde um den Schwer- 
punkt des Systems £rde>Mond noch besonders in betracht ziehen wollen. 
Allerdings läfst sich die Bewegung der Erde so zerlegen, dafs die letzt- 
genannte Bewegung als Komponente auftritt, aber dieses erzeugt eine 
ganz unnötige Komplikation: die Zerlegung nach § 2 ist die einfachste 
und daher allein übliche. 

§ 3. Relative Bewegung gegen den Erdschwerpunkt. Pa- 
rallel zu den in § 1 angenommenen festen Koordinatenaxen der x, y 
und z legen wir jetzt durch den Erdschwerpunkt Axen der x, y und z\ 

Dann ist 

x = x •\'l 

y = y -Vn (i) 

Hiermit geht die Gleichung (3) § 1 S. 2 über in die Gestalt 


i:\ 




= 0» (^) 


welche Gleichung sich aber wesentlich vereinfacht. Zunächst fallen 
die Produkte mit ^S, di; und ^% weg; weil diese Faktoren konstant 
sind; sich mithin die ersten Faktoren der bezüglichen Produkte addie- 
ren und zufolge der Gleichungen (1), (2) und (3) des § 2 gegenseitig 
aufheben. 

Um eine weitere Vereinfachung zu erkennen, setzen wir die Re- 
lationen (1) in die (4) des vorigen Paragraphen und erhalten sofort 

i:{ydm)^0 (3) 

2J{z'dm) = 0. 

Hieraus folgt weiter 

U(dm, öx') = 

2]{dm . öy) = (4) 

2J{dm .öz) = 0. 

In dem ersten Teile von (2) verschwinden daher die von i, rj und t 
abhängenden Glieder^ weil sie sich in die nachstehende Form bringen 
lassen : 

g- Sidm . dx) + ^2{dm . dy') + .^l £{dm . 8z'). 
Zugleich erkennt man ; dais von allen Werten Ä^ ¥ und Z beziehungs- 


§ 4. Die Zentrifagalkraft. 5 

weise konstante Teile abgezogen werden dürfen. Wir schreiben daher 
anstatt (2): 


£l 


= 


\+{^^'--äf)^'"-^^' 


(5) 


und verstehen nun unter Ä\ Y' und Z' die Kräfte, welche auf die 
Masseneinheit eines Elementes wirken , dessen rechtwinkelige Koordi- 
naten in Bezug auf den Erdschwerpunkt Xy y und z sind — nach 
Abzug der entsprechenden Kräft^^ welche die Bewegung dieses Punktes 
erzeugen; vergl. S. 3 (6). 

Von den Gleichungen (5) kann man ausgehen ^ um die zum Erd- 
schwerpunkt relative Bewegung der Erde zu untersuchen. Dieses weiter 
zu verfolgen, ist zunächst nicht unsere Aufgabe; wir halten uns viel- 
mehr vorerst an die durch die Erfahrung sicher konstatierten That- 
sachen und behalten uns für das fünfte Kapitel § 2 u. ff. Erörte- 
rungen über die Bewegung der Erde um ihren Schwerpunkt ^ sowie 
über die Erfahrungen in dieser Hinsicht vor. 

§ 4. Die Zentrifugalkraft. Zufolge der Erfahrung kann man 
mit aufserordentlich grofser Annäherung annehmen , dafs die Erde 
mit gleichförmiger Geschwindigkeit um eine in ihr feste Axe durch 
den Erdschwerpunkt von unveränderter Richtung rotiert Diese Dreh- 
axe nennt man die Erdaxe (Bd. 1, S. 7). 

Wir nehmen sie als z'-Axe, 
sodafs die xV-Ebene Äquator- 
ebene*) wird, und berechnen die 
zweiten Differentialquotienten 
der Koordinaten eines Punktes 
{x y z^ nach der Zeit nach 
Mafsgabe der Rotation. Die 
fVinkelgeschmndigkeit der letzte- 
ren sei gleich ci. 

Zunächst gehen wir zu 
Polarkoordinaten übelr, Fig. 1. 
r sei der Radiusvektor des 
Punktes {xyz), X der Winkel 
zwischen der a;V-£bene und 
einer Ebene durch die z'-Axe und den Radiusvektor, wachsend nach 

*) Nach S. 7 des l. Baudea ist die Aequatorcbene die zur £rdaxe normalo 
Ebene durch den Erdschwerpunkt. Dieser Definition steht allerdings entgegen, 
dars die Äquatorebene nach Bd. 1 S. 8 keineswegs die Ebene des geographischen 
Äquators ist, indessen gestattet sie den sonst brauchbaren Begriff beizubehalten. 


Flg. 1. 



6 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

der yz 'Ebene zu, 9' der Winkel, unter welchem r gegen die 

a;y-Ebene geneigt ist, wachsend nach der positiven Seite der /-Axe 

hin. Dann ist 

x' = r cos 9' cos A' 

y = r cos tp sin V (1) 

z «= r' sin tp . 

Hieraus folgt, da bei der Rotation r cos 9 und r sin q/ konstant 
bleiben, dX \ dt aber gleich o ist: 

-^r- = — r cos 9 sm A . o = — y o 
-^ = -f. r cos g)' cos A' . o = -|- x'cd 

de ^^> 

womit sich weiter findet: 

--^^ = y'«.» (2) 


dt» 

Diese drei Beschleunigungen xa'^, yo^ und null lassen sich als 
Komponenten einer auf die Masseneinheit wirkenden Kraft auffassen, 
welche Zentrifugalkraft genannt wird, weil unter ihrem Einflufs der 
Punkt {xyz) sich von der Axe entfernen würde. 

§ 5. Die Schwerkraft. Nach Gleichung (5) § 3 S. 5 gehen 
bei der relativen Bewegung eines im Punkte {xyz) befindlichen Massen- 
teilchens für die Masseneinheit die bewegenden Kräfte 

y, d^x y., d*y ^ dV • /i\ 

^ ~ "dt^ ' ^ "" ~dt^ ' ^ ~" ~dt^ ^^) 

verloren, welche bei der Voraussetzung gleichförmiger Flotation nach 
den Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen übergehen in: 

T+x(o^, r + y'o% Z\ (2). 

Diese Kräfte veranlassen einen Druck des Teilchens gegen seine Um- 
gebung. Insoweit Ä\ Y' und Z' von der Gravitation, der Anziehung 
der Massen auf das Teilchen, herrühren, nennt man die Resultante 
der Kräfte (1) oder (2) die Schwerkraft y welche wir mit g bezeichnen. 
Die Ausdrücke (1) würden in dem jetzt nicht weiter zu betrach- 
tenden Falle zur Geltung kommen, dafs die Rotationsbewegung von 
der oben vorausgesetzten etwas abweicht (vergl. 5. Kap. § 21), doch 
wird von dem Eiufiufs einer etwa vorhandenen relativen Bewegung 
des Punktes {xyz') gegen die Erde im ganzen auf die 2. Difierential- 
quotienten der Koordinaten nach der Zeit bei der Definition der 
Schwerkraft jedenfalls abgesehen. 


§ 6. Die Schwerkraft 


Entsprechend der für die Ausdrücke (2) vorausgesetzten gleich- 
förmigen Rotation um eine konstant gerichtete Schweraxe betrachten 
wir die Erde als einen Körper, dessen Teile in relativer Buhe zu 
einander sich befinden. 

Auch sehen wir bei Bildung der Ausdrücke (2) von denjenigen 
Bestandteilen in Xy V und Z' ab, welche von der Anziehung der 
Himmelskörper herrühren und deshalb im allgemeinen veränderlich 
sind. (Vergl. hierzu 5. Kap. § 1.) 

um nun Ausdrücke für Ä\ Y' und Z\ welche der Anziehung 
der Erdmasse entsprechen, zu gewinnen, bezeichnen wir die recht- 
winkeligen Koordinaten eines Punktes der Erde im allgemeinen in 
Bezug auf die drei durch den Erdschwerpunkt gelegten Axen (§ 4 
S. 5) mit X, y und z ohne oberen Strich; für die Koordinaten des 
Punktes, wo das von der Erde angezogene Massenteilchen lagert, 
behalten wir dagegen denselben bei. 

Wir nehmen ferner an, dafs infolge der Gravitation die Masse 1 
einer anderen in der Ent- 
fernung 1 befindlichen 
Masse 1 die Beschleu- 
nigung k^ erteile und 
bezeichnen die Entfer- 
nung des anziehenden 
Massenelements dm im 
Punkte {xyz)=^ P von 
dem Punkte {xyz) = P 
mit e^ Fig. 2. 

Dann ist die Be- 
schleunigung eines im 
letzteren Punkte befind- ^ 

liehen Massenteilchens infolge der Anziehung des Elements dm m P 
gleich 

(3) 


Flg. 2. 





Die Komponenten dieser Beschleunigung für die drei Koordinaten- 
axen sind nach Grösse und Richtung 


k^dm x—x . 


in Richtung der pos. a:-Axe 


k^dm y — y 


k^dm z — / 
c* e 


V 


97 


tf 


}) 


„ „ y-Axe 
„ z-Axe; 


(4) 


V 


denn projiziert man die Distanz e auf die drei Axen, so ergeben sich 
die Differenzen x — x\ y — y\ z — z\ deren Quotienten mit e den 
Cosinus der Neigungswinkel von e gegen die drei Axen, d. h. den 


g 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

RichtuDgscosinus von ß, in der Art entsprechen, dafs das Vorzeichen 
der Quotienten zugleich die Richtung vom angezogenen nach dem 
anziehenden Teilchen markiert, wie die Konstruktion von e aus x — x^ 
y — y'j z — z zeigt. 

Bilden wir nun für jede der Komponenten (4) die Summe für 
alle Teile der Erde, so ergeben sich die Gesamtbeschleunigungen 
parallel zu den drei Axen d. h. die bewegenden Kräfte X^V und Z für 
die im Punkte {xy z') befindliche Masseneinheit. Die Summierung 
bewirken wir nach der Methode der Integralrechnung, indem wir uns 
in bekannter Weise entsprechend dem gewählten Koordinatensystem 
die Erde in Elemente zerlegt denken. Bezeichnen wir die Kompo- 
nenten der Schwerkraft in Richtung der drei Koordinatenazen mit 
ffx , Qy und Qt , so erhalten wir mit Rücksicht auf (2) die Ausdrücke 

wie folgt: 

— X dm . , ., 


c c' 


9, = W - 

^k-^p-J^-^y'^-^ (5) 


Oy 

z — z dm 


y^ 


-'/ 


C t'* 


wobei die Integration über die ganze Erde auszudehnen ist. 

Mit der Aufstellung der Ausdrücke (5) verschwindet auch eine 
Uugenauigkeit der Ausdrucksweise, die wir uns bisher der Kürze 
halber erlaubt haben. Nämlich diese: von einem Massenteilchen zu 
sprechen, das in einem Punkte lagert. Zwar sind vorstehende Integral- 
ausdrücke so angesetzt, als ob das unendlichkleine Element dm im 
Punkte (a;yz) sich befände, während es ihm nur angrenzt; aber be- 
kanntlich giebt dies im Integral werte keinen Fehler, wenn es sich 
durch geeignete Transformation vermeiden läfst, dafs der Ausdruck 
unter dem Integralzeichen innerhalb der Integrationsgrenzen unendlich 
grofs wird. 

Manche Autoren bezeichnen mit Schwerkraft nur den von der An- 
ziehung herrührenden Teil von </. Dieselben nennen g die scheitihare 
Schwerkraft. Clairaut unterachcidet pesanteur und gravite^ also Gewicht 
und Schwere, ersteres das Resultat der Zusammenwirkung von Schwerkraft 
und Zentrifugalkraft. 

§ 6. Das Potential JF der Schwerkraft g. Die vorstehenden 
drei Ausdrücke für die Komponenten der Schwerkraft lassen sich als 
partielle Diiferentialquotienten einer einzigen Funktion fF darstellen, 
welche durch die Gleichung 

ir = k^J'^ + i- {x'^ + y'^) ü-fl (1 ) 

definiert ist und das Potential der Schwerkraft im Punkte {xyz") 
heifst. 


§ 7. Die Gleichung der Niveaufläche o. 9 

Um dieses nachzuweisen, differenzieren wir den Ausdruck 
1 = ((x - x'y + (y - y-f +{z- zj)-^ 
partiell nach x und erhalten sofort 

V e / X — X 

~ dx' cä 

und 

dx e c» * 

Hiermit folgt aber ohne Schwierigkeit^ dafs wirklich der partielle 
Differentialquotient von fV nach x gleich ^^ ist; in gleicher Weise 
erledigen sich g^ und g^. Wir haben also: 

dW 


üx 


dx 


dW 

Um für eine Axe der u, welche mit den Axen der x', y und z 
bezw. die Winkel a^ ß und y bildet, die rechtwinkelige Komponente 
gu von g zu erhalten, bilden wir zunächst durch einfache Projektion: 

ffu = Qx cos a + ^y cos /3 + 0% cos y, (3) 

Dieser Ausdruck für g^ läfst sich aber auf eine andere Form 
bringen. Denken wir uns nämlich in das Potential W anstatt x^ y 
und z drei andere Koordinaten irgend welcher Art eingeführt, die so 
beschaffen sind, dafs eine partielle Änderung du den Punkt {xyz) 
linear um d u' in der durch a, /3, y bezeichneten Kichtung verschiebt, 
so hat man für eine solche Verschiebung du die drei in die Richtung 
der früher benutzten Axen fallenden Komponenten 

ddi = dxi cos a 

d%J = du cos ß 

dz' = du cos y . 

Führt mau die hieraus folgenden Ausdrücke für die Cosinus der drei 

Winkel, sowie aus (2) die Ausdrücke für die Komponenten von g in 

(3) ein, so folgt: 

dW dx , dW dy^ . dW dz 
^•*"' dx du '^'dV du"^ "dz du 


oder 

^ du' 




§ 7. Die Gleichung der Nireanfläclieu. Nach Bd. 1 S. 5 sind 
die Niveauflächen dadurch definiert, dafs sie in jedem ihrer Punkte 


10 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

normal zu der daselbst vorhandenen Schwerkraft stehen. Nun ist die 
bei rechtwinkeliger Zerlegung von g normal zu dessen Richtung sich 
ergebende Komponente jedenfalls null. Verstehen wir also in der 
Gleichung (4) des vorigen Paragraphen unter du jetzt ein vom Punkte 
{x %f z) beschriebenes Linienelement einer Niveauflache^ so ist gu 
gleich null. Man hat daher für eine Niveaufläche 

Hieraus folgt sofort, dafs für alle Punkte einer Niveaufläche 
das Potential IV der Schwerkraft g eine Konstante ist. Die Gleichung 
einer Niveaufläche lautet daher allgemein 

W = Konstante. (2) 

§ 8. Abstand benachbarter NiTeaaflächen. Der normale Ab- 
stand zweier unendlich nahe an einanderliegenden Niveauflächen fällt 
in die Richtung der Schwerkraft g. Verstehen wir nun in Gleichung 
(4) § 6 unter d u ein vom Punkte (a;', y, z) normal zu einer Niveau- 
fläche beschriebenes Linienelement dh und rechnen dh negativ oder 
positiv, je nachdem W zu- oder abnimmt, so dafs dh nach dem ge- 
wöhnlichen Sprachgebrauche eine Höhenänderung vorstellt, so wird, 
da die ganze Schwerkraft g in die Richtung von dh fallt, 

Hieraus folgt mit Rücksicht auf den vorigen Paragraphen, dafs 
der totale Unterschied der Potentialwerte der Schwerkraft für unendlich 
benachbarte Niveauflächen gleich ist dem Produkt aus der Schwerkraft^ 
in den normalen Abstand der Niveauflächen: 

dW:=---gdh. (2) 

Dieses Produkt gdh ist also für dieselben beiden, einander un- 
endlich benachbarten Niveauflächen konstant. 

Man erkennt zugleich, dafs Niveauflächen im allgemeinen keine 
Parallelflächen sind^ denn g wird im allgemeinen entlang einer Ni- 
veaufläche nicht konstant sein. 

So ist thatsächlich auf der Erde für das Meeresniveau die Schwer- 
kraft etwas veränderlich und zwar hauptsächlich mit der geogra- 
phischen Breite. Die hieraus entspringende Folgerung für das gegen- 
seitige Verhalten der Niveauflächen in der Nähe der physischen Erd- 
oberfläche werden wir im Detail im 2. Kap. § 18 ziehen. 

In seinem Werke „Figore de la Terre" fahrt 1743 Glairavi S. 40 § 19 
u. ff. die Ausdrücke Niveaufläche (sorface coorbe de Niveau), Niveaukurve 
(conrbe de Niveau) und Niveauschicht (couche de Niveau) ein. Er zeigt 
S. 41, dafs der Abstand zweier Niveauflächen, welche eine unendlich dünne 
Niveauschicht begrenzen, überall umgekehrt proportional der Schwerkraft 
isfc. Als Gleichung einer Niveanfläche findet er S. 101 § 52: 

fiX'dx -f r dy + Z'dz') + 4 (x' « + y«) »« = K(mst., (3) 


§ 9. Das Potential ist einwertig. 1 ] 

worin X\ Y' und Z' die Komponenten der Anziehungskraft im Punkte 

(x y g) der Niveaufläche bezeichnen. Bei FlüBsigkeiten kann Gleichge- 
wicht nur bestehen, wie er ferner* S. 99 § 48 ntush weist, wenn X'dx -{- 
Y*dy -\- Z'ds' ein vollständiges Differential ist, also die ebenfalls von 
ihm aufgefundenen Bedingungen 

dx er dx . dz: ar dz: 


dy dx • a/ dx ' dz '"W 

erfüllt werden. 


(4) 


§ 9. Das Potential fF hat in jedem Punkte P' des Baumes 
nur einen einzigen Wert. Die hohe Bedeutung, welche nach den 
letzten beiden Paragraphen der Funktion W zukommt; macht deren 
eingehende Untersuchung erforderlich. Wir setzen nach Gleichung (1) 
§ 6 S. 8 für das Potential der Schwerkraft im Punkte (x y z) = P 
die Gleichung an: 

W ^ V + \ {^^-^ ^ y-^) m\ (1) 


wobei 


/ 


dm 
e 


(2) 


das Potential der Anziehung allein bedeutet. Wir untersuchen zu- 
erst F. 

Es handelt sich aber für uns hauptsächlich um Punkte in der 
Nähe der physischen Erdoberfläche, also um Punkte, welche bei Be- 
rücksichtigung des Luftmeeres jedenfalls noch im Innern der Erde 
liegen. Für die dem Punkte P* benachbarten Massenelemente dm ist 
aber e gleich null, 1 : e also unendlich und es scheint daher der mathe- 
matische Ausdruck (2) für V gerade in dem für uns wichtigsten Falle 
unbrauchbar zu werden. Mindestens läfst er nicht sofort erkennen, 
dafs das Potential der unendlich benachbarten Massenelemente nicht 
unendlich grofs, sondern gleich null ist. 

Nehmen wir aber P' als Mittelpunkt eines Systems konzentrischer 
Kugelflächen im Abstand de^ sowie als Spitze eines Kegels, der auf 
der Kugel vom Radius 1 das Flächenelement da ausschneidet, so bildet 
sich zwischen diesem Kegel und den Kugelflächen mit den iladien e 
und e -^ de ein Kaumelement vom Inhalt 

e^ da , de 

Wir haben daher, falls @ die Dichtigkeit daselbst bezeichnet: 

dm = @ e^ de da . (3) 

Hiermit wird für V erhalten: 

V^k^ffQededa, (4) 

ein Ausdruck, bei welchem alle Bedenken schwinden, da &e überall 
endlich ist. Insbesondere wird der Beitrag v der näheren Um- 


12 1* Kapiiel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

gebang von P* zu V um so kleineri je mehr wir sie beschränken. 
Ist innerhalb einer zu P* konzentrischen Kugel vom Radius s der 
Maximalwert der Dichtigkeit gleich Snua^ so ist für diese Kugel 

v^k^ ®maxJJ eäe da , 

die Integration für e von null bis Sy für über die ganze Kugel- 
fläche vom Radius 1 erstreckt. £s wird also 

v<2nk'^@^azs^. (5) 

Hiernach nimmt in der That v mit s ab und verschwindet mit 
ihm, wie es sein mufs. 

Der Ausdruck (4) zeigt nun auch^ dafs V stets einen bestimmten^ 
positiven Wert hat. Integriert man zunächst nach 0, so handelt es 
sich um Bildung von 

f ® da oder {J & e^ da : Ce^ da \ -J da. 

Dies ist aber, wenn P' iunerhalb der Erde liegt; gleich der mitt- 
leren Dichte Se im Abstand e mal der Kugelfläche vom Radius 1^ 
also gleich 

An ©e- 
Man hat daher 

r = Aitk'^fe.e de. (6) 

Deukt man sich hier e als AbscissC; B^ c als Ordinate, so erscheint 
V als das A nk^ -fache einer endlichen, ganz bestimmten, positiven 
Fläche. 

• Für Lagen von P' innerhalb der Erde hat aber nicht nur F, 
sondern, wie ein Blick auf (1) zeigt, auch W stets einen bestimmten 
endlichen positiven Wert. Es gilt dies überhaupt für jede Lage von 
P' in endlicher Entfernung vom Erdschwerpunkt. Bei der Bildung 
von ®e ^u (6) ist nur zu beachten, dafs die den Punkt P* im Ab- 
stand e umgebende Kugelfläche aufserhalb der Erde die Dichtigkeit 
null antrifft. 

Da nun W in jedem Punkte nur einen einzigen Wert hat, so 
kann durch einen Punkt auch nur eine einzige Niveaufläche hindurch- 
führen. Man kann dies auch in folgender Weise ausdrücken: 

Verschiedene Niveauflächen schneiden oder berühren sich nicht. 

Für Funkte F\ welche aufserhalb der Erde sich befinden und also 
nicht mit ihr rotieren, hat nur V reelle Bedeutung. Huckt P' in un- 
endliche Entfernung, so wird nach (2) V gleich null, nämlich kleiner als 
k* mal der Erdmasse, dividiert durch den Abstand des dem Punkte P' 
nächstgelegenen Elements der Erde, welcher aber auch unendlich grofs ist. 

§ 10. Die Schwerkraft g hat in jedem Pankte einen be- 
stimmten endliehen Wert and eine bestimmte Bichtnng^ aas- 
genommen (ttr g = nalL Behufs weiterer Untersuchung yon IV be- 
trachten wir seine Dififereutialquotienten, d. h. die Komponenten der 


§ 10. Die Schwerkraft ist einwertig. 13 

Schwerkraft. Fassen wir beispielsweise gm ins Auge, so ist nach (5) 
§ 5 S. 8 mit Rucksicht auf (2). § 6 S. 9 und (1) § 9 S. 11 im Punkte 
{x y z) — P 

mit 

dV _ ,, rx-x dm 

dx 


A»/-*7^V- (2) 


Wie im vorigen Paragraphen nehmen wir P' als Mittelpunkt 
kons&entrischer Kugeln und setzen nach (3) daselbst 

dm ^== & e^ de da . 
Dann folgt 

Beachtet man nun^ dafs {x — x^xe der Cosinus des Neigungswinkels 
von 6 gegen die a;-Axe ist, dafs also die Ungleichheit besteht: 

- l<fLniL<+ 1 

so erkennt man, dafs in (3) unter dem Integralzeichen nichts un- 
endlich wird. Ahnlich wie für V im vorigen Paragraphen kann man 
sich jetzt mit Bücksicht auf die endlichen Grenzen der Integration 
überzeugen, dafs das Integral in (3) einen bestimmten endlichen Wert 
haben mufs, der jedoch wegen {x — a;') \e positiv oder negativ sein 
kann. 

Für die unendlich nahe Umgebung von P' ist, wie es sein mufs, 
der Beitrag zu d F : dx unendlich klein. Setzt man nämlich in (3) 
für {x — x')ie den zu grofsen Wert + ^ ^^^ ^^^ ® ^^n Maxi- 
malwert S„uuB der Umgebung bis zum Abstände £, so ergiebt sich der 
zu grolse absolute Wert des betreffenden Beitrages gleich A:7tk^ S^ax • £) 
welcher Ausdruck mit a unendlich klein wird. 

O TT 

Ebenso wie -^-r- verhält sich nach (1) g^ selbst. Das gleiche 

()X 

Verhalten zeigen aber auch gy und g» : Alle Komponenten von g 
haben bestimmte endliche Werte, die positiv oder negativ oder auch 
null sein können. 

Die Cosinus der Neigungswinkel von g zu den Axen sind gleich 

-£^ , A , ^' (4) 

9 9 9 
wobei 

ff- + Vo.-" + gy' + Qz'' (5) 

ist; sie haben daher bestimmte, zwischen — 1 und + 1 gelegene 
Werte und die Schwerkraft hat eine unzweideutig bestimmte Richtung, 
solange nur g von null verschieden ist. 


14 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

§ 11. ^ ist eine stetige Function des Ortes. Nach den 
letzten beiden Paragraphen hat V in jedem Punkte nur einen Wert 
und die Differentialquotienten von V sind endlich. Verschiebt sich 
der Punkt (x yf ^') =- P\ so ist V in der Endlage [pi + ^^y V + ^y'j 
z + dz^ gleich 

mithin von dem Werte V in P' nur unendlich wenig .verschieden. 

Hieraus folgt, dafs V eine stetig veränderliche Funktion ist. Das- 
selbe gilt für W, wie ein Blick auf (1) § 9 S. 11 zeigt. 

§ 12. Die Scliwerl^raft ändert sicli nacli Grösse und Bicli- 
tnng stetig. Wir nehmen zunächst an, dafs P* aufserhalb der Erde 
sich befinde, mithin fdr alle Massenelemente e > null ist. 

Ist aber e > null, so ist leicht zu sehen, dafs überhaupt alle 
Differentialquotienten von V beliebig hoher Ordnung endliche Werte 
haben. Mit Bücksicht auf die Bedeutung von V nach (2) § 9 S. 11 
kommt die wiederholte Differentiation von V hinaus auf diejenige von 

Differenziert man hier wiederholt nach x\ y und z ^ so entstehen 
Aggregate von Quotienten aus Vielfachen von {x — x\ {y — y) und 
(z — z) sowie ihrer hohem Potenzen im Zähler, mit e und seinen 
hohem Potenzen im Nenner. Wegen e > null sind dies durchaus 
bestimmte endliche Werte, die sich mit dem Ort stetig ändem, und 
es geben daher auch die zur Bildung der successiven Differential- 
quotienten von V erforderlichen Integrationen bestimmte endliche 
Werte. 

So lange wir also den Punkt P' als einen aufserhalb der Erd- 
masse gelegenen Punkt betrachten können, haben alle Differential- 
quotienten von F und damit nach (1) § 9 S.ll auch diejenigen von 
fV bestimmte endliche Werte. Hiermit läfst sich aber wie im vorigen 
Paragraphen für jeden Differentialquotienten von PF die Stetigkeit 
nachweisen, welches Ergebnis uns zunächst bezüglich der ersten Diffe- 
rentialquotienten interessiert. 

Ist jedoch P' ein innerer Punkt, so gilt Vorstehendes erst nach 
Ausschlufs der diesen Punkt umgebenden Masse. Wir fixieren die 
auszuschliefsende Masse dadurch näher, dafs wir um P' eine ge- 
schlossene Fläche ziehen, welche sie begrenzt.*) Für diese Masse 
sei V mit v bezeichnet. Nach (3) § 10 S. 13 ist nun 


*) Der Nachweis der Stetigkeit für einen innem Punkt ist im wesent- 
lichen nach S. 11— 12 von „P. G. L^eune-DiricMet, Vorlesungen über die im um- 
gekehrten Verhiiltnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte. Heraus- 
gegeben von Dr. F. Grube, Leipzig, Teubner 1876 (4 M).** 


§ 13. Der Lauf der Niveauflächen für g > null. 15 


B-'^sr-^^'^"'' 


wobei sich die Integration über die betreffende Masse auszudehnen 
hat. Setzen wir hierin für (x — x') : e die Einheit und für ® den 
vorkommenden Maximalwert, so folgt der absolute Wert von 


^"^ < A^ en^CdeCdö 


doli 


Das Integral für da ist gleich 4;r, dasjenige von de ist < £, wenn 
£ der grolste Abstand der umschliefsenden Grenzfläche von P* ist. 
Wir haben also den absoluten Wert von 

Verschiebt sich nun P^ innerhalb des abgegrenzten Baumes un- 

endlich wenig, so kann sich ^ -, keinesfalls um mehr als das Doppelte 

von ^nk^ ^max ' £ ändern; im Gegenteil wird die Änderung immer 
kleiner sein. Da wir aber die den Punkt P' umschliefsende Fläche 
beliebig nahe an ihn legen können; ohne dafs an den vorstehenden 
Betrachtungen sich etwas ändert; so können wir uns s beliebig klein 

denken und wir erkennen somit, dafs ■^—, und seine Änderung bei un- 

%j sc 

endlich kleiner Verschiebung von P' keinen angebbaren endlichen 
Betrag besitzen. 

Dieses zeigt; dafs bei beliebiger Lage von P' die ersten Differential- 
quotienten von V und fF nach x\ fffid ebenso diejenigen nach y' und 
z\ für unendlich kleine Verschiebungen von P' sich nur unendlich 
wenig ändern ; dafs also ff^ , g^ und g, stetige Funktionen des 
Ortes sind. 

Man erkennt hieraus weiter, dafs dieselbe Eigenschaft für die 
Schwerkraft g selbst nach Gröfse und Richtung vorhanden ist; denn 
ff läfst sich darstellen als Diagonale eines rechtwinkeligen Parallele- 
pipeds mit den Seiten g^ ; g^ und g, , deren stetige Änderungen 
auch g nach Gröfse und Richtung stetig ändern^ falls nur g > null ist 

§ 13. Der Lauf der Niyeanllftchen für g > null. Nach 
dem Vorhergehenden hat die Schwerkraft; wenn sie nur nicht null 
ist, in jedem Punkte eine bestimmte Richtung: die Lotrichtung ^ die 
sich bei unendlich kleinen Verschiebungen nur unendlich wenig 
ändert. Dasselbe gilt auch fOr das Flächenelement der Niveaufläche, 
indem es zur Richtung der Schwerkraft normal steht. Man kann da- 
her sagen, abgesehen vom Falle g «» null: 

Eine Niveaufläche verläuft stetig gebogen ohne Kanten und Spitzen^ 
tmd sie kann sich nicht selbst schneiden. 

Man kann auch noch hinzufügen, dafs eine Niveaufläche nicht 
sich selbst berühren und auch keine Schneiden besitzen kann. 


16 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

Sobald nämlich g > null ist, läfst sich nach § 8 8. 10 unendlich 
nahe an der Niveaufläche auf jeder Seite derselben eine andere, mit 
einem verschiedeneui wenn auch unendlich wenig verschiedenen W 
konstruieren, deren eine nun aber in der Nähe der Schneide oder 
Berührungsstelle notwendig die gegebene Fläche schneiden würde. 
Dies ist aber nach § 9 S. 12 unmöglich. 

Um nun noch den Lauf der Niveauflächen im ganzen zu beur- 
teilen, denken wir uns eine Niveaufläche bis zu einer Linie in der- 
selben fortgesetzt und fragen, ob in irgend einer solchen Linie die 
Fläche enden kann. Ist P ein Punkt der Linie, so umschliefsen wir 
P mit einer hinreichend kleinen Kugelfläche, welche den vorhandenen 
Niveauflächenteil schneidet. Auf der Eugelfläche können wir nun 
geschlossene Linien ziehen, welche die Durchschnittslinie beider 
Flächen kreuzen. Durchläuft ein Punkt eine solche Linie, von der 
Niveaufläche ausgehend, so nimmt W anfangs zu oder ab, zum Schlufs 
ebenfalls bezw. zu oder ab. Weil aber W wieder den Anfangswert 
annimmt, mufs es auf der betrefifenden Linie irgendwo aufser in dem 
bereits vorhandenen Teil der Niveaufläche mindestens einmal noch 
gerade so grofs sein. 

Man erkennt leicht, dafs die Hilfskugel die Niveaufläche mindestens 
in eine^^ geschlossenen Linie schneiden wird. 

Bei hinreichender Kleinheit des Kugelradius wird es nur eine Linie 
sein und zwar annäherungsweise ein grofster Kreis. Ist g gleich null 
so können andere Verhältnisse eintreten. Jedenfalls kann eine Ni- 
veaufläche für ^ > null keinen Rand haben: 

Eine Niveauflache ist entweder unendlich oder gescMossen. 

Im ersten Falle läuft sie ins Unendliche, denn im Endlichen 
würde sich die Fläche stellenweise unendlich dicht zusammendrängen, 
was mit § 8 S. 10 nur dann nicht in Widerspruch steht, wenn g an 
der betreffenden Stelle gleich null ist. 

§ 14. Die NiveanflSchen der Erde verlaufen in der Nähe 
der physischen Erdoberfläche, wo erfahrungsmäfsig die Schwerkraft 
nicht null ist, nach dem vorigen Paragraphen jedenfalls stetig ge- 
bogen, ohne Kanten und Spitzen, und ohne sich selbst zu schneiden. 
Ob sie aber geschlossene Flächen sind oder nicht, und welcher Art 
eventuell der Zusammenschlufs ist, lälst sich ohne weiteres nicht 
sagen, da uns immer nur Teile von Niveauflächen in der Nähe der 
physischen Erdoberfläche zur Anschauung kommen. 

Im allgemeinen kann man nun in dieser Beziehung Folgendes 
anführen. 

Wir denken uns um eine Masse M eine einhüllende Kugel vom 
Durchmesser D geschlagen und das Potential v der Anziehung aufser- 
halb der Kugel in betracht gezogen. Man bemerkt leicht, dafs das- 
selbe auf jedem Radius von der Oberfläche nach aufseu fortwährend 


§ 14. Die Niveanflächen der Erde. 17 

abnimmt, da für irgend ein Massenelement die Entfernung e fort- 
während wächst. Denkt man sich nun auf irgend einem Radius zwei 
Punkte / und Ä^ in Bezug auf welche bezw. die e < /> und > B sind, 

SO wird Vj > -^ und va < -g^ sein. Zwischen / und A giebt es 

somit auf jedem Radius einen Punkt der Niveaufläche v = -jy ^^^ 
diese ist daher kugelartig geschlossen. 

Da V nach aufsen ab-, nach innen bis zur Oberfläche der Kugel 
sicher zunimmt, so sind hiemach alle Niveauflächen aufserhalb dieser 
Oberfläche kugelartig geschlossen und umhüllen sich schalenartig. 
Nach innen zu geht dies so weit, als die Anziehung bei der Bewe- 
gung von aufsen nach innen nicht durch null hindurch geht, da ein 
Schneiden von Niveauflächen sonst nicht vorkommen kann. 

Rotiert die Masse M wie die Erde, so tritt zum Potential der 
Anziehung dasjenige der Zentrifugalkraft. Solange dasselbe relativ 
klein ist, entspricht der Berücksichtigung der Rotation nur eine ge- 
ringe Verschiebung der Niveauflächen bestimmten Potentialwertes 
nach aufsen, ohne dals an der oben angegebenen Konfiguration etwas 
geändert würde. 

Bei der Erde hat man es in der Nähe ihrer Oberfläche nur mit 
einem kleinen Einflufs der Zentrifugalkraft zu thun. Um dieses nach- 
zuweisen, könnte man nach ganz rohen Annahmen die Potentiale 
der Anziehung und Zentrifugalkraft berechnen und vergleichen. Wir 
wollen indessen darauf nicht eingehen, sondern andere allgemein be- 
kannte Thatsachen erwähnen, die zu demselben Resultate führen. 

Wir wissen aus der Beobachtung des Erdschattens bei Mond- 
finsternissen oder aus anderen Erfahrungen (vergl. 6. Kap. § 1), dafs 
die physische Erdoberfläche jedenfalls näherungsweise Kugelform hat. 
Da nun ^n ^^^r physischen Erdoberfläche von dem zusammenhängenden 
Weltmeere gebildet werden, dessen Oberfläche nur wenig von einer Ni- 
veaufläche abweicht, so unterliegt es keinem Bedenken, sich eine Ni- 
Teaufläche in der Nähe der Erdoberfläche vorzustellen, etwa das Geoid 
(Bd. 1 8. 5), welche Niveaufläche nun auch, soweit die Meeresfläche 
reicht, näherungs weise Kugelform hat. Es kommt dabei ein Umstand 
sozusagen stillschweigend in betracht, auf den wir bei dem Versuch 
aufmerksam werden, diese Niveaufläche unterhalb des Landes, welches 
aus dem Meere emporsteigt, fortzusetzen. Es ist dies die durch Be- 
obachtung festgestellte Thatsache, dafs überall auf der physischen 
Erdoberfläche die Richtung der Schwerkraft im grofsen und ganzen 
normal zu ihr steht, also wesentlich gegen einen mittleren Punkt 
der Erde konvergiert. Zwar liegen nicht von allen Punkten der 
Erdoberfläche Beobachtungen vor, aber doch von sehr vielen: man 
kann etwa 98% der Oberfläche als bereist betrachten, und über die 
Lücken gestattet uns die oben entwickelte Theorie hinweg zu sehen. 

Helmert, mathem. a. phyiikal. Tbeoriaen dar hOh. 0«odArie. n. 2 


18 1* Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

Denn sie lehrt uns, dafs die Konvergenz der Lotricfatungen nur eine 
Folge der Anziehungskraft der Erde sein kann, gegen welche die 
Zentrifugalkraft in erster Annäherung verschwindet. 

Hiermit steht die an zahlreichen Punkten der Erdoberfläche ge- 
machte Wahrnehmung im Einklang, dafs die Schwerkraft g daselbst 
in erster Annäherung konstant ist. 

Wollen wir nun eine Niveaufläche in der Nähe der physischen 
Erdoberfläche beschreiben; so kann diese selbst als Ausgang dienen. 
Die Niveaufläche kann sich nicht weit von ihr (im Verhältnis zum 
Erdradius) entfernen^ da sie ja angenähert normal zu den Lotrich- 
tungen steht. Gehen wir von einem Punkte mit dem Potentialwert 
W^ aus auf der physischen Erdoberfläche vorwärts, so gehört zu 
jedem Differential des Weges ein dh und ein dW ^^ — Q^^\ für 
einen endlichen Weg ist die Änderung von W gleich dem über den- 
selben zu erstreckenden 

Vom Endpunkt des Weges aus können wir uns in der Lotlinie (Kraft- 
linie, Bd. 1 § 3 S. 5) vorwärts bewegen, bis der Ausgangswert W^ 
wieder erreicht ist. Wegen der genäherten Konstanz von g gehört 
dazu angenähert der vertikale Weg 

eine im Verhältnis zum Erdradius jedenfalls kleine Gröfse. 

Einen zweiten Punkt mit dem Potentialwert W^ giebt es in der- 
selben Lotlinie in der Nähe der physischen Erdoberfläche sicher 
nicht, da g hier entschieden nach innen gerichtet ist, also W nach 
innen zunimmt. 

Die Niveauflächen, welche sich teilweise in der Nähe der physischen 
Erdoberfläche befinden, umschliefsen hiemach die Erde in der Nähe der 
physischen Erdoberfläche vollständig. Ihre Form ist die einer etwas 
durch stetige Verbiegungen deformierten Eugelfläche. Es sind also 
kugelartige Flächen^ geschlossene Flächen einfachen Zusammenhanges. 
Flächen abnehmenden Potentialwertes umschliefsen sich schalenartig. 

Die Möglichkeit der Tracierung von Kanälen quer durch die 
Kontinente (Bd. 1 S. 5) ist eine unmittelbare Folge der angegebenen 
Eigenschaft der Niveauflächen in der Nähe der physischen Erd- 
oberfläche. 

In gröfserer Entfernung von der Erde ändern sich die Verhält- 
nisse; hierüber wird § 22 des nächsten Kapitels sich verbreiten. Da- 
gegen besteht im Erdinnern überall die schalenartige Aufeinander- 
folge, was nicht ausschliefst, dafs ein Durchschneiden einzelner Ni- 
veauflächen mit sich selbst, da wo g null ist, stattfindet und dafs 
andere Niveauflächen in für sich geschlossene Teile zerfallen. Einige 


§ 15. Die zweiten Differentialquotieuten von TT. 19 

Bemerkungen über die Schwerkraft im Erdinnem bringt das sechste 

Kapitel, § 13. 

Kimmt man an, daCs das Luftmeer die physische Erdoberfläche voll- 
ständig umhüllt und in relativer Ruhe ist, so werden naeh hydrostatischem 
Gesetz die Flächen gleicher Dichtigkeit der Luft Niveauflächen sein und 
man würde somit darauf hingeführt, dafs die Niveauflächen in der Nähe 
der Erdoberfläche geschlossen sind. Allein da zur Zeit für die Nähe der 
Pole Beobachtungen fehlen, so ist jene Annahme unzulässig und es be- 
darf jedenfalls immer noch einer Untersuchung ihres Verhaltens an den 
Polen. Auch die Herbeiziehung des Luftmeeres gewährt somit nicht die 
Möglichkeit, ohne eine besondere Untersuchung behaupten zu können, 
dafs die Niveauflächen in der Nähe der physischen Erdoberfläche ge- 
schlossen sind; mit Rücksicht auf § 8 S. 10 läfst sich nur die Möglichkeit 
der Eanaltracierung insoweit folgern, als die physische Erdoberfläche be- 
kannt ist — Übrigens hat es ein Interesse, die in Rede stehende Ange- 
legenheit, wie oben geschehen, ohne Herbeiziehung des Luftmeeres zu 
behandeln.*) 

§ 15. Die zweiten Differentialquotlenten Ton W, Es genügt 
zunächst, nur den zweiten Diflferentialquotienten nach x zu betrachten. 
Nach § 6 8. 9 ist aber 


»ö 


Daher ist auch 

^^J_ }_ \ *\ X — X \e) L _L ^ (? ~ g)' 

Hieraus findet sich mit Rücksicht auf (f) und (2) § 9 8. ]l der ge- 
suchte zweite DüFerentialquotient 

^'^ = Z.-i r-c'-f 3(a;-a:')« dm , , .-. 

'^^ J ^' ^ + ^ • W 

Setzt man endlich hierin wie in § 9 8. 11 ätn => e^ de da ^ so folgt: 

ff r - ^' + y - ^y @ded0 + a>K (2) 

Solange der Punkt {x y z) »» p aufserhalb der Erde liegt, ist; 
wie schon § 12 8. 14 bemerkt, dieser Ausdruck ein bestimmter Wert. 
Liegt jedoch P^ innerhalb der Erde (d. i. der gerade für uns wich- 
tigste Fall), so wird der Ausdruck (2) unbrauchbar. Er zerfallt nämlich 
alsdann in die Differenz zweier Integrale, die wegen der Integral - 




*) Auf grund der Potentialtheorie wurden die Eigenschaften der Niveau- 
flächen klargestellt in den beiden Abhandlungen von JET. Bnmsi „Über einen 
Satz der Potentialtheorie** Grelles Journal 1876, Bd. 81, S. 349 u. ff. und „Die 
Figur der Erde'* Publikation des königl. preufs. geodät. Instituts, 1878. Welches 
die Erfahrungen sind, zufolge deren die Niveauflächen der physischen Erdober- 
fläche sich als geschlossen und nahezu kugelförmig ergeben, wird jedoch nicht 
erörtert, jedenfalls weil für die betreffende Abhandlung die Untersuchung anderer 
Fragen in den Vordergrund zu treten hatte. 

2* 


20 !• Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

grenze e gleich null beide unendlich grofs werden^ wovon man sich 
für den Fall einer homogenen, P' konzentrisch umschliefsendeu Kugel 
leicht überzeugen kann. Ausdruck (2) läfst somit in diesem Falle den 
Wert des zweiten Differentialquotienten nicht erkennen. 

Um nun zu einem auch für innere Punkte brauchbaren Aus- 

druck zu gelangen, bringen wir zunächst den Ausdruck für -^— ryd.i. 
nach (2) § 10 S. 13: 

-1^ = k^J^^ am (3) 

in eine andere Gestalt. 

Es ist hierbei darauf aufmerksam zu machen, dafs man bei (3), 
wie bei Bildung von F, an die spezielle, § 4 S. 5 eingeführte Lage 
der rechtwinkeligen Eoordinatenaxen nicht gebunden ist; nur für W 
mufs diese Lage wegen des Potentials der Zentrifugalkraft festge- 
halten werden, wenn der Ausdruck (1) § 9 S. 1 1 bestehen bleiben soll. 

§ 16. Transformation der Ausdrücke für die ersten Diffe- 
rentialqnotienten von F.*) Wir betrachten zunächst einen Körper, 
in welchem erstens die Dichtigkeit der Masse eine stetige Funktion 
des Ortes ist und zweitens die ersten Differentialquotienten der Dichtig- 
keit nach den Koordinaten endlich und stetig sind. Wir nennen 
seine Potentialfunktion der Anziehung v, beziehen ihn auf ein recht- 
winkeliges Axensystem und bezeichnen die Koordinaten des ange- 
zogenen Punktes P' wie früher mit x\ y und z^ diejenigen eines 
Massenelementes des Korpers aber mit x^y und z. Indem wir unter An- 
nahme der Dichtigkeit S im Punkte (o:, y, z) somit dm '==» ® dx dy dz 
zu setzen haben, wird nach (3) des vorigen Paragraphen mit Rück- 
sicht auf die Schlufsbemerkung daselbst: 

Aus e» = (« — a:')' + (y — y'Y + {z — zf folgt aber 


\ tj X-— X 


d 

dx 
womit sich (1) auf folgende Form bringen läfst: 


d 
dx 


v--'^'J'ßy^'f'''4v-''-- (^) 


Um das hierin auftretende Integral nach x umzuformen, beachten 
wir, dafs 


*) L^jeune-DiriMet, YorlesuDgen; 8. 19—24. 


§ 16. TraDsformation der Ausdrücke für die ersten DifPerentialquotdenten von F. 2 1 


(t) 


mithin 


dx 


e 


de 

dx 


+ e 


dx 


-ß 




J e dx ' c, e. 


(3) 


Hierin bedeutet 2 ein Summenzeichen und es beziehen sich die In- 
dices 1 und 2 auf diejenigen Punkte, in welchen eine Parallele zur 
a:-Aze, entlang welcher bei konstantem Wert von y und z integriert 
wird, die Oberfläche bezw. beim Eintritt und Austritt {x wachsend 
gedacht) schneidet. 

Die Formel (3) gilt unzweifelhaft, sobald und — , sowie ihre 

ersten Differentialquotienten endlich und stetig sind. Für & und seine 
ersten Differentialquotienten sind diese Eigenschaften nach der Voraus- 
setzung vorhanden; für — sind sie es, sobald e > null ist. Ohne 

weiteres ist sonach (3) nur gültig für Lagen von P' aufserhalb des 
Korpers. 

Liegt P' innerhalb, so schliefsen wir, um (3) zweifellos anwenden 
zu können, die Masse innerhalb einer zu P' konzentrischen Kugel- 
fläche vom Radius e aus. Trifft die Parallele zur o; Aze, entlang 
welcher integriert wird, diese Kugelfläche, so tritt zu (3) rechter 
Hand noch das Gliederpaar 




(3») 


worin die Indices 1' und 2^ sich auf den Eintritts- und Austrittspunkt 
für die Kugelfläche beziehen. 

Es sei nun v '=^ v^ -^ V2 und zwar t;, die Potentialfunktion der 
Anziehung für die äufsere Masse, V2 diejenige für die Kugel f. Dann 
folgt aus (2), (3) und (3*): 


dVi 

dx 


dx dy dz 


ohne 9 


(4) 


Das dreifache Integral erstreckt sich über die äufsere Masse, was durch 
die Bemerkung „ohne £** angedeutet ist; die Doppelintegrale betreffen 
beziehungsweise die äufsere Masse und die Kugel. Diese beiden In- 
tegrale sind Oberflächenintegrale, welche wir jetzt umwandeln. 

Bezeichnen wir mit d$ ein Oberfiächenelement, dessen nach 
auTsen gerichtete Normale mit der x-Axe den Winkel a einschliefst, 
so wird dy dz '^ + ds cos a , je nachdem cos a positiv oder negativ 


22 


1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 


ist. Denkt mao sich nun ziinäcbBt eine Parallele zur x-Axe^ welche 
die Oberfläche des Körpers berührt, so ist cos a = null; rückt die 
Parallele alsdann in den Körper herein^ so erkennt man leicht, dafs 
für alle Indices 1 (Ein ^ittspunkte) cosa negati7 wird, für alle In- 
dices 2 (Austrittspunkte) aber positiv. Mithin können wir im zweiten 

Integral sowohl für — -^ dy dz , als auch für dy dz setzen 

ds cos a; die Integration erstreckt sich sodann über die ganze 

Oberfläche. 

Ganz ähnlich wird es mit dem dritten Integral, bei welchem wir 
a aber auf die nach P' gerichtete Normale beziehen wollen, sodafs 
cosa für Eintrittsstellen positiv, für Äustrittsstellen negativ wird. 

Wenn wir nuu in (4) noch beiderseits ^ addieren und das erste 

Integral über den ganzen Baum des Körpers ausdehnen, zur Richtig- 
stellung aber ein ebensolches Integral für die Kugel abziehen, so 
erhalten wir: 

K5 


dx 


\ -^ ^'^ ^y <^^ 


< 


Korv«r 

ils 

Kugel 


"*" dx 


Korperoberß. 

S cos a 


ds 


-''J 


Kugelob^rß. 
COS a 


ds 


(5) 


und für -*^'^ den vorkommenden Maximalwert, den wir seinem abso- 


Wir gehen nun dazu über, £ verschwinden zu lassen. Im zweiten 
Integral von (5) setzen wir für dx dy dz wie in % 9 S. 11 e^ de dö 

dB 
dx 

luten Wert nach mit (-k— ) bezeichnen. Dann ist 

\ oX /max 
KugH 

^ JXPe 4f '- 'y '^ < '' (MLjß '^ '' 

d.i. <2«**(-|-®-) «S 

-^ \ OX 'max 

was für £ gleich null verschwindet. 

Im vierten Integral von (5) setzen wir ds = e^dö , nehmen für 


cos a den Maximalwert 1 und für @ den Maximalwert S, 
folgt der absolute Wert von 


muMxj 


dann 


'■/ 


Kugeloba^ß. 
G cos a 


ds<4n:k^ 


max 


was für £ a== null ebenfalls verschwindet 


§ 16. Transformation der Aufidrücke f. d. ersten Differentialquotienten von F. 23 

4^ verschwindet f ür £ «= null nach § 10 S. 13 aber auch. Mithin 
wird endlich anstatt (5) erhalten: 

V- '•'/ff T^o'-y"- *' f^- "'■ w 

Hierin bezieht sich das erste Integral auf den ganzen Baum des 
Korpers und das zweite auf seine Oberfläche. Es ist, wie man leicht 
erkennt, dasselbe Besultat, als ob bei der Entwicklung auf die Lage 
von/^ im Tunern des Körpers keine Rücksicht genommen wäre. Jedoch 
ist dann (6) nur für äufsere Lagen bewiesen. 

Es gilt aber auch für Lagen von P' auf der Oberfläche des 
Korpers. In diesem Falle tritt nur in der Entwicklung an Stelle 
der Kugel ein Teil derselben, welcher von einem Stück Korper- und 
einem Stück Kugeloberfläche begrenzt wird. In (5) ist nun das zweite 
Intßgral über diesen Kugelteil, das dritte über die äufsere Ober- 
fläche ohne den von der Kugel herausgeschnittenen Teil und das 
vierte über den innerhalb des Korpers liegenden Teil der Kugelfläche 
zu erstrecken. Man gelangt ohne Mühe wieder zu (6), wenn noch 
beachtet wird, dafs derjenige Teil des Oberflächenintegrals in (6), 
welcher von der Kugel in der Umgebung von P' ausgeschnitten wird, 
für £ «a null verschwindet, wie man mit Rücksicht darauf ersieht, 
dafs dem Oberflächenelement ds in der betreffenden Umgebung von P' 
die Form e de d'^ gegeben werden kann, wobei d'^ einer Drehung 
von e auf der Oberfläche entspricht. 

Kehren wir nun zur Erde zurück, auf welche sich V bezieht. 
Dieselbe denken wir uns aus Teilen zusammengesetzt, innerhalb deren 
die Dichtigkeit sich stetig ändert und die sämtlichen Differential- 
quotienten der Dichtigkeit endlich und stetig sind. V setzt sich nun 

ebenfalls aus den v der einzelnen Teile zusammen, ebenso -^— aus 

den -^T • Bildet man, indem man für -^ die Formel (6) anwendet, 

die Summe der Raumintegrale, so kann man sie in ein einziges In- 
tegral wie das erste in (6), ausgedehnt über die ganze Erde, zusammen- 
ziehen ; nur ist bei der Integration auf die Unstetigkeitsflächen von 
zu achten. Bildet man die Summe der Oberflächenintegrale, so er- 
kennt man, dafs sich die Bestandteile derselben für die Grenzflächen 
je zweier benachbarter Teile wegen entgegengesetzter Richtung der 
Normale zu einem Integral zusammensetzen, welches von der sprung- 
weisen Änderung z/@ der Dichtigkeit in derjenigen Richtung der 
Normale abhängt, auf welche sich der Winkel a bezieht. Es bleibt 
dann noch das Oberflächenintegral (6) für die Oberfläche der ganzen 
Erde, für welches man ebenso wie für die Unstetigkeitsflächen ein 
JS einführen kann, welches gleich — in der Oberfläche ist, falls 
die Normale wie bisher nach aufsen gezogen wird. 


24 1* Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveanflächen. 

Formel (6) kounea wir sonach, wenn nur für — gesetzt wird ^0, 
auf die ganze Erde bei beliebiger Lage von P' anwenden, und zwar 
offenbar nicht nur für die Ableitung von V nach x\ sondern auch für 
diejenigen nach y und /. 

Sind a, ß und y bezw. mit der Axe der x^ y und z die Winkel 
der Normalen der Oberfläche und der Unstetigkeitsfiächen der Dichtig- 
keit; ist ferner JS die Änderung der Dichtigkeit bei Durchkreuzung 
der Oberfläche bezw. der Unstetigkeitsflächen in Richtung der Normale, 
so wird: 


w - "'SIS-' % '^ '' " + "S-^ " 


m 


af 


ar = *'//Jt f- »' 'y " + n/--?^ "■ ■ 

Hierin sind die Rauminiegrale über die ganze Erde, die Flächen- 
integrale über ihre Oberfläche und die Unstetigkeitsflächen der Dichtig- 
keit auszudehnen. 

§ 17. Die zweiten und höheren Differentialqnotienten Yon 
W liaben bestimmte endliche Werte und ündern sich stetig, 
solange der Punkt P' sich nicht an einer Stelle^ in welcher 
die Dichtigkeit ® Singularitäten hat^ befindet. 

Wir denken uns wieder, wie am Schlüsse des vorigen Para- 
graphen, die Erde in Abteilungen zerlegt, innerhalb deren die Dichtig- 
keit und alle beliebig hohen Differentialquotienten derselben endlich 
und stetig sind. 

Die Ausdrücke (7) des vorigen Paragraphen können dann sicher 
Anwendung finden und sie lassen sich zunächst jedenfalls einmal 
differenzieren, solange P^ sich nicht in einer Grenzfläche der Ab- 
teilungen befindet. Denn die Flächenintegrale lassen sich beliebig oft 
differenzieren, sobald e für keinen Flächenpunkt null wird, weil dann 

die Differentialquotienten von — unter dem Integralzeichen alle end- 

lieh und stetig sind (vergl. § 12 S. 14). 

Die Baumintegrale der Ausdrücke (7) lassen sich aber unmittelbar 
jedenfalls einmal differenzieren, da sie nichts anderes als Potential- 
funktionen der Anziehung, die sich nach § 10 S. 13 differenzieren 
lassen, vorstellen, wobei nur die Dichtigkeit nicht S^ sondern der 
betreffende erste Differentialquotient von & ist, welcher aber die 
wesentliche Eigenschaft, endlich zu sein, mit teilt. 

Es ist nun leicht zu erkennen, dafs jetzt auch abermals differen- 
ziert werden kann. Denn die ersten Differentialquotienten jedes der 
Raumintegrale lassen sich nach den Formeln (7) wieder als Aggre- 
gate von Raumintegralen und Flächen integralen darstellen, wobei 


§. 18. Die zweiten Differentialquotienten von V in SingularitätaBtellen. 25 

nur an SteUe von S der betreffende Differentialquotient von tritt. 
— ü. 8. f. 

Leuchtet auf diese Weise ein, dafs alle Differentialquotienten 
von V bestimmte endliche Werte haben müssen, welcher Ordnung 
sie auch angehören, so ist nun, wie schon § 12 8. 14 in einem ähn- 
lichen Fall bemerkt, die weitere Folge hiervon die Stetigkeit der 
Differentialquotienten. 

Dieselben Eigenschaften wie die Differentialquotienten von V 
haben auch diejenigen von W, weil der von der Zentrifugalkraft her- 
rührende Teil von fV 2u den zweiten und höheren Differentialquoti- 
enten von V nur konstante Beiträge oder null hinzufügt. 

Hiermit ist der an die Spitze des Paragraphen gestellte Satz für 
jeden Differentialquotienten von angebbar hoher Ordnung bewiesen. 

Das Vorstehende läfst unentschieden^ wie sich die Differential- 
quotienten beim Durchgange von P* durch die Singularitätsstellen 
der Dichtigkeit gestalten. Aus der im Folgenden für die zweiten 
Differentialquotienten angestellten Untersuchung wird hervorgehen, 
dafs sie sich dabei unstetig ändern. 

§ 18. Die zweiten Differentialquotienten von V beim Durch- 
gange von P' durch Singularitätsstelleu der Dichtigkeit. 

Die zweiten Differentialquotienten von V uud damit diejenigen 
von fF würden auch hier mit stetig veränderlicher Lage von P' be- 
stimmte endliche Werte in stetiger Änderung durchlaufen, wenn nicht 
die Flächeniutegrale der Ausdrücke (7) des § 16 S. 24 für ^ «» null 
unendlich werdende Elemente erhielten. Nehmen wir nun an, dafs 
an der Stelle Pq der Punkt P^ eine Fläche durchdringt, in welcher 
Singularitäten von & auftreten und die wir kurz Grenzfläche nennen. 
Es hängt dann der Ausnahmezustand der zweiten Differentialquoti- 
enten nur von demjenigen Teile der Flächenintegrale ab, welcher 
sich auf die Umgebung von P^ bezieht. *Wir haben also nur diese 
ins Auge zu fassen; dabei ist die Begrenzung der Umgebung will- 
kürlich. 

Die Betrachtung würde sehr einfach werden, wenn wir diese 
Umgebung als eben voraussetzen wollten. Indessen erscheint viel- 
leicht die Berechtigung zu dieser Voraussetzung zweifelhaft, obgleich 
man es bei der Zerlegung der Erde in Abteilungen von stetig verlaufen- 
der Dichtigkeit jedenfalls nur mit einer Annäherung zu thun hat. 
Wir stellen daher eine Untersuchung an die Spitze, wobei die Grenz- 
fläche gekrümmt vorausgesetzt wird, ohne dafs in dieser Krümmung 
Singularitäten auftreten, was vollkommen den Verhältnissen genügt. *) 


**) Im wesentlichen nach j^Bemhard Riemann, Schwere, Elektricität und 
Magnetismus. Nach den Vorlesungen bearbeitet von Karl HaUendorff, Hannover 
1876." S. 62—56. 


26 !• Kapitel. Allgemeine Eigenschafben der Niveauflächen. 

Am Schlüsse des § 19 geben wir aber auch noch die Ableitung des 
Resultates unter der vereinfachenden Voraussetzung der Ebenheit. 

Den Punkt Pq nehmen wir als Anfang der Koordinaten a^ b, c 
eines rechtwinkeligen Axensystems und legen die a-Axe in die Nor- 
male der Grenzfläche an der Stelle Pq] die 6c -Ebene ist alsdann 
Tangentialebene. In derselben denken wir uns Polarkoordinaten nach 
den Formeln 

5 SS / cos ^ c = t sin ijf (1) 

eingeführt. Dementsprechend ist zu setzen für die Projektion des 

Flächenelementes ds auf die 6c-Ebene der Ausdruck t di d^f. Es 
ist daher 

cos a ds = i dt dilf , (2) 

wenn wir mit a, ß und y wieder die Neigungswinkel der Normale 
des Flächenelements bezw. gegen die a-y b- und c-Axe bezeichnen. 
Zugleich bemerken wir, dafs ^@q nunmehr bezeichnet den Sprung 
in B bei Überschreitung der Grenzfläche an der Stelle P^ in Rich- 
tung der positiven a-Axe. 

Denken wir uns nun V auf die Axen der a, bj c bezogen und 
bedeuten ferner a\ b' und c' die Koordinaten von P\ so kommt es 
an auf die Untersuchung von (vergl. § 16 (7) S. 24): 

Ä» r^^öf^üL a$ als Teil von |^ 
Je da 

,,J^9^ ,^ ^^ ^^ ^^ |K (3) 


k^f^^^ds „ „ „ 


dv 

de 


wobei die Integration über die Umgebung von Pq auszudehnen ist. 

Zunächst untersuchei^ wir den Differentialquotieuten des ersten 
Ausdrucks, genommen nach a\ also 

Ar' / ''~^ J® cosa ds als Teil von -|-y • (4) 

Das hierin auftretende Integral heifse /. Mit Rücksicht auf (2) wird, 
wenn T der Wert von i für den Rand der in betracht gezogenen 
Umgebung von Pq ist: 

2ä t 

"*""* JSidt^ (5) 


-M' 


Hierbei ist zu beachten, dafs ^ und t zwei von einander unabhängige 
Variable sind, welche a nach Mafsgabe der Gleichung der Grenz- 
fläche bestimmen. Femer ist unter Annahme von b' = c ^^^ null : 

e^^t^^^a^ay. (6) 


§ 18. Die zweiten DifferentialquotieDten von V in Singularitätsstellen. 27 

Durch Differentiation nach t und Division mit e^ folgt hieraus: 

^ ^^ w/ t , _. a — a da ,^ 

e«* aT ^^ = ;^^^ + — ,3- -a7 ^^ 

und wegen _L ^ _- ^ ?ji_ hieraus weiter: 

c« a« "a* 

Das zweite Integral rechter Hand wandeln wir durch partielle 
Integration um. Es ist 


d 


r^ ^^ e ] t ,v ^^ VC/ , 1 f ^/^ a« , , 'X r^« 1 


hiermit wird 


/< 




(«) 


U 

Diese Transformation ist sicher zulässig, wenn {a — d)^ /I6 und 

— nebst ihren ersten Differentialquotieuten nach / innerhalb der In- 

tegratiousgrenzen endlich und mit t stetig veränderlich sind. Für 
a — a' ist diese Bedingung durch Einschränkung der Umgebung sicher 
erfüllbar, wenn die Fläche in der Umgebung von P^ stetig gebogen 
ist. jd& ist als Unterschied zweier endlichen und stetigen Funktionen 
S auf jeder Grenzfläche endlich und stetig. Dasselbe gilt für seine 

ersten Differentialquotienten. — mit seinen Differentialquotienten ist 

endlich und stetig, solange P' nicht nach Pq selbst fällt. 

Die Formel (8) führen wir in (7) ein. In den Integralen tritt 

dabei eine Vereinfachung ein, da die beiden, -^^- enthaltenden In- 
tegrale, auf den Nenner e^ gebracht, sich wegen (6) zusammenziehen 
lassen. Wir erhalten: 

*J e et ^J e et 

ü 

wenn für t ^=^T bezeichnet werden a^ e und J& mit A^ E und /4®a und 
wenn ferner berücksichtigt wird^ dals für t «» null d ^^e ist, falls P' auf 
der positiven a- Axe liegt, dafs dagegen — d ^=^ e ist, falls P^ auf der 
negativen a-Axe liegt. Das obere Zeichen in vorstehender Formel; 


28 


1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Ni?eaafläclien. 


für welche P^ nun jedenfalls in der Normale Ton P^ gedacht is^ gilt 
für d positiv, das untere für d negativ. 

Führen wir die zuletzt erhaltene Formel in (5) ein, so wird 


/ = 


+ 2« JS, 


-j 


a po». 
a ntg, 

\a - d) dSj, 


E 


dp 


u 


in T 


dt 


dt 


tft 


+Jä^f 


^S 


t* da 


c» dt 


dt. 


(9) 


a»F 


§ 19. Fortsetzung: -^-ry Wir können nunmehr untersuchen, 

wie sich der von der Umgebung von Pq abhängende Teil von d^V : dd^ 
beim Durchgange von P' durch Pq verhält. Nach (4) und (5) des vorigen 
Paragraphen ist Ar' / dieser Teil. Betrachten wir vorerst die drei 
Integrale in (9), so zeigt sich, dals sie sich bei Verschiebungen von 
P' in der a-Axe, auch durch Pq hindurch, stetig ändern. 

Bei dem ersten Integral ist dies sofort ersichtlich, da d und -^ 

endlich sind und sich mit d stetig ändern. 

Bei dem zweiten Integral ist dasselbe der Fall, insoweit wir nicht 
von null bis J, sondern von r bis 2' integrieren, wobei r kleiner als 

T ist, aber nicht null genommen werden darf. Da aber — — — ab- 

solut genommen < 1 ist, so ist der absolute Wert des verbleibenden 
Restes des zweiten Integrals, nämlich 

-d cJS 


/' 


V- 


dt 


dt, 


(1) 


kleiner als der absolute Wert desjenigen Doppeliutegrals, welches 
wir erhalten, wenn — ^^^^ gleich 1 und für —^ — sein grofster ab- 
soluter Wert im lutegrationsbereich gesetzt wird, also kleiner als 
der absolute Wert von 

in 

cJ9\ 

/nutx 

U 

oder 


( 


dt 


in r 


o (dJ9\ 


(!•) 


Diese Formel zeigt, dafs die unendlich nahe Umgebung von P^ 
nur unendlich wenig zu dem zweiten Integral in (9) beiträgt. Mit- 


§ 19. Die zweiten Differentialquotienten von V in Singularitätsdiellen. 20 

hin kann diese Umgebung bei einer Verschiebung von P\ auch durch 
Pq hindurch, insoweit das zweite Integral von (9) in betracht kommt, 
nichts Endliches beitragen. 

Bei dem dritten Integral von (9) integrieren wir auch von null 
bis r und von r bis T\ der letztere Teil ist dann unzweifelhaft auch 
bei Durchdringung der Grenzfläche in P^ stetig yeränderlich. Das 

Verhalten des ersten Teiles hängt ab von -^ • Wir haben bereits 

angenommen, dais die Grenzfläche an der Stelle P^ eine bestimmte 
Normale hat und überhaupt in der Umgebung von P^ von / <» 
bis T stetig gekrümmt ist. Dann können wir setzen 

-ff-^f*'» (2) 

wenn ^ den zweiten DifiFerentialquotienten von a nach / für eine 
nicht näher bekannte, im Intervall / =s bis r gelegene Stelle be- 
zeichnet. ^ ist ein endlicher Wert, wenn das Erümmungsmafs der 
Grenzfläche innerhalb des Integrationsgebiets nirgends unendlich grofs 
wird (Bd. 1, S. 59, § 15). Sollte letzteres doch der Fall sein, so 
kann die betreffende Stelle durch Verkleinerung von r ausgeschlossen 
werden mit Ausnahme des Falles, dafs P^ selbst ein unendlich grofses 
Erümmungsmafs hat. Diesen Fall, der ja nur ein Ausnahmefall sein 
kann, betrachten wir nicht weiter.*) 

Die nächste Umgebung von P^ liefert zu dem dritten Integral 
von (9) unter Annahme von (2) den Beitrag 

2jf r 

d^j je f* -^ ^^ • (3) 


2n 


Nun ist t < e. Setzen wir jetzt für fi : e^ die Einheit, für J® den 
Maximalwert im Integrationsbezirk, ebenso für fi den Maximalwert 
in den verschiedenen Richtungen, so erhalten wir zu viel. Der Bei- 
trag ist somit absolut genommen kleiner als der absolute Wert von 

2nr(jiJ&)nu^. (3*) 

Die unendlich nahe Umgebung trägt somit nur unendlich wenig bei, 
insoweit das dritte Integral in betracht kommt. 

Wenn nun P' unendlich nahe an Pq auf der negativen Seite der 
a-Aze (der Grenzflächennormale) liegt und durch P^ hindurch nach 
einem der Grenzfläche unendlich nahen Punkte der positiven Seite 

geht, so beträgt die Änderung von -ö-tj wegen der drei Integrale 

*) Vergl. übrigens „C7. JP. Gauss, Allgemeine Lehrsätze in Beziehung anf die 
im verkehrten Yerhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- 
und Abstofsungskräfte. Art. 16 und 16. Leipzig 1840.*' (Oauss^ Werke, Bd. 5.) 


30 !• Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveanflächen. 

in (9) nur unendlich wenig, dagegen wegen des ersten Teiles von (9) 
— 4titk^ J&Q , wobei z/@q die entsprechende Dichtigkeitsänderung ist 
Wir haben hierin die Änderung des durch (4) S. 26 gegebenen Teiles 

von -^-Tj- ' Die andern Teile von -^-^ ändern sich stetig und also im 
betrachteteu Falle unendlich wenig. 

Daher ist also die Änderung von -k-t^ bei dem normalen Durch- 
gange durch eine Grenzfläche an einer Stelle Pq, wo plötzlich die 
Dichtigkeit um ^0^ sich ändert, wenn in der Umgebung dieses Punktes 
die Grenzfläche stetig gekrümmt ist und ein endliches Krümmungsmafs 
besitzt, gleich 

^ -^ 4äA»z/©o- (4) 

Nehmen wir innerhalb der Integrationsgrenzen die Grenzfläche als eben 
und die Gröfse J0 konstant an, so giebt (4) S. 26: 

d. 1. 


— a k^ J» 


Off T/*» I ^'«3 




worin die Yi^ immer positiv zu nehmen ist. Ist a unendlich klein, so 
verschwindet der erste Teil, es bleibt nur der zweite, welcher gleich — 1 
ist für positives a , + 1 ^ negatives a , und man gelangt wieder zu dem 
Resultat (4). 

Da man nun, um im allgemeinen die Yoraussetzuogen plausibel er- 
scheinen zu lassen, sich T unendlich klein zu denken hat, so ist in den 
Schnflen, welche vorstehende kurze Darstellungsweise acceptieren, hervor- 
gehoben, man müsse sich a immer im Verhältnisse zu T unendlich klein 
denken (also unendlich klein zweiter Ordnung). Die Darstellung des § 18 
und § 19 vermeidet eine solche Vorstellung und die Zweifel, die mit jener 
verknüpft sind. 

§ 20. Die übrigen zweiten Differentialquotienten erleiden 
bei dem normalen Durchgange durch eine Grenzfl&che keinen Sprang. 
Hierzu betrachten wir zwei charakteristische Beispiele: 


und 


A-2 (^^J- ^S cos ß ds als Teil vüu J^ (1) 


'-^jec^ßds „ „ „ -f^, (2) 


die Int^^tion bezogen auf die Umgebung von P^, 

Würden wir voraussetzen, dafs innerhalb derselben die Grenz- 
flache als eben anzusehen sei, so wäre cos ß =» null und es würde 
mithin ein Sprung in den betreffenden Differentialquotienten beim 
Durchgange von P' durch P^ hindurch nicht entstehen. Dasselbe 
Resultat ist indessen auch leicht zu erzielen, wenn wir die Grenz- 
flache gekrümmt annehmen. 


§ 20. Die zweiten Differentialqaotlenteii von V in Singalarii&tsatellen. 31- 

Auf den Ausdruck (1) ist nämlich die betreffende Entwicklung 
der Paragraphen 18 und 19 sofort anwendbar, wenn man für ^0 
setzt J6 sec a cos ß. Da cos ß im Punkte Pq in null übei^eht, so 
tritt in (4) des vorigen Paragraphen an Stelle von ^0„ null und es 
ergiebt sich beim normalen Durchgange durch Pq die Änderung 

Ebenso ist (3) 

Betrachten wir das in (2) auftretende Integral, welches wir J' 
nennen wollen, so wird zunächst durch Substitution von / dt d^ sec a 
fOr ds nach S. 26 § 18 (2) erhalten: 

%n T 

r ° AW "^"^^ ^® seca cos ßidi. • (4) 

Hierbei haben wir nun noch zu beachten, dafs b' = null ist, wenn 
wir wieder festsetzen, dals P' auf der a-Axe liegt. Mit Bücksicht 
auf eine bekannte Belation der analytischen Geometrie, wonach 

da 

cos p B» — 


y^+iitf+m' 


wird, können wir ferner annehmen, dals 

C08/3 — A/ (5) 

sei, wenn A einen endlichen, von tf; und / abhängenden Wert be- 
zeichnet. Denn wegen der vorausgesetzten stetigen Krümmung und 
des endlichen Krümmungsmafses der Grenzfläche in der gehörig ein- 
geschränkten Umgebung von Pq ist 


db 

wobei A, und A, zweite Differentialquotienten von a nach b und c 
für eine nicht näher bekannte, im Integrationsbereiche gelegene Stelle 
bedeuten. Diese Relation aber führt an der Hand des allgemeinen 
Ausdrucks für cos ß leicht zu (5). 
Es wird nun 

in T 

/' = I costlfdtlfj X je sec a^dt . (6) 

U 

Nehmen wir das innere Integral nur von r > null bis T, so ändert 
sich der entsprechende Teil von J bei Verschiebung von P' stetig, 
auch wenn dieselbe P' durch Pq hindurchführt. Dm zu erkennen, 
welchen Einflufs derjenige Teil von /' hat, welcher bei der Int^ation 
von t «s null bis r entsteht, beachten wir, dafs / < ^ ist. Setzen 


32 1- KapiteL Allgememe EigensduifteB dtr ^ireanfiädien. 

wir oim für /^ : ^ und far eos ^ die Einheit, sowie for l jdS sec a 
seinen groisien absoluten Wert \l^S ^eca)^ innerhalb des In- 
t^rotionsbereiehes, so wird der abeohite Wert des betreffenden Teiles 
Ton J* kleiner als 

2« r(l^e sec c)«„. (7) 

Uieraos ist ersiehtüch, dafs die unendlich nahe Ümgebong tod Pq 
zu /' nur unendlich wenig beitragt und wir haben somit bei nor- 
malem Durchgange durch P^ die Änderung 

cb* ' 

und ebenso ist (8) 

^ ^ =0. 

§ 21. TraDSfoniiatioii der Koordiaaten; DilTerentialgleichang 
fir V und fF. Haben wir irgend ein rechtwinkeliges Axensrstem, 
dessen ti-Axe mit den Axen (fy b, c bezw. die Winkel i, fi, v bildet, 
so ist 

insofern wir uns das V des Punktes P' als Funktion Ton a\ b' und 
c' gegeben denken. Differenzieren wir abermals nach tiy so folgt 


rM 




+ 2 


f'F 


ca cb 

< 

d*7 
cV de- 

cb' 

CM 


^ » 




CC 

cu 


Mit Rücksicht auf die Eli^ebnisse des § 2l> verschwindet alles 
bis aufs erste Glied, wenn wir uns die Differenz der vorstehendeu 
Gleichung fQr beide Seiten einer Grenzfläche gebildet denken, und 
es entsieht also beim normalen Durchgange durch dieselbe in ^' F : du'^ 
ein Sprung 

4 ^ = - 4jrA'' ^S^ cos' l , (1) 

wobei berücksichtigt ist; dafs einer Verschiebung des Punktes P' in 
der tt-Axe um du eutsprechen die Änderungen: 

du' cool = da, du cos n = db\ du co8v = dc . (2) 

In gleicher Weise findet sich eine der Gleichung (1) entsprechende 
Formel für jede der beiden andern Axeniichtungen, die mit der ti- Aze 
kombiniert sind^ nur ist für X der ' betreffende Neigungswinkel zur 
a-Axe, der Grenzflächennormale, zu setzen. Sind z. B, die drei Axen 
die früher benutzten der x^ y^ z und sind a, ^, y bezw. die Winkel 
der Grenzflachennormale mit diesen drei Axen, so wird 


§21. TranBformatioii der Koordinaten. Differentialgleichung für F und TT. 33 

^ ~^ = — 4«A:2 ^©^ cog2 ^ (3) 

^ -jjlT — — 4:7ck^ J&Q cos' y . 
Hieraus folgt mit Bücksiebt auf die bekannte Relation 

cos' a + cos' /J + cos' y = 1 , 
dafs 

^:^ + ^^ + ^-S^'=-4«A'^®« (4) 


ist. Diese Gleicbung giebt zunäcbst den ünterscbied von -f-X + |-X 

+ "gTT 2^^ beiden Seiten einer ürenzfläche, Unstetigkeitsflache der 

Dichtigkeit 

Man kann aus ihr eine andere Gleicbung ableiten, wenn man 
zunächst bemerkt, dafs aufserbalb der Erde 

a«F , a»F , atF ^ ,., 

ist. In Bezug auf die Potentialfunktion eines beliebigen Körpers 
heifst (5) die Gleichung von Laplace. Aufserbalb der Erde können 
wir setzen, vergl. S. 19 § 15 (1): 


^W ,j r-gt + 3(a;--a?y dm , ^ 


l 
d 


woraus folgt 


^ W -^ ^2 f-e* + H»-»y dm 


a^'« 


a»TF , a«TF , a«TF « ? fa\ 


Läfst man ci weg, so gebt WiuV und (6) in (5) über ; folglich gilt 
(5) aufserbalb. 

Nehmen wir in (4) die Oberfläche als Grenzfläche und treten 
von aufsen nach innen ein, so ist d®^ =: @ in der Oberfläche, und 
dib Addition von (4) und (5) giebt 

Diese Gleichung giebt den Wert von ^tj + - a /y + -^ -y für eineib 

der Oberfläche unendlich nahen Punkt, in dem die Dichtigkeit gleich 

® ist. Sie gilt aber auch für jeden andern Punkt, in welchem die 

Dichtigkeit regelmäfsig verläuft. Denn führt man unendlich nahe 

einem solchen einen Schnitt, der die Erde in zwei Teile teilt, so ist 

in Bezug auf den einen Teil P' ein äufserer Punkt und für das be- 
Heim ort, mathem. u. physikal. Theorioen der höh. Geodftiie. 3 


34 !• KapiteL Allgemeixie Eigenschaften der Niveaaflächen. 

treflfende V gilt (5); in Bezug auf den andern Teil gilt dann (7), 
weil in diesem Teil P^ ein innerer, der Oberfläche unendlich naher 
Punkt ist. Es gilt daher für das totale V wieder Gleichung (7).*) 

Abgesehen von denjenigen Flächen, in welchen ® Singularitäten 
hat, ist daher allgemein für einen Punkt f mit den Koordinaten 
x' f y und z', sowie mit der Dichtigkeit &\ 




d^W , a*TF , d^W ^^,.9^. . 0--2 


(8) 


ferner wegen (6): 

Diese Differentialgleichung zeigt, dafs W nur innerhalb eines solchen 
Teiles der Erde, in welchem & durch ein und dieselbe Funktion der 
Koordinaten darstellbar ist, einer einzigen Funktion der Koordinaten 
im gewöhnlichen Sinne der Analysis (einer analytischen Funktion) 
entspricht^ daCs aber bei wechselnder Funktionsform für & auch der 
analytische Ausdruck f&r W wechseln muTs. 

Kehren wir noch einmal zurück zu der eingangs dieses Para- 
graphen eingeführten f/-Axe und nehmen wir an, dafs sie durch 
Drehung des Axensystems ahc um die c-Axe als Endlage der a-Axe 
hervorgegangen sei. Wir haben dann ein Axensystem, dessen Ko- 
ordinatenanfang im Punkte P^ der Grenzfläche liegt, gegen welche 
zwei der Axen geneigt sind^ während die dritte, die c-Axe, dieselbe 
in P^ tangiert. Differenzieren wir jetzt die Identität 


nach u, so folgt: 


W"" de 


d^V ^V da ■ d'V dh' , d*V de' 

i Q/.' av :»*/ "r 


de du ~ de da du ^ de dh' du' ^ de^ du ' 

und hieraus ergiebt sich, wenn wieder die Differenz dieser Gleichung 
für beide Seiten der Grenzfläche gebildet wird, mit Rücksicht auf die Er- 
gebnisse von § 20 bei normalem Durchgange durch eine Grenzfläche: 

^ -J^ = . (9) 

de du ^ ' 

Wegen des Umstandes, dafs die zweiten Differentialquotienten 
der Poteutialfunktion der Zentrifugalkraft entweder konstant oder 
null sind, gelten die Formeln (1) und (9), von denen wir nun Ge- 
brauch machen werden, unmittelbar auch für fF. 

liaplace glaubte, dafs die Differentialgleichung (5) für V auch inner- 
halb des Körpers gelte, und JMiÄJ. eä„ 1. 1, l. II, p. 136—137 zeigt, wie er 
zu dieser Ausicht gelangt ist. Er übersieht nämlich, dafs die Differentiation 
unter dem Integralzeichen an Bedingungen geknüpft ist. Erst Poisson 
fand für das Innere des Körpers die richtige Differentialgleichung. 

*) Gustav Kirchhoff, Mechanik. 2. Auflage, Leipzig 1877, S. 179 unten. 


§ 22. Die Unstetigkeit in der Krümmung der Niveauflächen etc. 35 

§ 22. Die Uastetigkeit in der Krümmung der Niyeauftäclien 
bei dem Durchgange derselben durch eine Unstetigkeitsstelle 
der Dichtigkeit. Wir betrachten eine Niveaufläche zunächst inner- 
halb eines Raumes, wo die Dichtigkeit keine Singularitäten hat. Dann 
ist die Vorbedingung für die Entwicklung von W nach Taylors Satz 
in eine endliche Reihe, nämlich die Bedingung der Endlichkeit und 
Stetigkeit der Funktion fV und ihrer in betracht kommenden Difie- 
rentialquotienten, erfüllt. Nach diesem auf drei Variable ausgedehnten 
Satze hat man ftir ein rechtwinkeliges, durch den Punkt P^ gelegtes 
Koordinatensystem der £ 17 1> wenn in P^ das Potential W ^=» Wq ist: 

^ = ^0 + C^ig + ^^n + f^zt) + i(^..i6^+ ^..2^' + ^3.3^') 

+ (^1.2?^ + ^1.352 + ^2.3^5) + Ö/3 . (1) 

Hierin bedeuten fV^j W^, ^3 die ersten Differentialquotienten nach 
g, 17, g, femer ^).i, ^2-21 ^3.3 ^^ zweiten Differentialquotienten nach 
£,17, {; und endlich W^,^} ^1-3» ^2*3 ^^^ zweiten Differentialquotienten 
nach S und 1}, £ und ( und 17 und £, genommen für den Koordinaten- 
anfang Pq. Der mit Gl^ bezeichnete Rest der Entwicklung hat in 
Bezug auf die Koordinaten den dritten Orad ; die in diese Koordinaten- 
ausdrücke multiplizierten Differentialquotienten dritter Ordnung gelten 
aber nicht für P^^ sondern für irgend welchen, nicht näher bekannten 
Punkt der geraden Linie zwischen P^ und dem Punkt JD ■»(§ 17 g).*) 

Die Entwicklung (1) kann immer dadurch zu einer brauchbaren 
gemacht werden, dafs man {, 171 £ auf ein dem Punkte Pq überall 
hinreichend nahes Gebiet beschränkt — so nahe, dafs der Rest (7/3, 
welcher aus einer endlichen Anzahl von Produkten endlicher Grofsen 
(der 3. Differentialquotienten) in Potenzen und Produkte 3. Grades 
von £, 17, S besteht, als verschwindend angesehen werden kann. 

Für die Punkte P einer durch P^ gelegten Niveaufläche ist W 
überall gleich W^. Hierdurch vereinfacht sich (1); noch mehr aber, 
wenn wir die Normale der Fläche zur g-Äze nehmen. Dann ver- 
schwinden W^ und fP,, wie die Differentiation von (1) zeigt, weil 
die beiden Differentialquotieuten d^idi und diidri^ entsprechend 
der tangentialen Lage der %- und i^-Axe, für S, 12 und ^ gleich null 
verschwinden müssen. W^ stellt nun nach § 8 (1) S. 10 die. Schwer- 
kraft g negativ genommen dar, wenn wir festsetzen, dafs die ^Axe 
die Flächennormale in der Richtung abnehmender IV augiebt. Indem 
wir unsere Betrachtung auf die Nähe der physischen Erdoberfläche 
beschränken, ist der Wert von ^ d. i. — ^3 > null und die Niveau- 
fläche daher stetig gebogen. 


*) Vergl. z. B. Hatiendorff, Höhere Analyua, ßd 1, Hannover 1880. 
S. 287 und 288. 

3^ 


36 !• KapiteL AUgemeine EigenBohafben der Niveaafl&chen. 

Wir erhalten jetzt als Gleichung der Niveaufläche in der Um- 
gebung des Punktes P^, bezogen auf Pq als Koordinateuanfang und 
die Normale als ^Axe: 

Sind aber % und 17 Gröfsen 1. Ordnung, so hat t hiernach die 
2. Ordnung, Sg und 17 {; haben die 3. und ^' die 4. Ordnung. Damit 
ist noch einfacher: 

»'»6 + Y (»'...l' + »'«'?*) + ^^^^^n + Gl^ = 0. (3) 

In der gi^- Ebene führen wir nun Polarkoordinaten ^ und a ein 
nach den Relationen: 

g =s ^ cos a 12 = d* sin a . (4) 

Die Gleichung (3) giebt dann: 

^ ^^2 ^1-1 cos'g -j- ^ff BJp'« + 2 TTi-, ging coa« _\ ri (v^ 

b = — v^ 2^= r "'•3' W 

Dies ist für konstantes a zugleich die Gleichung der Scbnittkurve 
einer Normalebene in P^, Ein Kreisbogen vom Radius Qa^ der die 
Schnittkurve in P^ tangiert, hat die Gleichung*) -ö-' = — 5(2(>o + ?)» 
woraus, wenn %^ eine Grofse l. Ordnung ist, folgt: 

g_._»2 1 +<;/ (6) 

Die Gleichungen (5) und (6) stimmen für unendlich kleine %^ 

wo die Gl^ und Gl^ gegen 0*^ zu vernachlässigen sind^ mit einander 

überein für 

1 ^_ Wyx co8*tt + TTg., BJn'ce + ^ ^i-t sing coa« ^„v 

Diese Formel bestimmt den Krümmungsradius der durch a fixierten 
Normalebene der Niveaufläche in Pq und zwar in dem Sinne, dafs bei 
positivem Werte von Qa der Difi'erentialquotient W^ in Bezug auf die 
wachsende Richtung von Qa zu verstehen ist. 

Differenziert man den Ausdruck (7) für — nach a, so findet 
sich als Bedingungsgleichung des Maximums und Minimums: 

tan 2«o= w^-'w.. ' ^^) 

worin wir a sogleich einen Index angehangen haben, um es von 
dem allgemeinen Symbol zu unterscheiden. Eliminiert man nun W^.2 
aus dem Zähler rechter Hand in der auf a^ angewandten Gleichung (7) 
mittelst (8), unter gleichzeitiger Einführung der trigonometrischen 
Punktionen von 2«© filr cos^otq, sin'ao "^^ sina^ cos a^, so folgt: 

*) Vergl. Bd. 1 Fig. 2 S. 58. Es ist aber dort die i-Axe nach dem Mittel- 
punkt des Kreises gerichtet, während wir jetzt besser das Gegenteil annehmen. 


§ 22. Die Unstetigkeit in der KrflmmuDg der Niveauflächen etc. 37 

Diese Formel giebt die beiden extremen Werte von q für die beiden 
um 90® verschiedenen, aus (8) zu berechnenden Werte von «q. Nen- 
nen wir diese beiden Hauptkrümmungsradien q^ und q^ und verstehen 
unter 2a^^ den positiven oder negativen spitzen Winkel, den (8) er- 
giebt und setzen endlich 

80 wird (10) 

1 TT,., + TT,., TT,., - Wrt o 

Hiemach besteht für das arithmetische Mittel der beiden Haupt- 
krümmungsradien , d. i. nach Bd. 1 8. 64 oben der Durchschnitts- 
wert aller — , oder der Durchschnittswert der Krimmungsimafse alter 
Normalschnitte in P^^ die Gleichung: 

2 Ui ^ Pf/ 2Tr, ' ^*^^ 

ferner findet sich, wenn aus 1 : p^ P2 mittelst (8) sec 2a ^ unter Be- 
nutzung der Relation sec' «= 1 -[- tan' eliminiert wird, für das 
KrOmmungsmafs der Niveaufläche in P^ die Gleichung: 

Die Hauptkrümmungsradien können noch dazu benutzt werden, 
um die Formel für 1 : p« umzugestalten. IVIan gelangt dann wieder 
zu Eulers Satz, vergl. Bd. 1 S. 57 (1), worin aber zur Anwendung 
auf den vorliegenden Fall Qm und Qn mit Qi und ^2 ^^ vertauschen 
sind und unter a nunmehr der Winkel zwischen den Ebenen von q^ 
und Qa zu verstehen ist, welcher in obiger Entwicklung durch a — cCq 
bezeichnet wird. 

§ 23. Fortsetzung. Wir nehmen jetzt an, dafs durch den 
Punkt Pq der Niveaufläch.e eine Grenzfläche zweier Räume hindurch- 
führt, in welchen & stetig verläuft, während in der Grenzfläche & un- 
stetig wird. Wir wissen nun bereits, dafs die Niveaufläche durch 
jene Unstetigkeitsfläche stetig gebogen hindurchgeht; aber wir werden 
an der Hand der Paragraphen 21 und 22 demnächst erkennen, dafs 
die EjTÜmmung bei dem Durchgange der Niveaufläche durch die Un- 
stetigkeitsfläche sich unstetig ändert. 

Infolge der stetigen Biegung können wir ohnje weiteres in jedem 
der beiden Räume für sich die Entwicklung des § 22 auf P^ und 
»eine Umgebung anwenden, wenn bei Berechnung der zweiten Diffe- 
rentialquotienten Pq ein Mal als Punkt des einen Raumes, ein ander 
Mal als Punkt des andern Raumes aufgefalst wird. 


38 1* Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

Wird nun die 17-Axe tangential an die Unstetigkeitsfläche gelegt 
und schliefst die ^-Axe mit der positiven Richtung der Normale dieser 
Fläche den Winkel 90® ~ 1/ ein, ist also v der Neigungswinkel der 
Unstetigkeitsfläche zur Niveaufläche in Pq^ so ergeben sich nach 
§ 21 (1) und (9), indem die c- und ti-Äxe daselbst jetzt als 17- und 
g - Äxe genommen werden, nachstehende Änderungen beim Durchgange 
durch die Unstetigkeitsfläche nach der Seite der positiven Normale: 

z/fTj.i = ^ -|^ = — ink^ JSq Bm'v 

^^2.2 = ^-1^ = (1) 

^•2 du de 

Aufserdem ist, wie schon bemerkt, i^3 = — g in beiden Räumen. 

Man erhält jetzt als Sprünire in — , , ~ ( 1 ] und in 

cot2ao beim Durchgange durch Pq nach der Seite der positiven 
Normale nach § 22 (7), (8). (11) und (12) S. 36 u. 37: 

^J = ^-^ COS'fif , 

9a 9 ' 


^1-^1 = 
y 9t9ti 


dWft 


'■ig 


(2) 


Führt man den Wert von ^W^,^ nach (1) ein, so folgt: 

^ — =» H — /l&a sin^v cos'a 

9a ^9 '® 

. r 1 i 4«*» TT,., .^ . 2 

1 Pl et i ^ ^ 

^J cot 2«^ c= — -^ ^i®o sin'v . 

Diese Formeln geben an, wie sich der reziproke Krümmungs- 
radius im Azimut a, das Krümmungsmafs, der Durchschnittswert der 
reziproken Krümmungsradien und die Cotangente der Azimute der 
Hauptschnitte (die ^zimute von der zur gemeinsamen Tangente der 
Unstetigkeitsfläche und Niveaufläche rechtwinkeligen Tangente der letzte- 
ren im üblichen Drehungssinne gerechnet) ändern, wenn die Niveau- 
fläche durch eine Unstetigkeitsfläche im Neigungswinkel v hindurch- 
geht und dabei an der betreffenden Stelle die Dichtigkeit um ^&q 


§ 23. Die Unstetigkeit in der Krümmung der Niveauflächen etc. 39 

wächst Die Art und Weise, wie die Differentialquotienten ^2*2 ^^^ 
/f^,.2 zu verstehen sind, erhellt aus der zweiten und dritten Relation (1). 

"1 
Die erste der Formeln (2) zeigt, dafs die Änderung in — für a«» 90^ 

gleich nally für a «» 0^ ein Maximum ist. Man kann daher sagen: 
Bei dem Durchgange durch eine Unstetigkeitsfläche der Dichtigkeit ändert 
sich die Krümmung der Niveaufläche nicht in denjenigen Normalschniite, 
welcher parallel ist zur gemeinsamen Tangente beider Flächen, dagegen 
ist die Aenderung der Krümmung ein Maximum in demjenigen Normal- 
schnitte, welcher zu dieser Tangente rechtwinkelig steht. 

Um eine Vorstellung von dem Betrage dieser Änderung zu ge- 
winnen, führen wir für die Schwerkraft g einen Näherungsausdruck 
ein. Abgesehen von Gliedern mit der Abplattung und der Zentri- 
fugalkraft, kann man, wie das zweite Kapitel zeigen wird, g für die 
Erdoberfläche berechnen, als wäre die Gesamtmasse der Erde im 
Schwerpunkt vereinigt. Dieser Annäherung entsprechend betrachtet 
man dabei die physische Erdoberfläche als Eugelfläche. 

Ist R der Badius der letzteren [vergl. Bd. 1, S. 68, § 21 (1)], 

so ist die Erdmasse -^R^nQ^ny wenn ®tn die mittlere Dichte der Erde 
ist, welche im Vergleich zu Wasser 5,6 beträgt. Wir haben daher 

g^^«k^@„R, (3) 

und es ist die maximale, sprungweise Änderung in — gleich 

Eine Niveaufläche, die aus der Luft in eine senkrechte Felswand 
eintritt, erleidet für einen Normalschnitt normal zu letzterer in — 

3 1 

einen Zuwachs, der rund gleich-^^ ist, da hier JQ^ etwa 2,8 «= ^ ®« 

beträgt. Bezeichnet man das betreffende q in der Luft mit Qa > im 
Gestein mit Qi , so hat man 

i-=i + w- (5) 

Bei spezieller Untersuchung der Wirkung der Anziehungseffekte 

der Massen auf der physischen Erdoberfläche im vierten Kapitel 

werden wir diese Relation bestätigt finden. 

Auf die Diskontinuitäten der Krümmung aufmerksam gemacht zu haben, 
ist das Verdienst von H. Bruns. In seinen beiden, S. 19 citierten Ab- 
handlungen entwickelt er die Formeln (2) und in der Figur der Erde 
insbesondere auch den Ausdruck (4). Der Gang der Entwicklung ist jedoch 
ein wesentlich anderer. Namentlich wird vor allem auf grund der Dirichlet- 
Bchen Kriterien für V (.vergl. die oben citierten Vorlesungen S. 29) nach- 
gewiesen, dafs in einem Räume, wo S regulär ist, d. h. sich innerhalb 


40 1- Kapitel. AUgemeine Eigenschaften der Niveanflächen. 

endlicher Konyergenzbereiche nach Potenzen der rechtwinkeligen Koordi- 
naten entwickeln läfst, auch W regulSx ist. Wenn wir oben § 17 S. 24 ge- 
funden haben, dafs in einem solchen Räume W und seine sämtlichen 
Differentialquotienten von angebbar hoher Ordnung endlich und stetig 
sind, so ist dies für den Nachweis der Existenz einer unendliehen Potenz- 
reihe mit endlichem Konvergenzbezirk noch nicht zureichend, wohl aber 
reicht es aus für die Krümmungsuntersuchung, bei welcher nur eine end- 
liche Taylonche Entwicklung erforderlich wird [S. 35 § 22 (1)]. Über 
den praktischen Wert solcher Entwicklangen vergl. übrigens § 25. 

Für diejenigen Leser, welche sich für den Beweis der Begularitat von W 
interessieren, bemerken wir, dafs Kirchhoff in seiner Mechanik S. 184 § 4 
y durch ein Oberflächenintegral darstellt, welches ebenfalls diesen Be- 
weis liefert, wenn man sich den reziproken Radiusvektor so entwickelt 
denkt, wie es TT. StM in Crdlea Journal 1875 Bd. 79 8. 269 und 270 o. 
angiebt. Jene Darstellung von F ist sehr einfach, wenn der Satz von 
Green bereits bekannt ist. 

Sie wird aber überflüssig, sobald man eine Niveaufläche anfserhalb 
der Erde (oder falls man die Luftmasse als unerheblich ansieht, eine Ni- 
veaufläche anfserhalb der physischen Erdoberfläche) betrachtet. Nehmen 
wir einen anfserhalb gelegenen Punkt Po als Koordinatenanfang und ist 
P' ein anderer anfserhalb gelegener beweglicher Punkt mit den Koordinaten 
^ > y'f ' • ^^ welchen V zu berechnen ist, bezeichnet man endlich mit 
X, y, 8 die Koordinaten eines Massenelementes dm der Erde, so ist 

et « (X- «)t + (y ^ yy + {g - gy 
oder 

far r* =■ a;* -4" y* -4" Ä*. Ist nun r = PoP' hinreichend klein, so kann man 
1 : e nach Potenzen des Subtrahenden unter der Wurzel entwickeln (d. h. 

nach Potenzen Yon — , welche Entwicklung im zweiten Kapitel eingehend 

r 

untersucht wird). Dadurch erhält man 1 : e ab Potenzreihe in x\ y und z ; 
die Litegration für 

dm 


V 


-ß 


ergiebt V als ebensolche Reihe und auf demselben Gebiete g^tig, nämlich 
innerhalb einer um P^ als Zentrum geschlagenen Kugelfläche, welche 
überall von der Erdoberfläche in mefsbarem Abstände bleibt 

§ 24 Wirkungssphäre der Unstetigkeitsstellen der Dichtig- 
keit. Nach der ersten Formel (2) des vorigen Paragraphen ist die 

sprungweise Änderung von — an einer Unstetigkeitsstelle der Dich- 

tigkeit unabhängig von den Massen, welche Ursache der Unstetigkeit 
sind. Thatsächlich erzeugt ein Gesteinsbrocken bei gleichem v und a 
ganz dieselben Sprünge wie ein Gebii^ desselben Gesteins. Nichts- 
destoweniger besteht doch ein erheblicher Unterschied im Gesamteinfluls 
auf die Niveaufläche, also in der Wirkungssphäre. Wenn auch wegen 
der beiderseits der Unstetigkeitsfläche stetig verlaufenden Dichtigkeit 

die sprungweise Änderung von — schon in einiger Entfernung von 


§ 24. WürkuDgBBphäre der Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit. * 41 

dieser Fläche durch allmählich eintretende Änderungen vorbereitet 
werden mufs, so ist doch unmittelbar so viel klar, dafs wenigstens 
innerhalb einer Unstetigkeiten erzeugenden Masse die Wirkungssphäre 
nicht grofser sein kann als ihre Dimension entlang der betreffenden 
Niveaufläche. Aber auch aufserhalb der Masse mufs die Wirkungs- 
sphäre in Beziehung zu ihrer Grölse stehen. Um hierin deutlicher 
zu sehen, stellen wir eine Betrachtung unter idealen einfachen Ver- 
hältnissen an^ welche aber vollkommen ausreicht. 

Indem wir von der Zentrifugalkraft und dem Luftmeere absehen, 
denken wir uns die Anziehung auiserhalb der Erde so beschaffen, als 
ob alle ihre Masse M in ihrem Schwerpunkte vereinigt wäre. Es 
wird dann das Potential 

för einen Punkt im Schwerpunktsabstand R -\- H , Dabei ist der* 
Schwerpuuktsabstand der physischen Erdoberfläche gleich R ange- 
nommen, die mittlere Dichtigkeit der Erde gleich 9^ . Wenn nun 
W konstant gleich W^ ist, so ist auch R -\' ü konstant: der Radius der 
entsprechenden kugelförmigen Niveaufläche. Zugleich erscheint die 
physische Erdoberfläche als Niveaufläche (Meeresfläche) und H als 
Höhe darüber. 

Die Gleichung (1) wird rechter Hand einen Zuwachs erhalten, 
wenn wir uns noch eine kleine, in roher Annäherung kugelige Masse 
m auf der physischen Erdoberfläche zugefügt denken, wobei wir an- 
nehmen wollen, dafs der Schwerpunkt von m sehr nahe der ursprüng- 
lichen Niveaufläche liegt. Ist e der Abstand eines Punktes P aufser- 
halb dieser Masse von ihrem Schwerpunkt, so ist in erster Annähe- 
rung die Potentialfanktion der Anziehung dieser Masse auf P gleich 
f^m: e und daher die Gleichung der Niveaufläche W ^^ W^ mit der 
jetzt veränderlichen Meereshöhe H-\-hj auiserhalb der Masse m, an- 
genähert: 

'^=5-«*'®»^+f+T+^-=^o. (2) 

Mit Rücksicht auf die geringe Gröfse von B -\- h gegen R folgt 
aus der Differenz von (2) und der auf W^ angewandten Gleichung (1) 
angenähert: 

oder (3) 

, _3^ m 


4 nG^Rt 


Zufolge dieser Formel tritt eine merkbare Hebung h der ursprüng- 
lich vorhandenen Niveaufläche in einer Entfernung e ein, welche 
direkt proportional der wirkenden Masse m ist Wie also auch der 


42 1- Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveanflächen. 

Verlauf der Erümmungsradien sein mag, eine merkbare Wirkung wird 
jedenfalls bei kleinen Massen auf einen kleineren Wirkungskreis 
als bei grofsen beschränkt sein, und zwar gilt die Regel: Die Wir- 
kungssphäre ist proportional der Masse. 

Wir können nun aber auch ermitteln, wie sich bei verschiedenen 
Massen die Entfernungen verhalten, in welchen eine gleiche Änderung 
von Q eintritt. Die Gleichung (2) zeigt, dafs die Niveaufläche eine 
Rotationsfläche in Bezug auf eine Linie durch die Schwerpunkte von m 
und der ursprünglichen Erdmasse M ist. Ein Schnitt durch diese 
Linie ist ein sogenannter Meridianschnitt der Rotationsfläche, also auch 
für alle Punkte der Schnittlinie Normalschnitt Die Krünmiungs- 
radien des Meridianschnittes interessieren aber am meisten, weil sie 
augenscheinlich durch die lotablenkende Wirkung der Masse m am 
meisten beeinflufst werden. Denken wir uns nun im Anschluß an 
§ 22 S. 36 einen Punkt P^ als Eoordinatenanfang, die (-Axe in die 
Normale (nach aufsen) und die S-Axe in den Meridianschnitt (nach 
m hin) gelegt, so wird der Krümmungshalbmesser qa desselben für 
aufserhalb der Masse m befindliche Punkte aus Formel (7) S. 36 er- 
halten, indem a «= null gesetzt wird. Also ist 

9a = W^l W,., . (4) 

Hierzu berechnen wir W^,^ aus (2), indem wir die Koordinaten 
eines beliebigen Punktes des Meridianschnitts mit £ und S, diejenigen des 
Schwerpunkts von m mit S^ und gj und diejenigen des Schwerpunkts M 
der Erde mit Iq und ^ bezeichnen , demgemäfs also in (2) einführen : 


Es folgt, wenn wir nach geschehener Differentiation £ und g 
gleich null setzen, den Differentialquotienten also auf Pq beziehen : 

«- - (^^\ ^±^Ir2(id ^ (- 1 -J ^J"'— ^ 

^•» "" V a«' /o ■" 3 ^'^ ^"» {B + H + h)^\ ^ '^'{R+a + h)t) 

+ ^^-5(-l + ^), (6) 

wobei ^2 = g,2 _j_ j^2 ig|j^ 

Diese Formel läfst sich wesentlich vereinfachen, wenn wir uns 
auf Punkte Pq beschränken, die in der Nähe der störenden Masse 
liegen. Dann ist der Faktor der zweiten Parenthese etwa von der- 
selben Ordnung, wie derjenige der ersten Parenthese, wie man er- 
kennt, wenn man sich m als Kugel vom Radius a denkt und beachtet, 
dafs a : e nach unserer Annahme ein von 1 nicht allzu verschiedener 
Bruch sein wird. Im ersten Faktor dürfen wir den nach (3) kleinen 
Wert h gegen R -\- H vernachlässigen und ebenso das Glied mit S^^; 


§ 24 WirknDgBBphäre der Unstetigkeitestellen der Dichtigkeit. 43 

denn i^ : {B ••}' H -j- h) ist nichts anderes als der Arcus der Lotab- 
lenkong in Pq, welcher nur ein kleiner Bruch sein kann. Setzen 
wir zugleich g,2 —, ^2 — j^2^ so folgt aus (6) in hinreichender An- 
näherung für Punkte, welche der störenden Masse nahe, jedoch 
aufserhalb derselben liegen: 

/r... = -4«*^ 0„ ^-|'^^ (1 - I -^-^ [1-1 f]) (7) 

Ferner findet man mit Rücksicht darauf, dafs ^ sehr nahe gleich 
— (B -{- B -{- h) ist, ebenso genau: 

Mitbin ist nach (4) 


1 


ra — • — ' - .- ^^ 


l>-4^e%[>-lf]l- w 


Qa ^ + ^ 

Diese Formel zeigt, dafs die gleiche Änderung von 1 : Qa für ver- 
schiedene Massen in solchen Entfernungen e eintritt, für welche -g 

gleichen Betrag hat; denn der Wert der eckigen Parenthese ist jeden- 
falls angenähert gleich 1. In Bezug auf Krümmungsänderung ist 
sonach die Wirkungssphäre der durchschnittlichen linearen Dimension 
der Masse näherungsweise proportional — ein Resultat^ welches mit 
dem an der Hand von (3) gefundenen nicht in Widerspruch steht, 
weil dort eine integrale, hier nur eine differentiale Wirkung in be- 
tracht kommt. 

Wie gering die Totalwirkung von Massen' ist, die im gewöhn- 
lichen Leben schon für bedeutend gelten, ersehen wir an der Wir- 
kung eines Berges von der Form eines iCubus von 100^ Seite und 

der Dichte 2,8 «= y ©m . 

Aus Formel (3) folgt als Hebung h einer Niveaufläche, die nahezu 
durch den Schwerpunkt von m geht, bei ihrem Eintritte in den Kubus 
rund 0,4*""* . h wächst im Innern noch fort bis auf nicht ganz den 
doppelten Betrag beim Eintritt, welches Maximum natürlicherweise 
in der Mitte eintritt und dadurch hervorgerufen wird, dafs die Po- 
tentialfunktion der Anziehung des Kubus von der Oberfläche nach 
dem Zentrum des Kubus rund aufs Doppelte ansteigt. Hiervon über- 
zeugt man sich leicht, wenn man den Kubus durch eine Vertikal- 
ebene durch den Schwerpunkt in zwei kongruente Hälften teilt und 
beachtet, dafs zu dem innern Punkte die Hälften beide so nahe liegen, 
wie zu dem äufsem nur die eine. 

Trotz dieser geringen Totalwirkung erleidet p beträchtliche Ände- 
rungen. Nach (9) ist beim Eintritt in den Kubus augenähert p^ «» — /{ 
und nach Formel (5) S. 39 springt p an dieser Stelle innerhalb auf 


44 i* Kapitel. Allgemeine EigenschafteD der Niveauflächen. 

den Wert Qt = + 2Ä . Diese Werte sind von der Seitenlänge des 
Kubus unabhängig. Abhängig von dieser ist aber die Dauer nega- 
tiver Qa . Denn p« springt von — cx> auf -f- ^^ bei ^ = 0,63 Seiten- 
längp, im obigen Falle also bei e = 63"* . 

§ 25. Potenzreihen für Niveauflächen sind unpraktikabel. 
In § 13 wurde gefunden, dafs die Biegung der Niveauflächen (für 
ff > null) jedenfalls stetig ist, wie auch die immer endliche Dichtig- 
keit verläuft. Folgende Paragraphen haben dagegen gezeigt, dafs die 
Krümmung an jeder Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit erheblich 
wechselt. In den Materialien der Erdkruste ändert sich nun die 
Dichtigkeit schon vielfach in sehr kleinen Räumen, so dafs faktisch 
auch die Krümmung vielfach wiederholten starken Änderungen in 
sehr kleinen Gebieten einer Niveaufläche unterliegt; indessen hierauf 
brauchen wir nach § 24 selbst bei feinen Untersuchungen keine Rück- 
sicht zu nehmen. Denn wenn die totale Wirkung von kubischen 
Massen bis zu 1(X)"* Seitenlänge so gering ist, wie dort berechnet, 
dann kann man sich in der That bei den feinsten Untersuchungen 
die wirkliche Massenordnung durch eine ideale ersetzt denken, welche 
deren Unstetigkeiten von geringerer Ausdehnung innerhalb grofserer 
Räume, die in stetig gebogenen Grenzflächen aneinanderstofsen, aus- 
gleicht. Man wird immer durch ähnliche Betrachtungen wie in § 24 
überschlagen können, ob die durch die Anlage der Grenzflächen und 
durch die Interpolation der Dichtigkeit vernachlässigten, bezw. zuge- 
fügten Massen für die betreffende Untersuchung von Belang sind oder 
nicht, in welchem letzteren Falle dann der idealisierte Zustand für 
die betreffende Untersuchung ausreicht. 

Innerhalb der einzelnen Räume sind aber nach'§ 17 S. 24 die 
Differentialquotienten von W endlich und stetig. Hier können wir 
daher fF nach Taylors Satz in eine Reihe nach Potenzen der Koor- 
dinatendifferenzen entwickeln (vergl. die Anm. zu § 23 8. 39). Ebenso 
können wir die Gleichung einer Niveaufläche in Reihenform bringen 
und es ist ohne weiteres ersichtlich, dafs hier auch Entwicklungen 
wie in Bd. 1 S. 573 u. ff. möglich sein werden. 

Diese Entwicklungen haben praktischen Wert aber nur dann, 
wenn sie auf wenige Glieder eingeschränkt werden dürfen. Aufserdem 
wird man solche Entwicklungen eben nur innerhalb eines Raumes 
benutzen können, für welchen die stetige Interpolation der Dichtig- 
keit gerade noch als ausreichend erscheint; denn für verschiedene 
Räume sind nach § 21 S. 34 die analytischen Ausdrücke für fF ver- 
schieden, also auch die Reihen. Wir fanden nun zwar im vorigen 
Paragraphen, dafs kubische Massen bis zu 100"* Seitenlänge wenig 
Gesamtwirkung haben; dieselbe Rechnung würde aber zeigen, dafs 
mit wachsender Ausdehnung die Wirkung von Massen, welche eine sonst 
regelmäfsige Massenverteilung unterbrechen, bei feinen Untersuchungen 


§ 25. Potenzreihen für Kiyeauflächen sind unpraktikabeL 45 

nicht mehr zu yemachlässigeu ist. Man schliefst hieraus weiter, dafs 
für Niveauflächen im Hügelland und im Gebirge, sowie an der Meeres- 
küste Potenzreihenentwicklungen von starker Konvergenz in der Regel 
auf Gebiete von wenigen Kilometern linearer Ausdehnung beschränkt 
sein werden, selbst bei solchen Niveauflächen, die ganz in der Luft 
über die Massenunstetigkeiten hinweglaufen oder in einiger Tiefe 
unter denselben liegen. Denn wegen des Satzes (1) § 8 S. 10 nehmen 
Niveauflächen, welche in der Nähe von Massenunstetigkeiten vorbei- 
fahren, an den Formveränderungen derjenigen Niveauflächen, welche 
durch letztere hindurchführen, mehr oder weniger teil. 

Niveauflächen im Flachlande werden, durch unterirdische Massen- 
unregelmäfsigkeiten beeinflufst, dasselbe Verhalten zeigen. 

Zwei belehrende Beispiele zu Vorstehendem geben § 22 und § 23 
bis 27 Bd. 1 S. 568 u. ff. Insbesondere Figur 45 S. 570 weist darauf 
hin, dafs im Harzgebiet von einer konvergenten Entwicklung ganz 
und gar nicht, sondern höchstens von einer interpolatorischen , aber 
jedenfalls unbeholfen ausfallenden Entwicklung die Rede sein kann. 
Sogar bei Figur 46 S. 572, wo es sich hauptsächlich nur um eine 
grobe Darstellung der Alpenwirkung handelt, zeigten sich Schwierig- 
keiten bei der Potenzreihenentwicklung, vergl. S. 578 § 26. 

Dies hat zur Folge, da& man bei der mathematischen Behandlung 
der geodätischen Aufgaben die Niveauflächen selbst nicht zu gründe 
legen kann und dafs für beliebige Flächen abgeleitete geodätische 
Formeln, welche konvergente (meist sogar stark konvergente) Potenz- 
reihenentwicklungen voraussetzen, für wirkliche Niveauflächen geradezu 
wertlos sind — worauf schon Bd. 1 S. 22 und namentlich S. 513 
hingewiesen wurde. 

Mit Rücksicht auf die Untersuchnogen der Paragraphen 12 und 13 
Bd. I, 8.611 u. ff. mÜBsen wir hier noch erwähnen, da(^ die daeelbst gemachte 
Annahme der Stetigkeit der Krümmung (S. 619) und der Möglichkeit der 
Reihenentwicklung (5) S. 620 (vergl. auch S. 622) mit obigen Befiultaten in 
Widerspruch zu stehen scheint. Indessen handelt es sich dort nicht um 
eine eingehende Darstellung der Eigenschaften des Geoids, sondern nur 
um die Konstatierung des Kotationscharakters im grofsen und ganzen. 
Dieser wird aber, wenn überhaupt vorhanden, durch die kontinentalen 
Massenunregelmäfsigkeiten auf der physischen Erdoberfläche, abgesehen 
von der Nähe der Küsten und einzelnen andern Anomalieeu, in den Ge- 
bieten, welche Gradmessungen zugänglich sind, nicht verwischt, weil die 
Gestalt des Geoids nach Untersuchungen, welche im dritten Kapitel ge- 
geben werden, sich nicht wesentlich ändert, wenn die Massenunregel- 
mäfsigkeiten, wie überhaupt die äufsersten Massenschichten um etwa drei 
geographische Meilen nach innen verschoben werden. Betrachten wir 
aber das Geoid als eine Kiveaufläche aufserhalb der Erde, so ist sie nach 
8. 40 § 23 Anm. eine reguläre Fläche, für welche eine Gleichung im ge- 
wöhnlichen Sinne der analytischen Geometrie der analytische Ausdruck 
ist und für welche femer sich auch Reihen nach Potenzen rechtwinkeliger 
Koordinaten ansetzen lassen. Die Möglichkeit einer Reihenentwicklnng von 


46 1* KapiteL Allgemeine EigenBchaften der Niveanfläcfaen. 

der Form (5) 8. 620 erBcheint nun auch gegeben, da die Differentialquoti- 
enten von e nach P bei angemessener Beschränkung des Gebietes endlich 
und stetig sind; doch würde eine vollständige Untersuchung der Sache 
noch nachzuweisen haben, dafs wirklich ein endliches Eonvergenzgebiet 
vorhanden ist. 

§ 26. Schwerkraft und Lotlinien beim Durchgange durch 
eine Unstetigkeitsfläche der Dichtigkeit. 

Die Schwerkraft g hängt nach Gröfse aiid Richtung von den 
ersten Differentialquotieuten von W ab; wir wissen, dafs beide sich 
stetig mit dem Orte ändern (die Richtung allerdings nur f&r g > null). 
Die Geschwindigkeit aber, mit der sich 6r5fse und Richtung ändern, 
hängt von den zweiten Differentialquotienten ab, und beide sind daher 
beim Durchgange durch eine Unstetigkeitsfläche unstetig. 

Nach Paragraph 8 (1) 8. 10 ist die Geschwindigkeit dg : dh der 

Änderung von g bei Verschiebungen eines Punktes P entlang der 

Lotlinie gleich 

d>Tr 

wenn die Verschiebungen in Richtung der Abnahme von W^ d. h. 
mit zunehmender Hohe erfolgen. Bildet nun die Lotrichtung in P 
mit der Normale einer Unstetigkeitsfläche, welche durch P hindurch- 
fahrt, den Winkel i/, so wird nach § 21 (1) 8. 32 die sprungweise 
Änderung der Geschwindigkeit dg : dh beim Durchgange durch die 
Unstetigkeitsfläche gleich 

j -^I^H ^nk^ J&Q cos«!/ . (1) 

Führen wir für die Nähe der physischen Erdoberfläche wie 8. 39 (3) 
den Ausdruck 

g=\ Ttk^e^R 

ein, welcher im vorliegenden Falle eine völlig ausreichende Annäherung 
gewälirt, so ergiebt sich: 

^ -'i = ^^ I -*«' • (2) 

Für die Änderung der Schwerkraft mit der Höhe au&erhalb der phy- 
sischen Erdoberfläche erhält man nun eine ganz brauchbare Annähe- 
rung, wenn man, vergl. 8. 41 (1), in der Meereshohe H 

M 

setzt, womit sofort folgt: 

®. - (Ä) - ■ 'i • (3) 

Insofern beim Übergang aus der Luft in horizontales Gestein v e= null 


§ 27. Die geographischen Meridiane und Parallelen. 47 

ist und J&Q sehr nahe gleich der Gesteinsdichte ©,• wird, folgt aus 
der Addition ron (2) und (3): 

m — I (2 - -e?) ■ w 

Indem aber &i im allgemeinen gleich -^ ©^ gesetzt werden kann, 

zeigt diese Formel, dafs die Anderungsgeschwindigkeit von g unter- 
halb der physischen Erdoberfläche nur etwa der vierte Teil des Be- 
trages oberhalb derselben ist. Aber es findet jedenfalls eine Zunahme 
von ^ unterhalb der physischen Erdoberfläche bis zu einer gewissen 
Tiefe statt (vergl. hierzu 6. Kap. § 13). 

Die Kraft- oder Lotlinien sind wegen der stetigen Änderung der 
Lotrichtung stetig gebogen, vergl. § 12 S. 14; jedoch ihre Krümmung 
ist wie bemerkt unstetig, derart, dafs nicht nur die Gröise des Krüm- 
mungsradius, sondern auch die Lage der Schmiegungsebene sich bei 
unendlich kleinen Verschiebungen von P in der Lotlinie um endliche 
Beträge ändern kann. (Vergl. darüber Brunsy Figur der Erde^ S. 12 
und 13, sowie S. 20 0..) 

§ 27. Die geographischen Meridiane und Parallelen einer 
Niveaufläche (Bd. 1 S. 8) sind überall unstetig gebogen, wo die Ni- 
veauflache eine Unstetigkeitsfläche der Dichtigkeit durchschneidet, 
um dies einzusehen, stellen wir ihre Gleichungen auf. 

In Bezug auf ein beliebiges rechtwinkeliges Koordinatensystem 
seien %^ ^, o die Neigungswinkel der Erdaxe bezw. zu den drei Axen 
der x, y und z. Für die Normale einer Ebene, zu welcher die Meridian- 
ebenen aller Punkte eines geographischen Meridianes parallel liegen 
sollen, seien diese Stelluugswinkel gleich A, fc, v. Da nun die Meridian- 
ebenen parallel zur Erdaxe laufen, steht letztere mithin auf der Nor- 
male (Afif) senkrecht und es ist nach einem bekannten Satze der 
analytischen Geometrie: 

cos X cos A + cos ^ cos ft -|- cos cd cos 1/ ■= . (1) 

Durch diese Gleichung ist zunächst ausgedrückt, dafs die Meridian- 
ebenen parallel der Erdaxe sind. • Sie sind aber auch Vertikalebenen 
ihrer Punkte und es mufs daher in irgend einem Punkt die Normale 
(Afti/) rechtwinkelig zur Lotrichtung sein. Die Richtungscosinus der 
letzteren sind aber offenbar den Komponenten der Schwerkraft g für 
die drei Axen, d. h. nach (2) S. 9 den partiellen Differentialquotienten 
von W nach den drei Koordinaten, proportional. Mithin wird 

__cosA+ -^--cosfi + -gy-cosi; = 0. (2) 

Diese Gleichung gilt auch insbesondere für einen Punkt P^ , dessen 
Meridianebene mafsgebend sein soll: 


48 


1. KapiteL Allgemeine Eigenschaften der Nireauflächen. 


(3) 


Aus (1), (2) und (3) kann man cos A, cos fi und cos v eliminieren. 
In Determinantenform ist das Resultat: 


dw 

dx 
dW 


dw 


dw 


\ dx )o ( 
COSjr 


dy dB 

dW\ idW\ 


dy 

cos V' 


)o. 1 dB )o 


COSfi) 


= 0. 


(4) 


Hierzu tritt noch, um den geographischen Meridian durch Pq vollständig 
zu definieren, die Gleichung der Niveaufläche durch PqI 

W^W^. (5) 

Ohne diese Gleichung bedeutet (4) die Gleichung einer Fläche, 
welche alle Punkte gleicher geographischer Länge des ganzen Raumes 
enthält. 

Um nun die Richtung eines Linienelementes ds des geographischen 
Meridianes, welches von P^ ausgeht, zu erhalten, haben wir für die 
Gleichungen (4) und (5) das totale Differential für eine Verschiebung 
von P auf der Niveaufläche zu bilden, dann aber P mit P^ zusammen- 
fallen zu lassen und also alle Differeutialquotienten von W auf P^ zu 
beziehen. Wir bezeichnen dabei nach den Gleichungen: 

dW 


\ dx ) 

dW\ 


^1 


Es wird erhalten: 




X'dxdy )o 
u. 8. f. 


^1. 


1.2 


fF,.l ^l.g fFl.J 


ffi Wi Wt 

dx-\- 

cos j; cos ^ coso 



WU ^«.3 Wz^ 
fVi fV^ Wz 

cos X cos ^ cos o 


tfz=0 (6) 


(7) 


^1.2 ^8.2 ^2.3 

Wt W2 Wz dy + 
cos 2 cos ^ cos o 

Wi dx + Widy + Wzdz = 0. 

Hieraus kann man die Richtungscosinus des Linienelements des geo- 
graphischen Meridianes in Pq berechnen. Diese Rechnung verfolgen 
wir aber nicht weiter und bemerken nur bezüglich des Koordinaten- 
systems, dafs man in dem Falle, wo als z-Axe die Erdaxe selbst ge- 
nommen wird, 

cos 2 °=^ cos ^ = cos o «= 1 (8) 

einzuführen hat. 

Wählt man dagegen die Tangentialebene in P^ als x^- Ebene 
und die Normale der Niveaufläche als z-Axe, so ist zu setzen 

ff-j = = ^8 . (9) 


§ 27. Die geographischen Meridiane und Parallelen. 49 

Wegen (7) wird alsdann dz = null und (6) giebt, wenn wir an- 
statt xyz jetzt bezw. $17^ schreiben, um auf die Bezeichnungen der 
Paragraphen 22 und 23 zu kommen: 


dri 


C08X COS^ 


cos 2 cos^ 


(10) 


Liegt nun P^ in einer Unstetigkeitsfläche und die 17-Axe tan- 
gential au dieser, dann geben die Formeln (1) § 23 S. 38 für fVt.i u. s. f. 
die Unterschiede der Werte beiderseits der Unstetigkeitsfläche. Hier- 
nach ist nur H\.i unstetig und man sieht nun deutlich, dafs die Kurve 
des geographischen Meridians im allgemeinen in Pq eine Ecke hat. 

Um die Gleichung des geographischen Paralleh abzuleiten, erinnern 
wir unS; dafs die Richtung der Normale in P durch die Richtungs- 
cosinus , ^ und ^ - definiert ist, diejenige derErdaxe aber 
dx oy dz » j o 

durch die Werte cos % , cos ^ und cos co . Ist ^ die geographische 
Breite von P^ so hat man nach einem bekannten Satze der aniflytischen 
Geometrie für cos ( 90" — B) oder sin -^ die Gleichung: 

wozu noch tritt: ly t=z w (VZ\ 

welche letztere Gleichung erforderlich ist, um diejenigen Punkte aus- 
zuscheiden ^ welche nicht auf einer bestimmten Niveaufläche liegen. 
Die weitere Behandlung ist ähnlich wie oben. Wählt man das 
Koordinatensystem |i}{;, so folgt 

diT TF|., cob;i; -f- Tf", , cos^V» + 1^,., C08ai_ l\^\ 

di fr,.,co8x-f HVjCOflVr-f. Tf^j.gCÖaäT ' ^^^^ 

wodurch sich die Richtung eines von P^ ausgehenden Liuienelements 
bestimmt. Au einer Unstetigkeitsfläche ändern sich Wx.\ und Wx.^ 
sprungweise; nehmen wir aber der Einfachheit halber an, dafs die 
Unstetigkeitsfläche die Niveaufläche bei P^ normal schneidet, mithin 
die {;-Axe ebenso wie die i^-Axe die erstere tangiert, dann wird die 
Änderung von Wx,^ gerade so wie diejenige von Wi.^ gleich null und 
es ändert sich nur Wi.x sprungweise nach Mafsgabe von Formel (1) 
ä. 38 , wobei sini/ b= 1 zu setzen ist. 

Zur Berechnung von Näherungswerten für die in (10) und (13) 
auftretenden Uifi'erentialquotienten von W kann der Ausdruck (1) 
§ 23 S. 41 dienen. 

Zum Schlüsse braucht kaum noch darauf hingewiesen zu werden, 
dafs für Meridiane und Parallelen der analytische Ausdruck von Ecke 
zu Ecke ein anderer wird, da W beim Durchgange durch eine Fläche, 
wo die Dichtigkeit Singularitäten hat, einen anderen analytischen Aus- 
druck erhält. 

Uelmert, mathem. n. physikul. Theorieeti der hOh. Geodftsie. II. 4 


50 2- Kapitel. BestimmQng der Abplattung aus SchweremesBungen. 


2. Kapitel. 
Bestimmung der Abplattung aus Schiveremessungen. 

§ l. Entwicklang von — in eine Potenzreihe. Um das Po- 

tential W der Schwerkraft in eine für die weitere Anwendung geeignete 
Form zu bringen, ist es erforderlich, in dem Ausdruck (1) § 6 S. 8: 

/F = A^J-^ + ^(x'^ + y'»)o', (1) 

— in nachstehender Weise in eine Reihe zu entwickeln. 

e 

Zunächst bringen wir in Erinnerung, dafs bei Aufstellung des 

Ausdruckes (1) der Erdschwerpunkt als Eoordinatenanfang, die Ro- 

tationsaxe der Erde als ;r-Axe und die Aquatorebene als j;^ -Ebene 

genommen ist. Die Koordinaten eines Punktes P'j auf welchen sich 

fV bezieht, sind x\ y und z'\ diejenigen eines Punktes der Erde, in 

welchem das Massenelement dm lagert, sind x, y und z^ so dafs zu 

setzen ist 

dm = & dx dy dz , (2) 

wenn wie bisher & die Dichtigkeit der Masse im Punkte (xyz) angiebt. 
Bezeichnet man nun mit r den Radiusvektor von P'y mit r den- 
jenigen des Punktes (xyz) und mit y den von beiden Radienvektoren 
eingeschlossenen Winkel, so hat man fOr den Abstand des Punktes 
(xyz) von P' die Gleichung 

tf^ = r^ -j- r'2 — 2rr' cosy . (3) 

Andrerseits ist bekanntlich 

e^^ix- xy + (y- yj + (z - r^; 

lost man hier rechter Hand die Quadrate auf und beachtet die Be- 
ziehungen : 

r'* = x^ + y'2 + 2'^ 

r* s= fl;2 -j- y2 -j- Z^ , 

SO folgt aus der Vergleichung mit (3): 

rr cos y = xx' + yy -^ zz\ (4) 

Hiermit ist cos y durch die rechtwinkeligen Koordinaten ausgedrückt. 
Wir behalten aber einstweilen cos y bei und entwickeln — ausgehend 
von der aus (3) folgenden Gleichung 

l-J,(l-2fco.,+ (J;)')-^ (5) 

unter der Voraussetzung r > r . 


§ 1. Entwicklung vou - in eine Potenzreihe. OT 




Sei i ^:^y — 1 und e die Basis der natürlichen Logarithmen^ so 
ist bekanntlieh 


y. + j-y 


cos y = — -"g (6) 

und hiermit 

Man hat ferner [vergl. Bd. 1 S. 27 (3)]: 

+-w{t)'''"'+ (') 

wobei in den Exponenten die oberen und unteren Zeichen einander 
entsprechen. Beide Reihen sind für r > r absolut konvergent und 
ihre Multiplikation giebt daher unter dieser Bedingung eine ebenfalls 
absolut konvergente B>eihe. In dem Produkt gehen wir mittelst 
der auf 2y^ ^y und Ay angewandten Formel (6) wieder auf reelle 
Werte zurück und erbalten so unter Beachtung von (5): 

r > r 
mit 7^1 CBS cos y 

^3 = y Cösy + Y cosSy 

A --61 + 64" ^^« 2y + -jjj- cos 4y . 

Da die Reihen (7) nur positive Eoefficienten enthalten, so sind 

in den Koefficienten P auch alle Glieder, abgesehen vom Vorzeichen 

der Cosinus, positiv. Hiermit erkennt man leicht, da^s die P für 

y SS null ihren gro&ten absoluten Wert annehmen. Ist aber y «s null, 

so ist nach (5) 

1 11 


e r _ r 

7 


oder 

i-^{i+(f)+(;)'+(f)'+(f)'+....)- 

Dies bestätigt einesteils die absolute Konvergenz von (8) für r > r, 
insofern eben diese Reihe noch f&r die gröfsten Koefficientenwerte 
konvergiert, andernteils zeigt sich, dals der absolute Wert eines Ko- 
efficienten P die Einheit nicht überschreitet,, wie auch y beschaffen ist. 


o2 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Für r = r gilt die Entwicklung (8) zufolge der Herleitung nicht 
ohne weiteres. Wir lassen diesen Fall einstweilen unerledigt und 
wenden uns zu dem Falle / < r. Anstatt (ö) ist jetzt zu setzen 


l__l(,_2leo,, + (i)7 


J 


Man hat also nur r mit r zu vertauschen und erhält dadurch, unter 
P, , P^ u. s. f. immer die duröh (9) bezeichneten Koefficienten ver- 
standen : 

■-Mi+f'>,+(-f)''>,+(f)v.+(fr'>,+....iTO 

r < r. 

§ 2. Fortsetzung: Die KoefBcienten P, Wir führen in die 
Ausdriicke (9) anstatt der Cosinus der Vielfachen von y die Potenzen 
von COS}/ ein. Man hat aber 

COS 2y «= 2co8^y — 1 , 

COS 3y = cos 2y cos y — sin 2y sin y = 4cos^y — 3cosy , 

cos 4y «= 2cos^2y — 1 = Scos^y — Scos^y + 1 » 

und hiermit findet sich: 

-P, = + cos y 

^2 = — y + f cos2y 


/'s = — - COS y + — cos3y 

n , 3 30 , , 35 4 

A ^ + 8^ g- cos^y -f g cos^y 


(1) 


Zu dieser Form der Koefficienten gelangt man direkt, wenn z. B. 
für r > r gesetzt wird: 




i-^0+(7)V('-.:f(7) 


Man hat hier zuerst den cosy enthaltenden Faktor rechter Hand zu 
entwickeln und dann die negativen Potenzen von 1 -ff *] j einzuführen. 

Schreiben wir anstatt ~r für den Augenblick «, so folgt zunächst: 


r 
e 


i flf COBy , . 1.3 a'cos'y j_ 


' 1.2.3...^ n 2 n+2 + • • • 

(l+a')-T~" 


(2) 


§ 2. Fortsetzung: Die Koefficienteu P. 53 


Da nun 


1 - 1 ^^*+^ g^ I (gn+l)(2n + 3) , ,2^^ 

2» + l_ * 1,2» • 1.2.2« •••>V.^/ 

(1 -f- ft*) :« 

80 erhält man unter Substitution dieser Entwicklung für n =0, \,2... 
in die vorhergehende Reihe durch Zusammenfassung der in a" multi- 
plizierten Glieder als Eoefficienten von a": 


1.3.6...(2n— 1) 


* 1.2.3. ..n 


cos-y- g^;^,;) cos— «y 

, _«(»-!) (n -8)(n-8) , 

' 2.4.(-2n-l){2n — 3) ' 


I • 


(3) 


Bei dieser Art der Entwicklung ist indessen die Konvergenz der 
Entwicklung nicht evident, weshalb wir die andere vorangeschickt 
haben. 

Wir haben oben gesehen, dafs P^ höchstens gleich + 1 werden kann. 
Diese Werte treten ein für y = null und n. Für einen dazwischen liegen- 
den Wert von y ist P^ ein echter Bruch, welcher bei unendlich anwachsen- 
dem Index n absolut genommen gegen null konvergiert. Es ist nämlich*): 

lim P„ = Bin [(n + 4-) V + 4 1 * P^ '-- ^^^ 

_*» 1^ '2/''4Jf n«8iny 


§ 3. Die Entwicklung von ~ für r =r. In diesem Falle 
geben die Gleichnngen (8) und (10) § 1 S. 51 und 52 beide 

-J-j'-{^+Pt + P2 + P: + P4 + '-']- (») 

Indessen ist aus der Entwicklung in § 1 nicht zu erkennen^ inwieweit 
diese Formel gilt. Ebensowenig zeigt dies § 2, denn die Entwicklung 
(2*) konvergiert f ür a «= 1 bekanntlich nur im Falle n = null. 

Will man sich überzeugen^ ob der Ansatz (1) zulässig ist, so 

kann mau versuchen^ direkt die Summe der geschlungenen Parenthese 

in (1) zu bilden. Man findet alsdann, dals in der That der Ansatz (1) 

richtig ist für 

cos^y < 1 . 

Ist aber cos^y =» 1 , so ist er unzulässig. 

Lietzteres läfst sich leicht erkennen; schwieriger ist der erste 
Nachweis, der sich aber mit Hülfe einiger aus der höheren Analysis 
bekannter Entwicklungen führen läfst. 

Für cos y =» 4- 1 d. h. für y » null sind nach S. 51 § 1 (5) und (8) 
alle P gleich 1, also ist dann ihre Summe oo grofs. Der Ansatz (1) 

giebt somit hier — t= oo , Wenngleich nun in der That für y = null 

c 

*) E, Heyne f Theorie der Kugelfunktionen ; 2. Auflage, Berlin 1878; S. 175 

(28c) und S. 178 (29c). 


54 2. Kapitel. BeBtimmang der Abplatining aus Schweremessungen. 

auch e => null und — also <x> grofs ist, so darf man doch nicht ohne wei- 
teres den Ansatz (1) benutzen, da oo kein bestimmter Wert ist. 

Für cos y » — 1 d. h. für y =s sr und 2 y = 2» behalten nach (9) § 1 
S. 51, oder besser nach (3) § 2 S. 53, die P mit geradem Index denselben 
Wert wie für cos y = -h ^ > dagegen wechseln diejenigen mit ungeradem 
Index das Vorzeichen unter Beibehaltung des absoluten Wertes wie für 
cos y s= -j- 1. Mithin oscilliert jetzt die Reihe 14--Pt+Pt+-Ps+-P4+- • • » 
d. i. -j-l — l-j-l — l-j-l— ... zwischen + ^ ^^^ duU hin und her, 

während — gleich —t- • -^ ist. 

Um die Reihe 1 + P, + P, + P, + P4 + . . . für coB*y < 1 zu sum- 
mieren, gehen wir von der Gleichung aus: 


^ €>/ y "l (cos V^ — COB 


" '^ J y l (cos V^ — COB y) ^ ^ 

welche in der Lehre von den Kugelfunktionen bewiesen wird und gilt, 
wenn y der Bedingung genügt: 

0<y<«.*) (2*) 

Diese Gleichung für kleine Werte von n zu verifizieren, ist nicht schwierig: 
Für n = null hat man 


„ / -cos^ ^ \ 

^ / 2 d;^ , 

'*/ 7/ -Tv" ^^ ^^ ' 
•y y 8m»-4 sm* — 

f 2 2 


setzt man nun sin -^ =» o; sin -^ , so geht dieses über in 




(3) 


U 

iliemach giebt (2) für n «» null das erste Glied der zu summierenden Reihe. 

Für n » 1 ist aus (2) wegen cos -~ = ( l — 4 sin« -^j ^^^^ • 

1 

y 


/ 1 — 4«* sin« 


- » 2 y 

P^^— f dx « 1 - 2 sin« ^ «= cos y . 



ü. B. f. 

Wenn wir nun die Summe aller P^ von n =» null bis n — 1 suchen , 
so ist zunächst die Summe von 

cos -^ + cos -^ + cos ^^ + . . . + cos U^ y)^ 

zu bilden. Dies geschieht nach einer bekannten Formel, welche auch 
leicht mittelst Projektion der Seiten eines regelmäfsigen (einem Kreise 
eingeschriebenen) Polygones auf eine Axe, gegen welche sie die Neigungs- 


*) Heyne, Kugelfunktionen; S. 44 (7b). 


1 

§ 8. Die Entwicklung von — für r ^r. 55 

Winkel -^- , ^^- u. s. f. besitzen, gewonnen werden kann. Die Summe ißt 

sin n'0 


2sm^ 


Hiemach erhält mau: 


y 

J ^ 


8m(2«|) 


l-fP. + i>,+ --+P.-i°t/ . n, ^,- -- -?■• (4) 

Bin-^ r 2 (cos fp — cos y ) 

^ 

Nach der Theorie der trigonometrischen Reihen *) ist aber unter gewissen 
Voraussetzungen über die Funktion F{ß): 


limf lF(ß)-^^dß^F(0). (4*) 


lim- / F 


ß 

7n=: OD / 



«fr 

Im Integral von (4) setzen wir im Zähler und Nenner -^ hinzu ; dann gehen 
(4) und (4*) in einander über für m = 2n, (3 = -^ , ä =» -^ und 

~2" 1 

^'(P>= — ^--z— > 

sin - -- K 2 ( cos '^ — cos y) 
sowie 

Fm 


2 sin — 
Es wird daher 

Hm(l + P,+P,+ ... +P,_0= ^^• (ö) " 

«=«' 2sin^ 

Die Voraussetzung über 2^ (ß) ist (soweit sie hier in betracht kommt) 
die, dafs es innerhalb der Integrationsgrenzen nicht unendlich wird. Falls 
ein Unendlich werden eintritt, so kann die Rechnung auch noch gültig 
sein, es bedarf dieses aber besonderer Untersuchung. Im vorliegenden 

* Falle wird JP (P) , da y <! « ist und also -^ : ßin-^ innnerhalb der In- 

tegrationsgrenzen endlich bleibt, nur fQr ^ s» y unendlich. Integrieren 
wir nun in (4) zunächst nur bis y— e, wo e eine sehr kleine Gröfse.und 
jedenfalls •< y sein soll, so gilt dafür die weitere Entwicklung; es ist aber 
zu (6) rechter Hand noch hinzu zusetzen: 

y 
^ sin y Y 2 (cos ^ — cos y ) 

y — • 
oder nach Hinzufügen von sin-^ ^^^ ^ ^ Zähler und Nenner: 


*) Heyne f Kugelfunktionen; S. 62 und 63, insbesondere (6a). 


56 2. Ki^itel. BCTtJmnuing der Abplattung aas SchweremeaangeQ. 

r 


J ™* 


sm 


* f t 2 


7-« 

^ <C y <I * üt, bleibt unter dem Integralzeichen der zweite Faktor 
innerhalb der Integrationsgrenzen positiv. Der erste Faktor hat einen 
endlichen Wert. Mithin ist (5*) seinem absoluten Werte nach ein end- 
liches Vielfaches Yon 

r 



• y • • ♦ 


sm*-r- — sm' 


Das unbestimmte Integral hiervon ist gleich 


man erhält somit (5*) gleich einem endlichen Vielfachen von 


y sin» -^ sin* ^—- — d. L y an-^ , 


sm ' , — 


Hiernach kann man durch Voraussetzung eines geeignet kleinen Wertes 
für c den Fehler der Formel (5) auf einen verschwindenden Betrag herab- 
drücken. 

Aus Gleichung (5) ersehen wir nun, dafs die Summe 1 4-i'i-h<Pt'4~ ^-B- f. 
mit wachsender Anzahl der Glieder gegen 1 : 2sin-^ konvergiert (faUs 

r 

COS» y < 1). Dieses ist aber der Wert von — für r = r nach (5) §1 S.50. 

c 

Mithin gilt der Ansatz (1) im laufenden Paragraphen wirklich für r =r 
und cos'y -< 1. 

§ 4. Die KoefficieBten P in rechtwinkeligen und in Polar- 
koordinat4^n. 

Dm die Eoefficienten P durch rechtwinkelige Koordinaten aus- 
zudrücken, bedarf es nur der Einföhrung des Ausdruckes 

cos y = ^// ^ (1) 

nach § 1 S. 50 (4) in die Formein (1) § 2 S. 52. 

Denken wir uns femer den Punkt P wie im vorigen Kapitel § 4 
S. 5 im Anschlufs an Fig. 1 durch Polarkoordinaten bezeichnet , so ist 

X = r cos y' cos X 

y «=; r cos Kp sin A' (2) 

z'= r sin y'. 

Hierin bedeutet r den Radiusvektor vom Erdschwerpunkt aus, fp die 
geozentrische Breite und K die geozentrische Lauge. 


§ 4. Die Koefficienten P in rechtwinkeligen und in Polarkoordinaten. 57 

Für irgend einen Pankt (xyz) oder (r (p X) hat man 

x = r cos (p cos A 

y =s r cos 9 sin X (3) 

z =3 r sin 9, 

and hiermit wird aus (1) ohne Schwierigkeit gefunden: 

cos y = cos (p cos 9' cos (A — A') + si^ 9^ sin 9)', (4) 

eine Formel , die man auch direkt mittelst sphärischer Trigonometrie 
hätte ableiten können. 

Wenn man diesen Ausdruck für cos y in die Ausdrücke (1) § 2 
S. 52 einführt, ist es vorteilhaft, anstatt der Potenzen von cos (A — A') 
die Cosinus der Vielfachen von (A — A') anzuwenden. Es findet sich 
dann: 

Pj = sin (p sin q>' -f- cos (p cos q>' cos (A — A') . 

/',= |(8m»9.-|)(8inV-.;) 

4- 3 sin 9 cos tp sin <p' cos (p' cos (A — A') 
+ -T- cos*9 cos'y' cos2(A — A'). 

/\i s= — (sin^ip — - siu (p j I sin'y' — — sin g? j 

-j — -[sin'9 — r-j costp fsin^g)' — % ) cos 9' co8(A— A') 
+ - sin 9 cos ^q> sin 9' cos ^9' cos 2 (A — A) 
-f- g cos-^g? cos ^9' cos3(A — A'). 

n 1226 / » A 6.« , 3\/.j* 6«9f,3\ 

'^^ = -04 ("" '' - Y '""^ + »5 j ('"''' - y •"" *^ +^) 

-) ^ [sin'9) — Y sing? jcosyjsin^y'— ' sing) ) co8g)'cos(A — A') 

-j — j^ [sin'fjp — y) cos '9 (sin'g)' — y | cos^g)' cos2(A — A') 

+ - - sin g) cos^g) sin 9' cos'^g?' cos3 (A — A') 

+ -ß/ cos^fp cüs*g)' cos4(A — A'). 

Man bemerkt, dafs nach Auflosung der Cosinus von (A — A') und 
seiner Vielfachen die P symmetrisch zu (p und (p\ A und l' gebaut 
sind, was nicht anders sein kann, da cos ^ bereits diese Symmetrie 
besitzt. Eigentümlich bei dieser Symmetrie ist aber, dafs jede in 
einen Cosinus von (A — A') oder seiner Vielfachen multiplizierte 
Funktion von g> und g/ in ein Produkt einer Funktion von tp allein 


58 2* Kapitel. Bestimmtmg der Abplattung ans Schweremessnngen. 

und einer solchen von fp allein zerfällt. Dafs dies so sein muls, zeigt 
die Theorie ganz allgemein. Für unsere Zwecke genügt die obige 
Darstellung bis P^^ die leicht zu beschaffen ist. 

Wir stellen hier noch die Formeln her, welche dabei zur Ein- 
führung der Vielfachen von (A — X) dienen. Man kann sie aus den 
Relationen für / im Eingang des § 2 S. 52 ableiten: 

= 4-+4-co82(A-r) 


cos2(A 
cos'(A 
cos^(A 


mm mm 

X) = £ cos (A — A') + -i- cos 3 {k — A') 

A') = I + |cos 2(A - A') + I cos 4 (A - A'). 


§ 5. Das Potential W der Schwerkraft aufserhalb. Befindet 
sich ein von der Erde angezogener und mit ihr rotierender Punkt P' 
a^ifserhalb einer die ganze Erde gerade völlig einschliefsenden ^ zum 
Erdschwerpunkt konzentrischen Kugel , so ist nach (1) und (8) des 
§ 1 S. 50 und 51 zu setzen das Potential 


Ä;» 


fV={ 


fdm + -^ y>, rdm + -^fp.^r^dm 
> Y,Jp,r^dm + A^Jp.r^dm + . . ._ 


> } 


(1) 


wobei die physische Möglichkeit des Falles gleichgültig ist. 

Ohne zunächst auf die Frage einzugehen , inwieweit vorstehender 
Ausdruck für das Potential auf Punkte aufserhalb bis zur physischen 
und mathematischen Erdoberfläche Anwendung finden kann, erörtern 
wir vorerst die Bedeutung der drei, den Anfang der Reihe rechter 
Hand bildenden Integrale. 

Zunächst hat man das 1. Integral 


/ 


(2) 


dm = iff , 

der Masse der ganzen Erde, wie unmittelbar ersichtlich. 

Für das 2. Integral beachten wir die Relationen (1) § 2 S. 52 
und (1) §4 8. 56, wonach 

P^ ^ cos y = ^^+-^^^±^ 
' ' rr 

zu setzen ist. Damit ergiebt sich 

I P^rdm = -T^ ja;' 1 xdm + y j ydm + z' 1 zdm \ . 

Insofern wir aber den Erdschwerpunkt als Koordinatenanfang gewählt 
haben, sind die Integrale 

I xdm lydm 1: 


zdm 


§ 5. Das Potential W der Schwerkraft aufserhalb. 59 

gleich null, da sie imch der aus der Mechanik bekannten Definition 
des {Schwerpunkts [vergl. S. 3 § 2 (4)] bezw. gleich sind 

IM riM iM, 

wenn £, ri und % die Schwerpuuktskoordinaten vorstellen, welche im 
vorliegenden Falle gleich null gesetzt wurden. Wir haben somit 

Cp^rdm=^0. (3) 

Für das 3. Integral wenden wir -Pj ^^ ^^^ S. 57 gegebenen Form 
an, wobei wir cos (A — A') und cos2(^ — A') auflösen. Es folgt 
alsdann : 

/7>2r«rfiii=|.(sin2<p' — i-^ rfl^lcos^qÄr^dm 

-f-Ssingj'cosqp' { cosA' / smq)Cosq>coskr^dm'j-8inX' j sin^cos^sinA r^dm\ 

-{' -j- cos^9)' J cos 2k j cos^q> cos 2A r - dm +sin 21' j cos^g? sin 21 r-dm] • 

In den Integralen rechter Hand führen wir wieder rechtwinkelige 
Koordinaten ein, um auf bekannte Ausdrücke zu kommen. Dazu 
dienen die Relationen (3) § 4 S. 57. Man findet ohne Schwierigkeit: 

Jp^r^dm - 4 (sinW-i)f{^' - ^) am 

+ 3 sin (p' C09q>' { cos A' / xz dm + sin A' j yz dm \ 

+ -?-cos2g)' [cos2r /(x2- y') dm + sin 2k' f2 xy dm]. 

Wegen des Umstandes, dals die z-Axe ßotationsaxe ist, sowie bei 
geeigneter Wahl der andern beiden Koordinatenaxen läfst sich die 
rechte Seite wesentlich vereinfachen. In der Dynamik wird nämlich 
gezeigt, dafs es in jedem festen Körper drei zu einander rechtwinkelige 
Axen durch den Schwerpunkt giebt — die drei Hauptaxen des Kör- 
pers — für welche als Koordinatenaxen die Integrale 

I xzdm jyzdm j xydm (4) 

verschwinden. Dieses gilt auch für die Erde, wenn wir wie bisher 
die in § 5 S. 7 eingeführte Annahme festhalten, dafs die Teile der 
Erde in relativer Ruhe zu einander sind. 

Mit dem Verschwinden jener Integrale hangt nun zusammen, 
dafs eine Rotation um eine in dem Körper feste, sonst aber freie Axe 
dauernd nur -dann stattfinden kann , wenn diese Axe eine Hauptaxe 
ist. Die Rotationsaxe der Erde mufs also eine solche Hauptaxe sein 
(§ 4 S. 5). Sie ist bereits als z-Axe eingeführt. Rechtwinkelig zu 
ihr liegen in der Äquatorebene die beiden andern Hauptaxen, die 


60 2. Ki^itel. Bestimmiiog der Abplattung aus Schweremessmigen. 

wir als x- und y-Axe annehmen. (Bei beliebiger Lage dieser letzteren 
Eoordinatenaxen wurde das 3. Int^ral (4) nicht verschwinden). 

Wir fuhren nun noch die Haupttragheitsmomente ein, die wir 
bezw. f&r die Äxen der x^ y und z mit Aj B und C bezeichnen: 

B=J{x^ + z')äm, (5) 

C^J{x' + y^)dm. 
Hiermit wird 

fp^r^dm = y (^-- - c) (sin^' _ 1) + A {B-A) eos>' cos21'. (6) 

Der Ausdruck (1) geht jetzt über in den nachstehenden, wobei 
also Voraussetzung ist, dafs die beiden Haupttngheitsaxen in der 
Aquatorebene als Axen der x und y dienen: 


W= 


1 


-j- -^- o'r^ cos' 9 


(7) 


Im letzten Gliede rechter Hand von (1) ist zugleich a:''+y''=r''cos'9)' 
gesetzt, um in allen Gliedern nur die Polarkoordinaten Ton /^, dem 
angezc^nen Punkte, zu haben. 

Es entsteht jetzt die Frage, ob die Formel (7) auch noch gilt 
innerhalb der eingangs erwShnten Kugelflache bis zur physischen und 
mathematischen Erdoberfläche. Zunächst wollen wir den Einflnfs des 
Luftmeeres schätzen und beginnen zu dem Zwecke damit, das Poten- 
tial für eine homogene Kugelschale abzuleiten, woran sich einige 
Notizen Ober Kugelfunktionen schliefsen werden. 

§ 6. Das Potential der Anziehung einer homogenen Kugel- 
schale läfst sich leicht durch direkte Int^ration nach der Formel 

(1) 


J * 


ermitteln, wenn raumliche Polarkoordinaten eingeführt werden. Der 
Übergang von rechtwinkeligen Koordinaten zu diesen Polarkoordinaten 
ist schon § 4 S. 6 angegeben. Man vergl. insbesondere Fig. 1 8. ö. 
Für die Anwendung auf (1) ist nun zunächst das Massenelement i/m 
auszudrücken. 

Zu dem Zwecke denke man sich mit dem RadiusTektor r des 
Punktes (r, 9, l) konzentrisch zum Koordinatenanfaug eine Kugel be- 
schrieben und auf derselben den geozentrischen Breiten tp und ^-j- d^p 
entsprechend zwei Parallelkreise, sowie den geozentrischen Langen A 


§ 6. Das Potential der Anziehung einer homogenen Kngelschale. 61 


und X -j- dX entsprechend zwei Meridiankreise gezogen. Dann ent- 
steht am Punkte (r, 9, X) ein Oberfläehenelement auf der Kugel, wel- 
ches als Rechteck mit den Seiten rdq) und r cosq) dX berechnet wer- 
den darf. Wächst nunmehr r um dr, so liegt über jenem Oberflächen- 
element ein Volumenelement von der Hohe dr. Es wird also 

dm = 0r^ cosfp dtp dX dr. (2) 

Bezeichnet endlich y den Winkel zwischen den ßadienvektoren 
r und r, letzterer in Bezug auf den angezogenen Punkt P\ so kann (1) 
auf die nachstehende Form gebracht werden: 

In diesem Ausdruck, welcher noch ganz allgemeiu gilt^ ist die drei- 
fache Integration über den anziehenden Korper zu erstrecken. Indem 
wir ihn auf eine homogene Kugelschale von gleichmäCsiger Stärke dr 
beziehen, können wir unbeschadet der Allgemein- 
heit die z-Axe durch den angezogenen Punkt P' ^«- '• 

legen, Fig. 3, womit y = ~ — 9 wird, und (3) 

übergeht in: 


(3) 


4. £ 2jr 


V = k^Qr^dr 


J fvr' 


COS q> dtp dl 
+ r'* — 'lirr sin <p 


(4) 


n 

8 


— — 


Die Integration nach X lälst sich ohne weite- 
res ausführen und giebt als Resultat den Faktor 
2x vor dem Integralzeichen. Unter dem Integral- 
zeichen schreiben wir für cos 9} dtp besser d{sinq)) 
und setzen für sin 9 das Symbol t\ dann wird 

+1 

dt 

+ /« - 2rrt 



V 


+1 
2 7ck^®r^dri\, 


(5) 


Das unbestimmte Integral des unter dem Integralzeichen stehen- 
den Differentialausdruckes ist 

rr ' 

das bestimmte Integral wird hiernach gleich 


y(r"+ ry - V{r - r)« ^ 
rr 

Die Quadratwurzeln sind (insofern sie die Distanz e in zwei besonderen 
fallen bedeuten) positiv zu nehmen. Man niufn daher unterscheiden 
zwischen r > r und r < r. 


62 2. Kapitel. BeBidmmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Liegt P' außerhalb der Kugelschale ^ ist also r>r^ so wird das 
bestimmte Integral gleich 

rr r 
und das Potential 

ink^Gr^dr ,, Masse ,«v 

r ' r ^ ^ 

Liegt P' innerhalb der Kugelschale ^ ist also r <r^ so wird das 
bestimmte Integral gleich 

(r' + r) — («^ ~ r') ^ 

und das Potential 

V = 4xk'^&rdr = A-^ -^??? • (7) 

Für r = r' gehen beide Formeln (6) und (7) in einander über 
und haben wegen des stetigen Verlaufes von v, trotzdem in (4) unter 
dem Integralzeichen der Nenner einmal null wird, auch noch Geltung. 
Die Gleichungen (6) und (7) sagen aus: Das Potential der Anziehung 
einer homogenen, gleichstarken Kugelschale für einen auf serhalb gelegenen 
Punkt ist ebensogrofs als das Potential ihrer im Mittelpunkt konzentrier- 
ten Masse; für einen innerhalb des Hohlraumes gelegenen Punkt ist 
es konstant. 

Für das Potential einer homogenen Kugel vom Radius R und der 

Dichtigkeit ergiebt sich aus (6) und (7), wenn der Punkt P' aufser- 

halb liegt: 

,, Masse ^nlc^OB,^ ,o\ 

t; = A-»-p ~^^^, (8) 

wenn derselbe innerhalb liegt: 

V = 27ck^&(B^ - y r^) . (8*) 

Die Konstanz des Potentials innerhalb des Hohlraumes einer homoge- 
nen Kogelschale läfst sich geometrisch sehr leicht nach einem bereits von 
Newton angegebenen Verfahren einsehen.*) Liegt P' nämlich innerhalb 
einer Kugelfläche und ist ^t^i ein Linienelement derselben, so ziehe man 
die Linien ^jP" und JB|P' bis sie die Kugelfläche in Af imd Bf zum zweiten 
Male schneiden. Da ^iB| und A^B^ unendlich klein sind, erkennt man 
ohne weiteres, dafs sie im Verhältnis A^P' : AfP' stehen. Dreht man 
A^Bt um den Punkt At um 360°, wobei aufserdem AiBi seine Länge 
ändern darf, so beschreibt ^iBj ein Oberflächenelement, welches zu dem 

gleichzeitig von A^Bf beschriebenen im Verhältnis AiP^iA^P'^ steht, 
wie man sofort erkennt, wenn man zunächst nur eine unendlich kleine 
Drehung ausführt. Die Anziehungen beider Elemente auf P' verhalten 


^) Sir Isaac Newtons mathematische Prinaipien der Naturlehre, Mit Bemer- 
kungen und Erläuterungen herausgegeben von Prof. Dr. 0. Ph, Werfers, Berlin 
1872; S. 191. 


Flg. 4. 


§ 6. Das Potential der Anziehung einer homogenen Eugelschale. 63 

sich aber wie die Quotienten aus Fläche und Quadrat des Abstandes; sie 
sind also gleich grofs. Da sie überdies entgegengesetzt gerichtet sind, 
so ist die Summe der Anziehungen für beide Elemente null. Innerhalb 
des Hohlraums einer gleichstarken, homogenen Kugelschale wird P' 
daher gar nicht angezogen und somit ist hier v konstant. 

Bei einem aufserhalb gelegenen Punkte P' führt dieses Verfahren für 
innere Punkte nur zu der Kenntnis, dafs 2 Oberflächenelemente , welche 
von einem von P* ausgehenden Kegel aus der Kugelfläche ausgeschnitten 
werden, gleichstark auf P' wirken. Da aber die Anziehungen jetzt gleiche 
Richtung haben , so hat diese Kenntnis nicht den Nutzen , die Integration 
zu sparen. 

Doch ist es von Interesse zu erkennen, dafs die Aneiehung einer un- 
endlich dünnen, homogenen ^ gleichstarken KugeUchdle in 2 gleiche Teile 
Berspalten werden kann, dadurch dafs man von P^ einen tangierenden 
Kegel an die Schale legt. Ist 
2^L die Tangierungslinie auf 
derselben, Fig. 4, so üben nach 
den obigen Bemerkungen die 
beiden durch TL getrennten .^ 
Teile der Schale gleiche Wir- .^^^^^^^^^^ 
kung auf P aus. -p^ff^ 

Der Weg, welchen Newton " ^*-.:;^ — V l^ ^ 1 

Ca. a. O. S. 192 — 194) ein- ^^"-^'^ \ / 

schlägt, um die Integration ^ """^V y^ 

für einen Punkt P' aufserhalb ^ -^ 

zu bewirken, ist folgender. 

£r betrachtet zunächst die zentrale Komponente der Anziehung einer 
iinendlich schmalen Ringfläche, welche durch Rotation des Elementes A^Bt 
um P' C entsteht, Fig. 4, und vergleicht sie mit der entsprechenden bei 
einer anderen Entfernung von P'. In beiden Fällen werden, was wesent- 
lich ist, die Bögen A^Af bezw. PiPf gleich lang angenommen. Bei der 
Summierung tritt demgemäfs der Zentriwinkel y des Bogens AiAf als 
unabhängige Variable auf. Ohne hier den von Newton eingeschlagenen* 
Weg zu verfolgen, zeigen wir nur noch, wie ungemein bequem sich mit- 
telst der Variablen y integrieren läfst. Im wesentlichen haben wir damit 
auch Newtons Verfahren, aber in modemer Ausdrucksweise, dargestellt. 

Ist d" die Masse pro Flächeneinheit, so ist die zentrale Komponente« 
der Anziehungsbeschleunigung, welche von dem mit AiB^ =» ds beschrie- 
benen Ringe herrührt, zufolge der Figur gleich 

dX^2n. DA^ .d8.k^9' ^^^ Z ' 

PA^^ 

Die Figur zeigt aber, daf^ ds ^ PA^ . cosec-^ dm und DA^^ P'A^ . sin m 
ist. Hiermit folgt 

dJL 2 nh'^9' cosec—^sin co (2(sin cd), 
nnd insofern sin co =» r cos -^ : r ist, erhält man hieraus endlich 

dX — - 2«ifc»d ^\ d Un^) • 
Diese Gleichung zeigt bereits, dafs X umgekehrt proportional r * ist, weil 


64 2. Kapitel. Bestiminüng der Abplattung aus Schweremessungen. 

bei veränderter Entfernung P*C^=^r sich im Ausdruck für dX nur der 
Nenner r» Ändert, falls y und y + dy unverändert (nach Newton) bei- 
behalten werden. Damit ist also der eingangs angeführte Satz bewiesen. 
Übrigens hat die Integration gar keine Schwierigkeit; sie ergiebt X in 
der bekannten Form. (Newton vervollständigt den Satz auf andre Art in 
§ 114 a. a. 0. S. 194 und 195.) 

§ 7. Kugelfunktionen. Eine Eigenschaft der Eoefficienten P 
verdient, ehe wir unsere Betrachtungen über den Gültigkeitsbereich 
des Potentialausdruckes (7) § 5 S. 60 fortsetzen, an der Hand des 
Vorigen hervorgehoben zu werden. Wir entwickeln zu diesem Zwecke 
das Potential v für eine unendlich dünne ; gleichstarke , homogene 
Kugelschale nochmals, aber unter Einführung der Reihe (8) § 1 S. 51 

für — in den Ausdruck (1) § 6 S. 60. Zugleich setzen wir dm^^Gr^dräa, 

wobei dö das Oberflächenelement einer zum Koordinatenanfang kon- 
zentrischen Kugel vom Radius 1 vorstellt. Damit wird 

„ = A- ^' + 1 (;)y/>. ä. + (^fjp^do + ...] k^&rär. (l) 

JNach dem vorhergehenden Paragraphen reduziert sich aber die 
rechte Seite auf ihr erstes Glied und wir erhalten daher, da dies für 
jeden Betrag von r < r der Fall ist , als Resultat den Satz : Es ist 
das über die Kugeloberfläche ausgedehnte Integral 


/ 


/>,.tf<y = 0; 1=1,2,3 (2) 

Hierbei ist zunächst Voraussetzung, dafs die Lage von dö durch die 
* Variablen q> und k angegeben, also dö = cosq> dq) dX gesetzt wird. 
Da Pi aber symmetrisch ist zu (p und q>\ X und A', so hat man 
auch, wenn da' ^= coatp' dq)' dX' gesetzt wird: 


/ 


p.dö'=0] 1 = 1,2,3 (3) 

Betrachtet man jetzt die Ausdrücke § 4 S. 57 für />,, P^ u. s. f., 
und denkt sich zugleich die Cosinus von {X — X') und seiner Viel- 
fachen aufgelost, so erkennt man ohne weiteres, dafs die über die 
Kugeloberfläche erstreckten Integrale, insoweit sie von Gliedern her- 
rühren, welche X' enthalten , verschwinden. Nicht unmittelbar ersicht- 
lich ist dies für die von X' freien Glieder; es sind das immer die 
zuerst stehenden. Hier hilft nun Gleichung (3) aus. 

Damit läfst sich weiter einsehen, dafs Gleichung (3) auch noch 
besteht, wenn man für P{ einen allgemeineren Ausdruck setzt, der 
aus Pi dadurch hervorgeht, dafs man in demselben die Funktionen 
von 9 und X' beibehält, sie aber nicht mit gleichgebauten Funktio- 
nen von g> und X, sondern mit beliebigen, von tp' und X' freien 
Gröfsen multipliziert. Bezeichnen wir diese Koefficienten allgemein 


§ 7. Kugelfiinktionön. ' 65 



mit p und q mit verschiedenen Indices und die aus den Pi hervor- 
gehenden Funktionen mit A"/, so ist nach S. 57 § 4 z. B. : 

ir,' = Pi.o sin 9 + (pm cosA'+ ^m sinA') cos 9' 

K^^^PtJO (sin' 90' — -3 ) + (P«i cosA' + ^2.1 sinA' ) sin 9 cos 9' 

+ (Pa.2 cos2A' + (?2-2 sin 2^') cos^y 
A's' = P3.0 (sin» 9 — j sin 9) 

+ (ps-i cosA' -f ^s.i sinÄ' ) (sin' 9' — ~) cos 9' 

+ {PZ'% cos2A' + ^3.8 sin2A') sin 9' cos' 9' 
+ (P3.8 cos3A' + ^3.3 sinSA') cos» 9' 

^4' == P4-0 ( sin^ 9 — Y sin' 9 + ■^) 

+ {Pi'i COS A' + ^4.1 sin A' ) (sin» g?' — ~ sin 9') cos 9' 

+ (^42 cos2A' + ^42 8in2A') (sin' 9' — y) cos' 9' 

+ (P4.3 cos3A' + ^4.3 sinSA') sin 9' cos» 9' 
+ (P4.4 cos4A' + Q^ sin4A') cos^g?'. 

Eine solche Funktion K' heifst Kugelfunkiion und zwar je nach dem 
Index 1, 2, 3 . . . ersten^ zweiten ^ dritten Ranges. Als Kugelf nnktion 
nullten Raoges kann man ihnen hinzufügen K^ «s Eonstante. 

Die Kugelfunktionen haben dadurch eine hohe Bedeutung erlangt, 
da(s man jede beliebige (sogar auch nicht analytische) Funktion 
zweier Variablen, welche wie Breite und Länge auf der Kugelfläche 
variieren, nach Kugelfunktionen entwickeln kann und zwar nur auf 
eine Art. Man weifs also z. B. vor jeder speziellen Untersuclying, 
dafs die Beschleunigung g im Niveau der Meeresfläche sich in der 
Form 

g = K^+ K{+K^+K^ + K;+. . . 

mufs darstellen lassen, wobei in obigen Ausdrücken der Af' gesetzt 
werden dürfen an Stelle von q/ und A' auch die geographische Breite 
B^ und Länge L\ während die p und q zu bestimmende Konstanten 
bezeichnen. 

2/1 \ 

Setzt man in (7) §5 8.60 für cos' 9 das Aggregat —-}- (v ~" sin' 9'), 

so bemerkt man sofort, dafs auch W eine Entwicklung nach Kugel- 
funktionen isi Die Koefficienten derselben sind Funktionen von r 
und der Massen anordnung. Trennen wir r von den Koefficienten ab, 
verstehen also unter K^\ AT/. . . Ausdrücke wie oben die I^\ worin nun die 
p und q nur noch von der Massenanordnung abhängen, und behalten 
wir f&r die Kugelfunktionen 1. und 2. Ranges die entwickelteren 
Ausdrücke bei, wie sie in (7) auftreten, so wird 

Helmert, matheiiL n. phyiikal. Theorieen der höh. Geodäaie. II. 5 


66 2- Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 


r 


h 4. j. «»*»•') 

... 4. /gin^,, _ ) 


(4) 


2Jtfr 

I |.'3 i ^'1 r • • • 

Die 1. Zeile der grofsen Parenthese ist in Bezug auf 9' und X kon- 
staut, sie entspricht also der Eugelfunktion nullten Ranges; die 2. 
und 3. Zeile sind KugelfunJ^tionen 2. Ranges. Es fehlt mithin die 
Kugelfunktion 1. Ranges; ebenso fehlen auch einige Glieder im Ver- 
gleich zu dem allgemeinen Ausdruck von K^i eine Folge der Wahl 
des Koordinatensystems. 

Die nach dem oben Eatwickelten stattfindende Gleichung 


/ 


AT/tfff'^O; t=l,2, 3... 


(5) 


stellt eine interessante Eigenschaft der Kugelfunktionen dar, von der 
wir sogleich auf W eine Anwendung machen. 

Betrachtet man nämlich das Potential W für alle Punl^te P' einer 
Kugelfläche, so findet sich, dafs das konstante Glied der Entwicklung (4): 

der Mittelwert aller W für diese Fläche ist. Um zu diesem Wert zu 
gelangen, hat man den Quotienten 


J fVr^dö' : CrHo 


zu bilden, indem man die Anzahl der W für ein Oberflächenelement 
r'^d0 diesem proportional setzt. Da r"^ konstant ist, fallen alle In- 
tegrale im Zähler, welche sich auf Kugelfunktionen beliebigen Ranges 
> null beziehen , nach Gleichung (5) weg, und es bleibt in der That 
nur dasjenige übrig, welches sich aus dem konstanten Anfangsglied 
der grofsen Parenthese in (4) ergiebt. 

Ebenso ist in der oben aufgestellten Entwicklung von g das Au- 
fangsglied K^ der Mittelwert aller Werte g für alle Punkte (9)', k') 
oder {ffy L')j wenn man sich diese auf einer Kugelfläche ausgebreitet 
denkt. 

Im einzelnen schwanken W und g um ihre Mittelwerte herum 
nach Mafsgabe der von den Kugelfunktionen gegebenen Änderungen. 
Diese sind mit der Lage von P' periodisch veränderlich und zwar 
ist die Periode um so kleiner, je höher der Rang der Kugelfunktio* 
nen ist. 


§ 7. Kugelfunktionan. 67 

Wegen der Konvergenz der Reihen müssen im allgemeinen die 
Koefficienten (Amplituden) der Eugelfunktionen höheren Rauges klei- 
ner sein als diejenigen der Eugelfunktionen niederen Ranges. 

Einen Beweis des Satzes von der Entwickelbarkeit beliebiger Funktio- 
nen nach Eugelfunktionen gab DirxMet 1837 in Grelles Journal für reine 
und angewandte Math. Bd. 17 S. 86 — 66; derselbe ist auch abgedruckt in 
seinen Vorlesungen S. 166—176. Über andere Beweise yerg\, Heyne^ Theo- 
rie der Kugelfunktionen, 2. Auflage, Berlin 1878, S. 432-441 .und H. Bruns 
in Borchardts Journal für reine und angewandte Math. 1881, Bd. 90 
8. 382—328. 

Auf diese schwierigen, rein mathematischen Darstellungen können wir 
hier nicht eingehen. Um aber die Möglichkeit der Existenz des Satzes 
zu erkennen, reproduzieren wir eine Darstellung von DiricMet, P^orleaungen 
S. 73 u.ff. (auch hei Biemann, auf S. 860 und 361 in Schwere^ Ulektricität und 
Magnetismus, bearbeitet v. Haitendorff), welche zwar nicht durchaus ein- 
wurfsfrei ist, aber auch von Dirichlet benutzt wurde, um auf den Satz 
hinzuweisen. 

Wir denken uns demgemäß auf einer Eugelfläche vom Radius r Masse 
ausgebreitet, so dafs im Punkte mit der Breite 9 und Länge X die Dichtig- 
keit ^, d. i. die Masse fQr die Flächeneinheit, der gegebenen Funktion 
/"(qp, X) gleich ist Dann hat man das Potential der Anziehung auf einen 
aufserhalb gelegenen Punkt (r, qp', X') nach Gleichung (8) § 1 S. 61 gleich : 

8« +Y 


ib«r2'(7-)*'*'*- f^^f^nf(9,l)cosq,dfp 


«£ 


-wobei zu beachten ist, dafs das Flächenelement auf der Kugel die Form 
r* cos fp dXdtp annimmt und Pq gleich 1 wird. 

Für einen Punkt (r , (p\ X') innerhalb ergiebt sich dagegen nach (10) 
§ 1 S. 62: 


a I ^ 


k*r 2 ( r )" • T'** /^« ^^'^' *^ "^ ' *''' 


"=- -^ 


Nun l&fst sich zeigen, dafs der 1. Differentialquotient von v nach r', 
wenn der angezogene Punkt von aufsen nach innen durch die Fläche 
hindurchgeht, den Sprung — Aitk^d' macht, was wie folgt ausgedrückt 
werden kann: 

(M -(f). — *»***• 

\dr /r'ssr+O \dr /r=r-0 

Der Beweis wird ganz ebenso wie für den Satz (4) § 19 S. 30 geführt. 
Dies zeigt ein Blick auf die Formeln (7) § 16 S. 24 und den Anfang des 
§ 18 8. 26. 

Setzt man in die letzte Gleichung linker Hand im 1. Glied den ersten 
Wert von v, im 2. Glied den zweiten, und nimmt nach geschehener 
Differentiation r <» r, so folgt &•, d. i. die Dichtigkeit im Punkte (9', ;i') 
der Kngelfläche, gleich 


68 2* Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus SchweremeBsimgen. 


8^ +^ 

00 " 


/■(v'. 1') = 2" ~^S^^S^' ^'''' *^ *'** ' ''''• 


(7) 


■=• . -f 


Die einzelnen Glieder rechter Hand sind aber für n »» 0, 1, 2 . . . wegen 
Pq s> 1 und mit Rücksicht auf die, Seite 57 angegebnen Werte von P„ Pf 
u. B. f. genau von der Form der oben eingeführten Funktionen K\ Wir 
haben *also f{fp, l') nach Kugelfunktionen entwickelt und zugleich eine 
neue Darstellung derselben gewonnen. 

Bedenken erregt bei vorstehender Herleitung die Anwendung der 
beiden Entwicklungen von v auf den Fall r = r, wofür sie als gültig 
nicht bewiesen sind. Die rein mathematischen Beweise befreien aufser 
hiervon auch von der Beschränkung, dafs die überall endliche Funktion 
/'(cp, X) allenthalben stetig verläuft 

Die wichtigsten Sätze, die bei der Entwicklung nach Kugelftmktionen 
in betracht kommen, sind in § 28 dieses Kapitels zusammengestellt. 

§ 8. Der Elnflufs des Luftmeeres auf das Potential W der 
Schwerkraft. Nach Gesetzen der Hydrostatik ist im Zustande der 
relativen Ruhe jede das Luftmeer durchschneidende Niveaufläche zu- 
gleich eine Fläche gleichen Druckes und gleicher Dichtigkeit; letztere 
nimmt nach aufsen hin ab. Nehmen wir die Niveauflächen als Kugel- 
flächen und sehen davon ab, dafs die Unregelmäfsigkeiten der phy- 
sischen Erdoberfläche den Verlauf der Luftschichten unterbrechen, so 
läfst sich der Einfluls der Luft auf fF in aller Strenge angeben: die 
Luft aufserhalb der durch den angezogenen Punkt P' führenden Niveau- 
fläche zieht gar nicht an ; die Luft innerhalb zieht so an, als ob ihre 
Masse im Mittelpunkt vereinigt wäre. 

Die Masse der Luft von der äufseren Grenze des Luftmeeres bis 
zur Niveaufläche mit dem Barometerstand b "^ ist näherungsweise gleich 

4cJtB^ . 13,6 .b, (1) 

wenn als Masseneinheit 1 Kubikmeter Wasser angenommen wird. Zu 
diesem Werte gelangt man, wenn man den Radius aller Niveauflächen 
im Luftmeer konstant gleich /2, dem mittlem Radius der physischen 
Erdoberfläche setzt und beachtet, dafs 13,6 das spezifische Gewicht 
des Quecksilbers ist. Ferner ist die Masse der Luft von der Niveau- 
fläche ,mit dem Barometerstand b ^ bis zur physischen Erdoberfläche 
d. h. bis zur Meeresfläche, da von den Unregelmäfsigkeiten jener 
abgesehen werden soll, gleich 

43rÄM3,6(0,76-Ä), (2) 

da b im Meeresniveau nahezu 0,76"* beträgt. 

Die Masse der Erde innerhalb der physischen Erdoberfläche ist 
aber sehr nahe gleich 

^TcBK 5,6-, (3) 


§ 8. Der EinflufB des Luftmeeres auf das Potential W der Schwerkraft. 69 

demnach ist die gesamte Luftmasse im Verhältnis zu dieser Erdmasse 
gleich dem kleinen Bruche 

3.13,6.0,76 1 • j 1 /A\ 

Dagegen ist z. B. die Luftmasse zwischen den Niveauflächen mit 
b =s 0,76"" und 0,50"», ungefähr den Meereshohen null und SöOO*» 

entsprechend, mit Rücksicht auf (2) nur - der Erdmasse. 

Nur diese Luftmasse aber wird nach dem eingangs Gesagten auf 
Punkte zwischen null und 3500"* Meereshöhe verschieden wirken ; für 
die Hohe null wirkt sie gar nicht, für 3500"* Hohe wirkt sie, als wäre 
sie im Erdschwerpunkt vereinigt. Jedoch ist die Differenz dieser Wir- 
kungen eben nur «Tvqqqöq der Schwerkraft. 

Diese Betrachtungen dürften zur Genüge zeigen, dafs man bei 
der theoretischen Behandlung der Schwerkraft auf der physischen 
Erdoberfläche von der Wirkung der Luft absehen kann, da dieselbe 
wenigstens innerhalb der oben durchgeführten Annäherung so klein 
ist, dafs sie durch Fehler in der Beobachtung der Schwerkraft ganz und 
gar verdeckt wird. Es kommt hinzu, dafs in allen Fällen grofserer 
Meereshöhe, wo die Anziehung der Luft überhaupt erst zu erwägen 
ist, bei der Reduktion der beobachteten Schwerkraft auf das Meeres- 
niveau Ungenauigkeiten eintreten, die die Beobachl^uugsfehler weit 
übersteigen. 

Nun sind allerdings unsere Betrachtungen insofern unrichtig, als 
sie die Luftschichten gleicher Dichtigkeit als konzentrische Kugel- 
flächen voraussetzen und davon absehen, dafs die Erhebungen der 
physischen Erdoberfläche über das Meeresniveau die Luftschichten 
unterbrechen. Da jedoch die Kugelform jedenfalls eine Annäherung 
ist, so wird auch die oben ermittelte Grofse des Unterschieds der 
Wirkungen einer Luftschicht zwischen zwei Flächen verschiedenen 
Barometerstandes^ auf einen Punkt aufserhalb und innerhalb einen 
Näherungswert des thatsächlichen Wirkungsunterschiedes vorstellen — 
dies bedarf wohl keines Beweises (geht übrigens aus den Newtonischen 
Betrachtungen über die Anziehung von Kugelschalen, Anm. S. 62, 
unschwer hervor). Was ferner den Einflufs der Unterbrechungen der 
Luftschichten durch das Terrain anlangt, so ist leicht ersichtlich, 
dafs derselbe für Punkte der physischen Erdoberfläche nur eine Ver- 
minderung der oben berechneten Wirkungen erzeugt, weil auf hoch- 
gelegenen Terrainpunkten die anziehende Wirkung der vom Terrain 
verdrängten benachbarten Luftmassen fehlt (und diese nach Anm. S. 63 
etwa halbsogrois ist wie die Gesamten zieh ung der betreffenden Schich- 
ten). Aufserdem kombiniert sich dieser Einflufs mit der Anziehung 
des Terrains selbst, welche wegen der Unsicherheit der Dichtigkeits- 


70 2. Kapitel. Bestimmang der Abplattung ans Schweremessungen. 

bestimmung nicht so genau angegeben werden kann, dafs dagegen 
die Anziehung der verdrängten Luftmassen eine Bedeutung gewinnt. 
§ 9. Erweiterung des Gültigkeitsbereichs der Beilieneiit- 
wicklung für W. Indem wir nach dem Vorhergehenden keine wei- 
tere Bücksicht auf das Luftmeer nehmen, erstreckt sich der Gültig- 
keitsbereich des Ausdrucks (7) § 5 S. 60 für das Potential tV der 
Schwerkraft von aufsen her bis zu einer zum Erdschwerpunkt konzen- 
trischen Eugelfläche, welche die physische Erdoberfläche gerade noch 
völlig umschliefst. Wenden wir den Ausdruck auf einen Punkt P^ 
innerhalb dieser Eugelfläche an, so verliert er in Strenge seine 
Brauchbarkeit, auch wenn dieser Punkt noch aufserhalb der physischen 
Erdoberfläche liegt, wie wir zunächst voraussetzen wollen. Dies folgt 
ohne weiteres aus der Betrachtung des Anteils eines Elementes dm 
der Masse der Erde am Potential W^ wenn für dieses Element r>r 
ist; solche Elemente werden aber existieren, sobald der Punkt P' 
innerhalb der umschliefsendeu Kugel liegt. Denn während Ausdruck 

(7) § 5 für - die Formel (8) S. 51 voraussetzt, d. i. 

|=f (i+;/'.+(f)'^.+...), 0) 

mufs eigentlich für jedes Teilchen, dessen r> r'ist, angewandt werden: 

i-j-(i+;p,+(f)'A+...i- (2) 

Die erste Reihe divergiert sogar für r > r', weil dann r : r' > 1 ist 
und somit die Faktoren der Koefficienten P ins Unendliche wachsen. 
Für einzelne Fälle kann man sich von der Divergenz leicht über- 
zeugen, z. B. für cos y = — 1 (der Fall -f- 1 kommt nicht vor) und 
für cos y *=> null; (sie ergiebt sich aber auch allgemein aus dem Um- 
stand, dafs mit Rücksicht auf die Anmerkung zu § 2 S. 53 bei un- 
endlich anwachsendem Index n des Koefficienten Pn nach Formel (4) 

daselbst dieser Koefficient mit ^1 : n abnimmt, alsp weit langsamer 
abnimmt, als sein Faktor (r : r'Y zunimmt, wie wenig auch r : r die 
Einheit überschreiten mag). 

Trotz dieser Divergenz für einzelne Massenteile kann aber doch 
bei der Integration über einen Körper, abgesehen vom wirklichen 
Erdkörper, ein konvergentes Resultat entstehen, welches nun das 
Potential bis zur Oberfläche darstellt. Dies läfst sich z. B. für ein 
homogenes Rotationsellipsoid nachweisen (vergl. § 29 dieses Kapitels). 
Hiemach würde also Ausdruck (7) § 5 bis zur physischen Erdober- 
fläche gelten, falls die Masse zwischen dieser und einer ihr ein- 
geschriebenen Kugelfläche als zu einem oder mehreren, zum Erd- 
schwerpunkt konzentrischen und zur Rotationsaxe koaxialen, homo- 
genen Rotationsellipsoiden gehörig betrachtet werden könnte. Ohne 


§ 9. Erweiterung des Gültigkeitsbereichs der Reihenentwicklung für W. 71 

weiter an einer solchen Annahme festzuhalten, ersehen wir doch 
8onel| dafs der betrachtete Ausdruck nur dann bis zur physischen 
Erdoberflftche Anwendung finden kann^ wenn wir davon absehen, 
durch ihn das Potential streng darzustellen und uns vielmehr be- 
gnügen, ihn auf eine gewisse , nicht ohne weiteres angebbare, jeden- 
falls aber die UnregelmaTsigkeiten der Massenlagerung in der Nähe 
der physischen Erdoberfläche irgendwie ausgleichende, ideelle Massen- 
lagerung zu beziehen — wobei wir zu der Nähe der physischen 
Erdoberfläche mindestens den ganzen Raum zwischen ihr und einer 
berührend eingeschriebenen , zum Erdschwerpunkt konzentrischen 
Eugelflache zu rechnen haben. Da wir jedoch demnächst die Gültig- 
keit des betrachteten Potentialausdruckes sogar bis zur mathema- 
tischen Erdoberfläche annehmen werden, wollen wir uns sogleich die 
letztgenannte Eugelflache der mathematischen Erdoberfläche einge- 
schrieben denken. 

Welcher Fehler im Potential durch eine gewisse, zweckmäfsige 
Art der Idealisierung der Massenlagerung entsteht, wird im nächsten 
Kapitel eingehend untersucht werden. Wir können hier im voraus 
erwähnen, dafs diese Idealisierung lediglich eine Reduktion der auf 
der physischen Erdoberfläche beobachteten Schwerkräfte erfordert, 
wahrend die Flächen bestimmten Potentialwertes nur unerheblich 
durch dieselbe verändert werden. Die Formel für die Schwerebeschleu- 
nigung im Meeresniveau unter der geographischen Breite B: 

g = 9,7806 "* (1 -f 0,0052 sin^ B) , (3) 

welche den Beobachtungen nach bisher angestellten Interpolation s- 
rechnuugen bis auf lokale und kontinentale Abweichungen von einem 
im VTergleiche zur Breiten Variation mäfsigen Betrage genügt, kann 
als auf die Massenidealisierung passend angesehen werden , doch wer- 
den wir im 3. Kap. die Konstanten der Formel etwas modifizieren, 
sowie es der eingeführten Idealisierung am besten entspricht. 

In diesem Kapitel werden wir nunmehr die Zulässigkeit der Ent- 
wicklung (7) § 5 S. 60 bis zur mathematischen ErdobeilQäche einfach 
voraussetzen. Unsere Aufgabe ist es jetzt, die Konstanten dieser 
Entwicklung aus der Formel (3) oder einer ähnlichen, den Schwere- 
beobachtungen entsprechenden, herzuleiten. Da der Ausdruck für g 
kein ganz strenger ist, so vereinfachen wir das Verfahren dahin, von 
der Entwicklung (7) § 5 versuchsweise nur die ersten Glieder anzu- 
setzen, also eine starke Konvergenz dieser Entwicklung, entsprechend 
der starken Konvergenz der Reihe für ^, anzunehmen. 

Die vereinfachten Ausdrücke für W bezeichnen wir mit U, Bei 
der Ausführung der Rechnung ist von Wichtigkeit, dafs wir auf 
grund von astronomischen Messungen wissen, dafs die physische und 
die mathematische Erdoberfläche im wesentlichen Kugelform haben 


72 ^' Kapitel. Bestimmung der Abplattmig aus Schweremeasiingen. 

und zwar konzentrisch zam Erdschwerpunkt (vergl. das 6. Kap. § 1). 
Hiemach entspricht in der Nähe der physischen Erdoberfläche einem 
konstanten r ein nahezu konstanter Wert von W und also auch von ü; 

es inuls daher das 1. Glied — j— in dem Potentialausdruck (7) § 5 

beträchtlich über die anderen , welche alle wesentlich periodisch sind, 
dominiereu. Erst hierdurch wird es überhaupt möglich, aus O einen 
Ausdruck für g herzustellen, wie man sich leicht durch einen Ver- 
such, ohne diese Kenntnis zu rechnen, überzeugt. 

§ 10. Erste Annäherung für das Potential JF (aufserhalb). 

Wir setzen versuchsweise 


u^^^ 




(1) 


Hierin sind die Koordinaten des angezogenen Punktes mit r, q> und l 
bezeichnet. Ferner ist gesetzt 

K -_. (2) 

M 

Mf Ay B und C bedeuten die Masse bezw. die Hauptträgheitsmo- 
mente für die ideelle Massen Verteilung. Aj B und C sind also nicht mehr 
in Strenge Trägheitsmomente der Erde , aber doch sehr nahe. Es wird 
später zu untersuchen sein, inwieweit die ideelle Massenverteilnng 
die Trägheitsmomente ändert und etwa auch den Schwerpunkt ver- 
schiebt. 

Nennen wir die Flächen konstanten Wertes Niveausphärmäe^ 
so zeigt die Formel, da(s die Niveausphäroide U zu ihren Äquator- 
ebenen symmetrisch sind, weil nur sin'ep und cos'97 vorkommen. 

Um nun aus U einen Ausdruck für die Beschleunigung g der 
Schwerkraft abzuleiten, sowie die Richtung derselben anzugeben, 
denken wir uns den angezogenen Punkt der Reihe nach in drei zu 
einander normalen Richtungen verschoben. 

Zunächst in Richtung von r, also bei konstantem tp und A, um dr\ 
alsdann bei konstantem r und A auf einem Kreise durch die z-Aze, 
also einem Meridiankreise der geozentrischen Kugel vom Radius r, 
um rdtp\ endlich bei konstantem r und 9 auf einem Kreise, dessen 
Ebene normal zur z-Aze steht, einem Parallelkreise, um rcos^dA. 
Nach S. 9 § 6 sind die Ausdrücke ' 


§ 10. Erste ADDahernog für dae Potential W (aufserhalb). 


73 


«7,= 




dU 

dr ' 

ZU 

rdv' 

du 


(3) 


rcosqp dX 

die KomponeDten von g^ welche in die Richtung der Verschiebungen 
dr^ rdtp und rcosg^dA fallen. Da diese Richtungen normal auf- 
einanderstehen, haben wir 

g^ = ü^^ + ü^ + 0^\ (4) 

Ein Blick auf (1) zeigt, dafs Ü2 und ü^ klein gegen ü^ sind, 
wenn die Parenthese rechter Hand daselbst nahezu den' Wert eins 
hat, wie wir nach den Bemerkungen am Schlüsse des vorigen Para- 
graphen für die Nähe der physischen Erdoberfläche annehmen müssen. 
Es wird demnach aus der Gleichung 

0^ = ü,^ (1 + ii' + ^^) 

mit Rücksicht darauf, dafs g positiv gerechnet wird, U^ sich aber 
negativ ergiebt, erhalten: 

(6) 


^ —".(' + ^^J?"^ + •■ ■) 


Vernachlässigen wir Gröfsen der Ordnung des Quadrates der zur Ein- 
heit in Formel (1) rechter Hand tretenden Glieder d. h., wie wir 
demnächst sehen werden, Grofsen der Orduung des Quadrates der 
Abplattung der Niveausphäroide, also Gröfsen 4. Ordnung, so folgt 
weiter : 


TT X. ' ^^ _1_ 


(6) 


Dies führt zu der Formel: 


9 


Mk* 


- — « 


+ 4Jfr« co8Vcos2A 


(7) 


Da wir nun g für ein bestimmtes Niveausphäroid, dessen U gleich einer 
Konstanten IV ^ ist, haben wollen, so ist in (7) r durch W^ auszu- 
drücken. Nach (1) ist aber 


K 


1 + -^ (1-3 sin» 


2r 




+ ^?m^ ^^*'9> cos 2k 


io^r'' 


+ IJV r n 


(8) 


74 2- Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Wird dieser Wert von r in (7) substituiert, so gelangt mau mit 
gleichen Vernachlässigungen wie bisher zu der Formel: 




1+^(1 -3sin» 

+ ^^^Mr^^ coB>cos2^ 
— -jU^C08'9)+ ... 


(9) 


Die Genauigkeit ändert sich hierin nicht, wenn für r in der Paren- 
these irgend ein^ dem betreffenden Niveausphäroid aogehöriger Wert 
des Radiusvektors substituiert wird. AuCserdem können wir zufolge 
einer leicht ersichtlichen Transformation setzen: 

I, , /2in«r* 3Ä^\ . » 

'-Ä(i+,v-w+-)! ,,-., , ^^^ l('O) 

und hierin endlich B^ die geographische Breite^ mit der geozentrischen 
Breite 9? vertauschen. Denn man erkennt ohne weiteres^ dafs die Richtung 
der Resultante g von derjenigen der grofsen Komponente Uy nur um 

eine Grofse der Ordnung ^f/.,* "I" ^z • ^\ abweicht und dafs die Unter- 
schiede von 9> und B, sowie von ^rn^tp und sin'^ die gleiche Ord- 
nung besitzen. 

Vergleichen wir die Formel (10), in welcher also ^für tp gesetzt 
zu denken ist, (wonach aber beachtet werden mufs, dafs in der Diffe- 
renz {B — Ä) der Buchstabe B nicht die Bedeutung der geographischen 
Breite hat), mit dem Ergebnis der auf das Meeresniveau reduzierten 
Schwerebeobachtungen 

g = 9,7806"* (1 + 0,0052 siii'^'^^) , (11) 

so zeigt sich, dafs der Ausdruck ü in der That ausreiciit, um dieses 
Ergebnis bis auf kleine, der Ordnung der lokalen und kontinentalen 
Abweichungen in g völlig entsprechende Grofsen darzustellen. Es 
erübrigt nur, die in ü auftretenden Konstanten durch diejenigen von 
(11) darzustellen. 

Als erstes Resultat erweist sich die Relation {B — ^) «== null, oder 

A = B. 

Hiernach sind die Trägheitsmomente für die x- und y-Axe, d. h. für die 
beiden Äquatorazen, einander gleich. V^ die Erde hat diese Gleichung 
allerdings nur die Bedeutung einer Näherungsrelation, da die Formel 
(11) keine ganz strenge ist und nach früheren Bemerkungen A und B 
nicht vollständig den Trl^heitsmomenten für die beiden in der Äquator- 
ebene liegenden Hauptaxen zu entsprechen brauchen. Jedenfalls sind 
aber die beiden Trdgheitsmom^te der Erde für die beiden Aequak>r- 


§ 11. Theorem von Clairaut, 75 

Hauptaxen in erster Annäherung einander gleich, (Damit sind nach 
den Lehren der Mechanik überhaupt die Trägheitsmomente für beliebige 
Aquatorazen in erster Annäherung einander gleich.) 

Wird in (1) die Differenz {B — Ä) gleich null gesetzt, so Vfer- 
schwindet die geozentrische Länge A aus dem Ausdruck für ü, d. h. 
die Niveausphäroide^ somit auch die Niveauflächen selbst, sind in erster 
Annäherung zur Aquatorebene symmetrische Rotationsflächen mit der 
Erdaxe als Drehaxe, 

§ 11. Fortsetzung: Theorem TOn Clairaut. Wir können 
jetzt als erste Annäherung für das Potential W (aufserhalb) setzen: 

^-^{l + 2'^(I-3sm'9) + ^cos>). (1) 

Hieraus folgt, wenn in' der Klammer für r der Äquatorialhalbmesser a 
eines Niveausphäroids U ^^ W^ gesetzt wird: 

'■ = ^(^ + Ä(^ - 38i"'9')+i^cos«9>+ ... j, (2) 
oder 

ferner ergiebt sich mittelst (7) und (10) des vorigen Paragraphen: 

i7-^{l+|J-(l-38in'9)- -^J-co8V+...) (3) 

und 

Die erstere Formel giebt g allgemein im Punkte (r,9>), die letztere 
im Punkte g> eines Niveausphäroids O = W^. In den Parenthesen 
von (3) und (4) sind, ebenso wie in (2) und (2*), Glieder von der 
Ordnung des Quadrates der Gröfsen m^a^ : M/c^ und K i a^ vernach- 
Iftssigt, d. h. Gröfsen der vierten Ordnung, wenn jenen die zweite 
Ordnung zugeschrieben wird. 

Es sei nun für ein Niveausphäroid V ^^^ W^ durch Beobacht- 
ungen gegeben: 

^»tf'aCl + hsm^^), (5) 

so ist, wenn dem Eoefficienten b die zweite Ordnung beigelegt und 
von Gliedern vierter Ordnung in der Parenthese abgesehen wird: 

(^ = ^a(l + bsin29)+...). (5*) 

Schreiben wir aufserdem für den Radiusvektor r, ebenfalls abgesehen 
von Gliedern vierter Ordnung: 

r s« a(\ — asin^9> + • • •) i (6) 

80 zeigt die Vergleichung mit (4) bezw. (2*), dafs 


76 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

*~ Mk* 2a« "^ •" ' ^^ 

^=-2SF + 25^+ ••• • W 

Die Vergleichong von (5*) und (3) zeigt aufserdem, dafs bis auf 
Glieder zweiter Ordnung in der Parenthese 

^a=^(l+...). (9) 

Mit Benutzung dessen erhalten wir aus (7) zur Bestimmung von K 
die bis auf Glieder vierter Ordnung genaue Relation: 

||._2c-H-... (10) 

und zur Beitmmvmg von a aus (7) -\- (8) die ebenso genaue Relation : 

a + h = Yf+..., (II) 

wobei der Gröfse t die nachstehende Bedeutung beigelegt ist: 

t = ^- (12) 

Bedenkt man, dafs a^a die Zentrifugalbeschieunigung am Äquator 
des Niveausphäroids vorstellt und dafs deren Verhältuis zur Schwere- 
beschleunigung ffa daselbst^ wie wir weiterhin ausführlich berechnen 
werden, für die Meeresfläche nahe gleich y^go ^^^; berücksichtigt man 
ferner den der Meeresfläche entsprechenden Wert von b gleich 0,0052, 
so sind nach (10) und (11) A" : a^ und a in der That für alle Niveau- 
sphäroide (aufserhalb) in der Nähe der physischen Erdoberfläche 
Gröfsen zweiter Ordnung und es ist damit die angegebene Gröfsen- 
ordnung der vernachlässigten Glieder in den Formeln dieses Para- 
graphen bestätigt. 

Die Gröfse a ist nun bis auf Glieder vierter Ordnung zufolge 
(6) die Abplattung des Niveausphäroids U ^^ Wq] die Formel (II) 
giebt daher ein Mittel zur Berechnung der Abplattung des der Meeres- 
fläche zugehörigen Niveausphäroids und also auch in erster Annähe- 
rung der Abplattung der Meeresfläche selbst aus der den Schwere- 
beobachtungen im Meeresniveau entsprechenden Formel. In Worten 
hat man zufolge dieser Formel: 

(Die AbpUUtung y , Zunahme der Schwerkraß v om Äquator bis zum Pol 
der Meeresfläche J "^ Schwerkraft am Äquator 

6 Zentrifugalkrafi am Äquator 
"T Schwerkraft am ÄquatoT- ' 

Dieser (keineswegs ganz strenge) Satz wird nach seinem Ent- 
decker das Theorem von Clairaui benannt Der Satz wurde 1738 ver- 
öffentlicht. Über die Art seiner Ableitung durch den Erfinder vergl. 
§ 26 dieses Kapitels. 


§ 12. Fortsetzung: Theorem von Clatraut. 77 

§ 12. Theorem yon Glairaut für ein Ni?eausphäroid mit 
dem PotentialausdruclL 


0^^^ 


1 + -^ (1 — SsinV) + -~~j- cosV 


I • 


(1) 


Entsprechend dem Umstände^ dafs bereits von einigen versucht 
worden ist, in der Formel für die Beschleunigung g im Meeresnivean 
ein Glied mit der vierten Potenz des Sinus der geographischen Breite 
aufzunehmen , haben wir dem Ausdruck für 2/ in § 10 noch das von 
der geozentrischen Länge freie Glied der Kugelfunktion vierten Banges 
beigefügt, vergl. (4) S. 66 und A^^' S. 65; für p^-o ist D geschrieben. 
Die Niveansphäroide verlieren hierdurch ihren Charakter als zur Aqua- 
torebeue symmetrische Rotationssphäroide nicht. 

Der Koefficient D ist aus den Schwerebeobachtungen abzuleiten. 

Wir nehmen einstweilen an, dafs — ^ die vierte Ordnung hat, während 

wie bekannt -r «nd -j^^^ für die Nähe der physischen Erdoberfläche 

die zweite Ordnung besitzen. 

Wir könnten nun so vorgehen^ dafs ans (1) zunächst die Polar- 
gleichung der Meridiankurve abgeleitet und alsdann der Ausdruck für g 
aufgestellt würde. Anstatt aber hierauf als letzte Folgerung das Theo- 
rem von Clatraut zu entwickeln, ziehen wir es vor, mit diesem zu 
beginnen. Es tritt dadurch in einfacherer Entwicklung und von vorn- 
herein in eleganterer Form auf. 

Wenden wir (1) auf Äquator und Pol an mit r = ß, sing) = 0, 
cos 9 o. 1 bezw. r es ^, sing) «» 1, cos 9) = 0, so giebt die Gleich- 
Setzung beider Werte von U ohne Schwierigkeit: 

J J_ A 4. j?^ j. o'g' , 3 D SD 


2o» ' 6» » 2Jtfifc« » 35 a» 36 l^ 

Hierin setzen wir b = a{\ — a), wobei a die Abplattung bezeichnet, 
und erhalten mit Vernachlässigung von Gröfsen sechster Ordnung: 

«(1 + «) - if- (1 + 2fl) + /i'J - ^, + Gl,. (2) 

Differenzieren wir ü nach r, so giebt dies, abgesehen vom Vor- 
zeichen^ für Äquator und Pol sofort die Beschleunigung g selbst, weil 
an diesen Stellen der Radiusvektor die Richtung der Normale annimmt. 
Es wird bezw.: 

Mk^ 1^ , 3jg cd'o^ , 37)\ ,o\ 

Jfī /. 3JE' , 82) \ 


78 2* Kapitel. Bestimmung der Abp aitang aus Schweremessongeo. 
oder 

^"-^(i + ^Ä + Sa*- '#[i+4ii] + ig-+ö/,). 

Man hat daher 

< 

Aus (4) -{- 3 X (2) folgt ohne weiteres : 

^ , 9p — 9a 6 cD'q ^K ^ i ±I> x ^i 

Dividieren wir diese Gleichung mit 1 + -r-^ — "IfSr > ^ geht sie 
mit Rücksicht auf (3) über in 

^ , 9p'' 9a 6 m^a ^ / SÜT , fl)«a»\ ,22) , ^, 

^ + -%; T 7a~ - ^("2aT +-3fife.) + T^ + ^'« . 

oder nach Elimination von K mittelst (2) und unter Einführung ab- 
kürzender Bezeichnungen: 

« + b = |-C-«(« + lc)+|l, + C/e. (5) 

Hierin haben die Groisen a^ b, t und h nachstehende Bedeutung: 
0-6 


a 


Abplattung , 


■^ 9p — 9a_ Zunahme der Sehwerkrafl vom Äquator bis gum Pol 

9a Schwerkraft am Äquator 

»»a Zentrifugalkraft am Äquator 

Qa Schwerkraft am Äquator ' 

wobei D noch der Bestimmung aus der Formel fOr die Schwerkraft 
im Meeresniyeau bedarf. 

Aus (5) und (2) kann man durch Elimination von ü noch eine 
Gleichung für K : a^ ableiten, die wir mit Benutzung der Itelation 

zunächst in der Form 


erhalten. Hieraus folgt mit Benutzung der Relation 

ü + b=^C+GU 

zum Zwecke der Elimination von b aus den Gliedern vierter Ord- 
nung (was die Formel vereinfacht): 


§ 13. Polargleichung der Meridiankurre für dos Niyeaasphäroid ü=» Wq 79 


^^ = 9r - h - 2fl2 + 1 1:2 + _» j + Gi^ 


2 a 


(7) 


Zogleich geht (6) Ober in: 


MF 


c(l + t-h + ^/4), 


(8) 


eine Gleichung, der wir zur Reduktion bei Entwicklungen weiterhin 
bedürfen. 

§ 13. Polai^leichung der Heridiankarye für das Niveau- 
sphSrold =Wq, wobei 

Hierin bezeichnet $ den sin tp . Setzen wir nun an : 

r = fl(l ~ Äjs' + fl.s^ —...). (2) 

so ist die Abplattung 

a = Ä2 — A4 + . . . . (3) 

Um 02 9 04 > - • • 2U bestimmon, fähren wir in (1) fOr r den Aus- 
druck (2) ein, wobei es vorteilhaft ist, in (1) zuvor das r vor der 
Klammer rechts nach links zu bringen. Es folgt mit RQcksicht darauf, 
(lafs 04 eine Grofse vierter Ordnung sein mufs: 




Y il-ti,s^+1l,s^-...)^ 




(4) 


Indem wir die Faktoren gleich hoher Potenzen von s^ linker und 
rechter Hand nach Ordnung der rechten Seite einander gleich setzen, 
erhalten wir: 


K 


■»-=14- - -4- 


fij«a' 


Woa 

Mk* * • 2a« • 2Mk^ ' 36 a 


+ ^. ?. + <^A» . 




5- (t - «•^) + 2m. (1 + 3«-i) + T S + '^^B- (ö) 




Da wir ü im vorigen Paragraphen bereits entwickelt haben, so 
ist von diesen Gleichungen nur die erste und dritte noch zu benutzen. 
Sie geben: 




oder unter Elimination von /^ mittelst (2) des vorigen Paragraphen, 


80 2. Kapitel. Bestimmuiig der AbplattoDg aus SchweremesBungen. 

sowie unter Substitution von ü für Hg; von t für o^a? : Mk^ and von 
4 für Z? : fl* , 

Ä4=«(|^-2a) + i + ö/,, (6) 

oder endlich nach (5) des vorigen Paragraphen mittelst Elimination 
von f: 

Ä4 = a(h-a) + i + ö/e- (6*) 

Die Gleichung der Meridiankurve des Niveausphäroids wird hier- 
nach mit Vernachlässigung von Gliedern sechster Ordnung die folgende: 

r= fl j l-[a(l + b— a)+i] sin2<p+ [a(ll-Ä)+i] sinV - . . . j- (7) 

Hierzu giebt die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen die Ab- 
plattung lt. Ferner stellt die erste Gleichung (5) dieses Paragraphen 
die Beziehung zwischen a und W^ her, wobei Mk"^ mittelst (3) des 
vorigen Paragraphen eliminiert werden kann. Es hat aber die Ent- 
wicklung dieser Beziehung hier weiter keinen Wert. 

Für eine Ellipse mit dem Äquatorialhalbmesser a und der Ab- 
plattung fl können wir nach Bd. 1 S. 60 (6) und mit Rücksicht auf 
die Bedeutung von d nach Bd. 1 S. 38 o. ansetzen: 

r - a jl. - ä(i + -| ä) sin^cp + -|a^ sin^g? -...}. (8) 

Verstehen wir unter ru den Radiusvektor des Sphäroids, unter rR den 
des Ellipsoids; so ist 

ru - r£= a [[a (y Ä - k) - j] ~8iu22g) + GlA . (9) 

Für sin^ 2q) = 1 d. h. g? = + 45" erlaugt ru — rE seinen Maximal- 
wert und zwar wird > 

{ru - r^ W = 4- «{ä (|a - k) - i + ö/e ) . (10) 

§. 14. Formeln fUr die Beschleunigung g der Schwerkraft 
in Bezug auf das Niveausphäroid ü= fF^^; Bestimmung von i. 
Wenn wir denselben Ausdruck für U wie in den vorigen beiden Para- 
graphen zu gruude legen^ so läi'st sich für g in Bezug auf alle Punkte 
des Niveausphäroids U ^= W^ ein Ausdruck von der Form 

^ = ^a (1 + bj sin^i? + b^ sin^/? + Gl^) (1) 

herstellen^ worin bj ^^^^ ^4 bezw. die zweite und vierte Ordnung haben, 
falls D ir^f wie augegeben, die vierte Ordnung hat. Mit Rücksicht 
darauf, dafs wir bereits mit b den Quotienten {ßp — Qa) : ga bezeichnet 
haben, ist jetzt zu setzen: 

b-k, + l»<+ .... (2) 

II2 und 1^4 denken wir uns aus den Beobachtungen der Schwer- 
kraft auf der betreffenden Niveaufiäche abgeleitet. Um nun II2 und 


§14. Formeln für die Beschleunigcng g. 


81 


h^ mit den Eonstanten des Niveausphäroids in Beziehung zu setzen, 
fQhren wir zunächst in den Ausdruck (1) für B die «geozentrische 
Breite q> ein. Wir können dabei entweder von den drei Komponenten 
Ui, ü^ und ü^ der Beschleunigung g ausgehen wie in § 10 S. 72, 
oder einfacher, da bereits festgestellt ist, dafs die Meridiankurve der 
Fläche ü ^=^ W^ bis auf Gröfsen vierter Ordnung mit der Ellipse 
gleicher Abplattung zusammenfällt, die bekannte Relation für die 
Ellipse benutzen. 

Nach Bd. 1 S. 60 (4) ist, wenn wir für m einfach a schreiben, 
sowie für sin 2^ setzen sin 2 97: 

^ — 9? = asin 2g) + Gl^ . (3) 

Diese Formel gilt auch sofort fürs Niveausphäroid U = IFq. Zufolge 
derselben wird nach Taylors Satz: 

sin'^ B = sin' 9^ + 40 sin'g) cos'9) + 6^/4; 

hiermit sowie mittelst (2) geht (1) nach naheliegenden Reduktionen 
über in die Gestalt: 

ga=.g, jl+(l, + 4all — b4)8in29)-(4flb — kjsin^gj + ö/ej- (4) 

Wir haben nun einen zweiten Ausdruck für g aus ü abzuleiten. 
Hierbei gilt im allgemeinen Formel (5) § 10 8. 73, doch ist U^ gleich 
null, da der Ausdruck für U k nicht enthält. Denmach wird 

g ü,{l+{^^+....). (5) 

Differenzieren wir aber den Ausdruck (l) für ^ S. 79 § 13 nach r, 
80 folgt unter Beibehaltung der Abkürzung s für sing): 


m'r' 


^7 = - -^*' 


1 


ferner ist 


n-4?(i-3*^)-3f*. 


(1 - s«) 




du 

rdfp 


Mk* 


{ (~^ + ü) ""'^ ^^^"^ + ^^4} 


Mit Rücksicht auf (5) wird daher: 

SK 


g = 


Mk* 


.«••s 


1 + ^,^(1 -Ss^)-^l,-il-s^) 
bD 


+ J-/Ü 


(6) 


+ "i^)\'^-^') + ^h 


um nun g für Punkte des bestimmten Niveausphäroids U ^=^ W^ 
zu erhalten, eliminieren wir r mittelst des Ausdrucks ffir £7, oder 
einfacher mittelst der Polargleichung der Meridiankurve (7) § 13 
S. 80. Es ist darnach im Faktor vor der Parenthese rechter Hand 
in (6) zu setzen: 

H«>Iraert, maUiem. n. phyiikal. Theorie«n der höh. Oeodiliie. IL 6 


82 2- Kapitel. BestimmuDg der Abplattung aus ScLweremessungen. 

l=i(l+2[«(l + h-«)+>]s^-[a(2b-5A) + 21«]5* + <?/«): 

dagegen reicht es fQr die Glieder zweiter Ordnung der Parenthese aus, 

-^=^(l + 2«s» + C/,) 
und 

einzuführen^ während in den Gliedern vierter Ordnung für r einfach 
a geschrieben werden darf. Aufserdem eliminieren wir ZK \2d^ und 
Gj2fl3 . ^1^1 mittelst der Formeln (7) und (8) § 12 S. 79 und nehmen 
entsprechend im letzten Gliede vierter Ordnung der Parenthese nach 
(2) § 12 S. 77 


a« ~ Ml* *'•* ^ "** ' 


es geht alsdann die Gleichung (6), gehörig zusammengezogen mit 
Veruachrässigung von Gliedern sechster Ordnung über in: 


(7) 


^- -«» l^-f-ai« m«-|- 7 *; I _ |-7j2 _ 3JJ 8in4y + . . . | ' 

Strenggenommen hätte es genügt^ den Faktor von sin^^ herzu- 
stelleU; da er am bequemsten die neue Beziehung liefert, welcher wir 
bedürfen, um ) mit den Eoefficienten der aus den Schwerebeobach- 
tungen folgenden Formel (4) für g zu vergleichen. In der That giebt 
die Gleichung (7) weiter nichts Neues als diese Beziehung; sie giebt 
nämlich durch Vergleichung mit (4) ga genau so wie Formel (3) § 12 
S. 77, ferner aber 

4öh - h4 = 7a« - 3J + ö/e (8) 

sowohl aus der Vergleichung der Eoefficienten von sin^g) als derjenigen 
von sin* 9. Der Grund hiervon ist, dafs wir durch das C/airaut sehe 
Theorem in der Gestalt von Gleichung (5) § 12 S. 78 bereits a mittelst 
b ausgedrückt haben und diese Relation von ü und b bei der Um- 
formung von (6) oben benutzten. Die doppelte Bestimmung von (8) 
ist eine Eontrolle der Rechnung. 
Wir erhalten jetzt aus (8): 

>=i.(7tf^-4ah + hj + ^/«, (9) 

und erkennen, dafs II, wie anfangs in § 12 vorausgesetzt, die vierte 
Ordnung hat, sobald 114 diese Ordnung besitzt. 

§ 15. ZasammenstelluDg der Formeln für ein Niveau- 
sphsiroid U. Dieselben gelten zufolge der Ent^wicklung nur für die 
Nähe der physischen Erdoberfläche, haben aber auch nur hier Interesse. 

Gegeben sei die aus den Beobachtungen auf einer Niveaufläche 
abgeleitete Formel 


§ 15. Zasammenstellimg der Formeln für ein Niveausphäroid U. 83 

^ = ^a (1 + b2 sin'^ + 1^4 sin^^) (l) 

für die BeschleaniguDg der Schwere auf dem zugehörigen Niveau- 
sphäroid ll\ bj habe die zweite Ordnung und 114 die vierte Ordnung. 
Dann folgt unter Zugrundelegung des Ausdrucks (7 in § 12 (1), wenn 
t wie bisher das Verhältnis der Zentrifugalbeschleunigung am Äqua- 
tor zu Qa bedeutet und 

b = 1^2 + ^4 

gesetzt wird, für die Meridiankurve des Niveausphäroids : 
r«fljl-^[a(l + h-a) + >]sin29>+[a(b-a)+l>]8in49)+...), (2) 

il = |c~h-tt(« + |c) + |li+..., (3) 

J=|(7a^^4ah + b4)+...; (4) 

a und II finden sich aus den beiden letzten Gleichungen leicht durch 
successive Annäherung. 

Die* maximale Erhebung des Niveausphäroids über das Rotations- 
ellipsoid gleicher Abplattung ist gleich 

l«(«[|a-h]-i.) + ..., 

oder mit Rücksicht auf (4) gleich 

^a(fl[a + 2b]-2b4)+... . (5) 

Behufs einer späteren Verwendung notieren wir noch folgende 
Formeln. Aus (2) § 12 S. 77 folgt mit Rücksicht auf (8) S. 79 ohne 
Schwierigkeit: 

* 

eine Gleichung, welche H giebt, falls K irgendwie bekannt wird. 

Ferner folgt aus (3) 8. 77 mit Benutzung von (7) und (8) in 
demselben Paragraphen S. 79: 

iy. = ^r (1 + t - h + cb - I c^ - 2«' + y H + . . .) , 

und hieraus mit Rücksicht auf (4) : 

^(i + t-h+cb- ;f^-|«b+ ;b, + ...), (7) 

welche Gleichung einen Schlufs auf Mk'^ gestattet. 


9a ~ 


§ 16. Numerische Anweodang der Formeln auf das Niveau- 
sphäroid des Oeoids. Legen wir die, älteren Interpolationsrechnungeu 
entsprechende Formel 

g _ 9,7806 « (1 + 0,0052 sin^i?) (1) 

6* 


84 2- Kapitel. Bestimmong der Abplattung aus SchweremeBsangen. 

fQr das Meeresniveau zu gründe, so ist 

Qa = 9,7806»» , h = hj — 0,0052 , ^4 »=: . 

Wir haben nun zunächst r zu ermitteln. Bezeichnet a^ den 
Aquatorialhalbmesser des Niveausphäroids des Geoids, so ist: 

Es bezieht sich aber der numerische Wert (I) von g auf eine 
Sekunde mittlere^ Zeit, wir müssen somit auch die Winkelgeschwin- 
digkeit m der Rotation auf dieses Zeitinteryall beziehen. Da die 
Dauer einer Rotation der Erde um ihre Axe aufserordentlich nahe 
einen Stemtag beträgt und dieser (nicht 24 Stunden -= 86400 Sekunden 
mittlere Zeit wie ein mittlerer Tag, sondern) 86164,09 Sekunden 
mittlere Zeit hat, so wird 

»" 86m.ö^5 log ^-=0,73534- 10. 

Setzen wir mit Bessel a^ = 6377397 "> (Bd. 1. S. 38), so folgt 

t ^ 0,0034672 = ^ . (2*) 

Dagegen folgt mit £lems Wert a^ = 6378740"« (Bd. 1. S. 18) 

C = 0,0034680-^. (2) 

Wir werden weiterhin aus ga ^uid der Mondparallaxe einen Wert 
ffir a ableiten, der hinlänglich mit dem aus Gradmessungen folgenden 
harmoniert, dergestalt, dafs es jedenfalls ausreichend erscheint, bei 
der Angabe (2*) für t stehen zu bleiben, ohne mehr als etwa eine 
Einheit der sechsten Decimale Fehler in t befürchten zu müssen. 
Nach dem einfachen Theorem von Clairaui folgt jetzt weiter 


a = 4- . 0,0034672 — 0,0052 = 0,0034680 


oder 


^ 288,35 ' ^^ 


Femer ist nach (4) des vorigen Paragraphen: 

5=1. 0,003468 (7.0,003468 - 4.0,0052) 

also 

H = 0,0000040 . (4) 

Damit wird genauer nach (3) des vorigen Paragraphen: 

a -= 0,0034680 (l - y • 0,003468) + y • 0,0000040 


oder 


fl- 0,0034511 -ygJ;^. (5) 


§ 16. Numerische Anwendung der Formeln auf d. Niveausphäroid d. Geoids. 85 

Eine Wiederholung der Rechnung giebt 

J = 0,0000039 

ü = 0,0034512 , 

also wesentlich dasselbe. 

Die Erhebung des dem Geoid entsprechenden Niveausphäroids 
über das Rotationsellipsoid gleicher Abplattung ist nach (5) des vorigen 
Paragraphen im Maximum sehr nahe gleich 

-^ . 6377397 . 40^ d. i. 12,7 "• . (6) 

Gehen wir yon der im dritten Kapitel § 35 abgeleiteten Formel aus : 

{/ = 9,7800 *» (1 + 0,005310 sin^i?) , (1*) 

so ist 

<7« = 9,7800 h = bj = 0,005310 ^4 = . 

Nach dem einfachen Theorem von Clairaut folgt hiermit 


a = A . 0,0034672 — 0,005310 = 0,0033580 


oder 


(3*) 


297,80 

Femer wird 

1» = y . 0,003358 (7 . 0,003358 - 4 . 0,005310), 

also 

K = 0,0000025 (4*) 

and hiermit genauer 

H = 0,0033580 ( 1 — 0,0033580 — 0,0017336) + y • 0,00Ö0025 

oder 

«-0,0033416 = ^. (5*) 

Die Grofse (6) ändert sich nicht wesentlich. 

Wie im dritten Kapitel näher begründet wird, ist unsere Formel 
der älteren unbedingt vorzuziehen, also auch der Wert für % welcher 
zufälligerweise mit der Abplattung des ßessel^chen Erdellipsoids fast 
ganz übereinstimmt. 

Laplace findet in der M^caniqne Celeste t, IL 2. III p. 149-^160 die 
PendeUängenbeobachtungen von fünfzehn Orten der Variation mit sin'f 
sehr nahe entsprechend und berechnet fl gleich '/niMn ^^^ ' ?s5»7h unter 
Annahme von ( gleich \'t^ij, je nachdem er die zweite oder dritte Aus- 
gleichungsmethode (siehe Bd. 1 8. 698) anwendet. 

Unsere Kenntnis des allgemeinen Verlaufes der Beschleunigung g 
im Niveau des Meeres ist zur Zeit noch immer wesentlich das Resul- 
tat einer Reihe ausgezeichneter 'wissenschaftlicher Operationen aus den 
ersten Decennien dieses Jahrhunderts. Ganz besonders ragen hervor 
die Beobachtungen des Capt. Edw. Sabine auf 13 Stationen von — 13® 
bis 4"^^ geographischer Breite in den Jahren 1822 bis 1824 und 


S6 2- Kapitel. BcBtimmuDg der Abplattung ans SchweremessnDgen. 

diejenigen des Capt. Foster auf 12 Stationen aufeer London und Greenwich 
von — 63*^ bis -^-WP geographischer Breite in den Jahren 1828 bis 1831. 
Nächstdem existieren aufser verschiedenen kleineren Reihen zwei Reihen 
von Louis de Frey einet und Capt. Lütke aus den Jahren 1817, beew. 1826 
bis 1829, sowie Reihen neueren Ursprungs, welche aber mehr den Charakter 
von Spezialstudien tragen. Im dritten Kapitel kommen wir auf diese 
Beobachtungen im einzelnen zurück. 

Mit der Berechnung einer Interpolationsformel haben sich verschiedene 
Gelehrte beschäftigt. Nach ersten Versuchen einer Formelableitung dnrch 
Laplace und WaXbeck^ wobei jedoch wenig Material vorlag, findet Ed, 
Schmidt durch Ausgleichung von 47 beobachteten Pendellängen auf S. 372 
u. ff. des ersten Bandes seiner McUTiemfUisehen Geographie 1829, wenn 
JC^ die Länge des Seknndenpendels am Äquator bezeichnet: 

«^ =- 39,015233 Zoll engl., also g^ =« 9,78056 « ^ 

sowie (bi =» null gesetzt): 

ll ^ bs = 0,0052005 . (7) 

Hierbei ist in Bezug auf die Reduktion von JC^ auf g^ zu bemerken, dafs 
zwischen g und der Schwingungszeit t des mathematischen Pendels von 
der Länge l bekanntlich die Formel 


t 


-fi 


besteht, mithin zur Bestimmung von g aus der Länge des Sekunden- 

pendeis C folgt: 

g^n^iC. 

Ferner ist nach den Comparisons of Standards of Length von A. B. Clarke, 
1866, p. 280 

1 Fufs engl. = 0,30479727"* =• [9,48401107 — 10] 
mi thin 

• 1 Zoll engl. = [8,40482982 — 10]"* . 

Über die Verteilung der von Schmidt angewandten Beobachtungen 
nach der Breite, wie über verschiedene Details weiterhin anzuführender 
Rechnungen kann auch eine Zusammenstellung von J. B, Listing ver- 
glichen werden.*) Bei Schmidt dominiert die nördliche Halbkugel: er 
hat 11 südliche Stationen bis —62^ Breite gegen 33 nördliche bis -f ^^ 
(2 südliche und 1 nördliche zählen doppelt). 

Die später publizierten Messungen Fosters geben nach der Bearbeitung 
von Fr. Baily in den Memoirs of tJie Boyal Astronom. Society VII 1834 
p. 81 wesentlich denselben Wert für b, nämlich: 

ll = !>, = 0,0051961 , (8) 

wobei für die Stationen aufser Greenwich und London die Breite von 
+ 11* bis —63" variiert. Es tritt also aus der Vergleichung von (7) und 
(8) keine erhebliche Differenz der Nord- und Südhälfte der Erde hervor. 


*) J, B. Listing, Neue geometrische und dynamische Konstanten des Erd- 
körpers. Eine Fortsetzung der Untersuchung über unsere jetzige Kenntnis von 
der Gestalt und GrÖfse der Erde. Göttingen 1878. (Separatabdruck aus den 
Nachr. der kgl. Ges. d. Wiss.) 

Abgesehen von dem historischen Wert dieser Schrift verdient dieselbe auch 
als Kritik Beachtung. Wir werden indes mehrfach zu anderen Schlüssen ge- 
führt werden. 


§ 16. Numerische Anwendung der Formeln auf d. Niveausphäroid d. Geoida. 87 

In seinem Werke An Account of Exjieriments to detertnine the Figur e 
of the Barth by means of the Pendülum vibrating Seconds in different 
Laiüudes, London 1825, berechnet Edward Sabine S. 334 aus 13 seineif 
Stationen von — 13'' bis -f 80^ Breite 

b = b, = 0,0061807 , (9) 

welche Zahl sich durch Zuziehung von 6 Stationen Katers und 6 Stationen 
Biots auf der nördlichen Erdhälfte, ungerechnet der Anschlufsstationen, auf 

0,0061890 (9*) 

erhöht. Nach Sdbines Rechnung ist 

C^ =» 39,01668 bezw. 39,01516 Zoll engl. 

Wir haben die abgerundeten Zahlen Schmidts auf grund dieser Er- 
mittelungen beibehalten, obgleich einige andere Rechner abweichendere 
Resultate finden. • 

Francis Baüy berechnet in den Memoirs of the Boyal Astronom, So- 
ciety VII 1834 (aufser der i^os^er sehen Reihe) noch p. 94 eine Formel 
aus 79 überhaupt bis dahin bekannt gewordenen Beobachtungen. Seine 
Arbeit ist dadurch ausgezeichnet, dafs er verschiedene erforderliche Kor- 
rektionen anbringt, die z. T. unterblieben waren (u. a. die Reduktion 
wegen des Mitschwingens der Luft [man hatte nur wegen des Auftriebs 
korrigiert], wegen Temperatur, auf das Meeresniveau). Jedoch führt er 
die Ausgleichung ohne Rücksicht auf die Verteilung der Stationen über 
die Erdoberfläche durch; verschiedene Orte kommen mehrfach, London 
sogar llmal vor. Er findet b »» 0,0051449 und für die tägliche Schwingungs- 
zahl n des Londoner Sekundenpendels in der Breite B: 

n « K74416257Ü . Kl + iTsinVB .♦) 

Borenius stellte eine in mehreren Beziehungen verbesserte Rechnung 
an. Namentlich sorgt er für eine gleichmäfsigere Verteilung der Stationen , 
deren jede bei ihm nur eine Gleichung erhält. In seiner Abhandlung 
Über die Berechnung der mit dem unveräfiderlichen Pendel zur Bestimmung 
der Abplattung der Erde angestellten Beobachtungen (Bulletin de la Classe 
physico-mathematique de V Academie imp, des sciences de St. Petersbourg, 
tarne 1 1843) findet sich als tagliche Schwingungszahl des Londoner Se- 
kundenpendels an einem Orte mit der geographischen Breite B: 

86265,016 + 222,359 sin'B . (10) 

Hierbei sind 47 Stationen mit 47 Gleichungen benutzt. Aus 32 nördlichen 
und Äquator- Stationen folgt 

86265,097 + 222,242 sin'B ; 

aus 20 südlichen und Äquator- Stationen, wovon 6 mit den vorigen Äqua- 
tor-Stationen gemeinsam sind, folgt ferner 

86264,648 -f 223,080 Bm*B . 

Die gute Übereinstimmung der Ausdrücke für beide Erdhälften zeigt 
sich also auch bei dieser Berechnung. 


*) Hiernach wird allerdings n (London) für Co nicht 86400. Letztere Zahl 
ist eben der unausgeglichene Wert von n für Co- ^^i Berechnung von C^ aus 
Co hat man aber die ausgeglichenen, d. h. die Formelwerte anzuwenden. 


88 2> Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Borenius leitet aufserdem die Ausdrücke 

86266,475 + 216,379 sin* B + 6,958 sin« B (U) 

und 

86491,474 — 14,051 co%B — 212,071 cos« JB 

ab, von denen der letztere jedoch zu verwerfen ist, da die Potential- 
theorie Ausdrücke fordert , die nach Potenzen von sin B fortschreiten 
(allgemeiner gesprochen: nach Kugelfunktionen der Breite und Länge). 

Bedenkt man, dafs für konstante Pendellänge l sich die Schwingungs- 
zahlen n umgekehrt wie die Zeiten t verhalten, so findet man leicht aus 
(10) bezw. (11): 

f, , „ 222,369 . ,„ , /222,359\2 . ,^\ 

also 

bt = 0,0051552 bi = 0,00000664 ; 
femer 


') 


r , „ 216,379 . ,„ , r/2l6,379\2 , ^ 6,958 1 . ,« , 1 ,,, 
^ = ^aP + ^^-86265-;5^"^'^+LU2-65,5) + ^ ' -86265-,5j «^'^^^ +' • ' | '("' 

also 

bt <= 0,0060166 1^4 » 0,00016761 . 

Hiermit erhält man weiter: 

Ü = 0,0034899 = -ÖÖTTT ^ = 0,0000066 (12) 


bezw. 


286,54 
Sphäroid über Ellipsoid im Max. -|- 9,3 »» 

= 0,0034828 = -^g^ 21 = 0,0000601 (13) 

Sphäroid über Ellipsoid im Max. — 76^. 

Bezüglich des Ansatzes der Fehlergleichnngen sei hier Folgendes be- 
merkt; vergl. auch 3. Kap., § 33. 

Da die Potentialtheorie unmittelbar auf eine Entwicklung für g oder 
auch für die Länge Ü des Sekundenpendels nach Potenzen von sin B führt, 
so ist es korrekt, wie Schmidt die Ausgleichung auf grund dieser Pendel- 
längen zu führen oder, wie Baüy^ die n* als Beobachtungsgröfsen anzu- 
sehen; es ist aber weniger gut, wie von Borenius geschehen, auf grund 
der Schwingungszahlen n selbst zu rechnen, da diese den Quadratwurzeln 
der C proportional sind. 

Faucker berechnet in seiner bereits Bd. 1 S. 18 citierten Abhandlung 
{Bull, de la Glosse phys^-math. de VAc. imp. de St, Pet, Bd. 12 S. 120—128, 
Bd. 13 S. 49—89 und 225—237, insbesondere S. 227) nach einer Zusammen- 
stellung der Besult-ate verschiedener Rechner aus 28 Stationen: 

^ t= ^^ (1 -f 0,005209070 sin'B — 0,00005973 sin»2B) . 

Hieraus folgt 

g^g^(l + 0,00497015 sin«B + 0,00023892 siu^B) (14) 

mit 

= 0,0034648= ^-gg- i^ = 0,0000836 (u*) 

Spliäroid über EUipsoid im Max. — 114»». 

Dieses Resultat hat indes weniger Bedeutung als das von Borenius^ 
weil Paucker nur diejenigen der 47 Stationen, welche ersterer anwandte. 


§ 17. Die Norinalform d. Niveauflächen (aufBerhalb) u. d. Rotationsellipsoid. S9 

nimint, bei denen die Abweichung der berechneten von der beobachteten 
täglichen Schwingangszahl •< 3 ist. (Bei Borenius kommen Abweichungen 
bis 11 Tor.) Diese Art der~AuBwahl ist jedenfalls bedenklich. Man kann 
noch bemerken, dafs Paucker aus den Gradmessungen ein Rotationssphäroid 
findet, welches zwar beinahe dieselbe Abplattung hat, aber vom Ellipsoid 
entgegengesetzt abweicht (Bd. 1 S. 18), so dafs im gründe keine grol'se 
Übereinstimmung dieser beiden Resultate vorhanden ist. 

Eine neuere Berechnung von fl aus den Pendelbeobachtungen gab 1880 
A, B, Clarke in seiner Geodesy p. 341^361. Durch den Einflufs der bei 
dieser Berechnung herbeigezogenen indischen Beobachtungen verkleinert 
sich a auf etwa 1 : 294 , welchen Wert Verfasser p. 319 auch aus Grad- 
messungen ableitet. Jedoch ist auch diese Übereinstimmung wie bei 
Paucker durchaus zufällig und in der Genauigkeit der Einzelresultate 
nicht begründet. 

§ 17. Die Normalform der Niyeaaflächeii (aal^erhalb) und 
das Rotationsellipsoid. Die beobachteten und auf das Meeresuiveau 
reduzierten Werte von g lassen sich, wie bereits erwähnt, bis auf 
(ifofsen, welche im Verhältnis zu g die vierte Ordnung nicht wesent- 
lich überschreiten, durch eine Formel ^ *= ^a (1 -f" ^ sin''^) inter- 
polieren. Setzt man g ^^ g^ (1+^2 sin'^ -f- b^ sin^i?), so zeigt 
sich in der That, dafs bi ebenfalls eine Gröfse vierter Ordnung 
wird (vergl. § 16 S. 88). Eine Verbesserung ist jedoch die drei- 
gliedrige Formel für g nichts insofern sie die g im Meeresniveau 
nicht wesentlich besser als die zweigliedrige darstellt. Es würde in der 
That erst durch Mitnahme zahlreicher weiterer^ von Breite und Länge 
abhängiger periodischer Glieder möglich werden , diese g wesentlich 
besser zu interpolieren, weil die Abweichungen gegen jene beiden 
einfachen Formeln einen lokalen und kontinentalen Charakter besitzen. 

Als Normalform der Niveauflächen aufserhalb dürfen wir hier- 
nach diejenigen Niveausphäroide ansehen^ für welche in dem Potential- 
ausdruck 


^ Jtfi» 1 1 + Ä (^ - ^sin',,) + ^ cosV 


+ ^ (sinV -y 8m»«)p +-—) + <?/e 


0) 


die Konstanten so bestimmt werden, dafs für das Niveausphäroid 

des Geoids in Strenge 

^ - ^a (1 + bsin^i?) (2) 

wird. Für die höher gelegenen Niveausphäroide wird allerdings g in 
Strenge diese Form nicht behalten; dies ist jedoch gleichgültig, und 
überdies wird sich zeigen^ dafs für die Nähe der physischen Erdober- 
fläche die höhereu Glieder, welche zu (2) im allgemeinen hinzutreten, 
sehr klein bleiben. 

Beziehen sich jetzt ^ i ^a i tt » b und t ausschliefslich auf das 
Niveausphäroid der Meeresfläche, so haben wir nach S. 82 § 14 (9) 
zur Bestimmung von b und Di 


90 2. Kapitel. BeBiimmung der Abplattung aus SchweremeBsungen. 

ferner ist hiermit die Gleichung der Meridiankurve dieses besonderen 
Niveausphäroids nach S. 80 § 13 (7): 

r = öjl~a(l + |a-yb)sin>+a(-Ja-|b)sinV--ö/6l (4) 

und die maximale Erhebung über das gleichstark abgeplattete Rota- 
^tionsellipsoid nach S. 83 § 15 (5): 

±- a {ü(ü + 2b) + Gl,], (5) 

was nach S. 85 § 16 (6) 12,7 Meter betragt. 

Zur Bestimmung von K , (o^:Mk^ und M/c- hat man nach S. 79 
§ 12 (7) und (8), sowie nach S. 83 § 15 (7) und unter Benutzung der 

Relation ö-|-b = — C + 6;/, die Formeln: 


a* 12 * ' 3 *^* n- ^'6 > 


Mk'^ = 


^ = t(.l + t^b + Gl,) 


(6) 


i + c-li-i-r' + |-li«--^-lir + öZe 


Die Formeln für r und g sowohl im allgemeinen, wie auch für be- 
liebige Niveauflächen können aus der nunmehr als bekannt anzu- 
sehenden Funktion U^ Gleichung (1), abgeleitet werden, was im 
wesentlichen den Entwicklungen der Paragraphen 12 bis 15 ent- 
spricht. Wir kommen hierauf im folgenden Paragraphen zurück. 

Hier ist zunächst noch zu erwähnen, dafs H, Bruns in seiner 
Figur der Erde S. 16 und 18 für die Normalform de^ Ausdruck 

ansetzt und behandelt. Er setzt also insbesondere t == null und 
findet damit, wie auch unsere Formel (10) § 13 S. 80 ergiebt, als 
maximale Erhebung des Niveausphäroids des Geoids über das gleich- 
stark abgeplattete EUipsoid 

19,1«. 

Selbstverständlich reduziert sich f&r das Meeresniveau g nicht mehr 
in Strenge auf den Ausdruck (2), vielmehr treten noch Glieder mit 
sin*i? u. 8. f. hinzu, welche jedoch nur sehr kleine Werte annehmen 
können, wie schon aus der geringen Differenz der Maximalerhebnngen 
13 und 19 Meter folgt. (Nach Gleichung (4) S. 83 § 15 wird für 
^ = nuU h4 gleich rund 0,00001.) 


§ 17. Die Normalform d. Niveanflächen (aufserhalb) u. d. Rotationsellipsoid. 91 

Für welche der beiden oben angegebenen Normalformen man 
sich auch entscheiden mag, so ist jedenfalls die Abweichung des der 
Meeresfiäche entsprechenden Nivöauspharoids vom Rotationselh'psoid 
gleicher Abplattung eine so geringe^ dafs der Gebrauch der Geodäten 
gerechtfertigt erscheint, das Geoid abgesehen von den Verbiegungen 
lokalen und kontinentalen Charakters als abgeplattetes Rotationsellipsoid 
anzusehen. 

Mau kann sogar ü auch so ansetzen, dafs für ein bestimmtes 
Niveausphäroid die Gleichulig (1) diesem Rotationsellipsoid genau 
entspricht. Als ersteres nehmen wir wieder dasjenige des Geoids, 
auf welches sich a^ ga, H, ^ und t beziehen sollen. Damit nun der 
Radiusvektor desselben mit dem des gleichstark abgeplatteten Rotations- 
ellipsoides bis auf Glieder sechster Ordnung im Verhältnis zu a über- 
einstimmt, ist in der für das Meeresuiveau geltenden Formel 

^ = ^a {l + [b - bj sin'^ + b^ sin^^ + Gl^] (2*) 

nach S. 83 § 15 (5) zu setzen 

b4 = YÄ(a + 2b), 

oder nach Elimination von a mittelst der Relation + b = Y^~t'^^4* 
Mit dem ersten Ausdruck folgt nach (4) § 15 8. 83 weiter: 

l> = a(|a-b) + ö/«. (3*) 

womit sich für den Radiusvektor der Meridiankutve nach (7) S. 80 
§ 13 in Übereinstimmung mit Gleichung (8) daselbst findet: 

r = ö{l— a(l + Yö) 8in> + Y ö' ßinV ~ Gl,, ), (4*) 

die Polargleichuug der Ellipse bis auf Glieder sechster Ordnung dar- 
stellend. 

Zur Bestimmung der Konstanten des Potentialausdrucks (1) für ü 
hat man in ähnlicher Entwicklung wie oben für die erste Normalform: 

* = a* = -?'' + ¥*''- '^'»f + ^'« 
K 1 fy, . 283 » 1 L- I 25 ., , ^. 1 


Mk'^ = *'"__. -- - - 

i + f-l»+-iVt» + li'- !f-lir + (?Ze 


92 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Wie bereits oben bemerkt, lassen sich nun r und g für beliebige 
Niveauflächen aus dem Ausdrucke für U herstellen. 

Wenn wir in Zukunft besonders hervorheben wollen, dafs das 
Niveausphäroid des Geoids eine der drei besprochenen Normalformen 
hat, so werden wir es kurz als Normalsphäroid bezeichnen. 

§ 18. Die Formänderung der Niveausphäroid« in der Nälie 
der pliysischen Erdoberfläclie mit der Höhenlage. 

Der Abstand unendlich benachbarter Niveauflächen ist bereits im 
ersten Kapitel § 8 8. 10 Gegenstand der Untersuchung gewesen. Dar- 
nach ist der Abstand des Niveausphäroids der Meeresfläche von einem 
unendlich benachbarten Niveausphäroid mit Rücksicht auf die Formel 
(1*) § 16 S. 8ö für die Beschleunigung der Schwere dem Ausdruck 

l+hsin^Ä, h = 0,00531 (1) 

umgekehrt proportional. Insbesondere hat man für die Abstände h 
am Äquator und am Pol die Proportion : 

hAe^, : hpoi = 1,00531 : 1 
oder uäherungsweise (2) 

hAnu, : hpoi = 189 : 188 . , 

Diese Proportion darf man als erste Annäherung auch auf be- 
liebige Niveauflächen in der Nfthe der Erdoberfläche und auf endliche 
Abstände anwenden. Sie zeigt deutlich die Thatsache, dafs die Ni- 
veauflächen, selbst in der normalen Form der Niveausphäroide, im 
ganzen betrachtet erheblich vom Parallelismus abweichen. 

Für zwei Abstände h in den Breiten B^ und B2 erhält man die 
Proportion: 

Ä, : Äj = 1 + 0,00531 sin2i?2 : 1 -f 0,00531 sin^^, . 
Hieraus folgert man ohne Schwierigkeit: 

_ 0,00531 Bin (JB, - B,) sin (B, + B,) 
n^ — n^— ^ _j_ ^^^^^3j gj^,^^ /i, . (ö) 

Ist B2 -{- B^ '^^ 90^, so erreicht der Ausdruck rechter Hand unter 
sonst gleichen Umständen sehr nahe sein Maximum. Dasselbe beträgt 
für B.^ — ^1 •= 1®> ^- ^- ^80 für 15 geographische Meilen meridio-* 
nalen Abstandes rund 0,00009 Ä, . 

Infolge des Umstandes, dafs die Niveausphäroide keine ähnlichen 
Flächen sind, ändert sich auch die Abplattung mit der Höhenlage. 
Sind a und b die äquatoriale und polare Halbaxe eines Niveausphäroids, 
so hat man für dessen Abplattung die Gleichung: 

a — b '^ aü . 

Für ein unendlich benachbartes wird durch Differentiation dieser 

Gleichung 

da — db = a dü-{-üda . (4) 


§ 19. Die Formändenmg der Niveansphäroide mit der Höhe. 93 

Für die Beschleunigung der Schwerkraft auf dem Niveausphäroid 
können wir aber ansetzen 

ff^ffail + bsin^B+GQ] (5) 

demnach ist 

da.l=db(l+b + Gl,) 
oder 

db = da(l^b + Gl,) . (6) 

Führen wir dies in Gleichung (4) ein^ so ergiebt sich nach einfacher 
Reduktion: 

<*«=-/(«»-« + «M- (7) 

3 

Da b sehr nahe ^ ^ ^^^y ^^ ^^^ ^^^ angenähert 

rf« = |.^. (8) 

§ 19. Fortsetzung. Es ist nächstdem von Interesse zu er- 
mitteln, wie sich die Niveausphäroide in verschiedenen Hohen zu 
dem Ellipsoid gleicher Abplattung verhalten. Nach S. 80 § 13 (10) 
ist der maximale Abstand eines ß/iveausphdroids vom Ellipsoid gleicher 
Abplattung gleich 

{r u - rE)n^ -^a{ü(^ü-b)-h + Gl,], (1) 

worin a, ü, b, )l sich auf das betreffende Niveausphäroid beziehen. Da 
wir nau verschiedene Niveausphftroide vel'gleichen wollen, müssen wir 
ü, b und )l auf absolute Eonstanten zurückführen. Dies wird durch 
Dachstehende Formeln geleistet, die man unter Annahme des Aus- 
drucks (1) § 12 8. 77 für U leicht aus § 12 entnimmt: 


2a< 
2^ " 


a^lt-b + Gi,, 


Hieraus folgt: 


B "-■ — r • 


(2) 


d> vis. 

Aus (1) ergiebt sich nun durch Differentiation und unter Anwendung 
vorstehender Formeln: 


94 ^. Kapitel. Bastimmang der Abplattung ans Sohweremessaiigeii. 


da 


Htax 


_ij.(l._k)_,l 


+f!(»«-i»n-«ii-i^i+ 


Gl. 


oder 


Wenden wir die Zahlwerte des § 16 8. 84 und 85 an, so wird 

o 

[▼ergl. auch S. 90 § 17 (3)] k sehr nahe gleich -^ < and 

J = i. (7a^ — 4ah) + Ö/4 oder sehr nahe = -5- a^ 
Damit folgt 


oder sehr nahe = — 1?- a* d. i. = — 0,000010 . (5) 

16 ' ^ ' 


Setzt man dagegen t =» null (vergL § 17 S. 90) nnd behalt die 

2 


3 

Relation b b= -^ a bei, so wird dieser DifferentialqQotient gleich 


— 0,000012 . 

Wählt man endlich H nach Gleichung (3«) § 17 S. 91, d. h. 
nahezu gleich a^, wohei nun das NiYeausphäroid, auf welches sich 
die festen Werte von a, k, t and t beziehen, bis auf Glieder sechster 
Ordnung in r : a mit der Ellipse gleicher Abplattung übereinstimmt, 
dann folgt 

oder sehr nahe = — ^ a*, i i. = — 0,lKXiOa4 . 

In diesem Falle sind sonach die Änderungen der NiTeausphäroide 
mit der Höhenlage am kleinsten. Sie sind aber auch bei den beiden 
Yorhergehenden Annahmen sehr klein: selbst für eine Änderung von a 
im Betrage von -if <i = 6370^ ist J {rc — r^),«* jedenfalls < 0,1 ■■ . 

Die Niteausphdroide ü m der Sähe der physischen Erdoberfläche 
stimmen daher' alle in gleichem Grude mit Rolalionseliipsoiden derselben 
Abplattung überein. Wählt man insbesondere die Funktion ü so, 
dafs das Niveausphäroid der Meeresflache in r : a bis auf Glieder 
sechster Ordnung mit einem Revolutionsellipsoid gleicher Abplattung 
Obereinstimmt, so sind auch überhaupt alle Niveausphäroide O in der 
Nähe der physischen Erdoberfläche Revolutionsellipsoide bis auf 
Grossen derselben Ordnung. 

§ 20. Die nomuile Änderaug der Besthleonigaiig g der 
Sfhwerknift mit der Hohe in der Nihe der phjsisrken Erd- 
olierlick«s aufiserkalb. NikermigsflurMelQ für g md dg. 

Legen wir für U den Ausdruck ^1) § 12 & 77 zu gründe, so ist 


§ 20. Verschiedene Ausdrücke für g, 95 

allgemein für ein bestimmtes Niveausphäroid in der Nähe der physi- 
schen Erdoberfläche 

Beachten wir die Relation b «» li^ -|- b^ -|- . . . , so folgt zur Be- 
stimmung von ^4 aus Gleichung (9) § 14 S, 82: 

>^ = 3 J - 7a2 + 4ah + Gl, . (2) 

Hieraus erhält man durch Differentiation bei geändertem Aqua- 
torialhalbmesser des Niveausphäroids: 

setzt man nun rechter Hand die Werte der Differentialquotienten (3) 
§ 19 S. 93 ein, so folgt 

db, = ^ J30a^ -f 4b2 — lOak - 12J + Gl,] - (3) 

Setzen wir hierin näherungsweise b = -^ ^ ^^^ ^ '^ Y^^ ^ ^"^^ ^^^^ 
a^ (vergl. die dritte Annahme in § 19 S. 94), so wird db^ gleich 20-, 
24- oder 12-mal a'^ , da : a . Es ist also selbst für die Änderung 
Ja =^ 6370*'" die Änderung Jb^ ganz unwesentlich. 

Man kann daher b^ für die Nähe der physischen Erdoberfläche 
als konstant betrachten. Hat man es insbesondere fürs Meeresniveau 
gleich uull angesetzt; so wird es innerhalb der angegebenen Grenzen 
überall null. 

Zur Bestimmung der Veränderung von b^ hat man 

db^ = db — db^+ ... 
und demnach mit Rücksicht auf (3) § 19 S. 93: 

da 


db,= 7 [4a + 21» + <?/,), 


oder angenähert (4) 

Der allgemeine Ausdruck für die Beschleunigung g ist nach (6) 
§ 14 S. 81 in abgekürzter Form: 


g 


Mk* f. .SÄ",, o . * N a)«r3 


H |l + |JO-3sin^<)P)-w^«'9' + ^^4}- (5) 

Da wir in der Parenthese Glieder vierter Ordnung vernachlässigt 
haben, so kommen hierbei die in § 17 S. 89 besprochenen Unter- 
schiede in den Annahmen für ü nicht weiter in betracht. Für viele 
Zwecke reicht aber Ausdruck (5) völlig aus. Um die Änderung von g 
für eine differeniiale Verschiebung dh in Höhe zu erhalten, haben 
wir zu beachten, dafs 


96 *2- Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

dg dg dr , dg dq> ,^v 

dh ~ dr dh "r d(p dh ' ^^^ 

Das differentiale Dreieck, welches aus dh, dr und rdg> gebildet wird, 
zeigt nun, dafs zwischen diesen Gröfsen die Beziehungen 

dr = dh . cos (B — w) 
r dq) t= dh . sin {B — (p) ^ ^ 

bestehen. Hierbei ist nach (3) § 14 S. 81 B — q) = asin 2fp + 01^^ . 
Man erkennt jetzt sofort die Richtigkeit der Gleichung: 

wenn unter Gl^ Glieder verstanden werden, die Faktoren der Ordnung 
0^ enthalten. 

Wir erhalten demgemärs: 

oder mit Rücksicht auf die Relationen (7), (8) und (5) § 12 S. 79 
und 78, sowie mit einigen zulässigen Vernachlässigungen: 

dg ^[l + j_(-c_3a8in«/? + ö/^ ) rfA. (9) 

Setzen wir hierin noch für r den Ausdruck a(l — ösiu^^ + ^^4)> 
so folgt nach einiger Reduktion: 

e/^ = — ^ j 1 + fl + r ~ 2a sin'i? + Gl, ) dh . (10) 

Bei der Bildung des zweiten Differentialquotienten yon g nach // 
kann man von Gliedern zweiter Ordnung ganz absehen und findet 
ohne Mühe aus (9) sofort 

Der Vollständigkeit halber fOgeu wir nach S. 83 § 15 (7) hinzu : 
Ä' = ^r- (l - k + C + Gl)[\ + bsin^i? + Gl,\. (12) 

Diese Formeln gelten für jedes Niveausphäroid aufserhalb in der 
Nähe der physischen Erdoberflftche. * Sie gestatten einen bequemen 
Ausdruck für den normalen Wert von g in der Meereshohe H auf- 
zustellen. 

Beziehen sich Grofsen mit dem unteren Index auf das Niveau- 
sphäroid der Meeresfläche, so ist in der Höhe // über demselben^ H 
gemessen in der Lotlinie, welche dieses Sphäroid in der geographischen 
Breite B durchschneidet: 


§ 20. Verschiedene Aiudrücke üElr g. 97 

d. b. mit RQcksicht auf (10) und (11): 

"•* ffo-^ii-if + t+GI^){l + bsm^B + GU]- (14) 

Ad den Grofsen a, b und C, die sich hierin ebenso wie a^ und ff^ 
auf das Niyeausphäroid der Meeresfläche bezieheU; ist der Index 
der Einfachheit halber weggelassen. 

Diese Formeln befriedigen jedes praktische Bedürfnis, denn (14) 
giebt ^0 so genau, wie die Beobachtungen zur Zeit den numerischen 
Ausdruck für diese Grofse haben ermitteln lassen, vergl. (1) und (1*) 
§ 16 S. 84, und in (13) werden die yernachlässigten Glieder der ge- 
schlungenen Parenthese, da ffia^ im Maximum etwa ^/iqqq beträgt, 
weit kleiner als Viooooooi j^ ^'^ kaun recht wohl auch das Glied 
H^ : ÜQ^ yemachlässigen. 

Bei der Aufstellung yon Formeln für die Beschleunigung g 
wird yielfach ein mittlerer Erdradius R angewandt. Nun ist für das 
Niyeausphäroid der Meeresfläche 

r = «0 (1 - asin«^ + Gl^), (15) 

Diese Gleichung zwischen r und B gilt mit gleicher Genauigkeit für 
ein Rotationsellipsoid mit den Elementen a^ und a ; wir haben daher 
nach Bd. 1 S. 68 § 21 sofort für den mittleren Erdradius R die 
Gleichung: 

Ä-a„(l-|a + <?/,) 

oder (16) 

a„ = Ä(l+-l.tt + (?/,). 

Die Formeln (13) and (14) geben unter EinfQhrong dieses Aus- 
druckes für a^ und mit Benutzung der Relation a + b = — ( + ö/^: 

»=^o(i--#(i + |«+c-2asin^/? + <?/,)+^(i + e/,)+...) , (17) 

ffo- ^^ (l -i-j1i-^C-\- Gl,)[l + bsm^B + Gl,] . (18) 

Bezeichnen wir den Wert yon g^ für B «= 45^ mit (B, so folgt 
noch aus (18) nach naheliegenden Reduktionen: 

^, = « (l -i-jj cos2^ + Gl,) (19) 

mit 

Nach den S. 85 § 16 (1*) angegebeneu Zahlen ist zu setzen 

0^0 — 9,8060 '«(1 — 0,00265 cos 2 5^. (19*) 

Helmert, mathem. u. physikal. Theorieen der hüh. OeodAtie. II. 7 


98 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattong ans Schweremessnngen. 

Die Yorstehenden Entwicklungen lassen nun erkennen, wie genau 
yerschiedene in Anwendung kommende Näherungsformeln sind. Wird 
z. B. ffir die Schwerkraft in der Breite B und der Meereshohe H gesetzt 

^ = ^o75|W = *^-"T'^^«2i?-?^), (21) 

wozu die Differentialformel 

dg 2dH /rtox 

-g- = - -i - ^^^^ 

gehört^ so ist die normale Veränderung im Meeresniveau so genau 
berücksichtigt, als gegenwärtig mogUch, die normale Veränderung 
mit der Hohe aber nach (10) und (16) auf etwa V2V0 Maximalfehler. 
In den oben entwickelten Formeln kann man mit hinreichender 
Genauigkeit 

M = ^nB^e„, (23) 

setzen, worin Sm die mittlere Dichtigkeit der Erde bezeichnet und 

-^ n R^ als Volumen der Erde angesetzt ist. Nach Bd. 1 S. 68 ist 

das Volumen des Rotationsellipsoids gleich diesem Ausdruck bis auf 
Bruchteile der vierten Ordnung; mit derselben Genauigkeit etwa 
wird dieser Ausdruck auch fQr das Volumen des Geoids anwendbar 
sein. Überdies wird Formel (23) bei allen numerischen Bestimmungen 
von 0m benutzt. Mithin kommt der theoretische Fehler des Aus- 
drucks für M bei der numerischen Anwendung nicht zur Geltung; 
er ist auch ohne Belang, weil bei der Bestimmung von S^ zur Zeit 
Fehler anderer Art begangen werden, die weit bedeutender sind als 
diejenigen der Theorie. 

Setzt man einfach, entsprechend der Kugelgestalt der Erde: 

^ = (Ä+2f)* ' ^^^^ 

so giebt dieses in g zufolge (18) etwa V3V0 Maximalfehler, während 
die Veränderung mit der Hohe wie bei (22) auf V2% Maximalfehler 
richtig wird. 

Alle hier aufgestellten Formeln geben nur den normalen Teil von g 
ond dg : dH, Wegen lokaler und kontinentaler Einflüsse weicht g in 
Wirklichkeit um etwa ' 5^00 seines Betrages im Maximum vom normalen 
Werte ab. dg: dH kann sich noch weit mehr ändern; normal ist es nur 
bei Erhebungen in freier Luft über nahezu ebenem Terrain und bei Ab- 
wesenheit größerer Dichtigkeitsunregelmärsigkeiten in der Nähe der Erd- 
oberfläche, vergl. 4. Kap. § 3. Innerhalb des Terrains giebt der normale 
Wert von dg : dH gar keine Annäherung, wie schon im Kap. 1 § 26 S. 46 
erwähnt worden ist. 

§ 21. Die normale Änderung der geographischen Breite 
mit der Höhe wegen der Krümmung der Lotlinien. 

Wir drücken zunächst die geographische Breite B als Funktion 


§ 21. Die Änderung der geograpluBchen Breite mit der Höhe. ^^ 99 

des Radiusvektors r und der geozentrischen Breite 9 aus. Bezeichnet 
man aber wie S. 73 § 10 und 8. 81 § 14 mit ü^ und IJ^ die beiden 
von null verschiedenea Komponenten der Schwerebeschleunigung und 
beachtet, dafs ^, die Richtung des Radiusvektors r hat, die Richtung 
der Resultante g aber die geographische Breite markiert, so ergiebt sich 

tan(i?-9) = A, 
oder mit Rücksicht auf die Ausdrücke für IJ^ und ü^ auf S. 81 : 

^ = 9» + (^ + Äf) "'»29. + Gl, . (1) 

Andrerseits hat man 

dB _dB dr jdB^ d^ .^. 

dh ~ W dh »" 39 dh' ^^^ 

Hierzu giebt (1): 

dB / SK , 3a)«r»\ . a i rti 
>■ 8r-(--^ + OfATJ «»^29. + Gl, , 

d(p ' • ' 

ferner hat man wegen der Relationen (7) auf S. 96 und in leicht er- 
sichtlicher Entwicklung: 

dq> / SK , a)«r« \ • o i ^i 
'■dh = (2r'-+ 2Mkr)^'''^'f> + ^'*- 

Durch Substitution in (2) folgt hieraus ohne Schwierigkeit: 

» 

Wie (7) und (8) § 12 S. 79 zeigen, ist die Parenthese rechter Hand 
wesentlich gleich b. Man gelangt nunmehr leicht zu der Endformel: 

JB = p" Usin2^ + 0/ 1 ^ , (3) 

in Sek. ^ > ^ 

d. i. für b = 0,00531 und r — 6370000"» sehr nahe die Relation: 

in Sek. ^^^^ 

wobei jdB die Änderung der geographischen Breite bezeichnet, die 
ZQ der Erhebung /ihm Metern gehört. 

Zu diesem Ergebnis gelangt man auch mit Rücksicht darauf, 
dafs die Krümmung der Lotlinien eine Folge des Nichtparallelismus 
der Niveauflächen ist. Die Konvergenz der Meridiane zweier unendlich 
nahen Niveauspharoide im Abstände dh ist nach (3) § 18 8. 92, 
weun man B.^ = ^, -j- dB setzt, sehr nahe gleich {Ji^ — h^) : rdB 


100 2. KapiteL Bestimmung der Abplattung aus SchweremesBungen. 

oder 0,00631 Bin2B > ■ - Ebensoyiel beträgt die Biegung der Lot- 
linien für die Erhebung dh . 

In welcher Weise sich die Krümmung der Lotlinien auf die Änderung 

der geographischen Breite überträgt, zeigte bereits Oaufs 186S in einem 

Briefe an BaeyeTt vergl. das Protokoll der Verhandlungen der permanenten 

Kommission der europ&ischen Gradmessung von 1869 S. 30 oder Astronom. 

NaehriMm Bd. 84 1874 Nr. 1993 S. 8. Hiemach ist die Breite in der 

Meereshühe H gleich 

CT 

J5 + 1070"^=^ sin 2B, 

was mit (8*) genügend übereinstimmt. 

Eine Entwicklung aul grund der Potentialtheorie gab Hcmpi in den 
Astronom. Nachrichten Bd. 84 No. 1996 S. 60, sowie Bruns in seiner Figur 
der Erde S. 19. Obwohl ersterer einen nicht korrekten Ausdruck für das 
Potential nach Haneen anwendet, wird doch seine Endformel richtig. 
Dagegen ist wiederholt von anderen infolge fehlerhafter Berücksichtigung 
der Ansiehung des Erdkürpers der Differentialquotient dB : dh unrichtig 
aufgestellt worden. 

§ 22. Die iullserste Niyeaufliche der Erde. Entfernt man 
sich in der Äqnatorebene mehr und mehr von der Erde, so nimmt 
die Anziehung ab, die Zentrifugalkraft dagegen zu, bis endlich an 
einer Stelle Gleichheit eintritt. Darüber hinaus überwiegt die Zentri- 
fugalkraft Man kann nun diejenige NiTeauBäche, in deren Äquator 
jene Gleichheit statt hat, als aufserste Niveaufläche bezeichnen, inso- 
fern sie unter gewissen Voraussetzungen die Grenze der Atmosphäre 
sein mufs. Wir betrachten hier übrigens diese Fläche nur zu dem 
Zwecke, um an einem Beispiel zu erkennen, wie sich die Niyeau- 
flächen bei gröfserem Abstände von der physischen Erdoberfläche 
yerftndern. 

Für das Potential fF der Schwerkraft wenden wir wieder den 
Ausdruck 

f;-*^*l(l+j^(l_38iii»v) + ^iJco8»v+...) (1) 

an, welcher jetzt sicher eine weit stärkere Annäherung an f^" giebt, 
als dicht an der physischen Erdoberfläche. Difierenziert man U nach r 
und setzt nach Einführung Ton r^a, sin9)<»0, cos 9 «» 1 
den DiSerentialquotienten gleich null, so folgt zur Bestinunung des 
Äquatorialhalbmessers der Grenzfläche die Gleichung 

Verstehen wir unter a^ den Äquatorialhalbmesser des Niveausphäroids 
der Meeresfläche und setzen wir wie bisher 


^^ -r(i + ^^)» (3) 

so lälst sich (2) in die Form bringen: 


§ 22. Die äarsente Niveauflache der Erde. 101 

©'-T('+If.(?)'+-|- W 

Mit Rücksicht auf den Zahlwert c» 1:288,4 (^ergl. § 16 S. 84) er- 
kennt man, dafs a : a^ zwischen 6 und 7 liegt; läfst man daher rechter 
Hand in (4) alle Glieder aufser 1 weg, so giebt dies, weil 3iC:2aQ^ nach 
(6) § 15 S. 83 nahezu 1 : 577 ist und weil ferner die Reihe in der Klammer 

uach Potenzen von /— j fortschreitet, nur einen kleinen Fehler in der 

Bestimmung Ton a : a^. Derselbe beträgt etwa 1 : 75000 des Wertes. 
Wir setzen somit in grofser Annäherung 

a = a^ y^ = a^ . 6,607 . (5) 

Durch diese Relation ist zunächst der Aquatorialradius der Grenzfläche 
in Bezug zu demjenigen der Meeresfläche gebracht. 

Um nun auch die Form der Grenzfläche zu ermitteln, schreiben 
wir statt (1) : 

^ = ^(i + ä!^<'o«^9>); (6) 

dieser Ausdruck entspricht genau demjenigen Falle, dafs die Erde 
uach aufsen wie eine homogene Kugel anzieht, was in dem beträcht- 
lichen Abstände der Grenzfläche bereits sehr nahe zutrifft, wie auch 
das Vorhergehende hinlänglich zeigt. Aus (6) folgt unmittelbar 

'* = -Ü^{l + 2SF^^«^r (6*) 

Da nun für cos 9 s= null r in die kleine Halbaxe b übergeht, so ist 
6 BS ilf/r2 : (/, Führen wir in (6*) b ein, sowie ferner die aus (2) 
folgende und für (6) modifizierte Relation Aik^ «» a^a^ ^ so ergiebt sich 

r 6 r . . 1 / r \» 
a 


I(' + t(t)'«">1. C) 

welche Gleichung für r ^=^ a und cos 9 «» 1 zeigt; dafs b : a ^^^/^ ist. 
Die Abplattung (a — b) i a der Grenzfläche beträgt hiernach 


3 ^ 


*) Laplace berechnet diese Abplattung in der M^canique Celeste, t. IL, 1. lU, 

chap.Vn p. 169. Für eine beliebige Niveaufläche setzt er, wenn a ^i 1 genommen 

wird and n das Verhältnis der Zentrifugalkraft zur Schwerkraft am Äquator 

ist, ab Gleichung an: 

2r 2 

% 006*9 IC C08*qp 

bringt jedoch für den Fall ic » 1 die Gleichung nicht auf die einfache Form (8*). 
Laplaee bemerkt ausdrücklich, dafs diese Gleichung nur unter Voraussetzung 
kngelartiger Anziehung gelte. Es ist also selbstverständlich, dafs er sie nicht 
für die Nähe der physischen Erdoberfläche angewandt haben wollte, wie Ästfih 
nom. Naehrichten Bd. 74 1869 No. 1768 geschehen. Auch unser Citat Bd. 1. 8. 18 
Z. 24 ist insofern inkorrekt. 


102 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus SchweremesBungen. 

Als Gleichung der Grenzfläche (und zugleich als Gleichung ihres 
Meridianscbnittes) erhält man jetzt aus (7) : 


r 2 , 1 / r\3 2 


(8) 


oder nach den gewöhnlichen Regeln der Algebra für die trigono- 
metrische Auflösung der Gleichungen dritten Grades: 


^ = 2 secy cos (-|- + 60«) 


(8*) 


Für das Rotationsellipsoid gleicher Abplattung besteht nach Bd. 1 
S. 60 (3), da * = («2 — b^) : V^ = y^ wird, die Gleichung : 

1 

^l+~Bill*qp . 


a 


(9) 


Hiemach ist — für die Grenzfläche und das Ellipsoid durch 
folgende Tabelle gegeben: 


9 

Grenzfläche 

Rllipsoid 

0» 

1,000 

1,000 

15 

0,875 

0,961 

30 

0,790 

0,873 

45 

0,732 

0,784 

60 

0,695 

0,718 

75 

0,673 

0,679 

90 

0,667 

0,667 


Vergl. hierzu Fig. 5. Die grofste Difl'e- 

renz der — liegt bei g) = 21,2®, wo deren 

Werte gleich sind 0,8359 bezw. 0,9271 
^ mit 0,0912 DiflFerenz. 

Eine sehr wesentliche Abweichung zeigt 
die Grenzfläche von dem Ellipsoid insofern 
als sie am Äquator in eine Kante ausläuft. 
Hier ist die Fläche gegen die Äquator- 
J^ ebene unter 60^ geneigt. Um dieses Re- 
sultat zu erlangen, genügt es, aus (8*) 
dr : r dq> für q> = null zu bilden, d. i. 
die Kotangente des Neigungswinkels der 
Meridiankurve gegen den Radiusvektor. 
Übrigens hat nur die Grenzfläche diese Kante; bei den innerhalb in 
ihrer Nähe gelegenen Niveauflächen findet, wie die Untersuchung 



Fig. 5. 


§ 28. Historische Notizen zu dem Theorem von ClairatU; Newton. ]03 

zeigt, am Äquator mit abnehmeuüeD Werten q> nur eine sehr rasche 

Abnahme des Krümmungsradius in der Ebene der Meridiankurve statt. 

Ist % das Verhältnis der Zentrifugalkraft zur Schwerkraft am Äquator, 
so ist daselbst der Erümmnngsradius im Meridian gleich a (1 — x). 

§ 23. Historische Notizen zu dem Theorem yon Glairant; 
Newton. 

Die wichtigsten Epochen in der Entwicklung der Theorie für 
die Anwendung der Schweremessungen im Meeresniyeau auf die Be- 
stimmung der Erdgestalt bezeichnen die Namen Newton^ Clairaui und 
Stokes. Machte der erste eigentlich nur einen nicht ganz yollstan- 
digen Versuch, das Gravitationsgesetz auch hier zu verwerten, wobei 
jedoch wegen Voraussetzung der Homogenitat der Erde kein zu- 
treffendes Resultat möglich war, so gab Clairaui in seinem Theorem 
eine Formel zur wirklichen Berechnung der Abplattung der Erde 
aus dem Ergebnis der Schwerebeobachtungen, bei deren Begründung 
er für die Massen der Erde nur noch eine gewisse regelmäfsige 
Schichtung Toraussetzte, jedoch in solcher Allgemeinheit, dafs auch 
eine hydrostatischen Gesetzen genügende Schichtung inbegriffen ist 
Von allen diesen Annahmen, insoweit sie das Erdinnere betreffen, 
befreite endlich Siokes die Entwicklung des Theorems; nur über die 
Masseulagerung der Erdrinde bis zur Tiefe tiR y wenn R einen 
mittleren Erdradius und a die Abplattung bezeichnet, sind auch hier 
Voraussetzungen vorhanden. 

Indem wir uns nun zu einer eingehenden Besprechung der ge- 
schichtlichen Entwicklung wenden, beginnen wir mit den bezüglichen 
Sätzen und Berechnungen von Newton (1642 — 1727), die sich in 
seinem Werke Philosophiae naturalis principia mathematica vorfinden. 
Ohne irgendwie die Frage zu berühren, ob die Oberfläche eine Gleich- 
gewichtsfläche sein kann, denkt sich Newton in einem homogenen 
Rotationsellipsoid, dessen polare und äquatoriale Halbaxe im Ver- 
hältnis 100 : 101 stehen, zwei Kanäle vom Zentrum C nach dem einen 
Pol P und nach einem Aquatorpunkt A^ gefüllt mit Wasser, und 
untersucht ihr Gewicht (den hydrostatischen Druck) in C mit Rücksicht 
auf die Zentrifugalkraft. Da bei jenem Axenyerhältnisse die Gewichte 
sich nicht gleich herausstellen, ändert er dasselbe angemessen ab, (in 
Wolfers Übersetzung a. a. 0. § 23 S. 401 unten bis S.403). Der Kalkül 
vernachlässigt in der Regel die zweite Potenz der Abplattung. 

Von den erforderlichen Hilfssätzen betrifft ein erster das Verhält- 
nis, in welchem die Anziehung des abgeplatteten EUipsoids zu der 
Anziehung einer mit dem Polarhalbmesser beschriebenen Kugel 
auf einen der Pole steht. Um es zu ermitteln, wird zuerst ein Aus- 
druck für die Anziehung einer Kreisfläche auf einen senkrecht über 
ihrem Mittelpunkt befindlichen Punkt abgeleitet und mit Hilfe dessen 
ein Ausdruck für das erwähnte Verhältnis der Anziehungen des 


104 2. Kapitel. Bestunmung der Abplattung aus SchweremesBongen. 

Ellipsoids und der Kugel. Die betreffenden Angaben sind ziemlich 
dürftige da Newton die erforderlichen Summierungen auf Flachenbe- 
rechnungen zurückführt, diese aber dem Leser überläist (bei Wolfers 
S. 214 § 136 und S. 217 § 137). Als numerischen Wert des Ver- 
hältnisses giebt er 126 : 125. 

Die Anziehung des abgeplatteten Ellipsoids auf einen Äquator- 
punkt ergiebt sich mittelst des vorigen Satzes, weil derselbe in der 
angegebenen Annäherung eine unmittelbare Anwendung auch auf 
ein längliches liotationsellipsoid gestattet und jene Anziehung mit 
gleicher Annäherung als geometrisches Mittel der Anziehungen einer 
mit dem Äquatorialradius ÄC beschriebenen Kugel und eines läng- 
lichen Ellipsoids mit der Polarhalbaxe AC aufgefafst werden kann. 
Die Anziehung des abgeplatteten Ellipsoids auf einen Äquatorpunkt 
verhält sich daher zu derselben Anziehung der umschriebenen Kugel 
wie 125;5 : 126, und da sich diese letztere Anziehung zu derjenigen 
der eingeschriebenen Kugel auf einen Pol wie 101 : 100 verhält, so 
folgt als Verhältnis der Anziehungen des abgeplatteten Ellipsoids auf 
Pol und Äquatorpunkt 501 : 500. 

Ein anderer Hilfssatz lehrt, dafs eine homogene, von zwei ähn- 
lichen, ähnlich liegenden und konzentrischen Ellipsoiden begrenzte 
Schale einen Punkt des Hohlraumes nicht anzieht und dafs hiemach 
die Anziehung eines Ellipsoids auf verschiedene Punkte eines Radius- 
vektors deren Abstand vom Zentrum proportional ist. Die Unter- 
suchung der Anziehung jener Schale erfolgt in ähnlicher Weise durch 
Zerlegung in gegenüberliegende, gleich stark anziehende Elemente 
wie für die Kugelschale, siehe § 6 S. 63, (bei fVolfers S. 217 unten). 

Mittelst des letztgenannten Hilfssatzes findet sich für die Ge- 
wichte der beiden Kanälß nach Pol und Äquator, abgesehen von der 
Zentrifugalkraft, das Verhältnis 100.501:101.500 oder 501:505. 
Man bemerkt leicht, wie man hieraus das entsprechende Gewichts- 
verhältnis bei anderem Axenverhältnis abzuleiten hat. Ist insbesondere 
V289 ^^^ Verhältnis von Zentrifugalkraft und Schwerkraft am Äquator, 
so kann man setzen 

1 1 4 


Ä :-r7^ = 


101 289 ' 505 ' 

um diejenige Abplattung a zu finden, für welche das Mehrgewicht 
des äquatorialen Kanals im Vergleiche zum polaren ohne Rücksicht 
auf die Zentrifugalkraft gerade soviel beträgt, als letztere aufhebt. 
Wenn Newton ^230 ^ ^ angiebt, so liegt der Unterschied mit dem 
aus vorstehender Proportion folgenden Wert 7231 innerhalb der fest- 
gesetzten Genauigkeitsgrenze. (Was eine strengere Rechnung giebt, 
werden wir demnächst anführen.) Die Zahl Yjsi bezeichnet auch 
den Überschufs der Schwerkraft am Pol über diejenige am Äquator 
in Bruchteilen der letzteren. 


§ 24. ClairaiUB Darsiellang des NewUmBchen Problems. 105 

Auf eine homogene , feste und mit dünner Flüssigkeitsschicht 
bedeckte Erde ist die Ai^u^^onsche Rechnung insofern anwendbar, als 
das Gleichgewicht durch Einfügung der beiden Kanäle nicht gestört 
werden kann. Es entging jedoch Newton nichts dals die thatsächliche 
Änderung der Schwerkraft auf dei' Erdoberfläche mit der geographi- 
schen Breite einem homogenen Rotationsellipsoid nicht entspricht. 
Er sagt darüber {Wolfers- Übersetzung S. 408 o., in der dritten Aus- 
gabe des lateinischen Originals [von Cotes 1714] S. 385 u. und 386 o.): 
„Der Überschufs der Pendellänge in Paris über die in diesen Breiten 
(nämlich in — 7^ bis -|-20^) beobachteten Längen des isochronischen 
Pendels ist ein wenig gröfser als die oben berechnete (nämlich dem 
homogenen Rotationsellipsoid mit V^so Abplattung zukommende) 
Tabelle der Pendellängen angiebt. Die Erde mufs also am Äquator 
etwas stärker erhöht sein, als die frühere Rechnung es ergiebt und 
ihre Materie mufs in der Nähe des Mittelpunktes dichter sein als 
nahe an ihrer Oberfläche/^ Dafs die erstere Schlußfolgerung nicht 
richtig ist, bemerkt schon Ciatraut S. 157 seiner Figure de la Terre 
und er bemüht sich insbesondere S. 253 § LI für Newtons Schlufs 
eine Erklärung zu finden. Unsere Notiz Bd. 1 S. 11 Z. 12 u. 11 von u. 
bedarf also insofern der Berichtigung, als Newton zwar die Verhältnisse 
bei nicht homogener Erde in betracht zog, jedoch nur teilweise zu 
richtigen Resultaten gelangte. 

Auf den ersten Blick erscheint es in der That befremdlich, dafs der 
gröfseren Variation der Schwere eine kleinere Abplattung entspricht. 
Diese Aussage von ClairatUa Theorem erscheint auch offenbar dem Ver- 
fasser des Artikels „Erde" in GeMers physik. Wörterbuch Bd. 3 S. 915—919 
nicht ganz klar, weshalb sich bereits Borenius in seiner S. 87 genannton 
Abhandlung S. 2 veranlafst sieht, dieselbe zu besprechen. «Teder Zweifel 
bebt sich, wenn man beachtet, dafs eine Änderung der Abplattung bei 
konstantem t auch eine veränderte Massenverteilung zur Erhaltung des 
Gleichgevrichts fordert. Vergl. hierzu die Gleichungen (7j u. (8) § 11 S. 76. 

§ 24. ülairauts Darstellung des Newton sehen Problems. 

In seinem Werke über die Figur der Erde beschäftigt sich Clairaut 
auch mit einer strengen Darstellung des Falles der Homogenitat, 
welchen Newton behandelt hatte.*) Diese Darstellung ist überaus 
interessant durch die Einfachheit des Beweises für die Möglichkeit 
des Gleichgewichts. Er geht von folgendem Satze aus: 

Hat man zwei ähnliche^ ähnlichliegende und konzentrische Ellipsen, 
Fig. 6, deren eines Axenpaar durch AQCB bezeichnet ist, so ist 
2 ()A = 2 ()5 =» MK + ML , jenachdem K und L auf derselben oder 


*) GXairavX^ Theorie de la Figwre de la Terre, tiree des Principes de V Hydro- 
MLiqkke, Paris 174S. Unyerändert abgedruckt 1808. S. 158—195 §1— XXi. 

Übrigens gab Clairc^ schon in den Philosophical Transof^iona von 1737 
(Bd. VllI 8. 119 u. ff. der Ausgabe von 1809) eine Vcrvollstilndigung von Newtons 
Theorie für eine homogene Erde. 


] 06 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessun gen. 



auf verscUiedeueu Seiten der zu AB normalen Tangente QM liegen, 
wenn zugleich ML parallel zu QR^ MK parallel zu QS ist; beide 

Linienpaare aber zu AB entgegen- 
gesetzt gleiche Neigung haben. 

Dieser Satz läfst sich für die 
Ereisform leicht beweisen und 
hieraus durch Projektion auf die 
Ellipsenform übertragen. Verbin- 
det man aber mit demselben den 
Satz, dafs die Anziehung zweier 
Pyramiden mit gleichem differen- 
tialen körperlichen Winkel auf 
ihre Spitzen proportional ihren 
Längen ist, so wird durch Zer- 
legung der Körper in Differential- 
pyramiden leicht erkannt, dafs der Punkt M der Oberflache eines Ro- 
tationsellipsoides^ dessen Meridianschnitt Fig. 7 zeigt, in den Richt- 
ungen ifJ und MQ parallel zu den beiden 
Axen gerade so angezogen wird, wie bezw. 
der Punkt Q von einem zum gegebenen ahn- 
lichen, ähnlich liegenden und konzentrischen 
Rotationsellipsoid, dessen Oberfläche durch Q 
führty und der Punkt T von einem ebensolchen 
Ellipsoid durch 7. 

Nennt man P die Anziehung in P^ A die 
Anziehung und Z die Zentrifugalkraft in A^ 
beachtet man ferner^ dals die Resultante der 
auf M wirkenden Kräfte die Richtung der 
Normale MG haben muls^ so folgt sofort mit 
Benutzung einer leicht zu entwickelnden Re- 
lation für QG^ als Bedingung des Gleichgewichts die merkwürdige 

Gleichung: 

{A — Z)a^Ph . (1) 

Die Möglichkeit des Gleichgewichts beim homogenen Rotations- 
ellipsoid erhellt also bereits ohne Kenntnis der Ausdrücke für die 
Anziehung, lediglich als Folge des Umstandes, dafs die Koordinaten 
von M aus der Gleichung yerschwinden. 

Die weitere Rechnung bietet insofern weniger Bemerkenswertes, 
als Clairaut A und jP, ausgehend von einer Zerlegung des EUipsoids 
in Differentialpyramiden, ganz in jetzt üblicher Weise durch Inte- 
gration berechnet und zu den bekannten Ausdrücken gelangt, welche 
in unseren Bezeichnungen formell unerheblich verändert lauten : 



Fig. 7. 


§ 26. Huygem, 107 


e^ 


(2) 
P = 4ä A* ^ (^ + ^'*> (^' - arctanQ 

die Dichtigkeit der Masse gleich 1 gesetzt und (a^ — b^) : 2^* mit e^ 
bezeichuet. Wendet mau die Keihenentwicklung für arctan an und 
setzt Z : {A — Z) => t, so giebt obige Gleichung 

oder, wenn man mit Clairaut {a — li)\b einführt und darauf reduziert: 

Den kleinen Bruch in der Klammer vernachlässigt Clairaut. Beachtet 
man noch die Beziehung von {a — V) :b zur Abplattung a^ so wird 
mit groüser Schärfe 

i = Ä + i + ---- (5) 

Setzt man also 

mit Newton t =- -~ , so folgt -j — 232,2 

mit aairata „ ^^^ „ „ 231,0 

nach S. 84 (2*) „ -^ „ „ 231,7 . 

Clairaut zeigt noch; dafs die Schwerkraft auf dem homogenen^ 
im Gleichgewicht befindlichen Rotationsellipsoid proportional der 

Normale MN{(\, h. nach Bd. 1 S. 40 proportional zu 1 : f/l — e^ %m^B) 
ist, was man, ohne hier seiner etwas umständlichen Beweisform zu 
folgen, leicht aus Dreieck MTN Fig. 7 entnimmt. 

Zu derselben Formel für — gelangt man natürlich durch Einführung 
der Werte Z— 4-a*«(2 — «) 

D-|-a««', (6) 

welche dem Potential des homogenen Kotationsellipaoida augehören, in 
die Gleichung (6) § 15 S. 83. Das Potential des homogenen Rotations- 
ellipsoids ist weiterhin abgeleitet. Durch Vergleichung der dafür in § 31 
(8) dieses Kapitels gegebenen Formel mit dem Ausdruck für ü in § 12 
(1) S. 77 kann man die Angaben für K und D verifizieren. 

§ 25» Huygens (1629— 1695). Da uns das Werk*), in welchem 


*) Huygens, Tratte de Ja Lumi^e. Avec un Discours de la Cause de la 
PesafUeur. 1690. 

Hierbei sei bemerkt, dafs van TriM S. 6 des Jahrb. der Fortschr, d. Ma- 
thematik von 1877 (pubL 1880) für die angewandte Schreibweise des Namens des 
Autors eintritt, weil er selbst sich so geschrieben habe. 


108 2« Kapitel. Bestimmung der Abplattung aua Schweremessungen. 

Huygens nach Todhunter seine Berechnung der Erdabplattung gegeben 
hat, nicht vorliegt, so beschranken wir uns darauf nach dessen 
History of the maihematical Theories of Aüractkm and the Figure of 
the Earlh Bd. 1 S. VI und 28 mitzuteilen, dafs Hvygens sich hier- 
bei ebenfalls wie Newton der Kanäle bedient. Aus dem Wert t «= V2S9 
berechnet sich nach ihm a »= V57S sowohl unter der Annahme, dals 
die Zentralanziehung (Bd. 1 S. 11) konstant, als irgendwie ?on der 
Distanz abhangig ist. Die Oberflache des Sphäroids stellt sich nor- 
mal zur Resultante aus Zentralanziehung und Zentrifugalkraft Die 
Grolse der Resultante, die Schwere, yariiert yom Pol bis zum Äqua- 
tor, wenn man die Zentralanziehung umgekehrt proportional dem 
Quadrate der Distanz setzt, um Vsss^ ^^ allerdings den Verhältnissen 
der Erde nicht entspricht, wie Huygens keineswegs übersieht. 

Das Huygens^ckQ Problem wird auch ausführlich von Clairaut in 
seiner Figwre de la Terre behandelt (S. 28—32 § XIV u. XV; S. 139 
bis 143 § LXXIII u. LXXIV). Er findet, dafs eine Gleichgewichts- 
oberfläche nur möglich ist, wenn die Zentralkraft lediglich eine 
Funktion von der Distanz ist und z. ß. nicht etwa noch von der 
Richtung der Kraft. Indem er sodann ebenfalls einen polaren und 
äquatorialen Kanal betrachtet, bedient er sich in übersichtlicher Weise 
folgender graphischen Methode. In Fig. 8 sei die Ordinate Q(]f 

proportional der Anziehung in der beliebigen 

-J^ 7^' Distanz t7p. Dann stellt die Fläche CACÄ 

~T 7/*' Über dem äquatorialen Halbmesser CA das 

/ / -Gewicht (den hydrostatischen Druck) des aqua- 

/ / torialen Kanals für die Dichtigkeit 1 und den 

\ 7^ Querschnitt 1 vor, ohne Rücksicht auf die 

^ / Zentrifugalkraft. Wird diese am Äquator 

/ durch AA'* ausgedrückt, so giebt das Dreieck 

/ AÄ'C die Gewichtsverminderung durch die 

^ ^ Zentrifugalkraft. Es mufs nun das Gewicht 

^^'^ CÄ'C Ä des äquatorialen Kanals gleich sein 

demjenigen des polaren, d.i. CP(fP\ oder was dasselbe ist, für jedes 
nur Yon der Distanz abhängige Gesetz der Zentralanziehung mufs 
Fläche AA'C der Fläche APÄP' gleich sein. Bezeichnet Z wieder 
die Zentrifugalkraft und i4 die Anziehung am Äquator, so ist hier- 
mit angenähert — Za ^^ a^A^ oder ebenso genau *» -3- C . 

Die Potentialtheorie zeigt sehr bequem die Resultate der CJ/otraii^schen 
Untersuchung. Ist W das Potential der Schwere, V dasjenfge der An- 
ziehung, so folgt 

TT« F+yf«a>«cos«q) 

bei der üblichen Bedeutung von r, co und 9 . TT s= Konstante ist die 
Gleiclhmg einer Niveaufläche, also auch der Gleichgewichtsoberfläche. 


§ 26. Clairaut. 109 

Giebt es nun kein Potential F, bo existiert auch keine Gleichgewichtsoberfläche. 

Ein V kann aber nur existieren als Funktion von r allein, denn da ^die 

dr 

ganze Anziehung ist, so mufs der Differentialquotient von K nach qp null sein, 
weil derselbe eine zur radialen Richtung normale Komponente vorBtellt. 

Gilt nun V^ für den Äquator, V für den Pol der Gleichgewichtsober- 
fläche, so wird V^ + - a' «o* = F . Da V — F^ sehr nahe Aati ist, 
erhält man hieraus a wie oben. 

§ 26. Clairaut (1713-1765). Der erste Teil der Schrift 
Theorie de la Figure de la Terre, tiree des Principes de V Hydrosiatique 
ist der Hydrostatik gewidmet, vor allem deren Prinzipien. Bisher 
hatte man bei der Betrachtung flüssiger, rotierender Sph&roide die 
Gestalt der Oberfläche entweder nach dem Prinzip von Huygensy dafs 
sie normal zur Resultante der Kräfte stehen müsse ^ berechnet oder 
mittelst des Prinzips von Newton ^ dafs geradlinige Kanäle, welche 
von der Oberfläche nach dem Zentrum führen, gleiches Gewicht be- 
sitzen müssen. Clairaut zeigt aber, dafs diese Prinzipien allein nicht 
erkennen lassen, ob thatsächlich Gleichgewicht besteht. Dieses ist 
in der That nur dann möglich, wenn die Komponenten der nach drei 
rechtwinkeligen Äzen zerlegten Resultante der Kräfte in einem Punkte 
sich als die bezüglichen partiellen Differentialquotienten einer Funktion 
der Koordinaten dieses Punktes auifiEi.ssen lassen, so dafs also zum Be- 
stehen des Gleichgewichtes die Existenz eines Potentials der Kräfte erfor- 
derlich ist. Clairaut erkannte dies wenigstens dem Wesen nach, ohne 
jedoch den Begriff des Potentials zu erfassen.*) Er weist es auf doppelte 
Art nach, einmal ausgehend von dem Prinzip, dafs jeder geschlossene 
Kanal yon beliebiger Form im Gleichgewicht sein müsse, sodann yon dem 
Prinzip aus, dafs der Abstand zweier unendlich benachbarten Niveau- 
flachen überall im umgekehrten Verhältnis zu der Kraft daselbst stehe. 
Mit Hilfe dessen und an der Hand der thatsächlichen Schwere?er- 
hftltnisse auf der Erdoberfläche gelingt es dann, die Unhaltbarkeit 
der Annahme einer Zentralanziehung, welchem Gesetze sie auch folge, 
nachzuweisen. [Vergl. weiter die Notizen 8. 10 § 8 und S. 108 § 25.] 

Aus der Einleitung der Schrift geht herror, weshalb Clairaut 
ausführlich bei der Hypothese der Zentralan ziehung yerweilt. Dar- 
nach entspricht dieselbe der Wirbeltheorie des Descartes**)^ welche 
nar sehr allmählich von Newtons Gravitationstheorie yerdrängt wurde. 


*) VergL ansere Anmerkung zu Kap. 1 § 8 S. 10. Dafs die Komponenten der 
Anziehung beim Newtonschen AttraktionageBetz partielle Differentialquotienten 
sind, war hiemach wohl bereits Clairaut bekannt. Es wird diese Erkenntnis 
sonst Lagrange zugeschrieben, von dem sie in der That zuerst frei von hydro- 
statischen Nebenbeziehungen deutlich ausgesprochen wird. 

**) Vergl. über dieselbe z. B. Whewell, GeseMchU der inid^kiiüen Wissen 
Schäften, Bd. 2 8. 186 u. ff. 


110 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus SchweremesBungen. 

Es galt also nicht nur diese auf die Probleme der Naturwissenschaft 
anzuwenden^ sondern auch jene direkt zu widerlegen. Nach dem 
Bekanntwerden der .y^u;/on8chen Untersuchungen sahen sich übrigens 
die Anhänger jener Theorie bereits zu dem Zugeständnis genötigt, 
in der Sonne und den Hauptplaneten Gravitationszentren anzunehmen 
und die Anziehung umgekehrt proportional dem Quadrate des Ab- 
Standes yorauszusetzen, während anfangs zur Erklärung def als kon- 
stant betrachteten Erdschwere ein Grayiiationszeutrum mit konstanter 
Wirkung ausreichte. 

Der zweite Teil des Clairaut sehen Werkes enthält in den Para- 
graphen XXIII bis XXIX, XXXVn und XLI bis XLIX S. 198 bis 
218, 225 und 233 bis 250 die speziellen Untersuchungen über die 
Erdgestalt auf grund des Newtonschen Anziehungsgesetzes. Clairavi 
bedient sich dabei überall der Differential- und Integralrechnung in 
der jetzt üblichen Weise, yereinfacht die Betrachtung aber wesentlich 
dadurch; dafs er nur die erste Potenz der Abplattung berücksichtigt, 
diese somit strenggenommen als unendlich kleihe Grofse behandelt. 
Entsprechend wird das Verhältnis der Zentrifugalkraft zur Schwer- 
kraft am Äquator wie eine unendlich kleine Grofse von derselben 
Ordnung eingeführt. 

Der Gang der Entwicklung ist nun in den Hauptpunkten fol- 
gender. Zunächst wird die Anziehung einer aus homogenen^ kon- 
zentrischen Schichten gebildeten Kugel auf einen Punkt aufserhalb 
ermittelt; sodann wird ein Ausdruck für diejenige Komponente der 
Anziehung einer Kreisfläche auf einen nahezu normal über ihrem 
Mittelpunkt gelegenen Punkt aufgestellt; welche parallel zur Kreis- 
fläche (in der Richtung der Excentricität) wirkt, und mittelst dieses 
Satzes dann zunächst für ein homogenes ; abgeplattetes Rotations- 
ellipsoid; darauf aber für ein geschichtetes Rotationsellipsoid diejenige 
Komponente der Anziehung auf einen aufserhalb gelegenen Punkt 
berechnet, welche in die Richtung normal zum Radiusvektor fällt. 
Das geschichtete Rotationsellipsoid besteht aus einem Kern und 
einer beliebig dicken homogenen Flüssigkeitsschicht; in dem Kern 
sind die Flächen gleicher Dichte konzentrische, koaxiale Rotations- 
ellipsoide; deren Abplattung und Dichtigkeit beliebige Funktionen 
der kleinen Halbaxe sind. Mittelst dieser Entwicklungen wird die 
Bedingungsgleichung dafür, dafs die Resultante aus Anziehung und 
Zentrifugalkraft auf der Oberfläche überall normal steht, aufgestellt 
und schliefslich durch die Annahme vereinfacht, dafs die Dicke der 
äufsersten Schicht unendlich klein sei. Bezeichnen wir mit ^, a und 
die kleine HalbaxC; Abplattung und Dichtigkeit einer Fläche gleicher 
Dichtigkeit, mit h^ und Hq die ersteren beiden Grofsen für die Ober- 
fläche und mit Iq das Verhältnis der Schwerkraft zur Zentrifugalkraft 
am Äquator derselben; so lautet die Bedingungsgleichung^: 


§ 26. Ciatraut. Hl 


für 


= Ije b^db, z> = ^Je d (&»«) . 


(2) 


Bis dahin durfte die Anziehung des Ellipsoides in radialer 
* Richtung mit Vernachlässigung der Abplattung berechnet werden. 
Diese Anziehung wird nunmehr genauer ermittelt und dabei nachge- 
wiesen^ dafs die Anziehung auf einen äufseren Punkt M ebenso grois 
ist, wie diejenige eines Rotationsellipsoides, dessen Botationsaxe nach 
Lage und Grölse zusammenfällt mit dem Radiusvektor NC des ge- 
gebenen Ellipsoids in Richtung MCf und dessen Masse derjenigen 
des letzteren gleich ist. Zum Zwecke des Nachweises wird das ge- 
gebene Ellipsoid durch unendlich viele parallele Schnitte zerlegt, 
welche zu NC konjugiert liegen und gezeigt, dafs die zentrale An- 
ziehung einer nahezu kreisförmigen Ellipse auf einen Punkt, der 
nahezu normal über deren Mittelpunkt liegt, der Anziehung eines 
flächengleichen Kreises, über dessen Mittelpunkt der angezogene Punkt 
genau normal sieh befindet, gleich gesetzt werden kann. Als An- 
ziehung eines abgeplatteten, homogenen Rotationsellipsoids mit der 
Dichtigkeit 1 auf einen Punkt in der Drehaxe mit dem Zentrumsab- 
stand r wird erhalten 

Hieraus folgt mittelst des vorigen Satzes (da innerhalb der festge- 
setzten Genauigkeit der Ausdruck (3) auch für negative d gilt) die 
Anziehung desselben Ellipsoids auf einen Punkt der Aquatorebene 
gleich 

und aus (3) und (4) leitet sieh endlich ab, dafs die Anziehung eines 
wie oben angegeben geschichteten Ellipsoides auf einen Punkt des 
Äquators kleiner ist als auf einen der Pole um 

^nkHo(2A-\D). (5) 

Fügt man hierzu für die Zentrifugalkraft ^TCfc^At^^ so ergiebt sich 
der Überschufs der Schwerkraft am Pol über diejenige am Äquator. 
Denselben im Verhältnis zur Schwerkraft mit bo bezeichnend, er- 
halten wir also 

hieraus und aus (1) aber unter Elimination von D : A das Theorem 

Äo + ko = Y f • 


112 2. Kapitel. Bestiminnng der Abplattung aus SchweremesBongen. 

Noch immer vorkommender fehlerhaften Auffassung wegen muls 
nochmals betont werden, dafs die Schichtung des Rotationsellipsoids 
keineswegs nach ähnlichen Flächen gedacht ist. Allerdings hat 
Ciatraut in einer Abhandlung in den Phil. Transactims von 1738 
(Ausgabe von 1809: Bd. VIII S. 207) sein Theorem zuerst für solche 
bewiesen, aber sein Buch von 1743 enthält die mit Rücksicht auf 
eine wesentlich flüssige oder flüssig gewesene Erde wichtige Er- 
weiterung des Beweises, ohne ihn jedoch lediglich auf diesen Fall 
zu beschränken. 8. 265 § LV wird noch bewiesen, dafs man die 
Trennungsflächen der Schichten einer rotierenden Flüssigkeitsmasse 
in hier ausreichender Annäherung, d. h. abgesehen von der zweiten 
Potenz der Abplattung, als Rotationsellipsoide betrachten darf — oder 
genauer gesagt, es wird bewiesen, dafs die Voraussetzung dieser Form 
zu keinem Widerspruch führt. 

Die Gleichung (1) entspricht der Formel (2) § 12 S. 77; sie giebt 

während jene — - Kx Oq* als erstes Glied hat. »Da nun fürs homogene Ellipsoid 
mit der Dichtigkeit 1 in hier genügender Annäherung 

o 16 o 

ist (vergl. weiterhin § 31), so wird fürs geschichtete Ellipsoid in gleicher 
Annäherung 

Setzt man in dem Potential der Anziehung des homogenen Rotationsellipsoids 

3fifc« f. . K 


[l + ^,(i-fi^m^q^) + ...] 


4 
M genauer gleich —na^h^ so verifizieren sich auch (3) und (4) leicht als 

partielle Differentialquotienten nach r für ^ == 90° und qt «» null. 

§ 27. Die Einführung des Potentials in die Untersuchung 
des Zusammenhangs zwischen Schwerkraft und Erdgestalt beginnt 
gegen Ende des vorigen Jahrhunderts (zunächst ohne Einführ- 
ung des Namens Potential). Nach Todhwiter^ History of Attraciion 
Bd. 2 S. 95-106, hat Legendre (1752—1833) in den Memoiren der 
französischen Akademie der Wissenschaften von 1789 (publ. 1793) 
das Clairaut8che Theorem mit zweiten Potenzen der Abplattung ab- 
geleitet und zwar mit Hilfe einer Entwicklung von F, dem Potential 
der Anziehung der wie bei Clairaut geschichteten Erde, nach nega- 
tiven Potenzen des Radiusvektors des angezogenen Punktes, wobei 
die Konvergenz allerdings unmittelbar evident nur aufserhalb der 
umschreibenden Kugel ist (vergl. §9 8. 70). Die Art der Entwicklung 


§ 27. Die Einföhrong des Potentials. 113 

gestattet aber, wie hervorgehoben wird, in das Theorem Glieder be- 
h'ebig hoher Ordnung aufzunehmen und auch den Ausdruck für den 
Radiusvektor der Oberfläche aufzustellen. 

Laplace (1749—1827) beschäftigt sich in der Mecanique Celeste 
sowohl im dritten Buche (2. Bd. 1799) wie im elften Buche (5. Bd. 
1825) mit der Figur der Erde und ihrer Beziehung zur Schwerkraft. 
Am ersteren Orte S. 99—103 wird bei Ableitung des Clairaut^hen 
Theorems nur die erste Potenz der Abplattung berücksichtigt; im 
Ausdruck für den Radiusvektor der Flächen gleicher Dichtigkeit wird 
demgemäfs auch nur die erste Potenz der Abplattung angesetzt, so* 
dais sie innerhalb dieser Genauigkeit Rotationsellipsoiden entsprechen. 
Sie werden übrigens so gewählt, wie die Hydrostatik für flüssigen 
Zustand verlangt. S. 105—108 behandeln die Weiterentwicklung bis 
zur zweiten Potenz der Abplattung einschliefslich, ohne spezielles 
Eingehen auf Clairauis Theorem. Im Bd. 5 S. 22—57 ist über die 
Flächen gleicher Dichtigkeit weiter keine Annahme gemacht, als 
diejenige, dals sie Rotationsflächen seien. Ausserdem ist bei den 
Untersuchungen über die Figur der mathematischen Erdoberfläche 
überhaupt sogar auf die irreguläre Bedeckung des Festlandes durch 
das Meer Rücksicht genommen. 

Der Ausdruck für V aufserhalb der umschreibenden Kugel wird 
stillschweigend als bis zur Oberfläche konvergent betrachtet. 

Die Entwicklungen in der Mec, ceL uud in einigen vorausgehenden 
Abhandlungen von Legendre und Laplace (vergl. Todhunter a. a, 0. 
Bd. 2. S. 23| 26, 43 und 44) sind dadurch epochemachend , dafs bei den- 
selben die Eugelfunktionen oder Zap/r7c^ sehen Koefficienten , welche 
sich später für die mathematische Physik von grofser Wichtigkeit 
erwiesen, auftreten. Nach Todhunter a. a. 0. Bd. 2 S. 23 gebührt 
Legendre die Ehre der Einführung der Eugelfunktionen. 

Eduard Schmidt giebt im ersten Teile seines Lehrbuchs der mathe- 
matischen Geographie (Gottingen 1829) S. 326 — 339 eine Ableitung 
des Ciairautscheu Theorems für die Voraussetzung einer Schichtung, 
welche auch im Falle des Flüssigseins bestehen bleiben würde; doch 
wird nur die erste Potenz der Abplattung berücksichtigt. Es ist also 
wesentlich wieder die Darstellung des Theorems durch Laplace, JUec. 
cel., 1. III. Die Entwicklung von V für Punkte aufserhalb der um- 
schreibenden Kugel wird ebenfalls stillschweigend als bis zur Ober- 
fläche gültig vorausgesetzt. 

Paucker giebt 1854 an dem S. 88 mitgeteilten Orte ausführliche 
Entwicklungen mit Rücksicht auf die 2. Potenz der Abplattung. Als 
Flächen gleicher Dichtigkeit nimmt er Rotationsflächen, die zwar 
nicht als Ellipsoide aber als einander ähnliche Flächen vorausgesetzt 
werden. Aufserdem fehlt auch hier jede Erörterung der Konvergenz 
der Entwicklung von V, 

Helmort, tnftthcm. n. phyiikal. Tbeorieen der büb. Ccodäiie. U. S 


114 2. Kapitel. BestimmDiig der Abplattung ans Schweremeflsangen. 

Nach Todhunier hat auch bereits Jvory sich mit den höheren 
Gliedern des ^/atratf/ sehen Theorems beschäftigt. 

Der Umstand, dafs die Ableitong des Ciairaui Bchen Theorems 
mehrfach so erfolgte, als sei die Erde ganz flüssig (während doch 
schon der Erfinder einen grofsern Umfang der Gültigkeit sicher 
stellte), scheint die Meinung erweckt zu haben, als könne man aus 
der nahen Übereinstimmung der für die Erdabplattung ans Schwere- 
nnd aus Gradmessungen erhaltenen Werte schlieisen, die Erde sei 
wenigstens früher einmal flüssig gewesen.*) Dieses ist die Ursache, 
weshalb Siokes, wie er in seiner bereits Bd. 1 S. 18 citierten Abhand- 
lung On the Variaiim of Graviiy 1849 S. 672 sagt, das Potential der 
Schwerkraft nnd daraus das mehrgenannte Theorem in einer von allen 
Voraussetzungen über die Schichtung der Massen im Erdinnem freien 
Weise abzuleiten yersuchte, um dadurch die Meinung über die Bedeut- 
ung jener Übereinstimihiung zu zerstreuen. Von der Theorie der Kugel- 
funktionen ausgehend gelangt Siokes zu einem Ausdruck, welcher im 
wesentlichen mit demjenigen unter Nr. (7) S. 60 übereinstimmt.'^) 
Da er diesen Ausdruck ebenfalls über die aus der Entwicklung her- 
Yorgehenden Grenzen der Konvergenz hinaus bis zur Oberfläche an- 
wendet, so denkt er sich (S. 676) die ganze Masse der Erde innerhalb 
einer der Oberfläche eingeschriebenen, zum Erdschwerpunkt konzen- 
trischen Kugelfläche derart verteilt, dafs das Potential fT der Schwer- 
kraft aufserhalb der Oberfläche sich nicht ändert: „7!^ possibility of 
such a disiribuikm will he justified by the restdi, provided the series to 
tühich we are led prove convergent^^. Ob Stokes sich wirklich an einer 
Stelle mit dem Nachweis der Konvergenz beschäftigt, war uns nicht 
möglich festzustellen. Infolge dessen haben wir die Theorie nach 
eigener Ansicht ergänzen müssen; vergl. § 9 S. 70 u. fil Im nächsten 
Kapitel kommen wir überdies in weiterer Ausführung auf diese Ange- 
legenheit zurück. 


^) Einen ähnlichen Irrtum begeht Hansei^ in der Darleg^nng seiner Be- 
rechnung der Mondstömngen, 1. Abt., im 6. Bde. der Abh. der math.- physik. 
Gl. der Ges. d. Wiss. zu Leipzig 1864 8. 469. Hier kommt er anf unsere GL (8) 
S. 76, welche schon Laplace in der Mec. cel, giebt, und er ist der Ansicht, dafs 
diese Gleichung die Abplattung der Flächen gleicher Dichte im Innern ebenso- 
grors wie diejenige der Meeresfläche voraussetze, dafs femer eine Nichtüber- 
einstimmung der Abplattungen eine Unsicherheit in dem aus GL (8) berechne- 
ten Werte von K erzeuge, da man nur das tt der Oberfläche einfuhren könne. 
— Im Gegenteil ist aber diese Gleichung ganz unabhängig von unserer Kennt- 
nis über die Massenlagerung im Erdümem; sie setzt nur voraus, dafs für das 
Poteutial W die einfache Form £^ § 11 (1) S. 75 als genügende Annäherung 
nachgewiesen ist, wie in den vorangehenden Paragraphen (9) u. (10^ geschehen. 

*^) Eine kurze Darstellung in der Stokesschen Manier giebt Pratt in der 
Abh. : A Treatise on Attraetions, Laplace Functions and the FHgure of the Eofihy 
London 1860, p. 89—96. 


<=0 


+ — fii'r^ cos' 9' 


§ 28. Sätze aus der Theorie der Kngelfunktionen. 115 

B. Bruns betrachtet als Normalform für W den von ans § 17 
S. 90 citierten einfachen Ausdruck für U, Er erklärt, dafs fT — ü 
auf grund der Erfahrungen eine in 1. Annäherung zu vernachlässigende 
Grofse sei, ohne jedoch diese Erfahrungen anzugeben. Er zeigt aber 
weiterhin, wie bei gegebenem Werte der Differenz W — ^ein Schlufs 
auf die wahre Form der Niveauflächen möglich ist. Auf letzteres 
kommen wir ebenfalls im nächsten Kapitel zu sprechen. 

Wir dürfen hier noch eines yon uns gegebenen Beweises des 
ClairauiBchen Theorems in Kürze gedenken, den wir mittelst eines 
strengen Ausdrucks für das Potential fT der Schwerkraft gegeben 
haben."*) Diesen Ausdruck kann man im Anschlufs an die Bemer- 
kungen in § 9 S. 70 leicht ableiten. Man mufs nämlich, wenn ein 
Punkt P' der Erde so nahe liegt, dafs sein Radiusvektor r kleiner 
ist als der Radiusvektor r für einen Teil der Erdmasse, zum Teil 
die Reihe (1), zum Teil die Reihe (2) S. 70 anwenden. Ist A der 
grofste Radiusvektor für Erdmassen, so wird danach 

r' A 

Um an der Hand dieses Ausdruckes das ClairauisfAie Theorem abzu- 
leiten, bedarf es einer Idealisierung der Massenlagerung in der Nähe 
der Oberfläche nicht mehr, dagegen wird über die Gestalt der mathe- 
matischen Oberfläche selbst eine Voraussetzung nötig. Es ist diese: 
Radiusvektor und Normale derselben weichen nirgends um Winkel 
von einander ab, welche (in Bogenmafs) Beträge von der Ordnung 
der Abplattung ü überschreiten. Die Resultate astronomischer Mes- 
sungen, vergl. den Schluis von § 9 S. 71, in Verbindung mit den* 
jenigen der Gradmessungen geben ohne Zweifel der Thatsächlichkeit 
des Vorausgesetzten einen hohen Grad von Wahrscheinlichkeit und es 
kann daher dieser Beweis dazu dienen, die Gültigkeit des (?/atrat//8chen 
Theorems ohne Einführung einer Massenidealisierung sicher zu stellen. 

§ 28. Sätze aus der Theorie der Kugelftinktionen. Für 
verschiedene weitere Entwicklungen bedürfen wir noch einiger Sätze 
aus der Lehre von den Eugelfunktionen , wegen deren Begründung 
wir auf Dirichlets Vorlesungen über diesen Gegenstand verweisen.**) 

Bereits § 7 S. 65 ist bei der Einführung der Eugelfunktionen 
darauf hingewiesen worden, dafs nach DirichletB Untersuchungen 
jede beliebige Funktion zweier Variablen, welche wie Breite und Länge 
auf der Kugelfläche variieren, immer und nur auf eine Weise nach 
Kugelfunktionen entwickelt werden kann. Die Entwicklung läfst sich, 
vergl. S. 68 (7), in die Form bringen: 


*) ZeitBChr. fSr VermessangsweBen 1S78 Bd. 7 S. 121 — 141. 
**) Vergl. den vollständigen Titel S. 14 d. Bds. 

8* 


116 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aas Scfawercmessungen. 


00 


fW, A') =2 ^T^ f^^ fP^nv, A) C089 d<p, 


(1) 


-I 


oder kürzer, wenn wir das Oberfläehenelement cos (p d(pdX mit da 
bezeichnen und die Integration nach 9 und X über die ganze Kugel- 
fiäche vom Radius 1 erstreckt denken: 

Hierin bedeuten (p und A die Variablen Breite und Länge, f{q>fX) 
die darzustellende Funktion und Pn für n > 1 die eingangs des 2. Ka- 
pitels, insbesondere S. 57 behandelten Entwicklungskoefficienteu , für 
n BS aber 1. 

Die Glieder der Entwicklung (1) heifsen Kugelfuuktionen und 
zwar nullten, ersten, zweiten Ranges u. s. w. für n <= 0, 1, 2 . . . Wie 
sich für n = null bis vier aus den betreffenden Pn die Eugelfunktio- 
neu bilden , ist bereits in §. 7 8. 65 angegeben worden. 

Bezeichnen nun Kn und Kn Kugelfunktionen vom n, Range bezw. 
der Variablen 9, A und fp\ X\ so gelten folgende zwei Sätze. Es ist 


2n + l 


^JPnKnda^K: (2) 


und femer für m^ni 


sowie allgemeiner 


fPmf^nda = 0, (3) 

jK,nKnd6 = 0. (4) 

Hierin ist do »s co%fpdq>dk zu setzen und die Integration über alle 
Werte q> und A der Kugelfläche zu erstrecken. 

Um sich eine deutliche Vorstellung von diesen Sätzen zu machen, 
ist es für den Leser nützlich, die Ausdrücke Pn S. 57 und Kn S. 65 
zu vergleichen. In (2) geht AT,' aus Kn durch Vertauschung von (p 
mit fp ui)d A mit A' hervor. 

Auf einen direkten Beweis dieser Sätze , die für alle Anwendungen von 
Kugelfunktionen unentbehrlich sind, müssen wir ebenso wie auf deu Be- 
weis des Satzes (1) verzichten, da dies ein tieferes Eindringen in die 
Natur der Kugelfuuktionen und somit mehr Raum erfordert, als wir hier- 
auf mit Rücksicht auf die verhältnismäfsig geringe Bedeutung der vou 
uns beabsichtigten Anwendungen verwenden können. Ein direkter Be- 
weis der Siftze (2) bis (4") findet sich bei DiriMet, Vorlesungen, S. 86—88. 

Wenn übrigens Satz (1) feststeht, so folgen wenigstens (2) und (3) nn- 
mittelbar. Denn setzt man rechter Hand für f((p, X) die Kugelfunktion iT, 

und beachtet, dafs das Integral von P^^n ^^ ^^°® Kugelfunktion tu. Banges 


§ 29. Potential des RotationsellipsoidB auftferholb. 117 

ist, die rechte Seite eich aber auf K^ reduzieren mufs, eo mÜBsen alle 

diese Integrale für w ^ n verschwinden , womit (3) und (2) hervorgehen. 

Aus (8) folgt nun leicht (4) : Ein Blick auf S. 57 und 65 zeigt nämlich, 
daffl P^ und die allgemeine Kugelfunktion K^ aus (2m4- 1) bezw. (2n-4- 1) 
Gliedern der Form Funktion qp mal cosjpZ oder sinpZ bestehen, wenn p 
die ganzen Zahlen von null bis m oder n bedeutet. 

Verstehen wir nun unter K^ zunächst nur ein Glied mit ^^^ pX. so 

" sm -^ ' 

fallt im Integral (3) von vornherein der Einflufs aller Glieder von P^ weg, 

die nicht g?^pi enthalten, da das Integral von giJf P^ • gj^ fl^ ^^ för 

p^q null ist , wie man durch Zerlegung des Produkts der trigonometri- 
schen Funktionen in eine Summe erkennt. Jetzt zeigt also (3), dafs auch 
das Integral desjenigen Gliedes des Produkts P^K^ verschwindet, welches 

^9^ pX ^^IpX enthält, hier offenbar wegen der Integration nach (p. 

Das allgemeine Integral (4) setzt sich aber unter dem Integ^lzeichcu 

aus Gliedern mit ^?^ pX^f^ qX^ P^q^ sowie aus Gliedern mit ^^pX f?f pi 

zusammen. Die Glieder der ersten Art verschwinden einzeln wegen der 
Integration nach X, diejenigen der zweiten Art aber wegen der Integra- 
tion nach €p , denn sie sind bis auf Koefficienton übereinstimmend mit dem 

oben betrachteten, l[^P^li^P^ enthaltenden Gliede in P„,^„, m^n, 

§ 29. Potential des abgeplatteten^ homogenen Kotations- 
ellipsoids auf einen Punkt aufserhalb desselben*). Um dieses 

Potential in übersichtlicher Form nach Kugelfunktionen entwickelt 
zu erhalten, ist folgender Weg einzuschlagen.**) 

Auf S. 51 erhielten wir unter (8) § 1 für die reziproke Ent- 
fernung eines Massenelementes dm mit den Koordinaten x,t/fZ bezw. 
r,9,A von dem angezogenen Punkte P' mit den Koordinaten x\y\z 
bezw. ryfpyk' die im Falle r > r gültige Entwicklung nach Kugel- 
funktionen: 

• i-f|'+7''.+(:)'''. + (7)'''. + (7)'''.+ -l- (') 

*) Es erscheint uns nicht uberflüHsig, im Folgenden anhangsweise das Po- 
tential des Kotationsellipsoids zn entwickeln und daran einige Bemerkungen über 
die Gestalt rotierender Flüssigkeitskörper anzufügen. 

**) Entnommen der Schrift: Wand, die Prinzipien der mathematischen 
Physik und die Potentiaitheorie. Leipzig 1871, S. 83. Die Ableitung ist im 
wesentlichen übereinstimmend mit derjenigen von Lagrange, Sur los spheroides 
elliptiques [aus den Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Berlin 
1798] nach der Mitteilung, weiche Todhunter, History of Attraction Bd. 2 S. 168 
über letztere giebt. Das Original war uns nicht zugänglich. 

Ausdnlcke in geschlossener Form gab Gaufs in der Abhandlung: ll^eoria 
attraetionis eorporum tpheieroidicorum ellipticorum homogeneorwn methodo nova 
tractata. Göttinger gelehrte Anzeigen 1813, April 5, 6'aM/6' Werke, Bd. 5 S. 8; 
Selbstanzeige ebenda S. 279 mit geschichtlichen Notizen. 


118 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattang aus SchweremesBungen. 


Für den jetzt yorliegenden Zweck ist es vorteilhaft dieser Entwick- 
lung eine andere Form zu geben^ indem man von Taylors Satz ausgeht. 
Man hat 


e = j/(x' - xf + (y' - yf + (z' - zf (2) 

und kann nun — x, — y, — z als Änderungen von x\ y, z behan- 
dein. Sind die Änderungen null, so geht e in r über. Nach Taylors 
Satz für mehrere Variable wird erhalten*): 


1=4+ 

e r ' 


(#,_,H-f(-.+ #(-. 


^ '^ {-xy+2 ^^(_x)(-y)+2 -^^i-xX-z) 


dx' 


+ri 


+ 




+ • • • + ,•/ 


(Kf) 


Kl) 


K-) 

Kt) 


(3) 


daf 


k-^)+-ll^{-y) + -^{-z)\ + 


Hierin sind in allen Differentialquotienten nach geschehener Diffe- 
rentiation X, y und z gleich null zu setzen. Das allgemeine Glied 
ist ferner so zu lesen, dafs erstens 1 .2.3 ... (f — 1) f für i! gesetzt 
* werden mufs, und dafs zweitens nach Erhebung des Trinoms zur 

/. Potenz für d \—\ das Symbol der i, Differentiation d*\-A eintritt. 

Die Überzeugung, dafs die Reihe (3) thatsächlich von (1) nicht 
abweicht und also auch in gleichem Umfange gültig ist, gewinnt 
man leicht, wenn man sich in (1) für die P die Ausdrücke aus § 2 S. 52 
und zugleich für cosy nach § 4 (1) S. 56 [xx + yy + ^^') • r^' ein- 
geführt denkt. Es zeigt sich dann, dafs allgemein das Glied r^Pi : r*+^ 
in (1) eine homogene Funktion t. Grades von x, y und z ist Dies 
letztere ist aber auch das allgemeine Glied in (3). Nun mufs man 
noch bedenken, dafs man in (3) anstatt der Differentialquotienten 
von 1 : e nach x, y und z' auch diejenigen nach ( — o:), ( — y) und 
( — z) setzen kann, wie ein Blick auf (2) zeigt. Wendet man also 
bei der Bildung von (3) für 1 : ^ die Reihe (1) an, so hat auf die 
I. Differentialquotienten nur das Glied mit Pi Einflufs, weil nach ^der 
Differentiation nur hierin von a:, y und z freie Glieder entstehen und 
für a;, y und z gleich null alles andere verschwindet. Hieraus er- 
kennt man, dafs das Glied i. Grades in (3) die 7ay/orsche Entwick- 


*) Vergl. u. a. Haitendorff, Höhere Analysis, S. 286. 


§ 29. Potential des Rotationsellipsoids aufserhalb. 119 

lung von dem Gliede mit Pi in (1) darstellt , und zwar gerade so, 
als wären alle andern Glieder gar nicht vorhanden. Die Taylor sehe 
Entwicklung einer Funktion vom t. Grade ist aber selbstverständlich 
mit ihr identisch. Somit ist auch Reihe (3) mit Reihe (1) identisch. 
Für die weitere Entwicklung ist es vorteilhaft die Differential- 
quotienten in (3) noch anders zu schreiben. In denselben soll, 
wie erwähnt; nach geschehener Differentiation x, y und z gleich 
null gesetzt werden. Dies kann aber auch vorher geschehen, da in 
e nach Ausdruck (2) die Änderungen x, y und z an den Variabeln 
x\ y und z nur subtraktiv vorkommen. Setzt man in e nun Xy y 
und z gleich null, so geht es in r' über. Anstatt (3) erhalten wir 
somit in symbolischer Schreibweise: 


i i+.. 




• (4) 


Gegen früher tritt jetzt besser hervor, dafs die Differentialquoti- 
euten dieselben bleiben, welche Koordinaten das anziehende Massen- 
elemenfc im Punkte (x,y,z) innerhalb der Bedingung r > r auch 
haben mag. 

Betrachtet man nun ein homogenes Rotationsellipsoid von der 
Dichtigkeit 1, nimmt seinen Mittelpunkt als Eoordinatenanfang und 
seine Drehaxe als z-Axe, so kann man das Potential der Anziehung v 
auf einen Punkt P' aufserhalb der dem Ellipsoid umschriebenen Kugel 
mittelst (4) in eine Reihe entwickeln, indem man in den Ausdruck 

V = k^fffAE^ (5) 

für 1 : e die Reihe (4) setzt. Die Integration erstreckt sich über 
alle Massenelemente innerhalb des Ellipsoids, also über alle Werte 
von Xj ^9 z, für welche 

Zur Vereinfachung führen wir neue Variable ein, indem wir setzen: 

x — «I , y^ari , z — bi 

dx = adli^ dy^aadfi, dz^^bd^y 
und erhalten 

wobei sich die Integration über alle Werte von g, rj und g, welche 
der Gleichung 

l' + V + f*<l (8) 

genügen, zu erstrecken hat und wobei für 1 : ^ zu substituieren ist: 


120 2> Kapitel. BeBtimmung der Abplattung aus SchweremesBungen. 

h - f +t i |#(-«t)+'i|^(-«')+#(-«)|' (») 

Die Bedingung (8) zeigt, dafs die Integration auf die Grenzen einer 
Kugel vom Radius 1 reduziert ist. 

§ 30. Fortsetzung. Durch Einführung der Reihe (9) in (7) 
zerfällt das Integral daselbst in unendlich viele Integrale der Form 

Jfß'rird^dridi. (1) 

Die Integrale verschwinden, sobald wenigstens einer der Exponenten 
/, m und n ungerade ist. Denn integriert man^ falls z. B. m ungerade 
ist, zuerst nach 17, so ergiebt sich wegen der Symmetrie zur S£- Ebene 
null; womit das ganze Integral verschwindet. 

Um aber den Wert eines Integrales (1) für gerade Exponenteu 
zu ermitteln, setzen wir unter Einführung von Polarkoordinaten 

^ I = Qcosq) cosA 

rj = Q cos (p sin X (2) 

5 = 9 sin 9); 

q) ist die Breite, A die Länge auf der Eugeloberfläche, vergl. im ersten 
Kapitel S. 6. Das Volumenelement ist gleich q^ cosfp dtp dk dg , 
vergl. § 6 S. 60. Durch Einführung der Relationen (2) und des Vo- 
lumenelementes in (1) gebt das Integral über in 


sn 


^j^-m-hn+2 (cosy cosA)' (cos^) siu A)"» siu^g) cos^) dfp dX dg 


und die Bedingungsgleichung (8) des vorigen Paragraphen in 9^ < 1 . 
Es ist daher zu integrieren für q von null bis 1, für A von null bis 

2 n und für 9 von — ^ bis + v ' 

Das Integral zerföllt ersichtlich in das Produkt der drei Integrale 

1 

Igl-hm+n+iag, (3) 



2ä 

Icos'A sin'^A dX (4) 


und 


j 


2 


(jQgf-f m+i^ 8in"9) d(p , (5) 


n 

T 


§ dO. Potenfeial des Rotationsellipsoids aufserhalb. 121 

Ohne weiteres hat man für (3) 

P+„+»+,rf,= ___L___. (6) 



Um (4) und (5) zu bestimmen, entwickeln wir zunächst wie folgt: 

/ cos'M sin^u du = / cos«-^ u aiuPu ^(sinw) , 
hieraus folgt durch teilweise Integration, abgesehen vom Falle j9 >» — 1 : 

/coB^ti sin'^ti du = cos«~"*w- — — -- + ^"~^ / cos«-*m 8in''+*ti du . 
Schreibt man rechter Hand für sin^ ti aber 1 — cos^u, so findet sich: 

/ cos*?*"*« sinP+*M rftt = / cos^~*ti sin'^ti du — 1 cos«w sin^M du . 

Substituieren wir dies in der vorigen Gleichung und reduzieren auf 
das links und rechts vorkommende Integral, so folgt 

coe9u siuPu du == ;- h ^— I cos'-^ii sin^ii du . (7) 

Vertauscht man u mit — — u, so folgt noch: 

I cos**« sin^M du= — --* - ^^^^. ** -j_ ? "" . I cos^m sin^-*M du. (8) 

Diese Formeln gestatten, (4) und (5) zu ermitteln. Dabei sind 
nur die Fälle, in welchen i, m und n gerade sind, zu beachten ; denn 
andernfalls hat das Integral (l), wie bereits bemerkt, den Wert null. 
Die Anwendung von (7) auf (4) giebt 

/co8';i sin'"A dk = ' ~^^ /cos'-U sin'^A dk 
und die wiederholte Anwendung von (7) auf das Integral rechter Hand : 

ßon'X sin-'XäX = ^J:J,V(„|-)^^/.\-% j^in-A äX . 

U G 

Die wiederholte Anwendung von (8) giebt ferner successive: 

jl-x äx - ---rJ-y-l-u äx _ -Li»^.-.a--;> '--l' . 2, ; 

mau bat daher zur BesMmniung des Integrals (4) die Formel: 

cosAsin iiöA = J3r. 2.4.6 .... (1 + w - 2) (J + «0 ^^' 


122 2. Kapitel. Bestiminuag der Abplattung ans Scfaweremessungeo. 

Die wiederholte Anwendung von (7) auf (5) giebt ohne 
Schwierigkeit: 




/• 


coB«+"'+ »o) sin"© da>^— 2.4.6 ... (t+»-8)(H-w) . .jo« 


J9 


Verbindet man die Resultate (6), (9) und (10) und setzt im 
Zähler und Nenner das Produkt 1.3.5 . ..(n~ 3) (n — 1) als Faktor 
zu, so folgt zur Bestimmung des Integrales (1): 

gültig für gerade Werte von /, m und n. Im speziellen Falle des 
Verschwindens eines oder mehrerer der Exponenten /, m und n ist^ wie 
die Entwicklung zeigt, im Zähler rechter Hand von (11) das Pro- 
dukt 1.3.5 ... für die betreffenden Exponenten gleich 1 zu setzen. 

§ 31. Fortsetzung. Es handelt sich jetzt darum, den Koeffi- 
cieuten auszumitteln, den das Integral (1) des vorigen Paragraphen 
in dem Ausdruck für das Potential v erhält, welchen die Substitution 
von (9) in (7) § 29 ergiebt. Man bemerkt sogleich, daTs es der 
Faktor des Termes l'ij'^S" ist, welcher bei der Ausrechnung von 

i|#(-'"0+#(-«')-<-#(-«)]' <') 

entsteht für i = / + »» + w. Schreiben wir kurz für den Augenblick 
das Trinom in der Form (^4 + 5 + ^)'+"*+", so giebt die Ausrech- 
nung bei der üblichen Schreibweise der Binominal-Eoefficienten u. a. 

ein Glied 

l^^l + m + ny^^^^y^^^ 

und dessen Ausrechnung das Glied 

»/ \ n I \ m ) 

oder 

(f 4, i„+n)(l + m + n-l) ...(?+ !) ^ißmQn 

%! m! nl 

Fügt man hier im Zähler und Nenner noch /.' bei, so geht dies 

in -n — ^1 — r A^B^O über und es zeigt sich nun, dafs man an Stelle 
l!m\n! ® ' 

des Ausdruckes (1) überhaupt setzen kann: . 



doi^dy'^d^ i/w/n.' 


(2) 


§ 31. Potential des BotationBellipBoids aufserhalb. 


123 


wobei die SQmmieruug über alle ganzen positiven Weiie von /, m 
und n zu erstrecken ist, deren Summe i beträgt; einschliefslich der 
Falle einer oder zweier dieser Zahlen gleich null, in welchen für die 
betreffenden durch das Ausrufungszeicheu angedeuteten Produkte 1 
zu setzen ist. 

Hiermit nimmt der Ausdruck für v die Form an: 


V =k^a^b 


^ffj'äi änät+S 


S- 



^zlikonti. 


K-k) 


dx'dy'^d»" 


^l-j^S^^J/A'^-s-.^«"'« 


Führen wir nun die Integralwerte nach (11) des vorigen Paragraphen 
ein und beachten wir ferner, dafs bei der Dichtigkeit 1 die Ellipsoidmasse 

Af gleich —- 7C a^ b ist, sowie dafs nur gerade Werte von /, m, n und 

i=^l '\^ m •\' n in betracht kommen , so folgt nach naheliegenden 
Kürzungen : 


v^ZMk^ 





oo {Jona. 


^t) 


a' a"* 6* 


dx^dy-^dz'"" Lt Hf ULf 


2*. 1.3.5 ... (f + 8) 


(3) 


Die innere Summe in (3) ist wie Summe (2), jedoch unter Aus- 
schluß ungerader Werte von /, m und n zu verstehen. Sie läfst sich 
aber noch anders schreiben. Man hat, um dies zu erkennen, nur 
diese Summe mit (2) zu vergleichen und nun zu der entsprechend 
zu modifizierenden Form (1) zurückzukehren. Man findet dann, dafs 
mit der inneren Summe von (3) gleichwertig ist der symbolische 
Ausdruck 


^ (^.(j,) a.a) s,f±) ji 


(4) 


Dieser vereinfacht sich noch, wenn wir von der leicht zu veri- 
fizierenden Gleichung 


Hi) , Hi) . H^) 


dx 


^ "'"'ä7^ + 


di"' 


= 


(5) 


Gebranch machen. Aus derselben folgt nämlich in symbolischer 
Schreibweise, wenn k eine positive, gerade Zahl bezeichnet: 


124 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 




k 


= 0. (6) 


Um dieses eiuzusebeu, braucht man nur die Gleichung (5) zwei- 
mal nach x', ebenso nach y und z' zu differenzieren und die drei 
Resultate zu addieren* In symbolischer Schreibweise lautet dasselbe: 
das Quadrat der linken Seite von (5) ist gleich null. Differenziert 
man nun diese neue Gleichung zweimal nach x\ ebenso nach y' und 
z' und addiert die drei Resultate, so folgt symbolisch die dritte Po- 
tenz der linken Seite von (5) gleich null. U. s. f. 

Hiermit läfst sich unschwer erkennen, daik es erlaubt ist, die 
Parenthese von (4) einfach um das mit a"^ multiplizierte Aggregat 
linker Hand in (5) zu vermindern. Dabei setzen wir entsprechend 
einem abgeplatteten Rotationsellipsoid a^ — ^^ == a^e^; dann folgt für 
die innere Summe rechter Hand von (3) der gleichwertige Ausdruck 

} , de" ' 

2" 

bei welchem nunmehr die symbolische Schreibweise verschwunden ist. 
Der Ausdruck fOr das Potential v geht jetzt Aber in 


v = 3Mk^ 


»♦•'^•P (.• + !)/(»■ +3) de" 


«=' 


(7) 


Hierzu findet sich durch wiederholte Differentiation von 

1 ^ 1 

ohne Schwierigkeit, wenn man in den Differentialquotieuten s'=rsmfp 
setzt: 

—^,~ =— .j sin®' 
-WT = ,T (^ «m'9> - 1 j 

-Sy^ = -^ (l05 sin V - 90 sin V + 9 ) , 

womit sich endlich die ersten drei Glieder einer Reihenentwicklung 
nach Eugelfunktionen für das Potential des abgeplatteten^ hotnogenen 
Rotationsellipsoids wie folgt ergeben: 


§ 32. Hanptträgheitsmomente des RotationBellipBOida. 125 

r=^/{l + ^",*f (l-38mV)+2^7r(l058inV-908mV+9)+..) . (8) 

I 

Hierin ist M die Masse, a die Äquatorialhalbaxe; e die numerische 
Bxcentricitat der Meridianellipse; r ist der Abstand des angezogenen 
Punktes vom Ellipsoidmittelpunkt und fp die geozentrische Breite 
desselben. 

Zufolge der Ableitung konvergiert die Reihe in (8), solange 
r' > a ist. Sie konvergiert aber noch weiter. Da nämlich in (8) 
nur die Masse M und die lineare Excentricität ae auftreten^ so wird 
man zu dem Ausdruck (8) auch bei jedem anderen homogenen Ro- 
tationsellipsoid mit gleicher Masse und gleicher linearer Excentricität 
gelangen, d. h. alle konfokalen Ellipsoide gleicher Masse geben für 
aufserhalb gelegene Punkte gleiches Potential. Das kleinste dieser 
Ellipsoide hat als halbe Länge der Drebaxe null und als Aquatorial- 
radius daher ae selbst. Für dieses Ellipsoid konvergiert die Reihe 
in (8) mithin y solange r > ae ist. Sie konvergiert also überhaupt 
solange als r "> ae ist. 

Wenn nun h '>^ ae ist, so liegt die Oberfläche des Ellipsoids 
nirgends innerhalb der Kugelfläche vom Radius ae. Die Reihenent- 
wicklung konvergiert daher sicher bis zur Oberfläche des Ellipsoids^ 
wenn b > ae ist. 

Der Umstand, dafs sie auch noch z. T. innerhalb der Oberfläche 
konvergiert, hat kein Interesse, weil innerhalb der Oberfläche das 
Potential v nicht mehr durch Formel (8) dargestellt wird, indem der 
analytische Ausdruck des Potentials für innerhalb und aufserhalb 
gelegene Punkte verschieden ist (vergl.die entsprechenden Bemerkungen 
über ff' in § 21 S. 34). 

Ebenso interessiert hier nicht die Frage, ob (8) bis zur Ober- 
fläche konvergiert für den Fall 2^ < a^ , da bei schwach abgeplatteten 
Ilotationsellipsoiden dieser Fall nicht eintritt. 

§ 32. Haupttriighcitsmomente des abgeplatteten^ homogenen 
Rotationsellipsoids. Dichtigkeit im Erdiunern. 

Wenn es nicht auf den Konvergenznachweis ankommt, kann man 
die ersten Glieder der Reihe für das Potential des homogenen Rota- 
tionsellipsoids auch mittelst Formel (7) § 5 S. 60 bestimmen, welche 
für das Potential der Anziehung jedes beliebigen Körpers gilt, wenn 
das Potential der Schwungkraft (das Glied mit gi) weggelassen wird. 
Es sind dann vor allem die Uauptträgheitsmomente zu berechnen. 

Wir bezeichnen wie früher die Trägheitsmomente für zwei Aqua- 
toraxen, die Axen der x und ^, mit A und B, das Trägheitsmoment 
für die Drehaxe, die z-Axe, mit C. Dann sind A^=^B und C die 
Hauptträgheitsmomente und zwar ist [vergl. S. 60 (5)]: 


126 ^ KafuteL BestimmQiig der AbpUttang aus Schwereme«iiiigen. 

^ - Ay' + -') dm . 

•'. (1) 

€ =J{^ + y») dm . 
Um diese loi^rnde» fQr welche die Grenzen durch die Bediugang 

liregeben sind, abraleiien, setzen wir wie io § 29 S. 119 

Xs=a| yastfig Z'^bt 

und erhalten dann 

fj? dm — /i^ lfm = ^^^fffv did^dt 


sowie 


j\-dm = ^^^JJJv^ ^l ^n ^l , 


wobei die Grenzen reehtar Hand durch die Bedingung sich be- 
stimmen, dafs 

Formel y\V) § 3i> S. 1^ giebt die Weite Toistelunder laterale : 
Beachtet man non nocb, dafs M ^=^ vm^h ist, so erhfth man ohne 


^3) 






and vvetgL § 10 k?i S. 7?»: 




Hiieffmit fiadet man leicht wieder die beiden ersten Glieder der 
Entwicklang S § 31 S. läEV. Auch würden sich auf diesen Wege 
weitere Glieder entwickein bäsen. 

Wir haben in § 17 S. 91 gefunden » dat5 die Normalfons der 
mathemafcbcken £rdobeft!j«!he von einem Rotätionsel ipsoid wenig 
abweicht. Ware non &i^ Erdmasse überall wesentlich gleick dicht 
▼erteilt, so mdüle für die Erde sehr nahe K : «^^ gteick e^ : 5 oder 
in : 5 sein« 


mitbin ist 


fflrfl = -J^„„df-=^J- 

Ä':V 

" *°™28» " '^"^ssa 

91 


I' 


§ 33. Potential des RotationBellipsoidB innerhalb. ]27 

*^^^ = 259 A'jV- 0,00134 

" «-2S9 " -0,00138. 

In Wirklichkeit ist K : a^ kleiner. Nach Gleichung (6) § 15 
S. 83 haben wir 

ao« ~ 3 " 3 ^ "*"••• ' 


- 0,00108 

(6) 
-0,00115. 

Hiernach ist K\a^ um Vd ^i<9 Ve meines Wertes kleiner, als beim 
homogenen Ellipsoid. 

Dies läfst sich dadurch erklären, dafs man eine allmähliche Zu- 
nahme der Erddichtigkeit von aufsen nach innen anx^immt. Zu einem 
hoben Grade von Wahrscheinlichkeit für diese Annahme gelangt man 
jedoch erst durch Herbeiziehung der Aussagen von Präzession und 
Nutation der Erdaxe über A und (7, vergl. 6. Kap. § 8 u. ff. 

§ 33. Potential des homogenen Rotationsellipsoids auf einen 
PunlLt innerhalb. Wir denken uns den angezogenen Punkt P' zu- 
nächst nur innerhalb der dem Ellipsoid konzentrisch zum Mittel- 
punkt, dem Koordinatenanfang, eingeschriebenen Kugel; die Dichtig- 
keit der Masse sei gleich ^. Wir zerlegen diese letztere durch eine 
Kugelfläche, welche mit dem Radiusvektor r des Punktes P' beschrie- 
ben wird, in zwei Teile. Das Potential des inneren Teiles auf P' 
ist bekannt, das des äufseren Teiles ist noch zu bestimmen. Wir 
setzen also 

v = r, + Vj (1) 

und haben nach S. 62 (8) 

v, = A«;t»Ör^. (2) 

Femer ist mit Benutzung der Entwicklung (10) S. 52 

,-*'J^??-.A:»/'{l + ^/>,+5/>, + 5i',+$/>,+...)rfffl. (3) 

Die f&r 1 : ^ benutzte Reihenentwicklung gilt allerdings nur für 
T <ir und wir wenden sie bei der Integration bis r ^^ r an; aber 
da für eine Hohlkugel das Potential auf einen Punkt der inneren 
Begrenzungsfläche nach S. 62 (7) bekannt ist, kann man leicht a poste- 
riori die Richtigkeit des Resultates prüfen. 


128 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Die Integration in (3) ist über die ganze Masse des äufseren 
Teiles zu erstrecken. Setzen wir nun dm = & dö ,r^ dr, so em- 
pfiehlt es sieh zunächst nach r von r = r' bis zur Oberfläche des 
Ellipsoids zu integrieren. Den Radiusvektor der letzteren nennen 
wir wieder r und erhalten aus (3): 


,r^-r* 


p^^fc^ej 


^^ +r'(r-r')7>, + r'2/>,lognat; 


r'4,1 IV (da. (4) 


Die Integration erstreckt sich nunmehr noch über die Kugelfläche 
vom Radius 1. Dabei ist auf den Ausdruck für r als Funktion von (p 
Rücksicht zu nehmen. 

Nach Bd. 1 S. 60 ist aber der Radiusvektor in der geozentri- 
schen Breite q) 

a 

wenn a der Äquajtorialhalbmesser, 2^ die kleine Halbaxe und S =» --^ 

ist. Wir setzen für d das Symbol e^ und schreiben also 

^ a 


Kl + c * Bin*9 

mit (5) 

e'2 _ ^ ~.^' _ ^ . »^ 

Die Einführung von r in (4) erfolgt nun am besten in der Weise, 
dafs die verschiedenen Funktionen von r nach Kugelfunktionen von q) 
entwickelt werden. Da r nur von sin^^? abhängt, so treten in allen 
diesen Eutwicklungen nur Kugelfunktionen von geradem Range auf, weil 
nur in diesen lediglich sin^g) und seine Potenzen erscheinen. Hieraus 
erkennt man mit Rücksicht auf den Satz (3) von S. 116 zunächst, 
dafs in (4) alle Glieder verschwinden, welche von den Koefficienten 
P mit ungeradem Index, also von P^, P^y Pr^ u. s. f. abhängen. 

Aber auch die von P^ , Pq u. s. f. abhängenden Glieder geben 
nichts, weil in den Faktoren dieser Koefficienten nur Potenzen von 
sing) bis bezw. zum zweiten, vierten u. s. f. Grade auftreten, so dafs 
diese Faktoren sich durch Kugelfunktionen darstellen, deren Index 
mindestens um zwei Einheiten niedriger ist, als der des multiplizieren- 
den P, weshalb für alle Glieder der obengenannte Satz (3) zur Anwen- 
dung kommt. (4) geht hiermit zunächst über in die Gleichuug: 


*) Im ersten ßande hatten wir das Symbol ä nach dem Vorgänge von 
O. Schreiber f Theorie der Projektionsmethode der hannoverischen Landesvermessung^ 
Hannover 1866^ benutzt Wir nehmen aber anstatt dessen mit Jordan jetzt c'', 
erstens wegen der engen Beziehung der Gröfse zu e^ [vergl. die zweite Glei- 
chung (5)], zweitens weil 8 auch als Anderungszeichen variabler Gröfsen auftritt. 


and 


§ 33. Potential des Rotationsellipsoids innerhalb. 129 

r, = /c'^@J^f-:zlL + r'27>3 lognat A) dö . (6) 

Indem wir nun den Ausdruck (ö) für r beachten und 

da «» cosg) d(p dk=^ d (sing)) dk 

setzen, sowie sogleich nach der geozentrischen Länge k von null bis 
2% integrieren und für sing) das Symbol t einführen, wird zu (6): 

Jr-^do = 2«a^f-^-^ = 4««' ^^^ ; (7) 

ferner ist 

fr^dö = 4n:r^ (8) 

/ P2 log natA ^(J = I P2 [log natA — y log nat(l + ^'^ sin^g))! d6\ 

Mit Rücksicht auf den Satz (3) S. 116 reduziert sich die rechte 
Seite der letzten Gleichung auf den Ausdruck 

i>2 lognat (1 + e^ sinV) da , 

und zwar sind auch hier in P.^ S. 57 nur diejenigen Glieder zu be- 
achten^ welche lediglich von 9 abhängen, d. h. man hat 

/>,=.|(8inV-|)(8inV-|) 
zu setzen. Damit folgt 

fp^logn^Lt^dö. :^(8inV-|)/(^'- J-)lognat(l+e'V)^^. (9) 

Es ist nun zunächst teilweise integriert, ohne Rücksicht auf die Grenzen: 


/ //2_ |.J lognat (1 + eU^) ^^ = -| (^' — lognat (l + e^fi) 

Bei Einführung der Grenzen verschwindet der erste Teil; setzen wir 
zugleich identisch 

1 + c'» ««" " e'« ~ c'* • V<"(1 + c« t») ' 
80 folgt für die rechte Seite von (9) ohne Schwierigkeit: 


" 3 (3^ c« "f" c«*~ c' J ' 

— 1 

Ilelmert, roathem. u. physikaL Thoorieen der höh. Geodftsie. II. 9 


(9*) 


130 2. Kapitel, ßestimmung der Abplattung aus Scbweremessungen. 
Aus (7), (8), (9) und (9*) erhält man endlich 

Vereinigt man die Resultate (2) und (10), so folgt mit Rücksicht 
auf (1) für das gesuchte Potential der Ausdruck 

Für e =0 geht dieser Ausdruck über in 

2nk^®(a^ — '^) , (II») 

welcher dem Potential einer homogenen Kugel auf einen inneren 
Punkt im Zentrumsabstand r entsprechen mufs, was man auch durch 
Vergleich mit Ausdruck (8*) S. 62 bestätigt findet. 

Der Ausdruck (11) ist unter der Bedingung abgeleitet, dafs P^ 
innerhalb der dem Ellipsoid eingeschriebenen Kugel liege. Da aber 
V eine geschlossene Form angenommen hat und innerhalb eines homo- 
genen Körpers v nicht verschiedene analytische Ausdrücke besitzen 
kann, so gilt Ausdruck (11) überhaupt innerhalb des Ellipsoids bis 
zur Oberfläche, 

Durch Eleihenentwicklung folgt aus (II) 

v^2^k-^®[a\x - 1-'+:-- . . .) - '••^[1+ (]-«'' -|^"+ •)(«'">'- i)]}(>-^ 
oder wegen ^'^ s= ^2 ^ ^4 ^ 

.=2.^0 ft-T - '15 - •••) - -'' [4+ (!-' + il«*+ •••)(«-V-|)]}.(12') 
Diese Entwicklungen gelten, solange ^' < 1 ist, d. h. für b >y=^' 

Differenziert man v nach irgend einer Richtung, also insbesondere 
nach r' oder (p\ so verschwindet a. Es ist also die Anziehung inner- 
halb nur abhängig von e und gleich grofs für alle ähnlichen, ähnlich 
liegenden und konzentrischen Ellipsoide, innerhalb deren der Punkt 
liegt, d. h. eine homogene Schale, die von zwei solchen Flächen begrenzt 
wird, übt auf einen inneren Punkt keine Anziehung aus, (Vergl. S. 104 § 23.) 

§ 34. Das abgeplattete Rotationsellipsoid kann die Ober- 
fläche einer rotierenden^ homogenen Flüssigkeitsmasse bilden. 

Dreht sich ein homogenes, abgeplattetes Rotationsellipsoid mit der 
Winkelgeschwindigkeit ca um seine kleine Axe, so ist das Potential w 
innerhalb bis zur Oberfläche gegeben durch die Gleichung 

W = V -\- -^ C}2^'2 cOS^qp' ; (l) 


2) 


§ 34. Das Rotationeellipsoid als Gleicbgewichtsoberfläche. 131 

hierzu ist v nach Gleichaug (11) § 33 anzusetzen. Indem wir v ein- 
führen, setzen wir mit Benutzung der rechtwinkeligen Koordinaten 
des Punktes T'', bezogen auf die Äquatorebene als x'y-'Ehene und die 
Drehaxe als z'- Axe, r^ «= x^ -[- y'2 -|- z^ , sowie r ^ sin'^?' = z^ und 
nehmen w konstant gleich Wq. Die Gleichung 

U.0 - I Ol' (x^+y') + m- (x'^+y'^+Z^) {n^^pj (2) 

- z^nE, 


worin 


3 e 

und . (3) 

gesetzt ist, ist sodann die Gleichung einer Niveaufläche innerhalb. 
Wir wollen nun zeigen, dafs bei jedem Werte e die Oberfläche bei 
angemessener Winkelgeschwindigkeit Niveaufläche sein kann. Für 
diesen Fall, wo die Niveaufläche in die Oberfläche fallt, behalten die 
Ausdrücke ihre Gültigkeit. 

Bringen wir (2) auf die Form 

nE CD« , 2nE 

(x'^+y^) ^ ?- + z'2 ? 1 , (4) 

80 erkennen wir, dafs die Oberfläche mit der Niveaufläche Wq zu- 
sammenfällt für 


m — «7« 


nE CD* 
n — - - — - 

8 2 


— a 


2 


und (5) 


, 2nE 


- = b^ 


wenn wie bisher a und ^ die grofse und kleine Halbaze der Meri- 
dianellipse der Oberfläche bezeichnen. Aus den letzten beiden Aus- 
drücken ergiebt sich 

6« nij; CD« ^ • W 

*- 3 - 2 

Hieraus folgt 

«'• - (3 + e ') -f- 


1 +c'« 
und mit Rücksicht auf die Werte von n und £ nach (3) weiter: 

a|2 - 2;rA:20 -^i^ (arctan^' - 3-^) • (7) 


9* 


132 2« Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremesaungen. 
Für kleine e giebt die Reihenentwicklung 

c2 = A 3r^2©e'2 (l — 1-^'2^ ... ) . (7») 

Differenziert man die Parenthese in (7) nach e\ so erkennt man, 
dafs der Differentialquotient fOr jeden Wert von e^ positiv ist. Da 
nun für d «» null die Parenthese auch null ist, so wird, wie leicht zu 
ersehen, für positive Werte von e der Wert der rechten Seite von (7) 
stets positiv, und es ist mithin (o für jeden Wert von e\ der bei einem 
abgeplatteten Rotationsellipsoid vorkommen kann, reell. 

Nehmen wir e sehr klein an, so ist in erster Annäherung 

o2 = -^«it2©^'2^ (8) 

Setzen wir nun das Verhältnis von Zentrifugalkraft zur Schwerkraft 
am Äquator gleich r, so ist angenähert 

oo'a 
hiermit giebt (8) angenähert 

'2 


4 » 


s, 


2 ' 

woraus ebenso genau für die Abplattung a die Relation folgt: 

« = T^- (9) 

Bei der Erde, welche keine homogene Flüssigkeitsmasse darstetit, 
ist diese Beziehung nicht erfüllt, denn hier ist 

f L Af=_i. . 

* 288,4 4 230,7 ' 

dagegen » = ^ ^""^ 7^ ' 

Die Beziehung von fl zu c bei dem im Gleichgewicht befindlichen, rotie- 
renden, homogenen Ellipsoid wurde bereits S. 107 § 24 genauer entwickelt 
gelegentlich der Erwähnung der bezüglichen Untersuchungen von Claira'uX. 

Eingehend wird das rotierende, homogene Flüssigkeitsellipsoid unter- 
sucht von LaplacCj Mec. cü. t. 2, 1. 3, p. 50 — 62. Er findet namentlich 
auch, dafs zu jeder Uotationsgeschwindigkeit zwei oder kein Rotations- 
ellipsoid gehören und dafs das längliche Rotationsellipsoid als Gleichge- 
wichtsfigur unmöglich ist Fär unsere Zwecke genügt das oben Gegebene; 
übrigens zeigt (8) sofort die Unmöglichkeit eines negativen t^ bei kleinen 
Werten desselben. 

Laplace bemerkt a. a. 0. S. 63, dafs die Untersuchung über das Rota- 
tionsellipsoid nicht genügt, dafs man vielmehr sich bemühen müsse, alle 
Gleicbgewichtsfiguren zu finden. Im folgenden Paragraphen nehmen wir 
eine ähnliche Untersuchung wie Laplace a. a. 0. S. 63—72 vor, nämlich 
die Lösung dieser Aufgabe für nahezu kugelförmige, homogene Massen, 
bodafs Glieder der Ordnung des Quadrats der Abplattung vernachlässigt 
werden können. 


§ 35. Rotierendes, homogenes Sphäroid. 133 

§ 35. Eine rotierende, nahezu kugelförmige, homogene, 
flQs8ige Hasse mu(k die Form eines RotationslLÖrpers haben. 

Der auf den Schwerpunkt als KoordinsteDanfang bezogene Radius- 
vektor sei, nach Kugelfunktionen K von 97 und A entwickelt, gleich 

r - /2 ( 1 - « [Ä^, + A'^ + ^3 + . . . ] ) . ( 1 ) 

Hierin ist a ebenso wie U eine Konstante. 

Zur Entwicklung des Potentials der Anziehung auf einen Punkt P' 
mit den Polarkoordinaten r\ q/ und A' benutzen wir die Reihe (8) 
S. 51, welche für r' > r gilt: 

1— J,(l+Ai>, + f>,+^/>3+...), (2) 

worin r sich vorläufig auf irgend einen inneren Punkt bezieht. In- 
dem wir dies in den Ausdruck 


,9 / dm 


dm ^3^ 


substituieren, nehmen wir zugleich dm = @d(T . r^dr und integrieren 
nach r von r <« null bis zur Oberfläche, für welche wir den Radius- 
vektor wieder mit r bezeichnen. Wir erhalten so: 

'"'^'r'J (-3+4 7+-6 r«+-6 /;+---)^^- W 

Wir beschränken uns nun vorerst auf Glieder, welche nur die 
nullte oder erste Potenz von ü enthalten und setzen demgemäfs in 
(4) allgemein 

r- - Ä- (1 - wa [AT, + A'j + ^3 + . . .] + . . .) . 

Bei der Integration sind sodann die Sätze (2) und (3) S. 116 zu be- 
achten ^ womit erhalten wird: 

.= J«Ar'9f{l-3tt[4-^Ä'/+|f;A','+|?>,'+...]+...j.(5) 

Hierin sind die X' Kugelfunktionen von q>\ k\ 

Zu diesem Potential der Anziehung tritt, wenn wir es auf einen 
Punkt der Oberfläche des rotierenden Korpers anwenden, wozu die 
Berechtigung allerdings noch fraglich ist, das Potential der Zentri- 
fugalkraft. Bei der eingeführten Vernachlässigung von ü^ kann man 
zugleich in der geschlossenen Parenthese B : r gleich 1 setzen, womit 
einfacher wird: 

r-=|«*'0f{l-3jl[J-Ar,'+-iÄ'/+|A','+... ] + ...) . (6) 

Nehmen wir die Rotationsaxe, die immer den Schwerpunkt ent- 
hJüij als z-Axe, so ist das Gesamtpotential 


134 2- Kapitel. Bestimm uDg der Abplattung ans Schweremeasungen. 

tt; = v -f- -— cj^'r'' cos'g?' 
oder anders geschrieben: 

worin v aus (6) zu substituieren ist. 

Für irgend eine Niveaufläche aufserhalb des rotierenden Korpers 
ist w konstant. Nehmen wir, wie bereits bemerkt; an, dais (5) auch 
noch für die Oberfläche gilt und nehmen wir ferner an, dafs daselbst 
w konstant gleich Wq sei, so ist nun, wenn 

^n9K* mit M (8) 

bezeichnet wird: 

|*L^(l_3fl[|Ä^/+i-A^/+|Ä'3' + . ..]+...) 

} . (9) 
+ -i- cdV2 — -i. aiV2 (sinV — y) 


t^o 


Diese Gleichung ist eine Gleichung zwischen r\ q>' und X\ den 
Polarkoordinaten eines Oberflächenpunktes, und sie mufs identisch 
erfüllt werden, wenn wir r nach Gleichung (1), von der wir ausge- 
gangen sind, gleich /2(1 — ^[Ä'i'+A'j'+^s +• • •]) einführen. Mit 
Vernachlässigung von v^ folgt 


, k^M 


«^0 




wobei die oberen Striche weggelassen sind, so dafs r, (p und X wieder 
auf die Oberflachenpunkte ausscblielslich bezogen gedacht werden. 

Man erkennt, dafs für beliebige Werte von 9 und k diese Glei- 
chung nur identisch erfüllt ist, falls die Kugelfunktionen 

K^ = K^ = K.^ u. s. f. = null 
sind, aufserdem aber 

^« = T fS («"^^ - t) m 

wird, mithin frei von A ist. 

ATi bestimmt sich nicht; aber wir wissen aus der ähnlichen Ent- 
wicklung des Paragraphen 5 S. 58, dafs K( im Potential (5) ver* 
schwindet, weil der Schwerpunkt Koordinatenanfang ist. Wir er- 
halten somit als Gleichung der Oberfläche 

r = Ä(l-«A',), (11) 


§ 35. Rotierendes, homogenes Sphäroid. 135 

wobei ü^2 ^'^^ n^h. (10) bestimmt. Die Gleichgewichtsoher fläche ist 
miihin bis auf Gröfsen der Ordnung ü^ Jedenfalls ein abgeplattetes Ro- 
tationsellipsoid, Die Abplattung wird nach (10) und (11) gleich 

da M nach (8) hinreichend genau die Masse und ci^R^ : Mk'^ also 
das Verhältnis t der Zentrifugalkraft zur Schwerkraft am Äquator ist. 

Die vorstehende Untersuchung ist insofern mangelhaft, als der 
Ausdruck (5) für v noch für die Oberfläche als gültig vorausgesetzt 
wird. Ganz allgemein genommen ist dies aber durchaus unzulässig, 
wie wir für den ähnlichen Fall des Erdkörpers schon S. 70 bemerkt 
haben. Allein wenn wir die physikalisch sehr plausible Voraussetzung 
machen, dafs die Abweichungen der Oberfläche des Gleichgewichts- 
sphäroids von der Kugel in sanften Undulationen erfolgen, so erscheint 
es für den beabsichtigten Genauigkeitsgrad zulässig, den Ausdruck (5) 
bis zur Oberfläche anzuwenden. 

Denkt man sich nämlich das Sphäroid durch eine ihm einge- 
schriebene Kugelfläche vom Radius b zerlegt in eine Kugel und eine 
dünne Schale, so zerfällt das Potential in dasjenige der Kugel und 
dasjenige der Schale. Letzteres kann man dadurch mit hinreichender 
Genauigkeit ableiten, dafs man die Masse der Schale radial nach 
innen auf die Kugelfläche b kondensiert annimmt und das Potential 
einer Kugelfläche mit der veränderlichen Dichtigkeit ® {r — b) dafür 
setzt. Diese leichte Rechnung, welche wir dem Leser überlassen 
dürfen, führt mit geringen, jedenfalls zulässigen Vernachlässigungen 
zur Reihe (ö). Wir werden im folgenden Kapitel bei anderer Gelegen- 
heit den Genauigkeitsgrad, welchen eine solche Kondensation bietet, 
genauer untersuchen; aber man sieht unmittelbar, dafs derselbe nur 
dann nicht genügt, wenn es sich um die Darstellung rasch veränder- 
licher Glieder des Potentials handelt, die rasch veränderlichen Undu- 
lationen der Oberfläche entsprechen. 

Für das dreiaxige, von der Kugel wenig abweichende EUipsoid, 
gilt unsere Entwicklung jedenfalls; denn für dieses EUipsoid weifs 
man durch andere Untersuchungen (z. B. Erweiterung derjenigen der 
Paragraphen 29 — 31 für drei ungleiche Axen), dafs die Reihe (5) 
bis zur Oberfläche konvergiert. Wir ersehen daher, dafs das drei- 
axige EUipsoid nicht zu den Gleichgewichtsoberflächen eines rotierendeu, 
nahezu kugelförmigen, homogenen Flüssig keitssphäroids gehört. 

Über die Qeschichte der Theoiie der Gleichgewichtsfigur des rotieren- 
den, flüssigen Körpers ist Todhit/nter^ History of Ättraction and the Figure 
of the Barth, insbesondere Bd. 2 S. 63 Art. 845—847 und weiterhin S. 285 
u. ff. zu vergleichen. Ferner für neuere Untersuchungen L, Matthiessen 
in der Zeitschrift für Mathematik und Physik von SMömüch 1871 Bd. 10 
8. 290 u. ff. 


136 S- Kapitel. Bcatimmuug der Abplattung aus Schwerem eBBaugan. 

Wir entaehmen darauB Folgendes: Die Drehnng einee Hetallriages um 
einen Durchmesset als eines zur Figur der Erde m Beziehung stehenden 
Experiments erwähnt bereits 1726 Dcsagulier in einer Schrift Qber die 
Figur der Erde {Todh. I. p. 106). Newton setzte, wie hier scbon S. 103 
bemerkt, voraus, date das abgeplattete Ellipsoid eine Gleichgewichtafigur 
für eine homogene Masse sei. Clatraut gab 1743 dazu einen Beweis in seiner 
Figure de la Terre, verg). S. lOG. Legendre erbrachte zuerst den Beweis, 
dari jenes Ellipsoid unter gewissen Umständen die einzig mOgliche Form 
sei, was d'Älembert vergeblich versnebt hatte, und Laplace wies u. a, nach, 
dafa das längliche IkitatioDsellipaoid keine Gleichgew ich tafigur sei. Während 
Legendre zuerst einen beliebigen, nahezu kugelförmigen Rotationskörper 
untersuchte, ging Laplace zuerst auf ganz beliebige, nahezu kugelfSrmige 
Sphäroide ein und suchte nachzuweisen, dafs sie bis auf OrDfaen der Ord- 
nung des Quadrates der Abplattung abgeplattete Rotationsellipsoide sein 
mflfsten. Lioumlle, Poisson und TodhvnteT verbesserten deu Beweis. 
{Auf diese letzteren Entwicklungen konnten wir hier nicht eingehen.) 

Jacobi fand IBäi, daCb auch das dreiaxige Ellipsoid eine Gleichge- 
wicbtsfigur sein könne, (vergl. Thomson und Tait, HandbmA der theor. 
Phjfsik i. 1. S. 332) und dies wurde wiederholt von Geodäten als Au^^ang 
für Berechnungen eines dreiaxigen Erdellipsoids aus Gradmesaungen be- 
nutzt. Allein Clausen wies schon 1941 Bd. IS No. 118 S. Hb der Astronom. 
Nachr'. nach, dafs das dreiaxige Ellipsoid mit den drei Halbaxen a>>ii|>c 

nur für — "^y "7" bestehen kann, was bei der Erde sicher nicht statt- 
findet. Wie die genauere Untersuchung zeigt, wQrden für die thateäch- 
liche Rotationsgeschwindigkeit der Erde die Beziehungen der Aien fot 

a = 69,43*^ C ( = l,()(]23t3 C , 
während für die der Erde entsprechende Rotationsfonn ist, vergl. S. 107: 


Strenggenommen genügt die Betrachtung homogener Hassen als Ana- 
logen zur Erde nicht. Laplace untersuchte daher in der Mec. cel. (t. 2 1. 3 
p. S3 — W) auch einen geschichteten, flüssigen Körper auf seine Oberfläche, 
allerdings unter Voraussetzung nahezu kugeltVrmiger Gestalt. Er findet auch 
hier die Figur, abgesehen von der zweiten Potenz der Abplattung, ellip- 
tisch. Bei dieser Gelegenheit werden noch eine Relation zwischen Ab- 
plattung und Dichtigkeit der Schichten abgeleitet und für verschiedene 
Dichtigkeitsgesetze als mögliche Grenten der Abplattung 

— t und —t 

Oder rund gi^ und ^- 

ermittelt, ersteres für den Fall der Konzentration der Masse int Schwer- 
punkt, letzteres für homogene Verteilung. (Vergl auch § 12 im 6. Kap i 

§ 36. Sehfttzung der Abweichung der Oberfläche einef 
Issigen Erde ron der Gestalt eines Rotationsellipsoids. Da 

a Dichtigkeit der Erde Teräuderlich ist aud zwar iiach innen zu- 


§ 36. Die Oberfläche einer flusBigen Erde. 137 

nimmt (S. 127), so kann das abgeplattete Rotationsellipsoid für eine 
flüssige Erde, wie sich zeigen läfst, nicht mehr die Form ihrer Ober- 
flache angeben. Wir wollen hierauf und auf eine sorgfaltige Schätzung 
der Abweichung nicht eingehen. Wir begnügen uns^ einige Betrach- 
tungen anzustellen, die uns ein rohes Mafs der Abweichung mit 
geringerem Aufwand von Entwicklung abzuleiten gestatten. 

Zunächst bestimmen wir das Potential eines homogenen Rota- 
tionssphäroids auf einen Punkt {r\q)') aufserhalb. Wir können hier 
sogleich an den Ausdruck (4) des yorigen Paragraphen anknüpfen: 

Für den Radiusvektor r der Oberfläche setzen wir die Entwicklung 
nach Kugelfunktionen von (p an (vergl. S. 65): ' 


r==/2(l + a, A:, + «2 Ä-, + ...),) 
mit . 

Ä'j = sin*g> — Y 

^^ = sinV - f sin'y + ^j*^ . 


(2) 


AT, , A^3 u. s. f. sind sogleich weggelassen, da wir uns auf Rotations- 
flächen, symmetrisch zum Äquator, beschränken dürfen. 

Bei den Entwicklungen berücksichtigen wir die erste und zweite 
Potenz von a^ , nur die erste aber von er, . Die Potenzen von r ent- 
wickeln wir sogleich wieder nach Eugelfunktionen, wobei wir indes 
nur bis K^ gehen. Dabei ist Gebrauch zu machen von der Identität 

^2 •= -Ä'4 + ~2f ^2 "H "iö" » (^) 

die leicht aufzustellen ist. 

Alle Potenzen von r enthalten nur iC^ und Af^; nach Satz (3) 
S. 116 verschwinden deshalb bei der Integration in (1) die Glieder 
mit P, und P^\ ferner kommen in betracht im Gliede mit 

r^ nur das von K freie Glied 
r* „ „ Glied mit /^^ 

Diese Glieder sind 

r3 




138 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung ans SchweremeBsangen. 

Beachtet man nun noch den Satz (2) 8. 116, so ergiebt sich ohne 
Schwierigkeit 


4 iZ' 

3 r 




(4) 


worin i^^u^^^i ^i^ i^ (^) angegebenen Kugelfunktionen, aber von (p\ 
sind. Indem wir 

j «0Ä' (l + -^ aA mit ^ 
bezeichnen, folgt aus (4) 

^ ist, wie sich direkt zeigen läfst, die Masse. Wir wissen aber be- 
reits aus der ähnh'chen Entwicklung S. 60, dafs v mit k^Mir be- 
ginnen muTs. Was die Brauchbarkeit und die Genauigkeit der Formel 
(4*) anlangt, so ist zu bemerken, dafs (4*) für das Rotationsellipsoid 
jedenfalls bis auf Glieder der dritten Potenz der Abplattung richtig 
ist. Wenn nun in (2) a, ^^'^ seinem elliptischen Werte nur um ein 
Glied von der Ordnung der zweiten Potenz der Abplattung abweicht 
und in den nicht angesetzten Gliedern von (2) die Abweichungen 
mindestens nicht über die dritte Potenz gehen, so muss (4*) bis zur 
zweiten Potenz der Abplattung incl. genau sein und auch eine wirk- 
liche Näherungsformel darstellen, weil die Abweichung vom Ellipsoid 
wesentlich nur in einer sehr flachen Undulation, K^ entsprechend, 
verläuft; (vergl. die entsprechenden Bemerkungen in dem vorigen 
Paragraphen auf 8. 135). 

Nehmen wir nun an, dafs die Erde gebildet sei aus einem homo- 
genen Sphäroid, welches im Innern durch homogene, kugelförmige, 
zum Schwerpunkt des Sphäroids konzentrische Schichten durchdrungen 
ist, so können wir för das Sphäroid allein den Ausdruck (4^), für 
die übrige Masse aber den einfachen Ausdruck Masse : r anwenden. 
Bezeichnen wir die Gesamtmasse mit M ^ die Sphäroidmasse mit M^^ 
so wird das Gesamtpotential 

+ Y ^^^'^ cos'9?' . (5) 

Soll nun die Oberfläche des Sphäroids eine Niveaufläche sein, so mufs 
w einen konstanten Wert w^ annehmen , wenn r nach Mafsgabe der 
ersten Formel (2; eingeführt wird. Indem wir jetzt den oberen Strich 
an r und q> weglassen, setzen wir bei der Substitution 


§ 86. Die Oberfläche einer flüssigen Erde. 139 

welche Formeln leicht mit RQcksicht auf (3) abzuleiten sind. Es folgt 

und da die Faktoren von AT, und AT^ verschwinden müssen, wird 

k^M(a,- -*- «,3) _ A:^^, (Ja,- A«,») + a,./J3 (| _ 12«,) _0 
und 

Eliminiert man o und reduziert auf a,! ^^ ergiebt sich mit Vernach« 
lässigung von a^^ die Näherungsformel: 

«2 = 3 a,» ^--- (6) 

Um nun die Abweichung vom Ellipsoid gleicher Abplattung zu 
bestimmen, ordnen wir den Ausdruck (2) für r zunächst nach Potenzen 
von sing). Mit Einführung der Abplattung a und des Äquatorial- 
halbmessers a ist dann 

r -31 a (1 — [fl + «2] 811»^ + «2 sin^9 + •••)• C^) 

Da a und a, bis auf Grofsen der Ordnung a^ mit einander überein- 
stimmen, kann man in (6) a^ mit a» vertauschen, womit der Aus- 
druck (6) mit Vernachlässigung von a^ übergeht in 

a, = 3a' - ^-. (7*) 

Wir wissen bereits, dafs für M^ ^=^ M ein Rotationsellipsoid 

herauskommen mufs. In der That folgt alsdann a, -» ~ a' , wie es 

nach Bd. 1 S. 61 sein soll. Für das Rotationsellipsoid mit der Ab- 
plattung a und dem Äquatorialradius a ist somit der Ausdruck für 
den Radiusvektor: 


]40 S* Kapitel. BesÜminuiig der Abplattung aus SchweremevBangen. 
r - « (l - [« + ?f ]8in> + ^J- 8inV + ...). 

Der radiale Abstand vom Sphäroid und Ellipsoid beträgt daher, wenn 
die Radien durch die Indices S und E unterschieden werden: 

rs - re'^jo (^^ «2) sin»29 • 

Dies ist ein Maximuni für sin^9 «» ^ und zwar wird mit Racksiebt 
auf (7») : 

Die mittlere Dichtigkeit der Erde ist 5,6; die Dichtigkeit ^^ an 
der Oberfläche etwa 2,8 . Der kleinste Wert von M^ ist hiernach 

gleich ^. M anzunehmen, womit 

{ra — rE)maM = — 16"* 

wird. Dieser Wert dürfte aber zu grofs sein. Wir werden im sechsten 
Kapitel sehen, dafs die Dichtigkeit anfangs sehr rasch zunimmt und 
zwar bei der Tiefe von etwa a : 4 bereits gleich 5,6 ist. Legen wir 
nun dementsprechend ein homogenes Sphäroid mit der Dichte 

i (2,8 +5,6) 

q 

ZU gründe; so wird if , -= - Jf und {rg — r^)«^» ■* — S"* • 

Im sechsten Kapitel wird auch gezeigt, dafs die Abplattung der 
Schichten gleicher Dichtigkeit nach innen wahrscheinlich abnimmt. 
Demgemäfs dürfte ebenfalls der zuerst erhaltene Maximalabstand zu grofs 
sein, da er gewissermafsen die extreme Annahme einer sehr raschen 
Änderung der Abplattung bis auf null macht. Der zweite Wert zeigt, 
dafs eine mäfsige Vergrofserung von S^ die Differenz (ra — r^ ) moM 
bedeutend herabdrückt. Jedenfalls sind also die Abstände zwischen 
Ellipsoid und Sphäroid gering. 

Vergleicht man die soeben erhaltenen Resultate mit den Ergeb- 
nissen des Paragraphen 17 S. 90, so zeigt sich, dafs bei gleichen 
Axenlängen die Normalsphäroide und das oben betrachtete Sphäroid 
um Grofsen derselben Ordnung, aber in entgegengesetztem Sinne, vom 
Ellipsoid abweichen. Dies kann nicht verwundern, da sehr geringe 
Abweichungen in der Massenanordnung im Erdinnern von derjenigen 
für flüssigen Zustand schon eine solche Differenz zu erzeugen im 
Stande sind. Unzweifelhaft ist die Erde aber bis zu einiger Tiefe fest 
und wenn nun auch hier durch Abweichungen der Massenanordnuog 


§ 1. Potential einer Kreisfläche. 141 

▼ojn flüssigen Zustande Spannungen entstehen ^ die im grolsen und 
ganzen schliefslich eine dem letzteren angenäherte Anordnung herbei- 
führen, so kann sich dies doch nicht auf Bruchteile des Radius er- 
strecken , die Gröfsen der Ordnung a^ sind. Man vergl. übrigens die 
Resultate von Borenius und Paucker S. 88 (13) und (14^^). 

Äiry hat nach Thonuan und Tau, Handbuch I, 2 S. 360 eine genaaere 
Untersuchung geführt und die Abweichung der Oberfläche einer flüssigen 
Erde vom £llipsoid zu 24' d. h. ?■" ermittelt Man vergl. für solche Rech- 
nungen auch die Entwicklungen von Hargraeve in den Phil. Transact 
1841 p. 75 und von Ji!d. Schmidt in seiner mathem, Geogr, Bd. 1 S. 339. 


W 


Drittes Kapitel. 

Ableitung einer Formel für die Schwerkraft im Meeresniyean 
aus den Beobachtungen; kontinentale Abweichungen des Geoids. 

§ 1. Potential und Anziehung einer kreisfSrmigen Scheibe 
auf einen Punkt normal Aber dem Zentrum. *) Beschreibt man 
um den Mittelpunkt M der Scheibe mit , 

dem Radius r einen Kreis (Fig. 9); so /f. 

haben alle Punkte P desselben von P\ 
dem angezogenen Punkte, gleiche Ent- 
fernung e «1 "/z^ 4" '^' Lassen wir nun r ^' 4- V '>? 
um dr wachsen und setzen die Dicke / 
der Scheibe gleich dz, so entsteht das 
Raumelement 2nrdrdz, welches in allen 
Teilen denselben Abstand e von P' hat. 
Es ist daher; wenn S die konstante Dichtigkeit in der Scheibe be- 
zeichnet , das Potential derselben gleich 

a 

rdr 


M 

Fig. 9. 


.£».^ 


ü 
Die Integration giebt sofort 

v = 27Ck^®dz{E — z) (1) 

für * positiv 

E=fz^+~ä'. 

Die Anziehung der Scheibe auf P' findet offenbar in Richtung 
P'M statt. Man erhält sie gleich 

- f;- - 2«k-^@äz (] - '^) • (2) 


*) Wir stellen in den ersten Paragraphen dieses Kapitels einige vorberei- 
tende Entwicklungen zusammen. 


142 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im HeereBnivean. 


Diese Kormel zeigt, dafs die Anziehung der Scheibe auf den 
Punkt P' in der Richtung P'M normal zw Scheibe solange vom Abslande z 
des Punktes nahezu unabhängig ist, als dieser Abstand im Verhältnis zu 
der Entfernung des Punktes vom Rande der Scheibe sehr klein ist. Es 
gilt dies auch fQr excentrische Lagen ron P' und fQr UDregelmäfsig 
begrenzte Scheibeu, weim nur die Projektion M von P' innerhalb 
der Scheibe liegt und z im Verhältnis zur kleinsten ßandeotfernvuig 
noch sehr klein ist. 

§ 2. PoteDtial Dad Anziehung eines homogenen, geraden 
Krelscflioders aaf einen Punkt seiner Axe, auf^rhalb, sowie 
eines homogenen, geraden Kreiskegels 
auf seine Spitze. 

Für ein scheibenförmiges Element des 
Cylinders, fc'ig. 10, im Abstand z von P' 
gilt wieder Formel (1) des vorigen Paro- 
graphen. Mun hat damit für das Poten- 
tial des ganzen Cylinders die Gleichung 

}.+' 

t» =. 23rA'© /()/z» + a» — r)rf2. 

Das unbestimmte Integral ist nach be- 
'''■" '* kannten Formeln gleich 

-1. z/^M^ + I «' lognat {z + ^zH^) - | ^' + l^'onsl. 


i 

a L a 


und hiermit ergiebt sich 


i + c) l/a^ -\-(b-j-cy — c y^a^ + c» — Ä (* + 2«) | 


-\- a^ log nat 


, + c + Ka' + ift + c)' 


(1) 


c + y^irr^ 


nziehung des Cylinders auf P' in Richtung P'M wird gleich 

- 1^ - 2jr*»e(6 + f/^M77i _ ,/^+(i,+ c/), (2) 

welchen Ausdruck man Obrigens noch 
bequemer aus Formel (2) des vorigen Para- 
graphen durch direkte Integration findet. 
Die Formeln (1) und (3) gelten nur 
für positive Werte von c, da im Innern 
eines Körpers der analytische Ausdruck 
für V ein anderer ist als aufserfaalb (vergl. 

Kap.l S54).Auch Pormel(I)a.v.S.zeigtdieB. 

Potential des Kegels in Bezug auf seine Spitze hat man, 
'-** Fig. 11 ia Bezug auf ein scheibenförmiges Element 



§ 3. Potential eines Rotationsparaboloids. 


143 


v = 2 


d. i. 
oder 




z(sec a — l)dz 


(3) 


V = nk^@b^(sec a — \) 

V « nk^@b (j/a^ + b'^ — b). 

Dagegen erhält man für die Anziehung auf die Spitze aus For- 
mel (2) des vorigen Paragraphen: 


d. i. 
oder 


2«*»® Al — cos«) dz 

2«*»6ft(l — cosa) 
2jrA:»©ftA — „ ^ V 


(4) 


§ 3. Potential und Anziehung eines honoiogenen Rotations- 
paraboloids auf einen Punkt seiner Axe, aufserhalb. Für ein 

scheibenförmiges Element im Abstand z 
von P gilt wieder Formel (1) § 1 S. 141, 
wobei für a jetzt y zu schreiben ist, Fig. 12. 
Man hat damit für das Potential des Para- 
boloids von der Hohe b die Gleichung 

6 + 


2nk^ej ij/z^ + y2 _ ^) az^ 



wobei zu setzen ist ^ 

y' ~^2p{z- c) (1) „f „. 

and p sich durch Anwendung dieser letztern Gleichung auf die Ordinate 
a in der Grundfläche bestimmt. Hier ist a^ '=s2pb und man hat daher 

P-^' (2) 

Der oben gegebene Ausdruck für v geht durch Substitution des 
Wertes von y^ nach (1) und einfacher Umformung über in 

6-i-tf 

V = 2nk'^eJ{y{z'+~pY'^(2c+lp)d{z +p) — zdz}. 

e 

Das unbestimmte Integral ist nach bekannten Formeln gleich 


V {z,+P)/{z-\-py-p{2c+p) 


-jp(2c-\-p)\ognat [z+p + /(z+p)«_p(j}c+p)) -±z^ + Konsi. 


144 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 


und hiermit ergiebt sich 


V = vk^e 


-/,^2c+p)Iognat^+^^+^<* + ^)* + ^ 


(3) 


2c +p 

Die ADKiehuDg des Paraboloids aaf F^ in Richtaiig P'M wird 
gleich 


cc 


b + c—y\b+cy-\'2pb 


(4) 


Dasselbe ergiebt sich durch Integration ans Formel (2) § 1 8. 141. 

Nach Kap. 1 S. 34 gelten die Formeln (3) und (4) nicht im In- 
nern des Paraboloids, was übrigens auch aus (1) S. 141 hervorgeht 

§ 4. Potential und Anziehiuig einer sphirischen Seheibe 
aaf einen Punkt normal aber dem Zentrom. Der angezogene 
Punkt P' liege aufserhalb der Eugelflache vom Radius r, welche die 

innere Begrenzung der Ton einem kleinen 
Kreise begrenzten Scheibe Ton der Dicke dr 
bildet, Fig. 13; den Punkt P, die Mitte M 
der Scheibe und das Engelzeutrum C nehmen 
wir auf einer Greraden. Beschreibt man um 
den Mittelpunkt M mit dem Radius ri? einen 
- Kreis y so haben alle Punkte P desselben ?on 








F^. IX 


P' die Entfernung ^ = J 'r^ + r * — 2rr cos %\ 
Lassen wir zugleich t am dv wachsen, so 
entsteht ein ringförmiges Ranmelement Tom 
Querschnitt dg '=^ dr. rdi^ nnd dem Volamen 
dg . 2jrr sinr, dessen Teile alle in der glei- 
chen Entfernung e von P' liegen. Mit Rück- 
sicht auf die Fixierung des Scheibenrandes in der Figur dnrch r = ? 
folgt nun als Potential der Platte 

r :=2xl^Sr-dr I ^ , 

wobei die Dichtigkeit wieuer mit S bezeichnet ist. Die Int^ration 
giebt 


r = 23ik^Sr^dr 


1 r* -r r » — 3 


rr lOS 


y— |r»-i-r«— 2 


rr 


rr 


in 


worin die beiden Quadratwurzeln die immer positir^m Entfernungen 
des ansezv^irenen Punktes Tom Rande bezw. der Mitte Jf bedeuten. 
Die Ausziehong der zweiten Quadratwurzel mit Beachtung der Be- 
din^uE^ r > r. sowie die Benutzung; der Abkürzun^ren 


§ 4. Potential einer sphärischen Scheibe. 145 


und 
geben: 


E = /r'^ + r'2 — 2rr cos ?F 
2: aes r — r 

i; = 2jrA2® y dr{E - z). (2) 

« poHtit* 

Der negative Differentialquoiient von v nach r ist die Anziehung 
in Richtung P'C auf P\ Es ist nach naheliegenden Reduktionen : 

-^^, «23rAr'®-^rfr|l £—}' (3) 

r'>r 

Liegt P' innerhalb der Eugelfläche, so ist im Ausdruck für v 
nach (2) z «= r — r zu setzen und es wird 

p^2nk^e-^^är[l+t^J^]. (3») 

r'<r 

Vergleicht man die vorstehenden Ausdrücke für das Potential 
und die Anziehung einer sphärischen Platte mit den in § 1 dieses 
Kapitels 8. 141 für eine ebene Platte gefundenen , so ist leicht zu 
erkennen, dafs die Krümmung wenig Einfiufs hat, falls der Abstand 
des Punktes P' von der Platte, z ^==^r -- r^ und der Radius der Platte, 
a =s rWj kleine Gröfsen gegen den Kugelradius r sind. Bei dem Po- 
tential ist dies unmittelbar ersichtlich. Um es auch bei der Anziehung 

hervortreten zu lassen, schreiben wir in (3) r' — 2r sin' - - für r cos ^ 
und erhalten anstatt (3): 

-f?.-=.2»A:^0;f. dr{l- ^+-«/8in'-^). (4) 

• potitit 

Hierin kann man anstatt des dritten Gliedes der Parenthese, a ^^rW 
gesetzt, angenähert schreiben: 

und dies zeigt deutlich die Geringfügigkeit des Gliedes. 

Ist z gegen a '=^ r^ sehr klein und zugleich a gegen r klein, 
oo gilt derselbe Satz, welcher in § 1 S. 142 für die ebene Scheibe 
hervorgehoben worden ist. 

In dem Falle; dafs zwar g sehr klein ist gegen a, aber a im 
übrigen einen beliebigen Wert hat, kann man in (4) vor der Paren- 
these H = r^ und innerhalb der Parenthese z : E gleich null setzen. 
Es geht (4) alsdann über in 

Nun ist zugleich 

t; = 2n/c^0dr . E\ 

Helm ort, mathem« u. pliysikal. Thooriecn der hOh. Qoodiisic. 11. 10 


146 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meereaniveau. 

man hat daher , falls z gegen a sehr klein ist, bei beliebigem Werte 
von a\ 

-|^ = 2«A:»®dr + ^. (5) 

Dieser Satz gilt nicht blos für den besonderen Fall, in welchem 
er bewiesen wurde, sondern ganz allgemein für jeden unendlich dünnen 
Massenbelag der Kugelfläche und für alle unendlich nahe aufserhalb 
derselben liegenden Punkte, in deren Umgebung die Dichtigkeit S 
des Belags sich nicht unstetig ändert. 

Um vorstehenden Satz allgemein zu beweisen, nahmen wir den 
angezogenen Punkt P' zunächst in der Kugelfläche liegend, auf wel- 
cher wir uns kondensierte Masse verbreitet denken. Wenn wir nun 
das Massenelement bei irgend einem Punkte P der Eugelfläche mit 
dm bezeichnen, so ist einerseits 

dtn 


"-*"/ 


worin die Integration für die ganze Eugelfläche zu nehmen ist. Die 
Anziehung in radialer Richtung P'C^ nach innen, vrird andrerseits 
gleich 

indem P'C mit PP' den Winkel 90» — -|- einschliefst Da aber 
e=^2r sin -^- ist, so hat man 

dv fe' r dm «_ ,«v 

~W'^ 2rJ e ~ 2r ' ^*^ 

Hierbei ist entsprechend dem Umstand, dafs P^ in die unend- 
lich dünn mit kondensierter Masse belegte Fläche verlegt wurde, 
die Anziehung der Masse in der Umgebung von P' gleich null gesetzt. 
Dies zeigt (6) sofort , wenn wir dm durch die Masse für die Flächen- 
einheit: die Flächendichtigkeit, ausdrücken. Bezeichnen wir dieselbe 
mit d" im Durchschnitt für alle Punkte in demselben Abstand e^ so 
wird dm = 2r*Ä sin^ dt • ^ und es folgt aus (6): 

-^ = 2xk^ f^cos^dl-. 
er 12 2 

Nimmt man d' in der nächsten Umgebung von P' konstant, etwa 
bis ^ =3 ^, , so wird der Anteil dieser Umgebung an der radialen 
Anziehung gleich 

27ck^d' sin ^ ; 

derselbe verschwindet also mit ^| . 


§ 5. Abstand von Niveausphäroid u. Niveaufläche gleichen Potentialwertes. 147 


Liegt aber P' nicht in der Fläche , sondern unendlich nahe aufser- 
halb, so ist die Anziehung dieser benachbarten Masse sehr wesentlich. 
Man zerlege in diesem Falle die Kugelfläcbe in 2 Teile durch Aus- 
schneiden einer zu P' konzentrischen Scheibe vom Radius a. Inner- 
halb a mufs ^ als konstant zu betrachten sein. Dann gilt für den 
innern Teil Formel (5), worin nur d für @dr zu setzen ist; für den 
äuTsem Teil gilt Formel (7) und zusammen also offenbar wieder die 
Gleichung (ö): 

(8) 


a» 


wobei ^ die Dichtigkeit in der Umgebung von P' darstellt. 

Üher Formeln hei endlicher Dicke der Platten vergl. PnAi^Phü, Transaet. 
1871, p. 341. 

Üher eine ähnliche Gleichung für die Oberfläche eines nahezu kugel- 
förmigen, homogenen Körpers von Laplace vergl. M6c. cü,^ t. II 1. III Nr. 10 
sowie t V 1. XI und Todhwnter, Hiatory of Ättractian, Bd. 2 S. 263. 

§ 5. Abstand yon Niveausphäroid und Nireaufläehe gleichen 
Potentialwertes. 

Im vorigen Kapitel ist für einen Näberungsausdruck U des Po- 
tentiales fF der Schwerkraft gezeigt worden , wie sich mit Hülfe von 
Schweremessungen die Gestalt der uigehorigen Niveausphäroide aufser- 
halb der mathematischen Erdoberfläche bestimmen läfst. Wir denken 
uns jetzt ganz allgemein unter U eine Funktion , welche einen Nähe- 
rungsausdruck von fV vorstellt. Wir denken uns ferner zu den Glei- 
chungen /F = IFq und ^= fTo, unter IFq eine Konstante verstanden, 
die zugehörigen Flä- 
chenaufgesucht. Dann .c^ltJS?^'^?^^»^^' 
gilt es eine Beziehung 
zu ermitteln für den 
Abstand 0P= N, um 
welchen sich, Fig. 14, 
die Niveaufiäche fT 
a= ff^Q über das Niveau- 
sphäroid U ^^ Wq in Fig. 14. 
der Normalen PQ des 

letzteren erhebt. Diese Beziehung kann dann selbstredend auch für 
die besonderen Formen von U Anwendung finden, die im vorigen 
Kapitel für Niveausphäroide aufserhalb benutzt worden sind. 

Im allgemeinen wird nun in einem beliebigen Punkte der Wert 
der Funktion U von fT abweichen um eine Gröfse T: 



fV=ü+ T. 


(1) 


Ist in dem Punkte insbesondere ^ — t J^ «a fTo , so hat T den Wert 
null. Wir sehen also zunächst, dafs Niveaufläche und Niveausphäroid 

10* 


148 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

sich da schneiden , wo J «= nnll ist. Ist T für einen Punkt Q der 
Niveaufläche ^= Wq nicht null; so hat (^einerseits daselbst nach (1) den 
Wert Wq — T. Andrerseits kann man von P ausgehend U für Q nach 
Taylof'8 Satz herleiten und zwar ist für kleine N in erster Annäherung, 
wenn beliebige Hohen über P mit h bezeichnet werden : 

Da aber auch ü =^ W^— T gefunden war, so folgt sofort aus der 
Gleicbsetzung beider Ausdrücke 


( 


oder mit der Festsetzung , dafs N nach aufsen wie in Fig. 14 positiv 
gezählt wird: 

^ = f + .••, (2) 

worin y die der Funktion U in P entsprechende Beschleunigung der 
Schwere bedeutet. 

In den Fällen des vorigen Kapitels bezeichnet y die normale 

Schwerkraft. 

Die Relation (2) hat H. Bruns' in seiner Ftgt*r der Erde S. 20 ange- 
geben und zwar in der Gestalt h=' — ^ ' 7 cos e. Hierbei bedeutet h die 
Tiefe des Sphäroids ü =» Wq unter der Niveanfläche Tr= TTq, gemessen 
in der Lotrichtung von Q , wenn in Q die normale Schwercbeschleunigung 
gleich y ist und die Lotrichtung daselbst mit der Richtung der normalen 
Schwerkraft den Winkel s einschliefst. Praktisch genommen laufen beide 
Formeln , die Brun^sche und (2) , auf dasselbe hinaus. Doch ist bei Bruns 
die Entwicklung eine etwas andere. 

Da man die Werte von T im Niveau der Meeresfläche, welche 
einem wie im vorigen Kapitel auf grund der Schweremessungen zu 
bestimmenden Niveausphäroid ü entsprechen , nicht kennt, so kann 
man von der Formel (2) allerdings keinen Gebrauch machen , um die 
Undulationen der Meeresfläche gegen ein Niveausphäroid gleichen 
Potentialwertes zu ermitteln. Nichtsdestoweniger ist die Formel von 
hoher Bedeutung, wie au9 den zahlreichen Anwendungen derselben 
in diesem Kapitel hervorgehen wird. 

Wir werden sie als das Theorem von Bruns bezeichnen. 
§ 6. Die Untersnehung der Brauchbarkeit der Entwicklung 
des Potentials fV der Schwerkraft nach negatiyen Potenzen des 
Badius Vektors bis zur Meeresfläche (dem Geoid) erfordert eine 
Anwendung vorstehenden Theorems. 

S. 70 §9 wurde darauf hingewiesen^ dafs diese S.60 §5 (7) gegebene 
Entwicklung in Strenge nicht bis zur Meeresfläche gelten kann. Um 
Gültigkeit zu erlangen, wird es notig, der wirklichen Massenverteilung 
zwischen der physischen Erdoberfläche und einer der mathematischen 


§ 7. Änderung des Potentialcs durch die Kondensation. 149 

Erdoberflache konzentrisch zum Erdschwerpunkt berührend eingeschrie- 
benen Eugelfläche oder einer innerhalb der letzteren gelegenen Fläche 
eioe ideelle Massenverteilung zu substituieren ; für welche jene Ent- 
wicklung gilt. Allein es ist klar, dafs mit dieser Abänderung der 
Massenlagerung auch Änderungen im Potential und in der Schwerkraft 
verknüpft sind. Man mufs sich nun eine Vorstellung zu machen 
suchen, wie grofs diese Änderungen etwa sind und welchen Einflufs 
dieselben auf die Bestimmung der Form der Niveauflächen , insbeson- 
dere der Meeresfläche, aus Schweremessungen haben. 

Um eine jedenfalls zulässige Idealisierung durchzuführen, denken 
wir uns zu der mathematischen Erdoberfläche eine Parallelfläche im 
Abstand üB (d. i. Abplattung mal mittlerer Erdradius) konstruiert.*) 
Diese Parallelfläche erfüllt die Bedingung, innerhalb einer der mathe- 
matischen Erdoberfläche konzentrisch zum Erdschwerpunkt berührend 
eingeschriebenen Kugelfläche zu liegen, mindestens sehr nahe und 
hinreichend genau. Alle Massen aufserhalb der Parallelfläcke ver- 
schieben wir radial auf dieselbe; wir kondensieren also die äufseren 
Massen daselbSt Durch diese Kondensation gehen das wirkliche Po- 
tential fF und die wirkliche Schwerkraft g in das theoretische Poten- 
tial U und die theoretische Schwere y über. Ist im Punkte Q der 
wirklichen Meeres- (Geoid-) Fläche W^=' Ü-^T, so stehen die wirkliche 
und die theoretische Meeres-(Geoid-)Fläche gleichen Poteutialwertes 
nach vorigem Paragraph daselbst nm T:y voneinander ab, wobei y 
die theoretische Schwere in dem zu Q gehörigen Punkte P der theo- 
retischen Meeresfläche bezeichnet. 

Wir haben nun zunächst die Aufgabe, T zu schätzen, d. h. zu 
schätzen die Änderung im Potential infolge der Kondensation der 
äufseren Massen. Ferner sind zu schätzen die Änderungen der Schwer- 
kraft im Niveau der Meeresfläche: 1. infolge der Verschiebung der 
letzteren um T ly^ 2. infolge der Kondensation der äufseren Massen. 

§ 7. Änderung des Potentiales W durch Kondensation der 
äufseren Massen auf die Parallelfläche. Bei der Untersuchung 
des Kondensationseifektes wird es jedenfalls eine gute Annäherung 
gewähren, die Meeresfläche und ihre Parallelfläche, die Kondensations- 
fläche, als Kugelflächen zu betrachten. Dafs diese Annahme auf den 
Betrag des Kondensationseffektes keinen wesentlichen Einflufs hat> 
wird sich im Folgenden ohne weitere Betonung dieses Umstandes von 
selbst zeigen. 

Wir denken uns W zunächst auf einen Punkt P' im Meeres- 
niveau bezogen, Fig. 15. Ein im Punkte P befindliches Massen- 
element dm liefert zum Potential den Beitrag k^dm : ß; verschieben 

*) Durch die Annahme aJS wird nur ein plausibler Wert für den Abstand 
beider Flächen, nicht aber die Voraussetsung eingeführt, dafs die Meeresfläche 
ein abgeplattetes Sphäroid sei. 


1 


150 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresnivean. 


wir das Massenelement aber in radialer Richtung auf die Eonden- 
sationsfläcbe nach P^, so wird der Beitrag k^dmie^. Für kleine 
Winkel ^ ist nun nach der Figur e^ > e, also der Beitrag nach der 
Kondensation ein kleinerer als vorher. Für grofse Werte ^ ist es 
aber gerade umgekehrt. Die Grenzflache A^BBA^^ eine Rotations- 
fläche mit der Axe P'C^ welche alle Punkte P der einen Art von 

denen der andern Art 
trennt; findet man leicht. 
A^ liegt in dem Berüh- 
rungspunkt der Tangente 
von P' an den innern 
Kreis; B liegt so, dafs 
die Mitte B^ von BB^ im 
Dreieck B^ />' C den Schei- 
tel eines rechten Winkels 
bezeichnet und dafs so> 
mit P'B = PB^ ist; 
u. s. f. 

Setzt man den Radius der Kondensaiionsfläche gleich r, und ihren 
Abstand von der Meeresfläche gleich ^R oder an, so hat man: 



^, />' = r, y\\ + fl)^ — 1 = n yWii nahezu; 


(1) 


Wir leiten nunmehr einen Näherungsausdruck für die Potential- 
verminderung ab, welche die Kondensation der Masse ^,j^^^| giebt, 
wobei wir konstaute Dichte S voraussetzen. Wäre die Kugelschale 
zwischen beiden Flüchen ganz mit Masse gleicher Dichte erfüllt , so 
würde die Kondensation am Potential wert nach S. 62 § 6 (6) nichts 
ändern. Die Kondensation von A^BBA^ giebt daher für P' einen 
Maximaleffekt, weshalb wir den entsprechenden, in Fig. 15 kräftig um- 
schlossenen Korper kurz als Maximalkorper bezeichnen können. 

Das Potential einer sphärischen Platte vom Radius r, der Dicke 
dr und dem Zentriwinkel W am Rande ist nach S. 145 § 4 (2): 


rr 


(2) 


Kondensieren wir aber die ganze Masse A^BBA^ auf die Kondensations- 
fläche und denken uns dieselbe in unendlich dünne sphärische Platten 
zerlegt, so läuft die Kondensation darauf hinaus, dafs jede Platte auf 
die Kondensationsfläche verschoben wird. Dabei erfolgt eine Ver- 
dichtung, weil die Oberflächenelemente bei der Verschiebung im Ver- 
hältnis r^ir^ abnehmen. Behalten wir dr als Plattendicke bei, so 
bleibt mithin Sr^dr ungeändert, und es wird das Potential der auf 
die Kondensationsfläche verschobenen Platte gleich 


§ 8. Fortsetzung: Gebirgsmasse, Verschiebung der Meeresfläche. 151 


r. .0^0, /»".•' + ♦■'* — 2r,./ cos W—(r— r.) 
r, — 2nk^0r^drf—^-^ ^. !^ ^ . (3) 

Die iu (2) und (3) vorkommenden Quadratwurzeln sind aber einander 
gleich , wenn wir die Platte bis an die Fläche A^ B ausdehnen. Be- 
zeichnen wir diese Wurzel mit jEV, so wird 


V — V 


^ = 2nk^@rdr^^-^(l ^) . 


Setzen wir im Nenner für r^ den Wert r, so vereinfacht sich die 
Formel in 

i; _ v, = 2xk^®{r — r,) (l ^^ är , (4) 

welche Formel die Differenz 1; — v, höchstens um Yjoo ihres Wertes 
fehlerhaft giebt, da r : r^ von der Einheit nicht mehr als um rund 
Vsoo abweichen kann. 

Erir liegt nach (1) zwischen rund Vu ^^^ Vn- Bei der Sum- 
mierung der Ausdrücke (4) für alle Platten, in welche die Masse 
A^B BAy^ zerlegt wurde, reicht es für die beabsichtigte Schätzung aus, 
für diesen Bruch einen Mittelwert Vis zu setzen. (Wegen des Faktors 
r — Ti muCs zufolge genauerer Rechnung nicht das arithmetische 
Mittel des grofsten und kleinsten Wertes genommen werden , sondern 

ein Wert, der sich aus -r- des gröfsten und — des kleinsten zusam- 

mensetzt). Integrieren wir nun, wobei für dr auch d{r — r,) gesetzt 
werden darf, von r ^ri gleich null bis nR^ so folgt als Verminderung 
des Potentials für Punkt P' Fig. 15 durch Kondensation der Masse 
A^BBA^ auf die Parallelfiäche: 

0,93Ä>t2©a^Ä2. (5) 

Dieser Ausdruck, in welchem f ür i? irgend ein mittlerer Radius- 
vektor der Meeresääche, für a ihre Abplattung zu setzen ist, bezeich- 
net wie bemerkt den Maximalbetrag der Potentialänderung im Meeres- 
niveau durch Kondensation der Massen zwischen Meeresfläche und 
Parallelfläche. Der wirkliche Betrag wird in der Regel weit kleiner 
sein, insoweit nur die erwähnten Massen in betracht kommen. Es 
ist aber noch zu berücksichtigen, dais zu diesen letzteren in einigen 
Gegenden noch gewaltige Gebirgsmassen hinzutreten.. 

§J3. Fortsetzung: Gebirgsmasse, Terschiebang der Meeres- 
lläche. Denken wir uns die Meeresfläche noch von einer Platte über- 
lagert, deren Stärke wir gleich -^HR setzen wollen, so konstruiert 

sich zunächst wieder wie früher die Grenzfläche BDDB^ innerhalb 
welcher diejenigen Massen liegen, welche bei der Kondensation eine 
Potentialverminderung geben. Insbesondere ist P D ^^^ P' D^ zu neh- 
men, Fig. 16; für die Mitte D^ von DD^ hat mau die Relation 


152 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im MeereBniveau. 


/),P' = r.y(l + tt)^-(l+f «)*=i-r,/2i. 


(1) 


Die ÜABse B D D B zerlegen wir ebenfalls Yfie A^BB A^ in unend- 
lich dünne sphärische Platten. Für eine Platte vom Radius r und 
der Dicke dr erbalten wir anstatt (2) S. 150, da jetzt r > r ist 
(vergl. S. 145, Bern, für P' innerhalb): 


v = 27ck^0f^dr 


Kr' + r» — 2rr coay— (r — Q ^ 


TT 


(2) 


die Eondensatioq giebt wieder den Ausdruck (3) des vorigen Para- 
graphen für v^. Die Subtraktion des letzteren Ausdrucks von (2) 
führt unter Vernachlässigung von Bruchteilen der Ordnung a zu dem 
Ausdruck 


v — vt =27tk'& 


1 


rr^ + r'r — - 2r,.r 


--?^(.-.) 


dr. 


(3) 



Dies ist zu integrieren von r gleich r bis r + -^Är' und giebt ohne 

Schwierigkeit unter Sub- 
stitution von ri^^r — ar 
und mit Vernachlässi- 
gung von Bruchteilen der 
Ordnung fl, sowie unter 
Annahme eines konstan- 
ten Mittelwertes für Er, 
alsPotentialverminderung 
durch Kondensation der 
Masse BD DB auf die 
innere Eugelfiäche: 

£r : r schwankt nach (1) dieses und des vorigen Paragraphen 
zwischen rund -—- und - : nehmen wir -—- und schreiben für r wie- 

17 24 tsl 

der B, so folgt 

0,69 3r^2@a2Ä^ (4) 

Dieser Ausdruck stellt die maximale Verminderung des Potentials 
für einen Punkt der Meeresfläche infolge der Kondensation einer 

darüberlagernden Gebirgsmasse von der Dicke ^-üB dar. 

Fügen wir (4) zu (5) des vorigen Paragraphen, so erhalten wir 
die maximale Potentialverminderung im Meeresniveau mit Rücksicht 
auf Gebirgsmassen gleich 

1,62 nk^@ü^B\ (5) 


§ 8. Fortsetzung: Gebirgsmassc, Verschiebung der Meeresfläche. 153 

Wegen der im Vergleiche zur Wirklichkeit übertriebenen Gröfse 
der angenommenen Gebirgsmasse tritt dieser Effekt niemals ein. 

Der Potentialverminderiing entspricht eine Senkung der Meeres- 
fläche gleichen Potentialwertes , welche durch Division des Ausdrucks 
(5) durch die Schwerkraft erhalten wird. Für die Berechnung der 
Schwerkraft genügt hierbei die Voraussetzung der Kugelgestalt. Ist 
Sm die mittlere Dichtigkeit ^ so wird in der Nähe der Oberfläche die 

Schwerkraft angenähert gleich jnk^GrnB [S. 39 § 23 (3)] und es 

ist daher die Senkung der Meeresfläche höchstens gleich 

1,2 ^a^Ä d. i. ca. 40"», (6) 


9 


m 


wenn 0=1: 300 und ® = 0,5 • ©^ = 2,8 gesetzt wird. 

Ohne Rücksicht auf die Gebirgsmasse ergiebt sich die maximale 
Senkung nur zu 

ca. 25™. (6*) 

Der Anteil der Gebirgsmasse allein ist 

ca. 15'". ^ (6t) 

Es ist bemerkenswert, dafs man zu dem Ausdruck (5) mit grofser 
Annäherung auch gelangt, wenn man von der Krümmung derjenigen 
Teile der Kugelflächen absieht, welche die Masse A^D DA^ begrenzen. 
Aufserdem zeigt sich, dafs der gröfste Teil des Maximaleffekts durch 
diejenigen Massenteile erzeugt wird, welche der Linie P'C nahe liegen. 
Betrachten wir, um dies wenigstens für die unterhalb P' liegende 
Masse A^BBAy nachzuweisen, die Formel (1) § 2 S. 142 für das 
Potential eines Cylinders von der Höhe h und dem Radius der Grund- 
fläche üy bezogen auf den Mittelpunkt der Deckfläche. Indem wir 
demgemäls daselbst c gleich null setzen, erhalten wir als Poteniial: 

ÄA20[i,^fl^"/,i_i,2^^2iognat^"t-^^'i^') • 

Kondensieren wir diesen Cylinder auf seine Grundfläche, so ist zur 
Berechnung des Potentials Formel (1) § 1 S. 141 anzuwenden, dabei 
aber für €>dz zxx setzen b und für z b. Damit findet sich als Po- 
tential nach der Kondensation: 

2n;k^&[byä^~^b^ — b'^] . 

Subtrahieren wir dies vom Vorigen, so ergiebt sich als Potential- 
änderung infolge der Kondensation: 

nk^@[b^-'b}/ä^+~b'^ + anognsLi^'^^^'^^] . {7) 

Behufs Vergleichung mit Ausdruck (5) des vorigen Paragraphen 


» 

. 0,69 

„ « = 2* 

V 

.0,79 

„ a — 3b 

f7 

m 

.0,85 

• • 

„ a — U 

• • • 


154 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 

ist hierin b «=üR zu setzen, a nehmen wir der Reihe nach gleich 
b, 2b, 3b ... 20b und erhalten für Ausdruck (7): 

;rA-2 0fl'Ä2.O,47 bei a = b 


(8) 


„ .0.97 „ a^20b 

Der Fall a =^ 20b entspricht aber den Dimensionsverhältnissen der 
Masse A^BBAx\ im Vergleich zu (5) des vorigen Paragraphen zeigt 
sich also eine Übereinstimmung bis auf 4 Prozent. Man kann hier- 
aus auf eine genügende Annäherung auch der anderen Angaben (8) 
schliefsen und ersieht, dafs in der That die nächstgelegenen Massen 
den Hauptanteil am Maximalefifekt haben. 

§ 9. Fortsetzang: Wahrscheinliche MaximalTerschiebuug 
der Meeresüache. Der bisher betrachtete Maximaleffekt der Konden- 
sation im Betrage von 25 bis 40 "* Senkung der Meeresfläche kann 
selbstverständlich nur eintreten , wenn lediglich der durch die Figuren 
15 und 16 bezeichnete Maximalkorper in betracht kommt. Allein 
dieser Fall findet thatsächlich nie statt; denn alle Massen, welche sich 
aufserhalb dieses Körpers über der Kondensationsfläcbe befinden, ver- 
mindern den Effekt. Derselbe kann sogar sein Vorzeichen wechseln, 
wenn innerhalb der Grenzen des zu einem Punkte P' gehörigen 
Maximalkörpers sich ein Meer befindet. Würde er für irgend einen 
Punkt P' ganz leer werden können, während aufserhalb über der 
Kondensationsfläche im allgemeinen Masse von etwa 2^8 Dichtigkeit 
bis zur Meeresfläche lagerte , so würde mit Rücksicht auf das Ver- 
schwinden des Kondensationseffekts für eine homogene, gleichstarke 
Kugelschale in diesem Fall innerhalb bei P' eine Hebung von 25*" 
durch die Kondensation entstehen. Da er jedoch in keinem Falle 
leer gedacht werden darf , sondern nur etwa entsprechend den tiefsten 
Oceanen bis 9*^ Tiefe mit Wasser erfüllt, während weiterhin bis zur 
Tiefe aÄ = 21*^ wie früher feste Masse von etwa 2,8 Dichtigkeit 
sein wird, so bleibt nur eine Hebung von etwa 10*" übrig, wie man 
mit Hülfe der Formel (4) S. 151 leicht findet. Aber selbst dieses ist 
noch zu hoch bemessen, indem auch aufserhalb des Maximalkörpers 
zu berücksichtigen ist, dafs bis zur Tiefe von durchschnittlich 3 bis 4^ 
auf 7|, der Erdoberfläche anstatt der Dichtigkeit 2,8 nur die Dichtig- 
keit 1 vorhanden ist. Hierdurch reduziert sich die maximale Hebung 
auf etwa 8»". 

Auch die Senkung ist oben zu reichlich gerechnet, indem noch 
nicht berücksichtigt wurde, dafs der mit Masse von der Dichtigkeit 


§11. Einflufs der EondenBation auf die Schwerkraft. 


155 


2^8 erfüllte Maximalkorper, ein kleiner Kontinent, aufserhalb auch 
mit Masse umgeben sein wird und zwar bis zur Tiefe von durch- 
schnittlich 3 bis 4^ mit solcher von der Dichtigkeit 1, im übrigen 
mit solcher von der Dichtigkeit 2,8. Die Senkung reduziert sich 
dadurch auf etwa 5"* für den Fall, dafs kein Gebirge auf dem Kon- 
tinent lagert und steigt mit Rücksicht auf (6t) S. 153 unter der An- 
nahme von Gebirgen auf nicht über 20*". Der letztere Maximalbetrag 
wird wohl selbst im Himalaja noch nicht eintreten; meistens werden 
kaum lO"» erreicht werden. 

Addieren wir diese 10"* Senkung und jene 8"* Hebung, so folgt 
ein Betrag von 18"*, um welchen sich die Unterschiede der Radien- 
vektorenlängen für die Meeresfläche , abgesehen von wenigen aufser- 
gewöhnlicheu Fällen, im Maximum durch die Kondensation ftndem. 
Es hat dies auf die Abplattung der Meeresfläche sicher noch keinen 
Einflufs von Viooo ^^^^^ Betrages: die absoluten Beträge bis zu 10" Än- 
derung der Radienvektorenlängen kommen aber gar nicht in betrachi 
Mithin kann man die Kondensation bezüglich der Gestalt der Meeres- 
fläche als von unerheblichem Einflufs ansehen. 

§ 10. Die Änderung der Schwerkraft im Meeresniveau 
durch dessen Yersehiebung infolge der Kondensation ist ebenfalls 
als unerheblich zu betrachten; denn in freier Luft beträgt für 20 *" 
diese Änderung nur g : 160000, für 8"» nur ^ : 400000. Das sind Be- 
träge von der Ordnung der Beobachtungsfehler bei den besten Be- 
stimmungen: im § 28 werden wir für den mittleren Beobachtuugs- 
fehler der besten Bestimmungen etwa Viooooo ^^^ 9 finden. Hierbei 
ist noch abgesehen von deujenigen Fehlern, die durch die Reduktion 
von g aufs Meeresniveau entstehen und recht beträchtlich ausfallen 
können, sowie von den Schwankungen in der Schwerkraft infolge 
lokaler Massenunregelmäfsigkeiten , welche Schwankungen gerade 
in den uns interessierenden Fällen der Verwertung der Schwere- 
messungen auch wie Fehler 
auftreten. 

§ 11. Einflufs der Kon- 
densatton auf die Schwer- 
kraft. Wir ermitteln nun- 
mehr den Maximaleffekt der 
Kondensation auf die Schwer- 
kraft für einen Punkt P* im 
Meeresniveau, Fig. 17. Auch 
hierbei reicht es aus die 
Meeresfläche und ihre Pa- 

ITiff IT 

rallelfläche als Kugelfläcben 

zu betrachten, wie sich von selbst im Folgenden zeigen wird. Ein 

Massenelement dm^ welches sich vor der Kondensation zwischen beiden 



156 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Flächen^ der äufsern und innem Eugelfläcbe, in P befindet und nach 
der Kondensation auf der innern Kugelfläcbe in P, , übt auf P' eine 
Anziebung aus, deren in die Ricbtung P'C fallende Komponente 
gleicb ist: 

--,- • — vor der Kondensation. 

__*"_ . _i nacb der Kondensation, 
et« c, 

Solange sieb P weitab von P^ befindet, ist die Folge der Konden- 
sation immer eine Vergrofserung der zentralen Komponente, denn es 
ist dann gleicbzeitig 

J_>J_„ndiL>£. 

ex e «1 e 

Befindet sieb dagegen P in der Nabe von P'y so ist auch eine Ver- 
minderung als Folge der Kondensation moglicb. Liegt nämlich ein 
solcher Punkt P aufserhalb der äufsern Kugelfläche in P^ gerade in der 
Tangentialebene der äufsern Kugelfläcbe bei P^j so ist die Komponente 
null; verschiebt sich sodann P nach innen, so wächst zunächst die 
Komponente wie vorher; allein e nimmt nur bis dahin ab, wo PP^ 
normal zu PC steht und wSchst von da an. Obwohl nun z : e stetig 
zunimmt, kann also doch wegen Abnebmens von 1 : e auch die Kom- 
ponente von einer gewissen Stelle an abnehmen. Zur Bestimmung 
des Maximaleffektes gilt es jetzt diejenige Fläche E^ P'ß^ aufiensucheny 
in deren Punkten P die in Rede stehende Komponente gerade so 
grofs ist, wie in den zugehörigen Punkten P^ . 

Zur Yeranscbaulichung zeigt Fig. 18 zu den Strecken P^P als 

Abscissen in irgend einem Mafsstabe den 
Gang der Ordinaten r : ^. In der Figur 
H sind die Ordinate von P^ und die gleich- 
grofsCy welche einem Punkte der Fläche 
E^P" E^ angehört, hervorgehoben und die 
zwischen liegende Fläche schrafBert. 

Cm nun vorerst denjenigen Punkt /T, %xk erhalten, wo die Fläche 
in die innere Kugelfläche einschneidet ^ haben wir zu beachten, dafs 
hier die Punkte P und P^ der Fig. IS zusammenfallen^ also die Or- 
dinate ein Maximum wird. Wir finden dasselbe aus der Bedingung 



'S71 - 

CT 


Es ist aber 


z = f — rcos i% e ^^^ \ r^ '\- r^ — 2rr cos v , 

CS , c€ r— reoö^ 
-: - = — co6l^, -,-- =» ^ 

er ^ er € 


I 


§ 11. Einflufs der Kondensation auf die Schwerkraft. 157 

and 

- y^Ji JL ^ 3g de 

~ ar~" ^ dr e* dr ' 

Hieraus folgt nach gehöriger Reduktion 

-^ = -L [2cos* (r^ + r'2) - rr (3 + cos^^)) • (1) 

Dieser Differentialquotient verschwindet, wenn die Parenthese rechter 
Hand null wird, d. h. für 

cos ^ = —— — —-- — » — ' (2) 

TT 

Setzen wir nun in Anwendung auf Punkt E^ r ^= u^ femer wie 
früher 

r,_r'(l-a) 

und vernachlässigen höhere Potenzen von a als die zweite ; so giebt 
der Ausdruck (2) ohne Schwierigkeit die einzig brauchbare Lösung: 

« 

COS^B» 1 — Ä*. 

Wenn wir für cos ijj jetzt die Reihenentwicklung 1 — 2 "^ ' ' *°' 
wenden y folgt zur Bestimmung von E^ die Näherungsformel: 

^ c» 11^2 und Ti^ = ar,- /2 . (3) 

Wir ersehen hieraus, dafs die Ausdehnung der von der Fläche E^ P'E^ 
abgegrenzten (in Fig. 17 stark umschriebenen) Masse so klein ist, 
dafs man innerhalb derselben für den jetzt vorliegenden Zweck einer 
Schätzung von der Konvergenz der Radien absehen kann. Schreibt 
man die zweite Gleichung (3) in der Form: 

E^M^MPf^, (3*) 

so erkennt man sogleich, dafs dieses Resultat auch für einen unend- 
lich grofsen Krümmungsradius r^ gilt^ dafs man also in der That bei 
der Ermittlung von E^M von der Krümmung der Meeresfläche ab- 
sehen kann. 

Fig. 18 und die vorstehende Entwicklung lassen erkennen, dafs 
alle Massenteile innerhalb des Rotationskörpers E^ P'E^ ME^ bei der 
Kondensation auf die innere Kugelfläche eine Verminderung der 
zentralen Anziehung geben, alle sonstigen Massenelemente zwischen 
beiden Kugelfliäcfaen aber eine Vermehrung derselben. Wäre aber 
der ganze Raum zwischen beiden Kugelfiächen mit Masse gleichförmig 
erfüllt, so würde die Kondensation die Anziehung nicht verändern; 
mithin müssen sich jene Vermehrung und Verminderung aufheben, 
und es |[iebt also die Kondensation der Masse E^ P'E^ MEy allein einen 
Maximaleffekt. Zur Abkürzung kann man diesen Körper wieder als 
Maximalkörper bezeichnen. 


158 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 


Bei der Ermittelung der Fläche E^P' E^ sehen wir also jetzt von 

der Konvergenz der Radien ab: Fig. 19. 
Mit Rücksicht auf die Bezeichnungen dieser 
Figur haben wir zur Bestimmung der 
Gleichung des Schnittes der Fläche durch 
-^ die Rotationsaxe P'M die Bedingung: 

(im z dm b 



oder 


c 


e 


et* 


e 


(4) 


Durch Reduktion auf y^ folgt hieraus ohne weiteres 

y2 = ^*^l(^* + ^*). (5) 

Bezeichnet man wie in Fig. 19 y für E^ mit a, so ergiebt sich 
aus vorstehender Gleichung 

fl = ^/2, (6) 

übereinstimmend mit (3*). 

Die durch (5) gegebene Begrenzung ersetzen wir aus Bequem- 
lichkeitsgründen durch die nachstehende paraboloidische 

y^ = 2bz: (7) 

Denn für die Begrenzung (5) läfst sich zwar die unkondensierte An- 
ziehung des ganzen Körpers E^P'E^ME^ in Richtung P'M bequem berech- 
nen ; nicht aber die kondensierte. Durch Einführung der im wesent- 
lichen mit (5) zusammenfallenden Begrenzung nach (7) wird auch die 
letztere Rechnung bequem. Um den Unterschied der durch die 
Gleichungen (5) und (7) gegebenen Kurven zu zeigen, ist folgende 
Tabelle berechnet: 



Ordinate y 

Normaler 

g 



Abstand der 


(6) 

(7) 

• 

Kurven. 

b 

by2 

*K2 

• 

126 

1,024* 

1,012* 

0,008* 

,v» 

0,801* 

0,770* 

0,019* 

> 

0,559* 

0,500* 

0,026* 

1 . 

2f* 

0,351* 

0,272* 

0,021 * 

■eV* 

0,258* 

0,177«^ 

0,014* 


§ 12. FortsetzuDg: Berechnung des MaximaleinfluBses. 159 

Bei E^ und P' gehen die Kurven tangential in einander über; 
im übrigen ist der Unterschied in der Form beider Kurven so gering; 
dafs er im Holzschnitt unsichtbar wird. Die Differenz ist um so 
unerheblicher, als für Massen in der nächsten Nähe der Begrenzungs- 
fläche El P'E^ bei der Kondensation die Anziehungskomponente in 
Richtung P^JH sich zufolge der Bedeutung dieser Fläche nicht ändert. 

§ 12. Fortsetzung: Berechnung des Maximaleinflusses. Die 
Anziehung des nach (7) des vorigen Paragraphen begrenzten Korpers 
E^P'E^MEi auf P' in Richtung P'M ergiebt sich aus Gleichung (4) 
§ 3 S. 144 für c = null, a ~ b i/2 nnd p = b. Sie wird gleich 

2nk^&b [l — /3 + lognat(2+^3)[ • (1) 

Nach erfolgter Kondensation der Massen auf die Grundflttche 
E^ME^ ist die Anziehung auf P' gleich 

b dm ^2^ 


*■/ 


wobei dm dem Rotationscharakter entsprechend als ein ringförmiges 
Massenelement mit der Grundfläche 27ty dy und der Masse 

2%ydy, &{b — z) 

zu denken ist. Wird letzteres für dm oben eingesetzt, dabei für z 
sein Wert y'^\2b und für y^ einfacher / geschrieben, so findet sich 
die in Rede stehende Anziehung (2) gleich 


d. i. gleich ,^, 

^ J ^Kft' + f* Vb^ + t * 

Die leicht ausführbare Integration führt zu dem Ausdrucke: 

2ä^20^(2-/3). (3) 

Ziehen wir denselben von (1) ab und setzen für b den Wertar 
oder aA, so erhalten wir als Maximalwert der Abnahpie der An- 
ziehung in radialer Richtung durch Kondensation für einen Punkt 
im Meeresniveau: 

2«^»ö&|lognat(2+/3)- l} d.i. OfiMickWüR. (4) 

Setzen wir nun wie früher die Schwerkraft näherungsweise gleich 
~3rAr'Ö„Ä, so zeigt sich, dafs vorstehender Betrag für = y 0«— 2,8 

und a = 1 : 300 gleich ist 

0,00079.47. (5) 


160 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Dies ist allerdings bedeutend, da die Variation von g im Niveau der 
Meeresfläche überhaupt nur 0,0053^ beträgt. Allein in der Wirk- 
lichkeit tritt dieser theoretische Maximaleffekt nirgends auf, da die 
entsprechenden Massenformen nicht bestehen. 

Selbst wenn wir uns eine Insel von der Form uud Grofse des 
Rotationskörpers E^PE^ME^ Fig. 17 S. 155 denken, so ist dieselbe 
doch in ihrem oberen Teile von Wasser umgeben, im unteren aber 
von Land, da die Oceaue nicht die Tiefe a^ß = 21*^, sondern selbst 
an den tiefsten Stellen nur weniger als die Hälfte davon besitzen. 
Nehmen wir aber an, dafs die betreffende Insel bis zur Tiefe von 21*"* 
von Wasser umgeben wäre, so reduziert sich der Effekt schon im Ver- 
hältnis 2,8 : 1,8 und wird gleich 0,0005 g. Wegen der geringeren 
Maximaltiefe der Oceane vermindert sich dieses weiter, wie eine 
genaue Rechnung zeigt, die wir übergehen dürfen, auf etwa 0,0004 g. 

Dieser maximalen Verminderung der Schwerkraft steht eine maxi- 
male Vermehrung gegenüber, die in der Mitte von einem kleinen 
tiefen See eintreten kann, jedoch in praktisch möglichen Fällen bei 
weitem nicht jenen Betrag erreichen dürfte. Die genauere Auswertung 
für diesen Fall können wir übergehen, da die Kenntnis des gröfseren 
Maximums, im absoluten Sinne genommen, wie wir sogleich sehen 
werden, ausreicht. 

§ 13. Resultat der Untersuchung über die Brauchbarkeit 
der Entwicklung des Potentials W nach negativen Potenzen 
des Radiusvektors. Mit Rücksicht auf die Paragraphen 7 — 12 
können wir nun im Anschlufs an § 6 Folgendes bemerken: 

Da die Gültigkeit jener Reihenentwicklung die Kondensation der 
Massen aufserhalb der Parallelfläche auf diese als eine zweckmäfsige 
Idealisierung der Massen der Erdrinde fordert, da ferner diese Kon-, 
densation die Meeresfläche nur in unerheblichem Mafse verschiebt, so 
würde es als ein Fehler aufzufassen sein, wenn bei den Schwerkräften 
die Kondensation nicht berücksichtigt werden würde. Selbst wenn 
es aber trotzdem nicht geschiebt, so wird man dennoch eine sehr gute 
Annäherung für die Gestalt der mathematischen Erdoberfläche er- 
zielen; denn bei der Interpolation der im Meeresniveau beobachteten 
oder darauf reduzierten Schwerkräfte werden die Kondensationsfehler 
teilweise ausgeglichen. Wie schon im vorigen Kapitel S. 71 bemerkt, 
schmiegen sich die Schwerebeobachtungen nach der üblichen Rech- 
nungsweise ohne Kondensation recht gut einer einfachen Formel an, 
aus welcher man auf die Form eines abgeplatteten Sphäroids für die 
Meeresfläche scfaliefsi Dieses Resultat ist trotz der Vernachlässigung 
der Kondensation zweifellos eine Annäherung, da die vernachlässigten 
Kondensationsefiekte nicht grofs genug sind, um die gröfsten Varia- 
tionen der Schwerkraft im Meeresniveau zu verwischen. 


§14. Einflufs der Kondensation anf Schwerpunktslage n. Trägheitsmomente. 161 

Keinesfalls braucht man zu fürchten, dafs insbesondere die Varia- 
tion der Schwerkraft yom Äquator nach dem Pole um die Summe 
der positiven und negativen Maximalkondensationseffekte fehlerhaft 
wird: sie wird yoraussiclitlieh noch nicht um den Betrag 0,0004^ 
des grofseren der beiden fehlerhaft und damit (nach Clairauts Theorem) 
die Abplattung noch nicht um Vs ihres Wertes irrig. 

Für eine schärfere Berechnung der Gestalt des Geoids wird je- 
doch eine Reduktion der Ergebnisse der Schweremessungen wegen 
der Kondensation erforderlich; bei sehr weit getriebener Annäherung 
würde man sogar auch die Verschiebung der Meeresfläche in Rech- 
nung ziehen müssen. Die Reduktion der Schweremessungen wird 
weiterhin eingehend erörtert werden, während die Verschiebung der 
Meeresfläche als zur Zeit unwichtig nicht besprochen wird. 

Im nächsten Paragraphen untersuchen wir dagegen noch der 
Vollständigkeit halber die allerdings sehr geringfügigen Efiekte der 
Kondensation auf die Schwerpunktslage des Erdkorpers und auf die 
Gröfse seiner Trägheitsmomente. 

§ 14. Einflnrs der Kondensation auf Schwerpunktslage und 
Trägheitsmomente der Erde. Die Massen aufserhalb der Parallel- 
fläche sind in Bezug auf die Gesamtmasse M ein Bruchteil der Ord- 
nung n; die Verschiebung auf die Parallelfläche ändert das statische 
Moment, genommen bezüglich irgend einer Ebene durch die ungeän- 
derte Schwerpunktslage^ um eine Gröfse der Ordnung vfMR, Die 
Schwerpunktsverschiebung ist demnach yon der Ordnung ^^R und 
zwar yoraussichtlich nur ein kleiner Bruchteil davon, d. h. wenige 
Meter, weil die Massen aufserhalb der Parallelfläche eine im grofsen 
und ganzen symmetrische Anordnung der Art haben, dafs die Ände- 
rungen ihrer statischen Momente sich teilweise aufheben. 

In gleicher Weise läfst sich erkennen, dafs die Trägheitsmomente 
Aj B und C nur um Bruchteile der Ordnung n^ sich ändern und dafs 
sie mit gleicher Genauigkeit als Hauptträgheitsmomente aufgefafst 
werden können ; vergl. § 5 S. 59. Diese Genauigkeit entspricht der- 
jenigen der Entwicklungen der Paragraphen 10 und 11 S. 72 u. ff. und 
man kann daher sagen, dafs die daselbst S. 74 und 76 aufgeführten Er- 
gebnisse für Aj B und MK für die Trägheitsmomente der Erde selbst 
gelten. 

Die Genauigkeit erhöht sich aber etwas, wenn wir die Schale, 
welche yon der Meeresfläche und der Parallelfläche begrenzt ist, er- 
füllt denken mit homogener Masse, zu welcher an einzelnen Stellen 
positive oder negative Massen hinzutreten (§ 15). Die homogene Masse 
braucht dann nicht kondensiert zu werden, da der Effekt für W und g 
sehr nahe null ist. Man erzielt aber durch diese Änderung der 
Anschauungsweise eine günstigere Annäherung bei den Trägheits- 
momenten, welche bisher sicher lediglich verkleinert wurden, 

Helm er t, matfaem. u. physikal. Tfaeorieeo der höh. Gnodtttip. II. 1 1 


162 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresnivean. 

da alle Elemente der EondeDsation negativ wirkten , während nun- 
mehr Massen positiver und negativer Dichtigkeit vorkommen und 
demgemäfs sowohl negative als positive Änderungen der Trägheits- 
momente entstehen — aufserdem aber die Menge der kondensierten 
Masse überhaupt wesentlich kleiner ist. Die teilweise Kompensation, 
die hier stattfindet, kommt bei der Frage, ob A^ B und C nach er- 
folgter Kondensation noch als Hauptträgheitsmomente angesehen 
werden dürfen, übrigens schon bei der früheren Anschauung zur Gelt- 
ung, da die Kondensation der homogenen Schale offenbar die Lage 
der Hauptazen nur ganz unerheblich ändern kann. 

Man wird daher die Ergebnisse der Schweremessungen für die 
Tri^heitsmomente auch bei einer etwas weiter getriebenen Annähe- 
rung als derjenigen in den Paragraphen 10 und 11 S. 72 u. ff. auf 
die Erde selbst beziehen können, ohne dafs es einer Reduktion be- 
darf. Sie gelten also für die Erde selbst etwa bis zu derjenigen 
Grenze der Annäherung und Genauigkeit, die den Ergebnissen der 
Schweremessungen aus anderen Gründen, insbesondere wegen konti- 
nentaler und lokaler Anomalieen entspricht. 

§ 15. Die Reduktion der Schwerebeobaclitiingen. Die Mes- 
sungen der Beschleunigung der Schwerkraft gelten unmittelbar für 
einen Punkt der physischen Erdoberfläche und sind daher auf die 
Meeresoberfläche zu reduzieren, so dafs sie alsdann als einer einzigen 
Niveaufläche angehorig betrachtet werden dürfen. Denn wenn auch 
das mittlere Niveau des Meeres keineswegs genau einer Niveaufläche, 
dem Geoid, angehört, so sind doch die durch Ebbe und Flut, herr- 
schende Winde, verschiedene speziflsche Gewichte und andere Ursachen 
erzeugten Niveauunterschiede gering in Bezug auf den vorliegenden 
Zweck, bei dem es auf einige Meter gar nicht ankommt, weil die 
Schweremessungen weder entsprechend genau sind , noch entsprechend 
genau reduziert werden können. (Über bekannte Höhendifferenzen 
des mittleren Meeresniveaus an verschiedenen Stellen der Küste 
Europas vergl. im 7. Kap. § 18.) 

Es genügt nun aber nach dem Vorhergehenden gar nicht, ledig- 
lich aufs Meeresniveau zu reduzieren; vielmehr mufs auch noch eine 
Kondensation der Massen der Erdrinde in dem in Paragraph 6 angege- 
benen Umfange und in der daselbst angegebenen Weise stattfinden. 

Wir werden übrigens die Kondensation insofern etwas abändern, 
als wir nicht die ganze Masse aufserhalb der Parallelfläche in der Tiefe flA 
unter der Meeresfläche kondensieren, sondern eine Schale ausschlielsen, 
welche von diesen beiden Flächen begrenzt und mit Masse von der 

Dichtigkeit 2,8 =s ^ @^ , der mittleren Dichtigkeit des Festlandes, 

gefüllt ist. Der Kondensationseffekt für diese Schale ist verschwindend 
klein; er würde null sein» wenn wir die Meeresfläche als EUipsoid 


§ 16. Übliche Redaktion der Schweremessnngen anf das Meeresnivean. 163 

betrachten dürften und als Kondensationsfläche alsdann anstatt einer 
genauen Parallelfläche ein konfokales Ellipsoid annehmen würden 
(vergl. S. 125 § 31). Obwohl nun die Meeresfläche kein Ellipsoid 
ist^ kann man den Kondensationsefifekt dennoch vernachlässigen, weil 
sie nur in sanften Biegungen von einem solchen abweicht, wie sicher 
genug aus synthetischen Untersuchungen im vierten Kapitel folgen 
wird, und weil für ein homogenes Sphäroid, welches nur in sanften 
Wellen von einem Ellipsoid abweicht, die Entwicklung des Potentials 
nach negativen Potenzen des Radiusvektors praktisch ausreichend als 
bis zur Oberfläche konvergent anzusehen ist (§ 24), sodafs also die 
Masse zwischen Meeres- und Kondensationsfläche überhaupt gar nicht 
kondensiert zu werden braucht, insoweit sie einem von der Meeres- 
fläche begrenzten, homogenen Sphäroid angehört. 

Ein kleiner Fehler in dieser Beziehung hat um so weniger Be- 
deutung, als die Berechnung des Kondensationsefiekts wegen mangel- 
hafter Kenntnis der Massendichtigkeit der Schichten der Erdkruste 
bis zur Tiefe von 21^ sich doch nicht scharf durchführen läfst. 
Übrigens sind die Fehler der letzten Art weniger erheblich, als es 
auf den ersten Blick scheinen mag, da die obersten Schichten der 
Schale von 21^ Stärke den grofsten Effekt geben und für diese 
Schichten die Dichtigkeit mit einiger Annäherung bekannt ist. 

Bisher hat man nur aufs Meeresniveau reduziert und die 
Reduktion wegen Kondensation unterlassen. Abgesehen davon, dafs 
die übliche Reduktion aufs Meeresniveau sich als solche bemängeln 
l&fst, genügt sie allein auch nicht, um die Schweremessungen nach 
der Theorie der Kugelfunktionen in Strenge behandeln zu können. 
Nur erst durch die Reduktion wegen der Kondensation erlangt man 
Angaben für die Beschleunigung der Schwere, aus denen ein Schlufs 
von wünschenswerter Sicherheit auf die Abplattung und auch auf 
kontinentale Abweichungen des Geoids möglich wird. 

§ 16. Die Übliche Reduktion der Schweremessnngen auf 
das Meeresniveau. Sie geht von dem Grundsatz aus, die lokalen 
Massenanziehungen zu beseitigen, insoweit die Massen als unregel- 
mäfsige Anhäufungen erscheinen. Dazu werden alle Massen gerech- 
net, welche sich über das Meeresniveau erheben; Fig. 20. 

r^JTTTy 


Fig. 20. 


^L^k » ^m m^mtm»^^»^^ 


Um die übliche Formel für horizoniaies, ebenes Terrain zu ge- 
winnen, denken wir uns um die Lotlinie P'Q des betreffenden Punktes 

11' 


164 3. Kapitel. Die Schwerkraft im MeereaniTean. 

als Axe eine Gylinderflache mit dem noch unbestimmten Radius a 
gelegt nnd sehen vorlänfig von der Krümmung der Meeresfläche ab. 
Nach § 2 (2) S. 142 ist für den so abgegrenzten Cylinder yon der 
Höhe B und der Dichtigkeit &y wobei c «= null und b «^ N za setzen 
ist, die Vertikalanziehung: 

23rA«e (H+a — ya^ + H^) (1) 

oder in Reihenentwicklung der Quadratwurzel, gültig für H <iai 

2«A»eÄ(i--^ + ...). (i*) 

Um dies in Bruchteilen der Schwerkraft auszudrücken, genügt es, 
fQr letztere den nach S. 98 § 20 (23) und (24) bis auf Bruchteile von 

der Ordnung der Abplattung richtigen Ausdruck---flrAr'9fl|A zu setzen. 

Es folgt dann anstatt (1^): 

l|.l(i-Ä+--)- <2) 

Setzt man e = ^e» und E:B = 10000 entsprechend H= 637«, 

so wird (2) kleiner als \ 13000- Vernachlässigt man nun das Glied 
ff : 2a^ so wird der dadurch begangene Fehler für a > \Offy d. i. 
rund 6^, kleiner als rund \ 250000 ^^ Schwerkraft; er ist also un- 
erheblich, und man erkennt, dals im horizontalen Terrain in der R^el 
die Vertikalanziehung der P' benachbarten Massen über dem Meeres- 
niTeau hiulSngUch genau durch 

dargestellt wird. 

Dieselbe Formel erhalt man aber auch für die Vertikalanziehung 
einer weit ausgedehnten, horizontalen Platte ¥on der Dicke ff. Alle 
Massen aulserhalb der Entfernung a «» 6^ bei // = 637* zwischen 
dem MeeresniTeau und der NiTeaufläche Ton F^ haben daher keinen 
merklichen EinfluTs. Die Formel (3) genügt, wenn solche Massen 
den Raum zwischen den beiden genannten Flächen ganz oder teil- 
weise erfüllen, oder ganz fehlen. Anstatt des letzten Falles kann 
man sich auch denken, dai^ aufserhalb des Umkreises a die Massen 
bis zur Hohe ff über das Niveau Ton P' steigen, weil die Vertikal- 
anziehungen der über und unter dem NiTeau Ton P^ liegenden Massen 
sich aufheben. Ebenso kann man sich denken, dals in diesem Raum 
nur eine teilweise Erfüllung durch Berge bis zur Hohe ff über das 
Nireau tou P^ stattfindet. In allen diesen Fällen gilt (3) mit wesent^ 
lieh deraelben Genauigkeit. 

Allgemein hat man als Beziehung tou ff vaa, damit Formel (3) 


§ 16. Übliche Reduktion der SchweremessungeD auf das Meeresniveau. 165 

die Reduktion auf weniger als V25oooo ^^^ ^ genau angiebt^ bei An- 
wendung von Metermafs: 

jy.£<68«*. (4) 

Ist für die faktische Ausdehnung a der Ebenheit die Meereshöhe H 
weit kleiner als es nach Formel (4) sein konnte^ so dürfen bei gleicher 
Genauigkeit als bisher vorausgesetzt die Erhebungen und Senkungen 
am Rande der Ebene Werte h gegen das Niveau von P^ annehmen, 
welche grofser als H sind, wenn sie nur der Ungleichung 

Ä . -^ < 68"», (4*) 

welche A : a als ächten Bruch voraussetzt, genügen. 

Ist ferner a nach verschiedenen Richtungen hin verschieden, so 
kann man aus (4*) für jede Richtung ein besonderes grofstes zulässiges 
h entnehmen. Denn die Ausgangsformel (1) für den Kreiscylinder 
gilt nicht blos für einen vollständigen üylinder, sondern auch für 
jeden Sektor zwischen zwei beliebigen von P' ausgehenden Vertikal- 
ebenen, wobei nur statt 2n der Arcus des Horizontalwinkels zwischen 
letzteren zu setzen ist. Für den einzelnen Sektor hat also die Ver- 
nachlässigung in der Vertikalanziehung nach (1'*') die Form 

und wenn k^ : a die Ungleichung (4*) erfüllt, ist sie kleiner als 

tfc^e . 34 , 

für alle Sektoren zusammen somit kleiner als 

d. i. in Bruchteilen von ff wieder V250000 * 

In der Fig. 20 ist beiderseits das dem betreffenden a entsprechende 
f^noM angedeutet. 

Was die Krümmung der Meeresfläche anlangt, so kommt diese 
gar nicht in betracht, da es sich eben nur um Nachbarmasseu handelt; 
vergl. die Bemerkung zu (4) S. 145. Für sehr grofse Entfernungen 
würde sie zwar Einflufs erlangen. Indessen ist der Einflufs der An- 
ziehung entfernter Massen, da er bei horizontaler Verschiebung von P' 
sich nur langsam ändert, kein lokaler mehr und also nicht zu be- 
achten. (In § 19 dieses Kapitels wird sich bei Besprechung der Kon- 
densation die Zulässigkeit und Notwendigkeit der Vernachlässigung 
entfernter Massen noch von einem anderen Gesichtspunkte aus zeigen.) 

Um nun die Schwerebeobachtung in P' auf im Meeresniveau 
zu reduzieren, ist von dem beobachteten Werte g die durch (3) an- 
gegebene Anziehung abzuziehen. Aufserdem ist noch die Änderung 


166 3« Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresmyeau. 

der Höhenlage zu berücksichtigen. § 20 des vorigen Kapitels S. 94 
giebt hierzu die Änderung von g für differentiale Höhenftnderungen. 
Da H im Verhältnis zum mittleren Erdradius R stets sehr klein ist, 
genügt die Differentialformel und wir erhalten nach der Formel (22) 
des genannten Paragraphen auf S. 98 bis auf Bruchteile von V2V0 
im Maximum als Zunahme von g von P' bis Q in freier Luft 

¥^- (5) 

Da der Quotient 2H\ R immer klein ist; in praktischen Fallen 
meistens weit kleiner als Viooo; welcher Betrag erst für /r = 3185* 
erreicht wird^ so haben die Vernachlässigungen im Betrage bis zu 
72 Vo k^i^G Bedeutung; wenn man bedenkt; dafs bei betrachtlichen 
Werten H zugleich der von (3) herrührende Teil der Reduktion von g 
wegen der Schwierigkeit einer genauen Ermittelung der Dichte % 
jedenfalls sehr unsicher wird. Bei /r = 3185"' giebt ein Fehler von 
nur 17o i^ ^ ^^^ Glied (3) schon um rund V250000 ^^^ ^ falsch. 

Ist g die Beschleunigung der Schwerkraft in P\ so wird sie nach 
dem Vorstehenden in Q mit Beseitigung der Lokalanziehung in hin- 
reichender Annäherung gleich 

(■+¥['-lfJ)^- («) 

Speziell für die Annahme = --- 0^ = 2,8 folgt hieraus in glei- 
eher Annäherung 

Hierzu sind als Bedingungen der Gültigkeit (4) und (4*) zu beachten, 

wobei aulserdem H bezw. h <, a sein mufii. 

Die Formel (6) nennt man die Regel von Young^ auch Formel 

von Poisson für ebenes Terrain, Wir werden sie aber nach Bouguer 

bezeichnen, der zuerst derartige Beziehungen untersuchte. 

Toung teilt dieselbe ohne Begründung in Form einer Regel in den 
Philosophicäl Tranaactums für 1819 8. 93 mit Poisaon giebt die Formel 
noch nicht in der ersten Auflage seiner IVat^e' de mecanigue von 1811, 
sondern erst 1833, in der zweiten Auflage Bd. 1 8. 495. LapUtce geht in 
der Mee. cel, t. II. 1. III, wo von den Schweremessungen die Bede ist, auf die 
Beduktion überhaupt nicht ein. Erst 1825 in t. V. I. XI p. 65 — ^56 leitet er, 
von der Anziehung des Cylinders ausgehend, die Formel (6) ab. Aber 
schon 1749 hat (nach TodhutUer, History ofAttraction I p. 248) Bouguer 
in seiner Schrift La Figure de la Terre den Einflufs einer Erhebung dea 
Beobachtungsortes auf einen Berg untersucht. Er setzt die Schwerkraft 
in der Meereshöhe A, wenn S die Dichtigkeit der Bergmasse ist (und 
überhaupt unsere Bezeichnungen gelten), proportional dem Ausdrucke 

(B-2A)©^ + |-Ä©, 

was völlig mit Youngs Begel übereinstimmi 


§ 17. Fortsetzang: Unebenes Terrain. ]g7 

Den genauen Einflafs der Berge Yon verschiedener Form untersachte 
etwas später d'Alembert (nach Todffhunter I p. 382) in yöUig befriedigender 
Weise. 

§ 17. Fortsetzung: Unebenes Terrain. £Ke im Torigen Para- 
graphen vorausgesetzte Ebenheit wird in der Natur keinesfalls voll- 
ständig erfüllt sein. Bedenkt man nun, dafs nach Formel (3) des 
vorigen Paragraphen eine ebene^ horizontale Platte von 32*^ Starke 

und von der Dichtigkeit ~ 0» "» 2, 8 auf P' eine Yertikalan- 

Ziehung von rund V250000 ^^° ff ausübt; so wird man erkennen, dafs 
in einem im allgemeinen horizontalen und ebenen Terrain Uneben- 
heiten von ziemlichem Betrage vorkommen dürfen. Will man auf 
Vi 000000 genau reduzieren , so dürfen die Unebenheiten in allernächster 
Nähe von P' allerdings nur etwa 8 Meter betragen; mit wachsender 
Eotfemungy etwa von 100 "> ab, dürfen sie aber um so eher beträcht- 
lich anwachsen, als für entferntere Unebenheiten eine teilweise Kom- 
pensation der Einflüsse stattfinden wird. 

Zu den Unebenheiten in allernächster Nähe ist auch ein Abstand 
des Punktes P' vom Terrain im Betrage einiger Meter zu rechnen^ 
welcher also nach dem Vorigen von unerheblichem Einflüsse sein wird. 

Die Anwendung der Formel (6) des vorigen Paragraphen ist 
übrigens nicht lediglich auf horizontales Terrain beschränkt. Um 

ihre allgemeinere Gül- 

tigkeit zu erkennen, ^» 1. J i, g» 

denken wir uns P' als — l4— .»sfe^-v-t-f 

Spitze eines geraden 
Kreiskegels von der 
Hohe A| und dem Ra- 
dius a der Grundfläche ; 
unter dem Kegel sei das Terrain bis zur Tiefe Ä2 cylindrisch abge- 
grenzt, und die Basis des Ganzen bilde eine über dem Meeresniveau 
lagernde, ebene Platte von grofser Ausdehnung; Fig. 21. 

Dann haben wir als Vertikalanziehung des Kegels nach S. 142 
§ 2 (4) mit Rücksicht auf die jetzigen Bezeichnungen: 

2nk^@h^ (1 — sinv) . 

Dagegen würde nach Formel (1*) des vorigen Paragraphen für einen 
Cylinder gleicher Basis und Höhe in hinreichender Annäherung folgen, 
falls Ä, kleiner als a ist, was bei mäfsig grofeen Werten von sinv 
zutrifft: 

woraus man erkennt, dafs die Differenz von Cylinder und Kegel, 
d. h. der in der Fig. 21 mit ^ bezeichnete Raum, wenn er mit Masse 


TTTTTTTTTTTTTTZ' 


Metros - (l FUuhx^ 

Flg. Sl. 


16g 3. KapiteL Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

erfüllt wäre, näherungsweise eine Vertikalanziehung ausüben würde 
gleich 

27tk'^Sh^ (sinv — ^ , 

d. i. in gleicher Annäherung 

2«k^eh,.^. (1) 


Würde sich unter P' anstatt des Kegels und Cylinders nur ein 
Gylinder von der Hohe h^ und von gleicher Basis mit jenen befinden, 
so wäre die entsprechende Vertikalanziehung angenähert gleich 


2«A:'®A,(l-^); 


folglich giebt der an einer weit ausgedehnten, horizontalen Platte 
gleicher Stärke fehlende Raum By mit Masse erfüllt gedacht, die 
Anziehung 

2«F0Ä2.|^. (2) 

Die gesamte Vertikalanziehung auf P' besteht aber aus der einer weit 
ausgedehnten, horizontalen Platte yon der Dicke H weniger den An- 
ziehungen der in A und B fehlenden Massen. Sie ist also mit Rück- 
sicht auf (1) und (2) näherungsweise gleich 

2nk^@{H-'^'-), (3) 

oder nach Einführung von g in gleicher Annäherung: 


3_ e 

2 ^m 


lf-^4ä^l^- w 


Damit man nun dafür einfach Ausdruck (3) des vorigen Para- 
graphen substituieren darf, mufs mit Beibehaltung der bisherigen 
Genauigkeitsgrenze 

3 © V + V ^ 1 


2 « 2alJ ^ 250000 


f« 


sein, d. i. für S ^=^-^Sm und für Metermafs: 


*.* + V <; es» , (5) 


a 


wobei — und — überdies als ächte Brüche vorausgesetzt sind. 

Dies ist die Bedingung (4*) des vorigen Paragraphen in erweiterter 
Form. Wie dort kann man die zugehörige Figur dadurch verallge* 
meinem, dafs man an Stelle der leeren Räume A und B gewisse mit 
Masse erfüllte Räume setzt, nämlich A und Af bezw. B und^', Fig. 21, 
deren Anziehungen sich aufheben. Diese Räume dürfen auch durch 
Berge nur teilweise mit Masse erfüllt sein. Ferner sieht man ein, 


§18. Fortsetzung : Beliebiges Terrain. 


169 


dafs wie im Falle des vorigen Paragraphen a, h^ und h^ nach ver* 
schiedenen Richtungen hin yerschieden sein dürfen, wenn nur Formel 
(ö) erfüllt ist. Fig. 22 deutet dies karrikiert an. 

Es sei dazu bemerkt: erstens^ dafs h^ auch > H sein darf^ ohne 
dafs vorstehende Betrachtungen ihre Gültigkeit verlieren ; zweitens. 



Meeres- Q TTSS^ 
Fig. n. 


h==z=z 


dafs in der Terrainform in der Nähe von P' Unregelmalsigkeiten bis 
zur Hohe oder Tiefe von etwa 8*" in Bezug auf seinen Horizont vor- 
kommen können, wie aus dem Eingang dieses Paragraphen hervorgeht. 

§ 18. Fortsetzung: Beliebiges Terrain. Um bei beliebig ge- 
formter Terrainfiache und beliebiger Dichtigkeit B genau von P' auf 
Q zu reduzieren, wird man am besten die Korrektion berechnen^ welche 
an der Reduktionsformel für ebenes, horizontales Terrain anzubringen 
ist. Wir reduzieren also zunächst nach Formel (6) § 16 S. 166 und 
setzen somit vorerst die Beschleunigung der Schwerkraft in Q gleich 


(it-'^L'-i^:])'. 


(1) 


worin bedeuten: g die Beschleunigung in P\ H dessen Meereshöhe 
und Sq irgend eine angenommene Dichtigkeit, wofQr wir hier die 
durchschnittliche Dichtigkeit der Massen bei P* im Umkreise bis 25*^ 
wählen wollen. Diese Formel berücksichtigt in Strenge die Anziehung 
einer weit ausgedehnten, horizontalen Platte unter P. 

Wir denken unk nun in einen 
Plan der Umgebuug von P' Kreise 
mit wachsenden Radien, etwa gleieh 
25, 100, 200, 400, 600, 800, 1000, 
1500, 2000"», . . . eingetragen; ferner 
Radien, welche den Umkreis in 8, 10. 
20 und eventuell noch mehr gleiche 
Teile teilen; vergl. die Darstellung 
fQr einen Quadranten, Fig. 23. Mit 
Hülfe im Plane gegebener Höhen- 
quoten oder Horizontalkurven läfst 
sich dann für jede von zwei beuach- 
harten Kreisen und Radien begrenzte 
Abteilung die mittlere Höhe der Ter- 
rainflache berechnen; vergl. hierzu Kap. 4 § 40. Innerhalb einer solchen 
Abteilung müssen wir letztere als in mittlerer Höhe horizontal begrenzt 
ansehen können: in jedem praktischen Falle wird sich leicht erkennen 



Fig. 23. 


170 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

lassen, ob die Abteiiangen zu diesem Behufe klein genug sind. Man 
wird dabei von den weiterhin folgenden Formeln für die Vertikalan- 
ziehung einer Abteilung auszugehen und zu beurteilen haben, welchen 
Einflufs eine Änderung der mittleren Höhe hat. Auch ist zu Qber- 
legeUy ob eine Fehleranhäufung im ganzen möglich ist. Yergl. auch 
den Beginn von § 17 S. 167. 

Nehmen wir an, dafs die Dichtig- 
^, keit & innerhalb einer Abteilung 



^ jt"r^^ \ radius, n die Anzahl der Teile des 

2€eeres~ Fl&^he^ Ä Umkreises, so ist diejenige Vertikal- 

^* anziehung, welche die betreffende 

Abteilung ausüben würde, wenn sie von der Niveauflache von P' bis 

zum Meeresniveau mit Masse erfüllt wäre, nach 8. 142 § 2 (2) gleich 

oder gleich 

^-K'B (ö.+i - fl(, + A' + P - /a,+i-^ + i5p) . (2) 

Um die wirkliche Anziehung zu erhalten, ist hiervon, wenn das 
Terrain unterhalb der Niveaufläche von P' liegt, die Anziehung der 
über dem Terrain bis zum Niveau von P' fehlenden Masse abzu- 
rechnen, d. i.: 

-^ k^Q (ö.+i - a, + Va^ + K^ - /a,+i« + Ä^) . (3) 

Dieselbe Anziehung ist aber auch abzurechneu, wenn sich das Terrain 
innerhalb der Abteilung um h über das Niveau von P' erhebt; Fig. 24. 
Die durch (2) gegebene Anziehung ist in (1) unter Voraussetzung 
^^ SB @ bereits enthalten. Wegen der Differenz beider Dichtigkeiten 
ist daher aufser (3) an (1) eine Korrektion im Betrage von 

^ ^2 (©^ _ ©) (ai^^ - Ä, + y^^TT^ - yai^i^ + H'^) (4) 

erforderlich. Bezeichnen wir zur Abkürzung 

& — Öq mit jd& , üi^i — üi mit ^a, (5) 

und führen wir in (3) und (4) wieder^ ein, so ergiebt sich als Ver- 
besserung von (1): 

Erstens wegen der Höhenlage des Terrains für die einzelne Abteilung: 

+ -|r|-(^'' + J/^-hT' - K'«7riM^)i-, (6) 


§ 18. Fortsetzong: Beliebiges Terrain. 171 

und zweitens wegen der Dichtigkeit der Abteilung: 


2« ^m 


Für nicht unmittelbar zu P^ benachbarte Abteilungen werden meist 
h : a und ff: a bo klein sein, dafs die ersten Glieder der Reihenent- 
wicklung für die in (6) und (7) auftretenden Quadratwurzeln aus- 
reichen. Dann folgen aus (6) und (7) bezw. die Näherungsformeln: 

und 

L^J^/J 

4fi e^ B \a. 




Diese Formeln genügen, wie die Reihenentwicklung zeigt, für 
Oi > 5 h bezw. 5 ff. 

Nach diesen Formeln ist die Reduktion im Sinne einer Berichti- 
gung von (1) nicht unbequem, besonders wenn diejenigen Radien, 
deren Reziproken in betracht kommen, so gewählt werden, dafs die 
Parenthese in (6*) und (7*) konstant ist. Letztere Annahme eignet 
sich allerdings nicht für die nähere Umgebung, weil dann a zu rasch 
anwachsen würde. Für (7) und (7^) braucht die. Rechnung offenbar 
nicht für jede Abteilung einzeln ausgeführt zu werden, vielmehr kann 
man alle Abteilungen eines Ringes vereinigen , wenn unter ^0 : n 
der Unterschied der Dichtigkeit gegen 0q im Mittel für einen Ring ver- 
standen wird. 

Wie die Formeln abzuändern sind, wenn S sieh mit der Tiefe 
ändert, bedarf keiner Erörterung. 

Anstatt der im Vorhergehenden erörterten strengen Reduktion 
wird man in einzelnen Fällen sich mit Annäherungen begnügen 
können. Befindet sich z. B. P' auf der Höhe eines Berges, so wird 
man oftmals der Wirklichkeit ziemlich nahe kommen, wenn man für 
den Berg die Anziehung eines geraden Ereiskegels oder Rotations- 
paraboloids in Rechnung zieht und für das Terrain, auf welches sich 
der Berg aufsetzt, die Anziehung einer weit ausgedehnten, horizontalen 
Platte annimmt. Reduziert man zuerst wie für horizontales Terrain 
nach S. 166 § 16 (6), so hat man nachträglich die zuviel abgezogene An- 
ziehung wieder beizufügen, nämlich für einen i^egel von der Höhe h 
und dem Radius a der Basis nach 8. 143 § 2 (4): 

+ S S h h y-QV 

und für ein Paraboloid gleicher Höhe und Basis nach 8. 144 § 3 (4), 
darin b = h^ c «» null und 2pb «> a^ gesetzt: 


172 3. Kapitel. Die Schwerkraft im MeereBoiveau. 

Da k fast immer so klein sein wird, dafs der Einflufs 7on K^ : ä^ zu 
vernachlässigen ist^ erhält man in meist ausreichender Annäherung 
als Verbesserung des bereits für horizontales Terrain korrigierten g 
im Falle (Fig. 25) 



Fig. 85. 

des Kegels: +-^1|^A^ (8*) 

des Paraboloids : -\ — ^ -r -?r -^ — 9 (9*) 

und, wie wir zur Yergleichung nach S. 164 (2) hinzufügen: 

des Cylinders : + -^ 1 1^- i. -_ ^ . (10) 

Die strenge Reduktion wegen der Anziehung des Terrains fuhrt 
G, A. F. Peters 1855 im 40. Bde. der Astronom. Nadh/r, No. d89 S. 45 u.ff. 
for die Beobachtung in Güldenstein mittelst einer Zerlegung des Grand- 
risses in Quadrate aus. Die Formel, welcher man bei dieser Zerlegung 
bedarf, ist jedoch sehr kompliziert: sie enthält nicht nur zwölf Terschiedene 
Quadratwurzelausdrücke, sondern auch vier Logarithmen und vier Arcus- 
tangens. 

§ 19. Die Reduktion der Schwerebeobachtungen wegen der 
Kondensation« Wie schon bemerkt wurde, genügt die übliche Re- 
duktion aufs Meeresuiveau nicht: sie bildet nur einen Teil der auszu- 
führenden Reduktionen. Für sich allein betrachtet erscheint jene Re- 
duktion einerseits nicht konsequent, insofern sie nur Massenunregel- 
mäfsigkeiten Ober dem Meeresniveau berücksichtigt, dagegen diejenigen 
unterhalb desselben, also insbesondere bei Inseln die Existenz der um- 
gebenden Wassermassen, ignoriert; sie erscheint andererseits in ihrer 
Berechtigung fraglich, weil die Massenunregelmäfsigkeiten vielfach 
gar keinen lokalen Charakter haben, wie insbesondere die allgemeine 
Erhebung der Kontinente übers Meeresniveau.*) Unsere Reduktions- 


*) Stokes giebt in seiner mehrfach erwähnten Abhandlung On the Variation 
of Gravity zunächst an, dafs man aufe Meeresniveau nur nach der Formel 

gll -\--jf -) reduzieren müsse. Hierzu gelangt er durch die Annnahme, dafs 

man sich die über das Meeresniveau hervortretenden Massen ohne wesentliche 
Änderung der Form der Meeresfläche auf dieselbe kondensiert denken könne. 
Haben diese Massen aber in der Umgebung des betreffenden Punktes die Form 
einer horizontalen Platte, so ist die Vertikalanziehung vor der Kondensation auf 
jenen Punkt P^ annähernd dieselbe, wie nachher auf den dicht über dem Meeres- 
niveau liegenden Punkt Q vertikal unter P', — Weiterhin bemerkt nun Stokes, 


§ 19. Die Reduktion der Schwerebeobachtangen wegen der Kondensation. 173 

weise hat nun, ganz abgesehen von ihrer früher anderweit begründeten 
Notwendigkeit, den Vorteil, diese Mängel zu beseitigen, dabei aber 
doch die Wirkung wirklich lokaler Massenunregelmäfsigkeiten abzu- 
schwächen, indem dieselben um rund 21^ nach dem Erdinnern zu 
verschoben werden. 

Bei der Berechnung des Kondensaiionse/fekts kann man, was nun- 
mehr zunächst wichtig zu bemerken ist, von der Krümmung der Meeres- 
fläche absehen. Um dieses nachzuweisen, betrachten wir letztere als 
Eugelfläche, indem dies sicherlich einen hohen Grad von Annäherung 
für den vorliegenden Zweck giebt. Auch denken wir uns dabei der 
Einfachheit halber die Massenunregelmttfsigkeiten auf diese Eugel- 
fläche kondensiert und nehmen zunächst die Massendichtigkeit an 
allen Stellen einer den Punkt P' zentrisch umgebenden Scheibe der 
Eugelfläche konstant, etwa gleich Shy an. 

Ist nun r der Radius der Eugelfläche, r der Abstand des Punktes P" 
vom Zentrum C derselben, ^ der Zentriwinkel am Rande der Scheibe 
in Bezug auf die Linie P*Cj so ist mit Rücksicht auf Fig. 13 S. 144 
nach Formel (3) S. 145, wenn Sh für ®dr geschrieben wird, die 
Anziehung der Scheibe auf P' gleich 

2nk^ eh ^, (l + --JL ^-l''^-^ \ . 
♦•'V Vr* + r^ - 2rr cosW J 

Vor der Kondensation können wir für unsern Zweck r ^^ r setzen 
und erhalten als Anziehung: 


2nk'^ &h 


(l+si«T)- (1) 


Nach derselben setzen wir in der Parenthese r >>^ r — ür. Der Fak- 
tor vor der Parenthese ist nach der Kondensation derselbe wie vor- 
her. Es folgt als Anziehung: 

( 2Bin«-^— a 1 

2jtk^&h h+- . ^^^ .1. (2) 

( ^4»+4(l - a)8in»-y j 

Der Effekt der Eondensation ergiebt sich durch Subtraktion von (1) 

dafs allerdings die lokalen Anomalieen von g auf diese Weise erhalten blieben 
acd dafs es daher doch besser sei, (wohl insofern g nur in einigen Punkten ge- 
geben ist) nach YoungB Regel zu reduzieren. Dafs er aber die Reduktion nach 

gl\-\ — n— ) tüf die allein richtige halten würde, wenn g überall gegeben 

wäre, geht daraus hervor, dafs er den Einflufs der Reduktionsgröfsen nach Young 
aufs Endresultat für diesen Fall schätzt (nach Formel (10) § 34 dieses Kapitels, 
wobei in dieser Formel für g die Yown^ sehe Reduktion zu setzen ist, so dafs 
•die rechte Seite dieser Gleichung dann den Fehler in Gb^ anzeigt). Nach seiner 
Rechnung ist der Fehler in b, nur — 0,0000012, also verschwindend. 


174 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresnivean. 


und (2\ wenn wir zugleich für^ den N&herungsansdruck -^ Jtk^S^R 
einführen, näherungsweise gleich einer Verminderung der Anziehung um 


2 0„,B 


/ 


a»+4(l— a)Bin« 


2 


+ 81" -, 


w 


2an 


1— - 


/ 


«H-*(l— «)8in» 


V 


jl 


ff.iS) 


Dagegen erhält man ans der Formel (2) des § 1 S. 141 unter An- 
nahme einer ebenen Scheibe als Verminderung der Anziehung infolge 
der Kondensation, z «= flr und a = Wr gesetzt: 


2nk^eh 


ü » 


(4) 


oder näherungsweise unter EinfShrung von ff wie oben: 

Es sind nunmehr die Ausdrücke (3) und (5) zu vergleichen. Für 
W = null giebt in beiden Fallen die geschlungene Parenthese den 
Wert 1 ; bei wachsendem V nimmt die Parenthese in (3) sicher 

zunächst rascher zu als in (5), da 2 sin— < 9^ und mithin schon der 

erste Teil der Parenthese (3) grofser als die Parenthese (5) ist^ der 

zweite Teil jener aber positiv bleibt, solange 4 sin' -5- < a, d. h. 

näherungsweise W<, 7,7 genommen wird. Durch Probieren findet 
man, dafs beiläufig für ^=11 bis 2a der Überschufs von (3) über 
(5) ein Maximum wird im Betrage von rund 

s 9 h g 


+ 


2 9 B 900 


Um für grofsere Werte von ^ als solche von der Ordnung ü 
bequemer den Verlauf des Unterschiedes von (3) und (5) zu erkennen, 
wenden wir für die in (3) auftretende Quadratwurzel die Reihenent- 
wicklung nach dem binomischen Satze an, indem wir vorerst schreiben 

1 1 


^««+4(1 -«)8m«-^ 2»m^j/l-ü + 


«« 


4 sin* 


y 


An Stelle von (2) tritt dann der Ausdruck 


2xk^®h 


1— ÖBin«-^ 


1 + sm-^ mi^+T^-T^ — r~ir~)+--- 


2 


2 Bin 


(2*) 


und an Stelle von (3): 


B 9 h 

2 »r«^ 


flC08«-rr- 


_|.(l + |«_|a' 


Sin' 


1— 6Bin«-^ 


2 Bin— - 
2 


Bin' 


_y 
2 


)+ ...U. (3») 


$ 19. Die Reduktion der Schwerebeobachtungen wegen der Kondensation. 175 

Diese Entwicklung gilt für = Ä < 1 , oder abgerandet für 

4 8in« — 

Geht man nur bis ^ >» 1 ^ so kann man in (3*) für sin und cos 
mit Vorteil die Anfönge der Reihenentwicklung einführen und erhält 
in ausreichender AnnSherung: 

T|;rli(i-ili+l-^»") + -U. m 

wahrend (5) bei entsprechender Entwicklung übergeht in: 

Die Differenz der geschlungenen Parenthesen von (6) und (7) ist gleich 

t|--Ä-«^' (8) 

woraus man erkennt, dafs mit wachsendem V der Unterschied von 
(6) und (7), und somit auch derjenige von (3) und (5), abnimmt, bis 
er bei W <» rund V'o verschwindet und weiterhin negativ wird. 

Das Anwachsen des Unterschieds im Negativen findet nahezu 
ohne Aufhören statt bis zum Grenzwert 9^ »s ^. Zunächst bis !P' >» 1 
zeigt dies die Difierenz (8). Für grofsere Werte von ^F kann man 

aber die geschlungene Parenthese in (3*) auf ü cos^ — : 2 sin — , die- 
jenige in (5) auf a : ^ abkürzen und bemerkt nun leicht mittelst des 
ersten Differeutialquotienten von 

cos* 

_ _ 2 1_ 

o • ^ "^ 

2«in — 

dafs dieser Unterschied im Negativen wächst bis W = rund ~ jt und 
von da wieder etwas, jedoch nur wenig, abnimmt. Es wird für 
V SB -r- X bis X der Überschuls von (3) über (5) rund 


6 


2 ©«.^ 900 


m 


Nach dem Vorstehenden ist zwischen der sphärischen und ebenen 
Berechnung des Kondensationseffektes einer homogenen Scheibe ein 
Unterschied, der mit wachsendem Radius der Scheibe erst wächst 
bis zu einem positiven Maximum^ dann im wesentlichen abnimmt bis 
zu einem negativen Maximum. Der grofste Unterschied entspricht 
also einer ringförmigen homogenen Scheibe, deren innerer und äufserer 


176 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 

Radius etwa deu Zentriwinkeln ^ = a und tc zukommen. Denkt 
man sich innerhalb des ersteren Radius die Dichtigkeit und also das 
Produkt Sh bei gleichem absoluten Werte von entgegengesetztem 
Vorzeichen wie aufserhalb, so addifren sich die Berechnungsunter- 
schiede zu 

A ^ fe 9 
2 "(9„ B 300 

Setzen wir Bh i S^R^= ^/^^^ was innerhalb des Zentriwinkels 
^ s=s bei ^ = 2,8 einem Gebirge von 4^" Hohe, aufserhalb bei 
S =, 1,8, als Differenz von 2,8 und 1, einem 6*^ tiefen Ocean ent- 
spricht, so ist dieser maximale Berechnnngsfehler Veooooo ^^^ ff- ^be^ 
es dürfte ein solcher Betrag in praktischen Fallen nie eintreten. 

Bei vorstehender Untersuchung wurde nun allerdings alle Masse 
in einer Niveauflache mit dem angezogenen Punkt vorausgesetzt. 
Man erkennt aber ohne Schwierigkeit, dafs die Berücksichtigung der 
speziellen Terrainform zu keinem wesentlich anderen Maximalfehler 
fahren kann, indem die Kondensation aufs Niveau des angezogenen 
Punktes zwischen ebener und sphärischer Rechnung Unterschiede der- 
selben Art giebt, wie sie oben betrachtet wurden. Nur sind sie nume- 
risch geringfügiger und selbst fürs Himalaja-Gebirge nicht erheblich. 

§ 20. Fortsetzung: Die Ausführung der Reduktion fBr die 
Kondensation beginnt mit der Vervollständigung der üblichen Re- 
duktion auf das Meeresniveau wegen der dabei vernachlässigten Un- 
gleichmafsigkeiten in der Dichtigkeit der Massen unterhalb desselben. 
Es konmien wieder die Formeln des § 18 S. 169 u. ff. zur An- 
wendung: 

Im Grundrifs denken wir uns eine Zerlegung nach konzentrischen 
Kreisen, wie Fig. 23 S. 169 sie andeutet; im Ringe n.- bis 0,-^1 sei 

• zwischen zwei benachbarten 
f ! 'Z/l71^7^777 Radien der ä. Teil der Peri- 

J^eT^es\ Fld/ht*^ ^/^ ^ pherie enthalten. Ist nun in 
mi- — ^_^ ^ '^':^ _^ ^^0!r \a eitler solchen Abteilung von 

~ ^ ZJ^^i^''7/^^ I der Meeresfläche bis zur Tiefe' 

V7777/^'' ' J- «I ^1 / die Dichtigkeit gleich S an- 

K 1 ^^y ^! g^^ 2^g ^ ^^^ j^ Dichtig. 

' 7-H «Ä keit der nach S. 162 § 15 

\ \ nicht za berücksichtigenden 

; ; homogenen Schale zwischen 

^ ' ^ ! Meeres- nnd Kondensations- 

aiirMfnrwftutuffagft g; j^.,^_ flfiche, so wird die Verbease- 

ning des wie üblieh, insbeson- 
dere nach § 18 reduzierten ff wegen dieser Abteilung mit BüelcBicht 
anf Formel (7) & 171 gleich 


§ 20. Fortsetzung: Die Ausführang der Reduktion ftir die Kondensation. 177 


1 S J9 


worin 0m = ^ß die mittlere Dichtigkeit der Erde ist, R deren mitt- 
leren Radius bezeichnet und ^^@ durch die nachfolgende Gleichung 
definiert wird: 

J® = & — 2,8. (2) 

Für Werte von «^ > 5 (/T + genügt anstatt (1) die Näherungs- 
formel, vergl. (7*) S. 171: 

8 J9 (H-f-Q« — fl* 


4M 0^ R 


m 


i^-^-t^y <"' 


Die Formel (1) bezw. (1*) ist mit s= 1 unmittelbar für alle 
Abteilungen eines Meeresbeckens anwendbar, das sich in der Umgebung 
des Beobachtungsortes P' befindet, vergl. Fig. 26. Wie sie anzuwenden 
ist, wenn die Dichtigkeit* einer Abteilung bis zur Tiefe t = üR = 
rund 21*™ Änderungen erleidet, bedarf keiner Ausführung. Wohl aber 
ist noch darauf hinzuweisen, dafs in (2) anstatt 2,8 auch irgend eine 
andere normale Dichtigkeit &q eingeführt werden darf, was von Vor- 
teil wird, wenn dies för viele Abteilungen die Reduktion zu null 
macht — überhaupt also die Rechnung erleichtert — nur mufs man 
sich dessen erinnern, wenn später die Anziehung der kondensierten 
Massen auf Q ermittelt wird. 

Nachdem in der angegebenen Weise der erste Teil der Reduktion 
ausgeführt worden ist, kommt als zweiter Teil an die Reihe die Be- 
rechnung der Anziehung der kondensierten Massen auf Q. Diese An- 
ziehung ist dem bisher reduzierten Werte der Beschleunigung g hin- 
zuzufügen. Ihre Berechnung vereinfacht sich dadurch, dafs jetzt alle 
Massen in einer Ebene im Abstände üR «» rund 21*^* von Q liegend 
gedacht werden. 

Im Oruiidrifs nehmen wir die Zerlegung wie früher. Als Dichtig- 
keit in einer Abteilung ist, insoweit die Massen über dem Meeresniveau 
in betracht kommen, das Produkt & . h aus deren konstant gedachter 
Dichtigkeit und der Meereshöhe des Terrains einzuführen, wozu noch 
das Produkt ^:/0 . / hinzutritt, wenn unter dem Meeresniveau die Dichtig- 
keit bis zur Tiefe t von der normalen Dichtigkeit 2,8 bezw. @q um 
^S sx^ — 2,8 bezw. & — ®q abweicht. Wie der Ausdruck für die 
Dichtigkeit bei mehrfacher Schichtung zu bilden. ist, geht hieraus 
deutlich genug hervor. Bleiben wir also bei dem einfachen Ausdruck 
S . h -^^ ^0 , i stehen, so wird die vertikale Komponente der An* 
Ziehung der betreffenden Abteilung mit Rücksicht auf Formel (2) § 1 
S. 141, in welcher für 0dz jetzt & . h -]- ^0 , l zu substituieren ist, 
wenn wir auch sofort g mit Hilfe des mehrfach benutzten Näherungs^ 
ausdruckes einführen, gleich 

Helmert, maUiem. xl phyiikal. Tfaeorieen der höh. Geodäsie. II. 12 


178 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveatt. 

, 3tt 9.h+ J9. t / J 1 \ ' ,ox 

Diese Formel kann für ö; > 150*^ ohne merklichen Fehler auf 

. du 9,h + J9.t / 1 1 \ /Q*^ 

abgekürzt werden. In diesen Formeln kann man genau genug 

a = ^ und fl2^2 = 450 Quadr.-Kilom. 
setzen. 

In Bezug auf die maximale Distanz Oi , bis zu welcher man vor- 
stehende Formeln anzuwenden hat^ wird man leicht bemerken, dals 
erheblich weiter zu gehen ist, als bei der üblichen Reduktion aufs 
Meeresniveau. Wenn der Ocean mit in betracht kommt, wird man 
die Rechnung bis mindestens 1000^ Distanz auszudehnen haben, 
wie die Formeln (1*) und (3*) zeigen. Eine grofse Schwierigkeit er- 
wächst jedoch aus dieser weiten Ausdehnung des Berechnungsbezirks 
deshalb nicht, weil nur für Distanzen von der Ordnung üB die Be- 
rechnung eine scharfe zu sein braucht und also nur für diese Distanzen 
die Berechnungselemente genau ermittelt werden müssen. Die ge- 
nannten Formeln zeigen nämlich, dafs bei arithmetischer Progression 
der a die Einflüsse der aufeinanderfolgenden Ringe annähernd mit 
dem umgekehrten Quadrate der Entfernung sich ändern. 

Der Vollständigkeit halber erwähnen wir hier noch Folgendes: 
Bei der vorstehend auseinandergesetzten Reduktionsrechnung wird die 
Anziehung der Massen über der Eondensatiousfläche vor der Kon- 
densation von der Schwerkraft abgezogen und nach der Kondensation 
wieder addiert. Die erstere Anziehung wird auf P\ die letztere auf Q 
bezogen. Ein Teil der Reduktion rührt somit von der Ortsveränderung 
her. Auf die Ortsveränderung bezieht sich aber auch das Reduktions- 

glied — p— ^, vei^l. S. 169 § 18 (1), wobei die ganze Erdmasse berück- 
sichtigt ist, insoweit sie nach aufsen wie eine homogen geschichtete 
Kugel anziehend wirkt. Damit nun für die Massen aufserhalb der 
Kondensationsfläche die Reduktion wegen der Ortsveränderung nicht 
zweimal angebracht wird, muls bei der Kondensation von diesen 
Massen eine gewisse, homogene Schale ausgeschlossen werden, deren 

Anziehnngsunterscbied auf /^ und Q schon in dem Gliede -^ff ent- 
halten ist. Die Dichtigkeit dieser Schale würde für &q einzuführen 
sein, wenn nicht der Umstand dieses unnötig machte^ dafs infolge 
der Vernachlässigung der Krümmung der Meeresfläche bei der Konden- 
sation für eine homogene Schale der Anziehungsunterschied auf P' 
und Q verschwindend klein wird. Folglich ist 0^^ wie bisher ange- 
nommen, auch in dieser Hinsicht beliebig. 


§ 21. Kondensations-Reduktion für eine Inselsiation. 179 

§ 21. Kondensations-Beduktion ffir eine Inselstation. Bei 

der im Yorigen Paragraphen angegebenen Yervollständigung der üb- 
lichen Reduktion aufs Meeresniveau wird man sich aus praktischen 
Gründen auf die Berücksichtigung der stärksten bekannten Unregel- 
mäfsigkeiten in der Dichtigkeit der Erdkruste beschränken müssen. 
Ganz besonders wird man den Einflufs der Oceane aufzusuchen 
haben. 

Wir wollen hier und im nächsten Paragraphen eine Näherungs- 
formel für kleine Inseln und für Küsten aufstellen^ wobei wir an- 
nehmen, dafs der Beobachtungsort im Meeresniveau liegt. Weiterhin 
werden wir dann noch einen einfachen Fall für Gebirgsstationen be- 
trachten. 




I ! I 

KondensaUonsfla^ie^ 

Fig. 87. 

Die Insel denken wir uns als geraden Kreiskegel von der Dich- 
tigkeit ®, den Ocean mit dem Radius a kreisförmig, konzentrisch 
zur Station P auf der Inselspitze, begrenzt, Fig. 27. Als normale 

Dichtigkeit der Erdkruste nehmen wir -- @^ = 2,8 . 

Um nun auf diejenige Anziehung zu kommen, welche P* erleiden 
würde, wenn Ocean und Insel die Dichtigkeit 2,8 hätten, müssen wir 
erstens subtrahieren die Anziehung des Inselkegels mit der Dichtig- 
keit {ß — 1) und zweitens addieren die Anziehung eines geraden 
Kreiscylinders von der Tiefe und äulseren Begrenzung des Oceans 
bei der Dichtigkeit 1,8. Um sodann die Kondensation zum Ausdruck 
zu bringen, ist die Anziehung der ersteren Masse zu addieren, der 
zweiten zu subtrahieren, nachdem diese Massen auf die Kondensations- 
fläche verschoben gedacht worden sind. 

Nach S. 142 § 2 (4) ist die negative Anziehung des Inselkegels 
auf seine Spitze P' in dem Falle, dafs {ß — X) die Dichtigkeit ist, gleich 

— ^nU^ . (0-1) h (1— sinv) . (1) 

Nach Formel (2) am gleichen Orte ist die positive Anziehung 
eines geraden Kreiscylinders von der Höhe A, dem Radius a und der 
Dichte 1,8 auf die Mitte P' seiner oberen Fläche gleich 


-f 23r^2 . 1^8 (Ä + flf - V(i'^ + Ä^) 
oder angenähert: 

+ 2«A'M,8a(1-A.+ ...). (2) 

12* 


180 3* Kapitel. Die Schwerkrafb im Meeresnivean. 

Um die positive Anziehung des Inselkegels nach der Kondensation 
zu erhalten; zerlegen wir denselben in scheibenförmige Elemente vom 
Radius y und der Dicke dz^ und kondensieren diese Elemente einzeln. 
Für das einzelne kondensierte Element ist nach S. 141 § 1 (2) die 
Vertikalanziehung gleich 

Dies ist zu integrieren von y gleich null bis h cott' . Rechnen 
wir z von P' bis zur Anfangslage des Elements, so wird z==ytanv 
und dz = tani/ . dy ; die positive Anziehung des kondensierten Insel- 
kegels wird daher 

Aootv 

+ 2«*« . (®- 1) tan.y (1 - ^„^;^-t) äy 

U 

oder gleich 

+ 2.*^(ö-l)Ä (1- «*-f • lognatA±^^^!L| . (3) 

Die negative Anziehung des kondensierten Cylinders wird nach 
S. 141 § 1 (2) gleich 

- 2äP . 1 8ä f 1 - ~^,= ^^ A 
oder angenähert: 

— 2%^^. 1,8 h (l - -^- +...). (4) 

Die Verbesserung der beobachteten Beschleunigung g ergiebt 
sich hiermit, wenn noch zur Reduktion auf Bruchteile von g der 

Näherungswert --jrÄr^ %„iR mit 0^ = 5,6 angewandt wird: 


2 ~ 5JG~ Ä 


Ä ° aiJ tan V 

üB — ^h 
1,8 2 , 

— 1 a • 


ff. (5) 


Dieselbe ist in der Regel negativ, denn nach §118. 155 schneidet 
die Insel gerade diejenigen Massendefekte aus, welche bei der Kon- 
densation eine Vermehrung der Anziehung geben würden — aller- 
dings unter der Voraussetzung, dafs nicht die Dichtigkeit der Insel 
abnorm klein und ihr Böschungswinkel vielleicht aufserdem abnorm 
grofs ist. Bei der Beurteilung des letzten Gliedes ist übrigens immer 
zu beachten, dafs der Minimalwert von a gleich h : tan v ist, mithin 

dieses Glied den Betrag von 

1 ,8 » a-R 

0— 1 hcoiv 


§ 22. Küstenstation. 18] 

keinesfalls überschreiten kann. Aber im offenen Ocean tritt der Be- 
trag dieses Gliedes ganz zurück, so dafs man es bei einer Schätzung 
vernachlsssigen wird. Auch das Glied sini' in der Parenthese (5) 
kann man in der Regel seiner relativ geringen Grofse^ halber ver- 
nachlässigen. 

Als Näherungsformel für Inseln im offenen Ocean (bis 100 Meilen 
Abstand von Kontinenten) hat man damit 

3 e— 1 h lognat (n + Kn« +1 ) 
2 6,6 B n ^ 

für (6) 

n = h cotv : üB . 

Hiernach ergiebt sich z. B. für = 2,8, h = 3500™ und cotv — 30 
die Reduktion gleich rund — g : 8000 . 

§ 22. Kflstenstation. Wir denken uns die Küste von oben 
gesehen geradlinig durch P' hindurch begrenzt, den Abfall des Fest- 
landes unter dem Winkel v bis zur Tiefe h: Fig. 28. Quer zur Längs- 
richtung der Küste denken p, 
wir uns femer Kontinent w//^/v/y/y///////>>>//^/j^^ — -5 

und Meer sehr breit Dann ^^ ^rJ ^^;JyW 

kommt bei der Kondensation ! j 

nur ein Abschnitt des Fest- ____- -J#i— 


landes von der Form eines JiotuLensatiojtsfläöhC' 

geraden Prismas mit dem ^*- ^' 

Querschnitt AB P' in betracht. Denn wäre auch dieses Prisma mit 
Wasser erfüllt, so würde der Kondensationseffekt gleich null sein, 
weil er nach S. 142 § 1 nicht nur null ist für jede weit ausgedehnte 
Scheibe, sondern zufolge der Symmetrie auch für jede durch einen 
Vertikalschnitt durch P' gebildete Hälfte einer solchen. 

Das Prisma zerlegen wir der Länge nach in Elemente vom 
Querschnitt dq . Hat ein solches von P' den kürzesten Abstand r, 
welcher im Querprofil, Fig. 28, gemessen wird, so ist die Anziehung 
des Elements in Richtung r abzüglich der des Wassers gleich 


k'^(ß 


wenn S die konstante Dichtigkeit des Prismas ist und x einen Ab- 
stand vom Querprofil iii der Längsrichtung bezeichnet, der von — L 
bis -j- Z variiert. Nach bekannten Grundformeln ist diese Anziehung 
gleich 



]ig2 3. Kapitel. Die Schwerkraft im MeercsniTeau. 

d. i. in allen hier in betracht kommenden Fallen, bei denen die KQsten- 
länge Z beiderseits von P eine bedeutende sein wird, ausreichend 
genau gleich 

2;t2(0— 1)^^. (1*) 

Hiervon kommt gegenwärtig die vertikale Komponente in be- 
tracht, die durch Multiplikation von (1*) mit cos 97 , 9 der Winkel 
zwischen r und der Vertikalen, hervorgeht. Setzen wir dq = rdq) .dr, 
so wird die Yertikalanziehuug des Prismas auf P' gleich 

2k^(e — l)l lco8q>dq)dr d.i. 2k^ {®~ )) 1 rco8q> dq> 

oder, weil r'cosy = h ist, gleich 

2k^e-l)h{l-v). (2) 

Diese Anziehung ist von der in P' beobachteten Beschleunigung 
abzuziehen. Nach erfolgter Kondensation denken wir uns alle Ele- 
mente, welche in derselben Vertikalen im Abstand y von M liegen, 

vereinigt. In Formel (1*) tritt dann an Stelle von r die }/ti^R* + V^ 
und an Stelle von dq das Produkt {h — ^tani/) rfy , da A — y tapv 
die Höhe des Prismenprofils im Abstand y ist. Die vertikale Kom- 
ponente wird daher gleich 

h cotv 


u 


Das unbestimmte Integral ist 

Äarctan ^— ^flÄtanv lognat (a'Ä* + y^) + Konsl. 

mm mf ^ 

Beachtet man, dafs arc tan w = « — arccot w = ^- — arctan — ge- 

setzt werden kann, so findet man nun ohne Schwierigkeit als Vertikal- 
anziehung nach der Kondensation: 

2A:* (®-l)Ä ( - - arctan -^ -^— lognat - -]b taSr~ ) " (^) 

Zieht man hiervon (2) ab, so folgt als Reduktion wegen der 
Kondensation für das beobachtete g unter üblicher Einführung des 
Näherungswertes für g\ 


3 Q 


\V~ i { n '^8°*^ V^'^ + 1 + arctan :^ — v} ^ 


2» 5, 

mit (4) 

n => h cotv : flÄ . 


§ 23. Gebirgastation. 


183 


Vernachlässigen wir das meist unbedeutende v,90 läfst sich (4) mit 
dem entsprechenden Ausdruck (6) für eine Inselstation leicht ver- 
gleichen; und man erkennt, dafs (4) ungeföhr V3 von jenem Ausdruck 
(6) unter sonst gleichen Verhältnissen ist. Da aber die Küsten der 
Kontinente durchschnittlich langsamer abfallen als diejenigen der 
kleinen Inseln der Oceane, so wird der Bruchteil noch kleiner. 

Für die Werte h — 3500"» , cotv = 48 und © = 2,8 folgt die 
Korrektion gleich rund — g : 30000 . 

§ 23. Gebirgsstation. Die übliche Reduktion befreit die beob- 
achtete Beschleunigung zwar mehr oder weniger richtig von der An- 
ziehung der Massen, welche sich über die Meeresfläche erheben, 
unterläfst aber völlig die Berücksichtigung der Anziehung der kon- 
densierten Gebirgsmasse. Diese kann bei ausgedehnten Gebirgsmassen 
bedeutend werden. Als Beispiel betrachten wir einen im Verhältnis 
zur Breite sehr langen Gebirgsrücken mit dem Querprofil ABC^ 
einem gleichschenkeligen Dreieck. 



Jxotidcnsadoniffläciie' 

Fig. 29. 

Vor der Kondensation ist die vertikale Anziehung auf einen im 
mittleren Querprofil liegenden Punkt Py Fig. 29, durch den Ausdruck 


2A-« ® r /cos {—-^-v — tpKdtp dr 


0) 


gegeben, den man mit Rücksicht auf die veränderte Bedeutung von 
q> aus dem vorigen Paragraphen, Formel (l*) und folgende Zeilen, 
leicht entnimmt. Die Integration nach r ergiebt r , den Radiusvektor 
des Coutours CBA in der durch 9 bezeichneten Richtung. 

Wenn der Endpunkt von r auf 67^ h'egt, d. h. q> sich zwischen 
null und 1/ -|- ^ befindet, so ist 

/ _ p'(y _ V^'^Y—. == 2(H^—H ) C08V ^ ^2) 

sin (2v — 9) sin (2v — qp) ^ * 

Liegt dagegen der Endpunkt von r auf BA, d. h. 9 zwischen 1; -|- ^ 
und 7Cy so ist 

rcos{^ + v-rp) = /I. (3) 


184 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meereaniveau. 

Hiermit giebt (1): 


9 + ^ 


2k^B [2 (ff, - ff)coBvJ'^-l^;=^dg>+fffd9] , 

oder unter Ausführung des zweiten Integrals und mit Einführung 
von q/ = 2v — q) im ersten Integral: 

2k^e [^(ä — 1/ — ^) — 2(^0 -^)co8v/ ^'°^T''^ rfy I . 

Durch Auflosung von sin {q> — v) folgt ohne Schwierigkeit : 

2k^®[ ff^jt-'V^-t) — 2 (^0—^ cosv [(v+V')co8i/- sinv log nat -^i^J ) • W 

Führen wir endlich noch den mehrfach benutzten Näherungs- 
wert von ff ein, so geht der vorstehende Ausdruck für die Vertikal- 
anziehung des Gebirgsrückens auf P über in: 

Die Formel zur Reduktion auf das Meeresniveau für horizontales 
Terrain berücksichtigt von der geschlungenen Parenthese nur das 
Haupl^Iied ff : B-^ doch ist der Fehler, da man jene Formel eben nur 
bei kleinen Werten von v anwenden und sonst strenger reduzieren 
wird, jedenfalls gering. Um dieses bei dem mit dem log nat behafte- 
ten Gliede einzusehen, beachten wir, dafs nach Fig. 29 



8in2i 

V 

PB 

PC ~ 

PB 

ffo- 

. sinv 


ain(v — 

■^) ~" 

-ff 

ist und erhalten 

• 
• 






E 

Bin2y 
n 

lognat 

sin 

sin(v 

2y 

i/o 8in2y 

Ho ff 

MorrnA 

. yB . sin» , 

- Inflr 


(6) 

Da ff^ — ff und P'B mit wachsendem ff abnehmen, falls nur das 
Profil AGB bei C stumpf ist, was hier lediglich in betracht kommt, 
so hat der mit dem ersten Logarithmus gebildete Teil vorstehenden 
Ausdrucks sein Maximum bei ff gleich null; dasselbe ist gleich 

5 _?E^ lognat (2 cos v) . (7) 

Da ferner aligemein ti log natu für u = null und eins gleich null ist, für 

1/ s=» — , wo e die Basis der natürlichen Logarühmen bezeichnet, aber 

ein negatives Maximum hat, so erhält der mit dem zweiten Logarith- 
mus gebildete Teil von (6) den Wert null für // = //^ und für ff gleich 


§ 23. Gebirgsstation. 185 

null, einen Maximalwert aber für Hq : {Hq — ^) = ^ b» 2,7 . . . . 
Dieses Maximum ist rund gleich 

Hq 8in2v 


B 2,7 n 


(8) 


Nachdem hiermit bewiesen worden, dafs man, wie oben bemerkt, 
in (5) die geschlungene Parenthese durch H i R bis auf meist uner- 
hebliche Glieder der Ordnung Hq^itlv : R ersetzen kann, gehen wir 
zur Ableitung einer Formel für die vertikale Komponente der An- 
ziehung des Gebirgsrückens nach seiner Kondensation über. 

Legen wir in den Abstanden y und y + ^y ^^^ P'Q^^ Fig. 29, 
parallele Vertikalebenen in die Längsrichtung des Prismas, so giebt 
die Kondensation der Masse des Prismenstreifens zwischen diesen 
beiden Ebenen in Bezug auf Q als vertikale Komponente der An- 
ziehung mit Rücksicht auf 8. 182 (1*): 

2 k^@ ^^^^t^^ äy (9) 

falls die Schnittebenen zwischen A xxni, C zu liegen kommen. Liegen 
dagegen die Schnittebenen zwischen C und B ^ so lautet der ent- 
sprechende Ausdruck: 

^^,^M(.^Ä.-|-i^^dy. (10) 

Die gesamte Vertikalanziehung folgt aus (9) und (10) durch In- 
tegration nach y von y -» — /^ cotv bis y = (Ä^ — H) cotv bezw. 
von hier bis y =sa (2ff^ — H) cotv. Es ergiebt sich ohne Schwierig- 
keit unter Einführung des Näherungswertes von g: 

~arctann-|- -^^^^arc tan(2no — «)— 2-^^ arctan (hq — n) 


+ 3 Hq 


-=L - I 


2x 5,6 B 


worin gesetzt ist 


+ ^lognat,,-=J^=^^l±i 


»»0 * ^(»«+i)"([8no-n]» + l) 

Uq = Hq cotv : aR , 
n = H Qotv : üR . 


(11) 


Der Ausdruck (II) stellt die positive Korrektion des wie üblich, 
und zwar streng, aufs Meeresniveau reduzierten Beobachtungswertes 
von ff dar. Dieselbe nimmt jedenfalls von oben nach unten ab. 

Das Maximum bei n ^= Hq^ wo P' sich auf dem Kamm des Ge- 
birgsrückens befindet, wird gleich: 

+ Ä-§f {2arctann, - 1- lognatK'H- 1)) ff . (12) 

D^egen ist das Minimum bei n »= null, d. h. P' am Fufse des 
Gebirgsrückens, gleich: 


186 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresnivean. 

V + 1 


+ 3 JR Hq 


2n 6,6 E 


loguat 


(13) 


no ^ K4 no» + 1 

+ 2 arctau 2n^ — 2 arctan «^ 

Wenn, wie iu der Kegel bei grofseren Erhebungen, n^ die Ein- 
heit übersteigt, so erscheint es vorteilhaft, iu (12) und (13) von der 

Relation arctan u + arctan — = -^ Gebrauch zu machen. Diese 

Formeln gehen alsdann über in folgende: 

+ ÄÄt (''-^arctaui- - i.lognat(V+ 1))^, (12*) 
und 

+ ^- Ä dM ^- lognat -'•"'iL. + 2arctan - - 2 arctan -^ | ^ . (13*) 

Daraus ist ersichtlich, dafs selbst dann, wenn P' am Fufse eines 
grofsen Gebirgsrückens liegt, die Vertikalanziehung nach der Kon- 
densation erheblich ausfallt. 

Pur ^^=5000"*, 0=2,8, cotv=üO und «0=^4, welche Werte 
iu roher Auuäherung dem Himalaya entsprechen, ist die Korrektion 
des wie üblich reduzierten g rund gleich: 

im Maximum (Kamm) -j' U - 2050 
im Minimum (Fufs) + ^ • 22000 . 

Im ersten Falle beträgt sie nahezu soviel, als bei der Reduktion 
auf den Meeresspiegel für Lokalanziehung subtrahiert worden ist, 
d. i. nach Formel (5), iu welcher ^ = v, B =s Hq zu setzen ist, 
— ff : 1700, sodafs die totale Reduktion sich auf — ff : 10000 stellt. 

§ 24. Hilfssatz : Für ein homogenes Sphäroid , welches von 
einem schwach abgeplatteten Botationsellipsoid nur wenig ab- 
weicht , Ist es erlaubt 9 die Entwicklung des Potentials aufser- 
halb nach negativen Potenzen des Radiusvektors für die prak- 
tischen Zwecke als bis zur OberflSche konvergent zu betrachten. 

In § 15 S. 163 wurde die Gültigkeit vorstehenden Satzes ange- 
nommen, um die Zulassigkeit des nachfolgend entwickelten Kouden- 
sations Verfahrens darzuthan. Es ist jetzt der Beweis des Satzes zu 
liefern. Um uns direkt auf die irdischen Verhältnisse zu beziehen, 
denken wir uns zu dem homogenen Sphäroid von der Dichte S innerhalb 
der konzentrisch zum Schwerpunkt eingeschriebenen Kugel noch solche 
Massen in Form von konzentrischen Kugelschalen beigefügt, dafs die 
mittlere Dichte S^ "^ ^fi herauskommt. Für setzen wir schliefs- 
lieh 2,8. Das Sphäroid soll vom Rotationsellipsoid so abweichen, 
wie das Geoid vom Erdellipsoid. Die Abweichungen sind charakteri- 
siert durch die maximale normale Erhebung und Senkung und die 
Lotabweichuug. Wir nehmen an, dafs die in § 15 S. 163 angedeu* 


§ 24. Uilfssatz für das Potential eines Sphäroids. Ig7 

teten UntersuchuDgen den Betrag der erstcren auf < 500 *", der 
letzteren auf < 1>5' festgestellt haben. Für die Zwecke der Unter- 
suchung reicht es aber aus, der Wellenform die Ereiskegelform zu 
substituieren, welche eher ungünstiger als günstiger wie jene ist. 
Als Maximum der Höhe eines Ereiskegels setzen wir 1000*" an, als 
konstantes Gefälle seiner Seitenfläche 1 : 5000, entsprechend einer 
durchschnittlichen Lotablenkung von 74- 

Wir betrachten zunächst einen Kegel, welcher auf das EUipsoid 
aufgesetzt ist und untersuchen, wie sich für einen Punkt P' seiner 
Oberfläche Potential und Schwerkraft ändern, wenn wir denselben 
auf eine Parallelfläche zur Ellipsoidfläche im Abstand ViR nach innen 
kondensieren. Zur Veranschaulichung der Situation kann Fig. 29 
S. 183 dienen, AB als Ellipsoidfläche gedacht. 

Vor der Kondensation hat man als Vertikalanziehung des Kegels 
sehr nahe, wenn N die Höhe von P' über dem EUipsoid bezeichnet: 

» © iST ... 

indem hier die Formel (3) § 16 S. 164 für eine horizontale Platte 
zur Anwendung gelangen darf, wie bei dem geringen Gefalle der 
Seitenflächen ohne weiteres klar ist, aber auch durch die Ungleich- 
ung (5) S. 168 yeriflziert werden kann, wenn mau darin im Maximum 
A, — 7*2 = Ä = 1000"», A : a = 1 : 5000 setzt. 

Um die Anziehung nach erfolgter Kondensation auf bekannte 
Formeln zurückzuführen, substituieren wir ein Mal dem Kegel ein 
unendlich langes Prisma von dem Querschnitt, wie ihn Fig. 29 zeigt, 
ein zweites Mal einen Kegel, dessen Spitze P* und dessen Höhe gleich 
N ist, bei demselben Gefälle des Mantels wie für den grofsen Kegel. 
Offenbar erhalten wir so zwei Grenzwerte, die den richtigen Wert 
zwischen sich enthalten. 

Für den Fall der Substitution des Prismas folgt nach Formel (11) 
S. 185 als Anziehung nach der Kondensation: 


^.(2) 


I-- arctann4- ^ - -arctan(27io— w) — 2— -**arctan(nn— w) 
+i-iognat,/ ^i.rr^ZiJ.-_- _- 

worin gesetzt ist: 

«0 = A^o-ÄÄtanv 

n = N :aÄtanv, ^ ^ 

wenn N^ die Höhe des ganzen Kegels und tan v das Gefälle seines 
Mantels bezeichnet. Eigentlich ist a/? um ^ zu vergröfsern, da der 
angezogene Punkt bei der Kondensation nicht von P' nach Q ver- 
schoben wird, sondern in unveränderter Lage bleibt; aber für vor- 
liegende Schätzung genügt ViR auch. 


188 3. Kapitel. Die Schwerkraft im MeereBniveau. 

Wird der kleine Eegel substituiert, so ist nach S. 180 § 21 (3), 
wenn daselbst ® für @ — 1 gesetzt und g eingeführt wird, die Anziehung: 

T^ i(l-ilogn^t[n + yirri])ff- (4) 

Um vorstehende Ausdrücke zu deuten, mufs man beachten, 
dafs für die in betracht kommenden Werte üB =^ 21000*^ und 
tani/ < 1 : 5000 die Hilfsgröfsen Uq und n die Einheit sicher über- 
schreiten, wenn Nq und N grotser als 4,2"* werden. 

Schliefsen wir nuu zunächst Falle aus, wo N^, N oder auch Hq — N 
kleiner als 17"» ist, so wird n^ sowohl wie n und n^ — n grofser als 4. 
Dies findet statt bei Wellen gröfserer Erhebung für alle Lagen von 
P\ welche nicht sehr nahe am Fufse oder an der Kuppe sich be- 
finden. In Formel (2) kann man nun, weil n, 2nQ — n und n^ — n 
grofse Zahlen bezeichnen, von nachstehender, für grofse u vorteil- 
haften Relation Gebrauch machen: 

arctan w «= — — arctan — = -s- r -s— i • • • • 

Die Glieder in (2) mit 3u^ im Nenner fürt/ = n, 2no — n und n^ — n 
können aber wegbleiben, da sie weniger als 1 Milliontel (/ geben. 
Aufserdem heben sich die Glieder 1 : u für die 3 Werte von u zusam- 
meugenommen auf, und es bleibt für (2) nach naheliegender Reduktion : 

i-ir -T-^ ^D- + -r T-TÄtanv — lognat ,,-- ^° -- a,^ — _^=\ff, (5) 
während (4) in entsprechender Schreibweise lautet: 

{1 ^ § - 1 ^ »*^^ • l«g^** t« + /»^H^]) ^- (6) 

Die Vergleichung von (1) mit den Grenzwerten (5) und (6) zeigt, 
dafs die zweiten Teile der letzteren Ausdrücke Grenzwerte der Än- 
derung der Schwerkraft in P' infolge der Kondensation der kegel- 
förmigen Erhebung bezeichnen. Diese Auderung ist aber für jede 
Lage von P' unerheblich. Setzt man zum Zwecke des Nachweises 
im zweiten Teile von (5) n^ — n '= u und führt anstatt n überall u 
ein, so wird der mit n veränderliche Faktor 

lognat,-=l*^.-*?Lt^=^ = lognat -____- .^J . _^ . 

Die Differentiation nach u giebt den Differentialquotienten des 
letzten Ausdrucks gleich 

2V« (no« + 3 - u«) 


(«• + 1) ([no+t*]« + l) ([»«0 - t*]* + 1) ' 

welcher für ti «= null bis Hq stets positiv ist. Hiernach genügt es, 
die äufsersten in betracht kommenden Werte von u ins Auge zu 


§ 24. HiliVnatz fQr das Potential eines Sphäroids. 189 

fassen. Als solche nehmen wir null und Hq, da die Bedingung n„y 
n und Hq — n > 4 sich nicht auf den zweiten Teil von (5) bezieht. 
Für u <=« null ist n ^^n^ und der in (5) auftretende lognat gleich 
— lognat (Wq^ + 1); für ti == Wq ist n = null und derselbe log nat 

gleich log nat (Hq^ + 1) ^ V ^ogmi (4«,,' + ^)' D^r Wert des zweiten 

Teils von (5) liegt also für — 2,8, tanv = 1 : 5000 und JV = 1000"» 
mit »Q <=: 240 zwischen rund 

ööooöö^ ^" "1" ioööooö^' ^^ 

Der zweite Teil von (6) wird am grofsten für n=n^. und zwar ist sein 
Wert unter denselben Voraussetzungen wie vorher alsdann gleich rund 

300000 ^ * ^^ 

Da nun für kleinere Werte von v und N die entsprechenden 
Werte der zweiten Glieder in (5) und (6) noch kleiner sind, so er- 
kennt man, dafs für alle Lagen von P' auf der Seitenfläche einer 
kegelförmigen Erhebung, welche in Hohe von Fufs oder Kuppe um mehr 
als 17"* abstehen, die Kondensation nur einen unerheblichen Effekt auf 
die Schwerkraft hat. Dasselbe gilt aber auch für Lagen von P' bis zum 
Fufse und zur Kuppe; wenn dieses noch eines Beweises bedürfte, so 
würde es ausreichen für den Fufs und die Kuppe die Gültigkeit zu 
zeigen, was wir aber unterlassen können. 

Vorstehendes l&fst die Unerheblichkeit des Kondensationseffekts 
einer kegelförmigen bezw. wellenförmigen Erhebung der eingangs 
angegebenen Art auf die Gröfse der Schwerkraft für Punkte in der 
Nahe der Spharoidoberfläche deutlich erkennen. 

Für das Potential bedarf es keiner längeren Rechnung; hier 
können wir sogleich an die Ergebnisse in § 7 S. 149, insbesondere 
an Formel (4) S. 151 anschliefsen. Dieselbe giebt die Änderung 
des Potentials, welche durch Kondensation einer homogenen, un- 
endlich dünnen Scheibe dier Kugelfläche vom Radius r auf die Kugel- 
fläche vom Radius r^ entsteht, wobei die Ausdehnung der Platte so 
genommen ist, dafs der Kondensationseffekt ein Maximum wird. Be- 
trachten wir nun das dem Sphäroid zu gründe liegende Ellipsoid 
als Kugel I was für den Zweck der Ermittelung des Kondeusations- 
effektes ausreicht, und umschliefsen wir diese Kugeloberfläche konzen- 
trisch durch eine zweite aufserhalb im Abstand von 500*", so ent- 
halten beide alle zu kondensierenden, wellenförmigen Erhebungen 
zwischen sich, und die erwähnte Formel (4) stellt den überhaupt 
möglichen maximalen Betrag des Effektes dar, wenn für r — r,- ge- 
setzt wird üB und für dr der Betrag von 500"*. Das kleine Glied 
Er : r in (4) dürfen wir vernachlässigen. Es folgt 

2«^^0aÄ.5OO, 


190 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 

woraus nach Bruns' Theorem S. 148 durch Division mit g^^^^-^nk^S^R 

als maximale Verschiebung der Flächen konstanten Potentials in der 
Nähe der Oberfläche sich rund ^4*" ergeben. Diese Verschiebung ent- 
spricht einem Fehler in dem Betrage der Schwerkraft aufserhalb von 
etwa V2500000 desselben; sie ist also ganz unerheblich. 

Bisher wurden nur Erhebungen über das Ellipsoid betrachtet. 
Dafs Senkungen kein wesentlich verschiedenes Resultat geben werden, 
ist unmittelbar klar. Es bleibt nur das eine Bedenken, ob die Ent- 
wicklung nach negativen Potenzen des Radiusvektors noch genügt für 
Punkte P\ welche in einer Senkung liegen: zwar aufserhalb der 
Oberfläche des Sphäroids, aber doch innerhalb derjenigen des Ellipsoids. 
Um dieses Bedenken zu beseitigen, denken wir uns innerhalb des 
Ellipsoids ein konzentrisches, koaxiales Ellipsoid, welches die Sen- 
kungen gerade noch ausschliefst, dessen Axen also nach unseren 
Annahmen um eine Grofse von etwa 500"* kleiner sind, als die- 
jenigen des ursprünglichen Ellipsoids. Die Oberflächen beider Ellipsoide 
können hier als Parallelflächen angesehen werden. Wir kondensieren 
nun die ganze Schicht aufserhalb des inneren Ellipsoids. 

Auf einen Punkt P' der Sphäroidfläche in der Senkung wirkt 
diese Schicht wegen des geringen Gefölles der Senkungsfläche, abge- 
sehen von der Krümmung der Ellipsoidoberfläche, in Richtung der 
Vertikalen anziehend wie eine unterhalb gelegene, horizontale, un- 
endliche Platte von der Stärke />'(>', Fig. 30, wobei />'()' = N^ -- N 

ist. Durch die Eonden- 

^/////7777-y^^^^^'^ ^^^^^'^V^ » ^r—^ — sation ändert sich hieran 

^^^^^^^^^^^ aber nichts. Denn ohne die 

jnt&^^Mpi'M^^^^^^^^ " Senkung würde die Schicht 

XL *Im^ 

^, , , ^^^ zwischen den EUipsoidober- 

lUntdensationsflamC' \ n.. 1 1 1 rr 1 

flachen nach der Konden- 

Fig. 30. i. • . i_ . 

sation noch anziehen wie 
eine horizontale, unendliche Platte von der Starke iVg • ^^^ durch die 
Senkung abgeschnittenen Massen ziehen zufolge obiger Untersuchungen 
nach der Kondensation in vertikaler Richtung beinahe an, wie eine 
Platte von der Stärke N\ da diese Anziehung abgeht, so bleibt die 
Anziehung einer Platte von der Stärke N^ — N^ wie vor der Konden% 
sation. Hat demnach diese letztere auf die Schwerkraft keinen er- 
heblichen Einflufs, so ist ihr Einflufs überhaupt als unerheblich an- 
zusehen, da auch der Koudensationsefiekt bezüglich des Potentials ver- 
schwindet, was die obigen Untersuchungen ohne weiteres erkennen lassen. 
Für das Sphäroid mit kondensierter Oberflächenschicht ist aber 
die Entwicklung nach negativen Potenzen des Radiusvektors bis zur 
Oberfläche konvergent; sie ist es nach vorstehenden Untersuchungen 
also auch in hinreichender Annäherung für die Massen des Sphäroids 
in der ursprünglichen Lagerung. 


§ 25. Ältere Pendelbeobachtungen. 191 

§ 25. Ältere Pendelbeobachtungen zur Bestimmung der 
Intensität der Schwere. Wir gehen nun dazu über^ auf das vor- 
handene Beobachtungsmaterial die Eondensationstheorie anzuwenden, 
um dann die Abplattung der Meeresfläche abzuleiten. 

Die epochemachenden Messungen von Kater^ Sabine^ Foster u. a. 
(?ergl. S. 85 Anm.) wurden mit sehr einfach konstruierten, invariablen 
Pendeln ausgeführt; die man mittelst einer Schneide auf einer Achat- 
platte schwingen liefs, welche auf einem stabilen Gerüst au einer 
Wand oder auf einem breitbasierten ; schweren und beschwerten 
MetaUstativ befestigt war.*) Wir geben die Resultate dieser Mes- 
sungen mit Benutzung von Baiit/s Arbeit in den Memoirs of ihe Royal 
Astronomical Society VII 1834. Bailys Reduktionen der Beobachtungen 
sind adoptiert; aber nicht seine Verkuppelung der Reihen verschie- 
dener Beobachter; sodafs die im Folgenden gegebenen Schwingungs- 
zahleu z. T. mit Bailys Haupttabelle S. Qö^-S? a. a. 0. differieren. 

1. ICaier 1818 — 19 mit einem Pendel (bestehend aus einer flachen 
Stange mit Linse); welches auf einer Achatplatte auf einem schweren, 
gufseisernen Rahmen schwang. Letzterer war über der an einer Wand 
aufgestellten Uhr (an deren verlängerten Rückwand) befestigt Publi- 
ziert in Phii. Transact, 1819. Die Stationen liegen nahe bei Stationen 
der Trigonometrical Survey» In Unst beobachtete Kaier dicht bei dem 
Orte, wo früher (um 1808) Biet beobachtet hatte. 

Die Beobachtungen begannen in London und endeten, abgesehen 
von Shanklin Farm^ wo zuletzt beobachtet wurde, in London. Beide 
Ergebnisse für London stimmen auf 0,03 Schwingungen. Ob Kaier 
hier das Konsol und die Achatplatte des oben beschriebenen Appa- 
rates, oder des gleich zu erwähnenden Reversionspendels benutzte, 
ist nicht angegeben; vergl. dazu Nr. 6 weiterhin. 

In der folgenden Tabelle giebt die zweite Kolumne die geogr. 
.Breite; die dritte die Meereshöhe N in Metern, die vierte die korri- 
gierten taglichen Schwingungszahlen nach Baiiy, die fünfte die Länge 
des Sekundenpendels in Metern, die sechste die Korrektion an den 
Werten der fünften Kolumne, in Einheiten der sechsten Decimal- 
stelle, wenn nicht nach Bouguer - Young mit 2 HFi Ä, sondern ein- 
fach mit 2H : R auf den Meeresspiegel reduziert wird, als wäre das 
Terrain über letzterem bis zur Station nicht vorhanden. Die siebente 
Kolumne giebt den Faktor Fy der zu den Werten der fünften Ko- 
lumne gehört. F wurde nach Voung für ebenes Terrain in der Regel 
zu 0,6, bei umgebenden Hügeln etwas grofser angenommen. 

*) Ein AbrifB der älteren und neueren Beobachtungsmethoden findet sich 
in ülarke^ Geodesy S. 328—339. Vergl. auch WuUncr, Experimentdlpf^sik^ Bd. 1 
1882 8. 124 u. ff. 


192 


S. KapiteL Die Schwerkraft im Heeresnivean. 


L. 


Shanklin Fann >>«> Don- : 

-DO«. I. wight 50«37'24" 

London |51 31 8 

Arbury Hill i 52 12 55 

Clifton 53 27 43 

Leith 55 58 41 

Portsoy 57 40 59 

Unat 60 45 28 


1 

74"' i 

1 
1 

86061,77 

25 

065,54 

225 

069,00 

104 

072,79 

21 

083,29 

29 i 

1 

089,96 

9 i 

100,61 


0,994042 '+ 7 0,7 
4129 -f- 3|;0,66 
4209 +21 1 0,7 
4297 |+l()l' 0,68 

4539 -i- ^0,66 

I; 
+ 4 0,6 

+ i!:o,5 


4693 
4939 


+ 14. 


Gemeinsame Korrektion nach der 
weiterhin folgenden Ausgleichung: 

*Die Meereshohe für London hat sich später, vergl. Nr. 6^ genauer 
zu 28*" ergeben; die Differenz von 3*" mit dem oben angenommenen 
Werte hat aber auf die Reduktion keinen bemerkenswerten Einfluls. 
Bei der Berechnung der 5. Kolumne aus der 4. wurde für London^ 
Mr. Broumes Haus (Portland Place), einstweilen der Wert angesetzt, 
zu dem iCaier mittelst des von ihm angegebenen Reversionspendels 
gelangte. Derselbe fand, Phil. Transaci, 1819 p. 415 : 

£^ = 39,13929 Zoll engl., 

wobei die geogr. Breite nach der trigonometrischen Vermessung wie 
oben angegeben wird. Mit Rücksicht auf den (8. 86 angegebenen) 
Verwandlungslogarithmus von engl. Zollen in Meter: 

8,4048298 — 10 

folgt hieraus «o = 0,9941289"». 

Gehört nun zuCq die Schwingungszahl n^, zu einem beliebigen £ aber 
n, so ist zur Berechnung von £ (vergl. S. 86) anzusetzen: 


« = «0 (f ^'- 


«0/ 

Der Kaiersche Wert von £o kann übrigens nicht die Sicherheit 
neuerer absoluter Bestimmungen beanspruchen; jedenfalls würde er 
mit Rücksicht auf Baiiys Versuche, Phil. Transaci. 1832, einer Um- 
rechnung wegen der Ungleichheit des Luftmitschwingens in beiden 
Pendellagen infolge der unsymmetrischen Form des Pendels bedürfen. 
Die Ausgleichung aller Beobachtungen ergab weiterhin für dieses C^ 
als Korrektion + 0,011"*™, wovon aber ein Teil Mafsstabsreduktion ist. 

2. Goldingham 1820—21 mit einem invar. /fa^rschen Pendel an 
der Wand; PhiL Transaci. 1822 p. 127—170. In London beobachtete 
vor der Absendung des Pendels ^aier im Juli 1820 — ob auf der 
Achatplatte des Apparates oder seiner eigenen, ist nicht angegeben. 
Zwei grofse Reihen in Madras stimmen im Mittelwert auf 0,05 Schwin- 
gungen überein, aber es fehlt die Rückkehr des Pendels nach London. 


S 35. Ältere Pendelbeobachtangen. 


193 


Die Beobachtung in Gaunsah Lout ist später geniacht und nicht publi- 
ziert. Wir folgen bei der Angabe der Schwingungszahlen wie oben 
Baily'j Oberhaupt gelten die zu der Aufstellung der vorigen Tabelle 
gegebenen Bemerkungen auch hier sowie weiterhin^ wenn nichts Be- 
sonderes bemerkt ist. 


8 


5 


Gaunsah Lout 

WMtkftate y. Sumatra 
Madras Obaerrator. 

London 


0» r49 
13 4 9 
51 31 8 


? 

1 

86173,36 

0,991063 

+ 

gm 

179,06 

1194 

+ 1 

• 

1 

i 306,56 

1 

4129 

+ 3 


0,66 


Gemeinsame Korrektion — 8. 


Die Meereshöhe auf Gaunsah Louty einem Eiland, ist mangels anderer 
Angabe zu null angenommen. Die gemeinsame Korrektion ist als 
Mittel der Korrektionen für London und Madras abgeleitet. Es wird 
nämlich nach der weiterhin folgenden Ausgleichung erhalten für 
London 0,994140, für Madras nach Nr. 19 0,991168; die Verbesse- 
rungen der Angaben der 5. Kolumne sind also bezw. -|~ ^^ ^'^^ 
— 26, im Mittel — 8 Einheiten der 6. Decimalstelle. 

3. Hall^ unterstützt von Fosier, 1820—23 mit einem invar. Kater- 
schen Pendel an der Wand; PhiL Transact. 1823 p. 211—288. Die 
Beobachtungen begannen und endeten in London^ wahrscheinlich in- 
folge eines Unfalls auf San Blas differieren die Ergebnisse für London 
um 0,95 Schwingungen. Ob daselbst auf der Achatplatte des Apparats 
oder der des Katernchen Reversionspendels beobachtet wurde, ist nicht 
bemerkt. Je zwei in San Blas und Rio angestellte Reihen von Hall 
und Foster differieren um 1,15 bezw. 0,15 Schwingungen. 


Galapagos 


-f 0"32'19": 4»» ,86107,64 


0,991014 
1572 
1712 
4129 


+ 
+ 4 

+ 3 


0,66 

0,6 

0,6 


SanBIa8deG.iiron>ia + 21 32 24 35 131,87 

Rio Janeiro .... - 22 55 22 22 137,96 

London !+51 31 8 I - 242,87 

Gemeinsame Korrektion -f- 5. 

4. Brisbane 1822 mit einem invar. Kaier&chen Pendel an der 
Wand; Phil. Transact. 1823 p. 308—325. In London beobachteten 
Kater f Brisbane und Rümker vor Absendung des Pendels; nachher ist 
dort nicht wieder beobachtet. In Paris beobachteten Brisbane und 
Dunlop je eine Reihe mit 0,65 Schwingungen Differenz. Welchen 
Wert Baily bei Paramatt a für F annimmt, ist nicht zu ersehen — 
Brisbane reduziert überhaupt nicht aufs Meeresniveau; wir haben für 


Helmert, maihem. n. phyiikal. Theorieen dar höh. Ooodiaie. II. 


13 


194 


8. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresuiveau. 


F einen plausiblen Wert vorausgesetzt; der jedenfalls zur Berechnung 
der Korrektion in der 6. Kolumne genügt. 


6 


Paramatta 
London . . . 


- 330 48' 43 
+ 51 31 8 


0,992553 
4129 


+ 3 


i)fiß 


23»« 86024,74 
• II 093,00 

Gemeinsame Korrektion -j- 11. 

Die gemeinsame Korrektion ergiebt sich durch Berücksichtigung 
des Ausgleichungsergebnisses 0,994140 für London, 

5. Sabine 1819—20 mit 2 Pendeln; PhiL TransacL 1821 p. 163 
bis 190. Diese Beobachtungen hat Baily nicht aufgeführt; auch 
Sabine selbst verwendet sie nicht in seiner unter Nr. 6 zu erwähnen- 
den Schrift. Jedoch verdienen nur die wenigen Beobachtungen iu 
Brassa und ffare Island^ die a. a. 0. ebenfalls mitgetheilt sind, 
dieses Schicksal. Der angewandte Apparat, welcher unter Katern 
Aufsicht entstanden war, unterscheidet sich insofern von dem üblichen 
Pendelapparat, als die Pendel zugleich Uhrpendel waren; die Uhr 
wurde durch ein starkes Holzstativ gehalten. Mit diesen Uhrpendelu 
hat Sabine auch auf seiner grofsen Reise, vergl. Nr. 6, nebenbei be- 
obachtet, ohne die Resultate weiter zu benutzen. Dieselben sind 
weniger genau als diejenigen unabhängiger Pendel, mit denen sie bis 
zu zwei Schwingungen difierieren. 

In Londpn wurde in einem Nebenzimmer des früheren Beobach- 
tungsraumes beobachtet (wohl auf der Diele); in Melville auf einem, 
einige Zoll in den gefrornen Boden versenkten Holzlager, an welchem 
das Stativ befestigt war. Die Beobachtungen in London vor und nach 
der Reise differieren um 0,23 bezw. 0,03 Schwingungen. Obwohl in 
London und Melville die Einzelwertc der Beobachtungen einer Reihe 
gut übereinstimmen^ weichen doch die 4 Differenzen M.-Lo., welche 
den 4 Kombinationen der 2 Pandel und der 2 Uhrwerke entsprechen, 
bis zu 1,57 Schwingungen von einander ab. 

In der 4. Kolumne der folgenden Tabelle sind die Mittel der den 
4 Kombinationen entsprechenden Schwingungszahlen für jeden Ort 
nach S. 188 aufgeführt. Wegen des Mitschwingens der Luft ist nicht 
korrigiert; indessen ist der Einflufs auf den Unterschied M.-Lo. un- 
erheblich, da der Barometerstand an beiden Orten bis auf 0,3 Zoll, 
die Lufttemperatur bis auf 2^ F. im Mittel übereinstimmten. Die Reduk- 
tionen aufs Meeresniveau haben wir nachträglich mit F=Oß bewirkt« 


« 

• « 

S 4 5 6 

1 

; 7 

London 

Melville 

51" 31' 8" 
74 47 12 

1 

. 86455,51 
lO" 86530,32 

0,994129, +3 
58501 -J-1 

0,6 


Gemeinsame Korrektion + 11. 


§ 26. Ältere Pcndelbeobachtnngen. 


195 


ei- 


Die gemeinsame Korrektion bestimmt sich durch den Ausgl 
chungswert fQr London, 

6. Sabine 1822 — 24 mit den beiden invar. /^aierschen Pendeln 
Nr. 3 und 4; j4n Account of Experiments to detetmine the Figure of 
the Earth^ 1825. Sabine beobachtete 1821 zuerst in London^ Mr. Brownes 
Haus; dann 1822 auf den Südstationen St. Thomas— New Fork, wobei 
die J{atersche Aufstellung an der Wand benutzt wurde. 1823 wurde 
zunächst wieder in London beobachtet, dann auf den Stationen des 
Polarkreises y wobei ein 200 Pfund schweres, gufseisernes Stativ von 
der Form eines gleichseitigen Dreiecks mit GV, Fufs Seite in der 
Vorderansicht zur Aufhängung des Pendels diente. Die Uhr stand 
innerhalb des Stativs ganz isoliert auf einem Holzdreifufs. Zuletzt^ 
1823—24, wurde nochmals in London beobachtet. Die Differenz beider 
Pendel war in London 1821 11,25 Schwingungen; 1823 11,20 und 9,70; 
1823—24 9,75; auf den Südstationen 9,39 bis 10,00, im Mittel 9,G8; 
auf den Polarstationen 9,27 bis 9,74, im Mittel 9,51. Die gröfseren 
Differenzen in London 1821 und 1823 zu Anfang erklärten sich da- 
durch, dafs in London mit Eatern Achatplatte beobachtet worden war; 
als diejenigen des Apparats benutzt wurden, ging die Differenz 1823 
auf 9,70 herab. Die Ergebnisse in London 1823 und 1823—24 stimmen 
für beide Pendel bis auf 0,1 Schwingungen überein. Die folgende 
Tabelle giebt wieder nach Baity die Schwingungszahlen, u. s. f., 
vergl. Nr. 1. 


1 
St. Thomas, 

OaloMioMlo 

Maranham 

Ascensiou 

Sierra Leone . . . 

Trinidad 

Bahia 

Jamaica 

New York 

London 

Drontheim 

Hammerfest . . . 

Grönland 

Spitzbergen . . . . 


+ 0« 

— 2 

— 7 

+ 8 
+ 10 

— 12 
+ 17 
+ 40 
+ 51 
+ 63 
+ 70 
+ 74 
+ 79 


24' 41" 6'" 86032,97 


31 43 

55 48 
29 28 
38 56 
59 21 

56 7 
42 43 

31 8 
25 54 
40 5 

32 19 
49 58 


23 
5 

58 

6 
65 

3 
20 
28 
37 

9 
10 

ü 


Gemeinsame 


023,33 
036,69 
031,67 
030,91 
036,51 
048,74 
121,94 
163,48 
202,31 
224,75 
234,31 
246,80 

Korrektion 


0,991120 


0898 
1205 
1090 
1072 
1201 
1483 
3171 
4129 
5025 
5543 
5764 
6053 

+ 14. 


+ 1 

(),( 

+ 3 

>l 

+ 1 

;> 

+ 7: 

f} 

+ 1 

»> 

+ 8,; 

>» 

+ 1, 

M 

+ 2 . 

i> 

+ 3 

» 

+ 4 

» 

+ 1 

9> 

+ », 

>7 

+ 1 

f9 


13 


196 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 


7. Posier 1824—25 mit dem Pendel Nr. 3 von Sabine-^ Phil. 
Transaci. 1826 I p. 1 — 70. Es wurde mit dem Dreifufs beobachtet, 
der in Greenwich auf dem soliden Steinflur stand. Hier ist Yor und 
nach der Reise beobachtet, mit 0,2 Schwingungen Differenz. Wir 
geben die Schwingungszahlen nach Baily^ ohne diesem im Anschlars 
der Beobachtungen an die früher mit Pendel Nr. 3 erhaltenen za 
folgen; denn da Posier neue Achatplatten anwandte, scheint uns ein 
Anschlufs au die älteren Beobachtungen unzulässig. 


1 

2 

1 
s 

' « 5 6 

7 

Greenwich 

Port Bowen . . . 

51« 28' 40" 
73 13 39 

55» 
37 

86158,40 
229,25 

0,994119 
5754 

+ 6 
+ 4 

0,6 
0,66 


Gemeinsame Korrektion -f~ 2^* 

Die Hohe ist für Greenwich um 7"> zu grofs, vergl. Nr. 11 weiterhin; 
welchen Wert Baily angewandt hat, ist nicht zu ersehen. Jedenfalls 
ist der Einflufs unerheblich. Die gemeinsame Korrektion ergiebt sich 
mit Rücksicht auf den Ausgleichungswert für Greenwich, 

8. Pallows 1825—28 mit dem Pendel Nr. 4 von Sahine \ Phil. 
Transaci. 1830 p. 153—175. Im Juli und August 1825 beobachtete 
Ronald in London^ November 1828 Pallows auf dem Kap\ nachher 
ist nicht wieder in London beobachtet. Für London ist nach Baily 
das Mittel aus Sabines Angabe mit demselben Pendel und Bonaids 
Wert angesetzt; beide weichen übrigens nur 0,02 Schwingungen von 
einander ab. Auf dem ß^ap wurden 3 Reihen von 3 Beobachtern 
genommen; sie differieren um 0,15 Schwingungen im Maximum. 

Die geogr. Breite für den Beobachtungsort nahe bei dem Obser- 
vatorium auf dem ICap giebt Pallows vorläufig zu — 33^ 55' 56" an; 
unter der Annahme, dafs seit 1830 das Observatorium nicht verlegt 
ist, setzten wir daher die Breite desselben nach neueren Bestimmungen 
an. P ist bei Baily fürs Kap nicht angegeben; wir setzten dafür 
0,66: sein Betrag hat nur geringen Einflufs. 


9 


I 


" 


86101.64 0,992587 I + 1 , 0,66 
168,50 4129 i + 3 t - 


Kap der guten i i 

Hoffnung . . . .! — 33* 56' 3" ! 10' 

London j +51 31 8 i • 

Gemeinsame Korrektion -{- 2. 

9. Sabine 1827 mit den Pendeln Nr. 7 und 8; iM. Transaci. 
1828 p. 35 — 77. Die Aufhängung erfolgte wie früher mittelst eines 
Dreifufses, in fhnis im Obserratoire royal, Salle de 1a Meridienne, wo 
auch Bioi beobachtet hatte. Es wurde erst in Paris, dann in London 
beobachtet — nicht nochmals in Paris. Beide Pendel differieren im 


§ 25. Ältere Pendelbeobachtungcn. 


197 


Mittelwert um 0,05 Schwingungen, die 13 Einzelwerte für jede» Pendel 
bis zu 1 Schwingung. Wir geben die Schwingungszahlen nach Baily ; 
mit welchen Meereshöhen und Koefficienten F derselbe reduziert hat, 
ist nicht zu ersehen. 


1 

% 

1 « 

5 

Paris 

London . , . 

48« 50* 14" 
51 31 8 

85930,86 
85942,49 

0,993860 
4129 


Gemeinsame Korrektion -J- 17. 

10. Sabine 1828—29 mit dem Pendel Nr. 12; Phil. Transact. 
1829 p. 83-102 und 1830 p. 239—255. Es wurde in London und 
Greenwich, dann nach Revision der Schneide wieder in London und 
Greenwich^ sodann in Altona und endlich nochmals in Greenwich be- 
obachtet. Die Beobachtung in Altona erfolgte an einem Wandkonsol 
mit besonderer Achatplatte, das später von C, F. W. Peters benutzt 
wurde (Nr. 21); über die Beobachtungsweise in Greenwich und London 
ist nichts mitgetheilt. Die wiederholten Beobachtungen stimmen im 
Endwert bis auf 0,22 Schwingungen. Wir geben die Schwingungs- 
zahlen nach Baily mit der Modifikation, dafs wir seine Angaben 
S. 88—89 unter Nr. 9 und 10 für Greenwich und London^ als wesent- 
lich auf denselben Beobachtungen beruhend, zusammenfassen. Welche 
Werte der Meereshöhen und Koefficienten F Baily zur Reduktion an- 
gewandt hat, ist auch hier nicht zu ersehen. 


1 

i 

« 

5 

Greenwich 
London . . . 
Altona . . . 

51" 28' 40" 
51 31 8 
53 32 45 

85970,30 
85969,59 
85978,54 

0,994145 
4129 
4336 


Gemeinsame Korrektion -)~ &• 

11. Fostcr 1828—31, nach Bailys Bearbeitung in den Memoirs 
of the Royal Astronom. Soc, VII 1834 p. 81. Es wurden 2 invariable 
fCaiersche Pendel von Messing, Nr. 10 und 11, und 2 unsymmetrische 
A'atersohe Reversionspendel von Eisen bezw. Kupfer benutzt; in fol- 
gender Tabelle giebt die Zahl in Klammer hinter der Schwingungs- 
zahl, welche für London auf 86400 reduziert ist, die Anzahl der be- 
nutzten Schneiden, wobei die Reversionspendel als je 2 invariable 
behandelt sind. Foster benutzte für jedes Pendel stets dieselbe Achat- 
platte, deren beinahe jedes Pendel seine besondere hatte. Auch 
wandte er 2 breitbasierte Eisen-Stative an, je eines für eine Pendel- 
Gruppe. Die Uhr hing an einem besonderen Holz-Stativ. Foster 
begann mit London und Greenwich] indessen wurde am ersteren Orte, 
Mr. Brownes Haus (öl^'AVS" Breite, 28«" Höhe), nicht auf dem Stativ 


198 


3. EapiieL Die Schwerkraft im MeereBoiveau. 


beobachtet, sondern an der Wand, wo 1818 Kater mit dem Reversions- 
peudel beobachtet hatte. Auch kamen daselbet nur 2 Pendel zur An- 
wendung. Die Greenwichei Beobachtungen sind nach Baily p. 45 
nicht einworfsfrei, vielleicht infolge eines Irrtums bei der Pendelauf- 
hängung; dieselben sind daher besser nicht zu benutzen. Obwohl 
wir dies gethan haben, sind sie doch von uns wenigstens in nachfol- 
gende Tabelle mit aufgenommen worden, weil die Differenz der beiden 
Pendel 103,08 Schwingungen vom Mittelwert der Differenz auf allen 
Stationen 103,44 nicht sehr abweicht. Baily beobachtete nach der 
Rückkehr der Apparate, da Foster auf der Reise verunglQckte, noch- 
mals in London in seinem Hause (öl*'31'26" Breite, 31*" Höhe); die 
Ergebnisse stimmen bei den beiden vorher benutzten Pendeln auf 
0,7 Schwingungen im Mittel. Im allgemeinen differieren die Pendel 
auf verechiedenen Stationen, Baily p. 71, bis zu 2,5 Schwinguugeu 


Die geogr. Breite des Kap d.g. U. setzt Baily gleich —33o 54' 37"; 
da aber im Observatorium beobachtet ist, nehmen wir — 33** 56 3", 


vergl. Nr. 8. 


- 1»27' 0' 

- 2 3135 

- 350 

- 7 5523 
+ 9 32 30 
-fl0 3855 


Para 

Maranham 

Fernando do Noronha 

Asceusion 

Porto Hello 

Trinidad 

St. Helena |— 15 56 7 

Kapd. g. H —33 56 3 

Montevideo —34 54 26 

[Green wich] -{-51 28 40 

London +513117 

Staten Island -54 46 23 

Kap Hom —55 51 20 

Sad Shetlaud Inseln —62 56 1 1 


12'" 86260,61(6) 0,990924 


24 
11 

5 
4 
6 
9 

10 
4 

48 

30 
5 

12 
7 


258,74(4); 

271,20(2). 

272,25(6)1 

272,01 (2) ! 

267,24(6)' 

288,29(4) 

331,33(6) 

334,36(2) 

398,90(2) 

400,00(6)' 

415,22(6) 

417,98(2) 

444,52 (6) i 


0881 
1167 
1192 
1186 


+ 1|0,666 
+2 
+ 1 

+0 
+0 


1> 


l> 


9t 


1077 +1 

1560;+1 

2549 +1 

2619+0 
[4104]'+ 5 

4129+3 
4479+0 
4543+1 
5154 +1 


>> 


JJ 


^y 


}} 


ff 


II 


>> 


if 


ff 


f> 


Gemeinsame Korrektion -j" 22. 

12. Lütke 1826—29 mit Üalh Pendel. Wir haben im Folgenden 
die Angaben von Borenius^ vergl. die S. 87 angegebene Schrift, be- 
nutzt. Sie weichen etwas von denjenigen Baiiys ab, entsprechen aber 
der neueren Angabe Lütkes im 3. Bd. der Memoires pres. ä fAcademie 
imp. de SL Petersbovrg 1837. In Kandalaks ist nicht von Lüike, son- 
dern von Beinecke beobachtet. Die Schwingungszahlen sind so redu- 


§ 25. Ältere Pendelbeobachtungen. 


199 


ziert, dafs »ie F Oslers Angabe fQr St. Helena eutsprechen; ebenso 
wurde von uns vorläufig ff für diesen Ort adoptiert. Die geogr. Breite 
desselben ist nach Baily augesetzt Die zur Reduktion aufs Meeres- 
uiveau angewandten Werte der Meereshobe und von F sind uns nicht 
bekannt. 


1 

Ualan^ Carolinen I.. 
CrUani. Ladronon I.. 

St. Helena 

Bonin Insel . . . . 

Valparaiso 

üreenwich 

Petro2)awlowsk . 

Sitka 

Petersburg 

Kandalaks 


|+5ö2ri6' 
+ 13 26 18 
-15 54 59 
+27 4 9 
—33 2 30 
+51 2840 
+53 59 
+57 3 
+59 56 31 
+67 7 43 

Gemeinsame 


86275,64 


280,85 
288,29 
322,10 
328,44 
399,25 
408,87 
420,62 
432,39 
452,55 

Korrektion 


0,991269 


1389 
1560 
2338 
2483 
4112 
4333 
4604 
4875 
5339 

+ 17. 


13. Parrot 1829—33, mit einem 24 Zoll langen iuvar. Pendel 
auf einer Chalcedonplatte an der Wand; nach Stebnitzki^ Astronom, 
Nachr, 1882 Bd. 103 Nr. 2472 S. 375, mitgeteilt. Diese Beobach- 
tungen, welche Daily noch nicht zuganglich sein konnten, verdienen 
Vertrauen. In Dorpal wurde vor und nach der Reise beobachtet; 
wir haben das £ für diesen Ort einstweilen nach Satvifsch, vergleiche 
Nr. 17» weiterhin, angesetzt. 

Die Koefficienten F haben wir bei Tiflis und Araral rückwärts 
aus den a. a. 0. ebenfalls mitgeteilten Schwingungszahlen ohue Re- 
duktion aufs Meeresniveau unter Voraussetzung der Benutzung von 
Douguers Formel berechnet. Bei Dorpal ist /* von uns zu 0,625 an- 
genommen; hier scheint ein Druckfehler vorzuliegen, da die Reduktion 
aufs Meeresniveau hier nur im Betrage von + 0,25 anstatt + 0,50 
Schwingungen eingeführt ist; dadurch entsteht 0,005'"'" Unsicherheit 
in £ — wir haben die fürs Meeresniveau angegebene Zahl beibehalten. 


2 


(i 


Ararat, Klott«r dot bei- 

ug.o Jakob 39" 46' 12" 1 883 -»i 110819,67 0,992901 ,-f- 225 0,62 

Tiäis 41 41 27 435 834,38 3165 + 56 0,59 

Dorpat 58 22 511 47 921,47 4726!+ 6 0,625 

Gemeinsame Korrektion -\- 21. 


200 


3. Kapitel, üic Schwerkraft im Heereuiiveau. 


14. Freycinel 1817—20 mit 3 Pendeln, davon das eine (Nr. 3), 
wie invariable iCatersehe, mit flacher, zwei andere mit runder Stange; 
Voyage autour du monde entrepris par f ordre du Bot, Observations du 
Pendule, Paris 1826 p. 29. Vergl. auch Mä. Transact. 1828 p. 38. 
Auf den Falklandinseln wurde nur 1 Pendel beobachtet Nach BaUy 
differieren die Unterschiede der Eigebnisse der 3 Pendel f3r die ver- 
schiedenen Stationen bis zu 6,5 Schwingungen täglich; doch meint 
er, dafs die Anwendung der 3 Pendel die Fehler eliminiere. Er re- 
duziert soweit nötig; für die Falklandinseln ist die Reduktion wegen 
der runden Form der Pendelstange etwas zweifelhaft. Hierauf kommt 
jedoch wegen der Unsicherheit der Messungen wenig an, ebenso wie 
auf den Umstand, dafs uns die im Original angegebenen Meereshöhen 
und Koefficienten F fehlen. Für Paris haben wir £ vorläufig nach 
Sabine, Nr. 9, angesetzt. 


Hawak 

Guam 

Isle de France Fott lioou 

Mauwi Smndw. I 

Itio Janeiro 

Port Jackson 

Kap d. g. H 

Paris 

ITalkland Inseln FrcnohSsy 


i 


— 0» 1'34' 
+ 13 27 51 
—20 9 56 
+ 20 52 7 
-22 55 13 
-33 51 34 
-33 55 15 
+48 50 14 
—51 35 18 


II 


86279,35 
300,86 
315,97 
315,41 
311,39 
351,96 
349,48 
406,00 
414,64 


0,990948 
1442 
1790 
1776 
1684 
2617 
2560 
3860 
4059 


Gemeinsame Korrektion + 18. 


15. Duperrey 1822—25 mit Freydneta Pendeln Nr. 1 und 3; 
publiziert (nach Angabe Baitya) in den Connaissance des temps 1830. 
Auf Ascension und Isle de France schwang nur Nr. 3. Nach BaUy diffe- 
rieren die Unterschiede der Pendelergebnisse bis zu 2,0 Schwingungen. 
FUr Paris haben wir C vorläufig nach Sabine angesetzt; Angaben fQr 
Meereshöhe und Koefficient F fehlen uns. 


Ascension ! — 7» 55' 48" i 90132,96 


—20 9 23 
-33 51 40 


Isle de France 

Port Jackson 

Toulon !+43 7 20 

Paris +48 50 14 

I 

Falklaud Inseln st. looi» i — 51 31 44 


159,63 
196,55 
232,31 
254,65 
266,44 


0,991182 
1768 
2581 
3368 
3860 
4120 


Gemeinsame Korrektion + 34. 


§ 26. Ältei'ti PendelbeobachtuDgen. 


201 


16. Biot u. Mathieu 1808 — 24 (?) mit einem Decimaläekunden- 
pendel. Wir entlehnen aus Biot» Memoire sur la Figure de la Terre 
(JUemoires de l'Ac. royale des Sciences de (Institut de France t 8 1829), 
da Baity diese Messungen nicht aufführt. Die Angaben bei Biot (im 
Folgenden, Kolumne 6) sind nur mit 2H:R aufs Meeresniveau re- 
duziert; wir haben daher (in der 5. Kolumne) auch die Werte nach 
Bovguer^ Formel mit /*= 7s beigefügt. Inwieweit vorstehende Werte 
sonst reduziert sind, ist nicht angegeben. Die Unterschiede in den 
[^eogr. Breiten mit den Angaben von Kater unter Nr. 1 für Unst und 
Leith sind wohl nicht ganz reell. 


1 

% 

s 

s 

0,993078 
3046 
3232 
3432 
3451 
3576 
3604 

1 3530 
3535 
3859 
4080 
4529 
4945 

• 



7 

Lipari 

38« 28' 37" 
38 39 56 
41 23 15 
44 36 45 

44 50 26 

45 19 
45 24 3 
45 28 1 
45 46 48 
48 50 14 
51 2 10 
55 58 37 
60 45 25 

gm 

203 

4 

223 

17' 

65 

31 

150 : 

406 ■ 
70 

4 
21 

9 

0,993079 10.625 

Formentera 

Barcelona 

Fiireac 

3070 

3232 

3458 

3453; 

3584 

3607 

3548 

3582 

3867' 

1 

Bordeaux 

Fiume 

1 

Padua 


Mailand 


Ülermont-Ferrand . 
Paris 


Dünkircheu 

Leith 

4080' „ 
4531 ., 

Unst 

4946 „ 


Gemeinsame Korrektion -|~ 19* 

Bessel hat in seiner Abhandlung über die Länge des Sekunden- 
pendeis in Königsberg (Abh, der Berl Ak. 182G; Werke Bd. 3 S. 164) 
die Beobachtungen von Biot, Arago und Humboldt in Greenwich\^Vl—\9> 
und in Paris (vor- und nachher) mit 2 unveränderlichen Pendeln, die 
nahezu Sexagesimalsekunden schwangen, reduziert. Man vergl, auch 
Biot et Arago, Beceuil ^Observations geod, 1821, sowie Walker, Account 
of the pendulum Operations (der genaue Titel dieses engl, indischen 
Pendel- Werkes folgt unter Nr. 19) App. 2 p. 32. Nach Sabine, Phil. 
Tr ansäet. 1828 p. 35, zeigten allerdings die Beobachtungen keine 
gute Übereinstimmung; immerhin scheint uns die Bestimmung ver- 
gleichsweise nicht ohne Wert, da beide Pendel die Differenz Paris- 
Greenwich bis auf 0,(XXK)34'» übereinstimmend geben. 

Setzt man die Schwere in Paris gleich 1, so wird sie darnach in 
Greenwich gleich 1,0(X)2523; hierbei fehlt die Reduktion aufs Meeres- 
niveau. Nimmt man £ für Greenwich gleich 0,994145, so wird es für 


202 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Paris 0,993894; nimmt mau femer die Bougtiersche Reduktion für 
beide Orte bezw. gleich -f~ ^^ ^^^ ~f~ ^^ Einh. der 6. Stelle, so fo^ 


Paris 


48« 50' 14" 0,993899 
51 28 40 4145 


Greenwich 
Gemeinsame Korrektion — 10. 

§ 26. Neuere Pendelbeobai*.htungen und absolute Bestim- 
mungen. Um den Einfluß der Luft vollständiger zu eliminieren, als 
es bei Anwendung invariabler Pendel oder aucb unsymmetrischer 
^aterscher Reversionspendel möglich ist, wurden in neuerer Zeit die 
relativen Schwerebeobachtungen mit invariablen Pendeln im Yacuum 
(nach j4irys Vorschlag) oder läit symmetrischen Reversionspendeln 
(nach Bessel, Astronom, Nachr. 1850 Bd. 30 Nr. 697 S. 1) ausgeführt. 
Leider hat sich herausgestellt, dafs im letzteren Falle die Stative 
mehrfach derjenigen Festigkeit und breiten Basis, sowie hinreichend 
soliden Untergrundes ermangelten, wie zu ein wurfsfreien Beobachtungen 
nötig. Wenn auch diese Fehlerursache bei den relativen Beobach- 
tungen gröfstenteils unschädlich bleibt, so besitzen doch infolge dessen 
nicht alle neueren Messungen eine im Vergleich zu den älteren Be- 
stimmungen erhöhte Genauigkeit, wie man gehofft hatte. Denn bei 
letzteren wurde an der Wand beobachtet oder es kam ein sehr festes 
breites Stativ zur Anwendung. (Von der Solidität des Sabmeschen 
Stativs haben sich weitere Kreise auf der Loan Colleciion in London 
1876 durch Augenschein überzeugt; vergl. auch den Bericht über die 
wissenschaftlichen Apparate 'auf der Londoner internationalen Ausstellung 
von 1876 S. 190). 

Das Mitschwingen des Stativs bei den neueren Reversionspendeln 
konstatierte C. S. Peirce für seinen Apparat gelegentlich seiner Be- 
obachtungen in Berlin 1875, wobei er abwechselnd das Pendel an der 
Wand und auf dem Stativ schwingen liefs*). Weitere Untersuchungen 
von E. Plantamour zeigten, dafs auch das Fundament des Stativs von 
Einflufs ist. Für das Yj- Sekunden -Reversionspendel der Schweiz 
von Repsold ist darnach wegen des Mitschwingens eine Korrektion 
nötig von 

+ 0,1724"»"' =0,0764 par. Lin. für festes Holzfundament, 
-t- 0, 1 302 bis -t- 0, 1 357'«"' = 0,057 7 bis 0,0602 par. Lin . für Stei nf undamen t. 


♦) Nach einer Bemerkung von C Bruhns in den Verhandlungen der perm. 
Kommimon der europ. Gradmessung zu Brüssel 1876 (piibl. 1877) S. 48. 
Vergl. auch die Verhandl der allgemeinen Konferenz zu Stuttgart 1877 (publ. 
1878) S. 22 u. Annex Ib S. 17L 


§ 26. Neuere PendelbeobacbtuDgen und absolute Beetimmungen. 203 


Hieraus erkennt man, dafs ohne Beachtung des Untergrundes 
eine Unsicherheit von mehreren Uundertelmillimetem entstehen 
kann*). 

17*. Sawitsch, Lenz und Smyslof 1865—68 mit zwei Repsold- 

sehen Vi -Sekunden -Reversionspendeln auf Stahlplatten; Memoirs of 

the Royal Asironomical Society 1870—71 vol. 39. Vergl. auch Viertel- 

jahrsschrifl der Astronom, Ges, 1874 Bd. 9 S. 44 und Clarke, Geodcsy 

p. 343. 


n 


D 


3 


Ismail 

Kischinef 

Kameuetz .... 
Kremenetz . . . 

Bclin 

Wilna 

.Jakobstadt . . . 

Dorpat 

Iteval 

St. Petersburg 
Nicolaistadt . . 
Toruea 


■45« 

i47 
I 

48 
50 
52 
54 


06 


58 
59 
59 
63 
65 


2()'34" 

1 30 

40 39 
6 8 

2 22 

41 2 
30 3 
22 47 
2G37 
56 30 

5 33 
50 43 


30'« 440,4479 

92 \ 5278 

178 il 5844 

297 " 6533 

141 7268 

101 li 8353 

83 8900 

68 9762 

3 441,0190 
8 0319 

14 . 1293 

4 I 2525 


0,993534 
3714 
3842 
3997 
4163 
4408 
4531 
4726 
4820 
4852 
5071 
5349 


+ 4 0,625 

+ 11 „ 

+ 21 „ 

+ 35 „ 

+ 16 « 

+ 12 „ 

+ 10 „ 

+ 8, „ 

+ „ 

+ 1! „ 

+ 2 

j >» 

+ 

1 
1 » 


Gemeinsame Korrektion -f~ ^^' 


Die 4. Kolumne giebt die ursprünglich beobachteten Werte der 
Lauge des Sekundenpendels in par. Linien um eine Konstante nach 
Lüfkes Beobachtung (vergl. im vorigen Paragraphen Nr. 12) derartig ver- 
mehrt, dafs sich die Zahlen den von ß^ater und Sabine erhaltenen Lungen 
einreihen. Für uns ist der Betrag dieser Konstanten gleichgültig, 
da Sawitsch auf grund späterer Messungen eine zweite Korrektion 
angebracht hat. Es wurden uumlich von Zinger in Ptükowa und 
von Hcaviside in Kew mit dem Apparat die Pendellängeu gemessen 
und die Konstanten des Apparats neubestimmt. Folgendes Täfelchen 
giebt diese Pendelläugen in par. Lin. und Metern sowie die früher 
ermittelte Länge für Petersburg^ welche nach der älteren Berechnung 
440,958 par. Lin. gegeben hatte, neu berechnet; Memoirs of the Royal 
Astronom. Soc. 1877-79 Bd. 44 (publ. 1879) S. 307-315. 


*) Verhandlungen der pertn. Kommission zu Hamburg 1B78 (publ. 1879) 
8. 9; ausführlich in der Abb.: Becherches experimentales sur Ic tnouvement 
simultan^ d*un pendule et de ces Supports par E, Plantamour am Schlüsse der 
Publikation über die Verhandl der dllgem. Kon f. zu Stuttgart 1877 S. 51. 


204 


3. Kapitel, Die Schwerkraft im Meeresnivean. 


T 


2 


6 


Kew 

Pulkowa . . 
Petersburg 


51« 28' 6" 
59 46 19 
59 56 30 


75"« 
8 


440,6405 
9428 
9488 


0,994156 
4838 
4852 


-1-9 0,625 
+ 1 


H 


Gemeinsame Korrektion -|- 16. 


Für das 1. Täf eichen haben wir mit Rücksicht auf die Neu- 
berechnung für Petersburg die 5. Kolumne aus der 4. durch Ver- 
wandlung der par. Lin. in Meter mit dem Logarithmus 7,3533062 — 10 
und unter Beifügung von — 0,041""" konstanter Korrektion ermittelt. 
Dieselbe berücksichtigt auch das Mitschwingen des StatiTS, welches 
im Mittel für beide Pendel nach Kuhlbergs Untersuchung, Asironom, 
Nachr, 1882 Bd. 101 Nr. 2416 S. 243, eine Korrektion von + 0,0650 
par. Lin. erfordert. Bei der 2. Tabelle ist diese Korrektion an den 
Angaben der 4. Kolumne beim Übergang zur 5. angebracht worden. 
Wegen mangelnder Berücksichtigung des Untergrundes haften viel- 
leicht an einzelnen Werten £ noch Fehler bis zu -f- 0,040^"*, da 
nicht überall dieselben Verhältnisse wie bei den Versuchen von Kühl- 
berg stattfanden, der in der Kegel auf Steinpfeilern beobachtete und 
vermutlich auch dafür die Korrektion bezüglich des Mitschwingens 
bestimmt hat*). 

In Bezug auf die erlangte Genauigkeit ist noch Folgendes zu 
bemerken: die Bestimmungen haben nach der Anordnung der Be- 
obachtungen mit Rücksicht auf alle Korrektionen die Bedeutung von 
absoluten Messungen. In KeWy wo 1873 — 74 Heaviside beobachtete, 
führten beide Pendel bis auf 0^0004 Zoll engl, zu demselben Werte, 
und der hieraus unter Beifügung der Korrektion für das Mitschwingen 
des Stativs berechnete, oben angegebene Wert*^*) stimmt mit einem 
weiterhin unter Nr. 19 aufgeführten, absoluten Werte, der mittelst 
eines anderen Apparats erhalten worden ist, auf 0,006^^. Diese 
Differenz erscheint für zwei wesentlich verschiedene absolute Be- 
stimmungen ganz unerheblich, wenn man beachtet, dafs Satvitsch nach 


*) Hr. Satoitsch korrigiert ia der 2. Abhandlung mit dem PlarUamourwhen 
Wert der Korrektion gleich 0,0765 par. Lin. Auf briefliche Anfrage erteilte 
aber derselbe seine Zustimmung zur Anwendung des inzwischen bekannt ge- 
wordenen KüMbergQchen Wertes. Bei dieser Gelegenheit worden wir freund- 
lichst in Kenntnis gesetzt über die Meereshöhen der Stationen und den Beirag 
des Koefficienten JP«*/^. 

**) Nach S. 258 des in Nr. 19 zu erwähnenden engl, indischen Pendel -Werkes 
ibt die Pendellänge für Kew nach denselben Beobachtungen zu 39,1345 Zoll 
engl. , d. i. mit den Verwandlungslogarithmen 8,4048298 — > 10 auf Meter und 
weiter mit 2,6466938 auf par. Lin. gleich 440,6394 par. Lin., anstatt 440,6405 wie 
oben, angegeben. Die geringe Differenz haben wir weiter nicht beachtet. 


§ 26. Neuere Pendelbeobachtangen und absolnte ßeBtimmnngen. 205 

S. 262 des engl, indischen Pendel- Werkes in Petersburg zwischen 
seinen beiden Pendeln sogar 0^018 par. Lin. Differenz hatte. 

S. 299 des ebengenannten Werkes wird als Endresultat zahl- 
reicher Untersuchungen des russischen Apparates in England und 
Indien hervorgehoben, dafs er entschieden den invariablen Pendeln 
mit festen Schneiden und soliderer Aufstellung nachstehe*). Selbst 
in der Anwendung mit festgestellten Schneiden und Achatplatten 
zeigte sich der russische Apparat den invariablen Pendeln nachstehend, 
wie dies folgende Zusammenstellung von Bestimmungen nach S. 298 
a. a. O. zeigt, wobei für alle Pendel in /iCew die Länge des Sekunden- 
pendels zu 39; 1401 Zoll engl., angenommen ist: 



Invar. 

Pendel 

Russische Pendel 


Nr. 4 

Nr. 1821 

Nr. 1 Nr. 2 

Ismailia 

39,0644 

.39,0646 

39,0660 39,0655 

Aden 

0243 

0243 

0241 0246 

üolaba 

0367 

0366 

0366 — 

Kaliana 

0584 

0585 

0608 0546. 


17*. Kuhlberg 1879—80 mit denselben beiden Pendeln wie vor- 
her; Astronom. Nachr. 1881 Bd. 99 Nr. 2370 S, 281. Die Schneiden 
sind während der ganzen Beobachtungsreihe in derselben Lage be- 
lassen, wie bei den letzten Beobachtungen von Heaviside in Kew 
(vergl. auch S. 200 — 242 des engl. ind. Pendel- Werkes). Um die Re- 
sultate denen unter Nr. 17* anreihen zu können, ist eine Korrektion 
angebracht, weshalb wir die Beobachtungen der Täfelchen von 17* 
und 17* als eine Reihe ansehen dürfen. 


3 


6 


Jeli8abethpol...!40ö40'53 

Batum 

Tiflis 

Duschett 

Gndaur 

Wladikawkas. . 


41 39 28 

41 41 29 

42 4 49 

42 29 17 

43 159 


427'» 

440,1714 

0,993098 

+ 50. 

2 

2522 

3280 

+ 

435 

2126 

3179 

+ 56 

846 

1368 

3062 

+ 100 

2247 

1476 

3087 

+ 265 

693 

2629 

3305 

+ 82 


0,59 
,0,625 


?> 


>> 


Gemeinsame Korrektion -|- 16. 

Die Korrektion wegen des Mitschwingens des Stativs ist auch 
hier beim Übergang von der 4. zur 5. Kolumne berücksichtigt. Wtth- 


*) Der Umstand, dafs die Schneiden für den Zweck absoluter Bestimm nn ff en 
nicht ganz fest angebraciit worden sind, vcranla(^te wahrscheinlich auch bei 
Versuchen zu Kaliana einen Fehler von 0,01 Zoll engl, in dem Ergebnis mit 
einem der beiden russischen Pendel. 


206 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 


reiid Kuhlberg sich noch der Plantamourachen Werte bedient: 
+ 0,0577 par. Lin. im allgemeinen^ + 0,0764 für Gudaur und DuscJietl, 
wo das Stativ auf Holzboden stand ^ haben wir die neuere, oben er- 
wähnte Ktihlbergsche Bestimmung benutzt und demgemäfs im all- 
gemeinen + 0,0650 par. Lin. angewandt, wie auch für Tiflis^ wo 
Stehnitzki beobachtete, bei anderer Grelegenheit geschieht.*) Für 
Gudaur und Duscheii haben wir die Korrektion auf + 0,0837 erhöht, 
um dem Holzboden Rechnung zu tragen. Einige Unsicherheit ist bei 
diesen Korrektionen allerdings nicht zu umgehen. 

18. Albrechl 1869 — 70 mit einem Repsold^ck&a Sekunden- 
Keversionspendel ; Publikaüoneti des kön, preufs. geod. Instituts^ asironom, 
geoddl. Arbeiten 1870 und 1872, 1869 und 1867 (publ. 1871 und 1874); 
vergl. auch A. Fischer, Astronom. Nachr. 1876 Bd. 88 Nr. 2094 S. 84. 
Die 4. Kolumne des folgenden Täfelchens zeigt die Beobachtungs- 
ergebnisse in Metern ohne Rücksicht auf das Mitschwingen des Sta- 
tivs; beim Übergang zur 5. Kolumne ist deshalb die Korrektion 
+ 0,0001820"» angebracht, die so bemessen ist, dafs für Berlin sich 
Bessela £ ergiebt. Wegen der Unmöglichkeit, den Untergrund zu 
berücksichtigen, entsteht auch hier eine nicht geringe Unsicherheit. 


5 





Mannheim I 49»29' 11" 125"' 

Bonn 150 43 45 62 

Inselsberg ! 50 51 11 |910 

Seeberg ! 50 56 6 '353 


Gotha . 
Leyden 


50 56 38 
52 9 20 


Berlin 52 30 17 


315 



36 


0,9937207 : 0,993903 ' -f 8 0,732 


38869 


I 


38926 I 

38835 

38036 

40252 

40498 


4069'+ 5 
4075 . -t- 77| 
4066 ' + 30 
3986 +27 
4207+ 0, 
4232*+ 3 


ff 


11 


ff 


*f 


M 


fy 


Gemeinsame Korrektion + 3. 

Die gemeinsame Korrektion ist mit Rücksicht auf den Aus- 
gleichuugswert für Berlin angesetzt. Bezüglich Mannheims mufs be- 
merkt werden, dafs die Erdschicht daselbst nur 100*" dick ist, 25"* 


•) Astronom. Nachr. 1882 Bd. 103 Nr. 2472 S. 375. Allerdings folgt mit 
+ 0,06&0 für Tiflis 410,2776 anstatt 440,2792, wie daselbst angegeben ist. Die 
kleine Differenz haben wir ebensowenig beachtet, wie die in der Breite, deren 
Sekunden daselbst za 31 notiert sind. Dagegen haben wir im obigen Täfelchen 
Tiflis mit den im vorigen Paragraphen unter Nr. 13 gegebenen, neueren Daten 
reduziert (mit den JTuWdfr^ sehen Daten 1/=»471'", F=- 0,625 wurde 
C = 0,993191). 


§ 26. Neaerc Pendelbeobachtungen und absolute BestimmuDgen. 207 

der angegebenen Höhe kommen auf einen Turm. Bei Inselsberg ist 
in der Publ. 1874 S. 225 bei der Reduktion aufs Meeresniveau für 
1800 par. Fafs der Höhe eine parabolische Bergkuppe gesetzt, dabei 
aber eine falsche Reduktionsformel angewandt. Indessen ist der ent- 
stehende Fehler wegen der geringen Abweichung vom ebenen Terrain 
unerheblich (etwa 0,002*""*) und innerhalb der Grenzen der Unsicher- 
heit der Reduktion überhaupt enthalten. 

19. Basevi und Heaviside 1864 — 74 mit 2 invariablen Pendeln 
(davon eines das Pendel Nr. 4 von Sabine) im Vacuum auf Achat- 
platten an festen grofsen Holzstativen; Account of ihe Operations of 
the great trigonometrical survey of India^ vol. V: Details of thc pendulum 
Operations^ Calcvtta 1879. Die Stationen bilden z. T. eine Reihe von 
2 zu 2 Grad Breitendifferenz auf dem mittleren Meridian Forderindiens, 
z. T. sind es Küstenstationeu. In Madras ist in demselben Obser- 
vatorium beobachtet, wo Goldingham die Länge des Sekundenpendels 
ermittelte. Der Unterschied der taglichen Schwingungszahl beider 
Pendel schwankt nach S. 133 a. a. 0. von 49,69 bis 50^91; die in 
A'ew 1864 und 1873 erhaltenen Schwiugungszahlen differieren für das 
eine Pendel um 0,1, fürs andere um 0,5 Schwingungen. Ebenso 
günstig ist die Übereinstimmung bei wiederholten Beobachtungen 
in A'aliana 1866, 70 und 73. 

Heaviside bestimmte 1873 mittelst Katers renoviertem Reversions- 
pendel für Kew die absolute Länge des Sekundenpendels zu 


39,14008 Zoll engl. = 0,994150 


m 


(a. a. 0. ä. 293). Diese Zahl ist in der 5. Kolamne des folgenden 
Tableaus eingeführt, vergl. a. a. 0. ij. 133. 

Die Kolumne 4* giebt die Anziehung des Terrains nach dem 
2. üliede von Bouffuers Formel mit /" = 0,025 in Schwingungen; in 
einigen Fällen ist darunter die unregelmäfsige Terrainanziehung be- 
merkt. Diese dem Original entlehnten Angaben Qbersetzt die 6. Ko- 
lumne in Metermafs. 


3 


Punnae ' 8» 9' 28" 


Küdankolam 
Minicoy . . . . 
Mallapatti . . 

Alleppy 

Pachapaliam 

Aden 

Mangalore . . 


8 10 21 

8 17 1 

9 28 45 
9 29 39 

10 59 40 
12 46 53 
12 51 .37 


I 


li 


15"- 85982,88 + 
51 85982,99 + 


2 

88 

2 

296 

2 


85987,02 + 
85983,34 + 
85985,90 + 
85984,77 ,+ 
85991,68 ,+ 


0,07 
0,26 
0,01 
0,44 
0,01 
1,50 


0,01 
2 (85988,89 + 0,01 


0,991005 + 2 

0,991008 + 6 

0,991101 + 

0,991010:+ 10 

0,991075 + 

0,991049,+ 35 

0,991208 + 

0,991144 + 


208 


3. Kapitel. Die Schwerkraft, im MeereBitiTeau. 


t 


Bangalore, Süd. 
Baogalore, Nord 

Madras 

Namthäb&d .... 

Cocanäda 

Kodangal 

Damargida .... 
Colaba(Boinbay) 

Somtana 


Badgaon 
Galcutta . 


Ahmadpür 

Kaliänpür 
Pahargarh 


Usira 


Datairi . 
Kaliaiia 
Nojii... 

Dehra . . 


Mua80ori( 


Ismailia 

Meean Moor. . . . 


13« 0'41" 
13 4 56 
13 4 8 

15 5 52 

16 56 21 

17 7 57 

18 3 17 

18 53 46 

19 5 

20 44 23 

22 32 55 

23 36 21 

24 7 11 
24 56 7 

26 57 6 

28 44 5 

29 30 55 
r29 53 28 

30 19 29 

30 27 41 

30 35 55 

31 31 37 


More 133 15 39 


Kew 


51 28 6 


950'» 
917 

8 
358 

3 

584 

593 

11 

522 

342 
6 

516 

538 
500 

247 

218 
247 
269 


85986,47 |+ 4,83 
80587,08 + 4,66 
85989,10 + 0,04 


85990,71 
85998,25 
85995,91 
85996,03 
86005,28 

86000,69 

86005,13 
86012,73 

86012,62 

86014,87 
86015,30 

86023,50 

86028,57 
86029,33 
86029,87 


H- 1.82 
H- 0,02 
+ 2,96 
+ 3,01 
+ 0,05 
+ 2,66) 

— 0,04' 
+ 1.73 
+ 0,03 
+ 2.62> 

— 0,07} 
+ 2.73 
+ 2,54 


683 86026,89 

2109 86030,47 

10 ! 86036,01 

215 1186036,36 


4696 


86119,19 


0,991088 + 111 
0,991 102 + 107 
0,991149' + 1 
0,991186+ 42 


0,991360 
0,991306 
0,991309 
0,991522 


+ 
+ 
+ 
+ 



68 
69 

1 

60 


0,9914161 + 

0,991518!+ 40 

0,991693 + 1 

0,991691 1+ 59 

0,991743+ 63 

0,991752!+ 58 

— ul'^'^^^^^l "^ ^ 

+ l'll !|o,992059i+ 26 


+ 1.25 
+ 1,36 


0,992077 + 29 
0,992089!+ 31 


+ 3.47j^ 0,992020 + 73 


+10,72i 
— 1,17' 
+ 0,05 


0,992103 

0,992230 
+ 1,09 ,0,992238 

+^^'^) '0,991965 

+ 0^02 ; 0,994 150 


+ 220 

+ 1 
+ 25 

+ 540 
+ 


GemeinRame Korrektion +19. 


Die gemeinsame Korrektion ist nach Mafsgabe des A'usgleichungs- 
wertes für AVt/; angesetzt. 

20. Bessel, Schumacher, C. F. W. Peters mit Sessels Paden-Pendel- 
apparat. Derselbe wurde von Bessel in Königsberg und Berlin^ von 
Schumacher in Güldensiein angewandt; Peters wiederholte nach Ablauf 
von 4 Decennien die Beobachtungen in Königsberg und Berlin auf 
Anordnung des Präsidenten des kon. preufs. geodät. Instituts, Baet/er, 
um die Un Veränderlichkeit der dem Apparat beigegebenen Toise zu 
prüfen. Die Enden derselben sind allerdings nicht völlig unbeschädigt 


§ 26. Neuere PendelbeobachtuDgen und absolute Bestimmungen. 209 

erhalten, jedoch wohl nicht in dem Grade, dafs die Bedeutung der 
Resultate illuBorisch würde. Vergl. die Abhandlungen der Berliner 
Akademie der Wiss. von 1826 und 1835 sowie das Referat in der 
Viertelt' ahrsschrift det^ Astronom, Ges. 1876 Bd. 11 S. 33 mit Angabe 
der anderen Litteratur und sonstigen Bemerkungen. Die 4. Kolumne 
des folgenden Täfelchens giebt £ in par. Lin., die 5. dasselbe in 
Metern. 


Berlin 

Galdenstein 

Konigsbei^. 


Bessel 1835 

Schumacher 1829—30 

Peters 1871 

Bessel 1826-27 

Peters 1870 


52^30' 16" 
54 13 9 

54 42 50 


s 
34 ml 

67 
22 


h 


6 


440,7390 
440,8076 

8018 
440,8179 

8294 


0,994232 
4386 
4374 
4410 
4436 


+ 3 
+ 


Gemeinsame Korrektion ffir B. u. Seh. -f- 13 
„ „ „ Peters +11. 


21. C, F. JV. Peters 1869 mit Lohmeyers symmetrischem Reversions- 
pendel mit festen Schneiden; Astronom. Nachr. 1880 und 81, Bd. 97 
S. 1, 98 S. 65, 99 S. 129 und 380 (Nr. 2305, 2333, 2361, 2376). 
Vergl. auch 1870 Bd. 76 Nr. 1810 S. 145. Diese Beobachtungen 
sind an festen Wandkonsolen ausgeführt; in Altona fand sich noch 
das Sabinesthe mit Ächatplatte vor. Dasselbe wurde auch in Berlin 
und Königsberg^ benutzt. Nur hinsichtlich des Metermafsstabes be- 
steht eine kleine Unsicherheit des absoluten Wertes, die jedoch die 
Differenzen der Angaben nicht wesentlich beeinflufst. Ffir Berlin 
haben wir in der 5. Kolumne £ vorläufig nach Bessel angesetzt. 


1 

Berlin .... 

Altona 

Königsberg 


'520 30' 16" 
53 32 45 


54 42 50 


34»« 

31 
22 


0,9941860 
0,9943007 
0,9944061 


0,994232 
4347 
4452 


+ 3 . 0,75 


+ 2 
+ 


0,76 
1 


Gemeinsame Korrektion — 4. 


22. C, S. Peirce\ Report of tlie Superintendent of the O. S. Coast 
and Geodetic Survey for 1876. Bei diesen Beobachtungen, deren Er- 
gebnisse wir aus dem American Journal of Science 1880 2. Hälfte 
S. 327 entlehnen, wurde ein Bepsoldsches Sekunden- Reversionspendel 
benutzt und wegen Mitschwingens des Stativs korrigiert"^). Nur be- 

*) Ferhandlungen der allgem. Kanferem der europ. Chadmessung su Stutt- 
gart 1S77 (pnbl. 1S78) S. 173. 

Halmart, mAtbwn. n. phjsik. ThtoriMii der hob. OaodAiio. II. 14 


0,75 
0,74 

1 


210 


3. Kapitel Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 


achtete Peirce nach E. Plantamour und Celtetier noch nicht genfigend 
die Verschiedenheit des Fundaments*), und es besteht hinsichtlich 
des Metermafsstabes eine geringe Unsicherheit. Die Differenz mit 
Bessel für Berlin ist z. T. dem Umstände zuzuschreiben, dafs das Meter 
jetzt um etwa 0,Ü08"™ kleiner definiert ist, als gesetzlich aus der 
Toise (^Annual Report upon the Surveys of nothern and northwestern 
lakes in Charge of C. B. Comstock 1881 p. 2788). 


1 

Uobokeii . 
Paris .... 
Kew .... 
Berlin . . . 


I' 


6 


40» 44' 31" 
48 50 14 

51 28 6 

52 30 16 


gm 

70 

6 

35 


0,9932074 
39500 
41790 
42482 


0,993207 
3950 
4179 
4248 


+ 1 ,i 0,74 
+ 5 
+ 

+ 3i 


J> 


i> 


V 


Gemeinsame Korrektion — 13. 


In vorstehender Tabelle ist die 5. Kolumne lediglich eine Ab- 
kürzung der vierten. Die Meereshöhe fQr Hoboken haben wir rück- 
wärts aus den Originalangaben für die Länge des Sekundenpendels 
ohne Reduktion berechnet und dabei F so angenommen, dafs damit 
für Paris, Kew und Berlin die bekannten Werte von H heraus- 
kamen. Auch die geogr. Breite für Hoboken ist rückwärts berechnet 
aus den Angaben von Peirce für die Reduktion auf den Äquator; sie 
ist auf 2" sicher. 

§ 27. Zusammenstellung tou Bestimmungen am gleichen 
oder naliezngleiclien Orte. Nachstehende Tabelle giebt für diese Be- 
stimmungen diejenigen vier Decimalstellen der Längen £ des Sekunden- 
pendels, welche hinter 0,99 folgen. In den Fällen, wo die geogr. 
Breite gleichnamiger Stationen bei verschiedenen Beobachtern ver- 
schieden ist, wurde mit -f- 0,000001. 5 sin 2B ABj für AB in Minuten, 
auf die angegebene Breite reduziert Diese Reduktion entspricht der 
Variation 0,0053 C sin^-^ in C Während liew York und Hoboken 
bei 4^"* Distanz mit Rücksicht auf diese Reduktion noch als eine 
Station betrachtet werden durften, ist dies bei Kew^ London und 
Greentvich nicht geschehen, da hier die Distanzen successive 2 und 1 
geogr. Meile betragen. Die gleichnamigen Stationen Falklandinseln 
bei Freycinei und Duperry sind bei 1 Meile Abstand wegen sehr ver- 
schiedener orographischer Verhältnisse als verschiedene Stationen 
aufgefafst; ebenso Gnam bei Lüike und Freycinei wegen 3 Meilen 
Abstand. Diese Stationen brauchten in der Tabelle gar nicht auf- 
geführt zu werden. 

*) Verhandlungen der dllgem. Konferenz der europ. Gradmessung zu München 
18S0 (publ. 1881) S. 6 Annex IIa, Bericht über die Pendelbeobachtungen. 


§ 27. Znsammensiellnng V. BestimmuDgen am gleichen od. nahezugleichen Orte. 2 1 1 


,.0K ,99 o69 


00 




lO 
GO 


,,6t ,SS o89 

^«dJOQ 

,,6€ ^9 o99 

,,6,€Tot9' 
nia»«uapnj{) 

,,9t,8«o89 

«uo4iy 


CO 


G4 

00 

<;o 
Ol 


,9T ,0e oS9 




Ol 


o «o 

^ CO 

GO t» 

«O 00 


Ol 

o 


CO 

eo 

CO 


uixieg ,! 


8 ,18 oT9 
napno^x 


„Ot ßZ oI9 
qoiMOddJf) 


„9 ,85 oT9 
,n ,09 o8t 

SUBd 


„85,T»oIt 

„ie,ttoOt + 
ua^oqoH 

„e ,99 oßß — 
H a -p d«5i 


„iC ,19 oß« — 
aofl^f «IJO j 

~2.T ,99 oZZ — 

OJtÖWBfOJg 


04 

00 
0« 


00 

o» « 

CO -^ 

O« Ol 


oie«o<04oio«o30« 


yO ^ G* 

"* o ^ 




CO 
lO 


o 




•^ "* 


o 

CO 
GO 
CO 


o o o> 

CO CO O 

00 00 oo 

00 CO CO 


00 
00 


lO 
CO 

CO 


00 


00 
Ol 


** 

Ol 


„ot ,6 o08 — 
ooimij op 9|8I 


Od 


kO 

©I 

^ 00 
CO tO 
O l Ol 

«^ 

CO 


o oo 

O» CO 


,L ,99 o9I — 


.,8,to€I + 
[BBipBn] 


,99 ,8g oOI + 
pwpinux 

„98 ,99 ot — 
go OTposy 

„68 J8o5 — 


O iH 
CO CO 




Ol 

o 
o 

Ol 

oo 

oo 

o 


o 


OD 
00 

o 


Ol 

00 


s 

1 

a 


a 


£? 


3 2 TJ 'S 's -s -s s s a s^ §• 


o 

00 


o 


• • 


o 

Ol 

00 




.-• «-I M 


kl 

M § 'S S S 
ö 'S f^ rt 

S3 


S 

tä 


^ -2 J j2 '? -ß ^ 


tS:^32oaS^ 


o o 


■P « 3 


.«? « 


X X o 

M l>4 U 

.^ O' 0> S 


Ö5 >Ä * r* «* * r^ *^ i^ r*^ /S « « w * w m w 4J ^ n^ «® -* 


C» 


CL," a 


fH Ol 00 CO 00 o» 


Öt^oico'^»6coi t« a» 


o 


I »-* oi 
I Ol o« 


212 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Als besonders brauchbar sind zu nennen die Reihen 1, 3, 6, 8, 9, 10, 
] 1, 13, 19 und 21. Die Genauigkeit beeinträchtigende Momente liegen vor 
bei Reihe 2, Goldinghami das Pendel ist nach der weiten Seereise nicht 

zurückgekehrt; 

14, Freycineti grofse Differenzen, gemildert durch Anwen- 

dung von 3 Pendeln; 

15, Duperry: ziemlich grofse Differenzen, zwar kleiner als 

bei Freycinei, aber auch nur 2 Pendel; 


17, SawUsch u. 

Kvhlberg 
22, Peirce 


nicht völlig befriedigeude Berücksichti- 
gung des Untergrunds; Schneiden nicht 
absolut fest; 

20, Bessel^ Schumacher u. Peters: absolute Bestimmung. 
Über 12 und 16 sind uns nähere Umstände nicht bekannt. 

Für die Ausgleichung der Ergebnisse gemeinsamer Stationen 
wurde noch Folgendes erwogen: Aus den Reihen 6, 10, 21 und 22 
gelangt man mit London «=» 0,994129 auf 2 Wegen zu ICew, und zwar 
findet sich Kew = 0,994146 und 52, im Mittel 0,994149, was mit den 
Werten für Kew in Reihe 17 und 19 leidlich pafst. Nun sieht man 
aber, dafs die Reihen 2 und 19 nicht harmonieren, sondern für 
Madras stark von einander abweichen. Mit Rücksicht auf obige Be- 
merkung zu Reihe 2 wurde daher ihre Angabe für Madras als in der 
Ausgleichung nicht stimmfähig weggelassen, womit die Reihen 2 und 
19 überhaupt aus der Ausgleichung herausfielen. Ausgeschlossen 
wurde auch der Wert für Paris nach 22; derselbe wird nämlich, wenn 
A^^2^ s=s 0,994150 gesetzt wird, gleich 0,993921, was mit den älteren 
Bestimmungen ganz und gar nicht stimmt und vielleicht auf die ge- 
rade bei Paris zweifelhafte Berücksichtigung des Untergrunds in 
Reihe 22 zurückzuführen ist. 

§ 28. Ausgleichung der mehrfachen Bestimmungen. Die- 
selbe erfolgte nach einer Annäherungsmethode (vergl. Ausgleichungs- 
rechnung 8. 154 — 158), wobei alle Bestimmungen als relative aufgefafst 
wurden. Es ergaben sich die Resultate beistehender Tabelle (S. 213). 

Die konstanten Korrektionen der einzelnen Reihen, welche sich 
zunächst fanden, wurden um eine gemeinsame Korrektion so ver- 
mehrt, dais den absoluten Bestimmungen von Heaviside, Besselj 
Schumacher und Peirce möglichst genügt wird, also die Summe der 
Reihenkorrektionen zu 17, 19, 20 und 22 null giebt: Diese Korrek- 
tionen sind gegenwärtig + 16; + 19, + 13 und — 13 Mikrons 
(Tausendelmillimeter); denkt man sich aber mit Rücksicht auf die 
Bemerkung zu § 26 Nr. 22 über die neue metrische Längeneinheit 
die Angaben in Nr. 17, 19 und 20 durch Beifügung von -|~ ^ ^^^ 
neues Metermafs reduziert, so sind die Reihenkorrektionen nunmehr 
-f- 8, + 11> +5 ^^d — 13. Da jedoch in den beiden ersten Fällen 


§ 28. Ausgleichang der mehrfachen Bestimmungen. 


213 


(tfTTl 

CO c« o> <Hi e« 

O 99 OD 04 e« 

^ ^ iH eo 1^ 

00 Ol ^ 
«o ce lO 
0« «0 -«(ii 

«0 -^ 
Ol lO 03 
Ol Ol 

> 00 

vi 

^ CD t« 

-^ t« 0» CO 

01 O» vi Ol 

5 S 
-* 1 

'^ i 

OD 

00 09 kO 9< Ol 

1^ tH O 1^ 

+ 1 1 

-^ "iO " ■'Jt (N t* 
«^ «H «H 

+ + + + + 

01 ei 00 /N Ol 

00 tO CO 04 

lO '^ CO Ol 

"* 00 Ol CO CO 
Ol r^ ~ rM ' Tl "0 

+ + + 1 

CO CO ^ -^ CO 
vi vi vi vi 

+ + +11 

•JJ031 

-aaqrd}] 
.Üinq 

CO *1 IH 

lO Ol t» 1-4 
0« «H 04 

+ + + + 

eo Ol th Ol 

Ol Ol IN 

+ + 4 

"CO «^ " OJ 
*H CO *H 

+ + i 

»N vi 04 

1 vi 

: +_ 

* 

1 V4 

- 1 

1 Vi 

Ol Ol Ol CO Ol 



CO «» 

§+•••• 

• » • • 

Ol 2 ~ 

• • ST • 

s 



0» Oi 

• * 1 



1 . . . 

00 00 

s+ • • • • 

CO Ol eo 

00 


• 

Ol •• 

2+ • . . • 

'«J« Ol Ol "* 

2 1 

1 -* ' 

q»?oT : 

&iaq ■ 

eo « 

gl- • • • 

• • • ■ 

00 ^ 


Ol Ol ^ 

i 1 1 




00 ^ t* *o 00 ^ 

Ol r*"^ 1 "* 1 . 

vi 00 CO t- 




«^ ^ ^ 


-n»pi0O ] 
vuo^lY 


• • • • 

• • • • 


Ol 

Oi 
CO 

1 04 
Cfl 

'«♦ 

iC 

cc 

Ol -^ 


1-1 ^ 

s+ • • • 

• • • • 

CO ^ 

■ ■ • Sl • 

o« 

1 «0 

•ntpaa 

<H< •!• . ©IXCO 

1 VN ec 

■ 

CO « ^'« OO « iH « 50 « 

2I2+H12+3 

I OO+O'? . 

_ . 

Ol Ol ' Ol 

^+ 

uopaoq 


v4 t- r~ 

«^ . V4 




vi 
vH 

1 

lO 

qaiM 
-nadJif) 


«- d* i 
»0 j . oir^ . 

• • « 

lO 
CO- 

V4 

• 



h 

vi C3 

+ 

00 

CO 

• • • • 

• ■ • 

Ol n CO *> 

0> Ol «^ 

CO 

vi 

'uaii 

JOH •« 
•p d^s 

aO'*«^2!«>'*o*^ 

r CO »00 1 00 '00 

CO CO CO CO 

«0 "* 

• s+ .... 

CO 

1 

Ol CO iO t^ 

00 , 

00 4- 

00 ' 

2 1 . 

CO 

Q Ol 0« "^f 

00 •> 

00 

0» «' 

• 2S 1 • 

Ol 

• • • • 

• • ■ 

5+ • • 

Ol 

Ol ' Ol 

• 

• • • • s 1 

CO 

vi eo 0« lO 

2+ 

eo *^ 

04 

• 



V4 CO lO 

OD , 

01 ' 

i0~0 'oi~oi 

Ol 

• S 1 • • • 

• • • « 



Ol 

'OJiaa 

010 

^ 

04 04 CO 

V4 

•wiai 

^H IS 
•pup 

HOM 

-ua;>»y 

-ai«q 
-nwn 

1 



00 *> «M *> 

0104-, 
00 ' 00 ' " 


•0 Ol Ol 



Ol »^ 00 « 

. 00 1 t«4- . 


_ . — 

00 



vi <-4 Ol CO 
00 , 

2+ 

• • Sl • • 






0» <» 

• • 

• S+' 

1M 

• 

» • 



v^ ,-4 Ol lO 

S 1 

t* vi CO 

2 + 

_ 

■ • ft • 

• « • • 

• • • • 

• • 

« • < 

• • 

i ^ 

»»^ Q^ -iJ 

S a .S 
Ex Q OC 

• 
• 

• -4 
n' 

• . . . . 

^T • • • • 

_ö • • ' • 

'S ^ • • • 

*** jo OB a> 
»/ ^ a> 0/ S 

es . 4> o> 0^ 
C/} PQ CLi Qi Ol 

S 

_ 

& 

a 

1: 

S t-L 

Ol 

1 

04 

^1 

»0 

: 

en 
« k «> 

ä S s 

fl? ^H »»4 _2i "^ 

-S 'S ^ Ä »^ 

M W CO Es« GQ 

§ S » 0' 

OD pE4 iJ CLi 


• • • • « 
vi 00 <0 OD 0» 

• • • • 

«-i Ol 00 
vi vi vH ^ 

Hl »6 «e 

W vi iH 

i 1 

t-i Ö 1 vi 0« 
vi Ol 1 0« Ol 



214 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Mceresniveau. 

dasselbe englische Normalmars zu gründe liegt, haben diese beiden 
Korrektionen nur zusammen das gleiche Gewicht wie die 3. und 4. 

erhalten. Die Summe von — (8 -|^ 11) + 5 — 13 ist in der That 

genügend genau gleich null. 

Die Tabelle zeigt also die Zahlen der yorhergehenden Tabelle, 
vermehrt um die den einzelnen Beihen zukommenden konstanten Kor- 
rektionen. Unter jedem Wert ist die Verbesserung l in Mikrons an- 
gesetzt, welche die Ausgleichung fordert. Die Gewichte g sind nach 
Mafsgabe der Bemerkungen am Schlüsse des vorigen Paragraphen 
geschätzt Dafs nun wirklich sehr nahe eine Ausgleichung nach der 
Methode der kl. Qu. vorliegt, zeigt sich darin, dafs fQr jede Horizontal- 
reihe die Summe [A] und für jede Vertikalkolonne die Summe [Xg] 
nahezu null wird. (S. vorh. Seite.) 

Die Anzahl der Unbekannten der Ausgleichung ist gleich 21 -{- 18 
= 39, indem relative Werte für 22 Orte aus 18 Beihen mit 18 Beihen- 
korrektionen bestimmt sind. Hiermit folgt der m. F. einer Beobach- 
tung vom Gew. 1 in Mikrons gleich 


/; 


4572 j . , -ß 
d. 1. + 16. 


57 — 39 

Fürs Gew. 2 und 3 wird er bezw. +11 und + 9 Mikrons. 

Bildet man die Durchschnittswerte von XXg für die 3 Gewichts- 
klassen, so erhält man 

Gew. 1 1054 : 14 = 75 
„ 2 2774 : 32 = 87 
„ 3 744:11 = 68, 

woraus man erkennt, dafs die Gewichte im allgemeinen ziemlich rich- 
tig angesetzt sind. 

Mit Bücksicht auf die Belation £ = Cow':V (vergl. S. 192) 
findet man, dafs den m. F. 9, 11 und 16 Mikrons in der Lange £ 
des Sekundenpendels die nachstehenden m. F. in der tagl. Schwingungs- 
zahl entsprechen: 

+ 0,4 , 0,5 und 0,7 , 

Beträge, die recht plausibel erscheinen. 

Günstig erscheint das Ergebnis der Ausgleichung auch insofern, 
als der kassierte Fostersche Wert für Greenwkh durch dieselbe in 
0,994126 übergeht und nur noch 17 Mikrons Fehler aufweist. Günstig 
ist auch, dafs die in den Beihen 17 und 19 auftretenden absoluten 
Bestimmungen für Kew durch die Ausgleichung sich bis auf 3 Mikrons 
nähern. 

Über die konstanten Korrektionen derjenigen Beihen, welche sicji 
nicht in der Ausgleichung befinden, ist schon bei den Au&tellungen 
in § 25 und § 26 das Notige gesagt. 


§ 29. Übersicht der Lftogen des Sekundenpendel«. 


215 


d 

9 

« 

i 8 

- a « 

^ ^ «^ 
a u S 

« 5 


1 




OD 

'S 




09 




u 
9 


'S 

im 


•49f^«Ji«qO 




'p«H''**>^P°oX 


'S I *s n • 

•" M " lA 


§«5 

s s 


9 


2 S 


CO «e £3 « r. 


05 


c « 
S ^ 


• 


o 


'S 

o 
► 


a tp 

9 • 

M 


a 

's 
► 

CO 


5 5 




« 

SS 

«« OB 

•^ s 

'S ScQ 


o 

< 

5g 
« tp 

H 




d 
« 
te 
« . 

w 

dS 

an 

So 


;. 8 • 
d * ^ 

^4 o ^ 
JS fc S 

Sc SS 




d . 
•"• .■ 

»'S 

..a 

8 •« 
o d 

BS 


3 


CO M 



£ iE 

« m 


CS 

► 
8 


d 
« 

»4 
« 

d 

•*4 

CO 


E 


«^*« 


QO 
Ol 


04 


t- o 


Ol 


k 


CO 
Ol 


CO 
Ol 


iO 1H 


► 
o 

s 

« 
d 
0» 


o 


Ol 


k ^ H 


Ol 


CO 
Ol 


01 

Ol 


eo 


Ol 
Ol 


CO Ol 


I 




^ t>» 


I 

v9 w9 


I + I I I + + + 


Ol 


o 




91 

S9 


«HO Ol Ol ^ o 

^ iM eo 

Ol 


01 

^ 

t<« 

»1 

>o 

U9 

«0 

«0 


Od 00 




•9 t» 

09 09 


O^OOIOOOO 

o r- Ol Ol »o 


I +11 +1 +1 +1 I +1 +1 +1 I 


O eo 

«o 
eo 

CD 
Ol 


CD 

eo 

CD 

eo 

CD 
Ol 


o 

CO 

CD 
CO 
CD 
Ol 


tO 
CO 
eo 

CD 
CO 

CO 
Ol 


«H ^ «H 

OD CO O 

lO iO 00 

eo CO CO 


CD Ol 

00 1- 

CO CO 


00 
CO 
CD 
Ol 


CD 
Ol 
CD 
Ol 


Ol 

CD 
Ol 


o *o 
a> CO 

Ol Ol 


CO 


00 
Ol 


CO 


CD 

eo 


t- 

CO Ol 

01 Ol 


+ + ++ + + + ++ + + + 


kl 
^ S 

o o 


o 


kO 
kO 

o 


0) 

CO 


n 


eo '^ 

^ o 


C*^ &q 


.d 
fit 2 

H • 

O « 

« 


a 


eo 

c 

OD 

Ol 


CO 

% 
% 

eo 


e 
O 




o 
eo 

CD 


fei 




Ol 


o 

eo 


^< 




Ol 


Ol 

CO 


09 

o 


CO 

o 


CD 

o 



o 

Ol 




00 

o 
o 


o 

CD 


CO 
0» 

CO 


O 

EX4 


0> 

00 




Ol 

d 


QQ 


CD l- 

00 — 

01 Ol 


l- o 

•M Ol 

o ^ 


PS Pc^ pf ^4 ;«^ k^ 


00 


CO 

o 


— Ol 

^ «^ 

O CD 

CD ^ 


o 

Ol 

kO 


Ol 


Ol 


kO o 


CD 


CO 


CD 
eo 


'<'<,'< 


CO kO 


tH Ol 


SO 




ä 


oS i 

oS "O^S 

«Od« 

O 




<0 

oS 


CO 


<s 


oS 

ex. 


o 


o 


S Eh 


»-• lA 
Ol kO 


5 

8 

d 

d 
« 

.2 

§ 


00 

Ol 

0» 


00 


Ol 

O r- 
00 00 


o 

» OD 

D < 


es 

a 

a 


'S 'S 


»4 




04 


eo 


CO »• 


00 


*H Ol 


1 


216 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 


S 

CO 

S 

M 

u 

I 

« 

n 


d 

s 
a 

o 

OD 

« 

PQ 

1 


• 

& 


ja 
et 


7? 




•e 


o 

a 

I 

a 

o 


■** 

s 

In 
O 







d 

o 
► 

t 


d.d » 

4* ■•* *3 

Mo«* 
d 

d •■o 
J • 


3 

dt 

o 
o 


« 


8§« 

SS 


IS 


s 

00 


00 o« 

00 


<0 Ol 


e« 


CD 


O 


00 


k ^^ ^< s 


^Ui Ui ^PqUtkfHH 




»-• 00 
O r-i 


CO 


CO 


00 cor— I 

CO «2 


kO 00 
^ aO 


I + I I + 


+ I + I I +± I I I 


^ "B £ 5 2*" 



eo 


^ OD 
09 09 


OD 
00 


•9 t« «^ 
lÖ QO vH 00 

00 60 00 


C» O 
00 00 


s 

00 


t- t* o ^ o 

O« «H «H kO 


»1 r- 


tO o 
CO 9< 


o 

Ol 


00 O *H 




O kO 


o 

kO 


*p9S-*aaopaoa 


+ 1 + 1 I +1 


+ 


I +1 ++I + I I 


•o I ^ «. 

04 •* 


A <0 0> t« 

0) Ol O« 00 

Zr ^ ko lo 

o oQ eo eo 


o t- 

O •'«1' 

r- kO 

00 00 


eoko 00 kO«OkO fr^r-o 

v^o eo oor«oo ooio^ 

io<o kO »o<4«io <^t«ao 

00 eo eo eo oo eo oo eo co 


*=* X 


Ol 
Ol 

kO 

o« 


^ CO 

O) o« 


Ol 
Ol 


kO 
Ol 


kO 00 

^ CO 
Ol Ol 


lO o o» t« 

CO eo eo CO 

Ol Ol 0« e« 


CO ^ Q 

CD kO 2 

CO CO eo 

O« O« Ol 


+ ++ + + 


++ + + + +++ + 


2 






i 




9 

jd 


& 




•s 

OQ 




hl 

00 

O 
Ex 


tu 

00 




a 

OQ 


OQ PQ 


- o 

O 


cd »^ 




o» o 


kO "* 
00 0> 

o o 


00 r^ 

O» 

01 o 


OOt« CO kOt«0DcD^CD 

CDOl CD ^OCD00G«O 

OOl ^^ 01«HiH^«-4^ 


CD 


> Kj&q fe fe: 


kO 
00 
o 
kO 


00 O 


kO "dt 


kO 

kO 


kO 


-^ CO 

OO 


O 0« 
tO Ol 


(aq ^ Pq k) Pq ;äq ^ 


eo 
eo 

Ol 


^ t- t« 

»O vH tO 


0« CD 
Ol 09 

kO Ol 


00 

eo 

Ol 


te; teste! fe; i^ 


00 
Ol 

Ol 

o 
00 


kO O 

00 O» 

et Ol 

0» a 


o 
eo 

Ol 

eo 


CD 
kO 

00 

eo 


tejte; 

O 00 
^ tO 

Oi CD 
kO '^ 

O Ol 


OQ Je; k; fei ^5 ^25 


00 


Ol 


^ IH 00 
Ol ^ 

o> o -«* 


Ol 


00 


CD 00 
kO «H 

"<*• CD 
Ol 

CO 00 


01 


a 

et 


u 


0) 

d 
o 


OS 


OD S < 


0) 

OQ 

o 

X 

o 




0) 

o 

'S 


OQ 

O 


'S s I 

n pQ S 


O hJ 

ri 

OQ O 


00 ^ kO 


fc'- 


OOO» O v^OlOO "^fkO 

«H«H Ol oioioi OIO« 


0« 


§ 29. Übersicht der Rängen des Sekundenpendels. 


217 



B 


•qQqasiMjf 




•s 

> 


i 

• 

•p^- luepaox 


- 
Z ^ OQ 


s ^ 

S 8 
^ X 


1^ 

9 ♦• 




n fiB 3 
a< 


a 
o 


^ 




O 


OD 

•«4 


a 

o 

•o 
o 

•1 

II 

H 










:-Ä« ^ 


— • ■*• ^ 

H S 



sl "Sgl 

s 


.» 


• - 




S « « i 

-5 d2%-i o P 


I O ( 


01 



f 
oo 

00 


CO 


ä 


00 00 


Ol 

lO 


UJ&, Nfc. N ft( H 


Ol 

• 

CO 

CO 

0« 

9« 

CO 
kO 

ft< 

N 

« 

^ 

{«J 

fc< 






CO 
91 


CO Ol 


CO 
kO 


O» tO CO O« O» 
«HO» CO CO 


+ 1+1 1+ I IIII + 


I + I 


A*0 


«0 

3 


09 03 


00 t>» 
60 OO 






o oo 

9* O 


o o» 

Ol CO 


S 


1-« o 


oe ««( M iM o 

«9 ^ kfd ^ OD 

SO lO O ^ 

00 OO 00 60 


kO 

00 


oe 


s 


ikO kfd 

60 60 


O O O O ^ t* 
CO t« <^ iO G4 


«H O (N CO 0> 
«^ «H lO 


+ + I 1+ 1+ +1 +I + I+I +1+1 + 


A CO O 

0» oo 9« 

Zt"* oo 

O 00 00 


flO^ OOOO ^ 00^©i«^CO 

COO C0>O C4 O^^COO 

lOiO co^ CO «oaoiot^io 

COCO OOCO 00 COOOCOCOCO 


CO 

oo 


«^ o 

00 00 


oo 

G* 


o» 

CO 


0> Oi 

00 !<• 

01 91 


+ + ++ 


CO O 

eo oo 

+ + 


CO eo o >Q r« CO 

CO r« o t* CO (N 

o o o o> O» 0» 

<N €4 e« tH «H iH 


CO 
00 


00 o» 
oo t* 


++++++ +++ 


s 

cri 


<1 


u 

cd 


.2» 


S' • ^ 'S 

BD pM o) es 
^ CQ P«- 


0> O OD 


O» lO 

00 OO 


t* OO 
0> Ol 

■^ 00 


lO lA t* <^ 
00 O CO 0> 

<^ OO kO r« 


c6 

Ol 


'S) * 


Ot 


»o 


o 


f*4 

c» 

e 


fei 


o 


1= Eiq^ psfe} ^ ;^&qfe|^^ 


oo 


oo ^ 

lO 04 

e» ko 


•^ CO 
O» kO 


CO 

o 


e* OD 

Ol 


O» Ol 


CO 

oo 


kO lO kO O» 
t* tO t« kO 


CO 


CO 

kO 


teii<; 

Ol kO 

CO t* 

kO 


CD t* 


fe;fei 


CO CO 
kO 

r- oo 


CO 

00 
kO 

OO 


< CO 
o o 

kO o> 


fei ü; fei 


CO »• 
04 

^ 04 

•^ kO 


Ol 

Ol 

CO 


W9> O 
1-« Ol 


B 

m 


TS 


es 

C8 

^ 



e« 

0) 

•3 

09 

a 

m 

08 
t5 

CO 


1 1" 

o o 

O tad 


c8 
08 'S) 

a § 


B 

o 

& 

CS 

o 

ü 


o 

a 

es 

s ® 

S a> 

S 'S 


o o ^ 

04 ^ Ol 


-^ i 

•S 'S 

^ oS 

Ö ^ '^ 

Ig s 

c8 «8 




CO 
CO 


kO 
kO 

Ol 
CO 

04 
Ol 


J2 f«^ 


OO 

eo 

kO 


CO 
Ol 

kO 


cc <<< 


^ Ol 


kO 

kO 

0« 

04 


CO 

CO 

CO 
Ol 


cc 




o 


o 

® 2 

oS "^ 

i-> eS 

» J 

P3 -<! 


cor« ooo» o«-< 04 eo-^kOcot* oo o^o 

OI04 0404 COOO CO COOCOOOOOO CO 90*^ 


218 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresnivean. 


Bemerkongen , 
ezug auf Anomalieen 
kalen Charakters. 

hügeliger Felsboden. 

flacher Gipfel eines 45"» 
andsteinhflgels. 

Hügel 60«» über der Um- 

Bother Sandstein, 
ti, Basalt; tiefes Wasser 

Flflcbe der ganaen Gruppe 

« 

a 
« 

• 

a 
« 

o 
a 


des Himalaya; Ton hier 
Anstieg I 

les Berges im südlichen 
tr des Himalaya. 

« 

• 

n 

« 
CO 

S 


Se e 

• 

M 

« 

a 
s 

'S 

d 
o 
► 

.•4 

m 

Steinen. Berge in 4*m 
1000"» hoch. 

f kl. Eiland dicht am Ge- 
ro Hafen. Granit uDd 

a 

m 

Ikan. Gegend ; Erhebungen 
300—900"». 

mit B 
lo. 

•g •g*iöc8E;9<; 

3 2^*|js*a^ 


• 



• 

o 

• 



«5 

o 
► 

e 

N 

• 


e 
S 

a 



§ §^'3»'3-s:^5 


o 

ßge.^ 

. 


s 

B^ 


i2 

s-^ 

ä- 

o 

So 


OD O 

-< > 

00 


Ca 

CO Oft 

o 

b 

O 

CD 

E 

Q 

OQ 

CO 


H 

7/ 

•o 


Vi 


o 

•«i» 


Oft 

CO O 

"^ 

VH 

«* 

CO 

00 o 

*H 

1-1 


Oft 

09 


»H 




9qoiis9i9e]f 

lO »o 


Ol 

(N 

Cl 

«o •-• 


04 


CD 







•X9^3|«i«q3 
SoioeS -m9j9irv 

k< fe< fe, fe< fi^ 

p^fe* Ujfe, 

i< 

k 

5«« 

« 


•**< 


e* iH 

Cd 04 

CO 

GO 

oö" 

iO «^ 

Oft 

e> 

"iH 

•O 

^ 

tH 

G« 

iO 


""^^ 

• 

CO e* 

00 

9« 

CO 

oo 

^ t- 

0« 

t- 

64 

Ol 

tH 

■^ 

Cft 



00 



0« 




iH 










^H 

> 

1 + 

+ 1 

+ + + + 1 

^ *-4 CD <^ ee 

++ + 

O l> CO 

-^ 

+ 
ftd 

1 

s 

1 



1 

•St: si'd^ 

SOO Ol 

ee 

Ol 

OD 

o 

^ i 

0« 

r- 

Ol 

r» 

ee 

s 

«* 


OD 

* -5 • 3 o** 

o'SS 

ikO ■>• 

kO 

^ 

S 

«i^ 

kO 

^ 

ftd 

t9 

kd 

ftO 

ftO 


«0 

4."^|-- 

eo Od 


Oft 

CO o 

Od 

ee 

ee 

eo 

ee 

ee 

lH CO 

ee 


ee 


CO OD 

« o 

e« lO 

»O 

t- 


•^ o 


CO lO 

04 C« 

c^4 

o* 

00 

t- o« 


c* 

"^ 

«<*< 

00 

CO 

00 



»H 

•p9H-*««»P«ros 


^ 




et 




■c 








+ ++ 1 

+++++++ 

1 

+ + I 

1 +1 

_L 


+1 

1?^«^ 

A CD O 

•* ^ 

lO 

e* 

lO 

^ «o 

Oft 

9* 

00 

«^i« 

oo 

»o 

00 

^H 


Oi 

« ^ fc* 

^ o 

Oft 

lO 

CO 

00 o 

i-l 

•O 

CD 

00 

CD 

Ol 

r« 

■o 


Oft 

£ -a S 2. ^ 

Zr»o "* 

■o a 


-«# 

•* 

CO "^ 

o 

'^ 

lO 

o 

tO 

CD 

CD 

«o 


CD 


O CO eo 

CO 00 

00 

oo 

CO 

CO 00 

oo 

00 

00 
OD 

oo 

00 

00 

00 

00 


00 

« 0) 

KD Oft 

00 lO 

t- 

O 

t- 

©t ^ 

o 

lO 

o 

o 

OO 

o 


•o 

§2 

lO e» 

»o ^ 

iH 

«o 

et 

Oft OD 

t- 

Oft 

CD 

lO 

o 


Oft 

»-* 


Oft 


lO «o 

^•4 

ee 

CO 

o« o* 

«4 «4 

94 

^4 


O 

o 

o 

w4 

irH 

Oft 

Oft 


•O 

»-X 

+ + + + 

+ + + + + 

+ 

+ 

+ 

+ 

* 

+ 

+ 

• 

'S) 

m 



+ 

+ 

o 


+ 



o 

= 1 

(3 

j 

•* 


•*> 

o 

-< 

£0 

N^ 

CQ 






N^ 

CD 

n 

< 

o 

1^ 

w4 



§^•5 s 

as ©« »^ 

^ CD 

00 

CD 

OD 

Oft Q* 

Cft 

l» 

o 

"* 

•^ 

iO 

t- 

5^^^5^ 

O CO K* 

O lO 

r- 

Oft 

o 

00 0« 

^i 

•o 

^ 

OD 

CD 

9« 

OD 

-^ 


C» 

1 -T** ** 

o» eo 

O 

O 

1^ 

o ^ 

e« 

el 

kO 

Oft 

iO 

CD 

lO 

CD 


o 

•^15 a 

1 O ^ ^ 

^ o« 

84 

o« 

c« 

e« e« 

9« 

e« 

c* 

^ 

e> 

C« 

91 

C« 


00 

t-1 

J^ ^ 

J^ ?^ 

a; 

^ 

^ 

^ 5^ 

fe; 

^ 


^ 

^ 

fc^ 

=«; 

* 


fe; 

e« <« 

o o 

'«-4 

e« 

CO 

<D C« 

<D 

CO 

9« 

•^ 

o 

e 

Oft 

o 


»• 

& 5 a. 

e« e« 

e« 

e« 

9< 

e« 

^ '^ 

tO 



00 

-^ 



00 


00 

•- § 

•O lO 

•o o 

•o 

«o 

lO 

iO lO 

Oft 

e« 

.^ 

•o 

OD 

Cft 

CD 

OD 


Ol 

o ► 

t> «• 

t- "* 

r« 

t- 

t- 

r- f 

C4 

t- 

l* 

«• 

^ 

•* 

^H 

«O 


1I-4 



^•^ 









■»^ 

w4 





• 


i^ ^ 

fe;^ 

fe; 

:«; fe; 

^5ä; 

^ 

^ 

2Q 

=0 

JJ:? 

Cr 


tei 

8 «: 

"•H «• 

o o» 

lO 

«o 

aD 

o» — 

«O 

i» 

o 

Oft 

CO 

t* 

CO 

CD 


r- 

Ä a 

1^ 



lO 

d 

9« <« 

lO 

00 

00 

00 

"* 

00 


e« 


00 

2 T 

V- «D 

r- "* 

.^ 

^ 

00 

Oft t» 

tO 

^4 

es 

lO 

00 

«H 

CD 

^ 


OD 

ä^ 

«O 

■o 

"^ 

00 

lO 

^ c« 

00 

00 


w^ 

^ 

«o 

tO 

>o 


o« 


• 


e« 


So t- 
O« S9 


OD Oft Oft O 

s« e« e« 00 


O O ^ 00 00 
00 CO 00 00 CO 


eo 00 00 ^ OD 

00 CO 00 00 CO 


£ 

in 




c 
a 


3 


c o 

^■v «ff^ ^^^ ^^ ^» *** «X V^* ft^ 

^•x ^ »^i^ ^ VC ^^ CJ M_M *4 

II Ti 5* o ^ fc ® * ® 


• s o 

£ £ ■ M 

-4^ ^T fim ^i^ 

i I! ^ 5 

S 'S e* g 

sS O SS o 

ZL. z^ Ui ^ 




»- e« 


lO CD r» OD 
-* -* -^ «^ 


O •* O« 00 


«S kfi 


§ 29. Übersicht der Längen des SekundenpendeU, 


219 



a 



9 



• 



-3 

• 

• 
1« 

m 

a 

2 

a 

& 

a 

o 
e 
< 

1 

s 




•« 

m 


• 
8 

& 

9 

m 
<** 

d 1 


PQ 

o 


8 


H 

•qoqMhXMN 






•o »i • 2 ^ . 
»• 'S • S o *• 


w ■ 


-p4H-**v»PuoX 


*• •• ■ «9 


§ 


o 
o 


1^ 

♦• 
< 


3 1 1 • 

^ .3 Bk 


e 






El ** 


d 

<• 

M 

a 

o 


3 

d ö 


■d 
d 
<« 
so 


o 

00 


Im* ^ ^ 
A • 
d ^ "2 • 


3 I 


M 

II- 

.d%4 « 
«da 

* d • 


4< 

« 
Ja 

m 





Ol 

** t« 

JM O 

s ^ 
MS 

d 


•3 

d 




.d 
.0 


I 

II 


d d«9 

•S ^1 

d dio 


d 
« 

d 


.0 
d 

a 

« 
60 

d 
•^ d 


HS 

& 

•§ s-- 

£* S d 

^ S 4) 

k ö " 


•d 

9 


. d 


■*» w^ A 


15« 


2 |l Sl 


.d 
o 

o 


d5 © 


d 
o 

S 

V 

OQ 


« 


•d 

► 

dS 


33 

•d 

9 > 


E 

eo 
o 
Ol 


00 t* 
QO 9« 
OD -^ 


•«^ Ol lO CO r* 00 

CO ^ ^ o* 

<^ OD (N <P 


» 

»«- 

W 

CO 

r« 

lO 

(M 

»H 

CO 

ei 




d 

s. 

»< 
o 
•d 

I 

a 

< 






O iH O CO (N 
CO 00 lO O 0> 


N (^^ ^ Uj^^P^E^;^k^(^ k F^F^P^^;^ 


CO CO tH 


©• I-'«*^COO<^©ICO©« lO t«OiOO 

«H 00 Oioeo oocooi (N<H4ei&4 


CO 


I II I I I I + I I +++ I + I ++ I 


, « VI 

9 CO CO 09 

«* o' to'o~ 
91 


^4 09 Od O O Cd 00 
00 kd <X> kO ^ Cd CO 
k/9 kO »9 ^ üd kÖ 
09 


kO k/9 kO kO 
09 09 09 09 09 


r« 09 K^ 

Sv-4 <K> 

09 


SS 


9icor«ocooiooi 
9« ei 04 o o CO 00 


t« CO 9« 


^ Ol C» ^ 0» kO 

K^ 91 CO 91 Ol kO 

kO kO kö t9 ^ ^ 

09 09 09 09 09 09 

00 ^ 00 QO t» »H 


+ I+++III+ + + +I+++ ++ + + + 


o> » o o 

^ CO -««» lO 

O eo o> 00 


91 eoeO'^cO'«]<iH^t*tO 

00 aooo>^*ooot«-ooao 

lO oco^coeooiO^<^ 

00 00 00 OO CO CO CO oO 00 oO 


CO 
CO 
tO 

CO 


00 CO ^ Ol "^ 

1-« 00 O 00 H« 

lO lO lO ^ «o 

CO OO CO CO CO 


o« 


o« r« 00 Ol CO 

00 CO ^ t» OD 


00 ooco «H oit^'^ooi-iooacoo 

r« r-o» e* cooocoooooc*eo«^ 

lO -^co 00 eocooooiOiiH^ 

+ ++ + + + + + + ++ + + I I I I I I 


I P 

O» *0 Ol -^ 

S S 2 -^ 

O eo Ol 00 


• 

-«3 


• 

• 

'S) 

• 

OD 

• ^ 

JA 

OD 

-d :: 



00 



!3 



< 


bd < 

td 


e. o 


M = 


00 


IM *4cooaoddv-io4«-io 

o» iOO»Okt*ooiOier« 

«H oioi^o^oo^-^^ 

00 00 00 00 OO 00 00 00 00 CO 


I 


IS 

P^&q 

'S 

Ol ^ 





Ol -^ 


st 

O« 

04 


b(äqp(;(äq;äq^ ^^^ 


Ol 00 


CO 


00 Ol 

01 Ol 

Ol Ol 


00 ^ 

Ol 


«D r« -^ 
eo ^ lO 


Ol 0« eo o Ol 


fe; k,'<, te! te;te;fe;te;S5fe!te;te;te; 


«D Ol CO 
lO «^ lO 


CO o 


00 

00 0» O 
00 00 "l* 


00 

o 


kO 00 

1-1 Ol 

00 Oi 

01 00 


•^ "d« 


00 Ok 

01 -«l» 

W Ol 


Ol 

Ol 00 


lO CO 

01 -^ Ol 

t- CO o 

00 lO 


00 




CO 


00 
Ol 

o 

Ca 




O 00 o> ^ o 

lO Ol -^ W> 00 

lO CO »o lO r» 

00 00 00 oO 00 


^ Pc) P^ Eiq Ei;] 

0> Ol ^ CO o> 

0« 00 lO ^ Ol 


«O Ok CO o 
Ol 


CO 
04 


i«; Kteltei fei 

<^|i 00 ^ 00 O 

CO <« eo 

-^ 00 CO fM 

01 Ol Ol -^ 

lO kO to lA r« 


w 

8 

d 


S 

g 


o 


o 

I 

d 

O 

o 


s 

OQ CQ H Q O ^ 


o 


4) 


^ Sc >-• 
H E<4 OQ 


B 


u 




^ g 5 a ja 

a ^ 4 « s 

?S C8 ■" ^^ »F^ 


Ok O^ Ol OO-^iOcOt^OOdkOi-i 0« 
lO COCO CD COCOcOCOCOCOCOt^t« t<" 


eo «d« lO CO 
t- t- t» t- 


220 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresoiveaa. 



i t 


i 


d 
O 


• 




55 •« 

'S«* 

• 'S 

'8 


a 

o 
a 


•:a-g 


d 


O 

9 
Ol 


d 

JS 

o 

o 
ja 
u 


H S Pm h 


to 
» O Q 


f 

d 
o 
M 

d 

o 
► 

» 

S^ 
S-3 

MS 
M ja 

(•« 

«• 

® 2 J 
QDd d 

H 


d A 

■SS 


'S 
M 


& 


o d 


• • 

d 4» 

CS ° 

o «• 


C 




S 


•3 ''^ 

OD 


d 
o 


•SS 

•IM 


^ 


a 

s S 

d 9 


Ol 

I 

00 


S3 & »« •- 


|a .« I^S^I S 


« 'S «d 
'•• •* Sf ** 


M 


d a djM «o 
H M <S 


£ 


:5 




M 


00 


•qQqtu9«]f 
M»f^U«q3 I 


S 

OD O 


«HO« 0> eo 00 


•^ e« eo 


M 


^^ ^^i:*, ^^^^^^(^^ t^ ^ ^ (^ ^ ^ 


00 vH <« 


^ 00 ^H t- t» CO 


CO oo lO o> 
00 


OD CO 0k 

eo oo 


+ +I + I + I I I ++ I I + ++ I I IM 


M * • JK 


>ä 


-psH-'nrapaos 


5 


? ^ « . 

»5 


^ X 


S s 

^ a 

-< 


&5I s 


^^Ä 


&a^ 


V 

o M 


a 


0*2 2S 12 !2 S 

""*' 09 00 00 00 09 00 

•^Ot»oo<x>d»ooaD 

0000000000000000 

00 

w^ MK Cti 
kS tA 

^ kS td 
00 00 00 

r. lO OD 
OD ftO OD 

^ 00 
04 

++ 

00 lO t* 
CO 

+++ 

■or*ot*oocoeo 
t« eo 04 

++++++++ 

o%cor*coooa»c4io 
oooooooooocooooo 

10 
1 

CO 

•0 CO 

1 + + 

CO 00 OO 
t« CO lO 

•^ kO lO 
00 CQ 00 

•- 00 00 
»■ 00 

+ + 1 

0,99 
3520 

3580 

-"^ CO 00 
oa 'H ©• 
Hi lO lO 
00 00 CO 

CO Oi *^ 

CO «0 et 

■0 lO CO 
00 00 00 

00 9« 

eo to 

eo eo 

1 1 

©1 t- "^ 

1^ CD «H 
"^ "* »0 

1 i 1 

eotoeaeo^HO^O 

G400'^'4i«OO»Oda> 

1 1 1 1 1 1 1 1 

CD 
0» 

1 

1-4 «H e« 

<«» 

CO CO CO 

1 1 1 

b* eo e» 
«0 00 ci 

CO CO l> 

1 1 1 


a> 


CO ^(2 ^ QQ W 


Kl 

< 


^ * •ad OD 


!3 V flS ä 

Q £ CO < 


« -< hj 



r— » 




Ok 00 

c* c- 

CO 

eo 

9* 

S 

00 00 



*H 

^ 

^'00 

00 0» 

o» 





CO 

00 00 

1 1 

00 

«<*< 

«^ 


4Mooo»a»a»o»ooo 
t*r-coooo>co^^ 


•4i t- o» o 

lO r- t- «^ 

«H o w e« 

•^ '^ «* -* 


CO 

« 



e* 

00 

iO 

c« 

»■ 

00 

-«# 

^ 

«^ 


Kl 

%* o 

o 

"* O 

CO r-* 

o o 

o 

00 00 


fej&q ^ 

P(q^(äq;^P«q^pp± 

^pKlfel 

^ E>q pq 

OD eo e« 
04 00 

coooooooooo>ow 
<^ e« 9« eo 9« 9« 

OD ^ eo 0» 
91 9> »0 

00 -* eo 
eo 9« 

CO eo eo 
91 

<«00a000O9«9«9« 

9« Ol 
CO CO 9« 

eo «H CD 

te! feste; 

te; te; te; te; tei te; te; >; 

CO OQ ^ ^ 

S^tejfe; 

^ OD «<*< 
^ 91 

to^Hcoooocoooo 

■^ ^ 00 ^ "^ 

•<«4 OD 9« 
<4( tH 9« 9« 

tO CO Ok 

lO ^ k> 

0» «0 r* 
9« 00 

eo^coc09aooaow 

^ lO lO «0 91 91 00 

*^ kO 9« 0» 

CO eo 

91 
iH 00 

0» 

-« tO lO 

lOiOtOiOiOkOOtO 

iH ^ 91 9« 

•0 lO tO lO 

94 91 00 

>0 tO lO 


gl 




44 
•S a> fl 'S 


§ 


.0 »4 


O4 S bd ^ 


'S- 

(4 a OD 

oSSo?3<uSoeS 

ÖQ »S (ß O Q W O iJ&L_ 


a 
l-i 


4a 


C» 

d 


n 


•9-2. 


o 

CS 

C? c fit* 

*< n cu 


ooA 0^0« eo'^»ocob*oooko 

t*t* ODOOOO 0O0O0O0O0O0OODO>O) 


?. -^a 


eo «i«! 


Ci 


o» o» 


O» O» 0» 


§ 29. Übersicht der Längen des Sekondenpendels. 


-1 1 

a o j 
S ^ S 

• • fl 
« 5 


a 


9 


H 
oqQi{a9J04]f 




•e 


s^ ?i §«i 


*pos--nopao3[ 


3 




st: 




« ^ JS 


**! « 8 « 


2- • ^ 


o n 

• 


o 
^ 
o 

A 






O 


43 
« 

o 

09 

•d 


Z 

•^ o 

•SM 

«i • 
0-3 


fl •* W 

aj5« 

n« - 




'S «-• ö 
2 H 


TS 


■3 ^2 SS 


i -§ 

O fl o 

«•3" 

s|h3 
"lll 


OD tt) 

•"3 


a 
I 

MB 




'S!:. 'S 

9 . * 

►2 


J 


5 


•gö«8. 

• •o H • 




'S« 


a 

o 

2 • 

o 


221 


u 
o 
to 

n 

S> 

« 


d 

o 
► 


S M 


09 


■^ h d 
S « 41 

d^^ 

■SC O 
JH d 




14 


|6 


3 




« 

'S »« 

s * 


H 






O CO CO o 0« 


e« 




9« 


00 

lO 


CO 


lO oo o» 


;^[^p^p^;^ H »^ M (<4k^ ;<4^e^;<4n| 


lO «-4 ^ CO lO 

0« vH «H «H 

MIM 


S 

I 


CO 


eo «H eo 
Ol (N eo 


lO eo <4( ^ eo 

Ol ^ vH th eo 


I ++ 1 I I I I I 


O Od 03 ^ 


i>* 49 49 

^^ Od 00 00 00 00 



09 00 


«0 
«0 


<e OD 09 
09 Ol OD 

09 00 


00 00 M 


!>• 49 Ö0 Ö0 CID 
kO kO kO kO kO 
00 00 00 00 00 


O Ol lO O« 91 


*H r- 


94 


o t- ^ 


0> lH »H 


+++++ I +1 + +1+ + + +++ 


O» '^ «O »O lO <P 
l^iO lO lO tO tO 

O eo CO eo eo eo 


CO 

CO 


o 

lO 

eo 


CO 

eo 


«o lO 00 

^ -^ »• 

tO tÖ lO 

eo eo CO 


CO 
09 


9« 

CD 
lO 
CO 


-*• 9» 1-4 

lO CO 00 

lO ^ lO 

eo eo CO 


CO t* CO t* r- oo 

t* fc" OD OD 00 00 

t I I I I I 




CO 

oo 


•4 CO 0> 
CO fco 91 

O © iH 


1-« o« 


g-^ oo 
eo eo eo 


I I I I I I I I I 


I 'S* 

et ts 




(2 


to 

00 
< 


• s *-• 

.$ *C3 CS 

öQ »j ta 


« 5 




CO 


60 


•■CO 

o ^ 


91 

91 

■^ 

0» 

lH 


e» 

9« 

eo 

o 

CO 

eo 

«<*< 

t 

■o 

•^ 

•^ 

■^ 

H* 


CO 


o 


S9I O 
CO t- 

^( ^( ^^ 


•^ 

CO 

-* 

CO 

o» 

-^ 

eo 

lO 

t- 

»o 

t- 

00 

OD 

00 

o> 

"* 

'^ 

'^ 

-^n 

'^ 


p±K^felfel&q ^ ^ ^ fe|^^ Kjf^f^pqfc 


CO o oo o 
eo eo kO «-< 


CO 

CO 

eo t* 00 91 00 
91 


»H CO 


o 
o» 

CO 


o 
eo 


CO O 9« 

91 "^ 

eo r- «o 

9* eo 


04 91 

-^ 91 
91 91 


O) O^ rH 

lO »O tH 

r- t* eo 

91 9« 


<i; 1^ ^ k; K^ CO 


a 

« 


»4 


CO 


04 

o 
eo 


>0 O» 91 O 

'^ »o 

91 eo vH 09 

00 ^ -^ -^ 

eo -^ <« 441 

iQ lO «O lO 


CO 
91 

CO 




O 
9< 


lO 


fe; te;!«;!*; 


CO 
00 




eo O O» 


O CO 

eo 


o 


CO t- t* 

kO lO lO 




91 

9« 

00 


>«; !i^>!ife; 


CO 

CO 
91 

o» 


O) o r« 

w eo 9» 

CO (O lO 

'^ »o >* 

o» O) o 

lO lO CO 


o 


C8 



ao 


8? 


& 

«g 5 2 rS 'a 

ü <J O ^ W 


»« 00 o» o ^ 
a O) o> o o 


J 


a 

s 

CO 


B 

O 

n 


ce 

-s 


o 


a> 


^-ft CO CU 


fr * :ä 5 - 

o 9 a> a 

Q p:^ 04 04 p 


91 

O 


CO 

o 


o 


lO CO t« 

o o o 


OD Oi O «-• 91 
O O ^ fM ^ 


222 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 




5 

Q 


9 

a 


S 'S 

« ;2 


B 


S 




- 1 


? 


'ff 


-B01098 'oxaSny 


»4 


ö -, g fl . 


%i 


'pag-'snapnox 


.S t ^ m 




«2 

8.8 

" X 


• 


•c 




*• 

«• 

aa* 



■*• 

< 


o>'!^'3 

1 ^ 

Metern. 





d 

o 
► 


•äs 

& »« 

o « 

O 


« 

a 


d ► 


a 


d 

« 

i a 

M o 

•3 « 'S. 


S 


ü .a 


.5 SS 

^ ö . « 

« »4 S; 

d-S^S 

W M O •' 

d ^ « a 


a 


d 


s 


SP 


«0 !^ 


P 




« ä 

«Sa 

Es« 

aÜSi . 

Q 1 

M CO 


d 


d 


s 

d 

M 

s • 

«OQ 

d •»« 

s» 




h *• ** 

.. .0 
•a e 

*-& 

Kl 

e 

S I • 

d * .0 d 

8M^^ 


»H CO 


o 


t* o 


"^ ^ f5.^^fe 5 ^ ^ '^ 


CO !:<" 00 CO eo O^ *0 

O «H 00 CO CO -^ 00 


o 

00 


I + + I ++ I + I 


eo 
I 


M 


s s 

o eo 


09 1-4 M «0 

00 « ,M 1-4 

kd ^ CD lo 

09 00 00 00 


OD 


OD 


Od 


Cd 

r- 


00 
OD 
kO 

Od 




■* O O »H 


©I «H »H 


+ 1 + ++++ + + 1 +1 +1 


A ^ O C« 04 CO O» 

A 00 00 kO ^ vH O» 

1^ CO lO "* CO »O <^ 

O eo CO CO 00 00 CO 


O t« 00 10 

00 vH 00 o> 

lO lO kO *0 

OQ eo 00 00 


kOb*C^ieOOOO 00 vH 00 04 

^lOooo^iO aa CO c* t* 

kOOkOt»000 «^ 04 91 ^ 

I I I I I I II I I. 


00 

o 


a> 


ea 'ö «8 
OQ 


^* j| 


cc 




9 

a 

■s 

OQ 


ö* 

CO 

t- 

O) 

tO 

CO 

c- 

OD 

OD 

tH 

■ t- 

a 

t"- 

00 

eo 

CO 

*o 

lO 

t- 

t- 

CO 

CO 


*H 





00 

eo 

kO 

r- 

t- 

OD 





lO 

«0 

kO 

tO 

lO 

10 

lO 

lO 

•0 

CO 


V-it-eo^co>o »00 00 o 

lO r-l lO 0* vH tH Ol 

o 

e40>co^O«H ^ vH eo a 

CO^ C40OO« Oi Q* ^ 


OQ )^ 1^ 1^ fei ^ fei 


«H CO 

*H CO 


CO 
kO 
o 
(N 

CO 


H* eo eo »O 

»O -^ -^ 

lO O t- O 

eo kO fc> O 

CO CO CO t> 



CO 
eo 

tH 
CO 




04 
CO 






00 

«o 

o 


TS 
GQ 


^ Q H bd Q 



O 

o 

04 








O 
OQ 


0) 

3 


00 <^ lO CO r« 00 


o* 

Ol 




Ol 


SP 

CO 


Ol 
Ol 


§ 30. Die KondeDsatioDS-Bcdaktipnen. 223 

Zu vorstehender Zusammenstellung der Längen des Sekundeu- 
pendels i£y reduziert mit Bouffuers Formel, wie sie sich zufolge der 
Ausgleichung ergeben^ ist noch zu erwähnen, dafs die geogr. Längen 
teils nach den Originalangaben, teils mit Benutzung vorhandener 
Zusammenstellungen (von Borenius und A. Fischer) unter Kontrolle 
durq^ Karten angesetzt sind.'*') Die Zahl 0,002636, welche zur Re- 
duktion der Pendellängen auf 45^ dient, entspricht einer vorläufigen 
Ausgleichung. Diese reduzierten Pendellängen £' enthalten selbst- 
verständlich ebenfalls sämtlich nur die Bouguer&che Reduktion; die 
Reduktion nach der Kondensationsmethode auf die Werte f erfordert 
weitere Reduktionsglieder, welche nach Näherungsformeln berechnet 
sind, wie es der nächste Paragraph angeben wird. 

Die Bemerkungen über lokale Verhältnisse sind zumeist den üri- 
ginalquellen entlehnt, teilweise aber auch aus Karten entnommen. 
Der allgemeine geologische Charakter: Festland, Küste oder Insel, 
ist durch F, K und / bezeichnet. Eine Parenthese um diese Sym- 
bole bedeutet, dafs für die Kondensation ein anderer Charakter maTs- 
gebend war. 

§ 30. Die Kondensations- Reduktionen vorstehender Tabelle 
konnten wegen uus mangelnder genauer Spezialkarten nur mehr oder 
weniger roh ausgeführt werden. Dabei wurde ausgegangen für kleine 
Inseln von der Formel (6) S. 181, welche für die Länge £ 'des Se- 
kundenpendels, insofern dieselbe der Schwerkraft proportional ist, 
als Reduktion giebt in Bruchteilen von £: 

mit 

n = Äcoti/:ÄÄ, (2) 


für Küsten von der Formel (4) S. 182: 

3(e-l) Ä 1 lognatKiiM^+narctanl 


(3) 


11,2 H n ' n 

Hierin ist S die Dichtigkeit der Insel- bezw. Küstenmasse, h 
die Tiefe des Meeres in der weiteren Umgebung, tiR die lineare Ab- 
plattung der £rde, tani/ das Gefälle der Böschung. 

Mit Rücksicht auf die UnvoUkommenheit dieser Formeln behufs 
einer genauen Darstellung der Reduktionen erschien es ausreichend, 
dieselben in folgender Weise zu vereinfachen. Es wurde allgemein 
Ccaal«, ■= 2,8, aÄ«=21*'» gesetzt; da sich ferner n in allen 
Fällen mindestens gleich 2,5, meist aber mehr als doppelt so grofs 
fand, wurde 


*) Der Meridian von Ferro liegt 20^ westlich Paris, derjenige von Green- 
wich — 2*> 20' westlich Paris, 


224 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniyean. 


log (w + /»' + 1) = Jog 2n , log f/«2 + 1 = log « 

n arc tan — = 1 

and 

lognat n -}- 1 lognat 2n 

- ^ 

gesetzt. Letzteres giebt einen Fehler, der indes in den ungQnstigsteu 
vorkommenden Fällen kaum einige Mikrons in C ausmacht und sich 
überdies z. T. mit einer Vernachlässigongy die in (3) bereits einge- 
führt ist, kompensiert. 

Die Formeln werden nun fär Mikrons als Längeneinheit: 

Red. = - 1600 tanv lognat 2n (4) 

für Inieln 

mit n = h^ . cotv : 21 , (5) 

Um die Berechnung des Ausdruckes rechter Hand in (4) zu er- 
leichtern und zugleich bequem erkennen zu lassen, welchen Einflufs 
Änderungen von h und tan v auf die Reduktionsgrofse haben, wurde 
eine graphische Tafel für diesen Ausdruck nach Laiannes Methode 
hergestellt.*) Wird die negative Reduktion (4) mit C bezeichnet, 
so giebf (4): 

log C = log (1600 tan v) -{- log (lognat 2w) . 

Betrachtet man nun log (1600 tan v) als Abscisse x, log (lognat 2 n) 
als Ordinate y, so stellt 

logC = z + y 

für konstantes C die Gleichung einer Geraden vor, die gegen die Ko> 
ordinatenaxen unter 45^ geneigt ist Die zu verschiedenen C ge- 
hörigen Geraden sind parallel. 

Fig. 31 zeigt die Geraden f&r ^<» 10, 20,. . . 400 Mikrons. Jeder 
Geraden ist der betreffende Wert C fett aufgedruckt. Das Koordi- 
natennetz der X und y ist unterdrückt; es sind vielmehr für ver- 
schiedene Werte von n und coti/ Parallelen zur x- und y-Axe angegeben. 
£in Versuch wird dem Leser zeigen, dafs die Konstruktion der Tafel 
sehr rasch und, da nur gerade Linien vorkommen, verhältnismäfsig 
genau zu bewerkstelligen ist. 

Die Reduktionselemente n und tani/ wurden fast ausschliefslich 
mittelst der Tiefenkarten abgeleitet, welche Richard Andree^ allye- 
meiner Handatlas giebt. Es fand sich, dafs für die Küsten die Un- 
sicherheit der Reduktion im Durchschnitt kaum 5 Mikrons betragt, 
also wesentlich kleiner ist^ als die Unsicherheit der meisten Pendeilängen 
infolge von Beobachtungsfehlern, vergl. S. 214. Erheblich ungenauer 


*) Vergl. Vogler^ Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln etc. Berlin 1877. 


S 30. Die KondeusationB-BedaktioDen. 


225 


kber sind die InselreduktioneD, weil jene Karten die Böschangaver- 

biltniBse der Inseln nicht genau genug erkennen lassen. Da indessen 

nur auf wenigen kleinen Inseln beobachtet worden ist, die Inselwert« 

Kondensalions-Ketluclioa für Inseln. 


J 

.._ 



\ 

:X'^ 









X" 

. 



^ 

\ 

'^ 



'*' 








^X 

T 

r- 


— 

-V 

■^ 

\ 

"^ 

^ 


Fl«. 51. 

zur Ableitung der Abplattung auch nicht benutzt werden, so wurde 
mit Rücksicht auf die entstehende gr^fsere MOhe eine genaue Re- 
duktion für jetzt nicht in Angriff genommen. 

Erwähnt sei noch, dafs in einigen Fällen weder genau die Küsten-, 
noch genau die Inselformel zur Anwendung kam, sondern eine Schätzung 
in der Weise vorgenommen wurde, dafs die Ei^ebnisse dieser Formeln 
mit einem Faktor multipliziert auftreten. In dieser Beziehung genügt 
es darauf hinzuweisen , dare für einen Punkt auf einer Landenge die 
Reduktion annähernd das Doppelte der Küstenkorrektion sein wird, 
und femer, dafs bei verschiedenen Böscbungsverhsttnissen einer Insel 
auf verschiedenen Seiten die Reduktion sich zusammensetzt aus den, 
den verschiedenen Yerbältnissen entsprechenden Werten der Reduk- 
tionen, multipliziert mit dem entsprechenden Bruchteil des Umfanges. 

Die Kondeusationsreduktion auf dem Festlande und überhaupt 
für Erhebungen des Beobachtungsortes über das Meeresniveau wurde 
einfach nach Malsgabe des in der ifou^uerschen Formel auftretenden 
Gliedes, welches von der Anziehung der zwischen dem Meeresniveau 
und dem Beobachtungsorte liegenden Schicht abhängt, ausgeführt, 
dergestalt, dals dieses Glied im Endwerte ganz beseitigt erscheint 
Hierbei sind die Angaben der Spezialtabellen §§ 25 und 26 zu ver- 
gleichen. In einigen wenigen Fällen war die angewandte Meereshöhe uns 
unbekannt; dann ist vorstehende Reduktion unterblieben. Übrigens ist 
in diesen Fällen die Meereshöhe jedenfalls klein, der Fehler also gering. 

Völlig streng ist das auf dem Festlande eingeschlagene Verfahren 
allerdings nur im weithin ebenen Terrain; im Gebirge also werden 
bei einer strengen Kondensation nach Vorschrift von § 20 noch Ände- 
rungen eintreten. Trotzdem diese z. T. nicht unerheblich ausfallen, 
(vei^l. S. 186 g 23), so haben wir doch auch hier vom strengen Ver- 

n*)naii, natlHm. n. ph/(lk>l. ThtoriMn d« häh. ßaodliia. IL 15 


226 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 


fahren abgesehen, weil eine Überschlagsrechnung zeigte, dafs die 
weiterhin gezogenen Resultate nicht wesentlich beeinflufst werden. 
Es sind der Fälle ; wo eine bedeutende Vernachlässigung stattfindet^ 
verhältnismaisig nicht viele, und z. T. tritt eine Kompensation ein^ 
wie im Himalaya, dem Kaukasus und in Thüringen^ wo zu den nega- 
tiven Fehlern der Hochstationen positive Fehler von Stationen am 
Fufse der Gebirge kommen. 

§ 31. Erfolg der Eondensationsmethode. Aus den auf 45^ 
Breite reduzierten Werten C für die Länge des Sekundenpendels 
wurden nun Mittelwerte gebildet für die acht Breitenintervalle 0® 
bis 10^, 10^ bis 20^ u. s. f., wie dies nachfolgende Tabelle zeigt. 
Für den Zweck der Aufstellung einer Interpolationsformel ist noch 
der hundertste Teil des arithmetischen Mittels der Reduktion auf 
45® Breite beigefügt. 


Breite. 

• 

1 

• 

•3 

Mittelwert 
von f ' 

(nnkondens.) 

Kond.- 
Red. 

Hittelwert 
vonf 

(kondani.) 

Koefficient 

f.d. 
Ausgleich. 

10» 

F 
K 
I 

1 
8 
7 

0,99 3529 
3591 
3742 

+ 10 

— 20 

121 

0,99 3539 
3572 
3621 

+ 24,9 
+ 25,6 

10-20 

F 
K 
I 

7 

8 
3 

0,99 3490 
3579 
3796 

-f 70 

21 

- 158 

0,99 3560 
3558 
3638 

+ 22,9 
+ 22,9 

20-30 

F 
K 
1 

8 
3 
3 

0,99 3487 
3542 
3825 

+ 42 

14 

147 

0,99 3529 
3527 
3679 

+ 16,1 
+ 18,8 

30-40 

F 
K 
I 

6 
5 
2 

0,99 3357 
3597 
3668 

+ 181 
29 
13 

0,99 3537 
3567 
3655 

+ 10,9 
+ 9,9 

40-50 

F 

K 
1 

16 

4 

0,99 3494 
3586 

+ 44 
24 

0,99 3538 
3562 

+ 0,0 
+ 3,0 

50 60 

M 

F 

K 
1 

26 
6 

0,99 3548 
3568 

+ 11 
— 16 

0,99 3559 
3552 

- 7,8 

- 8,1 

60—70 

M 

F 
K 
I 

5 

0,99 3539 

+ 1 

0,99 3540 

16^ 


1 

3631 

— 19 

3612 


70 80 

F 
K 

2 
3 

0,99 3540 
3567 

+ 2 
12 

0,99 3542 
3554 

— 21,3 
23,3 


I 

■^^ 

-^ 



-^ 


§ 31. Erfolg der Kondensationsmethode. 227 

Der Erfolg der Eondensationsreduktion zeigt sich zunächst in einer 
besseren Übereinstimmung der Werte in verschiedenen Breiten für 
jeden der drei Charaktere F^ K und /; er tritt ferner deutlich hervor 
in einer grofsen gegenseitigen Annäherung der Werte für Festland-, 
EQsten- und Inselcharakter. Für F und K ist beinahe jeder Unter- 
schied geschwunden. Berechnet man aus den sieben Differenzen F— K 
einen Mittelwert des Unterschiedes der Pendellängen, indem man dabei 
diesen Differenzen Gewichte n^ n^ : (n, -f- ^2) beilegt, n^ Anzahl für 
/*, n^ für A^, so folgt für Mikrons als Längeneinheit: 

F = K -- 8 + 6, 

wobei + 6 den aus der Übereinstimmung berechneten mittleren Fehler 
bezeichnet. Dagegen folgt 

JP = 7 — 105 + 16 . 

Man kann hiernach in der That F — K als null annehmen, selbst 
wenn man berücksichtigt, dafs bei genauerer Reduktion der Fest- 
landsstationen die Differenz sich um ein paar Mikrons vergrofsern 
würde. Von null verschieden ist aber unzweifelhaft die Differenz 
F — 7. Vielleicht liegt dieses z. T. daran, dafs die Inselreduktionen 
trotz entgegen wirkender Vernachlässigungen der Formel (4) des 
vorigen Paragraphen etwas zu klein sind , weil die Formel konstante 
Böschung voraussetzt, während diese vielleicht in der Nähe der Meeres- 
fläche steiler als in gröfserer Tiefe ist. Zum Teil liegt es auch wohl 
an der Annahme 2,8 für die Dichtigkeit, die jedenfalls in mehreren 
Fällen einen um etwa 0,3 höheren Wert hat. Ein Teil der Differenz 
dürfte aber reell sein. Es läfst sich dieselbe auch nicht wesentlich 
vermindern durch eine ein wenig veränderte Tiefe der Eondensations- 
fläche. Die Formel (1) S. 223 zeigt, dafs eine Vergröfserung der 
Inselreduktionen von durchschnittlich 130 auf 230 eine so aufser- 
ordentliche Verkleinerung von n d. h. eine so bedeutende Vergröfse- 
rung der Tiefe der Eondensationsfläche erfordert, dafs sich dadurch 
auch die Gestalt der Meeresfläche in einem Betrage ändern würde, 
der nicht mehr zu vernachlässigen ist. 

Übrigens braucht man, wenn wirklich wie es scheint, 7 > /* ist, 
noch nicht anzunehmen, dafs auch auf dem Meere im allgemeinen 
die Länge des Sekundenpendels gröfser ist, als auf dem Festlande. 
Wenn die Inseln Massenanhäufungen sind, denen unterhalb in der Erd- 
rinde nicht Massendefekte entsprechen, würde vielmehr notwendig 7> F 
sein, wenn auch auf Meer und Festland im allgemeinen gleicheLänge des 
Sekundenpendels vorhanden wäre. Die Entscheidung der Frage kann nur 
durch Messungen der Schwerkraft auf dem Meere selbst erfolgen und 
wird einen Beitrag liefern zur Eenntnis der Eonstitution der Erdrinde.*) 

*) Man vergleiche hierzu auch einen AuftatE von Fayt^ C. B. 1880 Bd. 90 
S. 1444. Derselbe empfiehlt ebenfalls in der Boii<;iier sehen Formel das Terrain - 

16» 


228 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 


Es mag bemerkt werden, dafs eine ähnliche Frage die ist^ ob auf 
den Bergen die Schwerkraft im allgemeinen, nach gehöriger Reduktion, 
eine andere ist als in der Ebene. Zur Entscheidung dieser Frage 
sind gerade in diesem Falle unsere Eondensationsrechnungen nicht 
scharf genug; wenn sie zeigen, dafs auf hohen Bergen £" (mit Kon- 
densation) grofser ist als in der Ebene, am Fuise hoher Berge aber 
kleiner als in der Ebene (vergl. nachstehende Tabelle, deren Werte ohne 
und mit Kondensation mit 0,993550 als Normalwert fQr Festland im 
Meeresniveau verglichen werden können), so liegt dies, namentlich 
bei den Bergkuppen, grofstenteUs an Beduktionsfehlem. «) 


Ort. 


Höhe. 


m 


Ohne 
Kondensation 


Bangalore S. . . 
N 

Dehra 

Mussoorie 

Meean Meer. . . 

More 

Ararat 

Duschett 

Gudaur 

Wladikawkas . . 
Inselsberg . . . . 

Seeberg 

Gotha 


950 
917 
683 

2109 
215 

4696 

1883 
846 

2247 
693 
910 
353 
315 


0,993476 
3487 
3331 
3403 
3452 
3034 
3400 
3346 
3334 
3501 
3543 
3527 
3446 


Hit 
Kondensation. 


Bemerkungen. 


0,99 3587 
3594 
3404 
3623 
3477 
3574 
3625 
3446 
3599 
3583 
3620 
3557 
3473 


} 


Plateau 

Fufs des Himalaja 
Ausläufer des „ 
Fufs des 
Himalaja 


7f 


Fufs des Kaukasus 
Abhang des Kasbek 
Pals am 


fy 


Fufs des Seeberg. 

Da sich die Anomalieen der vierten Kolumne durch genauere 
Rechnung vermindern oder heben, so scheint es, dafs in der That 


glied wegzulassen; für die Insehi aber empfiehlt er die Anziehung des Insel- 
pfeilers, seine Dichtigkeit vermindert um 1, abzuziehen. Es ist nun in der 
That richtig, dafs man auf diese Weise findet, dafs auf dem Meere und Festland 
ein Unterschied der Schwere nicht besteht (wir haben dies für obige Inseln 
mittelst der im 4. Kapitel § 17 entwickelten Näherungsformel durchgeführt und 
zufällig gerade das gewünschte Resultat erhalten). Der Übelstand ist nur, dafs 
man bei Fayea Verfahren von .der Wahl der Pfeilerhöhe in hohem Grade ab- 
hängt, was bei der Kondensationsmethode nicht der Fall ist. Auch ist Fayes 
Verfahren kein methodisches: es giebt nicht an, wie die Reduktion wird bei 
nicht kleinen Inseln, bei Küsten u. s. w. Unser strenges Verfahren hat stets 
eine konsequente Antwort und läfst namentlich für den wichtigen Fall, dafs 
Küsten in betracht kommen, nicht im stich. 

*) Im 6. Kap. § 16 wird erwähnt, dafs wiederholt mit leidlichem Erfolge 
durch Bestimmung der Pendellänge am Fnfse und auf dem Gipfel eines Berges 


§ 3*2. Interpolationsformel för die Schwerkraft g, 229 

unter hohen Bergen und Gebirgen Massendefekte auftreten, die der 
Anziehung der sichtbaren Massenanhäufung entgegenwirken. Vergl. 
hierzu auch im 4. Kapitel § 38. 

§ 32. Die Ermittelung der Interpolationsformel für die 
Sehwerkraft g. Wäre g im Meeresniveau überall auf der Erdober- 
flache bekannt; so würde man zur Herstellung einer Entwicklung 
von ff nach Eugelfunktionen der geographischen Breite B und Länge Z 
nach § 28 (1) S. 116 verfahren. Darnach ist ^ im Punkte {B\L') gleich 

wobei die Pn als Funktionen von B\ £', B und L (anstatt g)', k\ tp 
und A) nach Mafsgabe von § 4 8. 57 aufzufassen sind. Leitet man 
andererseits g aus dem Potential W der Schwerkraft ab, so nimmt 
es die Form an: 

ff^GiX + U,' + U,' + ://+...), (2) 

wenn Uj\ O^ 0^ ... Eugelfunktionen von B^ und L' zweiten, dritten, 
vierten, . . . Ranges bedeuten. Auf diese Ableitung kommen wir in 
§ 39 dieses Kapitels. 

Eine Kugelfunktion ersten Ranges fehlt in (2), wie a. a. 0. sich 
zeigen wird und überdies im zweiten Kapitel unter Voraussetzung ge- 
wisser Normalformen für W schon hervorgetreten ist. 

Von dieser Formel interessiert uns besonders die Bestimmung 
der Glieder G imd GO^' Dieselbe ergiebt sich aus der Vergleichung 
mit den entsprechenden Gliedern in (1). Es ist, da /^^ i» 1, das erste 
Glied von (1), (d.h. der Mittelwert allerg, vergl. S. 66): 


äM< 


ffcosBdB. (3) 


--^ 

8 


die mittlere Dichtigkeit der Erde beBtimmt worden ist; in solchen Fällen würde 
naturlich die wegen Kondensation reduzierte Pendell&nge des Gipfels ein erheb- 
liches Zuviel aufweisen. Immer aber ist dies nicht der Fall. Dies zeigte oben 
bereits More. 

So fand auch Fosier auf Ascension auf einem 680"* hohen Berge die täg- 
liche Schwingungszahl n <« 85878,96. Mit nH: U reduziert giebt das 85888,13. 
Am Fnfse des Berges in 9*" Höhe war n» 85887,44, reduziert: 85887,56. Hier 
ist nnr ein Zuviel von 0,57 Schwingungen oder von 14 Mikrons in C" (mit roher 
Kondensationsreduktion). 

Nach Laplace, Mio. edl, t. 5 1. 11 p. 56, zeigen auch schon Bouguen Messungen 
in Quito eine ganz ähnliche Erscheinung; hier erklärt Laplace sich dieselbe 
durch den vulkanischen Charakter der Gegend, infolge dessen viele Hohliäome 
unterhalb der fiergmassen vorhanden sein würden. 


230 3. Kapitel Die Schwerkraft im Mccre»Diveaa. 

Ferner ist das zweite Glied: 




G 0^ = ^fdlfp^ ff cos B dB , (4) 


-ü^ 

8 


wobei nach S. 57 

i>, = |(8in»i?-i-)(8in»ir-i:) 

+ 3 cosi^ cos^ sin^ sin^ cos(Z — L') (5) 

+ -j- cos^^ cos^^ cos 2 (Z — Z') . 

Werden aber für die Entwicklung des Potentials IV wie im zweiten 
Kapitel § 5 S. 59 die drei Hauptträgheitsaxen der Erde als Koordi- 
uatenaxen gewählt, so fallen in fV und also auch in ^, vergl. weiter- 
hin § 39, die Glieder mit cosZ', sinZ' und sin 2L' weg und es bleiben 

nur die Glieder mit (sin^i?' — -j sowie cos2Z' übrig. Ganz ist dies 

indessen bei obiger Entwicklung nicht durchführbar: man bezieht 
zwar die Breiten auf die Aquatorebene, es ist also die eine Eoordi- 
uatenaxe die Erdaxe und somit Hauptaze, aber die geographischen 
Längen kann man nicht von einer der beiden in der Äquatorebene 
liegenden Hauptazen abrechnen , weil deren Lage unbekannt ist. 
Werden nun die geographischen Längen von einem beliebigen Meri- 
dian ab gezählt, so verschwindet (wie schon S. 60 iu Parenthese er- 
wähnt) das Glied mit 8in2Z' nicht. Hiermit wird 


-^ 




+ //„ cos'i^' cos 2Z' / cos 2Z tf Z fff cos^^ dB (6) 


—: 


■ 1 


+ iL '^°^^^ **'" 2L'J Bin 2LdL (g coa'^ dB . 


-4 

8 


Durch Ausführuug der Integrationen würde G02\ wenn man 
rechter Hand G als Faktor zieht, die Form annehmen 

GÜ^^Glh^ (sin*^ - -^) +b/ cos«^ cos2Z' -{- b/cos^^ sin 2Z') . (7) 


§ 33. Auwendang der Methode der kleinsten Quadrate. 231 

Unterbleibt die Bestimmung von b,' und b," ebenso wie diejenige der 

Koefficienten der höheren Kugelfunktionen, so erhält man hiermit 
zur Ermittelung der Formel 

ir = tf {l + b,(8in'i?'-l) + ...| (8) 
die beiden Gleichungen 

G = l~fä^j Sf(^osBdB (9) 


-i? 

8 


8* 4-^ 


Gb^ = ^f^JdLJff (sin' J? - yJcosB dB . (10) 


-^ 

8 


Nach diesen strengen Gleichungen kann jedoch die Ermittelung 
der Konstanten von (8) wegen mangelnden Beobachtungsmaterials 
nicht stattfinden. Man begnügt sich damit, und mufs dies thun, den 
gegebenen Werten von g eine Formel (8), oder eine äquivalente 
Formel^ nach der Methode der kleinsten Quadrate anzupassen. 

Zunächst wollen wir nun zeigen, dafs die Methode der kleinsten 
Quadrate streng richtige Werte ergeben würde, wenn g überall auf 
der Oberfläche bekannt wäre. 

§ 33. Die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate 
geht von Feblergleichungen der Form 

g-^d^G + Gb^ (sin'iT -1)+ ... (1) 

aus, wenn wir für g rechter Hand denjenigen Ausdruck beibehalten, 
welcher aus der Entwicklung nach Kugelfuuktionen folgt, und wenn 
wir femer mit 8 eine Verbesserung des Beobachtungswertes von g 
bezeichnen. Da man nun g innerhalb des Elementes da' ^^ cosB'dB'dL' 
der Kugeloberfläche vom Radius 1 als konstant betrachten darf, so legen 
wir der Gleichung (1) das Gewicht da bei und denken uns die ganze 
Oberfläche dieser Kugel in Elemente da' zerlegt und für jedes Element 
die Gleichung (1) angesetzt. Dann führt die übliche Bildung der 
Normalgleichuogen zu den nachstehenden Gleichungen, die Integration 
über die ganze Kugeloberfläche erstreckt: 

Gfda' =Jg d& (2) 

Gb^J\8m^B' - 1)' da' ^Jg (sin'/?' - \) da' (3) 

u. s. f. 


232 3. Kapital Dio Schwerkraft im HeeiesiuTeau. 

Jede üleicbung enthält nur einen der unbekannten Eoefäcieuten G, 
Gbj u. s, f. Bilden wir uämlidi zunächat die Normalgleichiuig (2) 
für C, ao iüt die Feblergleicbung (1) mit 1 . d<f zu multiplizieren 
und dann zu integrieren. In tileicbung (2) nimmt nun der aus der 
rechten Seite von (1) hervorgehende Ausdruck zunächst die Form an: 

G fd(/ + cjUi rfff' + efff;,' da' + G jUi da'+ ... , 
wenn wir die rechte Seite von (1) in die Form 

g(i + b;+d;+ii;+...) 

gebracht denken, worin Uj, V^, U^ . . . die Kugelfunktionen zweiten, 
dritten, vierten Ranges u. s, f. von und L' bezeichnen. Nach § 7 
(5) S. 66 oder nach der allgemeinen Gleichung (3) § 28 S. 116 ver- 
schwinden aber alle Glieder mit Ausnahme des ersten. Hiermit ist 
(2) als richtig nachgewiesen. 

Was (3) anbetrifft, so ist ersichtlich, dafs diese Normalgleichung 
aus der Fehlergleichung (1) entstehen mufs, wenn dieselbe mit 
Isin'^ — - j d^ multipliziert und integriert wird. Die Glieder, welche 
aus der rechten Seite entstehen, lauten zunächst: 

G Hsin'if _ 1) da' + ff JU^ {siü^ff — t) '*''' 

+ gJü^ (sin'Ä' - ^)d& + gJo; (sin'^ - \)dt^ + ... 

und hier verschwinden alle Glieder bis auf das zweite nach dem 
Satze (4) § 28 S. 116. Es folgt also, wenn wir für Gü^ nunmehr 
den Ausdruck (7) S. 230 restituieren: 

r.i, /V=in!^_i.)'dff'4. fflr//(aini^'— -i.)cosi^cos2i'dff' 
+ Gb-i" Usia'B' — -J-) cos^iT' sin 2Z' dff". 

'kt leicht, dafs wegen cos2Z' und sin2Z' die letzten beiden 
erschwinden, und so bleibt nur das erste Glied, womit auch 
(3) verifiziert ist. 

lieber Weise würde sich finden, dafs bei der Bildung der 
ichungeu aller Konstanten der in (1) etwa noch angesetzten 
imer nur das betreffende sogenEuiute quadratische Glied 


inet man nun zu (2) und (3) die Integrale linker Hand, 


/"»•-* 


§ 34. Fortseizang: Anwendung der Methode der kleiasten Quadrate. 233 
und 




Hsin^B' — ^yW d. i. /rfZ' r(sin'^' - |)' cos^ e/^' — ^ ä, (5) 


.| 


so sieht man sofort^ dafs (2) und (3) für G und (rb, ganz dieselben 
Werte geben wie (9) und (10) des vorigen Paragraphen. 

Mit Hilfe der S. 57 angegebenen Werte von P^ und 7^4 läfst sich 
die Übereinstimmung beider Methoden durch direkte Ausrechnung 
für alle Koefficienten der Glieder bis zum vierten Bange incl. nach- 
weisen. Es ist dieses aber nicht notig, wenn man Satz (2) §28 S. 116 
beachtet, welcher einen allgemeinen Nachweis der Übereinstimmung 
gestattet. Wir überlassen dieses aber dem Leser und beschränken 
uns darauf, nur an dem oben entwickelten Glied zweiten Ranges dieses 
Verfahren zu zeigen, welches leicht auf ein beliebiges Glied über* 
tragen werden kann. 

In Gleichung (2) S. 116 nehmen wir « =» 2 und ATj »=• sin'^ ■— y; 

dann verschwidden bei der Integration wegen des Auftretens von 
Z; in 7^2^ vergl. (5) S. 230, diejenigen Teile von P,, die nicht in 

[siu^^ — y) multipliziert sind. Es entsteht also, da sich überdies 

der Faktor (sin^B^ — ~] linker Hand gegen K^ «= sin^^' — y rechter 
Hand aufbebt, die neue Relation: 

Aus (3) des laufenden Paragraphen folgt hiermit 

nicht wesentlich verschieden von Formel (10) des vorigen Paragraphen, 
dem Ergebnis der Entwicklung nach Eugelfunktionen. 

§ 34. Fortsetzung. Da ^ nicht für die ganze Erdoberfläche 
gegeben ist, sundern nur in einzelnen Punkten, die ungleichmäfsig 
verteilt sind, so giebt die Methode der kleinsten Quadrate nicht die 
richtigen Werte. Diese zu erlangen ist aber auf keinem Wege mög- 
lich. Übrigens ist die ungleichmäfsige Verteilung wenigstens den 
geographischen Breiten nach, nicht beträchtlich, wie die Tabelle des 
§ 31 S. 226 zeigt, wobei allerdings der Unterschied der Vorzeichen 
in den Breiten nicht beachtet ist. Eine gleichmäfsige Verteilung 
nach den Breiten verlangt nämlich, dafs die Anzahl der beobachteten 
Werte der Schwerkraft g bezw. der Pendellänge £ in der Breite B 
proportional cos^, nämlich proportional dem Radius des Parallel- 


234 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 

kreises auf der Kugel Tom Radius 1 sei. Im grofsen und ganzen 
ist dieser Bedingung bei dem zur Zeit vorliegenden Beobachtungs- 
material genügt; man kann ihr aber bei der Ausgleichung dadurch 
noch besser nachkommen, dafs man den Fehlergleichungen in .bevor- 
zugten Breiten Gewichte kleiner als 1 erteilt. Übrigens hat die Ge- 
wichtsannahme thatsächlich bei der Auswertung des gegebenen 
Materials wenig Einflufs, wie wir weiterhin bei der numerischen 
Rechnung finden werden. 

Weit ungleichmäfsiger als nach den Breiten überhaupt ist die 
Verteilung nach nordlichen und südlichen Breiten und nach den geo- 
graphischen Langen. Dadurch erhalten die kontinentalen Glieder in g 
bezw. £ (die Kugelfunktionen von höherem Range als dem zweiten) 
einen Einflufs, der weit schädlicher sein kann, als derjenige der 
Glieder lokalen Charakters. Denn wahrend dieser mit dem Orte rasch 
wechselt und also den Charakter eines zufalligen Beobachtungsfehlers 
hat, wird jeuer oftmals ganze Gruppen von Beobachtungsorten in 
nahezu gleicher Weise beeinflussen. 

Hierzu treten noch die Mängel der Reduktion, insofern nämlich 
die Kondensation nur die erkennbaren Massenunregelmäfsigkeiten 
berücksichtigen kann. Diese Mängel erzeugen Fehlerglieder lokalen 
und kontinentalen Charakters. 

Die Fehler, welche bei der Ausgleichung infolge ungleicher Ver- 
teilung nach den geographischen Längen und infolge von Reduktions- 
mängeln in G und G\^^ entstehen, kann man nach den Gleichungen 
(9) und (10) § 32 8. 231 schätzen, unter der Voraussetzung, dafs die 
Verteilung der g nach den Breiten, nördliche und südliche durch- 
einander gerechnet, proportional cos^ ist. Wir entwickeln die Formel 
zur Schätzung des Fehlers in ^ITj. 

Indem wir zunfichst g als überall gegeben voraussetzen, denken 
wir uns für dieselbe Breite + B den Mittelwert gs gebildet und haben 
sodann aus (10) 8. 231 

n 
T 

Cb, = ^J'gB (siu'Zf -jjd (siu ß) . (1) 



Durch die oben geuanuten Ursachen entstehen in den ga Fehler d^A, 
die man nach Gutdünken zu schätzen hat. Es ist dann der ent» 
sprechende Fehler in 0^2 gleich 


9 


d (G\f^) = ^JdffB . (sin» 2? - I) d(3in/?) . 


(2) 


Für Gruppenbildung von 10 zu 10 Grad folgt näherungsweise richtig: 


§ 34. Fortsetzung t Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate. 235 

Ä^5 . (sin^ö» - -j) (sin lO» — sinO«) 

+ dffis . (sinnö» — y) (sin20« - sin 10«)+. . . 

+ dffsö . (sin« 85« — y) (sin 90« — sinSO«) 


HGb,) = ^ 


S 


worin ^^5 , dgis u. s. f. nun Mittelwerte der Fehler innerhalb der 
Gruppen — 10«, 10 — 20« u. s. f. bezeichnen. Ausgerechnet hat 
man die Näherungsrelation: 

d (Gbi) = - 0,64 äff, — 0,50 d^,5 — 0,27 «^,5 - 0,00 dg^ 

+ 0,23 dg^ + 0,38 dg^ + 0,41 dg^ + 0,30 «^75 (3) 

+ 0,11*^85. 

Da nun die Länge £ des Sekundenpendels proportional g ist und 
angenähert 1"* beträgt, so kann mau hiernach auch setzen 

ib.^ = - 0,64 *«ß — 0,50 ««16 - 0,27 *£« - 0,00 iJffss 

+ 0,23 ««45 + 0,38 ««w + 0,41 d«65 + 0,30 «£75 (3*) 

+ 0,11 ««86. 

Mit Uücksicht auf das Ciairaut fiche Theorem hat man noch für 
die Abplattung ü sehr nahe 

dü = — dbi . 

Diese Formeln gestatten u. a. den Einflufs der Inselstationen zu 
schätzen. Auf Inseln ist £ sowohl ohne als mit Kondensation grofser 
wie au Küsten und auf dem Festlande. Wie wir im nächsten Para- 
graphen sehen werden, ist ferner im Mittel für die nordliche und 
südliche Erdhälfte das Verhältnis von Wasser und Land in allen 
Breiten annähernd dasselbe. Die Tabelle des § 31 S. 226 zeigt aber, 
dafs die Anzahl der Inselstationen keineswegs für verschiedene Breiten 
in konstantem Verhältnis zur Anzahl der Küsten- und Festlands- 
stationen, welche man zusammennehmen darf, steht. Eine Berech- 
nung von b, und ü, welche diene ungleiche, rein zufällige Verteilung 
bestehen läfst, kann gar keinen Wert haben ; denn eine Vermehrung der 
Anzahl der Stationen führt der Wahrheit nicht erkennbar näher. Bei 
den älteren bisherigen Berechnungen, vergl. 2. Kap. § 16 S. 85 u. ff., 
wurde ü um V289 ^erum gefunden. Dabei war in äquatorialen Ge- 
genden die Anzahl der Festlands- und Küstenstationen gering im Ver- 
hältnis zur Anzahl der Inselstationen. Clarke nahm neuerdings die 
indischen Stationen hinzu, vermehrte so in dieser Zone die Festlands- 
und Küstenstationen und mufste zufolge (3*) und (4) einen gröfseren 
Wert für bj und einen kleineren für a als frühere Rechner erhalten. 
Da& er den richtigen Werten näher gekommen sei, kann aber auf 
grund seiner Berechnung nicht behauptet werden. 


236 3. EapiteL Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 

Bezüglich des Ansatzes der Fehlergleichungen für die Ausgleichung 
ist es ganz gleichgültig, ob man nach (1) § 33 S. 231 ansetzt: 

ff + d^G + Gb^ (sin'B - I) (4) 

^^^^ Sf + d = A + B sin'i? (5) 

nimmt. Es folgt dieses daraus, dais (5) aus (4) durch die linearen 
Substitutionen G =^ A -\- — ^^^ Gb2 '^ B hervorgeht und die dem 
Minimum der Fehlerquadrate entsprechenden Gleichungssysteme 

- aj»L_o £|^_o (5.) 

mittelst jener Substitutionen in einander übergeführt werden können. 
An Stelle von (5) kann man endlich auch die Form wählen: 

^ + d=67 — />cos2i?. (6) 

Ebenso wie ^ kann man auch die Länge £ des mathematischen Se- 
kundenpendels durch Formeln darstellen, die denen für g ganz ana< 
log sind, da g und £ einander proportional sind. Dagegen ist es nicht 
erlaubt, die tägliche Schwingungszahl eines mathematischen Pendels 
von konstanter Länge / in ganz derselben Weise zu behandeln. Nach 
der Formel für die Schwingungszeit 

^ 9 

ist die Schwingungszahl n proportional ^g , Geht man daher von n aus, 
so mufs die Form J9 4~ 9 sin^^ für v? gewählt werden und nicht für 
n selbst, d. h. man mufs setzen 

n^^S^p-^-q sin'^ (7) 

und [dd] zu einem Minimum machen. Da n wenig variiert, darf 
man auch, wie u. a. Baily und Clarke gethan haben, setzen : 

(n4-d)2=j9 + (7sin2^, (8) 

wobei dann rechter Hand d^ zu vernachlässigen und die Summe der 

(nd)^, oder was nahezu dasselbe giebt, der d^, zu einem Minimum 

zu machen ist. 

Würde man aber (wie Borenius, vergl. die Anmerk. S. 87) die 

Gleichung 

n + d = p, +(^,sin'^ (9) 

ansetzen, so würde man damit eine Formel zu gründe legen, die der 
gesuchten Formel (4) gar nicht entspricht, beim Übergang zu g 


§ 34. Fortsetzung: Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate. 237 

noch ein Glied vierten Banges nnd trotzdem nicht die besten Werte 
▼on G und Gl^^ crgiebt. 

Es ist hier der Ort, auf eine scheinbare Differenz mit den Angaben 
auf S. 43 von H. JBrutw, Figwr der Erde, hinzuweisen. Daselbst wird be- 
hauptet und durch ein Beispiel erläutert, dars die Methode der kleinsten 
Quadrate in ihrer Anwendung auf die Schwere wegen der Störungen 
auch bei gleichmäfsiger Verteilung der Angaben für g nicht notwendig 
denjenigen Wert von llt liefert, den man im Sinne des zweiten Kapitels 
zur Bestimmung eines Niveausph&roids erwartet. Dies steht in direktem 
Gegensatz zu unseren Angaben, jedoch wesentlich nur deshalb, weil wir 
uns g wegen Kondensation gewisser Massen in der Erdkruste reduziert 
denken, während Brtms den wie üblich aufs Meeresniveau ohne Konden- 
sation reduzierten Wert g voraussetzt. Stokea dagegen glaubte auch ohne 
Reduktion wegen Kondensation das richtige bt zu erhalten; es ist also für 
diese Ansicht durch Bruna eine Berichtigung gegeben. Aber letzterer 
teilt nicht mit, wie zu dem besten Werte von l^ zu gelangen oder wie 
der Fehler bei dem Ergebnis des gewöhnlichen Verfahrens zu schätzen 
ist. Unsere Methode hat nun u. a. den Vorteil, zu einer Schätzung dieses 
Fehlers zu fahren: man hat nur nötig, Formel (3) auf die geschätzten 
Kondensationsbeträge anzuwenden und daraus db^ sowie mittelst ClairatUs 
Theorem ^a zu berechnen. Sie giebt auch wesentlich dasselbe Niveau- 
sphäroid, welches Bnms annimmt, weil die Kondensation Schwerpunktslage, 
Azenlage und Trägheitsmomente der Erde nur unerheblich ändert, sodafs 
in den^ den Niveausphäroiden [/ zu gründe gelegten einÜEbchen Potential- 
aasdrücken bei Bruns und hier (im 2. Kapitel) wesentlich dieselben 
Konstanten auftreten. 

Wir müssen nun allerdings erwähnen, dafs immerhin auch nach Be- 
rücksichtigung der Kondensation sich für die theoretische Richtigkeit der 
JBfMfWschen Behauptung noch ein Grund ergiebt, den wir gleich hier im 
Anschlüsse an den weiterhin folgenden § 39 erledigen. Daselbst wird 
nach einem Näherungsverfahren aus dem allgemeinen Ausdrucke für das 
Potential W der allgemeine Ausdruck für p in Kugelfunktionen abgeleitet. 
Wenn man diese Entwicklung dahin verbessert, dafs bei Ableitung von g 
aus Gleichung (4) daselbst für r' überall, wo einfach B gesetzt ist, der 
elliptische Wert angewandt wird, so erscheint der Koefficient bt beein- 
flufst von den Koefficienten der höheren Kugelfnuktionen von W: er 
gestaltet sich somit etwas anders als bei der Entwicklung aus U. Da nun 
die oben behandelte Berechnung einer Interpolationsformel fiir g den 
ersteren Wert von Iff ergiebt, so pafst dieser nicht streng zu dem Niveau- 
sphäroid. Allein die Substitution von B für r genügt, wie auch am 
Schlüsse von § 39 bemerkt wird, und wie man leicht verifizieren kann, 
völlig für Kugelfiinktionen von mäfsig hohem Range, wie sie kontinen- 
talen Störungen entsprechen. Den lokalen Störungen genügt die Rechnung 
freilich nicht; diese äufsern sich aber n^fenig in der Form des Geoids, 
vielmehr wesentlich nur in ^, woselbst sie gleiche Ordnung wie die kon- 
tinentalen erlangen. Ihr Einflufs auf lit kann indessen aus den Abweichungen 
der Einzel werte g gegen die Interpolationsformel seinem mittleren Betrage 
nach geschätzt werden, wenn man die hierbei unschädliche Fiktion macht, 
dafs alle diese Abweichungen lediglich zufälligen Ursprungs seien. 


238 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 


§ 35. Ableitung einer luterpolationsformel fDr die Länge 
des Sekundenpendels und für die Schwerkraft. 

Wir untersuchen zuerst die Verteilung von Festland F und 
Meer M in verschiedenen Breiten für die nördliche und südliche Erd- 
hälfte, sowie für beide zusammen. Folgende Tabelle zeigt die An- 
zahl der Längengrade für beide Charaktere F und M, ' 



Nord 

Sfld 

Zusammen 

Breite 

F 

M 

F 

M 

F 
210» 

M 

0«- 10« 

100« 

260« 

HO» 

250« 

510« 

10 — 20 

120 

240 

90 

270 

210 

510 

20 — 30 

150 

210 

90 

270 

240 

480 

30-40 

170 

190 

1 

40 

320 

210 

510 

40 50 

210 

150 

10 

1 

350 

220 

500 

50—60 

230 

130 

1 

i 

360 

230 

490 

60 70 

290 

70 

30 

330 

320 

400 

70-80 

120 

240 

90 

270 

210 

510 


Es zeigt sich hier die merkwürdige Thatsache, dafs für die nord- 
liche und südliche Erdhälfte zusammengenommen F in nahezu kon- 
stantem Verhältnis zu JH steht. Infolge dieses Umstandes ist es 
möglich unter der Voraussetzung, dafs in allen Breiten die Schwer- 
kraftsdiiierenz M — F konstant ist, ohne Kenntnis der Schwerkraft 
auf dem Meere, nur aus den Beobachtungen der Schwerkraft auf dem 
Lande, den zur Berechnung der Abplattung u geeigneten Wert von b, 
abzuleiten. Die Inselbeobachtungen, welche doch nicht die Schwer- 
kraft auf dem offenen Meere geben, lassen wir als zu ungleichmäfsig 
verteilt aufser acht. 

Verstehen wir unter £ eine beobachtete und gehörig aufs Meeres- 
uiveau, sowie wegen Kondensation reduzierte Länge des Sekunden- 
pendels, so setzen wir mit Rücksicht auf S. 236 (6), wenn d eine 
Verbesserung, B die geographische Breite und x und y zu bestimmende 

Konstanten sind: 

£ + d = a: — ycos2Ä. (1) 

Für y setzen wir unter Einführung eines Näherungswertes 


und erhalten 


0,002636 (1 - ^) 


oder 
wobei 


£ + d = x — 0,002636 (l - y^) cos 2B 

i" ^ d = x-\- 0,0(XX)2636 C082Z? . ij , 
£" = £-{. 0,002636 cos 2B 


(3) 


§ 35. Interpolationefonnel für die Schwerkraft. 


239 


ist. Die Werte von ^' fQr die einzelnen Orte giebt die Haupttabelle 
§ 29 S. 215 u. ff. und nach derselben die Tabelle § 31 S. 226 für 
Gruppenmittel. Diese Vereinigung in Gruppen mittel empfiehlt sieh, 
um die nach § 34 notwendige Verteilung nach der geographischen 
Breite annähernd herzustellen. Darnach soll die Anzahl der Beob- 
achtungen in der Breite B proportional cos^ sein. Es ist daher den 
Gruppenmitteln strenggenommen ein Gewicht proportional dem Mittel- 
werte von cos^ für die Gruppe beizulegen. 

Um auch in geographischer Länge innerhalb jeder Gruppe eine 
möglichst günstige Verteilung herzustellen, vereinigen wir im allge- 
meinen in jeder Gruppe die Werte von jf' für F und K zu einem 
einfachen Mittel mit Rücksicht darauf, dafs die A"- Werte besser ver- 
teilt sind, als die /"-Werte. In einigen Fällen wird aber davon ab- 
gewichen. Der Vorgang ist im einzelnen folgender: 

Gruppe — 10^ Da für F nur ein Wert existiert, werden die 
Werte C" für F und K mit Rücksicht auf ihre Anzahlen 1 und 8 
zu einem Mittel vereinigt. Strenggenommen ist hierbei noch die 
Differenz F — K ^^ — 8 zu berücksichtigen, die wir aber als zu un- 
sicher ignorieren. Das Mittel wird 0,993568. 

Gruppe 10 — 20« bis mit 50 — 60«. Hier wird einfach gemittelt 
ohne Rücksicht auf die Anzahlen. Das ist sehr notig, weil von 10—30^ 
alle /*- Werte lediglich in Indien genommen sind und bei 50 — 60^ 
nur in Europa; bei 30 — 40® und 40 — 50® sind sie zwar etwas besser 
verteilt, doch auch nur auf zwei oder drei Gebiete. 

Gruppe 60 — 70®. Hier giebt es zwar nur /"- Werte, indessen haben 
dieselben teilweise nahezu Küstencharakter bei leidlicher Verteilung. 

Gruppe 70 — 80®. Hier ist nach der Anzahl zu mittein; Verteilung 
ziemlich gut. 

Die zu (2) notwendigen Faktoren 0,00002636 cos 2B oder 26,36 cos 2B 
in Mikrons giebt für die einzelnen Gruppen die letzte Kolumne der 
Tabelle S. 226. Dieselben sind für die Mittelwerte der C aus den 
F' und Ä'- Werten in derselben Weise zu vereinigen wie die C" selbst. 
Damit ergeben sich nachstehende Fehlergleichungen, Mikrons als 
Längeneinheit genommen: 


99 3568 

+ *, 

-. 

X + 25,5 ij 

3Ö59 

+ «», 

= 

X + 22,9 ij 

3528 

+ «, 

-= 

X + 17,5 ij 

3552 

+ «4 


X + 10,4 ij 

3551 

+ «5 

= 

x+ 1,5 j/ 

3555 

+ *6 

= 

X— Sfiri 

3540 

+ «7 

=• 

X — 16,2 ij 

3549 

+ *8 

-c 

X — 22,5 ij 


(4) 


240 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Ueeresniveao. 

Sehen vir nun zunächst von der Annahme der Gewichte propor- 
tional za cobB ab und nehmen fQr alle Gleichungen das Gewicht 1 
an, so folgt aus (4) durch Bildung der Normalgleichung fflr x nach 

Division mit 8: 

993550 =. a; + 3,9 12 . (5) 

Zieht mau diese Gleichung von den Gleichungen (4) ab, so er- 
geben sich die Gleichungen 

18 + d, = 21,6 7) 

9 + dj = 19,0 ti 

— 22 + dj = 13,6 fj 

2 + d, = 6,5 1, 

l + di = - 2,4, ^'^^ 

— 10 + d^ = — 20,1 ij 

— l + d8=-26,4ij, 

deren Summe, abgesehen von den d, wie es sein mufs, hinreichend 
gleich null ist 

Als Normalgleichung für ij folgt aus (6): 

439 -= 2304 M : (7) 

es wird daher 

^ = _)_ 0,19 und y = 0,002631 , 
und ferner mit Bücksicht auf (5): 

« = 0,993549 — 0,002631 cos 25 , 
oder unter Einführung von sin^i?: ^ ' 

« = 0,990918 + 0,005262 ain^B = 0,990918 1 1 + 0,005310 sin»^) .(8) 

Die Verbesserungen d werden in Mikrons 

d, — - 13,9 dj => — 1,5 

dj => — 5,4 ^6 ™°' — "^ß 

dj « + 24,6 «7 =- + 6,2 

d4 = — 0,8 ds=. — 4,0 

Hieraus folgt [dd] -^ 937 und der mittlere Fehler n einer Gleichung 
demnach gleich 

H = f/^ ^ + 12,6 . 
Mit Rücksicht auf (7) wird darnach der mittlere Fehler in ti gleich 


§ 36. Fortaeizung: Plausible Grenzen der Abplattung. 241 

es ist somit y mit seinem mittleren Fehler gleich 

y « 0,002631 (1 + 0,0026) . 

Endlich folgt hieraus der mittlere Fehler des Koefiicienten 5310 von 
sin^^ in (8) gleich 4: 14. Als Resultat der Ausgleichung ergiebt sich 
somit die Länge des mathematischen Sekundenpendels für Festland und 
Küsten^ nach der Kondensationsmethode aufs Meeresniveau reduziert, 
gleich 

C = 0,990918 1 1 + [0,005310 + 14] sin^^ j Meter . (8*) 

Durch Multiplikation mit sc^ wird für die entsprechend reduzierte 
Schwerkraft erhalten 

g = 9,7800 1 1 + [0,005310 + 14] sin^^ | Meter . (9) 

Im zweiten Kapitel S. 85 ist hierzu die Abplattung berechnet 
worden; mit Angabe des mittleren Fehlers wird 

fl -= 0,0033416 + 140 - ^,V±W ' ^^^^ 

§ 36. Fortsetzung: Plausible Grenzen der Abplattung. Wir 
haben zunächst noch nachzuweisen, dafs die Vernachlässigung in der 
Gewichtsannahme bei der Ausgleichung des Sjstemes (4) keinen 
wesentlichen Fehler giebt. Die mittleren Werte von cos^, also die 
Gewichte, sind für die Gleichungen (4) der Reihe nach sehr nahe 

1,00 0,71 

0,97 0,57 

0,91 0,42 

0,82 0,26 . 

Bildet man hiermit die Normalgleichungen, so findet sich x wie früher, 

ferner ly «=: -}- 0,25 

und y = 0,002629 , 

mithin kein wesentlich anderes Resultat. 

Wir weisen jetzt nach, dafs die südliche Halbkugel, wo weniger 
Beobachtungen als auf der nordlichen vorliegen, keine nennenswerte 
Abweichung von der nördlichen verrät. Zu diesem Zwecke stellen 
wir nach der Tabelle des § 29 S. 215 die Verbesserungen zusammen, 
die sich für die südlichen Stationen ergeben. Da die Werte in der 
Tabelle mit 0,002636 cos 2^9 reduziert sind, ist noch eine kleine Ver- 
besserung wegen des Überganges auf 0,002631 cos 2^ anzubringen und 
sodann mit 0,993549 zu vergleichen. 

Helmert, mftthem. o. pbysikftl. Theoricen der höh. <teodiiiie. II. 16 


242 


3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 


Südstationen. 


Ort 


Breite 



Mittel- 
werte der 
Verb. 


Rawak 

(y^ 

0,99 3572 

Para 

1 

3567 

Maranham 

3 

3519 

Fernando 

4 

3567 

Ascension 

8 

3578 

Bahia 

13 

3548 

St. Helena 

16 

3642 

Isle de Frauce . . . 

20 

3640 

Bio Janeiro 

23 

3534 

Valparaiso 

33 

3526 

Paramatta 

34 

3533 

Port Jackson .... 

34 

3588 

Kap d. g. UoSh.. 

34 

3639 

Montevideo 

35 

3542 

Falkland Inseln.. 

52 

(3544 
13462 

Staten Jsland 

55 

3611 

Kap Hörn 

56 

3586 

Süd Sbetland Ins. 

63 

3615 


— 23 

— 18 
+ 30 

(-18) 
(-29) 

4- 1 
(-93) 
(-91) 

+ 15 
+ 23 

+ 16 

-39 

-90 

+ 7 
+ 5 
+ 87 

— 62 

— 37 
(-66) 


Ä- ! 

(/) 
I 

I 

K 
I 
I 
K 
K 
K 
K 
K 
K 


— 4 


)<') 


+ 1 


+ 15 


— 17 


K 
I 


- 2 


Schliefst man die /-Werte aus, so bemerkt man in der Thai kein 
Vorherrschen eines Vorzeichens der Verbesserung. Hiermit ist eine 
wesentliche Grundlage unserer Rechnung ziemlich gesichert: die 
Gleichheit beider Erdhälften, wenigstens insoweit Festland- und 
Küstenmessungen dies erkennen lassen. 

Was die andere Grundlage anlangt^ dafs die Differenz der Pendel- 
längen für Meer und Festland in allen Breiten konstant sei, so ist 
allerdings hierfür das Beobachtungsmaterial sehr dürftig, da in 
höheren Breiten nur eine Insel, Süd-Shetland, vorkommt. Jedoch be- 
stätigt auch diese die Annahme der Konstanz der Differenz M — F. 

Nehmen wir aber einmal an, dafs in höheren nordlichen und 
südlichen Breiten diese Differenz nur halb so grofs sei wie am Äqua- 
tor und von hier nach den Polen hin allmählich abnähme, so ist 
leicht zu erkennen, dafs nun zwei Drittel des Betrages der halben 
Differenz für äquatoriale Gegenden auf Verminderung des Koefficien- 
ten 5310 in (9) wirken, weil nach der Tabelle auf S. 238 in geographi- 


§ 37. Die Schwerkraft auf der physischen Erdoberfläche. 243 

scher Länge die VerteiluDg von Festland und Meer rund wie 1 : 2 sich 
▼erhält. Setzen wir nach S. 227, indem wir für Af — 7^ schätzungs- 
weise 1 — F nehmen, JH — A' am Äquator gleich 100, so würde sich 

also 5310 um -^ • 50 d. i. 33 vermindern und in 5277 übergehen, die 

Abplattung aber würde von 0,0033416 auf 0,003375 oder Vj^^ an- 
wachsen. 

Eine noch gröfsere Abplattung erscheint uns nicht wahrschein- 
lich; jedenfalls ist 7289 9 2^ ^^^ Eoefficienten 5200 gehörend, zu grofs. 
Denn um diesen Koefficienten herauszubringen, mul's man annehmen, 
dafs die Differenz JH — F ELxn Äquator um 160 Mikrons gröiser ist 
als an den Polen. Dieser Betrag ist selbst mit Rücksicht auf ver- 
nachlässigte, unbekannte Kondensationseffekte höchst unwahrscheinlich. 
Auch derjenige Wert, den Ciarke sowohl aus den Gradmessungen 
wie aus den Pendelbeobachtuugen für die Abplattung ü findet (vergl. 
Bd. 1 S. 610 und Bd. 2 S. 89), nämlich 7^94 > erscheint uns nicht sehr 
wahrscheinlich. 

Wie wir weiterhin im 6. Kapitel § 7 finden, führen die Mond- 
Störungen zu dem Werte ü «> Vsgv'gi ^^^ obgleich dieser Wert zufolge 
seiner Ableitung um mehrere Einheiten unsicher erscheint, giebt er 
doch eine wertvollere Kontrolle als die Gradmessungen für das Er- 
gebnis der Pendelmessungen und dient zur Bestätigung unserer Rech- 
nung. Im 6. Kapitel werden wir ferner sehen, dafs wohl diese Ab- 
plattung, aber nicht V3899 ^^^ ^^^ Ergebnissen der Präzession und 
Nutation zu einer plausiblen Funktion für die Dichtigkeitsänderung 
im Erdinnern führt. 

Die Haupttabelle § 29 S. 215 u. ff. zeigt die Abweichungen der ein- 
zelnen Längen £" von den entsprechenden Formelwerten, wobei aller- 
dings nicht der günstigste Koefficieni 2631, sondern 2636 zur An- 
wendung gelangt ist, was jedoch bei der Gröfse der Einzelabweich- 
ungen bedeutungslos bleibt. Diese Einzelabweichungen machen ganz 
den Eindruck lokaler Anomalieon; nur bei den Inseln ist vielleicht ein 
Teil kontinental, jedoch gestattet das vorliegende Beobachtungsma- 
terial nicht dieses zu entscheiden. (Vergl. 8. 227 sowie § 38 im 
4. Kap.) 

§ 37. Die Schwerkraft auf der physischen Erdoberfläche. 

Im § 20 des 2. Kap. S. 97 ist angegeben worden, wie man 
mittelst der Formel, welche die Variation der normalen Schwerkraft 
im Meeresniveau mit der Breite darstellt, für einen Ort in der Meeres- 
hohe B den normalen Wert der Schwerkraft ableiten kann. Wenn 
nun an einem Orte der physischen Erdoberfläche g nicht beobachtet 
ist, so kann die Frage von Interesse sein, welche Verbesserungen am 
Normal werte von g anzubringen sind, um dem wirklichen Werte 

16» 


244 d- Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

möglichst nahe zu kommen. Insbesondere fragt es sich, inwieweit 
die Anziehung des Terrains zwischen physischer und mathematischer 
Erdoberfläche zu berücksichtigen ist. 

Wenn wir aber auf die Ableitung der Formel (9) für die Schwer- 
kraft g bezw. (S'^) für die Länge des Sekundenpeudels £ im Meeres- 
niveau auf S. 241 zurückblicken ^ so kann es nicht zweifelhaft sein, 
dafs der Übergang vom Meeresuiveau zu der Meereshohe H so zu ge- 
schehen hat, als erfolge er in freier Luft. Denn bei dem umgekehrten 
Übergang eliminiert sich durch die Kondensationsmethode die Terrain- 
anziehung ebenfalls — wenn auch nicht vollständig, so doch gröfsten- 
teils. Die Vorschriften im § 20 8. 97 reichen daher völlig aus, um 
für die physische Erdoberfläche g aus Formel (9) S. 241 (und ent- 
sprechend £) herzuleiten. Eine Berücksichtigung der Terrainanziehung 
im Sinne des Gliedes (3) S. 164 würde im allgemeinen von der Wahr- 
heit entfernen. Nur für kleine Inseln im offenen Ocean hat man den 
erhaltenen Wert der Pendellänge um etwa 200 Mikrons zu vergröfsern, 
wie die Angaben auf S. 226 erkennen lassen. 

Die Fehler^ welche in dieser Weise berechnete Pendellängen gegen 
die wirklichen haben können, zeigt die Kolumne fiVerb.'^ der Tabelle 
des § 29 S. 215 u. ff.; nur ist bei den Inselwerten -f- 100 hinzuzufügen. 
Die mittlere Abweichung, berechnet aus den ersten Potenzen, {Aus- 
gleichungsrechnung S. 19) wird gleich: 

+ 34 Mikrons 
oder 

± 1Ö5ÖÖ ^^^ Betrages 
von g bezw. £. 

§ 38. Allgemeines über die Ermittelung kontinentaler Un- 
dulationen des Oeoids. Nachdem in diesem Kapitel eine solche 
Reduktion der Schwerebeobachtungen auf den Meeresspiegel ange« 
geben worden ist, dafs die Entwicklung der Potentialfunktion W der 
Schwerkraft nach negativen Potenzen des Radiusvektors aufserhalb 
bis zur Geoidfläche gültig erscheint und die hierauf aufgebauten Ent- 
wicklungen des zweiten Kapitels einwurfsfrei sind^ entsteht die Frage, 
ob es möglich ist, aus den Schwerebeobachtungen die Form des Geoids 
im Detail zu erkennen. Denn das zweite Kapitel lehrt nur die Be- 
stimmung der Form irgend eines Niveausphäroids, entsprechend einer 
einfachen Interpolationsformel für die Beschleunigung^ der Schwer- 
kraft im Meeresniveau, eines Niveausphäroids, das mit einem Rotations- 
ellipsoid fast ganz identisch ist: des Normalspharoids (§ 17 S.89). Wenn 
wir uns aber den hierbei eingeschlagenen Gang vergegenwärtigen, 
so leuchtet ein, dafs es nur einer Interpolationsformel mit mehr 
Gliedern für g bedarf, um die Formen des Geoids detaillierter zu 
erkennen. 


§ 39. Relationen f. d. Abweichangen des Geoida vom Normalsphäroid. 24Ö 

Allein dieser sich unmittelbar darbietende Weg ist praktisch von 
geringer Bedeutung, erstens wegen zu geringen Materials an Beob- 
achtungen für g^ zweitens wegen der Schwierigkeit der Ableitung 
einer gliederreichen Interpolationsformel. Der erste Grund führt zu 
einer Änderung der Methode , der zweite zu einer Änderung der 
Rechnuiigsvorschriften. Unter der Voraussetzung genügenden Beob- 
achtnngsmaterials hat Slokes eine Formel gegeben, um ohne Ableitung 
einer Interpolationsformel die Abweichung des Geoids von einem ge- 
wissen einfachen Niveausphäroid an irgend einer Stelle zu berechuen. 
Man kann diese Formel als eine strenge bezeichnen ; sie bedarf aber 
eigentlich zu ihrer Anwendung die Kenntnis von g auf der ganzen 
Oberfläche. Kennt man g nur an einer Stelle und will hieraus, d. h. 
aus seiner Abweichung von dem entsprechenden Wert der dem Ni- 
veausphäroid zu gründe liegenden Formel, die Abweichung des Geoids 
an der betreuenden Stelle berechnen, so kann das offenbar ohne 
Hypothesen (welche die mangelnde Kenntnis von g auf der ganzen 
Oberfläche ersetzen) nicht geschehen. Diese Methode führt also nur 
zu Näherungsformeln. Leider wird sich zeigen, dafs diese Formeln 
wertlos sind und selbst bei gehöriger Vervollständigung wohl eine 
Bedeutung, aber nicht die gewünschte, erlangen. 

Alle diese Wege sind analytischer Natur. Ein synthetischer 
bietet sich dar bei der (sicher nicht korrekten) Annahme, dafs die 
sichtbaren Masseuunregelmäfsigkeiten der Erdrinde allein Ursache 
der Abweichungen des Geoids seien. Das Potential T dieser Unregel- 
mäfsigkeiten läfst sich schätzen, und das Bruns^the Theorem (§ 5 
S. 148) gestattet sodann die Berechnung der Abweichungen. - Dieser 
Weg, obwohl nicht geeignet zur Ermittelung der wahren Beträge 
der Abweichungen des Geoids, bietet doch viel Interesse. Er wird 
den Gegenstand des vierten Kapitels bilden, während wir hier noch 
die anderen, oben angedeuteten Fragen erörtern. 

§ 39. Strenge Belationen für die Abweichungen des Geoids 
vom zugehörigen Normalsphäroid. Das Potential W der Schwer- 
kraft setzt sich zusammen aus dem Potential V der Anziehung und 
dem Potential der Zentrifugalkraft. Es ist also, vergl: § 5 (7) S. 60: 

fr= r + i-iöV'2cosV (1) 

und dabei mit Rücksicht auf S. 66 § 7 (4) : 

^-V°' + ^^'+§'+#'+.... (2) 

Hierbei sind r, tp und X bezw. Radiusvektor, geozentrische Breite und 
liänge des angezogenen Punktes, und es bezeichnen K^^ K^^ K^, K^ 
u. 8. f. Kugelfunktionen von tp und X nullten, zweiten, dritten, vierten 


246 ^- Kapitel. Kontinentale ündulationen des Geoids. 

Ranges u. s. f. Die besonderen Werte von K^ und K^ zeigt die er- 
wähnte Gleichung (4) unschwer, speziell K^ ist gleich Mk^. Im Ver- 
gleiche zu dort ist jetzt Mk^ in K^ u. s. f. mit inbegriffen. 

Multipliziert man Gleichung (1) mit r : W, so folgt mit Rück- 
sicht auf (2): 

r = A JA-; + ^i + f«: + -J/ + . . . + 1 «V» cos>') . (3) 
Andrerseits wird die radiale Komponente der Schwerkraft gleich 

— 1?" = 1^ l^o' + T^ + -^•' + -,'^^' +• . • - »V3 cosV) . (4) 

Beide Gleichungen denken wir uns auf die Geoidfläche W ^=^ Wq be- 
zogen. Wenn wir nun dieselbe Genauigkeit in den weiteren Ent- 
wicklungen festhalten wie in § 10 und § 11 des zweiten Kapitels 
S. 72 u. ff., dabei aber die Glieder mit Ä^j', KjI u. s. f. ebenso berück- 

sichtigen wie dasjenige mit K^j so ist zunächst ö-t- gleich der 

Schwerkraft g selbst, und es ist ferner (unter einer gewissen noch za 
besprechenden Voraussetzung) erlaubt, rechter Hand von (3) und (4) 
in den Parenthesen für r' den mittleren Radius R einzuführen. Diese 
Gleichungen gehen hiermit, und wenn wir (um alles in Kugelfunktionen 

darzustellen) für cos^ schreiben y "^" (t ""^^^y* ^^^ ^^' 


1 


(ä'o'+ I oj'Ä') + 1 «»A3 (1 - sin»,,') 


(5) 


und 


Mit Rücksicht auf die Bemerkung zu Gleichung (5) S. 66 ist das 
Glied nullten Ranges in (5) der Mittelwert B der Radienvektoren der 
Geoidfläche (im Sinne von S. 66), und man hat daher 

^=wiK+i-^Ä3)^§:(n-i-c), (7) 

sowie ferner, immer mit gleicher Genauigkeit der Entwicklungen: 

r' = Ä|l+lc(i-8inV)+-^i.+^+^. + ...),(8) 

wobei für o'Ä' : A'q' das Symbol t gesetzt wurde, welches hier als 
übereinstimmend mit der in (12) § 11 S. 76 eingeführten Gröfse t zu 
betrachten ist. 


§ 39. Relationen f. d. Abweichungen des Geoids vom Normalspharoid. 247 
Hieraus folgt 

r't "^ Ä« r '^ V 3 sin 9 ^ -^,^^ j^^>^3 jf; jB4 — • • • ) 

und durch Substitution dieses Ausdrucks für 1 : r'^ in (6) mit üblichen 
Vernachlässigungen : 

_K,\ (i-|0-^^(t--V) I 

l "'" ÄÖ'Ä* ''' Äo'-B' "^ io Ä* "T" • • • J 
Der Mittelwert Ton g im Sinne von 8. 66 ist hiernach 

Wir führen denselben in den Ausdruck (9) für g ein und setzen zu- 
gleich 

Zö JS*" ■" * ' WH^ "^ '^ ' 'K^ = *'4 > u. 8. 1. , (1 1 ; 
womit (9) and (8) übergehen in: 

ff=^G[l-2c (|-8inV) +/c, + k^ + k^+ ...\, (12) 

r' = Ä(l+lc(i~8inV)+A,+l*, + lA:, + ...). (13) 


Diese Näherungsformeln; in denen für q)' und X' auch geogra- 
phische Breite B und Länge L gesetzt werden dürfen, zeigen zunächst, 
in welcher Weise für die Geoidfläche die höheren Eugelfuuktionen in ff 
übergehen auf den Radiusvektor: je höher der Index, desto geringer 
ist der Einflufs auf r . Lokale Einflüsse in ff, welchen immer Kugel- 
fonktionen von sehr hohem Index entsprechen, werden daher den 
Radiusvektor der Meeresfläche wenig beeinflussen — eine Sache, die 
übrigens synthetisch sehr leicht einzusehen ist (vergl. das 4. Kap.). 

Berücksichtigt man ferner die aus dem Eingang dieses Kapitels 
ersichtliche Thatsache, dafs die Anziehung einer ausgedehnten Platte 
auf Punkte über ihrem mittleren Teile wesentlich nur von der Stärke 
derselben abhängt, so leuchtet nun andererseits ein, dafs kontinentale 
Massenunregelmäfsigkeiten die Schwerkraft ff nur etwa von gleicher 
Ordnung beeinflussen wie lokale, dafs daher in einer Darstellung von 
ff nach Kugelfunktionen der geographischen Breite und Länge die 
KoefScienten in k^, k^ u. s. f. bis zu hohen Indices durchschnittlich 
annähernd gleiche Ordnung besitzen werden, und dafs daher, weil in 
den Kugelfunktionen mit wachsenden Indices auch die Anzahl der 
Koefficienten wächst (vergl. S. 65), eine sehr grofse Anzahl von Ko- 
efficienten notwendig werden würde zu einer einigermafsen voUstän- 


248 3- Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

digen Darstellung von g. An eine solche Darstellung ist natürlich 
wegen mangelnden Beobacbtungsmaterials nicht zu denken, aber auch 
die Rechnung würde kaum zu bewältigen sein; sie würde schon bei 
Beschrankung auf die wichtigsten kontinentalen Glieder erheblich 
werden und Hunderte von Koefficienten betreffen. 

Deshalb hat Stokes in seiner mehrfach erwähnten Abhandlung 
eine Formel entwickelt, welche gestattet, die Anomalieen in r aus 
denen in g ohne Reihenentwicklung zu berechnen. Diese Formel hat 
freilich gegenwärtig nur theoretischen Wert, aber sie ist insofern von 
Wichtigkeit, als sie den einzig richtigen Weg zur Berechnung der 
Anomalieen im Radiusvektor, d. h. der Unterschiede N zwischen dem 
Geoid und seinem Niveausphäroid (Normalsphäroid), aus Schwerebeob- 
achtungen zeigt. Auch ist die Möglichkeit einer praktischen Ver- 
wendung der Formel in nicht zu ferner Zeit zu hoffen. 

Bei der Entwicklung dieser Formel im nächsten Paragraphen 
behalten wir die Näherungsrelationen (12) und (13) bei, da dies für 
unsere Zwecke einer allgemeinen Orientierung in der Sache ausreicht. 
Sollen die erwähnten Relationen strenger entwickelt werden, so ist 
dies nach Mafsgabe (und event. mit Benutzung) der Entwicklungen 
der §§ 12 bis 15 des vorigen Kapitels S. 77 u. ff. leicht zu bewerk- 
stelligen. Es werden dadurch übrigens in den Gliedern obiger Formeln 
mit Eugelfunktionen fünften und höheren Ranges keine Änderungen 
herbeigeführt. Da man ferner die zweiten Potenzen der Eugelfunk- 
tionen vom dritten und höheren Range, und ebenso ihre Produkte in 
EoefQcienten der Eugelfunktionen vom zweiten Range vernachlässigen 
kann, bleiben die Ausdrücke für g undr frei von Gliedern ersten Ranges. 

Zu bemerken ist aufserdem, dafs die Zulässigkeit der Substitution 
von R für r ebenso wie eventuell diejenige von B und L für q> und k' 
in den Parenthesen der Gleichungen (3) und (4) bei den Gliedern 
von sehr hohem Bange zweifelhaft erscheint. Denn offenbar weicht 
z. B. r^^^ von R^^^ sehr ab, obgleich r und R wenig verschieden 
sind. Die weitere Erörterung dieser Frage kann indessen hier unter- 
bleiben, weil aus praktischen Gründen jede Anwendung der Entwick- 
lungen dieses und des folgenden Paragraphen nur kontinentale Ano- 
malieen ins Auge fassen kann. 

Die Beziehung zwischen den Kugelfunktionen von höherem als dem zwei- 
ten Range in TT, g und r , sowie dem Erümmungsradius g (genauer: der 
Gradeslänge) erörtert schon Lopktee, M6c, eih t. II, I. III p. 97. VergL 
auch Thomson und Tau, Handhich der theor, Fhynk I, 2 S. 344 ~ 346 
und 336. Wir beschränken uns auf das hier Gegehene, da die betreffen- 
den Relationen ihrem Wesen nach synthetisch weit leichter zu erlangen 
sind (4. Kap.). Vergl. übrigens noch den Schlufsparagraphen des dritten 
Kapitels. 

Es mag hier auch erwähnt werden, dafs die Anwendung des Clatnufl- 
schen Theorems auf Teile der Erde unstatthaft ist. Wollte man abo 


§ 40. Siokes' Schätzung kontinentaler Abweichungen. 249 

für ^ eine Formel p-|- 9 sin'B aus Beobachtungen ableiten, die sich nur über 
einen Kontinent erstrecken, bo würde das nach ClairauU Theorem berech- 
nete H wohl allenfalls ein Näherungswert für die Erdabplattung sein, 
aber nimmermehr für die spezielle Ab( lattung des Kontinents. Dies tritt 
aus den Entwicklungen des § 39 deutlich hervor, da diese eben nur gelten, 
wenn die ganze Erde ins Auge gefafst wird Hier besteht ein wesentlicher 
Unterschied mit Oradmessungen, welche ja auch für einen Teil der Erde 
allein die Krümmungsverhältnisse angeben können. 

Boreniua versucht S. 26 seiner früher (S. 87) erwähnten Abhandlung 
eine Formel für spezielle Abplattung aufzustellen; allein sie ist zu hypo- 
thetisch, um erwähnt zu werden. 

§ 40. Formel Yon Stokes zur Schätzung kontinentaler Ab- 
weichungen des Oeoids. 

Ist fiir die Beschleunigung g der Schwerkraft eine Interpolatious- 
formel ^a (1 -{~ i' sin^i?) augenommeu, so weichen deren Ergebnisse 
von den wirklichen Werten g ab. Für diese haben wir nach (12) 
des vorigen Paragraphen den Ausdruck 

9=g[\ _2r(-5— siuV) + Ar, -)- A3 -f A:, + ...j, (1) 
für jene, welche wir mit y bezeichnen wollen, dagegen 

y = ö(l-l»(J_8inV)). (2) 

Der letztere Ausdruck folgt aus ga{\ +1' sin^^), wenn zuuächst für 
sin'^ geschrieben wird fsin^y' — "s") "^ T ^°^ sodann für ga (l + u ) 
das Symbol G gesetzt wird. 

Die G beider Formeln sind identisch, da sie denselben Mittelwert 
vorstellen. Wir werden übrigens am Schlüsse der Entwicklungen 
nachweisen, dafs eine Differenz der G nichts ausmacht. Aus (1) und 
(2) folgt nun durch Subtraktion, wenn 

g~y + Jg (3) 

gesetzt wird: 

^^«=ö{(Jl-2c)(-J -sinV) + Ar, + X'3 + ^,+...j • (4) 

Für den Radiusvektor r hat man nach (13) des vorigen Para- 
graphen, entsprechend der Gleichung (1) für g: 

r' - Ä (l + i- f (i— sinV) + *2 + Y*» + T*< +• • ' )• (^) 

Dagegen ist der Radiusvektor, welcher der Gleichung (2) für y ent- 
spricht und dem Normalsphäroid (J =^ W^ angehört, gegeben durch 
den Ausdruck 

Ä{l + «(J-8iuV)), (G) 


250 3- Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

welcher aus dem bekannten Ausdrucke a (l — ü sin'gj') hervorgeht, 
wenn sin^fp' in —- — l~ — sin^g)'] zerlegt und für an +~ö") ^®r Mitt- 
lere Radius B des Normalsphäroids gesetzt wird, der nach (7) S. 246 für 
Geoid IV =Wq und Sphäroid U= IFq übereinstimmt. Zu (6) bestimmt ' 

sich d aus b nach dem 6^/a/rat// sehen Theorem n =—t — || . 

Bezeichnen wir nun den überschufs von r' über den durch (6) 
gegebenen Wert mit N : 

r naoh (6) = / nach (6) -|- iV, (7) 

SO folgt durch Subtraktion von (5) und (6): 

N==R[(\,-2t) (|— sinV) + *j + I *3 + 1*4 + • • • 1 . (8) 

Dieses N kann ohne weiteres bei der hier festgehaltenen Genauigkeit 
als Erhebung des Geoids über das durch (6) bezeichnete Normal- 
sphäroid (Erdellipsoid) aufgefafst werden. 

Ziehen wir in (4) und (8) die beiden ersten Glieder 

- (|,-2c)(|-8inV) + A:j 
in ein Glied k^* zusammen, so folgt: 

N = R^k,* + ^k, + }k,+ ... ]' (10) 

Wir können hier sogleich darauf hinweisen, dafs ein in 1^ uud 
demgemSfs in der Bestimmung des Niveausphäroids (6) begangener 
Fehler sich bei Benutzung der Gleichungen (9) und (10) dergestalt 
verbessert, dafs die Gestalt des Geoids korrekt erhalten wird. Bei 
völlig richtiger Bestimmung von b müfste Atj* bis auf Glieder mit der 
geographischen Länge verschwinden. Im allgemeinen denken wir uns 
in (I) und (5) k^ in 

V+(2f-l»)(|-8inV) 
zerlegt und erhalten: 

^ = <; |l - b(|_8inV) +k* + k, + k,+ ...\ 

r' = Ä [1 +(| c -k)(| -sinV) + *,* + 4 *, + i-X-, +...). 

BringtmanaberCJ l-|>(-|--sinV))bezw.Ä j l+(|-c— b)(-J -sinV)) 
nach links, so gelangt man wieder zu den Gleichungen (9) und.(lO). 


§ 41. Stokes' Sühätsung kontinentaler Abweichungen. 251 

§ 41. Fortsetzung: Summierang. Die Entwicklung (9) des 
vorigen Paragraphen ist eine Entwicklung nach Eugelfunktionen. 
Wir können aber andererseits mit Rücksicht auf (1"^) § 28 8. 116 für 
den Wert Jg in einem bestimmten Punkte P' setzen; 


n=0 


wobei die Integration über die ganze Kugelfläche vom Radius 1 aus- 
zudehnen ist und die Pn die S. 57 (1) angegebenen Funktionen des 
Winkels zwischen den Radienvektoren nach P' und nach demjenigen 
Punkte^ auf welchen sich dgdc bezieht, vorstellen. Bei der An- 
nahme der Koordinaten ist man in Formel (1), was zu bemerken 
wichtig ist, nicht an Breite und Länge gebunden, sondern man kann 
offenbar u. a. auch denjenigen Punkt der Kugelfläche, welcher dem durch 
Formel (1) dargestellten Jg entspricht, als Pol annehmen. Dies 
wollen wir thun und als Koordinaten Poldistanzen ^ (anstatt Breiten) 
und Längen % einführen, sodafs 

dö = »mtff di^ dx (2) 

wird. 

Vergleicht man (1) mit (9) des vorigen Paragraphen Glied für 
Glied, so folgt für irgend einen Index n , insbesondere also auch für 
n ea 2 bis oo: 




Pn^dö. (3) 

Die Einführung dieser Relation in (10) des vorigen Paragraphen giebt 
endlich 

" --^ 2 r^ :-/'■■ "j- " . w 

welche Reihe nun zu summieren ist*). Um dieses auszuführen, be- 
trachten wir mit Siokes die Reihe 

d. L also * "~* 

S = 5i',6 + -I/>3g2 + |y>,g»+.... (5) 


Ist diese Summe gebildet, so wird 

^ Si=x da . (6) 


"-^-ß 


*) In einem ähnlichen, jedoch einfacheren Falle summiert bereits Laplaee^ 
Mec, cel, t. II p. 70 etc., eine nach Kugel funk tionen fortschreitende Reihe. 


252 3. Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

Aus (5) folgt 

uud weiter hiermit 



Nach den Gleichungen (5) und (8) S. 50 und 51 ist aber bei beliebigem 
Werte von ^f tüT f^ < l 



Diese Entwicklung gilt nach S. 53 § 3 aufserdem für ^^ «= 1 , falls 
cos^V' < 1 ist. Man hat nun 

Ü 

wenn die Parenthese för den Augenblick mit Z bezeichnet wird. Aus 
(7) folgt durch Differentiation 

und hieraus mittelst teilweiser Integration 

S = 2f + 5fzt-'dt, (8) 



wobei die untere Integrationsgrenze ohne weiteres zu null angenommen 
werden konnte, weil einerseits zufolge (5) für i=^ null auch S null 
ist, andererseits wegen Z ^= P^P '\-' P^i^ + • • • ^^ erste Glied der 
rechten Seite und also überhaupt die gauze rechte Seite der vorigen 
Gleichung für g = null in null übergeht. 

Aus (8) folgt mit Berücksichtigung des Wertes von P,, der nach 
der ersten Gleichung (9) S. 51 gleich cos^ ist: 

1 

Sc=i = - ^ .- - 2 (1 + cosi^i) + 3/z 5^ di (9) 

•in- }f 

mit 

Z = --- _^ -.--. = 1 - ß cos^ . (10) 


Um das in (9) auftretende Integral zu erhalten, beachten wir 
zunächst, dafs 

KT^2y^o8tH-£» 


I -ggjjf^ ^ ] dt 


§ 41. Stoke^ Schätzung kontinentaler Abweichungen. 253 

Es wird daher mit Rücksicht auf die zugehörige Integralformel : 

Den Wert des ersten Integrales rechter Hand findet man leicht, wenn 
man für {; setzt 1 : z; es geht damit aber in 

J Vi — 'iZ C08^ + «« 

und dieses ist gleich 

— cos^ log nat [2z — 2 cos^ + 2 ^1 — 2z cos^ + z^J + Konst. 

Hiermit, sowie unter Auswertung des zweiten Integrales rechter Hand 
in (11) geht diese Gleichung über in 

ZI rfe = -- - -j -— (12) 

— cos^ lognatl2 — 2g cos^ + 2 }/! — 2 g cos^ +^F} + Ä'on5/. 
Für g a» 1 giebt die rechte Seite dieser Gleichung 

l_28in-|— cos^lognat[2(l— cosV;) + 4sin| j + Ä^onjf^; (13) 

für g «> null giebt sie mit Rücksicht auf die Reihenentwicklung der 
Y\ — 2g cosV' + g^ nach Potenzen von g: 

cos^ — cosV' log nat 4 + Konst, (14) 

Mau hat daher aus Gleichung (9) : 

S^^i =» CSC ^ — 2 (l + cos ^j 

+ 3 !l — 2 8in-^ — cos^ — cos^ lognat( ~^^^ _}- sin 2)}>(15) 

und es ist endlich nach (6) und (2): 

«« n i CSC ~ + 1 — 6 sin ^ — 5 cos ^ 

V= ^ Cd f-^^ 

'^'^4 V ^ |-3cos^lognat(sinJ[l+sin|-]) 


sin^rf^. (16) 


Da in der letzten Gleichung die Integration nach if die Werte 
if =s null und n einschliefst, so ist noch zu untersuchen/ ob die 
Gleichung (15) auch für diese beiden Fälle gilt. {Stokes erwähnt 
dieses nicht.) 


254 3. Kapitel. Kontinentale ündulationen des Geoide. 

Betrachten wir zunächst den Fall ^ =^ null. Hier geben die 
Formeln (5) und (15) beide für S^=zi den Wert unendlich; allein 
unendlich grofse Werte sind nicht ohne weiteres vergleichbar^ und es 
ist also eine Prüfuug erforderlich. 

Für V' = Ä giebt (15) 5^=1 =1 + 3 lognat 2. Dagegen giebt (5) 

oder wie man leicht findet: 

5^=i = 3(i--J +^_ ••• +;s^+ •••) 

+ 2(1 — 1 + 1 — ...•+ 1 =F---)- 

Von den beiden Beihen rechter Hand hat nur die erste eine bestimmte 
Summe, nämlich lognat 2; der Wert der zweiten oscilliert zwischen 

null und -^ 1. (15) setzt dafür augenscheinlich — • Übereinstimmung 

ist hier nicht, aber es handelt sich nur um eine endliche Unsicher- 
heit, welche nichts ausmacht, da sie bei der Integration nur für ein 
differentiales Oberflächenelement in betracht kommt. 

Somit bleibt noch der Einflufs der Anwendung der Formel (15) 
auf (16) für V' = null zu prüfen. In Bezug hierauf ist es aber gleich- 
gültig, ob ^g konstant oder veränderlich ist, weil die Prüfung sich 
nur auf die unendlich habe Umgebung des Punktes tff «=» null zu er- 
strecken hat. Nehmen wir ^g konstant, so zeigt die direkte Aus- 
rechnung von (16), welche wir im nächsten Paragraphen* geben, dafs 
N den richtigen Wert null erlangt. Mithin ist Formel (16) über- 
haupt richtig. 

§ 42. Fortsetzung: Probe und Übersicht. Wir haben bisher 
angenommen, dafs in den Formeln (1) und (2) des § 40 S. 249 G den- 
selben Wert habe; ist er verschiedeu, so erhält die rechte Seite von 
(9) S. 250 noch ein konstantes Glied Uq. Man sieht aber sofort, dafs 
dieses die folgenden Entwicklungen nicht ändert. Deshalb mufs die 
Gleichung (16) für N null ergeben, wenn Jg konstant gesetzt wird. 
Überdies folgt dieses auch unmittelbar aus Gleichung (4) S. 251, 
wenn man die Relation (5) S. 66 beachtet. Es mufs also 


f 


csc^ + 1 — 6sin^ — 5 cos^ 
2 ' 2 


sin^ dil> (1) 
— 3 cos^ lognat (sin ^ Tl + sin yl^ 

gleich null sein. Hierin liegt eine Prüfung der Entwicklungen der 
letzten beiden Paragraphen. 

Beachtet man, dafs sin^ afp =» 4 sin -^^sin — , so ist behufs 
Ermitthmg von (1), wenn für sin ^ geschrieben wird w: 


§ 42. Stökes' Schätzung kontinentaler Abweichungen. 255 


/ CSC Y * sinil^dtlf = 4 / rfu = + 4 ; 

Ü 


n 

/ 1 . sin ^ 


dt = + 2-, 


n i 

— 6 / sin Y • sin V' rf ^ «= — 2A j u^ du = —- 8 ; 

— 5 1 cos^ sin^ dtl^ = ; 
— 3 / cos^ lognat (sin | Fl + sin yl) sin^ dif; 




1 


12 /lognat (ti [1 + f/]).(f/ - 2w3) ^^ , 

Letzteres Integral giebt dorch teilweise Integration: 

{ tt=0 

und hieraus folgt; wenn man unter den Integralzeichen ausdividiert 
und dann integriert , da die eckige Parenthese an beiden Grenzen 
verschwindet; als Wert des Ausdruckes -|~ 2* 

Mithin ist (1) in der That gleich null. Um einen Überblick da- 
rüber zu gewinnen, wie in Formel (16) die verschiedenen Werte dg 
der ganzen Oberfläche eingehen, denken wir uns in diese Formel die 
Mittelwerte der dg für konstantes ^, also für konstanten sphärischen 
Abstand eingeführt. Wir bezeichnen diese mit Jgi/, und erhalten 

N-RJ^Fdt, (2) 

wobei 

csc^ + 1 — 6 sin ^ — 5 cosV' \ 

F=\ ' \-Y-' (3) 

— 3 cos^ log nat (sin y f 1 + sin yl) 1 

Nachstehende Tabelle giebt eine Übersicht des Faktors/", welchem 
für die numerische Rechnung die folgende, bequemere Form zu 
geben ist: 

^ = C08| - >-* {6 8in| - 1 + C08V'(5 + 3Iognat [ij=i??* + 8in|])}.(3*) 


256 


3. Kapitel. Eontmentale Undulationen des Geoids. 


^ 

F 

* 

F 

0« 

+ 1,00 

1800 

0,00 

10 

+ 1,22 

170 

+ 0,26 

20 

+ 0,94 

, 160 

1 

+ 0,46 

30 

+ 0,47 

! 150 

+ 0,56 

40 

0,06 

140 

+ 0,53 

50 

0,54 

130 

+ 0,36 

60 

— 0,90 

120 

+ 0,08 

70 

1,08 

HO 

0,27 

80 

1,08 

100 

-0,62 

90 

— 0,91 

90 

0,91 


(4) 


Hieraus erkennt man vor allem sehr deutlich, dafs die ^g in 
der Umgebung eines Ortes allein ganz und gar nicht zu einer sicheren 
Bestimmung von N ausreichen. Immerhin haben die Jg der nächsten 
Umgebung den meisten Einflufs, denn obgleich F den Wert 1 auch 
in gröfseren Abständen erreicht, so gehören doch in solchen Distanzen 
zur Bildung eines dgxp vergleichsweise mehr einzelne Werte ^g als 
in der Nähe, und es hat also dann das einzelne ^ig weniger Einflufs. 
Jedoch müssen Schlüsse auf N^ die dg nur in der Umgebung eines 
Punktes beachten, trügerisch ausfallen. 

Was die Anwendbarkeit der Formel (2) anlangt, so glaubt Ver- 
fasser, dafs in nicht zu ferner Zeit für einzelne günstig gelegene 
Orte eine solche möglich werden wird.*) Ein Ort ist günstig, wenn 
jjg in seiner Umgebung bis ^ «= 30^ bestimmbar ist und wenn in 
die Gebiete um * = 60» bis lOO» und 140 ^ bis 170<> nicht zu viele 
Gegenden der Erdoberfläche fallen, welche nicht wenigstens eine 
Schätzung von dg zulassen. 


*) Im 4. Kapitel § 87 machen wir eine Anwendung von Formel (S) anf ein 
synthetiBches Beispiel. 

Im übrigen hängt die Anwendang dieser Formel davon ab, dafs es gelingt, 
mit Elasticitätsapparaten Beobachiungsreihen für die Schwerkraft auf dem offenen 
Meere zu erhalten. Inwieweit das hierher gehörige Bathometer von William 
Siemens als Schweremesser brauchbar ist, blieb uns zweifelhaft, da wir aufser 
den verschiedenen, wesentlich beschreibenden Mitteilungen (vergl. u. a. 

A. W. HofmanHy Bericht über die wissenschaftlichen Apparate auf der 
Londoner internationalen Ausstellung im Jahre 1876. Brannschweig 
1878 und 1881 S. 208 und 565.) 
nur eine Beobachtungsreihe auffinden konnten, die mit demselben angestellt 
worden ist, auf grund deren sich indessen nichts entscheiden läfst. Im vierten 
Kapitel werden wir am Schlüsse des § 88 auf diese Beobachtungen näher ein- 
zugehen Veranlassung haben. 


§43. Allgemeine Sätze für die Verteilnng der kontinentalen Wellen des Geoids. 207 

Selbstredend kann nur eine Bestimmung des kontinentalen Teiles 
von N yersucht werden ; für den geringfügigen lokalen ist das Ver* 
fahren nicht beabsichtigt und nicht geeignet. Die Jff müssen thun- 
lichst von lokalen Einflüssen befreit werden: es müssen also die g 
nicht nur aufs Meeresniveau, sondern nach unseren Angaben auch 
wegen Kondensation reduziert werden. Andernfalls ist ja überhaupt 
die Zulässigkeit der Beihenentwicklung für W und somit der ganzen 
Entwicklung nicht vorhanden. 

Die Auswertung des Integrales für N würde mit der (meist inter* 
polatorischen) Bildung der Werte ^ffy,, am bequemsten an der Hand 
eines Globus, beginnen und (ohne Anwendung numerischer mechani- 
scher Quadratur) am besten und ganz ausreichend graphisch bewirkt 
werden, wobei die Werte F ^ff^ : G als Ordinaten zu Abscissen ^ 
(als Arcus gen.) und das Integral als Fläche auftreten. Eine Ge- 
nauigkeitsschätzung für N ist dabei leicht zu erhalten, indem der Ein- 
flufs der Unsicherheit in den J^y, auf diese Fläche ermittelt wird. 

§ 43. Allgemeine Sätze ffir die Yerteilung der kontinen- 
talen Wellen des Oeolds. 

I. Wenn man berücksichtigt, dafs in dem Ausdrucke (8) S. 250 
für N, d. h. für die Differenz der Radienvektoren des Geoids und des 
Normalsphäroids gleichen Potentialwertes, ein konstantes Glied fehlt, 
so erkennt man zunächst leicht, dafs beide FläcJien wesentlich gleiche 
Volumina einschliefsen, weil jedes Integral der Form J i^'äa^y worin 
K' eine Eugelfunktion von mehr als nulltem Range bezeichnet, über 
die ganze Eugeloberfläche ausgedehnt, nach S. 66 (5) verschwindet. 
Allerdings sind bei diesem Nachweise gleicher Volumina Bruchteile 
des Radius B von der Ordnung des Quadrats der Abplattung in N 
vernachlässigt; aber eine genauere Untersuchung, die wir übergehen 
dürfen, bestätigt den gefundenen Satz. Ganz streng allerdings existiert 
Gleichheit der Volumina nicht, und zwar schon deshalb nicht, weil die 
zur Gültigkeit der Entwicklung vorausgesetzte Kondensation gewisser 
Massen die Geoidfläche etwas verschiebt 

II. Im Anschlufs an § 39 S. 246 (8) haben wir für den Radius- 
vektor des Geoids die Näherungsrelation: 

r=Ä|l+ti, + ti3 + ti, + ...), (1) 

wenn die in erwähnter Gleichung (8) auftretenden Eugelfunktionen 
2., 3., 4. Ranges u. s. f. mit t/j) ti,, u^... bezeichnet werden. 
Koordinatenanfang ist der Schwerpunkt der Erde. Die Gleichung (1) 
bedeutet aber, da ti, fehlt, da/'s mit diesem Schwerpunkt der Volumen- 
Schwerpunkt des Geoids zusammenfällt. 

Hierauf macht Stokes in seiner wiederholt genannten Abhandlung 

Helm er t, niAthem. o. phyeikel. Theoiieen der hob. OeodJUie. II. 17 


a;' 

= 

r 

cos 

¥ 

cos 

A' 

y 


r 

cos 

9 

sin 

A' 

1 

z 


» 
r 

sin 





258 3. Kapitel. Kontinentale ündalationen des Geoida. 

aufmerksam. Um den Satz zu beweisen, denken wir uns drei recht- 
winkelige Koordinatenaxen durch den Erdschwerpunkt, dergestalt dafs 


(2) 


wird, vergl. § 4 S. 5. Wir denken uns ferner das Volumen des 
Geoids vom Erdschwerpunkt aus in Elementarpyramiden vßii dem 
körperlichen Winkel diS' zerlegt und haben dann, da der Schwerpunkt 

jeder Elementarpyramide im Abstand y r von der Spitze liegt, als 

statische Momente des Volumens des Geoids beziehungsweise fUr die 
yz'^i XZ' und x^- Ebene die über die Oberfläche der Kugel vom 
Radius 1 auszudehnenden Integrale: 

-j- 1 r^x da d. i, — / r^ cos tp cos X' dö' 

\Jr^y d^ d. i. \J r^ cos 9 sin A' de' (3) 


-- / r'^z da' d. i. — 1 r'* sin 9)' de . 


Hierzu giebt Gleichung (1), wenn die bei der Entwicklung dieser 
Gleichung angenommene Genauigkeit festgehalten wird: 

r'^ = Ä* jl + 4w2 + 4^3 + 4«, + . . . j . (4) 

Beachtet man nun, dafs cos tp cos A', cos 9' sin X und sin ^! Kugel- 
funktionen 1. Ranges sind (vergl. S. 65 § 7), in r'^ aber gerade 
diese fehlen, so müssen nach Satz (4) § 28 S. 116 die drei Integrale 
(3) verschwinden, womit das Zusammenfallen von Erdschwerpunkt 
und Volumen Schwerpunkt des Geoids erwiesen ist. 

Allerdings ist dieses Zusammenfallen kein ganz vollständiges. 
Wenn man in § 39 S. 246 etwas strenger entwickelt und beim Über- 
gang von (1) zu (4) im laufenden Paragraphen auch die Quadrate 
und Produkte der u mitnimmt, so entsteht in (4) nach Zerlegung in 
Kugelfunktionen auch ein Glied mit einer Kugelfuuktion 1. Ranges. 
Die Integrale (3) sind dann nicht null; aber da die Koefficienten 
dieses Gliedes erheblich kleiner als von der Ordnung t? sein werden, 
so sind auch jene voraussichtlich weit kleiner als Bruchteile des Pro- 
duktes aus dem Volumen in den mittleren Radius^ von der Ordnung a^ 
Aus diesem Grunde kann also der Abstand von Massen- und Volumen- 
schwerpunkt nur wenige Meter betragen. 

Eine ebenso geringfügige Differenz ergiebt sich aus dem Um- 
stände, dafs die Entwicklungen des § 39 und also auch diejenigen 
des laufenden Paragraphen nicht für das wirkliche Potential der Erde 


. § 44. Relation für die Dicke der stör. Schicht. 259 

gelten, sondern nur für dasjenige, welches nach der Kondensation 
gewisser Massen übrig bleibt. Indessen ist, wie früher gezeigt, die 
entsprechende Verschiebung der Geoidfläche sehr klein. 

Zufolge des nahen Zusammenfallens des Volumenschwerpunktes 
des Geoids mit dem Schwerpunkt der Erde hat nun dieser letztere 
eine mittlere Lage zur Oberfläche des Meeres. Denkt man sich dazu 
das Normalsphäroid, gegen welches die Meeresfläche Ein- und Aus- 
biegungen zeigt, so erkennt man sofort, dafs keinesfalls auf einer 
Hälfte der Meeresfläche nur Ein- und auf der anderen nur Aus- 
biegnngen vorkommen können, wie man auch den die beiden Hälften 
trennenden Zentralschnitt durch die Erde legen möge. 

Bestünde die Erdoberfläche zur einen Hälfte aus einem Kontinent, 
zar anderen aus einem Ocean und wären unsichtbare Massen unregel- 
mäifligkeiten nicht vorhanden , so würde zwar jedenfalls in der Nähe 
der Küste das Geoid gegen sein Normalsphäroid im Kontinent ge- 
hoben, im Ocean gesenkt erscheinen, aber jene Hebung und diese 
Senkung könnten nach dem oben entwickelten Satze keinesfalls überall 
im Kontinent bezw. im Ocean vorhanden sein. Die wirkliche Erd- 
oberfläche kann man aber, wie ein Globus zeigt, in 2 Hälften teilen, 
deren eine hauptsächlich vom stillen Ocean nebst Australien und der 
SQdpolarregion erfüllt wird, während die andere die gröfseren Teile 
der Kontinente und die kleineren Oceane enthält. Hierdurch wird es 
plausibel, dafs die gröfsten Depressionen des stillen Oceanes nicht im 
Zentrum desselben, sondern vielmehr in einiger Nähe der Küsten von 
Asien und Amerika stattfinden. (Vergl. dazu das 4. Kap. § 38, wo 
noch gezeigt wird, dafs jedenfalls auch unsichtbare Massenstörungen 
existieren müssen.) 

§ 44. Relation zwischen Schwerestorung , Störung im 
Radiusvektor und Dichtigkeit der störenden Schicht fttr einen 
Punkt des Geoids. 

Wir knüpfen an S. 147 § 5 an und verstehen in Fig. 14 unter 
der Niveaufläche ff =^q die Geoidfläche, unter der Fläche U= Wq 
ein Normalsphäroid. Für irgend einen Punkt setzen wir wie dort 

W = U+T, (1) 

wobei U den normalen Teil von W bezeichnet, für welchen die Schwer- 
kraft durch das Symbol y ausgedrückt wurde. 
Im Punkte Q des Geoids ist nun zufolge (1): 

\w)ü ^ \w)<i + VWJd ' ^^^ 

wobei es wegen der geringen Lotabweichung gleichgültig ist, ob man 
sich h in Richtung der Normale des Geoids oder in Richtung der 
Normale der durch Q führenden Fläche £^«»Konst. denkt. Es ist daher 

17« 


260 3. Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

wenn g die Schwerkraft im Meeresniveau bezeichnet^ und es ist ferner 

(a--i'+(*).*+-i. <*) 

wobei in ausreichender Annäherung 

gesetzt werden darf. 

Auf den Differentialquotienten von T nach h wenden wir die 
Formel (8) § 4 S. 147 an, indem wir vorläufig annehmen, daCs die 
störenden Massen lediglich in der Erdrinde ihren Sitz haben, und in- 
dem wir ferner die zulässige Voraussetzung der Kugelgestalt der Erd- 
oberfläche machen. Dann ist nach der erwähnten Gleichung: 

(-Ir). — 2«*'^-^ + .... (5) 

0* bezeichnet hierin die störende Masse für die Flächeneinheit derjenigen 
Fläche, auf welcher wir uns die störenden Massen ausgebreitet denken. 
Zufolge der Bedingungen, welche (5) zu gründe liegen, muis man die 
Meeresfläche selbst als diese Fläche nehmen. 

Indem wir beachten, dafs nach S. 148 (2) in der hier innegehal- 
tenen Genauigkeit 

aufserdem aber ebenso genau 
gesetzt werden kann, folgt aus (5): 

(If)« = - y ( -^ + Ä 1 + • • • • (<5) 

Führen wir (3), (4*) und (6) in (2) ein, so ergiebt sich: 

Bezeichnen wir g — y mit Jg und denken uns d' aus der Konden* 
sation einer Schicht von der Dicke D und der Dichtigkeit -^ 0^ ^i^t- 
stehen, setzen wir also 

g-y=Jg und ^ = -»«2?, (8) 

so folgt 


§ 44. BelatioD für die Dicke der stör. Schicht 261 

oder /)^2[^Jg + N ]+,... (10) 

Für y kaun man hierin den Mittelwert G setzen. 

Diese Näherungsformel giebt also die Dicke D der störenden 
Schicht, wenn Jg und N bekannt sind. Sie erlangt aber erst Be- 
deutung, wenn mittelst der Stokesschen Formel N aus den Jg für 
einzelne Erdorte berechnet werden kann. Da diese letztere Formel 
nach unserer Darstellung g und Jg mit Kondensationsreduktion ver- 
langt, mufs auch in (10) Jg so gedacht werden. 

Bei der jetzt gegebenen Darstellung ist angenommen, dafs nur 
in der JNähe der Meeresflache störende Massen vorhanden seien. Die 
Potentialtheorie lehrt aber, dafs man immer unbeschadet der Wirkung 
aufserhalb alle Massen innerhalb einer geschlossenen Fläche in einer 
bestimmten Weise auf derselben verteilen kann. Wir können 
ans also auch etwa vorhandene störende Massen im Erdinnem auf 
die Meeresfläche verschoben denken, wobei aber Gröfse und Richtung 
der Verschiebung unbekannt bleiben. Ein aus Formel (10) ermit- 
teltes D bezieht sich auf diese ideelle störende Masseuschicht. Wenn 
man also dereinst ?on Formel (10) wird* Gebrauch machen, so erhält 
man nur die ideelle störende Massenschicht, nicht die wirklichen 
störenden Massen nach Gröfse und Lage. Trotzdem wird man aus 
dem Verlauf von D in der ideellen Schicht immerbin Vermutungen 
über die wirklichen störenden Massen aufstellen können, da die 
Dichtigkeiten im Erdkörper an gewisse Grenzwerte gebunden sind. 
Vorläufig ist eine strenge Anwendung von (10) noch nicht mög- 
lieb. Wir werden aber im § 38 des nächsten Kapitels sehen, dafs 
die jetzt bekannten Beobachtungen über die Schwerkraft bereits An- 
haltspunkte über die kontinentale Verteilung der Störungsmassen ge- 
währen. Auch über mehr oder weniger lokale Störungen sind Unter- 
suchungen mit Erfolg möglich, vergl. in diesem Kapitel § 31 8. 228 
und im nächsten Kapitel § 41. 

Über den Beweis des angezogen en Satzes der Potentialtheorie, der von 
Gaufs aafgestellt wurde, ist zu vergleichen: 

Gaufs, Allgemeine Lehrsätze u. s. f. Art 36 (vollständiger Titel auf 

S. 29) oder 
Dirichlet, Vorleatmgen u. s. f. S. 161 (voller Titel S. 14). 
Wenn die einschliefsende Fläche als Kugelfläche angenommen wird, 
so kann mau mit Hilfe der Theorie der Kugelfunktionen aus den gege- 
benen störenden Massen auf die äquivalenten, auf der Kugel ausgebrei- 
teten Massen wie folgt scbliefsen. 

Wir nehmen den Mittelpunkt der umhüllenden Kugel als Koordinaten- 
anfang. Dann ist nach S. 64 (1) das Potential der eingeschlossenen 
Massen auf einen Punkt aufserhalb im Zentrumsabstand r gleich 

t» - ^ JM + ifp,rdm + jijp,r*dm + jjj /p.r'dm + . . . j , (a) 
wenn M die betreffenden Massen hezeichnet. 


262 3. Kapitel. Kontinentale ündulationen des Geoids. 

Denken wir uns nun andererseits auf der Eugeloberflilche einen Massen- 
belag, so ist dessen Dichtigkeit 9^ nach Kugelfunktionen entwickelt 

ö- = ^0 + -^i + -^f + ^3 + • • • » 

wobei rechter Hand der Index den Rang der Kugelfunktionen anzeigt. 
Wir können aber die Formel (a) für v auch auf diesen Belag anwenden, 
wobei nun für r =s a als Kugelradius dm^^^ ä*^ da wird und die Inte- 
gration über die Kugelfläche auszudehnen ist. 

Dieselbe ergiebt: 


r 




wenn man die Sätze berücksichtigt, welche im § 28 S. 116 unter (2) 
und (3) gegeben sind. ^/ bedeutet, dafs in 9^ für 9 und 1 die zu dem 

au gezogenen Punkte gehörigen Werte tp' und X' zu setzen sind. 

Die Vergleichung der Ausdrücke (a) und (6) führt, falls nur (a) wirk- 
lich explicite vorliegt, zu dem Werte i^g = 3f und zu den Werten der in 
den 9^ auftretenden Koefficienten. 

Der umgekehrte Schlufs: von den Massen 9" auf diejenigen im Erd- 
innern, ist im allgemeinen unmöglich. Man wird nur, wenn 9 von 2,8 so 
sehr abweicht, dafs aus physikalischen Gründen die Massenstörung nicht 
lediglich in der Erdkruste 'stattfinden kann, auf Massenstörungen im Erd- 
innern schliefsen müEsen. 

§ 45. Die sogenannten Nähernngsformeln zur Berechnung 
des Abstandes von Geoid und Normalspliäroid aus der Schwere- 
storung. Die EutwickluDg im vorhergehenden Paragraphen benutzt 
z. T. eine Entwicklung von Bruns, Figur der Erde, S. 26. Daselbst 
wird aber der Punkt P der Meeresfläche nicht wie bei uns ein wenig 
uberhalb der störenden Schicht vorausgesetzt, sondern in derselben. 
Mithin verschwindet in der Endformel (10) die Grofse B und es 
wird in der Gleichung: 

^ = -|f^^ 0) 

ein Mittel zur Schätzung von N aus ^ff erhalten. 

Bruns bemerkt indessen, dafs lokale Störungen die Brauchbarkeit dieser 
Formel beeinträchtigen können, und er verwirft in einer Besprechung 
in den Fortschritten der Mathematik von 1877 (herausgegeben 1879), 
welche die Abhandlung von Listing, Neue geometrische und dynamische 
Konstanten des Erdkörpers^ betriflFt, dessen Vorgehen S. 37 u. ff., aas 
einer derartigen Formel spezielle Werte von N abzuleiten, wobei es 
ganz gleichgültig ist, dafs Listing infolge anderer Herleitung einen 
etwas anderen Koefficienten benutzt. 

In der That ist Formel (1) für die wirkliche Ausrechnung eines 
JV ganz wertlos. Man kann dieses im 4. Kapitel an synthetischen, 
den irdischen Verhältnissen entsprechenden Beispielen bestätigt sehen; 
denn bei diesen Beispielen kennt man iV, D und ^Ig. Die Formel 


§ 45. Die sogen. Näher ungsformeln für N. 263 

(1) giebt vielfach sogar das Vorzeichen falsch. Ebenso führt sie zu 
ganz falschen Resultaten, wenn man als Normalform des Geoids die 
Kugelfiäche nimmt. Wir wollen aber dieses nicht weiter ausführen. 

Ursache der Wertlosigkeit der Formel (1) ist, dafs N, D und Ag — 

im allgemeinen Gröfsen von gleicher Ordnung sind. Man darf daher 
in Hner Formel^ worin sie alle drei auftreten, nicht eine derselben 
vernachlässigen. Formel (1) vernachlässigt aber thatsächlich die 
störende Schicht D^ welche unterhalb des betreffenden Punktes der 
Meeresfläche liegt (ob die etwa noch darüberliegende Schicht in be- 
tracht kommt, hängt von der Art der Reduktion von g ab). 

In seiner Abhandlung On GravUy etc. beschäftigt sich Stokes 1849 
n. a. auch mit dem Einflufs der sichtbaren Massenunregelmäfsigkeiteu der 
Erdoberfiöche auf die Gestalt der Meeresflächo und auf die Schwerkraft. 
Dabei denkt er sich dieselben auf das Meeresniveau kondensiert und zeigt 
nun, dafs eineraeiis die Hebung der Meeresfläche infolge der Existenz 
des Potentials T jener Massen T : g beträgt, andererseits mit dieser Hebung 
wegen des vermehrten Abstandes vom Erdzentrum eine Verminderung 
von g gleich 2 7': 12 verbunden ist. Der Verminderung steht eine Ver- 
mehrung durch die Anziehung der störenden Massen entgegen, für welche 
Stokes T:2B ableitet, indem er das Mittel der Vertikalanziehungen für 
einen aufserhalb der Meeresfläche und einen innerhalb derselben ihr nahe- 
liegenden Punkt nimmt, also die Anziehung der Nachbarmassen ignoriert. 
Hier haben wir wieder das Resultat der Brunsschen Entwicklung; der 
Gang ist bei letzterer durch Vermeidung der entbehrlichen Kiigelfunk- 
tionen vereinfacht. Schliefslich berücksichtigt aber Stokes für die Konti- 
nente noch die Vermehrung der Schwerkraft durch die Anziehung der 
zwischen ungestörter und gestörter Niveaufläche liegenden Schicht Fest- 
land, womit bei einer Dichtigkeit gleich der halben mittleren Erddichte 

eine Verminderung um — TiB in der Schwerkraft für die Erhebung 

3 
T : g übrig bleibt. {Stokes hat anstatt -j- die Zahl 0,82 weil er eine etwas 

andere Dichtigkeit voraussetzt). 

Hiemach würde also auf den Kontinenten der Abnahme der, augen- 
scheinlich nach Youngs Regel reduziert vorausgesetzten Schwerkraft um 

A. /in 

Jg eine Erhebung der Meeresfläche von — — -B entsprechen. Auf dem 

Occan wäre dieselbe Formel anzuwenden, indem man sich denkt, dafs 
hier eine darüber gelegene Schicht von der halben mittleren Dichtigkeit der 
Erde in Wegfall gekommen ist. Das auf den Inseln beobachtete g würde 
ebenfalls einfach aufs Meeresniveau nach der genannten Regel zu redu- 
zieren sein (strenggenommen müfste man noch die Anziehung der im 

Meere an der halben mittleren Erddichte fehlenden Massen berücksich- 

4 
tigen). Stokes wendet übrigens für diese Fälle anstatt -— den Koef- 

ficienten -^ au. Denn er benutzt seine Formeln keineswegs zur Schätzung 

der Absiede von Geoid und Sphäroid, sondern nur zur Ermittelung des 
Anteiles der sichtbaren Massenunregelmäfsigkeiteu (Erhebung der Konti- 
nente übers Meer, geringere Dichtigkeit des Wassers im Ocean als des 


264 ^' Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

Festlandes) an den Störungen in der Lage des Meeresniveans und in der 
Schwerkraft. 

Diese letztere Aufgabe behandelt 1868 auch Ph. Fischer in seinen 
Untersuchungen über die Gestalt der Erde S« 289—292, allerdings mathe- 
maÜBch insofern weniger vollkommen, als er sich nicht der Potential- 
theorie bedient und die Anziehung der nicht benachbarten störenden 
Massen deshalb nicht durch Ti2B ausdrücken kann, sodafs er sie nur 
bis zu einem gewissen Umkreis berücksichtigt. Er bemüht sich aber, den 
Einflufs der speziellen Gestaltsverhältnisse der Kontinentalküsten darzu- 
stellen. 

Wenn nun Hann u. a. in der Gciea 1876 Bd. 12 S. 81 unter Beziehung 
auf StoJces und Ph. Fischer das Pendel als «Instrument zur Bestimmung 
der Abstände von Geoid und Erdellipsoid hinstellt, so ist das insofern 
nicht zutreffend, als die letztgenannten Autoren bei den entsprechenden 
Entwicklungen nur rein synthetisch die Störungen der La^e der Meeres- 
fläche und der Gröfse der Schwerkraft für bekannte Massenstörungen ab- 
leiten wollten, allerdings mit Seitenblicken auf die vorhandenen Schwere- 
Störungen. Ebenso wenig kann die von Listing a. a. 0. S. 37 und die von 
Hann a. a. 0. S. 139 gegebene Ableitung der Formel zur Berechnung der 
Erhebung N aus der Schwerestörung Jg^^ g — y befriedigen. Denn diese 
Formeln bringen die Erhebung N und die Differenz dg einfach durch 
YoungB Regel in Beziehung. Mit unseren Zahlen (S. 166) wird abo gesetzt: 

N A|^,. (.2) 

Durch die nahe Übereinstimmung dieser Formel mit (1) darf man sich 
aber über ihren Wert nicht täuschen lassen! 

§ 46. Zusamnienliang zwischen dem Mittelwert der rezi- 
proken Krümmungsradien in einem Punlite einer Niveanfläche 
und dem Differentialquotienien der Seliwere nach der Hohe. 

Im 1. Kapitel S. 37 (11) war die Relation gefunden worden: 

worin q^ und Q2 die bei nach aufsen convexcr Krümmung positiv 
gerechneten Hauptkrümmungsradieu in einem Punkte Pq einer Niveau- 
flache, — den Durchschnittswert aller 1:q daselbst, fFi,i den 

2. DifPerentialquotienten von fF nach |, fTs.s denselben nach 17 und 
^^3 den ersten nach g bezeichnen; wobei ferner die Normale in P^ nach 
aufsen als positive g-Äxe dient, während die g- und 17-Axe in die Tan- 
gentialebene der Niveaufiäche you.Pq gelegt sind. Man hat also noch 

Sf ^3 . (2) 

Nun ist nach S. 34 (8) allgemein in irgend einem Punkte bei belie- 
biger Lage des rechtwinkeligen Axensystemes (wie sich leicht durch 
Transformation zeigen läfst): 

^1.1 4- ^2.2 4- ^^3.3 = - 4nk^® + 2a)^ (3) 

wenn G die Dichtigkeit in diesem Punkte und & die Winkel- 


§ 46. Relation für die Krümmung der Niveauflächen. 265 

geschwmdigkeit der Erdrotation bezeichnet. Beachtet man nun 
noch, dafs 

^s.3— -^^ "aj dh w 

ist, so erhält man aus (1) durch Elimination von fFi,i -f- ^2.2 mittelst 
(3) und Benutzung der (2) und (4): 

[il \ dg t 2«ifc«ö — «D« ^Rv 

tJ = - 2/ J + -—g (5) 

Um hieraus k^ zu eliminieren, führen wir im Nenner rechter 
Hand die Näherungsrelation 

ein und erhalten so: 

Hierin beziehen sich ^j dg i dh und S auf denjenigen Punkt, für 
welchen [1 : q] gilt. 

Auf diese Relation macht H, Bruns in seiner Figur der Erde 
S. 14 aufmerksam. 

Mit Rücksicht auf die starken Schwankungen, welchen 1 : q be- 
kanntlich in der Nähe der Erdoberfluche ausgesetzt ist, kann man 
das Glied tal^Rig^ welches nach S. 84 § 16 gleich rund V289 ist, 
vernachlässigen; für Niveauflächen in der Luft aufserdem noch das 
Glied mit Q i Q^^ d. i. rund 74500- M&Q erhält also für Niveau- 
flächen in der Cuft angenähert: 

L7J ~ "^ 2y dh ' ^'^) 

Bei der geringen Genauigkeit, mit welcher man gegenwärtig im 
Stande ist, dg : dh zu messen, reicht diese Relation zur Bestimmung 
von [1 : (>] sicher aus. Man vergl. weiterhin im 4. Kapitel § 3. 

Wir entwickeln hier noch im Anschlufs an § 39 S. 245 mittelst 
(7) eine Gleichung, welche zeigt, wie die höheren Eugelfunktionen 
in der Entwicklung von W auf den Mittelwert [1 : 9] übergehen. 
Aus (4) S. 246 folgt mit Beibehaltung der daselbst erörterten Genauig* 
keit snccessive: 

i/ = r« (^o' + 'r^* + T^'- + '?'- + • • • - «'^''cos'y'j 

und 

mit Rücksicht auf (7) ist demnach 


, udc 


266 4. Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen . 

Lp J ~ r' r "^ L'r'iTo' "^ är^'X' + 2r*iÖ' "*"•••■*" 2a;,' J ' 

oder mit EiDfuhrung der S. 247 schon beDutzten Abkürzangeu und 
VereiufachungeD : 

Nun ist nach S. 247 (13) : 

und es wird daher 

l+c(|-8ia>') + *-|=^*, 

V3 / 2.1 . ^g^ 


[i] - '-V 


3.4-2 , ,4.5-2 , 

+ 2.2"'^»^ 2.ä~ ^^4 ^ ••• 


Diese Gleichung zeigt im Vergleich mit (12) S. 247, dafs die 
Eugelfunktionen höheren Ranges in g in dem Durchschnittswerte der 
reziproken Krümmung sehr grofsen Einäufs erlangen. 


Viertes Kapitel. 

Synthetische Untersnchnngen über die Einflösse gegebener 
Massen anf die Nireanflächen in der Nähe der Erdoberfläche. 

§ 1. Deformation der NlTeauflächen anfserhalb durch einen 
liugeligen Massenzuwaclis oder einen kageligen Massendefekt 
nnterhalb des Terrains. Die Erde ersetzen wir durch eine Kugel 
vom Radius Rj deren Anziehung so beschaffen ist, als wäre ihre 
Masse 

M=^nR^®„, (1) 

im Mittelpunkt C^ dem Schwerpunkt, vereinigt. Wir setzen ako ihr 
Anziehungspotential aufserhalb der Oberfläche für einen Punkt im 
Abstand H von derselben gleich 

^-'' E-fä- = I »*' ®'» STH • (2) 

Das Symbol ^, welches bisher bei den strengen Betrachtungen das 
Potential der Zentrifugalkraft mit einschlofs, behalten wir bei, obwohl 
wir von der Zentrifugalkraft als unwesentlich ganz absehen, und zwar 
um daran zu erinnern, dafs es sich für uns in fT um den Repräsen- 
tanten des Schwerkraftspotentials der Erde handelt. 


§ 1. Kugelige Masse. 


267 


Tritt nun zur Masse M innerhalb deren Oberfläche noch eine 
störende, positive oder negative Masse m^ deren Anziehung aufser- 
halb jener Oberfläche als von ihrem 
Schwerpunkt m ausgehend angesehen 
werden darf, dann ist das Potential 
in einem Punkte P^ der nach aufsen 
um H -{• h von der erwähnten Ober- 
fläche absteht; Fig. 32, gleich 

M 


W 


-*■( 


Ä^'Ä 


-B + if + Ä 


\ ^ e) 


+ A' 


m 


(3) 


"• R + R + h 

worin e den Abstand mP bezeichnet. 
Verstehen wir unter W in (2) und (3) 
denselben konstanten Wert fTg, so 



stellen sie die Gleichung einer Niveau- 
fläche außerhalb für denselben Potentialwert im ursprünglichen und 
im gestörten Zustande dar*). Aus der Subtraktion von (2) uud (3) 
folgt dann mit Rücksicht auf den jedenfalls kleinen Betrag von h 
und H gegen R in hinreichender Annäherung: 


Ä = 


M e 


3 


m 


4 n9,^R 


e 


(4) 


Hiemach ist das Produkt he für die gestörte Niveaufiäche kon- 
stant. Dem kleinsten e entspricht das groiste h. 

Um zu erkennen, wie grofs h werden kann, setzen wir für m die 
Masse einer Kugel vom Radius a und der Dichtigkeit 6^: 


m » -- na^S . 


Dann giebt (4) für h die Formel: 


^^""VRe: 


(4*) 


m 


Der Faktor von a rechter Hand ist ein kleiner Bruch , da nach 
der Voraussetzung e^a sein mufs und S : &m höchstens einige Ein- 
heiten beträgt. (Für eine Platinkugel wird G : 0^ i^&ch Abzug von 
2fi für die normale Dichtigkeit der Erdrinde etwa 3, für eine Blei- 
kugel 1,5, für einen Hohlraum — 0,5.) Es wird somit h nur ein 
Bruchteil des Halbmessers der Massenstorung im Betrage von kaum 
1%; sobald wir festsetzen, dafs die Ausdehnung der Massenstorung 
den Betrag einiger Meilen nicht überschreitet. Alsdann dürfen wir 
e anstatt auf P auf den in Richtung PC liegenden Punkt Q der un- 

*) Bei negativen Werten h mufs H+h doch positiv genommen werden, 
sonst gilt (3) nicht streng. 


268 


4. Kapitel. Der Einflufa gegebener Massen. 


gestörten Niveaufläche beziehen und können also in ausreichender 
Annäherung setzen: 

^2 = (Ä + Hf + c^ — 2(Ä + H)c cos ^ . (5) 

Nach dieser Gleichung ist ^ für ^ «» null ein Minimum im Be- 
trage von 

/ = Ä + iy — c ; (6) 

das Maximum von h tritt also in der Geraden Cm in G ein und ist 
gleich 

(7) 


3 


ftmftx """^ 


m 


a' 


*max 


4 nS^^Bt 


Et e^ 

Nehmen wir a = bOOO^, womit der Kubikinhalt der störenden Masse 

rund 1^4 Kubikmeile wird, so folgt für eine Bleikugel Äma«<6'". 

Für eiaen Hohlraum ist & : @m wie bemerkt etwa gleich — 0,5; der 

absolute Wert von h„uuc ist hierbei < 2"». 

Von dem Maximalwert an nimmt h absolut genommen stetig ab 

bis zum Punkte G' diametral gegenüber G. Alle h haben also einerlei 

Zeichen. 

Dies wird anders, wenn wir die gestörte Niveaufläche auf eine 

Fläche beziehen; die den Niveausphäroiden des 2. Kapitels entspricht. 

Eine Entwickelung von fV^ welches 
durch (3) gegeben ist, nach Kugel- 
funktionen würde aber beginnen mit 
(iV + m) : r, wenn r den Radiusvektor 
vom Massenschwerpunkt S aus be- 
zeichnet. Als Normalform der Niveau* 
flächen nehmen wir nun diejenige, 
deren Potential gleich {M -{- m):r ist, 
wobei wir für r setzen R + ff\ 
Fig. 33. 

Wir haben also einerseits für die 
Normalform; eine Kugelfläche kon- 
zentrisch um S mit dem Radius R-^-H'^ 


Vn 


mutti 



muu 


das konstante Potential gleich 


^. 


.2 M+m . 
'^ R + H'^ 


(8) 


andererseits fiir die Niveaufläche selbst; bezogen auf S, indem in (3); 
solange mi M ein kleiner Bruch ist, R -{' H -{' h in ausreichender 
Annäherung gleich Ä + ^' + ^' + ^ cos ^' gesetzt wird, wenn b die 
Distanz CS und h' die Erhebung der Niveaufläche über ihre Normal- 
form bedeutet: 


fV. 


-''[^ 


M 


+ E' + K + 6 cos ^ 


'+"1 


(9) 


§ 1. Kugelige Masse. 269 

Die Subtraktion der Gleichung (8) von (9) führt mit zulässigen Ver- 
nachlässigungen zu der Gleichung für h': 




Nimmt man fUr den Schwerpunktsabstand CS den leicht zu verifi- 
zierenden Annäherungswert 

CS==b = ^R, (10) 

welcher genügt^ solange m in der £rdrinde vorausgesetzt wird, so 
folgt endlich 

wobei es nach Analogie von (5) ausreicht zu setzen (vergl. Fig. 33, 
in welcher c f&r c zu lesen ist): 

e^ = {B^ H'Y + c'2 — 2(Ä + -^') c' cos ^'. (12) 

Für grofse Werte von if kann man hierin auch H' vernachlässigen. 
Man bemerkt nun leicht, dafs die Niveaufläche und ihre Normal- 
form gleiches Volumen haben, wie auch aus dem 3. Kapitel § 43 
S. 257 bekannt ist. Es wird nämlich, was hiermit gleichbedeutend, 
das über die Eugelfläche vom Radius 1 ausgedehnte Integral 

Ch' (Ä + iry do (13) 

gleich null, wobei d& das Oberflächenelement der Kugel vom Radius 
1 ist. Mit Rücksicht auf den Rotationscharakter der Niveauflächen 
in Bezug auf die Linie CSm G kann man für dieses Integral schreiben 


n 


(Ä + Hy sin tt^'dt' 


und wird nun leicht mit Rücksicht auf (11) und (12) bestätigt finden, 
dafs der Wert des Integrales innerhalb zulässiger Vernachlässigungen 
(die überdies durch genauere Aufstellung des Ausdruckes für h' ver- 
mieden werden können) null ist. 

In Bezug auf die Verteilung der h' nach ihrer Grolse ist wesent- 
lich, dafs der Massenschwerpunkt S auch den Volumenschwerpunkt 
der gestörten Niveaufläche bezeichnet, wie auch aus § 43 des 3. Ka- 
pitels hervorgeht. Zum Zwecke eines direkten Nachweises bilden wir 
in Bezug auf eine durch S gelegte zu SG normale Ebene die stati- 
schen Momente der Volumenelemente; hierbei kann das Volumen der 
Kugel B -{- IT wegbleiben. In hinreichender Annäherung wird die 
Summe der statischen Momente gleich dem über die ganze Kugel- 
fläche vom Radius 1 ausgedehnten Integral 


/ 


A' . (Ä + Ity cos t'dis' , (14) 


270 


4. Kapitel. Der Einflurs gegebener Massen. 


wofür mau mit Rücksicht auf den Rotationscharakter der Niveaufläche 
schreiben kann 

n 

27i I h' {R + ny cos ^' sin.^'£/^' . 

u 

Die Integration bereitet keine Schwierigkeit^ wenn man die durch 
teilweise Integration leicht herzustellende Formel 


/ 


udu 


Vi 


u 


= 2tti/l — « + ^yi — M ' + Konst 


beachtet. Man erhält in der That null innerhalb zulässiger Ver- 
nachlässiguDgen. 

Wir bringen K nach (II) unter Substitution der Werte von M 
und m noch auf die Form: 


Ä' = fl 


a> e r jR 


22« G, 


m 


{f -[l + cos*-]) 


(15) 


Die Di£Perentiation nach ^' zeigt, dafs h* seinen gröfsten Wert im 
Punkte G hat, von da abnimmt bis zu einem grofsten negativen Wert, 

der ungefähr für e ■= yB^c d. i. nahezu für e = Ä und i> = 60^ 

eintritt, und dann wieder zunimmt bis ff. h' ist null für R^=2e cos* —- ; 

dies findet statt bei ^' gleich rund 30^ und 115^^ wenn die störende 
Masse in der Erdrinde liegt. 

Für eine daselbst befindliche Bleikugel von 5000'" Radius wird 
die Schwerpunktsverschiebung 4,6 »w», h' in G' gleich 2,3"^ und h' in 
G<6'^. 

§ 2. Fortsetzung: Lotablenkung, Krümmungsradius. Da 

h und K sich in der Nähe der 
störenden Masse verhältnismäfsig 
nur wenig unterscheiden, behalten 
wir für die weitere Untersuchung 
h bei. Die Figur 34 zeigt die un- 
gestörte Niveaufiäche, d. i. die 
Kugelfläche B -{- ff konzentrisch 
um Cj und die gestörte Niveau- 
fläche. Betrachten wir einen Punkt 
P der letzteren und einen unend- 
lich nahen Punkt i\ derselben, 
nach G hin gelegen , so wächst h 
um dh von P bis P, , und diesem 
Wachstum entspricht eine Lotab- 



Fig. 34. 


lenkung im Sinne der Figur gleich 


§ 2. Kugelige Masse. 271 

. dh 

(il + II + h)drl) ' 

wofQr man mit Vernachlässigung von H -}- h völlig genügend setzen 
darf: 

Für den unendlich benachbarten Punkt P^ wird die Lotablenkung 
gleich 

Die Normalen der gestörten Niveaufläche in P und P^ schneiden sich 
im Erümmungsmittelpunkt A^ unter einem Winkel^ dessen Betrag aus 
der Betrachtung des Vierecks PP^KC sich zu — d^'-{' A — yi, ergiebt; 
führt man hierin (2) ein und beachtet die Figur, so wird zur Be- 
stimmung des Krümmungsradius q bei P leicht erhalten: 

Da nun A jedenfalls einen sehr geringen Betrag hat, so weicht PP^ von 
— (Ä + /^4"^)^^ nicht erheblich ab; wir setzen daher in aus- 
reichender Annäherung für den Krümmungsradius q : 

bei kleinen h also ebenso genau: 

Die Anwendung der Formeln (1) und (3) hat auszugehen von 
den Gleichungen (4*) und (5) des vorigen Paragraphen: 

Ä — « r» ß > (4) 


eB 9 


m 


e . y'(R 4- ny + ^^ — 2(ä -f- b) c'cos ^ . 

Hiemach wird mit einigen zulässigen Vernachlässigungen: 

IN 

und 

dA a^cG r 3i2c 


d^ e^BG, 


m 


jcos ^ ^y- sin^ vi • (6) 


Setzen wir nun wieder voraus, dafs die störende Masse in der 
Erdrinde liegt^ so können nach vorstehenden Formeln nur in der Nähe 
dieser Masse erhebliche Störungen im Krümmungsradius entstehen, 
weil schon in einigem Abstände a^ : e^ ein sehr kleiner Bruch wird. 

Für die Nähe der störenden Masse genügt es aber in der Paren- 
these von (6) zu setzen: 


2lS 4- Kapitel. Der EinfluTa gegebener Masaen. 

C03 ^ ~> 1 , Hc ain^ ip = s' , 
wenn s die horizontale Entfernuug von G, lotrecht Ober der stören- 
den Masse m, bezeichuet. Aurgerdem wird entsprecheDd , wie die 
2. Gleichang (4) zeigt: 

«i = s» + (I . (7) 

D&mtt wird aus (6): 





C-i 

')■ 

(8) 

Zugleich folgt < 

US (3«): 






J-STä 


-m 


(9) 

gedrflckt: 

Sekunden 

aua- 
(10) 


Sie ist in G lotrecht Qber der stdrenden Masse gleich null; mit 
wachsendem Abstände s wächst sie znnächst bis zn einem Mazimnm 
und nimmt weiterhin ab. Das Maximum tritt ein für -^ — «o null, 
d. h. nach (6) fOr 

tf'cos i> = SRc sin'v, 
oder mit Rücksicht auf die oben eingeführten, in der N»be von G 
zulässigen VemachlässJgnngeu , für 

e» — 3**, wobei nach (7) i = $}^ (11) 

ist Es hat den Weit 

Wenn durch Beobachtnngen der Ort und die tiröfae des Maximums 
sowie G ennittelt sind, so giebt (II) die Tiefe an, in welcher die 
störende Masse liegt, (12) den Betrag m <= - - »a*0 derselben. 

Der ErfUnmongsradios q hat in G, wie die Differentiation von 

(9) nach s >eigt, bei positivem 9 ein Minimum, wächst von da zo- 

ichst mit c bis m einem Maximum und nimmt dann wieder ab. In 

röfserer Entfernung unterscheidet er sich zufolge (3) und (6) wenig 

m ff + ff. Be ist filr: 


§ 2. FortsetBung: Lotablenkung, Krümmungsradiiis. 


273 


8 


t 


/ 


3^ 
2 


B + H 


'max 


1 — 


8^10 a»e 


(14) 


125 i^9. 


m 


8 grofs Q sehr nahe gleich R -{- ff. 

Im Falle eines Massendefektes, d. h. eines negativen Wertes von @j 

ist Q im Punkte G ein Maximum, im Abstände ty -^ ein, Minimum. 
Für eine Bleikugel von 5000 "• Radius wird: 

für einen Hohlraum: 

^mem ^ — 31" , 

Es mag hier zum Schlüsse noch bemerkt werden, dafs die wich- 
tigsten Resultate dieses und des vorhergehenden Paragraphen sich 
auch leicht an der Hand einer Be- 
trachtung finden, welche von der 
Krümmung der ungestörten Niveau- 
flache absieht. Ist nämlich Q ein fA- 
Punkt der letzteren, so ist hier das ^^^-'^ / \ 

Potential der Masse m gleich Ar* — , ^ 

Fig. 35; man muls daher um 




k^ — :G 

c 


(15) 





vertikal in die Höhe bis P gehen, 
damit in P der ursprüngliche 
Potentialwert wieder vorhanden ist. G bezeichnet hierin die un- 
gestörte Schwerebeschleunigung, für welche angenähert -^ ^^^^m^ 
zu setzen ist; daher wird wie in § l (4): 


3 


A-3-?- 


m 


4 nSn 




a< e 


^Ä^m' 


(16) 


wobei ^ «=» s* 4" ^^ ist. Hieraus folgt die Lotablenkung 

dh a»$9 


A^ — 


da 


f»E9 


(17) 


m 


ganz wie in § 2 (10). Endlich ist — Q-dA*^ PP^ oder hinreichend 
genau «» — ds; daher wird 

Helmert, mathem. n. phyiikaL Theorieen der höh. Geodlsie. n. 18 


274 ^' £^apitel. Der Einflaftt gegebener Masaen. 

1 dA 2a*0 


Q de ^B9. 


m 


(1-1^), (.8) 


Von dieser Formel gelangt man bis auf eine unwesentliche Abwei- 
chung zu der richtigen Formel (9), indem man noch die Biegung der 
ungestörten Niveaufläche berücksichtigt und demgemäfs rechter Hand 
1 : (/? + ^) addiert*). 

Mit Rücksicht auf (3) hat man allgemein: 

~~B + H+h'^ ds 

_ 1 d«Ä ^ ^ 

— B + H+h ds* ' 

§ 3. Fortsetzung: Die gestörte Schwerkraft. Nach § 1 (3) 
S. 267 ist das Potential der Schwerkraft im Punkte P, wenn der 
Radiusvektor CP mit r bezeichnet wird, gleich 

mit (1) 

e = j/r^ + ^^ — 2rc cos ^ ; 

vergl. Fig. 32 S. 267. Wegen der Geringfügigkeit der Liotablenkung 
können wir die radiale Komponente der Schwerkraft für die ganze 
Schwerkraft nehmen, also setzen 

Hieraus folgt sofort 

ff "- k^ [^ + ^ {r - c coH i>)] . (3) 

Für eine bestimmte Niveaufläche genügt es mit Vernachlässigung 
von h zu setzen r = Ä + /^**). Beschränken wir uns aufserdem auf 
die Nähe der störenden Masse, so wird 

e^ = s^ -{- i^ und r — c cos V^ = / , 
also 

Bezeichnen wir den ungestörten Wert von ^, nämlich k^M\{R'\-Hy^ 
mit G und beachten die Relationen 


*) Von diesem Verfahren, bei Bestimmung von q erst zuletzt die ßiegoxig 
der ungestörten Niveaufläche zu berücksichtigen, kann man auch in anderen 
Fällen Gebrauch macheu, vorausgesetzt nur, dafs gestörte und ungestörte Niveau- 
fläche nahezu parallel laufen. 

**) Es wird somit hier kein Unterschied gemacht zwischen der gestörten 
Schwerkraft in der gestörten und der ungestörten Niveaufläche, was solange zu- 
lässig ist, als A nur einige Meter beträgt. 


§ 3. Fortsetzung: Die gestörte Schwerkraft. 275 


so wird 


3 


Die grofste Störung im Verlaufe einer Niveaufläche erleidet dar- 
nach die Schwerkraft im Scheitel G derselben, vertikal über der 
störenden Masse. Man hat nämlich daselbst, ® positiv gedacht: 

^imur— g|l+ ^t%Q ] ' (5) 


FQr eine Bleikugel von 5000 *" Radius ist daher die maximale Störung 

in g gleich 

dg£G:850i 

f&r einen Hohlraum gleicher Ausdehnung ist, absolut genommen: 

dg<,Gi 2550 . 

Aus (3) folgt noch durch Differentiation nach r 

If - -*•' 1^+^ (r-c cosv-)^ _!-) . (6) 

Diese Formel giebt zugleich sehr nahe die Änderung von g mit der 
Höhe h. Wir können demnach mit Beschränkung auf Punkte einer 
bestimmten Niveaufläche in der Nähe der störenden Masse setzen: 

dh '^^ 1 (jB + ä)» ^ e» «• j ^'^ 

oder auch sehr nahe 

Differenziert man diesen Differentialquotienten nach e, so be- 
merkt man, dafs sein absoluter Wert ein Maximum ist im Punkte G, 
S positiv gedacht. Von da an nimmt derselbe ab, geht bei e^«s3/' 
durch den ungestörten Wert hindurch, nimmt weiter ab bis ^'«»5/^, 
wo ein Minimum eintritt, und nimmt von da an wieder zu bis zum 
ungestörten Wert. Für den Punkt G ist 

W )ma* "■ ~ ir+B I ^ + 1^ 1 ' ^^) 

aus welcher Formel man ersieht, dals der ungestörte Wert des Diffe- 
rentialquotienten von g nach der Höhe sich beträchtlich ändern kann. 
Eine Vergleichung mit S. 272 (13) zeigt , dafs der Betrag der Stö- 
rung yerhältnismäfsig derselbe ist, wie im Krümmungsradius für 
Punkt G. 

In neuerer Zeit haben einige Physiker versucht, die Abnahme von 
g mit der Höhe aus feinen Wägungen abzuleiten. Vorstehendes zeigt, 

18' 


276 4. Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen. 

dafs man auf diesem Wege dem ungünstigen Einflufs lokaler An- 
ziehungen viel zu sehr ausgesetzt ist, um erwarten zu können , dafs 
die Resultate den normalen Wert 2G:(R-}-ff) geben. Eher konnte 
man diese Messungen dazu benutzen, 1 : p zu bestimmen, oder, ab- 
gesehen von dem hier betrachteten, speziellen Falle, allgemeiner nach 
S. 264 § 46 des 3. Kapitels, um einen Mittelwert von 1 :q aller 
Yertikalschnitte der Niveaufläche an dem betreffenden Punkte der 
Beobachtung herzuleiten*). 

§ 4. Fortsetzung: Yergleichung der Einwirkung auf r, g^ 

Q u. S. w. Nicht uninteressant ist es, die Maximalwirkungen der 
Masse m auf die verschiedenen in betracht kommenden Gröfsen zu- 
sammenzustellen. Wir nehmen dabei die störende Masse i7}=: y srn^O 
und bilden immer den nachstehenden Quotienten: 

Gestörter Wert — ungestörter Wert 
ungestörter Wert 

Wir erhalten dann aus (7) S. 268 für die Störung im Radiusvektor: 

femer aus (5) S. 275 für die Störung in der Schwerkraft: 

9max — ^ B a} 


G 9^ Mt* 


t 


(2) 


m 


welcher Quotient auch in der Lotablenkung auftritt; denn es ist nach 
(12) S. 272: 


'max 


3n ®« ««• 


(2*) 


Aus (13) S. 272 folgt weiter für die Störung im reziproken 
Krümmungsradius : 


'mtn 


ß + s » «» 


B + H 


m 


*) In den Verhandlungen der 6. allgem, Konferenz der europäischen Grad- 
messung zu München 1880 S. 36 berichtet von Jölly über seine bezüglichen Be- 
obachtungen. Er fand in einem gewissen Falle anstatt 83,1 Milligramm den 
Wert 32,8 Milligramm als Einfinfs der Höhenlage aaf die Anziehung, d. h. also, 
er fand dg : dh absolut genommen um ca. 1% zu klein. In den Ahh. der kon, 
hayer. Ak, d, Wiss, IT. GL, Bd. 14, 2. Abt. 1881 sind die Zahlen genauer zu 
33,059 und 31,686 angegeben, d. h. die Änderung von g mit h ist um ca. 4% ^ni 
klein. Vergl. weiterhin den Schlufsparagraphen dieses Kapitels. 


§ 4. Fortsetzung: Vergleichang der Einwirkung auf r, jf, 9 u. s. w. 277 

und aus (9) S. 275 für die Störung im Differentialquotienten der Schwer- 
kraft nach der Hohe: 

(AL\ ^ ( ?^_\ 


V e + h) 


^m 


Die stärksten Wirkungen sind also diejenigen auf q und -^ nach 

(3) und (3*); die schwächste ist diejenige auf den Radiusvektor und 
dazwischen stehen diejenigen auf g und die Richtung des Lotes. Dieses 
sind zugleich die störenden Wirkungen^ welche in der Regel bei Beobach- 
tungen von Einfiufs sind; da man weder den Radiusvektor, noch den 
Krümmungsradius direkt messen kann und auch die Messung der 
Schwereabnahme mit der Höhe nur unter aufsergewöhnlichen Um- 
standen erreichbar ist. 

Zeigt sich bei den Beobachtungen, dafs die Anomalieen in g und 
in der Lotrichtung lokaler Natur sind, dann entsprechen denselben 
jedenfalls nur sehr kleine Änderungen im Radiusvektor, während q 
stark variieren kann. 

Die Wirkungen einer unterirdischen MaBsenunregelmäfBigkeit unter- 
sucht bereits Young in den PhüosopMcal Tra/nsactions 1819 p. 89—92; 
spätere Untersuchungen finden sich in dem Hauptwerk der englischen 
Vermessung Ordmance Survey, Principal Triangulation (1868) p. 685; von 
DaMander in Poggendorffs Ann, (1862) Bd. 117 S. 148; in Thomson und Tait, 
Handbuch der theor, Phyidk Bd. I. 2 (1874), S. 341—343; von Winterherg 
in ÄBironam. Nachr, Bd. 91 (1878) S. 97—108, und in Clarke, Oeodesy 
(1880) p. 88-93. 

Durchaus unklar sind die Angaben Winierbergs^ aus Kiyellements die 
Gestalt der Niveauflächen zu bestimmen. Im 7. Kap. werden wir zeigen, 
dafs die Resultate der Präzisionsnivellements von der Gestalt der Niveau- 
flachen so unabhängig sind, dafs ein Kückschlufs auf die letztere unmög- 
lich ist. Selbst mit der Anordnung, welche ßauemfeind den Nivellements 
gegeben, um die Krümmung der Niveauflächen zu studieren (vergl. Bruna, 
Figur der Erde, S. 41), ist praktisch noch kein Erfolg erzielt worden. 
Auch scheint Winterberg an diese Anordnung nicht zu denken. Dafs mau 
die HöhenstOrungen der Niveauflächen direkt nicht aus Nivellements be- 
stimmen kann, dürfte wohl diesem Autor bekannt gewesen sein. 

Clarie, Geodesy p. 98—101, untersucht auch den Effekt, den eine 
radiale Verschiffung einer Masse giebt. Man kann dies aus dem hier ge- 
gebenen leicht abstrahieren ; sollte die Masse als Halbkugel hervortreten, 
so vcrgl. weiterhin § 16. 

In der Ordnance Survey p. 691 sind auch die Störungen durch einen 
unendhch langen, liegenden, unterirdischen Kreiscylinder behandelt. 

§ 5. Fandamentalformeln für die mittleren Teile langer, 
horizontaler Prismen. In Fig. 36 stelle das Dreieck 0.1.2 den 
Querschnitt eines geraden Prismas normal zu den horizontalen Kanten 
▼or. Wir zerlegen das Prisma der Lange nach in Elemente vom 


278 


4. Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen. 


Querschnitt dq. Hat ein solches Element vom Punkt den kürzesten 
Abstand r, welcher im Querprofil gemessen wird, so ist 


lioHxoniat 



J Vf* + or« 


(1) 


F!g. de. 


das Potential der Anziehung des Elements 
auf Punkt 0^ wenn & die konstante 
Dichtigkeit des Prismas ist und x eineu 
Abstand vom Querprofil in der Längs- 
richtung bezeichnet y der von — Zj bis 
-{- Zj variiert. Nach einer bekannten 
Grundformel der Integralrechnung wird 
das Potential (1) gleich 


*^©{lognat(^+/^ + l) + logiiat(^'+/^* + l)td^. (2) 

Nehmen wir Z, und Z, g^g^Q '' ^^^ grofe an, so geht (2) mit fQr 
unsere Zwecke genfigender Genauigkeit über in 

*»Ö {log nat ^^ + log nat ^]dq, 

und hieraus folgt, indem wir 

setzen, als Potential des Elementes vom Querschnitt dqi 

2**0 log nat— •rf«'. 


(3) 


(4) 


Der Fehler dieses Ausdruckes ist, wie die Reihenentwicklung von 
(2) zeigt, angenähert gleich 

(4») 


+ 2k^edq.{^)\ 


mithin für 2Z= 10 r bereits weniger wie Va Vo ^^^ Ausdruckes (4). 

Differenziert man (4) nach r, so ergiebt sich die Anziehung des 
Elementes auf Punkt in Richtung des durch eine Verschiebung 
von wachsenden Radiusvektors r. Damit erhält man mit Rück- 
sicht auf die Figur leicht als horizontale Komponente der Anziehung 
des Elementes normal zu dessen Längsrichtung: 


und als vertikale Komponente derselben: 

2)^2(9-^ sin©. 

r ^ 


(5) 


(6) 


§ 5. Fundamentalformeln f. d. mittleren Teile langer, horizontaler Prismen. 279 

Der Fehler der Gesamtauziehung ist gleich 

-2A'©-^.2(^y, (6») 

mithin für 2Z«b lOr gleich 2% der sich ans (5) und (6) zusammen- 
setzenden Gesamtanziehung. 

Wir führen nunmehr Polarkoordinaten ein, wie Fig. 36 zeigt, 
sodafs dq =^ rdrdg) wird, und integrieren den Ausdruck (4) zunächst 
nach r von null bis an die Peripherie des Querschnitts, woselbst r in r 
übergeht. Nun ist durch teilweise Integration leicht zu finden, dafs 

r' 

/rlognat-^^r— * r « [log nat-^ +yj , 

wobei nur zu beachten ist, dals r lognat r für r gleich null in null 
übergeht. Hiermit findet sich aus (4) als Potential der Anziehung 
des ganzen Prismas auf Punkt 0: 

V = k^@J [lognat -^+-5-1 r^ dtp . (7) 

V« 
Integriert man auch (4*) nach r, so findet man, dals (7) auf 
etwa Ve Vo genau ist für ein Prisma, dessen Lange zehnmal so grofs 
ist als r,' und r^ im Mittel. 

Um nach (p zu integrieren, setzen wir mit Rücksicht auf Fig. 36 
für r den Ausdruck 

~ ^ Bin (w, + 9 — 9,) ' 

in welchem Ausdruck nur (p variabel ist. Für die Ausmittelung von 
(7) kommt es aber auf das Integral 


/ 


log nat 2l^"'^(y.+y-y. l + 4 


sin« (W| + 9 — 9i) 

an, das durch teilweise Integration Qbergeht in 

- {lognat '^''°^y^+J:-^^^ +|)cot («,, + ^ - <p,) 

+ J cot« (tv^ + V — Vi) ^V » 
da nun 

/ cot' {w^ + (p — 9>i) tf 9? -» — cot (w, + 9> — 9>|) — 9> + Konst. , 
so findet man endlich ohne Schwierigkeit aus (7): 

cot w^ [log nat -^ + y] 

+ cot W2 [log nat 7^ + -f"] — "'o 


2L 
I cot w^ I iog nai 

V M^k^&r^'^ sin'tt^i 


280 *^- Kapitel. Der EinfloTB gegebener Massen. 

wobei Wq^^(P2 — 9>| und w^j^^r — u>o — m;, sowie r2'=r,' sin u^j: sin u?, 
eingeführt sind. 

Anstatt des vorstehenden Aasdruckes erhält man, wenn vor der 
grofsen Parenthese ein Mal r/ sin w^ durch Tj' sin W2 ersetzt wird 
' und alsdann noch einige naheliegende Umformungen mit Rücksicht 
auf Fig. 36 vorgenommen werden: 

13 , r/ cos w« 1 _ , 2L , r/ cos lo. « , 2L \ 
- + log nat -jT- + , iQgnat -^ 
* . (8) 
r— ^— sin Wi sin w, I 
sm Wo ■ * ' 

Hierin bezeichnet J den Flächeninhalt des Dreiecks 0.1.2, d.i. des 
Prismen-Querschnitts. 

Eine andere bemerkenswerte Gestalt erlangt der Ausdruck für 
t;, indem man im 1. Logarithmus für r/ den identischen Wert 
r^'r^' : Tj' substituiert und sodann die beiden Glieder, welche den 
Logarithmus von 2X : Tj' enthalten, zusammenzieht. Es folgt 

.=2A'8^|| + lognat^+ ^^ log^at^ - ^^^u>,]. (9) 

Ähnlich findet sich 

.=2A^8^(| + lognat?:^ + !^''3 lognatg:-'JJ^«..) . (10) 

§ 6. Fortsetzung. Führen wir in (5) und (6) des vorigen 
Paragraphen für dq seinen Wert rdrdtp ein, so folgt unmittelbar 
durch lutegration nach r von null bis r als horizontale Komponente 
der Prismen- Anziehung normal zur Längsrichtung des Prismas: 

/* 
2k^& j r cos (pdq> (1) 

Vi 

und als vertikale Komponente: 

Vi 

2k^& j r sintpdtp. (2) 

Vi 

Führen wir wieder r = r/ sin tv^ : sin («;, + 9? — 9),) ein und 
nehmen als Variable « = a;, + 9^ — 9^n ^ gehen (1) und (2) bezw. 
über in 

2k*e r,' sin «>. /""' ^'"7^"^+ -^ rf« (3) 

und 

2*» r/ sin u;, /™i»:zl?L±»il aa. (4) 

' * ^ Bin « ^ ' 


W| 


§. 7. AUgemeine Formeln für einen Gebirgsrücken. 281 

Löst man sin und cos im Zähler auf und integriert, was keine 
Schwierigkeiten bietet, beachtet auch, dafs Wq -{- w^ '^ tc — W2 und 
sin W2 : sin m;, «= r,' : r^ ist, so folgt aus (3) für die horizontale^ 
zur Längsrichtung normale Komponente der Anziehung: 

2k^» r,' sin m;, | Wq sin {w^ — 9),) -f cos (w;, — tp^) log nat -^ | (5) 

und für die vertikale Komponente : 

2k^S r/ sin w^ ^Wq cos (m;, — 9),) — sin (m;, — 9?,) log nat yVJ . (6) 

Diese Ausdrücke besitzen scheinbar betreffs der Stücke des Drei- 
ecks mit den Indices 1 und 2 nicht diejenige Symmetrie, die maü 
erwarten konnte. Beachtet man aber, dafs r/ sin u;, ^^ r^ sin u;, 
und dafs w^ — 9, der Neigungswinkel von c gegen die Horizontale 
ist, so verschwindet dieser Mangel. 

Wenn L^ und L^y die Längen des Prismas beiderseits des durch 
den Punkt geführten Querschnitts, nicht genau einander gleich 
sind, so existiert noch eine 3. Komponente der Anziehung auf in 
Richtung der durch diesen Punkt hindurcbführenden Prismenkante. 
Nehmen wir L^> L^ und beide wie oben im Verhältnis zu den Quer- 
dimensionen des Prismas grofs an, so ist jene 3. Komponente offenbar 

sehr nahe gleich der Anziehung eines Prismas von der Länge Z. Z , 

welches auf der Seite L^ zwischen 2 Querschnitten in den Abständen 
Z, und Zj von liegt. Diese Anziehung kann angenähert gleich 
[Masse: Quadrat der Entfernung] gesetzt werden. Wir erhalten hier- 
mit als 3. Komponente der Anziehung in der Längsrichtung der 
Kante angenähert den Wert 


worin /l die Querschnittsfläche und Z die ^L^L^ bezeichnet. 

Die Genauigkeit der Formeln (5) und (6) wird in dem Falle, 
dafs r/ und r^ nur etwa den 10. Teil der Gesamtlänge 2L des 
Prismas betragen, mit Rücksicht auf (6*) des vorigen Paragraphen 
gleich VaVo. 

§ 7. Allgemeine Formeln fUr die mittleren Teile eines 
langen Gebirgsrückens in Form eines liegenden^ dreiseitigen 
Prismas. Für die mittlere Gegend eines Gebirgsrückens, der wesent- 
lich länger als breit ist, können die in den vorhergehenden beiden 
Paragraphen entwickelten Formeln Anwendung finden. Von der 
Krümmung der Erde sehen wir nach den Erfahrungen im 1 . Beispiel 
dieses Kapitels, vergl. S. 273, vorläufig ab. 

In Fig. 37 bezeichne ABC den Querschnitt des Gebirgsrückens 
und ^if die ungestörte Niveaufläche in der Meereshöhe H. Für einen 


282 


4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 


Puukt P' derselben hat man die Wirkung aus den Wirkungen der 
Prismen AP'Cxsxi^ BP'C zusammenzusetzen und kann dabei im Ver- 
gleich mit Fig. 36 S. 278 setzen für 


r, Tj c w^ 

bei BP'C bezw. die Werte: 
PHq {c — ö)hQ ahQ x — B — i/ 

ferner bei AP'C: 

cK bh 


w. 


w. 


t' 


9>i 


-*'; 


— « + *' 


-*', 


ph^ oHq bfiQ iff — A A n — if 

solange P' zwischen A und B liegt« dagegen: 

ph^ — ah^ hh^ A — i/ n — A i! 

wenn P' in Fig. 37 linker Hand von A liegt und mithin <ih^ ne- 
gativ ist. Für letzteren Fall sind selbstverständlich die Wirkungen 


- C. 


..-if' 



üngesiÖric Jrü^eau/tdcfie 

Flg. 37. 

des Prismas AP'C von denen des Prismas BP'C zu subtrahieren. 
Zufolge der gewählten Substitutionen ist aber auch im ersten Fall 
die Horizontalanziehung von AP' C zu subtrahieren. 

Man erhält mittelst der Formel (10) § 5 S. 280 als Potential v 
der Anziehung für P' innerhalb: 

(C— ff)« cobB , ^^ p , ff«cos4 j ^^^ p^ 


V = 


Ä'®V 


2L\ 


V2 ^ ö phj V(c-ff)8i 


, v-__ -y :^2:^:^ lognat — 1- . 

• a ® c — ff ' 6 " « 


und für />' aufserhalb: 


V = 


;t^0V< 


+ 


sin B sin ( JB -{- 1^ ) + (^—jf) ff sin ^ sin ( ^* — A) 

sin -0' 


(C — ff)*COBJB| 1. P t ff*C08il I . p 


lognat -^ j- — lognat -^ 

^'^ _ -.^(c-tf)sinÄsin(Ä+*^^ 


V 


Einige leicht ersichtliche Umformungen geben hieraus fär P' innerhalb: 

a^ [(« - V»') sin»^— | sin 2^ log nat J] 


Ä:»©V 


(l+log nat ||)c 


(1.) 


§ 7. Allgemeine Formeln für einen Gebirgsrficken. 


283 


und fQr P' aulserhalb: 


v^mhA (I + log nat ?£)c ^ ^ -■ } -Cl*) 

[ - J"^ ^ <y2[^'8in'.4 + -i8in2^1ognat^l 

Ferner findet sich aus (5) des vorigen Paragraphen, wobei aber 
r/ sin w^ mit r^' sin w^ zu vertauschen ist, für die zur Längsrichtung 
normale Horizontalauziehung für P' innerhalb: 


2k^0h^ \ 


{c - a) [*' sin'^ — y sin 2B log nat -^^] 
— ö [(« — ^') sin'i^ — Y sin 2i4 lognat — 1 


(2) 


und für P' aufserhalb: 


2k^Gh, 


(c — ö) [^' sin'i? — -i- sin 2 ^ log nat -~^'] 
+ 6 1^' sixi^A + ■— sin 2A log nat ^^-l 


> • 


(2*) 


Ebenso giebt (6) des vorigen Paragraphen für die Vertikalan- 
ziehung für P' innerhalb: 


2k^ehQ{ 


\c — ö) [^ ^' sin 2B + Bm^ß log nat -^-1 
+ <f [— (« — if) sin 2A + sin'^ lognat -1 


(3) 


und für P aufserhalb: 


^2k^@h, 


(c — 6) [y V'' sin 2^ -f sin'^ log nat y^l 
+ <f [— -i- ^' sin 2 ^ + sin»^ log nat ^] 


(3») 


Für den Punkt P auf /^C setzen sich die Wirkungen der Prismen 
APB und BPC zusammen. Im Vergleich zu Fig. 36 S. 278 kann 
man setzen bezw. 


für r/ 

bei BPC: zh^ 
bei APB: xh. 


^2 


C U'i W2 tÜQ 9)] 

öÄo x — A — B B — t A + if —A 
cHq A ^ 3C — A — ^+^5 


zufolge dieser Substitutionen ist die Horizontalanziehung für APB 
von derjenigen für BPC zu subtrahieren. 


284 


4. KapiteL Der Einflufs gegebener Massen. 


Für das Potential der Anziehung in P erhält man nun den Wert 
nach (9) § 5 S. 280 gleich 


t;=A:2Ö Vysin (i^-f^) < 


(|- + lognat?D(a: + z) 


y 


«• 


y 


cos {ä + B) log nat ^'\ cos -^ log nat -^ 

— ' PäT.x z«iii{A-{-B)9m{B-ip) — ^"".^ 7~Jf x sin A sin ^ 
Nach einigen leicht zu erkennenden Umformungen folgt hieraus: 

2M - i ^' «'° 2(^ + if) log nat 1. 

-^-1 r. 


W«*»®«»» 


(2 "'■*°«'"'*W+ 1 ^,gi„2^1ognat * 
— (.< + ^) /» sin» B — {« — A — i>)l^ 


(4) 


Mau erhält ferner aus (5) § 6 S. 281 für die zur Längsrichtung 
normale Horizontalanziehung in*P: 


y 


2k^@h^y 


{A + if) sin B sin (i? — V') + cos ^ siu (^ — ^) log nat — 

+ sin t log nat — 


2Ar'ÖÄoy 


wofür man auch setzen kann: 

2k^&h^ {(i4 + V')^8in'^ + y/8in2Älognat^ + gloguat|-j . (5) 

Aus (6) § 6 S. 281 folgt endlich für die Vertikalanziehung in P: 
(x — A— if) aintl; — (-4 + ^) cos B sin {B — ^) 

-j- sin B sin {B — V') log nat y 

wofür man auch setzen kann: 

2A:2©ÄoI(ä— ^-^)g-~(^ + ^)/8in2^ + /sin»i?lognat|^}- (6) 

Um nunmehr zu den An- 
gaben für einen Punkt in CC\ 
gleichhoch mit P gelegen, Tergl. 
Fig. 38, zu gelangen, gehen 
wir von (4) aus und setzen darin, 
;p — ^^^ ^ ^ um zunächst das Potential des 

Prismas CBC zu erhalten. 



Fig. 38. 

für: c X y 


i 


A if 


bezw.: « g ö' 1-g a(l-l) Y i?', 


§ 7. Allgemeine Formeln fSr einen GebirgsrOcken. 


285 


wahrend die fibrigen Symbole bleiben. Damit folgt als Potential ron 
CEC auf 0: 


A' 8 h^ 


(I + log nat IQ «+ -^^ sin 22? log nat -f^ 
- (f + 2?') «» (1-6)' sin' 2? -i^-ß) %^ 


Im vorletzten Gliede schreibt man besser ftlr asin^ einfach cosP. 

Vertauscht man jetzt Ä mit B^ a' mit y, a mit /I und Ä mit ß ^ 
so ergiebt sich das Potential von ACC. Dieses ist gleich 


*'«V 


(| + lognatjQ/J + ^i^8in2^1ognat-^^j 

- (I + ^) (1 - S)» cos' A-{^-ä)\^ 
Die Addition beider Ausdrücke ergiebt als Potential vo für 0\ 

+ -i- (l~|)'[8in25lognatj^+8in2^1ognatj— ] 

- (1 - D' [(y + ^') «08»/? + (y + ^) cos«^] 

_ (« _ ^ _ ^) |i 


»o-=*'©V 


(7) 


Mit Übergehong der Horizontalanziehung erhalten wir in gleicher 
Weise durch zweimalige Anwendung von (6) für die Vertikalanziehung 
in 0: 


2k^Bh. 


(«_^_i>')|_(l_|)[(|+^)co8»^+(f+i?')co8'2?] 
+ (l-S)[| sin 25lognat^+i-sin2^1ognat^] 


(8) 


Wir führen nun wieder als normale Schwerkraft an der Erd- 
oberflache, sei es im Meeresspiegel oder in der Meereshohe H^ den 
Wert 

ein. Dividieren wir mit demselben in das Potential, so erhalten wir 
die Erhebung d^ der gestörten Niveaufläche über die ungestörte gleichen 
Potentialwertes an der betreffenden Stelle; dividieren wir in die Hori- 
zontalanziehung, so erhalten wir die Lotablenkung A\ dividieren wir 
endlich in die Vertikalanziehung, so erhalten wir die Schwerestörung 
Sg in Bruchteilen der normalen Schwerkraft*). 


*) Die Werte von v für die Punkte A und B und die zugehörigen Er- 
hebungen berechnete auch 1880 ülarke^ Geodesy p. 93-94. 


286 


4. Kapitel. Der Emflufs gegebener Massen. 


Bei diesen Divisionen geht der Faktor k^@ der oben aufgestellten 
Formeln über in k^@ : G oder in 


de 


AnS^S 


(9) 


Man hat nun in diesen Formeln nur k^® mit AT zu vertauschen am 
bezw. Erhebung der gestörten Niveaufläche über die ungestörte, Lot- 
ablenkung oder Störung in der Schwerkraft zu erhalten. Für die 
Lotablenkung in Sekunden ist zu setzen 


r' 


ff 


de 


4xe.jS 


(10) 


Sie entspricht mit Rücksicht auf die Figuren einer Anziehung des 
aufgehängten Lotes nach rechts. 

Es mufs noch bemerkt werden , dals die nach den gegebenen 
Formeln berechnete Schwerestörung nur dann die ganze Störung ist^ 
wenn man für einen bestimmten Punkt die Schwerkräfte vergleicht, 
welche ohne und mit Berücksichtigung der Prismenanziehung vor- 
handen sind. Wenn man jedoch vergleicht die ungestörte Schwer- 
kraft in einem Punkte einer ungestörten Niveaufläche mit der gestörten 
Schwerkraft in dem darüberliegenden Punkte der gestörten Niveau- 
fläche gleichen Potentialwertes, so kommt aufser der Prismeuanziehung 
noch die Veränderung der normalen Schwerkraft in betracht, welche 
zu der Höhenverschiebung gehört. Diese Veränderung kann sehr be- 
trächtlich ausfallen, da Prismen von der Masse der Hochgebirge be- 
deutende Höhenverschiebungen bewirken. Da indessen einerseits ffir 
unsere Zwecke die Betrachtung der Schwerestörung für bestimmte 
Punkte genügt, andererseits die Berechnung des Einflusses der Höhen- 
lage einfach mit dem Quotienten 2dh:B erfolgen kann, so sehen wir 
hier von der Betrachtung der Schwerestörung entlang gestörter Niveau- 
flächen ab. 

§ 8. Deformationen durch einen gleichschenkeligen Ge- 
birgsrücken. Wir nehmen jetzt als Querschnitt ein gleichschenke- 
liges Dreieck und setzen demnach 

ö = e> , A'^B. (1) 

Um einen Überblick von der Gesamtwirkung zu bekommen, be- 
rechnen wir zunächst die Er- 
hebung des gestörten Niveaus 
für die Punkte C\ M\ A und 
N der Grundfläche im mitt- 
leren Querprofil, Fig. 39. 
Nach Formel (1) S. 282 

wird erhalten als Erhebung der gestörten Niveaufläche über die un- 



Fig. 99. 


1 8. Deformationen durch einen gleichschenk eligen Gebirgsrücken. 287 

gestörte für (7', wobei <y «= -;r, p «= 1> ^' = ![ zu setzen ist, wenn 
man die Relationen 

a sin ii sa 1 c sin i^ BS 2 cos i^ c sin 2 i^ «s 4 cos^^^ 

(2) 

2 a cos A^^ c c tan i^ = 2 c sin^^ = sin 2 /^ 

beachtet und 

l + lognat-^-O (3) 

setzt: 

8hc- — i'V<? 1 — cos'^ log °»* Y — T «° 2^ j ; (4) 

ferner für M' iomitten AC , wobei « = — ,/>*■" 1 -|- .„ i tan ^' ■= — 
za setzen iat: 


dAjr '^Kh.^c 


-(91ogn8t9-101ognat^)'^^l 
0-ilognat^i:^? ^ "' ^ '' ;(5) 

'^ « ^ >« -(« + 8arctan±)i^ f 

. \ C/ 16 ' 

femer für A^ wobei <f «» 0, p «s a, ^' =i A zu setzen ist: 

ÄÄ^ « i' V^ { ö - log i^atc — Y cos 2A log nat J'^^ —A sin 2i4| • (6) 

Es folgt weiter für N nach Formel (1*) S. 283, für welchen Punkt 
<f -« — -— , ||2 «« 1 _|. ^ tan ^' BS» --— zu setzen ist: 

4 id «sc ' 


aA^>=ArAV 


(>--lognat--— ^ ^ }.(7) 

— -T- sin 2^ arc tan -— - 
2 Sc 


Wir bemerken hierbei, dafs der angewandte Ausdruck (1*) zwar 
noch für N immer eine gnte Annäherung bietet, falls nur 2Z erheb- 
lich grofser ist als ch^^ dais derselbe aber bei wachsendem Abstände 
Tom Gebirgsrücken rasch an Genauigkeit einbüfst, wie aus der Ent- 
wicklung der Grundformeln hervorgeht, vergl. insbesondere S. 279, 
Bern, zu (7). 

Setzen wir 9 «> — @^ , so wird sehr nahe 

15 

A'— 3: 160000000. (8) 

Wir nehmen femer A^ — 2500" , Kh^ -= 10 : 85 rund , sowie 
2Z -a 750000*" und c -= 10; damit ergeben sich die folgenden Werte 
der Hohenstorongen: 


288 


4. KapiteL Der Einflurs gegebener Hassen. 


»hc = -^ (7,20 


dh 


jr 


85 

100 
86 


ShA = -^ (7,20 


Hör. DitUns 
6250*". 


8h 


N 


86 

100 
85 


Setzen wir dagegen c 


- 1,85) = 6,29« 
(7,20 — 2,24) = 5,84« 

- 3,00) = 4,94« 

3,48) = 4,38« 
100, 80 folgen die Hohenstorungen : 


(7,20 


Differenz 
0,45« 

0,90« 

0,56« 


(9) 




dhc 
dhy 
Shj, 
8hy 


1000 
85 

1000 
85 

1000 
85 

1000 
85 


j 7,204 
(7,204 
{7,204 
j 7,204 


3,942) = 38,38« 
4,463) =32,25« 
5,298) =22,42« 
5,777) =16,79« 


Differenz 
6,13« 

9,83« 

5,63« 


Hör. DitUna 
6S500*». 


(10) 


In dem letzteren Falle ist übrigens die Genauigkeit der Zahlen er- 
heblich geringer als im vorhergehenden, weil die Lange des Gebirgs- 
rückens nur das Dreifache seiner Breite betragt. Insbesondere ist dh^ 
infolge dieses Umstandes mit Rücksicht auf die Formeln (4) und (4*) 
S. 278 beinahe 1« ungenau. Immerhin reichen unsere Zahlen noch 
dazu aus, eine Vorstellung von der Grofse der Deformation zu erhalten. 

Aus den Zahlen (9) und (10) kann man auch eine annähernde 
Vorstellung von der Wirkung der Alpen gewinnen« Wenn man das 
rohe Profil derselben, Fig. 84 im 7. Kapitel, betrachtet, welches aller- 
dings die höchsten Spitzen, deren Wirkung aber gering ist, abschneidet, 
so erkennt man, dafs die Wirkung der eigentlichen Alpenmasse durch 
(10) überschätzt wird. Mit Rücksicht auf das Ansteigen des Terrains 
in Deutschland aber dürfte die Maximalerhebung im zentralen Teile 
der Alpen immerhin auf 30« zu schätzen sein, wobei nun freilich die 
Gegenwirkung etwa vorhandener unterirdischer Massendefekte un- 
beachtet gelassen ist. 

Um eine Vorstellung von der Störung des Parallelismus der 
Niveaufiächen zu erlangen, berechnen wir die Hohenstorungen dh der 
Niveauflächen noch für die Punkte C, M und 0, Fig. 39. 

Die Formel (4) des vorigen Paragraphen S. 284 giebt für C, 
wobei X = a, y = a, z = 0, / = 0, 5= 1, tj; = A zu setzen ist: 

* 

«Ao-A-V^^IO— flognat^ii-^^^); (11) 


femer für M, woselbst a^ = y , y^ = -j- + 

1 2 * 

5 = — , tan 1// = -r— zu setzen ist: 


9 c* 
16 


^ 2 ' ' S> 


§ 8. Deformationen durch einen gleichschenkeligen Gebirgsrücken. 289 

|0-i-lognat»^-i(l-48m^^)lognatJ,*Ji| 
ahM^KhM ^ .(12) 

I ir/ 2\ nl 

[ — — Ä -|- ( .4 4- arc tan — j (4 cos'^ A — 1) J 

Für die oben angenommenen numerischen Ausgangswerte folgt 
bei c «» 10: 


85 

dagegen bei c «= 100: 

1000 
85 


8hc = -^ (7,20 - 1,90) — 6,24"» 
ShM - ^ (7,20 - 2,23) - 5,85~ , 


(13) 


8hc = -^ (7,204 — 3,943) = 38,36"» 


dliM — -^ (7,204 - 4,463) — 32,25"» 


(14) 


86 

Nun ist für die ursprünglich durch ^'und^' gehenden Niveauflftchen 
der ungestörte Abstand gleich ^q, der gestörte aber h^ -{- Shc — dhc. 
Die Störung dhc — Shc ist 

für ^ — 10 — 0,05"» 
„ c = 100 — 0,02"» . ^ ^ 

Dagegen ist für die Niveauflächen durch M und M' die Störung 

dhü — ÖHm' gleich 

füre- 10 +0,01- 

„ c — 100 + 0,00« . ^ ^ 

Zur Berechnung von 8h für giebt die Formel (7) S. 285, wobei 

A^B, «-^--f, a'^-y^-l-l-^-, 6-1 und Ä = ff 

«s arctan — zu setzen ist: 
c 

Q-\ lognat ?' tl + J!i?JA log nat {c^+l) 

-|8in2^(^ + arctan-i-) - ^(f -arctanl) 

Für flache Profile ist 8 ho sehr nahe die Maximaldeformaiion] denn 
im Punkte mufs das Potential der Anziehung des flachen, sym- 
metrischen Gebirgsrückens nahezu ein Maximum sein, wie man so- 
fort erkennt. 

Mit c «" 10 wird bei den angenommenen Verhältnissen 

dho - ^- (7,20 - 1,75) = 6,42« ; (18) 

mit c s= 100 dagegen : 

dho = -^ (7,204 — 3,928) = 38,54"» . * (19) 

Hf Imort, inathem. a. phyiikal. Theorioon der hAh. Geodäsie. II. 19 


8ho^Kh.^c 


29() 4. Kapitel Der EinfluTs gegebener Massen. 

Hiernach ist für die ursprünglich durch C und führenden 
Niveauflächen die Abstandsstorung 8ho — dhc 

für c= 10 gleich + 0,13« . 

„ c=100 „ +0,16«; ^ ^ 

für diese beiden Niveauflächen findet daher von M' M bis CO eine 

Störung im Parallelismus im Sinne einer Divergenz statt, welche 

beträgt 

fürc= 10 0,12« 

„ c = 100 0,16« . ^ ^ 

Eine eingehendere Untersuchung der Störungen im Abstand und 
Parallelismus der Niveauflächen wird einfacher als mittelst Potential- 
werten mittelst der Schwerestörungen geführt. 

§ 9. Fortsetzung: Störungen der Schwerkraft. Die An- 
wendung des Ausdruckes (3) S.283 giebt unter Substitution von A^=^By 
£ sin 2/4 »i 4 cos^^ und c sin^^ <b sin 2^ die Störung der normalen 

Schwerkraft in C\ woselbst <yB=— , p = l^ ^'t=— zu setzen ist: 
8gc' ^ - G^ KhA2n cos»^ - 2 sin 2A log nat || ; (1) 

ferner für M\ woselbst <y = -r» P^«» 1 + ts; ^^ ^ = - zu setzen ist: 


^Qu* = — ^ • ^^ü 


I ff + 2 arc tan — j cos' Ä 
— (j log nat 27 — log nat -^^^) sin 2 ^ 


; (2) 


ferner für -^, woselbst <y=sO, p = a, ^* =a A zu setzen ist: 

dff^ = ^ G' ^hJ4A cos'^ — sin 2.^ log nat ^^_f^ |> (3) 

Es folgt weiter mittelst des Ausdrucks (3*) 8. 283 für N, woselbst 
|- , p' c= 1 -(- — , tan^' = — zu setzen ist: 


_^ c , ^ . 9c« 


*^i\r = — ö . AfÄo 


6 cos'^arctan-r— 

3c 


— (I lognat 5 — log nat-?^— ) sin 2A 

Die Anwendung von Ausdruck (6) S. 284 giebt sodann für C, 
woselbst y a= a, za=0, / = 0, 6=1; ^«=-4 zu setzen ist: 

dgc =+G. Kh^ J23t — 4^), (5) 

und für M, wo y2„-l + ^-^-, z= y-, /= |- , g = i-, tan^;=A. 
zu setzen ist: 


§ 9. Qebirgsrücken: StOrangen der Schwerkraft. 


291 


dff^^ + G. Kho 


3t — M + arctan -^) (l + 2 cos'/rfj 


+ 4- sin 2^ lognat -^Jf 


2 


(6) 


Für erhält man schliefslich aus (8) S. 285 unter Substitution 
von A' = B' =» arc tan — , ö'^ = b'^ = — f — und g = — : 

C 4 2 


d^o =• + 6^ . Ä-A« 


« aia^A — 2 (1 + cos^^) arctan 
+ y sin 2A lognat (c' + 1) 


(7) 


Wenn die numerischeu Ausgangswerte des vorigen Paragraphen 
zu gründe gelegt werden, ergeben sich folgende Störungen der Schwer- 
kraft in Millionteln von ^ d. h. also sehr nahe Mikrons der Länge 
des mathematischen Sekundenpendels: 


c=lO 


c= 100 





in C 

+ 259 


in M 

+ 131 

in 

+ 31 

in N 
— 4 

in A 
- 11 

in if' 

149 

in C 

-226 






in C 

+ 292 

in 

+ 7 


in M 

+ 147 

in W 

-148 

In N 


in A 
— 1 

in C 

— 281 


(8) 


(9) 


Wir stellen diesen Werten diejenigen der Erhebung der gestörten 
Niveauflächen über die ungestörten nach dem vorigen Paragraphen 
gegenüber und erhalten: 

c — 10 




1 

in C > 

6,24 


in M 

5,85 

in 

6,42 

in N 

4,38 

in A 

4,94 

in AT 

5,84 

in C 

6,29 


— 0,18 


+ 0,13 


(8*) 


19 


rt* 


292 


4. KapiteL Der Einflufe gegebener Massen. 


C=100 





in C 

38,36 


in it 

32,25 

in 

38,54 

In N 

16,79 

in^ 

22,42 

In ir 

32,25 

in C 

38,38 


-0,18 


+ 0,16 


(9») 


Zwischen den Schwerestörungen und den Abstandsstörungen der 
Niveauflächen besteht ein Zusammenhang, der eine angenäherte Eon- 
trolle der Zahlwerte erlaubt. Bekanntlich ist für zwei unendlich nahe 
Niveauflächen das Produkt aus Abstand in Schwere konstant. Be- 
zeichnen wir nun in sehr grofser Entfernung vom Gebirgsrücken, wo 
die Störungen verschwinden, den Abstand mit h, die Schwere mit G, 
dagegen die gestörten Werte mit h + dh und G -\- dff, so mufe sein 

Q,h =(G-\-dg){h + Sh) 

oder, mit zulässiger Yernachlfissigung: 

äh -^h. (10) 

Ist in dieser Formel h nicht unendlich klein, sondern endlich, 
so ist für dg ein mittlerer Wert für das Intervall h zu setzen, wie 
die Integration beiderseits in (10) sofort erkennen läfst. 

Nehmen wir nun an, dafs in der Vertikalen COC von unten 
nach oben äff algebraisch nahezu gleichförmig zunimmt, was die 
Tabellen (8) und (9) zu bestätigen scheinen und was für flache Profile 
eine gute Annäherung sein mufs, so wird z. B. die Abstandsstörung 
der durch C und gehenden ungestörten Niveauflächen bei c = 10 
sehr nahe sein gleich 

-0,000226 + 0,000031 2600 i. , a lo«» 
• — g— G.l. -f- Ujli^"* . 

Auf diese Weise lassen sich auch die anderen aus (8*) und (9^ 
folgenden Abstandsstörungen mittelst (8) und (9) kontrollieren. Man 
wird sie bestätigt finden. 

Untersucht man die Störungen der Schwerkraft eingehender, so 
findet sich, dafs von der Basis ACB aus nach C hin, Fig. 39, diese 
Störung ihrem algebraischen Betrage nach im allgemeinen bei einiger- 
mafsen flacher Form des Profils ABC nahezu gleichförmig zunimmt, 
dafs aber ganz in der Nähe von C diese Zunahme stetig in eine Ab- 
nahme übergeht. Davon kann man sich leicht überzeugen, indem 
man den Differentialquotienten der Schwerestörung entlang ACj so- 
wie entlang CC bildet. Die gröfste Störung findet somit nicht in C, 
sondern unterhalb dieses Punktes statt. Diese Anomalie ist aber bei 
einigermafsen flachen Profilen ganz und gar unerheblich und ohne 


§ 10. Gebirgsrücken: StöruDgen im ParalleliBmas der Niveauflächen. 293 

alle praktische Bedeutung; weshalb wir auch nicht weiter auf dieselbe 
eingehen. 

§ 10. Fortsetzung: Störungen im Parallelismus der Niveau- 
ll&chen. Mittelst der bisherigen Untersuchungen und einiger ein- 
fachen Überlegung kann man leicht eine allgemeine Vorstellung vom 
Gange der Niveauflächen innerhalb des mittleren Teiles des Gebirgs- 
rückens gewinnen. Aus (8*) und (9*) erkennt man, dafs für über- 
einander liegende Punkte P und P' des Hanges AC und der Grund- 
fläche AC die Höheustörung sehr nahe dieselbe ist. Es hat dies 
seinen Grund darin, dafs das Potential v der Anziehung des Gebirgs- 
rückens für solche Punkte nahezu gleich grofs ist, wie es auch dem 
Augenschein nach für flache Profile der Fall sein mufs. Wenn nun 
in Fig. 40 irgend eine Niveaufläche, z. B. diejenige durch P^ ins 
Auge gefa&t wird, so ist 
klar, dafs dieselbe bei P^ JL 

gegen die Grundfläche Aß R^j^^^^r?^^^^ 


t- - - 


keine wesentliche Abstands- « y^*? __i___ i'^-:' -!/ ^ 


Störung erleidet, indem für ny^^ t----^^i^^---X__'?\J' ^ 

P. und />,' die Potential- J^'^'W~'^'t"}ä"X~ "X' "^\ i 
di£ferenz im gestörten Zu- a ^ 1^ "^ c"' 75 ^ /y b 
stände nahezu denselben Be- Wirklicfic> JfiojsaufZäcTic 

trag hat, wie im ungestor- pj^ 40 

ten — um so mehr, je flacher 

das Profil ist. Von der Eintrittsstelle P^ an divergiert aber die durch 
P, führende gestörte Niveaufläche gegen die durch den Fufs A führende 
gestörte Niveaufläche (Grundfläche). Die stattfindenden Verhältnisse 
werden angenähert durch Fig. 40 vorgestellt, wobei den vier gestörten 
Niveauflächen durch A^ />,, P^ und P^ dieselbe successive Potential- 
difPerenz JW entspricht. Die kleinen Zahlen bezeichnen die Ab- 
standsstörungen in einer gewissen Einheit; die Summe dieser Zahlen 
in jeder Vertikalen ist null, wie es nach dem Gesagten sein mufs. 
Um die Richtigkeit der Zahlen im einzelnen zu erkennen, diene 
Folgendes : 

Geht man in irgend einer Vertikalen z. B. P-^P^ in die Höhe, 
BD nimmt die Schwerestöruug im algebraischen Sinne zu, die Ge- 
samtschwerkraft, abgesehen von der Änderung der normalen Schwere 
mit der Höhe, nimmt somit zu, und die zu JfF gehörenden Niveau- 
abstände werden kleiner. Angenähert entspricht bei flachen Profilen 
die Schwerestörung in P^ einer anziehenden Schicht von der Dicke 
/yy>3; ebenso in P^, nur mit entgegengesetzter Wirkung, und ähnlich 
zwischen P^' und P3. Man findet, dafs annähernd die Schwerestörungen 
und Abstandsstöruugeu in arithmetischer Progression von unten nach 
oben sich ändern, indem insbesondere die Abstandsstörung zwischen 
zwei benachbarten Niveauflächen, Fig. 40, der Summe aus der Anzahl 


294 ^' Kapitel. Der EinflafB gegebener MafiseD. 

der darüber liegenden, positiv wirkenden und der Anzahl der darunter 
liegenden, negativ wirkenden Schichten entspricht. 

Die Figur zeigte dafs die gestörten Niveauflächen von ihrem 
Eintritt aus nach innen divergieren; es gilt dies ganz allgemein für 
irgend ein Paar Niveauflachen^ da vom Rande nach der Mitte des 
Profils hin die Summe der Dicken der störenden Schichten, welche 
auf Vermehrung und Verminderung der mittleren Schwerkraft zwischen 
den betreffenden Niveauflächen wirken, im algebraischen Sinne ab- 
nimmt, der Abstand somit zunimmt. 

Die Figur deutet auch die Abstandsstörungen für die Niveau- 
flächen aufserhalb in der Nähe des Gebirgsrückens an, die sich nähe- 
rungsweise ebenfalls an jeder Stelle nach der Dicke der darunter 
liegenden Schicht bemessen. 

Um die gröfsten Abstandsstörungen innerhalb des Profiles zu er- 
halten, mufs man in den einzelnen Vertikalen die Orte der gröfsten 
und kleinsten Potentialwerte v der Anziehung mit einander kombi- 
nieren. In jeder Vertikalen wird aber bei einigermafsen flachen 
Profilen ein Mal die Scbwerestörung dv : dh gleich null. An dieser 
Stelle, welche nahe mitten zwischen P und P' liegt, ist v ein Maxi* 
mum. Da nun die Schwerestörung unterhalb negativ, oberhalb posi- 
tiv ist, sind die ins Auge zu fassenden Orte einerseits P und /^, 
andererseits jene Maximalstelle. 

Die gröfsten Potentialdifferenzen treten in der Linie CC auf, und 
die gröfsten Abstandsstörungen müssen somit zwischen den Niveau- 
flächen durch C und C einerseits und einer Niveaufläche in mittlerer 
Höhe andererseits stattfinden. Wie (8*) und (9*) zeigen, ist die 
Störung für den Abstand der mittleren Niveaufläche von dem oberen 
Punkte C die gröfsere. Einen Näherungswert für diesen Abstand 
gewinnt man mittelst der Formel (11) S. 288 und (17) S. 289, deren 
Subtraktion zunächst ergiebt: 

It lognat ^ + I sin»^ lognat (c* + 1) + '^-^ 

I _ i. sin 2^ (1- + arctan 1) _ J- (| _ arctan 1) 

Der Voraussetzung flacher Profile entsprechend vereinfachen wir diesen 
Ausdruck und setzen in hinreichender Annäherung 

lognat , ' , = -,- sm ^ = ^ =s — arctan — = — - 

Damit geht der Ausdruck über in: 

Dieser Näfierungsamdruck giebt für flachey symmetrische Profile die 
maximale Störung des Abstandes der Niveaufldchen innerhalb des Pro- 
jfiles. Er stimmt in obigen Beispielsfällen mit den Zahlenangaben in 


§ 11. Gebirgsrücken: Die LotBiörnngen auf dem Hange AC. 295 

(8*) und (9*) und ist, wie man leicht bemerkt, von c wenig abhängig, 
^as dadurch erklärlich wird, dals bei flachen Profilen die Anziehung 
auf einen Punkt in CC wesentlich nur noch von der Höhenlage dieses 
Punktes und nur wenig von der Form des Profiles abhängt. 

§ 11. Fortsetzung: Die Lotstornngen auf dem Hange AC. 
Wir betrachten vorerst die Lotablenkung des gleichschenkeligen Ge- 
birgsrückens in einem Punkt des Hanges AC des mittleren Quer- 
profils und bezeichnen sie mit A. Dann ist nach Formel (5) S. 284 
für A in Sekunden: 

^=+2r'Ä„|y/8in2^1ognat-5-+glognat|-+(.<+^)/sin2^j • (1) 

Um den Verlauf von A entlang AC kennen zu lernen, difiPerenzieren 
wir nach <T, wobei wir für g, /, z, y und i;, sowie deren Differential- 
quotienten die folgenden Relationen zu beachten haben, welche sich 
mittelst der auf die gleichschenkelige Dreiecksform anzuwendenden 
Fig. 37 S. 282 ergeben: 

Itr^aiAuA / — c(l — 5) z = y/sec^ 
yi = g« + (c — <T)2 ^ = arctan — i- ; 

C ^~' Q 

di , j ^ dt n dß j 

-T^ «= tan i« aa — -y- =a — 2 -r- «= — sec -4 
de e da da 

dy tf sec'^ — c d^ 2 


yda V* da y* 

Aufserdem ist zu berücksichtigen, dals x ^^^ a ^ z ist. Wenn man 
einige naheliegenden Transformationen ausführt und die Umformungen 

— :— _ ~^~^ ^ cos^^, 

sowie 

— / sin 2i4 + I = [ (c — <y) + 5 taUii] sin A co^A 

beachtet, wird erhalten: 

tan A (lognat -^^ — n — sin 2i< Mognat ^ — iV 

— 4 sin 2^ cos«^ — 2 (^ + ^) sin«^ 


-ay - 2^"Ao K 




(^) 


Für X «B null, d. i. in A^ wird dieser Differentialquotient -|- ex, 
für z «» null, d. i. in C^ aber — c»; er geht also zwischen A und C 
mindestens einmal durch null hindurch. Vernachlässigen wir aber 
in der geschlungenen Parenthese von (2) in der Voraussetzung flacher 


296 ^« EapiieL Der Einflufs gegebener Masseu. 

Profile bereits Gröfsen der OrdnuDg A\ so reduziert sie sieb auf den 
Ausdruck 

tan A lognat ^ sin 2^4 lognat -^ • (2*) 

sc z 

Derselbe laXst sich für den folgenden Zweck mit ausreichender Genauig- 
keit durch Substitution von tan A'==2:c, sin 2^ = 4 : c vereinfachen, 
und hiermit erhält man als Bedingung des Verschwindens von dA i äif 
die Gleichung 

lognat— = 2 lognat -^ 

oder - 

:^ = ^' also ya; = z2. (3) 

Nun ist bei flachen Profilen sehr nahe y= | +2:, a; = ^ — 2. Aus 
(3) folgt damit angenähert 

z = |^2, 

somit a; « -j- (2 - ^2 ) = 0,146 c (3*) 

und gÄo = 0,292 h^ . 

Der hierzu gehörige Maximalwert von A ergiebt sich aus (1) mit 
Beibehaltung der bisherigen Genauigkeit angenähert gleich 

Ama^ = r'Äo • 4 {(^ - 2<^) lognat^ + a lognat -f) . 
Nun ist zufolge (3) und (3*): 

damit wird 

A„^ = 2 A^'Äo . a lognat (1+^2) = 0,0138 h^ stunden, (4) 

wobei mit Rücksicht auf den Wert von K nach (8) S. 287 

K" = 0,0039 

gesetzt ist und h^ in Metern genommen werden mufs. 
Bei Äo = 2500'» wird Amax = 34,5"*). 

*) Bereits 1780 warde von Hutton in den Philosophicdl Tran8(utums (S. 603 
des 14. Bandes der Ausgabe von 1809) die Lotablenkung durch ein dreiseitiges, 
gleichschenkeliges, liegendes, cx) langes Prisma untersucht und die Stelle des 
Maximums ermittelt. Obwohl die Methode ungenügend ist, gelangt HiUUm doch 
wenigstens für flache Profile zu dem richtigen Resultat (3*). Todhunter deutet 
1873 in Bd. 1 der History of Aitraction p. 472 den Vorgang einer richtigen Lö- 
sung für ein cx) langes, ungleichseitiges Prisma an. 

Auch im Hauptwerke der englischen Vermessung Ordnance Survey, Principal 
Triangulatiofi, 1S68, p. 580 wird die Lotablenkung durch ein Prisma untersucht, 
wobei der Querschnitt als Trapez angenommen ist. Das Maximum ist nicht ermittelt. 


§ 11. Gebirgsrücken: Die LotstöruDgen auf dem Hange AC. 297 

Für den Punkt A ist A jedenfalls positiv, wie auch (1) zeigt; 
von hier aus nimmt A anfangs sehr rasch zu, dann allmählich lang- 
samer bis zu dem, bei flachen Profilen von dem Werte c nahezu un- 
abhängigen Maximum , ?on wo aus A rascher und rascher ab- 
nimmt bis zu dem Werte null in C. Die Zunahme bei A und die 
Abnahme bei C erfolgen unendlich rasch, immerhin aber nur logarith- 
misch unendlich und daher nicht besonders auffällig. 

Um für Punkte nahe bei A, also für sehr kleine 0, A darzustellen, 
kann man von dem Ausdruck (1) das Glied glognata; abtrennen; 
für den Best gilt dann der Differentialquotient (2) nach Hinzufügung 
von tan A (log nat x -{- l) innerhalb der Parenthese. Für den Punkt 
A wird der so abgeänderte Differentialquotient : 

^A^'Vio I tan A log nat c — sin 2.4(lognat ^ — -* W (2^ — tan ^)sin2^| • 

Für sehr kleine 6 kann man nun unter Beschränkung auf flache 
Profile A dadurch bilden, dafs zu dem Werte A im Punkte A 
der vorstehende, mit a multiplizierte Differentialquotient nebst 

— 2 Ar"ÄQ . i log nat x hinzugefügt wird. Mit einigen für flache 
Profile zulässigen Näherungen ergiebt sich so die für sehr kleine x 
gültige Formel: 

A ^ 2ä"'Äo[cos«^ log nat -^~~^ + A sin 2a] 

(5) 
+ 2rx{lognat(-|y-0,77|f. 

In ganz ähnlicher Weise kann man A für die Nahe von C dar- 
stellen, wobei in der Parenthese von (1) zunächst — -— / sin 2i^ lognatz 
abzutrennen ist. Damit geht (2) für C über in 

— 2Ä"Äo(tön^-f y sin2^(lognatfl'-f co82^)-f sin2^(4^— ^)[ , 

und man findet unter Beschränkung auf flache Profile hieraus die 
für sehr kleine z gültige Formel: 

.i-»2Af"Äo(lognat(f)'+2)^. (6) 

Mit Hülfe der Formeln (1), (5) und (6) erhält man folgende 
Übersicht der Loiablenkungen auf dem Hange des mittleren Teiles des 

Gebirgsrückens, wobei unter Annahme von Ö = — Sm wie früher 

K" »» 0,0039 gesetzt und h^ mit 2ö00"> eingeführt ist. 


298 


4, Kapitel. Der Eioflafs gegebener Massen. 


c = 10 cÄo = 25000'« 


c = 100 ch, 


250000 


m 


am 
Fufi 



0,01 

0.1 
0,5 

1,5 

• 

3,0 
4,0 
4,5 

• 

4,9 
4,99 


g auf dem 
Kamm 


aho 


Qm 

25 

250 

1250 

• 

3750 

• 

7500 
10000 
11250 

• 

12250 
12475 

12500 


26,7' 
27,0 
28,4 
31,8 

• 

34,1 

• 

29,1 

20,0 
12,7 

• 

3,8 
0,6 
0,0 


« 

«ht 

A 

#S. 

Qm 

27,0^' 

0,1 

250 

27,3 

1 

2500 

28,7 

5 

12500 

32,0 

10 

25000 

33,9 

15 

37500 

34,4 

20 

50000 

33,8 

30 

75000 

29,5 

40 

100000 

20,3 

45 

112500 

12,9 

48 

120000 

6,6 

49 

122500 

3,8 

49,9 

124750 

0,6 

5Q auf dem 
Kamm 

125000 

0,0 


Hiernach ist auch eine übersichtliche graphische Darstellung der 
ji möglich, wie solche auf Tafel II mit anderen Darstellungen gegeben 
ist und im 7. Kapitel erläutert werden wird. 

Die Tabellen zeigen, dafs A wesentlich mit a :c variiert; was 
auch aus dem Ausdruck (1) zu erkennen ist, wenn er flachen Profilen 
entsprechend modifiziert wird. 

§ 12. Fortsetzung: Die Lotstörungen auf der Grand- 
fläche AB. Die Lotablenkuug des gleichscbenkeligen Gebirgsrückens 
in einem Punkte der Grundlinie AB des mittleren Querprofils be- 
zeichnen wir mit ji\ Wir erhalten dafür in Sekunden nach S. 283 
(2*) für aufserhalb gelegene Punkte, wenn wir beachten, dafs 
c sin^A ^=^ sm2A ist : 


A' = + 2K"\ 


Bm2il 


a log nat 3- {c — 0) log nat -£ 


P \ 


c— a 


+ 2t' 


, 0) 


dagegen für inuerhalb gelegene Punkte nach (2) S. 283: 


^' = + 2K"h. 


Bm2A 
2 


a log nat — — (c -— a) log nat 


c — a 


+ 2*'-^« 


1 • 


(2) 


Im ersteren Falle bat 6 negative, im zweiten positive Werte. AoTser- 


§ 12. Gebirgsrücken: Die LotstöruDgen auf der Grundfläche AB. 299 

dem sind für p uud ^' mit Rficksicht auf Fig. 37 S. 282 die Rela- 
iiouen zu beachten: 

P' = i + (!-<»)'; 

if = arc cot ( — — oi für <^ ^ y • 
Dieselben geben noch: 


c 
dp Y~' d^' 1 


p da P* ^ ^^ P* 

Hiermit findet sich ohne Schwierigkeit für den Differentialquotienten 
vou jf nach 6, aufserhalb: 

4^ _ 2iS"'A, . ^i^ log nat ^''-'f + t . (3) 

da ^ 2 ° — 4a(c — a)' ^-^ 

innerhalb: 


da 


2K"K • --^r- ( 1«« -* ^j-^s- - ^ 1 • w 


Berücksichtigt man, dafs im ersten Falle a negativ ist und dafs 
man identisch hat: 

- 4a(c - a) - [{c - 2<y)' + 4] - [c^ + 4] , 

so erkennt man leicht, dafs dÄ : d6 aufserhalb stets positiv ist, bei 
Annäherung an den Gebirgsrücken beständig zunimmt und für <y=null; 
also in i^; -{- CO wird. In A beginnt dA' : d6 innerhalb mit -|~ oo, 
und es findet von da an eine fortwährende Abnahme statt. 

Diese Abnahme von A bis C' führt den Differentialquotienten not- 
wendig durch null hindurch, da in C mit <y "» y der Wert von A' null 
wird. In der That ist in C 

dA' 


da 


2A"'Äo . sin 2A j log nat -| — ' ) , 


und dieses ist für jeden Wert von c negativ. 

Das Verschwinden von dA' : dö innerhalb erfolgt in demjenigen 
Punkte zwischen A und C\ dessen o der Bedingung genügt: 

lognati^;^?^^--^. (5) 

® 4a(c — a) c ^ ^ 

Setzt man zur Abkürzung für numlognat — das Symbol q, so 

c 

folgt hieraus durch Auflösung nach a: 


8 ' 1+9 ) 


(6) 


Ffir c— 10 und 100 ist dieser Wert gleich 1,006 bezw. 14,10. 


304 


4. Kapitel. Der Einflafa gegebener Massen. 


Dieses Verhalten erscheint paradox, allein es stimmt damit überein, 
dafs die Maximalablenkung des Lotes auf dem Hange, wie oben S. 297 
wenigstens für flache Profile gezeigt wurde, unabhängig von c ist. 
Je kleiner c aber ist, desto kleiner ist der Bogen, auf welchen sich 
die Lotablenkung verteilt, und desto grofser müssen die Störungen 
im Krümmungsradius werden. 

Wir geben nun eine Übersicht für die Werte p bei c = 10 und 
100 mit der Annahme (4*) für KR\ 

c = 10 c\ = 25000« c = 100 cÄo = 250000« 




Ohi 

f.B 

: • 

100 

t 

»:£ 

— 50 

125000« 

1,0004 

— 250000"' 

1,0006 

- 10 

— 

25000 

1,0056 


50 

-125000 

1,0014 

- 5 

— 

12500 

1,0139 


5 

— 12500 

1,0084 

0,5 

— 

1250 

1,0896 



1 

— 2500 

1,0158 

- 0,1 

— 

250 

1,179 



0,1 

250 

1,0272 

0,01 

— 

25 

1,345 



0,01 

25 

1,0390 

0^ 




null 


■" 



null 

+ 0,01 

+ 

25 

1,294 

+ 

0,01 

+ 25 

1,0387 

+ 0,1 

+ 

250 

1,136 

+ 

0,1 

+ 250 

1,0269 

+ 0,5 

+ 

1250 

1,0418 

+ 

1 

+ 2500 

1,0152 

+ 1 

+ 

2500 

1,0004 

+ 

5 

+ 12500 

1,0067 

+ 2 

+ 

5000 

0,9519 

+ 

15 

+ 37500 

0,9995 

+ 3 

+ 

7500 

0,9131 

+ 

30 

+ 75000 

0,9 

+ 4 

+ 

10000 

0,8745 

+ 

40 

+ 100000 

i0,9866 

+ 5 

unter dem 
Kamm. 

+ 

12500 

0,8494 

+ 50 

nater dem 
Kamm. 

+ 125000 

i0,9626 


Diese Übersicht zeigt u. a., dafs das Gebiet der abnorm grolsen 

und kleinen Qa und Qi in der nächsten Umgebung von A an ganz 

kleine gebunden ist. Um dieses noch besser einzusehen, setzen 

wir für kleine ö: 

Qa==nR, (7) 

womit aus (2) folgt zur Bestimmung von a bei gegebenem n: 


(c- 2a)« + 4 


1-1 
n 


= Q 


, , , -= num log nat -^^ . ^ . 

— 4 ff (c — a) ^ KB sin 2.4 

Die Auflösung dieser Gleichung giebt, wenn wie angedeutet, die rechte 


Seite derselben mit q bezeichnet wird: 


(8) 


§13. Gebirgsrücken: Die Krümmungsradien im Niveau der Grundfläche. 305 

Denken wir uns entsprechend einer successi^en Annäherung an 
A den Wert von n von + 2 durch + oo über — cx> bis null gehend, 
so ist q stets eine grofse Zahl. Den kleinsten Wert hat q bei 
« — 2 und ^-=45« oder c = 2. Derselbe ist für Ä^Ä = 0,12 gleich 
rund 65. Femer ist für n «» 2 , wie man durch Probieren findet, 
der kleinste Wert von c^q nahe bei c «= 1,5 gelegen. Dieses Minimum 
von c^q, gleich rund 170, ist für das angegebene Intervall von n über- 
haupt das Minimum. Wegen des Umstandes, dafs q und c^q grofse 
Zahlen sind, genügt es anstatt (8) zu setzen: 

-^-li|l + i + ^ + --l- (8*) 

Für c— 10 und 4^^ — 0,12 ist g = num log nat [21,7 A — l)], 

dagegen für c = 100 gleich num log nat 1 208(1 jj • Hieraus er- 
kennt man, dafs zu 

()a-2Ä 

bei c=10, dem ungünstigeren Falle, der sehr kleine Wert — <^ = V20000 
gehört, sodafs bei hQ=>2500^ der betrefiPeude Punkt von A nur um 
^ 0h^ ^=z Y^"» absteht. Im gleichen Falle ist für 

Pa — 3Ä 

— a as Vsooooo ; — <^^o •=* OfiOS^, Dies bestätigt das oben Gesagte 
über die geringe Ausdehnung des Gebietes abnormer Werte von Qa 
bei flachen Profilen. 

Ein ganz gleiches Verhalten zeigt Qi, was hier nicht besonders 
untersucht zu werden braucht. 

Aber auch bei steilen Profilen ist das betreffende Gebiet nur von 
geringer Ausdehnung. Durch Differenzieren von ö nach c findet man 
zunächst, dafs für jeden Wert von n der grofste Wert von — 
nahe bei c ^s 2 liegt. Es ist dieser Maximalwert gleich 


\ 0,12 / 


bei 
. 2500« 


— <y «SB num log 

Hiermit erhält man denselben 

für n = 2 gleich Ves» womit — tfÄo — 40« 
^ '/ 10' 

« ^ n /260 }} n '-^ 

}} ^^ V /4000 »» f> ^fi^ 

Nach dem Vorstehenden entspricht praktisch genommen der Ver- 
lauf der Krümmungsradien in der Grundfläche am Fufse des Gebirgs- 
rückens wesentlich einer stetig verlaufenden Verflachung. Dagegen 
sind in den Niveauflächen, welche zwischen A und C in (}as Gebirge 
eintreten, Unstetigkeiten der Krümmung vorhanden, für welche die 

Htliiiert, math«m. a. phytikal. TheoiiMn der höh. Geodftsio. II. 20 


306 


4. Kapitel. Der EinflafB gegebener MasBea. 


dk,. 



allgemeine Fonnel (2) S. 38 gilt, die man aber auch mittelst der 
Formeln (2) und (3) S. 302 nachweisen kann, wenn man unterhalb 
einer derartigen Niveaufläche für die Gebirgsmasse eine horizontale 
Platte und ein negativ wirkendes, gleichschenkeliges Prisma substituiert. 

§ 14. Prismatische Thäler. Für den mittleren Querschnitt 
eines Thaies von der Form eines dreiseitigen Prismas, dessen Lange 
grofs ist im Verhältnis zur Breite und Tiefe, gelten die Formeln der 
§§ 7 — 13 unmittelbar, wenn B negativ genommen wird. Auch ist 
die zum Gebirgsrücken entgegengesetzte Lage zu beachten. Dem- 
gemäfs erhalten die Lotstörungen und Störungen im reziproken 
Krümmungsradius bei einem Thale entgegengesetzte Werte wie bei 
einem entsprechenden Gebirgsrücken. Aber die Schwerestörungen 
bleiben in entsprechenden Punkten der Querschnitte dieselben. 

Setzen wir ein auf beiden Seiten gleichgeböschtes Thal voraus, 

Fig. 41, so gelten für die beson- 
ders interessanten Lotstörungen 
in der Linie AB die Formeln des 
§ 12 S. 298. 

Man hat darin 0= — — 0^. 

**" ' a=s — 2,8 anzusetzen für ein offe- 

nes Thal, dagegen — 1,8 für ein mit Wasser gefülltes Thal, also 
einen Flufs oder Meeresarm. 

Unter Voraussetzung flacher Böschung, die hier meist zutrifil, 
ist die Lotstörung in der Linie AB nahe bei A und B nach S. 301 
(9) nahezu gleich 

2A'"Äolognat4. (1) 

Hierin ist für ein oflFenes Thal entsprechend der Annahme 0= — y ®"» 

zu setzen K" = — 0,0039. Dagegen ist für einen Flufs K" im Ver- 
hältnis 2,8 : 1,8 zu verkleinern. Somit folgt als Näherungswert der 
Loistörvng am Bande 

eines flachen Thaies: — 0",Oll Hq 
eines flachen Stromes: — 0",007 Äq 

für Äq ^^ Metern. Das negative Vorzeichen bedeutet eine Abstofsung 
des aufgehängten Lotes von C weg. 

Das Maximum der Lotstörung liegt etwas nach der Mitte zu und 
ist ein wenig gröfser. 

Der Krümmungsradius, welcher nach dem vorigen Paragraphen 
wegen des negativen Wertes von A" zwischen A und B im all- 
gemeinen, ausgenommen nahe bei A und B, gröfser als der un- 
gestörte Wert B wird, erhält in der Mitte C seinen Maximal- 
wert, für den sich bei flachen Profilen ebenfalls eine Näherungsformel 


(1*) 


§ 14. PriBmatische Thäler. 307 

aufstellen läfst. Mit einigen Vernachlässigungen giebt nämlich die 
Formel (5) S. 303 die nachstehende, für gröFsere Werte von c 
brauchbare Nähernngsformel: 


[qfc^ B 


log nat -- 
1+4KR--- --^-]. (2) 


Hierin ist bei ® = -1 @„ = 2.8 nach S. 303 (4*) 4KR = 0,48; bei 

€^ s= 1,8 also gleich 0,31. sodafs man fQr den reziproken Krümmungs- 
radius in der Mitte C' von AB näherungsweise hat 

log nat — 
bei einem flachen Thale: — = - -1 1 — 0,5 — 



c 


log nat — 


(2*) 


bei einem flachen Strome: — «= -r-I 1 — 0,3 


2 


Hierin ist — •» tan Ä das O^lle der Böschung, von welchem ^ ledig- 
Jich abhängt. 

Da der Quotient log nat y * V ^^^ T "^ ^ ^^^ ^^ gleich null 
wird, so existiert dazwischen ein Maximum, welches bei o "^ ^> ^^^ 

Basis der natürlichen Logarithmen, stattfindet und gleich ist 1 : e. 
Man hätte hiernach für den maximalen Wert von p inmitten AB an- 
genähert bei einem flachen Thale p «» 1,22 R, bei einem Strome 
Q S3 1,12 B y und zwar für die Böschung \\ e d. i. 1 : 2,7. Jedoch 
ist hierbei zu beachten, dafs eine solche Böschung nicht mehr als 
flache zu bezeichnen ist und dafs daher die Formeln (2*) hier bereits 
einen gröfseren Fehler besitzen. In der That ist nach (5) S. 303 für 

^s=e bei einem flachen Thale (»«»1,32/?, bei einem Strome 

p SS 1,18/2. Äufserdem ist bereits S. 303 nachgewiesen, dafs die 

Störung in — für den Punkt C mit wachsender Steilheit der Böschung 

fortwährend wächst, sodafs also auch im gegenwärtigen Falle p hei 
wachsendem Gefälle der Böschung im Punkte C fortwährend zunimmt. 

§ 15. Fortsetzung: steile Böschung. Indem wir unter Vor- 
aussetzung des Querprofils Fig. 42 jI ^ j? 

die Formel für die Horizontalan- 



ziehung am Rande in A ableiten, 

haben wir den Ausdruck (5) § 6 Fig.«. 

S. 281 anzuwenden auf die dreiseitigen Prismeu 1 und 2, Fig. 42. 

20* 


r/ = « 

9'i-0 

r,' = & 

u>, = r «o •= /s . 

r,' = b 

9') = /' 

rj =c 

w, =/J, 


308 4. Kapitel. Der Einflnrs gegebener Massen. 

Es ist zu setzen 
für 1: 

für 2: 


womit die durch die Horizontalanziehung erzeugte Ablenkung des 
aufgehängten Lotes in Richtung nach dem Thale hin mit Rücksicht 
auf den Schlufs von §7 8. 286 gleich wird 

2j|f"{a sin y (cosy lognat y + /* siny) + ^ sin /S log uat — | • (1) 

Hierin ist nach S. 296 für ein offenes Thal iT" = — 0,0039, wenn 2,8 
die Dichtigkeit der umgebenden Massen ist; - für einen vollen Kanal 
reduziert sich Af" auf — 0,0025. Die Distanzen a und b sind dabei 
in Metern einzuführen. 

Ist das Querprofil ein Rechteck von der Grundlinie a und der 
Hohe h^f so wird am Rande in A die Lotablenkung gleich 

2^"*o{t^ + lognat^). (2) 

Aus den Formeln der §§ 5 und 6 dieses Kapitels kann man leicht aucU" 
Formeln för yierseitige Prismen herstellen, was wir indessen dem Leser 
überlassen, ebenso wie die Behandlung des Falles einer sehr tiefen, langen 
SMwiJit im FeUengeHrge. Auf diesen weisen Thomson und Tait, Hand- 
buch der theor, Physik, Bd. 1, 2. Hälfte, S. 27—28, als besonders inter- 
essant hin. Die daselbst angegebene, nicht entwickelte Formel für die 
Lotetörung am Bande der Schlucht findet man leicht, wenn man die 
Schlucht als grofse Platte betrachtet und die Formel (2) S. 141 für die 
normale Anziehung einer solchen auf einen Punkt, der in geringem Ab- 
stände vor ihrem mittleren Teile liegt, anwendet. Da der in Rede stehende 
Punkt nicht am mittleren Teile, sondern am Bande liegt, ist nur die 
Hälfte des Formelwertes für die normale Anziehung anzuwenden. Für 
einen Punkt, der mehr nach der mittleren Tiefe zu liegt, gelten aber die 
ganzen Werte. Die Lotstörung ist gleich 

im 1. Falle, das Doppelte hiervon im 2. Falle, für a als Breite der Schlucht. 
Hiemach wird q für Niveauflächen, welche die Schlucht in mittleren Tiefen 
durchschneiden, in der Begel negativ^ oben und unten aber nur bei sehr 
dichten Felsmassen. Denn dazu gehört, dafs die Summe der Absolutwerte 
der Lotstörungen für beide Seiten der Schlucht >> ist als der ungestörte 

Wert -^ des Winkels zwischen den Lotrichtungen. Die mittelst der an- 
gezogenen Formel leicht zu führende Untersuchung von — zeigt, dafs — 
am Bande aufserhalb der Schlucht gleich p ist und im Innern anf 


i 


§ 16. Halbkugelförmiger Berg and balbkugelförmige Finge. 309 

1 / 30 \ l 

D I ^ ~ ins — 1 springt, welchen Wert — daselbst konstant beibehält. In 

^ \ ^^m ) ^ 

1 1 / 3Ö \ 

der mittleren Tiefe geht der Sprang von -^ auf ^- ( 1 — ^^ — J , welcher 

^ * \ ^m ) 

Wert ebenfalls im Innern gilt. Der Betrag der Sprünge stimmt mit den 
Angaben (2) S. 38 im 1. Kapitel. 

§ 16. HalbkagelfSrmiger Berg und halbkugelfSrmige Finge. 

Wir betrachten zunächst einen halbkugelformigen Berg mit dem 
Radius a und der Dichtigkeit 6^^ Fig. 43. Dabei sind für einen 
Punkt P in der durch den Kugel- ^^.^7777?»^ 

mittelpuukt führenden Niveau- J^^y^^^^^^)K 

fläche, insoweit wir diese als ^^ w^ 

Eibene auffassen dürfen , das /"''''"' ^i v v^!^ ....... 

Potential v der Anziehung und ''/^^^/////^' h O ^W/////// 

die Honzontalanziehung genau ^ 

halb so grofs als für eine Voll- 
kugel mit demselben Zentrum C. 

Für einen Punkt Pa der Niveaufläche von C auiserhalb im Ab- 
stände s von letzterem Punkte ist das Potential nach 8. 62 (8) gleich 

setzen wir nun die normale Schwerkraft gleich -r- %k}®n^ und di- 

vidieren damit in (1), so folgt als Erhebung der gestörten Niveau- 
fläche über die ungestörte bei Pa der Wert 

*- = -2!;: I7 • (^) 

Für einen Punkt Pi der Niveaufläche von C innerhalb der Halb- 
kugel ist das Potential nach S. 62 (8*) gleich 

v = nk'^®(a^ — ^s^y (3) 

Hieraus folgt durch Division mit der Schwerkraft die Erhebung der 
gestörten Niveaufläche bei Pi gleich 

Das Maximum für hi findet für 5 »s , also für die Mitte des 
Berges, statt. 

Die Lotablenkung A=^ — dhids wird für einen Punkt Pa aufser- 
halb mit Rücksicht auf (2) gleich 

dagegen für einen Punkt P, innerhalb mit Rücksicht auf (4) gleich 


310 


4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 


Das Maximum von A liegt bei A mit s =^ a: 


yttnax **— 


6) a 


'tnca 


29 E 


Für den Krümmungsradius der gestörten Niveauiläche haben wir 
nach S. 274 (19) die Formel 

o '^ E 


1 , dA 


da ' 

wenn R den Radius der ungestörten Niveaufläche bezeichnet. Hier- 
mit wird für einen Punkt Pa aufserhalb: 


?, - eV e„,-^^ )' 


(7) 


und für einen Punkt Pi innerhalb: 

~-i('+.t)- <») 

Innerhalb ist also der Kadius q konstant; aufserhalb wächst et 
bei Annäherung an den Berg bis auf seinen Maximalbetrag in A, 
der aus (7) für 5= a sich findet gleich 


(Pa) 


a' max 


-i('-;.)- 


i.^) 


Für ® = ^ ©m geben vorstehende Formeln bezw. : 

innerhalb 


aufserhalb 
A^Q'a^iARs' 

in Sek. 

Q E\ 28^1 


in A und B: 


iQa) 


(ßa^ - $^) : SR 
q's : 4R 

6 

= q'o : AR 

_ 1 
■ 2E ' 


(10) 


'mos 


ma« 


Betrachten wir anstatt eines halbkugelförmigen Berges eine halb- 
kugelförmige Pinge, so ist in den Ausdrücken für Potential und 
Horizoutalanziehung lediglich & negativ zu nehmen. Speziell für 

@ = — -^ &m ergeben sich dabei die Ausdrücke : 


A = 

in Sek. 
\ 


aufserhalb 
a^:4Rs 


Q EV^ 2sV 


innerhalb 
ißa'^ ^s^):8R 
- q's : 4R 

8 
4Ä ' 


(11) 


§. 17. Kleine Insel im Oceao. 3J] 


in A und B: 


^max = — C>"ö : 4ä 


3 


(9a) min '^^ 

j 1 

Für = + 2 ^m beträgt der Sprung in — bei A und B von 

Q 

aufsen nach innen bezw. + -j^ anstatt, wie im 1. Kap. S. 39 (5) 

angegeben ist, ^w* ^^^^ ^^^ seinen Grund lediglich darin, dafs die 

Entwicklungen am letztgenannten Orte hier nicht mehr gelten, weil 
daselbst vorausgesetzt ist, dafs die Niveaufläche an regulären Stellen 
der Grenzflächen der Massen hindurch geht; A und B sind aber X)fi'en- 
bar solche Stellen nicht. Dagegen werdet) bei einem Berg Niveau- 
flachen in einiger Höhe über ACB bei ihrem Eintritt in den Berg 

1 • 3 

einen Sprung in - gleich —g erleiden, und entsprechend bei einem 

Thale. 

Die Lotablenkung durch einen halbkngelförmigen Berg berechnete 
nach Todhunter, Hietory of Attraction I p. 460, schon Newton 1728 in der 
Abh. A Treatise of tJ^e System of the World, Das HandbiAch der theor, 
Physik von Thomson und Tau, Bd. 1, 2. Hälfte, S. 26-27, enthält die 
Formeln ftir Anziehung auf A horizontal und vertikal. Vergl. auch 
Dahlander, Poggendorffs Ann. 1862, Bd. 117, S. 148 u. ff. 

§ 17. Kleine Insel im Ocean. Wir denken uns eine Insel in 
Form eines geraden Kreiskegels, welcher auf dem horizontalen Meeres- 
boden aufsitzt und mit seiner Spitze 

P gerade bis zum Niveau der Meeres- l- , i--^ .- - *^>;^^n^/^ - ^^^ 
flache reicht. Durch die An Wesenheit - ^i:^ — ~"v/^?^^^ T ^^^^^^^^-^~~"' 
der Insel wird sich die letztere in V/////// * '^ ''//?///////// 
der Nähe der Insel etwas heben, ^* ^' 

jedoch nicht viel. Wichtiger ist die Vergröfserung der Beschleuni- 
gung der Schwerkraft durch die Inselanziehung. 

Nach 8. 143 § 2 (3) und (4) ist mit Rücksicht auf die veränderte 
Bezeichnung das Potential der Anziehung der Inselmasse auf P gleich 

^k\e _ i)Ä^ [^^H=^ - K\ (1) 

und die Vertikalanziehung gleich 

2%k^{^ — V)h^\\ -sini/j . (2) 

Hierin ist unter @ die Dichtigkeit der Inselmasse zu verstehen. 

Dem Ausdrucke (1) entspricht eine Hebung der Meeresfläche im 
Betrage von 

^^lk«M^-Äal, (3) 

wie aus (1) durch Division mit der normalen Schwerkraft G , für 


312 4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

welche wir wie sonst — äAt^OtoÄ ansetzen, hervorgeht. Da bei 
gröfseren Tiefen wohl in der Regel a = h^ cot v wesentlich grofser 
als Aq sein wird, so folgt für die Annahme 9 = y 0^ =: 2^8 in meist 
ausreichender Annäherung als Hebung der Meeresfläche in P: 

^ oder -^V^*"-. (3*) 

Hierbei bezeichnet cot v das reziproke Gefalle der Inselboschungen. 

Beispielsweise ist für h^ = 3500"* und cot v = 30 die Hebung 
der Meeresfläche bei P gleich 14"*. Dies ist so unerheblich, dafs die 
durch Hebung der entsprechenden Massenscbicht entstehende seknn- 
däre Wirkung gar nicht weiter erörtert zu werden braucht. In Fig. 44 
können wir uns unter der Meeresfläche die gestörte Fläche denken. 

Die Schwerestörung wird nach (2) gleich 

Für die Annahme ® bi= --- 9^ = 2,8 und unter Voraussetzung flacher 
Böschung ist dies angenähert gleich 

+ ÖÄ- (^*) 

Infolge der Hebung der Meeresfläche tritt fürs Niveau der ge- 
störten , d. i. wirklichen Meeresfläche noch eine kleine Verminderung 
zu dieser Vermehrung, welche sich nach der Regel für die Änderung 
der normalen Schwere bei Erhebungen aufserhalb der Erdrinde be- 
rechnet. 

Hiernach folgt aus (3) und (4) als Schwerestörung im Meeres- 
niveaUy wobei wir in (3) für a schreiben h^ cot v : 

+ <?.-^2gj-^^ (1-^^(1- sin 1/), (5) 


oder näherungsweise bei flachen Böschungen , wenn wir zugleich 
@ a= — @^ = 2,8 setzen: 

Die Verminderung der Schwerestörung infolge Hebung der Meeres- 
fläche wird übrigens bei kleinen Inseln immer eine geringe sein; 
denn wie die Tiefenkarten des Weltmeeres zeigen, ist der Radius der 
Grundfläche a =: h^ cot v im Verhältnis zu R stets geringfügig, so- 
dafs für eine Schätzung des Inseleinflusses auf die Schwerkraft Aas- 
druck (4*) ausreicht. 

Beispielsweise ist für Äq «= 3500"* und cot v = 30"» die Schwere- 
störung nach (4*) gleich 0,000275.6?, nach (5*) gleich 0,000270.6? 
und nach (5) strenger gerechnet gleich 0,000251.^. 


§ 18. Deformationen durch kreisförmige Kontinente. 313 

§ 18. Deformationen durch kreisförmige Kontinente. Für 

die Verteilung der Erdoberfläche auf Land und Wasser hat man fol- 
gende Zahlen*): 

Oberflache = 9261 238 Qu.-Mln.**) 


Europa = 

180000 

Asien =: 

810000 

Afrika <= 

540000 

Australien =: 

160000 

Amerika ^ 

750000 


n 

99 

9f 


} 


ZUS. — 990000 Qü.-Mln. 


99 » 

welche letztere sich annähernd im Verhältnis 4 : 3 auf Nord- und Süd- 
Amerika verteilen. 

Betrachtet man die Kontinente als ebene Kreisflächen vom Radius 
a und setzt die Erdoberfläche «»49r^^, so erhält man hiermit fQr: 


Europa- Asien 

a = 0,66 Ä 

Afrika 

. . 0,48 

Australien 

. . 0,26 

Nord- Amerika 

. . 0,43 

Süd« Amerika 

. . 0,37, 

indem allgemein wird: 


a — 2R/ 

Fläche 
9261238 


Für eine schätzungsweise Berechnung der Deformatiouswirkung 
ist die Annahme der Kreisform eine gar nicht üble Annäherung, wie 
jeder Globus zeigt. Die stärkste relative Abweichung zeigt Afrika. 

Als mittlere Meerestiefen ergeben sich für den 

atlantischen Ocean 3681"* 
stillen „ 3887 

indischen „ 3344 

und im Mittel für das ganze Weltmeer 3438"*. Ferner hat man für 
die mittlere Höhe der Kontinente: 


Europa 

300'" 

Asien 

500 

Afrika 

500 

Australien 

250 

Amerika 

410 


und im Mittel für das ganze Festland 440"*. 

*) Bichard Andree, allgemeiner Handatlas 1880, Hier findet man auch 
eine Tiefenkarte flQr den atlantischen uud für den stillen Ocean. 

**) 1 geogr. Meile ist gleich 4 Min. des Äquators. Zur Berechnung der 
Oberflache ist daher Bd. 1, S. 62, in Formel (9) für Oq« zu setzen 2700 MeUen. 


314 


4. Kapitel. Der Einflufs gegebener MasBen. 


Für die Berechnung der Deformationswirkung der Kontinente 
würde hiernach eine Dicke von 440"* mit der mittleren Dichtigkeit 
2,8 der festen Teile der Erdrinde, sowie eine Dicke von 3438 •* mit 
der Dichtigkeit 2,8 — 1 = 1,8 in betracht kommen. Auf die Dichtig- 
keit = 1,8 reduziert giebt dies eine Dicke D = 4120"». Zur Ab- 
rundung werden wir im Folgenden annehmen 

3 ©/>:©,„ = 4000«, 

wenn aber ® oder 2> allein vorkommen, ®«b1,8, 2>=:4000'" setzen. 
Zur Vereinfachung der Rechnung denken wir uns die Massen 
der Kontinente auf die ungestörte Meeresfläche kondensiert und sehen 
ferner von der Krümmung der letzteren ab, insoweit es sich um die 
Wirkungen handelt, welche auf Punkte innerhalb der Kontinente oder 
in der Nähe der Küsten ausgeübt werden. Für entferntere Punkte 
ist dagegen auf die Krümmung der Erde Rücksicht zu nehmen. Die 
Fehler, welche aus den angegebenen Vereinfachungen entstehen, 
werden in einigen bemerkenswerten Fällen geschätzt und für das 
Potential in Anbetracht der erforderlichen Genauigkeit als unerheblich 
gefunden weden. Dagegen zeigt sich, dafs für die Lotstorungen die 
Genauigkeit der Entwicklungen am Rande der Scheiben nicht aus- 
reicht und hier eine besondere Untersuchung erforderlich wird. 

§ 19. Fortsetzung: Die Deformationen innerhalb. Den an- 
gezogenen Punkt Pi nehmen wir als Anfang von Polarkoordinaten, 
Fig. 45 und 46, und haben für das Flächenelement dq im Ab- 




Fig. i«. 


Fig. 45. 


stand e die Gröfse dq = edipde, das Potential der Anziehung 
dvi = k^&Ddq : e oder 

dVi = k^@Ddipde. (1) 

Integriert man zunächst alle Wirkungen bei konstantem Werte 9? 
zwischen den diametralen Stellen der Peripherie 1 und 2 und be- 
zeichnet die Sehne 1.2 mit s^, so folgt 




(2) 


§ 19. Kreisförmige Koutinente: Die Deformationen innerhalb. 315 
Es ist aber nach Fig. 46 — Stp^ = ö' _ ^? ^{^^2 ^ . daher wird 




Vi = 4k^@Dajj/l — |v 810^9 ^9 • (3) 

u 

Bezeichnet man das vollständige elliptische Integral 2. Gattung 
mit Ej setzt insbesondere 

2 



SO wird 

Vi^4k^®DaE(^)' (3*) 

Zu diesem Betrage von Vi gehört eine gewisse £rhebung A,-, 
welche erforderlich ist, um von der ungestörten Niveaufläche in die 
gestörte Niveaufläche gleichen Potentialwertes zu gelangen. 

In erster Annäherung findet man hi aus Vi durch Division mit 

der normalen Schwerkraft, für welche wir den Wert ö«=-r-3rA:'^®mÄ 

annehmen. Mit Rücksicht auf die sonstigen Vernachlässigungen reicht 
diese Annäherung trotz der bedeutenden Gröfse der Erhebungen hi 
zu der beabsichtigten Schätzung aus. Es wird 

^^ = « -nM- ^ ( ä) («) 


und für 3e/> : a». = 4000» sowie wegen nR'= 20000000"': 

Hieraus folgt die Lotstörung, positiv im Sinne einer Anziehung 
des aufgehäugten Lotes gegen das Zentrum M hin, gleich 




2 

db ^~e' 

D h 
nB a , 





Schreibt man identisch im Zähler des Integrales für sin' g> 


(^-(i-S^""'»'))^' 


und setzt das vollständige elliptische Integral 1. Gattung 


316 -i. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 




J y ^-^ ""'9" 


(ö) 




80 wird die Lotstorung 


i^'H^5.f(^(4)--(4)!■ m 


In Sek. ^m 

Für 3 0Z) : @„ = 4000'» giebt dies rund 


Um zu sehen, wie sich die Lotstorung von der Mitte nach dem 
Rande zu ändert, differenzieren wir At nach h und erhalten 


^^i SOD a 


dK 


(I) 


dh S^nB b db 


B&D I Bin'qp , ,oN 




Dieser Differentialquotient ist stets positiv, und es wächst daher die 

Lotstorung von der Mitte stetig bis an den Rand, wo sie einen 

Maximalwert erreicht. 

Zugleich ergiebt sich für den Krümmungsradius der gestörten 

Niveaufläche, wenn der ungestörte mit R bezeichnet wird, indem nach 

S. 274 (19) 

j_ 1 , ^i 

Qi ~ M + h. • dh 


ist, die Näherungsrelation: 


n 

T 


1 




3^ B r Bin'y 





) 


Augenscheinlich wächst — mit h^ also von der Mitte nach dem 

Rande zu, und Qi ist somit innerhalb der Scheibe am Rande am 
kleinsten, in der Mitte am grörsten. 

Um das in (9) auftretende Integral herzuleiten, kann man sich 
der Funktionen K und E bedienen. £s ist nämlich 


8in<p cosq) 

^l--5Bin«<p 
dtp 


1 — 28in'qp , 6* sin'ip cos'tp 

+ TT 


y 1-^ gin«y "* y \-~ 8in«qp 


§ 20. KontineDte: Die Deformationen in der Nähe des Randes aufserhalb. 317 
Setzt man im 1. Zähler rechter Hand identisch 

8in> = -J jl — (l _ |1 sin' g)) j 
und im 2. Zähler hiermit 

+ S ((^- ^ sin»,,) -(l-^8in»9>)') , 
SO folgt der obige Dififerentialquotient gleich 

^ 1 - ^ 8in«ip] y ^--^ B"iV 




Hiermit erhält man durch Umkehrung und Einführung der Grenzen 
ohne Schwierigkeit: 


n 

2 



Bin'<p 


/ 1 - S "'""'^ 


-3^9 


f(<)-(-$)'(I)1 


1 — 


6« 


Es ist daher: 
j i__ 

Q^~ E + h, 


1 + 


de 


?.^^(i)_J'-f)*l)l. 


710^ a 6* 


6« 


(10) 


Hierin setzen wir entsprechend der Annahme ® =» 1,8 abgerundet: 


«9. 


0,3. 


(10*) 


m 


Ehe wir untersuchen, inwieweit vorstehende Formeln auf die 
durch einen Kontinent erzeugten Störungen anwendbar sind, ent- 
wickeln wir noch die entsprechenden Formeln für die Nähe des 
Randes aufserhalb. 

§ 20. Fortsetzung: Die Deformationen in der Nähe des Ran- 
des anfeerhalb. Mit Rücksicht auf Fig. 47 er- 
halten wir für das Potential der Anziehung des 
Flachenelements dg auf Pa den Ausdruck: 

dVa~k^&Ddfpde (1) j^ 

in derselben Weise wie im vorigen Para- 
graphen den Ausdruck (1) für dvi. Die 
Integration nach e giebt pig. 41. 



318 4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

Va-^2k^&D j s^dq), (2) 

wobei für O die Relation: 

b BinO ^^ a (3) 

und für s^p die Beziehung: 

— - Stp^ = rt' — b^ sin' 9 (4) 

besteht. Hiermit wird 


Va = 4k^eDa ij/l — ^ sin2 tp dtp 


(5) 


Führt man anstatt tp eine Variable ^ mit Hülfe der Gleichung 


sin ^ «= — sin 9 


ein, so geht der Ausdruck für Va über in 


2 
»a = 4*»®/>^ r—^:^-"^- - . (6) 






Derselbe iäfst sich unter Beachtung der Identität 

wie folgt schreiben: 

,^^Ak^®Db[E[i)-{X-^)K{±)]. (6*) 

Hierzu gehört die Erhebung der gestörten Niveaufläche gleichen 
Potentialwertes mit der ungestörten: 


3e hD 


0«. nM 


m 


(«(t)-('-S)*(t)1. C) 


d. i. für 302? : ©,„ = 4000« gleich 

ha^b- ^^ (7*) 

Die Entwicklung der Formeln für die Lotstörung und den 
Krümmungsradius unterlassen wir, da sie wenig Interesse bieten und 
ohnehin in der nächsten Nähe des Randes unbrauchbar werden. 


§ 21. Deformationen durch kreisförmige Kontinente. 319 

§ 21. Fortsetzung: Die Brauehbarkeit der Formeln der 
letzten beiden Paragraphen mit Bttcksicht auf die endliehe 
Dicke der Kontinente. Bei den vorhergehenden EDtwickluugen 
wurden anstatt sphärischer Scheiben Ton der Dicke D ebene Flächen, 
mit kondensierter Masse belegt; gesetzt. In diesem Paragraphen soll 
untersucht werdeo, welchen Einflufs die Kondensation hat. Wir sehen 
dabei von der Krümmung der Erde zunächst noch ab und haben also 
zuerst zu vergleichen das Potential der Anziehung eines Cjlinders 
und dasjenige einer ebenen Fläche vom Querschnitt des üylinders^ 
belegt mit dessen kondensierter Masse. 

Liegt der angezogene Punkt in der Mitte M der cjlindrischen 
Deckfiäche, so ist nach 8. 142 § 2 (1) 

Entwickelt man die Parenthese nach Potenzen von D : a und ver- 
nachlässigt bereits die 2. Potenzen, so folgt 

t. = 2;r^2@2>a(l — f^ +...). (1) 

Dagegen ist für die Mitte einer Fläche vom Radius a nach (3'*') S. 315 

v^^Ttk^BDa, (2) 

indem für h = null nach (4) 8. 315 E offenbar in — übergeht. 

Man erkennt 9 dafs hiernach zunächst für die Mitte M eines 
Kontinents die Voraussetzung der Flächenform genügt, indem selbst 
für Australien mit a =» 0^26^ der Quotient D \2a=^\ \ 830 als ver- 
schwindend zu betrachten ist. 

Aber auch anderwärts genügt die Annahme der Flächenform. 
So ist offenbar am Rande der Fehler in v ungefähr nur halb so grofs 
wie in der Mitte; da nun v selbst nach dem Rande zu abnimmt, 
speziell für b ^^ a aus (3'*') 8.315 sich zu Ak^SDa ergiebt, so ist 
hier verhaltnismäfsig der Fehler etwa derselbe wie in der Mitte. In runder 
Zahl sind somit v und h^ wie sie für die Kontinente aus der Annahme 
der Flächenform hervorgehen, nicht über Viooo ^^ Wertes fehlerhaft. 

Es ist femer leicht einzusehen, dafs v und h wenig verändert 
werden, wenn die Küste anstatt steil abfallend , flach abgeboscht 
vorausgesetzt wird. 

Aber die Lotstorungen an der Küste hängen von deren Form 
sehr wesentlich ab. 

Betrachten wir zunächst einen cylindrischen Kontinent, so genügt 
zur Berechnung der Lotstörung Ai die Formel (7) des § 19 8. 316, 
so lange Pi ym einige Vielfache der Dicke D^ etwa um 3Z^, 
vom Rande entfernt ist. Wir können nämlich Pi immer zum Mittel- 
punkt der Deckfläche eines Gylinders macheu, der den Kontinent 


320 


4. Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen. 


gerade am Rande berührt; derselbe ist in Fig. 48 schraffiert. Die 
Horizontalanziehung dieses Cylinders ist null; ebenso auch^ wenn die 

Masse auf die Deckfläche kondensiert wird. 
Einen Fehler giebt also nur die Kondensation 
aufserhalb liegender Massenteilchen. Z. B. wird 
für das in Fig. 48 angedeutete Teilchen dm bei 
Punkt 4 die Horizontalanziehung gleich 



Fig. 48. 


k'^dm 


a 


d. i. 


k*dm 


/■'+i 


3 ' 


92>« 


wenn a — b => SD angenommen wird. Die Kondensation setzt daffir 


mit dem Fehler 


1^ 
6 


92)« 
9D« 


(3) 


Derselbe beträgt also hier Ve ^®s Wertes oder 17 Vo- 

Er ist aber für alle anderen Teilchen kleiner. Fassen wir alle 

Massenelemente ins Auge, welche von dem Rechteck 1.2.3.4^ Fig. 48 

und 49, und dem unendlich benachbarten 
r.2\yA', dessen Ebene durch />« führt und 
mit derjenigen des erstgenannten den Winkel 
dq) bildet, begrenzt werden, so ist deren 
Horizontalanziehnng gleich dem über die Fläche 
1.2.3.4 zu erstreckenden Doppelintegral 



Plg. 49. 


k^®dq) rr 


ac^dxdy 


indem mit Rücksicht auf Figur 48 
@x dtp dx dy wird. Die Integration nach y giebt hieraus 

dx 


dm 


k^eDä^J-^ 


wobei die Integration von x = x^ bis o;.^ zu erstrecken ist. Unter 
dem Integralzeichen kann man aber setzen 

X 


— ^ o^s T^ • • • 


Vx^ + L^ « 2«^ 

und hiermit geht der vorige Ausdruck über in: 

A:^@Z>d9{lognatJ--f-(^.-^) + ...). 

Dagegen ergiebt sich als Horizontalanziehung nach erfolgter 
Kondensation der Masse: 


Ä^ /> ^9 log nat ^ ; 


§ 22. Die LotBtOruDg an der Küste eines cylindrischen Kontinents. 321 

der begaogene Fehler ist somit im Verhältnis zur Anziehung an- 
genähert gleich 

Ganz denselben Ausdruck erhält man für den Fehler der in die Rich- 
tung von APiM fallenden Komponente der Anziehung der Masse 
zwischen zwei unendlich benachbarten Schnitten in irgend einem Rich- 
tungsunterschied q> gegen die durch APiM gelegte Ebene 1.2.3.4. 
Für Teile rechter Hand von der zu APiM normalen Linie DD^ Fig. 49, 
ist aber der Fehler von entgegengesetztem Zeichen, wie für Teile 
linker Hand. Wir unterschätzen hiernach den Gesamtfehler keines- 
falls, wenn wir nur die einflufsreichere rechte Seite betrachten. 

Xj ist nun zufolge unserer Annahme überall gleich 3Z>; X2 nimmt 
ab mit der Annäherung der Schnitte an die z\x AM normale Lage. 
Für DMD ist x^ am kleinsten, aber selbst für Australien noch rund 
5()2>; denn es ist hier 2a rund 830 /> und x^ somit für Punkt D 
nahezu gleich ^3/>.83()/>. Daraus erkennt man ohne Schwierigkeit, 
dafs der Gesamtfehler in keinem Falle 1% überschreitet. 

Wir dürfen daher für jeden der in § 18 S. 313 aufgeführten Kon- 
tinente die Lotstorung Ai nach der Formel (7) des § 19 S. 316 be- 
rechnen, solange Pi von der Küste des cylindrisch gedachten Kon- 
tinents um mindestens 3/>, d. i. 12 Kilometer, absteht. Bei grolserer 
Annäherung an die Küste wächst der Fehler der Formel (7) rasch 
und wird schliefslich unendlich grofs. 

§ 22. Die Lotstorung an der Küste eines cylindrischen 
Kontinents. Fig. 50 stelle die Deckfläche 
des üylinders vor, für deren Kandpunkt A 
die Lotstorung zu berechnen ist. Die Tiefe 
eines Massenelementes dm unter der Deckfläche 
sei mit y bezeichnet. Dann ist seine in Rich- 
tung AM fallende Komponente der Horizontal- 
auziehung, wenn dm «b 0x dq) dx dy gesetzt 
wird , gleich : fij». eo. 

k^&co9ipd(p-^^^y (1) 

Integrieren wir zunächst nach y von null bis 2>, so folgt hieraus: 

k'^&D C08q> d(p 



Die weitere Integration nach x von null bis 5^, welches letztere 
Symbol die Sehne von A aus in der durch tp markierten Richtung 
bezeichnet, giebt: 

k'^en cosg) lognat [j/ 1 + jf^ + ^) d(p . 

Helmert, maUiem. u. phyaik&I. Theorieen der höh. Geodäsie. II. 21 


322 4* Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

Setzen wir hierin s^ = 2a costp und integrieren endlich nach tp von 
— -^ bis -f* V« ^^ ergiebt sich die gesuchte Horizontalanziefaung in 
Richtung j4M gleich 

n 

T 

2k^ @ ßjcosq» lognat (/l + f*-«--^)* + ?^^) dip . (2) 



Durch partielle Integration läfst sich dieses leicht auf vollständige 
elliptische Integrale 1. und 2. Gattung hinführen. Indessen ist es 
mit Rücksicht auf den grofsen Betrag von 2a: D vorzuziehen , die 
numerische Auswertung an eine wie folgt abzuleitende Näherungs- 
formel zu knüpfen. 

Wir betrachten zunächst das obige Integral zwischen den Grenzen 
9) gleich null und arc cos d, und denken uns unter d hierbei einen 
kleinen Bruch im Betrage ^/^qq* Da nun selbst für den kleinsten der 
Kontinente, Australien, 2a = 830 2> ist, so beträgt innerhalb jener 
Grenzen der kleinste Wert von 2 a cos 9 : D immer noch mehr als 8, 
sodafs man auf die Wurzel im Logarithmanden eine Reihenentwick- 
lung anwenden kann. Dieselbe giebt: 

, X / i/i I /2aco8<p\"^ , 2aco8(p\ 

l»B "»M K ' + (— Ü— ) + D ) 

wofür man ausreichend genau 

log nat — ^-^ 

nehmen kann, indem die dabei stattfindende Vernachlässigung den 
Logarithmus höchstens um etwa '/750 seines Wertes beeinflufst. 

Hiernach darf man fQr das in (2) auftretende Integral zwischen 
den Grenzen g> gleich null und arc cos d setzen: 

arooo« S 

I COS 9? log nat . " ^ ^ ^^ ^ (3^ 

oder für sin 9) = ti: 

/ lognat ^j/l — u^.du. 


Zerlegt man den Logarithmus in 

log nat ^^ -f Y (log nat (1 — ti) + log nat (l + ti)) 
und beachtet die Formel 


§ 22. Die LotstöruDg an der Küste eines cjlindrischen Kontinents. 323 

t 


I log nat V dv = i (log nat i — 1) , 


u 


welche sich unter Anwendang der Substitution log nat t;=2: einwurfsfrei 
herleiten läfst, so folgt ohne Schwierigkeit als Wert des betrachteten 
Integrales (3): 

>^r- d~' log nat ^«+1(1+ ^r^^^) [log nat (l + j/T^^d'^) - l] 

+ 1(1- Vr=^^) [log nat (1 - Vl^d^) - l] , 

wofGr man mit Rücksicht auf den Betrag S = Vioo^^llig ausreichend 
genau setzen kann: 

log nat -jj + log nat 2 — 1 , 
oder 

log nat ^ — 1 . (4) 

Hiermit geht (2), wenn man die obere Grenze •-- durch arc cos 8 
ersetzt, über in 

2;t«0/?(lognat^ — l). (5) 

Abgesehen von den bisher erörterten unerheblichen Fehlem ist 
dies zu verbessern um 


8 

2A'©/>Jco89 Iognat(/r+ ('^;f «^"y + i^^) ä<p . (6) 

aro cot d 

Der Wert des Logarithmus liegt innerhalb der Grenzen des Integrales 
zwischen 

log nat Ij/ 1 + (~^^) H" ~n " ) ^^^ ^^^^^ ' 

Der erste Grenzbetrag ist für Australien gleich 2,8 und daher in 
diesem Falle der Fehler (6) kleiner als 

was gegen (o) verschwindet Auch für die gröfseren Kontinente ist 
der Ausdruck (5) völlig ausreichend. 

Die Lotstorung am Rande wird also mit Rücksicht auf den Wert 
G = * nk'^OmR in Sekunden gleich 

3 

21 • 


324 ^* Kapitel. Der Einflurs gegebener Massen. 

Für 3®2> : ®w « 4000« ist dies rund 

20(lognat^-l). (7*) 


§ 23. Berflcksichtigung der Böschung an der Efiste. (Im 

die Einwirkung der Masse zu berücksichtigen, welche zu dem cylin- 
JD_ .4__^___4_-?» frischen Kontinent vom Radius a und der 
jejg. r^^ Dicke D im Falle einer Abboschuug der 



iiÄflrf*^ '^ a*%lhfitv ^ Küsteunter dem Winkel V hinzutritt, kann 

man in irenüfifender Annäheruncf so ver- 
fahren, dafs man den Radius des cylin- 

drischen Kontinents, wie es die rechte Seite von Fig. 51 punktiert 

andeutet, vergrofsert auf 

Dieser Vorgang ist nicht ganz korrekt, aber bequem und für 
eine Schätzung ausreichend. Am grofsten wird der Fehler für den 
Küstenpunkt A^ insbesondere in der Lotstorung und entsprechend im 
Krümmungsradius **). 

Die Lotstorung an der geboscht^n Küste in A berechnen wir ge- 
nauer dadurch, dafs wir 2 Werte ermitteln, zwischen welchen sie 
ziemlich genau in der Mitte liegen mufs. 

Den ersten Wert erhalten wir, indem wir die Horizontalanziehung 
des Cylinders ABA^B^ vom Radius a vermindern nm den absoluten 
Wert der Horizontalanziehung eines unendlich langen Prismas vom 
Querschnitt ABCy welches jenen üylinder in AB tangiert. Eigentlich 
sollte der Kreisring {ABC — A^B^C^) berücksichtigt werden; es wird 
daher der 1. Wert zu klein. 

Den zweiten Wert erhalten wir, indem wir für A die Horizontal- 
anziehung des Cylinders DCD^C^ vom Radius a -^ D coiv vermehren 
um den absoluten Wert der Horizontalauziehung eines unendlich 
langen Prismas vom Querschnitt ACD^ welches jenen Cylinder in 
i> 6)^ tangiert. Eigentlich sollte der Kreisring {ADC — A^D^ C^ berück- 
sichtigt werden; es wird daher der 2. Wert zu grofs. 

Die Fehler in beiden Fällen halten sich sehr nahe das Gleich- 
gewicht, weil die Anziehungen der von \^ entfernteren Teile beider 


*) Diese Formel wurde zur Eontrolle auch mittelst elliptischer Integre 
aus (2) hergeleitet 

**) Die Anlage von Böschungen an die Kontinente yermindert die mittlere 
Meerestiefe etwas; um wieder auf die bisher angenommene Meerestiefe zn kom- 
men, wäre für ein Gefalle der Böschung gleich y^w der Betrag von D nm 4% 
zu vergrörsem, was wir aber im Hinblick auf andere Vernachlässigungen unter- 
lassen. 


§ 24. Der Einfluru der Erümmuiig der Meeresfläche. 325 

Kreisriuge ebenso wie diejenigen der entfernteren Teile beider un- 
endlich langen Prismen nahezu gleich sind^ wie aus der Gleichheit der 
Querschnitte und der räumlichen Lage folgt. 

Nach S. 284 (5) und S. 286 (10) § 7 dieses Kapitels ist die 
Horizontalanziehung auf Ä in Richtung des Radius AM für das 
Prisma vom Querschnitt ABC gleich 

-<•" 2»„,Ä '"«°"*«'"''' (2) 

für das Prisma vom Querschnitt ACD dagegen gleich 

Der erstere Wert ist von dem Ausdruck (7) bezw. (7*) S. 324 ab- 
zuziehen^ der letztere zu (7) S. 316 zu addieren, nachdem darin an- 
statt a der Wert /? -^ Z> cot i/ eingeführt ist. Damit folgt als 1. Wert : 

,» 3Ö D /i . 8a Bin V ,\ f,^ 

und als 2. Wert: 

^ 29^ nB H -S-'- + t/Coti;j (5) 

für 

** a + JÖ cot V ' ^ ^ 

Aus den Ergebnissen (4) und (5) ist das arithmetische Mittel zu 
nehmen. Die beiden Werte (4) und (5) weichen übrigens von ein- 
ander nicht sehr ab, am meisten für flache Böschungen und kleine a. 
Da nach § 21 S. 321 der 2. Wert (5) nur brauchbar ist, so lange 
cot t' ^ 3 bleibt, so kann man in (5) i/ cot i/ «» 1 setzen. 

Zu den Formeln (4) und (5) ist für 3©Z> : 6^ — 4000"» mit der- 
selben Abrundung wie bei (?•) S. 318 und S 324: 

«•"IS„Ä-20. (7) 

§ 24. Der Einflullä der Erflmmung der MeeresflSche auf 
die Formeln der vorhergehenden Entwicklungen. Wir betrachten 
die Kontinente jetzt wieder als Flächen, auf welchen die Massen 
kondensiert sind und nehmen wie früher als Masse für die Flächen- 
einheit &D. Diese kreisförmigen, die Kontinente vorstellenden 
Flächen denken wir uns auf einer Kugelfläche vom Radius R, dem 
Repräsentanten der ungestörten Erdoberfläche, aufliegend und be- 
zeichnen den sphärischen Radius MA^ Fig. 45 S. 314, mit a«. Der 
Flächeninhalt eines sphärischen Ejreises vom Radius a, ist aber 
gleich 


326 4. Kapitel. Der EinflufB gegebener Massen. 

2xB^(\ cos J) =4ÄÄ»8m'^^ (1) 

oder uäherungsweise 

Bisher wurden die Kontinente als ebene Flächen vom Radius a 
betrachtet; bezeichnen wir den letzteren jetzt mit a« und nehmen ffir die 
ebene und sphärische Kreisfläche gleichen Inhalt, so muls sein 

a, = 2ä sin ^^j (2) 

oder uäherungsweise 

«- = «•0-2?^« + •••)• (^) 

Erheblich ist also selbst fOr Europa -Asien der Unterschied der 
Radien a« und a^ nicht; denn indem hier rund a : R ^=y^ ist, wird 
er nur knapp 2%. Wir werden daher auch weiterhin in den End- 
formeln keinen Unterschied zwischen a« und a, zu machen brauchen. 

Das Potential der sphärischen Fläche auf ihren Mittelpunkt M 
ist nach S. 145 (2) gleich 

2nk^SD.2B8m^' (3) 

Führen wir den ebenen Radius mittelst (2) ein, so folgt 

2nk^SI)a,. (3*) 

Vergleicht man dies mit (3*) S. 315, worin £ l~) wegen b = null 

gleich ^ ist, so erkennt man, dafs der Potentialwert für die Mitte M 

durch die ebene Rechnung genau richtig erhalten wird. 

Wir entwickeln nunmehr das Potential für einen Randpunkt A^ 
legen aber die Entwicklung so an, dafs sie im ersten Teile auch für 
einen äufseren Punkt Pa palst. 

Den Punkt Pa nehmen wir als Pol eines sphärischen Polar- 
koordinatensystems; z sei die sphärische Entfernung eines Plächen- 

elementes dq^ Fig. 52. Wir 
haben 

dq = R sin -^ dq> . dz 

und seine gerade Entfernung 
?on Pa gleich 2.ß sin --g-, mit- 
hin das Potential der auf dq 
^^'^' lagernden Masse gleich 

k^&D cos ^ dtp dz. 



§ 24. Der EiDflafs der Krümmung der MeereBfläche. 327 

Integriert man zunächst nach z vom Punkte 1 bis Punkt 2, so folgt 

2A:^®Z^Ä(sinJ^^sm^)rf<p (4) 

als Potential des Flächenstreifens 1.1'. 2.2', Fig. 52. 

Verlegen wir P« nach A^ so gilt der Ausdruck (4) noch; er geht 
dann über in 

2A:'0/>Äsiü 2^ rf^. (5) 


Dabei ist 


tan -g^ = tan -^ cos 9 (6) 


und hieraus mit Hilfe des bekannten Überganges von tan zu sin: 


«. 


Bin -^ COB 9 

«'"äi— -7~^=-- (7) 


7/ a, 

^ l — Bin* -^ 8in*()p 


Als Ausdruck für das Potential in A folgt somit, da (5) von — ~- 
bis + V ^^ integrieren ist: 


n 

T 


/Bin j^ 
__-_-- ^^^ d (sin q>) . (8) 

JK 1 — ain*^* 8in*qp 

u 

Man hat aber als unbestimmtes Integral hierzu den Ausdruck 

arc sin (sin -^ sin 97 j , abgesehen von einer Konstanten; somit ergiebt 
die Integration den gesuchten Potentialwert gleich 

4k^Sßa,. (9) 

Ganz dasselbe giebt (3*) S. 315, nur bedeutet dort a den ebenen 
Radius a«. Indem wir mit diesem rechnen, wird der Potentialwert 
für den Randpunkt A im Verhältnis a« : a^ zu klein erhalten; vergl. 
(2*) oben. Der Fehler der ebenen Rechnung ist also für Europa- 
Asien knapp 27o- 

Um auch den Fehler in der Lotstorung am Rande zu schätzen, 
bilden wir die Horizontalanziehung der in dq lagernden Masse auf 
den Punkt Pa =* A in Richtung nach M. Sie ist gleich 


COB* - 


'"^^B 


oder in Reihenentwicklung: 


k^eß cosqp dq> I /- — ^ ^,- +•••}• 


328 ^' Kapitel. Der Eluflufs gegebener Massen. 

Fällt Pa nach A^ so würde die Integratiou nach z unendlich geben, 
wenn wir von z = null an integrieren wollten. Nehmen wir anstatt 
null einen sehr kleinen Wert Zq, so folgt 

k'^&D cüsy dtp {lognat ~ -- 4^ ^ + " * ' } (^^^) 

mit Vernachlässigung von Zq^ : R-, 

Eine ebene Scheibe, in welcher die Entfernungen von Pa = A 
mit e bezeichnet werden, giebt 

kWDcoHtpdfp {lognat^} - (11) 

Durch Subtraktion von (10) und (11) folgt: 

k^eD cos,p dq> jlog nat (J ^J») _ -^- j] -f . . . j . (12) 

Hierin setzen wir ^^ : z^ «== 1 , d. h. wir schliefsen um />, t= ^ in 
beiden Fällen kleine halbkreisförmige Elemente von der Anziehung 
aus, deren Anziehung auf A wegen c^ =» Zq als gleichwertig betrachtet 
werden darf. Aufserdem haben wir als Wert von z^ : e^ im Falle 
tp = null den Quotienten 0^:0^, d. i. nach S. 326 (2'*') angenähert 

^ ^ 24Ä« 

lognat (^2 1^2) ^^^^ demnach für 9== null angenähert gleich a^: 24 /?^ 
Dieses kleine Glied vernachlässigen wir in (12) gegen bz2^ • 48/2^, 
welcher Quotient für (p = null in 5a^ : 12B^ übergeht. 

Wir können ebenso für einen beliebigen Wert von tp den Betrag 
des lognat in (12) gegen das 2. Glied vernachlässigen und erhalten, 
Z2 = 2a cos 9 setzend, in hinreichender Annäherung anstatt (12) den 
Ausdruck: 

-.- k'^GD ^ cos'^qp d<p. 

Beachten wir nun, dafs cos^tp »= -j- cos 97 -j" t ^^^ ^9 ^^^ ^^ giebt die 
Integration dieses Ausdrucks von qp = — ^ bis + ^ leicht: 

Um die Wirkung dieses Fehlers in der ohne Rücksicht auf die 
Krümmung der Erde berechneten Uorizontalanziehung auf den Iland> 

punkt A in der Lotstörung zu erhalten, dividieren wir mit G= -xk^&mR 

und erhalten den Fehler der Lotstörung für A in Sekunden gleich 

d. i. nahezu 

— ^ Sekunden. (13) 


§ 25. Die störende Wirkung der Kontinente in gröfsereni Abstände. 329 


Dieser Betrag würde als Verbesserang an der nach § 22 (7) S. 324 
mit a = üg berechneten Lotstörung anzubringen sein, um den Lot- 
storungswert am Rande der sphärischen Scheibe vom Radius a, zu er- 
halten. 

Für Europa- Asien ist derselbe gleich 2", also nicht sehr erheb- 
lich. Auch kompensiert sich dieser Fehler zum Teil mit einem ent- 
gegengesetzten, der bei Anwendung der Näherungsmethode des § 23 
entsteht. 

Die Krümmung der Erde kann hiernach bei der Berechnung der 
Störungswirkungen selbst bei dem gröfsten der Kontinente auber acht 
bleiben, so lange nur Punkte innerhalb, oder auch aufserhalb nahe 
der Küste, in betracht gezogen werden. 

Bei der weiterhin folgenden numerischen Auswertung ist aller- 
dings ein nicht mehr zu beseitigendes Versehen in der Weise be- 
gangen worden, dafs die ebenen Entfernungen a«, für welche Er- 
hebungen h berechnet wurden, bei der Zusammenstellung ohne 
Vergröl'serung als sphärische betrachtet worden sind, was einer De- 
formation der gestörten Niveaufläche in der Nähe der Küste im 
Sinne einer Verschiebung nach dem Zentrum M entspricht. Es 
änisert sich dieses Versehen indessen wesentlich nur bei den Kontroll- 
rechnungen, auf welche wir weiterhin geführt werden. 

§ 25. Die störende Wirkung der Kontinente in grofserem 
Abstände vom Zentrum M kann nach der 
Annahme, dafs alle Masse in M konzentriert 
sei, hinreichend genau ermittelt werden, so- 
bald der zu dem Abstände PaM^ Fig. 53, 
gehörende Zentriwinkel y am Kugelmittel- 
punkte C mindestens nahezu 90^ beträgt. Die 
Masse ist a'^it&D, die Entfernung PaM gleich 

2Rsm^^ folglich das Potential nach dieser 

Annahme gleich 


V. 


xk^Q 

*2Ä8in y 


(1) 



die zugehörige Erhebung der gestörten Niveaufläche über die un- 
gestörte also gleich 


"• ü» Bin -|- 


oder für 30D:&„, = 4000«» 


Ä« = 


500O« 
ü« sin ^ 


(2») 


330 4. Kapitel. Der EinflufB gegebener Maesen. 

Die LotstöruDg; welche hierzu gehört, wird gleich 

mithin für 3®i> : 0„ = 4000™ 

Aa ^-^ (3») 

In 86k. 2P Bin -^ tan ^- 

Diese Lotstorung ist für y'^90^ sehr gering, insbesondere für 
Europa-Asien bei y «= 90® nur 5". Da bis y = 180® dieser geringe 
Betrag ganz allmählich auf null sinkt, so ist auch die Störung in q 
ganz unerheblich (selbst fQr Europa-Asien nur ca. 200"*) und braucht 
hier nicht weiter untersucht zu werden. 

Um die Genauigkeit dieser Formeln, welche eben nur für 

y > 90® (4) 

Anwendung finden sollen, zu erkennen, berechnen wir Va strenger 

für y — 90®. Aus der Entwicklung 
des § 24 S. 327 lä&t sich der Ausdruck 
^2 für Va leicht herleiten. Wir setzen da- 
bei identisch in (4) a. a. 0. : 



Fig. 54. 


so ist auch (z, -f- Zj) : 2 so grofs und daher 


Wenn aber in Fig. öi Paäf gleich dem 
Quadranten eines grofsteu Kreises ist, 


cos *^^+^ = cos 45® — ~ j/2 . 
Aufserdem ist nach Fig. 54: 

cos ^,, p ' = , 

2ic COB 9 ' 

somit 


1 / cos qp — coi 
^^^ In ^ 2 COB 9 


a 

-COB-^ 

sm -'--rr- 


Hiermit erhält man aus der Gleichung (4) S. 327 durch Integration, 
dA B<p zwischen — a und -}~ ^ liegt: 


a:Ä 

/ 1/ ^^^ 9 — COS ^ 
t/ ^ COS ip ^ ' 


v„ = 4k^eDRj V ;:^,-:;r^ <<9 . (6) 




§ 25. Die störende Wirkung der Kontinente in gröfserem Abstände. 331 

Um diesen Ausdruck zu integrieren, setzen wir darin für cos 9 
den Ausdruck 1 — 2 sin* ^ ^^^ entsprechend für cos -^ . Wir führen 
zugleich eine neue Variable mittelst der Relation 


w * a > , 

sm Y = «n ^ sin ^ 


ein und erhalten 


2 


ysin* p cos'-^ dtff 
y 1 — 2 sin' „- sin»^ y \ — sin* -^ sin*^ 


Die Integration läfst sich jetzt in genügender Genauigkeit durch 
Reihenentwicklung bewirken. Wir setzen 


1/ 1 — 2 sin* -jj ain»^ V ^ ^ ®*°* äÄ "°*^ 


und beachten die Relationen: 


= 1 + - sin' 2*^ sin' 1^ + . . . 


cos' 


^ = i. + i cos 2V 


cos'V' sin'^ *=" V — "5"^^ ^^' 
Damit wird 

Va^2 V27tk^SDR sin' j^i (l + 1 '^^' 222 + ' ' ') ' ^^^ 

Um dieses mit Formel (1) vergleichen zu konneu, müssen wir da- 
selbst sin Y as sin 45^ »» 1 : y2 setzen , aufserdem aber noch in (8) 

anstatt des sphärischen Radius a den ebenen einführen, welcher in 
(1) figuriert. Mit Rücksicht auf die Relation (2) S. 326 geht (8) 
über in 

r,-«Ar»®«;^_(l + -f;, + ...), (8*) 

wenn a den ebenen Radius bezeichnet. Der Fehler der Formel (1) 
wird in Bruchteilen von Va hiernach durch 3 a' : 32/2' bezeichnet, 
d. i. für Europa- Asien 4%. Dieser Betrag kann als unerheblich an- 
gesehen werden. 

Berechnet man t;« endlich noch für y ss 180^ was keine Schwierig- 
keit bereitet, so findet man 

t;a = 8;r)t'©/>Ä8in'^^, 


332 


4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen, 


worin a der sphärische Radius ist. Durch Einführung des ebenen 
Radius, sowie durch Reihenentwicklung folgt 


t.„=«*^©z>^«;(i+-^.- + ...). 


(9) 


Die Formel (1) giebt also hier a} : 16^^ Bruchteile von Va zu wenig, 
d. i. für Europa- Asien S^o« 

§ 26. Berflcksichtigung der SchwerpunktsTerschiebung. 

Durch Hinzutritt eines Kontinents zu einer 4000*^ hoch mit Wasser 
bedeckten Kugel vom Radius R entsteht eine Schwerpunktsverschiebung. 
Bisher wurden die Lagenänderungen einer Niveaufläche^ die anfangs 
mit der Meeresfläche zusammenfällt, unter der Bedingung betrachtet, 
dafs der Potentialwert nach Hinzutritt des Kontinents derselbe bleibt 
und von der Verschiebung der Wassermassen, deren Oberfläche eine 
Gleichgewichtsfläche, d. i. Niveaufläche, bleiben mufs, abgesehen wird. 
Indem wir uns die Erörterung dieses letzteren Punktes vor- 
behalten, beziehen wir jetzt die gestörte Niveaufläche nicht mehr auf 

ihre ungestörte Lage, sondern auf eine 
Kugel vom Radius R^ deren Mittelpunkt 
mit der gestörten Schwerpunktslage S zu- 
sammenfällt, Fig. 55. 

Zunächst ist die Schwerpunktsver- 
Bchiebung zu ermitteln. Um dieses aus- 
führen zu können, bestimmen vrir die 
Lage des Schwerpunktes^i desKontinentes, 
den wir hierbei als sphärische Kreisfläche 
vom Radius a auf der Kugel vom Radius 
R mit dem Mittelpunkt C ansehen. Dieser 
Schwerpunkte, liegt jedenfalls auf dem zentralen Radius CM, Senkrecht 
zu diesem letzteren legen wir durch C eine Ebene, für welche wir die 
statischen Momente aufstellen. Ein zu M konzentrisches, ringförmiges 
Element der sphärischen Kreisfläche vom Radius Ry und der Breite 
Rdyy welches in Fig. 55 bei P im Durchschnitt angedeutet ist, hat 

das Moment 

2nR^ siny dy . R cosy . 

Die Integration von y «= null bis -p giebt das statische Moment der 
ganzen Fläche gleich 

~ ä3 /i _ cos ^) d. i. 7t R^ sin^ J . (1) 

Diesem Werte mufs das Moment des in S^ vereinten Flächen- 
inhalts gleich sein. Bezeichnen wir die Entfernung S^C mit ^(1 —c), 
so ist das Moment mit Rücksicht auf S. 326 (1) gleich: 

^jiR-^Äv?^ .Ä(l -c). (2) 



Fig. 55. 


§ 26. Berückaichtignng der Seh werpnnkts Verschiebung. 333 

Die Vergleichung der Ausdrücke (1) uud (2) führt zu der Relation 

1 _ c «= cos2 2^ = I - sin^ 2^ • (3) 

Hierin ist a der sphärische Radius. Führen wir den ebenen ein^ 
nach (2) S. 326^ so folgt 

1-.-I--/V, (3*) 

wobei der Ausdruck rechter Hand nicht abgebrochen , sondern ge- 
schlossen ist. 

Ist nun S der Schwerpunkt des gesamten Massenkomplexes, und 
wird SC mit R^i bezeichnet, so folgt aus der Gleichsetzuug der sta- 
tischen Momente bezüglich des Punktes S^ wenn die Masse des Kon- 
tinentes jetzt mittelst des ebenen Radius a ermittelt wird: 

woraus in hinreichender Annäherung mit Rücksicht auf (3^^) hervor- 
geht: 

Für 3Ö/? : ®« = 4000"» wird 

R(i = 1000 j; (l - -^) . (4*) 

Ein Punkt P der Kugel vom Radius R konzentrisch zu C, Fig. 55, 
hat von S sehr nahe den radialen Abstand 

R{1 — fi cosy). 

Die Verschiebung des Kugelmittelpunktes nach S erzeugt somit 

in den Erhebungen hi und ha der gestörten Niveaufläche Änderungen 

im Betrage von 

— Ä/A cosy , (5) 

oder, wenn für R^i Ausdruck (4*) gesetzt und zugleich b : R für y 
geschrieben wird, Änderungen im Betrage von: 

-im^(l-j%)cos^^. (5*) 

Die entsprechende Änderung der Lotstoruug ist in Sekunden gleich : 

d cosy 

d. i. 


^ ^C Rdy > 


-(>'>siny, (6) 

oder mit Rücksicht auf (4*) rund 

-30j;(l-;;)BinA. (6*) 


334 


4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 


§ 27. Mittelwert der Erhebungen hi für einen Kontinent. 

Nach S. 315 (5) und (4) ist zunächst ohne Rücksicht auf die Schwer- 
punktsverschiebung die Erhebung der gestörten Niveaufiäche inner- 
halb eines Kontinents 


2 




(0 


wenn h der Abstand des betreffenden Punktes vom Zentrum M ist. 
Indem wir nun den Kontinent als ebene, kreisförmige Fläche auf- 
fassen, wie das auch bei Entwicklung der Formel (1) geschah, haben 
wir die Anzahl der hi für einen ebenen, ringförmigen Streifen vom 
Radius ^ und der Breite db proportional ^^^ zu setzen, und es wird 
daher der Mittelwert von hi gleich 


j 


hih db 


a 

■f 


bdb. 


(2) 


Es ist aber 


/ \y^ ^ Hin^g). bdb d<p y 

u 


(3) 


wenn man zuerst nach b integriert, was sehr leicht ausführbar ist, 
gleich 


2 


a* / 1 — cos'op , 

U 


Nun ist identisch 


1 — cos' 9 1 + cos 9 + C08*g) 

1 — cos* 9 1 -f- cos tp 


cos 9 + -i- sec' ^ 


Mit Rücksicht hierauf läfst sich das Integral sofort bilden und man 
erhält für (3) den Wert: 


2o« 


Hiermit findet man als Durchschnittswert der hi für den ganzen 
Kontinent ohne Rücksicht auf die Schwerpunktsverschiebung 


Ae aD 


^m ^^ 


(4) 


Infolge der Schwerpunktsverschiebung tritt zu diesem Ausdruck 
der Durchschnittswert von (5) S. 333, für den Kontinent genommen, 
hinzu. Betrachten wir hierbei die Erdoberfläche wie bei Entwickiang 
dieses letzteren Ausdruckes als gekrümmt, so erhalten wir als Mittelwert 


^m * 


§ 28. Kleinste Erhebung der gestörten Niveanfiache. 335 

a: R a'.R 

— Rfi I cosy siny dy : / siny rfy , 

indem, vergl. S. 332 Fig. 55; für einen ringförmigen Streifen vom In- 
halt 2xR^ siny dy der Ausdruck (5) konstant ist. Die Ausführung 
der Rechnung giebt , da der Integralquotient nach (3) S. 333 gleich 

1 — c ist : 

-Ä,t(l-c), 

d. i. nach (4) und (3*) S. 333 gleich 

(4) und (5) zusammen geben als Mittelwert der Erhebungen hi für 
einen Kontinent mit Rücksicht auf die Schwerpunktsverschiebuug: 

H V- 16Ü 0-472') }• ^^^ 

Für 3©/^ : ©„ =» 4000"» wird dies: 

Diese Formel gilt zunächst nur für einen cylindrischen Kontinent; 
wird zur Berücksichtigung der Böschung anstatt a der yergröfserte 
Radius d nach S. 324 (1) eingeführt, so giebt (6) bezw. (6*) den 
Durchschnitt der Erhebungen über die Küste hinaus bis zu einer 
Stelle, welche vertikal über der Mitte der Abböschung liegt. Indessen 
kann man sich auch hier recht^wohl mit diesen Formeln begnügen. 

§ 28. Kleinste Erhebung der gestörten Nireaufläche. Be- 
rücksichtigt man die Schwerpunktsverschiebung, so liegt die kleinste 
Erhebung nicht mehr diametral gegenüber der Mitte des Kontinents 
in M ^ sondern ungefähr bei einem Winkel y «= 90®, wie der Augen- 
schein lehrt. 

Nehmen wir an, dafs für die Stelle des Minimums die Formel 
(2) S. 329 noch ausreicht, so wird mit Rücksicht auf den Einflufs der 
Schwerpunktsverschiebung nach (5) S.333 in hinreichender Annäherung 


_4a 
15000 


Äa- 


8©^ Ä« 




Differenziert man die Parenthese nach y und setzt den Differential- 
qnotienten gleich null, so wird als Bedingung des Miniraums erhalten: 


y 

C08 -^ 




33C *. Kapitel. Der Einfinfa gegebeoer HasBen. 

oder reduziert: 

8 (l ~ /jj.) sin» l" — I , d. h. sehr nahe y = 60» , (2) 
mit 

(*.)-. -^*„^?(. + ^)- (3) 

Wie wir später sehen werden, gilt die Formel (2) S. 339 in der That 
mit genügender Genauigkeit bis y = f^*" Buch noch fQr Europa-Asien, 
sodafs der ÄuEdruck (3) das Minimum ziemlich korrekt giebt. 
Indem wir in (3) Z&D:&„ = 4000" einsetzen, wird 

(A„U=500^-(l+/^)- (3-) 

§ 20. Znsammenstellang der Formeln fQr die Störung» 
Wirkungen eines Kontinents mit RUcbsicht anf ScbwerpnulttA- 
Terscbiebnng. 

Wir setzen hierbei sogleich 30/* :©„ i= 4000'"; im einzelnen 
Q =• 1,8, Z) ^ 4000". a ist der ebene oder sphärische Radius des 
Kontinents, v sein Böschungftwinkel , end- 
- "' lieh [S. 324 (1)1 

o' — a + 2000 cotv . (1) 

Die Erhebung innerhalb von b <^ null 
bis a, also bis zur Küste und noch etwas 
darüber hinaus bis zur Mitte der Böschung, 
folgt aus S. 315 {5») und S. 333 (5*) gleich 

Aufserhalb in der Nähe der Küste, tod 
;» = «■ an ist die Erhebung nach S. 318 (7*): 


-Sm. 


-1000j,(l-,yc(,a,, (3) 
wobei 

Y^q,<'^=Ofmi>^. (3*J 

In QnAn ■" ^ 

Von y gleich 90" bis \m> ist nach S. 329 (2«) 

A„ = 500 --^-1000^ (" - S) "«"^ ■ (^' 

Das Intervall von der Nähe der Küste bis y = 90" füllen wir bei der 
folgenden numerischen Anwendung dadurch aus, dafs wir (3) bis 


§ 29. ZusammenstelluDg der Formeln für Kontinente. 337 

y = 90^ und (4) bis zur Küste anwenden und sodann mit Benutzung 
graphischer Darstellung aller h verbesserte Werte aufsuchen. 

Die grofste Erhebung innerhalb findet statt in der Mitte M des 
Kontinents und beträgt nach (2) mit b =^ 0: 

W-o. = 1^- - IWO ^ (l - ^) >, (5) 

die gröfste Erhebung aufserhalb liegt diametral gegenüber M und 
beträgt nach (4) mit y = 180« : 

(Äa)«.« = 5005^ + 1000j;(l--^). (5*) 

Die kleinste Erhebung liegt nach dem vorhergehenden Para- 
graphen nahe bei y » 60» and beträgt angenähert 

Die mittlere Erhebung eines Kontinents ist nach S. 33ö (6*) gleich 

16000 r 16Ä V 4ÄV 1 • ^^^ 

Den Mittelwert aller h für die ganze Oberfläche leiten wir aus- 
reichend genau aus einer Tafel der h ah, welche h für y von 10 zu 
10^ giebt, indem wir bilden 

27Ä siny : 27 siny . (8) 

Dies ist ein Näherungsausdruck; entsprechend dem strengen Ausdruck 

I h Hiny dy 1 sin y dy . 

Er genügt aber völlig, und es ist nicht erforderlich, strengere Formeln 
der mechanischen Quadratur anzuwenden*). 

Der Mittelwert (8) läfst sich aber noch auf eine ganz andere Arl 
berechnen. Schon im 2. Kap. S. 66 ist angegeben , dafs der Mittel- 
wert des Potentiales v für alle Punkte einer die betreffenden Massen 
umschliefsendeu ; zum Schwerpunkt konzentrischen Kugelfläche gleich 

*) Die beiden Summen in (8) entsprechen der einfachsten Formel der me- 
chanischen Quadratur, welche für 

fydx 


setzt 


^« (y yo + Vi + y« H \-yn-i+Yyn) 


Im vorliegenden Falle sind y^ und y^ gleich nall. 

Über die SimpsonBche Regel vergl. weiterhin § SS. 

Uelmert, inathem. u. phyaikal. Tbeorieen der höh. Geodiiie. II. 22 


338 *• J^apitel. Der Einflufs gegebener Maasen. 

^2 . Masse : Radius ist. Jetzt handelt es sich allerdings um das Poten- 
tial V von Massen; die auf der betreffenden Kugelfläche selbst liegen 
und deren Schwerpunkt nicht in den Kugel mittelpunkt fallt. Jedoch 
gilt der Satz auch hier, wie sowohl aus der Theorie der Kugelfunk- 
tionen folgt, als auch leicht direkt zu beweisen ist. Denn das Potential 
der Anziehung eines Masseneletnentes dm auf einen Punkt derselben 

Kugelfläche im Abstände e ist k^dmie, oder für e^2R sin ^ gleich 


222 sin -^ 


Die Anzahl dieser Werte für denselben Abstand e^ d.h. denselben 
Wert y auf einem Ringe von der Breite Rdy^ ist proportional 
2n %\uy dy und daher der Mittelwert aller v gleich 


fc*dm / Biny dy c% i - ^ j : ^'d 



nk^dm i fäxLf dy o_ / _.- i.. j .• k^dm 

7 
2 

Der Satz gilt also für das Massenelement dm und ebenso auch far 
die ganze Masse. 

Da nun h der Quotient v : G ist, abgesehen von dem Einflufs der 
Schwerpunktsverschiebung, der sich im Mittel für die Oberfläche auf- 
hebt, so mufs der Mittelwert von h gleich sein der gesamten stören- 
den Masse mal (Jc^ ' RG), d. i. 

also für ^&D : Sm = 4000 gleich 

1000 g . (8») 

Die Vergleichung mit (8) gewährt eine Kontrolle. Auf eine an- 
dere Probe kommen wir am Schlüsse des § 34 zu sprechen. 

Zieht man den Mittelwert (8) von den Werten A ab, so erhält 
man Höhen K einer Parallelfläche zu der bisher betrachteten Niveaa- 
fläche, die mit gleicher Annäherung wie diese eine Niveaufläche ist 
Die Fläche der K und die Kugelfläche konzentrisch zum Schwerpunkt 
S verhalten sich zu einander wie Niveaufläche und zugehöriges Niveau- 
sphäroid (Normalsphäroid); insbesondere entsprechen die K den A 
des 3. Kapitels. Die Summe der K für die ganze Oberfläche ist ebenso 
wie diejenige der N gleich null. 

Wir werden weiterhin die erwähnte Kugelfläche bezüglich der 
Niveaufläche der h' das normale Niveau nennen. 


§ 29. Zusammenstellung der Formeln für Kontinente. 339 

Die Lotstorung im Sinne einer Anziehung des aufgehängten Lotes 
nach der Mitte des Kontinents M hin folgt nach S. 316 (7*) und S. 333 
(6*) innerhalb des Kontinents bis zur Küste^ also für b «= null bis a, 
aus der Formel: 

„4-*'Tl*'e)-4^)l-<'('-Ä)- (9) 

Der Wert des 1. Gliedes von jii ist an der Küste mit ^ »» a nach 
S. 325 (4) bis (6) unter Voraussetzung flacher Böschungen genauer 
gleich 

mit 

* " a + 4000 cot» ' (^^) 

Ist der Abfall an der Küste so steil, dafs cotv < 6^ so wird die 
Formel (9) für die Küste unbrauchbar^ weil alsdann der Abstand der 
Küste vom Rande der Scheibe mit dem Radius a kleiner als 3/> ist 
(§ 21 S. 319). Formel (10) versagt aber erst für cotv<3. Bei 
vertikalem Abfall der Küste ist (7*) S. 324 zu benutzen. 

Für y ^ 90» ist die Lotstorung nach S. 330 (3*) und S. 333 (6») 

*»8«k. Ä« Bin y- tan ^ ^ ^ ^^ ^ 

Diese Lotstorung hat iusofern wenig Interesse, als nur ihr 1. Teil 
den Krümmungsradius beeinfluist, was bei den! 2., von der Schwer- 
punktsverschiebung erzeugten, nicht der Fall ist. Der 1. Teil ist aber 
der kleinere und sein Einflufs auf (» nur höchstens ein paar hundert 
Meter (S. 330). 

Für den Krümmungsradius hat man nach (10) S. 317 innerhalb 
des Kontinents die Relation 

1 iL. 1200 a« ^'(a')-(^- 7^)^(1)1 .,„. 

\ ^ ) 

Hierin ist für K^ um (>,• auf diejenige Niveaufläche zu beziehen, deren 
Lage durch die Erhebuugen U gegen die zum gestörten Schwerpunkt 
konzentrische Kugclfläche R markiert ist, gleich zu setzen: 

R -f dem 1. Teil von Ä, aus (2) — dem Mittelwert (8). 

Die Formel (12) giebt eine Annäherung für 1 : (»,* innerhalb der- 
selben Grenzen wie (i^ 

22* 


340 4. Kapitel. Der Einflufö gegebener Massen. 

§ 30. Numerische Auswertung der elliptischen Integrale 

K und E. Zur Berechnung der Werte der Integrale 

n 


^ ^^ r < ^y 

J Vi — X* sin* (f 


und 


8 


'-/■ 


yi — X* sin* 9 dq> 


giebt es verschiedene Methoden, die hauptsächlich von Legendre, Gaufs, 
Jacöbi und Weierstrafs herrühren. Die bequemsten Formeln bietet 
die Theorie der elliptischen Funktionen , aus welcher wir die nach- 
stehenden Formeln auswählten, die sich für uns beim Gebrauche am 
vorteilhaftesten herausstellten."') 

Bezeichnet q eine gewisse, von Jacobi eingeführte, von x ab- 
hängige Hilfsgrofse, so ist 


mit 


mit 


ir = f • j 1 + 2(7 + 2y* + 2^^ + . . . j ', (I) 

\ = 1,5708 . . . , log y = 0,19612 . . . ; 

2n^ = 19,7392 . . . , log (2jr2) = 1,29533 


Hieraus folgt E bei bereits berechnetem K . Zur gleichzeitigen 
Eontrolle für 9, E und K dient die Gleichung 

Ä' — F==^ g-4g' + 9g^ -... ,ox 

^ ä: 1 -2g + 2g«--2g» + ... ' ^^ 

Bei der Berechnung der h^ A und p werden aufser E die durch 
(2) und (3) direkt gelieferten Kombinationen von E und K gebraucht 

Zur Ermittelung von q aas x dienen Tabellen. Wir benutzten 
diejenige, welche Schlömilch im 2. Bande seines Kompendiums der 
höheren Analysis nach Jacobi, Creltcs Journal Bd. 26 1843 S. 93, 
im Auszug, aber mit der Erweiterung giebt, dafs auch x selbst als 
Argument auftritt (bei Jacobi nur q^ arc sin x) . 


*} Formeln und Lehrsätze tum Gebratiche der elliptischen Funktionen, 
Nach Vorlesungen und AufzeichnuDgen des Herrn Prof. K, Weierstrafs be- 
arbeitet und herausgegeben von H. A. Schwäre. GOttingen 1881/82. 


§ 30. Nnmerische Auswertung der elliptischen Integrale K und E. 34 L 
Bei direkter Berechnung von q ermittelt man zunächst 


X» 


1+^1 - X» 


(4) 


O 

Setzt man x »= sina und cos^ «= ^cosa , so ist / = tan^ -|-*. Dann 
wird 

'-(4)+2(4)'+>^ar+'«'(4)"+ ■ ■ w 


Ist X nahezu eins, so berechnet man besser zunächst 


(6) 


oder für cos^' ■= J^x, /' == tan' ^ und 


Alsdaun folgt q aus der Gleichung: 

(— log q) (— log q) = Ä^^orf' -= num log 0,26986836 . (8) 

Alle Reihen konvergieren so stark, dafs meist nur das erste Glied 
oder die beiden ersten Glieder für unsere Zwecke erforderlich sind. 

Die Formel (1) findet sich bei Weierstrafs- Schwär g S.61 unter (7) ; (2) und (3) 
auf 8. 44 unter (16) und (16); (4) und (5) auf S. 61 unter (3); (8) folgt 
aus S. 61 (2) Nr. 2 und S. Dabei ist zu beachten, dafs q daselbst mit h 
bezeichnet ist. Die in den Gröfseu auftretenden drei Wurzeln e einer 
kubischen Gleichung^ in der der Koefficient des Quadrats der unbekannten 
null ist, sind definiert durch das System 

«. + «. + «.-0 x«-^~^'- 

Die 2. Relation sagt, dafs e, >> e, > e^ ist, da x' "> 1. Schreibt man sie 
in der Form 

K'e, -e,+ (l -x«)r, — 0, 

so giebt sie mit der 1. Relation die Proportion 

«I : e, : e, =» 2 - X» : — (1 — 2x«) : — (1 + x«). 

Mit Hilfe dieser Proportion gelangt man ohne Schwierigkeit zu unseren 
Formeln, wenn man noch beachtet, dafs nach 8. 61 (1) das in den citierten 

Formeln auftretende coi und o gleich K: Vci — e^^ nach 8. 31 (2) 
und nach 8. 6i .a a» 2 ^ v »■ 3 ist. 


342 


4. Kapitel. Der Einflars gegebener Massen. 


Für einige Werte vou x, die im Folgenden besonders häufig ge- 
braucht werden, stellen wir A^, E u. s. w. zusammen: 


X 

log? 

+ 10 

9 

K 

E 

1 

j 

',E (1 yi*)K 

K E 

X 

E- (1— x«)jr 

X*(l — X«) 

0,0 oo 

0,0000 1,571 

1,571 

0,000 

0,00 

0,79 

0,1 

6,80 

0,0006 1,575 

1,567 

0,008 

0,08 

0,80 

0,2 7,40 

0,0025 1,587 

1,555 

0,032 

0,16 

0,82 

0,3 7,77 

0,0059 

1,608 1,534 

0,071 

0,25 

0,86 

0,4 j 8,037 

0,0109 

1,640 1,506 

0,128 

0,34 

0,95 

0,5 8,255 

0,0180 

1,686 1,468 

0,203 

0,44 

1,08 

0,6 

8,445 

0,0279 1,751 1,418 

0,297 

0,56 

1,29 

0,7 

8,623 

0,0420' 1,846 1,355 

0,414 

0,70 

1,66 

0,8 8,803 

0,0635 1,995' 1,276 

0,558 

0,90 

2,42 

0,9 9,0101 

0,1023 

2,280 1,171 

0,738 

1,23 

4,80 

1,0 

10,0000 

1,0000 

oo 

1 

1,000 

1,000 

cx> 

oo 


In Bezug auf die ersten und letzten Werte der Kolumnen ist 
eine Bemerkung nötig. Für x = null ist nach (4) und (5) auch q 

null; damit wird nach (1) A^«» -^ und nach (3) E^^ K . Ist x sehr 

klein, so ist nach (4) und (5) sehr nahe ^ «= x^ : 16, und zwar um 
so genauer, je kleiuer x. Hiermit und im Hinblick auf (3) und (4) 
ist ersichtlich, dafs für x = null {K —' E) : x gleich null und 

[^ _ (1 _ x')A^] : x'(l - x') = ^ wird. 

Ist X »s 1 , so wird nach (7) und (8) ^ = 1 und nach (1) E un- 
endlich grofs. Den Wert von E kann man in diesem Falle aus (2) 
und (3) nicht entnehmen; er folgt aber leicht aus dem definierenden 
Integral zu 1. 

Ist X sehr nahe gleich 1, so ist sehr nahe 


E = lognat 


Kr=r 


E=l 


und zwar für x = 0,9999 ersteres bis auf V25000 1 letzteres bis auf 
V2000 ^^^ betreffenden Integralwertes.*) Hieraus erkennt man, dafs 
(1 — x'^)E für X = 1 gleich null wird, womit sich die angegebenen 
Werte der drittletzten und letzten Kolumne obiger Tafel für x «= 1 
sofort ergeben. 


*) Genaueres siehe in Schlömtlchs Kompendium der höheren Änälysis Bd. ?, 
Braanschweig 1866, S. 316 und 317. 


§ 31. Störungen durch Europa- Asien. 


343 


§ 31. StSrungen durch Europa- Asien. Wir behandeln spe- 
ziell den gröfsten und den kleinsten Kontinent; jenen zuerst. Nach 
S. 313 ist dafür 

ff = 0,66Ä = 4200000'«. (1) 


Setzen wir fQr den Boschungswinkel v der Küste 

cotv — 100, 

so ergiebt sich nach (1) S. 336: 

a' = 4400(X)0"* = 4400*«. 


(2) 


(3) 


Nach (2) S. 336 sowie nach (9) und (12) S. 339 ist nun, wenn 
A' und E auf x «= ^ : a' bezogen gedacht werden: 

(4) 


Ä( = 880 ;? — 420 cosy 

in Metern 


in Sek. 


40i^-^-9x 


Qi 


==_!.[ 1 + 0,000273 


^- ( i - x«)jr 

X«(l — X») 


1 

I 


(ö) 


(6) 


Wir setzen hierin der Reihe nach und mit Rücksicht auf (3*) 
S.336: 


X« ^ 

a 

1 

1 _ . 



0« 

0,1 

3,96 

0,2 

7,92 

0,3 

11,88 

0,4 

15,84 

0,5 

19,80 

0,6 

23,76 

0,7 

27,72 

0,8 

31,68 

0,9 

35,64 

«/ 

37,80 


Dazu giebt die Tabelle von S. 342 A'und E, ausgenommen für x<=42:44y 
wofür K und E direkt zu berechnen sind. Dieser Wert von x ent- 
spricht einem Küstenpunkte, indem für die Küste b ^^ a =^ 4200000"* 
ist Die Formeln geben mit x »= 42 : 44 der Reihe nach 9*» 0,14700, 
^ « 2,6340, E — 1,0956 und js: — (1 - x«) A' = 0,8615. 


344 


4. Kapitel. Der Einflnra gegebener Massen. 


Man gelangt unn zu i 

folgender Zusammenstellung: 


Zentmms- 
absttod 

b 

Er- 
hebung 

Er- 
hebung 

V 

504» 

Lot- 
störung 

0" 

R' : p, 

1,00022 

1400» 

R-9i 

500» 

Kästen- 
abstand. 

Zentrum 

962» 

1 4200*- 

440*» 

960 

502 

2 

1,00022 

1400 

500 

! 3760 

880 

952 

494 

5 ■ 

'1,00022 

1400 

500 

3320 

1320 

939 

481 

7 

1,00023 

1500 

600 1 

' 2880 

1760 

921 

463 

10 

1,00026 

1700 

800 

2440 

2200 

896 

438 

13 

1,00030 

1900 

1100 

2000 

2640 

863 

405 

17 

{1,00035 

2200 

1400 

1560 

1 

3080 

821 

363 

22 

i 1,00045 

2900 

2200 

1120 

3520 

765 

307 

29 

1,00066 

4200 

3500 

680 

3960 

689 

231 

41 

; 1,00131 

8300 

7700 ! 

240 

4200 

632 

174 

55 

1 

! 1,00291 

18500 

18000 

1 

An der 
Küste. 


Die 3. Rubrik giebt V? gleich hi weniger dem Mittelwert aller 
h für die ganze Oberflache, welcher weiterhin zu 458"* berechnet wird. 

Bezüglich der 7. Rubrik ist zu bemerken, dafs inmitten des Kon- 
tinents Ä'=Ä+ 1382"»— 458«, an der Küste Ä'= ^+964»»— 458"» 
wird. B — Q ist also um 900 bis SOO*" kleiner als Ä' — p , was die 
7. Rubrik für die einzelnen Orte genau berücksichtigt. 

Die Lotstörung an der Küste folgt aus der strengeren Formel 
(10) S. 339, wobei x = 42 : 46, ^ = 0,11030, A^ = 2,3414 und 
jT— ^= 1,1862 wird, gleich 

70 — 8 = 62". 

Nach S. 328 (13) gehen wegen der Krümmung der Erdoberfläche, die 

in (10) S. 339 nicht berücksichtigt ist, 2" ab, sodafs als Lotablenkung 

an der Küste bleiben 

60". 

Wenn man nun bedenkt, dafs in der Regel der Abfall der Küste 
anfangs ein sanfter ist (etwa 1 : 250 bis zu 50^ Abstand) und erst 
in einiger Entfernung vom Lande rascher erfolgt (etwa mit 1 : 100), 
so wird ersichtlich, da(s der in der Tabelle angesetzte Wert von 55'' 
an der Küste den Verhältnissen ganz gut entspricht. 

Einige Sekunden mehr oder weniger sind aber überhaupt an der 
Küste ganz bedeutungslos, insofern hier die Lotstorung in hohem 
Grade von dem Boschungsmafs abhängt. Für letzteres nahmen wir 
1 : 100, weil es ein Wert ist, dem man nach Ausweis der Tiefen- 


§ 31. Störungen durch Europa-Asien. 345 

karten in Andrees Atlas — abgesehen von der Beschrankung auf 
Europa- Asien — vielfach begegnet; so namentlich u.a. an den Küsten des 
atlantischen Oceans von Amerika, Afrika, Spanien. Vielfach ist die 
Böschung aber steiler, namentlich an der pacifischen Küste von Nord- 
und Südamerika, woselbst sie auf rund 1 : 40 steigt, und ostlich von 
Japan und den Kurilen, wo der Abfall nach der 8500*" tiefen Tus- 
carora-Senkung mit 1 : 36 erfolgt. Indessen wird hier die Wirkung 
gemildert durch die Meere, welche die Inseln vom Festlande trennen. 
An der amerikanischen Küste kommt aber die volle Wirkung zur 
Geltung bis auf die Abschwachung, welche auch hier durch das in 
der Nähe des Landes geringere Abfallen entsteht. 

Wir berechnen jetzt noch für das Böschungsmafs 1 : 40 die an 
der Küste stattfindenden Werte im Hinblick darauf, dafs dieses Mafs 
den steilsten Abfall bezeichnet, der 
in gröfserem Umfange an Festlands- 
küsten auftritt. Wir denken uns da- 
bei für eine Küstenstrecke die steilere 
Böschung durch die im allgemeinen 
stattfindende sanftere in der Weise '^ 
unterbrochen , dafs a unverändert 
bleibt, also der Abstand der Küste vom 



I 

Zentrum um die absolut genommene j^^rd 


^ n ^^i -. ..::^U»x ***«• *'■ 


Änderung von —- D cot v wächst, 

vergl. Fig. 57. In den obigen Formeln für hi , Ji und 1 : Qt ist nun 


zu setzen 


a - -V DAO 

b 2 1 «/ 


b — 4320*"* y = 38,88». 


Es wird q = 0,19712, ^ — 3,0668, £ = 1,0466 und £ - (1 — x») AT 
= 0,9359 ; femer 

hi = 594"» Ji -= 73" Ä : p, « 1,00736 . 

Nach der strengeren Formel (10) S. 339 würde sich Ji um 5" 
gröfser ergeben, wovon aber 2" wegen der Erdkrümmung abgehen. 
Der Wert von rund 

ly^ Minute 

kann für Europa-Asien als Maximum der Lotstörung kontinentalen 
Charakters angesehen werden. Durch Kombination mit lokalen Ein- 
flüssen kann allerdings die Lotstörung sich noch erheblich steigern. 
Immerhin aber dürften diese lokal gesteigerten Werte von demjenigen 


346 


4. Kapitel. Der EinflufB gegebener Massen. 


Betrage weit entfernt bleiben ^ der sich an einer vertikal abfallenden 
Küste ergiebt.*) 

Für die vertikale Küste ist bei Festhaltung des Wertes von d 
die Lotstorung aus Formel (7*) 8. 324 zu entnehmen, wobei d für a 
zu setzen ist. Es wird dieselbe mit Abzug von 9" wegen der Schwer- 
punktsverschiebung gleich 154" oder rund 

2'/, Minute. 

Wahrend wir bisher nur die gröfsten Lotstöningen im Auge 
hatten; so ist nun darauf hinzuweisen, dafs vielfach selbst die in der 
Tabelle angesetzten 55" nicht eintreten werden, weil der Abfall der 
Küste überhaupt gering oder bis zu erheblichem Abstände vom Lande 
sehr schwach ist. Dies gilt unter andern für die atlantische Küste 
von Frankreich, England und Norwegen. Insbesondere ist auch zu 
beachten, dafs die mittlere Tiefe der Nordsee nur 89"* beträgt. 

§ 32. Fortsetzung. Den erheblichen Lotstorungen in der Nähe 
der Küste entspricht im Verlaufe der Erhebungen h eine Art Schwelle. 
Um dieselbe zur Anschauung zu bringen, mufs man für die Nähe 
der Küste noch einige Werte ha berechneu, wobei die Formel (3) 
S. 336 zur Anwendung gelangt. Die Schwelle wird am besten aus 



Europa- Asien. 


/risf^^s^^ 


?OT«fÄ >jr"miir 


Mö 9d* iöö m m m m tiö w m m '^ 

Fig. 58. 

beistehender Zeichnung, Fig. 58, die überhaupt alle h von ;/«sO bis 
180® darstellt, y als Abscisse und h als Ordinat« giebt, ersichtlich. 

Zur Konstruktion dienten aufser den Werten hi der Tabelle von 
S.344 eine Reihe von Werten ä«, die für solche Argumente d \b = x 
nach Formel (3) S. 336 ermittelt wurden, dafs die S. 342 angegebenen 
Werte von E — (1 — x') AT benutzt werden konnten. Die Formel 
(3) lautet jetzt: 


E-{\— x»)_K' 
500Ö" 


420 cos y . 


(1) 


Sie wurde bis h = 11000*"» angewandt**). Den Fehler der Formel 
bei diesem grofsen Werte von b zeigt die Formel (4) S. 336, welche 
jetzt mit d = 4400**" lautet : 


*) PK Fischer, Gestalt der Erde S. 92, findet für die Koutinentalkfisten ab- 
gesehen von lokalen Störungen als maximale Lotablenkung etwa 1^ t ^i°* 

**) Die in Fig. 68 mit „Formel (1)'* bezeichnete Kurve ist innerhalb des Kon- 
tinents selbstverständlich mit den früher angegebenen Werten von h^ konatmiert. 


§ 32. Störungen dnrch Europa- Asien. 


347 


ha = 239 C8C ^ — 420 cos y , 


(2) 


and die für y = 90« nach § 25 S. 331 47o, d. i- 14»», zu wenig giebt. 
Diese Formel wurde aufser auf mehrere Werte von y zwischen 90*^ 
und 180® auch auf einige kleinere Werte von y bis an die Küste an- 
gewandt, um ihre mit Annäherung an dieselbe wachsende Fehler- 
haftigkeit zu erkennen. Da die Formel (1) für ö «= 11000**" etwa 
45"' Fehler zeigt, wurde sie nur bis b = 7200*"* beibehalten, an welcher 
Stelle sie mit (2) gleiche Werte giebt; von hier an aber wurde für 
wachsende b Formel (2) angewandt. Die Zahlen sind folgende: 


b 

y 

h 

'« 



nach (1) 

_ j 

nach (2) 

4400*™ 

39,6» 

558» 

383" 

4890 

44,0 

420 

• 

5500 

49,5 

341 

296 

6290 

56,6 

289 

• 

7333 

66,0 

264 

.267 

8800 

79,2 

279 

296 

11000 

99 

348 

379 

13330 

120 


486 

14440 

130 


533 

15560 

140 


576 

16670 

150 


6tl 

17780 

160 


637 

18890 

170 


653 

20000 

180 


659 


Mit Hilfe der graphischen Darstellung folgt nachstehende Über- 
sicht der h fOr y von 10 zu 10": 


81D y 


O«! 962™ 
10 1 946 
20 894 
30 796 
40 542 
50 338 
60 '278 
70 1 270 
80 ! 296 


90 


340 


£ sin y 


0,000 
.0,174 
0,342 
0,500 
0,643 
0,766 
0,866 
0,940 
0,985 
1,000 

11,432 


|659» 
653 
,637 

i|611 
!576 
1533 
'486 

i!442 
392 


18(V' 

170 

160 

150 

140 

130 

120 

110 

100 


£hainy 


hain y 

O" 
278 
524 
704 
719 
666 
662 
669 
678 
340 

5240 . 


348 ^* Kapitel. Der Eioflufs gegebener Massen. 

Der Durchschnittswert der h ist hiermit nach S. 337 (8) gleich 

458"». 

Die Simpson^che Regel giebt bezw. die Zahlen 11,461, 5265 und 459. 

Der Unterschied ist also ganz unerheblich .*) 

Der Durchschnittswert der h folgt andererseits aus S. 338 (8*) 

gleich 

479«, 

der vorige Wert ist somit um 20*" zu klein. Dies kann nicht be- 
fremden, da überhaupt alle Werte A, ausgenommen für ^«=0®, zu 
klein sind, vergl. § 24 S. 327 und § 25 S. 331. Bei 40<» ist der Fehler 
ca. 20"», bei 90<> 14"*, bei 180'» 6«. Dazu tritt nach § 24 S. 329 noch 
für y = 0® bis 60® eine Verkleinerung der Abscissen um ca. 2^/0 , 
was insbesondere bei y «> 30® bis 50® Fehler von durchschnittUch 
18** erzeugt. 

Die mittlere Erhebung innerhalb des Kontinents Europa-Asien 
wird nach Formel (7) S. 337 mit a = 4400000« gleich 802»»; nach 
Abzug von 458 aber für die Niveaufläche der h': 

344«. 

Die kleinste Erhebung ist nach 8337 (6) gleich 267«, die graphische 
Darstellung giebt dasselbe; hieraus folgt die tiefste Senkuug der 
Niveaufläche der h' unter das normale Niveau gleich rund 

190«. 

Zieht man überhaupt 458 von den h ab, so gelangt man zu der 
Übersicht der Erhebungen h' über das normale Niveau, welche 
weiterhin mit den Werten für die anderen Kontinente zusammen- 
gestellt ist. 

§ 33. Storangen darch Australien. Nach 8. 313 ist hier 

a = 0,26ä = 1660000« (1 ) 

Setzen wir wieder für den Böschungswinkel v an der Küste 

cot 1/ = 100 , (2) 

so ergiebt sich nach (1) S. 336 

d = 1860000« = 1860*«. (3) 


*) Die Simpaoiwche Regel setzt für 

fydx 
die Summe 

3- (yo + 4yi + 2y, + 4y, + 2y4 + . . . + 4y^_i + y^) ; 

die Anzahl der im Intervall dx berechneten y mufs also eine ungerade »ein. 
Wenn oben als Ergebnisse der Simpsonachen Regel 11,461 und 5265 genannt 
sind, so ist dabei der Faktor Jx weggelassen. 


§ 33. Störungen durch AuBtmJien. 


349 


Nach (2) S. 336 sowie nach (9) und (12) S. 339 ist nun, Wenn 


K und E auf x = -r bezogen werden : 

hi -= 372 ^ — 83,5 cosy 

in Melem 

40 ?^zA _ 0,8 X 


inStk. 


»< 


^ [ l + 0,000645 


■E— (1 -**)K 

K»'(l — «») 


(4) 
(5) 
(6) 


Wir setzen hierin der Reihe nach und mit Rücksicht auf (3*) 
S. 336: 


X = 


a 


b 
a 






0,1 

P40' 

0,2 

3 21 

0,3 

5 1 

•0,4 

6 42 


0,5 
0,6 

0,7 
0,8 


l«6 


/tse 


8« 22' 

10 3 

11 43 

13 24 

14 56 


AT und E folgen aus der Tabelle S. 342 teils direkt, teils durch Inter- 
polation. Es ergiebt sich damit nachstehende Übersicht: 


Zentvums- 

Er- 

Er- 

Lot- 







abstand 

hebung 

hebung 

störung 

R 

'Qi 

b: 

-Qi 

Ä- 

9i 

h 

V 

V 

^i 








Abstand 

von der 

Küste. 


Zentrum 

öOl» 

417» 

0" 

1,00051 

3200» 

2700» 

1660*» 

186*» 

499 

415 

3 

1,00052 

3300 

2800 

1474 

372 

495 

411 

6 

1,00053 

3400 

2900 

1288 

558 

488 

404 

10 

1,00056 

3600 

3100 

1102 

744 

477 

393 

13 

1,00061 

3900 

3400 

916 

930 

464 

380 

17 

1,00070 

4500 

4000 

730 

1116 

445 

361 

22 

1,00083 

5300 

4800 

544 

1302 

422 

338 

27 

1,00107 

6800 

6300 

358 

1488 

393 

309 

35 

1,00156 

9900 

9500 

172 

1660 

308 

274 

47 

1,00289 

18400 

18000 

An der 
Kflate. 


Die 3. Rubrik giebt h/ = A, weniger dem Mittel aller h für die 
ganze Oberfläche, welches weiterhin zu 84''* berechnet wird. 

Die Lotstörung an der Küste folgt aus der strengeren Formel 
(10) S. 339 mit x « 166 : 206, für welchen Wert (A' - £) : x aus 
der Tabelle S. 342 interpoliert werden kann, gleich 

53,4 ~ 0,7 — 62". 


350 4* Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

Da die aastralische Küste meist sehr flach ist^ entspricht der 
Tabellenwert von AT' den thatsächlichen Verhältnissen genügend. 
Doch kommt im Südosten auch eine sehr steile Böschung vor. 

Setzen wir mit Rücksicht hierauf cot i; = 40 und behalten den 
Wert von ä wie oben bei, so wird in diesem Falle für die Küste 

b = 1780*^ y = 16,02» 
^ ^ ^ 178 


a 186 ' 

q «= 0,15007, K = 2,659, E — 1,091 und i: — (1 — x') AT = 0,868, 

hi = 326«, Ai^6b'\ R: p. = 1,0072 . 

Die strengere Rechnung nach Formel (10) S. 339 giebt hier 71". 

Für vertikalen Abfall folgt mit Beibehaltung von a nach S. 324 
(7*) als Lotstoning an der Küste 144", also rund 

2V2 Minute. 

Um eine Übersicht der h zu gewinnen, wurde nachstehende 
Tabelle aufgestellt, S. 351, zu deren Berechnung teils obige Zusammen- 
stellung teils die Formeln (3) und (4) S.336 dienten, welche hier lauten: 

ha = b \^^-^~ 83,5 cos y (7) 

mit „ ö 

und ha = 42,7 esc -^ - 83,5 cos y . (8) 

Definitiv angenommen wurden die Werte von ha nach Formel 

(7) bis y «=» 40^, von da ab diejenigen nach Formel (8). 

Der Durchschnittswert der h folgt nach S. 337 (8) gleich 83,5 

oder abgerundet 

84"»; 

die Simpsonsche Regel giebt dasselbe, Formel (8*) S. 338 85"*. Ziehen 
wir ersteren Wert von den h ab, so erhalten wir die Hohen h' in 
Bezug auf das normale Niveau. Diese Höhen h' zeigt die weiterhin 
folgende Übersicht 

Der kleinste Wert ä« folgt nach S. 337 (6) gleich 44«, überein- 
stimmend mit nebenstehender Tabelle; nach Berücksichtigung der 84"" 
ergiebt sich hieraus die grofste Senkung der Niveaufläche der // unter 

das normale Niveau gleich 

40'«. 

Die mittlere Erhebung innerhalb des Kontinents Australien wird 
nach Formel (7) S. 337 gleich 425"», nach Abzug von 84"» für die 
Niveaufläche der h' gleich 

341»». 


§ 34. StOmngen durch Afrika, Nord- and Sfld-Amerika. 


351 


h nach 


(4) bezw. (7) (8) 



1110*™ 
2220 
3330 
4440 

5560 

6670 

7780 

8890 
10000 
llllO 
12220 
13330 
14440 
15560 
16670 
17780 
18890 
20000 

§ 34. Stomngen durch Afrika, Mord- and Sfid-Amerika; 
Obersieht der Hohenstorongen. Für diese drei Kontinente wurden 
nur die HöbenstSrungen nach folgenden, aus § 29 S. 336 hervorgehen- 
den Formeln berechnet, wobei gesetzt wurde mit Rücksicht auf die 
Werte der Radien a nach S. 313 und mit cot v = 100 für 


0» 

501"» 

• 

10 

445 

• 

20 

195 

• 

30 

97 

93"" 

40 

60 

60 

50 

45 

47 

60 

40 

44 

70 

• 

46 

80 

• 

52 

90 

56 

60 

100 

■ 

70 

110 

• 

81 

120 

• 

91 

130 

• 

101 

140 

• 

110 

150 

• 

116 

160 

• 

122 

170 

• 

125 

180 

• 

126 


Afrika : a 

Nord- Amerika: 
Süd> Amerika: 


3260000' 

2940000 

25600Ö0 


Die Formeln geben sofort die Erhebung h' gegen das normale 
Niveau, indem der nach S. 337 (8) berechnete Mittelwert der h den- 
selben subtraktiy beigefügt wurde. Sie lauten für 


Afrika: 


"" " 6000 


;? 


f} 


ha 

Nord-Amerika: /</ 


A/ = 652 i: — 245co8y — 256 

bis y^50» 

„ „ von y — 60* au, 

588 iE: — 202 cos y — 208 

bis y — 50« 


131 CSC ^ 


'*• '^ 6000 


7> 


Ji 


106,5 C8C -^ 


}} 


U 


von y i— 60** an, 


352 4* Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen. 

Süd- Amerika: Ä/ = 512 E — 155 cos y — 159 

'*'» ^ 5000 " '* y — w 

Äa' = 81 C8C -^ „ „ von y = 50® an. 

In Ä/ bezieht sich E immer auf x =^ b : a\ in ha auf x = a' : &. Der 
Mittelwert der Ä, welcher bezw. zu 256, 208 und 159 berechnet ist^ 
folgt aus S. 338 (8*) bezw. zu 262, 213 und 162. 

Die tiefste Senkung der Niveaufläche der h' unter das normale 
Niveau wird nach S. 337 (6) gleich 

116« für Afrika 
96 „ Nord-Amerika 
75 „ Süd-Amerika. 

Alles übrige zeigt die nebenstehende Tabelle. 

Zu derselben ist nur noch bezüglich der letzten, mit Eontrolle 
bezeichneten Zeile zu bemerken, dafs die darin enthaltenen Zahlen 
aus der Berechnung von 


— / Ä' sin 2y dy 

u 


nach der Stmpsonschen Regel hervorgegangen sind. Diese Zahlen 
geben den Abstand des Volumenschwerpunktes des von der gestörten 
Niveaufläche eingeschlossenen Raumes vom gestörten Massenschwer- 
punkt. Denn das statische Moment dieses Raumes in Bezug auf eine 
durch letzteren Punkt normal zu dem, nach dem Mittelpunkt des be- 
treffenden Kontinents gezogenen Radius gelegte Ebene ist gleich 


nR^ ffi si 


smy cosy <fy , 

das statische Moment des im Volumenschwerpunkt vereinigten Vo- 
lumens aber sehr nahe 

wenn x den Schwerpunktsabstand bezeichnet. Die Gleichsetznng 
beider Ausdrücke führt zu obigem Resultat. 

Nach S. 258 mufs dieser Abstand null sein oder dürfte nur ein 
paar Meter betragen, da im vorliegenden Falle die dort erörterte Be- 
dingung für das Zusammenfallen beider Schwerpunkte noch besser 
wie bei der Erde erfüllt ist. Die berechneten Werte der letzten 
Horizontalreihe der Tabelle rühren daher wesentlich von den, Fehlern 
in den Ausdrücken für ?i her, auf die schon früher — für Europa- 
Asien S. 348 — aufmerksam gemacht wurde. 


§ 84. Störungen durch Afrika, Kord- und Söd-Amerika. 


353 


Uöhenstörungen h' der Niveauflächen gegen das normale Niveau durch 

die Kontinentalmassen. 



Bnropa- 

Afrika. 

Nord- 

SU- 

Aastra- 

1 

Arien. 
+ 504« 

Amerika. 

Amerika. 

lien. 

0» 

+ 523" 

+ 514" 

+ 490" 

+ 417« 

10 

+ 488 

+ 496 

+ 483 

+ 453 

+ 361 

20 

+ 436 

+ 405 

+ 376 

+ 315 

+ 111 

30 

1 +338 

+ 150 

+ 87 

+ 46 

+ 13 

40 

1 + 84 

- 36 

— 37 

- 34 

— 24 

60 

- 120 

— 99 

- 83 

- 67 

- 37 

60 

— 180 

- 116 

96 

74 

— 40 

70 

— 188 

-111 

— 91 

— 70 

- 38 

80 

— 162 

- 95 

- 77 

- 60 

- 32 

90 

i -118 

70 

- 57 

- 44 

24 

100 

— 66 

— 42 

- 34 

26 

- 14 

110 

16 

— 14 

-r 7 

— 7 

— 3 

120 

: + 28 

+ 18 

4- 16 

+ 12 

+ 7 

130 

, + 75 

+ 46 

+ 39 

+ 30 

+ 17 

140 

+ 118 

+ 71 

+ 60 

+ 45 

+ 26 

150 

+ 153 

+ 92 

+ 77 

+ 58 

+ 32 

160 

+ 179 

+ 107 

+ 90 

+ 69 

+ 38 

170 

+ 195 

+ 117 

+ 98 

+ 75 

+ 41 

180 

+ 201 

+ 120 

+ 101 

+ 77 

+ 42 

Zentrum 

1 





dee EoDtinentt: 






GtogT. Bntt* 

, +48» 

4- 7,5» 

+ 51» 

- 13» 

— 25» 

OlU. Ung* ron Fcro 

95 
38» 

1 

37,5 

280,5 

1 ' 

318 

152 

lUdiiu a 

27,5» 

24,5» 

21,5» 

15» 

Mittlen £rbebiiDg 






innarhftlb 

, 344" ' 

384" 

384" 

375" 

341" 

de« KoDtiMDte 

1 

1 

t 

— 14» 

— 10" 




KonlioUe 

_ 8" 

_4" 

-1» 


Nach Hann, Gaea 1876 Bd. 12 S. 79, hat Saigey 1842 in der Schrift 
PeMe Physique du Glohe für kreisf^nnige Kontinentalscheiben berechnet 
die HOhenstörungen der Niveauflftchen im Zentram und an der Küste, 
Bowie für innerhalb im Durchschnitt; jedoch sind die Dicken der Scheiben 
nur den Erhebungen übers Meer proportional angesetzt. 

JBrtms berechnet 1878 in seiner Figur der Erde S. 22 bis 24 die Höhen- 
störungen, welche ein Kugelzweieck von der ungefähren Gröfse Amerikas, 
das Yon Pol zu Pol geht, auf dem Äquator erzeugt. Er geht von einer 
homogenen Kugel ohne Wasserschicht aus, l&fst die Östliche Halbkugel 

H«liii«ri, m*th«Bi. n. phyiikal. Tboori««ii der hob. 0«odftii«. II. 28 


354 4* Kapitel. Der Einflalfl gegebener Maäsen. 

ungeändert und bringt auf der westliches positive und negative Beläge, ent- 
sprechend dem übers Meer hervorragenden Festland und dem Wasser, an. 
Diese Annahme ist nicht wesentlich von der unsrigen verschieden ; es war 
für uns nur bequemer^ das Meer nicht durch einen BelvLg zu ersetzen. Da- 
gegen vermögen wir nicht einzusehen, dafs für den Äquator die ösÜiche 
Halbkugel wenig Einflufs habe, da sich thatsächlich hier ein der Wirklich- 
keit entsprechender, positiver und negativer Belag gar nicht balancieren. 
Die Lotstörüngen ermittelt Bruns nur beiläufig aus den HöhenstÖrungen, 
also an den Küsten etwas zu klein. 

§ 35. Zasammen Wirkung der Störungen der 5 Kontinente. 

Die Störungen h'y welche jeder Kontinent einzeln giebt, setzen sich 
zur gesamten Storungswirkung der fünf Kontinente einfach durch al- 
gebraische Addition zusammen. Als Normalniveau tritt dabei eine 
zum Gesamtschwerpunkt konzentrische Kugelfläche vom Radius B auf. 

Denken wir uns nämlich fünf Kontinente auf der ursprünglich 
vorhandenen Kugel angenommen, so setzt sich für irgend einen 
Punkt der Oberfläche der Zuwachs des Potentials offenbar aus den 
Potentialen v zusammen, die nach der früheren Rechnung jeder Kon- 
tinent einzeln giebt. Was aber für die v gilt, gilt auch fOr die 
ersten Teile h^ der Störungen h, welche ja gleich v : G sind. 

Aufserdem entsteht nun eine Schwerpunktsverschiebung Ä und 
infolge derselben vermindert sich h um XcosF^ wenn F der Winkel 
ist, welchen die Richtung der Schwerpunktsverschiebuug mit der 
Richtung vom Zentrum nach dem betreffenden Oberflächenpunkte P 
einschliefst. Jedem Kontinent einzeln möge eine Schwerpunktsver- 
schiebung x^, 1=1, 2, 3, 4, 5 , mit einem Winkel y, bezüglich der 
Richtung nach P entsprechen. Dann ist aber in hinreichender An- 
näherung 

Ä cosjT = x^ cos/i + X2 cosy^ + • • • + ^5 cosy^ , 

wie man sofort erkennt, wenn man sich die Kontinente successive 
zur Kugel hinzugesetzt denkt und den hierbei von den Schwerpunkta- 
verschiebungen o;, , x^, ... ^5 gebildeten Linienzug betrachtet Die 
Gleichung zeigt» dafs die Einflüsse der Schwerpunktsverschiebungen, 
also die zweiten Teile der h, bezüglich der einzelnen Kontinente sich 
bei der Gesamtwirkung ebenfalls algebraisch addieren. 

Schliefslich ist es offenbar auch gestattet, von allen A- Werten 
eine Konstante hm abzuziehen, indem dies der Konstruktion einer 
Parallelfläche entspricht, die (falls nur die Konstante nicht gar zu 
grofs ist) ebenso genau eine gestörte 2<liveaufläche vorstellt^ wie die 
durch die h gegebene. Ob diese Konstante auf einmal oder in fünf 
Teilen angebracht wird, ist für den Effekt gleichgültig; das successive 
Vorgehen führt aber ganz von selbst zu einem solchen Wert der 
Konstanten, dafs bei der Gesamtwirkung der Kontinente die Summe 
der h' für die ganze Oberfläche gleich null wird. 


§ 35. Zusammenwirkung der Störungen der fünf Kontinente. 355 

Behufs Ausführang der Addition der h' wurden die in Bezug 
auf den Meridian von Ferro östliche und westliche Halbkugel in 
stereographischer Projektion , mit Graduetz von 10 zu 10^^ benutzt. 
Die in der Tabelle 8. 353 aufgeführten Mittelpunkte der Kontinente 
wurden eingezeichnet und um jeden herum Kreise von 10 zu 10^ 
Zuwachs in y aufgesucht. Dieses ist sehr leicht, da die Projektionen 
solcher Kreise wieder Kreise sind, deren Mittelpunkte alle auf einer Ge- 
raden liegen. Die Hilfskreise erhielten für jeden Kontinent eine andere 
Farbe^ in welcher nun auch die Höhenzahlen h' angeschrieben wurden. 
(Die endgültige Zeichnung, Tafel I^ enthält diese Kreise nicht mehr.) 

Um nun Kurven gleicher Summen der h' zu erhalten, wurden 
Profile der entsprechenden Niveaufläche, insbesondere entlang der 
Parallelkreise, abgeleitet. Im letzteren Falle z. B. wurde der Parallel- 
kreis auf Millimeterquadratpapier ausgestreckt und in seinen Schnitt- 
punkten mit den Hilfskreisen eines ersten Kontinents die zugehörigen 
h' aufgetragen, deren Endpunkte aber durch eine Kurve verbunden. 
Auf diese letztere wurden die h' eines zweiten Kontinents aufgetragen 
u. 8. f. Die letzten Kurven wurden durch Parallelen zur Abscissen- 
axe in 100'* Äquidistanz geschnitten, die Schnittpunkte aber auf die 
Parallelkreise zurückgetragen. Das Resultat zeigt Tafel I. 

Die Kurven gleichen A'- Wertes geben auch ein, wenngleich 
rohes Mittel, um die Lotstörung und die Abweichung des reziproken 

Krümmungsradius (^ von ^zu taxieren. Man kann sich dabei u. a. 

des graphischen Verfahrens bedienen, indem man für irgend ein Pro- 
fil die A' als Ordinaten normal zu einer geradlinigen Abscissenaxe 
auftragt, die Profilkurve zeichnet und über denselben Abscissen zu- 
nächst eine zweite Kurve konstruiert; deren Ordinaten den trigono- 
metrischen Taugenten der Neigungswinkel der ersten Kurve gegen 
die Abscissenaxe proportional sind. Diese Ordinaten repräsentieren 
in irgend einem Mafsstab die Lotstörungen. Indem man ferner auf die- 
selbe Art aus der zweiten Kurve eine dritte Kurve herleitet; erhält 

man Ordinaten proportional l -^ , d. h. proportional den Stö- 
rungen in 1 : p. 

Übrigens lehrt schon der Augenschein, dafs die Zusammenwirkung 
der Kontinente die für die Einzelkontinente gefundenen Zahlen für 
Lotablenkung und Krümmungsstörung im ganzen nicht bedeutend 
ändert, aber eher mildert als verschärft. 

Wir müssen im Anschlufs an Tafel I noch darauf hinweisen, dafs 
die bisherigen Annahmen Ober die Dicke der Kontinentalplatten nicht 
ausreichen, um einen Zustand auf der physischen Erdoberfläche her- 
beizaf&hreu, welcher dem wirklichen ähnelt. Mit den bisherigen An- 
nahmen nämlich würden die Kontinente einfach überschwemmt. 

23* 


356 4- Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

Um dieses einzusehen, beachten wir zunächst, dafs die Niveau- 
fläche der h' von der ursprünglichen Meeresfläche (der Kugelfläche 
vom Radius R konzentrisch zu Cy Fig. 56 S. 336) an irgend einer 
Stelle um h' -\- ^cosF abstej^t, wobei K für dieselbe aus Tafel I zu 
entnehmen ist, während für die Bestimmung von X tosF auf den 
nächstfolgenden Paragraphen, insbesondere die Angaben (8) verwiesen 
werden mufs. Die Niveaufläche der h' liegt hiernach in Europa- 
Asien und Afrika um 600 bis 700^ über der ursprünglichen Meeres- 
fläche, in Amerika 200 bis 300"* , in Australien etwa 50*" über der- 
selben. Die Niveaufläche der K hat nun zwar gleiches Volumen mit 
der ursprünglichen Meeresfläcbe; da aber die Niveaufläcbe der h' an 
den Kontinenten emporsteigt, so schneiden diese aus dem Volumen 
derselben mehr aus, als aus dem der ursprünglichen Niveaufläche. 
Um den Mehrbetrag muls sich die gestörte Meeresfläche über die 
Niveaufläche der h' erheben. Mit Rücksicht auf das Flächen Verhält- 
nis für Meer und Land findet sich als Hebung des Meeresspiegels 
über die Niveaufläche der K rund 200 *". 

Im Durchschnitt für die sämtlichen Kontinente liegt innerhalb 
derselben die gestörte Meeresfläche um 500 -f 200 «» 700"* über der 
ursprünglichen Meeresfläche. Da wir aber als mittlere Höhe der 
Kontinente bezüglich letzterer Fläche 440*" angesetzt haben, so wür- 
den die Kontinente überschwemmt werden. Dies verhindern wir, 
wenn wir letztere Zahl durch 1440"* ersetzen; damit kommen 1000"* 
Dicke vom spezifischen Gewicht 2,8 oder 1560** von der Dichtigkeit 
1,8 zu den bisher für die Kontinentalplatten angenommenen 4000" 
von der Dichtigkeit 1,8. Da nun, abgesehen von den Böschangen 
der Kontinente, die Wirkungen der Dicke proportional sind, müssen 
alle bisher erhaltenen Zahlen im Verhältnis 4000 : 5560 , d. h. um 0,4 
ihres Betrages, vergröfsert werden. Insbesondere gehen die 700"* 
Höhenstörung der Meeresfläche innerhalb der Kontinente in rond 
1000"* über, sodafs nunmehr die Kontinente sich über die gestörte 
Meeresfläche gerade 440"* erheben. 

Man kann noch die Frage aufwerfen, ob die Verschiebung der 
Wassermassen nicht auch die Resultate wesentlich ändert. Dazu ist sie 
indessen zu gering; denn die Meeresfläcbe liegt im gestörten Zustande 
im allgemeinen kaum + 100"* von der ursprünglichen Lage entfernt, 
wie die Berechnung von A' -|- ^ cos r* zeigt. Die gröfste Senkung von 
rund 200 *" tritt östlich von Neuseeland ein, die gröfste Hebung im 
nördlichen Eismeer, woselbst sie an der asiatischen Küste auf rund 800" 
anwächst. Im allgemeinen sammelt sich das Wasser an den Küsten und 
die Wirkung ist eine kleine Verstärkung der hier berechneten Störungs- 
beträge, die aber in erster Annäherung vernachlässigt werden kann. 

Die Zahlen der Tafel I sind nach dem Vorhergehenden um 0,4 
ihres Betrages nach den neuen Annahmen über die Kontinental- 


§ 36. Die SchwerestöraDgeo. 357 

xnassen zu vergröfserD. Die gröfste Amplitude der h' geht damit 
Ton rund 900 in rund 1300"* über. Ohne indessen weiter auf die 
£inzelheiten der von Tafel 1 dargestellten Höhenstörungen K einzu- 
gehen^ wenden wir uns vielmehr sogleich zu der Frage, ob es über- 
haupt zulässig ist, die Störungen der Meeresiläche aus den Kontinental* 
fnassen zu folgern. Um dieses zu entscheiden, müssen wir die ent- 
sprechenden Störungen der Schwerkraft berechnen und mit den Er- 
fahrungen vergleichen. (Die Multiplikation mit 0,4 können wir hier- 
bei vorerst weglassen und uns zunächst auf Tafel 1 beziehen.) 

§ 36. Die Schwerestörungeu. Bei der Berechnung der Schwere- 
störungen können wir uns sogleich alle Kontinente auf der Kugel vom 
Radius R mit dem Mittelpunkt C , Fig. 56 S. 336, angebracht denken. 
Als Begrenzung aller Massen nehmen wir die durch die h' gegebene ge- 
störte Niveauflftche, dergestalt, dafs etwa aufserhalb liegende Massen 
auf dieselbe kondensiert gedacht werden und der Wert g der Schwere- 
beschleunigung für Punkte der Niveaufläche so berechnet wird, als 
läge alle Masse innerhalb. 

Die ursprüngliche Schwerebeschleunigung auf der Kugelfläche 
vom Radius R konzentrisch zu C sei mit G bezeichnet, dann ist sie, 
insoweit die Kugelmasse in betracht kommt, im Abstände h" aufser- 
halb in hinreichender Annäherung gleich 

Dies gilt auch, wenn h" negati? ist, weil wir die aufserhalb der ge- 
störten Niveaufläche liegenden Massen auf diese kondensiert denken. 
Zu (1) tritt nun die Anziehung der störenden Massen, welche 
im wesentlichen als auf einer Kugelfläche vom Radius R liegend an- 
zusehen sind. Nach S. 147 § 4 (8) können wir daher den Anteil der 
Schwerebeschleunigung aus diesen Massen hinreichend genau gleich- 
setzen 

/5-+2«A»d, (SJ) 

wenn v ihr Potential und ^ die Masse für die Flächeneinheit unter- 
halb des betreffenden Punktes bezeichnet, v ist aber gleich h^ G, unter 
h^ den ersten Teil von h, d. h. h ohne Schwerpunktsverschiebung, ver- 
standen, sodafs mit Bezug auf die Werte // nach dem vorigen Para- 
graphen 

h,^h\+h„,+ Äcosr (3) 

wird, worin h' der Gesamtwirkung der Kontinente nach Tafel I ent- 
spricht, also gleich ist der Summe der h' für die einzelnen Konti- 
nente, worin ferner hm die Summe der Mittelwerte der h für die ein- 
zelnen Kontinente bezeichnet und Ä die Gesamtschwerpunktsver- 
sebiebung vorstellt, welche mit dem Radiusvektor nach dem betreffen- 
den Punkte den Winkel F einschliefst. 


358 *■ Kapitel. Der EinßnfB gegebener Maseea. 

Die gestörte Schwerebeschleunigung in einem Punkte der gestör- 
ten NiTeauSäche der h' ist hiermit, insofern für dieselbe h" ^ A, — A« 
wird, gleich 

g = G[\ -^ — + -^^- + j^-^) ■ (4) 

In diesen Ausdruck führen wir den Mittelwert der Beschleuni- 
gungen für die ganze Niveauääche ein. Der Mittelwert von A, ist 
gleich h„. Ferner ist der Mittelwert von Z&:&„, wenn nur ein 
Kontinent vorhaudeu ist, für die ganze Niveanfläche gleich 




d. i. für 3©/> : ®„ = 4000» gleich 

1000 *'| , 

also nach 8. 338 (8*) gleich dem Werte A„ für diesen Kontinent. 
Dasselbe findet sich bei Anwesenheit mehrerer Kontinente, wenn A^ 
alsdann auf ihre Gesamtwirkung bezogen wird. Hiermit ergiebt sieb 
der Mittelwert von (4) gleich 

ff -e[i +"-.). (5) 

Verbindet man dies mit (4), so wird 

Hierzu ist A, direkt durch Summierung der von den einzelnen Kon- 
tinenten erzeugten A, zu bilden, oder aus Forme) ^3) abzuleiten. Bei 
Anwendung dieser Formel ist für ti der durch die Tafel I gegebene 
Wert einzuführen und für A™ der Wert 

A„ = 458 + 256 + 208 + 159 + 84 = 1165" . (7) 

Der Betrag X und die Richtung der Schwerpunkts Verschiebung, 
markiert durch die geographische Breite B und die Lange L, ist noch 
zu ermitteln. Ist x die Schwerpunktsverschiebung infolge des einzel- 
nen Kontinents und zwar in einer durch die geogiaphische Breit« b 
und tiänge l markierten Richtung, setzen wir ferner 
X cosft cos/ = I 
X cosA B,\al = 71 
X s\^b ^ £ , 

1}, % offenbar Projektionen von x auf drei zu einander recht- 
e Richtungen sind, so wird 

X eo&B coaL =• S'i 
X coaB sin L = Hij 
XaiuB =2:g. 


§ 37. Die Schwerestörungen: numerische Werte. 359 

Nach S. 343, 349 und 351 bis 353 hat man folgende Werte von 
ac , b und / : 

Eur.-Aaien Afrika Nord-Amer. Süd-Amer. Austr. 

X 420"» 245"» 202« 155« 84« 

l, -1-480 +7,5« +51» -13» —25« 

/ 950 37,5« 280,5» 318» 152». 

Hiermit fand sich (unter Anwendung eines Rechenschiebers): 

X cos ^ cosZ =- 235 JT «= 546« 

Jr cos ^ sin Z = 237 B^ 52» (8) 

.¥ sin ^ «435 Z = 45» ostl. Ferro. 

r wird man am bequemsten einem Globus entnehmen, in wel- 
chem der zu B und Z gehörende Punkt eingetragen ist. 

Was d aubetriiFt, welches im letzten Gliede von (6) auftritt, so 
hat man über Kontinenten 

ä* =-^^ = 2000™ . (9) 


dagegen über dem Meere gleich null, abgesehen von der Küstenzone 
über der Abboschung der Kontinente, wo dieser Quotient von 2000 
bis null variiert. 

Es sei hier noch bemerkt, dafs g — G' als Schwerestorung im 
Sinne des dritten Kapitels aufgefafst werden kann. Bereits S. 338 
und 354 wurde darauf hingewiesen, dafs die zum Gesamtschwerpunkt 
6' konzentrische Kugelfläche vom Radius R für die Niveaufläche h* 
als Normalniveau erscheint, sich also zu ihr verhält, wie im zweiten 
Kapitel eine Niveaufläche zu ihrem Normalsphäroid. Insbesondere kann 
man im Anschlufs an § 44 S. 259 die Niveaufläche K als die Fläche 
If^ a= Wq und die Kugelfläche um S als die Fläche (J ^^ fV^ auflassen"; 
denn der letzteren entspricht das erste Glied der Entwicklung von W 
nach Kugelfunktiouen, nämlich das Glied k^, Masse: R, Zu dieser Fläche 
gehört die normale Schwere G\ genau nach Mafsgabe von (5), wie 
man sich leicht überzeugt, indem man die Anziehung der Gesamt- 
masse in der Entfernung R ermittelt. 

§ 37. Fortsetzung: Numerische Werte. 

Wenden wir die Formeln des vorigen Paragraphen zunächst auf 
einen einzelnen Kontinent, insbesondere Europa-Asien an, so erhalten 
wir nach § 31 S. 343 u. fl^. 

Ä,„ = 458« a: = 420« 

und hiermit aus den 8. 353 gegebenen Werten von h' die Aj nach- 
stehender Tabelle: 


360 


4. Kapitel. Der Einflnb gegebener Massen. 


y 

Ä. 

Jg.B.G' 

^g:G' 




Millioötel 

0« 

1382» 

+ 385'» 

+ 61 

10 

1359 

+ 419 

+ 66 

20 

1287 

+ 527 

+ 83 

30 

1159 

+ 719 

+ 113 

40 

864 

- 38 

— 6 

50 

607 

-453 

- 71 

60 

487 

-273 

- 43 

70 

413 

— 162 

25 

80 

369 

- 96 

- 15 

90 

340 

52 

- 8 

100 

319 

21 

— 3 

110 

299 

+ 9 

+ 1 

120 

277 

+ 42 

+ 7 

130 

264 

+ 62 

+ 10 

140 

254 

+ 77 

+ 12 

150 

248 

+ 86 

+ 14 

160 

244 

+ 92 

+ 14 

170 

240 

+ 98 

+ 15 

180 

239 

+ 99 

+ 16 

er vor 

letzten I 

Kolumne ha 

ben die 


9 

-/^' R 



G' 

und sind mit Rücksicht auf (6) des vorigen Paragraphen nach der 
Formel 


^B l^h,-\-h^ + 


3^ 


berechnet. Die letzte Kolumne giebt Jg : G' in Millionteln oder sehr 
nahe Mikrons in der Länge des Sekundenpendels. 

um die Werte Jg . R\G zu erhalten, wurde bei y -= 0^, 10®, 
20® und 30» für 3d : 2@„ der Wert nach (9) des vorigen Paragraphen 
gesetzt. Dagegen ergab sich für y = 40® dieser Quotient zu 800 mit 
Rücksicht darauf, dafs von 4200*^ Zentrumsabstand bis zu 4600*- 
dieser Quotient von 2000 stetig auf null sinkt und dafs zu y «= 40 
ein Zentrumsabstaud von 4440*'" gehört. 

Die Werte wurden einer Kontrolle durch Einführung in die 
Formel (2) S. 255 unterworfen. Versteht man darin unter * und 
/lg\G bezw. y und {g — G) . G\ so mufs der Wert von iV das ä' 
im Zentrum des Kontinents werden. Um die Integration zu be- 
werkstelligen, konnte wegen der zwischen 30 und 40® stattfindenden 
raschen Änderung von ^g nicht ohne weiteres nach Smp%wA Kege 



§ 37. Die Schweresiörongen : numerische Werte. 


361 


vorgegangen werden, es wurden vielmehr die drei Teile von -g?-/?, 

aus welchen sich dasselbe nach Mafsgabe von (1) zusammensetzt, 
einzeln behandelt. Zunächst wurden also die Produkte h^ . F von 10 
zu 10^ gebildet und nach Simpsons Regel integriert Der hieraus 
folgende Anteil von N ist 

8767 
6,730 

Der Einflufs des konstanten hm verschwindet bei der Integration. 
Das Glied 3d':2Gm betragt, wenn man anstatt der abgeböschten 
Küste eine steilabfallende setzt, (die eigentliche J^oraussetzung der 
Rechnung) von bis 4400*^ Zentrumsabstand konstant 2000"*. Mit 
Rücksicht darauf, dafs 1® in y gleich 111*"* ist, wurde F von 1100 
zu 1100*'^ berechnet und sodann die Integration der F nach Simpsons 
Regel bewirkt. Hiermit folgt als weiterer Anteil in N 


+ 


6380 
6,730 


Mit dem vorigen vereinigt erhält man im Zentrum für .Y, d. i. h', 

anstatt 504*" nur 

458 '« . 

Die Differenz beruht wesentlich darauf, dafs gerade von 50^ bis 
80^ in den h' und also auch in den A, starke negative Fehler stecken, 
auf die schon früher hingewiesen worden ist. Bei der entsprechenden 
Rechnung für den Punkt, welcher dem Zentrum des Kontinents £u* 
ropa- Asien diametral gegenüber liegt, haben diese Fehler weniger 
Einflufs; in der That fand sich hier anstatt 201*" der nicht sehr 
abweichende Wert 215"*. 

Ebenso zeigte sich bei Afrika und Australien, wofür die Rech- 
nung auch ausgeführt wurde, eine bessere Übereinstimmung, da hier 
die Fehler kleiner sind. Für diese Kontinente fand sich zunächst: 


1 


Afrika 

1 


Australien 


7 

1 

l>, 

^Jg.B-.ß' 

^9 : (^' '. 

A. 

dg.RiG 

dg-G" 

, 


1 

MiUionUl ; 



MUUoDtel 

QO. 

1024» 

, +720'» 

+ 113, 

584" 

+ 1208»' 

+ 190 

10, 

993 

+ 796 

+ 124 1 

528 

+ 1296 

+ 203 

1 

20 ' 

891 

+ 919 

+ 144 

273 

— 326 

— 51 

30 

618 

21 

3 

170 

— 171 

- 27 

1 

. 40 

408 

-356 

- 56 

1 1 

124 

102 

! 16 

50 

314 

— 215 

1 1 

- 34 

101 

— 68 

' 11 

60 

262 

— 137 

1 

- 22 1 

1 

85 

44 

7 


362 


4. Kapitel. Der Einflulb gegebener Massen. 


y 


Afrika 


:<?' 

Ä. 

Australien 


». 

Jg.M-.G' 

^9 

^9- 

B:G' 

^g-.G' 

• 



Million t«l 




lUlUontal 

70» 

229»' 

88"» 


14 

74m 


27» 

— 4 

80 

204 

- 50 

— 

8 

66 


15 

— 2 

9o: 

186 

- 23 


4 

60 


6 

1 

100 

1 

171 

1 




56 


. 



HO 1 

160 

+ 16 

-f 

2 

52 

+ 

6 

+ 1 

120 ' 

151 

+ 29 

+ 

5 

49 

+ 

10 

+ 2 

130 

145 

+ 38 

+ 

6 

47 

+ 

13 , 

+ 2 

140 

140 

+ 46 

+ 

7 

45 

+ 

16 ! 

+ 3 

150 

136 

+ -52 

+ 

8 

; 44 

+ 

18 , 

+ 3 

160 ' 

133 

+ 56 

+ 

9 

44 

+ 

18 

+ 3 

170 

132 

+ 58 

+ 

9 

43 

+ 

19 

+ 3 

180 

131 1 

+ 59 

+ 

9; 

43 

+ 

19 

+ 3 


h' im Zentrum folgt hieraus anstatt gleich 523"» und bezw. 417"» zu 
51721 und 410™ 

Die Tabellen zeigen, dais ^^ auf den Kontinenten starke positive 
Werte^ auf dem Meer in der Nähe der Küste starke negative Werte 
hat. Auf der Erdoberfläche hat man aber nach dem dritten Kapitel 
gerade das Gegenteil beobachtet, vergl. S. 226. Zwischen den aus 
Beobachtungen abgeleiteten Jg und denen obiger Untersuchung besteht 
allerdings in der Regel noch der Unterschied , dafs bei ersteren g nur in 
gewöhnlicher Weise reduziert wird, also auf den Kontinenten von der An* 
Ziehung der Massen über dem Meere befreit, auf dem Meere dagegen 
von der Anziehung der Inselmassen nicht befreit ist, während in obiger 
Untersuchung g offenbar fürs Festland gerade so verstanden ist, wie es 
sich mittelst der von uns eingeführten Reduktion durch Kondensation 
gewisser Massen eigiebt^ und die auf den oceanischen Inseln beob> 
achtete Schwerkraft um die Anziehung der Inselpfeiler vermindert 
werden mnfs, damit sie der Schwerkraft auf dem Meere selbst entspricht. 

Prüfen wir nun, ehe wir dies weiter untersuchen, das Verhalten 
der Schwerestorung bei der Zusammenwirkung der Kontinente. 

Wir setzen hier Äj = A' -|- 1165 + 546 cosF und entnehmen h' 
den Planigloben der Tafel I sowie Feinem Globus, auf welchem der Punkt 
mit der geographischen Breite 52^ und Länge 45^ östl. Ferro einge* 
tragen ist. Als Beispiel diene der Meridian in + 90® östlicher Länge 
von Ferro. Für denselben ergaben sich folgende Zahlen, wobei gesetzt ist: 




3^, _LllAri_l_ (-^ö"* a^f Kontinenten I 

Y ^» ■+■ ^^^^ + i 0« auf dem Meere j 


§ 37. Die Schwerestörungen: numeriache Werte. 


363 


üeogr. 

. m 






^7 

Breite 

h 

r 

Ä. 

Jg. 

B:ß' 

Jg:G- 

Bemerkungen 




MlUiontsl 

1 

+ 90» 

110» 

38" 

1485"' 


1063"' - 167 

Eismeer 

+ 80 

+ 100 

32 

1727 

+ 

574 + 90 

Asien 

+ 70 

+ 210 

28 

1856' 

+ 

381 

+ 60 

if 

+ 60 

+ 260 

26 

1915 

+ 

292 : + 46 

)f 

+ 50 

+ 310 

28 

1956 

+ 

231 + 36 

n 

+ 40 

+ 330 

33 

1952 

+ 

237 ' + 37 

i> 

+ 30 

+ 310 

40 

1893 

+ 

325 + 51 

}> 

+ 20 

+ 230 

47 

1767 

+ 

514 1 + 81 

« 

+ 10 

+ 80 

55 

1557 



1170 —184 

Nahe d. Küste*) 



15(» 

64 

1253 



715 —112 

Indischer 

10 

— 220 

72 

1113 



505 

— 79 

Oceau 

20 

240 

81 

1010 



350 

- 55 

V 

30 

240 

91 

915 


208 

33 

ff 

-40 

220 

100 

851 


112 

- 18 

n 

— 50 

— 150 

109 

838 


92 

— 14 

«> 

60 

90 

118 

820 

. . ^ 

65 

— 10 

Südliches 

- 70 

60 

126 

785 



13 

- 2 

Eismeer 

-80 

- 10 

134 

777 






f) 

90 

+ 20 

142 

755 

+ 

28 

+ 4 

)} 

— 80 

+ 30 

148 

732 

+ 

72 

+ 11 

»» 

-70 

+ 40 

152 

725 

+ 

77 

+ 12 

»> 

— 60 

+ 50 

154 

726 

+ 

76. 

+ la 

»1 

-60 

+ 60 

153 

740 

+ 

55 

+ 9 

Stiller 

— 40 

+ 5(J 

147 

758 

+ 

28 

+ 4 

Ocean 

— 30 

+ 30 

140 

778 

— 

2 



»> 

-20 

+ 20 

133 

813 


55 

— 9 

» 

10 

+ 10 

126 

855 



118 

- 18 

>9 



- 50 

117 

868 



137 

21 

»1 

+ 10 

-120 

108 

877 



151 1 — 24 

yt 

+ 20 

— 20 

99 

1060 


425 - 67 

i> 

+ 30 

+ 180 

90 

1345 

+ 

1147 ! + 180 

Nord-Amerika 

+ 40 

+ 270 

81 

1520 

+ 

875 

+ 137 

ff 

+ 50 

+ 260 

, 71 

1602 

+ 

762 

+ 120 

n 

+ 60 

+ 220 

62 

1641 

+ 

703 

+ 110 

3f 

+ 70 

+ 1(X) 

53 

1592 

+ 

777 

+ 122 

V 

+ 80 

100 

46 

1 

1443 



1000 

-157 

Nördl. Eismeer 


•) Wegen der Nähe der Küste ist hier Jg unsicher; der richtige Wert 
ist kleiner. 


364 4* Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

Die Zahlen für jdg zeigen wiederum, dafs auf den Kontinenten die 
Schwerestörung positiv und auf dem Meere nahe den Kontinenten ne- 
gativ ist, entfernt von denselben zwar positiv, aber geringwertig. Die 
Erhebung h' und die Schwerestor ung haben im allgemeinen dasselbe 
Zeichen. 

§ 38. Diskussion der Resultate. Die störenden Massen der 
Erde. In den letzten beiden Paragraphen haben wir gefunden, dafs 
die Schwerestorungeu auf den Kontinenten positiv sind, während sie 
auf dem Meere negativ sind oder doch nur kleine positive Werte 
haben. Jedenfalls führt unsere Untersuchung für die Sekundenpeudel- 
langen F auf dem Festland und M auf dem Meer zu dem Resultate 

F> M . 

An diesem Resultat ändert sich auch nichts, wenn nach Mafs- 
gäbe des letzten Teiles von § 35 8. 356 alle Werte K der Tafel I 
um 0,4 ihres Betrages vergröfsert werden; es führt dies lediglich zu 
einer Vergröfserung der Schwerestorungen um ebenfalls 0^4 ihres 
Betrages. 

Auch der Umstand, dafs die Schwerestorungen für die Niveaufläche 
der^' berechnet sind, anstatt für dLe.wirkliche Meeresfläche, ändert nichts, 
da diese letztere mit dem ihr zukommenden Normalsphäroid bei dem 
bisher festgehaltenen Genauigkeitsgrade dieselben Höhendifferenzen fi 
besitzt, wie die Niveaufläche der // und ihr Normalsphäroid. 

Das Resultat F > M steht aber in Widerspruch mit der Erfah- 
rung. Nach dem dritten Kapitel § 31 S. 227 ist /» = / — 230 Mi- 
krons, wenn / die Länge des Sekundenpendels auf den Inseln aus- 
schliefslich der Kondensationsreduktion fdr die Inselpfeiler bedeutet 
Es ist also F < L Um dieses mit der Ungleichung F > M \n 
Übereinstimmung zu bringen, müfste man annehmen, dafs die Länge 
des Sekundenpendels auf dem Meere um etwa vierhundert Mikrons 
kleiner sei als auf den Inseln. Dieses ist aber nicht annehmbar, 
denn sowohl nach dem, mittleren Verhältnissen angepassten Beispiel 
am Schlüsse des § 17 S. 312, wie nach den (S. 227 erwähnten) Be- 
rechnungen von Faye führt die Anziehung der luselpfeiler nur zu 
einem Betrage von etwa 250 Mikrons für die Differenz I — M. Zur 
Erklärung einer gröfseren Differenz I -- M mülste man daher voraus- 
setzen, dafs unterhalb der Inselpfeiler die Erdkruste ungewöhnlich 
dicht sei. 

Solange nun M nicht durch Beobachtungen der Schwerkraft auf 
dem offenen Meere mit F direkt vergleichbar ist, erscheint es das 
natürlichste, von der zu gründe liegenden Voraussetzung,' dafs die 
Kontinentalmassen Störuugsma^sen vorstellen, ganz abzusehen, an- 
statt dessen aber anzunehmen, dafs die Wirkung der Kontinental- 


§ 38. DiskoBsion der Reanltate. Die störenden Massen der Erde. 365 

massen mehr oder weniger kompensiert wird durch eine Verminderung 
der Dichtigkeit der Erdkruste unterhalb der Kontinentalmassen, derge- 
stalt, dafs von einer gewissen Tiefe unterhalb des Meeresniveaus an 
bis zur physischen Erdoberflache vertikale Prismen von gleichem 
Querschnitt annähernd gleiche Massen enthalten, wo man die Prismen 
auch annehmen möge. 

Entsprechend dieser Voraussetzung mufs die Erdkruste unterhalb 
des Meeresbodens etwas dichter sein, als unterhalb der Kontinental- 
massen. Nehmen wir an, dafs der Dichtigkeitsunterschied bis zur 
Tiefe von 5 Min. reicht, so genügt zur Kompensation der Kontinental- 
niassen ein Betrag desselben gleich 0,2. Die Kontinente erscheinen 
hiermit als Schollen der Erdkruste, welche etwas geringere Dichtig- 
keit haben, als letztere im allgemeinen. Ohne auf die physikalische 
ESrklärung eines solchen Zustandes einzugehen, erinnern wir an die 
bereits im dritten Kapitel § 31 S. 228 besprochene Thatsache, dafs in 
der Regel Gebirge durch unterirdische Massendefekte mehr oder 
weniger kompensiert sind, eine Thatsache, welche zu gunsten der 
oben eingeführten Voraussetzung über die Kompensation der Kon- 
tinentalmassen spricht. 

Diese Voraussetzung ist auch die einfachste zur Erklärung der 
durchschnittlichen Gleichheit der Längen F und K des Sekunden- 
pendels für das Innere des Festlands und die Küsten, vergl. S. 227. 

Mit ihr steht auch nicht in Widerspruch, dafs nach dem eben an- 
gegebenen Orte F < 1 ist. Denn wenn auch die Dichtigkeit der Erd- 
kruste unterhalb der Kontinente geringer ist als unter dem Meere, 
80 wird man wegen der geringen Ausdehnung der in betracht kom- 
menden kleinen Inseln doch nicht voraussetzen müssen, dafs sich die 
Dichtigkeit unterhalb der Inseln wie diejenige unterhalb der Konti- 
nente verhält. Stimmt sie aber wesentlich mit derjenigen unter dem 
Meere überein, so erklärt sich der Überschufs von / über F durch 
die Anziehung der Inselmasse, wie oben bereits angedeutet wurde. 

In welchem Grade die störende Wirkung der Kontinentalmassen 
durch die darunter befindlichen Massendefekte kompensiert wird, läfst 
sich zur Zeit genau nicht sagen. Jedenfalls aber darf man mit ziem- 
licher Sicherheit nach dem Vorhergehenden annehmen, dafs das Geoid 
vom Normalsphdroid weit weniger abweicht, als Tafel I angiebt. Wenn 
eine Überkompensation stattfände, so würden sich die Vorzeichen der 
Llöhenabweichungen sogar umkehren. Mit Rücksicht auf das oben 
Gesagte ist jedoch vor der band kein Grund vorhanden, eine wesent- 
liche Abweichung von der genauen Kompensation zu vermuten. 

Die Kompensation ist selbstverständlich nur als eine im grofsen 
und ganzen stattfindende zu verstehen. Namentlich werden an den 
Küsten beträchtliche Störungen der Lotrichtungen und des Krüromungs- 
radios eintreten. Während aber nach den der Tafel I zu gründe lie- 


366 


4. Kapitel. Der Eioflufs gegebener Massen. 


gendeu Voraussetzuugen die Gradmessungen die Grofse der Erde 
immer zu klein geben würden ^ wird in einigem Abstand Ton der 
Küste nunmehr die Störung des Krümmungsradius gering anzunehmen 
sein, wodurch der Wert der Gradmessungen zur Bestimmung der Gestalt 
und Gröfse der Erde im allgemeinen erheblich wächst. 

Die einzige Beobachtungsreibe für die Scbwerkraft auf dem Ooean selbst, 
welche bis jetzt bekannt wurde, ist diejenige, welche WüL Siemens 1875 
am Bathometer auf dem Schiffe Faraday anstellen liefs (vergL auch 8. 256). 
Der Mitteilung in den Phü, Transact. von 1876 Bd. 166 11 entnehmen wir 
auszugsweise von S. 684 und 685 folgende Zahlen*): 



Geograph 

. Position 

Bathom.- 
Ablesung 

Tiefe in 

Tag 

Nördliche 
Breite 

Westliche 
Länge Y. Gr. 

Faden 

Okt. 16 

Victoria Docks 



2 

„ 26 

510 25' 

260 25' 

2130 

1900 

„ 26 

61 7 

31 14 

2680 

2000 

„ 27 


— 

2870 

2100 

Okt. 29 

47 50 

47 

201 

197 

,. 29 

47 34 

48 23 

100 

100 

„ 31 

45 5 , 54 28 

218 

204 

„ 31 

45 10 

54 14 

55 

54 

Nov. 1 

45 10 

54 18 

50 

58 

,, 8 

45 6 

54 26 

111 

100 

,. 4 

45 11 

54 20 

70 

64 

,. 7 

46 45 

47 17 

388 

353 

» 7 

46 35 

46 57 

799 

698 

„ 7 

46 26 ' 46 20 

608 

503 

„ 8 

46 23 41 11 

2789 

2516 

„ 10 

1 48 12 ! 33 12 

2388 

-2320 

., 11 

48 49 

28 55 

1907 

1861 

,. 11 

48 56 

28 3 

1615 

1700 

„ 24 

Victoria 

k Docks 

5 

2 


An den Bathometerablesungen des zweiten Teiles der Tabelle sind 
Korrektionen für Temperatur und Luftdruck angebracht; im ersten Teil 
scheinen sie zu fehlen^ doch sind sie nicht erheblich und betragen keines- 
falls 20 '^ . Die Tiefen des ersten Teiles waren zur Zeit der Beobacht- 
ungen bereits aus fruberen Lotungen bekannt, diejenigen des zweiten 
Teiles aber noch nicht; sie worden erst gleichzeitig mit den betreffenden 
Bathometerablesungen ermittelt und zwar dergestalt, dafs letztere immer 
bei Bekanntwerden des Lotungsergebnisses bereite ausgeführt waren. 


•) Eine deutsche Ausgabe ist unter Mitwirkung des Verfasser« 1878 bei 
Jid Springer in Berlin erschienen in der Schrift: „Die Eisen- und Staht-In- 
dustrie in England. Der Bathometer,'' Vorträge von Dr. O. Will, Siemens. — 
Auf dem Schiffe befanden sich zwei Bathometer, ein grofses und ein kleines. 
,, Beide Instrumente wurden sorgfältig beobachtet." Die Tabelle giebt die Re- 
sultate ,, dieser Beobachtungen". Hierbei ist aber auffallend, da beide Instru- 
mente sicherlich etwas verschiedene Skalen gehabt haben, dafs sonach Mittel- 
werte ans nicht unmittelbar vergleichbaren Ablesungen gebildet sein müfsten! 


§38. DiakusaloQ der Resultate. Die störenden Massen der Erde. 367 

Wegen der Veränderung der Schwerkraft mit der Breite ist keine Kor- 
rektion angebracht: Die Bathometerablesungen folgen bereits ohne eine 
solche den Tiefen in Faden unabhängig von der Breite so regelmäfsig» 
dafs das Bedürfnis nach einer solchen Korrektion gar nicht entsteht. Auch 
einige Messungen auf dem englischen Festlande zeigten nur einen sehr 
geringen Einflufs der Breite. 

Wenn man nun aber bedenkt, dafs in den geographischen Breiten, 
auf welche sich die Beobachtungen erstrecken, eine Breitendifferenz von 
3^ die Schwerkraft ebenso sehr beeinflufst, wie ein 2000 Faden s» 3658*" 
starker, unterhalb des Beobacbtungsortes allseitig plattenfSrmig ausge- 
dehnter Massendefekt von der Dichtigkeit 1,8, so murs man es geradezu 
rätselhaft finden^ da(b die vorstehende Beobachtungsreihe keinen Einflufs 
der Breite verrät — um so mehr« als starke Änderungen der Breite nicht 
nur ein Mal, sondern mehrere Male stattfinden. Die Beobachtungsreihe 
ist hiernach jedenfalls an irgendwelche abnorme und seltsame Umstände ge- 
knüpft, und es wäre gewagt, aus ihr irgend einen Schlufs auf das Verhalten 
der Schwerkraft auf dem Meere im Vergleiche zum Festlande zu ziehen. 

Zu der Anschauung, dafs die sichtbaren Massenanhäufungen der Erd- 
kruste durch unsichtbare kompensiert seien, gelangte schon Pratt auf 
grund seiner Diskussion der Lotablenkungen und Schwerebeobachtungen 
in Ostindien und dem Himalaya (vergl. auch Clarke^ Oeodesy p. 98). 
Er denkt sich, dafs die erkaltende Erdrinde sich in vertikaler Richtung 
ungleich zusammenzog und an den Stellen Hervorragungen entstanden, 
wo die geringere Zusammenziehung stattfand. 

Seine Untersuchungen finden sich aufser an dem S. 114 angegebenen 
Orte in den Phüosophicdl Transtictions 1855, 59 und 71. Besonders ist 
die letzte Abhandlung zu vergleichen: On the Constitution of the Solid 
Crust of the Earth, p. 335-357. Erst hier gelangt Pratt au der Hand der 
Schwerebeobachtungen zu sicheren Ergebnissen (p. 335 bespricht er auch 
ältere Anschauungen). Wenn Pratt allerdings annimmt (1859 vol. 149 
p. 747), dafs m jeder Vertikalen der Erdrinde sozusagen die Masse kon- 
stant ist, abgesehen von lokalen Störungen, so dürfte dies vielleicht etwas 
zu weit gegangen sein. Für Ostindien und den Himalaya gelangt er aber 
mit dieser Annahme zu recht befriedigenden Ergebnissen (p. 355—356). 
Die Tiefe, bis zu welcher die Ausgleichung der Massen erfolgt, wird etwa 
200 miles, d. i. ca. 300^ oder 40 Mbi. 

Nach G, H. Darwin, American Joum. 1882 Bd. 24, hat Stokes ebenfalls 
die Ansicht, dafs unterhalb jedes Kontinente ein Massendefekt sei. 

Auch Faye ist zu dieser Ansicht gelangt, vergl. seine Abhandlungen in 
den Comptes rendus 1880 Bd. 90 S. 1185 und S. 1444. Er macht darauf 
aufmerksam, dafs in 4000"» Tiefe unter den Kontinenten eine sehr hohe 
Temperatur bestehe, am Meeresboden in dieser Tiefe aber nur eine nied- 
rige Temperatur vorhanden sei. Dies allein bedingt schon einen Dichtig- 
keitsunterschied. Aufserdem nimmt er an, dafs unterhalb des Meeres die 
Abkühlung des Erdkörpers viel rascher erfolgte, als an den Kontinenten. 

Wir haben hier auch der Untersuchungen von Ph. Fischer in seinem 
Werke: Untersuchungen über die Gestalt der Erde, Darmstadt 1868, zu 
gedenken. 

Ph. Fischer betrachtet zunächst die Störungen der Lotrichtung und 
der Schwerkraft in einem bestimmten Punkte; er findet jene sehr grofs, 
diese klein, im Gegensatz zu den Erfahrungen bei der Ausgleichung der 
Gradmessungen und Pendelbeobachtungen. Bei den Gradmessungen findet 
er den Widerspruch erklärt durch die Eigenschaft der Rechnungsmethode, 


ir 


368 4- Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen. 

bei welcher sich die absoluten Lotstörungen verstecken können (vergl. hier- 
zu Bd. 1 S. 609 § 11). Bei den Pendelbeobachtungen findet er die Erklä- 
rung des Widerspruchs darin , dafs durch die Anziehung der Kontinente 
die Meeresfläche sich über das ungestörte Niveau hebt und dafs dieser 
Erhebung eine Abnahme der Schwerkraft im Meeresniveau entspricht, 
dafs man es also nicht mehr mit Störungen der Schwerkraft für einen be- 
stimmten Punkt zu thnn hat, sondern zugleich noch mit Störungen wegen 
Verschiebung des Niveaus. Diese Erhebung der Meeresfläche nahebei 
und unterhalb der Kontinente bezw. die Senkung der Meeresfläche ent- 
lang des Oceans entsprechen nach seiner Meinung der beobachteten That- 
sache, dafs die Schwerkraft auf den Kontinenten gegen die bekannte Inter- 
polationsformel zu kleine, auf den oceanischen Inseln zu grofse Werte giebt 

Hier ist nun Ph. Fischer offenbar in seineu Untersuchungen nicht weit 
genug gegangen. Ganz abgesehen davon, dafs die Vergleichnng der 
Beobachtungen mit der Interpolationsi'ormel nur Sinn hat, wenn man als 
normales Niveausphäroid ein solches nimmt, welches konzentrisch zum ge- 
störten Erd Schwerpunkt ist, hat er nicht eingehend genug die gestörte 
Schwerkraft im gestörten Meeresniveau untersucht, sonst müfste er be- 
merkt haben, dafs ein Widerspruch mit der Erfahrung besteht. 

Durch die wenig kritische Aufiussung der Resultate Ph. FitcherB durch 
andere Gelehrte ist die Ansicht von der allgemeinen Depression des 
Meeres weit verbreitet worden (A. Fischer ^ Astronom. Nachr, 1876 Bd. 88 
Nr. 2094, 2096 und 2104 teilt sie indessen nicht; doch sind seine Ansichten 
nicht hinreichend motiviert und, wie uns scheint, z. T. unzutreffend). 

Mau hält sich von dieser allgemeinen Depression um so mehr über- 
zeugt, als die im dritten Kapitel § 46 S. 262 erwähnten Näherungsformeln 
die Existenz derselben mit Rücksicht auf die Anomalieeu der Schwerkraft 
anscheinend bestätigten. Die Wertlosigkeit dieser Formeln zeigt aber 
beispielsweise die Tabelle von S. 363 sehr drastisch: hier entsprechen K 
und G' den Symbolen N und y in (1) S. 262; aber es stimmen nicht ein- 

2JJ 

mal die Vorzeichen von h' und y^ Ja überein. 

3Cr 

§ 39. Berechnung des Einflusses der lokalen Massenord- 
nung auf die Lotrichtung. Wir sehen von der Krümmung der 
Niveauflächen ab und betrachten demgemärs die Niveaufläche des 
Punktes P'y fQr welchen die Anziehung berechnet werden solli als 
Ebene. In derselben denken wir uns koazeDtrisch zu P' ein System 
von Kreisen angenommen, welche durch ein System von radialen 
Strahlen in krummlinige Vierecke zerlegt werden^ innerhalb welcher 
die Erhebung h des Terrains über die Niveaufläche von P* als kon- 
stant betrachtet werden kann. Vergl. § 18 im 3. Kap. S. 169 u. ff. 

Setzen wir nun konstante Dichtigkeit S^ in der ganzen in be- 
trachtr zu ziehenden Umgebung von P* voraus^ so würde von Lokal- 
anziehung keine Rede sein, wenn das Terrain innerhalb derselben 
eben wäre. Es kommt daher als störend nur die Anziehung derjeni* 
gen Massen zur Geltung, die über einer beliebigen Niveaufläche liegen 
oder unterhalb derselben fehlen. Von dieser Anziehung wird viel- 
fach nur die nordsüdliche, oftmals aber auch die ostwestliche Kompo- 
nente zu berechnen sein. 


i 


yorB, 


§ 39. EinflofB der lokalen Massenanordnung aaf die Lotricbtung. 369 

um für ein Viereck zwischen den Kreisen vom Radius a,- und a^^^ sowie 
den Strahlen / und m^ die unter 9)/ und 9)^ gegen die Nordrichtung ge« 
neigt sind, Fig. 59, diese Anziehungs- 
komponenten zu erhalten, berechnen 
wir zunächst die horizontale Anziehung 
des über dem Flächenelement dq der 
Horizontalebene (Niveaufläche) von P' 
liegenden prismatischen, bis zum Terrain 
in der Höhe h reichenden Massenele- 
mentes. Werden vertikale Erhebungen 
über der Horizontalebene im allge- 
meinen mit z bezeichnet^ so ist diese 
horizontale Anziehung gleich 



Ost 


k^®, 


''M 


de 


Vä^s^^ 


Fig. &9. 


h zu erstrecken 


Dieses Integral, welches von z gleich null bis z «: 
ist, wird gleich 

wenn dq ^= a dg> da gesetzt wird. Denselben Ausdruck findet man 
für die Anziehung einer unterhalb der Horizontalebene fehlenden 
Masse und zwar mit richtigem Zeichen^ wenn h wie üblich für eine 
unterhalb des angenommenen Horizontes gelegene Terrainstelle nega- 
tiv genommen wird. 

Es folgt nun als Horizontalanziehung aller im Winkelraum dtp 
des betrachteten YiereckS| also zwischen a«- und at liegenden Masse: 


k^e^ h d(pj-y^^ , d. 1. kW^h dq> lognat ^ 




Multipliziert man dies mit cos 9) und integriert von tp ^^ tpf bis 
g>n , so ergiebt sich die nach Norden gerichtete Horizontalanziehung 
des betreffenden Vierecks; dasselbe mit sintp giebt die nach Osten 
gerichtete Komponente. Bei der Integration ist der Faktor von dq> im 
letzten Ausdruck konstant. Indem wir das Resultat derselben noch mit 

der Schwerebeschleunigung (? = ■-- ä Ar' 0,„ Ä dividieren und mit 

p" SS 206265 multiplizieren, erhalten wir die Anteile an der nörd- 
lichen bezw. östlichen Ablenkung des aufgehängten Lotes, welche 
das betreffende Viereck giebt, in Sekunden. 

Ihre Summe für alle Vierecke der Umgebung bezeichnen wir 
mit £ und tf. Es ist dann wie in Bd. 1 S. 516: 


Helmert, mathem. u. phytikal. Theorieen der h(vh. Geodfi«ie. II. 


24 


370 4. Kapitel. Der Eioflurs gegebener Massen. 

£ die südliche Abweichimg des wirklichen Zeniihs vom angestorten, 
V die wesüiche „ „ „ „ „ „ 

und zwar hat man 


in Sek. 


wobei 


I» IJT ^^^ 2 ^'^^ 'P' - «08 9.) F . (2) 

/• -= A lognat *^ * T^.. • (3) 

Mit «0 — 4- ^m ist fflr A in Metern 

,^g^ = 0,00386 . 


m 


Bei der über alle Vierecke zu erstreckenden Summiemng ist F 
für jedes Viereck zu ermitteln, während die Sinus- bezw. Cosinus- 
Differenz mindestens für eine Anzahl Vierecke konstant sein wird, 
ja meistens sogar durch geeignete Wahl der 9 mit Vorteil ganz 
konstant gemacht werden kann, wenn es sich nur um eine der Ab- 
lenkungskomponenten handelt. 

Der Faktor F läfst sich für die Mehrzahl der Fälle vereinfachen. 
Ist nämlich h klein gegen Ot, so kann man setzen 

a + ,/äv+T» = 2a (1 + -^+ . . .) 

für a =s Oi und a^. Damit wird in weiterer, einfacher Entwicklung 


und hieraus 


F-»jlog»t^-:^[^-^]+...) 


Für den praktischen Gebrauch setzt man mit Rücksicht hierauf 
meist ausreichend 


"* ^j-_ .. "»""«< 


/•=Ä lognat—- oder h —-^ *— , (4) 


2 
ausnahmsweise aber 


gj - «. I . 1 y \ 


(5) 


Eyentuell ist sogar (3) heranzuziehen. 


§ 39. Einfinfa der lokalen Massenanordnnng auf die Lotrichtnng. 37 1 

Die erste Formel (4) empfiehlt sich für Radien, deren Beträge 
in geometrischer Progression wachsen. Es eignet sich diese Art der Zu- 
nahme aber nicht in der nächsten Umgebung, sondern erst in grofseren 
Abständen. Für die nähere Umgebung empfiehlt sich eine Zunahme 
in arithmetischer Progression und damit die zweite Formel (4). 

In der näheren Umgebung wird man auch am ersten noch Ver- 
anlassung haben, die genauere Formel (5) oder sogar (3) herbeizu- 
ziehen. Den Radius a^ wird man immer so klein wählen können, dafs 
der Einflufs der eingeschlossenen Masse yerschwindet. Wie schon 
eingangs erwähnt, kommt es dabei nicht auf den ganzen Betrag yon h 
an^ sondern auf die Schwankungen. Ist deren Amplitude ^h, so 
kann die Gesamtwirkung der betreffenden Masse auf | z. B. nur ein 
Brachteil der Anziehung der nördlichen oder südlichen Hälfte eines 

Cylinders vom Radius a^ und der Höhe ^h sein, d. i. für 0^ es — 0^ 

0,0077" Jh lognat ^+1^^^ ^ 

also für z/Ä = 1*» und öj =25"» nur ein Bruchteil von 0,03". 

Wenn es sich darum handelt, ungleiche Dichtigkeiten bis zu einer 
Tiefe H' unterhalb P^ zu berücksichtigen, so wird man in obiger 
Rechnung für jedes Viereck eine mittlere Dichtigkeit & anstatt S^ 
einzuführen haben. Die Annahme einer mittleren Dichtigkeit für 
alle zu einem Viereck bis zur Tiefe H* gehörende Masse reicht wohl 
immer aus, da im allgemeinen der Betrag der Anziehung von der 
Tiefe nicht wesentlich abhängt. 

Durch die bisherige Rechnung aber wird zunächst nur die An- 
ziehung der positiven und negativen Masse zwischen der Niveaufläche 
von P' und dem Terrain berücksichtigt. Jetzt ist noch die Anzie- 
hung des zwischen dieser Niveaufläche und der um It tieferen zu 
ermitteln. Dazu dienen wieder die Formeln (1) und (2). In den- 
selben ist aber für ®^ zu setzen die besondere Dichtigkeit oder 

J® = — &^, (6) 

wobei man 0^ den nächstgelegenen Massen entsprechend annehmen 
kann, damit diese aus der Rechnung verschwinden. Ferner ist für h 
durchaus der konstante absolute Wert von IJ' zu setzen. 

Zu den Ausdrücken (1) und (2), in denen aber, wie bemerkt, 9 
anstatt 0q zu schreiben ist, welches Symbol nunmehr unter das 
Summenzeichen gehört^ treten dann noch folgende Teile für S und t^ : 

5 = -// nS-2 ("°9>-. - sinyO J@ . f (7) 

in Sek. ^^m *"** ^"^ 

^ = 'Iq~^R^ (^^^9?' "■ ^^^9>m) ^& . ^^ (8) 

in Sek. 4W^ir-a-ÄJ 

24* 


372 4- Kapitel. Der Einfinfs gegebener Massen, 

mit 

Die Anwendbarkeit dieser Formeln ist an die Bedingung gebunden, 
dafs man dS bis zu einem Umkreis a,- als konstant ansehen darf^ 

für welchen der Quotient ff' : ( — ^ J bereits ein kleiner Bruch ist. 

§ 40. Fortsetzung: Die Ausffihrang der Rechnung. Zahl- 
reiche Berechnungen von Lokalanziehungen finden sich in dem Haupt- 
werke der englischen Vermessung*). Hierbei wurde Öq = — - ©« ge- 

setzt und a in der Regel der Reihe nach gleich 100, 200, 300, 400, 
500 Fufs engl, genommen (1. Gruppe), sodann wachsend von 500 zu 
500 Fufs bis 5000 Fufs (2. Gruppe), endlich weiter in geometrischer 
Progression mit dem Verhältnis 7:6 bis a^^ oder a^ (3. Gruppe). 
Unter Umständen fand für aufserhalb der 3. Gruppe liegende Massen 
bis zu 12 geogr. Meilen und mehr Abstand eine Schätzung statt. 
Die normale Berechnung ging aber nach den angegebenen Daten nur 
bis etwa 15^"* oder 2 geogr. Meilen. 

Da man nur | zu berechnen hatte, nahm man nach dem Vor- 
gange von Huiton die Werte q) dergestalt, dafs die Sinusdifferenz für 
Formel (1) stets 0,1 betrug. Man setzte also im 1. Quadranten 9 
der Reihe nach gleich 


0« 

0' 

30« 

a 

5 

44 

36 

52 

11 

32 

44 

26 

17 

27 

53 

8 

23 

35 

64 

9 

30 



90 

0. 


Es erleichtert diese Wahl die Rechnung einigermafsen, indem 
man damit den Faktor (sin q>m * — sin xpl) konstant gleich 0,1 erhält. 
Aber es scheint uns doch, als sei wenigstens das Intervall von 64® 9^ 


♦) Ordnanct Trigonometrtcal Survey of Chreat Britain and Irdand. Prin- 
cipal Triangulation. London 1858. Seite 583, 606 und 624 bis 664. Es dürfte 
jedem, der sich mit dergleichen Arbeiten beschäftigen will, das Stadium des 
trefflichen Werkes auch an den betreffenden Stellen anzuraten sein. 

Man findet hier S. 576 auch die Anziehung eines rechticinkdigen Paraüd' 
epipeds behandelt (für Tafelländer brauchbar). 

Auch C. A, F, Peters giebt eine Formel für die Anziehung des rechtwinke- 
ligen Parallelepipeds, Astronom. Nachr. , 1855 Bd. 40, Nr. 939, S. 46, sowie für 
eine Pyramide^ Bulletin de la Classe physico-mathem. deVAcademie de St. Peters- 
hourg, t. III, p. 219. 

VergL auch DaUander, Poggendorffs Annalen^ Bd. 117, 1862. 


§ 40. Die Aasfühnmg der Rechnung für lokale Lotablenkung. 373 


bis 90^ ff zu grols. Innerhalb dieses Intervalls geht cos 9 von 0^44 
auf null herab ^ sodafs die Rechnung mit einem Mittelwerte von h 
bei einigermaCsen unebenem Terrain fÖr den betreffenden Anteil in S 
keine genügende Annäherung geben kann. 

Bei der Einteilung in Vierecke ist nämlich offenbar darauf zu 
achten, dafs die der Annahme eines konstanten h entoprechende 
Planierung des Terrains die Anziehung bezw. deren Komponente nicht 
merklich ändert, dafs mithin Verschiebungen der Ausgleichsmassen 
von einem Rand zum andern keinen erheblichen Eiuflufs haben. Da 
aber die Anteile in S ^^^ cos (p proportional sind^ so darf dessen 
Änderung in jedem Vierecke nur eine mäfsig grofse sein. Wir 
würden daher im Falle praktischer Rechnung das letzte Intervall 
über 64^9' hinaus noch weiter unterteilen. 

Um sich praktisch eine Vorstellung von der Unsicherheit zu 
verschaffen, welche im Endresultat durch die Schwankungen von 
A innerhalb je einer Abteilung entsteht, kann man einzelne be- 
sonders beachtenswerte Vierecke halbieren und ihren Einflufs noch- 
mals berechnen u. s. f. Dabei ist zu erinnern, dafs die betreffenden 
Fehler für gröfsere Gruppen benachbarter Vierecke sich anhäufen 
können. 

In dem Werke über die bayerische Landesvermessung finden sich 
Ermittelungen der Lokalanziehungen für 2 Stationen*). Hier wurden 
i und 17 berechnet und q> demnach in arithmetischer Progression fort- 
schreitend angenommen. Ebenso die a, wenn auch für mehrere 
Gruppen mit verschiedenem Intervall. Die äufsersten Kreise erstreckten 
sich bis zu etwa 45 Meilen, alle Massen umfassend, die beide Sta- 
tionen merklich verschieden beeinflufsteu. Auch hier fand man die 

Annahme &o "^ '^ ®m ausreichend. Die gröfsere Ausdehnung des 

benutzten Gebietes in Bayern gegenüber England erklärt sich durch 
die Absicht; die naheliegenden Alpen zu berücksichtigen. 

Um h für ein Viereck zu fin- 
den, bedient man sich in der Regel 
mit Vorteil der äquidistanten Hori- 
zontalkurven. Denken wir uns ein 
Viereck von mehreren solchen durch- 
schnitten, Fig. 60, so prgiebt sich 
h^ indem man die im Viereck ent- 
haltene Masse durch die Grundfläche 
dividiert. Man wird am besten so ^*' ^' 

vorgehen, dafs man, wie Fig. 60 zeigt, das betreffende Viereck 



*} Die hayermhe Landesvennessung in ihrer toissenschafllichen Grundlage, 
München 1873. S. 768 bis 768. Auch dieses Werk ist für Details der Berech- 
nimg nachzusehen. 


374 ^* Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

durch äquidistante LiDien in kleinere Vierecke zerteilt, für die Mitte 
eines jeden die Hohe interpoliert (wobei eben die Horizontalkarven 
sehr nützlich sind) und dann zunächst für die Werte, die zu gleichem 
Radius gehören, Mittel bildet Im Falle der Figur ist sodann zu 
setzen, wenn ä'...ä"" die Mittelwerte und a\..a"' die zugehörigen 
Radien sind: 


ftr» 1 f*rt 


a + a -{- a -^-a ^ ^ 

Dieses Verfahren scheint uns wenigstens bei kleinen, nur durch 
wenige Kurven zerlegten Vierecken richtiger und zweckmäfsiger als 
dasjenige, mii Hilfe der Inhalte der Horizontalschnitte (welche sich 
allerdings mit dem Planimeter leicht ermitteln lassen) die Kubizierung 
zu bewerkstelligen. Denn bei letzterem zeigt sich als Übelstand, dafs 
Teile z. B. bei A und B übrigbleiben, auf welche die Formeln der 
mechanischen Quadratur nicht recht passen. Dieser Übelstand kann 
jedoch von unerheblichem Einflufs sein, wenn die Teile von der Art 
A und B infolge eines relativ zu den Dimensionen des Vierecks sehr 
dichten Systems von Horizontalkurven verhaltuismäfsig klein sind. 
Dann kann man setzen (vergl. 8. 337 Anm. u.) 


+ ^ (y yo + yi + ^2 + • • • + y«-i + y y») • (2) 




Hierin bezeichnen y^^ Vi • • • die Flächeninhalte der Horizontalschnitte 
in aufsteigender Reihe, h^ die Hohe des tiefsten Schnittes y^ und ^h 
das Hohenintervall. Als tiefster Schnitt y^ ist das Viereck selbst zu 
nehmen, als y^ der Inhalt der Schnittfläche zwischen der 1. Kurve 
und dem Viereckscontour. *) Übrigbleibende, in der Formel nicht 
berücksichtigte Kuppen kommen bei der vorausgesetzten relativen 
Dichtigkeit der Kurven nicht in betracht. 

Welches Verfahren man auch zur Ermittlung der Durchschnitts- 
hohen h wählen mag, so ist stets der Umstand günstig, dafs eine 
grolse Sorgfalt überhaupt nicht erforderlich, insoweit zufällige Fehler 
in den' h in betracht kommen. Fassen wir z. B. die 3. Gruppe von 
Vierecken der Ordnance Svrvey^ vielleicht an Zahl 4Ü0, ins Auge, 
so erhalten wir zunächst deren Beitrag zu ^ in Sekunden gleich 


0,00039 log nat ~> £h, 


«* 1 . 7 


wobei log nat — = log nat — = 0,15 ist. Beträgt der mittlere zu- 
fallige Fehler in h aber /lia, so wird der entsprechende mittlere zu- 
fällige Fehler in | gleich 

*) Die Bayerische Landesvermessung S. 764 wendet eine etwa« andere Fonnel 
an; die unsrige ist vielleicht vorzuziehen. 


§ 41. Erfolge der Berechnung von lokalen Lotablenkangen. 375 

0,00039.0,15.20 f**, d. i. 0,0012 fi*, 

mithin für j»a =■ 100"» erst 0,12". Selbstredend wird für die 1. und 
2. Gruppe die Genauigkeit etwas grofser sein müssen, wofür wir aber 
die Schätzung übergehen. 

Es mag noch erwähnt werden, dafs die Ordnance Survey für die 

1. Gruppe F nach Formel (5) berechnete; für die 2. Gruppe wurde 
ein Näherungsverfahren mit Benutzung dieser Formel angewandt, 
während für die 3. Gruppe die 1. Formel (4) zur Benutzung gelangte. 
In Bayern rechnete man nur mit der 2. Formel (4). 

Hierbei mufs nun noch darauf hingewiesen werden, dafs in den 
Formeln (4) und (5) zwar h den Höhenunterschied mit dem angezo- 
genen Punkte P' bedeutet, dais aber in (4) und dem 1. Gliede der 
Parenthese (5) für h auch die Hohe über einem beliebigen Horizont 
z. B. also die Meereshöhe H gesetzt werden darf, da sich die dokdurch 
begangenen Fehler in der Summe der 4 Quadranten aufheben. Im 

2. Gliede von (5) ist aber h in der ursprünglichen Bedeutung zu 
nehmen. Bei der 2. Gruppe von Vierecken setzte nun die Ordnance Survey 
für alle 20 Vierecke der nördlichen oder südlichen Hälfte eines Ringes 


2:^3 - 20 (^-^y. 


Genaue Berechnungen der Lokalanziehung fährte zuerst HuUon aus 
gelegentlich der 1772 — 76 von Maskelyne unternommenen Bestimmung der 
Dichtigkeit O^ der Erde aus der Lotablenkungsdifferenz für zwei bezw. 
nördlich und südlich des Berges Shehallien in Pertshire gelegenen Breiten- 
stationen. Er berichtet darüber in den PhUosphical TrainsaeUcms 1778 
(Ausgabe von 1809 Bd. 14 S. 408 u. ff.). Man vergl. auch 2 Abhandlungen 
in den Phil. Tran^act, 1775 von Jfew^elyne, betr. Auswahl der Berge und 
Beobachtungen am Shehallien. Für die Radien, an Zahl 20, und für sin 9 
nahm er arithmetische Progression, ^sintp«^ Vit* ^a — 666% Fufs. Zur 
Interpolation der h fand er es bequem , zun&chst Punkte gleicher Höhe 
durch Linien zu verbinden, er führte also faktisch HorxBomtdlkwrven ein. 

Für i^nahm er wahrscheinlich den Ausdruck (5), d. h. er setzte eigentlich 

F SS« iflj^ — a^ sin arc tan — , 

berechnete aber den Sinus aus der Tangente nach einem einfachen (uns 
nicht näher bekannten) Verfahren, das sicher auf Anwendung von (6) 
hinauslief. 

§ 41. Erfolge der Berechnung Yon lokalen Lotablenkangen. 

Bei der eDglischen Vermessung ergab sich folgende Zusammenstellung. 
In derselben enthält die Kolumne A den Wert vod | aus der Ablenkung 
der Massen innerhalb eines Umkreises von ca.2 geogr.Meilen (bei den ersten 
4 Stationen der Insel Wight nur 5*^), B den Wert bei Berücksichtigung 
auch der entfernteren Massen, 6? die Verbesserung dergeogr. Breite^ welche 
das für das Vermessungsgebiet günstigste Beferenzellipsoid erfordert 


376 


4. KapiteL Der Einflars gegebener Maasen. 


I aus der Ordnance Starvey, Principal TriangidaHon p. 699 und 700, 


Name der Station 


Duanose 

Boniface 

Week Down 

Port Valley 

Clifton 

Burleigh Moor. . . . 

Hangry Hill 

Feaghman 

Porth 

TawDaghmore . . . . 

Lough Foyle 

Kellie Law 

Mouach 

Ben Hutig 

Galton HiU, Ediub 
Cowhythe 


a 


— A 


C-B 


— 1,02" 
+ 1,94 
+ 1,50 
+ 2,81 


-0,54' 
+2,42 
+ 1,98 
+3,29 


—0,90 


— 3,03 
+3,85 


-4,55 
+5,40 


-1,95 


—0,17 
— 1,43 
—2,15 


+ 1,13 
— 2,30 
-4,02 


+2,08 
+0,47 


-1,63 
—2,43 
-2: 


— 2,01 
-3,57 
—5: 


- 1,62" 

+0,80 

+ 0,58 

+ 1,61 

-2,56 

-3,54 

+2,92 

-0,88 

+0,26 

—0,95 

-4,48 

+ 1,82 

+ 1,36 

-2,86 

-5,30 

—9,55 


-0,60' 
-1,14 
—0,92 
-1,20 


— 1,08 
-1,62 

— 1,40 

— 1,68 


ff 


— 1,66 


—0,51 
—0,93 


+ 1,01 
—2,48 


+ 1,07 
+ 0,43 i— 0,87 


+0,48 
-2,33 


+ 1,35 
—0,46 


-0,26 
+0,89 


-1,23 
—2,87 
— 7: 


—0,85 
-1,73 
-4: 


Hiernach trägt o£Penbar im allgemeinen die Anziehung der um- 
gebenden Massen in dominierender Weise zur Erzeugung der Ab- 
weichungen gegen das Referenzellipsoid bei. Immerhin bleiben er- 
hebliche Reste. Die Erweiterung des in die Rechnung einbezogenen 
Terrains nutzt nicht immer, sondern schadet zum Teil. So wird be- 
merkt, dafs für die 4 Insel- ^/^A/-Stationen die Differenzen wachsen, 
wenn man die SOdküste von England und einen entsprechenden 
Eanalteil mitberücksichtigt. Bei Cowhythe ist zwar wegen mangeln- 
der Daten die Berechuung von A und B sehr unsicher; es soll aber 
B jedenfalls — 6" nicht erreichen , sodafs C — ß mindestens — 4" 
betragen wfirde. 

Günstiger war der Erfolg der Rechnungen der bayerischen Landes- 
aufnahme. Hier ergab sich für die Differenz der geographischen 
Breiten beider Stationen, Benediktbeuren — München, mit Bessels 
Erdellipsoid : 

9,00* astronom. — geodätisch, 

8,64 aus der Massenanziehung; 

femer ergab sich fflr das Ton München nach Benediktbeuren über- 
tragene Azimut 


§ 41. Erfolge der Berechnung von lokalen Lotablenknngen. 377 

— 5,83" astronom. — geodätisch, 

— 5,22 aus der Massenanziehung. 

[Bei diesen Übertragungen kommen die Formeln (9) S. 536, Bd. 1, 
in frage.] 

Sehr günstige Resultate erzielte für die Alpen auch Oberst Pech- 
mann *) bei zwei Meridianbögen und drei ziemlich entfernten astrono- 
mischen Stationen in Breite und Azimut. Er suchte durch seine 
Rechnungen nachzuweisen, dafs es Hypothesen über die Dichtigkeit 
der Massen unterhalb des Meeresniveaus nicht bedürfe, um die Ab- 
weichung zwischen geodätischen und astronomischen Beobachtungs- 
ergebnissen zu erklären. 

Auch Denzler erzielte günstige Resultate; nur in der Amplitude 
Mailand' Zürich bleiben 5 bis 6" unerklärt, und es vermutet daher 
Ph, Fischer, dem wir dies entlehnen, hier den Einflufs unterirdischer 
Massenstörungen*"^). 

Dafs solche existieren, ist ja bereits bei Moskau unzweifelhaft 
konstatiert***), nach/Va// für den JHmalaya erwiesen und von O.Struve 

*) E, Pechmann, Die Abweichungen der Lotlinie hei astronomischen Bedbaeh- 
twngsstationen und ihre Berechnung als Erfordernis einer Crradmessung, Wien 
bei Gerold. 2 Teile. 1863—65. (Der 1. Teil ist auch in dem 22. Bde. der Denk- 
schriften der mathem. naturwiss. Glosse der Wiener Akademie der Wissenschaften 
enthalten.) 

**) Densler, Jdfirhudi des schweiser Alpenklübs, 3. Jahrg. 1866 (nach 
Ph. Fischer, Gestalt der Erde, S. 46). 

^**) G. Schweiser, Untersuchung über die in der Nähe von Moskau stattfindende 
Lokalattraktion. Moskau 1863. Wir folgen Referaten von C. A. F. Peters 
and O. Struve in den Astronom. Nachr. vom Jahre 1864 Bd. 61 Nr. 1449 8. 142 
bezw. in den Monthly Notices of the Royal Astron, Society Bd. 23 S. 186. 

Für 90 Punkte innerhalb einer Zone, die sich bis 4 Meilen nördlich, 8 süd- 
lich, 5 Ostlich und 9 westlich erstreckt, wurde die Polhöhe beobachtet. Bie 
10 Minuten südlich von Moskau von WS W nach ESE laufende Linie hat keine 
nordsüdliche Ablenkung, aber auf den Parallelen beiderseits w&chst sie bis ca. 8" 
in etwa V/^ Meilen Abstand und nimmt dann wieder ab. Da grö&ere ober- 
irdische Massenstörungen fehlen, so mufste Schweiger die Lotstörungen auf eine 
unterirdische Ursache zurückführen. Es liefsen sich durch verschiedene An- 
nahmen befriedigende Darstellungen der Ablenkungen erzielen. Hervorgehoben 
wird die Hypothese, dafs eine Erdschicht von ca. 500 *" Mächtigkeit und von 
der halben Dichtigkeit der Erdrinde (das wäre somit 1,4) in einer Breite 
von 3Vt ^is 4 Meilen sich in unbegrenzter Länge von Ost nach West quer zu 
dem Meridian von Moskau hinzieht, und dafs sie im Norden und Süden von 
5 Meilen breiten Schichten von l^'ifacher Dichtigkeit der Erdrinde (abo 4,2) 
begleitet wird. 

Etwas anders referiert Frans Klein (in der Schrift Zweck und Aufgabe der 
europ. Gradmessung. Wien 1882). Damach fand sich als Ursache eine Höhlung 
von elliptischer Form, IVt Kubikmeilen fassend, langgestreckt in Richtung .E IT. 
Nach den Verhandlungen der 6. allgem» Konf. der europ, Gradmessung zu Mün- 
chen 1880, 8. 36 des Generalberichts, wird gegenwärtig die Umgegend von Moskau 
auch mit einem Beversionspendel untersucht. 


378 4. Kapitel. Der Einflufii gegebener Maasen. 

am Kaukasus ebenfalls bestätigt gefunden worden. Hier ist in einer 
vulkanischen Gegend eine Berücksichtigung der oberirdischen Massen 
zum Teil in solchem Mafse schädlich, dafs sich dadurch die astro- 
nomisch-geodätische Differenz von ca. 24 auf ca. 40" steigert*). 

Auch im Harze**) und in Nordamerika***) wurde man auf unter- 
irdische Massenstorungen hingewiesen und Petii fand , dafs die 
Pyrenäen bei Toulouse scheinbar das Lot nicht ablenken f). Vergl. 
übrigens im 3. Kap. S. 228 und im 4. Kap. S. 364 § 38. 

Hiemach wird man, ohne den Berechnungen der Anziehung 
durch sichtbare Massenunregelmäfsigkeiten ein hohes Interesse ab- 
sprechen zu wollen, sich doch andererseits sagen müssen, dafs es be- 
denklich ist, für Gradmessungszwecke, wie Schubert, Pechmann u. a. 
wollen, die astronomischen Beobachtungsergebnisse an der Hand 
solcher Berechnungen verbessern zu wollen. Es wird immer fraglich 
sein, ob eine Verbesserung eintritt. Man darf mindestens nicht weiter 
als bis zu einer solchen Grenze die Massen in betracht ziehen, bei 
welcher die Wahrscheinlichkeit erheblich wird, dafs ober- und unter- 
irdische Massenstorungseinflüsse von gleicher Ordnung sind. Auch 
würde es unerläfslich sein, durch Pendelbeobachtungen die Masseu- 
yerteilung zu prüfen. Besser ist es jedenfalls, anstatt die Elimination 
lokaler Einflüsse durch Berechnung erzielen zu wollen, nach der Ört- 
lichkeit verdächtige Stationen aus der Rechnung wegzulassen oder 
die Zahl der astronomischen Stationen in solchen Bezirken, wo man 
Störungen vermutet, zu vermehren und zwar in der Weise, dafs 
der Wahrscheinlichkeit nach dadurch eine Kompensation der Einflüsse 
in den Gradmessungsergebnissen erzielt wird. (Bd. 1 § 11 S. 611.) 

Die Krümmung der Niveavflächen kann bei Berechnungen der 
Massenanziehung nur dann in frage kommen, wenn es sich lediglich 
um Studien über die Wirkung kontinentaler Massenstorungen han- 
delt, wie in den §§ 18 u. S. dieses Kapitels, insbesondere in § 24 S. 327. 
Dieser Fall bietet nach unseren Ergebnissen über die Massen^erteilung 
in der Erdrinde S. 364 so wenig Interesse, dafs wir darauf nicht weiter 
eingehen, umsomehr als selbst bei Entfernungen von 1 Million Meter 
der Einflufs der Krümmung noch nicht erheblich ist; vergl. Formel 
(13) S. 328. 

Erwähnt mag werden, da(^ Lamont magnetiBche Anomalieen and 
Anomalieen der Lotrichtung auf UnregelmäfBigkeiten des magnetischen, 

*) Berieht über die Verhandlungen der 3, äUgem, Konferenz der europäischen 
ChrcLdmesswng zu Wien.B. 13 und GenerälbericM für 1871 S. 50. 

**) Publikation des kön, preufs. geodät, Instituts. Astronomisch-geodätiBche 
Arbeiten im Jahre 1875; publ. 1876 durch Prof. AlbreM; S. 157. — 1881 war 
die Anzahl der in Polhöhe beobachteten Punkte auf 39 gestiegen. 
•••) Nach Bruns, Figur der Erde S. 29. 
t) Annales de VObservatoire de Toulouse ^ t. I p. 86. (Yom Verf. dieses 
nicht selbst gelesen.) 


§ 42. Beatimxnung d. mittl. Dichtigkeit d. Erde aus Lotablenkungen. 379 

metallischen Erdkernes zurückführt, gestützt darauf, dafs beide Anomalieen 
meist gleichzeitig auftreten. (Meteorologische Woclienberichte der Münchener 
Sternwarte Nr. 29—34 von 1866 [nur metallographiert] und Sitzungsberichte 
der hayer, Akademie der Wissenschaften 1865.) 

§ 42. Bestimmung der mittleren Dichtigkeit der Erde aus 
Lotablenkungen. Denkt man sich, dafs nordlich und südlich eines 
Berges oder überhaupt einer bekannten Masse im gleichen Meridian 
und in nahezu gleicher Hohe astronomisch die geogr. Breite bestimmt 
wird und dafs man aufserdem geodätisch den Meridianbogen zwischen 
beiden Stationen ermittelt, so läfst sich berechnen, wieviel die astro- 
nomisch bestimmte Amplitude von der geodätisch in Bezug auf ge- 
wisse Dimensionen eines Referenzellipsoids bestimmten abweicht. 
Unter der Voraussetzung nun, dafs lediglich die in Rede stehende 
Masse störend aufs Lot wirkt und ohne dieselbe die Differenz der 
Lotrichtungen dem gewählten Referenzellipsoid entspricht, wird man 
die mittlere Dichtigkeit der £rde aus der Differenz der astronomisch 
und geodätisch berechueteu Breitenamplituden finden können. Denn 
ist die Dichtigkeit der betreffenden Masse genau bekannt^ so hat man 
nur nach den angegebenen Regeln die Anziehung derselben auf jede 
der beiden Stationen zu berechnen und mittelst des theoretischen 
Ausdruckes für die normale Schwerkraft in der in § 39 angegebenen 
Weise die nördliche Lotablenkung S zu bilden. Die mittlere Dichtig- 
keit 0m erscheint alsdann in der Gleichung, welche die beobachtete 
Differenz beider g darstellt, als Unbekannte. 

Zu dem in § 39 benutzten Rechnungsgange ist zu bemerken, 
dafs daselbst für die normale Schwerkraft nur der Näherungsausdruck 

Y ^^^^m^ gesetzt ist. Dies reicht eigentlich mit Rücksicht auf 

sonstige Fehlerquellen auch gegenwärtig aus. Will man aber strenger 
rechnen, so hat man die Formel (17) mit (18) S. 97 anzuwenden 

und darin die Erdroasse M t^-- nR^@m zu setzen. (Über die Be- 

rücksichtigung der Anziehung der Erdschichten über dem Meeres- 
niyeau bis zum Niveau der Stationen vergl. im 3. Kap. § 37 S. 244). 
Das vorstehend geschilderte Verfahren leidet hauptsächlich an 
dem Übelstande, dafs sich mit den Anziehungen der bekannten Massen 
leicht diejenigen unbekannter Massen mischen. Heutzutage, wo es 
mehrere gut ausgebildete physikalische Methoden giebt, um @m zu 
ermitteln (vergl. das 6. Kap.), wird man daher derartigen Bestim- 
mungen nur einen untergeordneten Wert beilegen. 

Den ersten Versuch einer solchen Bestimmung von B^ unternahmen 

gelegentlich der Gradmessung in Peru Bouguer und de la Condamine am 
Chimhorasso, jedoch wegen mangelhafter Hilfsmittel ohne Erfolg (vergL 
das Werk beider Gelehrten La Figure de la Terre etc. 1749; einige 
Details hieraus ~ sowie über das weiter Folgende — teilen auch das Haupt- 


380 ^. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

werk der englischen Yermessung, Principal Triangulation S. 597—609, 
und Todhunter, History of AUraction, Bd. 1 S. 244 und 248 mit). 

Ans den bereits S. S75 erwähnten, am Shehallien angestellten Beobach- 
tungen MaskelyneB berechnete Hutton 1778 und 1821 S^ »- 6. Dabei 
setzte er die Dichtigkeit der Bergmasse gleich 2,7, oder genauer, dem 
Werte 9^ =» 6 entsprechend, gleich 2,778. Zufolge nachträglicher Ermitte- 
lungen, die von Play fair auf Anregung Huttons gemacht wurden, yergl.PM. 
Transact, \Sl\ und 1821 S. 276— 292, schwankte sie eigentlich von 2,64 bis 
3,2 ; Play fair nahm nach seinen Ermittelungen 0^ «» 4,7. Wegen der 
Schwierigkeit der genauen Dichtigkeitsaafnahmen der Bergmassen schlug 
Hutton 1821 vor, eine grofse ägyptische Pyramide als ablenkende Masse 
zu benutzen, wobei er bemerkt, dal^ das Maximum der Ablenkung in </4 
der Höhe stattfindet. 

Es mag gleich hier erwähnt werden, dafs später C. Ä. F, Peters in 
seiner Abhandlung über die kleinen Ablenkungen des Lotes, Bull, de la 
Cl. phys.-math, de VAc. de St, Pä. Bd. III S. 217, den gleichen Vorschlag 
macht, wobei er die einseitige Ablenkung am Fufse bei 73' Höhe nnd 
116' Seite zu 0,6" angiebt. Er gedenkt hierbei des Vorschlags von 
W. Struve, &^ durch Beobachtungen an gegenüberliegenden Stellen der Ufer 
des Kanals von Bristol zu bestimmen. In diesem Kanal steigt nämlich die 
Flut auf 30' engl. Immerhin beti^t bei 8 geogr. Min. Länge und 4 Min. 
Breite die Anziehnng des Lotes durch die Flutmasse nur 0,2", sodafs eine 
genaue Bestimmung selbst mit dem Passageninstrument im 1. Vertikal 
Schwierigkeiten bereitet. 

Eine sehr eingehende Untersuchung unternahm 1855 James am Berge 
Arthurs Seat bei Edifiburg, Die nächste Veranlassung bot allerdings das 
Auftreten einer lokalen Abweichung bei einem nahegelegenen Punkte und der 
Wunsch, die lokalen Lotanziehungen zu studieren. Aufser der nördlichen 
und südlichen Station hatte man noch eine auf der Spitze des Berges, 
dessen nach vielen Bestimmungen zu 2,75 angenommen wurde Es 
gaben die 3 Stationen , wenn c eine Konstante bedeutet und : G^ = q 
gesetzt wird, die Gleichungen 

— 2,70 q + 2,81" -f c = 
-f 2,40 g • +c=0 
-f 5,24 q — 1,26" -f c =- , 

welche sich bis auf [-f 0,04", — 0,13" und -f 0,08" durch q =■ 0,517 mit 
9^ B- 5,32 darstellen lassen. (Aufser in der Ordnance Survey^ Princ 
Triang,, auch in den Phih Transact, Bd. 146 mitgeteüt). 

Pechmann fand gelegentlich seiner Lotabi enkungsstudien in den Alpen, 
vergL S. 377, mit Ö ««■ 2,75 auch 2 Werte ftlr 9^, von denen aller- 
dings nur der erste, nämlich 6,13, genügende Sicherheit bietet, um mit an- 
deren derartigen guten Bestimmungen konkurrieren zu können. 

Das arithmetische Mittel der drei Bestimmungen 4,7 (oder 5), 5,32 und 
6,13 ist rund 5,4. 

§ 43. Ph. Y. Jollys Bestimmung von ®m aus Wägungen*). 

Für eine Quecksilberkugel im Gewicht von 5009450"*^ fand sich 

*) Ph, V, Jolly, die Anwendung der Wage auf Probleme der Gravitation, 
2. Abhandl. München 1881. Aus den Abh. der kön, bayer. Ak. der Wissen- 
schaften, IL CL, 14. Bd. 2. Abt. [die 1. Abh. Bd. 13 enthält nur vorläufige Ver- 
suche]. 


§ 43. Fh, V. JoUys Bestimmung Ton O^ aus WäguDgen. 381 

durch Wägungen in einem Turme mit einer feinen^ zweiarmigen Wage, 
welche aufser mit den üblichen Wagschalen noch mit einem zweiten 
Paare 21,005*» tiefer versehen war, eine Gewichtszunahme von BljöSB*"^, 
wenn sie in die tiefere Schale gebracht wurde. Befand sich aber 
unterhalb der betr. unteren Wagschale eine Bleikugel von 1"» Durch- 
messer, so stieg die Gewichtszunahme auf 32,275*"^, betrug also 
0,589"»^ mehr. 

Der Radius der Bleikugel war 0,4975"*, ihr spez. Gewicht 11,186, 
ihr Abstand vom Mittelpunkt des unten befindlichen Quecksilber- 
gewichts 0,5686"». 

Nennt man die Schwerebeschleunigung ohne Wirkung der Blei- 
kugel oben ^, , unten g^t ^^ ^^^ ^^^ ^^^ Wirkung der Bleikugel 

oben gleich ^i + Ar^m . — |- , 

unten „ ^^ + Ar^m . -^ , 

wenn m die Masse der Bleikugel ist, und ^| und e^ ihre Abstände 
vom oben bezw. unten liegenden Gewicht sind. Man hat nun offenbar 

9t — gt ^ 31,686 ,.. 

Qi 6 009 460 ' ^^ 

ferner mit einer unerheblichen Vernachlässigung im Nenner linker Hand 


i;.-!/. + *«m(-^-^.-) 


31,686 + 0,589 


also 


Dabei ist 


^1 5009460 

gi *^ "600946() * 

e^ = 0,5686"» , e^ = 21,5736"» , 
m — 4'^(0|4975)M1,186. 


9 


(2) 


(2*) 


Was fff anbetrifift, so ist nach S. 97 (17), (18) und (23) dessen 
normaler Teil gleich 

i- «A»©„Ä (l - ?|) (l + J « - I C + b sin'i?) (3) 

anzunehmen, wenn ff die Meeresh5he und B die geogr. Breite der 
Station ist. Die geogr. Breite kann genau genug =48^8' gesetzt wer- 
den, ff wird für München zu 515"* angegeben; wie hieraus // für 
die Beobachtungsorte sich berechnet, wird aber nicht gesagt. Die 
hierdurch entstehende Unsicherheit ist jedoch geringfügig, namentlich 
mit Rücksicht auf die Änomalieen infolge der unregelmäfsigen Massen- 


382 ^* Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

lagerang in der Erdrinde. Es konnte allerdings noch die Anziehung 
der Terrainschicht bis zum Meeresniveau durch Beif&gung des Faktors 

e 9 TT 

— ZU -^ in (3) berücksichtigt werden, aber der Nutzen davon ist 

zweifelhaft, vergl. S. 244 § 37. 

Mit Rücksicht auf (2*) und (3) findet sich aus (2): 

11,186 /A4975N3/ ^ 1 N 6009450 . .^.„ 

®''» ^ M89^ C^,4y(0; ^^ 0,5686« 21,57«; 6370300" ^'^^^"^ ' 

also 

0^ = 5,691. 

Joily, welcher einen anderen, weniger strengen Ausdruck für g^ 
benutzt, und das zweite Glied der Parenthese vernachlässiget, findet 
5,692. Der wahrscheinliche Fehler des Resultates folgt aus der Über- 
einstimmung der Einzelwerte zu +0,068; er kann aber recht wohl 
etwas grofser sein'*'). 

Jolly bemerkt, dafs der beobachteten Gewichtsabnahme yon 31,686^^ 
eine theoretische im Betrage von 33,059"*^ gegenüberstehe, und er findet 
die Erklärung darin, dafs nahegelegene hohe Gebäude den Turm, wo be- 
obachtet wurde, überragen. Übrigens erhalten wir einen etwas anderen 
theoretischen Wert Nach Formel (17) S. 97 ergiebt sich für die normale 
Schwerkraft: 


fft — 9i 


2 . 21,005 /l+|-fl + t — 2« sin'Jö) 


^1 x>r. 2^1 


B 1 


1-^1 


worin B Bm 48^8' und Hi gleich ca. 530 >" zu setzen ist. Die Erdschicht 
unterhalb des Beobachtungsturmes bis zum Meeresniveau berücksichtigen 
wir nach § 37 S. 244 nicht. 

Berechnen wir nun nach Mafsgabe der angegebenen Formel (ft — j|ff):^i 
und multiplizieren mit 5009450, so folgt 

ein Wert, der durch die Unsicherheit des Nenners der Formel (d. h. der 
Annahme über p,) kaum über Vsooo üri? &®^Q dürft^. Die Differenz mit 
dem beobachteten Werte mufs daher wesentlich durch die verschiedene 
Anziehung benachbarter Massen auf beide Orte des Quecksilbergewichtes 
erklärt werden. Vergl. hierzu noch §3 8. 275 und 276. 


*) Wenn JoUy angiebt, dafs die Differenz seines Wertes far 0„ von dem 
Werte aus Drehwagenversuchen (6. Kap.) eventuell z. T. aus lokalen Anomalieen 
in g erklärlich sei, so scheint uns, dafs er darin irrt, denn Anomalieen in j|f| im 
Betrage von 1 bis 2% sind erfahrungsmäfsig nicht annehmbar. 


§ 1. Die Störangen in der Schwerkraft dnrch Sonne und Mond. 383 

Fünftes Kapitel. 

Zeitliche Änderungen der Niyeanfläclien. 

§ 1. Die Störungen in der Schwerkraft dnrch Sonne und 
Mond. Bei Betrachtung der Schwerkraft ist bisher von der Anziehung 
der üimmelskorper abgesehen worden; vergl. im 1. Kap. § 5 S. 7. Es 
sind auch nur die Anziehungen von Sonne und Mond merklich, und 
selbst diese sind sehr klein. Die Wirkung ist eine mit der Zeit yer- 
änderliche, da diese Gestirne zu irgend einem Erdorte eine mit der 
Zeit veränderliche Stellung haben. Nach dem 1. Eap. § 3 S. 5 erhalt 
man den Einflufs der Anziehung eines Himmelskörpers auf die Schwer- 
kraft dadurch; dafs man von den Komponenten der Anziehung in 
Bezug auf einen betrachteten Punkt P' die entsprechenden! aus (6) 
8. 3 zu entnehmenden Komponenten fQr den Schwerpunkt der Erde 
abzieht. Die Masse des Himmelskörpers denken wir uns dabei genügend 
genau in ihrem Schwerpunkt konzentriert und die Niveauflächen der 
Erde ebenso genau genug als Kugelflächen, konzentrisch zum Erdschwer- 
punkt M, Die Bewegung des letzteren entspricht alsdann der Anziehung 
des Himmelskörpers auf eine in demselben gelagerte Masseneinheit. 

In Fig. 61 stellt Üt Sonne oder Mond vor, S' ist die wirkliche 
Zenithdistanz von fH in P^ und i die 
geozentrische Zenithdistanz. Die Anziehung 
der Masse Üt auf P' kann in eine in P' 
horizontale und vertikale Komponente zer- 
legt werden, ebenso die Anziehung von 
ffi auf Punkt M in entsprechender Weise. 
Zu der Schwerebeschleunigung in P' tritt 
demnach eine horizontale Komponente in 
Richtung nach fH gleich i^ig. ei. 

*';«P/-^^1 (1) 

und eine vertikale Komponente in Richtung nach aufsen gleich 

*24M{^-^J^f-). (2) 

Wir formen zunächst den Ausdruck (1) um, indem wir dafür 
schreiben 

Ä.4«j-«4°/— -;»-?:) (3) 

und beachten, dafs e sin ^ = r sin % ist, sowie gesetzt werden kann: 
e SB r — r' cos ( , woraus in hinreichender Annäherung folgt: 



384 5. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

Damit giebt (3): 

i.Ä»^$8ia2e. (4) 

Wir setzen nun für r' den mittleren Erdradius R und führen 
die Horizontalparallaxe p des Gestirns, d. b. den Winkel ein, unter 
welcbem Radius MP' von jK aus erscheint, wenn Üt im Horizont 
Yon P' liegt. Es ist aber 

sin;? = ^- (5) 

Hiermit erhalten wir aus (4) mit Rücksicht auf den Näherungswert 
G der Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche behufs Elimination 
Ton K^^ nämlich . 

ff-^, (6) 

die nach jM zu gerichtete horizontale Komponente der Schwere- 
störung gleich 

|-<?§^8m»p8iii2e. (7) 

Dividiert man diesen Ausdruck mit G und multipliziert mit fl\ 
so erhält man endlich die Lotstörung und zwar im Sinne einer An- 
ziehung des aufgehängten Lotes gegen ^ hin. 

Die meridionale und ostwestliche Komponente der Lotstörung 
ergeben sich dann durch Multiplikation mit cos A und sin Ä^ wenn A 
das Azimut des Gestirns ist. Zählen wir A wie üblich südwestlich 
und bezeichnen mit \ die südliche Abweichung des gestörten Zeniths, 
mit ti die westliche^ so wird 

5 = — /^ sin 26 to^A iy = — /^sin 2gsin^ 

in Sek. in Sek. 

mit (8) 

in Sek. ^ -^ 

Für den Mond ist ^ = -^ , p = 57' 2,8" , P = 0,0174" ; 

für die Sonne ist Ä = 329000 , p =^ 8,83" , P = 0,0080". 

Diese Werte sind so klein, dafs sie bei den geographischen Ko- 
ordinaten der zugänglichen Teile der Erdoberfläche nicht in betracht 
kommen. 

Auch die Störung der Schwerebeschleunigung selbst ist anerheb- 
lich. Die horizontale Komponente (1) hat jedenfalls gar keinen in 
betracht kommenden Einflufs; was die vertikale (2) anbetrifit, so 
beachten wir, dafs 

e cos J' «= r cos f — r 
und wie früher: 


§ 1. Die Störungen in der Schwerkraft durch Sonne und Mond. 385 

Damit geht (2) über in 

^'Ä ^ {- 1 + 3 cos'g - ^ cos t] . 

Führen wir noch sin p mittelst (5), sowie G mittelst (6) ein und ver- 
Bachlässigen das 3. Glied der Parenthese, so folgt die Störung der 
Schwerebeschleunigung gleich 


(?.^8in3p(3cos'g-l). (9) 

Für den Mond ist ^ sin^p = Vitsooooo 5 

für die Sonne ist -^ sin^p — Vassooooo • 

Die Störung der Schwerkraft ist hiemach verschwindend klein. 

Die Störungen der Richtung und Gröfse der Schwerkraft bedingen 
aber eine Änderung der Gestalt der Niveauflächen. Um dieselbe zu 
ermitteln 9 bilden wir das Potential H des Einflusses der Mond- und 
Sonnenanziehung für Punkte einer ungestörten Niveaufläche. 

Dasselbe ist mit Rücksicht auf den Ausdruck (7) für die hori- 
zontale Komponente dieser Anziehungen für den Mond sowie für die 
Sonne von der Form 

U^ + I^Äf-sin^pcos^f. (10) 

Denn verschieben wir den angezogenen Punkt P horizontal gegen 
das Gestirn hin um — Rd^ und bilden dementsprechend 

dV^ 

mi ' 

'so ergiebt sich wieder die horizontale Komponente übereinstimmend 
mit (7). Verschieben wir dagegen rechtwinkelig zur Vertikalebene 
des Gestirnes, in welcher Richtung die Anziehung null ist, so wird, 
wie es sein mufs, dV = null. 

Damit nun eine neue Fläche konstanten Potentials entsteht, und 
zwar desselben Potentialwertes wie ohne die Störung, mufs das un- 
gestörte Niveau am Punkte P um 


+ 2" ^ M sin3|) cos^g , d. i. R arc P cos'f , (1 1) 

gehoben werden. Diese Hebung ist ein Maximum in der Richtung 
vom anziehenden Körper nach dem Erdschwerpunkt, null in der zu 
dieser Richtung normalen Ebene durch letzteren. Unter dem Einflufs 
des Mondes oder der Sonne ändert sich somit die Gestalt der Niveau- 
flächen im Sinne des Überganges einer Kugel in ein längliches Ro- 
tationsellipsoid mit der relativen Axenverlängerung 

arc /*, 

üelmertj matbem. n. physik. Thcoricen der höh. Geodäsie. II. 25 


386 6- Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveanflächen. 

d.i. für den Mond V12000000» wobei Ä arc /^ = 0,54"» ist, 

(12) 
für die Sonne V26000000» >7 n =0,25"* „ . 

Die grofse Äxe des Ellipsoids liegt in der Richtung nach dem stören- 
den Körper. 

Die Kräfte, welche die Gestalt der Nireauflächen ändern, be- 
wirken auch eine Bewegung des Meerwassers, welche als Flut und 
Ebbe bekannt ist. Die Veränderung der Gestalt der Meeresfläche 
entspricht jedoch nicht der Veränderung der Niveauflächen, welche 
wir eben ermittelt haben. Es würde das nur der Fall sein, wenn 
die Erde sich nicht um ihre Axe drehte und Mond und Sonne die 
gleiche Stellung zur Erde dauernd beibehielten. Wegen der Axen- 
drehung der Erde und der Bewegung von Mond und Sonne kann 
aber das Wasser den Gleichgewichtszustand nicht annehmen, welcher 
den gestörten Niveauflächen entspricht. 

Die Flutbewegung des Meerwassers bedingt im allgemeinen eine 
kleine Änderung der oben ermittelten Werte, die davon herrührt, dafs 
eben die Meeresfläche eine geänderte Gestalt und das Potential der 
Anziehung der Erde auf Punkte ihrer Oberfläche einen geänderten 
Wert hat. Diese sekundären Störungen sind jedoch im allgemeinen 
noch weit geringer, als die primären« Nur an gewissen Meeresküsten, 
wo besonders hohe Fluten eintreten, können sie durch deren Einflnfs 
nennenswerte lokale Beträge erreichen, die nach den Störungsformeln 
für horizontale, unendlich lange Prismen im 4. Kap. sich leicht 
schätzen lassen. 

Die Störung des Lotes wurde bereits um 1845 richtig dargestellt Yon 
C7. A. F, Peters in der Abb.: y<m den kleinen Ablenkungen der Lotlinie 
und des Niveaus (Bull, de la Gl. physico-tnath^, de VAc. de St, Pitersb. 
t. III p. 219)*). Peters fand dieselben Eoefficienten zu (8) wie wir, ob- 
gleich er etwas andere Werte für ßi und p ansetzte. 

Auf die sekundären Lotstörungen haben nach Thomson und Tau, 
Handbuch Bd. 1, 2. T. S. 379, schon Robison 1804 und Forbes 1849 hin- 
gewiesen; ersterer mit Bezug auf die 20^ hohen Fluten der Fundy-Bay. 

§ 2. Bewegang der Erde um ihren Schwerpunkt. Bisher 

wurde angenommen, dafs die Erde sich mit konstanter Geschwindig- 
keit um eine in ihr feste Schweraxe dreht, die im Räume ujiverändert 
ihre Richtung beibehält. Wir untersuchen jetzt^ was die Theorie an 
der Hand der Erfahrung zu dieser Annahme sagt und beginnen mit der 
Aufstellung der allgemeinen Gleichungen für die Drehbewegung der 
Erde um ihren Schwerpunkt. Nach dem 1. Kapitel § 3 S. 5 nimmt 
d'Aiemheris Prinzip für diese Bewegung (mit Weglassung der Striche 
behufs Vereinfachung) die nachstehende Form an: 

*) Die uns nicht genau bekannte Jahreszahl 1845 ist mit Rücksicht darauf 
angegeben, dafs t. I 1843 erschien. 


§ 2. Bewegung der Erde um ihren Schwerpunkt. 


387 


2+i 
.+ {■ 




d^x\ 


?f ) ^^ • *y 

\ dm , dz 




0. 


(1) 


Hierin erstreckt sich die Summierung über alle Massenteile dm der 
£rde; Ä, Y und Z sind die Komponenten der beschleunigenden Kräfte 
(der Kräfte für die Masseneinheit) im Punkte {xyz\ wo dm lagert^ mit 
oder ohne Abzug der entsprechenden Komponenten für den Schwerpunkt. 
Die rechtwinkeligen Koordinatenaxen , welche durch letzteren gelegt 
sind, haben eine beliebige, aber konstante Richtung, und wir nennen 
daher dieses System das fe$le Axensystem, wobei die nicht weiter in 
betracht kommende Parallelverschiebung der ganzen Erde ignoriert ist. 
Um nun zu Gleichungen zu gelangen, welche die Drehbewegung 
charakterisieren, nehmen wir der Reihe nach um die z-, x- und y- 
Axe virtuelle Drehbewegungen vor. Ist die virtuelle Drehung um die 
z-Axe gleich da, so wird 

dx= — ydtt dy^=xSa dz = 0, 

womit (1) ergiebt 

Entsprechend erhält man aus den anderen virtuellen 
Drehungen : 


und 


2{ 


jf) ^'^ 


2 (^-*^ — a;^) am 


(2) 


Rechter Hand stehen die Drehungsmomente der Kräfte. Bei 
Berechnung derselben kann man die inneren Kräfte weglassen. Be- 
trachten wir z. B. das Aggregat xY — y AT für eine einzelne Kraft, 
deren Komponente parallel zur xy* Ebene gleich R sei, so wird 
xY — y^r = Rr sin (y — a), wenn R gegen die x-Axe um y ^"^ 
der Radiusvektor r des Angriffspunktes gegen dieselbe um a geneigt 
ist. r sin {y — er) giebt aber auch den normalen Abstand von R und 
der z- Axe oder den kürzesten Abstand der Kraft von der z-Axe an. Ist 
nun die Kraft eine innere, zu welcher immer eine gleich grofse^ ent- 
gegengesetzt gerichtete existiert, so hat offenbar f(lr beide Kräfte 
r sin (y — a) denselben Wert, das Drehungsmoment Rr sin (y — a) 
aber denselben Wert mit entgegengesetztem Zeichen, sodafs in der 
Summe die Wirkung beider Kräfte verschwindet. Wir schreiben nun 
anstatt (2): 


OR« 


26 


388 


6. Kapitel. Zeitliche Ändernngen der Niveaufläcben. 




(3) 


^V" dt« " dt*) 
"^l d'x d*g\ , ,. 

hierin bezeichnen LMN die Summen der Drehungsmomente der 
äufseren, bewegenden Kräfte in Bezug auf die x-y y- und z-Axe. 

Die Gleichungen (3) schreiben wir endlich noch anders mit Be- 
nutzung der Flächengeschwindigkeiten. Es ist nämlich 


X 


dt* 




•,( dy dx\ 


wenn 


d^ 


X 


dt 


= 2 


»y 


dt 


dy 
dt 


— y 


dx 
dt 


= 2f. 


xy 


(4) 


gesetzt wird. Wie man leicht durch Anschauung findet, istj;^^ — ydx 
die doppelte Fläche^ welche die in die o; 2^- Ebene fallende Projektion 
des Radiusvektors des Punktes {xyz) in der Zeit dt überstreicht; 
fxy hat daher die Bedeutung der Flächengeschwindigkeit in der 
a:y- Ebene. 

Hiermit erhalten wir aus (3), wenn fxyy fyz und /i^^ diese Flächen- 
geschwindigkeiten in den Ebenen xy^ yz und zx^ d.h. um die z-, 
X' und ^-Axe bezeichnen: 




(5) 


dm = M . 


§ 3. Beziehung auf ein bewegtes Koordinatenaxensystem. Dm 

die Bewegung der Erde um ihren Schwer- 
punkt zu studieren^ führt man nun anstatt 
der festen Axen ein zunächst beliebig beweg- 
tes System von drei zu einander rechtwinke- 
ligen Schweraxen ein. Die Winkel, welche 
letztere mit den Axen der xyz ein- 
schliefsen, seien bezw. (vergl. die schema- 
tische Fig. 62) : 



V^^rr^r^ 


JHe Fig. zeigt jdi^pAfsiUoen/Ihlö 
dttAxeiv anf einer KugelpMshe^ 
unu detv Snlst^wer/mnkt', 


1 1 iL 

Aj Aj A3, 


^1 ^2 ^S 


li'iS. 68. 


f*l f*2 f*3 » 

und die Flächengeschwindigkeiten um diese 
Axen bezw. 


/y«; 1*9} f»tf • 


§ 3. Beziehung auf ein bewegtes Koordinatcnaxensysiem. 389 

Dann hat man nach einem bekannten Satze der analytischen Geo- 
metrie über die Projektion von Flachen: 

fy» = fi* COS Aj + fl:, COSf*, + /Jy C08V, 

Ux = fyt COS X^ + /;, C0Sf*2 + /,% COS V^ (1) 

fxy = fyt COS A3 + /;', COSftj + fly COSI/3 . 

Insbesondere folgt ans letzterer Gleichung 


df df df 

dL. I dt- <'*''*3 + -är^^^^ + -df 


xy 


dt I r' • 9 dX» r* ' du* j" ' dv» 

\ — fy, sm A3 -j^ — /;, sin f*3 -j** - f:,y sm V3 -^^^ 

Denken wir uns aber zur Zeit ( die festen Axen mit den entsprechen- 
den bewegten zusammenfallend, so ist 



A, =0 

A ~ 

A — ^ 


n 

f*2 = 

9r 


n 
^1 - 2 

9r 

^. = Y 

V3-O; 

es wird daher 





df df 

^'xy **'xy 

dt ^'dt 




und ganz ähnlich für fy^ und ftx* 

Bezeichnen wir nun die Winkelgeschwindigkeiten des bewegten 
Systems um die festen Axen der x^ y und z zur Zeit / bezw. mit 

Py q und r, 

so ist augenscheinlich, vergl. Fig. 62 und 63: 

dX» , da« 

Man erhält hiermit 

und somit aus (5) des vorigen Paragraphen: Fig. es. 

''^2^ dt' '^'» - ^« 2^'''^'" + ^p'2f''^'^ - ^ 

Bei Anwendung dieser Gleichungen ist zu beachten, dafs immer 



390 &• Kapitel. Zeitliche AnderangeD der Niveauflächen. 

die augenblickliche Lage des bewegten Systems als festes System dient. 
Die f sind, wie aus der Aufstellung der (1) hervorgeht, so zu yer- 
stehen , als wäre das bewegte Äxensystem für den Augenblick fest. 
Im übrigen bestehen keine Bedingungen , insbesondere ist die Lage 
des beweglichen Systems noch ganz willkürlich. 

§ 4. Drehbewegung der als fester Körper betrachteten 
Erde um ihren Schwerpunkt. Wir nehmen jetzt an, dafs die Erde 
ein fester Körper ist oder doch wie ein solcher rotiert, und wir 
denken uns ferner das bewegte Äxensystem fest mit dem Erdkorper 
verbunden. Dann sind zur Zeit / die Grofsen Py q und r nicht nur 
die Winkelgeschwindigkeiten, mit welchen sich das bewegte System 
gegen das feste Äxensystem dreht, sondern auch die Winkel- 
geschwindigkeiten , mit denen sich der Körper selbst um die festen 
Axen dreht. 

Dreht sich aber der Körper im Zeitintervall di um die x-Axe 
mit der Winkelgeschwindigkeit p, so ändern sich die Koordinaten 
y und Zy wie man leicht durch Betrachtung der ^z -Ebene erkennt, 
um bezw. — pzdt und -i-pydi, während x konstant bleibt. Er- 
mittelt man in dieser Weise die partiellen Koordinatenänderungen, 
welche den Drehungen um die 3 Axen entsprechen, so wird erhalten: 


dx 
dt 

= 

• 

+ 

qz 


ry 

dy 

dt 


— pz 


• 

+ 

rx 

de 


+ py 

.— . 

qx 

1 

t 


(0 



Bilden wir hiermit nach Maisgabe von (4) S. 388 § 2 den Ausdruck 
für 2/',y, so folgt 

^fxy = ^fxy = r(x^ + y^) ~pzx — qyz 
und 

2^f^ydm = r^[x^ + y^)dm ^p^zxdm - q^yzdm, (2) 

Da wir es jetzt mit einem festen Körper zu thun haben, würde es 
angemessener sein, die Summenzeichen durch Integrale zu ersetzen. 
Jedoch behalten wir sie der Kürze halber bei, da ohnehin demnaclist 
neue Symbole auftreten. 

Verlegen wir nun die mit dem Körper fest verbundenen Axen m 
seine 3 Hauptaxen, so sind die Ausdrücke 

^ yz dm , ^ zx dm , ^ xy dm (ß) 

gleich null. Femer werden die Ausdrücke 


(5) 


§ 5. Drehbewegung mit Vemaohläaaigung der äufseren Kräfte. 391 

^ (y* + «') dm = A 

^ (z» + X») dm'^B (4) 

2 (x» + y») dm = C 
die drei Hauptträgheitsmomente. Aus (2) erhält man also 

and entsprechend wird 

2^ /;. dm = qB. 
Hiermit gehen die (2) des vorigen Paragraphen Aber in: 

Af^+{C-B)qr = L (6) 

§ 5. Drehbewegung mit Ternachliissigang der äafsereu 
Kräfte und fiir A=^B, Die äufseren Kmfte; von denen die 
Drehungsmomente Ny L und M herrühren, wollen wir zunächst ver- 
nachlässigen. Wir Virerden weiterhin erkennen^ daüs dieser Vorgang 
bereits einen guten Einblick giebt.. Wir setzen ferner mit Rück- 
sicht auf das Ergebnis der Pendelbeobachtungen 8. 74 zunächst 
A s=a B und erhalten so aus dem Gleichungssystem (6) des vorigen 
Paragraphen das einfachere: 

^ dr 


dt 





^i^i+(C--A)qr = () (1) 

A^^-iC--A)pr = 0. 

Die erste dieser Gleichungen zeigt, dafs r von der Zeit unab- 
hängig ist. Nennen wir die Winkelgeschwindigkeiten p, q und r 
5tur Zeit i = null bezw. Po> ^o ^^^ '"o? ®^ ^^* ^^ 

Setzen wir jetzt 
so gehen die 2. und 3. Gleichung (1) über in 


392 5. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

f- + A, = 

dereD Integral nach bekannten Kegeln der Lehre von den Differential- 
gleichungen die Form hat 

p = a cos (kt + u) 

^ «= ö sin {It + fi) , 

für a und fi als Konstanten^ die vom Änfangszustande abhängen 
mittelst der Gleichungen 

Po = « cos fi 

(o*) 
^^ = a sin ft . ^ ' 

(Auf diese Ausdrücke (5) kommt man u. a. dadurch, dafs man die 
erste der (4) differenziert, mittelst der zweiten (4) dq : dt eliminiert 
und die entstehende Differentialgleichung 2. Ordnung für p integriert). 
Die (5*) geben zwei Wertsysteme (a, ^), indem das Vorzeichen von a 
nicht bestimmt ist. Beide Systeme führen aber mittelst der (5) zu 
denselben Werten p und q. 

Um die erhaltenen Integralausdrücke zu deuten, erinnern wir 
daran, dafs den Drehbewegungen p, q und r um die drei Axen immer 

eine einzige Bewegung um die Momentanaxe 
substituiert werden kann , und zwar hat man 
nach einem bekannten Satze über die Zer- 
legung einer Drehbewegung nach den drei 
Axen, Wenn co die Drehgeschwindigkeit um 
die Momentanaxe, a, b und t ihre Stellungs- 
winkel sind, Fig. 64: 

p=xC9Cosa, ^ = öcosb, r = OC08t. 

Fig. 64. 

Hierbei ist mit Rücksicht auf die voraus- 
gesetzte Gleichheit der kleineren Trägheitsmomente A und B zu be- 
merken, dafs infolge dessen das Trägheitsmoment für alle zur (7-Axe 
normalen Schweraxen denselben Wert hat und daher für die beiden 
zur (7-Axe normalen Axen des mit der Erde fest verbundenen Ko- 
ordinatenaxensystems nun irgend zwei zur ^-Axe normale Schwer- 
axen zu nehmen sind. 

Die sphärischen Relationen der Fig. 64 zeigen aber, dafs 

cosa = sin t cos;( , cosb = sine sin;|^ 
ist, womit 

r a» o cosf 

p s=r o sin t cos % (6) 

q = (Q sinf siu;|^ 



§ 5. Drehbeweguug mit VeiuacliläaBigung der äufBereD Kräfte. 393 

wird. Hieraus folgt eiuerseits 

a>2 = r^ -}- P^ + ^* 5 
andererseits ist nach (2), (5) und (5*) 

r' + P^ + ^^ = V + Po' + ^o'. 

Mithin ist die Rotationsgeschwindigkeii der Erde um die Momentandreh- 
axe kmstanty nämlicli gleich 

was mit den Erfahrungen im wesentlichen übereinstimmt. 

Die 1. Gleichung (6) zeigt jetzt, dafs auch t konstant ist, d. h. 
die Momeniandrehaxe beschreibt um die Axe des gröfsfen Trägheits- 
moments einen Kreiskegel vom hcdben Qffnungswinkel t, wobei zufolge 
der Vergleichung von (5) und (6), für jli das Symbol Xo gesetzt, die 
Lage des sphärischen Radius t auf der Kugel vom Radius 1 gegeben 
ist durch 

X = »-t + Jh, (8) 

die Geschwindigkeit der Rotation des Radius t aber durch 

die ümlaufszeit der Momentanaxe um die ^^'-Axe also endlich durch 

r = val. abs. -^- . (10) 

Wenn die Momentandrehaxe , welche die Lage der Himmelspole 
bestimmt, sich im Erdkörper verschiebt, so müssen geogr. Breite, 
geogr. Längendifferenzen und Azimute veränderlich sein und zwar 
im vorliegenden Falle periodisch veränderlich. Man hat namentlich 
die Beträge der Polhöhe einzelner Orte studiert und dabei überhaupt 
nur Unterschiede von Zehntelsekunden bemerkt, die zum Teil perio* 
dische Veränderungen zu sein scheinen und vielleicht von der Ro- 
tation der Momentandrehaxe im Erdkörper herrühren können. Die 
Dauer T der Periode aber läfst sich zunächst nur aus anderen Er- 
scheinungen mit Sicherheit erkennen, die ebenfalls wie k von 
{C — Ä) : A abhängen. Dieses ist insbesondere die sehr merkbare 
Bewegung der Moraentaoaxe im Räume unter der Einwirkung von 
Sonne und Mond, wie wir weiterhin noch etwas näher ausführen 
werden. Die Lunisolarpraezessiou , ein wesentlicher Teil der er- 
wähnten Bewegung, giebt 

-^^zA = 0,003272 , 
woraus folgt (11) 

^ ~ - = 0,003283 . 


394 


6. Kapitel. Zeitliche Änderungen der NiTeanfl&chen. 


Da nun eifahrongsmärsig ( sehr klein sein mafs, so kann man 
nach (6) mit grofser Genauigkeit r, = <» setzen and erhält aus (3) : 

C-A 


A = 


o = 0,003283 a . 


(12) 


Mittelst (10) wird somit^ wenn man noch beachtet, dafs der Absolut- 
wert von 2jc : o die Rotationsdauer der Erde um ihre Axe, d. h. ein 
Sterntag ist: 


2' = val. abs. 


2n 


: 0,003283 = 304^6 Stemtage . 


(13) 


Da aber ein tropisches Jahr (Zeit des scheinbaren Sonnenumlaufs 
gegen den Frühlings-Tag- und Nachtgleichenpunkt) 366,242 Stern tage 
und 365,242 mittlere Sonnentage hat, so folgt auch 

T = 303,8 mittlere Tage . (14) 

Andererseits beschreibt die Momeutanaxe in einem Jahre um die Haupt- 
axe C einen Winkel gleich 360 <> . 366,242 : 304,6 d. i. 

432,8» . (15) 

§ 6. Die Polhohe you Pulkowa naeh G. A. F. Peters. Eine 
genaue Untersuchung über die Bewegung der Momentandrehaxe der 
Erde führte zuerst Peters 1842—43 mittelst einer Reihe von 279 Be- 
stimmungen des Polarsterns in Zenithdistanz, deren jede eine Gleich- 
ung für die Polhohe (geogr. Breite) des Beobacbtungsories Pulkowa 
gab*). In folgender Tabelle (s. nächste Seite) sind die Mittel- 
werte der Beobachtungen für 18 Zeitintervalle behufs Erlangung einer 
Übersicht zusammengestellt. Fig. 65 giebt dieselbe graphisch. In 
jedem Intervall war die Lage des Fernrohres konstant. 


IS.SOÜ 



700 

600 
ISkZft S ¥ 


6 7 S 9 
Fig. 65. 


10 II n, 19 1* 


In den Ausdrücken für die beobachtete Polhohe bezieht sich ^w auf 
eine Verbesserung des Ausdehnungskoefficienten der Luft^ für welchen 
Peters den Ausdruck 


0,0046254 + 


JfO 
326,4 


für l^Ä 


einführt, ^w wird gleichzeitig mit der Polhöhe, der Biegung des Fern- 
rohrs und zwei Konstanten, welche die Bewegung der Momentanaxe 

*) „Resultate aus den Beobachtungen des Polarsterns am J^eZ sehen Yerti- 
kalkreise der Pulkowaer Sternwarte.*' BuUetin de la Glosse physico-mathem. de 
VAc. imp. des sc. de St Fäersbourg 1844 1. 11 p. 305. 

Nach Nyrin hat auch Bessel einen Versuch gemacht, durch Beobachtung 
eines Meridianzeichens die Lage der Rotationsaxe zu untersuchen. 


§ 6. Die Polhöhe von Pulkowa nach C.A.F. Peter». 


395 


TfordU 


'Mimuntanaooe 


charakterisieren, aus einer Ausgleichung ermittelt. Als normalen 
Wert B der Polhohe wird man das Komplement des Winkels zwischen 
dem Zenith des Beobachtungsortes und dem 
durch die Hauptaze C markierten, festen 
nördlichen Himmelspol ansehen , während 
sich die Beobachtung ß auf das Komple- 
ment des Winkels zwischen dem Zenith und 
dem durch die Momentanaxe markierten 
wirklichen Pol bezieht, Fig. 66. Da die 
Erde von Norden gesehen entgegen dem 
Uhrzeiger rotiert, führen wir anstatt % 
die mit der Zeit wachsende Variable % ein, 
indem wir für %, Fig. 64, setzen — %, 

Man hat nach der Figur mit Rücksicht 
auf den geringen Wert von r, / in Jahren gerechnet: 

• ^' = i? + f cüs;c' = ^ + f cos(;co'+ 432,8« . 


West 



Ost 


Fig. 66. 


tr\ 


Zeit in 




w 

te 

o 

Zeit 

Jahres- 

Beobachtete PolbOhe 

il 

59» 46' 

tA 


bruch 


.gm 


1 

1842 März 1 1/22 

1842,21 

59»46'18,766"-0,46^M; 

12 

18,771" 

2 

April 2/11 

27 

613 —0,40 

12 

617 

1 

April 11 /Mai 1 

31 

824-0,05 

17 

824 

2 

Mai«2/26 

37 

789 +0,76 

23 

781 

1 

Mai 27/Juni 13 

43 

686 +1,20 

25 

674 

2 

Jnni 14/JuU 9 

49 

678 +1,07 

24 

667 

1 

Juli 13/Aug. 9 

68 

723 +1,22 

26 

711 

2 

Aug. 10/18 

62 

687 +1,25 

14 

675 

1 

Aug. 19/Sept. 2 

64 

723 +1,16 

9 

711 

2 

Sept. 5/20 

71 

848 +0,72 

13 

841 

1 

Sept. 21/Okt. 8 

75 

789 +0,39 

12 

785 

2 

Okt. 10/19 

79 

871 0,02 

13 

871 

1 

Okt. 21/Dez. 7 

1842,85 

829 -0,26 

11 

832 

2 

Dez. 17/Febr.23 

1843,07 

689 0,67 

17 

696 

1 

1843 März 4/26 

21 

675 -0,85 

19 

684 

2 

März28/Apr.ll 

26 

671 -0,65 

10 

678 

1 

April 13/28 

31 

710 +0,02 

20 

710 

2 

April 28/30 

33 

615 +0,52 

3 

610 


396 &• Kapitel. Zeitliche AnderiiDgen der Niveauflächen. 

Indem / von 1842,0 ab gezählt wird; findet sich 

B = 59<> 46' 18,755" + 0,011" 
t == + 0,079"+ 0,017" 
Zo' - 341,60 + 14,00 
^u; = - 0,017 +0,018 
ß = — 0,010" + 0,009". 

ß ist die Verbesserung des angenommenen Näherungswertes der Bie- 
gung des Fernrohrs in oberer Kulmination; die Unsicherheiten sind 
wahrscheinliche Fehler. Peters führt bei der Ausgleichung Gewichte 
mit Rücksicht auf den Luftzustand ein ; als w. F. seiner Gewichtsein- 
heit folgt aus den 279 Fehlergleichungen + 0,229", und da durch- 
schnittlich das Gewicht einer solchen 2,7 ist, so ist der w. F. einer 
Fehlergleicfaung (Beobachtung) gleich + 0,14". 

In unserer Tabelle sind nur die Anzahlen der Beobachtungen 
aufgeschrieben, da die Mittelwerte einfache Mittel ohne Rücksicht 
auf Gewichte sind. Diese Anzahlen sind aus der später zu erwähnen- 
den Schrift von Nyren entnommen (ihre Summe giebt aus nicht auf- 
geklärtem Grunde 280 anstatt 279). 

Mit drv = — 0,017 folgt der Ausdehnungskoefficient der Luft 
für 1 Centigrad gleich 0,003659 (für PÄ gleich 0,004573), ein Wert 
welcher dem Ausdehnungskoefficienten 0,003670 trockener Luft nach 
neueren Untersuchungen sehr nahe kommt. Die letzte Rubrik unserer 
Tabelle ist mii dw^~ 0,01 berechnet, welcher Wert zu 0.003676 
gehört und durch Abrundung aus dem zu 0,003670 gehörenden Wert 
entstanden ist. Bekanntlich unterscheiden sich das Brechungsver- 
mögen trockener und feuchter Luft bei gleichem Drucke und 
gleicher Temperatur nur sehr wenig, dagegen ist noch nicht ausge- 
macht, dafs die Änderung des Refraktionskoefficienten mit der Tem- 
peratur genau nach dem Ausdehnungskoefficienten der Luft erfolgt, 
wie die gebräuchliche Theorie lehrt. Es war also einerseits von 
Peters eine nützliche Vorsicht, Jw als Unbekannte einzuführen, an- 
dererseits durften wir z/m;, von 0,003670 ausgehend, etwas abrunden. 

Die graphische Darstellung, Fig. 65, zeigt die Werte der letzten 
Kolumne und die Ausgleichungslinie nach Peters. Der Anblick zeigt, 
dafs trotz des geringen w. Fehlers in t und x^' die Bestimmung 
dieser Gröfsen unsicher ist und dafs, wie Peters erwähnt, recht wohl 
ein Einflufs von jährlicher Periode (wie z. B. eine Refraktionsanomalie) 
in t und x^ zur Darstellung gelangen kann. 

§ 7. Sie Polhohe von Pulkowa nach Nyr6n. Peters sah 
selbst ein, dafs seine Beobachtungsreihe trotz der grofsen Schärfe 
der Messungen zu kurz sei, um andere periodische Einflüsse von der 
zehnmonatlichen Periode zu trennen. Er setzte deshalb die Beob- 


§ 1. Die Polhöhe von Pulkowa nach Nyren. 


397 


achtungeu fort und erhielt schliefslich 1842—44 im ganzen 371 Be- 
obachtungen. 1863—70 beobachtete Gylden im ganzen 236 mal, 
1871 — 73 Nyren 155 mal mit demselben Instrument. Alle diese 
Messungen hat Nyren einer äuTserst sorgfaltigen Bearbeitung unter- 
worfen.*) 

Er rechnet mit der jährlichen Veränderung 428,9^ in % und 
findet mit Angabe wahrscheinlicher Fehler aus den Messungen von 
Peters i 

f = 0,101" ±0,014" Xo'= 52,70+ 6,2» für 1843,0 ; 
aas den Messungen von Gylden: 

t = 0,125" + 0,017" Xo' = 290,6 ö + 8,7 » für 1868,0 ; 
aus seinen eigenen Messungen: 

t = 0,058" + 0,015" xo' = 85,10 + 19,3« für 1868,0 . 

Die Übereinstimmung der Xq ist aber eine möglichst schlechte. 
Denn fügt man zu Xo' für 1843,0 den Betrag 25 mal 428,9® hinzu, 
so folgt nach den Messungen von Peters: 

;^;=, 335,20 für 1868,0. 

Nyren bemerkt nun, dafs eine Vergröfserung des angewandten Wertes 
der jährlichen Veränderung von x' ^^°® bessere Übereinstimmung 
für Xo hervorbringt. Mit 430,3 wird bezw. erhalten: 

Xo'= 10,20, 293,60, 79,lo. 

Gelegentlich seiner Bestimmung der Nutationskonstante aus Be^ 
obachtungen von fF. Struve am Passageninstrument im ersten Ver- 
tikal hat Nyren aber erhalten: 

t = 0,040" ± 0,010" [^, Z S'Jo mit' S^«! '^^ ^^^S.O . 

Nehmen wir an, dafs die Änderungen in X{! ^^^ einen ander- 
weiten Zuwachs in der jährlichen Veränderung von x gleich 1,40 
dieselben sind, wie bei dem ersten Zuwachs, was allerdings nicht 
ganz richtig ist, so werden die vier Werte von x^ reduziert auf 1868,0: 


für 


Feters 


Gyldin Nyrin 


Struve 


428,90 
430,3 
431,7 
433,1 


335,2» 

290,6» 

85,1» 

10,2 

293,6 

79.1 

45,2 

296,6 

73,1 

80,2 

299,6 

67,1 


^4,0» 
63,4 
102,8 
142,2 


•) „Die Polhöhe von Pulkowa von Dr. M. Nyren." {Mimoirs de l'Äe, imp. 
da $e. de St. PÜertbowrg, 7. ser. 1 19 1»78 No. 10.) 


398 


5. Kapitel. Zeitliche Änderangen der NiveauflSchen. 


Hiernach scheint der Übereinstimmung ein Wert der jährlichen Ver- 
änderung in % von 431 bis 432 am günstigsten zu sein, wenn man 
von dem Wert %^ absieht, der aus Gylden^ Messungen folgt*) Diese 
sind zur Ableitung von t und x^ wenig günstig, da sie wesentlich 
auf die Monate März bis Mai, September und Oktober fallen. Das 
Auftreten unerkannter systematischer Fehler ist auch bei dieser Reihe 
ganz besonders au£Pallend, da weit öfter als bei den anderen beiden 
Reihen benachbarte Feblergleichungen übrigbleibende Fehler mit 
gleichen Vorzeichen haben.**) Es ist hiemach nicht unmöglich, dafo 
bei Gyldens Reihe in t und Xo vorherrschend Einflüsse anderer Art 
zum Ausdruck gelangen, trotz des geringen wahrscheinlichen Fehlers 
der Resultate, der wie bei allen drei Reihen, besonders aber bei dieser, 
eben wegen des systematischen Charakters der übrig bleibenden Fehler 
ganz und gar keinen Genauigkeitsmafsstab abgiebt. 

Nyren erwähnt, dafs eine Kombination aller drei Reihen zu einer 
gemeinsamen Bestimmung von t und Xo unausführbar ist wegen zu 


*) Za demselben Resultat führen die Beobachtungen dreier Sterne fu- die 
Bestimmung der Nutationskonstante , die Nyren S. 38 anfuhrt. %^ wur^e für 
1850 etwa gleich 2ö30 und hiemach für 1868 mit 431,5» j. V. gleich 100». 

**) Eine flüchtige Übersicht führte uns zu Folgendem. Es kommen Fehler 
mit gleichen Zeichen hinter einander vor bei 


Feters 


GyU6n 


Nyren 


4 X + 5 

2 X — 5 

3 X — 6 

2 X + 8 
2 X — 8 
1 X — 10 


2 X + 6 

3 X — 5 
1 X + 6 
3 X — 8 

1 X — 9 

2 X — 11 


1 X + 5 

2 X — 5 
2 X + 7 
1 X — 8 
1 X — 12 

bei 155 


bei 371 

1 X — 12 

Beobachtungen 

Beobachtungen 

1 X — 15 

1 X + 27 

bei 236 

Beobachtungen 


Sa. 90 Fehler 

Sa. 140 Fehler 

Sa. 49 Fehler 

oder 24%; 

oder 59%; 

oder 32%; 

Durchschnitt 

Durchschnitt 

Durchschnitt 

6,4 

9,3 

7,0 


In dieser Tabelle bedeutet z. B. in der ei*sten Rubrik A:X + hi es kommen 
vor viermal fünf positive Fehler hintereinander; femer der Schlufs der ersten 
Rubrik : 24°/o ^^^^r Fehler treten als Gruppen von fünf und mehr mit gleichen 
Zeichen auf; die durchschnittliche Anzahl der Fehler vou gleichem Zeichen ist 6,4 
(abgesehen von den Gruppen mit weniger als fänf Fehlem von gleichem Zeichen). 


§ 7. Die Polhöhe von Pulkowa nach Nyren. 399 

ungenauer Kenntnis der jährlichen Veränderung von %. I^ ^^^ That 
würde auch der Versuch, eine Verbesserung des angenommenen 
Wertes der jährlichen Veränderung von % ^^^ unter die Unbekannten 
aufzunehmen, nur wenig Erfolg versprechen, da bereits 1'* Änderung 
dieser Grofse in 30 Jahren schon 30^ giebt, und dieser Wert kaum 
noch als kleine Grofse, deren Quadrat verschwindet, angesehen werden 
kann, wie es die Ausgleichungsrechnung erfordert. 

Immerhin kann man auch die jährliche Veränderung von x ^^^ 
den zu einer Reihe kombinierten drei Reihen bestimmen, indem man 
nämlich etwa für die jährliche Veränderung von x *= 430, 431, 
432 u. s. f. je eine Ausgleichung ausführt, die Quadratsumme der 
übrigbleibenden Fehler für jeden Fall ermittelt und durch Interpo- 
lation denjenigen Wert von x bestimmt, welcher den besten An- 
schlufs giebt. 

Eine gründliche Untersuchung würde indessen vorher zu über- 
legen haben, ob nicht t und Xo überhaupt so veränderlich sind, dafs 
eine solche Rechnung ganz wertlos sein muls.*) Wenn allem Ver- 
muten nach meteorologische Vorgänge die wesentlichste Ursache 
▼on Veränderungen in t und Xq sind, so dürfte sich zeigen, dafs 
t und Xo hauptsächlich periodischen Veränderungen unterliegen, 
herrührend von den periodischen Veränderungen der meteorologischen 
Verhältnisse, während die säkularen Veränderungen der letzteren ein- 
flufslos bleiben. Es ist dann die Frage, ob gegenüber den Schwan- 
kungen in Xo ^^^h von einem Mittelwert für diese Grofse die Rede 
sein kann. 

Einstweilen scheint es uns ganz angemessen, der Veränderlich- 
keit von t und Xo ^^^^^ allzuviel Bedeutung beizulegen und nach 
Peiers und Nyren anzusetzen**): 

*' 15 

Xq' e=a 70" fttr 1868,0 und d«n Meridian Yon Pulkowa. 

Die entsprechende jährliche Veränderung 431,5^ pafst sehr gut zu 
dem Wert (C — A) : C auf S. 393 unter (11) und giebt denselben 
nur zehn Einheiten der sechsten Decimalstelle kleiner. 


^) William ThofMon hält die Resultate Nyr4iw in der That für solche, welche 
die Yeränderlichkeit von t und Xo' beweisen; als Ursache genügen ihm ledig- 
lich meteorologische Prozesse (American J. of Sc, a. A, Bd. 12 1876, S. 351). 
Wir kommen weiterhin (§ 16) auf Entwicklungen, welche gestatten, Schätzungen 
dieser Art anzustellen. 

♦•) Nach Oppoleer, Bahnbestimmung 2. Aufl. S. 161, hat Bouming aus der 
Diskussion zehnjähriger Green wicher Beobachtungen (1868—77} ähnliche Resul- 
tate wie Peters und Nyren erhalten. 


400 ^' Kapitel. Zeitliche ÄnderuBgen der Niveauflächen. 

§ 8. Der Einflufs einer Ungleichheit tou A und B. Wir 

integrieren jetzt die Gleichungen (6) S. 391 unter Vernachlässigung 
äufserer Kräfte streng*): 

>, dr 


dt 


+ (B^A)pq = 


^-/i + {C^B)gr = (1) 

wobei wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit 

C> B> A 

annehmen dürfen. 

Differentialgleichungen dieser Form kann man mittelst der ellip- 
tischen Funktionen herleiten. Ist nämlich if als Funktion von u de- 
finiert durch die Gleichung 


so hat man, wenn 


u= /"-/-1^_-, (2) 


yi — x^sm^il; = Jil; (3) 

gesetzt wird, aus (2): 

du 1 /jv 

W 


dtjf dtp 
und daher: 

dJib n* Binrb co&'üf dtb o • . 

— -^-^ = /- —-T— = — x^ amib cosif; 

du dtp du T T- 

-du ®*^* Tu = "" ®^^^ ^^' (^) 

— -=— -^ = cosV' -7-^ = cosif^ ^rh. 
du du T- T- 

Vergleicht man mit (1), so leuchtet die Möglichkeit ein, dafs 
denselben genügt wird durch 

•) Im wesentlichen bis Gleichung (14*) nach Kirckhoff, Vorlesungen über 
mtUhemat. Physik, Mechanik, 2. Aufl. 1877 S. 64. Es mag hierbei Folgendes be- 
merkt werden: 

Schon Euler behandelte die Drehung eines festen Körpers, und zwar fahrte 
er p, q und r ein und stellte die Gleichungen (6) S. 391 auf. Für den Fall 
A^^ B weist er die zehnmonatliche ümdrehungsdauer der Momentanaxe nach. 

Laplaee behandelt die Drehung in der Mec. cü. 1. 1, 1. 1, p. 70-90. 

Poisson behandelt das Problem u. a. in der zweiten Ausgabe der TraiU 
de mic. i II p. 194. 

Jacobi führte die elliptischen Funktionen in die Behandlung des Problems 
ein. Neuere Arbeiten sind namentlich von J. Somoff in den Bull. phys.'fncUK 
de St Füershourg 1856 Bd. 14 S. 153 und E. Matthieu in lAouvilles Journal 1876, 
die uns aber nicht zur Hand waren. 


§ 8. Der Einflufs einer Ungleichheit von Ä und JB. 401 

p t^ a cosrif ^ SS 6 sin ^ r ^^ c J^ ^ (6) 

worin a^ b und c noch unbestimmte Konstanten bezeichnen. Äufser- 

dem wird man du gleich einem Vielfachen von dt^ d.h. du^^kdt 

und also 

ti = A/ + ^ (7) 

setzen, ii eine Konstante. Hiermit geben die (5) das System: 

cl dt ^^ ah ^ 

J_ dp . qr ^ 

al dt "T" 6c ^ 


1 dq 




hl dt ac 

welches mit (1) zur Übereinstimmung gelangt ^ wenn man abc k k^ 
mit Rücksicht auf die nachstehenden Gleichungen bestimmt: 

x«Ic B-^A 


(8) 


ah 


C 

la 


G^B 

hc 

*^~" 

A 

Xh 


Ü — A 

ae 

—^ 

B 


Zwei Ton den genannten fünf Konstanten bleiben unbestimmt; 
dazu tritt noch /i, sodafs die Lösung drei unbestimmte Konstanten 
enthält^ wodurch sie zur allgemeinen Lösung wird. Auch diese drei 
bestimmen sich, wenn der Änfangszustand bekannt ist. Sind zur 
Zeit / BS null die Werte von p, q und r bekannt und gleich p^, q^ 
und Tg, so wird aus den (6) mit Rücksicht auf (2) und (7): 

Pq^ss* a cos am /i ^^ es ^ sin am fi r^ »> c ^ am fi , (9) 

wenn allgemein ^ die Amplitude von u genannt wird. 

Verbindet man die (8) paarweise durch Multiplikation^ so folgt: 

icU« {B-A){C'-A) 


o« BC 

xU« ( B - A) jü - B) 

6« " AC 

Z« _ (C— A) {C - Bl 

c« ~ AB 


(10) 


Ans den (9) aber folgt durch Elimination von am/i: 

Bestimmt man aus den beiden ersten (10) a^ : b^ und aus den beiden 
letzten (10) b'^ : c^ und eliminiert damit b^ aus der ersten und zweiten 
Gleichung (11), so folgt zur Bestimmung von ä^ und c^: 

Uriniert, inaUi«m. a. phytikftl. Theorieen der höh. GeodSifp. II. 26 


402 ^. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Kiveauflächen. 

9 9 I (7 — ß ß « 


B-AB^ . (12) 

A C 


'* = r 2 4- ^^^ ^^ -^^ // 


und zur Bestimmang von b'^^ k^ und x^ aus den (10): 

G-A A 


b^^a^ 


C-BB 


kl = c^ ^— ^^^^ —^1 ( 13) 

2 _ _«!_ ^ — ^ A 

^ ■" c« C-B C ' 

Mittelst dieser Gleichungen (12) und (13) und einer der (9) ist 
das System der Konstanten abc X (i x^ aus den Trägheitsmomenten 
und dem Anfangszustande abgeleitet. Es ist indes noch zu bemerken, 
dafs die (12) und (13) die Vorzeichen von a^b^c und A unbestimmt 
lassen; jedoch bestimmen die (8) und (9) die Vorzeichen zum Teil. 
Da ^ am fi positiv ist, so hat nach der dritten Gleichung (9) c dasselbe 
Vorzeichen wie r^; jede der Gleichungen (8) verlangt ferner, da& das 
Produkt kabc positiv sei. Für zwei der drei Grofsen Aa^ ist somit das 
Vorzeichen beliebig. Die verschiedenen Annahmen führen jedoch 
mittelst der (6) und (7) zu denselben Werten von /?, q und r, wie 
man erkennt; wenn man noch die Bestimmung von am (i aus den 
ersten beiden Gleichungen (9) in betracht zieht. Es ist nicht notig, 
dieses hier weiter auszuführen. 

Wie bemerkt, bestimmen sich p, q und r mittelst der (6) und 
(7), wobei noch (2) und (3) zu beachten sind. Mit Einführung der 
Bezeichnung ^ =» amt/ in die (6) ergiebt sich zur Ermittlung von 
p, q und r das Gleichungssystem: 

p <sa a cos am u 

(7 SS ^ sinam ti (14) 

r = c ^ am u 

u = U + ^, (14*) 

worin die drei Faktoren von a, b und c als elliptische Funktionen 
bezeichnet werden. 

Zur Bestimmung der Lage der Momentanaxe und der augenblick- 
lichen Drehgeschwindigkeit ist wie in § 5 S. 392 zu setzen: 

p = 0) 8in( cos;|r 

g s» CO sin( sin% (15) 

r CSS G) cosc . 

Hieraus und aus den (14) folgt o^ssd^ cos^am ti-)-^^ sin^amti-|-c^^'amM 
oder G}^^a^ + c^ — {a^ — b^ + c^x^) sin« am u ; (16) 


$ 8. Der fiiDflufs einer Ungleichheit von A und B. 403 

da u aber von der Zeit abhängt, so ist m jetzt veränderlich — nicht 
mehr konstant wie für A^=^ B, 

Betrachten wir nun ferner die (14), so ist klar, dafs ein Wachs- 
tum von am u um 2% wieder dieselben Werte p, q und r, und also 
nach (16) und (15) dieselbe Lage der Momentanaxe ergiebt. Wächst 
dagegen am u nur um it^ so wechseln p und q ihr Vorzeichen und 
die Lage der Momentanaxe wird bezüglich der Äxe C die entgegen- 
gesetzte. Hieraus erhellt, dafs die Momentanaxe um letztere eine ge- 
schlossene Kegelfläche beschreibt. Die Umlaufszeit ergiebt sich aus 
der Betrachtung von /t nach der Definition durch Ausdruck (2). 

Geht nämlich am t/ =. ^ von ^, in ^2 °^ ^i "i~ ^^ über, so wird 


1/ = /*^^- 4- r~-^ 

2 J dV? "'"J dip 


%n 

Im zweiten Teil rechter Hand setzen wir ^ «= 2;c 4~ ^'9 dadurch geht 
er in 


1 


über; das ist aber u^. Für den ersten Teil beachten wir, dafs der- 
selbe viermal so grofs ist als 


2 




da das Integral von d^ : ^ip augenscheinlich für alle vier Quadranten 
denselben Wert erhält. Damit wird 

Setzen wir nun die Änderung der Zeit / von /, bis /, absolut 
genommen gleich 7, so folgt mit Rücksicht auf (7) die Umlaufszeit 

r=val.ab8. ^f . (18) 

Man erkennt, dafs sie für alle Umläufe denselben Wert behält. 

Aus den beiden ersten (15) sowie ans (14) folgt ferner mit Rück- 
sicht auf (16): 

. 2|- o* — (o* — fe*) Bin» am u ^-qv 

^''^^~ a« + c«-(a« — Ä« + c«x«)8in«amtt * ^^^^ 

Hieraus ergiebt sich durch Differentiation 

, . 2 g. c» (6» — o» + a» X») d Bin* am u 

flf sm r = Ja^^ c« ~ (o« — &• + c»x«) ein« am tt]« " ' 

26* 


404 ö- Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

Da V^ > a^ ist; wie die erste Gleichung (13) zeigt, so ändern sich 
hiernach sin^jc und sin^am ti in demselben Sinne: Ihre Maxima und 
Minima fallen zusammen. 


Das Maximum von sin*( fällt auf amw =-^ bezw. -^u. s. f., 


, G^A A 

Sin tmax = -^i ^ g, _ c«^,- = - — - ^UCj+lT-Tif • i^; 

^ "^^ BG 

Das Minimum fallt auf am t/ <» null bezw. jr u. s. f., und zwar ist 

sin^rm.« — -^T^^-r- (21) 

Hieraus folgt noch 

a« -^- ^ Z'c« ^ + ^ - ^^ , ^, ji_\ 

Die Maxima und Minima von sin'c teilen die (Jmlaiifszeit T in 

vier gleiche Teile, denn wenn am u = ^ ron null aus um f wächst, 

T 
SO wächst u um K und / absolut genommen um K : l,^, i.-— , u. s. f. 

§ 9. Fortsetzung i B — A sehr klein. Für die Erde ist -jrz:^ 

jedenfalls ein kleiner Bruch, etwa von derselben Ordnung wie Vioo- 
In diesem Falle ist nach (22) des vorigen Paragraphen angenähert: 

Sm tmax 81ß Itnin ,« i ^i q J~ — Sin t -q " 'TT' 

und hieraus: 

sin tynax — 8inr„,,„ = y sin c (yzrÄ ' (^) 

wenn sin( rechter Hand irgend einen mittleren Wert von sine be- 
zeichnet. Die Schwankungen* in t sind somit auch sehr klein und 
bei der Erde ganz unmerkbar. 

Auch o ist für die Erde als konstant anzusehen. Denn es wird 
nach (16), sowie mit Rücksicht auf (12) und (13) des vorigen Para- 
graphen: 

«^ ^Po^ + .0* + V + -#5t • ^-If^-^ (^.^ - ^') 

und somit angenähert, wenn q >= (o sint sin;^ und q^^^ m smt sin^o 
gesetzt wird: 

«> = ^PoM^^T+V ( 1 + T ü^x (-^-i^)'8in»c(8in»z - sin^Xo) } • 


§ 10. Der Satz von der imverilDderlichen Ebene. 405 

Für c = 1 " schwankt die Abweichung des Wertes der grofsen Par- 
enthese gegen die Einheit nur um rund 

^^^4- : 8 000 000 000 000 000 . 

ü ^ A 

§ 10. Der Satz yon der anyeründerlichen Ebene. Wenn 
wir von äufseren Kräften absehen, so gilt für die Bewegung der 
Teile der Erde um ihren Schwerpunkt — auch wenn die Erde kein 
fester Körper ist — der Satz von der unveränderlichen Ebene. Diesen 
Satz wollen wir hier ableiten. 

Bezogen auf das System der festen Koordinatenaxen der x, y 
und z ist nach (5) S. 388: 


''2 




woraus durch lutegration folgt, wenn P, und B drei Konstanten 
bezeichnen : 

2 ^f,^ dm = P (2) 

B, P und Q kann man als Projektionen einer Gröfse K ansehen, der- 
gestalt, dafs 

B = K cosr' 

i>=Arcosfl' (3) 

Q = K cosb' 
und also 

/)2 + ()2 + ^2 = A^ 

ist. Die Winkel tL\ V und { legen als Stelluugswinkel eine Ebene durch 
den Schwerpunkt von konstanter Lage fest, die wir sogleich die unver- 
änderliche nennen wollen und die sich, wie wir sehen werden, auch 
ohne Bezug auf ein festes Koordinatenaxensystem charakterisieren läfst. 
Wir erinnern nun daran, dafs f^y^ fyt und /*«« die Flächenge- 
schwindigkeiten der Projektionen des Radiusvektors eines Teilchens 
dm bezw. in der Ebene xy^ yz und zx sind. Bezeichnet man mit f 
die wirkliche Flächengeschwindigkeit des (vom Erdschwerpunkt aus- 
gehenden) Radiusvektors und sind die Stellungswinkel des Flachen- 
elementes fdi bezw. zur x-, y- und z-Axe u, v und tv, so hat man 

fxy '^ f co^w fyg'^fcosu /*„ «B /'cost; . 


406 ^- Kapitel. Zeitliche ÄnderuDgen der Niveauflächen. 

Projiziert man nun f auf eine andere Ebene mit den Stellungs- 
winkeln a, h und c^ so ist die Projektion gleich /'cosn, wenn n der 
Neigungswinkel von fdt gegen die Ebene {ahc) ist. Nun ist aber 

cosn aas cosa costi + cosft cosr + cosc cosm^ , 

folglich wird 

f cosn = /*y, cosa + /*«, cosft + fx^ cosc 
und 

2 ^^ /"cosn tfi» = P cosa + p cos* + R cosc , 
oder mit Rücksicht auf die (3): 

2 ^ fcosn dm = if (cosa cosa' + cosfr cosjr' + ^^^c cost') . 

Der Ausdruck rechter Hand ist ein Maximum für den Fall, daTs 
dfe Ebene {abc) in die unreränderliche Ebene fallt oder mit ihr par- 
allel ist. Alsdann wird 

'2 ^ fcosndm^ iC. (4) 

Die unveränderliche Ebene ist also dadurch charakterisiert, dafs für 
sie die Summe der Projektionen der auf gleich grofse Massenteilchen 
bezogenen Flächengeschwindigkeiten f der Radien vektoren ein kon- 
stantes Maximum ist — oder anders ausgedrückt: 

Es hat die Ebene der konstanten groisten Projektionssumme der 
Flächengeschwindigkeiten eine konstante Lage im Räume. 

IC ist eine von der Wahl des Koordinatensystems unabhängige, 
dem Massensystem eigentümliche Eonstante. 

§ 11. Die Bewegung der Momentanaxe im Bauine^ abge- 
sehen Ton äufseren Kräften. Nehmen wir zur Zeit t als Axen 
der X, y und z die Hauptaxen Ä^ B und C^ so ist wie S. 391 (5): 


2 2.V^ 

dm ■■ 

^'R: 

= rC 

2^V». 

dm > 

= P. 

= pA 

2 2V» 

dm • 

^Q- 

^qB . 


0) 


Hieraus folgt mit Rücksicht auf die (3) des vorigen Paragraphen 
sofort für die Neigungswinkel a\ V und ff der Normale der unver- 
änderlichen Ebene zu den drei Hauptaxen A^ B xmA Ci 

f pA ./ qB , rC 

cosa = ~ir cost = -V- CÖSf ="-!^ 

K K K ^2) 


§11. Dio Bewegung der Momentanaze im Räume. 407 

Dafs K konstant ist, wissen wir aus dem vorigen Paragraphen ; man 
erkennt es aber auch leicht aus dem System (1) S. 400, indem man 
dessen Gleichungen bezw. mit r, p und q multipliziert, addiert und 
integriert 

Nach 8. 392 (6) haben wir für die gleichzeitigen Stellungswinkel 
der Momentanaxe 

cosa = — cosb «= -^ cosr = - * (3) 

m^ = p* + ^^ + '"^ • 

Mithin ist xler Neigungswinkel n der Momentanaxe gegen die Nor- 
male der unveränderlichen Ebene zufolge der Gleichung 

cosn =» cosa cosa' + cosb cosb' + cosc cost' 

gegeben durch die Relation 

cosn = -^-^-3^-:t. (4) 

Da p und q gegen r sehr klein sind, so bemerkt man leicht, 
dafs cosn sehr nahe gleich 1 ist. Wir berechnen daher 

,;»2^ _ Ä«(o« - (pM + q^B + HCT)' 


sin^n 


und finden 


sm'lt 


(pt + gt ^ ^) (ptjLt ^ g«jj« + ,.tc'f) 


Mit Rücksicht auf den geringen Betrag von p und q gegen r, sowie 
von B — A gegen C — A können wir in grofser Annäherung dafür 
setzen 

oder unter Beachtung von (6) S. 392, wonach p' -)- </* = m' sin^r ist: 

(7— ul 
sinn <= smc 


C • 

Nach S. 393 und 399 ist also zufolge der Beobachtungen ange- 
nähert 

n — 0,003272 X V„" = 0,0002". 

Um uns eine genaue Vorstellung von der gegenseitigen Lage der 
Uauptaze (7, der Momentanaxe M und der Normale iV der unvenLn- 
derlichen Ebene zu machen, denken wir uns um den Erdschwerpunkt 
eine Kugelfläche vom Eladius 1 gelegt. Die Koordinaten x und y des 
positiven Poles M der Momentanaxe sind alsdann bezw. : 

£ S8 cosa = ^ w «== cosb a» - : 

' Ol * « ' 


408 &• Kapitel. Zeitliche Änderangen der NiveauflächeD. 

diejenigen des positiven Poles N der Normale der unYeranderlichen 
Ebene sind: 

I' = cosa' = -^ tf = cosk' «= -^ • 
Hieraus folgt 6 =^ 6' -j — ri ^^ rf 


A<o '' '' B 


m 



1^ und ri sind also wesentlich konstante Bruchteile von ^ und i^. 

Nehmen wir insbesondere Ä^=^ B^ so wird genau S • S' = ^ : V» d. h. 

C^ N und if liegen stets auf einem gröfsten Kreis. 

Die Situation der drei Pole ist nun, wenn wir sie im Norden 

annehmen, die der Figur 67; nur ist M daselbst irrtümlich linker Hand 

von N anstatt rechter Hand Yon N eingetragen. 
N liegt absolut fest, M und C rotieren in gleichen 
Zeiten einmal entgegengesetzt der Richtung des 
Uhrzeigers um N herum. Dabei ist 

CN=y,,'' und NM^'U^^'. 

Übrigens ist der letztere Betrag ganz und 
gar unmerklich. Abgesehen von äufseren Kräften 
Fig 67. YiBi daher die Rotationsaxe des festen Erdkorpers 

eine als unveränderlich zu betrachtende Richtung im Räume; nur im 
Erdkörper verschiebt sie sich um kleine, jedoch auch nicht sehr merk- 
liche Beträge. 

§ 12. Grandgleichungen filr die Drehbewegnng des nicht 
festen Erdkörpers.*) Zur Entwicklung dieser Gleichungen können 
wir von den Gleichungen (2) S. 389 ausgehen. In diesen Gleichungen 
ist Bezug genommen auf ein bewegliches Koordiuatenaxensystem, das 
gegen seine augenblickliche Lage mit den Winkelgeschwindigkeiten 
Pj q und r bezw. um die x-j y- und z-Äxe gedreht wird. Denken 
wir uns nun zunächst wie in § 4 S. 390 die Erde als festen Körper 
und das bewegte Äxensystem fest damit verbunden, so gelten die (1) 
S. 390. Zu den rechten Seiten dieser Gleichungen treten aber noch 
Glieder, wenn wir jetzt annehmen; dafs die Teile der Erde sich gegen 
das bewegte System verschieben. Es wird nämlich zur Zeit /: 

*) Die Entwicklungen der Paragraphen 12—16 sind erfolgt mit Benutzung 
der Abhandlungen: 

Gylden, Becher ches sur la Botation de la Terre; pr^ent^ ä la Soci- 
6t6 Bojale des Sciences d'üpsal. 1871. [Ref. in der Yierteljahrsschrift 
der Astronom. Gesellschaft 1874 IX S. 199.] 

G, U. Darwin^ On the Infiuence of Geologiccd Changes on the Earth's 
Axis of Botation [Phil, Transact. 1877 Bd. 167 I; Auszug im Amerieau 
Journal of Science and Arts 1877 Bd. 13 S. 444; Ref. in der Yiertel- 
jahrsschrifb der Astronom. Gesellschaft 1878 XUI 309.] Dieser Abhand- 
lung folgt ein Anhang von Will. TJtomson, dessen Methode in § 14 be- 
nutzt ist. 


§ 12. Grandgleichgn. f. d. Drehbewegung d. nicht festen* Erdkörpers. 409 

dx dXi I 

dy diji 


dt dt 


~pz . +rx (1) 


dz dSi , 

wobei wir also annehmen, dafs zur Zeit / die Erde sich mit dem be* 
wegten System gegen dessen augenblickliche Lage mit den Winkel- 
geschwindigkeiten p, q und r verschiebt und die Teile der Erde aufser 
dieser Drehbewegung im Zeitintervall dt noch gegen das bewegte 
Eoordinatenaxensystem die Verschiebungen dx^ j dy^ und dz^ erleiden. 
Wie man sieht^ bleiben p, q und r jetzt noch ganz willkürlich, denn 
sie bezeichnen vorläufig nur einen nicht nsiher definierten Teil der Be- 
wegung der Erdteile gegen das feste Eoordinatenaxensystem; der zur 
Zeit / stattfindenden Lage des willkürlich nach Mafsgabe von p, q, r 
bewegten Axensystems. 

Mittelst der (1) folgt jetzt aus (4) S. 388: 
2 /-^ = 2/-^ - r {x^+y^) - pzx - qyz +\x 4f^ - y ^^^ ) • 

Es wird daher 


2 ^ f'^dm^ r ^ {x'^+y^)dm — p^ zx dm — q^ t/z d 

+ 2 i'-i'- '■'-'::)■"'. 


m 


oder 



•^2r„ 

,dm = rCi • 

-pB- 

-qA 

+ 

Ih, 

wenn 

gesetzt wird: 

^ zx 

y^)dm 
dm «B 
dm » 

= <7, 

B- 

A 




(2) 


(3) 


^(-i!'-v4:*v-=^3. 


Ebenso erhalten wir 

2'^f'^,dm~^pA^-qC -rff -Jt-H,, (4) 

wenn femer gesetzt wird: 

2 (y' + ^0 am « A^ 

^xydm^ 6' (5) 


HC 'Ir-'il' )"•'-»•■. 


410 ö- Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niyeaaflächen. 

Endlich 2 ^ /"„ dm = qB^ - rA' — pC + H^ , (6) 

wenn noch gesetzt wird: 


2 («» + X*) dm = B, 


(7) 

Hiermit nehmen die Gleichungen (2) 8. 389 folgende Form an: 
d{TC,-pB^qA + Hi) + P<1 (A — ^i) + (*^ - P') ^1 _ y 

dt -qpB' + rpC -^rH^ +^„3 


(2t 


— prÄ + ^riP' — qH^ + p/T^ 


(<(pui>-gcr>-r:y+g,) + ^^ iP\ - ^i) + (^' — ^') ^1 _ 2; rs) 

d{qB,--rA'^pC+H,) + rp K - C,)+{p^ - r^) ^] ^ 
dt ^rqC+pqÄ ^ pH^+rH,] 

Bei der Anwendung dieser Gleichungen ist man verschieden vorge- 
gangen. Man hat das bewegte Koordinaienaxensystem so angenommen 
(Gylden)y dafs es eine mittlere Bewegung aller Korperteile hat, indem 
man die H null setzte ; man hat es auch so angenommen (G. H. Darwin)^ 
dafs es mit den veränderlichen Hauptaxen zusammenfallt. Beide 
Methoden geben eine Vereinfachung der (8) und führen zum Ziele, 
solange nur die Bewegung der Erdteile nicht von der Rotation selbst 
abhängig vorausgesetzt wird. Auf letzteren Fall gehen wir hier 
nicht ein.*) 

§ 13. Fortsetzung: Modifikation der Gleichungen. Wir 

nehmen die veränderlichen Hauptaxen ABC eis bewegtes Koordinaten- 
axensystem; aufserdem aber zur Zeit / dieselben Axen als festes 
System xyz, sodafs in den Gleichungen (2) S. 389, von denen wir 
wieder ausgehen, p, q, r die Winkelgeschwindigkeiten bezeichnen, 

•) Nach Gylden, Astronotn, Nachrichten 1878 Bd. 93 Nr. 2226 S. 278. sind 
die Gleichungen (8) von Liouville in seinem Journal, aar. II t. lU, aufgestellt; 
indessen war uns diese Zeitschrift nicht zur Hand. Gyld4n knüpft an diese 
Gleichungen eine interessante Untersuchung über die Bewegung der Momentan- 
axe in dem Erdkörper, wobei derselbe als aus einem festen Teile, dem Kern, 
und einem beweglichen, der Masse des Weltmeeres, zusammengesetzt gedacht 
und Rücksicht darauf genommen wird, dafs die Oberfläche des Weltmeeres durch 
die Rotation beeinflufst ist. Für diese Untersuchung ist es deshalb nötig, das 
Koordinatenaxensjstem mit dem Erdkern fest zu verbinden, denn jedes der beiden 
oben erwähnten Systeme ist in diesem Falle in Bezug auf seine Lage zum Erd- 
kern unbekannt und erst aus der Bewegung herzuleiten. Die Untersuchung 
hat aber nur ein Interesse für die Entwicklungsgeschichte des Erdkörpers; gegen- 
wärtig ist die Stabilität der Momentanaxe im Erdkörper wegen des erfiahmngs- 
mäfsig starken Überwiegens des Trägheitsmomentes C über A und B eine so 
grofse, dafs die Verschiebung des Meeres nicht in betracht kommt. 


§ 13. Gnindgleicbgn. f. d. Drehbewegung d. nicht festen Erdkörpers. 411 

mit welchen zur Zeit / das System der Haoptaxen sich um sich selbst 
verdreht. Die Bewegung der Erde aber beziehen wir nunmehr nicht 
wie im vorigen Paragraphen auf dasselbe bewegte Axensystem, son- 
dern auf ein anderes. Wir nehmen nämlich an, dafs in dem Zeit- 
intervall / bis t -{- dt die Erde sich im allgemeinen mit den Winkel- 
geschwindigkeiten p — a, Q — ßf f — y gegen die festen Axen ver- 
drehe und ein einzelner Punkt (xyz) gegen drei rechtwinkelige Axen, 
die zur Zeit t mit den festen Axen zusammenfallen, aber im Intervall 
di die allgemeine Drehung mitmachen, aufserdem um dx2t dy^ und 

Dann wird nach Analogie von (1) des vorigen 


(•^2 om.'Sjak t«ao\ 

Paragraphen: 

jaMk\ 

utJM* 

dx 


dx^ 

dt 


dt 

dy 

dt 


dyt 
dt 


+ {9-ß)z-{r-y)y 
-{p — a)z . +{r — y)x (1) 

^ = -^ + ip — '^)y-{9 — ß)'^ 

und hieraus ähnlich wie im Beginn des vorigen Paragraphen: 

2^r^dm = {r- r)^ ix^ + f) dm 

— (p — «)^ zx dm — (q — ß)^ yz dm 

Da wir nun zur Zeit i als festes Koordinatenaxensystem der 
x, y und z die Hauptaxen nehmen, verschwinden die Summen 

^^ ^ y^ ^^ ^ ^y ^^ 5 (^) 

aufserdem können wir ohne Zweifel die drei Gröfsen (p — «), {q — /3), 
(r — y) so gewählt denken, dafs sie die mittlere Drehbewegung des 
veränderlichen Erdkörpers vorstellen und somit auch die Summen 

verschwinden.*) Bezeichnen wir alsdann die veränderlichen Haupt- 
trägheitsmomente 

*) Dafs diese Bestimmung möglich ist, geht aus den weiterhin folgenden 
(6) hervor. Denkt man sich die Bewegung der Erdteile gegen die festen Axen 
bekannt, so sind darin nur die drei Gröfsen a>|, a%, (D| unbekannt und diese 
lassen sich jedenfalls bestimmen. 


^ zx 


412 5. Kapitel. Zeitliche ÄnderungCD der Niveanflächen. 

2 (x» + y') dm mit C 

2 (^' + ^') ^^^ "!»*• * 1 
so wird mit Rücksicht aufs Vorige und nach Analogie 

2^n,dm=^{r - y) C = co, C 

2 ^ f'v^ df^ = (;> — a) 31 = CJ, 31 (5) 

2 2/^« ^^ = (V - /S) « = 0,,« , 

wenn zur Abkürzung r — Y) P '^ ^} Q — Z' ^^^ ^3» ^^'i» **'2 bezeich- 
net werden. 

Die Gleichungen (2) S. 389 geben nunmehr folgendes System : 

^(^.«) _ (e, + ß) c,3l + (0,, + a) o,<B = iV 

" d"'*^ ^ (o». + «) «3<K + (03 + y) «>. :2i = ^ • 

Hierin sind also 31; ^(^ QT die veränderlichen Hauptträgheitsmomente, 
dj, Oj) C93 die mittleren Drehgeschwindigkeiten der Erde um die für 
den Augenblick festgehaltenen Hauptaxen ABC und (g'i4~^)i (^s + Z^)) 
(03 4~ y) ^^^ Drehgeschwindigkeiten der veränderlichen Hauptaxen 
selbst gegen ihre augenblickliche Lage. 

Die Hauptträgheitsmomente ^f ß, (£> und die Gröfsen a, ß, y^ 
welche das Yoraneilen der Hauptaxen gegen den Erdkörper markie- 
ren, müssen als Funktionen der Zeit gegeben sein, wenn die 10 aus 
den (6) ermittelt werden sollen. 

Als Momentanaxe wird man bei einem veränderlichen Erdkorper 
eine Axe bezeichnen, deren Stellungswinkel a, b und t sich nach 
den Formeln 

Qj =3 COSa €32 =^ Ca COSb C3.^ = (O COSC 

aus den Werten cd, , cDj 1 <^3 berechnen, die mithin als Komponenten 
der augenblicklichen mittleren Drehgeschwindigkeit o der Erde um 
die Momentanaxe aufgefafst werden. 

Hierbei ist zu bemerken, dafs o nicht notwendig mit der astro- 
nomisch beobachtbaren Rotationsdauer der Erde zusammenföllt, indem 
die einzelnen Teile der Erde sich eben nach der Voraussetzung etwas 
▼erschieden bewegen. Die Frage nach dem Grad der Verschieden- 


§ 14. Bewegung des veränderlichen Erdkörpers. 413 

heit hat übrigens nur bei Massenverschiebungen von der Art der 
Flnt und Ebbe (auf der Oberfläche oder im Innern) eine praktische 
Bedeutung. 

§ 14. Bewegung des TerSnderllchen Erdkörpers, abgesehen 
TOn äufseren Kräften. In diesem Falle geben die (6) des vorigen 
Paragraphen : 

^?^ - K + y) «,« + (o, + /?) «3« = (1) 

—7?- - («». + «) «»,« + (03 + y) «»,31 -0 . 

Als Unbekannte nehmen wir (0^%, cDjIB, ^z^j weil dieses einfacher 
ist und weil aufserdem diese Grörsen auch eine besondere Bedeutung 
haben. Da wir von äufseren Kräften absehen, gilt nämlich jetzt der 
Satz von der unveränderlichen Ebene, § 10 S. 405. Zufolge der (5) 
des vorigen Paragraphen haben aber zur Zeit / die Gröfsen P,Q,B 
des § 10 die Werte 0|2l, »2^; ^3^1 und es sind daher die Stellungs- 
winkel der Normale der unveränderlichen Ebene gegen die Hauptaxen 
gegeben durch die Relationen: 

cj| 31 = Ä' cosa' a^ü = /^ cos b' cjad ■= iT cosc' 
für (2) 

AT ist nach § 10 eine Konstante; man erkennt dies auch aus den (1), 
wenn man sie bezw. mit ca^(tf g}i31) <^2^ multipliziert, addiert und 
integriert. 

Legen wir um den Erdschwerpunkt eine Kugel vom Radius 1, 
so sind die Koordinaten des positiven Poles der Normale der unver- 
änderlichen Ebene auf der Kugelfläche in Bezug auf die drei Haupt- 
axen A, B, C bezw. 

g ts cosa "= ^ 


,^' = cosb'- •^^'^ (3) 

t' = cosjc' = -"^- • 

Dagegen sind die Koordinaten des positiven Poles der Momentanaxe 
mit Rücksicht auf (7) des vorigen Paragraphen: 

s= cos« =-:•-$'-/, 

,-=coslr=;-.,'-/^ (4) 

6«cost=:'- = r/„- 


414 ^* Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

Die Relationen (4) gestatten £ 17 £ zu berechnen, wenn erst S' 17' ^ 
ermittelt sind^ was im Anschlufs an die (1) zu geschehen hat. Wenn 
wir annehmen^ dafs wie gegenwärtig die Hauptträgheitsmomente TL, 
A und d näherungsweise einander gleich bleiben^ dann ist ange- 
nähert 

d. h. I und i\ 7j und rf, £ und £' unterscheiden sich nur um kleine 
Bruchteile ihres Wertes. Abgesehen von äufseren Kräften bleibt 
daher die Momentanaxe der Normale der unYeränderlichen Ebene 
sehr nahe und hat somit im Räume angenähert eine konstante Rich- 
tung. Die Abweichungen der Momentanaxe von der konstanten Richtung 
sind jedenfalls viel kleiner als die Verschiebungen des Erdkörpers gegen 
die Momentanaxe. 

Wir führen nun, wie beabsichtigt, in die (1) die Ausdrücke (3) 
ein und erhalten : 


4f + vr(f -f)-yv + /^r = o (5) 

Die bedeutenderen Massen Verschiebungen, welche gegenwärtig 
erfahrungsmäfsig stattfinden^ erfolgen durch meteorologische Prozesse, 
durch Erdbeben und vulkanische Ausbrüche, durch langsame (säku- 
lare) Hebungen und Senkungen der Erdkruste und endlich durch die 
Ebbe und Flut. Die Massen, welche hierbei in betracht kommen, 
sind jedenfalls wesentlich kleiner als diejenigen, durch deren Anhäu- 
fung in der Gegend des Äquators C über % und 4t dominiert. Es 
wird daher das gegenwärtige Verhältnis von C zu ^ und ü nicht 
wesentlich gestört werden, ebenso wird die 67-Axe und demgemäfs 
voraussichtlich auch die Momentanaxe nur geringe Verschiebungen 
im Erdkorper erleiden. Dies letztere (nach der Anmerkung zu § 12 
S. 410 eine notwendige Voraussetzung der Brauchbarkeit der Ent- 
wicklungen) kommt auf die Voraussetzung der Kleinheit von £' und r( 
hinaus, infolge welcher ^ von der Einheit nur sehr wenig abweicht. 
Mit Rücksicht auf diese Bemerkungen vereinfachen wir unter An- 
nahme von y OB null das System in folgendes: 

'''»•_|'(^_^)_„ = (6) 

in welchem C und A Mittelwerte iwc % und % nebst iB bezeichnen. 


dt 
dt 


§ 16. Bewegung des ver&Dderlichen Erdkörpera. 415 

Die Annahme y =^ null reicht für unsere Zwecke aus^ abgesehen 
von flutartigeu Bewegungen der Massen. Denn das Wesentliche der 
anderen Fälle wird auch erkannt, wenn wir dabei die Axen A und B 
so zu den bewegten Massen gelegt denken, dals sie keine Verschie- 
bung erleiden, welche aus einer Drehung um die (7-Axe hervorgeht. 

Bei flutartigeu Massenbewegungen ist im System (6) zu setzen 

§ 15. Fortsetzung: Integration und spezielle Fälle. 

Die erste und zweite der Gleichungen (6) des vorigen Paragraphen 
haben dieselbe Form wie die (4) S. 392, falls wir a «=» ß ^= null setzen ; 
in diesem Falle würden wir demnach erhalten: 

5' «s fl cos {H + /*) ri ^^a sin {li -(- ft) , 

wenn der Faktor von ri in der ersten Gleichung (6) mit l bezeichnet 
wird und a und fi Eonstanten bezeichnen. Losen wir die trigonome- 
trischen Funktionen in den Ausdrücken für £' und r{ auf, so folgt: 

£' I» /cosA/ — g sinA/ 

if( ■= fsinXt + g coakt , ^ ^ 

worin f und g ebenfalls Eonstanten sind, die aber von a und /i ab- 
hängen. 

Wir versuchen nun eine Lösung unserer beiden Dififerential- 
gleichnngen 

worin . r A TT 

A-il^J (2») 

ist, dadurch zu erzielen, dafs wir /* und g als Funktionen der Zeit t 
betrachten, die noch zu bestimmen sind. 

Aus (1) folgt: 

— »- SS — kf sinkt — kg coakt -(- -j~ coakt — ,^- sinA^ 

"2^ .= k f coakt — kg sin kt + J ainkt + -t~ coakt . 

Setzt man diese Differentialquotienten und die (1) in die (2) ein, 
so wird erhalten: 

^/f coakt— ^ ainkt —-^ß 
-Jr ainkt + ,^- coakt =» + " » 


416 ^' Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveanflächen. 

woraus durch Auflösung nach den Differentialquotienten hervorgeht: 

-J. = — ß cos ki -{- a sin kt 
-^ «= + /J sin A/ + « cos Xi , 
welche Gleichungen ergeben 

/= / (— /J cos A/ + a sin Xt) di 
^ = / {+ ß sin It + a cos A/) dt . 


(3) 


Diese Gleichungen enthalten mit den (1) die Lösung der Aufgabe, 
S' und if zu finden. Man kann zum besseren Verständnis der (3) 
bemerken, dafs A ungefähr Ysoo ^^^ Drehungsgeschwindigkeit der 
Erde um ihre Axe ist und wesentlich dieselbe Bedeutung hat wie die 
Drehungsgeschwindigkeit A der Momentanaze um die Hauptaxe C im 
festen Erdkörper, vergl. § 5 S. 394 

Schliefslich giebt die 3. Gleichung (6) des vorigen Paragraphen f^] 
doch ist es einfacher, von der Relation 1^"^ + ly'* -f. g'* «= 1 auszu- 
gehen, womit sich für den vorliegenden Fall ausreichend genau findet: 

Wenn wir eine siofsweise Massenverschiebung (Erdbeben) an- 
nehmen, so ist das Zeitintervall, innerhalb dessen a und ß von null 
verschieden sind, so klein, dafs in den Ausdrücken für f und g 
cos A/ == 1, sin A/ 1=: gesetzt werden kann. Damit folgt: 

wobei /q und g^ die konstanten Werte von f und g vor dem Stofse 
sind und die Integration sich über das Zeitintervall des Stofses er- 
streckt. Es ist somit: 

(5) 
tj' = (Yq-^ I ß dt\ sin A/ + r^o + / « ^0 ^<>8 ^' • 

Rechnen wir t vom Moment des Stofses ab, so ist gleich nachher 

^ (5*) 

n = i'o + / « «'^ . 


§ 16. Fortsetzung: Integration und spezielle Fälle. 417 

also die Änderung in £' und ri bezw. gleich 

— T/J dt und -^ jadt. (6) 

Vor und nach dem Stofse beschreiben auf der um den Erdschwer- 
punkt gelegten Kugel vom Radius 1 die Normale der unveränderlichen 
Ebene und die Momentanaxe Kreise um die Hauptaxe C. Der Radius^ 
der für beide nahezu denselben Betrag hat, ist vorher gleich 

y/o^ + ffo^} nachher gleich j/f^ -(- S^^i ^^® Rotationsdauer 304 Tage. 

Es ist noch zu beachten, dafs während des Stofses der positive Pol 

der Hauptaxe C sich auf der EinheitiSkugel in Richtung der ^- Aze um 

I ßdt^ in Richtung der B- Axe um — j adt verschiebt, da die Haupt- 

axen sich gegen die mittlere Drehbewegung der Erde mit den Winkel- 
geschwindigkeiten a, /3, y verschieben. Dieses sind gerade die entgegen- 
gesetzten Werte wie die, um welche sich die Koordinaten |' und rf 
nach (6) infolge des Stofses ändern, und man erkennt, dafs die 
Normale der u. E. gegen die Anfangslage der C-Axe nach dem 
Stofse dieselbe Lage hat wie vor dem Stofse. 

Die stofsweise Massenverschiebung äufsert sich hiemach wesent- 
lich nur darin, dafs im Augenblick ihres Eintritts die Axe des grofsten 
Trägheitsmoments (E ihre Richtung ändert, wodurch der halbe Öfihungs- 
winkel des Kegels, welchen die Axe der u. E. und die Momentanaxe 
in 304 Tagen um die (7- Axe beschreibeo, von j//^^ -|1 ^^2 j^ yp^gZ 
Qbergeht. 

In den geographischen Koordinaten entstehen hierdurch Ände- 
rungen in der Amplitude der 304-tägigen Periode, sowie in den Mittel- 
werten (vergl. S. 395). 

Wenn wir eine säkulare Massenverschiebung annehmen, so werden 
wir ein Bild def Veninderungen erhalten, indem wir a und ß kon- 
stant setzen. Die (3) geben zur Zeit /, wenn / vom Beginne der 
Verschiebung an gerechnet wird: 

/• = /i — |- sin A/ -f « (1 - cos Xt) 

!7 = ^0 + X (1 — cos kt) + -^ sin kt , 
and hiermit wird zufolge (1): 

r = - Y +(/. + y) cos kt - [g, + {) iinkt 
'?'- - T + (A. + t) «'^ ^' + (^« + 4) "^ ^' • 


CO 


Beachtet man nun, dafs k die Bedeutung einer Winkelgeschwindig- 
keit bat, welche in 304 Tagen eine volle Umdrehung ergiebt, so er- 

Helmert, mathem. u. physikal. Thoorieen der höh. OeodiUie. II. 27 


418 ^' Kapitel. ZeiÜicbe Änderungen der Niveauflächen. 

kennt man leicht, dafs in vorstehenden Aasdrücken die durch X 
dividierten Glieder unerheblich sind. Denn selbst wenn^ in Sekunden 
genommen, a oder ß in hundert Jahren 1(X' betrügen, was erfahrungs- 
mäfsig gegenwärtig nicht zu erwarten ist, so würden in 304 Tagen 
a oder /3 nur 0,083" geben, sodafs mithin a : l oder ß : k den Betrag 
0,00000007 oder 0,013 in Sek. erhalten würden, welcher so gut wie 
gänzlich verschwindet. Wir dürfen mithin setzen: 

£' — ^ cos A/ — ffQ sin kt 

Demnach behält die Normale der u. E. und somit auch die 
Momentanaxe zum veränderlichen Hauptaxensystem bei säkularen 
Änderungen des letzteren immer dieselbe relative Lage wie zu An- 
fang. Die Momentanaxe folgt also den Verschiebungen der Haupt- 
axe C in der Erde, wobei sie in 304 Tagen um dieselbe einen Um- 
lauf von demselben Öffnungswinkel wie zu Anfang beschreibt. 

Den säkularen Verschiebungen der Momentanaxe in der Erde 
entsprechen säkulare Änderungen der geographischen Koordinaten 
und Azimute von im allgemeinen gleicher Ordnung. 

Der Unterschied der Wirkung stofsweiser und säkularer Massen- 
bewegungen ist nach dem Vorigen der, dafs erstere den Offnungs winke! 
des Kegels ändern, welchen die Momentanaxe in 304 Tagen in der 
Erde um die Hauptaxe C beschreibt, letztere aber nicht. In beiden 
Fällen aber entsprechen die nichtperiodischen Teile der geographischen 
Koordinaten und Azimute der Lage der Hauptaxe C im Erdkörper. 

Die entwickelten Fälle mögen hier genügen ; allerdings kommen 
bei meteorologischen Prozessen noch periodische Verschiebungen der 
Hauptaxe C vor, insbesondere mit Perioden von 1 Jahr und 11 Jahren, 
deren Betrachtung recht interessant ist (namentlich weil Multipli- 
kationen der Wirkungen eintreten können); aber das wesentliche 
Resultat läfst sich auch an der Hand der bereits entwickelten Formeln 
nachweisen. Es ist das Folgende: alle Verschiebungen der Hauptaxe C, 
welche nicht säkularen Charakter haben, wirken auf eine Veränderung 
des Abstandes von Momentanaxe und Hauptaxe, also auf eine Verände- 
rung des Radius, mit welchem erstere um letztere in 304 Tagen ro- 
tiert. Für Wirkungen, welche nur kurze Zeit, bis zu etwa einer 
Woche im Maximum, andauern, zeigt dies das Formelpaar (5); für 
etwas längere Wirkungen das System (7). In letzterer Beziehung 
kann man sich recht wohl denken, dafs bei meteorologischen Prozessen 
a:X und ß:X in den (7) nicht immer verschwindend sind, wie bei 
säkularen Wirkungen, mögen diese von meteorologischen Prozessen 
restieren oder anderer Natur sein. (Durch Auflösung in successive 
stofsweise Verschiebungen kann man übrigens mittelst der (6) 
graphisch jede Wirkung verfolgen.) 


»3 


§ 16. Schätzung der Yeränderang der HaupttHLgheitemomente. 419 

Betrachten wir zum Schlüsse ^^ so finden wir mit Rücksicht auf 
(4) 8.416, da& es von eins sehr wenig abweicht, solange der Neigungs- 
winkel der Hauptaze C gegen die Normale der unveränderlichen 
Ebene nur einige Sekunden beträgt. 

Nun ist nach S. 413 (3) 6* = ~^, folglich wird unter Voraus- 
setzung konstanten Wertes von ^: 

ai3 (E r= Eonst. (8) 

Genauer ist unter Einführung des Wertes von {;' aus (4) S. 416 

:«-.A'(l--«-+-^). (8*) 

Die Gleichung (8*) gestattet einen Schlufs auf die Änderungen 
in der Winkelgeschwindigkeit cd der Rotation um die Momentanaxe. 
Es war 

o* = 0,2 -|- «»2' + üV » 

also ist in hinreichender Annäherung 

«-«3+^'+.^-, (9) 

wobei o, und a^ durch die Relationen *"— «s g' und ^- = if be- 
stimmt sind. Für iT kann man hierin (o^fL setzen. Machen wir 
aufserdem keinen Unterschied zwischen ^ und 4, so giebt (9) die 
Näherungsgleichung : 

« = «3 (1 + i^^ti'i «;) . (10) 

Aas (8*) und (10) folgt endlich 

«.« = 1-11 + *-^ {V + v')]- 


Für j/|'2 -|- ly'i gleich arc 10" wird die Parenthese mit Rücksicht auf 
(11) S. 393 gleich 1 + Vnoooooooooo- ^^^ Annahme o([c=» IC enthält 
daher einen Fehler^ der auf o reduziert in einem Jahre oder in rund 
32000000 Sek. erst 0,0003 Zeitsek. beträgt. 
Setzen wir hiernach 

oC — Konst, (11) 

so häng^ nun die Änderung in o nur von derjenigen in (L ab und 
zwar ist für eine Variation in OC die entsprechende in o: 

-*;- "= - *i • (12) 

§ 16. Schätzung der Yeränderang der Haaptträghelts- 
momente. 

Wir denken uns, dafs das System der Hauptaxen nach Mafsgabe 
der Winkelgeschwindigkeiten a, ß und y sich im Erdkorper gegen 

27 • 


420 &• Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

sich selbst um ein Geringes verschiebt, wobei wir zur Vereinfachung 
das betreffende Zeitintervall als Zeiteinheit nehmen. Hat ein Punkt 
gegen die 1. Lage des Systems die Koordinaten x, y und z^ gegen 
die 2, Lage die Koordinaten x + d«, y -|" ^y? ^4" ^^> ^o ist: 

8x = . — ß^ '{' yy 

dy := -}- az . — y« (1) 

Sz = — ^y "+- ß^ 

Bezeichnet man nun die Cosinus der Richtungswinkel einer vom 

Schwerpunkt nach dem Punkt {xyz) gezogenen Linie für die 1. Lage 

der Axen mit /, m und n, so ist für die 2. Lage die Variation in 

/, m und n bezw. : 

81 = . — ßn + ym 

äm = + an . — y/ (2) 

Sn = — am + /3^ 

wie man aus (1) findet, indem man beachtet, dafs z.B. lz=x:r, 
mit r als Radiusvektor, ist. 

Am Schlüsse der Zeiteinheit ist das System in seiner 1. Lage 
nicht mehr System der Hauptaxen; das Trägheitsmoment in Bezug 
auf die Linie {l, m, n) hat daher alsdann fOr diese Lage des Systems 
die Form 

^,/2 ^ ß^f^i^ c^n^ — 2Ämn — 2irin — 2Clm . (3) 

Dagegen ist dasselbe Trägheitsmoment für die 2. Lage des Systems 
der Hauptaxen von der Form 

»(/ + *0' + «(»» + Smy + «(w + 8n)\ 
d. i. für sehr kleine Variationen angenähert gleich 

3t/^ + ^m^ + dw' + 23t/*/ + 21im8m + 2(lnSn, 
oder mit Benutzung der (2): 
^P + ßm^ + Cn^ + 2mna{ß-€) + 2lnß{(E:-7i) + 2/^^:21-«). (4) 

Da (3) und (4) bei beliebigen Werten von /, m und n über- 
einstimmen müssen, so zeigt sich, dafs 

^i=3t, ^1 = «, ^, = « (5) 

wird. Diese Formehi gestatten nicht nur eine Schätzung der a, ß 
und y, sondern auch der Änderungen der Hauptträgheitsmomente. 
Da nämlich am Ende der Zeiteinheit die Hauptträgheitsmomente %, 
jt und (E bezw. gleich A^, B^ und (7^, den Trägheitsmomenten für 
die 1. Lage der Hauptaxen, sind, so sind die Variationen 8%^ ii 
und dC der Hauptträgheitsmomente gleich den Variationen der Tra^- 


§ 16. Sohäteung der Yeränderong der HauptMgheitemomente. 421 

heitsmomente für ein Axensystem, welches die 1. Lage der Haupt- 
axen hat. Zugleich erkennt man aus den Relationen 


^t'-^(y' + '')äm 

A =^ yzdm 

B^--^ i^' + *') rf»» 

ff '^ ^ zxdm 

Ci - >,' (x^ + y') dm 

C = ^«y dm, 


(7) 


dals Variationen in den^j^i^i und den ÄB'C im allgemeinen von 
gleicher Ordnung sind. 

Bei der Betrachtung von Massenverschiebungen reicht es zur 
Gewinnung einer rohen Vorstellung für unsere Zwecke aus^ anzu- 
nehmen, dafs eine über die ganze Erdoberfläche gleichmäfsig verteilte 
Masse sich in einem Punkte zusammenzieht. Denn nur in diesem 
oder einem ahnlichen Falle kann eine verhältnismärsig kleine Masse 
infolge ihrer grofsen Verschiebung eine erhebliche Wirkung äursern; 
dagegen geben kleine Verschiebungen an der Erdoberfläche nur 
geringfügige Wirkungen — Verschiebungen aber, bei denen auch 
das Erdinnere zu berücksichtigen ist, können wir wegen ihrer relativ 
geringen Wahrscheinlichkeit aufser acht lassen, solange zur Erklärung 
beobachteter Erscheinungen die Vorgänge auf der Erdoberfläche und 
in der Erdkruste genügen. 

Indem wir die Erdoberfläche als Kugelfläche vom Radius R neh- 
men, verlegen wir zur Erlangung einer maximalen Drehung der 
Hauptaxe C den Eonzentrationspunkt in 45® nordl. Breite und zugleich 
der Einfachheit halber in die zx- Ebene, sodafs von den drei Grofsen 
a^y nur /3 einen Wert erhält, der von null verschieden ist. Für 
den Konzentrationspunkt wird: 

y«0 z«»« — ~ ^^=-^; (8) 

es ergiebt sich somit nach (7) der allein in betracht kommende Wert 
B ^=* -^ K^m^ wenn m die konzentrierte Masse bezeichnet. Bei ge- 
nauerer Rechnung wird stets eine Verkleinerung dieses Wertes da- 
durch stattfinden, dafs die Konzentration in einer Fläche und nicht 
in einem Punkte erfolgt. Dagegen hat die mit der Konzentration 
verbundene Schwerpunktsverschiebung keinen Einflufs. Da es sich 
hier nur um eine Schätzung handelt, behalten wir den angegebenen 
Wert für ß bei. 

Im 6. Kap. wird aber gezeigt, dafs die Trägheitsmomente der 

Erde annähernd gleich -^S^M^ für M als Erdmasse, sind. Da nun 
C — A ungefähr Y3Q5 von C oder A ist , so folgt C — A^^ -^ K^ M 


422 5. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niyeaofl&chen. 

rand (vergl. hierzu auch (6) 8. 127). Es ergiebt sich daher aus der 
2. Gleichung (6): 

/S--450^. (9) 

Denken wir uns die Masse m ursprünglich als eine die ganze 
Erdoberfläche A*" hoch bedeckende Masse von der Dichtigkeit 1, so ist 

aufserdem ist 

Jf «= — Ä Ä' Sm . 

Mit 0^ = 5,6 und B — 6370000« folgt rund 

/J = — 8.Ä"». (9*) 

in Sek. 

Hiernach kann man die maximalen Wirkungen von verschiedenen 
meteorologischen Prozessen und von Yerbiegungen der Erdkruste, die 
mit Hebungen und Senkungen verbunden sein werden, schätzen. 

Nehmen wir beispielsweise an, dafs sich im Winter die Kon* 
tinente der nördlichen Erdhälfte nördlich von 45^ Breite mit Schnee 
und Eis bedecken und zwar äquivalent mit 0,1 "> Regenhohe, so ist 
damit 0,01 bis 0,02^' Verschiebung der Hauptaxe C verbunden. Die 
betreffende Masse bedeckt nämlich in Europa-Asien etwa Y^o ^^ ^rd- 
Oberfläche, wovon durch die Gegenwirkung Nordamerikas indessen 
nur etwa die Hälfte wirksam bleibt, deren Einflufs wegen der geogra- 
phischen Lage überdies kein maximaler ist. Reduzieren wir ^«=0,1" 
von 740 ^^^ Erdoberfläche auf die ganze Erdoberfläche, so wird 
h =s 0,0025 "> und nach (9*) unter Voraussetzung der Maximal Wirkung 
ß = — 0,02". In ähnlicher aber entgegengesetzter Weise wirkt in 
heifsen Sommern eine Austrocknung der Kontinente. Wir unter- 
lassen es auf weiteres hier einzugehen und bemerken nur noch, dafs 
es uns immerhin nicht ganz leicht scheint, mehr wie einige Hnndertel- 
sekundeu irreguläre Schwankungen aus meteorologischen Prozessen 
zu erklären.*) Dagegen würde z. B. eine zunehmende Vereisung 
des Südpols recht wohl säkulare Bewegungen von merkbarem Betrage 
erklären ; denn mit derselben ist teils eine Verminderung der Wasser- 
menge des Oceans und infolge dessen ein Hervortreten der Kontinente 
verbunden, teils eine Verschiebung der Niveauflächen, welche wieder 
ein Hervortreten der nördlichen Kontinente bedingt. 

Was die Formänderungen der Erdkruste anlangt, so findet 
G, H, Darwin^ dafs bei den gegenwärtigen Festigkeitsverhältnissen 
der Erde eine Kontinent- oder Meeresbildung nicht über 3^ Ver- 

*) WüL Thomson allerdings nimmt irregtdäre Schwankungen der Erdaxe in- 
folge meteorologischer Prosesse bis zu </t" an. Vergl. American Joum, of 
Science and Arts 1876 Bd. 12 S. 386—864, insbesondere S. 861. 


§ 17. Verschwindender EinflnfB von Fiat und Ebbe. 423 

schiebuDg der Hauptaze C erzeugen werde. Selbstredend gehören 
dazu ausgedehnte Zeiträume.*) 

Die mit den Massenverschiebungen verbundenen Änderungen der 
Botationsdauer sind am gröfsten, wenn die Massen von den Polen 
nach äquatorialen Gegenden versetzt werden oder umgekehrt. Es ist 
alsdann S(L^^ -VB^m. Verteilt sich die vorher an den Polen be- 
findliche Masse gleichmäfsig über die Erdoberfläche, so ist dOC vom 
vorigen Werte zwei Drittel. Behalten wir diesen Wert bei und setzen 

(L wie vorher gleich -K^M^ m und M aber ebenfalls wie vorher, so folgt 

mit Rücksicht auf (12) des vorigen Paragraphen für eine Massen- 
Versetzung vom Pole nach dem Äquator rund: 

Sta h 

"ö" ~ ■" ^ ' 

Damit sich cd um V32000000 seines Betrages ändert, sodafs also das 
Jahr um 1' kürzer erscheint, müfste h etwa ^/j^^ betragen, oder 
reduziert auf V26 ^^^ Erdoberfläche als beiläufigen Flächeninhalt der 
etwa in betracht kommenden Umgebung der Pole: 5"*. Das Schmelzen 
einer Eisschicht von 5*" in der Umgebung der Pole würde also den 
angegebenen Erfolg haben. 

§ 17. Yerschwlndender Elnflufs von Flut und Ebbe auf die 
Lage der Botationsaxe. Wir betrachten hier die Flut und Ebbe 
unter der Voraussetzung, dais die Erde gleichmäfsig mit Wasser be- 
deckt sei. Wir nehmen zugleich an, dafs ohne die Flutberge %^^H 
sei und betrachten nur die Wirkung eines der beiden Himmelskörper, 
Mond oder Sonne, auf einmal. 

Infolge der entstehenden Flutberge verschiebt sich die 6^-Aze, 
welche erfahrungsmäfsig der Momentanaxe naheliegt, etwas in einer 
durch deren Scheitel gehenden Ebene und rotiert dann um ihre un- 
gestörte Lage Cq mit dem störenden Körper und den Flutbergen. Die 
Axe des kleineren der beiden Hauptträgheitsmomente ^ und ^ liegt 
nun in jener Ebene und die des grösseren in einer dazu senkrechten 
Ebene durch die Axe C. Da wir die jedesmalige Lage der Haupt- 
axen als Koordinatenaxen nehmen und ^ < iB setzen , so geht also 
die zx- Ebene durch die Scheitel der Flutberge und die 67- Axe. 

In Fig. 68 ist die um den Erdschwerpunkt gelegte Kugelfläche 
vom Radius 1 in der Gegend des Durchschnitts mit der Hauptaxe 
dargestellt: Z bezeichnet die z-Axe oder augenblickliche Lage der 
Axe Cf Cq deren ungestörte Lage; ZÄ und ZV sind die Durchschnitts- 
linien mit der zx- und zy -Ebene. Da im Erdkörper das System 
der Hauptaxen gegen sich selbst im allgemeinen nach Mafsgabe der 

*) Vergl. die S. 408 erwähnte Abhandlung. 


424 


5. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 


Winkelgeschwindigkeiten aßy bewegt gedacht wird^ wobei der 
Drehungssinn durch die Pfeile der Fig. 68 angedeutet ist, so sieht 

man sofort, dals beim Übergang des 
Systems in die Lage X F'Z nur Ro- 
tationen um die z-Axe und x-Axe 
stattfinden; dabei ist für das Zeit- 
intervall dt 



Y 


W 


Y' 




< /g «: 



mithin 


ZZ = €ydt ^ -- adt y 


a = — By 


(!) 


Fig. 68. 


wenn a den Winkelabstand der ge* 
störten und ungestörten Lage der 
Hauptaxe C bedeutet. 
Wie schon S. 415 am Schlüsse des § 14 bemerkt wurde, ist jetzt 

in den DifiFerentialgleichungen (6) S. 414 oder (2) S. 415 zu setzen 

anstatt 

^ "^ A ~C 

der Wert 

, C — Ä K 


A 

Damit werden die Endformeln nach S. 415 (1) und S. 416 (3): 

g' -» /"cos (A — y)t — g sin (A — y)t 
n = /sin (A ^y)i-\-g cos (A — y)/, 


(2) 


(3) 


wobei 


/•= / (— /S cos (A — y)/ + a sin (A — y)i) dt 
g ^ / (+ /! sin (A — y)/ + a cos (A — y)/) dt . 


(4) 


null. 


Hierin ist jetzt nach (1) zu setzen a«» — fy und /} > 
6 selbst ist langsam veränderlich. Es beschreibt ihatsächlich Z keinen 
Kreis um C^^ sondern eine Art Spirale, indem mit wechselndem Pol- 
abstände der störenden Körper die Flutberge ihren Aquatorabstand 
andern.*) Wir tragen dem Rechnung, indem wir 

£ = £" sin X t (5) 

setzen. E bezeichnet den Maximalabstand. Die Periode T in der 
Änderung Ton « entspricht dem Mond- bezw. dem scheinbaren Sonneo- 
umlauf um die Erde; x ist gegeben durch 

xr=23r . 

*^ Infolge dessen ist ^ nicht gen an gleich nolL Durch den Verlauf der Fiat 
auf der wirklieben Erdoberfläche findet aafserdem eine nngleichmafsige Andemng 
von € nnd eine ungleich förmige Drehung um C« statt. Diese Umstände Sndeni 
indessen das Resultat unserer Untersuchung nicht wesentlich. 


§ 17. Verschwindender Einflufa von Fiat und Ebbe. 425 

Da T einem Monat bezw. Jahr entspricht (genauer 2V/^^ bezw. 
365V/)y 80 ist X ein kleiner Bruchteil von 2^ und daher weit kleiner 
als CD, welches bereits in einem Tage 2n giebt. Da ferner y für 
Mond und Sonne nahezu gleich o ist (im letzteren Falle erheblich 
genauer als im zweiten) so ist also x von y ein Bruchteil derselben 
Ordnung wie angenähert der Tag vom Monat bezw. Jahr. 

Wir erhalten jetzt: 

/■= — Ey j sin {k — y)/sin xtdi 

^ =3 — Ey j cos {X — y)t Hin x( dt 
und hieraus, da 

sin (A — y)t sin x/ = y (cos (A — y — x)/ — cos (A — y + ^)^) 

cos (A — y)i sin x/ «= t(^^" (A — y + '^)^ — sin (A — y — ^) ^) ? 

wenn der Einfachheit halber zunächst die Werte f^ und ^q, welche 
zur Zeit / «» null stattfinden, gleich null angenommen werden: 

/=- -L Fv (^ 8in(X->y — x )t , sin (X — y + %)t\ 
' ^l ' \ X — y — X "T" i — y + x/ 

■^ "2 ^^ U— " y- X "~ A — y + x) ' 

Das konstaute Glied in g vernachlässigen wir, denn es giebt zu- 
sammengezogen 

da aber A von oi und y nur etwa V305 ist und auch x einen gegen 
y kleinen Wert hat, so giebt dieses Glied angenähert 

+ ^7, (7*) 

mithin selbst für den Mond nur einige Prozent von E, Nimmt man 
die Hohe der Mondfiut auf dem offenen Ocean zu rund Vi"" ^^y ^^ 
wird die behufs Anwendung der Formel (9*) S.422 auf die ganze Erd- 
oberfläche reduzierte Höhe h den Betrag von Vö"* nicht erreichen und /J, 
d. h. jetzt Ej mit Rücksicht darauf, dafs auch die Maximalwirkung nicht 
entsteht, <r'sein. Mithin beträgt (7"^) kaum ein paar Hundertelsekunden. 
Wir erhalten endlich durch Einführung der (6) in die (3) nach 
einiger Reduktion: 

w ± r-. / »iP *^ I ßip «*, \ p y(X — y) 8inxe 

S = 2 ^y U - y ~ X *r I _ y + ^-; = ^ (Z _ y)t _ X« 

/ ^ c, ( C08X« , C08X« \ jr, yxcoBxt 


426 5. Kapitel. Zeitliche Andeningen der Niveaaflächen. 

Veroachlaesigen wir wieder Gröfsen von der Ordnang des Gliedes 

(7*), so folgt 

g' =3 — ^ siu x/ e» — €, q' = null , (8) 

und dies bedeutet, dafs die Normale der n. E. und also auch die 
Momentanaxe immer bis auf Grofsen der Orduung (7*) mit der un- 
gestörten Lage der Hauptaxe C zusammenfallt; denn in Fig. 68 liegt 
zufolge der (8) der Durchschnitt dieser Normalen mit der Kugelflache 
konstant in Cq. An der wesentlichen Bedeutung dieses Resultates wird 
auch nichts geändert, wenn f^ und g^ sowie Bewegungen der Haupt- 
axe C aus früher erörterten Gründen mit in die Rechnung aufgenommen 
werden, wofür wir die Ausführung aber übergehen. Dagegen ist noch 
hervorzuheben, dafs die Momentanaxe ffir die mittlere Drehbewegung des 
ganzen Erdkorpers auch eine solche für den festen Erdkorper allein ist, 
weil sie auch im wesentlichen als Drehaxe für die Flutberge auftritt. 
Zu dem Resultate, daA die Flut und Ebbe (dynamisch und ohne Bück- 
sicht auf Kontinente u. s. f. berechnet) keinen Einflufs auf die Lage der 
Rotationsaxe im Räume hat, gelangte schon J^aploce, Mec. etl„ tu, 1. Y , 
p. 325—339; p. 341—347 berücksichtigt er auch ungleiche Heerestiefe, 
Reibung u. a. m. 

Man vergl. übrigens noch in der Mec. oe)., t II, 1. lY, p. 204—211 sowie 
t. V, 1. XI, p. 16—17 und p. 67—71 über die Stabilität des Meeres. Fint- 
artige Massenverschiebungen behandelt auch Chfld6fii in der 8. 408 ge- 
nannten Abhandlung. 

§ 18. Die Rotationsaxe im Erdkorper unter dem Einflufs 
des Mondes und der Sonne. Mond und Sonne sind die einzigen 
Himmelskörper, welche beachtenswerte Drehungsmomente L^ M und N 
erzeugen. Dafs solche überhaupt entstehen, ist lediglich eine Folge 
der Ungleichheit der Hauptträgheitsmomente oder, wie man häufig 
weniger korrekt sagt: der ellipsoidischen Erdgestalt. Infolge dessen 
geht die Resultante der g^enseitigen Anziehungen der Erde und 
eines Himmelskörpers nicht durch den Erdschwerpunkt. Die Wirkung 
der so entstehenden Drehungsmomente ist allerdings unerhebh'ch 
hinsichtlich der Verschiebung der Momentanaxe im Erdkörper, aber 
nicht verschwindend für die Bewegung der Momentanaxe im Räume. 
Wir werden hier ausführlich nur die Bewegung im Erdkörper be- 
trachten, dagegen über die Bewegung im Räume nur berichten, weil 
diese Bewegung kein direktes geodätisches, sondern ein hervorragend 
astronomisches Interesse hat 

Wir gehen, indem wir die Erde als starr betrachten, von den 
Gleichungen (6) S. 391 aus: 

^-£,-¥{C-B)qr=^L (1) 


§ 18. Die Rotationsaze unter dem Einflaft des Mondes und der 8onne. 427 

Hierzu sind jetzt die N^ L und M zu berechnen. Es ist nach 
S. 388 z. B. : 

wobei wir unter Xj Y und Z die Komponenten der beschleunigenden 
Kräfte (d. i. der Kräfte für die Masseneinheit) verstehen^ welche Mond 
und Sonne auf das im Punkt {xyz) lagernde Massenteilchen dm der 
Elrde ausüben. £8 genügt, wenn wir jeden dieser Körper einzeln ins 
Auge fassen, und zwar soll immer der Mond genannt werden, da er 
die gröfsere Wirkung ausübt. Die Modifikation für die Sonne leuchtet 
sofort ein. 

Bezeichnen wir mit $k die Mondmasse und mit e den Abstand des 
Mondschwerpunktes von dem Teilchen dm^ so ist die gegenseitige 
Anziehung des Mondes und dieses Teilchens^ wobei wir uns die Mond- 
niasse in ihrem Schwerpunkt vereinigt denken können, gleich 

J[dm, Vdm , Zdm sind die Komponenten dieser Anziehung in Rich- 
tung nach dem Monde. Entgegengesetzt gleich diesen Komponenten 
sind die Komponenten derselben Anziehung in Richtung nach dm. 
Diese letzteren kann man aber mit X^^ V'M? ^M bezeichnen, 
wenn X, Y' und Z die Komponenten der Anziehung k^dmie^ von 
dm auf die Masseneinheit von fH bezeichnen. 

Wir führen nun in dem Ausdruck für N anstatt Xdm und Ydm 
bezw. die negativen Werte von XfH und Y'fH ein; zugleich aber 
anstatt der Koordinaten xyz von dm, die Koordinaten xyz des 
Mondschwerpunktes, was zulässig ist, da die Richtung der Anziehung 
in die Verbindungslinie beider Punkte fallt und das Drehungsmoment 
einer Kraft für jeden Punkt ihrer Richtung als Angriffspunkt das- 
selbe bleibt. Wir erhalten so: 

und da x\ y und fk konstant sind für alle Summanden: 

^ - ^ (y'2'^ - *'^ y) • 

Die Summen der A^, Y' und Z sind aber die Resultanten der 
Anziehungen aller Erdteile auf die Masseneinheit des Mondes. Ist V 
das Potential der Erde, so ist somit nach § 6 im 1. Kap. S. 9: 

^ dx j^ dy ^j dB 

und hiermit folgt 


428 


6. Kapitel. Zeitliche Andernngen der NiTeaafl&chen. 




£beuso wird 


-( 




, ZV 

y-w 


)m 


^=(*'lz-''IJ)^- . 


(2) 


Nach § 5 (7) S. 60 im 2. Kap. ist aber, wenn r\ q>', X' die 
Polarkoordinaten des Mondschwerpunktes in Bezug auf den Erdschwer- 
punkt als Eoordinatenanfang sind, in hier jedenfalls ausreichender 
Annäherung: 

V^K [ Itf+ ^(C- ^-^(l_38in«9,') + ^ (B-A) co8>'co82 A') , 

wobei nach S. 56 (2) für die Polar- und rechtwinkeligen Koordinaten 
die Beziehung besteht: 

X = r cos Kp cos A' 

y «» r cos fp sin l! (3) 

. z =^ r sin tp . 

Es ist hierbei in Erinnerung zu bringen, dafs an der angezogenen 
Stelle des 2. Kapitels ebenso wie bei den (1) oben vorausgesetzt ist, 
dafs die drei Hauptaxen A, Bj C bezw. mit der Axe der x^ y und z 
identisch sind. 

Eliminieren wir sin^g)' und cos^g)' cos2A' aus dem Ausdruck fQr 
V und setzen zu diesem Zwecke: 

1 — 3sin*9=-^^ — -^ ^ ' 
und 


/f 


cos' 9 cos2A' 


so folgt 


r« ' 


V ^k 


'i 


M , 1 

- r- —1— -- -TT- 


• {B-\.C—2A)x'' 
_-{.{A-\-B — 2C) z'»_ 


I • 


(4) 


Hiermit ergiebt sich 


^-^■^+fT(B + C-2^):^, 


oder in anderer Schreibweise und wenn zur Abkürzung die zu x*y z 
symmetrische Funktion 


l^^'jr + ^(A + B + C)=^H 


gesetzt wird: 


§ 19. Die Botationsaxe tmter dem Einflufa des Mondes und der Sonne. 429 


Ebenso findet sich: 

^ - {" - ^^*) "■ 

womit sich endlich aus den (2) ergiebt: 

AT I7 ^ *W (-^ "~ •^) ' ' 

JV = Ir - - ,y - X y 

^ _ ^, ,,*l(^ _ o^,^, 

Die Differentialgleichungen (1) lauten hiermit wie folgt: 


(5) 


(6) 


(7) 


ff^^ 


0^ 


Ost 


§ 19. Fortsetzung. Die Integration erfordert die Kenntnis 
von x\ y und z als Funktionen der Zeit /. Kehren wir zu Polar- 
koordinaten zurück, so sind für xy z die Gleichungen (3) anzuwenden, 
in denen nun 9' und X Funktionen der Zeit sind. Um dieselben 
kennen zu lernen, betrachten wir Fig. 69. Sie zeigt die Koordinaten- 
axen und Ebenenim Durch- 
schnitt mit einer um den ZAlicrdfiol 

Erdschwerpunkt gelegten 
Kugel vom Radius 1. Für 
unsere Zwecke genügt es 
bei Ermittelung der Aus- 
drücke für a?', y' und z 
anzunehmen, da& die r- 
Axe, d. i. die Hauptaxe Cy 
stets zugleich Momentanaxe und mithin die .ry- Ebene Äquatorebene 
sei. Ferner nehmen wir an, dafs der Mond sich in der Ebene der 
Erdbahn (Ekliptik) bewegt, da die Neigung der Mondbahn gegen die 
Ekliptik nur einige Grade beträgt. Ein grofser Fehler kann durch 
diese Annahme um so weniger entstehen, als die Mondbahn zur 
Ekliptik keine feste Lage hat, indem ihre Durchschnittslinie in der- 
selben in ISVa J&Iii'^ii einen ganzen Umlauf ausführt. 

Ist nun n' die mittlere Winkelgeschwindigkeit des Mondes in der 





Fig. 69. 


430 &• Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveanflftchen. 

Ekb'ptik und beachtet man^ dafs der Bogen FfH in der Fig. 69 mit 
der Zeit wächst; so ist zur Zeit / angenähert 

Ffli = l = l, + nt, (1) 

wenn F0i zur Zeit null gleich /q ist. Das sphärische Dreieck FfUfiH', 
in welchem der Winkel b bei F die Schiefe der Ekliptik gleich 23,5" 
bedeutet, giebt bei Bezeichnung von FßH' mit t: 

sin 9?' e» sin / sin £ 
sin t cos fp' '= sin / cos € (2) 

cos r cos q/ = cos / . 

Bezeichnen wir nun FÄ, die Sternzeit des Meridianes ZX^ mit 
0, so ist zufolge der Figur 

Indem wir dies in die 2. und 3. Gleichung (2) setzen , erhalten wir 
nach Auflosung von sin/' und cos/' linker Hand:» 

(sin ® cos A' — cos ® sin X') cos (p' «» sin / cos € 
(cos S cos A' 4- sin sin A') cos 9 <» cos / 

und hieraus durch Kombination: 

cos A' cos op' ■= 4- sin/ sin® cosf + cos/ cos® 

(3) 
sin A' COS9' = — sin/ cos® cos« + cos/ sin®. ^ 

Für die Koordinaten x', y und z ergiebt sich jetzt mittelst Ein- 
führung der (3) und der 1. Gleichung (2) in die (3) des vorigen 
Paragraphen : 

X = r (+ sin/ sin ® cos£ + cos/ cos®) = — (+ * cos (/— ®) + d cos (/+ ®)^ 

y = r'(— sin/ cos® cos« + cos/ sin ®) = -^ ( — $ sin (/— ®) + ^/sin (/-}- ^))(4) 

z=r sin/ sin « 

für 5 es 1 -j- cos £ und rf = 1 — cos « . (5) 

Indem wir diese Gleichungen paarweise miteinander multiplizieren 
und die Produkte in naheliegender Weise transformieren, erhalten wir: 

xy = ^ j— «2 sin 2 (/ — ®) + d' sin 2(/ + ®) + 2sd sin 2® j 

yz^^ sin ^[s\— cos® + cos (2/—®)] + dfcos ® - cos (2/+®)] | (6) 

2V = -^8in«[5rH-8in®+sin(2/--®)l--(/rsin®--8in(2/+®)lj • 

Die Integration der Gleichungen (7) des vorigen Paragraphen 
wird in der Regel unter der Annahme B ^^ A ausgefQhrt. Diese 
Annahme giebt jedenfalls eine sehr scharfe Annäherung. Zufolge 


§ 19. Die RotatioDsaxe unter dem Einflurs des Mondes und der Sonne. 431 

derselben wird r konstant gleich Tq und die 2. und 3. der Gleichungen 
(7) geben für p und q nach einfacher Transformation: 


dp 
dt 


-f A^c« + £)hco8(2/— ©) — dcos(2/+©)— 2cosf cos©} • 

^ (7) 

^J- — A^ = — () j 5 sin(2/— ©) + d 8in(2/ + ©) + 2 cos« sin®) , 

wobei 

A = ^^r, 0«*J±€^^8ine. (8) 

Nach dem Muster der Integration der Gleichungen (2) § 15 
S. 415 folgt jetzt, wenn wir die rechten Seiten der (7) für den Augen- 
blick mit ß und a bezeichnen: 

p = /"cos Xi — g sin Xi 

^ «= / sin A / + ^ cos A/ , ^ ^ 

wobei gesetzt ist: 

/* — / (/) cos Ar -f a sin ii) dt 

^ = / (— /J sin A/ -f- ^ cos A/) dt . 
Die Substitution der Werte von a und /) giebt: 

^ — +5 y cos(2/— ©+ A/) *— d7co8(2/+ &^Xt)dt- 2cos« /cos(® - A/) <// 

|=— s/sin(2/— ©+A/)d/— £//8in(2/+©— A/)Ä--2co8f A^ 

Bei Ausführung der Integration ist zu beachten, dals zufolge des 
Ausdruckes (1) / die Form hat: 

l^h + n't-, 

ferner ist zu beachten, dafs die Steriizeit ganz entsprechend die Form hat: 

© = ©0 + ^»^ (10) 

worin ©^ eine Eonstante und n den absoluten Wert der Winkel- 
geschwindigkeit der Erdrotation bezeichnet. Hiermit folgt, wenn in 
f und g diejenigen Glieder von f bezw. g vereinigt werden, welche 
von / unabhängig sind: 

f Z' Bin (2Z - ^ + Xt) 8 Ui(2Z + ^ - Xi) o^^„^8in {S-Xi) 

Q^-Q -T^ —2W^^nJ^ i ~ ^ - 2n + n ^X ~^COSf - ^ - - 

9 „ 4 + , ?os(24 - ^ + U) ^coB(2;+ ^ ~/0 +2cos.?-^l^i^ 

Endlich ergiebt sich: 
p = /-cos A/ -i^'sin A/-0 [ ^^"{sin ® _l±5^sin(©-2/)+i-^^'^ ^8m{©+2/) j 


432 &• Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

Die Glieder mit f* und g entsprechen der in den §§ 5 nnd 6 dieses 
Kapitels betrachteten Bewegung der Momentanaxe, insbesondere den 
Ausdrücken (5) S. 392. 

Mit Rücksicht auf (6) S. 392 und (8) S. 393 sowie auf die Er- 
gebnisse des §7 8. 399 ist für die von f und g abhangigen Glieder: 

-J- 9" = 0,07" cos {U — 700) 

Z (12) 

-i- 9" = 0,07" sin {kt - 70») , 

i von 1868,0 ab gezählt und der Meridian von Pulkowa als zar- Ebene. 
Bezüglich der neu hinzutretenden Glieder, welche man sich so- 
wohl für den Mond als auch für die Sonne hingesetzt zu denken hat, 
ist zu bemerken, dafs für A die 1. Gleichung (8) in betracht kommt; 
da aber r^ sehr nahe gleich co ist und m gleich — n wird, indem 
vom Nordpol aus gesehen die Erde thatsächlich der Richtung von «a 
(siehe S. 392 Fig. 64) entgegengesetzt, d. h. entgegengesetzt der Be- 
wegung des Uhrzeigers, rotiert, so hat man: 


X = -^ T- - n 


und mit Rücksicht auf S. 394 (12): 


n — A = -^ fi = 1,003283 n. 


(13) 


A 

Da ferner die siderische Umlaufszeit des Mondes 27^322 mittlere 
Tage beträgt, diejenige der Erde um ihre Äxe aber 86164 : 86400 
= 0,99727 m. Tage, so ist 

«' = ^^gS^- 0,03650 n 

'^"^ n — k-2n= 0,93028 n 

„ _ A + 2n = 1,07628 n . ^^^^ 

Mit £ «= 23" 27,5' wird also für den Mond: 

2C08g ^^ [0,'26216] ^8287 

n — A n n 

1 + 008 g [0,31409] __ 2,061 

n — l — 2n n n 

1 — cos e ^^ [ 8,886 — 10] 0,07 7 

n — Z + 2»' n *^^ n 

Der Wert (15) gilt auch für die Sonne; da für diese die Umlaufszeit 
(die siderische der Erde) 365,256 mittlere Tage beträgt, so ist hier ferner: 

'^' = ^S^ = P'43621 - 10]n = 0,00273« 


(15) 


(16) 


1 +C08 s [0,28365] J»921 

n ~ Z — 2n' n *^^ n 

1 — cos t ^ [8,913 — 10] ^ ^i082^ , ^ 

n — A + 2n' n n 


§ 19. Die BotatioDsaxe unter dem Einflufs des Mondes und der Sonne. 433 
Um Q za ermitteln, bringen wir es auf die Form 

worin JU die Erdmasse nod a^ der Äquatorialhalbmesser des Erd- 
ellipsoids ist. k'' M : a„^ läfst sich aus den Pendelbeobachtungen ent- 
nehmen (vergl. auch im nächsten Kapitel § 4). Nach § 15 des 
2. Kapitels Formel (7) S. 83 und den Zahlen (1*) bis (5*) des § 16 
daselbst ist, bezogen auf die mittlere Zeitsekunde als Zeiteinheit: 

*!^- « 9,7800 : (1 — 0,001843 - 0,000005) 
"• ^ ^ (19) 

= 9,7981. 

Hierzu nehmen wir entsprechend der angenommenen Abplattung den 

Besseiacben Wert 

«0 «-" 6377397 . 

Endlich wird mit 6 -= 23"»27',5 und ^'t^ = 0,003283: 


-=[1,17781- 10] ^(-J)'. 


Oq : r ist der Sinus der Äquatorial-Horizontalparallaxe p^ deren Wert 
nebst jBI : M bereits S. 384 § 1 (8*) fQr Mood und Sonne angegeben 
worden ist*). Damit folgt: 

Q für den Mond = [3,92781 - 20] 

für die Sonne = [3,58960 - 20] , ^^^^ 

womit sich nun die in den (11) vom Monde und der Sonne her- 
rührenden Glieder berechnen lassen. 

Wir berechnen aber nicht p und q selbst, sondern die Werte 

cos a — S "» — , cos k — ij «= -^ . (21) 

i und 1} sind die x- und y- Koordinaten des Durchschnittspunktes der 
Momentanaxe mit der um den Erdschwerpunkt gelegten Kugel vom 
Radius 1. 

Beachten wir, dafs für die mittlere Zeitsekunde, indem die Erde 
in 23* 56 "•4* um ihre Axe rotiert, 

0, „ _|--- (22) 


*) Die Mondparallaie ist uicht über 0,5" unsicher. (Siehe auch Kap. 6 § 5.) 

Die Parallaie 8,S3" der Sonne ist eine Mittelbildung aus den besten Werten 
und kaam mehr als 0,03" irrig. Vergl. die Zusammenstellung in S, Newcomb^ 
Populäre Astronomie f deutadie Ausgtibe von E. JEngdmann, 1881, S. 226. 

Die Mondmasse wird zu '/^q bis %|,5 angegeben. Nach Newcomb ist sie 
gleich 0,0123, d. i. nahezu < ',,^. 

Über die Sonnenmaase siehe weiterhin. 

Uelmeri, maUi«m. n. phytlkal. TheoriMn der höh. 0«odäue. II. 28 


434 S- Kapitel. Zeitliche JLnderongen der Niveaaflächen. 

ist, so wird nun mit Weglassang der kleinen von (1 — cos c) ab- 
hängigen Glieder und unter Vereinigung der in sin bezw. cos S 
multiplizierten Glieder fflr Mond und Sonne: 

I = -I- 0,07 cos (70» 4- z — A^ -f 0,008765 sin © 
In Sek. _ QQQQg gjjj ^g _ 2/,) - 0,0029 sin (0 — 2/,) 

(23) 
ij = — 0,07 sin (70» -f £ — A/) — 0,008765 cos® 

*" **• + 0,0068 co8(0 — 2/,) + 0,0029 co8(0 — 2/,) . 

L die westl. L&nge der «z-Kbene geg. dpn Meridian v. Puikowa ; I, bedeutet / für den Mond i Figr.69 

t Ton 1868,0 ab. j, „ l „ die Sonne J 8. 429. 


Die Anteile des Mondes und der Sonne am Koefficienten 0,008765 
sind bezw 

0,0060074 und 0,0027573 . 

Mit Rücksicht auf § 6 S. 394 erkennt man, dafs | die Variation 
der Polhohe eines Ortes ist, wenn man die positive x-Axe in den 
Meridian desselben legt, was angänglich ist, da wir wegen A=^B die 
X' und y-kxQ in der Aquatorebene beliebig wählen können. S ist 
alsdann die Sternzeit des betreffenden Ortes und L seine westliche 
Länge gegen Puikowa. Für k ist (13) S. 432 zu beachten. 

Die Teile von 5 und i;, welche mit S und {ß — 2/), also in tag- 
licher oder nahezu täglicher Periode variieren, sind so klein, dafs sie 
sich den Beobachtungen gänzlich entziehen. Auch in der Rotations- 
dauer entstehen durch S und 17 keine merklichen periodischen Glieder, 
was wir hier nicht weiter untersuchen wollen, da ähnliche Unter- 
suchungen schon in früheren Paragraphen geführt worden sind. — 
An diesen Verhältnissen ändert endlich auch die Berücksichtigung 
einer geringen Ungleichheit von A und B nichts. 

§ 20. Notiz über die Präzession und Nutation. Die Aus- 
drücke für p und q bezw. | und 17 gestatten nun auch die Bewegung 
der Momentanaxe im Räume zu verfolgen. Man mufs zu diesem 
Zwecke ein festes Axensystem einführen und ermitteln, wie sich gegeu 
dasselbe das Hauptaxeusystem nach Mafsgabe von p, q und r und 
mit ihm die Momentanaxe nach Mafsgabe von S und 17 bewegen. 
Es findet sich, dafs die Momentanaxe abgesehen von kleinen, perio- 
dischen Schwankungen eine Kreiskegelfläche um die Normale der 
Ekliptik beschreibt, wobei sich die Durchschnittslinie der zur Momen- 
tanaxe normalen Aquatorebene mit der Ekliptik auf dieser entgegen- 
gesetzt der Bewegung der Sonne verschiebt. Diese Verschiebung 
heifst lunisolare Präzession y jene kleinen periodischen Schwankungen 
bezeichnet man als Nutation. 

Wir gehen hier auf die Aufstellung der allgemeinen Ausdrücke 
für Präzession und Nutation nicht ein und beschränken uns darauf, 


§ 20. Notiz Qber die Präzession und Nutation. 


435 


lediglich für das Hauptglied der Präzession unter yereinfachenden 
Annahmen einen Näherungswert abzuleiten. Berücksichtigen wir in 
£ und 1} nur das in sin bezw. cos & multiplizierte Glied, so ist 


fc 0,008765 . ^ 
5 = 106266- "° ® 


0,008765 xa 


(l) 


Legen wir aber in irgend einem Zeitmoment die positive x-Axe in 
den Durchschnitt von Äquator und Ekliptik nach dem Frühlings- 
punkte F hin, Fig. 69 S. 429, so wird » null und 


S = 


n 


0,008766 
206265 


Der Nordpol M der Momentanaxe liegt somit auf dem gröfsten 
Kreis VZj wie es die Fig. 70 andeutet, wobei CM=^ onßoßr; ^^^* 
Rotiert nun im Zeitelement dt der 


206265 


£rdkörper um ndty so wird sich 
C in Fig. 70 etwa nach C^ ver- 
schieben, und zwar ist 


Nordpol 


X- 


f' 


cc. 


0.00876Ö 
"206265 


ndi. 


In Bezug auf die neue Lage des 
Axensystems Cy X^ F, hat aber der 
Pol der Momentanaxe die Ko- 
ordinaten 


w 0. 008765 . 

^ ~ 206265 ^^' 





XXf 


1? = — 


Flg. 70. 

0^08765; 
206265 


da S von null in n dt übergeht. Bezeichnet mau die neue Lage des 
Pols der Momentanaxe mit M^ , so ist also 


tu MM 0,008765 ,^ 

^^. = -.^nfi.3«/v-'»^'• 


'J06265 


(2J) 


Es ist hiernach MMy gleich grofs und parallel mit CC^, d. h. der 
Pol der Momentanaxe verschiebt sich in jedem Zeitelement um die 
für iVif/, angegebene Gröfse gegen den Frühlingspunkt F, 

Bezeichnet nun in Fig. 71 F den Frühlingspunkt, d. h. den 


Durchschnittspunkt zwischen Eklip- 
tik und Äquator auf der Einheits- 
kugel, für die Anfangslage, F' 
aber nach Verlauf der Zeit dt, 
und beachten wir, dafs streng ge- 
nommen die Ebene des Äquators 
normal zur Momentanaxe steht, 
so ist FF^ — MMi und F'F — 


jfLiS^ 


tJ«?- 


^^' 


yfSkliiUik 


S9J> 


l^'jPi 


ÄeifauUa n 


#■ 


Säd 

|Flg. 71. 

.¥if/| : sin e. In einem tropischen 

28* 


436 6* Kapitel. Zeitliche Ändenrngen der Niyeaufl&chen. 

Jahre von 365^24 mittleren oder 366,24 Sterntagen wird, weil n in 
einem Stern tage sehr nahe gleich 2^ ist: 

rF = .?!?!??!?^ . 366,24 . 2;r = 50,7 . (3) 

In Sek. "'^^ 

Die Anteile des Mondes und der Sonne hieran sind einzeln bezw. 
34,73 und 15,93. 

Die Präzession ist durch Beobachtungen bestimmt und zwar zu 
50,37"; da sie dem Werte {? : (w — A) und somit nach (8) und (13) 
des vorigen Paragraphen dem Quotienten 

C- A 
C 

proportional ist, so gewährt sie ein Mittel zur Berechnung desselben, 
dessen Wert jedoch durch die Unsicherheit in der Kenntnis der an- 
deren Elemente, die in auftreten, etwas beeinträchtigt wird. 

Theodor Ritter v, Oppdeer giebt im ersten Bande seines Leürbuchs snr 
BahnbestimmuDg der Planeten und Kometen, 2. Aufl., 1882, auch eine 
ausführliche Entwicklung der Präzession und Nutation, wie sie in gleicher 
Ausführlichkeit und Strenge noch nicht existiert. S. 154 (25) finden sich 
die Ausdrücke für £ und 17, die auch wir entwickelt haben, im wesent- 
lichen mit unseren übereinstimmend. Für F'F wird S. 180 aus den Be- 
obachtungen der Wert 50^37" 

abgeleitet. Die Nichtübereinstimmung des oben berechnet<.'n Wertes mit 
diesem liegt aufser an Unsicherheiten in den von uns benutzten Werten für 
die Mondmatse und (C — A) : A hauptsächlich in der Nichtberücksichti* 
gung der Abweichung des Mondes von der Ekliptik und der ungleich- 
märsigen Bewegung des Mondes und der Sonne in l. Infolge dessen mufs 
nach Oppoleer zum Anteil der Präzession für den Mond der Faktor 

0,99258 , 
für die Sonne der Faktor 

1,00042 

hinzutreten. Die Anteile werden dann 

} ^'^flan^DiGn =■ 50,41 . 

Die noch verbleibende Differenz ist unerheblich. 

S. 179 — 182 ist die Bestimmung von (C — A) ; C behandelt. Hier wird 
noch der Beobachtungswert des HauptgUedes der Nutation hinzugezogen, 
welcher nur vom Monde abhängt und unmittelbar den ersten Wert Q 
unter (20) S. 433 ergiebt. 

Nun läfst sich mit diesem Q, welches an Stelle des ersten Wertes (20) 
tritt, der Anteil an der Präzession berechnen, welcher vom Mond her- 
rührt. Der Best gehört alsdann der Sonne zu und gestattet {C — A) : C 
zu bestimmen. Da der Anteil an F'F für den Mond sowie die Sonne 
durch die ans Vorstehendem leicht abzuleitende Formel 

■^Mr • 3« cos« . 206265 . 366,24 ^ T^ ^ (4) 

dargestellt wird, je nachdem man darin |R und r auf Mond oder Sonne be- 
zieht, so ist vorerst noch Jc^fiL : r' für die Sonne anzugeben, wenn der Wert 
des Ausdruckes (4) für die Sonne dazu dienen soll, uro (C -A):C zu ermitteln. 


§ 20. Notiz über die Pr&zession und Notation. 437 

1^/Ü : r' fQr die Sonne ist aber die BeBchleunignng der Anziehung der 
Sonne auf die Erde, welcher die Zentrifugalbeschleunigang der Erdbe- 
wegung, abgesehen von der geringen Beschleunigung der Anziehung der 
Erde auf die Sonne, das Oleichgewicht hält. Es ist also: 

•^ iBan^ r 


r« 


und mit Rücksicht auf die Angabe für n 8. 432: 

-^^ - l*»87242 - 10] . (6) 

Mit dem von uns adoptierten Werte von 

-^^— = 0,003272 (6) 

ergiebt sich nunmehr als Anteil (4) der Sonne an der Pfftzession wieder 
ebenso wie oben 15,93 und nach Anbringung des Faktors 1,00042 16,94. 
Nehmen wir aber mit Oppoleer S. 182 

-^^— — 0,oaS261 , (6*) 

so ergiebt sich 15,89, welcher Wert nach seiner Rechnung S. 180 — 181 
aus der Präzession und Nutation in der oben angedeuteteu Weise folgt*). 

Obgleich dieser Wert den in § 7 dieses Kapitels S. 399 erwähnten Be- 
obachtungen über die zehn monatliche Rotationsdauer der Momentanaxe im 
ErdkOrper gut entspricht, kann er dennoch vom wahren Wert um mehrere 
Einheiten der fünften Decimalstelle abweichen, sowohl wegen der Un- 
sicherheit der angewandten Werte für die Präzessions- und Nutations- 
konstante als auch wegen der zweifelhaften Güte der eben angegebenen 
Kontrolle. Es ist daher ziemlich gleichgültig, ob man {C — A) : C nach 
(6) oder (6*) annimmt**). 


*) Denkt man sich die Ausdrücke (4) für Mond und Sonne angeschrieben, 
so ersieht man, dafs durch Division beider Präzessionsanteile, d. h. durch Kombi- 
natioD von Präzession und Nutation, ein Mittel zur Bestimmung des Verhält- 
nisses von Mond und Sonnenmasse erhalten wird. Jedoch ist diese Bestimmung 
der Mondmasse sehr unsicher. Vergl. Oppoleer S. 182. 

Aus der Verbindung der Ausdrücke (19) S. 433 und (5) oben ergiebt sich 
ferner ein Mittel um das Verhältnis der Erd- und Sonnenmasse zu berechnen. 
Division beider Ausdrücke giebt: 


-^ — [3,88128 — 10] j— — [3,88128 — 10] 


ao' ' sin^p * 

worin p wieder die Horizontalparallaze der Sonne ist. Mit p « 8,83", Oq >— 6377397 
und n «B 2jr : 86164 folgt für die Sonnenmasse : 

^ — 329000 , 

welchen Wert wir adoptiert haben, um bei Anwendung verschiedener Relationen 
für iL** übereinstimmende Präzession »werte zu erhalten. Nach OppoUer S. 182 
entspricht 330000 den letzten Leverrierw^hen Bestimmungen, während Newcomh 
324000 angiebt. 

**) Zu dem Werte (6) gelangte Hangen in den Abhandl. der math-^phys. 
Cl. der Ges. der Wissens