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Full text of "Die mathematischen und physikalischen theorieen der höheren geodäsie .."

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DIE 
MATHEMATISCHEN UND PHYSIKALISCHEN 

THEORIEEN 

DEB 

HÖHEREN GEODÄSIE. 



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DIE 
MATHEMATISCHEN UND PHYSIKALISCHEN 

THEORIEEN 

DEB 

HÖHEREN GEODÄSIE. 



EINLEITUNG UND I. TEIL-: 

DIE MATHEMATISCHEN THEORIEEN. 



VON 



Dr. f. R. QELMERT, 

PBOFB880& AM DBB TXCHMI8CHBM HOCHSCHVLX ZU AACHBN. 






LEIPZIG, 

t)ttUCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNElR. 

1880. 



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Vorwort. 



Das vorliegende Buch enthält den mathematischen Teil einer 
umfassenden, auf praktische Anwendung zielenden Darstellung der 
wissenschaftlichen Grundlagen der Landesvermessungen und Erd- 
messungen. Meine ursprüngliche Absicht war, in organischer Ent- 
wicklung den physikalischen Teil vorausgehen zu lassen; nachdem 
ich jedoch das gesamte Material einer ersten Bearbeitung unterzogen 
hatte, fand ich, dafs die bewährte Methode des Aufsteigens vom Ein- 
fachen zum Komplizierteren sich besser mit der nunmehr g&wählten 
Reihenfolge der Teile würde vereinigen lassen. Für die allgemeine 
Orientierung sorgen jetzt die beiden ersten Kapitel der Einleitung. 

Bei den mathematischen Entwicklungen ist alles beiseite ge- 
lassen, was in keiner Beziehung zur Geodäsie auf der wirklichen Erd- 
oberfläche steht; innerhalb dieses Rahmens aber habe ich versucht 
Ausführlichkeit und Strenge mit Einfachheit zu vereinigen. 

Der Wunsch nach Ausführlichkeit veranlafste mich u. a. der 
Rechnung mit Sehnen einen Platz einzuräumen, obgleich sich heraus- 
stellte, dafs im allgemeinen die Sehne weniger bequem zur Anwendung 
ist, als die geodätische Linie. Immerhin ergaben sich aufser theo- 
retisch interessanten Resultaten auch einige zur Anwendung geeignete 
Formeln. 

Was die Strenge der mathematischen Darstellung anlangt, so 
scheint es mir, dafs sie namentlich bei Reihenentwicklungen in geo- 
dätischen Werken meistens zu sehr als selbstverständlich angesehen 
wird. Nicht immer aber hat man es mit dem einfachen Fall der 
Entwicklung trigonometrischer Funktionen kleiner Winkel in Potenz- 
reihen zu thun und es bedarf u. a. bei der Ableitung des Legendreschen 
Theorems einer besonderen Untersuchung der Gültigkeit für spitze 
Dreiecke, die jedoch mittelst des Restes der Tayhrschen Reihe leicht 
zu f&hren ist. 

In Hinsicht der Einfachheit beschränkte ich mich zunächst auf 
die Geodäsie für die Kugel und das schwach abgeplattete Rotations- 
ellipsoid, schlofs an die letztere aber die Geodäsie auf der wirklichen 
Erdoberfläche mittelst des Begriffes der Lotabweichung an. Dieses 
schon von Bessel angegebene Verfahren ist nach dem gegenwärtigen 



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VI Vorwort 

Stande unserer Kenntnis der Erdgestalt nicht nur ein ganz berech- 
tigtes^ sondern nach meiner Ansicht das einzig praktische. Ich halte 
es namentlich für ganz nutzlos^ als Projektionsfläche eine andere Fläche 
als das schwachabgeplattete Rotationsellipsoid mit zur Erdaxe paral- 
leler kleiner Axe zu wählen und habe mich demgemäfs darauf be- 
schränkt; alle Theorieen nur für diese Fläche oder die noch einfachere 
Eugelfläche aufzustellen. Ist es auch mathematisch interessant, in 
jedem Falle das Gültigkeitsgebiet eines Satzes in vollem Umfange 
zu erkennen, so verliert doch diese Kenntnis jede Bedeutung für die 
geodätische Anwendung. Die Beschränkung aber gewährte mir die 
Möglichkeit einer, wie ich hoffe, in erweitertem Kreise verständlichen 
Darstellung. Insbesondere habe ich die Fundamentalgleichung der 
geodätischen Linie ganz elementar ohne Variationsrechnung hei^eleitet, 
sowie mich bemüht, zur Theorie der geodätischen Dreiecke in dem 
für die Praxis ausreichenden Umfange auf direkten, dem allgemeineren 
Verständnis naheliegenden Wegen zu gelangen. Zu dem Zwecke wurde 
von den Integralformeln für die geodätische Linie zunächst zu den 
Differentialformeln übergegangen und aus diesen die Lehre vom geo- 
dätischen Kreise gewonnen, wonach es nur einfacher Integrationen 
zur Erreichung jenes Zieles bedurfte. Zu grofserer Anschaulichkeit 
ist die Theorie der geodätischen Dreiecke auf der Kugel ähnlich be- 
handelt worden, wie jene fürs EUipsoid; dabei konnte zugleich ohne 
Schwierigkeit die Gültigkeit der Formeln der sphärischen Trigono- 
metrie in dem för die Geodäsie wichtigen Umfange bewiesen werden. 

Es versteht sich wohl von selbst, dafs die vorhandenen Arbeiten 
über Geodäsie berücksichtigt wurden, wie zahlreiche Citate bezeugen: 
formell bin ich jedoch entsprechend meinen Absichten in den meisten 
Fällen selbständig vorgegangen. 

Auch materiell dürfte sich manches Neue finden. In dieser Be- 
ziehung nenne ich u. a. die Rechnung mit Sehnen auf dem EUipsoid 
(4. Kap.), die Differentialformeln für die geodätische Linie (6. Kap.), 
die Reihenentwicklungen zur Berechnung von Entfernung und Azi- 
muten aus geographischen Positionen (S. 314), die Betrachtung för 
geodätische Linien zwischen nahezu diametralen Punkten (7. Kap.), 
die Untersuchung über die Maximalwerte der höheren Glieder des 
Legendreschen Theorems (S. 94, 359 u. 384), die Untersuchung über 
die sphärische Berechnung der Dreiecksketten (S. 400), die Beziehungen 
zwischen rechtwinkligen und geographischen Koordinaten (9. Kap.), 
die Ausgleichung geodätisch-astronomischer Messungen mit Rücksicht 
auf Lotabweichungen (12. Kap.) und die Entwicklungen bezüglich der 
Beweiskraft der Gradmessungen ftir eine rotationsellipsoidische Erd- 
gestalt (13. Kap.). 



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Vorwort. VII 

Die wichtige Angelegenheit der Ausgleichung geodätisch -astro- 
nomischer Messungen mit Rücksicht auf Lotabweichungen ist zwar 
nicht bis in alle Details erledigt, aber es ist wenigstens die Grund- 
lage vollständig entwickelt. Als ein Hauptresultat der Untersuchung 
mufs ich für mich die Überzeugung betrachten, dafs bei den Aus- 
gleichungen grofser Dreiecksnetze nicht nur die von den verschiedenen 
Grundlinien gegebenen Bedingungsgleichuugen zu berücksichtigen sind, 
sondern auch die bei dem jetzigen Stande der Beobachtungskunst 
völlig ebenbürtigen Gleichungen, welche mittelst des Theorems von 
Laplace aus Azimutbestimmungen und geographischen Längenbestim- 
mongen abgeleitet werden können (S. 537). Eine ohne diese Rück- 
sichtnahme ausgeführte gemeinsame Ausgleichung eines grofseren 
Komplexes von Dreiecksketten würde ich für Gradmessungszwecke 
als wertlos erachten, für Landesvermessungszwecke aber wenigstens 
als unvollständig ansehen. 

Um die Übersichtlichkeit zu erleichtern, sind in den Formeln 
möglichst wenig abkürzende Bezeichnungen eingeführt. Die Symbolik 
ergab sich durch eine Reihe von Kompromissen aus den üblichen 
Bezeichnungsweisen. Es ist dabei möglichst bedacht genommen, das- 
selbe Symbol nur insoweit zur Bezeichnung verschiedener Gröfsen zu 
verwenden, als ein Irrtum daraus nicht entstehen kann. 

Tabellen sind dem Buche bis auf eine solche für den Logarithmus 
einer häufig auftretenden Funktion der Excentricität der Meridian- 
ellipse und der geographischen Breite nicht beigefügt, es ist vielmehr 
auf Albredits bewährte Tafelsammlung verwiesen (S. 34). Zur Prüfung 
der Brauchbarkeit der Formeln, namentlich derjenigen für die Aufgabe 
der Übertragung geographischer Koordinaten und ihrer Umkehrung, 
welche je besonders für beliebige Distanzen, für Distanzen bis zu 
640 Kilometer und für Seiten mefsbarer Dreiecke entwickelt sind, 
wurden Zahlenbeispiele berechnet, z. T. unter Anwendung von Loga- 
rithmen mit 10 Decimalen. Die so erzielte Schärfe der Rechnung 
ist zwar in mehreren Fällen weit grofser als in der Praxis erforder- 
lich wird, sie war aber gleichwohl des speziellen Zweckes wegen er- 
wünscht. Eine Gebrauchsanweisung sollte mit diesen Beispielen eben- 
sowenig gegeben werden, wie eine völlig gebrauchsfertige Gestalt der 
Formeln im Sinne der praktischen Routine beabsichtigt ist. 

Aachen, Oktober 1880. 

Der Verfasser. 



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Inhaltsverzeichnis. 



Einleitung. 
1. Kapitel. Gegenstand der Geodäsie. 

Seite 

§ 1. Defiaition. Notizen über die Erdoberfläche 3 

§ 2. AusmeBBUD^ kleiner Teile der Erdoberfläche 3 

§ 3. Aufnahme im grofsen 5 

§ 4. Geographische Begriffe, die von der Gestalt der Niveauflächen unab- 
hängig sind 6 

§ 5. Geographische Begriffe für ein Rotationsellipsoid 7 

§ 6. Geographische Begriffe für den thatsächlichen Zustand 8 

§ 7. Geozentrische Breite, Länge und Radiusvektor . . * 9 

§ 8. Koordinatensysteme 9 

2. Kapitel. Historische Entwicklung der Kenntnisse von der 

mathematischen Erdoberfläche. 

§ 1. Historische Notizen bis zur Zeit Newtons lO 

§ 2. Von Newton bis Laplace 12 

§ 3. Das 19. Jahrhundert .....'. 15 

§ 4. Gegenwärtige und zukünftige Untersuchungen 19 

§ 6. Übersicht des Ganges der Entwicklung der Theorieen im vorliegenden 

Buche 22 

3. Kapitel. Allgemeine mathematische Notizen, insbesondere 

Reihenentwicklungen. 

§ 1. Eonvergenzbedingungen 23 

§ 2. Stark konvergente lUihen in der Geodäsie 24 

§ 3. Taylors Satz 25 

§ 4. Binomischer Satz 26 

§ 6. Lo^arithmische und Exponentialreihen 27 

§ 6. Reihen für Sinus, Cosinus u. s. f. 28 

§ 7. Reihen für Arcussinus und Arcustangens , und logarithmische Reihen 

für Sinus, Arcussinus u. s. f. 29 

§ 8. Bestimmung der Winkeldifferenz aus der Cotangenten- bew. Cosinus- 
differenz 30 

§ 9. Arcus und Gradmafs 32 

§ 10. Formeln für sehr kleine Winkel 32 

§ 11. Interpolation 38 

1. Teil. 

Die mathematischen Theorieen der höhern Geodäsie. 

1. Kapitel. Das abgeplattete Rotationsellipsoid. 

§ 1. Elemente der Meridianellipse 37 

§ 2. Koordinaten in der Meridianellipse (Fig. 1) 39 



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InhaltsverzeichDiB. IX 

Seit«. 

§ 3. Verwandlung der geographischen Breite in reduzierte und umgekehrt 41 

§ 4. Krümmungsradius im Meridian 48 

§ 5. Berechnung von log W 44 

§ 6. Rektifikation des Meridianbogens 46 

§ 7. Die Eoeffidenten A 47 

§ 8. EinfGLhrung der mittleren Länge G eines Meridiangrades 48 

§ 9. Kleiner Meridianbogen 49 

§ 10. Berechnung der geographischen Breite des Endpunktes eines von ge- 
gebenem Anfangspunätte ausgehenden Meridianbogens 53 

§ 11. Meridianbogen mittelst reduzierter Breite 66 

§ 12. Querkrümmungshalbmesser 56 

§ 13. Krümmung8ra£us in einem beliebigen Azimut (Fig. 2) 67 

§ 14. Berechnung von Qa 58 

§ 16. Das ErümmungamaTs 59 

§ 16. Radiusvektor und geozentrische (verbesserte Breite) 69 

§ 17. Komplanation der Oberfläche 61 

§ 18. Mittlerer Krümmungsradius in einem Punkte 63 

§ 19. Verschiedene mittlere Krümmungsradien 64 

§ 20. Mittlerer Radiusvektor 66 

§ 21. Erdkugel 68 

2. Kapitel Dreiecke und Dreiecksnetze anf der Kugel. 

§ 1. Horizontale Entfernung, kürzeste und geodätische Linie (Fig. 3) . . 69 

§ 2. Horizontalwinkel 70 

§ 3. Das sphärische Dreieck 71 

§ 4. Differentialformeln; Sinus- und Cosinussatz (Fig. 4) 72 

§ 5. Cotangentenformel und Formeln far 5 Stücke 75 

§ 6. Gegeben 3 aufeinander folgende Stücke 76 

§ 7. Die Formeln von Neper und Gaufs 77 

§ 8. Gegeben 2 Seiten und 1 Gegenwinkel oder 2 Winkel und 1 Gegen- 
seite 80 

§ 9. Gegeben 3 Seiten oder 3 Winkel 80 

§ 10. Inhalt und sphärischer Eixcefs (Fig. 5) 82 

§ 11. Strenge Formeln für den sphärischen Excefs 83 

§ 12. Fortsetzung: Gegeben 3 Seiten . '. 85 

§ Vi. Theorem von Legendre 88 

§ 14. Höhere Glieder in Legendres Theorem 90 

§ 15. Fortsetzung: Ezcefsan teile aus den 3 Seiten 92 

§ 16. Numerischer Betrag der hohem Glieder 94 

§ 17. Escefsanteile ans 2 Seiten und dem Z wischen wiukel 96 

§ 18. Beliebige 3 Stücke gegeben 99 

§ 19. Zahlenbeispiel 101 

§ 20. Polarkoordinaten 102 

§ 21. Die Additamentenmethode 103 

§ 22. Strenge Formeln für Sehnen und Horizontal winkel 105 

§ 23. Näherungsformeln. Grunerts Satz 107 

§ 24. 2 Sehnen I und C und der Horizontalwinkel A gegeben 109 

§ 25. Zahlenbeispiel 111 

3. Kapitel Rechtwinklige nnd geographische Koordinaten 
anf der KngeL 

. § 1. Rechtwinklige Koordinaten (Fig. 6) 114 

\ 2. Ordinatendifferenz und Abscissendifferenz 115 

§ 3. Diiferenz der Richtungswinkel 118 

§ 4. Numerischer Betrag der }iüheren Glieder 119 

\ 5. Anderer Entwicklungsgang 121 

§ 6. Distanz und Richtungswinkel aus den Koordinaten 121 

§ 7. Übertragung geographischer Länge und Breite mittelst horizontaler 

Entfernung und Azimut (Fig. 7) 123 

§ 8. Reihenentwicklungen zur yorigen Aufgabe 126 

f 9. Fortsetzung 128 



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X Inhaltaverzeichnifl. 

Seite. 

§ 10. Gegeben geographische Breite ond Länge für 2 Punkte 128 

§ 11. Lösung der vorigen Aufgabe mittelst Gauls* Gleichungen 131 

§ 12. Reihenentwicklungen zur vorigen An^be 132 

4. Kapitel. Der vertikale Schnitt und das Sehnendreieck für das 
abgeplattete Rotationsellipsoid. 

§ 1. Abweichung gegenseitiger Yertikalschnitte von einander (Fig. 8) 134 

§ 2. Gleichung des Ellipsoids und des VertikalBchDitts (Fig. 9 u. 10) . . 135 

§ 3. Bas astronomische AzimtU als Ftmktion der geographischen Positionen 138 

§ 4. Reihenentwicklungen zur vorigen Aufgabe 139 

§ 5. Sehne und Azimute aus der geographischen Lage zweier Punkte 

mittelst Benutzung der reduzierten Breiten 142 

§ 6. Sehne ond Azimute mittelst der geographischen Breiten und des 

Längenunterschieds zweier Punkte 144 

§ 7. Reihenentwicklungen zur vorigen Aufgabe 146 

§ 8. Dalbys Satz 150 

§ 9. Fortsetzung der Entwicklungen für kleine Distanzen 151 

§ 10. Fortsetzung: Die Sehne 154 

§ 11. Zusammenstellung der Formeln zur Berechnung von Sehne und ÄzimtU 

aus geographischen Positionen für Distanzen <ZO,\aQ 167 

§ 12. Z^lenbeispiel I 158 

§ 13. Fortsetzung 162 

§ 14. Zahlenbeispiel II 164 

§ 15. Übertragung der geographischen Lage mittelst Sehne und astronomischem 

Azimut ' 166 

§ 16. Zahlenbeispiel I 170 

§ 17. Zahlenbeispiel II 172 

§ 18. Beihenentwicklang für den Depressionswinkel fi 174 

§ 19. Zahlenbeispiel I und II 176 

§ 20. Rektifikation des Vertikalschnitts 177 

§ 21. Zahlenbeispiel I und II 182 

§ 22. Azimutalunterschied der Yertikalschnitte.* 183 

§ 23. Flächenwinkel der beiden Yertikalebenen und Abstand der Vertikal- 
schnitte 187 

§ 24. Änderung des astronomischen Azimuts und der Horizontalwinkel mit 

der Höhe der Objekte 189 

§ 25. Der Sinussatz für Sehnen und Horizontalwinkel (Fig. 11 u. 12} . . 190 

§ 26. Fortsetzung: Sinussatz zar Dreiecksberechnung 193 

§ 27. Der Sinussatz u. s. w. (Fig. 13) 197 

§ 28. Zahlenbeispiel III 200 

§ 29. Die Summe der Horizontalwinkel über einem Sehnendreieck. . . . 202 

§ 30. Excefs aus 2 Sehnen und dem zwischenliegenden Horizontal winkel . 204 

§ 31.. Zahlenbeispiel III 209 

§ 32. Schlufsbemerkungen 209 

5. Kapitel. Fundamentalformeln für die geodätische Linie. 

§ 1. Horizontale Entfernung und geodätische Linie auf dem Rotations- 
ellipsoid (Fig. 14) 212 

§ 2. Grundgleichung der geodätischen Linie auf dem Rotationsellipsoid 

(Fig. 15) 213 

§ 3. Lauf der geodätischen Linie 217 

§ 4. Länge einer geodätischen Linie, die von einem gegebenen Punkte 

in bestimmter Richtung ausgeht (Fig. 16 u. 17) 218 

§ 5. Fortsetzung: Länge der geodätischen Linie 221 

§ 6. Gegeben die Länge s einer geodätischen Linie, die Lage eines der 
Endpimkte und das Azimut daselbst, gesucht die reduzierte Breite 

und das Azimut im andern Endpunkt (Fig. 18 u. 19) 223 

§ 7. Berechnung von ki und der von ^\ abhängenden Eoefficienten . . . 227 

§ 8. Bestimmung des geographischen Längenunterschieds 229 



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Inhalts Verzeichnis. XI 

Beita. 

§ 9. Zusammenstellung der Formeln zur Übertragung der geographischen 
Breüe tmd Länge mittelst einer geodätischen Linie von bekannter 

Länge und mit bekanntem Anfangsazimut (Fig. 20 u. 81) 232 

§ 10. Abkürrong der Formeln 236 

§ 11. Zahlenbeispiel IV 240 

§ 12. Zahlenbeispiel I 244 

§ 13. Bestimmung der geodätischen Linie aus der geographischen Lage zweier 

Punkte (Fig. 20 u. 21) 247 

§ 14. Zahlenbeispel IV 250 

§ 15. Zahlenbeispiel V 253 

§ 16. Zahlenbeispiel I 256 

§ 17. Die Eonyergenz der Annäherungsrechnungen bei Lösung dec Aufgabe 

des § 13 261 

§ 18. FortsetEung: 2. Methode v. 263 

§ 19. Die Aufgabe des § 13 im idlgemeinen 264 

6. Kapitel Differentialformeln und Reihenentwicklnngen für die 

geodätische Linie. 

§ 1. Drehung einer geodätischen Linie* P| P, um einen ihrer Endpunkte 

(Fig. 20, 21 u. 22) 266 

§ 2. Die reduzierte Länge und der geodätische Kreis (Fig. 28) 269 

§ 3. Geometrische Veranschaulichung zu dem Satze vom geodätischen 

Kreise (Fig. 24) 270 

§ 4. Die geodätische Linie ist die Kürzeste 271 

§ 5. Die reduzierte Länge 273 

§ 6. Die Differentialquotienten yon m nach s 274 

§ 7. Die Entwicklung von K^ als Funktion von s 275 

§ 8. Die reduzierte Länge als Funktion von s 276 

§ 9. Differentialformeln für die geodätische Linie bei Verschiebungen eines 

Endpunktes 279 

§ 10. Verschiebung beidet Endpunkte der geodätischen Linie 284 

§ 11. Berechnung der Koefficienten der Differentialformeln 283 

§12. Differentialformeln für «, a^ 2 ^^^ ^2.1 ^®i gegebenen geographischen 

Positionen in Bezug auf Änderungen von a^ und e^ 286 

§ 13. Berechnung yon S 289 

§ 14. Formeln fflr kleine Distanzen 291 

§ 15. Differentialformeln für den Endpunkt P, einer geodätischen Linie in 

Bezug auf Änderungen von a^ und e* 291 

§ 16. Vorstehende Formeln für kleine Distanzen 294 

§ 17. Beihenentu>icklung für die Übertragung geographischer Koordinaten 

nach Potenzen von s 296 

§ 18. Zahlenbeispiel I 300 

§ 19. Zahlenbeispiel II 302 

§ 20. Formeln mit mittleren Werten der geographischen Breite und des 

Azimuts 304 

§ 21. Fortsetzung: Längendifferenz 308 

§ 22. Fortsetzung: Azimutdifferenz 311 

§ 23. Entfernung und Azimute am geographischen Positionen 313 

§ 24. Zahienbeispiel I 316 

§ 25. Zahlenbeispiel II 318 

7. Kapitel Der Lauf der geodätischen Linie. 

§ 1. Die Form der geodätischen Kreise in der Nähe des, dem Drehpunkt 
einer geodätischen Linie auf dem Rotationsellipsoid gegenüber- 
liegenden Punktes 321 

§ 2. Fortsetzung: Die Form der geodätischen Kreise mit Spitzen 

(Fig. 25) 324 

§ 3. Ktirzeste Linien zwischen nahezu diametralen Punkten 327 

§ 4. Der Unterschied des astronomischen und geodätischen Azimuts. . . 329 
§ 5. Fortsetzung: Unterschied des astronomischen und geodätischen Azi- 

muU (Fig. ^6 u. 27) 332 



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XII Inbaltsverzeichnifl. 

Seite. 

§ 6. Andere Bestimmungsweise des Unterschieds von astronomischem ond 

geodätischem Azimut für kleine Distanzen 336 

§ 7. Zahlenbeispiel I und II 339 

§ 8. Der Unterschied der linearen Längen von geodätischer Linie und 
Vertikalschnitt zwischen denselben beiden Funkten (Zahlenbeispiel 

I u. 11) 840 

§ 9. Abstand der geodätischen Linie von den beiden Vertikalschnitten 

bei kleinen Distanzen 341 

§ 10. Überblick über die Lage der geodätischen Linie zu den beiden 

Yertikalschnitten für kleine Distanzen 344 

8. Kapitel. Das geodätische Dreieclr; Dreiecksnetze. 

§ 1. Fundamentalsatz für geodätische Polarkoordinaten (Fig. 28) ... . 346 

§ 2. Sinussatz für das geodätische- Dreieck (Fig. 29) 348 

§ 3. Der Cosinussatz im geodätischen Dreieck (Fig. 30) 353 

§ 4. Reduktion des geodätischen Dreiecks auf ein sphärisches oder ebenes 

mit denselben Seiten 358 

§ 5. Die von e* abhängigen Glieder 5. Ordnung (Fig. 31) 359 

§ 6. Excefs des geodätischen Dreiecks aus 2 Seiten und dem Zwischen- 
winkel 362 

§ 7. Flächeninhalt des geodätischen Dreiecks 363 

§ 8. Fortsetzung: Geodätisches und sphärisches Dreieck mit denselben 

Seiten 366 

§ 9. Die Theorie der geodätischen Dreiecke 368 

§ 10. Höhere Glieder in den Formeln zur Berechnung geodätischer Dreiecke 370 
§ 11. Fortsetzung: Vergleichung der höheren Glieder nach Hansen und 

Weingarten ^ 376 

§ 12. Zahlenbeispiel zu Hansens und Weingartens Formeln 377 

§ 13. Maximalbeträge der Glieder 6. und 7. Ordnung (Fig. 32 bis 35) . . 384 
§ 14. Fortsetzung: Maximalbeträge der Glieder 6. und 7. Ordnung in 

^ — ^* u. 8. f. 388 

§ 15. Zahlenbeispiel III 391 

§ 16. Bessels Formeln zur Reduktion eines geodätischen Dreiecks .... 396 

§ 17. Andraes Entwicklungen. Dreiecke aus Vertikalschnitten u. s. f. . . 397 

§ 18. Berechnung einer Dreieckskette. Polarkoordinaten 400 

§ 19. Fortsetzung: Sphärische Berechnung einer Kette (Fig. 36) .... 403 

§ 20. Fortsetzung: Sphärische Berechnung von Polai-koordinaten .... 405 

9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten nnd Über- 
tragung geographischer Koordinaten mittelst derselben. 

§ 1. Fundamentalsatz (Fig. 37) 407 

§ 2. Differenti^lformel fOr den Richtungswinkel 409 

§ 3. Bestimmung von n 411 

§ 4. Gang der weiteren Entwicklung (Fig. 38) 412 

§ 5. Fortsetzung: Bestimmung von <f' 413 

§ 6. Bestimmung von Distanz und Richtangswinkeln aus den Koordinaten 416 
§ 7. Bestimmung der Eoordinatendifferenz und der Differenz der Richtungs- 
winkel aus der Entfernung PiPg, dem Richtungswinkel in Pj und 

den Koordinaten von P^ 419 

§ 8. Übertragung geographischer Koordinaten (Fig. 39 u. 40) 421 

§ 9. Fortsetzung: Meridiankonvergenz 426 

§ 10. Fortsetzung: Breitendifferenz 427 

§ 11. Fortsetzung: Zusammenstellung der Formeln zur Übertragung geo- 
graphischer Koordinaten 431 

§ 12. Foitsetzung: Berechnung von x, y und a^ ^ aus s und a^ ^ * • • ^^^ 

§ 13. Zahlenbeispiel I 433 

§ 14. Fortsetzunff 436 

§15. Rechtwinklige Koordinaten, Entfernung und Azimute aus geo- 
graphischen Positionen 440 

§ 16. Foitsetzung: Meridiankonvergenz u. s. f. 444 



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Inhalts veneicbnia. Xni 

Seite. 

§ 17. BecMvnnklige Koordinaten, Entfernung und Azimute aus geographischen 

Bosüi€men 447 

§ 18. Zahlenbeispiel I 448 

§ 19. Übeitragnog geographischer Koordinaten durch Dreiecksseiten . . . 451 

§ 20. Fortsetzung 462 

§21. Beihenentwicklung für X^ 2 , ^ und F — 5, 465 

§ 22. Znsammenstellung: Formeln zur Übertragung geographischer Koor- 
dinaten durch Dreiecksseiten 456 

I 23. Rechtwinklige Koordinaten, Distanz und Azimute aus geographischen 

Koordinaten fflr Entfernungen von der Ordnung der Dreiecksseiten. 459 

§ 24. Fortsetzung 461 

§ 25. Zusammenstellung: Rechtwinklige Koordinaten u. s. /*. aus geo- 
graphischen Positionen für Entfernungen von der Ordnung der 

Dreiecksseiten 468 

§ 26. Zahlenbeispiel VI 464 

§ 27. Fortsetzung 467 

§ 28. Zahlenbeispiel VII 468 

§ 29. Zahlenbeispiel II 470 

§ 30. Porteetzung 472 

10. EapiteL Bereclmnng kleiner Fignren auf dem Rotationsellipsoid 
mittelst Projektion anf eine Ebene. 

§ 1. Verschiedene Umformungen der Formeln für rechtwinklige sphärische 

Koordinaten 474 

§ 2. Ebene Projektionen 477 

§ 3. Zusammenstellung der Formeln für die ebene Projektion 480 

§ 4. Berechnung der ebenen Koordinaten aus geographischen Positionen 

und umgekehrt 483 

§ 5. Allgemeine Bemerkungen zur Methode der ebenen Projektion . . . 484 

11. Kapitel. Die Bereclinnngsarbeiten f&r eine Landesvermessung. 

§ 1. Die Bedeutung geographischer Koordinaten 485 

§ 2. Vorläufige Berechnungen 486 

§ 3. Redaktion der Basis auf einen Normalhorizont 487 

§ 4. Bednktion der gemessenen Winkel und Richtungen 488 

§ 5. Berechnung der sphärischen Excesse der Dreiecke 489 

§ 6. Ausgleichung 490 

§ 7. Berechnung geographischer Koordinaten 492 

I 8. Einschaltung von Punkten in das Netz 1. Ordnung 492 

§ 9. Landeshorizont 494 

§ 10. Die Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen 495 

§ 11. Gleichung für Azimut- und Basismessungen 499 

§ 12. Einzelheiten 601 

§ 13. Summarische Berechnung von [XX«/] 504 

§ 14. Fortaetzung 508 

§ 15. Mittlerer Fehler der Gewichtseinheit; allgemeine Bemerkungen . . 511 

12. Kapitel. Messungen a«f der physischen Erdoberfläche nnd 
nähemngsweise Bestimmung einzelner Teile des Geoids. 

§ 1. Eeferenzellipsoid und Lotabweichung 512 

I 2. Eeduktion der Horizontalwinkel (Fig. 41) 514 

§ 3. Reduktion der Azimute, geographischen Breiten und Längen ... 517 
§ 4. Reduktion der Zenithdistanzen; trigonometrische Höhenmessung 

(Fig. 42) 518 

§ 5. Die Reduktion der Basis eines Dreiecksnetzes (Fig. 43) 521 

§ 6. Erste Annäherung bei der Berechnung eines Dreiecksnetzes .... 524 

§ 7. Einfluis der Lotabweichungen auf die Ergebnisse für ein Dreiecksnetz. 526 

§ 8. Einflufs zufälliger Fehler 528 

$ 9. Yergleichung, Zeitpunkt der Gesamtausgleichung u. a 531 



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XIV InhalteTorzeichnifl. 

Seite. 

$10. Die Berechnung der Lotabweichnngen 538 

§ 11. Einflufs der Lotabweichnngen anf die geodätisch ermittelten geo- 
graphischen Koordinaten: Formeln zur Berechnung der Lotab- 
weichnngen 534 

§ 12. Genauigkeit der berechneten relativen Lotabweichnngen 538 

§ 13. Die Ansfahrung der Rechnung 541 

§ 14. 1. Fall praktisdier Bestimmung der Lotabweichung 543 

§ 15. 2. Fall praktischer Bestimmung der Lotabweichung 546 

§16. 2. Fall, FortsetKung: Näherungsweise Ausgleichung nach vermittelnden 

Beobachtungen 551 

§ 17. Modifikation des 2. Falles für das europäische Dreiecksnetz .... 552 

§ 18. Strenge Ausgleichung des europäischen Dreiecksnetzes 556 

§ 19. 3. FaU der Bestimmung von Lotabweichungen: Jede Station des 

Dreiecksnetzes ist auch astronomische Station 560 

§ 20. Referenzellipsoid von günstigsten Dimensionen 562 

§ 21. 1. Annäherung zur Bestimmung des Geoids 564 

§ 22. Zahlenbeispiei: Lotabweichungen im Harze (Fig. 44 u. 45) . . . . 568 

§ 23. Lotabweichungen in der Alpengegend (Fig. 46) 571 

§ 24. Anwendung der Rechnung auf die Bestimmung des Sphäroids . . . 573 

§ 25. Fortsetzung 577 

§ 26. Zahlenbeispiel •. • • • ^^8 

§ 27. Fortsetzung des Zahlenbeispiels .' . . . 580 

§ 28. Historische Notizen zur Entwicklung der Theorie der Lotabweichungen. 585 

13. Kapitel Bestimmung des Erdellipsoids ans Oradmessnngen. 

§ 1. Vorbemerkungen 587 

§ 2. Zwei Breitengradmessungen 587 

§ 3. Reduktion auf den Abstand der Parallelen 590 

§ 4. Mehrere Breitengradmessungen 591 

§ 5. Fortsetzunff: Ausgleichung . 595 

§ 6. Längengradmessungen 599 

§ 7. Azimutmessungen 602 

§ 8. Gradmessung schief zum Meridian 604 

§ 9. Berechnung des Erdellipsoids aus Gradmessungen im allgemeinen . 607 
§ 10. Unzulänglichkeit der Gradmessungen für die genaue Bestimmung des 

Erdellipsoids 608 

§ 11. Genauigkeitsgrad 609 

§ 12. Beweiskraft der Gradmessungen für die Existenz der näherungsweise 

rotationsellipsoidischen Gestalt des Geoids 611 

§ 13. Fortsetzung: Breitengradmessungen 620 

Tafel von log W auf 10 Decimalen für J5 = 47 bis 57<» 623 

Tafel von log W und log w auf 8 Decimalen fclr JB = bis 90^ . . 625 



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Beriehtignngen. 

S. 8 Z. 23 Y. 0. Bind die Worte mit anderen vor paarweise einzuschalten. 

S. 28 Z. 10 nnd 11 y. n. ist x in den Quotienten zu streichen. 

S. 65 Z. 11 y. u. ist § 17 anstatt § 18 zu lesen. 

S. 93 Z. 3 y. u. ist sin B anstatt sin : B zu lesen. 

S. 115 Z. 7 V. o. lies y^ anstatt^. 

S. 116 Formel (3) lies rji^ anstatt ??'. • 

S. 173 2 Z. rechts fehlt im Zähler vor ll das Minuszeichen. 

S. 191 2 Z. 0. fehlt am Anfange das Wörtchen dafs, 

S. 192 (9) fehlt rechter Hand -f G^Z,. 

S. 206 (8) ist in der ersten eckigen Parenthese der Zähler 5 im Bruche - aus- 
gefallen. 

S. 267 inmitten ist zu lesen y^y^' ^=» sin /itp ^«^ 2- 

S. 277 (8) ist der Faktor Oj yor djßr geschlungenen Parenthese zu tilgen nnd an 
der 1. runden Parenthese wieder anzubringen. 

S. 287 (11) ist die untere Integralgrenze «Pi. 

S. 338 Z. 8 y. o. fehlt an P der Index n. 

S. 356 (14) lies 6&>c' anstatt eb^c^. 

S. 378 inmitten ist 3,9675889.6 in eine eckige, den Logarithmus anzeigende 
Parenthese einzuschliefsen. 

S. 383 Z. 9 y. o. lies sin 2^^ anstatt sin'^i. 

S. 386 Z. 15 y. o. lies b cos ;3(^ anstatt b cos ;3(^. 

S. 387 (21) lies ± anstatt +. 

S. 437 2. Z. y. o. lies m' anstatt m*. 

S. 461 ist in (1), (2) und (3) W^* für W^* zu setzen. 

S. 472 lies Z. 6 und 7 rechter Hand: 27,24" 0,454' 0,34'. 

S. 482 ist die Nummer (5) eine Zeile höher zu rücken. 

S. 496 (3) ist cos JBj^ anstatt cos B zu lesen. 

S. 522 Anm. ist gleichmäisiges Gefälle des Profils Pj P, yorausgesetzt. 

S. 579 u. 581 ist in den Fehlergleichungen f^r Xi^ l^, , . . zu setzen li—Xa, 
X^ — Xoy . . . imd demgemäß (naoh Ansgleichungsrechnung S. 143) die 
Bildung der Normalgleichungen abzuändern, falls auch für die Münchener 
Lotrichtimg eine interpolatorische Abweichung zulässig erscheint. 



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Einleitung. 



Helmert, mathem. a. physikat. Theorieen der höh. Oeodisie. 



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1. Kapitel. 
Gegenstand der Geodäsie. 

§ 1. Die Geodäsie ist die Wissenschaft von der Ausmessung 
und Abbildung der Erdoberfläche. 

Die Erdoberfläche hat näherungsweise die Gestalt einer Kugel 
von 6370^ Radius. Die Abweichungen von der Kugelform halten 
sich völlig innerhalb y^ Prozent in radialer Richtung, indem die 
Differenz zwischen dem grofsten und kleinsten Abstand der Oberfläche 
vom Schwerpunkt der Erde noch nicht den Betrag von 32^ erreicht. 
Die Abweichungen sind also in manchen Fällen; wo die Erde als 
Ganzes aufgefafst wird, verschwindend klein, wie z. B. bei einer 
räunalich biHlichen Darstellung der Erde als Globus. 

Andrerseits sind gerade sie ein wesentliches Objekt der Messungen. 
Dabei kommt in betracht, dafs der unmittelbar sichtbare Teil der 
Abweichungen: Berg und Thal, wegen seines verwickelten Bildungs- 
gesetzes als regellos behandelt werden mufs. Weil aber ein Schlufs 
von einzelnen Teilen auf das Ganze nur bei regelmäfsiger Beschaffen- 
heit möglich ist, so mufs überall da, wo die Gestalt der physischen 
Erdoberfläche im Detail erkannt werden soll, sie direkt durch Messungen 
bestimmt werden. 

Dafs wir nun gleichwohl auch Kenntnisse über die Erdgestalt 
im allgemeinen erlangt haben, trotzdem die Erdoberfläche nicht überall 
zugänglich ist, wurde ermöglicht durch die Existenz eines in erster 
Annäherung sehr einfachen Bildungsgesetzes der Gestalt des gesamten 
Erdkorpers: eines Bildungsgesetzes, dessen Faktoren die Gravitation 
der Massenteile und die durch die Rotation um eine Axe erzeugte 
Zentrifugalkraft sind. 

§ 2. Ansmessnng kleiner Teile der Erdoberfläche. Die Auf- 
nahme irgend eines Flächenstücks ist eine relativ vollständige, wenn 
man die räumlichen Koordinaten von so vielen Punkten desselben er- 
mittelt hat, als zur Herstellung eines für einen bestimmten Zweck 
ausreichend genauen Bildes erforderlich sind. Die Punkte sind als 
charaJcteristische auszuwählen d. h. als solche, zwischen denen die 
Linien- und Flächenelemente hinreichend gerade bezw. eben sind. 



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4 1. Kapitel. Gegenstand der Geodäsie. 

Auf eine Eoordinatenrichtung ist man durch die Richtung der 
Schwerkraft, derjenigen Kraft, die sich als Resultante der obengenannten 
Kräfte ergiebt, hingewiesen; denn der Umstand, dafs der Schwerpunkt 
eines in einem Punkte ruhend aufgehängten Körpers stets in Richtung 
der Schwerkraft unterhalb des Aufhängepunktes liegt, und dafs femer 
ein ruhender Flüssigkeitsspiegel sich immer rechtwinklig zur Richtung 
der Schwerkraft stellt, gestattet geodätische Mefsinstrumente gegen 
diese Hauptrichtung zu orientieren. Dieselbe wird kurz als Lot- 
richtung oder vertikale Richtung bezeichnet, eine Normale zu ihr als 
horizontale Richtung und der geometrische Ort aller Horizontalen eines 
Punktes als seine Horizontalebene. 

Die Lotrichtungen verschiedener Punkte konvergieren näherungs- 
weise nach dem Erdschwerpunkte; sie sind also nicht parallel. Nichts- 
destoweniger darf man für hinlänglich benachbarte Punkte ihnen diese 
Eigenschaft beilegen, weil alsdaiin wegen des grofsen Abstandes des 
Schwerpunktes der Erde von ihrer Oberfläche die Konvergenz gering 
ist. Selbstverständlich mufs untersucht werden, wann die Konvergenz 
der Lotrichtungen vernachlässigt werden darf. 

Sehen wir die Lotrichtungen der charakteristischen Punkte eines 
Teiles der Erdoberfläche als parallel an, so projicieren #ie dieselben 
zu identischen Figuren auf beliebig über einander liegende Horizontal- 
ebenen. In Bezug auf die Horieontalprojektum ist daher die Wahl 
der als Projektionsebene gedachten Horizontalebene gleichgültig. 
Dagegen hängen die Yertikalabstände, die Höhen über dem angenom- 
menen Horizont, davon ab. 

■ Horizontalprojektion und Höhen genügen völlig ziir Beantwortung 
aller Fragen über die Figur des Terrains. Man kann aus ihnen 
nicht nur die wirklichen Entfernungen und Flächen ableiten — im 
Gegensatz zu den horizontalen, in der Projektion gemessenen, schiefe 
genannt -— man erhält auch bequem nächst den Höhenunterschieden 
die Gefälle der Linienelemente des Terrains. Diese Gröfsen sind so 
bedeutungsvoll, dafs eine Aufnahme, welche die Figur des Terrains 
ohne Bezug zur Richtung des Lotes gäbe, schon darum geringe Be- 
deutung hätte. Gerade die Existenz dieser fundamentalen Richtung 
erleichtert aber die Aufnahme sehr, wie man erkennt, wenn man diese 
letztere obiie ihre Mitwirkung ausführen will. 

lü Jer Horizontalprojektion fehlt leider eine fixe, mit immer 
liiTureichender Genauigkeit rasch herzustellende Richtung; eine fun- 
damentale Richtung ist zwar als Nordsüdrichtang vorhanden, aber 
man kann eie meist mit erforderlicher Schärfe nur durch zeitraubende 
si^trononiisclie Messungen erlangen, so dafs man in der Regel auf ihre 
Lintuittelbare Benutzung verzichtet. Immerhin ist die direkte Bezug- 



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§ 3. Aufnahme im grolsen. 5 

nähme auf diese Richtung in einigen Fällen vorteilhaft, ja unent- 
behrlich, wobei die Magnetnadel dazu dient, die Beziehung herzustellen. 
Die Art und Weise, in welcher die soeben ganz im allgemeinen 
besprochenen Auftiahmen ausgeführt werden, ausführlich wissen- 
schaftlich zu beschreiben, ist Gegenstand der niedem Geodäsie (Feld- 
messen und Nivellieren). 

§ 3. Aufnahme im grofsen. Projiciert man die Punkte eines 
beliebig grofsen Teils der Erdoberfläche auf eine Fläche, die überall 
zur projicierenden Linie normal steht, so zeigt sich im Vergleiche zu 
§ 2 zweierleL 

1. Folgt man der Lotrichtung eines Pupktes, so hört sie mit 
Verlassen desselben streng genommen im allgemeinen sofort auf, Lot- 
richtung zu sein. Es ändert sich vielmehr die Lotrichtung von Ort 
zu Ort und ein beweglicher Punkt, der in jedem Augenblick der- 
jenigen Lotrichtung folgt, die seiner jedesmaligen Lage entspricht, 
beschreibt eine schwach gekrümmte Linie: die Lotlinie (Kraftlinie). 
Hiemach ist in jedem Punkte der Lotlinie die Tangente Lotrichtung. 

2. An Stelle der Horizontalebene, auf welche projiciert wurde, 
tritt eine krumme Fläche, welche die Lotlinien normal schneidet: eine 
Niveaufläche, 

Besonders hervorzuheben unter den Niveauflächen ist die Meeres- 
fläche, welche man sich aber hierbei nur der Schwerkraft der Erde 
unterworfen und also ruhend denkt, so dafs von der Bewegung durch 
Ebbe und Flut, durch Winde und andere, Meeresströmungen erzeugende 
Ursachen abgesehen wird. Diese ideelle Meeresfläche würde den 
sichtbaren Teil einer Niveaufläche bilden. Man nennt sie die tnathe" 
matische Erdoberfläche oder (nach Listing 1872) das Geoid, im Gegen- 
satz zur reellen, der physischen Erdoberfläche. Durch ein System 
von Kanälen, die von der Meeresküste aus ins Innere der Kontinente 
geführt würden, konnte man sich auch dort das Geoid sichtbar ge- 
macht denken.*) Die ruhenden Spiegel der Teiche und Seeen sind 
dagegen in der Regel Teile anderer Niveauflächen. 

Denken wir uns nunmehr die Lotlinien als projicierende Linien, 
so ist jetzt im Gegensatz zu § 2 die Auswahl einer bestimmten 
Niveaufläche als Projektionsfläche notwendig, weil die Projektionen 
auf verschiedene Niveauflächen nicht identisch sind und namentlich in 



*) Hierbei ist yorausgeaetzt, dafs die mathematiche Erdoberfläche eine 
kngelartig geschloesene Fläche ist. In der That pflegen wir die Möglichkeit 
der Tracierung von Kanälen quer durch die Kontinente (abgesehen von technischen 
Schwierigkeiten) fflr selbstverständlich zu halten. Die wissenschaftliche Er- 
Ortenmg dieser Frage mufs aber dem zweiten, physikalischen Teil des Buches 
vorbehalten bleiben. 



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6 1. Kapitel. Gegenstand der Geodäsie. 

der Gröfse sich unterscheiden. Fafst man insbesondere zwei Niveau- 
flächen ins Auge, die von zwei benachbarten Punkten qiner Lotlinie 
ausgehen, so bilden beide geschlossene, näherungsweise parallele Flächen; 
die sich nicht schneiden, sondern von denen die eine die andre voll- 
ständig umschliefst. Im allgemeinen hat hiernach die Projektion auf 
die höher gelegene Niveaufläche den gröfsem Inhalt. 

Betrachten wir die Niveauflächen als konzentrische Kugelflächen, 
so sind die Projektionen einander ähnliche Figuren, deren Seiten im 

Verhältnis (>:((> + h) oder 1 : (1 ^ — ) stehen, wenn q den innem 

Kugelradius und h den Abstand beider Flächen bezeichnen. Das Ver- 
hältnis der Flächen ist 

9*:(p + Ä)«oder l : (l + y) 

genähert. Die horizontale Entfernung zweier Punkte ist ein Kreis- 
bogen, dessen Länge von der Höhenlage der Niveaufläche abhängt. 

Nach dem Vorstehenden würde eine vollständige Aufnahme der 
physischen Erdoberfläche bewirkt werden können durch die Bestimmung 
ihrer Projektion auf eine ihrer Gestalt nach bekannte Niveaufläche 
nebst den Abständen der projicierten Punkte von der letztern, ge- 
messen in den Lotlinien. In der Praxis modificiert sich dies etwas. 

Die höhere Geodäsie lehrt die Methoden zur Ermittlung der 
Gestalt der Niveauflächen und die Aufnahme beliebig grofser Teile 
der Erdoberfläche durch Horizontalprojektion und Höhen mit Rücksicht 
auf die Gestalt der Niveauflächen. 

Die Lösung der erstgenannten Aufgabe ist durch die Thatsache 
erleichtert worden, dafs den Niveauflächen in grofser Annäherung 
die Gestalt eines an den Polen schwach abgeplatteten Rotations- 
ellipsoids zukommt« Hierdurch wurde es möglich, aus Messungen an 
einer beschränkten Anzahl Orten eine genäherte Kenntnis zu erlangen 
— die genaue Lösung erfordert dagegen ein fast ähnlich detailliertes 
Studium, wie es für die physische Erdoberfläche nötig ist und da 
r^ der letzteren Meer und nur -^ Land sind, so ist dieses Studium 
nur für die kleinere Hälfte der Erdoberfläche durchführbar, aber 
auch für diese kaum begonnen. 

Das genannte EUipsoid legt man auch bei der 2. Aufgabe zu 
Grunde, nicht nur, weil die genaue Gestalt der Niveauflächen in der 
Regel unbekannt bleibt, sondern auch wegen des einfachem Kalküls. 

§ 4. Geographische Begriffe, die vob der Gestalt der INivean- 
flächen unabhängig sind. Obgleich wir hier die Lehren der mathe- 
matischen Geographie und niedem Geodäsie voraussetzen, so ist es 
doch notwendig, einige im Folgenden erforderliche Begriffe, soweit 



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§ 5. Geographische Begriffe für ein RotaüonsellipBoid. 7 

nicht schon geschehen, mit Berücksichtigung der wirklichen Gestalt 
der Niveauflächen scharf zu fassen und zusammenzustellen. 

Als unmittelbar gegeben treten die Lotrichtungen und die 
Botationsaxe der Erde, die Erdaxe, auf. Diese enthält, wie später zu 
erläutern vorbehalten bleibt, den Erdschwerpunkt, in welchem die 
Äquatorebene normal zu ihr steht, und sie schneidet die Oberfläche 
und jede Niveaufläche in einem Nordpol und Südpol. 

An einem Punkte, wo sich astronomische Beobachtungen anstellen 
lassen, kann aufser der Lotrichtung auch die Richtung nach dem- 
jenigen Himmelspole angegeben werden, der über der Horizontal- 
ebene des Punktes liegt. Da der Himmelspol nichts anderes ist, als 
derjenige Punkt des scheinbaren Himmelsgewölbes, der durch die 
tagliche Rotation keine Ortsveränderung erleidet, so ist er der un- 
endlich entfernte Punkt der Erdaxe und die Richtung nach ihm 
parallel zur Erdaxe. Die Ebene durch diese Parallele und die Lot- 
richtüng heifst die Meridianebene des Punktes. 

Sie schneidet die Horizontalebene in der Nordsüdlinie, zu welcher 
die Ostwestlinie rechtwinklig gezogen wird. Von oben gesehen ist 
die Reihenfolge der 4 Himmelsrichtungen im Sinne der Bewegung 
des Uhrzeigers Nord, Ost, Süd, West (nach Übereinkunft der Meteoro- 
logen mit N, JE, S, W zu bezeichnen). 

Das astronomisclie Azimut einer Vertikalebene ist ihr Winkel mit 
der Meridianebene; er wird also in der Horizontalebene gemessen 
und zwar von der Meridianebene aus südwestlich oder nordöstlich. 

Die geographische Breite eines Punktes ist der Winkel zwischen 
der Lotrichtung des Punktes und der Äquatorebene; die geographische 
Länge derjenige zwischen der Meridianebene des Punktes und einer 
als Ausgang der Zählung angenommenen Meridianebene. Die Breiten 
zählt man nördlich und südlich oder positiv und negativ bis 90®; 
die Längen westlich oder östlich bis 180® oder auch bis 360®, wobei 
in der Wissenschaft der Astronomie und Geodäsie meist der Meridian 
(eines markierten Punktes) der Sternwarten zu Greenwich bei London 
oder zu Paris als Ausgang der Zählung dient. 

§ 5. Geographische Begriffe für ein Botationsellipsoid. 
Nehmen wir an, dafs sowohl die mathematische als auch die physische 
Erdoberfläche ein abgeplattetes Rotationsellipsoid bilden, so schneidet 
die Lotrichtung jedes Oberflächenpunktes die Erdaxe; demnach wird 
diese die gemeinsame Durchschnittslinie aller Meridianebenen, und alle 
Punkte gleicher geographischer Länge liegen in ein imd derselben 
Meridianebene und bilden die als geographischer Meridian benannte 
ebenfe, durch beide Pole führende Kurve. 

Auch alle Punkte gleicher geographischer Breite liegen auf einer 



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8 1. Kapitel. Gegenstand der Geodäsie. 

ebenen Kurve, deren Ebene parallel zur Äquatorebene ist; sie heifst 
geographischer Parallelkreis , bei null Grad Breite insbesondere geo- 
graphischer Äquator. 

Als Abplattung bezeichnet man das Verhältnis des Unterschieds 
des äquatorialen und polaren Durchmessers zu dem äquatorialen 
Durchmesser. 

§ 6. Oeographisclie Begriffe für den thatsilclilicheii Zustand, 

In Wirklichkeit liegt ein Punkt der physischen Erdoberfläche im all- 
gemeinen nicht auch auf der mathematischen Erdoberfläche und diese 
weicht vom Rotationsellipsoid etwas ab. 

Der Abstand eines Punktes vom Geoid, gemessen in der Lot- 
linie, heifst MeereshöJie. Diese ist hiernach nicht die Länge einer 
geraden, sondern krummen Linie; indefs ist diese Krümmung so 
gering, dafs sie nur bei den feinsten Untersuchungen Bedeutung er- 
langt. Sie bewirkt, da die Niveauflächen die Lotlinien normal schneiden, 
eine Abweichung der Niveauflächen vom Parallelismus. 

Die Lotrichtung irgend eines Punktes schneidet in der Regel 
die Erdaxe nicht; daher laufen die Meridianebenen im allgemeinen 
nur parallel zur Erdaxe, ohne sie zu enthalten. Der Abstand ist 
jedoch stets gering. Hiernach besitzen nun Punkte gleicher geo- 
graphischer Länge ebenfalls Meridianebenen, die im allgemeinen nicht 
zusammenfallen, sondern einander in kleinen Abständen parallel laufen 
und die sich, wie überhaupt alle Meridianebenen, paarweise in zur 
Erdaxe parallelen Linien schneiden. 

Der geographische Meridian^ welcher Punkte gleicher geographischer 
Länge auf der Geoidfläche verbindet, ist im allgemeinen eine Kurve 
doppelter Krümmung.*) Dies gilt auch vom geographischen Parallel und 
geographischen Äquator. Nur näherimgsweise läfst sich durch diese 
Kurven eine Ebene legen. Müssen wir also mit den letztgenannten 
geographischen Begriffen bei strenger Auffassung andere räumliche 
Vorstellungen verbinden, als man es meist gewöhnt ist, so ändert 
sich doch nichts an den entsprechenden Begriffen für das scheinbare 
Himmelsgevirölbe, wenn wir darunter eine die Erde umschliefsende 
Kugel von unendlichgrofsem Radius verstehen. Die cölestischen 
Meridiane und Parallelkreise sind jedenfalls ebene Kurven und zwar 
Kreise im eigentlichen Sinne des Wortö. 

Die Begriffe für den thatsuchlichen Zustand entwickelte bereits 1860 General 
von Schubert im 62. Band der Astronomischen Nachrichten No. 1245 S. 321. 



*) Wäre das Geoid ein abgeplattetes Rotationsellipsoid mit zur Erdaxe schief- 
liegender kleiner Axe, so würden die geographischen Meridiane auch ebene Kurven 
sein. (Vergleiche Fergola, Sulla Posizione delV Asse di Eotazione etc. oder das 
Beferat in der Yierteljabrsschrift der Astronomischen Gesellschaft 1876 S. 94.) 



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§ 7. GeozentriBche Breite, L&nge und Radiusvektor. § 8. Koordinatensysteme. 9 

Man yergleiche auch die Entwicklungen von Laplace, Mecanique Celeste t. II 
L III p. 109 u. 8. w. für eine nahezu kugelförmige aber sonst beliebige Meeres- 
fläche (publiziert im Jahr 1799). 

§ 7. GeozeBtrisehe Breite^ Länge und Radiusvektor. Legt 
man durch die Verbindungslinie eines Punktes der Erde mit deren 
Schwerpunkt, also durch den Radiusvektor des Punktes, eine die Erd- 
axe enthaltende Ebene, so ist die geozentrische Länge der Winkel 
dieser Ebene mit einer andern Ebene durch die Erdaxe, die als Aus- 
gang der Zählung dient; die geozentrisclte oder verbesserte Breite aber 
ist der Neigungswinkel des Radiusvektors zur Aquatorebene. 

Die geozentrische Breite ist im Maximum nur etwa liy^ Min. 
kleiner als die geographische; noch weit kleiner ist*) der Unterschied 
der geozentrischen und geographischen Längen, welcher nur von den 
Abweichungen des Geoids von einer Rotationsfläche abhängt, während 
der ersterwähnte namentlich aus der an den Polen abgeplatteten 
Gestalt hervorgeht. 

Der Radiusvektor der Geoidfläche ist im allgemeinen für den 
Äquator am grofsten und verjüngt sich nach den Polen allmählich 
um circa y^^j. Der Radiusvektor der physischen Erdoberfläche ist 
näherungsweise um die Meereshöhe von dem gleichgerichteten Radius- 
vektor des Geoids verschieden; genauer (jedoch noch nicht ganz streng) 
ist der Unterschied gleich Meereshöhe mal Sekante des Winkels 
zwischen Lotrichtung und Radiusvektor. Man bemerkt aber leicht, 
dafs hiermit selbst für 10000" Höhe nur Centimeter gewonnen werden, 
weil der Cosinus von liy^ Minute von der Einheit nur um t^uVttit 
abweicht. 

§ 8. Koordinatensysteme. Zur gegenseitigen Beziehung der 
Punkte der Erdoberfläche bieten sich nach dem Yorheigehenden drei 
Wege. 

Geozentrische Breite und Länge und der Radiusvektor bilden 
ein für asironomiscJie Zwecke wichtiges System; geographische Breite 
und Länge und die Meereshöhe eignen sich zur Beschreibung der 
gegenseitigen Lage irgend zweier Punkte und bilden so recht eigent- 
lich die geographischen Koordinaten; die Elemente des geodätischen 
Koordinatensystems sind Höhen und Horizontalprojektion in Bezug 
auf eine Niveaufläche, mit Anwendung geometrischer Koordinaten in 
dieser letzteren, welche unter andern als rechtwinklige Koordinaten 
oder Polarkoordinaten für die Ebene allgemein geläufig sind. Die 
höhere Geodäsie bedient sich zur Lösung ihrer Aufgaben namentlich 
direkter Bestimmungen geodätischer und geographischer Koordinaten. 



*) Abgeeehea von Punkten in der Nähe der Pole. 



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10 2. Kapitel. Hißtor. Entwickl. d. KcnntDisse v. d. mathem. Erdoberfläche. 



2. Kapitel. 

Historische Entwicklung der Kenntnisse von der 
mathematischen Erdoherfläche. 

§ 1. Historische Notizen Ms zur Zeit Newtons. Schon im 
Altertume konnte den seefahrenden Nationen dia Krümmung des 
Meeresspiegels nicht unbemerkt bleiben, womit der erste Schritt zur 
Annahme der Kugelgestalt geschehen war. Bei den Griechen taucht 
die Kenntnis von dieser Annäherungsform für die Erdoberfläche vor 
etwa zwei und ein halb Jahrtausenden auf; Aristoteles stellt bereits 
die beweisenden Erfahrungen zusammen. Soviel bekannt gelangte 
aber erst (um 220 vor Chr.) der alexandrinische Gelehrte EratostJienes 
zu einem wissenschaftlich begründeten Wert für den Umfang (und 
damit für den Krümmungsradius) der als Kugel betrachteten Erde; 
er berechnete ihn aus der geschätzten horizontalen Entfernung von 
Alexandria und Syene, und der astronomisch bestimmten Konvergenz 
der Lotrichtungen an den Endpunkten der Strecke, schlofs also von 
Kreisbogen und Zentriwinkel auf den Umfang oder Radius des Kreises. 

Die folgenden achtzehn Jahrhunderte brachten keinen bemerkens- 
werten Fortschritt, wenn auch durch einige der wenigen nachfolgenden 
Messungen in diesem Zeiträume die Sicherheit des von Eratosthenes 
erhaltenen Wertes weit übertroiBFen worden ist. Die Einsicht; dafs 
die Kugelform nur eine rohe Annäherung und durch die Form des 
schwach abgeplatteten Rotationsellipsoids als einer weit besseren An- 
näherung zu ersetzen sei, brachte* erst das siebzehnte Jahrhundert 
unter dem Einflufs von Cqpemiais*, Galileis^ Keplers, Huygens' und 
Newtons reformatorischen Lehren. Was diese Männer leisteten und 
schufen, dürfte im allgemeinen dem L^ser bekannt sein; hier ist nur 
an das, was die Geodäsie speziell betrifft, zu erinnern. 

So heben wir hervor, dafs Copemicus in Verbindung mit der 
Aufstellung seines Planetensystems (1543) auch auf die Notwendig- 
keit der Annahme eines täglichen Umschwunges der Erde hinwies. 

Zu beinahe denselben Anschauungen war zwar schon, ohne dafs 
hiervon Copemicus Kenntnis gehabt zu halben scheint, (um 270 vor Chr.) 
der Grieche Aristarch gelangt. Aber Aristarchs Lehre blieb ohne 
Einflufs: denn die Astronomie konnte sich eben noch lange mit 
Theorieen behelfen, die dem Augenschein besser als jene entsprachen. 
Erst nach fast zwei Jahrtausenden lernte man die Vereinfachungen 
schätzen, welche sie der theoretischen Astronomie gab. Ein Kepler 
und GcUilei nahmen die Lehre jetzt auf und während der eine sie 



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§ 1. Hietorische Notizen bis zur Zeit Newtons. 11 

direkt mit Benutzung von Tydio Brakes langjährigen; sorgfaltigen 
Beobachtungen sowie älterer astronomischer Erfahrungen, die jene 
Jahrtausende zur Reife bedurften, weiter ausbildete {Aßtranatnia nova 
de motOms stdlae Mortis etc. 1609), stellte der andere die Gesetze 
der Fall- und Pendelbewegung fest (1602) und schuf dadurch die 
Grundlage einer Mechanik der Korper. 

Huygens untersuchte bereits das physikalische Pendel und die 
Zentralbewegung (1673) und erkannte auch den Einflufs der Schwer- 
kraft auf die Gestalt der Erde. Vollendet wurde die Reform durch 
Newtons Theorie der allgemeinen Gravitation (1666 gefunden, 1686 
in dem Werke: Phüosaphiae naturalis principia mathematica auf die 
Bewegung der Himmelskörper u. s. w. angewandt). 

SuygenSf der grofse Zeitgenosse Newtons, hatte bezüglich der 
Gravitation seine eignen Ansichten und trug Bedenken, Newtons 
Theorie zu acceptieren; er nahm an, dafs die Anziehungskraft der 
Erde nicht von ihren einzelnen Massentheilen, sondern gewissermafsen 
von einem Zentralpunkt ausgehe und beschränkte den Bereich ihrer 
Wirksamkeit auf die Erde selbst, während Newton blofs aus Vor- 
sicht wegen mangelnden Beweises die Gültigkeit des Gravitations- 
gesetzes nicht auch über das Sonnensystem hinaus ausdehnte.*) Die 
Verbindung der Anziehungskraft mit der Zentrifugalkraft (die er 
zuerst aufgefunden) zu einer Resultante normal zur Oberfläche führte 
nun Huygens unter Annahme von y^^ als Verhältnis der Schwung- 
kraft zur Schwere am Äquator zu ^4^^ als Abplattung, der Hälfte 
jenes Wertes (1688). 

Newton di^egen legte den Betrachtungen ein homogenes Ellipsoid 
zu Grunde, berücksichtigte die Anziehung aller Teile und fand als 
Abplattung ^^ unter Annahme derselben relativen Grofse der Zentri- 
fagalkraft (1686). Er bemerkte bereits, dafs die Abplattung kleiner 
werden müfste, falls die Dichte nach dem Zentrum zunähme, und wir 
wissen jetzt, dafs in der That das Rechte in der Mitte liegt, denn die 
Erddichte ist weder konstant, noch hat sie solche Grofse uud Richtung 
als wäre die ganze Masse in einem Punkte konzentriert; die Dichtig- 
keit wächst vielmehr von 2,6 an der Oberfläche bis ungefähr 11 im 
Zentrum (Durchschnitt 5,6). Immerhin genügten die theoretischen 
Betrachtungen von Huygens und Newton zur Erklärung der Erfahrung 
RicherSy welcher 1672 bei einer astronomischen Expedition von Paris 
nach Cayenne sich genötigt sah, das Pendel seiner astronomischen 
ühr, um vneder Sekundenschwingungen zu erhalten, 1% Linie zu ver- 
kürzen, was auf eine Verminderung der Schwerkraft gegen Paris 



*) Vergl. hieran: Isenkrahe, das Rätsel der Schwerkraft. 1879. S. 87 ff. 

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12 2. Kapitel. Hieior. Eniwickl. d. EenntniBse y. d. mathem. Erdoberfläche. 

hinwies. Allein obwohl er bei der Rückkehr wieder die erste Pendel- 
länge herstellen mufste; war man doch geneigt, Beobachtungsfehler 
oder lokale Verhältnisse als Grund zu vermuten. Denn auch neuen 
zustimmenden Beobachtungen, die in den nächsten zehn Jahren 
gemacht wurden, widersprachen wieder andere. Man konnte daher 
auf diesem Wege keine Bestätigung erwarten und die neuen Theorieen, 
diejenige von der Rotation der Erde nicht ausgeschlossen, bedurften 
derselben um so mehr, je eingreifender sie waren. Selbst die Ent- 
deckung der Axendrehung des Planeten Mars durch Huygens (1659) 
und die der Abplattung des Planeten Jupiter (y*^ ) durch (Jassini den 
Älteren (1666; 1691 publiziert) beseitigten die Zweifel nicht, weil 
direkte Bestimmungen der Erdkrümmung nach demselben Princip, 
das schon Eratosthenes anwandte, eine Verlängerung der Erde in 
Richtung ihrer Axe anzudeuten schienen. 

§ 2. Ton Newton bis Laplace. Setzt man voraus, dafs die 
Erde eine Eugel sei, so genügt eine einzelne Bestimmung des Krüm- 
mungsradius wenigstens vom theoretischen Standpunkte. Für die 
rotationsellipsoidische Gestalt aber sind zwei solche Messungen notig, 
weil die Ellipse von 2 Parametern abhängt. Nimmt man Meridian- 
bögen (wie schon Eratosthenes), so ist es am vorteilhaftesten, den 
einen thunlichst am Äquator, den andern möglichst nahe dem einen 
der Pole zu legen. Solche Messungen nun nennt man jetzt Breiten- 
gradmessungeti, welcher Gebrauch anscheinend aus dem 17. Jahrhundert 
stammt, aus der Zeit, wo man anfing die elliptische Gestalt zu imter- 
suchen und daher aus einer Messung nicht den ganzen Umfang 
der Erde, sondern nur etwa die Länge des elliptischen Bogens für 
P Breitendifferenz ableiten konnte. 

1669 begann der Astronom Ticard auf Veranlassung der 1666 
gegründeten Akademie der Wissenschaften eine Messung in Frankreich 
und bereits er vermutete Abweichungen von der Kugelgestalt. Seine 
Messung verdient zunächst darum hier Erwähnung, weil sie die erste 
derjenigen ist, bei welchen die zahlreichen und wichtigen Erfindungen 
des genannten Jahrhunderts auf dem Gebiete der Konstruktion mathe- 
matischer Instrumente (wir nennen Pendeluhren und Federuhren, Fem- 
rohr und Mikroskop, Rohrenlibelle, Veniier) Einflufs gewannen. Ins- 
besondere haben Picard und Azout das mit Fadenkreuz versehene 
Fernrohr zuerst bei den astronomischen und geodätischen Messungen 
benutzt. 

Aufserdem kam bei dieser Messung zum ersten Male die Methode 
der Triangulation zu gröfserer Verwendung, welche Methode der 
Niederländer Snellius um 1615 in die geodätische Praxis eingeführt 
hatte. Dieses Verfahren gestattete die Entfernung zweier Punkte 



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g 2. Von Newton bis Laplace. 13 

weit genauer indirekt zu finden, als mittelst bisher beliebter direkter 
Messungen^ indem man nämlich eine Reibe an einander hängender 
Dreiecke zwischen jene einschaltete^ die Winkel der Dreiecke und für 
eins der Dreiecke auch eine Seite mafs und daraus die unbekannte 
Entfernung berechnete. (Noch in den Jahren 1633 — 1635 mafs indes 
NoTwood mit Kette und Bussole, auf Wegen u. s. w., direkt einen 
circa 40 geographische Meilen langen Bogen von London bis York!) 

Die Yon Ficard begonnene Messung wurde ganz Frankreich 
durchsetzend in Unterbrechungen bis 1718 durch verschiedene Ge- 
lehrte fortgesetzt Das darüber von J. Cassini 1720 publizierte Werk 
zeigte nun, dafs innerhalb Frankreichs die gemessene Bogenlänge der 
Meridiangrade nach Norden etwas abnahm, was auf längliche (citronen- 
formige) Erdgestalt anstatt auf abgeplattete (orangenformige) hin- 
deutete. 

Der Widerspruch mit den Theorieen von Newton und Huygens 
wurde anfangs von einigen dazu benutzt, diese letzteren anzugreifen, 
weil man jene Messungen für sehr genau hielt. Sie waren auch weit 
genauer als die früherer Zeit, aber man erkannte doch bald, dafs 
immerhin die Beobachtungsfehler noch grofs genug sein konnten, 
um den Einflufs der Abplattung für einen so kleinen Abstand der 
Meridiangrade, wie ihn Messungen innerhalb Frankreichs nur auf- 
weisen, ganz zu verdecken. 

Die Sache entschied sich in einem den dynamischen Theorieen 
günstigen Sinne diirch die nunmehr von Frankreich aus unternom- 
menen Breitengradmessungen in Peru (1735—1743) und Lappland 
(1736—1737). Die erstere genauere von beiden gab mit dem revi- 
dierten französischen Bogen eine Abplattung gleich 7^7^. 

Seit dieser Zeit nun und besonders seit Ende des 18. Jahrhunderts 
sind zahlreiche Breitengradmessungen, mit immer mehr verfeinerten 
Hilfsmitteln ausgeführt worden. 

Auch Lmgengradmesstingmy bei denen je ein Parallelbogen geo- 
dätisch und die Längendifferenz astronomisch bestimmt werden, wurden 
versucht, doch begegnete man bei ihnen anfänglich Schwierigkeiten 
in Bezug auf die genaue und bequeme Ausführung der astronomischen 
Arbeiten, welche erst neuerdings durch die elektrische Telegraphie 
ganz gehoben worden sind. 

Zu der rein geometrischen Methode der Gradmessungen gesellten 
sich im Laufe des 18. Jahrhunderts durch die Ausbildung der Mechanik 
des Himmels noch andere Methoden zur Berechnung der Abplattung. 
Clairaut zeigte 1743, wie man mittels einer einfachen Formel aus 
dem unterschied der Schwerkraft am Äquator und an den Polen der 
Erde die Abplattung berechnen könne; dAlembert untersuchte (1749) 



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14 2. Kapitel. Histor. Entwickl. d. Kenntnisse V. d. mathem. Erdoberfläche. 

den Zusammenhang zwischen der Figur und Massenanordnung der 
von Mond und Sonne angezogenen Erde und der Bewegung der Erd- 
axe im Räume, welche einesteils sich als eine stetige Bewegung der 
Durchschnittslinie von Äquator und Ekliptik auf dieser äufsert (Präzes- 
sion der Tag- und Nachtgleichenpunkte, von Hipparch [150 vor Chr.] 
entdeckt), andernteils aber als kleine periodische Veränderungen der 
Lage der Himmelspole gegen die Fixsterne (Nutation, von Bradley 
entdeckt und 1748 publiziert) bemerkt wird; endlich wies Laplace 
am Schlüsse des Jahrhunderts auch in der Theorie des Mondlaufs 
diejenigen bereits empirisch gefundenen periodischen Glieder nach, 
welche von der Figur und Massenanordnung der Erde herrühren. 

Nach allen diesen Methoden leitete Laplace im 2. Teile seiner 
Himmelsmechanik die Abplattung der Erde ab (die Gröfse kann nur 
aus den Gradmessungen und etwa noch aus der Mondparallaxe in 
Verbindung mit Schweremessungen gefunden werden) und er erhielt 
in ziemlich guter Übereinstimmung dieselbe aus allen etwas kleiner 
als ^^, während jetzt alle diese Methoden, nachdem zahlreichere 
Beobachtungen vorliegen, auf einen nicht unerheblich gröfsem Wert 
hindeuten. 

Laplace konnte hierbei bereits eine grofsere Anzahl Breitengrad- 
messungen, sowie Pendelbeobachtungen verwerten und es gab ihm 
dies Veranlassung zu interessanten Lösungen des Problems der Aus- 
gleichung der Beobachtungsfehler, welche allerdings bald darnach 
durch die praktikablere Methode der kleinsten Quadrate ersetzt worden 
sind. Er bemerkte bei diesen Ausgleichungsrechnungen unzweifelhaft, 
dafs die mathematische Erdoberfläche nicht genau mit der Form des 
abgeplatteten Rotationsellipsoids übereinstimmt, weil die Übrigbleiben- 
den (berechneten) Fehler der Messungen — auch Azimutmessungen 
zeigten grofse Abweichungen •— bei weitem das zulässige Mafs von 
Beobachtungsfehlem überschritten, dafs aber immerhin diese Form 
eine gute Annäherung bietet. 

Eine eingehende Darstellung der geschichtlichen Entwicklung derTheorieen, 
sowie auch der Grad- und Pendelmessungen zum Teil, von Newton bis 
Laplace, giebt 
Todhunter, A History of the mathematical Theories of Attraction and the 
Fignre of the Earth. 2 Bde. in 8^ mit 476 und 508 S. London 1873. 
Nächstdem benutzten wir hauptsächlich noch: 
Mädler, Geschichte der Himmelskunde von der ältesten bis auf die neueste 

Zeit 2 Bde. in 8^. Braunschweig 1873. 
J2ud. Wolif, Handbuch der Mathematik, Physik, Geodäsie und Astronomie. 

2 Bde. in 8^ Zürich 1870 und 72. 
Laplace j Trait<§ de M^canique Celeste. Bd. 1 u. 2 in 4°. 1799. Insbesondere 
ist Buch 3 S. 126 if. und der Überblick Buch 6 S. 363—356 zu vergleichen, 
sowie in Bezug auf Laplaces Bemerkungen über die Ursache der Anomalieen 



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8 3. Das 19. Jahrhtmdert. 15 

Bncli 3 S. 139 fS. — Bd. 6 (1825) S. 2—22 giebt einen geschichtlichen Über- 
blick der dynamischen Untersnchnngen in Bezug auf Figur und Rotation 
der Erde. 
Zar Ergämfmg kann dienen: 

E. Mayer, Über die Gestalt und Gröfse der Erde; eine historisch geodätische 
Studie. Fiume 1876. 74 S. in 8^ mit einer Übersichtskarte (Separat- 
Abdruck aus den Mitteilungen im Gebiete des Seewesens). Preis 1,8 Mark. 

Ibggendor/f, Bibliographisch-litterarisches Handwörterbuch. 2 Bde. Leipeig 1863. 

§ 3. Das 19. Jahrhundert brachte^ weil man die Unzulänglich- 
keit der Bestimmung der Abplattung der Erde aus wenigen Grad- 
messungen erkannt hatte , schon m seiner ersten Hälfte eine gröfsere 
Anzahl solcher Operationen an yerschiedenen Orten der Erde. Nach 
Laplace war es namentlich Bessd, der (in kritischer Diskussion der 
Resultate der bis dahin ausgeführten Messungen) 1837 ein abgeplattetes 
Rotationsellipsoid ableitete ; welches er 1841 mit Bezug auf einen 
bekannt gewordenen Fehler einer der benutzten Gradmessungen ver- 
besserte. Als Abplattung fand er -^l-^. Verschiedene nachfolgende 
Berechnungen haben aber mit Zuziehung des immer mehr anwachsen- 
den Materials es wahrscheinlich gemacht^ dafs eine Yergröfserung 
dieses Wertes der Erde im ganzen besser entsprechen würde. Die 
Ansichten über das Mafs dieser Yergröfserung sind noch verschieden; 
viele sind geneigt, die Zahl ■^^, dieselbe Zahl, welche das Ver- 
hältnis von Zentrifugal- und Schwerkraft am Äquator ausdrückt, für 
die angemessenste zu halten, da sie namentlich zahlreiche Schwere- 
messungen gut befriedigt. 

Die Dimensionen, welche Bessd 1841 erhielt, sind jedenfalls 
eine noch immer sehr brauchbare Annäherung, deren man sich um so 
lieber vielfach bedient, als zahlreiche Tafeln für Funktionen der 
Dimensionen des Erdkörpers darnach berechnet sind. Wir kommen 
weiterhin auf sie zurück. 

Unter den neuem Berechnungen finden sich auch solche, welche 
versuchen, die Ergebnisse der Gradmessungen durch Annahme einer 
andern Hypothese als der des abgeplatteten Jlotationsellipsoids zu 
besserer Übereinstimmung zu bringen. Bowditch, ClarJce^ Paucker^ 
Ritter legten der Rechnung eine Rotationsfläche mit einem nicht 
elliptischen Meridianschnitt zu Grunde; Schubert und auch Clarke 
wiederum verfolgten die Hypothese des dreiaxigen Ellipsoids; neuer- 
dings endlich ging Fergöla von der Form eines abgeplatteten Rotations- 
ellipsoids mit zur Erdaxe schiefliegender kleiner Axe aus. Der Erfolg 
aller dieser Bemühungen ist als ein negativer zu bezeichnen, denn 
es gelang weder die Elemente solcher Körperformen mit hinlänglicher 
Sicherheit zu bestimmen, noch einen wesentlich bessern Anschlufs 
an die Beobachtungen zu erzielen. 



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16 2. Kapitel. Histor. Entwickl. d. Kenntnisse v. d. mathem. Erdoberfläche. 

Überdies ist man jetzt allgemein überzeugt, dafs Gradmessungen 
allein nicht genügen, um die Gestalt der mathematischen Erdober- 
fläche, im ganzen genommen, sicher zu erkennen*, namentlich weil 
sie nur auf dem Festlande ausgeführt werden können und weil dieses 
nur ^ der Oberfläche bedeckt. Glücklicher Weise lassen sich Schwere- 
messungen mit dem Pendel auch auf den zahlreichen Inseln des Oceans 
ausführen und wenn zur Zeit auch noch nicht eine alle Anforderungen 
befriedigende Anzahl solcher Messungen vorliegt, so genügen sie 
doch bereits dazu, die Wahrscheinlichkeit der Vermutung beträcht- 
lich zu yerstärken, dafs man im abgeplatteten Rotationsellipsoid*) 
eine gute Annäherung hat Sie zeigen nämlich, dafs das Geoid mit 
einem solchen bis auf Bruchteile des Radiusvektors von der Ordnung 
des Quadrats der Abplattung zusammenföUt und weder ein dreiaxiges 
Ellipsoid ist, noch einen erheblichen Unterschied der nordlichen 
und südlichen Hälfte aufweist. 

Die vorhandenen Abweichungen lassen sich durch Unregelmäfsig- 
keiten in der Massenlagerung der Erdrinde erklären und man ist bis 
jetzt auf eine unregelmäfsige Massenlagerung im Erdinnem nicht 
hingewiesen worden. Es treten mithin die Abweichungen entweder 
als lokale auf, als eine Folge der lokalen Terraingestaltung, der ver- 
schiedenen Gesteinsdichten und der Existenz unterirdischer Hohlräume; 
oder sie haben eine kontinentale Verbreitung, als eine Folge der 
Erhebung des Festlandes über das mittlere Niveau des Meeresgrundes 
und der Ungleichheit der Meerestiefen. 

Fafst man die Abweichungen gegen eine gewisse ideelle Massen- 
lagerung, welche ein sich dem Geoid anschliefsendes Rotations- 
ellipsoid ergeben würde, als positive und negative Störungen auf, 
so ist deren unmittelbar ersichtliche Wirkung eine positive oder 
negative Anziehung, die sich mit der normalen Schwere kombiniert 
und deren Richtung, die Lotrichtung des ideellen EUipsoids, in die 
reelle des Geoids überführt. Der Richtungsunterschied beider, die 
Lotablenkung y beträgt durchschnittlich einige Sekunden; in der Nähe 
von Bergen, Gebirgen und an den Meeresküsten steigert sie sich 
aber leicht auf 10'' und mehr, ohne indes einen Maximalwert von 
etwa ly,' zu überschreiten. 

Die weitere geometrische Eonsequenz der Lotablenkungen sind 
Erhebungen und Senkungen des Geoids gegen das Ellipsoid, welche 
indessen nach ihrem Gesamtbetrage sicherer aus Schweremessungen 

*) Manche Autoren bezeichnen dasselbe als Sphäroid; wir heben diesen Ans- 
druck aber znr Bezeichnung der nähernngsweise kugelförmigen Flächen im all- 
gemeinen auf und werden häufig, wo Yerwechslnng nicht möglich ist, das abge- 
plattete Rotationsellipsoid einfach Ellipsoid nennen. 



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§ 8. Das 19. Jahrhundert. 17 

als aus Lotablenkungen erkannt werden. Diejenigen von mehr kon- 
tinentalem als lokalem Charakter mögen durchschnittlich gegen 200™ 
Maximalabstand vom Geoid erreichen; ob irgendwo auch 1000°* vor- 
kommen , wie einige annehmen , ist noch nicht genügend untersucht. 
Dagegen ist z. B. unterhalb des Harzes die lokale Erhebung im 
Maximum noch nicht 2*° (es ist dies also nicht 3ie überhaupt 
daselbst vorhandene Abweichung vom Geoid, sondern nur derjenige 
Teil, welcher durch die lokalen Verhältnisse der Massenlagerung 
erzeugt wird). 

Einen beträchtlichen Einflufs haben die Lotablenkungen auf die 
Grofse des ExünmiungsradiuS; weil hierbei nicht ihr Betrag selbst, 
sondern dessen Änderung mit dem Orte auf dem Geoid in be- 
tracht kommt. Trotz der Kleinheit des Ablenkungsbetrages ist diese 
Änderung meist verhältnismäfsig grofs, sodafs Abweichungen des 
Krümmungsradius um mehrere Prozent als Regel angesehen werden 
können und noch weit grofsere nicht selten sind. Jedoch ist nirgends 
ein Krümmungswechsel konstatiert worden, und nach der Gestaltung 
der physischen Erdoberfläche und der geognostischen Beschaffenheit 
auch an keiner Stelle zu erwarten« Das Geoid zeigt also nirgends 
wie die physische Erdoberfläche Berge und Thäler, sondern nur Ab- 
nahmen und Zunahmen der nach dem Erdinnem zu immer konkaven 
Krümmung. 

* Eine Übersicht der meisten neuere Rechnungsergebnisse für die Erdgestalt 
enthält nachstehende Schrift: 

Listing, Über unsere jetzige Kenntnis der Gestalt und Gröfse der Erde (Nachr. 
der Kön. Ges. der Wiss. zu Göttingen). 1872. 66 S. in 16^ Als Separat- 
abdmck for 0,8 Mark. 

Zum Teil dient auch Mayer a. a. 0. S. 66 zur Ergänzung; femer für 

E. Ritters Sphäroid WolffB., a. 0. Bd. 2, S. 141; für Schuberts Rechnungen 

Listing a. a. 0. S. 32 und im Auszug auch Astronom. Nachr., Bd. 51 u. 52. 

- (Nr. 1201 u. 1231). Über Fergolas bereits S. 8 erwähnte Abhandlung 

vergl. Viertel jahrsschr. der Astronom. Ges. Bd. 11, S. 94 u. 280. 

Formeln für den nichtelliptischen Meridian eines Itotationssphäroids giebt 
bereits Legendre in einem Memoire, welches der Schrift Delambres, Methodes 
ancäytiques pour la Ditennination d'un Are du Miridien. 1799. 4**, vor- 
gedmekt ist. 

Pawker berechnet in einer Abhandlung über die Gestalt der Erde aus 11 Grad- 
messungen (dieselben, welche Encke im Berl. Astronom. Jahrb. 1852, S. 340 
aufführt) für den Radiusvektor der Erde den* Ausdruck: 

3272653,2083* (1 — 0,003399065 sin« — 0,000051868 sin* 
+ O,0OO00177ö»sinö — 0,000000002 sin«) , 

wobei sin den Sinus der geozentrischen Breite bedeutet. Die Abplattung 

Hclniortf toathem. u. phyiikal. Theorieen der höh. Geodäsie. 2 



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18 2. Kapitel. Histor. Entwickl. d. Kenntnisse v. d. mathem. Erdoberfläche. 

wird also , der Aquatorialradius 6378325,0"*), die Abweichung 

von der Ellipse gleicher Abplattung in 46^ geozentrischer Breite 107,0™ 
nach aufsen. (Bulletin de la Classe physico -mathem. de TAc. imp. des sciences 
de St. P^tersbourg. Bd. 12 und 13. 1854 und 56. S. 97-119 und 225 ff.). 

Die Berechnungen von Bowdüch und Clarke sind im Hauptwerke der 
englischen Vermessung Ordncmce Trigonometricdl Swrvey, Principal Trian- 
gulation, 1858, (vergl. Listing a. a. 0. S. 29) aufgeführt; der erstere gab 
sie als Note zu seiner Übersetzung der M^c. c^L, Boston 1832. Diese 
' Rechner setzen den Krümmungsradius im Meridian gleich A 4- Bs\ -|- ^^{9 
wo «1 der Sinus der geographischen Breite, ABC zm bestimmende Kon- 
stanten sind. Die Abweichung in 45° Breite ist 18™ nach innen bei 
Botcditch (5 Bögen), 115™ nach aufsen bei einer ersten Rechnung von 
Clarke ohne die russische Gradmessung und 54™ nach aufsen bei voll- 
ständigerer Rechnung (wahrscheinlicher Fehler ± 22™). Alle diese Rech- 
nungen zeigen also im Verhältnis zum mittlem Erdradius sowohl als auch 
im Vergleich zu den kontinentalen Erhebungen und Senkungen nur eine 
geringe Abweichung von der Ellipse an, deren Realität aber dabei zweifel- 
haft bleibt und gegenwärtig noch gar nicht konstatiert werden kann. 

In einer sehr klaren Weise äufsem sich Gaufs (1828 in der Schrift über 
den Breitenunterschied von Göttingen und Altona S. 73) und Bessel (1837 
in der Abhandlung über den Einflufs der Unregelmäfsigkeiten der Erde auf 
geodätische Messungen) über die Definition des Geoids und über seine Ab- 
weichungen vom Ellipsoid. Überdies untersucht schon Lapltuce Niveauflächen 
in verschiedenen Höhen (M^c. c^l. Buch 3, Kap. 7) und Lotabweichungen. 

Die Bedeutung der Schweremessungen für die Bestimmung der Erd- 
gestalt kannte man bereits zu Anfang des Jahrhunderts. Dafür sprechen 
die zahlreichen Expeditionen zur Ausführung solcher und unter anderh auch 
der Artikel Erde in Gehkrs physikalischem Wörterbuch 3. Bd. S. 825—1141 ; 
1827 von Muncke (nach Ph. Fischer) verfafst. Neuerdings wurde wieder- 
holt darauf hingewiesen; vergleiche unter andern nachstehende Schriften: 
Ph. Fischer, Untersuchungen über die Gestalt der Erde. Darmstadt 1868. 
B18 S. in 8^ Hier werden auch die Abweichungen des Geoids vom Ellipsoid 
mittelst geschätzter Lotablenkungen berechnet. Vergleiche insbesondere 
"S. 84, 92 u. 275. — Ähnlich wie Fischer bei der Berechnung der Dimensionen 
des Erdellipsoids (vergleiche Listing a. a. 0. S. 47) verfuhr gleichzeitig 
H, J. Klein in seinem Werke: Las Sonnensystem u. s. w., Braunschweig 
1869. Er nahm nämlich entsprechend den Schweremessungen als Ab- 
plattung -^ und fand hiermit (S. 87) aus den Gradmessungen den Äquatorial- 
radius gleich 3272766,1* oder 6378739,9™, mithin 402™ mehr als nach Fischers 
Rechnung aus der französisch-englischen Messimg allein. 
G, G, StokeSj On the Variation of Gravity at the Surface of the Earth. 
Transactions of the Cambridge Phil. Society. VIII, Part V, p. 672—695 
(Jahrgang 1849). Diese Schrift zeigt unter andern die Verwendung der 
Schweremessungen zur Bestimmung der Abstände von Geoid und Ellipsoid. 



*) Es ist 1 Toise gleich 864 Par. Linien und gesetzlich 1 Meter genau gleich 
443,296 Par. Linien; daher: 

It »= 1,9490363098™ . . ! ., 1™ = 0,513074074* . . . 
Über die geodätischen MaTseinheiten vergl. Mayer a. a. 0. S. 34 u. 48. 



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§ 4. Gegenwärtige ond zukünftige Untersuchungen. 19 

§ 4. Gegenwärtige und zukünftige llntersnchnngen. Insofern 
die Messungen zur Zeit über die Erdgestalt im allgemeinen schon 
einen recht befriedigenden Aufschlufs gegeben haben; ist es begreiflich, 
dafs man sich jetzt besonders dem Studium spezieller Erümmungs- 
yerhaltnisse widmet. Doch werden auch immer mehr Daten gewonnen, 
die Kenntnis der allgemeinen Gestalt zu verbessern. 

Die- umfangreichsten Arbeiten sind gegenwärtig in Europa im 
Gange. Aus leicht ersichtlichen Gründen war dieses von jeher das 
best bearbeitete Operationsfeld der Geodäten. Bis um die Mitte des 
laufenden Jahrhunderts hatte man hier die französische Breitengrad- 
messung durch ganz England verlängert und auf 22^ 10' Ausdehnung 
in Breitendifferenz (Amplitude) gebracht; dazu war im Osten die 
25^ 20' in Amplitude haltende russische Breitengradmessung gekommen. 
Jedoch fehlte es zu dieser Zeit an einer entsprechend ausgedehnten 
Operation zwischen jenen beiden, wozu nur erst Anfänge sich fanden. 
Dafs auch diese jetzt im Gange ist, hat Generallieutenant Baeyer, der 
Mitarbeiter Sessels bei der ostpreufsischen Gradmessung, bewirkt (18G1). 
Zunächst war nur Mitteleuropa ins Auge gefafst, aber schon nach 
einem Lustrum erweiterte sich die Operation zur europäischen Grad- 



Hierbei werden aufser den rein geodätischen Messungen nicht 
nur Breiten-, sondern auch geographische Längen- und Azimut- 
messungen vorgenommen — jene haben durch die Verwendung der 
elektrischen Telegraphie eine hinlängliche Genauigkeit gewonnen, um 
neben den Breitenmessungen gleichwertige Elemente der Untersuchung 
zu bilden, imd die Azimutmessungen geben für Spezialstudien einen 
wertvollen Ersatz der Längenbestimmungen. Je genauer sich die 
astronomischen Messungen ausführen lassen werden, um so tiefer wird 
man auch ins Detail eindringen können. 

Nachstdem werden die Schwerkraft und die Meereshöhe (durch 
prä2d8e geometrische Nivellements) an vielen Orten gemessen, wo- 
durch Anhaltspunkte einesteils für die Erforschung von Ursachen 
lokaler Lotanziehungen, andemteils für die etwa eintretende allmähliche 
Hebung oder Senkung der Kontinente und für sonstige Verschiebung 
der Massen der Erde gewonnen werden. 

Ein besonders hervorragendes Glied der europäischen Gradmessung 
bildet die Längengradmessung auf dem 52. Breitenparallel, die sich 
vom Ural bis zur Westspitze Irlands über 68^ 31' Längenunterschied 
erstreckt Sie wurde bereits 1857 von dem Direktor der Sternwarte 
Pnlkowa bei Petersburg, W. Struve, entworfen und kann jetzt als be- 
endet betrachtet werden. (Vergl. Petermanns Mitteilungen 1873 S. 332.) 

Alle drei Jahre in der Regel vereinigen sich die Gradmessungs- 

2* 



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20 2. Kapitel. HiBtor. Entwickl. d. Kenntnisse v. d. matbem. Erdoberfläche. 

kommissare der beteiligten Staaten zu einer Konferenz; alle Jahre 
jedoch publiziert das königlich preufsische geodätische Institut^ zu- 
gleich Zentralbureau der Gradmessung, einen Bericht über die Fort- 
schritte der Arbeiten unter dem Titel: Generalbericht über die euro- 
päische Gradmessung. (In 4®. Berlin, Verlag von 6r. Beimer.) Der- 
selbe ist meist kombiniert mit den Berichten über die Verhandlungen 
der allgemeinen Konferenz, 

Die Ergebnisse der Messungen sollen das Mittel bieten, zu er- 
kennen, wie im allgemeinen die Geoidfläche für Europa von einem 
Rotationsellipsoid abweicht. Für Einzelheiten sind Operationen notig, 
bei denen die astronomisch bestimmten Punkte weit dichter liegen, 
als sonst (nämlich in nur 1 bis 2 Meilen Abstand gegen 10 Meilen 
und mehr im andern Falle). Eine derartige Untersuchung hat das 
genannte geodätische Institut für den Harz in Arbeit. 

Wie schwierig und mühsam es ist, den Charakter der Geoid- 
fläche zu studieren, dies zeigt unter andern die englische Landes- 
vermessung (vergl. das Hauptwerk Ordnance Survey, Principal Trian- 
gulation S. 712 flf.), deren Ergebnis in dieser Hinsicht trotz immerhin 
zahlreicher astronomischer Stationen (30 bis 40) mehr das war, eine 
Anzahl wesentlich lokaler Lotablenkungen gegen ein abgeplattetes 

Rotationsellipsoid, das bei -ogöT A-bplattung vom allgemeinen Erd- 

ellipsoid wenig abweicht, kennen zu lehren und also die Brauchbar- 
keit desselben zur Angabe der allgemeinen Krümmungsverhältnisse 
auch für England zu bestätigen, als das, spezielle Angaben über 
Erümmungsverhältnisse wegen des rasch wechselnden Charakters der- 
selben zu gestatten. Dergleichen ist auch anderwärts hervorgetreten, 
zuerst vielleicht bei der ostpreufsischen Gradmessung (1838; vergl. 
Abhandlungen von F. W.Bessd, herausgegeben von Engdnumn, Band 3, 
Leipzig 1876; S. 135). 

Ob man, wie für England geschehen, ein möglichst anschliefsendes 
Beferenzellipsoid für Europa berechnen wird, lassen wir dahingestellt. 
Wahrscheinlich wird das Bessehchß Ellipsoid vollkommen genügen, 
um als Ausgang der Spezialstudien über die Geoidfläche zu dienen. 
Die Abweichungen von der Form des Rotationsellipsoids haben zu- 
folge ihrer Entstehung so wenig mit der Gestalt irgend einer ein- 
fachen Fläche zu thun, dafs man auch schwerlich durch die Wahl 
einer andern Form, wie eines dreiaxigen Ellipsoids z. B., einen er- 
heblichen Gewinn in der Darstellung der Erümmungsverhältnisse er- 
zielen dürfte. 

Nächst Europa ist der englische Teil von Ostindien im Laufe 
dieses Jahrhunderts bis in die Gegenwart mit umfassenden Yer- 



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§ 4. Gegenwärtige und zukünftige Untersuchungen. 21 

messungsarbeiten bedacht worden (vergl. VierteljaJirsschriß der Astro- 
notnischen Geselhchaß 1873. Band 8, S. 14flf.); auch auf den im 
niederländischen Besitz befindlichen Inseln werden seit jüngster Zeit 
solche Messungen ausgeführt, welche die Kenntnis der Erdgestalt 
im allgemeinen fordern werden. Derartige Arbeiten sind ferner seit 
einigen Decennien in den Vereinigten Staaten Nordamerikas an den 
Küsten und jetzt auch im Innern im Gange; ebenso in Ägypten^ 
Algier, Chile. In Brasilien ist eine bedeutende Längen- und Breiten- 
gradmessung in Vorbereitung (9 bis 10 Längengrade in 23^ südlicher 
Breite, 35 Breitengrade in 10® Länge westlich von Rio Janeiro). 

Einer durch ihre Ergebnisse interessanten Operation im Kaukasus 
wird in dem Generalbericht über die europäische Gradmessung von 
1871 (publiziert 1872) S. 49fiF. gedacht. Danach ist unter andern für 
2 noch nicht 1 Breitengrad von einander abstehende Punkte 54" Lot- 
ablenkungsdifferenz beobachtet. (Vergl. auch Petermamis Mitteilungen 
1862 Band 10, S. 365.) 

Man hat sogar daran gedacht, Nordpolexpeditionen für Grad- 
messungszwecke nutzbar zu machen. 

Borgen und Copeland maTsen 1870 an der OstkQste Grönlands einen 
40 Minuten langen Bogen geodätisch, nm die Möglichkeit genauer Winkel- 
messnngen in höheren Breiten zn konstatieren. Die Breiten der Endpunkte 
wurden nur aus Sonnenhöhen abgeleitet, da die Operation eine blose Rekognos- 
zierung sein sollte. Vergl. S. 19 der Schrift Zweite deutsche Nor dpdlar fahrt \ 
1869 — 70. Berlin 1871. (Das Hauptwerk über diese Expedition war dem Ver- 
fasser nicht zur Hand.) 

Hiemach ist das Interesse für Gradmessungen hinreichend rege^ 
um von dieser Seite her eine reiche Förderung der Kenntnis der 
Erdgestalt erwarten zu können. Man darf auch hoffen ^ dafs die so 
sehr wichtigen Messungen der Schwerkraft, welche nach den glän- 
zenden Operationen in den ersten Decennien dieses Jahrhunderts jetzt 
mehr gelegentlich ausgeführt worden sind, wieder in systematischer 
Weise aufgenommen werden werden. Durch sie ist mit verhältnismäfsig 
wenig Kosten weit mehr als mit Gradmessungen für die allgemeine 
Kenntnis des Geoids zu erlangen ^ ja sie sind zum Teil durch diese 
gar nicht zu ersetzen, weil sie gröfserer geographischer Verbreitung 
fähig sind. 

Die Schweremessungen gestatten auch die Abstände des Geoids 
Yom mittleren Rotationsellipsoide zu schätzen; wir müssen aber be- 
merken, dafs die bezüglichen Rechnungen nicht so einfach sind, als 
man oft glaubt und dafs sie nicht immer richtig angestellt worden 
sind. Korrekte Formeln gab Stökes a. a. 0. 

Von sehr untergeordneter Bedeutung wird es dereinst sein, wenn 
die Kenntnisse über das Geoid sich entsprechend vermehrt haben 



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22 2. Kapitel. Histor. Eotwickl. d. Kenntnisse v. d. mathem. Erdoberfläche. 

werden, ein solches abgeplattetes EUipsoid abzuleiten, das bei gleichem 
Volumen sich jenem möglichst anschliefst. Weit wichtiger ist es, 
Schlüsse auf die Massenlagerung im Erdinnem zu versuchen, wobei 
man allerdings der Schwierigkeit begegnet, dafs bis zu gewissem 
Grade die Gestalt und Lagerung der Niveauflächen von der Massen- 
anordnung unabhängig ist (z. B. geben gewisse homogene Eugelschalen 
verschiedener Dicke dieselben Niveauflächen aufserhalb). Hierdurch 
werden aber keineswegs alle Schlüsse vereitelt. 

Die Gradmessungsarbeiten und Schweremessungen, welche nur 
sehr allmählich ausgeführt werden können, setzen infolge dessen eine 
ausreichende Eonstanz der Niveauflächen voraus. Im allgemeinen 
nimmt man jetzt an, dafs eine solche in hohem Grade in der That 
vorhanden ist. Zwar sind die Massen der Erde nicht in völlig rela- 
tiver Ruhe, aber theoretische Untersuchungen haben gezeigt, dafs 
Veränderungen in der Lage der Erdaxe nicht zu befürchten sind und 
nur lokale Veränderungen der Lotrichtungen entstehen. Dafs auch 
dieser Umstand von den Gelehrten fortdauernd im Auge behalten 
wird, ist schon angedeutet worden. 

§ 5. tlbersicht des Ganges der Entwicklung der Theorieen 
im vorliegenden Bnche. Eine streng logische Darstellung müfste 
mit dem beginnen, was geeignet ist, am eingehendsten die Erdgestalt 
zu definieren und im ganzen zu erkennen: den einfachsten Sätzen 
der Potentialtheorie und den Schweremessungen. Wir zogen es in- 
dessen vor, um das Rein -Mathematische zunächst zu erledigen, mit 
der Theorie der Gradraessungen auf dem abgeplatteten Rotations- 
ellipsoide zu beginnen und daran die geometrische Bestimmung von 
geoidischen Abweichungen zu knüpfen. 

Die Formeln für Dreiecksnetze und die Verbindung geodätischer 
und astronomischer Beobachtungen sind direkt fürs abgeplattete 
Rotationsellipsoid aufgestellt Die Voraussetzung beliebiger Ober- 
flächenform ist einesteils insofern ohne Wert, als man immer nach 
Sessels Vorgang (1837) sich die Messungen auf den Niveauflächen 
der Erde am bequemsten auf ein solches Ellipsoid reduziert denken 
wird; andernteils aber dürfte die rasche Veränderung der Krümmung 
der Niveauflächen, wie Bessd ebenfalls bemerkte, der Konvergenz der 
Reihenentwicklungen, welche für jene Formeln nötig sind, sehr hinder- 
lich werden —• ja diese existiert streng genommen gar nicht, da in 
den Krümmungen ^ogar Diskontinuitäten auftreten, wie H, Bruns 
(1876) gezeigt hat. Auf Formeln fürs dreiaxige Ellipsoid ist, da dessen 
Annahme als mittlerer Repräsentant des Geoids schwerlich Aussicht 
hat, gar nicht eingegangen. 

Der zweite Teil ist bestimmt, die Lücken, welche die rein geo- 



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§ 1. EonvergenzbediDguDgen. 23 

metrische Behandlung des Problems der Definition und Bestimmung 
der £rdgestalt läfst, durch Einführung der Potentialtheorie und die 
sich anschliersende Behandlung der Schweremessungen auszufüllen; 
einige Andeutungen über die Ausbeutung gewisser Angaben der Astro- 
nomie und der Lehren der Mechanik über die Rotation der Körper 
und dergl. zu bringen, sowie die Methode der Untersuchung der Geoid- 
gestalt durch Zenithdistanzmessungen und im Anschlufs daran die 
terrestrische Re&aktion zu behandeln. 



3. Kapitel 

Allgemeine mathematische Notizen, insbesondere 
Reihenentwicklungen. 

(Mit Benntznng yon ScMömileh, Kompendium der höheren Analysis Band 1 und 
HcUtendorff, Algebraische Analysis, sowie Uattendorff, Höhere Analysis). 

§ 1. KonYergenzbedlngangen. Eine unendliche Reihe mit posi- 
tiven Gliedern konvergiert (hat eine bestimmte Summe), wenn von 
einer Stelle an die Glieder dergestalt kleiner werden, dafs 

das folgende Glied ^ . i ^ t» i 

^ r-^ — r — i — rn^j <x; « em echter Bruch. 

das vorhergehende Glied 

Bezeichnet man die Glieder mit ti^ , u^y u^, . , und ist nun 

80 ist der Rest der Entwicklung (^1 + ^2 + h «** - 1) gleich 

w< + w,-4_ 1 + M, + 2 H d. i. 

= ^ ("l 4. üi±.i 4. !*L±i ÜL-t_^ 4. ^_±i ^» + 2 *!L±i . \. 

daher ist also der Rest 

Ui + «i+i + Ui^^-\ <Ui (1 + X + x^ + X« H ) . 

Es ist aber die Parenthese rechter Hand gleich 1 : (1 — x), mithin 
die Summe aller Glieder von w,- ab bis ins Unendliche < m» : (1 — x); 
und dieser Rest kann beliebig klein gemacjit werden, wenn man den 
Index i hinreichend grofs aimimmt. 

An Stelle der gegebnen Reihe ist es oftmals vorteilhaft, eine Reihe 
zu betrachten, deren Summe augenscheinlich gröfser ist, weil ihre 
Glieder sämtlich grofser sind, als in der ursprünglichen Reihe — die 
aber eine einfachere Form hat, wie diese letztere. 

Eine unendliche Reihe mit positiven und negativen Gliedern kon- 
vergiert, wenn sie auch mit positiv gesetzten Gliedern konvergiert 
oder kurz gesagt: wenn sie absolut (genommen) konvergiert. 



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24 3. Kapitel. Allg. mathemat. NotizeD, insbesondere Reihenentwicklangen. 

Werden Yon Ui an bei alternierenden Vorzeichen die Glieder 
immer kleiner, so ist der Rest der Reihe gleich ti,x. 

Absolut konvergente Reihen gestatten eine yeränderte Anordnung 
der Glieder d. h. sie konvergieren unbedingt, nur mufs immer von 
einer Stelle an das oben gegebene Kriterium der Konvergenz vor- 
handen sein. 

Man darf sie addieren und multiplizieren und das Resultat ist 
wieder eiue absolut konvergente Reihe. Dies gilt auch für Sub- 
traktionen, während bei Divisionen besondere Untersuchungen er- 
forderlich sind. 

Ist die Reihe eine Potenzreihe und man setzt für die Variable 
selbst eine Reihe, so ist dies bestimmt zulässig, wenn die Anfangs- 
reihe und die Substitutionsreihe absolut konvei^ent sind und die 
Summe der mit positiven Gliedern genommenen Substitutionsreihe die 
zur Konvergenz der. Anfangsreihe nötige Bedingimg erfüllt. Das 
Resultat ist alsdann absolut konvergent. 

Besondere Untersuchungen sind erforderlich, wenn die Substi- 
tution für die Variable nur bedingt koi^vergiert und auch, wenn bei 
endlicher Gliederzahl der Substitution darin positive und negative 
Terme vorkommen. Alsdann kann ein nur bedingt konvergentes 
Resultat entstehen. 

§ 2. Stark konvergente Reihen in der Geodäsie. Im Fol- 
genden haben wir es vielfach mit stark konvergenten Reihen zu thun, 
weil diese allein für die praktische Anwendung bequem sind. Bei 
Potenzreihen insbesondere beschränkt man sich auf so kleine Werte der 
Variablen, dafs wenige Reihenglieder genügen, und man wendet solche 
Methoden an, dafs eben die Beschränkung auf kleine Werte praktisch 
genügt 

Für alle diese Fälle ist die Operation mit den Reihen nur 
geringen Schwierigkeiten unterworfen, weil die allein interessanten 
Glieder nach Beifügung eines (in den betreflFenden praktischen Fällen 
schliefslich zu vernachlässigenden) Restgliedes wie endliche Reihen 
behandelt werden können. 

Wir sind daher in den meisten Fällen der Konvergenzbetrach- 
tungen überhoben und werden auf solche, um Weitläufigkeiten zu 
vermeiden, auch nur eingehen, wenn es unerläfslich ist. 

Die Restglieder werden wir meist symbolisch durch Gh an- 
deuten, wobei i die Ordnungszahl ist, welche dem Rest zukommt^ 
insofern er wesentlich als Vielfaches der i. Potenz einer Gröfse 
1. Ordnung auftritt.*) ^ 

*) Ist der Rest von der i. Ordnung, so ist die Entwicklang genan bis au/* Glieder 
i. Ordnung — was zur Feststellung des Sprachgebrauchs hier bemerkt sei. 



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§ 3. Taylors Satz. 



25 



Als Maximalbetrag einer Gröfse 1. Ordnung setzen wir rund 0,1 
fest. Die Abplattung wird damit eine Gröfse 2. Ordnung. 
§ 3. Taylors Satz. Es ist 



f(a + h)=f(a) + A/^(a)+ 1^ /"(a) + • • • 



.n-l 



1 . 2 . . . (n — 1) 



/^«-i^Ca) 



+ 



1.2... (n 



L_;;^/^'*^(«+^Ä) 



(1) 



p eine beliebige positive Gröfse (für welche man oft mit Nutzen n 
wählt), & ein nicht näher bekannter positiver echter Bruch. Das 
letzte Glied heifst der Rest der Reihenentwicklung. Diese Ent- 
wicklung rechter Hand gilt, wenn f (x) und seine DiflFerentialquotienten 
f/, /*'... /^"^ innerhalb des Intervalls x = a his x = (a -j- h) endlich 
und stetig sind. Um nicht noch den nächst höheren Differential- 
quotienten bilden zu müssen, kann man den Rest auch mittelst des- 
jenigen berechnen, der im letzten angesetzten Glied auftritt, mufs aber 
alsdann von dem so gebildeten Ausdrucke wiederum das letzte Glied 
selbst abziehen. Der Rest heifst dann, falls man bis f^"*^ geht: 



i. (1 •_ ^y^-P f(n) (^ + ^J,) _ 1 fin) (^) 



1 . 2 ...(«— 1) 



h- 



Speziell für p = n: 



{/i-)(a + ^Ä)-/^»)(a)}- 



(2) 



(3) 



In manchen Fällen läfst sich der Rest der auf eine endliche 
Gliederzahl beschränkten konvergenten Entwicklung dadurch genauer 
feststellen, dafs man wie in § 1 S. 23 eine genäherte Summierung 
ausführt, was voraussetzt, dafs das Bildungsgesetz der Reihenglieder 
bekannt ist. Vielfach wird man (vergl. oben), wenn Ui das letzte Glied 
ist^ den Rest näherungsweise setzen können gleich 



Ui 



1 — X 



(4) 



Giebt eine Entwicklung nach Taylors Satz eine unendliche kon- 
vergente Reihe für a; = (a — h) bis (a + A), so kann man durch 
Subtraktion der Entwicklungen für jf (a + h) und f{a — h) die fol- 
gende stark konvergente Reihe erhalten: 

f(a+h)=aa-h) + ?^-r(.a) + :^^r(a) + • • • 



+ r¥.S^+ij/^*"+^'(«)+- 



(5) 



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26 3. Kapitel. Allg. mathem. Notizen, insbesondere Reihenentwicklungen. 

In der Reihe (1), die wir uns als unendliche konvergente Reihe 
denken, kann man, falls nur (n -{- 1) Glieder angeschrieben sind, auch 
das nächste Glied dadurch berücksichtigen, dafs man die Entwicklung 

f'i» + -wh) = ^"^''^ + ^-T /"*+"(«) + • • • (6) 

benutzt, um damit das (n + l)^ und (n^+ 2)*® Glied, nämlich: 

näherungsweise in das eine Glied: 

^- fUa + -A--) 

zusammenzufassen. Man hat alsdann: 

/•(« + h) = fia) + ^ /' (a) + Jl r(a) + • ■ 



^ 1 . 2 . . . (n — 1) ' ^^ 

'l.2...n' \"^w+l/ 



(7) 



+ GUodcr mit A»» + 2 u. a. f. ' 

und wenn dfe Konvergenz eine starke ist, so giebt dies eine unter 
Umständen bequeme und scharfe Beurteilung des Restes der auf n 
Glieder angesetzten Reihe. 

Addiert man die Reihen für f{a-\- h) und f(a --' ä), so folgt: 

2 ^W (8) 

-f Glieder mit A^ A« . . . J 



1 (9) 



Multipliziert man dieselben Reihen, so folgt: 

f{a + h)ria-h) = fiay 

-\- GUeder mit 

§ 4. Binomischer 8atz. Es ist 

(i±«/ = i±-f« + ^^^^«* + -^7-:^^V~-"' + - 0) 

gültig und absolut konvergent bei beliebigem jit, falls das positive 
M < 1 isi*) Im Folgenden, wo einige häufig auftretende Spezial- 
fälle behandelt sind, bezeichnet x stets einen positiven, echten Bruch. 
Die Reste sind durch direkte Summierung gefunden. Man hat 



*) Auf die Fälle m = 1 nehmen wir hier und im Folgenden keine Rück- 
sicht, wie wir überhaupt die Grenzfälle der Gültigkeit aus praktischen Gründen 
vernachlässigen. 



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§ 4. Binomischer Satz. § 6. Logarithmische und Exponentialreihen. 27 

l:(l + i*) = l -M+ M* — M» + U* +M».x 

1 : (1 - «)= 1 + tt + «" + «» + «* + ••• + -p^ -- 



u positiv und < 1. 



(2) 



i/r~i — iil I21I3 ^41 I 1.3.6...(2n— 3) , 

KA-r» *T-2" 8^*^16 128 ^ — l.2.3...n.2*' 

yi — u =l-iu— ^ie' 



2_ 1 

8^* 16 



_6_ 
128' 



w'— T^U*— • 



1.3.6.. .(2n — 3) ^ X 

i i^n 

1.2.3...n.2** 1 — «• 



1 i/T~i 1 1 I 3 2 6 o , 86 4 , 1.8.6...(2n-l) ^ 

i.jri-rw 2**~8** 16^ "^128** ^ 1.2.3...n.2" 

t ^n 11I i3o,6o,36 4, , 1.3.5...(2n— 1) , x 



15 o . 36 



316 



l:V^l_„'=l + |«+^«»+?£„3+-„4+...+?^o 



16 ' 128 
u poaitiy tmd < 1 



3.5.7...(2n+l) 



1.2.3...n.2'' 



l-l^u 



2n+2' 



(3) 



Eine starke Konvergenz erfordert für alle diese Reihen kleine Werte u. 
§ 5. Logarithmische nnd Exponentialreilieii. Man hat: 

log(l + «) = Jlf{«-^ + y-T + - •■±^«) 



0) 



u positiv tmd < 1. 



u positiv. 
ü Modalus des Briggitohen Logarlthmensystams. 

Der Rest der letzten Reihe, welche nichts anderes als die Exponen- 
tialreihe {u = c*) ist*, beträgt 



ri4:-,fö-=)'««'- »<!..■- 



und 



1 l\09^uV 

1.2.3...« \ M ] 



logu 



für t* > 1 . 



(n + 1) JJf 



Dabei ist aber vorausgesetzt, dafs so viele Glieder der Reihen an- 
gesetzt sind, als zur Erfüllung der Bedingung val. abs. log w < (w + 1) Jlf 
gehören. 



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28 3. Kapitel. Allg. mathem. Notizen, iasbesondere Reihenentwicklangen. 

Vorstehende Reihen sind absolut konvergent Eine starke Kon- 
vergenz erfordert für die (1), dafs u klein, für (2) und (3), dafs u 
nahezu gleich 1 ist. 

§ 6. Seihen für Sinns, Cosinus u. s. f. Man hat: 



6~120 5040 '362880 — 1.2.3... (2n + l) 

- ***_L ^* M* , «** _, u^" — 

COSU 1 — Y"r "24" "" 720 "l" 40320r ^ 1.2.3...2n "• " 



(1) 



Diese Reihen gelten für jeden Wert von m, welches als Arcus zu ver- 
stehen ist. Sie sind absolut konvergent. Setzt man sie bis dahin fort, 
wo die Glieder abnehmen, was für u^<l von Anfang an der Fall 
ist , so ist der Rest gleich dem ersten vernachlässigten Glied mal x. 
Für w* < 1 konvergieren überdies die Reihen stets beträchtlich. 
Man hat ferner: 



sec W = 1 -4 « -I U -\ tl -J U^ -4- 

■ "^ 2 ^^24 ' 720 ~ 8064 ' 



(2) 



val. ab«. M < -T- 



cot M== — ll — U^ W* U^ — - - W* — • ■ • I 

M l ^ 3 46 945 4725 1 

1 I 1 I 1 2 I 7 4 , 31 ß , 127 c. , \ 



(3) 



val. abB. u < Jt. 



Die Koefficienten, welche in diesen absolut konvergenten Reihen vor- 
kommen, lassen sich nicht bequem allgemein hinschreiben. Für unsere 
Zwecke genügen die angesetzten Glieder und die Thatsache, daf^ 
bei den Reihen (2) der Rest angenähert gleich ist dem letzten Gliede 

mal g _ g und bei den Reihen (3) angenähert gleich dem letzten 

Gliede mal , _^ ,- Dies findet man mittelst der Bemerkung, dafs 

die Koefficienten der Reihenglieder (2), je weiter man die Reihen fort- 
setzt, mehr tmd mehr im Verhältnis n^ : 4 abnehmen, die der (3) im 
Verhältnis n^ : 1. 

Die Konvergenz der Reihen (3) und noch mehr der Reihen 
(2) ist weit geringer, als diejenige der (1). Um mittelst der in den 
Reihen (2) angesetzten Glieder den Wert von tanu oder secw auf 
0,0000000001 des Betrags genau zu erhalten, mufs man sich auf 
absolute Werte von u beschränken, die 0,1 nicht wesentlich über- 
schreiten. 



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§ 7. Reihen für Arcus amuB a. Arcus tangeus, u. logarithmische Reihen u. s. w. 29 

§ 7. Beihen für Arcus sinns nnd Arcus tangens^ und logarith- 
mische Beihen für Sinus , Arcus sinus u. s. f. 



arc sin n 






3u* , 6tt 
40 



2n- 



+ir,+-+ 



1.3...(2n-3) u' 

2.4...(2n — 2) 2n— 1 1 — u* 



arc tan u = ti — -^+-p 



u 1 w 
7 "^""9" 






1(1) 



T»l. »bs. w < 1. 



Setzt man hierin u »s sin v bezw. u 
wieder u^ so folgt: 



II == sin« + 



3 8in*i*j_6 8in^u_, _, 
40* 112" ' '"2.4. 



▼al. abs. u < - 



tan V und schreibt dann für t; 
1.3...(2n — 8) sin*"™^« h 



in — 2) 2n — 1 cos*« 



u=tanu — r"tan'M+-T-tan^fi — —tan'w+-^^ß* <*••• + ~*ai^"** 



T»l. »bs. U < — ' 



(2) 



Diese absolut konvergenten Reihen konvergieren nur etv^a ebenso 
stark als die (2) § 6. Man hat weiter: 



log8inM = logu-Jlfj^ + j^ + 2^-h8^+-p 

, u pmIUt nnd < ;r; . 

logtan« = log« + Jlf{-3- + -gö- + 2g3^ + jgg^ + -.-j 



(3) 



tt poiitiv und < - 



Die erste dieser beiden Reihen folgt durch Integration der Reihe 
för cot M, die zweite durch Integration der Reihe für 2 esc 2 w (wobei 

zu beachten^ dafs fÖr u = sowohl log als log* gleich null 

wird). Da die Integration die Eoefficienten verkleinert, so konver- 
gieren die Reihen sicher im gleichen Intervall für u wie vorher (jedoch 
nicht weiter). Wegen des log mufs man sich aber zur Vermeidung 
des Imaginären auf positive u beschränken, was praktisch vollkommen 
ausreicht 

Der Rest der ersten Reihe ist, wenn man die Glieder bis ti^ an- 
schreibt, angenähert gleich dem letzten dieser Glieder mal /^* , , 
derjenige der zweiten Reihe angenähert gleich dem letzten der Glieder 
mal -s 5— =• 



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30 3. Kapitel. Allg. mathem. Notizen , insbesondere Reihenentwicklungen. 
Es ist femer 

u positiv und < — ; 

logM=-logtanM-JIfj|tan«u-gtan*M+^tan««-^tan«M+-.) 



u positiv und < -.- 



(4) 



Die erste dieser Reihen folgt aus der ersten Reihe (3) durch 

-1 q e 

Substitution von « = sin w + — sin^ ^ + "Zö" ^^^^^ + i lo ^^^^ ** "I ' 

also der ersten Reihe (2). Diese letztere Reihe ist konvergent für 
u^ < (y) und da sie nur positive Glieder hat, so mufs mit Rück- 
sicht auf die Eonvergenzbedingung der ersten Reibe auch das End- 
ergebnis für M* < ( yj konvergieren. 

Der Rest der ersten Reihe (4) ist angenähert gleich dem letzten 
Gliede mal x : (1 — sin* u) d. i/x sec* w. 

Die zweite der Reihen (4) kann man aus der ersten derselben her- 
stellen, indem man zunächst log sin u = log tan u -\- log |/l — sin* u 
setzt und den letzten dieser Logarithmen nach Potenzen von sin* u 
entwickelt, sodann aber für sin* u substituiert tan* w : (1 -|- tan* «) «= 

tan* u — tan* u + tan^ u — tan® u -| Jedoch giebt diese Entwicklung 

nicht die Grenzen der Konvergenz vollständig, über deren Ableitung 
HaUendorjf^ Höhere Analysis, zu vergleichen ist. Der Rest der zweiten 
Reihe (4) ist angenähert gleich dem letzten Glied mal x tan* u. 

Die in den Reihen (1) bis (4) angesetzten Glieder genügen zu 

einer Genauigkeit auf etwa 10 Decimalstellen für val. abs. w < ~ • 

§ 8. Bestimmung der Winkeldifferenz ans der Gotangenten- 
bezw. Gosinusdifferenz. Ist gegeben 

cot -4. = cot J.' + Ä , (1) 

h eine kleine Gröfse, so läfst sich mit Vorteil Taylors Satz anwenden, 
um A — Ä herzuleiten. Setzt man, weil A = arc cot (cot Ä + h) 
ist, S. 25 (1) a = cot A' und f{a) = arc cot a, so wird 

r (o) = 2 sin* ^' (1 - 4 cos* A') 
f"'(a) = 6 8m*A'am4Ä 



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§ 8. Bestimmung d. WiDkeldifferenz aus d. Cotangenten- bezw. Cosinusdifferenz. 31 
und daher 

Bleibt man nun bei dem Glied mit h^ stehen, so ist der Rest der 
Entwicklung, in der Formel (1) S. 25 n=p angenommen, gleich 

~Ä^sinM"sin4^", (3) 

worin A" einem Winkel entspricht, dessen Cotangente gleich 
cot A' -f- &h ist, -Ö- ein nicht näher bekannter positiver echter Bruch. 
Hieraus folgt 

• 2 vi " ^^^ f A \ 

sm A = "T+¥ä SiT^'lä cöä"^' + «-ä Bin M) W 

and man erkennt, dafs die in (2) angesetzten Glieder ausreichen, 
falls (A sin Ä^^ vernachlässigt werden kann. Denn alsdann ist sicher 
auch %h sin Ä so klein , dafs sin* Ä' von sin* Ä und folglich 
auch Qi sin -4")* von {h sin ^')* nicht merklich abweicht 

Ist gegeben 

cos J. = cos J.' + A , (5) 

80 hat man, da ^ = arc cos (cos Ä + Ä) wird, nach Taylors Satz für 
a = cos A' und f{ä) = arc cos a: 

r(a) = -(l-a^)-|=-^^ 

r*f / \ COS Ä 

' ^ ^ sm' A 

und daher 

j A' fe I ^ , fe COS ^' , /t' (1 + 2 cos* ^') , ( ,^v 

Bleibt man bei %' stehen, so ist der Rest der Entwicklung gleich 

— — A* — —.-^ T77 — cos A , (7) 

wobei für Ä' die Beziehung cos Ä' = cos Ä + ^Ä besteht, welche 
ergiebt: 

sinM" = sinM' (l - ^-j5^^, (2 cos^' + &h)) ■ (8) 

Als Bedingung der Brauchbarkeit dieser Entwicklung bis h? findet 
sich die, dafs h : sin* Ä hinreichend klein ist, um seine 4. Potenz 
vernachlässigen zu können. 



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B2 3. Kapitel. AUg. mathem. Notizen, insbesondere Reihenentwicklungen. 



n 



Vertauscht man im Vorstehenden A mit — A, so ergeben 
sich Entwicklungen für tan^ und sin^. 

§ 9. Arcus und Gradmafs. Bezeichnet wie im Vorstehenden 
u einen Winkel in Bruchteilen des Radius, d. h. als Arcus aus- 
gedrückt, so hat man, um u in Graden zu erhalten, die Proportion 
zu beachten: 

M« : 360« = u : 2;r, 
also ist 

180^ 
W® 3= M . - oder W in Graden == M^O ^ ^J^ 

wenn man zur Abkürzung einfährt: 

p-=-T- ' (2) 

In gleicher Weise folgt als Faktor für u zur Reduktion auf u in 
Minuten bezw. Sekunden: 

180.60 ,, 180.60.60 ,^. 

9 ^> 9 = n (3) 

§ 10. Formeln für sehr kleine Winkel. Vernachlässigt man 
u% so ist 

sin w = u i/cos H + " •] 

aV - 1 (1) 

tan w = wy sec* w -| ) 

Um den Fehler dieser nach Maskelyne benannten*) Formeln zu er- 
kennen, bildet man mittelst des binomischen Satzes: 



3/ - M* U* 

f cos « = 1 - y - ^ - . 



und multipliziert dies mit w. Die Vergleichung mit den Reihen für 
sin u und tan u zeigt, dafs die Vernachlässigung von u^ in der 
1. Formel (1) einen etwas gröfsern, diejenige in der 2. Formel (1) 
dagegen einen etwas kleinem Fehler giebt, als die Abkürzung der 
Reihen auf die ersten beiden Glieder. 

Für die praktische Rechnung können die Formeln (1) und ähn- 
liche, wie log sec Y w = r log sec w + • • • , den Reihen oft vorzu- 
ziehen sein, denn sie erfordern statt der Berechnung eines Gliedes 
nur das Aufschlagen eines Cosinus u. s. f. Zu gleichem Zwecke wie 

*) Hoiiel, Fünfstellige Logarithmen S. XXXIX. 



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§ 10. Formeln für sehr kleine Winkel. § 11. Interpolation. 



33 



die (1) dienen die in mehreren Logarithmentafeln aufgeführten Hilfs- 
logarithmen 

cf I sin « ^ 

S=log 



1*9 

t tan u 

■ log rr- ' 

^ Uff 



(2) 



Die Tafeln Tziffriger Logarithmen von Bruhns und Schrön geben S 
und T Sziffirig. Bremikers Tafeln enthalten die S ebenfalls, aber 
nur 7 stellig. Die Schrönschen Tafeln haben insbesondere den Vor- 
teily dafs xmter andern als Argument zu S nicht blofs der Winkel in 
Sekunden, sondern auch der log sin gegeben ist. 

In gleicher Weise setzt man häufig sehr vorteilhaft bei Aus- 
wertung von ]/l — v* und j/l + v* , wenn v klein genug ist, für t; 
bezw. sin u und tan u und hat dann 



' v = sin « ^ 
V «= tan u . j 



(3) 



]/l — t;* = cos ti för v = sin u 

yi + i;* = sec w für 

§ 11. Interpolation. Ist eine Tafel der Funktionswerte f(x) 
für in gleichmäfsigem Intervall fortschreitende Werte der Variablen x, 
insbesondere für rc = a, (a + o); (a + 2(ö), . . . gegeben, und es ist 
[(a-^na), n<l, zu suchen, so bildet man erste, zweite, dritte 
Differenzen u. s. w. nach dem Schema: 



f{a+2m) 
f(a-\-3a) 



1. Differenzen 
^o=/'(a+a,)~/'(a) 



2. Differenzen 



3. Differenzen 






und hat dann zur Berechnung von /*(a 4~ ^<^) <^^ nachstehende 
^etr^onsche Interpolationsformel (welche für unsere Zwecke ausreicht) : 






(1) 



1.2 ~" ' 1.2.3 

Dieselbe findet man leicht, wenn man von Taylors Reihe ausgeht: 

f(a + na,) «/•(») + ^r(a) + -?^r(«) + --- (2) 

und sie auf na» 0, 1, 2 . . . anwendet, mittelst der entstehenden Gleichungen 
aber die Differentialquotienten f (a), f (a) ... durch die J ausdrückt. 
Die Anwendung föhrt natürlich nur dann zu zuverlässigen Werten, 
wenn die Funktion nach Taylors Satz entwickelt werden kann. Über 
eine andere sehr vorteilhafte Formel (von Bessd, Astronomische Nadir 

Helmertl matbemat. u. phytik. Theorieen der höh. Oeodftsie. 3 



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34 3. Kapitel. Allg. mathem. Notizen, insbesondere Reihenentwicklungen. 

richteft Band 2 No. 33 angegeben) nebst einer Tafel ihrer Koef- 
ficienten vergleiche S. 215 des Werkes: 

Albrecht y Formeln und Hilfstafeln für geographische Ortsbestim- 
mungen n. s. w. 2. Auflage. Leipzig 1879. 

Bei der Interpolation in Logarithmentafeln mit 10 Decimalstellen 
des Logarithmus genügt oft nicht die einfache Interpolation^ weil die 
J'\ . , noch einflufsreiche Werte haben. Alsdann kann man mittelst 
(1) die höheren Differenzen berücksichtigen. Meist reicht es aus, bis 
/Iq zu gehen. Man setzt dann recht bequem: 

/•(a + na,) = /-(«) + «(z/'o--^^^')+--- (3) 

und bemerkt leicht; dafs der Faktor Ton n zwischen Jq und jdLy 
liegt, was eine Eontrolle für das Vorzeichen des Subtrahenden dieses 
Faktors giebt. Anstatt (3) kann man auch die nachstehenden ebenso 
genauen (nämlich noch die Glieder mit h^ enthaltenden) Formeln an- 
wenden, die aus (7) S. 26 für w = 1 hervorgehen: 

log (a + Ä) = log a + Jf j- -\ 

log sin (a + A) «= log sin a + Mh cot (a + g ) + ' * * 

log tan (a 4" Ä) = log tan a + Mh esc (a + ^ ) sec (a + yj H 

Ist zum Logarithmus die Zahl oder der Winkel zu suchen, so geben 
(3) und (4) eine indirekte Rechnung, welche sich für den 1. Fall 
in (4) durch die bequemere direkte Rechnung nach der Formel 

«1 +Ä, = «1 + :^ (log (a^ + \) — log aj V{ä^+ KT^i H (5) 

ersetzen läfst. Diese Formel ist genau bis auf Glieder Af (excl.) 
und sie folgt aus (7) S. 26, wenn /*(«) = a^, a = log c^ genommen 

und f [a + y) durch f (a) f{a-\-h) mittelst (9) ebenda ersetzt wird. 

Über die bei Berechnung von Tafeln anzuwendende Interpolation siehe Encke, 
Berliner Astronomisches Jahrbuch 1862 S. 331 und Astrand, Vierteljahrsschrift der 
Astronomischen Gesellschaft Band 10. 1876. S. 279. Ersterer gab in seinen Ab- 
handlungen zu den Berliner Jahrbüchern 1880—1862 überhaupt zahlreiche Winke 
fiir praktische Rechner. Diese Abhandlungen sind 1866 gesammelt erschienen 
unter dem Titel: J. F. JSnckes astronomische Ahhandltmgen, 

Die Interpolation in Tafeln vielstelliger Logarithmen behandelt u. a. Puissant, 
Traite de Giodesie, Bd. 1. (z. T. nach Legendre)^ 



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.1. Teil. 

Die mathematischen Theorieen der hOhern Geodäsie. 



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§ 1. 



1. Kapitel. 
Bas abgeplattete Rotationsellipsoid. 
Elemente der Meridianellipse. Wir bezeichnen mit 



Uq die grofse Halbaxe (in der Äquatorebeue); 
bQ die kleine Halbaxe (in der Rotationsaxe). 
Dann sind: 

«0 — ^ 



Ä = 



n = 



m 



«0 


-l-bl 


al 


«0 -K 


«, + 6. 


ol-K 


K 


al-hl 



die Abplattung; 
das Quadrat der numerischen Excentricität^ 



oft benutzte Hilfsgröfsen. 



al + bl 

Zwischen diesen fQnf Gröfsen finden Relationen statt, die leicht her- 
zustellen sind, indem man obige Gleichungen nach b^ auflöst und die 
Terschiedenen Ausdriicke für b^ einander gleichsetzt: 

1 — n 



&o = «0 (1 — ä) « Oö 

6j = aS (1 - e«) 
c* = 2ä — a* 



l + n 



a = 1 - yr 

2n 



ü = 



n 



l + n 



6* = 



2 — tt 
4n 



(1 + n)« 



"" Y "T" "s"'" le" "r 128 "•" 
= 2» — 2»» + 2n» — 2«* H 

= 4n — 8n* + 12n» — 16n* + • 



1 _ yi -. gl 



i + |/rzr? 






64 



128 



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38 1- Kapitel. Das abgeplattete Rotationsellipsoid. 

e* + e' + e« + c« H 



1 - e» 



tn = 2 ^-T -= "2 + T + V + 16- + ■ ■ ■ 

t» = -^--f = 2n — 2n» + 2»* 

1 + n" ' 

Alle im Vorstehenden entwickelten Reihen sind^ wie mittelst 
der gewöhnlichen Regeln über die Konvergenz zu ersehen ist, absolut 
konvergent, da n, m, ü und ^ fürs EUipsoid < 1 sind und die Reihen 
zum Teil sogar für noch gröfsere Werte konvergieren. 

Nach Bessel (1841; vergleiche Rud. Engdmann, Abhandlungen 
von F, W. Bessel Leipzig 1876. Band 3, S. 62) ist för das Erd- 
ellipsoid 

n = 0,0016741848; a = 1 : 299,1528 

«0 — 3272077,14* [6,5148235.337] 

6o = 3261 139,33 [6,5133693.539] , 

wobei die eckige Klammer den Briggischen Logarithmus andeutet. 
Encke^ der im Berliner Astronomischen Jahrhich von 1852 S. 322 ff. 
für einige Funktionen von a^ und h^ Tafeln giebt, setzt 

n = 0,001674184767 [7,2238033.861 — lOJ . (1) 

Diesen Wert behalten wir, da er von andern Tafelberechnem meist 
ebenfalls angewandt ist, bei und setzen, zu Metermafs übergehend 
(Verwandlungslogarithmus 0,2898199.2994) 

a^ =, 6377397,15500 [6,8046434.637] . 

6^ = 6356078,96325 [6,8031892.839]. ^ 

Die im Hinblick auf die wirkliche Genauigkeit dieser Zahlen als Re- 
präsentanten des mittlem Erdellipsoids sehr weit getriebene Schärfe, 
ist wünschenswert, insofern sie als Fundamentalzahlen auftreten, die 
allen Rechnungen zu gründe gelegt werden sollen und die ein be- 
stimmtes EUipsoid thunlichst scharf geometrisch zu kennzeichnen 
haben. Man erhält weiter: 



6* -= 0,006674372096 [7,8244104.149 - 10] 

H = 0,003342773114 [7,5241069.005 — 10] 

m = 0,003348360149 [7,5248321.645 — 10] 

8 = 0,006719218662 [7,8273187.745 - 10] 



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(3) 



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$ 1. Elemente der Meridianellipse. § 2. Koordinaten in der Meridianellipse. 39 

n» -= 0,00000280289463 tt* = 0,00001 1 174132 

n» = 0,00000000469256 «' = 0,000000037352 

»* = 0,00000000000786 fl* = 0,000000000125 

c* -= 0,000044547243 m* -= 0,00001 121 1516 

e» -= 0,000000297325 m» = 0,000000037540 

c« — 0,000000001984 m* = 0,000000000126 
e" — 0,000000000013 
2 log (1 — ji) = log (1 - e«) = 9,9970916.4046 - 10 

log -äTT?" — log (1 + »») = 0,0014517.4521 

log (1 — w) = 9,9985433.8566 — 10 
log (1 -f tt) = 0,0007264.8124 
■ log (1 - n) = 9,9992723.0147 — 10. 

Vorstehende Zahlen sind einerseits mit Anwendung des Thesaurus 
logarUhmorum completus Ton G. Vega (Leipzig 1794) berechnet, andrer- 
seits znr Eontrolle durch direkte abgekürzte Multiplikation und Division 
und mit teilweiser Benutzung der Rechenmaschine von Thomas^ die 
letzten llzifErigen Logarithmen sind direkt durch Reihenentwicklung 
gefunden worden. Diese Zahlen sind im Folgenden stets m gründe gelegt. 
Wir fQgen hier noch bei die Zentriwinkel, welche zu Arcus 1 
gehören (S. 32): 

q" = 206264,806247 [5,3144251.332] 

p' — 3437,74677078 [3,5362738.828] 
p« -= 57,2957795131 [1,7581226.324], 

sowie den Zahlwert fSr den Modulus des Briggischen Logaritbmen- 
systems: 

M = 0,43429448 19 [9,6377843.1 13 - 10] . 

§ 2. Koordinaten in der Meridianellipse. Wir zahlen rom 
Mittelpunkt M aus auf der grofsen Axe und kleinen Axe die recht- 
winkligen Koordinaten x bezw. «, Fig. 1, und haben alsdann be- 
kanntlich 

Diese Gleichung wird erfüllt durch die Substitutionen 

rc =» Oq cos /J ;ef — feosin/J, (1) 

deren unabhängige Variable ß redwierte Breite heifst.*) Sie entsprechen 



*) Nach Puisiant, TraiU de 04ode9ie, ist der Anedruck von Legefidre. 

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40 



1. Kapitel. Das abgeplattete Rotationsellipsoid. 



der bekannten geometrischen Konstruktion aus umschriebenem und 
eingeschriebenem Kreis. Die Lage eines Punktes P ist durch ß voll- 
ständig gegeben; gewohnlich dient aber 
die geographische Breite B zur Bezeich- 
nung derselben. 

um die Beziehung der letzteren zu 
a?, z und ß zu finden, verschieben wir P 
unendlich wenig in Richtung wachsender 
B nach JP'. In dem dadurch entstehenden 
unendlich kleinen rechtwinkligen Dreieck, 
dessen Hypotenuse das als geradlinig 
zu betrachtende Bogenelement dM der 
Ellipse ist und dessen Kathetenlängen 
die absoluten Werte — dx und dz haben, 
ist der Winkel bei P' gleich B bis auf 
einen unendlich kleinen Fehler, der gegen 
B verschwindet. Man hat nun 




Fig. 1. 



tanJ5== 



dx 
dz 



Aus obigen Formeln für x und z folgt aber andrerseits : 
— drc = «0 sin ßdß dz = \ cos ßdß\ 

setzt man dies ein und berücksichtigt den Wert von a^ : h^ nach § 1 

S. 37, so folgt 

tan/5 — l/l — e^tanJS. (2) 

Eliminiert man hiermit tan ß aus den goniometrischen Formeln 
1 . « tan p 



COS/J 



sin ß < 



}/l -f- tan«(J '^ |/1 + taii»j3 

und multipliziert sodann rechter Hand Zähler und N«nner mit cos By 
so wird 



cos ß = 
sin ß = 



wobei gesetzt ist: 



cos B 
]/i — 7*"8in*B 

|/l~-^^ sin B 
yi — 6* sin* 5 



cos B 



_ |/l — e* sin JB 
~ . W 



W=yi — ^sin^B. 
Durch Auf losung nach sin B und cos B folgt hieraus 

|/ r— ^ cos ß^ 

w 

sin ß sin ß 



X, l/l — e' cos ß 

cos £ «= V_ =^ 

]/l — c* cos* p 



sin B = 



1/1 — e« cos* (3 



(3) 



(4) 



(5) 



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§ 2. Koordinaten in d. Meridianellipse. § 3. Verwandlung d. geograph. Breite. 41 

sowie Ww = yi — c* (6) 

w = yi — e^cos^ß. (7) 

Aufserdem erhält man für x und js durch Substitution der letzt- 
gefundenen Werte f&r cos ß und sin ß: 

a^ C08 B Op cos B \ 

^"Vl-.«sin«¥" ^ 

_ gp (1 — c«) Bin B ^ Op (1 — g *) sin B | ^ ^ 

^~ yi — c> sin« B "" ^ j 

Nach diesen Formeln kann man x und J8 nicht für die ganze 
Ellipse berechnen, sondern immer nur für eine Hälfte auf einer Seite 
der kleinen Axe, weil B nicht, wie es die Formel tan J3 «=» — dxids 
fordert, von 0® bis + 180^ gezählt wird, sondern nur bis + 90^. Es 
kommt aber in der Thai nur die eine Hälfte in betracht. 

Der Abstand MK' des Durchschnittspunktes der Normalen von 
P mit der Rotationsaxe ist gleich {x tan B — z)] also ist auch 

Dieser Abstand beträgt demnach im Maximum gegen 43^°^. 

§ 3. Yerwandliing der geographischen Breite in reduzierte 
und umgekehrt. Es ist 

' " (1) 



taaB ' 1 + « 

Hiermit kann man B in ß verwandeln und umgekehrt. Man 
hat z. B. für 

JB = 52" 30' 16,7" 



log tan 5 = 0,1150923.1 

log Vi - e» =-^ 9, 9985458.2 

log tan /3 = 0,1136381.3 

/J -= 52» 24' 43,01" 



-.ol 



0,1150923.336 | 

9,9985458.202 — 10) 
"0,1136381.538 
520 24' 43,01144". 



Die erste Rechnung ist mit 7ziffi*igen Logarithmen geführt, die 
achte Decimalstelle der Proportionalteile aber zur Erhöhung der 
Sicherheit beigeschrieben. Dadurch wird log tan ß höchstens auf 
V2 Einheit der siebenten Decimale unsicher und ß nicht mehr als 
0,02" fehlerhaft Die zweite Rechnung mit 10 Decimalen ist nicht 
entsprechend genau, weil hier die 10. Stelle nicht so scharf bestimmt 
ist als dort die 7. Stelle.*) 

*) Nach BremücersV oirede zu seiner Ansgabe von Vegas 7ziffrigen Logarithmen 
iflt zwar die 10. Decimale der Logarithmen der Zahlen im Thes. log. sicher, aber 
nicht die der trigonometrischen Funktionen, wo Fehler bis za 4 Einheiten vor- 
kommen. 



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42 1* Kapitel. Das abgeplattete Rotationsellipsoid. 

Um mittelst Tziffriger Logarithmen eine gröfsere Schärfe als 
oben zu erreichen, hat man Formeln für (B — ß) aufgestellt, deren 
wichtigste wir hier ableiten. Aus (1) folgt durch Auflosung nach n: 

_ tan B - tan p an jB - ß) ,^v 

^* tan-B + tanp sin {B +'p) ' W 

Für den Augenblick B — ß = u gesetzt, folgt mit Benutzung 
der Relation JB + /J = 2J5 — m 

sin u <» n sin (2jB — u). (3) 

Wenn man rechts den Sinus auf lost und sin u und cos u nach 
Potenzen von u entwickelt, findet man leicht eine Reihe für «. Wir 
schlagen indessen einen andern noch oft zu betretenden Weg ein, 
nämlich den. der Einführung des Imaginären. 

Sei i = Y— 1 und € die Basis der natürlichen Logarithmen, 
so ist*) 

Multipliziert man mit £•** und reduziert auf £****, so wird 

2iu = log nat (1 + W£*'^) — log nat (1 + ne^^*^). 

Beide Logarithmen verwandeln wir in Reihen und erhalten, da 
w < 1 ist, die konvergente Entwicklung: 

g2»fi __ j-2iÄ ^j ^AiB _ g— 4«Ä ^8 g«»J» _ j— 6.B 



^ *• 2t 2 2t "^ 3 2t 

oder 

5-/J = wsin2JB--^sin4JB + ^sin6-B — ^sin8JB+... (4) 

Vorstehende Formel giebt den Arcus-, für Sekunden ist rechts 
mit q'' zu multiplizieren. Das Glied mit n* hat auf die 5. Decimale 
der Sekunden keinen Einflufs. Wir setzen daher: 



ß^B = [2,5382285.2n] sin 2J5 
in Sekunden ^ [9,76203 — 10] sin 2B cos 2B 

+ [6,61» — 10]tiii6BH 



(5) 



sm« 2-. 



f'" + «■ 



-tu 



2 

w* m' I** 

log nat (1 + u) = M - -^- + - - - -^ + . . . ; 

mod 1* < 1 . 



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§ 4. KrfimmangsTaditts im Meridian. 



43 



Vertauscht man in Gleichung (1) B mit ß, n mit (— w), so bleibt 
sie ungeändert Man hat daher aus (4) durch dieselbe Vertauschung 

B — ß -=[2,5382285.2] sin 2i8 
In s.k»>d«> _j_ |-9 76203 - 10] sin 2/3 cos 2ß (6) 

+ [6,51 — 10] als «/» H 

Fflr B = 52" 30' 16,7" giebt (5), wobei das 1. Glied mit 8 
richtigen Decimalen berechnet wurde: 



2,5382285.2« 
r8in2J = 9,9849249.3 
2,5231534.5» 
- 5' 33,54425' 



9,76203-10 
9,98492-10 
log cos 2B = 9,41326«- 10 
"9,16021.-10 
— 0,14461" 



6,51.-10 

logsin 6. B = 9,85«— 10 
6,36—10 

+ 0,00023" 



ß- B^^'-b' 33,68863" ß «= 52» 24' 43,01 137". 
Ist man im Besitz einer Tafel für Wy so kann man sich der 
Formeln 

a sin 2^ üB\Ji2ß 



sin (J5 — ß) 



2W 



2U^ 



(7) 



bedienen y um B — ß zu finden. Sie folgen leicht aus sin {B — ß) 
= n sin (J5 + ^), wenn rechter Hand aufgelöst und B oder ß elimi- 
niert wird (S. 40). Von sin {B — ß) gelangt man zu (B — ß) in 
Sekrmden mittelst des EUlfslogarithmus S (S. 33). 

Für B = 52<> 30' 16.7" ist log sin 2B = 9,9849249.3-10 

— log Tr= 0,0009142.5 
log 4 — 7,2230769.0—10 



Summa 
S für 334" 



7,2089160.8 
4,6855746.7 



log (-B — /J) = 2,5233414.1 

B — ß^b' 33,68863" ß = 52« 24' 43,01137 '. 

Zur bequemen Anwendung von (7) gab BremiJcer in seinen Studien 

Über höhere Geodäsie 1869 eine Tafel für log . . ^ mit 8 Decimalen, 

® Bin 2B ' 

sodafs man nur log sin 2 £ zu addieren braucht, um B — ß in Sekunden 

zu erhalten. Ist ß gegeben, so hat man B ^^90 — ß als Argument 

der Tafel und sin 2/3 fQr sin 2B zu nehmen. (Im Auszug und auf 

7 Decimalen bei AWrecht S. 198.) 

Eine Tafel für B — /J auf 2 Decimalstellen giebt ÄWrecht S. 197. 

§ 4. Krflmmungsradius im Meridian. Bezeichnen wir den- 
selben mit Qm, 80 iflt einerseits (Fig. 1, 8. 40): 



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44 1- Kapitel. Das abgeplattete RotationsellipBoid. 

Qn,dB = dM', (1) 

andrerseits hat man aus dem unendlich kleinen Dreieck ^ welches an 
dM angrenzt: 

dM = dz : cos B] 

somit ist 

dl 

^''' d (ein B) ' 

Führt man hierin z nach (8) S. 41 ein, so folgt: 

_ gpft — g*) _ [ 6,8017361.042] ,.. 

Diese Formel giebt Qm, falls eine Tafel für W vorliegt, sehr 
bequem. Die Anwendung des binomischen Lehrsatzes auf den Nenner 
in (2) ergiebt andrerseits: 

Pm = «o(l-0(l + f^8in*5+^^sin*B + ?5e68in«B+..;),(3) 

und diese Formel würde ganz geeignet sein, um ein einzelnes Qm, 
teilweise durch direkte Multiplikation, teilweise mittelst TzifiEriger 
Logarithmen, auf 9 bis 10 Ziffern scharf zu berechnen. Eine Tafel 
für log pm auf .7 Decimalen giebt AUbrecht S, 199. 

Eine Tafel für log — ^ auf 8 Decimalen gab auch Börsch in 

seinen Tafeln für geodätische Berechnungen für 5 = 35 his 7P, (An- 
lage zum Programm der hohem Gewerbeschule in Kassel). 

§ ^. Berechnung von log W. Im einzelnen Falle wird man 
log {e sin B) ■= log sin ^ setzen, womit log W in log cos ^ übergeht. 

Bei Berechnung einer Tafel jedoch ist eine Reihenentwicklung 
vorzuziehen. Man hat sofort: 

log W^ - -i- M{f Bin'B + -^ sin* B + -^ sin« JB + ^sin» £ + . . .) (1) 

Hier hat das 3. Glied noch auf die 7. Decimalstelle, das 4. Glied 
auf die 10. Stelle Einflufs. 

Eine stärker konvergierende Reihe erhält man durch Einführung 
der Hilfsgrofse n und- der trigonometrischen Funktionen, der Viel- 
fachen von B. Anstatt dies fElr jede Potenz von sin B einzeln 
auszuführen, entwickeln wir allgemein mittelst Einführung von 

cos 25 = - (£**^ + £-^'^). Man hat nach und nach, unter Be- 
achtung der Relation c^ ==» 4n : (1 + w)^; 



i/i 2 ~To l/i c' , e« ^ ^ yr+ 2n cos 2B + n« 

yl - e^ sin^ B = ^ 1 - -^ + "T ^^® ^^ "" "^^"1"+ ^^ 



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§ 6. Berecimnng von log TT. 



45 



also 



W 



_ 1/(1 + ne*'') (1 + nt-"*) 



1+n 



(2) 



Nun gilt aber fiOr die beiden Faktoren des Radikanden die 
Formel (S. 42): 

log nat (1 + nc±«'«) =. nc±»'* - -~ e±*'* + -^ «±6«« . 

Addiert man die Logarithmen beider Faktoren und geht von 
den Exponentialgröfsen zu den Cosinus über, so wird für Brigg. 
Logarithmen: 



log W = 



-log(l+n) 
+ Mn cos 2B 
— ilf-^cos 4:B 



+ Jr-^ooi6B — • 



[9,9992735.1876 - 10]) 
+ [3,8615877.0] cos 2B 
+ [0,78436n] cos 4JB 

+ [0,88 — S]ooi6BH 



(3) 



In den periodischen Gliedern sind die Zahlwerte der Eoefficienten 
in Einheiten der 7. Decimalstelle des Logarithmus 'angesetzt. Die 
Logarithmen der KoefGcienten zeigen, dafs bei 7stelliger Rechnung 
schon das Glied mit n^ wenig Einflufs hat. 

Für B = 52« 30' 16,7" ist log W= 9,9992735.188 — 10 

- 1882.983 

+ 5.270 

+ .005 



log W= 9,9990857.480 - 10. J 

Die Formel (3) hat vor (1) nicht nur den Vorzug stärkerer Kon- 
vergenz, sondern auch den bei Tabellenrechnung hervortretenden, dafs 
bei ihr die Periode der hohem Glieder kleiner ist, als in (3). Es sind 
daher z. B. nur halb so viel Werte des Gliedes mit cos 2B zu berech- 
nen, als solche mit sin^B. Diesem Werk ist eine T^|l für log W 
auf 10 Dedmalstellen beigegeben von £ = 47 bis 57^^03 eine Tafel 
für log W und log w auf 8 Decimalstellen, J8 und /J = 0« bis 90«. 
Beide Tafeln sind nach Formel (3) berechnet 



Encke rechnet (a. a. 0. S. 328), wie zaerst angegeben: mittelst lOstelliger 
Logarithmentafeln erh&lt er zu log sin ip direkt log cos ^ , wobei zur Inter- 
polation die abgekürzte Reihe dient: log cos ^ « log cos % — tan' ^"^^^ 

X (log sin '^ — log sin iPq\ in welcher % das nächstgelegne runde Argument 
der Tafeln ist Die Rechnung nach Formel (3) dürfte indes ebenso bequem 
sein, und zwar hat man, wenn die Tziffingen Logarithmen der Zahlen und 



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46 1- Kapitel. Das abgeplattete Botationsellipsoid. 

trigonometriBchen Funktionen besonders eingebunden sind, kein weiteres 
Aufschreiben nOtig, als ftir den resultierenden Wert der Glieder der Reihe 
selbst. 

§ 6. Rektifikation des Meridianbogens. Dieselbe läfst sich 
mittelst der Formel dM^^^QmdB bewirken^ wenn pm als Funktion 
von B dargestellt ist. Die Integration ist ohne Reihenentwicklung 
Dicht möglich. Um integrieren zu können ^ müssen in der Reihe (3) 
S. 44 die Sinuspotenzen in trigonometrische Funktionen der Viel- 
fachen von B verwandelt werden. Die stärkste Konvergenz der hier- 
bei auftretenden Eoefficientenreihen giebt die Anwendung von n. Mit 
Rücksicht auf (2) S. 45 folgt in diesem Falle, wenn im Ausdrucke 
für pm für 1— c^ gesetzt wird (1 — «)* : (l-|-w)*, ohne Schwierigkeit: 

dJlf=ao(l ~n)(l— n«) {(1 -f n««'*) (1 -f n«-«'^))~ « dB. (1) 
Nun ist 

3 

(1-f W£±««)"^=l-|n£±«»^+~n«f±^^-~gn»£±6'«-f ?g^^ (2) 

Multipliziert man die beiden hierin enthaltenen Reihen und führt 
statt des Imaginären die Cosinus ein, so folgt: 

dJlf-=ao(Jo— JjC082B+2^4Cos4B— 3^co86J5+4^8C0885 )dB (^) 

^, = (l-n)(l-n«) J3» + ^n»+-.) 

^, = (l-«)(l-n»)|^»*+^«* + ...) } (4) 

A = (l-n)(l-««)|»|n» + ...} 

A-(l-»)(l-«»)(Sn* + ...). 

Die In^ffiation giebt nunmehr für den Meridianbogen M vom 
Äquator bis mu* Breite B: 

itf=ao(^B— |^gSin2B-|-i^^8in4B— iuäcsineB-f^^gsinSjB ).(5) 

Subtrahiert man die Ausdrücke für 2 Werte B^ und B^ und setzt 

B,-B,^JB \{B, + B,)^B, (6) 

SO ergiebt sich für den Meridianbogen JM von B^ bis JB,; ^%> ^v 
unter Anwendung der Relation sin A B^ — sin A B^ = 2 cos A J5 sin — z/ B : 



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§ 7. Die Koefficienten Ä, 



47 



JM=ai 



.....h') 



(8) 



\ — A^GOsGBnmS^B'^- A^coB8Bain4jdE 

Hierin sind B und jdB als Arcus zu verstehen. Ist ^£ in 
Sekunden gegeben^ so hat man zur Berechnung des Arcus: 

z^J5 = _V(z^J5iBS6k.). 

Die Konvergenz der vorstehenden Reihen erhellt daraus, dafs 
die (2) wegen n < 1 absolut konvergent sind, ebenso ihr Produkt. 
Die Integration verstärkt die Konvergenz wege« auftretender Divisoren. 

§ 7. Die Koeffleienten A. Die Konvergenz der Reihen f&r die 
Ä wächst, wenn man sie mit (1 — n^)^ ausmultipliziert. Es folgt 
damit: 

^ = TTir(«-i- «'-•••) 



•)1 



36 



24 (1 + n) 
316 



(n*-...) 



(1) 



^ 266 (1 + n) 
Dagegen geben Entwicklungen für M mit e^ oder m Folgendes: 



4 * 64 ^ 266 * 



176 
16884 






^ ~ "66636" (^ + "") 



(2) 






85 



315 



A=:^K + -):Vl+«'. 



(3) 



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48 



1. Kapitel. Das abgeplattete Rotationsellipsoid. 



Am ungünstigsten sind die (2); auch die (3) sind weniger gut 
als die (1), wie mit Bücksicht auf die Beziehung m gleich nahezu 
2ny leicht zu ersehen ist. 

Die Entwicklung mittelst e* giebt bereits Ddambre in seinen Mähodea 
andlytiques (1799) bis e^. Formeln mit m gab Puissant, TraiU de G4odSsiej 
Band 1 nnd neuerdings Ph. Fischer in seinen Untersuchungen; Bessel be- 
nutzte n {Abhandlungen Band 3, S. 44) 1837. Die Einführung von a oder 
YOn Sinuspotenzen gewährt keine Vorteile, wie Verf. sich überzeugt hat. 



§ 8. Elnfnhrnng ^er mittlem Länge 6 eines Meridiangrades. 

den Mei 
zu setzen ist: 



Für den Meridianquadranten wird nach (5) S. 46, indem B = ^ 



Mer. Quadr. 



2 



(1) 



Setzt man ihn andrerseits gleich 90 6r, so hat man sofort für G 
die Formel: 






«0, 



(2) 



Für den Meridianbogen M vom Äquator bis zur Breite B folgt 
hiermit: 

M= G { J5 In Graden 

--|(»^(n-|n»)sin2J5 
+ ^(f'(n'-Y^')Bm4B 



815 



} 



M = [5,0457946.544] B m G»den 

+ [4,2038114.754.] sin 2B 
+ [1,2234947] sin 45 

+ [8,838}* — 10] sine B 
+ t^« — 10) »in 8£ H 

Jlf = 111120,6196090 5inOn«ta. 
— 15988,63821 sin 2B 
+ 16,72995 sin 45 

— 0,02178 (ine £ 

+ 0,00008 sin 8£ .^ . 

Dagegen ist fQr den Meridianbogen ^M von Bi bis B^ : 



(3) 



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§ 9. Kleiner Meridianbogen. 



49 



- 3p® {n^^n^^^ cos 2B sin JB 
+ ^ p« (n« — y n*) cos 4-B sin 2z/B 



85 



, 815 



(4) 



, i^n* eoM SB Min lJB-\ | 

Z/Jf = [5,0457946.544] [JB mOrnden 

+ [9,4590468.167« - 10] cos 2B sin ^B 
+ [6,4787300 — 10] cos 4B sin 2^B 

+ [8,59S4n — lOj ooueBuinSJB 

+ [0,74« — 10]ooa8iliin4^J3H } • 

In Bezug auf die in (3) und (4) auftretenden Eoefficienten der 
periodischen Glieder, welche Eoefficienten durch Division von Äq in 
A^f A^'" entstehen, ist zu bemerken, dafs wegen des kleinen Wertes 
Yon n fOrs Erdellipsoid die Eonvergenz nicht zweifelhaft bleibt, da 
A^ abgesehen yon dem sich hebenden allgemeinen Faktor aller A die 
Form l -{- u hat^ wo u eine so kleine Gröfse ist, dafs der reziproke 
Wert Ton 1 + u jedenfalls, nach Potenzen von u geordnet, eine 
absolut konvergente Reihe giebi 

Die Berechnnng einer Tafel nach Formel (3) kann mit 7ziffrigen Loga- 
rithmen erfolgen, wenn man aufserdem im Besitze einer lOziffrigen direkten 
Tafel der Sinns ist, um fcir das 2. Glied 16000 sin 2B bilden zu können. 
Eine solche Tafel von Grad zu Grad, welche ausreicht, fügte unter andern 
Hoüd seiner Tafel 5 zifFriger Logarithmen bei. Die Tabelle der Meridian- 
bögen schreitet dann zunächst von 80' zu 80' vor und wird d w wt h Inter- 
polation verfeinert. Wenn die Tafel aber nicht in sem: engem Intervall 
interpoliert wird, hat sie wenig praktischen Wert. 

JEncke geht bei Berechnung einer Tafel der Meridianbögen (a. a. 0.) 
nicht von einer dieselben direkt gebenden Foimel aus. Er berechnet 
rielmehr zun&chst nur die Bogenlängen für 1^, welche zu den Meridian- 
krdmmungsradien gehören, im Intervall von 30'. Durch mechanische 
Quadratur folgt hieraus dann die Tafel der Meridianbögen. Die Enckeache 
Tafel bezieht sich auf Toisen. FOr Meter gab Barsch von B — > 35^ bis 71^ 
eine Tafel in den oben genannten Tafeln für geodätische Berechntmgen. 

§ 9. Kleiner Meridianbogen. Für den Fall, dafs der Meridian- 
bogen eine Lange von nicht mehr als einigen Graden hat, führt man 
mit Vorteil den znr mittlem Breite B gehörenden Radius Qm ein. 
Es ist nach S.^ 47 (7) und S. 46 (3): 

JM= Uo {A^^B — A^ cos 2 J5 sin JB + A^ cos AB sin 2 dB 

— A^ cos 6 J5 sin 3^JB + A^ cos 8 JB sin 4z/ JB ) 

Helmer t, nuthem. a. phyiikel. Theorieen der hob. Oeodftile. 4 



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50 1- Kapitel. Das abgeplattete Eotationsellipsoid. 

— AfiC08GB.3JB + A^cosSBAJB )• 

Hieraus folgt durch Subtraktion sofort mit Beachtung der Sinus- 
reihe S. 28: 



JM = (f„,JB + üqA^ cos 2B ( 
— 00-^4 COS AB i 



. 6 


120 


+ 


. 6 


_...) 


+ 



(1) 



wobei die weggelassenen Glieder unerheblich bleiben, wenn man ein 
bis zwei Zehntelmillimeter y ernachlässigen kann. Es ist nämlich rund: 



(2) 



«0^2 = 31977 a^A^ = . 04 ^« — t^tj 

«0^4 = 33 %A^ = . 00006 A^ = thuVtiü 

und man findet leicht, dafs für 

^B — 0,1 d. h. Z/J?IB Graden — 5,7 

die ersten weggelassenen Teile der Glieder den Betrag von 0,2"''" 
nicht übersteigen. 

Da oftmals log ^M verlangt wird, reduzieren wir nun darauf; die 
Rechnung wird ^r JM selbst dadurch nicht komplizierter. 

Wir setzen ^M^^ Qm^B (1 + m) und beachten die Reihe für 
log (1 + ^) 3- 27. Im vorliegenden Falle ist u im Maximum nahezn 

-^9 also riAifir; man kann daher das Glied mit «* vernach- 
lässigen, denn es würde die 10. Decimale des Logarithmus nicht 
beeinflussen. Damit wird 



log JM= log (-^4^) + ß^JB" + (i.JB* + - 

für ^i? in Sek. 
p^ «ur Mittelbreite i? =■ — (fi, + Ä,) gehörend, I /gN 

ß^ «= ^^ (^ COS 2B - 8A0O.4B + - ••) 

Für die Werte von log/S^ und log ß^ wird man ein Täfelchen 
anlegen; es genügt, die ersteren auf ö, die letzteren auf 2 Decimal- 
stellen zu berechnen. Dabei ist es vorteilhaft, die Ausdrücke um- 
zuformen. Zu dem Zwecke setzt man in /S^ an Stelle von Qm den 
Wert ÜQ {Aq — A^ cos 2B) und in ß^ einfach a^Ai^. Die Fehler betragen 
dann nur jjsihisji bezw. ^^^ der betreflFenden Glieder. Es wird nun 



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§ 9. Kleiner Meridianbog^n. 51 

ßt - ^ (^ ««8 2B - 8 ^ cos 4B + •••): (l — ^- 00825+.;) 

Man hat aber die nachfolgenden Ausdrücke für die Quotienten 
der Ä: 

^_3(.-|».+....) ^_»(„._i„. + ...), 

kann jedoch bei den ersten Gliedern dieser Reihen stehen bleiben^ 
ohne die zehnte Decimale von log z/ Jf zu beeinflussen. 

Zugleich setzen wir für den Divisor in ß^, welcher die Form 

1 — u hat, den Faktor 1 + tt + w* H ^^^ lassen das quadratische 

Glied weg, was im Maximum hf^tfif des Wertes von ß^, d. h. beinahe 
eine Einheit der 10. Decimale, Fehler giebi Hiermit findet sich unter 
Substitution von cos AB «= 2cos* 2B — 1 



184 — -~-,/ä^ (cos 2J5 -7noo.*8B + 6n+..) 



nMod. OOB 2B 



(4) 



40^"« "^ 26 q"* 



Setzt man für n die Entwicklung nach 6^, so ergiebt sich 



/S4 = -^^^^ (cos 2B+ 6«* iln* Ä~ ?«• Bin* Ä+ . • •) , (5) 

welche Form des Koefficienten Andrae benutzt {Den Banske Grad- 
maaiing, 3. Bd. S. 291). 

Die Formel (3) giebt, wie aus obiger Entwicklung hervorgeht, 
die 10. Decimalstelle des log ^M erst bei z/J? <» 0,1 nicht mehr 
ganz scharf. Analytisch genommen vernachlässigt sie Glieder 9. und 
höherer Ordnung, wenn e und JB als Glieder 1. Ordnung angesehen 
werden. Die gleiche Genauigkeit hat die Formel 

iog^5ü.8.. = iog(^)-/j,(^)*-^.(-i:^y+....(6) 

welche aus Formel (3) folgt, wenn man nach ^B auflöst. Zunächst 
steht rechter Hand als Faktor von ß^ und ß^ eine Potenz von jJB\ 
dies kann man aber durch g'^MiQrn ersetzen. Da nämlich in 
Formel (3) der Maximalbetrag des Gliedes mit ß^ 35000 Einheiten 
der 10. Decimale ist, so ist ^B in Sek. = q'^M: p«, bis auf ttj-ö^tj^j 
seines Betrages."^) 

*) Ist der Fehler in der Zahl Z gleich — Z, so ist er in log Z gleich -, 

wie die Reihenentwicklung zeigt. 



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52 



1. Kapitel. Dae abgeplattete EotatdonBellipsoid. 



Der Fehler, welcher im Gliede mit ß^ bei Formel (6) entsteht, wird 
daher ^T^lririr ^^^ Betrags. Hiernach ist die Genauigkeit von (6) 
wesentlich dieselbe wie von (3). 

Die Berechnung von ^B nach Formel (6) ist eine indirekte, 
weil Qm von z^B abhängt, insofern es zum Argument B gehört. Man 
mufs also mit einem Näherungswerte von Qm die Rechnung beginnen 
und mit dem erhaltenen ziB alsdann Qm und ziB schärfer bestimmen. 

Übersichtstafel für ß^*) 



K 


ft 




für Einheltui der 7. D.O. 


0» 


+ 85161 : 


10»» 


2,93024 — 


10 


45 


+ 715 


n 


0,85443 


» 


47 


- 5250 


}f 


1,72018, — 


10 


48 


— 8228 


f> 


1,91528, 


}} 


49 


- 11196 


V 


2,04907, 


}} 


50 


— 14153 


n 


2,15084, 


n 


51 


— 17094 


w 


2,23284, 


yy 


52 


— 20015 


yy 


2,30136, 


w 


53 


-22914 


V 


2,36009, 


» 


54 


— 25786 


n 


2,41138, 


w 


55 


— 28627 


7} 


2,45677, 


;> 


56 


— 31435 


ff 


2,49742, 


w 


57 


— 34206 


" 1 


2,53410, 


yy 


90 


— 85734 


» 


2,93315, 


7> 



Für 5 = 45" und ^.B = 5» giebt Formel (4) S. 
5,7447601.171. Dagegen giebt Formel (3) des 



49 log^M 
laufenden § 



log JM = 5,7447600.939 + .232 + .000 also dasselbe. ^M 
= 555597,2879«». 

Für B '=(f und JB == 5" wird ebenso beziehungsweise erhalten 
5,7425852.343 und andrerseits 5,7425824.761 + 27.5925 — . 0105 
d. L dasselbe. ^Jlf = 552821,8937-». 

Vernachlässigt man die Glieder mit ß^ und /),, so wird der Fehler 
im Maximum fttr JB = 10' in ^ Jf gleich 0,0001"» 
„ JB = 1» „ JM „ 0,03'» 
„ ^J? = 5,7«„ JM „ 5™. 



*) Kann leicht durch Interpolation spezialisiert werden. 



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§ 10. Berechnung der geographischen Breite des Endpunktes u. s. w. 53 

§ 10. Berechnung der geographischen Breite deg Endpunktes 
eines Ton gegebenem Anfangspunkte ausgehenden Meridianbogens. 

Wir setzen für den vom Äquator ab gerechneten Meridianbogen M 
die Beziehung fest: 

^^-<^- (1) 

Alsdann haben wir nach S. 48 (3) für 6 die nachstehende Gleichung^ 
worin JB als Arcus zu verstehen ist: 

6=B- |(n-|n»)8in2-B + -J^-n«sin4If--j^«»sin6B + ....(2) 

ffierin sind die Glieder mit n^ u. s. f. vernachlässigt^ da sie 
höchstens einige Hundertel Millimeter geben. Die Differenz 6 — B, 
welche jetzt als Funktion von B erscheint, stellen wir nun als solche 
von ö dar. Da (p — B) augenscheinlich im Verhältnis zu B und 
also auch zu 6 eine kleine Gröfse ist, stöfst diese Rechnung auf 
keine Schwierigkeit. 

Zunächst bilden wir mittelst (2): 

9 

sin 26 = sia2J5 cos jSw sin 2B — -- v? sin 45 -| } 

— cos2J?sin J3wsin2JS— ^|-n«8in45+...) • 

Indem wir die Reihen für Cosinus und Sinus beachten und kon- 
sequent n? u. s. f. vernachlässigen, wird hieraus: 

8in2<r=sin2i^— 3nsin2Bco82B-|n2sin'21f+yn^co82J5sin4B ...(3) 

3 / 3 w* \ 

Multiplizieren wir dies mit ^- \n —j beiderseits und addieren 

Seite für Seite zu (2), so folgt: 

= 5~-^|n«sin45~ 32^-w3sin2i? + -^^n3sin6B , (4) 

wobei zur Reduktion der in fi? multiplizierten Glieder die Relationen 

sin» 22? = 4- sin 25 — J sin 6JB 

COS 2J5 sin 4-B = -^ sin &B + ^ sin 2B 

benutzt und Glieder mit »* u. s* f. vernachlässigt sind. Aus (2) folgt 
weiter mit Vernachlässigung von n? u. s. f. 



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54 1* Kapitel. Das abgeplattete RotationBellipsoid. 

sin 4(y = sin 4 J5 cos (6n sin 2 JB H ) — cos 4 JB sin (6n sin 2 J? -| ) 

also 



sin4(y = sin 4-B — 6n sin 2B cos 45 + 



(5) 



21 



Multipliziert man dies mit -^ w* beiderseits und addiert es zu (4), 

so folgt ebenso genau als bisher^ wenn man zugleich für 2 sin 2 J? cos iB 
den Wert sin 6J5 — sin 2B einführt und überhaupt etwas zusammen- 
zieht: 

tf + Y (w ^) sin 2<y + -jg- n^ sin Aö 



32 



= £ -|_ _Z^ w» sin 2JB 



151 
96 



n^sinSB + 



Nimmt man die kleinen Glieder alle auf die gleiche Seite mit 6 und 
setzt in denselben^ soweit sie noch B enthalten, 6, so giebt das nur 
Vernachlässigungen von Gliedern mit n* u. s. f. Man erhält schliefslich 



B = ö +^Q"(n^-~ n») sin 26] 



in Sek. in Sek. 



I '96~^ n>8in6aH 



6 = 

in Sek. 



3 600 Jf 
G 



(6) 



Man kann diese Formel auch nach der Methode der unbestimmten 
Eoefficienten ableiten; die hier gegebene Entwicklung zeigt aber zugleich 
auch deutlich die Zulässigkeit des Verfahrens. 

Zur Berechnung der geographischen Breite B^ aus J?| und der 
Länge ^M des Meridianbogens P1P2 ist es am einfachsten, für ^B 
eine besondere Formel herzustellen. Wendet man Formel (6) auf B^ 
mit 6^ und auf B^ mit 6^ an und subtrahiert, so folgt, wenn man 

0^ — tfi mit J(f und — (ö^ + ^1) °^i* ^ bezeichnet: 



in Sek. in Sek. 



JB = J6 + 3(>" (n-4r nA cos 2ö sin ^6 

<» CaV 4« SaV, ^ 16 / 

21 

+ -g p"w* cos 46 sin 2^tf 

-| — — q" n* ooB Ba Bin S Ja -\-' • ' 



{n Sek. 



3600 



ziJlf 



(7) 



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§ 11. Meridianbogen mitielst reduzierter Breite. 55 

Zur Berechnung von 2tf ist anzuwenden , mit Rücksicht darauf^ 
dars in (7) Glieder mit n^ u. s. f. yernachlässigt sind: 

2(y, = 2J5, — 3(>"n8in2i?i + ^^"«•■iniÄ. ) 

in Sek. in Sek. > fg\ 

26 — 26, + J6, J ^ ^ 

Diese Formeln geben für beliebige Bogenlängen JM die 5. Decimal- 
stelle der Sek. im Maximum nur etwa 1 Einheit irrig. 

§ 11. Meridianbogen mittelst reduzierter Breite. Für spätere 
Entwicklungen ist es wünschenswert, den Meridianbogen als Funktion 
der reduzierten Breite kennen zu lernen. Nach S. 40 ist wegen 

dM= Yal sin« /S + 6J cos«^ dß, 

und führt man für 6J den gleichwertigen Ausdruck aj (1 — c*) ein, 
so folgt sofort 

dM=a^yi — e^cos» ß dß. (1) 

Da es sich mit Rücksicht auf S. 47 nun alsbald zeigen wird, 
dafs es vorteilhaft ist, auch hier statt e^ n einzuführen, setzen wir 
hierin c* = 4n : (1 + n)* und erhalten 



dJJf — y^ Vt + n' - 2n cos 2ß dß. (2) 

Setzt jnan cos 2ß «= - (6**^ + *"~*'0; so zerföUt die Wurzelgröfse 

in die beiden Faktoren 

1 i_ 

(1 — «€«•/•)«" ^nd (1 — fiB-^'^y 

* 

und es ergiebt die wegen n < 1 konvergente Entwicklung nach dem 
binomischen Satz: 

(1— n«±«'/»)«" = l-^-f±2'/* — ^6±*'/*-^f±«'/*-g^6±«'^ 

Die Multiplikation der Reihe mit den oberen Zeichen und der 
Reihe mit den unteren Zeichen führt zu: 

dlf-ao(A-|^2Cos2/J-J^,co84/J~^^cos6/3~^^gCOs8/J-.. 0^/5,(3) 

wo A^ bis Jg dieselben Grofsen wie S. 47 sind. Dies zeigt sich 
ohne Mühe wenigstens insoweit, als die ersten 4 Potenzen von n in 
betracht kommen. Will man sich überzeugen, ob man ganz allgemein 
die A vor sich hat, so kann das dadurch geschehen, dafs man die 



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56 1. Kapitel. Das abgeplattete Rotationsellipsoid. 

sogenannten allgemeinen Glieder yergleicht. Es hat indes hier gar 
keinen Wert, dies auszuführen; Verfasser hat sich aber für Aq^ A^ und A^ 
von der. strengen Gleichheit mit den frühem Werten überzeugt, wonach 
auf dasselbe Verhalten für die übrigen A zu schliefsen war. 
Wir erhalten weiter für den Bogen JM von ß^ bis ß^i 

[A^Jß—^A^ cos 2/5 sin ^ß — ~^^ A^ cos 4/3 sin 2Jß\ ' 



— —- A^wn^ß BUiSJfi At cos Sß iin iJß - 



^1/ 

~~ 35" "*""""' ''''~'eä 

jß==ß,-ß, ß=.Uß, + A) 



(4) 



Diese Reihe konvergiert rascher, als diejenige mit der geo- 
graphischen Breite B und das Glied mit ^3 ist ganz überflüssig; 
dasjenige mit A^ giebt auch nur 1*^. Trotzdem also die Einführung 
von ß die Konvergenz erhöht, ist doch die Anwendung der be- 
treffenden Reihe im allgemeinen kein Vorteil, falls erst die Breiten 
der Endpunkte reduziert werden müssen und nicht direkt ge- 
geben sind. 

§ 12. Qnerkriimmungslialbmesser. Für zwei Punkte, welche 
demselben Parallelkreis angehören, schneiden sich die Normalen in 
einem Punkte K' der Rotationsaxe. Legen wir nun durch beide 
Normalen eine Ebene und lassen die Punkte einander näher rücken 
und schliefslich in einem Punkte P zusammenfallen, so ergiebt sich 
eine den Parallelkreis tangierende Vertikalebene, welche demnach im 
Tangentialpuukt gegen die Meridianebene rechtwinklig d. h. im Azimut 
90^ liegt. Der Krümmungsradius des unendlich kleinen an P gren- 
zenden Bogenelements der Oberfläche in dieser Richtung ist aber die 
Länge der Normale PK\ weil sich in K' die Normalen zweier zu- 
sammeufallender Punkte des Bogenelements schneiden, wie die vorher 
gegebene Darstellung erkennen läfsi Wir setzen 

PK' = Qn (1) 

und haben mit Rücksicht auf Figur 1 (S. 40) folgende Relationen 
für den Querkrümmungshalbmesser (Krümmungsradius im Perpen- 
dikel). Es ist 

p« == a; sec J9 = -^ (2) 

^^ ~ (1 - c«) ' 
Die letzte dieser Formeln zeigt, dafs jederzeit Qn > Qm ist d. h. 



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§ 18. KrämmuDgsradiuB in einem beliebigen Azimat. 57 

in jedem Punkt der Oberfläche ist im Meridian die Krümmung stärker 
als im Perpendikel. 

Zur Berechnung eines einzelnen Qn kann anstatt (2) auch die Formel 

(>.=ao(l + |e*8in^5 + |c*sin*2? + -^ö«sin«:B+...) (3) 

dienen; in der Regel aber wird log Qn nach der ob^n gegebenen 
Formel unter Anwendung einer Tafel für W numerisch ausgewertet. 
Eine Tafel für log (>„ auf 7 Decimalen giebt Albrecht S. 199, för 

ff 
log -^ auf 8 Decimalen Börsch a. a. 0. 

§ 13. Krflmmungsradius in einem beliebigen Azimnt. Um 

den Krümmungsradius Qa des an P angrenzenden Bogenelements der 
Durchschnittslinie der Oberfläche mit einer im Punkte P unter dem 
Azimut a zur Meridianebene geneigten Yertikalebene zu ermitteln, 
benutzt man den J?ti2^schen Satz 

1 cos'a , sin'a 

Dieser Satz gilt mit angemessener Abänderung der Bedeutung von 
^m QBd Qn fÖr jede krumme Fläche, wir beschränken uns indessen 
darauf, ihn hier für das Rotationsellipsoid allein zu beweisen« 

Irgend einen Punkt P des Rotationsellipsoids, für welchen vor- 
stehender Satz bewiesen werden soll, nehmen wir als Anfang recht- 
winkliger Koordinaten |, i}, £. In der allgemeinen Gleichung vom 
2. Grade, welche auch fürs Rotationsellipsoid als Repräsentant dienen 
kann, verschwindet dann das von den Koordinaten freie Glied, weil 
für I, 17 und t, gleich null die Gleichung richtig bleiben mufs; sie 
lautet daher: 

Q=2Al + 2Bri + 2Ct+Dl^ + Eri^ + Fi^+2Gliri + 2HU+2Irii, 

worin -4, jB, C, J9, E, F, G, JH", / gegebene Koefficienten vorstellen, 
die von der Lage des Punktes und den Axendimensionen abhängen. 
Nehmen wir nun die ^1^- Ebene tangential zur Oberfläche, also die 
Vertikale des Punktes als J-Axe, so verschwinden A und J5, weil die 
beiden DiflFerentialquotienten d^id^ unde?g:rfiy jetzt für |, ri und g 
gleich null auch gleich null werden. 

Legen wir aufserdem die |-Axe in die Meridianebene, so wird 
diese letztere I^Ebene und da sie auch Symmetrieebene ist, müssen 
G und I verschwinden, damit die Gleichung nach rj rein quadratisch 
wird. Somit findet sich nunmehr als Gleichung der Oberfläche 

= 2Ct + 2)S« + Eri^ + Fi' + 2HU' 



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58 



1. Kapitel Das abgeplattete Rotationsellipsoid. 



In der g 17-Ebene führen wir jetzt Polarkoordinaten d" und a nach 
den Relationen 

I =: ^ cos a iy = ^ sin a 

ein. Die Gleichung geht damit nach einfacher Reduktion über in 



2 _ _ . 20+ 2if»coB« + FS 
^ ~ ^ D cos« a + E sin» « ' 



+ 

und dies ist zugleich die Gleichung der Schnittkurve der Oberfläche 

mit der Yertikalebene im Azimut a. 
Ein Kreisbogen vom Radius Qay der 
die Schnittkurve in P tariert (Fig. 2), 
hat die Gleichung 

d» = g(2(,„-e); 

wählt man also Qa nach der Formel 




«r\ 



— C 



^"~ 2)co8«a + jBßin«« 



(2) 



SO stimmen die Gleichungen beider 
Kurven bis auf Glieder der Ordnung 
%' l und ^ zusammen, die fQr unendlich 
kleine ^ gegen die in l allein mul- 
tiplizierten Glieder zu vernachlässigen 
sind. Der Kreisbogen fällt sonach 
bei dieser Wahl von Qa am Punkte 
P näher an die Schnittkurve als bei irgend einer andern Annahme 
für Qa- Dieser Wert heifst daher Krümmimgsradius der Oberfläche 
im Azimut a. 

Für a = 0^ und 90® ist bezw. Qa = Qm und Qn, also 



Fig. 2. 



-J und (.. = - -J 



(3) 



Eliminiert man mittelst dieser Relationen die Koefflcienten C^ D und 
E aus (2); so folgt Formel (1). 

Diese zeigt, dafs wegen Qn > Qmt Qn unter allen Qa ein Maximum, 
Qm ein Minimum ist Qm und Qn heifsen daher Hauptkrümmungs- 
radien, 

§ 14. Berechnung von Qa. Aus (1) des vorigen § folgt unter 
Einsetzung der Werte für Qm und Qn von S. 44 und 56: 



1 

Qa 



— (yzt^ ^^^* ® + sin*« j = — (1 + d cos* B cos* «) • (1) 



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§ 16. Das Krümmungsmars. § 16. Radiusvektor a. geozentr. (veirb.) Breite. 59 

Führt man tan h «sy^cos B cos a eiu^ so ergiebt sich die bequeme 
Formel : 

log Qa = log »0 — log TT + 2 log cos Ä) 



/- I (2) 

tan A = y d cos B cos a. 

Um eine Reihenentwicklung zu erhalten, ersetzen wir den Logarithmus 
von (1 + * cos* B cos* «) durch die bekannte Reihe S. 27. Schreibt 
man in Verfolg* dessen einfach 

log Qa = log «0 — log W — Mi cos* B cos* « -| , (3) 

so ist der Fehler nicht grofser als 1 Einheit der 5. Decimalstelle. 
Für Tal. abs. £ > 45 ist aber die 6. Stelle meist noch richtig. 

Eine sehr ansfahrliche Tafel für log g^ auf 6 Stellen mit B und a als 
Argument, aber Toisenmafs, ist in Bremikers Studien . . . enthalten. 
Älbreeht giebt S. 201 eine ebensolche fOr Metermafs, aber in zu weitem 
Intervall, um bequem interpolieren zu können. Eine Tafel für Sziffrige 
Werte, die indes einige Rechnung erfordert, und auf die Entwicklung von 

geg^ndet ist, fügte Bremiker seinen Tafeln 6zifiPriger Logarithmen bei. 

§ 15. Das Krflmmnngsmafs. Nach Gaufs bezeichnet man 
den reziproken Wert des Produktes der beiden Hauptkrümmungs- 
radien mit dem Namen Erümmungsmafs. Wir setzen für die geo- 
graphische Breite B 

(1) 

(2) 







"*' —TT 




— — XI. , 

9m<fn 


das 


Krümmufigstnafs 


unter der Breite B ist also 


- 




K:al. 


Die Substitution der Werte für Qn und p« giebt 









(3) 

Eine Tafel für log ^QmQn auf 5 Decimalen und für iT auf 7 Decimalen 
giebt AJbrecht S. 199 und 213; für K auf 8 Stellen und in engem 
Intervall: Sadd>€ck im 3. Heft der Bechnungsmethoden des Zentral- 
bureaus (als Manuskript gedruckt.) 

§ 16. RadinsTektor nnd geozentrische (yerl>esseri;e) Breite. 

Wir bezeichnen den vom Mittelpunkt des EUipsoids nach einem Punkt 
der Oberfläche gezogenen Radiusvektor MP mit r, seinen Neigungs- 



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60 



1. Kapitel. Das abgeplattete BotationsellipBoid. 



Winkel zur Äquatorebene^ d. i. die geozentrische Breite, mit <p. Dann 
ist, Fig. 1 S. 40: 



X 



r cos 9? z ^= r sin y, 



(1) 



und je nachdem man aus diesen zwei Gleichungen r oder q) eliminiert, 
erhält man, unter Substitution der Ausdrucke von x und j?, q) oder r 
als Funktionen- von B: 

tan qp = (1 — e*) tan -B = . 7 tan J5 ; 



_ -i/l-e«(2-e') 8in«^ _ l/l_+_w» 1 / ^ '^ l+rn^ ''''^^ 
— %y x-eUm^B ~^ori+m 1/ l+iiico82B 



(2) 



Eliminiert man aus beiden Formeln B mit Benutzung der Relation 
sin^ B = tan* B : (l -\- tan* B)f so wird erhalten: 

«0 flo Vi — w 



. . (3) 

|/i + * 8iii> yi —mcos2(p ^ ^ 

Vergleicht man S. 41, so ist leicht zu ersehen, dafs 9 von B 
und m gerade so abhängt, als ß von B und n. Daher ist unter 
andern fQr arc (B — tp) in konvergenter Entwicklung: 

B — q> = Q"[m sin 2B - "^^ sin AB + -^.m«« ) . (4) 

in Sek. 

Aus den Formeln (2) und (3) erhält man folgende Entwick- 
lungen für r: 



logr= [logflo]/^ 



+ m 



3 3fin» 
8 



+ • 



I 



»6,8039181.997 



+ ^ (m - *J' H ) cos 2B + [3.8615853] cos 2B 



3Jfm« 
8 



COS 42J-4- 



+ — TT— ooi6i?+. 



+ [1.26148»] cos 4B 

4- [0.677 — «] coi 6fi H 



(5) 



Die Zahlwerte der Eoefiicienten sind in Einheiten der 7. Decimal- 
stelle angesetzt. 

r = a,{l-l8 sinV + 1 d^sin*,, - ^^ d'sin'ip + ^^^ (J^sin«^...) (6) 



r = a^yi — m 



Yi j- Lil 2 (niy . 1.3.6.7 l:_3/wy, y 

\ ' 1.2 ' 1 \4/ *+"l.2.3.4 ' 1.2 U/ "•"' 7 

+ (t + -64- + "7''««29 

+ (^+--)co849) 

+ (^ + ...)co869H-. 



(7) 



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§ 17. Eomplanaiion der Oberfläche. 61 

Tafeln fQr r und JB — 9) giebt Albrecht S. 195. 

Seist man aUgemein die Polargleichnng des Meridians für einen be- 
liebigen Rotationskörper in der Form an: 

r = Oq (1 — «1 sin" <p + «, sin* (p — «, sin* 9) + «4 ^^^ V * * ') » 

80 bestehen im Falle der Ellipse die Beziehungen 

2a, ssStfiCti^ 3a, SB 61X1 CK,; 4:a^ =^ la^a^; u. s. w. 

§ 17. Komplanation der Oberfläche. Ein unendlich schmaler 
Streifen dZ zwischen zwei Parallelkreisen im Abstände dM, auf dem 
Meridian gemessen^ hat als Inhalt das Produkt von dM in die (als 
gleich zu betrachtende) Länge der Parallelbögen zwischen zwei be- 
grenzenden Meridianbogen, deren geographischer Längenunterschied L 
heifsen mag. Der Radius des Parallelkreises unter der geographischen 
Breite B ist aber nach Fig. 1 (S. 40) gleich 

X =^ Oq cos /8 = a^j cos B : W. 

Wir erhalten somit fQr den erwähnten Streifen als Lihalt: 

dZ = a^L cos ßdM ^a^L cos BdM : W. (1) 

Hierin hat man nach S. 44 u. 55 als Wert von dM zu setzen: 



jiTtr ja ao(l — e*)dJ? 
dM^ a^wdß = ~ >frs ' 

womit sich findet: 

dZ^alL Vi:^^S?J cos ßdß = "Ki-^' P. ^y ^^ . (2) 

Für die Zone vom Äquator bis zur geographischen Breite B 
folgt hieraus: 

■inB 


Die Integration nach sin B läfst sich geschlossen bewirken, doch 
ist für die numerische Ausrechnung die Benutzung einer Reihenent- 
wicklung bequemer. Da 



(l~c»sin«J?)-« — 1 + 26* sin* -B + 3c*sin*5 + 4c«siD«5 + ..., 
so wird: 

Z=al{l-^)LsmB(l+^sm^B+ ~8m^B+^Bm^B + -)- (3) 

Zur scharfen Berechnung einer Zone zwischen zwei Parallel- 
kreisen Bi und B^ ist es nun bequem, zunächst die Sinuspotenzen 
mittelst der (durch Einfahrung des Imaginären leicht abzuleitenden) 
Formeln 



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(6) 



62 1. Kapitel Das abgeplattete BotatioiuellipBoid. 

ain'B ^ ^ain B- ^ siaSB 

8m*5 = |-8inB— ^sinSB+j^sinö^ \ (4) 

ain'B'- g sin 5 - ^ sin 35+ ]. aiaöB-^ ainlB 

O« 04 '64 o4 

wegzuschaffen. Man erhält alsdann nachstehenden Ausdruck für Z: 
Z <= L {Zi aiu B — Z, aia5B + Z^ ain öB — Z^ am 1 B + •••) i^) 

Z, = aj (l - ^ - J - IJ ) = [13,6078327.476] g- 

-^j = «J (t + S + nnU + • . .) = [10,6559083] | 

I 

^5-«S(^ + S + ---) =[7,83407] ^ 

^7 = «S(i^ + --) =[5,04] ^ 

Für eine Zone ziZ mit der Mittelbreite J9 — y (JB^ + ^2) ^i^d der 

Amplitude ^B '^ JB^ — B^ in geographischer Breite zwischen zwei 
Meridianebenen im geographischen Längenunterschied L ist hiemach 
der Inhalt: 

Zi cos JB sin -r- ^B — Z^ cos 3JB sin -r- ^B 

+ Z5Cos52?8inyz/J5— Z7C0s7JBsinY^B+... 

Hierbei ist zu setzen: 

log L = log (Z In Gr.) - 1,7581226.324. (8) 

Vorstehende Formel giebt ^Z gerade noch in allen Fällen so 
genau, als zehnzifErige Logarithmen dies gestatten, wie (6) unmittel- 
bar zeigt und wie auch aus (3) mit Rücksicht auf den Faktor (1 — c*) 
erhellt. Es erschien daher nicht nötig, ^ zu berücksichtigen. 

Setzt man in Formel (3) B — 90® und i = v ^^^ multipliziert 

mit 8, so folgt: 

Oberfläche -4a*« (l-^-4--g- -...), (9) 

wobei das Fortschreiten der Glieder in die Augen springt. Mit Bessds 
Dimensionen erhält man hieraus übereinstimmend mit einer Rechnung 
nach Formel (7): 

509950714,1 Qu.-Kilometer. 



JZ-^2L 



0) 



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$ 18. Mittlerer KrümmongsradioB in einem Ponkte. 63 

Die Integration Yon dZ mittelst ß giebt nach bekannten Formeln der 
Iniegralieclmnng ohne Reihenentwicklung als Oberfläche 

2««« (l + - ~ log Bat (|4|)) , (10) 

wonach die Rechnung die angegebene Inhaltszahl auf alle 10 Ziffern 
bestätigt Benutzt man auch hier vor der Integration eine Reihen- 
entwicklung nach Potenzen von sin ßj so folgt die stark konvergente 
Reihe: 

4fl„6o« (l + \-8- 1 8^ + ^;^ d» _ . . .) . (11) 

Eine Tafel f&r Z giebt Jordan , Handbuch der Vermessungs- 
kunde Band 2, S. 54. 

§ 18. Mittlerer Krttmmungsradius in einem Punkte. Nach 
S. 57 Formel (1) ist 



P« = 



Q^ C08» « + ^^ sin* a 



Hieraus erhält man einen durchschnittlichen Wert, wenn man sich 
die Vertikalschnitte um den Punkt herum unendlich dicht^ aber gleich- 
förmig verteilt denkt Setzt man demgemäfs die Anzahl der p« für 
die Azimutaldifferenz da proportional da, so ist der Durchschnitt 
gleich 



c '--.^^ . /; 

J 9, c08»« + ^^8in«a 'J 



da 



d. i. 



8 

n 



u 
Führt man hierin |/— tan a = ^ als Variable ein, so folgt: 



Vq^Qn od«-^- (1) 

Der miUlere Krümmungsradius in einem Punkte der Oberfläche ist daher 
der reziproke Wert der Quadratwurzel des Krümmungsmafses in diesem 
Funkte. 



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64 1. Kapitel. Das abgeplattete Botationsellipjsoid. 

Dieser Satz gilt für jede Fläche. Ebenso der andere leicht abzuleitende, 
dals der Durchschnitt aller — in einem Punkte gleich ist: 



2 \Qm "^ Ü' 



§ 19. Yerschiedene mittlere Krümmungsradien. Einen Durch- 
schnittswert des mittleren Krümmungsradius in einem Punkt in Bezug 
auf alle Werte von B innerhalb des Meridianquadranten erhält man 
durch den ähnlich wie im vorigen §-zu bildenden Ausdruck 



d. i. 



u 

rt n 



Die Substitution « = cot JB : y'l — c* im Zählerintegral führt zu 
dem nachstehenden Wert des mittleren Krümmungsradius für alle 
Punkte eines Meridians: 




d. i. 

«0- (1) 

Selbstverständlich erhält man einen andern Wert^ wenn man die 
gleichmäfsige Verteilung nach der reduzierten Breite ß oder nach der 
Meridianbogenlänge nimmt. EUer darauf einzugehen, scheint nicht 
angemessen, weil es sich dabei um mathematische Aufgaben ohne 
erheblich praktischen Wert handelt. 

Zieht man nicht den einzelnen Meridian, sondern die Oberfläche 
in betracht, so hat man die Werte a^ : YK gleichmäfsig über die 
Oberfläche verteilt anzunehmen, um im eigentlichen Sinn des Wortes 
den mittlem Krümmungsradius der Oberfläche zu erhalten. Derselbe 
ist also, wobei wir uns bei der Integration auf den Oktanten be- 
schränken können, gleich: 



•-M-ß^- 



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§ 20. Mittlerer Badiusvektor. 65 

Hierin ist die differentiale Zone dZ für die geographische Längen- 
differenz i/ = — zu nehmen. Die weitere Rechnung wird am be- 
quemsten mit der reduzierten Breite als der Variablen^ S. 40 (2). 

Fahrt man K nach S. 59 (3) und das Nenuerintegral nach S. 63 
(11) ein^ so findet sich: 

1 
Co ]/l — «* / l/l + dsin'/S^iJ (sin f) 



^6 40 ^112 

Entwickelt man im Zähler nach Potenzen von sin ß und integriert, 

13 1 

SO wird das Integral gleich l + y* + -7ö^** JY2~ *^ + ' * ^"^ 

man erhält schliefslich als Wert des mittlem Krümmungsradim der 
Oberfläche: 

h (i 4. A tf I _L i« _ At. ^3 1 ) 

*^0 \ ^ 8 • 45 946 " ^ / 

oder (2) 

Die hierzu notige Division des Nenners in den Zähler ist erlaubt, 
da jener die Form (1 + ^) ^^y worin die Beihe u auch bei positiv 
gesetzten Gliedern sicher < 1 ist^ so lange es sich nur ums Erdellip- 
soid handelt. 

Wertet man die Integrale in geschlosBener Form auB, so ergiebt sich 
fflr den mittlem ErümmnngsradiuB der Oberflftche der Ausdruck: 

Wendet man hierauf Reihenentwicklung an, so lälst sich erkennen, daTs 
die zweite der Reihen (2) gilt fflr e < 1. [Vergl. dazu § 18 (10) und (9)]. 

Ein durch Einfachheit des mathematischen Ausdrucks ausgezeichneter 
Durchschnitt, der den vorigen Wert näherungsweise ersetzen kann, wird 
erhalten, wenn man Oq : YK nicht mit dZ, sondern mit xdB multipliziert, 
also die Verteilung gleichmälkig nach der geographischen Breite und auf 
dem Parallelkreise annimmt. Es folgt hier 



arc sin e 
d. i. auch > (3) 

§ 20. Mittlerer BadlusTektor. Auch in Bezug auf den Radius- 
vektor r lassen sich versdhiedene Durchschnittswerte je nach den 

Holmort, mathem. u. physikaL Tbeorieen dor höh. Oeodäsie. 6 



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66 1. Kapitel Das abgeplattete Botatioiuellipsoid. 

Voraussetzungen ableiten. Es mögen hier nur die wichtigsten er- 
wähnt werden. 

Nimmt man innerhalb der Meridianebene die r in gleichmäfsiger 
Verteilung in Bezug auf die geozentrische Breite q), so wird der 
Durchschnitt gleich 



Dieser Ausdruck führt durch einfache Transformationen auf ein voll- 
ständiges elliptisches Integral 1. Gattung. Hier benutzen wir indes 
die Reihenentwicklung (7) S. 60 für r nach Cosinus der Vielfachen 
von 2 9) und erhalten^ insofern alle Integrale mit den Cosinus null 
ergeben, als mittlem Radiusvektor des Meridians 

«„ Vi" -~»7 "(i + ^ ».»+...) ] 

oder auch \ (2) 

Der mittlere Radiusvektor der Meridianellipse weicht hiemach von 
dem entsprechenden mittlem Krümmungsradius a^ um Gröfsen von 
der Ordnung der Abplattung ab. 

Nimmt man die Radienvektoren r gleichmäfsig dicht nach allen 
Richtungen des Raumes um das Zentrum verteilt an, so erhält man 
ihren Durchschnittswert aus der Formel 

JrdcD iJdcDy 

worin a das Oberflächenelement einer zum Ellipsoid konzentrischen 
Kugel vom Radius 1 ist und die Integrationen sich über die Ober- 
fläche derselben erstrecken. Da r für konstante geozentrische Breite 
9> denselben Wert behält^ kann man unter dm sogleich die Zone ver- 
stehen, welche auf der Kugel zwischen den Parallelkreisen 9 und 
tp -{- d^ liegt, d. h. man kann 

dcj = 2;r cos q>dfp 

setzen. Damit wird der mittlere Badiusvektor der Oberfläche bei gleich- 
mäfsiger Verteilung ums Zentrum herum: 



1 
_ 

J 



d (sin (p) 
1/1 + « Bin» 9, g 

6ologiiat|/;+« . (3) 



COSqprIqp 



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§ ao. Mittlerer Radiusvektor. 67 

Entwickelt man dagegen vor der Integration in eine Reihe, so folgt 
derselbe gleich 



oder 



/l 1 « 11 4 10» 6 \ 



(4) 



Der im eigentlichen Sinne des Worts mittlere Radiusvektor der 
Oberfläche ergiebt sich, wenn man die r gleichmäfsig Qber diese 
selbst verteilt annimmt und also den Ausdruck 

n n 

JrdzJdZ 



bildet S. 61 (2) giebt, indem man sich auf den Oktanten be- 
schranken darf: 

dZ=^ yi—^ cos« ß cos ßdß . 



2 



Das Nennerintegral ist die bereits berechnete Oktantenoberfläche. 
Im Zählerintegral setzen wir 



r = Val cos« ß+hl sin« ß = a^ Vi — ^ sin*/J. 

Dasselbe läfst sich in geschlossener Form durch vollständige 
elliptische Integrale ausdrücken.*) Indessen ist im vorliegenden Falle 
der Endausdruck in Reihengestalt weit einfacher. Wir setzen also 
im Zähler 






e* cos« ß) (1 — 6« sin« ß) cos ßdß 



1 ' 

= fJMjy 1 + _il_ Bü,.^ (1 _ sin«^) ^(sin /}). 



Nehmen wir hinzu den Nenner nach S. 63 (11) so wird als inMJIÜerer 
BadiusvdUar der Oberfläche erhalten: 

1 + iV (r^rJ ,., 

(5) 



'6 40 ~ 112 



*) Vergl. BrobMch, Berichte über die Yerhandl. der Qes. der Wissenach. 
XU Leipzig. 1858. S. 159. 

5* 



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68 1- Kapitel. Das abgeplattete Rotationsellipsoid, 

oder 

§ 21. Erdkugel. Will mau das Erdellipsoid durch eiue Kugel 
vou möglichst gleichen Eigenschaften ersetzen^ so kommt der (Jm- 
stand zu statten^ dafs die verschiedenen Werte der mittleren Radien- 
vektoren der Oberfläche unter sich und mit den Werten des mittleren 
Krümmungsradius der Oberfläche bis auf Glieder von der Ordnung 
des Quadrats der Abplattung übereinstimmen. Für Bessels Dimensionen 
der Erde ist der Wert 

[3,80416J = 6370,3 Kilometer (1) 

bis auf weniger als 30^" sowohl irgend ein mittlerer Radiusvektor 
der Oberfläche^ als ihr mittlerer Krümmungsradius. 

Dieser .Wert entspricht auch sehr nahe dem Radius einer Ki4gd 
gleicher Oberfläche (vergl. S. 62 (9)): 



V 



Oberfl&che 



An 

d. i. 



«o(l-T«*-3^^-3o\V^--'-)' (2) 

femer dem Radius einer Kugd gleichen Inhalts: 

d. i. 

«o(l-|«*-i«*-W«'--), (3) 



sowie dem arithmetischen Mittel der drei HaJbaxen des EUipsoids: 

3 

d. i. 

-o(l-J^-i^*-^^^---)- (4) 

Wollte man einen gesctilmsenen Ausdruck haben, so würde äch (8. 66 
Anm.) der nachstehende am besten eignen: 

«0« 



arc sm e 



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§ 1. Horizontale Entfernung, kürzeste nnd geodätische Linie. 69 

2. Kapitel. 
Dreiecke und Dreiecksnetze auf der Kugel. 

§ 1. Horizontale Entfernung^ kürzeste und geodätiselie 

Linie. Wir setzen in diesem und dem nächstfolgenden Kapitel 
voraas^ dafs alle Niveauflächen konzentrische Kugelflächen sind^ mit- 
hin alle Lotlinien gerade Linien durch das gemeinsame Zentrum 
jener.'*) Je zwei Lotlinien haben dann eine gemeinsame Vertikal- 
ebene^ welche die physische Erdoberfläche in einem mehr oder weniger 
welligen Profil^ jede Niveaufläche aber in einem gröfsten Kreis schneidet. 
Schon S. 6 ist für den vorliegenden Fall der gröfste Kreisbogen 
zwischen den vertikalen Projektionen zweier Punkte auf irgend eine 
Niveaufläche als horizontale Entfernung bezeichnet worden; es wurde 
auch die Abhängigkeit dieser Entfernung von der Höhenlage der 
Niveaufläche erwähnt Den Radius der letzteren setzen wir «» 1. 

Die horizontale Entfernung zweier Punkte giebt auf der be- 
treiFenden Niveaufläche zugleich die kürzeste Entfernung der Projek- 
tionen beider Punkte an. 

Um dies nachzuweisen, teilen wir den gröfsten Kreisbogen PoPn 
(Fig. 3) zwischen den mit Fo und P« bezeich- 
neten Projektionen in unendlich kleine Strecken 
PqPi, PiP2> A^s; ^' s* ^- ^^^ beschreiben mit P^Pj, 
P^jPjj, PoPs, u. s. f. als Radien um Pq herum Kreise. 
Diese Ejreise sind kleine Kugelkreise, die paar- 
weise überall ringsum denselben Abstand haben. 
Die kürzeste Verbindung von Po und P„ auf der 
Kugeloberfläche ist nun darum der gröfste Kreis- 
bogen selbst und nicht irgend eine andere Linie 
Po 2^ jK J^ . . • P», weil nur er überall dem kleinsten Abstand der 
kleinen Kugelkreise folgt. Dagegen ist im allgemeinen 

PoP; > PoPn P,P', ^ P,F,^ PiPi > P,P,', u. s. f. 

Es ist also 

P,P[PiPs ...Pn> PoPlAi^S . . . J?n. 

Eine Ausnahme tritt nur ein für P^P^'^ n. Für diesen Fall ist die 
kürzeste Entfernung gleich dem Umfang der Kugel weniger P^ P^. Dagegen 




*) Späteren Untersuchungen bleibt es vorbehalten zu entscheiden, in wieweit 
die Entwicklungen des 2. und 3. Kapitels fQr die thatsächlichen Verhältnisse 
brauchbar sind. 



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70 2. Kapitel. Dreiecke und Dreiecksnetsse auf der Kugel. 

ist P^P^ auch nicht einmal ein relatives Minimum mehr, da jede un- 
endlich benachbarte Verbindung von P^ und P^ auf einem kleinen Kreise 
kürzer ist. 

Die Ebene des gröfsten Kreisbogens ist die gemeinsame Vertikal- 
ebene nicht nur der Endpunkte^ sondern auch aller Zwischenpunkte, 
weil alle Radien Normalen der Eugeloberfläche sind und jene Ebene 
durch den Eugelmittelpunkt hindurchgeht. Es ist daher auch die 
drei unendlich benachbarten Punkten des gröfsten Kreisbogens ent- 
sprechende Ebene, d. i. die Schmiegungsebene desselben an der be- 
treffenden Stelle, daselbst eine Vertikalebeue. Wegen dieser Eigen- 
schaft des gröfsten Kreisbogens darf man denselben auch als die 
geodätische Linie auf der Kugeloberfläche bezeichnen. 

Zur Erklärung dieser Ausdrucksweise denke man sich für Bewohner 
einer beliebig krummen Oberfläche, die zugleich Niveaufläche sei, die Auf- 
gabe gestellt, eine im Sinne der geodätischen Praxis gerade Linie Ton 
einem Punkt Pq aus in gegebener Richtung zu legen. 

Dann wird man zunächst eine Yertikalebene Ton P^ aus in dieser 
Richtung legen und darin auf der Oberfläche einen Punkt Pj annehmen, 
in Pj eine Vertikalebene durch P^ legen und in ihr einen Punkt P, an- 
nehmen (Fig. 8), von P, aus in der Vertikalebene durch P| einen neuen Punkt 
Pg annehmen, u. s. f., wobei stillschweigend vorausgesetzt wird, dalk die 
benachbarten Punkte so dicht liegen, dafs kein merkbarer Unterschied der 
benachbarten Vertikalebenen vorhanden ist, dafs mithin je drei benach- 
barte Punkte in einer Ebene liegen, die an dieser Stelle Vertikalebene 
der Obe^äche ist. 

Man sieht hieraus, dafs im vorigen Sinne die gerade Linie des Geo- 
däten, d. h. in korrekterer Bezeichnung: die geodätische Linie, diejenige 
Eigenschaft in Bezug auf ihre Schmiegungsebene hat, die ihr oben bei- 
gelegt wurde. 

§ 2. HorizontalwinkeL Die direkte Messung einer horizontalen 
Entfernung ist nur bei günstigen Profilverhältnissen ausfahrbar und 
empfehlenswert. In anderen Fällen wird man die schon S. 12 an- 
gedeutete Methode der Triangulation einschlagen und dabei die direkt 
zu messende Linie^ die Grundlinie oder Basis des Dreiecksnetzes, so 
legen, dafs sie zur direkten Messung geeignet ist. 

Die Entfernungen, welche man bei Landesvermessungen oder Grad- 
messungen direkt mifst, betragen jetzt in der Regel nur einige Kilometer. 
Die Seiten der Dreiecke, deren Winkel direkt gemessen worden sind, er- 
reichen dagegen oftmals Beträge von 60*^. Bei der Vermessung Vorder- 
indiens durch die Engländer kamen häufig Visuren von 160 bis 240^^ 
nach Gipfeln des Himalaja vor; eine Länge beträgt sogar ca. 340^'*. 

Verbindet man je zwei der Horizontalprojektionen von drei Punkten 
einer Triangulation durch die gröfsten Kreisbögen ^ ihre horizontalen 
Entfernungen; so ergiebt sich ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel 
die Flächen Winkel der zu den betreffenden Kreisbögen gehörigen 



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§ 3. Das Bphärische Dreieck. 71 

Vertikalebenen sind. Als solche lassen sie sich mit geeigneten Winkel- 
Instrumenten , namentlich dem Theodolit, der auf der physischen Erd- 
oberfläche (und zwar rein theoretisch genommen: an einer beliebigen 
Stelle der Lotlinie des Winkelscheitels) aufgestellt wird, messen. 

Die weiter zu losenden Aufgaben sind nun identisch mit den 
Aufgaben der sphärischen Trigonometrie. 

In den folgenden Paragraphen dieses Kapitels geben wir zunächst 
eine Entwicklung der Formeln für beliebig grosse sphärische Dreiecke, 
schlief sen daran die Formeln für Dreiecke, deren Seiten im Verhältnis 
zum Radius der Kugel klein sind und geben danach noch Formeln 
für die Lösung der Aufgaben mittelst des Sehnendreiecks. 

§ 3. Das sphärische Dreieck. Legt man durch zwei Punkte 
der Kugeloberfläche einen gröfsten Kreis, so wird dieser im all- 
gemeinen in zwei Teile geteilt, einen > x und einen < %. Dieser 
letztere kommt in der Regel allein in betracht. Interessieren also 
besonders sphärische Dreiecke mit Seiten < jr, so kommen doch auch 
andere, namentlich solche, wo eine Seite > % ist, in der Geodäsie 
vor. Dreiecke, in denen 2 Seiten >ä sind, sind keine eigentlichen 
Dreiecke mehr, da aufser den Ecken noch eine Durchkreuzung dieser 
2 Seiten vorhanden ist. 

Die Dreieckswinkel zählen vmr in der Weise, dafs sie bei einer 
angenommenen Reihenfolge der Seiten dasjenige Mafs der Drehung 
in einem festgesetzten Sinne bezeichnen, welches notwendig ist, um 
eine vorangehende Seite mit der nachfolgenden zusammenfallen zu 
lassen. Demgemäfs bleiben die Winkelräume immer auf derselben 
Seite, wenn der Gontour durchlaufen wird. 

Zählt man femer von einer für jeden Eckpunkt vorläufig beliebig 
gewählten Richtung aus Azimute in demselben Drehungssinne, so 
ist alsdann der 

Dreiecks winkel = dem Anmat der nachfolgenden Seite — dem der vorangehenden Seite. (1^ 

Sind nun a, ß und y die drei auf einander folgenden Seiten des 
Dreiecks, ausgedrückt in Bruchteilen des Kugelradius, und A^ B 
und C die gegenüber liegenden Ecken, sind ferner tf», ^a die Azimute 
von a in den Ecken B und C; C^, %^ die Azimute von /3 in den 
Ecken C und A] 3ly, Äy diejenigen von y in den Ecken A und By 
so werden die Relationen zwischen den W^inkeln und Azimuten: 



(2) 



A = 


-7., 


-%r 


B = 


» fiy 


-«„ 


(7 = 


-«<.■ 


-c,. 



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72 2. Kapitel. Dreiecke und Dreiecksnetze auf der Kugel. 

Sind die hiernach berechneten Winkel negativ^ so denken wir uns 
noch 360<> addiert. 

Durch Umkehrung der Reihenfolge der Seiten treten an Stelle 
der bisherigen Winkel ihre Ergänzungen zu 360°; weil z. B. Ä in 
3ly — 3l|5 übergeht. 

§ 4. Differentialformeln; Sinus- und Cosinussatz. Um mathe- 
matische Beziehungen zwischen den Seiten nnd Winkeln zu erhalten^ 
schlagen wir einen ähnlichen Weg wie später für geodätische Dreiecke 
auf dem Rotationsellipsoid ein. Zu dem Zwecke stellen wir zunächst 
die Differentialformeln auf, dabei nehmen wir die Seiten als unab- 
hängige, die Winkel als abhängige Variable. 

Dreht man die Seite a um den Endpunkt B um dßa, so be- 
schreibt G das Bogendifferential CC' eines kleinen Kreises mit dem 
Radius sin a fDr den Eugelradius 1. Also wird 

CC = sin a dßa . 

Ist a > Ä, so hat CC gegen BC entgegengesetzte Lage wie in Fig, 4, 
was auch das negative Vorzeichen von sin a 
andeutet. 
\^' Der Lage C des dritten Eckpunktes ent- 
sprechen Änderungen in ß und ^^, die aus 
Fig. 4 leicht zu entnehmen sind. In derselben 
bedeutet CC" das Differential des von AG" 
beschriebenen kleinen Kreises: 

a'C = smßd7iß. 

Fig. 4. r- p 

Das Differentialdreieck CG'C ist in C" rechtwinklig, seine Kathete 
CC" giebt die Abnahme von ß an: 

CG" = - d/S . 

Die Betrachtung des Differentialdreiecks giebt nun weiter: 

— dß = sin a dHa . sin (Ca — C^) (1) 

sin ßd^^i «» sin a düa • cos (Ca — C^j) , (2) 

und zwar gelten diese Formeln allgemein für jeden Betrag der 
Azimute C« und C^, sowie für jeden Drehungssinn derselben, wenn 
er nur für alle Azimute derselbe ist. Wir können sie daher auch 
auf den Fall anwenden, wo anstatt a die Seite y sich um die Ecke 
B um diBy dreht, also die Ecke A sich entsprechend verschiebt und 
die Seite ß sich entsprechend ändert. 




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§ 4. Differentialformeln; Sinus- und Cosinnssatz. 73 

Es wird dann durch Veriauschimg von a und y^ sowie von 
31 und C aus (1): 

— d/J = sin y dßy . sin (3ly — 31^) . (3) 

Nehmen wir nun dß ebenso grofs an, wie vorher, so wird aus der 
Gleichsetzung beider Werte nach (1) und (3) erhalten: 

sin a sin (Ca — C^) dHa = sin y sin (3ly — 31^^) dßy • (4) 

Die beiden Dreiecke mit denselben Seiten a, ß — dß und y sind aber, 
kongruent, und man kann sie durch eine difierentiale Verschiebung 
zur Deckung bringen. Mithin hat Winkel B in beiden gleiche Gröfse. 
Mit Rücksicht auf S. 71 (2) ist aber dB d. h. die Änderung von B 
gegen seinen Betrag in dem ursprünglichen Dreieck, 

bei der ersten Bewegung gleich — dÄ«, 
„ „ zweiten „ „ + dÄy, 

welchen Werten also gleiche Gröfse zukommt. Wird dies in (4) 
eingeführt, so folgt der SintisscUg der sphärischen Trigonometrie: 

ain« ^ B in (Z^ — 3 ty) 
sin y *^ sin («„ — €^) 

d. i. 

sin « sin il /g\ 

ein y sin C 

Zugleich geht die Differentialformel (1) über in 

dß^sinawiCdB. (6) 

um diese Differentialgleichung zu integrieren, wenden wir (5) auf ß 
und y an und eliminieren mittelst der so erhaltenen Gleichung 



sin /3 



%mB 



sin y sin 

aus (6) den Faktor sin C, womit (6) übergeht in die Form 

sin /S d/S »> sin a sin ;/ sin BdB, 

woraus durch Integration, da a und y konstant sind, sich sofort 
ergiebt: 

cos ^ == sin a sin y cos B + Konst. 

Zur Bestimmung der Konstanten dient der Umstand, dafs für 2?= 180^ 
die Seite ^ = (a -+" y) oder 23r — (a + y) sein mufs. Mithin ist 

cos (ö + y) = — sin « sin y + Konst. 

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74 2. Kapitel. Dreiecke und Dreiecksnetze auf der Kugel. 

Zieht man dies oben ab und reduziert auf cos ß, so erhält man den 
Cosinussatz (für Dreiecksseiten): 

cos ß = cos a cos y + sin a sin y cos B. (7) 

Aus dieser Gleichung, welche durch cyklische Vertauschung der Stücke 
des Dreiecks 3 Relationen giebt, läfst sich die ganze sphärische 
Trigonometrie ableiten. Eine der Formeln werden wir indes noch 
aus den Differentialformeln schöpfen. 

Dividieren wir zu dem Zwecke die Gleichungen (1) und (2) Seite 
für Seite durch einander und beachten, dafs nach S. 71 (2) d%^ '^ dA 
ist, so erhalten wir einerseits: 



f5*_ 1 

dß tan («„ - «^) «in (J 

dA ^ 1 

dp '^ tan C sin |3 ' 



(8) 



Andrerseits giebt (1) durch Vertauschung von ß und a, sowie 
von Ä und 31, mit Rücksicht auf S. 71 (2): 

_^ = ^ (9) 

da sin C7 Bin ß ^ ^ 

A ist aber eine Funktion von a, ß und y. In (8) sind a und y 
konstant; in (9) «ind ß und y konstant Man schreibt daher zunächst 
besser mit Benutzung des Zeichens partieller Differentiation statt (8) 
und (9): 

dA 1 

ap ~ tan Bin ß ' 

dA ^ 1 

da Bin C sin ß 

d*A 

Nun hat man zwei Wege, um ^— öj zii bilden. Indem wir sie 
beide betreten, folgt ohne Mühe: 

.1 dC C08 C dC cos |S 



sin* C ain ß da sin' C sin (3 dß sin C sin* ß 



(10) 



um die hierin auftretenden Differentialquotienten zu finden, ver- 
tauschen wir in der 2. Formel (8) aßy cyklisch mit yaß und ABC 
mit CAB, wodurch sie selbstverständlich ihre Gültigkeit nicht ver- 
liert; dann folgt 

dC 1 



da tan B sin a 



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§ 5. Cotangentenformel und Formeln ffir 6 Stücke. 75 

Bewirkt man femer in der 1. Formel (8) die hierin jedenfalls 
zulassigen Vertauschungen a und y, % und iLj so folgt 

^_ L__ 

ap tan(3ly-3l^)8in|S 

d. i. 

dC ^ 1 

d^ tan A Bin |3 ' 

Substituiert man die erhaltenen Werte der Differentialquotienten 
in (10), multipliziert dann beiderseits mit sin J. sin^ (7 sin^ /3 und 
beachtet linker Hand, dass sin J. sin /3 = sin J3 sin a ist, so folgt der 
Cosinussatz (fOr Dreiecks winkel): 

cos JB = — cos -4 cos C + sin A sin C cos /J. (11) 

Es mag hier nochmals hervorgehoben werden, dafs die Formeln 
(5), (7) und (11) zufolge ihrer Ableitung aus den Differentialformeln 
(1) und (2), sowie den Formeln (2) S. 71 an keine andre Bedingung 
geknüpft sind als diejenige, dafs für eine beliebig gewählte Reihen- 
folge der Seiten die Winkel dasjenige Mafs der Drehung bezeichnen, 
welches notig ist, um eine vorangehende Seite mit der nachfolgenden 
zur Deckung zu bringen, entsprechend Formel (2) S. 71. Der Drehungs- 
sinn ist dabei ganz beliebig und nur identisch für alle 3 Winkel 
vorausgesetzt. Negative Winkelwerte sind nicht ausgeschlossen und 
die Seiten dürfen beliebig ^« sein. 

§ 5. Cotangentenformel und Formeln für 5 Stficke. Die 
Formel (7) des vorigen Paragraphen giebt durch cyklische Ver- 
tauschung der Stücke des Dreiecks 

cos a «=» cos /J cos y + sin /J sin y cos A. 

Eliminiert man hieraus cos ß mittelst der ebengenannten Formel 
(7), sowie sin /J*mittelst der aus (5) S. 73 durch Vertauschung der 
Stücke herzuleitenden Relation sin /3 ==: sin £ sin a : sin ^, so ergiebt 
sich die Cotangentenformd für vier auf einander folgende Stücke: 

cot a sin y — cot -4. sin ^ = cos 5 cos y. (1) 

Die bisher entwickelten Formeln beziehen sich immer auf 4 Stücke. 
Andere Formeln mit 4 Stücken, die nicht aus jenen durch cyklische 
Vertauschung der Stücke hervorgehen, giebt es nicht, da 1 Seite 
und 3 Winkel, 3 Seiten und 1 Winkel, 2 Seiten und 2 Gegenwinkel, 
2 Seiten und 1 Gegenwinkel und der Zwischenwinkel die einzig mög- 
lichen Fälle der Kombination der 6 Stücke des Dreiecks zu je 4 sind 
und nur je eine Formel geben. Dagegen giebt es noch Formeln mit 
5 und 6 Stücken von Wert 



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76 



2. Kapitel. Dreiecke und Dreiecksnetze auf der EugeL 



Setzt manin(l) f&rsin Bden gleichwertigen Ausdruck sin /3 sin il: sin a, 
so folgt für 5 Stücke 

sin ß cos Ä = cos a sin y — sin a cos y cos B. (2) 

Setzt man dagegen f&r sin y den Ausdruck sin asinC: sin Ay 

so folgt 

sin (7 cos a = cos Äsin B -{- sin Ä cos B cos y, (3) 

Bei der Anwendung der Formeln (5), (7) und (11) des vorigen 
Paragraphen und (1), (2), (3) dieses Paragraphen ist man an cyklische 
Vertauschungen nicht gebunden. Man darf auch beliebige 2 Seiten 
vertauschen, wenn zugleich die Gegenwinkel vertauscht werden. Für 
die erstgenannten 4 Formeln zeigt dies leicht eine Yergleichung mit 
den Ergebnissen cyklischer Vertauschung und da die letzten beiden 
Formeln einfach aus den ersten vier folgen, so gilt der Satz also 
auch für diese. 

§ 6. Gegeben 3 auf einander folgende Stücke. Sind 3 auf 
einander folgende Stücke eines Dreiecks gegeben, so erhält man eine 
vollständige Auflösung mittelst einer von beiden nachstehenden Formel- 
systemeu, die aus dem in § 4 und § 5 Gefundenen leicht durch passende 
Vertauschungen abzuleiten sind: 

cos « = cos ß cos y -^^ sin ß siny cos Ä 
sin a cos -B *= cos /J sin y — sin /J cos y cos A 
sin aaia B = sin ß sin A } (1) 

sin a cos C «= cos y sin /3 — sin y cos ß cos A 
sin a sin C = sin y sin A. 



cos J. «= — cos^cosC+sinJBsinCcosa 
sin A cos ß = cosBsinC'{'SmBcosCco8a 
sin J. sin /3 »=: sin JB sin a 
sin J. cos y == cosCsin J5 + sinCcosJB cos« 
sin J. sin y a» sin C sin a. 



(2) 



Die Auflosung des 1. Systems giebt a, B und C, die des 2. Systems 
A, ß und y insoweit völlig bestimmt, als man sich nur entscheiden 
mufs, ob a ^ Ä bezw. A ^ 180® genommen werden soll. Diese Ent- - 
Scheidung ist notwendig, weil das 1. System das Vorzeichen von 
sin a und das 2. System dasjenige von sin A unbestimmt läfst. . Andern- 
falls hat man 2 Auflösungen, die indessen zu derselben Lage der 
3 gröfsten Kreise führen; es entsprechen nämlich den Werten 

tt B C der einen Auflösung, die Werte 

2^ — cc 180« + B 180« + C der andern Auflösung 



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§ 7. Die Formelo von Neper und Gaofs. 77 

för System (1); und bei System (2) den Werten- 

A ß y der einen Auflösung, die Werte 

360® — Ä ^ + ß Ä + y d^r andern Auflösung. 

Die numerische Genauigkeit der Formeln läfst nichts zu wünschen 
übrig, da jedes Stück aus der Tangente oder Cotangente hergeleitet 
werden kann; so giebt die Division der 2. und 3. Gleichung des 
1. Systems zunächst cot JB — es entspricht diese Bestimmung der 
Cotangentenformel — beide Formeln geben dann sin a u. s. f. Die 
Bequemlichkeit der Formeln für logarithmische Rechnung ist aber 
nicht so grofs, dafs nicht ffir manche Fälle geeignetere Formeln er- 
wünscht wären. 

§ 7. Die Formeln TOn Neper und Gaufs. Aus den Formeln 

sin a sin JB =s sin /3 sin J. 

sin a sin C = sin y sin A 
folgt durch Addition resp. Subtraktion und einfache Reduktion 



(1) 



. B+C B -C 

sin a sm — ^ — cos -z — '■ 



B+ C . B 
sm tt cos — i — sm 



sm A sm ^ ' ' cos '^ ^ ' 
sm A cos -' ---'- sm ^ ^ ' 



2 2 

Ebenso behandelt ergeben die Formeln 

sin a cos B =» cos /) sin y — sin /) cos y cos A 
sin a cos C =^ cos y wiß — sin y cos ß cos A 
leicht das System 



sm a cos 



B + C 



cos 



. B+ C . 
sm a sm — i — sm 

2 



2 
B- C 



- = sin (/J + y) sin* — 
= sin (ß — y) cos* -^ 



(2) 



(3) 



(4) 



Die Division der 1. Gleichung (2) durch die 1. Gleichung (4) 
und der 2. Gleichung (2) durch die 1. Gleichung (4) ergiebt nach- 
stehende Nqpersche Anälogieen f&r 2 Seiten und einen Zwischenwinkel 
als den gegebenen Stücken: 



tan 



tan 



B + C ^ 
2 "" 



B--C 



cos 



C08-^ 



P-y 

2 , A 

2 
2 



Bin 



P + y 



cot 



-(5) 



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78 



2. Kapitel. Dreiecke nod Dreiecksnetze auf der Engel. 



Vertauscht man femer in den Formeln (1) und (3) a mit 180** — Ä, 
ß mit B und y mit C und umgekehrt; so ei^eben sich wieder richtige 
Formeln. Die gleiche Yertauschung in (5) führt zu den Neperschen 
Antüogieen für 2 Winkel und 1 Zwischenseite als gegebenen Stücken: 



B^G 



tan 



P + y 



1.nl^- 



008 


2 


008 


B+G 


2 
B-G 


Bin 


2 


sin 


B+G 



tan — 



tan-|-. 



(6) 



Bedient man sich dieser Formeln zur Auflosung der Aufgabe 
des § 6, so bleibt wie dort eine Unbestimmtheit, und. man erhält 
zwei Auflösungen, die jedoch zu derselben gegenseitigen Lage der 3 
grofsten Kreise führen. 

Setzen wir nun weiter für den Augenblick zur Abkürzung 



sm 



ß 



cos 



~y A 

-^-cos-^- 

— y A 

-—— COS -r- 



. p+y . A 
|3 + y . A 



7 , B — G » cc ,, 

^ l, sm — 2 — sm — = i 

B — G . a 

m, cos — 2 — sm — = m 

. B + G a 
'' n, sm — ^ — cos — = n 

B + G a 

r, cos-^— cos— = r , 



(7) 



so geben die (2) und (4) die Relationen: 



mn = mn. 



tr = Ir, 



Xii 



nr 

•' Im. 



(8) 



Obgleich dies 4 Gleichungen sind, kann man mittelst derselben doch 
nur 3 Gröfsen aus den 5 andern bestimmen, da sich jede der Gleichungen 
aus den 3 andern ableiten läfst. Eine neue Relation giebt aber die 
oben für Ableitung von (6) aus (5) benutzte Vertauschung. Sie führt 
über: l in t, m in w', n in n', r in r und umgekehrt. 

Zu den vorigen Relationen gesellen sich damit 2 neue, deren 
eine in denselben noch nicht enthalten ist: 



mr •■ 



In = tm. 



(9) 



Aus (8) und (9) folgt mn * nr = mn • mr und da m'r = nr 
ist, wird 



n' 



m«; 



+ m. 



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§ 7. Die Fonneln Yon Neper und Gauls. 79 

Hieraus folgt mittelst der Belationen (8) und (9) weiter: 
fBr n = + m ist w' =» n, r = r, T = l, 

^ n '^^ -— m „ m' = — w, / = — r, T = — ?. 

Sabstituiert man endlich rückwärts die Werte der Symbole Imnr u. s. f, 
nach (7), so eigeben sich die Gaufsischen Gleichungen: 



sm — 2 — sin — — + sm *^ ^ cos ^ 
cos — - — sm — s= 4- sm ^ - sm — 

sm — ^— cos — — + cos -^^-g--- cos — 

B+C a , ß+y . A 

COS — ^ — cos — «« + cos ^^ sm — , 



(10) 



worin die oberen und unteren Zeichen zusammengehören. Die doppelten 
Zeichen entsprechen dem Umstand, dafs in den bisherigen Formeln 
(vergl. § 6 S. 76) einerseits gewisse Yertauschungen zulässig waren, 
von denen die eine, nämlich die von ^, /J, y mit bezw. 360^ — A, 
« + j3, Ä + y in (10) zu einem Zeichen Wechsel führt; dafs anderer- 
seits aber auch jede einzelne Seite um Vielfache von + 2ä und jeder 
einzelne Winkel um Vielfache von + 360^ verändert werden, also 
namentlich die Witikd negativ gezählt werden durften, wodurch eben- 
falls in den (10) eine Unbestimmtheit der Zeichen entstehen mufs. 
Trotz der Unbestimmtheit der Zeichen erhält man doch durch die 
Auflösung der (10) bei gegebenen 3 Stücken nur 2 Losungen, die 
derselben Lage der 3 gröfsten Ejreise angehören. 

Beschränkt man sich aber auf Dreiecke, in denen alle Seiten 
imd Winkel positiv genommen und wenigstens 2 Seiten <» sind, 
wahrend die 3. Seite bis 27r gehen kann, so gelten nur die oberen 
Zeichen: 

Denn zunächst für 3 positive Seiten < n und 3 positive Winkel 
< 180^ zeigt die 2. der (10) unmittelbar die Unzulässigkeit des unteren 
Zeichens. Ist femer jeder der drei Winkel > 180^ und <360^, so 
ändert sich nichts, da es zulässig ist, in den mit positiven Zeichen an- 
gesetzten (10) die Winkel mit ihren Supplementen zu 360® zu ver- 
tauschen. Vertauschen wir endlich auch a mit 2n -— a und gleich- 
zeitig B und C mit bezw. 180® + ^ ^^^ 180^ + C'; oder vertauschen 
wir ß mit 2« — j3 und gleichzeitig Ä und C mit bezw. 180® + A 
und 180® -f- (7, so bleiben die mit positiven Zeichen angesetzten (10) auch 
bestehen. Diese letztem Vertauschungen entsprechen aber nach leicht 
anzustellender geometrischer Betrachtung dem Übergang von einem 
Dreieck mit 3 Seiten < » zu einem solchen mit nur 2 Seiten < n. 



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80 



2. Kapitel. Dreiecke und Dreiecksnetse auf der EageL 



§ 8. Gegeben 2 Seiten und 1 Gegenwinkel oder 2 Winkel 
nnd 1 Gegenseite. Hier fahrt der Sinussatz entweder zu gar keinem 
oder zu 2 Werten des andern Gegenstückes, welche sich zu 180^ 
bezw. n ergänzen und die ^<^perschen Analogieen geben zu jedem 
dieser Werte einen Wert des 5. und 6. Stückes. Man erhält alsO; 
falls die Stücke ein Dreieck bestimmen (wofür die Bedingungen auf- 
zustellen für uns kein Interesse hat) im allgemeinen 2 Auflösungen^ 
welche aber nicht wie bisher zu derselben gegenseitigen Lage der 
drei grofsten Kreise, sondern zu 2 verschiedenen Stellungen derselben 
gehören. Dies zeigt am klarsten die Konstruktion der Dreiecke 
mittelst geometrischer Orte, welche wir indessen ebenso übergehen 
dürfen als den Nachweis der Bemerkung, dafs für Dreiecke mit 
Stücken < 18<P bezw. n nur eine Lösung zur in Rede stehenden Auf- 
gabe gehört, falls das gegebene Gegenstück dem gröfsem der beiden 
andern gegebenen Stücke gegenüberliegt. 

§ 9.. Gegeben 3 Seiten oder 3 Winkel. Sind a, ß und y be- 
kannt, so giebt der auf a angewandte Cosinussatz, wenn man auf 

coa^ reduziert: 

j, cos a — C08 ^ 008 y 

COS J. = -. x^-r-^ • 

sm ß Bin y 



(1) 



Diese Formel ist weder logarithmisch bequem, noch in allen 
Fällen zur scharfen numerischen Auswertung geeignet Man bildet 
daher 

I 2 sm ß Bin y ' 



COS -4 «= 2 sin* -^ 



• coB tf + <^og tf — y) 

sin ß sin y 



Vereinigt man die Cosinus in den Zählern rechter Hand zu Produkten, 
so folgt: 

BUi —^-^ — sm ' ■ ... 

^ Ä 2 2 8m«8m(8 — a) 

2 **" sinjJsiiiy sin ^ sin y 



sm- -g- = 



Bin ~ sm - 



sin ß Bin y 



« — jj + y « + jJ — y 

**° 2 - . a+ß + v ^^-« + ß + V 



Sin 



Bin 



si n (g — ß) Bin (s ~ y) 
sin |3 sin y 

B in (8 — ß) Bin (s — y) 
sin 6 sin (8 — a) 



2 



(2) 



wobei s = " o ^^^ Abkürzung gesetzt ist Die Multiplikation 

Ä Ä 

von cos* — und sin* -r- giebt aufserdem 



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§ 9. Gegeben 3 Seiten oder 3 Winkel. 81 

.„2 Ä _ 4 Bin s Bin (g — «) ein (g — jJ) sin (« — y) .qn 

Sin ^ ^lin»7BS^)r ^^ 

In ganz gleicher Weise ergeben sich die Formeln bei 3 bekannten 
Winkeln A^ B und C. Man hat 



cos 



COS* — = 



sin* -zr 



tan«| = 



COS A + cos B cos C 

CC SS» 

sin B sin C ' 



(4) 



Sin ~ sin 



sin J? sin C 



sin J9 sin C 



sin — sin 



(--i) 



(5) 



4 sin -i- 8iD (^ - J^) sin (b - |) sin (c - -|-) 



sin* B sin" C 



(6) 



wobei £ = -4 + B + (7 — 180® den sphärischen Excefs des Dreiecks 
bedeutet 

Vorstehende Formeln hat man sich aufser auf A bezw. a auch 
auf B und (7^ bezw. ß und t' ' angewandt zu denken. Für jedes un- 
bekannte Stück ergeben sich nun, falls überhaupt die 3 Stücke einem 
Dreieck angehören; (wofür wir indes die Bedingungen nicht aufstellen 
werden) zwei sich zu 360® bezw. 2n ergänzende Werte, welche nach 
Mafsgabe des Sinussatzes 

^ sin J. : sin JB : sin C = sin a : sin j3 : sin y 

sich zu 2 Auflösungen der ganzen Aufgabe gruppieren, wie § 6. 

Führt man in vorstehende Proportion für die Verhältnisse 
sin ^ : sin a, u. s. f. die Werte 

A 



sm A 2 2 sin (« — a) sin (« — ß) sin (s — y) 

tan -^ sin « tan — sin (« — «). sin « sin ß sin y 



Bin a 



2 



2 



U. S. f. 



ein, welche mit Benutzung der zweiten Gleichung (2) erhalten werden, 
80 resultiert der Satzf 

ABC 

tan Y : tan y : tan y = esc (s — a) : esc (s — ß) : esc (« — y) , (7) 

Helmert, mathem. u. pbyBikaL Theorieen der höh. Geodiliie. C 



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82 2. Kapitel. Dreiecke nnd Dreieckenetze auf der Kugel. 

welcher (nach Puissant) von MoUtoeide angegeben worden ist. Die 
Benutzung der zweiten Gleichung (5) f&hrt zn dem analogen Satze: 

tan-J:tan|:tan| = 8in(^-|):8in(B--^):sin(C-|).(8) 

§ 10. Inhalt und sphärischer Excefs. Von einem Dreiecks- 
inhalt kann man im gewohnlichen Sinne der Inhaltsbestimmung 
nur sprechen^ wenn yon den Dreiecksseiten höchstens eine Seite 
> Ä ist (S. 71). Auf diesen für die Geodäsie allein wichtigen Fall 
beschränken wir uns und zwar bezeichnen wir als Inhalt denjenigen 
der beiden Teile der Kugeloberflache, welcher von den Seiten bei 
Beschreibung der Dreieckswinkel überstrichen wird. 

Zur bildlichen Darstellung kann nunmehr Fig. 5 dienen^ nicht 
nur fßUs alle 3 Seiten < x und alle 3 Winkel 
< 180®, sondern auch falls nur 2 Seiten < ar 
sind nnd für beliebige Winkel. 

Dreht sich' nun Seite a um die Ecke C 
um dC, so wächst die Dreiecksfläche um dF 
d. i. in Fig. 5 Dreieck CBB\ welches von 
CBB", wobei CB = CB" genommen ist, 
nur unendlich wenig abweicht. Betrachtet 
man auf CB einen Bogen CD =? a^ kleiner 
als a und dreht ihn ebenfalls um dC, so ist, 
wenn der Eugelradius als Einheit der Längen dient, der von D be- 
schriebene unendlich kleine Weg DD' gleich sin a^dC. Zwei be- 
nachbarte Punkte D und E für a^ und a^ -f~ ^^i schliefsen mit ihren 
Wegen ein kleines Viereck DD'EE' ein, dessen Inhalt gleich 
%ma^dC.doc^ nach Gröfse und Vorzeichen gesetzt werden kann; 
also ist 

dF = dCf sin a^da^ = dC(l — cos a) . (1) 



Denselben Ausdruck erhält man für die Zunahme des Excesses. Es 
ist nämlich zunächst 

ds^dC+dB. (2) 

Nun hat man im Dreieck BBC 

sin (a -|- da) sin {B + dB) = sin a sin B, 

da Winkel B^ mit (B + dB) zu bezeichnen ist Hieraus folgt aber 
mittelst der Entwicklungen 

sin (a + rf«) = sin a + cos ada 




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§ 11. strenge Fonnelu für den sphärischen Excefs. 83 

und 

sin {B'+ dB) — sin B + cos BdB 

und unter Vernachlässigung des mit dadB multiplizierten Gliedes: 

dB = — cot « tan B da. 

Nach Fig. 5 ist da^ d. h. f f «s sin a dC cot J3; daher hat man 

dB = — cos a dCy 

und es wird schlief slich, wie oben behauptet worden ist, durch Sub- 
stitution dieses Wertes in die Formel (2) und mit Beachtung von (1): 

dB = dC{\ — cos a) — dF. (3) 

Die Integration giebt « = JP + Konst. Die Konstante ist aber null, 
da B und F gleichzeitig verschwinden. Berücksichtigt man dies und 
setzt endlich den Eugelradius anstatt gleich 1 gleich (^, so ergiebt sich: 



oder 

B «= 



«<►* 



(4) 



Hierbei ist b als Arcus zu verstehen. Die häufigere Anwendung hat 
die Formel in der zweiten Gestalt, welche gestattet den Excefs aus 
dem Inhalt zu finden. 

Die direkte Entnahme des Excesses aus der Winkelsumme ist 
dagegen in der Geodäsie vielfach nicht möglich, auch wenn diese 
Summe bekannt ist. Hat man es nämlich mit beobachteten Winkeln 
zu thun, so haften an diesen Beobachtungsfehler; um deren Einflufs 
auf j1 -f- -B -|* C zu erkennen, mufs man den Excefs mindestens bis 
auf Grofsen von der Ordnung des Quadrats der Beobachtungsfehler 
genau ermitteln. Hierzu gelangt man durch Berechnungen mit Be- 
nutzung wenigstens einer Seite des Dreiecks. 

Wir geben dem entsprechend zunächst im Folgenden einige be- 
merkenswerte strenge Formeln fOr €, wobei wenigstens 1 Seite als 
bekannt vorausgesetzt wird. 

§ 11. Strenge Formeln für den sphärischen Excefs. Sind 
a, B und (7, d. h. eine Seite und die anliegenden Winkel, bekannt, 
80 erhält man eine bequeme Formel zur Berechnung von b für kleine 
Dreiecke aus der 2. Formel (5) S. 81. Setzt man darin 

A = 1800 + £ - B _ C, 

«« f-.i-j. • « • 9 a sin 5 sin C ,^v 

80 folgt: sin y = sm* ^ . (1) 



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84 2. Kapitel. Dreiecke nnd Dreiecksnetze auf der Kugel. 

Im allgemeinen hat diese Gleichung 2 Wurzeln 

£i und fg = 2{B + C) — «i 

entsprechend der Unbestimmtheit der Aufgabe ^ ein Dreieck aus a, 
B und C zu ermitteln. Sind aber alle 3 Seiten klein, so gilt nur 
die Lösung, welche s nahezu null oder (bei Winkeln > 180^) nahezu 
720^ giebt. 

Für letztem Fall ist es bequemer, insofern £ etwas kleiner als 
720^ ist, die 720^ abzuziehen und es negativ zu nehmen. Unter dieser 
Voraussetzung hat nun jedenfalls s einen kleineu positiven oder 
negativen Wert, der aus (1) durch successive Annäherung erhalten 
werden kann, wobei rechter Hand zuerst £ => null zu setzen ist. 

Sind 2 Winkel Ä und B und 1 Gegenseite a gegeben, so 
entsteht im allgemeinen die schon § 8 angegebene Zweideutigkeit, 
welche aber immer dann ohne Bedeutung bleibt, wenn das Dreieck als 
ein kleines bekannt ist, weil fiir diesen Fall die 2. Lösung einem 
Dreieck mit einer nahezu tc betragenden Seite und mit grofsem 
Excefs angehört, auf welchen die wie oben einzuleitende Näherungs- 
rechnung nicht hinführt. Die Formel ist: 

. s . 2 a Bin ^ sin (A 4- £ — e) ,^v 

Um für 2 Seiten a und ß und den Zwischenwinkel C eine direkte 
Formel zur Berechnung des Excesses zu haben, verbinden wir die 
3. Formel (5) S. 81; 

sin — sin [Ä — ) 

■ Ott 2 \ 2/ 
tan*- = . r- . r- 

-(^-y)-(c-I) 

mit der folgenden Formel (8) von S. 82: 

tan|- 8in(A-A)- 

durch Multiplikation über einander stehender Seiten. Es wird hiermit 
sin Y = tan y tan -|- sin (c - -f) , 



tan — == 



tan — - tan -^ sin C7 j. >^ 

2 2 tan (7 



1 + tau - tan -£- cos <7 1 + cot „ cot ~ sec C 
'22 ^22 



, (3) 



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§ 12. Forteetzung: Gegeben 3 Seiten. 85 

Die zweite dieser Formeln folgt aus der ersten durch Auflösung 
des Sinus rechter Hand, Division mit cos -^ und Reduktion auf 
tany Man erhält durch die Auf losung 2 Werte von €, die sich 

um 360^ unterscheiden und die den beiden zu a, ß und C gehörigen 
Dreiecken entsprechen. Für kleine Dreiecke ist eine auf die 1. Formel 
(3) gestützte Annäherungsrechnung am bequemsten. 

Handelt es sich darum^ aus 2 gegebenen Seiten und einem 
Gegenwinkel s zu ermitteln^ so dürfte die Berechnung des andern 
Gegenwinkels nach dem Sinussatz mit nachfolgender Anwendung yon 
Formel (2) bei kleinen Dreiecken der passendste Vorgang sein. 

§ 12. Fortsetzung: Gegeben 3 Seiten. Bildet man nach S. 81 
(5) die Formeln 





9 ^ 

cos^Y = 


■» (« - \) "" {<^ - -i) 




sin B sin C 




2 ^ 
cos*-|- = 


Bin {a - 1) sin (C - 1) 
Bin A Bin G 




cos^l = 


ein {a - {) Bin {b - \) 

sin A sin B 


und hieraus 








a 

C08 — 008 


1 .i.(a-,'.) 

■~ ± Bin C 



(1) 



und benutzt nun diese Formel (1), um aus der 1. Formel (3) des 
vorigen Paragraphen sin (C — y] zu eliminieren, so folgt: 

Bin — Bin -~- 
sin 4- = H sin (7. (2) 

008 Y 

Substituiert man hierin die auf C angewandte Formel (3) S. 81, so 
folgt weiter 



E , V^Bin 8 Bin Cs — a) Bin (« — ß) sin (« — y) ^o\ 

sm — = 4- ^ -E — — ^^ — • {o) 

2 cos — - 008 -^ cos -^ 

Eliminiert man femer aus der 2. Formel (3) des vorigen Para- 
graphen cos C mittelst der Rielation 



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86 2. Kapitel. Dreiecke und Dreiecksnetze auf der Kugel. 

^ C08 y — cos a GOB fi 

COS G = — T—z — si 

sin a sm p ' 

SO ergiebt sich unter Einführung der Funktionen halber Winkel: 

. € sin a sin fi sin / .x 

tan Y = — ~. -^ -^ r- • (4) 

2 (co8»-|- + co8'-|^ -f cob'-|- — 1 j 

Dies in Verbindung mit obiger Formel (2) führt endlich noch zu 
der Formel: 

g cos« Y + cos* -|- + cos' -|- — 1 

cos „= H 5 • (5) 

2—- ««ßy ^ 

2 cos — cos -^ cos -^ 

2 A 2 

Die Unbestimmtheit der Vorzeichen in den Ausdrücken rechter 
Hand in den Formeln (1), (2) und (5) verschwindet, wenn man voraus- 
setzt, dafs wenigstens 2 Seiten < n sind, denn dann gilt nur das 
obere Zeichen. 

Nehmen wir nämlich zunächst an, dafs alle 3 Seiten < % sind 
und bringen die Gleichung (2) in die Form 

€ , fx . a . fi . y sin (7 

sm -«- = + 2 sm — sm -^ sm ~ — , 

2 -^ 2 2 2 smy ' 

WO nun rechter Hand sin y sin -- sin ^ jedenfalls positiv ist, so gilt 
sicher nur das obere Zeichen, da G und y gleichzeitig < 180^ sind. 

Vertauschen wir nun y mit 2ä — y, so wechselt die rechte Seite 
das Zeichen; dies geschieht jedoch auch linker Hand, indem jener 
Vertauschung eine Vertauschung von £ mit 360^+« entspricht, wie 
geometrisch leicht zu ersehen ist. Mithin gilt in der That in (2) 
nur das obere Zeichen. 

Die Entwicklung zeigt nun, dafs die obem und untern Zeichen 
in (1), (2) und (5) einander entsprechen, also gilt das o&erc Zeichen 
von (1), (2) und (5) allein, falls wenigstens 2 Seiten < n sind. 

Für Formel (3) mufs man aber heiide Zeichen konservieren. 

Formel (5) ergiebt jetzt weiter, indem wir voraussetzen, dafs 
wenigstens 2 Seiten <3r sind: 

2 sin -- sm — - — sm — —-^ sm - ' 



l-co8y = 2sm«-- = ^ , (6) 

cos — - cos -^ cos -' 

A tt A 

wie man leicht mit Beachtung der nachfolgenden beiden Identitäten 
findet: 



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§ 12. Fortsetzung: Gegeben 3 Seiten. 

1 / y a + P\ 



. 8 . 8 — y 

Sin — sin — r-^ 



Bin — - — sin 



in — ^ = _ ^- cos ^ + cos -^^j 



87 



(7) 



Ans (6) und (3) erhält man nan nachstehende zur Berechnung yon 
B sehr geeignete Formeln: 



sm 



i- V- 



1,8. 8 — a , 8— 6 . 
J Bin Y sin — g— wn — ^ — am 


»-y 

2 


« ß y 

cos y cos ^ cos ^ 


/ cos — cos -^^ — cos — ^ cos 


« — y 
2 


a ß y 

cos ~ cos -£- cos ~ 

2 2« 



cos- 



tan - - = + V tan -^ tan — ^~ tan — ^ tan — ;. ^- • 



2 



2 



2 



(8) 



Die positiven Wurzelzeichen der beiden letzten Formeln gelten, wenn 
alle Winkel < 180® sind, die negativen, wenn sie > 180° sind; u. s. w. 

Ist der Excels bekannt, so kann man bei 3 gegebenen Seiten einen 
Winkel bestimmen, z. B. C nach einer der beiden Formeln: 



Bin ^ cot - cot ^- 



.in(c-;-)-. 

tan 1 — 1 =» cot — tan tan — • 

Die erste derselben ist nichts anderes als die 1. Formel (3) des vorigen 
Paragraphen; sie gilt für beliebige Dreiecke. Die 2. Formel gilt nor für 
Dreiecke mit wenigstens 2 Seiten < n. 

Die Ableitong dieser letzteren Formel kann wie folgt geschehen. Man 

bestimmt zunächst cos \C ^] , am bequemsten mittelst der Identität 

cos(c~i-)«8in(4 + AzL^), 

— und cos ^ unter 



2 



indem man diese rechts zerleg^ und sin 

Benutzung der 6rat«/a8chen Gleichungen eliminiert. Es wird, wenn man 
an jener Beschränkung festhält: 



(«-!)- 



1 — cos' -^ — cos' -^ + cos' ~ 

2 2a 



2 sin - sin -|- cos — 



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88 2- Kapitel. Dreiecke uod DreiecksDetze auf der Kugel. 

Man bildet weiter: 



^(o-i)-..,..(P.-;) 



8 8 — y.« — «.«— ß 

2 cos - - C08 ^ Bin — „ — sin — „— ^ 
2 2 2 2 



. a . ß y 

sin -T- sin "^ cos -i- 

2 2 2 



wobei nächst der zweiten der Identitäten (7) die Identität 
8 8 — y X ( y, « + P\ 

cos ^ cos - 2— - ^ (cos y + cos — g— j 

zu beachten ist. Nun ist mithin sin (— ) bekannt; dies giebt mit 

sin ( C — — ) sofort cos f — — — j und hieraus folgt endlich leicht die 
für tan (— -j-j angegebene Formel, wobei über das Vorzeichen kein 

Zweifel ist, weil sie mit der darüberstehenden für sin ic —j, sobald 

wenigstens 2 Dreiecksseiten <[ n angenommen werden, Glied für Glied 
gleiche Vorzeichen hat. 

Eine sehr elegante Entwicklung der Formeln mit — gab Werner in dem 

Joum, für Mathem. und Phys. YOn SchlömiUh 1861, S. 146. Im all- 
gemeinen yergl. man BaUeers und ScMömilchs Lehrbücher, das des erst- 
genannten namentlich auch für historische Angaben. 

§ 13. Theorem von Legendre. Die Anwendung der Formeln 
der sphärischen Trigonometrie erfordert die Verwandlung der Seiten- 
längen in Gradmafs und umgekehrt. Liegt hierin schon eine Un- 
bequemlichkeit; weil der Geodät meist der wirklichen Längen der 
Seiten bedarf, so zeigt sich bei der Rechnung die weitere, dafs die 
Logarithmen der meisten trigonometrischen Funktionen der kleinen 
den Seiten entsprechenden Winkelwerte a, ß und y nicht bequem aus 
den Tafeln zu entnehmen sind. Die Anwendung der Hilfslogarithmen 
8 und T (S. 33) beseitigt diesen Übelstand nur teilweise. Das Theorem 
von Legendre lehrt nun: 

Ein kleines sphärisches Dreieck läfst sich berechnen als ein ebenes 
mit denselben Seiten, nachdem die Winkel je um ein Dritteä des Excesses 
vermindert worden sind. 

Die Seiten des ebenen Hilfsdreiecks nennen wir a, b und c] die 
Winkel sind -4 — y,!? — y, (7— -r-, und es ist femer zu setzen 

für s: 

F 



,. F 

in Sek. V 



(1) 



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§ 13. Theorem von Logendre. 89 

F kann hierbei hinreichend genau nach den Formeln der ebenen 
Trigonometrie berechnet werden, q bezeichnet den Kugelradius. 
Behufs Ableitung des Satzes geht man von der Formel 

cos « ^ cos /S cos y + sin /? sin y cos -4 , (2) 

worin a, ß^y die Quotienten a: q, b: q, c: q bedeuten, aus. Da diese 
klein sind, genügt es fUr ihre Cosinus und Sinus die ersten Glieder 
der Reihenentwicklungen (1) S. 28 zu substituieren. 

Es findet sich dann, wenn a, ß, y als Glieder 1. Ordnung be- 
zeichnet werden: 

•-^- + ^-('-|^ + -£)('-i- + ^r) 

+ /ir(i--f)(i-4)«<»^ + Gi,. 

Multipliziert man aus, sodann beiderseits mit (l + 1^^ ) und redu- 
ziert auf cos A^ dabei immer die Glieder der 6. Ordnung yernach- 
lässigend, so wird nach und nach erhalten: 

^y (i - ^^) - ^ " -''V'"-^' + ^^^^^',=^^-+ Gk, 

C08 ^ = -«• + P' + r' _ 2«T + g«'r' + 8 p'y ^-««-P*-y* ■ qi 

Werden nun die Winkel des ebenen Hilfsdreiecks mit A*, B* 
und (7*, der Inhalt mit F* bezeichnet, so ist bekanntlich: 

und zwar für jede Zählungsweise der Winkel, da man A* mit 360 — A* 
in (3) vertauschen darf. Ferner ist 

F«= -^ (a + 6 + c) (a + 6 - c) (a - 6 + c) (- a + 6 + c) 
oder 

F** = ~ p* { 2a« j3« + 2aV' + "^ßV - «* - /3* - yM • (4) 

Führt man cos A* und JP* im oben erhaltnen Ausdrucke für 
cos A ein nnd beachtet, dafs auch F* *= y Je sin A* gesetzt wer- 
den kann, so eigiebt sich: 

cos ^ = cos -4* — r- -T — ö- + GL 

OCQ * 

oder 

1 w^ 

cos J. = cos J.* -- Y "~T- siii -^* + f^h ' (5) 



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90 2- Kapitel. Dreiecke und Dreiecksnetze aof der Eagel. 

Nach S. 31 (5) und (6) findet sich hieraus und mit Beachtung 
Ton (4) S. 83: 

A-A*^(f" {-l^ + (?zj = i-a+.... (6) 

inSek. \ ^ Q } i> 

Hierbei ist F für jP* gesetzt; was mit grofser AniuLherung richtig 
ist, wenn die Dreieckswinkel < 180* sind. 

Im allgemeinen ist F* in (6) entsprechend dem Ausdruck 

— 6c sin A*, d. h. für Dreieckswinkel > 180*^ negativ, einzuf&hren. 

Demgemäfs bedeutet £ im letztern Fall den Excel>i mit Yemach- 
lässigung yon 720*, weil alsdann streng genommen F nicht gleich F*^ 
sondern gleich Ang* -|- F* zu setzen ist. e wird damit negativ. 

Zur genauem Ermittlung des Fehlers von (6) entwickeln wir im 
Folgenden die hohem Glieder bis zur 8. Ordnung. 

§ 14. Höhere Glieder zu Legendres Theorem. Zu gröfserer 
Bequemlichkeit der Reihenentwicklung bringen wir die Gleichung (2) 
des vorigen Paragraphen in die Form: 

nr.e A — ^ ^^^ ^ ^ COS (|? — y) ^ C08 (ß + y) ... 

cos ^ — ^^^ ^-p _ yy _ ß^g ^ß ^ y) W 

und kombinieren dies mit der Formel (3) fttr cos A* im vorigen 
Paragraphen. Es findet sich: 

onf^A rnn.l* (g'-c?')coBtt + (««-s») C08(P-y)-(tt«-cf»)co8(P+ y) 
COS^-COS^ - 2py(c08(P-y)-C08(P+^)) ' V^^ 

(ß + yy = ^ und {ß^yy = d^ (3) 

vorübergehend zur Abkürzung gesetzt. Den Zähler von (2) sclireibt 
man besser 

(a* — s^) (cos (/J — y) — cos a) — (a* — cP) (cos (ß + y) — cos a) 

und nun giebt die bekannte Reihenentwicklung der Cosinus sofort : 



cos A — cos A* = 

''" ' n 2 24 ^ 720 40320 / 

-(«'-d')(-2 24 + -720" - lÖ32öi + ^'" 



;2py 



{s*- dl _ 8« - dM 
2 24 

«* — d« 
+ -720-+«'- 



Hebt man im Zahler von (4) den Faktor (a* — ^) (a* — cP) aus und 
beachtet, dafs mit Rücksicht auf den Ausdruck (4) für jP* im 
vorigen Paragraphen 



(4) 



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g 14. Höhere Glieder zu Legendres Theorem. 91 

16i^« («« - 5*) («* — c?) p* (5) 

ist, so läfst eine einfache Reduktion erkenueUi dafs der Zähler auch 
den Faktor (s* — d*) hat; durch Division mit diesem Faktor im Zahler 
and Nenner von (4) ergiebt sich dann 

cos -4* — cos -4 =« (6) 

^^ V^ 80 + "~ 1680— - ^W 

...,,(._ü±i+ii±^g±^-<^) 

Für die Parenthese im Nenner (6) setzen wir jetzt im Zähler den 
Faktor . 

und erbalten damit endlich nach einiger Reduktion: 



cos Ä* — cos Ä • 



— !i+ 



2 F« L , — 2«> + 3«» + 3d" 



» ^*Py 1"^ 60 (7) 

, 8«* — lltt»(s« + d«) + IQg* + 8U«d« + lOd* 1 

"*" 5040 + f^k]' 

Behufs weiterer Entwicklung ist wieder S. 31 (5) und (6) an- 
zuwenden. Darin ist Ä* für Ä' und die negativ angenommene rechte 
Seite von (7) für h zu setzen. 

Man hat bei der Substitution des Wertes von h femer die 
Relationen 

iP« = 1 Q^ßY sin« Ä*, 
4ßy = 5* — (p, 

COS^* = j5 

ZU beachten und erhält dann nach und nach ohne Schwierigkeit: 
h /, , 2«« — «« — d» 



(8) 



Ä — A*^ 



0+ 



ein^* ^ ' 48 

16«* + Sa^{8* + d^ — 8(»* + d*) — 26«« d« 



+ 144ÖTT2 + ^^« j 

und 



^-^•»l:^(i+i^l±^+i!> (9) 



16«* + 128«» (s* + d*)+ 93(<« + d«) + 810«'d * 
120960 



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92 2. Kapitel. Dreiecke und DreiecksneUe auf der Kugel. 

Hierin ist das Vorzeichen von F* zu nehmen^ wie es die Berechnung 
aus 2 Seiten und dem Zwischenwinkel giebi 

In Bezug auf die Gültigkeit vorstehender Entwicklung ist Folgen- 
des zu bemerkon. Um den Ausdruck (7) für cos Ä* — cos Ä zu 
erhalten^ konnten wir auch in der wie folgt modificierten Form von (1) 

cos J. = cos a CSC j3 esc y — cot /3 cos y 

die Reihen für Cosinus , Cosecante und Cotangente anwenden. Die 
ersteren gelten aber allgemein, letztere nur für Werte < x. Die 
Entwicklung (7) gilt daher, so lange ß und y K^ sind. Die ent- 
sprechenden Entwicklungen für B und C fordern auch noch a < ff. 

Selbstverständlich genügen die in (7) angesetzten Glieder nur 
für kleine Werte von a, ß, y zur Erreichung einer Genauigkeit auf 
Bruchteile Sekunden. Insbesondere mufs die 8. Potenz von a, ß^ y 
zu vernachlässigen sein (vergl. S. 28 Schlufs von § 6). 

Für solche Werte gilt dann auch sicher die Entwicklung (9) für 
A — A^ aus (7), für welche nach S. 31 erforderlich ist, dafs 
(Ä:sin*^*)*, d. h. näherungsweise (^/Jy)*, vernachlässigt werden 
kann. 

§ 15. Fortsetzung: Excefsanteile aus den 3 Seiten. Setzt 
man in der für ( J. — -4*) im vorigen Paragraphen erhaltenen Formel 



.^J^_0^+Cl o2^_(^-^*> 



+ cP = 2^^— , S*£? = 



«N« 



, , o -1- t* ^ , , *, «. n* > 



e* ' 9' 



ferner 



sowie 



a« + 6^ + o« = 3mM ^^^ 



4 , ^ _ — 12n* + lOo* + 54m* — 86m *a» 
5 + a* — -4 , 

«^ — . 6n* --Sa* — 9m*+6m«a« 
S a ^4 , 

SO gelangt man nach einiger Reduktion zu dem Resultat: 

A A* F* f- , 7w»— 2a* , 31n* — 10a* + 93w* — 30m'a« , ^,1 
^-^="3? r + "^^«" + 5Ö4Ö? +Gk\' 

Durch cyklische Vertauschung von AyB,G und a, 6, c folgt hieraus 
weiter: 

^-^ = 3?-U + ^[ö?^ + 6-040-? + ^^ß)' 

rf n* ^* /i I 7m* — 2c» , 31n*— ioc* + 93m*— 30m*c» .,, 1 



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§ 15. Fortseizimg: fizcefsanteile ans den 3 Seiten. 



93 



Die Addition dieser 3 Formeln' giebt linker Hand s falls die Winkel 
< 180^ sind. Sind die Winkel > 180^ so ist Ä* + B* + C*=* 900<» 
nnd daher 

{A + B + C)'-{Ä* + B* + C*) = Excefs - 720^ 

welchen negativen Wert wir aber wie früher mit e bezeichnen. Man 
hat somit: 



s 

in Sek. 






(2) 



Nimmt man von s ein Dritteil und subtrahiert es von Ä — Ä* u. s. f.^ 
so ergiebt sich weiter: 



in Sek. 

^1:.^'°^+^ vl^ö^+ — «ST? — +^v 

iiiS«k. 
/1 ^*_ * , // F* /»••— C» , («♦-e.)+ 3m '(m'-<!') , ru \ 



(3) 



in Sek. 



In den Formeln (2) und (3) ist das Vorzeichen von F* der Berech- 
nung aus 2 Seiten* und dem Z wischen winkel entsprechend zu nehmen. 
Benutzt man (2), um aus (3) überhaupt F* zu eliminieren^ dann 
erhält man: 



-^ -^ 3 1*" 20^* * i(mO(j* 



GL 



20 e 






.--+ 



m' — C 



20 (n* — b*) — 8m'(re* — 6 ^) 
10080^« 

20(»« — c«) — 3m»(m» — c«] 



10080^« 






(4) 



Die hierbei notwendigen Divisionen der 1. Parenthese von (2) in die 
Parenthesen von (3) sind jedenfalls zulässig wegen der zur Brauch- 
barkeit der vorstehenden Entwicklungen erforderlichen Beschränkung 
auf kleine Seitenlängen. 

Legendre gab sein Theorem zuerst in den Memoiren der französischen 
Akademie fürs Jahr 1787; er reproduzierte es 12 Jahre später in dem Werk 
Dekmbres: Mithodes anoLytiques . . ., und zwar ging er vom Sinussatz 
ans, indem er 

sin a : sin ß BB sin il : sin : J3 

durch 

a : j5 =» ein (-4 — u) : sin iß — w) 



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94 2. Kapitel. Dreiecke und Dreiecksnetze auf der Eagel. 

ersetzte und die Unbekannte u danach bestimmte. Da ti «> ~ wird , so 

3 

ergab sich die Möglichkeit, überhaupt das sphärische Dreieck auf ein 

ebenes zu reduzieren. Den Cosinussatz wandte (nach Puisscmtf TrcUU de 

Geodäsie) Lagrange an in dem Memoire swr la Trigonometrie sphdrique 

{Jourwü de VEcoU Tolytechnique, Nr. 6). 

Wir benutzten zum Teil Grunerts Abhandlung im Ar(^io fikr Math, 
und Physik Bd. 9, S. 8 (1847), die es sich zur Au%abe stellt, eine beliebig 
weit anwendbare Entwicklung zu geben. Grunert erwähnt auch ältere 
Darstellungen. Neuerdings ging Neil von der 3. Formel (2) S. 80 aus in 
der ZeiUchr, für Math, und Phys. von SMömüch Bd. 19, 1874, S. 324 
bis 344. 

In ganz anderer Weise ging Ändrae vor (1. Bd. der Dänischen Grad- 
messung, 1867, S. 544), indem er zwei Ausdrucke für den Cosinus des zum 
sphärischen Winkel A gehörigen Sehnenwinkels 3i einander gleich setzt: 
einen der Ausdrücke giebt die ebene Trigonometrie aus dem Sehnendreieck, 
den andern die sphärische Trigonometrie aus Ä und den Neigungswinkeln 
der Schenkel von 7i gegen die Tangentialebene in Ä, Diese Methode, 
welche Zachariae in seinem Werke Die geodäiischen Hauptpunkte . . . 
(deutsch von Lamp, 1878, S. 126—128) reproduziert, hat den Vorteil, 
unmittelbar auch bei kleinen Dreiecken auf dem Ellipsoid angewandt 
werden zu können. 

Auch Hansen entwickelt das Theorem und giebt die Glieder 6. Ordnung 
in « und -4. — -4*, u. s. f. S. 219—221 der Geodäiischen Untersuchimgen 
(1865) an. 

Neuerdings hat Meissei in den Astronom. Nachr. Bd. 95 (1879) S. 70, 
Nr. 2261 mittelst der elliptischen Funktionen Formeln abgeleitet, die die 
Auflösung eines beliebig grofsen sphärischen Dreiecks auf die eines ebenen 
zurückführen. Diese Formeln sind aber für Dreiecke mit kurzen Seiten, 
wie man leicht findet, viel weniger einfach als Legendres Satz, namentlich 
auch im Hinblick auf spitze Dreiecke. Meisseis eigne Formelangaben 
für diesen Fall sind zu sehr abgekürzt. 

§ 16. Nnmerischer Betrag der höhern Glieder. Ein gleich- 
seitiges Dreieck mit 0,1 q als Wert der Seiten a, 6, c giebt^ weil 
91} =, n = 0,1^ wird: 

in Sek. * \ / 

oder 

B = 893,16" + 1,12" + 0,0015". (1) 

Andere Dreiecke mit demselben Durchschnitt m* für die Quadrate 
der Seitenlängen haben kleinere Flächen jF*; führt man nämlich im 
Ausdruck (5) S. 91 für JP* die Gröfse m und die Hilfsgröfse 

ein — wobei man sich immer 6 > c denken kann — , so wird 

F*2 « ^^^ (Ga^m* - 3a^ - ^^), (2) 



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§ 16. Numerischer Beirag der hl^hern Glieder. 



95 



und dies zeigt^ dafs '9'= und a^ m, d. h. das gleichseitige Dreieck, 
die Fläche F* zu einem Maximum machen. 

Hiemach nehmen das 1. und 2. Glied von $ ab, sobald bei 
gleichem Werte von m das Dreieck sich von der gleichseitigen Form 
entfernt. 

Was nun das 3. Glied anbetri£ft, so ist zunächst mit Rücksicht 
auf die Bedeutung von n nach Formel (1) S. 92 

»4 = 1 (9m* - 6w«a« + 3a* + ^*)' d. i. | (9w* - IGF*^). (3) 

Dies in das Produkt F*{n* + 3 w*), von welchem das 3. Glied wesent- 
lich abhängt, eingeführt, findet sich leicht für dieses der Ausdruck 



J'*(27m* — 16 F*«) 
1440^« ^ 



(4) 



dessen Differentialquotient nach jP* stets positiv ist, weil für das 
gleichseitige Dreieck (dessen JF* ein Maximum ist) F*^ nur 3 m* : 16 
beträgt. 

Sonach sind alle drei Glieder des Excesses für das gleichseitige 
Dreieck ein Maximum mit Bezug auf alle Dreiecke gleichen Durch- 
sdmittswertes der Quadrate der 3 Seiten.*) 

Man hat damit unter Zugrundelegung der Werte (1) folgendes 
Täfelchen der 

Maximalwerte der Glieder in e: 



m = 


m = 


2. QUed 


8. GUed 


0,2p 


1274*« 


18" 


0,1" 


0,1 


637 


1,12" 


0,0015" 


0,05 


319 


0,070 


• 


0,02 


127 


0,0018 


• 


0,01 


64 


0,0001 


• 


0,001 


6,4 


« = 


0,09" 



(5) 



um nunmehr den Einflufs derjenigen Glieder, um welche die 



*) Für die Annahme eines konstanten Dorchschnittswertes «ler 1. Potenzen 
der Seiten würde nichts wesentlich anderes resoltieren; der Kalkül ist aber mit 
konartantem m' einlacher und aufserdem ist es praktisch ganz gleichgültig, was 
von beiden genommen wird. Dagegen würde ein Resultat in Bezng anf ver- 
acliiedene Dreiecke konstanten Inhalts wenig Wert besitzen, weil die Geodäsie 
die Dreiecke in Ordnungen nach ihrer Seitenlänge und nidit nach dem Inhalt 
klawifiziert 



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96 2- Kapitel. Dreiecke und Dreiecksnetze auf der Kogel. 

Redaktionen A — A*y u. s. f. von — abweichen, zu untersuclien, be- 
trachten wir zunächst das 2. Glied in \A — A* — --j nach Formel 
(3) S. 93: 

60^* ' ^^ 

Die Einführung von (2) zeigt sofort, dafs zu einem Maximum des 
Gliedes jedenfalls 'd* = erforderlich ist. Weiter giebt die Differen- 
tiation nach a als Bedingung a^ = w? (l +1^0,5) an, mit 

als Maximalwert von (6). Derselbe beträgt sonach: 

für m gleich 0,2p 0,1 9 0,05p 0,02p \ 

+ 1,2" + 0,074" + 0,005" =F0,0001" J 
Er ist weit geringer als der Maximalwert des entsprechenden Gliedes 
in —• Man kann daher sagen: 

o 

Eine gleichmäfsige Verteilung des Excesses auf die 3 Winkel reicht 
jedenfalls aus, sobald s nach der einfacJien Formel q"F* : p* berechnet 
werden darf. 

Hierbei ist als selbstverständlich vorausgesetzt, dafs das 3. Glied 

in den Reduktionen A — J.* -— y u. s. f. nach den Formeln (3) S. 93 

und ebenso in denen nach den Formeln (4) S. 93 gegen das 2. Glied 
zurücktritt, weil es von höherer Ordnung ist Man sieht aber auf einen 
Blick, dafs dies Glied notwendig kleiner ist, als das entsprechende in 

y, Formel (2) S. 93, man darf es also mit diesem gleichzeitig ver- 
nachlässigen. 

Anstatt die Glieder 4. und 6. Ordnung zu entwickeln, kann man anch 
zur Ermittlung der Genauigkeit des Ze^^ndr^schen Theorems einen Grenz- 
wert fCir die Summe aller hohem Glieder aufsuchen, welchen sie nicht 
überschreiten können. Vergl. hierzu Hertens, Zeitschr, für M(Uh. und 
Phys. von Schlömüch 1875, S. 286. 

Ein anderes Verfahren wandte Gaufs an, indem er für (a sin B* : h sin -ä*) 
einen strengen Ausdruck aufstellte, der für sehr kleine Dreiecke augen- 
scheinlich von der Einheit nur wenig abweicht. {Grelles Jov/mal 1841, 
Bd. 22, S. 96 u. ff. oder Bauemfeinds Vermessungskunde Bd. 2, 6. Aufl., 
S. 259). 

§ 17. Excefsanteile aus 2 Seiten nnd dem Zwischenwinkel. 

Der Fall, dafs 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben 



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§ 17. Ezcei^ aus 2 Seiten und dem Zwischenwinkel. 97 

sind, ist ohne Zweifel häufiger als derjenige, dafs die 3 Seiten 
bekannt sind. Wir müssen ihn daher besonders betrachten, wobei 
wir zunächst die Formeln des § 15 zu einer indirekten Rechnung be- 
nutzen. 

Sind gegeben b, c und A, so ist bei diesem Verfahren 



F* = Y &c siii -^* 
und 

a« = 62 ^ c* — 2bc cos A* 



(1) 



durch successive Annäherung aufzusuchen. In 1. Annäherung nimmt 
man A* =^ A, berechnet mittelst Formel 

-^=^ + 0i, (2) 

den Excefs, nimmt sodann in 2. Annäherung -4* = -4 — - und 

erhält nun aus den Formeln (1) die Gröfsen F* und d^ jedenfalls 
so genau, dafs man für die Formeln (2), (3) und (4) S. 93 die 
2. und 3. Glieder bereits definitiv berechnen kann, während das 
Hauptglied in s noch einen Fehler 6. Ordnung aufweist^ der durch 
eine folgende Annäherung beseitigt wird. 

Diese Annäherungsrechnung ist nicht unbequem. Will man aber 
direkte Formeln, so mufs man diese Rechnung einmal mit deu allge- 
meinen Ausdrücken selbst durchführen. 

Die Formeln (1) geben, darin -4* = -4 — (-4 — A*) gesetzt und 
sin {A — A*\ sowie cos (A — -4*) in Reihen yerwandelt: 

F* = l bc jsin A-{A- ^♦) cos A — —~~-f-' sin A + Gll^ , 
a« = 6« + c« - 26c cos A - 2fcc{sin A(A^ A*) + Gl^}. 

Nach S. 92 hat man aber in einer für den Zweck der Substitution 
in vorstehende Formeln passenden Gestalt: 

und diese Formel giebt mit jenen bei successiver gegenseitiger Sub- 
stitution: 

1 , . j /^ bc C08 A 



F* = 



bcsinA(l-^^+Gk), 



bc cos A = m^ — a* + 6c GI2, 



2 

Helme rt, mathem. n. physikal. Tbeorieon der höh. Geodäsie. 



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98 2- Kapitel Dreiecke und Dreiecksnetze aaf der KngeL 






irt 1». • >«/i 3«J« — 2a' (Sm»-2a»)(14«»— 9m«) , 6«c»8inM , ^,\ 
F* = -^hc^mA(\ j2? - -U407' + 72,<-+ ^^«> 



,/ hcvinA , 

in Sek. 



Bei diesen Entwicklungen ist nur das Eine fraglich, ob es nämlich 
zulässig ist, in F* und damit in € sin ^ als Faktor zu ziehen. Die 
Entscheidung behalten wir uns vor. 

Mit Benutzung der bekannten Reihe log ( 1 + w) ■= Jtf (w — ^ H — ) 

stellen wir nun e in logarithmischer Form dar und erhalten schliefs- 
lich mit Benutzung der (4) S. 93 nachstehendes Formelsystem: 

a" 6* j_ ^' 2&cco8^ ^«in'^ MCI 

^a ~^* "T ^8 ■ ^t - 8^« -r "^'ü 

, ^ , g'hCBmA , ,, (4a* — 3m" . 88a« — 45m«+24n« , ^*^*«<n*^ 1 I /^7 

j j» _ » f t I »»' — «i I 20(n«---a«)-Sm'(m»-a') J_ Tl \ ' 
^ — ^ 3 1 20^*" " " *^^^'* ' "1" ^'tif 

ü 7?* * f 1 I *^' ~ ^' _l_ 20(n*-6«)-3m »(/ii»^/>^) , ^|] 

B-B = 3 [ 1 + —20^^ "I löwo^- r ^^ß) 

^ "" ^ "" 3 \ ^ + 2Ö7» ' ^ÖÖ80^"* T ^^6| • 

In Bezug auf die Gültigkeit vorstehender Entwicklung bemerken 
wir, dafs man (3) auch als eine Umformung der 2. Formel (3) S. 84, 
welche in Anwendung auf ß, y und A 

ß y 

tan -^ tan -^ ^^^ ^ 
£ = 2 arctan 



1 + tan ^ tan ' cob -/l 

ergiebt, auffassen darf. Da die Reihe für arctan u für val. abs. 
u<'l gilt, so mufs man sich jedenfalls auf val. abs. s < 90® be- 
schränken. Die Auflösung des Nenners 1 + tan -|- tan y cos A in 
eine Reihe im Zähler und die weitere Verwandlung in eine Reihe 
nach Potenzen von ß und y fordern sodann noch ß und y < > 



(4) 



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§ 18. Beliebige drei Stücl^e gegeben. 99 

nod man bemerkt nun leicht die Zulässigkeit der Entwicklung (3) 
für kleine Werte von ß und y] aufserdem sieht man sogleich, dafs s 
den Faktor sin Ä hat. 

Der Einflufs des 2. Gliedes in s und log s auf s ist näherungs- 
weise gleich 

worin man nach (2) S. 94 einem Maximum entsprechend mit d' = 
d. h. b = c setzen kann: 

F*^ = ~-a\2m^ - a^). (6) 

Die Differentiation nach a zeigt bei konstantem m^ ein Maximum an 
2 



g 

für a* nahezu gleich -r-*^*; wofür (5) übergeht in 



,/ 8 m* .-V 

9 "64- Y • (^) 

Für m =0,1^ giebt dies den Betrag von 1", nahe übereinstimmend 
mit dem entsprechenden Glied in (2) S. 93. 

Das 3. und 4. Glied in log s haben auf c einen Einflufs näherungs- 
weise gleich 

,, F*_ 32a* — 46in* + 24 n* -f- 320 F *' 
* ~^ .5760,* 

d. i. für a- = mit F* nach (6) und n* nach (3) S. 95 auch gleich 



„ V 3a'(2m« — g*) 96ffl«a« — 16a* — 9 w* ,^v 

* 4,« 6760,* W 

Dies ist im Maximum nicht erheblich kleiner als der Einflufs ent- 
sprechender Glieder in (2) S. 93. 

Tafelchen (5) S. 95 gilt daher im wesentlichen auch für den Fall, 
dafs Formel (4) zur Anwendung gelangt. 

§ 18. Beliebige drei Stflcke gegeben. In anderen als den 
bisher betrachteten beiden Fällen kann man sich immer durch successive 
Annäherung nach den Formeln des § 15 S. 92 helfen, in der Weise, 
dafs ähnlich wie S. 97 jF* wiederholt aus verbesserten Näherungs- 
werten derjenigen Stücke des ebenen Hilfsdreiecks berechnet wird, 
die den gegebenen Stücken des sphärischen Dreiecks entsprechen. 

Wir gehen darauf nicht weiter ein, teilen dagegen noch eine 
Formel mit, die für ungewöhnlich grofse beobachtete Dreiecke, wenn 
eine Seite und die beiden anliegenden Winkel als bekannt vorausgesetzt 
werden, von nutzen ist. 

7* 



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100 2. Kapitel. Dreiecke nnd Dreiecksnetze auf der Kugel. 

Hier wird zwar immer eine gleichmäfsige Verteilung yon € auf 
die drei Winkel ausreichen, aber unter Umstanden der Wunsch ent- 
stehen, den Einflufs der Glieder 4. Ordnung auf 8 kennen zu lernen. 
Nun ist nach S. 83 (1) 

£ • 9 a Bin B sin C ,^^ 

sin = sin« 2- — ^ . (1) 

Setzt man hierin — für sin y , so giebt dies einen Fehler yon der 
Ordnung s^ oder 6. Ordnung. Femer ist nach S. 32 (1) 

sin -|- = -f- ]/ cos -|- + Gl^. 
Man hat daher 



a* sin B sin C -^f ^ 



Führt man rechter Hand die 1. Formel (5) S. 81 ein, so folgt: 



, T/sin« B sin {b - ^ ) sin* C sin (c ~ -) 
'^ sin(5 + C7-|) 

Hieraus ergiebt sich endlich für logarithmische Rechnung, wenn 
^ log sin die Änderung des Briggischen Logarithmus für eine Sekunde 
anzeigt: 

, , d" a* sin B sin C /«n 

•fÄ"" ^°8 2»' Bin (B + C')- (3) 

+ _^?f!E^ P log sin (B + C') - ^-^?^^i5^^4^^^ "i— ) + • • • .») 

Sind alle drei Winkel beobachtet, so wird man es vorziehen, mit Ä 
anstatt mit (B -]- C) zu rechnen, und zwar genügt es, in yorstehender 
Formel {B + C) durch Ä zu ersetzen, wie leicht zu finden. 

Ist z. B. a = 0,05 9 mit B und (7= 300^, so wird, da abgesehn 
vom Vorzeichen des Sinus ^ log sin (B + C) = -fr ^ log sin 60** ist, 

log s = 2,348866n — 0,000227; a = - 223,172"; 

übereinstimmend mit einer Rechnung nach der strengen Ausgangs- 
formel (1). 

§. 19. Zahlenbeispiel. 6 = c = 0,25(>; A = 270». 

*) Mit Benutzung eines Gedankens von KummeU^ Astronom. Nachr. Bd. 89, 
S. 64 (Nr. 2116). 



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§ 19. Zahlenbeispiel. 101 

Die Gaufsischen Gleichungen geben hierzu, da /J = y = 14® 1 9' 26,202" 
wird und die oberen Zeichen gelten: 

Sin — 2 — sin — = 

cos— ^ sin^ = [9,2428916.5 ^ 10] 

sin ^ + ^ cos -^ = [9,8494850 . 0» - 10] 

cos ^ + ^ cos ^ = [9,8357695 . 2 — 10]. 

Hierin ist die 8. Ziffer nur Interpolationsziffer aus den Proportional- 
teilen bei Anwendung 7 ziffiriger Logarithmen. Die 3. und 4. Gleichung 
geben, wenn man a <3r fordert: 



^-±-^ = 360<» - 45^54' 16,489", dazu die 1. und 2. 
= 



2 
B- G 



2 



jB = 0=314^5' 43.511" 

« = 718nr 27,022" 1M8' 32,978". 

Die 1. und 2., bezw. die 3. und 4. Gleichung geben ferner: 
sin 4- = [9,2428916.5 - 10] cos -^ = [9,9932505.3 — 10] , 

-|- = 10» 4' 30,813" « -= 20» 9' 1,626", 

a = 0,35169173p. 

Zur Kontrolle kann eine der Formeln (3) S. 84 dienen. Die 2. giebt: 

tan -|^ = — tan« -^ also e = - 6512,978". 

Die Formdn (4) S. 98 führen dagegen zu nachstehenden Zahlen: 
6« = c* = 0,06209«, o» = 0,123698^«, w« = 0,082899^«, 
6* = (j* = 0,003906 p*, o* = 0,015301 p*, w* = 0,007704 p*, 

w* = 0,006872pS 
log e in Sek. = 3,8092751.5« + 44532.4 + 275.5 + 235.7 
= 3,8137795.1, 
£ = _ 6512,976" = - 1« 48' 32,976". 
A- A*= - 2170,992 + 4,429 + 0,033 - 0,002 = - 2166,532", 



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102 



2. Kapitel. Dreiecke und Dreieckuietze auf der Kugel. 



^ ^ I — 2170,992 — 2,215 - 0,016 + 0,001 2173,222". 

Hieraus folgt 

A'' = 270« 36' 6,532" und da A* + B* + C* — 900« ist, 
B*^C*= 314« 41' 56,734", also 
B = C =314: 5 43,512. 
Ferner giebt der Sintissatz 

a =- 0,25p sin ^* : sin B* = 0,35169173(>. 
§ 20. Polarkoordinaten. Für Gradmessungszwecke kann es 
zweckmäfsig erscheinen, aus dem Dreiecksnetze die Entfernungen der 
astronomisch bestimmten Dreieckspunkt« zu ermitteln. Man wird 
damit zu der Aufgabe geführt, aus einer Reihe von Seiten beobachteter 
Dreiecke, etwa P^Pj, PiPg; • • • -Pn-i-P«, welche an einen astrono- 
mischen Dreieckspunkt Pq anschliefsen, successive die Radienvektoren 
PoPij PqPs; • • • Po^n uud ihre Azimute gegen eine durch Pq gehende 
Anfangsrichtung zu berechnen. 

Es genügt, das Verfahren für PqP^ zu erörtern. Der Einfachheit 
halber schreiben wir nur die Indices der Punkte P an. 

Im Dreieck 0.1.2 sind gegeben die Seiten . 1 und 1.2, sowie 
der Zwischenwinkel als Differenz der Azimute a der Seiten. Wir 
führen folgende Bezeichnungen ein, wobei die cyklische Reihenfolge 
0.1.2.0 zu beachten ist (vergl. S. 71): 

Seite . 1 mit 6, Seite . 2 mit a, 
Seite 1 . 2 mite. 



(1) 



^y l j = — «1.2 + ai.o mit ^, 

^ ( 2 ) *" "" "2 • « + "* • ^ >' ^• 

Jetzt ist das Formelsystem (4) S. 98 anzuwenden und das ebene 
Dreieck aufzulösen mittelst der Formeln 



a sm — 



a cos 



B*-C* 



B* + C* 
2 



= (6 — c)sin J — , 

= (6 + c)cos f — , 

= 90«- ^;^*<180, 
= 450«-4^;^*>180. 



(2) 



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§ 21. Die Additamentenmethode. 



103 



Diese Formeln der ebenen Trigonometrie gehen aus den beiden 
ersten Gaufsisehen Gleichungen 8. 79 hervor, wenn man die Sinus 
der Seiten in Reihen verwandelt, beiderseits mit q multipliziert und 
dann (^ «= cx) setzt Die 3. und 4. Gleichung (10) S. 79 geben die 

Gleichung för ~ 

Aus J5* und C* folgen nun B und G mittelst der (4) S. 98 und 
es ist sodann: 



«0 
«2 



. = «2 . l — Bj ) 



(3) 



womit man alles hat, um die Rechnung im Dreieck 0.2.3 fort- 
setzen zu können. 

Sind die Logarithmen von h und c gegeben, so ist bequemer als 
(2) das Formelsystem: 



tan 



log cot k = log b — log c, 



2 



B* + C* 
2 



= tan j'' cot (A + 45«), 

= 450«-^; ^*>180«, 

, sin A* sin Ä* 

Sin B* Bin (7* ' 



(4) 



zu welchem man gelangt, wenn man den Ausdruck 

-T—^ — 1 cot i — 1 

Bin Cr 



Bin E* 
sin C* 



+ 1 



coti + 1 



(5) 



bildet Dies System (4) setzt aber voraus, dafs das Dreieck nicht 
sehr stumpf ist, welcher Fall bei Berechnung von Polarkoordinaten 
gerade häufig eintritt. 

§ 21. Die Additamentenmethode. Das Ze^^nc^rasche Theorem 
gewahrt die Möglichkeit, ohne Benutzimg der sphärischen Trigono- 
metrie nach den Formeln der ebenen Trigonometrie von einer ge- 
gebenen Basis ausgehend alle Seiten des Dreiecksnetzes zu berechnen. 
Soweit es sich hierbei um beobachtete Dreiecke handelt, ist die An- 
wendung des Theorems noch durch den Umstand erleichtert, dafs 
behufs Ausgleichung der Dreieckswinkel nach der Methode der kleinsten 



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104 2- Kapitel. Dreiecke und Dreieckenetze auf der Engel. 

Quadrate jedenfalls die Excesse schon vorher berechnet werden müssen 
und somit für die weitere Rechnung nur die geringfügige Arbeit der 

Subtraktion von ^ ^^^ jedem sphärischen Winkel erforderlich ist, 

tfhi danach sofort die ebene Trigonometrie anwenden zu können. 
Aber auch dann, wenn s erst berechnet werden mufs, ist das Ver- 
fahren ein so einfaches und übersichtliches, dafs es jetzt wohl aus- 
schliefslich benutzt werden dürfte. Immerhin ist doch zweier anderen 
Methoden zu gedenken, die vielleicht unter Umständen mit dieser 
Berechnungsweise zu konkurrieren imstande sind, mindestens aber 
ein wissenschaftliches Interesse beanspruchen. Zunächst die Addita- 
mentenmethode. 

Dieselbe setzt allgemein für eine Dreieckseite s 

log sin y = log Y — -4, = log s — log q -- A,. (1) 

Handelt es sich nur um die Anwendung des Sinussatzes auf a^h, A 
und Bj so hat man also in der Gleichung 



zu substituieren 


1 


sm — 


= sin 


u sin B 
f sm A 






log 


sm — »= 


log 6 


- log 9 - 


-A„ 




log 


a 
sm— = 


loga 


- log 9 - 


-A.. 


Dies giebt: 






• 






(Jogft- 


A) = 


= (log o - 


- A) + log sin 


B — 



log sin A, (2) 

Steht eine Tafel der A^ mit dem Argument log sin s zur Dispo- 
sition, so kann man in einer zusammenhängenden Dreieckskette nun 
in der Weise rechnen, dafs man den log Basis um sein Additament 
vermindert und nach (2) von Dreieck zu Dreieck für alle Seiten 
(log s — As) aufsucht, schliefslich aber alle diese Werte um A, 
vermehrt. 

Die Additamentenmethode erfordert die Konstruktion einer Tabelle 

für As. Man kann dazu log sin — in eine Reihe entwickeln, einfacher 
aber die S der Logarithmentafeln anwenden (S. 33). Es wird 

S = log sin log - — 5 

vergleicht man dies mit Formel (1), so folgt zur Bestimmung von A^: 
^, = - S — log p" == - 5 - 5,3144251.3 , (3) 

S xum Argument -^ gehörig. 



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§ 22. Strenge Formeln für Sehnen und Horizontalwinkel. 105 

Beispielsweise giebt log s «» 5^48000 mit log q «» 6^804 16 zunächst 
log -?-i = 3,99027 mit S = 4,6854121.8 - 10 

und daraus folgt nun 

^ = 10 - 9,9998373.1 = + 1626.9. 

Man kann A^ als Differenz von log sin und log arc auch aus 
Bremikers Logarithmentafeln mit 6 Stellen entnehmen, wo es als h 
neben den Sinuslogarithmen steht — allerdings nur zur Rechnung 
mit 7 Decimalstellen geeignet Für 8ziffrige Rechnuug vergl. eine 
Tafel in Bremikers Studien S. 80. 

Da für Dreiecke mit Seiten gröfser als 0,05 (» nach S. 96 (8) eine 
gleichmäfsige Verteilung des Excesses auf die 3 Dreieckswinkel nicht 
mehr zulässig ist, so wird hier die Additamentenmethode zur Seiten- 
berechnung nach dem Sinussatz jedenfalls bequemer als Legendres 
Theorem, Wir werden aber später sehen, dafs Dreiecke von derartigen 
Dimensionen überhaupt nicht mehr als sphärische berechnet werden 
können und (ohne dafs wir darauf zurückkommen) wird sich zeigen, 
dafs der Sinussatz für Dreiecke auf dem Rotationsellipsoid auf die An- 
wendung von Legendres Theorem (in erweiterter Gestalt) aUein hinweist. 

Insoweit die Kugelgestalt der Niveauflächen eine zulässige Hypo- 
these ist, führt die Additamentenmethode aber zu einem brauchbaren 
Verfahren. 

Sie wurde in der 1. Hälfte dieses Jahrhunderts für süddeutsche Trian- 
gnlierangen angewandt, namentlich von Soldner für die bayerische Landes- 
Yennessung, seit 1810. Vergl. Die bayerische Landesvermessung ti. s. w, 
München 1873. S. 222; ferner Jordan, Handbuch der Vermessungskunde 
Bd. 2, S. 182, sowie NeU in der Zeitschr. für Math, und Phys, Bd. 19. 
1874. S. 344—363. Hier finden sich auch Anwendungen der Additamenten- 
methode auf andere Fälle als den Sinnssatz. In dieser Beziehung mag 
noch bemerkt werden, dafs man z. B. bei Auflösung der (?au/)nschen 
Gleichnngen bei Seitenlängen bis zu 0,05^ genügend genau für Rechnung 
mit 7 Decimalen der Logarithmen 

log cos - «=» — 8-4« 

setzen kann, wie die 1. Formel (1) S. 32 § 10 zeigt 

§ 22. Strenge Formeln fflr Sehnen nnd Horizontalwinkel. 
Wenn man nicht unmittelbar die Dreiecksseiten auf der Eugelfläche, 
sondern vorerst die zugehörigen Sehnen aus der Basissehne und den 
Winkeln ableitet, so giebt es dazu strenge Relationen zwischen den 
Sehnen und den Horizontalwinkeln. 

Der Winkel der Sehnendreiecke bedarf man nickt. Die Sehnen 



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106 



2. Kapitel. Dreiecke and Dreiecksneize auf der Kugel. 



bezeichnen wir mit gotischen Buchstaben und setzen voraus ^ dafs 
aj b und c <iJtQ*) seien; dann erhalten wir sofort aus bekannten, ein- 
fachen geometrischen Beziehungen: 



2p sin ^, b = 29sin|^, t 



2q sin -^ 



29' 



oder 



(1) 



a = 2 9 sin -|- , b = 2^ sin -|- , t = 2^ sin ^ • 

Setzt man dies in die Forniel (8) S. 82, so ergiebt sich: 

a : b : C = cos -|- sin ^J. — y j : cos -j- sin yB — yj : cos y sin \C— yj • 

Nun hat man aber nach der 1. Formel (5) S. 81, indem man sie 
auf a, ß und y anwendet: 



cos* -y : cos* 



ß 2 y 
-r- : cos* -^ = 



sin A 



ein B 



sin C 



.in{Ä-±) ' 8in(B--l) *sio(c--j)' 



eliminiert man hiermit a, /3, y aus der vorigen Proportion, so folgt 
eine strenge Formel zur Berechnung der Seiten b und t bei gegebener 
Seite a und bekannten 3 Winkeln -4, B, C: 



j/sin A sin (.i — —) |/dnJB8in (jB - —) j/sin C sin {c - y) (2) 

Zu der Berechnung von s aus einer Sehne ü und den Horizontal- 
winkeln giebt Formel (1) § 11 S. 83 die Gleichung 



smy = 



sin B sin C 



sin £ ain 



"■ -»(«+«-!) "■ .i.(^-^)' 



(3) 



deren Auflösung durch Annäherungen schon am genannten Orte mit 
Bezug auf die in der Geodäsie in der Regel nur in betracht kommenden 
Werte von s behandelt ist 

Zur vollständigen Berechnung eines Dreiecksnetzes sind auch 
Formeln für zwei Seiten und ihren Zwischenwinkel als gegebene 
Stücke unter umständen erforderlich. Der Versuch, auch hierzu 
strenge Formeln aufzustellen, führt nicht völlig zum Ziele, insofern 

*) Da zu 3 Punkten auf der Kugel nur ein Sehnendreieck gehört, welches 
immer mit einem sphärischen Dreieck korrespondiert, dessen Seiten dieser Be- 
dingung genügen, so liegt in derselben keine Beschränkung. 



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§ 23. Näheniogsformeln. Grunerts Satz. 107 

man nur zu Formeln gelangt, die eine successive Annäherungsreclinung 
erheischen und sich wenig zur Anwendung eignen. Wir uuterlassen 
daher deren Mitteilung und gehen sogleich zu den Näherungs- 
formeln über. 

§ 23. Niherangsformeln.. Omnerts Satz. Zur Reduktion 
Yon der Sehne ü auf die Seite a und umgekehrt erhält man mittelst 

der 1. Formeln Ton (3) und (4) S. 29 u. 30 für t« = y- und sin w = -^ 

leicht die Formeln: 



log.-l«ga-i.if|(^)' + ^(^)' + --). 



(1) 



In der Regel wird man sich aber der S. 105 erwähnten Hilfstafeln 
f^ die Differenz von Sinus un4 Arcus bedienen. 

Es folgt nun ferner ohne weiteres aus den Relationen (2) des 
vorigen Paragraphen mit Vernachlässigung yon Gliedern 4. Ordnung 

(in Bezug auf — ): 

«:b:C-=8in(^--9:8m(B-|):8in(C-i-). (2) 



Dies ist Grunerts Satz. Er unterscheidet sich von Legendres Satz 
dadurch, dafs die reduzierten Winkel keifiem Dreieck angehöreu.' 

Zur Kenntnis der Glieder 4. Ordnimg führt folgende Rechnung. 
Die Proportion 



k : C = ysinBsin{B- [) : ]/sin C sin (c - y) (3) 

giebt dnrch Auflösung von sin \B — —j und sin \C — yj in die Be- 
standteile und Division beider Wurzeln mit cos y : 



' ""^ Y l-cotCtani' ^^ 

Zähler und Neuner der Wurzel dieser Formel lassen sich für kleine 
Dreiecke nach dem binomischen Satze entwickeln. Es ist nämlich 
z. B. für den Nenner nach S. 84 2. Formel (3): 

cot (7 tan y = 1 : (l + cot - cot^ sec c) (5) 



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108 2. KapiteL Dreiecke und Dreiecksnetze auf der Kugel. 



£ 



und für kleine a und ß ist demnach das Produkt cot G tan — stets 
zwischen — 1 und + 1 enthalten. Im allgemeinen und bei belie- 
bigen Werten von C findet dies sicher statt, so lange cot -|- cot y > 2 

ist; d. h. die Dreiecksseiten in Gradmafs genommen ca. 70^ nicht 
übersteigen. Beschränkt man sich auf kleine Werte von a, ß und y 
und betrachtet diese wie bisher als Gröfsen 1. Ordnung, so sind die 

Ausdrücke cot C tan y? cot B tan -r- u. s. f., wie (5) zeigt , Gröfsen 
2. Ordnung. 

Man erhält nun aus (4) 



b siuB l-|cotBtan^-(l + |cot5tan-L) + 



GL 



t smC ^ 1 



1 ~ y cot Ctan y (l + -i- cot C tan y) +Gl^ 

und hieraus folgt, wenn man Zähler- und Nenner mit 

l-yCot:Bcotatan«-|--^ 

multipliziert; sowie unter der Annahme; dafs s wie früher bei aufser- 
halb gezählten Dreieckswinkeln negativ genommen wird: 

b__\inB l-|cotgfa''4-(l+l-tan|[cotB+cotC])-|i + g?. 
1 _ i. cot Ctan ^ (l + i tan -|- [cotB+cotC]) - -J" + «. ' 



8inC7 



oder mit Benutzung einer (wie man rückwärts verificieren kann) völlig 
zulässigen einfachen Umformung in Zähler und Nenner: 

^ Bin (a- ^ - -|V [cotJB+cotC]) + Gl, 

In dieser Formel ist angenommen; dafs s in Sekunden ausgedrückt 
sei. Aufserdem mag bemerkt werden, dafs die Glieder 6. Ordnung u. s. f. 
im Zähler und Nenner s nicht immer in Verbindung mit cot^ und 
cot C enthalten; sondern auch einmal wenigstens frei davon, dafs sie 
mithin wie sin B und sin C (also wie die Hauptglieder im Zähler 
und Nenner) verschwinden. Es ist aber nicht angänglich; sie ohne 
weiteres mit in diese Haupl^lieder (als Incremente von B und C) 
hereinzunehmen. 

Zur Berechnung des Excesses 8 dient; mit Benutzung logarith- 
mischer Differenzen; bis auf Glieder 6. Ordnung genau wieder Formel 



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§ 24. 2 Sehnen b und t und der Horisontalwinkel Ä gegeben. 109 

(3) des vorigen Paragraphen^ wobei es genügt, linker Hand sin — mit 
(b in Sek.) : 2q' zu vertauschen. 

§ 24. 2 Sehnen b und t und der Horizontalwinkel A gegeben. 
Indem man (b — t) : (k + t) bildet, folgt aus (6) S. 108 zunächst 
nachstehende Formel zur Berechnung von {B -{- C): 

b-t \ 2 / ^j^ 



»" + ' tan(^ - f.- ^; [cotB + cotC]) + ei. ' 

wobei man beachten mag, dafs die Gl^ für B ^=^ C verschwiuden, 
wie die oben gegebene Entwicklung unzweifelhaft nachweist Linker 
Hand fuhrt man einen Hilfswinkel ein wie S. 103, um die logarith- 
mische Rechnung zu erleichtem, und rechter Hand setzt man im 
Nenner besser 

-|i[cotB + cotC] = -\'^ + .... (2) 

Dafs diese Substitution zulässig ist, erkennt man leicht mittelst nach- 
stehender, aus (4) S. 98 zu entnehmender Relationen: 



2a6coB 


C^ 




a» + 5« - 


c« 


?• 




ab sin C 


= 



+ Gk = ^!^+^-'-+Gk, 



9' 

2e + Glt. 

Hieraus folgt f&r c cot C und analog fOr e cot JB 
4« cotC»= «' + l»|-t' _|_ gj 

4c cot B — - *' ""' + '' + Gl^. 



(3) 



'4; 



(4) 



Entnimmt man nun noch zur Berechnung des Excesses die Formel 
(2) S. 85 mit gehöriger Yertauschung der Stücke des Dreiecks, so 

hat man: 

8 bt sin A .^. 



2 



a 



Durch Reihenentwicklung von cos ^ gelangt man weiter zu der 
Formel: 

^ = -^^(l + -^+Gg- (6) 

Somit gestaltet sich endlich das Formelsystem zur Auf losung des 
Dreiecks aus b, t und A wie folgt: 



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110 2. Kapitel. Dreiecke und Dreieckenetze auf der Kugel. 

Ä* b« + 1* — 2br 008 A , ^, \ 

>» = ^ h ^4, 



In Sek. 



log cot X ■= log b — log (, 

B + C 



2 



900-4 + Y, -K180», 



u=45oo_^_,.l.^ .^>180», 



(7) 



tan -^ = tan (^+-^ - { [l + -»^])cot(A + 45«) + G?e, 

H folgt aus Formel (6) des vorigen Paragraphen, welche Formel auf 
ü und b oder ü und t angewandt werden kann, nachdem B und C 
bekannt geworden sind. 

Diese Rechnung genügt aber nur, wenn Ä nicht sehr stumpf ist. 
Da nun ein dem System (2) S. 102 analoges System selbst dann 
kompliziert wird, wenn man e^ in genannter Formel (6) vernach- 
lässigt, so mufs man noch eine Formel nach Art des Cosinussatzes 
der ebenen Geometrie für ü^ aufstellen. Es ist aber im Sehnendreieck: 

a2 = b« + r2__2btcos3l, (8) 

worin % den Sehnenwinkel zwischen b und ( bezeichnet. Die Vertikale 
in der Ecke A und die Sehnen b und t bilden eine dreiseitige Ecke 

mit den Seiten (y -f" 2/' (2 "f" '2/ ^^^ '^' letzterer Seite liegt der 
Flächenwinkel A gegenüber. Daher ist 

cos 3t = sin Y sin y + cos y cos y cos A . (9) 

Führt man hier die Formeln (5) S. 81 , angewandt auf ß und y, 
ein, so folgt nach einfacher Reduktion: 



cos3t=cos(^-f)r/ ^^-^c cos(^-J)cos|. (10) 

Entwickelt man noch cos y nach Potenzen von siny, so ergiebt 
sich nunmehr für ü^ die Gleichung: 

a«==i,*+c*_2bcco8(^— ;)(l-^-j|^,) + p«(?Z,. (11) 

Vorstehende Entwicklungen dürften zeigen, dafs die Rechnung 
mit Sehnen und Horizontalwinkeln nicht mühsamer ist, als diejenige 



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§ 25. Zahlenbeispiel. 111 

mit horizontalen Entfernungen und Horizontal winkeln, namentlich 
wenn man auf Polarkoordinaten verzichtet. Doch ist hervorzuheben, 
dafs die Gl^ bei der Sehnenrechnung im allgemeinen rascher als beim 

L^endre^hen Theorem merklich werden. Das Glied -^ s^ [cot B + cot C] 
= —€ü^:q^ im Zähler von (6) S. 108 insbesondere ist im allge- 
meinen weit grofser als das entsprechende Glied — s (w* — a*) : q^ 

in der 1. Formel (4) S. 93, wie die Substitution a* = m* zeigt. 

Ob man wirklich eine Triangulation mit Benutzung von Sehnen 
und Horizontalwinkeln zu berechnen für vorteilhaft erachten kann, 
wird davon abhängen, wie sich die entsprechenden Formeln fürs 
Rotationsellipsoid gestalten und wie sich die weitere Verwertung der 
Resultate einer Triangulation in der Form von Sehnen und Horizontal- 
winkeln gestaltet. Diese Erörterung bleibt vorbehalten. 

In früherer Zeit (u. A. bei den französischen Vermessungen zu Ende des 
• vorigen Jahrhunderts durch Delambre [vgl. MÜhodes anaHytiques p. 36—42] 
und bei den Österreichischen Vermessungen im 1. Viertel dieses Jahr- 
hunderts durch General Fallon [vgl. Nageh weiter unten citierte Abh.]) 
wurden die gemessenen Winkel auf Sehnenwinkel bezw. Horizontalwinkel 
reduziert, eine allerdings mühsame Arbeit, die aber dann nicht zu um- 
gehen ist — auch nicht bei Anwendung des LegendreBchen Satzes — , 
wenn wie damals in Frankreich die schiefen Winkel mit dem Bordaachen 
Kreis und nicht wie jetzt allgemein geschieht, die Horizontal winkel mit 
dem Theodolit gemessen werden. Die Reduktion der direkt gemessenen 
Horizontalwinkel auf Sehnenwinkel ist jedoch eine nutzlose Weitläufigkeit, 
wie man aus den dazu aufgestellten und überdies nur bis auf Glieder 
4. Ordnung genauen Formeln Fctbera xuid' Grunerta ersehen kann. Man 
findet dieselben neben Gni/nerU oben erwähntem Satz, sowie andern interes- 
santen Sätzen Biedl von Leuensterns (1827), die eine geometrische Inter- 
pretation der Beduktionsgrölsen der Winkel gestatten, in der umfassenden 
Abhandlung Nagels: Über die Reduktion eines sphäriscJien Dreiecks von 
geringer Krümmung auf sein Sehnendreieck, Zeitschr. f. Math. u. Phys. von 
ScMömüch, Bd. 1, 1866, S. 257—275 dargestellt 

Die strenge Relation (2) § 22, S. 106 lernte Verfasser durch KtmmeUs 
Aufsats, Astronom. Nachr. Bd. 89, 1877. Nr. 2116 kennen. Der Satz (2) 
des vorigen Paragraphen wurde von CHrunert im 25. Bde. des Archivs f. 
Math. u. Phjs. (1855) bewiesen, gelegentlich andrer Entwicklungen zur 
Reduktion der Horizontalwinkel auf Sehnenwinkel. Dieser Satz ist leider 
nicht so bekannt geworden, als er es verdient, namentlich weil man der 
Meinung gewesen zu sein scheint, dafs man ihn nur verwenden könne, 
wenn 1 Sehne und 3 Horizontal winkel gegeben sind. Da£s er bei gehöriger 
Anwendung aber auch eine Auflösung in jedem andern Falle gestattet, 
und daher die wirkliche Reduktion auf Sehnenwinkel ganz überflüssig macht, 
dürfte aus unsern Entwicklungen hervorgehen. 
§ 25. Zahlenbeispiel. Gegeben ü = 0,15p; B = 350«; C= 330^ 

Formel (3) 8. 106 giebt hier log sin ^ = 6,880696« — 2.51 -f, das 



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112 



i. Kapitel. Dreiecke und Dreieckanetze anf der Kugel. 



2. Glied in Einheiten der 6. Decimalstelle mit e in Sek., und da - 
klein genug ist, folgt durch Addition von 5,314425 sofort: 

log y ü. Sek. = 2,195121» - 2.51 -i m sek.; -1 = _ 2'36,861". 

Femer ist ^ = 900» - 5'13,722" — 680» = 219» 54' 46,278" und man 
hat zur Anwendung der strengen Formd (2) S. 106 und unter Be- 
nutzung Szifiriger Logarithmen: 



^-»=219»54'46,278" 



5=350 



^_J. =,219*57' 23,139" 
5-y=350 2 36,861 
C— ^=330 2 36,861 



log!/ sin A sin \A — *- ) 
= 9,8074763.3« — 10 

logl/sinBsin (jB — y) 
»9,2387316.0,-10 



C'=330 C— v = 330 2 36,861 logj/sinC sin (C-y) 

1=9,6986837.2,, -10. 

Da nun log = 9,1760912.6 — 10 ist, so folgt weiter nach genannter 
Formel (2): 

log - = 8,6073465.3 — 10; log - — 9,0672986.5 — 10. 

Gehen wir nun umgekehrt von diesen letzten beiden Zahlen und 
dem Winkel J. = 219® 54' 46,278" aus, so giebt das Famielsystem (7) 
des vorigen Paragraphen zunächst: 

a« = (0,00164 + 0,01363 + 0,00725) p* = 0,02252(>« 

B 312,838" (l + ^^^) d. i. - 5' 13,719". 

Die Differenz in s mit dem oben erhaltenen Wert beruht auf der 
Vernachlässigung der Glieder 6. Ordnung, denn eine strenge Formel 
giebt aus log b, log t und Ä wieder den frühem Wert Man erhält 
femer 

A = 70® 52' 29,024"; log cot (;i + 45®) = 9,6857676.8« — 10 

^-i-^ = 450® — 109® 57' 23,139" — 2' 36,860" = 340® 0' 0,001" 

- T (l + i^J = + ^8,431" . 1,00141 = + 1 18,542 

Summa = 340 1 18,543 
log tan 340® 1' 18,543" = 9,5605510.8„ - 10 



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log tan ^^ = 9^463187.6 



§ 86. Zahlenb«spiel. 

B — C 



113 



= 9» 59' 59,999" 



, „, 10; 

5 = 350» 0' 0,000" C= 330» 0' 0,002". 

Hieraus folgt wieder mittelst Formel (2) S. 106 die dritte Seite a und 
zwar ist bezw. aus beiden Winkeln 

log - = 9,1760912.5 und .6 — 10, 

also im Mittel gleich 9,1760912.6 — 10, wie oben angenommen. 
Will man sieh der Formel (6) S. 108 bedienen, so hat man zunächst 

-l = — r 18,430" 



82 e 



cot -4. 1 



0,0178" 



^ cot B = + 0,0848" 



82 p 

^ cot C — + 0,0258" 

und hiermit: 

« : b = sin (219» 56' 4,708" + 0,067") : sin (330» 1' 18,430" + 0,067") 
fl:f =8in(219 56 4,708 + 0,008 ): sin (350 1 18,430 +0,008), 
woraus übereinstimmend folgt: 

log - = 9,1760912.5 - 10 . 

Wenden wir nun die 2. Formel (1) S. 107 an, um die horizon- 
talen Entfernungen a, b, c zu erhalten, so folgt fQr a zunächst: 

log -= 9,1760912.6 — 10 + 4071 .5 + 8.4 := 9,1764992. 5 — 10 

und entsprechend 
h 



log 



8,6073762.0 



10 log^ 



9,0675456.7 — 10. 



Es ist nicht ohne Interesse diese Zahlen noch mittelst der Formeln 
(4) § 15 S. 93 zu prüfen. Die Berechnung von s nach Formel (2) dieses 

Paragraphen unterdröckend, setzen wir sofort -|- = — 104,574". 

Non ist: 

« m* — o' 
T 



a» = 0,0225(»* 
h* = 0,0016p* 
c* = 0,0136 (>* 



m* — a« -= - 0,0099 (>* 
«jä _ 6« = + 0,01 10(>» 
w« — c« = — 0,0010^» 



»»*= 0,0126 (»* 

Helmert, oiAthem. u. phyaikaL Theorieen der höh. Geodäsie. 



20 e* 
3 20 9» 



+ 0,052" 
- 0,058 



l^ = + 0^005 



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1 14 3. Kapitel. Rechtwinklige und geographische Koordinaten auf der Kugel. 

Ä—A*^—rU,52r J.»— 219^56' 30,800" Iogsin=9,8075420.2— 10 
B-B*=^ - 1 44,632 B*=350 1 44,632 9,2384189.7 - 10 

(7-C*=-l 44,569 C*=330 144,569 9,6985884.3 — 10. 

Diese log sin geben mit den Logarithmen der Gegenseiten bezw. die 
Differenzen 

9,3689472.3; .3; .4-10. 



3. Kapitel. 
Rechtwinklige und geograpUsclie Koordinaten auf der Kugel.'*') 

§ 1. Rechtwinklige sphärische Koordinaten. Für Zwecke 

einer Landesvermessung ist es vorteilhaft, zur Erhöhung der Bequem- 
lichkeit in der Benutzung der Resultate einer Triangulierung, recht- 
winklige Koordinaten der Dreieckspunkte abzuleiten. Man wählt als 
Axe der x einen grofsten Kreis und zählt x von einem Anfangs- 
punkte bis zum Fufspunkte desjenigen grofsten Kreisbogens, der normal 
zur X'Axe durch einen Punkt; um dessen Lage es sich handelt, gelegt 
werden kann. Das Perpendikel bezeichnet die Ordinate y. Derartige 
Koordinaten hat Soldner zu Anfange des Jahrhunderts für die bayerische 
Landesvermessung angewandt (vergl. das betreffende Werk S. 271) und 
seitdem sind sie zu fast ausschliefslichem Gebrauche gelangt. 

Ein anderes System rechtwinkliger sphärischer Koordinaten er- 
hält man dadurch, dafs normal zur rr-Axe ein gr5fster Kreis als 
y-Axe gelegt wird, und dafs man unter x und y die Längen der Per- 
pendikel von einem Punkte bis zu den betreffenden Axen versteht. 
Wir werden jedoch diesen Modus hier nicht verfolgen, weil er weniger 
vollkommen als der zuerst angefahrte ist Mängel zeigen sich bei 
der Übertragung des Systems aufs EUipsoid und bei der Berechnung 
geographischer Koordinaten, sowie in dem Umstände, dafs die Linien 
der konstanten x und y nicht normal auf einander stehen. 

Lidem wir also zu dem Soldnerschen System zurückkehren, tritt 
uns als erste Aufgabe unmittelbar die entgegen, aus den Koordinaten 



*) Wir behandebi in diesem Kapitel nnr den Fall, dafs mit horizontalen 
Entfernungen gerechnet wird. Sehnen erweisen sich fdr rechtwinklige Koor- 
dinaten direkt nicht heqnem, man geht besser erst zu horizontalen Entfernungen 
über. Für die Berechnung geographischer Positionen sind sie dagegen sehr g^t 
direkt verwendbar; trotzdem haben wir auch dafür die Ausführnng nicht gegeben, 
weil das 4. Kapitel diese Aufgabe fürs Rotationsellipsoid behandelt und die 
Lösung für die Kugel an sich kein Inteiresse bietet 



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§ 1. Rechtwinklige spUrische Koordinaten. 



115 



•^^JiuthtsmyjpoMivern 



eines Punktes P^ und der horizontalen Entfernung P^ P^ eines zweiten 
Punktes P^ sowie der Richtung nach demselben, • die Koordinaten 
dieses Punktes P^ abzuleiten. Es ist dazu vor allem notig anzu- 
geben, wie die Richtung eines gröfsten Kreisbogens P^ P^ fest- 
gestellt wird. 

MaJi denke sich durch Pj eine Parallele zur a;-Axe, d. h. eine 
Linie im Abstand y gelegt (ein kleiner Kreis, dessen Ebene parallel 
zur Ebene der x-Axe ist). 
Von der positiven Seite dieser 
Linie aus zählt man nun Rich- 
tungswinkd von 0® bis 360^, 
dergestalt, dafs der Richtungs- 
winkel wachsender y 90^ be- 
trägt Da man selbstverständ- 
lich die Richtung positiver y 
sa nehmen wird, dafs dieser 
Drehungssinn f&r Richtungs- 
winkel nnd gemessene Winkel 
übereinstimmt, man also die 
letztem als Differenzen der 
ersteren fQr beide Schenkel 
auffassen kann wie S. 71 (1), 
so ergiebt sich zur Berech- 
nung des Richtungswinkels 
f&r Pj P3 aus demjenigen fttr 
Relation: 




£..10 



Fig. 6. 



Pi P2 und dem Zwischenwinkel die 



(1) 



wobei 01.8 nnd Hi.j die Richtungswiijkel für P^P^ bezw. P^P^ im Punkte 
Pi bezeichnen. Fig. 6 zeigt die Kugeloberfläche; der Radius ist als 
Einheit der Längen genommen und es bedeuten demgemäfs 



g den Quotient - , 
1^ den Quotient — , 
6 den Quotient — . 



(2) 



§ 2. Ordinatendifferenz und Abscissendifferenz. Zur Be- 
rechnung von 1^2 ^^^ ^^^ i™ sphärischen Dreieck mit den Ecken P|, P^ 
und dem Pol der |-Axe nach dem Cosinussatz: 

cos (^ — ijgj = cos (^ — ij,) cos (S -[• sin [^ — 1^, j sin 6 cos (90*^ — fli. 2) 

8* 



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116 3. Kapitel. Rechtwinklige und geographische Koordinaten auf der Kugel. 

oder 

sin 1^2 «= sin ly^ cos ö -f cos rji sin 6 sin fli.g. (1) 

Hieraus folgt, wenn man noch i^g '^ i?i + ^V setzt und ferner zur 
Vereinfachung fli.« kurz mit tt bezeichnet, nach leichter Reduktion: 

sin jdi2 = sin <^ sin ä 4" tan rj^ (cos 6 — cos ^rf). (2) 

In diese Gleichung führen wir nachstehende Reihenentwicklungen 
ein, wobei wir uns auf Werte von und rj beschränken, die als 
Gröfsen 1. Ordnung bezeichnet werden köimen (S. 25), sodafs die 
Zulässigkeit dieser Substitutionen und der nachfolgenden Entwicklungen 
aufser Frage steht: 

sin <T==tf _i.tf» + _L<,5 + g-i^ 
tan % = fl, + |-i?5 +G?5 

cos tf =1 _Ltf» + l(,*+G?, 

008^, = 1 _i ^,* + 1 J^* + Gl,. 
Setzen wir noch zur Abkürzung t; für <y sin a, dann findet sich 

Führt man dies in die beiden ersten Glieder der Arcussinusreihe 
S. 29 ein, so folgt 

z/12 = t; - t; — ^ ^1 — 2 + ^^ß' - 

oder auch, wenn 6 cos ü mit u bezeichnet wird und wenn man be- 
achtet, dass w* -j" ^ = <y* also <y* — v* = w*, dafs femer ^iy* = v* 
+ 6?;^ ist: 

^^ = V — 1 w't; — y w^i^i + Gk . 

Substituiert man den hieraus folgenden Wert von ^dif in der Reihe 
(3), so ergiebt sich 

sin ^ly = V - y vö^ - y n«i2i + y^^- v<y* + -^ w*iji 
— -^ uh\^ y M^VIjJ — y w^ijj + Giy . 
Dies ist nunmehr in die bereiis^oben angeführte Arcussinusreihe 



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§ 2. Ordinstendifferenz nnd AbsciBsendiffereni. 



117 



mit Beachtung der 3 ersten Glieder derselben einzusetzen und führt 
zn der Formel: 



"*t;ijj 



6 2 



(4) 



Zur Berechnung von A% giebt das sphärische Dreieck T^T^^Tol^ 
indem man den Sinussatz anwendet: 

sin A\ = sin<T cos tti . % sec i^g . (5) 

unter Substitution der Beihenentwicklungen für sin fi und sec r\^ folgt 
hieraus: 

sinz^|=(<,--itf»+^<T»)(l + {,J+^^^j)cos« + ÖJ„ 
oder 

sin z^l = 4* — — w^ — — MV* + — uiyj 



l-i4r^^ + 



120 



60 ^ ^ ^ 120 "^ 



S«2 



Will 



- ly ^ AJ + -^ wijj + G?7 



Führt man diesen Ausdruck für sin ^| in die Arcussinusreihe S. 29 
ein, 30 folgt weiter: 



-^^'^' + -^''^'^\^'< 



\ 



(6) 



^1 - 6, — Si- 

Mau kann mittelst Formel (4) hieraas % eliminieren, indem man 
\ = j\^-\- ^1} setzt; es ergiebt sich dann 



^1 = M + -3- ««»* + Y M»?? + M»l?l 

--i- mV + -J-««* - -i- M»f;j?i 



16 



16 






(7) 



doch ist diese Formel augenscheinlich weniger vorteilhaft als (6), 



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(8) 



118 S.Kapitel. Rechtwinklige and geographische Koordinaten auf der Engel. 

Restituieren wir nun in den Formeln (4) und (6) für $ und ij 
bezw. X : q und y : q und andern die Bedeutung von u und v wie 
weiter unten angegeben ab, so findet sich: 

y* - yi = f — (yi + 1 «) aV 

+ (^-4')i?-+«(-lF-wn+9^^; 

s sin Ä1.2 ■= t? s cos tti.2 = w. 

Von vorstehenden Formeln reichen für das praktische Bedürfnis 
die Glieder bis zur 3. Ordnung incl. völlig aus. Die höheren Glieder 
gewähren aber die Möglichkeit, die begangene Vernachlässigung zu 
schätzen. Diese Schätzung versparen wir auf § 4. 

Es ist noch hervorzuheben, dafs vorstehende Entwicklungen nicht 
nur für die spezielle Form der Figur 6, sondern allgemein gelten, 
da die Bildung der Ausdrücke für die Dreieckswinkel zu den Formeln 
(1) und (5) der systematischen Herleitung nach (2) S. 71 entspricht. 

§ 3. Differenz der Bichtungswinkel. Bei dem Übergange 
vom Punkte P^ zu dem Punkte Pg ist nächst den Differenzen der 
Koordinaten auch noch diejenige der Richtungswinkel im Anfangs- 
und Endpunkt der Linie P1P2 von Wichtigkeit, um fär andere von P^ 
ausgehende Linien die Rechnung fortsetzen zu können. Das mehr- 
fach benutzte sphärische Dreieck der Fig. 6 giebt hier mittelst der 1. 
^cperschen Analogie (5) S. 77: 

(f-^O + d--^^)' 

cos -^ 

und zwar gilt diese Formel allgemein für jede Lage von PiP2 (wie 
die Formeln des vorigen Paragraphen). 

Wir setzen nun mit Rücksicht darauf, dafs für p «= oc das Azimut 
tts.i«=°lli.8 + 180^ ist und bei endlichem q und kleinen Distanzen 
diese Gleichung noch näherungsweise gelten mufs: 

Ä2.i = ai.2+ 180«+z/fl (1) 

und erhalten nach einfacher Reduktion, rechts und links reziproke 
Werte nehmend: 



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§ 4. Numerischer Beiarag der hohem Glieder. 119 

(2) 



tan4?^ = -tan^^^^ 



«08 V 



1 = Y (»Ji + Vi) • 
In (2) führen wir nun nachstehende Reihenentwicklungen ein: 
sinij = ij (l — -i- ij* + Gl^) 

t'^^-Y^Ml + W + ÖZ,) 
und erhalten damit die folgenden Umformungen von (2): 

und 

.^ ffJxy /- yi „» I,« rriM 

z/a; = a?2 — rci y = Y(yi + y2) | ^^^ 

Die Zulässigkeit dieser Entwicklung bleibt ebenso wie diejenige der 
(8) im vorigen Paragraphen für kleine Werte 6 und 17 im Betrage 
von Grofsen 1. Ordnung aufser Zweifel. 

Eliminiert man ^fx und y^ (auch insofern es in ^ vorkommt) 
mittelst (4) und (7) des vorigen Paragraphen^ so folgt endlich noch: 

§ 4. Numerischer Betrag der hohem Glieder. Sieht man von 
der Krümmung der Eugel ab^ so ist 

(^2 — ^1) = w; (^2 — Vi) = t?; z/« = null. 

Für sehr kleine Bezirke darf in der That nach diesen Relationen 
gerechnet werden. Um nun genauer zu erfahren^ bis zu welcher Aus- 
dehnung man alle hohem Glieder vernachlässigen darf, nehmen wir 
eine Schätzung vor. In y^ — yi ist das grofste vernachlässigte Glied 

nach (8) S. 118 gleich-^ (y, + -J-t;), in x^ ~ x^ ist es m (-|^ — -^)- 

Setzen wir nun den Maximalwert von Dreiecksseiten und Ordinaten 



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120 3. Kapitel. Rechtwinklige und geographische Koordinaten aaf der Kugel. 

1 8* 

gleich s, so sind diese Glieder beide kleiner als y "^ ' Halten wir 

dies als Grenzwert fest und nehmen den letzteren < 0,001"*, so folgt 
als Bedingung 

i-^<0,001'» 

und für q = 6370000 hieraus ~ < t^-q rund oder 

5<4*"». (1) 

Für diesen Betrag von {x^ — x^) und y wird das Glied 2. Ordnung 
in ^Ä nach Formel (4) S. 119 gleich 0,1", ein bei so kleinen 
Distanzen zu vemachlässigender Betrag. Dies führt zu dem Satze: 
Die rechtmnUigen Koordinaten auf der Kugd können als ebene 
Koordinaten bis auf den MiUifneter genau berechnet werden^ so lange die 
gröfsten Längen der Seiten und Ordinaten ca. 4^ nicht wesentlich über- 



In Bezug auif die Glieder 5. Ordnung in x^ — cffi und y^ — yi 
nach (8) S. 118 findet sich zunächst, dafs die darin vorkommenden 

Produkte u^v^ = — s* sin 2ai.j und u^v = s' cos* fli.« sin di.» wie die 

Differentiation nach Iti.g zeigt, die Maximalwerte 0,25s* und 0,38s' 
erlangen können. Nehmen wir als Maximalwert der Ordinaten eben- 
falls 5 wie für die Seiten und vernachlässigen in y^ — y^ das Glied 
mit dem Faktor ^, in x^ — x^ die negativen Glieder, so folgt als 
Maximalbetrag der Glieder 5. Ordnung rund 0,4s^ : q^ Setzen wir nun 

0,4 il< 0,001", 

SO wird für q = 6370000 hiernach — < ^rV ^^^^ ^^^^ 

s<100*^. (2) 

Für diesen Betrag werden die Glieder 4. Ordnung von Jü nach (4) 
S. 119 sicher < 0,002", was völlig ausreicht und der Genauigkeit 
von y^ — yi und x^ -- x^ entspricht, da 0,002" auf 100*^ 0,001"» 
Verschiebung geben. 

Die Glieder 3. Ordnung in x^ — x^^ und y^ — yi und diejenigen 
2. Ordnung in Jü genügen daher zu einer Genauigkeit auf 0,001^, 
so lange die Dreiecksseiten und Ordinaten < lOÖ^ bleiben. 

Aus Tafel (5) S. 95 läfst sich nun ersehen, dafs bei der Be- 
rechnung eines sphärischen Dreiecks als ebenes Dreieck mit denselben 
Seiten die Glieder 2. und 4. Ordnung (1. und 2. Glied) in den Winkel- 



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§ 5. Anderer EDtwicklimggg. § 6. Distanz u. Bichtungsw. aus den Koordinaten. 121 

reduktionen bis zu mittleren Seitenlangen von demselben Betrage 
vernachlässigt werden dürfen, wie (1) und (2) festsetzen. Man kann 
hieraus schliefsen, dafs die Mitnahme der Glieder bis zur 5. Ordnung 
inch in den Formeln für (x^ — x^, (y^ — yd ^^^ ^^ ebenso lange 
ausreichen wird, als diejenige der 6. Ordnung incl. (3. Glied) in 
jenen Winkelreduktionen, d. i. also bis zu Dimensionen von ca. 600*'". 
Dies wird aus dem folgenden Paragraphen noch schärfer hervortreten. 

§ 5. Anderer Entwicklungsgang. Zachariae entwickelt in 
seinem Werke: Die geodätischen Hauptpunkte^ die Formeln für recht- 
winklige sphärische Koordinaten mittelst des Legendre^QYxeiL Satzes, 
indem er ein Hilfsdreieck konstruiert, von welchem Pj und P^ 2 Ecken 
sind, die dritte aber durch einen Punkt mit den Koordinaten x^ und 
y\ gegeben ist; die 3 Seiten sind also tf, i^g — fli ^^^ ®^ grofster 
Kreisbogen durch Pj und den Punkt (ic,, y^. Die Formeln werden dann: 

x^-x^ = scos (ai.2 - 2(£+ «))• (l + ||i) + QGk 
y^ — yi=s sin («1.2 — {E+ b)) 4- qGI^ 

in Sek. ^ ^ 

1 ,, UV 
in Sek. ® ^ 

übereinstimmend mit den hier gegebenen Entwicklungen. Die Be- 
deutung von 2E und %b als sphärischer Excesse eines Vierecks und 
eines Dreiecks springt in die Augen. 

§ 6. Distanz und Richtungswinkel ans den Koordinaten. 

Mittelst der Formeln (8) S. 118 hat man in successiver Annäherung, 
x^ — x^ = ^x, y^ — y^ = Jy gesetzt: 



w = Jx + qGI^ 
V = Jy + qGIs 






(1) 



(2) 



Aus der 2. Formel (8) S. 118 folgt nach Division beider Seiten 
durch den Faktor von u: 



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122 3. Kapitel. Rechtwinklige und geographische Koordinaten auf der Kagel. 



^x 



4. {yl, _ yit _L 7t»* \ _(yi_ c'\ ^ 

~ \24p« 12 p« "•" 360 pV \2j» 6?*/ 89» 



+ QGI,. 



Setzt man hierin für v in den Gliedern 3. und 5. Ordnung den Aus- 
druck (2) bezw. (1), so findet sich: 



u- 



Jx 



U ==SC08 Hl.«. 



+ pGi,; 



(3) 



Fährt man femer die Ausdrücke (2) f ür u und v in die Glieder 
3. Ordnung der 1. Formel (8) auf S. 118 ein, in die Glieder 5. Ord- 
nung daselbst aber die Ausdrücke (1)^ so ergiebt sich nach einfacher 
Reduktion: 

i; = ^y + (y, + i zf y) ^ 

V = s sin fli.2 

^y — Vi — yi ^x~x^— x^. 

Diese und die vorige Formel geben ein Mittel zur Berechnung von 
8 und ai.2 und die Formel (4) S. 119 giebt dann noch ü%,i, welches 
aber auch durch vorstehende beiden Formeln nach erfolgter Yer- 
tauschung der beiden Punkte bestimmt werden kann. 

Aus den Formeln fdr u und v kann man auch noch Formeln für 
^ und tan (1.2 ableiten, von denen aber nur erstere bequem ist. Sub- 
stituiert man die Ausdrücke für u und v in die Gleichung s* = u* + v\ 

so findet sich, wenn man y = y (y^ -f- y^) und zfy=>y^ — y^ anstatt 

yj und y, zu weiterer Abkürzung der Formel einführt: 






(5) 



y ■= T (»1 + Vi)- 



Einige Vereinfachung der Formeln (3) und (4) wflrde sich wahr- 
scheinlich noch erzielen lassen, wenn man ausgehend von den Croufsiaeixen 



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§ 7. Übertragung geograpb. Länge u. Breite mittelst boriz. £ntfem. u. Azimut 123 

Gleichungen anstatt der zu beiden Punkten unsymmetrischen Grofsen 

cos 01.2 und sin fli.g die symmetrischen s cos (Uia + y -^ä) und 

5 sin (üi.s 4~ Y '^^j berechnen wollte. Indessen ziehen wir obige 

Formeln vor, insofern sie im oben angedeuteten Sinne eine Eontrolle 
gestatten, und begnügen uns, die erwähnten Ausdrücke nur bis auf die 
5. Ordnung genau mittelst der bereits entwickelten Formeln herzustellen. 
Zunächst ist in einfacher Entwicklung: 



scos 



s sm 






v + u^ + qGI^. 



Hieraus resultiert nach Substitution der Ausdrücke für u und v, sowie 
für ^ü: 



s sin (ü,., + ^) --^y (l - 0) + QGk 

In Sek. ^ ^ ^ ' * 



(6) 



O^t 



§ 7. Übertragung geographischer LSnge und Breite mittelst 
horizontaler Entfernung und 
Azimut. Auf der Eugeloberfläche 
denken wir uns^ insofern sie die 
mathematische Erdoberfläche reprä- 
sentirt; nach S. 7 einen grofsten 
Kreis und seine 2 Pole bezw. als 
Äquator und Nord- und Südpol 
angenommen^ femer einen Meridian 
als LMeridian gewählt und das Eoor- ^e^ 
dinatensystem der geographischen 
Breiten und Längen eingeführt 

Den Meridian eines durch seine 
geographische Breite gegebenen 
Ausgangspunktes P^ nehmen wir 
für den Augenblick als 1. Meridian 
und zählen von demselben aus 
Laogennuterschiede in demselben 
Drehangftsinne wie Azimute von 
Bemem rüdlich von P^ gelegenen 
Teile aus. In der Fig. 7 ist die LängendifFerenz Li.t ostwestlich^ das 
Azimut ai , % südwestlich gezählt. Der Eugehradius dient als Längeneinheit 




Fig. 7. 



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124 3. Kapitel. Rechtwinklige and geographische Eoordiaaten auf der Kogel. 

Die Auflosung des Dreiecks zwischen Nordpol N, Pj und P, 
kann mittelst der Gaufsischen Gleichungen geschehen. Dieses über- 
gehend; wenden wir uns sogleich zu einer andern von Gaufs gegebenen 
Methode^ welche für kleine 6 vorteilhaft ist. Hierbei wird zunächst der 
gröfste Kreis P, F rechtwinklig zum 1. Meridian gelegt und das 
Dreieck PiPiF aufgelöst. Die Formeln (1) S. 76 geben dazu, wenn 
die Ecken Fy P^, P^ als A, B, C und also 

l? = «i.2 ß = n (1) 

C= 270« — 02.1 = 90<» ~ Äi.a - ^ü y = I ) 

genommen werden, nachstehendes System zur Berechnung von 17, | 
und /Jüy welche letztere Gröfse dieselbe Bedeutung wie bei den recht- 
winkligen Koordinaten hat, indem ai.g identisch mit dem Richtungs- 
winkel üi,i ist: 

sin iy = sin <y sin «1.2 

cos iy sin I = sin <y cos «1.2 (2) 

cos 1^ cos S = cos 6 

sin <y sin («1.2 + ^tt) = sin iy cos | ] 
sin (f cos («1.2 + ^ü) = sin |. J 

Diese Gleichungen gelten für jede Lage von P, gegen Pj, vergleiche 
den Schlufs des § 2, S. 118. Da femer val. abs. ij < |^ ist, wird die 
Auflosung auch ganz bestimmt. 

Die (2) sind für die Ermittlung von 17 und | sehr geeignet; die 
Gleichungen (3) aber,- welche z/H geben, wandelt man mit Rücksicht 
auf den vorausgesetzten geringen Betrag von 6 besser um, indem 
man sie, sowie die 1. und 2. Formel (2) in die rechte Seite der Iden- 
tität sin z/Ä = sin («1.2 + ^d) cos «1.2 — cos («1.2 + ^ü) sin «1.2 
substituiert. Dies giebt 

.^ • j. • cos S cos W — 1 ' y ' cos ff — 1 

sin /3ü = sm 6 sm 1? — —--r = sin g sm 1? — . -= , 

' ' sin' ff • ' sin'ff ' 

woraus endlich folgt, indem man noch für sin tj seinen Wert aus 
(2) setzt: 

sin ^ü = — sin I tan — sin «1.2 . (4) 

Bei beliebig grofsen 6 kann diese Formel mit den (3) natürlich nicht 
konkurrieren; sie gestattet dagegen kleine ^d, die kleinen Werten 
von (S entsprechen, schärfer zu berechnen. 



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§ 7. Überiragaog geograph. Länge n. Breite mittelBt horiz. Entfern, u. Azimut 125 



(5) 



Dass bei dieser Yoraassetzung über ts auch z/d klein ist und 
nicht, wie Formel (4) allein zulassen würde, nahe 180^ beträgt, 
zeigen die (3), die mittelst der (2) reduziert, übergehen in: 

sin («1.2 + ^tt) = sin «1.2 cos S 
cos («1.2 + ^ü) = cos «1.2 sec rj. 
Ist nun (S klein, so sind 5 und ij kleine positive oder negative Werte, 
cos £ und sec 17 mithin nahezu -|~ I9 '^^^ ^^ ^^^ daher «1.2 4* '^^ ^^ 
gleichem Quadranten mit ^1.2 gelegen und wenig von ihm verschieden. 
Das grofse rechtwinklige Dreieck zwischen Nordpol JV, jP und P^ 
giebt nunmehr nach dem Formelsystem (1) S. 76, wenn gesetzt wird: 



^ = 90« 


«■=1-5, 






5 = ii.t 

C=90« + ^ 


ß=.ti 




(6) 


t = «2.1 — Ä2.1 


F=B,-|, 






die nachstehenden Gleichungen zur Bestimmung von Bg, Lu 
welche letztere Grösse Meridiankonvergene heifst: 


i und t, 


sinBg = 


COS ij sin JP 






cos Bg sin ii.2 = 


sin 1} 






cos B^ cos Li. 2 = 


cosiycosF 


• 


(7) 


cos B^Bin t = 


— sinij sin F 






cos B^ cos t == 


cos JP. 







Diese Gleichungen gelten ebenso wie die (2) und (3) ganz allgemein 
und insbesondere auch für negative Werte von 1}. 

Die 2. und 3. der Gleichungen (7) geben tan Z1.2, die 4. und 
5. tan t, und da cos B^ positiv ist, so ist Li. 2 seinem Quadranten 
nach völlig bestimmt 

Was nun JB, anlangt, so empfiehlt es sich, weil F — JB2 ^^ kleine 
Werte auch klein ist, diese Differenz direkt herzuleiten. Dazu eliminiert 
man aus der Identität sin (F — JBg) "^ ^^ ^ ^^^ ^2 — ^^^ ^ ^^^ -^a 
mittelst der 1. und 3. Gleichung (7) die Breite B^ und erhält zunächst 
(den Index von L unterdrückend) 

sin {F — JBg) = sin F cos F cos rj ^^ j^ — 

Multipliziert man dies rechter Hand mit cot L tan tj sec F, — das 
ist soviel als 1, — so gelangt man zu der Formel: 



sin (F — JB2) = 81° V tan -y- sin F. 



(8) 



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126 3. Kapitel. Rechtwinklige und geographische Koordinaten auf der Kngel. 



Hieraus folgt F — B^ unzweideutig, da bei mäfsigen Distanzen 
jP — jBg ein kleiner positiver oder negativer Wert sein mufs. 

Alles zusammengestellt und mit Benutzung einiger einfacher 
Transformationen erhält man endlich zur Lösung der Aufgabe das 
Formelsystem: 

. sin 17 = sin (^ sin ai.2 
tan 1 8=» tan 6 cos «1.2 
F=B,-^l 
tan ii.2 = tan iy sec -F = sin S tan «1.2 sec F 
tan ^ = — siniy tan F 



sin {F — B^ = siniy tan - sin F = 



tan t tan -^ cos F 



sin /Iti 



cos «1.2 ' 



— sin 5 tan -^ sin «1.2 



(9) 



— tan ij tan 

«2.1 = «1.2+ 180« + ^a + ^. 

Die zweiten Ausdrücke rechter Hand sind etwas bequemer als 
die ersten; weil sie tan 1} und sin F nicht enthalten und anstatt dessen 
nur sin | erfordern^ welches indes leicht aufzuschlagen ist; da auch | ge- 
sucht werden mufs. Die Berechnung beider Systeme von Ausdrücken 
würde einige Eontrolle bieten^ die man indeS; wie sich später zeigen 
wird; meist auf andere Art erlangt — ohnehin ist sie keine vollständige. 

Bei der Auflosung der (9) werden die S und T der Tzififrigen 
Logarithmentafeln gute Dienste leisten; so lange ebe;n solche Tafeln 
eine ausreichende Genauigkeit gewähren. In andern Fällen wird man 
meist Reihenentwicklungen vorteilhaft finden; um das direkte Auf- 
schlagen der Logarithmen trigonometrischer Funktionen kleiner Winkel 
zu umgehen. 

§ 8. Reihenentwicklungen zur vorigen Aufgabe. Man hat, 
wenn ij; | und jP vorläufig als bekannt angesehen werden; aus der 
4. Formel (W) sofort: 

taiiii.2 = ij(l + |ij« + -^ij*+Gie)secF. (1) 

Entwickelt man hieraus X1.2 mittelst der Arcustangensreihe (2) S. 29 
so folgt: 



in Sek. 



: Q'n SecF I l-y1J«tan«i^+-^ V^Un»FE8Un«/-+l] + Giß ) . (2) 

Dagegen giebt die Einführung von tan Li, 2 in die 2. Formel (4) S. 30; 
Z1.2 für u gesetzt: 

log Z1.2 = log {q'ti sec F) - 4 Mri^ tan« F 



in Sek. 



+ -^jr»;*ton»Fll3Un»F-|-6| + GIq 



(3) 



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§ 8. Reihenentwicklongen zur vorigen Aufgabe. 



127 



Was die Brauchbarkeit dieser Entwicklungen anbetrifPt^ so sieht 
man leicht, dafs dieselbe für (1) gesichert bleibt, so lange 17 nur eine 
Grofse 1. -Ordnung ist Dagegen fordern (2) und (3), insofern sie 
Entwicklungen von X1.9 sind, dafs dieses eine Grofse 1. Ordnung sei. 
Nun ist aber £1.2 absolut genommen < yal. abs. 1} sec F, Man erhält 
somit zu (2) und (3) als Bedingung der Brauchbarkeit: Es mufs 
fl sec F eine kleine Grofse sein.*) 

Die 6. Formel (9) giebt nun femer durch Einfthrung von Reihen- 
entwicklungen rechter Hand (den Index von L einstweilen unterdrückt): 

8in(F— B,) 

= ^riL.\nF(\^\n'+^n'+Gl^{^ + '^V + 4^ 
Hieraus folgt mit Benutzung von (2) ohne Schwierigkeit: 

+ -3J0 '?' [*^ tan* -F + 15 tan» F + 1] + GZ« 



sin {F — £,) = i- ij« tan JP 



Führt man dies endlich in die Arcussinusreihe ein, 1. Formel (2) 
8. 29, so ergiebt sich: 



F — £, = ^ Q"rf tan F 



in S«k. 



1_J ,«[3tan*i^+l] 



12 



+ 15Ö' '*'***"* '■+'"*"''■+*' + ^^0 



(4) 



Dagegen giebt die Einführung in die 1. Reihe (4) S. 30 sofort: 
log (F - B,) = log (I Q"rf tan f) - ^ Mrf [3 tan» F + l] 

+ W ^"^ ^^^ **"* ^+ 90 *«* ^- 13 + GZg . (5) 



ia Sek. 



Aus der 5. Gleichung (9) vnrd durch Entwicklung von sin ri in 
eine Reihe und Anwendung der 2. Reihe (2) S. 29 auf den Über- 
gang von tan t zu t^ erhalten: 

'l-|i?«[2tan«F+l] 

+ -j^ »^ [M tan«|f+ 20 t*ii»F+l] + G\ 

Dagegen giebt die Anwendung der 2. Reihe (4) S. 30 die Formel 



t — — q'\ tan F 

in Sek. 



(6) 



*) Aach bei nnbeBchränkter Fortsetzung gelten diese Entwicklungen nar fdr 
LäDgenunterschiede bis 45^ 



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128 S. Kapitel. Rechtwinklige und geographiBche Koordinaten auf der Kugel, 
log ^ =log (-p'ij tan-F) - ^ Mfi^ [2 tan* 1^+ 1] 



in Sek. 



+ ^ifi2*[26Uii«F+20Uii»F-l] + GIq. 



0) 



Auch diese Entwicklungen (4) bis (7) gewähren eine genügende 
Konvergenz nur so lange, als iy sec F eine kleine Grofse bleibt 

§ 9. Fortsetzung. Um nun jetzt auch noch zu Reihen für iy, 
5 und Jü 2\x gelangen, genügt es in den Formeln (4) und (7) S. 117 
und in Formel (5) S. 119 i^j =0 zu setzen. Man hat alsdann: 



w = s cos «1.2 
t; = s sin «1 






(1) 



15^* ~ 120^« 



r^+Gh)] 



in Sek. 



(2) 



Es ist aber auch jetzt für die Benutzung von 17 und | bequemer, 
die logarithmische Form herzustellen. Dazu dient die 1. Reihe (1) 
§ 5 S. 27 und man erhält ohne Schwierigkeit die nachfolgenden, wie 
die (2) für kleine Werte von s : q brauchbaren Entwicklungen: 

log 1? = log I - Jif (-^ + $^+4.) + Gk 

log^^^^^= log (-,''-) + 

«2.1 — «1.2 + 180« + Jti + t. 

An Stelle der Formeln (3) kann man sich auch der Anflösong des recht- 
winkligen Dreiecks mit den Seiten <r, 17 und | nach Legendres Satz (unter 
Berücksichtigung der hohem Glieder) bedienen. Um ebenso genau zu 
rechnen, wie die (8) es gestatten, sind 2 Annäherungsrechnungen aus- 
zufahren. 

§ 10. Gegeben geographische Breite und Länge für 2 Punkte. 

Um in diesem Falle Entfernung und Azimute herzuleiten; kann man 
ebenfalls sich des Systemes rechtwinkliger Koordinaten als Zwischen- 
gliedes bedienen. Im Anschlufs an Fig. 7 S. 123 und die Formeln 
(7) und (9) S. 125 und 126 erhält man leicht: 



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§ iO. Gegeben geographische Breite und Länge für 2 Punkte. 129 



sini} BS cos B^ sin Li,% 



8in(F— Bj) 



^1.2 



sin JB, = sin* --i^secij sin2 JB, 



(1) 



tanq tan ^ ouli jur, — «.« 
tan < =» — sinij sec Li,% tan 5g = — tan Zi.» sin 5, . 
Die (2) und (4) auf S. 124 geben^ wenn rj, F und t gefunden sind: 
sin 6 sin ai.2 ^ sin i} 
sin 6 cos ai.% «» cos tj sin | 

6--Bi--F^ \ (2) 

• sin z/a = — sin 5 tan -r- sin «i. 2 

«2.1 =» «1.2 + 180^ +Jü + t. 

Bei" der Anwendung dieser Formeln ist (wie § 7 S. 124) Voraus- 
setzung, dafs 6 klein sei. Für beliebige Werte von gelten sie zwar 
noch, verlieren aber ihre Brauchbarkeit zu scharfer Berechnung der 
anbekannten Grofsen. 

Eine vollständige Eonjirolle der Rechnung gewährt eine 2. Auf- 
losung mit Yertauschung der Punkte. 

Erscheint bei der Auflösung die Anwendung der Formeln unbequem, 
weil etwa die S und T nicht genügende Schärfe gestatten, so kann 
man wieder B^ihenentwicklungen vornehmen. Die Formeln (1) geben 
zunächst durch Entwicklung der rechten Seiten (und mit Unterdrückung 
des Index von Z1.2): 

8in(J'-B,)=li«8in2B, (1 - ^i* + -^L*-h Gl,) 

tan < =. - LänB, (l + y Z» + -^ L* + Ol,) ■ 
Führt man dies in die Reihen (2) S. 29 ein, so ei^ebt sich weiter: 

i+^i»[5-6sin«i?,] 

-\- g- L* 00.' a, Cl-i «In' S^^+^i' +Gle\] (3) 



F-B.=^Q"L'8m2B. 

Im O^V 4 



iaSek. 



^ SS — q"L sin B^ 

iaSek. 



1 + y Z« COS» J?2 

+ -— X* cot» Ä. [2-8 «in» Ä,] + GIq 
2^1 2 in Sek. 



Helme 7t, mathem. n. phyaikaL Theorieen der höh. Geodftiie. 



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130 3. Kapitel. Eechtwinklige and geographische Koordinaten auf der Kagel. 

Was insbesondere die Entwicklung der 2. dieser Formeln anlangt, 
so wird dabei als Zwischenglied erhalten: 

sin {F — jB,) = -^ D sin 2B^[l + ^U [5—6 sin« ^J 

+ ^ Z* cos« JBJ4-9 sin« BJ + - J- i* + GJe) . 

Zur logarithmischen Rechnung bequemer findet sich durch Anwendung 
der (4) S. 30 auf siniy, sin (F—B^) und tan U 

log ij <= log (L cos B2) — -g- ML^ sin« B^ 

— ^ ML* sin« Bi [12-11 iin» Ä,] + GZg 

log (F^B,) = log(^(>U«sin2JB,) + ^ J[fZ«[5-6sin«-B,] 

in Sek. ^* / 1^ 

-f- -ji^ JfX« [119—420 Bin» B, + 300 lin« Ä,] -^ Gig 

log ^ = log (— q'L sin J?2) + \ ML^ cos« i?^ 



in Sek. 



-|- -^ Jf X* coB« Ä, [7-lS tin» ÄJ + 6rZg ; 



(4) 



X = 



■Z^l 2 ''^ ^^• 



Vorstehende Entwicklungen (3) und (4) gelten sicher und genügen, 
so lange L nur eine Gröfse 1. Ordnung ist, wie unschwer zu ersehen. 

Die den Formeln (2) entsprechenden Reihen entnimmt man nun 
am einfachsten den Formeln (1) und (2) fQr v und u S. 122, iudem 
man darin y^s=zO ^^ x^ setzt und den Index von y^ und x^ unter- 
drückt. Es ist danach, sicher ausreichend, sobald die (3) und (4) ge- 
nügen und s : q eine Gröfse 1. Ordnung ist: 

s cos «1.2 = (>l (l — y ^* — -^^ '^^i*- -^ «/* + GIq) 

t s= (^1—^) in Seit- 
in Sek. ^ \ " / 

«2.1 -= «1.2 + 180^ + Jü + t, 
und in logarithmischer Form hieraus: 



(5) 



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§ 11. LÖsang der vorigen Anfgabe mittelst GaofB' Gleichangen. 131 
log (s sin «1. ,) = log (Qf]) +^MV — -^ if'i'i' + ,lo Mi' + Gig 
log (scosai.,) = log (pl) —^Mri'— j^^i^i'- -^ *'/ + Gl^ 
log Ja = log (- y *"6i?) + !*(•'• + P) + Gff, . 



in Sek. 



(6) 



§11. Lösung der Torigen Aufgabe mittelst Gaufs' Gleichnngen. 

Wir bezeichnen die beiden gegebenen Punkte wieder mit Pj und Pj 
und wenden die Gleichungen (10) S. 79 an, indem wir substituieren: 

LuifürA tffOra 



«2.t - 180» „ B 
180»- ai. 2 „ C 



— ^1 » ß 

— S, „ Y- 



(1) 



Es ergeben sich dann unmittelbar folgende Formeln zur Be- 
stimmimg von ai,2y €C2.i und 6: 



. **2.i + «1.2 . a 
sin smy 

«2.1 + «1.2 . <f 

COS smy 



■^2 -^1 

tm —^-^ — - 



• sm 



sm 



«2.1 — «1.2 a 



2 ^°«-2 



«2.1 — «1.2 ü 

COS cos -r- ' 



B. + B^ . ^1.2 
» — cos ' ^ — ^ sm — g— 

= +cos g cos-g- 
= + sm ' g sm -^ 



(2) 



Hierbei sind von den genannten Formeln nur die oberen Zeichen 
benutzt; weil die Seiten des Dreiecks bis auf die eine ö immer < yt 
sind. 6 selbst kann ^ jt genommen werden; in der Regel interessiert 
aber die kürzere Verbindung < jr und hiermit ist die Auflösung der 
(2) eine ganz bestimmte. 

Die Anwendung der (2) setzt voraus^ d|ifs die Winkel des Dreiecks 
(1) positiv zwischen null und 360^ gelegen sind. Wenn indessen 
Li.2> 180® wird, so werden im Falle tf <jr die Ausdrücke (1) für 
B und C gleichzeitig negativ. Denkt man sich daher zu B und C 
360^ addiert; so ergeben sich doch wieder die Formeln (2). Mithin 
gelten die (2) allgemein für jede Lage von P^ P^. 

Setzen wir in vorstehenden Formeln (2) zur Abkürzung ein: 



P2-jBi = ^2? A±i==jB 



«1.2 + «2.1 -180° 



«2.1 = «1.2+ 180® + ^«, 



(3) 



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132 3. Kapitel. Rechtwinklige und geographische Koordinaten auf der Kugel. 



WO Ja nichts anderes als ^d -\- 1 in. der Bezeichnung der vorher- 
gehenden Paragraphen ist, so erhalten wir: 



(S . dB A.2 

cos a sm Y •=* — sin -5- cos ^ 



sm a sin 



— = + cos B sin 



^1.« 



da ö 

cos 2-cö»Y 

. Ja a 

Sin — cos y 



+ cos 



JB 



L: 



cos 



1.2 



— sin B sin 



■'i.« 



(4) 



«12 = « 



«2.1 = « 



z/a 



2 

Ja 



+ 180^ 



(5) 



Diese Formeln geben eine möglichst scharfe Anfl5sungy die auch 
für kleine gegenseitige Entfernungen der Punkte bei Anwendung der 
Hilfsgröfsen 8 und T bequem ist 

Gauß benutzt (in den Unterstichungen über Gegenstände der höheren 
Geodäsie Teil 1 (1844) S. 33) diese Formeln zu einer indirekten Auf- 
losung der Aufgabe des § 7 dieses Kapitels ^ S. 123; wobei sehr 
stark konvergente Beihenentwicklungen entstehen. Wir gehen im 
Folgenden nur auf diejenigen Reihenentwicklungen eiU; welche der 
Aufgabe dieses Paragraphen entsprechen. 

§ 12. Reihenentwicklungen zur Torigen Aufgalie. Man hat 

zunächst aus den (4) die j^<^persche Analogie: 



tan« = — tan- 



4.2 JB ^ 

-^— esc — -— cos B . 



Diese Formel logarithmieren wir und substituieren darin die Reihen 
(3) S. 29 für log tan -4^ und log sin ~ • Das führt zu der Formel: 



log tan « = log ( - 



L cos B 
~~JB~ 



L^ 2^^ ^^ 



. -r, JB In Sek. 
ZIJCJ ^ ;; • 



(1) 



Hierbei ist Li. 2 als kleiner positiver oder negativer Wert voraus- 
gesetzt Zur Bestimmung des Quadranten für « hat man die aus 
Fig. 7 S. 123 unter Annahme eines kleinen Wertes für Ja ersicht- 
liche Bedingung, dafs « 5 180® ft^r + ii.2. 



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§ 12. BeihenentwickluDgen sur yorigen Aufgabe. 



133 



Man erhält nun weiter aus den genannten Formeln (4): 



tan 



2 



— tan — ^ sin B sec —:;— 



Rechter Hand setzen wir für tan —^ die Reihenentwicklung und 



führen dann den Ausdruck für tan -^- in die 2. Reihe (2) S. 29 
ein; womit sich findet: 

wenn sin B sec — r— vorübergehend mit 6 bezeichnet wird. Unter 

Restitution dieses Ausdrucks und zu Logarithmen übergehend^ folgt: 

log ^a = log ( — Z/1.2 sin B sec — ^) 

in Sek. ^ in Sek. ^ ^ 

+ ^ ML' cos B, cos B, sec^ ^ (l - ^ l» [is .m^ /^-tj) + Gl, , (2) 
wobei die leicht zu verificierende Identität 1 — 6*=cosJBiCOsJ?jSec* --— 

benutzt und im letzten Gliede rechter Hand 6* = sin* B + Gl^ ge- 
setzt ist. 

Die Entwicklungen (1) und (2) sind brauchbar, wenn L und JB 
als Grofsen 1. Ordnung angesehen werden können (die Bedingung, 
dafs 6 klein sei, genügt somit, ebenso wie bei den vorhergehenden 
Aufgaben, allein noch nicht). 

Zur Berechnung von 6 und 8 geben die beiden ersten Gleichungen 
(4) des vorigen Paragraphen zur Auswahl die Formeln: 



sm 



T-(- 



COS 



^1.2 



sec 



aj sin -g- = (cos B esc a) sin 



J^l.2 



Beide haben die Gestalt sin y = j? sin -|- . Die Anwendung der Sinus- 
reihe auf sin -|- und der Arcussinusreihe (2) S. 29, bezw. der Reihe 

fibr deren Logarithmus, S. 30 (4), auf sin y giebt aber mit Rücksicht 
auf die Gleichung s -= <y(>: 



pqg 



(•-i^«-+ 



(l-p«)(l-9p^) 
1920 



+ Gk) 



log s = log ipqg) -^M^il-p'] (l +^,Hi+iw) + Gl,. 
Hierbei ist zu setzen: 



(3) 



p =8 — COS 



^1.1 



-sec a 



8 = 



JB in Sek. 



oder 



p = cos JB CSC a , 



L^ 2^^ ^^- 



(4) 



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134 4. Kapitel. Der yertikale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. RotationBellips. 

Die schärfste Rechnung hat man (wie bei Berechnung einer Hypotenuse 
aus den Katheten) mittelst des kleinsten p- Wertes. 

Wäre log sin — erwünscht; so würde man die Substitutionen (4) 
in die Formel 

' Mq' - -^ M,^ + Gk (5) 



P« 



24 



log sin y = log -^ 

einzuführen haben. 

Die Entwicklungen (3) und (5) sind bezüglich ihrer Brauchbar- 
keit an dieselben Bedingungen wie die (1) und (2) geknüpft. 



4 KapiteL 

Der vertikale Schnitt und das Sehnendreieck 'ffir das 
abgeplattete Rotationsellipsoid. 

§. 1. Abweichung gegenseitiger Yertikalschnitte Ton einander. 

Indem wir uns nunmehr zu der Geodäsie auf einer Niveaufläche von 
der Form des abgeplatteten Rotationsellipsoids spezieller wenden, sei 
zunächst hervorgehoben; dafs wir von der Krümmung der Lotlinien 



Wert 



O^ 




dafs also in den 
Fällen, wo. Punkte betrachtet 
werden müssen, die nicht auf 
der zu gründe gelegten Niveau- 
fläche selbst liegen, auch deren 
Lotrichtungen stets als Nor- 
malen dieser Niveaufläche ge- 
dacht werden.*) 

Legt man von einem 
Punkte Pi eine Vertikal- 
ebene, also eine die Lot« 
liniePi^I enthaltende Ebene, 
durch einen andern Punkt 
Pg der Oberfläche (Fig. 8), so 
liegt des letztem Lotlinie 
PgJEJ im allgemeinen nicht in der genannten Vertikalebene, weil die 
Schnittpunkte K[ und Ki der Lotlinien mit der Rotationsaxe im all- 
gemeinen nicht zusammenfaUen. Nath S. 41 (9) ist 



Flg. 8. 



*) Diese Annahme wird nicht nur in Kapitel 4, sondern auch in allen fol- 
genden Kapiteln, welche die Geodäsie auf dem abgeplatteten Rotationsellipsoid 
betreffen, beibehalten werden. 



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§ 2. Gleichung des Ellipsoids und des Veriikalschnitts. 135 

xr' zr' « / si^ -^s Bin JS, \ 

^ \yi - e» sin« JB, l/l-c'sin'Bi/ ^ 



mithin genähert för kurze Distanzen PiPj, und JB als Grofse 1. Ord- 
nung ^ ^ als Gröfse 2. Ordnung genommen: 

K'xKt = aoe* (cos 5 sin AB + GZ3) (1) 

fär 

AB^B.^B, B=\{B, + B,). (2) 

Haben beide Punkte gleiche geographische Breite B, so fallen die 
beiden Punkte K[ und K^ zusammen; alsdann haben P^ und Pg auch 
eine gemeinsame Yertikalebene. Ebenso ist dies der Fall, wenn sie 
in einem und demselben Meridian liegen. In allen andern Fällen er- 
zeugen aber die von einander abweichenden Vertikalebenen von P^ 
nach Pj und von P^ nach P^ auf der Oberfläche zwei VertikalschniUe, 
die in P^ und Pg sich unter kleinen Winkeln schneiden. 

Zeigt sich nun bereits hier ein wesentlicher Unterschied gegen 
die Kugel, so bemerkt man sogleich einen andern, wenn man sich 
die Punkte P^ und P^ in ihren Lotlinien emporgehoben denkt; dann 
tritt P2 aus der Vertikalebene von P^ nach der Anfangslage von P^, 
und Pi aus derjenigen von Pg nach der Anfangslage von P^ heraus. 
Oder mit andern Worten: 

Die Höhe des Objekts über der zu gründe gelegten Niveaufläche 
hat einen Einflufs auf die astronomischen Azimute der Vertikalebenen 
(8. 7) imd also auch auf die Horizontalwinkel. 

§. 2. Gleichung des Ellipsoids und des Yertikalschnitts. 

Dieselbe lautet in rechtwinkligen Koordinaten, bezogen auf den Mittel- 
punkt als Ursprung und die Botationsaxe als ^ef-Axe: 

Denken wir uns nun die Meridianebene von P| als 2;j8r-Ebene; in 
90^ westlichem Längenunterschied dazu die yjer-Ebene und nehmen 
positive g nach Norden, dann folgt mit Bücksicht auf die Formeln 
des § 2 S. 39 und mit Beachtung von Fig. 8: 



^ ÖL cos JBi 
Xi = «0 cos ö. = —- ^=^ 

»1 = 



(2) 



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136 4. Kapitel. Der yertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. BotationsellipB. 

Gq cos B^ cos Xf| , 2 



x^ = clq cos /Jg cos Li, 2 '• 
y^ =B a^ cos /}s sin Xri.s 



Oq cos Bj sin Xj 2 



Vi — «« sin« ^, 
tto (! — «*) sin Jg, 



(3) 




|/l — e« sin« JB, 

Bezüglich der Bildung von x^ und y^ ist zu bemerken, dafs a^ cos ß^ 
(d. i. das X auf 8. 40) in der Äquatorebene gegen die :v-Axe die 
Neigung Li. 2 besitzt. 

• Wir denken uns femer in der 
o;;?- Ebene, wie es Fig. 9 zeigt, 
eine Axe der | als Tangente der 
Meridiankurve, positiv nach Süden, 
und normal dazu, also in der Rich- 
tung der Lotlinie, eine Axe der i, 
positiv nach dem Innern des Ellip- 
soids. Legen wir endlich eine Axe 
der ri durch P^ parallel zur j/-Axe, 
so ergeben sich für einen be- 
liebigen Punkt P des Raumes fol- 
gende Relationen zwischen den 
Koordinaten xye und |i}g: 

Fig. 9. Projektion auf die ««-Ebene. 

S *= (a; — x^ sin B^ — {z — z^ cos B^ 

v-y (4) 

g = — (rc — a;,) cos Bi— (z — z^) sin B^ , 
^ = ^1 + S sin -Bi — 5 cos B^ \ . 

y-ij (5) 

« = «1 — I cos B, — ^ sin JB,,) 

wie man leicht durch Projektion auf die verschiedenen Axen findet. 
Substituiert man die (5) in die Gleichung (1), so geht sie über in: 

|»(1 — c»sin*B,) + ij»(l — c») + f*(l - c»C08»Bi) -|- 2|ge»8in5, cosB, 

+ 2| («1(1 — c*)8inBi— «iCOsJB,) — 2J;(a;,(l — c»)cos JB, + «isinB,) 

was sich mit Rücksicht auf die (2) wesentlich vereinfacht, wie folgt: 
1« (1 - e» sin* 5,) + ,» (1 - c*) + g» (1 - e*co8» 5,) 

+ 2gge» sin B, cos B, - 2? y^lSL'^^ = 0. (6) 



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§ 2. Gleichuog des EllipsoidB und des Vertikalschnitts. 



137 



Setzt man hierin wie S. 58 für | und i; die Ausdrücke in Polar- 
koordinaten: 

5 = ^ cos a iy = '9' sin a, (7) 

so ergiebt sich^ falls a konstant bleibt, eine Gleichung zwischen & 
und t allein^. cäß Gleichung des VertikalschnitteSf welcher von P^ im 
Azimut a ausgeht: 



^« (1 _ e» + g« cos« Bj cos" a) + ^ (l — ^ cos* B,) ] 



+ 2d'te^ sin B^ cos B^ cos a — 2g 



«0 (1 - g') _ 
VT^^'sin^JBj 



0. (8) 



Diese Schnittkurve ist eine Ellipse , weil die Gleichung vom 
2. Grade und die Kurve geschlossen ist; die kleine Axe liegt in der- 
jenigen MeridianebenC; welche normal zur Schnittebene steht und die 
grofse Axe liegt in der Äquatorebene, wie mit Bücksicht darauf 
folgt, dafs jene Meridianebene des Rotationsellipsoids und ebenso die 
Äquatorebene Symmetrieebenen sind, die grofse Axe aber jedenfalls 
nur in der Äquatorebene liegen kann. 

Die Meridianebene, welche normal zur Schnittebene steht, ist 
auch die Ebene des Neigungstjoinkßls der Botationsaxe mr Schnittebene, 
den wir mit 90^ — U bezeichnen. 

um denselben zu ermitteln, denken wir uns um K'i eine Kugel 
vom Radius 1 gelegt und zu allen interessierenden Linien Parallelen 
durch' K[ gezogen. Dann geben die S 

groÜBten Kreisbogen zwischen den Durch- 
schnitten der Linien durch Ki mit der 
Kugeloberflache die Neigungswinkel der 
Linien an. Fig. 10 zeigt die entstehende 
Figur auf der Kugelflache. N entspricht 
dem nordlichen Teile der Rotationsaxe, P^ 
der Lotlinie von P^, NP^ der Meridian- 
ebene durch Pi, PoPiPj der Vertikalebene 
P^P^ und NPq derjenigen Meridianebene, 
welche normal zu jeuer steht. 

Das sphärische Dreieck NPqP^ ist in 
Pq rechtwinklig. Der Winkel bei Pj, das 
astronomische Azimut der Vertikalebene von P| nach P^, soll jetzt 
mit ai.8 bezeichnet werden. Man hat dann nach dem Sinussatz 




Fig. 10. 



cos U = cos Bi sin ai.2. 



(9) 



Auf die Rektifikation der Bogenlänge gehen wir hier nicht ein, da wir 
dieselbe später, fOr den beabsichtigten Zweck besser passend, mit der 



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138 4:. Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. SehDendreieck f. d. abgepl.Rotationsellips. 

Sehne in Beziehung bringen werden. (Vgl. überdies über die 'Rektifikation 
Hansen, Geodät, UntersttchiMgen S. 66.) 
Hier notieren wir nur noch die Gleichung des Vertikalschnitts, dargestellt 

mittelst der Polarkoordinaten K\ P ^ r und ^ ( ^^ ) » ^; sie lautet: 

8/^ 1.9 9 TT «^N 2 «0«* cos CT sin Bi _ Oj[(l — c«— c*sin'B,) 

r* (1 — c* + e' cos' U cos* B) — r - ^ ^ cos 9 =» -^-^^^ „ . , t> — - > 

^ ^ yi-e«sin«JBi l~e*8in«B, 

wie man durch die folgenden Substitutionen aus (8) herleiten kann: 

4^ = f sin (Ö - 9,) und t = (:^i==^=== - r cos (ö - 9,)). 

\yi — c' sm* JBj / 

§ 3. Das astronomische Azimut als Fanktion der geo- 
graphischen Positionen. Für die Vertikalebene von P^ nach Pg 
ist das astronomische Azimut ai.g durch die Formeln gegeben (vergl. 
(7) und (4) des vorigen Paragraphen): 



cot «12 = — 
fe = (^2 — ^i) sin -Bi — (jer, — ^i) cos B^ 



(1) 



wobei man für x^^ z^y x^, y^ und z^ noch die Formeln (2) und (3) 
des vorigen Paragraphen zu benutzen hat. 

Wendet man die Ausdrücke an, welche die reduzierien Breiten 
enthalten^ so ergiebt sich: 

(cos ft cos -Z^i 2 "" ^^^ ft) ^^ -^1 "" (*^^ A ~ ^^ ft) ^^^ "^i ^^ — ^* 
^^*«^-« '- cosftsini,., 

Wird hierin 



sin -Bi = sin /Jj : yi— e*cos^ /J| 
und 



cos J5i = cos /Ji |/1 — e^: Vi — e* cos /J^ 
gesetzt, S. 40 (5), so geht dieser Ausdruck über in: 

(cos ft sin ft COS 2>i 2 — sin Pg COS pi) + 2c* sin --^ COS p COS ft 

cot öfi 2 = ——-- , \r) 

cos p, sin JLj 2 V 1 — c* cos* ^j 

^ß-ß2-ßi\ ß = l(ß, + ßi)' (3) 

Indem wir für cos Li .2 schreiben ( 1 — 2 sin* -^--j und |^1 — c* cos* ß^ 

wie früher mit Wj^ bezeichnen, ergiebt sich folgende zu scharfer 
B^echnung geeignete Transformation: 

cot«,., -L{__^^^?^__(i_e.co8/l.co8/J8ec^) + 8in^,tan%l).(4) 



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§ 4. Beihenentwicklnogen zur vorigen Aufgabe. 139 

Für (t%,t, d. i. das astronomische Azimut des Yertikalschnitts von 
Pj nach Pj, bedarf es einer besondem Formel nicht, denn es geht 
cot oj.i aus cotai.8 hervor, wenn man der Vertauschung der Punkte 
entsprechend die Indices 1 und 2 mit einander vertauscht und daher, 
wenn Jß immer noch ß^ — ß^ bedeuten soll, es negativ nimmt Auch 
kann man noch hervorheben, dafs 

Wir geben nunmehr den Ausdruck för cot ai.g mittelst geo- 
graphischer Breiten. Derselbe läfst sich am bequemsten direkt durch 
Substitution der passenden Werte für die x, y und z in die Gleichung 
(1) herstellen. Es findet sich: 



(coB JB, sin Bi COB -Z^i • — sinB, coa Bj ) + e' coa JBj ( sin B, — sin B, ^—^ ^- ) 

• \ l/l — e*8in*B, / ,-v 

C0tai.2 = » : r " > \P) 

* " cosB, Binl/j 2 ^ ^ 

und hieraus geeigneter zu scharfer Rechnung und mittelst Einführung 
von TTfÜr yi — c*sin*-B: 

cotai.g«« — { . y^" 5-4-8in-B.tan— ^-4- . ^. ^^" --'-p-fsinjBiTj^— 8injBa)}'(6) 

Die Formeln (4) und (6) lassen «1.2 um 180^ unbestimmt, jedoch 
ist das unwesentlich, weil beide Werte von ai.« dieselbe Vertikal- 
ebene bezeichnen. Aufserdem erkennt man ohne weiteres, dafs die 
Sehne PiP^ immer westlich vom Meridian durch P^ liegt, wenn die 
tcestliche geographische Länge von P^ gegen P^ < 180^ ist; hingegen 
ostlich, wenn sie > 180® ist 

Demgemäfs wird man setzen: 



dM ladweatL Aaimnt «1.2 < 180® 'Or die wMÜioho Läng« L1.2 < 180® 

« ai.f>180® „ „ „ „ Li.2>180®. 



) (7) 



§ 4. Beihenentwieklungeii zur Torigen Aufgabe. Die Formel 
(6) kann man noch dadurch weiter entwickeln, dafs man das in e^ 
multiplizierte Glied in folgender Weise transformiert Es ist zunächst 



yi — e^ sin« B^ = ]/l^-J + ~- cos (2-0^ + 2^-B) . 
Lost man den Cosinus auf, so ergiebt eine einfache Reduktion: 



Die Reihenentwicklung nach dem binomischen Satze giebt hieraus 
in endlicher Form (2. Formel (3) S. 27 § 4): 



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140 4- Kapitel. Der vertikale Schnitt a. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. RotationBellip8. 

l/l - g« sin« Jg, 
]/l — e« sin« Bi 



^-y{ l-e'rin'B. )(i+tH + 8(1-{-.}) H>0) 



worin x einen echten Bruch bedeutet. Führt man Vorstehendes in 
die Formel fQr cotai.g ein und betrachtet e' wie bisher als Grofse 
2. Ordnung; so resultiert: 



cot «1.2 = — 



sin dB 



buiL^^cobB^ 



dB 



1— e*cos JBi cos JBsec-r- -j- Qj^ 



g*sin2i?t8in2B /^ , ^ii 

J^ 4(1— e^sin'Bj) V »Mi 



•ln»Ä,)/ 



-f-sinJBitan 



^i.«[ 



Diese Formel giebt stets eine für die Anwendung lOziffiriger 
Logarithmen ausreichende Schärfe. Es betragen nämlich mit Ver- 
nachlässigung einiger Faktoren im Nennetr^ die jederzeit nahezu 1 
geben ; die Gl^ in der eckigen Klammer nur 

+ 4^ xe^ sin 2-Bi sin» 2B sin» JB, 

das ist weniger als 1:16000 000000. Der Einflufs auf den Loga- 
rithmus der eckigen Klammer ist somit < M: 16000 000000 d. i. nur 
2 Einheiten der 11. Decimalstelle. 

Ist JB eine kleine Gröfse 1. Ordnung, so fällt das klein- 
gedruckte Glied in (2) auch noch weg, weil alsdann der kurzen 
Distanz wegen Oi.s nicht so scharf berechnet zu werden braucht, wie 
für grofse Distanzen. 

Die Formel (2) läfst sich mit Vorteil noch weiter umformen, 
wenn man kleine Werte für ^B und Li,% voraussetzt 

Wir führen in die eckige Parenthese von (2) anstatt Bj^ und B 
eine Breite 



£'- — 



SB, +B, 



7? -L^^ 



dB 



(3) 

ein, sodafs zu substituieren ist B^^^^B* T" ^^^ J5«=JB'-j — j— 

Löst man dann die betreffenden Cosinus und Sinus auf, so ergiebt 
sich für die eckige Klammer: 



^sin'SB'— sin' 



[-^]--l-^sec^~{<^OB'S'-^in'^-'^^ 



^dB 



Gl,. 



Im letzten Nenner rechts kann man für B^ einfach JB' setzen; 
denn der dabei begangene Fehler ist von der 7. Ordnung. Hiermit und 
durch einige einfache Reduktionen erhält man: 



(2) 



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§ 4. Reihenentwicklungen rar vorigen Aufgabe. 



141 



JB 



- 4 cos 2B' (sec -^^ - l) + 4 — ^-^^.-1^ + ÖJ, . 

Das erste dieser Glieder ist in Strenge (1 — c*): TT*, W för die 
Breite J3'; denn man hat * 

\^if^ - (1 - «^ (' + «■ ™* *' + -r^^^B-) . 

woraus sofort jenes 1. Glied folgt. Führt man dies und die Reihen 
fSr Secante und Sinus ein^ so folgt: 

r.1 1— e« «« ^r,y/JB^ , bJB*\ . e^ dB* , ^, 

W = l^e'ain'^' ^ T^^« 2£ (-^ + 3^) +"16-+ ^h 



oder 



w 



IT'» 



1- iV^^-^^^l^o^^^ll + i^^J 
- e* sin» 5' [2 + cos 2B']) + Gft, 



[, (4) 



wobei neuerdings nur Glieder 8. Ordnung vernachlässigt worden sind. 
Für kleine Werte von jdB und ii.j können wir nun femer setzen, 
den Index von L unterdrückend: 

Multipliziert man rechts aus und führt den entstehenden Ausdruck, 
sowie (4) in (2) ein, so folgt endlich: 

wobei 

I^l 2 in Sek. 



^J5 = 



JB In 8«k. 



L« 



(5) 



Die gröfsten hierbei Temachlässigten Glieder sind folgeiide Glieder 
6. Ordntmg der geschlungenen Parenthese F: 



+ -^ c* ^J?* sin* B' [2 + cos 2jB'] + "2^6* ^5* cos 2jB' 
--Ve«^B»i*co8 25' + -J^Z«. 



(6) 



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142 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 

Multipliziert man dieselben in M, so ergiebt sich der Einflafs 
auf den Logarithmus der geschlungenen Parenthese. Den gröfsten 
Einflufs haben das 1. und 3. Glied. Er ist im Maximum in Einheiten 
der 7. Decimalstelle des Logarithmus näherungsweise gleich 

13 ^JB« bezw. 300 dB^V , (7) 

sodafs selbst für /1B «= 0,1 und L = 0,1 erst die 8. Decimalstelle 
der geschlungenen Parenthese in (5) (und zwar nur allein wegen 
des 1. Gliedes) um 1 Einheit irrig wird. 

Wendet man (5) auf jdB = 0,02 und L = 0,08 an, so ist der 
Fehler des Logarithmus der geschlungenen Parenthese in (5) mit 
Rücksicht auf alle vernachlässigten Glieder im Maximum 8 Ein- 
heiten der 10. Decimalstelle. 

§ 5. Sehne und Azimute aus der geographischen Lage zweier 
Punkte mittelst Benutzung der reduzierten Breiten. Bisher wurde 
angenommen, dafs nur ein Azimut zu berechnen sei. Sind aber beide 
Azimute und auch die Sehne zu ermitteln, so wird man die Formeln 
zur Berechnung des Azimuts angemessen abändern. Zunächst be- 
trachten wir die Sehne P^P^ = k. Für diese hat man unmittelbar 
die Gleichung: 

Substituiert man die Ausdrücke der Koordinaten mittelst der re- 
duzierten Breiten nach (2) und (3) S. 135 u. 136, so ergiebt sich hieraus; 

k*=aj{(cos/32CosZi.2 — co8/3i)*+cos*/J2sin*Iii.2 + (l— c*)(sin/32— sin/JJ*}', 

was nach einiger Reduktion und insbesondere nach Einführung der 
halben Winkel übergeht in: 

k« = 4aJ (sin^^cos^-^ + cos« ß 8in«-%f-e«sin« ^^cos^/j). (1) 

Diese Formel wird zur Vermeidung der Rechnung mit vielziflfrigen 
Zahlen zweckmäfsig dadurch transformiert, dafs man setzt: 



— sin -^ cos = sm Y cos a 

-f- cos p sm = sm -r- sin a 



(2) 



sin q = — ^ sin -^ cos /J. . r^. 

sin^ W 



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§ 5. Sebne n. Azimute aus d. geographischen Lage zweier Paukte u. s. w. 143 
Es geht damit die Formel (1) über in die weit einfachere: 



k =a 20^ sin — cos g . 



(4) 



Die Bedeutung der Hilfsgröfsen a und ff ergiebt sich aus der 
Betrachtung eines sphärischen Dreiecks mit nachstehenden Seiten und 
Winkeln : 






-ft 



180» — oi.,. J 



ai., - 180» 
Setzt man nämlich zugleich 

ai.i=oi.» 4-180» + ^a 

li = o 



(5) 



(6) 



SO geben die 6rau/$ischen Gleichungen für dieses Dreieck, vergl. 
S. 131: 



cos a sin 



— sm-J^cos-^— 



sin d sin Y = + cos ß sin ' 
+ cos-^eos-g- 



dd a 
cos -g- cos Y 



sm -^cos - «= — sin p sm - - 



2 2 

Z//J = ft — A 



^-v(A + A) 



«1.2 



— - a,.i = a +-5-+I8O». 



(7) 



Denkt man sich hieraus, den (2) entsprechend^ fi\ aufserdem 
aber auch noch ai.2 und d%,\ berechnet, so lassen sich nun damit 
aach die astronomischen Azimute ai,% und 02.1 findeiL Offenbar 
namhch geht die Formel. (2) S. 138 in eine Formel für cota'i.g über, 
wemi man e «» null setzt. Damit aber läfst sich jene wie folgt 
reduzieren: 

. d^ 
Bin— *- 

cot a'i j, + 2c' 

cot ^1.2 ■= 



COS P 008 ^^ 



sin X^ 2 ^^B ^% 



y 1 — C' COB* ft . 

Setzen wir den 2. Teil des Zählers gleich tan £1.2 und benutzen 
die Bezeichnung Wy = }/l"— ß* cos^ /J^, so wird 



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1 44 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 



tan ai . s ' 
tan £i.8 « 



«Tj sin a\ 2 cos «^ g 
cos (a'i 2 — «i.a) 

2e« 



sin — ^ cos ß cos ft 



sin Xj 2 cos ßf 



(8) 



Die Vertauschung derlndiees 1 und 2 giebt hieraus, da i» . i=— Zi . 2ist, 



tän Oi, 



w^ sin Ojj 1 cos «2.1 



cos (aji — f2.i) 



tan «2.1 = 2e* 



sin —^ cos jJ cos ß^ 
sin X^ 2 cos ßi 



(9) 



Die gesamte Auflösung ist nunmehr in den Formeln (7), (3), 
(4), (8) und (9) enthalten. Zu (7) ist noch zu bemerken, dafs man 
</ stets < xr zu nehmen hat, damit die Azimute der Lage der Sehne 
entsprechen (vergl. S. 139 § 3). Hierdurch wird die Auflosung der 
(7) eine ganz bestimmte. 

Wendet man die Formeln dieses Paragraphen auf 2 Punkte in 
geringer Entfernung von einander an, so wird es unter Umständen 
passend erscheinen, an die Foiineln (7) Reihenentwicklungen zu 
knüpfen. Da nun die (7) völlig den (4) S. 132 entsprechen, so kann 
man mit ganz geringen Änderungen in der Bezeichnung die Formeln 
des § 12 S. 132 auf vorliegenden Fall übertragen, wobei nun auch 
Formel (5) daselbst zur Anwendung gelangt. 

Die £, zu deren Bestimmung 7ziffrige Logarithmen (event. unter 
Anwendung der Hilfslogarithmen T) immer ausreichen dürften, können 
aber wie oben ermittelt werden, nur wird man in den Ausdrücken 
für tan s mittelst der ersten beiden Gleichungen (7) 



sin 



Jß 



sinL, 



- ersetzen 



1.« 



durch (^ ^ 



2^1.2 

2 sec* 2 cos 



ß cot a) ' 



§ 6. Sehne und Azimute mittelst der geographischen Breiten 
und des Längenuntersehieds zweier Punkte. Wir betrachten zu- 
nächst das sphärische Hilfsdreieck mit den nachstehenden Seiten und 
Winkeln: 



il.2 



oi. 1 — 180« 



7t 

Y 



180» - o'i.s. 



(1) 



Für dasselbe ergeben sich wie im ähnlichen Falle des vorigen 
Paragraphen die zur Bestimmung von </, o^.i und ai.a geeigneten 
Formeln: 



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§ 6. Sehne und Azimnie mittelst der geographischen Breiten u. 8. w. 145 



cos a sin 



2 



-8m-^co8--2 - 



sin a sin Y = + cos B sin - — 



2 

cos ^ cos Y 



+ cos -g- cos 



Ja 



^1.2 



sm-g-cos Y =^ — sin jB sin -~- 



/IB^B^- B^ 

t , Ja 
«1.2 = a ^ 



i?=i-(B, + B.) 



o«.i 



a' + :^+180». 



(2) 



In diesen Formeln bedeuten ai.2 u. s. f. nicht dieselben Grofsen 
wie im vorigen Paragraphen. Dagegen ist a\,% identisch mit dem- 
jenigen Wert von ai.2, welchen Formel (6) S. 139 für e* = null 
ergiebt. Man hat daher 

cot ai .» = cot ai. 2 A — ^ y -- " ' p ^sin ^o — u/ sin Ä^ . (3) 

Setzt man den Zusatz zu cotai.2 gleich tan £'1.2, so folgt leicht 
für ai.s und zugleich durch Vertauschung der Indices 1 und 2 auch 
für Ot.i- 

sin aj jC08 «, j x 



tan ai.2 = 
tan £1.2 
tan £2.1 



Bin ttj 2 <^os '1.2 
— • r~^ tan qa 1 



co8(a; 1 — «; j) 



' ^ /sin ^2 — ^ sin jBj 
^ («•" B, - ^ am B,) ^^;- 



sin Z/| 2 <20B 



sin i>j 2 cos . 



(4) 



Für die Sehne k erhält man ähnlich wie zu Beginn des vorigen 
Paragraphen die Gleichung: 



/cosBsCOsXj 2 



k« = oJ 



'CObB, sinZ, 



W, 






+ (1 - On-"^ - ^) 



Hieraus folgt mit Beachtung des Umstandes^ dafs für e = null 
V in 4al sin' -^ übergehen mufs: 

h — 20o sin Y cos q' : VW^W^ (5) 



Helmort, mathem. n. phyiikal. Theorieen der höh. Qeodftiie. 



10 



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146 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Eotationsellips. 

Die letztere Relation für sin q schreibt man mit Rücksicht 
darauf; dafs der 2. Teil im Radikanden anter dem grofsen Wurzel- 
zeichen immer e* als Faktor hat, der erste aber nur e*, während in 
Bezug auf ^dB die Ordnung die gleiche ist, besser wie folgt: 



sing 



1/2 — e« (sin B, ^»- ein bA 



2 Bin — 
Ä Bin 2 



sin q = (l — ^) : cl/2 — e" (sin B^ 



W, 






cos q 



sm 



B.). 



(7) 



Es kann vorteilhaft sein, einige der Ausdrücke, welche in den 
obigen Formeln vorkommen, durch Reihen zu berechnen. Nach 
S. 140 (1) ist aber, und zwar mit einer in allen Fällen, wo zehn- 
zifFrige Logarithmen zur Berechnung von k genügen, ausreichenden 
Genauigkeit: 

1 ^« f e\y\n2B s in JE \ /^ , 1 f e^%\ti^B% m dB \ _, y^; \ 

^ "^ n 1 " \ " 2 MV 1 V 2 \ 2irv j "•" ^v * 

Man hat hieraus: 

iog(i- ;;/)=iogj5;+ f J5;+G?, ' 

} (8) 

Die Gl^ haben die 4. Ordnung wegen des Faktors e*. Da noch der 
Faktor sin^z/J5 vorhanden ist, erhalten sie die 6. Ordnung für 
kleine /JB. Nach S. 140 (1) folgt nun weiter: 

%mB^-^-ünB,=2^m^coHB + EÄnB^[l'\'\E+Gl^ 

und durch Logarithmieren hieraus: 

log (sin B^—^ sin B^ 

^\ogB+^^^mB,{\^^smB, + \E+Gl),\ (9) 

D =2sin-2- cos B, 

wobei jetzt die Gl^ zum Teil auch für kleine /IB ihre Ordnung nicht 
ändern, da ihnen der Faktor sin^^B fehlt. 

§ 7. Reihenentwicklungen zur rorlgen Aufgabe. Wir be- 
trachten von jetzt ab k als Gröfse 1. Ordnung, sodafs auch </ und 



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§ 7. Reihenentwicklungen zur vorigen Aufgabe. 



147 



^BGrbhen 1. Ordnung sind, während L beliebig grofs sein kann, 
insoweit nicht jene Bedingung für k ein kleines L erfordert. 

Wir knüpfen an die Formel (3) S. 145 an, wonach man schreiben 
kann: 

cot ai.2 •= cot ai.2 + h 
T e* coB B^ 



un L^ 2^^^^t 



(sin B^ yj^ sin B\ 



(1) 



Nach S. 140 (1) und in weiterer Entwicklung nach S. 146 ist aber 
auch 



2e*Bin -—-cobBcobB, 



W 7? 

e'ainBsinB, cob— ^ 



nnL 



1 jCOBl^; ^ »" 1— e«Bin«£i ^ "^ 4(l-e*8in»JB4) "+" ^'*/ 



>(2) 



wobei nach S. 140 das Restglied Gl^^ für jeden Wert von JB uner- 
heblich ist, also umsomehr für Werte ^B im Betrage von Gröfsen 
1. Ordnung, weil es dann wegen seines Faktors sin^^B in Bezug 
auf die geschlungene Parenthese von (2) die 8. Ordnung hat. 

Setzen wir nun im vorstehenden Ausdruck (2) 

\ = 1-1- e^ sin« B -I- _jl^^!^i 



(1 — e'sin'B,)' 



l + T^ 



e'ein'-Bt 



+ 



c*Bin'5i 



e* Bin« B, ~ (1 — tf» 8in«B,)* ' 



ferner zur Abkürzung 



2 cos 



2 sin 



dB 



JB 



sin -B = sin B^ + sin JBj = S 
cos B = sin ^2 — sin B^'^ D 



(3) 



und beachten, dafs sin z/£ sin 2jB >=» SB wird, so ergiebt sich 
1 



g'DcoBJP, 



BinX^ 2 cobBj 






(4) 



Dabei zeigt sich deutlich, dafs der in x^e^ sin^£ zusammengefafste 
Rest ein kleines Glied ist, dessen gröfster Bestandteil 



e"" S sin^ B, : (1 — e« sin« B^) 



10* 



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148 4. Kapitel. Der vertikale Schidtt u. d. Behnendreieck f. d. abgepl. Rotation sellips. 

von e^ sin® B nur unerheblich abweicht, sodafs x^ sehr nahe gleich 
1 ist. 

Um mit Hilfe des Vorstehenden jetzt den Unterschied von ai.j 
und ai.2 herzuleiten, benutzen wir die Entwicklung S. 30 für 

cot Ol. 2 *= cot öi,2 -f" Ä , 

und erhalten: 

ai.2^^ai.2— Äsin^ai.gll— Äsinai.2 cos ai.2 — l:Ä*sin*ai.2(l—4cos*ai.2)| 

(5) 
+ - Ä* sin* ai' 2 sin 4 ai' 2 , 

und zwar entspricht im letzten Gliede ai.2 einem Winkel, dessen 
Cotangente gleich cosai.2 + '^A ist> ^ ^in positiver echter Bruch. 
Das sphärische Dreieck (1) S. 144 giebt aber 

sin ai.2 sin <y' = sin Z1.2 cos B^. 

Mittelst dieser Relation findet sich: 

^ e'D cos Bi cos B, sin L. « 

h sin* ai 2 = ^-ü — — 

Bin* a 

X A + 1 «*S sin -B^ + g e*/S sin 5^ (3 sin« B^ + sin« 5^) + «1 «* sin« -B) 

und 

Ä sm ai.2 = 3j^^. (^1 + — sm ^1 + «,6* sm* i?j, 

worin %^ eine Zahl bezeichnet, die wie Xj sehr nahe gleich 1 ist. Dies 
giebt in (5) eingesetzt: 



, e'D CO8 Bj cos i?g sin Jj^ j 

ai.2 *= öl. 2 -~^ — -i — • F 

sin' c 

1 D cos B, sin a« o 

- A* sm* ai.2 sm 4ai.2 — «1.26^ ^ — > , 

4 sm a ' 



(6) 



|l+e*(f8in5,-^^!!£^)+e«(|BinB,(3sin*5,+sin*5,)) 

"^ rDÄsinBjCosJBiCosai 2 2)»'cos«Bi(l-4co8*ai g)"] 

L ^ Bin«^' ' 3MnV J 

Dabei sind die Glieder mit ^ u. s. f., welche von Ä, l? und Ä* 
herrühren, in den Term vereinigt, welcher xi.2 als Faktor enthält. 
Dieser Koefficient ist im Maximum rund gleich 1. Nun ist hinreichend 
genau zur Substitution in die Restglieder D : sin <y' = cos B cos a', 

daher der Maximalwert des in Xi.2 multiplizierten Gliedes rund - c^. 



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§ 7. Beihenent Wicklungen zur vorigen Aufgabe. 



149 



Um auch das in h^ multiplizierte Glied zu schätzen^ beachten 
wir zunächst; dafsnach S. 31 di,% in hinreichender Annäherung 
gleich ai.s oder a gesetzt werden kann. Setzt man überdies für 
D : sin 0^ den oben angegebenen Wert, so geht das Glied in 

~ e® cos® B cos* a sin 4 a 

über, dessen Maximalwert noch erheblich unter demjenigen des 
vorher behandelten Restgliedes bleibt. 

Die Restglieder 8. Ordnung betragen hiernach im Maximum, in 

Sekunden ausgedrückt, rund ^ q"^ d. i. nur 0,0002". 

Vertauscht man in Formel (6) die Indices 1 und 2, so mufs auch 
D mit — D und ii.a mit — ii.g vertauscht werden. Subtrahiert 
man sodann beide Formeln Glied für Glied, so ergiebt sich: 

e^ D cos B, 008 B^ sin L, , 

L__J \J.(^A, + Ä, + A,\ (7) 

COS B, cos «2 1 + cos B^ cos a'j gX 



«2.1 — 01.8=02.1 — »i.a — 



Ä 



.-KI+ 



Bin a 



Ä^=^ 



i S (3 sin» J?2 — 3 sin» B^ + sin* 5^ sin B^ — sin« B^ sin £,) 

sin B^ cos Bj cos «2.1 + ^^^ ^1 ^^^ ^1 ^^^ "1 2 

«L. X)o '—. — i — 

' sin a 

cos* J5, — cos" Bi — 4 cos' J5, cos' Og . 1 + * c<>8' -^i cos' a[ ^ 



-D" 



Äi und ^g reduzieren wir durch Elimination der a mittelst der Rela- 
tionen: 

cosBiCOsa'i. 2sin(j'= cos</sin-Bj — sinBj™ — D — 2siiiBi sin*— 



cosB^ cos oi . 1 sin <y'= cos </sin J?,— sin-B^ = + D — 2 sin B^ sin^-s- , 



(8) 



zu welchen der Cosinussatz im sphärischen Dreieck führt. Eine längere, 
jedoch nicht schwierige Rechnung giebt schliefslich: 



! o 

2 ' 



^i = — |2)Stan« 
^ i ^DS ((sin* B, + sin* B,) tan* ^ + i D*). 



(9) 



Was nun die Gröfse A^ anlangt, welche aus den Restgliedern in 
(6) hervorgeht, so ist deren Einflufs auf «2.1 — «1.2 ohne Zweifel 
noch weit kleiner als 0,0002", dem Maximalwert jener Restglieder. 
Denn sobald z/jB eine kleine Gr5fse ist, also B^ und B2 wenig von 
einander verschieden sind, werden auch voraussichtlich die Restglieder, 



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150 4 Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 

welche nach (6) zu den Formeln für ai.2 und «2.1 gehören, sich teil- 
weise vernichten müssen. Die Substitution von (9) in (7) giebt 
nunmehr: 



(h.i — öi.a «» Oa.i — «1.2 

in Sek. in Sek. 

+ ^ 25nV ^tan« 2 +4(8m*^,+8in«5,)tan«-+ 4 -D'J+ ... j 

^ 7? 
D = sin B2 "■ sin ^1 = 2 sin — cos B 

S = sin B^ + sin B^=2 cos — sin U. 

§. 8. Dalbys Satz. Die Formel (10) zeigt, dafs, wie DaJhy 
annahm, für kleine Werte der Distanz die Azimutaldifferenz rein 
sphärisch berechnet werden darf. Denn das beträchtlichste Glied, 
welches hierbei vernachlässigt wird, ist nach einfacher Reduktion in 
Sekunden: 

+ g^ ?"c* sinZfi.» cos B sin* z/JB sec —^ sec*-ö sin 2 J?cos B^ cos B^ , (1) 

worin der Wert von sin 2 J? cos B^ cos 5,, alle B gleich grofs an- 
genommen, im Maximum etwa 0,65 ist; das Glied (1) wird daher 
im Maximum nahezu gleich 

— sin^^B . sin Li,% cos B sek. 

Setzt man hierin sin ii.g cos ^ = sin ö' sin a und sin z/B ■= sin <y' 
cosa', was völlig ausreicht, und beachtet den Maximalwert von cos'a' sin a , 
welcher rund 0,4 beträgt, so folgt als Maximalwert von (1) 

0,3" sin» tf'. (2) 

Es ist daher selbst für sin (/ = 0,2 der Fehler der Formel 

Os.i — ai.2 «= ai.i — ai.2 + • • • (3) 

nur einige Tausendstelsekunden. (Übrigens gilt der Ausdruck (2) nur, 
so lange </ klein isi Man darf ihn daher auf wesentlich grofsere 
Werte von sin (/ als 0,2 nicht anwenden.) 

Die von e^ abhängigen Glieder in (10) geben nur etwa 1 Prozent 
des Betrags von (1). Lassen wir sie weg, berücksichtigen aber die 
in e* multiplizierten Glieder nach Formel (1) und setzen darin 

sec -g- = 1, sec* -ö = 1 und cos B^ cos B^ = cos* 5, wodurch nur 

Bruchteile 2. Ordnung des- Betrags von (1) vernachlässigt werden, so 
findet sich: 



(10) 



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§ 9. Fortsetzung der Entwicklangen fdr kleine Distanzen. 



151 



ÖJ.l — «1.« = (h.l ö^i 2 + V- C"«* •*» ^i» »*** ^B ^ B 00»« Ä -J (4) 

In Sok. in Sek. 

Diese Formel giebt erst für z/jB und sinZi.sCOs J5 gleich 0,2 eine 
geringfagige Unsicherheit der Zehntausendstelsekunden. 

Das Dalbysche Problem wird mittelst geometrischer Betrachtung in dem 
Hauptwerke der englischen Vermessung Ordnance Survey, Principai Trian- 
g%ilcUion S. 235 untersucht. Dasselbe besprachen bereits Ivory und Tiark 
im PMl, Magazine von 1828 (Yol. 4 p. 241, 364 u. 432) und 1829 (VoL 5 
p. 24, 62 u. 106), sowie 1831 Änger, Astronom. Nacht, Nr. 212 Bd. 9, S. 369). 
Neuerdings ist es auch im 3. Bande der Dänischen Gradmessung durch 
Andrae untersucht worden, S. 324. 

Dolby wandte schon 1790 und 1795 in den Fhü, Transactions die Formel 
(3) dazu an, um aus den geographischen Breiten und Azimuten einer geo- 
dätischen Linie den L&ngenunterschied mittelst rein sphärischer Rechnung 
zu finden, vergl. die 3. und 4. Formel (2) 8. 146. Dabei werden noch die 
fflr kurze Distanzen geringen und für beide Azimute beinahe gleichen, sich 
daher aufhebenden Unterschiede der astronomischen Azimute und der 
Azimute der geodätischen Linie vernachlässig^ 

Es sei noch erwähnt, dafs bei Anwendung der reduzierten Breiten ein 
ähnlicher Satz wie der Dalbyiche nicht existiert; hier ist die Difierenz 

{(«2.1 -«i.«)-(«i. 1-^.2)} 
▼on der Ordnung e*«'. 

§ 9. Fortsetzung der Entwicklungen für kleine Distanzen. 
Nachdem im Vorigen eine Formel för 08.1 — 01.2 aufgestellt worden 
is^ liegt es nahe, auch noch eine Formel für oji -|- Oi.« herzuleiten. 
Zu dem Zwecke benutzen wir wieder Formel (6) S. 148, wenden sie 
^ie früher durch Yertauschung der Indices auch auf os.i an und 
addieren beide Formeln. Dann folgt: 



ö«. 1 + Ol. 58 =02.1+01.2 - 



e* D cos B, cos B, sin L, , 



Sin' a 



wobei die Eoefficienten Ä' und Ä" nachstehende Werte annehmen: 

^' «= i S« -I- D ^Q" ^« ^^ ^.1 "^ <^Q» ^i ^Q» «1.8 
2 "'' sin ff ' 

I S (3 (sin« B^ + sin« B^) + S sin B, sin B,) 

sin JB, cos B, cos aj j — sin Bj cos B, cos a\ g 



Ä"== 



+ BS 



Sin ff 



cos' wBj + cos* Bj — 4 (cos* Bi cos* a\ ^ + cos* B, cos* a'g A 



3 sin* 



Wir benutzen nunmehr die Relationen (8) S. 149, um durch Eli- 
mination der cos a die beiden Hilfsgrofsen A zu vereinfachen. Dabei 
hat man aufserdem zu beachten, dafs nach (10) S. 150 



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152 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepL Rotationsellips. 
S=2co8^BmB und Z) = 2sin^ cos jB (2) 



ist, mit Bücksicht auf die 1. Formel (2) S. 145 aber auch gesetzt 
werden kann: 



sm 



dB 



^1.2 



— sm — cos a sec 



(3) 



Zunächst ergiebt sich für Ä' die Formel: 

-4' «s 2 (sin* B cos* -r — [- cos* B sec* -|^ cos* ah 
Die beiden ersten Gleichungen (2) S. 145 geben aber auch: 

X? .. ^'1.2 . JB . , 

cos B cos a tan -ö ~ "== — ^^ "ö" ^^° ^ 



(4) 



und hiermit erhält man anstatt des vorigen Ausdrucks, darin zunächst 
sec* = 1 -j- tan* setzend: 

^' = 2 (sin* JB cos* -^ + cos* B cos* a + sin* -y sin* a). (5) 

Bei der Reduktion des Ausdrucks für Ä" führen wir vorerst für 
sin Bi und sin B^ die Grofsen S und D ein, wozu nach S. 150 
(10) die Relationen dienen: 



sin Bi 
Es folgt hiermit 



S-'D 






» 6 Bin« a' 






27>« _j ^*i_\ 

3 sin* ff '' ^ .1 <f I 
6 8in*-^ 






i>* 



2 cos* 



6 C08* - 



6 ßin* a 



) 



(6) 



worin wir unter Beachtung von (2), (3) und (4) nun für S, BS und 
J) die Substitutionen einführen: 



S = 2smB cos ^ DS= sin zfB sin 2B 



Z>« 



Bin 



y-, -= cos* If COS* a sec* ^ + 



sm' -r-- sm* a sec* ^ 

a 2 



■ r = 4 COS* B cos* a + 4 sin* -^ sin* a . 



(7) 



Dabei zeigt sich aber, dafs die 2. Parenthese des Ausdrucks (6) ein 



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§ 9. FortseUung der Entwicklangen für kleine Distanzen. 153 

Glied 2. Ordnung ist, das sich (mit einigen kleinen zulässigen Ver- 
nachlässigungen) auf 

~ sin» /1B (- sin* 2B + 2 cos* B cos» a) (8) 

reduziert Bedenkt man nun, dafs der Faktor von Ä' höchstens ~ e^ q" 
oder ^ Sek. und das Maximum des vorstehenden Ausdrucks (8) gleich 

-^sin^ jdB wird, so ist hiernach dessen Einflufs auf «2.1 + 01.2 
för jdB = 0,1 höchstens 0,000025" und mithin zu vernachlässigen. 

Für Ä" wird mit Berücksichtigung dessen nach Einführung der 
(7) erhalten: 

A" =- 2 (1 - cos« B sin» a )* - | cos*5 sin» 2a + Gl^. (9) 

Die Bestglieder 2. Ordnung nehmen, abgesehen von den (8), naherungs- 
weise die Gestalt an: 

^B* (I sin» -B sin» a — sin*B + ^ 8in»25 sin»a - J sin» a - 1 cos»B cos 4a ), (10) 

wobei zur Elimination von </ die Relation 

^5» cos» 5 = tf'» cos» a cos» B + Gl^ (11) 

benutzt ist, welche aus der 3. Formel (7) bequem abgeleitet werden 
kann. Die Yergleichung von (8) und (10) zeigt, dafs der Einflufs 
von (10), wie aus der Betrachtung seiner ersten beiden Glieder (den 
hauptsächlichsten aller) hervorgeht, wesentlich grofser als derjenige 
von (8) ist; dennoch kann man Ä" nach (9) beibehalten, ohne mehr 
als etwa 0,0002" Fehler in Os.i + ai.» befürchten zu müssen. 

Indem wir jetzt Ä und Ä" in (1) oben substituieren, reduzieren 
wir noch den Faktor der Parenthese von (1) mittelst der aus den 
beiden ersten Gleichungen (2) S. 145 folgenden Belation 



a 



D sin L,.2 = 2 sin» | sin 2a' (12) 

und erhalten 

fh.i + «1.2 == oi.i + al.2+p''^cosl?iCos52sin2a'sec»^ • F, (13) 

In 6«k- in Sek. ^ 

Il + C»[l — C08»5sinV + iin«^(sixi?a'-«n»Ä)l 
-f- «* [d — CO.» B lin« a')» — ^ cog« B iin» %</] + Gl^ 

welche Formel für jdB = 0,1 nur einige Zehntausendstelsekunden 
Fehler giebt. 



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154 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 
Schreiben wir einfacher 

9"«* coB Bj COS J?, sin 2 a sec* — 

80 ist der Fehler^ insoweit er von den Gliedern 6. Ordnung abhängig 
näherungsweise gleich 

q' e* cos« B {iz/JB2(sin»a' — ßin»J?)sin2a - j^e«cos*J?sin»2a ).(15) 

Beide Teile dieses Ausdrucks sind am grofsten für B »= null. Die 
Differentiation nach d zeigt, dafs für diesen Wert von B und för 
/jB = 0,1 der 1. Teil den Maximalbetrag 0,015" annimmt, während 
der 2. Teil unabhängig von ^B den Maximalbetrag 0,005" hat 

Da die Beträge beider Teile sich einigermafsen kompensieren, so 
kann man den Fehler von (14) auf rund 0,01" im Maximum ansetzen. 
Ist B = 45®, so giebt der 1. Teil mit JB = 0,1 nur 0,003" und der 
2. weniger als 0,001" im Maximum. 

Es kann nach all' dem die Formel (14) in vielen Fällen als 
ausreichend angesehen werden. Sie ist bequemer als (13). Ihr Nenner 
insbesondere läfst sich leicht logarithmisch behandeln mittelst der 
Substitution 

cos B sin a = cos w, (16). 

wodurch er in W\ W mit Argument w, übergeht. ' 

§ 10. Fortsetzung. Die Sehne. Die Sehne wird wohl immer am 
bequemsten nach den, sich für. kleine Distanzen nicht unerheblich ver- 
einfachenden allgemeinen Formeln des § 6, S. 145 berechnet. Nichts 
desto weniger, wollen wir doch hier auch in kürze eine andere Art 
der Berechnung anführen und zwar mit Benutzung des Krümmungs- 
radius im mittlem Azimut und in der mittlem geographischen 
Breite. 

Wir schreiben zu dem^ Zwecke 

h* e» 4a' sin* ^ j : — — 

2 1>/(1 — e« sin* B,) (1 — c* sin« JB,) 



isin* Y (1 — e« ain« JBj) (1 — «« sin« B^) 

und entwickeln die Glieder der geschlungenen Parenthese in Reihen 
mit Vernachlässigung aller Terme, die von höherer als 6. Ordnung in 
Bezug auf e oder JB sind. Der Minuend giebt: 



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§ 10. Fortsetzung. Die Sehne. 155 

1 -f e* sin* 5 + (j^JB* - ^ e»z/B*) cos 21? + e* sin* B 

+ e« sin« B + e*^J5« sin« -B (l - ' sin* b) + Gig. 



Der Subtrahend giebt: 



Z/5 

2c' sin" -Vi— cos* 5 



- i- c*z/B« (7 sin» B ~ 2) + Y ^ sin* jB (3 sin* £ - l) + GJ« ) , 

worin noch mit Benutzung der Gleichungen (3) und (4) S. 152 zu 
substitaieren ist: 

J,- = co8«a' (l +tan»^) 



sm 



sin« Y 



= COS« a + 8in*a' sec« B [\ JB* - i^-^ + ^'e)- 

Wird dies eingeführt, so ergiebt sich folgender Ausdruck für die 
geschlungene Parenthese: 

l + c*(8in* J? — 2cos»l?co8«a) + ß* (sin*J? — cos« j? cos« a (5 sin* B - 1)) 

+ ^ (sin«^ — 3co8«l?cos«a (3sin*5— sin«B)) + 1 e« ^ J?« (cos25 — 2sin«a ) 

- ~ c« ^B^ (cos 2B - 2sin« a ) + (^JB^ | — ^ sin« jB (1 + 6 sin« B) j 

+ £^^^«{~8in«JS!cos«a (l + cos«J?) + ^(l — 3co8«a)) + Gl^. 

Diesen Ausdruck multiplizieren wir mit der rechten Seite der nach- 
stehenden; aus Formel (1) S. 58 folgenden Gleichung: 



1 (1 — c' sin* B) (1 _ <j« + (5» cos« B cos* a) 



^» ai (1 - e»)» > 

welche dem Krümmungsradius im Azimut a und in der Breite B ent- 
spricht. Dadurch ergiebt sich endlich: 

k==2psin-|-|l +-|-ß*co8*58in«2a -l-|»*^fi«(co.2i?-2iinV) + ij|,(l) 
wobei 

; . (2) 

"^ T ** "^^ (1 ~- * ■"»*5 — « 008 2B oo«' a — 3 008« B cot* a + 4 cot* B co«< a) + ffi.; J 



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156 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt a. d. Sebnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 

es umfafst mitbin B die Glieder^ welche in Bezug auf e und /itB die 
6. und höhere Ordnung haben. 

Wenn aber die ganze Transformation eine Erleichterung gewähren 
soll; mufs man B vemachlässigen können. 

Der Einflufs von B auf log h ist gleich B mal dem Modulus M. 
Hiemach giebt das 1. Glied in U fttr B = 0^ im Maximum 4 Ein- 
heiten der 8. Decimalstelle des Logarithmus, welcher Betrag aber 
für zunehmende Breite sich vermindert und bei B = 45® bereits nicht 
mehr 2 Einheiten ausmacht. Das 2. Glied in B beeinflufst für 
^B = 0,1 nur die 9. Stelle ein wenig; das 3. Glied giebt im 
Maximum rund 7 Einheiten der 8. Stelle, doch trifft dieses Maximum 
auf einem Nullwert des 1. Gliedes, wie sich überhaupt diese beiden 
Glieder nicht ungünstig kombinieren. 

Die Vernachlässigung von B entspricht mithin einer Genauigkeit, 
wie die Rechnung mit TzifFrigen Logarithmen unter Beibehaltung der 
8. Stelle aus den Proportionalteilen gewährt. Ebenso genau ist die 
folgende logarithmische Form: 

log k = log (2p sin y) + y Jlf { 3 ^ cos* B sin* 2a + ««^Ä*(oo.2Ä-2.in«a') } + Gl^ (3) 

Q sa den Argumenten B und a'. 

Da Formel (3) die Berechnung von q zu dem sphärischen 
Azimut a als Argument voraussetzt, so liegt es nahe, auch noch das 
entsprechende astronomische Azimut einzufahren. 

Nach Formel (14) S. 154 können wir aber setzen, wenn 

^1.« + «». 1-^80^ (4) 

mit a bezeichnet wird: 

a=a +— (^cosBiC08B^8m2a8ec^Y{ 1 + ^(1 — cos^Bsm^a)'\-Gl^] • 
Hieraus folgt:- 
a =a-ye2 8in2ajcos«B[l+cHl — cos«Bcos*a) + ''^"] — ~z/JS»[ +Gl^. 

Führt man dies in den Ausdruck 
log (q für a) -= log y^^~^,^ _ log (1 - e» + c» cos« B cos* a) 

ein, so fo^ mit Bücksicht auf (11) S. 163: 
log(pfüra')=log(pfÖra) 

— |c*cos*Bsin»2a (l + e»(2-3cos*5cos»a+ yC08*J5)) 

— -^ c* JB^ cos* B sin* a (cos* B - cos* a) + Gl^ . (5) 



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§ 11. ZüsammenBtellang der Formeln für Distansen < 0,1 Oq. 157 



Behalten wir zunächst nur die Glieder 4. Ordnung bei, ent- 
sprechend der Formel (3)^ so folgt durch Substitution dieses Ausdrucks 
fOr log (p für a) in dieselbe: 



log k = log (2p sin y) 



-|- — Jlf { — 6* C08*B sin* 2a + «•^Ä»(cot2B-2iia»a)} + Gl^ , 



(6) 



(f zu den Argumenten B und a. 



Die Formel giebt dieselbe Genauigkeit wie Formel (3). Dies 
erkennt man, indem man bei Substitution von log (q fiir ä) die Glie- 
der 6. Ordnung beibehalt, und in den Gliedern 4. Ordnung von (3) 

a = a — Y^3"^2^ <5ö8* B -(- Gl^ setzt. Alsdann ergeben sich, ab- 
gesehen vom Faktor M nachstehende Glieder des Restes von (6): 



- «* cot* B «In* 9a (1 — co«* B cot« a) • 



z^JB^ (coi 2B — « iln» a) 



4 ^ '96 

+ i- «• JB^ { — 8 + «»In* «5 + coi«a (2 + cot«B + 4co«»B lin»«) } 



(7) 



Diese Glieder haben angenähert denselben Einflufs wie früher 
die entsprechenden in (2). Jedoch ist immerhin der Vorteil bei An- 
wendung des astronomischen Azimuts vorhanden, dafs die von der 
Distanz unabhängigen Glieder kleiner als früher sind (um ungeföhr 
die Hälfte), so dafs für Werte z/U, wesentlich kleiner als 0,1, die 
Formel (6) genauer als (3) wird. 

§ 11. Zasammenstellung der Formeln für Distanzen < 0,1 a^. 

Gegeben JB^, j^, ^^^ ^1.2* 

1 



z/B = Bg — B^ 



B^^{B, + B,) 



COS a sm Y =" — ^^^ "ö" ^^^ 



-'1.2 



sin a sin Y = + cos JB sin 



1.2 



cos 


da 
2 


COSy 


sin 


da 
2 


COS Y 




""^lK 


-«1.2 






2 

in Sek. 



dB 



1.2 



+ COS -5- cos -^ 



sin B sin 



^1.2 
2 



(1) 



in Sek. 



(2) 



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158 i- Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnmdreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 



I .^^t, . COB -Bi C08 B. ain 2 a' sec* -rr 

in Sek. 



(3) 



COS u = coB B sina , u Argument für Wu . 
logk=log (2p8iny) + ~-af [ 3^cos*Bsm«2a +«*^fi'(co.2ir-«rinV)| -f Gl^ 



.T, ii^B in Sek. 

ZJx> ss= jrj 

9 

Q KU den Argumenten a und A. 



(4) 



für Einheiten 
der 7. DecimAle de« 
Logarithmofl k. 



Nach S. 59 hat man zur Berechnung von q: 

log Q = log % — \og TT + 2 log cos h\ 
tan Ä = yd cos B cos a J 

TT sum Argument B. 

Mit Sessels Dimensionen des Erdellipsoids sind die Logarithmen 
der im Vorstehenden auftretenden Eonstanten: 

log ( \ e" e«) = 2,8378056 log 9" = 5,31443 

log (y 3f . 3c*) = 1,86064 
log (yJlf.e«)= 3,55910 
log a^ = 6,8046434.637 log Y» = 8,9136593.9 - 10 

Für JB = 0,1 und k = 0,1 ist im Maximum der Fehler der 
Azimute < 0,01", derjenige von log h aber < 1 Einheit der 7. De- 
cimalstelle. Über die Genauigkeit im speziellen vergl. die §§ 8 — 10. 

§. 12. Zahlenbeispiel L Wir nehmen für B^y B^ und Li. 2 

folgende Zahlwerte (Bremiker, Studien über höhere Geodäsie, sowie 
Förster und Tieften ^ Berliner Astronomisches Joihrhuch 1880): 
Berlin B, = 52« 30' 16,7" \ ^ „. ^, ^ ^„ 

Königsberg J?; = 54 42 50,6 ) ^- = ^^6 «,0 o-uic. 

Die sphärische Bechnung, wobei anstatt §. 6 (2) S. 145 die Reihen- 
entwicklungen S. 132 angewandt wurden, führt zu nachstehenden 
Zahlen: 
ii ,= — 25560,00000 log =4,4075608.495« log i= 9,0931357.163« — 10 

in Sek. 

z/B = + 7953,90000 3,9005801.265 log z/B= 8,5861549.933 —10 

in Sek. 

j?=53«36'33,65" logcosJ?=9,7732652.484— 10 log sin 5= 9,9057908.074— 10; 

log 2^ ^5,2575731 und log =3,1784fürEinh.der7.Dec. 



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§ 12. Zahlenbeispiel I. 
Formd (1) S. 132 giebt insbesondere: 



159 



log (- 



L cos B\ 



+ ::M.2V = + 



24 
+ 28Vo^-14^*-" + 



0,2802459.714 

5557,436 log = 3,7448745 
269.081 2,4298831 

4.977 0,6970 

.003 0,52 — 3 



log tan o' = 0,2808291.211 d = 242« 21' 14,9790". 
Da L* Yoraussichtlich auf die 10. Decimale des Logarithmns ein wenig 
Einflufs hat, so ist d um etwa eine Einheit der 4. Decimalstelle der 
Sekunden unsicher. 

Formel (2) 8. 133 entsprechen die Zahlen: 

logsec-^-^ 0,0000807.294 logco8i?i=9,7844013— 10 

logco8Bg=9,7616703— 10 
log (— Zi.» sin B sec -^)== 4,3134323.863- 10 log Jlf= 6,6377843 

^ .- «.-.- • ' für Einh. dar 7. Dm. 

log =3,291 1076 

0,3237 

0,2433 

2» 51' 34,3241". 



in SA. 



j ^M. L'cosBiCosBgSec»^ ) — |- 1954.824 

-^sin»BZ».(-) 2.107 

+ 4^*- 1-^1 = + 1-^51 



log Ja •= 4,3136278.331 



Ja 



in. 8«lc. 

Es wird nunmehr: 

a',., = 239» 29' 40,6549" oi.i = 65» 12' 49,3031" 

Formel (5) S. 134 giebt, wenn q='JB und p 
genommen werden: 

* 9,9991658.506 - 10 log cos d — 9,6665225.564, — 10 



1.2 / 

cos —5- sec o 



log cos — ^- 



log ^ — 8,6177682.918 — 10 



— ^M.JB* 269.08 1 



■chon oben 
borechnetw 



log sin 



8,6177413.834 - 10. 



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160 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt a. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 

Setzt man aber q ^== L und p «s cos B esc a\ so hat man, da 
log sin d = 9,9473516.775n - 10 ist: 



pq 



log^ 



-i^M.L^ 



-2^^-^* = 



8,6180192.915 — 10 
2778.718 
.355 



■chon oben 
beraehnet. 



log sin \ = 8,6177413.842 - 10. 

Die DiiBferenz beider Werte von log sin — läfst sich schon durch 

nicht ganz 0,0002" Zuwachs in d erklären. Der 2. Wert ist als der 
schärfere beizubehalten, oder noch besser ist unter Annahme dieses 
Zuwachses zu setzen als 



Resultat der 
sphärischen 
Rechnung: 



log sin J — 8,6177413.840 — 10 
a;.2 = 239^29' 40,6549" 
(4.1= 65M2' 49.3031". 



Es ist notwendig, zu Vorstehendem hinzuzufügen, dafs im vor- 
liegenden Falle die Anwendung der Formeln (2) S. 145, ohne Reihen- 
entwicklung, bequemer gewesen wäre. Wenn jedoch /!SB und L noch 
kleiner als oben werden, kann bei 10 stelliger Rechnung die Be- 
nutzung der Reihen doch vorzuziehen sein. Jetzt kam es überdies 
nur darauf an, die Reihenglieder in Zahlen vor sich zu sehen. 

Für Formd (8) S. 146 hat man: 

logc^=7,8244104— 10 log (i sin 2b) = 7,6790560 - 10, 
— log 1^1=0,0009143 logsin^j? = 8,5860473 — 10, 

letzteres aus log jdB in sek. mittelst des Hilfslogarithmus 5. 

log E — 6,09134 - 10 
+ \m.E= 3 



.log (l-^^) = 6,09137 -10. 



Für Fcyrmel (9) S. 146 erhält man: 



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§ 12. Zahlenbeispiel I. ' IQI 

log (28m ^) = log sin ^B + log sep ^ =8,5861280- 10 
log üf => 6,63778 «I Bijih. der 7. D60. , jog siu Bi = 9,89949—10 
logD =8,3593932-10 
+ {^sin 5i) = + 18588 log = 4,26922 

23-^ i ^-«a^i 1 40 1,600 

+ |i;{^8iniJ,) = + 1 0,060 



log (sin JB, - ^ sin £,) = 8,3612481 - 10 . 
Za den Formein (7) S. 146 hat man: 

log e y2^ = 9,0619943 - 10 
log sing" -=8,66813 —10 log cos g" = 9,9995285 -10 

log TT, =9,9990321-10 log l/JJ^? = 0,0000268 

log sin q' = 8,5040263—10 log cos q' = 9,9997786.761—10 . 

Hiennit geben die Formeln (5) und (6) S. 145, da 
log 2«„ = 7,1056734.594 und 
log Wi = 9,9990857.480—10, 
log TT, = 9,9990321.461—10: 

Die Formeln (4) S. 145 führen zu folgenden Zahlen 

log sin Li., = 9,0920237.-10 

flog tan s'i.t = 7,1163658.-10 
1 T = 4,6855751 -10 



log k = 5,7241345.725. 



log ei.» = 2,4307907, 

iaSek. 



jlogtanai.i = 7,0709574.-10 
l r= 4,6855751 —10 



log ei. 1^ 

in Sek. 



■■ 2,3853823, 



«1.« 



e'i.« 4' 29,6440" «',., 4' 2,8747' 

e'i.i = 239» 34' 10,2989" oi.i - ci., — 65« 16' 52,1778" 

log sin (h. t = 9,9352963.933.-10 

log cos e'i.t = 9,9999996.289 —10 

logcosCfh. » — <!.») = 9,7045729.476.-10 



log tan Ol . , = 0,2307230.746 

log sin oi.i = 9,9580273.552-10 

log cos «i . 1 = 9,9999996.989 — 10 

logco8(o;.i-f'g.i) = 9,6213484.891— 10 
0,3366785.660. 



log tan ot.i 

Belnert, mathem. n. phTiUcal. Theorieen der heb. Geodtoie. 



11 



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162 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. EotationsellipB. 

Hiermit gelangt man ^u nachstehendem 

log k = 5,7241345.725 
Resultat: äi. « = 239<> 33' 0,9324" 
02.1= 65M6' 9,5806". 

Bremiker giebt in seinen Sttidien ti. s. w. S. 37 bezw. 0,9325" 
und 9,5809", S. 28 aber 0,9326" und 9,5800" als Sekunden der 
Azimute. Für log k ist nach ihm, S. 28, der Wert der 3 letzten 
Stellen .730. Diese Übereinstimmung dürfte genügen. 

§ 13. Fortsetzung des Zahlenbeispiels I. Zu Formel (3) S. 158 ist: 
log cos J?i cos Bg = 9,5460716—10 log sin 2a ^ 9,9149042—10 

log cos u = 9,72062« - 10 log sec« ^ = 0,0007475 

u = 58'> 17',7 2 log Wu = 9,9978969-10 

coB^i cosB, sin 2 a sec'- 



{co8if| co8i»2 sin 2 a seC- \ 



3016320. 



Es geben daher Formel (2) und (3) S. 157 u. 158: 
«2.1 —«1.« 



2 



92'> 51' 34,3241" 



—•^4^'- — 332<^ 21' 14,9790" + 3' 20,2774" 
= 332<^ 24' 35,2564". 
Hieraus folgt als 



rai.2 = 239« 33' 0,9323" 
Resultat: { 65M6' 9,5805". 



fOl.S 



Diese Werte weichen von den strengeren Ergebnissen des vorigen 
Paragraphen nur um 0,0001" ab, da die vernachlässigten Glieder, die 
in der Summe o^.i-f-ai.a in den Zehntausendstelsekunden merkbar 
werden könnten, sich zufallig kompensieren. 

Zu Formel (5) S. 158 erhalten wir: 



log ao = 6,8046434.637 
log TT =9,9990587.885-10 
21ogco8Ä= 9,9997789.106—10 



log Yä = 8,9136593.9 -10 
log cos B = 9,7732652.5 -10 

log cos a= 9, 6665225. 61.-10 

log tan A = 8,3534472.0»— 10 \ogQ^^fiOr>3ß?^5lr>8'. 

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§ 13. FortsebsuDg dea Zahlenbeispiels I. 163 

BremUcers Tafel in seinen östelligen Logarithmen giebt 6,8053635.9, 
welcher Wert vollkommen ausreichen würde, wenn wir nur einzig 
und allein Formel (4) S. 158 benutzen wollten und demgemäfs 7 bis 
Sstellig rechnen würden. Indessen sollen schlielslich noch die höhern 
Glieder, die dort vernachlässigt sind, angebracht werden. 

Zu Formd (4) S. 158 hat man, da log cos 2B = 9,47132«— 10 ist: 

log(2(> sin-g-) = 5,7241349.655 
+ 6.074 
- 1.594 
-r 8.456 



+ f-3<!*co8*.Bsin»2a'=3 
+ ye»z/J?»cos2B = 



— y. 2e»^5*sin«o' 



log k — 5,7241345.679. 

Formel (2) S. 155 giebt für die drei Glieder des Restes B 

+ 146, + 3,-47 

Einheiten der 10. Decimalstelle. Für log h ist noch mit M zu mul- 
tiplizieren, womit sich als Verbesserung vorstehenden Wertes von 
log k -|- 44 Einh. der 10. Stelle ergeben. Es wird hiemach das 

Resultat: log k — 5,7241345.723 , 

welcher Wert mit dem S. 162 gefundenen so gut übereinstimmt, als 
«s die Rechnungsunsicherheit der letzten Stelle zuläfst. 
Zu Formd (6) S. 157 erhält man: 

o = 242» 24' 35,2564" log p = 6,8053644.048 



log {2q sin •') = 5,7241357.845 



M 



M 



c* cos* JB sin* 2o •= 



+ = • <^JB*eoa2B = 
-j- 2c»^B*sin»a = 



— 2.019 

— 1.594 

— 8.464 



log k = 5,7241345.768. 

Die vernachlässigten Glieder 6. Ordnung (7) S. 157 geben in Ein- 
heiten der 10. Stelle M(— 56 + 3 — 41) d. i_ .^^- 41; es wird daher 
das Resultat: log k » 5,7241345.727 ,- 

was ebenfalls in guter Übereinstimmung mit der strengen Rechnung ist. 

11* 



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1G4 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Botationgellipa. 

Die Formel (5) S. 141 zur direkten Berechnung eines einzelnen 
Azimuts giebt für ai.ii 

5'==53o 3' 25,175" logco8 2B'=9,4433»-10 logsin»B'=9,80— 10 
[ log^=9,4930192.770»-10 
I log(l -e»)= 9,9970916.405 



logcoBlfg-= 9,7616703.379 - 10 
2 log W = 9,9981444.626- 10 



Summa =9,4901 109.1 75»— 10 Summa = 9,7598148.005—10 

log (- ^pfß^) = 9,7302961.17—10; num. = 0,537398088 

log(-|;r^|-)+log(-^) = 6,124455«-10; num. = - 133185 
log (- ^Zp^i ) + log ( ^) = 7,1384163-10; num. = + 1375360 



log(- 



(1— e'MB 
W'*Leoa 



B \ , . (/IB*- 
^J+l0g(__ 



-i« 8^B»— 7i' 



60 



') =4,32900-10; 



num. 



M- r^^fklt) + '°g(- ^^^^co82B') = 2,966-10; 



num. 



+ 



+ 



2133 



93 



num. 
num. = -f" 



log(- ^'.^I'LIbv) + '°g(i'6 «*^^«in»B'(2 + C082B')) = 1,39-10; 

num. == + 

log (— y sin 5,) = 8,6915993.5—10; 

log (- J sin b) + log ^l = 5,79869-10; 

log (- 1 sin b) + log ^ = 2,986- 10; 



2 

4 



num. = + 49158582 
num. = + • 62906 
num. = + 97 



cot «1.2 = 0,587864080. 



log cot a,., = 9,7692769.24—10 

Man hat daher als 

Resultat: d . j == 239» 33' 0,9326". 

Bei dieser Rechnung sind die beiden gröfsten Glieder 6. Ordnung 
mit zugezogen, da sie ai.g um 0,0009" ändern. In den Fällen, fQr 
welche die Formel aufgestellt ist, und wo sie allein Vorteil gewährt, 
ist selbstverständlich dieses Herbeiziehen fiberflüssig. 

§ 14. Zahlenbeispiel II. Gegeben: 

Bi = 57» B, — 56» 13' 49,02186" 
Xi . , = 1" 22' 6,03270" «.«ich. 



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§ U. Zahleobeispiel II. 165 

Auf diese Zahlen wenden wir die Formeln des § 1 1 S. 157 an 
und rechnen mit Sziffirigen Logarithmen. Es wird zunächst unter 
teilweiser Anwendung der Hilfslogarithmen S aus den Tafeln 7ziS'riger 
Logarithmen: 

^? 1385,48907" log sin =7,8271747.0.-10 log cos =9,9999902.0 -10 

-^=180»— 2463,01635" log sin =8,0770318.4 —10 log cos =9,9999690.4, -10 
B =56« 36' 54,51093" log sin =9,9216830.0 - 10" log cos —9,7405680.1 —10. 
Die Formeln (1) S. 157 geben nun: 

cos o' sin y = [7,8271437.4,-10] 

sina' sin y = [7,8175998.5 -10] 

cos^cosy = [9,9999592.4,-10] 

sin ^ cos 2-= [7,9987148.4,-10] 
a = 135» 37' 46,216" log sin = 9,8446606.3- 10 log cos = 9,8542045.2, - 10 

log sin y = 7,9729392.2 

y- = 180' 34' 16,678" log sin = 7,9987340.1,-10 logcos= 9,9999784.1,-10 

log cos y = 9,9999808.3 . 
Ffir die Formdn (2) und (3) S. 157 u. 158 hat man: 
log(|*"«*) = 2,837806 jlog cos B = 9,74057-10 



log cos B^ = 9,736109 —10 l log sin a = 9 ,84466—10 

log cos Bt = 9,744963 —10 log cos m = 9,58523—10 
log sin 2o' = 9,999895, - 10 « = 67« 22',2 

log sec« y = 0,000038 log IT« = 9,998762—10 

- 2 log TT« = 0,002476 



Snmma <= ! 


J,321287, . . . num. = — 209, 
f*^-*""'* = 270« 34' 16,678" 

-"*» + '*i* = 225« 34' 16,666" 




«,1 = 136« 8' 33,344" 
ai.2 = 314 59 59,988. 



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166 4. Kapitel. Der veriäkale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 
Zu den Formeln (5) und (4) S. 158 findet sich: 



log }/d"-= 8,913659 -10 
log cos 5 = 9,740568 —10 
log cos a = 9,854205»— 10 
log tan A >= 8,508432»— 10 



log «0 « 

-log W- 

2 log cos h ' 



6,8046434.6 
0,0010128.5 
9,9995487.4 — 10 



log Q = 6,8052050.5 



log(|jlf.3«*)=.l,861 

log cos* 5 =8,962— 10 
l log sin* 2 o' =0,000 



log ({Mc«) =3,56 

log JS* =6,26 
log cos 25 =9,60»— 10 



log (Jjlfc*.2) =3,86 



.... 6,26 
logsin»« =9,69 — 10 



Summa=9,81 — 10 
num. = + 0.64 



Summa=0,823 Summa=9,42» 

num. = + 6.65 num. = — 0.26 

log h = 5,0791742.7 + 6.65 - 0.26 - 0.64. 
= 5,0791748.5. 

Es treten hiemach die' folgenden Zahlen auf als 
log k = 5,0791748.5 
Resultat: «i., = 314^59' 59,988" 
«2.1=136 8 33,344. 

§ 15. Übertragung der geographischen Lage mittelst Sehne 
und astronomischen Azimuts. 

Gegeben sei fQr P^ die geographische Breite B^, ferner die Sehne 
k nach de;n Punkte P^ und das Azimut ai.s des Vertikalschnitts 
von Pj nach Pj. Gesucht werden B^, Li,% und «2.1. Wir be- 
zeichnen den Neigungswinkel von h gegen die Horizontalebene von 
Pj (Ebene Jiy S. 136), den sogenannten Depressionswinkely mit f^i.g. 
Die Projicierung von h giebt nun mit Rücksicht auf § 2 S. 136 
sofort: 

k cos f*i.» cos «1.2 == gj = (ajg — x^ sin Bj — (je?, — z^) cos B^ 

k cos fti.2 sin «1.2 = % = y^ 

k sin f*i.2 = £2 = ~" (^2 — ^1) ^^^ ^i — (^8 — ^1) sin B^ . 

Hieraus folgt unter Anwendung einfacher Reduktionen: 



008 B^ 008 Z/j 2 sin JB| 
008 £, sin L^ 2 

008 B^ 008 L^ 2 008^1 



-(1-e») 



sin B^ 006 B, k 

-=^ = — COS /ii.2 cos ai,t • 



e'sinBtCosJBi 



«0 



cosfii.2smai.2 



1/1 — e* sin« B,^ 



sin B, sin B^ 

}/l-^«8in»J^ 






- + (l-^-)r^::"^— ^«n/^... +V'Wsin'i?.. 



(1) 



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§16. DbeitragoBg d. geograph. Lage mittekt Sehne u. asironom. Azimuts. 167 

Diese 3 Gleichungen dienen zur Bestimmung der Unbekannten 
B^j Li,% und fii.8. Der Versuch, die beiden ersten Unbekannten mit 
Übergehung von fii.« herzuleiten, führt zu komplizierten Formeln. 
Wir eliminieren daher umgekehrt zuerst B^ und £1.3 und leiten 
jtti.i ab. 

Aus der 1. und 3. der Gleichungen (1) folgt durch Elimination 
von cos J?2 ^^ ^i-8 b^zw. von sin B^: 



sin B^ 



sin Bj 



yi — c*ain*JB, 



yi — c"8in*Bi 
7i jR (cosfii . 8 cobBi cosfli . « + sinfii .jsin JB,) 



und 



cobB, cos 1/^2 cobBj 



(2) 



H (cosfii.ssin J5i cosai.2 — sinfti.j cos JBi). 

Quadriert man die 2, Gleichung (2) und fügt sie zum Quadrat der 
2. Gleichung (1), multipliziert die Summe mit (1 — e*) und addiert 
dazu das mit (1 — e*)* multiplizierte Quadrat der 1. Gleichung (2), immer 
Seite f&r Seite^ so folgt: 



0= - 



2ll(l 



— ;====- H 5 (1 — ß^ + ß cos* y) , 



wobei gesetzt ist: 

cos X = cos f*i.2 cos Bi cos ai.2 + sin fii.2 sin B^ . (3) 

1800 _ ^ igt (jer Winkel zwischen Erdaxe und Sehne P^ Pg, wie 
leicht zu erkennen ist, wenn man sich durch P^ eine Parallele zur 
Erdaxe gelegt denkt und die Ecke zwischen dieser Parallelen, der 
Sehne und der Lotlinie betrachtet. 

Sieht man cos % ^Is bekannt an, so hat man zur Bestimmung 
von fii,2 die Formel 






= !LEi(i + *eos«;c) 



2a« 



(4) 



wenn Yd cos % ™ tan u gesetzt wird. 

Da nun % nicht bekannt ist, sondern fii.2 zu seiner Berechnung 
erfordert, so mufs man sich successiver Annäherungen bedienen, um 
^1.2 kennen zu lernen. Wir setzen: 



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168 4, Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsei Ups. 

cot h = cot Bi cos ai,2 

f 7 N ein J5, 

co8a; = cos(fti., -Ä) . ' 



(5) 



sin h 



und Tieliinen, falls eine Tafel der p mit B und a -als Argumenten 
vorliegt, in erster Annäherung: 

8infii.8 = — ; Q für B^ und ai.g, • (6) 

ajiderDfalls mit Rücksicht auf den Ausdruck (1) S. 58 für p: 

log sin ;*i.8.= log -z — - + MS C0&* Bi cos* «1.2 + • • • . (6*) 

Um nun B2 zu finden, geht man von der 1. Gleichung (2) aus 
und benutzt am besten die reduzierte Breite als Zwischenglied (vergl. 
S. 40) j indem man setzt: 

y\ ^^ sin B^ 



sin ßi - 
sin ß^ 



sin /3i — 



k cos X 



\ 



(7) 



Bw&us kann man noch ableiten: 



sin 



Jß 



2 2 

^ß^ßi — ßi ß 



k cos X /, \ 



(ß. + ß> 



und endlich: 



sm ^-ö «= sm - - cos ~ , 



(8) 



(9) 



welche letztere Formel erhalten wird, wenn man in der Identität 

sin ^B = sin B^ cos B^ — cos B^ sin B^ 

rechter Hand mittelst der Formeln (5) bis (7) S. 40 u. 41 die redu- 
zierten Breiten einführt 

Die Rechnung nach diesen Formeln beginnt mit einer näherungs- 
weisen Bestimmung von ß^ aus (7), soweit es mit Bequemlichkeit 
unter Anwendung Gaw/sischer Logarithmen möglich ist. (8) giebt 

durch successive Annäherungen sin -~, (9) alsdann sin z:/ JB. 

Man hat nun weiter zur Berechnung von Li, 2 aus der 2. For- 
mel (1): 

sinij a = — cosui.asec/Josinai 2= cosui.2secJBo8inai.i. (10) 



^ 



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§ 15. Übertiagang d. geograph. Lage mittelst Sehne u. astronom. Azimuts. 169 

Um endlich noch Os.i zu finden, ist im allgemeinen Formel (4) 
S. 138 anzuwenden; in der Regel genügt es jedoch nach § 6 (2) S. 145 
und § 8 (4) S. 151 



tan^--tan^,in5sec4? 
and 



(11) 



zu berechnen, wodurch 02.1 noch für Werte von k -« 0,2 a^ um nicht 
mehr als 0,0001" unsicher erhalten wird. 

Die vorstehenden Formeln gestatten nicht in allen Fällen eine 
befriedigende Losung, insbesondere weil fii.2, B^ oder JB und Zi.s 
aus dem Sinus hergeleitet werden. Indessen wird das Bedürfnis, in 
praktischen Fällen wenigstens, sich immer nur auf mäfsig grofse Werte 
Ton fii.8 und ^B erstrecken, die durch den Sinus bestimmbar sind. 
Dagegen kann Li, 2 auch bei kleinen Distanzen grofs werden, wenn 
die Punkte den Polen nahe liegen. Alsdann ist aber auch die 
Bestimmung yon B^ aus (7) bis (9) ungünstig, und man wird 
B, und Li, 2 besser aus der 2. Formel (1) und aus der 2. Formel 
(2) ermitteln. 

Reihenentwicklungen werden zu Vorstehendem zunächst in Frage 
kommen können bei der indirekten Ermittlung von fii.a und JB. 
Für fii.2 geben wir die Reihe weiterhin; ziemlicher Komplikation 
wegen ist sie zur Rechnung wenig geeignet und da für ^J5 dies in 
Boch grofserem Mafse gilt, übergehen wir hierfür diöse Entwick- 
lung ganz. 

Sind jdB und £1.2 klein, so kann eventuell die Anwendung der 
1. Reihe (4) S. 30 auf sin JB und sin Z1.2 nützlich sein, für die 
1. Formel (11) aber die Entwicklung (2) S. 133. 

Vertauscht man in Formel (10) die Indices 1 und 2 und setzt 
dann beide Ausdrücke für sin £1.2 einander gleich, so folgt die 
interessante und ffir später wichtige Gleichung: 

sin ai.2 cos ^^ cos fii.2 = sin (02.1 — 180®) cos ß^ cos ft2.i , (12) 

welche überdies auch zur Berechnung von 02.1 dienen kann, sobald 
(h.i aus Formel (4) (worin nur B^ mit B^ zu vertauschen ist, indem 
X unverändert bleibt) hergeleitet wird. Indessen gehen wir weder 
hierauf noch auf die notwendigen Umformungen, damit a2.i stets 
hinlänglich scharf erhalten werde, ein. (Vergl. BremiJcer, Studien 
tt. 8. tc.y S. 34.) 



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1 70 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. BotationBellipa. 

§ 16. Zahlenbeispiel I. (Umkehrnng des Zablenbeispiels 
& 158 u, fif.) Gegeben: B, = 52» 30' 16,7" 

log k = 5,7241345.725 Oi. 2 = 239« 33' 0,9324". 
Zu den Formeln (4), (5) und (6*) des vorigen Paragraphen hat man: 
log 2ao = 7,105 6734.594 

•10 



log -=- = 8,6184611.131- 
log TT, = 9,9990857.480-10 



log 



kW , _ 



2a„ 



8,6175468.611 — 10 



log Mä -= 7,47 - 10 
logcos*a,.» = 9,41 — 10 
log cos« B, =9,57 — 10 



[6,45— 10] = 0,00028 Summa = 6,45 — 10 

Ziö; ^,., = 2» 22' 38". 



l.Äiinäherung:logsinfti.s<= 8,61783 

(logcoBOi.,= 9,7048214.896« — 10 

ilog cot B, = 9,8849076.665 — 1 

log cot h = 9,5897291.561,-10 

h 680 45' 13,6416" 

^, ,-A = 71« 7' 52" 

1. Annäherung 



log sin 0,2 =9,9355445.641« - 10 
log sin JB, =9,8994936.333 -10 
log sin Ä = 9,9694307.477, — 10 

log^ =9,9300628.856,-10 

(logcos (/ti . , — A) = 9,509745 — 10 

Änderung für 1' ' gleich — 6,1 Einh. der 6. IVc. 

j logco8;t=9>439808» —10 

\ log Yd =8,913659 -10 






log tan u — 8,353467» — 10. 

Hierzu gehört log sec u = 0,0001105.55 mit 0,51 Einheiten der 9. Stelle 
Zuwachs für jede Einheit der 6. Stelle in log tan w. 
Nunmehr wird in 2. Annäherung: 

log sin (ii,2 = log '^^ + 2 X 0,0001105.55 = 8,6177679.71 -- 10, 

;ii.2 = 2<> 22^36,9242" 

mit 0,000020" Zuwachs für jede Einheit der 9. Decimalstelle in 
log8infii.2. 

Es ist jetzt schärfer als oben (^i.j — A) = 71® T 50,5658". Der 
Abnahme dieses Winkels im Betrage von 1,43" entsprechen 9 Ein- 
heiten der 6. Stelle Zuwachs in cos {^i .j — A), femer 2 x 9 x 0,51 «= 9 
Einheiten der 9. Stelle Zuwachs in sin fii,%, endlich 0,0002" Zuwachs 
in fii,i. Man hat daher definitiT: 

fii.2 = 2<> 22' 36,9244" ^,^^—h^ll^ T 50,5660" 
Iogco8(;ii.8-A)=9,5097537.572— 10 logcosx=9,4398166.428n— 10. 



k 



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§ 16. Zahlenbeispiel I. 171 

Man hat nun weiter zu den Formeln (7) und (8): 



I log sin ft = 9,8989537.055 -10 log VT-- c» — 9,9985458.202 —10 

'^-^, = 8^360762, -10 log ^^11 ^ ^ 8,0597319.357; - 10. 

Die beiden linker Hand durch eine Klammer verbundenen Loga- 
rithmen geben mittelst Gziffriger Gau/Bischer Logarithmen (da 7ziffiige 
dem Verf. nicht zur Hand) 

log sin /Sj = 9,911353 — 10 und ß^ — 54<> 37' 25". 

Andrerseits ist aus log sin ß^ der Wert von ß^ — 52^ 24' 43,0115", 

genügend übereinstimmend mit dem S. 43 abgeleiteten strengem 

Werte: 

ft — 52^^24' 43,01 137", 

&lls man Formel (9) benutzt. Wir können aber diese Formel nicht 
bequem anwenden, da eine Tafel der log to auf 10 Ziffern fehlt, und 
wir gehen daher von dem mittelst (8) gefundenen ß^ zu B2 über. 
Dann aber mufs für ß^ der strenge Wert zur Anwendung gelangen. 
In erster Annäherung wird nun ß = ^S^ 31' 4", log sec ß 
= 0,2257945.702 mit 28.472 Zuwachs für 1" in /J; femer: 

log sin ^ — 8,2855265 - 10; ^ — P 6' 20,875". 

Hiermit folgt in 2. Annäherung ß = 53® 31' 3,886", log sec ß 
« 0,2257942.456 und 

log sin 4^ = 8,2855261.813 - 10; ^ = 1« 6' 20,87257". 

Eine Ändemng von 0,00001" in -g^ ändert den log sin um 11 Ein- 
heiten der 10. Decimalstelle; da nun bei der vorigen Rechnung ß um 
0,00206" ZQ grofs genommen worden ist, also log sec ß und log sin -^ 

nm 59 Einheiten zu yennindem sind, ist auch -~ noch um 0,00005" 
zu Termindem. Man hat daher definitiv: 

log sin 4^ — 8,2855261.754 - 10; ^ = 1» 6' 20,87252"; 
ßt = 54« 37' 24,75641". 

Der Übergang von /S, zu JS^ nach den Formeln des § 3, S. 41 u. ff. 
liefert: 5, — ft =» 5' 25,84361"; hiermit ist 

Bf -X 54» 42' 50,60002". 



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172 4- Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. Sebnendreieck f. d. abgepl. Botationsellips. 

Zu Formd (10) hat man endlich log cos /9, = 9,7626381.919—10 

Iogcos|Bi., = 9,9996261.786 — 10 log sin ii.,= 9,0920236.596»— 10 

ii., = 7«6'0,00000"6.tach. 

Es bleibt nun noch a^.i zu berechnen, was wir indes unterlassen, 
da die Formeln (11) schon S. 159 u. 162 behandelt sind. 

§ 17. Zahlenbeispiel II. (Umkehrung des Zahlenbeispiels S. 164.) 
Gegeben: JB, = 57° 

log h =5,0791748.5 Oi ., = 314« 59' 59,988". 
Zu den Formeln (4), (5) und (6*) 8. 167 und 168 hat man: 
log 2oo =7,1056734.6 - 10 



log A. =7,9735013.9- 10 
log TT, =9,9989781.9-10 



log —' =7,9724795.8 - 10 



2 a, 



log MS = 7,4651 - 10 

log cos» B, = 9,4722 — 10 

jog cos*^,.j = 9,6990 — 10 

([6,6363 -10] =0,0004328 .... ^ Summa = 6,6363 — 10 

l.Auniiherung:logsin(ti,,= 7,9729124 —10; /ti.j = 0» 32' 17,96". 

log cos ai.» = 9,8494849.8 — 10 log sin Oi,, =9,8494850.3,-10 

log cot B, = 9,8125173.6 — 10 | log sin 5, =9,9235914.0 - 10 

log sin h =9,9584521.3 — 10 

log-"-^' =9,9651392.7 -10 

^ 81D n ' 

logco8(|[ii. 8 — Ä)=9,629232 — 10 
log cos ;t =9,594371 —10 
log|/^ =8,913659 —10 



log 


cot% 


= 9,6620023.4 — 


10 




h 


= 65« 20' 7,403" 




A- 


/tl.» 


= 64 47 49,443 


• • 




1. . 


Annäherung 




log 




= 7,9724795.8 - 


10 



log tan M = 8,508030 — 10 

I 2 log sec u = 0,0004504.2 log cos w =9,9997747.9 — 10 

I log ain |[ti.2 = 7,9729300.0 - 10 2. Annäherung: 

I S = 4,6855684.7 — 10 (Sie glebt dafinitire Werte.) 

log ;ii.2 = 3,2873615.3 . ~. . . . . /ti.« —0<> 32^ 18,035" 

in Sek. 

h - ^1., = 64« 47' 49,368" . . logco8(fii.2-A) =9,6292321.0 - 10 

log cos i =9,5943713.7 -lÖ. 
Man hat nun weiter zu den Formeln (7) und (8) S. 168: 



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g 17. Zablenbeiapiel U. 



log 



log sin ft =9,9231590.3 — 10, 
kcoBx 



o.V^^ 



-=7,870357 —10 



Doreb ) 

/Si=56^ 54' 44,315" 
/S,=56^ 8' 29,6" 

1. Annlhenuig ß ««56® 31' 37,0" 

1 Annäherung ß =56® 31' 37,002" . 



ltco8;i; 



log 



logsec/3> 

1. Annllieraiiff 



173 
9,9985458.2 -10 
7,5693269.4.-10 
0,2584192.3+81.8 «Ti" 



1 ■ ^ß 
log Bin g-*^ 



7,8277461.7,-10 
Ä= 4,6855715.9 -10 



log^— 3,1421745.8, 

In 8«k. 

• • • -^^? 23' 7,313".' 

Da ß um 0,002" gewachsen ist, so ändern sich log sec ß und log -^ 



um -I- 0,1. Es geben nun die Formeln (9), (10) und (11) S. 168 u. 169: 

8,2730772.1 —10 



I • ^ß 
logsm-j!- 



7,8277461.8,-10 



log cos ^ = 9,9999901.8 — 10 

log2Tr,= 0,3000081.9 
-logw,— 0,0004503.4 



,hVi- 



flogsin^^JB« 



8,1281948.9,— 10 
4,6855618.0 -10 



— log Wj — 0,0004503.4 

log cos fti 8 = 9,9999808.3 — 10 

log sec £j = 0,2550374.5 

log sin o 1. » =. 9,8494850.3, — 10 

log sin ii . j =. 8,3780308.6, — 10 

S-= 4,6855335.8 -10 



]ogJB=- 3,4426330.9, 

in S«k. 

JB'^— 0" 46' 10,9781" 
JB,= 56« 13' 49,0219" 

-1 Li., =+2463,0163" . . 



2 



= 56« 36' 54,511" 
.- 23' 5,49" 



logZi.g = 

in Sek. 



= 3,6924972.8, 
.-1» 22' 6,0326" 



log(-flj)— 3,3914672.9 

r— 4,6855955.1 - 10 

log sin B = 9,9216830.0 - 10 

log sec ^ = 0,0000098.0 



Ja kann gleich da gesetzt werden, 
daher ist: 

^-"=+0034' 16,6782" . 
^0= 1« 8' 33,350" . 



log tan ^ = 

T— 

, Ja 
• log-j 

in Sek. 



7,9987556.0 - 10 
4,6855892.6 —10 
3,3131663.4 

136» 8' 33,344". 



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1 74 i. Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepL Rotationsellips. 

I B,= 56« 13' 49,0219" 
Resultate: Li.» = 1 22 6,0326<»aich 
Os.i = 136 8 33,344. 

§. 18. Beihenentwicklui^ fttr den Depressionswinkel (i. Nach 
S. 167 ist 

sin ^..,=-^1 + * cos» x), (1) 

wobei 

cos X »=» cos fii.a cos B^ cos fli.g + sin ;*i.« sin 5,. (2) 

Aufserdem hat man nach S. 58 (1): 

i = Zi (1 + a cos* B^ cos* ai. ,), (3) 

wenn q den Erümmungsradius des Vertikalschnitts im Azimut ai,% 
für den Punkt P^ mit der geographischen Breite JS^ bedeutet Augen- 
scheinlich ist es Yorteilhaft^ fii.s mit Benutzung von q zu entwickeln, 
weil bei unendlich kleinem k jedenfalls sin |iAi.2 = /Ai.a"=»k:3^ werden 
mufs. Es ist nun nach (1) und (3): 

_ k 1 + ^ cos' X 

Sm /ix. 2 — 2" 1 + ^C08»B, 008« aj 2 

oder 

sinfti.,-^ j^ {l + (cos'a;-coB'.B,co8'a,.0 i^acoe'B.coe'o,. J " W 

Durch Umwandlung von (2) findet man aber leicht: 

cos* X ~" cos* JBj cos* ai . 2 = sin* ^i . s (sin* -B^ — cos* JB^ cos* «i . 2) 

-^2sinfii.2COB|L(i.2C08£isin£|Cosai.2. (5) 

Entwickeln wir hierin cos f(i.2 nach Potenzen von sin fCi.2 und setzen 
vorübergehend zur Abkürzung: 



T-T—s — 5^ ^ — i (sin* B, — cos* B, cos* 01.2) = c. 

1 + tf cos* ^1 CO8* Oj g ^ ^ * *.v 1 



»^ 



(6) 



- -7— r — r^ — ^1 sin 2 jßi cos ai . 2 «= Co 

1 + * C08* Bj C08* aj j 1 i.Ä -2 

so folgt nach einfacher Reduktion durch Einführung von (5) in (4): 

k 1 
(1 — Cj) sin |iii.2 = — + Cj sin* fii.2 — ^ c^ sin« fii.2 H (7) 

Der vernachlässigte Best ist^ wenn wir k und also auch sin|[ii.2 als 



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$ 18. ReihenentwickluDg für den DepreBsionswinkel ii. 175 

kleine Gröfse yoraassetzen^ im Maximum nahezu ^^ c, sin^ fii.2 d. h. 

eine Gröfse von der 8. Ordnung. Multipliziert mit q' giebt dies für 
k = 0,lao als maximalen Einflufs auf fii.s nur 0,000003". 
Dividiert man die Gleichung (7) mit (1 — c^), so folgt: 

«» f*i.« = g^(i_ ^ + Ci sin* fii.« — 2 «2 sin» f*i.« + Gk, 

welche Formel im Vergleich zu (7) hauptsächlich noch ein Glied 
c^c^ sin' fii.a Yemachlässigt, welches auch von der 8. Ordnung ist und 
höchstens in den Hunderttausendstelsekunden merkbar wird. Wenn 
man nun noch rechter Hand für E(in jiti . a das Hauptglied linker Hand 
setzt und schreibt: 



oder 



log sin ^1.2 = log ^Y^ii^c) + ^^1^ - I ^« 2^1 + ^^' (^) 

so bleibt die Genauigkeit unverändert, da die hierbei neuerdings be- 
gangenen Fehler noch eine Ordnung höher sind, als die bis dahin zu- 
gelassenen. Die zur Berechnung nach (8) erforderlichen Ausdrücke (6) 
für C| und c^ gehen mittelst der Formel (3) über in: 



Ci = * -g-^ (sin^ JBj — cos* B^ cos* ai. 2) 

k W 
Co = * -5—^ sin 2Bi cos ch. 2. 



(9) 



Indem wir nun auf den oben gefundenen Ausdruck für sinfii.2 
die 1. Reihe (4) S. 30 mit w^ fii,^ anwenden, findet sich direkt 
f&r f^i.8 selbst: 

Die hierbei vernachlässigten Glieder 7. Ordnung haben in fii.2 wie 
bisher nur auf die Hunderttausendstelsekunden Einflufs. Vernachlässigt 
man auch noch die Glieder 6. Ordnui^: 

deren Einflufs auf fii,i in Sekunden gleich ist dem vorstehenden Aus- 
druck mal ^ 2 ^ ^^ ^^^ ^^^ Fehler für k = 0,1 a^ im Maximum 
gleich 0,00014^', was indessen in der Regel ohne Belang bleibt. 



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1 76 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationaellips. 

Wir erhalten nun, indem wir auch noch den Nenner (1 — Cg) 
des 1. Gliedes rechter Hand der Formel (10) in eine Reihe entwickeln: 

Q m den Argumenten B^ und ai . « . 

Diese Formel giebt erst fQr k'^Oyla^ die Zehntausendstelsekunden 
von |[ii.2 nicht mehr ganz scharf. 

Setzen wir endlich in weiterer Vereinfachung: 

Q in den Argumenten üj und a« . , ^ ) 

so ist der Fehler in dem hiermit berechneten fii.s für h = 0,laQ 
zwar einige Tausendstelsekunden, er sinkt aber fQr h »» 0,02 o^ auf 
weniger als 0,00001" herab, wie die Betrachtung der im Yei^leich zu 
(11) yemachlässigten Glieder zeigt. 

§ 19. Zahlenbeispiel I^ vergl. S. 170, giebt zu Formel (ß), 
(9) und (11): 

log -51 =8,6175468.611—10 



logcosai.2= 9,7048215n — 10 
log cos B, = 9,7844013 -10 
log}/d ^^,9136594 -10 
log tan V = 8',40288'22„-10*) 

I log sin« B, =9,798987-10 log ^ = 3,9322495.88-10 

llog c os« JB^ cos'ai . « = 8, 978446— 10 log d = 7,827319 —10 



logsec«Ä' =0,0002775.938 
log p" =5,3144251.332 



Hittelit 
(7ai«/'«licber liOgarithmen : 



log * *^ = 6,444865 - 10 
log(Bin«^i — co8*.B|C08«Oi.>) = 9;727809 —10 



log c, = 6,172674 —10. 
AndrcTMiu i«t hitimit log sin 23^ COS Ol.» = 9,689747»— 10 

iög^ = 6;;i346i2;^iöT 

Mittelst des auf Einheiten der 7. Decimalstelle reduzierten logüf >= 6,637784 
erhält man nun weiter: 

log 1^ = 3,9322496.88-10 

+ f(2>)*= +1245.32 log -3,095282 

*) h^ bezeichnet hier den S. 69 (2) zur Berechnang von q angewandten 
Hilfswinkel h. 



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§ 20. Rektifikation des Vertikalschnitts. 



177 



-m)'-- 


+ .17 


0,230-1 . 


+ Jfc» = 


— 592.09 


2,77239. 


+^©''.= 


+ 26.81 


1,4283 


^ 180 Va?/ 


+ .79 


0,895-1 


+ M^ = 


+ 4 
3,9323176.92 


0,60-2 


logfll.g>= 
in SA. 


Hu*'-' 8556,9243", 



vas mit der Berechnung auf S. 170 hinreichend übereinstimmt. 

Zahlenbeispiel II giebt im Anschlufs an S. 172 nach Formd 
(12) S. 176: 



flogi-Jtf 



fOr Einh. 



kV 



lio«© 



■■ 5,9458-10 



logg-, ' 
Jog«." _ 
log-»^= 3,2873375 



7,9729124-10 
5,3144251 



[1,8054] 
[2,2478] 



■ + 



63.9 
176.9 



Dsrch 
•ckeLog. 



[0,1549] = + 1.4 

rog/ti^«= 3,2873617 

In Sek. 

fii., = 32' 18,035". 



log (jJfd'g)- 2,4376 

I log sin* B, = 9,8472— aO 

l log(cos».BiC08*ai.») = 9,1712—10 

«- }log(sm*JBi-cos«JBiCOs«ai.2)=9,7444~10 

log sin 2-Bi cos ai., =9,8102—10 

log Jf^i— 2,1820 

log Jfc2= 2,2478 

log (üfo,^) =0,1549 

§ 20. Rektifikation des Yertikalschnitts. Für einzelne An- 
wendungen ist es erforderlich, die Beziehung zwischen den Längen 
der Sehne und des Yertikalschnitts bei kleinen BeträgJBn der Ent- 
fernung kennen zu lernen. Diese Beziehung läfst sich aber mit 
Benutzung , der S. 175 für sin /ii.2 gefandenen Formel aufstellen, 
welche lautet: 



»"'^'-'^ 2g(i-c.) u+^ir,-T^(air+^^^i 



(1) 



Hierbei erscheint fii.« als Funktion von k, B^ und «i.^. Für den 

Helm er t, mathemat. u. physik. Theorieen der höh. Oeodfttie. 12 



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1 78 ^- Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 

Zweck der Rektifikation betrachten wir nun h als Radiusvektor und 
^i s als Anomalie, mithin beide als variabel, alle andern Gröfsen als 
konstant. Zu diesen letztem zählt auch p (Argumente: Bixmdai.f), 
wäihrend c^ und c^ die Variable k als Faktor enthalten. Wir trennen 
daher von c^ und c^ (vergl. die (6) S. 174) die konstanten Teile 



S (sin'B, — 008*5, cos'ai g) 

(2) 



c. = 



1 -f- d C08* B, COS* aj 2 

d sin 25, cos a^ 2 



' 1 + ^ cos* Bj cos* Oj 2 

ab und erhalten nun aus (1), indem wir noch den Nenner (1 — c^) auf 
der rechten Seite in eine Reihe entwickeln^ sowie ein Glied 7. Ordnung, 
welches von d* k' abhängt, vernachlässigen: 

-....-f. 1 •+< © +c, ©■ - i «; (^/ + «M ■ 

Hieraus folgt mittelst der 1. Formel (2) S. 29: 

<-.-.-C^)+-Hf/+i©'+-«.(fj'+«.©'+'^(3) 

Bezeichnet 'man aber das Bogendifferential des Yertikalschnitts mit 
ds^ Bo ist nach bekannter Formel für Polarkoordinaten: 

Man hat nun durch Differentiation des Ausdrucks (3) f&r (iiit und 
durch Multiplikation mit k: 

Damit erhält man leicht: 

.«.-.K.|.+(^/+(i)*+t''.r+4.;(Ar+cc,(Jy*+oM 

und 

.'»-■"■ (>+i©'+l©'+f.©"+2c;(.'y+3e,(A/4-e<,l- 

Hieraus folgt durch Integration von k = bis k der über der Sehne 
h liegende Bogen 5i.2 des Vertikalschnitts von P^ nach Pg: 

«..-M<+-:ö'+i(Ä)'+i:,ar+^(,v*+'r'(Ä)'+«^H(4) 



^ zu den Argumenten Bi und a|., , 



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§ 20. Rektifikation des Yertikalschnitts. 179 

Um Si.2 aus k und q als Kreisbogen berechnen zu können, mufs 
man die in o, und c\ multiplizierten Glieder vernachlässigen dürfen. 
Das Maximum des ersteren, grofsem, hat auf log^i.s den Einflufs 



r«'©'. 



2 

was für k = 0,04 a^ in log Si.2 eine Einheit der 8. Decimalstelle 
ergiebt. 

Bei gleicher Genauigkeit vereinfacht sich diese Formel etwas, 
indem man anstatt q das geometrische Mittel der beiden q mit den 
Argumenten ^, und ai.« bezw. B2 und Os.t einführt 

Nennen wir diese beiden p für den Augenblick q^ und g^, so hat 
man nach S. 58 (1): 



ei 



Vi-e'rin'J, ^j _j_ ^ ^^^,^^ cos'ai.O 



_ = s L (1 -|- d cos* JBg cos* ag.i) 



(5) 



Hieraus folgt mit Bficksicht auf die Relation d = e^ :(l — e^) und 
unter Yemachlässigung von Gliedern mit d^ zunächst: 

~ = ^(l + «(1 - 1 sin* 5, - 008*^1 8in»a,.,) + •••) 

^ = i(l + d(l-| 8in»J?, - coa*B, sin*a,.x) + •.•), 
und weiter: 
-^ =-z(^8in*B2 — sin*JB,) + (cos*B2sin*a«,i— cos*5^sin*al.2)) + • 
Nach (6) S. 14d unterscheiden sich aber die Azimute ai.2 und 
<h.i von den daselbst eingeführten Azimuten ai.g und ch.i nur um 
Gröfsen der Ordnung e^ oder d. Nun ist nach dem Sinussatz im 
sphärischen Dreieck (1) S. 144: 

sin* ai . 1 cos* JB, = sin* ai . s cos* B^ , 

folglich ist sin* 02.1 cos*^^ — sin* ai . 2 cos* ^i nur eipe Gröfse der 
Ordnung d. Mit Vernachlässigung von d* wie bisher, ist daher: 

< (fj - ^) ■== I « (sin* 5, - Hin'B,) + Gl,. (6) 

Der Rest der Entwicklung rechter Hand ist als Glied 5. Ordnung 
angesetzt, da er aufser d* noch den Faktor k enthalten mufs, um 
mit k = null zu verschwinden. 

12* 



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1 80 4- Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 

Auch sin^JSg — sin^B^ enthält den Faktor k; es ist nämlich 
nach S. 167 (2) und (4) ohne Schwierigkeit zu finden^ dafs man 
setzen kann: 

sin* JBj — sin* B^ = sin B cos % 4" ^h 

und hiernach aus (6): 

•^^ - — = - -f sin 5 cos X + Gl, . (7) 

Bezeichnen wir jetzt q^q^ kurz mit q^, so ergiebt die Einführung 
von (7) in Formel (4) mit einigen weiteren leicht zu ersehenden Ver- 
nachlässigungen 

+^©*+¥'(^.)'+«M-(8) 

Die in der Parenthese vemaelilässigten Glieder 7. Ordnung hängen 
von d l- ] und ö^ (- ) ab und dürften kaum für k = 0,1 a^ in der 
9. Stelle des log5i.2 merkbar werden. 

Man kann nun mit Beibehaltung dieser Genauigkeit jedenfalls 

auch in c\ und c\ die Glieder mit d^ vernachlässigen. Die 3 letzten 

Glieder rechter Hand in (8) gehen dann, abgesehen vom Faktor k, 

wenn man noch für cos % substituiert 

• li 
cos X == cos Bi cos «1. 2 + g- sin B^ -^ Gl^, (9) 

in den Ausdruck über: 

d ir-J I — sin JB cos B^ cos ai .2 + sin B^ cos B^ cos ai.2 

— — (sinJB siaB^ — y sin*^^ + — cos* 5j cos* «1.2)} +G^- 
Es ist aber nach (2) S. 167: 

sin ^2 := sin B^ cos x + Gl^ ; 

da ferner sin ^2 + sin -Bj = 2 sin JB COS "2" ist, so erhält man mit 
Rücksicht auf (9): 

sin 5 «= sin JB. — r- cos B^ cos ai.2 -j- Gl^, 

wodurch sich der obige Ausdruck für die 3 letzten Glieder von (8) 
unter Verschwinden der Glieder 5. Ordnung reduziert auf 



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§ 20. Rektifikation des Vertikabchnitts. 



181 
(10) 



Hierbei ist a in der Bedeutung (4) S. 156 genommen. 

Der Einflufs von (10) auf log5i.2 ist itfmal so grofs und für 
k = 0,1 Gq und 0,05 a^ noch keine Einheit der 8. bezw. der 9. Decimal- 
stelle. Wir haben demnach mit Benutzung einiger weiteren leicht 
zu ersehenden Reduktionen und geringfügigen Vemachlässigungen, 
wenn zugleich der Index 1.2 von s wegbleibt: 

-xl^ + lO' + hW+o'.] 

log:J= 5,8596331 u. log ^= 5,4239 "" '^ 



der 7. Dec. , 



(11) 



Diese Formeln geben erst bei k =^ 0,05 a^ nicht mehr die 
10. Decimalstelle des Logarithmus richtig, bei k == 0,1 Aq aber 
wenigstens noch 8 Decimalen sicher. 

Zur Berechnung des in (11) auftretenden q erhält man aus (5): 



1 = ^(1 + ^ cos«B cos»a + GQ 



W 

log Q = log % — log TT— Md cos' B cos* a + Gl^ 

1 



ff^ xiim Argainent S - 



(-B. + -B,) 



-(Oi., + 03.1 -ISO"). 



(12) 



Von der Richtigkeit der 1. Formel (12) überzeugt die Ent- 
wicklang (9) S. 26, wonach offenbar 

W, TT, = T7« + Gk 

(1 + dco8»:BiC08*Oi.ji) (1 + * co8»B,co8*a2.i)= 1 + dco8*2f cos*a-\-Gl^. 

Die Gl^ sind abhängig von ^ — ^ und zwar kleine Glieder auch noch 

für die Nähe der Pole, wie a priori zu erwarten ist und durch ein- 
gehendere Betrachtung bestätigt wird. 

Die Formel (11) ist nicht nur dadurch interessant, dafs sie die 
Möglichkeit zeigt, mit grofser Annäherung die Läfige des VeriikaU 
Schnittes ans der Sehne hei geeigneter WcM von q wie die eines Kreis- 
bogens berechnen zu können; sie zeigt aufserdem, dafs die Längen 



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1 82 i' Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehuendreieck f. d. abgepl. Rotationsellipa. 

der Yertikalschnitte von P^ nach Pg und von P^ nach Pj nur um 
Glit?der sehr hoher Ordnung von einander abweichen. In welcher 
Ordnung die Differenz hervortritt^ läfst sich aus (11) noch nicht 
erkimnen; man müfste zu dem Zwecke die Entwicklungen weiter treiben. 
Dazu ist aber jetzt keine Veranlassung, umsomehr als jene Differenz 
»päter bei andrer Gelegenheit sich nebenher ergiebt. 

Schreibt man (11) in der Form log k = log 2(> + log sin — und 
beachtet die Formel (6) S. 157, so folgt 

log&io,^ =logsin y — y Jtf^^os* JBsin* 2^+ T M^JB^ (cos2P — 2sin*a) + G/g 

um\ hieraus 
log s = log {(s'q) — -g- M(^ cos* B sin^ 2a -f- \ ^«' ^^"^ (coi 2ß - »•in« a) -f- Gl^ , (i:^) 

wobei Q nach (12) zu berechnen ist und (^ sich auf das sphärische 
l)r**ieck (1) S. 144 bezieht. Berechnet man q (anstatt mit a) mit o', 
^o sind die kleinen Glieder in (13) mit denen von (3) S. 156 zu ver- 
tauschen. 

Diese "Formel (13) ist wie (6) S. 157 in der 8. Decimalstelle, 
iinabhängig von der Entfernung, nicht ganz scharf. 

§. 21. Zahlenbeispiel I, vergl. S. 170 und 176, giebt zu 
Ftinnel (11) S. 181 bei strenger Berechnung der Krümmungsradien: 

log Q - 6,8053644 f ür P = 53^ 36' 34" und a = 242« 24' 35" nach S. 163 

0,8052801 für Pi = 52 30 17 und ai.» =239 33 1 nach S. 176 
G,H 054409 für B^ = 54 42 51 und a^.i = 65 16 10; hieraus folgt 

[Qg p ^^ t>,8053605 , genau Vp,~P2 S- 180 entsprechend. 

Die Anwendung der Formel (12) S. 181 bezw. (3) S. 59 zur Be- 
retlinung der drei log q führt zu Werten, die kaum um 1 Einheit 
der 7. Decimalstelle abweichen. 

Man erhält nun zu der 3, Formel (11) S. 181: 



mit log 9 = 6,8053644 


mit 6,8053605 


log A = 8,6177402 - 10 | 8,6177441 — 10 


log k = 5,7241345.725 




5,7241345.725 


1^(2') = + 1244.840 


+ 1244.862 


ä^^(F=+ ^•''^^ 




+ 0.785 


logs= 5,7242591.350 


5,7242591.372. 



Bt?riicksichtigt man für den 2. dieser Werte die Glieder 6. Ordnung 
nach (8) S. 180 bezw. (10) S. 181, so ergiebt sich . . . 5,7242591.353. 



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§ 22. Azimatalunterschied der VertikalBchnitte. 183 

Es wird sich spater zeigen, dafs dieser Wert bis zur 10. Stelle 
incl. richtig ist Dies vorausgesetzt, findet man aus der Vei^gleichung 
mit dem 1. Wert von log s (welchen log q mit den Argumenten ß 
und a giebt), dafs derselbe auch ohne Berücksichtigung der Glieder 
6. Ordnung sehr genau ist. 

Zahleiibelspiel 11^ vergl. S. 172, giebt log q ^ 6,805 und 

log s = 5,0791748.5 + 64.0 + 0.0 = 5,0791812.5, 
welcher Wert sich spater ebenfalls bestätigen wird. 

§. 22. Azimiitalunterscliied der Yertikalsclinitte. Im Anschlufs 

an die Entwicklungen der Paragraphen 1 und 2 dieses Kapitels S. 134 u. ff. 

stellen wir die Gleichung der Yertikalebene von P^ nach P^ auf. Da 

diese letztere durch den Koordinatenanfang geht, ist ihre Gleichung 

von der Form: 

Äi + Bfi + Ct^O. (1) 

Denkt man sich die Koefficienten A, B und C bereits ermittelt, 
so dient alsdann zur Bestimmung des Azimuts al . 2 des Yertikalschnitts 
von P, nach Pj in P^ die Beziehung: 

jj 
cotai.2 = -— 2* (2) 

N 

Die Gleichung (1) wird dadurch bekannt, dafs man sie auf P^ 
und Kt (Fig. 8 S. 134) anwendet. Nach (4) S. 136 ist för P^: 



Ig = (^2 — ^1) sin J5i — {e^ — z^ cos B, 
^8 = — (^2 ~ ^1) COS -^1 — (^2 ""• ^1) sin Pi- 



(3) 



Es ist femer mit Beachtung des Umstands, dafs für K% die Koor- 
dinaten x% und y% gleich null sind: 



I2 = — a?! sin Pi — {z% — z^ cos P^ 
62 = + a?! COS Pj — {z% — JE?,) sin Pj. 



(4) 



Die Werte x^, y^ und g^ sind in (3) S. 136 angegeben; femer ist 
nach (9) S. 41: 

.z,^-^p-^.- (5) 

Man hat nun durch Anwendung von Gleichung (1) auf die Punkte 
P, und Kt'. 

Ai, + 5.J, + Cg, = 

Ali + Biji + CO = 



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I H4 4* Kapitel. I)er vertikale Schnitt a. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 



und kann hieraus die Verhältnisse (B:Ä) und (C:Ä) bestimmen. Es 
wird insbesondere: 

cotal.2 = -f = ^'f)~^H' 
und hieraus mittelst (3) und (4): 



cot al.a 



(^2 — Zj) Xi — {z\ — Zj) a?g 
y, (x, coB Bj — (af'j — z^) sin BJ 



(6) 



Wenn man hierin den Wert von /g nach (5) substituiert und ferner 
^)r ^i, x%j y% und z^ mittelst nachstehender Relationen: 



a?i —» a^y cos jBj : TTi 

^1 = ^0 (1 — O sin ^1 : W^^ 

00^=^ a^ cos jBj cos Li. 2 * W^ 
y% ■" ^0 c^s -^2 si^i ^1.2 : W^2 
jETj «= »0 (1 — ^) sin ^2 • ^2 



(7) 



(8) 



eliminiert, so ergiebt sich durch einfache Reduktionen der Ausdruck: 
cosJB^BinBj cosXj g— Bin5,C08J?i 



C0t*tl.2 = 



COB jB, sin 1/^2 



+ e«cotii 3 (^8inB,-sinB,) 




1 + c'sinJBj (.=?^8injB, — BinB,) 



(9) 



Aus di^er Formel kann man ai.2 bei gegebener geographischer 
Lage der Pimkte bestimmen. Ebenso läfst sich aus derselben im 
Verein mit derSFormel (6) S. 139 für cot «1.2 das gegenseitige Ver- 
halten der Verttkatschnitte im allgemeinen erkennen, noch einfacher 
itides geometrisch aus der Betrachtung der relativen Lage der Punkte 
Kl und Ki zur Sehne P^ P^ in Fig. 8 S. 134. Man bemerkt auf die eine 
oder andere Art leicht, dafs für nahezu diametrale Punkte die Differenz 
von »1.2 und ai.2 auf + 180^ steigen kann. Klein ist die Differenz 
im allgemeinen nur bei kleinen Entfernungen und für solche mag 
dieselbe jetzt noch dargestellt werden. 

Bezeichnen wir entsprechend dem sphärischen Dreieck (1) S. 144 



cos JBj sin Bi cob Xj g — *üi JB, cos JB, 

. mii 

co^ jB, sin L^ 2 



mit cot ai.2 



imd ferner vorübergehend 



TT. 



sin ^2 ■" W^ sin B^ mit p^ 



(10) 



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§ 22. Azimutalnntersühied der Vertikalschuitte. 185 

so ist nach (9) bezw. nach (3) S. J45: 

cota'i g + «'cotLj 2Pi«i .... 

cot ax.2 = —r—+-e^siE-B] :p^ > (11) 

cot ai.2 = cot a;.2 + ^^^i^±~Pi' (12) 

Indem wir beide Gleichungen von einander subtrahieren ; sowie unter 
AnwendoDg der Relationen: 

cot Li. 2 sin a'i.s — cot </ cos B^ = sin Bi cos al.j (13) 

und 

cos 5, sin Zi.8 ==" sin tf' sin ai.j , (14) 

welche sich auf das schon oben erwähnte sphärische Hilfsdreieck be- 
ziehen, einige Vereinfachungen Tornehmen, erhalten wir: 

cotal » — cot ai., = -^-^1-. — r^ (— 1 + ,— r-^i ^ö-|- (15) 

• ' * • ' Bin tf sin Oj 2 \ ' 1 + « Pi Qi »in Bj / "^ ^ 

Zur weitem Vereinfachung der rechten Seite dieser Gleichung 
erinnern wir an die Formeln (1) S. 140 und (9) S. 146, wonach 



gi = 1 + 4 «^ sin 2jB sin JB + Gl^ 



/i R 

Pi = 2sin — r— cos jB (1 + e* sin Bj cos B + Gl^ , 



(16) 



und 

Pi = 2sin - 2 

wenn J5 als Gröfse 1. Ordnung betrachtet wird. Hieraus folgt 

JPl^ _ ^!?J?._.-Zji? A (1 + ^2 si^ 5 ^^g £ + GO ; 

sin ff Bin ff ^ ' * 14/? 

man hat aber sin B^ = sin B^ cos ff — cos B^ sin 6' cos ai.2, womit 
der Torstehende Ausdruck für |)i : sin ^ übergeht in 

^« — ^cos£iCosai.2 + 8inBitanYJ(l + 6*sinjBiCOSjB + G^'4)- (1*^) 

Es ergiebt sich weiter mittelst der (16), wenn auch 6* als Gröfse 
1. Ordnung betrachtet wird: 

1 - g. °08« _ 28in« V - 2c» cos« B sin« ~-^Gh. (18) 

1 -f e* p, gi Bin JBj 2 2 ' * ^ ^ 

Die Gleichung (15) nimmt daher für kleine Werte von ^ die 
Form an: 

cotai.2--cotai.2 = ^^^f— ^ (cosBiCOsaia + ^sinjBj'j + 6f?j. (19) 

a Bin cV| 9 \ '' / 

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1 86 4- Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Botationsellips. 

Für sin ai.2 im Nenner darf man nun noch sin ai.s setzen^ denn 
es ist mit Rücksicht auf (12) und (14) 



CSC 



«1.2= yT + .cot* ai. 2 



= CSC ari.2l/l + 2e* cos JB, cos ai 2 -^ + c* cos'Ä -Ä-> 

und daher jedenfalls esc ai.2 = esc «1.2 (1 + Gh)} s^ lange ^ klein 
ist. Ebenso können wir mit Beibehaltung der Genauigkeit von (19) 

darin für cos' ai.2 und </ bezw. cosai.2 und — setzen. Damit wird 

€^ ä' cos B / 8 \ y 

cotal.2 — cot ai.2 = ^agsina ' (cosjBiCOsai.a + ^— sinBA + GZ^ . (20) 

Hieraus aber folgt nach (2) S. 31 unmittelbar: 
«1.2— »1.2 = — xpV^(cos*BiSin2ai.2 + 4£'^*^^"^*'»*) + ^'6- (21) 

in Sek. * <*ü ^ ^ ' 

Durch Vertauschung der IndiGes 1 und 2 folgt hieraus weiter: 

»2. 1 — «2. 1 = — TP''^^"1 (cos* jBaSin 2a2. 1 + y ^ ■in2fi,«ina,. , j -{- Gl^ . (22) 

Diese Formeln kann man noch anders und zwar einfacher schreiben, 
indem man ein mittleres Azimut und eine mittlere Breite einführt 
Es ist nämlich 

cos Bi sin ai.2 = — cos B^ sin ai.i , 

— cos B^ cos ai.2 ■= sin jBg sin d' + cos B^ 

und identisch wegen a' = -5- (a'i.2 + a'2.1) — 90®: 

— cos JBj cos B2 sin 2a' 
= cos Bi sin ai.2 . cos B^ cos ai. i + cos B^ cos ai.2 • cos jB, sin ai.i . 

Eliminiert man hieraus rechter Hand a^.i und cob B^ und beachtet, 
dafs cos B^ cos B^ = cos* B + Gh ^^t, so wird 

cos* B sin 2a' = cos* ^1 sin 2ai. 2 + 2^ <^' sin 2Bi sin ai. 2 + Gl^ . (24) 

Nun erkennt man leicl^t, dafs (21) und (22) in die folgende Gestalt 
gebracht werden können*): 



?2 COS a2.i cos o) 



*) Die Entwicklung (8) 8. 26 zeigt dies ebenfalls ohne weiteres. 



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§ 23. Flächenwinkel d. beiden Vertikalebenen u. Abstand d. Vertikalschnitte. 187 



ö|.2 — fll.2 = O2.I — 0^2.1 
iikS€k. in Sek. 



— -T 9' ^ —7 cös' B sin 2a + Gl^ 

4 Ol. 



B 

1 



(25) 



\{B,+B,) 

a = f («1.2 + 02.1- 180^). 

Hiernach ist für 

s = 0,1 «0 = 640*"* 01.2,5- 01.2 = 3,4" im Max. 
5 = 0,01 »0 = 64*"* al .2 — Ol . 2 = 0,034 im Max. 

§ 23. Fl^chenwinkel der beiden Yertikalebenen und Abstand 
der Yertikalschnltte. 

Denkt man sich K^ (Fig. 8 S. 134) einerseits auf die Vertikalebene 
von Pi nach Pg d. i. auf die Ebene P^P^K'i projiciert, sowie andrerseits 
auf die Sehne, so entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem 
der Fl'achenwinkel v als Winkel gegenüber der Projektionslinie von 
Kt auf P| Pg K[ auftritt. Die Länge dieser Linie ist K[ K^ cos Uy da 
90^ — U der Neigungswinkel der Erdaxe zur Vertikalebene P^P^K[ 
ist (Fig. 10 S. 137); dagegen ist der Abstand des Punktes K^ von 
der Sehne gleich p» cos ftt.i, wenn p« = Pg K'^ den Querkrümmungs- 
halbmesser in Pg und ^2.1 den Depressionswinkel der Sehne in P, 
bezeichnen. Man hat also, da nach (9) S. 137 cos ?7=cosPisinai.2 
ist, in Strenge: 

K\ K2 . cos jBj sin a^ ^ 



smi; 



Qn cos n^ ^ 
8. 41 (9) and S. 168 (7), sowie S. 167 (4) geben aber: 



K[ Ki = -p= (sin ßi - sin /Jg) = * k cos z 
cos X <= cos fti.g cos Bi cos ai.j -f~ sin fti.g sin B^ . 



(1) 



(2) 



Indem wir dies einsetzen, lassen wir zugleich eine Vernach- 
lässigung in Voraussetzung kleiner Distanzen eintreten: Wir setzen 
im Nenner von (1) für cos/iis.i den nahezu gleichen Wert cosfii.2. 
Nach S. 167 (4) unterscheiden sich abeiv sinfii.2 und sinfig.i nur im 
Faktor W^ also um ein Glied der 4. Ordnung. Mit Rücksicht auf die 
Reihenentwicklung cos = 1 — -r- sin* + * * i»^ daher 

. cos Hii = cos fli,2 (1 -f GQ. 

Es wird nun aus (1) erhalten: 
sin V = 5 — (cos* Bj sin 2ai.2 + tan f*i.2 sin 2Pi sin ai.g + Gl^) . (3) 



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188 ^- Kapitel. Der vertikale Schnitt a. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 

Setzen wir noch k ="s (1 + Gl^ und tan jLti.a = ^ — (1 + G^^) 

und beachten, dafs nach S. 56 (2) p« für P^ gleich p« für Pj mal 
(l -f- Gl^ ist, so folgt weiter: 

V = — o" (COS^ J?i sin 2ai.2 + T^ «^^ *^» Binaj., -f- 6r/2) 1 

in Sek. -^ Pn ^ ^« > (4) 

(i„ Qaerkrilmmangshalbmesser, ^^ KrümmangshalbmesBer im Azimut ai . , , 1 

beide für Punkt P,. j 

Wünscht man eine zu Pj und P^ symmetrische Formel, so kann 
man diese für kurze Distanzen leicht mit Rücksicht auf die Entwick- 
lung am Schlüsse des vorigen Paragraphen gewinnen. Danach ist: 

V = —q" — (cos* B sin 2a + Gl^ 

in S«k. ^ ^n 

B = i- (5i + 5,); a = 1 (ai., + «..i - 180") ^^^ 

Cn QuerkrümmungBhalbmesier fttn Argument £f. 

Hiemach ist für 

5 = 0,lao =640*"» i/ = 69" 

s«=o,oUo= 64*'"- 1/= r. 

Um von v zu ai.2 — «1.2 zu gelangen, genügt es, sich Pj als 
Zentrum einer Kugel vom Radius 1 zu denken und das sphärische 
Dreieck, welches auf deren Oberfläche von den Schnitten der beiden 
Vertikalebenen und der in P^ horizontalen Ebene gebildet wird, zu 
betrachten. Dieses Dreieck ist rechtwinklig; die beiden Katheten sind 
(«1.2 — «1.2) in der Horizontalebene und fci.2, der Depressions winkel 
in der Vertikalebene von Pj nach Pj,. Der Seite (ai.a — ai.2) liegt 
Winkel v gegenüber. Der Gotangentensatz für 4 aufeinanderfolgende 
Stücke giebt nun sofort die strenge Formel: 

tan («1.2 — «1.2) = tan v sin fti .2 • (6) 

Diese Formel giebt in Verbindung mit (1) und (2) auch das 
Vorzeichen der Differenz ai.^ — «1.2 (vergl. Fig. 8 S. 134), so lange 
man annehmen darf, dafs val. abs. v < 90® ist. 

Ohne nunmehr auf die Herleitung des bereits bekannten Aus- 
drucks für «1.2 — «1.2 bei kurzen Distanzen weiter einzugehen, be- 
nutzen wir die Formel noch zu einer Schätzung des Maximalabstandes 
der beiden VertikalschniUe von einander. 

Legt man eine Ebene rechtwinklig zur Sehne, so schneidet die- 
selbe die Oberfläche des Ellipsoids in einer Ellipse, von der ein Ab- 



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§ 24. Änderong des astaronomiBchen Azimuts mit der Höhe der Objekte. 189 

schnitt zwischen die Yertikalschnitte fällt. Da nun dieser Bogen- 
abschnitt, so lange wir eben nur kleine Entfernungen P^ P^ ins Auge 
fassen, nahezu normal zu den Yertikalschnitten liegt, kann man ihn 
als Abstand der Yertikalschnitte auffassen und als einen Kreisbogen 
berechnen, dessen Zentriwinkel v und dessen Radius der Abstand der 
Vertikalschnitte von der Sehne an der betrefifenden Stelle ist. Der 
Abstand ist somit ein Maximum, da wo dieser Radius ein Maximum 
ist, nämlich offenbar sehr nahe in der Mitte zwischen P| und P^. 

Daselbst ist der Radius näherungsweise gleich - — und also der 

Max.- Abstand = irz cos* JB sin 2a + • • • . (7) 

Hiemach ist ftir 

s = 0,1 «0 = 640*^ der Max.-Abst = 2,7"» 

s = 0,01ao= 64*^ „ Max.-Abst. = Ö^OOS"». 

§ 24. Änderung des astronomischen Azimuts und der 
Horizontalwinkel mit der Höhe der Objekte. Schon am Schlüsse 
von § 1 S. 135 wurde angedeutet, dafs die Yertikalebene von einem 
Punkte Pi, dem Standpunkte, nach einem Punkte P^, dem Objekte, 
sich etwas dreht, falls man das Objekt P^ aus der zu gründe liegen- 
den Niveaufläche, dem Rotationsellipsoid, in der Lotlinie verschiebt. 
Die Yerschiebung sei + ^i i^ach aufsen. Alsdann treten in § 2 (3) 
S. 136 zu dem Ausdrucke 



für x^ : der Zuwachs + H^ cos B^ cos Li. 2 
ftlr yg : der Zuwachs + ^2 ^^^ -^2 ^in Li . 2 
för 02 : der Zuwachs -(- H^ sin B^ , 



(1) 



denn die Projektion von JJg auf die Äquatorebene ist H^ cos JBg und 
auf die Erdaxe H^ sin B^* In § 3 (1) S. 138 ist nun zuzufügen 

für Ig : + H2 (cos JBg sin B^ cos ii.2 — - sin B^ cos B^)\ 
für 1^2 • + ^2 ^os JBg sin ii.2, J 

und es geht hiermit der Ausdruck (5) S. 139 in nachstehenden über, 
welcher daher nicht mehr die Cotangente des Azimuts Ui . 2 nach einem 
in der Niveaufläche liegenden Objekt giebt, sondern diejenige des Azimuts 
af^2 für das um H2 in der Lotlinie nach aufsen verschobene Objekt: 

/ W \ 

(cosB, biilP, coaXj ^ ^ sin^« coa^i ) (a^ + H^ W^) + a^e* cos^j ( sinB^ — -^ sin JB, j 



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190 4' Kapitel. Der Tertikaie Schnitt a. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 
Vergleicht man dies mit cotai.« nadi (5) S. 139, so findet sich, dafs: 

W7" 



cot ai .', = cot o, . , - e* *' ' - -— i,-«in T" * W 



Nach S. 184 (10), S. 185 (14) und S. 185 (17), sowie mit einigen 
leicht ersichtlichen Vernachlässigungen folgt hieraus: 

cota[% = cot Ol. 2 + e* ' f^'^ ' ^cos.BiCOsa,. «+ -^ ^ sin5, + Gl^Y (5) 

und hiermit giebt S. 31 (2): 

o',% -«.., = - 1 pV 5 (cos'I?, sin2a?.'2 + | ^ ^". -".<*'. +««.). 1 /6^ 

ff^ die Höhe des Objekts Aber dem BotoUonselUpsoid. J 

Es ist demnach für 



IT, = 640» 


oi*'*-ai., = 0,069" im Max. 


Ä, = 1280 


Ol*'« — «1.2 = 0,14 im Max. 


fi, = 1920 


Ol*'» — Ol 2 = 0,21 im Max 



Wahrend nun (vergl. S. 135) die Hohe des Standpunkts über 
dem EUipsoid das Azimut und damit die Horizontalwinkel nicht be- 
eiTiiiurst, zeigt Vorstehendes, dafs die Höhe der Objekte von nicht 
unbeträchtlichem Einflüsse sein kann. Der Betrag von s ist dabei 
insofern es sich in der Praxis um gegenseitig sichtbare Punkte allein 
handelt, ziemlich einfiufslos. 

§ 25. Der Sinussatz fUr Sehnen und HorizontalwinkeL Um 

ein Dreiecksnetz von einer direkt gemessenen Grundlinie aus in 
seinen einzelnen Seimen berechnen zu können, bedarf es wie bei der 
Kugel einer Reduktion der gemessenen Horizontalwinkel auf Sehnen- 
wiukel nicht; man kann vielmehr direkt mit den Horizontalwinkeln 
rechnen. 

Wir nennen im Sehnendreieck die Seiten ü, b, t und die in den 
Ecken Aj jB, C oder 1, 2, 3 gegenüberliegenden Winkel 31, Ä, <tt, 
weichen letzteren die Horizontalwinkel -4, B, C entsprechen. Unsere 
Aufgabe ist es nun, aus der Gleichung 

a : b = sin 31 : sin 4 (1) 

% und 4 mit Hilfe der Horizontalwinkel zu eliminieren. Der Ein- 
fachheit halber setzen wir voraus, dafs die Winkel 31; 4, C im Innern 



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§25. Der SinuBsatz für Sehnen und Horizontalwinkel. 191 

des Sehnendreiecks gezählt werden und entsprechend die A, B, C, 
diese Winkel somit < 180® sind. 

Die Dreiecksseiten ü, bj t nehmen wir klein und im Verhältnis 
zu a^ als Gröfsen 1. Ordnung ^ entsprechend der beabsichtigten An- 
wendung auf ein beobachtetes Dreiecksnetz. 

Betrachten wir jetzt das sphärische 
Dreieck, welches die Vertikalebenen 
Ton A nach B und C und die Drei- 
ecksebene auf einer Kugel, welche A T*ffj,a f\^ii 
zum Zentrum hat/ bildeu (Fig. 11); 
so ist 

nn Ä »in Xi.j "** Zi.s Fig. n. Kagel mit Ecke A als Zentrum. 

Hierin sind die % die Neigungswinkel der Vertikalebenen zur Dreiecks- 
ebene in dem in *der Figur angegebenen Sinne. Durch cyklische 
Fertauschung der Indices findet sich aus (2): 




(3) 

(4) 



BinJB sin Xj.j ~ wn Xi.i 

flinC ^ coa ftg g ^ cos ft3 I 
sinC sinxa.i »iaZs.s 

Hiermit giebt die Gleichung (1): 

sin B . sin J. 

Wird dies mit der aus Qleichung (4) folgenden Relation 

cos fts.8 sin xs.8= cos fts.i sin ;t3.i (5) 

Seite för Seite multipliziert, so folgt: 

■"^ Xs 2 •. ' A "** 's 1 

Ä cos fig.i cos lis s sin JB = h cos ui.i cos fis. i sm A -r- — '- • (6) 

"*^Z2.8 ' ®*"*1.S 

Bei der weitem Umformung dieser Gleichung genügt es, zunächst die 
i^kte Seite allein zu betrachten, indem beide Seiten durch Ver- 
tauschung von ü und b, Index 1 und 2, u. s. t. in einander über- 
geftllurt werden können. 
Wir setzen nun 

Zs.i«=xi.8 — n, (7) 

wobei Vb den Plächenwinkel der beiden an der Sehne h liegenden 
Tertikaischnitte bedeutet; dann ist: 



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192 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sebnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellipe. 
b sin Ä —. ^ = k sin -4. cos n — b sin ^ sin n cot xi.s. (8) 

81^ Xl . 3 

Um nun für xi.9 einen Wert zu erhalten, legen wir vom Mittel- 
punkt Ml des dem Sehnendreieck (Fig. 12) umschriebeneil Kreises 

eine Ebene normal zur Sehne b und kon- 
struieren in derselben ein bei M^ recht- 
winkliges Dreieck. Die Seiten desselben 
sind Jf, Qy ferner eine Normale M^ M^ zu 
der Sehnendreiecksebene und eine Normale 
QM2 zur Sehne b, welche Normale zugleich 
in der Vertikalebene von A nach C liegt. 
Dann ist der Winkel bei Q gleich 180^— ;ki,3 
und 




Fig. 12. 



COSX1.3 = — 






Für Jtfj Q ist - b cot 4 zu setzen, für Q M^ aber, wenn wir statt des 
Ellipsoids uns eine Kugel vom Radius a^ (1 + Gl^) durch ABC gelegt 
denken, einfach a^. Hiermit wird allerdings cos;ti.3 nicht in aller 
Strenge erhalten, jedenfalls aber bis auf ein Glied von der Ordnung e* - 

genau, worin k eine mittlere Sehnenlänge bezeichnet. Denn die Nor- 
malen des EUipsoids und der passend gewählten Kugel werden nur 
höchstens um Glieder dieser Ordnung von einander abweichen (wie die 
Betrachtung des Ausdrucks für den Krümmungsradius zeigt), nur um 
ebensoviel aber auch die Winkel x und ihre Cosinus für Ellipsoid 
und Kugel. Es ist also 



cos,.3=-'^^(l+Gg. 



(9) 



Führen wir für cos ^i.s in der Gleichung (8) den erhaltenen 
Wert (9) ein, setzen zugleich nach (2) sin ^ = sin 31 sin ;ti.s sec ^1.2, 
sowie für b sin 31 den gleichwertigen Ausdruck a sin Ä, so folgt: 

^ ^'^ ^ ßi^-^j"*^!«^^^ «öS n+ 2^ sinncos«sec/ti.2 + 01,^ (10) 

Die Vertauschung von a und b, der Indices 1 und 2, u. s. w. 
giebt hieraus für die linke Seite der Gleichung (6): 

. -jj ^^^ Xs 2 ( h 1 

X^.2 =Z2.3 — Va^ 



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§ 26. Forisetzong. Sinnssatz zar Dreiecksberechnong. 193 

Die Gleichung (6) läfst sich mit Benutzung vorstehender Um- 
formungen nunmehr in die Form bringen: 

alcos ft2.i cos |[is.2 cos v« siu JB — — cos fis.i sin n cos Ä + (rJg} 
= b|cos fti.2 cos fia.i cos i/6 sin -4 — — cos fis.a sin Va cos 31+ GZj|-(12) 

Hierin ist zu setzen nach (4) S. 188 und mit Bestimmung der 
VorEeichen nach Mafsgabe von (7) und (11), wobei man beachten 
kann, dafs das Innere des Sehnendreiecks (Fig. 12) rechter Hand 
liegt, wenn man die Peripherie übt durchläuft: 



V« «= — ^"^(ö"^ COS*JBs sin 2as.8 +^tin2Ä.ilna,.,\ -j- 



Gk 



in Sek. 



Vb = + p"*(5rr- cos'Bg sin.2a8.i + ^•toiÄ.iina...) + Gl^. 

in Sek. \^*^ ^ / 

Schreiben wir nun die Gleichung (12) wie folgt: 



(13) 



^ ÄaA sini'^cosf»^ gsecft^ 2^®^f^s.i^®cy^co8)X«|-6r{0 C0B(i^ ^cosfi^^ ^^osp^ 

*^ , 

ainB ^-sinv^cosfi^ jBec/^g ^860^3 gseci'^coBÄ+Cria ^^^sfij ^cosfig^cosy^ 

80 können wir hierin mit Rücksicht darauf, dafs im Zähler und 
Nenner bereits Glieder 6. Ordnung vernachlässigt und auch i/« und n 
nur bis auf Glieder 5. Ordnung entwickelt sind, für cos )2l, welches 
gleich 

sin fii.2 sin fit.s + ^^^ f^i-2 ^^^ f^i-s cos Ä 

ist, einfach cos Ä setzen und entsprechend für cos fi einfach cos B, 
da dies nur Fehler 6. Ordnung im Zähler und Nenner erzeugt. Femer 
können wir mit gleichem Recht die Cosinus- und Secantenfaktoren 
von cos % und cos 4 gleich 1 und ebenso im letzten Teil von (14) 
cos vj a= 1 = cos Va nehmen. Hiermit erhält man aus dem Ausdruck (14) : 

^ sin B-co8B.JLr, + <y?a '""'*»•« '""'*«•*' 

§ 26. Forteetznng. Sinnssatz zur Vreiecksbereclinang. Nach 
a 174 (1) und (2) hat man: 

sin fis.i « — TTj (l + e^ cos*^s cos*as.i + |^ sin 2B^ cos az.i) + Gl^ 

oder unter Einführung des Erümmungsmafses für Punkt C mit der 
geographischen Breite B^ nach S. 59 § 15: 

Helmert, mathem. u. phytikftl. Theorieen der höh.'Oeodfttie. 13 



,(14) 



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I 1 94 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt a. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. RotationBellips. 

■ sin^3.i=— >/^(l + |e*cos*.BsC08 2as.i + |^8in2B8C08a9.i)+6rZ5. 

Setzt man nun vorstehenden Ausdruck für sin/i3.i in die Reihe 
cos = 1 — ~ sin* — ^ sin*-'-, so erhält man für cos us.i nach einiger 
Reduktion: 
cos (ist - (l- l^iT, - -^ Kl) 

1 — g-j co8*Bs cos 2ös.i — g^ sin 2^3 cos Os.ij + Gl^. (1) 
Die Vertauschung der Indices 1 and 2, u. s. w., gieht hieraus: 
I cos fi,., = (l ~ ^ir, - j|^ IT,') 

^ X (l - ^* cos« ^3 cos 2a3. 2 - ^' sin 2-Bs cos (h.f) + Gl^. (2) 

Bestimmt man in gleicher Weise cos fis.i und cos fii.s, so sieht man 
leicht, dafs 

008 tt« o #< r^ 

— !^ = 1 - ^ [cos* 5, cos 2o,., — cos» JB, cos 2a,.,] + Gl,. (3) 

COS ^a I ^^0 

Um diese Formel zu vereinfachen, benutzen wir die Relationen 
(23) S. 186: 

cos Bi sin ai.8 = — fos jBj sin ai .1 
— cos JBi cos ai.2 = sin B2 sin ^ + ^^s Jffj cos oi. 1 cos ö'. 

Hieraus folgt mit RQcksicht auf S. 148 (6): 

cos JB, sin ai.2 = — cos B^ sin 02.1 + öij , 

cos i?i cos ai.2 = — cos B^ cos Oa.i sin JSj + Gl^ 

und 

cos* B^ cos 2ai.2 = cos* jBg cos 2a2.i H sin 25, cos 02.1 + Gl^, (5) 

womit (3) übergeht in: 

Zur Umformung des aus (1) und (2) zu bildenden Quotienten 
betrachten wir zunächst den Quotienten: 



(4) 



1 — - k» — L j|4 _ . . . 



i "^^ ' W 

1 — -Ü^ Ü* 

8 » 128 ^ 



worin bj und a, bezw. bj/iCs : Oq und üYK^ : Aq bezeichnen. 

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§ 26. FortseiKUDg. Sianssatz zar Dreiecksberechnung. 195 

Die Multiplikation mit (l -| — * — ^ "" M im Zähler und Nenner 

hieraus mit gleicher Genauigkeit^ nämlich bis auf Glieder 
6. Ordnung: 

1 j. «?rÜL? -11 _ g? + 2i^?-r? . , . ^ 

* 16 128 ^^ ~ 



~ 16 128 > "" 



(8) 



Es ist nun ü] — kj — Cj «= — 2kiri cos 31 oder, wenn man sich der 
Beziehung von cosÄ zu cos J. erinnert (vergl. S. 193): 

Hierin setzen wir noch zur Abkürzung: 

i k,f, sin ^(l + !«?)-= Ca. (9) 

Es wird damit (ohne dafs in den Gliedern 6. Ordnung bedenkliche 
Faktoren auftreten): 

t]-b\-t] 4.,cot^(l-''+''/+'')-|b?C? + G^c 

oder 

,]-b\-C\ 4e. cot Ä-lhlt]- W-*'f-t?)(nn*'nt?) ^ ^^^. 

Hiermit ergiebt sich für den Zähler von (8): 
l-\e.coiÄ + ^^(-n\-h\ + t\-a\b]-t\b]) + Gk. (10) 

Durch Yertauschung von ü^ und h^ folgt aus diesem Ausdruck der 
Nenner gleich: 

l-{*»cotB + 4(-«t-K+Cj-ttJI.J-Cj«?) + öie, (11) 

wobei gesetzt ist: 

^fl,C.8ini?(l + |kj) = «». (12) 

Man bemerkt leicht, dafs die identischen Glieder 4. Ordnung im 
Zähler und Nenner weggelassen werden können und dafs dafür 
fj(aj+kj — Cj):256 zugesetzt werden darf, weil dies nur einen kleinen 
Fehler 6. Ordnung giebt. Der Ausdruck (7) bezw. (8) geht alsdann 
über m: 

1 ^ i p cot 4 fl + -?*_) 

i 7 72h + Gh' (1^) 

1 —ia. cot5 (1 +-^) 
4 '^ \ ^ 16a.2/ 



n' 



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196 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sefanendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 

Es läfst sich aber auch noch zeigen^ dafs Sa und et bis auf Glieder 
6. Ordnung übereinstimmen. Nach (2) S. 191 ist nämlich zunächst: 

sin J. s= sin ;3l sin xi.a sec fii.s = sin 31 sin Xi.2 (l + g^ '^i) "I" ^^*' 

Hiermit wird erhalten fiir Ba und sodann durch gehörige Yertauschung 

för Sf,: 

«- = I K^i sin 31 (l + ?^4^) sin ;ci.2 + Gl, 

*» -* J «1^1 sii^ « (l + ^^4^) sin Z2.1 + 6i,. 

Da by sin 31 = fii sin 4 ist, stimmen beide Ausdrücke bis auf sin x 
überein. Nun ist, wenn Xi.i "= Xi.i — Vc gesetzt wird: 

sin xi,i = sin Xi.i cos Vc + cos jj2.i sin Ve] 

der Unterschied der ;( erzeugt daher hauptsächlich das anscheinend 
die 5. Ordnung habende Glied: 

2 1^1 ^i^c sin 31 cos Xft.u 

Setzt man aber hierin für t^ sin 31 den gleichen Wert a^ sin C, so 
ist aus (9) S. 192 leicht zu entnehmen, dafs sin C cos x^.i nahe gleich 

y— ^ ti cos dj wird und da Ve die 3. Ordnung hat, ist demnach 

auch jener Unterschied von der 6. Ordnung. 

Somit ist zu (13), indem wir €a und s^ nunmehr mit £3 bezeichnen: 



in Sek. 



Setzt man endlich alles in die Gleichung (15) des vorigen Para- 
graphen ein, so resultiert: 

Bin ii — 008 -4 1^ (1 + 7^) + 2A- •'a ) + Gh 
¥ = 77-7 i^rr 5 1 ^ (10) 



||2 US 

5— T e* cos' Ä cos 203. 2 — ^^r ^ cos* JB. cos 2a8 1 

a« b* c* 

+ 5 — jt^tlnÄBiCOBa,.«— t-— Te*iin2fl,coia,.,+ - — -«»singÄßCOiOe + Olj 

OOo' öOo" OOo 



logJ'=Jlf 

■B. = 4-(-Bi + -B2) o. = |(oi.« + O2.i±180'') 



(16) 



wie daioeiiig« toh coi a,.^. 



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§ 27. Der SinusBatz. 



197 



Multipliziert man die rechte Seite von (15) im Zähler und 
Nenner noch mit (l — öo^J)» so erhält man endlich: 



Ir 



-(^-T(^ + r&)-ÄM+^'- 



.(B-ü(.+ 






So, 



»)+GI. 



(17) 



§ 27. Der Sinussatz lautet nach den Entwicklungen der beiden 
letzten Paragraphen^ wenn man noch Glieder 5. Ordnung vernach- 
lässigt: 






(^-|0 + r£?) + ^'w"^"^^"^''-l + 



GL 



8in 






cos'J^o Bin 2 a, j 



]+oh 



F 



(1) 



das 



g^ cos* Bq cos 2^8. » — g^ cos* JBo cos 2a3. 1 + G^igj 

Hierin ist B^ eine mittlere Breite des Dreiecks und K^ : a\ 
zugehörige Erümmungsmafs. Für Os.s und 03.1 kann ein mittleres 
Azimut der betreffenden Seiten eingeführt werden. 

Man hat aufserdem zu beachten, dafs in der 1. Formel (1) die in 
e* multiplizierten Glieider das Vorzeichen -(- für die von links nach 
rechts im Dreieckscontour nachfolgende Seite a, dagegen — für die 
Torangehende Seite b haben. Dagegen ist es nicht notig, wie bisher 
angenommen, sich auf Winkel < 180^ zu beschränken; es genügt 
vielmehr, die Winkel allgemein nach (1) S. 71 zu bestimmen. Dies 
ergiebt sich daraus, dafs die (1) oben noch denselben Wert für das 
Verhältnis ll:il ergeben, wenn man lt als die-b vorangehende Seite 
aufFafst und demgemäfs A und B mit ihren Supplementen zu 360^ 
vertauscht. In log F korrespondieren die Vorzeichen mit log a — log fc. 

Die Formeln für b : C und t : fi gehen aus den (1) durch cyUische 
Vertauschung der Stücke des Dreiecks hervor, dabei behalten B^, Kq 
und (wie man leicht sieht) auch e ihre Werte. 

Setzt man 6* «» null, so geht die (auf b und t bezogene) 
1. Formel (1) in die Formel (6) S. 108 über. Zugleich bedeutet alsdann 
i den sphärischen Excefs (eventuell — 720^). Die Frage, ob auch 
jetzt € = Ä + B + C -- 180« (ejentuell — 720«) bis auf Glieder 
5. Ordnung ist, bleibt vorläufig noch eine offene. 

Wir gehen jetzt dazu über, den Einflufs von e^ auf den Aus- 
druck für a : b zu erörtern. 



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198 4- Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Botationsellips. 

Zunächst zeigt sich^ dafs die von ^ unabhängigen Glieder 
4. Ordnung selbst für Dreiecksseiten gleich 0,1 a^ gegen die von e* 
abhängigen Glieder erheblich zurücktreten. 

Von den in e* multiplizierten Gliedern nun sind die mit A und B 
kombinierten am einflufsreichsten, sobald cot A und bezw. cot B 

gröfser als -r- sind, denn alsdann beträgt der Einfiufs eines dieser 

Glieder auf den log ^, wenn k die Sehnen it und b bezeichnet, mehr 

als M. • r-^ ^ und dies ist augenscheinlich das Maximum des Ein- 

fiusses eines der Glieder mit ^ in log F. 

Für wohlgeformte Dreiecke, also solche, die von der gleich- 
seitigen oder rechtwinkligen Form nicht erheblich abweichen, kann 
man die Cotangente der betrefifenden Winkel rund gleich 1 setzen. 
Alsdann ist der Einfiufs eines der Glieder 4. Ordnung, welche ^ 
enthalten, im Maximum bei k «= 0,02 «^ gleich 3 Einheiten der 7. Deci- 
malstelle des Logarithmus und bei ka»0,01ao gleich 7 Einheiten 
der 8. Decimalstelle. Er vermindert sich aber sehr für den Fall, dafs 
das Dreieck entfernt vom Äquator liegt. 

Der Einfiufs dieser Glieder ist somit nur erheblich, wenn man 
die Seiten einer Dreieckskette von durchschnittlich 64*^ Sehnenlänge 
einfach nach dem (rncner^schen Satze mittelst Sziffriger Logarithmen 
ermittelt. Die Vernachlässigung bewirkt, dafs die von einem Anfangs- 
punkte aus berechneten geographischen Positionen auf verschiedenen 
Wegen durch das Sehnenpolygon hindurch in der 4. Decimale der 
Sekunden um einige Einheiten verschieden erhalten werden. 

Hierbei ist der Umstand günstig, dafs l^ne AtMiufung der 
Glieder entsteht bei der successiven Berechnung von u', a", ä'" u. s. w. 
2 in einer Kette von der Form der Fig. 13, die also näherungs- 
weise sich aus Parallelogrammen bildet, — weil in dem Aus- 
druck (y . -rj (^ • 5^) • • • <^ßr Einfiufs für jede Parenthese 

nahezu null wird. Man wird dies leicht erkennen, wenn 
man die 1. Parenthese, die zum Viereck 1. 2. 3. 4 ge- 
hört, betrachtet und die Formeln (1) darauf anwendet, 
dabei aber erwägt, dafs nicht nur tt und k, sondern 
auch a' und k von links nach rechts auf einander folgende 
Seiten sind, und schliefslich annimmt, dafs ti und a', bezw. 
Fig. 13. ' ^ ^^^ ^ nahezu parallel seien. 

(Die in den v und F enthaltenen Glieder 5. Ordnung 
kompensieren sich dagegen bei Berechnung einer Dreieckskette im 
allgemeinen nicht wesentlich; sie sind aber für mefsbare Dreiecke 




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§ 27. Der Sinusaats. 199 

überaus klein^ wie leicht za ersehen^ sodafs eine Anhäufung nicht sobald 
merkbar wird.) 

Die Länge der ganzen Kette wird nach dem Vorigen in ihrem 
Logarithmus nur gerade so viel wie die t oder h beeinflufst. 

Untersucht man nun noch, wie sich für sehr spitze oder stumpfe 

Dreiecke der Einflufs der in Rede stehenden Glieder auf log y ge- 
staltet, so ist sofort ersichtlich, dafs er weit mehr als für wohl- 
geformte Dreiecke ausmachen kann. Immerhin ist in Sekunden ge- 
nommen und wenn man von ungewöhnlich grofsen mefsbaren Dreiecken 
absieht, also k < 0,01^0 setzt, der Betrag der zu Ä und B tretenden, 
Yon €^ abhängigen Glieder 4. Ordnung nur einige Hundertstelsekunden, 
also weit geringer als derjenige der Beobachtungsfehler. Da man 
aber dergleichen Dreiecke nur anwendet bei der Aufstellung der 
Seitengleichungen*) in Verbindung mit wohlgeformten Dreiecken 
behufs Ausgleichung der Winkelmessungen, so wird voraussichtlich 
auch hier der schliefsliche Einflufs der Glieder auf den oben be- 
rechneten Betrag herabgedrückt * 

Die weitläufige strenge Untersuchung darüber, wie sich nach er- 
folgter Ausgleichung der Einflufs der Glieder gestaltet, müssen wir uns 
hier versagen. Es sei nur bemerkt, dafs in Vierecken von nahezu parallelo- 
grammformiger Gestalt wie 1. 2. 3. 4 Fig. 13 die Seitengleichungen 
von den Gliedern mit e* nicht wesentlich beeinflufst werden. Denn 
die Seitengleichung läuft in jeder Form auf die Gleichsetzung der 
beiden Werte für das Verhältnis ü : ü' hinaus, welche mit Hilfe der 
beiden Diagonalen sich berechnen. Für jeden dieser Werte ist aber, 
wie oben bemerkt, der Einflufs nahezu null, falls ti gleich und 
parallel ti' ist. 

Nicht onerw&hnt wollen wir lassen , dafs die' Form des Ausdrncks für 
ü : b die Unmöglichkeit andeutet, ein Sehnendreieck eines Rotations- 
ellipsoids allgemein als Engelsehnendreieck bei gehöriger Redaktion der 
Horizontalwinkel za berechnen. Dies bestätigt auch der Versuch, wenn man 
mittelst der Formel cos Ä=^ — tan ft^ ^ ^^ i'^i s "^ ^^^ ^i s ^^^ i'^i s ^^^ *^ 
zon&chst cos Ä nach Potenzen von e* darstellt und als Aasgangswerte für 
1»^ 2 ™^<^ f^i.8 Werte, die einer Engel mit dem Radius {a^ : VK^ ) ent- 
sprechen, einfahrt Gehört zu diesen Aasgangswerten der Horizontalwinkel 
A\ so ist es eben nicht möglich, ans cos Ä — cos Ä eine allgemein für 
jedes A gültige Formel abzuleiten, welche A — A' giebt. Ursache ist, 
dafs für sehr stumpfe Dreiecke der Radius des umschriebenen Ereises 
gröfser als {a^iyK^) werden kann. Es lälst sich dann das Dreieck auf 
der gewählten Engel gar nicht unterbringen. 

*) Die Seitengleichungen heifsen jetzt besser Sehnengleichungen, Sie bilden 
■ich auf dieselbe Art wie in sphärischen Figuren. Vergl. dazu Verfassers Aus- 
gleidiungsrechnung S. 323 u. ff. 



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200 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt o. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 



§ 28. Zahlenbeispiel m. Bremiker leitet in seinen Studien . . . 
S. 17 und 28 aus den geographischen Positionen dreier Orte die nach- 
stehenden Horizontal winke! und Sehnen eines Dreiecks ab: 



Azimut a. 



Horizontal Winkel. 



log k in Metern. 



Berlin 



K 
W 



(W 
Königsberg | ^ 



Wien 



B 
K 



239» 33' 0,9324" 
334 52 5,5837 
23 11 41,9353 
65 16 9,5806 
157 10 6,9817 
199 58 13,8865 



95» 19' 4,6513" 
42 4 27,6453 
42 48 6,9048 



log JäT TT =5,8905264.742 



log WB = 5,7180944.366 



log BK •= 5,7241345.725 



Sununa — 180^» 11' 39,2014' 





Geographische Breite. 


Länge. 


Berlin 


52» 30' 16,7" 


0» 0' 0" 


Königsberg 


54 42 5p,6 


7 6 

»•tUoh 


Wien 


48 12 35,5 


2 59 6 

»•tUoh 



Biese Zahlen entsprechen den BremiJcerschen Angaben nicht f&r 
die Linie BK, wof&r die Angaben des Zahlenbeispiels I S. 158 ein- 
geführt wurden. Aufserdem ist log WB gegen Bremikers Angabe 
um 28 Einheiten der 10. Stelle vermindert. Nachgerechnet und über- 
einstimmend gefunden sind log K W und die Differenzen der End- 
aximute für jede der beiden Linien WB und KW. 

Indem wir die Bezeichnungen unsrer Formeln einführen, setzen wir: 



og fl = 5,7180944.4 


^ = 42» 4' 27,645" 


B, = 54» 43' 


Königsb. = A 


og b = 5,7241345.7 


5 = 4248 6,905 


B, = 48 13 


Wien =B 


og t = 5,8905264.7 


C = 9519 4,651 


B, = 52 30 


BerUn = C 


«3., = 334» 52' 




log 8^ = 2,125-10 


Für 


„3, = 239 33 


logg = 8,927-20 


log-^'^==9,9bO-20 


F.inh 
der 


rt,.i = 199 58 


log 


fg= 1,821-30 


1 J"^«' Ol 

1*»8 8«^=3,1 


45—20 


T.Dec. 



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§ 28. ZahlenbeiBpiel III. 201 

Bei der Berechnung von log -^ berücksichtigen wir auch die 

hier wegen der ungewöhnlichen Gröfse des Dreiecks sehr merklichen 
Glieder 5. Ordnung. 

Zunächst ist s nach Formel (14) 8. 196 zu berechnen. Dazu 
hat man mittelst log W fürs Argument B^ nach (3) S. 59 § 14: 

log Jr3 = 9,999252— 10 

und hieraus mittelst der 1. Formel (14): 

(log (I p" ^ A3 sin a) = 2,844159 



log «3 = 2,844524 s^ — 699,076". 

in Sek. 

Dasselbe giebt die Rechnung mit üt nach der 2. Formel (14). Mit 
diesem Wert von «3 wird nun y = 174,769" 



+ 5li^- + 0>163j 



Man hat weiter zur Berechnung der von va und Vb abhängigen 
Glieder nach den Formeln (13) S. 193: 

log sin 203.2 = 9,886.-10 1 log sin «3. 2 = 9.628« - 10 i log cos* JB3 = 9,569- 10 
log sin 2a9. 1 =" 9,941 — 10 \ log sin 03. 1 = 9.936„ - 10 ^ log sin 2B^ = 9,985— 10 

und hieraus zu Formel (17) S. 197: 

+ (1^'' sin 2^3) a» sin a,. 2 = - 0,658" — 0,039" 

- 2«; ^* ^ - (1^ ^^«' ^«) ^' «^ 2a3.i 

- (1 J"' sin 2^3) b« sin «3.1 0,768" + 0,083". 

Es ist daher 

H ^ ^in (42° 4' 27,645" — 2' 54,932" — 0,697'') ^ 
b ™ ^in (42° 48'~6,'9Ö5" - 2'~54,932" — 0,685") ' 

und also 

log Ä - log b = 9,8257259.7 — 9,8317680.2 -f- log F. 



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202 1. Kapitel. Der vertikale Schnitt n. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationaellips. 
Für logF hat man nach Formd (16) S. 196: 



logcos2^3.2 = 9,806 —10 
logcos^oj. i = 9,687n— 10 



log cos as. 2=9,957 —10 
logcosa3.i=9,705n— 10 



logcosac =9,969—10 
logsin2Bc =9,989— 10 



+ [y\ COS*Bs j tl*C0S 2a8.2 = + 5.77 Elnh. d. 7. Dec 



cos» ^3 ) b* cos 208. 1 = + 4.51 

+ (^' sin 2^3)0« cos 03.2 -+ 1.74 
- (^ sin 2^3) b^ cos 03.1 = + 1.02 






sm 



cos 03.1 
t* cos Oc 



+ 5.95 



hiermit ist: 



logF= + 19.0; 



log a — log b = 9,9939598.5-10, 



bis auf 1 Einheit mit den Angaben Bremikers übereinstimmend. 

Vertauscht man in den Formeln übt mit btü, 1.2.3 mit 2.3.1, 
u. s. f., so erhält man die Formeln zur Berechnung von b:r. Die 
Rechnung giebt hier: 

A = sin (42 ^ 48' 6,906 " — [2^ 54, 683 '' + 0,078''] + [0,604" + 0,086"]) „ 
t sin (95^ 19' 4,661" — [2' 54,683" + 0,073"] — [1,239" + 0,1 16" j) ^ 

log b - log c = 9,8317715.5 - 9,9981609.9 + log F 

logF= (- 5.43 — 12.42) -f- (0.78 - 5.69 — 1.79) = - 24.5 Binh. a. 7. Dec. , 

somit: 

log b - log c = 9,8336081.1 — 10, 

das ist nur um 1 Einheit der 8. Decimalstelle zu grofs gegen Bremikers 
Angabe; eine in der That genügende Übereinstimmung, weil die ver- 
nachlässigten Glieder 6. Ordnung recht wohl die 8. Decimale ein 
wenig beeinflussen können. 

§ 29. Die Summe der Horizontalwinkel fiber einem Sehnen- 
dreieck. 

Wir denken uns um den Mittelpunkt des Rotationsellipsoids eine 
konzentrische Kugel gelegt und alle Vertikalen des Ellipsoids parallel 
in den Mittelpunkt verschoben. 

Dann entsprechen den 3 Punkten A, B, C des Ellipsoids 3 
Punkte A'y B", C der Kugel mit denselben geographischen Breiten 
und Längen. 



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§ 29. Die Summe der Horizontalwinkel über einem Sehnendreieck. 203 

Bezeichnet man die Azimute der Yertikalschnitte auf der Kugel 
mit einem \ so ist nun nach S. 151 (4) für ein Sehnendreieck, 
dessen Seiten im Verhältnis zu a^ Gröfsen 1. Ordnung sind: 



«2.1 — Ö1.2 ' 

öl. 3 — ßs.i ' 

«3.« — «2.3 



«i.i — »1.2 + Gl-i 
a'i.s — «8.1 + G/j 

0^.2 — «2.8 + Giy. 



(1) 



A = «1.8 fl^l.2 


AI = a'i.3 — «1.2 


^ = Ö2.1 — «2.3 


JB' = oi.i — oi.s 


(7=08.2 — Os.l 


C =«^.2 — «3.1, 



Die Glieder 7. Ordnung hängen ab von der 4. Potenz der Excen- 
tricitat e und der 3. Potenz der Entfernung und geben für Seiten- 
langen = 0,2 «0 erst wenige Tausendstelsekunden, für Seitenlängen 
= 0,laQ aber nur wenige Zehntausendstelsekunden. 

Addiert man die (1) Seite für Seite und bedenkt^ dafs die Hori- 
zontalwinkel auf dem Ellipsoid und der Kugel bestimmt werden durch 
die Gleichungen: 



(2) 



so ergiebt sich sofort die bemerkenswerte Gleichung: 

^ + £ + C= ^' -f J?' + G' + (^i^. (3) 

Nennen ^wir (-4 + JB + C — 180^) den Bxcefs der Horizontalwinkel- 
summe des Sehnendreiecks, so ist mithin innerhalb der angegebenen 
Grenzen und der angegebenen Genauigkeit: 

der Excefs der HarizonMwinkelsumme des Sehnendreiecks gleich 

dem Excefs des Kttgeldreiecks. 

Der Radius der Kugel ist hierbei gleichgültig; man wird aber 
aus andern Gründen am besten dafür a^ : ]/^ nehmen, wobei Kq zu 



^n 



{B, + B, + B,) 



gehört und nach S. 59 aus der Formel folgt: 

(1 — e« 8in»B„)« 



Ko 



Wo* 



1 -«' 



(4) 



(5) 



Mit Hilfe dieses Radius und der in den §§ 7 bis 11 dieses 
Kapitels angegebenen Formeln kann man aus den Stücken des Sehnen- 
dreiecks auf dem Ellipsoid diejenigen des Dreiecks auf der Eugel er- 
mitteln, d. h. ä', V, t'y Ä\ B!j C\ Es genügt dabei vollkommen, nur 
die Glieder bis zur 5. Ordnung zu berücksichtigen, um schliefslich 
den Excefs bis auf Glieder 6. Ordnung zu erhalten. 



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204 i- KapiteL Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendieieckf. d. abgepLRotatioiisellips. 

Nach § 10 S. 155 ist insbesondere für die Sehne zwischen B 
und C: 

a = 2sin -"^lj-^=^iLr^:(l _ c« + c*co8«B„co8*a<.+ Gij}, (6) 

-Ba = Y (ß, + B,), aa = ~ («,., + «s.« ± 180»), (7) 

wobei es ■ gleichgültig ist, ob man rechter Hand mit den Azimuten 
auf der Kugel oder dem Ellipsoid rechnet, weil diese nur um kleine 
Glieder 2. Ordnung von einander abweichen. 

Andrerseits hat man für die Sehne zwischen B' und C: 



ff< 



2.3 a« 



a' = 2sin-^-^ = 28in 



*4.3 ao/l 



2 Yx- ""'" 2 l-c*8in«-Bo' 
und es ist daher: 

oder in weiterer Entwicklung: 

^ = 1 + y c«co8«£aCos2aa+ e*(8in* JBo— sin^-Ba) + Gl^. (8) 

Es ergiebt sich ferner für die Horizontalwinkel^ insbesondere den 
Winkel B aus den Relationen (2): , 

B — B = (oi.i — au.i) — (ai.3 — 02.3), (9) 

und hierfür hat man nach (2) und (3) S. 157 u. 158: 

£' — jB = — - e^cos JBgIcos B^ sin 2aa — cos B^ sin 2acj+ Gl^^ (10) 
wenn man setzt: 

«0 = 1 («1.2 + 02.1+180«). (11) 

Hiernach lassen sich die Seiten und die Horizontalwinkel des 
Kugeldreiecks finden (wobei für b und t in (8) und für A und C in 
(10) selbstverständlich die gehörigen Yer tauschungen stattzufinden 
haben). In Bezug auf die Bestimmung des Excesses betrachten wir 
nun den wichtigsten Fall der Bestimmung aus 2 Sehnen und dem 
Zwischenwinkel. 

§ 30. Excers ans 2 Sehnen nnd dem zwisehenliegenden 
HorizontalwlnkeL Als Sehnen nehmen wir tC und tf, dazu als 
Winkel B und erhalten nach (6) S. 109 für den Excefs, wobei der- 
selbe negativ gerechnet ist, falls die Horizontalwinkel > 180® sind: 



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§ 30. Ezcef« aas 2 Sehnen o. dem zwischenliegenden Horizontal winkel. 205 
e^l^^K.sinB'il + ^K. + Gll (1) 

Hierzu ist nach (8) des vorigen Paragraphen^ wenn zugleich ^ cos^ Ba 
mit c* cos J?2 ^ös ^8 vertauscht wird, was nur einen Fehler 4. Ord- 
nung giebt: 

^=l + yC«C08B8C08J?3C082aa + C*(c08*JBa— C08*B<,) + ÖZ^. (2) 

Um dies weiter zu entwickeln, betrachten wir zunächst das 1. Glied 
mit ^ rechter Hand. Es ist identisch: 

cos2aa = — co8(a2.s + «3.2) «=» (— cos 02.8 cos «3. 2 + sin 02.3 sin Os. 2). 

Nach (4) S. 194 hat man aber bei gehöriger Vertauschung der 
Indices u. s. f: 



cos jBj sin «3 2 = — cos JB2 ^^^ ^«. 3 + ^^^ 

cJös JB3 cos «8.2 = — cos B^ cos a2. 3 sin B^ -f" ^h\ 



(3) 



substituiert man dies in der vorigen, mit cos B^ cos B^ multiplizierten 
Identität, so folgt: 

cos JBj cos JB3 cos 2aa — cos* JBg cos 2a2 .3 + ^ - sin 2B2 cos «2 .s + ß^ . 

Dies setzen wir im 2. Gliede rechter Hand von (2) ein; zugleich aber 
im 3. Gliede: 



cos*JBjj = cos^^o — sin 2^0 (^2 — -Bo) + ^^^2 
sin 2JBj — sin 2J?o + (^h 

co8»JBa-co8«5^^?» = co8«5o-8in2£o(^4^-~-Bo) + Gi2, 
womit sich ergiebt: 

r— «= 1 + Y ^ C08*J?<, COS 202. 3 



(4) 



+ ye»8m2J5, 



Sa» 



cos ih.t 



B,-B, 



(2 + co8 2aj.s) 



+ ^*=^(l-co8 2a».s) 



+ Gl,.{b) 



Aus Formel (2) S. 167 entnimmt man nun leicht, dafs es zulässig 
ist, zu setzen: 

(JBj — B^ cos Bq =» — cos Bq cos a%. 1 + Gl^ 



{B^ — -Bj) cos ^0 = — ^ös ^0 ^03 ^^.8 + ^hi 



(6) 



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206 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl.RotationsellipB. 

V wobei die Glieder 2. Ordnung für jede geographische Lage der Punkte 
kleine Werte haben. Damit wird endlich: 

-— = 1 + -^ c* cos*jBo cos 20« s 

+ ;^e^8in2jBo |^co8as.a[- — -cos2a2.8j— ^co8as.i[-+ -co82a2.3]} +0^4 0) 
• und durch Vertau8chung von Index 3 und 1^ u. s. f.; hieraus: 
Y = 1 + Y c* co8*JBo cos 202.1 

+ i^c^sin2JBo{^co8a2.i[-~|co82a2.i]— ^cos.a«.s[| + ~^ (8' 

Es ist nun weiter durch Einführung Yon (10) S. 204 in die 
Identität sin ^ = sin jB cos (JB' — B) + cos B sin (^ — B): 

sin JB' = sin jB + cos B {B" — B) + GlA 

B = (h.l — «2.3, j 

J3' — jB = - ß* cos J?2 { cos J?3 sin 2aa — cos J?i sin 2ac} + Gi^ . 

Die Formeln (3) zeigen aber^ dafs man setzen kann: 

cos jB, cos jBj sin 2«« = cos^^j sin 20«. 3 + g— sin 2Bq sin 02 s + ^hj 

wofür man mit Rücksicht auf die 1. Gleichung (4) und die (6) 
schreiben darf: 

cos jBj cos jB, sin 2aa 

==cos*Bosin2a2.8 — sin2JBo!8in2a2.s[^ ^0802.3 + 3— C08a2.iJ— ö~~^"^^*}"^"^^2' 
Die Vertauschung der Indices 1 und 3^ u. s. f.^ giebt hieraus zunächst: 

cos jB, cos Bi sin 2ac 

=cos*J?osin2a2.i — sin2JBo{sin2a2.iU -cosa2.3+3— cosa2.iJ— — sina2.i}+Gij. 

Unter Benutzung der letzten beiden Formeln erhält man endlich nach 
einiger Reduktion: 

B' — B = Y e* cos* Bq (sin 2a2. 3 — sin 2a2 .1) 

[— cosa2.s+3^cosa2.ij(8in2a2.i— sin2a2.8) 
+ [^sina2.3-2^sina2.,] 



+ ^e'sm2BA 



+ GI,. (10) 



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+ Y«»8in2JBo 



+ GJ*. 



§. 30. Excels aus 2 Sehnen u. dem swischenliegenden Horiiontalwinkel. 207 
Die Formeln (7) bis (10) geben nun: 

l4-co8(a2.i — Oj.s) (sin 202.8— 8in2a2.i) 
- I ^ sin 2^0 [Ztr] (4 ^^' ^-^ +4''''' "^^^ 
[^00802.8+ j— cos 02. ij sin (02.1—02.8) 

+[2^8ino2.3— 2^ sin 02.iJcos(o2.i— O2.8) 
Da aber identisch 

(cos 202.8 + cos 202.1) = 2cos (02.8 + ^.1) cos (02.8 — (h.i) 
und femer 

(sin2o2.s — sin 2o2.i) = 2co8 (02.8 + a«.i) sin (02.3 — <h.i)f 

so verschwindet die hierin zweimal auftretende geschlungene Parenthese. 
Im letzten allein übrig bleibenden Teil setzen wir für die grofse 
Parenthese: 

— (cosa2.38in(a2.i— 02.3) + 8ina2.8COs(o2.i— 02.8))+3^8ino2.8CosB 

+ ^(coso2.i8in(o2.i— 02 8) — 8ino2.iC08(o2.i— a«.s)) — 3^8in02.iC08B, 
welcher Ausdruck sich in nachstehenden zusammenziehen läfst: 

— Sm02.i — 5^Sm02.8 + yC08B^~8m02.3 — ~8mo2.ij. 

Hiermit geht (1) über in die Formel: 

E = -{- -j^ ^ »in 2 Bo I — •Inot.i •in«ii+ 2coifl — rino,., iina,.i j -}- Ol^ 

Man hat für diese Formel zu beachten ^ dafs B den Horizontal- 
winkel zwischen ü und t, Bq aber die mittlere geographische Breite 
bezeichnet. 

Diese Formel läfst sich aber auch noch in andere Gestalt bringen; 
da nämlich cos ß «» sin fi2.i sin fi2.3 4~ cos fi2.i cos fi2.8 cos B, so ist: 



(11) 



(12) 



cos 5 = cos « + ß^ — - -^-- + ö'» • 



int 



(13) 



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208 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 



Mit Einführung dieses Wertes ergiebt sich für die runde^ in 
üt : a] multiplizierte Parenthese Yon E in (12) die Relation: 

Hv {-'-) = öä^ (^' sin 02. 8 — r' sinoa.i + [t sin a«.i — a sin Oj.s] k*) + Gl^. (14j 

Wenn wir nun ferner die 2. Gleichung (1) S. 166 anwenden, 
so ist: 

cos Bi sin L2.1 = —sin aj.i + Gl^'^ cos B^ sin Zg.a = — sin «2.3 + 0^3; 



b h 

cos -B3 sin Zi.s = — sin ai.s + Gl^] cos jBj sin Zys.i = — sinaj.i + Gl^. 

Hiermit giebt die Identität 

sin Li. 3 = sin {L%.s — Li.i) ="sin 2^2.3 cos L2.1 — sin Z2.1 cos Zj^.s 
nach vorhergegangener Multiplikation mit cos f^ cos £3: 

— sin 02.3 cos jBj cos L2.1 sino2.i co&B^ cos i^.3 

b k 

— — sin ai. 3 cos B^ + öij «» sin Os.i cos JB, + 6ri3 . 

Mit Rücksicht auf die 2. Gleichung (2) S. 167 kann man hierfür 
schreiben: 



(15) 



( — sin 02.3 8ino2 i)cosJ?ft= — cosf^sin 



. «i.s+«8.i±l80" 



■ff?,, (16) 



wobei das Vorzeichen des Sinus rechter Hand wie dasjenige von 
sin Ol. 3 zu nehmen ist. Dies führen wir in (14) ein und reduzieren 
damit (12). Es ergiebt sich dann schliefslich: 



in Sek. ^^0 \ »«u / 

4 I un a^ hat mit 

«6 = V (^.l + ^13 + 180®); { iina.., gleichet 

Durch cyklische Yertauschung folgt noch hieraus: 

inSek. ^»o \ »tty y 

t ein Of. hat mit 

a, = ^ (o,.2 + 02.1 + 180)®: "»«.•* «»•»««>" 

* l Vorseichen. ^ 



(17) 



(18) 



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24 ^ 



§ 31. Zablenbeispiel III. 

I / lin a^ hat mit 

ff«= -ö («2.3 + «3.2 + 180^); { «na,., gleiche« 
* l YoneicheiL. 

§ 31. Zahlenbeispiel III, vergl. S. 200. 
log /^ = 1,4041082- 10 log K^ = 9,9993197—10 
Bo = 51" 48',6 log sin 2Bo = 9,988—10 



209 



(19) 



log 



M 

Sag' 



= 2,1255-10 

f.£iiih.der7.Dec. 



a,.2= 23» 12' log sin =9,595 -10 
Ol .3= 65 16 9,958 -10 

os.,=199 58 9,533« -10 

as.s=157 10 9,589 —10 

as.,=239 33 9,936»— 10 

os.,=334 52 9,628.-10 



log ^^^1^ = 9,929-20 

Ua = 156« 1' log sin = 9,609 —10 

06=242 25 9,947»-10 

ac= 21 35 9,566 —10 

^=. 42 4 logcos= 9,871 —10 

J5= 42 48 9,866 -10 

C= 95 19 8,967«— 10 



Die Formel (12) S. 207 giebt bezw. fOr die Berechnung mit CA, ab, bti 

e = 699,1825" - 0,0156" - 0,0264" + 0,0260" + 0,0341"= 699,2006" 

699,1798 —0,0134 +0,0269 +0,0051 —0,0025=699,1959 

699,1797 +0,0625 —0,0184 +0,0 403 —0 ,0633=69 9,2008 

Mittel =699,1991"! 

Dag^en geben die Formeln (17) bis (19) S. 208 u. 209 bezw.: 

£ = 699,1825" + 0,0119" + 0,0344" - 0,0283" = 699,2005" 

699,1798 -0,0275 +0,0130 +0,0371 =699,2022 

699,1797 +0,0397 —0,0290 +0 ,0124 =6 99,2028 

Mittel = 699,'2019". 

Der genaue Wert ist nach S. 200 gleich 699,2014". Mit demselben 
stimmen die Mittel aus den Berechnungen beider Art, nämlich die 
Werte 699,2006 , . ., 1992 . . ., 2018 im allgemeinen besser überein, 
als die Ergebnisse der einzelnen Berechnungen. 

§ 32. Sehlursbemerknngen. Der im Vorstehenden entwickelte 
Sinnssatz und die Formel für s bilden die Grundlagen für die Aus- 
gleichung und Berechnung eines Dreiecksnetzes. Zur Vollständigkeit 

Uelmsrt, mathem. n. phytikkl. Theorieen der ht)b. Ooodiiie. 14 



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210 4. Kapitel. Der vertikale Schnitt u. d. Sehnendreieck f. d. abgepl. Rotationsellips. 

der FormelBammlang würde aber insbesondere im Hinblick auf die 
Berechnung von Polarkoordinaten noch die Aufstellung von solcheu 
Formeln wie S. 109, § 24 für die sphärische Rechnung gehören. 

(Der Tangentensatz würde sich wie früher aus dem Sinussatz 
ableiten lassen, während die Ableitung einer Formel, die t^ direkt 
aus H; b und C giebt, von den Formeln: 

r« = a* + k* — 2Äk cos C, 

cos C == sin fis.i sin fis.2 -}~ ^^ f^s.i cos fis.s cos C 

auszugehen hätte.) 

Die Ausführung hierzu mag indes unterbleiben, weil eine An- 
wendung der Formeln nicht in Aussicht steht. Denn die schon für 
rein sphärische Rechnung mühsame Berechnung von Sehnenpolar- 
koordinaten (vergl. S. 111) kompliziert sich fürs EUipsoid offenbar noch 
weit mehr. 

Bei Bearbeitung eines Dreiecksnetzes mittelst Sehnen und Horizontal- 
winkeln wird man daher am zweckmäfsigsten direkt mittelst der 
Sehnen, die im beobachteten Netze vorkommen. Breiten- und Längen- 
differenzen berechnen. Da hierbei der Grunertsche Satz (unter An- 
wendung eines besonderen mittleren Kq für jedes Dreieck) gerade 
noch ausreicht und da ferner die Berechnung geographischer Breiten- 
und Längendifferenzen mittelst der Sehnen, falls eine Tafel für log W 
vorliegt, nicht unbequem ist, wird der Rechnungsgang für diese 
Methode recht einÜEich. Sie verdient daher einige Beachtung in allen 
Fällen, wo die geographischen Koordinaten aMer Netzpunkte ein 
geeignetes Ziel der Berechnungen bilden, wie bei grofsem Landes- 
vermessungen. 

Bremiker hat in seinen Studien ebenfalls die Berechnung mit Sehnen 
durchgeführt, jedoch in der Weise (vergl. § 9), dals jeder Horicontal- 
winkel auf seinen Sehnenwinkel nach einer der Formeln reduziert wird: 



. .-4— 3C n* cos 2N .^ 



n cos N=^ sin — sin 



2 2 

n 8\n N= cos - sm • 



2 2 



Vsi""" **"« V 2 / "' "'*« V 2 ) +•••' 

deren zweite eine Näherungsformel ist, welche, obgleich sie auf Werte 
von A nahe an 0^ oder 180^ nicht angewandt werden darf, für wohl- 
geformte, meisbare Dreiecke in der Begel ausreichen wird. Bb sind dies 
Formeln, die leicht aus der Gleichung , 

cos jX >=» sin ft| 2 ^^ f^i . 3 H~ ^^^ f^l .2^^^ f'i.S ^^ A 
abgeleitet werden können. 



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§ 32. Schlurebemerkungeti. 211 

Diese Methode ist zur Berechnung von Polarkoordinaten wohl noch weniger 
wie die oben angegebene geeignet, da sie eine fortwährende Hin- und Her- 
Bednktion zwischen Sehnen- und Horizontalwinkeln erfordert Denn 
Sehnenwinkel entbehren des Vorteils der Horizontal winkele wenn sie den- 
selben Scheitel haben, auch in einer Ebene zu liegen und deshalb un- 
mittelbar addiert uud subtrahiert werden zu können. 

Überdies ist die Ausgleichung und Berechnung eines beobachteten Drei- 
ecksnetzes mittelst Sehnen und Horizontalwinkeln, wie leicht zu erkennen, 
ungleich einfacher als diejenige mit Sehnen und Sehnenwinkeln. Wenn 
68 je in Frage kommen kann, ob mit Sehnen zu rechnen ist, so durfte 
sodann die weitere Entscheidung, ob Horizontalwinkel oder Sehnenwinkel, 
nur zu Gunsten der ersteren ausfallen. 

Was die Formeln zur Übertragung geographischer Koordinaten und zur 
Berechnung von Sehne und Azimut aus geographischen PositioDen anlangt, 
so sind unsere Entwicklungen nicht wesentlich von denen Bremikers ver- 
schieden. In dessen Studien fehlen aber die wichtigen Näherungsformeln 
für kleine Distanzen in Bezug auf die letztgenannte Aufgabe. 

Diese Näherungsformeln haben auch^ abgesehen von der Anwendung der 
Sehne, einen Wert, da sie ganz geeignet sind, wie sich später zeigen 
wird, die geodätische Linie zwischen 2 Pwnkten aw« deren geographischen 
Positionen zu ermitteln. Ein Übergang hierzu ist schon gewonnen, in- 
sofern die Sehne mit der Länge der yertikalen Schnitte in Verbindung 
gebracht ist. 

Sie lehren überdies die S. 203 angegebenen einfachen Beziehungen 
kennen, welche zwischen den Horizontalwinkeln auf dem EUipsoid und 
den entsprechendeu auf der Kugel bei gleichen geographischen Positionen 
der Punkte stattfinden. Der allgemeinen Verwendung der Ahhüdung 
des Eüipsoids auf einer Kugel ohne Veränderung der geographischen 
Positionen steht aber die Gröfse der Azimut-Reduktionen nach S. 157 § 11 
(2) und (3) entgegen. 

Dies letztere hängt zusammen mit derjenigen Eigentümlichkeit unserer 
Losung der Aufgabe^ die Azimute der Vertikalschnitte aus den geograpLi- 
Bchen Positionen zu finden, nach welcher die aus der Ellipticität ent- 
springende Korrektion der sphärischen Rechnung nahezu unabhängig von 
der Distanz ist. Nichtsdestoweniger vereinfacht sich doch die Rechnung 
fCLr kurze Distanzen sehr, und da die Formeln überhaupt einfach sind, so ist 
jener Umstand, insoweit nur diese Aufgabe in betracht kommt, kein Mangel. 

Wollte man indes Formeln haben, die jene £[orrektion von der Ent- 
fernung abhängig machen, so könnten solche leicht aus Betrachtungen, 
welche Hansen in seinen Geodätischen Untersuchungen zu anderen Zwecken 
anstellt, (speziell aus denen des 2. Abschnitts) entnommen werden. Handelt 
es sich insbesondere um 2 Punkte P^ und P,, so reduziert Hansen die 
geographische Breite eines der Punkte, also etwa diejenige von P,, auf 
die Linie PiK\ (Fig. 8 S. 134), so dafs es möglich ist, K'^ als Zentrum 
einer Hilfskugel zu nehmen. 

Wir müssen hier noch erwähnen, dafs Delatnhre 1799 in seinen M6thodes 
anaHytiques pour la Determination d'wn Are du MMdien ebenfalls (wie 
später Bremiker) die Rechnung mit Sehnendreiecken empfahl und Formeln 
zur Übertragung geographischer Koordinaten durch Sehnen aufstellte. Zu- 
nächst giebt er sphärische Formeln und zwar Reihenentwicklungen, die 

14* 



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212 5. Kapitel. Fundamentalformeln für die geodätische Linie. 

noch k^ berücksichtigen. Er wendet dann diese auf die Kugel mit dem 
Zentrum K\ an (wie später Hansen und schon früher Legendre, 1787) und 
ermittelt die Korrektionen wegen der ellipsoidischen Gestalt. In den 
Endformeln berücksichtigt er nur 6* xmd k^ (S. 83 a. a. 0.; in der Formel 
für d ist das Vorzeichen von e^ umzukehren). Diese Endformeln geben 
daher nur für sehr geringe Sehnenlängen eine ausreichende Genauigkeit. 

In dem Hauptwerke der englischen Vermessung Ordnance Trigonometriccd 
Survey, Princ^al Tricmgtdatian p. 228 — 258 finden sich Formeln für 
eine Geodäsie mit Horizontälwinkeln und Vertikälschnitten, Wir sind 
indes der Meinung, dafs die Anwendung der letzteren anstatt der Sehne 
nicht zu empfehlen ist, in welcher Meinung uns auch die Formeln a. a. 0. 
nicht beirrt haben. 

Einen in mehreren Beziehungen interessanten, selbständigen Beitrag zur 
Geodäsie ohne Anwendung der geodätischen Linie gab Sonderhof in der 
Zeitschr. f. Math. u. Physik. Bd. 17. 1872. S. 89 u. 177 u. ff. 



5. Kapitel. 
Fandamentalformeln für die geodätiscbe Linie. 

§ 1. Horizontale Entfernung und geodätische Linie auf dem 
Rotationsellipsoid. Im vorigen Kapitel ist gezeigt worden, dafs die 
gegenseitigen Yertikalschnitte zweier Punkte im allgemeinen von 
einander abweichen. Aber der Betrag ist nach S. 189 für Entfernungen 
bis zu 64*^ so gering, dafs er in der Regel praktisch ohne alle 
Bedeutung bleibt; wenn also bei gegenseitiger Sichtbarkeit der 
Punkte die Yertikalschnitte abgesteckt werden, so werden sie nicht 
merkbar von einander abweichen und es wird darum auch der Geodät 
nicht zweifelhaft sein, was er im Sinne der geodätischen Praxis als 
gerade Linie und als horizontale Entfernung anzusehen hat. 

Immerhin existiert eine Unklarheit für kleine Entfernungen im 
Sinne der Mathematik, für grofsere Entfernungen aber auch im 
Sinne der Praxis. Zunächst in Bezug auf letztere läfst sich die- 
selbe aber dadurch beseitigen, dafs man dem in der Anmerkung zu 
§ 1, S. 70 geschilderten Vorgange folgt. Dabei ist der Einfachheit 
halber von der Verbindung zweier Punkte zunächst abgesehen und 
nur die Eede von der Absteckung einer Linie von einem Punkt Pq 
aus in gegebener Richtung : 

Man geht (Fig. 14) von Pq aus in einer dem gegebenen Azimut 
entsprechenden Vertikalebene bis P^, wobei P^ so nahe an P^ zu 
denken ist, dafs die Vertikalebene von P^ nach P^ von der anderen, 
die von Pj nach P^ gelegt werden kann, zwischen P^ und P^ nicht 
merklich abweicht. In dieser letzteren Ebene geht man nun weiter 



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§ 2. Gnindgleichung der geodätischen Linie auf dem Rotationsellipsoid. 213 

bis J^2 ^^^ ^^^ ^^^^ ^^B ^ ^^^ rückwärts verlängerten Yertikälebene 
von Pg nach Pj weiter bis Pg, u. s. f. Sind die Entfernungen PoPj, 
Pj Pj gehörig klein^ so wird die in der beschriebenen Weise abgesteckte 
Linie praktisch als kontinuierliche • Linie auftreten und der Geodät 
wird sie als gerade Linie im Sinne der Praxis zwischen irgend zweien 
der Punkte P auffassen. 

Um nun aber die kleinen Brechungen der Linie ganz zu be- 
seitigen, denkt man sich die Elemente PqPi, P1P2; -P^Ps u. s. f. 
unendlich klein. Nach (25) S. 187 sind in diesem Falle die Brechungs- 
winkel unendlich klein von der 2. Ordnung ; Nord, 
und es ergiebt sich daher eine kontinuier- 
liche Linie, die wir nach S. 70 als geo- 
dätische Linie auch im Sinne der strengen 
Anforderungen der Mathematik bezeich- 
nen dürfen. Für diese Linie ist es gleich- 
gültig, in welcher Richtung man die 
Absteckung beginnt, denn augenscheinlich 
bekommt man keine andere Linie, wenn 
man (Fig. 14) von P« aus rückwärts sich 
die Absteckung wiederholt denkt. Als 
eindeutige Verbindung zweier Punkte 
und als eine dem Vorgänge der geo- 
dätischen Praxis bei Absteckung und ^^ 
Verlängerung gerader Linien ent- 
sprechende Verbindung ist die geodätische Linie vorzüglich geeignet, 
die horizontale Entfernung zweier Punkte zu bezeichnen. 

Weiterhin werden wir sehen, dafs sie zugleich in der Regel die 
kürzeste Entfernung angiebt und dafs sie zu einem verhältnismäfsig 
einfachen Kalkül führt. 

Hier ist nun die nächste Aufgabe, aus der geometrischen Her- 
leitung der geodätischen Linie eine sie definierende Gleichung her- 
zustellen. 

§ 2. Grnndgleichung der geodätischen Linie auf dem Rota- 
tionsellipsoid. S. 169 des vorigen Kapitels fanden wir in Formel (12) 
für zwei durch ihre gegenseitigen Vertikalscbnitte verbundene Punkte 
Pj und Pj die Beziehung: 

sin ai.2 cos ß^ cos fti.2 *= sin (02.1 — 180®) cos ß^ cos fi2.i. (1) 

Hierin sind «1.2 und 02.1 die Azimute der Vertikalschnitte von P^ 
nach Pg und von P^ nach P^, fti.2 und /i2.i die Depressionswinkel 
der Sehne PiP2 in P^ und P2, und ß^ und ß^ die reduzierten Breiten 
der Punkte Pj und P^. 




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214 5. Kapitel. Fandamentalformeln für die geodätische Linie. 

lAese Formel wenden wir an auf die Punkte P^ und P^, P, und Pj, 
Pj und P3 u. 8. f. und haben: 



sin Oo. 1 cos ß^ — sin (ar.o — 180®) cos ßi 
sin ai.2 cos ß^ = sin (os.i — 180®) cos /J2 
sin 02.3 cos /Sj «-= sin (as.a — 180®) cos ß^ 



cos ^01 

cos fij j 

cos fl^ 2 

<^8ft3 2 

cos ^2 3 
U. S. f. 



(2) 



Da nun zugleich ai.2 = öi.o — 180®, 02.3 = (h.i — 180®, u. s. f., so 
ist sin «1.2 = sin (ai.o-~ 180®), sin 02.3 = sin (02.1 — 180®), u. s. f. 
Multipliziert man daher die Gleichungen (2) Seite für Seite und geht 
bis Pn, so wird erhalten: 

. , ^. /cos tt, n cos ttg - cos tt. r\ 

Bin «0. cos ^,= sm («,..-- 1800) cos /J. (^; ^-3^; ... ^-^-^^^ 

Dies ist bereits die Grundgleichung der geodätischen Linie und 
es ist nur noch zu beweisen, dafs die Klammer bei unendlich kleinen 
Abständen der benachbarten Punkte P^, P^, P^ . . . Pn d. h. für n = cx) 
genau gleich 1 wird. 

Nun kann man aber nach den Formeln (3) S. 29 für den natür- 
lichen Logarithmus von cos /x setzen — y *'**' wobei x für kleine fi 

nahezu gleich 1 ist. Bezeichnet man die Klammer in (3) mit P und 
nimmt darin alle Cosinus in den Zähler oder Nenner, so wird hiermit: 

Hierin deutet 2^ die Summierung aller Werte xft' mit verschiedenen . 
Lidices an. Setzt man nun links und rechts für jedes x das grofste 
derselben, femer für je einen Faktor ^ das gröfste aller fi, so folgt 
weiter: 

- y ^mllm^ll < log P < + yX^fi^^^fi. (5) 

Läfst man jetzt die Elemente unendlich klein werden, so ist doch 
Ufi ein endlicher Winkel, nämlich derjenige, den die Normale be- 
schreibt, wenn sie von Pq bis P„ entlang der geodätischen Linie gleitet 
Dagegen ist fim alsdann unendlich klein, d. h. es wird log P = null, 
Pc=s 1. Wir haben daher 

sin «0 cos j8o = sina« cos ßn, (6) 

wobei das Azimut Oo.i der wachsenden Linie in Pq mit a^ und das 



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§ 2. Grnndgleichang der geodäÜBchen Linie aaf dem Rotationsellipsoid. 215 

Azimut (a«.r^ -— 180") in P, für die noch weiter wachsenden Linie 
mit an bezeichnet ist; Fig. 15. 

Indem nun Pn jeden beliebigen Punkt 
der geodätischen Linie ^ welche Yon P^ im 
Azimut a^ ausgeht^ bezeichnen kann, be- 
deutet (6) nichts anderes als: 

Es ist wia cos ß für äUe Punkte einer 
geodätischen Linie konstant 

Wenn wir den genauen Ausdruck fdr P und 
^ berücksichtigen, so läfst sich angeben, um 
wieviel P von 1 bei endlichem n abweicht 
Diese Rechnung wollen wir noch durchführen. 

Nach Formel (1) S. 174 ist: Fig. is. 




kj , Vi - e*sin«Bi / \ 

ßin f*i.2 '■ ^ ^1 + * cos«Zi jj 

k. g Vi — e« sin« B~ / , \ 



nn j». 



(7) 



worin k^ ^ <^® Sehne P, P, und Xi,i deren Neigungswinkel zur Rotations- 
axe bezeichnet Auf die Differenz der Quadrate dieser Werte: 



i»*k 2 

« »1.2 



8in>g 1 - sin Vi , =- -j~ 



(1 + * cos« Xi . g) (Bin" ^1 — Bin" J8,) (8) 



läfst sich nun der Quotient (cos ft^ ^ : cos ft| j) leicht zurückführen. Es 
ist, unter log den natürlichen Logarithmus verstanden: 

cos f*2 1 1 1 

« - ^ I (sin Vj 1— sin Vi . 2)+ g (sin Vg . i" »° Vi . 2) + 3 (»inS . 1— sin V^ . g) + • • • } • 

Hier kanb man (sin'fi^j.i — Bin'fi^ ,) ^^ Faktor ziehen, und es geben 
dann innerhalb der geschlungenen Parenthese 

das 2. Glied: ^ (sin'f», ^ -{- sin'/tij 2)» 

das 3. Glied: ~ (sinV, ^ + Bin«f*g ^ Bin Vi. 2 + sinV^ g), 

u. s. f. 

Das n. Glied giebt — mal einem Aggregat von n Sinuspotenzen n. Grades. 
Bezeichnet nun {t einen Wert, der gröfser ist als fi^ ^ und fi^ ^ der aber 
für k] 2 ™ ebenfalls null wird, so ergiebt sich, indem man für ft^ 1 ^^<1 
f»i 2 innerhalb der geschlungenen Parenthese einfach fi setzt: 



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216 5« Kapitel. Fandamentalformeln für die geodätische Linie. 

cos fftg j i 

^^» 7:^:r:r^ ^^"9 (»^iVa.i — 9in>i.2) (^ + »i^" ^ + »in* f* H — ) « 

2 1 - sin« ft "*' 

X ein positiver echter Brach. Durch Einführung von Formel (8) erhalten 
wir hieraus: 

log = -— r (1 + * COS* X^ 9) -. ^-5 (9) 

COS ftj 2 8ao2 ^ ^ *i-2' 1 — sin«;* ^ ^ 

Diese Formel können wir auf (cos i*^ ^ : cos ft^ j) , (cos /w-g j : cos f*^ g), 
(cos ^(3 gscos ftg 3) u. s. f. anwenden und die Logarithmen addieren. Nehmen 
wir dabei die rechte Seite immer positiv, setzen femer für 

(8in«"B,. — sin«B^_i), t = 1 bis n, 

den absolut gröfsten Wert unter diesen Differenzen, den wir mit J sin^J? 
bezeichnen, setzen endlich noch für cos«;|r^ ^ und x einfach 1 und für (i 
in (1 — sin'fi) das gröfste der vorkommenden ft, so folgt: 

Die Summierung der k« hat sich über alle Strecken auszudehnen: 

Substituiert man aber in jedem Teile für eines der k einen unter allen k 
vorkommenden Maximalwert k^, so ergiebt sich: 

2:k»<k^2;k. (11) 

Nimmt man nun die Anzahl der Strecken unendlich grols, jede einzelne 
aber unendlich klein, so ist 2k selbstredend ein endlicher Wert, nämlich 
die Länge der geodätischen Linie, dagegen ist k„^ unendlich klein und 
ebenso J sin«^. Man hat daher für n => cx) wie oben log P =» null 

Besteht dagegen die Linie PqP^ aus einer endlichen Anzahl nahezu 
gleich langer Strecken und beschränkt man sich auf Ausdehnungen, inner- 
halb welcher das Azimut a nicht sehr erheblichen Variationen ausgesetzt 
ist, so kann man für 27 (sin* J5^ — fän^B^^^) setzen nmal einen mittleren 
Wert von sin*B^. — sin'5j._j, d. i. angenähert 

n l cos cc sin 2B) oder einfacher cos a sin 2J8, 

worin u ein mittleres Azimut, B eine mittlere geographische Breite und 8 
die Länge der ganzen Linie PqP^ vorstellt. Man erhält hiermit, sowie 
mittelst einiger anderer, leicht ersichtlicher Vernachlässigungen: 

log (sin Ufo cos (5o) =• log (»i» «« ^^^ P») "" äTT^» cos a sin 25 H (12) 



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§ 3. Lauf der geodätischen Linie. 217 

als nähenmgs weise Beziehung för den Anfangspunkt und Endpunkt einer 
in n gleich langen, kleinen aber endlichen Strecken abgesteckten Linie von 
der Länge 8, dem mittleren Azimut a und der mittleren geographischen 
Breite B, 

§ 3. Lauf der geodätiHchen Linie« Betrachtet mau das Pro- 
dukt sin a cos ß, welches für eine bestimmte geodätische Linie glei- 
chen Wert in allen ihren Punkten hat, nach der relativen Gröfse 
seiner Faktoren, so ist ersichtlich, dafs für a = 90^ ß seinen Maximal- 
wert erreicht. Geht nun eine geodätische Linie von einem Punkte 
Pj mit nördlicher Breite in einem Azimut a^ zwischen 90^ und 180^ 
aus, so nimmt zunächst ß zu und also cos ß ab. Mit abnehmenden 
cos ß wächst aber sin a, so dafs also anfangs gleichzeitig ß zunimmt, 
a abnimmt, bis endlich a gleich 90^ geworden ist. 

Ist dieser Wert von a und damit die höchste Breite erreicht, 
so nimmt bei weiterem Verlaufe ß wieder ab, da es wegen der Konstanz 
des Produkts sin a cos ß nicht mehr wachsen kann, da es ferner aber 
auch nicht konstant bleiben kann, weil ja sonst die geodätische Linie 
mit dem Parallelkreis zusammenfiele. (Dieser ist sicher keine geodä- 
tische Linie, da seine Schmiegungsebene schief zur Oberfläche steht). 
Weil nun sin a bei wachsendem cos ß abnimmt, hierbei aber a < 90^ 
ist, so mufs jetzt a kleiner und kleiner werden. Für cos /J = 1, d. h. im 
Äquator tritt ein Minimum ein. Dieses Minimum yon a ergänzt das 
Maximum von ß zu 90^, da sein Sinus gleich dessen Cosinus sein mufs: 

«Min.+ ^M«. = 90^ (1) 

Nach Überschreitung des Äquators nimmt cos ß ab, sin a zu, und 
dies geht so fort, bis wieder a = 90^ ist und ß sein negatives Maxi- 
mum erreicht hat. Indem a alsdann in den 2. Quadranten übergeht, 
nimmt sin a wieder ab und cos ß zu, bis bei erneuter Durchkreuzung 
des Äquators a ein Maximum im 2. Quadranten erreicht und von hier 
aus die geodätische Linie wieder in die nördliche EUipsoidhälfte ein- 
tritt Zwischen ama. und a^^, findet die Beziehung statt: 

«Min. + «M«. = 180«. (2) 

Hiemach bewegt sich die geodätische Linie, welche an irgend 
einer Stelle ein Azimut zwischen 0« und 180« hat, stets in Azimuten 
vorwärts, die zwischen zwei Grenzwerten «Min. und «mex. liegen. Diese 
Grenzwerte sind die Azimute bei Durchkreuzung des Äquators. 

Ist dagegen auch nur in einem Punkte das Azimut zwischen 180« 
und 360« befindlich, so sind alle Azimute > 180« und schwanken 
zwischen zwei im 3. und 4. Quadraten gelegenen Grenzwerten, für 
welche aber auch (bis auf einen Fehler von 360«) die Relation 
(2) gilt. 



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218 



5. Kapitel. Fandamentalformeln für die geodätische Linie. 



Bei der yon uns angenommenen Zählweise der Azimute hat im 
1. Falle die geodätische Linie einen westlichen Lauf, im 2. Falle 
aber einen ostlichen Lanf. Ein wesentlicher Unterschied ist jedoch 
nicht zwischen beiden Arten Linien, denn beschreibt man zunächst 
eine geodätische Linie in westlicher Richtung und nimmt sodann eine 
Rückwärtsbewegung vor, so wächst das Azimut der Bewegungs- 
richtung um 180^, und man beschreibt in ostlicher Richtung die 
frühere Bahn. 

Eine jede geodätische Linie ist in ihrem Laufe auf ein Gebiet 
beschränkt, welches zwischen zwei in gleichem Abstände nördlich 
und südlich vom Äquator befindlichen Parallelkreisen gelegen ist. Die 
Amplitude in Breite hängt v\)n der Konstanten sin « cos ß ab. 

Ist diese null, so ist entweder a jederzeit null oder ß jederzeit 90^ 
Der 1. Fall entspricht den Meridianen, der 2. Fall giebt keine Linie. 

Ist die Konstante gleich + 1 , so ist a = 90® oder 270® und 
j8 = 0. Dies entspricht dem Äquator. 

§ 4 Länge einer geodätischen Linie^ die von einem ge- 
gebenen Punkte in bestimmter Richtung ausgeht. Ist ßi die 
reduzierte Breite des gegebenen Punktes P^ und ai das Azimut der 
geodätischen Linie, so besteht für einen beliebigen Punkt P derselben, 
dessen reduzierte Breite ß ist, die Relation: 

sin a cos j8 = sin a^ cos ßi , (1) 

wenn a das Azimut der wachsenden geodätischen Linie bezeichnet. 

Unter den verschiedenen Punkten 
heben wir nun besonders einen der- 
jenigen Punkte hervor, wo ß sein posi- 
tives Maximum erreicht. In Fig. 16 ist 
derselbe mit Pq bezeichnet. Nennen 
vrir die maximale reduzierte Breite ß^, 
so ist 




sin cc cos ß s= cos ß^ 



(2) 



Die Länge der geodätischen Linie 
von Pq bis zu dem beliebigen Punkte 
P nennen wir s und setzen sie vorläufig 
positiv in toestlicher Richtung, negatio 
in östlicher Richtung. 

Wächst s durch Verschiebung von 
P nach P' um ds, wobei die reduzierte Breite ß in ß -[' dß übergeht, 
und denkt man sich aufserdem P ein andermal im Meridian nach Q 
mit der reduzierten Breite ß '\- dß verschoben, so sind P* und Q 



Fig. 16. 



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§ 4. Länge einer geodätischen Linie u. s. w. 



219 



Punkte eines und desselben Parallelkreises. Man kann P'Q als 
rechtwinklig zum Meridian betrachten und setzen (Fig. 16): 

ds = PQ sec a . 

Nach S. 55 (1) ist aber das zu dß gehörige Element dM des 
Meridianbogens gleich 

ao^l — e«cos«/8dj8; 

setzt man dies für PQ ein und berücksichtigt, dafs bei a < 90® dß 
negativ ist, ds aber positiv genommen werden mufs, so folgt: 



ds = — a^yi — e^ cos*/} sec « dß . (3) 

Diese Formel pafst im Vorzeichen auch auf diejenigen Teile der 
Linien für welche a zwischen 90 und 180*^ liegt; denn alsdann ist dß 
positiv, aber sec cc negativ, ds mithin positiv. 

Um nun s durch Integration ermitteln zu können, setzen wir 
versuchsweise nach (2) für sec a den Wert + 1 : j/l — cos* ß^ sec*^ 
und erhalten 






(4) 



wobei das obere Vorzeichen für wachsende, das untere für abnehmende 
ß gilt. 

Ehe wir integrieren, erinnern wir uns des bekannten Resultats, 
welches für c* = null, also den Fall der 
Kugel, herauskommt. Fig. 17 zeigt die 
entsprechende sphärische Figur, und 
zwar auf einer Kugel vom Radius 1. 

Hier tritt an Stelle *von s der 
Bogen q>, und es ist auf der Kugel vom 
Radius a^ 5 «» a^g) und ds = a^dtp, 
Formel (4) giebt aber für e? «snuU: 



rf5 = + l 



C09ßdß 



>VC08«JJ— COb'Po 




man sieht, dafs die Einführung der 
Variablen tp die Rechnung wesenüich 
vereinfacht, denn 9 läfst sich aus der 
sphärischen Figur ohne Integration nach 
bekannten Formeln berechnen. pig. n. 

Es ist nun ein günstiger Umstand, dafs wir die Variable q> und 
die zu gründe liegende sphärische Hilfsfigur (Fig. 17) auch förs EUip- 
soid beibehalten können. Wählt man nämlich auf einer Hilfskugel 



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220 5. Kapitel. Fundamentalformeln für die geodätische Linie. 

vom Radius 1 einen Punkt 9t als Nordpol und nimmt einen Punkt 
Pq in der Breite /S^ an, legt darauf rechtwinklig zum Meridian den 
gröfsten Kreis |l|)o; ^^ erhält man wieder Fig. 17, und es ist in dem 
sphärischen Dreieck, welches die Meridiane von Pq und |l mit dem 
gröfsten Ereis Iß^lß bilden, nach dem Sinussatz 

sin a cos ^ = cos ^0 . 

Dies ist aber Gleichung (2), d. h. hat ein Punkt ]D als Breite 
die reduzierte Breite ß des Punktes P der geodätischen Linie Fig. 16, 
-so hat der gröfste Ereis ]9|lo in |) Fig. 17 gleiches Azimut mit der 
geodätischen Linie in P. 

Hiermit ist natürlich noch nicht festgestellt, welche Beziehung 
im übrigen zwischen den Figuren 16 und 17 besteht. Einstweilen 
bezeichnen wir die Winkel der Meridiane in beiden Figuren ver- 
schieden und in der That werden wir finden, dafs die geographischen 
Längenunterschiede l und A in Fig. 16 und 17 verschieden sind.*) 

Man hat nun mittelst des bei wachsenden 9 sich bildenden 
differentialen rechtwinkligen Dreiecks ]9]D'C!|} (Fig. 17) 

d^ = — sec a dß (5) 

und hiermit giebt die Formel (3) unter Elimination von sec a sofort: 



ds = a^yi — e" cos« ß dq> . (6) 

Diese Formel hat vor (4) nächst der Einfachheit noch den Vor- 
zug, dafs keine Vorzeichenzweideutigkeit besteht, weil ds und rfg? 
gleichzeitig wachsen. Behufs Litegration kann man aus dem sphäri- 
schen Dreieck lt]9]9o iiiittelst des Cosinussatzes für ß die Beziehung 
zu 9 entnehmen: 

sin /3 = sin /3q cos 9 . 

Führt man dies in (6) ein und hebt aus der Wurzel zugleich den 
Faktor ]/l — e^ cos^/Sq aus, so folgt: 



ds = a,yi-^cos'ß,yi - ^^^^'.p^ sinV dq> . (7) 

Etwas eleganter wird diese Formel, wenn man die zu jS^ gehörige 
geographische Breite Bq einführt. Man hat nach S. 40 (3) und (5) 



*) Die hier eingeführte Hilfskngel ist ganz andrer Art als die im vorigen 
Kapitel S. 114 u. ff. benutzte, insofern sie nicht wie jene eine Abbildung des ganzen 
Ellipsoids Yorstellt. Vielmehr haben jetzt nur die Punkte der geodätischen Linie 
und des grOfsten Ereises eine Beziehung zu einander. 



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§ 5. Fortsetzung. L&nge der geodfttiacben Linie. 221 

. OT» 8in*Äo 9/, 008*^0 

sin'^o = ¥- Snr-j cos* Po = ^ . ^p , 

und hiermit geht Formel (7), wemi man zur Abkürzung setzt 

k =^e sin Bq, (8) 

über in: 



ds = «o]/j-Et1 1^1 — *' sin«9 d^) . (9) 

§ 5. Fortsetzung. Länge der geodätisehen Linie. Vergleichen 
wir die oben gewonnene Formel (9) für das Bogendiflferential der 
geodätischen Linie mit der Formel für das Bogendiflferential dM des 
Meridianbogens, S. 55 (1), so zeigt sich eine grofse Ähnlichkeit. 
Unwesentlich ist^ dafs dort der Sinus, hier der Cosinus unter dem 
Wurzelzeichen vorkommt, weil der Sinus in Cosinus übergeht, wenn 
man anstatt der Variablen ihr Komplement zu 90^ einführt. Nun 
hing das Integral für den Meridianbogen (S. 55) ab von Eoefficienten 
A^y A^, A^ u. s. f., welche in 3 Formen dargestellt wurden (S. 47): 



1. als Potenzreihen von c*, 

1 + l/l '^'~e' 



2. „ „ „ », wobei m = ^ , ^^^ __ , 



Es fand sich, dafs die Anwendung von n am günstigsten ist. 
Demgemäfs nehmen wir jetzt sogleich die entsprechende Umwandlung 
wie damals vor, wobei dann an Stelle von 1^ eine neue Hilfsgröfse 
Ic^ tritt, die mit 1^ durch nachstehende Relationen zusammenhängt: 



h 


i-vr- 

1 + /i - 




k* 


_ 4*. 


-^ 



t* *^ , 5*^ , 7*» 
4 ■• 8 "• 64 ■' 128 "• 

4*i-8iJ + 12ÄJ - 16*} + 



(1) 



Die hier angegebenen Reihen sind von S. 37 entnommen mittelst 
Vertauschung von e und k, n und k^, Ihre Konvergenz ist aufser 
Frage, da Ä; < e ist und bereits fOr e kein Zweifel in dieser Hinsicht 
bestand. Wir setzen nun in Formel (9) des vorigen Paragraphen für 
sin^9> den Cosinus des doppelten Winkels uud erhalten bei gleich- 
zeitiger Einführung von k^: 






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222 5. Kapitel. Fundamentalfonneln für die geodätische Linie, 

hiermit aber anstatt (9): 



ds — ao Y^nr Vi + *? + 2*1 cos 2^ dfp, (2) 

Die weitere Entwicklung ist wie S. 55. Setzen wir 

cos 2^ = y (£«•> + £-«'>), 

wobei a die Basis der natürlichen Logarithmen, i die y — 1 be- 
deuten (S. 42), so ergiebt sich fiir die Wurzel in (2) die Formel: 



y\ + h\ + 2*1 cos 2<p = (1 + \s^^9)T (1 + \ £-«'>)T, (3) 

Die beiden Faktoren der Wurzelgrofse werden multipliziert und das 

Imaginäre 'alsdann mittelst der Relation cos u = - (f'" + «"*") 

entfernt. Nach S. 56 ist es hierbei überflüssig, Tc\ zu berücksichtigen, 
wenigstens kann man sogleich das Glied mit sin 89 weglassen. Dagegen 
soll in den andern Gliedern, um die starke Konvergenz der Eoefficienten- 
reihen besser übersehen zu können, bis h\ gegangen werden. Es wird 

Dies in (2) eingeführt und integriert, wobei zu beachten, dafs für 
9> -= auch s = ist, giebt: 

-(Ä*'-Ä*'H--)«^'^9' + (r8*? )8m69....).. (6) 



■ Hierin setzen wir fiir a^ }/l — e* die kleine Halbaxe 6^ der Meridian- 

ellipse. Den Faktor von q> nehmen wir zugleich vor die grofse 
\ Parenthese und erhalten dann ebenso genau wie vorher: 



' » + i*''+ä*.* + 



\ -—l~l I^P + (y *i - re *? + • • •) "° 29> 

Der grofste Wert von \ ist n d. i. nahezu ^^^; es ist daher 



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§ 6. Gegeben die L&Dge « einer geodätischen Linie u. e. «. , 223 
|i< 1:8000000000000 rund, 

and man darf dieses Glied im Faktor vor der Parenthese weglassen^ 
weil es selbst für eine die ganze Erde umkreisende geodätische Linie, 
wobei fp nahezu 2n wird, erst ^^^ Millimeter giebt. Erst recht darf 
man femer das Glied mit k\ im Faktor von sin 4q> vernachlässigen 
und erhält somit für die Länge der Linie PqP die Formel: 

1 + - - * * 

welche Formel noch für eine die ganze Erde umkreisende Linie in 
den Hundertstelmillimetem scharf ist 

Kommt es aber auf 5"*"* nicht an, so kann man auch noch k\ 
m der Parenthese vernachlässigen. 

Denken wir uns nun Formel (8) auf zwei Punkte P^ und P^ 
angewandt, für welche q> die Werte 9^ und (p^ t**> wobei q)^ > 9^ 
sei, 80 folgt aus (8) durch Subtraktion: 



^i-Sl = ^ 



l + I*? ((92 — 9i)+(2*i — ^*?)(^^^^^2""^*°^9^») 



' 1-*. 



— ~Ä;(sin49)2 — sin4g?,) + TrÄ;J(sin69J2— sin6g)i) 



48 



+ • 



oder. in einfacherer Schreibweise: 






Jq) + (ii -" T*i) cös 29 sin ^tp 



— g^A;Jco849)sin2-J9+s7^Jcös^9'8i'*^'^9 
s = der horizontalen Entfernung PiP^, 

9=^-^(91 + 9^), ^9 



+ 



9i — 9v 



(9) 



§ 6. Gegeben die Länge s einer geodätischen Linie, die 
Lige eines der Endpunkte und das Azimut daselbst, gesucht 
die reduzierte Breite und das Azimut im andern Endpunlit. 

Der gegebene Punkt werde P^ genannt-, seine reduzierte Breite sei 
gleich /}j und das Azimut der Linie daselbst gleich a^. In Bezug 
auf dieses fügen wir vorläufig die Bedingung hinzu, dafs «j < 180^ 
sei, damit im Anschlufs an das Vorige, insbesondere an Fig. 16, die 
Entfernung des gesuchten Punktes P^ vom gegebenen Punkte P^ eine 
positive Grofse werde. Vergl. Fig. 18 und 19 auf S. 225. 

Das rechtwinklige Dreieck ItPoPi gieht zunächst /S^, woraus 



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\ 



224t &• Kapitel. Fundamentalformeln für die geodätische Linie. 

k und \ folgen; dann giebt es ferner q>^j und hiermit giebt Formel 
(8) des vorigen Paragraphen sofort s^. 

Addiert man zu s^ die gegebene Länge Sy so folgt s^^ und nunmehr 
ist die auf ^^ ^^^^ ^2 angewandte Formel (8) nach tp^ aufzulösen. 

Hierbei verfahren wir ganz ebenso wie S. 53 § 10, Wir be- 
zeichnen zunächst zur Abkürzung 

% ^^ ~i'\ ^^^ ^1 ^^^ -**^-^^-^^ mit 6^ (1) 



und setzen demgemäfs: 



(Tg — (Tl = J6. (2) 



h (1 + { ^i) 

Formel (8) giebt nun, wenn der Faktor von (p^ nach links dividiert wird: 
<^2 = 92 + ([ *i - i^e *') ^'^ ^"^2 - -^ *f sin 49, 

+ l-h^^mQq>^ . (3) 

Der aus dieser Formel ersichtliche Unterschied von 6^ und ip, ist 
aber stets eine kleine Gröfse, im Maximum nur etwa gleich ^-^^ 
oder in Sekunden gleich 206265 : 1200 d. i. noch nicht 200". Es 
stöfst daher die folgende Entwicklung auf keine Bedenken. 

Mit Vernachlässigung kleiner Glieder mit der 3. und mit höheren 
Potenzen von \ folgt aus (3): 

sin 20^ = sin 2fp^ cos Vk^ sin 2q>^ — -g- h'^ sin 4^2 + ' • • f 

+ cos 2^2 siii I ^1 sin 2^2 — g" ^1^ ^^ ^92 +••*}• 

Indem wir die Reihen für Cosinus und Sinus beachten, imd kon- 
sequent die kleinen Glieder, welche in Zrf u. s. f. multipliziert sind, 
vernachlässigen, erhalten wir hieraus: 

sin 2(^2 = sin 2^2 + ^1 sin 2q)2 cos 2^2 — y ^y sin* 2^2 

— -g- h^ cos 29>2 sin 49>2 + • • • . 

Wir setzen nun im Vorstehenden: 



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§ 6. Gegeben die Länge s einer geodUiscben Linie u. e. w. 



225 



3 1 

sin* 2q>^ = ^ sin 2(p^ — — sin 69)^ 



sin 2^2 cos 2fp^ 



sin 4q>^ , 



cos 2(p^ sin 4^2 = », sin 69), + --- sin 2g)^ 
und erhalten damit: 
8in2<y,«(l ^ A^'^) 8in29>2 + ~ii sin 49>2 + ^*f sinGy, + ••• . (4) 





Fig. 18. EUipsoid. 



Fig. 19. Kugel. 



Mit Hilfe dieser Gleichung eliminieren wir sin 2^2 ^us (3)^ indem 

wir sie mit ( y *i tt Jen : ( 1 — Jc^j multiplizieren und alsdann 

Ton (3) subtrahieren; wir erhalten: 

<f2 — (y h + -3V *f) sin 2a^ 



= 92 — TS-*'8in4g)2 



96 



Äf sin 692 + 



(5) 



Diese Formel yemachlässigt ebenso wie (3) alle Glieder mit höheren 
Potenzen als k^y und es bleibt bei einiger Beachtung der höheren 
Glieder kein Zweifel^ dafs sie auch numerisch noch ungefähr ebenso 
genau ist, als jene. 

yftt setzen weiter mittelst (3): 

8m4<y2 = 8in4<)p2 cos(2Aji sin292 H ) + cos 4^2 si» {2Jci sin 292 H ) 

oder unter Vernachlässigung kleiner in k^ u. s. f. multiplizierter 
Glieder: 



Helm er t, mathem. o. physikal. Theorieen der höh. Geodäsie. 



15 



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226 &. Kapitel. Fundamentalformeln für die geodätische Linie. 

sin 4(^2 = sin 4^2 + ^K si^ ^^i cos 4g)2 + • • •, 
oder 

sin 4(^2 = sin Aq)^ + ^^(sin ß^g — ™ ^9^i) + * * * • (ß) 

Indem wir (6) mit — k^ multiplizieren und zu (5) addieren, 
findet sieh: 

^2 — (y *i + "32 *') ^'^ ^^2 + -^ *,' ^^ 4<fg 
= 9>8 + Je *' sin 692 — Yq *' sm 29, H . (7) 

Jetzt aber kann man die in k^ multiplizierten Glieder nach links 
nehmen und dabei für 9)2 einfach 6^ setzen, was wieder nur kleine 
Fehler der Ordnung k* erzeugt Somit ergiebt sich endlich: 

^2 = ^2- (1*1 - aV*?) ^^ 2(^2 + -~kf sin 4(^2 

--g-Ä>in6(y2 + .-- . (8) 

Vergleicht man diese Formel mit (3), so hat es den Anschein, 
als ob (8) weniger stark convergiere als (3). Obgleich nun in der 
That Formel (8) etwas weniger genau als (3) ist, so genügt sie 
doch noch für alle Fälle; dies erkennt man, wenn man bedenkt, 
dafs k* im Maximum rund 1 : 130000000000 ist und die vernach- 
lässigten Glieder diesen Betrag keinesfalls erreichen, dafs indes auch 
jeuer Wert nur einen Einflufs von a^ : 130000000000 oder 0,05"^ 
auf $2 haben würde. Kommt es auf 10"*^ nicht an, so kann man 
auch noch k^ in Formel (8) vernachlässigen. 

Nachdem aus (8) 92 ermittelt ist, giebt das sphärische Dreieck 
^PoP2 unzweideutig aus 2 Seiten und dem eingeschlossenen rechten 
Winkel sofort ß^ und «2- ^^e dabei anzuwendenden Formeln, welche 
nichts Neues bieten, übergehen wir einstweilen; später stellen wir 
alles Zusammengehörige in ein Berechnungsschema zusammen. Da- 
gegen mufs gleich hier noch darauf hingewiesen werden, dafs es in 
der Regel wegen des verhältnismäfsig kleinen Betrages der Ent- 
fernung PiP2 = 5 vorteilhaft ist, nicht direkt (p^, sondern ^dg) zu 
berechnen. Vertauscht man demgemäfs in (8) q)^ mit 91 und 6^ mit 
0^ und subtrahiert die neue Formel Seite für Seite von (8), so folgt: 



^^s= Jö — Ucj^ — - kn cos 2<y sin Jö + 'g ^i eos 4<y sin 2z/<f 



29 

- -- k^ cos ßö sin 3^0 -|- . . . 

2tf = (^2 + (Tj = 20^ -f z/<y, 

9>2 = 9>i + ^9- 



(9) 



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§ 7. Berechnnog von k^ und der von k^ abhängenden Koefficienten. 227 

Hierzu liefert Formel (2) ^0 direkt aus s, Formel (3) aber 
giebt nach Yertauschung von 02 ^^^ ^i ^^^ 9^2 ^^^ 9i- 

20^ = 2q>i + k^ sin 2^1 ^ k^ sin Afp^ -\ , (10) 

wobei es ausreicht, wie angenommen, nur ij und k^ zu berück- 
sichtigen, weil die trigonometrischen Funktionen von 0, zu dessen 
Berechnung einzig und. allein 0^ gebraucht wird, in (9) nur mit k^^ 
k^ und k^ multipliziert vorkommen und somit die vernachlässigten 
Glieder der Formel (10) in Formel (9) nur kleine Fehler der Ordnung 
i* erzeugen. ' 

§ 7. Berechnung yon k^ nnd der yon k^ abhängenden Koeffi- 
cienten, Nach S. 221 (8) ist k = e sin -B^ = e sin ß^ : yV-^e^cos^ß^ 
und hiermit 

also auch, da d = — ^ : 

i,= (}/r+"*7in«*/3, - 1) : (/iT * sin^^o + O- 
Setzen wir nun 

tan E = |/d sin ß^, (1) 

so folgt; 

2 



*, = tan^-f. (2) 



Hiermit ist die Berechnung von k^ sehr vereinfacht. Nächstdem 
bedürfen wir des Ausdrucks: 

i 

1 + i *? » + 4 *? + ä *.* + • • 

i-fe. oder gBUB-rxei -—^^ , 

wobei fßr den Zähler bereits die Zulässigkeit der Vernachlässigung- 
von k* nachgewiesen ist. Man hat aber 

uud ersieht hieraus, dafs es durchaus zulässig ist, dafQr einfach 
^Mh^ zu setzen. Ferner ist 

1 — All = 1 — tan* — = cos jB sec* — ; 
man hat daher endlich mit einer stets ausreichenden Genauigkeit: 



lö"» 



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228 6- Kapitel. FundameDtalformeln für die geod&tiBche Linie. 

1 + ^ *? + • ■ p , 

log i .- ^- 21og cos 2 - logcos J? + 1 Jlf *,' + •• . (3) 

Indessen ist diese Form noch nicht die beste; es läfst sich die 
rechte Seite vielmehr auf 2 Glieder reduzieren. Man hat nämlich 
nach S. 29 (3): 

logcos£ Jtf(i.^.+ .;^.i;*+ L£e^._g_£8 + ..) 

und alsO; indem man für E einfach - - E setzt: 

41ogcos-f Jtf(l£. + ^£« + -^A^-£« + ^Jl^^ £« + ..) 

Hieraus folgt durch Subtraktion: 
logcosf; = 41ogcos|-Jlf(jL£* + ^£« + ^^^<'+..). 

Nun ist aber nach (2): 

Daher wird, wie leicht zu finden: 

log cos ^ = 41og cos ^ - Mk^ - {- Mk* . (4) 

Hiermit geht (3) Ober in: 

log ^-:_|* 21ogcos| + 4-jif/,.+ ?ljfi.4....(5) 

Das in k* multiplizierte Glied ist nun bei Rechnung mit zehn- 
ziffrigen Logarithmen ganz unmerkbar; auch ist sein Einflufs in 
Formel (9) S. 223 selbst für eine die ganze Erde umkreisende Linie 
nur 0,2"*"*. Man kann daher für alle Fälle setzen: 

log >-_. - _ = _ 21og cos f + I Mk^ + . . . (5*) 
Zu (9) des vorigen Paragraphen hat man noch: 

^og(h-~,k^)-'\ogk,-^^Mk^ + ..., (6) 

ebeufallä mit einer jederzeit völlig ausreichenden Genauigkeit^ weil 



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§ 8. Bestimmung des geographischen Längenunterschieds. 229 

die vernachlässigten Glieder der logarithmischen Entwicklung in der 
genannten Formel selbst nur Glieder mit k^ als Fehler geben. 

§ 8. Bestünmimg des geographischen Längenunterschieds. 

Bezeichnet x den normalen Abstand eines Punktes P von der Rota- 
tionsaxe^ so giebt das an P angrenzende di£ferentiale Dreieck in 
Fig. 16 S. 218: 

xdl = rfs . sin « . 

Nach S. 39 (1) ist x = % cos ß, daher wird xdl gleich 

aQ cos ß dl = sin ads. (1) 

Substituiert man hier für ds seinen Wert a^Yl — ^* cos^jS dg> 
und für sin a nach S. 218 (2) den Wert cos ß^ : cos /}, so folgt weiter: 

'^^ = cSäf y^^"^ ^««*^ ^"f ■ (^) 

Bei der Integration dieser Gleichung erinnern wir uns, dafs bis- 
her die Einführung der Elemente der sphärischen Figur 17, welche 
der Fig. 16 auf dem EUipsoid zugeordnet ist, von Nutzen war. Fig. 17 
zeigt nun, dafs die zu dip gehörige Änderung des geographischen 
Längenonterschieds auf der Kugel gleich ist 

,- dq) . sin a cos ß« j /.>\ 

dl = —^ s- = ri dw . (.3) 

cos ß cos*^ ^ - ^ ^ 

Man hat daher durch Subtraktion dieser Gleichung von (2) Seit« fiir Seite: 



dl = dX - cos ß, {^^zy}^^'?-) d<p . (4) 

Es ist jetzt der in Parenthese gestellte Faktor von dq> durch q) 
auszudrücken. S. 220 wurde aber beim Übergang von (6) zu (9) 
gefunden, dafs 

yr—~?~cos^~ß = yi~^ 7~co8*7oyi^ *' si^9, (&) 

7,2 __ g'ain'Po 

'^ 1 -C*C08»^o 

Hiermit wird: 

Aus der soeben mit aufgeführten Gleichung für k^ folgt nun weiter 
durch Auflosung nach e*, dafs e* = A* : (sin^^^ + k^ cos^/J^) ^^^ ^^^ 
hiermit findet sich leicht: 

Digitized by VjOOQIC 



dl 



230 5. Kapitel. Fandamentalfonnelii für die geodätische Linie. 

Dies setzen wir in die Gleichung (6) innerhalb der Parenthese ein, 
womit alsdann (4) auf nachstehende Form gebracht werden kann: 

äi-u-^ »y\--^-Hi' K !£E^^.=^i!!5 ä^ . (8) 

Entwickelt man die Wurzelgröfsen rechter Hand, so ist sofort 
ersichtlich, dafs die einzelnen zu k\ k^ u. s. f. gehörigen Glieder ihrer 
Differenz allesamt durch (cot^ßQ + sin^g?) teilbar sind. Der Nenner 
(1 — sin^/Jo cos* 9?) aber läfst sich schreiben (cot^/J^ + sin* 9) sin*^o> 
womit der Quotient übergeht in ^ 

-2H^% (^ + ^' ('^"'9' - *^°*''^«) 

+ y (sinV — sin* fp cot^/J^ + cot^/J^) H j . 

Die hierbei vernachlässigten Glieder geben, da k cot ß ebenso wie k 
ein kleines Glied gleicher Ordnung mit e ist, im Resultat nur kleine 
Glieder der Ordnung i®. Setzen wir nun im Vorstehenden 

sin* 9? = 2 2 '^^^ ^^ ^^^ sin* 9? = YC0s2y + -g^ cos 49? , 

so wird schlief slich für Gleichung (8) erhalten: 

Diese Gleichung kann nunmehr integriert werden. Zuvor jedoch 
vereinfachen wir die Eoefiicienten durch Einführung von \ und n. 
Zunächst folgt aus i* = c* sin*/?^ : (1 — e* cos*/Jo) leicht, indem man 
im Nenner für 1 setzt (sin*/?^ -}- cos*^^): 

Ä* cot*/3, = (e* - Ä*) : (1 ~ c*) . (10) 

Da aber nach S. 221 (1) für i* gesetzt werden kann Ak^ :(1 + fcj)* 
und da ferner c* = 4« : (1 + w)*, so ist auch 

Ä*cot*^, = 4ij--^^^^^^^^ • 

Äj* = 4fci — 8*f H . J 

Man hat ferner aus der oben benutzten Relation für k^ sofort 
weiter die Beziehung Ä* (1 — e* cos*/?^) = 6* sin^/^^ und hiermit: 



8in=»jJo ~ >/r=r^^'cös9, 



Ko 



^^^___^ = e* 1/1 + Ä* cot*/}o , 



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§ 8. Bestimmiuig aes geographischen Längenunterschieds. 231 

also endlich: 



I^yi^^k. = c« (1 + 2(»-Äj + 2{n-k,y + ...). (12) 

Dieses letztere setzen wir in Gleichung (9) im Faktor vor der 
Parenthese ein, die (11) aber innerhalb der Parenthese. Dann ergiebt 
sich ohne Mühe: 

dl^dX - |c»co8/Jo{(l + n - I *i -\jcf + . .) 

— Y Äi cos 2g? + - k^ cos4q> -\ 1 rfg? . (13) 

Die Formel (13) berücksichtigt innerhalb der Parenthese alle Glieder 
bis zur Ordnung n^ excl.^ was mit Bücksicht darauf^ dafs im Faktor 
Yon cos 2q) 1c] nicht auftritt; besonders hervorgehoben werden mufs. 
Die grofsten vernachlässigten Glieder^ welche die Ordnung n^ bezw. 
k* haben ; sind jedenfalls ganz unerheblich. Durch die Integration 
aber wird die Konvergenz der Reihe noch verstärkt. 

Integriert man von l^ bis l^ und nennt den Längenunterschied 
von Pi bis Pj Li,i, so folgt unter Zusammenziehung der in sin 2^^ 
und sin 2q)^, sowie der in sin 4q>i und sin 4<p^ multiplizierten Glieder 
(vergL auch Fig. 18 und 19 S. 225): 

\—'-^kiCos2q)Bm^q)'{- -g-Ä' cos 4^ sin 2-^y + ..] 

Li,% = ig — ?i ^X = X^ — Xi 

9 = Y (9^1 + 9«) ^q> = q>i — q>i. 

Wenn wir die Abplattung ü einfahren^ so läfst sich der Koef- 
ficient von Jq> noch in eine für kleine Entfernungen vorteilhafte 
Gestalt bringen. Nach S. 37 ist 

e* = 4n : (1 + w)* = 2fl : (1 + n) 

und hiermit hat man für den Koefficienten von J<p in (14)^ ebenso 
genau wie bisher, die Formel: 

= « co8^„ (l - 4- 1, - lif + \ ak, + ■). (15) 

Sobald man aber Glieder der Ordnung k^ in der Parenthese rechter 



(14) 



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232 



5. Kapitel. Fnndamentalformeln fdr die geodätische Linie. 



Hand y ernachlässigen kann^ geht der Koefficient in die einfacha 
Form ü cos /J^ (1 — y Jc^) über. 

Die Formel (14) giebt selbst für eine die ganze Erde umkreisende 
Linie kaum eine geringe Unsicherheit in den Hunderttausendstelsekun- 
den von Li,2y wie man leicht unter der jedenfalls annähernd zu- 
treffenden Annahme findet, dafs der Koefficient von ^dg) noch nicht 
um n* fehlerhaft sei. 

§ 9. Zusammenstellung der Formeln zur Übertragrang der 
geograpUschen Breite und Länge mittelst einer geodätischen 
Linie Ton bekannter Länge und mit bekanntem Anfangsazimut. 

Die horizontale Entfernung P^P2'^ s kann beliebig grofs sein. 

Zunächst ist, falls nicht die Dimensionen des Erdellipsoids nach 
Bessel zur Anwendung gelangen, zu berechnen: 

c« = 2a- a* yi — €* = 1 - a 



^ 1/1 - e* 



K = a,yi^e', 



N. 



//\ - 



Ai 



West 




Ost. 




Süd. 

Fig. 20. EUipsoid. Fig. Sl. KngeL 

Die geographische Breite von P^ sei JB, , so ist nun die reduzierte 
Breite ßi mittelst der Formel aufzusuchen: 

tan ft = yr^^ tan B, ; log YT^^^ — 9,9985458.202 — 10 . (1) 
Die Anwendung dieser Formel von S. 40 erscheint hier am ge- 
eignetsten, da tan ß^ sofort gebraucht wird. Es ist nämlich dem- 
nächst das sphärische Dreieck 9t)9o)''i (^^S- ^^) aufzulösen, wozu 
die Formeln (1) S. 76 (för A = 90® u. s. f.) dienen: 

sin ß^ cos g?, — sin ß^ 

sin ß^ sin g)^ «» cos ßi cos «i.» [ (2) 

cos ß^ »= cos ßi sin «1.2 



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§ 9. ZasammenBi d. Formeln z. Übertragung d. geograph. Breite u. Länge. 233 

cos ßi COS A| SS cos ffi cos /)q I 
cos ßi sin A^ «= sin g?^ . j 



(3) 



Die Auflösung der Formeln (2) und (3) ist eine möglichst scharfe 
und auch ganz bestimmte^ insofern wir wie bisher ß^ positiv nehmen. 

Es ist nunmehr zu berechnen nach S. 227 (1) und (2); sowie 
nach S. 224 (2) und S. 228 (5): 



tan E = "j/d sin ß^ log /d = 8,9136593.9- 10 
log Ä-i = 2 logtan ^ E ; 



(4) 



Ja 

in Sek. 



1 + T*? 



(5) 



log -i-_j! 21og cos |- - l Mh^ + 

log(~ilf)= 6,73469 

^* ' niBiiili.d«r7.I>eo. 

log p" = 5,3144251.332 
log -^ = 8,5112358.493-10. 



Hierauf ist nach den Formeln (9) u. (10) S. 226 u. 227 weiter zu 
berechnen : 



2«, «= 2^, + a'\ sin 2yi-4-?"*i'iii>4». 

inSsk. inS.k. 

log p" = 5,31443 



(6) 



wobei es ausreicht, 2 tf^ auf Hundertstelsekunden anzugeben, wenn man 
weiterhin nur noch Hundertausendstelsekunden in Rechnung ziehen 
will; femer, mit Rücksicht auf (6) S. 228: 

J9 = ^tf + % cos2a sinz/a + 4cos4(T sin2 J6 + « co«6a «ins^o-i-. 

inSek. in Sek. 

26 = 2(^1 + z/<y 



log3l=log(-p")+logÄ;,-,>v+... 
=5,3144251.3« +logÄ;. -16,888] V+-- 

log« =log (I p"V+-) - 5,11031 + 21ogÄi + • 

log««log(-^j"t,>+.-)=i6,096«+Slog*, + .... 



(7) 



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234 



5. Eapitel. Fondamentidfomieln für die geodfttiscbe Linie. 



(8) 
(9) 



Hiermit erhält man q>2 = ^^ -{- ^(p und nunmehr durch Auf- 
lösung des rechtwinkligen Dreiecks 1il|lo|l^ nach den Formeln 

sin ft = + sin /Jq cos q>^ 
cos ^2 cos «2.1 = — sin ß^ sin q)^ 
cos /Sg sin «8.1 = — cos ß^ 

cos ß^ cos ^2 = cos (p2 cos ß^ 

cos ß^ sin ^2 »» sin (p^ 

ß^, «2.1 und Aj. Diese Formeln gehen aus (2) und (3) durch Ver- 
tauschung von /Jj, «1.2 und X^ mit ß^ bezw. «».i — 180® und X^ hervor. 
(«2.1 ist das Azimut der Linie PjPj in Pg, vergl. Fig. 20 und 21.) 
Da cos ß^ positiv sein mufS; so ist die Auflösung von (8) und (9) 
ganz bestimmt. 

Aus ß^ folgt nunmehr die geographische Breite für Punkt P^ 
mittelst der Formel 



tan Po = --zz^zz - tan /S, , 



log -_^=- = 0,0014541.798, (10) 

wozu tan ß^ bereits aus (8) bekannt ist 

Zur Berechnung des geographischen Längenunterschieds Z1.2 
haben die Formeln (3) und (9) bereits X^ und X2 gegeben. Man hat 
nun weiter nach (14) und (15) S. 231: ^ 

Xi. 25=^^2 — ^1 — COS^o {3l'2^9>+Ä'cOs29)sin^9)-f-«'coB49)Bln2^9-f ...} ' 
in Sek. in Sek. in Sek. 

29? = 9?i -f 92 

logX«loga-iitf (l-ya)Ä, -|Afv+... 



= 7,5241069.0—10 - [6,33603]Ä*i - ce,2i2]*.»+ • 

fflr£inh.d.7.Doo. 



(U) 



logr-= log(- \ Q'e% + •• .) = 2,53678n+ logi-, -f ... 

^"^^'^ ih c'"''*^'+") = *»»«* + «iog*.+-- • . *) 

Wenn man nicht mit Bessds ü rechnet, so ändern sich in den 
(11) auch die für log ü' und log C angegebenen Zahlen etwas, 

streng genommen aufserdem der Koefficient - M (l "■ v^) ^^^ ^1 

in log X. Jedoch vnrd man diesen meist beibehalten können. Die 
Änderung für log t> und log C ermittelt sich mit Rücksicht darauf, 
dafs jetzt darin log e* = 7,82441—10 gesetzt ist. 

*) Behufs teilwßiser Benutzung der Bechnung von (7) setze man in der 
1. Formel (11): 

|-i-| = XJfp + Ä'co8 2cj sin^a +.3^co8 4ff 8in2^a -\ 



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§ 9. Zusammenst. d. Formeln z. Übertragmg d. geograph. Breite u. L&oge. 235 

Bei der Entwicklung vorstehender Formeln ist «1.2 < 180® voraus- 
gesetzt; damit die horizontale Entfernung s positiv werde. Man darf 
sich der Formeln aber ohne weiteres für jeden Wert von «1.2 bedienen 
und doch s immer positiv setzen. Da nun aber für ai.2> 180® cos/S^ 
negativ wird, was nach der ursprünglichen geometrischen Bedeutung 
70D ß^ als geographische Breite ausgeschlossen ist, so mufs man von 
dieser Bedeutung ganz absehen, und es ist nachzuweisen, dafs die 
Formeln als solche auch für cci .2 > 180® gelten. 

Sie gelten aber jedenfalls, wenn gleichzeitig ein östliches X positiv, 
ein südostliches ai.2 positiv und q> nach Osten hin positiv gerechnet 
werden. Denn dies entspricht Figuren, die zu den bisher angewandten 
Figuren 16 bis 21 symmetrisch auf der andern Seite des Meridians 
von Pq liegen. Bezeichnen wir nun jene Gröfsen und die zugehörigen 
ß mit Strichen, so ist u. a. aus (2) und (3): 



sin ßo cos q>\ = sin ß^i 
sin ßi) sin q>i = cos ß\ cos «i .2 
cos ßlo = cos j3i sin «i .2 

cos j3l cos X\ == cos (p\ cos ßfo 
cos /Jl sin Ai = sin yl. 

Da aber /3i == ß^ und ai.2 = 360® — ai.2 ist, so wird hieraus: 

sin ßlo cos q)[ = sin ß^ 
sin ß^o sin q>'i = cos ß^ cos ai.2 
cos /So = — cos ßi sin «1.2 

cos ßi cos A'i «s cos q)[ cos ß^o 
cos ßi sin A'i = sin q)[. 

Setzen wir nun anstatt ßo die neue Hilfsgröfse % — ß^ und anstatt 
A'i die Gröfse 180® — A^, schreiben femer für g?i einfach g?i, so folgt: 

sin ß^ cos g?i = sin ß^ 
sin ß^ sin (p^ = cos ß^ cos «1.2 
cos /}q = cos ß^ sin «1.2 

cos ß^ cos A^ = cos 9)1 cos /So 
cos /Jj sin Ai == sin tp^ . 

Diese Formeln stimmen mit den (2) und (3) überein. Ebenso 
gelten auch die (8) und (9) wieder. Auch die Formeln (4) bis (7) 
behalten ihre Geltung, da sin ß^ sich nicht ändert und 9)' »= ^ ist. 

Was endlich den Ausdruck für ii.2 nach (11) anbetriflFt, so nimmt 
die mit oberen Indices an ^, ^^ und q> geschriebene rechte Seite; 



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236 6- Kapitel. Fundamentalformeln für die geodätische Linie. 

da ^'5= 180^ — A und cos /Si= — cos ß^ ist, den entgegengesetzten Wert 
an. Die Formel giebt aber den ostlichen Längenunterschied Z/1.29 
welcher gleich dem negativen westlichen liLngenunterschied Li, 2 ist. 
Somit bleibt auch diese Formel für den westlichen Längenunterschied 
bestehen. 

§ 10. Abkürzung der Formeln. In den meisten Fällen wird 
es ausreichen, in vorstehenden Formeln die klein gedruckten Glieder 
wegzulassen. Es erzeugt dies in der Position von P2 höchstens Fehler, 
die einer Verschiebung von 0,001 bis 0,002 Aquatorsekunden, oder 
0,03 bis 0,06"* entsprechen. Für kleine Distanzen ist der Fehler aber 
erheblich geringer. 

Betrachten wir in dieser Hinsicht zunächst die Formeln (7) für 
^q> und berücksichtigen auch das in Formel (6) für 2^] weggelassene 
Glied, so findet sich als Einflufs der kleingedruckten Glieder der 
Betrag : 



9 \ 



1 . . . 9 

- IJ sin2<ysin ^6 sin49i -|- ifcj cos 2<y sin Jö 

29, 



48 



ÄJcos6<y sin3z/<y . 



(1) 



Die ungünstigste Voraussetzung ist, dafs die 3 Teile hiervon sich 
absolut genommen summieren. Im Maximum giebt dies, t^ = n gesetzt: 

q' Ig- n« d. i. 0,0012". 

Der wirkliche Maximalwert beträgt etwas weniger. Ist ^0 klein, 
so können wir (pi mit ö sowie sin ^(T und sin3z/<y mit ^0 bezw. 3^6 
vertauschen und erhalten anstatt (1) 

^ q'.Jc^J0 cos 2ö (7 cos* 26 - ^^), (2) 

dessen Maximalwert nahezu gleich ist 

+ 2Q'n^Jö d. i. + 0,002" Jö. 

Für Jö = 0,2 giebt dies nur 0,0004", welcher Betrag einem Fehler in 
s von etwa 0,013"* entspricht. 

Noch besser erkennt man die Geringfügigkeit von (2), wenn 
man den Einflufs auf log z/g? ermittelt. Dieser beträgt ftir den 
Maximalwert 0,002" 2^ (^ nur 4 Einheiten der 9. Decimalstelle, da 
0,002 Jf: p" = 0,0000000.04 ist. 

Was nun die kleingedruckten Glieder in (11) anlangt, so ist deren 
Betrag gleich 

g (f'tih^ cos ß^ (3-^9? — cos 49 sin 22^9). (3) 



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§ 10. Abkünung der Fonneln. 237 

Setzt man f&r k^ den Näherungswert n sin^^o und beachtet , dafs das 
Maximum von sin^/^^ cos^^ nahezu 0,3 beträgt, so folgt als gröfster 
Betrag von (3) für eine die Erde umkreisende Linie 0,0013". Nimmt 
man aber /Jip klein an, so geht (3) über in 

\ q" n» sin*/3o cos /S^ -^ 9> (3 — 2 cos 4 9)) . (4) 

Der Maximalwert hiervon ist nahezu gleich 

0,4p" w«^9) d. i. 0,0004" ^9 

und dies giebt för ^9) = 0,2 nur 0,0001". Der Einflufs der klein- 
gedruckten Glieder in (11) ist also geringer als wie in (7). 

Nächstdem wird Z1.2 noch von den Vernachlässigungen in 9? 
und ^9 beeinflufst, jedoch nur in dem Gliede X^ in merklicher 
Weise und zwar in dem Mafse, wie sich bei sphärischer Beziehung 
ein kleiner Fehler in der Distanz auf geographische Länge überträgt 

Die sphärische Rechnung kann för mäfsige Werte der Distanz 
5 in der Weise modificiert werden, dafs man nicht 9, und k^ mittelst 
der Auf losung des rechtwinkligen Dreiecks )t|lo|l2 sucht und daraus 
/Ifp und Jk ableitet, sondern diese direkt durch Auflösung des 
schiefwinkligen Dreiecks )t|l]|l2 bestinimt. Man erspart dann eine 
Decimale der Logarithmen. Die hierzu erforderlichen Formeln gehen 
aus den (9) 8. 126 hervor, wenn anstatt B und 6 gesetzt wird ß 
bezw. <|p. Sie hierher zu stellen, scheint überflüssig, da wir weiter- 
hin für den Fall kleiner s besondere Formeln entwickeln werden, die 
oben gegebenen Formeln aber geographische Breite und Länge bei 
Anwendung Szifiriger Logarithmen auch schon bis auf 0,002" genau 
und bei Anwendung 7ziffi:iger Logarithmen mit Ansetzen der 8. Stelle 
aus den Proportionalteilen meistens in den Hundertstelsekunden richtig 
ergeben. 

Es mag hier aber noch eine Formel für z/A = Ag — X^ Platz finden, 
die bei kleinen s in der Regel zur Kontrolle dienen kann. 

Das schiefwinklige Dreieck H |I| fl^ giebt ' nämlich nach dem 
Sinussatz sofort: 



8ina, 



1.2 . oiii«2 1 



sin ^A = sin d^ -^^^ sin ^(p -^-^, (5) 

welche Formel nur für Lagen von s nahe dem Pole unbrauchbar wird. 
Zur Erleichterung der Rechnung können die als Funktionen von 
\ auftretenden Koefficienten 31, 31' u. s. f. in Tafeln gebracht wer- 
den. Als Argument würde dabei log tan E zu nehmen sein. Diese 
Tafeln würden nicht nur für Bessels Dimensionen des Erdellipsoids, 



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238 6. Kapitel. Fnndamenialfonneln fär die geodätische Linie. 

sondern för jede Werte derselben brauchbar sein, wenn bei den 
Logarithmen von 31', Ä' und C bezw. loga und löge* abgetrennt 
werden. Für das aufserdem in log 31' vorkommende kleine Glied ük^ 
reicht ein konstanter Wert von ü jedenfalls aus, da sein Maximal- 
betrag nur 0,0004" 2^ 9? ist (z/g? als Arcus genommen). 

Indes ist auch ohne Tafeln die Rechnung verhältnismäfsig bequem. 

Sehr bequeme Tafeln finden sich bei Älhrecht S. 207 u. ff. Dieselben geben 
die Eoefficienten der von Bessel 1826 aufgestellten Formeln (vergl. Engel- 
mann^ Äbhdlgn. von Bessel^ Bd. 3 S. 6 u. ff.) und zwar zum Teil in engerem 
Intervall des Arguments als die ursprünglichen Bessehchen Tafeln. Diese 
Tafeln gelten für jede beliebige Abplattung. 

Bessels Formeln unterscheiden sich von den oben mitgeteilten haupt- 
sächlich in zwei Beziehungen. Einesteils darin, dals Jtp durch successive 
Annäherung aus Formel (9) S. 223 abgeleitet wird, andernteils in der 
Bildung der Eoefficienten der Reihe für L^ 2^ Für diese haben wir eine 
weniger künstliche Ableitung gegeben. 

Wenn es sich um groise Distanzen oder um grofse BechnungsscUbfe 
handelt, dürfte die Rechnung nach unsem Formeln derjenigen nach Bessel 
vorzuziehen sein, weil dann seine Tafeln nicht ausreichen. Für mSXsige 
Distanzen jedoch und 0,001" Schärfe ist unter Anwendung seiner Tafeln 
die Rechnung sehr bequem. Die indirekte Ermittlung von J(p ist hier 
nicht nur nicht unbequemer als die direkte mittelst Ja (denn die 2. Au- 
^näherung führt schon zum Ziele), sondern bietet auch den Vorteil, daik 
dabei für die Berechnung von L^^ bereits einige Logarithmen (nämlich 
für sin ^9 u. s. f.) bekannt "werden. 

Hansen gab 1866 in seinen Geodätischen üntersiichungen (Abh. der math.- 
phys. Elasse der Egl. Sachs. Ges. d. Wiss. zu Leipzig, Bd. 8) eine sehr 
eingehende Bearbeitung des Problems, die jedoch wenigstens für beliebige 
grofse Distanzen immer noch eine indirekte Rechnung von J(p erfordert und 
in der Entwicklung von L^ ^ vielleicht nicht ganz glücklich gewählt isl 

In ersterer Beziehung ist es wesentlich, nicht voib einer Formel fSr 
P^P^ = 8, sondern von einer solchen für pQpy also von der vom Scheitel 
der geodätischen Linie abgerechneten Distanz auszugehen. Durch Beachtung 
diese» Umstandes ist es gelungen, eine direkte Formel für ^9 zu erhalten. 

Unsere Formeln schliefsen sich insofern und in Betreff der Einführung 
von a im Ausdruck für L^ ^ ^'^ diejenigen von Winterherg an, die in 
Bd. 89 der Astronom. Nachr, Nr. 2119 u. 2120 gegeben sind. Nur läfst 
Winterberg alle Glieder weg, welche den hier klein gedruckten entsprechen. 
Der genannte Autor fufst seinerseits auf den von Jcicobi mit Hilfe der 
elliptischen Funktionen gegebenen Reihenentwicklungen (CreUes Journal 
Bd. 53; Astronom. Nachr. Bd. 41, Nr. 974 u. 1006). 

Abgesehen von der interessanten Lösung der Aufgabe, welche Jacchi 
mittelst Thetafuuktionen in geschlossener Form gab, ist es aber nicht not- 
wendig (wie unsere Entwicklungen zeigen) über die Elemente der Analysis 
hinauszugehen, um zu den Resultaten in Reihenform zu gelangen. Denn 
die Endresultate enthalten nur Reihen, die nach Vielfachen von tp und «r, 
zwei ganz elementar zu erlangenden Funktionen, fortschreiten. Die ein- 



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§ 10. Verschiedene Formeln. 239 

sige Reminiscenz an die ellipÜBohen Funktionen ist bei Winterberg ein in 
den KoefEoienien auftretender Modul q^ für welchen, abgesehen von Gliedern 
der Ordnung q^ und höher, die Relation besteht: 

== i_ \^ Vi — ^' 1_ /*! I *^' I 21** I \ 
^ " 2 ;_^ ^— ^, =" T U + ¥ + -256 +"7 • 

Die Vergleichung mit S. 221 (1) seigt, daüs 4g und ki nur um ^i^k^ von 
einander abweichen, mithin um eine Grdfse, die nicht mehr von Bedeutung 
ist. Setzt man in unseren Formeln 

k, «42-163» + ..., 

so wird man einerseits keine Verstärkung der Konvergenz der Eoefficienten- 
reihen bemerken, während andrerseits die Formeln mit denen von Winter- 
berg gegebenen bei Vernachlässigung von q^ identisch werden (abgesehen 
von hierbei unwesentlichen Modifikationen, die uns in anderer Beziehung 
wünschenswert schienen). Man vergleiche unsere ausführlichere Darlegung 
in den Astronom, Nachr. Bd. 94, Nr. 2262, S. 814; 1879. 

Hansen führte in seinen Reihenentwicklungen ebenfalls q ein, während 
Bessel k^ benutzte (von ihm e genannt). 

Wir erwähnen noch die Bearbeitung des Problems durch Baeyer (vergl. Bas 
Messen auf der sphäroidiscken Erdoberfläche, Berlin 1862 S. 62 u. ff. und 
besonders das 3. Heft der als Manuskript gedruckten Wissenschaftlichen 
Begründung der Bechnungsmethoden des Zentralbureaus der Europäischen 
Gradmessung, mit Tafeln). Die Ausdrücke Baeyers für s und L^ 2 
setzen sich aus der Differenz je zweier Reihen zusammen, die für s nach 
Potenzen von sin'ft bezw. sin^ft, für L^ ^ ^^^^ denen von cos'ft bezw. 
cos'^, fortschreiten. Die Tafeln geben die Koefficienten nicht in loga- 
rithmischer Form und sind nur brauchbar für Bessels Excentricität des 
Erdellipsoids. Eine direkte Berechnung der Koefficienten (oder ihrer 
Logarithmen) dürfte weniger bequem sein, wie bei den andern erwähnten 
Losungen. Es gilt die Lösung aber auch wie bei den andern Autoren 
ohne Rücksicht auf die GrOfse von s. 

In mehrerer Beziehung interessant ist die Schrift: Die Kürzeste auf dem 
Erdsphäroid von Badhoven von Eckt, 1866. Hier wird direkt mit der 
geographischen Breite gerechnet, anstatt mit der reduzierten, worin wir 
aber keinen Vorteil erblicken können, da die Reihenkonvergenz abnimmt, 
wie für die lineare Länge im speziellen Falle des Meridianbogens schon 
gezeigt worden ist, und da im übrigen die Rechnung nicht einfacher wird. 
Verfasser untersucht namentlich auch den Lauf der geodätischen Linie, 
auf welchen wir in einem der nächsten Kapitel eingehen. % 

Zuerst wohl hat Legendre die geodätische Linie zur Übertragung geo- 
graphischer Koordinaten benutzt^ und zwar gab er 1806 i^ einer Abhandlung 
in den Memoiren der franz. Akademie sowohl allgemein gültige Formeln 
wie Reihen für kurze Distanzen (nach Trepied, vergl. weiterhin das 6. Kap.). 
Dagegen benutzt er noch 1799 S. 14 u. ff. des Werkes: Delambre, Meihodes 
andlytiques pour la I>e'terminati<m d'un Are du Meridien für letzteren 
Zweck sphärische Distanzen. Die Einführung der Hilfsgröfse 9 wird all- 
gemein Legendre zugeschrieben unter Hinweis auf seine TMorie des 
fonctians dUptiques, 1826. 



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240 5. Kapitel. Fandamentalformeln für die geodätische Linie. 

Nach Soldner (Die bayerische Landesvermessung. 1873; S. 538) haben 
schon Euter {Mim, de VAc. de Berlin 1763) und du S4jour vorgeschlagen, 
die terrestrischen Distanzen als kürzeste Linien zu betrachten, und dem> 
gemäTd die Übertragung geographischer Koordinaten durchgeführt 

Nach Todhunter, History of Ättraction etc, Bd. 1; S. 83 u. 118, hat auch 
schon Clairaut in den Memoiren der Pariser Akademie fflr 1733 (publiziert 
1735) die geodätische Linie auf Rotationsflächen behandelt und zwar aus- 
gehend von ihrer (weiterhin zu betrachtenden) Eigenschaft als kürzeste Linie. 
Er fand, dafs für jeden Punkt der Abstand von der Rotationsaze mal sin a 
(d. i. beim ElHpsoid cos ß sin a, S. 215) eine Konstante ist und bemerkt, 
dafs die Linie nur auf der Kugel eine ebene Kurve wird. Zu dieser Unter- 
suchung wurde er durch Cassinis Vorgehen (vergl. jene Memoiren f. 1734), 
Dreieckspunkte durch Perpendikel auf einen Hauptmeridian zu beziehen, 
yeranlafst, und wies nach, dafs diese Perpendikel streng genommen kürzeste 
Linien seien. 

§ 11. Zahlenbeispiel lY. Wir wählen ein Beispiel, das von 
Baeyer (Rechnungsmethoden, 3. Heft ä. 22) scharf berechnet ist 
und auch von Winterberg, Hansen und Albrecht behandelt wurde. 
Gegeben : 

B, = 55<> 45' log s = 7,1495432.083 a, .2 = 83<» 23' 51,200". 

Die Formeln des § 9 S. 232 u. ff. geben nun der Reihe nach*): 

log tan JB, = 0,1669321.238 

9,9985458.202 ~ 10 

log tan ß, = 0,1654779.440 
log sin ft = 9,9168283.498 — 10 log sin «1.2 «- 9,9971101.048 - 10 
log cos /S, = 9,7513504.058 — 10 log cos «1.2 = 9,0606205.339 — 10 

sin ß^ cos q), = [9,9168283.498 — 10] 
sin /So sin q>i =« [8,8119709.397 — 10] 
cos /Jo = [9,7484605.106 - 10] i 

cos ß^ cos Aj == [9,7471248.284 ~ 10] 
cos /Ji sin kl = [8,8938069.077 — 10] 

Hiernach ist 

log tan <pi = 8,8951425.899 — 10 und 9, = 4« 29' 28,76702" 

log sin w, =^ 8,8938069.077 — 10 ) 

log cos ;; = 9;9a86643.178 - 10 ) '"« «'" ^^ = 9,9181640.320 - 10, 

log cos ^ = 9,9957744.226 " 10 j . ,^ 46,75088". 

log sin A, = 9,1424565.019 - 10 j * 

*) Zur Vergleichnng mit der Rechnung nach anderen Formeln sind alle Zahlen 
angesetzt, die im Verlaufe der Rechnung entstehen, abgesehen von denen für die 
Interpolation der Logarithmen und solchen , die im Kopfe behalten werden kOnnen. 



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% 11. Zahlenbeigpiel IV. 



241 



log sin ß^ und log cos ß^, ebenso wie log cos Aj und log sin 1, ge- 
hören innerhalb der Genauigkeit der Tafeln zu demselben Winkel. 
Zur Berechnung von ki und ^6 ist weiter: 

log Yd = 8,9136593.9 - 10 

log sin /J„ = 9,9181640.3 - 10 

log tan i? = 8,8318234.2 - 10 

log tan ^ = 8,5302938.5 — 10 
log *! = 7,0605877.0 - 10; 
log s = 7,1495432.083 
log f- = 8,5112358.493 — 10 

( 21og cos f = 9,9995009.748 — 10 



.£=3» 53' 2,429" 

JE 

i 



1 56 31,2145 



( log (-5-J|f)= 6,73469 
Ulog*! ■=4,12118- 10 
Summa = 0,85587 

num. = 7.176 



Summa = 5,6602800.324 

log 2ta = 5,6602793.148 

in Sek. 

Ja = 457382,25862" = 127» 3' 2,25862' 
Die Berechnung von 2tfi ergiebt: 

log q" = 5,31443 I ^°8 (- 8 ^") = 4,41 1 

log Äj = 7,06059 - 10 
log sin 29?! = 9,19350 — 10 



21og h^ = 4,121 - 10 

log sin 49i = 9,489 — 10 



Summa = 8,021, — 10 



Summa <» 1,56852 

29, = 8» 58' 57,534 

[1,56852] = -f 37,027 

[8,021, — 10] = - 0,010 

Hieraas hat man folgende Rechnung fQr Jtp und 9),: 

log(-p") = 5,3144251.3, 



201 
20 



&> 59' 34,551" 
136 2 36,810. 



log {^Mj = 6,388 
21og ij = 4,121 - 10 
Summa = 0,509 

[log(|9") = 5,110 
Ulog^i =4,121-10 
log Ü = 9,231 - 10 



log Ä, = 7,0605877.0 - 10 
- [0.509] = - 3.2 



log 7i = 2,3750125.1« 




f log (- 


29 „\ 


= 5,096, 




31ogÄ;i 




= 1,182 - 


-10 


löge 

» hsh. Qeod«ü«. 


= 6,278,- 

16 


- 10 






D 


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242 5. Kapitel. Fundamentalformeln fflr die geodätische Linie. 



log 31 = 2,3750125.1, 
log cos 2tf = 9,8572526.9« — 10 
log sin Ja = 9,9020591.7 —10 



log« =9,231 —10 

log cos Ao = 8,561 — 10 

log sin 2 z/ff = 9,983» — 10 



Summa = 2,1343243.7 Summa = 7,775» — 10 

log« — 6,278»- 10 

log cos 6ff = 9,825 — 10 

log sin 3.Jff=. 9,557 — 10 

Summa = 5,660«— 10 

J« = 127« 3' 2,25862" 
[2,1343243.7] =+ 2 ie;24620 
[7,775« - 10] = - 596 

l [5,660» - 10] = — 5 



J<p = 127« 5' 18,49881" 
= 457518,49881". 

Zur numerischen Prüfung der Formeln wurde (z/y — Jo) auch 
nach Formel (9) S. 223 berechnet Es fand sich hierbei derselbe 
Wert wie vorher, nämlich: 

2' 16,24140" — 0,00122" + 0,00000" = 2' 16,24018". 

Man hat nun weiter 
^^j 9, = 131» 34' 47,26583" 

log sin 9, = 9,8739202.704 — 10, log cos g>, = 9,8219472.649» — 10. 

Ferner: 

sin ft = [9,7401112.969»- 10] 

cos /3j cos «2.1 = [9,7920843.024, — 10] 

cos /Jj sin a,.i = [9,7484605.106«— 10] 

cos ft cos Aj = [9,5704077.755» — 10] 

cos ßi sin Aj = [9,8739202.704 — 10] 

Damit wird: 

log tan «,., = 9,9563762.082 — 10 a«.i = 222» 7' 37,98543" 
log tan A, = 0,3035124.949, X^ = 116''26' 3,37617" 

log sin «2.1 = 9,8265794.683» — 10 log sin A, = 9,9520392.280 —10 

log cos «2 . 1 = 9,8702032.601» — 10 log cos A, = 9,6485267.332» — 10, 

und hieraus folgt mittelst obiger Gleichungen 



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§ 11. Zahlenbeispiel IV. 243 

log cos jS, = 9,9218810.423 — 10 , 

dreimal übereinstimmend and einmal mit 4 anstatt 3 in der 10. Deci- 
malstelle. Dieser Wert für log cos ßf gehört innerhalb der Genauigkeit 
der Tafeln demselben ß^ an, wie der oben angegebene log sin ß^. 

Es ist weiter: 
i log tan ft = 9,8182302.546, - 10 



— log^l — e* = 0,0014541.798 

log tan Bg = 9,8196844.344,^^10; £, = - 33» 26' 0,00002". 

Man hat endlich noch zur Berechnung von Lt.»: 
^A = A, - Ai = 108" 27' 16,62534". 



Ferner: 



log {4- -»f (l - Y « )} •= 6,33603 

log *! = 7,06059 — 10 



log(|M)= 6,212 

2 log*, —4,121 — 10 





Summa == 3,39662 Summa = 0,333 






. log a = 7,5241069.0 - 10 








- [3,39662] -= - 2492.4 
-[0,333] = - 2.2 








log X = 7,5238574.4 — 10 




log(- 


- 1 9"<») = 2,53678« ( log(^ q"^) - 1,935 






log *, = 7,06059 — 10 1 21og h^ = 4,121 - 


-10 




log r = 9,59737» - 10 log «' = 6,056 - 


• 10 




1 log cos /Jo = 9,7484605.1 - 10 








log %' = 7,5238574.4 - 10 








log ^9 = 5,6604086.6 





Summa = 2,9327266.1 



log cos /Jo = 9,74846 — 10 

logr «=9,59737«- 10 

log cos 2g> = 9,85745» — 10 

l log sin ^^9= 9,90184 — 10 

Summa = 9,10512 — 10 



log cos /So = 9,748 — 10 

log r = 6,056 — 10 

log cos 4 9 =8,572 — 10 

log sin 2 ^ 9 = 9,983« -- 10 



Summa = 4,36« — 10 

16* 

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244 5. Kapitel. Fundamentalformeln fQr die geodätische Linie. 

Es ist daher für Xi.»: 

Ag — A, = 108« 27' 16,62534" 
- [2,9327266.1] = - 14 16,49848 

- [9,10512 — 10] = 0,12739 

+ [4,36 - 10] = * 



= 9,9770715.292 — 10 



ii.2 = 108» 12' 59,99947". 

Die Berechnung von Jk aas der 1. Gleichung (5) S. 237 giebt 
9,9018424.667 - 10 
log sin z/A = 9,9971101.048 — 10 
0,0781189.577 

mit ^l = 108« 27' 16,6254". Die Bestimmung ist aus leicht ersicht- 
lichem Grunde nicht sehr scharf und auf 0,0001" unsicher. Übrigens 
pafst der Wert gut mit dem oben gefundenen. Die 

«,.,=, 222« 7' 37,98543" »7,98«" 

Resultate: 5,= — 33«26' 0,00002" o,ooo' 

Li.t= 108« 12' 59,99947" «0.000 " 

stimmen mit den neben angeschriebenen Ei^ebnissen von Baeyers 
Rechnung, bei welcher zwar zehuziffirige Logarithmen benutzt, aber 
die Ergebnisse der logarithmischen Rechnung nur bis zu den Tausendstel- 
sekunden incl. angeschrieben sind, völlig flberein, soweit dies er- 
wartet werden kann. Baeyers wie auch Bessds Tafeln genügen im 
vorliegenden Falle wegen der Grofse von s nicht zu einer Genauigkeit 
auf Hunderttausendstelsekunden; nun gestatten allerdings die Formeln 
beider jede wünschenswerte Genauigkeit zu erreichen, aber die direkte 
Berechnung der Eoefficienten ist, wie bemerkt, mühsamer als oben. 

§ 12. Zahlenbeispiel I. Gegeben: 

5, = 52« 30' 16,7" s ^ 529979,5784'" ai.« = 239« 33' 0,68921". 

S. 43 ist bereits ß^ berechnet, sodafs wir es hier nicht noch- 
mals aus der Tangente zu berechnen brauchen: 

|3,== 52« 24' 43,01137". 

log sin /Sj = 9,8989537.053 — 10 log sin 01.« = 9,9355442.631, — 10 

log cos /Ji = 9,7853155.518 — 10 log cosai.s = 9,7048223.603« - 10. 

Die Formeln S. 232 u. ff. geben nun: 

sin /?„ cos (pi = [9,8989537.053 — 10] 
sin /Jo sin 9, = [9,4901379.121»— 10] 
cos /J« = [9,7208598. 149« — 10] . 



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§ 12. Zshlenbeüpiel I. 245 

Hieraus folgt: 

log tan f>, = 9,591 1842.068« - 10 9, = — 2 1» 1 8' 40,05 148" 
logsinf», = 9,5604233.251,— 10 log cos 9, = 9,9692391.183 — 10 
log sin /So = 9,9297145.870 — 10. 
Ferner ist: 

cos ^1 cos A, = [9,6900989.332,- 10] 
cos ft sin A, = [9,5604233.251, - 10] 
und hiernach: 



log cos A, = 9,9047833.814,— 10 
log sin Aj = 9,7751077.733,- 10 

Es ist nun weiter: 



} A, = 2160 34' 13^42302". 



log ys -= 8,9136593.9 - 10 
log sin /Jo = 9,9297145.9 - 10 

log tan ^ = 8,8433739.8 - 10 £ = 3« 59' 18,097" 

log tan ^ = 8,5418171 — 10 ^ = ^" ^^' 39,0485" 
log kl = 7,0836342 — 10 

log s = 5,7242591.353 j log ( ^ 3f) = 6,73469 

log 1- = 8,5112358.493 -10 j^,^^,^ ==4,16727-10 



E 



21og cos ^ = 9,9994737.942 - 10 Summa = 0,90196 



Summa = 4,2349687.788 num. = 7.979 

log J6 = 4,2349679.809 

in Sek. 

z/<y = 17177,81736" — 4« 46' 17,81736". 
Die Berechnung von 26^ giebt: 

(2q>, 42<> 37' 20,10" 
q'\ sin 29i = — 2 49,34 

— g- Q"k\ sin4 9i = + 0,04 

"7 2tf^ ~ 42M0~~9,4Ö^ 

2tf = ^ 37 53 51,58. 
Die Berechnung von Jq) giebt: 



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246 



5. Kapitel. Fnndametitalfonneln för die geod&tiache Linie. 



log sin Ja = 8,9200407 — 10 

logco8 2tf =9,8971371 -10 

log sin 2^tf = 9,21959 — 10 

log cos 4 tf =9,38985 —10 

log sin 3^tf = 9,393 — 10 

log cos 6tf = 9,604« — 10 



log3l = 2,3980589. 
log H = 9,27758 — 10 
logC = 6,35i. — 10 



^0 =. 4» 46' 17,81736" 
Ä cos 2tf sin ^tf = — 16,41484 

6 cos 4ö sin 2J<s = + 0,00771 



d cos 6(T sin 3^<f 
1716^1025""^ J^ 

9, = _ ISO 55' 39"; 



-f 
+ 



4« 46' 1,41025" 
9>, 21 18 40,05148 



log sin 9, = 9,4544678.545»- 



9, 16» 32' 38,64123" 

10 log cos 9, = 9,9816378.827 



-10. 



Hiermit erhält man weiter: 

sin ft = [9,9113524.697 — 10] 

cos /S, cos «8.1 = [9,3841824.415 — 10] 

cos ß, sin aj,i = [9,7208598.149 — 10] 



cos ft cos A, = [9,7024976.976, — 10] 
[9,4544678.545. — 10]. 



cos ß^ sin Xg 
Dies giebt: 

log tan «2.1 = 0,3366773.734 a,.i== 65« 16' 9,36534" 

log tan A, =9,7519701.569 -10 A, = 209« 27' 43,28944" 

log sin a, . 1 = 9,9582216.230 - 10 log sin A, = 9,6918296.627.-10 

log cos a». 1 = 9,6215442.496 — 10 log cos A, = 9,9398595.058.-10 , 
und es wird 

log cos /J, =9,7626381.919 —10 bezw. .918 je 2mal; 

log tan Ä =0,1487142.779 

log tan Bt = 0,1501684.577 5 5, = 54« 42' 50,60000". 

Femer ist ^A = A, — A, = — 7« 6' 30,13358". Zu weiterer Kon- 



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§ 13. Bestiminung der geodätischen Linie aus ihren Endpunkten. 247 

trolle kann man dieses nochmals mittelst des Sinussatzes aus Jtp be- 
rechnen, vergl. S. 237 (5), und erhält mit log sin ^g> = 8,9196266.655 
— 10 aus ai.2 sowohl wie aus «2.1.* 

log sin z/A = 9,0925327.367n- 10; Jl=-V & 30,13350". 

Dieser Wert ist als der genauere beizubehalten. Bei Berechnung 
von Lt. 2 findet sich nun weiter: 

log J(p = 4,2345530 log X = 7,5238439 -- 10 
log cos 29 = 9,8974 - 10 log «' = 9,6204» — 10 
log sin Jq> = 8,9196 - 10 log € = 6,10 — 10 



z/A 7« 6' 30,13350" 

- cos /Jo . X zf 9 = + 30,14788 

— cos /Jq . tf cos 2g> sin jd(p = — 0,01440 

— cos jSq.C cos 4fp sin 2 ^g> = 

Li.«=- 7^6' o'oÖOÖsr 
Man hat somit als 



Die Berechnung 
des 3. und 4. 
Oliedei mit a 

ergiebt dieselben 
Werte. 



Resultat: 



I -Bjj = 540 42^ 50,60000" 
Li. 2= V 6' 0,00002"ö.tiich 
aj.i = 65M6' 9,36534". 



§ 13. Bestimmung der geodätischen Linie aus der geo- 
graphischen Lage zweier Punkte. Diese Aufgabe ist, abgesehen 
vom Falle eines kleinen Abstandes beider Punkte (der in einem spätem 
Kapitel behandelt werden wird) noch nicht direkt gelöst worden. 

Man lost aber dieselbe indirekt dadurch, dafs man aus dem 
schiefwinkligen sphärischen Dreieck HPiPs Fig. 21 S. 248 mittelst der 

Seiten ^ — ßi ^"^ ß^ sowie mit Hilfe des Zwischenwinkels 

z/A = Aj — Ai, wofür man in 1. Annäherung X1.2 setzt, «i.g, «2.1 und 
z/9> bestimmt Nun lassen sich vorläufige Werte von (p^, (p^, j3q, k^ 
ermitteln, worauf die Gleichung zwischen Li, 2 und z/A den Unter- 
schied beider angiebt. 

Man erhält dadurch einen bessern Wert für z/A, womit eine 
neue Auflösung des schiefwinkligen Dreiecks erfolgt u. s. f., bis der 
Unterschied Li.i — ^X konstant bleibt. 

Zur Auflösung des schiefwinjcligen Dreiecks HPi^Da benutzen wir 
die Gatt/sischen Gleichungen (vergl. S. 131): 



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248 5. Kapitel. Fundameatalformeln fAr die geodätische Linie. 



. «21 +«1.2 



Sin 



2 



• -^v • fc — ßl 

8>^-2 =~'^"* 2 



COS 



dl 



(1) 



«2.1 + «1.2 . Jq> P, +ft . ^A 

COS 2 sm -^ = — cos ^* -^ ^ sin -g- 

. «2.1 — «1.2 Z/qp , ßi — ßl ^i 

Sm 2 ^^^ "2 "" + *^^® 2 ^^^ 2 

«2.1 — «1.2 -:^qP , - ß^ + ßi • ^^ 

COS — 2 cos 2 ^ + ^*" 2 ^^'^ T J 

und beschränken uns bei der Auflosung auf die Annahme Jtp < n. 



' I 




West 



^»./(^ «. 



08t. 



Süd. 

Fig. 20. ElUpsoid. 




Flg. 21. KugeL 



Zur Berechnung von ß^ und ß^ aus B^ und B^ ist die Formel 
anzuwenden: 



tan ß = yi — e^ tan i?; log |/l — c^ = 9,9985458.202 - 10; (2) 
zur Bestimmung von z/A aus Li. 2 aber führen die Formeln: 
z/A=Zi.2+cos/Jo{3l'^9) + Ä'cos29?8in^g) + «'co«iy»in2^9)-j — J ^ 

in Sek. in Sek. in Sek. 

log3l'= log a _ I M (1 - I fl) k, - 1 ir*.«+ . . . 
= 7,5241069.0 - 10 - [6,33603] Ar, - 16,«»] *.'+.•• ) (3) 

für Binh. der 7. Deo. 

logÄ'= log (- i-^'Vi, + • .) = 2,53678« + log äj, + • • • 

log «• =. log (i q" «»*,' + ...)= 1,1135 + 2 log Ar, -h ... ; 



sin ß^^ cos (pi = sin ßi 

sin /3q sin (p^ = cos ß^ cos ai . 2 

cos ß^ = cos ßj^ sin «i . 2 



oder 
auch 



sin ß^ cos 9^2 = + sin /52 

sin ß^ sin 9?g = — cos /S, cos ag . 1 (4) 

cos /3q = — cos /S, sin a«. i 



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§ 13. Besümmung der geodätiscbeii Linie aus ihren Endpunkten. ^ 249 



tsLnE = ydBmßo] log}/* = 8,9136593.9—10 l ^gx 

JE 
log k^ = 2 log tan— • 

Bei einer ersten Berechnung von ^dX wird man die Glieder mit 
ii weglassen. Wie im übrigen der Gang der Rechnung ist, lassen 
am besten die folgenden Beispiele erkennen. 

Hier ist zunächst noch hervorzuheben, dafs für Aletne Entfernungen 
ein Tom vorigen etwas abweichendes Verfahren sich empfiehlt, bei 
welchem mau in 1. Annäherung in die (1) nicht fQr ^X einfach Z1.2 
einfahrt, sondern besser (wie AJbrecht S. 80 angiebt) einen Wert, den 
die Anwendung der folgenden beiden Formeln liefert: 



j^k^ = Z/1.2 + (>"ä cos /Jj cos ß^ sin Z1.2 

in Sek. in Sek. 

/dk = ii.2 + ^"ä COS /}j COS /Jg sin Jk^ + 

in Sek. in Sek. 



(6) 



Zu diesen Formeln gelangt man sofort, wenn man in der 1. Glei* 
chung (3) alle Glieder mit \ vernachlässigt, also X<»lt setzt, aufser- 
dem aber fär /Iq) sin^^^ schreibt und nun beachtet^ dafs in Strenge 
ist (vergl. die 3. Gleichung (4) oben und S. 237 (5)): 

cos jSq sin ^ip e= cos ß^ sin «i. 2 sin .^9 = cos ß^ cos ß^ sin Jk. 

Es wird sich weiterhin zeigen, dafs bei kleinen Distanzen die 
(6) den Wert von jdk auf Tausendstelsekunden genau geben und dann 
ist die ganze Rechnung, insofern man sich mit dieser Genauigkeit 
begnügt, als eine direkte zu betrachten. [Vergl. noch S. 264 (3).] 

Wenn nun bei fortgesetzter Annäherungsrechnung ^k sich nicht 
mehr ändert, so kann dann s aus z/9 abgeleitet werden nach den 
Formeln (vergl. S. 223 (9) und S. 233 (4) u. (5)): 



1 — Ä-, 



-4,- ^^(p + fe — 8 ^'0 cos 2(p sin jä(p 

q' inSek. \ « / 

— Q fe^cos 4flp sin 2jä(p 

o 



I -4- —*i'00869»8in3/:/ (/> + •• • 

log h- = 1,4887641.507 log (- g^) = 5,90010, 
log 60 = 6,8031892.8 



log 



24 



5,423 



i + T*'* 



log ^ _\. — = 2 log sec — 4- -J M\* H 

log (-7- M\ = 6,73469 und log{—^u\ =6,aiS« fürEiiih.d8r7.DM. 



(7) 



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250 • &• Kapitel. Fandamentalformeln für die geodätische Linie. 

Die Fonneln des § 9 und des § 13 dieses Kapitels gestatten die Lösung 
aller Aufgaben, die sich auf die Lage von 2 Punkten beziehen. (Vergl. 
hierzu die ausführliche Darstellung von Winterberg, Astronom. Nachr. 
Bd. 95. Nr. 2271 u. ff. 8. 223 u. ff., auch Hansen, Geodät, Untersuchungen.) 
Mit Hilfe des in den genannten Paragraphen Gegebenen lassen sich 
u. a. ohne weiteres die wichtigsten Aufgaben über beliebig grofse geo- 
dätische Breiecke lOsen, insbesondere diejenige seiner Bestimmung aus 
2 Seiten und dem Zwischenwinkel, wenn die geographische Lage und die 
Azimute im Scheitel des letzteren gegeben sind. 

§ 14. ZahlenbelspleMY. Gegeben: 

B, = 55U5', B^ = — 33^26', X1.2 == 108M3'. 

Wir rechnen mit Tziffrigen Logarithmen (Tafein y. Bruhns) unter 
Mitführung der 8. Decimalstelle aus den Proportionalteilen. 
Zunächst ist nach Formel (2) S. 248: 



riog VT^=^=9,9985458.2 — 10 |log]/I^^= 9,9985458.2 — 10 

1 logtanJ5,^-04669321 _ |_log tan B, — 9,8196844« _ 

logtan/3i=0,1654779;2— lÖ log tan ^2 = 9,8 182302.2«— 10 

ß^ =55«39'38,500" A = - 33^20' 42,642" 

logsin/Jj =9,9168283.4-10 logsin/Jj= 9,7401 112.6«- 10 

logcos/Jj =9,7513504.2— 10 log co8ft= 9,92188 10.5 —10. 

Die Formeln (1) S. 248 geben hiermit: 
sin "^t'^U sin ij^ =cos ^ [9,8456844.2 - 10] = [9,6138 - 10] 
cos -*iiil!!iJ gin ::^ „ sin 4^ [9,9917124.5« - 10] = [9,9003,— 10] 
sin "-^-Ll cos ^J = cos ^ [9,8532202.1 - 10] = [9,6213 — 10] 

2 2 a 

cos "l^lZ^Ll cos - ' = sin 'l- [9,2867058.0 — 10] = [9,1953—10] . 

Die äufsersten rechten Seiten beziehen sich auf die Annahme 

^A= 108n3'. 
Es folgt damit: 

Jq> = 126"5r, ^<p = 457020", log Jtp = 5,6599; 

«1.2 = 83^3', a2.i = 222«r 

und nach den 3. Gleichungen (4) S. 248 übereinstimmend: 

log cos /So = 9,7484 — 10. 



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§ 14. Zahleabeispiel IV. 251 

Hiermit ergiebt sieh nunmehr in 2. Annäherung aus Fottnel (3) S. 248: 

^X^Li.2 + [9,7484 — 10 4-7,5241 - 10 + 5,6599] = 108« 27' 16". 

Mit diesem Werte von ^X erhält man aus dem obigen Glei- 
chungssystem: 



. ''2.1 + «1.2 . Jq> 

sin ^ sm -^ 

cos ^ sm-g- 



sm 



cos 



"2.1- 



^1.2 ^<P 



. [9,612522 - 10] 
. [9,900916»- lOJ 
= [9,620058 —10] 



'».t "1.» 

" 2 



COS ^ = [9,195910 



10]; 



^q> = 127»5'18,1", «,., = 83«23'51,0", a,.i = 222«7'37,8" 

Das 1. System (4) S. 248 giebt jetzt: 

sin ß^ cos 91 = [9,916828 — 10] ' 
sin ßa sin 9>, = [8,811974 — 10] 
cos ßo = [9,748460 - 10], i 

9>, = 4»29'28,9", logsin ß^ =-= 9,918164 — 10; 

die beiden Werte von ß^ aus cos ß^ und sin /3g stimmen hinlänglich 
mit einander flberein. 

Man hat nun zur Berechnung von Jk aus Li.t in 3. Annäherung 
nach den Formeln (5) S. 249 und (3) S. 248: 

2^1 = 8»58'57,8", 2<p = 136»4' 16", ^tp = 457518,1" ; 
f log]/* = 8,913659- 10 
llogsin/J„ = 9,918164 — 10 



logtani;= 8,831823 — 10 

logtanJ= 8,530293 - 10 

log Äj = 7,060586 - 10 
log X = 7,5241069 



^=3053' 2,4" 

f = 1«56'31,2" 

log r= 9,597. -10 
10 - 2492 = 7,523858 - 10, 



£inb.d.7.Dec. 

wobei in logX die Glieder mit k^^ weggelassen sind. Es ist ferner: 

log cos ßo = 9,748 — 10 
log cos /Jo = 9,748460 - 
logX =7,523858 
logz/^) = 5,660408 
Summa = 2,932726 



-10 


log«' =9,597«- 10 


-10 


log cos 2 g) = 9,857»— 10 




log sin ^9 = 9,902 — 10 



Summa = 9,104 — 10 



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252 5. Kapitel. Fundamentalformeln für die geodäfciBcbe Linie, 

ii.2 = losns' 0" 

[2,932726] «= + . 14' 16,497" 
[9,104-10]=+ 0,127" 



zfA = 108^27' 16,624". 

Hiermit erhält man weiter aus dem oben mehrfach benutzten 
Gleichungssystem : 

sin ""'-'t"'' sin ^ = [9,6125217.6 - 10] 



cos 



sm 



2.1+«1. 



2 

dtp 



«2.1-'^ 



1.2 



COS 



sin ^ = [9,9009166.8«— 10] 
cos^ = [9,6200575.5 - 10] 
[9,1959100.3 - 10]; 



cos 



2 
dtp 



^<p = 127« 5' 18,47", .ai.2 = 83«23'51,18", ag.i = 222«r38,00". 

Dies weicht so wenig von den vorher erhaltenen Werten ab, dafs 
durch eine neue Rechnung ^k höchstens ein wenig in den Tausendstel- 
sekunden geändert werden würde. Wir bleiben daher bei den bis 
jetzt erhaltenen Resultaten stehen und ermitteln s. 

Hierzu geben die Formeln (7) S. 249 mit 



und 

der Reihe nach: 



^<p = 457518,47" 
2y= 136U'16,3", 

jlogz/g) = 5,6604086.5 
j log A. = 1,4887641.5 
"Summa = 7,1491728.0 



log \ = 6,803189 
log Je, == 7,060586 ~ 10 
log cos 29? = 9,857455n- 10 
log sin J(p = 9,901842 — 10 
Summa = 3,623072n 



log (-g") = 5,900« 

21og Äi = 4,121 - 10 

log cos 49 = 8,572 — 10 

logsin2z/9 = 9,983«— 10 

Summa = 8,576 — 10 



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§ 16. Zahlenbeispiel V. 253 

log (^ m) «= 6,735 j 2 logsec ^ = 0,0004990.4 

21ogifci = 4,121 - 10 I [0,856] = + 7.2 



log (4 JfV) - 0,856 i + W 

log ^- E 0,0004997.6 . 

Dies wird den vorher gefundenen drei Logarithmensummen zugefQgt 
und so erhalten: 

s = 14114729,3 - 4203,2 + 0,0 = 14110526,1 . 

log s = 7,1495432.0 ...«i.i 

Die Resultate: a,.,= 83"23'51,18" 6i,w 

«».1=222 7 38,00 57.99 

stimmen mit den Angaben auf 8. 240 u. 244, die rechter Hand bei- 
gefügt sind, in völlig genügender Weise überein. 

§ 15. Zahlenbeispiel Y. Gegeben: 

5, = 5in2', B^ — 51»55', i,., — 69«3'. 

Wir rechnen wieder mit 7zi£Frigen Logarithmen (Tafeln von 
Bruhns) wie im vorigen Beispiel. 

Die Formel (2) S. 248 giebt zuerst: 



l logYi-e'^ 9,9985458.2 - 10 | log VT^^ = 9,9985458.2 - 10 

llogtanB, =0,0947328 llogtanB, =0,1058886 

logtan/3i = 0,0932786.2 logtan/)^ = 0,1044344.2 

/}, = 51«6'22,603" ß, = 51»49'24,545" 

logsinft =9,8911537.2-10 logsin/J, =9,8954835.0—10 

logcosft =9,7978751.1—10 logcosft =9,7910490.7-10. 
Die Gleichungen (1) S. 248 fahren hierauf zu: 

„:_ "«.i + «i.* „:_ ^«P =cog ^ [7,7964889,— lOJ = [7,71235»- 10] 
= sin -^ [9,7944840. - 10] = [9,54789. — 10] 
= cos ^ [9,9999915.0- 10] = [9,91585- 10] 
= 8in 4- [9,8933325.1-10] = [9,64674— 10]. 



91U 




2 


DIU 


2 


COS 


^ 


2 


- sin 


"2 


sin 


«^ 


"2 


- cos 


dtp 
~2~ 


cos 


«2. 


2 


-cos 


djp 
2 



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2&4 6. Kapitel. FondameDtalformeln für die geodätische Linie. 

Di« äufsersten rechten Seiten beziehen sich auf Jk = 69^3'. Es 
folgt leicht: 

J^ = 4P2r30"= 148890"; log = 5,17287; 
«2.1 = 242^33' 4", «1.2 = 119n'20". 
Die 3. Gleichungen (4) S. 248 geben übereinstimmend: 

log cos /»o = 9,73918 — 10. 
Hiermit findet sich in 2. Annäherung aus Formel (3) S. 248: 
^;i = i,.2 + [9,73918- 10+7,52411 — 10 + 5,17287]=69^r 33,00". 
Mit diesem Werte giebt das obige Gleichungssystem: 



8in "»' + "'•' sin ^/ -[7,7121545, 


-10] 


cos °'''^"'' sin --f — [9,5483051. ■ 


-10] 


sin "*'""" cos ^ = [9,9156570.7 


-10] 


cos "''T"'-' cos -„'?^= [9,6471536.0 ■ 


-10] 



8 

^9 = 41»23'57,2", «2., = 242030' 57,26", «,., — 119«9'18,26''. 
Hiermit erhält man mittelst des 1. Systems (4) S. 248: 

sin ßo cos 9>i — [9,891154 —10] 
sin /J, sin <pi = [9,485560. — 10] 
cos/Jo =[9,739040-10]; 

9>, — - 2P27' 19,5", log sin /J, = 9,922344. 

die Werte von ß^ ans cos ß^ und sin ^g stimmen hinlänglich mit 
äiu ander überein. 

Man hat nun zur Berechnung von ^l aus Li.j in 3. Annäherung 
aus den Formdn (5) S. 249 und (3) S. 248: 

'2(p,n= — 42054'39,0", 2<p == - 1»30'41,8", ^(p = 149037,2"; 
log tan jB = 8,836003—10 E •= 3»55' 17,2" 

log tan ^ — 8,534464- 10 y = 1«57' 38,6" 

log \ = 7,068928 - 10 log «' = 9,606.-10 
log Ti' = 7,5241069—10 — 2541 Ki«h. a. t. d«. = 7,523853—10, 



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§ 15. Zahlenbeispiel V. 255 

wobei in log TL' die Glieder mit k^ weggelassen sind. Femer ist: 

log cos /So = 9,739 —10 
log cos /»o = 9,739040- 10 log ^ == 9,606»— 10 

log 31' =7,523853-10 log cos 29? == 0,000 

log zf 9 = 5,173295 [ log sin jd(p = 9,820 — 10 

Summa = 2,436188 Summa = 9,165i, — 10 

Li,2 = 69^S' 0" 
[2,436188] = + 4' 33,016" 

[9,165„— 10] 0,146" 

JX = 69« r 32,870". 

Dies weicht Ton der 2. Annäherung so wenig ab, dafs jetzt in 
3. Annäherung ^g>, aa.i und ai.g kaum in den Zehntelsekunden 
Änderungen erleiden werden und för 7ziffirige Rechnung jedenfalls 
die folgenden Werte als definitiv anzusehen sind. 

Es wird: 



Jl 



ii^ = 34^33' 46,435"; 



JX 



log sin - = 9,7538208.9-10 



log cos 



JX 



9,9156656.7-10; 



sm 



cos 



sin 



«2.1 + «i.s 



sin 



J(p 



[7,7121546.-10] 



dtp 



«2.1 + «1.2 

- sm 
*1.2 dtp 



sin ^ = [9,5483049« -10] 



«2.1-«« 



flfo , «1 



cos 



cos Y = [9,9156571.7-10] 
cos -^ = [9,6471534.0-10]; 



zi9 = 41« 23' 57,34", a^.i = 242« 30' 57,32", «i.^ = 119« 9' 18,20". 

Zur Berechnung Ton s geben nun die Formeln (7) S. 249 mit 

z/9 = 149037,34" und 29 = - 1« 30' 41,8" 

der Reihe nach: 

t\ogjd(p —5,1732950.6 

jlog^ =1,4887641.5 
Summa = 6,6620592.1 



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256 5. Kapitel. Fnndamentalfornieln für die geod&tische Linie. 



log 6, = 6,80319 
logÄ;i = 7,06893-10, 
log cos 2tf) = 9,99985—10 
llog sin J^ ■= 9,82040—10 



log (_^) = 5,90« 

21ogÄ;i =4,14-10 
log cos 4^» = 0,00 
Uog8in2z/9= 0,00 



Snmma °= 3,69237 Snmma °>- 0,04. 

j log (J- m) = 6,735 1 21og sec ^ = 0,0005087.2 

l21ogÄ, =4,138— 10 1 [0,873] = + 7.5 

log (iMkA = 0,873- 10 1 + i *? 

^* ' log ^ * = 0,0005094,7 

Dies wird den vorhergefundeneu 3 Logarithmensummen hinzu- 
gefügt und so erhalten: 

s = 4597996,6 + 4930,4 - 1,1 =- 4602925,9"». 
I log s -= 6,6630340 
Resultat: ci., = 119» 9' 18,20" 
l «8, = 242 30 57,32 

Hansen, der dasselbe Beispiel in seinen Greodät. Untersuchungen be- 
handelt, hat a. a. 0. S.47 und S. 88 für a,.i 57,30" und 57,27"; ai.» und 
log s (auf Meter reduziert) stimmen mit den hier erhaltenen Resultaten. 

§ 16. Zahlenbeispiel I. Gegeben: 

Königsberg .B, = 54« 42- 50,6") . , „« ., 



Berlin JB, = 52 30 16,7 

Es ist zunächst nach früheren Rechnimgen: 

/}j = 54» 37' 24,75639" (S. 171) ß^ — 52«' 24' 43,01137" (S. 43) . 

Hiermit hat man bei Anwendung 7ziffriger Logarithmen (Tafeln von 
Bruhns) unter Beibehaltung der 8. ZifPer aus den Proportionalteilen 
nach den Gleichungen (1) S. 248: 

sin"*-- ^"^* sin ^ = 18,2855261.9 -10Jcos^ = [8,28470 -10] 
cos"^'^ "»•? sin ^2' = [9,7742057.3,—10]8in^^ = [8,56604,-10] 
sin ~ i-7-"* * cos -7 = [9,9999191.0 - 10] cos^- = [9.99909 -10] 
cos"^'~"'* cos 1*^ = [9,9052782.2 —lOJsin-^^^ [8,69711 -10] 



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§ 16. Zahlenbeispiel I. 257 

Die äufsersten rechten Seiten beziehen sich auf JX = 7® 6' 0". 
Es wird: 

«12 = 65^ 14' \r «2.1 — 239« 31' 33" 

^q> = 4« 45' 46" = 17146" log Jip -= 4,23416 . 

Die 3. Gleichungen (4) S. 248 geben nun in guter Übereinstim- 
mung: 

log cos /Jo = 9,72075—10 . 

Hiermit aber folgt in 2. Annäherung aus Formel (3) S. 248: 
^A = Lu2 + [9,72075—10 + 7,52411—10 + 4,23416] 

JX = V 6' 30,131" 4^ = 3« 33' 15,066" 
log sin 4^ = 8,7923388.3-10 log cos -^ = 9,9991638.9-10 . 

Im Torliegenden Beispiel erlangt man diesen Wert etwas rascher 
nach den Formeln (6) S. 249. Diese gehen: 

log ((."«) =2,83853 
log cos ßi = 9,78532—10 
log cos /Jj = 9,76264—10 
y log sin 7" 6' = 9,09202-10 
Summa -= 1,47851 
^A = 7» 6' 30,10".' 

Mit log sin 7« 6' 30,10" = 9,09253—10 anstatt der 4. Zeile folgt als 
Sninme 1,47902 und damit 

^X = 7» 6' 30,131". 

Jetzt wird mit dem 2. Näherungswert f(ir ^l (man mag denselben 
aof die eine oder andere Art ermittelt haben): 

si» "'^t"' ' *™ ^ =[8,2846900.8 -10] 
cos "'■''^"'■^ sin ^ = [8,5665445.6.-10] 
sin "'•'"""" cos i,' = [9,9990829.9 - 10] 



2 



cos "'•' ^ "" cos ^ = [8,6976170.5 -10] 



und hieraus: 



Jy = 4» 46' 1,410" «2.1 = 239" 33' 0,67" «,.» = 65» 16' 9,34". 

HftlmeTt, inathem. u. physikal. Theorieen der hOh. Geodäsie. 17 



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258 6- Kapitel. Fandamentalformeln ffir die geodätische Linie. 

Das 1. System (4) S. 248 fübrt nun zu: 

sin /Jo cos 9>i = [9,9113525—10] 
sin /»o sin ip^ = [9,3841825—10] 
cos/Jo =[9,^208598-10] 

9>i — 16« 32^ 38,64" log sin ß^ = 9,9297146-10 , 

welcher letztere Wert mit cos ß^ zu demselben Winkel gebort, wie 
es sein mufs. 

Man hat jetzt zu den Formeln (5) und (3) S. 249 u. 248 in 3. An- 
näherung, wenn wir zum Zwecke einer anderweiten Benutzung anstatt 
mit 6ziffrigen (wie hier genügend ist) mit Tziffiigen Logarithmen rechnen: 

2g?i = 33« 5' 17,28" 2(p = 37« 51' 18,69" Jtp = 17161,410" 
log tan E — 8,8433740-10 JS = 3« 59' 18,097" 

log tan ^ = 8,5418171-10 v = 1 59 39,048 

log k, = 7,0836342—10 log «' = 9,6204«-10 

log X «. 7,5241069-10 - (2628 + 2) Bi«h. d. 7. Dec. = 7,5238439-10 



log cos /Jo = 9,7208598—10 
logX =7,5238439-10 
log Jip = 4,2345530 



log cos /Jo = 9;7209 —10 

log«' =9,6204« -10 

log cos 2 g? = 9,8974 —10 

l log sin z/ip — 8,9196 —10 



Summa = 1,4792567 Summa = 8,1583«— 10 

Li.g = 7«6' 0,00000" 
[1,4792567] = + 30,14788" 

[8,1583« - 10] 0,01440" 

^X = r & 30,13348" . 

Von dem vorstehenden Wert weicht aber der in 2. Annäherang 
erhaltene nur in der 3. Decimale der Sekunden um 2 Einheiten ab. 
Man kann daher für die Rechnung mit 7ziffrigen Logarithmen bei 
den bisherigen Resultaten ai.g, as.i und ^ip stehen bleiben. Man 
hätte sogar die letzte Berechnung von z/A ganz weglassen können, 
wenn zum voraus bekannt gewesen wäre, dafs z/A in 2. Annäherung 
bis auf 0,002" richtig sei. In dieser Beziehung wird der folgende 
Paragraph Aufschlufs geben. 

Zur Berechnung von s erhält man jetzt nach den Farmdn (7) 
S. 249 mit 



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§ 16. Zahlenbeispiel I. 




/lif, = 


= 11161,410" 


und 2<p — 37» 51' 


18,69' 


der Reihe nach: 










log ^<p 


— 4,2345529.7 






1 log f 


= 1,4887641.5 





259 



S' 



lunma - 



log \ ^ 6,80319 
log jfc, = 7,08363-10 
log cos 29» = 9,89739—10 
l log sin dq» = 8,91963—10 
Summa = 2,70384 



5,7233171.2 

log (--1^) = 5,90, 

21ogi-, =4,17 -10 

log cos Afp = 9,39 —10 

, log sin 2J<p = 9,22 — 10 

Summa = 8,68«— 10 



log (|- Jlf) = 6,735 j 21og sec y = 0,0005262.0 
21og*, = 4,167-10 1 [0,902] = +8.0 



log(|lfi») =0,902 



log , . = 0,0005270.0 . 

1 «1 



Dies wird den Yorhergefuudenen 3 Logarithmensummen hinzugefügt 
und so erhalten: 



s = 529473,32 + 506,26 — 0,04 = 529979,54»» . 



Die 



Resultate 



s = 529979,54"» 
«1,,= 65M6'9,34" 
«2.1 = 239« 33' 0,67" 

stimmen befriedigend mit der Rechnung 8. 244 u. ff. überein. 



Um eine noch gröfsere Genauigkeit zu erhalten, wenden wir nun 
im Folgenden lOzifirige Logarithmen an. 

Es ist mittelst des oben gefundenen Wertes für ^A: 



JX 



^ = 3« 33' 15,06674" 



log sin ~ = 8,7923388.593^10 

JX 



log cos ^ = 9,9991638.814-10 

und indem wir wie oben setzen: 

ß^ = 54« 37' 24,75639" ft = 52« 24' 43,01 137" , 

17* 

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260 6. Kapitel. FandatnentalformelQ für die geod&tische Linie, 

nach den Gleichungen (1) S. 248: 

«2.1 + «1.2 



sin 



cos 



2 2 

«2.1 + «1.2 . Jfp 



sin ^ — [8,2846900.557 -10] 



2 



sin Y = [8,5665446.196»— 10] 



«• 1 — « 



sin 



2.1 •*1,2 



COS 



COS 



«2.1 — «1.2 



2- 



[9,9990829.928 -10] 



COS ^«=[8,6976170.810 -10] 



2 2 

a«. 1 = 239« 33' 0,68891" «1.2 = 65« 16' 9,36499' 



log sin 4? — 8,6189725.722-10 



2 

"2" 



log COS ^ = 9,9996240.975-10 " ^ 



^'^=.2<> 23' 0,70512" 



z/g? = 4« 46' 1,41024" = 17161,41024" . 

Für E und A^i , sowie 2(p können die Werte der früheren Rechnung 
beibehalten werden. 



Zur Berechnung von s ist: 



— Mh* = 2 Binh. d. 7. D«c. 



log b^ — 6,8031893 
log (i, - -|- jfc,») = 7,0836340-10 

log cos 2<p = 9,8973875—10 

log sin 2^9 = 8,9196266—10 

Summa ■= 2,7038374 



log J<p '-' 4,2345529.731 

log -V = 1,4887641.507 

Summa <» 5,7233171.238 

log {- ^) — 5,9001, 

21ogÄ;, -.4,1673—10 

log cos 4<p — 9,3924 —10 

log sin 2.^9» -=. 9,2191 — 10 

Summa — 8,6789. — 10 



j log (jM) — 6,73469 
|21og*, =4,16727-10 
log (j- Mk*) = 0,90196 1 + X *« ' 



21og sec ^ — 0,0005262.058 
[0,90196] = + 7.979 



0,0005270.037 



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§ 17. Die Konvergenz der Annäherongsrechnungen u. 8. w. 261 

[5,7238441.275] — 529473,3769 

[2,7043644] = + 506,2493 

[8,6794» -10] 0,0478 

Glied mit sin 3 ^9 «» 



Resultat: 



s = 529979,5784 

s = 529979,5784 
log 5 = 5,7242591.353 
«1.2= 65M6' 9,36499" 
«,.1 — 239« 33' 0,68891". 



Diese Zahlen sind nicht in völliger Obereinstimmung mit der 
Rechnung S. 244 u.ff., weil dort «i.a um 0,0003" tu grofs angenommen 
ist. Zunächst ist dort auch «9.1 entsprechend grörser um 0,0003^'. 
Dem grofsem Azimut daselbst gehört femer eine Verkleinerung von 
B^ um 0,00002" und eine Vergröfserung des absoluten Betrags der 
Langendifferenz unn 0,00002" zu, welche letztere wenigstens in der 
That nach 8. 247 vorhanden ist. 

§ 17. Die Konrergenz der Annäherungsrechnungen bei 
Losnng der Aufgabe des § 13. Wir betrachten zunächst die 
Methode der ausschliefslichen Anwendung der Crau/sischen Gleichun- 
gen. Dieselbe setzt in 1. Annäherung Xi.s fUr ^X und hierauf in 
2. Annäherung ^A =■ Zri.j + a cos ßf^ ^(p\ wobei cos ß^^ -J9?' das Er- ! 

gebnis der 1. Annäherungsrechnung für ooa ß^^^ bezeichnet. Sub- 
trahiert man nun diesen 2. Näherungswert von dem strengen Wert 

Li,i + Ä cos /)o|^9' (1 "" Y *i) "~ Y *i c^^ ^V ^^^ ^V + ' •} ; 

in welchem Ausdruck wir in der Parenthese hi* vernachlässigt haben, so 
folgt als Fehler des 2. Näherungswertes im Sinne einer Verbesserung: 

Ä {(cos^jjzf^D — cosß^Q^ip) — YÄiCOS/Jo(z/g?-4-8inz/g?cos2g?) + •• | • (1) 

Indem wir uns jetzt auf kleine Distanzen beschränken, können 
wir im 1. Teil von (1) für ^q> und J(p die Sinus dieser Winkel, 
im 2. Teil aber für sin ^(p einfach z/g) setzen. Da nun (vergl. 
S. 249 die Entwicklung zu (6)): 
coB ß^ sin ^ip — cos ß^^ sin ^(p' = cos ß^ cos ft (sin z/A — sin Zri.2) 

ist, da femer wegen ii.2 = -^A '— ü cos /J^ J(p + • • • für kleine 
Distanzen in hinreichender Annäherung 

sin ^X — sin Li.^ = ü cos /J^ cos ^X jdq> -)- • • i 



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(3) 



262 5. KapiieL FondameDtalformeln für die geodätische Linie. 

gesetzt werden kann, überdies aber mit Rücksicht auf die 1. Glei- 
chungen (4) S. 248 und die Relation 1 + cos 2 9? = 2 cos* 9), eben- 
falls ausreichend genau 

Y ii cos /Jq J^> (1 + cos 2g?) = y a cos ß^ sin ß^ sin j8, /lq> + . . . 

wird; so läfst sich (1) für kleine Distanzen auf die Form bringen : 

Ä* cos /Jo ^^> (cos ß^ cos /J2 cos JX — Y sin /J^ sin /Jg] + • • • . (2) 

Beachtet man endlich noch, dafs cos /}| cos jS^ cos ^A 4' sin /}| sin /S, 
e= cos Jfp ist, so folgt einfacher: 

t? cos /Jq J^> (cos /ig) — Y sia A siö AJ + ' 
log a« = 5,048-10. 

Bei der Ableitung dieser Formel sind aufser Gliedern mit t? ins- 
besondere solche mit ^ Jfp^ vernachlässigt, und es wäre daher kox^ 
sequent, auch noch für cos z/9 einfach 1 zu setzen. Indessen ge- 
winnt durch Beibehaltung von cos zi/g? die Schärfe des Ausdrucks, 
namentlich in hohem Breiten, weil hier die bisher vernachlässigten 
Glieder der Ordnung a'zfg?' sich erheblich verkleinem.*) 

Man erkennt aus der Gestalt des Ausdrucks (3), dafs die Kon- 
vergenz der Annäherungsrechnung hauptsächlich von dem Betn^e 
der reduzierten Breite bedingt ist. Setzt man, um dies weiter zu 
verfolgen, cos /3q » cos j3 sin a -| — , worin ß das arithmetische Mittel 
von /3i und /),, und a das arithmetische Mittel ^on a\,% und a%,\ — 180^ 
bedeutet, setzt man aufserdem cos ^9 = 1 , so geht (3) über in 

a* idKp sin a . cos /) (1 — -^ sin* j8 j + • • . (4) 

Der Faktor cos /J (l — y ^^ ß) ^s* ^^^ ß = ^ Bleich 1 , fttr 
sin /J = + ]/-| d. i. für /J = + bö^ und ebenso für /J = + 90® 

gleich null und hat fiir /J = 0, sowie für sin /J = + y}/2 d. i. für 
ß = ±10^ Maxima. 

Das letztere, kleinere Maximum beträgt — y • ^^^ ß "^ ^8® ist 

der Faktor + y • 



*) Diese Glieder lassen sich in nachstehenden Ausdruck zusammenziehen, 
Jq> als Arcus genommen: 

— p"ä" cos ßo^9>^ jcos» |5 (1 — 6 sin «i.g sin a, j) — 1 1 • 



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§ 18. FortsetEung: Die Konvergenz bei der 2. Methode. 263 

Es ist daher nur für die Zonen nördlich von /) »» 48^ und südlich 
wnß ^== — 4S^ bis gu den Polen die Konvergenz der Annäherungsrechnung 
eine ungeunihnlich starkCf indem hier der Fehler des 2, Näherungswertes 
von AX kleiner als Jtp : 800000 bleibt. 

Im allgemeinen geht aber der Fehler bis Afp i 90000^ sodafs er 
selbst f&r sehr kleine Entfernungen nicht zu vernachlässigen sein wird. 

Der Ausdruck (3) kann jedoch dann dazu dienen^ den 2. Nähe- 
rungswert für /4X sofort in einen in der Regel als definitiv zu be- 
trachtenden Wert überzuführen« 

Zahlenbeispiel T 8. 253 giebt zu dem Ausdruck (3): 

cos ^ip — 0,750 y sin ß^ sin ft = 0,918 

log Jip = 5,173 log cos /Jo = 9,739 — 10 

Verbesserung von (z/A = 69® T 33,00") gleich — 0,15". 

Der genaue Wert ist — 0,13"; die Formel (3) pafst hiernach trotz 
der 6r5fse der Distanz noch ganz leidlich. 

Zahlenbeispiel I S. 256 giebt zu dem Ausdruck (3): 

cos z/ 9? = 0,997 Y sin jS^ sin ft = 0,969 

log Afp — 4,234 log cos ß^ =« 9,721 — 10 

Verbesserung von (JX = V & 30,131") gleich + 0,0029". 

Rechnet man aber 8. 256 u. 257 in 1. Annäherung 7ziffrig anstatt 
öziffrig, so folgt als 2. Näherungswert für JX 7^ 6' 30,1307"; dazu 
0,0029", giebt bis auf 0,0001" den strengen Wert von 8. 258. 

§ 18. Fortsetzung: 2. Methode« Wenden wir bei Beginn der 
Annäherungsrechnungen die Formeln (6) 8. 249 an, so entspricht der 
2. Näherungswert für /JX bis auf eilten unerheblichen Fehler der 
Gleichung 

zJX ==s Li.j 4^a cos ßi cos ^si sin AX. 

Vergleicht man dies mit dem oben angegebenen strengen Wert, 
so ergiebt sich als Fehler dieses Näherungswertes im Sinne einer 



acos/J^j! Jq> — -k^(^<p'{'Qin^tpcos2q))] — acos/JiCos/J2 8in^A|+-.(l) 
Setzen wir hierin 

cos ßQ^q> = cos /Jo sin J(p + y cos /J^ sin'z/^) -f- • • • 

= cos /?! cos /Jj sin^A + -- cos /Jq Jq> sin'z/g? + • • • 



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264 5. Kapitel. Fundamentalformeln fOr die geodUtiBche Linie. 

und schreiben für k^Jq) im 2. Teile der geschlungenen Parenthese 
h^ sin ^(pf so geht (1) nach weiterer Reduktion über in: 

II cos ßo^fp (y sin* J(p — Y II sin ft sin j8,j + • • ' • (2) 

Die Vergleichung dieses Ausdrucks mit (3) auf Seite 262 

spricht für Jfp <-=■ cos ß zu Gunsten der 2. Methode. Überschreitet 

aber Jq> diesen Betrag, so wächst der Ausdruck (2) weit rascher 
als jener Ausdruck (3). 

Für nicht kleine Distanzen ist daher die 1. Methode (Anwendung 
der 6au/äischen Gleichungen) der 2. Methode vorzuziehen. 

In der That ist im Falle des Beispiels V S. 253 der nach der 
letzteren bestimmte 2. Näherungswert für ^A um 23" fehlerhaft, 
nämlich gleich 69<> T 10", anstatt 32", 9. 

Für Seiten fpiefsbarer Dreiecke kann nach Formel (2), indem 

— sin' 2dq> gegen -^ ^ ^^^ ßi ^^ ß^ zurücktritt, eine stärkere Annäherung 

als durch (6) S. 249 dadurch erzielt werden, dafs man Jl aus der Gleichung 

JX = Li, 2 + p"ä cos /?! cos /Jj sin ^A (l — — II sin ß^ sin /J,) (3) 

in Sek. in Sek. \ Z / 

bestimmt. Dieser Wert ist sodann in die Formeln (1) S. 248 einzuführen. 

AWrecht hat in Nr. 2294 der Astronom. Nachr. Bd. 96 S. 211 (1880) 
seine Methode ausführlich behandelt und den Grad ihrer Annäherung 
bestimmt. 

§ 19. Die Aufgabe des § 13 im allgemeinen. Im § 13 S. 248 
wurde vorausgesetzt, dafs z/9 < sr sei und dafs die Annäherungs- 
rechnung auch unbedingt zur Losung führen müsse. Allein das 
erstere ist eine Beschränkung und das letztere tritt nicht immer ein. 

Zunächst sieht man sofort, dafs die Gleichungen (1) S. 248 aufser 
von einem Wert -Jg? < ä, den wir mit Jq> bezeichnen wollen, noch 
von unendlich vielen anderen Werten, die zwischen n und 23r, 2n 
und 3}r, u. s. f. liegen, befriedigt werden. Jedem derselben entspricht 
je eine besondere geodätische Linie. Die kürzeste Verbindung 
gehört aber zu Jip, was für mäfsig grofse Distanzen unmittelbar 
klar ist, aber sich auch als allgemein gültig im 7. Kitpitel bei der 
Untersuchung des Laufes der geodätischen Linien erweisen wird. 

An dieser Stelle findet auch derjenige Fall seine Erledigung, für 
welchen die Methoden des § 13 mehr oder weniger versagen. Es 
tritt dies nämlich ein bei nahezu diametraler Lage der Punkte. Wenn 
man hier in 1. Annäherung Li,% für Jk setzt, so begeht man nahezu 
den Fehler 180" a cos ß^ d. i. 0,6® cos /J^, indem ^9? in Gradmafs 
nahezu 180® beträgt Es läfst sich aber leicht und zwar am be- 



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§ 1. Drehung einer geodätischen Linie Pj P, um einen ihrer Endpunkte. 205 

• 
quemsfcen geometrisch erkenueD, dafs bei nahezu diametraler Lage der 

Hilfspunkte fl} und JÜ^ ^^^ ^^^ Kugel (wenn insbesondere ß^ -\- ß^ von 
der Ordnung 0^6^ cos ß^ ist) eine geringe Verschiebung des einen der- 
selben in geographischer Länge die Lage des sie verbindenden gröfsten 
Kreises d. h. den aus der x\nnähcrungsrecbnung hervorgehenden Wert 
cos ß^ stark beeinflufst. In extremen Fällen, wie z. B. für /J^ = /Jg = null, 
kann sogar von einer successiven Annäherung fortgesetzter Rechnungen 
nicht mehr die Rede sein. 

Wie man nun hier im allgemeinen einen wirklichen 1. Näherungs- 
wert fQr z/A ableitet, wird a. a. 0. gezeigt. Mit Benutzung dieses 
letztem kann dann nach § 13 weiter gerechnet werden. 

Hansen hat im 2. Abschnitt seiner Geodätischen Untersuchungen die 
Aufgabe des § 13 S. 247 (wie zahlreiche andere) mit Hilfe des vertikalen 
Schnitts gelöst, der von einem der beiden Punkte nach dem andern geführt 
werden kann. Es erscheint uns diese Methode aber als keine besonders 
vorteilhafte. 

Eine direkte ist sie insofern nicht, als bei grofsen Distanzen die Resultate, 
welche aus der Reduktion der Angaben für den vertikalen Schnitt auf 
solche für die geodätische Linie hervorgehen,' immer noch durch Differential- 
formeln korrigiert werden müssen. 

Aufserdem werden die Formeln unbrauchbar für nahezu diametrale 
Punkte, wie die Betrachtung der (52) S. 60 a. a. 0. unter Voraussetzung 
von % nahezu 180° zeigt (Nur irrtümlich ist daselbst von Hansen die All- 
gemeingültigkeit der aus Reihenentwicklungen abgeleiteten Formeln be- 
hauptet) 

Endlich ist der Formelapparat bei Hansen weniger einfach^ als der hier in 
§ 13 gegebene, der noch den andern auch nicht zu unterschätzenden Vorteil 
hat, sich wenig von dem für die Aufgabe des g 9 S. 232 zu unterscheiden. 

Zur Vergleichung können die Beispiele IV und V S. 250 u. 253 dienen, 
die Hamen S. 87 u. ff. a. a. 0. behandelt. 



6. Kapitel. 

PiffereBtialformelii und ReihenentwicklaBgeii für die 
geodätische Linie. 

§ 1. Drehung einer geodätischen Linie P^P^ um einen ihrer 

Endpunkte. Wir denken uns die Linie P^P^ von der konstante^ 
Länge s um den Punkt P^ gedreht. Nach S. 220 (6) hat man 



ajvi^ 



^ COS* ß d(p^ (1) 

wobei ß als Funktion von g) mit Rücksicht auf die feste Lage von 
Pi durch die Formeln gegeben ist; 

sin /) »> sin ß^ cos (p cos ß^ «« cos /)i sin ai. a . (2) 



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266 6. Kapitel. DifferentialformelD u. Reihenentwicklungen f. d. geodät. Linie. 



Ändert sich cci.s um den differentialen Betrag dai,^^ so ändert sich^ 
wie die (2) zeigen, ß^ und infolge dessen bei konstantem Werte von 
q> auch ß, aufserdem aber g)^, weil ß^ konstant bleibt Diese 
Änderungen haben endlich noch nach Mafsgabe von (1) eine Änderung 
von (p^ zur Folge. 




Ost. 



Sikd. 

Fig. 20. Elliptoid. 




Fig. 21. KngeL 



Bezeichnen wir die Änderungen durch Vorsetzen eines S an die 
betreffende Variable und beachten^ dafs d^ «» null sein soll^ so giebt (1): 



9i 



(3) 



wobei wie früher w im allgemeinen zur Abkürzung für y^l — e^ cos* ß 
dient. 8ß ist in Bezug auf konstanten Wert von tp zu verstehen. 
Hierzu geben die (2): 

8ß «» sec ß cos /3q cos <p Sß^ 

SßQ = — CSC /Jq cos /Ji cos «1.2 ^«1.2. 

Betrachtet man nun die Relationen der sphärischen Fig. 21 [vergl. 
8. 248 (4)]^ so findet sich aus Vorstehendem: 

Sß^ t=B — sin fpxSai,% 
^/} BS — sec ß cos /Jo cos 



i*ai.2 I 

I 9 sin (Pi8ai,2,l 



(4) 



Dies führen wir in (3) ein und erhalten, da auch sin /) =» sin /J^ cos <p ist: 



fttr 



d^(p = Äqpj — dq)i 



(5) 



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§ 1. Drehung einer geodätischen Linie P^ P, um einen ihrer Endpunkte. 267 
und 

J-f^ä^' (6) 

Drückt man in (5) d(pi durch dai,i aus^ so giebt diese Gleichung 
ein Mittel zur Bestimmung von d^(p, und man kann weiterhin mittelst 
des sphärischen Dreiecks ll)Pi)p2 Fig. 21 die zu S^q> und dai.2 
gehörigen Änderungen von ß^, Li. 2 und a^.t finden. Zunächst folgt 
aus sin /S^ = sin ß^ cos (p^ durch Di£ferentiation und mit Rücksicht auf 
die 1. Gleichung (4): 



oder 



sin /3o sin fpidfpi = cos /Sq cos 9>i JjSo; 
, J g)j CS — cot /Jq c^s Vi ^^1 • « • 

Hiermit giebt die 1. Gleichung (5): 

dJq) = |(«^8 — tVi) cot /Jq cos 9)1 + c* sin /J^ cos ß^ sin 9?^ j| — —- (7) 

Zur Bestimmung von Sß^ und Jz/A hat man _ 

aus der sphärischen Fig. 22, in welcher ^ 

^'^2 «= sin ^tpa dai.8 und ^2'^^ "= ^^9 
ist, direkt durch Projektion von fl,' auf ll|ls: 

*A = J'«^'^ (8) 

== cos a2.\6Jq> — sin zfy sin «2.1^^1.3 
und 

cos ß^dJk -= |ls'<5 (9) 

= — sinaz.i Jz/qp — sin /i^jcoscts.i^^i.a* 

Führen wir (7) in (8) und (9) ein, so er- 
giebt sich: 




FUr. 89. 



u'gCcot/SoCos g^^cosag. 1 — 8in/:/9)sina8. 1) 



«;iCot/JoCOS9iCosa8.i + e'sin/JoCOS^osiDyiCosag.ie/" ^^ 



und 
8JX = 



— w^ (cot/J^j cos 9i sin «2. i + sin -^9? cosag. 1) 
+ ic^j cot/J^jCOB 9?! sin «2.1 — c* sin/Jß cos /J^ sin y^ sin «a . 1 J 






Multipliziert man die Formel für d/), mit tan /S^ sin q>^ tan ag.i? d. i. 
wegen tan ^^ sin 9?,^=» cot «2.1 soviel wie 1, so geht sie über in: 



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268 6. Kapitel. Differentialfoi'meln u. Reihenentwicklungen f. d. geodäi Linie. 

tu sin «9 , , ^ 

wobei gesetzt ist: 

Wl = ttQ (w^ cos 9?i sin (p^ — w^ sin y^ cos y^ — e^ sin* /Jq sin ^^ sin 9?a e7). (1 2) 

Zur Bestimmung von SLi,2 hat man zunächst die aus (2) und 
(3) S. 229 folgende Gleichung zu beachten: 

Li,2 = (yi -e^cos^ßdX. (13) 



= / ]/l — 6* cos* 



Hierzu ist /) als Funktion von X mit Rücksicht auf die feste Lage 
von Pj durch die Relationen gegeben: 

tan ß = tan ß^ cos l cos /3g = cos |3, sin «1.2. (14) 

Die Differentiation von (13) führt zu: 



(JXi.ü = «;,«A, - w,dk, + eWW-^i*i dA, 



(15) 



wobei d^ in Bezug auf konstanten Wert von A zu verstehen ist % Es 
wird hiermit nach (14) und mit Rücksicht auf die 1. Formel (4), 
welche auch hier gilt: 

Sß = cos*^ sec*^o cos lÖß^ = — cos*/? sec*^Q cos A sin 91^^1.2. 

Dies setzen wir in (15) ein und transformieren zugleich das Integral 
mittelst der Relationen: 

dX a= cos ß^ sec*/J dip cos X = tan ß cot ß^ sin ß = sin ß^ cos q>, 

sodafs es wieder auf qp als Variable bezogen wird. Damit ergiebt sich: 

dLi.i = w^dJX + {w^ — w^ dX^ — e* sin ß^ sin ^iJdai.g. (16) 

Für dX^ folgt aus tan ß^ = tan ß^ cos Aj ohne Schwierigkeit nach 
und nach: 

tan j8q sin X^dXj^ = sec*/?^ cos X^Sß^ = — sec*/?^ cos X^ sin ^xdcci.s, 

dA^ = — cos g?i CSC /Jo^Äi.s • 

Wir führen dies, sowie dz/A aus (10) in (16) ein und erhalten nach 
einiger Reduktion^ wobei die Formeln: 

cot ßQ = tan CK2. 1 sin (p^ und cos ^2 ^ob «s. 1 =v — sin /S^ sin 9^2 

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§ S. Die reduzierte L&nge und der geodätische Kreis. 269 

ansrawenden sind^ schlief Blich: 

SLi,2 = sec /Jj cos a2.idai.2. (17) 

«0 

§ 2. Die reduzierte Länge und der geodätische Kreis. Nennt 
man das yon P^ bei der Drehung der Linie PiP^ beschriebene Bogen- 
differential för den Augenblick u und sein Azimut %} <30 ist 

w cos X = — »0 ^i^ßt ^^^ w sin X = »o ^^^ ßi *^i.«> (1) 

weil das Element des Meridianbogens allgemein nach (1) S. 55 
gleich a^wäß ist und der Radius des Parallelkreises für P, gleich 
Oo cos ß^ wird^ S. 40. 

Führt man (11) und (17) des vorigen Paragraphen ein, so geben 
die (1): 

« cos X = + W sin a2.idai.2 *= Wdai.2 • cos («2.1 — 90^) 

« sinx = — W cos a2.idai.2 = Uldai.« • sin («2.1 — 90^)? 

woraus man erkennt^ dafs 

u = mäa,., 1 (2) 

Hiemach steht das von P^ beschriebene Bogendifferential ntdai.2 
nomkü zur geodätischen Linie PiP^' 

Man nennt die von P^ beschriebene Kurve einen geodätischen Kreis 
und m die reduzierte Länge der geodätischen Linie P1P2. 

Diese Bezeichnungen ffihrt Christo ffel S. 130 n. 131 seiner Schrift: ^127- 
gemeine Theorie der geodäUschen Dreiecke ein (Abh. der Egl. Akademie der 
Wissenschaften zu Berlin 186S). Zu dem Satze selbst aber, welcher der Be- 
zeichnung geodätischer Kreis^zn gründe liegt, und zwar als für jede krumme 
Flache gültig, wurde Gaufs in seinen Disquisitiones generdUs circa super- 
ficies curvas 1828 geföhrt. 

Nach dem Vorstehenden lassen sich mittelst geodätischer Linien 
und geodätischer Kreise Systeme von Polar- 
koordincUen konstruieren. Ist A Zentrum 
eines solchen Systems, auf welches eine 
Kurve bezogen wird, und ist ds ein Bogen- 
dement PP derselben, so hat man ähnlich 
wie bei ebenen Polarkoordinaten 

rfs* = dr* + mr^dtt^, (3) Fig. M. 

wenn r den geodätischen Radiusvektor AP^ VXr dessen reduzierte 
Länge und da^ den Winkel zwischen r und r -j- dr bezeichnen. 




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270 6. Kapitel. DifFerentialformeln n. Reihenentwicklungen f. d. geodät. Linie. 

§ 3. Geometrische Teranschaullchniig zu dem Satze rom 
geodätisehen Kreis. In Fig. 24 bedeutet P^P^ zunächst eine nach 
beliebigem Gesetz gebildete Kurve und PiPi eine unendlicb benach- 
■gg barte^ die aus jener durch Drehung um P^ hervorge- 
gangen ist. In zwei unendlich benachbarten Punkten 
P und Q ziehen wir Linienelemente normal zu 
PiP^ bis an die Kurve P1P2*. Dadurch entsteht 
ein unendlich kleines Viereck PQP^Qf, welches 
wir als eben behandeln dürfen , weil seine Pro- 
jektion auf eine mittlere Taugentialebene der 
Fläche PQP'Q' sich von dem Viereck selbst in 
Seiten und Winkeln nur um unendlich kleine Be- 
träge von der 3. bezw. der 2. Ordnung unter- 
scheidet, wie aus der Gröfsenordnung der Neigung 
der Teile des Vierecks gegen die Tangentialebene 
hervorgeht 

Es ist nun wichtig zu beachten, dafs PP und 
Q(j[ im allgemeinen ebensowenig wie PQ und P^Q' 
parallel sind, sondern wie diese eine unendlich 
kleine Neigung gegen einander haben. Die un- 
endlich kleine Krümmung des Linienelements PQ 
hat zwar auf seine Länge keinen merklichen Ein- 
flufs, wohl aber äufsert sie sich darin, dafs in P 
und Q die Richtungen der Kurve PxP^ unendlich wenig verschieden 
sind; mithin werden auch PP^ und QQ[ voi allgemeinen vom Paral- 
lelismus abweichen. 

Ist nun Q(j[' parallel zu PP und denkt man sieb von P und P' 
Normalen zu QQ[' gelegt, so wird mit Rücksicht auf die Figur: 

pq[ = pq[' + q'Q' = pq cos ^ sec ^' + e^.« . 

Wendet man diese Formel auf alle Linienelemente von P^ bis P^ 
die wir uns gleich grofs genommen denken, an, so folgt, wenn P^ 
den Punkt auf P^Pi bedeutet, welcher in der von P, aus normal zu 
P^P^ gezogenen Linie liegt: 

P^Pi'^ P^P^ . cos i>m Bec *'« + S{Qq. ö). 

Hierin ist ^m ein Durchschnittswert aller ^ und ^^ ein solcher aller i). 
Da nun die ^ unendlich klein sind, weichen cos ^m und sec ^m nur 
um unendlich kleine Grofsen der 2. Ordnung von der Einheit ab, und 
es ist P^P^ . cos ^m sec ^m = PiPg bis auf eine im Verhältnis zu P^P^ 
unendlich kleine Gröfse der 2. Ordnung. 

Was nun 2^{QQf . m) anlangt, so kann es nicht zweifelhaft sein^ 




Fig. U. 



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§ 4. Die geodätische Linie ist die Kürzeste. 271 

dafs dies im allgemeinen eine Summe unendlich kleiner Grofsen 
2. Ordnung und daher unendlich klein von der 1. Ordnung sein 
wird. Es steht nämlich die Schmiegungsebene einer Curve PiP^ im 
allgemeinen schief zur Oberfläche; daher geht^ wie man leicht er- 
kennen kann, ein endlicher Teil der Krümmung des Linienelements 
PC in Divei^nz von PP' und QQf über, sodafs cd unendlich klein 
Yon der 1. Ordnung ist und nur dann, wenn die Schmiegungs- 
ebene normal zur Oberfläche ist, wird cd null oder doch unendlich 
klein von höherer als der 1. Ordnung. 

Hieraus geht hervor, dafs nur bei der geodätischen Linie in 
allen Fällen jene Summe weniger als eine unendlich kleine Grofse 
1. Ordnung beträgt und dafs daher nur allgemein bei der geodä- 
tischen Linie bis auf unendlich kleine Grofsen von höherer als der 
1. Ordnung P^P^ «= PiA' gesetzt werden kann. Bei anderen Linien 
wird jene Summe nur in einzelnen Fällen null sein können, indem 
streckenweise die Produkte QQf .m sich aufheben. 

Man darf nun hieraus weiter in der Regel den Schlufs ziehen, 
dafs bei der Drehung einer geodätischen Linie PiP^ um den einen 
Endpunkt P, der andere Endpunkt P, eine zu P1P2 normale Bahn 
beschreibt. Denn wenn bei der unendlich kleinen Drehung P^ 
nach Pj' gelangt, so weicht P,' von P,' nur um eine unendlich 
kleine Gröfse höherer Ordnung ab, welche gegen die unei|dlich kleinen 
Grofsen 1. Ordnung P8P2' und P2P2' nicht in betracht kommt — 
oder mit anderen Worten: In dem unendlich kleinen geradlinigen 
Dreieck P2P2'P2' ist der Winkel bei P, unendlich klein. 

Es kann allerdings der Fall eintreten, dafs P2P2' selbst nur von 
höherer als der 1. Ordnung ist, obgleich der Drehungswinkel bei Pj 
und die Verschiebungen der Punkte P zwischen P^ und P, im all- 
gemeinen von der 1. Ordnung sind. Alsdann ist m =» und es 
steht der geodätische Kreis an der betreffenden Stelle nicht mehr 
notwendig normal zur geodätischen Linie. Jedoch ist die Ausdehnung 
einer solchen Stelle eben unendlich klein, sodafs sie im Endlichen 
keine Ausnahme bildet 

§ 4. Die geodätisehe Linie ist die Kürzeste. Wie früher 
auf der Eugel Fig. 3 S. 69 gebildet wurde, ebenso können wir jetzt 
auf dem Rotationsellipsoid eine Figur in der Weise bilden, dafs wir 
eine geodätische Linie PoPn um einen ihrer Endpunkte drehen und 
dabei von Zwischenpunkten unendlich benachbarte geodätische Kreise 
beschreiben lassen. Wie früher sieht man sofort, dafs eine beliebige 
Linie PqP^'P^' . . . P« länger als die geodätische Linie P^P^P^ . . . Pn^ 
sein mufs. ^ 



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272 6. Kapitel. Differentialfonneln a. Reihenentwicklangen f. d. geodät. Linie. 

Die Beweisführung ist dieselbe wie S. 69 für die Eugel im An- 
schlufs an Fig. 3. Nur bedeuten die kleinen Eugelkreise hier geodä- 
tische Kreise. 

Sie gilt aber nur unter der Voraussetzung , dafs der geodätische 
Kreis des Endpunktes P» in seinem ganzen Verlaufe keine geodä- 
tischen Kreise schneidet^ welche mit einem kleineren Abstand vom 
Zentrum Pq beschrieben sind. Denn nur a}sdann kann man sicher keine 
Linien ziehen, die kürzer als die betrachtete geodätische sind. 

Solche Durchschnitte entstehen auf dem Rotationsellipsoid, so- 
bald die Länge der geodätischen Linie so bedeutend wird, dafs sie 
um die Oberfläche mehr als halb herumreicht. Die hier stattfindenden 
Verhältnisse werden im 7. Kapitel untersucht werden. 

Dafs die geodätische Linie nicht notwendig auch die kürzeste 
Verbindung der Endpunkte ist, folgt überdies schon aus den An- 
gaben S. 264, wonach zwischen 2 Punkten unendlich viele geodä- 
tische Verbindungen existieren. Nicht alle aber können kürzeste 
Linien sein: In der Regel existiert nur eine Kürzeste; in manchen 
Fällen sind mehrere gleichlange Kürzeste vorhanden. 

Dagegen ist jede Kürzeste eine geodätische Linie; denn man 
kann jede Kürzeste auf verschiedene Art in so kleine Teile teilen, 
dafs für jeden einzelnen derselben das Zusammenfallen mit der 
kürzesten geodätischen Linie zwischen den Endpunkten des betreffenden 
Teils zweifellos ist — bei gehöriger Beschränkung der Länge blieb 
ja in der Beweisführung mit Fig. 3 kein Zweifel , dafs die geodätische 
Linie zugleich kürzeste Linie ist, was denn auch notwendig umgekehrt 
gilt. Läfst man nun die Teile über einander greifen, so zeigt sich 
evident, dafs alle einzelnen geodätischen Teillinien derselben geodä- 
tischen Linie angehören müssen und die Kürzeste also eine geodätische 
Linie ist. (Vergl. auch Zeitschr. f. Vermessungswesen 1880 Augustheft) 

Um ZQ zeigen, dafs die Kürzeste und die kürzeste Geodätische zwischen 
2 Punkten zusammenfallen, bedient man sich in der Regel der Rechnung^ 
indem man mittelst des Variationskalküls die Gleichung der Kürzesten 
hersteUt und sie mit der Gleichung der Geodätischen^ die man mittelst 
der Bedingung Schmiegungsebene normal zur Fläche ableiten kann, vergleicht 

In Bezug auf die Kürzeste lehrt die Variationsrechnung zugleich die 
Existenz der geodätischen Kreise {Chrtstoffel a. a. 0.). Man kann aber 
auch rein geometrisch zeigen, dafs der Endpunkt einer sich drehenden 
Kürzesten eine Bahn normal zu ihr beschreibt Diesen Weg betrat Gaufa 
(a. a. 0. Art. 15). 

Folgendes dürfte im letztem Falle ebenfalls genügen: Denkt man sich 
um einen Punkt herum unendlich dicht Linien gleichen kürzesten Ab* 
Standes gezogen, welche Linien die ganze geschlossene Oberfläche bedecken, 
ohne sich zu schneiden, so gelangt man auf kürzestem Wege vom Zentrum 
nach auTaen nur normal zu jenen Linien. 



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§ 5. Die reduzierte L&nge. 



273 



§ 5. Die reduzierte Länge. Nach S. 268 (12) und S. 267 
(6) ist die reduzierte Länge m gegeben durch die Formeln: 

Ul = fl^ (tt?j cos 9i sin 9^2 — ^2 siö tp^ cos 9?2 "~ ^ ^i^^ßo ^^^ Vi ^^^ 9$ ^)} 



/ COfl'l 



difj W =^yi — C* C08*/J , 



(1) 



Zufolge der Entwicklung gilt nt für Drehung um P^; allein man 
sieht leicht; dafs es auch für Drehung um P, gültig ist. Vertauscht 
man nämlich die Punkte, so ergiebt die entsprechende Yertauschung 
der Lidices in der 1. Gleichung (1) zunächst für m einen Vor- 
zeichenwechsel. Allein die Gleichungen (4) S. 248 zeigen, dafs bei 
der Yertauschung q>^ und (p^ bezw. nicht in 97, und q)^, sondern in 
— 9>, und — 9| übergehen. Mit Berücksichtigung dessen behält m 
seinen Wert: 

Die redußierte Länge m hat gleichen Betrag für Drehungen um 
jeden der beiden Endpunkte der geodätischen Linie. 

Wir entwickeln nun den Ausdruck (1) für Ut in ähnlicher Weise 
wie früher s^ ohne jedoch h^ anzuwenden, sondern der Einfachheit 
wegen unter Beibehaltung von F. 

Nach § 4 S. 220 und 221 ist: 



yi^^co^^ß^yi^yi 



*« 



siu^9?, 



1— «■ 



.»sin«^o = **T^ 



(2) 



Man hat daher: 



— V Y iZjfc« / (^^^* 9 + Y ** <508* 9? sin* tp '\ J dtp. 

Setzt man eos*^ ~ v + y ^^^ ^9? und cos* 9 sin* y = -— — - -— cos49> 
und integriert, so folgt: 

e»ain*^,J«**|/i^{|^9(l + |Ä;*+ 

— ^ **(8in 49?, - sin 49?i) H j • (3) 

Andrerseits ist mit Bücksicht auf die 1. Formel (2) und mittelst 
Reihenentwicklung von j/jT— Ä* sin* 9 nach leichter Reduktion: 

H«lm»rt, mathem. n. phyiikal. Theoiieen der bOh. Geodftsie. 18 



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274 6. Kapitel. Difierentialformeln n. Reihenentwicklnngeii f. d. geodät. Linie. 
Wi COS (pi sin 92 — u^2 ^^ ?i <^B 9>% 

= 1/ ~ !f , |8in^9> + i*siinPisin9?2L~(8in292 — siD29?i) 

+ — i* (cos 9>2 8m'9>2 "" cos^i sin^9?j) -] J 1 • (4) 

Substituiert man (3) und (4) in (1) so erhält man die für jeden 
Wert der Länge s gültige Formel: 

W = yYZ:^i j»'^ ^9> — Y ^ sin 9i «» 9t l^] } ; 

[F] = [^9> (l + i-Ä« + ...) --1*2^08 29 sin ^ip + . . .]; 

^y — 9?2 — 9i 29 = 92 + 9i- 



(5) 



Diese Formel zeigt; dafs Hl bei wachsender Lauge der Linie 
anfangs wächst, dann aber wieder abnimmt, bis /J^ nahezu gleich sr 
geworden ist, wo ein Verschwinden eintritt, jedoch nicht für ^9 ». ^^ 
sondern ffir einen etwas gröfseren Betrag. Hiervon ist die Ursache, 
dafs m ein Glied mit ^^9 selbst enthält. Ist Ul durch null gegangen, 
so wird es negativ, erreicht ein negatives \ Maximum, nimmt dann 
absolut genommen wieder ab u. s. f. 

Für die Geodäsie hat es ein besonderes Interesse, m nach Potenzen 
von s zu entwickeln. Zu dem Zwecke suchen wir die Differential- 
quotienteu von m nach s auf, um schliefslich Taylors Satz anzuwenden. 
Dieses Verfahren ist, wenn nicht einfacher, so doch in einiger Hin- 
sicht interessanter als die Entwicklung mittelst Substitution von s 
.als Funktion von 9 in (5). 

§ 6. Die Differentialqnotienten Ton m nach s. Wir be- 
trachten im Folgenden stets P^ als den festen Punkt. Dies hervor- 
zuheben ist wichtig, weil die Differentialquotienten von tu andere 
Werte erlangen für P^ als Drehungszentrum. 

Die Differentiation von m (vergl. Formel (1) auf voriger Seite) 
nach 92 giebt: 

— , — '=tViCoaipiCosq>^'\-w^BinfpiBmq>^ — 6'sin9|C0892Cos^2^i^/'s;r~J^'~ 
— e'3in*^osin9|COS92 J — — e*sin*^^8in9i sin92C08'92 . 

Aus einer sphärischen Figur analog Fig. 22 S. 267 entnimmt mau 
nun ohne Mühe, dafs 

dft = cos «i. 1^92; (1) 



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§ 7. Entwicklang yon K^ als Fanktion von f. ' 275 

setzt man dies in Vorstehendes ein und eliminiert J zugleich mittelst 
der Formel für m^ so folgt mit Beachtung der (4) S. 248: 

-^ = lltcot^, + a„t..4^J;-. (2) 

Nun ist^ wenn man sich s über P^ hinaus verlängert denkt: 

dm ^ jäm_ tfy, 
ds dtpi ds ' 



nach (6) S. 220 aber femer: 



d(p% 



(3) 



ds a^tr, 

Mao hat daher 

dVH «coty, I Bin y, - ^ . v 

ds a^w, ** sin, qpj ^ ^ ^ 

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (4) S. 248: 

dm coaPt cosai. g VI tan p, ,-v 

ds "^ cos ^2 cos c, ., «^ t(7, cos a, . I * ^ -^ 

Aus (4) erhalt man weiter durch erneute Differentiation: 

ä^m coty, dm m csc'y, dy, siny, cosy, <iy, 

ds^ a^tTj ds OoWj ds sin'y, ds 



- ^ i:'^- ^osft s'^^A 



1.0«/, 



^ dy, da 



Reduzieren wir dies mittelst der Formeln (1), (3) und (4) und be- 
achten auch die (4) S. 248, so geht es über in: 

d'W _ tu U __ e»8in»p, \ 

Hieraus folgt aber: 

d^m m 1 - «• ^ K^ f^. 

ds^ ^^~w7~ "^ V' W 

wobei ir,:^!^' nach S. 59 (3) das Erümmungsmafs in P^ (dem be- 
weglichen Punkte) bedeutet 

d*m 
Die Gleichung -j-^ sa — w. (KrammtmgimAfi) gilt für geodätische Linien 

jeder krammen Fl&che. Sie wnrde zuerst von Gaufs 1888 in den Dis- 
quisitumes generaUs circa superficies curvas Art. 19 (G. Werke Bd. 4 8. 244), 
später von Christoffel anch auf andere Art aus den Integrabilit&ts- 
bedingungen für die Differentialformeln geodätischer Dreiecke (1868, All- 
gemeine Theorie der geodätischen Dreiecke S. 141) abgeleitet. 

§ 7. Entwieklung von K^ als Fanktion TOn «• Es ist mit 
Benutzung der 1. Formel (2) S. 273: 



(1 - e» cos'p)* (1 — ««) (1 — k* 8in»> ' 

18* 



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(1) 
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276 6. Kapitel. Dififerentialformeln u. Reiheaentwicklangeii f. d. geodäi. Linie. 
Man hat daher: 

Hieraus folgt unter Vernachlässigung yon h^ u. s. f. ohne Schwierigkeit: 
jKj — Zi (l + Ä:* [cos 29?i — cos {2tp^ + 2^9?)] + • • •)• (3) 

Nach (9) S. 223 weicht aber ^tp von sia^ nur um Glieder der 
Ordnung e^s : a^ ab. Aufserdem ist Ä* = e* 8in*/Jo + Grh- Beachtet 
man nun noch, dafs nach (4) S. 248 

sin*/Jo cos 29?!«= sin*/Ji — cos^/Jj cos*ai 2 1 

und (4) 

sin*/Jo sin 29>i = sin 2ß^ cos «i.j ) 

ist; so findet sich aus (3): 

jBr2==Z'J l + e^^sin— sin2/JiCOsai.2H-28in*— (sin^/J^ ~co8*/J4Cos*ai.2)J+«--| • i5) 

Diese Formel giebt K^ bis auf Glieder der Ordnung e* genau, 
so lange sie nur auf Distanzen Anwendung findet, ftir welche 

sin 2^(p — sin — und sin ^9?! — sin — 

Gröfsen der Ordnung e^ sind, was für beliebige Distanzen statthat, 
insofern man sich auf kürzeste Linien beschränkt. 

Nimmt man sia^ als Gröfse 1. Ordnung wie e, so folgt: 

K^ = kJi-{- 2^ sin 2ft cos «1.2 - + Gl,) - (6) 

§ 8. Die reduzierte L&nge als Funktion yon 9. Da sich der 
2. Differentialquotient von m nach s so sehr einfach gestaltet, so liegt 
der Gedanke nahe, anstatt mittelst Taylors Satz nach vorher erfolgter 
Bestimmung des 3. und höherer Differentialquotienten, direkt durch 
Integration der Gleichung' (6) auf voriger Seite nt als Funktion von 
s herzustellen. Setzen wir: 

iT, = Z, (1 + c, sin ^ + c, sin* ^ + ...), (1) 

Ci=B(^ 8m2^i cos «!.», 



wobei Ci und C2 auch mit der geographischen anstatt der reduzierten 
Breite berechnet werden dürfen, so folgt aus (6): 






? + m |i (1 + c, sin ^i + c, siu*^ +•••) = 0. (3) 

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§ 8. Die reduzierte Länge als Funktion von 8. 



277 



Diese Gleichung vernachlässigt alle höheren Potenzen von e*, enthält 
aber die Glieder mit 6* vollständig. Sie läfst sich streng integrieren, 
insoweit es sich um Konservierung der Glieder mit ^ allein handelt. 

Setzen wir c. und Co null, so folirt m = -%r sin ^ \ wie man 

daraus erkennt, dafs in diesem Falle m die reduzierte Länge auf der 
Kngel vom Radius a^:}/^ wird. 
Im allgemeinen setzen wir 

"" vi '"^-^ + "»'*• 

Zweimalige Differentiation liefert hieraus: 



(4) 






- — ^~ sm -^ — ^ + »0 -j-T • 



Dies substituieren wir in (3) und vernachlässigen dabei die Produkte 
lic^ und iiC2f indem wir annehmen, dafs sie den Faktor e^ haben, 
weil voraussichtlich (i den Faktor e^ enthält. Es folgt: 



dV 



oder mit konsequenter Vernachlässigung von e*: 



«0 jp + ;» + Ci "A- sin - + c, sin»- + 



«0 * % 

Man hat fQr ft noch die Nebenbedingungen 



0. 



und 4^ = für s = 0. 



(5) 



(6) 



Diese ergeben sich aus der Bedingung , dafs für s gleich null nt die 
reduzierte Länge für die Ebene wird, dafs also, da hier VX = s ist: 

dm 



m 



0, 



d8 



= 1 für s = 



sein mufs. f^ührt man d^n Ausdruck (4) ein, so erhält man die (6). 
Zum Zweck der Integration schreiben wir (5) wie folgt: 

Vt!;*+'*+^'(«««i--«iO+i«.(3"-i-«-^)+—0 • (7) 

und setzen nun versuchsweise (wobei zum Teil Reihenentwicklungen 
einen Fingerzeig geben): 



■a. 



I — cos sm — ) + 6, — sm — 

+ a,(coBL«_co8^) + 63(8in^-38in^). 



(8) 



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278 6. Kapitel. Differeniialformeln u. Reihenentwicklungen f. d. geodät. Linie. 
Die zweimalige Differentiation von (8) ergiebt: 

— a, ( sin— + — C08~) + 6i (2co8— ^sin— ) 

— a.(9cos cos— ) — 6o (9sin Ssin— )• 



^0 d«" ^ 



Substituieren wir dies sowie (8) in (7)^ so geht diese Gleiqbung 
über in: 



(26, + i- c.) cos ^ - (2a, - { c.) 8ÜI ^ 
- (Soj + Y c,) cos ^ — (86, + -i^ c,) sin ?j? 



0, 



welche identisch verschwinden mufs. Es wird also anzunehmen sein: 



«. = + 



«8 



3 

1 

16 '^t 






(9) 



Setzt man diese Eoefficientenwerte in (8) ein und den für ft 
erhaltenen Wert in (4), so findet sich für nt der folgende, die Glieder 
mit e^ vollständig enthaltende Ausdruck: 



m« 



1- sm -^ — - — 7 Ci58in 7. c^a^ I ( 

^._c,^sco8--a„8m--j 

1 / . 3« Q • «\ I 



35 s 

cos — — COS — 



:)1 



(10) 



Für C] und c^ gelten die unter (2) angegebenen Werte. Der Aus- 
druck (10) giebt nt bis auf Gröfsen der Ordnung a^e^ für beliebige 
kürzeste Distanzen s (vergl. Schlufs des § 7 S. 276). 

Wendet man Reihenentwicklungen an, indem man s\a^ als Grofse 
1. Ordnung betrachtet, so folgt: 



m «=» -7^ sm -^ — - 



^««o($-^£-*+^'•)-S)^«•(£i■*-^'')+«•^'••al) 



Dafs der Rest ein Bruchteil der 8. Ordnung von a^ ist, zeigt die 
Einführung vorstehenden Ausdrucks in die strenge Gleichung (6) 
S. 275, welche bis auf Glieder c*5* befriedigt wird. 

Berücksichtigt man bei der Entwicklnng von ÜT, auch e^, so wird für 
kleine Diatanzen erhalten: 



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'% 9. Diffeientialformeln für die geodätische Linie n. 8. w. 

c\ :• e* 8m2p| 008«! 3 (^ + -^ *' *^** Pi) 
c', » 2e* ( 8in^ft — C08*(J, co8*«i , j 
+ «* Uin* 2Pi I 1 + ^ cos^«! jj — 4 co8*ft 008* «jJ 



279 

(12) 

(13) 









§ 9. Differentialformeln fßr die geodätisehe Linie bei Ter- 
Schiebungen eines Endpunktes. Wir beziehen uns auf die Linie 
PiPg, Fig. 20 S. 266 und betrachten nach einander eine Verschiebung 
Ton P, im Sinne wachsender Länge s nm ds sowie eine Drehung 
um Pi im Betrage von dai,^. 

1. Verschiebung ds van P,. Nach (3) S. 219 und (1) S. 229 bat 
man zunächst, indem daselbst fär a, ß und dl bezw. «a.i — 180^, ^3 
und dLi,% zu setzen sind: 



68 



cos at.i 



9Li.% = sec ^2 sin «t.i. 



(1) 



Um dag.i zu finden, beachten wir die Eonstanz des Produkts 
cos /}, sin fts.i bei der Verschiebung von P^, zufolge welcher 

cos /Jj sin «2.1 = cos (/Jg + d/J,) sin («j.i + *aa.i). 
Hiemach ist 

cos ß^ cos at^iiai.i »» sin ß^ sin a^.idß^ 

und mit Rücksicht auf die 1. Formel (1): 

äa 



das.i =-^^ *»» A sin ««.i. 



(2) 



2. DrcÄiiWflr von P^P, um P^. Nach (11) S. 268 und (17) S. 269 
ist hierbei: 



*ft = - 



«oW, 



sin as.i dai.a 



dii j SS sec /Jj cos «2.i*ai.2. 



(3) 



Die Fundamentalgleichung^ angewandt auf P^ und P, tiocft erfolgter 
Drehung, liefert nun weiter: 

• cos /Ji sin («1.« + *«!.«) + cos (jS, + dß^) sin («2.1 + dors.i) = 0. 



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280 6. Kapitel. Differentialformeln u. ReiheoentwicklnDgen f. d. geod&t. Linie. 

Wegen 

cos ßi sin «1.2 + cos ß^ sin a«.i == 

geht dies über in: 

cos ß^ cos as.idcKs.i = sin ß^ sin a%,i8ß^ — cos ß^ cos ai,idai,2y 

wobei dß^ aus der 1. Formel (3) zu entnehmen ist Damit folgt: 

{C0B|)|C08a| 2 m ) 
: tanftsinaj.itanaj ild«i.«- 
008^,008«, I OqW, '^^ ■•* "M '•' 

Hieraus eliminieren wir mit Hilfe der Gleichung (5) S. 275 das erste 
Glied rechter Hand und erhalten: 

Am 

Für den Differentialquotienten -,— ist zu erinnern^ dafs er sich auf 

eine Verschiebung von P, im Sinne einer Längenänderung von s bei 
konstantem Azimut cci,% bezieht. 

3. Verschiebung und Drehung. Wenn die geodätische Linie P^P^ 
sich um Pj im Betrage dai.s dreht und dabei zugleich um ds wächst, 
so sind die totalen Änderungen von ß^y Li.% und a%,i die Summen 
der bezüglichen Ausdrücke (1) bis (4). 

Indem wir die Summation ausführen, substituieren wir zugleich 
nach S. 40 und 41 (2), (3) und (6): 



-z^^fttrJi., FisecJB, für sec/J,, 



}/r^e«tanJB, für tan^,, iB^ ^^^^ ^^ *A 
und gelangen damit zu den Formeln fOr die totalen Änderungen: 

*/>i.s«=» TrjSecJBjSina2.i TTjSecJBjCOsaj.idai.j 

* «2 . 1 = ^ TTjtan JBj sinag . i + | /-^\ + ^ TTjtanBjCOsaa . 1 1 d«i . « . 



(5) 



(6) 



dm 



Hierin ist TTj «= }^1 — c* sin jBg und der Index 1 . 2 an -j— deutet 

die Richtung vom festen nach dem beweglichen Punkt an, im Sinne 
der obigen Bemerkung zu (4) am Schlüsse des 2. Absatz. 

4. Änderung der geographischen Koordinaten von P,. Die Werte 



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§ 10. Verschiebang beider Endpunkte der geod&tisclien Linie. 281 

ds und dai,iy die zu dJS^ und dLi.% gehören, ergeben sich aus den 
ersten beiden Gleichungen (6) durch Elimination von dai.s bezw. is. 
Führt man die erhaltenen Resultate in den Ausdruck für dcxa.i ein 
und reduziert ihn teilweise mittelst der Formel (5) S. 275, welche 
bei Einführung der Substitutionen (5) lautet: 



(dm 
\ ds 



)- 



W^ cos B, cos «^ g w^m tan^, 

W^ cos B^ cos «2 j a^ cos «g j 



SO ist djuin auch dieses da^.i Funktion von iB^ und 9Li,i, 
Ergebnisse sind: 



(7) 
Die 



1-«« 



8s = aQ^rj-coscCi,idB2 — y^coBB2smcc2,i9Li,s 
*«!.«=— —^^sinaai^-Bj—ij^ cos JBjCOsaj.iJii.« 
*a«.i = — ^i^ (^)sina2.i*-B2 + :jj^cosjB, cosai.jdZ 



(8) 



Es ist noch zu bemerken, dafs im vorstehenden Paragraphen 
die 8B, iL und da als Arcus zu verstehen sind. 

§ 10. Yerschiebnng beider Endpunkte der geodätischen Linie. 
In allen Formeln des vorigen Paragraphen dürfen wir die Indices 
yertauschen, wenn wir zugleich P, als fest und P^ als beweglich 
annehmen. Die (8) geben damit: 



is = ÜQ ^a COS «1.2 dJBi +^ cos B^ sin ai,%iL\,2 
d««.i = — ~-^8inai.2dP4 + :jj^C08 5iC0sai.2dii.2 
dai.2 — ^-^ (■^)sinai.2dPi — ■jj^cosP2COsa2.idI'i.s 



(l) 



Diese Änderungen in 5, «1.2 nnd «2.1 entsprechen also einer Verschiebung 
von P| bei festem P^. Da man nun setzen kann 



L\,% = L^ — Lly 



(2) 



wenn L allgemein die westliche Länge in Bezug auf einen beliebigen 
ersten Meridian ist, so hat man auch: 

djLi.2=« + dZg bei festem Pj, für (8) des vor. Paragraphen, 
dZfi.2 «= — dl»! bei festem Pj, für (1) dieses Paragraphen. 



}(3) 



Durch Addition der bezüglichen Werte nach (8) des vorigen 
Paragraphen und nach (1) dieses Paragraphen erhalten wir die 



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-'S 

i Sek. 



(4) 



282 6. Kapitel. Differentialfonneln u. Reihenentwicklungen f. d. geod&t. Linie. 

Änderungen der Länge und der Azimute, welche beliebigen differen- 
tialen Verschiebungen heider Endpunkte entsprechen: 

"^1 in Sek. "^t in Sek. 

+ ^ COS Ba sin «2. i (ßL. — dLa) 

"^« in Sek. 

in Sek. W ^1 ^»«^2.1 iaSeV « ^t in Sek. 

+ 'i^w^ COS JB« cos «9. 1 (ÄZi — dL«) 

•" '^^i in Sek. 

oa8.i = — -^-^g smai.sdB, — -^ __ (-^j sina,.i oJBj 

inSek. •» ^^i in Sek. "* ^J ^««^1.« in Sei 

— -j^- COS JS|COsai.s(d£| — dZ,) . 

Für die Reduktion der 1. dieser Gleichungen wurde die Be- 
ziehung COS /Jj sin ag.i + cos /J^ sin ofi.« «= 0, d. i. 

-r^ COS JBg sin «2.1 + -|y.- cos B^ sin «i.j =» (5) 

benutzt. Mit Rücksicht auf diese letztere ist auch zu ersehen, dafs 
die (4) symmetrisch zu beiden Punkten P^ und P^ geformt sind. 

Nehmen wir jetzt an, dafs nicht die Änderungen der geographi- 
schen Koordinaten beider Punkte gegeben sind, sondern nur die- 
jenigen Ton Pj, aufserdem aber ds und dai.s, so ist aus den ersten 
beiden (4) einmal dX^, sodann öB^ zu eliminieren und auf dB^ bezw. 
dZg zu reduzieren. Setzt man zugleich 

«2.1 — «1.2 — 180^ = Ja , (6) 

so findet sich: 

Gegeben: dBi^ 6Lh d«, ^«1.«; 



dB,' 

In Sek. 



inStk. 






lde^\9 cosa2.i — — ~8in«2.i dai.jj 
?j|cosz^a+ [l — (^-jjj Jsinai.jsinai.i jd^i 

dZj — W^secB^ \ p"sina2. i 1 cos «2. i dai. 2 } 

— ~^ , * secjBj, I sin ^/a — j^l — [~)^ J sin ai.« cos «g.i | öBi 



(7) 



(8) 



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§ 11. Berechniing der Eoefficienten der Diflferentialformeln. 



283 



Diese Ausdrücke fahren wir endlich noch in die 3. Gleichung (4) 
ein und erhalten nach gehöriger Reduktion mittelst (7) S. 281: 



^«2.1 = 

in Sek. 






« TF,» 



sin'^a 



Bina^j 



+ [i-(S),.J [i-(S),.J«°*«»'«°«»« 



dB,. 



(9) 



In den Formeln (7) bis (9) sind die dB , iL und da als Sekunden- 
werte zu verstehen, wie auch zum Teil angedeutet ist. 

§ 11. Bereehnnng der Koefflcienten der Differentialformeln. 

Bei beliebig grofsen kürzesten Distanzen s wird in vorstehenden 
Differentialformeln für m der Ausdruck (10) S. 278 anzuwenden sein; 
er vernachlässigt zwar e^, ist aber wohl meist ausreichend. 

Für kleinere Distanzen ist der bequemere Ausdruck (11) S. 278 
vorzuziehen; meistens aber dürfte es vollkommen genügen, zu setzen: 



m 



VK 



sin 



sVK 

«0 



+ ^^(l-6&^+^^*)' (1) 



worin K irgend ein mittlerer Wert der Gröfse K, vergl. (3) S. 59, 
in Bezug auf die Endpunkte der Linie s ist. Man hat noch: 






1-2^^+^^- 



(2) 



und in logarithmischer Form: 



M 



log w = log s - g^ s» isr+ Gl^ 



2a„ 



dazu ist aufserdem: 



[1 -S-iS- '+«'•• 



(8) 



Die Einfuhrung dieser Werte vereinfacht namentlich die etwas 
komplizierten Formeln (7) bis (9) des vorigen Paragraphen erheblich, 
während die (4) überhaupt einfach sind. 

Für Seiten direkt mefsbarer Dreiecke wird es in der Regel zulässig 
sein, die eckigen Parenthesen in (7) und (8), in (9) aber wenigstens 
das 3. Glied des Koefflcienten von dB^ zu vernachlässigen. 

Sphärische Berechnung der Koefficienten, Kommt es auf Bruch- 
teile der Ordnung ^ in den Koefficienten der Dijfferentialformeln nicht 



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284 6. Kapitel. Differential form ein n. Reihenentwicklungen f. d. geodät. Linie. 

an, Bo kann man sie so berechnen; als wäre das Dreieck zwischen 
Nor(}pol Pj und P^ ein sphärisches. 

Man hat zunächst für diese Voraussetzung: 



^ . 8 dm 8 

W — flu sin — , tj- = cos — 



(4) 



und nun durch leicht ersichtliche Reduktionen^ insbesondere durch 
Auflosung von sin z/a und cos ^Ja, für einige der kompliziertesten 
Eoeilcienten in (7) bis (9) des vorigen Paragraphen: 



cos 



z/a + 1^1 — {'^)^ J sin «1.2 sin «».i 



— cos «1.2 cos «2 1 — cos — sm «1.2 sm «2 1, 
sin Ja — 1 "~ VT'/ ^^ ^^-^ ^^ ^*-^ 



= — cos «1.2 sin «2.1 + cos - sin «1.2 cos «2.1, 

«0 



(5) 



(6) 



i-j-) H Wa tan JBo cos «2 1 = cos f- sin — tan B^ cos «2. 1, (7) 

b - (S)... + 1 - i^i.] <=«« ^« «'" «»•' 



ein' z/a 



*i.» 



l+['-("U[i-(a..] •'»■«■■■"■■«. 

2cos — cos «1.2 cos «2.1 lAn «2.1 



— sin «1.2 cos* «2.1 — cos* «1.2 



— sm* — sin'«2.i sm «1 .2 

**0 



sin'a^^ 



Bin a 



i.s 



(«) 



Nach den Formeln der sphärischen Trigonometrie ist aber: 

— cos «1 2 cos «2. 1 — cos — sin «1 2 sin «2.1 == cos Li. 2 (5*) 

cos «1,2 sin «2.1 — cos — sin «1.2 cos «2.1 = sin Z1.2 sin B^^ (6*) 
womit sich (5) und (6) unmittelbar vereinfachen. Ferner ist: 
cos — = sin Bt sin B^ + cos B* cos B^ cos Z1.2 



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i 



§ 11. Berechnung der Koefficienten der Differentialformeln. 



285 



sin — cos «2.1 = — sin JBji cos B^ + cos B^ sin Bg cos Li ,2 
und daher f&r (7): 

cos f- sin — tan B^ cos «2.1 = cos ii .2 cos B^ sec B^ . (7*) 

Zur Reduktion von (8) ist nach dem Cotangentensatz (oder 
nach Formel (5) S. 275): 

tan JB, sin — = cot cc% 1 sin «12 — cos — cos «1.2. 

Quadriert man dies und multipliziert mit sin^ «2.1 : sin «1.2 > so gelangt 
man zu der Relation: 

i?C08 — cos ai.2 cos «2.1 sm «2.1 — sin «1.2 cos*a2.i — cos*ai.2 — 



1.9 



sin*— (sin*«! .2 — sec*BJ 



sinttj 2 ' 

mit Hilfe welcher sich die rechte Seite von (8) in den Ausdruck 

vereinfacht: 

g ain'ttg j g 

sin*— sec* JBi ^.^^ ' d. i. — sin — sin Zi .2 sec ^ . (8*) 



8ina 



1.2 



Die Differentialformeln (4) und (7) bis (9) des § 10 lassen sich 
nunmehr ohne Schwierigkeiten in nachstehende Formeln überführen^ 
in denen dB , iL und d« Sekundenwerte bedeuten: 

p"?f = COS«i 2dSl + COSa2.idJB2 + ( oder .uch )(di.— dL«) 

^ y— 008 Bi sin »i 2/ 

" sin «1 9 _ sin ff« 1 cos B^ cos a» , 

8a, .^ L« 8B, ^ *JB, + '—j^^ {iL, - iL,) , 

tan — sin — sin — 1 v / 



^«2. 1 = 

dB^ 



«0 ^0 <*0 

K, 9 _. sin «9 , cos B, cos a, 9 

-i;-* iB, '-^ iB, - / ^ (iL, - iL,) 

— tan — sin — 

q" cos «2.1 — + sin Za . 2 cos B^ d«i .2 



+ cos Zi.2 dJBi 



ds 



dL^=*dLi — 9''secB2sin«2.i sinZi.2Csc«i.2C08«2.idai.2 



+ sin Li, 2 tan JBg dBi 



d«2.1' 



as 



q" tan J3^ sin «2. 1 f- cos Li .2 cos B^ sec B^8ai,2 

— sin L1.2 sec ^2 d£i . 



(10) 



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286 6. Kapitel. Differentialformeln n, Reihenentwicklangen f. d. geodät. Linie. 

Es ist selbstverständlich^ dafs man diese Formeln auch direkt 
und weit einfacher als oben durch Differentiation der Formeln der 
sphärischen Trigonometrie erhält. Der hier eingeschlagene Weg zeigt 
aber deutlich die Vernachlässigungen; die übrigens nicht, wie ein- 
gangs erwähnt^ durchaus Bruchteile der Eoefficienten von der Ordnung 
e* sind, sondern in der 1. und 3. Formel (10) im Eoefficienten von 
dB^^ bezw. dai.2 nur Bruchteile der Ordnung e*s : % Da diese beiden 
Eoefficienten nahezu gleich 1 sind, verdient der erwähnte Umstand 
Beachtung. 

Der Eoefificient von Sai,i in der 2. Formel (10) kann auch wie 
folgt geschrieben werden: 

— sin — sec B^ cos a«. i , (lö*) 

welcher Ausdruck jedoch weniger bequem als der oben benutzte ist 
Für die Formeln (9) kann man sin — event. mittelst einer der 

Relationen 

g sin Zr. 2 CDS B^ sin L. « cos £| 

sin — = ^ = ~ (9*) 

«^ sin ttj 2 ^"^ ^8.1 

berechnen und zu log sin — unmittelbar log tan — aufschlagen. 

§ 12. Differentialformeln fAr «, cci,2 und £^.i bei gegebe- 
nen geographischen Positionen in Bezng anf Anderangen tod 

Uq und e^. 

Wir betrachten vorerst das sphärische Hilfsdreieck H^H^IIg. Auf 
dieses können wir sofort die (9) des vorigen Paragraphen anwenden, 

wenn wir für — , JB und Li, 2 schreiben bezw. Atp, ß und ^k, Da- 

••0 

mit ergiebt sich, die dß und d^l als Arcus genommen und wegen 
cos ß^ sin ai.2 SS cos ß^ : 

djtp «= cos «1.2 dßi + cos «2.1 */Sg -f cos /Jq äjJX (1) 

und 

sin-^9Äai.2= — cosz/9>sinai.2Ä/Ji — Qina^.iiß^ — cos/J2Cosa2.id-i^A.(2) 

Die Formel für ^«2.1 kann wegbleiben, da sie schliefslich am be- 
quemsten aus derjenigen für ^«1.2 durch Indicesvertauschung er- 
halten wird. 

Für d/Jj und d/J, hat man aus der Beziehung tan /Je=")/1 — e' tan B 
durch Differentiation: 

dß i^BcoB'ß^^. = -\sm2ß-^, (3) 



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(8) 



§ 12. Differentialformeln bei gegebenen geogr. Positionen. 287 

und hiermit gehen (1) und (2) mit Rücksicht auf die (4) S. 248 
über in: 

i/jtp=^— ^ , 8in*^o (si^ Vs ^^s V« — ^^^ 9i ^^^ Vi) + cos /J^ 8Jk (4) 

* 1 *«' . /, /, . , ein Po sin qPj •> ^ , /r\ 

»«1.2 = Y Y^r? 8"^ /^o COS /Jo sm 9i + ^[^j^^ S^^' (5) 

Zur Bestimmung von dJX knüpfen wir an die Gleichung (13) 
S. 268 an: 

Li . 2 = fVl — ^ co8«/J rf A , (6) 

wobei 

tan ß s= tan jSq cos l cos ^^ <=> cos /S^ sin ai.t . (7) 

Es ist durch Differentiation^ da dLi,i gleich null ist^ vergleiche 
S. 268 (15): 

Sß c=» cos*/J sec*/Jo cos A d/8o; 

sin ^0 ößfi = sin ß^ sin «i.« d/Jj — cos ßi cos «1.2 »«1.2 • (9) 

Setzt man dß nach der 2. Formel (8) in das vorhergehende 
Integral und reduziert mittelst der Formeln: 

dl = cos ^0 sec'^ dipf cos k =^ tan ß cot ß^, sin ^ «=» gin ß^ cos 9^ 
wie S. 268, so geht die 1. Gleichung (8) über in: 
« (w, — Wi) *A, + w, *2/A — Y cos ß^H8^ + ^ sin /JoJ */8o> (10) 

worin J die durch (6) S. 267 definierte Bedeutung hat und H durch 
die Gleichung gegeben ist: 

Es ist nun noch 8X^ zu ermitteln. Hierzu führt die Differentiation 
der Gleichung cot X^ = sin ß^ tan «1.2, wodurch sich findet: 

*Ai = — sin^Ai cos ß^ tan «1.2 Sßx — sin^Aj sin ß^ sec*ai,2 ^«1.2. 

Setzen wir hier, sowie in (9)-^ie Werte von dß^ und ^«1.2 nach 
(3) und (5) ein, so erhalten wir mit Beachtung der (2) und (3) 
S. 232 und 233: 



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288 6. Kapitel. Differentialformeln n. Reihenentwicklongen f. d. geod&t. Linie. 

(12) 



1 Bin dtp 



*A = — Y j—? 81» ßo COS ßo — sin ßo ^j^^^ *^^. 

Dies in (10) eingesetzt und nach dz/A aufgelöst^ giebt unter 
Einführung von W, S. 273 (1): 

d^A-^lj^-^ja-Og+^sin^feJ^I ^'^'V"''"' ' (13) 
Nun ist aber 



—o/Vl- 



und identisch 



VI e* COS*/J «= ^ -r :r^. 

Vi — «» cob'P 

Setzt man hier sin /} = sin /S^ cos tp und beachtet die Werte H und «T 
nach (11) S. 287 und (6) S. 267, so folgt: 

s = a,({l-^H+e^ Biu'ß,j) , (14) 

womit (13) übergeht in: 

äjdX = Y ^-zr^ ^ ^^ ßo 8"* ^9' (15) 

Ehe wir diese Formel in (4) und (5) substituieren, differenzieren 
wir vorerst noch die Gleichung fär s, wozu (1) und (2) S. 265 zu 
vergleichen ist. ' Es wird: 

8ß «a secß cos/)q cos9> dß^, 

mit dß^ entsprechend der 2. Formel (12). Führt man es hiernach 
ein und setzt im 1. Integral cos^/S s» 1 _ gin^ ß^ cos^ % so ergiebt sich: 

- ^Jsin'ß, C08/J. -55|Ä i^i, (16) 



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§ 13. Bereohnang von S. 



289 



Um dies weiter zu yereinfachen, murs noch dq>i bestimmt werden. Zu 
dem Zwecke giebt die Differentiation der Gleichung tan 9^ »» cot ß^ cos ai . 2 : 

8(p^ = /^J' cos «1.2 dßi — cot ßi cos*9, sin ai. 2^^1.2 . 

Hierin ist dß^ nach (3)^ dai.2 nach (5) einzufOhren, womit erhalten 
wird: 

^*' • « a -^ coa qp, sin qp. 



^9i = Y r=r? ^^" Ä 81» SPi cos 9i — 



sin ^qp 



cosß^dJl, (17) 



Die Einfahrung von (4) und (17) in (16) giebt ohne Schwierig- 
keit mit Rücksicht auf (1) S. 273: 



a« a^ Oo ' Oo Bin dq> 



+ Y j-^ { — IT, sin^/JoSi n ^icos 9i +m;8 sin^/J^sin 9?2COS 9g — ^+/sin*/Jo( ^ 

Die Substitution des Wertes äJ'X nach (15) und die Restitution 
des Wertes von s nach (14) führt endlich zu der Formel: 






(18) 



$ = aoSin»/Jo(YWi8in29?i~yf^2sin2<3()2 + (l — 6*)J?^ 

Aufserdem ist nach (5) und (15): 

*«!. 2 = q" y j4^, sin /Jo cos ft (sin Vi -f ^f sin 9J (20) 



ia S«k. 



s« 



und hiernach durch Vertausehung der Indices mit Rücksicht auf die 
(4) S. 248: 

da^ 1 = q' y ^~t sin ß^ cos ß^ (sin 9>2 + i «in 9i) ' (21) 

in Sek. s x c \ hi / 

§ 13. BereehniiDg YOn $. Wenn es sich darum handelte, eine 
in allen Fällen brauchbare Formel abzuleiten^ so würde man für obige 
Formel (19) das Integral entwickeln wie früher dasjenige filr s. Wir 
begnügen uns indessen, eine einfachere Behandlung vorzunehmen, die 
alle Glieder von der Ordnung e^ ab vernachlässigt 

Mit Rücksicht auf (2) S. 273 geht zunächst (19) über in: 

-(sin29?| — 8in29)2) — j*^ (sin^y^ sin 2(pi — sin^^s sin 29^) 
+ (1 -*0j (sin^ + yÄ*sinV)rf9>+-- 



Vi 
Helmer t, maihem. u. phytlkal. Theorieen der höh. GeodAaie. 



19 



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290 6. Kapitel. Differentialformeln u. Reiheneniwicklangen f. d. geodät. Linie. 

Da nun sin^y = y — ^ cos 297, sin* 9? = sin*^ 8 "^ T ^^^ ^^ 

und 

sin^9 sin 2q) = -- sin 2q> — — sin 4q) , 

so gelangt man leicht zu der Formel: 

Ul -^^JcAjq>^ ^-(3-*«)(8in29,-sin29j 
$=aoSm*/JoJ/rir]t^ 



"" 54 *' (^^° *9'2 - sin 4q>,) + .. 
und hieraus zu der in der Regel völlig hinreichenden Entwicklung 
Y (1 — ^ Ä*) z/9 — Y (1 + y Jc^j cos 2g> sin ^^9? 



S = 6osin*/So 



— - Ä^ cos 4<p sin 2^/9 + 



S2 



(1) 



Für kleine Distanzen ist es zweckmärsiger, $ direkt als Funktion 
von s darzustellen. Wir betrachten hierbei s als Gröfse 1. Ordnung. 
Nach (9) S. 223 ist nun: 

a^= &^(l -f 1 Ä« + Gl^ (^fp + \ k^ cos 2<p sin ^q> + Gl^) 

und hiermit^ da man sin ^<p mit ^tp im letzten Gliede rechter Hand 
vertauschen darf: 



z/9> = -;-(l-4-A;«co8> + G/,). 



(2) 



Setzt man dies in (1) ein, zugleich aber Jq> f 1 — -^ ^^} ^^ ^^ "^^ 

und 2J^ für sin 2d% so ergiebt sich, indem die in X;' multiplizierten 
Glieder verschwinden: 



« = 1 s sin»^„ j 1 _ 3 cos 29 [1 - ; 1^] + G/4 1 



(3) 



Beachtet man, dafs 2g) = 91 +9^2 ist und führt mittelst der (4) 
S. 248 die Breiten der Endpunkte ein, so folgt: 



$ = i 



1 — cos*/3i sin^ai.2 — 3 sin /}, sin ßA\ r- — 5J 

— 3 cos ß^ cos ß^ cos «1 . 2 cos a2 .1 [1 — -r — ,J + ^h 
Man kann hierin für cos^/3] sin^ai.2 auch cos^/S^^in^a^.i schreiben. 



(4) 



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§ 14. Formeln fdr kleine Distanzen. 



291 



§ 14. Formeln fOr kleine Distanzen. Wir führen hier die 
geographische Breite ein und erhalten aus den Formeln (19), (20) 
und (21) des § 12 und aus (4) des § 13: 



ds 



-^-«« . - ' 



de^ 



2 1 -e 



T ^> 



(1) 



s= 



3 



in Sek. 



1 — f-j^T-y^ eos*Bi8in*ai.2 ©der -^^^-^ cos^B^sin^aiA) 
sinJ5isinB2[l— c^] 

+ cos J?! cos jBg cos «1 . 2 cos «2 . 1 

—imft cos* ijj sin «1 . 2 cos «1 . 2 



w, w. 



[1-07^] + ^'^ 



;(2) 



,, 1 de* 
1-e* 



in Sek. ^ 1 e 



+ -Ti7T — -cos* JBo sin «2.1 cos «2.1 

-jjrr -jjT cos^JBi 8inai.2 cosai.2 



.(3) 



(4) 



-j — «rä- co8*jB2 sin «2.1 cos «g.i 

io8[l-l|^] W^^ + G^.; logi = l|^^ + ö;.. (5) 

Man kann auch noch die mittlere Breite und das mittlere Azimut 
einführen; wir finden dies aber nicht vorteilhaft, sobald die Glieder 
mit s^ berücksichtigt werden müssen. Darf man diese jedoch noch 
weglassen, was für Seiten mefsbarer Dreiecke in der Regel der Fall 
sein wird, so kann man einfacher schreiben: 



dOr, 



de^ 



2 1 — c 



^ S, 



» 



W 



r (ßcos^B cos«« - [1 - e«] sin^JB -{ ); 



d«i.2 = ^«2.1 = V I ^-zr -&t (2cos*i? sin « cos « + • • •); 

in Sek. in Sek. ^ 1 — C n 

180^ 



(6) 



2 ' 2 

ir mit Argument B . 

In den Parenthesen sind hier also die Glieder mit s^ : a^^ ver- 
nachlässigt, (? aber ist berücksichtigt. 

§ 15. Differentialformeln fUr den Endpunkt P^ einer geodä- 
tischen Linie in' Bezug auf Änderungen Yon a^ und e^. Diese 



19* 



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292 6- Kapitel. Differentialformeln u. Beihenentwicklangen f. d. geodät. Linie. 

kann man aus denen des § 12 herleiten^ indem man nach erfolgter 
Änderung von a^^ und e^ unter Annahme konstanter geographischer 
Positionen sich s und «1.2 uro die negativen Werte der vorher er- 
littenen Änderungen wieder geändert denkt und nach S. 280 (5) 
und (6) die eintretenden Änderungen von /Jg, Li. 2 und «2.1 ermittelt. 
Kehren wir also in den letztgenannten Formeln (6) die Vorzeichen 
um und behalten die reduzierte Breite bei^ so ergiebt sich zunächst: 

dß^ = — -z-~r- cosa2.i+ TTTT sin «2.1 *«!.« 



«0«^» 



«0«^. 



tfLi.2 = -i secß2S\na2.i'\- - 8ec/JgCosa2.i dai.2 

Sa,,, -if_tan^,sina2.i-{(^^';)^^ 

Hierin aber setzen wir für 8s und ^«1.2 die Werte (18) und (20) 
S. 289 und fOgen zu Sa^,, noch den Ausdruck nach (21) S. 289 bei. 
Dies Verfahren giebt: 



öP2 = — 9 

in Sek. 



da^ 8 



«oW'i 



COS «2.1 



+ p — = { — COS «2.1 A sm «2.1 r 

SLi.2-=^ + q' -^ J~ sec ß, sin «2.1 

in Sek. "o »o 

+ ^ 2 7^6*^1 ^ sec/32Sin«2.i+— sec/3iCosa2.ij 
tfflcjj j = — p" '*'>_^tan/32sina2.i 

in Sek. *o «o«'2 

+ (>''YTi^ J7 lao *^^''«®^^"*''"" -^ tan/}2Cos«2.i+«l«i;2) 
3; = (nt sin 9i + s sin q>^ sin ß^ cos ß^ 



(1) 



(2) 



(3) 



« = 



— (sin 9)j — sin 9,) [^ — l] 



siu/JoCOSjSo. 



(4) 



Hierzu sind filr m und 35 die Ausdrücke (5) S. 274 und (1) 
S. 290 zu beachten, wenn es sich um beliebig grofse Distanzen handelt. 

Ist s : Qq eine Gröfse 1. Ordnung, so genügt die Formel (4) S. 290 
für 35 und der Ausdruck s (l — -^ -^ + Gl^ fürm, vergl. § 11 S.283. 

\ O ort ' 



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§ 16. DifferentialfoxmelD für den Endpunkt P, in Bezog auf e' u. s. w. 293 



Yorstehende Formeln lassen sich in eine wesentlich andere 
Gestalt bringen, indem man die vollständigen Ausdrücke für $, 11t 
nnd s nach (19) S. 289, (1) S. 273 und (14) S. 288 substituiert. 

Zu derselben Modifikation gelangt man auch durch direkte Ent- 
iw'icklung der Differentialformeln, wie sich bei einer zur Kontrolle 
angestellten Rechnung ergab. Die Formeln lauten: 

ff düQ 



in Sek. 



Oo öo«;, 



cosag.i 



9 



„ 1 *e» 1 ( — Ä (sin /J, sin /Jj cos «2.1 + cos |Sj cos ^2 COS «1.2) 



"2 !-«• ir, \ 4-(ä — [1— *C08*j8oCOsV]<l)c08«2., 



(5) 



iiiS«k. 



9 ;, — secftsmaa.i 

'•0 '*o 



1 de* 



, ,, . uc ^ . f Äsin/Jisin/Ja— «sin^ft 

^ * « [ + (l + *8m*^ism*9g)(j 



(6) 



in Sek. 



^«0 !._ 



tan /3^ sin «2. 



1 Se* 



, ff . ». ^ . 1 I — 3lsin/3i+«sin/3sj 

+ (^ Y l-::e»^^^^^«"^"--^Tl-[l-dcos«^oCOsVJ«sinA 
% = w^ sin z/^) 

iS = (1 — e*) H-{- (w^ — w^) sin (p^ cos y^ 
C=(l-e«)j8in«/3o. 
d hat in den Parenthesen rechts die frühere Bedeutung als e^ : (1 



(7) 

(8) 

(9) 
(10) 

im übrigen aber bezeichnet es die Differentiation. J und H sind 
die früher eingeführten Integrale: 

Ersteres ist bereits S. 273 (3) entwickelt; letzteres setzt sich aus 
J und dem für $ S. 290 entwickelten Integral zusammen. Behandelt 
man überhaupt 4 und (L wie $, so wird erhalten: 



«=|/l-e« 



«=}/l— e«sin»/3o 



(1 — -r^) ^9^ — ± Ä*cos 29 sin ^9 
4-x^ ^^^ 2^1 8in29? sin ^q> + • • • 
y(1— y**)^y + Y(l— YA;*)co82g)sin^9 
— —Ä*cos49? sin 2^/9 + •••. 



(9*) 



(10*) 



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294 6. Kapitel. DifPerentialformeln u. Reihenentwicklungen f. d. geod&t. Linie. 

§ 16. Yorstehende Formeln für kleine Distanzen. Wir 

führen hier die geographische Breite ein und erhalten aus den Formeln 
(1) bis (3) des vorigen Paragraphen mit Beachtung der Relationen 

(6) S. 280: 

in Sek. **" "" *■ — ^ 



^0 "0 

1 de^ W,^ ( SB 






in Sek. 



Tr2secjB2sin«2.i 



+ Q YT^^ 2 1 — — secS28i^«2.i + --sec^2Cos«2.ij , 



d«2.i = -— (>" Tr2tan J5j8in«2.i 

in Sek. "o ^o 



H-(>"v Y_rg'-' ^^2 { — tanjBasinwg.i— - tanjBoCoscf2.i+-^Ä}- 



(1) 



Nuch (2) S. 291 ist für den Fall, dafs s : a^ eine Gröfse 1. Ordnung ist: 



^=YM 



3 



1 s* 



f[^-KJ+^^- 



\}[ri COS'^ jBi Sin^ «1.2 o<ler ^^^ ^ COS* JS2 siu^ «g 

sin^j sin 2^2 [1 —ß^] 
+ cos Bi COS JBg cos «1.2 cos «2 . 1 

Es wird ferner mit m = s(l — y ^-f Cf/^j erhalten: 
-yy-r cos^iyiCos«i.2 8m«i.2 [1 — ^ -^J 
+ -T^ 8 COS'* 2^2 cö^ ^2 1 sin «2. 1 + Gl^ 
Ä=^^^®— ^3 siu2?^cosjB, siu«,.2 + 6rZ4 



.) 1 



(2) 



®==6' 



(3) 



(4) 



Handelt es sich um Seiten mefsbarer Dreiecke, so wird man in 
dün geschlungenen Parenthesen der beiden ersten Formeln (1) die 
Glieder mit s^ : a^ und in der 3. Formel (1) bereits solche mit s^ia^^ 
vernachlässigen können. Dann wird einfacher: 



\ 



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§ 16. Differentialformeln fSr kleine Diatansen in Bezug auf e' u. b. w. 295 



in S«k. ^ ^'o 



8 TT * 



" L ^g' ±_ ^i TT,» 
'^ 2 l-e« Oo 1-c* Tf'* 



*il.2 = + C>" 



in Sek. 



COS* ^ COS «1.2 

— (1— [2— c*]8in*^)cosa2.i+. 
— 2- — \Y sec JSo sin «8.1 



1 ^e' g secJ?, TT,'^ 

2 1 — e» ao TT, TT» 



^Öf2.i = — (>' — 

in Sek. ^ *o 



co8*-B8inai,2 
+ (l-[2-e^]8in»JS)sin«8.i + - 



+P' 



1 ^e« « tanB, TT,« 



Wg tan^g sin «2.1 



cos*jBsin«i.2 



2 l-e» Oo TT, 



TT» 



[ + (l-[2-62]siii«-B)sin«2.i+- 



(5) 



B = Y (^1 + JSg) ; ^ "^^ Argument J?. 

In den geschlungenen Parenthesen der beiden ersten Formeln 
sind die Glieder mit ^\a^ vernachlässigt^ in der Formel für d«2.i 
bereits solche mit s : a^. 

Differentialformeln, die den (5), (6) und (7) des vorigen Paragraphen 
entsprechen, entwickelte Beisd 1837 in den Astronom. Nachr. Bd. 14 
S. 269 u. ff., \AhharkdL%mgtn Bd. 3 S. 34 (27)]. Er ging zum Teil anders 
vor, wie wir (abgesehen davon, dafs wir hier überhaupt die direkte Ab- 
leitung nicht mitgeteilt haben), insofern er nämlich in den Integralen nicht 
9 und il, sondern dt^ und dX als Variable betrachtete. Doch ist das nicht 
vorteilhaft. 

Unsere strengen Formeln für d^^ und ^^^^^ stimmen mit den seinigen 
nach gehöriger Umformung, ^-2^1,2 dagegen nicht. Es ist^esse^ hier ein 
Milsverständnis passiert. Differenziert man nämlich die Integrale für s 
und I/| 21 so entsteht in beiden ein ^^ (vergl. z. B. S. 266 u. 268). Diese 
sind aber verschieden, denn während das eine konst-antes 9 (bei Besstl 
J(p), das andere konstantes l (bei Bessel JX) voraussetzt, nimmt Bessd 
in beiden Fällen den ersteren Wert. Zufolge dieses Umstandes wird bei 
ihm in ^i^i 2 der Koef&cient von de^ um ein in e' multipliziertes Glied 
fehlerhaft (der 2. Teil seines P' mufs nämlich^ um richtig zu werden, unter 
dem Integralzeichen mit cos u sec u cos <r sec m multipliziert werden). Es 
nimmt auch dieser Eoefßcient bei der Reihenentwicklung nur infolge des 
Versehens eine sehr komplizierte Form an, doch werden die Resultate der 
numerischen Rechnung nicht erheblich beeinflufst. 

Aufserdem ist im 1. Glied rechter Hand der 2. Formel (27) S. 34 bei 
Bessd das eine der beiden r des Nenners zu streichen. 

[Es mag noch bemerkt werden, dafs a. a. 0. S. 36 1. Spalte u. in der zu 



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296 6. Kapitel. Differentialformeln n. Reihenentwicklungen f. d. geodät. Linie. 

einer andern Entwicklung dienenden Formel für da das von Sa abb&ngige 
' Glied fehlt, was indes nur die Glieder mit e' beeinflufst.] 

Jordan giebt Bd. 2 S. 441 seines Handbuchs der Vermessungshunde ab- 
gekürzte Differentialformeln, welche auDser s nicht a^ ^ ^^^ ^u sondern 
das arithmische Mittel der Breiten und Azimute als gegeben yoraussetzen. 

§ 17. Beihenentwicklungen f. d. Übertragung geographischer 
Koordinaten nach Potenzen von 9. Man hat im allgemeinen nach 
Taylors Satz: 

-»2=^1 +\-df),'T+\'d?),'T:2+\ 

«.— ..■+'80'+(4r).T+(^),Ä+(^),rrf+- 

wobei der Index 1 an den Differentialquotienten bedeutet, dafs nach 
erfolgter Differentiation die Werte von B, L und a für Punkt P, 
einzuführen sind, a ist so zu verstehen^ dafs es das Azimut der yon 
Pi in Richtung nach Pg wachsenden Linie anzeigt. 

Setzt man in den Formeln (6) S. 280 dai.2 = null^ so erhält 
man ohne Schwierigkeit, wenn für^d als Zeichen der Differentiation 
jetzt d geschrieben und der Iudex 2 unterdrückt wird: 

dB^^_ W^cosa ^ W^{i + d)coacc 
ds ^ ao(l— c*) Oo 

-^ = + — sec JB sm « } (2) 

da ^ 1^ T) ' 
-j — = tan xj sm a. 

ds a^ 

Das hier noch auftretende ö ist die früher schon benutzte Gröfse 
6* : (1 — €^)f deren Einführung hier vorteilhaft ist Man hat nun 
weiter: 

W=yi-^Bin^B, (3) 

dW dW dB c«8in2B dB j^ TT« . « ^ ... 

-dT^-dB-sr^ 2w — 57=*-2a;«"^25^«« (*) 

und 



d*B 

ds* 



=--^(i + *){3co8«-^ - '^"^«-srl 

-^ = — secB [sina-^ + T^tan^sina-^ + ^^^««-^7} 



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9 17. Beihenentwickl. f. d ÜbertragnDg geograph. Koordinaten. 



297 






tan B sina —3 \- Waec^B 8in « -3— 

ds ' da 



+ TTtan ^ cos a 



da 
da 



Substituiert man hier die (2) und (4) und beachtet auch die Relation 



so folgt: 

d^B _ 
da' "" 
d'L 



Tr«(l + <J) = 1 + dcos^B, 



-^ (1 + «) [ tan B ain^a + ~ * sin 2B cos«« ) 



W 



da* Oo 



j- tan ^ sec £ sin 2 a 



(5) 



(6) 



da' 



:+ -^ sin 2« { 1 + 2tan«-B + ö gos^B ] 



Die nochmalige Differentiation giebt: 

+ [1 — lOsin^BJsin*«) - 3*^[68in*I? - l]cos*I?co8«a} 



da' a. 



d'L 



-^-^ = — 3- sec B sin « { [1 + 3tan*-B] cos«« 

— tan* 2? sin*« + ^cos^^cos*« } 



d^'a 



W 



8- tan B sin « { — [5 + 6 tan*B] cos*« 



(7) 



ds* a,' 

+ [l+2tan^5j8in*a— *co8*£co82a-f-4**cos*Bco8*a } . 

Bei der Bildung noch höherer Differentialquotienten vernach- 
lässigen wir e? und d und erhalten: 

^ = ^ tan B sin*a { - 4 [2 + 3 tan'Bj co8»a 

+ [1 + 3 tan*B] 8in»a H } 

_— = — j tan B sec B cos « sin « { — [2 + 3 tan*jBJ cos*« 



+ [l+3tan»5]8in»a+ ••} 

'**" =;^ cos ß sin a { [5 + 28 tan'B + 24 tan*5] co8*a 

[1 + 20 tan»B + 24 tan*B]8in»a + •• • } J 

d*B 

■=■ — i cos u am- u \ 

— [1 -f 30 tan*B + 45tan*B] sin*« + • ••} 

^ -3 — , sec B sin « { [2 + 15 tan»5 + 15 tan*B] cos*a 

— [1 + 20 tan»B + 30 tan*B] sin*« cos*« 
+ [1 + 3 tan*B] tan»B sin*« ^ } 



(8) 



^-y ^ -i cos « sin* « { [8 + 60 tan»B + 60 tan*5J cos*« 



(9) 



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298 6. Kapitel. Diflferentialfonneln a. BeiheneDtwickloogen f. d. geodät. Linie. 

^,=j-, tan B sin a { - [61 + 180 tan*5 + 120 tan*B] cos*a 

+ [58 + 280 tan«^ + 240 tan* J5] sin« cos«« 1(9) 
— [1+20 tan*B + 24 tan* -B] sin* a + ...}. 



Bezeichnen wir 



^1 



s cos «1 . 9 mit u 



— - s sm «1 3 mit V 



tan B^ 



mit ^, 



(10) 



so findet sich mittelst der entwickelten Differentialquotieuten aus den 
Reihenentwicklungen (1): 



in Sek. in Sek. 



i[l + 3n^t;*-4[2 + 15e«+15nnV 



24 



30 1 



Lg = Zfi + p" sec ^1 

in Sek. in Sek. 



+ liö [1+30** + 45^] M«* +|d 8in25,tt* 
-d{lcoa2By+ i [5co82Bi— 4]ttt)*)+ G^, 
■ » — <Mt> + 4[1 + 3<«] M*r - I <V 

- ]■ [2 + 3<»] <»»i; + { [1 + 3<»] <Mt;» 
+ ^[l+3n«V+^[2-|- 15<»+15<*J«*t> 

- :^[1 +20<*+ 30<*]MV+|dco8*Bi«»t;+ öi. 
^f- I [1 + 2<*J UV - I [1 + 2<»] «t;» 

+ 1 [5 + 6t^ tu^v - 2i [5 + 28<» + 24<*] a»« 

+ ^[1 + 20«« + 24^] MV» 

+ j^ [61 + 180<* + 120 f*] tu*v 

- j^^ [58 + 280<» + 240^] <««»» 

+ j^ [1 + 20<« + 24«*] tv^-^d co8«B, UV 

+ ^d8in2Bi («*-»») t; + Gi,. 

Setzt man hierin 6« und d gleich null, so gelangt man zu 
Formeln; die sich aus den Entwicklungen S. 126 u. ff. ableiten lassen. 



(11) 



(12) 



ai.i = «i.» + 180<»-p" 

In Eck. in Sek. 



(13) 



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§ 17. Reihenentwickl. f. d. Übertragung geograpb. Koordinaten. 299 

Für «1., — 0^ bezw. 90^ erhält man aus (11), (12) und (13) 
Formeln^ die zur Übertragung von Breite, Länge und Azimut dienen, 
sobald die recJUtvinkligen geodätischen Koordinaten x und y Ton Pg in 
Bezug auf P^ und seinen Meridian gegeben sind, s geht nämlich 
in X über für ai.2 = 0®, in y für «1.2 = 90®. Der Fufspunkt der 
Ordinate y dient; wie leicht zu sehen , als Zwischenpunkt für die 
Übertragung der geographischen Breite. 

Bei Angabe der Ordnung der vernachlässigten Glieder in (11) 
bis (13) ist vorausgesetzt; dafs die Gröfse t = tan B^^ welche im all- 
gemeinen in irgend einem Gliede in derselben Potenz auftritt; wie s, 
nicht die Einheit so sehr überschreitet; dafs dadurch der Charakter 
der Gröfsenordnung wesentlich verändert wird. Zur raschen Kon- 
vergenz gehört unbedingt ein geringer Betrag nicht allein von — ; 

sondern auch von — tan -B,. 

Um in jedem Falle eine Vorstellung von der Genauigkeit zu 
gewinnen; hat mau den Rest nach S. 25 (1) mittelst des ersten der 
vernachlässigten Differeutialquotienten zu bildeU; oder nach (2) mittelst 
des höchsten der berücksichtigten DiflFerentialquotienteu. Im letztern 
Falle wird mau diejenige Änderung der höchsten angesetzten Glieder 
prüfen; welche durch Anwendung der Werte von B und a für 
einen Punkt zwischen P^ und Pg (anstatt derjenigen für P,) im Maxi- 
mum entstehen kann. 

Es läfst sich leicht erkennen^ dafs für s^^Oyla^ die Formeln 
bei einigem Abstand vom Äquator B^, L^ und a^.i um Zehntel- 
sekunden fehlerhaft geben können; dafs aber andrerseits bei ab- 
nehmendem Werte von s die Genauigkeit sich rasch steigert. Bei 
s =: 0;05ao werden in mäfsigen Breiten die Hundertstelsekunden sicher 
erhalten. 

Die Anwendung der Formeln (11); (12) und (13) kann nur dann 
von Nutzen sein, wenn von einem Punkte nicht eine, sondern mehrere 
Linien ausgehen; für welche die Übertragung der geographischen 
Koordinaten auszuführen ist. Dies trifft zu für P^ als Zentrum von 
PolarkoordinateU; auch einigermafsen für Stationen dichter Dreiecks- 
uetze. In diesen Fällen tritt die mühsame Arbeit der Berechnung 
der vielen Funktionen von B^^ zurück; weil sie sich gewissermafsen 
auf mehrere Linien verteilt. 

Ist s eine Linie von der Länge der Seiten mefsbarer Dreiecke; 
also etwa <0;01ao, so wird man in obigen Formeln in der Regel 
noch die höchsten angesetzten Glieder ohne Gefährdung der 4. Decimal- 
stelle der Sekunden von B^, L^ und aa.i weglassen können. 

Die genauere Untersuchung läfst sich ohne Weitläufigkeit nicht 



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300 6. Kapitel Differentialformeln u. Beihenentwicklangen f. d. geodät Linie. 

allgemein erledigen. Da man sie in einem bestimmten Falle aber leicht 
erledigen kann und auch nicht entbehren wollen wird, so haben wir um 
so mehr Ursache, auf eine solche nicht einzugehen. 

Auf die Bedeutung der Formelu (11) bis (13) für den Fall, dafa P^ 
Zentrum von Polarkoordinaten ist, wurde Verfasser durch das Werk: Die 
bayerische Landesvermessung n. s. w. 1873 S. 517 u. ff. aufmerksam. Darin 
ist zunächst eine Abhandlung Soldners von 1810 (vergl. a. a. 0. S. 262) 
abgedruckt, welche mit einer Aufstellung allgemein gültiger Formeln zur 
Übertragung geographischer Koordinaten beginnt, wobei aber nur die 
1. Potenz der Abplattung berücksichtigt ist. Hieran schliefst Soldner 
Reihenentwicklungen, geht jedoch nur bis s^. Weiterhin folgt eine Ab- 
handlung von C. V, Orffy die mit Umgehimg der allgemeinen Formeln direkt 
an die Differentialformeln anknüpft und noch s^ (ausgenommen in a, ^) be- 
rücksichtigt. Unsere Formeln stimmen bis auf eine Abweichung im 
5. Differentialquotient von B^ nach s mit den Orffachen Resultaten über- 
ein; in der Entwicklung haben wir indes anstatt e' zur Vereinfachung ^ 
benutzt und anstatt der drei Gröfsen «, cos a^ ^ und sin or^ ^ ^^^ ^*'^ 
Gröfsen u und v eingeführt. (Orff führt noch rechtwinklige Koordinaten 
ein, auf deren Vei'wendcng zur Übertragung geographischer Koordinaten 
wir an späterer Stelle gelangen.) 

Im 80. Bd. der Comptes rendus der franz. Akademie der Wiss. giebt 
1875 auf S. 36 u. ff. Trcpied Formeln, welche unseren Formeln (11) bis (13) 
entsprechen, ohne jedoch die Glieder mit s^ zu enthalten und in die ein- 
fachste Form durch Einführung von 9 und u, v gebracht zu sein. Diese 
Formeln sind hervorgegangen aus einer Ergänzung der 1806 in den Memoiren 
der Akademie von Legendre gegebenen Formeln, welche s* und e*8^ be- 
rücksichtigen. Sie sind aber nicht völlig korrekt. In der Formel für B^ 
mufs im Gliede mit «' der Nenner qN anstatt q* angebracht werden. 
Aufserdem sind die Glieder in e* irrig. Dies zeigt auch eine Entwicklung 
von Levret im 76. Bde. der Cofnptes rendus S. 410 u. ff., welche die Glieder 
bis 8* incL vollständig giebt und mit der wir (nach Berichtigung eines 
Druckfehlers im Gliede mit s^ in der Azimutformel) übereinstimmen. 

§ 18. Zahlenl)eispiel L Gegeben: B, = 52? 30' 16,7" (Berlin) 
s = 529979,58"* «i ., = 239« 33' 0,689". 

Wir rechnen mit 7ziffrigen Logarithmen und setzen die 8. Decimal- 
stelle nach den Proportionalteilen an. Mau hat zunächst, abgesehen 
von den speziellen Werten für s und ai.s: 

log F; = 9,9990857.5 — 10 

log ^ = 3,1944422.9 — 10 

log (1 + d) = 0,0029083.6 

log p" = 5,3144251.3 

log* =7,82732—10 



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§ 18. Zahlenbeispiel I. 301 

log/ = 0,1150923.1 
t* = 1,69897 
<♦ = 2.886 
1 + 2<« = 4,39794 = [0,643249] 

1 + 3<* =- 6,09691 = [0,785110] 

2 + 3«» = 7,0969 = [0,85107] 
5 + 6«* = 15,1938 = [1,18167] 

2 + \bt* + \bt* = 70,78 = [1,8499] 
5 + 28<* + 24<* = 121,83 = [2,0858] 
1 _(_ 30<« + 45^ ■= 181,85 = [2,2597] 
1 + 20^ + 30^ = 121,56 -= [2,0848] 
1 + 20/« + 24/* = 104,24 = [2,0180] 
58 + 280/« + 240/* = 1226,4 = [3,0886] 
61 + 180/* + 120/* = 713,1 == [2,8532] 

log cos B, -= 9,7844012.8 - 10 

log cos* B, =9,5688 - 10 

log sin 2J?, = 9,9849 — 10 

log cos 2B, = 9,4133« — 10 

log [5 cos 2 J?, — 4] = 0,7239, . 

Hiermit findet sich aus den Formeln (11), (12) und (13) S. 298: 
B, = 52« 30' 16,7" + [5,3155049.9.] « + [5,1295673,] t* 

in 8«k. 

+ [5,322464] ur* + [5,50352,] «*«* + [4,8355]»* 
+ [5,6883] uW + [5,4960,] «»* + [3,0028,] u* 

+ [2,2551,] M» + [3,0885,] «»* H 

ij -= L, + [5,5300238.5] v + [5,6451162,] uv 

in Sek. In Sek. 

+ [5,838013] «*» + [5,283088,] »» + [6,01906,] m»v 
+ [5,95310] ui^ + [5,3692] ^ + [6,2038] u*v 
-\- [6,4387,] M*»» + [2,4490] m*w +. • • • 
«8.1 = «I.» + 180» + [5,4295174.4,] v + [5,656644] uv 

in Sek. in Sek. 

+ [5,294615] tr" + [5,83304,] m*w + [6,0200] «»» 
+ [5,9522,] uv^ + [6,2035,] «*v + [6,4389] ««r» 
+ [5,3683,] «» + [2,4095] uv + [2,4074,] («* - v*) v + • • • 



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302 6. Kapitel. Differentialformeln n. Reihenentwicklongeii f. d. geod&t. Linie. 
Mit den speziellen Werten von s und ai.t hat man jetzt: 

log s = 5,7242591.6 
log cos «1.» = 9,7048223.3, — 10 
log Bin «1, = 9,9355442.5» — 10 



log « = 8,6235237.8, - 10 
log V = 8,8542457.0, — 10. 



i5.= 


L,-L 


l — 






«2.1 = 


52» 30' 16,7" 


— 


6» 43' 45,32" 




59» 33' 


0,69" 


+ 2 24 50,18 


— 


22 


7,05 


+ 


5 20 20,43 


— 11 28,74 





1 


26,961 


+ 


22 42,74 


- 45,13 


+ 


1 


10,12/ 


— 


1 


12,001 


- 2,88 


— 




5,541 


+ 


1 


25,97) 


+ 1,79 


+ 




13,78/ 


+ 




5,561 


0,191 


— 




0,44 




_-. 




13,75/ 


+ 0,34/ 


— 




0,36 




+ 




0,36 


— •1,78 


+ 




1,77 




+ 

+ 




1,77 


+ 0,01 1 


0,04 




0,44 


+ 0,26/ 




0,77 












— — 


65» 16' 


0,03 


54» 42' 50,56" 


— 


7» 6' 


0,04' 


9,41" 


«•utt 50,60 




anttatt 0,00 






«»utt 9,37 . 



Fflr die genauen Angaben ist S. 247 zu vergleichen. Was den 
1. Horizontalstrich in obigen 3 Kolonnen betrifft, so ist zu erwähnen, 
dars unterhalb desselben die von S abhängigen Glieder sich befinden. 

§ 19. Zahleniteispiel U. Gegeben: B^ = 57» 

s= 120000» «,., = 315». 

Wir rechnen hier mit Logarithmen bis zu 9 richtigen Decimalen. 
Es ist zunächst: 

log Wi = 9,9989781.93 - 10 



log 



W, 



3,1943347.29 - 10 



log (1 + d) = 0,0029083.60 
log 9" = 5,3144251.33 
log d = 7,82732 - 10 
log t = 0,1874826.38 

<* = 2,371184 

«* = 5,6225 



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§ 19. Zahlenbeispiel 11. 303 

1 + 2<* = 5,742368 — [0,7590910] 
1 + 3<» = 8,113552 = [0,909211] 
2 + 3<« = 9,11355 =[0,9597] 
5 + 6^* = 19,22710 -= [1,283914] 
2 + 16t* + 15<* — 121,91 — [2,086] 
5 _)_ 28^» + 24/* = 206,33 — [2,3146] 
1 -I- 30<« + 45/* = 325,2 = [2,512] 
1 + 20<« + 30/* = 217,1 = [2,337] 
1 H- 20/* + 24/* = 183,36 -= [2,2633] 
58 + 280/« + 240/* = 2071 = [3,316] 
61 + 180/« + 120/* = 1163 = [3,065] 
log cos 5, = 9,7361087.65 — 10 
log cos« 5, = 9,47222 - 10 
log sin 2B^ = 9,96073 — 10 
log cos 2Bi = 9,609» — 10 
log [5 cos 25, — 4] = 0,7806. . 

Hiermit geben die Formeln (11) bis (13) S. 298: 

B^ = 57" 0' 0" + [5,3152898.79,] « + [5,2017425,] »« 

ia SA. , 

+ [5,446350] Mt>« + [5,6843,] m«»« + [5,0318] v* 
+ [5,924] «»«« + [5,748,] uv* + [2,97840,] u« 
+ [2,450,] «« + [3,1450,] mv« H 

L, =L, +[5,5783163.68]» + [5,7657990.1,]«» 

isBek. in Sek. 

+ [6,010406]«»» + [5,47616,]»» + [6,2484,]«»» 
+ [6,1979]«»» + [5,686]»» + [6,488]«*» + [6,739,]««»» 
+ [2,40074]««» + ••• 
«i.i = «i.j + 180» + [5,5019077.71,] » + [5,7724861]«» 

ttStk. inSak. 

+ [5,482848]»» + [6,007670,]««» + [6,2488]«»» 

+ [6,1975,]«»» + [6,487,]«*» + [6,738]««»» 

+ [5,685,]»» + [2,31294]«» + [2,023,] (««—»«)» + • • -. 

Mit den speziellen' Werten von s und «1.2 hat man jetzt: 

logs = 5,D791812.46 
log cos «1 ., = 9,8494850.02 — 10 
logsin «1. j = 9,8494850.02,— 10 



« = 8,1230009.77 — 10 
» = 8,1230009.77,-10 



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304 6. Kapitel. Differenüalformeln u. Beihenentwicklungen f. d. geodät Linie. 





B,= 


57» 0^ 0" 


— ' 


45 43,41088 


— 


28,03783 


+ 


0,65366 





0,01501| 
0,00334) 


+ 


+ 


0,00035 1 
0,00023) 


— 



0,16765 
0,00066 1 
0,00327) 



56n3' 49.02 182" 



A- 


-Z,= 






«8.1 = 


— 1» 23' 47,09792" 


135« 0' 0" 


+ 1 


42,75453 


+ 


1 10 16,07908 





2,39557» 
0,70010) 


— 


1 44,34892 


+ 


— 


0,71097 
2,38053 


+ 


0,055001 
0,04897) 


+ 


— 


— 


0,05506 
0,04892 


— - 


0,00020 




+ 





0,00127 




+ 


; 0,00127 


+ 


0,00226 




+ 


0,00225 
0,00020 


— 


0,00059 




0,03622 








0,00000 


— 1" 22' 


6,03263' 


/ 


136« 8' 33,35658" 



Diese Werte müssen in der 4. Decimalstelle der Sekunden noch richtig 
sein, was in der That sich später durch Anwendung anderer Formeln 
bestätigen wird. 

§ 20. Formeln mit mittleren Werten der geographischen 
Breite nnd des Azimuts. Die Formeln des § 17 enthalten B^ und 
ai.2 als Ausgangswerte. Für manche Zwecke sind aber Formeln mit 
mittleren Werten von S und a für beide Endpunkte P^ nnd P^ 
erwünscht Um solche zu gewinnen, knüpfen wir am besten «n die 
allgemeinen Formeln des vorigen Kapitels an. 

Nach S. 248 (1) ist zunächst: 



tan 



jß 



— tan 



d€p 



COS 



coaa 
2' 



(1) 



wobei zum Teil von den Abkürzungen: 



ß,-ß, = ^ß Äjt.ft- = i8 



•'i.» + «».i 



90« +a 



«2.1 = a,.8 + 180» + ^« 



(2) 



Gebrauch gemacht worden ist In die Formel (1) führen wir nun 
anstatt ^q) und ^ß die linearen Längen s und M ein, letzteres in 
der Bedeutung als Meridianbogen für die Breitendi£ferenz B^ — B^. 



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§ 20. Formeln mit mittleren Werten von geograph. Breite und Azimut. 305 



Nach S. 223 (9) ist aber für kleine Entfernungen, indem wir — 
ebenso wie e als Grofse 1. Ordnung ansehen: 

*+i*'*f 1 ) 

5=60 —^^— \^q)-\-kiCos2(p8m^g) — -ki^cos4g)Bin2 jd^p-j-Gl^i (3) 
und hieraus durch Entwicklung von sin ^9) und sin 2^9) in Reihen: 

worin wir nun nach S. 220 u. 221 substituieren: 

Gleichzeitig setzen wir cos 4^) «== 2cos^29) — 1 und reduzieren auf 
^97; es ergiebt sich dann nach einfacher Rechnung: 



^,p=_. 



1 — jC*(l+e*)8m%(l+cos295)+ ^c»^9)»8in*^oC082<p| 
+ Jc«8m«^o(l + co829.)« + GZ,. 



(4) 



Rechter Hand ist noch ß^ und {p zu eliminieren und durch /3j , ß^ 
und die Azimute ai.2 und «2.1 auszudrücken. 

Man hat aber wegen 2^) »» 9>| -{~ 9^2 ^^^ ™^^ Rücksicht auf die 
(4) S. 248: 

sin* jS^ ( 1 4" cos 2 qp) == sin* ß^ + sin* /S^ cos {q>^ + 9^«) 

= 1 — - (coB*/Si sin*«! . 2 + cos* /8g sin* «2 . 1) 

-)- sin /3^ sin /Sg -f- cos /^i cos i^2 c^^ ^i • 8 c^^ ^s . 1 • 

Setzt man für sin* « den gleichen Wert 1 — cos* a, so hat man nach 
einiger Reduktion weiter: 



sin* /S^, ( 1 + cos 2 qp) = 



1 ~ cos(i8i -f ß^) — 2 (coBßi ~ cos/3 J* 
-f - (cos /8j cos «1.2 + cos /Sg cos «2. l)*« 



(5) 



Es ist nun nach bekannten Formeln und mit Rücksicht auf das 
sphärische Hilfsdreieck Fig. 21. S. 248: 

cos /3j — cos /3j = 2 sin -^ sin Ä^-?* 

— — 2 sm - - sin ^^^ — sm r sec - - 



2 — 2 

Helme rt, mathem. u. physikml. Theorieen der höh. Oeodäsie. 



20 



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306 6. Kapitel. Differeniialformeln u. Bey^enentwicklnogen f. d. geodät. Linie. 

und wenn wir die Abkürzungen (2) einführen, sowie sin -^ und 
sec — in Reihen auf losen: 

cos /Sj — cos /Sg = — d^ sin /8 cos a -f Gh • (6) 

Man hat ferner mit Rücksicht auf die (4) S. 248: 
cos /3, cos «1.2 + cos ß^ cos «2.1 *= sin ß^ (sin tp^ — sin fp^ 

28m -^ sin ß^ cos ^^^ ■ 

Hiernach ist aber: 

cos ß^ cos «1.2 + cos ß^ cos «2.1 "= — ^ q> sin ß + Gl^] (7) 

denn man hat durch Addition der beiden ersten Gleichungen (4) 
S. 248 die Relation: 

sin ß^ cos ^-?^ = sin ß cos ^-^ sec ^^^ 
= sin /3 + Gl^ . 
In gleicher Weise findet sich noch die Beziehung: 

sin^/^Q cos 2^) =» sin ß^ sin ß2 -{- cos ß^ cos ß^ cos «1.2 cos «2.1 



oder 



sin*/8o cos 2q> = sin*/8 — cos*/8 cos*« + Gl^- 



(8) 



Substituiert man jetzt (.7) und (6) in (5), sodann (5) und (8) 
in (4), so findet sich ohne Schwierigkeit: 



^<P = T- 



1 — y e»(lH-e*)8in*/}H- |-c«8in*/J 
+ ^c»^9)*(cos«a[48in*/J-l]-2sin«/3)+ö?j. 



(9) 



Setzt man hierin « = 180**, so bezieht sich diese Formel auf den 
Meridianbogen M von ßi bis ß^, und es geht ^tp in Jß über. Man 
hat daher 

1 - |- c«(l + e«) sin^/S + |- c* siu^/S 



^^ 






+ l^z/i8«(2sin«^-l) + G?, 



24 



(10) 



Dividieren wir dies Seite für Seite in Gleichung (9) und beachten 
dabei^ dafs aus (1) folgt: 

^ß = — ^(p cos « + (rtj, 



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§ 20. Formeln mit mittleren Werten von geograph. Breite und Azimut. 307 

um damit dß aus der Parenthese vou (10) zu elimiuieren, so 
findet sich: 



^ = ff (l -h^^v' sin« 18 sin«« + Gl^ 



(11) 



Wir kehren nun zurück zu Formel (1), verwandeln rechter Hand 
tan -^ in eine Reihe und gehen dann von tan -- zu -^ über mittelst 

der 2. Reihe (2) S. 29. Schreiben wir für den Augenblick zur Ab- 
kürzung : 

tan^ 
so wird 



Q tan 4«^, 



tan f = 4- ö^y (l + j^ ^9,* + ^ ^y* + G^) 



und 



Hierin ist für Q^ zu setzen cos^a : cos* — , womit sich aufserdem findet: 



^ ^o sin*« , i Ja 

C08' — 



(13) 



Führt man auch dies in (12) ein und verbindet dann diese Gleichung durch 
Multiplikation entsprechender Seiten mit (11), so entsteht die Formel: 



lf=-5- 



C08 



Ja 



+h^^' f- -^ -tan« f ) -le«^y«8m«|8 sin«« 
+ «in ^<P*sia*a{2 - 3cos«a) + Gi, . 



(14) 



Bei diesen Entwicklungen für (12) und (14) ist Voraussetzung, dafs 
nicht nur s : %, sondern auch z/a eine kleine Gröfse 1. Ordnung ist; 
mit Rücksicht auf die 4. Gleichung (1) S. 24B ergiebt sich hieraus 
die gleiche Bedingung für Zi.^. 

Die 2. und 4. Gleichung (1) S. 248 geben nun ohne Schwierigkeit: 

da , Jtp , ^ . 

sm —5— a= — tan — ~- tan p sin a, 



und hieraus erhält man sofort: 

^a = — ^g) tan /3 sin a + ÖZ3. 



(15) 



Dies führen wir in (14) ein, aufserdem für z/^) nach (9) den Ausdruck: 

20* 



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308 6. Kapitel. Difforentialformeln u. Reihenentwicklungen f. d. geodät. Linie. 

wir setzen ferner im 2. Gliede der geschlungenen Parenthese 

1 : cos« -f^^ = 1 + sin* -^ - + Gl, 

nnd vertauschen schliefslich in den kleinsten Gliedern ß mit B. So 
findet sich: 



j|f=— s 



cosa 
Ja 



^ + i^»^'^'"(^ + '''^'*'') 



1 *« 






a = 



i.* + «2.i - 180« 



, z/a = «g.i — «i. 



180». 



(16) 



(17) 



Diese Formel stimmt nach gehöriger Redaktion mit derjenigen überein, 
welche Bessel 1837 im 14. Bd. der Astronom. Nachr. No. 331 S. 310 ge- 
geben hat {ÄbhandliMgen Bd. 3, S. 40). 

§ 21. Fortsetzung: LäiigendilTerenz. Nach S. 231 ist 

Hieraus folgt durch Entwicklung von sin J(p in eine Reihe und 
unter Substitution der Werte 

k, = ~ e" sin« ßo + Gl,, n = | e^ + Gl, 
ohne Schwierigkeit: 

ii j=^A~ y e^cos/Jo (l + ^c« [1 - sin^/JoCosV] + Gl,) dip. (2) 
Man hat nun nach den Gleichungen (4) S. 248: 

cos /3q = — (cos /Sj sin «1.2 — cos ß^ sin ag.i). 
Hierin setzen wir 
^. = \ (ft + ßd-T iß^ - ßi) «nJ A = l- CA + A) + 4 (Z's-'äi) 



sowie 



«1.2 = y («2.1 + «1.2) — Y (^*-^ " ^^'^^ 



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§ 21. Fortsetzung: Längendifferenz. 309 

und 

«2.1 *= Y («2.1 + «1.2) + 2" (^2 1 ~ "l«)- 

£s wird dann mit Rücksicht auf die Abkürzungen (2) S. 304 erhalten: 



ü Q • fe— <?! • *'2.1-«1.2 

cos Po = cos p sin « cos ~ \r- sin _ 

+ sin p cos a sin '^^ '^' cos (3) 

Zur weitern Umformung dieses Ausdrucks geben die (1) S. 248 sofort: 
sin ^^ ^^ s= — — z/qp cos a + GJ^ 

*^2 1 — *'^1 2 1 

COS — '—^ — '— = Y J^> tan /S sin a + 6r?8> 
womit sich auch findet: 

cos -^^^ = 1 ~ i ^9)^ cos^a + Gi^ 

sin ^-T^A = 1 _ ^ ^a>Han«/Jsin«a + (?Z,. 

Mittelst dieser Formeln gestaltet sich Ausdruck (3) für cos /J^ wie 
folgt: 
cos /80 «= cos /J sin a ^1 — -g- ^^^ sec*/3 [sin*/8 + cos^a] + G^^i)- (4) 

Dieser Wert ist in (2) einzuführen und zugleich mit Rücksicht auf 
die beiden ersten Gleichungen (4) S. 248 zu setzen: 

sin /Jq cos 9 == sin /? + G?2 • 
Man erhält damit: 

Iji,% =^ JX — Y 6* cos /8 sin a { 1 + 4 ^* cos*/8 

- Y Jq>^ sec*/3 [sin*/S + cos^a] + Gl^ \ dq>. (5) 
Für ^X giebt die 2. Gleichung (1) S. 248 die Relation: 
sin — dk = sin — dw sec ß sin a. 

Wir verwandeln siuY-^^' in eine Reihe und leiten sodann aus 
sin-l-^A mittelst der 1. Reihe (2) S. 29 \dk ab. Es folgt: 



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310 6. Kapitel. Differentialformeln u. Reibenentwicklangen f. d. geod&t. Linie. 
JX = Jq> sec /J sin « 1 1 — — Jtp^ (1 — sec^/J sin*«) 

+ ^ Jtp^l — sec*/3 sin««) (1 — 9 sec«/S sin««) + GlA (6) 

und zwar unter der Voraussetzung , dafs nicht nur sia^, sondern 
auch £i.2 von der 1. Ordnung ist. (5) und (6) geben nun zusammen: 

1 - Y 6* co8*/S; (l + { ^ cos^/S) 
+ ~ (?Jq>^ (sin*/S + cos««) 
— 24 ^^* (^ — sec«/8 sin««) 
+ Tg^ 5Z/9*(1— sec«/Jsin««)(l — 98ec«/Jsin««) + C?Z6. 



Xi.2a»^9sec/3 sin« < 



(7; 



Für /ifp führen wir hier die Reihe (9) S. 306 ein, nachdem wir darin 
für 6o den gleichen Wert a^ y\ — 6« substituiert haben, womit Jtp in 

Jfp=^ (l + _Lc«cos«/3+-|-e*co8*/S 

+ ^e«zf9)«(cos««[4sin«i8-l] -2sin«/S) + C??6 j (8) 
übergeht Für (7) findet sich nun: 

^"~ i~ ^.(l-~sec«/Ssin««-e«[sin«/J+(4sin«/J— l)cos««]) 



ii.2=^sec/Jsin« 



1 8' 



+ rQWif^(l-«^^'^«i°'«)(l-98ec«^8in««) + (??e. 



(9; 



Hierin führen wir noch die mittlere geographische Breite B ein. 
Nach S. 42 ist aber: 

Bi = A + n sin 2ß^ + y w« sin 4/3, + Gl^ 
S2 = ß2 + w sin 2/S, + -l- n« sin 4ß^ + GZ^, 



daher 



B = ß + nsm2ß cos ^/3 + ^ n* sin 4/3 + GJ. . 



(10) 



Hieraus ergiebt sich leicht nach und nach folgende Rechnung, bei 
welcher w = -j- e« + g^ + G^^e gesetzt ist: 

cos B == cos ß cos (w sin 2/3 cos ^ß + 0^4) 

— sin ß sin (n sin 2^ cos Jß + o ^** ^in 4/3 + GQ 



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§ 22. Forteetzoiig: AzimatdifFerexiz. 



311 



oder 



cos B BS cos ß 



1 — ~ e* sin^/J cos Jß — - - e* sin^/S 



andrerseits ist: 

l:l/l-e»8in2~J5 = l + ^e«8inV+^e*sin«/S— ^ ^sin^/S+GZß, (11) 
daher 



yr 



_^^Lg,-. ^cos jS A + 4- ^ 8in«j8 sm»^/S + G^e V 



Nach (9) und (12) S. 306 u. 307 ist nun zl/J — — — cos a + Gl^, womit 
diese Formel endlich noch in nachstehende Gestalt gebracht werden kann: 

, '^''^^ = cos /3 A + ^ e« -^ 8in«/8 cos^a + Gl^) . (12) 
1/1- ««sin« jB ^\ ^ 4 Oo* '^ / ^ ^ 

Hiermit giebt (0): 



Lii^g"— IFsecBsin«^ 

iaSek. «0 * 



1 s» 



1 — — -, ( H^[l — sec*5sin*a] -««[10 büi'ä-i] oot»« ) 

+ ~£i(l~tec»Ätin*a)(l-9wc«Ätin»a) -f- GIq. 



Die Bedeutung von £ und a ist durch die (17) S. 308 definiert. 
Aufserdem ist wie früher W=yi — ^ ain^B. 

§ 22. Fortsetzung: AzimutdifFerenz. Die 2. und 4. der Glei- 
chungen (1) S. 248 geben: 



sm 



Ja 



— tan —^ tan /S sin a . 



(1) 



Wir verwandeln tan y- in eine Reihe und gehen dann mittelst 



Ja 



der 1. Reihe (2) S. 29 zu ~ über. Es wird 



Ja= — ^^tanjSsina 



1 + ^ z/y« (2 + tan«/J sin^c) 
16 + 20 tan«/S 8in«a> 
+ 9 tan* /J sin* 
Für z/^ setzen wir jetzt den Ausdruck (8) 8. 310 und erhalten: 



+ 



, /16 + 20tan»/J8in*a\ 

\ +9 tan* p sm* a / 



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312 6. Kapitel. Differentialfonndn n. B«ihenentwicklaDgeii f. d. geodftt. Linie. 



. « tan ß sin a 



■ ijl/ 2+tan«|88m*« V 

"•■24 ao»\^+e«[i_38ia»/j8in«a+sin*a]y 

_i_^/l6 + 20tan*/J8ia»a\ 
+ 1920V\^ +9tan*/Jsm«a y + *'*« 



(2) 



Aus (12) S. 311 leiten wir aber leicht ab: 

cos ß = — ^J.^^ (l - ^e^~ 8in«£cos«a + GlA 



und hieraus: 



sin ß = -^^'^£ A + ^e^-'^ cos^Bcos^« + G?e V 
womit sich ergiebt: 

yr~-^^ tan B = tan /S (l - ~^^cos^a + Gl^ ), (3) 

während aus (11) S. 311 noch folgt: 



.P^r^ = 1/1-6« cos*^ + GZ« . (4) 

Indem wir dies in (2) substituieren, erhalten wir die Formel: 



s 



^a= — q'— TT tan B sin« 

in Sek. ^0 



1 8«/ 2 + tan*J?8in2a V 

24 tto *\ _^ «»[7— <5-f Un'Ä -f 38in'Ä)Bin»a3 / 
+ 192Ö V \^ +9Un*Ä8in-« ^ + ^^6 • 



(5) 



Diese Formel setzt, wie (16) S. 308 u. (13) S. 311 voraus, dafs 
nicht nur s : a^, sondern auch Li, 2 eine kleine Grofse 1. Ordnung sei. 

Drückt man in (16) S. 308 den Meridianbogen M durch B nnd JB 
ans und reduziert auf JB^ so erhält man damit sowie in den xwei Formeln 
(13) S. 311 und (5) oben ein Mittel zur indirekten Berechnung von B^, 
Li. 2 und «2.1 aus B^, 8 und «i.a, welches zu rascher Rechnung sehr ge- 
eignet ist, falls die gesuchten Gröfäen schon näherungsweise bekannt sind. 

Derartige Formeln gab 1847 Gaufs in seinen Untersuchungen über Gegen- 
stände der höhern Geodäsie 2. Teil S. 26 u. fp., wobei er aber nur die Glieder 
bis mit s', diese jedoch vollständig, entwickelte. Der von ihm ein- 
geschlagene Weg ist ein anderer als der unsrige, indem er nämlich direkt 
an die Diflferentialformeln (11) bis (13) S. 298 anknüpft und sie auf einen 
in der halben Länge zwischen Pj und P^ liegenden Punkt als Ausgangs- 
punkt, sowie Pj und P, als Endpunkte anwendet. Aus den 6 bo ent- 
stehenden Gleichungen eliminiert er dann die Werte von By L und a des 



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§ 23. EntferDQDg und Azimute aus geographischen Positionen. 313 



erwähnten mittleren Punktes. — Für unsere Zwecke schien aber der 
hier eingeschlagene Weg, welcher allerdings die Anwendung der all- 
gemeinen Formeln bedingt, einfacher, insofern er die Formel (16) S. 308 
direkt in die für eine spätere Anwendung geeignetste Gestalt bringt. 

§ 23. Entfernung und Azimute aus geographischen Posi- 
tionen. Die Formeln (16) S. 308 und (13) S. 311 geben ohne 
Schwierigkeit: • 



5co8a = — Jfcos 



da 



1 s' 



720 a 



^8in2«([15tan^J?+3]co82a~sin«a)+Gi, 



,(1) 



SB\na=P 



1 + 1^ ~ ( VP[co8*c — tan^Bsin*«] — e*[108in»S- l]co8*a) 



1 «■ 



+ -"- j-, {coa*a-taa^Bam*a)(7+nsec*BBm*a)+Glt 



,(2) 



wobei P den Parallelbogen für den Längenunterschied Li, 2 in der 
geographischen Breite B bedeutet: 



-^1.2*«» s«k- cosB 



W 



Tf^mit Argument B 



(■B. + S,) 



(3) 



und M nach S. 50 (3) und S. 44 (2) sich mittelst der Formel be- 
rechnet: 

dB in Sek. 1 — e*\ 



1 TLT 1 / ^J5 in Sek. 1 — «*\ • 1„, , ^„ /JBinSvk.X* . ^, /^x 
log Jtf = log [a^ -,. ^3-j + g Med. e« CO« 2B (- - ^,, ^ + Gl^ . (4) 



Aufserdem ist durch Einführung von (2) und (3) in die Formel 
(5) des vorigen Paragraphen: 



^1a= — Zi.ssinJ^ 



1+ 



1 ._«« 

'2* V 1- 



3co8*a + 2sin^a ] 

e*[(ll8in«£-8)co8»a+(4sin«5— 2)8in''a]) 



j g4 |75co8*«+140co8*asin*a + 48sin^aj 
6760 a,* j _j_[60cos»a8m«a+ 168in«a]taii«iJ j "^ * 



(5) 



Die Berechnung wird nach diesen Formeln teilweise eine in- 
direkte. Zuerst werden P und M definitiv aus (3) und (4) bestimmt. 
Dieses sind zugleich die Werte von s cos a und s sin a mit Vernach- 
lässigung von Gliedern 3. Ordnung. Hiermit giebt (5) den Wert von 
^a bis auf Glieder 5. Ordnung^ jedoch kann man die von e^s^ ab- 



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314 6. Kapitel. Differentialformeln u. Reihenentwicklimgen f. d. geodät. Linie. 

hängigea Glieder der Parenthese bereits berücksichtigen. Nnn Ussen 
sich mittelst (1) und (2) s cos a und 5 sin « genauer berechnen und 
zwar ebenfalls bis auf Glieder 5. Ordnung, aber mit Berücksichtigung 
der Glieder e*s^ der Parenthesen. Eine folgende Annäherung giebt 
die Glieder 5. Ordnung vollständig. 

Zum praktischen Gebrauch empfiehlt sich nun die logarithmische 
Form für (1), (2) und (5), welche wir daher noch ableiten. Aufser- 
dem setzen wir diejenigen Formeln her, welche sich durch die ange- 
gebenen Operationen mit den allgemeinen Symbolen und insbesondere 
für s cos a dnrch Benutzung der Reihe 

log cos ~ = - Mod. (1 Ja' + i^ Ja' + Gl,) 

nach S. 29 (3) ergeben. 

Endlich schreiben wir auch die Formeln (2) und (4) etwas anders, 
so wie es im Hinblick auf die Gesamtheit aller am besten erscheint. 

Auf diese Weise erhalten wir folgende Formeln, zu direkter 
Rechnung: 

* T>' •''1.2 *» Sek. cos B «, z/Bin Sek. 1 - «' 

^ ^ w ^~ — ^ W^ 

JB = B,-B, B^liB, + B,) 

W sum Argument B 

P = a^P' log M = log (a^M') + ^ Mod. m'*^ [s-e .in'Ä] + Gl, 
log Ja = log ( — Li . 2 sin B) 



(6) 



(7) 



1 (P''(2 + .*[2-4.in*B])l 

log(scosa) = log(-ilf)- ^Mod ^ '\+Gl,(8) 

^^ I + 3 F»Tf Uan«B ) 

+ GI,. (9) 



log {s sin a) «= log P + iTT Mod 



24 






Hierin sind die von e' unabhängigen Glieder 4. Ordnung yernachlässigt. 
Ist eine noch gröfsere Genauigkeit wünschenswert^ so läfst die- 
selbe sich erzielen, indem man vorstehendeu Werten für die Loga- 
rithmen von Ja, s cos a und 5 sin a nachstehende Ausdrücke bezw. 
hinzufügt : 

+ 2^Mod {l6Ar*4-14P'*-[«Pi''*i'»+l«P*)Un»l?} (7*) 

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§ 23. Entfernung nnd Azimute aus geographischen Positionen. 315 

-h-^Mod | — 8ir»P'» — 14P'* — [30ir»J^»4-40P'*]Un«Ä— ISP'^Un«/?] (8*) 

^^Mod (jf'« — 8Jf'»P'»— [80Jlf'»P'»-4-W*'*Jt*n«B — P'«Un*Ä} , (9*) 

wodurch die Vernachlässigungen in den Logarithmen auf Gl^ herab- 
sinken. Zn diesen Formeln gelangt man leicht, indem man in (5), (1) 

und (2) rechter Hand s cos « = - Jf ( 1 - y P'* tan« B--^^P^ + GQ 

und 5 sin a = P(l + ~ M'» - ~ P'« tan^B + Gl,) setzt und dann 
logarithmiert. 

Schliefslich hat man noch 



«1.2 = a — 2 



dcc 

(10) 



«2.i-« + ^2^+180^j 

Für vorstehende Formeln besteht ebenso wie für diejenigen der vor- 
hergehenden Paragraphen, aus welchen sie hervorgegangen sind, die 
Voraussetzung, dafs nicht nur siOq, sondern auch £1.2 eine Gröfse 
1. Ordnung ist. 

Dieselben lassen sich auch noch in andere Gestalt bringen, wozu 
die rein sphärischen Formeln S. 132 u. ff. Fingerzeige geben. Es giebt 
u. a. die Differenz der Formeln (8) und (9) genau die Formel (1) 
a. a. O. bis auf die in e^ multiplizierten Glieder; ebenso läfst sich (7) 
auf die Form von (2) ebenda hinführen. Wir bleiben indessen bei 
den obigen, für gleichzeitige Berechnung von s und a sehr bequemen 
und scharfen Formeln stehen; die kleinen Glieder derselben berechnen 
sich um 80 leichter, als in verschiedenen Formeln dieselben Terme 
auftreten« 

Für Seiten mefsbarer Dreiecke wird es oftmals ausreichen, in den 

Logarithmen des Systems (6) bis (9) die Glieder 4. Ordnung wegzulassen. 

Dann aber hat man rein sphUrische Formeln vor sich, mit der Modifikation, 

dals für Li. 2 und JB verschiedene Krümmungsradien angewandt sind. 

Diese Verschiedenheit verschwindet durch Kinführung der reduzierten 

1 — c* 
Breitendifferenz dB — ^^~ , und man überzeugt sich nun leicht, dafs man 

innerhalb der angegebenen Genauigkeit durch sphärische Behandlung von 
Li. 2 und der reduzierten Breitendifferenz mittelst des Krümmungsradius 
Oq : W (d. i. die Normale in mittlerer Breite) zu obigen Formeln zurück- 
kommt. Man kann hiemach überhaupt alle auf eine hinreichend kleine 
geodätische Linie bezuglichen Rechnungen rein sphärisch ausführen. Das 
ist ja auch geometrisch unmittelbar klar, nur fehlt dabei die Angabe der 
Vernachlässigungen. [Vergl. auch Jordan, Handbuch Bd. 2, 8. 236.] 



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316 6. Kapitel. Di£fereDiialforme]n u. B^ihenentwicklungen f. d. geod&i Linie. 

§ 24. Zahlenbeispiel L Gegeben: 
Bi = 54« 42' 50,6" 
B^ = 52 30 16; 

Man hat zunächst: 



5,7 j 



70 6' 0" 



B =- 53» 36' 33,65 
JB=^ — 7953,9" 
Zi.» = 25560,0" 

5,2575731 



, Mod 



IogS= 3,17839 



2880 
log 6* 



für Einh. 
der 7. Dec. 



log TT = 9,9990587.89 - 10 
log dB = 3,9005801.27« 
log Z,.2 = 4,4075608.50 
log a„ == 6,8046434.64 
log tan»J? = 0,2650511 
log 8m«.B = 9,81158- 10 



7,82441 — 10 

log(>" =5,3144251.33 
log ^ = 8,5861549.94» 



10 



Iogf:»J = 9,0931357.17 
9 



10 

log sin B = 9,9057908.07 — 10 
log cos .B =9,7732652.48 —10 
log(l — c*) = 9,9970916.40 - 10 
log M' = 8,5860702.67» — 10 



24 



24 



2880 



logKJr) = 


5,3907137.31» 








log 


P = 


8,8673421.76 —10 




log 


P = 


5,6719856.40 

• 




Mod 


.M'* 




= 268.976 






77 


P* 




= 982.330 


Einh. 


der 7. Dm 


77 ' 


F»TF*tan*£ 


'=1800.637 






Mod 


. e*3f'» 




= 1.7952 






7> 


^M'* sin 


'B 


= 1.1634 


' 




?7 


e'P'» 




= 6.5564 




77 


?» 


e^F* sin« 


B 


= 4.2486 , 






Müd 


.M'* 




= 0.0033 ' 






77 


p'4 




= 0.0444 




77 


w 


j^'äjy* 




= 0.0122 









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§ 24. Zahlenbeispiel I. 



317 



^ Mod . Jf '«P'« tfox'B — 0.022401 



P'*tan*i? 



. 0.08183 
0.15065J 



Blnh. der 7. Deo. 



Hiermit ergiebt sich nun folgende Zusammenstellung: 

log(— ii.ssinB) = 4,3133516.57, 



+ ^ Mod.31f'» 



+ 
+ 



11 8in*5 



+ ^ Mod.2P'« 



+ ^ Mod.e«P'*.2 



= + 
= + 



+ 



2880 
+ « 



Mod . 15Jtf'* 
14F* 



4 sin*B = — 
= + 



60 3f'*P'* tan*B 

12P'*tan«B = - 



806.928 

14.362 
12.797 
1964.660) 

13.1 13 1 

I6.994J 

0.050 

0.622 
1.344 

0.982 



wicd 

unten 

gebraucht 





log ^a 


= 4,3136284.19, 


^a = - 20588,6760" 


5» 43' 8,6760". 


log(-aoM') 




= 5,3907137.31 




+ ^ Mod.c«Jlf*.3 




= + 5.386 


ilt log M 


— „ „ 6 8in«B 




= - 6.980 




^ Mod.P'*(2 + c»[2- 


4 8in*5]) 


== — 1960.779 .ieheoben 


— ^ Mod . SF» TT* tan*5 




= — 5401.911 


-di«Mod.8Jlf-P'» 




= — 0.098 


- „ 14P'* 




«= — 0.622 «teheoben 


30Jlf '*P'« tan«.B 




= — 0.672 »ieheoben 


— „ 40P'* tan»JB 




== — 3.273 


— „ 15P'« tan*P 




2.260 





log (s cos 0:) 



5,3899766.10 



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318 6. Kapitel. Difierentialformeln u. Reihenentwicklungen f. d. geodät. Linie, 
log P = 5,6719856.40 

Mod . jir* = + 

Mod.e*Jf'M = + 

„ ,.11 ain^B= — 



+ 
+ 



24 
24 



- JL Mod . FMF« tan*B = 



268.976 
1.795 

12.797 •ieheoben 

1800.637 



+ ^ Mod . M- 



= + 



9) 
}) 
)} 



SM'^P'* 

30Jlf' »P'« tan*£ 

12P'« tan».B 

P'* tan*P 



0.003 

0.098 •ich« oben 

0.672 •isheob«n 

0.982 «ieheoben 
0.151 



log (s sin a) = 5,671831 1.84 

Ans log (s cos a) und log (s sin a) erhält man: 
a = 62» 24' 35,029", 
und hifmiit ergeben sich för s, «i.g und a».i folgende 

log 8 = 5,7242591.34 
Resultate: | ai.2= 65« 16' 9,367 
«2.1 = 239 33 0,691 



anaUtt 
.35 

,365 



nach 
S. 261. 



Die Scharfe der Rechnung ist befriedigend^ wie die Vergleiehung mit 
der strengeren Rechnung S. 261 zeigt, jdcc pafst sogar bis auf 0,0001". 



§ 25. Zahlenbeispiel II. Gegeben: 
L\ = 57« 
JA, = 56M3' 49,02186' 

Man hat zunächst: 

Ji = 56« 36' 54,51093" 

j^B 2770,97814" 

Xi.a^ 4926,03270" 

5,25757 



Li, 2= 1« 22' 6,03270"ö.tuch. 



log ^7- = 



24 

. Mod 
^""^ 2S8Ö = 

log e^ = 



f. Einh. 
der 7. Dec. 



3,17839 

7,82441 - 10 

log q" = 5,3144251.33 
log (1 - e*) = 9,9970916.40 — 10 



log TF= 9,9989871.55 -10 
log ^1^ = 3,4426331.00. 
log Z,.2 = 3,6924972.90. 
log o„ = 6,8046434.64 
log tan« .B = 0,36223 
log sin* £ = 9,8434— 10 



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§ 86. Zahlenbeispiel Tl. 



319 



log^ = 8,1282079,67« — 10 
log ^>;? = 8,3780721.57« — 10 

9 

log sin B = 9,9216829.98 — 10 
log cos B = 9,7405680.15 — 10 
log M' = 8,1283381.42« - 10 
log («0 M') = 4,9329816.06« 
log F = 8,1196530.17« — 10 

log P = 4,9242964.81« 



24 



Mod . M'* == 32.678 

P" — 31.396 

P'* TT« tan« 5=71.958 



Einh. der 7. De«. 



24 



Mod . e«Jlf' * 



= 0.2181 



1 

2880 



9) 






(?M'*am^B =0.1521 
e*F« = 0.2096 

c*P'*8in«B =0.1461 

Mod.Jlf'* = 0.0000 

P'* = 0.0000 

Jtf'«P'» = 0.0000^ 

^ Mod . M''P^ tan* B = 0.0001 1 

P'*taii*5 =0.00011 " 

P'*tan*B =0.00024^ 
Hiermit ergiebt sich folgende Zusammenstellung: 

log (—Li.» sin B) = 3,6141802.88 

+ ^ Mod . 3Jlf'« = + 98.034 

= + 1.745 

llsin*£ = — 



+ -^ Mod . e'M'^ . 8 



+ 


,>od 


.2P'» 






= 


+ 


+ 


^Mod 


.^P" 


.2 




= 


+ 


— 


>> 


n 


4sm* 


B 


= 


— 




die GU«d«T (7*) 


S. 314 




= 


— 



1.673 
62.792] 

I wird 
I später 
0.419 I DoohmalB 
I gebraucht 

0.584 j 
0.008 



log Ja = 3,6141963.61 
Ja — 4113,35659" = 1» 8' 33,35659". 



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320 6. Kapitel. Differentialformeln u. Reihenentwicklungen f. d. geodät. Linie. 



log 


(- OoM') 


4,9329816.06 


+ ^ Mod . ^M*. 3 = + 


0.654 


- „ „ 6sin*£ =- 


0.913 


- ^ Mod . F* (2 + c* [2 - 4 sin*B]) ^ 


G2.627 eiehe oben 


— Jj Mod . 3P' F* tan*P 


215.874 


Dia Glieder (8*) 8. 315 = — 0.011 

log (s COS a) = 4,9329537.29 




log P = 


4,9242964.81« 




+ ^ Mod . M'* = + 


32.678 




+ y Mod . e«Jlif'« .1 = + 


0.218 




- „ „ ll8in»5 = - 


1.673 «ehe oben 




— ^Mod.F*TF»tan*B 


71.968 




Die Glieder (9>) S. !)15 ss — 


7 



log (s sin «) = 4,9242924.07« 
Aus log (s cos a) und log (s sin cc) erhält mau: 
a = 315« 34' 16,6775", 
und hiermit ergeben sich für 5, «1.2 und «2.1 folgende 

flog 5 = 5,0791812.47 
«,.2 = 314« 59' 59,9992" 
«2.1 = 136 8 33,3558", 
welche ebenso wie auch z/a noch in den letzten angesetzten Ziffern 
so genau sein müssen, als die Unsicherheit der Zahlenrechnung zuläfst. 
Vernachlässigt man die Glieder 4. Ordnung der Logarithmen 
gänzlich, so wird erhalten: 



log Jcc = 3,6141963.7 
log (5 cos «) = 4,9329536.4 
log (s sin «) = 4,9242925.2«, 



woraus mit 7ziffr. Log. folgt: 
Ja= 1« 8' 33,3568" 
a = 315« 34' 16,63" 
dog 5 = 5,0791812.8 
- «1.2 = 314« 59' 59,95" 
«2.1 = 135 8 33,31. 
Man erkennt, dafs für Seiten mefsbarer Dreiecke bei Anwendung 
7ziffriger Logarithmen die Glieder 4. Ordnung in der Regel ohne 
Einflufs bleiben. 



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§ 1. Die Form der geodätischen Ereiae. 321 

7. Kapitel 

Der Lauf der geodätisciien Linie. 

§ 1. Die Form der geodätischen Kreise in der Nähe des^ dem 
Drehpunkt einer geodätischen Linie auf dem Rotationsellipsoid 
gegenftberliegenden Punktes. In Ergänzung des S. 217 über den 
Lauf der geodätischen Linie Gesagten interessiert zunächst das Ver- 
halten der in der Überschrift dieses Paragraphen genannten geodätischen 
Kreise. Wir gehen bei Untersuchung derselben nur bis zu Gliedern 
mit ^ und Yemachlässigen e^ und höhere Potenzen der Excentricität e 
der Meridianellipse. Nach S. 223 hat man alsdann für die Länge 
der geodätischen Linie zwischen den Funkten P^ und P^^ 6 als Gröfse 
1. Ordnung betrachtet: 

s = 6o j(l + K) ^9 + I *i (am 2^2 - »in 29,) + Gl^\, (1) 
worin mit Beibehaltung der angeführten Genauigkeit 

*i = 1 ** + T «^°*''« + T « "'^'/'o + • • • (2) 

genommen werden darf. /J^ ist die grofste reduzierte Breite^ welche 
die durch P^ und P^ bestimmte geodätische Linie in ihrem ganzen 
Laufe erreichen kann. 

Für geodätische Kreise ist s konstant. Nehmen wir femer an, 
dafs jdfp mit % bis auf einen Bruchteil der 2. Ordnung übereinstimmt, 
sodafs in der Gleichung 

^9> = 9^2 — 9>i = ^ + Z (3) 

% die 2. Ordnung hat, so geht der Faktor von \ in Gleichung (1) 
über in: 

Ä + Y ÄÄ sin*/Jo + % + Grl^' 

Es ist daher, wenn %^ eine Konstante bezeichnet, s konstant, falls 

Z = «o-|««BmU + Gi, (4) 

genommen wird. 

Diese Bedingungsgleichung für die geodätischen Kreise ist nun- 
mehr anzuwenden auf das sphärische Hilfsdreieck, Fig. 21 S. 232. 
Mit Rücksicht auf (3) erhält man: 



sin /Sj = — sin ^j cos % + cos /Jj sin % cos a\ . s 

Helmert, m»th«m: n. phyiikal. Theorieen der höh. Oeodätle. 21 



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322 7. Kapitel. Der Lauf der geodätischen Linie, 

und hieraus: 

ß2 = -- ßl+X COS «1.2 + 0^4. 

Diese Relation vemacblässigt^ wie angemerkt^ nur Glieder 4. Ordnung, 
falls Pj und Pg nicht den Polen nahe liegen. Von diesem besondern 
Falle sehen wir ab und erhalten dann unter Substitution des Wertes 
von X aus (4): 

ß% = — ßi — Y ÖÄ 8in^/3o cos ai,2 + Xo cos a^.^ + Gl^. (5) 

Für den Längenunterschied Li,^ der Punkte Pj und Pg erhält 
man nach S. 231 (14) unter Beibehaltung derselben Genauigkeit wie 
bisher die Gleichung: 

Li,i = ^A — Ä cos /Jo^9 + Gl^ . (6) 

Hierzu giebt zunächst wieder das sphärische Hilfsdreieck^ Fig. 21: 

sin jdl = siu ^dq) sin ai.g sec /S^ , 

und es wird mit Rücksicht auf die Relation (3) für ^(p^ abgesehen 
von der Nähe der Pole: 

zJl '= jt -{- X sec ^2 si^i «1. 8 "I" ^h 

Substituiert man dies in (6) und setzt fttr x ^^^ Wert nach (4), für 
^q) im letzten Gliede aber einfach jCy so folgt: 

ii.Ä'^Ä — YllÄ(2cos/j0+sin*^Qsec^28"^"i.«)"l"ZoSoc/528inai.2+6r/4.(7) 

Da wir von der Nähe des Poles absehen, dürfen wir hierin ferner 
für ß^ einfach — ß^ setzen. Substituieren wir aufserdem für cos /3q 
nach S. 232 (2) den Wert cos ßi sin «i.a und für sin^/S^ entsprechend 
1 — cos*/3i sin* «1.2, so erhalten wir aus (5) und (7) nach einfacher 
Reduktion: 

/^2="~ /^i""Y^^oosai. 2(1 — cos*/JiSin*ai.2) + ;toCOsai. 2+0/4 

ii.2= Ä — -5-üÄ cos ßi sin «1.2 (1 + sec*/3| + cosV.2) 1 ^ >* 

+ Xo sec /J^ sin «1. 2 + Gl^ . 

Der Variation von «1.2 entspricht eine Bewegung von Pg in einem 
geodätischen Kreis, dessen Figur sich (abgesehen von Gliedern der 
4. Ordnung) aus den (8) herleiten läfst. 

Vergleicht man nun den Punkt C> welcher P^ auf der Oberfläche 
gerade gegenüberliegt und die geographische Breite — ß^ hat, mit 



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§ 1. Die Form der geodatiachen Kreiße. 323 

Pj, SO ist ^2 + ßi die BreitendiflFerenz und Zi,2 — ä die geographische 
LängendifiTerenz beider. 

Beziehen wir also in einer Ebene einen Punkt B auf einen 
Anfang C rechtwinkliger Koordinaten g und iy, wobei gesetzt wird: 

6 = - (A + ßö 



(9) 
rj = (Zi.2 ■— ä) cos ßj^y 

so giebt die, konstantem ^^ und veränderlichem ai.2 entsprechende 
Kurve der B ofiPenbar sehr nalie ein Bild des von P^ beschriebenen 

geodätischen Kreises und zwar in der Verjüngung — . 

Ändert man dagegen Xq bei konstantem «1.2; so beschreibt B 
eine Gerade im Azimut 180^ — «1.2 gegen die Axe der g. Dasselbe 
stimmt mit dem Azimut der wachsenden geodätischen Linie P^ bis 
auf Gröfsen der 2. Ordnung überein, denn es ist nach (9) 

dl^idri = — dß^ : cos ß^ dLi,2, 

und es ist femer das letztere Verhältnis bis auf Gröfsen 2. Ordnung 
gleich der Cotangente jenes Azimuts, d. i. nach S. 279 (1) 

— w^dß^: cos ß^dLi,2' 

Die Formeln für | und ri werden mit Rücksicht auf (8) und 
indem wir von jetzt ab die Anführung der Restglieder unterlassen : 

6 = Y üsr cos «1. 2 (1 — cos*/3i sin^ai. i) — x^ cos «i . 2 

1? = — Y ÜÄCos*/?! sin «1.2(1 -|-sec*/3i + cos*ai.2)+ ;tosinai.2. 



(10) 



Die positiven g und iy sind von C aus bezw. nach Süden und Westen 
gerichtet. 

Differenziert man nach ai.2, so ergiebt sich: 

j^— = — sin ai.2{ Y ^^ (sin* ßi+^ cos* ßi cos* «1.2) — u] 
^ — — cosai.2{ Y ^^ (P'^^ßi + 3 cos* ß^ cos* «1.2) — Xof 



<*«1.2 



(11) 



Hieraus folgt zunächst ^ = cot «i. 2 bei konstantem %q] mithin ist in 

der Abbildung das Azimut des geodätischen Kreises gleich 90® — «1.2, 
sodafs er also normal zur geodätischen Linie steht — eine Thatsache, 
die schon in aller Strenge fürs Ellipsoid selbst nachgewiesen ist. 

Man sieht ferner, dafs die Differentialquotienten von | und 71 
nach «1.2 gleichzeitig null werden für 



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324 7. Kapitel. Der Lauf der geodätischen Linie. 

;Co = I ÜÄ (sin^^i + 3 cos^ß, cos^ai.g). (12) 

Existiert nun bei konstantem Xq ein «1.2, welches dieser Gleichung 
entspricht, so hat der zugehörige geodätische Kreis in der Abbildung 
Spitzen y deren Koordinaten nach (10) sind: 

lo = — ÜÄ cos*/?! • cos'ai.2 ^0 = — ^^ cos^/Ji • sin' «1.2 (13) 

Hierzu giebt (12): 

cos*ai.2 = — ^ (14) 

— «« cos»ft 

Zur Bedingungsgleichung für das Auftreten einer Spitze gelangt 
man auch, indem man 

nt = 

setzt. Die Gleichung (5) S. 274 giebt hiermit: 

sin J^ = tu sin^/jQ sin ^)^ sin (p^ /J(p + Gl^^ (15) 

woraus man sofort erkennt, dafs Spitzen nur für solche geodätische 
Kreise möglich sind, welche ihrem Drehungszentrum nahezu diametral 
gegenüberliegen. Aus (15) gelangt man mit Rücksicht auf (3) und 
(4) sowie (2) S. 232 wieder zu (12), womit sich diese Bedingungs- 
gleichung bis auf Glieder 4. Ordnung richtig erweist; da cos^ai.2 
an die Grenzen null und 1 gebunden ist, folgt aus (12), dafs (abgesehen 
von Gliedern 4. Ordnung) nur für solche Werte %q, welche sich der 
Bedingung 

-\ aar sin«^, ^ Zo ^ I Ä« (1 + 2 cos^Ä) (16) 

fügen, Spitzen in den geodätischen Kreisen vorkommen. 

*§ 2. Fortsetzung: Die Form der geodätischen Kreise mit 
Spitzen. Um einen Überblick zu gewinnen, wurde für einen Äquator- 
punkt als Zentrum der Drehung die durch Fig. 25 gegebene ebene 
Darstellung des Verlaufs der geodätischen Kreise mit Spitzen mit 
Hilfe der Formeln (10) entworfen, in welchen also cos ft = 1 ge- 
setzt ist. 

Die Figur giebt geodätische Kreise für Werte von x^ im Intervall 
— ÄÄ. Den geodätischen Kreisen I, 11, III, IV insbesondere ent- 

1 3 

sprechen die Werte Xa gleich null, y fl», an und -ö" ää; mithin 
wachsende Abstände vom Drehungszentrum. 

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§ 2. Fortsetzung: Die Form der geodätischen Kreise mit Spitzen. 325 

Aufser den geodätischen Kreisen und den geodätischen Linien 
von 10 zu 10^ Azimut giebt Fig. 25 auch die Yerbindungskurve der 
Spitzen an^ welche in der ebenen Darstellung im allgemeinen charak- 
terisiert ist durch die Gleichung: 



So' +%'=(^«C08«/J,)% 

worin im speziellen Falle der Fig. 25 aber cos ß^ 

Ein Aquatoxpankt als Zentrum. 
2Uf 200 190 1$0_ 170 



(1) 

1 einzuführen ist. 




HO 



JW ^50 o 'o 

Fig. 25. Die Zahlen geben das Aalmat ctj., in Graden an. 



Nach bekannten Sätzen der analytischen Geometrie ist dies die 
Gleichung der Einhüllenden aller Geraden von der konstanten Länge 
ti% cos'/3| zwischen den Axen der | und 17. 

Diese Geraden sind identisch mit denjenigen, welche in der 
ebenen Darstellung den geodätischen Linien entsprechen; denn bildet 

man ~- y so sieht man sogleich/ dafs die Tangente der Einhüllenden 

im Punkte (So, ij^) gleiche Richtung hat mit der, der geodätischen 
Linie entsprechenden Geraden, die durch diesen Punkt führt. 



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326 7. Kapitel. Der Lauf der geodätiBchen Linie. 

Man erkennt übrigens unmittelbar geometrisch^ dafs der Ort aller 
Spitzen eine Einhüllende der geodätischen Linien sein mufs, weil 
wegen Ul = in jeder Spitze 2 unendlich benachbarte dieser. Linien 
sich schneiden. 

Die Fig. 25 behält im wesentlichen ihre Gültigkeit auch für be- 
liebige Punkte als Drehungszentrum 5 nur zieht sich zufolge Glei- 
chung (1) die Einhüllende mehr und mehr zusammen, je näher jenes 
einem der Pole rückt. Ihre halben Axenlängen sind bis auf Bruch- 
teile 2. Ordnung gleich 

a^ün cos^B^, (2) 

wenn B^ die geographische Breite des Zentrums bezeichnet. 

Infolge dieses Zusammenziehens wird das Gebiet^ in welchem die 
geodätischen Kreise von der einfachen kreisartigen Form abweichen, 
immer kleiner, je mehr sich das Zentrum einem der Pole nähert, und 
es verschwindet ganz, sobald einer der Pole selbst Zentrum ist. Da 
unsere Entwicklungen z. T. unter Ausschlufs der Nähe der Pole an- 
gestellt sind, so bedarf die letztere Folgerung allerdings der Bestäti- 
gung, die indes ohne weiteres aus dem Faktum entnommen wird, 
dafs die geodätischen Linien für einen Pol als Zentrum die Parallel- 
kreise sind.*) 

Die geodätischen Kreise der Fig. 25 zeigen nun auch unmittel- 
bar, wie die kürzesten Linien von dem Ausgangspunkte hergelaufen 
kommen. Man hat dabei nur zu beachten, dafs die Kreise I bis IV, 
wie schon angegeben, in wachsenden Abständen vom Drehungszentrum 
liegen, und man wird leicht verificieren, dafs die kräftigen Geraden 
kürzesten Linien angehören, die in Richtung der Pfeile von dem 
Drehungszentrum herkommen. Die geodätischen Kreise sind in Fig. 25, 
insoweit sie Linien gleiehen Jcürzesten Äbstandes sind, ebenfalls kräftig 
ausgezogen. 

Um streng festzustellen, wie die Kürzesten laufen, ist eine getiaue 
Kenntnis der Mittellinien (Axen) der von der Einhüllenden auf dem 
Ellipsoid begrenzten Fläche nötig; denn Fig. 25 zeigt auf einen Blick, 
dafs für den Lauf einer Kürzesten die Lage ihres Endpunktes Pg in 
Bezug auf diese Mittellinien — kurz gesagt: dafs der Quadrant der 
eingehüllten Fläche, welcher Pg enthält — mafsgebend ist. 



*) Eine Untersuchung über die Einhüllende, welche ihr Zentrum im Äquator 
hat, giebt Cayley in dem FhilosophiccU Magazine Vol. 40, 1870 2. Sem., S. 10 u. ff. 
Er nennt diese Linie die geodätische Evolute. Cayley 8 Untersuchung, welche für 
beliebige Abplattung gilt und elliptische Funktionen anwendet, wurde dem Ver- 
fasser erst während des Druckes bekannt. 



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§ 3. Kürzeste Linien zwischen nahezu diametralon Punkten. 327 

Die eine Mittellinie fallt in den Meridian des Punktes C, welcher 
Pj gegenüber liegt. Dieses bedarf keines Beweises. 

Die andere hat die Eigentümlichkeit, dafs ihre Punkte durch je 
2 gleichlange Kürzeste mit dem Ausgangspunkt P^ verbunden sind^ 
und sie fallt in den Parallelkreis des Punktes C. Dieses letztere ist 
noch zu beweisen. 

§ 3. Kürzeste Linien zwischen nahezu diametralen Punkten. 

Verbinden wir auf der Hilfskugel (Fig. 21 S. 232) zwei diametral 
liegende Punkte 1^^ und 1^^ durch einen gröfsten Kreis , so ist jdk 
= ^9) = « und nach S. 231 (14) 

Lx.% = Ä — üÄ cos ft sin «1.2 (l — y Ä^ + * * 7 (1) 

unter Verschwinden aller periodischen Glieder. Zugleich ergiebt sich 
als lineare Länge der geodätischen Linie P1P2 nach S. 223: 

8^7c\ — ^_:^. — , (2) 

ebenfalls unter Verschwinden aller periodischen Glieder. Dabei ist 
nach S. 221 

mit nachstehendem Werte für sin^/J^ zufolge 8. 232 (2): 

sin^ßo = 1 — cos^/Jj sin*ai.2. (4) 

Diese Formeln zeigen, dafs ii.2 und s in Bezug auf «1.2 nur vom 
Sinus abhängen, dafs daher für zwei Punkte P^ und Pg mit den 
geographischen Breiten B^ und B^ = — B^ zwei gleichlange geodä- 
tische Verbindungslinien existieren können , deren Azimute ai.2 als- 
dann sich zu 180^ ergänzen werden. Es müssen selbstverständlich diese 
zwei Verbindungen nicht notwendig existieren; sie werden nur dann 
vorhanden* sein, wenn Li. 2 die Gleichung (1) erfüllt. Da nun die 
Grenzwerte von sin «1.2 gleich + 1 sind, so mufs Li. 2 der Bedingung 
genügen: 

Ä — ÄÄ cos /Ji (1 — - (^ sin* ft -) — j < Li. 2 

(5) 
Li. 2 < Ä + ÄST cos /Ji (1 — g- e* sin* /S^ H — j . 

Ist Li. 2 = Ä + ÜÄ cos /Ji (1 — y e* sin^/Jj + • •) , so fallen die 



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328 



7. Kapitel. Der Lauf der geodätischen Linie. 



2 gleichlangen Verbindungen in eine, im Azimut «1.2 = 90® bezw. 
270® von Pi ausgehende und im Azimut «2.1 = 270® bezw. 90® in P^ 
einmündende Linie zusammen. 

In diesem Falle liegt P^ in der ostlichen oder westlichen Spitze 
der Einhüllenden. Der geometrische Ort aller P^ mit 2 gleichlangen 
Verbindungen ist die ostwestliche Axe der Einhüllenden (Fig. 25), und 
dies ist nach der Voraussetzung £2^= — Pi (wie zu beweisen war) 
ein Stück des Parallelkreises , welcher durch den zu P^ diametralen 
Punkt C fährt 

Mit Rücksicht auf Fig. 25 erkennt man nunmehr auch, dafs die 
kürzeste Verbindung zweier nahezu diametralen Punkte P^ und P^ niemals 
die, durch den zu Pj diametralen Punkt C führende, ostwestliche Axe 
der Einhüllenden der von P^ ausgehenden geodätischen Linien 
schneiden kann, ebenso wenig wie überhaupt den Meridian von C\ 
Hierdurch ist der Quadrant von «1.2 bestimmt. 

Da bei gehöriger Verlängerung alle von P^ ausgehenden geodä- 
tischen Linien die ostwestliche Axe der Einhüllenden schneiden, hier 
aber z/9 = ;r ist, so erkennt man femer, dafs für eine Kürzeste stets 

Jq> ^ Ä (6) 

sein mufs, was zur Ergänzung von S. 264 bemerkt wird. 

Um eine Näherungsformel für das Azimut der Kürzesten zwischen 
zwei gegebenen, nahezu diametral liegenden Punkten zu gewinneu, 
eliminieren wir aus den Formeln (8) S. 322 die Unbekannte Xoy indem 
wir die erste derselben mit sin «1.2, die zweite mit cos ai.a cos ß^ mul- 
tiplizieren und dann beide subtrahieren. Es folgt: 



(ßi + ßi) sin «1.2 + (jt — Li, 2) cos «1.2 cos ß^ 
= üJt sin «1.2 cos «1.2 cos^/3i -j" (^h' 



(7) 



Hieraus kann man eine Gleichung 4. Grades für sin «1 . 2 her- 
leiten; indessen dürfte es bequemer sein, die einzige in betracht 
kommende Wurzel durch Versuche aus der Gleichung (7) oder aus 
der meist ausreichenden Gleichung 



{ßi + ft) ^^^^ "1.« + (^ — ^1.2) cos/Ji = üjrcos*/Ji8in«i.2 + 



(8) 



ZU bestimmen. Man hat dabei zu beachten, dafs nach dem oben 
Entwickelten die Beziehung besteht: 

«1.2 < 180« für Li.2<lS(fi 



ii.2>180« 



(9) 



«i.2>180« „ 

Wenn nun der Punkt P^ innerhalb des Raumes der Einhüllen- 
den liegt, d. h. nach S. 323 (9) und S. 325 (1), wenn 



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§ 4. Der Unterschied des aBtronomischen and geodätischen Azimuts. 329 
ißl + ßif + (« - il.»)' cos ft» < (a« C08*/J,f + • . • , 

so haben obige Gleichungen (7) und (8) zwei Wurzeln kleiner oder 
gröfser als 180**, von denen der Kürzesten entspricht (vergL Fig. 25): 

«1.» im 1. oder 4. Quadr. für (/S, + /J,) < ^ 

(10) 
«..« „ 2. „ 3. „ „ (ß, + ß,)>0] 

Mit Hilfe dieser Formeln wird es gelingen ^ in allen Fällen ^ wo 
bei dem Verfahren S. 247 § 13 die 1. Annäherimg z/A = Li.2 un- 
genügend sein sollte, einen brauchbaren I.Annäherungswert für «1.2 
zu gewinnen, mittelst dessen weiter in 1. Annäherung folgt: 

^X = Li, 2 + ^^ c<>s ßi si^i ^1.2 + • • • . (11) 

Nur natürlich mufs es erscheinen, dafs auch diese 1. Annäherung 
eine yerhältnismäfsig ungünstige ist für Lagen von P^ nahe der öst- 
lichen oder westlichen Spitze der Einhüllenden der von P^ ausgebenden 
geodätischen Linien (oder umgekehrt). Denn hier giebt eine endliche 
Drehung der Geodätischen eine mehr oder weniger als verschwindend 
zu betrachtende Ortsänderung Yon Pg. 

§ 4. Der Unterschied des astronomischen und geodütischen 
^zimuts. 

Für die Geodäsie ist der Richtungsunterschied zwischen dem 
Yertikalschnitt und der geodätischen Linie, welche dieselben beiden 
Punkte verbinden, besonder^ dadurch wichtig, dafs sich die beobachte- 
ten Horizontalwinkel und Azimute auf Yertikalschnitte beziehen, 
während die Einführung der geodätischen Linie selbstverständlich 
verlangt, dafs mit den Azimuten dieser Linie gerechnet wird. Es 
mufs daher eine Reduktion der Vertikalschnittsazimute d. i. der astrcr- 
nomißchen Azimute auf geodätische Azimute stattfinden. 

Hierbei handelt es sich nun nur um geringe Abstände zweier 
Punkte und dafür ist mit Hilfe bereits entwickelter Formeln jene 
Richtungsdifferenz leicht zu erhalten. Für Punkte in ganz beliebiger 
gegenseitiger Lage jedoch kann man ebenso wenig eine direkte For- 
mel aufstellen, wie für die Azimutaldifferenz der beiden verbindenden 
Vertikalschnitte (S. 183), weil die betreffenden Reihen im allgemei- 
nen nicht konvergieren. 

Der Unterschied von astronomischem und geodätischem Azimut 
ist eben auch nur für mäfsig grofse Abstände der Punkte eine kleine 
Grofse; er kann aber den Charakter einer solchen ganz verlieren und 
Werte bis zu 180^ erlangen, wie sich weiterhin zeigen wird. 



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330 7. Kapitel. Der Lauf der geodätischen Linie. 

Gehen wir jetzt zu den Formeln über, so ist zunächst einerseits 
für die von P^ nach P^ führende Geodätische mit Hilfe des sphäri- 
schen Dreiecks Fig. 21 S. 232: 

cot «1.2 = (cos jdl sin ßi — tan ß^ cos /JJ : sin jdl, (1) 

wobei nachS. 231 und wegen cos /Jq = cos /3, sin «1.2 für ^l die 
Beziehung zu Li, 2 besteht: 

Li,i = Jl — Y ^x^fp cos ßi sin «1.2. (2) 

Der hierin angebrachte Faktor x unterscheidet sich von 1 nur 
um Glieder, die in e^ und höhere Potenzen desselben multipliziert 
sind und die jederzeit nur einen kleinen Bruch von gleicher Ordnung 
mit c* geben. 

Man hat andrerseits für den von P^ nach P^ gelegten Vertikal- 
schnitt zufolge S. 138 (2): 

(cos L. 2 sin ßi — tan p,. cos ft ) + c* (sin p, — sin ft ) cos ft sec (5, , ^ 

cot «1.2 = '■ -= , (3) 

sinii g]/! ~c«cos*ft ' ^ ^ 

worin wir nun ^l einführen. Indem wir vorläufig Li.2 = ^k — g 
setzen, haben wir zunächst: 

cos Li, 2 = cos ^X cos g + sin ^X, sin g, ] 

f (^ 

sin Li, 2 = sin JX cos g — cos ^l sin 5. J 

Da sinii.jp im Nenner von (3) steht, schreiben wir die 2. dieser 
Gleichungen besser: • 

sin Li, 2 = sin ^l cos f (l — cos ^l — — -jjj . 

Hieraus folgt , da ^ = ~ e*xJ(p cos ß^ sin «1.2 selbst für Linien 
von einem halben Umlauf noch klein ist: 

sin Li,2 = sin ^k cos g (l — — e^x^fp cot ^X cos ß^ sin «1.2 j , 

wobei x' von 1 nur um kleine von e* abhängende Gröfsen abweicht^ 
während cos g mit 1 sogar bis auf ein Glied mit ^^q>^ über- 
einstimmt. 

Eliminieren wir in der Parenthese rechter Hand sin ^A mittelst 
der Relation des sphärischen Dreiecks: 

sin ^9 : sin jdX «= cos ß^ : sin ai.2 , 
so ergiebt sich: 



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§ 4. Der Unterschied des astronomischen und geo^tischen Azimuts. 331 

sin ii.2 = sin jdk cos f ( 1 — «^ *' . ^ cos /Jj cos ß^ ^^^ ^^) • (^) 

Wir ftlhren jetzt diesen Ausdruck für sin Li. g in (3) ein und 
können sodann offenbar für mäfsig grofse Distanzen eine Reihenent- 
wicklung der in den Nenner von (3) tretenden Parenthese vornehmen. 
Entwickelt man dabei auch noch die Wurzelgröfse im Nenner von 
(3), substituiert den Wert von cos ii.» nach (4) und beachtet schliefs- 
lich noch (1), so folgt: 



cotai.8=j 



(cotai.2(l+YC*cos*/Ji + ^e*^j^cos/J,co8/}aC08z^A4-..) 



(6) 



Diese Gleichung vernachlässigt e^ u. s. f., enthält aber die von e^ 
abhängigen Glieder vollständig. 

Wir eliminieren nunmehr auch noch ß^ und /Ik, um alles durch 
ai,iy ßi und ^{p dargestellt zu erhalten. Dazu dienen nachstehende 
Relationen. Zunächst hat man im sphärischen Dreieck die Gleichung: 
cos ^(p '^ sin ßi sin ß^ 4' ^^^ ßi <^os ß2 cos ^L Setzt man hierin 
sin /Jj = sin ß^ cos ^g) — cos /J^ sin ^g) cos «1.2, so findet sich: 

cos ßi cos /Jg cos Jl = cos/^qp — sin* ß^ coszi/y -f- -^ sin 2/?^ sin^g? cos «i . 2 . (7) 

Es folgt femer aus der eben angegebenen Gleichung für sin ^2 
die Differenz sin ß^ — sin ^j = — ^ sin ß^ sin* — - — cos ß^ sin ^(p cos cci . 2. 
Da nun sin ^X «» sin ^g) sec ß2 sin ai.2; so hat man weiter: 

sinflj — sinß, . Jtp sin ß. ^ , 00 /o\ 

7i^ ^1 = — tan -^ -^— ^ cos ft - cot «1.2 cos ß^ cos ft . (8) 



sin JX 



2 sin ff 



1.2 



Setzt man (7) und (8) in (6) ein^ so fährt eine leichte Reduktion 
zu der Gleichung: 

cot ai.2 = cot «1.2 — ~o ^ V' — ta ^ ) ^^^*ßi ^®* ^^-^ 

-|e»(tan^,^-^)^i^ + .... (9) 

2 \.2 2/smajj' ^ ^ 

Substituieren wir hierin &lr ^g) einfach sia^, so ändert sich der 
Genauigkeitsgrad dieser Formel nicht, denn sie giebt wie vorher die 
in e* multiplizierten Glieder vollständig. 

Diese Einführung von s nehmen wir gleichzeitig mit dem Über- 
gang auf die Azimutaldifferenz ai.» — «1.2 vor. Nach § 8 S. 30 



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332 



7. Kapitel. Der Lauf der geodätischen Linie. 



kann man^ solange überhaupt die Entwicklung (9) gilt, jedenfalls 
auch setzen: 



«1.2 «1.2 = 



i^ 



1 




cos*/?! sin 2ai.s 



+ ¥^(*»°2^-2i)«^2ft8in«..,+ 



(10) 



Diese Entwicklung enthält die in ^ multiplizierten Glieder voll- 
ständig — auch dann noch, wenn man für /Jj einfach. B^^ schreibt, 
also die geographische Breite einführt. 

Wendet man nun endlich noch die Reihenentwicklungen für tan — 

und tan -— an und vernachlässigt 5*, so ergiebt sich: 

«1 . 2 — «1 . 2 = .„ Q"e^ -zri (cOS^Bi Sin2ai. 2 + T ^ n\n%B,nina, .^ -{- Gl^ , (11) 
in Sek. ^^ «q \ "o / 

in welcher Formel, ebenso wie in (10), bei unveränderter Genauigkeit 
rechter Hand «1.2 auch durch ai,% ersetzt werden darf. 

Wenn in Formel (11) angegeben ist, dafs Glieder 6. Ordnung 
vernachlässigt sind, e und 5 : üq wie früher als Gröfsen 1. Ordnung be- 
trachtet, so setzt dies voraus, dafs die vernachlässigten in c^ multi- 
plizierten Glieder mindestens den Faktor s* haben. Dieser Faktor 
haftet aber jedenfalls allen Glieder der Entwicklung filr ai.2 — «1.2 
an. Denn wenn — unendlich klein von der 1. Ordnung ist, so fällt 

nach der S. 212 u. fiF. gegebenen Darstellung der Vertikalschnitt mit 
der geodätischen Linie zusammen, d. h. ihre Richtungsdifferenz ist 
dann im Unendlichkleinen von höherer Ordnung als s : a^. In der 
Entwicklung der ersteren nach Potenzen von 5 (deren Möglichkeit 
für hinreichend kleine s keinem Zweifel unterliegt) mufs somit min- 
destens allenthalben ^ als Faktor auftreten. 

§. 5. Fortsetzung: Unterschied des astronomischen und 
geodätischen Azimuts. Vergleicht man 
obige Formel (11) mit Formel (21) S. 186, 
so zeigt sich in der Form der Haupt- 
glieder für ai.2 — «1.2 und ai.2 — «1.2 
volle Übereinstimmung, es ist aber das 
erstere nur ein Drittel des letzteren. 

Für eine kurze geodätische Linie ist 
daher im allgemeinen der Verlauf be- 
züglich der Vertikalschnitte in der Nähe 
der Endpunkte P^ und P^ durch die 
Bemerkung gegeben, dafs sie den Winkelraum zwischen den Vertikal- 
schnitten in zwei Teile im Verhältnis 1 : 2 teilt und dabei demjenigen 




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GQogle 



§ 5. unterschied des astronomischen und geodätischen Azimuts. 333 

Vertikalschnitt am nächsten liegt, welcher yon dem in betracht ge- 
zogenen Endpunkte ausgeht. 

Die Differenz «1.2 -- «1.2 ist für $ = 64*™ höchstens ruud 0,01" 
und mithin so klein, dafs man die beobachteten Horizontalwinkel 
und Azimute direkt auf die geodätischen Linien beziehen kann, ohne 
im Vergleich zu den Beobachtungsfehlern merkliche Fehler zu begehen. 

Anders ist es indes, wenn es sich um gröfsere Distanzen han- 
delt, als die Seiten mefsbarer Dreiecke in der Regel sind. Für s = aQ 
beträgt die Differenz ai,% — «1.2 im Maximum bereits etwa 2', wie 
Formel (10) auf voriger Seite zeigt. Bei weiter wachsenden s wächst 
diese Differenz immer rascher als mit dem Quadrat von 5, was man 
zunächst noch aus der genannten Formel ersehen kann. Dieselbe 
verliert aber für nahezu diametrale Punkte Pj und P2 alle Brauch- 
barkeit, wie schon bei ihrer Entwicklung angegeben wurde. 

Für solche Punkte zeigen die Formeln (1) bis (3) des vorigen 
Paragraphen das Verhalten von ai . 2 zu «i. 2. Betrachten wir der Einfach- 
heit halber nur den speziellen Fall, wo bei beliebigem «1.2 ßi'= ^ ßi 
ist und ^X sowie ^q> gleich 7t sind, wo also P^ und P^ auf gegen- 
überliegenden Parallelkreisen sich befinden und P^ bei festgehaltenem 
Pi alle Lagen innerhalb der ostlichen und westlichen Spitze derjenigen 
Einhüllenden annehmen kann, welche den zu P^ diametralen Punkt C 
umgiebt (Fig. 25 S. 325), so giebt Formel (2) für einen festgesetzten 
Wert von «1.2 sofort Li. 2 mittelst der Gleichung 

Die Einführung dieses Ausdrucks in die mit der Bedingung ß^ = — ß^^ 
bereits umgeformte Gleichung (3): 

. /, . -^1.2 « • sin ö, 
— am öj cot -— ^ — 2e* —-/— 

cot flti . 2 = 



V^l — ««cos'ft- 
ergiebt hierauf: 

cotai.2= ^^^P'.— — ( _?L y. e^jtx" cosft sin «1.2 ) , (2) 

worin x' und x" Koefficienten sind, die von 1 nur um kleine Gröfsen 
der Ordnung c* abweichen, ß^ sei nun der Kürze halber nur positiv. 
Alsdann ist «1.2 gleich 180® für «1.2 = null; es nimmt mit 
wachsendem ^1.2 ab bis zu einem Minimalwerte, der zu einem ai.g 
näherungsweise gleich 90® gehört; es nimmt aber sodann bei weiter 
wachsenden «1.2 wieder zu und ist für ai.2 = 180® ebenfalls 180®, u. s.f. 



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334 



7. EapiieL Der Lanf der geodätischen Linie. 



Einen guten Überblick über das gegenseitige Verhalten von 
Yertikalschnitt und kürzester Linie erhält man mittelst Fig. 25 durch 
Einzeichnen der von P^ ausgehenden und in einem Punkte C zu- 
sammenlaufenden Yertikalschnitte. C ist der Punkt, wo die ver- 
längerte Normale des Ausgangspunkt P^ das Ellipsoid zum 2. Male 
trifft, Fig. 27. 



Ein Punkt in 45<> Breite »li Zentrum. 



ZW 




Fig. 27. Die Zahlen geben die Aximute a^.« bezw. ai-, in Graden an. 

Um die reduzierte Breite /3' des Punktes C zu finden, ent- 
nehmen wir aus Fig. 1 auf S. 40 als Gleichung der Normalen 
durch P^\ 

z + MKx = X tan JBj , 
worin wir 



a: = — tto cos /5', ;? = a^\ — e^ sin /5', tan Bj = tan /3j : ]/l — e* 

setzen, sowie für JlfjK'i den S. 41 (9) angegebenen Wert substituieren. 
Eine leichte Reduktion ergiebt: 

sin GS' + /3i) «= e^ cos ^^ (sin ^ — sin ^^. 

Da ^' ohne Zweifel nahezu gleich — /J^ ist, setzen wir /f = — /S^ — g 
und erhalten: 

sin g = e* cos /Sj (sin {p^ + 5) + sin /3i) . 



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§ 6. Der Unterschied des astronomischen nnd geodätischen Azimuts. 335 

Es ist daher genähert t = ^ sin 2^i -|- Gl^y so dass sich fQr die 
geograp}iische Breite von C die Formel findet: 

B' = -B, ~ ^ sin 2B, + Gl^. (3) 

Die Lage von C gegen C bestimmt sich durch die Strecke CC\ 
welche gleich ist a^ {B' + B^ , abgesehen von Gliedern mit e*. 
Schreibt man für e* einfach 2a, so wird erhalten, wenn man CG' von 
C ab positiv nach Süden rechnet: 

CC = 2aoÄ sin 2B^'\ , (4) 

abgesehen von Bruchteilen 2. Ordnung seines Wertes. 

Fig. 27 entwirft für einen Punkt Pj in 45® geographischer Breite 
ein Bild der kürzesten Linien und der Vertikalschnitte auf dem zu 
Pj diametralen Teile der Oberfläche in demselben Mafsstab wie 
Fig. 25. 

§ 6. Andere Bestimmungsweise des Unterschiedes von 
astronomischem und geodätischem Azimut fOr kleine Distanzen. 

Zwischen den Punkten P^ und P« denken wir uns wie in Fig. 14 
S. 213 eine geodätische Linie aus unendlich vielen^ unendlich kleinen 
Vertikalschnitten BqPx, -Pi-Ps ^- s. f. zusammengesetzt. Zunächst 
bezeichnen wir die Anzahl dieser Teile mit n und die Länge jedes 
Teiles mit s : n. 

Betrachten wir nun insbesondere die ersten beiden Vertikal- 
schnitte und denken sie uns bis zu einem Werte ihrer Länge gleich 
Sj also bis in die Nähe des Punktes P^ verlängert^ so ist einleuchtend^ 
dafs sie hier einen Abstand von einander haben, der erstens dem 
Flachenwinkel v zwischen den zugehörigen Ebenen und zweitens 
dem Abstand der Sehne PqPi von der Oberfläche bei Pn proportional 
ist. Dieser Abstand ist angenähert gleich ^ :2Qa, insofern man den 
Yertikalschnitt PqPi und seine Verlängerung als Kreisbogen mit dem 
Radius Qa auffassen darf, wenn Qa der Krümmungsradius der Ober- 
flache bei Pq im Azimut ao.i ist. Man hat femer nach S. 188 zu 
setzen, wenn Qn den Querkrümmungshalbmesser in P^ und B^ die 
geographische Breite von P^ bezeichnet: 






"o" * 1^ — cos*J?o sin 2ao.i 



unter Wegfall der höheren Glieder, welche wegen n == cx> im Ver- 
hältnis zum angesetzten Gliede verschwinden. Der Abstand^ der 
verlängerten Vertikalschnitte BqPi und P^P^ ist somit: 



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336 



7. Kapitel. Der Lauf der geodätischen Linie. 



Betrachtet man in derselben Weise die gehörig verlängerten 
Vertikalschnitte PiP2 und Pg^s» ^2^3 ^^^ ^s^it u. s. f., so. ergeben 
sich ganz gleichartige Aasdrücke ffir die Abstände bei P«; es tritt 
aber an Stelle von n* im Zähler der Reihe nach (n -— 1)*, (n — 2)*, 
u. s. f.; und Bq^uq,!, Qn und p« beziehen sich successive auf P^; Pg u. s. f. 

Mit Hilfe der DiflFerentialformeln (1) und (2) S. 279, in denen 
ds = is:n, i =«= 0, 1, 2 . . . « — 1, zu setzen ist, findet man leicht mit 
Vernachlässigung von in e^ multiplizierten Gliedern: 

cos^Bi sin 2a,.,.f 1 = cos^Pq sin 2ao.i 



% 8 

+ — — sin 22?o sin «0.1 + 



(2) 



Nimmt man keine Rücksicht auf die Änderungen von QnQa, die 
nur Bruchteile der Ordnung ^s : a^ betragen, so erhält man als 
Summe der Abstände je zweier benachbarter, verlängerter Vertikal- 
schuitte bei Pn d. h. als Abstand dieses Punktes vom verlängerten 
Vertikalschnitt PqPi: 



4 9n9a 



cos^Bq sin 2 «0.1 



-| sin 2Bq sin «o.i 



2:t{n — %y 



+ 



(3) 



wobei die 2J eine Summierung von i = bis n — 1 andeuten. 
Schreibt man die von n und i abhängigen Quotienten in der Form: 

\ n/ n n \ n / n 

und beachtet, dafs n ^ 00 zu nehmen ist, so kann man dieselben 
als Integrale berechnen mit der Variablen — 



X von bis 1 und 



mit 



dx. Somit folgt endlich anstatt (3) für den Abstand: 



12 Q 



- — (cos^Po sin 2ao.i + -7^ ^^ ZP^ sin «o.i) + ■ 



(4) 



Insofern wir n^== 00 gesetzt haben, ist dies ein Näherungswert 
für den Abstand einer geodätischen Linie und eines Vertikalschnitts, 
welche beide in demselben Azimut ao.i von P^ ausgehen, in derEnt- 
ferga^ng s vom Ausgangspunkt 

Dreht man nunmehr die geodätische Linie um P^, bis P« in den 
unveränderten Vertikalschnitt zu liegen kommt, so ist offenbar der 
Drehungs Winkel gleich der Gröfse, welche in den vorhergehenden 



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§ 6. Der Unterschied des astronomischen und geodätischen Azimuts. 337 

Paragraphen mit «1.2 — cci.t bezeichnet worden ist. Da nun das 
Produkt des Winkels in die zu s gehörige reduzierte 'Länge Ul jeden- 
falls mit sehr grofser Annäherung gleich dem oben ermit^Iten Ab- 
stand ist; m aber bis auf Glieder 3. Ordnung mit s übereinstimmt^ 
so folgt als Drebungswinkel: 

01.2 ai.2 = -Y<*"* (cOS*B^Sin2ai.2+ i J- •ln2Ä,gin(/,.A-f-GZ6. (5) 

Hierin sind wie früher die Symbole P, und P^, als Bezeichnung der 
Endpunkte Pq und P« gedacht. 

Die Formel stimmt im wesentlichen mit (11) S. 332 überein. 
Sie ist jedoch im 1. Gliede genauer als jeue, denn in Bezug auf die 
Potenzen von e^ ist das 1. Glied jetzt vollständig. 

Vorstehende näherungsweise Entwicklung zeigt überdies deut- 
lich, auf welche Weise der Unterschied des astronomischen und geo- 
dätischen Azimuts zustande kommt. 

Der Unterschied des astronomischen und geodätischen Azimuts wurde 
1821 von Beseel ohne Entwicklung angegeben in den Astronom. Nachr. 
Bd. 1 Nr. 3, S. 33 (vergl. Engehnann, Abhandl. von Bessel, Bd. 3 S. 1). 
Eine Entwicklung gab Jßes^W später {\%^1) Astronom. Nachr. Bd. 14 Nr. 330, 
S. 289 GleichuDg (19) {Abhandl Bd. 3 S. 29); sie unterscheidet sich nicht 
wesentlich von dem hier S. 329 u. ff. eingeschlagenen Wege und fuhi-t zu 
Formel (10) S. 332. 

In wesentlich anderer Weise aber und zwar nach einem für jede krumme 
Oberfläche brauchbaren Verfahren ging Weingarten vor (vergl. Baeyer, Das 
Messen auf der sphäroidischen Erdoberfläche. 1862, S. 88 oder eine kurze 
Notiz in Astronom. Nachr. Bd. 60 Nr. 1425, S. 136). 

Diese Entwicklang hat Jordan im 2. Bande seines Handbuches der Ver- 
messungskunde 1878 S. 334 reproduziert. Bei Weingartens Verfahren er- 
hält man den betrachteten Richtungsunterschied direkt nach Potenzen 
von 8 entwickelt und zwar wird unmittelbar das 1. Glied der Formel (11) 
S. 332 erhalten; es setzt natürlich voraus, dafs man die Differential- 
gleichungen der geodätischen Linie für eine beliebige Oberfläche abge- 
leitet hat, und es läfst aufberdem imstich für nahezu diametrale Punkte 
des Rotationsellipsoids. Eine gleichartige, aber bis zu s^ incl. fortgesetzte 
und höhere Potenzen von e* enthaltende Entwicklung gab Andrue 1867 in 
Bd. 1 der Danske Gradmaaling S. 181 (vergl. auch Vier tel jähr sschrift der 
Astronom. Ges. Bd. 13, S 19). Sein Ausdruck stimmt mit unserer Formel (6) 
bis auf den Nenner des in s^ multiplizierten Gliedes, der bei ihm q^ lautet. 
Dieser Unterschied ist aber unwesentlich. 

Die Methode unserer Entwicklung in diesem Paragraphen entspricht dem 
von Sonderhof 1869 im 51. Teile von Grunerts Archiv (2. Abhandlung) 
eingeschlagenen Wege. Sie gestattet auch eine Schätzung des Fehlers, 
den man begeht, wenn man eine geodätische Linie nach Art der Fig. 14 
S. 213 atLS n endlichen Stücken zusammensetzt: 

Wir müssen zn dem Zwecke den Abstand der Sehnen Ptfl\, -Pi-Pji 
HelAert, mathem. a. physik. Theoiieen der höh. Oeodäaie. 22 



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338 7. Kapitel. Der Lauf der geodätischen Linie. 

u. 8. f. von der Oberfläche zum Teil genauer als oben ermitteln, berück* 
sichtigen aber konsequent nur die in e' multiplizierten Glieder. Betrachten 
wir «nnächst den Bogen des bis in die Nähe von P verlängerten vertikalen 
Schdhtea PqPi in der Ausdehnung 8 als Kreisbogen vom Radios a^, so 
gehört dazu ein Zentriwinkel s : a^. Eine einfache Figur zeigt nun, dafs 
die zur Sehne P^P^ parallele Tangente des Kreisbogens von dessen End- 
punkt um 

absteht, die Tangente von der Sehne aber um 

a« I 1 — cos ) , 

mithin die Sehne vom betreffenden Endpunkt des Kreisbogens am 



d. i. sehr nahe 



T(n»-n). 

Für Pj P, , Pg P3 u. B. f. erhält man ebensolche Ausdrücke, nnr tritt für 

n in der Parenthese der Reihe nach n — 1 , ti — 2 u. s. f. bis 1 auf. Jeder 

1 8 
dieser Ausdrucke multipliziert sich mit - e* cosl^^ "'"^^a^ ^ und 

ihre Addition giebt als Abstand des Punktes P^ von dem 1. Vertikal- 
Bchnitt Po P, : 

1 , »• „ ^ 2; (n - t)* — JS (n — f) 
-e« -^i C08J5, co82ao.i ^ '- • 

Da i von bis n geht, kann man statt des Zählers auch £i* — Ei 
schreiben. 

Nun ist Zi^ = \ n{n + 1) (2n + 1) , S%^\-n(n + 1), also 
6 2 

Z{\^ — t)s= - n{n^ — 1) und der Abstand daher angenähert gleich 

12 '' ^« ^''''^o ''"^''0 1 (^ "" "i") ' (^) 

Dieser Ausdruck bezieht sich vorerst auf den Abstand des Vertikal- 
Schnitts Pq Pj von der gebrochenen , aus n Vertikalschnitten zusammen- 
gesetzten Linie in der Entfernung 8 von P^. Zieht man von (6) aber den 
Ausdruck (4) ab, welcher den entsprechenden Abstand des Vertikalschnitts 
Pq Pj von der ihn in Pq tangierenden geodätischen Linie giebt, so erhält 
man endlich als Abstand der geodätischen Linie von einer im gleichen 
Azimut beginnenden, aus n Vertikalschnitten von endlicher Länge zusammen- 
gesetzten Linie (Fig. 14 S. 213) in der Entfernung 81 



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§ 7. Zahlenbeispiel I. 339 

Ti" ** ^* ''''*" ^* sin 2«, , . ^, + • • • . (7) 

Hierbei sind Anfangs- und Endpunkt, anstatt mit P^ und P^, ebenso wie 
fQr Formel (6) mit P^ und P, bezeichnet gedacht. 

Art man nun z. B, in äquatorialer Gegend eifie Kette von Dreiecken in 
südwestlicher Bichtung, und setzen sich 10 Dreiecksseiten mit 180°- Winkeln 
an einander, ist femer die Länge einer Seite gleich s : 10 mit s : 10 »> 0,01 a^ 
d. h. 8 => 640000"», so giebt (7) aU Abstand einer genauen Geodätischen, 
welche mit der 1. Dreiecksseite gleiches Anfangsazimut hat, vom Kndpunkt 
der 10. Dreiecksseite 0,036»». 

§ 7. Zahlenbeispiel L Für die Linie Königsberg-Berlin hat 
man nach S. 158 u. 162 sowie nach S. 256 u. 261: 

B^ = 54^ 42' 50,6" B, = 52<^ 30' 16,7" log s = 5,72426 

ai 8 = 65M6' 9,5806") 

«., = 65 .16 9,3650 ) ^^'^ "" ^^'^ = + ^'2156" 

a8.i = 239 33 0,9324 



Da nun 



«,.. = 239 33 0,6889 ' "*' ~~ "'' "" + ^'^^^^"• 



log ^(f"ä = 2,0626 und log ^ g" d = 1,461 

ist, so hat man nach Formel (5) S. 337: 

C08*£, «ins«, , 8in2B, sin«, , 
ai.g - a,.s = [13,5111] '-* + [18,634] '- i^ 

cos'B, sinSofg , sin2J9. siuivo , 

a».i - a,.x = [13,5111] ' ^ *' + [18,634] — -f-^* 

Nach Albrecht S. 200 und 201 findet sich für obige Werte von 
B^ und «1.2 : log Qn, = 6,8056 log Qa, = 6,8054 

und fQr 

B^ und «2.1 : log (>«, = 6,8056 log q^^ = 6,8053. 

Femer ist 

log coB^^i = 9,5233 — 10 log sin 23^ = 9,975 — 10 

log sin 2ai.2 = 9,8808 — 10 log sin «1.2 = 9,958 — 10 

log cos^Bjj = 9,5689 — 10 log sin 2^^ = 9,985 — 10 

log sin 2a2. 1 = 9,9414 — 10 log sin «2.1= 9,936»— 10 



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340 7. Kapitel. Der Lauf der geodätischen Linie. 

und hiermit: 

«1.2 - «1.2 = + 0,2015 + 0,0141 = + 0,2156" 
«2.1 — «2.1 = + 0,2573 - 0,0138 = + 0,2435". 

Dies stimmt vollständig mit den nach strengen Formeln berechneten 
Werten iiberein. 

Zahlen beispiel IL Hier erhält man, wie es S. 166 und 320 
verlangen, als Differenzen: 



«1.2 



«1.2 



0,012" und a2.i - «2.1 = - 0,012" 



§ 8. Der Unterschied der linearen Längen von geodätischer 
Linie und Vertikalschnitt zwischen denselben beiden Punkten. 

Derselbe kann mit Benutzung des Vorhergehenden leicht angegeben 
werden. Nehmen wirPj, von wo aus der Vertikalschnitt gelegt sein 
mag, als Zentrum A geodätischer Polarkoordinaten, Fig. 23 S. 269, 
so wird nach Gleichung (3) ebenda für das Linienelement ds des Ver- 
tikalschnitts, welches an den beliebigen Punkt P desselben angrenzt: 



ds* = dr* + Illr'd«o*, 



(1) 



wobei r der geodätische Radiusvektor AP, VXr dessen reduzierte Länge 
und a^ sein Azimut ist. Bezeichnen wir nun das Azimut des Vertikal- 
schnitts in A mit ai.2, so ist nach Formel (11) S. 332 in 1. An- 
näherung: 

1 r* 

«0 = «1.2 — j2 ^ ä"« ^^^*^i sia2ai.2 + • • , 
worin B^ die geographische Breite von A bedeutet. Hieraus folgt: 
da^ = ^ y— e^ ^, cos* B^ sin 2ai g H ] dr. (2) 

Bedenken wir ferner, dafs es im 2. Gliede der Formel (1) 
rechter Hand in 1. Annäherung offenbar ausreicht, für mäfsig grofse 
Distanzen ttlr gleich r zu setzen, so erhalten wir aus (1) durch diese 
Substitution und wegen (2): 



rfs «= 1/1 + — e^ ^ cos^jB, sin*2ai.2 -{-'•' dr. 
Hieraus folgt: 

ds = {l + ^e^ ^^ cos^B^ sin^2ai.2 -f • • -jdr. 

Integriert man dies vom Anfangspunkt A d. i. Pj bis zum Endpunkt 
Tg? 80 folgt: 



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§ 9. Abstand <L geod&t. Linie von den beiden Verfcikalschnitten n. s. w. 341 

« = n., { 1 + 4 e« *'^/cos*B, 8m*2ax., + •••), (3) 

worin s die lineare Länge des Yertikalschnitts PiP^, n.a aber diejenige 
der geodätischen Linie P1P2 bedeutet 

Diese Formel ist noch ausreichend für Distanzen gleich 0,2 a^. 
Wird die Distanz gleich üq und grofser^ so ist die Entwicklung zu- 
nächst zwar noch konvergent^ aber das angesetzte Glied giebt doch 
nur eine rohe Annäherung. 

Nimmt man ri.2 = 0,2 a^^ so ist im Maximum 

sodafs bei zehnziffriger Rechnung die Logarithmen von s und ri . 2 sich 
noch nicht um eine Einheit der letzten Decimalstelle unterscheiden; 
es ist hiemach für die meisten praktischen Fälle in Bezug auf 
lineare Länge der Vertikalschnüt von der geodätischen Linie nicht 
merklich verschieden. [Für die Linie Berlin — Königsberg ist die 
DifTerenz 0,0002»»'». Vergl. auch die Beispiele 1 u. II S. 182, 183, 261 
und 320.] 

Vertauscht man in (3) die Indices 1 und 2, so zeigt sich, e und 
ri^ia^ wie immer als Gröfsen 1. Ordnung aufgefafst, für beide Vertikal- 
schnitte eine Vergröfserung gegen die geodätische Linie um ein Glied 
8. Ordnung in Bruchteilen der Länge. Der Unterschied der Längen 
der Vertikalschnitte gegen einander wegen der Ungleichheit dieser 
Glieder 8. Ordnung und wegen höherer Glieder ist daher, in Bruch- 
teilen der Länge, höchstens von der 9. Ordnung, wie zur Ergänzung von 
8. 182 bemerkt werden mag. 

Nach dem Vorhergehenden kann man nun die S. 181 u. 182 an- 
gegebenen Beziehungen der Länge des Vertikalschnitts zur Sehne und 
zu ö' unmittelbar, falls es erwünscht sein sollte, als solche der geo- 
dätischen Linie zur Sehne und bezw. zu ö' betrachten. 

Die Formel (3) gab Bessel 1837 ohne Herleitong Astronom. Nachr, Bd. 14 
No. 330, S. 285 {Abhandlungen Bd. 3, S. 26). Weingarten gelangte zu 
dieser Formel im Verfolg der oben (8. 337) ^erwähnten Entwicklung für 
eine beliebige krumme Oberfläche (vergl. Baeyer, a. a. 0. S. 93; Jordan 
Bd. 2, S. 339). Eine Schätzung der Ordnung des Längenunterschieds von 
geodätischer Linie und vertikalem Schnitt in einfacher geometrischer Weise 
gab Andrae im 1. Bd. der Dan, Gradmessung S. 179 (vergl. auch Viertel- 
Jahrsschrift der Astronom. Ges. Bd. 13, S. 18). 

§ 9. Abstand der geodätischen Linie Ton den beiden Tertikal- 
sebnitten bei kleinen Distanzen. In Fig. 26 S. 332 denken wir 
uns auf dem Vertikalscbnitt P, Pg einen Punkt P und die geodätische 
Linie r, welche P^ und P verbindet. Ist a^ deren Azimut in P^, so hat 
man in 1. Annäherung wie oben : 



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342 7. Kapitel. Der Lauf der geodätischen Linie. 

t I* 
«ü = Ö&1.2 — 7^ e^ -8 cos^^i sin 2ai. 2 H . 

Dagegen ist für die geodätische Linie P1P2; deren Länge wir nun- 
mehr mit s bezeichnen^ das Azimut in Pj gleich 

1 &" 
«1.2 = 01.8 — ^^e^ -liCOs^B^ sin2ai.2 H . 

Der Azimutalunterschied der geodätischen Linien P^P und PiP% ist 
nun Uq — ai. 2; multipliziert man ihn mit der reduzierten Länge (in 
der mit grofser Annäherung zulässigen Voraussetzung, dafs «^ — ai.g 
wie eine unendlich kleine Drehung behandelt werden darf) und setzt 
diese näherungs weise gleich r, so folgt als Abstand des Yertikal- 
schnitts P1P2 von der geodätischen Linie P^Pi in der Entfernung r 
von Pj in 1. Annäherung: 

l gÄ ,.« 

^r coa^B. sin 2ai 2 + • • • . (1) 

Vertauscht man hierin die Punkte P^ und P^, wobei an Stelle von r 
s — r tritt, so folgt dagegen als Abstand des Vertikalschnitts P, Pj 
von der geodätischen Linie an derselben Stelle wie vorher nach ein- 
facher Reduktion: 

i «*»- ^^ '-^— «««*^» sin 2a, . 1 + • • • ■ (2) 

Da von höheren Gliedern abgesehen wird, so kann man hierin 
und in (1) für B^ und B^ einerseits, und 2ai.2 und 20«. 1 andrerseits, 
einen und denselben mittleren Wert oder auch -B^, bezw, 2 «1.2 ein- 
führen. Die Addition von (1) und (2) giebt dann den Abstand der 
Vertikalschnitte. Derselbe ist demnach im Abstände r von P^ in 
1. Annäherung gleich 

1 ^2 8r_(8_^ ^^^g^^ sin 2ai .2 + • • • . (3) 

Vergleicht man (1) und (3), so zeigt sich, dafs Ausdruck (3) 
immer gröfser ist, als (1); denn es gilt die Proportion: 

(1) : (3) = s + r : Ss. (4) 

Daher liegt die geodätische Linie in 1. Annäherung für kleine Distanzen 
immer umsehen den beiden Vertikalschnitten, welche die Endpunkte 
derselben verbinden. 

Es lehrt ferner die DiflFerentiation von (3) bezw. (1) nach r, dafs 
in 1. Annäherung der Maximalabstand der Vertikalschnitte inmitten 
zwischen P^ und P^ sich befindet, dagegen der von geodätischer Linie 



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§ 9. Abstand d. geodftt. Linie von den beiden Vertikalscbnitten. 343 

and Vertikalschnitt in der Entfernung s : V^S von demjenigen der 
beiden Punkte, yon welchem aus der Yertikalschnitt geführt ist. 
Daselbst verhalten sich die Abstände (1) und (3) wie 



i^+w) 



:3 d. i. wie 1: 1,902. 



Vorstehende Beziehungen, wie diejenige über die Dreiteilung der 
Winkel zwischen den Vertikalschnitten durch die Geodätische, welche 
S. 332 erwähnt ist, dürfen selbstredend nicht als streng gültige und 
für beliebig lange Linien anwendbare aufgefafst werden. Will man 
die Beziehungen genauer feststellen, so ist ein genauerer Ausdruck 
der astronomisch-geodätischen AzimutaldifiFerenz anzuwenden, im übrigen 
aber so, wie oben geschehen ist, vorzugehen. 

Wir betrachten jetzt in dieser Weise denjenigen Fall, wo Vertikal- 
schnitt und geodätische Linie nahezu das Azimut 90^ haben und ins- 
besondere, wenn B^ = B^ ist Nach den Formeln (1) und (3) würden für 
ai.2 = 90" die beiden Vertikalschnitte untereinander und mit der geodä- 
tischen Linie zusammenfallen. Dies mufs jedoch für die beiden Vertikal- 
schnitte genauer dahin modificiert werden, dafs sie nur zusammenfallen, 
wenn beide Punkte Pj und Pg auf demselben Parallelkreis liegen — 
in jedem andern Falle (ausgenommen für die Lage beider Punkte auf 
demselben Meridian) fallen sie nicht zusammen. Die geodätische 
Linie aber hat überhaupt für Werte von «1.2 um 90^^ herum eine etwas 
abweichende Lage von beiden Vertikalschnitten (sie kann mit diesen 
auch nur für zwei in demselben Meridian gelegene Punkte P^ und 
P2 genau koincidieren, weil nur dann die Schmiegungsebene jedes 
der beiden verbindenden Vertikalschnitte zugleich für alle Zwischen- 
punkte Vertikalebene ist). 

Aus Formel (11) S. 332 ist zu ersehen, dafs für Werte von ai.2 

und «1.2 nahe an 90^ sich die Azimutaldifferenz auf eine Gröfse 

5. Ordnung reduziert; der lineare Abstand zwischen geodätischer Linie 

und yertikalem Schnitt ist daher für solche Lagen eine Ordnung hoher 

als im allgemeinen. Man sieht aber sogleich, dafs er nicht null wird. 

Wenn wegen B^ = B^ die Vertikalschnitte zusammenfallen, so 

wt nach 8. 144 im sphärischen Hilfsdreieck (l) 

tan ~ä =^ — cot Pj cos ai . 2 . 

fieraas folgt mit Vernachlässigung von Bruchteilen der 2. Ordnung 

C^«rgl. S. 182 (13)) 

cos ai.2 = — Y ^ tan P^ (1 + GQ'. (5) 

NaciS. 332 (11) ist ferner: 



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344 7. Kapitel. Der Lauf der geodiUischen Linie. 

«1.2= «1.2 — ,„t'" ' 2(cos''^l?isiii2ai.2+ 7, siii2ßi sin ai.gl-t-G/ß. (6) 

Ersetzt man hierin im 1. Gliede cosai.« durch den Ausdruck (5), so 
ergiebt sich mit Rücksicht darauf, dafs siuai.2 von 1 nur um eine 
Gröfse der 2. Ordnung abweicht: 

«1.2 = «1.2 + 4g ^ ^a 8in2i^i H . (7) 

Die mehrfach erwähnte Formel (11) S. 332 giebt ferner mit 5 : 2 
als Distanz in Bezug auf diejenige geodätische Linie, welche von Pj 
nach dem zwischen Pj und Pj, inmitten gelegenen Punkt der Vertikal- 
schnitte gelegt werden kann, das Azimut: 

«0=^1.2 — 4ye*J,(cos^l?isin2ai.2H-^ *^sin2i?isinai.2) + G/6- W 

Setzt man hierin im 2. Gliede rechter Hand fQr cosai.2 den in (5) 
angegebenen Wert, so wird erhalten: 

Vergleicht man «^ mit «1.2, so sieht man, dafs für positive 
H^ die geodätische Linie nördlich von den zusammenfallenden Vertikal- 
schnitteu liegt. Der Abstand ist inmitten am gröfsten und gleich 

y(«i.2 — «0)5 d. i. gleich: 

Für 5 = 0,lao giebt dies im Maximum nur rund — Meter wo- 
bei nach (7) «1.2 == 01.2 + 0,03". 

Für s < 0,02 a^j sind die bezüglichen Werte so klein, dafs prak- 
tisch genommen zwischen den zusammenfallenden Vertikalschnitten 
und der geodätischen Linie kein Unterschied mehr ist. 

§ 10. Überblick über die Lage der geodätischen Linie zn 
den beiden Vertikalschnitten für kleine Distanzen. Untersucht 
man mit Hilfe der zweigliedrigen Ausdrücke für die Azirautaldifferenzen 



*) Nach (^10) ist unsere ganz ^gelegentlich bei einer Besprechung entstandene 
Angabe (ohne EntwickUmg) in der ZeiUchr. f. Math. u. Phys. von Schlömilch, 
Littcratui Zeitung 1873 S. 39 zu korrigieren. Der richtige Ausdruck (10) geht 
übrigens ohne weiteres juis einer schon 1870 angestellten Untersuchung von 
A. R. Clarkc in dem Philosophical Magazine 1870 Vol. 39 p. 361 Art. 8 hervor. 

Der Rest von (10) hat die Form «o^'si d.i (10) eine gerade Funktion von 
8 sein mufs; denn man kann (10) als Funktion jedes einzelnen der beiden Ab- 
stand»» + s : 2 auffassen, wilche P, und P.^ vom Scheitel der Geodätischen 
haben. Der Rest in (7) hat ebenso die 7. Ordnung. 



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§ 10. Überblick über die Lage der geodätischen Linie a. s^ w. 345 

die Lage einer geodätischen Linie PiP^ zu den beiden Vertikal- 
schnitten im allgemeinen, so findet uiun Folgendes. 

Man denke sich P^ in der Entfernung s von Pj , welches eine 
nördliche Breite haben soll, um dieseti Punkt einen geodätischen 
Kreis beHchreibend. Das südwestliche Azimut ai.^ sei anfangs null; 
dabei fallen die Geodätische und die zwei Vertikalschnitte zusammen* 
Wenn dann «i.g wächst, so ist für Werte dieses Azimuts im 1. Qua- 
dranten die geodätische Linie stets zwischen den beiden vertikalen 
Schnitten, von denen PiP^ der nördlichere ist, gelegen. 

Ist in Pj bei weiterem Wachsen aber 

cos a, .2 = .— — ^ tan -Bj H (1) 

geworden, so tangiert die Geodätische den Vertikalschnitt PiPg in P,; 
bei fortgesetzter Drehung rückt der an Pj grenzende Teil der Geodäti- 
schen nördlich aus dem von den beiden Vertikalschnitten umschlossenen 
Raum heraus und für 

cos «1.2 = — -^ -£- tan jBj ^ (2) 

liegt sie ganz aufserhalb, wobei sie den Vertikalschnitt P1P2 bei P^ 
tangiert. Bei weiterer Drehung werden für 

cos «1.2 = — „ — tan jBj + • • • (3) 

die Vertikalschnitte identisch; die Geodätische liegt von da an nördlich 
von denselben bis zu dem Zeitpunkt, wo der nördlichere der beiden 
Vertikalfechnitte, nämlich P2P1, die Geodätische in Pj tangiert für 

cos «1.2 = — -^ -^ tan ^1 -| ; (4) 

von hier ab kommt die Geodätische wieder z, T. zwischen die Vertikal- 
schnitte zu liegen, bis sie für 

3 8 

cosai,i= — —-—isinBi + " (5) 

den Vertikalschnitt P2P1 in Pg tangiert und von nun an für weitere 
Werte von «1.2 im 2. Quadranten ganz zwischen beiden Vertikal- 
schnitten enthalten ist. U. s. f. 

Vorstehendes schliefst man aus den Formeln (21) und (25) S. 186 
u. 187 und aus Formel (11) S. 332. Hiernach hat man für die 
Azimutaldifferenzen der beiden Vertikalschnitte: 



^|-i-e2^sin2-Bisinai.2(cotBjCosai.2 + 2^) + Gi6; (6) 



ai.2 — 01.2 ' 

«2.1 — «i. 

und für die Azimutaldifferenz der geodätischen Linie und des Vertikal- 
schnittes P1P2 in Pj: 



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346 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

1 s* . / s \ 

öl. 2 — «1.2 = jze^—iSin2Bj^sincci,2\coiBiC08ai,2 -j- ) + GIq. (7) 

Es ist daher 

1 1 s' 

«1.2 — «1.2 =- y (ai.a — ai.2) — 4g ^ ^ siii 2-Bi sin ai.2 + Gig. 

Vertauscht man die Indices 1 und 2, so folgt, weil bei Vernach- 
lässigung von Gliedern 6. Ordnung im 2. Teil rechts B^ mit Bi und 
«2.1 mit 180^ + «1.2 vertauscht werden kann: 

«2. 1 — «2. i = 3 («2. i - «2.1) + ^g e^ - 3 sin 2-Bi sin «1.2 + G^e • 

Die Substitution des Wertes von 02.1 — ai.i aus (6) führt end- 
lich zu: 

«2.1 — «2. i = j2^* ~i sin 2ßi sin «i.« (^cot B^ cos «1.2 + ^^J + Gh • (8) 

Schliefslich hat man noch durch Kombination von (7) bezw. (8) 
mit (6): 

«1.2 — ai.2 = -g-e* - , 8in2jB,8ina,.2(cotBiCOs«i 2+ g^j + ^^e (9) 

«2.1 — «« 1 = y ^*^» 8*^ 2jBi sin «1.8 (cot Bi cos «1.2 + ö« /"l"^'«* (*^^ 

Mit Hilfe dieser Formeln kann man das oben entworfene Bild 
von der gegenseitigen Lage der 3 Linien noch vervollständigen^ was 
wir aber dem Leser überlassen. 



8. Kapitel. 
Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

§ 1. Fnndamentalsatz für geodätische Polarkoordinaten. 

Auf S. 269 sind bereits einige Beziehungen für geodätische Polar- 
koordinaten angegeben, zu denen jetzt, um in die Theorie des geodäti- 
schen Dreiecks eintreten zu können, eine weitere hinzugefügt werden 
mufs, welche zeigt, wie sich entlang einer Kurve der Neigungswinkel 
& derselben gegen den geodätischen Radiusvektor r, insbesondere wenn 
diese Kurve wieder eine geodätische Linie ist, ändert: Fig. 28. S be- 
zieht sich auf die Richtungen des wachsenden Radiusvektors und der 
wachsenden Kurve, von ersterem im Sinne der wuchsenden Azimute 
bis zu letzterer. Es ist also 

a-« = ö, (1) 

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§ 1. Fimdamentalflatz für geodätische Polarkoordinaten. 



347 



wenn a das Azimut der Kurre und a dasjenige des Radiusvektors 
ist. Hieraus folgt: . 



da 

dB 



da^ 
d8 



d9 
ds' 



(2) 



wobei ds das Bogenelement PP' der Kurve bedeutet. Selbstverständ- 



de 



lieh mufs, um ^ berechnen zu können, die Kurve bekannt sein, 
' as 

sodafs man -^~ angeben kann. 



da 



Xord 



dr 




^üd 



Fig. 28. 



Was , anbetriflFl, so können wir dies unmittelbar durch Addition 

ds ' 

der Ausdrücke (2) S. 279 und (4) 
S. 280 zusammensetzen. Dabei ist zu 
beachten^ dafs a^.i in « + 180® und 
s in r übergeht. 

Man erhält so zunächst: 

tan ^ sin a , 

worin ß die reduzierte Breite von P 
und w = yi — ^ cos*/3 isi Beachtet man nun, dafs Ulrrfa^ = ds . sinÖ 
und dr = ds.cosö ist, so folgt ohne Schwierigkeit wegen 
a + ©=«': 

(3) 

Ist aber die Kurve PP" selbst eine Geodätische, so ist nach 
S. 279 (2) 

d a tan ß sin a 

ds OqW 

mit Rücksicht darauf, dafs das dort vorkommende «2.1 dem jetzigen 
a + 180® entspricht Mithin wird für den Neigungswinkel einer 
geodätischen Linie PP" gegen den geodätischen Radius vektor ÄP: 



de 


da 


sin S dVXr 1 tan ß sin a' 
ttlr dr "^ ar,w 


ds ~ 


" ds 



dS 
ds 



sin S dVXr 
VXr dr 



(4) 



dVXr 



In Bezug auf -^ ist zu erinnern (S. 280), dafs sich dieser 

Differentialquotient auf eine Verschiebung von P in Richtung des 
Radiusvektors AP^^^r bezieht. 

Um dies anzudeuten, wurde das Zeichen der partiellen Differentiation 



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348 



8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 



gewählt; denn es könnte sonst eine Verwechslung mit demjenigen 
DiflFerentialquotienten stattfinden, welcher sich auf die totale Ände- 
rung von r durch Verschiebung des Punktes P nacli F' bezieht. 

Vorstehende Gleichung kann man, wie sofort ersichtlich, noch in 
die nachstehende Form bringen: 

-df — - sin fe> j^ [p) 



Man kann aber auch für ds setzen dr . sec @ und erhält alsdann: 



d log nat sin S 



dr 



d log nat Ittr 
Jr 



(6) 



Vorstehende Formeln (3) bis (6) gelten wiederum wie (6) S. 276 all- 
, gemein für geodätische Linien auf jeder Fläche, wie Gaufs a. a. 0. Art. 19 
bewiesen hat (bei Christoffel a. a. 0. S. 132). 

§ 2. Hinussatz für das geodätische Dreieck. Mit Hilfe der 
zuletzt entwickelten Formeln ist es nunmehr möglich, die DiflPerential- 
'formeln für ein Dreieck mit kürzesten Linien als Seiten , d. h. nach 
dem üblichen Sprachgebrauch: für ein geodätisches Dreieck, auf- 
zustellen und unter Anwendung des früher für ttl gefundenen Aus- 
drucks zu integrieren. 

Als S. 72 u. ff. die Differentialformeln 
für das sphärische Dreieck aufgestellt 
wurden, konnte zur Ableitung endlicher 
Formeln der Umstand benutzt werden, 
dafs auf der Kugel jedes Dreieck 
ohne Formveränderung sich verschieben 
läfst. Da für das Rotationsellipsoid 
diese Eigenschaft nicht existiert, mufs 
hier die obige GleichQng (5) bezw. (6) 
als Ersatz dienen. Sie führt uns ebenso 
wie jene Eigenschaft der Kugel zum 
Sinussatz. 

In dem Dreieck ABC Fig. 29 
mit den in beliebigem Sinne auf 
einander folgenden Seiten abc bilden wir (wie früher S. 71) die Drei- 
eckswinkel nach den Formeln 




Fig. 29. 



jA. — ^ff — ^c 
5 = «0 - «a 
C = C - Cft 



a) 



worin 31, <B, C die Azimute in den Ecken Aj B, C für die als Indices 
vorkommenden Seiten bezeichnen. Die Azimute werden jetzt von 



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§ S. SinuBsatz für das geodätische Dreieck. 349 

den Meridianen der betreffenden Ecken ab gezählt, wie z. T. in Fig. 29 
angedeutet ist. 

Die Definition der Winkel nach den Formeln (1) macht es wie 
früher möglich, die beiden Fälle, dafs die Winkel im Innern oder 
aafserhalb des Dreiecks gezählt werden, zusammenzufassen; vergl. 
hierzu S. 71. 

Dreht man nun die Seite a um d%a im Sinne wachsender Azimute, 
so bewegt sich auf der ruhenden Seite h die Ecke C nach C, und 
man kann nach obiger Formel (5) angeben, um wie viel der Winkel 
S bei Cf genommen vom wachsenden Radiusvektor a bis zur Rich- 
tung von C nach C, wächst ö ist gleich (tb — (Ca + 180®) d. i. 
180« - C. 

Man hat daher: 

d log nat sin (ISO'^ - C) =- rf log nat sin C = ~ aiognaUiDHia ^^ ^g) 

Nach Formel (11) S. 278 ist nun, die Dreiecksseiten als Grolsen 
1. Ordnung im Verhältnis zu a^ betrachtet, fQr die Seite a mit B 
als Drehpunkt: 

m. =^ 8in ^^ - I e« 8in2ft cos «„ ^ + a« ßZ,, (3) 

wenn a^ den Äquatorialradius, K^ : a^ das Krümmungsmafs in der 
Ecke B und ß^ die reduzierte Breite daselbst bezeichnet. 
Zur Vereinfachung setzen wir vorderhand: 

sodafs vorläufig die linearen Dimensionen ahc in Bruchteilen des 
Aquatorialradius ausgedrückt zu denken sind. Die Rückkehr zu be- 
liebiger Einheit ist später leicht ausführbar. Wir erhalten jetzt, wenn 
wir zur Abkürzung die Eonstante 

I 6> sin 2ft = E, (4) 

setzen, zunächst aus (3): 

»». = "•- J-^^J - E, a* cos C + Gl, 
oder 

«I« = ^^ (1 _ E, a" cos «, + Gl,). (5) 

Hieraus folgt sofort für den natürlichen Logarithmus von Uta mit 
gleicher Genauigkeit wie bisher: 

log nat Uta «= log nat sin [a ]/^] — log nat j/ig — E^ a* cos 4« + Gl^ . 

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350 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

Differenziert man dies partiell nach a und fuhrt den Differential- 
quotienten in (2) ein, so findet sich: 

d log nat sin C = (— V% cot [a j/Z^] + 3^2 a^ cos Ä« + GQ da . (6) 

Bei der nunmehr auszuführenden Integration ist auf die Ver- 
änderlichkeit von Uta mit a Rücksicht zu nehmen. Wenn sich näm- 
lich die Seite a = BCy Fig. 29, um B dreht, so bleibt zwar E^ 
konstant, aber 4« ändert sich. Dabei erscheint üa als eine von a 
abhängige Variable. Die Integration fiihrt nun zu der Gleichung: 

lognat 8in(7= — lognatsin [ay^]+3-EgJa*cos4arf«+JVTZßcia-|-Konst. (7) 

Behufs Auswertung des 1. Integrals betrachten wir die Seite 
CA == h als unabhängige Variable. Es ist dann vor allem, un- 
abhängig von der besondern Beschaffenheit der Fig. 29: 

da = cosCd6. (8) 

Wendet man die Formel (11) S. 298 auf je 2 der 3 Ecken des 
Dreiecks an, so folgt ferner: 

{B^ —■ B^) cos ß = — c cos 3lc cos ß -f- Gl^ 
{B^ — B2) cos ^ ^ — a cos Äa cos ß -^- GI2 
{Bi — B^) cos /3 «= — fc cos Cft cos ß -|- Gl^, 

wenn ^i , ^2 1 ^s ^^® geographischen Breiten von A, B, C 1)edeuten 
und für ß irgend eine mittlere (geographische oder) reduzierte Breite 
des Dreiecks genommen wird. Die Addition der 3 Gleichungen giebt: 

cos ß (a cos Ba + b cos €0 + c cos 3lc) + Gl^=^0. (9) 

Ebenso findet man mittelst der Formel (12) S. 298:* 

cos ß (a sin Ha + b sin €b + c sin X) + öZg = . (10) 

Diese Formeln gelten auch noch in der Nähe der Pole. Denn 
reduziert man die genannten Formeln (11) und (12) auf ihr erstes 
Glied und multipliziert mit cos ^ bezw. cos^^, so sind auch an den 
Polen die Restglieder kleine Glieder 2. Ordnung, wie die Betrachtung 
der ersten beiden Differentialquotienten (6) S. 297 im Hinblick auf 
den Rest der allgemeinen Entwicklung (1) S. 25 zeigt. 

Man erkennt übrigens bei der Ableitung sofort, daJs man in 
diesen Formeln (9) und (10) für die Azimute der Seiten immer die 
um 180^ vermehrten Azimute derselben Seiten am andern Endpunkt 
substituieren darf. In dieser Weise giebt (9): 

cos /3 . a cos Äa = cos ^ (b cos 3l6 + ^ cos Äc) + GI2. (11) 

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§ 2. Sinnseatz für das geodätische Dreieck. 351 

Die Formeln (9) und (10) zeigen nun die Möglichkeit der An- 
wendung der Sätze der ebenen Polygonometrie auf geodätische Drei- 
ecke bei einer 1. Annäherung. 

Aus denselben kann man bekanntlich Satze zwischen den Winkeln 
und Seiten des Dreiecks herleiten. Jedoch ist es besser, dieselben 
direkt aufzusuchen, um zu bemerken, dafs zur Erzielung der Gültig- 
keit dieser Formeln an den Polen der Faktor cos ß wegbleiben darf. 
Betrachtet man die 1. und die 4. Gleichung (1) S. 76, so giebt die 
Reihenentwicklung für die Cosinus und Sinus der Seiten sofort für 
sphärische Dreiecke allgemein gültig: 

a« = fc« + c* - 2bc cos Ä + Gl^, (12) 

a cos C = 6 — c cos J. + ß's • (13) 

Diese Relationen erhält man fürs Ellipsoid aus (9) und (10) 
noch mit dem Faktor cos/S behaftet und anscheinend eine Ordnung 
weniger genau, welches letztere hier aber gleichgültig ist. Dafs man 
aber jenen Faktor weglassen kann, zeigt eine geometrische Betrach- 
tung. Man denke sich durch die 3 Punkte ABC eine Kugel ge- 
legt, ihren Radius dem mittleren Krümmungsmafs der Gegend möglichst 
entsprechend. Fär die Stücke des Eugeldreiecks gelten (12) und (13) 
unmittelbar. Nun weichen von denselben diejenigen des geodäti- 
schen Dreiecks um Glieder ab, die in e^ multipliziert sind, die jedoch 
die Gleichungen (12) und (13) bei gehöriger Entfernung vom Pole 
jedenfalls nicht beeinflussen. Jene Abweichungen sind aber offenbar 
für die Nähe der Pole eher geringfügiger, als im allgemeinen. Es 
müssen daher (12) und (13) allgemein gültig sein. 

Wir erhalten nun durch Multiplikation von (11) und (13): 
cos ß . a* cos Äa cos C = cos ß (b — c cos A) (b cos Tit -{- c cos Äc) + Crh • 

Führen wir dies in (7) ein und beachten, dafs das 1. Integral noch 
in E^ , eine Gröfse 2. Ordnung, die cos ß als Faktor enthält, multi- 
pliziert ist, so ergiebt sich nach einfacher Reduktion : 

log nat (sin C sin [a V^iCg]) 

= ZE^Jib — c cos A) (b cos X+c cos «c) db +JGI^ da -f Konst. (14) 

Das 1. Integral rechter Hand enthält nur noch die Variable b\ 
multipliziert man aus und integriert, so folgt dafür: 

Y (&* — 2bc cos Ä) c cos *c + (y fc* — Y b^c cos Aj cos ^t, 



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352 B. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze, 

oder durch Elimination von bc cos A mittelst (12): 

_L (^2 __ ^) ^J ^^g ^^ ^ 2c cos jJe) + 1^ b^ cos 3(6 + Ö/5 , 

oder endlich unter Substitution des Wertes von frcosSl* nach (11) 
im 1. Gliede: 

\ {a^ — c^) (a cos «« + c cos «c) + ^^ «'^ cos 31* + Gl^ . (15) 

Multiplizieren wir dies mit -Bg, so «^i^eben die Gl^ Glieder 6. Ord- 
nung. Ebensolche giebt das 2. Integral der Formel (14) und zwar 
braucht man nicht zu furchten, dafs dieselben in der Nähe der Pole 
eine beträchtliche Gröfse erlangen. Denn die Entwicklung von K 
S. 275 u. ff. läfst nicht im Zweifel, dafs in den höheren Gliedern von K 
und damit von m, sowie von (14) überall das Azimut a nur in der 
Form cos ß cos a auftritt, sodafs die starken Änderungen von a in 
der Nähe der Pole durch den Faktor cos ß auf das gewöhnliche Mafä 
herabgedrückt werden. 

Das Resultat aus (14) und (15) ist jetzt: 

log nat (sin C sin [a/X]) = y ^'2 («* — ^) (« cos Ä« + c cos üc) 

+ ^ E^P cos 2ö + Gl^ + Konst. (16) 

Die Konstante bestimmen wir durch Spezialisierung für t = 0. Hierfür 
wird a mit c identisch; ferner wird C« = 3lc, C^ = ^6 — 180**, mithin 

Cd. i. «a - «6 = X-X + 180^ d. i. 180«- ^. 
Folglich ist log nat (sin^ sinfcyiQ]) = Konst. und (16) geht über in: 

log nat {'^^'^ ^""^ß) - -' E, (a* - c«) (a cos C + c cos Ä^) 
\8in A sin [c]/ K^y * 

+ \E^b^to%X + Gk. 

Hieraus hat man endlich noch ohne merkliche Änderung der 
Genauigkeit: 



ein C aJD [c ^K^ | 



l + \E^{a^ - c*) (a cos Ä« + ccos ße) 



(17) 



Diese Formel läfst sich noch sehr vereinfachen; indessen genügt sie 
in vorstehender Gestalt für das Folgende, sodafs wir bei ihr stehen 
bleiben. 



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§ 3. Der Cosinussatz im geodätischen Dreieck. 



353 



§ 3. Der Cosinussatz im geodätischen Dreieck. Um a als 

Funktion von 6, c und A zu erhalten^ betrachten wir in Fig. 30 c als 

festliegend und i als konstant, aber fr 

m A beweglich. Geht nun AC in ^.-'^^ ~- ,. ^' 

die Lage AC über und zieht man 

zogleich CC" rechtwinklig zu BC\ 

80 giebt das entstehende diflferen- 

tiale rechtwinklige Dreieck CC'C"\ 

da = C'C' = CCsmC 

allgemein göltig für (7= C« — C 
Diese Diflferentialformel für a läfst 
sich leicht integrieren^ denn wegen Öld 
der Konstanz von b ist Ht* nur 
Funktion von ^t und sin C läfst 
sich mittelst des Sinussatzes als Funktion von A und a darstellen. 
Zunächst ist nach Formel (17) des vorigen Paragraphen: 

sin C = sin ^ BmjcVK^] /^_^^j^^ ^^2 __ ^2) /^ ^^g <?« + c cos «c) 
sin [a)/^,] \ * 

+ 1-E,b' cos :X, + Gl,). (2) 

Aufserdem ist nach (11) S. 278 mit Rücksicht auf die Einführung 
des Aquatorialhalbmessers als Einheit der Längen: 

N 

Sin [6Vi^,] ^j _ ^^ j3 ^^^ 21, + Gkl 




Fig. 30. 



VHb 



VK[ 



(3) 



Ehe wir diese Ausdrücke in (1) substituieren, führen wir in (2) auch 
^1 anstatt K^ ein, um in den .Sinus der Seiten dasselbe K zu haben. 

Man hat aber allgemein für eine Seite u: 
8in [uYK^ = uVK, (l - I u'K, + ^l- u*K^ + Gl,) , 



3owie 



sin [uYk]] =uyK, (1 - l u'K, + ^ u'K^ + GZ^) 

und hieraus, da K^ — K^ nach Formel (5) S. 276 von der 3. Ordnung 
ist, indem 

K^ = K^-\' \2E^c cos Äc + Gl^ 
wird, durch Division beider Gleichungen: 

Helmert, mathem. u. physikal. Theorloen der höh. Geodäsie. 23 



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354 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreieoksnetze. 

siuiuVß _ 1/5 /j _ 1 [K,-K,] u^ + GlX 
8in[Ml/A',] yK,\ 6 L 2 iJ -r 7y 

Wendet man dies auf u = c und u == a an und dividiert, so ergiebt sich: 

slnJcVp _ sin^yjQ /i ^ 2^:, (C« - a^) C COS «e + GlX 
Bin [a VA',] 8iii[a>/XJ^ ^ 2\ J. c-r y, 

womit (2) übergeht in: 

sin C « sin ^ ^^ f^l (1 + E^ (a« - <?) [| a cos «« - J- ^ cos «e] 

+ { ^,i«cos %, + ßZe). (4) 

Wird dies nun nebst (3) in (1) eingesetzt und dabei fQr E^ 
einfach E^ geschrieben, was nur einen kleinen Fehler der 3. Ordnung 
in E und also der 6. Ordnung in der Parenthese von (4) ergiebt, 
so folgt: 

- \E^W(^o%X+GlXÄnAd':S.t^ (5) 

Rechter Hand eliminieren wir a cos Ä« und a? mittelst der Relationen 
(11) und (12) S. 350 u. 351 und erhalten: 

sin [a/ff;]d(ayÄ:i)=sin \hyK^]%m[cYK,\{\ - hc E, [^ fccos jJc+ 1 6 cos^ cos Sl* 

— ccosÄcCos-4J+tf/6Jsin-4rf3l6. (6) 

Für A setzen wir nun ^l* — %c und wenden zugleich, um integrieren 
zu können, die Formeln an: 

cos J^ sin ^ = — sin 2 (^l* "— 3lo) 
cos A cos 3^6 sin ^ = - - (sin (3 3^6 — 23tc) + sin (^l* — 23tc)). 

Denkt man sich dies in (6) eingeführt, so giebt alsdann die Inte- 
gration ohne Schwierigkeit: 

cos r^'^ VK^ J + Konst. = sin [^Vi^ J sin [cI/ä'!] { cos {^t — 3lc) 

-lcE,{g,+g,+g,)+Gl,],{:i) 
worin für den Augenblick folgende Bezeichnungen zur Abkürzung dienen: 



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§ 3. Der Cosinussatz im geodätischen Dreieck. 355 

^1 = Y & cos Äc cos (Slft — 3tc) = y h COS Äc cos -4 

<72 = 1 «^ (y cos (331* — 2X) + cos (3l6 - 23lc)) 

= -^b [cos 2A COS 3l6 + cos {Ä — 3lc)) 

^3 = — -j- ^ ^^^ 'c cos2(3l6 — 3lc) = — -^ ccosi^c cos 2-4. 

Die Integrationskonstante bestimmt sich durch die Bemerkung, 
dafs fQr 31* = 3lc + 180® die Seite a — 5 + c werden mufs. Zugleich 

ist Ä = 180® und demnach ^^ = — — 6 cos üc] 5^2 = — o" ^ ^^^ '^^J 
ft == — Y c cos Äc. Die Summe ^^ + ^^ ^ — y & (cos fic + cos 3to) 
reduziert sich, abgesehen von Gliedern 1. Ordnung, aufserdem auf 
null, weil Äc = 3lc + 180® + ^h ^^^' ^^^^ 8^^* zwar zunächst nicht 
auch ftir die Nähe der Pole; indes die Existenz des Faktors cos ß 
in E^ erweitert das Gültigkeitsgebiet auch bis dahin. 
Man erhält demnach: 

co8[(6+ c)l/^]+ Konst. = — sin [6 VJ^j sin [cYK,] (l - j6c*£/cos«c+ Gl^). 

Zieht man dies von (7) ab und beachtet bei der Vereinigung der g 
wiederum, dafs Äe = 3(c + 180® + Gl^y ^^ folgt nach einiger Reduktion : 

cos [aYK,] = cos [bVK^] cos [cYK,] 
+ sin[6]/Äi]8in[cy^](cos^ + i£,6c(6cos3lft + cco8Äc)sin«^^ 

Die in E^ multiplizierten Glieder kann man aber sehr einfach 
mittelst der Differenzen der Krümmungsmafse darstellen. Man hat 
nach (5) S. 276: 

K,==^K,+ 12E, c cos X + Gl^ j .^. 

iTg = JSTj + 12E, b cos 3l6 + Gk', j 
es ist daher: 

E, (b cos X + c cos X) = Y [ÜT- ^J + Gl^, (10) 

wobei JST == ~ (Äj + JSTg + JSTg) das arithmetische Mittel der K der 
3 Ecken ist. Die grofse Parenthese in (8) giebt hiermit: 

cos A + g [K - Ä',] bc sinM + Gl^, (1 1) 

23* 



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356 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

wofür man mit derselben Genauigkeit setzen kann: 

cos (A - -■ [r- K,] F^) + Gl,. (12) 

wenn y bc sin Ä vorläufig mit Fa bezeichnet wird. Somit findet sich: 
cos [aV%] = cos \bY^i] cos [cYK^] 
+ sin [bVK,] sin [cYk\] j cos {ä - \ [K -^ K,] Fj) + Gl, ] . (13) 

Diese Formel wird noch günstiger, wenn man in den Sinus und 
Cosinus yx anstatt y'JC, einführt. Dazu dienen die Relationen: 

cos [uVK]] = 1-1 u'K, + l u'K,' - ^l ti«Ä7 + Gk 

sin [uYK\] = uyK,'{l - I n'K, + - -J^ u'K,' - G/«) 

cos [u/ä^J = 1 - I n^if + ^ n^üC* - ,1^ n'lP + ö/« 

sin [uVK] = nVif (1 -lu'K+ ^^ u'K' - Gl,). 

Denkt man sich nun in (13) die ersten beiden dieser Reihen für 
u ^=' a, b, c eingeführt und beiderseits 1 abgezogen^ so enthalten alle 
Glieder K^ als Faktor. Diesen dividiert man weg und multipliziert 
mit K. Kl tritt dann noch auf in Gliedern 4. Ordnung und 
6. Ordnung. Ersetzt man es durch K, so giebt es in den letzteren 
nur einen Fehler 9. Ordnung. Dieser ist zu vernachlässigen. Dagegen 
mufs für die Glieder 4. Ordnung eine Korrektion zugefügt werden. 
Diese Glieder 4. Ordnung lauten aber: 



linker Hand 



rechter Hand 



+ -g^ KK,. 



Schreiben wir an Stelle von Ä^ auch hier K und setzen beiderseits 
in der (wie oben angegeben) umgeformten Gleichung (13) wieder 
1 zu, so läfst sich alles so zusammenziehen, dafs eine Gleichung ent- 
steht, die sich von (13) nur dadurch unterscheidet, dafs in den Sinus 
und Cosinus überall YK anstatt YX^ steht und dafs die Korrektion 
hinzutritt, welche der Vertauschung von K^ mit X in den oben er- 
wähnten Gliedern 4. Ordnung entspricht. Wird alles nach rechts ge- 
scha£Pt, so lautet dieselbe: 

2^ I - a' + &' + c* + 66,c, - 4 (6* + c*) bc cos A] X[X, — K\. 14) 



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§ 3. Der Cosinussatz im geodätischen Dreieck. 357 

Eliminiert man hieraus 2hc cos Ä mittelst (12) S. 351 und wendet 
die für den Inhalt des ebenen Dreiecks mit den Seiten abc bestehende 
Relation an: 

IQF*^ = 2 (a'b' + a'c^ + 6V) - a* - 6* — c\ 
so giebt (14): 

+ -If^'K[K,^K] + GI,. (15) 

Quadriert man aber die Gleichung (12) S. 351, so folgt nach einiger 
Reduktion leicht: 

F*' = FJ + Gl,. (16) 

Es läfst sich hiermit der Ausdruck (15) wie folgt schreiben: 

sin [bVK] sin [cYK] (— | [Z - K,] bc sin* A) + Gl^. (17) 

Dies ist zu (13) hinzuzufügen, wenn daselbst YK eingeführt wird. 
Ein Blick auf (11) und (12) zeigt aber, wie sich (17) mit (13) ver- 
einigen läfst. Man erhält: 

cos [aYK] = cos [byit] cos [cYK] 

+ sin [bVK] sin [cYK] cos [ä + ^ [JT- K,] Fa) + Gl,. (18) 

Die GIq dieser Formel, welche als Funktionen von b, c und Ä 
nach Potenzen von b imd c und den Sinus und Cosinus von A und 
seiner Vielfachen dargestellt gedacht werden können, müssen aber 
den Faktor bcsin^A enthalten. Denn sie verschwinden für b und c 
gleich null, sowie für A = 0^ und 180^; sie müssen endlich ihren 
Wert behalten, wenn man A mit 360® — A vertauscht. 

(Das Auftreten des Faktors sin* J. kann aufserdem leicht aus der 
Analysierung des Übergangs von Formel (4) zu (8) erkannt werden. 
Die weiteren Umformungen, welche nur Übergänge von einer Kugel 
zu einer andern bedeuten, können daran nichts ändern, weil man 
immer die Ebene als Zwischenglied nehmen kann. Für diese ist die 
Existenz des Faktors sin^ A früher bewiesen.) 

Die Gl, der Formel (18) lassen sich demnach in die Form 
ainbYKBmcYKsin^A .GIq bringen und die Formel (18) kann wie 
folgt geschrieben werden: 

cos [aYK] = cos [bYK] cos [cYK] 

+ sin [bYK] sin [cYK] cos {A + y^ [^ - ^J ^a^ G^e)- (19) 



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358 B. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

Es ist hier zum Schlufs wiederholt daran zu erinnern, dafs der 
Äquatorialhalbmesser Uq als Einheit der Längen gewählt ist. 

Die Vergleichung von (13) und (19) zeigt wieder, dafs bei rein sphärischer 
Rechnung es yorteilhafter ist, das mittlere Krümmungsmafs anzuwenden, 
als dasjenige einer Ecke. Insoweit es sich aber nur um die Formel (16) 
handelt, ist 'es noch yorteilhafter anstatt K das Krümmungsmafs 

anzuwenden, womit sich nämlich findet: 
cos [aVW] « cos [b YK'] cos [c VK"} + sin [6 VÄ^ sin [cVK'] cos (A + Gl^). 

§ 4. Reduktion des geodätischen Dreiecks auf ein sphärisches 
oder ebenes mit denselben Seiten. Die Vergleichung von Formel (19) 
des vorigen Paragraphen mit der 1. Formel (1) S. 76 zeigt, dafs der 
Gegenwinkel Ä^ der Seite a in einem sphärischen Dreieck mit den 
Seiten a, h und c bei 1 : YK als Kugelradius sich durch die Relation 
bestimmt: 

Ä' = A+ y \K - K,^ F^ + Gl,. (1) 

Die Gröfse Fa^^-^ ai sin A kann nun mit — ab sin A* ver- 
tauscht werden, was in Fa nur Fehler. 7. Ordnung erzeugt. Nach 
S. 98 ist aber 2^* bis auf Gl^ gleich y a6 sin J.'. Setzen wir also 

^^ = ^ + ^ [ÜT - ifj F* + G\, (2) 

so kann hierin F* ohne wesentliche Änderung des Ergebnisses 
beliebig aus den 3 Seiten dhc oder aus irgend 2 Seiten und dem zu- 
gehörigen Zwischenwinkel nach den Formeln der ebenen Geometrie 
berechnet werden. 

Indem wir jetzt a^ wieder von 1 verschieden nehmen, zugleich 
die Differenz A^ — A in Sekunden ausdrücken und endlich die Formel 
(2) auch auf B und Q anwenden, erhalten wir zur BedukHon des 
geodätischen Breieclcs auf ein sphärisches die Formeln : 



A^^A = ^^Q'l^,[K-K,] + Gk 



B'-B=^q" ^ÄK- K,] + Gl, 

in Sek. ^^ "o 

C-C = ^Q"^,[K-K,^ + Gk. 

in Sek. i^ «o 



(3) 



Hierin beziehen sich A\ jB' und C^ auf das sphärische Dreieck, dessen 
Kugelradius Arno, arithmetischen Mittel der ErümmuDgsmafse der 



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§ 6. Die You e' abhängigen Glieder 5. Ordnung. 



359 



3 Ecken; d. h. demjenigen des Dreiecksscfawerpunktes entspricht; der 
Kugelradius ist also gleich 



VA'^ 



3 



(4) 



F*y der Inhalt des ebenen Dreiecks mit denselben Seiten, ist positiv 
oder negativ, je nachdem die. Winkel im Innern oder aufserhalb des 
Dreiecks gezählt sind. Er wird am bequemsten, unmittelbar mit 
richtigem Vorzeichen und genügend scharf durch einen der Ausdrücke 

- ah sin (7, y ac sin B oder - hc sin A dargestellt. 

Addiert man die (3), so wird erhalten: 

A + B + C=A' + W + (r + Gl,, (5) 

d. h. der Excefs des geodätischen Dreiecks ist bis auf Glieder 6. Ord- 
nung gleich defnjenigen eines sphärischen Dreiecks mit denselben Seiten^ 
wenn der Kugelradius dem mittlem Krümmungsmafse des Dreiecks 
entspricht. 

Reduziert man das sphärische Dreieck auf ein ebenes mit den- 
selben Seiten (S. 93), so folgt durch Kombination mit (3) zur Reduktion 
des geodätischen Dreiecks auf ein ebenes: 

F* 
3ao* 



A- A* 

*"««^- in Sek. 



in Sek. 



3 

in Sek. 



■'^(w^+%-- + <'M 



w 



in Sek. 

in Sek. • «0 \ ö«o / 

In diesen Formeln durften die Restglieder mit in die Parenthesen 
genommen werden, da sie gleichzeitig mit F^ verschwinden (vergl.S. 357). 

§ 5. Die von e- abhängigen Glieder 5. Ordnung. Um den 

Einflufs derjenigen Glieder in vorstehenden Formeln zu untersuchen, 
welche den Fehler charakterisieren, der bei Behandlung des geodätischen 
Dreiecks als eines sphärischen ohne weitere Korrektion entsteht, be- 
trachten wir den Ausdruck 



%"Gi^ 



12 



Ä-,], 



(1) 



welcher sich auf Winkel A bezieht. Hierin setzen wir nach S. 349 (4) 
und S. 355 (10): 



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360 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

K—K, = ^^ sin 2^1 (6 cos %t + c cos X) -] (2) 

und ferner nach S. 94 (2), wenn 3m* = a* + 6* + c* genommen wird: 

F*« = i (6a*m« - 3a* - (6» - c^«). (3) 

Dadurch ergiebi sich anstatt (1) der hier als gleichwertig zu be- 
trachtende Ausdruck: 

^- ^^ sin 2/3i Q> cos 31* + c cos 3lc) }/3a* (2m^ - a*) — (6'^ ^^)\ (4j 

Nehmen wir nun die Ecke A fest an^ dagegen Richtung und Länge 
der Seiten veränderlich mit der Mafsgabe, dafs m^ konstant bleibt, 
so wird (4) ein Maximum ; sobald 

(6 cos %t + c cos X) 1/3^(2"^ — ä*)"^"(6"2—7-«/ (5) 

ein Maximum ist mit Rücksicht auf die Bedingungen: 
3m* = a« + 6« + c* 



J2 + c* — 26c cos {%, - X) + ao* • Gl^, \ ^^^ 

Diese Ausdrücke sind symmetrisch zu h cos 3l6 und c cos 3tc, 6 sin 31^ 
und + c sin 3tc. Es wird daher mit Ausschlufs des Falles 'Jkb = ^ 
fürs Maximum: 

b = c 316 = 360^— 3lc, (7) 

^ mit welchen Werten (4) in nachstehenden Ausdruck 
übergeht: 

9" 1^ sin 2 A . b cos 3(6 1/3 a* (2 m* — a*). (8) 

Nun ist aber abgesehen vom Vorzeichen b cos Jif, gleich 
j» der Höhe Ä« des Dreiecks, Fig. 31 (dieses als eben 

betrachtet), womit man erhält 6* = c^ = — a^ -[- ä«; 
es ist also auch 3m^ = 2Äa^ + — a\ 

Hieraus folgt 2 t»* — *** ^^ "3 ^* ^^^ ®^ 8®^* (^) ^^^^ ^"* 

+ p"{^,8m2^,.aĄ^ (9) 

Der veränderliche Faktor aha d. i. - (2m^a — a^) wird ein Maxi- 




mum für 

a = »»I/3-; Aa = ^'*; A = 44® ca. mit*) 

Ji, = 22« und 2lc = 338« oder X = 202« und X = 158«. 



(10) 



*) In Fig. 31 ist fürs Maximum die Basiu CB etwas zu breit augenommeo. 



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§ 5. Die von e* abhängigen Glieder 5. Ordnung. 361 

Es ist somit im Maximum das in Rede stehende Glied d. h. A^— A gleich 

±,-4S|/A™2ft (-;-)•, („) 

was für m = 0,lao und ^^ = 45® den nachstehenden geringen Betrag 
ergiebt: 

+ 0,062". (12) 

Dieser Betrag reduziert sich für mefsbare Dreiecke stets noch be- 
trächtlich; denn er ist 

+ 0,008" für m == 0,05a.o d. i. 319 *"»! 
+ 0,0005" für m = 0,02ao d.i. 127 *^J 

Selbst wenn in einzelnen Fällen der letztere Betrag überschritten 
werden sollte, so wird mit Rücksicht auf die verminderte Genauigkeit 
der Beobachtung auf sehr grofse Entfernungen es doch zulässig sein, 
direkt beobachtete geodätische Dreiecke une sphärische zu behandeln, wenn 
dabei der Krümmungsradius dem mittleren Erümmungsmafs der drei 
Ecken entsprechend angenommen wird. Vergleicht man (12) u. (13) 
mit S. 96 (8), so zeigt sich, dafs in den Formeln (6) S. 359 etwa 
gleich grofse Maximalfehler für Ä — Ä* durch Vernachlässigung der 
in m^ — a* und Kj^ — K multiplizierten Glieder entstehen, und ent- 
sprechend für B — B* und C — (7* Mit anderen Worten: 

Nimmt man bei Verteilung des Excesses auf die 3 Winkel Rück- 
sicht auf die Ungleichheit der Seiten, so mufs man auch auf die Un- 
gleichheit der Krümmungsmafse Rücksicht nehmen. 

Solange man ein Dreieck demnach als ein sphärisclies betrachtet, 
ist es einfach nur konsequent, den Excefs gleichmäfsig zu verteilen, 
was nicht ausschliefst, dafs zur Berechnung von e die unter (6) S. 359 
gegebene Formel mit Gliedern 4. Ordnung zur Anwendung gelangt. 
Für beobachtete Dreiecke dürfte es aber in der Regel überflüssig sein, 
diese letzteren herbeizuziehen [vergl. S. 95 (5)J. 

Berechnet tnan nun den Excefs einfach naeh der Formel: 

und verteilt ihn gleichmäfsig auf die 3 Winkel, so kann noch die 
Frage entstehen, ob in einer Kette von Dreiecken eine ungünstige 
Anhäufung der hiermit begangenen Fehler möglich ist. Bei der geringen 
Grofse dieser Fehler für beobachtete Dreiecke im einzelnen ist dies 
aber weder für die Seitenlängen noch für die Azimute zu befürchten. 
Untersucht man insbesondere den Einflufs der begangenen Fehler bei 



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362 



8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 



AnwenduDg des Sinussatzes^ so zeigt sieb, dafs dieselben nur in der 
9. Decimale der Logaritbmen der Seiten beim einzelnen woblgeformten 
Dreieck sieb äufsern und dafs selbst bei 20 bis 30 zusammenhängenden 
Dreiecken die 7. Decimale stets unberubrt bleibt. 

§ 6. Excefs des geodätischen Dreiecks aus 2 Seiten und dem 
Zwischen Winkel. Erinnern wir uns zunächst der Formel fürs sphärische 
Dreieck, so ist nach S. 98, wenn A! der Zwischenwinkel, 6 und c die 
Seiten sind: 



£ = 



h c sin ^' 
2««~ 



^(i+*4"^-'-^+«^> 



Diese Formel gilt aber auch fürs geodätische Dreieck, weil bis auf 
Glieder 6. Ordnung es mit dem sphärischen gleichen Excefs hat. Nur 
ist zu setzen: 

wobei man F* gleich - bc sin A nehmen darf. Führen wir dies oben 
ein, so folgt: 

bc sin^ i^ ( 1 I 4«'— 3m' ^ K^ — K bc C0Si4 



2a„ 



24 



+ GI,]- 



Man %ieht hier sogleich, dafs rechter Hand das von bc cos Ä ab- 
hängende Glied weggelassen werden kann, weil es eine Ordnung hoher 
ist, als die vernachlässigten Glieder 4. Ordnung. Mit Rücksicht auf 
S. 98 hat man nun sofort: 



ft« 



oft 



, V '£0C COS Jl . .^j 



(0 



log £ = log" -,;—K+M[—--,- K+GU 

in Sek. ^"o \ £^Uq j 

Kürzt man diese Formeln auf ihre 1, Glieder ab, so sind die 
Fehler für die Winkelreduktionen ebenso grofs wie im entsprechenden 
Falle des vorigen Paragraphen; für log e ist, wie schon S. 99 gezeigt, 
der Fehler sogar, wenn auch unwesentlich, kleiner. Diese einfache 
Rechnung wird daher für direkt beobachtete Dreiecke in der Regel 
zulässig erscheinen. 



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% 7. Flächeninhalt des geodätischen Dreiecks. 363 

§ 7. FUcheninhalt des geodätischen Dreiecks. Um den Inhalt 
zu finden, bestimmen wir zunächst, Fig. 29 S. 348, den Inhalt des 
Streifens BCC\ Ist P ein Punkt zwischen B und C, der bei der 
Drehung von BP die Lage P' erhält, sind femer Q und Q' zwei un- 
endlich benachbarte Punkte und wird aufserdem gesetzt: 

BP^BP'=r PQ = P'Q'=dr, 

so ist der Inhalt des unendlich kleinen Rechtecks PQP'Q'=VllirdiBadrf 
mithin Dreieck BCC oder 



a 

— dF =^ dßaj mrdr. 



Nun ist aber mit Rücksicht auf S. 349 (5), wenn wie dort vorläufig 
aj, = 1 genommen wird: 






Die leicht auszuführende Integration giebt hieraus nach einiger Re- 
duktion: 

2 sin« I*-^ yx'] . 

dF= ^- ~ (l - l E,a^ cos Äa + Gl^diia . (1) 

Um nun nochmals integrieren zu können, führen wir h als unab- 
hängige Variable ein und setzen nach Fig. 29 S. 348: 

marfÄa = — dh sin C, 

ferner nach S. 352 (17): 

3inC = sin^^i^f^Ä]^l + .3 E^{a^—<?){a(io^iia + c(to^^c) + {E^h^co^%t+Gl^ 

und nach S. 349 (5) wie oben für IHr: 

nt, = ^^^MJQ ^ _ ^3 eos «, + GlX 

Durch Einführung dieser Ausdrücke in (1) wird nach einiger Re- 
duktion erhalten: 



,_ , 1 + v J?2(a«-c*)(acosÄa + ccosÄ,) 



(2) 



2co8«[|yir.] ^^^ | + |^Xcos«a + |i;,6'cos3l.+ G?e 

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364 



8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 



Aus dieser Formel folgt sofort auch die nachstehende für das 
Differential des Flächeninhalts F^ eines sphärischen Dreiecks mit den 
Seiten 6 und c und dem Zwischenwinkel A, wenn als Kugelradius 
1 : yiC^ genommen wird: 

TTPf sin [cj/X^l sin J. dj 
aJc2 ^ 'r~—, ^ — ;= — • 



(3) 



Die Seite a ist hierzu sphärisch aus b, c und Ä nach der Formel zu 
berechnen: 

cos [a yZg] = cos [bVK]] cos [c)/^] + sin [6)/^j si» [^V^aJ cos ^, 

Andrerseits ist nach S. 355 u. 356 offenbar: 

co8[aV'^]=co»[6l/Ä2]cos[c|/Z;] +8in[6|/Ä;]sin[c>^Z;] co9Ä + Gl^. 

Es weichen daher cos [a YK^] und cos [a V^] nur um Glieder 7, Ord- 
nung von einander ab^ und man hat mit BClcksicht auf die Gleichung 

2 cos' „- = 1 + cos u: 

2 cos« [-J V%] = 2 cos* [ \ ^K^ + Gl,='2 cos» [-f- VK,] (1 + Gl,). 
Es ist nun mit Rücksicht aufs Torige: 

(4) 



^r, — »»t^'L ?^.^* (1 + Gl,). 



2cob.[|>/ä;] v^. 



Hieraus folgt unter Einführung einiger zulässiger Vereinfachungen in 
Verbindung mit (2): 



dF = dFi + 



r3 



— (a* — c^) (a cos Ä« + c cos Üc) 
+ ^ a* cos Äa + ^ h^ cos 3lö 



E^+Gl, 



c sin Adb 



(5) 



Die abhängigen Veränderlichen a und Ä«, welche noch rechter 
Hand in den kleinen Gliedern vorkommen, eliminieren wir mittelst der 
bekannten Relationen (11) und (12) S. 350 u. 351, womit die eckige 
Parenthese den nachstehenden Wert erhält: 

nach dessen Einführung sich (5) sofort integrieren läfst Berück- 
sichtigt man, dafs für 6 = das allgemeine Integral verschwindet 



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§ 7. Flächeninhalt des geodätischen Dreiecks. 



365 



und F sowie 1% null sind, so gelangt man ohne Schwierigkeit zu 
der Gleichung: 



F=n->r 



r 46*+ 3c'— 96c cos ji , m ~^ 

TT. 6 cos 316 



10 



, 76«+ 6c*— 216CC08 A ^ 

H ^ -^ CCOSÄc^ 



^.+eu'"T-^-(6) 



Hierbei ist JF^ = «p^ jj^jj. ^ ^^\, VK^ zu setzen d. i. nach S. 98 (3): 
r. , 4a»— 3w» , 14a*- 15a«m«+3n* xj^j^ 



ic sin A 



24 



720 



(7) 



in welcher Formel anstatt a eigentlich d anzuwenden ist, was in- 
dessen nach dem oben über den unterschied der zugehörigen Cosinus 
Gesagten nichts Merkliches ausmacht. 

Setzen wir in F% für K,^ das mittlere Erümmungsmafs Ky so wird 
der Inhalt F eines sphärischen Dreiecks mit den Stücken h^CjA auf 
der Kugel vom Radius 1 : Y^ erhalten. — Man sieht, dafs 

n = r+ {hc sin A (— "^'[ÜT, -K] + Ol), 

worin man wegen 

a«= 62^ c*— 26c cos A + Gl^ 

4a« - Sm« = 26« + 2c« — 66c cos A + Gl^ 



auch 



setzen kann. Hiermit ergiebt sich nun, wenn man in (6) rechter 
Hand noch nach S. 276 (5) von den Relationen 

E,c cos «. = ^L^ + Gl, = -t^' -- g]-[^.--g] + Gl, 

^,6 cos a» - ^1^ + ÖZ, = f^' :i^ f^i^ + öi, 

Gebrauch macht, nach einfacher Reduktion als Inhalt F des geo- 
daY?5cÄen Dreiecks (öTo nicht mehr als Einheit der Längen vorausgesetzt): 



F^r 



^ , 35* + 3c* — 126cco8u4rir T^ , 36*+4c' — 96cco8^rr^ r^il 
IH ^i2oä,* L^i— A]+ ,^^^-7 LAg— Aj I 



120aJ 



. 46* + 3c*— 96c cos ^ r^ ^^ . ^, 



(8) 



120 a 



mit Bezug auf den Inhalt F' des sphärischen Dreiecks, das mit jenem 



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366 



8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreieckanetze. 



die Stücke 6, c und A gemein hat und auf der Kugel vom Radius 
% : YK liegt. Für F' h«t man: 



f4a« — 3m« 



log JP'= logf Y hc%mÄ\ -{-M 



24 a, 



Im^ ^ , 32a*— 46m*+24n* ^g 
• ^"T 576ÖV 



' 72ao* • ^ 



,(9) 



wobei nach S. 98 zu berechnen ist: 



«0* <^i 






26cco8-4 6*c*sin*-l -, ^, 



fl^ = » 



3ao 
o 



(10) 



Die Formel (8) läfst sich dadurch noch vereinfachen, dafs man 
in der Parenthese null in der Form hinzufügt: 

Dann wird anstatt (8) erhalten: 

§ 8. Fortsetzung. Geodätisches und sphärisches Dreieck 
mit denselben Seiten. Um nun endlich noch den Inhalt F des 
geodätischen Dreiecks mit dem Inhalt F^ eines sphärischen Drei- 
ecks von denselben Seiten zu vergleichen ^ beachten wir, dafs im 
sphärischen Dreieck mit den Seiten a, h und c auf der Kugel mit 
dem Radius 1 : |/]f der Winkel A\ welcher a gegenüberliegt, nach 
(3) S. 358 gegeben ist durch die Gleichung: 



wenn wir vorläufig a^ wieder gleich 1 setzen. Nnn ist aber 

, , 4a»— 3««» „ , 14««— 15a»m»+8n< p™^ 
1 H ST A -i ^^ Ä 



i?"=A6csin^' 



und hierzu nach (12): 



720 



(12) 



(13) 



sin A^ = sin J. 4« — F* cos A + Gl^, 



12 



Setzt man in letzterer Formel F*= -- bc sin A + Gl^, so wird ohne 
Schwierigkeit aus (9) und (13) erhalten: 



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§ 8. ForUeizaiQg. Geodätisches n. sphär. Dreieck m. denselben Seiten. 367 
r = -F' (l + -^'-27- hc cos A + Gl) . (14) 

Die Einführung dieses Ausdrucks für jP' in (11) giebt nun sofort: 



F=F' 



^ , hc cos Ä^^ ^., , c^ + Sbc cos Ä rj^ j^^ 

, 6* + 36ccoa^ j.^ JTl _l_ A^7 



welche Formel dadurch eleganter wird, dafs man in der Parenthese 
null in der Gestalt addiert: 



b«4- c» + iifeccos Ä 
360 



([K, - JT] + [K, -K] + [K, - K]) 



Eliminiert man dann noch bc cos Ä mittelst der Relation a^ 
= 6* + ^ — 26c cos -4 + Gl^ und führt m* ein, so wird endlich er- 
halten (uq nicht mehr als Einheit der Längen vorausgesetzt): 

Hierin sind jP und F^ die Inhalte des geodätischen und sphärischen 
Dreiecks mit denselben Seiten a, h, c\ der Eugelradius ist dem 
arithmetischen Mittel der 3 Eck-Erümmungsmafse entsprechend gleich 

ÖQ : "j/-^ angenommen.*) 

Zur Berechnung von F^ hat man nach S. 93 (2), insofern 
F' = BQ^ für Q^ = %^ : K ist, die Formel: 

log r = log F* + M ({^, K + «^-;-+-^r- Z^ + G/,) , (16) 

wozu -F* in bekannter Weise als Inhalt des ebenen Dreiecks aus den 
3 Seiten a, h und c zu berechnen ist. 

Für Dreiecksseiten von mehr als Oßa^ Länge wird man es vor- 
ziehen, F^ aus dem strengen Wert des sphärischen Excesses ab- 
zuleiten, der nach S. 87 (8) zu berechnen ist; ebenso F' aus Formel (3) 
S. 84. 

Dadurch wird dem Mifsstaud begegnet, dafs die Glieder 8. Ord- 



*) Diese Formel stimmt uberein mit einer von Hansen in seinen Geodätischen 
UtUersuckungen S. 191 oben angegebenen, wenn man die Kriimmungsmafse ein- ^ 
fährt, sowie den Unterschied berücksichtigt, der zwischen JP'und dem Hansewschen 
Kageldreieck J^" stattfindet, welches auf einer Kugel vom Radius a^ liegt. Dieper 
Unter&chied ist mittelst unserer Formel (16) leicht abzuleiten. 



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368 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

nuDg; welche von m^ u. s. f. herrühren, nicht gegen die numerisch 
kleineren Glieder vernachlässigt werden, die von AT, — K n. s. f. er- 
zeugt werden. 

In Bezug auf die Gültigkeit obiger Entwicklungen, deren Zu- 
lässigkeit im einzelnen der Kürze halber nicht überall betont ist, 
bleibt kein Zweifel für mäfsig grofse Werte der Seitenlängen. Der 
Einflufs der in den Parenthesen von (11) und (15) auftretenden 
Glieder 5. Ordnung, die in erster Annäherung den Unterschied zwi- 
schen genauer und sphärischer Inhaltsberechnung angeben, beträgt 
für m = 0,la5 kaum eine Einheit der 7. Decimalstelle des logJP. 

Der Inhalt geodätiscJier Dreiecke darf dalier in der Hegel aus be- 
liebigen Stücken rein sphärisch berechnet werden, wenn nur der Kugel- 
radius nach dem mittleren Krümmungsmafs gewählt wird, 

§ 9. Die Theorie der geodätischen Dreiecke auf beliebig 
krummen Oberflächen ist das Hauptziel von Gaufs' Abhandlung: 
Disquisitiones generales circa superficies curvas. Gottingae 1828.*) 
Wenn wir die Formeln S. 358 u. 359 zur Reduktion des geodätischen 
Dreiecks auf ein sphärisches oder ebenes mit denselben Seiten nur für 
das Rotationsellipsoid nachgewiesen haben, so zeigt Gaufs die All- 
gemeingültigkeit dieser Formeln (abgesehen von unwesentlichen unter- 
schieden der Darstellung) für jede Fläche. 

Gaufs knüpft nicht an das schiefwinklige Dreieck an, sondern 
er zerlegt es in 2 rechtwinklige Dreiecke und stellt Differential- 
formeln für ein rechtwinkliges Dreieck auf, dessen beide Katheten 
veränderlich angenommen werden, dergestalt, dafs sie beide ein System 
rechtwinkliger geodätischer Koordinaten bilden. Auf Formelentwick- 
lungen dieser Art und die Entwicklung einer Hilfsvariablen It, die an 
Stelle unseres Ul tritt, kommen wir im nächsten Kapitel bei der Be- 
handlung des Problems rechtwinkliger geodätischer Koordinaten. 

Würde man die Gaufsische Methode der Zurückführung des 
Problems auf die Integration einer partiellen Differentialgleichung mit 
2 unabhängigen Variablen im Anschlufs an unsere Entwicklungen 
beim schiefwinkligen Dreieck anwenden wollen, so hätte man zu bilden 
nach Fig. 29 S. 348: 

j|. = cosC (1) 

als partiellen Differentialquotienteu von a nach 6 bei konstantem 
A und Jlft. Ferner nach Fig. 30 S. 353: 



*) Vergl. auch in Gaufs' Werken Bd. 4, S. 341 u. fF. die von Gaufs selbst ver- 
fafste Anzeige dieser Abhandlung, mit einer übersichtlichen Inhaltserklämng. 



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§ 9. Die Theorie der geodätischen Dreiecke. 369 

als partiellen Differentialquotienten von a nach ^^ bei konstantem h. 
Beide Gleichungen geben zusammen durch Elimination der Variablen 
C mittelst der Relation cos* C + sin* C = 1 die Gleichung 

oder, da ^(a*) «= 2ada ist, wie man leicht findet: 

Behufs Integration wäre hier a* als Funktion von 6 und ^6; und 
zwar versuchsweise als Reihe nach Potenzen von h und nach Cosinus 
und Sinus der Vielfachen von %b einzuführen, und es würden nach 
der Methode der unbestimmten Eoefficienten die Koefficienten dieser 
Reihe zu bestimmen sein. Die Formel für a* ersetzt dann in der 
weiteren Rechnung den Cosinussatz und gestattet cos A und cos A* 
zu vergleichen. 

Für ein ebenes Dreieck ergiebt sich nun bekanntlich 

a* = 6* + c* — 26c cos -4 = 6* -f- c* — 2hc (cos %t cos %c + sin %b sin ^Jlc) 

und man erkennt, dafs im allgemeinen a* ein langgestreckter Aus- 
druck wird, dafs also jedenfalls eine ziemlich umfängliche Rechnung 
entsteht, die obendrein über die Konvergenz der Resultate keinen 
Aufschlufs giebt — wenigstens ist nur für unendlich kleine Dreiecke 
dieselbe ohne weiteres klar. 

Bei Gaufs* Methode wird die Rechnung dadurch bequemer, dafs 
das variable Azimut wegföllt, und man es nur mit 2 veränderlichen 
Katheten, also nur mit einfachen Potenzreihen zu thun hat. 

Die Rechnung läfst sich aber auch dadurch vereinfachen, dafs 
man wie in Fig. 29 nur h als unabhängige Variable einführt^ 
Winkel .JL aber gleich 90^ setzt. Dieses sehr empfehlenswerte Ver- 
fahren erfordert die Integration eines Systems von 3 gewöhnlichen 
Differentialgleichungen, welche auch nach der Methode der unbestimm- 
ten Koefficienten geschehen kann. Hansen hat es angewandt und 
wir werden es im nächsten Paragraphen ausführlicher skizzieren. 

Die von uns eingeschlagene Methode der successiven Annäherung 
dürfte vielleicht, obgleich sie keineswegs der Gat//^ischen Methode an 
die Seite gestellt werden soll, manchem Leser nicht unwillkommen 
sein, da die Entwicklungen verhältnismäfsig einfach werden und 
das Gültigkeitsgebiet der Vernachlässigungen vielleicht etwas besser 
als bei den Methoden von Gaufs und Hansen zu überblicken ist. 

Helmert, mfttbem. a. physikaL Theorieen der höh. GeodAsie. 24 



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370 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

Man kann auf diesem Wege die Genauigkeit der Reihenentwick- 
lungen auch noch weiter treiben. Für Ul wäre dabei am zweck- 
mäfsigsten der Ausdruck (11) S. 278 anzuwenden, welcher 2 Ord- 
nungen genauer ist, als der früher benutzte. Nur eine Ordnung 
weiter zu gehen würde wenig Erfolg bieten, weil für Entfernungen 
> 0,1 a^, um welche es sich handeln würde, die Konvergenz der Reihe 
für K nur gering ist. 

Wir übergehen diese Entwicklung, da geodätische Dreiecke von 
mehr als 0,1 a^ Durchschnittsseitenlänge immer vermieden werden 
können und jedenfalls der Komplikation der Rechnung halber auch 
werden vermieden werden. Es sind jedoch diese Formeln nach 
Weingarten und Hans^ weiterhin mitgeteilt. 

Gaufs ging in seinen Formelentwicklungen nur eine Ordnung 
weiter, was jedoch, wie eben gezeigt wurde und wie auch Hansen in 
seinen Geodätischen Untersuchungen durch Betrachtung der Endformeln 
genau erörtert hat, wenig Gewinn bietet. 

Hier ist zunächst noch der Abhandlung von Christoffel: All- 
genieine Theorie der geodätischen Dreiecke, Berlin 1868 (Abh. der Kön. ' 
Akad. der Wiss.), als derjenigen Arbeit zu gedenken, welche die 
Theorie des schiefvnnkligen geodätischen Dreiecks in direkter Weise 
behandelt. Wie Gaxifs begründet Christoffel die Theorie der geodäti- 
schen Linie mittelst der Variationsrechnung. Er beweist damit 
namentlich zuerst, dafs bei einer Drehung die Kürzeste immer normal 
zur Bahn des bewegten Endpunktes steht und dafs für geodätische 
Pölarkoordinaten die Formel (5) S. 348 besteht. 

Nun werden die Differentialformeln im Dreieck aufgestellt, deren 
Integrabilitätsbedingungen (vergl. S. 74 die Entwicklung der For- 
mel (10)) alsdann unter andern zu den fundamentalen Eigenschaften 
der reduzierten Länge führen: Gleichheit für Drehung um beide End- 
punkte, sowie Erfüllung der Differentialgleichung (6) S. 275. 

Eine Integration der Differentialformeln wird nicht ausgejRihrt, da- 
gegen werden weitere Folgerungen im Gebiete der Klassifikation der 
Flächen gezogen. 

§ 10. Höhere Glieder in den Formeln zur Berechnung 
geodätischer Dreiecke. Am unmittelbarsten an Gaufs* Entwicklungen 
schliefsen sich diejenigen von Weingarten an (Astronom. Nachr. 1869 
Bd. 73 Nr. 1733 S. 65 und 1870 Bd. 75 Nr. 1782 S. 91; auch im 
2. Heft der Schrift: Wissenschaftliche Begründung der Bechnungs- 
methoden des Zentralbureaus der Europäischen Gradmessung), Er 
findet: 



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§ 10. Höhere Glieder in den Formeln zur Berechnung geodät. Dreiecke. 371 
JS:+ [(sinft - 8inft)»+(3mft - Binft)» + (sinft-sinA)*] f 



„F 



(1) 



Hierzu ist die Fläche F des geodätischen Dreiecks nach § 7 (8) 
bis (11) S. 365 oder (15) und (16) S. 367 zu berechnen, event. unter 
teilweiser Benutzung der Formeln (8) 8. 87 und (3) S. 84 für den 
sphärischen Teil der Rechnung. 

Nach Weingartens Entwicklungen findet man femer zur Reduk- 
tion auf das ebene Dreieck (unter Ergänzung des Tf^ein^ar^schen 
Äusdracks um das von n* und ni*' abhängende Glied, vergl. S. 93): 






"2(sin/Ji — sin/S,)* + 2(8iu/S3 — sin/Sj)*' 
+ (sinft — sinft)* 



+ 



r 



so 



-10a»+845'+84e« _,_», . a' +66'+26c' _.._,^ n 



«.' 



-8in»^x+ 



«.' 



Bin«/Jg 



! '. Olli* 



«.' 



sin'/S, 



.(2) 



720 



+ GZo 



Zieht man hiervon y beiderseits ab, rechter Hand nach Mafs- 
gabe der obigen Formel, so ergiebt sich: 






in 8«k. 



12 



802400. 



+ 



"(sin^^ — sin/Sg)^ + (sin/Sg — sin/Si) 



— 2(sin/32 ■— sin 
sin*/Si 



a/33-sin/S,)n^ 



Um" — 8g*_, 2 



+ ^^^^^f^(8m«ft + Bin»ft) 






840 



.(3) 



Aus diesem Ausdrucke folgen diejenigen fttr B — B* und C—C* 
durch cyklische Vertauschung der auf die 3 Ecken bezüglichen Symbole. 

Man darf in diesen Formeln anstatt der reduzierten Breiten ß 
auch die geographischen Breiten B anwenden. 

Hansen ging 1865 in seinen Geodätischen Untersuchungen, wie 
bereits erwähnt, nicht von der Gaufsischen partiellen Diflferential- 

24* 



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372 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

gleichung mit 2 unabhängigen Variablen (den beiden Katheten des 
rechtwinkligen Dreiecks) aus, sondern verfuhr in folgender Weise, 
wenn wir an Fig. 29 S. 348 anknüpfen (vergl. bei Hansen a. a-. 0. 
S. 137, 153 und 155 u. ff.; daselbst ist mit 6, % ^ bezeichnet, was 
hier a, JB, C heifst). 
Es ist: 

da = db cos C 
VHndB = db sin C 



da 



(4) 



Dieses System wird mit Hilfe der Identitäten d{a sin C) = sin Cda 
+ a cos CdC und d{a cos C) = cos Cda — a sin CdC übergeführt in 
das neue und vorteilhaftere: 



d{a sin C) / ^ttlaX dB ^ 



db 



d{B + C) /. _ dma\ dB 

db °^ r da) db ' 



(5) 



Wie wir sogleich sehen werden, kommt es nun darauf an, a sin B 
und a cos B kennen zu lernen (auf welche Unbekannte hin zu gleichem 
Zwecke auch Gaufs operiert). Hansen setzt daher für a sin JB, a cos B 
und JB + (7 Reihen mit unbestimmten Koefficienten, geordnet nach 
Potenzen von b, und geht dann mittelst der dritten der Reihen von 
den ersten beiden Ausdrücken zu a sin C und a cos C über, wobei 
die Rechnung am einfachsten wird, wenn Winkel Ä gleich 90^, also 
in 1. Annäherung B + C = 90^ ist. 

Aus a sin C und a cos C folgen andere Funktionen von a und C, 

die in nt« und -g — vorkommen. Werden nun alle diese Ausdrücke 

in obiges System eingesetzt, so müssen die Gleichungen identisch 
erfüllt sein d. h. die Koefficienten der verschiedenen Potenzen von b 
müssen einzeln verschwinden. Aus diesen Bedingungen folgen end- 
lich die unbekannten Koefficienten in den atigenommenen Ausdrücken 
für a sin B, a cos JB und JB + C. (Bei Hansen a. a. 0. S. 159.) 

Wendet man sie an auf 2 rechtwinklige Dreiecke ÄBC^ und 
ABG^, die Ä und B gemeinsam haben, so folgt für das schiefwinklige 
Dreieck BC^C^ leicht a^a^ cos (JB^ — B^ aus a^ cos B^ . a^ cos B^ 
+ «1 sin JBx . a, sin B^ , in Potenzen von a^ , a^ und 6^ — 6^; ^' t. man 
erhält cos (jB^ — JB2), den Cosinus eines Winkels des schiefwinkligen 
Dreiecks, durch die 3 Seiten dargestellt und kann ihn direkt mit 



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§ 10. Höhere Qlieder in den Formeln zur Berechnung geodät. Dreiecke. 373 

dem Cosinus des entsprechenden Winkels im ebenen Dreieck ver- 
gleichen/ 

Nach S. 188 und 189 a. a. 0. findet Hansen: 



in Sek. "o 



1 + (co8 2/Si + COS 2/3js + COS 2/Jj) 



«'+i** 



+ 



+ (cos* 2 ft + cos» 2/Sj, + cos* 2/J, — 1) ~ 
-^-i— ^^ cos 2ft H -^- , cos 2^, 



7a»-36'+c' 



cos 2/3, 



(6) 



360 



r3m' . 2^ o &^co8»3C*+ c'co8»;3(c — 6cco8;3(«co85lc 9/,1e* 
- Lv^ "°- ^1 - 2 — „.i C08*^J g- 

+ [- ^^-5 & cos3l6 H ^äP^ — c cos;3lcJ 45- sm 2/3» + Gl^ 

(2 cos 2/Ji + cos 2 ft + cos 2/Js) --„±^ 
+ (2co8* 2/Ji + cos»2ft + cos* 2^3 - 1) -;^- 



+ 



in Sek. ^*( 



— 58a* + 546»+ 54c« «^ ' 

cos2/3i 



«0* 
lla« + 236» + 31c' 



COS 2ß^ 



4320 



, IIa« + 316« + 23c« ,,^ 

+ a,'^ C08 2/33_ 

a« + 26«+2c« . 2Z, 
36« cos« 3tft + 3c« cos* 3tc — 26c cos ^Iacos Tic 



+ 



' o« + ll6* — 2c* , ^ 
——-i COS Ab 

a« — 26« + 11c« ^ 

i —3 c cos Ac 



135 



cos* /3i 



sin2/3, + Ö/6 



30 



a) 



+ /. 
(> 



F 



W — a' 






20 (n* - a*) — 3 w« (m« - a«) 



3 » 60 a^, 

•-a« + 2 6« + 2c« 



30240 «0« 



„^ , 2a* + 6« + 2c« rt^- 

, cos 2/3, H ^,^ -cos 2/3, 

2a« + 26« + c« ^^ 

H -rr-^- COS 2/^3 



360 



Hansen giebt nur den ersten Teil des Ausdrucks für A — Ä^ 



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374 8- Kapitel. Das geodätbche Dreieck; Dreiecksnetze. 

als Reduktion von A Auf den Winkel eines sphärischen Dreiecks mit 
gleichen Seiten auf einer Eugel vom Radius a^. Wir fügten dazu 
die Reduktion aufs ebene Dreieck mit Benutzung von S. 93 (4), 
worin £ durch JF" : a^ zu ersetzen war, wenn jF" der Inhalt des 
sphärischen Dreiecks ist, dessen Beziehung zu F Hansen a. a. 0. 
S. 191 angiebt (vergl. die Anm. zu S. 367). 

Die Formeln für B — B* und C — C* findet man aus der obi- 
gen für -4 — Ä* durch Vertauschung der Ecken; aufserdem gieht Hansen 
noch Ausdrücke, um für alle 3 Reduktionen dieselben 2 Azimute an- 
wenden zu können. 

Wir wandeln die obigen beiden Formeln noch etwas um. Nach 
S. 59 hat man leicht: 

K, = l + {e' + \(^) cos 2/3, + | d" (3cos«2^, - 1) + Gl, (8) 

und entsprechend für K^ und K^. Hiermit findet man sofort als 
Wert der 1. Zeile in b den Betrag JBT, d. i. das arithmetische Mittel 
von Kl, JTg und JSTj. 

Femer hat man hiermit: 

K^-- K^^^ (cos 2ft — cos 2/Si) -f Gl^, 
was aber nach S. 355 (9) auch gleich dem nachstehenden Betrag ist: 

K^ — Ki = 2c* sin 2/3i — cos X + Gl^ . 
Durch Gleichsetzung beider Werte ergiebt sich: 

e^ (cos 2/Sj — cos 2/30 «== 2e* sin 2/3, — cos %c + Gl^ . (9) 

Ebenso ist: 

(? (cos 2/33 - cos 2/Si) = 2e« sin 2/3, — cos %t + Gl^ . (10) 

Mit Hilfe beider Formeln läfst sich die 2. Zeile im obigen Aus- 
druck für B auf die Form der letzten Zeile daselbst bringen und 
man erhält: 



in Sek, 



( j^ rSm* . o^ gv 6*008*3(6-1- C*C08*:3l<)— 5c COS^ld 008 3U 2ijl«*^ 

^^^.K~LV''''''^~^ < C08^,J- 

' ( +L a,^ hcoBX-] ^7- — ccos;2lcJ 12 sm 2/3, + Gle. 

In derselben Weise findet sich ohne Schwierigkeit: 

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(iij 



§ 11. Forbsetzung. Vergleichung der höheren Glieder n. 8. 



375 



^-A*=9"^A 



in Sek. 



SK + K, , m^^a^ 



12 



f=W;=:f(H-2^) + 



20(n*- g^) — 3m»(m» - a«) ^ 



60ao 



30240 a. 



8m" — 3a' _. g 



sin^/Si 



36*co8';3(6 + 3c*co8'3(c — 26cco8;3C6 cos!3ic 
L ö^^ 

r- a« + 6l6» — 7c' 



C0S^/3j 



30 



+ 



6 cos ^6 



g' — 7 6' + 61c» 
«0* 



C COS ^c 



4:sm2Ä + G/e 



720 



(12) 



Führt man hier noch — ein mit Hilfe des vorhergehenden Aus- 
drucks (11) für e, so wird schlief slich erhalten: 



A-Ä*^{- + ,"^, 



in Sek. 



in Sek. 



20 (n* — g*) — 3m»(m» — g») 



30240ay" 



b^coB^7ib+ c^ cos^ Sic — ^hccoaTibCOB Tic « 90 



r — 19 



+ 



g» + 6« + 13c" ^ 

— ^, ^ 6 COS^lft 



— 19g«+136» + c» 



CCOS^lc 



48in2A + G;«. 



720 



(13) 



In diesen Formeln (11) und (13) darf man ebenfalls die geo- 
graphischen Breiten B anstatt der reduzierten Breiten ß anwenden. 

§ 11. Fortsetzung. Vergleichung der höheren Glieder nach 
Hansen und Weingarten. Um die im Vorhergehenden nach beiden 
Autoren angesetzten Formeln zu vergleichen, setzen wir im Anschlufs 
an Fig. 19 S. 225 mittelst des sphärischen Hilfsdreiecks, welches 
der geodätischen Linie AB = c zugeordnet ist: 

sin /Jg = sin ß^ cos z/9) — cos ß^ sin z/qp cos 3lc . 

Da nach S. 223 (9) aber z/9 gleich — + Gl^ ist, hat man hieraus 
sofort: 



C /w c 

sin ß2 = sin ß^ — cos Ac cos ß^ — -r — ^ sin ßi + Gl 



2«. 



(1) 



Entsprechend ist: 
sin ^3 = si 
und durch Subtraktion beider Gleichungen 



sin /Sg = sin ß^ — -^ - cos 31* cos ß^ — -^—^ sin ß^ + Gl^ (2) 



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376 



8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 



sin /Jg — sin ß^ = 






COS 3l6 COS 

'*o 



3lc) cos /S^ 



(3) 



sowie 



Hieraus folgt nun ohne Schwierigkeit weiter: 

[(sin ß^ - sin ß,)* + (sin ß, - sin /S,)« + (sin /3, - sin ß>f\ '-^ 

fc*co8'3t» -)- c*cog'3Ce — &c cog3t6cos3(c ^ g« 
-g^^, -e-cosp,. 

+ [- „;.— ^ cos 31» ■\ -i - c cos 3l«J j2 sin 2 A + G/« 

[-y 8in«^, + - „y sm*^, + -;;,- 8in»Aj-,2 
= /;'-, c*8in*/J, - [^y- l cos 31» + ^' c cos 3Cj ^ sin 2^. + Gl, . 

Subtrahiert man beide Gleichungen Seite für Seite, so ersiebt 
man bald, dafs die Ausdrücke für « nach (1) S. 371 und (11) 
S. 374 identisch sind bis auf die überhaupt vernachlässigten Glieder 
8. Ordnung. 

Femer erhält man aus den Formeln (1) bis (3): . 

[(sin /3, - sin ft)» - 2(sin /J^ - sin ^3)* + (sin ft - sin ft)«] ^ 

90 V ^''''^^' 

+ [ ^7- — ^ cos 3l6 H ^^^8 — c cos 3lcJ 72Q sm 2/Ji + G7^ 



sowie : 



ri4m*— 8a* . ,^ , 5m* — 8a* / • •/, • • a^ \1 «' 



240 



10a, 



,:^fe«8in»^j + 



19a»— 66"— 5c» 



(6 cosjlft + c cos3lc) ^ sin 2/3i + G/^ . 



720 



Hiermit ersieht man leicht, dafs die Formeln (3) S. 371 und 
(13) S. 375 bis auf Glieder 8. Ordnung ebenfalls identisch sind. 

Für die Anwendung sind die Formeln (1) und (3) S. 371 ebenso 
bequem als (11) und (13) S. 374 u. 375. 

£s ist aber einleuchtend, dafs an der Grenze der Anwendbarkeit 
vorstehender Formeln die verschiedenen Modifikationen merklich ver- 
schiedene Resultate geben können. Dies ist in der That für einen 



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§ 12. Zahlenbeispiel za Hansens und Weingartens Formeln. 377 

Betrag der mittleren Seitenlängen ni «= 0,3 a^ der Fall; verschieden 
modificierte Formeln für den Excefs zeigen hier DiflFerenzen bis zu 
ca. 0,2". 

Hansen ist es gelungen, bei gleicher analytischer Genauigkeit 
eine solche Modifikation zu finden, die auch für m == 0,3 a^ noch in 
den Hundertstelsekunden sicher ist. Er bedient sich dabei der 
Krümm ungsmafse gewisser Hilfspunkte aufser denjenigen der Ecken, 
ein Verfahren, welches auch 1868 Scliering, jedoch unter Beschränkung 
auf geringere analytische Genauigkeit, eingeschlagen hat. 

Hierüber ist zu vergleichen die Mitteilung Hansens: Reflexionen 
Über die Bedtfktion der Winkel eines sphärischen Dreiecks u. s. f. 
in den Berichten über die Verhandl. der Ges. der Wiss. zu Leipzig, 
math.-physik. Klasse, 1869, S. 139. 

Ausfahrlicher mit Beispielen (die an die in den Geodätischen 
Untersuchungen S. 191 u. fiF. gegebenen anknüpfen) im Supplement zu 
der y> Geodätische Untersuchungen <i: benannten Abhandlung etc. in den 
Abhandlungen derselben Gesellschaft von 1869, Bd. 9, Nr. HL 

Vergleiche auch eine übersichtliche Besprechung in der Viertel- 
jahrsschrift der Astronom. Ges. 1870, Bd. 5, S. 222, sowie einige 
Bemerkungen in Bd. 13, 1878, S. 79. 

Wir dürfen uns hier darauf beschränken, eines der von Hansen 
für sehr grofse Dreiecke berechneten Beispiele auf die oben angege- 
benen Formeln anzuwenden. Man wird dadurch zugleich hinlänglich 
erkennen, dafs bei m < 0,2ao diese Formeln 'in jeder Modifikation 
ausreichen und jedenfalls genügen, um die früher von uns fürm^O,!»^ 
entwickelten einfacheren Formeln nach ihren Fehlern zu beurteilen. 

§ 12. Zahlenbeispiel zu Hansens und Weingartens Formeln. 

In seinen Geodätischen Untersuchungen S. 199 und insbesondere in 
dem Supplement S. 348 giebt Hansen folgendes Dreieck, nach den 
strengen Formeln für geodätische Linien (welche Formeln denen 
unseres 5. Kapitels entsprechen) berechnet: 

32<> 18' 53,2155" = — X 

«a = 90« 

«6 = 212«. 

Die ältere Rechnung Hansens in den Geodätischen Untersuchungen 
stimmt mit diesen dem Supplement entnommenen Angaben im wesent- 
lichen überein; wir haben deshalb nicht nachgerechnet. Der Excefs 
ist nach diesen Zahlen gleich 

£ = 9466,4310". 



jJ/Ji = 15n4' 30,0318" 


g" ± = 70351,4184 


31»= 32» 


-B|ft==0 


g" 1 = 64800 


Ho -= 148« 


C A = 


q" ± = 64800 


C„ = 270» 



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378 



8. Kapitel. Das geodS,ti«che Dreieck; Dreiecksnftze. 



Berechnet man ferner zu den linearen Längen 70351,4184, 
64800 und 64800 der 3 Seiten die zugehörigen Winkel des ebenen 
Dreiecks nach bekannten Formeln der ebenen Trigonometrie, so folgt: 
A* = 65« 45' 13,2493" 
B* = 57 7 23,3754 
C* -= 57 7 23,3754 
Summa = 180 0,0001 . 

Da man nun für das geodätische Dreieck. hat: 
A = 66" 37' 46,4310" 
5 — 58« 
C = 58«, 



so ist: 



A — A* = 3153,1817" = y — 2,2953" 
5 - JB* = 3156,6246 = j + 1,1476 

C-C* = 3156,6246 = ~ -\- 1,1476 

Summa = 9466,4309 . 



Zugleich folgt 



q" ^ « 3,9675889.6 , 



Behufs Anwendung der Fortnein des § 10 haben wir zunächst 
nach S. 59: 

log Kl = 9,9970916.4—10 — 41og w^ => 0,0025051.0 

JKi = 1,00578487 . 

iir, = Ä, = l:(l-c«)«l + *, 

also nach S. 38: 

K^ = Ki^ 1,00671922 

K== JL+ ^* + ^» «= 1,00640777. 

Man erhält ferner: 



-, = 0,1163311 



-^ = 0,0986961 



-, = 0,0986960 



r-"-=_ 0,0117567 



-^- = + 0,0058783 



•0,0058783 



4 = 0,1045744 



-j = 0,013533 
J^ = 0,009741 
4 = 0,009741 

—« = 0,011005 



-^- 0,00252^ 

— ^-- = + 0,001264 
-*^-- = 4- 0,0012tU 



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§ 12. Zahlenbeispiel zo Hansens und Weingartens Formeln. 379 

Nach Formel (16) S. 367 hat man jetzt: 

log F' = log F* + 0,0057133.9 + 0,0000427.2 , 



also ist: 



log q" ^\ = 3,9733450.7 . 



Wegen der bedeutenden Gröfse des Dreiecks ist dieser Betrag etwas 
zu klein, wie die nachfolgende strenge Rechnung zeigt 

Man hat zunächst YK= 1,00319878 und hiermit als Seiten des 
sphärischen Dreiecks JF": 



q" ± YK^ 70576,4569" = 19^ 36' 16,4569" 



p- ± YK= 65007,2809 =18 3 27,2809 

p" - 1/F=. 65007,2809 =18 3 27,2809 . 
Hiermit folgt nach (8) S. 87: 

log tan ^ =. 8,0596534.9—10 log ^ = 8,0596344.3-10 

log «' = 8,6616944.3-10, 

wobei £* als Arcus zu verstehen isi Subtrahiert man log K und 
addiert log q", so ergiebt sich sofort: 

log q" ^ =• 3,9733455.8 . 

Um auf F zu kommen, berechnen wir noch: 

a^lzL?! {K,—K) = '^ 0,0118. (— 0,00062) = + 0,0000071 



*1:=^ (iE, — Z) = + 0,0059. (+ 0,00031) = + 18 

!il^ (üTj - JT) = + 0,0059. (+ 0,00031) = + 18 



+ 0,0000109. 
Das giebt als Zuwachs im Logarithmus nach 8. 367 (15): 

+ mM^ = + 0,0000000.4; 
es wird daher: 

log (f" —^ = 3,9733456.2-10. 



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380 8. Kapitel. Das geodätiache Dreieck; Dreiecksnetze. 

Formel (1) S. 371 giebt nunmehr zur Berechnung von ei 

log 9' -^iK^ 3,9761 196.0 q' f, K= 9464,978' 

Es ist aber sin ß^ « sin ft = 0, log ^ '-^ = 5,88582^10, 
daher wird: 

f^l{Bmß,-siüß,y+{smß,-smß,y+(smß,-Bmß,y]^= + 1,446" 

Ferner ist: 

- ^ V L-^ «^^ ^1 + -i^- «^^ Ä + ~Jr- sm^^sj _ = _ 0,0 a 



Diese drei Glieder geben zusammen e = 9466,353" 

fehlerhaft um -|- 0,078 . 

Rechnet man mit der geographischen Breite l?j = 15^ 17' 25,46", 
so folgt für das 2. und 3. Glied bezw. + 1,455 — 0,072 und damit 

e = 9466,361" 

fehlerhaft um -f" 0,070 . 

Forfnel (6) S. 359 giebt b = 9340,346 + 122,877 = 9463,223" 

fehlerhaft um -f- 3,208 . 

Der Fehler vermindert sich etwas durch streng sphärische Rechnung, 
wonach sich findet: 

log €' = log p" —, ü:= 3,9761195.6 und damit «' = 9464,977" 

fehlerhaft am -[- 1,458 . 

Formel (3) S. 371 giebt 

für Ä - Ä*: 
^L_zZ = ^ 0,00005191 



+ 



1512 tto* 

m^ (m* — a"^ 
" ToOSOo/"' 



+ 



e^ sin« Pi 



45 
14m« — 8a« 



= + 
= + 



240 ao« 



e^sin*/3i = - 



19856 

17 

12 

1025 

103 



Summa = — 0,00024130 



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§ 12. Zahlenbeispiel zu Hansens und Weingartens Formeln. 



381 



für -B-B*undC-C*: 
12 



+ "^(1 + 2«*) = + 



60a„ 



+ 



+ 0,00002596 
9928 



6* 



= + 



1612 Oo* 

__ m« (m» - & ') ^ _ 
10080 Oo* 

— 5m + 86* i ' 9 o , 



8 

6 

513 

52 



Summa = + 0,00012065.- 



F 



Diese Zahlen sind mit q" — | zu multiplizieren. Es folgt dann : 



A — A* 



~ — 2,269" 



B* = C—C*=^-^ + 1,134' 



feUerbkft um 0,026 fehlerhaft nm -|- 0,014. 

Führt man y nach -Formel (1), wie oben erhalten, gleich 3155,451" 
ein, so wird: 

A-A* = 3153,182" B-B*^C—C*=- 3156,585" 

fehlerhkft um 0,000 fehlerhaft am -{- 0,040. 

Die Formeln (6) S. 359 ftthren zu folgenden Zahlen: 



K,- K 



12 



0,00005191 



%p--^K* = - 0,00019846 



?• -^ ^ = + 0,00002596 
*** ~^' Z« = + 0,00009923 



60 Oo« 



Summa = — 0,00025037 Summa = + 0,00012519 

Dieses mit p" j multipliziert^ ergiebt: 
^ - yl* = y - 2,323" B- B*^ 

feUerhaft nm -|- 0,028 

es sind also hier die Resultate ebenso genau wie bei der strengeren 
Rechnung. Wir werden weiterhin sehen, dafs die Formeln (6) S. 359 
in der That für sehr grofse Dreiecke noch ausreichen, wenn nur £ 
nach einer strengeren Formel berechnet wird. 



^ C* = y + 1,162" 

fehlerhaft um — 0,014; 



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382 8- Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

Formd (11) S, 374 giebt für den Excefs: 



if"—^K^ 9464,978" 



log(^8m«A) = 5,38236-10und-(."|;.^8in«^i = - 0,227 

+ ?" ^ ~ cos» 3C» • 4 cos« ft = [0,13768] = + 1,373 

'♦o **0 •* 

+ p" — , • ^ 6 cos 3(» • J sin 2 A = [0,9645 - 10] = + 0,442 



B = 9466,566" 

fehlerhaft um — 0,135. 

Die Einführung der geographischen -Breite B^ ändert das Resultat 
nicht merklich, dagegen kommt ein anderer Wert heraus, wenn man 
in Formel (11) die Ecken cyklisch vertauscht d. h. alles was sich, 
daselbst auf Ecke A und ihre Nachbarseiten bezieht, auf Ecke B 
oder G und deren Nachbarseiten bezieht Man erhält z. B. für Ecke C> 
da aufser dem Hauptglied die andern Glieder bis auf eines ver- 
schwinden: 

p"^jK:= 9464,978"] 

,, F &*C08«212« 4- a*co8«270<> — ah 008212«» coa270<> «* ^ .q- 

Q -, -, = 1,485 



B = 9466,463" 

fehlerhaft um — 0,032. . 

Dieser Wert resultiert auch, wenn man von Ecke B ausgeht 

Bas arithmetische Mittel der 3 Werte von e mit Ecke -4, B und C 
als Ausgang führt zu dem Werte: 

£ = 9466,497" 

fehlerhaft um — 0,066. 

Bas Mittel dieses letzten Wertes und des Wertes aus Formel (1) 
S. 371 endlich giebt: 

a = 9466,425" bezw. 429" 

fehlerhaft am -f 0,006 + 0,002 

je nachdem man mit reduzierter oder geographischer Breite rechnet* 

Nach Hansens Bemerkungen in der Abhandlung Reflexionen 

etc. S. 142 und 143 mufs man annehmen, dafs überhaupt in allen 

Fällen das soeben gebildete Mittel besonders genau ist, indem es ver- 



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§ 12. Zahlenbeispiel zu Hansens und Weingartens Formeln. 



383 



mutlich die numerisch beträchtlichsten der höheren Glieder mit ein- 
schliefst. 

Formel (13) S. 375 giebt: 

für Ä--A*: 



12 



- 0,00005191 



tt« — /i« 



-r-(l + 2e«~6a^8in^ft)=- 



60 

20 (n* -- o*) — 3m» (m* — o*) 

30240 Oo* 

, 6* cos* 5U 2 2 fl 



19803 
- 5 

+ 973 

- 19a« + Ut«, t ^ • ia OAT 

Summa •= — 0,00024233 
für B-B* lind G — C*: 

+ 0,00002596 



K^ — K 



12 



1»' 



. ■ 80 (n« — 6<) — 3»»' {m} - &*) ^ ■ 
"■" 30240 a/ ~f" 

_ &'co8'212° . 

90a„« ^ ~ 

letztes Glied = 



9928 

2 

526 




Summa= + 0,00012000. 



F 



Diese Koefficienten geben mit q" -^ multipliziert: 



A-A* 



2,279" 



5» = C — C* = 4 + 1.129". 



Infolge des Einflusses höherer Glieder ist die Summe von 
- 2,279 + 1,129 + 1,129 

nicht null, sondern — 0,021. Korrigiert man diese Zahlen entsprechend 
um + 0,007, so wird 

^ - ^* = y - 2,272" JS_JB* = C-C* = -|-+ 1,136" 

fehlerhaft nm — 0,023 fehlerhaft um -f- 0,012. 

Nimmt man - = 3155,499", entsprechend dem Mittelwerte der 
3 Berechnungen nach Formel (11) S. 374, so wird erhalten: 



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384 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

^ - ^* = 3153,227" B - J5* = C — C* = 3156,635" 

fehlerhaft um — 0,045 fehlerhaft um — 0,010. 

Verbinden wir aber die Mittelwerte der Ergebnisse von (3) und (13): 

^ - ^* = J - 2,271" £ _ B* = C — C* = y + 1,135" 

mit dem Mittelwert der Ergebnisse von (1) und (11), d. h. mit 
6 = 9466,425", so folgt: 

A-Ä* = 3153,204" B- li*^C—C*=- 3156,610" 

fehlerhaft um — 0,022 fehlerhaft um -f- 0,015. 

§ 13. Maximalbeträge der Glieder 6. und 7. Ordnung. Die 

Formeln des § 10 gestatten die Beantwortung der Frage, wie lange 
es zulässig ist, die Glieder 6. und 7. Ordnung bei Berechnung der 
Reduktionen ^ — ^* u. s. f. zu vernachlässigen, also die Formeln (6) 
S. 359 zu benutzen. 

Wenden wir uns zunächst zu dem Excefs e, so kommen die 
folgenden Formeln in betracht. Einerseits nach S. 359 (6): 

^ = (."^(2r+3^i?-fGzJ. (1) 

iji Sek. «0 ^ °"o • ^ 

Andererseits nach S. 374 (11) und S. 367 (15) und (16), wobei wir 
aber im letzteren Falle die logarithmische Formel durch die direkte 
Formel nach S. 93 (2) ersetzen: 



,, F 

in Sek. "o 



^« \ 



K^ [^sin^ ^^_g61co8^gH:f!coB'.gc - 6c cos Zö cos Zc ^^^,^ j^ 

' ^2) 
+ L o» »cos^IäH ^-^ ccoaXJY^sm^ ß^ + Gl^ 



,"/= "^1 ^+8«,«^+ 240«;* 

[ + 120^0* "^ ^• 

Die Formel (2) geht in (1) über, wenn man in (3) das 3. und 4. Glied 
der Parenthese und in (2) sämtliche Glieder bis aufs erste d. i. K 
vernachlässigt 

Das 3. Glied in (3): 



Uß) 



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§ 13. MaximalbetrSge der Glieder 6. und 7. OrdnaDg. 



385 



hat seinen Maximalwert im gleichseitigen Dreieck. Wie schon S. 95 
berechnet, beträgt es für m = w = 0,1 a^: 

0,0015". (5) 

Man kann daher für Dreiecke mit m ^0,lar^ das 3. Glied der 
Formel (3) unbedenklich fortlassen. 

Dies gilt in noch höherem Mafse für das 4. Glied dieser Formel: 



F* im'_--a^) {K, — JT) + (m«-~ b«) (g^ - jjQ 4. (^a _ c«) (JT, - K) 



120ao» 



(6) 



Wir untersuchen dessen Maximum für konstantes m mit Rücksicht 
auf die Bedingungen (3) und (6) S. 360, nämlich: 



F« = 1 (6a«m« - 3a* - {V — c^) ^ 

3m« _ a« + 6« + c» 
a« = 6« + c« — 2hc cos {X - Tic) + %^Gl^. 



(7) 



Hierzu treten nach S. 360 (2) und S. 355 (9) noch folgende Be- 
stimmungsgleichungen für K — K^ u. s. f. : 



T^ v 2 o . n ^ 6 cos 5l6 + c cos 5lc 

Ä — A, = — c* sm 2ß ' 

^3 '^ . «0 



+ 01A 



A, = — e* Sin 2/3 — 1- Gl^ 



K, 



-=-e*8m2/J 



2bco8;X»4-cco8;3(e 



014... 



(8) 



Unter /3 kann man eine mittlere reduzierte Breite der 3 Ecken verstehen. 
Man bemerkt nun sofort, dafs das zu untersuchende Glied (6) 
synunetrisch zu 6 cos Äö und c cos Äc, & sin 3Cä und + c sin Tc ist. 
Dem Maximum entspricht daher: 

l = c X = 360^ — Tt. (9) 

Substituieren wir dies, so geht der Ausdruck (6) mit Rücksicht darauf, 
dafs h cos %b die positive oder negative Höhe ha des Dreiecks ist, 
über in: 



oder 



, „ g»8in2p (6'-a')a^j 
± ^ 180 a * 



_, ,r g* sin 2(3 (2 m» — a*) (m» — a») g 
±^ 160 Oo* 



(10) 



Dieses hat sein Maximum bei a* ■= -: — w*. Zu dem kleineren a 



Helmert, 



n. phyailcal. Theorieen der hOh. Geodäsie. 



26 



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386 B. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreieckanetze. 

welches sehr nahe gleich -r^ ist; gehört das grofsere Maximum; es 
beträgt für ß = 45^ und m = 0,1 ao: 

+0,00006". (11) 

Das 2. Glied der Formel (2) ist angenähert gleich 

Es erhält sein Maximum fürs gleichseitige Dreieck und zwar beträgt 
dasselbe bei ß^ = 90^ für m = 0,1 ao: 

— 0,030". (13) 

Das 3. Glied der Formel (2) ist angenähert gleich 

,, F* &" cos» Zf, + c« cos* X^ - hc cos Zf, cos 5C 
+ 9 V Ja? ^ ^^ ^^- (^^) 

Wenn dasselbe ein Maximum werden soll unter Voraussetzung 

konstanten Wertes von m, so zeigen die hierbei zu beachtenden 

Bedingungen (7), dafs 6 = c und entweder X == 360® — Sa oder 

180® — ^b sein mufs. Denn das Glied (14) und die (7) sind 

symmetrisch zu 6 cos %c und + c cos 3lc, b sin Ä* und + c sin 31c. 

Für 6 = c, 3tc = 360® — 3lft liegt das Dreieck symmetrisch zum 

I Meridian von Ä, 6 cos 31* ist wieder die Höhe + Ä« und 

I das Glied wird gleich 

+ 9\-^.^oos% (15) 

mit ha = y *", ~ ° • Das Maximum tritt ein bei 

J/* a* = V < tan ^l» = 4" mi* ^» = IM" oder 198,4", vergl. 
fJm. Fig. 32. Es beträgt: 

Insbesondere ist sein Betrag für ß^ = 0® und m = 0,1 a^: 

-f o,oir. (17) 

Für 6 = c, 3lc = 180® — X liegt das Dreieck östlich oder 
westlich vom Meridian Ä, symmetrisch zu dessen Perpendikel. Das 

Glied (14) wird hier, da b cos ^ jetzt + y ^^^y gleich 




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§ 13. Maximalbeträge der Glieder 6. und 7. Ordnung. 



387 



und ein Maximum för a^ = — w*. Dieses beträgt soviel wie (16), ist 

also auch für ßi -= 0® und m = 0,lao so grofs wie (17). Dabei ist 
jedoch Tic = 45® oder 225^ vergl. Fig. 33. 

Das 4. Glied der Formel (2) ist angenähert gleich 

Mit Rücksicht auf die Bedingungen (7) ersieht man 
leicht, dafs bei konstantem m für ein Maximum b ^=^ c 
und 3Cc = 360® — ^b erforderlich ist, womit der Aus- 4^ 
druck (19) in 

„ F* »»• 6 008 X ^ . 
(> -«— s-i— e*sin2/3i 



Nord 



5^ 
rig. 3S. 



übergeht. Nun ist 6 cos 31* jetzt wieder + A«, daher der Ausdruck 
(19) auch gleich 



±9'~rn-^^^^^ßi' 



4a, 



(20) 



Wegen Äi = — (2m* — a*) wird dies ein Maximum für a = mT/*- 
wobei Aa '^^ ^* Das Maximum beträgt 






(21) 



Insbesondere hat man für dasselbe bei ^^ "=" 45^ und m »» 0,10^: 

+ 0,003". (22) 

überblickt man nunmehr die Maximalwerte der einzelnen Glieder, 
so zeigt sich, dafs für m^^Oyla^ nur 2 Glieder in be- 
tracht kommen, nämlich das 2. und 3. Glied in e. Um 
das Zusammenwirken derselben festzustellen, betrachten ^ 
wir noch ihre Summe für ß^ = 45^. Mit Rücksicht 
auf das Obige erkennt man leicht, dafs 2 Maxima ein- 
treten. X /, 

Man erhält erstens für fe = c und X — 360^—316, ^ f ^ 
wobei das Dreieck symmetrisch zum Meridian von A 
liegt, Fig. 34: 




<."i:$(3»'-2W); 



4. 

Fig. 34. 

(23) 



25* 

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388 



8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreieck snetze. 



zweitens für 6 = c und 3lc = 180^ — ^t, wobei das Dreieck symmetrisch 
zum Perpendikel von Ä liegt, Fig. 35: 

- P" 3^ (2m* ~ a') >/3(2m«-a«)a^ (24) 

(23) wird ein Maximum für a = w]/|- und Tit — 45 oder 225^; (24) 
Nolrd dagegen für a = -^ , tan X =3, 3(c = 71,6^ oder 



p.,^^^ j^ ^J^ 251,6^ Beide sind gleich 



128 Oo* ' 



Fig. 85. 



Das ist für m ' 



9 19.ft /» * 

0,lao: 



(25) 



— 0,010". (26) 

In Bezug auf die beiden beträchtlichsten Glieder der Formel (2) 
hat man nunmehr folgende Zusammenstellung, welche durch Mitnahme 
der kleinen vernachlässigten Glieder nur unerheblich modificiert 
werden würde: 

Maximaler Fehler der Formel (1) im Vergleich m (2) 
für w = 0,lao. 



(27) 



§ 14. Fortsetzung. Maxlmalbeträge der Glieder 6. und 
7. Ordnung in A — Ä* u. s. f. Um die Formel (6) S. 359 für 
A — A*, nämlich 



£, — 0» 


+ 0,019" 


Fig. 32 und 33, 


45 


- 0,010 


Fig. 34 und 35. 


90 


- 0,030 


Beliebig gelegenes 
gleichseitiges Dreieok. 



^ "* 3 + 9 a.» ^ eooo« ■°- + 12 / + 



GL 



(1) 



in Sek. in Sek. 

mit der strengen Formel (13) S. 375 zu vergleichen, führen wir in 
dieser für F den Inhalt F* ein mittelst der Relation (3) S. 384. Es 
wird dann: 

^'^(l+2e*-6e»sin«^0+ ^(l+^.)l 



F* 



^-^*-T + 9"U 



3 

in Sek. in Sek. 



(n* — o*) + 3m»(m»~-o» ) 
"*■ 1612a„* 



+ 



r— 19a*+6«+13c* Ol ' 
^3 -^ 6 COS 316 

»0 

, — 19a*+135«+c« ^ 

\ ^-3 — -^-^ CCoaAe 



'^sm2ß,+ Gk 



720 



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§ 14. Fortsetzung. Maximalbeträge der Glieder 6. und 7. Ordnung. 389 

Hierin setzen wir noch nach S. 360 (2): 
K, — K m« __ 



12 8ao* 



(56 cos Jib+ hc cos Äc) w* «' 'na i 



< 



720 



sowie: 



1 + 2e«- 6e^sin«/3i = iiri*- 26*8in*/3i+ ... 
= ü:« + (Z/— JiT«) - 2e28in«/3, + ..■ 

-Tj-Q 4 6 cos 5C6 + C cos ^ 9 • o z) o S ' 9z) I 

: K* — ^5-^ r sm 2/3i — 2e*8in*/3i + • • • . 



3 



Damit wird erhalten: 



in Sek. in Sek. 



"^ 

< 



60 ao* "T" 12 "^ 15120o* 



,- c^ sin*/?! 



80 a,^ 

&*co8'^+c*cos*3U— 46cco83Cecoa3U 



6a* +36'— 3c* 



& COS ^Sft 



c*cos*/3i 



' ort*— 36*+ 3c* ^ 

H -8-^- — ccos3lc 



360 



8in2/3i + C?Z6. 



(2) 



Das 3. Glied in der Parenthese von (2) beträgt, wie der Ver- 
gleich mit (4) S. 384 zeigt, für w = 0,lao sicher nur wenige Zehn- 
tausendstelsekunden. 

Das 4. Glied ist ein Maximum für a* = w* (1 + V^), weil für 
diesen Wert von a* nach S. 96 (6) und (7) das Produkt F* (m« — a*) 
ein Maximum wird. Es beträgt darnach bei m = 0^1 a^ im Maximum: 

+ 0,0010" sin» /3,. (3) 

Für das 5. Glied erhält man mit Rücksicht auf den vorigen 
Paragraphen sofort als Maximum -^ des Ausdruckes (16) S. 386 
d. i. bei m = 0,1 a^ der Betrag 

+ 0,0013" cos* /3,'. (4) 

Das 6. Glied wird ein Maximum für ft = c und 3tc = 360^ — 3(6 mit 

a = Vy *»; & cos 3(ft = + A« = +l/y w. Es wird für m = 0,1 a^ gleich 

+ 0,00015" sin 2ft. (5) 

Aus dem Vorstehenden wird ersichtlich, dafs die Formel (1) 
völlig genügt, solange w <0,lao ist. Mit Rücksicht auf die Ergebnisse 
des vorigen Paragraphen kann man daher sagen: 



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390 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

Die Formeln (6) S. 359 genügen in der Regel zur Berechnung eines 
geodätischen Dreiecks, so lange 

m<0,lao oder 637*"». (6) 

Ebenso lange gelten die Formeln (3) ebenda, denn die entsprechenden 
Formeln im System (3) und (6) unterscheiden sich nur durch die 
Reduktion vom sphärischen Dreieck auf die Ebene, für welche Reduk- 
tio die S. 359 angewandte Formel nach S. 96 jedenfalls genügt. 

Auch die Formeln (1) S. 362 gelten ebenso lange. Die Entwicklung 
daselbst zeigt nämlich, dafs es dabei wesentlich darauf ankommt, ob 
es zulässig ist, A mit A* zu vertauschen. Abgesehen hiervon handelt 
es sich nur um die Berechnung des sphärischen Excesses aus 2 Seiten 
und dem Zwischenwinkel und dafür reicht nach S. 99 die angewandte 
Formel vollkommen aus. Nun ist, wie man aus § 6 S.362 leicht 
entnimmt, der Fehler in s durch Vertauschung von A und A^ an- 
genähert gleich 

__ ,r F* [K^-- K] bc cos A . . 

Setzt man hierin für Kj^ — K den Ausdruck -(2) S. 360, so folgt für 
(7) in ausreichender Annäherung: 

„ c' Sin2|j, F* (& C083U + c cos^lc) hc cob(3C6 — 3(<:) 
P — 3ß- —, 

Das Maximum dieses Ausdrucks kann nur mit 6 = c, 3lo «= 360® — %t 

bestehen. Führt man aber Ä« = + 6 cos 3(6 = 1/-^ (^^w* — a*) ein, 
so geht derselbe über in 

Bei konstantem m wird dies für a* = -- — -^ w* am gröfsten und 

zwar bei wi = 0,laQ gleich 

+ 0,00032" sin 2/3^. (9) 

Dieser Betrag ist ganz unerheblicL Die Formeln (1) des § 6 S. 362 
genügen also in der That ebensoweit wie die (6) des § 4 S. 359, voraus- 
gesetzt, dafs a* genügend scharf berechnet wird. Berechnet man difes, 
wie in § 6 S. 362 (1) angenommen, so ist es nach S. 98 (4) nähe- 
rungsweise mit dem Fehler behaftet: 

6'c'Bin' J. , . F*« ,,^. 



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§ 15. Zahlenbeispiel III. 



391 



Man sieht leicht, dafs der Einflufs hiervon auf s und Ä — Ä^ u. s. f. 
ein Maximum wird fürs gleichseitige Dreieck und zwar näherungsweise 



in e gleich — q' 



965? 



F** 



in X-J.* gleich + (»"^535^ 



mit if* -=. ^ m* ys. (11) 



Diese Werte sind fQr m »= 0,1 Oj völlig unerheblich, denn sie be- 
tragen nur: 

— 0,00017" bezw. + 0,00002". (12) 

§ 15. Zahlenbelspiel UI. Dem auf S. 200 als Beispiel be- 
handelten Sehnendreieck mit Horizontalwinkeln entspricht nachstehen- 
des Ton kürzesten Linien gebildete geodätische Dreieck: 



Berlin 



K 
W 

Königsbej^ | ^ 

B 
K 



Wien 



Azimat «. 



Winkel 



239° 33' 0,6889' 

334 52 5,8107 
23 11 41,5017 
65 16 9,3650 

157 10 7,2216 

199 58 13, 



95» 19' 5,1218" 

42 4 27,8633 

,2216 } 

;;4151 V^ ^« «'1935 



180»+ s = 180» 11' 39,1786" 



Meter. 



log i£:TF= 5,8907956.989 
log WB = 5,7182160.562 
log BK = 5,7242591.353 



Geographische Breite. 



Reduzierte Breite. 



Berlin i B^ = b^ 30' 16,7" ft = 52» 24' 43,01 137 



Königsberg | 5, = 54 42 50,6 



Wien ; B, = 48 12 35 5 



ft = 54 37 24,75639 



/Jj = 48 6 52,27604 



Die Azimute und Entfernungen sind aus den Angaben yon S. 200 
in derselben Weise abgeleitet, wie fflr die Linie BK allein es S. 339, 
182 und 341 geschehen ist. Fflr das Verfahren ergab sich dabei 
eine Eontrole durch direkte Behandlung der Linie BK%. 256 u. £P. 

Werden die Punkte B, K, W mit den Indices 1, 2, 3 ausge- 
zeichnet, so ist zur Beduktion der Azimute nach Formel (5) S. 337: 



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392 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

cos'B, sin 2 er, . sin 2B. sin a, « 

ai.,- «..,== [13.4990] ^^-r- — + [18,616] _— i__i-% 

cos' B. sin 2 or. . sin 2 B. sin a. . 

a,.. - as.. = [13,4990] -*— — ' + [18,616] — — f-- -' ' , 

log p„, = 6,8047 log p„. « 6,8044 log 9,. = 6,8056 log p,.'= 6,8055 

und hiermit: 

Ol. 8 - «1.3= - 0,2205 - 0,0065 = - 0,2270" 
os.i - aj.i = — 0,2460 + 0,0061 = - 0,2399 ,' 

Ferner hat man: 

_ . . cog' B. ain 2or, , sin 2£, sin er, , 

a.., - «,.,=« [13,8442] -^r— *-- + [19,133] -—J-^, 

*> ^ .^ COS* 5- stn 2 a- a sin 2B. sin «, , 

o,.,- «3.2= [13,8442] —J——U + [19,133] ^' ^ " , 

log p„.— 6,8048 log 9a, — 6,8043 log (>«,«= 6,8056 log 9«, = 6,8055 

und hiermit: 

«2.8 - a«.s=- + 0,4142 + 0,0194 = + 0,4336" 
«3.2— «3.8= + 0,4891 - 0,0177 — + 0,4714 . 
Zur Probe wurden die Gleichungen gerechnet: 



cos ßi sin «1.8 = — cos /5j sin «j.i 
cos ß^ sin «2. s = — cos /}, sin «3.2. 



Es fand sich bezwi: 

log cos /3, =9,7853155.518 —10 log cos ft =9,8245448.818 -10 
logsinai.8== 9,6280829.617« — 10 ' log sina».! — 9,5888536.313 —10 
Summa = 9,4133985.135« — 10 Summa = 9,4133985.131 —10 
log cos ft =9,7626381.918 —10 log cos ft =9,8245448.818 -10 
log sin «2.3= 9,5953413.007 —10 log sin «3. 2 =9,5334346.092« — 10 

Summa — 9,3579794.925 — 10 Summa — 9,3579794.910.^—10! 

Die Dififerenzen deuten auf Ungenauigkeiten der Azimute von einigen 
wenigen Einheiten der 4. Decimale. 

Für die Reduktion der Sehne JB TTdiente zunächst Formel (11) S. 181 . 
Zu dem mittleren Azimut 156^^6" in der mittleren Breite 50<>2r26" 
gehört log 9 = 6,8045141. Hiermit wird für die kürzeste Distanz B Wz 



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§ 16. Zahlenbeispiel III. 393 

log s = 5,7180944.366 + 1215.440 + .748 

= 5,7182160.554. 

Rechnet man dagegen mit dem Mittel der log p für 52^30' 17" 

Breite und 154^ 52' 6" Azimut einerseits, sowie 48^ 12' 36" Breite 

und 157^ 10' 7" Azimut andrerseits, welche nach strenger Rechnung 

bezw. betragen: 

6,8046724] ^^^^^ _ 

80 wird nach den Formeln (10) und (11) S. 181 erhalten für BW: 
logs= 5,7180944.366 1 

• + 1215.456 nach (11) 

+ 0.748) 

— 0.008 nach (10) 

bgs = 5,7182160.562. 
Für KW findet sich zu der mittleren geographischen Breite 
51* 27' 44" und dem mittleren Azimut 21" 34' 57" in strenger Rechnung 

log Q = 6,8055536 
und hieraus nach Formel (11) S. 181: 

log s = 5,8905264.742 + 2688.558 + 3.662 
= 5,8907956.962 
Schärfer ist die folgende Berechnung von log s, bei welcher die 
Glieder 6. Ordnung in log s vollständig berücksichtigt werden. 

Es ist log p für 48» 12' 36" Breite und 19» 58' 13" Azimut, sowie 
54» 42' 51" Breite und 23« 11' 42" Azimut nach strenger Rechnung 
bezw * 

6,8043073 ] eon.-,o, 

' l Mittel <» 6,8045481 . 

6,8047889 J 
Hiermit folgt nach S. 181 (10) und (11) unter Beifügung eines 
ans der 1. Formel (4) S. 30 leicht zu entnehmenden Gliedes: 

log k = 5,8905264.742 

+ 4-^(1,)* = + 2688.623 
tw^(^r = + 3.662 

+^5^©' = + 0-007 

+ M-^ -^ (cos*.B cos»a — sin«.B) = - 0.045 

Für KW: log s = 5,8907956.989 . 



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394 



8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 



Für die 3 Ecken des Dreiecks ergiebt sich nunmehr behufs An- 
wendung der Formeln (1) S. 362: 



K^ = 0,9982777 
K^ = 0,9977849 



1 q"K 



0,9992626 ) 
= 1,4034309-10 



ä:= 0,9984417 
logüT« 9,9993227—10 



log j^i = 4,6476-20 



logo = 5,8907957 
log&== 5,7182161 
log c = 5,7242591 



B 
C-- 



= 95019' 5,12" 
= 42 4 27,86 
-42 48 6,19 



log sin Ä = 9,9981266—10 
log sin B == 9,8261364-10 
log sin C = 9,8321660—10 



o« = 10'». 60,477 1 4a* - 3w« = 126,026 . 10" = [12,1005 ] 
6* = 10'». 27,317 46* - 3m* 6,614 . 10'» = [10,8205.] 



10'». 28,088 



3»t*= 10'». 115,882 



4c* — 3»»* = - 3,530 . 10'» = [10,5478»J 



Probe: Sa.« 115,882.10'». 



Damit wird erhalten aus 

^, & und c : log « = 2,8440327 + 5598 = 2,8445925 
B,axmic: 2,8446221— 294= 5927 

C, a und h : 2.8446087 - 157 = 5930 



2,8446221— 294 = 
2,8446087 - 157 = 

699,1856" 



1860 
1864 



Im Hittal 

11' 39,1860" . 



Dieser Werl ist etwas zu grofs und zwar um 0",0074. 

Es ist jetzt weiter für A — A*, u. s. f., nach den Formeln (1) 
S. 362: 

log (JiTi - X) = 6,2151«— 10 1 log (»i* - a*) = 11,3395» 
log (JTg - Z) = 6,8174.-10 log (w* - 6«) = 11,0535 



log (Zs — K) = 6,9143 -10 
iogjij^== 1,1661 -10 



log (m* - c*) = 11,0229 



log 



60 o„* 



^* = -3- 



0,0096" — 0,0625" == ^ 
B — B*= .' - 0,0383 + 0,0324 = * 
C — C*=^ 3 + 0,0479 + 0,0301 = -* + 0,0780 . 



7,4565-20 

0,0721" 

0,0059 



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§ 15. Zablenbeiapiel III. 395 

Mit * = 699,1786 ergeben sich hieraus die Werte: 

A* = 95« 15' 12,1343'' 
JB* = 42 34,8097 
C7*= 42 44 13,0560 



Summa = 180 00 00,0000. 

Die Sinus dieser Winkel müssen sich wie die Seiten a, h, c ver- 
halten. In der That hat man: 



log 0=5,8907956.989 
log sin A* = 9,9981 7 19.226 



log 6—5,7182160.562 1 log c=5,7242591.353 
log sin B* =9,8255922.810 ■ log sin C*= 9,83 16353.602 
5,8926237.763 \ 5^8926237^752 1 ~ 5,8926237.751 

Die Übereinstimmung dürfte genügen. 



Vorstehende Ergebnisse benutzen wir endlich noch zu einer 
strengen Berechnung des Excesses nach Weingartens Formel (1) S.371. 

Wir haben vorerst mittelst der Winkel des ebenen Dreiecks 
log F* = 11,4406471.1 und hieraus mittelst Formel (16) S. 367: 

logF= 11,4406471.1 -f 5147.7 + 3.5 = 11,4411622. 

Jetzt wird: 

ff" JLK'^ [2,8445931] = 699,1866". 

Es ist weiter: 

sin Bi = 0,7934 sin i?, = 0,8163 sin B^ = 0,7456 ' 
und hiermit: 

, [ (sin J?i — sin B^y + (sin B^ — sin B^y ] 

Q'i-,~\ = + 0,0061" 

^ a«' 6 I +{BmB,-'8mB,y j ^ ' 



"•o 



Dies giebt zusammen — 0,0075". Man hat daher genauer: 

£ = 699,1791", 

welcher Wert bis auf 0,0005" mit demjenigen übereinstimmt, der aus 
den Horizontalwinkeln abgeleitet worden ist. 

Auf A — Ä* u. s. f. haben die höheren Glieder, um welche sich 



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396 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

die Formeln S. 371 u. ff. von denen S. 362 unterscheiden, nur einen 
Einflufs von durchschnittlich 0,0001". 

§ 16. Bessels Formeln zur Reduktion eines geodätischen 
Dreiecks. Bereits im Jahre 1822 hat Bcssel in den Astronom. Nachr. 
Bd. 1 Nr. 6 S. 85 {Alhundlungm Bd. 3 S. 3) eine Formel zur Reduk- 
tion der Winkel eines geodätischen Dreiecks auf ein sphärisches mit 
denselben Seiten angegeben, ohne jedoch ihre Entwicklung zu zeigen. 
Die Formel enthält alle Glieder, welche von e^ abhängen, vollständig; 
vernachlässigt aber die höheren Potenzen von e*. Sie kann dadurch 
erhalten werden, dafs man die Formeln des § 9 S. 232 u. ff. auf 
Glieder mit ^ abkürzt und alsdann auf die 3 Seiten eines geodätischen 
Dreiecks anwendet. (Die Entwicklung hat Ähnlichkeit mit derjenigen 
des §4 S. 329u. ff.; in den Endresultaten treten auch ähnliche Paren- 
thesen-Ausdrucke auf wie in (10) S. 332.) 

Hansen hat die Entwicklung in seinen Geodätischen Untersuchungen 
S. 116—136 durchgeführt (vergl. auch S. 104) und schliefslich eine 
interessante Abkürzung der Ausdrücke für mäfsig grofse Dreiecks- 
seiten gegeben. Damach hat man zur Reduktion der Winkel Ä, B, C 
im geodätischen Dreieck auf die Winkel Ä'% JS", (7" des sphärischen 
Dreiecks mit denselben Seiten die Formeln: 

Ä-Ä" = ^e^ ~ (2 cos 2/3i -f cos 2ß^ -f cos 2ft) + Gl^ 

£ — £" = -^^ e' ^^ (cos 2ß, + 2co8 2/3, -f cos 2ß^) -f Gl^ \ (1) 

(7 - C" = 1 e* 1^ (cos 2ß, + cos 2ß, + 2cos 2ß,) -f Gl, .. 

Hierbei ist als Kugelradius der Äquatorialradius üq vorausgesetzt 
Berücksichtigt man dies, sowie die Formeln: 



R\ = 1 -{- e^ cos 2 ß, + Gl^ 
K^ = l + e^cos2ß^ + Gl^ 
7^3 = 1 -{-^cos2ß^ + Gl^, 



(2) 



so kann man leicht von den Formeln (1) zu den Formeln (3) S. 358 
gelangen, wie folgt. 

Letztere setzen als Kugelradius «q : YK voraus , K das arith- 
metische Mittel von K^ , -K, und K^ . Geht man aber vom sphäri- 
schen Dreieck auf der Kugel mit dem Radius Oq erst zum ebenen 
Dreieck über und dann von hieraus auf die Kugel vom Radius aQ i^K^ 
so ist unter Beachtung der Formeln S. 92: 



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§ 17. Andraes Entwicklangen. 397 

i ^* J (^ös 2ß, + cos 2 A + cos 2/J3) + Gl, . 

Addiert man diese Gleichung zur 1. Gleichung (1), so folgt ein 
Ausdruck für A—Ä^^ woraus durch Analogie auch B — B^ und (7— C 
hervorgeht. Das Resultat ist darnach: 

4 _ ^. = 1 e« j; (cos 2 A - ^'A±^^?lM:^£il^) + G,^ 

i_B' = ^e«i;(co8 2ft-^5i?Mi££!lPi±i£ilft) + G/, } (3) 
C _ C = ^ e* i; (cos 2ft - ,co_82p^ +cos^2p. + co«2p. ^ _^ ^^^ ^ 

welches Formelsystem nun augenscheinlich mit (3) auf S. 358 über- 
einstimmt 

Es läfst sich nicht verkennen, dafs die im Vorstehenden an- 
gedeutete Entwicklung den Vorteil vor der S. 348 u. ff. gegebenen hat, 
weniger Vorbereitungen zu erfordern. Sie wird sich auch namentlich 
(im Vergleich zu Hansen a. a. 0.) noch sehr vereinfachen, wenn von' 
vornherein nur mäfsig grofse Werte der Dreiecksseiten vorausgesetzt 
werden. Dagegen scheint es sehr schwierig zu sein, in diese Entwick- 
lung auch höhere Potenzen von e^ aufzunehmen, was bei jener keines- 
wegs der Fall ist. 

Hansen benutzt auf S. 210 bis 218 eeiner Geodätischen Untersuchungen 
die allgemeinen Besselschen Formeln noch zur Näherungsaufiösung mehrerer 
Aufgaben, die sich auf eine durch 8 Stücke bestimmte geodätische Linie 
beziehen, welche dabei eine betrachtliche Länge haben kann. Insbesondere 
betrachtet er den Fall gegebener Breiten der Endpunkte und gegebener 
linearer Länge der Linie. Diese selten auftretende Aufgabe kann selbst- 
yerständlieh auch durch snccessive Annäherung mittelst der hier gegebenen 
Formeln in ähnlicher Weise wie die Aufgabe, eine geodätische Linie aus 
der geographischen Lage ihrer Endpunkte zu bestimmen, gelöst werden. 
Auch Hansens Formeln sind, wie bemerkt, keine strengen und erfordern 
eventuell ebenfalls eine weitere Annäherungsrechnung. 

§ 17. Andraes Entwicklungen. Dreiecke aus Tertikal- 
schnitten u. s. f. 

Schon S. 94 ist die Art und Weise erörtert worden, wie 
Andrae im 1. Bde. der Dänisdwn Gradmessimg bei der Entwicklung 
von Legendres Theorem vorgeht Für das Ellipsoid knüpft er 
(S. 187 — 200) seine Betrachtungen zunächst an die (als mit der 
geodätischen Linie gleichlang zu setzenden) Yertikalschnitte und die 
zwischen denselben liegenden Horizontalwinkel an und zeigt in der 
bereits angedeuteten Weise (bei Zachariae a. a. 0. S. 129—132), 



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398 8- Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

welche Reduktionen an den Horizontalwinkeln angebracht werden 
müssen, um sie als Winkel eines ebenen Dreiecks betrachten zu können, 
dessen Seiten den Längen der Yertikalschnitte (also auch der geo- 
dätischen Linien) zwischen den Endpunkten entsprechen. 

Um zu diesen ein besonderes Interesse bietenden Formeln zu 
gelangen, drehen wir hier den Gang um. Denn die Reduktions- 
forraeln für das geodätische Dreieck haben wir bereits. Wir brauchen 
in dieselben nur anstatt der Winkel zwischen den geodätischen 
Linien die Horizontalwinkel (d. h. die Winkel zwischen den Vertikal- 
schnitten) einzuführen und haben dann die Formeln für die von den 
Vertikalschnitten gebildete Figur, weil eben in den linearen Längen 
der Vertikalschnitte und der geodätischen Linien kein Unterschied ist, 
so lange man sich auf mäfsig grofse Entfernungen beschränkt. 

Nennen wir die Horizontal winkel A^, Bq und C^, die Winkel 
zwischen den geodätischen Linien aber -4, B und C, und beschränken 
uns auf die gröfsten Glieder in den Differenzen Ä — -4^, u. s. f., 
dann ist mit Rücksicht auf Formel (11) S. 332, weil A = «i.s — ai.2, 
Aq = üi,^ — öti.2 ist: 

^ - ^0 - P" 'Ao~7- (^ sin 2ai.2 - V sin 2ai.s) + Gl^ 

in Sek, -^^"o 



B — Bq = p" ^-j~-^- ip^ sin 2a2.3 — c* sin 2a2.i) + Gl^ 



in Sek. 12 a. 



(7 - Co = q' '-^'-& (6« sin 2as.i - a» sin 203.2) + Gl, . 

in Sek. ^^^0 



(1) 



Verbinden wir dies mit den Formeln (6) S. 359, wobei wir aber 
auch nur bis zu Gliedern 5. Ordnung gehen, so folgt: 

in Sek. 

+ q" ^'^ (i* sin 2a,., - c» sin 2«!.,) + Gk 



B,-B*^± + g"^'*^'^'^'-''y 



in Sek. 



3 ' ^ 60 a. 

in Sek. 



+ ^" '-S^ (^' «^^ 202.1 - a' sin 202.5) + Gl, 



in Sek. . ? . **" *o 



in Sek. 



+ P" '-l^f~ («' sin 203.2 - 6* sin 203.1) + Gl, 



12 a. 



(2) 



Aus diesen Formeln ersieht man sofort, dafs in allen Fällen, wo 
überhaupt solche Entfernungen in betracht kommen, für welche 



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§ 17. Andraes Entwicklungen. 399 

geodätisches und astronomisches Azimut merklich von einander ver- 
schieden sind^ es immer weit einfacher ist, mit der geodätischen 
LiniC; als mit dem Yertikalschnitt zu rechnen. 

Nach Andraes Auseinandersetzung ist überhaupt der Vorteil 
der Einführung der geodätischen Linie der, dafs die Berechnung der 
Dreiecksnetze möglichst einfach wird. In der That zeigt die Ver- 
gleichung der Formeln (2) mit den (6) S. 3ö9; dafs von allen mög- 
lichen als gleichlaug zu betrachtenden (und auf der Kugel zusammen- 
fallenden) Verbindungslinien die geodätische Linie die einfachsten 
Redukti(yi\sformeln gieht Die Rechnung ist eben, wenn man nur Glieder 
bis zur 4. Ordnung incl. berücksichtigt, fürs einzelne geodätische 
Dreieck auf dem Ellipsoid gerade so einfach wie auf der Kugel. Sie 
wird erst durch Herbeiziehung von Gliedern 5. Ordnung etwas kom- 
plizierter, aber doch in nur geringem Mafse. 

Insoweit es sich nun um mefsbare Dreiecke handelt, ist aller- 
dings ein Vorzug der geodätischen Verbindungslinie nicht notwendig 
vorhanden. Da nämlich die heöbackteten Azimute astronomische 
Azimute sind, die Horizontal winkel aber Differenzen solcher, so ist 
einleuchtend, dafs letztere bei Anwendung der geodätischen Linie 
zunächst auf geodätische Azimute reduziert werden müssen. Hier- 
bei kommen aber gerade wieder die in den Formeln (1) steckenden 
Glieder zur Geltung. Dieselben sind jedoch lediglich geringfügige 
Gröfsen, die als gegen die Beobachtungsfehler ganz zurücktretend 
vielfach weggelassen werden. Werden aber diese Korrektionen ange- 
bracht, so zeigt obige Auseinandersetzung, dafs sie auch bei der Wahl 
irgend einer andern Verbindungslinie nicht zu vermeiden sind. Es 
müssen sogar, wenn diese Linien in den Dreieckspunkten nicht wieder 
gerade die Horizontalwinkel-4o,-BQ, C^ mit einander einschliefsen, zu den 
rechten Seiten der Formeln (2) noch weitere Korrektionsglieder treten. 

Der Vorteil der geodätischen Linie für die Dreiecksberechnung 
geht aber evident hervor bei Betrachtung der Berechnung von Polar- 
Jcoordinaten. Hier hat man es, wenn einmal die beobachteten Rich- 
tungen korrigiert sind, für alle durch Rechnung abgeleiteten nur mit 
geodätischen Azimuten zu thun. Hier treten also die (verhältnis- 
mäfsig) einfachen Formeln (6) S. 359 in sehr günstigen Gegensatz 
zu obigen Formeln (2) oder noch komplizierteren Formeln. 

Ebenso zeigt sich hier die Rechnung mit der geodätischen Linie 
derjenigen mit der Sehne weit überlegen (vergl. S. W7 und 211), 
in Bezug auf diese aber auch schon bei mefsbaren Dreiecken, weil 
die Sehnenrechnung die von e* abhängigen Glieder 4. Ordnung dreimal 
so grofs hat, als die Rechnung mit der geodätischen Linie (vergl. die 
Formeln (2) mit den (1) S. 197). 



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400 B. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

Von verschiedenen ins Auge gefaisten Hilfslinien ist besonders die Feld- 
Unie untersacht worden, von Ändrae a. a. 0. Bd. 1 S. 1 79 und von Bremiker 
a. a. 0. S. 59 u. ff. Die Feldlinie ist durch die Eigenschaft definiert, dals 
in jedem Punkt der Horizontalwinkel nach den beiden Endpunkten 180^ 
beträgt, d. h. dafs die Normale der Fläche in einer Ebene durch diesen 
Punkt und die beiden Endpunkte liegt. Sie schliefst sich daher in P^ 
dem Vertikal schnitt nach P, und in P, dem nach P^ tangential an. Wenn 
aber Bremiker S. 64 findet, dafs jene Ebene allgemein Tangentialebene der 
Kurve sei, so ist das ein Irrtum und beruht nur auf einem Scheinbeweis, 
wie die genaue Rechnung und der Umstand zeigen, dafs alsdann die 
Kurve eine ebene Kurve wäre und dafs ihre Ebene mit den Vertikal- 
ebenen Pj P, und P, Pj zusammenfallen müfste. In unseren beiden Referaten, 
ZeiUchr. f. Math. u. Phys, von SeUöinüch 1870 Litt.-Ztg. S. 29 und Agtrofum. 
Vierteljahrsschrift Bd. 13 S. 73 ist demgemäfs an der entsprechenden Stelle 
statt tat^ierende Ntyrmahhene (Vertikalebene) nur einfach Normalehene 
zu lesen. (Das Versehen am letztgenannten Orte beruht nur auf einem 
Schreibfehler, da wir schon gleich nach dem Erscheinen des erst- 
genannten Referats bei einer ausfCLhrlichen Untersuchung der Feldlinie 
sofort auf den Scheinbeweis Bremikers aufmerksam geworden waren. 
Diese Untersuchung wurde -nicht publiziert, da der Feldlinie vom geodä- 
tischen Standpunkte aus so wenig Interesse gebührt, dafd andere Arbeiten 
bald ihrer vergessen liefsen.) 

Man vergleiche auch über die Feldlinie das Hauptwerk der englischen 
Vermessung Ordnance Survey, Principal Triangulation S. 237. 

§ 18. Berechnung einer Dreieckskette. Polarkoordinaten. 

Die beobachteten Azimute und ihre Differenzen^ die Horizontalwinkel; 
sind zunächst wegen der Unterschiede der astronomischen und geo- 
dätischen Azimute nach der auf ihr 1. Glied reduzierten Formel (11) 
S. 332: 

a — a = — t^q" ^ "T cos* -B sin 2a + • • • (1) 

in Sek. 1^ «0 

zu korrigieren, wobei s die Entfernung ist und B die geographische 
Breite des Standpunktes^ a das geodätische, a das astronomische 
Azimut bezeichnet. Im übrigen sind die Formeln (6) S. 359 an- 
zuwenden. 

Vielfach wird nicht nur die Reduktion der Azimute und Hori- 
zontalwinkel unterlassen, sondern auch die Berechnung der Dreiecks- 
seiten imd Polarkoordinaten rein sphärisch mit Zugrundelegung eines 
mittleren Krümmungsmafses des ganzen trigonometrischen Netzes 
ausgeführt. Bessel nahm bei Berechnung der ostpreufsischen Grad- 
messung als Kugelradius sogar den Äquatorialradius des Ellipsoids 
und betrachtete doch schliefslich die Ergebnisse der sphärischen 
Kechnung als für die geodätischen Linien zwischen den Netzpunkten 
gültig. 

Die Frage nach den Fehlem, die hierbei begangen werden, ist 



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§ 18. Berechnung einer Dreieckskette. Polarkoordinaten. 401 

eine dreifache. Sie betrifft 1. den Einfiafs mangelnder Reduktion der 
gemessenen Azimute und Winkel, 2. den Einfiufs des Erümmungs- 
mafses auf die nach dem Sinussatz berechneten Dreiecksseiten und 
die ausgeglichenen Winkel und 3. den Einflufs der sphärischen Rech- 
nung bei Ausmittelung der Polarkoordinaten. 

Die Beduktion der Ajsimnte nach (1) beträgt für s = 0,0 la^ d. i. 
ß4*wi jjj^ Maximum rund + 0,01". Da nun s in direkt beobachteten 
Dreiecksketten jenen Betrag in der Regel nur ausnahmsweise etwas 
überschreitet, so kann man wohl die Reduktion als weit innerhalb der 
Beobachtungsfehler liegend yemachlässigen. 

Günstig ist diesem Verfahren, dafs abgesehen von Gliedern 5. 
Ordnung, der ÜberschuTs der Summe der 3 Horizontalwinkel über 
180^ den Excefs des geodätischen Dreiecks giebt, wie die Addition 
der Gleichungen (1) S. 398 zeigt, wonach 

A, + B,-{-C, = A + B + C+Gh. (2) 

Es wird daher bei der Ausgleichung einer einfachen Dreiecks- 
kette ohne Reduktion der Azimute dasselbe System von Verbesserungen 
erhalten, wie in dem Falle, dafs die Azimute und Horizontal winkel 
korrigiert sind. 

Die vernachlässigten Reduktionen a — a bleiben aber den ein- 
zelnen Richtungen als Fehler rein anhaften, und es läfst sich deren 
Einflufs auf die Seitenberechnung und Azimutübertragung somit för 
eine geradgestreckte Kette von der Form der Fig. 13 S. 198 leicht 
ersehen. 

Da a — a von sin 2 a abhängt, so werden Winkel mit bezw. ent- 
gegengesetzt gerichteten und gleich langen Schenkeln gleichviel fehler- 
haffc, mithin ist der Einflufs der Vernachlässigungen auf die Berech* 
nung der Seiten a , a", a'" u. s. f. (welche man sich in Fig. 13 an 
Stelle der Sehnen tt', tt", «'" u. s. f. eingesetzt zu denken hat) um so 
mehr verschwindend, je genauer sich die Dreiecke paarweise zu Paral* 
lelogrammen gruppieren (vergl. die Betrachtung S. 198 u.). Dagegen 
werden alle Seiten c und d um ungeföhr gleiche Beträge irrig er- 
halten und somit auch die Gesamtlänge etwas fehlerhaft. Jedoch 
wächst der Fehler nur einfach proportional der Länge, weil in den 
Seiten a\ d' u. s. f., wie bemerkt, keine Fehleranhäufung eintritt. 

Bedenkt man nun noch, dafs die gestreckten Winkel an den 
Langseiten der Eette von den a — a nicht erheblich beeinflufst werden, 
so bleibt als Gesamteinflufs nur eine geringe Drehung der ganzen 
Kette infolge des Fehlers im Azimut der Seiten c und d, sowie eine 
geringe Änderung der GesamÜänge der Kette. 

Erstere wird O'/Ol nicht wesentlich übersteigen und letztere bei 

Helmert, mathem. u. physikal. Theorieen der höh. Geodäsie. 26 



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402 8. Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

wohlgeformten Dreiecken erst in der 8. Decimalstelle des Logarith- 
mus merkbar^ wie man leicht durch Bildung des log — mittelst der 

um etwa 0,01" fehlerhaft angenommenen Gegenwinkel findet. 

Man kann noch bemerken^ dafs auch diejenigen Seitengleichungeu, 
welche einer doppelten Verbindung von je zwei der Seiten a, a\ a • • 
entsprechen, von der Vernachlässigung der Azimutkorrektionen wenig 
oder gar nicht beeinflufst werden. Sind nämlich z. B.a und a, Fig. 13 
S. 198|- durch ein Viereck mit beiden Diagonalen verbunden und denkt 

man sich das Verhältnis -; mit Hilfe beider Diagonalen hergestellt 

und damit die Seitcngleichung gebildet, so geht natürlich in diese 
ebensowenig jene Vernachlässigung ein, wie in die beiden Werte des 

Verhältnisses —,, Es ist klar, dafs auch jede andere Art der Auf- 
stellung der Seitengleichung in jenem Viereck frei von der Vernach- 
lässigung sein wird, wenn die obige es ist^ weil man aus dieser und den 
Dreieckswinkelgleichungen, die auch frei von der Vernachlässigung 
sind, jede andere Form der Seitengleichung herstellen kann. 

Wenn nach dem Vorhergehenden die Vernachlässigung der Re- 
duktionen der gemessenen astronomischen Azimute und Azimutal- 
unterschiede auf geodätische unter günstigen Umständen nur geringe 
Fehler giebt, so ist doch immerhin bei der grofsen Leichtigkeit, diese 
Reduktionen anzubringen, nicht recht einzusehen, warum sie vernach- 
lässigt werden, zumal in Fällen, wo einzelne lange Diagonalen vor- 
kommen, der Einfiufs der Vernachlässigungen ohne Zweifel beträcht- 
lich das oben angegebene Mafs überschreiten kann. 

Vielleicht würde man dieser Reduktion mehr Aufmerksamkeit 
schenken, wenn sie in den Excessen merkbar würde, oder wenn bei der 
Berechnung geographischer Breiten und Längen mittelst der Ergebnisse 
der Triangulierung aus ihrer Vernachlässigung Widersprüche zwischen 
den Rechnungsresultaten, welche auf verschiedenen Wegen durch das 
trigonometrische Netz hindurch erhalten werden, entstünden. 

Dieses letztere ist aber ebenso wenig der Fall wie das erstere. 

Indem man die astronomischen Azimutaldifferenzen für geodätische 
nimmt^ begeht man nämlich Fehler, die wie Beobachtungsfehler nur 
bei der Aufstellung der Bedingungsgleichungen merkbar werden können 
(hier jedoch auch oft nicht merkbar werden, wie oben gezeigt), die aber 
jedenfalls no^ erfolgter Ausgleichung nicht mehr zu Widersprüchen 
fähren. 

Dieses Verhalten ist wesentlich verschieden von dem bei der 
Rechnung mit Sehnen. Vernachlässigt man hier die entsprechenden 
Glieder 4. Ordnung, so giebt das einen Fehler der mathematischen 



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§ 19. Fortsetzung. Sphärische Berechnung einer Kette. 



403 



Bedingung; d. h. es wird nicht korrekt aasgeglichen, und es mufs 
daher bei der Berechnung geographischer Positionen entlang ver- 
schiedener Seitenzüge sich in den Ergebnissen für gemeinsame Punkte 
eine angemessene kleine Di£ferenz zeigen.. 

Ch. H. KummeU hat 1877 in den Astronom. Nachr. Bd. 89 Nr. 2116 
S. 49 die übliche Berechnung der Dreiecksnetze nach dem einfachen Le- 
gendreBchen Satze einer Kritik unterzogen. Er wendet dazu die Hypo- 
these an, dafs man jedes Sehnendreieck des Ellipsoids wie ein Sehnen- 
dreieck einer Kugel, deren Radius dem mittleren - Krümmungsmafs der 
3 Ecken entspricht, berechnen könne. Unsere Untersuchungen zeigen aber 
die Unzul&Bsigkeit dieser Hypothese. 

§ 19. Fortsetzung. Sph&rische Berechnung einer Kette« 

Wild anstatt des speziellen Erümmuugsmafses K für jedes einzehie 
Dreieck, ein gemeinsamer Wert Km = JST + SK im 
ganzen Netz angewandt^ so vergröfsert sich € um 
ie nach Mafsgabe der Gleichung: 

dK 



de = B -^^ 



K' 



(1) 



wie die Differentiation der Gleichung für £ S. 359 
zeigt Entspricht nun K der geographischen Breite 
5 und Kn. = -ST + d JC der mittleren Breite des 
Netzes JB„ *=» 5 -J- dJB, so wird, weil allgemein 
i:«(l — c»sin*5)«:(l-c*) ist: 

2e»sin2B^ 

(2) 






1 — c« sin*J5, 



8B. 




Vlg. 86. 



Hierbei ist 8B als klein vorausgesetzt; wie es 
der Fall sein wird, wenn K^ ein mittleres 
Krümmungsmafs des Netzes ist Man kann nun 
offenbar in hinreichender Annäherung setzen: 

Se^ — 6.2^ sin 2BmSB + • . (3) 

Püf dB = 0,05 (als Arcus genommen, wie Formel (3) verlangt) und 
fSr eine mittlere Breite Bm «= 45® sowie für « = 10" wird de gleich 
O'/OOT. Jener Betrag von e gehört im Maximum zu einer mittleren 
Seitenlange m ^^ 0,01 o^ ca.; dJB «=» 0,05 aber tritt erst an den äufsersten 
Enden einer meridional gestreckten 637^ langen Kette auf. Man 
erkennt hieraus, dafs es in der Regel recht wohl zulässig sein wird; 
mit einem mittleren Krümmungsmafs des Netzes zu rechnen. 

Ist jedoch Kn = 1, wie bei Bessels Berechnung der ostpreufsischen 
Gradmessung, so wird 8K ^^ Km — K== l — K und in hinreichender 
Annäherung 

df = - 5 . «2 ßos 2jB H . (4) 

26* 



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404 8. Kapitel. Das geod&tisclie Dreieck; Dreiecksnetze. 

Für B gleich null giebt dies bei s ■= 10" för d« den betracht- 
lichen Wert 0,07". Nur zufällig ist für die Dreiecke der ostpreufsischen 
Gradmessung de weit kleiner, da hier B im Mittel 55^ also cos 2B 
gleich — 0,34 ist. Immerhin wird hier da •= + « : 450, also für 
6 = 10" doch schon + 0,022". 

Die Ss werden nun bei der Ausgleichung wie Beobachtungsfehler 
verteilt. Die Art der Verteilung ist dabei' je nach der Gruppierung der 
Dreiecke und den Gewichten der verschiedenen Beobachtungen ver- 
schieden. Sehr übersichtlich ist die Sache bei einer einfetchen Dreiecks- 
kette ohne Diagonalen, deren Winkel gleich genau beobachtet sind. Hier 
wird durch den üblichen Bechnungsgang Se in jedem Dreieck gleich- 

mäfsig auf die 3 Winkel verteilt und jeder Winkel um y vergrofsert. 

Dies hat jedoch auf die Seitenberechnung keinen Einflufs, denn Ä*, 
B*, C* werden oflfenbar dieselben wie für den richtigen Betn^ des 

ExcesseS; weil bei ihrer Bildung wieder y de subtrahiert wird, indem 
man y des Excesses von den ausgeglichenen Winkeln abzieht 

Die Seiten und namentlich die Gesamtlänge PqPu einer gerad- 
gestreckten Dreieckskette ; Fig. 36, werden also richtig erhalten. 

Nicht jedoch die Azimute. Die Winkel bei P^, Pg, Pj u. s. f. 
sind nämlich zu grofs um y der Summe der b der daselbst zusammen- 
stofsenden Dreiecke. Speziell für Fig. 36 ist der Winkel bei P^ zu 
grofs um y (*«i + *«2 + ^h) ^' i- angenähert dfj. Ebenso hat man 
für Pa angenähert df^ zu viel, u. s. f. Bei der Übertragung der Azimute 
von PqPi auf PiP^, PgPs ^« s. f. entstehen daher Fehler im Betrage 
von ds^y dfj + d«4j dfg + ds^ + *^6; "• s. f. 

Diese Beträge können bedeutend werden; sobald wie bei der 
ostpreufsischen Gradmessung die ds alle einerlei Zeichen haben, weil 
die 6 mit dem Aquatorialradius Uq berechnet worden sind. 

Wenn dagegen ein mittleres Erümmungsmafs des Netzes gewählt 
ist, so wird offenbar nicht nur der Betrag der einzelnen de kleiner, 
sondern es treten in nördlich und südlich von der Mitte gel^enen 
Netzteilen die de mit verschiedenen Vorzeichen auf, wodurch einer 
zu grofsen Anhäufung vorgebeugt isi 

Setzen wir P^P^™ 0,1 «o und n — 10, so wird im 1. Fall 
{Bessels Methode) der Azimutfehler der Seite P9P10 gleich 9c* cos 2Bn . f 
und da unter Voraussetzung gleichseitiger Dreiecke £ s=: 10 Sek. ist, 
so folgt dafür rund 0,6" cos 2Bm9 ein Wert, der im allgemeinen zu 
grofs ist, um vernachlässigt werden zu können. 



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§ 20. FortsetEung. Sphärische Berechnung Ton Polarkoordinaten. 405 

Im 2. Falle (Anwendung eines mittleren Erümmungsmarses) ent- 
steht überhaupt nur dann ein Fehler, wenn die Kette nicht die ost- 
westliche Richtung hai Nehmen wir meridionale Richtung, so wird 
auch hierbei der Azimutfehler von PqPiq gleich null. Derjenige der 
andern Seiten ist aber nicht null und zwar wird der Azimutfehler 
der Seite P4P5 ein Maximum. Er beträgt jedoch unter sonst den- 
selben Voraussetzungen wie vorher nur 0,013" sin 25«. 

Im wesentlichen ebenso geringfügig dürften sich bei Anwendung 
eines mittleren Krümmungsmafses des Netzes die Fehler für jede 
geradgestreckte Dreieckskette von derselben Länge gestalten^ wenn 
auch die Verteilung der Sb auf die Winkel bei ungleicher Genauigkeit 
derselben sowie bei Existenz von Seitengleichungen ungleichmäfsig 
sein wird und der Einfiufs von 6 b auf die Seiten dann nicht ganz 
verschwindend ist. 

Dagegen mufs die Anwendung des Wertes JST = 1 (welcher 
der Breite JS «» ca. 45^ entspricht) als unzulässig bezeichnet werden. 

Es mögen hier noch die Fragen beantwortet werden^ wie b sich 
durch einen FeKler in 6* und einen Fehler in a^ verändert Man 
findet leicht bezw. 

*£ = + a . cos 2JB*e« H (5) 

df = — 2£ -^ (6) 

und ersieht hieraus^ dafs selbst so beträchtliche Werte wie de^ = 0,0003 
und — «=» 0,0001 nur die Tausendstelsekunden in b beeinflussen. 

§ 20. Fortsetzung. Sphftrisehe Berechnung von Folar- 
koordinaten* Sind im Anschlufs an Fig. 36 für Pj, P,^ P3 u. s. f. 
Polarkoordinaten in Bezug auf P^ als Zentrum zu berechnen, so kommen 
mehr und mehr Dreiecke mit langen Seiten in betracht und man 
wird daran denken, die strengen Formeln (1) S. 362 anzuwenden. 
Ist jedoch wie in Fig 36 die Kette so geradgestreckt, dafs nur sehr 
kleine Excesse fiir jene Dreiecke entstehen, so kann wieder das ein- 
fache Legendre&i^<6 Theorem in Bezug auf die, dem mittleren Erümmimgs- 
mafs des Netzes entsprechende Kugel Anwendung finden. Nur bei 
Dreiecksnetzen mit grofser Ausdehnung nach 2 Dimensionen sind die 
strengen Formeln notig, denn hier entsteht wegen grofser b auch 
eine wesentliche Ungleichheit der Reduktionen A — A*y £ — B*, 
C — C* in den zur Berechnung der Polarkoordinaten erforderlichen 
Dreiecken. 

Im Falle der Fig. 36 werden durch die sphärische Berechnung, 
wie bereits nachgewiesep, nur die Azimute der Seiten, nicht aber ihre 



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406 8- Kapitel. Das geodätische Dreieck; Dreiecksnetze. 

Längen beeinflufst. Infolge dessen werden auch nur die Azimute^ nicht 
aber die Längen von PqPi, PqP^, PqP^ , . . fehlerhaft. 

Man erhält als Fehler der Azimute im Punkte P^, wie die Be- 
trachtung der Figur zeigt, wenn für die gestreckten Winkel in P^, 
Pj, u. s. f. die Fehler bezw. gleich Se^^ de^^ u. s. f. gesetzt werden, • 



für PoP, : 


i'^' 


P P • 


1«.,+!*., 


„ PoP. : 


T *«» + -| *«4 + X *«« 


7) Po ^10 • 


^ Ö«» + ^ *«4 + • • • :^ *«!« + ^ *«, 



Rechnet man nun mit K^= 1, sodafs alle ds nahezu den gleichen 
Betrag (4) S. 403 erhalten, so macht dies 5de d. i. 5e^ cos 2JSm . £ 
oder rund 0,3" cos 2B. Dieser Azimutfehler kann in der 2. Decimal- 
stelle der Sekunden der von Pq nach P^q übertragenen geographischen 
Breite und Länge merkbar werden. 

Rechnet man aber mit Km und nimmt (als ungünstigsten Fall) 
eine meridionale Erstreckung der Kette an, so ist näherungsweise: 



de^ = — (j£i8 = — 0,005" sin 2B„, 
*66 = — * «14 = — 0,003 sin2jB„ 



df^ = — ds^Q = — 0,004" sin 2B„, 
da8 = — *fi2 = — 0,001 8in2JB„ 



und daher der Azimutfehler für PqPio nur gleich — 0,008" sin 2JBm, 
was wohl meist als geringfügig angesehen werden wird. 

Etwas gröfser wird jedoch im allgemeinen der Fehler fürP^Q^Q, 
weil bei der Berechnimg der Polarkoordinaten für Q^^, von Pjq aus, 
das zwar auch noch schmale, doch immerhin nicht kleine Dreieck 
PqPioQio eingeht. Mit Rücksicht auf das oben Gegebene findet man 
leicht mittelst der Formeln (1) S. 362, dafs hier die Berechnung 
nach Legendres Satz mittelst Km zu dem oben berechneten Azimutfehler 
für PoPio heim Übergang zu PqQiq noch 0,01 bis 0,02" hinzufügen 
kann, sodafs eben diese sphärische Rechnung nur für sohmale gerad- 
gestreckte Ketten zulässig ist. 



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§ 1. Fundamentalgatz. 



407 






9. Kapitel. 

Rechtwinklige geodätische Koordinaten und Übertragung 
geographischer Koordinaten mittelst derselben. 

§ 1. Fnndamentalsatz. Ein System rechtTviiikliger Koordinaten 
können wir uns mittelst geodätischer Linien in der Weise gebildet 
denken, dafs die Abscissen auf einer geodätischen Linie gezählt wer- 
den und dafs die Ordinalen geodätische 
Linien normal zu jener sind; Kg. 37. 

Bewegt man eine Ordinate y im 
Sinne wachsender x^ so beschreibt ihr 
Endpunkt P eine Linie konstanten Ab- 
standes von der a:-Axe. Ist die Ver- 
schiebung des Fufspunkts F unendlich 
klein und gleich dXj so wird man die- 
jenige von P gleich Vidx setzen können, 
wobei n eine Funktion der Lage und 
Länge der Ordinate sein wird: 

PÖ = X^dx. 

Um It kennen zu lernen, führen wir PJF" dadurch in die Lage 
QF' über, dafs wir VF zuerst um den Punkt P drehen und dann 
PJP' durch Drehung um den Punkt F' in die Lage QF bringen. 
Da FF' normal zu FF steht, so mufs FF' bis auf eine unendlich 
kleine Strecke 2. Ordnung mit y, also auch mit QF' übereinstimmen, 
sodafs FQ als normal zu der Ordinate QF' betrachtet werden kann. 
(Die Abweichung von der normalen Stellung ist von derselben Art 
wie beim geodätischen Kreis, vergl. § 3 S. 271.) 

Formel (4) S. 347 giebt nun mit Rücksicht auf die Figuren 28 
und 37 sofort mit leicht ersichtlicher Übertragung der Bezeichnung: 

wobei der Lidex PF an -^ bedeutet, dafs y in der Richtung PF ver- 
längert gedacht werden mufs. Da <9q <» 90^ ist) so folgt hieraus: 




Vllyd0Q 

dx 






(2) 



Das linker Hand auftretende Produkt — VXydS^ ist aber gleich 
PQy wie man mit Rücksicht auf Fig. 37 und aus dem Umstände 



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408 9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische EoordinateD u. s. w. 

erkennt; dafs FQ nicht wesentlich von dem geodätischen Ejreis ab- 
weicht, den die Linie QF' bei Drehung um F' beschreibt. Da 
also — tXtyd&Q «= FQ und nach (1) gleich ndx ist, so folgt aus (2): 



\ dy I PF ^ ^ 



dy IpF 

Diese Formel bildet in Verbindung mit dem oben erhaltenen Satz, 
dafs die Parallelen zur a:-Axe, also die Linien konstanten Wertes y, 
normal zu den Ordinaten stehen, das Fundament für die Theorie der 
rechtwinkligen geodätischen Koordinaten. Die in Formel (3) ver- 
langte Differentiation ist indessen etwas unbequem auszuführen, und 
wir wandeln (3) daher um. Zunächst schreiben wir anstatt (3) für 
den Augenblick besser: 

^-7f- (3*) 

Hierin ist erstens anstatt des Zeichens der partiellen Differentiation 
dasjenige der vollständigen eingeführt, weil eine Azimutänderung 
von y nicht in betracht kommen, also keine Verwechslung stattfinden 
kann. Zweitens ist anstatt dy im Nenner kurz dF gesetzt, um damit 
zugleich den Index FF zu bezeichnen. 

Nach Gleichung (6) S. 275 ist aber unter Anwendung der oben 
eingeführten Schreibweise: 

??- + ".?-»• w 

Hierin bezeichnet jK^ia^* das Krümmungsmafs für Punkt P. Differenzieren 
wir diese Gleichung nach y, wobei aber letzteres über F hinaus ver- 
längert zu denken ist, so folgt: 

dP^dF^ dF ao» ^ ^^^ 

d. i. mit Rücksicht auf den Wert von U nach (3*): 

Für 3^ schreiben wir nunmehr wieder -=-. Bei dieser Schreibweise 
aJr ay 

erscheint es selbstverständlich, dafs y im Sinne wachsender Ordinaten 

über P hinaus verlängert gedacht werden mufs. Man erhält also: 

Diese Formel stellt sich der entsprechenden Formel (6) S. 275 für m 
an 0ie Seite. 



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§ 2. Differentialfonnel für den Richtungswinkel. 409 

Gaufa hat a. a. 0. Art. 19 in der That beide Differentialgleichongen 
gleichzeitig in Form einer noch allgemeiner gültigen Gleichung bewiesen. 
Die Formeln (3) und (6) gelten nämlich auch noch^ wenn die Abscissen- 
aze keine geodätische, sondern eine beliebige Linie ist 

§ 2. Differentialformel fflr den Richtungswinkel. 

Obgleich wir im Folgenden diese Formel nicht anwenden, soll sie doch 
der Vollständigkeit wegen hier entwickelt werden. 

Eine durch P gezogene geodätische Linie PP'^ Fig. 37, bildet 
in P mit der Parallelen zur x-kne den Richtungswinkel ti, in dem 
unendlich benachbarten Punkt P aher, wenn man sie sich über P' 
hinaus fortgesetzt denkt, den Richtungswinkel Si -^^ da. 

Beziehen wir nun diese Geodätische zunächst auf die Linien FT 
und FP'y indem wir diese als Radienvectoren betrachten, so kann 
man nach S. 347 (4) angeben, um wieviel der Winkel 9, gezählt 
vom wachsenden Radiusvector bis zur wachsenden Linie PPj zunimmt 
beim Übergang von P nach P'. Bezeichnen wir PP' mit ds, so wird: 



nty \dy/FP 



Nun ist aber, wie die Figur zeigt, PQ einerseits gleich — sin Sds 
und andrerseits gleich — VXyd&Q. Man hat daher auch 

\ dy iFP <' 
Nach S. 407 (2) iat femer: 



\dy /FF Wjf 



Setzen wir diesen Wert fQr dS^ in die vorige Gleichung ein und be- 
rücksichtigen dabei nach Fig. 37 die Relation dx «= VXyd^^ so folgt: 

\dy Ifp V dy ) pf ^ ^ 

Aus dS erhält man düy wenn man beachtet, dafs wie die Figur zeigt: 

e + dt = 210^+ fi und © + rf© — 270<>+ a + da, 

mithin d& — d^ ^= du ist. Es wird nämlich hieraus durch Ein- 
führung von (1): 

Bestitnieren wir hierin den Wert von dir mittelst der schon erwähnten 
Relation dx = tü^dilf, so folgt: 

ülmA (dmA __ 1 



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410 9- Kapitel, fiechtwinklige geodätische Koordinaten u. s. w. 

In dieser Formel ist in den Differentialquotienten für VXy das Zeichen 
der vollständigen Differentiation eingeführt^ weil der Gegensatz zu 
Änderungen von ttty mit dem Azimut weggefallen ist 

(2) läfst sich aber weit einfacher schreiben, um dies zu er- 
kennen, erinnern wir an die S. 408 vorkommenden beiden Gleichungen 
(4) und (5): 

Eliminiert man K hieraus, so folgt unter gleichzeitiger Addition eines 
und desselben Gliedes -jp jpjf^ beiderseits: 

"*y dP^dF'^ dP dPdF ~ dF dP* ■+" dP dPdF' 



_ d'niy dWy dVXy , -p- . 



Dieses läfst sich links und rechts sofort integrieren. Man erhält: 

d'Wly dWy dniy 

^^ dPdF ~ liF HP 

Weil aber för y = auch Uly = und j^ = 1 = — ^ ist, was mit 

Rücksicht auf die Beziehungen in der Ebene ohne weiteres einleuchtet, 
so ist die Eonstante offenbar — 1. Aufserdem ist nach (3) S. 408 

-jY *=* ^ ^^^ daher: 

dXi- dVXy dVBLy - 

^y'dP~ dF TP ■" ^ 

oder 

\ dy I PF V dy Ifp ^ \dy/p 

Wird dieses in Gleichung (2) eingeführt und der nunmehr überflüssige 
Index P rechter Hand weggelassen, so ergiebt sich: 

dü = p^dx. (3) 

Vorstehende Formel giebt Gauß a. a. 0. Art. 19. Sie gilt auch dann, 
wenn die AbsciBsenaxe keine Geodätische ist. 

Die Differentialformeln für ü nnd n können auch dadurch gewonnen 
werden, dals man die Ordinaten y in F und F bis zu ihrem Durch- 
schnitt Ä verlängert und AQF* auffafst als eine durch Drehung ent- 
standene Lage von APF^ sodafs PQ und FF* Elemente geodätischer 
Kreise sind. Mit Benutzung der für 8 Punkte einer geodätischen Linie 
von Chrigtoffel a. a. 0. S. 148 u. 149 angestellten Relationen (insbesondere 
Nr. 8) gelangt man leicht zum Ziele. 



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§ 3. Bestimmnng von n. 411 

§ 3. Bestimmung YOn n. Zur Bestimmung von It ist K fär 

Punkt JP aus S. 276 (5) zu entnehmen. Zi, «i.j, /J^ beziehen sich 
darin auf den Fufspunkt der Ordinate y, welche an Stelle von s tritt 
und werden besser mit Kp, ap^ ßf bezeichnet. Man hat zunächst 
offenbar, wenn die x-Axe in den Meridian gelegt wird: 

aj,_90«, cosaj. = (1) 

und ersieht, dafs infolge dessen zahlreiche Glieder in K verschwinden. 
Der Ausdruck (5) geht nämlich über in: 

K=Kir(l + 2e« 8in»/J/. sin* ^ + ...). 

Werden nun e und yia^ als Gröfsen 1. Ordnung genommen, so ist 

K=KF+Gk. <2) 

Substituieren wir diesen Ausdruck för JST in die Gleichung (6) S. 408, 
so folgt: 

g + n^(l + GZJ = 0. (3) 

Abgesehen von dem Rest Gl^ ist dies aber die Differentialgleichung 
für K in Bezug auf eine Eugel vom Krümmungsmafs Kß : a^^ In 
der That ist (3) erfÖUt durch 

tt = cos(^l/]^) + Gi„ (4) 

wie man leicht verificieri 

FQr den nachfolgenden Gebrauch ist es nun erforderlich, das 
Krümmungsmafs eines festen Punktes der x-Axe einzuführen. Wir 
denken uns diesen Punkt als Koordinatenanfang genommen und K 
sowie ß für denselben mit dem Index null versehen. In der Formel 
(5) S. 276 ist jetzt «1.2 = und cos «1.2 = 1, ßi = ßo, Ä^j = -Kq, s = ic 
zu setzen. Man erhält damit: 

i& - Zo + 2Zo^ sin 2ß, ^- + Gl^. (5) 

Denkt man sich nunmehr cos (— YKf) in eine Reihe entwickelt, so er- 
sieht man sogleich, dafs 

cos (X YKr) = cos (-J yS;) - JEoC« sin 2^o ^' + Gk • (6) 

Dieses ist zugleich der Ausdruck für n. Setzen wir nun noch zur Ver- 
einfachung: 



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412 9- Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten n. s. w. 

-i-e»8in2/}o = ^o 



X 



(7) 



und fägen dem 2. Gliede in (6) den Faktor ^Kq bei, was nur einen 
Fehler höherer Ordnung erzeugt, so geht (4) mit Rücksicht auf (6) 
über in: 



n = cos iy — eJE'oSi?* + Gky 



(8) 



welche Formel zur weiteren Anwendung geeignet ist. Nach (8) ist 
es insbesondere zulässig zu setzen: 



seci, + eJE^ogiJ* + 6?ie- 



(9) 



§ 4. Gang der weiteren Entwicklung. Im Anschlufs an eine 
von Gatifs in den Disqu. c. sup. c. Art. 19 ((?. Werke Bd. 4 S. 251) 

für die Theorie der geodätischen 
Dreiecke gegebene Entwicklung stellen 
wir zunächst eine Differentialgleichung 
für die Kürzeste zwischen 2 durch 
ihre Koordinaten gegebene Punkte auf, 
Fig. 38. 

Im Richtungswinkel ü^.^ gehe von 
Pj eine geodätische Linie aus, deren 
Länge bis zu einem beliebigen Punkte 
P gleich s sei. Wächst nun bei kon- 
stantem y die Abscisse o; um dx, so 
verschiebt sich die Linie P^P in die 
Lage P^Q. Zieht man PR normal zu P^Q, so ist: 

QR = PQ cos 11. 

Nun ist aber QR zu betrachten als partieller Zuwachs von s bei 
konstantem y und veränderlichem o;. Es ist also ds^^mdx.coaü und 




Fig. 88. 



ndx 



= cos Ä. 



(1) 



Bei konstantem x und einem um dy wachsenden y entsteht ein 
Zuwachs ^s = QfR und da QfR =^ dy sin ü ist, so wird 

ds . ^ 
K- = sm a. 

. dy 

Die Elimination von a aus (1) und (2) mittelst der Gleichung 
cos* a -}- sin* a = 1 



(2) 



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$ 6. Fortsetzung. Bestimmung von a\ 413 

führt zu der Gleichung: 

Multipliziert man beiderseits mit 4t s^, führt anstatt x und y, um den 
einfachen Ausdruck (8) für n anwenden zu können, | und i} mittelst 
der Relationen (7) auf voriger Seite ein und setzt femer 

«=iy^o, (3) 

so ergiebt sich endlich: 

Diese Gleichung ist zu integrieren. Geschieht dieses nach der 
Methode der unbestimmten Eoefficienten^ so wird 6^ als Potenzreihe 
erhalten. Ist aber 6^ als Funktion von | und ij bekannt geworden^ so 
geben (1) und (2) die Gleichungen: 

1 d(ü^^ 



tf cos a ' 

e sin It < 



21t di 

1 d{ü^ 



(5) 



2 dri 
zur Bestimmung von lt. 

Die Yertauschung der Punkte in den Gleichungen (5) liefert 
Formeln für den Richtungswinkel üi.% und offenbar damit auch ein 
Mittel zur Bestimmung von Hi.s — ü. 

Auf dem hier vorgezeichneten Weg werden wir <f^ und H, sowie 
Üi.i — H bestimmen. Er erscheint deswegen bequem , weil die in 
betracht kommenden Ausdrücke für den Fall der Eugel schon ent- 
wickelt sind und nur kleine Verbesserungen zu erhalten haben. 

§ 5. Fortsetzung. BestiiDmiuig Yon öK Wenn wir in Gleichung 
(4) des vorigen Paragraphen für 1 : It einfach sec rj setzen, so ergiebt 
sich diejenige Beziehung von 6^ zu den Koordinaten der Punkte P^ 
und P, welche fQr die Kugel mit dem Radius aQiYX^ gilt und aus 
S. 122 entnommen werden kann. Der genauere Wert von 1 : It giebt 
einen kleinen Zusatz zu jenem 6^, welches wir 6q^ nennen wollen. 
Heifst die Verbesserung V, so ist also: 

ff«_V+F. (1) 

Hiermit geht die oben erwähnte Gleichung (4)* über in! 



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414 d. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten u. s. w. 

Dieses vereinfacht sich einesteils dadurch^ dafs 

(^)'-'+(T-)'-*"' 

ist, andernteils durch die Bemerkung^ dafs man die 2. Potenzen der 
Differentialquotienten von V gegen die 1. Potenzen derselben v^mach- 
lässigen kann. Denn indem Fnur durch das Glied 5. Ordnung 6J?oi}^| 
entsteht, ist es nach (2) selbst von der Ordnung des Produkts dieses 

Gliedes in (^^ ) ; d- i- von der 7. Ordnung. Die Differential- 
quotienten von V haben dann die 6. Ordnung, ihre Quadrate also die 
12. Ordnung. Da ferner die Differentialquotienten von 6^ die 1. Ord- 
nung besitzen, so sind ihre Produkte mit den Differentialquotienten 
von V Gröfsen 7. Ordnung, 

Vernachlässigt man alle Gröfsen, welche die 7. Ordnung, der 
Voraussetzung nach überschreiten, so folgt aus (2): 

Da nach & 122 tf^* — -^|* + -^^^ + Grl^ ist, wenn gesetzt werden: 

Jl = %-1, Jn-n-n,, (4) 

SO hat man für die Differentialquotienten von 6^\ 

^^2J% + Gk -^=2Jn + Gk. (5) 

Für V haben wir, wie bemerkt, eine Funktion 7. Ordnung ein- 
zuführen, d. h., weil e? als Faktor auftritt: eine Funktion 5. Grades 
in Bezug auf die Koordinaten der Punkte Pj und P. Offenbar ist 
aber 6^ und also auch V eine solche Funktion, welche in Bezug auf 
die Koordinaten der beiden Punkte P und P^ vollständig symmetrisch 
gebaut ist. 

Man kann sich diese Funktion zunächst nach Potenzen von ^i 
geordnet denken, denn J^ mufs Faktor derselben sein, indem für 
-^1 e= 6^ =^ Jif wird, also V verschwindet Indessen bleiben nur 
^S' und z/|^ zu berücksichtigen, da das Vorhandensein ungerader 
Potenzen von z/| der eben erwähnten Symmetrie widersprechen würde. 
Wir begnügen uns a]per mit Vernachlässigung von ^S^ zu setzen: 

F= EoJl^' [iiar,' + 6,.* + cflV^) + UW + »Vx* + cv%)) + Gk , (6) 

worin a, 2), e zu bestimmende KoefGcienten bezeichnen. Der Erfolg 
wird diese Annahme bestätigen. 



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§ 6, FortseixoDg. Beetimmang von «^ 415 

Hit Weglassnng des gemeinsamen Faktors E^^ti^ ergiebt die 
Sobstitotion des Ausdrucks (6) in (3) zur Bestimmung von a, b^ c 
die (noch nicht weiter zusammengesogene) Gleichung: 

+ 12,»S = I (aV + W + cnnd + Ix iW +■ aVi' + cvVx) + Gh , 
welche nach gehöriger Ordnung folgende Form annimmt: 

i [4.ri\a + 3) + i,i,,(3c - 2a) + ii,\2h - c)[ 
+ l,[ri'{U - a) + ,1,, (c - 26) + V(a - 6 _ c)) + Gi« 



0. 



Dieselbe mufs identisch verschwinden; was nur möglich ist für nach- 
stehende Werte von a, fe, c: 

a = — 3 6 = — 1 = — 2. 

Setzt man dies in (6) ein und fügt alsdann V zu 6^ hinzu, so folgt: 

1(312^ + ^ + 21,1,0 



•»» = <-^«^|» 



+ 11(1}* + 3^ + 2,1,0 



+ G^?,- (7) 



Im Anschlufs an die Formeln (5) des vorigen Paragraphen bil- 
den wir nun die Differentialquotienten von 6^ und erhalten zuerst: 

<» cos « = (sec 1, + 6i?o 1,» + Gk) (| -^ 
-i:o^|[|(|-i,«4-|i,,»+3w.) + S,(— fij« + |V + i,.,J] + öi,.) 

Hieraus folgt, wenn wir sec ij • y l\ mit (tf cos ä)^ als dem für 
die Kugel gültigen Ausdruck bezeichnen und den oben angegebenen 
Näherungswert von -^ ^ 2 ^ berücksichtigen: 

sd'j'-iv-siji?.) 

Die Differentiation von tf' nacli i, giebt ferner sofort: 
«sin « = (ff sin fl)o - ifo^rl^Si? + i?.) + S,(iJ + %)} + GZ, . (9) 



tf cos fl = (ff cos «)o + -Ei)^! 



+ ÖZ,.(8) 



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416 



9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten u. s. w. 



§ 6. Bestimmung Yon Distanz und Richtungswinkeln aus 
den Koordinaten. Die Formeln (7), (8) und (9) des vorigen Para- 
graphen denken wir uns nunmehr angewandt auf 2 Punkte P^ und Pg. 
Es ist alsdann an die Symbole £ und r/ ohne Index der Index 2 an- 
zuhängen. Femer ist ü mit II2.1 4" 180^ zu vertauschen. 

Führen wir auTserdem die linearen Koordinaten selbst wieder ein 
und beachten die für die Kugel geltenden Formeln (3)^ (4) und (5) 
S. 122; dann wird nach einigen Reduktionen erhalten: 



s^ 






(1) 



Hierin ist gesetzt: 



Jx 



«1 — «1 



yt + y» 



J9. 



yt — yi 



?» = -|- = ^ mit W= Vi - e*Bm*B„ 



(2) 



letzteres nach S. 59 § 15 (3)^ wobei Bq die geographische Breite 
des Koordinatenanfangs bezeichnet. 

Bei Herstellung der Ausdrücke ^cosHi.i und ssinits.i mittelst 
(3) und (4) S. 122 ist in diesen Formeln eine Vertauschung der Indices 
1 und 2 auszuführen. Es findet sich: 



s cos 02.1 «="—-^ä; 



1 _ ^äI - :^'l 
• /_yil y.'^y' , l£y^\ _ /y. vt,^^\ ££ 

"T \»4p* 12^* "^ $eOQ*/ \2(»»^16^*/ 8p* 



+ »Gi,; (3) 



«sin ttt.t 



+ [" ^ + '** + ^»^ ^] ^' *'""**' + p <?^ • 

Durch Yertanschung der Indices 1 und 2 folgt hieraus: 



(4) 



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§ 6. BeBtimmimg YOn Distane und Bichtongs winkeln aus den Koordinaten. 417 

1 (jyl- _ j^) 



sco8Äi.2 = ^a; 



■i-QGl,; (5) 



ssinfli.«: 



^y + (y. + j ^y) 



(6) 



Zur PrüfuDg dieser Formeln dienen die Relationen: 
s^ = s^ cos* Ä«.i + s* sin* ^2. i = 5* cos* Ä1.2 + 5* sin* üi,% . 

Bei der numerischen Auswertung ergiebt sich ebenfalls eine 
Eontrolle durch doppelte Berechnung von s aus den Systemen (3), 
(4) und (5), (6). 

Eine andere Eontrolle kann mittelst einer Formel erhalten wer- 
den^ welche direkt die Differenz 



«2.1 — Äi.»— 180^ = Jü 



0) 



angiebt. Soweit die Eugel in betracht kommt, ist diese Differenz 
schon bekannt. Es handelt sich also auch jetzt nur wieder um die 
Bestimmung des Eorrektionsgliedes. 

Durch Addition der Gleichungen (4) und (6) ergiebt sich mit 
Rücksicht auf (7): 

«(sin tti.2 — sin (äi.» + Jn)j = {s(sin üi,% — sin («1.2 + -^ä)) }^ 

+ l(y-|^y)| + (y + |^y)^)^e«8in25. + ^G«„(8) 

worin das 1. Glied rechts sich wieder auf die Eugel bezieht. Wird 
nun sin(ili.2 -)" ^^) aufgelöst^ so folgt aus (8) unter gleichzeitiger 
Umformung des in ^ multiplizierten Gliedes: 



— scos Ä1.2 . ^H + 



■• — {S cos ai.2 . -^Ä)o + • • • 



Beachtet man jetzt Formel (5)^ nach welcher /Jx im allgemeinen 
nur um einen kleinen Bruchteil 2. Ordnung seines Wertes von s cos ai.2 
verschieden ist, so erhält man durch Division mit Jx (vorbehaltlich 
weiterer Untersuchung der Gültigkeit): 

Helmort, mathera. n. pbyaikal. Theorieen dor hob. Oeodftife. 27 



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418 9. Kapitel. Rechtwinklige geodäÜBche Koordinaten o. a. w. 

Der Wert von (^ü)q ergiebt sich aus Formel (4). S. 119, wobei 
in den Gliedern 4. Ordnung für u und v bezw. ^fx und ^fy genom- 
men werden dürfen. 



Damit folgt endlich: 



da = — p — 

in Sek. • ^ 






(9) 



Um mit Sicherheit zu erkennen^ dafs diese Entwicklung zulässig 
ist; mufs man sich (8) in die Form gebracht denken: 

s sin (äi .2 + du) = s sin fli .2 + Ä . (8*) 

Wie S. 31 gezeigt; findet man nun, dafs die Entwicklung von 
du nach Potenzen von h gilt, sobald h : s co8^lli.2 eine kleine Gröfse 
ist; deren Potenzen von einer gewissen Stelle ab vernachlässigt wer- 
den können. Insoweit aber die der Kugel entsprechenden Glieder 
allein in betracht kommen^ ist die Formel (9) schon früher als fiir 
kleine Werte der Koordinaten brauchbar erwiesen. Man sieht jetzt^ 
dafs die Brauchbarkeit auch für das Ellipsoid bestehen bleibt, denn 
die Glieder in h, welche durch e* erzeugt werden, haben jedenfalls 
sämtlich den Faktor dx!*^ weil dieser Faktor notwendig allen höheren 
Gliedern des Ausdrucks för s^ S. 416 (1) anhaftet, wie die Entwick- 
lung S. 414 zeigt. Dieser Faktor bleibt für ssinai.s bestehen, und 
es läfst sich also h durch s^ cos'a2.i dividieren, welches von ds^ 
nur um einen, von 1 nicht erheblich abweichenden Faktor unter- 
schieden ist. 

Hiermit ist aber leicht zu ersehen, dafs A:5cos'il2.i för solche 
Werte der Koordinaten, die im Verhältnis zu a^ Gröfsen 1. Ordnung 
sind, jedenfalls eine kleine Gröfse 2. Ordnung ist, deren Potenzen 
also der Reihe nach immer kleiner werden. 

Für die numerische Genauigkeit der vorstehenden Formeln ist es 
vorteilhaft, den Anfangspunkt der Abscissen, für welchen K^ gilt, so 
zu verschieben, dafs die Abscissen selbst möglichst klein werden. 

Im allgemeinen ist es am besten, JS^ für die MiUe zwischen den 
Fufspunkten der Ordinalen y^ und y^ zu nehmen. Dann wird a: = 
und iCj «SB — ojg , wodurch sich die Werte der von c* abhängenden 
Glieder stark reduzieren. 

Bei Werten der Entfernungen s und Ordinaten y < 0,1 a« beträgt 
unter dieser Voraussetzung der Einflufs der von e^ abhängenden 



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§ 7. Beatimmung der KoordinatendifPerenz u. s. w. 



419 



Glieder im Maximum f&r log s höchstens mehrere Einheiten der 8. Deci- 
male. Der Einfiufs auf ^a beträgt gleichzeitig etwa ebensoviele Ein- 
heiten der 2. Decimalstelle der Sekunden. 

Um eine Vorstellung von der Genauigkeit der Formeln dieses 
Paragraphen zu gewinnen, braucht man sich dieselben nur mittelst 
derjenigen für das geodätische Dreieck S. 359 entwickelt zu denken^ 
was in der That möglich ist, indem man das Viereck P^P^F^F^ 
(Fig. 38 S. 412) in 2 Dreiecke zerlegt. Aus Tafel (27) S. 388 und Formel 
(3) S. 403 schliefst man, dafs bei passender Wahl von K^ in ^a im 
Maximum Fehler von einigen Hundertstelsekunden entstehen können, 
wenn die in frage kommenden Dimensionen den Betrag von 0,1 a^ 
erreichen. Femer ist hieraus und aus § 14 S. 388 u. ff. zu ersehen, dafs 
log 8 in diesem Falle in der 8. Decimalstelle unsicher werden kann. 

§ 7. Bestimmung der Eoordinatendifferenz und der Differenz 
der Bichtungswinkel aus der Entfernung PiP^, dem Richtungs- 
winkel in P^ und den Koordinaten yon P^. Hierzu ist es nur 
nötig, die Formeln (5) und (6) des vorigen Paragraphen nach ^x 
und /Jy aufzulösen. Dies wird aber dadurch- sehr erleichtert;, dafs, 
insoweit die für die Kugel gültigen Glieder in betracht kommen, 
die Formeln schon früher auf S. 118 gegeben sind. Aufserdem genügt 
es in den mit e^ multiplizierten Gliedern zu setzen: 

^2 = a:i + li + GZj yg = y, + V + Gl^, 
und so wird erhalten: 



s sin fli.2 u = s cos Ä1.2 



Vi 



X, 



(1) 

(2) 

+ QGUS) 



I -[(.. + T')? + (T"+S-)f]?-»'»- + »G!, 

+[(?-4)?+(^.-4)7]'*-^ 

Zur Berechnung von ^ü kann man entweder die Formel (9) des 
vorigen Paragraphen anwenden oder mit Rücksicht auf Formel (5) 
S. 119 setzen: 



in Sek. 



• Y («i + «») 



- (yi -h y«) 



Ä2. 



«1.2+ 180« + ^tt. 



(4) 



27* 



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420 9. Kapitel. Rechtwinklige geodäüsche Koordinaten u. s. w. 

Über die Genauigkeit dieser Formeln gelten wesentlich dieselben 
Bemerkungen wie im vorigen Paragraphen. Insbesondere ist es 
im allgemeinen vorteilhaft, den Koordinatenanfang, auf welchen Kq 
sich bezieht; auch hier inmitten der Fufspunkte der Ordinaten an- 
zunehmen, wozu es ausreicht, a;^ = — ^ ** ^^ setzen. 

Man kann indessen um so mehr hiervon abweichen, je kleiner 
die in betracht kommenden Dimensionen sind. Ohne Zweifel ist es 
unbequem, bei der successiven Berechnung der Koordinaten der Punkte 
einer Haupttriangulierung stets ein neues Kq für jede neue Dreiecks- 
seite zu nehmen, wenigstens dann, wenn man Kq bezw. Wq aus den 
Tafeln genau interpolieren mufs. Es genügt jedoch immer, den 
nächstgelegenen Tafelwert zu nehmen, unter der Voraussetzung, dafs 
die Tafelwerte von 10 zu 10' voranschreiten (selbst 20' Intervall 
würde noch genügen). 

Indem man also q immer fortschreitend verbessert, erlangt man 
den Vorteil, dafs die in ^ multiplizierten Glieder sehr klein und 
meistens so klein werden, dafs sie ganz wegbleiben können. 

Man wird dann oftmals die Formeln (2) bis (4) auf die im 
Druck hervorgehobenen Glieder der beiden niedersten Ordnungen 
reduzieren können. 

Ein sehr ausgedehntes Dreiecksuetz kann nach diesen einfachen 
Formeln aber nur dann behandelt werden, wenn man mehrere Abscissen- 
axen anwendet, deren ostwestlicher Abstand etwa nur 150^'" beträgt. 
Punkte von mittlerer Lage werden auf beide benachbarte Axen be- 
zogen. (Vergl. S. 120.) 

Um die genau meridionale Richtung dieser Abscissenaxen zu 
sichern, mufs man von der ersten, durch astronomische Messungen 
festgelegten Axe aus mittelst der strengeren Formeln rechnen bis zu 
denjenigen Netzpunkten, durch welche die beiden benachbarten Axen 
gelegt werden. Von diesen aus lassen sich dann wieder die benach- 
barten Axen bestimmen, u. s. f. 

In Preufsen benutzt man hierbei ein anderes Verfahren: Man 
rechnet direkt geographische Koordinaten (die man für kartographische 
Zwecke ohnehin nicht entbehren kann) für die Punkte des Haupt- 
dreiecksnetzes und geht dann nach Bedürfnis zu lokalen rechtwinkligen 
Koordinaten über. 

Dieses Verfahren hat den Vorteil, dafs man mit Leichtigkeit die 
Abscissenaxen in ganze Längengrade Abstand von einander bringen 
und überhaupt ohne weiteres irgendwo ein System lokaler recht- 
winkliger Koordinaten etablieren kann. 



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§ 8. Überiragang geographischer Koordinaten. 



421 



§ 8. Übertragung geographischer Koordinaten. Schon bei 
Behandlung dieses Problems für kleine Distanzen auf der Kugel 
S. 123 zeigte es sich vorteilhaft^ zunächst rechtwinklige Koordinaten 
fQr den Endpunkt P^ der Linie s in Bezug auf den Meridian des 
Anfangspunktes P^ zu berechnen. Im Anschlufs an Fig. 39 denken 
wir uns also die Koordinaten x und y für P^ herechnet, alsdann 
aber mittelst des Meridiansbogens x von der geographischen Breite 
jBj des Punktes P^ übergegangen zur Breite F des Punktes F, dem 
Ordinatenfufspunkt. Es bleibt nun hauptsachlich noch die Aufgabe, 
von F aus mittelst y den geographischen Längenunterschied und die 
geographische Breite für P2 zu ermitteln. 



West 




00t 



Süi 




Fig. 89. 



Pig. 40. 



Bei sehr kleinen Distanzen mufs es ausreichen, die Figur NFP^ 
auf dem Ellipsoid wie ein sphärisches Dreieck, auf einer Kugel mit 
dem Querkrümmungsradius Qn im Punkte F als Radius, zu berechnen. 
Denn die Normalen des Ellipsoids für die Punkte P2 und F schnei- 
den sich bei geringen Entfernungen sehr nahe in einem und dem- 
selben Punkt Kf der Rotationsaxe, welcher Punkt von F um p„ ab- 
steht (Fig. 1, S. 40). Die Seiten und Winkel des sphärischen 
Dreiecks, das auf der um Kf mit Qn beschriebenen Kugel zwischen 
den Durchschnittspunkten der Linien KfFj -ffi-Pg und KfN mit der 
Kugelfläche liegt, entsprechen nur insofern nicht genau den Winkeln 
der Normalen mit der Erdaxe, sowie den Winkeln 90®, Li, 2 und 90^-|-< 



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422 9- Kapitel. Rechtwinklige geod&tische Koordinaten n. s. w. 

des Dreiecks NFP^ auf dem EUipsoid^ als KfP% nicht genau Normale 
des Ellipsoids ist. 

Die sphärische Rechnung bedarf daher der Korrektion; welche 
nun ausgemittelt werden soll. Wir setzen: 

X«:^^ e» für die geographische Breite F. (1) 

yn 

Im Anschlufs an die Formeln des 5. Kapitels^ S. 218 u. £f. ordnen 
wir femer der Fig. 39 eine sphärische Figur zu, Fig. 40, welche 
die Azimute und Komplemente der reduzierten Breiten unmittelbar 
enthält. 

Nach Formel (9) S. 221 ist: 



^y = «oyi^_r|äV'l — Ä^sinV dq> 
i = c sin F. 



Da nun Qn = % ^T^l — ß* sin* F ist, so hat man auch 9»=ao :yi — 1^ 
und also 



dri = yi — ? Yi — k^ sin V dip . (2) 

Setzeis wir aber ri als Grofse 1. Ordnung voraus, so wird durch 
Reihenentwicklung : 

yi-Ä«sinV = 1 - ^ Ä^ (9' - i^*) + Gk' 

Wird dies in dem Ausdrucke (2) eingeführt und dann von 9 = 
bis y integriert, so wird erhalten: 

,, = 9i/r^^(i-|py* + ^Ä»,,* + (?ig). (3) 

Hierzu gehört die nachfolgende Umkehrung, wie leicht zu verificieren^ 

Man hat ferner aus Formel (14) S. 231, wenn Äi = ^-Z:*+ --Ä* + «« 

und n = Y e* + -g e* + ' * gesetzt, sowie beachtet wird, dafs cos ßjr 
= cos JF:}/l -^i? ist: 



^ , «■ COS F 



2 }/l-ÄJ» 



+ 4Ä;*sin4y + G/, 



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§ 8. Übertragung geographischer Koordinaten. 423 

Den Index von Xri.g werden wir im Folgenden der Kürze wegen 
unterdrücken. Substituiert man nun die Reihen Bm2(p «^2(p — « 9>'+ ••; 

sin 49 = 4<p + . • und 1 : Vi - k^ =. l + -L J« + 1 ft* + • ., 

so folgt: 

i = A ~ le» cos J^ {(l + I Ä« + I e» + 1 1* + I ^*» + I e*) (p 

und wenn man endlicli ffir fp mittelst (4) ij einfOhrt: 
Mittelst sphärischer Trigonometrie hat man weiter: 



2 



(5) 



tan X «=» tan g> sec ßr = |/1 — Je* tan g> sec J', 

wozu wir aus (5) den Wert von l und aus (4) den Wert von 9? 
entnehmen. Es ergiebt sich hieraus, indem nachstehende Entwick- 
lang nach Taylors Satz: 

tan (w 4" *) «=» tan m + d sec^w + d* sec^u tan u 

+ d» sec»w (tan^w + 4) H > (ß) 

unter Vorbehalt der Beurteilung der Zulässigkeit, auf u«^ L mit 
8 = X — Ly sowie auf w = ij mit d = ^p — ij angewandt wird: 

tan Z + (A — Z) sec^i + (A - Lf sec^Z tan L + Gl^ 
= }^1 — i* sec jP{ taniy + (9? — ij) sec^iy + (9) — i2)'sec^i2tani2 + G^^9 } • W 



Durch Entwicklung von 1 : y 1 — c* in Formel (4) wird aber 
erhalten: 

Die Sabstitation dieses Ausdrucks, sowie desjenigen fOr il — L aus 
(5) in (7) giebt nun mit Benutzung der Relation sec* = 1 -{- tan*: 



tan i -f i- e*ij cos F 



1 + T«* + T**+ 8 «* + ¥** + T^*'| 



+ -j- e*i/« cos» J" tan L -\- Gl^ 



(9) 



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424 



-»V'l-PsecJ' 



9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten n. b. w. 
taniz + ^Q-e^ + l^ + Ze«*) 



Die recÄfe Seite dieser Gleichung geht durch Entwicklung von 



>-!** 



16 



yi —k* in die Reihe 1 

1 2 

teilweise Substitution von tan ij — 1^ + -3-^* + 7g1?* + 
folgenden Ausdruck: 



i^ — • • • und durch 



über in 



sec F 



tan iy + 



'-i^' + i^--k^^-'l^^' 



' 16 



- A i" - ;t e*A* - A e»i* 



(10) 



16 16 16 

+ (^^ + 1^-1*^)"' 

Man erkennt nun zunächst durch Yergleichung mit der linken 
Seite von (9), dafs 

tan L = sec jP tarn? + 1? sec jP (y c^ — Y Ä* — y e* cos* j) + Gl^y 

d. h., da wegen fe* = e* sin^F die Parenthese verschwindet, dafs 

tan L = sec Ftan n + Crh- (H) 

Mit dieser Relation eliminieren wir in den kleinen Gliedern von 
(9) tan^Z und tanZ. Die linke Seite von (9) geht damit Qber in: 

tan Z + , cos F (I 6* + I ^ + | e« t« + ^ e^i* + | e*i» + A e«) 
+ fi'coHF{]- e* + I e'k') + i?» sec f(| «» + A ß* + i- c«ä«) 

.+ i?*secJ^.|c> + GJ3. 

Setzt man hier noch in dem 2. und 3. Gliede für (? cos F den 
Wert e* cos* JF . sec F, d. i. (c* — J^) sec J", so erhält man fttr die 
Unke Seite von (9) den Ausdruck: 



tan i + sec jP 



i^-f^' + i^'i^-i^^' 



+ 



16 



_ -l Ä6 _ 8 g4 J2 _ 1 ^^^A 



16 



16 



16 



,+ (i«* + |«*-TÄ^)ij' + |e'.»« + öt,-. 



(12) 



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§ 8. Übertragung geographischer Koordinaten. 425 

Vergleicht man dies endlich noch mit dem Ausdruck (10) für 
die rechte Seite von (9), so erhält man die einfache Formel: 

tan Li,2 = tan ij sec jP (l + ^ ft^iy* + G^) . (13) 

Geht man nur bis zur 7. Ordnung^ so reicht es sogar aus, tan L 
= tan rj sec F zu setzen. Selbst für iy = 0,1 beeinflufst das Glied Ji^rj^ 
der Parenthese rechter Hand die 8. Decimale des log tan L höch- 
stens mit 2 Einheiten. ^ 

In Bezug auf die Konvergenz der in der Parenthese rechter Hand 
von (13) auftretenden Reihe ist nun noch nachträglich zu erörtern, 
inwieweit die Anwendung der Reihe (6) zulässig ist. Es können 
dahei indes nur Zweifel für die Anwendung auf m = i entstehen und 
zwar hier, weil trotz der Voraussetzung über iy als einer Grofse 
1. Ordnung doch L in der Nähe des Pols sehr grofs werden kann. 
Diese Anwendung setzt aber, wenn wir entsprechend einer Multipli- 
kation von (13) mit cos 2^ sogleich diesen Faktor anbringen: 

tanAcosF=tanLcosi^+ (^ — i)cosi^sec*L -f (A— i)*cosFsec*itan L 
+ {k — Lfco8Fsec^L (tan*i+ -J) + ... (13*) 

Bleibt man, wie geschehen, bei (A — Ly stehen, so. ist der Rest gleich 

(l - Ly cos F sec^ L' (tan« V + {-) , (14) 

wobei L' ein nicht näher bekannter, zwischen L und X gelegener Wert 
ist (S. 25). Für (A — L) können wir in ausreichender Annäherung 

hierin — c*i2 cos JF' setzen; nehmen wir aufserdem für sec*i' den Wert 

1 -{-tan^L^ so reduziert sich die Frage, ob der Rest auch in der 
Nähe des Pols vernachlässigt werden kann, auf die Untersuchung des 
Ausdrucks: 

i-6V(tanrcoslO*. (14*) 



Hierin setzen wir />' = A — — x(^rj cos F, wobei x keinesfalls die 1 

tu 

Daher ist 
tan l C08 F — tan (— ne^rj cos Fj cos F 



2 

wesentlich überschreitet. Daher ist 



tan L' cos F = 



1 + tan X tan (— kc*i? cos f) 



Obige Entwicklungen zeigen aber, dafs tan A cos i^ = |/l — A:* tan % 
also sehr nahe gleich tan -q ist Mithin ist nicht nur der Nenner im 



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426 9. Kapitel. Rechtwinklige geodfttiBche Koordinaten n. 8. w. 

vorstehenden Ausdruck rechter Hand für kleine Werte von ij stets 
nahezu gleich 1, sondern man sieht auch leicht, dafs allgemein 
tan Zr' cos i^ nahezu gleich tanij; also eine Grofse 1. Ordnung ist 

Hierdurch ist gezeigt, dafs das oben besonders hervorgehobene 
Restglied (14'*') und damit ebenso der ganze Rest (14) auch am Pol 
eine Meine Gröfse innerhalb der vernachlässigten Ordnungen bleibt 

Die Formel (13) ist demnach ffir kleine Werte r/ auch in der 
Nähe des Poles brauchbar. v 

§ 9. Fortsetzung: Meridiankonvergenz. Das sphärische Hilfs- 
dreieck giebt zur Berechnung der Meridiankonvergenz t die Formel: 

tan ^ = — sin 9? tan ßr. (1) 

Hierin setzen wir 

tan iJj. c== yr^ tan JP (2) 

und 

sin (p = sin (^ + (9^ "~ v)) = sin ij + (9* ~" 't) ^^^V — y (9^ "" vf sin ij + ^k' 

Mit Rücksicht auf den Wert von {ap — ij) nach Formel (8) S. 423 
läfst sich hieraus nach und nach ableiten: 

sin,(l-4-c»-lc*-ie«) 

oder 

l/r=78in9>-8in, + -i-ij''(*«-e«)(l+e») + ^ijV-7*»)+öi,. (3) 

Damit ergiebt sich aus (1), wenn man noch auf die Formel 
Ä* = e* sm^F Rücksicht nimmt: 

tan^= -tanl?'(sini? - y i?V(l+c*)co8«l''+ ß^)i?V(l - 7sin«F) + Gl,)- 

Zieht man hier endlich sinij als Faktor, wobei zu beachten, dafs 
ij:sini2 = l + -r1* + Crh ^st, so folgt: 

Die Gültigkeit dieser Formel ist für kleine Werte von i} unzweifelhaft 



yi — e* sin 9? = 



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§ 10. FoHsetzang: Breitendifferenz. 427 

§ 10. Fortsetzung: Breitendifferenz. Aus dem Formelsystem 
(9) S. 126 entnehmen wir die im sphärischen Hilfsdreieck stattfindende 
Gleichmig: 

sin {ßp — /Sg) = — tan ^ cos jJ/f tan y • (1) 

Um linker Hand die Di£Eerenz der geographischen Breiten zu er- 
halten, benutzen wir die Formehi: 



sm Bf = ^- r sm F cos ßf = -r. 

, a yT ~ e* sin B, ^ coa JB, 



(2) 



Vi - c* »in« JB, "^^ 1/1 — e« sin« -B, 

Hieraus folgt durch Bildung von sin ßp cos ß^ ■— cos /J^ sin jS, sofort: 



sin (/J^ - ß.) = sin (J^— B^) ^ ^^^]~/ 

Es ist daher: 



sin {F - 5,) = - tan * cos F tan y V^ jj'jj°'^« ^ (3) 

yi c 

in welche Formel nunmehr fiir k noch L einzuführen ist. 

Es ist aber, weil identisch y A — y -^ + V (^ "" -^)> niittelst 
der Entwicklung (6) S. 423: 

cosi^tany— cosJP{tany+^^sec*Y + (^^') sec*ytany+.-|, (4) 
worin nach (5) S. 423 zu setzen ist: 

Man hat nun zu beachten, dafs zufolge Formel (13) S. 425 L absolut 

genommen 90^ nicht übersteigen kann, tan — also höchstens gleich 1 

wird. (Diese Grenzwerte treten ein, wenn Punkt F in den Pol föllt.) 
Damit ist ersichtlich, dafs die Entwicklung (4) auch am Pole kon- 
Tergiert^ denn ihre Glieder sind sämtlich kleiner als die entsprechenden 

Glieder der Entwicklung (13*) S. 425. Es ist insbesondere auch cos i^ tan y 

bis zum Pole eine kleine Grofse 1. Ordnung, weil der gröfsere Wert 
cos F tan L dieses Verhalten hat. 

Wir erhalten jetzt aus (4) durch Substitution des Wertes von 



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428 9- Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten n. b. w. 



cos F tan ^r- = cos F 



+ 4-«*'»co8 Ftan^y+GJ, 



womit der Ausdruck (3) für sin {F — JB,) übergeht in: 

sin(i^- jBg) = - tanicos FJtan y + (^ e»+ ^ e*F + ^e*) ijcosi?' 



+ l^,,cosFtan«|+G^J,)l^^^.(5) 



VT- 

Die Entwicklung des letzten Faktors rechter Hand giebt, wie 
leicht zu ersehen ist: 



»^^g5 = i + i.e»cos''5,+e'(|— isin»B,-l8in*5,) + GZ.,(6) 

worin wir zunächst für B^ die Breite F einfuhren. Die vorhergehende 
Gleichung zeigt, dafs man mit Rücksicht auf Formel (4) S. 426 
setzen kann: 

B^ — F ri sin Ftan y (1 + Gl^). 

Substituiert man dies in die hier stets gültige Reihenentwicklung: 
cos* B^ = cos» F—{Bi — F) sin 2 J' — {B^ — Ff cos 2F 

+ |(B,-J^)«8in2F+..., 

so wird mit Benutzung der Formel cos 2F = 2 cos^l^ — 1 ohne 
Schwierigkeit erhalten: 



cos* JBg = cos*F+ 71 sin Fsin 2 J'tan ^ + ij* sin* jP tan* y + Gl^ 
sin*JS, = sin*JF'+ffZg. 

Hiermit läfst sich (6) auf nachstehende Form- bringen: 



(7) 



yi=^^ = l + ±e^oos^F + ^{i-^^n^F-i.in^F) 



n 



+ e*ij sin« Fcos Ftan y + y c*ij»sin»Ftan»y +0?« 



Dies vereinfacht sich noch, wenn wir die Relation 
tan y =• Y **° ^,V ~ **°* y) 



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% 10. Fortsetzung: Breitendifferens. 429 

benutzen und mit Rücksicht auf (13) S. 425 setzen: • 

C08j'tan4 = i-i,(l-tan«|-) + |,»(l-tan»|) + G?,. (8) 

Man erhält dann ohne Mühe: 

l + ye» cos» J' +«*(?- - ^sin'J'- y sin*F) 



Vi— e'8iit'.B, 
yi — e' 



+ ire'ri* Bin* F-\-aie. 



\(d) 



Indem wir dies in dem Ausdruck (5) substituieren ^ setzen wir zu- 
gleich daselbst im 2. Oliede der grofsen Parenthese: 

1,=,, (l-tan*:^) +,tan«y=2co8J'tan:^(l— li,*)+,,tan«y+(?i, 

und erlpalten zunächst für die grofse Parenthese Yon (5) den Ausdruck: 

*»°l(l+(T^*+T^**+l'^-|*V)co8«J'+|«*'?cosJ'tan|+GZ,). 

Hierin setzen wir endlich noch im letzten Gliede für cos l^tan -r- den 

gleichen Wert y ij (l — tan* -) H" ^h ^^^ gelangen sodann nach 

einfachen Reduktionen mit Rücksicht auf die Beziehung k =^esm F 
zu der Formel: 



sin(F— JS,) = — tan ^cosFtan— 



( 



Setzt man hierin für tan t seinen Wert nach (4) S. 426, so folgt auch: 

I l + (e*+e«)co8>if + ö?e 

+ e*ij* (I sin» J^- ^cos'F- |tan« ^) 



(10) 



8in(F— ^a) "= sin ij sin Ftan^ 



.(11) 



Diese Formeln lassen sich noch yereinfachen^ wenn man für eine 
vorläufig nicht näher bestimmte Breite zwischen B^ und F das Ver- 
hältnis ifniQm einführt. Sei die Breite F-j-x^B^ — F), so ist: 



' ^-^•''"y+:^^'-^ ^-l + (e'+eOcos»(j-+x(^,-JF)) + G;, 



Man hat aber^ wobei die ähnliche Reihenentwicklung für cos^f ^ auf 
Seite 428 zu beachten ist: 



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430 d. Kapitel. Rechtwinklige geod&üsche Koordinaten u. 8. w. 

Xios\F+x{jB^—F))=cos^F-x{B^—F) sin 2F-'x\B^—Fycos 2F+Gl^ 
= co8^2^ + 2xij sin* F cos F tan — 

-= cos« F+ xij» 8in*F(l - (1 — x) tan» y) + Gi^. 

Es ist daher für die Breite F+ x (JS,— J'): 

-?^ = 1 + (e»+ c*) cos« JP+xc*ia« sin« f(i - (1 - x) tan« y) + G?,. (12) 

Die Vergleichung mit (10) und (11) zeigt, dafs es vorteilhaft ist, 
X as -— zu nehmen. Dann wird; 



sin(F— ^8)= 



— tan t cos F tan 



^1.2 9n 



X {l+e*1J^(+/2^0S«^+[lV'^*^-4-V^^^ 

=- + sinijsinFtan -—?.-" \ (13) 

X jl+e*,«(-lcos«J^+[A8in«F-|]tan«%i)+(?i,j 
i=. _ „Z."- för die geogr. Breite F + -J- (B, - J"). 

Die Anwendung dieser Formeln setzt aber eine indirekte Rechnung 
voraus. Zieht man direkte Rechnung vor, so ist x «= null zu setzen. 
Damit findet sich: 



8in(F— B^)= 



= — tan t cos F tan 



^1.2 Qn 



x{l + eW[{-lco.'F^\Uin'^]+Gk) 



+ sin 1^ sin J" tan — ^— • — 



X (l + e«i,«[- ^ + 1 sin« J-- 1 tan« %^] + Gk) 
- " = _ , für die geographische Breite F, 



(14) 



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§ 11. ZusammeDstellong f. d. Übertragping geographischer Koordinatext 431 

In den Formeln (13) und (14) wird man e^ij^tan^y vernach- 
lässigen können; sobald man nicht dem Pole nahe ist^ weil alsdann 
dieses Glied nur die 6. Ordnung hat. 

§ 11. Fortsetzung: Zusammenstellung. Für die nachfolgende 
Zasammenstellung wählten wir die Formeln mit teilweise indirekter 
Rechnung und brachten sie in logarithmische Form. Die Formel für 
JBi — F ist dieselbe wie S. 51 (6). 

Gegeben: Die rechtwinkligen Koordinaten x und y von Pg be- 
zogen auf den Meridian von P,, gegeben ferner die geographische 
Breite B^ von Pj. 

Gesucht: B^y Li.i und die Meridiankonvergenz t 

,0g iB,-^F) - ,og(£f)-,.(C.y_,.0+ o,. 



9m 



Q'^^m' 



-^7,—^ = [8,5126900.290— 10] WJ, W^ «um Argument | (fi, + F) 



/^• = -2^-t/*« 



^* =" i/^^ C*''*" (Ä| + iO - 7« co.nÄ, + ^) -f. 6n) 

/J, =. [2,98171 - 10] (cos (Ä, + F)- [8,0«9 - 10] co.« (ff, -f F) + 0,00603) ] . f^^ E^ih, 
/»• = - [8,070 -20]/?, 



der 7. Deo. 



(1) 



ri = Q''^ = yWp ^ = yWp [8,5097816.695-10]] 

iD Sek. 9n ^ 

Wp Eum Argument F. (Man notiere die Änderung für 1'). ) 

log tan Iri.a = log (tan iy sec F) + jf f, n' «in»/--}- QlA 



15^" 



iftf» 



lo« 7F 7/1 =» 2,0284 —20 für Kinh. der 7. Dec. 

15() • i 

log tan^=log(-sin 1? taniO - eö^Ä^. '/•«<«* ^+ 9^^ 



6(i-«f«)e"' 



90^" 



log 



- ., ^** ,,. = 8,05810—10 log ^1*i « 1,250 — 20; beide für Elnh. der 7. Dec. 



(2) 
(3) 
(4) 



log8in(F— JB2)= 



2 6(l-««)p"« 



sin ri sin F tan — • j -_-,/ 

^'^ ./* oos»F - -^^^ V' (1+8 cos'^ Un» -^- + G/g 



TK zum Argument F — -j^F^ B^\ iit aus Wp absnleiteii. 

— log (1 - e«) — 0,0029083.595 

log - -„- = 2,629 — 10 für Einh. der 7. Dec. 

In den kleinen Gliedern ist ri immer in Sekunden zu verstellen. 



(5) 



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432 9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten u. s. w. 

Vorstehende Formeln besitzen noch für Distanzen gleich 0,1 a^ 
eine so betrachtliche Schärfe , dafs zu deren Ausnutzung 9zifiErige 
Logarithmen erforderlich sind. Überdies sind unsrerseits die höchsten 
Glieder nur zur Untersuchung der Genauigkeit abgekürzter Formeln 
angesetzt. 

§ 12. Fortsetzung: Berechnung von op, y und cc^,i aus # 
und ^1.2. In den Formeln S. 419 setzen wir y^ = null und be- 

2 

ziehen Kq auf einen Punkt, der um ^ ^i^ ^^^ -Pi ^^^^ F zu liegt^ 

(vergl. Fig. 39 S. 421) der also die Breite Bq = B^ — ^{B^ — F) hat. 

Da P^F näherungs weise gleich u ist, so hat man demgemäfs zu 
substituieren : 

12 1 

Beachtet man nun^ dafs jetzt di.a und «i.a identisch werden, dafs 
aufserdem nach Fig. 39 S. 421 a^.t = II2.1 + ^ ^^^^ ^^ ergiebt sich 
aus den Formeln (1) bis (4) S. 419: 

tis= 5 cos «1.2 v = ssinai,8 

Xy y und ^Ä verschwinden bezw. mit u, v und uv, weshalb, wie 
angegeben^ diese letzteren Grofsen sich als Faktoren der betreffenden 
Ausdrücke ziehen lassen. Dadurch aber entsteht die Möglichkeit, 
dieselben in logarithmische Gestalt bringen zu können, worin sie 
lauten: 

w =8 5 cos «1.2 t; = 5sinai.2 (1) 



_ Oq h — [M031893] 



Wo «um Arg. fio« Ä, + -- (F— ß|), wobei (F — Ä,) in Min. = [6,786ii— 10] uW^* 



(2) 






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g 13. Zahlellbeispiel t. 433 

iog„l« » log (- -i p" :^r)+|.i. -;:-i. ; .^: + g^, (5) 

a».i = «i.» + 180" + z/tt + «. 
log ( j Jf) = 6,1606630 log {■^*) =5.««» »»« (^if) -'6^««« 
log (j m) = 5,8596330 log {^ u) = t,^w log (,^ *«•) = s.a»7 
log (y (.") == 5,0133951 log (-1 ii.') = i.9o« 



Für 
Einh. 

der 
7. Dee. 



Diese Formeln besitzen eine etwas geringere Genauigkeit als die 
des Yorigen Paragraphen. Um eine entsprechende Genauigkeit zu 
erzielen, müfste man noch 2. Ordnungen weiter entwickeln. 

Man kann indessen das rechtwinklige Dreieck PiFP^ auch 
mittelst des erweiterten 2>^en^rßschen Theorems auflösen. Dieses Ver- 
fahren giebt allerdings eine durchaus indirekte Auflösung. Von den in 
betracht kommenden Formeln entsprechen die (1) S. 362 den obigen 
und man kann dieselben aus jenen durch Reihenentwicklung herstellen 
(wie auch zur PrQfung geschehen ist). Wendet man die genaueren 
Formeln des § 10 S. 370 u. ff. an, so dürfte (11) S. 374 zur Berech- 
nung des Excesses besonders passend erscheinen, wenn b und c bezw. 
als X und y genommen werden. 

Dabei ist zu beachten, dafs, wie Fig. 39 S. 421 unmittelbar zeigt, 
bei gehöriger Berücksichtigung des Vorzeichens s nichts anderes ist, 
als — ^a. Das Vorzeichen von € ist wie dasjenige von xy zu 
nehmen. 

Für {A — A*) u. s. f. genügt es auch jetzt noch, wie aus § 14 
S. 388 u. ff. zu ersehen ist, die einfachen Relationen (1) S. 362 
beizubehalten. 

§ 13. Zahlenbeispiel I. Wir wenden die Formeln der beiden 
vorigen Paragraphen auf das Beispiel S. 244 u. ff. an und benutzen 
dabei 7ziffrige Logarithmen unter Ansatz der 8. Stelle aus den Pro- 
portionalteilen. 

Gegeben: 

Bi = 52° 30' 16,7" «1.2= 239^ 33' 0,68921" 
5 = 529979,5784-. 

Die Formeln des § 12 S. 432 f&hren nun zu folgenden Zahlen: 

log 5 = 5,7242591.6 
log cos «1.8 = 9,7048223.3»— 10 
log sin «1.2 = 9,9355442.5« — 10 i 



logw-=5,42908l4.9n 
log V = 5,6598034.1n 

Helm er t, mathem. n. phyeikal. Theorieen der höh. Geodäiie. 28 



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434 d. Kapitel. Rechtwinklige geodfttische Koordinaten u. 9. w. 

5„ = 52« 30',3 + I [6,735,.— 10 + 5,429» + 9,997-10] 

= 52« 30',3 + 3 • 145' = 54» 7',0 
log TVo = 9,9990465 —10 log q = 6,8050963 



log- =8,6239852» -10 log - = 8,8547071, 



-10 



log sin 2Bo -= 9,978—10 . 



Formel (3): I 

5,4290814.9« 
+ 7414.4 
— 2.6 
+ 8.9 
+ 0.2 
log7= r),429S235^8n 



Formel (4): 
5,6598034.1« 

- 1281.2 

- 2.6 

- 0.1 

- 0.1 
log y = 5,6596750.1« 



Formel (5): 
2,4920874, 
+ 7414 1 
+ 1854 J 
— 641 
log ^a = 2,4929501« 

in Sek. 



ja^ -ö'l 1,136" 

Die Formeln des § 11 S. 431 führen jetzt zu den Werten: 



Argnment fSi W„: 



1. AnnMienug : 62° SO',S + — • 146' s= 6S° 42',8 
S^ = — 870V" = — «"»'.068 

2.AnoUierUDg: iV> 80,278' + 1° 11,627' 
— 68° 42,806' 

jB, + F=. 107« 25,6' 

log cos (B, +F) = 9,476,-10 

log ß^ = 2,408,-10 



B, - F = - 2« 25' 3,2722" F = 54« 55' 19,9722". 

• log y = 5,6596750.1« 



log X = 5,4298235.8. 1 




8,5126900.3 -10 


Summa °-° 3,9425136.1« | 
3 log TT» = 9,9971689 - 10 | 


log (*^) -= 3,9396825 « 


31og W„ = 9,9971688.1 -10 




log (<'"*) = 3,9396824.2« 




-A©"- + 1.9 1 




log {Bi — F) •= 3,9396826.1« 

in S«k. 





Andcnug Ton log Wf fOr l' gleich — 8.88 

,, = _ 4« 5' 39,537" 



8,5097816.7 -10 
log Wf = 9,9990271.7 -10 



log ij = 4,1684838.5. 

InSdc. 



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log tan 1? =«= 8,8547988.0.-10 
log sec F = 0,2405679.2 
log tan Li.« = 9,0953667.2.-10 
i,., 70 6' 0,001" 



§ 14. Zahlenbeiapiel t. 435 

log sin ij = 8,8536889.9, —10 
log tan J'= 0,1535189.7 
- [3,058 - 10] ij> cos»J^= - 8.2 



«».1 



65» 16' 9,368" 



log tan « = 9,0072071.4 
< = + 5« 48' 19,815". 



-10 



log sin 1} < 
log sin F > 

log tan ~ ' 

2 log Wf ■■ 
-log(l-e*). 

- I 8.2 (s. 0.) . 

log aiü {F - B^) ■ 
S 



8,8536890, 
9,9129511 

8,7926620. 

9,9980543 
0,0029084 

— ' 4 



-10 
-10 

-10 
-10 



7,5602644 
4,6855739 



10 
-10 



\og{F-B,) 

in Sek. 



Besoltate: 



2,8746905 



Der nebenftn laerit berechnete Wert von 
log (F— Ä,) giebt F — Ä, = 12' 2«,86". 
Damit folgt als Argument von W: 
F - 9,87' 
and Slog IFb 2 log Wp-^ 75 Einh. d. 7. Dec. 
Addiert man dieie 75 sa dem bisher be- 
rechneten Werte von log (F — B^)^ «o folgt 
genauer : 

log {F — J5g) = 2,8746980 

in Sek. 

F- B^== 12' 29,3729" 
B, = 54» 42' 50,599". 



B^ = 54« 42' 50,599" 
i,„= 7 6 0,001 o.uich 
«2.1 = 65 16 9,368 



nach 8. 247. 

so.eou" 

0,000 
9,S«5. 



§ 14. Fortsetzung. Auf das Dreieck PiFP, wenden wir die 
Formeln des § 10 S. 370 u. ff. an, um x, y und ^A genauer kennen 
zu lernen. Nach den Angaben S. 244 u. ff., sowie nach der im vorigen 
Paragraphen angestellten Rechnung ist, wenn wir die Punkte PiFP^ 
vorQbergehend mit CÄB bezeichnen: 



C = 59» 33' 0,68921" 

^ = 90" 

J5 = 30 32 10,447 



5' 11,136" 



logc =5,6596750.1 
log a = 5,7242591.353 
log b = 5,4298235.8 



B, = 52» 30' 16,7" 
Bi = 54 55 20,0 
B^ = 54 42 50,6 



Hierzu hat man zunächst: 

ÜT, — 0,9982777 
JSTi = 0,9977392 
JSTj = 0,9977849 



lUtttl: 

JS"= 0,99793393 
log ä:= 9,9991017.9-10. 

28* 



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436 9- Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten u. s. w. 

Ferner ergiebt sich als Inhalt F* des ebenen Dreiecks in aus- 
reicbender Annäherang nach der Formel JP* = y 6c sin \9QP——bj , 

da log sin (90^ ^ ^ e) = 9,9999999.4-10 ist: 
log 2^* = 10,7884685.3. 
Zum Zwecke des Übergangs auf log jP ist jetzt weiter: 



log — = 8,86504 



«0 



log — = 8,91962 
log A = 8,62518 



-^ = 0,0051296 
—, = 0,0069062 

«0* ' 

6' 



V 



0,0017797 



— , = 0,0046052 



= [7,66325-10] 
Fomel (16) S. 367 giebt hiermit: 
log F* = 10,7884685.3 
+ 2494.8 

1.0 



~ = 0,0000263 
— . = 0,0000476 



-, = 0,0000032 






0,0000257 
[5,410—10] . 



-^M-—i-' 



„ 8n«+9w« , 



log — Jf » &,7M(» t. Einb. d.T 7. Dec. 
f logi?" =10,7887181.1 



logi4= 1,70513820-10 



log 1^=10,7887181.1 log(p"^,)= 2,4938563.1 



Zu Formel (1) S. 371 hat man nunmehr: 
sin Bj = 0,79340 
sin 5, = 0,81837 
sin Bi = 0,81628 

(sin B, — sini,)* + (sin^j — sin^»)* + (sin JSj— sini?,)* = 0,001 1512 
^^±^ sin«B, + -?-i^ sin«5, + ^i^i^ sin'^j = 0,01808 

Qq Qq (Iq 

ff" —,K = [2,4929581.0] 8.k. == 5' 11,14161" 
p" ^^ (0,0011512y - 0,01808 **) = [7,4369«-10] = - 0,00273" 



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§ 14. ZablenbeiBpiel I. 437 

Wendet man dagegen Formel (11) S. 374 an, so hat man: 

I— ^% ^ sin* B. + - — ä e* cos^i^, | 
\ -1 — 



"0 



nnd findet für die 3 kleinen Glieder - 0,00321" + 0,00041" + 0,00002" 
also zusammen — 0,00278", d. i. wesentlich dasselbe als vorher. 
Den zuerst gefundenen Wert behalten wir als den vermutlich genaueren 
bei (S. 382). 

Zur Berechnung von A — J.* u. s. f. genügen die Formeln (1) 
S. 362, da die höheren Glieder erst in der 5. Decimalstelle der 
Sekunden von Einflufs werden, wie Formel (2) S. 389 zeigt. Es folgt: 

C — C» = 103,71296" (l - ^ 0,000524 Jr+ ^ 0,0003437) 
A- A* = 103,71296 (l - ~ 0,002301 -K" - j^ 0,000194?) 

B -B* = 103,71296 (l + ^ 0,002825 AT - ^^^ 0,000149o) 

oder 

C — C* = 103,71296" + 0,00621" = 1' 43,71917" 
A — A*== 103,71296 - 0,01697 = 1 43,69599 
B — B*== 103,71296 + 0,01076 = 1 43,72372 

£ = 5'~lT,13888"" 
und im ebenen Dreieck: 



C*= 59« 31' 16,97004" 
A* = Si^ 58 16,30401 
B*= 30 30 26,72595 



log c = 5,6596749.999 
log a = 5,7242591.353 
log 6 = 5,4298235.815 



logsin = 9,9354158.096-10 
9,9999999.450—10 
9,7055643.912-10 
Öamma=18ü 0,00000 

Hiemach ist: 

log X = 5,4298235.815, log y = 5,6596749.999, . 

Dazu tritt noch mittelst des oben erhaltenen Wertes f, der sich 
durch Anwendung der eben gefundenen Werte von x und y nicht 
merklich ändern würde: 

^a = — 5' 11,13888". 

Die Reihen des § 12 8. 432 geben bei der Berechnung von x u. y: 



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438 



9. Kapitel. Rechbrinklige geod&tiecbe Koordinaten a. b. 



5,4290814.956, 
+ 7414.427 
— 2.625 
+ 8.859 
+ 0.165 



log X = 5,4298235.782» 



5,6598033.984. 

- 1281.161 

- 2.625 

- 0.076 

- 0.114 



log y = 5,6596750.008» 



Die Formeln des § 11 S.431 fuhren nuumehf zu folgenden Zahlen: 
B, + F =. 107» 25' 36,672" 

Arg. fOT ir„ ai 58° 42,80(6' 
COS {Bi + F) 0,29949 | S.mm.: 

— [8,069-10.1 cos* (Bi + F) 105 - 0,29251 = 

+ 803 [9,46614,-10] 
log ß^ = 2,39785, - 10 log ß^ = 0,47 -20 

log X = 5,4298235.815» 

8,5126900.290 —10 
l 31og Wm = 9,9971687.926 -10 



log(?^) =«3,9396824.031, 



log {B,-F) 

In Sek. 



3,9396825.924, 
Bj - J' == - 2« 25' 3,27273" 2?" = 54» 55' 19,97273" 



Arg. fQi IFf >s 54° 56,88288' 



log y = 5,6596749.999, 

8,5097816.695 —10 
Tn- = 9,9990271.646 -10 



4» 5' 39,536740" log i? = 

In Sek. 



4,1684838.340, 



log tan ij = 8,8547988.144,-10 
log sec F = 0,2405678.736 
[2,028-20] fi* sin« F = + 0.034 

log tan Zi.2 = 9,0953666.914,-10 
Lj.j=_7»6'0,00006" 



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§ 14. Zahlenbeüpiel I. 



439 



logsinij =8,8536890.221 »-10 
log tan F = 0,1535189.519 
- [3,05810—10] ij» cos« F = — 8.202 
+ [1,250-20] V (8co8» J' - 9) = - 0.037 

log tan t = 9,0072071.501-10" 



«,., = 65" 16' 9,36537" 



t = 5» 48' 19,81504" 
^a = _ 5 11,13888 
«1.2 - 180" = 59 33 0,68921 



log sin 71 = 8,8536890.22» — 10 
log sin F = 9,9129510.78 -10 

log tan 2 ? = 8,7926619.64.-10 
21og W = 9,9980617.99 -10 
— log (1 — c«) = 0,0029083.60 
- -\ 8.202 (8. 0.) = - 4.10 

— [2,629- 10] »2* (1 + ZcQS^F) tan» 4^ = — 0.07 



Argoment (ttr W 



log sin {F - if,) = 7,5602718.06 -10 
log (JF - B^) = log {q" sin (F - B,)) + | M sin» (F - £,) + • 



In Sek. 

j 7,5602718.06-10 
logCF-Bj)» I 5,3144251.33 
+ 9.55 



in Sek. 



1 



= 2,8746978.94 



F - Bg = + 12' 29,37275" B^ = 54" 42' 50,59998" 
Die vorstehenden Rechnungen geben mithin folgende 





nach S. 24411. ff.: 


nach S.266u.ff.: 


B^ =- 54« 42' 50,59998" 


60000 


59998 


ii8= 7 6 0,00006 öBtiich 


00002 


00002 


«2.1 = 65 16 9,36537 


86534 





Resultate: 



Man erkennt hieraus die grofse Genauigkeit der Formeln des 
§ 11 S. 431. Mehr zu zeigen, ist nicht die Absicht der letzten Rech- 
nungen^ denn es läfst sich nicht verkennen, dafs die Anwendung der 



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440 



9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten n. b. w. 



Formeln in solchen Fällen wie demjenigen des vorliegenden Para- 
graphen darch die Notwendigkeit der Auflösung des rechtwinkligen 
sphärischen Dreiecks eine mühsame wird. 

§ 15. Rechtwinklige Koordinaten, Entfernung und Azimate 
ans geographisehen Positionen. Wir gehen am bequemsten hierbei 
von den Formeln des § 11 S. 431 aus, die mit Beachtung der For- 
meln fQr die Kugel S. 129 umzuformen sind. Während wir aber 
die Formeln des § 1 1 unter der Voraussetzung, dafs s : üq eine Gröfse 
1. Ordnung ist^ als bis zum Pole gültig nachgewiesen haben , setzen 
wir der Einfachheit halber jetzt nicht nur sia^, sondern .auch Li.t 
als eine Gröfse 1. Ordnung voraus^ sodafs am Pole 17 sec F die 
1. Ordnung hat und die Ordinate rj eine kleine örofse höherer Ord- 
nung sein mufs. 

Nach S. 425 (13) ist: 

tan iy = tan ii.2 cos F (l — ^ J^rj* + Gl^ , (1) 

woraus wir, da für die Kugel sin iy = sin L cos B^ ist^ zunächst herleiten: 
sin iy =« sin L cos F . cos ij sec L \1 — — l^ri^ + (^h) • 

Setzt man hierin für cos tj und sec L die Reihenentwicklungen, 
so ergiebt sich: 

sin 1, = sin i 0082^(1 + J i* + ,', L* + ^^^ X« + Gl,) 

x(l'-y'J* + 24V-4'?*-i**.»*+öi,). (2) 

Nun ist ferner nach S. 429 (11): 

sin (F — Bi) = sin t] tan - sin F fl + «* cos*!'' + «* cos*!'' 

-A^^* + l«V8in*J'+G/«), 

was wir im üinblick auf die für die Kugel gültige Formel sin {F — B^) 
= sin* — sin 2B^ sec ij mittelst Substitution des Ausdrucks (2) über- 



2 
führen in: 



sin (F — B;) 



l+--^* + e*cos»F 






(3) 



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§ 16. Rechtwinklige Koordinaten aas geogr. Positionen. 441 

Entwickelt man ferner aus (1) rj nach Potenzen von L, so folgt: 

fl =L cosF (l + y i* 8in»F + i L^sm^F [Ssin^F— 1] + Gl,). (4) 
Hiernach ist: 

iy* = i«cos»2^(l + y i* 8in«F+ -^^^Z*8in»JP'[23sin«F— 6] + G/„) . (5) 
Damit gehen (2) und (3) bezw. über in: 

l + ^ LUin^ F + ^ L'{6 -9 cos^F)Bm^F 
+ -2öi's»n*A61 — 270co8»J'+225co8*F)|(6) 
- ~ e*Z* sin» F cos* J' + Gl^ 

1 + ^- L» 8in*F+ c* cos» FH- e* cos» F" 
— j2e*/-*cos^i^+|e*L«sin21^cos«i^J(7) 
+ ^L* sin«i^(5-9co82-F) + Gl,. 



sin ij = sin L cos J' 



sin(F— JB,) = sin«~sm2F. 



Um rechter Hand in diesen Formeln F zu eliminieren^ bilden wir 
zuerst in leicht ersichtlicher Weise: 

cos B^ = cos {F— {F—B^) = cos Fcos (F— B.^) + sin Fsin (JP- JB,) 

= cos F (l + sin {F - J5,) tan F - \ sin* (F - -B,) + G/^), 

wobei zu beachten^ dafs sin (F — B^) eine Gröfse 2. Ordnung ist- 
Es folgt: 



COSj 



cos 



j 1 - sin(F- ^2) tanF+ sin« (F- B^) [\ + tan«F) 
* 1 — sin» (F - B;) tan F sec^F + G/g. 



(8) 



Mittelst (7) erhält man hieraus, wenn man zugleich für sin» --- die 
Reihe i X» (l - l^ L» + 3J3 i* + Gl) anwendet: 

l- j^X»+| L»sin»J'+ e»cos»F+ c* cos'F 
- \ e«i» cos« J'^- i- e»L» co8*f 8in»F [(9) 
+ ^L\<o\ -195cos*F+135cos^F)+G?e 



8in(F— ^g) = -J .L»8in 2F 



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442 9. Kapitel. Rechtwinklige geodUiscbe Koordinaten n. i. w. 

Setzt man dies in (8) ein, so findet sich: 

l-l L* Bia*F+ ^ L* sin«F(4— 3 sin*20 

- 4- 6*1* siu'F co8»F — 4- «*i* 8in*F cos'J^* 
cosF = coaBA 

+ ~ f^L* sm*Fcoa*F(4 - 5 Bm*F) 

+ ;jI^ r'8in*F(- l+30co8«J'-45co3*iO + (^h 
und hiermit giebt (6): 

1--2 c»£»8in»i?'co8*J' 
— j^e'L* 8iii*Fco8*F(5 — 9 cos«^) 
- V e*i* 8in»if cos* F + GL. 



(10) 



sin jj = sin i cos B^ . 



(11) 



Die Gröfse ri, welche linker Hand vorkommt; setzt Kur Erlangung 
ihrer Kenntnis F voraus. Um B^ einzuführen, entwickeln wir: 



Bin 



i, = 8in f^Vi-6^sin*F)==sin(i^Vi -e^sin^B, . ^IL^^, (12) 



Man hat nun mittelst Taylors Satz: 

1 -e«8in*-Ba = 1 ~ (^sin^F—e\sin2 F{B^^F) + coi^2F{B,-F)^+Gl,) 

und hieraus mit Benutzung von (9): 

1 -e»8in«B, « 1 - Ain''JP+ e»Z«8in«Fcos«F(l ~ -iz»+L«8in«F) +6/3. 

Es ist daher: 



>^r^WF _ 1 _ 1 ^2^. 8in«Fcos«2^ ^ I ß*Z« sin»Fco8»F 



+ \ ^U 8in»f^co8*F (I - sin^i^) + Gl^. 
Wir bezeichnen nun 



(13) 



J yi ~ c« sin^B, = |- TTg -= ^ mit ij'; IT, bezw. p, fürs Arg. jB„ (14) 

und setzen für den Augenblick den Wurzelquotienten (13) gleich 1 + S» 
wobei g eine Gröfse der 4. Ordnung ist. Man hat dann nach (12): 

sin iy = sin {r{ + S^') "= ßi^ ^' cos S*?' + cos 17' sin gjj' 
-.8in,'(l + g[l-|V''] + GJ8), 



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§ 15. Rechtwinklige Koordinaten aus geogr. Positionen, 
und unter Substitution des Wertes von t: 

1 — 4- «*^* sin* F cos« F — 4^ e^L^ sin^Fcos^i^] 

+ c*i* sin« F coii'F (y cos»i^ " J ) + ^h- 



sm 1} = 8ia tj 



443 



(15) 



Führt man dies linker Hand in (11) ein, reduziert alsdann auf sin tj' 
und ersetzt in den Gliedern höchster Ordnung F einfach durch B^y 
80 folgt: 

sin ff = sin Li,i cos B^ (l — . - e*L* sin'B^ cos*Bg + Gl^J . (16) 

Über die Konvergenz vorstehender Entwicklung ist kein Zweifel, 
sobald, wie vorausgesetzt, nicht nur sia^, sondern auch Li, 2 eine 
kleine Gröfse 1. Ordnung ist. Die Formel scheint sogar auch am 
Pole ohne das Bestehen letzterer Bedingung zu genügen, da L in cos B2 
multipliziert auftritt, aber dies ist nicht der Fall. Läfst man nämlich 
Fl in den Pol fallen, nimmt also B^ = 90®, so wird y offenbar 
gleich dem Meridianbogen von B^ bis 90® und es wird ferner 
L == 90®. Man hat dann aber sin rj' nicht gleich cos -Bg (1 — Gig), 
sondern gleich cos B2 (1 — GQ, wie man aus den Formeln für einen 
Meridianbogen, S. 50 (3), ersehen kann. 

Um nun auch in Formel (7) rechter Hand B^ einzuführen, setzen 
wir nach Taylors Satz: 

sin 2^2 = sin 2F (l + 2 (^8 - F) cot 2F — 2 {B., - F)*+ G/«). 

Die Einführung von (9) giebt, wenn man schliefslich auf sin 2F 
reduziert: 

sin 2F= sin 2-Bsj (l + y V cos 2F+ ~ ef'Z* cos^Fcos 2F 

-Az^(|sin«F-^)+G,^). (17) 

Hiermit geht (7) über in: 

( 1 +|-i*C08«Jf+^L*C08»J'(8-3c08«i?')^ 



sin {F- Bf )= sin» ^ sin 2 B^ 



2 ' 24' 

+ e^ coa' F -{- e* COS* F 
+ c«L« cos» Jf (I + I cos* f) + Gl, 



(18) 



Da aber bei der entsprechenden Gleichung für die Kugel rechter 
Hand sec rf als Faktor auftritt, führen wir auch hier denselben ein. 
Es ist, da sin tj und sin ij bis auf Glieder 5. Ordnung übereinstimmen: 



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444 9. Kapitel. RechtwiDklige geodätische Koordinaten n. s. w. 

sec ij' = V'l + tan«ij + Gl, == V^l + tan^L cos*JP + Gi, 



also: 



sec ij' = 1 + 4^ L» co8»i;'+ ^ L* cos* J'CS — 3 co8»F) + Gig. (19) 



Hiermit kann man (18) umformen in die Gestalt: 

jr, ( l+(e* + c*)cos*J' 

8in(F — ^o) = sin* .- sin 2jB» sec ij'I /i i \ 

^ ^ 2 * '| + c*i*cos»i?'(|+{cos*if) + (?/g 



(20) 



In den Faktor rechter Hand wird am zweckmäfsigsten — fQrs 

Argument 2^2 eingeführt. Nach S. 430(12) ist^ wenn daselbst x = l 
genommen wird : 

^= 1 + (e« + e^)cos^F + e'L'&in^Fcos^F + GIq', Arg. B^. 



Dieses in (20) eingesetzt, findet sich: 

2 
X (l +e'L'cos'B, [~ y + J- cos^l^J + GlM 



sin(F — Bg)» 



sm' — sin 2i)2 seciy — 



V = 1 ZT-; Arg. B,. 



(21) 



§ 16. Fortsetzang: Meridiankon vergenz u. s. f. Im An- 

schlufs an die Entwicklung S. 422 u. ff. setzen wir zunächst im sphäri- 
schen Hilfsdreieck: 

tan ^ = — tan A sin /Jg. 

Nach S. 423 ist aber tan A gleich der linken Seite von Gleichung 
(9) S. 423, also: 

Nach (l) und (5) S. 440 u. 441 hat man fgrner: 

5^ = cosJ'(l-[,*-,^V + Gi«) 

ij« = X* cos* F (l + |- X* sin* F + Gl^). 



tanA=tanX 



(1) 



und 



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taD/l=tanX 



l + -*e*cos*F 



+ Gk 



§ 16. PortaeUung: MeridiankoATergenz u. i. f. 445 

Dieses in (1) behufs Elimination von ij substituiert, findet sich: 
l+lc*(3+sin»Jf) + i*(l -Icos*^)' 
+ c»i» (l + Y 8in»JF'co8*i?') 
+ ^L*(ßO-lO sin» Fcos'J'— cos* J') 
+ -i- c* (5 + 2 sin»F + sm*F) 

Wir haben nun femer: 

1— 2 c«cos»Bj[l + ^e«(l + 3sin«i?,) 

+ ^ e* (1 + 2 sin*.B, + 5 sin^Bg)] + (ilf 



(2) 






Rechter Hand elimiDieren wir in der Parenthese B^ mittelst F. Dazu 
giebt S. 428 (7) die Relation: 

cos« B^ = cos« F + Lti Bin^F cos f(i + ~L*) + ^ fj^P sin^F + ß/«, 

welche mittelst der Formel (4) S. 441; nämlich mittelst 

ij = Z cos 1^ (l + -J- L^ siu^f) + Gl,, 
übergeht in: 
co8*J?2 = co8«F jl +L«sin«F+-J i*sin«F+y L^sin^l^+ö/ej. (4) 

Aufserdem ist hiemach: 

sin'JB, = sin« JP { 1 — L« cos^i^) + Gl^ . (5) 

Mit Benutzung dieser Substitutionen für cos«^^ und sin^JB, geht (3) 
über in die Gestalt: 

1 -f- -^ e« (1 + 3 sin^F) + Vbiu^f' 

+ - e«L«sin«F(~ 1 + 3 sin»-F) 

+ y L* sin'F + y i* 8in*2^ 

+ i- ß* (1 + 2 sin^F + 5 sin*i^) 



iap,= smB2* 



1— 4-^co8«F 



+ G/8 



Multiplizieren wir diese Gleichung mit (2) Seite für Seite, so er- 
giebt sich linker BLand tan A sin ß^ d. i. zufolge der eingangs des Para- 
graphen angegebenen Gleichung gleich — tan t Wir erhalten daher: 



(3) 



(6) 



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446 d. Kapitel, ticchtvinklige geodätische Koordinaten n. s. W. 

1 



tan^<= — innLaiaBg 



l+j<?L'cos*F 



l + ye*(5-3cos«JP) 



-^Gk 



Hier fOhren wir rechter Hand mittelst (4) endlich noch B^ ein, und 
gelangen so zu der Formel: 



tan^=> — tanZt.jsinB, 



l+|e»i»co8«B, 



l + 2«*(5-3cos*J?s,) 



+GI, 



.(7) 



Sind mit Hilfe der Formeln (16) und (21) des vorigen Para- 
graphen ^ sowie der letzten Formel (7) die Grofsen iy', F und t be- 
rechnet, so ist zunächst aus tf y zu ermttteln und aus F — ^j x. 
Ersteres erfolgt nach Formel (14) S. 442 und letzteres nach Formel 
(3) S. 50. Aus X und y sind dann mit Hilfe der Formeln des § 6 
S. 416 Entfernung und Azimute zu bestimmen. 

Man hat darin fli.« =» «1.2, y^ gleich null und also z/y ^=^ y^^^ y 
sowie y = Y y, femer zfx == x und am zweckmäfsigsten in den von 

c* abhängigen Gliedern arj == — y a:, Xg = + ■«- ^ ^^^ ^ *^ "" T ^ 
zu substituieren. Hierdurch wird Kq bezogen auf die geographische 
F). Man erhält: 



Breite F + ^ i^i 
scosai.2 = a;{l ^ ^ 
s 8inai.2 = y(l + 



^ y* __ _l yl _ 2 ?>' 4. JL ?2'*ß«8in2B -I- GZ 1 



9* 

7 rc* 



1 j:« 

6 V ' 360^* 



9' 
45"7*~ 



^J%«sin2Bo + GZ6l, 



(8) 



welche Formeln sich^ da x bezw. y Faktor aller Glieder ist, ohne 
weiteres in logarithmische Gestalt bringen lassen. Es ist aber in 

mehreren Beziehungen vorteilhafter^ zunächst zu s cos (ai.g + — ^a) 
und 5 sin («1.2 + — ^Üj mittelst nachfolgender Entwicklungen über- 
zugehen: 

s cos («1.2 + 2 -^^) ^ ^ ^^8 ^1.« (1 — y ^^* + ^'s) 
— Y ^fl 5 sin «1.2 (1 + GIq) 

s sin («1.2 + 2 ^aj = 5 sin «1.2 (l — y ^Ä* + ^^g) 
+ Y -^Ä « cos «1.2 (1 + 6/«). 



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§ 1?. Reohtwinklige Koordinaten ans geogt. Positionen. 
Nun ist 

und hiermit: 

!. _ j_ y^ L y * _ ^^ ^*y% 
12 Q* 720 p* 1440 9* 



447 



(9) 



s sin (ai.2 + — z/a) = y 



. _ j_ «• L ^ _ Jl. ^*y* 

li 9* 720 Q* 1440 "^* 



(10) 



§ 17. Znsammenstelliing. Gegeben: B^, B^ und Li. 2. 

Gesucht: x^ y für P^ in Bezug auf den Meridian von P^\ gesucht 
ferner 5, «1.2 und «2.1. 

Die in den vorhergehenden beiden Paragraphen entwickelten Formeln 
bringen wir sogleich in die logarithmische Form. L und B^ — F 
sind in den kleinen Gliedern stets in Sekunden zu verstehen. 



log sin ri' «« log (sin Li . % cos B^ — j^ z^* ^»»Ät ©ob* 5« -|- GrZg 

I08 ?7-^ « 2*0884 — 20 f. Einh. der 7. Deo. 
16 o * 



f} in Sek. 



1^ . «0 _ _ii-8.k^ [1,4902183.305]) 



(1) 
(2) 



W^ sum Argament Bf 



log sin (F — J5,) = log (siu* -^ sin B^ cos JB, sec ij' • ^^^ 

+ J4 X.«».i^ (-1 + 1 00..^) + G/, 

log :r— ^ = 0,3039383.552: log ^ - s,8s«si - lo /. Kiah. a« t. d«. 

1 ^ ^ 

/f_(JB, — \F)ta8ek.\ 
1(^ a; = log ( ;;— \ + /». (Ä. - f)« + /». (Bi - *0« + 6f ^ 



(3) 



00(1-« «) [1.4873099.710] -,.^.„1,„.„ 
"~ , W^ nun Arg. y (F, -f- ^ 



^4 « [M8171 - 10] (oot (Ä, + F) - [8,069 - 10] co«» (B* + F) + 0,00803) j ^ ^^^^^^ 
/^» «- [8,070 -«0]/J, 



fd. 7. Dec. 



(4) 



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44S d. Kapitel. Rechtwinklige geodätische ttoorcti»aten ü. s. W, 



logtan^==log(— tanLi.2sinJ?2) + ~^Z'»co»«Ä,+ ^^ £«co««ä. (5— soos'ä,) 



Jo» T^ = 8,856M — 10 1 *« «. ^ 

8^' » I für Einh. 

log _= 0.880 - 10 log ^ = 2,727 - 20 J 



(5) 



9^77= 



ttp "ftp _ [6 ,8031898] 



Wo «Wtt Arg. ^ = F4- y (fi, — F) 



(6) 



' 1440 ^* 



(7) 



1440 «• 1440 Q* 

'(8) 



log {scos(«,., + |^fl)} ==loga;-^JIf^,-j^v^ 
log [s sin («,., + -i- ^«) j = log y - ^ Jtf ^* - r* 

' V."r ^«^8 ( - T 9" f?l + n -'^' + G^* (9) 

«2.1 = «!.»+ 180" + Ja + <; (10) 

log (j^3f)= 5,5586030 



für Einh. 
der 7. Beo. 



log (y p") = 5,0133951. 

§ 18. Zahlenbeispiel I. B^ «= 52« 30' 16,7" B^ == 54« 42' 50,6" 
i, j = 7« 6' 0"».tuch == - 25560". 

Die Formeln des § 17 geben der Reihe nach: 

( log sinZ,. j = 9,0920236.596, — 10 

log cos B^ = 9,7616703.379 — 10 
- [2,028 — 20] L* sin» B; cos* B^ = — 0.034 



log sin n •= 8,8536939.941, - 10 
,' = _ 4» 5' 39,705771" = - 14739,705771". 



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g 18. Zahlenbeispiel t. 



449 



log 1}'= 4,1684888.149. 

in S«k. 

1,4902183.305 
— log Fg = 0,0009678.539 



log y -= 5,6596749.993«. 



Argameat flii If, 
a> 5«° 41,8433' 



L 



i.t 



2 log sin - i^ = 7,5836556.26- 10 

log cos B, = 9,7616703.38 — 10 
log sin Bg =9,9118387.96—10 
log sec ij' -= 0,001 1098.18 
2 log TTj =. 9,9980642.92 - 10 
0,3039383.55 
[3,83334 — 10] L»co8»B, (— -f + J cos»B,) 53.57 



log sin {F - i^,)= 7,5602718.68 — 10 
F^ 54« 55' 19,97285" F - B, i= + 12' 29,37285" 
Bi — F='- 2« 25' 3,27285" • B^ — F-^- 8703,27285" 



\og{Bi — F) =. 3,9396825.990» 
'° **■ 1,4873099.710 
— 3 log W„ = 0,0028312.074 

TergL hi«nii S. 438. — 1.893 

iög a; = 5,4298235^81«. 



log tan ii . j -= 9,0953666.904« — 10 
log sin B, = 9,9118387.956 - 10 
+ [3,35622 - 10] Z« cos* B, = + 16.520 

+ [0,880 - 10] L* cos* J5, (5 - 3 cos» B^) = + 0.221 

- [2,727—20] Z*cos*5g (y — y co8»B,) -= — 0.059 

log tan < = 9,0072071.542 — 10 
< = + 5» 48' 19,8152". 



Der hier gefundene Wert von loga; zeigt mit demjenigen, welcher 
S. 437 ermittelt wurde, eine nicht unerhebliche Differenz. Augen- 
scheinlich hat dies seinen Grund darin, dafs in der Formel (3) fQr 
F — J?, die vernachlässigten höheren Glieder merklich werden. Gerade 



Heimcrt, mathMa. a. phjiik»!. Tbcorieen der hob. Ogodtiie. 



89 



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450 



9. Kapitel. Rechtwinklige geod&tiscbe Koordinaten u. «. w. 



diese Formel hat nicht die Scharfe, wie die entsprechende Formel (5) 
'S. 431 ; darauf weist schon die relative Gröfse der Glieder 4. Ordnung 
beider Formeln hin. Immerhin reicht die Schärfe von (3) ans, sobald 
für die weitere Rechnung die folgenden Formeln des vorigen Para- 
graphen zur Anwendung gelangen. 
Es ist nach 



Formel (7): 
^5,429823.5.88- 

- 1852.51 

- 0.55 

- 0.52 

- 0.17 



Formel (8): 

5,6596749.99. 

642.77 

\ - 0.07 

— 0.52 

1+ 0.11 



5,4296382.13, 
= log Iscos ^«1.2 + Y^llH 



«1.2+ Y -^fl 



5,6596106.74, 
= log Is sin (c,. g + y ^a) I 

239« 30' 25,1186" 
log s = 5,7242591.37 * 



Formel (9): 
2,4927011. 
+ 1853 
+ 643 
2,4929507." 
= log 4" 

in S«k. 



.^a = — 5'ii,i3o;r 

<c= 5«48' 19,8152" 
a,.,=239"33' 0,68tW" 



;«,.,= 65<»16' 9,3657 

nach S. fi61: 

'logs= 5,7242591.37 .ss« 
Resultat: j «1.2 = 239<^ 33' 0,6868" o,6889" 
, «2.1 = 65 16 9,3657 9,3660 

Um eine schärfere Rechnung zu erzielen, könnte man sich der Formel (10) 



S. 429 bedienen, in welche nach (12) S. 430 der Wert von "" für % 
einzufiibren wäre. Die Formel lautet nach einfacher Reduktion: 



log sin (F— B,)« 



log(- tan < cos F tan -^ • j^*^) 
+ ^ L« co«»i?. (~|+ I cos'Ä, -^ I tan« y) + C/.. 



Sie giebt unter Einführung der oben berechneten Werte von t und F: 

log sin {F — 5,) — 7,6602718.20 — 10 -F — B, — 12' 29,37277". 

Mit diesem Werte nimmt der log x um 40 Einheiten der 10. Decimal- 
stelle ab und man erhält eine weit bessere Obereinstimmung als vorher, 
vorausgesetzt, dafs namentlich noch e =^ '— Jü nach einer der strengen 
Formeln des § 10 S. 370 u. ff. aus den Seiten x und y sowie dem ZwiBchen- 
winkel 90^ berechnet wird. 



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$ 19. Übertragaug gfeograpliiscilier Koordinateli clurck Dreiecksseiten. 45l 

§19. Übertragung geographischer Koordinaten durch Dreiecks- 
Seiten. Sobald wir annehmen, dafs 5<0,02ao d.i. 127*"*, so verein- 
fachen sich selbst für die schärfste Rechnung die Formeln sehr. 
Zunächst kürzen wir die Formeln für x, y und z/a in § 12 S. 432 
vie folgt ab: 



log a: == log M + y ^, V» TV + 
log y = log v — -g- i^^j V? W* + 



in Sek. 



(2) 
(3) 



Die beträchtlichsten Vernachlässigungen der 1. Formel haben 
auf X einen Einflufs gleich 



-f- 05 9" \~~) sin*«!.« cos «1.2 (7 sin*«!.« — 6 cos*«!.») 
— — q" e* (^) sin* «1.8 cos*ai. j sin 2B^, 



zu(l) 



ausgedrückt in Äquatorsekunden d. h. als Zentriwinkel für eine Kugel 
vom Radius a^, den Fehler in x als Bogen grofsten Kreises betrachtet. 
Diese Ausdrücke geben im Maximum rund 



+ 3900" (-)för tan «! .2 = ±2,5 
+ 9,5"(^)*fürtan«!.2 = ±l 



«i.2iml.Qu.«=68Y 
«i.2iml.Qu.=45^ 



Bq beliebig 
5o==±45«. 



zu(l) 



Für y werden die hauptsächlichsten Fehlerglieder, ebenfalls auf 
Aquatorsekunden reduziert, gleich 



— j^ q' (^) 8in^«i.2 cos*«!. 2 

+ 18 9" «* (1) siii «1.2 cos*«i.2 sin 2jBo, 
d. i. im Maximum rund 



zu 



(2) 



+26W(— ) ffirtan «1 . 2= +]/ 
± 25"(^)*f0rtanax.2=+]/| 



(Ki.gim l.Qu.=50— 
«i.2iml.Qu.-=30« 



Bq beliebig 



zu(2) 



Femer giebt die Vergleichung von (3) mit (9) S. 448 als Fehler 
des mittelst (3) berechneten z/a: 

29* 

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4ö2 9. Kapitel. Rechtwinklige geod&tiache Koordinaten n. s. w. 

1 „ ( sy . • 

■"24^ W 81*1 «1.2 COS «i.a 
d. i. im Maximum ruud zu (3) 

+ 4300" (-) för tan «i.« = + 1; «i.« im 1. Qu. = 45^ 

Für s = 0,02 «0 werden daher x und y bis auf 0,000012 bezw. 
0,000008 Äquatorsekunden genau erhalten, die Grofse z/a aber bis 
auf 0,0007". 

Für s = 0,05 ao sind die Fehler im Maximum bezw. 0,0012", 0,0008" 
und 0,027"; ^ie halten sich also auch hier innerhalb von Beträgen, 
die wenigstens für manche Zwecke yemachlässigt werden dürfen. 

Es ist noch y.u erwähnen, dafs es zur Berechnung des Arguments S^ 
für Wq ausreicht, sich der Formeln 

^0 = -Bi + |- {F - 5,), F-B,== [6,732. - 10] « (4) 

^ iQ Min. 

ZU bedienen. In den entsprechenden Formeln (2) S. 432 ist einfach 
Wq = 9,9993 — 10, also gleich einem Mittelwert eingeführt^ wodurch 
in F — B^ nur Bruchteile Minuten Fehler entstehen können. Die 
Tafel der log W zeigt unmittelbar deren Geringfügigkeit. 

§ 20. Fortsetzung. An Stelle der Formeln des § 11 8. 431 
setzen wir die einfacheren: 

■og (B,^-^F) - log (•->.) _ - (*^-)"„. (B, + F) + . . . (.) 

tan ii.2 = + ^^ iy sec F + • • • (2) 

tan t = — sinij tan i^ + • ' * (3) 

sin {F — B^) = sin ri sin F tan ~- ■ ,-^— , H . (4) 

Die Fehler, welche bei Anwendung dieser Formeln begangen werden, 
hängen aufser von F und ii.2 nur von x oder y ab. Indem wir fBr 
diese letzteren Gröfsen sogleich s setzen, ergeben sich als maximale 
Werte der beträchtlichsten Fehlereinflüsse nachstehende Ausdrücke: 

» B. - j^; + i ,- ^ (i)' (6 ™.t±-^ - 7 «„.54£) 

in Li. j: +^59"^ (^) *»» -f sin JP cos* L 
in t: + y p" c* (-J-)'8in J" cos F cos« < 



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§. 80. Übertragung geographischer Koordinaten durch Dreiecksseiten. 453 
- A o" e> (--)'8m J* 008» F tan ^ 

- ^- q" c» (-)'(l + 3 cos» J') sin F tan» - 



mF-B^: 



wobei für die Fehler in Li.t und t berücksichtigt wurde, dafs einem 
Fehler 6 in tan u ein Fehler 8 cos'u in u selbst entspricht. 

Zu diesen Fehlem treten strenggenommen noch diejenigen wegen 
unrichtiger Berechnung von x und y aus § 19. Indem wir aber an- 
nehmen, dafs die Abkürzungen der Formeln, welche dort eingeführt 
wurde, zulässig sind, dürfen wir jetzt von Fehlern in x und y absehen. 

Der Fehler in B^ — F wird ein Maximum für — (B^ + F) gleich 

rund + 4P d. h. also für eine mittlere Breite von rund + 41®; und 
zwar ist dcts Maximum des FMers in B^ — F gleich 

+ i,5"(;j, zu(i) 

was far s = 0,02ao nur 0,000012", für s = 0,05ao aber auch erst 
0,0002" ergiebt. 

Um femer das Maximum des Faktors tan F sin F cos^ L in dem 
Fefalerausdruck für £1.2 zu ermitteln, beachten wir, dafs nach S. 425 
(13) m sec F jedenfalls ein Näherungswert für tan L ist. 

Hiermit erhalten wir in einer für alle Fälle zur Schätzung des 
Fehlerbetrags ausreichenden Annäherung: 

tan F sm F cos'L = 



Die Differentiation giebt als Bedingung des Maximums des letzten 
Ausdrucks: 

cos*i^ + (1 + 3i?«) cos^-F = 1?» 

und hieraus folgt, abgesehen von höheren Gliedern, cos^l^ = iy*. Der 
Maximalwert jenes Faktors ist also in hinreichender Annäherung 
gleich 1 : 2ij, wobei für 1/ nun, wie überhaupt in dem betreffenden 
Fehlerglied, si% zu setzen ist Es folgt daher der Maximalfehler in 
Li. 2 gleich 

+ 46" {±)\ zu (2) 

was für s = 0,02ao rund 0,000006", für s = 0,05ao rund 0,0003" 
beträgt Schliefst man aber die Nähe des Poles aus, so ist der Fehler 
noch weit kleiner. 

Um das Maximum des Faktors sin F cos F cosH zu bestimmen, 
beachten wir, dafs nach S. 426 — 1? tan F jedenfalls ein hier brauch- 



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454 9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten n. 8. w. 

barer Näherungswert von tan t ist Wir haben daher ausreichend 
genau: 

BiuF cosF cos« t = ^^.^,t^.j,, • 

Man erkennt, dafs wegen des Faktors cos F der Nenner von un- 
wesentlichem Einflüsse auf die Lage des Maximums ist; dasselbe 
findet daher (wie auch die Differentiation zeigt) statt bei F gleich 
rund + 45^ und es folgt der Maximaifehler in t gleich 

+ 115"(^)*, zu (3) 

was für s == 0,02 ao 0,0009" beträgt und mithin vernachlässigt 
werden darf. Für s = 0,05 a^ wird der Maximalfehler gleich 0,014", 
also in manchen Fällen wohl auch noch genügend klein. 

Jedenfalls entspricht der Fehler vollständig der Genauigkeit, mit 
welcher ^Jü berechnet wird. 

Im 1. Gliede des Fehlerausdrucks für F — B^ setzen wir 

cosFtany = yij, 

denn da nach S. 429 (8) cos F tan ^ = ^ i^ ^1 — tan* yj ist und 
tan^ Y höchstens 1 werden kann, so entspricht diese Annahme einem 
Maximum. Wir erhalten also, für iy zugleich — substituierend und be- 

rücksichtigend, dafs sin 1^ cos 2^ sein Maximum ^ bei 2^=45® hat, 

als Maximalwert des Fehlers von F — B^j abgesehen von der Nähe 
des Pols: 

±57"(^); .«(4) 

was für s = 0,02 Co 0,000009" beträgt, für s-=0,05ao aber noch nicht 
ganz 0,0004". 

Q 

Hierbei ist in (4) als Argument für W angenommen 1^+ ~ {B^—F\ 

denn der Fehler wird für F als Argument bereits für s = 0,02ao ^^ 
der 4. Decimalstelle der Sekunden von erheblichem Einflufs. 

Das 2. Glied im Pehlerausdruck für F — B^ erlangt nur in 
der nächsten Nähe des Poles Bedeutung. Während der Faktor 
(1 + 3cos*i^) sinl^ bei wachsendem F nahe dem Pole langsam ab- 
nimmt, wächst tan' ^ sehr rasch. Denn für F= 90® — ij ist L == 45^ 



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§ 21. Übertragung geographischer Koordinaten durch Dreiecksseiten. 455 



rund und für F -=» 90® ist L = 90*^. Das Maximum dieses Gliedes 
stritt also ein für JF" = 90*^ und beträgt 



±8«"ö*. 



.u(4) 



was für s «= 0,02 tto 0,0007" giebt. Von praktischer Bedeutung aber 
ist dieser Fehler nicht, denn schon für F == 90® — iy sinkt er auf 
0,00005" herab, u. s. f. Auch für s = 0,05 a^ ist er nur in nächster 
Nähe des Poles von einiger Bedeutung. 

§ 21. Reihenentwicklungen für 2/,.2, t und F — B^, Wenn 
man voraussetzt, dafs nicht nur i^, sondern auch Z1.2 oder, was 
dasselbe, 17 sec F eine kleine Gröfse ist, so lassen sich anstatt der 
Formeln des vorhergehenden Paragraphen unter Umständen mit Vor- 
teil die Reihen anwenden, welche schon § 8 S. 126 u. ff. angegeben 
worden sind. 

Man erhält sofort: 



logL,.2 = 

in Sek. 



log {g'ti aecF) - -J- Mrj^ tan^i^ 
+ -^_ 3/V tan«^ [IStan'i^ + 6] + Gl, 



90 



(1) 



logt = 

In Sek. 



log(F-5,) = 

in Sek. 



log (- p"ij ifmF) — ~ Mt}^ [2tiux*F + 1] 
+ j-J^ Mfi* [26tan*f+ 20tün*F— 1] + Gl^ 
log (2- P'V tanF. ^^J - l^ Mfi' [3tan*J'+ 1]) 
+ ^l^Q Mti* [135tan«F + 90 tan« i^ - 1] + G/, 



(2) 



(3) 



In die Formeln (2) und (3) führen wir rechter Hand im 2. Gliede, 
woselbst sich tan*l^+ 1 zu sec^i'^ vereinigen läfst, die aus (1) und 
(2) leicht abzuleitenden Relationen ein: 

fi^ sec^i^= L' + l 7i' tan*F(tan*F+ 1) + GZ, 

V i^ii'F = ^« + ^ i?nan«J'(2tan«F+ 1) + Gl,. 

Hiermit nehmen die genannten Formeln die nachstehende vorteil- 
haftere Gestalt an: 



in Sek. 



log (- Q'ri tanF) — -J- M [.?« tan« J* + V]] 



(4) 



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456 9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten u. s. w. 



log (F-B,) 



in Sek. 



- j^- Mri* [25taii*F - lOtan^i^ + 1].+ Gl^ , 



1440 



(5)' 



Für iy = 0,02 und F= 65^ mit tan = 2,14 tan« = 4,6 8ec = 2,37 
ist der Einflufs der in 17* multiplizierten Glieder der Formeln (1), 
(4) und (5) 

auf Li. 2 gleich: 0,0054" 



t 



0,0010" 
0,000004" 



Während hiernach für s^O,02ao und F<65^ die Glieder 4. Ord- 
nung der Formeln (4) und (5) jedenfalls yemachlässigt werden dörfen, 
müssen sie für Formel (1) noch Berücksichtigung finden. Erst für 
iy sec 2'^< 0,012 wird der Einflufs des Gliedes 4. Ordnung auch in 
dieser Formel sicher kleiner als 0,00001". (Dies erkennt man leicht, 

wenn man für dasselbe den grofseren Wert — Jfij* sec*2^. ISsec^F 

setzt u. 8. f.) Andrerseits läfst sich unschwer nachweisen, dafs für 
die angegebenen Grenzwerte von 17 und J^ die in (1) yemachlässigteD 
Glieder 6. Ordnung keinen nennenswerten Einflufs auf die 5 ersten 
Decimalstellen der Sekunden in Li,% erlangen können. 

§ 22. Zusammenstellung. Gegeben: B^, s und ai.s bezw. 
X und y für P, in Bezug auf den Meridian von P{. 

Gesucht: B^, Li,% und a%,i. 



t* = s cos «1.2 
v = s sin «1.2 



1 ii€ 
log a; = log u + -3- j-, »»TTo* + 

log y = log V — 4 v"*^«* + 



Ja- 

in Sek. 



\h^yw,* + 



(1) 



^"^ (t v) - 2,55428-10 log (| ^.) - 2,25325-10, 

beide fttr Einh. der 7. Dec. ; 
W^ sum Arg. J?o = Ä, + y (^— Ä,), wobei (F-Ä,) in Min. = (6,732»— 10) u. 



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§ i2. Übertragang geographischer Koordinaten durch Dreieckueiten. 457 



9 
9m 



9"W„ 



«.(!-«') 



,, -» [8,5126900.29-10] Wm 



W^ zun Arg. - (i^i + J^^i weichet ia 1. Anniheniiig ans obigem Wert F—B^ abioleiton ist. 



(Die Änderung fflr 1 Min. ist lu notieren.) 

Mg"* 

log — ~ CS 2,930—10 f. Einh. der 7. Deo. 



ri^g" ^^ yWr ■?- = yWy [8,5097816.70-^10] 

inSek. V» «o 

Wf Eum Arg. F. (Man notiere die Änderung für 1 Min.) 



(3) 



(4) 



tan Xi. 8 = + ^^ ij sec JP + • • 
tan t = -— sin 1? tan F -f • • 

sin (F— Bg) = ain ij sinFtan — g-' i_ i + •' 

W nun Arg. F-- ^ (F — S.); iit aus Wjr absuleiten. 

- log (1 — e^) = 0,0029083.6. 

Ist der absolute Wert der Breite < 65^ , so können anstatt der 
(4) nachfolgende Formeln Anwendung finden: 

Lq ==: SeC F (iy InSek.) ^0 = "-" *a^ ^ (V ^8«k-) 



M 



log Li , = log Lo - ^-. ^0* + w'^'o*+ 15,- ''^^»' + 



in Sek. 



3p 



1 M 



90 q"* - • 15(/' 
bleibt weg fUr log Lo < 8,40 

M 



logt =logf,-|.3^..V-e?'«^-«' + 



in Sek. 



iog(5,-2o- log ,Ä^ - ;- • ,7. t*-i- £•. V + 



in Sek. 



2(1-C«)9' 



1 itf 
2' * 3 9" 



2 * 69" 



(4*) 



TV sum Argument F -{• - - (B^ — F) 



log 3^. = 5,531813—10 log J^. -4,s7i-«o 
log g-^,i = 5,23078 — 10 log jjj;-. = 4,m-»o 
^«'g idle^^o" = 4,3874532.3- 10 . 



f. Einh. 

der 
7. Deo. 



2(1-««)» 



Schliefglieh hat man 



a«.i = «1.» + 180» -\- Ja + t. 



(5) 



Diese Formeln geben für s = 0f)2aQ B^ und Li. 2 auf 1 bis 2 
Einheiten der 5. Decimalstelle und «2.1 auf ebensoviel der 3. Decimal- 



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I 

\ 458 9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten n. 8. w. 

I stelle der Sekunden genau. Spezieller sind über die Genauigkeit die 

beiden letzten Paragraphen zu vergleichen. 
i 

Wünscht man die an ^wei Stellen unserer Formeln erforderliche, übrigens 
bei Anwendung logarithmischer Differenzen nicht mühsame indirekte 
Rechnung zu vermeiden, so ist das durch einige einfa^bhe Reihenentwick- 
lungen leicht zu erreichen. In dieser Beziehung erinnern wir insbesondere 
auch an die Reihen S. 298. Setzt man hierin a^ ^ » 90^, so ergeben 
sich Formeln zur Übertragung der Breite, Länge und des Azimuts mittelst 
einer Ordinate. 

Formeln dieser Art waren bei der bayerischen Landesvermessung im 
Gebrauche nach Entwicklungen von Soldner bezw. Orff, 

Für die preufsische Landesvermessung veröffentlichte neuerdings (uach- 
dem wir bereits zu unseren Formeln gelangt waren) O. Schreiber Formeln, 
die von den Formeln (1), (2), (3) und (4*) sich hauptsächlich dadurch unter- 
scheiden, dafs jede indirekte Rechnung vermieden ist. Man vergl. die 
Rechnungsvorschriften für die trigonometrische Abteilung der Landesauf- 
nahme. Formeln und Tafeln zur Berechnung der geographischen Koordinaten 
% aus den Dichtungen und Längen der Dreiecksseiten. Berlin 1878, Zu 

beziehen durch die Königl. Hofbuchhandlung von E. S. Mittler <& Sohn, (Es 
sind besondere Formeln für Dreiecke 1., 2. und 3. Ordnung.) 

unsere Formeln dürften nicht unbequemer als die ScÄmftcrschen sein. 
Sie bieten vielleicht dadurch einen Vorteil, dafs weniger Korrektionen zu 
berechnen sind, wenn die geographischen Breiten bereits nähcrungsweise 
bekannt sind. 

Die Anwendbarkeit der Formeln (4) bis zu Distanzen von einigen 
Äquatorgraden zeigte neuerdings wiederholt Andrae im 3. Bd. der Dänischen 
Gradmessung (Umarbeitung von Formeln aus Astronom. Nachr. Bd. 50 
Nr. 1187 S. 161 und Bd. 63 Nr. 1272 S. 369 1869/60). Von der inte- 
ressanten und ganz eigenartigen, z. T. geometrischen Methode der Entwick- 
lung giebt Nr. 1272 der Astronom. Nachr. sowie Zachariae a. a. 0. S. 198 (nur 
für Dreiecksseiten bis 65° Breite) am besten eine klare Vorstellung. Unsere 
wesentlich verschiedenen Entwicklungen führten S. 431 § 11 zu Formeln 
von noch grölserer Schärfe. Aufserdem haben wir für Dreiecksseiten die 
indirekte Berechnung von x und y mittelst Legendres Satz, welche Andrae 
anwendet, vermieden und durch Herbeiziehung höherer OHeder bewirkt, 
dals die Formeln (4*) genauer sind als die entsprechenden bei Zachariae 
und daher eine ausgedehntere Anwendbarkeit gestatten. 

Eine Vergleichung mit Astronom. Nachr. Bd. 71 1868 Nr. 1690 S. 147 
zeigt, dafs ebensolche Formeln wie letzterer die trigonometrische Abteilung 
des preufsischen Generalstabes seit v. Müffling, welcher 1820 deren Chef 
wurde (f 1851), bis vor kurzem angewandt hat- 

Ebenso wie Andrae berechnet Barsch x und y mittelst Legendres Satz 
in seiner Anleitung zur Berecfijiung rechtwinkliger spliärischer Koordinaten 
(Kassel 1868) und benutzt sonst die Formeln (4), bei der 8. derselben aber 
Argument F, Man vergl. auch seine Tafeln für geodätische Berechnungen 
zwischen den geographischen Breiten von 35 bis 71^, nach Bessels Elementen. 
(Anlage zum Programm 41er höheren Gewerbeschule in Kassel. 1869.) 

Jordan rechnet Bd. 2 seines Handbuches S. 280 u. ff. nach Bohnen- 
berger (1826) im allgemeinen wie Zachariae, nur in Bezug auf x und y 



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§ 23. Rechtwinklige Koordinaten aus geogr. Koordinaten. 459 

mittelst Reiben, die im wesentlichen nnseren Formeln (1) entsprechen, über- 
haupt aber ohne die Formeln in die logarithmische Gestalt zu bringen. 

Hansens Formeln unterscheiden sich von den unseren insofern, als sie 
noch die reduzierte Breite enthalten^ dagegen benutzen sie ebenfalls die 
Zerlegung mittelst rechtwinkliger Koordinaten. Vergl. Geodätische Unter- 
suchungen S. 38 § 31. 

Die Methode der Zerlegung in rechtwinklige Koordinaten bei der Über- 
tragung geographischer Koordinaten dürfte in erster Linie auf Legendre 
zurückzuführen sein. Nachdem er in den Memoiren der franz. Akademie 
der Wissenschaften von 1787 auseinandergesetzt, wie er sich die Berech- 
nung einer Breitengradmessung denkt, giebt er in Belambre^ Methodes 
anälytigues pour la Determination d*un Are du Meridien. 1799 S. 1 u. ff. 
einige Zusätze. Insbesondere bestimmt er S. 14u. ff. Breite, Länge und 
Azimut für den Endpunkt eines Perpendikels zum Meridian, für dessen 
Fufspunkt die Breite bereits bekannt ist. Die Entwicklung der Formeln, 
Reihen bis s' iucl., ist eine sphärische mit K[ (Fig. 8 S. 134) als Zentrum 
der Kugel. Dafs Legendre hierbei nicht untersucht hat, welchen Einflufs die 
Abweichung der Kugel vom Ellipsoid und die Voraussetzung kürzester 
Linien auf letzterem haben, erwähnt schon Soldner (Baeyer. Landesver- 
messiMg S. 633). Wenn dieser aber in gleicher Hinsicht auch Delamhre 
nennt, so ist das ein Irrtum, weil der letztere mit Sehnen rechnet, wo 
selbst bei strenger Rechnung die kürzeste Verbindung auf der Oberfläche 
gar nicht in frage kommt (vergL S. 211). Auch ist bezilglich Legendres 
auf die Abhandlung von 1806 zu verweisen (vergl. 8. 800). 

Wesentlich anderer Art sind die von Gaufs 1847 im 2. Teile der Geo- 
dätischen Untersuchungen S. 26 u. ff. gegebenen Formeln (vergl. S. 312). Bei 
denselben ist die Zerlegung nach rechtwinkligen Koordinaten nicht an- 
gewandt, dagegen wird eine indirekte Rechnung benutzt, indem in die For- 
meln die arithmetischen Mittel der Breiten und Azimute eingeführt sind. 

Dieser Umstand mufs von vornherein der Konvergenz der Reihen günstig 
erscheinen, allein die Reihen für L und t enthalten aufser den, den Formeln (4*) 
entsprechenden Gliedern noch andere, wodurch zum Teil der Vorteil wieder 
aufgehoben wird. (Vergl. weiterhin das Beispiel VII.) Die Koefficienten 
der Reihenglieder haben aufserdem eine nicht so einfache Form, wie oben, 
sodaüs man mit einer Tafel, wie wir mit derjenigen für log |/l — e* wxi^B, 
nicht auskommt. 

Jordan giebt S. 421 Bd. 2 seines Handbuches Gaufa' Formeln (jedoch 
nicht mittelst Cr.' direkter Ableitung, sondern mittelst einer andern eben- 
falls von G. herrührenden indirekten). Zu den Tafeln giebt er noch 
* Hilfstafeln für veränderliche Eicentricität. 

§ 23. Beehtwinklige Koordinaten, Distanz und Azimate aas 
geographischen Koordinaten fOr Entfernungen Ton der Ordnung 
der Dreiecksseiten. Setzen wir im Anschlurs an § 17 S. 447 an 
Stelle der Formeln (1), (3) und (5) die folgenden: 
sin ff = sin Li,i cos B^ -{- - - 



sin (-F— -Bg) = sin* --- sin B^ cos B^ • ', + • • 
tan ^ = — tan Li, 2 sin 5^ + • • , 



(1) 



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460 



9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten n. 8. 



80 sind die begangenen Fehler, wenn L als Arcus verstanden wird, 
im wesentlichen durch die nachstehenden Ausdrücke gegeben: 

für ij' : — ^ ff" c» V" sin» B, cos» B^ 
für if— B, : + i p" e* L* sin 5, cos» 5« (- ^ + e" «o^*^,) 

für « : — J 9" e» U sin 5, cos* B, . 

Es ist wie früher 8. 447 vorausgesetzt, dafs L eine kleine Gröfse 
sei, womit auch t auf kleine Werte beschränkt ist. In Bezug auf B^ 
erhält man als Maximalwerte: 

' B. — -I- as * ° 



fürij' : — ll"L»beisin»J5, 



0,093 



'i — X 



+ 17 



B, »= ± 26 



fürJ'-B,: + 55"L*beisin»J?, 

für < : -I- 130" Z» bei am*B. = 4" 

Für L = 0,02 entsteht in J" — J5, 0,000009", in t 0,0010" Fehler; 
dagegen wird der Fehler in i}' verschwindend klein. L =•= 0,05 giebt 
in ij', F—B, und < bezw. 0,000003", 0,00034" und 0,016". 
Wir setzen nun ferner nach S. 447 (4): 

log.-I<«(ifl=^<»^-S^':) + ^j;(-)*oo. W+F) + ... (2) 

Der hiermit in x begangene Fehler beurteilt sich wie S. 453 und 
zwar beträgt er im Maximum in Äquatorsekunden 

für X : - 1,5" (J5i — Fy, wobei ~ {B, + F) — + 4P 

und B^ — F als Arcus verstanden ist. Für B^^ F ^=^ 0,02 giebt 
dies — 0,000012". Für B, - F— 0,05 wird der Fehler — 0,0002". 
Nach S. 130 (4) haben wir nun sofort zu den (1) folgende 
Reihenentwicklungen, in denen L als Arcus zu verstehen ist: 



log V « 

in Sek. 



log(F-I?,)= 

in Sek. 



• 1 



log< = 

la S.k. 



log {q"L cos 5,) -• - ML* sin» 2?, 
- ^ ML* sin»B, [12—11 sin» 5,] + Gl^ 
^oii{^(^)LhmB,i,ozB,.W*)+l^L*\b-^^m*B,\ 
+ ^l^ ML* [1 19. - 420 sin»B, + 300 sin*B,] + G/, 

log (- q"L sin B,) + 3 ML* cos» i?, 
+ g^ ML* cos» B, [7 — 13 sin» 5,] + G/« 



(3) 



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§ 24. Rechtwinklige Koordinaten ans geogr. Koordinaten. 



461 



VerDachlässigt man die in V" multiplizierten Glieder, so ergeben 
sich im Maximum für ij', F — B^ und i nachstehende Feh^erbeträge: 



in V : - 4000" U für sin« B^ = 0,42 

inF^B^x + 1700" V für sin« J5, = 0,10 

in ^ : + 3000" V für sin« B^ = 0,14 



jB, = + 4P 

B^ = + 18« 
1^2 = + 21^ 



Ist L = 0,02, so wird im Maximum nur k\ merklich fehlerhaft, 
nämlich um — 0,000013". Für L = 0,05 sind die Maximalfehler iu 
V, F-^Bj und i bezw. —0,0013", +0,000025" und +0,0009". 

Man erkennt hiermit leicht, dafs für die Formeln (1) immer die 
Formeln (3) unter Vernachlässigung der in L* multiplizierten Qlieder 
gesetzt werden können, so lange L den Betrag von etwa 0,02 d. i. 
rund 1,2*^ nicht überschreitet Bei gröfseren Werten von L werden 
nicht nur die eben erwähnten Glieder der Formeln (3) merklich, son- 
idem auch die den Formeln (1) anhaftenden Vernachlässigungen. Man 
wird daher im allgemeinen zu den Formeln des § 17 S. 447 zurück- 
greifen müssen, sobald der absolute Werte von L > 0,02 ist. 

§ 24. Fortsetzung. Um bequeme Formeln zur Berechnung 
von s und «1.2 zu gewinnen, knüpfen wir jetzt nicht an die (10) S.447 
an, denn diese sind nicht mehr bequem, wenn ^a nach der ab- 
gekürzten Formel — q'xy : 2^ berechnet wird. 

Wir bilden dagegen zunächst mittelst der Formeln (8) und (9) 
S. 446 u. 447 indem wir sie nämlich in die Entwicklungen 

S cos («1.2 + y -^ä) = S cos «1.2 (l "~ Tg ^^ + ^0 

— — ^fl s sin «1.2 (1 + Gl^ 
8 sin («1.2 + y ^aj = 5 sin «1.2 (l — ]^ ^«* + Gk) 

+ j Jas cos «1.2 (1 + Gl^) 

einführen, nachstehende Formeln: 

1 aj'y»- 

S cos («1.2 + -3- Ja) = X 



s sin ^«1.2 + y Jaj = y 



69« 120 Q* 60 9* 

+ ^^^fe«sin2J5o + G«o 

1 -L. _L ^ _ i. 5V 

' 180 ~Q* 60 V* 

-^^^e'sm2B,+ Gk 



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462 d. Kapitel, fiechtwinklige geodätisclie Koordinateo u. s. w. 

oder logarithmiscb: 



log [s cos («i.» + 3 Ja)) = 

log (s ain («i.« + y Ja)) = 
Dabei ist: 






'ogy+w'?-^'^' 



-is'"'7''^"' + ö/,. 



** = V : >*"o* 



'Vsi-^^s(-T^"v)+n-;:+<?^.- 



(1) 

(2) 
(3) 



Läfst man nun in vorstehenden Formeln die klein gedruckten 
Glieder weg, so sind die begangenen Fehler für $ cos («i.« + y -^ä] 
und s sin (ai.2 + y ^ü) in Äquatorsekunden (vergl. S. 451), sowie 
f&r /Ja in Sekunden bezw. gleich 

— ig5 q' (~) sinV.2 cos «1.2 (48in*ai.2 + ScosV.s) 
+ 3ß q" ^ (--) sin*«! .2 cosVi .2 sin 2B^ ; 

+ läö ^ \a) ^^^ ^* • * ^^®*^* • * (^^s*^i .2 — 3 sin*a, . 2) 
— Yg p" c* (~) sin «1.2 cos'flfi. 2 sin 2Bq ; 

1 ../«\* . 
— 24 P \^) siii «1.» cos «1.2 . 



zu(l) 



zu (3) 



Die Maximalwerte dieser Ausdrücke sind zum Teil schon S. 451 
angegeben. Man erhält als Maximalwerte der von ^ unabhängigen 
Glieder: 



+ 1600" (^)* für sin* «1.2 = 0,7 
+ 520"(-)' „ sin» «1.2 = 0,7 
+ 4300"(^)* „ tana,., = ±l 



zu(l) 



ai.2 im I.Qu. = 57» 
57» 
45», zu (3) 



dagegen für die von c* abhängigen Glieder: 

ai.siml.Qu. = 45» 



+ 9,5" (^)*fartana, .,= + 1 
+ 25 (A)\,tan«.., = +]/| 



30 



^0 beliebig 

B,=±45» 



zu(l) 



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S 26. HecbtwiDklige Koordinaten aus geogr. Koordinaten. 463 

Hiernach werden die Maximalfehler für s : a^ «= 0,02 in den 

Werten von s cos ^ai.2 + y ^ä) , s sin («i.j + y ^^) ^^^^ ^^ 
höchstens bezw.: 

+ 0,000006", +0,000005" und +0,0007"; 
für s : «0 = 0,05 dagegen + 0,0005", + 0,0002" und + 0,027". 

§ 25. Znsammenstollnng. Gegeben: B^j B^ und Z1.2. 
Gesucht: 5, «1.2 und «2.1 bezw. x und y f&r P^ in Bezug auf 
den Meridian von P^ . 

Vo = + cos B^ . L1.2 log V = log Vo — 67"« ^0* + • • 



in Sek. 



in Sek. 



M 



t^ = — 8in-B2-^i.2 log^ =log^o +ir7^«Vo* + " 

in Sek. in Sek. ^ 9 

log ^ = 5,230783-10 log 3^^ = 5,531813-10, 

beide fOr Einh. der 7. Dec.; 



in Sek. 



2(1 — c*;p" z 69 

W^ cum Ar^ment B^ 



9 



'<>8 W^'v' °= 4,3874532.3«-10 

Iog:. = log(?^(?^^P^) + -(^y CO. («. + .,+ - 
"'J'wJ^ = [1,4873099.71] TT™» ; "', ax,. 1 ,«. + ^) 

log — T7Z » 2,930—10 far Einh. der 7. Deo. * 

y = ^, 5J5?«^ = ^ . V^ = 5:|8.> [1^4902183.30] 

log |s cos («1.2 + y ^a)| == log iC — y ^ y^Fo* + • •. 
log |s sin («1.2 + y ^a) I = log y + . . 

in S«k. ' "• 

log (— Y yr) =• 1,407017. — 10 »i ««d. A»gniii«nt F + 1 (B. _ F) 

log (t T^) ■" 2,25325 — 10 «r EIoH. d«r 7. D«o. 



(1) 



(2) 



(3) 



(4) 



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46a d. Kapitel. Hechtwinklige geodätieclie Koordinaten u. s. w. 

««.1 — «1.2 + 180^ + Ja + t. (5) 

Diese Formeln reichen znr schärfsten Rechnung aus, so lange 
s : a^j < 0,02 und zugleich X1.2 < 1,2° ist Für Spezielleres in Bezug 
auf die Genauigkeit sind die beiden letzten Paragraphen zu ver- 
gleichen. 

Kreis der Anwendung der Formeln. Aufser vereinzelten An- 
wendungen erlangen z. B. bei der preufsischen Landesvermessung die 
Formeln dieses Paragraphen (oder doch ähnliche) eine grofsere Ver- 
wendung, sobald es gilt, einen kleineren Landesteil auf ein besonderes 
rechtwinkliges Koordinatensystem zu beziehen. Einer der Punkte, 
etwa Pj mit B^ als geographische Breite, wird dann als Koordinaten- 
auf ang genommen und aus der relativen geographischen Lage der 
anderen Punkte zu P^ auf ihre Koordinaten geschlossen. (Vergl. S. 420.) 

Die Aufgabe dieses Paragraphen nnd des § 17 S. 447 ist auf wesentlich 
andere Ai-t mit Hilfe des vertikalen Schnittes namentlich von Hansen gelöst 
worden (vergl. die Bern. S. 265). Die betreffenden Formeln finden sich 
in § 53 und zum Teil in § 52 S. 70 u. ff. seiner Geodätischen Untersuchungen. 
Es scheint uns nun nicht zweifelhaft, namentlich auf Qrund einer Be- 
rechnung des von Hansen § 70 S. 91 gegebenen Zahlenbeispiels, dafs die 
oben entwickelten Formeln deu JETaiu^nschen vorzuziehen sind. Zur 
eventuellen Vergleichung berechnen auch wir in den folgenden Para- 
graphen dieses Beispiel. 

Oudemans bespricht in Astronom, Nachr. Bd. 81 Nr. 1940 S. 805 u. ff. 
zahlreiche Ultere und unzureichende Formeln zur Lösung der Aufgabe, 
aus geographischen Koordinaten Entfernung und Azimute zu bestimmen. 
Schliefslich bleibt er bei einer Umformung der obenerwähnten Hansenschen 
Formeln stehen, welche Umformung aber die Reihenentwicklung gröisten- 
teils unter Anwendung der auch von uns S. 82 erw&hnten Berechnungs- 
formeln der sin und tan kleiner Winkel mittelst arc und sec vermeidet. ' 
Diese Formehi scheinen in der That recht bequem zu sein, nur ist ihr 
Genauigkeitsgrad vom Verfasser nicht völlig festgestellt und es besteht 
der Übelstand, dafs eine der Formeln (es ist diejenige fCLr die Entfernung) 
für kleine Azimute versagt (wegen des Nenners sin Azimut), sodafs der 
Formelapparat hier vor der Anwendung einer Verbesserung bedarf 

Wenn es sich aber nur um Entfernung und Azimute handelt, möchten 
wir jedenfalls die Formeln S. 313 allen anderen vorziehen. 

Modifikationen obiger Formeln für noch kleinere Distanzen siehe bei 
ZachaHae a. a. 0. S. 218 und Jordan a. a. 0. Bd. 2 S. 291 u. ff. 

§ 26. Zahlenbeispiel Tl. Vergl. Hansen , Geodätische Unter- 
suchungen S. 47 und 91 (§37 u. 70). 

. Gegeben: 5^ = 20« s = -, a^ «1.2 = 30«. 

Wir wenden die Formeln von S. 456 an und benutzen 7ziffrige 
Logarithmen mit Ansatz der 8. Stelle aus den Proportionalteilen; 



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§ 26. Zahlenbeispiel VI. 



465 



sodafs die Genauigkeit jener Formeln, obgleich s Terhältnismäfsig 
grofs ist, völlig genügt. (Es würden in dieser Hinsicht auch noch 
8 genaue ZifPern angewandt werden können.) 

Man hat zunächst für die Umwandlung von s in Metern, sowie 
für u und t; nach den Formeln (1) S. 456: 

flog 2oo = 7,1056734.6 



log 9» = 1,7581226.3 
log s = 5,3475508.3 
log u = 5,2850814.3 



log sin a,.j = 9,6989700 — 10 
log cos «12 = 9,9375306 — 10 

log V = 5,0465208.3 . 



In 1. Annäherung ist hiermit 

F — Bi^ [6,732« + 5,285 — 10] = - 104,0', 

sodafs sich findet £,= 20» - 1« 9'= 18« 51' mit log 11 0=9,999849—10 
und log Wf* = 9,99940 — 10. Man hat jetzt: 

log M = 5,2850814.3 

[ + [2,55428 - 10] V* Tf"/ = + 443.3 

log a; = 5,2851257.6 

( log v = 5,0465208.3 

1 - [2,25325 - 10] «* Fo* = — 665.0 
log y = 5,0464543.3 
1,40702« - 10 
log {xy) -= 10,33158 
log Wo* = 9,99940 - 10 
log V« = l^mOOn^TtT^ — 54,702". 

in Sek. 

Formel (2) S. 456 giebt nunmehr: 

In I. AnntheTang iit daa Ar- 1 
gnment fur (K„ gleich 20°— £2' ' 
=1»<>8', womit Slog ir„, gebildet 
itt, deuen Znwaolu fiUr l'—TM 
betrigt. 



log X ==5,2851257.6 

8,5126900.3-10 
3 log W,n =9,9995327.3-10 



— {Bg — F) wird genauer gleich 

— 13,79735] Sek. oder 52,86' und 
also der Zuwachs au 3 log W„^ 

gleich -f 7.86 X 0,86. 
ß,-f F=38<»15'. 



log (^^ =a,7973485.2 
[2,930— 10](^'''yco8(jy,+J0= - 2.6 

Zuwachs XU 3 log IF^ == -[- 2.0 

log ^-~T)^3^9Tdmß 

in Selc. 



Bi — F= P 44' 31,168" F = 18« 15' 28,832". 

He Im er t, matheni. u. ph>Hikal. Theorieeu der höhereu Geodäsie. 30 

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466 



9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten o. 8. 



Die Formeln (3) und (4*) S. 457 geben 
8,5097816.7 - 10 
log y = 5,0464543.3 
log Wf = 9,9998577.0 — 10 
log ij = 3,5560937.0 

in Sek. 

log COS 2*^ = 9,9775660.2— 10 
log tan F = 9,5183896.5 - 10 



Änderung yon log Wp fOr l' 
gleich — 8.51 . 



log L, = 3,5785276.8 
log^^^ = 3,0744833.5n 



log Lq = 3,5785276.8 

— [5,53181 - 10] V = — 4S.0 

+ [4,271 - 20] V = 0.0 

. + [4,204 — 20] ^o'io* = 0.0 

log Li.2 = 3,5785228.8 

in Sek. 

L,.2 = P3'8,985" 

log ^0 = 3,0744833.5» 

- y X 48,0 ^ 24.0 

- [5,23078 - 10] Zi.2«= 244.3 



log^- 

in Sek. 



AnaUU Ifi^. ist eigent- 
lich dae Argument 

3 
/''+-- (fi, — F) mnau- 

wenden. Die Ändemng 

von 8 log W für — 0,13' 

ist aber vcrBohwindend. 



3,0744565.2. 

f=_ 19' 47,016" 
Ja = - 54,702 
aj.i = 30 
a2.i=209»39^18,282". 

4,38745 — 10 
log ij = 3,55609 
log to = 3,07448, 
2 log Wf = 9,99972 - 10 





-JX48.0 = 
- l X 244.3 -= 



1 



log (B, — F) = 1,01773« 

in Selc. 

Bt — F= — 10,417" B, = 18» 15' 18,415". 

aan-H a. ». O. S. 48: 





j ^2= 18n5' 18,415" 


18,417' 


Resultate: 


Li.2= 1 3 8,985 


8,983 




«,.1 = 209 39 18,282 


18,879. 



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§ 27. Zablenbeispiel VI. 



467 



§ 27. Zahlenbelspiel TL Umkehrong der Aufgabe des vorigen 
Paragraphen. 

Gegeben: JB, = 20» 5, = 18» 15' 18,415" Li., — 1» 13' 8,985". 
Die Formeln des § 25 S. 463 geben nach und nach die folgenden 
Werte, indem i,., = 3788,985" ist: 

i log Z,., = 3,5785228.8 

I In Sek. 

[log cos 5, -= 9,977.5732.9 — 10 



log V, = 3,5560961.7 
, - [5,23078 - 10] t* = — 24.0 
iögV^3,5560937.7 

In Sek. 

- log Wt = 0,0001422.6 
1,4902183.3 



Argument ffir 

log W, 
= 18*> 15,307' 



log y = 5,0464543.6 




flog Zi., 3,5785228.8 

in Sek. 

log sin B^ = 9,4958890.8 — 




10 


log t^ = 3,07441 19.0, 
+ [5,5318 1 — 10] ij'o* = + 440.6 







log t = 3,0744560.2« 

In Sek. 
< -= _ 19' 47,015". 

4,38745. — 10 
log ij; = 3,55610 
logf, =3,07441 
2 log TT« = 9,99972 





10 



— y X 24.0 



-\-\x 440.6 = + 



6 



log(JP-£,) 

in Sek. 



1,01774. 
EHe Formel (S) S. 463 giebt: 



F—B^^ 



+ 10,417" 
2*^=18» 15' 28,832" 
Bi — F.= 1»44' 31,168" 
= 6271,168" 



+ [2,930 



1,4873099.7 
log (ifi — iO = 3,7973484.6 

in Sek. 

— 3 log W^ = 0,0004670.7 
10] (5, - Ff cos (5, + F) H 2.6 



ArguiDont 
I (ß. + F) für 

= le» 7,740'. 
Äi+F=38oi6. 



log a; = 5,2851257.6 



30* 



L 



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468 



9. Kapitel. Rechtwinklige geodätische Koordinaten n. s. 



! 



Die Formeln (4)u.(5) S.463u.4Ö4 geben mit log>ro=9,999849- 10, 
dieses entsprechend dem Argument jBq = ^8" ^^''• 

log X = 5,2851257.6 
— [2,25325 - 10] y* W„* 221 .6 



log [scos («,.,+ J-^a)j =5,2851036.0 

log jssin (ai.a + y^«»)) = 5,0464543.6 

c,., + 4-^«>=29«59'41,780" 
log s = 5,3475508.3 



1,40702,-10 
log (xy) = 10,33158 
41ogF„= 9,99940 -10 
logz/fl= 1,73800 

iu Sek. 

f^fl=- 54,702" 

< = - 19' 47,015" 

a,.,= 30» 0' 0,014" 



C2.i=209''39'l 8,297" 



Resultate: 



Hog X = 5,2851257.6 
logy=- 5,0464543.0 
log s = 5,3475508.3 
aj.i,= 30« 0' 0,014" 
ai.i = 209 39 18,297" 



nach ▼origem 
Paragraphen : 

7.6 I 

3.S 
8.3 

0,000" 
18,«82 



nach ffan*en 
S. 92 a. a. O. : 

um 0,004' gröfser 
als 2<*, macht 
2.5 im Logar. mehr. 

— 0,020" 
18,256. 



§ 28. Zahlenbeispiel VII. B, = 5P 48' 1,9294" 
log s = 5,0252128.6 a,.2 = 5« 42' 21,7699" 
für die Dreiecksseite Brocken -Inselsberg der hannoverischen Ver- 
messung nach Gaufs, Untersuchungen über Gegenstände der höheren 
Geodäsie, 2. Abth., S. 33. 

Zu den Formeln (1) und (2) S. 456 hat man bei Anwendung 
Tziffriger Logarithmen: 

log sin «,.2 = 8,9974945.7 — 10 log cos ai.» = 9,9978427.5 — 10 

log V =r4,0227074.3 ~" log w = 5,0230556.1 

F—B, = [6,732« - 10 + 5,023] = - 56,8' 

log TTo wird mit dem Argument B^ = 51^ 48' — y . 57' d. i. 51^ 10' 

gleich 9,999119 — 10 und log T^ = 9,99648 - 10. 
Hiermit folgt: 

log u = 5,0230556.1 

+ [2,5543 — 10] V« TV = + 4.0 

• log a: = 5,02305601 

log V = 4,0227074.3 

- [2,2533] M« WV = - 197.6 

" logy~-r4,Ö22'6876?7 



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§ 28. Zahlenbeispiel VII. 



469 



log (xy) 
4 log W, 



1,40702, - 10 
9,04574 
9,99648 -10 



log Ja •■ 

in Sek. 



0,44924«; z/H = — 2,8135" 



Formel (2) S. 456 giebt nunmehr: 



In I. AnnUmvag Ut das Argn-j 
ment fOr W,„ gleich 

51» «,0S* — »• = 5i» W 1 
womit S log W„ gebildet wuide 
deurn ZawachifBr !'=•— 12.39 iat. 



— {B, — t") wird genauer gleleb 

^ fZjaaOaj Sek. d. L X8,U', >Uo 
du Argoment gleich 51° 19^9*. 

B, ■\-F=il0f39'. 



log X = 5,0230560.1 

8,5126900.3—10 
3 log W„ = 9,9973438.9-10 



log (^)= 3,5330899.3 
■ [2,930- 10] (^f )*co8 (J5, + 20 = + 0.2 



Zuwach» »n «log W^ «r — 0,41'= + 



5.1 



log (5, - i^j = 3,6330904.6 

in Sek. 



B, — F= 56' 52,6398" F = 50» 51' 9,2896". 

Die Formeln (3) und (4*) S. 457 geben: 

8,5097816.7 - 10 
log y = 4,0226876.7 
log Wr = 9,9991265.7 — 10 



( log ij = 2,5315959.1 

I in Sek. 

{ log COS F = 9,8002480.4 - 10 
[ log tan i^ = 0,0893472.5 — 10 



Änderung von log Wp fUr 1' 
gleich — 4.0 



log Zj = 2,7313478.7 
log^o =2,6209431.6« 



log Lo = 2,7313478.7 
[5,532 — 10] «0« = — 5.9 

hSbere Glieder = 0.0 



log i,.2 = 2,7313472.8 

in Sek. 

i, , = 8' 58,7003" 
log to = 2,6209431.6« 



_^X5.9 = - 

[5,231- 10]iyi.2*= - 



3.0 
4.9 



log t = 2,6209423.7« 

in Sek. 



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470 9- Kapitel. Rechtwinklige geodätische EoordiDaten u. s. w. 

^a,.i = 185^35'21,1815" 



^ = - 6' 57,7749'" 
^a = — 2,8135 
ai.2 = 5H2 21,7699 . 



Da ßj — F 
nar Itruchieile 
Sek. betrftgt, so 
reicht Wf un- 
mittelbar zur Be- 
rechnung aus. 



4,38745 — 10 
log ri = 2,53160 
log <„ = 2,62094n 
2 log Wf •= 9,99825 - 10 

hoben Glieder tss 



log(5j-F)= 9,53824, - 10 

in Sek. 





nach Gemfi 


r Bj= 500 51' 8,9443" 


8,9444" 


Lu2= 8 58,7003 


58,7009 


a,., = 185 35 21,1815 


21,1815. 



B^ — F 0,3453" B, = 50» 51' 8,9443" 



Resultate: 



§ 29. Zafalenbeispiel II. Beispiel 7 in Formeln und Tafeln etc. 
(ßir Breiecksseiten 1. Ordnung) von 0. Schreiber. 

Gegeben: JBj = 57« s = 120*"' «1.2 = 315». 

Wir wenden hier Logaritlimen bis zu 9 genauen Decimalstellen an. 
Die Formeln (1) S. 456 geben: 

log 5 = 5,0791812.46 
log sin «i.j = 9,8494850.02» — 10 
log cos «1.» = 9,8494850.02 — 10 

F - J5, = [6,732, — 10 + 4,929] = - 45,8', 
daher ist 

Bo = 57» — 30,6' = 56» 29,4', 

log Wo = 9,998990 — 10 und 4 log W^ = 9,995960 — 10. 

I log u = 4,9286662.48 

1 + [2,55428 - 10] V* W^* = + 255.61 



log V = 4,9286662.48. 
log u = 4,9286662.48 



log X = 4,9286918.09 

log V = 4,9286662.48, 
[2,25325 - 10] M* Wo* = - 127.80 
log y = 4,9286534.68. 



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§ 29. Zahlenbeispiel II. 

l,407017n 
log (xy) = 9,857345» 
(4 log »^0 = 9,995960 - 10 



471 



in Sek. 

Formel (2) S. 456 giebt nunmehr 

In 1 . Annftbernng iit daB Ar- 
gument für W^ gleich bl^— 23' 
=^97\ womit S log JT^ ge- 
bildet ist. Zuwachs desselben 
für i' gleich — 11.67^ 



log Jü = 1,260322; Ja = 18,2105". 



— (B, — F) wird genauer 

gleich Y [8,«8J4] Sek. d. i. 

itj)»&' n&d daher der Zuwach. 
«I J log W^ gleich — 0,t»6 
X 11,67. 



log X = 4,9286918.09 

8,5126900.29-10 
3 log W„, = 9,9969613.57—10 



log (^ -\ = 3,4383431.95 
- [2,930- 10](^ycos(B,+ J')= + 0.25 

Zuwach« fürs log IFjn 0,135X11,67 = — 



1..57 



log {F - Bi) = 3,4383430.63 

in Sfk. 



Bi + F=llS''l*'. 

F-B,^ 45' 43,74068" F = 56« 14' 16,25932 

Die Formeln (3) und (4*) S. 457 geben: 
8,5097816.70 - 10 
log y = 4,9286534.68» 
log Wf = 9,9989959.90 — 10 



Änderong von log Wf für 1' 
gleich — 3,9«. 



log ,j = 3,4374311.28, 

in Sek. 



log i„ = 3,6925543.59« 
log*, ==3,6123391.89 



log cos F = 9,7448767.69 — 10 
log ten F = 0,1749080.61 

log Lo = 3,6925543.59, 

- [5,531813 - 10] t* = - 570.80 

+ [4,271 - 20] t* = + 0.05 

_ + [4,204 - 20] V V = + 0.07 



log i,.« = 3,6924972.91« 

in Sek. 

Li.i=- 1» 22' 6,03270" 

log t^ == 3,6123391.89 

- 4- X 570.80 285.40 

- [5,23078 — 10] ii.»» = - ^12.84 
1^^7^3,6122693.65 

in Sek. 



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I 



472 



9. Kapitel. Recht-winklige geodätische Koordinaten u. s. 

< = 1« 8' 15,1458" 
^tt = 18,2105 

la,.2 = 315 



«,.1= 136 8 33,3563" 

4,3874532.3 - 10 
log ri = 3,4374311.3, 
log t, = 3,6123391.9 
y 2 log Wf = 9,9979919.8 — 10 ,. . , , ^ „ 

o '' ) womit sich aIb Zuwachs Ton 

log (B^-F) TiTlT Ann. = l,4352155.3n ^ I ^ log »> ergiebt 

Zuwachs für 2 log Tr= + 2.7 j 2x0,34x3,92. 

- [5,23078—10] t^- 285.4 



Äj _ F SS _ 27,24 = — 0,454 



daher ist (»,— /-') = — 0,54 , 



J- [5,23078-10] V=- 



206.5 



log (5, — F) = 1,4351666.1, 

in Sek. 



Bj-i?'= -27,23746" 
.Bj= 56« 13' 49,02186". 



r 5,= 56» 13' 49,02186" 



Resultate: 



Lt. 



1 22 6,03270 ö«iich 



l «2.1 = 136 8 33,3563 



nach 


naoh ScArtiber, 


8.304 


a. a. 0. S. 12. 


49,02182" 


49,0218" 


6,03263 


6,0327 


33,3566 


83,355. 



Die Resultate vonS. 304 sind in der 5. Decimale nicht mehr sicher. 

§ 30. Fortsetzung deH Zablenbeispiels IL Umkehrung der 
vorigen Aufgabe. 
Gegeben : 

I?, = 57« B^ = 56« 13' 49,02186" i,.« = 1» 22' 6,03270" «tueh. 

DiejF'orffie?»(l)und(3)S.463 geben, indemLi.i,= — 4926,03270" ist: 

logL,., =3,6924972.91, 

log cos Bt = 9,7449625.47 - 10 

~ log r)', = 3,4374598738, 

. - [5,230783 - 10] <„* = — 285.28 



Argumeut für VFg 
= .'.6» 13,8170' 



log V = 3,4374313.10, 

in Sek. 

- log Wi = 0,0010038.30 
1,4902183.30 



log y = 4,9286534.70, 



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§ so. Fortsetzong des Zahlenbeispielg II. 



473 



logij.s, =3,6924972.91- 

log sin B, = 9,9197464.88 - 10 

[ log <o = 3,6122437.79 

I -j- [5,531813 - 10] V/ = + 255.51 



log t = 3,6122693.30 

in S«k. 

< = 1» 8' 15,1454" 



log ,; = 3,4374598.4, 
log«o =3,6122437.8 
2 log W^ = 9,9979923.4 — 10 
4,3874532.3,-10 

- I X 285.28 = - 142.6 

+ y X 255.51 = + 319.4 

log {F — B^= 1,4351668.7 

In Sek. 



F- B^ = + 27,23748" 
F=56M4' 16,25934" 
B, - J' = + 45' 43,74066" 
= + 2743,74066". 



Argument -- (B, + *') 

für log IK,,, 

= 56» S7,18M'. 

B,-\- F= HS°U'. 



Die Forntd (2) S. 463 giebt femer: 

1,4873099.71 

log (B, - J')= 3,4383430.59 

- 3 log Tr„= 0,0030388.00 

+ [2,930 — 10] {B^-FfcosiB^+F) = - * 0.25 

logä; = 4,9286918.05 

Die Formeln (4) und (5) S. 463 u. 464 geben endlich mit 
log Tr„ =s= 9,998990 - 10, 
dieses entsprechend dem Argument JB^ == 56* 29,5': 



log X = 4,9286918.05 



- [295325 - 10] f Wo* = 



127.80 



l"g Iscos («1., + l Ja\\ = 4,9286790.25 
log jssin («,., + |- ^fl)j = 4,9286534.70, 

«1.2 + 3 ^fl = 315« 0' 6,0686" 
log « = 5,0791812.46 



( 1,407017, - 10 

I log (xy) = 9,857345, 
[4 log Wq = 9,995960 - 10 
log Ja = 1,260322 

in Sak. 

( z/tt= 18,2105" 

< = 1« 8' 15,1454" 
a,.» = 314 59 59,9984 
Vi~i~^~ 136» 8' 33^3543" 



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474 10. Kapitel. BerechnuDg kleiner Figuren auf d. Rotationsellips. u. s. 



Resultate : 





nach Torigem 




Faragraphon : 


rlog X = 4,9286918.05 


.09 


log y = 4,9286534.70, 


.68 n 


log 5 = 5,0791812.46 


.46^ 


o,.2 = 314« 59' 59,9984" 


60,0000" 


«j, = 136 8 33,3543. 


33,3563. 



10. Kapitel. 

Berechnung kleiner Figuren auf dem Rotationsellipsoid 
mittelst Proijektion auf eine Ebene. 

§ 1. Yerscfaiedene IJmformnngen der Formeln für recht- 
winklige sphärische Koordinaten. Schon S. 420 ist angedeutet 
worden, dafs man bei der Vermessung eines ausgedehnten Landes, 
wie z. B. Preufsens, genötigt ist, auf eine gröfsere Anzahl besonderer 
Abscissenaxen überzugehen, um mit bequemen Formeln rechnen zu 
können. Insoweit es sich um die Berechnung von Koordinaten aus 
Entfernungen und Richtungswinkeln handelt, ist das Formelsystem 



V = 5 sin Hl. 2 
w = 5 cos ai , 2 






(1) 



9 a. 






völlig zureichend, so lange die Entfernungen und Ordinaten kleiner 
als 100*^* bleiben und derjenige Punkt der Abscissenaxe, för welchen 
Q genommen wird, innerhalb 10 Minuten in geographischer Breite 

oder 20*"* dem Argument a?i + ^> ^ entspricht. Denn alsdann ist der 

Einflufs der vernachlässigten Glieder noch nicht 1'"'". 

In der 2. Formel (1) ist u als Faktor gezogen, um die nach- 
folgende Verwendung zu erleichtern. Da x^ — x^ mit u verschwindet^ 
ist dieses Verfahren zulässig. (Dasselbe zeigt sich S. 414 u. ff. bei der 
Entwicklung der allgemeinen Formeln.) 

Eine Modifikation der Formeln (1), welche Zachariae und andere 
benutzen, ist S, 121 bereits erwähnt, Sie berücksichtigt die Glieder 



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§ 1. Verschiedene Umformungen d. Formeln f. rechtwink] . sphär. Koordin. 475 

3. Ordnung zum Teil durch kleine Reduktionen an üi,2 und s^ die 
aber in beiden Formeln verschieden sind: 

y« — yi = s sin (ai.2 — (E + «)) + (> Gl^ 









(2) 



Diese Modifikation yerdankt ihren Ursprung wohl mehr der Art der 
Herleitung als der Absicht, die Unbequemlichkeiten der Formeln (1) 
zu yermindem. 

' Diese Absicht kann einer ersten Idee nach vielleicht eher erreicht 
werden, indem man setzt: 



yg — yi = (s + *,) sin (äi.2 + *«) + 
a;, — a?i = (s + *,) cos (äi.« + *«) + 



::,| (») 



mithin s und Ä1.2 um gleiche Beträge in beiden Formeln ändert, 
s + <^» ist nichts anderes, als die Entfernung zweier Punkte in einer 
Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten Xy, y^ und x^, y^; ni.2 + <Ja 
ist der zugehörige Richtungswinkel. Ohne Zweifel sind d, und *b 
Funktionen der Koordinaten der Punkte. 

Wenn diese Funktionen einfach genug sind, würde sich nun 
nicht blofs der Vorteil ergeben, nach den Formeln (3), also mittelst 
ebener Polygonometrie die genauen Werte der Koordinatendifferenzen 
rechnen zu können, sondern überhaupt auch alle Figuren zwischen 
den Netzpunkten, insbesondere bei der Einschaltung Ton Netzpunkten 
in das Hauptnetz, einfach nach den Formeln der ebenen Geometrie 
behandeln zu können, nachdem die Horizontal winkel angemessen 
korrigiert sind. Da jeder Richtungswinkel a die Verbesserung ^b er- 
halten mufs, so ist diejenige eines Horizontalwinkels die Diflferenz der 
da für beide Richtungen seiner Schenkel: da rechts — da links, d, kommt 
nur insoweit in frage, als eine d>ene Entfernung s + ^« ^^^ ^^^ 
wahren zu yergleichen ist — nicht aber bei der Koordinatenberech- 
nung, da diese sich auf die d)ene Dreiecksberechnung, welche mittelst 
der reduzierten Winkel die s + ** unmittelbar giebt, stützen wird. 

Die Anwendung der Formeln (3) selbst ist jedoch nicht zweck- 
mäfsig, weil d« und da unbequeme Ausdrücke erhalten. Man kann aber 
alle geschilderten Vorteile erreichen und diese Ausdrücke vereinfachen, 
wenn man eine der Koordinaten x oder y mit einem passenden Faktor 
multipliziert, ehe man sie als ebene Koordinaten betrachtet. Es ist 
leicht zu sehen, dafs es gut ist, x als im Meridian liegend, un- 



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476 10. Kapitel. BerechnaDg kleiner Figuren auf d. RotationsellipB. u. s. w. 

geändert zu lassen. Der schickliche Faktor Ton y wird nun Toraus- 
sichtlich von 1 nur um eine Gröfse 2. Ordnung abweichen. Wir setzen 
ihn versuchsweise gleich 

1 + -/.', (4) 

WO c eine vorläufig unbekannte Konstante bedeutet. Bezeichnen wir 
ferner mit s' die ebene Entfernung s + d, 

H ä'i.2 den ebenen Richtungswinkel Ä1.2 + *n [ (5) 

„ X und y die ebenen Koordinaten, 
so ist 

V2 - y\ = ^2 (1 + ^r) — »1 (1 + ^') = 5' sin a;.2 

x't — x\ = X^ — X^ . . . . = S' cos 01.2 



(6) 



Mit Rücksicht auf die Formeln (1) folgt hieraus ohne Schwierigkeit; 

.' sin «;., = . (x+cy^+yf + yl) _ (,, + ^^ + , gi. 

Die Division der linken und rechten Seiten giebt, wenn man rechts 
für den in den Nenner tretenden Faktor Ton u im Zähler den Faktor 

einführt und zugleich auch m^= s^ — 1;*+ Gl^ und v^ = (y^ — ^1)*+ ^'4 
setzt: 

Dies wird besonders einfach für die Annahme 

. = !• (7) 

Unter dieser Voraussetzung ist mit Rücksicht auf die Relation 

t; : u «= tan Äi . 2 
sofort: 

tan a'1.2 = tan Äi.« — \[\ (2/1 + \ ^) ^ + Q^h]' 

Denkt man sich für die Tangenten die Cotangenten der Komplement- 
winkel geschrieben, so läfst sich unmittelbar die Entwicklung nach 
Taylors Satz S. 30u. 31 anwenden. Sie giebt: 



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§ 2. Ebene Projektionen. 477 

und zwar ist diese Entwicklung brauchbar, so lange die 2. Potenz 
Yon I } cos üi.iiu vernachlässigt werden kann. Da ti = s cos ai.2, 
80 ist dieser Ausdruck eine kleine Gröfse 2. Ordnung, deren Quadrat 
gerade dieselbe Ordnung hat wie die anderen Vernachlässigungen 
in (8). 

Die Formel (8) giebt nach einiger Reduktion, insbesondere Sub- 
stitution von u==: s cos ai.2) allgemein gültig innerhalb der eingangs 
gezogenen Grenzen: 

(a-,-aJi)(t/i + — (y, —yo) 
Äi.2 - «1.2 = - I q' —. + Gl,, (9) 

in Sok. ^ ^ 

wobei rechter Hand auch die ebenen Koordinaten substituiert werden 
dürfen. Beachten wir femer (4), (7) und (6), so findet sich: 

und 

s' = ix, - x,y + (y, - y,y (l + ^'"'^-^^^ +-^^' + Gl,) . (11) 

Dagegen ist entsprechend den Formeln (1) nach (1) S. 416: 

s» = (X, - x,r (l - y^^y'^^fiy^'- + GI,) + (y, - y,)\ (12) 

Hieraus folgt durch Subtraktion und in naheliegender Zusammen- 

s-==s^(i+y''+%lt + y'' + Gk), 

wobei die vernachlässigten Glieder in die Parenthese genommen wer- 
den durften, weil ihre Faktoren (y^ — y^y und (x.^ — x^y in (8) und 
(11) echte Bruchteile von s^ sind. Man kann nun sofort setzen: 

s==s(l + ^-^'- + %l-±y.'-+Gll (13) 

Hiermit sind die Relationen entwickelt, welche zwischen den 
Stücken eines von einer kürzesten Linie, den Ordinaten ihrer End- 
punkte und der Abscissenaxe begrenzten Trapezes auf dem Ellipsoid 
uud denjenigen seiner ebenen Übertragung stattfinden. 

§ 2. Ebene Projektionen. Denkt man sich einen Punkt als 
Endpunkt verschiedener Linien, so würde nach (10) die ebene Ordinate 
y streng genommen je nach der ins Auge gefafsten Linie einen anderen 
Wert erhalten, weil q^ sich stets annäherungsweise auf einen inmitten 



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478 10. Kapitel. Berecbnüng kleiner Figuren auf d. Rotationsellips. u. 6. W. 

der EndordiDatenfufspunkte gelegenen Punkt der Abscisaenaxe be- 
ziehen soll. Indessen wird der Fehler nicht erheblich, wenn man y 
nach der Formel 



y 



('+*&) « 



aus y ermittelt, wobei sich qf auf den Fufspunkt der Ordinate y 
selbst bezieht. Der Fehler ist gleich 

und da q^ = h^ : TT* ist, hat man hierin zu substituieren : 

^ ~ -^ = ^ (^^ ~ '* "°'-®«^* - (1 - e« sin» JB^)") , 

wenn Bf die geographische Breite für den Fufspunkt der Ordinate 
y ist und B^ diejenige geographische Breite bezeichnet, welche For- 
mel (10) S. 477 als Argument voraussetzt. Betrachtet man Bf — ^o 
als ein Differential, so erhält man als einen genügenden Näherungs 
wert für den letzten Ausdruck: 

y - 1' °= M ^ ''" ^^' • ^^' " ^•^' 



womit der Fehler (2) der Ordinate y die nachstehende Form annimmt: 
\e^l\im2B^.{BF-B^). (3) 



Setzen wir Seiten und Ordinalen im Maximum gleich 100*"*, so kann 
Bf — Bq den Betrag 50 : 6*"* nicht übersteigen, und es stellt sich als 
Maximalwert des Ordinatenfehlers nur rund \ Millimeter heraus. 

Dieser unerhebliche lineare Fehler hat auch auf die Azimute 
einen ganz geringfügigen Einflufs. Zufolge (3) ist nämlich der Fehler 
in y\ — y\ gleich 

I e' sin 2B, (g-^ {B,- B,) - ^^ {B.-B,)), 

worin B^ und B^ die geographischen Breiten der Fufspunkte der 
Ordinalen y^ und y^ bezeichnen. Da man aber JB^ = — {By -f- JBj) 
zu setzen hat, so reduziert sich vorstehender Ausdruck auf 

\^^\u2Bo^^-{B,-B,). 

Der Fehler in tan a'1.2 ergiebt sich hieraus, indem man für B^ — JBi 
den nahezu gleichen Ausdruck {x^ — arj : h^ einführt, gleich 



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§ 2. Ebene Projektionen. 479 

und dies ist zugleich das Maximum des Fehlers in Hi.g selbst, als 
Arcus. Multipliziert mit p" und Bq = 45^, yi = y^ ^= 100*"* genom- 
men; ergiebt sich als äufserster Fehlerbetrag in Sekunden ausgedrückt 
noch nicht 0,002". 

Indem wir nun die ebenen Koordinaten zu den geodätischen 
mittelst der Relationen 



X 



y=y{' + C^ (5) 



in Bezug bringen, erlangen wir eine ebene Abbildung (oder Projektion) 
eines Teiles des Rotationsellipsoids. 

Denn man kann sich denken, dafs zu beiden Seiten eines Meri- 
dianes alle Punkte bis zu 100*'" Abstand übertragen werden, ohne 
Rücksicht auf die besonderen Figuren, zu denen sie vereinigt sind. 

Diese ebene Projektion ist innerhalb der angesetzten und zur 
Anwendung gelangenden Glieder identisch mit der von Gatiß zur 
Berechnung der hannoverischen Landesvermessung (richtiger: Grad- 
messung, vergl. 0. Schreiher, Theorie der Projekt ionsmethode der hannoveri- 
schen Landesvermessung, 1866, S. 91) angewandten con formen Pro- 
jektionsmethode. Ebenso wie diese Methode bietet sie nur dann 
Vorteile, wenn die zu behandelnde Messung sich blofs bis zu geringen 
Abständen von einem mittleren Meridian (der Abscissenaxe) entfernt, 
während sie entlang desselben ganz beliebig ausgedehnt sein darf. 

Eine Abbildung aber heifst conform, wenn sie dem Original in 
dem kleinsten Teilen ähnlich ist. Unendlich kleine Rechtecke des 
Originals müssen daher in der Abbildung nicht nur wieder Rechtecke, 
sondern auch zum Original ähnliche Rechtecke sein. Wenn wir wie im 
vorigen Paragraphen uns zuerst die Ordinaten y einfach rechtwinklig 
zur Abscissenaxe in der Ebene aufgetragen denken, so giebt diese 
Abbildung unendlich kleine, mit einer Seite an y angrenzende Recht- 
ecke wieder als Rechtecke, aber nicht als ähnliche Rechtecke. Nach 
S. 407 überstreicht nämlich die unendlich kleine Strecke dy^ wenn 
sich der Fufspunkt der Ordinate y um dx verschiebt, ein Rechteck 
mit den Seiten ndx und dy. In derjenigen ebenen Darstellung jedoch, 
welche die y einfach überträgt, ist das Bild des Rechtecks ein 
Rechteck mit den Seiten dx und dy. 

Dagegen hat in der oben ausführlich behandelten ebenen Dar- 
stellung, welche als Ordinate y (l -|- -^ , j annimmt, das Bild sehr 

nahe die Form eines Rechteckes mit* den Seiten dx und ^y ( 1 + g 2 )> 
also dem Seitenverhältnis ndx :dy. 



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4 80 10. Kapitel. Berechoung kleiner Figuren auf d. Rotationsellips. u. s. w. 

Die Abweichung von der rechteckigen Gestalt erkennt man daraus, 
dafs einem konstanten y bei veränderlichem x ein schwachveränder- 
liches y' entspricht, weil q^ Punktion von x ist. Sie beträgt in 
Sekunden 

|pV8in2JB^, (6) 

wie eine, mit der auf S. 478 geführten Rechnung ziemlich identische 
Rechnung zeigt [vergl. insbesondere Formel (4)]. B bezieht sich 
hierbei auf den Ordinatenfufspunkt. Das Maximum des Ausdrucks 
(6) beträgt noch nicht 0,002", die Abweichung ist daher unerheblich. 
Ebenso unerheblich ist die Abweichung des Seitenverhältnisses 
in der Ebene von demjenigen auf dem EUipsoid. Man hat als 
Seitenverhältnis 



in der Ebene: dx : dy (1 + 0^2) 

auf dem EUipsoid: JXdx idy oder dx : — dy 



(7) 



Nach S. 411 (4) ist aber n = cos -^ -|- Gl^ und daher 

Die Seiten verhältüisse (7) sind also bis auf den Bruchteil 5y* : 24q/ 
identisch. Die Differenz erscheint noch geringer in ihrer Wirkung 

auf y. Integriert man nämlich die Differentiale — dy von null bis y, 

so erhält man diejenige Länge der Ordinate, welche dem ellipsoidi- 
schen Seitenverhältnis entspricht. Sie ist um y^:24Qr grofser, als 
Formel (5) sie giebt. Das macht im Maximum \ Millimeter. . 

Wir erwähnen noch, dafs Gaufs für Formel (9) S. 477 als Argu- 
ment zu Q^ nicht x.'\'—u sondern x^ + « m vorschreibt. Allein 

die Differenz beider Argumente fällt für Seiten < 100*" stets inner- 
halb der zulässigen Variation des Arguments. 

§ 3. Zusammenstellung der Formeln fär die ebene 
Projektion, Voraussetzungen: Seiten und Ordinaten nicht über 
100*"* lang; Abscissen beliebig lang. 

Zur Reduktion vom Rotationsellipsoid auf die Ebene ist nach 
(5) des vorigen Paragraphen: ji 



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$ 8. ZnsammeDsielltmg der Formeln für die ebene Projektion. 481 
„. _ «o' _ V. 

Aignment für K u. W: Die geographische Breite des OrdinateDf^fspunktes. 

Die logarithmische Formel führt kleine Yemachrässigungen ein, die 
linear noch nicht 0,1'""' und im Logarithmus erst höchstens 4 Ein- 
heiten der 10. Decimalstelle betragen. 

Zur Reduktion der linearen Längen auf die Ebene ist nach (13) 
S. 477: 

log s = log s + -f- (y^+^y + 1 ^^^^0^ + ^h. 

wobei in der 2. Formel för y^* + J/iJ/a + J/»* ^^ gröfserer Bequemlich- 

s 1 

keit der Rechnung — (j/g + 3/i)* + t (Vi "~ ^i)* gesetzt wurde. Die 

durch Einführung der logarithmischen Form entstehenden Fehler er- 
reichen noch nicht 1""". 

Für Q ist in (2) ein Argument anzuwenden, das mit dem arith- 
metischen Mittel der geographischen Breiten der Ordinatenfufspunkte 
etwa bis auf 10' übereinstimmt 

Zur Reduktion der Richtungswinkel auf die Ebene ist nach (9) 
S. 477, wenn q wie vorher gebildet wird: 



(2) 



»1.4 — flt.» 
In Sek. 



-vP 



+ Gk. (3) 



Für einzelne Horizontalwinkel tritt als Reduktion die Differenz der 
Reduktionen für beide Schenkel auf. Insoweit es sich hierbei um Ob- 
jekte handelt, dei^n Koordinaten noch unbekannt sind, müssen zuerst 
genäherte Werte derselben ermittelt werden. Alsdann ist es über- 
haupt zweckmäfsig in die Formel (3) rechter Hand die ebenen 
Ordinaten einzuführen, was keinen nennenswerten Fehler giebt. 

Zur Reduktion von der Ebene aufs ElHpsoid findet sich, wie 
aus den vorigen Formeln leicht abzuleiten ist: 

logy^logy'-^^ + Gl, ^ 



6 Q* 



loB . - log ,- - f (^t^r - -«- {^'f + o.. 



Ä1.2 — Ä1.2 = + V ^ 



Helmert, mathcm. n. physikal. Theorieen der höh. Geodäsie. 



+ Gk, 

31 

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(4) 



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482 10. Kapiiel. Berechnung kleiner Fignren aof d. RoUtionsellips. ü. 8. w. 

wobei in der ersten dieser Formeln q dem Ordinatenfufsponkt^ in den 
beiden anderen aber der Mitte zwischen beiden Fufspunkten bis auf 
10' in geographischer Breite zu entsprechen hat 

Genauigkeit Die Genauigkeit der obigen Formeln entspricht 
vollkommen derjenigen des Formelsystems (1) S. 474. Zum Teil ist 
dies schon nachgewiesen^ noch nicht aber bezüglich der Formeln (9) 
und (13) S. 477. Man kann aber einen summarischen Nachweis da- 
durch führen, dafs man zeigt, dafs bei gegebenem y^^ s und üi,i die 
ersteren sowie die letzteren Formeln bis auf nicht in betracht kom- 
mende Gröfsen für y, — y^ und x^ -- x^ dasselbe geben. Setzt man 
abkürzungsweise 

log S = log S + Mdl y 

Äi.a — «1.1 =^"^2, 

in Sek. 

SO ist zunächst s •= s (l + *i + y ^i* + • •) und weiter mittelst 

Bildung der Ausdrücke für 5 cos «1.2 und s sinal.s, wenn 5coslti.2 
mit u und ^sinlti.i mit v bezeichnet wird: 

x^ — a;^ = M -{- u8^ — t;*2 + Y 1* {9^ — 9^) — v8^8^ + • • 

y;-y;=t; + t;*, + u*, + -it;(tf,«-V) + «*i*2 + -. (5) 

Beachtet man noch, dafs nach S. 476 und 477 gesetzt werden 
kann: 



y;-y'. ■=(»,-»!) (i + *i + v*i*+ ••) 



oder 



SO folgt mittelst des obigen Ausdrucks für y, — y\i 

y« - yi = V + w *, — Y t; *,» + • • . (6) 

Vernachlässigt man in den Formeln (5) und (6) die höchsten 
Glieder und setzt einfach 

a?a — iCi «» M + utfi — t;dg + • • (&*) 

y« — yi — t' + w*2 , (6*) 

so begeht man im Maximum nur Fehler von noch nicht l**^, wie 
die Untersuchung der Mazima der yernachlässigten Glieder ergiebig 
in welchen man 



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§ 4. äelrecknüng der ebenen Koordinaten aus geographisclien Positionen. 483 

!/s (y. - t^) + y v' 



und 

*« = V 

nehmen darf. Um nun (5*) und (6*) mit den Formeln (1) S. 474 
zu vergleichen, hat man für (5*) und (6*) die genauen Werte 

A ^ yi' + yiy« + y»' 

(a:.-^,)(|-y. + |y.) 
*. 2? 

anzuwenden und rechter Hand anstatt y^ y y^ und x^ — x^ die Grofsen 
y%} Vi } ^ "^^ *♦ nvA^ Mafsgabe jener Formeln (1) einzuführen, was 
durch Anwendung der (5*) und (6*) selbst leicht geschehen kann. 
Als Unterschiede mit den (1) 8. 474 stellen sich dann abermals 
kleine Glieder heraus, deren Maximalbetrag 1"*"* nicht erheblich über- 
schreitet Da nun diese Formeln (1) selbst nur auf V^ genau sind, 
so kann man in der That die Formeln (1) bis (3) der ebenen Über- 
tragung als gleich genau mit jenen bezeichnen. 

Was endlich die Formeln (4) anlangt, so zeigt der Umstand, 
dafs y und y nur um höchstens ^-^^-q-q ihres Betrags von einander 
abweichen, mit Rücksicht auf die Maximalwerte der Glieder 2. Ord- 
nung jener Formeln sofort, dafs sie mit den Formeln (1) bis (3) bezw. 
nur um ganz geringfügige Beträge differieren. 

§ 4. Berechnung der ebenen Koordinaten aus geographi- 
schen Positionen und umgekehrt. 

Wenn aufser der geographischen Lage des Koordinatenanfanges 
P^ noch diejenige eines Punktes Pg gegeben ist, dessen ebene Ko- 
ordinaten X und y zu ermitteln sind — eine Aufgabe, die bei dem 
Übergang zu den Detailkoordinatensystemen auftritt — , so kann man 
ohne weiteres die Formeln (1) bis (3) des § 25 S. 463 anwenden, 
mit der Änderung, dafs zu Formel (3) noch die Formel 

logy' = logy + -|,y»W (1) 

beigefögt wird, um die ebene Ordinate y zu erhalten. Der numerische 
Betrag des Koefficienten M: Qb^ ist S. 463 angegeben; für Wf aber 
wird man einfach W^y welches bereits anderweit erforderlich ist, ein- 
führen dürfen. Es entspricht dieses den anderen Vernachlässigungen 

31* 



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484 10. Kapitel. Berechnung kleiner Fignreu auf d. Eotatdonsellipe. n. s. w. 

des Formelsystems auf S. 463 und giebt in y nur Bruchteile 
Millimeter. 

Auch für die umgekehrte Aufgabe (welche auftritt, wenn ein 
Dreiecksnetz in der ebenen Projektion berechnet ist), bleiben wir bei 
den früheren Formeln für geodätische Koordinaten, nämlich den For- 
meln des § 22 S. 456 stehen und denken uns nur zuerst die ebene 
Ordinate auf das EUipsoid reduziert mittelst der Formel 

log!/ = logy -^y»Fr,' + .-. (2) 

Als gegebener Punkt P^ wird der Eoordinatenanfang voraus- 
gesetzt und die weitere Rechnung knüpft an die Formeln (2), (3) und 
(4*) a. a. 0. an. Die Berechnung von t unterbleibt ebenso wie über- 
haupt die Berechnung von 5, ai.2 und «2.1, welche Gröfsen zunächst 
nicht in frage kommen. Wünscht man aber die Richtung des Meri- 
dians in P2 kennen zu lernen, so ist auch t zu ermitteln. Da nun 
nach S. 479 u. 480 die Parallelen zur Abscissenaxe auf dem EUipsoid 
sich sehr nahe als solche in der Ebene abbilden und die Abbildung 
im wesentlichen conform ist^ so schliefst auch in dieser der Meridian 
mit der Parallelen zur Abscissenaxe den Winkel t ein (Fig. 39 S. 421). 

§ 5. Allgemeine Bemerkungen zur Methode der eigenen 
Projektion. Eine ausführliche Theorie der 6rau/si8chen Projektions- 
methode gab 0. Schreiber a. a. 0. 

Für die von uns allein für vorteilhaft gehaltene Anwendung der 
Methode auf schmale meridionale Bezirke behufs der Detailvermessung 
dürfte die oben gegebene Modifikation ausreichen, welche in weniger 
strenger Darstellung Verfasser bereits in der Zeitschr. f. Verm.- Wesen 
1876 S. 238 entwickelt hat, woselbst auch ein leicht zu erstellendes 
logarithmisches Diagramm zur näherungsweisen (oft ausreichenden) 
Reduktion der Richtungswinkel auf die Ebene angegeben ist und 
praktische Vorzüge der Anwendung der Koordinaten in der ebenen 
Projektion vor der Benutzung der Koordinaten auf dem EUipsoid 
namhaft gemacht sind. (In dieser Beziehung vergleiche auch bei 
Jordan, Handbuch Bd. 2, S. 293 u. flF. eine gegenteilige Ansicht.) 

Der Hauptvorzug der ebenen Projektion scheint uns darin zu 
liegen, dafs nach erfolgter Reduktion der Richtungen auf die Ebene 
alle weiteren Rechnungen nur nach den Regeln der ebenen Geometrie 
erfolgen, also die Berücksichtigung der ellipsoidischen Gestalt der 
Erde in eine sehr bequeme und anschauliche Form gebracht ist. Die 
Becücksichtigung der kleinen Glieder bei den Berechnungen der 
Detailtriangulierungen auf dem EUipsoid selbst ist sehr störend, so 
klein wie diese Glieder auch sind. 



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i 1. Die Bedeatung geographischer Koordinaten. 485 

Da bei Besehränkung auf absolute Werte der Ordinaten y <0,01ay, 
d. i. 64*", das Vergrofserungsverhältnis der Dimensionen: 

1 + -^^V (1) 

am Rande des Yermessungsgebietes nur bis zu ^d^öj^ die Einheit 
überschreitet, so können in diesem Falle für die Zwecke der Detail- 
vermessang die ebenen Dimensionen sogar ohne weiteres als wahre 
DimensioDen angesehen -und mit direkt gemesseneu Längen bei Auf- 
nahme von Polygouzügen verbunden werden. 

Gaufs selbst hat üher die conforme ebene Projektion der hannoveri- 
schen Landesvermessung nichts publiziert; was man kennt, ist aus dem 
Briefwechsel mit Schumacher entlehnt. Er hat aber in seinen Geodätisclien 
Untersuchungen eine andere vorzuf?liche conforme Projektionsmethode 
entwickelt, nämlich diejenige auf die Kugel. Dieselbe ist für sehr weit 
au8ge<lehnte Vermessungen brauchbar und erfordert nur ganz kleine Re-, 
doktioncQ der gemessenen liichtungen. Wir verweisen bezüglich dieser 
Methode auf die Originalarbeit, sowie auf die von Jordan in seinem 
Handbuch der Vermessungskunde gegebene Bearbeitung und bemerken 
hier nur so viel, dafs bei dieser Methode gegenüber der direkten Rech- 
nung auf dem Ellipsoid der Vorteil einfach sphärischer Berechnung der 
^ographischen Positionen besteht, mit nachfolgender bequemer Über- 
tragung der geographischen Breiten mittelst einer Hilfstafel und der geo- 
graphischen Längenunterscbiede mittelst Multiplikation durch eine Konstante, 
aufs Ellipsoid. Die direkte Rechnung auf dem KDipsoid hat andrerseits 
den Vorteil, dafs es leichter ist, mit verschiedeneu Elementen desselben 
die Rechnung zu führen — auch ist, wenigstens für kurze Distanzen, der 
Zusammenhang zwischen den geodätischen Ergebnissen und geographischen 
Koordinaten ein durchsichtigerer. 

Endlich kann man vielleicht als Nachteil jener Methode erwähnen, 
dafs bei der Übertragung der gemessenen Winkel auf die Kugel leicht 
geringfügig erscheinende Korrektionen wegbleiben, welche dennoch für 
weit ausgedehnte Gebiete sich zu merklichen Beträgen anhäufen. 



11. Kapitel. 
Die Berechnungsarbeiten für eine Landesvermessang.'*') 

§ 1. Die Bedeutung geographischer Koordinaten. Für eine 
Landes Vermessung wird es selbst bei bedeutender Ausdehnung immer 
ausreichen, die Annahme zu machen, als erfolge sie auf einem Rota- 
tionsellipsoid mit geradlinigen Lotlinien, S. 134. Zwar ist dieses 

*) YoD der Additamenten- und der Sehnenmethode sehen wir hier ab; für 
diese ist das Erforderliche schon früher an den betreffenden Stellen bemerkt. 



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486 11- Kapitel. Die BerechDnngsarbeiien ftir eine IjandeBTermesBang. 

nicht streng, aber der Einflufs auf die gegenseitige Lage der Punkte 
ist, wie spätere Untersuchungen zeigen werden, unerheblich. Die 
Elemente dieses Ellipsoids kommen dabei auch nur in geringem Mafse 
in betracht, insoweit es sich eben um die Entfernungen (und Flächen) 
handelt; vergl. S. 405. Sie haben allerdings einen wesentlichen Ein- 
flufs auf die geographischen Positionen. Die berechneten Werte der- 
selben können aufserdem wegen der Lotabweichungen mit den 
wirklichen Werten recht erhebliche Differenzen zeigen, allein in 
erster Linie sind die geographischen Koordinaten bei grofsen Landes- 
vermessungen nur als Mittel zur Bezeichnung der gegenseitigen Lage 
der Punkte aufzufassen -, sie sind in dieser Beziehung viel bequemer als 
rechtwinklige Koordinaten, die zwar von den Elementen des Ellipsoids 
weit weniger abhängen, deren Anwendung praktisch aber an kleine 
Bezirke gebunden ist, S. 474. Der Grund der erwähnten Bequem- 
lichkeit ist der, dafs bei der successiven Übertragung geographischer 
Koordinaten von Punkt zu Punkt stets nur die einfachen Formeln von 
§ 22 S. 456 in betracht kommen, während bei Anwendung recht- 
winkliger Koordinaten bei einiger Ausdehnung des Gebiets infolge 
der Abhängigkeit der Formeln vom Abstand der Punkte von der 
Abscissenaxe sofort die keineswegs einfachen Formeln von S. 419 
und event. noch kompliziertere erforderlich werden. 

Wegen jener Bedeutung der berechneten geographischen Posi- 
tionen ist es durchaus korrekt, sie auf 1 Einheit der 3., 4. oder selbst 
5. Decimale der Sekunden anzugeben, da sie eben der Schärfe geo- 
dätischer und nicht astronomischer Messungen zu entsprechen haben 
und da man die Rechnungsschärfe gern 1 bis 2 Stellen weiter als 
die Messungsschärfe treibt.*) 

§ 2. Vorläufige Berechnungen. Um die genaue Berechnung . 
zu ermöglichen, ist von der vorläufig auf das Niveau des Meeres 
reduzierten Basislänge aus (s. § 3) eine vorläufige Seitenberechnupg 
auszuführen. Man bedient sich dabei des Sinussatzes der ebenen 
Trigonometrie unter Abgleichung der Winkelsummen auf 180®, wobei 
zugleich ohne weiteres Legendres Satz mit berücksichtigt ist. 



*) Es ist immerhin wünschenswert, dafs auch die berechneten geographischen 
Positionen den wahren möglichst entsprechen. Man wird daher thnnlichst als 
astronomischen Ausgangspunkt einen von Störungen des Lotes durch sicht- 
bare Massenunregelmäfsigkeiten freien Punkt wählen. Noch besser wäre es, 
den designierten Ausgangspunkt vor definitiver Annahme mit benachbarten 
Dreieckspunkten auf Lotablenkung zu vergleichen, um auch lokale Lotstörungen 
durch unsichtbare Massenunregelmäfsigkeiten zu erkennen. 

Dieses Verfahren ist auch der Messungsfehler wegen für ausgedehnte Yer- 
messungsgebiete zu empfehlen. 



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$ 8. Redaktion der Basis auf einen Normalhorizont. 487 

Demnächst folgt eine beiläufige Ermittlung der geographischen 
Breiten von dem nach Breite aatronomiach genau festgelegten An- * 
fangspnnkt aus mit Hilfe des astronomisch bestimmten Azimutes einer 
von hier ausgehenden Dreiecksseite (des sogenannten ersten Azimutes), 
falls nicht eine ältere Karte vorliegt. 

Diese Ermittlung hat nur den Zweck, für die Berechnung der 
Dreiecksexcesse die Erümmungsmafse des Ellipsoids genügend scharf 
finden zu können. Da die in betracht kommenden Excesse meist 
nur einige Sekunden betragen, würde in der Regel sogar ein Breiten- 
fehler von \ Grad noch nicht 0,001" Excefsfehler geben, wie die Difife- 
rentialformel (3) S. 403 und die daselbst angestellten Rechnungen 
zeigen. Selbst bei 10" Excefs genügt stets noch eine Genauigkeit bis 
auf 10' in Breite. 

Hiemach (und eventuell eingehender nach der eben erwähnten 
Formel) kann man ermessen, wann eine ältere Karte oder eine flüch- 
tige Berechnung der geographische^ Breiten nach den Formeln S. 456 
u. 457 mit Yemachlässigung der höheren Glieder und unter Annahme 
eines konstanten Wertes W zu genanntem Zwecke ausreicht. 

§ 3. Rednktion der Basis auf einen Normalhorizont. Wenn 
bei der in § 2 vorausgesetzten Reduktion die geographische La^e der 
Basis nicht genügend bekannt war, so ist eine erneute Reduktion auf 
das Meeresniveau auszuführen, nachdem durch die vorläufige Be- 
rechnung ihre geographische Lage nach Breite und Azimut genügend 
bekannt worden ist. (Eine näherungsweise direkte Beobachtung beider 
Elemente reicht auch aus.) Die Reduktion erfolgt bei der Kürze der 
Strecke ohne Zweifel ganz ausreichend nach der Annahme, dafs die 
unmittelbar gemessene horizontale Entfernung als ein Kreisbogen in 
der mittleren Meereshohe der Basis aufgefafst wird. Ebenso wird die 
Projektion als Kreisbogen anzusehen sein. Der Krümmungsradius für 
letzteren ist der spezielle Krümmungsradius des Ellifisoids in der 
mittleren geographischen Breite der Basis und in ihrem mittleren 
Azimut; für ersteren ist er um die mittlere Meereshohe gröfser. 

Der Kalkül kann als im Princip schon auf S. 6 gegeben über- 
gegangen werden, um so mehr als seine Behandlung keinerlei Schwierig- 
keit bietet. 

Die Reduktion der Basis auf einen sogenannten mittleren Landes- 
horieont ist nur für kleine Länder, wo unmittelbar von der Haupt- 
triangulation zu einem System rechtwinkliger Koordinaten über- 
gegangen werden kann, zu empfehlen. Für die Berechnung geographischer 
Positionen führt aber dieser Vorgang zu Weiterungen (wie einer der 
folgenden Paragraphen zeigen wird), während es andrerseits für die 



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488 ^ 11. Kapitel. Die Berechnungsaibeiten für eine LandebvermessuDg. 

Detailarbeiten und wirthschäftlicben Zwecke der Vermessungen ganz 
* gleichgültig ist, wenn, die Entfernungen von denen im mittleren 

Niveau einer Gegend gemessenen um Bruchteile der Ordnung — ab- 
weichen, da dies meist weniger als y^^u^f sein wird. Eventuell ist 
auch eine entsprechende Reduktion leicht auszufuhren. 

Wir setzen daher im Folgenden zunächst die Reduktion auf einen 
Meereshorizont voraus. 

§ 4. Reduktion der gemessenen Winkel und Richtungen. 

Die auf den Netzpunkten (Stationen) beobachteten Winkel und Rich- 
tungen können zuerst stationsweise ausgeglichen werden. Das Resultat 
der Stationsausgleichung wird eine Reihe Zahlen sein, deren Differenzen 
die Winkel darstellen, die im einzelnen aber Richtungs werte heifsen 
und von den Azimuten um eine Konstante verschieden sind. Diese 
W^erte sind vor der Netzausgleichung zu verbessern in folgender Weise: 
l.»Nach S. 190 (6) beträgt für ein südwestliches astronomisches 
Azimut, das nach einem Objekt in der Meereshöhe H genommen ist^ 
die Reduktion, um das astronomische Azimut der Projektion dieses 
Objekts auf das Rotationsellipsoid zu erhalten, in Sekunden: 

+ Y ^"^' ? ^^^' 1? sin 2a -I (l) 

und also mit Bessels Dimensionen des Ellipsoids hiernach: 

+ 0,108" cos* B sin 2a {H in KUomatem) ^ . (1*) 

2. Ferner beträgt die Reduktion vom' astronomischen aufs geo- 
dätische Azimut nach S. 332 (11) in Sekunden: 

-1^q"^^.^o^'B^^^^<^+-; (2) 

oder 

-^ 0,028" cos» B sin 2a {--^^-J + ■■■ (2*) 

Hierin bezeichnen a das gemessene Azimut, B die Polhöhe des 
Standpunktes und s die horizontale Entfernung des Objekts. 

Nach diesen Formeln ist streng genommen jedes beobachtete 
Azimut und jede beobachtete bezw. auf der Station ausgeglichene Rich- 
tung des Dreiecksnetzes zu korrigieren* Für die Winkel ergiebt sich 
die Korrektion als Differenz der Korrektionen der Richtungen beider 
Schenkel von selbst. 

Sind die Entfernungen' sehr grofs, so können die S. 190 und 332 
angegebenen höheren Glieder merklich werden; in der Regel aber 
reichen vorstehende Ausdrücke aus. 



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§ b. BerechnuDg der Bph&riscbeii Ezcesse der Dreiecke. 489 

Was die Fehler anbelangt, die durch Unterlassung der Roduk- 
tioDen(2) begangen werden, so ist darüber schon S. 400 u. ff. gehandelt 
worden. 

Für den thatsächlichen Zustand der Erde sind vorstehende 
Korrektionen noch nicht genügend; indessen repräsentieren sie das 
Wichtigste und in erster Linie zu Berücksichtigende. Wir wollen hier 
die anderen weiterhin zu besprechenden Korrektionen vorläufig namhaft 
machen. Es sind: 

3. Die Korrektion wegen Lotabweichung, welche dadurch entsteht, 
dafs die Lotrichtungen nicht genau Normalen eines EUipsoids sind. - 

4. Die Korrektion wegen des Abstandes der Geoidfläche von der 
Fläche eines Rotationsellipsoids. 

5. Die Korrektion wegen .der Lateralrefraktion der Lichtstrahlen, 
d. h. wegen der Ausweichung des Lichtstrahles aus der Vertikalebene 
vom Standpunkt nach dem Objekt infolge ellipsoidischer Form der 
NiTeauflächen der Luft. 

Id Grun^ts Archiv von 1869, Teil 51, S. 20 ii. ff., behandelt Swiderhof 
die sämtlichen Beduktionen der HorizonUilwinkel unter Voraussetzung 
einer rotaiionsellipsoidischen Gestalt der mathematischen Erdoberfläche. 
ViJlarceau bespricht die Rednktion wegen Meereshöhe in den CompUa 
rendus von 1866, Bd. 63, S. 850. Ändrae führt 1867 die Formeln mit 
teil weiser Entwicklung an in Bd. 1 der Dänischen Gradmessung ^ vergl. das 
Referat in der Viertel jalirsschriß der Astronom. Ges. 1878, Bd. 13, S. 72u.ff. 

Dafs Gaufs und Bessel diese Reduktionen bereits kannten, ist nicht zu 
bezweifehi, wenngleich von ersterem eine bezüglicbo Entwicklung nicht 
vorliegt und Bessel nur die Reduktion vom astronomischen aufs geodätische 
Azimut entwickelt. In Bezug hierauf vergl. man eine Mitteilung von 
Peters in den Astronom. Nachr. von 1856, Bd. 43, Nr. 1022, S. 209. 

§ 5. Berechnung der sphärischen Excesse der Dreiecke. 
Zum Zwecke der üblichen Ausgleichung des Netzes nach bedingten 
Beobachtungen ist zunächst die Berechnung der sphärischen Excesse 
derjenigen Dreiecke notig, deren sämtliche Winkel beobachtet worden 
sind. Dazu bedarf man der Inhalte der Dreiecksfiächen, welche am be- 
quemsten aus 2 Seiten und den eingeschlossenen Winkeln berechnet 
werden. Die Logarithmen der Seiten giebt die vorläufige Rechnung. 

Die Genauigkeit dieser Angaben für die Seiten kann immer als 
ausreichend für die Excefsberechnung betrachtet werden, denn wenn 
jene auch nur bis auf ^^^^^ S^^S^; würde der Excefs bei 10" Betrag 
doch nur um 0,001" fehlerhaft. Diese Genauigkeit haben aber die 
Angaben der vorläufigen Rechnung selbst in grosserer Entfernung 
von der Basis, da man die aus den Stationsausgleichungen hervor- 
gehenden Winkel auf mindestens + 1" mittleren Fehler genau voraus- 



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490 11- Kapitel. Die BerechDnngsarbeiten für eine LandeBTermesBaog. 

setzen darf. Andrerseits aber ist es überflüssig, mehr als drei Deci- 
malen bei der Ausgleichung der Dreieckswinkel beizubehalten. 

Was die Excefsberechnung anlangt, so ist schon S. 403u.ff. die 
Zulässigkeit einer rein sphärischen Berechnung für eine mäfsig aus- 
gedehnte Kette erörtert Indessen ist es leicht, mittelst der Tafel 
auf S. 213 in AJbrechis Tafelsammlung das spezielle mittlere Erümmungs- 
mafs der einzelnen Dreiecke oder kleiner Komplexe solcher zu berück- 
sichtigen. Von der nun in der Regel in betracht kommenden Formel 
(1) für log B 8. 362 genügt nach S. 99 in den meisten Fällen das 
1. Glied, sodafs 

rt hc 8111 Ä -r^ , 

gesetzt werden darf. In der 3. Decimalstelle kann sich ein Einflufs 
erst geltend machen bei Seitenlängen von mehr als 120*"*, wie S. 99 
ausführlich erörtert worden ist. Eventuell ist dann Formel (3) S. 100 
zu benutzen, welche die höheren Glieder in bequemer Weise zu berück- 
sichtigen gestattet. 

§ 6. Ansgleiehung. Um die Ausgleichung der Beobachtungs- 
fehler bewältigen zu können, müssen die, ein möglichst weitmaschiges 
Netz bildenden, gröfsten Dreiecke (die Dreiecke 1. Ordnung) für sich 
ausgeglichen werden, um als unveränderliche Grundlage für kleinere 
Dreiecke zu dienen, die in Systemen 2., 3. und 4. Ordnung nach und 
nach eingehangen werden. Dem entsprechend erhalten die Dreiecke 
1. Ordnung eine maximale Genauigkeit der Winkelmessung. [Über die 
beste Methode hierzu vergl. 0. Schreiber^ Anordnung der Hortjgontdkmnkel' 
messungen etc,, Zeitschr. f. Vermessungswesen 1878, Bd. 7, S. 209u.fl'.; 
sowie von demselben Richtungsbeobachtungen und Winkelbeobdchtungeny 
ebenda Bd. 8, S. 97 u. «.] 

Sogar die Netze 1. Ordnung erlangen bei grofs^n Ländern eine 
solche Ausdehnung, dafs schon aus dem Grunde, mit der Detail- 
bearbeitung nicht bis zur Aufnahme und Ausgleichung des ganzen 
Netzes warten zu müssen, auch für sie eine zeitlich schrittweise vor- 
gehende Ausgleichung in Teilen nötig wird. 

Es müssen dann immer die Resultate der vorangehenden Aus- 
gleichungen beibehalten werden , was allerdings den folgenden* Netz- 
teilen einen Zwang auferlegt, der aber so lange ziemlich unschädlich 
ist, als in jeder der, dem Anschlufs entsprechenden Bedingungs- 
gleichungen der mittlere Wert des Aggregats der darin enthaltenen 
Verbesserungen der W^inkel des anzuschliefsenden Netzteiles gröfser 
ist, als derjenige des Aggregats der darin unterdrückten Verbesserungen 
der Stücke des unverändert beizubehaltenden Netzteiles, oder mit 



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§ 6. Ansgleichong. 491 

andern Worten: so lange die Figur zwischen denjenigen Punkten, 
welche beiden Teilen gemeinsam sind, durch den neuen Netzteil 
weniger gut bestimmt ist, als durch den bereits abgeschlossenen Teil. 

Andernfalls kann ein erheblicher Zwang eintreten wie z. B. bei 
Einschaltung eines stegartigen Netzes aus wenigen Dreiecken in einen 
fertig ausgeglichenen Dreieckskranz. 

Tn England, wo die Haupttriangulation seit 3 Decennien beendet 
ist, bedeckt das Netz 1. Ordnung gleichmäfsig das ganze Land und 
ist in an einander gereihten Teilen ausgeglichen. 

In Preufsen aber, dessen Triangulation 1. Ordnung noch im 
Grange ist, wird dagegen zunächst ein weitmaschiges Netz aus Dreiecks- 
ketten gebildet. Nach Ausgleichung dieses Kettensystems, die stück- 
weise erfolgen mufs, füllt man die freien Maschen aus, wobei aber stets 
ein beträchtlicher Zwang bleibt. Wenn dieses nun auch für Landes- 
rermessungszwecke unbedenklich ist, so läfst es doch immerhin eine 
Benutzung der berechneten, geodätisch übertragenen Azimute für Grad- 
messungszwecke unthunlich erscheinen, da dieselben ohne Zweifel 
oftmals mehrere Sekunden fehlerhaft sind (vergl. u. A. das mährisch- 
schlesische Netz S. 253 u. ff. und das posensche Netz S. 88 u. ff. des 
Bds. 3 der Hauptdreiecke). 

Das ebenfalls aus Dreiecksketten gebildete Netz der englischen 
Vermessung in Ostindien hat Rostform. (Vergl. das Referat in der 
Vierteljahrsschrift der Astronom. Ges. 1873, Bd. 8, S. 14 u. ff.) 

Für die gleichzeitige Verwertung Yon Dreiecksnetzen zu Landes- 
yermessungs- und Gradmessungszwecken würde es vorteilhaft sein, 
das übliche Ausgleichungsverfahren nach bedingten Beobachtungen 
aufzugeben und ein solches nach vermittelnden Beobachtungen an- 
zuwenden, wie es für sekundäre Dreiecksnetze schon seit längerer Zeit 
wiederholt angewandt ist. Jenes Verfahren ist allerdings wenigstens 
bei einfachen Ketten kürzer als das letztere (vergl. die Atisgleichungs- 
rechnnng S. 329), wenn es sich aber schliefslich um die Gesamt- 
ausgleichung grofser Netzkomplexe handelt, verliert es an Übersicht- 
lichkeit, während die Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen 
sich stets übersichtlich anordnen läfst. Wir werden dieselbe in 
den letzten Paragraphen dieses Kapitels behandeln, setzen aber im 
Folgenden zunächst die übliche Methode voraus. 

Zu dieser mag hier nur noch erwähnt werden, dafs bei Auf- 
stellungen der Seitengleichungen mittelst des Sinussatzes immer das 
einfache Legeiidresche Theorem genügt, wie in § 5 8. 361 bewiesen 
worden ist. 

Die AusgleichuDg der Dreiecksnetze nach bedingten Beobachtungen ist 
in der Dänischen Gradmessung Bd. 1 von Andrae und mit einer inter- 



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492 11. Kapitel. Die BerecbnimgsarbeiteD für eine LandesTermesrang. 

esaanten Modifikation unter Anwendung eines auch von Hanseti angewand- 
ten Kunstgriffs in Bd. 2 S. 303 u. ff. der Hauptdreiecke der preufs. Landes- 
triangulation ausführlich behandelt. Das Verfahren Andraes ist eine 
Vervollständigung des Bessehchen Ausgleichungsverfahrens, Das vom Verf, 
in seiner Ausgleichungsrechnung S. 240 durch ein Beispiel erläuterte Ver- 
fahren stimmt mit demselben namentlich darin überein, da& die Netzans- 
gleichung als zu bestimmende Unbekannte Winkelverbesserungen benutzt, 
wahrend die erwähnte Modifikation durch Einführung von Richtnngs- 
verbesserungen als zu bestimmender Unbekannten sich von beiden unter- 
scheidet. 

Die ^Mcfraeschen Formeln hat Verf. übersichtlich entwickelt und zu- 
sammengestellt in Bd. 12 der Vierteljahrschrifl der Astronotn. Ges. 1877 
S. 192 u. ff. 

Um die Ausgleichung zu erleichtern, ist es wünschenswert, die Beobach- 
tungen so anzuordnen, dafs man auf jeder Station das Ausgleichungs- 
ergebnis genau oder doch ohne grofsen Fehler als einen einzigen, vollstän- 
digen (mit grofser Genauigkeit angestellten) Satz Richtungsbeobachtungen 
betrachten kann {Ausgldchungsrcchnung S. 332). Dann vereinfacht sich das 
Ausgleichungsverfahren im Netze sehr und nimmt die Gestalt an, welche 
Gauß erläutert und bei der hannoverischen Gradmessung angewandt hat 
(vergl. sein auch auf S. 185 der Ausgleichungsrechnung behandeltes Bei- 
Bpiel). 0. Schreiber hat hiermit bei den neueren Ketten der preufs. 
Landestriangulatiou grofsc Kechnungserspamisse erzielt (Vergl. seine 
oben erwähnten Mitteilungen.) 

§ 7. Berechnung geographischer Koordinaten. Nach beendeter 
Ausgleichung erfolgt die definitive Seitenberechnung mittelst des Sinus- 
satzes unter Anwendung des einfachen Legendreachen Theorems (§ 5 
S. 361) und alsdann die Berechnung der Koordinaten. Zu dem .in 
§ 1 Bemerkten ist nur hinzuzufügen, dafs zur Ausführung der 
Rechnung für kurze Distanzen die Formeln von S. 456 u. 457 oder 
die S. 458 erwähnten, nicht wesentlich verschiedenen Formeln 
0. Schreihers, zu welchen, wie bereits bemerkt, für 47^ bis 57*^ geogr. 
Breite Hilfstafeln berechnet sind, sich am besten eignen. 

Kontrollen der Rechnung ergeben sich durch doppelte Berechnung 
für diejenigen Punkte, in denen die Seitenzüge, entlang welcher die 
Übertragung der Positionen ausgeführt wird, zusammenstofsen. 

§ 8. Einschaltung von Punkten in das Netz 1. Ordnung. 

Die Ausgleichung erfährt hierbei leicht dadurch eine betrilchtliche 
Komplikation, dafs eine grofse Anzahl von Bedingungsgleichungen ent- 
steht, selbst in dem Falle, wo man successive immer nur je einen 
Punkt einschaltet. Deshalb ist es hier längst als vorteilhaft erkannt 
worden, nach vermittelnden Beobachtungen auszugleichen, denn dann 
erscheinen für jeden einzuschaltenden Punkt immer nur seine 2 Koor- 
dinaten oder überhaupt 2 Bestimmungsstücke als Unbekannte. So lange 



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S 8. EiDBchaltong von Ponkten in das Keiz 1. Ordonng. 493 

die Distanzen der benachbarten Punkte noch mehrere Meilen be- 
tragen (wie im Netz 2. Ordnung), dürfte die Wahl derselben Un- 
bekannten, wie für das Netz^l. Ordnung nicht unpassend sein. 
Für die Ausgleichung kann § 10 als Erläuterung dienen; denn es 
ändert sich das Verfahren nur insofern, als die Koordinaten der 
Punkte des bereits ausgeglichenen Netzes streng beibehalten werden 
müssen. 

Für noch geringere Abstände, aber auch unter Umstanden für 
jene ersten Einschaltungen, empfiehlt sich die Anwendung recht* 
winkliger ebener Koordinaten nach den Formeln, welche im vorigen 
Kapitel S. 476 u. ff. entwickelt wurden. Selbst dann, wenn man für 
die Detailaufhahme Systeme rechtwinkliger geodätischer Koordinaten 
einführt, ist es zur Berücksichtigung der ellipsoidischen Gestalt der 
Projektionsfläche am bequemsten, für die Zwecke der Ausgleichung 
den Übergang zu ebenen rechtwinkligen Koordinaten vorzunehmen 
und nach beendeter Ausgleichung zu geodätischen rechtwinkligen 
Koordinaten zurückzukehren. 

In Bezug auf das Detail der Ausgleichung verweisen wir auf 
Ausgleichungsrecknung S. 158 u. ff. Man wird hieraus leicht entnehmen, 
wie überhaupt die Einschaltung nicht nur einzelner Punkte, sondern 
auch ganzer Netze auszuführen ist, wenn die Beobachtungen auf den 
Stationen einfach als vollständige Sätze aufgefafst werden können. 
Für beliebige Beobachtungen hat Andrae im 2. Bd. der Dänischen 
Gradmessung die Formeln entwickelt (vergl. eventuell das Ref. in 
Bd. 13 der Vierteljahrsschrift der Astronom. Ges. 1878, S. 65 u. ff.); 
abgesehen von den speziellen Koefficienten der Fehlergleichungen kann 
man hier überdies unmittelbar das in § 10 zu gebende, im wesent- 
lichen identische Verfahren anwenden. 

Man vergl. auch in Bezug auf den Gang der Einschaltungen und 
das Ausgleichungsverfahren die Abhandlung von Mauck über das 
Vermessungswesen in Mecklenburg -Schwerin in der Zeitschrift für 
Vermessungswesen 1879 Bd. 8. 

Was die Lage der als spezielle Abscissenaxen dienenden Meridiane 
anlangt, so kann man entweder, wie in Preufsen bei der Kataster- 
vermessung, sie beliebig nach lokalem Bedürfnis legen, oder syste- 
matisch auf runde Werte von geographischen Längenunterschieden, 
etwa von Grad zu Grad, wobei es gleichgültig ist, ob irgend ein 
Punkt des Hauptnetzes mit denselben zusammenfällt oder hiebt. 
(Vergl. auch über die Anlage einer Landesvermessung Zeitschrift für 
Vermessungswesen 1877, Bd. 6 S. 607 u. ff.) 



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494 11. Kapitel. t)ie Betech&QfigBarbeiten fär eine LandesvernieiisaDg. 

§ 9. Landeshorizont. Wenn die Basis nicht auf die Meeres- 
fläche reduziert wird; sondern auf eine mehr in mittlerer Höhe des 
Landes gelegene Niveaufläche, den mittleren Landeshorizont; so mufs 
man bei der Berechnung der sphäriscben Elzcesse und der geographi- 
schen Positionen dieses berücksichtigen. 

Die sphärischen Excesse werden von den Dimensionen des Bllipsoids 
sehr wenig beeinflufst; man kann entweder mit denen des Erdellip- 
soids rechnen, oder a^ einfach um die Meereshöhe des Landeshorizonts 
vermehren; 'falls man einen Einflufs vermutet. Was nun die geo- 
graphischen Positionen anlangt; so ist es praktisch am bequemsten, 
zu ermitteln; um wieviel sich der Logarithmus der Grundlinie durch 
die Reduktion auf die Meeresfläche ändert, diese Änderung den 
Logarithmen aller Seiten beizufügen und sodann geographische Posi- 
tionen mit denjenigen Dimensionen des Erdellipsoids zu rechnen, für 
welche Tafeln existieren. Dieses Verfahren entspricht der Annahme, 
dafs der Landeshorizont und das Geoi'd als ähnliche EUipsoide auf- 
gefafst werden können. Selbstverständlich ist dies nicht streng, 
denn der Voraussetzung eines Rotationsellipsoids als Geoid und gerad* 
liniger (oder auch selbst den thatsächlichen Verhältnissen entsprechend 
gekrümmter) Lotlinien entsprechen Niveauflächen, die nicht genau 
mehr die Form eines Rotationsellipsoids haben. 

Strenger würde es seiu; zwar die Form eines solchen zu adop- 
tieren; aber die Halbaxen Uq und b^^ beide um die Meereshöhe des 
Landeshorizonts zu vermehren (also e^ nicht beizubehalten). Oder 
noch besser: Werte von üq und e^ für das Ellipsoid des Landes- 
horizonts aus deil um die Meereshöhe desselben vermehrten Werten der 
beiden, dem Erdellipsoid in der mittleren geographischen Breite des 
Landes entsprechenden Werte von Qn und q» zu bestimmen. 

Allein hierbei entbehrt man der Bequemlichkeit der Benutzung 
vorhandener Tafeln und erzielt schliefslich nur die Berücksichtigung 
kleiner Einflüsse, die man bei anderer Gelegenheit meist vernach- 
lässigt. Wenn man nämlich die Reduktion wegen der Höhe der Ob- 
jekte über dem Meere (bezw. dem Landeshorizont) bei den gemesse- 
nen Winkeln unterläfst, so hat man auch das Recht, die Projektionen 
des Netzes auf den Landeshorizont und auf den Meereshorizont 
als ähnliche Figuren anzusehen, was nur eine konsequente Vernach- 
lässigung giebt, und damit rechtfertigt sich dann das praktisch be- 
queme Verfahren. 

Allen Bedenken bezüglich konsequenter mathematischer Behand* 
lung geht man aber aus dem Wege durch sofortige Projektion der 
Grundlinien auf den Meereshorizont, wie es auch bei ausgedehnten 
Vermessungen üblich ist. Man kann ja schliefslich für Detail- 



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I 10. Die AaagleichuDg niu^h vermitkelnden Beobachiimgen. 495 

vermeBsiingen nach der hierbei sicher ausreichenden Kugelhypothese 
ZQ höher gelegenen Horizonten übergehen, wenn es einmal erwünscht 
sein sollte. 

§ 10. Die Ausgleichung nach yermittelnden Beoliachtungen. 

Al8 Unbekannte führt man am besten bei grofseren Ländern di^ 
geographischen Breiten und Längenunterschiede (gegen einen be- 
liebigen 1. Meridian) ein, bei kleineren Ländern direkt geodätische 
oder ebene, rechtwinklige Koordinaten. Wir behandeln aber nur 
den ersteren FalL 

In diesem ist es nun erforderlich, auf Grund der vorläufigen 
Seitenberechnung eine vorläufige Berechnung der Breiten und Längen 
Yon dem astronomischen Anfangspunkte aus in möglichster Schärfe 
durchzuführen, damit die Ausgleichung nur sehr kleine Verbesse- 
mngen ergeben kann, deren Quadrate zu vernachlässigen sind, sodafs 
auch einfache Differentialformeln zur Berechnung der Änderungen 
der Azimute aus den Änderungen der geographischen Positionen 
ausreichen. 

Diese Differentialformeln sind schon abgeleitet. Die 2. oder 3. 
Formel (4) 8. 282 geben sofort die Änderung daik des Azimuts im 
Punkte Fi nach dem Punkte Pjb, welche zu den Änderungen dBi 
und dBk der geographischen Breiten und zu den Änderungen dLt 
und dLk der geographischen Langen der beiden Punkte P4 und Pjt 
gehöret, und zwar hat man: 



"-'-t. 



1 



+ (dLi — dLk) j^ cos ati 



• (1) 



Die Berechnung der Gröfsen nt und ihrer Differentialquotienten 
ist bereits 8. 283 u. ff. erledigt 

_ Denken wir uns also in aller Schärfe zu vorläufigen Werten 
B und L der geogpraphischen Positionen die Azimute derjenigen geo- 
dätischen Linien berechnet, welche den Seiten des Dreiecksnetzes ent- 
sprechen, und ist an eines dieser berechneten Azimute, a^ der be- 
obachtete (und gehörig nach §4 8. 488 reduzierte) Wert, sowie A,« 
eine seinem Beobachtungsfehler entsprechende plausible Verbesserung, 
80 wird man dBi^ dBk, dLi und dLk dergestalt wählen, dafs nach 
Mafsgabe obiger Gleichung dan dem Wert 

«••* + Aa — «,* (2) 

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496 11- Kapitel. Die Berechnüngaarbeiten fär eine Landesrermessttng. 

gleich ist.*) Die Beobachtung des Azimutes a^ würde also die 
Fehlergleichung geben: 



^i* = 



'^•*"'"'*+iÄ7i 



"■ "ttT" (dT) ®*" "'* • — W^ ®^^ "*' ^-^^ 

cos B 
+ (dL, — dLt) ^ cos a*,- 



(3) 



Hierbei genügt es natürlich die Koefficienten rechts mit den Nähe- 
rungswerten von a und B zu berechnen. 

Es wird aber im allgemeinen nicht das Azimut gemessen; son- 
dern ein Satz von 2 oder mehr Richtungen. Durch Beifügung eines 
angemessenen Wertes wird man zwar (und wir setzen es voraus) 
diese Angaben eines Satzes annähernd auf Azimute bringen; es wird 
aber immer noch eine unbekannte Korrektion — u bleiben (ti Orientie- 
rungsfehler des Satzes); die wir allen Angaben a eines Satzes bei- 
gefügt zu denken haben (Ausgleichungsrechnung S. 160). 

Rechter Hand zu obiger Gleichung tritt also nun noch die Un- 
bekannte + w , die allen Gleichungen eines Satzes von Richtungen 
gemeinsam ist, für jeden neuen Satz aber sich ändert. Die Fdiler- 
gleichnngen für einen SatZ; der alle vorkommenden Richtungen enthält, 
erlangen somit die Form: 



k + ^ + (h^ + hy + ^^ + 



Gew. g^ 
n 9% 

V 93 



(4) 



worin nach Mafsgabe von Gleichung (3) { die Differenz beob. Azimut 
— her. Azimut bedeutet und Xy y, z-- die unbekannten (differen- 
tialen) Verbesserungen der geographischen Koordinaten aller Punkte^ 
a, b, c-' aber ihre Koefficienten in abgekürzter Bezeichnung vor- 
stellen. Die Gewichte g setzen wir gleich 1, so lange wirklich die 
Richtungen beobachtet sind; dagegen gleich null; sobald sie nicht 
beobachtet sind. 

Ein 2. Satz auf demselben Standpunkt giebt ein System der- 
selben Form; etwa: 

X'i = — Ti + «*' + aiX + fcjt/ + ^i^ + • • öew. g'i 
Ai = — & + w + o^a; + J^y + Cg^ + • • ;, g^ 
A's = - Ts + «' + 0^8^ + hy + ^ii^ + " V 9^ 



(5) 



*) Zur Berechnung der ä könoea die Formeln des § 23, S. 313, dienen. 
Auch die Formeln des § 11, S. 157, dürften sich eignen, und es fallen hier natar- 
lich die Redaktionen vom aetrono mischen anfs geodätische Azimut weg. 



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§ 10. Die Ansgleichang nach vertnittelnden Beobaclitongen. 497 



ebenso jeder andere Satz auf demselben Standpunkt und schliefslich 
auch auf anderen Standpunkten. 

Nur der Unterschied besteht f&r verschiedene Standpunkte ; dafs 
immer neue Aggregate von je 4 Unbekannten auftreten, während bei 
den Gleichungsystemen eines Standes die Aggregate aa? + 6y + c;sf + * • 
in den Gleichungen mit demselben unteren Index (die also zu derselben 
Richtung gehören) identisch sind. 

Aufserdem tritt eine Modifikation ein auf der 1. Station, der 
astronomischen Station. Für diese sind dB und dL gleich null. 
Femer ist hier ein Azimut wirklich gegeben. 

Wir sehen indessen vorläufig davon, dafs ein Azimut gemessen 
isiy ab und geben erst weiterhin gleichzeitig mit der Berücksichti- 
gung der Grundlinie an, wie es einzufahren ist Ganz von selbst 
wird man zu der Erkenntnis gelangen, dafs die Rechnung dieselbe 
bleibt, falls Breit« und Azimut nicht auf ein und derselben Station 
gemessen sind. 

Um nun die Quadratsumme aller kXg zu einem Minimum zu 
machen, hat man nur das gewöhnliche Verfahren der Bildung der 
Nonnalgleichungen zu beachten (Ausgleicfiungsrechnung S. 116). In 
Bezug auf die Unbekannten ergiebt sich dabei ein Unterschied, weil 
die u, u . . immer nur in einem System Fehlergleichungen auftreten, 
Xj yy e . . aber in verschiedenen Systemen. Jene lokalen Unbekannten 
wird man vor allem eliminieren, ehe noch die vollständigen Normal- 
gleichungen für X, y, , . gebildet sind. Man kann überhaupt, da die 
einzelne Station x, y, . . nicht einzeln bestimmt, sondern nur Aggre- 
gate derselben, diese Aggregate zunächst als Unbekannte einführen. 

Nennen wir also diese unbekannten Aggregate auf derjenigen 
Station, für welche obige Gleichungen angeschrieben sind, J., B, 
C...J so lauten die Fehlergleichungen: 



Ai == — ?j -^ u ^ A Gew. g^ 



A'i = — fi -{- u -{- Ä Gew. ffi 
Ai = — Tä + « + B „ gi 
x; = — ?i + w' + „ ^8 



(6) 



Hierzu gehören die Normalgleichungen: 

[gl] + [<;]«+ Ag, + Bg, + Cg^ + -- für« 

^ [gt] + W] u + Ag\ + Bg, + Cg',-^-- „ u 



Helmeri, mAihem. u. physikal. Theorieen der höh. Geodäsie. 



32 



(7) 



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498 
und: 



11. Kapitel. Die Berechnangsarbeiten fOr eiao LandeaTermessuag. 



= — [jTgig] + ug^ + «V« + ' 
= — [S's^s] + «5's + «Vi + 



+ C [</,] „ c 



(8) 



Eliminiert man ans letzteren die Unbekannten u, «... mittelst 
der ersteren, so nehmen sie die nachstehende Form an: 

= — (al) + A{aii) + BitiV) + C{tit) + • • für ^ 
- - (bl) + ^(«1») + Bm + C(bc) + ■• „ B 



= - (ti) + A(ixt) + 5(l»c) + C{tt) + 







(9) 



Um nun zu erkennen, wie man diese Ergebnisse für die einzel- 
nen Stationen weiter zu behandeln bat^ denken wir uns die Normal- 
gleichung für X gebildet. Hierzu giebt die Station, deren Fehler- 
gleichungen (4) und (5) speziell notiert sind, einen Beitrag rechter 
Hand^ den man mit Benutzung der Abkürzungen Ay B ^ C . . wie 
folgt schreiben kann: 



+ «8 {— \9^h'\ + ^9^ + «*Vs H h t/M) 



(10) 



oder auch: 



a^ { rechte Seite der Normalgl. (8) für A } 



(11) 



Da die Normalgleichungen (7) für t« , u . . . dieselben bleiben^ 
man mag A, B, C. als Unbekannte betrachten, oder direkt auf 
rc, y, z . . operieren (in welchem Falle Ay JB, C. eben nur vorüber- 
gehende Abkürzungen bezeichnen); so darf man im Ausdruck (11) die 
Normalgleichungen (8) für u4, B, C . gleich in der von m, m' . . . 
befreiten Form (9) nehmen. 

Man erhält also den Beitrag einer Station zur Normalgleichung 
für X, wenn man nach Mafsgabe von (11) die rechten Seiten der 
Stationsnormalgleichungen (9) der Reihe nach mit dem Eoefficienten 



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$ 11. Gleictinngen für Azimut- and Baaismesstmgeti. 499 

von X in Äj B j C . , multipliziert und addiert — und schliefslich 

für A, B , C . . noch die Ausdrücke in x, yy . . einsetzt. 

Dies dürfte das Ausgleichungsgeschäft genügend erläutern. Man 

sieht, dafs jede Station für sich wie üblich bis zur Bildung der Nor- 

malgleichuDgen zu behandeln ist, dafs eine stations weise Auflösung 

der letzteren aber nicht notig wird. 

• 
§ 11. Gleichungen für Azimut- und Basismessungen. Jede 

solche Messung giebt eine Gleichung zwischen den 4 Verbesserungen 

der Koordinaten der Endpunkte der betreffenden Linien. 

Der Azimntmessung entspricht als Bedingungsgleichung die Glei- 
chung (3) S. 496, wenn A,* == null gesetzt wird. 

Der Basismessung entspricht die Bedingungsgleichung s,jfc=s,*+(fe,ifc, 
wobei Sik die gemessene Länge, s,* die aus den genäherten Ko- 
ordinatenwerten scharf berechnete Basislänge und dsik den Zuwachs 
von Sik durch Änderung der geographischen Koordinaten der End- 
punkte bedeutet 

Nach der 1. Gleichung (4) S. 282 ist daher diese Bedingungs- 
gleichung die folgende: 



= Sik — Sik + CLq 



1 -c« 



-WJ" ^^® ^ikdBi + ^r<,- cos KkidBk 
+ {dLi — dLk) - ^ sin a* .• 



(1) 



Sind mehrere Grundlinien gemessen, so stellt man für jede eine 
solche Bedingungsgleichung her, befriedigt also jede Basismessung 
streng. Verbesserungen anzubringen erscheint schon darum über- 
flüssig, weil das Verhältnis zweier benachbarter Basislängen aus ihren 
direkten Messungen weit schärfer hervorgeht als aus den Winkel- 
messungen des zwischenliegenden Netzteiles. Einen anderen, wich- 
tigeren Grund, der die Behandlung der (1) als Fehlergleichungen 
geradezu als fehlerhaft erscheinen läfst, werden wir in § 18 des 
folgenden Kapitels erkennen (vergl. auch die Anm. unten daselbst). 

Um die Bedingungsgleichungen für das Azimut und die Grund- 
linien zu berücksichtigen, hat man (nach Ausgleichungsrechnung 
S. 195, Verfahren I) mittelst derselben je eine Unbekannte vor Bil- 
dung der allgemeinen Normalgleichungen zu eliminieren. Diese Eli- 
mination erfolgt, wie man unmittelbar erkennt, einfach in den Aus- 
drücken für -4 , B, C . , sodafs (wie auch von vornherein klar) die 
Bildung der Stationsnormalgleichungen (9) S. 498 davon gar nicht 
berührt wird* 

32* 



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500 11- Kapitel. Die Berecbnungsarbeiten für eine Landesvermessung. 

Hat man aber bereits die allgemeinen Normalgleichnngen aus 
den Beitragen (11) S. 498 ermittelt, ohne jene Bedingungen zu be- 
rücksichtigen, so geschieht dieses nachträgl