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Full text of "Die mathematischen und physikalischen theorieen der höheren geodäsie .."

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DIE 
MATHEMATISCHEN UND PHYSIKALISCHEN 

THEORIEEN 

DKR 

HÖHEREN GEODÄSIE 



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DIE 

MATHEMATISCHEN UND PHYSIKALISCHEN 

THEORIEEN 

DER 

HÖHEREN GEODÄSIE. 



n. TEIL: 

DIE PHYSIKALISCHEN THEORIEEN, 

MIT UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE MATHEMATISCHE ERDGESTALT 
AUF GRUND DER BEOBACHTUNGEN. 



VON 

db. f. r. helmert, 

PR0FXS80R AN DIR TBCH1II80HBN HOCHSCHULB 7.V AACHKN. 



MIT IN DEN TEXT GEDRUCKTEN FIGUREN UND ZWEI LITHOGRAPmERTEN TAFELN. 




DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. 

1884. 



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Yorwort. 



Die physikalischen Methoden der höheren Geodäsie erfreuten sich 
in dem letzten Jahrzehnt einer lebhaften, immer mehr gesteigerten 
Beachtung. In Erkenntnis ihrer Wichtigkeit fafste ich daher den 
Entschlufs zu einer systematischen Darstellung der grundlegenden 
Theorieen, mit deren Ausarbeitung ich bereits 1877 begann. Die 
Vollendung und Herausgabe verzögerte sich durch die inzwischen er- 
kannte Notwendigkeit, eine Darstellung der mathematischen Theorieen 
vorauszuschicken, und hatte um so weniger Eile, als 1878 H. Bruns 
in seiner Abhandlung „die Figur der Erde'^ einen überaus lichtvollen 
Grundrifs der Sache gab. Es schien mir schliefslich sehr wünschenswert, 
die ausführliche Bearbeitung der Theorieen durch praktische Resul- 
tate für die Erdgestalt zu ergänzen, um dem nun vorliegenden Buche 
nach Möglichkeit Wert zu verleihen. 

Dasselbe zerfällt in acht Kapitel. Die drei ersten Kapitel geben 
vom Standpunkte der Potentialtheorie aus analytische Untersuchungen 
über die Figur der Erde, woran sich im vierten Kapitel synthetische 
Betrachtungen über den Einflufs gegebener Störungsmassen anschliefsen ; 
im fünften Kapitel folgen alsdann kritische Untersuchungen über die 
bis dahin vorausgesetzte Unveränderlichkeit der Erdgestalt. Die Auf- 
schlüsse, welche die Astronomie über Figur und Inneres der Erde 
gewährt, werden im sechsten Kapitel besprochen, und ein siebentes 
und achtes Kapitel erörtern die allgemeinen Grundlagen des geo- 
metrischen und des trigonometrischen Nivellements. 

Die Theorie der Figur der Erde beginnt im ersten Kapitel mit 
der analytischen Formulierung des Begriffes der Beschleunigung der 
Schwerkraft und der Einführung des Potentiales derselben, worauf die 
allgemeinen Eigenschaften der Niveauflächen, insbesondere ihre von 
H. Bruns entdeckten Krümmungs-Diskontinuitäten behandelt werden. 

Das zweite Kapitel stellt die Relationen für verschiedene geo- 
dätische Elemente auf, welche der allgemeinen sphäroidischen Form 
der Niveauflächen, der Normalform (S. 89), entsprechen. Hier findet 
insbesondere das Clairauische Theorem seine Darstellung in einfacher 
(S.76) und erweiterter Form (S. 78). Der Wichtigkeit dieses Theoremes 
wegen hielt ich es für angemessen, eingehend seine Geschichte zu 
geben; dafs sich daran einige Betrachtungen über rotierende Flüssig- 
keitssphäroide schliefsen, wird wohl nicht unpassend erscheinen. 

Für die allgemeine Abplattung des Erdsphäroides gelange ich durch 
Diskussion von 122 Pendellängen zu dem Werte 1 : 299,26 ±1,26. 
Bei der Ableitung desselben weiche ich von früheren Rechnern er- 
heblich ab. Zunächst bei der Reduktion aufs Meeresniveau. Ich 
vervollständige die übliche Reduktion durch einen Zusatz, welcher der 



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VI Vorwort. 

Kondensation der (sichtbaren) Storungsmassen der Erdoberfläche auf 
eine zur Meeresfläche parallele Fläche in drei Meilen Tiefe entspricht 
und erlange dadurch erstens den Vorteil, dafs die Bedenken über die 
Anwendbarkeit des Ergebnisses des Clairautschen Theoremes auf die 
wirkliche Abplattung der Erde schwinden (S.237), und erziele zweitens 
eine geradezu überraschende Übereinstimmung zwischen den Pendel- 
längen auf dem Festland und denen an den Küsten einerseits^ wie für 
die nach Zonen geographischer Breite von 10 zu 10® gruppierten Pendel- 
längen andererseits (8. 226 u. 240), so dafs an der grofsen Sicherheit 
des Endresultates nicht zu zweifeln ist. Es wird den Leser aller- 
dings vielleicht im ersten Augenblick befremden^ wenn er erfährt^ 
dafs ich die Pendellängen für die kleinen oceanischen Inseln von der 
Rechnung ausgeschlossen habe. Da aber, wie ich wohl zuerst zeige, 
im Mittel der Nord- und Südhälfte der Erdoberfläche in jeder Breite 
die Ausdehnungen von Festland und von Meer nach der geographischen 
Länge in nahezu gleichem Verhältnis stehen, und da ferner die Insel- 
stationen in verschiedenen Breiten im Vergleiche zu Festland- und 
Küstenstationen wesentlich dasselbe Verhalten zeigen, so entspricht 
das Verfahren lediglich der Forderung der Theorie nach gleichmäfsiger 
Verteilung der Pendelstationen über die Erdoberfläche, und die Ver- 
nachlässigung der Inselstationen ist nur eine scheinbare (S. 238 
und 242). 

Die kontinentalen Undulationen des Geoides gegen seine Normal- 
form hat man in neuerer Zeit vielfach aus den Anomalieen der 
Schwerkraft nach einer einfachen Proportionalität berechnet. Dafs 
dieses Verfahren zu groben Irrtümern führen kann und theoretisch 
unhaltbar ist, wird durch Vervollständigung der betrefienden Formel 
(S. 261 u. 262) nachgewiesen. Aus einzelnen Werten jener Anomalieen 
würde man darnach nur „die Dicke der ideellen störenden Schicht^^ 
unterhalb der Station finden können, wenn bereits die Störung des geo* 
idischen Radiusvektors daselbst ermittelt wäre, wozu nach Siokes 
(8. 249) die Kenntnis der Schwerkraft auf der ganzen Erdoberfläche 
erforderlich ist. 

Um nun doch mit dem vorhandenen Beobachtungsmaterial einigen 
Aufschlufs über die kontinentalen Undulationen zu erhalten, ermittele 
ich im vierten Kapitel (8. 313 u. S,) die Störungswirkung der fünf 
als abgestumpfte, 4000*" dicke Kreiskegel betrachteten Kontinente 
der Erde auf einer homogen geschichteten Erdkugel. Ich begnüge 
mich dabei nicht mit der Ausrechnung der radialen Störungen (Tafel I), 
sondern bestimme auch durch dieselben mit Hilfe eines aus der 
Potentialtheorie geschöpften Theoremes die Störungen der Schwer- 
kraft, wonach sich zeigt, dals der behandelte Fall dem Zustande der 
Erde (abgesehen von ihrer Abplattung) nicht entsprechend ist, dafs 
man vielmehr zur Herbeiführung der Übereinstimmung in der Erd- 
rinde noch ideelle (d. h. eventuell denjenigen in dem Erdinneren äqui- 
valente) Störungsmassen annehmen mufs. Von den zwei möglichen 
Fällen: relativer Dichtigkeitsüberschufs der Erdkruste unter den oce- 
anischen Inseln oder relativer Dichtigkeitsmangel unter den Konti- 



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Vorwort. VH 

nenteii; besitzt der letztere die grofsere Wahrscheinlichkeit, da es für 
ihn allein und zwar durch die unter den grofsen Gebirgen Himalaya 
und Kaukasus (S. 228) konstatierten Massendefekte ein Änalogon giebt. 
Damit aber gelange ich zu dem Endresultat, dafs die Figur der Erde 
einem einfachen Sphäroid im allgemeinen viel näher kommt als die 
Störungen der Kontinentalmassen allein (Tafel I) erwarten lassen 
(S. 365). 

Unter diesen Umständen ist der Wert der Gradmessungen zur 
Bestimmung der allgemeinen Abplattung der Erde erheblich gröfser 
als für den Fall des Bestehens grofser kontinentaler Undulationen 
des Geoides unterhalb der Kontinente. Mit Rücksicht auf die gegen- 
wärtige Ausbreitung und ungünstige Verteilung der Gradmessungen 
kann es aber trotzdem nicht befremden, dafs der aus ihnen nach 
Clarke folgende Abplattungswert 1 : 294 von dem oben angegebenen 
ziemlich stark abweicht. Dieser findet auch eine gute Bestätigung 
sowohl in den Mondstorungen (sechstes Kapitel S. 473) als in der 
Präzessionskonstanten. Man müfste diese letztere vermutlich erheb- 
lich ändern, wollte man an dem von manchen acceptierten Abplat- 
tungswerte 1 : 289 festhalten und zugleich der Existenz eines Dichtig- 
keitsgesetzes für das Erdinnere in Form einer einfachen Potenzreihe 
grofse Wahrscheinlichkeit zuschreiben, da mit dieser Abplattung und 
dem Beobachtungswert der Präzessionskonstanten ein Gesetz von 
solcher Form nicht zu bestehen scheint (S. 488 u. 489), 

Nächst den oben erwähnten Untersuchungen enthalten das dritte 
und vierte Kapitel noch allgemeine Sätze über die kontinentalen Un- 
dulationen des Geoides und spezielle Betrachtungen über die Storungs- 
wirkungen gegebener Massen der Erdkruste von verschiedener Form. 

Der Anfang des fünfteti Kapitels entwickelt die Störungen des 
Lotes durch Mond und Sonne; weiterhin werden besonders die kleinen 
Bewegungen der Erdaxe im Erdkörper, namentlich unter dem Ein- 
flufs der Verschiebung von Massen auf der Erdoberfläche, an der 
Hand der Theorie und Erfahrung behandelt. Im sechsten Kapitel 
sind ü. a. einige Blätter der Untersuchung gewidmet, inwieweit sich 
der Theorie nach aus Beobachtungen der lokalen Mondparallaxen 
die geozentrischen Koordinaten eines Erdortes bestimmen lassen, wenn 
angenommen wird, dafs die Mondbewegung aus den Mondtafeln nur 
für je einen halben Tag genau entnommen werden kann. Darnach 
ist im allgemeinen nur eine unvollständige Lösung dieses Problemes der 
Ortsbestimmung möglich. 

Bei der Theorie des geometrischen Nivellements im siebenten 
Kapitel gelange ich zu der Forderung, dafs in Ermangelung strenger 
Reduktion mittelst der beobachteten Intensität der Schwerkraft bei 
Berechnung der Meereshöhen wenigstens die Variation der Schwere 
mit der geographischen Breite berücksichtigt werde und dafs man 
sich hiervon durch die Unmöglichkeit der Berücksichtigung der Ano- 
malieen der Schwere nicht abhalten lassen darf, indem der Einflufs der 
letzteren in den Resultaten ausgedehnter Nivellements weniger zu 
fürchten ist, als derjenige der Variation, mit der Breite. Beispiels- 



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VIII Vorwort. 

weise enthält das ^inmittelbare Ergebnis eines Nivellements von der 
Ostsee nach dem Mittelmeer wegen dieser Variation Fehler, die je nach 
dem genommenen Wege bis zu mehreren Decimetern ansteigen können 
und sämtlich gleiches Vorzeichen haben. Der Einflufs der Änomalieen 
der Schwerkraft aber dürfte in diesem Falle kaum mehr als einige 
Centimeter betragen, welche in den auf verschiedenen Wegen er- 
haltenen Resultaten nicht notwendig in gleichem Sinne auftreten. 

Bei der Theorie der Refraktion im achten Kapitel habe ich mich 
darauf beschränkt, solche Formeln abzuleiten, welche voraussetzen, 
dafs das Gesetz für die Änderung der Temperatur mit der Höhe durch 
eine stark konvergente Reihe nach Taylor darstellbar ist. Für diesen 
Fall sind die Formeln allgemein gültig, so dafs man die Eonstanten 
aus zweckmäfsig angeordneten Beobachtungen bestimmen kann. Ein 
Zahlenbeispiel ist den von v, Bauernfeind publizierten Messungen ent- 
nommen. Übrigens trifft gerade in diesem Beispielsfalle, trotzdem 
mit Tagesmitteln gerechnet ist, die Voraussetzung nicht zu. Obwohl 
ich nun auch einige Erwägungen darüber anstelle, wie solchen anor- 
malen Verhältnissen beizukommen wäre, glaube ich doch, dafs man 
bei Anwendung des trigonometrischen Verfahrens zur Bestimmung 
des Geoides nach Villarceau und Bruns am besten allen theoretischen 
Erwägungen durch Einschränkung auf mäfsige Höhendifferenzen und 
kurze Distanzen, etwa 15 bis 20 Kilometer, aus dem Wege geht und 
mit der Kreishypothese rechnet. Wie man aber auch die Anordnung 
treffen möge, ein sehr mühsames Verfahren bleibt diese Methode des 
Detail-Studiums der Geoidform immer, und man wird seine Anwen- 
dung sicherlich möglichst beschränken. Ich bin überzeugt, dafs man 
durch die Methode der Lotabweichungen (Bd. 1 S. 564 u. ff.) die Form 
des Geoides ebenso genau und weit rascEer findet, wenn man haupt- 
sächlich Meridianprofile durch dichtgedrängte Breitenstationen bear- 
beitet, und habe für diese empfehlenswerte Methode den Namen astro- 
nomisches Nivellement vorgeschlagen (S. 599). 

Bei der Bearbeitung des Buches bin ich von mehreren Seiten 
durch Darleihen von Originalwerken und schriftliche Notizen unter- 
stützt worden, was allein es ermöglicht hat, den mir notwendig 
scheinenden Grad von Vollständigkeit zu erreichen. 

Für diese freundliche Unterstützung danke ich auch an dieser 
Stelle. 

Die Tafel I hat Herr Hegemann, jetzt vereideter Geometer, während 
seiner Studienzeit hierselbst nach meinen Rechnungen entworfen, 
während Tafel H von Herrn /V/?w^r, Ingenieur und Assistent der Geo- 
däsie an der Aachener technischen Hochschule, berechnet und ge- 
zeichnet ist. Derselbe hat sich auch bei der Revision der Druckbogen 
in für mich sehr dankenswerter Weise beteiligt. 

Aachen, September 1884. 

Der Verfasser. 



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Inhaltsverzeichnis. 



1. Kapitel. Allgemeine Eigenscliaften der Niveaafläclien. 

Seite 

§ 1. Das Prinzip von d/Alemhert l 

§ 2. Bewegung des Erdschwerpunktes 2 

§ 8. Relative Bewegung der Erde gegen ihren Schwerpunkt 4 

§ 4. Die Zentrifugalkraft 5 

§ 5. Die Schwerkraft 6 

§ 6. Das Potential W der Schwerkraft g 8 

§ 7. Die Gleichung der Niveauflächen 9 

§ 8. Abstand benachbarter Niveauflächen 10 

§ 9. Das Potential W hat in jedem Punkte P des Raumes nur einen 

einzigen Wert 11 

§ 10. Die Schwerkraft g hat in jedem Punkte einen bestimmten endlichen 

Wert und eine bestimmte Richtung, ausgenommen für g ^^ null . . 12 

§ lt. W ist eine stetige Funktion des Ortes 14 

§ 12. Die Schwerkraft ändert sich nach Gröfse und Richtung stetig ... 14 

§ 13. Der Lauf der Niveauflächen für g > null 15 

§ 14. Die Niveauflächen der Erde in der Nahe der physischen Erdoberfläche 16 

§ 15. Die zweiten Differentialquotienten von W 19 

§ 16. Transformation der Ausdrücke für die ersten Differentialquotienten 

von K 20 

§ 17. Die zweiten und höheren Differentialquotienten von W haben be- 
stimmte endliche Werte und ändern sich stetig, solange der Punkt 
P* sich nicht an einer Stelle befindet, in welcher die Dichtigkeit G 

Singularitäten hat 24 

§ 18. Die zweiten Differentialquotienten von V beim Durchgange von P' 

durch Singularitätsstellen der Dichtigkeit 25 

§ 19. Fortsetzung: ^-4- 28 

ca^ 

§ 20. Die übrigen zweiten Differentialquotienten 30 

§21. Transformation der Koordinaten, Differentialgleichung für F und W 32 
§ 22. Die ünstäigkeit in der Krümmung der Niveauflächen bei dem Durch- 
gänge derselben durch eine ünstetigkeit^elle der Dichtigkeit, ... 35 

§ 23. Fortsetzung 37 

§ 24. Wirkungssphäre der Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit 40 

§ 25. Potenzreihen für Niveauflächen sind unpraktikabel 44 

§ 26. Schwerkraft und Lotlinien beim Durchgange durch eine ünstetig- 

keitsstelle der Dichtigkeit 46 

§ 27. Die geographischen Meridiane und Parallelen 47 



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X Inhaltsverzeichnis. 

2. Kapitel. Bestimmang der Abplattang aus Scbweremessungen. 

.Seite 

§ 1 . Entwicklung von - - in eine Potenzreihe 50 

§ 2. Fortsetzung: Die Koefficienten P / 62 

§ 3. Die Entwicklung von — für r' = r 63 

§ 4. Die Koefficienten P in rechtwinkeligen und in Polarkoordinaten . . 66 

§ 5. Das Potential W der Schwerkraft aureerhalb 58 

§ 6. Das Potential der Anziehung einer homogenen Kugelschale .... 60 

§ 7. KugelfirnkHanen 64 

§ 8. Der Einflufs des Luftmeeres auf das Potential W der Schwerkraft . 68 
§ 9. Erweiterung des Gültigkeitsbereiches der Reihenentwicklung für W 

aufserhalb 70 

§ 10. 1. Annäherung für das Potential W (aufserhalb) .... ^ ... . 72 

§ 11. Fortsetzung: Theorem von Clairaut 74 

§ 12. Theorem von Clairaut für ein Niveausphäroid Z7« TTo, dessen 

Gleichung eine Kugelfunktion 4. Ranges enthält 77 

§ 13. Polargleichung der Meridiankurve dieses Niveausphäroids 78 

§ 14. Formeln für die Beschleunigung g der Schwerkraft in Bezug auf 

dieses Niveausphäroid; Bestimmung von h 80 

§ 16. Zusammenstellung der Formein für dieses NiveauspMroid 82 

§ 16. Numerische Anwendung der Formeln auf das Niveausphäroid des 

Geoids 83 

§ 17. Die Normal form der Niveauflächen (aufserhalb) und das Rotations- 
ellipsoid 89 

§ 18. Die Formänderung der Niveausphäroide in der Nähe der physischen 

Erdoberfläche mit der Höhenlage 92 

§ 19. Fortsetzung: Die Niveausphäroide in der Nähe der physischen Erd- 
oberfläche stimmen alle in gleichem Grade mit Rotationsellipsoiden 

derselben Abplattung überein 93 

§ 20. Die normale Änderung der Beschleunigung g der Schwerkraft mit 
der Höhe in der Nähe der physischen Erdoberfläche, aufserhalb. 

Näherungsformeln für g und dg : dh 94 

§ 21. Die normale Änderung der geographischen Breite mit der Höhe 

wegen der Krümmung der Lotlinien 98 

§ 22. Die äufserste Niveaufläche der Erde 100 

§ 23. Historische Notigen zu dem Theorem von Clairatä', Newton .... 103 

§ 24. Clairauts Darstellimg des Newtonschen Problems 105 

§ 26. Huygens 107 

§ 26. Clairaut 109 

§ 27. Die Einführung des Potentials durch Legendre, Laplace u. a. . . . 112 

§ 28. SätBe aus der Theorie der Kugelfunktiot^en 116 

§ 29. Potential des homogenen Rotationsellipsoids auf einen Punkt aufserhalb 117 

§ 80. Fortsetzung 120 

§ 31. Fortsetzung 122 

§ 32. Hauptträgheitsmomente des abgeplatteten, homogenen Rotations- 
ellipsoids. Dichtigkeit im Erdinnem 126 

§ 33. Potential des homogenen Rotationsellipsoids auf einen Punkt innerhalb 127 
§ 34. Das abgeplattete Rotationsellipsoid kann die Oberfläche einer ro- 
tierenden, homogenen Flüssigkeitsmasse bilden 130 

§ 36. Eine rotierende, nahezu kugelförmige, homogene flüssige Masse mufs 
die Form eines Rotationskörpers haben; dieser ist bis auf Gröfsen 



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Inhaltsverzeichnis. XI 

Seite 
der Ordnung ii* jedenfalls ein abgeplattetes Rotationsellipsoid. Bas 

dreiaxige Ellipsoid ist als Gleichgewichtsfläche unmöglich 133 

§ 36. Schätzung der Abweichung der Oberfläche einer flüssigen Erde von 

der Gestalt eines Eotationsellipsoids 136 

3. Kapitel. Ableitung einer Formel für die Schwerkraft im Neeresniveau ans 
den Beobachtungen; kontinentale Abweichungen des Geoids. 

§ 1. Potential und Anziehung einer kreisförmigen Scheibe auf einen 

Punkt normal über dem Zentrum 141 

§ 2. Potential und Anziehung eines homogenen » geraden Ereiscylinders 
auf einen Punkt seiner Axe, aufserhalb, sowie eines homogenen, 

geraden Ereiskegels auf seine Spitze 142 

§ 3. Potential und Anziehung eines homogenen Botationsparaboloids auf 

einen Punkt seiner Axe, aufserhalb 143 

§ 4. Potential und Anziehung einer sphärischen Scheibe auf einen Punkt 
normal über dem Zentrum. Allgemeiner Sats für die Anziehung 
einer mit Masse belegten Kugel fläche auf einen ihr naheliegenden Punkt 144 
§ 5. Abstand von Niveausphäroid und Niveaufläche gleichen Potential- 
wertes: Theorem von Bruns 147 

§ 6. Untersuchung der Brauchbarkeit der Entwicklung des Potentials W 
der Schwerkraft nach negativen Potenzen des Radiusvektors bis zur 

Meeresfläche 148 

§ 7. Änderung des Potentials W durch Kondensation der äufseren Massen 

auf die Parallelfläche 149 

§ 8. Fortsetzung: Gebirgsmasse , Maximalverschiebung der Meeresfläche 151 
§ 9. Fortsetzung: Wahrscheinliche Maximalverschiebung der Meeresfläche 154 
§ 10. Die Änderung der Schwerkraft im Meeresniveau durch dessen Ver- 
schiebung 155 

§ 11. Einflufs der Kondensation auf die Schwerkraft 155 

§ 12. Fortsetzung: Berechnung des Maximaleinflusses 159 

§ 13. RestUtat der Untersuchung über die Brauchbarkeit der Entmcklu/ng 

des Potentials W nach negativen Poteneen des Badiusvektors . ... 160 
§ 14. Einflufs der Kondensation auf Schwerpunktslage und Trägheits- 
momente der Erde 161 

§ 15. Die Reduktion der Schwerebeobachtungen im allgemeinen .... 162 
§ 16. Die übliche Beduktion der Schweremessungen auf das Meeresniveau 163 

§ 17. Fortsetzung: Unebenes Terrain 167 

§ 18. Fortsetzung: Beliebiges Terrain 169 

§ 19. Die Beduktion der Schwerebeobachttmgen wegen der Kondensation] 

die Krümmung der Meeresfläche kann hierbei yernachlässigt werden 172 
§ 20. Fortsetzung: Die Ausführung der Reduktion für die Kondensation . 176 

§ 21. Kondensationsreduktion für eine Inselstation 179 

§ 22. Küstenstation 181 

§ 23. Qebirgsstation 183 

§ 24. üilfssatz : Für ein homogenes Sphäroid, welches von einem schwach- 
abgeplatteten Rotationsellipsoid nur wenig abweicht, ist es erlaubt, 
die Entwicklung des Potentials aufserhalb nach negativen Potenzen 
des Radiusvektors für die praktischen Zwecke als bis zur Oberfläche 

konvergent zu betrachten 186 

§ 25. Ältere Pendelbeobachtungen zur Bestimmung der Intensität der 

Schwere 191 

§ 26. Neuere Pendelbeobachtungen und absolute Bestimmungen 202 



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XII Inhaltsverzeichnis. 

Seite 

§ 27. Zusammenstellung von Bestimmungen am gleichen oder nahezu 

gleichen Orte 210 

§ 28. Ausgleichung der mehrfachen Bestimmungen 212 

§ 29. Übersicht der Längen des Sekundenpendels 215 

§ 30. Die Eondensationsreduktionen 223 

§ 31. Erfolg der Kondensationsmethode 226 

§ 32. Die Ermittelung der Interpolationsformel für die Schwerkraft . . . 229 

§ 33. Die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate 231 

§ 34. Fortsetzung: Formel zur Genauigkeitsschätzung 233 

§ 36. Ableitung einer Interpolationsformel für die Länge des Sekunden- 

pendeis und für die Schwerkraft im Meeresniveau 238 

§ 36. Fortsetzung: Plausible Grenzen der Abplattung . 241 

§ 37. Die Schwerkraft auf der physischen Erdoberfläche 243 

§ 38. Allgemeines über die Ermittelung kontinentaler Undulationen des 

Geoids 244 

§ 39. Strenge Relationen für die Abweichungen des Geoids vom zugehörigen 

Normalsphäroid 245 

§ 40. Formel von Stokes zur Schätzung kontinentaler Abweichungen des 

Oeoids 249 

§ 41. Fortsetzung: Summierung 251 

§ 42. Fortsetzung: Probe und Übersicht 254 

§ 43. Allgemeine Sätze für die Verteilung der kontinentalen Wellen des 

Geoids 257 

§ 44. Relation zwischen Sdiwerestörung^ Störung im Radiusvektor und in 

der Dichtigkeit der störenden Schicht für einen Punkt des Geoids . 259 
§ 45. Die sogenannten Näherungsformeln zur Berechnung des Abstandes 

von Geoid und Normalsphäroid aus der Schwerestörung 262 

§ 46. Zusammenhang zwischen dem Mittelwert der reziproken Krümmungs- 
radien in einem Punkte und dem Diiferentialquotienten der Schwere 

nach der Höhe 264 

4. EapiteL Synthetisclie Untersnchmig«!! fiber den Einflnfs gegebener Massen 
aaf die Niveaniläeben in der Nähe der Erdoberfläche. 

§ 1. Deformation der Niveauflächen aufserhalb durch einen kugeligtti 
Massenzuujachs , oder einen kugeligen Massende fekt ^ unterhtUb des 

Terrains 266 

§ 2. Fortsetzung: Lotablenkung, Krümmungsradius 270 

§ 3. Fortsetzung: Die gestörte Schwerkraft 274 

§ 4. Fortsetzung: Vergleichung der Einwirkung auf r, g, q u,s.w.. . . 276 
§ 5. Fundamentalformeln für die mittleren Teile langer, horizontaler 

Prismen 277 

§ 6. Fortsetzung 280 

§ 7. Allgemeine Formeln für die mittleren Teile eines langen Gebirgs- 
rückens in Form eines liegenden, dreiseitigen Prismas 281 

§ 8. Deformationen durch einen gleichschenkeligen Gebirgsrücken . . . 286 

§ 9. Fortsetzung: Störungen der Schwerkraft 290 

§ 10. Fortsetzung: Störungen im Parallelismus der Niveauflächen .... 293 

§11. Fortsetzung: Die Lotstörungen auf dem Hange AC 295 

§ 12. Fortsetzung: Die Lotstörungen auf der Grundfläche -4B ..... . 298 

§ 18. Fortsetzung: Die Krümmungsradien im Niveau der Grundfläche. . 302 

§ 14. Prismatische Thäler 306 

§ 15. Fortsetzung: Steile Böschung 307 



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Inhaltsverzeichuia. XIII 

Seite 

§ 16. Halbkugelförmiger Berg und halbkagelförmige Finge 309 

§ 17. Kleine Insel im Ocean 311 

§ 18. Deformationen durch kreisförmige Kontinente 313 

§ 19. Fortsetzung: Die Deformationen innerhalb 314 

§ 20. Fortsetzung: Die Deformationen in der Nähe des Randes aufserhalb 317 
§ 21. Fortsetzung: Die Brauchbarkeit der Formeln der letzten beiden 

Paragraphen mit Rücksicht auf die endliche Dicke der Kontinente. 319 

§ 22. Die Lotstörung an der Küste eines cylindrischen Kontinents .... 321 

§ 23. Berücksichtigung der Böschung an der Küste 324 

§ 24. Der Einflufs der Krümmung der Meeresfläche auf die Formeln der 

vorhergehenden Entwicklungen 325 

§ 25. Die störende Wirkung der Kontinente in gröfserem Abstände vom 

Zentrum M 329 

§ 26. Berücksichtigung der Schwerpunktsverschiebung 382 

§ 27. Mittelwert der Erhebungen h. für einen Kontinent 334 

§ 28. Kleinste Erhebung der gestörten Niveaufläche 335 

§ 29. Zusammenstellung der Formeln für die Störungswirkung eines Kon- 
tinents mit Rücksicht auf Schwerpunktsverschiebung 336 

§ 30. Numerische Auswertung der elliptischen Integrale K und E, , . . 340 

§ 31. Störungen durch Europa- Asien 343 

§ 32. Fortsetzung 346 

§ 33. Störungen durch Australien 348 

§ 34. Störungen durch Afrika, Nord- und Südamerika. Übersicht der 

Höhenstörungen 351 

§ 35. ZusammenwirkuDg der Störungen der 5 Kontinente 354 

§ 36. Die Schwerestörungen 357 

§ 37. Fortsetzung: Numerische Werte 359 

§ 38. Diskussion der Besultate, Die störenden Massen der Erde .... 364 
§ 39. Berechnung des Einflusses der lokalen Massenanordntmg auf die 

Lotrichtung 368 

§ 40. Fortsetzung: Die Ausführung der Rechnung 372 

§ 41. Erfolge von Berechnungen der lokalen Lotablenkungen 374 

§ 42. Bestimmung der mittleren Dichtigkeit der Erde aus Lotablenkungeu 379 

§ 43. Ph. V. Jollys Bestimmung von G^ aus Wägungen 380 

5. Kapitel Zeitliehe Änderungen der Niveanfläehen. 

§ 1. Die Stönmgen in der Schwerkraft durch Sonne und Mond 383 

§ 2. Bewegung der Erde um ihren Schwerpunkt 386 

§ 3. Beziehung auf ein bewegtes Koordinatenaxensystem 388 * 

§ 4. Drehbewegung der als fester Körper betrachteten Erde um ihren 

Schwerpunkt 890 

§ 5. Drehbewegung mit Vernachlässigung der äufseren Kräfte und für 

-4-JB 391 

§ 6. Die Polhöhe von Pulkowa nach C. A. F. Peters 394 

§ 7. Dieselbe nach NyrSn 896 

§ 8. Der Einflufs einer Ungleichheit von A und B 400 

§ 9. Fortsetzung: B — A sehr klein 404 

§ 10. Der Satz von der unveränderlichen Ebene 405 

§ 11. Die Bewegung der Momentanaze im Baume, abgesehen von äufseren 

Kräften 406 

§ 12. Grundgleichwngen für die Drehbewegung des nicht festen Erdkörpers 408 

§ 13. Fortsetzung: Modifikation der Gleichungen 410 



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XIV InhaltsTerzeichDis. 

Seite 

§ 14. Bewegung des yeränderlichen Erdkörpers abgesehen von äufseren 

Kräften , 41S 

§ 15. Fortsetzung: Integration und spezieUe Fälle 416 

§ 16. Schätzung der Veränderung der Hauptträgheitsmomente 419 

§ 17. Verschwindender Einflufs von Flut und Ebbe auf die Lage der Ro- 

tationsaxe 423 

§ 18. Die Botationsaxe im Erdkörper unter dem Mnflufs des Mondes und 

der Sonne 426 

§ 19. Portsetzung 429 

§ 20. Notiz über Präzession und Nntation 434 

§ 21. Die Formänderung der Niveauflächen durch die Bewegung der 

Momentanaxe und die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit. . . 438 

§ 22. Fortsetzung: VeHUiderliche Rotationsdauer 442 

§ 23. Fortsetzung: Bedeutendere Veränderungen 444 

§ 24. Wahrnehmungen über die Veränderlichkeit des Erdkörpers .... 445 

6. Kapitel. Verwertung astronomischer Angaben für die Erkenntnis der 
Erdgestalt nnd des Erdinnem. 

§ 1. Allgemeine Bemerkungen 450 

§ 2. Bestimmung der geozentrischen Koordinaten eines Punktes der Erd- 
oberfläche aus Beobachtungen der Mondparallaxe 451 

§ 3. Fortsetzung: Die praktische Lösung 456 

§ 4. Bestimmung des Äquatoriälhalbmessers des Erd^ipsoids aus der 
Mondpardtlaxe in Verbindung mit der Intensität der Schwere an der 

Erdoberfläche 460 

§ 6. Fortsetzung: Zahlwerte 463 

§ 6. Bestimmung der Differenz MK der Hauptträgheitsmomente der Erde 

sowie der Abplattung der Erde aus der Mondbewegung 466 

§ 7. Fortsetzung: Zahlwerte und Hansens Angaben von 1865 470 

§ 8. Die Trägheitsmomente der Erde und die Zunahme der Dichtigkeit 

nach dem Erdinnem 473 

§ 9. Die mittlere Dichtigkeit der Erdmasse in der Nähe der Erdoberfläche 

und die mittlere Dichtigkeit des Erdkörpers 476 

§ 10. Die Abplattung der inneren Erdschichten gleicher Dichtigkeit ... 478 

§ 11. Fortsetzung: Entwicklung der Gleichungen 482 

§ 12. Auflösung und Endresultate 485 

§ 13. Die Schwerkraß im Erdinnem 492 

§ 14. Bestimmung der mittleren Dichtigkeit der Erde aus der Kombination 

von Beobachtungen der Schwerkraft auf und unter der Erdoberfläche 493 

§ 15. Fortsetzung: Unebenheiten des Terrains 496 

§ 16. Fortsetzung: Zahlwerte 499 

7. Kapitel. Das geometrisclie Nivellement. 

§ 1. Die unmittelbaren Resultate geometrischer Nivellements 500 

§ 2. Die strenge Bedüktion der Nivellements 502 

§ 3. Bestimmung von Meereshöhen. Der Einflufs der normalen Variation 

der Schwerkraft auf die NiveUementsresultate 505 

§ 4. Fortsetzung: Die sphäroidischen Schlufsfehler der Nivellements- 
polygone 509 

§ 5. Die sphäroidische Depressionsdifferenz zwischen Rück- und Vorblick 511 
§ 6. Der Einflufs der Anomalieen der Schwerkraft auf die Nivellements^ 

resultate; LotabweicJiungen 513 



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Inhaltsverzeichnis. XV 

Seite 

§ 7. SchwerestÖrongen im Gebirge 617 

§ 8. Homogener Gebirgsrücken von der Form eines liegenden, dreiseiti- 
gen Prismas 520 

§ 9. Fortsetzung: Der Fehler in der niveUierten Höhe nnd der Schlnfs- 

fehler des Nivellementspolygones ACBA 524 

§ 10. Fortsetzung: Übersicht des Verhaltens in einigen besonderen Fällen 528 

§ 11. Fortsetzung: Gröfster Schlufsfehler 532 

§ 12. Einflufs eines unterirdischen Massendefekts von kugelförmiger Gestalt 534 
§ 13. Fortsetzung: Maximum des Schlufsfehlers ; Fehler der nivellierten 

Höhe 536 

§ 14. Zwammenfassung vorstehender Untersuchungen Über den Einflufs 

der Anomälieen der Schwerkraft 538 

§ 15. Die anormale Depressionsdififerenz zwischen Bück- und Vorblick . . 539 

§ 16. Fortsetzung: Die anormale DepressionsdifiEerenz im Gebirge .... 543 
§ 17. Der Einflufs der durch Mond und Sonne bewirkten Lotstörung auf 

die Nivellementsresultate 546 

§ 18. Zeitliche Äaderungen der Niveauflächon; die physische Meeresfläche 549 

8. Kapitel. Die trigonometrische Höhenmessang. 
Mit Bemerkungen über die Lateralrefraktion und die Aberration. 

§ 1. Die Bedeutung der trigonometrischen Höhenmessung 550 

§ 2. Die Grundgleichung der sphärischen Uöhenrefraktion 553 

§ 3. Reihenentwicklung 554 

§ 4. Berechnung des Befraktionskoefflcienten kf 556 

§ 5. Die gesamte Refraktion des Lichtstrahles 559 

§ 6. Der Einflufs der Abplattung der Niveauflächen 561 

§ 7. Die regelmäfsige Lateralreiraktion. Notiz über die Aberration . . 564 
§ 8. Einflufs einer Abweichung der Lufl»chichten gleicher Dichtigkeit 

von der Normalform 566 

§ 9. Fortsetzung : Ausnahmefall 569 

§ 10. Zusammenstellung der Formeln 571 

§ 11. Der Refraktionskoefflcient % als Funktion von Lufttemperatur und 

Luftdruck 575 

§ 12. Die Veränderlichkeit von % zeitlich und räumlich 578 

§ 13. Fortsetzung: Bauemfeinds Beobachtungsreihe von 1877—80 .... 582 

§ 14. Bauemfeinds Refraktionstheorie 585 

§ 15. Fortsetzung: Kritische Bemerkungen 587 

§ 16. Refraktionstheorie von Jordan 590 

§ 17. Formel bei gegenseitigen Messungen, wenn % in vier Punkten be- 
kannt ist 592 

§ 18. Übersicht der Mähoden mit einer Anmerkung über d<ts astronomische 

Nivellement 595 

§ 19. Formeln bei Beobachtungen zwischen drei Stationen unter Voraus- 
setzung normaler Form der Luftschichten 599 

§ 20. Zahlenbeispiel 601 

§ 21. Über die Bedeutung trigonometrischer, ohne Rücksicht auf Lot- 
abweichung ermittelter Höhendififerenzen, mit einer Anmerkung über 

die Formel für barometrisches Höhenmessen 607 



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Berichtigungen und Zusätze. 



Zu Bd. I. 

S. XV 3. u. 4. Z. V. u. ist Xß anstatt X^ zu lesen. 

S. 6 Anm. Vergl. dazu auch S. 613 und Bd. 2 S. 16 u. ff. 

S. 8 § 6. Vergl. dazu Bd. 2 S. 47 § 27. 

S. 16 o. Vergl. dazu Bd. 2 S. 364 § 38. 

S. 16 u. Über maximale Lotablenkung s. Bd. 2 S. 346. 

S. 17. Über Krümmungsänderungen der Niveauflachen vergft Bd. 2 Kap. 4 die 
§§ 1 bis 16. 

S. 22 § 5 2. Absatz. Vergl. Bd. 2 Kap. 1 die §§ 22 bis 25. 

S. 80 mufö der Schlufssatz von § 8 lauten: „falls das gegebene Gegenstuck dem- 
jenigen der beiden anderen gegebenen Stücke gegenüberliegt, welches den 
gröfseren Sinus hat*^ 

S. 137 ist im Absatz hinter Gleichung (8) die Bemerkung über die Lage der 
grofsen Axe als irrig zu sti'eichen. 

S. 138 ist in der l. Gl. von o. überall sin ü anstatt cos U zu setzen. 

S. 158 ist inmitten bei dem Kleingedruckten k anstatt k zu lesen. 

S. 314 ist in (7*) M'^ für M* zu setzen. 

S. 375 (13) soll der Nenner in der 2. Z. lauten: 30240ao*. 

S. 393 u. soll überall k anstatt k stehen. 

S. 459 fehlt in der 2. Formel (1) rechter Haud der Faktor sec ij'. 

S. 463 (2) lies in der 1. Z. (JB, - F)* ^nsUtt (—)* und in der 2. Z. 
[1,4873099.71]: W^K 

S. 570 Fig. 45 ist das Wort Harzburg bei Fällstein zu streichen und vor 
Usenbwrg anzubringen. 

S. 595 lies in der 2. Z. vor (2) m + 1 anstatt m. 



Zu Bd. IL 

S. 87 Anm. u. 1. Z. {London) soll hinter Lq stehen. 

S. 94 2. Z. V. u. lies dg : dh anstatt dg, 

S. 173 4. Z. V. u. lies § 32 anstatt § 34. 

S. 225 Fig. 31 lies cot v anstatt cot v. 



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Erstes Kapitel. 
Allgemeine Eigenschaften der Niveanflächen. 

§ 1. Das Prinzip von d'Alembert. Wir beziehen die Erde 
auf ein System rechtwinkeliger Koordinaten Xy y und z. Im Punkte 
{xyz) befinde sich das Massenelement dm^ auf dessen Masseneinheit 
die Kräfte X^ Y und Z bezw. in Richtung der positiven Axeu der 
Xy y und z wirken. Alsdann ist für das Element dm die bewegende 
Kraft parallel zu den genannten Axen bezw. gleich 

Xämy Vdm, Zdm. (1) 

Nun ist aber die Beschleunigung des Punktes {xyz) parallel zu den 
drei Koordinatenaxen bezw. gleich 

d^x d^y d^z 

dt*'' dt*"^ dP ' 

wobei dt das DiflFerential der Zeit bezeichnet; es sind daher die Kom- 
ponenten der bei der Bewegung des im Punkte {xyz) lagernden 
Massenelements dm wirklich zur Geltung gelangenden bewegenden 
Kraft bezw. gleich 

^äm, fydm, l^-äm. (2) 

Die nicht zur Geltung gelangenden DiflFerenzen der einander entspre- 
chenden Ausdrücke (1) und (2), nämlich die Ausdrücke 



(^-^) 



dm 



werden die verlornen Kräfte genannt; wobei die Bezeichnung im 
algebraischen Sinne axif zufassen ist;, da sie auch negativ sein können. 
Diese verlornen Kräfte müssen nach dem Prinzip von d^Alemberi für 
den Komplex aller Massenelemente der Erde zusammengenommen im 
Gleichgewicht stehen und zwar gelangt man in Verbindung mit dem 
Prinzip der virtuellen Verrückungen zu der folgenden analytischen 
Formulierung des d'Alembertachen Prinzips: 

Hclmertj maihem. a. physikal. Theorioon der hOh. Geodäsie. IL 1 



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2 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

Es erfolgt die Bewegung dergestalt , dafs iu jedem Zeitmoment 
die Gleicljung 



^)ä..6.) 



+ (^ - -£r) dm . dz 



■=0, (3) 



in welcher die Summierung über alle Massenelemente erstreckt wer- 
den mufs, erfüllt ist. dx^ 8y und dz bezeichnen hierbei die Axen- 
projektionen unendlich kleiner, sogenannter virtueller Verrückungen ös 
der Angriffspunkte {xyz) der Kräfte, die nur den geometrisch-physi- 
kalischen Bedingungen für die gegenseitige Lage der Teile der Erde 
entsprechen müssen, die aber sonst willkürlich sind und daher mit 
den wirklichen Bewegungen im allgemeinen nicht zusammenfallen. 

Betrachten wir insbesondere die Erde als einen starren Körper, 
so haben die ds nur den Bedingungen für die unveränderte gegen- 
seitige Entfernung der Punkte zu genügen; insoweit dies der Fall ist, 
erfolgt die Bewegung in der Art, dafs Gleichung (3) für jedes System 
der virtuellen Verschiebungen ös erfüllt wird. 

Im Sinne der Mechanik sagt die Gleichung (3) : Die mechanische 
Arbeit der verlornen Kräfte für die ganze Erde zusammengenommen 
ist in jedem Augenblicke für jedes System virtueller Verschiebungen 
der Angriffspunkte gleich null. 

Wir wenden die Gleichung (3) dazu an, um die Bewegung der 
Teile der Erde zu zerfallen in eine allen Teilen gemeinsame und mit 
derjenigen des Erdschwerpunktes übereinstimmende, sowie in eine 
relative um diesen Punkt. 

§ 2. Bewegung des Erdschwerpunkts. Wie auch die Kon- 
stitution der Erde sei: zu den möglichen virtuellen Verschiebungen 
gehört jedenfalls auch eine solche der ganzen Erde um einen für alle 
Punkte gemeinsamen Betrag öx parallel zur a;-Axe. Dabei sind die 
öy und öz gleich null, sodafs in der obigen Gleichung (3) die 2. 
und 3. Glieder verschwinden. Aufserdem kann man den gemeinsamen 
Faktor 6x wegdividieren und erhält: 

Eine virtuelle Verschiebung parallel zur ^-Axe führt zu der Gleichung: 

eine solche parallel zur z-Axe zu 

2{%dm')=.S{Zdm). (3) 



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§ 2. Bewegung des Erdschwerponkts. 3 

Bestimmt man nun einen mittleren Punkt (S^i;) der Erde nach 
den Gleichungen 

lEdm = E{xdm) 

ril]dm = 2]{i/dm) (4) 

t£dm = £(jidm), 

wobei § das x, ri das y, g das z des Punktes bezeichnet, so heifst 
dieser Punkt der Schwerpunkt der Erde. Zweimalige Differentiation 
der (4) giebt: 



dt* 
dt« 



Zdm = £ 



{i^^-«) (5) 



i:dm = i:f-j^dm\ 



Bezeichnen wir 2 dm mit Jlf, als Masse der Erde, so folgt aus 
(5) und (1) bis (3): 

M^ = 2:(Ädm) 

M^^^SiVdm) (6) 

Jlf^^2:(Zdm). 

Diese Gleichungen bestimmen die Bewegung des Schwerpunktes. 
Er bewegt sich darnach so, als ob alle Kräfte — parallel nach ihm 
verschoben — direkt auf ihn wirkten und alle Masse in ihm lagerte. 

Hierbei brauchen übrigens nur die äufseren Kräfte, also die An- 
ziehungen der Himmelskörper, berücksichtigt zu werden, da die innern 
Kräfte d. h. diejenigen bewegenden Kräfte, welche innerhalb der Erde 
durch gegenseitige Einwirkung der Massenelemente entstehen, wie 
alle gegenseitigen Wirkungen paarweise entgegengesetzt gleich sind, 
mithin sich in den Summen auf der rechten Seite der Gleichungen (6) 
aufheben. 

Sehen wir nun von den Bewegungen der Massenelemente relativ 
zum Erdschwerpunkt ab, so haben sie alle dieselbe Bewegung wie 
dieser d. h. sie bewegen sich in jedem Augenblicke parallel. Irgend 
eine Meridianebene halt daher bei dieser Voraussetzung stets parallele 
Lagen inne und erleidet in sich keinerlei Drehung. 

Es ist nicht immer richtig aufgefafst worden, dals nun umge- 
kehrt jegliche Drehung der Erde im Sinne der Dynamik bereits zu 
den relativen Bewegungen der Teile der Erde um ihren Schwerpunkt 
gehört. Man darf also nicht ausser der Bewegung des Schwerpunkts 
und der entsprechenden Parallelverscjiiebung der Erde nach den 

1* 



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4 1. Kapitel. Allgemeine EigenBchaften der Niveauflächen. 

Gleichungen (6) sowie aufser der Drehung der Erde um ihren Schwer- 
punkt noch eine Drehung um einen andern Punkt annehmen. 

Man darf also auch nicht die Drehbewegnng der Erde um den Schwer- 
punkt des Systems Erde-Mond noch besonders in betracht ziehen wollen. 
Allerdings läfst sich die Bewegung der Erde so zerlegen, daPs die letzt- 
genannte Bewegung als Komponente auftritt, aber dieses erzeugt eine 
ganz unnötige Komplikation: die Zerlegung nach § 2 ist die einfachste 
und daher allein übliche. 

§ 3. Relative Bewegung gegen den Erdschwerpunkt. Pa- 
rallel zu den in § 1 angenommenen festen Koordinatenaxen der x, y 
und z legen wir jetzt durch den Erdschwerpunkt Axen der a:', y und z\ 
Dann ist 

y = y -Vn (i) 

z = ^' + ?. 

Hiermit geht die Gleichung^ (3) § 1 S. 2 über in die Gestalt 






= 0, (2) 



welche Gleichung sich aber wesentlich vereinfacht. Zunächst fallen 
die Produkte mit d|, di^ und dg weg, weil diese Faktoren konstant 
sind, sich mithin die ersten Faktoren der bezQglichen Produkte addie- 
ren und zufolge der Gleichungen (l), (2) und (3) des- § 2 gegenseitig 
aufheben. 

Um eine weitere Vereinfachung zu erkennen, setzen wir die Re- 
lationen (1) in die (4) des vorigen Paragraphen und erhalten sofort 

E{xdm) = (i 

2:{y'dm) = (3) 

2:{zdm) = 0. 
Hieraus folgt weiter 

Z{dm.öx') = 

E{dm . öy) = (4) 

i:{dm.dz)^0. 

In dem ersten Teile von (2) verschwinden daher die von |, ri und f 
abhängenden Glieder, weil sie sich in die nachstehende Form bringen 
lassen : 

j;f Z{dm . dx)+ ^^(d« . iy) + -^l^idm . äz'). 
Zugleich erkennt man , dais von allen Werten Ä, Y und Z beziehungs- 



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§ 4. Die Zentrifugalkraft. 5 

weise konstante Teile abgezogen werden dürfen. Wir schreiben daher 
anstatt (2): 

*^) dm . Sy 



2^ 



df 



+ (¥'■ 



Sz 



= 



(5) 



und verstehen nun unter Xy Y' und Z' die Kräfte, welche auf die 
Masseneinheit eines Elementes wirken , dessen rechtwinkelige Koordi- 
naten in Bezug auf den Erdschwerpunkt x, y und z sind — nach 
Abzug der entsprechenden Kräfte, welche die Bewegung dieses Punktes 
erzeugen; yergl. S. 3 (6). 

Von den Gleichungen (5) kann man ausgehen , um die zum Erd- 
schwerpunkt relative Bewegung der Erde zu untersuchen. Dieses weiter 
zu verfolgen, ist zunächst nicht unsere Aufgabe ; wir halten uns viel- 
mehr vorerst an die durch die Erfahrung sicher konstatierten That- 
sachen und behalten uns für das fünfte Kapitel § 2 u. ff. Erörte- 
rungen über die Bewegung der Erde um ihren Schwerpunkt, sowie 
über die Erfahrungen in dieser Hinsicht vor. 

§ 4. Die Zentrifugalkraft. Zufolge der Erfahrung kann man 
mit aufserordentlich grolser Annäherung annehmen^ dafs die Erde 
mit gleichförmiger Geschwindigkeit um eine in ihr feste Axe durch 
den Erdschwerpunkt von unveränderter Richtung rotiert. Diese Dreh- 
axe nennt man die Erdaxe (Bd. 1, S. 7). 

Wir nehmen sie als z'-Axe, 
sodafs die «y'-Ebene Äquator- 
ebene*) wird, und berechnen die 
zweiten Differentialquotienten 
der Koordinaten eines Punktes 
{x y z) nach der Zeit nach 
Mafsgabe der Rotation. Die 
fVinkelgeschmindigkeit der letzte- 
ren sei gleich o. 

Zunächst gehen wir zu 
Polarkoordinaten über, Fig. 1. 
r sei der Radiusvektor des 
Punktes {xyz), X der Winkel 
zwischen der oj'z'-Ebene und 
einer Ebene durch die z'-Axe und den Radiusvektor, wachsend nach 

*) Nach S. 7 des 1. Bandes ist die Aequatorebene die zur Erdaxe nonnale 
Ebene durch den Erdschwerpunkt. Dieser DeOnition steht allerdings entgegen, 
dafs die Äquatorebene nach Bd. 1 S. 8 keineswegs die Ebene des geographischen 
Äquators ist, indessen gestattet sie den sonst brauchbaren Begriff beizubehalten. 



Fig. 1. 




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— r cos qp' siu X 


. €9 


+ r cos 9 cos X 


. fi} 


0, 





6 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

der y'z'- Ebene zu, tp der Wiukel, unter welchem r gegen die 

a:V'-Ebene geneigt ist, wachsend nach der positiven Seite der z'-Axe 

hin. Dann ist 

X = r cos g>' cos l! 

y = r cos 9' sin X (1) 

/ «-» r' sin 9' . 

Hieraus folgt, da bei der Rotation r'cos ^l und r sin ^! konstant 

bleiben, dX : dt aber gleich o ist: 

-^ — = — r cos qp sin A . üo = — y «d 
-J^- = + r cos g>' cos A' . o = + ^'^ 

dt 
womit sich weiter findet: 

d^x' , o 

dt« ^• 

Diese drei Beschleunigungen xo'^y yo^ und null lassen sich als 
Komponenten einer auf die Masseneinheit wirkenden Kraft auffassen, 
welche Zentrifugalkraft genannt wird, weil unter ihrem Einflufs der 
Punkt (xyz) sich von der Axe entfernen würde. 

§ 5. Die Schwerkraft. Nach Gleichung (5) § 3 S. 5 gehen 
bei der relativen Bewegung eines im Punkte {xyz) befindlichen Massen- 
teilchens für die Masseneinheit die bewegenden Kräfte 

Y d^x ^ d^y ^ d^z ,.. 

verloren, welche bei der Voraussetzung gleichförmiger Rotation nach 
den Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen übergehen in: 

r + xw'^, r + y(o\ Z\ (2) 

Diese Kräfte veranlassen einen Druck des Teilchens gegen seine Um- 
gebung. Insoweit X, Y' und Z' von der Gravitation, der Anziehung 
der Massen auf das Teilchen, herrühren, nennt man die Resultante 
der Kräfte (1) oder (2) die Schwerkraft ^ welche wir mit g bezeichnen. 
Die Ausdrücke (1) würden in dem jetzt nicht weiter zu betrach- 
tenden Falle zur Geltung kommen, daCs die Rotationsbewegung von 
der oben vorausgesetzten etwas abweicht (vergl. 5. Kap. § 21), doch 
wird von dem EiDfluCs einer etwa vorhandenen relativen Bewegung 
des Punktes {xyz) gegen die Erde im ganzen auf die 2. Differential- 
quotienten der Koordinaten nach der Zeit bei der Definition der 
Schwerkraft jedenfalls abgesehen. 



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§ 5. Die Schwerkraft. 7 

Entsprechend der für die Ausdrücke (2) vorausgesetzten gleich- 
förmigen Rotation um eine konstant gerichtete Schweraxe betrachten 
wir die Erde als einen Körper, dessen Teile in relativer Ruhe zu 
einander sich befinden. 

Auch sehen wir bei Bildung der Ausdrücke (2) von denjenigen 
Bestandteilen in X ^ T und Z' ab, welche von der Anziehung der 
Himmelskörper herrühren und deshalb im allgemeinen veranderlich 
sind. (Vergl. hierzu 5. Kap. § 1.) 

Um nun Ausdrücke für J", Y* und Z\ welche der Anziehung 
der Erdmasse entsprechen, zu gewinnen, bezeichnen wir die recht- 
winkeligen Koordinaten eines Punktes der Erde im allgemeinen in 
Bezug auf die drei durch den Erdschwerpunkt gelegten Axen (§ 4 
S. 5) mit a?, y und z ohne oberen Strich; für die Koordinaten des 
Punktes, wo das von der Erde angezogene Massenteilchen lagert, 
behalten wir dagegen denselben bei. 

Wir nehmen ferner an, dafs infolge der Gravitation die Masse 1 
einer anderen in der Ent- y. ^ 

femung l befindlichen 
Masse 1 die Beschleu- 
nigung li^ erteile und 
bezeichnen die Entfer- 
nung des anziehenden 
Massenelements dm im 
Punkte (xyz) = P von 
dem Punkte {xyz) = P 
mit ^, Fig. 2. 

Dann ist die Be- 
schleunigung eines im 
letzteren Punkte befind- ^ 
liehen Massenteilchens infolge der Anziehung des Elements dm in P 
gleich 

(3) 




l?d.m 



Die Komponenten dieser Beschleunigung für die drei Koordinaten- 
axen sind nach Grösse und Richtung 

__ _ 

fe'dm y — y 



in Richtung der pos. a:-Axe 
V 79 >f }f y-Axe 

f> }} }} }} ^-Axe; 



(4) 



denn projiziert man die Distanz e auf die drei Axen, so ergeben sich 
die DiflFerenzen x — Xy y — y\ z — z\ deren Quotienten mit e den 
Cosinus der Neigungswinkel von e gegen die drei Axen, d. h. den 



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8 1. Kapitel Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

Richtungscosinus von e, in der Art entsprechen, dafs das Vorzeichen 
der Quotienten zugleich die Richtung vom angezogenen nach dem 
anziehenden Teilchen markiert, wie die Konstruktion von e aus x — Xy 
y — y, z — z' zeigt. 

Bilden wir nun für jede der Komponenten (4) die Summe für 
alle Teile der Erde, so ergeben sich die Gesamtbeschleunigungen 
parallel zu den drei Axen d. h. die bewegenden Kräfte X\Y' und Z' für 
die im Punkte {xy z') befindliche Masseneinheit. Die Summierung 
bewirken wir nach der Methode der Integralrechnung; indem wir uns 
in bekannter Weise entsprechend dem gewählten Koordinatensystem 
die Erde in Elemente zerlegt denken. Bezeichnen wir die Kompo- 
nenten der Schwerkraft in Richtung der drei Koordinatenaxen mit 
9x , Qy und Qt , so erhalten wir mit Rücksicht auf (2) die Ausdrücke 
wie folgt: 

X dti\ , / .| 
i — H x a>- 



— *'i- 



i-.-*'/^^' -JH-»-»' (6) 




wobei die Integration über die ganze Erde auszudehnen ist. 

Mit der Aufstellung der Ausdrücke (5) verschwindet auch eine 
Ungenauigkeit der Ausdrucksweise, die wir uns bisher der Kürze 
halber erlaubt haben. Nämlich diese: von einem Massenteilchen zu 
sprechen, das in einem Punkte lagert. Zwar sind vorstehende Integral- 
ausdrücke so angesetzt, als ob das unendlichkleine Element ^;;i im 
Punkte {xyz) sich befände, während es ihm nur angrenzt; aber be- 
kanntlich giebt dies im Integralwerte keinen Fehler, wenn es sich 
durch geeignete Transformation vermeiden läfst, dafs der Ausdruck 
unter dem Integralzeichen innerhalb der Integrationftgrenzen unendlich 
grofs wird. 

Manche Autoren bezeichnen mit Schwerkraft nur den von der An- 
ziehung herrührenden Teil von g» Dieselben nennen g die scheinbare 
Schwerkraft. Clairaut nntei-scheidet pesanteur und gravitS, also Gewicht 
und Schwere, ersteres das Resultat der Zusammenwirkung von Schwerkraft 
und Zentrifugalkraft. 

§ 6. Das Potential W der Schwerkraft g. Die vorstehenden 
drei Ausdrücke für die Komponenten der Schwerkraft lassen sich als 
partielle Differentialquotienten einer einzigen Funktion fF darstellen, 
welche durch die Gleichung 

definiert ist und das Potential der Schwerkraft im Punkte (xyz) 
heifst. 



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§ 7. Die Gleichung der Niveaufiächen. 
Um dieses nachzuweisen, differenzieren wir den Ausdruck 
I = ((o: - xy + (y - y'f + {z - zj)-^ 
partiell nach x' und erhalten sofort 

K-) 



dx' e» 

und 

\ e ) ,2 ^ — ^' c^w 

dx e e' 

Hiermit folgt aber ohne Schwierigkeit, dafs wirklich der partielle 
Differentialquotient von W nach x gleich g^i ist; in gleicher Weise 
erledigen sich gy und g,. Wir haben also: 



gx = 



dx 



um für eine Axe der u\ welche mit den Axen der x\ y und z 

bezw. die Winkel a, ß und y bildet, die rechtwinkelige Komponente 

^1, von g zu erhalten, bilden wir zunächst durch einfache Projektion; 

Qu = 9x cos a + ^y cos /3 + <7, cos y . (3) 

Dieser Ausdruck für g^ läfst sich aber auf eine andere Form 
bringen. Denken wir uns nämlich in das Potential W anstatt a:', y 
und z' drei andere Koordinaten irgend welcher Art eingeführt, die so 
beschaffen sind, dafs eine partielle Änderung du den Punkt {xyz) 
linear um 3 w' in der durch a, /3, y bezeichneten Richtung verschiebt, 
so hat man für eine solche Verschiebung du die drei in die Richtung 
der früher benutzten Axen fallenden Komponenten 

dx' = du cos a 
dy = du cos ß 
dz = du cos y . 
Führt man die hieraus folgenden Ausdrücke für die Cosinus der drei 
Winkel, sowie aus (2) die Ausdrücke für die Komponenten von g in 
(3) ein, so folgt: 

^ _ dW dx , dW_ dy , dW dz 
^''~ dx du "^ dy du "^ dz du*' 
oder 

^^= dvT^ (4) 

§ 7. Die Gleichang der Niveaafläclien. Nach Bd. 1 S. 5 sind 
die Niveauflächen dadurch definiert, dafs sie in jedem ihrer Punkte 



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10 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

normal zu der daselbst vorhandenen Schwerkraft stehen. Nun ist die 
bei rechtwinkeliger Zerlegung von g normal zu dessen Richtung sich 
ergebende Komponente jedenfalls null. Verstehen wir also in der 
Gleichung (4) des vorigen Paragraphen unter öu' jetzt ein vom Punkte 
{od y z) beschriebenes Linienelement einer Niveaufläche ^ so ist g^ 
gleich null. Man hat daher für eine Niveaufläche 

^-0- (» 

Hieraus folgt sofort, dafs für alle Punkte einer Niveaufläche 
das Potential IV der Schwerkraft g eine Konstante ist. Die Gleichung 
einer Niveaufläche lautet daher allgemein 

W = Konstante. (2) 

§ 8. Abstand benachbarter Niveaaflächen. Der normale Ab- 
stand zweier unendlich nahe an einanderliegenden Niveauflächen fällt 
in die Richtung der Schwerkraft g. Verstehen wir nun in Gleichung 
(4) § 6 unter d u ein vom Punkte (a?', y\ z) normal zu einer Niveau- 
fläche beschriebenes Linienelement dh und rechnen dh negativ oder 
positiv, je nachdem ^ zu- oder abnimmt, so dafs dh nach dem ge- 
wohnlichen Sprachgebrauche eine Höhenänderung vorstellt, so wird, 
da die ganze Schwerkraft g in die Richtung von dh fällt, 

ff — "är- W 

Hieraus folgt mit Rücksicht auf den vorigen Paragraphen, dafs 
der totale Unterschied der Potentialwerte der Schwerkraft für unendlich 
benachbarte Niveauflächen gleich ist dem Produkt aus der Schwerkraft^ 
in den normalen Abstand der Niveauflächen: 

dfF=--gdh. (2) 

Dieses Produkt gdh ist also für dieselben beiden, einander un- 
endlich benachbarten Niveauflächen konstant. 

Man erkennt zugleich, dafs Niveauflächen im allgemeinen keine 
Parallelflächen sind, denn g wird im allgemeinen entlang einer Ni- 
veaufläche nicht konstant sein. 

So ist thatsächlich auf der Erde für das Meeresniveau die Schwer- 
kraft etwas veränderlich und zwar hauptsächlich mit der geogra- 
phischen Breite. Die hieraus entspringende Folgerung für das gegen- 
seitige Verhalten der Niveauflächen in der Nähe der physischen Erd- 
oberfläche werden wir im Detail im 2. Kap. § 18 ziehen. 

In seinem Werke „Figure de la Terre" führt 1743 Clairaut S. 40 § 19 
u. flF. die Ausdrücke Niveaufläche (surface courbe de Niveau), Niveaukurve 
(courbe de Niveau) und Niveauschicht (couche de Niveau) ein. Er zeigt 
S. 41, dafs der Abstand zweier Niveauflächen, welche eine unendlich dünne 
Niveauschicht begrenzen, überall umgekehrt proportional der Schwerkraft 
ist. Als Gleichung einer Niveaufläche findet er S. 101 § 52: 

fiXdx + Y' dy + Z'ds^) + ^{x* + y ») a« = K(ynst., (3) 



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§ 9. Das Potential ist einwertig. H 

worin X\ Y' und Z' die Komponenten der Anziehungskraft im Punkte 
(ä y' g) der Niveaufläche bezeichnen. Bei Flüssigkeiten kann Gleichge- 
wicht nur bestehen, wie er femer S. 99 § 48 nachweist, wenn Xdx + 
Y'dy -{- Zdß' ein vollständiges Differential ist, also die ebenfalls von 
ihm aufgefundenen Bedingungen 

(4) 



ax er 
'ay'°° dx'- 


ar dz" 
a/ '°° dx ' 


er dz 

d^ ~ dy 


erfüllt werden. 







§ 9. Das Poteatial W hat in jedem Punkte P' des Banmes 
nur einen einzigen Wert. Die hohe Bedeutung, welche nach den 
letzten beiden Paragraphen der Funktion W zukommt; macht deren 
eingehende Untersuchung erforderlich. Wir setzen nach Gleichung (1) 
§ 6 S. 8 für das Potential der Schwerkraft im Punkte {x y z) = P 
die Gleichung an: 

fr = F+|(x'' + y'^)c'. (1) 



wobei 



-*'/ 



^^ (2) 



das Potential der Anziehung allein bedeutet. Wir untersuchen zu- 
erst V, 

Es handelt sich aber für uns hauptsächlich um Punkte in der 
Nähe der physischen Erdoberfläche, also um Punkte, welche bei Be- 
rücksichtigung des Luftmeeres jedenfalls noch im Innern der Erde 
liegen. Für die dem Punkte P' benachbarten Massenelemente dm ist 
aber e gleich null, 1 : e also unendlich und es scheint daher der mathe- 
matische Ausdruck (2) für V gerade in dem für uns wichtigsten Falle 
unbrauchbar zu werden. Mindestens läfst er nicht sofort erkennen, 
dafs das Potential der unendlich benachbarten Massenelemente nicht 
unendlich grofs, sondern gleich null ist. 

Nehmen wir aber P' als Mittelpunkt eines Systems konzentrischer 
Kugelflächen im Abstand de^ sowie als Spitze eines Kegels, der auf 
der Kugel vom Badius 1 das Fläcbenelement do ausschneidet, so bildet 
sich zwischen diesem Kegel und den Kugelflächen mit den Radien e 
und e '{' de ein Raumelement vom Inhalt 

e^ do . de 

Wir haben daher, falls @ die Dichtigkeit daselbst bezeichnet: 

dm=®e'^ de do . (3) 

Hiermit wird für V erhalten: 

V = k'^ff@€dedo, (4) 

ein Ausdruck, bei welchem alle Bedenken schwinden, da &e überall 
endlich ist. Insbesondere wird der Beitrag v der näheren Um- 



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12 1* Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveaaflächen. 

gebung von P' zu V um so kleiner/ je mehr wir sie beschränken. 
Ist innerhalb einer zu P' konzentrischen Kugel vom Radius a der 
Maximalwert der Dichtigkeit gleich Smax^ so ist für diese Kugel 

v^k^@fnaxJJ ede da , 

die Integration für e von null bis e^ für a über die ganze Kugel- 
fläche vom Radius 1 erstreckt. Es wird also 

^;<2!^p^2®„a*«^ (5) 

Hiernach nimmt in der That v mit s ab und verschwindet mit 
ihm, wie es sein mufs. 

Der Ausdruck (4) zeigt nun auch^ dafs V stets einen bestimmten, 
positiven Wert hat. Integriert man zunächst nach 6y so handelt es 
sich um Bildung von 

f ® do oder [j & e^ da : Ce^ da } -J da. 

Dies ist aber, wenn P' innerhalb der Erde liegt, gleich der mitt- 
leren Dichte Se im Abstand e mal der Kugelfläche vom Radius 1^ 
also gleich 

43r ®^. 
Man hat daher 

V = ATck'^f&.e de. (6) 

Denkt man sich hier e als Abscisse, ©<, e als Ordinate, so erscheint 
V als das 4 nk^ -fache einer endlichen, ganz bestimmten; positiven 
Fläche. 

Für Lagen von P' innerhalb der Erde hat aber nicht nur F, 
sondern, wie ein Blick auf (1) zeigt, auch fV stets einen bestimmten 
endlichen positiven Wert. Es gilt dies überhaupt für jede Lage von 
P' in endlicher Entfernung vom Erdschwerpunkt. Bei der Bildung 
von @e zu (6) ist nur zu beachten, dafs die den Punkt P' im Ab- 
stand e umgebende Kugelfläche aufserhalb der Erde die Dichtigkeit 
null antrifi't. 

Da nun fF in jedem Punkte nur einen einzigen Wert hal^ so 
kann durch einen Punkt auch nur eine einzige Niveaufläche hindurch- 
führen. Man kann dies auch in folgender Weise ausdrücken: 

Verschiedene Niveauflächen schneiden oder berühren sich nicht. 

Für Punkte P', welche aufserhalb der Erde sich befinden und also 
nicht mit ihr rotieren, hat nur V reelle Bedeutung, llückt F' in un- 
endliche Entfernung, so wird nach (2) V gleich null, nämlich kleiner als 
k^ mal der Erdmasse, dividiert durch den Abstand des dem Punkte P' 
nächstgelegenen Elements der Erde, welcher aber auch unendlich grofs ist. 

§ 10. Die Schwerkraft g bat in jedem Pankte einen be- 
stimmten endlicben Wert und eine bestimmte Richtung^ aus- 
genommen für g = null. Behufs weiterer Untersuchung von IV be- 
trachten wir seine Diflferentialquotienten, d. h. die Komponenten der 



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§ 10. Die Schwerkraft ist einwertig. 13 

Schwerkraft. Fassen wir beispielsweise g^t ins Auge, so ist nach (5) 
§ 5 8. 8 mit Rücksicht auf (2) § 6 S. 9 und (1) § 9 S. 11 im Punkte 



"' da- 
mit 

Wie im vorigen Paragraphen nehmen wir P' als Mittelpunkt 
konzentrischer Kugeln und setzen nach (3) daselbst 



dm = ® e^ de da . 
Dann folgt 

dv 

dx 



Ä-2 rC-^'^ededa. (3) 

Beachtet man nun, dafs {x — x):e der Cosinus des Neigungswinkels 
von e gegen die x-Axe ist, dafs also die Ungleichheit besteht: 

_ 1 < i^ -^'_ < + 1 , 

so erkennt man, dafs in (3) unter dem Integralzeichen nichts un- 
endlich wird. Ahnlich wie für V im vorigen Paragraphen kann man 
sich jetzt mit Rücksicht auf die endlichen Grenzen der Integration 
überzeugen, dafs das Integral in (3) einen bestimmten endlichen Wert 
haben mufs, der jedoch wegen (x — x'):€ positiv oder negativ sein 
kann. 

Für die unendlich nahe Umgebung von P' ist, wie es sein mufs, 
der Beitrag zu ^ F : dx' unendlich klein. Setzt man nämlich in (3) 
für (x — x)i e den zu grofsen Wert + I ^»d für den Maxi- 
malwert ©max der Umgebung bis zum Abstände Sy so ergiebt sich der 
zu gro&e absolute Wert des betreffenden Beitrages gleich Ank} ®rnax • ^ , 
welcher Ausdruck mit e unendlich klein wird. 

Ebenso wie -^-r- verhält sich nach (1) Qx selbst. Das gleiche 

Verhalten zeigen aber auch gl und g, : Alle Komponenten von g 
haben bestimmte endliche Werte, die positiv oder negativ oder auch 
null sein können. 

Die Cosinus der Neigungswinkel von g zu den Axen sind gleich 

A, A, A (4) 

9 9 9 

wobei 



ff- + VffJ+J? + ^.'' (5) 

ist; sie haben daher bestimmte, zwischen — 1 und +1 gelegene 
Werte und die Schwerkraft hat eine unzweideutig bestimmte Richtung, 
solange nur g von null verschieden ist. 



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14 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

§ 11. ^ ist eine stetige Function des Ortes. Nach den 
letzten beiden Paragraphen hat V in jedem Punkte nur einen Wert 
und die Diflferentialquotienten von V sind endlich. Verschiebt sich 
der Punkt {x y z) ■=» /*', so ist V in der Endlage [x + dXy y + dy\ 
z + dz) gleich 

mithin von dem Werte V in P' nur unendlich wenig verschieden. 

Hieraus folgt, dafs V eine stetig veränderliche Funktion ist. Das- 
selbe gilt für W, wie ein Blick auf (1) § 9 S. 11 zeigt. 

§ 12. Die Schwerkraft ändert sich nach Grosse und Rich- 
tung stetig. Wir nehmen zunächst an, dals P' aufserhalb der Erde 
sich befinde, mithin für alle Massenelemente e > null ist. 

Ist aber e > null, so ist leicht zu sehen, dals überhaupt alle 
Differentialquotienten von V beliebig hoher Ordnung endliche Werte 
haben. Mit Rücksicht auf die Bedeutung von V nach (2) § 9 S. 11 
kommt die wiederholte Differentiation von V hinaus auf diejenige von 

({x -xY -\-{y — y? ^ {z-z)^Y^ 
Differenziert man hier wiederholt nach x\ y und z ^ so entstehen 
Aggregate von Quotienten aus Vielfachen von {x — x\ {y — y) und 
(z — z') sowie ihrer höhern Potenzen im Zähler, mit e und seinen 
hohem Potenzen im Nenner. Wegen e > null sind dies durchaus 
bestimmte endliche Werte^ die sich mit dem Ort stetig ändern, und 
es geben daher auch die zur Bildung der successiven Differential- 
quotienten von V erforderlichen Integrationen bestimmte endliche 
Werte. 

So lange wir also den Punkt P' als einen aufserhalb der Erd- 
masse gelegenen Punkt betrachten können, haben alle Differential- 
quotienten von y und damit nach (1) § 9 S.ll auch diejenigen von 
fF bestimmte endliche Werte. Hiermit läfst sich aber wie im vorigen 
Paragraphen für jeden Differeutialquatienten von fV die Stetigkeit 
nachweise!], welches Ergebnis uns zunächst bezüglich der ersten Diffe- 
reutialquotienten interessiert. 

Ist jedoch P' ein innerer Punkt, so gilt Vorstehendes erst nach 
Ausschlufs der diesen Punkt umgebenden Masse. Wir fixieren die 
auszuschliefsende Masse dadurch näher, dafs wir um P' eine ge- 
schlossene Fläche ziehen, welche sie begrenzt.*) Für diese Masse 
sei V mit v bezeichnet. Nach (3) § 10 S. 13 ist nun 



*) Der Nachweis der Stetigkeit für einen innem Ponkt ist im wesent- 
lichen nach S. 11—12 von „P. G, Ltoewne-BiricMety Vorlesungen über die im um- 
gekehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte. Heraus- 
gegeben von Dr. F. Grube, Leipzig, Teubner 1876 (4 M)r" 



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§ 13. Der Lauf der Niveauflächen für g > null. 15 

wobei sich die Integration über die betreffende Masse auszudehnen 
hat. Setzen wir hierin für {x — x') : e die Einheit und für & den 
YOrkommenden Maximalwert^ so folgt der absolute Wert von 



^"^ < k^ &ma.fdefda 



dx 



Das Integral für dö ist gleich Ajc, dasjenige von ^^ ist < e, wenn 
s der groiste Abstand der umschliefsenden Grenzfläche von P' ist. 
Wir haben also den absoluten Wert von 



1? 

dx' 



;> < 4ltk^®„^ax -e. 



Verschiebt sich nun P^ innerhalb des abgegrenzten Baumes un- 
endlich wenige so kann sich ^— keinesfalls um mehr als das Doppelte 

von 47ck^ ®ma» . B ändcm; im Gegenteil wird die Änderung immer 
kleiner sein. Da wir aber die den Punkt P' umschliefsejide Flache 
beliebig nahe an ihn legen können, ohne dals an. den vorstehenden 
Betrachtungen sich etwas ändert; so können wir uns s beb'ebig klein 
denken und wir erkennen somit^ dafs ^, und seine Änderung bei un- 

X 

endlich kleiner Verschiebung von P' keinen angebbaren endlichen 
Betrag besitzen. 

Dieses zeigt, dafs bei beliebiger Lage von P' die ersten Diflferential- 
quotienten von V und W nach x\ und ebenso diejenigen nach y' und 
z\ für unendlich kleine Verschiebungen von P' sich nur unendlich 
wenig ändern, dafs also ^, , gy und g^ stetige Funktionen des 
Ortes sind. 

Man erkennt hieraus weiter, dafs dieselbe Eigenschaft für die 
Schwerkraft g selbst nach Gröfse und Richtung vorhanden ist; denn 
g läfst sich darstellen als Diagonale eines rechtwinkeligen Parallele- 
pipeds mit den Seiten g^ , g^ und g, , deren stetige Änderungen 
auch g nach Grofse und Richtung stetig ändern, falls nur g > null ist. 

§ 13. Der Lauf der Niveauflächen für g > null. Nach 
dem Vorhergehenden hat die Schwerkraft, wenn sie nur nicht null 
ist, in jedem Punkte eine bestimmte Richtung: die Loirichtung^ die 
sich bei unendlich kleinen Verschiebungen nur unendlich wenig 
ändert. Dasselbe gilt auch für das Flächenelement der Niveaufläche, 
indem es zur Richtung der Schwerkraft normal steht. Man kann da- 
her sagen, abgesehen vom Falle g = null: 

Eine Niveaufläche verläuft stetig gebogen ohne Kanten und Spitzen^ 
und sie kann sich nicht selbst schneiden. 

Man kann auch noch hinzufügen, da(s eine Niveaufläche nicht 
sich selbst berühren und auch keine Schneiden besitzen kann. 



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16 1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

Sobald nämlich g > null ist, läfst sich nach § 8 S. 10 unendlich 
nahe an der Niveaufläche auf jeder Seite derselben eine andere, mit 
einem verschiedenen, wenn auch unendlich wenig verschiedenen W 
konstruieren, deren eine nun aber in der Nähe der Schneide oder 
ßerührungsstelle notwendig die gegebene Fläche schneiden würde. 
Dies ist aber nach § 9 S. 12 unmöglich. 

Um nun noch den Lauf der Niveauflächen im ganzen zu beur- 
teilen, denken wir uns eine Niveaufläche bis zu einer Linie in der- 
selben fortgesetzt und fragen, ob in irgend einer solchen Linie die 
Fläche enden kann. Ist P ein Punkt der Linie, so umschliefsen wir 
P mit einer hinreichend kleinen Kugelfläche, welche den vorhandenen 
Niveauflächenteil schneidet. Auf der Kugelfläche können wir nun 
geschlossene Linien ziehen, welche die Durchschnittslinie beider 
Flächen kreuzen. Durchläuft ein Punkt eine solche Linie, von der 
Niveaufläche ausgehend, so nimmt W anfangs zu oder ab, zum Schlufs 
ebenfalls bezw. zu oder ab. Weil aber W wieder den Anfangswert 
annimmt, mufs es auf der betre£fenden Linie irgendwo aufser in dem 
bereits vorhandenen Teil der Niveaufläche mindestens einmal noch 
gerade so grofs sein. 

Man erkennt leicht, dafs die Hilfskugel die Niveaufläche mindestens 
in einei^ geschlossenen Linie schneiden wird. 

Bei hinreichender Kleinheit des Kugelradius wird es nur eine Linie 
sein und zwar annäherungsweise ein gröfster Kreis. Ist g gleich null 
so können andere Verhältnisse eintreten. Jedenfalls kann eine Ni- 
veaufläche für ^ > null keinen Rand haben: 

Eine Niveaufläche ist entweder unendlich oder geschlossen. 

Im ersten Falle läuft sie ins Unendliche, denn im Endlichen 
würde sich die Fläche stellenweiße unendlich dicht zusammendrängen, 
was mit § 8 S. 10 nur dann nicht in Widerspruch steht, wenn g an 
der betreffenden Stelle gleich null ist. 

§ 14. Die Niveaaflächen der Erde verlaufen in der Nähe 
der physischen Erdoberfläche, wo erfahrungsmäfsig die Schwerkraft 
nicht null ist, nach dem vorigen Paragraphen jedenfalls stetig ge- 
bogen, ohne Kanten und Spitzen, und ohne sich selbst zu schneiden. 
Ob sie aber geschlossene Flächen sind oder nicht, und welcher Art 
eventuell der Zusammenschlufs ist, lälst sich ohne weiteres nicht 
sagen, da uns immer nur Teile von Niveauflächen in der Nähe der 
physischen Erdoberfläche zur Anschauung kommen. 

Im allgemeinen kann man nun in dieser Beziehung Folgendes 
anführen. 

Wir denken uns um eine Masse M eine einhüllende Kugel vom 
Durchmesser D geschlagen und das Potential v der Anziehung aufser- 
halb der Kugel in betracht gezogen. Man bemerkt leicht, dafs das- 
selbe auf jedem Radius von der Oberfläche nach aufsen fortwährend 



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§ 14. Die Niveauflächen der Erde. 17 

abnimmt, da für irgend ein Massenelement die Entfernung e fort- 
während wächst. Denkt man sich nun auf irgend einem Radius zwei 
Punkte / und A^ in Bezug auf welche bezw. A\q e<^D und > D sind, 

so wird ^3 > --Q und vk< -^ sein. Zwischen / und A giebt es 

somit auf jedem Radius einen Punkt der Niveaufläche v = -^ und 
diese ist daher kugelartig geschlossen. 

Da V nach aufsen ab-, nach innen bis zur Oberfläche der Kugel 
sicher zunimmt, so sind hiemach alle Niveauflächen aufserhalb dieser 
Oberfläche kugelartig geschlossen und umhüllen sich schalenartig. 
Nach innen zu geht dies so weit, als die Anziehung bei der Bewe- 
gung von aufsen nach innen nicht durch null hindurch geht, da ein 
Schneiden von Niveauflächen sonst nicht vorkommen kann. 

Rotiert die Masse M wie die Erde, so tritt zum Potential der 
Anziehung dasjenige der Zentrifugalkraft. Solange dasselbe relativ 
klein ist, entspricht der Berücksichtigung der Rotation nur eine ge- 
ringe Verschiebung der Niveauflächen bestimmten Potentialwertes 
nach aufsen, ohne dafs an der oben angegebenen Konfiguration etwas 
geändert würde. 

Bei der Erde hat man es in der Nähe ihrer Oberfläche nur mit 
einem kleinen Einflufs der Zentrifugalkraft zu thun. Um dieses nach- 
zuweisen, könnte mau nach ganz rohen Annahmen die Potentiale 
der Anziehung und Zentrifugalkraft berechnen und vergleichen. Wir 
wollen indessen darauf nicht eingehen, sondern andere allgemein be- 
kannte Thatsachen erwähnen, die zu demselben Resultate führen. 

Wir wissen aus der Beobachtung des Erdschattens bei Mond- 
finsternissen oder aus anderen Erfahrungen (vergl. 6. Kap. § 1), dais 
die physische Erdoberfiäche jedenfalls näherungsweise Kugelform hat. 
Da nun 7ii der physischen Erdoberfläche von dem zusammenhängenden 
Weltmeere gebildet werden, dessen Oberfläche nur wenig von einer Ni- 
veaufläche abweicht, so unterliegt es keinem Bedenken, sich eine Ni- 
veaufläche in der Nähe der Erdoberfläche vorzustellen, etwa das Geoid 
(Bd. 1 S. 5), welche Niveaufläche nun auch, soweit die Meeresfläche 
reicht^ näherungsweise Kugelform hat. Es kommt dabei ein Umstand 
sozusagen stillschweigend in betracht, auf den wir bei dem Versuch 
aufmerksam werden, diese Niveaufläche unterhalb des Landes, welches 
aus dem Meere emporsteigt, fortzusetzen. Es ist dies die durch Be- 
obachtung festgestellte Thatsache, dafs überall auf der physischen 
Erdoberfläche die Richtung der Schwerkraft im grofsen und ganzen 
normal zu ihr st^ht, also wesentlich gegen einen mittleren Punkt 
der Erde konvergiert. Zwar liegen nicht von allen Punkten der 
Elrdoberfläche Beobachtungen vor, aber doch von sehr vielen: man 
kann etwa 98% ^^^ Oberfläche als bereist betrachteo, und über die 
Lücken gestattet uns die oben entwickelte Theorie hinweg zu sehen. 

Helme rt, mathem. o. phyiik&L Theorieen der hOh. Geodirie. H. 2 



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18 !• KapiteL Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

Denn sie lehrt uns, dafs die Konvergenz der Lotrichtungen nur eine 
Folge der Anziehungskraft der Erde sein kann, gegen welche die 
Zentrifugalkraft in erster Annäherung yerschwin4et. 

Hiermit steht die an zahlreichen Punkten der Erdoberfläche ge- 
machte Wahrnehmung im Einklang, dals die Schwerkraft g daselbst 
in erster AnnKherung konstant ist. 

Wollen wir nun eine Niveaufläche in der Nähe der physischen 
Erdoberfläche beschreiben, so kann diese selbst als Ausgang dienen. 
Die Niveaufläche kann sich nicht weit von ihr (im Verhältnis zum 
Erdradius) entfernen^ da sie ja angenähert normal zu den Lotrich- 
tungen steht. Gehen wir von einem Punkte mit dem Pot^ntialwert 
W^ aus auf der physischen Erdoberfläche vorwärts, so gehört zu 
jedem Differential des Weges ein dh und ein dW ^=^ — g^^\ für 
einen endlichen Weg ist die Änderung von W gleich dem über den- 
selben zu erstreckenden 

Vom Endpunkt des Weges aus können wir uns in der Lotlinie (Kraft- 
linie, Bd. 1 § 3 S. 5) vorwärts bewegen, bis der Ausgangswert W^ 
wieder erreicht ist. Wegen der genäherten Konstanz von g gehört 
dazu angenähert der vertikale Weg 

eine im Verhältnis zum Erdradius jedenfalls kleine Gröfse. 

Einen zweiten Punkt mit dem Potentialwert W^ giebt es in der- 
selben Lotlinie in der Nähe der physischen Erdoberfläche sicher 
nicht, da g hier entschieden nach innen gerichtet ist, also W nach 
innen zunimmt. 

Die Niveauflächen, welche sich teilweise in der Nähe der physischen 
Erdoberfläche befinden» umschliefsen hiernach die Erde in der Nähe der 
physischen Erdoberfläche vollständig. Ihre Form ist die einer etwas 
durch stetige Verbiegungen deformierten Kugelfläche. Es sind also 
kugelartige Flächen^ geschlossene Flächen einfachen Zusammenhanges. 
Flächen abnehmenden Potentialwertes umschliefsen sich schalenartig. 

Die Möglichkeit der Tracierung von Kanälen quer durch die 
Kontinente (Bd. 1 S. 5) ist eine unmittelbare Folge der angegebenen 
Eigenschaft der Niveauflächen in der Nähe der physischen Erd- 
oberfläche. 

In gröfserer Entfernung von der Erde ändern sich die Verhält- 
nisse; hierüber wird § 22 des nächsten Kapitels sich verbreiten. Da- 
gegen besteht im Erdinnern überall die schalenartige Aufeinander- 
folge, was nicht ausschliefst, dafs ein Durchschneiden einzelner Ni- 
veauflächen mit sich selbst, da wo g null ist, stattfindet und dafs 
andere Niveauflächen in für sich geschlossene Teile zerfallen. Einige 



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§ 15. Die zweiten Differentialquotieiiten von TT. 19 

Bemerkungen über die Schwerkraft im Erdinnern bringt das sechste 

Kapitel, § 13. 

Nimmt man an, dafs das Luflmeer die physische Erdoberfläche voll- 
ständig umhüllt und in relativer Euhe ist, so werden nach hydrostatischem 
Gesetz die Flächen gleicher Dichtigkeit der Luft Niveauflächen sein und 
man würde somit darauf hingeführt, dafs die Niveauflächen in der Nähe 
der Erdoberfläche geschlossen sind. Allein da zur Zeit für die Nähe der 
Pole Beobachtungen fehlen, so ist jene Annahme unzulässig und es be- 
darf jedenfalls immer noch einer Untersuchung ihres Verhaltens an den 
Polen. Auch die Herbeiziehung des Luftmeeres gewährt somit nicht die 
Möglichkeit, ohne eine besondere Untersuchung behaupten zu können, 
dafs die Niveauflächen in der Nähe der physischen Erdoberfläche ge- 
schlossen sind; mit Rücksicht auf § 8 S. 10 läfst sich nur die Möglichkeit 
der Eanaltracierung insoweit folgern, als die physische Erdoberfläche be- 
kannt ist. — Übrigens hat es ein Interesse, die in Rede stehende Ange- 
legenheit, wie oben geschehen, ohne Herbeiziehung des Luftmeeres zu 
behandeln.*) 

§ 15. Die zweiten Differentialquotienten TOn W. Es genügt 
zunächst, nur den zweiten Differentialquotienten nach x zu betrachten. 
Nach § 6 S. 9 ist aber 



«(4) 



J^ X — X 

Daher ist auch 

bx^ '^ c8 "f" ^ c« dx "° c' "•" ^ c^ 

Hieraus findet sich mit Rücksicht auf (1) und (2) § 9 S, 11 der ge- 
suchte zweite Differentialquotient 

Setzt man endlich hierin wie in § 9 S. 11 dm = ® e'^de da ^ so folgt: 
^^,^ff -^' + ^f-^y @äeä. + a>K (2) 

Solange der Punkt (x' y z) = F aufserhalb der Erde liegt, ist, 
wie schon § 12 S. 14 bemerkt, dieser Ausdruck ein bestimmter Wert. 
Liegt jedoch P^ innerhalb der Erde (d. i. der gerade für uns wich- 
tigste Fall), so wird der Ausdruck (2) unbrauchbar. Er zerfallt nämlich 
alsdann in die Differenz zweier Integrale, die wegen der Integral- 



*) Auf grund der Potentialtheorie wurden die Eigenschaften der Niveau- 
flächen klargestellt in den beiden Abhandlungen von H, Bm/ns: „Über einen 
Satz der Potentialtheorie" Grelles Journal 1876, Bd. 81, S. 849 u. ff. und „Die 
Figur der Erde" Publikation des königl. preufs. geodät. Instituts, 1878. Welches 
die Erfahrungen sind, zufolge deren die NiTeauflächen der physischen Erdober- 
fläche sich als geschlossen und nahezu kugelförmig ergeben, wird jedoch nicht 
erörtert, jedenfalls weil für die betreffende Abhandlung die Untersuchung anderer 
Fragen in den Vordergrund zu treten hatte. 

2* 



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20 1* Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

grenze e gleich null beide unendlich grofs werden, wovon, man sich 
für den Fall einer homogenen, P konzentrisch umschliefeenden Kugel 
leicht überzeugen kann. Ausdruck (2) läfst somit in diesem Falle den 
Wert des zweiten DiflFerentialquotienten nicht erkennen. 

Um nun zu einem auch für innere Punkte brauchbaren Aus- 

druck zu gelangen, bringen wir zunächst den Ausdruck für -^-t-, d.i. 
nach (2) § 10 S. 13: 

dv 



Uij^^ dm (3) 



dx 

in eine andere Gestalt. 

Es ist hierbei darauf aufmerksam zu machen, dafs man bei (3), 
wie bei Bildung von F, an die spezielle, § 4 S. 5 eingeführte Lage 
der rechtwinkeligen Koordinatenaxen nicht gebunden ist; nur für W- 
mufs diese Lage wegen des Potentials der Zentrifugalkraft festge- 
halten werden, wenn der Ausdruck (1) § 9 S. 11 bestehen bleiben soll. 

§ 16. Transformation der Ausdr&cke für die ersten Diffe- 
rentialquotienten von F.*) Wir betrachten zunächst einen Körper, 
in welchem erstens die Dichtigkeit der Masse eine stetige Funktion 
des Ortes ist und zweitens die ersten Diflferentialquotienten der Dichtig- 
keit nach den Koordinaten endlich und stetig sind. Wir nennen 
seine Potentialfunktion der Anziehung v, beziehen ihn auf ein recht- 
winkeliges Axensystem und bezeichnen die Koordinaten des ange- 
zogenen Punktes P' wie früher mit a;', y und z, diejenigen eines 
Massenelementes des Körpers aber mit x^y und z. Indem wir unter An- 
nahme der Dichtigkeit ® im Punkte (o:, y, z) somit dm ^=^ ® dx dy dz 
zu setzen haben, wird nach (3) des vorigen Paragraphen mit Rück- 
sicht auf die Schlufsbemerkung daselbst: 



dx' 



= ^2 rrr±_?L ® dx dy dz . (1) 

Aus ^2 = (o; — xy + (y — yy + (^ — z)'^ folgt aber 



(t) 



X — X 



dx «3 ; 

womit sich (1) auf folgende Form bringen läfst: 



dx' 



-k^j'fdydzJ&Adä.. (2) 



Um das hierin auftretende Integral nach x umzuformen, beachten 
wir, dafs 



♦) L^ewne-DiriMet, Vorlesungen; S. 19—24. 



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§ 1 6. Transformation der Ausdrücke für die ersten Differentialquotienten von F. 2 L 



mithin 



dx 



7 ;if^ ^ ^ 



dx 



dx 



Ml) 



-ß'-W^'-A 



de 



dx + 



«1 



(3) 



p ^2 

dx **'*' J e dx **'*' ^^ "^^ «1 *** «1 ' 

Hierin bedeutet 2 ein Summenzeichen und es beziehen sich die In- 
dices 1 und 2 auf diejenigen Punkte, in welchen eine Parallele zur 
or-Axe, entlang welcher bei konstantem Wert von y und z integriert 
wird; die Oberfläche bezw. beim Eintritt und Austritt {x wachsend 
gedacht) schneidet. 

Die Formel (3) gilt unzweifelhaft, sobald @ und — , sowie ihre 

ersten Differentialquotienten endlich imd stetig sind. Für ® und seine 
ersten Differentialquotienten sind diese Eigenschaften nach der Voraus- 
setzung vorhanden; für — sind sie es, sobald e > null ist Ohne 

weiteres ist sonach (3) nur gültig für Lagen von P' aufserhalb des 
Körpers. 

Liegt P' innerhalb, so schliefsen wir, um (3) zweifellos anwenden 
zu können, die Masse innerhalb einer zu P' konzentrischen Kugel- 
fläche vom Radius b aus. Trifft die Parallele zur o: Axe^ entlang 
welcher integriert wird, diese Kugelfläche, so tritt zu (3) rechter 
Hand noch das Gliederpaar 






(3*) 



worin die Indices 1' und 2^ sich auf den Eintritts- und Austrittspunkt 
für die Kugelfläche beziehen. 

Es sei nun v ^=^ v^'\- v^ und zwar t;, die Potentialfunktion der 



Anziehung für die äufsere Masse, v^ diejenige für die Kugel b. 
folgt aus (2), (3) und (3*): 



Dann 



dVj 

dx 



dx dy dz 



ohne 9 



(4) 



Das dreifache Litegral erstreckt sich über die äufsere Masse, was durch 
die Bemerkung ^ohne £*^ angedeutet ist; die Doppelintegrale betreffen 
beziehungsweise die äufsere Masse und die Kugel. Diese beiden In- 
tegrale sind Oberflächenintegrale, welche wir jetzt umwandeln. 

Bezeichnen wir mit ds ein Oberflächenelement, dessen nach 
aufsen gerichtete Normale mit der x-Axe den Winkel a einschlieüst, 
so wird (^y (^z a» + ds cos a , je nachdem cos a positiv oder negativ 



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22 



1. Kapitel. Allgemeine Eigensohaften der Niveauflächen. 



ist. Denkt mao sich nun zunächst eine Parallele zur x-Axe, welche 
die Oberfläche des Körpers berührt, so ist cos a = null; rückt die 
Parallele alsdann in den Körper herein^ so erkennt man leicht, dais 
für alle Indices 1 (Ein ^ittspunkte) cosa negativ wird, für alle In- 
dices 2 (Austrittspunkte) aber positiv. Mithin können wir im zweiten 

Integral sowohl für — ^ dy dz , als auch für dy dz setzen 

ds coBa\ die Integration erstreckt sich sodann über die ganze 

Oberfläche. 

Ganz ähnlich wird es mit dem dritten Integral, bei welchem wir 
a aber auf die nach P' gewichtete Normale beziehen wollen, sodafs 
cos« für Eintrittsstellen positiv, für Austrittsstellen negativ wird. 

Wenn wir nun in (4) noch beiderseits ^ addieren und das erste 

Integral über den ganzen Raum des Körpers ausdehnen, zur Richtig- 
stellung aber ein ebensolches Integral für die Kugel abziehen, so 
erhalten wir: 

^— dx dy dz 

Kugel 



dx 



Kugel 
Körperoberft, Ku 



Kugeloberß. 
S COS a 



ds 



+ 



dx 



(5) 



Wir gehen nun dazu über, a verschwinden zu lassen. Im zweiten 
Integral von (5) setzen wir für dx dy dz wie in % 9 ^, \\ e^ de da 

dB 

und für -^— den vorkommenden Maximalwert, den wir seinem abso- 
-ö— ) bezeichnen. Dann ist 

VX /max 
KugH 



d. i. 



= \dx /n 



was für s gleich null verschwindet. 

Im vierten Integral von (5) setzen wir ds ^=» e^da ^ nehmen für 
cos a den Maximalwert 1 und für & den Maximalwert Smax; dann 
folgt der absolute Wert von 



-/ 



Kugeloberß. 
S cos a 



dsK^nk^ ®„ 



was f ür « c= null ebenfalls verschwindet 



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§ 16. Transformation der Ausdrücke f. d. ersten Differentialquotienten von F. 23 

■4^ verschwindet für 6 = null nach § 10 S. 13 aber auch. Mithin 
wird endlich anstatt (5) erhalten: 

Hierin bezieht sich das erste Integral auf den ganzen Raum des 
Körpers und das zweite auf seine Oberfläche. Es ist, wie man leicht 
erkennt; dasselbe Resultat; als ob bei der Entwicklung auf die Lage 
von iP' im Innern des Korpers keine Rücksicht genommen wäre. Jedoch 
ist dann (6) nur für äufsere Lagen bewiesen. 

Es gilt aber auch für Lagen von P' auf der Oberfläche des 
Korpers. In diesem Falle tritt nur in* der Entwicklung an Stelle 
der Kugel ein Teil derselben, welcher von einem Stück Körper- und 
einem Stück Kugeloberfläche begrenzt wird. In (5) ist nun das zweite 
Integral über diesen Kugelteil, das dritte über die äufsere Ober- 
fläche ohne den von der Kugel herausgeschnittenen Teil und das 
vierte über den innerhalb des Korpers liegenden Teil der Kugelfläche 
zu erstrecken. Man gelangt ohne Mühe wieder zu (6), wenn noch 
beachtet wird, dafs derjenige Teil des Oberflächenintegrals in (6), 
welcher von der Kugel in der Umgebung von P" ausgeschnitten wird, 
für s = null verschwindet, wie man mit Rücksicht darauf ersieht, 
dafs dem Oberflächenelement ds in der betreffenden Umgebung von P' 
die Form e de di; gegeben werden kann, wobei dtf; einer Drehung 
von e auf der Oberfläche entspricht. 

Kehren wir nun zur Erde zurück, auf welche sich V bezieht. 
Dieselbe denken wir uns aus Teilen zusammengesetzt, innerhalb deren 
die Dichtigkeit sich stetig ändert und die sämtlichen Differential- 
quotienten der Dichtigkeit endlich und stetig sind. V setzt sich nun 

OTT 

ebenfalls aus den v der einzelnen Teile zusammen, ebenso -^-7- aus 
den -1^ . Bildet man, indem man für -|^ die Formel (6) anwendet, 

die Summe der Raumintegrale, so kann man sie in ein einziges In- 
tegral wie das erste in (6), ausgedehnt über die ganze Erde, zusammen- 
ziehen ; nur ist bei der Integration auf die Unstetigkeitsflächen von ® 
zu achten. Bildet man die Summe der Oberflächenintegrale; so er- 
kennt maU; dafs sich die Bestandteile derselben für die Grenzflächen 
je zweier benachbarter Teile wegen entgegengesetzter Richtung der 
Normale zu einem Integral zusammensetzen, welches von der sprung- 
weisen Änderung z/@ der Dichtigkeit in derjenigen Richtung der 
Normale abhängt, auf welche sich der Winkel a bezieht. Es bleibt 
dann noch das Oberflächenintegral (6) für die Oberfläche der ganzen 
Erde, für welches man ebenso wie für die Unstetigkeitsflächen ein 
/I& einführen kann, welches gleich — @ in der Oberffilche ist, falls 
die Normale wie bisher nach aufsen gezogen wird. 



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24 1- Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveanflächen. 

Formel (6) können wir sonach, wenn nur für — ® gesetzt wird jd0, 
auf die ganze Erde bei beliebiger Lage von P" anwenden, und zwar 
offenbar nicht nur für die Ableitung von V nach x', sondern auch für 
diejenigen nach y und z\ 

Sind a, ß und y bezw. mit der Axe der x^ y und z die Winkel 
der Normalen der Oberfläche und der Unstetigkeitsflächen der Dichtig- 
keit; ist ferner /ü^ die Änderung der Dichtigkeit bei Durchkreuzung 
der Oberfläche bezw. der Unstetigkeitsflächen in Richtung der Normale, 
so wird: 

V - ^'j'fA ^ "» '' "' + *'/^^ "' 

w - ''ISA 4f "^ ^' '- + n/"-^^ "' <" 

4? - "///t 41- "- «» *^ + *'/^^ *»■ 

Hierin sind die ßaumintegrale über die ganze Erde, die Flächen- 
integrale über ihre Oberfläche und die Unstetigkeitsflächen der Dichtig- 
keit auszudehnen. 

§ 17. Die zweiten und höheren DiflFerentialqnotienten von 
fV haben bestimmte endliche Werte und ändern sich stetig^ 
solange der Punkt P' sich nicht an einer Stelle^ in welcher 
die Dichtigkeit ® Singularitäten hat^ befindet. 

Wir denken uns wieder, wie am Schlüsse des. vorigen Para- 
graphen, die Erde in Abteilungen zerlegt, innerhalb deren die Dichtig- 
keit und alle beliebig hohen DiflFerentialquotienten derselben endlich 
und stetig sind. 

Die Ausdrücke (7) des vorigen Paragraphen können dann sicher 
Anwendung finden und sie lassen sich zunächst' jedenfalls einmal 
diflFerenzieren, solange P^ sich nicht in einer Grenzfläche der Ab- 
teilungen befindet. Denn die Flächenintegrale lassen sich beliebig oft 
differenzieren, sobald e für keinen Flächenpunkt null wird, weil dann 

die Diflferentialquotienten von — unter dem Integralzeichen alle end- 
lich und stetig sind (vergl. § 12 S. 14). 

Die Raumintegrale der Ausdrücke (7) lassen sich aber unmittelbar 
jedenfalls einmal differenzieren, da sie nichts anderes als Potential- 
funktionen der Anziehung, die sich nach § 10 S. 13 differenzieren 
lassen, vorstellen, wobei nur die Dichtigkeit nicht 0, sondern der 
betreffende erste Differentialquotient von ® ist, welcher aber die 
wesentliche Eigenschaft, endlich zu sein, mit ® teilt. 

Es ist nun leicht zu erkennen, dafs jetzt auch abermals differen- 
ziert werden kann. Denn die ersten Differentialquotienten jedes der 
Raumintegrale lassen sich nach den Formeln (7) wieder als Aggre- 
gate von Raumintegralen und Flächenintegralen darstellen, wobei 



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§. 18. Die zweiten DifPerentialquotienteii von V in Singularitätsstellen. 25 

nur an Stelle von ® der betreffende Differentialquotient von ® tritt 
— ü. 8. f. 

Leuchtet auf diese Weise ein, dals alle Differentialquotienten 
von V bestimmte endliche Werte haben müssen, welcher Ordnung 
sie auch angehören^ so ist nun, wie schon § 12 S. 14 in einem ähn- 
lichen Fall bemerkt, die weitere Folge hiervon die Stetigkeit der 
Differentialquotienten. 

Dieselben Eigenschaften wie die Differentialquotienten von V 
haben auch diejenigen von W, weil der von der Zentrifugalkraft her- 
rührende Teil von W zu den zweiten und höheren Differentialquoti- 
enten von V nur konstante Beiträge oder null hinzufügt. 

Hiermit ist der an die Spitze des Paragraphen gestellte Satz für 
jeden Differentialquotienten von angebbar hoher Ordnung bewiesen. 

Das Vorstehende läfst unentschieden^ wie sich die Differential- 
quotienten beim Durchgänge von P' durch die Singularilätsstellen 
der Dichtigkeit gestalten. Aus der im Folgenden für die zweiten 
Differentialquotienten angestellten Untersuchung wird hervorgehen, 
dais sie sich dabei unstetig ändern. 

§ 18. Die zweiten DiflFerentialquotienten von V beim Durch- 
gänge von P' durch Singularitätsstellen der Dichtigkeit. 

Die zweiten Differentialquotienten von V und damit diejenigen 
von fF würden auch hier mit stetig veränderlicher Lage von P' be- 
stimmte endliche Werte in stetiger Änderung durchlaufen, wenn nicht 
die Flächenintegrale der Ausdrücke (7) des § 16 S. 24 für e — null 
unendlich werdende Elemente erhielten. Nehmen wir nun an, dafs 
an der Stelle Pq der Punkt P" eine Fläche durchdringt, in welcher 
Singularitäten von & auftreten und die wir kurz Grenzfläche nennen. 
Es hängt dann der Ausnahmezustand der zweiten Differentialquoti- 
enten nur von demjenigen Teile der Flächenintegrale ab, welcher 
sich auf die Umgebung von P^ bezieht. Wir haben also nur diese 
ins Auge zu fassen; dabei ist die Begrenzung der Umgebung will- 
kürlich. 

Die Betrachtung würde sehr einfach werden, wenn wir diese 
Umgebung als eben voraussetzen wollten. Indessen erscheint viel- 
leicht die Berechtigung zu dieser Voraussetzung zweifelhaft, obgleich 
man es bei der Zerlegung der Erde in Abteilungen von stetig verlaufen- 
der Dichtigkeit jedenfalls nur mit einer Annäherung zu thun hat. 
Wir stellen daher eine Untersuchung an die Spitze, wobei die Grenz- 
fläche gekrümmt vorausgesetzt wird, ohne dafs in dieser Krümmung 
Singularitäten auftreten, was vollkommen den Verhältnissen genügt. *) 



*) Im wesentlichen nach ,, Bernhard Eienumn, Schwere, Elektricität und 
Magnetismue. Nach den Vorlesungen bearbeitet von Karl Eattendorff. Hannover 
1876." S. 52—56. 



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26 1* Ki^itel. Allgemeine Eigenschaften der Niveanflächen. 

Am Schlüsse des § 19 geben wir aber auch noch die Ableitung des 
Resultates unter der vereinfachenden Voraussetzung der Ebenheit. 

Den Punkt P^ nehmen wir als Anfang der Koordinaten a, by c 
eines rechtwinkeligen Axensystems und legen die a-Axe in die Nor- 
male der Grenzfläche an der Stelle P^] die ^c- Ebene ist alsdann 
Tangentialebene. In derselben denken wir uns Polarkoordinaten nach 
den Formeln 

harnt cos if c '^ t ainif (1) 

eingeführt. Dementsprechend ist zu setzen für die Projektion des 

Flächenelementes ds auf die bc-l&hene der Ausdruck t di d^. Es 
ist daher 

cos ads^=>i dt dtl) f (2) 

wenn wir mit a^ ß und y wieder die Neigungswinkel der Normale 
des Flächenelements bezw. gegen die a-y b- und c-Axe bezeichnen. 
Zugleich bemerken wir, dafs d®^ nunmehr bezeichnet den Sprung 
in ® bei Überschreitung der Grenzfläche an der Stelle P^ in Rich- 
tung der positiven a-Axe. 

Denken wir uns nun V auf die Axen der a, bj c bezogen und 
bedeuten femer a\ b' und c' die Koordinaten von P^ so kommt es 
an auf die Untersuchung von (vergl. § 16 (7) S. 24): 

k^f^^-^^^ds als Teil von 1^ 
Je da 

m r^OcoBß , dy_ (3) 



''ß 



»* f} v }) -^ 



wobei die Integration über die Umgebung von P^ auszudehnen ist. 
Zunächst untersuchen wir den Differentialquotieuten des ersten 
Ausdrucks^ genommen nach dy also 

^-^^-^ ^Ö cos a ds als Teil von -^-t^ • (4) 

Das hierin auftretende Integral heifse /t Mit Rücksicht auf (2) wird, 
wenn T der Wert von / für den Rand der in betracht gezogenen 
Umgebung von P^ ist: 

%n T 

"' ^®tdt . (5) 



"ß 



■ht 



Hierbei ist zu beachten, dafs ^ und t zwei von einander unabhängige 
Variable sind, welche a nach Mafsgabe der Gleichung der Grenz- 
fläche bestimmen. Femer ist unter Annahme von b' = c ^=^ null: 

e?^ = /2 + («-«')'. (6) 

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§ 18. Die zweiten DifferentialquotieDten von V m Singularitäisstellen. 27 
Durch Differentiation nach t und Division mit ^ fo]gt hieraus: 



de 

dt 



äi=Ui + -^-^' 



c» 



- -8t ^* 



und wegen 



dt 



a) 



/ 



J&tdl' 



dt 



-ä&%ät 



J^a-ä 



hieraus weiter: 



e» J c3 dt J ^ -/"- ^^ 

Das zweite Integral rechter Hand wandeln wir durch partielle 
Integration um. Es ist 

dt 



dt 
hiermit wird 



= {a — a)je 



T 






I (a — a) dG \ _ j (g — g) z^e | 






g — « a^O 



dt 



(8) 



Diese Transformation ist sicher zulässig, wenn {a — a), ^& und 
— nebst ihren ersten Differentialquotienten nach t innerhalb der In- 
tegrationsgrenzen endlich und mit / stetig veränderlich sind. Für 
a — ^ ist diese Bedingung durch Einschränkung der Umgebung sicher 
erfQllbar, wenn die Fläche in der Umgebung von P^ stetig gebogen 
ist J® ist als Unterschied zweier endlichen und stetigen Funktionen 
& auf jeder Grenzfläche endlich und stetig. Dasselbe gilt für seine 

ersten Differentialquotienten. — mit seinen Differentialquotienten ist 

endlich und stetig, solange P' nicht nach P^^ selbst fällt. 

Die Formel (8) führen wir in (7) ein. In den Integralen tritt 

dabei eine Vereinfachung ein, da die beiden, -^ enthaltenden In- 
tegrale, auf den Nenner e^ gebracht, sich wegen (6) zusammenziehen 
lassen. Wir erhalten: 

{A - gO JBj^ 



J 






E 



T 



+/-^-^-"'"+/^«Jf'" 



wenn für ^ = T bezeichnet werden a, e und jd® mit A, E und ^0^ und 
wenn ferner berücksichtigt wird, dals für / -= null a ^^e ist, falls P^ auf 
der positiven a- Axe liegt, dafs dagegen — ö' =» ^ ist, falls P^ auf der 
negativen a-Axe liegt. Das obere Zeichen in vorstehender Formel, 



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28 



1. Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 



far welche .P' nun jedenfalls in der Normale von Pq gedacht ist; gilt 
für a positiv, das untere für a negativ. 

Führen wir die zuletzt erhaltene Formel in (5) ein, so wird 



+ 27t J% 



a' poi, 
a' neg. 



2n 



iA-a)je^ 



E 



dtl; 



+.hJ'^-if'" 

I) 

in T 



da 
dt 



(9) 



§ 19. Fortsetzung: -f-Tj- Wir können nunmehr untersuchen, 

wie sich der von der Umgebung von Pq abhängende Teil von d^V : da^ 
beim Durchgange von P' durch jP^ verhält. Nach (4) und (5) des vorigen 
Paragraphen ist k^ J dieser Teil. Betrachten wir vorerst die drei 
Integrale in (9), so zeigt sich, dafs sie sich bei Verschiebungen von 
P' in der a-Aze, auch durch P^ hindurch, stetig ändern. 

Bei dem ersten Integral ist dies sofort ersichtlich, da a' und -^ 

endlich sind und sich mit ä stetig ändern. 

Bei dem zweiten Integral ist dasselbe der Fall, insoweit wir nicht 
von null bis T, sondern von r bis T integrieren, wobei r kleiner als 

^ ab- 



T ist, aber nicht null genommen werden darf. Da aber 

solut genommen < 1 ist, so ist der absolute Wert des verbleibenden 
Restes des zweiten Integrals, nämlich 

%_n r 






dil> 



dt 



dt, 



(1) 



kleiner als der absolute Wert desjenigen Doppelintegrals, welches 



wir erhalten, wenn 



gleich 1 und für 



sein gröfster ab- 



e ° dt 

soluter Wert im lotegrationsbereich gesetzt wird, also kleiner als 
der absolute Wert von 

2/r 



dt 



2/r r 

-) . I dtl dt 

/tnax J ^ 



oder 



^"(^). 



(!•) 



Diese Formel zeigt, dafs die unendlich nahe Umgebung von P^ 
nur unendlich wenig zu dem zweiten Integral in (9) beiträgt. Mit- 



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§ 19. Die zweiten Differentialquotienten Ton V in Singalaritätsdtellen. 20 

hin kann diese Umgebung bei einer Verschiebung von P\ auch durch 
Pq hindurch, insoweit das zweite Integral von (9) in betracht kommt, 
nichts Endliches beitragen. 

Bei dem dritten Integral von (9) integrieren wir auch von null 
bis r und von r bis T; der letztere Teil ist dann unzweifelhaft auch 
bei Durchdringung der Grenzfläche in Pq stetig veränderlich. Das 

Verhalten des ersten Teiles hängt ab von -^^ • Wir haben bereits 

angenommen^ da& die Grenzfläche an der Stelle Pq eine bestimmte 
Normale hat und überhaupt in der Umgebung von P^ von / = 
bis T stetig gekrümmt ist. Dann können wir setzen 

-ff-/*', (2). 

wenn fi den zweiten Differentialquotienten von a nach t für eine 
nicht näher bekannte^ im Intervall / »» bis r gelegene Stelle be- 
zeichnet, fi ist ein endlicher Wert, wenn das Erümmungsmafs der 
Grenzfläche innerhalb des Integrationsgebiets nirgends unendlich grofs 
wird (Bd. 1, S. 59, § 15). Sollte letzteres doch der Fall sein, so 
kann die betreffende Stelle durch Verkleinerung von r ausgeschlossen 
werden mit Ausnahme des Falles, dafs Pq selbst ein unendlich grofses 
Krümmungsmafs hat. Diesen Fall; der ja nur ein Ausnahmefall sein 
kann, betrachten wir nicht weiter.*) ■ 

Die nächste Umgebung von Pq liefert zu dem dritten Integral 
von (9) unter Annahme von (2) den Beitrag 

2n r 

Wr^Ofi'^^/. (3) 



/^ 






Nun ißt / < ^. Setzen wir jetzt für fi : e^ die Einheit, für J@ den 
Maximalwert im Integrationsbezirk, ebenso für f» den Maximalwert 
in den verschiedene^ Richtungen, so erhalten wir zu viel. Der Bei- 
trag ist somit absolut genommen kleiner als der absolute Wert von 

2nr(jlJ&)ma:,. (3*) 

Die unendlich nahe Umgebung tiBgt somit nur unendlich wenig bei, 
insoweit das dritte Integral in betracht kommt. 

Wenn nun P' unendlich nahe an Pq auf der negativen Seite der 
a-Axe (der Grenzflächennormale) liegt und durch Pq hindurch nach 
einem der Grenzfläche uneudlich nahen Punkte der positiven Seite 

geht, so beträgt die Änderung von -^-r^ wegen der drei Integrale 

*) Vergl. übrigens „C. F, Gauss, Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die 
im verkehrten YerhlSltnisse des Quadrats der Entfemang wirkenden Anziehongs- 
nnd Abstofsüngskräfte. Art. 15 and 16. Leip2ig 1840.** (Oauss* Werke, Bd. 5.) 



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30 1- Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der NiTeauflächen. 

in (9) nur unendlich wenig, dagegen wegen des ersten Teiles von (9) 
— ^%k^ jJ&Q y wobei J@q die entsprechende Dichtigkeitsänderung ist. 
Wir haben hierin die Änderung des durch (4) S. 26 gegebenen Teiles 

von -^^ • Die andern Teile von -^-^ ändern sich stetig und also im 
betrachteteu Falle unendlich wenig. 

Daher ist also die Änderung von -^»^ bei dem normalen Durch- 
gange durch eine Grenzfläche an einer Stelle P^^ wo plötzlich die 
Dichtigkeit um ^S^ sich ändert^ wenn in der Umgebung dieses Punktes 
die Grenzfläche stetig gekrümmt ist und ein endliches Krümmungsmafs 
besitzt; gleich 

^|^--4«A:»^®o. (4) 

Nehmen wir innerhalb der Integ^tionsgrenzen die Grenzfläche als eben 
und die Gröfse J9 konstant an, so giebt (4) S. 26: 



d. i. 






worin die Yc^ immer positiv zn nehmen ist. Ist a unendlich klein, so 
verschwindet der erste Teil, es bleibt nur der zweite, welcher gleich — 1 
ist für positives a , -|- 1 für negatives a , und man gelangt wieder zu dem 
Resultat (4). 

Da man nun, um im allgemeinen die Voraassetzungen plausibel er- 
scheinen zu lassen, sich T unendlich klein zu denken hat, so ist in den 
Schriften, welche vorstehende kurze Darstellungsweise acceptieren, hervor- 
gehoben, man müsse sich a immer im Verhältnisse zu T unendlich klein 
denken (also unendlich klein^zweiter Ordnimg). Die Darstellung des § 18 
und § 19 vermeidet eine solche Vorstellung und die Zweifel, die mit jener 
verknüpft sind. 

§ 20. Die übrigen zweiten Diflferentialquotienten erleiden 
bei dem normalen Durchgange durch eine Grenzfläche keinen Sprung. 
Hierzu betrachten wir zwei charakteristische Beispiele: 

^' f-^— ^® cos ß ds als Teil von -^^ (1) 

J e^ '^ da db 



und 



*'/■ 



b-b' ^«_«^. d*r 



je cos ßds „ „ „ -j^, (2) 

die Integration bezogen auf die Umgebung von P^. 

Würden wir voraussetzen; dafs innerhalb derselben die Grenz- 
fläche als eben anzusehen sei, so wäre cos ß «> null und es würde 
mithin ein Sprung in den betreffenden Differentialquotienten beim 
Durchgange von P' durch Pq hindurch nicht entstehen. Dasselbe 
Resultat ist indessen auch leicht zu erzielen, wenn wir die Grenz- 
fläche gekrümmt annehmen. 



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§ 20. Die zweiten Differentialquotienten von V in Sin^laritätsstellen. 31 

Auf den Ausdruck (1) ist nämlich die betreffende Entwicklung 
der Paragraphen 18 und 19 sofort anwendbar, wenn man für jd& 
setzt ^0 sec a cos ß. Da cos ß im Punkte Pq in null übergeht, so 
tritt in (4) des vorigen Paragraphen an Stelle von ^@f^ null und es 
ergiebt sich beim normalen Durchgange durch Pq die Änderung 

Ebenso ist (3) 

Betrachten wir das in (2) auftretende Integral, welches wir /' 
nennen wollen, so wird zunächst durch Substitution von / dt dil> sec a 
für ds nach S. 26 § 18 (2) erhalten: 



'-M' 



^ 



J@ sec a cos ß t di . (4) 



Hierbei haben wir nun noch zu beachten, dais b' «a null ist, wenn 
wir wieder festsetzen, dals P' auf der a-Axe liegt. Mit Bücksicht 
auf eine bekannte Relation der analytischen Geometrie, wonach 

da 

cos p = — 



v^+{r.)'+m' 



wird, können wir ferner annehmeu, dafs 

cosß = Xt (5) 

sei, wenn A einen endlichen, von ^ und t abhängenden Wert be- 
zeichnet. Denn wegen der vorausgesetzten stetigen Krümmung und 
des endlichen Erümmungsmafses der Grenzfläche in der gehörig ein- 
geschränkten UmgebuDg von Pq ist 

-||- = Aj /^ -|- AjC «= (Aj cos ^ + Aj sin ^) . ^ , 

wobei A] und Aj zweite Differentialquotienten von a nach b und c 
für eine nicht näher bekannte, im Integrationsbereiche gelegene Stelle 
bedeuten. Diese Relation aber führt an der Hand des allgemeinen 
Ausdrucks für cos ß leicht zu (5). 
Es wird nun 

in T 

r = /cos^ d^i A A0 sec cc^dt , (6) 

U 

Nehmen wir das innere Integral nur von r > null bis 7', so ändert 
sich der entsprechende Teil von J bei Verschiebung von P' stetig, 
auch wenn dieselbe P' durch Pq hindurchführt. Um zu erkennen, 
welchen Einflufs derjenige Teil von J' hat, welcher bei der Integration 
von t «» null bis r entsteht, beachten wir, dafs i < e ist. Setzen 



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32 1* Kapitel. Allgemeine Eigenschafken der Niveauflächen. 

wir nun fflr fi : e^ und für cos ^ die Einheit, sowie für A z/0 sec a 
seinen gröfsten absoluten Wert {X ^® sec cc)ma» innerhalb des In- 
tegrationsbereiches, so wird der absolute Wert des betreffenden Teiles 
von /' kleiner als 

27cr {l ^0 sec a)max' i^) 

Hieraus ist ersichtlich, dafs die unendlich nahe Umgebung von Pq 
zu /' nur unendlich wenig beiträ^ und wir haben somit bei nor- 
malem Durchgange durch Pq die Änderung 

und ebenso ist (8) 

§ 21. Transformation der Koordinaten; Diflferentialgleichung 

für V und W. Haben wir irgend ein rechtwinkeliges Axensystem, 
dessen u-Axe mit den Axen a, b, c be^w. die Winkel A, ^, v bildet, 
so ist 

dv ^dF_ da^. dv db' , dF de 

~du "^ da du ■" db*' du ■" de du > 

insofern wir uns das V des Punktes P' als Funktion von a', b' und 
c gegeben denken. Differenzieren wir abermals nach w, so folgt 

a«F a*F /aa'\2 , a«F /a6'\2 , d^v /dc\^ 
dü'^~ 



__^^ /aa'\2 , _a«F (db'\^ d^(dc\2 
da^ Vätt^/ "*" ob'* \du) "♦" dc^ \du) 

i" aa aft' au du ' aa ac au ^w 
a«F a&' ac 



+ 2 



db' de du du 



Mit Rücksicht auf die Ergebnisse des § 20 verschwindet alles 
bis aufs erste Glied, wenn wir uns die Differenz der vorstehenden 
Gleichung für beide Seiten einer Grenzfläche gebildet denken, und 
es entsteht also beim normalen Durchgange durch dieselbe in a^ F : du'^ 
ein Sprung 

^ 1^ = - *^^' ^®o cos' ^ , (1) 

wobei berücksichtigt ist, dafs einer Verschiebung des Punktes P' in 
der ti-Axe um du entsprechen die Änderungen: 

aw'cosA = aa, at/'cos/t = ay, du cos v = de . (2) 

In gleicher Weise findet sich eine der Gleichung (1) entsprechende 
Formel für jede der beiden andern Axenrichtungen, die mit der t^- Axe 
kombiniert sind, nur ist für X der betreffende Neigungswinkel zur 
a-Axe, der Grenzflächennormale, zu setzen. Sind z. B. die drei Axen 
die früher benutzten der o:, y, z und sind a, ß, y bezw. die Winkel 
der Grenzflächennormale mit diesen drei Axen, so wird 



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§21. TranBformation der Koordinaten. Differentialgleichung für F und TT. 33 

A jJr = — ^nk^ J0, C082 ß (3) 

Hieraus folgt mit Rücksicht auf die bekannte Relation 

cos^ a + cos^ /} + cos^ y =» 1 , 
dais 

^Ä^^ + ^^S^ + '^W^ 4«A:»z^öo (4) 

ist. Diese Gleithung giebt zunächst den Unterschied von ^-^ + S^ 

+ -^^ zu beiden Seiten einer Grenzfläche^ ünstetigkeitsfläche der 
Dichtigkeit 

Man kann aus ihr eine andere Gleichung ableiten, wenn man 
zunächst bemerkt^ dafs aufserhalb der Erde 

ist. In Bezug auf die Potentialfunktion eines beliebigen Körpers 
heifst (5) die Gleichung von Lapiace. Aufserhalb der Elrde können 
wir setzen, vergl. S. 19 § 15 (1): 1 

d'W r^^ + sjx-^xy dm , . 

a«' 



woraus folgt 



d'W ., r-e« + 8(y--y)« dm . . 

'W^'^'^J e» e« ^ 

a« TF , a» TF , a« TF o , ff.. 



Läfst man cd weg, so geht W in V und (6) in (5) über; folglich gilt 
(5) aufserhalb. 

Nehmen wir in (4) die Oberfläche als Grenzfläche und treten 
Ton aufsen nach innen ein, so ist dS^ = ® in der Oberfläche, und 
die Addition von (4) und (5) giebt 

J^ + W^ + W^ 4«F@. (7) 

Of TT /)* F ^* F 

Diese Gleichung giebt den Wert von -^— rj- + -|--rj- + -|-^ för einen 

der Oberfläche unendlich nahen Punkt, in dem die Dichtigkeit gleich 
S ist. Sie gilt aber auch für j^den andern Punkt, in welchem die 
Dichtigkeit regelmäfsig verläuft. Denn führt man unendlich nahe 
einem solchen einen Schnitt, der <Jie Erde in zwei Teile teilt, so ist 
in Bezug auf den einen Teil P' ein äufserer Punkt und für das be- 
Heime rt, mathem. n. phyiikaL Theorieen der hOh. Geodäsie. 3 



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34 1- Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niyeauflächen. 

treflfende V gilt (5); in Bezug auf den andern Teil gilt dann (7), 
weil in diesem Teil P^ ein innerer, der Oberfläche unendlich naher 
Punkt ist. .Es gilt daher für das totale V wieder Gleichung (7).*) 

Abgesehen von denjenigen Flächen, in welchen Singularitäten 
hat, ist daher allgemein für einen Punkt P* mit den Koordinaten 
af y y und z ^ sowie mit der Dichtigkeit &\ 






ferner wegen (6): 



-^ + -i^ + ^=-4.*'9' + 2«'. 



(8) 



Diese Differentialgleichung zeigt, dafs W nur innerhalb eines solchen 
Teiles der Erde, in welchem &' durch ein und dieselbe Funktion der 
Koordinaten darstellbar ist, einer einzigen Funktion der Koordinaten 
im gewohnlichen Sinne der Analysis (einer analytischen Funktion) 
entspricht, dafs aber bei wechselnder Funktionsform für @' auch der 
analytische Ausdruck für fF wechseln muTs. 

Kehren wir noch einmal zurück zu der eingangs dieses Para- 
graphen eingeführten u-Axe und nehmen wir an, dafs sie darch 
Drehung des Axensystems abc um die c-Axe als Endlage der a-Axe 
hervorgegangen sei. Wir haben dann ein Axensystem, dessen Ko- 
ordinatenanfang im Punkte Pq der Grenzfläche liegt, gegen welche 
zwei der Axen geneigt sind^ während die dritte, die o-Axe, dieselbe 



in Po tangiert. Differenzi 


eren wir jetzt die Identität 


nach Uy so folgt: 


dV dV 

de = dc"^ 


d'V d^V 

de du ^ de da 


da , d'V db' . d'V de' 
du • dcdb' du "T de* du 



und hieraus ergiebt sich, wenn wieder die Differenz dieser Gleichung 
für beide Seiten der Grenzfläche gebildet wird, mit Rücksicht auf die Er- 
gebnisse von § 20 bei normalem Durchgange durch eine Grenzfläche: 

Wegen des Umstandes, dafs die zweiten Differentialquotienten 
der Potentialfunktion der Zentrifugalkraft entweder konstant oder 
null sind, gelten die Formeln (1) und (9), von denen wir nun Ge- 
brauch machen werden, unmittelbar auch für fT. 

Laplace glaubte, dafs die Differentialgleichung (6) för V auch inner- 
halb des Körpers gelte, und M^. cä„ 1 1, h II, p. 136—137 zeigt, wie er 
zu dieser Ansicht gelangt ist. Er übersieht nämlich, dafs die Differentiation 
unter dem Integralzeichen an Bedingungen geknüpft ist. Erst Poissan 
fand für das Innere des Körpers ilie richtige Differentialgleichung. 

*) Gustav Kirchhoff ^ Mechanik. 2. Auflage, Leipzig 1877, S. 179 unten. 



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§ 22. Die Unsteügkeit in der Erümmang der Niveanflächen etc. 35 

§ 22. Die Unstetigkeit in der Krümmung der Niyeauflftchen 
bei dem Durchgänge derselben durch eine Unstetigkeitsstelle 
der Dichtigkeit. Wir betrachten eine Niveaufläebe zunächst inner- 
halb eines Raumes, wo die Dichtigkeit keine Singularitäten hat. Dann 
ist die Vorbedingung für die Entwicklung von W nach Taylors Satz 
in eine endliche Reihe, nämlich die Bedingung der Endlichkeit und 
Stetigkeit der Funktion fF und ihrer in betracht kommenden DiSfe- 
rentialquotienten, erfüllt. Nach diesem auf drei Variable ausgedehnteu 
Satze hat man fQr ein rechtwinkeliges, durch den Punkt P^ gelegtes 
Koordinatensystem der 6 t? g, wenn in Pq das Potential W = W^ ist: 

+ (^1.25^ + ^1.3^5 + ^2.3l?S) + Gl, . (1) 

Hierin bedeuten W^^ W^y ^3 die ersten Differentialquotienten nach 
1, 12, g, femer ^j.i, ^2.2» ^33 ^^® zweiten Differentialquotienten nach 
1, 1^, g und endlich W^,^} ^1-3» ^2-3 ^^® zweiten Differentialquotienten 
nach S und 17, | und g und 17 und g, genommen für den Koordinaten- 
anfang Pq. Der mit Gl, bezeichnete Rest der Entwicklung hat in 
Bezug auf die Koordinaten den dritten Grad ; die in diese Koordinaten- 
ausdrücke multiplizierten Differentialquotienten dritter Ordnung gelten 
aber nicht für jPq, sondern für irgend welchen, nicht näher bekannten 
Punkt der geraden Linie zwischen P^ und dem Punkt -P =(5 12 5).*) 

Die Entwicklung (1) kann inuner dadurch zu einer brauchbaren 
gemacht werden, dafs man i, rj, ^ auf ein dem Punkte Pq überall 
hinreichend nahes Gebiet beschränkt — so nahe, dafs der Re^ Gl,, 
welcher aus einer endlichen Anzahl von Produkten endlicher Gröfsen 
(der 3. Differentialquotienten) in Potenzen und Produkte 3. Grades 
Ton S, 17, S besteht, als verschwindend angesehen werden kann. 

Für die Punkte P einer durch Pq gelegten Niveaufläebe ist W 
überall gleich TFq. Hierdurch vereinfacht sich (1); noch mehr aber, 
wenn wir die Normale der Fläche zur J-Axe nehmen. Dann ver- 
schwinden fF^ und Ifj, wie die Differentiation von (1) zeigt, weil 
die beiden Differentialquotienten ^f:^| und öfi^i?, entsprechend 
der tangentialen Lage der |- und i^-Axe, für |, ly und f gleich null 
verschwinden müssen. }F, stellt nun nach § 8 (1) S. 10 die Schwer- 
kraft ff negativ genommen dar, wenn wir festsetzen, dafs die ^-Axe 
die Flächennormale in der Richtung abnehmender W angiebt. Indem 
wir unsere Betrachtung auf die Nähe der physischen Erdoberfläche 
beschränken , ist der Wert von ^ d. i. — fT^ > null und die Niveau- 
fläche daher stetig gebogen. 



*) Vergl. z. B. Hattendorff, Höhere Analysis, Bd 1, Hannover 1880. 
S. 287 und 288. 

3* 



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36 1* Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niyeaoflächen. 

Wir erhalten jetzt als Gleichung der Niveaufläche in der Um- 
gebung des Punktes Pq^ bezogen auf Pq als Eoordinateuanfang und 
die Normale als ^Axe: 

Sind aber g und t} Grofsen 1. Ordnung, so hat t hiernach die 
2. Ordnung, |g und tj^ haben die 3. und ^ die 4. Ordnung. Damit 
ist noch einfacher: 

^3? + i C^.-i S' + ff'viV') + ^.-2 In + tf/3 == 0. . (3) 

In der §i^- Ebene führen wir nun Polarkoordinaten d" und a ein 

nach den Relationen: 

g BS ^ cos a 17 s= ^ sin a . (4) 

Die Gleichung (3) giebt dann: 

f, A2 ^M c os'g + ^t '» Bin » tt + ^ ^it ainc t coB« , ^ y ,p^. 

5= ■— ^ 2 TT, ' 3- W 

Dies ist für konstantes a zugleich die Gleichung der Schnittkurve 
einer Normalebene in Pq. Ein Kreisbogen vom Radius 0a y der die 
Schnittkurve in Pq tangiert, hat die Gleichung*) d^^ = — g(2^a + f), 
woraus, wenn # eine GrÖfse l. Ordnung ist, folgt: 

t = -»'-^ + Gh- (6) 

Die Gleichungen (5) und (6) stimmen für unendlich kleine #, 

wo die 6^/3 und Gl^ gegen d'^ zu vernachlässigen sind, mit einander 

überoin für 

1 Wi.j coa'tt + W^.f Bin'« + ^ ^it »Jp« <^Qb« ^,j^ 

Diese Formel bestimmt den Krümmungsradius der durch a fixierten 
Normalebene der Niveauflfiche in Pq und zwar in dem Sinne, dafs bei 
positivem Werte von Qa der Diflerentialquotient ^3 in Bezug auf die 
wachsende Richtimg von Qa zu verstehen ist. 

Differenziert man den Ausdruck (7) für — nach a, so findet 

9a 

sich als Bedingungsgleichung des Maximums und Minimums: 

*^2ao = w;J?^, (8) 

worin wir a sogleich einen Index angehangen haben, um es von 
dem allgemeinen Symbol zu unterscheiden. Eliminiert man nun fF^,2 
aus dem Zähler rechter Hand in der auf «o angewandten Gleichung (7) 
mittelst (8), unter gleichzeitiger Einführung der trigonometrischen 
Funktionen von 2«^ für cos^a^, sin^a^ "^^ sin^Q cosa^,, so folgt: 

*) Vergl. Bd. 1 Fig. 2 S. 68. Es ist aber dort die J- Axe nach dem Mittel- 
punkt des Kreises gerichtet, während wir jetzt besser das Gegenteil annehmen. 



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§ 22. Die UüBtetigkeit in der Krümmung der Niyeauflächen etc. 37 

Diese Formel giebt die beiden extremen Werte von q für die beiden 
um 90® verschiedenen, aus (8) zu berechnenden Werte von a^. Nen- 
nen wir diese beiden Hauptkrümmungsradien q^ und ^^ ^^^, verstehen 
unter 2a„ den positiven oder negativen spitzen Winkel, den (8) er- 
giebt und setzen endlich 

p, 21F, ^ 2 TT, sec^ao, 

so wird (10) 

Hiemach besteht für das arithmetische Mittel der beiden Haupt- 
krümmungsradien , d. i. nach Bd. 1 S. 64 oben der Durchschnitts- 
wert aller — , oder der Durchschnittswert der Krummungsmafse aller 
Normalschnitte in Pq^ die Gleichung: 

femer findet sich, wenn aus l : q^ q^ mittelst (8) sec 2«^ unter Be- 
nutzung der Relation sec^ «= 1 ^ tan^ eliminiert wird, für das 
Krummungsmafs der Niveaufläche in P^ die Gleichung: 

-^ TT? ^^^> 

Die Hauptkrümmungsradien können noch dazu benutzt werden, 
um die Formel für 1 : Pa umzugestalten. IM an gelangt dann wieder 
zu Eviers Satz, vergl. Bd. 1 S. 57 (1), worin aber zur Anwendung 
auf den vorliegenden Fall Qm und ^n mit g^ und ^2 ^^ vertauschen 
sind und unter a nunmehr der Winkel zwischen den Ebenen von Q^ 
und Qa zu verstehen ist, welcher in obiger Entwicklung durch a — o^ 
bezeichnet wird. 

§ 23. Fortsetzung. Wir nehmen jetzt an, dafs durch den 
Punkt Pq der Niveaufläche eine Grenzfläche zweier Räume hindurch- 
führt, in welchen stetig verläuft, während in der Grenzfläche un- 
st'Ctig wird. Wir wissen nun bereits, dafs die Niveaufläche durch 
jene Unstetigkeitsfläche stetig gebogen hindurchgeht; aber wir werden 
an der Hand der Paragraphen 21 und 22 demnächst erkennen, dafs 
die Sarümmong bei dem Durchgange der Niveaufläche durch die Un- 
stetigkeitsfläche sich unstetig ändert. 

Infolge der stetigen Biegung können wir ohne weiteres in jedem 
der beiden Bäume für sich die Entwicklung des § 22 auf Pq und 
seine Umgebung anwenden, wenn bei Berechnung der zweiten Difle- 
rentialquotienten P^ ein Mal als Punkt des einen Raumes, ein ander 
Mal als Punkt des andern Raumes aufgefafst wird« 



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38 !• KapiteL Allgemeine Eigenschaften der Niveanflächen. 

Wird nun die i^-Axe tangential an die Unstetigkeitsflacfae gelegt 
und schliefst die ^-Axe mit der positiven Richtung der Normale dieser 
Fläche den Winkel 90** — v ein, ist also v der Neigungswinkel der 
Unstetigkeitsfläche zur Niveaufläche in Pq^ so ergeben sich nach 
§ 21 (1) und (9), indem die c- und ti-Axe daselbst jetzt als i^- und 
§- Axe genommen werden, nachstehende Änderungen beim Durchgange 
durch die Unstetigkeitsfläche nach der Seite der positiven Normale: 

z/^,., = ^ -^ 47ck^ J0O Bin'v 

^^^.2 = ^-|^ = (1) 

*^ du de 
Aufserdem ist, wie schon bemerkt, ^3 «= — ff in beiden Räumen. 
Man erhält jetzt als Sprünire in — , , ~ ( 1 \ und in 

cot2ao beim Durchgange durch P^ nach der Seite der positiven 
Normale nach § 22 (7), (8), (11) und (12) S. 36 u. 37: 

^ = i-^ COS^Cf , 

9a 9 ' 

Führt man den Wert von ^^m nach (1) ein, so folgt: 
/1 — = H z/®A sin^v cos^a 

9a ^ 9 " 

^ cot 2a„ = — 4^ J®^ sva?v . 



(2) 



Diese Formeln geben an, wie sich der reziproke Krümmungs- 
radius im Azimut a, das Krümmungsmafs, der Durchschnittswert der 
reziproken Krümmungsradien und die Cotangente der Azimute der 
Hauptschnitte (die Azimute von der zur gemeinsamen Tangente der 
Unstetigkeitsfläche und Niveaufläche rechtwinkeligen Tangente der letzte- 
ren im üblichen Drehungssinne gerechnet) ändern, wenn die Niveau- 
fläche durch eine Unstetigkeitsfläche im Neigungswinkel v hindurch- 
geht und dabei an der betreffenden Stelle die Dichtigkeit um JS^ 



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§ 23. Die Unstetigkeit in der Krümmung der Niveauflächen etc. 39 

wächst. Die Art und Weise, wie die DiflFerentialquotienten ^^.2 ^"^ 
fF,.2 zu verstehen sind, erhellt aus der zweiten und dritten Relation (1). 

Die erste der Formeln (2) zeigt, dafs die Änderung in — für ««=90® 

gleich null; für a i= 0® ein Maximum ist. Man kann daher sagen: 
Bei dem Durchgange durch eine ünsletigkeiisfläche der Dichtigkeit ändert 
sich die Kriimmung der Niveaufläche nicht in denjenigen Normalschniite, 
welcher parallel ist zur gemeinsamen Tangente beider Flächen^ dagegen 
ist die Aenderung der Krümmung ein Maximum in demjenigen Normal- 
schniite, welcher zu dieser Tangente rechtwinkelig steht. 

Um eine Vorstellung von dem Betrage dieser Änderung zu ge- 
winnen, führen wir für die Schwerkraft g einen Näherungsausdruck 
ein. Abgesehen von Gliedern mit der Abplattung und der Zentri- 
fugalkraft, kann man, wie das zweite Kapitel zeigen wird, g für die 
Erdoberfläche berechnen, als wäre die Gesamtmasse der Erde im 
Schwerpunkt vereinigt. Dieser Annäherung entsprechend betrachtet 
man dabei die physische Erdoberfläche als Eugelfläche. 

Ist ß der Radius der letzteren [vergl. Bd. 1, 8. 68, § 21 (1)], 

so ist die Erdmasse — Ä^jr0,„, wenn Sm die mittlere Dichte der Erde 
ist, welche im Vergleich zu Wasser 5,6 betrt^. Wir haben daher 

g^^7tk^0r,R, (3) 

und es ist die maximale, sprungweise Änderung in — gleich 

Eine Niveaufläche, die aus der Luft in eine senkrechte Felswand 
eintritt, erleidet für einen Normalschnitt normal zu letzterer in — 

3 1 

einen Zuwachs, der rund gleich -^-g- ist, da hier JGq etwa 2,8 = — 0^ 

beträgt. Bezeichnet man das betreffende q in der Luft mit Qa , im 
Gestein mit Qi , so hat man 

i-i+w- ■ p) 

Bei spezieller Untersuchung der Wirkung der Anziehungseffekte 
der Massen auf der physischen Erdoberfläche im vierten Kapitel 
werden wir diese Relation bestätigt finden. 

Auf die Diskontinnitäten der Krümmung aulmerksam gemacht zu haben, 
ist das Verdienst von H. Bruns. In seinen beiden, S. 19 citierten Ab- 
handlungen entwickelt er die Formeln (2) und in der Figt^ der Erde 
insbesondere auch den Ausdruck (4). Der Qang der Entwicklung ist jedoch 
ein wesentlich anderer. Namentlich wird vor allem auf grund der Dirichlet- 
schen Kriterien für F (vergl. die oben citierten Vorlesungen S. 29) nach- 
gewiesen, dafs in einem Räume, wo & regulär ist, d. h. sich innerhalb 



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40 1* Kapitel. Allgemeine Eigenschaffeen der Niveauflächen. 

endlicher Konyergenzbereiche nach Potenzen der rechtwinkeligen Koordi- 
naten entwickeln läfst, auch W reg^är ist. Wenn wir oben § 17 S. 24 ge- 
funden haben, dafs in einem solchen Räume W und seine sämtlichen 
Differentialquotienten von angebbar hoher Ordnung endlich und stetig 
sind, so ist dies für den Nachweis der Existenz einer tmendlichen Potenz- 
reihe mit endlichem Konvergenzbezirk noch nicht zureichend, wohl aber 
reicht es aus för die Krümmungsuntersuchung, bei welcher nur eine end- 
liche Taylorsche Entwicklung erforderlich wird [S. 36 § 22 (1)]. Über 
den praktischen Wert solcher Entwicklungen yergl. übrigens § 25. 

Für diejenigen Leser, welche sich för den Beweis der Regularität von W 
interessieren, bemerken wir, dafs Kirchhoff in seiner Mechanik S. 184 § 4 
y durch ein Oberflächenintegral darstellt, welches ebenfalls diesen Be- 
weis liefert, wenn man sich den reziproken Radiusvektor so entwickelt 
denkt, wie es W, Stahl in OreUes Journal 1875 Bd. 79 S. 269 und 270 o. 
angiebt. Jene Darstellung von F ist sehr einfach, wenn der Satz von 
Green bereits bekannt ist 

Sie wird aber überflüssig, sobald man eine Niveaufläche aufserhalb 
der Erde (oder falls man die Lufkmasse als unerheblich ansieht, eine Ni- 
veaufläche aufserhalb der physischen Erdoberfläche) betrachtet. Nehmen 
wir einen aufserhalb gelegenen Punkt Pq als Koordinatenanfang und ist 
P' ein anderer aufserhalb gelegener beweglicher Punkt mit den Koordinaten 
^\ y y ^1 ^r welchen V zu berechnen ist, bezeichnet man endlich mit 
x^ 1/, z die Koordinaten eines Massenelementes dm der Erde, so ist 

e« - (0? - «')• + (y - y )• + (ifi^ - ^)* 
oder . 

für r* =■ ä' + y* -f- «*. Ist nun r = PqP hinreichend klein, so kann man 
1 : e nach Potenzen des Subtrahenden unter der Wurzel entwickeln (d. h. 

nach Potenzen von — , welche Entwicklung im zweiten Kapitel eingehend 

r 
untersucht wird). Dadurch erhält man 1 : e als Potenzreihe in x\ y und z ; 
• die Integration für 

ergiebt V als ebensolche Reihe und auf demselben Gebiete gültig, nämlich 
innerhalb einer um P als Zentrum geschlagenen Kugelfläche, welche 
überall von der Erdoberfläche in mefsbarem Abstände bleibt 

§ 24 Wirkungssphäre der Unstetigkeitsstellen der Dichtig- 
keit. Nach der ersten Formel (2) des vorigen Paragraphen ist die 

sprungweise Änderung von — an einer Unstetigkeitsstelle der Dich- 

tigkeit unabhängig von den Massen, welche Ursache der Unstetigkeit 
sind. Thatsächlich jsrzeugt ein Gesteinsbrocken bei gleichem v und a 
ganz dieselben Sprünge wie ein Gebirge desselben Gesteins. Nichts- 
destoweniger besteht doch ein erheblicher Unterschied im Gesamteinfluis 
auf. die Niveaufläche^ also in der Wirkungssphäre. Wenn auch wegen 
der beiderseits der Unstetigkeitsfläche stetig verlaufenden Dichtigkeit 

die sprungweise Änderung von — schon in einiger Entfernung von 



^' ■ e 



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§ 24. Wirkungssphäre der Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit. 41 

dieser Fläche durch allmählich eintretende Änderungen vorbereitet 
werden mufs, so ist doch unmittelbar so viel klar, dafs wenigstens 
innerhalb einer ünstetigkeiten erzeugenden Masse die Wirkungssphäre 
nicht grofser sein kann als ihre Dimension entlang der betreffenden 
Niveaufläche. Aber auch aufserhalb der Masse mufs die Wirkungs- 
sphäre in Beziehung zu ihrer Gröfse stehen. Um hierin deutlicher 
zu sehen; stellen wir eine Betrachtung unter idealen einfachen Ver- 
hältnissen an^ welche aber vollkommen ausreicht. 

Indem wir von der Zentrifugalkraft und dem Luftmeere absehen, 
denken wir uns die Anziehung aufserhalb der Erde so beschaffen, als 
ob alle ihre Masse M in ihrem Schwerpunkte vereinigt wäre. Es 
wird dann das Potential 

w-^^^\^k-^e^^~ (1) 

für einen Punkt im Schwerpunktsabstand B -{- ff . Dabei ist der 
Schwerpunktsabstand der physischen Erdoberfläche gleich B ange- 
nommen, die mittlere Dichtigkeit der Erde gleich &m • Wenn nun 
W konstant gleich Wq ist, so ist auch B -^ H konstant: der Radius der 
entsprechenden kugelförmigen Niveaufläche. Zugleich erscheint die 
physische Erdoberfläche als Niveaufläche (Meeresfläche) und ff als 
Höhe darüber. 

Die Gleichung (1) wird rechter Hand einen Zuwachs erhalten, 
wenn wir uns noch eine kleine,« in roher Annäherung kugelige Masse 
m auf der physischen Erdoberfläche zugefügt denken, wobei wir an- 
nehmen wollen, dafs der Schwerpunkt von m sehr nahe der ursprüng- 
lichen Niveaufläche liegt. Ist e der Abstand eines Punktes P aufser- 
halb dieser Masse von ihrem Schwerpunkt, so ist in erster Annähe- 
rung die Potentialfunktion der Anziehung dieser Masse auf P gleich 
k^m: e und daher die Gleichung der Niveaufläche W ^=^ W^ mit der 
jetzt veränderlichen Meereshöhe ff-^h, aufserhalb der Masse m, an- 
genähert: 

f^-J«^'®^ B + E + k +^='^o- (2) 

Mit Rücksicht auf die geringe Gröfse von ff -{- h gegen R folgt 
aus der Differenz von (2) und der auf }Vq angewandten Gleichung (1) 
angenähert: 

oder (3) 



A = 4 



4 nG^Be 

Zufolge dieser Formel tritt eine merkbare Hebung h der ursprüng- 
lich vorhandenen Niveaufläche in einer Entfernung e ein, welche 
direkt proportional der wirkenden Masse m ist. Wie also auch der 



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42 1* Kapitel. Allgemeine EigenBohaften der Niyeauflächen. 

Verlauf der Krümmungsradien sein mag, eine merkbare Wirkung wird 
jedenfalls bei kleinen Massen auf einen kleineren Wirkungskreis 
als bei grofsen beschränkt sein, und zwar gilt die Regel: Die Wir- 
kungssphäre ist proportional der Masse. 

Wir können nun aber auch ermitteln, wie sich bei verschiedenen 
Massen die Entfernungen verhalten, in welchen eine gleiche Änderung 
von Q eintritt. Die Gleichung (2) zeigt, dafs die Niveaufläche eine 
Rotationsfläche in Bezug auf eine Linie durch die Schwerpunkte von m 
und der ursprünglichen Erdmasse M ist. Ein Schnitt durch diese 
Linie ist ein sogenannter Meridianschnitt der Rotationsfläche, also auch 
für alle Punkte der Schnittlinie Normalschnitt. Die Krümmungs- 
radien des Meridianschnittes interessieren aber am meisten, weil sie 
augenscheinlich durch die lotablenkende Wirkung der Masse m am 
meisten beeinflufst werden. Denken wir uns nun im Anschluß an 
§ 22 8. 36 einen Punkt P^ als Koordinatenanfang, die g-Axe in die 
Normale (nach aufsen) und die S-Axe in den Meridianschnitt (nach 
m hin) gelegt, so wird der Krümmungshalbmesser qa desselben für 
aufserhalb der Masse m befindliche Punkte aus Formel (7) 8. 36 er- 
halten, indem a <= null gesetzt wird. Also ist 

Qa = ^S' ^M . (4) 

Hierzu berechnen wir ^,,, aus (2), indem wir die Koordinaten 
eines beliebigen Punktes des Meridianschnitts mit g und {; , diejenigen des 
Schwerpunkts von m mit g, und g, und diejenigen des Schwerpunkts M 
der Erde mit |q und g^ bezeichnen, demgemäfs also in (2) einführen: 



Es folgt, wenn wir nach geschehener Differentiation | und ^ 
gleich null setzen, den Differentialquotienten also auf Pq beziehen: 

ir _/^lZ\ ^±^k2fid ^! /_1^ ^^l \ 

^'^'^KdvJo 3 ^'^ ^"^ {B + H+h)'\ ^ "T" (E'+a + W) 

+ ^^-^(-1 + ^), (6) 

wobei e^ = g,2 ^ g^2 jgt. 

Diese Formel läfst sich wesentlich vereinfachen, wenn wir uns 
auf Punkte Pq beschränken, die in der Nähe der störenden Masse 
liegen. Dann ist der Faktor der zweiten Parenthese etwa von der- 
selben Ordnung, wie derjenige der ersten Parenthese, wie man er- 
kennt, wenn man sich m als Kugel vom Radius a denkt und beachtet, 
da(s a : e nach unserer Annahme ein von 1 nicht allzu verschiedener 
Bruch sein wird. Im ersten Faktor dürfen wir den nach (3) kleinen 
Wert h gegen B -{- H vernachlässigen und ebenso das Glied mit 5o^; 



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§ 24 Wirkungssphäre der Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit. 43 

denn ^q : {B -{- H -^ h) ist nichts anderes als der Arcus der Lotab- 
lenkung in Pq, welcher nur ein kleiner Bruch sein kann. Setzen 
wir zugleich 5,^ = a^ — J,^, so folgt aus (6) in hinreichender An- 
näherung für Punkte; welche der störenden Masse nahe, jedoch 
aufserhalb derselben liegen: 



^,1 — — 3 3t/^^ @m jJir+'HY 



('- 



2 n9„,e^ 



[. - 1 n m 



Ferner findet man mit Rücksicht darauf, dafs ^q sehr nahe gleich 
— (Ä + ^ + ^) ist, ebenso genau: 

Mithin ist nach (4) 









— i (l 

B + H r 






[^-1^1 



(8) 
(9) 



Diese Formel zeigt, dafs die gleiche Änderung von 1 : Qa für vör- 
schiedene Massen in solchen Entfernungen e eintritt, für welche -^ 

gleichen Betrag hat; denn der Wert der eckigen Parenthese ist jeden- 
falls angenähert gleich 1. In Bezug auf KrOmmungsänderung ist 
sonach die Wirkungssphäre der durchschnittlichen linearen Dimension 
der Masse näherungsweise proportional — ein Resultat, welches mit 
dem an der Hand von (3) gefundenen nicht in Widerspruch steht, 
weil dort eine integrale, hier nur eine differentiale Wirkung in be- 
tracht kommt. 

Wie gering die Totalwirkung von Massen ist, die im gewohn- 
lichen Leben schon für bedeutend gelten, ersehen wir an der Wir- 
kung eines Berges von der Form eines £Ctdbus von 100"^ Seite und 

der Dichte 2,8 = y 0« . 

Aus Formel (3) folgt als Hebung h einer Niveaufläche, die nahezu 
durch den Schwerpunkt von m geht, bei ihrem Eintritte in den Kubus 
rund 0,4"»"» . h wächst im Innern noch fort bis auf nicht ganz den 
doppeltep Betrag beim Eintritt, welches Maximum natürlicherweise 
in der Mitte eintritt und dadurch hervorgerufen wird, dafs die Po- 
tentialfunktion der Anziehung des Kubus von der Oberfläche nach 
dem Zentrum des Kubus rund aufs Doppelte ansteigt. Hiervon über- 
zeugt man sich leicht, wenn man den Kubus durch eine Vertikal- 
ebene durch den Schwerpunkt in zwei kongruente Hälften teilt und 
beachtet, dafs zu dem innern Punkte die Hälften beide so nahe liegen, 
wie zu dem äuisem nur die eine. 

Trotz dieser geringen Totalwirkung erleidet q beträchtliche Ände- 
rungen. Nach (9) ist beim Eintritt in den Kubus augenähert (^^ «= — ^ 
und nach Formel (5) S. 39 springt q an dieser Stelle innerhalb auf 



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44 1* Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Niveauflächen. 

den Wert Qi = + 2ä . Diese Werte sind von der Seitenlange des 
Kubus unabhängig. Abhängig von dieser ist aber die Dauer nega- 
tiver Qa . Denn Qa springt von — oo auf + oo bei ^ = 0,63 Seiten- 
länge, im obigen Falle also bei e = 63*" . 

§ 25. Potenzreihen ftir Niveanfläehen sind anpraktikabel. 
In § 13 wurde gefunden, dals die Biegung der Niveauflächen (für 
g > null) jedenfalls stetig ist, wie auch die immer endliche Dichtig- 
keit verläuft. Folgende Paragraphen haben dagegen gezeigt, da(s die 
KrümmuDg an jeder Uustetigkeitsstelle der Dichtigkeit erheblich 
wechselt. In den Materialien der Erdkruste ändert sich nun die 
Dichtigkeit schon vielfach in sehr kleinen Räumen, so dafs faktisch 
auch die Krümmung vielfach wiederholten starken Änderungen in 
sehr kleinen Gebieten einer JNiveaufläche unterliegt; indessen hierauf 
brauchen wir nach § 24 selbst bei feinen Untersuchungen keine Rück- 
sicht zu nehmen. Denn wenn die totale Wirkung von kubischen 
Massen bis zu KX)*" Seitenlänge so gering ist, wie dort berechnet, 
dann kann man sich in der That bei den feinsten Untersuchungen 
die wirkliche Massenordnung durch eine ideale ersetzt denken, welche 
deren Unstetigkeiten von geringerer Ausdehnung innerhalb grofserer 
Räume, die in stetig gebogenen Grenzflächen aneinanderstofsen, aus- 
gleicht. Man wird immer durch ähnliche Betrachtungen wie in § 24 
überschlagen können, ob die durch die Anlage der Grenzflächen und 
durch die Interpolation der Dichtigkeit vernachlässigten, bezw. zuge- 
fügten Massen für die betreffende Untersuchung von Belang sind oder 
nicht, in welchem letzteren Falle dann der idealisierte Zustand für 
die betreffende Untersuchung ausreicht. 

• Innerhalb der einzelnen Räume sind aber nach § 17 S. 24 die 
Differentialquotienten von W endlich und stetig. Hier können wir 
daher fV nach Taylors Satz in eine Reihe nach Potenzen der Koor- 
dinatendifferenzen entwickeln (vergl. die Anm. zu § 23 S. 39). Ebenso 
können wir die Gleichung einer Niveaufläche in Reihenform bringen 
und es ist ohne weiteres ersichtlich, dafs hier auch Entwicklungen 
wie in Bd. 1 S. 573 u. ff. möglich sein werden. 

Diese Entwicklungen haben praktischen Wert aber nur dann, 
wenn sie auf wenige Glieder eingeschränkt werden dürfen. Aufserdem 
wird man solche Entwicklungen eben nur innerhalb eines Raumes 
benutzen können, für welchen die stetige Interpolation der Dichtig- 
keit gerade noch als ausreichend erscheint; denn für verschiedene 
Räume sind nach § 21 S. 34 die analytischen Ausdrücke für W ver- 
schieden, also auch die Reihen. Wir fanden nun zwar im vorigen 
Paragraphen, dafs kubische Massen bis zu 100'" Seitenlänge wenig 
Gesamtwirkung haben; dieselbe Rechnung würde aber zeigen, dafs 
mit wachsender Ausdehnung die Wirkung von Massen, welche eine sonst 
regelmäfsige Massenverteilung unterbrechen, bei feineu Untersuchungen 



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§ 25. Potenzreihen fdr NiTeaufläohen sind unpraktikabel. 45 

nicht mehr za vernachlässigen ist. Man schliefst hieraus weiter^ dafs 
für Niveauflächen im Hügelland und im Gebirge, sowie an der Meeres- 
küste Potenzreihenentwicklungen von starker Konvergenz in der Regel 
auf Gebiete von wenigen Kilometern linearer Ausdehnung beschränkt 
sein werden, selbst bei solchen Niveauflächen, die ganz in der Luft 
über die Massenunstetigkeiten hinweglaufen oder in einiger Tiefe 
unter denselben liegen. Denn wegen des Satzes (1) § 8 8. 10 nehmen 
Niveauflächen, welche in der Nähe von Massenunstetigkeiten vorbei- 
führen, an den Formveränderungen derjenigen Niveauflächen, welche 
durch letztere hindurchführen, mehr oder weniger teil. 

Niveauflächen im Flachlande werden, durch unterirdische Massen- 
unregelmäfsigkeiten beeinflufst, dasselbe Verhalten zeigen. 

Zwei belehrende Beispiele zu Vorstehendem geben § 22 und- § 23 
bis 27 Bd. 1 S. 568 u. ff. Insbesondere Figur 45 S. 570 weist darauf 
hin, dafs im Harzgebiet von einer konvergenten Entwicklung ganz 
und gar nicht, sondern höchstens von einer interpolatorischen , aber 
jedenfalls unbeholfen ausfallenden Entwicklung die Bede sein kann. 
Sogar bei Figur 46 S. 572, wo es sich hauptsächlich nur um eine 
grobe Darstellung der Alpenwirkung handelt, zeigten sich Schwierig- 
keiten bei der Potenzreihenentwicklung, vergl. S. 578 § 26. 

Dies hat zur Folge, dafs man bei der mathematischen Behandlung 
der geodätischen Aufgaben die Niveauflächen selbst nicht zu gründe 
legen kann und dafs für beliebige Flächen abgeleitete geodätische 
Formeln, welche konvergente (meist sogar stark konvergente) Potenz - 
reihenentwieklungen voraussetzen, für wirkliche Niveauflächen geradezu 
wertlos sind — worauf schon Bd. 1 S. 22 und namentlich S. 513 
hingewiesen wurde. 

Mit Bücksicht auf die UntersuchuDgen der Paragraphen 12 und 13 
Bd. 1, S.61 1 u. £P. müssen wir hier noch erwähnen, dafs die daselbst gemachte 
Annahme der Stetigkeit der Krümmung (S. 619) und der Möglichkeit der 
Reihenentwicklung (6) S. 620 (vergL auch S. 622) mit obigen Resultaten in 
Widerspruch zu stehen scheint. Indesseu handelt es sich dort nicht um 
eine eingehende Darstellung der Eigenschaften des Geoids, sondern nur 
um die Konstatierung des Rotationscharakters im grofsen und ganzen. 
Dieser wird aber, wenn überhaupt vorhanden, durch die kontinentalen 
Massenunregelmäfsigkeiten auf der physischen Erdoberfläche, abgesehen 
von der NS^e der Küsten und einzelnen andern Anomalieeu, in den Ge- 
bieten, welche Gradme^sungen zugänglich sind, nicht verwischt, weil die 
Gestalt des Geoids nach Untersuchungen, welche im dritten Kaj^tel ge- 
geben werden, sich nicht wesentlich ändert, wenn die Massenunregel- 
mäfsigkeiten, wie überhaupt die äufsersten Massenschichten um etwa drei 
geographische Meilen nach innen verschoben werden. Betrachten wir 
tiber das Geoid als eine Niveaufläche aufserhalb der Erde, so ist sie nach 
S. 40 § 23 Anm. eine reguläre Fläche, für welche eine Gleichung im ge- 
wöhnlichen Sinne der analytischen Geometrie der analytische Ausdruck 
ist und für welche femer sich auch Reihen nach Potenzen rechtwinkeliger 
Koordinaten ansetzen lassen. Die Möglichkeit einer Reihenentwicklung von 



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46 1* Kapitel Allgemeine Eigenschaften der Niveanflächen. 

der Form (5) S. 620 erscheint nun auch gegeben, da die Di£ferentialquoti- 
enten von z nach P bei angemessener Beschränkung des Gebietes endlich 
und stetig sind; doch würde eine vollständige Untersuchung der Sache 
noch nachzuweisen haben, daCs wirklich ein endliches Eonvergenzgebiet 
vorhanden ist. 

§ 26. Schwerkraft und Lotlinien beim Durchgange durch 
eine Unstetigkeltsfläche der Dichtigkeit. 

Die Schwerkraft g hängt nach Gröfse und Richtung von den 
ersten Diflferentialquotienten von W ab; wir wissen, dafs beide sich 
stetig mit dem Orte ändern (die Richtung allerdings nur für ^ > null). 
Die Geschwindigkeit aber, mit der sich Gröfse und Richtung ändern, 
hängt von den zweiten Differentialquotienten ab, und beide sind daher 
beim Durchgange durch eine Unstetigkeitsääche unstetig. 

Nach Paragraph 8 (1) S. 10 ist die Geschwindigkeit äg : dh der 
Änderung von g bei Verschiebungen eines Punktes P entlang der 
Lotlinie gleich 

_ ^-El 

wenn die Verschiebungen 'in Richtung der Abnahme von W^ d. h. 
mit zunehmender Hohe erfolgen. Bildet nun die Lotrichtung in P 
mit der Normale einer ünstetigkeitsfläche, welche durch P hiudurch- 
führt, den Winkel v, so wird nach § 21 (1) S. 32 die sprungweise 
Änderung der Geschwindigkeit dg : dh beim Durchgange durch die 
Ünstetigkeitsfläche gleich 

J ll^H 4jr^2 ^©0 cos^v • (1) 

Führen wir für die Nähe der physischen Erdoberfläche wie S. 39 (3) 
den Ausdruck 

g=\itk^^^R 

ein, welcher im vorliegenden Falle eine völlig ausreichende Annäherung 
gewährt, so ergiebt sich: 

^ dÄ e^ ^ cos 1/ . \d) 

Für die Änderung der Schwerkraft mit der Höhe aufserhalb der phy- 
sischen Erdoberfläche erhält man nun eine ganz brauchbare Annähe- 
rung, ^enn man, vergl. 8. 41 (1), in der Meereshohe i7 

M 
setzt, womit sofort folgt 



^"^ (Ä + i/)« 



Insofern beim Obergang aus der Luft in horizontales Gestein v «= null 



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§ 27. Die geographischen Meridiane und Parallelen. 47 

ist und J&Q sehr nahe gleich der Gesteinsdichte 0; wird, folgt aus 
der Addition von (2) und (3): 

(m— 1(2-^)- (*' 

Indem aber 0< im allgemeinen gleich y ©m gesetzt werden kann, 

zeigt diese Formel, dafs die Anderungsgeschwindigkeit von g unter- 
halb der physischen Erdoberflache nur etwa der vierte Teil des Be- 
trages oberhalb derselben ist. Aber es findet jedenfalls eine Zunahme 
von g unterhalb der physischen Erdoberfläche bis zu einer gewissen 
Tiefe statt (vergl. hierzu 6. Kap. § 13). 

Die Kraft' oder Lotlinien sind wegen der stetigen Änderung der 
Lotrichtung stetig gebogen, vergl. § 12 S. 14; jedoch ihre Krümmung 
ist wie bemerkt unstetig, derart, dafs nicht nur die Gröise des Krüm- 
mungsradius, sondern auch die Lage der Schmiegungsebene sich bei 
unendlich kleinen Verschiebungen von P in der Lotlinie um endliche 
Beträge ändern kann. (Vergl. darüber BrunSy Figur der Erde, S. 12 
und 13, sowie S. 20 0..) 

§ 27. Die 'geograpliischeii Meridiane und Parallelen einer 
Niveaufläche (Bd. 1 8. 8) sind überall unstetig gebogen, wo die Ni- 
veaufläche eine Unstetigkeitsfläche der Dichtigkeit durchschneidet, 
um dies einzusehen, stellen wir ihre Gleichungen auf. 

In Bezug auf ein beliebiges rechtwinkeliges Koordinatensystem 
seien %, ^, o die Neigungswinkel der Erdaxe bezw. zu den drei Axen 
der x^y und z. Für die Normale einer Ebene, zu welcher die Meridian- 
ebenen aller Punkte eines geographischen Meridianes parallel liegen 
sollen, seien diese Stellungswinkel gleich A, ^, v. Da nun die Meridian- 
ebenen parallel zur Erdaxe laufen, steht letztere mithin auf der Nor- 
male (^(iv) senkrecht und es ist nach einem bekannten Satze der 
analytischen Geometrie: 

cos X cos A + cos ^ cos /it + cos 00 cos i; = . (1) 

Durch diese Gleichung ist zunächst ausgedrückt, dafs die Meridian- 
ebenen parallel der Erdaxe sind. Sie sind aber auch Vertikalebenen 
ihrer Punkte und es mufs daher in irgend einem Punkt die Normale 
(Xi^v) rechtwinkelig zur Lotrichtung sein. Die Richtungscosinus der 
letzteren sind aber offenbar den Komponenten der Schwerkraft g für 
die drei Axen, d. h. nach (2) S. 9 den partiellen Differentialquotienten 
von W nach den drei Koordinaten, proportional. Mithin wird 

-|^CO8A+-^3f-CO8^+^CO8V = 0. (2) 

Diese Gleichung gilt auch insbesondere für einen Punkt Pq , dessen 
Meridianebene mafsgebend sein soll: 



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48 1- KapiteL Allgemeine EigenschafteD der Niveaaflächen. 

Aus (1); (2) and (3) kann man .cos A, cos fi und cos v eliminieren. 
In Determinantenform ist das Resultat: 



dW 



dw 



dw 



= 0, 



(4) 



dx dy dB. 

( dW \ ( dW \ (dW\ 
\ dx )o \ dy )o \ dz )o 

cos X cos ^ cos (O 

Hierzu tritt noch, um den geographischen Meridian durch P^ vollständig 
zu definieren, die Gleichung der Niveaufläche durch P^i 

W=W^. (5) 

Ohne diese Gleichung bedeutet (4) die Gleichung einer Fläche, 
welche alle Punkte gleicher geographischer Länge des ganzen Raumes 
enthält. 

Um nun die Richtung eines Linienelementes ds des geographischen 
MeridianeS; welches von Pq ausgeht^ zu erhalten, haben wir für die 
Gleichungen (4) und (5) das totale Differential für eine Verschiebung 
von P auf der Niveaufläche zu bilden, dann aber P mit P^ zusammen- 
fallen zu lassen und also alle Differentialquotienten von W auf Pg zu 
beziehen. Wir bezeichnen dabei nach den Gleichungen: 

m-^^ m-^- (/.a=--^ 



V dy /o 
Es wird erhalten 

Wx.i Wvi Wi^ 
Wi Wt Wi 
cos 2 cos ^ coso 



w^- 



\ dy* h 



ff».i 



u. s. 



ffi-i Wi.i Ws.s Wx.i Wt.i Wm 

dx+ Wi Wi Wi dy+ Wi W^ W^ dz ^0 (6) 

cos X cos ^ cos (» cos X cos ^ cos o 

Wi dx + Widy + Widz ^=0. (7) 

Hieraus kann man die Richtungscosiuus des Linienelements des geo- 
graphischen Meridianes in P^ berechnen. Diese Rechnung verfolgen 
wir aber nicht weiter und bemerken nur bezüglich des Koordinaten- 
systems, dafs man in dem Falle, wo als «-Axe die Erdaxe selbst ge- 
nommen wird, 

cos X = cos ^ = cos CD = 1 (8) 

einzuführen bat. 

Wählt man dagegien die Tangentialebene in P^ als xy- Ebene 
und die Normale der Niveaufläche als z-Axe, so ist zu setzeu 

ff, = = /f , . (9) 



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dr, _ 


Wi.i W^.i 




/fl.2 ^t.i 


di — 


<iOi% cos^ 


* 


co8;K cos^ 



§ 27. Die geographiBchen Meridiane und Parallelen. 49 

Wegen (7) wird alsdann dz = null und (6) giebt, wenn wir an- 
statt xyz jetzt bezw. giyg schreiben; um auf die Bezeichnungen der 
Paragraphen 22 und 23 zu kommen:. 

(10) 

Liegt nun P^ in einer ünstetigkeitsfläche und die ly-Axe tan- 
gential an dieser, dann geben die Formeln (1) § 23 S. 38 für Wx,x u. s. f. 
die unterschiede der Werte beiderseits der ünstetigkeitsfläche. Hier- 
nach ist nur Wx,x unstetig und man sieht nun deutlich, dafs die Kurve 
des geographischen Meridiane im allgemeinen in P^ eine Ecke hat. 

Um die Gleichung des geographischen Parallels abzuleiten^ erinnern 
wir uns.; dafs die Richtung der Normale in P durch die Richtungs- 
cosinus -rr— , -ö — und —^ — definiert ist, diejenicrfe der Erdaxe aber 

durch die Werte <iOQ%, cos^^ und cosc». Ist ^ die geographische 
Breite von P, so hat man nach einem bekannten Satze der analytischen 
Geometrie für cos (90® — B) oder sin B die Gleichung: 

wozu noch tritt: jy =^W (\2\ 

welche letztere Gleichung erforderlich ist; um diejenigen Punkte aus- 
zuscheiden; welche nicht auf einer bestimmten Niveaufläche liegen. 
Die weitere Behandlung ist ähnlich wie oben. Wählt man das 
Koordinatensystem gi^g, so folgt 

ä7\_ TTj.i cos 3; •\- TTit coB'^ + ^m cosm ^-qv 

di >F,.,co8x+ TF,., co8i/»"+ TT,., coBco ' ^ ^^ 

wodurch sich die Richtung eines von P^ ausgehenden Linienelements 
bestimmt. An einer Ünstetigkeitsfläche ändern sich Wx,\ und W^^ 
sprungweise; nehmen wir aber der Einfachheit halber an, dafs die 
Ünstetigkeitsfläche die Niveaufläche bei P^ normal schneidet; mithin 
die S-Axe ebenso wie die ly-Axe die erstere tangiert; dann wird die 
Änderung von ^1.3 gerade so wie diejenige von Wi,^ gleich null und 
es ändert sich nur W\a sprungweise nach Mafsgabe von Formel (1) 
S. 38 ; wobei sin i/ = 1 zu setzen ist. 

Zur Berechnung von Näherungswerten für die in (10) und (13) 
auftretenden üifferentialquotienten von W kann der Ausdruck (l) 
§ 23 S. 41 dienen. 

Zum Schlüsse braucht kaum noch darauf hingewiesen zu werden; 
dafs für Meridiane und Parallelen der analytische Ausdruck von Ecke 
zu Ecke ein anderer wird; da W beim Durchgange durch eine FlächC; 
wo die Dichtigkeit Singularitäten hat; einen anderen analytischen Aus- 
druck erhält. 



Helmert, matbem. n. pbyilkal. Theorieen der höh. Oeodäsie. II. 



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50 *2' Kapitel. Bestimmung der Abplattung ans Schweremessungen. 

2. Kapitel. 
Bestimmnng der Abplattung ans Schweremessnngen. 

§ 1. Entwicklung von — in eine Potenzreihe. Um das Pa- 

tential W der Schwerkraft in eine für die weitere Anwendung geeignete 
Form zu bringen, ist es erforderlich, in dem Ausdruck (1) § 6 S. 8: 

W = k-'J^ + 1 (x'^ + y'^) m^ , (1) 

— in nachstehender Weise in eine Reihe zu entwickeln. 
e 

Zunächst bringen wir in Erinnerung, dafs bei Aufstellung des 

Ausdruckes (1) der Erdschwerpunkt als Koordinatenanfang ^ die Ro- 

tationsaxe der Erde als z-Axe und die Äquatorebene als xy -Ebene 

genommen ist. Die Koordinaten eines Punktes P\ auf welchen sic]i 

fV bezieht, sind x, y und z\ diejenigen eines Punktes der Erde, in 

welchem das Massen element dm lagert, sind x^ y und z^ so dafs zu 

setzen ist 

dm = edx dy dz , (2) 

wenn wie bisher & die Dichtigkeit der Masse im Punkte {xyz) angiebt. 
Bezeichnet man nun mit r den Radiusvektor von P\ mit r den- 
jenigen des Punktes {xyz) und mit y den von beiden Radien vektoren 
eingeschlossenen Winkel, so hat man für den Abstand des Punktes 
(xyz) von P' die Gleichung 

^2 = ^2 ^ /2 _ 2rr cosy . (3) 

Andrerseits ist bekanntlich 

e^=.{x- xy + {y- yj + (z - zj ; 

lost man hier rechter Hand die Quadrate auf und beachtet die Be- 
ziehungen : 

r'2 = x"" + y^ + z^ 

r* = a:^ + y^ + z\ 
so folgt aus der Vergleichung mit (3): 

rr cos y = xx + yy + zz . (4) 

Hiermit ist cos y durch die rechtwinkeligen Koordinaten ausgedrückt. 
Wir behalten aber einstweilen cos y bei und entwickeln — ausgehend 
von der aus (3) folgenden Gleichung 

i._4(l-2fc.,+ (f)')-4 (6) 

unter der Voraussetzung r > r . 



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§ 1. Entwicklung von - in eine Potenzreihe. 51 



Sei i msij/ — 1 und f die Basis der natürlichen Logarithmen, so 
ist bekanntlich 

COS y = -^ (6) 

und hiermit 

•-2f-r + (f)'-(l-f.'')(l-f.-''). 

Man hat ferner [vergl. Bd. 1 S. 27 (3)]: 
1 

+^{7)''""+ (') 

wobei in den Exponenten die oberen und unteren Zeichen einander 
entsprechen. Beide Reihen sind für r > r absolut konvergent und 
ihre Multiplikation giebt daher unter dieser Bedingung eine ebenfalls 
absolut konvergente Reihe. In dem Produkt gehen wir mittelst 
der auf 2y, 3y und 4y angewandten Formel (6) wieder auf reelle 
Werte zurück und erhalten so unter Beachtung von (5): 

i-i|l+fP. + (f)'/', + (-^)'/>, + (f)>..+ ....l(8) 

r > r 
mit P^ = cos y 



/»s = g- cos y + g- cos 3y 

^* •="6r + -er <^°' 2y + -gj cos 4y . 



(9) 



Da die Reihen (7) nur positive Eoefficienten enthalten, so sind 
in den Koefficienten P auch alle Glieder, abgesehen vom Vorzeichen 
der Cosinus, positiv. Hiermit erkennt man leicht, dafs die P für 
y =z null ihren grolsten absoluten Wert annehmen. Ist aber y «= null, 
so ist nach (5) 





111 


oder 


r 

i-^{i+(f)+m'+m'- 



Dies bestätigt einesteils die absolute Konvergenz von (8) für r > r, 
insofern eben diese Reihe noch für die gröfsten Kocfficientenwerte 
konvergiert, andernteils zeigt sich, dafs der absolute Wert eines Ko- 
efficienten P die Einheit nicht überschreitet, wie auch y beschaffen ist. 

4* 



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52 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 



Für r ^=^ r gilt die Entwicklung (8) zufolge der Herleitung nicht 
ohne weiteres. Wir lassen diesen Fall einstweilen unerledigt und 
wenden uns zu dem Falle r <ir. Anstatt (5) ist jetzt zu setzen 

i_i(i_2>,,+(i)')-;. 

Man hat also nur r mit r zu vertauschen und erhält dadurch, unter 
P^ , P^ u. s. f. immer die durch (9) bezeichneten Koefficienten ver- 
standen : 

r < r. 

§ 2. Fortsetzung: Die Eoefflcienten P. Wir führen in die 
Ausdrücke (9) anstatt der Cosinus der Vielfachen von y die Potenzen 
von cos;/ ein. Man hat aber 

cos 2y = 2co8^y — 1 , 

cos 3y = cos 2y cos y — sin 2y sin y = 4cos^y — 3cosy , 

cos \y = 2cos2 2y — 1 = 8cos*y — Scos^y + 1 ? 

und hiermit findet sich: 

jP, == + cos y 



^2 = — I + Y ^^^^y 

7^3 = — - cos y + — cosV 

r, ,3 30 9 , 35 j 

i^ = + « — ^ cosV + cosV 



(1) 



8 8 '^ ' 8 

Zu dieser Form der Koefficienten gelangt man direkt, wenn z. B. 
für r > r gesetzt wird: 

Man hat hier zuerst den cos y enthaltenden Faktor rechter Hand zu 
entwickeln und dann die negativen Potenzen von 1 + l~r\ einzuführen. 
Schreiben wir anstatt y für den Augenblick a, so folgt zunächst: 

a COBy , 1.8 a'cos'y 



(1+«')* (1 + ««F 



J.2 



(! + «')' 



+ 



+ 



r.3.5^^_^£2»i — 1) 
1.2.3 ... n 



__ «" cos" y 
■" ^ äii + i 



+ 



(2) 



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§ 2. Fortsetzung! Die Koefficienten P. 53 

Da nun 

J. -1 ^^+' c2 I (-2n+l)(2n + 3 ) , ,o^ 

2ii4- 1 12'^ 12 2* • • • ; V^ / 

80 erhält man unter Substitution dieser Entwicklung für n =0,1,2... 
in die vorhergehende Reihe durch Zusammenfassung der in a^ multi- 
plizierten Glieder als Koefficienten von «": 



p ^ 1.3.5...(2n—l) 
"" 1.2.3. ..n 



n(n — 1) . « 

, _n(»-l)(n-2Hn-8) co8,_4y_ 
^ 2.4.{2n-l)(2n — 3) ' 



(3) 



Bei dieser Art der Entwicklung ist indessen die Konvergenz der 
Entwicklung nicht evident, weshalb wir die andere vorangeschickt 
haben. 

Wir haben oben gesehen, dafa P^ höchstens gleich ± 1 werden kann. 
Diese Werte treten ein für y = null und n. Für einen dazwischen liegen- 
den Wert von y ist P^ ein echter Bruch, welcher bei unendlich anwachsen- 
dem Index n absolut genommen gegen null konvergiert. Es ist nämlich*): 

limP,=sinf(n+l)y+-';l • l/HIZ. (4) 

§ 3. Die Entwicklaug von ^ für r ==r. In diesem Falle 
geben die Gleichungen (8) und (10) § 1 S. 51 und 52 beide 

-i = -i. {l + P, + P, + P, + P, + . . .) . (1) 

Indessen ist aus der Entwicklung in § 1 nicht zu erkennen, inwieweit 
diese Formel gilt. Ebensowenig zeigt dies § 2, denn die Entwicklung 
(2*) konvergiert f ür « = 1 bekanntlich nur im Falle n. = null. 

Will man sich überzeugen, ob der Ansatz (1) zulässig ist, so 
kann man versuchen, direkt die Summe der geschlungenen Parenthese 
in (1) zu bilden. Man findet alsdann, dafs in der That der Ansatz (1) 
richtig ist für 

cos^y < 1 . 

Ist aber cos^y,= 1 , so ist er unzulässig. 

Letzteres lä&t sich leicht erkennen; schwieriger ist der erste 
Nachweis, der sich aber mit Hülfe einiger aus der höheren Analysis 
bekannter Eutwicklungen führen läfst. 

Für cos y = + 1 d. h. für y = null sind nach S. 61 § 1 (5) und (8) 
alle P gleich 1, also ist dann ihre Summe oc grofs. Der Ansatz (1) 

giebt somit hier — c= oo . Wenngleich nun in der That für y = null 

•) E.HeynCy Theorie der Kugelfunktionen ; 2. Auflage, Beruft 1878; S. 176 
(28c) und S. 178 (29c). 



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54 2* Kapitel. Bestimmuiig der Abplattung aus Schweremessungen. 

auch e «» null und — also oo grofs ist, so darf man doch nicht ohne wei- 
teres den Ansatz (1) benutzen, da oo kein bestimmter Wert ist. 

Für cos y = — 1 d. h. für y = » und 2y = 2« behalten nach (9) § 1 
S. 51 , oder besser nach (3) § 2 S. 53 , die P mit geradem Index denselben 
Wert wie für cos y b= -|- i , dagegen wechseln diejenigen mit ungeradem 
Index das Vorzeichen unter Beibehaltung des absoluten Wertes wie für 
.cos y = -f 1. Mithin oscilliert jetzt die Reihe l+P|-fPj+-P8+^4+- • • » 
d. i. -|-1~1-|-1 — 1 + 1— ... zwischen + 1 und null hin und her, 

während — gleich — 7- • -^ ist. 

Um die Reihe 1 + P| + P, + Pj + ^4 + • • • *'ür cos« y < 1 zu sum- 
mieren, gehen wir von der Gleichung aus: 

y 
/ cos (n + -i-) 1^ 

P, = — / ,.„__L M=^ d^ , (2) 

" «e/ K2(C08V» — cosy) ^^ 

welche in der Lehre von den Eugelfunktionen bewiesen wird und gilt, 
wenn y der Bedingung genügt: 

o<y<«.*) (2*) 

Diese Gleichung für kleine Werte von n zu verifizieren, ist nicht schwierig: 
Für n = null hat man 






cos-^ _ 

2 d'ip 



y Mn*-|- 



sm* — 




setzt man nun sin -^ = a; sin -£- , so geht dieses über in 



1 

d.i. =1. 

_ F 1 - Ä« 

u 
Uiemach giebt (2) für n =» null das erste Glied der zu summierenden Reihe. 



p _ 2 C_äx_ 



(3) 



Für n » 1 ist aus (2) wegen cos -^ = n — 4 sin* ^\ cos^ 



■-*/- 



4 a;* sin*-^ 



2 y 

(2a; = l •— 2 sin* -^ = cos y . 



U. B. f. 

Wenn wir nun die Summe aller P^ von n = null bis n — 1 suchen , 
so ist zunächst die Summe von 

^ , 8^ , 5i/> 



cos 2 



+ cos -^ + cos -~^ + . . . + cos ^n — yj ^ 



zu bilden. Dies geschieht nach einer bekannten ' Formel, welche auch 
leicht mittelst Projektion der Seiten eines regelmäfsigen (einem Kreise 
eingeschriebenen) Polygones auf eine Axe, gegen welche sie die Neigungs- 



*) Heyne, Kugelfunktionen; S. 44 (7b). 



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§ 3. Die Entwicklung von — für r ^r. 55 

Winkel -— , -— u. 8. f. besitzen, gewonnen werden kann. Die Summe ist 

sin fi'ilf 



Hiemach erhält man: 



2 8m- 



Y 

J "^f 



ain(.«|) 



l+P. + P.+ ...+P,_,^-/ ^ ^^ ^ -— J^. (4) 



-^ K^(coß -^ -— cos y ) 



Nach der Theorie der trigonometrischen Reihen*) ist aber unter gewissen 
Voraussetzungen über die Funktion -F(|3): 
h 



^1 fi 



F(ß).^^dß^FiO). (4*) 



Im Integral von (4) setzen wir im Zähler und Nenner -^ hinzu; dann gehen 
(4) und (4*) in einander über für w = 2n, ß = -— , ä = -i- und 

^ 1 



sm-^ r 2 (cos -^ — cos y) 



•2 

sowie 

1 



2 sin^ 



Es wird daher 



lim(l + P,+P,+ ... +P,_i)= '—-. (5) 

Die Voraussetzung über F (ß) ist (soweit sie hier in betracht kommt) 
die, dafs es innerhalb der Integrationsgrenzen nicht unendlich wird. Falls 
ein Unendlichwerden eintritt, so kann die Rechnung auch noch gültig 
sein, es bedarf dieses aber besonderer Untersuchung. Im vorliegenden 

Falle wird F(ß)f da y^C« ist und also -^ : sin-~ immerhalb der In- 

2 2 

tegrationsgrenzen endlich bleibt, nur für '^ &= y unendlich. Integrieren 

wir nun in (4) zunächst nur bis y — «, wo s eine sehr kleine GrÖfse und 

jedenfalls < y sein soll, so gilt dafür die weitere Entwicklung; es ist aber 

zu (5) rechter Hand noch hinzu zusetzen: 

Y 

^ f sin(2n^) ,^ 

+ i/-^-=U^J=:.^ ^. (6-) 

/ Bin-^ f^ 2 (cosi/; — cosy) 



y — • 



oder nach Hinzufügen von sin-^- cos-^ im Zähler und Nenner: 



*) HeynCy Eugelfunktionen ; S. 62 und 63, insbesondere (5a). 



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56 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessangen. 

y 

^^ M sm n'ib sm — - COB -— , ^ 

2 / ^ 2 2 diff 



^ sm^Bm- j^BintX--Bin«.|- 



Da < y < « ist, bleibt unter dem Integralzeichen der zweite Faktor 
innerhalb der Integrationsgrenzen positiv. Der erste Faktor hat einen 
endlichen Wert. Mithin ist (5*) seinem absoluten Werte nach ein end- 
liches Vielfaches von 

Y 

^ 1^ 



/; 



sm-— cos— , , 

2 2 dri} 



f 



2 2 



Das unbestimmte Integral hiervon ist gleich 



Konst. — y Bin»"|- — sin« «l- ; 
man erhält somit (5*) gleich einem endlichen Vielfachen von 



y sin« "1 sin* ^ ^ d. i. l/ sin -|- . si 



2y 
sm — ^ 



Hiernach kann man durch Voraussetzung eines geeignet kleinen Wert-es 
für c den Fehler der Formel (5) auf einen verschwindenden Betrag herab- 
drücken. 

Aus Gleichung (5) ersehen wir nun, dafs die Summe l+P|+-Pi+^«8'f. 
mit wachsender Anzahl der Glieder gegen 1 : 2sin-^ konvergiert (falls 

cos* y < 1). Dieses ist aber der Wert von — für r ^=^r nach (5) §1 S.50. 

Mithin gilt der Ansatz (1) im laufenden Paragraphen wirklich f ür r = r 
und C08*y < 1. 

§ 4. Die Koefflcienten P in reclitwinkeligen und in Polar- 
koordinaten. 

Um die Koefficienteu P durch rechtwinkelige Koordinaten aus- 
zudrücken, bedarf es nur der Einführung des Ausdruckes 

cos y = ^^y ^ (1) 

nach § l S. 50 (4) in die Formeln (1) § 2 S. 52. 

Denken wir uns ferner den Punkt P wie im vorigen Eapiiel § 4 
S. 5 im Anschlufs an Fig. 1 durch Polarkoordinaten bezeichnet, so ist 

X = r cos q> cos X 

y = r cos (p sin k' (2) 

z' = r sin q>\ 

Hierin bedeutet r den Radiusvektor vom Erdschwerpunkt aus, (p die 
geozentrische Breite und X die geozentrische Lauge. 



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§ 4. Die Koefficienten P in rechtwinkeligen und in Polarkoordinaien. 57 

Für irgend einen Punkt (xyz) oder (r (p X) hat man 
x^=^r cos 9? cos A 

y =* r cos 9? sin X (3) 

z = r sin 9?, 
und hiermit wird aus (1) ohne Schwierigkeit gefunden: 

cos y = cos 9 cos (p COS (A — A') -f" sin q> sin 9?', (4) 

eine Formel , die man auch direkt mittelst sphärischer Trigonometrie 
hätte ableiten können. 

Wenn man diesen Ausdruck für cos y in die Ausdrücke (1) § 2 
S. 52 einführt, ist es vorteilhaft^ anstatt der Potenzen von cos {X — A') 
die Cosinus der Vielfachen von {X — X') anzuwenden. Es findet sich 
dann: 

7>j = sin 9? sin tp -f- cos 9? cos q> cos (A — A') . 
/>, = -;-(8in*<p-|)(sinV-3) 

+ 3 sin 9 cos q> sin q> cos q/ cos (A — A') 

-f- -j cos^9 cos*9)' cos 2(A — A') . 

/>3 = ^ ^sin^y — 1 siu 9) j ^sin3 9)' - | sin 9'^ 

+ -^ (sin'9> — r-) COS9) |8iii'9)' — - - j cos 9)' cos(A — A') 
-f- - sin 9? cos ^9? sin 9? cos '9?' co8 2(A — A) 
+ cos^9) cos^9)' cos3(A — A'). 

„ 1225 /.4 6.« |3\/.4, 6.,,,3\ 

^^ = -er ("'" 9^ - T «"'9^ + -35 j (^^'^^ - y 8m'9) +— j 

-| — ^ (siii^^ — — - sin9? jco8 9)|siü^9?'— ' sin9) j cos 9?' cos (A — A') 

+ -^ |sin^9> — y) cos'9? |sin^9)' — -=- 1 cos^9?' cos2(A — A') 

-| — g- sin 9? cos^9) sin 9?' cos^9?' cos3(A — A') 

+ "eT" ^08^9 cos*9)' cos 4(A — A'). 

Man bemerkt; dafs nach Auflösung der Cosinus von (A — A') und 
seiner Vielfachen die P symmetrisch zu 9? und 9?', A und A' gebaut 
sind, was nicht anders sein kann, da cos ^ bereits diese Symmetrie 
besitzt. Eigentümlich bei dieser Symmetrie ist aber, da(s jede in 
einen Cosinus von (A — A') oder seiner Vielfachen multiplizierte 
Punktion von tp und 97' in ein Produkt einer Funktion von 97 allein 



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58 '^- Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 



und einer solchen von ^l allein zerfällt. Dafs dies so sein mufs^ zeigt 
die Theorie ganz allgemein. Für unsere Zwecke genügt die obige 
Darstellung bis P^^ die leicht zu beschaffen ist. 

Wir stellen hier noch die Formeln her, welche dabei zur Ein- 
führung der Vielfachen von (A — l!) dienen. Man kann sie aus den 
Relationen für y im Eingang des § 2 8. 52 ableiten: 

X\ =l+-icos2a — A') 



C08'(A 

C08»(A - A') = -|- cos (A — -l') + Y cos 3 (A 



^0 



cos«(A _ A') = -i + ± cos 2 (A — A') + 4 «^^^ 4 (A - A). 

§ 5. Das Potential W der Schwerkraft aufserhalb. Befindet 
sich ein von der Erde angezogener und mit ihr rotierender Punkt P' 
aufserhalb einer die ganze Erde gerade völlig einschliefsenden, zum 
Erdschwerpankt konzentrischen Kugel, so ist nach (1) und (8) des 
§ 1 S. 50 und 51 zu setzen das Potential 



W = 



' Cdm + -^ /*/>, rdm + 4j- Tp^r^rfw 
_+ -}iJp^rHm + ^j\r*dm + ... 



(1) 



wobei die physische Möglichkeit des Falles gleichgültig ist. 

Ohne zunächst auf die Frage einzugehen , inwieweit vorstehender 
Ausdruck für das Potential auf Punkte aufserhalb bis zur physischen 
und mathematischen Erdoberfläche Anwendung finden kann, erörtern 
wir vorerst die Bedeutung der drei, den Anfang der Reihe rechter 
Hand bildenden Integrale. 

Zunächst hat man das 1. Integral 



j 



dm = My 



(2) 



der Masse der ganzen Erde, wie unmittelbar ersichtlich. 

Für das 2. Integral beachten wir die Relationen (1) § 2 S. 52 
und (1) § 4 S. 56, wonach 

P =z cos y = niy^_r — 

zu setzen ist. Damit ergiebt sich 

I P^rdm ^ - lo;' 1 xdm + y jydm + z j zdm | . 

Insofern wir aber den Erdschwerpunkt als Eoordinatenanfang gewählt 
haben, sind die Integrale 



I xdm lydm jz 



zdm 



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§ 5. Das PotoDÜal W der Schwerkraft aurserhalb. 59 

gleich null; da sie nach der aus der Mechanik bekannten Definition 
des Schwerpunkts [vergl. S. 3 § 2 (4)] bezw. gleich sind 

\M riM iM, 
wenn |, i^ und % die Schwerpunktskoordinaten vorstellen^ welche im 
vorliegenden Falle gleich null gesetzt wurden. Wir haben somit 

fp^rdm^O. (3) 

Für das 3. Integral wenden wir Pj ^ ^^^ S. 57 gegebeneu Form 
an , wobei wir cos (A — X') und cos 2 (A — A') auflosen. Es folgt 
alsdann: 

+3sin9?'cos9)' { cosA' / sin^cosqpcosAr^ei^wi-f-sinA' / sing^cosqpsinA r^dm\ 

'-\- — cos^y' { cos2A' / co8'9)cos2A r'^ dm -{-8m2X' j cos^9sin2A r'^dm \ • 

In den Integralen rechter Hand führen wir wieder rechtwinkelige 
Koordinaten ein, um auf bekannte Ausdrücke zu kommen. Dazu 
dienen die Relationen (3) § 4 S. 57. Man findet ohne Schwierigkeit: 

+ 3 sin 9?' cosqp' { cosX' j xz dm + sink* j tjz dm | 

+ |co8>' ^cos2 X' j{x^-y^) dm + sin 2A' ^2 xy dm^. 

Wegen des Umstandes^ dafs die z-Axe Rotationsaxe ist, sowie bei 
geeigneter Wahl der andern beiden Eoordinatenaxen lafst sich die 
rechte Seite wesentlich vereinfachen. In der Dynamik wird nämlich 
gezeigt, da(s es in jedem festen Korper drei zu einander rechtwinkelige 
Axen durch den Schwerpunkt giebt — die drei Hauptaxen des Kör- 
pers — für welche als Koordinatenaxen die Integrale 

jxzdm jyzdm 1 xydm (4) 

verschwinden. Dieses gilt auch für die Erde, wenn wir wie bisher 
die in § 5 S. 7 eingeführte Annahme festhalten ^ dafs die Teile der 
Erde in relativer Ruhe zu einander sind. 

Mit dem Verschwinden jener Integrale hängt nun zusammen^ 
dals eine Rotation um eine in dem Körper feste, sonst aber freie Axe 
dauernd nur dann stattfinden kann, wenn diese Axe eine Hauptaxe 
ist. Die Rotationsaxe der Erde mufs also eine solche BBuptaxe sein 
(§ 4 S. 5). Sie ist bereits als z-Axe eingeführt. Rechtwinkelig zu 
ihr liegen in der Aquatorebene die beiden andern Hauptaxen, die 



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60 ^^- Kapitel. BestimmuDg der Abplattung aus Schweremessungen. 

wir als x- und y-Axe annehmen. (Bei beliebiger Lage dieser letzteren 
Eoordinatenaxen würde das 3. Integral (4) nicht verschwinden). 

Wir führen nun noch die Haupttr^heitsmomente ein, die wir 
bezw. für die Axen der a:, y und z mit A^ B und C bezeichnen: 

B = /(«' + 2») im, (5) 

Hiermit wird ^ 

l\r^dm = -| (~^ - c) (8in>'- j) + ^ (B-A) co8>'co82A'. (6) 

Der Ausdruck (1) geht jetzt über in den nachstehenden, wobei 
also Voraussetzung ist, dafs die beiden Hauptträgheitsaxen in der 
Äquatorebene als Axen der x und y dienen: 



W»» 



^+'i7i(c-^^ (l-38inV) + 4?'t(^-^)cos'9»'co82r' 
+ l.,Jp,t^dm + ^j\r*dm + . . . 

4- "i,- »'■'r'* coa^qti'. 



(7) 



Im letzten Gliede rechter Hand von (1) ist zugleich x'^-^-y'^^^r'^QO^'^tp 
gesetzt, um in all^n Gliedern nur die Polarkoordinaten von P'y dem 
angezogenen Punkte, zu haben. 

Es entsteht jetzt die Frage, ob die Formel (7) auch noch gilt 
innerhalb der eingangs erwähnten Kugelfläche bis zur physischen und 
mathematischen Erdoberfläche. Zunächst wollen wir den Einfluis des 
Luftmeeres schätzen und beginnen zu dem Zwecke damit, das Poten- 
tial für eine homogene Eugelschale abzuleiten, woran sich einige 
Notizen über Kugelfunktioneu schliefsen werden. 

§ 6. Das Potential der Anziehung einer liomogenen Kugel- 
schale läfst sich leicht durch direkte Integration nach der Formel 

(1) 



v==k^r^ 



ermitteln, wenn räumliche Polarkoordinaten eingeführt werden. Der 
Übergang von rechtwinkeligen Koordinaten zu diesen Polarkoordinaten 
ist schon § 4 S. 6 angegeben. Man vergl. insbesondere Fig. 1 S. 5. 
Für die Anwendung auf (1) ist nun zunächst das Massenelement ^;7} 
auszudrücken. 

Zu dem Zwecke denke man sich mit dem Radiusvektor r des 
Punktes (r, <p, A) konzentrisch zum Koordinatenanfang eine Kugel be- 
schrieben und auf derselben den geozentrischen Breiten <p und q)'\- dg> 
entsprechend zwei Parallelkreise, sowie den geozentrischen Längen l 



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§ 6. Das Potential der Anziehung einer homogenen Kngelschale. 61 

und X -{- dl entsprechend zwei Meridiankreise gezogen. Dann ent- 
steht am Punkte (r, <p, X) ein Oberfläehenelement auf der Kugel, wel- 
ches als Rechteck mit den Seiten rdg) uudr C08q>dX berechnet wer- 
den darf. Wächst nunmehr r um dr, so liegt über jenem Oberflächen- 
element ein Volumenelement von der Höhe dr. Es wird also 

dm=^ 0r^ C0S9? dfp dk dr. • (2) 

Bezeichnet endlich y den Winkel zwischen den Radienvektoren 
r und r, letzterer in Bezug auf den angezogenen Punkt Pj so kann (I) 
auf die nachstehende Form gebracht werden: 

y^ fei ff f^f^l^^^^ß^ . (3) 

JJjyr^ + r^^2rr'co8y ^ ^ 

In diesem Ausdruck, welcher noch ganz allgemein gilt, ist die drei- 
fache Integration über den anziehenden Körper zu erstrecken. Indem 
wir ihn auf eine homogene Kugelschale von gleichmäfsiger Stärke dr 
beziehen, können wir unbeschadet der Allgemein- 
heit die Z'Axe durch den angezogenen Punkt P' Fig. s. 

legen, Fig. 3, womit y = y — 9 wird, und (3) 

übergeht in: 

^ 2 



k^@r->drf f—^^^'?A?i^^^. (4) 



-f 



Die Integration nach X läl'st sich ohne weite- 1 

res ausführen und giebt als Resultat den Faktor \ 

2jr vor dem Integralzeichen. Unter dem Integral- ^^ 

zeichen schreiben wir für C0S9? dq> besser d(sinq>) ^^ 

und setzen für sin 9? das Symbol /; dann wird 

V = 2 7Ck^@r'^dr A/ -"4*- — • (&) 

JYt^+7* -'irrt ^ ^ 

Das unbestimmte Integral des unter dem Integralzeichen stehen- 
den Differentialausdruckes ist 

— Y'i^+r'^ '^^'l rr't 
rr "' 

das bestimmte Integral wird hiernach gleich 

W+r)* -Vif^^r^ 

rr 

Die Quadratwurzeln sind (insofern sie die Distanz e in zwei besonderen 
fallen bedeuten) positiv zu nehmen. Man muls daher unterscheiden 
zwischen r^r und r < r. 



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62 2* Kapitel. Beatimmang der Abplattung aus Schweremessungen. 

Liegt P' atifserhalb der Kugelschale j ist also r'> r, so wird das 
bestimmte Integral gleich 

{r+r)-{r-r) ^ 2 

rr ""^ r 

und das Potential 

A^nk^Br^dr ,, Masse ,/,x 

V = j:; = k^ -y— . (6) 

Liegt P' innerhalb der Kugelschale ^ ist also r < r, so wird das 
bestimmte Integral gleich 

(r +r)^{r^ O „ A 
rr ™* r 

und das Potential 

v = 4nkWrdr = k^^^' (7) 

Für r = r' gehen beide Formeln (6) und (7) in einander über 
und haben wegen des stetigen Verlaufes Ton », trotzdem in (4) unter 
dem Integralzeichen der Nenner einmal null wird, auch noch Geltung. 
Die Gleichungen (6) und (7) sagen aus: Das Potential der Anziehung 
einer homogenen, gleichstarken Kugelschale für einen außerhalb gelegenen 
Punkt ist ebensogrofs als das Potential ihrer im Mittelpunkt konzentrier- 
ten Masse; für einen innerhalb des Hohlraumes gelegenen Punkt ist 
es konstant. 

Für das Potential einer homogenen Kugel Tom Radius Ä und der 
Dichtigkeit ® ergiebt sich aus (6) und (7), wenn der Punkt P' aufser- 
halb liegt: 

,o Masse A^nk^SR^ /ox 

" = *'-? 37—' (^) 

wenn derselbe innerhalb liegt: 

V = 2jtk'^&lB} ~ 1/2) . (8*) 

Die Konstanz des Potentials innerhalb des Hohlraumes einer homoge- 
nen Kugelscbale läfst sich geometrisch sehr leicht nach einem bereits von 
Newton angegebenen Verfahren einsehen.*) Liegt P' nämlich innerhalb 
einer Kugelfläche und ist AxB^ ein Linienelement derselben, so ziehe man 
die Linien A^F und B^P' bis sie die Kugelfläche in Af und B^ zum zweiten 
Male schneiden. Da A^B^ und A^B^^ unendlich klein sind, erkennt man 
ohne weiteres, dafs sie im Verhältnis A^P' : A^P' stehen. Dreht man 
AiBf um den Punkt Ai um 360^, wobei aufserdem AiBi seine Länge 
ändern darf, so beschreibt AiBi ein Oberflächenelement, welches zu dem 
gleichzeitig von A2B2 beschriebenen im Verhältnis ijP'^ : A^P'^ steht, 
wie man sofort erkennt, wenn man zunächst nur eine unendlich kleine 
Drehung ausfahrt. Die Anziehungen beider Elemente auf P' verhalten 



•) Sir Isaac Newtons mathematische PrinMipien der Naturlehre. Mit Bemer- 
kungen und Erläuterungen herausgegeben von Prof. Dr. O, Ph. Wölfers. Berlin 
1872; S. 191. 



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§ 6. Das Potential der Anziehung einer homogenen Eugelachale. 63 

sich aber wie die Quotienten aus Fläche und Quadrat des Abstandes; sie 
sind also gleich grofs. Da sie überdies entgegengesetzt gerichtet sind, 
so ist die Summe der Anziehungen für beide Elemente null. Innerhalb 
des Hohlraums einer gleichstarken, homogenen Eugelschale wird P' 
daher gar nicht angezogen und somit ist hier v konstant. 

Bei einem aurserhalb gelegenen Punkte P' führt dieses Verfahren für 
innere Punkte nur zu der Kenntnis, dafs 2 Oberflächenelemente, welche 
von einem von P ausgehenden Kegel aus der Kugelfläche ausgeschnitten 
werden, gleichstark auf P' wirken. Da aber die Anziehungen jetzt gleiche 
Richtung haben, so hat diese Kenntnis nicht den Nutzen, die Integration 
zu sparen. 

Doch ist es von Interesse zu erkennen, dafs die Anziehung einer un- 
endlich dünnen, homogenen, gleichstarken Kugelschale in 2 gleiche Teile 
zer^alten werden kann, dadurch dafs man von F^ einen tangierenden 
Kegel an die Schale legt. Ist 
TL die Tangierungslinie auf 
derselben, Fig. 4, so üben nach 
den obigen Bemerkungen die 
beiden durch TL getrennten 
Teile der Schale gleiche Wir- 
kung auf P aus. 

Der Weg, welchen Newton 
(a. a. 0. S. 192 — 194) ein- 
schlägt, um die Integration 
für einen Punkt P' aufserhalb 
zu bewirken, ist folgender. 
Er betrachtet zunächst die zentrale Komponente der Anziehung einer 
unendlich schmalen Ringfläche, welche durch Rotation des Elementes AiBi 
um P' C entsteht, Fig. 4, und vergleicht sie mit der entsprechenden bei 
einer anderen Entfernung von P. In beiden Fällen werden,' was wesent- 
lich ist, die Bögen A^A^ bezw. PiPj gleich lang angenommen. Bei der 
Summierung tritt demgemäfs der Zentriwinkel y des Bogens AiA^ als 
nnabhängige Variable auf. Ohne hier den von Newton eingeschlagenen 
Weg zu verfolgen, zeigen wir nur noch, v^ie ungemein bequem sich mit- 
telst der Variablen y integrieren, läfst. Im wesentlichen haben wir damit 
auch Nevrfcons Verfahren, aber in modemer Ausdrucksweise, dargestellt. 

Ist ^ die Masse pro Flächeneinheit, so ist die zentrale Komponente 
der Anziehungsbeschleunigung, welche von dem mit AiBi = ds beschrie- 
benen Ringe herrührt, zufolge der Figur gleich 

dZ — 2« . DA^ . ds . ifc«^ . -^^- . 

Die Figur zeigt aber, dafs ds =■ Pul, . cosec-|- dm und D^, = P'J^ . sin oi 
ist. Hiermit folgt 

dX 2 nk^d" cosec-^^sin a <l(sin cd), 

und insofern sin co = r cos -^ : r ist, erhält man hieraus endlich 

Diese Gleichung zeigt bereits, dafs X umgekehrt proportional r * ist, weil 



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64 2* Kapitel. BeBtimmung der Abplattung ans SchweremessuDgen. 

bei veränderter Entfernung P'C==^r sich im Ausdruck für c2X nur der 
Nenner r* ändert, falls y und y + dy unverändert (nach Newton) bei- 
behalten werden. Damit ist also der eingangs angeführte Satz bewiesen. 
Übrigens hat die Integration gar keine Schwierigkeit; sie ergiebt X in 
der bekannten Form. (Newton vervollständigt den Satz auf andre Art in 
§ 114 a. a. 0. S. 194 und 195.) 

§ 7. Kugelfunktionen. Eine Eigenschaft der Eoefficienten P 
verdient, ehe wir unsere Betrachtungen über den Gültigkeitsbereich 
des Potentialausdrackes (7) § 5 S. 60 fortsetzen, an der Hand des 
Vorigen hervorgehoben zu werden. Wir entwickeln zu diesem Zwecke 
das Potential v für eine unendlich dünne, gleichstarke, homogene 
Kugelschale nochmals, aber unter Einführung der Reihe (8) § 1 S. 51 

für — in den Ausdruck (l) § 6 S. 60. Zugleich setzen wir dm=:Sr^drdaj 

wobei dö das Oberflächenelement einer zum Koordinatenanfang kon- 
zentrischen Kugel vom Radius 1 vorstellt. Damit wird 

v^k^^^ + [(rjyp,äa + (fffp,äc+...\k^&rär. (1) 

Nach dem vorhergehenden Paragraphen reduziert sich aber die 
rechte Seite auf ihr erstes Glied und wir erhalten daher, da dies für 
jeden Betrag von r <, r der Fall ist , als Resultat den Satz : Es ist 
das über die Kugeloberfläche ausgedehnte Integral 



/ 



P^da^O] «=1,2,3 (2) 

Hierbei ist zunächst Voraussetzung, dafs die Lage von da durch die 
Variablen q> und X angegeben, also da = cosg) d(p dl gesetzt wird. 
Da Pi aber symmetrisch ist zu q> und q>\ X und X\ so hat man 
auch, wenn da' =^ coBq> d^' dk' gesetzt wird: 



/ 



P,da'=0\ f = l,2, 3 (3) 

Betrachtet man jetzt die Ausdrücke § 4 S. 57 für i^,, P^ u. s. f., 
und denkt sich zugleich die Cosinus von (A — k') und seiner Viel- 
fachen aufgelöst, so erkennt man ohne weiteres, dafs die über die 
Kugeloberfläche erstreckten Integrale, insoweit sie von Gliedern her- 
rühren, welche X enthalten , verschwinden. Nicht unmittelbar ersicht- 
lich ist dies für die von k' freien Glieder; es sind das immer die 
zuerst stehenden. Hier hilft nun Gleichung (3) aus. 

Damit läfst sich weiter einsehen, dafs Gleichung (3) auch noch 
besteht, wenn man für Pt einen allgemeineren Ausdruck setzt, der 
aus Pi dadurch hervorgeht, dafs man in demselben 'die Funktionen 
von q> und k' beibehält, sie aber nicht mit gleichgebauten Funktio- 
nen von q> und k, sondern mit beliebigen, von q! und X freien 
Grofsen multipliziert. Bezeichnen wir diese Koefficienten allgemein 



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§ 7. Eugelfunktionen. 65 

mit p und q mit verschiedenen Indices und die ans den Pi hervor- 
gehenden Funktionen mit Af/, so ist nach S. 57 § 4 z. B.: 

K(^=^ Pi,Q sin 9?'+ (Pii cosA'+ ^m sinA') cosqp' 

K^ = p^4i ( sin* g)' S-) + (P2-i cos X + ^«.i sin A' ) sin 9' cos 9?' 

+ (p«.2 cos2A' + (?2.2 sin2A') cos* 9' 
f^z = P3.0 (sin' 9' — y sin 9?' ) 

+ (ps-i cosA' + ^3.1 sinA' ) (sin'qp' — y) cos (p 

+ (Ps« cos2A' + ^8.2 sin2A') sin 9' cos* 9' 
+ (pss cos3A' + ^5.3 sinSA') cos^9)' 

^4' = P4o(8inV' — Y sin>' + -^) 

Q 

+ (,Pa.i cos A' + q^.i sinA' ) (sin' 9?' — y sinqp') cos 9?' 

+ (P4.2 cos2A' + ^4.2 sin2A') (sin* 9 — y) cos* 9?' 

+ (P4.s cos3A' + ^4.5 sinSA') sin 9?' cos' 9)' 
+ (P4.4 cos4A' + q^ sin4A') cos* 9?'. 

Eine solche Funktion K' heifst Kugelfunktion und zwar je nach dem 
Index 1, 2, 3 . . . ersten ^ zweiten y dritten Ranges. Als Kugelfunktion 
nullten Ranges kann man ihnen hinzufügen K^ = Eonstante. 

Die Eugelfunktionen haben dadurch eine hohe Bedeutung erlangt^ 
dafs mau jede beliebige (sogar auch nicht analytische) Funktion 
zweier Variablen, welche wie Breite und Länge auf der Eugelfläche 
variieren, nach Eugelfunktionen entwickeln kann und zwar nur auf 
eine Art. Man weifs also z. B. vor jeder speziellen Untersuchung, 
dafs die Beschleunigung g im Niveau der Meeresfläche sich in der 
Form 

g = >r,'+ Ar/+ Ar/+ ^^3' + <+ . . . 

mufs darstellen lassen, wobei in obigen Ausdrücken der K' gesetzt 
werden dürfen an Stelle von tp' und A' auch die geographische Breite 
B' und Länge L\ während die p und q zu bestimmende Eonstanten 
bezeichnen. 

Setzt man in (7) § 5 8. 60 für cos* <p' das Aggregat |- + (y - sin* q>\ 

so bemerkt man sofort, dafs auch fV eine Entwicklung nach Eugel- 
funktionen ist. Die Eoefficienten derselben sind Funktionen von r 
und der Massenanordnung. Trennen wir r von den Eoefficienten ab, 
verstehen also unter K^\ K^. . . Ausdrücke wie oben die K\ worin nun die 
p und q nur noch von der Massenanordnung abhängen, und behalten 
wir für die Eugelfunktionen l. und 2. Ranges die entwickelteren 
Ausdrücke bei, wie sie in (7) aufträten, so wird 

Helmert, m*thein. n. phygik&l. Theorieen der hOh. Oeodftgie. II. 5 



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66 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 



r 



h + j. "''•'') 



[•die 2 ) , ., I /. IS 



+ 



^s' _L ^i 



+ Vr + - 



(4) 



Die 1. Zeile der grofsen Parenthese ist in Bezug auf 9' und k' kon- 
staut , sie entspricht also der Eugelfunktion nullten Ranges; die 2. 
und 3. Zeile sind Eugelfunktionen 2. Ranges. Es fehlt mithin die 
Kugelfunktion 1. Ranges; ebenso fehlen auch einige Glieder im Ver- 
gleich zu dem allgemeinen Ausdruck von Ä^j': ^"^® Folge der Wahl 
des Koordinatensystems. 

Die nach dem oben Entwickelten stattfindende Gleichung 



/' 



K;d6'==0', f = 1,2,3... (5) 

stellt eine interessante Eigenschaft der Kugelfunktionen dar^ von der 
wir sogleich auf W eine Anwendung macheu. 

Betrachtet man nämlich das Potential W für alle Punkte P' einer 
Kugelfläche^ so findet sich, dafs das konstante Glied der Entwicklung (4) : 



Mk^ 



h + A. "'^''\ 



(6) 



der Mittelwert aller W für diese Fläche ist. Um zu diesem Wert zu 
gelangen, hat man den Quotienten 



/ ^r'' da : ir^ 



da 



zu bilden, indem man die Anzahl der fV für ein Oberflächenelement 
r^da' diesem proportional setzt. Da r^ konstant ist, fallen alle In- 
tegrale im Zähler, welche sich auf Kugelfunktionen beliebigen Ranges 
> null beziehen, nach Gleichung (5) weg, und es bleibt in der That 
nur dasjenige übrig, welches sich aus dem konstanten Anfangsglied 
der grofsen Parenthese in (4) ergiebt. 

Ebenso ist in der oben aufgestellten Entwicklung von ff das Au- 
fangsglied I^q der Mittelwert aller Werte ff für alle Punkte {<p\ A') 
oder (^, Z'), wenn man sich diese auf einer Kugelfläche ausgebreitet 
denkt. 

Im einzelnen schwanken W und g um ihre Mittelwerte herum 
nach Mafsgabe der von den Kugelfunktionen gegebenen Änderungen. 
Diese sind mit der Lage von P' periodisch veränderlich und zwar 
ist die Periode um so kleiner, je höher der Rang der Kugelfunktio- 
nen ist. 



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§ 7. Kugelfunktlonen. 67 

Wegen der Konvergenz der Reihen müssen im allgemeinen die 
Koefficienten (Amplituden) der Eugelfunktionen höheren Ranges klei- 
ner sein als diejenigen der Eugelfunktionen niederen Ranges. 

Einen Beweis des Satzes von der Entwickelbarkeit beliebiger Funktio- 
nen nach Eugelfunktionen gab Dtrichlet 1837 in Grelles Journal für reine 
und angewandte Math. Bd. 17 S. 35 — 56; derselbe ist auch abgedruckt in 
seinen Vorleswngen S. 165—176. Über andere Beweise vergl. Heyne, Theo- 
rie der Kugelfimktionen, 2. Auflage, Berlin 1878, S. 432-441 und JS, Bnms 
in Borchardts Journal für reine und angewandte Math. 1881, Bd. 90 
S. 322—328. 

Auf diese schwierigen, rein mathematischen Darstellungen können wir 
hier nicht eingehen, um aber die Möglichkeit der Existenz des Satzes 
zu erkennen, reproduzieren wir eine Darstellung von Dirichlet, Vorlesungen 
S. 73 u.ff. (auch bei Riemann, auf S. 350 und 351 in Schwere^ JElektricität und 
Magnetismus, bearbeitet v. Hattendorff), welche zwar nicht durchaus ein- 
wurfs^ei ist, aber auch von Dirichlet benutzt wurde, um auf den Satz 
hinzuweisen. 

Wir denken uns demgemäfs auf einer Eugelfläche vom Radius r Masse 
ausgebreitet, so dafs im Punkte mit der Breite ip und Länge X die Dichtig- 
keit ^, d. i. die Masse für die Flächeneinheit, der gegebenen Funktion 
fi^t Z) gleich ist. Dann hat man das Potential der Anziehung auf einen 
aufserhalb gelegenen Punkt (r , g?', X') nach Gleichung (8) § 1 S. 51 gleich : 



'^'^^ly-y^'' f^^fKf(9,^)oosq>d<p, 



-f 



wobei zu beachten ist, dafs das Flächenelement auf der Kugel die Form 
r* C06 <p dXdqt annimmt und Pq gleich 1 wird. 

Für einen Punkt (r , <p\ X') innerhalb ergiebt sich dagegen nach (10) 
§ 1 S. 52: 






v^k^r^ (I-Y . fdX /P, f(q>,X) cos <p dip 



Nun läfst sich zeigen, dafs* der 1. Differentialquotient von v nach r\ 
wenn der angezogene Punkt von aufsen nach innen durch die Fläche 
hindurchgeht, den Sprung — Ank^^ macht, was wie folgt ausgedrückt 
werden kann: 



\dr /r'=r+0 \dr /r=:r-0 



Der Beweis wird ganz ebenso wie für den Satz (4) § 19 S. 30 geführt. 
Dies zeigt ein Blick auf die Formeln (7) § 16 S. 24 und den Anfang des 
§ 18 S..26. 

Setzt man in die letzte Gleichung linker Hand im 1. Glied den ersten 
Wert von v, im 2. Glied den zweiten, und nimmt nach geschehener 
Differentiation r = r, so folgt -^, d. i. die Dichtigkeit im Punkte (qp', X') 
der Eugelfläche, gleich 



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68 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 






/■(«p'. 1') = 2 ~^j^^j-^* ^'''* *^ "'"' '' '*''• 



(7) 



-=- If 



Die einzelnen Glieder rechter Hand sind aber fQr n =» 0, 1, 2 . . . wegen 
Po = 1 «iid mit Rücksicht auf die, Seite 57 angegebnen Werte von P„ P, 
u. 8. f. genau von der Form der oben eingeführten Funktionen K\ Wir 
haben also f{(p, X'\ nach Kngelfunktionen entwickelt und zugleich eine 
neue Darstellung derselben gewonnen. 

Bedenken erregt bei vorstehender Herleitung die Anwendung der 
beiden Entwicklungen von v auf den Fall r = r, wofür sie als gültig 
nicht bewiesen sind. Die rein mathematischen Beweise befreien aufser 
hiervon auch von der Beschränkung, dafs die überall endliche Funktion 
f{(p^ X) allenthalben stetig verläuft 

Die wichtigsten Sätze, die bei der Entwicklung nach Eugelfonktionen 
in betracht kommen, sind in § 28 dieses Kapitels zusammengestellt. 

§ 8. Der Einflufs des Luftmeeres auf das Potential W der 
Schwerkraft. Nach Gesetzen der Hydrostatik ist im Zustande der 
relativen Ruhe jede das Luftmeer durchschneidende Niveaufläche zu- 
gleich eine Fläche gleichen Druckes und gleicher Dichtigkeit; letztere 
nimmt nach aufsen hin ab. Nehmen wir die Niveauflächen als Kugel- 
flächen und sehe]i davon ab, dafs die Unregehnäfsigkeiten der phy- 
sischen Erdoberfläche den Verlauf der Luftschichten unterbrechen, so 
läfst sich der Einflufs der Luft auf W in aller Strenge angeben: die 
Luft aufserhalb der durch den angezogenen Punkt P' führenden Niveau- 
fläche zieht gar nicht an ; die Luft innerhalb zieht so an, als ob ihre 
Masse im Mittelpunkt vereinigt wäre. 

Die Masse der Luft von der äufseren Grenze des Luftmeeres bis 
zur Niveaufläche mit dem Barometerstand 6 '"ist näherungsweise gleich 

4cnR^. 13,6.^, (1) 

wenn als Masseneinheit 1 Kubikmeter Wasser angenommen wird. Zu 
diesem Werte gelangt man, wenn man den Radius aller Niveauflächen 
im Luftmeer konstant gleich Ä, dem mittlem Radius der physischen 
Erdoberfläche setzt und beachtet, dafs 13,6 das spezifische Gewicht 
des Quecksilbers ist. Femer ist die Masse der Luft von der Niveau- 
fläche .mit dem Barometerstand h "* bis zur physischen Erdoberfläche 
d. h. bis zur Meeresfläche, da von den Unregelmäfsigkeiten jener 
abgesehen werden soll, gleich 

4ää2. 13,6(0,76- &), (2) 

da b im Meeresniveau nahezu 0,76*" beträgt. 

Die Masse der Erde innerhalb der physischen Erdoberfläche ist 
aber sehr nahe gleich 

^nRKbfi-, (3) 



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§ 8. Der Einflufs des Luffcmeeres auf das Potential W der Schwerkraft. 69 

demnach ist die gesamte Luftmasse im Verhältnis zu dieser Erdmasse 
gleich dem kleinen Bruche 

8. 13,6.0,76 j . j 1 /.x 

Dagegen ist z. B. die Luftmasse zwischen den Niveauflächen mit 
h = 0,76"» und 0,50"», ungefähr den Meereshöhen null und 3500"» 

entsprechend, mit Rücksicht auf (2) nur ^^ der Erdmasse. 

Nur diese Luftmasse aber wird nach dem eingangs Qesagten auf 
Punkte zwischen null und 3500"» Meereshohe verschieden wirken ; für 
die Höhe null wirkt sie gar nicht, für 3500"» Höhe wirkt sie, als wäre 
sie im Erdschwerpunkt vereinigt. Jedoch ist die DiflFerenz dieser Wir- 
kungen eben nur »^^^^ der Schwerkraft. 

Diese Betrachtungen dürften zur Genüge zeigen, dafs man bei 
der theoretischen Behandlung der Schwerkraft auf der physischen 
Erdoberfläche von der Wirkung der Luft absehen kann, da dieselbe 
wenigstens innerhalb der oben durchgeführten Annäherung so klein 
ist, dafs sie durch Fehler in der Beobachtung der Schwerkraft ganz und 
gar verdeckt wird. Es kommt hinzu, dafs in allen Fällen gröfserer 
Meereshöhe, wo die Anziehung der Luft überhaupt erst zu erw^en 
ist, bei der Reduktion der beobachteten Schwerkraft auf das Meeres- 
niveau üngenauigkeiten eintreten, die die Beobachtungsfehler weit 
übersteigen. 

Nun sind allerdings unsere Betrachtungen insofern unrichtig, als 
sie die Luftschichteji gleicher Dichtigkeit als konzentrische Kugel- 
flächen voraussetzen und davon absehen, dafs die Erhebungen der 
physischen Erdoberfläche über das Meeresniveau die Luftschichten 
unterbrechen. Da jedoch die Eugelform jedenfalls eine Annäherung 
ist, so wird auch die oben ermittelte Gröfse des Unterschieds der 
Wirkungen einer Luftschicht zwischen zwei Flächen verschiedenen 
Barometerstandes auf einen Punkt aufserhalb und innerhalb einen 
Näherungswert des thatsächlichen Wirkungsunterschiedes vorstellen — 
dies bedarf wohl keines Beweises (geht übrigens aus den Newtonischen 
Betrachtungen über die Anziehung von Kugelschalen, Anm. S. 62, 
unschwer hervor). Was ferner den Einflufs der Unterbrechungen der 
Luftschichten durch das Terrain anlangt, so ist leicht ersichtlich, 
dafs derselbe für Punkte der physischen Erdoberfläche nur eine Ver- 
minderung der oben berechneten Wirkungen erzeugt, weil auf hoch- 
gelegenen Terrainpunkten die anziehende Wirkung der vom Terrain 
verdrängten benachbarten Luftmassen fehlt (und diese nach Anm. S. 63 
etwa halbsogrofs ist wie die Gesamtauziehung der betreffenden Schich- 
ten). Aufserdem kombiniert sich dieser Einflufs mit der Anziehung 
des Terrains selbst, welche wegen der Unsicherheit der Dichtigkeits- 



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70 2* Kapitel. Bestimm ung der Abplattung aus Schweremessungen. 

bestimmung sieht so genau angegeben werden kann, dafs dagegen 
die Anziehung der verdr&ngten Luftmassen eine Bedeutung gewinnt. 
§ 9. Erweiterung des Gültigkeitsbereichs der Reilienent- 
wicklung für fT. Indem wir nach dem Vorhergehenden keine wei- 
tere Bücksicht auf das Luftmeer nehmen^ erstreckt sich der Gültig- 
keitsbereich des Ausdrucks (7) § 5 S. 60 für das Potential W der 
Schwerkraft von aufsen her bis zu einer zum Erdschwerpunkt konzen- 
trischen Eugelfiäche; welche die physische Erdoberfläche gerade noch 
völlig umschliefst. Wenden wir den Ausdruck auf einen Punkt P 
innerhalb dieser Eugelfläche an, so verliert er in Strenge seine 
Brauchbarkeit, auch wenn dieser Punkt noch aufserhalb der physischen 
Erdoberfläche liegt, wie wir zunächst voraussetzen wollen. Dies folgt 
ohne weiteres aus der Betrachtung des Anteils eines Elementes dm 
der Masse der Erde am Potential W^ wenn für dieses Element r>r 
ist; solche Elemente werden aber existieren, sobald der Punkt P' 
innerhalb der umschliefsenden Kugel liegt. Denn während Ausdruck 

(7) § 5 für y die Formel (8) S. 51 voraussetzt, d. i. 

i-f{.+fp,+(fr''.+--i- (■) 

mufs eigentlich für jedes Teilchen, dessen r > r ist, angewandt werden : 

-L_j.(i+/:f,+(i)V, + ...|. ,2, 

Die erste Reihe divergiert sogar für r > r', weil dann r : r > 1 ist 
und somit die Faktoren der Koefficienten P ins Unendliche wachsen. 
Für einzelne Fälle kann man sich von der Divergenz leicht über- 
zeugen, z. B. für cos y = — 1 (der Fall -|- 1 kommt nicht vor) und 
für cos y «= null; (sie ergiebt sich aber auch allgemein aus dem Um- 
stand, dafs mit Rücksicht auf die Anmerkung zu § 2 S. 53 bei un- 
endlich anwachsendem Index n des Koefficienten Pn nach Formel (4) 
daselbst dieser Eoefficient mit ^1 : n abnimmt, also weit langsamer 
abnimmt, als sein Faktor (r : r')*» zunimmt, wie wenig auch r : r die 
Einheit überschreiten mag). 

Trotz dieser Divergenz für einzelne Massenteile kann aber doch 
bei der Integration über einen Körper, abgesehen vom wirklichen 
Erdkörper, ein konvergentes Resultat entstehen, welches nun das 
Potential bis zur Oberfläche darstellt. Dies läfst sich z. B. für ein 
homogenes Rotationsellipsoid nachweisen (vergl. § 29 dieses Kapitels). 
Hiemach würde also Ausdruck (7) § 5 bis zur physischen Erdober- 
fläche gelten, falls die Masse zwischen dieser und einer ihr ein- 
geschriebenen Eugelfläche als zu einem oder mehreren, zum Erd- 
schwerpunkt konzentrischen und zur Rotationsaxe koaxialen, homo- 
genen Rotationsellipsoiden gehörig betrachtet werden könnte. Ohne 



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§ 9. Erweiterung des Gültigkeitsbereichg der Reihenentwicklung für W. 71 

weiter an einer solchen Annahme festzuhalten, ersehen wir doch 
soviel, dafs der betrachtete Ausdruck nur dann bis zur physischen 
Erdoberfläche Anwendung finden kann, wenn wir davon absehen, 
durch ihn das Potential streng darzustellen und uns vielmehr be- 
gnügen, ihn auf eine gewisse, nicht ohne weiteres angebbare, jeden- 
falls aber die Unregelmäfsigkeiten der Massenlagerung in der Nähe 
der physischen Erdoberfläche irgendwie ausgleichende, ideelle Massen- 
lagerung zu beziehen — wobei wir zu der Nähe der physischen 
Erdoberfläche mindestens den ganzen Raum zwischen ihr und einer 
berührend eingeschriebenen , zum Erdschwerpunkt konzentrischen 
Eugelflache zu rechnen haben. Da wir jedoch demnächst die Gültig- 
keit des betrachteten Potentialausdruckes sogar bis zur mathema- 
tischen Erdoberfläche annehmen werdeti, wollen wir uns sogleich die 
letztgenannte Eugelflache der mathematischen Erdoberfläche einge- 
schrieben denken. 

Welcher Fehler im Potential durch eine gewisse, zweckmäfsige 
Art der Idealisierung der Massenlagerung entsteht, wird im nächsten 
Kapitel eingehend untersucht werden. Wir können hier im voraus 
erwähnen, dafs diese Idealisierung lediglich eine Reduktion der auf 
der physischen Erdoberfläche beobachteten Schwerkräfte erfordert, 
während die Flächen bestimmten Potentialwertes nur unerheblich 
durch dieselbe verändert werden. Die Formel für die Schwerebeschleu- 
niguDg im Meeresniveau unter der geographischen Breite Bz 

g = 9,7806 "» (1 + 0,0052 sin^ B) , (3) 

welche den Beobachtungen nach bisher augestellten luterpolations- 
rechnungen bis auf lokale und kontinentale Abweichungen von einem 
im Vergleiche zur Breiten Variation mäfsigen Betrage genügt, kann 
als auf die Massenidealisierung passend angesehen werden , doch wer- 
den wir im 3. Kap. die Konstanten der Formel etwas modifizieren, 
sowie es der eingeführten Idealisierung am besten entspricht. 

In diesem Kapitel werden wir nunmehr die Zulässigkeit der Ent- 
wicklung (7) § 5 S. 60 bis zur mathematischen Erdoberfläche einfach 
voraussetzen. Unsere Aufgabe ist es jetzt, die Konstanten dieser 
Entwicklung aus der Formel (3) oder einer ähnlichen, den Schwere- 
beobachtungen entsprechenden, herzuleiten. Da der Ausdruck für // 
kein ganz strenger ist, so vereinfachen wir das Verfahren dahin, von 
der Entwicklung (7) § 5 versuchsweise nur die ersten Glieder anzu- 
setzen, also eine starke Konvergenz dieser Entwicklung, entsprechend 
der starken Konvergenz der Reihe für g, anzunehmen. 

Die vereinfachten Ausdrücke für fF bezeichnen wir mit U, Bei 
der Ausführung der Rechnung ist von Wichtigkeit, dafs wir auf 
grund von astronomischen Messungen wissen, dafs die physische und 
die mathematische Erdoberfläche im wesentlichen Kugelform haben 



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72 2* Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Scbweremessungen. 

und zwar konzentrisch zum Erdschwerpunkt (vergl. das 6. Kap. § 1). 
Hiemach entspricht in der Nähe der physischen Erdo.berfläche einem 
konstanten r ein nahezu konstanter Wert von W und also auch von l}\ 

es mufs daher das 1. Glied — j— in dem Potentialausdruck (7) § 5 

beträchtlich über die anderen , welche alle wesentlich periodisch sind^ 
dominieren. Erst hierdurch wird es überhaupt möglich, aus ü einen 
Ausdruck für g herzustellen^ wie man sich leicht durch einen Ver- 
such, ohne diese Kenntnis zu rechnen^ überzeugt. 

§ 10. Erste Annäherung fUr das Potential W (aufserhalb). 

Wir setzen versuchsweise 



^=.^^ 



1+^(1 -3 sin» 



(1) 



Hierin sind die Koordinaten des angezogenen Punktes mit r^ fp und l 
bezeichnet. Ferner ist gesetzt 

AT ^. (2) 

M 

My.A,B und C bedeuten die Masse bezw. die Hauptträgheitsmo- 
mente für die ideelle Massen Verteilung. Ay B und C sind also nicht mehr 
in Strenge Trägheitsmomente der Erde, aber doch sehr nahe. Es wird 
später zu untersuchen sein, inwieweit die idi^elle Massen Verteilung 
die Trägheitsmomente ändert und etwa auch den Schwerpunkt ver- 
schiebt. 

Nennen wir die Flächen konstanten Wertes ü Niveausphäroidej 
so zeigt die Formel, da(s die Niveausphäroide U zu ihren Äquator- 
ebenen symmetrisch sind, weil nur sin^^ und cos^g? vorkommen. 

Um nun aus U einen Ausdruck für die Beschleunigung g der 
Schwerkraft abzuleiten, sowie die Richtung derselben anzugeben, 
denken wir uns den angezogenen Punkt der Reihe nach in drei zu 
einander normalen Richtungen verschoben. 

Zunächst in Richtung von r, also bei konstantem (p und X, um dr; 
alsdann bei konstantem r und A auf einem Kreise- durch die z-Axe, 
also einem Meridiankreise der geozentrischen Kugel vom Radius r, 
um rdq>\ endlich bei konstantem r und (p auf einem Kreise, dessen 
Ebene normal zur z-Axe steht, einem Parallelkreise, um rcos^dA. 
Nach S. 9 § 6 sind die Ausdrücke 



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§ 10. Ente AnnäheruDg für das Potential W (aurserhalb). 



73 



ü, 



du 

dr 
=-?^ 



(3) 



«7,= 



du 



reoBip dl 

die Komponenten von gr, welche in die Richtung der Yerschiebungeu 
dr, rdtp und raoitpdX fallen. Da diese Richtungen normal auf- 
einandersteben, haben wir 

,g^^ü,^-\-ü^-\-ü,\ (4) 

Ein Blick anf (1) zeigt, dafs 272 und ü^ klein gegen U^ sind, 
wenn die Parenthese rechter Hand daselbst naheza den Wert eins 
hat, wie wir nach den Bemerkungen am Schlüsse des vorigen Para- 
graphen fQr die Nähe der physischen Erdoberfläche annehmen müssen. 
Es wird demnach ans der Gleichung 

mit Rücksicht darauf, dafs g positiv gerechnet wird, ü^ sich aber 
negativ ergiebt, erhalten: 



9 



-^.(l + 



Pt' + O,» 



+ ...) 



(6) 



Vernachlässigen wir Gröfsen der Ordnung des Quadrates der zur Ein- 
heit in Formel (l) rechter Hand tretenden Glieder d. h., wie wir 
demnächst sehen werden, Grofsen der Ordnung des Quadrates der 
Abplattung der Niveausphäroide, also Grofsen 4. Ordnung, so folgt 
weiter : 

Dies führt zu der Formel: 



9 = 



Mk^ 



1+1^(1 -3 sin» 
+ 42fr« cos>cos2A 



Mk'^ 



cos^9? + . 



0) 



Da wir nun g für ein' bestimmtes Niveausphäroid, dessen ü gleich einer 
Konstanten W^ ist, haben wollen, so ist in (7) r durch fV^ auszu- 
drücken. Nach (1) ist aber 



Mk^ 



1+^(1 



+ 
+ 



2rt V- 3 sin» 
S(B — A) 



4itfr« 



cos'^ cos 2A 



2Mk' 



cos^9? 



(8) 



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74 ^' Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Wird dieser Wert von r in (7) substituiert, so gelangt man mit 
gleichen Vernachlässigungen wie bisher zu der Formel: 



ff^- 



Wo* 



Mk" 






(9) 



Die Genauigkeit ändert sich hierin nicht, wenn für r in der Paren- 
these irgend ein, dem betreffenden Niveauspharoid angehöriger Wert 
des Radiusvektors substituiert wird. Aufserdem können wir zufolge 
einer leicht ersichtlichen Transformation setzen: 



^=Ä(i+ 



2a)«r» 



2r« 



Mk* 



f...) 



, / 2a>«r» SK\ 



2r»/ 



sin'g) 



^Tiifrf^ co8^ycos2X+... 



(10) 



und hierin endlich B, die geographische Breite^ mit der geozentrischen 
Breite 9? vertauschen. Denn man erkennt ohne weiteres, dafs die Richtung 
der Resultante g von derjenigen der grofsen Komponente U^ nur um 
eine Gröfse der Ordnung /(/.,* -f- ^s^ • ^i abweicht und dafs die Unter- 
schiede von fp und B, sowie von sin^g) und siu'^ die gleiche Ord- 
nung besitzen. 

Vergleichen wir die Formel (10), in welcher also B für g) gesetzt 
zu denken ist, (wonach aber beachtet werden mufs, dafs in der Diffe- 
renz (B — A) der Buchstabe B nicht die Bedeutung der geographischen 
Breite hat), mit dem Ergebnis der auf das Meeresniveau reduzierten 
Schwerebeobachtungen 

g = 9,7806"* (1 + 0,0052 siu^^) , (11) 

so zeigt sich, dafs der Ausdruck ü in der Tbat ausreicht, um dieses 
Ergebnis bis auf kleine, der Ordnung der lokalen und kontinentalen 
Abweichungen in g völlig entsprechende Grölsen darzustellen. Es 
erübrigt nur, die in ü auftretenden Eonstanten durch diejenigen von 
(11) darzustellen. 

Als erstes Resultat erweist sich die Relation {B — ^) <= null, oder 

Ä^B . 

Hiernach sind die Trägheitsmomente für die x- und y-Axe, d. h. für die 
beiden Äquatoraxen, einander gleich. Für die Erde hat diese Gleichung 
allerdings nur die Bedeutung einer Näherungsrelation, da die Formel 
(11) keine ganz strenge ist und nach früheren Bemerkungen A und B 
nicht vollständig den Trägheitsmomenten für die beiden in der Äquator- 
ebene liegenden Hauptaxen zu entsprechen brauchen. Jedenfalls sind 
aber die beiden Trägheitsmomente der Erde für die beiden Aequator- 



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§ II. Theorem von ClairaiU. 75 

Hauptaxen in erster Annäherung einander gleich. (Damit sind nach 
den Lebren dier Mechanik überhaupt die Trägheitsmomente für beliebige 
Aquatoraxen in erster Annäherung einander gleich.) 

Wird in (1) die Differenz {B — Ä) gleich null gesetzt, so* ver- 
schwindet die geozentrische Länge A aus dem Ausdruck für Uy d. h. 
die Niveausphäroide^ somit auch die Niveauflächen selbst, sind in erster 
Annäherung zur Aquatorebene symmetrische Rotationsflächen mit der 
Erdaxe als Drehaxe. 

§ 11. Fortsetzung: Theorem TOn Clairaut. Wir können 
jetzt als erste Annäherung für das Potential W (aufserhalb) setzen: 

«^=-^(]+^0-38in» + ^co8»9'l- (1) 

Hieraus folgt, wenn in der Klammer für r der Äquatorialhalbmesser a 
eines Niveausphäroids U ^=^ W^ gesetzt wird: 






ferner ergiebt sich mittelst (7) und (10) des vorigen Paragraphen: 

^^^(l+U(l_38m',p)-^Jco8> + ...) (3) 

und 

Die erstere Formel giebt g allgemein im Puukte (r,^), die letztere 
im Punkte tp eines Niveausphäroids U =^ Wq, In den Parenthesen 
von (3) und (4) sind, ebenso wie in (2) und (2*), Glieder von der 
Ordnung des Quadrates der Grofsen (ai^a^ : Mk^ und K i a^ vernach- 
lässigt, d. h. Gröfsen der vierten Ordnung, wenn jenen die zweite 
Ordnung zugeschrieben wird. 

Es sei nun für ein Niveausphäroid ü ^=^ W^ durch Beobacht- 
ungen gegeben: 

^ = ^«(l + hsin2^), (5) 

so ist, wenn dem Eoefficienten \^ die zweite Ordnung beigelegt und 
von Gliedern vierter Ordnung in der Parenthese abgesehen wird: 

^=^-(l + ksm>+...)- (5*) 

Schreiben wir aufserdem für den Radiusvektor r, ebenfalls abgesehen 
von Gliedern vierter Ordnung: 

r = fl(l — fl8in2<p + ...), (6) 

so zeigt die Vergleichung mit (4) bezw. (2*), dafs 



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76 2. Kapitel. Bestimmuog der Abplattung aus ScbweremesBUDgen. 

Die Vergleichung von (5*) nnd (3) zeigt auTserdem, dafs bis auf 
Glieder zweiter Ordnung in der Parenthese 

• ffa=^(i +...). (9) 

Mit Benutzung dessen erhalten wir aus (7) zur Bestimmung von K 
die bis auf Glieder vierter Ordnung genaue Relation: 

|g. = 2c-k+... (10) 

und zur Bestimmung von a aus (7) -{- (8) die ebenso genaue Relation: 

fl + b = |c+..., (11) 

wobei der Grofse c die nachstehende Bedeutung beigelegt ist: 

t = ^. (12) 

Bedenkt man, dafs oal^a die Zentrifugalbeschkunigung am Äquator 
des Niveausphäroids vorstellt und dafs deren Verhältnis zur Scbwere- 
beschleunigung Qa daselbst^ wie wir weiterhin ausführlich berechnen 
werden, für die Meeresfläche nahe gleich Y^gg ist, berücksichtigt mau 
ferner den der Meeresfläche entsprechenden Wert von b gleich 0/X)52, 
so sind nach (10) und (11) K : a^ und ü in der That für alle Niveau- 
sphäroide (aufserhalb) m der Nähe der physischen Erdoberfläche 
Grolsen zweiter Ordnung und es ist damit die angegebene Grofsen- 
ordnung der vernachlässigten Glieder in den Formeln dieses Para- 
graphen bestätigt. 

Die Gröfse a ist nun bis auf Glieder vierter Ordnung zufolge 
(6) die Abplattung des Niveausphäroids (J = W^'^ die Formel (11) 
giebt daher ein Mittel zur Berechnung der Abplattung des der Meeres- 
fläche zugehörigen Niveausphäroids und also auch in erster Annähe- 
rung der Abplattung der Meeresfläche selbst aus der den Schwere- 
beobachtuugen im Meeresniveau entsprechenden Formel. In Worten 
hat man zufolge dieser Formel: 

IDie AbplaUwng ^ , Zunahme der Schwe rkraft vom Äquator bis zum Pol 
der Meeresfläche J "* Schwerkraft am ÄqwUor 

h^ ZerUrifugälkraft am Äquator 
2 Schwerkraft am Äquator 

Dieser (keineswegs ganz strenge) Satz wird nach seinem Ent- 
decker das Theorem von ClairatU benannt Der Satz wurde 1738 ver- 
öffentlicht. Über die Art seiner Ableitung durch den Erfinder vergl. 
§ 26 dieses Kapitels. 



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§ 12. Fortsetzung: Theorem von Clairaut. 77 

§ 12. Theorem von Clairaut fOr ein Nlveausphärold mit 
dem Potentlalausdruek 



u^^^ 



+ TT (8111*9 — y sin»<p + ^^ 



(1) 



Entsprechend dem Umstände; dafs bereits von einigen versucht 
worden ist^ in der Formel für die Beschleunigung g im Meeresniveau 
ein Glied mit der vierten Potenz des Sinus der geographischen Breite 
aufzunehmen , haben wir denf Ausdruck für ^ in § 10 noch das von 
der geozentrischen Länge freie Glied der Kugelfunktion vierten Ranges 
beigefügt, vergl. (4) S. 66 und K^ S. 65; für ^4.0 ist D geschrieben. 
Die Niveausphäroide verlieren hierdurch ihren Charakter als zur Äqua- 
torebeue symmetrische Rotationssphäroide nicht. 

Der Koefficient D ist aus den Schwerebeobachtungen abzuleiten. 

Wir nehmen einstweilen an, dafs —^ die vierte Ordnung hat, während 
wie bekannt -j- und -^, für die Nähe der physischen Erdoberfläche 
die zweite Ordnung besitzen. 

Wir könnten nun so vorgehen^ dafs aus (1) zunächst die Polar- 
gleichung der Meridiankurve abgeleitet und alsdann der Ausdruck für g 
aufgestellt würde. Anstatt aber hierauf als letzte Folgerung das Theo- 
rem von Clairaut zu entwickeln, ziehen wir es vor, mit diesem zu 
beginnen. Es tritt dadurch in einfacherer Entwicklung und von vorn- 
herein in eleganterer Form auf. 

Wenden wir (1) auf Äquator und Pol an mit r ^^ a, sin^ = 0, 
cos 9 = 1 bez w. r = b^ sin y == 1 , cos g? = , so giebt die Gleich- 
setzung beider Werte von U ohne Schwierigkeit: 

h a '^ 2a» ' 5« "t" 23fÄ» » 36 a» 36 b^ ' 

Hierin setzen wir b = a{l — a), wobei a die Abplattung bezeichnet^ 
and erhalten mit Vernachlässigung von Gröfsen sechster Ordnung: 

.«(! + «) = IJ (1 + 2«) + i^i -^ + Gl,. (2) 

Differenzieren wir ü nach r, so giebt dies, abgesehen vom Vor- 
zeichen, für Äquator und Pol sofort die Beschleunigung g selbst, weil 
an diesen Stellen der Radiusvektor die Richtung der Normale annimmt. 
Es wird bezw.: 

M¥ /. ZK , 82) \ 



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78 2* Kapitel. BestimmuDg der Abp atking ans SchweremeBSungen. 

oder 

^. = ^'-(l + 2fl + 3tt»— '^ [1 +4«] + !§-+ «.). 

Man hat daher 

-|;^==fl(2 + 3«)- -1^(3 + 8«) + ^+^+<?/e .(4) 

Aus (4) + 3 X (2) folgt ohne weiteres : 

Dividieren wir diese Gleichung mit 1 + -^-j — ^tT > ^^ Ä®'*^ ^^® 
mit Rücksieht auf (3) über in 

oder nach Elimination von A^ mittelst (2) und unter Einführung ab- * 
kürzender Bezeichnungen: 

ö + h = |c ~ fl(ö + [ t) + I J + ö/e . (5) 

Hierin haben die Gröisen ü, b, t und II nachstehende Bedeutung: 

H =a JL;z — s= Abplattung , 

r 9p'- 9a J^imoÄmc <i«r Sc hwerkra ß vom ÄqwUor Ins ettm Pol 

9a Schwerkraft am Äquator 

o'g Zentrifugalkraft am Äquator 

Qa Schwerkraft am Äquator ' 

^ = ^> 
wobei D noch der Bestimmung aus der Formel fQr die Schwerkraft 
im Meeresniveau bedarf. 

Aus (5) und (2) kann man durch Elimination von ü noch eine 
Gleichung für A" : ö^ ableiten, die wir mit Benutzung der Relation 

Mk^ = ^ m« = ^ (1 +-25r - ^ + ^^0 W 

zunächst in der Form 

erhalten. Hieraus folgt mit Benutzung der Delation 
a + h = 1 1: + (?/4 

zum Zwecke der Elimination von b aus den Gliedern vierter Ord- 
nung (was die Formel vereinfacht): 



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§ 13. PolargleichuDg der Meridiankurve för das Niveansphäroid ü=» Wq 79 
"J = 2f--h-2Ä^ + |r^ + yJ+^/6. (7) 



2 

Zugleich geht (6) über in 



c(l + c - h + GU) , (8) 



eine Gleichung, der wir zur Reduktion bei Entwicklungen weiterhin 
bedürfen. 

§ 13. Polai^leichung der Meridiankurve fßr das Nlveau- 
sphärold U =Wq, wobei 

Hierin bezeichnet s den sin q) . Setzen wir nun an : 

r = «(l ~ 03.^ + Ä,.4 _...), (2) 

so ist die Abplattung ^ 

fl = U, - a, + . . . . (3) 

Um Ö2, 04, ... zu bestimmen, führen wir in (1) für r den Aus- 
druck (2) ein, wobei es vorteilhaft ist, in (l) zuvor das r vor der 
Klammer rechts nach links zu bringen. Es folgt mit Rücksicht darauf, 
dafs a4 eine Gröfse vierter Ordnung sein mufs: 



-J^(l-M' + «4^^- 



1 +,4.0-30(1 +2a,s^) 






(4) 



Indem wir die Faktoren gleich hoher Potenzen von $^ linker und 
rechter Hand nach Ordnung der rechten Seite einander gleich setzen, 
erhalten wir: 

'fo« 1 i_ ^ I J*>' I ^. -^ A. rt 
m« ^- ^ "+■ 2a« "T- 5j3f^t -r 35 ^1 i- ^'« » 

Ä ^0« _ ^ /3ö)«a^ 3Jr\ , i> , ^, 

Da wir a im vorigen Paragraphen bereits entwickelt haben, so 
ist von diesen Gleichungen nur die erste und dritte noch zu benutzen. 
Sie geben: 

oder unter Elimination von K mittelst (2) des vorigen Paragraphen, 

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80 2. Kapitel. Bestimmnng der Abplattaog ans Schweremessungen. 

sowie unter Substitution von n für ^2? ''on t für a^a^ : Mk^ und von 
J für /> : ö^ , 

Ä4=Ä(|i:-2a) + ll + ^/e, (6) 

oder endlich nach (5) des vorigen Paragraphen mittelst Elimination 
von t: 

Ä4-=a(h-Ä) + ll + ^/e. (6») 

Die Gleichung der Meridiankurve des Niveausphäroids wird hier- 
nach mit Vernachlässigung von Gliedern sechster Ordnung die folgende: 

r = a ( 1- [fl(l +h—il)+ll] sin'y + [a(b-Ä)+ll] sin V -...)• (7) 

Hierzu giebt die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen die Ab- 
plattung lt. Ferner stellt die erste Gleichung (5) dieses Paragraphen 
die Beziehung zwischen a und W^ her, wobei Mk'^ mittelst (3) des 
vorigen Paragraphen eliminiert werden kann. Es hat aber die Eni- 
/ Wicklung dieser Beziehung hier weiter keinen Wert. 

Für eine Eltipse mit dem Äquatorialhalbmesser a und der Ab- 
plattung n können wir nach Bd. 1 S. 60 (6) und mit Rücksicht auf 
die Bedeutung von d nach Bd. 1 S. 38 o. ansetzen : 

r = ajl~ö(l + |-Ä) sin> + -| Ä^ sin^y -...). (8) 

Verstehen wir unter ru den Radiusvektor des Sphäroids, uuter rs den 
des Ellipsoids, so ist 

r„ - ve^ a [[a (y Ä - b) - H] ~sin22<p -f (?/«} . 00 

Für sin^ 2^=1 d. h. y = + 45® erlangt ro — Te seinen Maximal- 
wert und zwar wird 

{ru-rE)nu^ = \a[a (|fl - b) _ J + Gl, ) . (10) 

§. 14. Formeln fftr die Beschleunigung^ der Schwerkraft 
in Bezug auf das Niveausphäroid U = JV^*^ Bestimmung von Ii. 
Wenn wir denselben Ausdruck für ü wie in den vorigen beiden Para- 
graphen zu gründe legen^ so läfst sich für g in Bezug auf alle Punkte 
des Niveausphäroids U = W^ ein Ausdruck von der Form 

g = ga{\ + b.2 siii^^ + K «n^^ + <^h) (1) • 

herstellen, worin ITj und \^^ bezw. die zweite und vierte Ordnung haben, 
% falls D : r^j wie angegeben, die vierte Ordnung hat. Mit Rücksicht 
darauf, dafs wir bereits mit b den Quotienten (ßp — ga) - ga bezeichnet 
haben, ist jetzt zn setzen: 

^ = ^2 + ^4+ •••• * (2) 

1^2 und II4 denken wir uns aus den Beobachtungen der Schwer- 
kraft auf der betreffenden Niveaufläche abgeleitet. Um nun 1^2 und 



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§ 14. Formeln für die Beschlennigaug g. 



81 



1^4 mit den Konstanten des Niveausphäroids in Beziehung zu setzen, 
führen wir zunächst in den Ausdruck (1) für B' die geozentrische 
Breite q> ein. Wir können dabei entweder von den drei Komponenten 
ü^y U^ und U^ der Beschleunigung g ausgehen wie in § 10 S. 72, 
oder einfacher, da bereits festgestellt ist, dafs die Meridiankurve der 
Fläche U ^^ Wq bis auf Gröfsen vierter Ordnung mit der Ellipse 
gleicher Abplattung zusammenfällt, die bekannte Relation für die 
Ellipse benutzen. 

Nach Bd. 1 S. 60 (4) ist, wenn wir für m einfach a. schreiben, 
sowie für sin 2^ setzen sin29: 

B ^ <p = flsin 29 + Gl^ . (3) 

Diese Formel gilt auch sofort fürs Niveausphäroid U = Wq, Zufolge 
derselben wird nach Taylors Satz: 

sin^ B = sin^ y + 4|i sin^^ cos^g) + ^^4 > 
hiermit sowie mittelst (2) geht (1) nach naheliegenden Reduktionen 
über in die Gestalt: 

^ = ^„ [ 1 + (b+4flb— bj sin^^p — (4ab — ^4) sin^y + ö/ß) • (4) 

Wir haben nun einen zweiten Ausdruck für g aus Ü abzuleiten. 
Hierbei gilt im allgemeinen Formel (5) § 10 8. 73, doch ist U^ gleich 
null, da der Ausdruck für ^ A nicht enthält. Demnach wird 



»—^.(1+.^? +•■••) 



(5) 



Differenzieren wir aber den Ausdruck (l) für (7 S. 79 § 13 nach r, 
so folgt unter Beibehaltung der Abkürzung s für sin 9): 



ferner ist 



rdtp 



U = y^L^ «= — 



^ \ \1^ + MF) ^^'^^ ^^^^ + ^^^ } 



Jtfifc» 



co'r'* 



Mit Rücksicht auf (5) wird daher: 



1+41- (1 



+ 



2r' 



+i(^ + w)' («■-") + '''. 



(«) 



Um nun g für Punkte des bestimmten Niveausphäroids U ^^W^ 
zu erhalten, eliminieren wir r mittelst des Ausdrucks für 27, oder 
einfacher mittelst der Polargleichung der Meridiankurve (7) § 13 
S. 80. Es ist darnach im Faktor vor der Parenthese rechter Hand 
in (6) zu setzen: 

Helmert, mathem. u. phyaikal. Theorieen der hOh. Geodäsie. II. 6 



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82 2- Kapitel. Bestimmung der Abplattimg aus Schweremessungen. 

^=i(l+2[tt(l + k-a)+Jl] s^-[«(2|j -Ott) + 21»] s^ + <?/«)■: 
dagegen reicht es für die Glieder zweiter Ordnung der Parenthese aus, 

und 

r3 = fl3 (1 _ 3^52 ^ Gl^) 

einzuführen, während in den Gliedern vierter Ordnung für r einfach 
a geschrieben werden darf. Aufserdem eliminieren wir 3i5f : 2a^ und 
(o^a^\ Mk'^ mittelst der Formeln (7) und (8) § 12 S. 79 und nehmen 
entsprechend im letzten Gliede vierter Ordnung der Parenthese nach 
(2) § 12 S. 77 

es geht alsdann die Gleichung (6), gehörig zusammengezogen mit 
Vernachlässigung von Gliedern sechster Ordnung über in: 



(7) 



ff- a^-y-^-iof m'+7»jj _[7a»-3J.]8in*9,+ ...I 

Strenggenommen hätte es genügt, den Faktor von sin^^ herzu- 
stellen, da er am bequemsten die neue Beziehung liefert, welcher wir 
bedürfen, um II mit den Koefficienten der aus den Schwerebeobach- 
tungen folgenden Formel (4) für g zu vergleichen. In der That giebt 
die Gleichung (7) weiter nichts Neues als diese Beziehung; sie giebt 
nämlich durch Vergleichung mit (4) Qa genau so wie Formel (3) § 12 
S. 77, ferner aber 

4flb-k4 = 7fl^~31l + ^/o (8) 

sowohl aus der Vergleichung der Koefficienten von sin^^? als derjenigen 
von sin"* 9. Der Grund hiervon ist, dafs wir durch das. (7/flr/r«r// sehe 
Theorem in der Gestalt von Gleichung (5) § 12 S. 78 bereits a mittelst 
\^ ausgedrückt haben und diese Relation von a und \^ bei der Um- 
formung von (6) oben benutzten. Die doppelte Bestimmung von (8) 
ist eine Eontrolle der Rechnung. 
Wir erhalten jetzt aus (8): 

i»=i-(7tt»-4«|> + b,) + ö/«, (9) 

und erkennen, dafs J, wie anfangs in § 12 vorausgesetzt, die vierte 
Ordnung hat, sobald ^4 diese Ordnung besitzt. 

§ 15. ZusammenstelluDg der Formeln f&r ein Niveau- 
sphäroid ü. Dieselben gelten zufolge der Entwicklung nur für die 
Nähe der physischen Erdoberfläche, haben aber auch nur hier Interesse. 

Gegeben sei die aus den Beobachtungen auf einer Niveaufläche 
abgeleitete Formel 



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§ 15. Zusammenstellung der Formeln für ein Niveaiasphäroid U. 83 

^ = ^a (1 + ^2 sin^^ + 114 sin^^) (1) 

für die Beschleunigung der Schwere auf dem zugehörigen Niveau- 
sphäroid II \ bj habe die zweite Ordnung und ^4 die vierte Ordnung. 
Dann folgt unter Zugrundelegung des Ausdrucks Um § 12 (l), wenn 
t wie bisher das Verhältnis der Zentrifugalbeschleunigung am Äqua- 
tor zu Qa bedeutet und 

k = kj + b4 

gesetzt wird, für die Meridiankurve des Niveausphäroids : 
r=fljl-[a(l + b-a)+J»]8in»9>+[0(l>-«)+il]8inV+---), (2) 
« = |c_t_«(fl + |c) +2 )+..., (3) 

ii = 4-(7a*-4ab + k,)+ ...; (4) 

H und II finden sich aus den beiden letzten Gleichungen leicht durch 
successive Annäherung. 

Die maximale Erhebuifg des Niveausphäroids über das Rotations- 
ellipsoid gleicher Abplattung ist gleich 

i«(«[|«-b]-j,) + ..., 

oder mit Rücksicht auf (4) gleich 

^a(a[« + 2l»]-2b,)+... . (5) 

Behufs einer späteren Verwendung notieren wir noch folgende 
Formeln. Aus (2) § 12 S. 77 folgt mit Rücksicht auf (8) S. 79 ohne 
Schwierigkeit: 

«=|5 (i+a) + |(i-|-f)-yli+..., (ö) 

eine Gleichung, welche H giebt, falls K irgendwie bekannt wird. 

Ferner folgt aus (3) S. 77 mit Benutzung von (7) und (8) in 
demselben Paragraphen S. 79: 

^'•= T (l + f - b + rb - ic^ - 2a» + In + ... ), 
und hieraus mit Rücksicht auf (4) : 

«^-=^(l + f-"' + f"'- 4f^-y«b+|b.+ -)' (^) 
welche Gleichung eineii Schlufs auf MW^ gestattet. 

§ 16. Numerische Anwendung der Formeln auf das Nireau- 
sphSrold des Oeolds. Legen wir die, älteren Interpolationsrechnungen 
entsprechende Formel 

, g = 9,7806 « (1 + 0,Q052 sin«^) (1) 



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84 2. Kapitel. Bestimmiing der Abplattung aus SchweremesBungen. 

für das Meeresniveaa zu gründe^ so ist 

g^ = 9,7806"» , h = hj — 0,0052 , ^4 = . 

Wir haben nun zunächst t zu ermitteln. Bezeichnet a^ den 
Äquatorialhalbmesser des Niveausphäroids des Geoids, so ist: 

Es bezieht sich aber der numerische Wert (1) von g auf eine 
Sekunde mittlere Zeit, wir müssen somit auch die Winkelgeschwin- 
digkeit G) der ßotation auf dieses Zeitintervall beziehen. Da die 
Dauer einer Rotation der Erde um ihre Axe auTserordentlich nahe 
einen Stemtag betragt und dieser (nicht 24 Stunden «= 86400 Sekunden 
mittlere Zeit wie ein mittlerer Tag, sondern) 86164,09 Sekunden 
mittlere Zeit hat, so wird 

«»= 86m.09 5 log £-=0,73534- 10. 

Setzen wir mit Bessel a^ = 6377397'» (Bd, 1. S. 38), so folgt 

£ = 0,0034672=.-*-. (2*) 

Dagegen folgt mit Kleins Wert a, = 6378740»» (Bd. 1. S. 18) 

£ = 0,0034680==^. (2) 

Wir werden weiterhin aus ga und der Mondparallaxe einen Wert 
für a ableiten, der hinlänglich mit dem aus Gradmessungen folgenden 
harmoniert, dergestalt, dafs es jedenfalls ausreichend erscheint, bei 
der Angabe (2*) für ( stehen zu bleiben, ohne mehr als etwa eine 
Eiuheit der sechsten Decimale Fehler in t befürchten zu müssen. 
Nach dem einfachen Theorem von ClairavX folgt jetzt weiter 



oder 



A . 0,0034672 — 0,0052 = 0,0034680 



^""SsMö* (^) 



Femer ist nach (4) des vorigen Paragraphen: 

j = 1 . 0,003468 (7.0,003468 - 4.0,0052) 

also 

t = 0,0000040 . ^ (4) 

Damit wird genauer nach (3) des vorigen Paragraphen: 

tt = 0,0034680 (l - 1- • 0,003468) + \ • 0,0000040 



oder 



«- 0,0034511 -^gi^. (5) 



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§ 16. Numerische Anwendung der Formeln auf d. Niveausphäroid d. Geoids. 85 

Eine Wiederholung der Rechnung giebt 

H = 0,0000039 

fl = 0,0034512, 
also wesentlich dasselbe. 

Die Erhebung des dem Geoid entsprechenden Niveausphäroids 
über das Rotationsellipsoid gleicher Abplattung ist nach (5) des vorigen 
Paragraphen im Maximum sehr nahe gleich 

-^ . 6377397 . W d. i. 12,7 "» . (6) 

Gehen wir von der im dritten Kapitel § 35 abgeleiteten Formel aus : * 

(1*) 



so ist 



Sf = 9,7800"» (1 + 0,005310 än'B) , 

ga = 9,7800 b = tj = 0,005310 >< = . 
Nach dem einfachen Theorem von Clairaut folgt hiennit 





— T 


0,0034672 — 0,005310 = 


= 0,0033580 


oder 










r wird 


fl- ^ . 




Femei 


" 297,80 






»-!■ 


0,003358 (7 . 0,003358 - 


4 . 0,005310), 


also 

J> = 0,0000025 
und hiermit genauer 




Ä = 


= 0,0033580 ( 1 


l — 0,0033580 — 0,0017336) + y • 0,00 


• 
oder 






• 




• 


« = 0,0033416 = -!- 


ä~ * 



(3*) 



(4*) 



Die Grofse (6) ändert sich nicht wesentlich. 

Wie im dritten Kapitel näher begründet wird, ist unsere Formel 
der älteren unbedingt vorzuziehen, also auch der Wert für a, welcher 
zufälligerweise mit der Abplattung des ßesselnehen Erdellipsoids fast 
ganz übereinstimmt. 

Lapiace findet in der MScaniqtte cüeste t. IL l, III p. 149 — 150 die 
Pendellängenbeobachtuugen von fünfzelin Orten der Variation mit sin'JS 
sehr nahe entsprechend und berechnet ü gleich Vssims u°^ '385*78 ui^ter 
Annahme von t gleich 7,«», je nachdem er die zweite oder dritte Aus- 
gleichungsmethode (siehe Bd. 1 S. 598) anwendet 

Unsere Kenntnis des allgemeinen Verlaufes der Beschleunigung g 
im Niveau des Meeres ist zur Zeit noch immer wesentlich das Resul- 
tat einer Reihe ausgezeichneter wissenschaftlicher Operationen aus den 
ersten Decennien dieses Jahrhunderts. Ganz besonders ragen hervor 
die Beobachtungen des Gapi Edw. Säbine auf 13 Stationen von —13® 
bis + 80 ® geographischer Breite in den Jahren 1822 bis 1824 und 



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86 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

diejenigen ded Capt. Foster auf 12 Stationen aufser London und Greenwich 
von — 63° bis +11** gebgraphischer Breite in den Jahren 1828 bis 1831. 
Nächstdem existieren aufser verschiedenen kleineren Reihen zwei Reihen 
von Louis de Frey einet und Capt. Lütke aus den Jahren 1817, bezw. 1826 
bis 1829, sowie Reihen neueren Ursprungs, welche aber mehr den Charakter 
von Spezialstudien tragen. Im dritten Kapitel kommen wir auf diese 
Beobachtungen im einzelnen zurück. 

Mit der Berechnung einer Interpolationsformel haben sich verschiedene 
Gelehrte beschäftigt. Nach ersten Versuchen einer Formelableitung durch 
Laplace und Waibeck^ wobei jedoch wenig Material vorlag, findet £d. 
Schmidt durch Ausgleichung von 47 beobachteten Pendellängen auf S. 372 
u. ff. des ersten Bandes seiner Mathematischen Geographie 1829, wenn 
C^ die Länge des Sekundenpendels am Äquator bezeichnet: 

i^^ ^ 39,015233 Zoll engl., also g^ = 9,78056 '« ^ 

sowie (^4 =» null gesetzt): 

1^ = l^t =» 0,0052005 . (7) 

Hierbei ist in Bezug auf die Reduktion von Ä^ auf g^ zu bemerken, dafs 
zwischen g und der Schwingungszeit t des mathematischen Pendels von 
der Länge l bekanntlich die Formel 



:.,/! 



besteht, mithin zur Bestimmung von g aus der Länge des Sekunden- 
pendels C folgt: 

^ = ««11:. 

Ferner ist nach den Comparisons of Standards of Length von A. B, Glarke, 
1866, p. 280 

1 Fufs engl. = 0,30479727"* == [9,48401107 — 10] 
mithin 

1 Zoll engl. = [8,40482982 —10]"*. 

Über die Verteilung der von Schmidt angewandten Beobachtui^en 
nach ^er Breite, wie über verschiedene Details weiterhin anzuführender 
Rechnungen kann auch eine Zusammenstellung von J. B. Listing vcr-- 
glichen werden.*) Bei Schmidt dominiert die nördliche Halbkugel: er 
hat 11 südliche Stationen bis — 52« Breite gegen 33 nördlich^ bis +80^ 
(2 südliche und 1 nördliche zählen doppelt). 

Die später publizierten Messungen Fosters geben nach der Bearbeitung 
von Fr, Baily in den Memoirs of the Boyal Astronom. Soddy VII 1834 
p. 81 wesentlich denselben Wert iür b, nämlich: 

b = bj = 0,0051901 , (8) 

wobei für die Stationen aufser Greenwich und London die Breite von 
+ 110 ijig _63o variiert. Es tritt also aus der Vergleichung von (7) und 
(8) keine erhebliche Differenz der Nord- und Südhälfte der Erde hervor. 

*) J. B, Listing, Neue geometrische und dynamisdie Konstanten des Erd- 
körpers, Eine Fortsetzung der Untersuchung über unsere jetzige Kenntnis von 
der Gestalt und Gröfse der Erde. Göttingen 1878. (Separatabdruck aus den 
Nachr. der kgl. Ges. d.Wiss.) 

Abgesehen von dem historischen Wert dieser Schrift verdient dieselbe auch 
als Kritik Beachtung. Wir werden indes mehrfach zu anderen Schlüssen ge- 
führt werden. 



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§ 16. Numerische Anwendung der Formeln auf d. Niveausphäroid d. Geoids. 87 

In seinem Werke An Account of Experiments to determine the Figure 
of the Barth hy means of the Pendulum vibrating Seconds in different 
Latitudes, London 1825, berechnet Edward Sabine S. 334 aus 13 seiner 
Stationen von — 13» bis +80« Breite 

b =. b, = 0,0051807 , (9) 

welche Zahl sich durch Zuziehung von 6 Stationen Katers und 6 Stationen 
Biots auf der nördlichen Erdhälffce, ungerechnet der Anschlufsstationen, auf 

0,0051890 (9*) 

erhöht. Nach Sabines Rechnung ist 

C« = 39,01568 bezw. 39,01516 Zoll engl. 

TTir haben die abgerundeten Zahlen Schmidts auf grund dieser Er- 
mittelungen beibehalten, obgleich einige andere Rechner abweichendere 
Resultate finden. 

Francis Baüy berechnet in den Memoirs of the Boyal Astronom, So- 
ciety VII 1834 (aufoer der Fofi^er sehen Reihe) noch p. 94 eine Formel 
aus 79 überhaupt bis dahin bekannt gewordenen Beobachtungen. Seine 
Arbeit ist dadurch ausgezeichnet, dafs er verschiedene erforderliche Kor- 
rektionen anbringt, die z. T. unterblieben waren (u. a. die Reduktion 
wegen des Mitschwingens der Luft [man hatte nur wegen des Aufbriebs 
korrigiert], wegen Temperatur, auf das Meeresniveau). Jedoch führt er 
die Ausgleichung ohne Rücksicht auf die Verteilung der Stationen über 
die Erdoberfläche durch; verschiedene Orte kommen mehrfach, London 
sogar llmal vor. Er findet ll «» 0,0051449 und für die tägliche Schwingungs- 
zahl n des Londoner Sekundenpendels in der Breite B: 

n «= ^441625711 . VT+V^^B .*) 

Borenius stellte eine in mehreren Beziehungen verbesserte Rechnung 
an. Namentlich sorgt er für eine gleichmäfsigere Verteilung der Stationen , 
deren jede bei ihm nur eine Gleichung erhält. In seiner Abhandlung 
Über die Berechnung der mit dem unveränderlichen Pendel zw Bestimmung 
der Abplattung der Erde angestellten Beobachtungen (Bulletin de la Glosse 
physico-mathematique de V Acadimie imp, des sdences de St. Petersbourgy 
tome 1 1843) findet sich als tägliche Schwingungszahl des Londoner Se- 
kundenpendels an einem Orte mit der geographischen Breite B: 

86265,016 + 222,359 Bva^B . (10) 

Hierbei sind 47 Stationen mit 47 Gleichungen benutzt. Aus 32 nördlichen 
und Äquator- Stationen folgt 

86265,097 + 222,242 sin«B ; 

aus 20 südlichen und Äquator- Stationen, wovon 5 mit den vorigen Äqua- 
tor-Stationen gemeinsam sind, folgt ferner 

86264,048 + 223,080 sin*B . 

Die gute Obereinstimmung der Ausdrücke für beide Erdhälften zeigt 
sich also auch bei dieser Berechnung. 



•) Hiemach wird allerdings n (London) für Co nicht 86400. Letztere Zahl 
ist eben der unausgeglichene Wert von n für Co- ß^i Berechnung von C^ aus 
Co hat man aber die ausgeglichenen, d. h. die Formelwerte anzuwenden. 



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88 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Borenius leitet aufserdem die Ausdrücke 

86266,476 + 216,379 sin« B + 6,958 sin« B (11) 

und 

86491,474 — 14,051 cobB — 212,071 cos'B 

ab, von denen der letztere jedoch zu verwerfen ist, da die Potential- 
theorie Ausdrücke fordert , die nach Potenzen von sin B fortschreiten 
(allgemeiner gesprochen: nach Kugelfunktionen der Breite und Länge). 

Bedenkt man, dafs für konstante Pendellänge l sich die Schwingungs- 
zahlen n umgekehrt wie die Zeiten t verhalten, so findet man leicht aus 
(10) bezw. (11): 

f^ , „ 222,359 . ,„ , /222,359V • . t> l . ^. 

also 

b, = 0,0051552 ^4 = 0,00000664 ; 
femer 

r , ^ 216,379 . ,„ , r/2l6,379\2 , „ 6,958 1 . ,^ , \ ,,,,, 
^ = ^«P + ^-86W^^^+LW65;5)+2--8626-^^^ 

also 

b, = 0,0060166 ^4 =- 0,00016761 . 

Hiermit erhält man weiter: 

H = 0,0034899 =- gg^ ^ = 0,0000066 (12) 

Sphäroid über EUipsoid im Max. + 9,3»» 

tt = 0,0034828 - -^^ H = 0,0000601 (13) 

Sphäroid über EUipsoid im Max, — 76»». 

Bezüglich des Ansatzes der Fehlergleichnngen sei hier Folgendes be- 
merkt; vergl. auch 3. Kap., § 33. 

Da die Potentialtheorie unmittelbar auf eine Entwicklung für g oder 
auch für die Länge C des Sekundenpendels nach Potenzen von sin B führt, 
80 ist es korrekt, wie Schmidt die Ausgleichung auf grund dieser Pendel- 
längen zu führen oder, wie Baüy^ die 9^* als Beobachtungsgröfsen anzu- 
sehen; es ist aber weniger gut, wie von Borenius geschehen, auf grund 
der Schwingungszahlen n selbst zu rechnen, da diese den Quadratwurzeln 
der Ä proportional sind. 

Patuiker berechnet in seiner bereits Bd. 1 S. 18 citierten Abhandlung 
(Bull, de la Glosse phys.-math. de VAc. imp. de St Pet Bd. 12 S. 120—128, 
Bd. 13 S. 49-89 und 225—237, insbesondere S. 227) nach einer Zusammen- 
stellung der Besultute verschiedener Rechner aus 28 Stationen: 

9^ 9ai^+ 0,005209070 sin«5 — 0,00005973 sin«2B) . 
Hieraus folgt 

^ = ^^ (1 + 0,00497015 sin«B + 0,00023892 sin^B) (14) 

mit 

a= 0,0034648= ;^gg^- 11 = 0,0000836 (U*) 

Sphäroid Über EUipsoid im Max. — 114"». 

Dieses Besultat hat indes weniger Bedeutung als das von Borenius, 
weil Paucker nur diejenigen der 47 Stationen, welche ersterer anwandte^ 



bezw. 



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§ 17. Die Normalform d. Niveaufläcben (aufserhalb) u. d. Rotationsellipsoid. 89 

nimmt, bei denen die Abweichung der berechneten von der beobachteten 
taglichen Schwingungszahl •< 3 ist. (Bei Borenius kommen Abweichungen 
bis 11 vor.) Diese Art der Auswahl ist jedenfalls bedenklich. Man kann 
noch bemerken, dafs Paucker aus den Gradmessungen ein Botationssphäroid 
findet, welches zwar beinahe dieselbe Abplattung hat, aber vom Ellipsoid 
entgegengesetzt abweicht (Bd. 1 S. 18), so dafs im gründe keine grofse 
Übereinstimmung dieser beiden Resultate vorhanden ist. 

Eine neuere Berechnung von ü aus den Pendelbeobachtungen gab 1880 
A, B, Clarke in seiner Geodesy p. 841—351. Durch den Einflufs der bei 
dieser Berechnung herbeigezogenen indischen Beobachtungen verkleinert 
sich ü auf etwa 1 : 294 , welchen Wert Verfasser p. 319 auch aus Grad- 
messungen ableitet. Jedoch ist auch diese Übereinstimmung wie bei 
Paucker durchaus zuföllig und in der Genauigkeit der Einzelresultate 
nicht begründet. 

§ 17. Die Normalform der NiTeauflächen (außerhalb) und 
das Kotationsellipsoid. Die beobachteten und auf das Meeresniveau 
reduzierten Werte von g lassen sich, wie bereits erwähnt, bis auf 
Gröfsen, welche im Verhältnis zu g die vierte Ordnung nicht wesent- 
lich überschreiten, durch eine Formel ^ «3 ^^ (1 -|- Jr sin^B) inter- 
polieren. Setzt man g =^ g^ (1 + bj sin^^ -f- ^4 sin^^), so zeigt 
sich in der That, dafs 1^4 ebenfalls eine Grofse vierter Ordnung 
wird (vergl. § 16 S. 88). Eine Verbesserung ist jedoch die drei- 
gliedrige Formel für g nichts insofern sie die g im Meeresnireau 
nicht wesentlich besser als die zweigliedrige darstellt. Es würde in der 
That erst durch Mitnahme zahlreicher weiterer > von Breite und Länge 
abhängiger periodischer Glieder möglich werden ^ diese g wesentlich 
besser zu interpolieren, weil die Abweichungen gegen jene beiden 
einfachen Formeln einen lokalen und kontinentalen Charakter besitzen. 

Als Normalform der Niveauflächen aufserhalb dürfen wir hier- 
nach diejenigen Niveausphäroide ansehen^ für welche in dem Potential- 
ausdruck 



U = Ä*!- 



l+^«(^-3sin^<p) + ^cos> 
+ -p(siu*9 -ysin^9 -f — ) -f 6?/e 



0) 



die Eonstanten so bestimmt werden^ dafs für das Niveausphäroid 

des Geoids in Strenge 

l ^-^aO+bsin^^) (2) 

wird. Für die höher gelegenen Niveausphäroide wird allerdings g in 
Strenge diese Form nicht behalten; dies ist jedoch gleichgültig, und 
überdies wird sich zeigen^ dafs für die Nähe der physischen Erdober- 
fläche die höheren Glieder, welche zu (2) im allgemeinen hinzutreten, 
sehr klein bleiben. 

Beziehen sich jetzt ^ ; ^a > It > 1^ und t ausschliefslich auf das 
Niveausphäroid der Meeresfläche, so haben wir nach S. 82 § 14 (9) 
zur Bestimmung von ]l und D\ 



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90 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

feruer ist hiermit die Gleichung der Meridiankurve dieses besonderen 
Niveausphäroids nach S. 80 § 13 (7): 

r = flji-a(l + |fl-|lr)siu^<)P+fl(|a-|lr)sin>-ö/6) (4) 

und die maximale Erhebung über das gleichstark abgeplattete Rota- 
tionsellipsoid nach 8. 83 § 15 (5) : 

^^a[a(ü + 2b) + Gi,], (5) 

was nach S. 85 § 16 (6) 12,7 Meter betragt. 

Zur Bestimmung von K , a'^iMk^ und Mk- hat man nach S. 79 
§ 12 (7) und (8), sowie nach S. 83 § 15 (7) und unter Benutzung der 

Relation n -f- Jr = yC + ö/^ die Formeln: 

Die Formeln für r und ff sowohl im allgemeinen, wie auch für be- 
liebige Niveauflächen können aus der nunmehr als bekannt anzu- 
sehenden Funktion U, Gleichung (1), abgeleitet werden, was im 
wesentlichen den Entwicklungen der Paragraphen 12 bis 15 ent- 
spricht. Wir kommen hierauf im folgenden Paragraphen zurück. 

Hier ist zunächst noch zu erwähnen, dafs II, Bruns in seiner 
Figur der Erde S. 16 und 18 für die Normalform den Ausdruck 

ansetzt und behandelt. Er setzt also insbesondere II <= null und 
findet damit, wie auch unsere Formel (10) § 13 S. 80 ergiebt, als 
maximale Erhebung des Niveausphäroids des Geoids über das gleich- 
stark abgeplattete Ellipsoid 

19,1"». 

Selbstverständlich reduziert sich für das Meeresniveau g nicht onehr 
in Strenge auf den Ausdruck (2), vielmehr treten noch Glieder mit 
sin*.^ u. 8. f. hinzu, welche jedoch nur sehr kleine Werte annehmen 
können, ytiq schon aus der geringen Differenz der Maximalerhebungen 
13 und 19 Meter folgt. (Nach Gleichung (4) S. 83 § 15 wird für 
H = null Ir4 gleich rund 0,00001.) 



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§ 17. Die Normalform d. NiveauBächen (aufserhalb) u. d. RotationBellipsoid. 91 

Pur welche der beiden oben angegebenen Normalformen man 
sieb auch entscheiden mag, so ist jedenfalls die Abweichung des der 
Meeresfläche entsprechenden Niveausphäroids vom Rotationsellipsoid 
gleicher Abplattung eine so geringe^ dafs der Gebrauch der Geodäten 
gerechtfertigt erscheint, das Geoid abgesehen von den Verbiegungen 
lokalen und kontinentalen Charakters als abgeplattetes Rotationsellipsoid 
anzusehen. 

Man kann sogar ü auch so ansetze», dafs für ein bestimmtes 
Niveausphäroid die Gleichung (1) diesem Rotationsellipsoid genau 
entspricht. Als ersteres nehmen wir wieder dasjenige des Geoids, 
auf welches sich a, ^a; ü; Ir und t beziehen sollen. Damit nun der 
Radiusvektor desselben mit dem des gleichstark abgeplatteten Rotations- 
ellipsoides bis auf Glieder sechster Ordnung im Verhältnis zu a über- 
einstimmt^ ist in der für das Meeresniveau geltenden Formel 

^ = ^a {l + [Ir - kj sin2^ + b4 sin^^ + Gl,\ (2*) 

nach S. 83 § 15 (5) zu setzen 

oder nach Elimination von a mittelst der Relation fl + b = -5-c + ö/4: 

'.-t(v '■-»■)■ 

Mit dem ersten Ausdruck folgt nach (4) § 15 S. 83 weiter: 

l» = fl(|a-lr) + 6[/«, (3*) 

womit sich für den Radiusvektor der Meridiankurve nach (7) S: 80 
§ 13 in Übereinstimmung mit Gleichung (8) daselbst findet: 

r=ör(l— a(l + YÄ)8in29)+ Aa^sinV-Ö/ß ), (4*) 

die Polargleichuug der Ellipse bis auf Glieder sechster Ordnung dar- 
stellend. 

Zur Bestimmung der Konstanten des Potentialausdrucks (1) für 
hat man in ähnlicher Entwicklung wie oben für die erste Normalform : 

> - J -~C + \V - lobt + Gl, 



£-;^-i'-?''-ii''+-?-k'+«'.i 



i«a3 



«a'a' 






(6*) 



. 9a<^* 



i + t-b+^f + i»'-^i»t+e«. 



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92 2* Kapitel. Bestiminuiig der Abplattung aus Schweremessaugen. 

Wie bereits oben bemerkt^ lassen sich nun r und g für beliebige 
Niveauflächen aus dem Ausdrucke für U herstellen. 

Wenn wir in Zukunft besonders hervorheben wollen, dafs das 
Niyeausphäroid des Geoids eine der drei besprochenen Normalformen 
hat, so werden wir es kurz als Normalsphäroid bezeichnen. 

§ 18. Die Formänderung der NiTeausphäroide in der Nähe 
der physischen Erdoberfläche mit der Höhenlage. 

Der Abstand unendlich benachbarter Niveauflächen ist bereits im 
ersten Kapitel § 8 S. 10 Gegenstand der Untersuchuug gewesen. Dar- 
nach ist der Abstand des Niveausphäroids der Meeresfläche von einem 
unendlich benachbarten Niveausphäroid mit Rücksicht auf die Formel 
(1*) § 16 S. 85 für die Beschleunigung der Schwere dem Ausdruck 

1 + Jrsin^Ä , k = 0,00531 (1) 

umgekehrt proportional. Insbesondere hat man für die Abstände h 
am' Äquator und am Pol die Proportion: 

hAnu. : hpoi = 1,00531 : 1 
oder näheruDgsweise (2) 

hAequ. : hpoi = 189 : 188 . 

Diese Proportion darf man als erste Annäherung auch auf be- 
liebige Niyeauflächen in der Nähe der Erdoberfläche und auf endliche 
Abstände anwenden. Sie zeigt deutlich die Thatsache, dafs die Ni- 
veauflächen, selbst in der normalen Form der Niveausphäroide, im 
ganzen betrachtet erheblich vom Parallelismus abweichen. 

Für zwei Abstände h in den Breiten B^ und B2 erhält man die 
Proportion: 

Ä, : Äj = 1 + 0,00531 sin^^j : 1 + 0,00531 sin^^, . 

Hieraus folgert man ohne Schwierigkeit: 

. 0,00531 sin (Pt^ -BQ sin {B^ + BQ , .«. 

^1 — '»2 = x^ 0,00531 8in«-B, ^^ • V^J 

Ist -^2 + ^1 = 90® > s^ erreicht der Ausdruck rechter Hand unter 
sonst gleichen Umständen sehr nahe sein Maximum. Dasselbe beträgt 
für B,^ — ^j = 1«, d. h. also für 15 geographische Meilen meridio- 
nalen Abstandes rund 0,00009 ^, . 

Infolge des Umstaudes, dafs die Niveausphäroide keine ähnlichen 
Flächen sind, ändert sich auch die Abplattung mit der Höhenlage. 
Sind a und b die äquatoriale und polare Halbaxe eines Niveausphäroids, 
so hat man für dessen Abplattung die Gleichung: 

a — ft = öÄ . 

Für ein unendlich benachbartes wird durch Differentiation dieser 

Gleichung 

da — db = a du + ü da . (4) 



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§ 19. Die Formänderung der Kiveansphäroide mit der Höhe. 93 

Für die Beschleunigung der Schwerkraft auf dem Niveausphäroid 
können wir aber ansetzen 

ff^ffail + bnin^B + Gi,)] (5) 

demnach ist 

da.l = db(l + b + Gl^) 
oder 

db~da{l — }^ + Gl,) . (6) 

Führen wir dies in Gleichung (4) ein, so ergiebt sich nach einfacher 
Reduktion : 

rf«=^(l,_a + <?/,). (7) 

Da Ir sehr nahe y a ist, so hat man angenähert 

tfll = |.^. (8) 

§ 19. Fortsetzung. Es ist nachstdem von Interesse zu er- 
mitteln, wie sich die Niveausphäroide in verschiedenen Höhen zu 
dem Ellipsoid gleicher Abplattung verhalten. Nach S. 80 § 13 (10) 
ist der maximale Abstand eines Niveattsphäroids vom Ellipsoid gleicher 
Abplattung gleich 

(r^-ri,).a, = la{a(|tt-lr)-i+ö/e), (1) 

worin a^ % b; }i sich auf das betre£Fende Niveausphäroid beziehen. Da 
wir nuu verschiedene Niveausphäroide vergleichen wollen, müssen wir 
a, Ir und II auf absolute Eonstanten zurückführen. Dies wird durch 
Dachstehende Formeln geleistet, die man unter Annahme des Aus- 
drucks (1) § 12 S. 77 für U leicht aus § 12 entuimmt: 



Hieraus fo^: 



2o» 



(2) 






(3) 



Aus (1) ergiebt sich nun durch Differentiation und unter Anwendung 
vorstehender Formeln: 



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94 2. Kapitel. Bestimmang der Abplattung aus SchweremessuDgen. 



oder 



—"-if-- = 4- (31. + 3flb - -'^- n^-b^ + Gl,]. (4) 
Wenden wir die Zahlwerte des § 16 S. 84 und 85 an, so wird 
[vergl. auch S. 90 § 17 (3)] b sehr nahe gleich yö und 

'j = 1 (7 a- - 4ab) + Gl^ oder sehr nahe = ~ tt^. 
Damit folgt 

~ da = "8 r ^^4 > 

oder sehr nahe = - ~[J a^ d.i. = — 0,000010 . (5) 

Setzt man dagegen il = null (vergl. § 17 S. 90) und behält die 
Relation b = — a bei, so wird dieser Differentialquotient gleich 
- 0,000012 . 

Wählt man endlich II nach Gleichung (3*) § 17 S. 91, d. h. 
nahezu gleich a^, wobei nun das Niveausphäroid, auf welches sich 
die festen Werte von a, b, t und ]l beziehen, bis auf Glieder sechster 
Ordnung in r : a mit der Ellipse gleicher Abplattung übereinstimmt, 
dann folgt 

'^7«-'^ = --4--+«A., (6) 

oder sehr nahe = — A jj« d, i. = — 0,000004 . 

16 

In diesem Falle sind sonach die Änderungen der Niveausphäroide 
mit der Höhenlage am kleinsten. Sie sind aber auch bei den beiden 
vorhergehenden Annahmen, sehr klein : selbst für eine Änderung von a 
im Betrage von ^a= 6370»" ist J {r^ — r^);;,«^. jedenfalls < 0,1 »". 

Die Niveausphäroide U in der Nähe der physischen Erdoberfläche 
stimmen daher alle in gleichem Grade mit Rolalionsellipsoiden derselben 
Abplattung überein. Wählt man insbesondere die Funktion U so, 
dafs das Niveausphäroid der Meeresfläche in r : a bis auf Glieder 
sechster Ordnung mit einem Revolutionsellipsoid gleicher Abplattung 
übereinstimmt, so sind auch überhaupt alle Niveausphäroide U in der 
Nähe der physischen Erdoberfläche Revolutionsellipsoide bis auf 
Grofsen derselben Ordnung. 

§ 20. Die normale Änderung der Beschleunigung g der 
Schwerkraft mit der Höhe in der Nähe der physischen Erd- 
oberfläche, aulserhalb. Näherungsformeln f&r g und dg. 

Legen wir für U den Ausdruck (1) § 12 S. 77 zu gründe, so ist 



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§ 20. Verschiedene Ausdrücke för g. 95 

allgemein für ein bestimmtes Niveausphäroid in der Nähe der physi- 
schen Erdoberfläche 

g = Qa{l + K sin^^ + Ir4 sin*^ + Gl^) . (1) 

Beachten wir die Relation ^ = 112 + ^4+ . . . , so folgt zur Be- 
stimmung von ^4 aus Gleichung (9) § 14 S. 82: 

Jr, = SU - 7fl^ + 4alr + Gi^ . (2) 

Hieraus erhält man durch Düferentiation bei geändertem Äqna- 
torialhalbmesser des Niveausphäroids: 

setzt man nun rechter Hand die W^rte der DiflFerentialquotienten (3) 
§ 19 S. 93 ein, so folgt 

d\^, == ^ J30a^ + 4b2 — loak - l2ii + (?/,) . (3) 

3 1 * 

Setzen wir hierin näherungsweise h = -- a und J = -— ö^ , null oder 

a^ (vergl. die dritte Annahme in § 19 S. 94), so wird d\^^ gleich 20-, 
24- oder 12-mal n^ , da : a . Es ist also selbst für die Änderung 
z:/rt = 6370*^ die Änderung J\^^ ganz unwesentlich. 

Man kann daher ^4 für die Nähe der physischen Erdoberfläche 
als konstant betrachten. Hat man es insbesondere fürs Meeresniveau 
gleich null angesetzt, so wird es innerhalb der angegebenen Grenzen 
überall null. 

Zur Bestimmung der Veränderung von 1^2 hat man 

^bj = d\^--d\^,+ ... 
und demnach mit Rücksicht auf (3) § 19 S. 93: 

rfb2=-t-|4a + 2k + ö/, ), . 

oder angenähert (4) 

Der allgemeine Ausdruck für die Beschleunigung g ist nach (6) 
§ 14 S. 81 in abgekürzter Form: 

^ =^ (1 + '^(1 - 38inV) - %^'^> + <?^.) • (5) 

Da wir in der Parenthese Glieder vierter Ordnung vernachlässigt 
haben, so kommen hierbei die in § 17 S. 89 besprochenen Unter- 
schiede in den Annahmen für V nicht weiter in betracht. Für viele 
Zwecke reicht aber Ausdruck (5) völlig aus. Um die Änderung von g 
für eine diflfereniiale Verschiebung dh in Höhe zu erhalten, haben 
wir zu beachten, dafs 



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96 2- Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

dg _ dg dr . dg dtp ,^. 

dh ~ d r ~dh "^ btp dh * W 

Das differentiale Dreieck^ welches aus dh, dr und rd<p gebildet wird^ 
zeigt nun; dafs zwischen diesen Grofsen die Beziehungen 

dr «= dh . cos (B — y) 
r dg) *=^ dh . Bin {B — (p) ^ * 

bestehen. Hierbei ist nach (3) § 14 S. 81 ^ — 9 = «sin 2<p + Gl^ . 
Man erkennt jetzt sofort die Richtigkeit der Gleichung: 

1 = 1^ + «^- (8) 

wenn unter Gl^ Glieder verstanden werden, die Faktoren der Ordnung 
0} enthalten. 

Wir erhalten demgemärs: 

^ = -{f + -J(l~3sinM+'^5^cos^<P + ^/4)^Ä 

oder mit 'Rücksicht auf die Relationen (7), (8) und (5) § 12 S. 79 
und 78, sowie mit einigen zulässigen Vernachlässigungen: 

dg = ^^[l+ü + t — 3ü Bin^B + Gl, ) dh . (9) 

Setzep wir hierin noch für r den Ausdruck «(1 — asiu^^-f-G^/4), 
so folgt nach einiger Reduktion: 

dff = —^^[l+a + t — 2a Bm^B + Gl, j dh . (10) 

Bei der Bildung des zweiten Differentialquotienten von g nach h 
kann man von Gliedern zweiter Ordnung ganz absehen und findet 
ohne Mühe aus (9) sofort 

Der Vollständigkeit halber fOgeu wir nach S. 83 § 15 (7) hinzu: 
ff = ~f-(l-ff-ht + Gl,)[l + bBm^B+Gl,y. (12) 

Diese Formeln gelten für jedes Niveausphäroid aufserhalb in der 
Nähe der physischen Erdoberfläche. Sie gestatten einen bequemen 
Ausdruck für den normalen Wert von ff in der Meereshohe B auf- 
zustellen. 

Beziehen sich Grofsen mit dem unteren Index auf das Niveau- 
sphäroid der Meeresfläche, so ist in der Höhe B über demselben, B 
gemessen in der Lotlinie, welche dieses Sphäroid in der geographischen 
Breite B durchschneidet: 

''-'.+(^l).«+4(-S).«'+-. 



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§ 20. Verschiedene Ausdrücke für g. 97 

d. b. mit Rücksicht auf (10) und (11): 



mit 



ffo-=^ii-if + t+GU){l + bsiu-^i? + Gl,] • (14) 

An den Gröfsen ü, b und f, die sich hierin ebenso wie a^ und g^ 
auf das Niveausphäroid der Meeresfläche beziehen^ ist der Index 
der Einfachheit halber weggelassen. 

Diese Formeln befriedigen jedes praktische Bedürfnis, denn (14) 
giebt g^ so genau, wie die Beobachtungen zur Zeit den numerischen 
Ausdruck für diese Grofse haben ermitteln lassen, vergl. (1) und (1*) 
§ 16 S. 84, und in (13) werden die vernachlässigten Glieder der ge- 
schlungenen Parenthese, da ffia^ im Maximum etwa Viooo beträgt, 
weit kleiner als Vioooooo) j^ ^^^ kann recht wohl auch das Glied 
W : Ö0^ vernachlässigen. 

Bei der Aufstellung von Formeln für die Beschleunigung g 
wird vielfach ein mittlerer Erdradius R angewandt. Nun ist für das 
Niveausphäroid der Meeresfläcbe 

r = ao (1 - asin^^ + Gl,) . (15) 

Diese Gleichung zwischen r und B gilt mit gleicher Genauigkeit für 
ein Rotationsellipsoid mit den Elementen Of^ und a ; wir haben daher 
nach Bd. 1 8. 68 § 21 sofort für den mittleren Erdradius R die 
Gleichung: 

Ä-«o(l-j« + ö/,) 
oder (16) 

«„ = Ä(i+lfl + e/,). 

Die Formeln (13) und (14) geben unter EinfQhrung dieses Aus- 
druckes für Of, und mit Benutzung der Relation a -\- b =y( -{- Gl,: 

Bezeichnen wir den Wert von gQ für B = 45® mit (6, so folgt 
noch aus (18) nach naheliegenden Reduktionen: 



mit 



^0 - « (l -1* ^^«2^ + ^^4) (19) 

« = -f^(l-|^-T^ + ^^)- (20) 

Nach den S. 85 § 16 (1*) angegebenen Zahlen ist zu setzen 

go — 9,8060 •» (1 — 0,00265 cos 2 i?) . (19*) 

Helmert, maihem. o. phyiikul. Theorieen der höh. GeodAde. n. 7 



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98 2. Kapitel. Bestiminung der Abplattung ans ßchweremessnogen. 

Die YorsteheDdeD Entwicklungen lassen nun erkennen, wie genaa 
verschiedene in Anwendung kommende Näherungsformeln sind. Wird 
z. B. für die Schwerkraft in der Breite B und der Meereshohe H gesetzt 

^ = *'o^s|^ = «(l-ibco82^-^^, (21) 

WOZU die Differentialformel 

dg 2dH ,09V 

-;^ = - -B- ^^^^ 

gehört; so ist die normale Veränderung im Meeresniveau so genau 
berücksichtigt; als gegenwärtig möglich, die normale Veränderung 
mit der Hohe aber nach (10) und (16) auf etwa V2V0 Maximalfehler. 
In den oben entwickelten Formeln kann man mit hinreichender 
Genauigkeit 

M=^^nR^&m (23) 

setzen, worin 0^ die mittlere Dichtigkeit der Erde bezeichnet und 

— a R^ als Volumen der Erde angesetzt ist. Nach Bd. 1 S. 68 ist 

das Volumen des Rotationsellipsoids gleich diesem Ausdruck bis auf 
Bruchteile der vierten Ordnung; mit derselben Genauigkeit etwa 
wird dieser Ausdruck auch für das VMumen des Geoids anwendbar 
sein. Überdies wird Formel (23) bei allen numerischen Bestimmungen 
von Sm benutzt. Mithin kommt der theoretische Fehler des Aus- 
drucks für M bei der numerischen Anwendung nicht zur Geltung; 
er ist auch ohne Belang^ weil bei der Bestimmung von Sm zur Zeit 
Fehler anderer Art begangen werden, die weit bedeutender sind als 
diejenigen der Theorie. 

Setzt man einfach, entsprechend der Kugelgestalt der Erde: 

so giebt dieses in ff zufolge (18) etwa VaVo Maximalfehler, während 
die Veränderung mit der Hohe wie bei (22) auf 7?% Maximalfehler 
richtig wird. 

Alle hier aufgestellten Formeln geben nur den normalen Teil von g 
und dg : dH. Wegen lokaler und kontinentaler Einflüsse weicht g in 
Wirklichkeit um etwa '/moo seines Betrages im Maximum vom normalen 
Werte ab. dg : dH kann sich noch weit mehr ändern; normal ist es nur 
bei Erhebungen in freier Luft über nahezu ebenem Terrain und bei Ab- 
wesenheit gröfserer Dichtigkeitsunregelmäfsigkeiten in der Nähe der Erd- 
oberfläche, vergl. 4. Eap. § 3. Innerhalb des Terrains gicbt der normale 
Wert von dg : dH gar keine Annäherung, wie schon im Eap. 1 § 26 S. 46 
erwähnt worden ist. 

§ 21. Die normale Änderung der geographischen Breite 
mit der Hohe wegen der Krfimmung der Lotlinien. 

Wir drücken zunächst die geographische Breite B als Funktion 



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§ 21. Die Änderung der geographischen Breite mit der Höhe. 99 

des Radiusvektors r und der geozentrischen Breite 9 aus. Bezeichnet 
man aber wie S. 73 § 10 und S. 81 § 14 mit ü^ und IJ^ die beiden 
von null verschiedenen Komponenten der Schwerebeschleunigung und 
beachtet, dafs V^ die Richtung des Radiusvektors r hat, die Richtung 
der Resultante g aber die geographische Breite markiert, so ergiebt sich 

taii(5-9>) = -|, 
oder mit Rücksicht auf die Ausdrücke für IJ^ imd V^ auf S. 81 : 

^ = 9 + (4J+2^)8m2,p + C/,. (1) 

Andrerseits hat man 

dh ~ dr dÄ "^ d<p dh ' W 

Hierzu giebt (1): 

H- ! + «'.! 

ferner hat man wegen der Relationen (7) auf S. 96 und in leicht er- 
sichtlicher Entwicklung: 

Durch Substitution in (2) folgt hieraus ohne Schwierigkeit: 

Wie (7) und (8) § 12 S. 79 zeigen, ist die Parenthese rechter l^md 
wesentlich gleich b. Man gelangt nunmehr leicht zu der Endformel: 

^B = q' (bsin2^ + (?/ 1 ^ , (3) 

in Sek. ^ f ^ 

d. i. für k = 0,00531 und r = 6370000"» sehr nahe die Relation: 

5820 



Ä--±-""2*. ('•) 



wobei JB die Änderung der geographischen Breite bezeichnet, die 
zu der Erhebung Jh in Metern gehört. 

Zu diesem Ergebnis gelangt man auch mit Rücksicht darauf, 
dafs die Krümmung der Lotlinien eine Folge des Nichtparallelismus 
der Niveauflächen isi Die Konvergenz der Meridiane zweier unendlich 
nahen JMiveausphäroide im Abstände dh ist nach (3) § 18 8. 92, 
wenn man B2 =^ B^ -\- dB setzt, sehr nahe gleich (ä, — h^) : rdB 

7* 



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100 2. Kapitel. Bestiininang der Abplattung aus Schweremessungen. 

oder 0,00531 sm2^ • Ebensoviel betragt die Biegung der Lot- 
linien für die Erhebung dh . 

In welcher Weise sich die Krümmung der Lotlinien auf die Änderung 
der geographischen Breite überträgt, zeigte bereits Gaufs 185S in einem 
Briefe an Baeyer, vergl. das Protokoll der Verhandlungen der permanenten 
Kommission der europäischen Gradmessung von 1869 S. 30 oder Astronom, 
Nachrichten Bd. 84 1874 Nr. 1993 S. 3. Hiemach ist die Breite in der 
Meereshöhe H gleich 

B + 1070"— sin 2B, 

was mit (8*) genügend übereinstimmt. 

Eine Entwicklung aul grund der Potentialtheorie gab Haupt in den 
Astronom. Nachrichten Bd. 84 No. 1996 S. 50, sowie Bruns in seiner Figur 
der Erde S. 19. Obwohl ersterer einen nicht korrekten Ausdruck für das 
Potential nach Hansen anwendet, wird doch seine Endformel richtig. 
Dagegen ist wiederholt von anderen infolge fehlerhafter Berücksichtigung 
der Anziehung des Erdkörpers der Differentialquotient dB i-dh unrichtig 
aufgestellt worden. 

§ 22. Die äuAerste NiTeaufläehe der Erde. Entfernt man 
sich in der Äquatorebene mehr und mehr von der Erde^ so nimmt 
die Anziehung ab^ die Zentrifugalkraft dagegen zu, bis endlich an 
einer Stelle Gleichheit eintritt. Darüber hinaus überwiegt die Zentri- 
fugalkrafi Man kann nun diejenige NiveauflächO; in deren Äquator 
jene GlMchheit statt hat; als äufserste Niveaufläche bezeichnen, inso- 
fern sie unter gewissen Voraussetzungen die Grenze der Atmosphäre 
sein mufs. Wir betrachten hier übrigens diese Fläche nur zu dem 
Zwecke^ um an einem Beispiel zu erkennen, wie sich die Niveau- 
flächen bei gr5fserem Abstände von der physischen Erdoberfläche 
verändern. 

Für das Potential W der Schwerkraft wenden wir wieder den 
Andruck 

f7«^(l+^^(l_38m^9,)+^J.-co8^9,+ ...) (1) 

an, welcher jetzt sicher eine weit stärkere Annäherung an W giebt, 
als dicht an der physischen Erdoberfläche. Differenziert man U nach r 
und setzt nach Einführung von r =» ö , sin 9 = , cos 9 = 1 
den Differentialquotienten gleich null, so folgt zur Bestimmung des 
Äquatorialhalbmessers der Grenzfläche die Gleichung 

Verstehen wir unter a^ den Äquatorialhalbmesser des Niveausphäroids 
der Meeresfläche und setzen wir wie bisher 

^• = t(l + ff/,), (3) 

SO läfst sich (2) in die Form bringen: 



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§ 22. Die äurserste Niveaufläche der Erde. 101 

©•-t{'+^.(?)'+--1- w 

Mit Rücksicht auf den Zahlwert r= 1:288,4 (vergl. § 16 S. 84) er- 
kennt man, dafs a : a^ zwischen 6 und 7 liegt; läfst man daher rechter 
Hand in (4) alle Glieder aufser 1 we^, so giebt dies, weil 3l^:2aQ^ nach 
(6) § 15 8. 83 nahezu 1 :577 ist und weil ferner die Reihe in der Klammer 

nach Potenzen von (— ) fortschreitet, nur einen kleinen Fehler in der 
Bestimmung von a : a^. Derselbe beträgt etwa 1 : 75000 des Wertes. 
Wir setzen somit in grofser Annäherung 

' a = a,y\ = a,. 6,601. (5) 

Durch diese Relation ist zunächst der Äquatorialradius der Grenzfläche 
in Bezug zu demjenigen der Meeresfläche gebracht. 

Um nun auch die Form der Grenzfläche zu ermitteln, schreiben 
wir statt (1) : 

dieser Ausdruck entspricht genau demjenigen Falle, dafs die Erde 
nach aufsen wie eine homogene Kugel anzieht, was in dem beträcht- 
lichen Abstände der Grenzfläche bereits sehr nahe zutrifft, wie auch 
das Vorhergehende hinlänglich zeigt. Aus (6) folgt unmittelbar 

Da nun für cosg? = null r in die kleine Halbaxe b übergeht, so ist 
1} = Mk^ : U, Führen wir in (6*) b ein, sowie ferner die aus (2) 
folgende und für (6) modifizierte Relation Afk'^ «=0)2^3^ gQ ergiebt sich 

welche Gleichung für r = a und cos 9? = 1 zeigt, dafs b : a ^^V^ ^s*« 
Die Abplattung (a — b): a der Grenzwache beträgt hiernach 

— ••) 



*) Lapkuse berechnet diese Abplattung in der MScanique cüeste, t. II., 1. m, 

chap.Vn p. 169. Für eine beliebige Niveaufläche setzt er, wenn a =• 1 genommen 

wird und x das Verhältnis der Zentrifugalkraft zur Schwerkraft am Äquator 

ist, als Gleichung an: 

2r 2 

r3 r^^^T— + V- - 0» 

X h cos*9 ' X cos'qp 

bringt jedoch für den Fall x «= 1 die Gleichung nicht anf die einfache Form (8*). 
Laplace bemerkt ausdrücklich, dafs diese Gleichung nur unter Voraussetzung 
kugelartiger Anziehung gelte. Es ist also selbstverständlich, da(b er sie nicht 
für die Nähe der physischen Erdoberfläche angewandt haben wollte, wie Astro- 
nom, Na^mchten Bd. 74 1869 No. 1768 geschehen. Auch unser Oitat Bd. 1. S. 18 
Z. 24 ist insofern inkorrekt. 



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102 2. Kapitel. Bestimmang der Abplattung aus Schweremessungen. 



Als Gleichung der Grenzfläche (und zugleich als Gleichung ihres 
Meridianschnittes) erhält man jetzt aus (7) : 



r 2 , 1 / r \3 ^ 2 



(8) 



oder nach den gewöhnlichen Regeln der Algebra fOr die trigono- 
metrische Auflösung der Gleichungen dritten Grades: 



-^ = 2 sec9 cos (-|- + 60«) 



(8*) 



Für das Rotationsellipsoid gleicher Abplattung besteht nach Bd. 1 
S. 60 (3), da * = («* — h'^) : V^ = V4 wird, die Gleichung : 

1 

1/ 1 + -7" fli*^* 9 



r 
a 



(9) 



Hiemach ist — für die Grenzfläche und das Ellipsoid durch 
folgende Tabelle gegeben: 



9 


Grenzfläche 


Ellipsoid 


0» 


1,000 


1,000 


15 


0,875 


0,961 


30 


0,790 


0,873 


45 


0,732 


0,784 


60 


0,695 


0,718 


75 


0,673 


0,679 


90 


0,667 


0,667 




Vergl. hierzu Fig. 5. 



renz der — liegt bei q> « 



Die gröfste Diflie- 

- 21,20, wo deren 

Werte gleich sind 0,8359 bezw. 0,9271 
mit 0,0912 Differenz. 

Eine sehr wesentliche Abweichung zeigt 
die Grenzfläche von dem Ellipsoid insofern 
als sie am Äquator in eine Kante ausläuft. 
Hier ist die Fläche gegen die Äquator- 
ebene unter 60** geneigt. Um dieses Re- 
sultat zu erlangen, genügt es, aus (8*) 
dr : r dg) für (p = null zu bilden, d. i. 
die Kotangente des Neigungswinkels der 
Meridiankurve gegen den Radiusvektor. 
Übrigens hat nur die Grenzfläche diese Kante; bei den innerhalb in 
ihrer Nähe gelegenen Niveauflächen findet, wie die Untersuchung 



Fig. 5. 



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§ 28. Historische Notizen zu dem Theorem von Clairaut; Newton. 103 

zeigt; am Äquator mit abnehmenden Werten q) nur eine sehr rasche 
Abnahme des Krümmungsradius in der Ebene der Meridiankurve statt. 

Ist M das Verhältnis der Zentrifugalkraft zur Schwerkraft am Äquator, 
so ist daselbst der Krümmungsradius im Meridian gleich a (1 — x). 

§ 23. Historische Notizen zu dem Theorem von Clairaut; 
Newton. 

EMe wichtigsten Epochen in der Entwicklung der Theorie fär 
die Anwendung der Schweremessungen im Meeresniveau auf die Be- 
stimmung der Erdgestalt bezeichnen die Namen Newton, Clairaut und 
Stokes. Machte der erste eigentlich nur einen nicht ganz voUstan- 
digen Versuch^ das Gravitationsgesetz auch hier zu verwerten^ wobei 
jedoch wegen Voraussetzung der Homogenität der Erde kein zu- 
treffendes Resultat möglich war, so gab ClairatU in seinem Theorem 
eine Formel zur wirklichen Berechnung der Abplattung der Erde 
aus dem Ergebnis der Schwerebeobachtungen^ bei deren Begründung 
er für die Massen der Erde nur noch eine gewisse regelmäßige 
Schichtung voraussetzte; jedoch in solcher Allgemeinheit, dafs auch 
eine hydrostatischen Gesetzen genügende Schichtung inbegriffen ist 
Von allen diesen Annahmen; insoweit sie das Erdinnere betreffen, 
befreite endlich Stokes die Entwicklung des Theorems; nur über die 
Masseulagerung der Erdrinde bis zur Tiefe v tiR, wenn R einen 
mittleren Erdradius und a die Abplattung bezeichnet; sind auch hier 
Voraussetzungen vorhanden. ^ 

Indem wir uns nun zu einer eingehenden Besprechung der ge- 
schichtlichen Entwicklung wenden ; beginnen wir mit den bezüglichen 
Sätzen und Berechnungen von Newton (1642 — 1727); die sich in 
seinem Werke Philosophiae naturalis principia mathematica vorfinden. 
Ohne irgendwie die Frage zu berühren, ob die Oberfläche eine Gleich- 
gewichtsääche sein kann, denkt sich Newton in einem homogenen 
Rotationsellipsoid; dessen polare und äquatoriale Halbaze im Ver- 
hältnis 100 : 101 stehen, zwei Kanäle vom Zentrum C nach dem einen 
Pol P und nach einem Äquatorpunkt A, gefüllt mit Wasser ; und 
untersucht ihr Gewicht (den hydrostatischen Druck) in C mit Rücksicht 
auf die Zentrifugalkraft. Da bei jenem Axenverhältnisse die Gewichte 
sich nicht gleich herausstellen; ändert er dasselbe angemessen ab; (in 
fVolfers Übersetzung a. a. 0. § 23 S. 401 unten bis S.403). Der Kalkül 
vernachlässigt in der Regel die zweite Potenz der Abplattung. 

Von den erforderlichen Hilfssätzen betrifft. ein erster das Verhält- 
nis, in welchem die Anziehung des abgeplatteten Ellipsoids zu der 
Anziehung einer mit dem Polarhalbmesser beschriebenen Kugel 
auf einen der Pole steht. Um es zu ermitteln, wird zuerst ein Aus- 
druck für die Anziehung einer Kreisfläche auf einen senkrecht über 
ihrem Mittelpunkt befindlichen Punkt abgeleitet und mit Hilfe dessen 
ein Ausdruck für das erwähnte Verhältnis der Anziehungen des 



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104 2. Kapitel. BestimmnDg der Abplattung aus SchweremeBsungen. 

Ellipsoids und der Kugel. Die betreffenden Angaben sind ziemlich 
dürftig, da Newton die erforderlichen Summierungen auf Flächenbe- 
rechnungen zurückführt, diese aber dem Leser überläist (bei Wolfers 
S. 214 § 136 und S. 217 § 137). Als numerischen Wert des Ver- 
hältnisses giebt er 126 : 125. 

Die Anziehung des abgeplatteten Ellipsoids auf einen Aquator- 
punkt ergiebt sich mittelst des vorigen Satzes, weil derselbe in der 
angegebenen Annäherung eine unmittelbare Anwendung auch auf 
ein längliches' Uotationsellipsoid gestattet und jene Anziehung mit 
gleicher Anuäherung als geometrisches Mittel der Anziehungen einer 
mit dem Äquatorialradius AC beschriebenen Kugel und eines läng- 
lichen Ellipsoids mit der Polarhalbaxe AC aufgefafst werden kann. 
Die Anziehung des abgeplatteten Ellipsoids auf einen Äquatorpunkt 
verhält sich daher zu derselben Anziehung der umschriebenen Kugel 
wie 125,5 : 126, und da sich diese letztere Anziehung zu derjenigen 
der eingeschriebenen Kugel auf einen Pol wie 101 : 100 verhält, so 
folgt als Verhältnis der Anziehungen des abgeplatteten Ellipsoids auf 
Pol und Äquatorpunkt 501 : 500. 

Ein anderer Hilfssatz lehrt, dafs eine homogene, von zwei ähn- 
lichen, ähnlich liegenden und konzentrischen Ellipsoiden begrenzte 
Schale einen Punkt des Hohlraumes nicht anzieht und dafs hiemach 
die Anziehung eines Ellipsoids auf verschiedene Punkte eines Radius- 
vektors deren Ab^jtand vom Zentrum proportional ist. Die Unter- 
suchung der Anziehung jener Schale erfolgt in ähnlicher Weise durch 
Zerlegung in gegenüberliegende, gleich stark anziehende Elemente 
wie für die Kugelschale, siehe § 6 S. 63, (bei Wolfers S. 217 unten). 

Mittelst des letztgenannten Hilfssatzes findet sich für die Ge- 
wichte der beiden Kanäle nach Pol und Äquator, abgesehen von der 
Zentrifugalkraft, das Verhältnis 100.501:101.500 oder 501:505. 
Man bemerkt leicht, wie man hieraus das entsprechende Gewichts- 
verhältnis bei anderem Axenverhältnis abzuleiten hat. Ist insbesondere 
V289 das Verhältnis von Zentrifugalkraft und Schwerkraft am Äquator, 
so kann man setzen 

• ^ .1^1.4 

" • 101 289 ' 605 ^ 

um diejenige Abplattung a zu finden, für welche das Mehrgewicht 
des äquatorialen Kanals im Vergleiche zum polaren ohne Rücksicht 
auf die Zentrifugalkraft gerade soviel beträgt, als letztere aufhebt. 
Wenn Newton Vjj^ für a angiebt, so liegt der unterschied mit dem 
aus vorstehender Proportion folgenden Wert 7231 innerhalb der fest- 
gesetzten Genauigkeitsgrenze. (Was eine strengere Rechnung giebt, 
werden wir demnächst anführen.) Die Zahl V231 bezeichnet auch 
den Überschufs der Schwerkraft am Pol über diejenige am Äquator 
in Bruchteilen der letzteren. 



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§ 24. ClatrcnUs Darstellung des NewUmochen Problems. 105 

Auf eiue homogene, feste und mit dünner Flüssigkeitsschicht 
bedeckte Erde ist die Newtonache Rechnung insofern anwendbar, als 
das Gleichgewicht durch Einfügung der beiden Kanäle nicht gestört 
werden kann. Es entging jedoch Newton nicht, dafs die thatsächliche 
Änderung der Schwerkraft auf der Erdoberfläche mit der geographi- 
schen Breite einem homogenen Rotationsellipsoid nicht entspricht. 
Er sagt darüber {Wolfers Übersetzung S. 408 o., in der dritten Aus- 
gabe des lateinischen Originals [von Cotes 1714] S. 385. u. und 386 o.): 
„Der Überschufs der Pendellänge in Paris über die in diesen Breiten 
(nämlich in — 7^ bis +20^) beobachteten Längen des isochronischen 
Pendels ist ein wenig gröfser als die oben berechnete (nämlich dem 
homogenen Rotationsellipsoid mit 723o Abplattung zukommende) 
Tabelle der Pendellängen angiebt. Die Erde mufs also am Äquator 
etwas stärker erhöht sein, als die frühere Rechnung es ergiebt und 
ihre Materie mufs in der Nähe des Mittelpunktes dichter sein als 
nahe au ihrer Oberfläche." Dafs die erstere Schlu&folgerung nicht 
richtig ist, bemerkt schon Ciatraut S. 157 seiner Figure de la Terre 
und er bemüht sich insbesondere S. 253 § LI für Newtons Schlufs 
eine Erklärung zu finden. Unsere Notiz Bd. 1 S. 11 Z. 12 u. 11 von u. 
bedarf also insofern der Berichtigung, als Newton zwar die Verhältnisse 
bei nicht homogener Erde in betracht zog, jedoch nur teilweise zu 
richtigen Resultaten gelangte. 

Anf den ersten Blick erscheint es in der That befremdlich, dafs der 
gröfseren Variation der Schwere eine kleinere Abplattung entspricht. 
Diese Aussage von Clairauts Theorem erscheint auch offenbar dem Ver- 
fasser des Artikels ,yErde" in GeJders physik. Wörterbuch Bd. 3 S. 915—919 
nicht ganz klar, weshalb sich bereits ^oreniii^ in seiner S. 87 genannten 
Abhandlung S. 2 veranlafst %ieht, dieselbe zu besprechen. Jeder Zweifel 
hebt sich, wenn man beachtet, dafs eine Änderung der Abplattung bei 
konstantem t auch eine veränderte Massenverteilung zur Erhaltung des 
Gleichgewichts fordert. Vergl. hierzu die Gleichungen (7) u. (8) § 1 1 S. 76. 

§ 2^. Clairauts Darstellung des Newfbn sehen Problems. 

In seinem Werke über die Figur der Erde beschäftigt sich Clairaut 
auch mit einer sti:engen Darstellung des Falles der Homogenitat, 
welchen Newton behandelt hatte.*) Diese Darstellung ist überaus 
interessant durch die Einfachheit des Beweises für die Möglichkeit 
des Gleichgewichts. Er geht von folgendem Satze aus: 

Hat man zwei ähnliche^ ähnlichliegende und konzentrische Ellipsen, 
Fig. 6, deren eines Axenpaar durch AQCB bezeichnet ist, so ist 
2 QR =^20S = MK + ML , jenachdem K und L auf derselben oder 



•) ClairatU, Theorie de la Figwe de la Terre, tirie des Prindpes de VUydro- 
statigue. Paris 1743. Unverändert abgedruckt 1808. S. 158—195 §1— XXI. 

Übrigens gab ClairaiU schon in den Philosophical Transcu^ions von 1737 
(Bd. VIII S. 119 u. ff. der Ausgabe von 1809) eine Vervollständigung von Newtons 
Theorie für eine homogene Erde. 



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106 2. Kapitel. BestimmuDg der AbplaUung ans Schweremessun gen. 

auf verschiedeüeu Seiten der zu AB uormalen Tangente QM liegen, 
wenn zugleich ML parallel zu QR, MK parallel zu QS ist, beide 

Linienpaare aber zu AB entgegen- 
gesetzt gleiche Neigung haben. 

Dieser Satz läfst sidi für die 
Ereisform leicht beweisen und 
hieraus durch Projektion auf die 
Ellipsenform übertragen. Verbin- 
det man aber mit demselben den 
Satz, dafs die Anziehung zweier 
Pyramiden mit gleichem differen- 
tialen körperlichen Winkel auf 
ihre Spitzen proportional ihren 
Längen ist, so wird durch Zer- 
legung der Körper in Differential- 
pyramiden leicht erkannt, dafs der Punkt M der Oberfläche eines Ro- 
tationsellipsoides, dessen Meridianschnitt Fig. 7 zeigt, in den Richt- 
ungen MT und MQ parallel zu den beiden 
Axen gerade so angezogen wird, wie bezw. 
der Punkt Q von einem zum gegebenen ähn- 
lichen, ähnlich liegenden und konzentrischen 
^ Rotationsellipsoid, dessen Oberfläche durch Q 
führt, und der Punkt T vo^ einem ebensolchen 
Ellipsoid durch T. 

Nennt man P die Anziehung in P, A die 
Anziehung und Z die Zentrifugalkraft in A^ 
beachtet man /erner, dafs die Resultante der 
auf M wirkenden Kräfte die Richtung der 
Normale MG haben mufs, so folgt sofort mit 
Benutzung einer leicht zu entwickelnden Re* 
lation für QG^ als Bedingung des Gleichgewichts die merkwürdige 
Gleichung: 

{A — Z)a = Pb . (1) 

Die Möglichkeit des Gleichgewichts beim homogenen Rotations- 
ellipsoid erhellt also bereite ohne Kenntnis der Ausdrücke für die 
Anziehung, lediglich als Folge des Umstendes, dafs die Koordinaten 
von M aus der Gleichung verschwinden. 

Die weitere Rechnung bietet insofern weniger Bemerkenswertes, 
als Clairaut A und P^ ausgehend von einer Zerlegung des Ellipsoids 
in Differentialpyramiden, ganz in jetzt üblicher Weise durch Inte- 
gration berechnet uud zu den bekannten Ausdrücken gelangt, welche 
in unseren Bezeichnungen formell unerheblich verändert lauten : 




Fig. 7. 



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§ 26. Huygens, 107 

(2) 

die Dichtigkeit der Masse gleich 1 gesetzt und (a^ — b^) : b* mit e^ 
bezeichnet. Wendet man die Reihenentwicklung für arctan an und 
setzt Z : (-<4 — Z) = t, so giebt obige Gleichung 

oder, wenn man mit Ciatraut (a — b) : b einführt und darauf reduziert: 



■T^(l + ^^ + ---)- (*) 



Den kleinen Bruch in der Klammer vernachlässigt Clairaut. Beachtet 
man noch die Beziehung von {a -^ b') :b zur Abplattung a, so wird 
mit grofser Scharfe 

-5-=^+l+---- ■ (5) 

Setzt man also 

mit Newton t == -^ , so folgt -j- — 232^2 
mit Clairaut „ ^^ „ „ 231,0 

nach S. 84 (2») „ ^^ „ „ 231,7 . 

Clairaut zeigt noch, dafs die Schwerkraft auf dem homogenen, 
im Gleichgewicht befindlichen Rotationsellipsoid proportional der 
Normale MN(d. h. nach Bd. 1 S. 40 proportional zu l :j/l — e^ sin^^) 
ist, was man, ohne hier seiner etwas umständlichen Beweisform zu 
folgen, leicht aus Dreieck MTN Fig. 7 entnimmt. 

Zu derselben Formel für - gelangt man natürlich durch Einführung 
II 

der Werte JT— 4" «' ^ (2 — ») 

ö 

i) = |-aU', (6) 

welche dem Potential des homogenen Rotationsellipsoids angehören, in 
die Gleichung (6) § 15 S. 83. Das Potential des homogenen Eotations- 
ellipsoids ist weiterhin abgeleitet. Durch Vergleichung der dafür in § 31 
(8) dieses Kapitels gegebenen Formel mit dem Ausdruck für ü in § 12 
(1) S. 77 kann man die Angaben für K und D verifizieren. 

§ 25. Uuygens (1629—1695). Da uns das Werk*), iu welchem 



•) Huygens, Traue de la Lumihre. Avec un Discours de la Cause de la 
FesafUeur. 1690. 

Hierbei sei bemerkt, dafs van Tricht S. 6 des Jahrb. der Fortschr. d. Ma- 
thematik von 1877 (publ. 1880) für die angewandte Schreibweise des Namens des 
Autors eintritt, weil er selbst sich so geschrieben habe. 



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108 2* Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Huygens nach Todhunier seine Berechnung der Erdabplattung gegeben 
hat, nicht vorliegt, so beschranken wir uns darauf nach dessen 
History of the mathematical Theories of Atlraction and the Figure of 
(he Earth Bd. 1 S. VI und 28 mitzuteilen, dafs Hvygens sich hier-: 
bei ebenfalls wie Newton der Kanäle bedient. Aus dem Wert t = V289 
berechnet sich nach ihm a '^ V57S sowohl unter der Annahme, dals 
die Zentralanziehung (Bd. 1 S. 11) konstant, als irgendwie von der 
Distanz abhängig ist. Die Oberfläche des Sphäroids stellt sich nor- 
mal zur Resultante aus Zentralanziehung und Zentrifugalkraft. Die 
Grö&e der Resultante, die Schwere, variiert vom Pol bis zum Äqua- 
tor, wenn man die Zentralanziehung umgekehrt proportional dem 
Quadrate der Distanz setzt, um 7289; ^^ allerdings den Verhältnissen 
der Erde nicht entspricht, wie Huygens keineswegs übersieht. 

Das Huygens 8che Problem wird auch ausführlich von Clairaut in 
seiner Figure de la Terre behandelt (S. 28—32 § XIV u. XV; S. 139 
bis 143 § LXXIII u. LXXIV). Er findet, dafs eine Gleichgewichts- 
oberfläche nur möglich ist, wenn die Zentralkraft lediglich eine 
Funktion von der Distanz ist und z. B. nicht etwa noch von der 
Richtung der Kraft. Indem er sodann ebenfalls einen polaren und 
äquatorialen Kanal betrachtet, bedient er sich in übersichtlicher Weise 
folgender graphischen Methode. In Fig. 8 sei die Ordinate Qff 
proportional der Anziehung in der beliebigen 

A^r-^ -7^i Distanz (7Ö. Dann stellt die Fläche CACA^ 

■fp' über dem äquatorialen Halbmesser CA das 
Gewicht (den hydrostatischen Druck) des äqua- 
torialen Kanals für die Dichtigkeit 1 und den 
Querschnitt 1 vor, ohne Rücksicht auf die 
Zentrifugalkraft. Wird diese am Äquator 
durch AA" ausgedrückt, so giebt das Dreieck 
AÄ'C die Gewichtsverminderung durch die 
Zentrifugalkraft. Es mufs nun das Gewicht 
^*' ®' CA" CA des äquatorialen Kanals gleich sein 

demjenigen des polaren, d. i. CPC P\ oder was dasselbe ist, für jedes 
nur von der Distanz abhängige Gesetz der Zentralanziehung mufs 
Fläche AÄ' C der Fläche APÄP' gleich sein. Bezeichnet Z wieder 
die Zentrifugalkraft und A die Anziehung am Äquator, so ist hier- 
mit angenähert — Za = anA, oder ebenso genau a «= -5- r . 

Die Potentialtheorie zeigt sehr bequem die Besultate der ClairautBchen 
Untersuchung. Ist W das Potential der Schwere, F dasjenige der An- 
ziehung, so folgt 

bei der üblichen Bedeutung von r, oo und g> . Ws= Eonstante ist die 
Gleichung einer Niveaufiäche, also auch der Gleichgewiobtsoberfläche. 




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§ 26. Clairaut. 109 

Giebt eanun kein Potential V, so existiertauch keine Gleichgewichtsoberfläche. 

dV 
Ein V kann aber nur existieren als Funktion von r allein, denn da ^die 

dr 

ganze Anziehung ist, so mufs der Differentialquotient von F nach 9 null sein, 
weil derselbe eine zur radialen Richtung normale Komponente vorstellt. 

Gilt nun V^ für den Äquator, F für den Pol der Gleichgewichtsober- 
fläche, so wird F^ + V ^* ^* = ^^ • ^* ^j» "" ^a ^®^^ ^^^® ^^^ ^^*» 
erhält man hieraus u wie oben. 

§ 26. Clalraut (1713 — 1765). Der erste Teil der Schrift 
Theorie de la Figure de la Terre^ iiree des Principes de V Hydrostatique 
ist der Hydrostatik gewidmet, vor allem deren Prinzipien. Bisher 
hatte man bei der Betrachtang flüssiger, rotierender Sphäroide die 
Gestalt der Oberfläche entweder nach dem Prinzip von HuygenSj dafs 
sie normal zur Resultante der Kräfte stehen müsse^ berechnet oder 
mittelst des Prinzips von Newton ^ dafs geradlinige Kanäle, welche 
von der Oberfläche nach dem Zentrum führen, gleiches Gewicht be- 
sitzen müssen. Clairaut zeigt aber, dafs diese Prinzipien allein nicht 
^erkennen lassen, ob thatsächlich Gleichgewicht besteht. Dieses ist 
in der That nur dann möglich, wenn die Komponenten der nach drei 
rechtwinkeligen Axen zerlegten Resultante der Kräfte in einem Punkte 
sich als die bezüglichen partiellen Diffe^ntialquotienten einer t\uiktion 
der Koordinaten dieses Punktes aufiEassen lassen, so dafs also zum Be- 
stehen des Gleichgewichtes die Existenz eines Potentials der Kräfte erfor- 
derlich ist. Clairaut erkannte dies wenigstens dem Wesen nach, ohne 
jedoch den Begriff des Potentials zu erfassen.*) Er weist es auf doppelte 
Art nach, einmal ausgehend von dem Prinzip, dafs jeder geschlossene 
Kanal von beliebiger Form im Gleichgewicht sein müsse, sodann von dem 
Prinzip aus, dafs der Abstand zweier unendlich benachbarten Niveau- 
flächen überall im umgekehrten Verhältnis zu der Kraft daselbst stehe. 
Mit Hilfe dessen und an der Hand der thatsächlichen Schwerever- 
hältnisse auf der Erdoberfläche gelingt es dann, die Uuhaltbarkeit 
der Annahme einer Zentralanziehung, welchem Gesetze sie auch folge, 
nachzuweisen. [Vergl. weiter die Notizen S. 10 § 8 und S. 108 § 25.] 

Aus der Einleitung der Schrift geht hervor, weshalb Clairaut 
ausführlich bei der Hypothese der Zentralan ziehung verweilt. Dar- 
nach entspricht dieselbe der Wirbeltheorie des JDescartes**) , welche 
nur sehr allmählich von Newtons Gravitationstheorie verdrängt wurde. 

I ♦) VergL unsere Anmerkung zu Kap. 1 § 8 S. 10. Dafs die Komponenten der 
Anziehung beim JYeu^^onschen Attraktionsgesetz partielle Differentialquotienten 
sind, war hiemach wohl bereits Clairaut bekannt. Es wird diese Erkenntnis 
sonst Lagrange zugeschrieben, von dem sie in der That zuerst frei von hydro- 
statischen Nebenbeziehungen deutlich ausgesprochen wird. 

**) YergL über dieselbe z. B. WJteweU, Geschichte der induktiven Wissen 
schaflen, Bd. 2 S. 186 u. ff. 



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110 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattong aus Schweremessongen. 

Es galt also nicht nur diese auf die Probleme der Naturwissenschaft 
anzuwenden, sondern auch jene direkt zu widerlegen. Nach dem 
Bekanntwerden der iV^^onschen Untersuchungen sahen sich übrigens 
die Anhäuger jener Theorie bereits zu dem Zugeständnis genötigt, 
in der Sonne und den Hauptplaneten Gravitationszentren anzunehmen 
und die Anziehung umgekehrt proportional dem Quadrate des Ab- 
Standes vorauszusetzen, während anfangs zur Erklärung der als kon- 
stant betrachteten Erdschwere ein Graviiationszentrum mit konstanter 
Wirkung ausreichte. 

Der zweite Teil des Clairaut sehen Werkes enthält in den Para- 
graphen XXIII bis XXIX, XXXVn und XLI bis XLIX S. 198 bis 
218, 225 und 233 bis 250 die speziellen Untersuchungen über die 
Erdgestalt auf grund des Newton%chen Anziehungsgesetzes. Clairaut 
bedient sich dabei überall der Differential- und Integralrechnung in 
der jetzt üblichen Weise, vereinfacht die Betrachtung aber wesentlich 
dadurch, dals er nur die erste Potenz der Abplattung berücksichtigt, 
diese somit strenggenommen als unendlich kleine Grofse behandelt. 
Entsprechend wird das Verhältnis der Zentrifugalkraft zur Schwer- ^ 
kraft am Äquator wie eine unendlich kleine Grofse von derselben 
Ordnung eingeführt. 

Der Gang der Entwicklung ist nun in den Hauptpunkten fol- 
gender. Zunächst wird die Anziehung einer aus homogenen, kon- 
zentrischen Schichten gebildeten Kugel auf einen Punkt aufserhalb 
ermittelt; sodann wird ein Ausdruck für diejenige Komponente der 
Anziehung einer KreisiSäcbe auf einen nahezu normal über ihrem 
Mittelpunkt gelegenen Punkt aufgestellt, welche parallel zur Kreis- 
fläche (in der Richtung der Excentricität) wirkt, und mittelst dieses 
Satzes dann zunächst für ein homogenes, abgeplattetes Rotations- 
ellipsoid, darauf aber für ein geschichtetes Rotationsellipsoid diejenige 
Komponente der Anziehung auf einen aufserhalb gelegenen Punkt 
berechnet, welche in die Richtung normal zum Radiusvektor fällt. 
Das geschichtete Rotationsellipsoid besteht aus einem Kern und 
einer beliebig dicken homogenen Flüssigkeitsschicht; in dem Kern 
sind die Flächen gleicher Dichte konzentrische, koaxiale Rotations- 
ellipsoide, deren Abplattung und Dichtigkeit beliebige Funktionen 
der kleinen Halbaxe sind. Mittelst dieser Entwicklungen wird die 
Bedingungsgleichung dafür, dafs die Resultante aus Anziehung und 
Zentrifugalkraft auf der Oberfläche überall normal steht, aufgestellt 
und schliefslich durch die Annahme vereinfacht, dafs die Dicke der 
äufsersten Schicht unendlich klein sei. Bezeichnen wir mit ^, a und @ 
die kleine Halbaxe, Abplattung und Dichtigkeit einer Fläche gleicher 
Dichtigkeit, mit b^ und üq die ersteren beiden Gröfsen für die Ober- 
fläche und mit to das Verhältnis der Schwerkraft zur Zentrifugalkraft 
am Äquator derselben, so lautet die Bedingungsgleiehung: 



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§ 26. Clairavi. Hl 

10^«« -2Z) = 5^C, (1) 



für 

A^^^feb^db, D=H@d{l^ii). (2) 



l^feb-^äb, D^lJ@dQ^iO 



Bis dahin durfte die Anziehung des Ellipsoides in radialer 
Richtung mit Vernachlässigung der Abplattung berechnet werden. 
Diese Anziehung wird nunmehr genauer ermittelt und dabei nachge- 
wieseu; dafs die Anziehung auf einen äufseren Punkt M ebenso grofs 
ist, wie di^'enige eines Rotationsellipsoides, dessen Rotationsaze nach 
Lage und Gröfse zusammenfällt mit dem Radiusvektor NC des ge- 
gebenen Ellipsoids in Richtung MC^ und dessen Masse derjenigen 
des letzteren gleich ist. Zum Zwecke des Nachweises wird das ge- 
gebene Ellipsoid durch unendlich viele parallele Schnitte zerlegt, 
welche zu NC konjugiert liegen und gezeigt, dafs die zentrale An- 
ziehung einer nahezu kreisförmigen Ellipse auf einen Punkt^ der 
nahezu normal über deren Mittelpunkt liegt, der Anziehung eines 
flftchengleichen Kreises, über dessen Mittelpunkt der angezogene Punkt 
genau normal sich befindet, gleich gesetzt werden kann. Als An- 
ziehung eines abgeplatteten, homogenen Rotationsellipsoids mit der 
Dichtigkeit 1 auf eiüen Punkt in der Drehaxe mit dem Zentrumsab- 
stand r wird erhalten 

Hieraus folgt mittelst des vorigen Satzes (da innerhalb der festge- 
setzten Genauigkeit der Ausdruck (3) auch für negative a gilt) die 
Anziehung desselben Ellipsoids auf einen Punkt der Aquatorebene 
gleich 

und aus (3) und (4) leitet sich endlich ab, dafs die Anziehung eines 
wie oben angegeben geschichteten Ellipsoides auf einen Punkt des 
Äquators kleiner ist als auf einen der Pole um 

4.nkH^{2A—\Dy (5) 

Fügt man hierzu für die Zentrifugalkraft Ank^At^^ so ergiebt sich 
der Überschufs der Schwerkraft am Pol über diejenige am Äquator. 
Denselben im Verhältnis zur Schwerkraft mit bo bezeichnend, er- 
halten wir also 

b„=2a.-|-^ + c„, (6) 

hieraus und aus (I) aber unter Elimination von D : A das Theorem 

^ + «^0 = V f • 



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112 2. Kapitel. BestimiiitiDg der Abplattung aus SchweremeBsnngen. 

Noch immer vorkommender fehlerhaften Auffassung wegen muls 
nochmals betont werden^ dafs die Schichtung des Rotationsellipsoids 
keineswegs nach ähnlichen Flächen gedacht ist. Allerdings hat 
Clairaut in einer Abhandlung in den Phil, Transactions von 1738 
(Ausgabe von 1809: Bd. VIII S. 207) sein Theorem zuerst für solche 
bewiesen, aber sein Buch von 1743 enthält die mit Rücksicht auf 
eine wesentlich flüssige oder flüssig gewesene Erde wichtige Er- 
weiterung des Beweises, ohne ihn jedoch lediglich auf diesen Fall 
zu beschränken. S. 265 § LV wird noch bewiesen, dafs man die 
Trennungsflächen der Schichten einer rotierenden Flüssigkeitsmasse 
in hier ausreichender Annäherung, d. h. abgesehen von der zweiten 
Potenz der Abplattung, als Rotationsellipsoide betrachten darf — oder 
genauer gesagt, es wird bewiesen, dafs die Voraussetzung dieser Form 
zu keinem Widerspruch führt. 

Die Gleichung (1) entspricht der Formel (2) § 12 S. 77; sie giebt 
1 B fo 

während jene — Ki Oq' als erstes Glied hat. Da nun fürs homogene Ellipsoid 
mit der Dichtigkeit 1 in hier genügender Annäherang 

Z3f=|-5«a-af = -:^«6^ll mit M=^^nb^ 
16 o 

ist (vergl. weiterhin § 31), so wird fürs geschichtete Ellipsoid in gleicher 
Annäherung 

Setzt man in dem Potential der Anziehung des homogenen Rotationsellipsoids 






4 
M genauer gleich — nä^b , so verifizieren sich auch (3) und (4) leicht als 
3 

partielle Differentialquotienten nach r for 9 s» 90° und 9 = null. 

§ 27. Die Einfahrnng des Potentials in die Untersuchung 
des Zusammenhangs zwischen Schwerkraft und Erdgestalt beginnt 
gegen Ende des vorigen Jahrhunderts (zunächst ohne Einführ- 
ung des Namens Potential). Nach Todhunier^ History of Aiiraction 
Bd. 2 S. 95-106, hat Legendre (1752—1833) in den Memoiren der 
französischen Akademie der Wissenschaften von 1789 (publ. 1793) 
das Ciairauische Theorem mit zweiten Potenzen der Abplattung ab- 
geleitet und zwar mit Hilfe einer Entwicklung von F, dem Potential 
der Anziehung der wie bei Clairaut geschichteten Erde, nach nega- 
tiven Potenzen des Radiusvektors des angezogenen Punktes, wobei 
die Konvergenz allerdings unmittelbar evident nur aufserhalb der 
umschreibenden Kugel ist (vergl. § 9 S. 70). Die Art der Entwicklung 



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§ 27. Die EiDfahrnng des Potentials. 113 

gestattet aber, wie hervorgehoben wird, in das Theorem Glieder be- 
liebig hoher Ordnung aufzunehmen und auch den Ausdruck für den 
Radiusvektor der Oberfläche aufzustellen. 

Lapiace (1749—1827) beschäftigt sich in der Mecamqve Celeste 
sowohl im dritten Buche (2. Bd. 1799) wie im elften Buche (5. Bd. 
1825) mit der Figur der Erde und ihrer Beziehung zur Schwerkraft. 
Am ersteren Orte S. 99—103 wird bei Ableitung des (?/öfirflM/ sehen 
Theorems nur die erste Potenz der Abplattung berücksichtigt; im 
Ausdruck für den Radiusvektor der Flächen gleicher Dichtigkeit wird 
demgemftfs auch nur die erste Potenz der Abplattung angesetzt, so- 
dais sie innerhalb dieser Genauigkeit Rotationsellipsoiden entsprechen. 
Sie werden übrigens so gewählt, wie die Hydrostatik für flüssigen 
Zustand verlangt. S. 105—108 behandeln die Weiterentwicklung bis 
zur zweiten Potenz der Abplattung einschliefslich, ohne spezielles 
Eingehen auf Clairauts Theorem. Im Bd. 5 S. 22—57 ist über die 
Flächen gleicher Dichtigkeit weiter keine Annahme gemacht, als 
diejenige, dals sie Rotationsflächen seien. Au&erdem ist bei den 
Untersuchungen über die Figur der mathematischen Erdoberfläche 
überhaupt sogar auf die irreguläre Bedeckung des Festlandes durch* 
das Meer Rücksicht genommen, 

Der Ausdruck für V aufserhalb der umschreibenden Kugel wird 
stillschweigend als bis zur Oberfläche konvergent betrachtet. 

Die Entwicklungen in der Mec. ce'i, und in einigen vorausgehenden 
Abhandlungen von Legendr e und Lapiace (vergl. Todhunter a. a. 0. 
Bd. 2. S. 23; 26, 43 und 44) sind dadurch epochemachend, dafs bei den- 
selben die Eugelfunktionen oder Lapiace Bok&n Koefficienten , welche 
sich später für die mathematische Physik von grofser Wichtigkeit 
erwiesen, auftreten. Nach Todhunter a. a. 0. öd. 2 S. 23 gebührt 
Legendre die Ehre der Einführung der Kugelfunktionen. 

Eduard Schmidt giebt im ersten Teile seines Lehrbuchs der mathe- 
matischen Geographie (Göttingen 1829) S. 326 — 339 eine Ableitung 
des Clairaut sehen Theorems für die Voraussetzung einer Schichtung, 
welche auch im Falle des Flüssigseins bestehen bleiben würde; doch 
wird nur die erste Potenz der Abplattung berücksichtigt. Es ist also 
wesentlich wieder die Darstellung des Theorems durch Lapiace, Mec. 
ceLj 1. III. Die Entwicklung von V für Punkte aufserhalb der um- 
schreibenden Kugel wird ebenfalls stillschweigend als bis zur Ober- 
fläche gültig vorausgesetzt. 

Paucker giebt 1854 an dem S. 88 mitgeteilten Orte ausführliche 
Entwicklungen mit Rücksicht auf die 2. Potenz der Abplattung. Als 
Flächen gleicher Dichtigkeit nimmt er Rotationsflächen, die zwar 
nicht als Ellipsoide aber als einander ähnliche Flächen vorausgesetzt 
werden. Aufserdem fehlt auch hier jede Erörterung der Konvergenz 
der Entwicklung von V. 

Helm ort, mathem. a. physikal. Theorieeu der hob. Ocodkgie. U. 8 



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114 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Nach Todhunter hat auch bereits Jvon/ sich mit den höheren 
Gliedern des CiairatU sehen Theorems beschäftigt. 

Der umstand, dafs die Ableitung des Ciairaut sehen Theorems 
mehrfach so erfolgte, als sei die Erde ganz iSüssig (während doch 
schon der Erfinder einen grofsern Umfang der Gültigkeit sicher 
stellte), scheint die Meinung erweckt zu haben, als könne man aus 
der nahen Übereinstimmung der für die Erdabplattung aus Schwere- 
und aus Gradmessungen erhaltenen Werte scbiiefsen, die Erde sei 
wenigstens früher einmal flüssig gewesen.^) Dieses ist die Ursache, 
weshalb Stokes, wie er in seiner bereits Bd. 1 8. 18 citierten Abhand- 
lung On ihe Variation of Gravity 1849 S. 672 sagt, das Potential der 
Schwerkraft und daraus das mehrgenannte Theorem in einer von allen 
Voraussetzungen über die Schichtung der Massen im lE'i'dinnem freien 
Weise abzuleiten versuchte, um dadurch die Meinung über die Bedeut- 
ung jener Übereinstimmung zu zerstreuen. Von der Theorie der Kugel- 
funktionen ausgehend gelangt Stokes zu einem Ausdruck, welcher im 
wesentlichen mit demjenigen unter Nr. (7) S. 60 übereinstimmt.**) 
Da er diesen Ausdruck ebenfalls über die aus der Entwicklung her- 
vorgehenden Grenzen der Konvergenz hinaus bis zur Oberfläche an- 
wendet, so denkt er sich (S. 676) die ganze Masse der Erde innerhalb 
einer der Oberfläche eingeschriebenen, zum Erdschwerpunkt konzen- 
trischen Kugelfläche derart verteilt, dafs das Potential W der Schwer- 
kraft aufserhalb der Oberfläche sich nicht ändert: ^,The possibility of 
such a disiribution will he jusiifled hy ihe result, provided (he series to 
which we are led prove convergent^^. Ob Stokes sich wirklich an einer 
Stelle mit dem Nachweis der Konvergenz beschäftigt, war uns nicht 
möglich festzustellen. Infolge dessen haben wir die Theorie nach 
eigener Ansicht ergänzen müssen; vergl. § 9 S. 70 u. ff. Im nächsten 
Kapitel kommen wir überdies in weiterer Ausführung auf diese Ange- 
legenheit zurück. 

*) Einen ähnlichen Irrtum begeht Hansen in der Darlegung seiner Be- 
rechnung der Mondstörungen, 1. Abt., im 6. Bde. der Abh. der math.-physik. 
Cl. der Ges. d. Wiss. zu Leipzig 1864 S. 469. Hier kommt er auf unsere GL (8) 
S. 76, welche schon Laplace in der M6c, eil, giebt, und er ist der Ansicht, dafs 
diese Gleichung die Abplattung der Flächen gleicher Dichte im Innern ebenso- 
grofs wie diejenige der Meeresfläche voraussetze, dafs femer eine Nichtüber- 
einstimmung der Abplattungen eine Unsicherheit in dem aus Gl. (8) berechne- 
ten Werte von K erzenge, da man nur das a der Oberfläche einführen könne. 
— Im Gegenteil ist aber diese Gleichung ganz unabhängig von unserer Kennt- 
nis über die Massenlagerung im Erdinnern; sie setzt nur voraus, dafs für das 
Poteutial W die einf*vche Form 6^ § 11 (1) S. 75 als genügende Annäherung 
nachgewiesen ist, wie in den vorangehenden Paragraphen (9) u. (10) geschehen. 

*♦) Eine kurze Darstellung in der 5<oÄ:rfi sehen Manier giebt Pratt in der 
Abh.: A Treatise on Attractions, Laplace Functions and ihe Figure of tl^e Earth^ 
London 1860, p. 89—96. 



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§ 28. Sätze ans der Theorie der Eugelfunktionen. 115 

H, Bruns betrachtet als Normalform für W den von uns § 17 
S. 90 citierten einfachen Ausdruck für U. Er erklärt, dafs W — ü 
auf grund der Er&hrungen eine in 1. Annäherung zu vernachlässigende 
Gröfse sei , ohne jedoch diese Erfahrungen anzugeben. Er zeigt aber 
weiterhin, wie bei gegebenem Werte der Differenz W — ^ein Schlufs 
auf die wahre Form der Niveauflächen möglich ist. Auf letzteres 
kommen wir ebenfalls im nächsten Kapitel zu sprechen. 

Wir dürfen hier noch eines von uns gegebenen Beweises des 
Ciairautachen Theorems in Kürze gedenken, den wir mittelst eines 
strengen Ausdrucks für das Potential fF der Schwerkraft gegeben 
haben.'*') Diesen Ausdruck kann man im Anschlufs an die Bemer- 
kungen in § 9 S. 70 leicht ableiten. Man mufs nämlich, wenn ein 
Punkt P' der Erde so nahe liegt, dafs sein Radiusvektor r kleiner 
ist als der Radiusvektor r für einen Teil der Erdmasse, zum Teil 
die Reihe (1), zum Teil die Reihe (2) S. 70 anwenden. Ist A der 
gröfste Radiusvektor für Erdmassen, so wird danach 



OD f '■' ^ 



+ — ö^r^ cos^^', 



Um an der Hand dieses Ausdruckes das Ciairatäsche Theorem abzu- 
leiten, bedarf es einer Idealisierung der Massenlagerung in der Nähe 
der Oberfläche nicht mehr, dagegen wird über die Gestalt der mathe- 
matischen Oberfläche selbst eine Voraussetzung notig. Es ist diese: 
Radiusvektor und Normale derselben weichen nirgends ^um Winkel 
von einander ab, welche (in Bogenmafs) Beträge von der Ordnung 
der Abplattung ü überschreiten. Die Resultate astronomischer Mes- 
sungen, vergl. den Schlufs von § 9 S. 71, in Verbindung mit den- 
jenigen der Gradmessungen geben ohne Zweifel der Thatsächlichkeit 
des Vorausgesetzten einen hohen Grad von Wahrscheinlichkeit und es 
kann daher dieser Beweis dazu dienen, die Gültigkeit des ClairautHchen 
Theorems ohne Einführung einer Massenidealisierung sicher zu stellen. 

§ 28. Sätze ans der Theorie der Kugelfunktionen. Für 
verschiedene weitere Entwicklungen bedürfen wir noch einiger Sätze 
aus der Lehre von den Kugelfunktionen, wegen deren Begründung 
wir auf Din'chleis Vorlesungen über diesen Gegenstand verweisen.**) 

Bereits § 7 S. 65 ist bei der Einführung der Eugelfunktioneu 
darauf hingewiesen worden, dafs nach Dirichiel9 UntersuchiTngen 
jede beliebige Funktion zweier Variablen, welche wie Breite und Länge 
auf der Kugelfläche variieren, immer und nur auf eine Weise nach 
Kugelfunktionen entwickelt werden kann. Die Entwicklung läfst sich, 
vergl. S. 68 (7), in die Form bringen: 



♦) Zeitschr. für Vermessungswesen 1878 Bd. 7 S. 121—141. 
♦*) Vergl. den vollständigen Titel S. 14 d. Bds. 

8* 



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116 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 



«« +f 






oder kürzer, wenn wir das Oberflächenelement coa q> dq>dX mit </a 
bezeichnen und die Integration nach q) und X über die ganze Eugel- 
fläche vom Radius 1 erstreckt denken: 

n9\ ^1 = y ^^ fPn f{%^)dö. (1*) 

Hierin bedeuten g? und A die Variablen Breite and Länge, /(9,A) 
die darzustellende Funktion und P^ fürn > 1 die eingangs des 2. Ka- 
pitels, insbesondere S. 57 behandelten Entwicklungskoefficienten, für 
n BS aber 1. 

Die Glieder der Entwicklung (1) heifsen Kugelfunktionen und 
zwar nullten, ersten, zweiten Ranges u. s. w. für « = 0, 1, 2 . . . Wie 
sich für n = null bis vier aus den betreffenden Pn die Kugelfunktio- 
nen bilden, ist bereits in § 7 S. 65 angegeben worden. 

Bezeichnen nun Ä^„ und ICn Kugelfunktionen vom n, Range bezw. 
der Variablen g), X und qp', A', so gelten folgende zwei Sätze. Es ist 



In + l r 



PnKnd<i = K: (2) 



und femer für m^n\ 



sowie allgemeiner 



JPmf^nda=^0, (3) 

jKmKnd6 = 0. (4) 

Hierin ist da ^= Q.ostpdq) dk zu setzen und die Integration über alle 
Werte (p und k der Kugelfläche zu erstrecken. 

Um sich eine deutliche Vorstellung von diesen Sätzen zu machen, 
ist es für den Leser nützlich, die Ausdrücke Pn S. 57 und Kn S. 65 
zu vergleichen. In (2) geht Kn aus Kn durch Vertauschung von q> 
mit q> und k mit k' hervor. 

Auf einen direkten Beweis dieser Sätze , die für alle Anwendungen von 
• Eugelfunktionen unentbehrlich sind, müssen wir ebenso wie auf den Be- 
weis des Satzes (1) verzichten, da dies ein tieferes Eindringen in die 
Natur der Kugelfunktionen und somit mehr Raum erfordert, als wir hier- 
auf mit Rücksicht auf die verhältnismäfsig geringe Bedeutung der von 
uns beabsichtigten Anwendungen verwenden können. Ein direkter Be- 
weis der Sätze (2) bis (4) findet sich bei DiriMet, Vorlesungen^ S. 86—88, 

Wenn übrigens Satz (1) feststeht, so folgen wenigstens (2) und (3) un- 
mittelbar. Denn setzt man rechter Hand für /"(g?, l) die Kugelfunktion K^ 
und beachtet, dafs das Integral vonP^J^^ da eine Kugelfnnktion m, Ranges 



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§ 29. Potential des RotationseUipsoids aufserhalb. 117 

isti die rechte Seite sich aber auf K^ reduzieren muTs, so müssen alle 
diese Integrale fSr w ^ n verschwinden , womit (3) und (2) hervorgehen. 

Aus (3) folgt nun leicht (4) : Ein Blick auf S. 57 und 65 zeigt nämlich, 
dafs P^ und die allgemeine Eugelfunktion K^ aus (2m+ 1) bezw. (2n+ 1) 
Gliedern der Form Funktion q? mal cosj>X oder sinpX bestehen, wenn p 
die ganzen Zahlen von null bis m oder n bedeutet. 

Verstehen wir nun unter K^ zunächst nur ein Glied mit ^?^pA, so 

*• sin * ' 

fällt im Integral (3) von vornherein der Einflufs aller Glieder von P^ weg, 

die nicht g?^|)A enthalten, da das Integi-al von l^P^li^^^dX für 

j> ^ g null ist , wie man durch Zerlegung des Produkts der trigonometri- 
schen Funktionen in eine Summe erkennt. Jetzt zeigt also (3), dafe auch 
das Integral desjenigen Gliedes des Produkts P^K^ verschwindet, welches 

g?^|)X ^^jpX enthält, hier offenbar wegen der Integration nach 9. 

Das allgemeine Integral (4) setzt sich aber unter dem Integralzeichen 
aus Gliedern mit f^^jpi oiJf 2^» P ^ 2> sowie aus Gliedern mit ^?f pA «?« P^ 

olU olU ^«s„ ^ oUl Bin 

zusammen. Die Glieder der ersten Art verschwinden einzeln wegen der 
Integration nach Z, diejenigen der zweiten Art aber wegen der Integra- 
tion nach 9 , denn sie sind bis auf Eoefficienten übereinstimmend mit dem 

oben betrachteten, « hf P ^ gjjf JP '^ enthaltenden Gliede in P^^^n^ ni^n. 

§ 29. Potential des abgeplatteten^ homogenen Botations- 
ellipsoids auf einen Funkt aafserhalb desselben*). Um dieses 
Potential in übersichtlicher Form nach Kugelfunktionen entwickelt 
zu erhalten, ist folgender Weg einzuschlagen.**) 

Auf S. 51 erhielten wir unter (8) § 1 für die reziproke Ent- 
fernung eines Massenelementes dm mit den Koordinaten x,y,z bezw. 
r,9,A von dem angezogenen Punkte P' mit den Koordinaten x\y\z 
bezw. r^qlyX die im Falle r y' r gültige Entwicklung nach Kugel- 
funktiouen: 

|-:^|l+f^,+(f)'/'. + (f)V. + (f)V.+ ...j. (!) 

*) Es erscheint uns nicht überflüssig, im Folgenden anhangsweise das Po- 
tential des Botationsellipsoids zu entwickeln und daran einige Bemerkungen über 
die Gestalt rotierender Flüssigkeitskörper anzufSgen. 

••) Entnommen der Schrift: Wand, die Prinzipien der mathematischen 
Physik und die Potentialtheorie. Leipzig 1871, S. 83. Die Ableitung ist im 
wesentlichen übereinstimmend mit deijei^igen von Lagrange, Sur les sphiroides 
elliptiques [aus den Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Berlin 
1798] nach der Mitteilung, welche Todhunter, History ofAttraction Bd. 2 S. 158 
über letztere giebt. Das Original war uns nicht zugänglich. 

Ausdrücke in geschlossener Form gab Gaufs in der Abhandlung: Theoria 
attractionis corporum sphaeroidicorum eüipticorum homogeneorum meihodo nova 
tractata. Göttinger gelehrte Anzeigen 1813, April 5, Gaufs' Werke, Bd. 6 S. 3; 
Selbstanzeige ebenda S. 279 mit geschichtlichen Notizen. 



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11g 2. Kapitel. Bestimmang der Abplattung aus Schweremessungen. 

Für den jetzt vorliegenden Zweck ist es vorteilhaft dieser Entwick- 
lung eine andere Form zu geben^ indem man von Taylors Satz ausgeht. 
Man hat 



e = l/{x' - xf + (y' - yf + (/ - zf (2) 

und kann nun — Xj — y\ — z als Änderungen von Xy y\ z behan- 
deln. Sind die Änderungen null, so geht e in r über. Nach Taylors 
Satz für mehrere Variable wird erhalten*): 

K^, ... . «(4), 



e r * 



äi^(— )+^-(-J')+-i7'(— ) 






+ 1^ 



+ -+i 



+ 



Kl) 



KlX 



dy 



K-) 

a(i) 8(^) a(i) 1' 



(3) 



Hierin sind in allen Differentialquotienten nach geschehener Diffe- 
rentiation X, y und z gleich null zu setzen. Das allgemeine Glied 
ist ferner so zu lesen, dafs erstens 1 .2.3 ... (i — 1) i für 1/ gesetzt 
werden mu&, und dafs zweitens nach Erhebung des Trinoms zur 

/. Potenz für d (— j das Symbol der /. Differentiation ^*(— ) eintritt. 

Die Überzeugung, dafs die Reihe (3) thatsächlich von (1) nicht 
abweicht und also auch in gleichem Umfange gültig ist, gewinnt 
man leicht; wenn man sich in (1) für die P die Ausdrücke aus § 2 S, 52 
und zugleich für cosy nach § 4 (1) S. 56 {xx -}- yy -^ zz') : rr ein- 
geführt denkt. Es zeigt sich dann, dafs allgemein das Glied r^Pi : r'«+^ 
in (1) eine homogene Funktion i. Grades von x, y und z ist. Dies 
letztere ist aber auch das allgemeine Glied in (3). Nun muis man 
noch bedenken, dafs man in (3) anstatt der Differentialquotienten 
von 1 : e nach x\ y und z' auch diejenigen nach (— x)^ (— y) und 
( — ^) setzen kann, wie ein Blick auf (2) zeigt. Wendet man also 
bei der Bildung von (3) für \\ e die Reihe (1) an, so hat auf die 
I. Differentialquotienten nur das Glied mit Pi Einflufs, weil nach der 
Differentiation nur hierin von or, y und z freie Glieder entstehen und 
für o:, y und z gleich null alles andere verschwindet. Hieraus er- 
kennt man, dafs das Glied 1. Grades in (3) die Tfly/orsche Entwick- 

•) Vergl. u. a. Battendorff, Höhere Änalysis, S. 286. 



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§ 29. Potential des Rotationsellipsoids aiifserhalb. 119 

lung von dem Gliede mit i\- in (1) darstellt, und zwar gerade so, 
als wären alle andern Glieder gar nicht vorhanden. Die Taylor sehe 
Entwicklung einer Funktion vom t. Grade ist aber selbstverständlich 
mit ihr identisch. Somit ist auch Reihe (3) mit Reihe (1) identisch. 
Für die weitere Entwicklung ist es vorteilhaft die Differential- 
quotienten in (3) noch anders zu schreiben. In denselben soll, 
wie erwähnt, nach geschehener Differentiation x, y und z gleich 
null gesetzt werden. Dies kann aber auch vorher geschehen, da in 
e nach Ausdruck (2) die Änderungen a:, y und z an den Variabein 
x\ y und z nur subtraktiv vorkommen. Setzt man in e nun x^ y 
und z gleich null, so geht es in r über. Anstatt (3) erhalten wir 
somit in symbolischer Schreibweise: 

Gegen früher tritt jetzt besser hervor, dafs die Differentialquoti- 
euten dieselben bleiben, jvirelche Koordinaten das anziehende Massen- 
element im Punkte (x, y, z) innerhalb der Bedingung r ';:> r auch 
haben mag. 

Betrachtet man nun ein homogenes Rotationsellipsoid von der 
Dichtigkeit 1, nimmt seinen Mittelpunkt als Eoordinatenanfang und 
seine Drehaxe als ^r- Axe, so kann man das Potential der Anziehung v 
auf einen Punkt P' aufserhalb der dem Ellipsoid umschriebenen Kugel 
mittelst (4) in eine Reihe entwickeln, indem man in den Ausdruck 

„ = k^JJJl^AsAL (5) 

für l : e die Reihe (4) setzt. Die Integration erstreckt sich über 
alle Masseuelemente innerhalb des Ellipsoids, also über alle Werte 
von x,y,z, für welche 

--J'-+^-^l- (6) 

Zur Vereinfachung führen wir neue Variable ein, indem wir setzen: 
a; = öfg , y = ari y z=^hl 

dx=^adli, dy«=»adi]j dz = bdi, 
und erhalten 

v=kU-'bfJJJ^-\y^-^ , (7) 

wobei sich die Integration über alle Werte von g, rj und g, welche 
der Gleichung 

g' + 1?' + e^ ^ 1 (8) 

genügen^ zu erstrecken hat und wobei für 1 : ^ zu substituieren ist: 



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120 2* Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

i-f +|i |#(-«e+#(-^)+'i(-«)).' («) 

Die Bedingung (8) zeigt, dafs die Integration auf die Grenzen einer 
Kugel vom Radius 1 reduziert ist. 

§ 30. Fortsetzung. Durch Einführung der Reihe (9) in (7) 
zerfällt das Integral daselbst in unendlich viele Integrale der Form 

fffor^didridi. (1) 

Die Integrale verschwinden, sobald wenigstens einer der Exponenten 
/, m und n ungerade ist. Denn integriert man, falls z. B. m ungerade 
ist, zuerst nach ij, so ergiebt sich wegen der Symmetrie zur gg- Ebene 
null, womit das ganze Integral verschwindet 

Um aber den Wert eines Integrales (1) für gerade Exponenten 
zu ermitteln, setzen wir unter Einführung von Polarkoordinaten 

g = Qcosfp cosA • 

rj =^ Q cosg? sinA (2) 

q> ist die Breite, A die Länge auf der Eügeloberfläche, vergl. im ersten 
Kapitel S. 6. Das Yolumenelement ist gleich p^ cos^ d(p dk dp , 
vergl. § 6 S. 60. Durch Einführung der Relationen (2) und des Vo- 
lumenelementes in (1) geht das Integral über in 



/// 



p«4-ni4-n+2 (cos 9 cosA)' (cosg? siu A)"» siu^^ cosg? dq) dk dg 



und die Bedingungsgleichung (8) des vorigen Paragraphen in p^ < 1 . 
Es ist daher zu integrieren für q von null bis 1, für A von null bis 

2 jt und für g) von — -^ bis -f- — • 

Das Integral zerfallt ersichtlich in das Produkt der drei Integrale 



./ 



gl+m^n^i^Q, (3) 



und 




2ä 

/ cos'A sin'^A e/A (4) 


n 



+ 2 



/■ 



cos'+"»+^g? sin"q? d<p . (5) 



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§ 30. Poteuldal des RotationsellipBoids aufserhalb. 121 

Ohne weiteres hat man für (3) 
1 



Um (4) und (5) zu bestimmen^ entwickeln wir zunächst wie folgt: 
/ cos^'M sii^u du = I cos 5-^ u sinPu d(sinu) , 
hieraus folgt durch teilweise Integration, abgesehen vom Falle jo ■= — 1 : 

/co8«t/ sin'^w du = cos^^^u °^° , ^ - + ^-^ / cos«-*w sin^'+^w du . 

Schreibt man rechter Hand für sin^w aber 1 — cos^w, so fiudet sich: 

/ cos^-*w sinP-^^u du = I cos'-^m sin'^w du — f co8«w sin'* w du . 

Substituieren wir dies in der vorigen Gleichung und reduzieren auf 
das links und rechts vorkommende Integral; so folgt 

Tcos^w sin^ti du = ^^'~\"^"^'^ + ^ Aos^-^ti sini^M du . (7) 
Vertauscht man u mit ^ — «; so folgt noch: 

fcoBPu sin^M du=- ^^^^-yj^-''^ + i^^ fcosPu sin^-«« du. (8) 

Diese Formeln gestatten, (4) und (5) zu ermitteln. Dabei sind 
nur die Fälle, in welchen l, m und n gerade sind; zu beachten ; denn 
andernfalls hat das Integral (1); wie bereits bemerkt; den Wert null. 
Die Anwendung von (7) auf (4) giebt 



27 



in ijt 

cos'A sin"»A dl = l~^ - 1 cos'-U sin^'A dl 
l + mj 



und die wiederholte Anwendung von (7) auf das Integral rechter Hand : 

%n 2jt 

Tcos' A sin"»A dl = ^~^~ 'It^-' ^-7 i,, /'sin"»A dl . 
J ifn+2) (m+4) . . . (m+l)J 

Die wiederholte Anwendung von (8) giebt ferner successive: 

man hat daher zur Bestimmung des Integrals (4) die Formel: 

/*co8'A8in"'AdA-2jr 1-3-5 - (t-3)a-i).l .3.6 .■. (♦l.-3)(«,»-l ). .g. 
tCO&ABin A.aJi — £1l. 2.4.6.... (I + TO-2)(Z + m) ^ 



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122 2. Kapital. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Die wiederholte Anwendung von (7) auf (5) giebt ohne 
Schwierigkeit; 



+ - 



/' 



eos'+«+ 'w aiu^w dw^-^- 2.4.6 ... (?+m~2) (Z+m) 

Verbindet man die Resultate (6), (9) und (10) und setzt im 
Zähler und Nenner das Produkt 1.3.5 .. .(« — 3) (n — 1) als Faktor 
zu, 80 folgt zur Bestimmung des Integrales (1): 

JJJ^V ^a^ariai^^it ^ 3 5^ (^.,,^.j.^^)(^.,^.,.^i)(;_^^_^^3) ,(,11; 

gültig für gerade Werte von /, m imd n. Im speziellen Falle des 
Yerschwiudens eines oder mehrerer der Exponenten /, m und n ist, wie 
die Entwicklung zeigt, im Zähler rechter Hand von (11) das Pro- 
dukt 1.3.5 ... für die betreffenden Exponenten gleich 1 zu setzen. 

§ 31. Fortsetzung. Es handelt sich jetzt darum, den Koeffi- 
cienten auszumitteln, den das Integral (1) des vorigen Paragraphen 
in dem Ausdruck für das Potential v erhält, welchen die Substitution 
von (9) in (7) § 29 ergiebt. Man bemerkt sogleich, dafs es der 
Faktor des Termes 6'^'"£'* is*) welcher bei der Ausrechnung von 



2^ 
x! 



entsteht für 1 = / + w + w. Schreiben wir kurz für den Augenblick 
das Trinom in der Form (^ + ^ + ^)'+"*+'', so giebt die Ausrech- 
nung bei der üblichen Schreibweise der Binominal-Koefficienten u. a. 
ein Glied 

und dessen Ausrechnung das Glied 

^(^l + rn^ + n^^l + rny^ß^^n 
oder 

i!m!nl 
Fügt man hier imZfihler und Nenner noch l! bei, so geht dies 
in -n — ,--r A^B'^C^ über und es zeiirt sich nun, dafs man an Stelle 
des Ausdruckes (1) überhaupt setzen kann: 



(2) 



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§ 31. Potential des Rotationsellipsoids aufserhalb. 



123 



wobei die SummieruDg über alle ganzen positiven Werte von /, m 
und n zu erstrecken ist, deren Summe i beträgt; einschliefslich der 
Fälle einer oder zweier dieser Zahlen gleich nuU^ in welchen für die 
betreffenden durch das Ausrufungszeichen angedeuteten Produkte 1 
zu setzen ist. 

Hiermit nimmt der Ausdruck für v die Form an: 



V ^k^a^ö 



^ffJäiänäi+8 



8^ 



K^) 



a'Ä dx'dy'-dz"' 



'A?:^='''^ffßn'^'>^-n4 



Führen wir nun die Integralwerte nach (11) des vorigen Paragraphen 
ein und beachten wir femer, dafs bei der Dichtigkeit 1 die EUipsoidmasse 

J/ gleich — - ;r a^^ ist, sowie dafs nur gerade Werte von /, m, n und 

I = / + ^ + ^ i^ betracht kommen , so folgt nach naheliegenden 
Kürzungen : 



v = 3Mk^ 



y. 



a' a'" b' 



1 "^ • l 2 2 S J 



2*. 1.3.6 ... (« + 3) 



(3) 



Die innere Summe in (3) ist wie Summe (2), jedoch unter Aus- 
schlufs ungerader Werte von /, m und n zu verstehen. Sie läfst sich 
aber noch anders schreiben. Man hat, um dies zu erkennen, nur 
diese Summe mit (2) zu vergleichen und nun zu der entsprechend 
zu modifizierenden Form (l) zurückzukehren. Man findet dann, dafs 
mit der inneren Summe von (3) gleichwertig ist der symbolische 
Ausdruck 



^ {M±) d^jr) a'(0 \i 



(4) 



Dieser vereinfacht sich noch, wenn wir von der leicht zu veri- 
fizierenden Gleichung 



H-^Mi)M-^) 



dx' 



+ 



dy'* 



+ 



= 



(5) 



Gebrauch machen. Aus derselben folgt nämlich in symbolischer 
Schreibweise, wenn k eine positive, gerade Zahl bezeichnet: 



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124 2. Kapitel. BestimmuDg der Abplattung aus SchweremeBBungen. 

I dx* ^ ay« ^ dz* i ^' ^^ 

um dieses einzusehen, braucht man nur die Gleichung (5) zwei- 
mal nach X, ebenso nach y und z' zu differenzieren und die drei 
Resultate zu addieren* In symbolischer Schreibweise lautet dasselbe: 
das Quadrat der linken Seite von (5) ist gleich null. Differenziert 
man nun diese neue Gleichung zweimal nach x\ ebenso nach y und 
z' und addiert die drei Resultate, so folgt symbolisch die dritte Po- 
tenz der linken Seite von (5) gleich null. ü. s. f. 

Hiermit läfst sich unschwer erkennen, dafs es erlaubt ist, die 
Parenthese von (4) einfach um das mit ä^ multiplizierte Aggregat 
linker Hand in (5) zu vermindern. Dabei setzen wir entsprechend 
einem abgeplatteten Rotationsellipsoid a^ — b^ ^^ a^e^\ dann folgt für 
die innere Summe rechter Hand von (3) der gleichwertige Ausdruck 

bei welchem nunmehr die symbolische Schreibweise verschwunden ist. 
Der Ausdruck für das Potential v geht jetzt über in 






(7) 

^»-^-l^' ^»-^-i»; ob 

Hierzu findet sich durch wiederholte Differentiation von 
1 \ 

ohne Schwierigkeit, wenn man in den Differentialquotienten /=r'8in9' 
setzt: 

_^._=__,.8,n9) 

^L-L(3sinV-l) 

^'fe) 1 / \ 

-gTT = — TT (15 sin V — 9 sin y'j 

-)i<' = A (^^ "»^ V - 90 sinV + 9 ) . 

womit sich endlich die ersten drei Glieder einer Reihenentwicklung 
nach Kugelfunktionen für das Potential des abgeplatteten^ homogenen 
Rotationsellipsoids wie folgt ergeben: 



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§ 32. Hauptträgheitsmomente des RotationBellipsoids. 125 

'' = ^{l + ^7'*(l-3«'»V)+25ö^(lÖ58inV-908mV+9)+..) . (8) 

Hierin ist M die Masse, a die Äqaatorialhalbaxe ^ e die numerische 
Excentriciiat der Meridianellipse; r ist der Abstand des angezogenen 
Punktes vom Ellipsoidmittelpunkt und (p' die geozentrische Breite 
desselben. 

Zufolge der Ableitung konvergiert die Reihe in (8), solange 
r > a ist. Sie konvergiert aber noch weiter. Da nämlich in (8) 
nur die Masse M und die lineare Excentricitat ae auftreten, so wird 
man zu dem Ausdruck (8) auch bei jedem anderen homogenen Ro- 
tationsellipsoid mit gleicher Masse und gleicher linearer Excentricitat 
gelangen, d. h. alle konfokalen Ellipsoide gleicher Masse geben für 
aufserhalb gelegene Punkte gleiches Potential. Das kleinste dieser 
Ellipsoide hat als halbe Länge der Drehaxe null und als Äquatorial- 
radius daher ae selbst. Für dieses Ellipsoid konvergiert die Reihe 
in (8) mithin, solange r ^ ae ist. Sie konvergiert also überhaupt 
solange als r ^ ae ist. 

Wenn nun ^ ^ «^ ist, so liegt die Oberfläche des Ellipsoids 
nirgends innerhalb der Ku gelfläche vom Radius ^^e. Die Reihenent- 
wicklung konvergiert daher sicher bis zur Oberfläche des Ellipsoids, 
wenn b >ae ist. 

Der Umstand, dafs sie auch noch z. T. innerhalb der Oberfläche 
konvergiert, hat kein Interesse, weil innerhalb der Oberfläche das 
Potential v nicht mehr durch Formel (8) dargestellt wird, indem der 
analytische Ausdruck des Potentials für innerhalb und aufserhalb 
gelegene Punkte verschieden ist (vergl. die entsprechenden Bemerkungen 
über ^ in § 21 S. 34). 

Ebenso interessiert hier nichts die Frage, ob (8) bis zur Ober- 
fläche konvergiert für den Fall ^ < ö ^ , da bei schwach abgeplatteten 
Rotationsellipsoiden dieser Fall nicht eintritt. 

§ 32. Hauptträgheitsmomente des abgeplatteten, homogenen 
Rotationsellipsoids. Dichtigkeit im Erdinnern. 

Wenn es nicht auf den Konvergenznachweis ankommt, kann man 
die ersten Glieder der Reibe für das Potential des homogenen Rota- 
tionsellipsoids auch mittelst Formel (7) § 5 S. 60 bestimmen, welche 
für das Potential der Anziehung jedes beliebigen Körpers gilt, wenn 
das Potential der Schwungkraft (das Glied mit cd) weggelassen wird. 
Es sind dann vor allem die Uauptträgheitsmomente zu berechnen. 

Wir bezeichnen wie früher die Trägheitsmomente für zwei Aqua- 
toraxen, die Axen der x und y, mit A und B, das Trägheitsmoment 
för die Drehaxe, die z-Axe, mit C. Dann sind A^=^B und C die 
Hauptträgheitsmomente und zwar ist [vergl. S. 60 (5)]: 



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I 

126 2> Kapitel. Bestimmang der Abplattang aus Schweremessangen. 

•^ (1) 

um diese Integrale, für welche die Grenzen durch die Bedingung 
^1+ yi 4. iL < 1 

gegeben sind, abzuleiten^ setzen wir wie in § 29 S. 119 

und erhalten dann 

Jx^ dm =Jy'^ dm = a^bjjß'^ d^ drj d^ 
sowie 

fz'^dm = «^^^ /TA' ^^ ^^ ^5 7 

wobei die Grenzen rechter Hand durch die Bedingung sich be- 
stimmen , dafs 

|2 + ^2 + g2 <^ 1 . 

Formel (11) § 30 S. 122 giebt die Werte vorstehender Integrale: 



I z^dm = — na^b^ . 



(2) 



Beachtet man nun noch, dafs M = -na'^b ist, so erhält man ohne 
weiteres : 



^ = ^ = 4-(a^ + *») 



' ' (3) 

Ö 

und (vergl. § 10 (2) S. 72): 

MK = C-^^^- =\a^e^ M . (4) 

Hiermit findet man leicht wieder die beiden ersten Glieder der 
Entwicklung (8) § 31 S. 125. Auch würden sich auf diesem Wege 
weitere Glieder entwickeln lassen. 

Wir haben in § 17 S. 91 gefunden, dafs die Normalform der 
mathematischen Erdoberfläche von einem Rotationsellipsoid wenig 
abweicht. Wäre nun die Erdmasse überall wesentlich gleich dicht 
verteilt, so müfste für die Erde sehr nahe Ä' : a% gleich e^ : 5 oder 
2a : 5 sein, also 



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§ 33. Potential des Botationsellipsoids innerhalb. ]27 

(5) 







für ü 


1 

299 


A- : «0* = 


: 0,00134 






V a 


1 
289 


?> *^ 


= 0,00138. 


s. 


In Wirklichkeit ist 
83 haben wir 


/^la^^ 


kleiner. 


Nach Gleichui 


mithin ist 


K 


=1- 


-^+ 


• • • 5 




für ü 


1 

299 ^ 


und c = 


■w ' 


: «0* = 0,00108 




„ a 


1 


„ f = 


1 


, = 0,00115 



(6) 



Hiernach ist A' : a^^ um Vs Ws Ve seines Wertes kleiner, als beim 
homogenen EUipsoid. 

Dies lafst sich dadurcb erklären, dafs man eine allmähliche Zu- 
nahme der Erddichtigkeit von aufsen nach innen annimmt. Zu einem 
hohen Grade von Wahrscheinlichkeit für diese Annahme gelangt man 
jedoch erst durch Herbeiziehung der Aussagen von Präzession und 
Nutation der Erdaxe über A und C^ vergl. 6. Kap. § 8 u. ff. 

§ 33. Potential des homc^enen BotationselHpsoids auf einen 
Punkt innerhalb. Wir denken uns den angezogenen Punkt P' zu- 
nächst nur innerhalb der dem EUipsoid konzentrisch zum Mittel- 
punkt, dem Eoordinatenanfang, eingeschriebenen Eugel; die Dichtig- 
keit der Masse sei gleich 0, Wir zerlegen diese letztere durch eine 
Kugelfläche, welche mit dem Radiusvektor r dep Punktes P' beschrie- 
ben wird, in zwei Teile. Das Potential des inneren Teiles auf P' 
ist bekannt, das des äufseren Teiles ist noch zu bestimmen. Wir 
setzen also 

und haben nach S. 62 (8) 

v,=^lnk^®/^. (2) 

Femer ist mit Benutzung der Entwicklung (10) S. 52 

Die für 1 : ^ benutzte Reihenentwicklung gilt allerdings nur für 
r <C r und wir wenden sie bei der Integration bis r =r an; aber 
da für eine Hohlkugel das Potential auf einen Punkt der inneren 
Begre;izungsfläche nach S. 62 (7) bekannt ist, kann man leicht a poste- 
riori die Richtigkeit des Resultates prüfen. 



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128 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung ans Schweremessungen. 

Die Integration in (3) ist über die ganze Masse des äufseren 
Teiles zu erstrecken. Setzen wir nun dm =^ & dö ,r^ dr^ so em- 
pfiehlt es sich zunächst nach r von r = r bis zur Oberfläche des 
Ellipsoids zu integrieren. Den Radiusvektor der letzteren nennen 
wir wieder r und erhalten aus (3): 






j +r-(r-r)P, + r'P,logi..t-n 



de . (4) 



Die Integration erstreckt sich nunmehr noch über die Kugelfläche 
vom Radius 1. Dabei ist auf den Ausdruck für r als Funktion von fp 
Rücksicht zu nehmen. 

Nach Bd. 1 S. 60 ist aber der Radiusvektor in der geozentri- 
schen Breite 9 

a 

wenn a der Aquatorialhalbmesser; b die kleine Halbaxe und d «= ~Tt * 
ist. Wir setzen für d das Symbol e'^ und schreiben also 

a 

Vi + e^iin*(p 
mit (5) 

Die Einführung von r in (4) erfolgt nun am besten in der Weise, 
dafs die verschiedenen Funktionen von r nach Kugelfunktionen von 9 
entwickelt werden. Da r nur von sin^97 abhängt, so treten in allen 
diesen Entwicklungen nur Kugelfunktionen von geradem Range auf^ weil 
nur in diesen lediglich ain^q) und seine Potenzen erscheinen. Hieraus 
erkennt man mit Rücksicht auf den Satz (3) von S. 116 zunächst, 
dafs in (4) alle Glieder verschwinden, welche von den Koefficienten 
P mit ungeradem Index, also von Pj, P^, Pr, u. s. f. abhängen. 

Aber auch die von P^ , Pq u. s. f. abhängenden Glieder geben 
nichts, weil in den Faktoren dieser Koefficienten nur Potenzen von 
sin 9) bis bezw. zum zweiten, vierten u. s. f. Grade auftreten, so dafs 
diese Faktoren sich durch Kugelfunktionen darstellen, deren Index 
mindestens um zwei Einheiten niedriger ist, als der des multiplizieren- 
den iP, weshalb für alle Glieder der obengenannte Satz (3) zur Anwen- 
dung kommt. (4) geht hiermit zunächst über in die Gleichung: 



*) Im ersten Bande hatten wir das Symbol 3 nach dem Vorgänge von 
0. Schreiber, Theorie der Projektionsmethode der hannoverischen Landesvermessung, 
Hannover 1866, benutzt Wir nehmen aber anstatt dessen mit Jordan jetzt c**, 
erstens wegen der engen Beziehung der Qröfse zu e' [vergl. die zweite Glei- 
chung (5)], zweitens weil d auch als Änderungszeichen variabler GrOfsen auftritt. 



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V^ OF THt 



und 



§ 33. Potential des )loyioMeQlpii(5ids innerhalb. 129 

v^ = r-0^ (^""^ + /2/>2 lognat A ) ^(y . (6) 

Indem wir nun den Ausdruck (5) für r beachten und 

d6 «B cosg? dg) dX = d (sin^) dl 

setzen; sowie sogleich nach der geozentrischen Länge A von null bis 
2n: integrieren und für sin 9 das Symbol i einführen, wird zu (6): 

/r^rf(. = 2««'yi^=4«a»^!^; (7) 

ferner ist ^ 

fr^do^^Ttr'^ (8) 

JP^logmi-ydö=Jp^ [lognat^ - y lognat(l + ^'2sin2q?)J dö . 

Mit Rücksicht auf den Satz (3) S. 116 reduziert sich die rechte 
Seite der letzten Gleichung auf den Ausdruck 

_ |. /i>2 lognat (1 + e^ sin^y) da , 

und zwar sind auch hier in P^ S. 57 nur diejenigen Glieder zu be- 
achten^ welche lediglich von 9 abhängen, d. h. man hat 

A - I (""V-l) (sinV - y) 
zu setzen. Damit folfft 

J />2lognat-^ dö=-^ (sinV— i-)J (t^- 1) lognat(l+e'V) j/. (9) 

£s ist nun zunächst teilweise integriert; ohne Rücksicht auf die Grenzen: 
/ (^'— y) lognat (1 + e^l^) dt = \ (/^ — lognat (1 + e'U^) 

3 J i + eU* ^'* 

Bei Einführung der Grenzen verschwindet der erste Teil; setzen wir 
zugleich identisch 

1 + e^ t^ ~ c'« ' c* "• e* (1 + e« t«) ' 
so folgt für die rechte Seite von (9) ohne Schwierigkeit: 



/_ _ ± f} _ 1 + «'• I l + g' arctane' 1 
— 1 

Helmert, nifttbeiii. u. physikal. Theorioen der hob. Geodftiie. IL 



(9*) 



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130 2. Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 
Aus (7), (8), (9) und (9*) erhält man endlich 

Vereinigt man die Resultate (2) und (10), so folgt mit Rücksicht 
auf (1) für das gesuchte Potential der Ausdruck 

Für e =0 geht dieser Ausdruck über in 

2nk^@[a^ — ''^) , (11*) 

welcher dem Potential einer homogenen Kugel auf einen inneren 
Punkt im Zentrumsabstand r entsprechen mufs, was man auch durch 
Vergleich mit Ausdruck (8*) S. 62 bestätigt findet. 

Der Ausdruck (11) ist unter der Bedingung abgeleitet, dafs P^ 
innerhalb der dem EUipsoid eingeschriebenen Kugel liege. Da aber 
V eine geschlossene Form angenommen hat und innerhalb eines homo- 
genen Korpers v nicht verschiedene analytische Ausdrücke besitzen 
kann, so gilt Ausdruck (11) überhaupt innerhalb des Ellipsoids bis 
zur Oberfläche. 

Durch Reihenentwicklung folgt aus (11) 

v==2^k^&[a\l - |! + f - . . .) - r'^[l+(i .'«- ±.-+ ...)(8inV-i)]}(l2) 
oder wegen ^'2 _« ^2 ^ ^4 ^ 

.=2«.^0 {«'(1- 1 - ir - ■••) - ^" [y + (l^^+ 3V^+ •••)(-V- i)]}.(i2*) 

Diese Entwicklungen gelten , solange e <i X ist, d. h. für ^ > -^ • 

Differenziert man v nach irgend einer Richtung, also insbesondere 
nach r oder 9', so verschwindet a. Es ist also die Anziehung inner- 
halb nur abhängig von e und gleich grofs für alle ähnlichen, ähnlich 
liegenden und konzentrischen Ellipsoide, innerhalb deren der Punkt 
liegt, d. h. eine homogene Schaley die von zwei solchen Flächen begrenzt 
wird, übt auf einen inneren Punkt keine Anziehung aus. (Vergl. S. 104 § 23.) 

§ 34. Das abgeplattete Botationsellipsoid kann die Ober- 
fläche einer rotierenden^ liomogenen Flfissigkeitsmasse bilden. 

Dreht sich ein homogenes^ abgeplattetes Rotationsellipsoid mit der 
Winkelgeschwindigkeit o um seine kleine Axe, so ist das Potential w 
innerhalb bis zur Oberfläche gegeben durch die Gleichung 

m; = v -|- — cj^r 2 cos^y ; (l) 



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§ 34. Das Rotationsellipsoid als Gleicbgewichtsoberfläche. 131 

hierzu ist v nach Gleichung (11) § 3.3 anzusetzen. Indem wir v ein- 
führen, setzen wir mit Benutzung der rechtwinkeligen Koordinaten 
des Punktes P\ bezogen auf die Äquatorebene als xy- Ebene und die 
Drehaxe als z'- Axe, r'^ = x"^ + V^ + ^^ i sowie r ^ sin'^)' = z"^ und 
nehmen w konstant gleich w^. Die Gleichung 

t^o = I «>^ (^'' + y ^) + m- {x^'^+y'^ + z'^) (n- -^^) (2) 

— z^ nE , 

worin 

2,9^ o 9 arctan e 

3 c . . 

und (3) 

gesetzt ist, ist sodann die Gleichung einer Niveaufläche innerhalb. 
Wir wollen nun zeigen, dafs bei jedem Werte e die Oberfläche bei 
angemessener Winkelgeschwindigkeit Niveaufläche sein kann. Für 
diesen Fall, wo die Niveaufläche in die Oberfläche fällt, behalten die 
Ausdrücke ihre Gültigkeit. 

Bringen wir (2)* auf die Form 

nE €0* ' . 2nE 

(a;'2 + y'2) 1 ?_ + /2 ? _ 1 , (4) 

\^ T !/ J m — Wo * m — Wo ^ '^ 

80 erkennen wir, dafs die Oberfläche mit der Niveaufläche Wq zu- 
sammenföllt für 

«»-«'0 ^„, 



nE flo' 
^--T----2 



und (5) 



tn — iO o 
, 2nE 



= P 



wenn wie bisher a und b die grofse und kleine Halbaxe der Meri- 
dianellipse der Oberfläche bezeichnen. Aus den letzten beiden Aus- 
drücken ergiebt sich 

6« nE m* W 

Hieraus folgt 

e't - (3 + e ») -f- 



l+c« 

und mit Rücksicht auf die Werte von n und E nach (3) weiter: 

3c 



0,2 _ 2^^20 ^4/^ (arctan^' - j^) • (7) 

9* 

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132 2* Kapitel. Bestimm uDg der Abplattung aus SchweremessuDgen. 

Für kleine e giebt die Reihenentwicklung 

0)2 = -A- nie'® ^'2 ^1 _ A e'2 + . _ ^ . (7») 

Differenziert man die Parenthese in (7) nach e\ so erkennt man, 
dafs der Differentialquotient fiir jeden Wert von e^ positiv ist. Da 
nun für ^ = null die Parenthese auch null ist, so wird, wie leicht zu 
ersehen, für positive Werte von e der Wert der rechten Seite von (7) 
stets positiv, und es ist mithin o für jeden Wert von e\ der bei einem 
abgeplatteten Rotationsellipsoid vorkommen kann, reell. 

Nehmen wir e sehr klein an, so ist in erster Annäherung 

a>2 = -A,3j;t2 0e'2. (8) 

Setzen wir nun das Verhältnis von Zentrifugalkraft zur Schwerkraft 
am Äquator gleich ty so ist augenähert 

t 

hiermit giebt (8) angenähert 



4 ' 



ä'2 = A c 
woraus ebenso genau für die Abplattung a die Relation folgt: 

a = |c. (9) 

Bei der Erde, welche keine homogene Flüssigkeitsmasse darstellt, 
ist diese Beziehung nicht erfüllt, denn hier ist 



*• 288,4 4 * 280,7 ' 

dagegen a = -^9Ö ^'^ i " 

Die Beziehung von ik zu c bei dem im Gleichgewicht befindlichen, rotie- 
renden, homogenen Ellipsoid wurde bereits S. 107 § 24 genauer entwickelt 
gelegentlich der Erwähnung der bezüglichen Untersuchungen von ClairatU. 

Eingehend wird das rotierende, homogene Flüssigkeitsellipsoid unter- 
sucht von Laplace, Mic. eil. t. 2, 1. 3, p. 50 — 62. Er findet namentlich 
auch, dafs zu jeder ilotationsgeschwindigkeit zwei oder kein Rotations- 
ellipsoid gehören und dafs das längliche Rotationsellipsoid als Gleichge- 
wichtsfigur unmöglich ist. Für unsere Zwecke genügt das oben Gegebene; 
übrigens zeigt (8) sofort die Unmöglichkeit eines negativen c * bei kleinen 
Werten desselben. 

Laplace bemerkt a. a. 0. S. 63, dafs die Untersuchung über das Rota- 
tionsellipsoid nicht genügt, dafs man vielmehr sich bemühen müsse, alle 
Gleich gev^ichtsfiguren zu finden. Im folgenden Paragraphen nehmen wir 
eine ähnliche Untersuchung wie Laplace a. a. 0. S. 63—72 vor, nämlich 
die Lösung dieser Aufgabe für nahezu kugelförmige, homogene Massen, 
sodafs Glieder der Ordnung des Quadrats der Abplattung vernachlässigt 
werden können. 



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§ 35. Rotierendes, homogenes Sphäroid. 133 

§ 35. £ine rotierende ^ nahezu kugelförmige, homogene, 
flüssige Masse mufs die Form eines Rotationskörpers haben. 

Der auf den Schwerpunkt als Eoordinatenanfang bezogene Radius- 
vektor sei, nach Eugelfunktionen K von tp und A entwickelt, gleich 

r-Ä(l-«[i5', + Ä'j + Ä', + ...]). (1) 

Hierin ist a ebenso wie R eine Eonstante. 

Zur Entwicklung des Potentials der Anziehung auf einen Punkt P' 
mit den Polarkoordinaten r , tp und X benutzen wir die Reihe (8) 
S. 51, welche für r > r gilt: 

l-=i,(l+^i>. + ^^i', + ^7>3+-..). (2) 

worin r sich vorläufig auf irgend einen inneren Punkt bezieht. In- 
dem wir dies in den Ausdruck 

. = f/^ (3) 

substituieren, nehmen wir zugleich dm =: &dö . r^dr und integrieren 
nach r von r = null bis zur Oberfläche, für welche wir den Radius- 
vektor wieder mit r bezeichnen. Wir erhalten so: 



-•4*-/( 



J + T'^ + lfl + ^-Su. ..)«•■ W 

Wir beschränken uns nun vorerst auf Glieder, welche nur die 
nullte oder erste Potenz von a enthalten und setzen demgemäfs in 
(4) allgemein 

rn^Rn^l^na[K, + K^ + K,+ ..,]+...). 

Bei der Integration sind sodann die Sätze (2) und (3) S. 116 zu be- 
achten, womit erhalten wird: 

„_±,*.4'( i-8.[i 5^/+i?;,.,-+i5>.'+ ...]+... ).(5) 

Hierin sind die K' Eugelfunktionen von (p\ X. 

Zu diesem Potential der Anziehung tritt, wenn wir es auf einen 
Punkt der Oberfläche des rotierenden Eörpers anwenden, wozu die 
Berechtigung allerdings noch fraglich ist, das Potential der Zentri- 
fugalkraft. Bei der eingeführten Vernachlässigung von a^ kann man 
zugleich in der geschlossenen Parenthese R : r gleich 1 setzen, womit 
einfacher wird : 

.;=|«A-*0f;{i-3«[|ir,'+-iA','+i-Ar,'+.. .] + ...) . (6) 

Nehmen wir die Rotationsaze, die immer den Schwerpunkt ent- 
hält^ als z-Aze, so ist das Gesamtpotential 



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154 2* Kapitel. BestimmuDg der Abplattung aus Schwerem essungen. 






oder anders geschrieben: 

w = v + ^ co^/^ - \ a^^r^ (sinV - j) , (7) 

worin v aus (6) zu substituieren ist. 

Für irgend eine Niveaufläche aufserhalb des rotierenden Körpers 
ist w konstant. Nehmen wir, wie bereits bemerkt; an^ dals (5) auch 
noch für die Oberfläche gilt und nehmen wir ferner an^ dafs daselbst 
w konstant gleich Wq sei, so ist nun, wenn 

^TcS E^ mit M (8) 

bezeichnet wird: 



Wa = 



+ -i- (oV2 — -1 0)2 r'2 (sin V — \) 



Diese Gleichung ist eine Gleichung zwischen r , q>' und A', den 
Polarkoordinaten eines Oberflächenpunktes ^ und sie mufs identisch 
erfüllt werden, wenn wir r nach Gleichung (1), von der wir ausge- 
gangen sind , gleich Ä(l — ii [AT/ + j^j'^- Ä'j' + . . . ] ) einführen. Mit 
Vernachlässigung von n^ folgt 

i^'5(.+.[i^.+iA-,+...]) 



Wn 



wobei die oberen Striche weggelassen sind, so dafs r, <p und A wieder 
auf die Oberflächenpunkte ausschlieislich bezogen gedacht werden. 
Man erkennt, dafs für beliebige Werte von (p und ^ diese Glei- 
chung nur identisch erfüllt ist, falls die Kugelfunktionen 

Ä^3 = Ä'^ = A^. u. s. f. = null 
sind; aufserdem aber 

^3-|S^(-V-i) (10) 

wird, mithin frei von A ist. 

Ä'i bestimmt sich nicht; aber wir wissen aus der ähnlichen Ent- 
wicklung des Paragraphen 5 S. 58, dafs AT/ im Potential (5) ver- 
schwindet, weil der Schwerpunkt Koordinatenanfang ist. Wir er- 
halten somit als Gleichung der Oberfläche 

r^B(l-ü£,), (11) 



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§ 36. Rotierendes, homogenes Sphäroid. 135 

wobei ÄÄ^2 ^^^^ neLch (10) bestimmt. Die Gieichgewichisoberfläche ist 
mithin bis auf, Gröfsen der Ordnung a^ jedenfalls ein abgeplattetes Ro- 
tationsellipsoid. Die Abplattung wird nach (10) und (11) gleich 

da M nach (8) hinreichend genau die Masse und cy^R^ : Mk'^ also 
das Verhältnis t der Zentrifugalkraft zur Schwerkraft am Äquator ist. 
Die vorstehende Untersuchung ist insofern mangelhaft, als der 
Ausdruck (5) für v noch för die Oberfläche als gültig vorausgesetzt 
wird. Ganz allgemein genommen ist dies aber durchaus unzulässig, 
wie wir für den ähnlicheu Fall des Erdkörpers schon S. 70 bemerkt 
haben. Allein wenn wir die physikalisch sehr plausible Voraussetzung 
machen, dafs die Abweichungen der Oberfläche des Gleichgewichts- 
sphäroids von der Eugel in sanften Undulationen erfolgen, so erscheint 
es für den beabsichtigten Genauigkeitsgrad zulässig, den Ausdruck (5) 
bis zur Oberfläche anzuwenden. 

Denkt man sich nämlich das Sphäroid durch eine ihm einge- 
schriebene Kugelfläche vom Badius b zerlegt in eine Kugel und eine 
dünne Schale, so zerfällt das Potential in dasjenige der Kugel und 
dasjenige der Schale. Letzteres kann man dadurch mit hinreichender 
Genauigkeit ableiten, dafs man die Masse der Schale radial nach 
innen auf die Kugelfläche b kondensiert annimmt und das Potential 
einer Kugelfläche mit der veränderlichen Dichtigkeit ® (r — b) dafür 
setzt. Diese leichte Rechnung, welche wir dem Leser überlassen 
dürfen, führt mit geringen, jedenfalls zulässigen Vernachlässigungen 
zur Reihe (5). Wir werden im folgenden Kapitel bei anderer Gelegen- 
heit den Genauigkeitsgrad, welchen eine solche Kondensation bietet, 
genauer untersuchen; aber man sieht unmittelbar, dafs derselbe nur 
dann nicht genügt, wenn es sich um die Darstellung rasch veränder- 
licher Glieder des Potentials handelt, die rasch veränderlichen Undu- 
lationen der Oberfläche entsprechen. 

Für das dreiaxige, von der Kugel wenig abweichende Ellipsoid, 
gilt unsere Entwicklung jedenfalls-, denn für dieses Ellipsoid weils 
man durch andere Untersuchungen (z. B. Erweiterung derjenigen der 
Paragraphen 29 — 31 für drei ungleiche Axen), dafs die Reihe (5) 
bis zur Oberfläche konvergiert. Wir ersehen daher, dafs das drei- 
axige Ellipsoid nicht zu den Gleichgewichtsöberflächen eines rotierenden, 
nahezu kugelförmigen , homogenen Flüssig keitssphäroids gehört. 

Über die Geschichte der Theorie der Gleichgewichtsfigur des rotieren- 
den, flüssigen Körpers ist Todhtmter^ History ofAttraction andtheFigure 
of the Barth, insbesondere Bd. 2 S. 53 Art. 845—847 und weiterhin S. 285 
u. ff. zu vergleichen. Ferner für neuere Untersuchungen L. Matthiessen 
in der Zeitschrift für Mathematik und Physik von Schlomilch 1871 Bd. 16 
S. 290 u. ff. 



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136 2* Kapitel. Bestimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

Wir entnehmen daraus Folgendes : Die Drehung eines Metallringes um 
einen Durchmesser als eines zur Figur der £rde m Beziehung stehenden 
Experiments erwähnt bereits 1726 Beaagulier in einer Schrift über die 
Figur der Erde {Todh. I. p. 106). Newton setzte, wie hier schon S. 103 
bemerkt, voraus, dafs das abgeplattete Ellipsoid eine Gleichgewichtsfigur 
für eine homogene Masse sei. GlairatU gab 1743 dazu einen Beweis in seiner 
Figure de la Terre^ vergl. S. 105. Legendre erbrachte zuerst den Beweis, 
dafs jenes Ellipsoid imter gewissen umständen die einzig mögliche Form 
sei, was d'Alembert vergeblich versucJht hatte, und Laplace wies u. a. nach, 
dafs das längliche Rotationsellipsoid keine Gleichgewichtsfigur sei. Während 
Legendre zuerst einen beliebigen, nahezu kugelförmigen Rotationskörper 
untersuchte, ging Laplace zuerst auf ganz beliebige, nahezu kugelförmige 
Sphäroide ein und suchte nachzuweisen, dafs sie bis auf Gröfsen der Ord- 
nung des Quadrates der Abplattung abgeplattete Rotationsellipsoide sein 
müfsten. Liouvüle, Poisson und Todhunter verbesserten den Beweis. 
(Auf diese letzteren Entwicklungen konnten wir hier nicht eingehen.) 

Jacobi fand 1834, dafs auch das dreiaxige Ellipsoid ^eine Gleichge- 
wichtsfigur sein könne, (vergl. Thomson %md Tau, Handlmch der theor, 
Physik I. 1. S. 322) und dies wurde wiederholt von Geodäten als Ausgang 
für Berechnungen eines dreiaxigen Erdellipsoids aus Gradmessungen be- 
nutzt. Allein Clausen wies schon 1841 Bd. 18 No. 418 S. 145 der Astronom, 
Nachr, nach, dafs das dreiaxige Ellipsoid mit den drei Halbaxen a'^b'^c 

nur für — < I^~5" hestehen kann, was bei der Erde sicher nicht statt- 
findet. Wie die genauere Untersuchung zeigt, würden für die thatsäch- 
liche Rotationsgeechwindigkeit der Erde die Beziehungen der Axen fol 
gende sein: 

a = 52,4346 c 6 = 1,002313 c , 

während für die der Erde entsprechende Rotationsform ist, vergl. S. 107: 

'^"'-i' + jk)'- 

Strenggenommen genügt die Betrachtung homogener Massen als Ana- 
logon zur Erde nicht. Laplace untersuchte daher in der Mec, cel. (t. 2 1. 3 
p. 85—90) auch einen geschichteten, flüssigen Körper auf seine Oberfläche, 
allerdings unter Voraussetzung nahezu kugelförmiger Gestalt. Er findet auch 
hier die Figur, abgesehen von der zweiten Potenz der Abplattung, ellip- 
tisch. Bei dieser Gelegenheit werden noch eine Relation zwischen Ab- 
plattung und Dichtigkeit der Schichten abgeleitet und für verschiedene 
Dichtigkeitsgesetze als mögliche Grenzen der Abplattimg 

-C und ^t 

oder rund ^- und ^ 

ermittelt, ersteres für den Fall der Konzentration der Masse im Schwer- 
punkt, letzteres für homogene Verteilung. (Vergl auch § 12 im 6. Kap.) 

§ 36. Schätzung der Abweichung der Oberfläche einer 
flüssigen Erde ron der Gestalt eines Rotationsellipsoids. Da 

die Dichtigkeit der Erde veränderlich ist und zwar nach innen zu- 



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§ 36. Die Oberfläche einer flüssigen Erde. 137 

nimmt (S. 127), so kann das abgeplattete Rotationsellipsoid für eine 
flüssige Erde, wie sich zeigen läfst, nicht mehr die Form ihrer Ober- 
fläche angeben. Wir wollen hierauf und auf eine sorgfaltige Schätzung 
der Abweichung nicht eingehen. Wir begnügen uns, einige Betrach- 
tungen anzustellen, die uns ein rohes Mafs der Abweichung mit 
geringerem Aufwand von Entwicklung abzuleiten gestatten. 

Zunächst bestimmen wir das Potential eines homogenen Rota- 
tionssphäroids auf einen Punkt (r\(p) aufserhalb. Wir können hier 
sogleich an den Ausdruck (4) des vorigen Paragraphen anknüpfen: 

Für den Radiusvektor r der Oberfläche setzen wir die Entwicklung 
nach Kugelfunktionen von 9 an (vergl. S. 65): 



mit 

K2 = sin^y — — 

K^ = sin> - j sin^g) + ^- . 



(2) 



AT, , K^ u. s. f. sind sogleich weggelassen, da wir uns auf Rotations- 
flächen, symmetrisch zum Äquator, beschränken dürfen. 

Bei den Entwicklungen berücksichtigen wir die erste und zweite 
Potenz von a, , nur die erste aber von «j . Die Potenzen von r ent- 
wickeln wir sogleich wieder nach Eugelfunktionen, wobei wir indes 
nur bis K^ gehen. Dabei ist Gebrauch zu machen von der Identität 

K,^=K, + {jK, + -l^, (3) 

die leicht aufzustellen ist. 

Alle Potenzen von r enthalten nur K2 und K^\ nach Satz (3) 
S. 116 verschwinden deshalb bei der Integration in (1) die Glieder 
mit P^ und P^\ ferner kommen in betracht im Gliede mit 

r^ nur das von K freie Glied 



• r» „ 


„ Glied mit K2 


r' „ 


t-i }} 9} ^4 


Diese Glieder sind 





Ä» (1 + A aA für r» 
Ä'Ä-, (5a. +i5. „,•.)„ r* 
Ä'^, (7a, + 21a,*)„ r^ 



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138 2- Kapitel. Bestimmong der Abplattung aus SchworemeBsangen. 

Beachtet man nun noch den Satz (2) S. 116^ so ergiebt sich ohne 
Schwierigkeit 



4. ß5 

3 r 






(4) 



worin A'j'und/f^' die in (2) angegebenen Kugelfunktionen, aber von q)\ 
sind. Indem wir 

y ä@ä3(i+^ «1^) mit M 
bezeichnen, folgt aus (4) 

»-^^(i+^(l«,+i.,')*-.'+5;(i..+.,')*-.'+..i(4-) 

iV ist, wie sich direkt zeigen läfst, die Masse. Wir wissen aber be- 
reits aus der ähplichen Entwicklung S. 60, dafs v mit k^Mir be- 
ginnen mufs. Was die Brauchbarkeit und die Genauigkeit der Formel 
(4*) anlangt, so ist zu bemerken, dafs (4^) für das Rotationsellipsoid 
jedenfalls bis auf Glieder der dritten Potenz der Abplattung richtig 
ist. Wenn nun in (2) «j ^^^ seinem elliptischen Werte nur um ein 
Glied von der Ordnung der zweiten Potenz der Abplattung abweicht 
und in den nicht angesetzten Gliedern von (2) die Abweichungen 
mindestens nicht über die dritte Potenz gehen, so muss (4*) bis zur 
zweiten Potenz der Abplattung incl. genau sein und auch eine wirk- 
liche Näherungsformel darstellen, weil die Abweichung vom Ellipsoid 
wesentlich nur in einer sehr flachen Undulation, A'4 entsprechend, 
verläuft; (vergl. die entsprechenden Bemerkungen in dem vorigen 
Paragraphen auf S. 135). 

Nehmen wir nun an, dafs die Erde gebildet sei aus einem homo- 
genen Sphäroid, welches im Innern durch homogene, kugelförmige, 
zum Schwerpunkt des Sphäroids konzentrische Schichten durchdrungen 
ist, so können wir för das Sphäroid allein den Ausdruck (4*), für 
die übrige Masse aber den einfachen Ausdruck Masse : r anwenden. 
Bezeichnen wir die Gesamtmasse mit M y die Sphäroidmasse mit ^,, 
so wird das Gesamtpotential 

„_*.(«+j^[(|.,+i.,.)^,-+|;(i^+.,')^;+...]| 

-f- -- a>^ r ^ cos'^d' . (5) 

Soll nun die Oberfläche des Sphäroids eine Niveaufläche sein, so mufs 
w einen konstanten Wert w^ annehmen , wenn r nach Mafsgabe der 
ersten Formel (2) eingeführt wird. Indem wir jetzt den oberen Strich 
an r und 9 weglassen, setzen wir bei der Substitution 



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§ 86. Die Oberfläche einer flüssigen Erde. 139 

r' C08> = Ä» {|-A.„, -A-.^l --?5.„,)_ 2«. Ä-,) , 
welche Formeln leicht mit RQcksicht auf (3) abzuleiten sind. Es folgt 

«'0= {-^(1 + lF'^'')- 2^'^' V+'°*^ (t- 45 «•)■} 

- § ( Ar* 4/ («a - «1^) - *^^. (I «a - T «»') + «'Ä'«. ) » 
und da die Faktoren von K^ und K^ verschwinden müssen, wird 

A:^if (a.- ^«,») - A:^^, (f «. - ±«,^) + «»'Ä' (i - i?«,) =0 
und 

Eliminiert man cd und reduziert auf a,? ^^ ergiebt sich mit Vernach- 
lässigung von «1^ die Näherungsformel: 

8-2f 

«2 = 3 «1* ^ ST" ' (^) 

Um nun die Abweichung vom Ellipsoid gleicher Abplattung zu 
bestimmen, ordnen wir den Ausdruck (2) für r zunächst nach Potenzen 
von sing). Mit Einführung der Abplattung a und des Äquatorial- 
halbmessers a ist dann 

r = ö (1 — .[a + «2] sin^y + «2 sinV + .••)• W 

Da n und «j bis auf Gröfsen der Ordnung tj^ mit einander überein- 
stimmen, kann man in (6) a^ mit ^ vertauschen, womit der Aus- 
druck (6) mit Vernachlässigung von v? übergeht in 

«, = 3«'. ^- (7*) 

Wir wissen bereits, dafs für My = M ein Rotationsellipsoid 

herauskommen mufs. In der That folgt alsdann «2 = ^ ^' ; ^^^ ®8 

nach Bd, 1 S. 61 sein soll. Für das Rotationsellipsoid mit der Ab- 
plattung a und dem Äquatorialradius a ist somit der Ausdruck für 
den Radiusvektor: 



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140 ^' Kapitel. BeBtimmung der Abplattung aus Schweremessungen. 

r = «(l -[tt +5|*]8inV +?f' 8inV + ...) . 

Der radiale Abstand vom Sphäroid «ind Ellipsoid beträgt daher, wenn 
die Radien durch die Indices S und E unterschieden werden: 

fs - rE = ja (^ — «2^ 8m'^2(p . 

Dies ist ein Maximum für sin^(p = — und zwar wird mit Rücksicht 

auf (7»): 

(rs — rE)max == — "^ «H^ ^- ' (8) 

Die mittlere Dichtigkeit der Erde ist 5,6; die Dichtigkeit©« an 
der Oberfläche etwa 2,8 . Der kleinste Wert von J/, ist hiernach 

gleich - M anzunehmen, womit 

(rs — rE)max = -• 16™ • 

wird. Dieser Wert dürfte aber zu gro(k sein. Wir werden im sechsten 
Kapitel sehen, dafs die Dichtigkeit anfangs sehr rasch zunimmt und 
zwar bei der Tiefe von etwa a : 4 bereits gleich 5,6 ist. Legen wir 
nun dementsprechend ein homogenes Sphäroid mit der Dichte 

1(2.8 + 5,6) 

Q 

ZU gründe, so wird Jf , = j 71/ und (r^ — rEJmax = — 9"* • 

Im sechsten Kapitel wird auch gezeigt, dafs die Abplattung der 
Schichten gleicher Dichtigkeit nach innen wahrscheinlich abnimmt. 
Demgemäfs dürfte ebenfalls der zuerst erhaltene Maximalabstand zugrofs 
sein, da er gewisserroafsen die extreme Annahme einer sehr raschen 
Änderung der Abplattung bis auf null macht. Der zweite Wert zeigt, 
dafs eine mäCsige Vergröfserung von ©^ die Differenz (rs — rE)max 
bedeutend herabdrückt. Jedenfalls sind also die Abstände zwischen 
Ellipsoid und Sphäroid gering. 

Vergleicht man die soeben erhaltenen Resultate mit den Ergeb- 
nissen des Paragraphen 17 6. 90, so zeigt sich, dlafs bei gleichen 
Axenlängen die Normalsphäroide und das oben betrachtete Sphäroid 
um Gröfsen derselben Ordnung, aber in entgegengesetztem Sinne, vom 
Ellipsoid abweichen. Dies kann nicht verwundern, da sehr geringe 
Abweichungen in der Massenanordnung im Erdinnern von derjenigen 
für flüssigen Zustand schon eine solche Differenz zu erzengen im 
Stande sind. Unzweifelhaft ist die Erde aber bis zu einiger Tiefe fest 
und wenn nun auch hier durch Abweichungen der Massenanordnung 



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§ 1. Potential einer Ereisfläcbe. 141 

vom flüssigen Zustande Spannungen entstehen^ die im grofsen und 
ganzen schliefslich eine dem letzteren angenäherte Anordnung herbei- 
führen, so kann sich dies doch nicht auf Bruchteile des Radius er- 
strecken, die Grofsen der Ordnung n^ sind. Man vergl. übrigens die 
Resultate von Borenius und Paucker S. 88 (13) und (14*). 

Airy hat nach Thomson und Tau , Handbuch l, 2 S. 360 eine genaaere 
. Untersuchung geführt und die Abweichung der Oberflache einer flüssigen 
Erde vom Ellipsoid zu 24' d. h. 7°" ermittelt. Man vergl. für solche Rech- 
nungen auch die Entwicklungen von Hargraeve in den Phil. Transact, 
1841 p. 75 und von Ed, Schmidt in seiner mathem, Geogr, Bd. 1 S. 339. 



Drittes Kapitel. 

Ableitung einer Formel für die Schwerkraft im Meeresniyean 
ans den Be.obachtnngen; kontinentale Abweichungen des Geoids. 

§ 1. Potential und Anziehung einer kreisfSrmigen Scheibe 
auf einen Punkt normal über dem Zentrum. *) Beschreibt man 
um den Mittelpunkt M der Scheibe mit , 

dem Badins r einen Kreis (Fig. 9), so 
haben alle Punkte P desselben von P\ 
dem angezogenen Punkte, gleiche Ent- 
fernung e = yz^ + r^. Lassen wir nun r ^^'' 
um dr wachsen und setzen die Dicke 
der Scheibe gleich dz^ so entsteht das rr , J.iir,.\,^ 



Raumelement 27tr dr dz, welches in allen 
Teilen denselben Abstand e von P' hat. 

Es ist daher, wenn ® die konstante Dichtigkeit in der Scheibe be- 
zeichnet, das Potential derselben gleich 






v = 2%k^@dz 

0' 

Die Integration giebt sofort 

v = 27ck^&dz{E— z) (1) 

f(Jf » positiv 

E=^}/z^+ aK 

Die Anziehung der Scheibe auf P' findet oflPenbar in Richtung 
P'M statt. Man erhält sie gleich 

-|7 = 2«A:»0'^^(l-i)- (2) 



*) Wir stellen in den ersten Paragraphen dieses Kapitels einige vorberei- 
tende Entwicklungen zusammen. 



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142 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniv.eau. 



Diese Formel zeigt, dafs die Anziehung der Scheibe auf den 
Punkt P' in der Richtung P'M normal zur Scheibe solange vom Abstände z 
des Punktes nahezu unabhängig ist^ als dieser Abstand im Verhältnis zu 
der Entfernung des Punktes vom Rande der Scheibe sehr klein ist. Es 
gilt dies auch für exceütrische Lagen von P' und für unregelmäfsig 
begrenzte Scheiben , wenn nur die Projektion M von P' innerhalb 
der Scheibe liegt und z im Verhältnis zur kleinsten Randentfernung 
noch sehr klein ist. 

§ 2. Potential und Anziehung eines homogenen^ geraden 
Kreiscylinders aaf einen Punkt seiner Axe^ aufsertialb^ sowie 

eines homogenen^ geraden Kreiskegels 
auf seine Spitze. 

Für ein scheibenförmiges Element des 
Ct/linders, Fig. 10, im Abstand z von P' 
gilt wieder Formel (1) des vorigen Para- 
graphen. Man hat damit für das Poten- 
tial des ganzen Cylinders die Gleichung 

6-fc 

V = 2nk^®J{y¥^^ -'z)dz. 



p' 



i 


i 




\ i 


' « : 


■5 O 



M 

Fig. 10. 



Das unbestimmte Integral ist nach be- 
kannten Formeln gleich 

\ zj/z' + a^ + y a^ lognat (z + /z^"+ä^) — y ^^ + A'onst. 

und hiermit ergiebt sich 

c /öH^2 ^b{b + 2c) 



v=.nk'^e 



Q> + c)ya^ + {b + cf 
+ a2 lognat 



^ + c + Ka« + tft + cf 



(1) 



Die Anziehung des Cylinders auf P' in Richtung P'M wird gleich 

- g = 2nk^®{b+ ]/ä^~+V' ~ j/^2:f(p:^rcj2)^ (2) 

welchen Ausdruck man übrigens noch 
bequemer aus Formel (2) des vorigen Para- 
graphen durch direkte Integration findet. 
Die Formeln (1) und (2) gelten nur 
für positive Werte von c, da im Innern 
eines Körpers der analytische Ausdruck 
für V ein anderer ist als aufserbalb (vergl. 
Eap.l S.34).Auch Formel(l)a.v.S.zeigtdies. 
Für das Potential des J^egels in Bezug auf seine Spitze hat man, 

weil hier nach Fig. 11 in Bezug auf ein scheibenförmiges Element 

E = z sec a ist: 




Fig. 11. 



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§ 3. Potential eines RotationsparaboloidR. 



143 



d. i. 
oder 






z(8ec et — \)dz 



(3) 



t; = ÄÄ:*^®i^^(8eca— 1) | 

V = nk'^@h{y d^ +ih'^ -^ b)] 

Dagegen erhält man für die Anziehung auf die Spitze aus For- 
mel (2) des vorigen Paragraphen: 



d. i. 
oder 



2ak^& Hl- coav) dz 
2ak^eb{l — cosa) 

2ak^0b(l—^yJ=rJ). 



(4) 




§ 3. Potential und Anziehung eines liomogenen Rotations- 
paraboloids auf einen Punkt seiner Axe^ aufserhalb. Für ein 

scheibenförmiges Element im Abstand z 
von P' gilt wieder Formel (1) § 1 S. 141, 
wobei für a jetzt ^ zu schreiben ist, Fig.l2. 
Man hat damit für das Potential des Para- 
boloids von der Höhe b die Gleichung 

b+e 
V = 27tk^&l (>/z2+^2 _ ^)^^^ 
c 

wobei zu setzen ist 

y^ = 2p{z-c) 

und p sich durch Anwendung dieser letztern Gleichung auf die Ordinate 
a in der Grundfläche bestimmt. Hier ist a^ «rs2pb und man hat daher 

(2) 

Der oben gegebene Ausdruck für v geht durch Substitution des 
Wertes von y^ nach (1) und einfacher Umformung über in 

6 + c 

V = 2nkwf{y{^pf^(27+p)d{^ + P) — zdz}. 

e 

Das unbestimmte Integral ist nach bekannten Formeln gleich 

I i^.+p) A^+py-pi^c+p) 

—jP(2c+p)]ogmt[z-\-p+ i/(^z+p)^-p(2c+p)] -jZ^ + Kons(. 






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144 



3. EapiteL Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 



und hiermit ergiebt sich 



V = nk^& 



'{b + c+p)y{b^cy+2pb - c{c-{-p)-b{b + 2c)] 
-Pi2c+p) lognat ^_±^P±r^J:W+JPL j 



(3) 



Die Anziehung des Paraboloids auf P^ in Richtung P'M wird 
gleich 

[ b + c— ]/{f+cy +2pb 



de 



l + plognat^ + ^+^t4'^^^-^^ 



(4) 



2C+P 

Dasselbe ei^iebt sich durch Integration aus Formel (2) § 1 S. 141. 

Nach Kap. 1 S. 34 gelten die Formeln (3) und (4) nicht im In- 
nern des Paraboloids, was übrigens auch aus (1) 8. 141 hervorgeht. 
§ 4. Potential und Anziehung einer spliärisclien Scheibe 
auf einen Punkt normal über dem Zentrum« Der angezogene 
Punkt P' liege auf serhalb der Eugelfläche vom Radius r, welche die 

innere Begrenzung der von einem kleinen 
Kreise begrenzten Scheibe von der Dicke dr 
bildet, Fig. 13; den Punkt P, die Mitte M 
der Scheibe und das Kugelzentrum C nehmen 
wir auf einer Geraden. Beschreibt man um 
den Mittelpunkt M mit dem Radius r^ einen 
Kreis, so haben alle Punkte P desselben von 
P' die Entfernung e = /r^ + r^ — 2rr'cos^, 
Lassen wir zugleich il> um d^ wachsen, so 
entsteht ein ringförmiges Raumelement vom 
Querschnitt dq ^^^ dr . rdip und dem Volumen 
d^ • 2;rr sin^, dessen Teile alle in der glei- 
chen Entfernung e von P' liegen. Mit Rück- 
sicht auf die Fixierung des Scheibenrandes in der Figur durch p = W 
folgt nun als Potential der Platte 

27tk^@rHr ^* ^-°^^^ 




Fig. 13. 



i 



J/ft :j_ /t _ 2rr cos tp ' 



wobei die Dichtigkeit wieder mit & bezeichnet ist. 



Die Integration 



27ck'^®r'^dr'-^ 



yr^ + r « — 2r/ cos W —Vr'^+ r« — 2rr 



rr 



(1) 



worin die beiden Quadratwurzeln die immer positiven Entfernungen 
des angezogenen Punktes vom Rande bezw. der Mitte M bedeuten. 
Die Ausziehung der zweiten Quadratwurzel mit Beachtung der Be- 
dingung r > r, sowie die Benutzung der Abkürzungen 



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§ 4. Potential einer sphärischen Scheibe. 145 



E = }/r^ + r 2 — 2rr cos W 
und 

z = r — r 
geben : 



v=^27rk^ey dr{E - z). (2) 

9 positiv. 

Der negative Differentialquotient von v nach r ist die Anziehung 
in Richtung P'C auf P\ Es ist nach naheliegenden Reduktionen: 

- IJ = 2nk^@ ^<ir{l- -^-^^J--^} • (3) 

r'>r 

Liegt P' innerhalb der Kugelfläche, so ist im Ausdruck für v 
nach (2) z = r — r' zu setzen und es wird 

If- 2»^3@ ^; rfr ( 1 + tL-J- j . (3*) 

r<r 

Vergleicht man die vorstehenden Ausdrücke für das Potential 
und die Anziehung einer sphärischen Platte mit den in § 1 dieses 
Kapitels S. 141 für eine ebene Platte gefundenen, so ist leicht zu 
erkennen, dafä die Krümmung wenig EinfluTs hat, falls der Abstand 
des Punktes P^ von der Platte, z t=s r — r, und der Radius der Platte, 
a = rWy kleine Gröfsen gegen den Kugelradius r sind. Bei dem Po- 
tential ist dies unmittelbar ersichtlich. Um es auch bei der Anziehung 

hervortreten zu lassen, schreiben wir in (3) r'-— 2r sin^ -^ für r cos W 



und erhalten anstatt (3): 

2nk^@^;, rfr |1 - -^ + -5- sin» -f-) • (4) 



» positiv 



Hierin kann man anstatt des dritten Gliedes der Parenthese, a = rW 
gesetzt, angenähert schreiben: 

1 a a^ 
Y'E' T' 

und dies zeigt deutlich die Geringfügigkeit des Gliedes. 

Ist z gegen a = rW sehr klein und zugleich a gegen r klein, 
so gilt derselbe Satz, welcher in § 1 S. 142 für die ebene Scheibe 
hervorgehoben worden ist. 

In dem Falle, dafs zwar sehr klein ist gegen a, aber a im 
übrigen einen beliebigen Wert hat, kann man in (4) vor der Paren- 
these r^ = r'2 und innerhalb der Parenthese z : E gleich null setzen. 
Es geht (4) alsdann über in 

Nun ist zugleich 



,^.-2«Ar^@tfr(l + ^) 



t;= 27ck^&dr .E] 

Helmcrt, mathem. u. physikal. Theoriecn der höh. Oeodäsie. II. 10 



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146 3. E^itel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

man hat daher ^ falls z gegen a sehr klein ist^ bei beliebigem Werte 
von a\ 

^pr = 2nk^®dr + ^^ (5) 

dr ' 2r ^ ^ 

Dieser Satz gilt nicht blos für den besonderen Fall, in welchem 
er bewiesen wurde, sondern ganz allgemein für jeden tmendlich dünnen 
Massenbelag der Kugelfläche und für alle unendlich nahe aufserhalb 
derselben liegenden Punkte, in deren Umgebung die Dichtigkeit S 
des Belags sich nicht unstetig ändert. 

Um vorstehenden Satz allgemein zu beweisen, nehmen wir den 
angezogenen Punkt P' zunächst in der Kugelfläche liegend, auf wel- 
cher wir uns kondensierte Masse verbreitet denken. Wenn wir nun 
das Massenelement bei irgend einem Punkte^ /^ der Kugelfläche mit 
dm bezeichnen, so ist einerseits 



,9 / dm 



worin die Integration für die ganze Kugelfläche zu nehmen ist. Die 
Anziehung in radialer Richtung P'C, nach innen, wird andrerseits 
gleich 

indem P'C mit PP' den Winkel 90® — -y einschliefst. Da aber 

e=2r sin ~ ist, so hat man 

Ä;* r ß^ 5 /7\ 

"" l>7j ~ e ~ 2r ' ^^ 

Hierbei ist entsprechend dem Umstand, dafs P' in die unend- 
lich dünn mit kondensierter Massö belegte Fläche verlegt wurde, 
die Anziehung der Masse in der Umgebung von P" gleich null gesetzt. 
Dies zeigt (6) sofort, wenn wir dm durch die Masse für die Flächen- 
einheit: die Flächendichtigkeit, ausdrücken. Bezeichnen wir dieselbe 
mit d' im Durchschnitt für alle Punkte in demselben Abstand e, so 
wird dm = 2r^n sini^ dt . d' und es folgt aus (6): 

-l% = 27tk^ hcos^dt- 
dr 12 2 



dv 

W 



Nimmt man -ö* in der nächsten Umgebung von P' konstant, etwa 
bis t = t\t so wird der Anteil dieser Umgebung an der radialen 
Anziehung gleich 

2iik'^^sm^^^ ; 

derselbe verschwindet also mit ty - 



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§ 5. Abstand von Niveausphäroid u. Niveaufläche* gleichen Potentialwertes. 147 



Liegt aber P' nicht in der Fläche, sondern unendlich nahe aufser- 
halb, so ist die Anziehung dieser benachbarten Masse sehr wesentlich. 
Man zerlege in diesem Falle die Kugelfläche in 2 Teile durch Aus- 
schneiden einer zu P' konzentrischen Scheibe vom Radius a, Inner- 
halb a mufs <& als konstant zu betrachten sein. Dann gilt für den 
innem Teil Formel (5), worin nur O* für ®dr zu setzen ist; für den 
äufsern Teil giit Formel (7) und zusammen also offenbar wieder die 
Gleichung (5): 



-|f = 2«A^» + 



y 
2r 



(8) 



wobei -ö" die Dichtigkeit in der Umgebung von P' darstellt. 

Über Formeln bei endlicher Dicke der Platten vergl. PrattyPhil, Transact. 
1871, p. 341. 

Über eine ähnliche Gleichung für die Oberfläche eines nahezu kugel- 
förmigen, homogenen Körpers von Laplace vergl. MSc, cü.y t. II 1. III Nr. 10 
sowie t. V L XI und Todhimter, History of Attraetion^ Bd. 2 S. 263. 

§ 5. Abstand von Niveausphäroid und Niveaufläche gleichen 
Potentialwertes. 

Im vorigen Kapitel ist für einen Näherungsausdruck ü des Po- 
tentiales W der Schwerkraft gezeigt worden , wie sich mit Hülfe von 
Schweremessungen die Gestalt der zugehörigen Niveausphäroide aufser- 
halb der mathematischen Erdoberfläche bestimmen läfst. Wir denken 
uns jetzt ganz allgemein unter U eine Funktion , welche einen Nähe- 
rungsausdruck von W vorstellt. Wir denken uns ferner zu den Glei- 
chungen H^ = JVq und 11= fV^, unter PF^ eine Konstante verstanden, 
die zugehörigen Flä- 
chen aufgesucht. Dann c^'iJ^p^T^p^^^^'^^^F' 
gilt es eine Beziehung 
zu ermitteln für den 
Abstand QP= N, um 
welchen sich, Fig. 14, 
die Niveaufläche W 
= Wq über dasNiveau- 

sphäroid ü =^ W^ in Fig. i4. 

der Normalen PQ des 

letzteren erhebt. Diese Beziehung kann dann selbstredend auch für 
die besonderen Formen von U Anwendung finden, die im vorigen 
Kapitel für Niveausphäroide aufserhalb benutzt worden sind. 

Im allgemeinen wird nun in einem beliebigen Punkte der Wert 
der Funktion U von W abweichen um eine Gröfse T: 




fV=U+ T. 
Ist in dem Punkte insbesondere W = ü = Wi 



(1) 

so hat T den Wert 
nuU. Wir sehen also zunächst, dafs Niveaufläche und Niveausphäroid 

'10* 



0? 



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148 3* Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresnivean. 

sich da schneiden , wo T «= null ist. Ist T f ör einen Punkt Q der 
Niveaufläche W^=» W^ nicht null; so hat ü einerseits daselbst nach (1) den 
Wert Wq — T, Andrerseits kann man von P ausgehend U für Q nach 
Taylot's Satz herleiten und zwar ist für kleine N in erster Annäherung; 
wenn beliebige Hohen über P mit h bezeichnet werden : 

^='^o + {-i-)o^+--- • . 

Da aber auch ü = W^ — T gefunden war, so folgt sofort aus der 
Gleichsetzung beider Ausdrücke 

" /dü\ ^ ' ••■> 

\dhk 
oder mit der FestsetzuDg, dafs N nach aufsen wie in Fig. 14 positiv 
gezahlt wird: 

^ = y + .••, (2) 

worin y die der Funktion U in P entsprechende Beschleunigung der 
Schwere bedeutet. 

In den Fällen des vorigen Kapitels bezeichnet y die normale 
Schwerkraft. 

Die Relation (2) hat H. Bruns in seiner Figur der Erde S. 20 ange- 
geben und zwar in der Gestalt ä = — T : y cos p. Hierbei bedeutet h die 
Tiefe des Sphäroids Z7=» Wq nnter der Niveaufläche TF= Tf^o» gemessen 
in der Lotrichtung von Q, wenn in Q die normale Schwerebeschleunigung 
gleich y ißt und die Lotrichtung daselbst mit der Richtung der normajen 
Schwerkraft den Winkel s einschliefst. Praktisch genommen laufen beide 
Formeln, die BrtmsBche und (2), auf dasselbe hinaus. Doch ist bei Bruns 
die Entwicklung eine etwas andere. 

Da man die Werte von T im Niveau der Meeresiläche, welche 
einem wie im vorigen Kapitel auf grund der Schweremessungen zu 
bestimmenden Niveausphäroid U entsprechen, nicht kennt, so kann 
man von der Formel (2) allerdings keinen (rebrauch machen, um die 
Undulationen der Meeresfiäche gegen ein Niveausphäroid gleichen 
Potentialwertes zu ermitteln. Nichtsdestoweniger ist die Formel von 
hoher Bedeutung, wie aus den zahlreichen Anwendungen derselben 
in diesem Kapitel hervorgehen wird. 

Wir werden sie als das Theorem von Bruns bezeichnen. 
§ 6. Die Untersuchung der Brauchbarkeit der Entwicklung 
des Potentials fF der Schwerkraft nach negativen Potenzen des 
Radiusvektors bis zur Meeresfläche (dem Oeoid) erfordert eine 
Anwendung vorstehenden Theorems. 

S.70 §9 wurde darauf hingewiesen, dafs diese S.60 §5 (7) gegebene 

. Entwicklung in Strenge nicht bis zur Meeresfiäche gelten kann. Um 

Gültigkeit zu erlangen, wird es notig, der wirklichen Massenverteilnng 

zwischen der physischen Erdoberfläche und einer der mathematischen 



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§ 7. ÄnderuDg des Potentiales darch die Kondensation. 149 

Erdoberflache konzentrisch zum Erdscbwerpunkt berührend eingeschrie- 
benen Kugelfläche oder einer innerhalb der letzteren gelegenen Fläche 
eine ideelle Massenverteilung zu substituieren ^ für welche jene Ent- 
wicklung gilt. Allein es ist klar, dafs mit dieser Abänderung der 
Massenlagerung auch Änderungen im Potential und in der Schwerkraft 
verknüpft sind. Man mufs sich nun eine Vorstellung zu machen 
suchen, wie grofs diese Änderungen etwa sind und welchen Einflufs 
dieselben auf die Bestimmung der Form der Niveauflächen , insbeson- 
dere der Meeresfläche, aus Schweremessungen haben. 

Um eine jedenfalls zulässige Idealisierung durchzuführen, denken 
wir uns zu der mathematischen Erdoberfläche eine Parallelfläche im 
Abstand üB (d. i. Abplattung mal mittlerer Erdradius) konstruiert.*) 
Diese Parallelfläche erfüllt die Bedingung, innerhalb einer der mathe- 
matischen Erdoberfläche konzentrisch zum Erdschwerpuiikt berührend 
eingeschriebenen Kugelfläche zu liegen, mindestens sehr nahe und 
hinreichend genau. Alle Massen aufserhalb der Parallelfläche ver- 
schieben wir radial auf dieselbe; wir kondensieren also die äufseren 
Massen daselbst. Durch diese Kondensation gehen das wirkliche Po- 
tential W und die wirkliche Schwerkraft g in das theoretische Poten- 
tial ü und die theoretische Schwere y über. Ist im Punkte Q der 
wirklichen Meeres-(Geoid-) Fläche W =^11 -\' T, so stehen die wirkliche 
und die theoretische MeereS'(Geoid-)Fläche gleichen Potentialwertes 
nach vorigem Paragraph daselbst um J:y voneinander ab, wobei y 
die theoretische Schwere in dem zu Q gehörigen Punkte P der theo- 
retischen Meeresfläche bezeichnet. 

Wir haben nun zunächst die Aufgabe, T zu schätzen, d. h. zu 
schätzen die Änderung im Potential infolge der Kondensation der 
äufseren Massen. Ferner sind zu schätzen die Änderungen der Schwer- 
kraft im Niveau der Meeresfläche: 1. infolge der Verschiebung der 
letzteren um J : y, 2. infolge der Kondensation der äufseren Massen. 

§ 7. Änderung des Potentiales W durch Kondensation der 
äufseren Massen auf die Parallelfläehe. Bei der Untersuchung 
des Kondensationseffektes wird es jedenfalls eine gute Annäherung 
gewähren, die Meeresfläche und ihre Parallelfläche, die Kondensations- 
fläche, als Kugelflächen zu betrachten. Dafs diese Annahme auf den 
Betrag des Kondensationseffektes keinen wesentlichen Einflufs hat^ 
wird sich im Folgenden ohne weitere Betonung dieses Umstandes von 
selbst zeigen. 

Wir denken uns W zunächst auf einen Punkt P' im Meeres- 
niveau bezogen, Fig. 15. Ein im Punkte P befindliches Massen- 
element dm liefert zum Potential den Beitrag k^dm:e\ verschieben 

*) Durch die Annahme iIjB wird nur ein plausibler Wert für den Abstand 
beider Flächen, nicht aber die Voraussetzung eingefflhrt, dafs die Meeresfläche 
ein abgeplattetes Sphäroid sei. 



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loO 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



wir das Massenelement aber in radialer RichtuDg auf die Konden- 
sationsfläche nach P^j so wird der Beitrag k^dmie^. Für kleine 
Winkel ^ ist nun nach der Figur €y> e, also der ßeitrag nach der 
Kondensation ein kleinerer als vorher. Für grofse Werte ^ ist es 
aber gerade umgekehrt. Die Grenzfläche A^BBA^^ eine Rotations- 
fläche mit der Axe P'6?, welche alle Punkte P der einen Art von 

denen der andern Art 

^^--' trennt, findet man leicht. 

A^ liegt in dem Berüh- 
rungspunkt der Tangente 
von P' an den innern 
Kreis; B liegt so, dafs 
die Mitte B^ von BB^ im 
Dreieck B^P' den Schei- 
tel eines rechten Winkels 
bezeichnet und dafs so- 
mit P'B = PB^ ist; 

U. 8. f. 

£etzt man den Radius der Kondensationsfläche gleich r, und ihren 
Abstand von der Meeresfläche gleich üB oder üri, so hat man: 




A^P' = Vi }/(l + tif — 1 = r, yTa nahezu; 
B^P' = u /(l + tif — (l + J)' = r. ^fl nahezu. 



(1) 



Wir leiten nunmehr einen Näherungsausdruck für die Potential- 
verminderung ab; welche die Kondensation Aex iAssse A^BBA^ giebt, 
wobei wir konstaute Dichte S voraussetzen. Wäre die Kugelschale 
zwischen beiden Flächen ganz mit Masse gleicher Dichte erfüllt, so 
würde die Kondensation am Potentialwert nach S. 62 § 6 (6) nichts 
ändern. Die Kondensation von A^BBA^ giebt daher für P' einen 
MaximalefiFekt, weshalb wir den entsprechenden, in Fig. 15 kräftig um- 
schlossenen Körper kurz als Maximalkörper bezeichnen können. 

Das Potential einer sphärischen Platte vom Radius r, der Dicke 
dr und dem Zentriwinkel W am Rande ist nach S. 145 § 4 (2): 

V = 2nk'^erHr VZ+^lEI^^^^r (/l" »5 . (2) 

rr ^ ' 

Kondensieren wir aber die ganze Masse A^BBA^ auf die Kondensations- 
fiäche und denken uns dieselbe in unendlich dünne sphärische Platten 
zerlegt, so läuft die Kondensation darauf hinaus, dafs jede Platte auf 
die Kondensationsfläche verschoben wird. Dabei erfolgt eine Ver- 
dichtung, weil die Oberflächenelemente bei der Verschiebung im Ver- 
hältnis r^ : r? abnehmen. Behalten wir dr als Plattendicke bei, so 
bleibt mithin Br^dr ungeändert, und es wird das Potential der auf 
die Kondensationsfläche verschobenen Platte gleich 



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§ 8. Fortsetzung: Gebirgsmasse , Verachiebung der Meeresfläche. 151 



l/r^ 4- f* — 2r.r' cos W — (r — r^ 
V, = 2jtk^0r^dr L.-'^ '^ ^ — ^1 -^ . (3) 

Die iu (2) und (3) vorkommenden Quadratwurzeln sind aber einander 
gleich; wenn wir die Platte bis an die Fläche A^B ausdehnen. Be- 
zeichnen wir diese Wurzel mit Eri so wird 



V — V* 



27tk^erdr ^ ' (l ^j . 



Setzen wir im Nenner für r,- den Wert r, so vereinfacht sich die 
Formel in 

v — v^= 2nk^e{r - r,) (l ^ ^^ dr , (4) 

welche Formel die Diflerenz v — v^ höchstens um ^/^qq ihres Wertes 
fehlerhaft giebt, da r : r^ von der Einheit nicht mehr als um rund 
Vsoo abweichen kann. 

£r:r liegt nach (1) zwischen rund V12 ^^^ Vn- Bei der Sum- 
mierung der Ausdrücke (4) für alle Platten, in welche die Masse 
A^BB A^ zerlegt wurde, reicht es für die beabsichtigte Schätzung aus, 
für diesen Bruch einen Mittelwert Vis zu setzen. (Wegen des Faktors 
r — Vi mufs zufolge genauerer Rechnung nicht das arithmetische 
Mittel des gröfsten und kleinsten Wertes genommen werden , sondern 

1 2 

ein Wert, der sich aus — des gröfsten und -r- des kleinsten zusam- 

mensetzt). Integrieren wir nun, wobei für dr auch d{r — r^) gesetzt 
werden darf, von r — r,- gleich null bis flÄ, so folgt als Verminderung 
des Potentials für Punkt P' Fig. 15 durch Kondensation der Masse 
AyBBA^ auf die Parallelfläche: 

Oß^Ttk'^eti'RK (5) 

Dieser Ausdruck, in welchem für R irgend ein mittlerer Radius- 
vektor der Meeresfläche, für n ihre Abplattung zu setzen ist, bezeich- 
net wie bemerkt den Maximalbetrag der Potentialänderung im Meeres- 
niveau durch Koudensation der Massen zwischen Meeresfläche und 
Parallelfläche. Der wirkliche Betrag wird in der Regel weit kleiner 
sein, insoweit nur die erwähnten Massen in betracht kommen. Es 
ist aber noch zu berücksichtigen, dafs zu diesen letzteren in einigen 
Gegenden noch gewaltige Gebirgsmassen hinzutreten. 

§ 8. Fortsetzung: Gebirgsmasse^ Yersehiebung der Heeres- 
fläche. Denken wir uns die Meeresfläche noch von einer Platte über- 
lagert, deren Stärke wir gleich -^üR setzen wollen, so konstruiert 

sich zunächst wieder wie früher die Grenzfläche BDDB, innerhalb 
welcher diejenigen Massen liegen, welche bei der Kondensation eine 
Potentialverminderung geben. Insbesondere ist P' D = P' D^ zu neh- 
men, Fig. 16 5 für die Mitte D2 von DDy^ hat man die Relation 



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152 3- Kapitel. Die Schwerkraft im Meereaniveau. 

2),/.' = ,y(l + a)^ - (1 + I af^^nVÜ. 



(1) 



DieMsLSse BDDB zerlegen wir ebenfalls wie A^BBA^ in unend- 
lich dünne sphärische Platten. Für eine Platte vom Radius r und 
der Dicke dr erhalten wir anstatt (2) S. 150, da jetzt r > r ist 
(vergl. S. 145, Bern, für i>' innerhalb): 



27tk^0r^dr 



Vf* -f f* — 'Irr cos 5»" — (r — r ) , 



rr 



(2) 



die Kondensation giebt wieder den Ausdruck (3) des vorigen Para- 
graphen für t;, . Die Subtraktion des letzteren Ausdrucks von (2) 
führt unter Vernachlässigung von Bruchteilen der Ordnung a zu dem 
Ausdruck 

( r r,. -j- r r — 2 r-r ' E^ 
r 



V — Vi 



'lieh}® 



{- 



^('•-r.)l 



dr. 



(3) 



Dies ist zu integrieren von r gleich r' bis r + v^''' ^^^ giebt ohne 

Schwierigkeit unter Sub- 
stitution von ri=r' — flr' 
und mit Vernachlässi- 
gung von Bruchteilen der 
Ordnung a, sowie unter 
Annahme eines konstan- 
ten Mittelwertes für Er^ 
alsPotentialverminderung 
durch Kondensation der 
Masse BD DB auf die 
innere Kugelfläche: 

Er : r schwankt nach (1) dieses und des vorigen Paragraphen 
zwischen rund -r^ uud — - ; nehmen wir -— und schreiben für r wie- 

17 s4 Zl 

der Ry so folgt 




O,69^r^^0a^Ä^ 



(4) 



Dieser Ausdruck stellt die maximale Verminderung des Potentials 
für einen Punkt der Meeresfläche infolge der Kondensation einer 

darüberlagernden Gebirgsmasse von der Dicke ,rüR dar. 

Eugen wir (4) zu (5) des vorigen Paragraphen, so erhalten wir 
die maximale Potentialverminderung im Meeresniveau mit Rücksicht 
auf Gebirgsmassen gleich 

l,62 3r^20a^Ä^ (5) 



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-§ 8. Portseteung: Gebirgsmasse , Verschiebung der Meeresfläche. 153 

Wegen der im Vergleiche zur Wirklichkeit übertriebenen Gröfse 
der angenommenen Gebirgsmasse tritt dieser Effekt niemals ein. 

Der Potentialverminderung entspricht eine Senkung der Meeres- 
fläche gleichen Potentialwertes , welche durch Division des Ausdrucks 
(5) durch die Schwerkraft erhalten wird. Für die Berechnung der 
Schwerkraft genügt hierbei die Voraussetzung der Kugelgestalt. Ist 
0rn die mittlere Dichtigkeit^ so wird in der Nähe der Oberfläche die 

Schwerkraft angenähert gleich jnk^SmB [S. 39 § 23 (3)] und es 

ist daher die Senkung der Meeresfläche höchstens gleich 

l,2-|-fl2Ä d. i. ca. 40«, (6) 

wenn fl = 1 : 300 und «= 0,5 • 0^ = 2,8 gesetzt wird. 

Ohne Rücksicht auf die Gebirgsmasse ergiebt sich die maximale 
Senkung nur zu 

ca. 25''*. (6*) 

Der Anteil der Gebirgsmasse allein ist 

ca. lö»». (6t) 

Es ist bemerkenswert, dafs man zu dem Ausdruck (5^ mit grofser 
Annäherung auch gelangt, wenn man von der Krümmung derjenigen 
Teile der Kugelflächen absieht, welche die Masse A^D DA^ begrenzen. 
Aufserdem zeigt sich, dafs der gröfste Teil des Maximaleffekts durch 
diejenigen Massenteile erzeugt wird, welche der Linie P' C nahe liegen. 
Betrachten wir,- um dies wenigstens für die unterhalb P' liegende 
Masse A^BBA^ nachzuweisen, die Formel (1) § 2 S. 142 für das 
Potential eines Cylinders von der Hohe b und dem Radius der Grund- 
fläche ö, bezogen auf den Mittelpunkt der Deckfläche. Indem wir 
demgemäl's daselbst c gleich null setzen, erhalten wir als Potential : 

%k'^e[by'^~+t' — b'^ + ö2 lognat ^±i!|3l^j . 

Kondensieren wir diesen Cylinder auf seine Grundfläche, so ist zur 
Berechnung des Potentials Formel (1) § l S. 141 anzuwenden, dabei 
aber für &dz zu setzen &b und für z b. Damit findet sich als Po- 
tential nach der Kondensation: 

27tk^&[b}/a^ + b^ — b''] - 

Subtrahieren wir dies vom Vorigen, so ergiebt sich als Potential- 
änderung infolge der Kondensation : 

nk^0J^b'^ — bj/a'^-{-b^ + a^ lognat ^+i^l+^[ . (7) 

Behufs Vergleichung mit Ausdruck (5) des vorigen Paragraphen 



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154 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

ist hierin b = üR zu setzen, a nehmen wir der Reihe nach gleich 
b, 2b, Sb ... 20b und erhalten für Ausdruck (7): . 

Tck'^en^R'^ .0,41 hei a = b 

„ .0,69 „ a = 2b 

.0,79 „ a = 3b , 

. 0,85 „ ö = 4^ ^ ^ 



9} 



0,97 „ ö = 20ö 



Der Fall a = 20b entspricht aber den Dimensionsverhältnissen der 
Masse A^BBA^\ im Vergleich zu (5) des vorigen Paragraphen zeigt 
sich also eine Übereinstimmung bis auf 4 Prozent. Man kann hier- 
aus auf eine genügende Annäherung auch der anderen Angaben (8) 
schliefsen und ersieht, dafs in der That die nächstgelegenen Massen 
den Hauptanteil am Maximaleffekt haben. 

§ 9. Fortsetzung: Wahrscheinliche Maximal Verschiebung 
der Meeresfläche. Der bisher betrachtete Maximaleffekt der Konden- 
sation im Betrage von 25 bis 40** Senkung der Meeresfläche kann 
selbstverständlich nur eintreten, wenn lediglich der durch die Figuren 
15 und 16 bezeichnete Maximalkörper in betracht kommt. Allein 
dieser Fall findet thatsächlich nie statt ; denn alle Massen, welche sich 
aufserhalb dieses Körpers über der Kondensationsfläche befinden, ver- 
mindern den Effekt. Derselbe kann sogar sein Vorzeichen wechseln, 
wenn innerhalb der Grenzen des zu einem Punkte P' gehörigen 
Maximalkorpers sich ein Meer befindet. Würde er für irgend einen 
Punkt P' ganz leer werden können, während aufserhalb über der 
Kondensationsfläche im allgemeinen Masse von etwa 2,8 Dichtigkeit 
bis zur Meeresfläche lagerte, so würde mit Rücksicht auf das Ver- 
schwinden des Kondensationseffekts für eine homogene, gleichstarke 
Kugelschale in diesem Fall innerhalb bei P' eine Hebung von 25"» 
durch die Kondensation entstehen. Da er jedoch in keinem Falle 
leer gedacht werden darf, sondern nur etwa entsprechend den tiefsten 
Oceanen bis 9*"* Tiefe mit Wasser erfüllt, während weiterhin bis zur 
Tiefe ttÄ = 2l*^ wie früher feste Masse von etwa 2,8 Dichtigkeit 
sein wird, so bleibt nur eine Hebung von etwa 10"* übrig, wie man 
mit Hülfe der Formel (4) S. 151 leicht findet. Aber selbst dieses ist 
noch zu hoch bemessen, indem auch aufserhalb des Maximalkörpers 
zu berücksichtigen ist, dafs bis zur Tiefe von durchschnittlich 3 bis 4*"* 
auf 7ii der Erdoberfläche anstatt der Dichtigkeit 2,8 nur die Dichtig- 
keit 1 vorhanden ist. Hierdurch reduziert sich die maximale Hebung 
auf etwa 8"». 

Auch die Senkung ist oben zu reichlich gerechnet, indem noch 
nicht berücksichtigt wurde, dafs der mit Masse von der Dichtigkeit 



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§ 11. Einflufs der Kondensation auf die Schwerkraft. 



155 



2^8 erfüllte Maximalkörper, ein kleiner Kontinent, aufserhalb auch 
mit Masse umgeben sein wird und zwar bis zur Tiefe von durch- 
schnittlich 3 bis 4*" mit solcher von der Dichtigkeit 1, im übrigen 
mit solcher von der Dichtigkeit 2,8. Die Senkung reduziert sich 
dadurch auf etwa 5*" für den Fall, dafs kein Gebirge auf dem Kon- 
tinent lagert und steigt mit Rücksicht auf (6t) S. 153 unter der An- 
nahme von Gebirgen auf nicht über 20"*. Der letztere Maximalbetrag 
wird wohl selbst im Himalaja noch nicht eintreten ; meistens werden 
kaum 10"* erreicht werden. 

Addieren wir diese 10"» Senkung und jene 8"» Hebung, so folgt 
ein Betrag von 18"*, um welchen sich die Unterschiede der Radien- 
vektorenlängen für die Meeresfläche, abgesehen von wenigen aufser- 
gewohnlichen Fällen, im Maximum durch die Kondensation ändern. 
Es hat dies auf die Abplattung der Meeresfläche sicher noch keinen 
Einflufs von Viooo ihres Betrages: die absoluten Beträge bis zu 10* Än- 
derung der Radien Vektoren längen kommen aber gar nicht in betracht. 
Mithin kann man die Kondensation bezüglich der Gestalt der Meeres- 
fläche als von unerheblichem Einflufs ansehen. 

§ 10. Die Änderung der Schwerkraft im Heeresnivean 
dureli dessen Yerseliiebang infolge der Kondensation ist ebenfalls 
als uBerheblich zu betrachten; denn in freier Luft beträgt für 20"* 
diese Änderung nur g : 160000, für 8"» nur ^ : 400000. Das sind Be- 
träge von der Ordnung der Beobachtungsfehler bei den besten Be- 
stimmungen: im § 28 werden wir für den mittleren Beobachtungs- 
fehler der besten Bestimmungen etwa Viooooo ^^^ 9 finden. Hierbei 
ist noch abgesehen von denjenigen Fehlern, die durch die Reduktion 
von g aufs Meeresniveau entstehen und recht beträchtlich ausfallen 
können, sowie von den Schwankungen in der Schwerkraft infolge 
lokaler Massenunregelmäfsigkeiten , welche Schwankungen gerade 
in den uns interessierenden Fällen der Verwertung der Schwere- 
messungen auch wie Fehler „ , 

auftreten. ^^-^C^y^/A ' "^N^^^^""--:^/«-- 

§11. Einflufs der Kon- 
densation auf die Seliwer- 
kraft. Wir ermitteln nun- 
mehr den Maximaleffekt der 
Kondensation auf die Schwer- 
kraft für einen Punkt P' im 
Meeresniveau, Fig. 17. Auch 
hierbei reicht es aus die 
Meeresfläche und ihre Pa- 
rallelfläche als Kugelfläcben 
zu betrachten, wie sich von selbst im Folgenden zeigen wird. Ein 
Masseneleraent dm^ welches sich vor der Kondensation zwischen beiden 




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156 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Flächen^ der äursern und Innern Kagelflache, in P befindet und nach 
der Kondensation auf der innern Kugelfläche in /*, , übt auf P' eine 
Anziehung aus, deren in die Richtung P'C fallende Komponente 
gleich ist: 

— r- • — vor der Kondensation , 
— ^ . A nach der Kondensation. 

Solange sich P weitab von P' befindet, ist die Folge der Konden- 
sation immer eine Vergrofserung der zentralen Kompouente, denn es 
ist dann gleichzeitig 

1^1 J ^1 ^ JET 

— > — und -i- > - -. 

Befindet sich dagegen P in der Nähe von P\ so ist auch eine Ver- 
minderung als Folge der Kondensation möglich. Liegt nämlich ein 
solcher Punkt P aufserhalb cfer äufsern Kugelfläche in Pq gerade in der 
Tangentialebene der äufsern Kugelfläche bei P', so ist die Komponente 
null; verschiebt sich sodann P nach innen, so wächst zunächst die 
Komponente wie vorher; allein e nimmt nur bis dahin ab, wo PP' 
normal zu PC steht und wächst von da an. Obwohl nun z : e stetig 
zunimmt, kann also doch wegen Abnehmens von 1 : e auch die Kom- 
ponente von einer gewissen Stelle an abnehmen. Zur Bestimmung 
des Maximaleffektes gilt es jetzt diejenige Fläche E^ P' E^ aufzusuchen, 
in deren Punkten P die in Rede stehende Komponente gerade so 
grofs ist, wie in den zugehörigen Punkten jP, . 

Zur Veranschaulichung zeigt Fig. 18 zu den Strecken P^P als 
Abseissen in irgend einem Mafsstabe den 
j: /^'^^^-^^....^^^ Gang der Ordinaten z : e^. In der Figur 

n sind die Ordinate von Pj und die gleich- 
grofse, welche einem Punkte der Fläche 
E^P'E^ angehört, hervorgehoben und die 
zwischen liegende Fläche schraffiert. 

Um nun vorerst denjenigen Punkt Ey zu erhalten, wo die Fläche 
in die innere Kugelfläche einschneidet, haben wir zu beachten, dafs 
hier die Punkte P und\Pi der Fig. 18 zusammenfallen, also die Or- 
dinate ein Maximum wird. Wir finden dasselbe aus der Bedingung 




Kf) 











dr 


— 


u. 








Es ist aber 


_ 


r - 


reo9i>, 


e = 












z 


yr^ 


+ 


r'* 


-2rr 


cos^, 






de 
dr 


= — cosV, 


he 

dr 


= 


r - 


-r' cos-^ 
e 





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§ n. Einflnrs der Eondensation auf die Schwerkraft. 157 

und 

Hw _L li 3g de 

dr ^ e^ dr e* dr 

Hieraus folgt nach gehöriger Redaktion 

-\^ = ^ {2co8^ (r^ + r 2) ~ r/ (3 + cos^^)) • (1) 

Dieser DifiFerentialquotient verschwindet?, wenn die Parenthese rechter 
Hand null wird, d. h. für 

cos ^ = ••• +!:• ±.^":'i5!H?Zr:' . (2) 

Setzen wir nun in Anwendung auf Punkt E^ r = n^ ferner wie 
früher 

r, 0=» r' (1 - ü) 

und vernachlässigen höhere Potenzen von ü als die zweite^ so giebt 
der Ausdruck (2) ohne Schwierigkeit die einzig brauchbare Losung: 

cos^«= 1 — fl*. 
Wenn wir für cos V jetzt die Reihenentwicklung 1 — 2 "I" • • ^^' 
wenden, folgt zur Bestimmung von E^ die Näherungsformel: 

^«=(1^2 und riif = üri}/2. (3) 

Wir ersehen hieraus, dafs die Ausdehnung der von der Fläche E^P'E^ 
•abgegrenzten (in Fig. 17 stark umschriebenen) Masse so klein ist, 
dafs man innerhalb derselben für den jetzt vorliegenden Zweck einer 
Schätzung von der Konvergenz der Radien absehen kann. Schreibt 
man die zweite Gleichung (3) in der Form: 

E^M=^MP'y2, (3*) 

so erkennt man sogleich, da(s dieses Resultat auch für einen unend- 
lich grofsen Krümmungsradius r^ gilt, dafs man also in der That bei 
der Ermittlung von E^M von der Krümmung der Meeresfläche ab- 
sehen kann. 

Fig. 18 und die vorstehende Entwicklung lassen erkennen, dafs 
alle Massenteile innerhalb des Rotationskörpers E^ P'E^ ME^ bei der 
Kondensation auf die innere Kugelfläche eine Verminderung der 
zentralen Anziehung geben, alle sonstigen Massenelemente zwischen 
beiden Kugelflächen aber eine Vermehrung derselben. Wäre aber 
der ganze Raum zwischen beiden Kugelflächen mit Masse gleichförmig 
erfüllt, so würde die Kondensation die Anziehung nicht verändern; 
mithin müssen sich jene Vermehrung und Verminderung aufheben, 
und es giebt also die Kondensation der Masse E^P'E^ME^ allein einen 
Maximaleffekt. Zur Abkürzung kann man diesen Körper wieder als 
Maximalkörper bezeichnen. 



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158 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im MeeresDiveau. 



oder 



Bei der Ermittelung der Fläche E^ P E^ sehen wir also jetzt von 
der Konvergenz der Radien ab: Fig. 19. 
Mit Rücksicht auf die Bezeichnungen dieser 
Figur haben wir zur Bestimmung der 
Gleichung des Schnittes der Fläche durch 
die Rotationsaxe P'M die Bedingung: 
dm, z dm b 
c" e ei* ' e, 




Fig. 19. 



(4) 



Durch Reduktion auf y^ folgt hieraus ohne weiteres 

y2^Jl,i{^i^^i)^ (5) 

Bezeichnet man wie in Fig. 19 y für E^ mit a, so ergiebt sich 
aus vorstehender Gleichung 

a = b]/2, (6) 

übereinstimmend mit (3*). 

Die durch (5) gegebene Begrenzung ersetzen wir aus Bequem- 
lichkeitsgründen durch die nachstehende pairaboloidische 

y'^ = 2bz. (7) 

Denn für die Begrenzung (5) läfst sich zwar die unkondensierte An- 
ziehung des ganzen Körpers E^P'EyME^ in Richtung P'il/ bequem berech-^ 
nen, nicht aber die kondensierte. Durch Einführung der im wesent- 
lichen mit (5) zusammenfallenden Begrenzung nach (7) wird auch die 
letztere Rechnung bequem. Um den Unterschied der durch die 
Gleichungen (5) und (7) gegebenen Kurven zu zeigen, ist folgende 
Tabelle berechnet: 



g 


Ordinate y 


Normaler 
Abatftnd der 




(6) 


(7) 


Kurven. 


b 


by2 


bY2 , 


• 


d^ 


1,024* 


1,012* 


0,008* 


-h" 


0,801 & 


0,770* 


0,019* 


_.„, 


0,559* 


0,500* 


0,026* 


iV' 


0,351» 


0,272* 


0,021* 


i» 


0,258* 


0,177* 


0,014* 



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§ 12. Fortsetzung: Berechnung des Maximaleinflusses. 159 

Bei E^ und P' gehen die Kurven tangential in einander über; 
im übrigen ist der Unterschied in der Form beider Kurven so gering, 
dafs er im Holzschnitt unsichtbar wird. Die Differenz ist um so 
unerheblicher, als für Massen in der nächsten Nähe der Begrenzungs- 
fläche E^ P'Ey bei der Kondensation die Anziehungskomponente in 
Richtung P'M sich zufolge der Bedeutung dieser Fläche nicht ändert. 

§ 12. Fortsetzung: Berechnung des Maximaleinflusses. Die 

Anziehung des nach (7) des vorigen Paragraphen begrenzten Körpers 
E^P'E^ME^ auf /*' in Richtung P'Jf ergiebt sich aus Gleichung (4) 
§ 3 S. 144 für c = null, a =^b ]/2 \xnA p = b. Sie wird gleich 

ijik^&h [l _/3 + lognat (2+^^3)1 • (1) 

Nach erfolgter Kondensation der Massen auf die Grundfläche 
E^M E^ ist die Anziehung auf P' gleich 

b dm • ^2) 



*•/ 



wobei dm dem Rotationscharakter entsprechend als ein ringförmiges 
Massenelement mit der Grundfläche 2%y dy und der Masse 

2ycy dy . @(b — z) 

zu denken ist. Wird letzteres für dm oben eingesetzt, dabei für z 
sein Wert y'^ :2b und für y'^ einfacher t geschrieben, so findet sich 
die in Rede stehende Anziehung (2) gleich 



Y^k^eC 



26» 

(2b^ — t)dt 



d. i. gleich ^^, 

^ J ^Vb^ + t^ Vb^ + t ^ 

Die leicht ausführbare Integration führt zu dem Ausdrucke: 

2%k'^&b(2^}/^. (3) 

Ziehen wir denselben von (1) ab und setzen für b den Wert flr 
oder ÄÄ, so erhalten wir als Maximalwert der Abnahme der An- 
ziehung in radialer Richtung durch Kondensation für einen Punkt 
im Meeresniveau: 

2;rÄ'0^[lognat(2+/3)- l} d.i. 0,634 jrX:^© aÄ. (4) 

Setzen wir nun wie früher die Schwerkraft näherungsweise gleich 
* ttF^^Ä, so zeigt sich, dafs vorstehender Betrag für = — ©„,=2,8 

und fl = 1 : 300 gleich ist 

0,00079.^. (5) 



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160 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Dies ist allerdings bedeutend, da die Variation von g im Niveau der 
Meeresfläche überhaupt nur 0,0053 g beträgt. Allein in der Wirk- 
lichkeit tritt dieser theoretische Maximaleffekt nirgends auf, da die 
entsprechenden Massenformen nicht bestehen. 

Selbst wenn wir uns eine Insel von der Form und Grofse des 
Rotationskörpers E^PE^MEy Fig. 17 S. 155 denken, so ist dieselbe 
doch in ihrem oberen Teile von Wasser umgeben,* im unteren aber 
von Land, da die Oceaue nicht die Tiefe aÄ = 21*^, sondern selbst 
an den tiefsten Stellen nur weniger als die Hälfte davon besitzen. 
Nehmen wir aber an, dafs die betreffende Insel bis zur Tiefe von 21*"* 
von Wasser umgeben wäre, so reduziert sich der Effekt schon im Ver- 
hältnis 2,8:1,8 und wird gleich 0,0005^. Wegen der geringeren 
Maximaltiefe der Oceane vermindert sich dieses weiter, wie eine 
genaue Rechnung zeigt, die wir übergehen dürfen, auf etwa 0,0004 g. 

Dieser maximalen Verminderung der Schwerkraft steht eine maxi- 
male Vermehrung gegenüber, die in der Mitte von einem kleinen 
tiefen See eintreten kann, jedoch in praktisch mögliehen Fällen bei 
weitem nicht jenen Betrag erreichen dürfte. Die genauere Auswertung 
für diesen Fall können wir übergehen, da die Kenntnis des gröfseren 
Maximums, im absoluten Sinne genommen, wie wir sogleich sehen 
werden, ausreicht. 

§ 13. Resultat der Untersuchung fiber die Brauchbarkeit 
der Entwicklung des Potentials W nach negativen Potenzen 
des Radiusvektors. Mit Rücksicht auf die Paragraphen 7 — 12 
können wir nun im Anschlufs an § 6 Folgendes bemerken: 

Da die Gültigkeit jeuer Reiheuentwicklung die Kondensation der 
Massen aufserhalb der Parallelfläche auf diese als eine zweckmäfsige 
Idealisierung der Massen der Erdrinde fordert, da ferner diese Kon- 
densation die Meeresfläche nur in unerheblichem Mafse verschiebt, so 
würde es als ein Fehler aufzufassen sein, wenn bei den Schwerkräften 
die Kondensation nicht berücksichtigt werden würde. Selbst wenn 
es aber trotzdem nicht geschieht, so wird man dennoch eine sehr gute 
Annäherung für die Gestalt der mathematischen Erdoberfläche er- 
zielen; denn bei der Interpolation der im Meeresniveau beobachteten 
oder darauf reduzierten Schwerkräfte werden die Kondensationsfehler 
teilweise ausgeglichen. Wie schon im vorigen Kapitel S. 71 bemerkt, 
schmiegen sich die Schwerebeobachtungen nach der üblichen Rech- 
nungsweise ohne Kondensation recht gut einer einfachen Formel an, 
aus welcher man auf die Form eines abgeplatteten Sphäroids für die 
Meeresfläche schliefst. Dieses Resultat ist trotz der Vernachlässigung 
der Kondensation zweifellos eine Annäherung, da die vernachlässigten 
Kondensationseffekte nicht grofs genug sind, um die gröfsten Varia- 
tionen der Schwerkraft im Meeresniveau zu verwischen. 



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§ 14. Einflufs der Kondensation auf Schwerpunktslage u. Trägheitsmomente. 161 

Keinesfalls braucht man zu fürchten, dafs insbesondere die Varia- 
tion der Schwerkraft vom Äquator nach dem Pole um die Summe 
der positiven und negativen Maximalkondensationseffekte fehlerhaft 
wird: sie wird voraussichtlich noch nicht um den Betrag 0,0004^ 
des gröfseren der beiden fehlerhaft und damit (nach ClairatUs Theorem) 
die Abplattung noch nicht um Vs il^res Wertes irrig. 

Für eine schärfere Berechnung der Gestalt des Geoids wird je- 
doch eine Reduktion der Ergebnisse der Schweremessungen wegen 
der Kondensation erforderlich; bei sehr weit getriebener Annäherung 
würde man sogar auch die Verschiebung der Meeresfläche in Rech- 
nung ziehen müssen. Die Reduktion der. Schweremessungen wird 
weiterhin eingehend erörtert werden, während die Verschiebung der 
Meeresfläche als zur Zeit unwichtig nicht besprochen wird. 

Im nächsten Paragraphen untersuchen wir dagegen noch der 
Vollständigkeit halber die allerdings sehr geringfügigen Effekte der 
Kondensation auf die Schwerpunktslage des Erdkorpers und auf die 
Grofse seiner Trägheitsmomente. 

§* 14. Einflurs der Kondensation auf Schwerpnnktslage und 
Trägheitsmomente der Erde. Die Massen aufserhalb der Parallel- 
fläche sind in Bezug auf die Gesamtmasse M ein Bruchteil der Ord- 
nung a; die Verschiebung auf die Parallelfläche ändert das statische 
Moment, genommen bezüglich irgend einer Ebene durch die ungeän- 
derte Schwerpunktslage, um eine Gröfse der Ordnung ü^MB. Die 
Schwerpunkts Verschiebung ist demnach von der Ordnung ü^B und 
zwar voraussichtlich nur ein kleiner Bruchteil davon, d. h. wenige 
Meter, weil die Massen aufserhalb der Parallelfiäche eine im grofsen 
und ganzen symmetrische Anordnung der Art haben, dafs die Ände- 
rungen ihrer statischen Momente sich teilweise aufheben. 

In gleicher Weise läfst sich erkennen, dafs die Trägheitsmomente 
j4, B und C nur um Bruchteile der Ordnung fl^ sich ändern und dafs 
sie mit gleicher Genauigkeit als Hauptträgheitsmomente aufgefafst 
werden können; vergl. § 5 S. 59. Diese Genauigkeit entspricht der- 
jenigen der Entwicklungen der Paragraphen 10 und 11 S. 72 u. fif. und 
man kann daher sagen, dafs die daselbst S. 74 und 76 aufgeführten Er- 
gebnisse für Ay B und -MK für die Trägheitsmomente der Erde selbst 
gelten. 

Die Genauigkeit erhöht sich aber etwas, wenn wir die Schale, 
welche von der Meeresfläche und der Parallelfläche begrenzt ist, er- 
füllt denken mit homogener Masse, zu welcher an einzelnen Stellen 
positive oder negative Massen hinzutreten (§ 15). Die homogene Masse 
braucht dann nicht kondensiert zu werden, da der Effekt für W und g 
sehr nahe null ist. Man erzielt aber durch diese Änderung der 
Anschauungsweise eine günstigere Annäherung bei den Trägheits- 
momenten, welche bisher sicher lediglich verkleinert wurden, 

Helmert, matbem. a. physikal. Tbeorieen der höh. Geodttsie. II. 11 



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162 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

da alle Elemente der KondeDsation negativ wirkten, während nun- 
mehr Massen positiver und negativer Dichtigkeit vorkommen und 
demgemäfs sowohl negative als positive Änderungen der Trägheits- 
momente entstehen — aufserdem aber die Menge der kondensierten 
Masse überhaupt wesentlich kleiner ist. Die teilweise Kompensation, 
die hier stattfindet, kommt bei der Frage, ob A, B und C nach er- 
folgter Kondensation noch als Hauptträgheitsmomente angesehen 
werden dürfen, übrigens schon bei der früheren Anschauung zur Gelt- 
ung, da die Kondensation der homogenen Schale offenbar die Lage 
der Hauptaxen nur ganz unerheblich ändern kann. 

Man wird daher die Ergebnisse der Schweremessungen für die 
Trägheitsmomente auch bei einer etwas weiter getriebenen Annähe- 
rung als derjenigen in den Paragraphen 10 und 11 S. 72 u. ff. auf 
die Erde selbst beziehen können, ohne dafs es einer Reduktion be- 
darf. Sie gelten also für die Erde selbst etwa bis zu derjenigen 
Grenze der Annäherung und Genauigkeit, die den Ergebnissen der 
Schweremessungen aus anderen Gründen, insbesondere wegen konti- 
nentaler und lokaler Anomalieen entspricht. * 

§ 15. Die Redaktion der Schwerebeobachtungen. Die Mes- 
sungen der Beschleunigung der Schwerkraft gelten unmittelbar für 
einen Punkt der physischen Erdoberfläche und sind daher auf die 
Meeresoberfläche zu reduzieren, so dafs sie alsdann als einer einzigen 
Niveaufläche angehörig betrachtet werden dürfen. Denn wenn auch 
das mittlere Niveau des Meeres keineswegs genau einer Niveaufläche, 
dem Geoid, angehört, so sind doch die durch Ebbe und Flut, herr- 
schende Winde, verschiedene spezifische Gewichte und andere Ursachen 
erzeugten Niveauunterschiede gering in Bezug auf den vorliegenden 
Zweck, bei dem es auf einige Meter gar nicht ankommt, weil die 
Schweremessungen weder entsprechend genau sind, noch entsprechend 
genau reduziert werden können. (Über bekannte Höhendifferenzen 
des mittleren Meeresniveaus an verschiedenen Stellen der Küste 
Europas vergl. im 7. Kap. § 18.) 

Es genügt nun aber nach dem Vorhergehenden gar nicht, ledig- 
lich aufs Meeresniveau zu reduzieren; vielmehr mufs auch noch eine 
Kondensation der Massen der Erdrinde in dem in Paragraph 6 angege- 
benen Umfange und in der daselbst angegebenen Weise stattfinden. 

Wir werden übrigens die Kondensation insofern etwas abändern, 
als wir nicht die ganze Masse aufserhalb der Parallelfläche in der Tiefe üR 
unter der Meeresfläche kondensieren, sondern eine Schale ausschliefsen, 
welche von diesen beiden Flächen begrenzt und mit Masse von der 

Dichtigkeit 2,8 = y 0^ , der mittleren Dichtigkeit des Festlandes, 

gefüllt ist. Der Kondensationsetfekt für diese Schale ist versehwindend 
klein; er würde null sein, wenn wir die Meeresfläche als Ellipsoid 



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§ 16. Übliche Reduktion der Scbweremessungen auf das Meeresnivean. 163 

betrachten dürften und als Kondensationsfläche alsdann anstatt einer 
genauen Parallelfläche ein konfokales Ellipsoid annehmen würden 
(vergl. S. 125 § 31). Obwohl nun die Meeresfläche kein Ellipsoid 
ist; kann man den Eondensationseffekt dennoch vernachlässigen, weil 
sie nur in sanften Biegungen von einem solchen abweicht, wie sicher 
genug aus synthetischen Untersuchungen im vierten Kapitel folgen 
wird, und weil für ein homogenes Sphäroid, welches nur in sanften 
Wellen von einem Ellipsoid abweicht, die Entwicklung des Potentials 
nach negativen Potenzen des Radiusvektors praktisch ausreichend als 
bis zur Oberfläche konvergent anzusehen ist (§ 24), sodafs also die 
Masse zwischen Meeres- und Kondensationsfläche überhaupt gar nicht 
kondensiert zu werden braucht, insoweit sie einem von der Meeres- 
fläche begrenzten, homogenen Sphäroid angehört. 

Ein kleiner Fehler in dieser Beziehung hat um so weniger Be- 
deutung, als die Berechnung des Kondensationsefl'ekts wegen mangel- 
hafter Kenntnis der Massendichtigkeit der Schichten der Erdkruste 
bis zur Tiefe von 21*^ sich doch nicht scharf durchführen läfst. 
Übrigens sind die Fehler der letzten Art weniger erheblich, als es 
auf den ersten Blick scheinen mag, da die obersten Schichten der 
Schale von 21*^ Stärke den gröfsten Efiekt geben und für diese 
Schichten die Dichtigkeit mit einiger Annäherung bekannt ist. 

Bisher hat man nur aufs Meeresniveau reduziert und die 
Reduktion wegen Kondensation unterlassen. Abgesehen davon, dafs 
die übliche Reduktion aufs Meeresniveau sich als solche bemängeln 
läfst, genügt sie allein auch nicht, um die Schweremessungen nach 
der Theorie der Kugelfunktionen in Strenge behandeln zu können. 
Nur erst durch die Reduktion wegen der Kondensation erlangt man 
Angaben für die Beschleunigung der Schwere, aus denen ein Schlufs 
von wünschenswerter Sicherheit auf die Abplattung und auch auf 
kontinentale Abweichungen des Geoids möglich wird. 

§ 16. Die übliche Reduktion der Schweremessnngen aur 
das Meeresnivean. Sie geht von dem Grundsatz aus, die lokalen 
Massenanziehungen zu beseitigen, insoweit die Massen als unregel- 
mäfsige Anhäufungen erscheinen. Dazu werden alle Massen gerech - 
net; welche sich über das Meeresniveau erheben; Fig. 20. 



_, l! ^ \K 

''f;;77777ZW77777T777777r777fr7777777r/- 
\ 'J£ ^ 



, ^777T 



Met7»e&- d FUuhc 

Fig. 20. 

Um die übliche Formel für horizontaies, ebenes Terrain zu ge- 
winnen, denken wir uns um die Lotlinie P'Q des betreflenden Punktes 



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164 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

als Axe eine Cylinderflache mit dem noch unbestimmten Radius a 
gelegt und sehen vorläufig von der Krümmung der Meeresfläche ab. 
Nach § 2 (2) S. 142 ist für den so abgegrenzten Cylinder von der 
Höhe H und der Dichtigkeit 0, wobei c ■= null und b ^== ff za setzen 
ist, die Vertikalanziehung: 

oder in Reihenentwicklung der Quadratwurzel, gültig für H < ai 

2«k-^@H{l-^ + ...). (l*) 

Um dies in Bruchteilen der Schwerkraft auszudrücken, genügt es, 
für letztere den nach S. 98 § 20 (23) und (24) bis auf Bruchteile von 

der Ordnung der Abplattung richtigen Ausdruck— nk^SmR zu setzen. 

Es folgt dann anstatt (1*): 

T|-f-(l-Ä + ---)- (2) 

Setzt man @^^S^ und ff : R = 10000 entsprechend Ä^= 637'», 

so wird (2) kleiner als Viaooo« Vernachlässigt man nun das Glied 
ff : 2a, so wird der dadurch begangene Fehler für « > 10 Z^, d. i. 
rund 6*^", kleiner als rund V250000 ^^' Schwerkraft; er ist also un- 
erheblich, und man erkennt, dafs im horizontalen Terrain in der Regel 
die Vertikalanziehung der P' benachbarten Massen über dem Meeres- 
niveau hinlänglich genau durch 

dargestellt wird. 

Dieselbe Formel erhält man aber auch für die Vertikalanziehung 
einer weit ausgedehnten, horizontalen Platte von der Dicke ff. Alle 
Massen aulserhalb der Entfernung = 6*^" bei // = 637"» zwischen 
dem Meeresniveau und der Niveaufläche von P' haben daher keinen 
merklichen Einflufs. Die Formel (3) genügt, wenn solche Massen 
den Raum zwischen den beiden genannten Flächen ganz oder teil- 
weise erfüllen, oder ganz fehlen. Anstatt des letzten Falles kann 
man sich auch denken, dafs aufserhalb des Umkreises a die Massen 
bis zur Höhe ff über das Niveau von P' steigen , weil die Vertikal- 
anziehuDgen der über und unter dem Niveau von P' liegenden Massen 
sich aufheben. Ebenso kann man sich denken, dafs in diesem Raum 
nur eine teilweise Erfüllung durch Berge bis zur Höhe ff über das 
Niveau von P' stattfindet. In allen diesen Fällen gilt (3) mit wesent* 
lieh derselben Genauigkeit. 

Allgemein hat man als Beziehung von ff zu a^ damit Formel (3) 



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§ 16. Übliche Redaktion der Schweremessungen auf das Meeresniveau. 165 

die Reduktion auf weniger als Vaöoooo ^^^ 9 g^i^^u angiebt^ bei An- 
wendung von Metermafs: 

^.£<68"'. (4) 

Ist für die faktische Ausdehnung a der Ebenheit die Meeresh5he B 
weit kleiner als es nach Formel (4) sein könnte, so dürfen bei gleicher 
Genauigkeit als bisher vorausgesetzt die Erhebungen und Senkungen 
am Bande der Ebene Werte h gegen das Niveau von P annehmen, 
welche gröfser als H sind, wenn sie nur der Ungleichung 

Ä . I- < 68« (4*) 

welche A : a als ächten Bruch voraussetzt, genügen. 

Ist ferner a nach verschiedenen Bichtungen hin verschieden, so 
kann man aus (4*) für jede Bichtung ein besonderes grofstes zulässiges 
h entnehmen. Denn die Ausgangsformel (1) für den Ereiscylinder 
gilt nicht blos für einen vollständigen üylinder, sondern auch für 
jeden Sektor zwischen zwei beliebigen von P ausgehenden Vertikal- 
ebenen, wobei nur statt 2% der Arcus des Horizontal winkeis zwischen 
letzteren zu setzen ist. Für den einzelnen Sektor hat also die Ver- 
nachlässigung in der Vertikalanziehung nach (1*) die Form 

und wenn Ji^ \ a die Ungleichung (4*) erfüllt, ist sie kleiner als 

^^20 . 34 , 
für alle Sektoren zusammen somit kleiner als 

23rA-^0.34, 

d, i. in Bruchteilen von g wieder V250000 • 

In der Fig. 20 ist beiderseits das dem betreffenden a entsprechende 
hrna» angedeutet. ^ 

Was die Krümmung der Meeresfläche anlangt, so kommt diese 
gar nicht in betracht, da es sich eben nur um Nachbarmassen handelt; 
vergl. die Bemerkung zu (4) S. 145. Für sehr grofse Entfernungen 
würde sie zwar Einflufs erlangen. Indessen ist der Einflufs der An- 
ziehung entfernter Massen, da er bei horizontaler Verschiebung von P 
sich nur langsam ändert, kein lokaler mehr und also nicht zu be- 
achten. (In § 19 dieses Kapitels wird sich bei Besprechung der Kon- 
densation die Zulässigkeit und Notwendigkeit der Vernachlässigung 
entfernter Massen noch von einem anderen Gesichtspunkte aus zeigen.) 

Um nun die Schwerebeobachtung in P auf Q im Meeresniveau 
zu reduzieren, ist von dem beobachteten Werte g die durch (3) an- 
gegebene Anziehung abzuziehen. Auiserdem ist noch die Änderung 



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166 ^* Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

der Höhenlage zu berücksichtigen. § 20 des vorigen Kapitels S. 94 
giebt hierzu die Änderung von g für diflferentiale Höhenänderungen. 
Da H im Verhältnis zum mittleren Erdradius R stets sehr klein ist, 
genügt die Differentialformel und wir erbalten nach der Formel (22) 
des genannten Paragraphen auf S. 98 bis auf Bruchteile von V2V0 
im Maximum als Zunahme von g von P' bis Q in freier Luft 

^^. (5) 

Da der Quotient 2H x R immer klein ist; in praktischen Fällen 
meistens weit kleiner als Viooo? welcher Betrag erst für /^ = 3185"» 
erreicht wird^ so haben die Vernachlässigungen im Betrage bis zu 
YsVo l^^iii^ Bedeutung, wenn man bedenkt, dafs bei beträchtlichen 
Werten H zugleich der von (3) herrührende Teil der Reduktion von g 
wegen der Schwierigkeit einer genauen Ermittelung der Dichte S 
jedenfalls sehr unsicher wird. Bei Z^ = 3185'^ giebt ein Fehler von 
nur 1% in S das Glied (3) schon um rund V250000 ^^^ 9 falsch. 

Ist g die Beschleunigung der Schwerkraft in P\ so wird sie nach 
dem Vorstehenden in Q mit Beseitigung der Lokalanziehung in hin- 
reichender Annäherung gleich 

(•+f['-ifj)'- («) 

Speziell für die Annahme 6> = -- 0,;» = 2,8 folgt hieraus in glei- 
eher Annäherung 

Hierzu sind als Bedingungen der Gültigkeit (4) und (4^) zu beachten, 
wobei auiserdem H bezw. h <C a sein mufs. * 

Die Formel (6) nennt man die Regel von Foung, auch Formel 
von Poisson für ebenes Terrain. Wir werden sie aber nach Bougner 
bezeichnen, der zuerst derartige Beziehungen untersuchte. 

Yowng teilt dieselbe ohne Begründung in ^rm einer Regel in den 
Philosophtcal Trcmaactions für 1819 S. 93 mit. Foisson giebt die Formel 
noch nicht in der ersten Auflage seiner Traiti de mecanique von 1811, 
sondern erst 1838, in der zweiten Auflage Bd. 1 S. 495. Laplace geht in 
der M<^c. eil. t. U. 1. III, wo von den Schweremessungen die Rede ist, auf die 
Reduktion überhaupt nicht ein. Erst 1826 in t. V. I. XI p. 5ö — 66 leitet er, 
von der Anziehung des Cylinders ausgehend, die Formel (6) ab. Aber 
schon 1749 hat (nach Todhumter^ History ofÄttraction I p. 248) Bouguer 
in seiner Schrift La Figure de la Terre den Einflufs einer Erhebung des 
Beobachtungsortes auf einen Berg untersucht. Er setzt die Schwerkraft 
in der Meereshöhe A, wenn die Dichtigkeit der Bergmasse ist (und 
überhaupt unsere Bezeichnungen gelten), proportional dem Ausdrucke 

was völlig mit Youngs Regel übereinstimmt. 



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§ 17. Fortsetzung: Unebenes Terrain. 167 

Den genauen Einflufs der Berge von verschiedener Form untersuchte 
etwas später d'Alembert (nach Todhtmter I p. 382) in vOllig befriedigender 
Weise. 

§ 17. Fortsetzung: Unebenes Terrain. Die im vorigen Para- 
graphen vorausgesetzte Ebenheit wird in der Natur keinesfalls voll- 
ständig erfüllt sein. Bedenkt man nuD^ dafs nach Formel (3) des 
vorigen Paragraphen eine ebene^ horizontale Platte von 32"* Stärke 

und von der Dichtigkeit y ®^ = 2, 8 auf P' eine Vertikalan- 
ziehung von rund V250000 ^^^ ff ausübt, so wird man erkennen, dals 
in einem im allgemeinen horizontalen und ebenen Terrain Uneben- 
heiten von ziemlichem Betrage vorkommen dürfen. Will man auf 
Vi 000000 genau reduzieren, so dürfen die Unebenheiten in allernächster 
Nähe von P' allerdings nur etwa 8 Meter betragen; mit wachsender 
Entfernung, etwa von 100"» ab, dürfen sie aber um so eher beträcht- 
lich anwachsen, als für entferntere Unebenheiten eine teilweise Kom- 
pensation der Einflüsse stattfinden wird. 

Zu den Unebenheiten in allernächster Nähe ist auch ein Abstand 
des Punktes P' vom Terrain im Betrage einiger Meter zu rechnen, 
welcher also nach dem Vorigen von unerheblichem Einflüsse sein wird. 

Die Anwendung der Formel (6) des vorigen Paragraphen ist 
übrigens nicht lediglich auf horizontales Terrain beschränkt. Um 

ihre allgemeinere Gül- 

tigkeit zu erkennen, ß' 1-;-^. p' .^'j'i'^ ^' 

denken wir uns P' als ^•'Äl^^^^^^P^^y^^^ 

Spitze eines geraden ^ T"^^ Jf ^^ ^,,,\ .^. . 

Kreiskegels von der 



Höhe A, und dem Ra- ^'*^*'" ^, ''"^^ 

' Fig. 21. 

dius a der Grundfläche ; 

unter dem Kegel sei das Terrain bis zur Tiefe h^ cylindrisch abge- 
grenzt, und die Basis des Ganzen bilde eine über dem Meeresniveau 
lagernde, ebene Platte von grofser Ausdehnung; Fig. 21. 

Dann haben wir als Vertikalanziehung des Kegels nach S. 142 
§ 2 (4) mit Rücksicht auf die jetzigen Bezeichnungen: 

27ik^®hy^ (1 — sini/) . 

Dagegen würde nach Formel (l*) des vorigen Paragraphen für einen 
Cylinder gleicher Basis und Höhe in hinreichender Annäherung folgen, 
falls Ä| kleiner als a ist, was bei mäfsig grofsen Werten von sini/ 
zutrifft: 

woraus man erkennt, dafs die Diflferenz von Cylinder und Kegel, 
d. h. der in der Fig. 21 mit A bezeichnete Raum, wenn er mit Masse 



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168 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

erfüllt wäre, näherungsweise eine Yertikalanziehnng ausüben würde 
gleich 

2itk^®h^ (sini; - -^^) , 

d. i. in gleicher Annäherung 

2«F®Ä, .A. (1) 

Würde sich unter P' anstatt des Kegels und Cjlinders nur ein 
Gylinder von der Hohe h^ und von gleicher Basis mit jenen befinden, 
so wäre die entsprechende Vertikalanziehung angenähert gleich 



2«F0Ä, (l - ^^ ; 



folglich giebt der an einer weit ausgedehnten, horizontalen Platte 
gleicher Stärke fehlende Raum By mit Masse erfüllt gedacht, die 
Anziehung 

2 IC k^ eh.' ^ ' (2) 

Die gesamte Vertikalanzi^hung auf P' besteht aber aus der einer weit 
ausgedehnten, horizontalen Platte von der Dicke If weniger den An- 
ziehungen der in A und B fehlenden Massen. Sie ist also mit Rück- 
sicht auf (1) und (2) näherungsweise gleich 

2„^2@(/y_ V + V)^ (3) 

oder nach Einführung von g in gleicher Annäherung: 

2 9^\B 2aR ] ^ ' ^^^ 

Damit man nun dafür einfach Ausdruck (3) des vorigen Para- 
graphen substituieren darf, mufs mit Beibehaltung der bisherigen 
Genauigkeitsgrenze 

3 e V + V ^ 1 
2 S„^ 2aB ^ 250000 

sein, d.i. für @= — ©„, und für Metermafs: 

^'' + ^' < 68- , (5) 

TL I, 

wobei ~ und ™ überdies als ächte Brüche vorausgesetzt sind. 

Dies ist die Bedingung (4*) des vorigen Paragraphen in erweiterter 
Form. Wie dort kann man die zugehörige Figur dadurch verallge- 
meinem, dafs man an Stelle der leeren Räume A und B gewisse mit 
Masse erfüllte RiLume setzt, nämlich A und A" bezw. B und B\ Fig. 21, 
deren Anziehungen sich aufheben. Diese Räume dürfen auch durch 
Berge nur teilweise mit Masse erfüllt sein. Ferner sieht man ein. 



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§ 18. Fortsetzung: Beliebiges Terrain. 



169 



dafs wie im Falle des vongeu Paragraphen a, A, und h^ nach ver- 
schiedenen Richtungen hin verschieden sein dürfeu, wenn nur Formel 
(5) erfüllt ist. Fig. 22 deutet dies karrikiert an. 

Es sei dazu bemerkt: erstens, dafs ^2 ^^^^ > H sein darf, ohne 
dafs vorstehende Betrachtungen ihre Gültigkeit verlieren ; zweitens, 




Meeres- d Flivohe^ 

Fig. 2«. 

dafs in der Terrainform in der Nähe von P' ünregelmafsigkeiten bis 
zur Höhe oder Tiefe von etwa 8"* in Bezug auf seinen Horizont vor- 
kommen können, wie aus dem Eingang dieses Paragraphen hervorgeht. 

§ 18. Fortsetzung: Beliebiges Terrain. Um bei beliebig ge- 
formter Terrainflache und beliebiger Dichtigkeit ö genau von P' auf 
Q zu reduzieren, wird man am besten die Korrektion berechnen, welche 
an der Reduktionsformel für ebenes, horizontales Terrain anzubringen 
ist. Wir reduzieren also zunächst nach Formel (6) § 16 S, 166 und 
setzen somit vorerst die Beschleunigung der Schwerkraft in Q gleich 



(•+4^[i-if:])^. 



(1) 



worin bedeuten: g die Beschleunigung in P\ H dessen Meereshöhe 
und @Q irgend eine angenommene Dichtigkeit, wofür wir hier die 
durchschnittliche Dichtigkeit der Massen bei P' im Umkreifie bis 2b^ 
wählen wolleu. Diese Formel berücksichtigt in Strenge die Anziehung 
einer weit ausgedehnten, horizontalen Platte unter P. 

Wir denken uns 'nun in einen 
Plan der Umgebung von P' Kreise 
mit wachsenden Radien, etwa gleich 
25, 100, 200, 400, 600, 800, 1000, 
1500, 2000»", . . . eingetragen; femer 
Radien, welche den Umkreis in 8, 10. 
20 und eventuell noch mehr gleiche 
Teile teilen; vergl. die Darstellung 
für einen Quadranten, Fig. 23. Mit 
Hülfe im Plane gegebener Höhen - 
quoten oder Horizontalkurven läfst 
sich dann für jede von zwei benach- 
barten Kreisen und Radien begrenzte 
Abteilung die mittlere Höhe der Ter- 
rainfläche berechnen; vergl. hierzu Kap. 4 § 40. Innerhalb einer solchen 
Abteilung müssen wir letztere als in mittlerer Höhe horizontal begrenzt 
ansehen können: in jedem praktischen Falle wird sich leicht erkennen 




Flg. 23. 



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170 3* Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

lassen, ob die Abteilungen zu diesem Behufe klein genug sind. Man 
wird dabei von den weiterhin folgenden Formeln für die Vertikalan- 
ziehung einer Abteilung auszugehen und zu beurteilen haben^ welchen 
Einflufs eine Änderung der mittleren Hohe hat. Auch ist zu über- 
legen, ob eine Fehleranhäufung im ganzen möglich ist. Yergl. auch 
den Beginn von § 17 S. 167. 

Nehmen wir an, dafs die Dichtig- 

^^^^^^^>?:5^;j^^ , keit innerhalb einer Abteilung 

' — : — \'~%''~jrZZZ^^?^^^^^^^^^ ^^^ ganzen Tiefe nach konstant 

7;>:^pr;;!^:^^^0^^^^^ \ sei, und nennen wir ö, und aij^x 

^^^p 5 den inneren und äufseren Kreis- 

^^^-.. .^ ^ ^ radius, » die Anzahl der Teile des 

Meeres^ Fläche/ ^ Umkreises, so ist diejenige Vertikal- 

*' anziehung, welche die betreflfende 

Abteilung ausüben würde, wenn sie von der Niveaufläche von P' bis 

zum Meeresniveau mit Masse erfüllt wäre, nach S. 142 § 2 (2) gleich 

oder gleich 

-^ /c'& («,+, - «< + j/^'+H~^ - j/^i^+~H') . (2) 

Um die wirkliche Anziehung zu erhalten, ist hiervon, wenn das 
Terrain unterhalb der Niveaufläche von P' liegt, die Anziehung der 
über dem Terrain bis zum Niveau von P' fehlenden Masse abzu- 
rechnen, d. i.: 

^k^e {ai+, - a, + j/aT'-r'h'^ - ^«.+7^' +"ä^) . (3) 

Dieselbe Anziehung ist aber auch abzurechneu, wenn sich das Terrain 
innerhalb der Abteilung um h über das Niveau von P' erhebt; Fig. 24. 
Die durch (2) gegebene Anziehung ist in (1) unter Voraussetzung 
0^=^ bereits enthalten. Wegen der Differenz beider Dichtigkeiten 
ist daher aufser (3) an (1) eine Korrektion im Betrage von 

1^ A» (®, - @) (at+, - «.• + y7,r+~H' - Va~;j^'H-') (4) 

erforderlich. Bezeichnen wir zur Abkürzung 

— &Q mit J0 , üi^i — üi mit Ja, (5) 

und führen wir in (3) und (4) wieder^ ein, so ergiebt sich als Ver- 
besserung von (1): 

Erstens wegen der Höhenlage des Terrains für die einzelne Abteilung: 

+ i 5 (^ " + V^+J^' - /a^+i* T"*'^) I , (6) 



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§ 18. Fortsetzung: Beliebiges Terrain. 171 

und zweitens wegen der Dichtigkeit der Abteilung: 

[ja + y'i;^'m ~ ^^^7+1^+^'^) i . (7) 



2n « 



B^ür nicht unmittelbar zu P' benachbarte Abteilungen werden meist 
h : a und H : a so klein sein, dafs die ersten Glieder der Reihenent- 
wicklung für die in (6) und (7) auftretenden Quadratwurzeln aus- 
reichen. Dann folgen aus (6) und (7) bezw. die Nöherungsformeln : 



und 



f(i-.,V,)- <") 



4n 0^ 



Diese Formeln genügen, wie die Beihenentwicklung zeigt, für 
üi > bh bezw. bH. 

Nach diesen Formeln ist die Reduktion im Sinne einer Berichti- 
gung von (1) nicht unbequem, besonders wenn diejenigen Radien, 
deren Reziproken in betracht kommen, so gewählt werden, dafs die 
Parenthese in (6*) und (7'*') konstant ist. Letztere Annahme eignet 
sich allerdings nicht für die nähere Umgebung, weil dann a zu rasch 
anwachsen würde. Für (7) und (7*) braucht die Rechnung offenbar 
nicht für jede Abteilung einzeln ausgeführt zu werden, vielmehr kann 
man alle Abteilungen eines Ringes vereinigen, wenn unter ^S : n 
der Unterschied der Dichtigkeit gegen 0q im Mittel für einen Ring ver- 
standen wird. 

Wie die Formeln abzuändern sind, wenn S sich mit der Tiefe 
ändert, bedarf keiner Erörterung. 

Anstatt der im Vorhergehenden erörterten strengen Reduktion 
wird man in einzelnen Fällen sich mit Annäherungen begnügen 
können. Befindet sich z. B. P' auf der Höhe eines Berges, so wird 
man oftmals der Wirklichkeit ziemlich nahe kommen, wenn man für 
den Berg die Anziehung eines geraden Ereiskegels oder Rotations- 
paraboloids in Rechnung zieht und für das Terrain, auf welches sich 
der Berg aufsetzt, die Anziehung einer weit ausgedehnten, horizontalen 
Platte annimmt. Reduziert man zuerst wie für horizontales Terrain 
nach S. 166 § 16 (6), so hat man nachträglich die zuviel abgezogene An- 
ziehung wieder beizufügen, nämlich für einen lieget von der Höhe h 
und dem Radius a der Basis nach S. 143 § 2 (4): 

und für ein Paraboloid gleicher Höhe und Basis nach S. 144 § 3 (4), 
darin b = hy c «= null und 2pb «= ä^ gesetzt: 



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172 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meereenivean. 



Da h fast immer so klein sein wird, dafs der Einäufs von h^ : a^ zu 
vernachlsssigen ist, erhält man in meist ausreichender Annäherung 
als Verbesserung des bereits für horizontales Terrain korrigierten g 
im Falle (Fig. 25) 

p' 




4 



X- 



Meeres- d Fldvfve 

Flg. 25. 

i2 4 ö„ 



des Kegels: 






des Paraboloids : + -^ T ö~ T 



und, wie wir zur Vergleichung nach S. 164 (2) hinzufügen: 

4 r:2 a^' 



des Cylinders: + -^ ^^ 



(8*) 
(9*) 



(10) 



/ Die strenge Reduktion wegen der Anziehung des Terrains führt 
(7. A. F. Peters 1856 im 40. Bde. der Astronom. Nachr, No. 989 S. 46 u. fif. 
für die Beobachtung in Güldenstein mittelst einer Zerlegung des Grund- 
risses in Quadrate aus. Die Formel, welcher man bei dieser Zerlegung 
bedarf, ist jedoch sehr kompliziert: sie enthält nicht nur zwölf verschiedene 
Quadratwurzelausdrücke, sondern auch vier Logarithmen und vier Arcus- 
tangens. 

§ 19. Die Reduktion der Schwerebeobachtungen wegen der 
Kondensation« Wie schon bemerkt wurde, genügt die übliche Re- 
duktion aufs Meeresniveau nicht: sie bildet nur einen Teil der auszu- 
führenden Reduktionen. Für sich allein betrachtet erscheint jene Re- 
duktion einerseits nicht konsequent, insofern sie nur Massenunregel- 
mäfeigkeiten über dem Meeresniveau berücksichtigt, dagegen diejenigen 
unterhalb desselben, also insbesondere bei Inseln die Existenz der um- 
gebenden Wassermassen, ignoriert; sie erscheint andererseits in ihrer 
Berechtigung fraglich, weil die Massenunregelmäfsigkeiten vielfach 
gar keinen lokalen Charakter haben, wie insbesondere die allgemeine 
Erhebung der Kontinente übers Meeresniveau. *) Unsere Reduktions- 



*) Stokes giebt in seiner mehrfach erwähnten Abhandlung Or^ the Variation 
of Gravity zunächst an , dafs man au£s Meeresniveau nur nach der Formel 

^(l-J — ^-l reduzieren müsse. Hierzu gelangt er durch die Annnahme, dafs 

man sich die über das Meeresniveau hervortretenden Massen ohne wesentliche 
Änderung der Form der Meeresfiäche auf dieselbe kondensiert denken könne. 
Haben diese Massen aber in der Umgebung des betreffenden Punktes die Form 
einer horizontalen Platte, so ist die Yertikalanziehung vor der Kondensation auf 
jenen Punkt F' annähernd dieselbe, wie nachher auf den dicht über dem Meeres- 
niveau liegenden Punkt Q vertikal unter F, — Weiterhin bemerkt nun Stokes, 



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§ 19. Die Redukidon der Schwerebeobachtungen wegen der Kondensation. 173 

weise hat nun, ganz abgesehen von ihrer früher anderweit begründeten 
Notwendigkeit, den Vorteil, diese Mangel zu beseitigen, dabei aber 
doch die Wirkung wirklich lokaler Massenunregelmsfsigkeiten abzu- 
schwächen, indem dieselben um rund 21*^ nach dem Erdinnern zu 
verschoben werden. 

Bei der Berechnung des Kondensntionse/fekts kann man, was nun- 
mehr zunächst wichtig zu bemerken ist, von der Krümmung der Meeres- 
fläche absehen. Um dieses nachzuweisen, betrachten wir letztere als 
Kugelfläche, indem dies sicherlich einen hohen Grad von Annäherung 
für den vorliegenden Zweck giebt. Auch denken wir uns dabei der 
Einfachheit halber die Massenunregelmäfsigkeiten auf diese Kugel- 
fläche kondensiert und nehmen zunächst die Massendichtigkeit an 
allen Stellen einer den Punkt P' zentrisch umgebenden Scheibe der 
Kugelfläche konstant, etwa gleich Sh, an. 

Ist nun r der Radius der Kugelfläche, r der Abstand des Punktes P' 
vom Zentrum C derselben, ^ der Zentriwinkel am Rande der Scheibe 
in Bezug auf die Linie P'C, so ist mit Rücksicht auf Fig. 13 S. 144 
nach Formel (3) S. 145, wenn @Ä für 0dr geschrieben wird, die 
Anziehung der Scheibe auf P' gleich 

- 2^k^ &h "", (i + r-ij oB^,.. \ . 

*■ \ Vr'^ + r^ — 2rr cosW ) 

Vor der Kondensation können wir für unsern Zweck r ^==: r setzen 
und erhalten als Anziehung: 



27tk^&h 



(l + «in-f)- (1) 



Nach derselben setzen wir in der Parenthese r =^ r — ür. Der Fak- 
tor vor der Parenthese ist nach der Kondensation derselbe wie vor- 
her. Es folgt als Anziehung: 



27ck^ ®h 



2 sin«-- — tt 
1+ ' 



C^) 



Der Effekt der Kondensation ergiebt sich durch Subtraktion von (1) 

dafs allerdings die lokalen Anomalieen von g anf diese Weise erhalten blieben 
and dafs es daher doch besser sei, (wohl insofern g nur in einigen Punkten ge- 
geben ist) nach Young% Regel zu reduzieren. Dafs er aber die Reduktion nach 

(2 f7 \ 
1 -| — ^j für die allein richtige halten würde, wenn g überall gegeben 

wäre, geht daraus hervor, dafs er den Einflufs der Reduktionsgröfsen nach Yaung 
aufs Endresultat für diesen Fall schätzt (nach Formel (10) § 34 dieses Kapitels, 
wobei in dieser Formel für g die Yotm^sche Reduktion zu setzen ist, so dafs 
die rechte Seite dieser Gleichung dann den Fehler in Gbj anzeigt). Nach seiner 
Rechnung ist der Fehler in \^ nur — 0,0000012, also verschwindend. 



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174 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



und (2), wenn wir zugleich für ^ den Näherungsausdruck — nk^S^^R 
einführen, näherungsweise gleich einer Verminderung der Anziehung um 



3 e h 
2 9„B 



^a«+4(l-Ä)8in« — 



1 



28in — 



/ 



W 



^.(3) 



a«+4(l— «)8in«y j 



Dagegen erhält man aus der Formel (2) des § 1 S. 141 unter An- 
nahme einer ebenen Scheibe als Verminderung der Anziehung infolge 
der Kondensation, z = fl/ und a = Wr gesetzt: 



2%k'^eh 



(4) 



oder näherungsweise unter Einführung von g wie oben: 

Es sind nunmehr die Ausdrücke (3) und (5) zu vergleichen. Für 
^ == null giebt in beiden Fällen die geschlungene Parenthese den 
Wert 1 ; bei wachsendem W nimmt die Parenthese in (3) sicher 

zunächst rascher zu als in (5), da 2 sin — < ^ und mithin schon der 

erste Teil der Parenthese (3) gröfser als die Parenthese (5) ist, der 

zweite Teil jener aber positiv bleibt, solange 4sin*~ < Ä, d. h. 

näherungsweise ^< Vi? genommen wird. Durch Probieren findet 
man, dafs beiläufig für W = ü bis 2^ der Überschufs von (3) über 
(5) ein Maximum wird im Betrage von rund 

I A ?- A_iL 

"r" 2 e^iJ 900 ■ 

Um für gröfsere Werte von W als solche von der Ordnung a 
bequemer den Verlauf des Unterschiedes von (3) und (5) zu erkennen, 
wenden wir für die in (3) auftretende Quadratwurzel die Reihenent- 
wicklung nach dem binomischen Satze an, indem wir vorerst schreiben 
1 1 



y 



a«+4(l-ii)8in«-^ 



2 sin 



^/■- 



a + 



4 sin* 



V 



An Stelle von (2) tritt dann der Ansdruck 

I flCOB»— 1 — „„ - 

2 sin - ain* — ^ 



1— ösin«-^ 



und an Stelle von (3) 

2 ©lÄ 



llcos^ 



1 — Sein« 



W 



2 sin 



in — am' -~ 



(2*) 



9. (3*) 



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§ 19. Die Reduktion der Schwerebeobachtuugen wegen der Kondensation. 175 



Diese Entwicklung gilt für 



4 sin» 



W 



ü < 1 , oder abgerundet für 



^>fl. 



Geht man nur bis ^J^«« 1, so kann man in (3*) für sin und cos 
mit Vorteil die Anfange der Reihenentwicklung einführen und erhält 
in ausreichender Annäherung: 

während (5) bei entsprechender Entwicklung Obergeht in: 

ll;i(v-('-|-& + -)i^- m 

Die Differenz der geschlungenen Parenthesen von (6) und (7) ist gleich 



4 W 



24 



aw, 



woraus man erkennt, dafs mit wachsendem W der Unterschied von 
(6) und (7), und somit auch derjenige von (3) und (5), abnimmt, bis 
er bei W = rund V9 verschwindet und weiterhin negativ wird. 

Das Anwachsen des Unterschieds im Negativen findet nahezu 
ohne Aufhören statt bis zum Grenzwert y» = jr. Zunächst bis 9^ = 1 
zeigt dies die Differenz (8). Für grofsere Werte von 'P* kann man 

aber die geschlungene Parenthese in (3*) auf a cos^ — : 2 sin — , die- 
jenige in (5) auf a : ^ abkürzen und bemerkt nun leicht mittelst des 
ersten Differentialquotienten von 



2 






dafs dieser Unterschied im Negativen wächst bis ^ = rund -— 7t und 

von da wieder etwas, jedoch nur wenig, abnimmt. Es wird für 

6 ** 

W== -^7C bis 7t der Überschuß von (3) über (5) rund 

2 Ö^Ä 900 ' 

Nach dem Vorstehenden ist zwischen der sphärischen und ebenen 
Berechnung des Kondensationseffektes einer homogenen Scheibe ein 
Unterschied, der mit wachsendem Radius der Scheibe erst wächst 
bis zu einem positiven Maximum, daun im wesentlichen abnimmt bis 
zu einem negativen Maximum. Der grofste Unterschied entspricht 
also einer ringförmigen homogenen Scheibe, deren innerer und äufserer 



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176 3* Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaü. 

Radius etwa deu Zentriwinkeln ^^ = a und n zukommen. Denkt 
man sich innerhalb des ersteren Radius die Dichtigkeit und also das 
Produkt &h bei gleichem absoluten Werte von entgegengesetztem 
Vorzeichen wie aufserhalb^ so addieren sich die Berechnungsunter- 
schiede zu 

i A A „iL 
2" e^ B 300 * 

Setzen wir Sh : &^R= Vsooo? ^^ innerhalb des Zentriwinkels 
^P" «= a bei S = 2,8 einem Gebirge von 4*'" Höhe, aufserhalb bei 
z=2 1,8, als Differenz von 2,8 und 1, einem 6**" tiefen Ocean ent- 
spricht, so ist dieser maximale Berechnungsfehler Voooooo ^^" ff- Aber 
es dürfte ein solcher Betrag in praktischen Fällen nie eintreten. 

Bei vorstehender Untersuchung wurde nun allerdings alle Masse 
in einer Niveaufläche mit dem angezogenen Punkt vorausgesetzt. 
Man erkennt aber ohne Schwierigkeit, dafs die Berücksichtigung der 
speziellen Terrainform zu keinem wesentlich anderen Maximalfehler 
führen kann, indem die Kondensation aufs Niveau des angezogenen 
Punktes zwischen ebener und sphärischer Rechnung Unterschiede der- 
selben Art giebt, wie sie oben betrachtet wurden. Nur sind sie nume- 
risch geringfügiger und selbst fürs Himalaya-Gebirge nicht erheblich. 

§ 20. Fortsetzung: Die Ausführung der Reduktion für die 
Kondensation beginnt mit der Vervollständigung der üblichen Re- 
duktion auf das Meeresniveau wegen der dabei vernachlässigten Un- 
gleichmäfsigkeiten in der Dichtigkeit der Massen unterhalb desselben. 
Es kommen wieder die Formeln des § 18 S. 169 u. flF. zur An- 
wendung: 

Im Grundrifs denken wir uns eine Zerlegung nach konzentrischen 
Kreisen, wie Fig. 23 S. 169 sie andeutet; im Ringe Oi bis at^i sei 

, zwischen zwei benachbarten 

[ I "^;^^;^7^ Radien der n. Teil der Peri- 

,1 I r»,..-, ^y//^ H pherie enthalten. Ist nun in 

£7;- e-^:^±^ Vif ~^^^/ iif einer solchen Abteilung von 

"^^-rr^^^///?/ ; der Meeresfläche bis zur Tiefe 

|< ay .jj ^ jjg Dichtigkeit gleich an- 

_..| ^y _>; g^^^ 2,8 = 4- ®m, der Dichtig. 

7^-*| Ja keit der nach S. 162 § 15 

I ; nicht zu berücksichtigenden 

i I homogenen Schale zwischen 

• i Meeres- und Kondensations- 

IÜ>n4tnsaiumsfU^u, 1 g^^^e, so wird die Verbesse- 

Fig. 26. 

rung des wie üblich, insbeson- 
dere nach § 18 reduzierten g wegen dieser Abteilung mit Rücksicht 
auf Formel (7) S. 171 gleich 



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§ 20. Fortsetzung: Die Ausführung der Reduktion für die Kondensation. 177 



worin Srn = 5>6 die mittlere Dichtigkeit der Erde ist, R deren mitt- 
leren Radius bezeichnet und d@ durch die nachfolgende Gleichung 
definiert wird: 

J® = S — 2fi. (2) 

Für Werte von ai> b{H + i) genügt anstatt (1) die Näherungs- 
formel, vergL(7*) S. 171: 

Die Formel (1) bezw. (1*) ist mit =^ 1 unmittelbar für alle 
Abteilungen eines Meeresbeckens anwendbar, das sich in der Umgebung 
des Beobachtungsortes P' befindet, vergl. Fig. 26. Wie sie anzuwenden 
ist, wenn die Dichtigkeit einer Abteilung bis zur Tiefe t = iiR = 
rund 21*^ Änderungen erleidet, bedarf keiner Ausführung. Wohl aber 
ist noch darauf hinzuweisen, dafs in (2) anstatt 2,8 auch irgend eine 
andere normale Dichtigkeit 0q eingeführt werden darf, was von Vor- 
teil wird, wenn dies für viele Abteilungen die Reduktion zu null 
macht — überhaupt also die Rechnung erleichtert — nur mufs man 
sich dessen erinnern, wenn später die Anziehung der kondensierten 
Massen auf Q ermittelt wird. 

Nachdem in der angegebenen Weise der erste Teil der Reduktion 
ausgeführt worden ist, kommt als zweiter Teil an die Reihe die Be- 
rechnung der Anziehung der kondensierten Massen auf Q, Diese An- 
ziehung ist dem bisher reduzierten Werte der Beschleunigung g hin- 
zuzufügen. Ihre Berechnung vereinfacht sich dadurch, dafs jetzt alle 
Massen in einer Ebene im Abstände aB = rund 21**" von Q liegend 
gedacht werden. 

Im Grundrifs nehmen wir die Zerlegung wie früher. Als Dichtig- 
keit in einer Abteilung ist, insoweit die Massen über dem Meeresniveau 
in betracht kommen, das Produkt @ . h aus deren konstaut gedachter 
Dichtigkeit und der Meereshohe des Terrains einzuführen, wozu noch 
das Produkt ^J® . / hinzutritt, wenn unier dem Meeresniveau die Dichtig- 
keit bis zur Tiefe t von der normalen Dichtigkeit 2,8 bezw. ®q um 
^0 = — 2,8 bezw. — ©0 abweicht. Wie der Ausdruck für die 
Dichtigkeit bei mehrfacher Schichtung zu bilden ist, geht hieraus 
deutlich genug hervor. Bleiben wir also bei dem einfachen Ausdruck 
. Ä + z/0 . ^ stehen, so wird die vertikale Komponente der An- 
ziehung der betreifenden Abteilung mit Rücksicht auf Formel (2) § 1 
S. 141, in welcher für ®dz jetzt . ä + ^® . / zu substituieren ist, 
wenn wir auch sofort g mit Hilfe des mehrfach benutzten Näherungs- 
ausdruckes einführen, gleich 

Helmert, maUiem. o. phytikal. Theorieen der höh. Geodäsie. II. 12 



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] 78 8. Kapitel. Die Schwerkraft im MeereBnivean. 

, an e.h+d0. t / 1 J \ /a. 

Diese Formel kann für a^ > 150*^ ohne merklichen Fehler auf 

abgekürzt werden. In diesen Formeln kann man genau genug 

H = J-- und 112^2 ^ 450 Quadr.-Kilom. 
setzen. 

In Bezug auf die maximale Distanz üi , bis zu welcher man vor- 
stehende Formeln anzuwenden hat^ wird man leicht bemerken, dafs 
erheblich weiter zu gehen ist, als bei der üblichen Reduktion aufs 
Meeresniveau. Wenn der Ocean mit in betracht kommt, wird man 
die Rechnung bis mindestens 1000^ Distanz auszudehnen haben, 
wie die Formeln (1*) und (3*) zeigen. Eine grofse Schwierigkeit er- 
wächst jedoch aus dieser weiten Ausdehnung des Berechnungsbezirks 
deshalb nicht, weil nur für Distanzen von der Ordnung üB die Be- 
rechnung eine scharfe zu sein braucht und also nur für diese Distanzen 
die Berechnungselemente genau ermittelt werden müssen. Die ge- 
nannten Formeln zeigen nämlich, dafs bei arithmetischer Progression 
der a die Einflüsse der aufeinanderfolgenden Ringe annähernd mit 
dem umgekehrten Quadrate der Entfernung sich ändern. 

Der Vollständigkeit halber erwähnen wir hier noch Folgendes: 
Bei der vorstehend auseinandergesetzten Reduktionsrechnung wird die 
Anziehung der Massen über der Eondensatiousfläche vor der Kon- 
densation von der Schwerkraft abgezogen und nach der Kondensation 
wieder addiert. Die erstere Anziehung wird auf P\ die letztere auf Q 
bezogen. Ein Teil der Reduktion rührt somit von der Ortsverftnderung 
her. Auf die Ortsveränderung bezieht sich aber auch das Reduktions- 

2 IT 

glied -w-ff) vergl. S. 169 § 18 (1), wobei die ganze Erdmasse berück- 
sichtigt ist, insoweit sie nach aufsen wie eine homogen geschichtete 
Kugel anziehend wirkt. Damit nun für die Massen aufserhalb der 
Kondensationsfläche die Reduktion wegen der Ortsveränderung nicht 
zweimal angebracht wird, mufe bei der Kondensation von diesen 
Massen eine gewisse, homogene Schale ausgeschlossen werden, deren 

Anziehungsunterschied auf P' und Q schon in dem Gliede ^^9 ent- 
halten ist. Die Dichtigkeit dieser Schale würde für S^ einzuführen 
sein, wenn nicht der Umstand dieses unnötig machte^ dafs infolge 
der Vernachlässigung der Krümmung der Meeresfläche bei der Konden- 
sation für eine homogene Schale der Anziehungsunterschied auf P' 
und verschwindend klein wird. Folglich ist @o, wie bisher ange- 
nommen, auch in dieser Hinsicht beliebig. 



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§ 21. KondensationB-Redaktion für eine Inselstation. 179 

§ 21. Kondensations-Beduktion für eine Inselstation. Bei 

der im vorigen Paragraphen angegebenen Vervollständigung der üb- 
lichen Reduktion aufs Meeresniveau v^ird man sich aus praktischen 
Gründen auf die Berücksichtigung der stärksten bekannten Unregel- 
mäfsigkeiten in der Dichtigkeit der Erdkruste beschränken müssen. 
Ganz besonders wird man den Einflufs der Oceane aufzusuchen 
haben. 

Wir wollen hier und im nächsten Paragraphen eine Näherungs- 
formel für kleine Inseln und für Küsten aufstellen, wobei wir an- 
nehmen, dafs der Beobachtungsort im Meeresniveau liegt. Weiterhin 
werden wir dann noch einen einfachen Fall für Gebirgsstationen be- 
trachten. 



Flg. 27. 

Die Insel denken wir uns als geraden Kreiskegel von der Dich- 
tigkeit ^, den Ocean mit dem Radius a kreisförmig, konzentrisch 
zur Station P^ auf der Inselspitze, begrenzt, Fig. 27. Als normale 

Dichtigkeit der Erdkruste nehmen wir —0^5= 2,8 . 

Um nun auf diejenige Anziehung zu kommen, welche P' erleiden 
würde, wenn Ocean und Insel die Dichtigkeit 2,8 hätten, müssen wir 
erstens subtrahieren die Anziehung des Inselkegels mit der Dichtig- 
keit (ß — 1) und zweitens addieren die Anziehung eines geraden 
Kreiscylinders von der Tiefe und äufseren Begrenzung des Oceans 
bei der Dichtigkeit 1,8. Um sodann die Kondensation zum Ausdruck 
zu bringen, ist die Anziehung der ersteren Masse zu addieren, dl^ 
zweiten zu subtrahieren, nachdem diese Massen auf die Kondensations- 
fiäche verschoben gedacht worden sind. 

Nach 8. 142 § 2 (4) ist die negative Anziehung des Inselkegels 
auf seine Spitze P' in dem Falle, dafs {® — 1) die Dichtigkeit ist, gleich 

— 2;rF . (Ö — 1) h (1 — sinv) . (1) 

Nach Formel (2) am gleichen Orte ist die positive Anziehung 
eines geraden Kreiscylinders von der Hohe h^ dem Radius a und der 
Dichte 1,8 auf die Mitte P' seiner oberen Fläche gleich 



+ 2nk^ . 1,8 (Ä + fl - Va-^ + h^) 
oder angenähert: 

-f 2;r^M,8Ä(l-^+ ...). (2) 

12 • 



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180 3- Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Um die positive Anziehung des Inselkegels nach der Kondensation 
zu erhalten^ zerlegen v^ir denselben in scheibenförmige Elemente vom 
Radius y und der Dicke dz^ und kondensieren diese Elemente einzeln. 
Für das einzelne kondensierte Element ist nach S. 141 § 1 (2) die 
Vertikalanziehung gleich 






Dies ist zu integrieren von y gleich null bis h coti/ . Rechnen 
wir z von P' bis zur Anfangslage des Elements, so wird z = ytanv 
und dz = tani/ . dy ; die positive Anziehung des kondensierten Insel- 
kegels wird daher 

Aooty 

+ 2«*^ . (®- 1) tan.y'(l - y-^l^i) äy 

U 

oder gleich 

Die negative Anziehung des kondensierten Cylinders wird nach 
S. 141 § 1 (2) gleich 

- 2%k'' . 1,8ä (l -- --J^^\ 
oder angenähert: 

-2«A:*.1,8a(1--?^ + ...). (4) 

Die Verbesserung der beobachteten Beschleunigung g ergiebt 
sich hiermit, wenn noch zur Reduktion auf Bruchteile von g der 

Näherungswert -- äA:* ö'mÄ mit ®,„ — a 5,6 angewandt wird: 



2 5,6 22 



«Ä tanv , . 7t + ]K7i« + ««jR« tan«v 

1,8 «^-l'^ ^ 



(5) 



Dieselbe ist in der Regel negativ, denn nach § 11 S. 155 schneidet 
die Insel gerade diejenigen Massendefekte aus, welche bei der Kon- 
densation eine Vermehrung der Anziehung geben würden — aller- 
dings unter der Voraussetzung, dafs nicht die Dichtigkeit der Insel 
abnorm klein und ihr Boschungsvnnkel vielleicht au&erdem abnorm 
grofs ist. Bei der Beurteilung des letzten Gliedes ist übrigens immer 
zu beachten, dafs der Minimalwert von a gleich h : tan v ist, mithin 
dieses Glied den Betrag von 

9—\ Jicoiv 



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§ 22. EüstenatatiOD. ]8] 

keinesfalls überschreiten kann. Aber im offenen Ocean tritt der Be- 
trag dieses Gliedes ganz zurück, so dafs man es bei einer Schätzung 
vernachlässigen wird. Auch das Glied sini/ in der Parenthese (5) 
kann man in der Regel seiner relativ geringen Grofse halber ver- 
nachlässigen. 

Als Näherungsformel für Inseln im offenen Ocean (bis 100 Meilen 
Abstand von Kontinenten) hat man damit 

^ 9^ 1 _Ä lognat (n + Yn^ + l) 

2 6,6 JB n ^ 

für (6) 

n >= h coiv : üR . 

Hiernach ergiebt sich z. B. für @ = 2,8, h = 3500^« und cotv = 30 
die Reduktion gleich nmd — g : 8000 . 

§ 22. Kfistenstation. Wir denken uns die Küste von oben 
gesehen geradlinig durch P' hindurch begrenzt, den Abfall des Fest- 
landes unter dem Winkel v bis zur Tiefe h: Fig. 28. Quer zur Längs- 
richtung der Küste denken 
wir uns femer Kontinent 
und Meer sehr breit. Dann 




kommt bei der Kondensation 
nur ein Abschnitt des Fest- 
landes von der Form eines JKoiidensatiön^fläjöhc' 
geraden Prismas mit dem wg. 28. 
Querschnitt AB P' in betracht. Denn wäre auch dieses Prisma mit 
Wasser erfüllt, so würde der Kondensationseffekt gleich null sein, 
weil er nach 8. 142 § 1 nicht nur null ist für jede weit ausgedehnte 
Scheibe, sondern zufolge der Symmetrie auch für jede durch einen 
Vertikalschnitt durch P' gebildete Hälfte einer solchen. 

Das Prisma zerlegen wir der Länge nach in Elemente vom 
Querschnitt dq . Hat ein solches von P' den kürzesten Abstand r, 
welcher im Querprofil, Fig. 28, gemessen wird, so ist die Anziehung 
des Elements in Richtung r abzüglich der des Wassers gleich 



^N r r dq dx 



k^{&-l) 



wenn die konstante Dichtigkeit des Prismas ist und x einen Ab- 
stand vom Querprofil in der Längsrichtung bezeichnet, der von — Z 
bis -f- -^ variiert. Nach bekannten Grundformeln ist diese Anziehung 
gleich 



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132 ^» Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

d. i. in allen hier in betracht kommenden Fallen^ bei denen die Küsten- 
länge L beiderseits von P eine bedeutende sein wird, ausreichend 
genau gleich 

2^^(0-1)^/. (1*) 

Hiervon kommt gegenwärtig die vertikale Komponente in be- 
tracht, die durch Multiplikation von (1*) mit cosg? , 9 der Winkel 
zwischen r und der Vertikalen, hervorgeht. Setzen wir dq =^rdg> ,dr, 
80 wird die Vertikalanziehuug des Prismas auf P' gleich 

2A-2 (0 — 1)/ /cosg> d(p dr d. i. 2k^ (®— 1) frcosg) dtp 

oder, weil r'cosqp = h ist, gleich 

2k^{&-^\)h(^ - v). (2) 

Diese Anziehung ist von der in P' beobachteten Beschleunigung 
abzuziehen. Nach erfolgter Kondensation denken wir uus alle Ele- 
mente, welche in derselben Vertikalen im Abstand y von M liegen, 
vereinigt. In Formel (1*) tritt dann an Stelle von r die l/a'^B'^ + y^ 
und an Stelle von dq das Produkt {h — y tani/) dy , da Ä — y tsrnv 
die Höhe des Prismenprofils im Abstand y ist. Die vertikale Kom- 
ponente wird daher gleich 

h ooty 

U 

Das unbestimmte Integral ist 

h arc tau - ^ — y IIÄ tan v lognat {ti^JP + t/^) + ^onsf. 

Beachtet man, dafe arc tan w = ^ — arc cot w = ^ — arc tau — ge- 
setzt werden kann, so findet man nun ohne Schwierigkeit als Vertikal- 
anziehung nach der Kondensation: 

2.U®-1)a1 :--arcten?L^-^'-»-«f-lognat^^'5^ .(3) 

Zieht man hiervon (2) ab, so folgt als Reduktion wegen der 
Kondensation für das beobachtete g uuter üblicher Einführung des 
Näherungswertes für ^: 

- Ä- -öx'" 5- ( l '«8°** ^"^+^ + *''«**° i-'']ff 

mit (4) 

n ^=^ h cotv : üB - 



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§ 28. GebirgsstatioD. 



183 



Vernachlässigen wir das meist unbedeutende i/;80 läfst sich (4) mit 
dem entsprechenden Ausdruck (6) für eine Inselstation leicht ver- 
gleichen, und man erkennt^ dafs (4) ungefähr V3 von jenem Ausdruck 
(6) unter sonst gleichen Verhältnissen ist. Da aber die Küsten der 
Kontinente durchschnittlich langsamer abfallen als diejenigen der 
kleinen Inseln der Oceane, so wipd der Bruchteil noch kleiner. 

Für die Werte h = 3500"» , cotv = 48 und ® = 2,8 folgt die 
Korrektion gleich rund — g : 30000 . 

§ 23. Gebirgsstation. Die übliche Reduktion befreit die beob- 
achtete Beschleunigung zwar mehr oder weniger richtig von der An- 
ziehung der Massen, welche sich über die Meeresfläche erheben, 
unterläist aber völlig die Berücksichtigung der Anziehung der kon- 
densierten Gebirgsmasse. Diese kann bei ausgedehnten Gebirgsmassen 
bedeutend werden. Als Beispiel betrachten wir einen im Verhältnis 
zur Breite sehr langen Gebirgsrücken mit dem Querprofil ABC^ 
einem gleichschenkeligen Dreieck. 




Mondensationsfläcfie' 

Fig. 29. 

Vor der Kondensation ist die vertikale Anziehung auf einen im 
mittleren Querprofil liegenden Punkt P, Fig. 29, durch den Ausdruck 



2A-' % r /cos (y + V — 9>) </g> dr 



0) 



gegeben, den man mit Rücksicht auf die veränderte Bedeutung von 
fp aus dem vorigen Paragraphen, Formel (1'") und folgende Zeilen, 
leicht entnimmt. Die Integration nach r ergiebt r\ den Radiusvektor 
des Contours CB A in der durch 9 bezeichneten Richtung. 

Wenn der Endpunkt von r auf CB liegt, d. h. qp sich zwischen 
null und 1/ + V' befindet, so ist 



r = PC . 



8m2y 



2(1^0--^ CO8V 



(2) 



sin (2v — qp) sin (2 v — 9) 

Liegt dagegen der Endpunkt von r auf BA^ d. h. 9 zwischen v -f- ^ 
und 3r, so ist 

r cos (-— -|- 1; — qp j == ^ . (3) 



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184 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Hiermit giebt (1): 

9 + yf n. 

oder unter Ausführung des zweiten Integrals und mit Einführung 
von qp' = 2i/ — g> im ersten Integral: 

2k^& [ff{x - t, « V') ~ 2(^0 - ^/) <^<>«^/--fc^^9>'l . 

Durch Auflösung von sin (g>' — v) folgt ohne Schwierigkeit : 
2^^@{^(Ä~i;-^)-2(^o-^)cosi;[(i/+V')cosi/~8ini/lognat^^^^^ 

Führen wir endlich .noch den mehrfach benutzten Näherungs- 
wert von g ein, so geht der vorstehende Ausdruck für die Vertikal - 
anziehung des Gebirgsrückens auf P^ über in: 

IpII0-^*)-"-^^[2^'»''''-=^'<«'"''a.';;--*]|'-w 

Die Formel zur Reduktion auf das Meeresniveau für horizontales 
Terrain berücksichtigt von der geschlungenen Parenthese nur das 
Hauptglied ff : B] doch ist der Fehler, da man jene Formel eben nur 
bei kleinen Werten von v anwenden und sonst strenger reduzieren 
wird^ jedenfalls gering. Um dieses bei dem mit dem lognat behafte- 
ten Gliede einzusehen, beachten wir, dafs nach Fig. 29 

8in2y_ J^^_ ^^_' ^}P^ 

sia(v — -V) "" ^0~ ^ H^-H 

ist und erhalten: 

Hq — H sin 2v , . sin 2v 

- T ^- ■'«»'' m.(.-») - (6) 

t-"^ ■ -"-^ ('»«■»' ^£" + 1»«"' Ti? «)• 

Da Hq — H und P'B mit wachsendem ff abnehmen, falls nur das 
Profil ACB bei C stumpf ist, was hier lediglich in betracht kommt, 
so hat der mit dem ersten Logarithmus gebildete Teil vorstehenden 
Ausdrucks sein Maximum bei ff gleich null; dasselbe ist gleich 

Da ferner allgemein ulognatt/ für u b= null und eins gleich null ist, für 

t/ =» — , wo e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet, aber 

ein negatives Maximum hat, so erhält der mit dem zweiten Logarith- 
mus gebildete Teil von (6) den Wert null für // = ff^ und für ff gleich 



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§ 28. Gebirgsstation. 185 

null, einen Maximalwert aber für H^^ : {H^ — ^) = ^ =« 2,7 . . . . 
Dieses Maximum ist rund gleich 

Nachdem hiermit bewiesen worden, dafs man, wie oben bemerkt, 
in (5) die geschlungene Parenthese durch H i R bis auf meist uner- 
hebliche Glieder der Ordnung H^smv i R ersetzen kann, gehen wir 
zur Ableitung einer Formel für die vertikale Komponente der An- 
ziehung des Gebirgsrückens nach seiner Kondensation über. 

Legen wir in den Abstanden y und y -]- dy von P'QM, Fig. 29, 
parallele Vertikalebenen in die Längsrichtung des Prismas, so giebt 
die Kondensation der Masse des Prismenstreifens zwischen diesen 
beiden Ebenen in Bezug auf als vertikale Komponente der An- 
ziehung mit Rücksicht auf S. 182 (1*): 

2fc'e^f+ff^äy (9) 

falls die Schnittebenen zwischen A und C zu liegen kommen. Liegen 
dagegen die Schnittebenen zwischen C und B, so lautet der ent- 
sprechende Ausdruck: 

2k^0'ß^'^;r^^y^^äv. (10) 

Die gesamte Vertikalanziehung folgt aus (9) und (10) durch In- 
tegration nach y von y «=» — // cot v bis y = {H^ — H) cotv bezw. 
von hier bis y = (2^7^ — H) cotv. Es ergiebt sich ohne Schwierig, 
keit unter Einführung des Näherungswertes von y: 



I 3_ G JBq 

"^ 2« 5,6 It 



— arctann+-^^— ^arctan(2no — n)— 2^*^— ^arctan («0 — n) 



+ i:log.,.t . '^-'TA L 



Wo ö K(n« + l)([2no~n]* + l) 

worin gesetzt ist * 

n = H cotr : üR . 

Der Ausdruck (11) stellt die positive Korrektion des wie üblich, 
und zwar streng, aufs Meeresniveau reduzierten Beobachtungswertes 
von y dar. Dieselbe nimmt jedenfalls von oben nach unten ab. 

Das Maximum bei n '^ Hq^ wo P' sich auf dem Kamm des Ge- 
birgsrückens befindet, wird gleich: 

+ Ä-^§l2"«ta"«.-^log'^aH«,'+l))i'- (12) 

Dagegen ist das Minimum bei n = null, d. h. P' am Fufse des 
Gebirgsrückens, gleich: 



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186 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



+ ÄÄfl.>'°'°"'"^+''. 1^- 03) 



3 9 Ho] — lognat- 

1+ 2 arctan 2n^, — 2 arctan Wq; 



Wenn, wie in der Regel bei gröfseren Erhebungen, n^ die Ein- 
heit übersteigt, so erscheint es vorteilhaft, in (12) und (13) von der 

Relation arc tan u + arc tan — = -^ Gebrauch zu machen. Diese 

Formeln gehen alsdann über in folgende: 

und 

+ /-Ä-?^(-lög^at-**^'t4:. + 2arctau-^--2arctan-^U.( 

Daraus ist ersichtlich, dafs selbst dann, wenn P' am Fufse eines 
grofsen Gebirgsrückens liegt, die Vertikalanziehung nach der Kon- 
densation erheblich ausfallt. 

Für ^0=5000'», 0=2,8, coti;=60 und n^^H, welche Werte 
in roher Annäherung dem Himalaya entsprechen, ist die Korrektion 
des wie üblich reduzierten g rund gleich: 

im Maximum (Kamm) -|- g : 2050 
im Minimum (Fufs) -f g : 22000 . 

Im ersten Falle beträgt sie nahezu soviel, als bei der Reduktion 
auf den Meeresspiegel für Lokalanziehung subtrahiert worden ist, 
d. i. nach Formel (5), in welcher ^ = v, H = H^ zu setzen ist, 
— g : 1700, sodafs die totale Reduktion sich auf — g : 10000 stellt. 

§24. Hilfssatz: Für ein homogenes Sphäroid, welches von 
einem sehwach abgeplatteten Botationsellipsoid nur wenig ab- 
weicht, ist es erlaubt, die Entwicklung des Potentials aufser- 
halb nach negativen Potenzen des Radiusvektors für die prak- 
tischen Zwecke als bis zur Oberfläche konvergent zu betrachten. 

In § 15 S. 163 wurde die Gültigkeit vorstehenden Satzes ange- 
nommen, um die Zulässigkeit des nachfolgend entwickelten Konden- 
sationsverfahrens darzuthun. Es ist jetzt der Beweis des Satzes zu 
liefern, um uns direkt auf die irdischen Verhältnisse zu beziehen, 
denken wir uns zu dem homogenen Sphäroid von der Dichtet innerhalb 
der konzentrisch zum Schwerpunkt eingeschriebenen Kugel noch solche 
Massen in Form von konzentrischen Kugelschalen beigefügt, dafs die 
mittlere Dichte ©^ = 5,6 herauskommt. Für & setzen wir schliefs- 
lieh 2,8. Das Sphäroid soll vom Rotationsellipsoid so abweichen, 
wie das Geoid vom Erdellipsoid. Die Abweichungen sind charakteri- 
siert durch die maximale normale Erhebung und Senkung .und die 
LotabweichuDg, Wir nehmen an, dafs die in § 15 S. 163 angedeu- 



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§ 24. Hilfssatz ftir das Potential eines Sphäroids. 187 

teten Untersuchungen den Betrag der ersteren auf ^ 500"», der 
letzteren auf < 1,5' festgestellt haben. Für die Zwecke der Unter- 
suchung reicht es aber aus, der Wellenform die Ejreiskegelform zu 
substituieren, welche eher ungünstiger als günstiger wie jene ist. 
Als Maximum der Höhe eines Kreiskegels setzen wir 1000*" an, als 
konstantes Gefälle seiner Seitenfläche 1 : 5000, entsprechend einer 
durchschnittlichen Lotablenkung von 74 • 

Wir betrachten zunächst einen Kegel, welcher auf das EUipsoid 
aufgesetzt ist und untersuchen, wie sich für einen Punkt P' seiner 
Oberfläche Potential und Schwerkraft ändern, wenn wir denselben 
auf eine Parallelfläche zur Ellipsoidfläche im Abstand iti^'nach innen 
kondensieren. Zur Veranschaulichung der Situation kann Fig. 29 
S. 183 dienen, AB als Ellipsoidfläche gedacht. 

Vor der Kondensation hat man als Vertikalanziehung des Kegels 
sehr nahe, wenn N die Höhe von P' über dem Ellipsoid bezeichnet : 

indem hier die Formel (3) § 16 S. 164 für eine horizontale Platte 
zur Anwendung gelangen darf, wie bei dem geringen Gefälle der 
Seitenflächen ohne weiteres klar ist, aber auch durch die Ungleich- 
ung (5) S. 168 verifiziert werden kann, wenn man darin Im Maximum 
Ä, = Ä2 = '^ = 1000"», Ä : flf = 1 : 5000 setzt. 

Um die Anziehung nach erfolgter Kondensation auf bekannte 
Formeln zurückzuführen, substituieren wir ein Mal dem Kegel ein 
unendlich langes Prisma von dem Querschnitt, wie ihn Fig. 29 zeigt, 
ein zweites Mal einen Kegel, dessen Spitze P' und dessen Höhe gleich 
N ist, bei demselben Gefälle des Mantels wie für den grofsen Kegel. 
Offenbar erhalten wir so zwei Grenzwerte, die den richtigen Wert 
zwischen sich enthalten. 

Für den Fall der Substitution des Prismas folgt nach Formel (11) 
S. 185 als Anziehung nach der Kondensation: 



'6^ e No 
2n 6,6 JB 



— arctan n ^ — ^ — - arctan (2wjj--n)— 2^ ~- arc tan («o— n) 



+ ^lognat^ K-n)V+i 



9,{^) 



n., ö K(n«+l)([2no-n)« + lj 

worin gesetzt ist: 

^o = ^o-ÄÄtani; 

n = N lÄÄtanv, ^ ^ 

wenn Nq die Höhe des ganzen Kegels und tan v das Gefalle seines 
Mantels bezeichnet. Eigentlich ist ai2 um ^ zu vergröfsern, da der 
angezogene Punkt bei der Kondensation nicht von P' nach Q ver- 
schoben wird, sondern in unveränderter Lage bleibt; aber für vor- 
liegende Schätzung genügt ViR auch. 



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188 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Wird der kleine Kegel substituiert, so ist nach S. 180 § 21 (3), 
wenn daselbst ® für Q — 1 gesetzt und g eingeführt wird, die ÄnziehuDg: 

ih F(l-4»«8"«H« + ^^Mn])^. (4) 

Um vorstehende Ausdrücke zu deuten, mu& man beachten, 
dafs für die in betracht kommenden Werte aÄ = 21000"* und 
tan 1/ < 1 : 5000 die Hilfsgröfsen Wq und n die Einheit sicher über- 
schreiten, wenn N^ und N grö&er als 4,2"» werden. 

Schliefsen wir nun zunächst Fälle aus, wo N^, N oder auch N^ — N 
kleiner als 17"* ist, so wird n^ sowohl wie n und n^ — n grofser als 4. 
Dies findet statt bei Wellen gröfserer Erhebung für alle Lagen von 
P\ welche nicht sehr nahe am Fufse oder an der Kuppe sich be- 
finden. In Formel (2) kann man nun, weil n, 2/1^ — n und tIq — n 
grofse Zahlen bezeichnen, von nachstehender, für grofse u vorteil- 
haften Relation Gebrauch machen: 

arctan ti = -^ — arctan — = ^ [- -— — — . . . . 

Die Glieder in (2) mit 3ti^ im Nenner fürM = n, 2no — n und no — n 
können aber wegbleiben, da sie weniger als 1 Milliontel g geben. 
Aufserdem heben sich die Glieder 1 : u für die 3 Werte von u zusam- 
mengenommen auf, und es bleibt für (2) nach naheliegender Reduktion: 

(1 .® ^ + i. -^ « tanv.-Llognat X««-- »O'+J l (5) 

Ip 6,6 B ^ 2 6,6»"*"'' »'"»'"' V(„r^r-iy(p,i,;^r„7r^rT)l''' ^ 

während (4) in entsprechender Schreibweise lautet: 

(y ^ X - I ^ «*^»' • 1«»°** C« + /^HT]) 9. (6) 

Die Vergleichung von (1) mit den Grenzwerten (5) und (6) zeigt, 
dafs die zweiten Teile der letzteren Ausdrücke Grenzwerte der Än- 
derung der Schwerkraft in P' infolge der Kondensation der kegel- 
förmigen Erhebung bezeichnen. Diese Änderung ist aber für jede 
Lage von P' unerheblich. Setzt man zum Zwecke des Nachweises 
im zweiten Teile von (5) n^ — n '^^ u und führt anstatt n überall u 
ein, so wird der mit n veränderliche Faktor 

^ Vif^ 1) (l2no - ny + 1) "^ V{[n, + u]« + 1) ([np - u]^ + 1) 

Die Differentiation nach u giebt den Differentialquotienten des 
letzten Ausdrucks gleich 

2no«u (np« + 3 - u«) 



(u«+ 1) {[no+u]^ + l) {[n. - ^]* + 1) ' 

welcher f ür t/ = null bis Hq stets positiv ist. Hiernach genügt es, 
die äufsersten in betracht kommenden Werte von u ins Auge zu 



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§ 24. Hilfssatz für das Potential eines Sphäroids. 189 

fassen. Als solche nehmen wir null und Hq, da die Bedingung %, 
n und Hq — n > 4 sich nicht auf den zweiten Teil von (5) bezieht. 
Für u = null ist n =» Uq und der in (5) auftretende lognat gleich 
— lognat (hq^ + 1); für u =^ n^ ist n = null und derselbe log nat 

gleich lognat (n^^ + 1) — - y lognat (in^^ +1)« ^^r Wert des zweiten 

Teils von (5) liegt also für =» 2,8, tan i; = 1 : 5000 und iV = lOOC)»» 
mit Hq = 240 zwischen rund 

Der zweite Teil von (6) wird am gröfsten für n=nQ, und zwar ist sein 
Wert unter denselben Voraussetzungen wie vorher alsdann gleich rund 

""äööööö^' ^^) 

Da nun für kleinere Werte von v und N die entsprechenden 
Werte der zweiten Glieder in (5) und (6) noch kleiner sind, so er- 
kennt man, dafs für alle Lagen von P' auf der Seitenfläche einer 
kegelförmigen Erhebung, welche in Höhe von Fufs oder Kuppe um mehr 
als 17"* abstehen, die Kondensation nur einen unerheblichen Effekt auf 
die Schwerkraft hat. Dasselbe gilt aber auch für Lagen von P' bis zum 
Fufse und zur Kuppe; wenn dieses noch eines Beweises bedürfte, so 
würde es ausreichen für den Fufs und die Kuppe die Gültigkeit zu 
zeigen, was wir aber unterlassen können. 

Vorstehendes läfst die Unerheblichkeit des Kondensationseffekts 
einer kegelförmigen bezw. wellenförmigen Erhebung der eingangs 
angegebenen Art auf die Gröfse der Schwerkraft für Punkte in der 
Nähe der Sphäroidoberfläche deutlich erkennen. 

Für das Potential bedarf es keiner längeren Rechnung; hier 
können wir sogleich an die Ergebnisse in § 7 S. 149, insbesondere 
an Formel (4) S. 151 anschliefsen. Dieselbe giebt die Änderung 
des Potentials, welche durch Kondensation einer homogenen, un- 
endlich dünnen Scheibe der Kugelfläche .vom Radius r auf die Kugel- 
fläche vom Radius r^ entsteht, wobei die Ausdehnung der Platte so 
genommen ist, dafs der Kondensationseffekt ein Maximum wird. Be- 
trachten wir nun das dem Sphäroid zu gründe liegende Ellipsoid 
als Kugel, was für den Zweck der Ermittelung des Kondensations- 
effektes ausreicht, und umschliefsen wir diese Kugeloberfläche konzen? 
trisch durch eine zweite auf serhalb im Abstand von 500"», so ent- 
halten beide alle zu kondensierenden, wellenförmigen Erhebungen 
zwischen sich, und die erwähnte Formel (4) stellt den überhaupt 
möglichen maximalen Betrag des Effektes dar, wenn für r — r,- ge- 
setzt wird üB und für dr der Betrag von 500"». Das kleine Glied 
Er : r in (4) dürfen wir vernachlässigen. Es folgt 

2;tF®ÄÄ.500, 



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190 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresnivean. 

woraus nach Bruns' Theorem S. 148 durch Division mit g «= ■^xk^&mR 
als maximale Verschiebung der Flächen konstanten Potentials in der 
Nähe der Oberfläche sich rund ^4*" ergeben. Diese Verschiebung ent- 
spricht einem Fehler in dem Betrage der Schwerkraft aufserhalb von 
etwa V'^500000 desselben; sie ist also ganz unerheblich. 

Bisher wurden nur Erhebungen über das Ellipsoid betrachtet. 
Dafs Senkungen kein wesentlich verschiedenes Resultat geben werden, 
ist unmittelbar klar. Es bleibt nur das eine Bedenken, ob die Ent- 
wicklung nach negativen Potenzen des Radiusvektors noch genügt für 
Punkte P\ welche in einer Senkung liegen: zwar aufserhalb der 
Oberfläche des Sphäroids, aber doch innerhalb derjenigen des Ellipsoids. 
um dieses Bedenken zu beseitigen, denken wir uns innerhalb des 
Ellipsoids ein konzentrisches, koaxiales Ellipsoid, welches die Sen- 
kungen gerade noch ausschliefst, dessen Axen also nach unseren 
Annahmen um eine GrÖfse von etwa 500"» kleiner sind, als die- 
jenigen des ursprünglichen Ellipsoids. Die Oberflächen beider EUipsoide 
können hier als Parallelflächen angesehen werden. Wir kondensieren 
nun die ganze Schicht aufserhalb des inneren Ellipsoids. 

Auf einen Punkt P' der Sphäroidfläche in der Senkung wirkt 
diese Schicht wegen des geringen Gefälles der Senkungsfläche, abge- 
sehen von der Krümmung der Ellipsoidoberfläche, in Richtung der 
Vertikalen anziehend wie eine unterhalb gelegene, horizontale, un- 
endliche Platte von der Stärke />'(>', Fig. 30, wobei P'Q' = N^ -^ N 

ist. Durch die Konden- 

v////'7^77^y^ll^^^^^ ^'^-^^^^"—^ .. la sation ändert sich hieran 

^^//^'^m^TTT^^rr^ ^ \Mjäi^Z^ aber nichts. Denn ohne die 



I{ondeitsah'onsfläc7ir \ 

Fig. 30. 



Senkung würde die Schicht 
zwischen den EUipsoidober- 
flächen nach der Konden- 
sation noch anziehen wie 
eine horizontale, unendliche Platte von der Stärke ^Vq . Die durch die 
Senkung abgeschnittenen Massen ziehen zufolge obiger Untersuchungen 
nach der Kondensation in vertikaler Richtung beinahe an, wie eine 
Platte von der Stärke A^; da diese Anziehung abgeht, so bleibt die 
Anziehung einer Platte von der Stärke A^^ — iV, wie vor der Konden- 
sation. Hat demnach diese letztere auf die Schwerkraft keinen er- 
heblichen Einflufs, so ist ihr Einflufs überhaupt als unerheblich an- 
zusehen, da auch der Koudensationsefiekt bezüglich des Potentials ver- 
schwindet, was die obigen Untersuchungen ohne weiteres erkennen lassen. 
Für das Sphäroid mit kondensierter Oberflächenschicht ist aber 
die Entwicklung nach negativen Potenzen des Radiusvektors bis zur 
Oberfläche konvergent; sie ist es nach vorstehenden Untersuchungen 
also auch in hinreichender Annäherung für die Massen des Sphäroids 
in der ursprünglichen Lagerung. 



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§ 25. Ältere Pendelbeobachtungen. 191 

§ 25. Ältere Pendelbeobachtungen zur Bestimmung der 
Intensität der Schwere. Wir gehen nun dazu über, auf das vor- 
handene Beobachtungsmaterial die Eondensationstheorie anzuwenden, 
um dann die Abplattung der Meeresfläche abzuleiten. 

Die epochemachenden Messungen von Kaier^ Sabine, Foster u. a. 
(vergl. S. 85 Anm.) wurden mit sehr einfach konstruierten, invariablen 
Pendeln ausgeführt, die man mittelst einer Schneide auf einer Achat- 
platte schwingen liefs, welche auf einem stabilen Gerüst an einer 
Wand oder auf einem breitbasierten, schweren und beschwerten 
Metallstativ befestigt war.*) Wir geben die Eesultate dieser Mes- 
sungen mit Benutzung von Bailys Arbeit in den Memoirs of the Royal 
Asironomical Society VII 1834. Bailys Reduktionen der Beobachtungen 
sind adoptiert, aber nicht seine Verkuppelung der Reihen verschie- 
dener Beobachter, sodafs die im Folgenden gegebenen Schwingungs- 
zahlen z. T. mit Bailys Haupttabelle S. 96—97 a. a. 0. diflFerieren. 

1. Kaier 1818 — 19 mit einem Pendel (bestehend aus einer flachen 
Stange mit Linse), welches auf einer Achatplatte auf einem schweren, 
gufseisernen Rahmen schwang. Letzterer war über der an einer Wand 
aufgestellten Uhr (an deren verlängerten Rückwand) befestigtr Publi- 
ziert in Phii, Transact, 1819. Die Stationen liegen nahe bei Stationen 
der Trigonomelrical Survey. In Unsl beobachtete Käfer dicht bei dem 
Orte, wo früher (um 1808) Biot beobachtet hatte. 

Die Beobachtungen begannen in London und endeten, abgesehen 
von Shanklin Farnty wo zuletzt beobachtet wurde, in London. Beide 
Ergebnisse für London stimmen auf 0,03 Schwingungen. Ob Kater 
hier das Eonsol und die Achatplatte des oben beschriebenen Appa- 
rates, oder des gleich zu erwähnenden Reversionspendels benutzte, 
ist nicht angegeben; vergl. dazu Nr. 6 weiterhin. 

Iil der folgenden Tabelle giebt die zweite Kolumne die geogr. 
Breite, die dritte die Meereshöhe H in Metern, die vierte die korri- 
gierten täglichen Schwingungszahlen nach Baily, die fünfte die Lauge 
des Sekundenpeiidels in Metern, die sechste die Korrektion an den 
Werten der fünften Kolumne, in Einheiten der sechsten Decimal- 
stelle, wenn nicht nach Bougucr-Young mit 2 HF-, R, sondern ein- 
fach mit 2H : R auf den Meeresspiegel reduziert wird, als wäre das 
Terrain über letzterem bis zur Station nicht vorhanden. Die siebente 
Kolumne giebt den Faktor F, der zu den Werten der fünften Ko- 
lumne gehört. F wurde nach Foung für ebenes Terrain in der Regel 
zu 0,6, bei umgebenden Hügeln etwas gröfser angenommen. 



•) Ein Abrifs der älteren und neueren Beobachtungsmethoden findet sich 
in Clarkea Geodesy S. 828—339. Vergl. auch WüUner, Experimentalphysik, Bd. X 
1882 8. 124 u. ff. 



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192 



3. Kapitel Die Schwerkraft im MeereBniTeau. 



Shanklin Farm bei Dun 



no«. I. wight I 50»37'24" 



London 

Arbury Hill 

Clifton 

Leith 

Portaoy . . . . 
Unst 



51 31 8 

52 12 55 

53 27 43 
55 58 41 
57 40 59 
60 45 28 



74« 

25 

225 

104 

21 

29 

9 



86061,77 
065,54 
069,00 
072,79 
083,29 
089,96 
100,61 



0,994042 
4129 
4209 
4297 
4539 
4693 
4939 



+ 7|iO,7 
+ 3;' 0,66 
+211.0,7 
+10||0,68 



0,66 

0,6 

0,5 



Gemeinsame Korrektion nach der 
weiterhin folgenden Ausgleichung: -\- 14. 

Die Meereshöhe für London hat sich später, rergl. Nr. 6, genauer 
zu 28™ ergeben; die Differenz von 3" mit dem oben angenommenen 
Werte hat aber auf die Reduktion keinen bemerkenswerten Einflufs. 

Bei der Berechnung der 5. Kolumne aus der 4. wurde für London, 
Mr. Broumes Haus (Portland Place), einstweilen der Wert angesetzt, 
zu dem Kater mittelst des von ihm angegebenen Reversionspendels 
gelangtl. Derselbe fand, PM. Transact. 1819 p. 415 : 

£, = 39,13929 Zoll engl., 
wobei die geogr. Breite nach der trigonometrischen Vermessung wie 
oben angegeben wird. Mit Rücksicht auf den (8. 86 angegebenen) 
Yerwandlungslogarithmus von engl. Zollen in Meter: 

8,4048298 — 10 
folgt hieraus ffo = 0,9941289»». 

Gehort nun zuff^ die Schwingungszahl n^j zu einem beliebigen C aber 
n, so ist zur Berechnung von £ (vergl. S. 86) anzusetzen: 

Der ICatersche Wert von Co kann übrigens nicht die Sicherheit 
neuerer absoluter Bestimmungen beanspruchen; jedenfalls würde er 
mit Rücksicht auf Baüys Versuche, Phil. Transact. 1832, einer Um- 
rechnung wegen der Ungleichheit des Luftmitschwingens in beiden 
Pendellagen infolge der unsymmetrischen Form des Pendels bedürfen. 
Die Ausgleichung aller Beobachtungen ergab weiterhin für dieses ff^ 
als Korrektion + 0,011*^, wovon aber ein Teil Ma&stabsreduktion ist. 

2. Goldingham 1820—21 mit einem invar. A'fl/^rschen Pendel an 
der Wand; Phil. Transact. 1822 p. 127—170. In London beobachtete 
vor der Absendung des Pendels Kater im Juli 1820 — ob auf der 
Achatplatte des Apparates oder seiner eigenen, ist nicht angegeben. 
Zwei grofse Reihen in Madras stimmen im Mittelwert auf 0,05 Schwin- 
gungen überein, aber es fehlt die Rückkehr des Pendels nach London. 



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§ 25. Ältere Pendelbeobachtungen. 



193 



Die Beobachtung in Gavnsah Lout ist später gemacht und nicht publi- 
ziert. Wir folgen bei der Angabe der Schwingungszahlen wie oben 
Baily\ überhaupt gelten die zu der Aufstellung der vorigen Tabelle 
gegebenen Bemerkungen auch hier sowie weiterhin ; wenn nichts Be- 
sonderes bemerkt ist. 



Gaunsah Lout 

Wettkflste v. Snmfttrm 
Madras Obserrator. 

London 



0" r49" 
13 4 9 
51 31 8 



L_»_ 


« 


s 


6 


? 


86173,36 


0,991063 


+ 


8m 


179,06 


1194 


+ 1 


• 


306,56 


4129 


+ 3 



0,66 



Gemeinsame Korrektion — 8. 



Die Meereshöhe auf Gaunsah Lout^ einem Eiland, ist mangels anderer 
Angabe zu null angenommen. Die gemeinsame Korrektion ist als 
Mittel der Korrektionen für London und Madras abgeleitet. Es wird 
nämlich nach der weiterhin folgenden Ausgleichung erhalten für 
London 0,994140, für Madras nach Nr. 19 0,991168; die Verbesse- 
rungen der Angaben der 5. Kolumne sind also bezw. + ^ ^ud 
— 26, im Mittel — 8 Einheiten der 6. Decimalstelle. 

3- Hall^ unterstützt von Foster^ 1820—23 mit einem invar. Kater- 
schen Pendel an der Wand; Phil. Transaci. 1823 p. 211—288. Die 
Beobachtungen begannen und endeten in London 'y wahrscheinlich in- 
folge eines Unfalls auf San Blas differieren die Ergebnisse für London 
um 0,95 Schwingungen. Üb daselbst auf der Achatplatte des Apparats 
oder der des Eaterachen Reversionspendels beobachtet wurde, ist nicht 
bemerkt. Je zwei in San Blas und Bio angestellte Reihen von Hall 
und Fosler differieren um 1,15 bezw. 0,15 Schwingungen. 



Galapagos 

San Blas deCal i fornU 

Rio Janeiro . . 
London 



+ 0^»32'19" 4"» i! 86107,64 0,991014 + |l 0,66 

+ 2132 24 35 ( 131,87 1572 +4 10,6 

- 22 55 22 22 |: 137,96 1712 + 2 0,6 

+ 51 31 8 . i 242,87 4129 +3 

Gemeinsame Korrektion + 5. 

4. Brisbane 1822 mit einem invar. /^alerschen Pendel an der 
Wand; Phil, Transaci. 1823 p. 308—325. In London beobachteten 
Kaier j Brisbane nud Bümker vor Absendung des Pendels; nachher ist 
dort nicht wieder beobachtet. In Paris beobachteten Brisbane und 
Dunlop je eine Reihe mit 0,65 Schvringungen Differenz. Welchen 
Wert Baily bei Paramatia für F annimmt, ist nicht zu ersehen — 
Brisbane reduziert überhaupt nicht aufs Meeresniveau; wir haben für 

Helm ort, mathem. n. phytikal. Theorioen der hOh. Oeodftde. n. 13 



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194 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 



F einen plausiblen Wert vorausgesetzt, der jedenfalls zur Berechnung 
der Korrektion in der 6. Kolumne genügt. 



» 1 


* i S 4 


s 1 « : 7 


Paramatta 


- 33« 48' 43" 


23-» ' 86024,74 


0,992553 


+ 2 


0,66 


London 


+ 51 31 8 


. Ii 093,00 


4129 


+ 3 


1 



Gemeinsame Korrektion +11. 

Die gemeinsame Korrektion ergiebt sich durch Berücksichtigung 
des Ausgleichungsergebnisses 0,994140 für London. 

5. Sahine 1819—20 mit 2 Pendeln; Phil. Transaci. 1821 p. 163 
bis 190. Diese Beobachtungen hat Baily nicht aufgeführt; auch 
Sabine selbst verwendet sie nicht in seiner unter Nr. 6 zu erwähnen- 
den Schrift. Jedoch verdienen nur die wenigen Beobachtungen in 
Brassa und Bare Island , die a. a. 0. ebenfalls mitgetheilt sind, 
dieses Schicksal. Der angewandte Apparat, welcher unter Katern 
Aufsicht entstanden war, unterscheidet sich insofern von dem üblichen 
Pendelapparat, als die Pendel zugleich Uhrpendel waren; die Uhr 
wurde durch ein starkes Holzstativ gehalten. Mit diesen Uhrpendeln 
hat Sahine auch auf seiner grofsen Reise, vergl. Nr. 6, nebenbei be- 
obachtet, ohne die Resultate weiter zu benutzen. Dieselben sind 
weniger genau als diejenigen unabhängiger Pendel, mit denen sie bis 
zu zwei Schwingungen differieren. 

In London wurde in einem Nebenzimmer deis früheren Beobach- 
tungsraumes beobachtet (wohl auf der Diele); in Melville auf einem, 
einige Zoll in den gefromen Boden versenkten Holzlager, an welchem 
das Stativ befestigt war. Die Beobachtungen in London vor und nach 
der Reise differieren um 0,23 bezw. 0,03 Schwingungen. Obwohl in 
London und Melville die Einzelwerte der Beobachtungen einer Reihe 
gut übereinstimmen, weichen doch die 4 Differenzen M.-Lo., welche 
den 4 Kombinationen der 2 Pendel und der 2 Uhrwerke entsprechen, 
bis zu 1,57 Schwingungen von einander ab. 

In der 4. Kolumne der folgenden Tabelle sind die Mittel der den 
4 Kombinationen entsprechenden Schwingungszahlen für jeden Ort 
nach S. 188 aufgeführt. Wegen des Mitschwingens der Luft ist nicht 
korrigiert; indessen ist der Einflufs auf den Unterschied M.-Lo. im- 
erheblich, da der Barometerstand an beiden Orten bis auf 0,3 Zoll, 
die Lufttemperatur bis auf 2® F. im Mittel übereinstimmten. Die Reduk- 
tionen aufs Meeresniveau haben wir nachträglich mit F=Oß bewirkt. 



l 


8 


, II * 


5 1 6 1 7 


London 

Melville 


51« 31' 8" 
74 47 12 


lO» 


86455,51 
86530,32 


0,994129 
5850 


+ 1 0,6 



Gemeinsame Korrektion -f- ^1* 



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§ 25. Ältere Pendelbeobachtnngen. 



195 



Die gemeinsame Korrektion bestimmt sich durch den Ausglei- 
chungswert für London. 

6; Sabine 1822 — 24 mit den beiden invar. ^aterschen Pendeln 
Nr. 3 und 4; ^n Account of Experiments to detefmine the Figure of 
the Earthy 1825. Sahine beobachtete 1821 zuerst in London, Mr, Brotones 
Haus; dann 1822 auf den Südstationen St, Thomas— New York, wobei 
die KaterBche Aufstellung an der Wand benutzt wurde. 1823 wurde 
zunächst wieder in London beobachtet ^ dann auf den Stationen des 
Polarkreises y wobei ein 200 Pfund schweres, gufseisernes Stativ von 
der Form eines gleichseitigen Dreiecks mit 6V2 ^^ Seite in der 
Vorderansicht zur Aufhängung des Pendels diente. Die Uhr stand 
innerhalb des Stativs ganz isoliert auf einem Holzdreifufs. Zuletzt^ 
1823—24, wurde nochmals in London beobachtet. Die Differenz beider 
Pendel war in London 1821 11,25 Schwingungen; 1823 11,20 und 9,70; 
1823—24 9,75; auf den Südstationen 9,39 bis 10,00, im Mittel 9,68; 
auf den Polarstationen 9,27 bis 9,74, im Mittel 9,51. Die grofseren 
Differenzen in London 1821 und 1823 zu Anfang erklärten sich da- 
durch, dafs in London mit Katern Achatplatte beobachtet worden war; 
als diejenigen des Apparats benutzt wurden, ging die Differenz 1823 
auf 9,70 herab. Die Ergebnisse in London 1823 und 1823—24 stimmen 
für beide Pendel bis auf 0,1 Schwingungen überein. Die folgende 
Tabelle giebt wieder nach Baily die Schwingungszahlen, u. s. f., 
vergl. Nr. 1. 



1 
St. Thomas, 

Gnineaiiueln . . 

Maranham . . 
Ascension . . 
Sierra Leone 

Trinidad 

Bahia 

Jamaica . . . . 
New York . . 

London 

Drontheim . . 
Hammerfest 
Grönland . . . 
Spitzbergen . 



L» l 



1 



+ 0« 

- 2 

— 7 

+ 8 
+ 10 
— 12 
+ 17 
+ 40 
+ 51 
+ 63 
+ 70 
+ 74 
+ 79 



24' 41" 
31 43 

55 48 
29 28 
38 56 
59 21 

56 7 
42 43 

31 8 
25 54 
40 5 

32 19 
49 58 



6" 
23 

5 
58. 

6 
65 

3 

20 
28 
37 

9 
10 

6 



1 
86032,97 


0,991120 


023,33 


0898 


036,69 


1205 


031,67 


1090 


030,91 


1072 


036,51 


1201 


048,74 


1483 


[ 121,94 


3171 


163,48 


4129 


202,31 


5025 


224,75 


5543 


; 234,31 


5764 


1 246,80 

1 ' 


6053 



+ 1 

+ 3 
+ 1 
+ 7 
+ 1 

+ 8 

+ 2 
+ 3 
+ 4 
+ 1 
+ 1 
+ 1 



0,6 



" 



Gemeinsame Korrektion +14. 



18' 



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196 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



7. Foster 1824—25 mit dem Pendel Nr. 3 von Säbine \ Phil. 
Transact, 1826 I p. 1 — 70. Es wurde mit dem Dreifufs beobachtet, 
der in Greenwich auf dem soliden Steinflur stand. Hier ist vor und 
nach der Reise beobachtet, mit 0,2 Schwingungen Differenz. Wir 
geben die Schwingungszahlen nach Baily^ ohne diesem im Ansehlufs 
der Beobachtungen an die frQher mit Pendel Nr. 3 erhalteneu zu 
folgen; denn da Foster neue Achatplatten anwandte, scheint uns ein 
Ansehlufs aii die älteren Beobachtungen unzulässig. 



1 


i 


< 4 


6 « 1 7 


Greenwich 

Port Bowen . . . 


51« 28' 40" 
73 13 39 


55 "• 
37 


86158,40 
229,25 


0,9941191 +6 
5754 +4 


0,6 
0,66 



Gemeinsame Korrektion -f- 24. 



Die Hohe ist für Greenwich ym 7"» zu grofs, vergl. Nr. 11 weiterhin; 
welchen Wert Baily angewandt hat, ist nicht zu ersehen. Jedenfalls 
ist der Einflufs unerheblich. Die gemeinsame Korrektion ergiebt sich 
mit Rücksicht auf den Ausgleichungswert für Greenwich, 

8. Fallows 1825—28 mit dem Pendel Nr. 4 von Sabine-^ Phil. 
Transact. 1830 p. 153—175. Im Juli und August 1825 beobachtete 
Ronald in London y November 1828 Fallows auf dem A'op; nachher 
ist nicht wieder in London beobachtet. Für London ist nach Baily 
das Mittel aus Sabines Angabe mit demselben Pendel und Ronald» 
Wert angesetzt; beide weichen übrigens nur 0,02 Schwingungen von 
einander ab. Auf dem Kap wurden 3 Reihen von 3 Beobachtern 
genommen; sie differieren um 0,15 Schwingungen im Maximum. 

Die geogr. Breite für den Beobachtungsort nahe bei dem Obser- 
vatorium auf dem Kap giebt Fallows vorläufig zu — 33® 55' 56" an ; 
unter der Annahme, dafs seit 1830 das Observatorium nicht verlegt 
ist, setzten wir daher die Breite desselben nach neueren Bestimmungen 
an. F ist bei Baily fürs Kap nictt angegeben; wir setzten dafür 
0,66: sein Betrag hat nur geringen Einflufs. 



1 1 2 


3 1 4 


5 


G 


7 


Kap der guten 

Hoffnung 

London 


— 33« 56' 3" 
+ 5] 31 8 


10» 


86101,64 
168,50 


0,992587 
4129 


+ 3 


0,66 



Gemeinsame Korrektion -{- 2. 



9. Sabine 1827 mit den Pendehi Nr. 7 und 8; Phil. Transact. 
1828 p. 35 — 77. Die Aufhängung erfolgte wie früher mittelst eines 
Dreifufses, in Paris im Observatoire royal, Salle de 1a Meridienne, wo 
auch Biot beobachtet hatte. Es wurde erst in Paris, dann in London 
beobachtet — nicht nochmals in Paris. Beide Pendel differieren im 



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§ 25. lltcre PendelbcobachtungeD. I97 

Mittelwert um 0,05 fcJchwingungen, die 13 Eiuzelwerte für jedes Pendel 
bis zu 1 Schwingung. Wir geben die Schwingungszahleu nach Baily\ 
mit welchen Meereshöhen und Koefficienten F derselbe reduziert hat, 
ist nicht zu ersehen. 



1 


8 4 


5 


Paris.... 
LondoD . . 


. 48» 50' 14" 1 85930,86 
. 51 31 8 85942,49 


0,993860 
4129 



Gemeinsame Korrektion + 17. 



10. Sabine 1828—29 mit dem Pendel Nr. 12; Phü. Transact. 
1829 p. 83-102 und 1830 p. 239—255. Es wurde in London und 
Greenwich y dann nach Revision der Schneide wieder in London und 
Greenwich j sodann in AKona und endlich nochmals in Greenwich be- 
obachtet. Die Beobachtung in Altona erfolgte an einem Waudkonsol 
mit besonderer Achatplatte, das später von C. F. W. Peters benutzt 
wurde (Nr. 21); über die Beobachtungsweise in Greenwich und London 
ist nichts mitgetheilt. Die wiederholten Beobachtungen stimmen im 
Endwert bis auf 0,22 Schwingungen. Wir geben die Schwingungs- 
zahlen nach Baily mit der Modifikation, dafs wir seine Angaben 
S. 88—89 unter Nr. 9 und 10 für Greenwich und London^ als wesent- 
lich auf denselben Beobachtungen beruhend, zusammenfassen. Welche 
Werte der Meereshohen und Koefficienten F Baily zur Reduktion an- 
gewandt hat, ist auch hier nicht zu ersehen. 



1 


i 


4 


5 


Greenwich 
Loudou . . . 
Altona . . . 


51« 28' 40" 
51 31 8 
53 32 45 


85970,30 
85969,59 
85978,54 


0,994145 
4129 
4336 



Gemeinsame Korrektion -f- 5. 

11. Foster 1828—31, nach Bailys Bearbeitung in den Memoirs 
of the Royal Astronom. Soc, VII 1834 p. 81. Es wurden 2 invariable 
A'a/^rsche Pendel von Messing, Nr. 10 und 11, und 2 unsymmetrische 
Aa/^rsche Reversionspendel von Eisen bezw. Kupfer benutzt; in fol- 
gender Tabelle giebt die Zahl in Klammer hinter der Schwingungs- 
zahl, welche für London auf 86400 reduziert ist, die Anzahl der be- 
nutzten Schneiden, wobei die Reversionspendel als je 2 invariable 
behandelt sind. Foster benutzte für jedes Pendel stets dieselbe Achat- 
platte, deren beinahe jedes Pendel seine besondere hatte. Auch 
wandte er 2 breitbasierte Eisen-Stative an, je eines für eine Pendel- 
Gruppe. Die ühr hing an einem besonderen Holz-Stativ. Foster 
begann mit London und Greenwich ; indessen wurde am ersteren Orte, 
Mr. Brownes Haus (510 31' 8" Breite, 28"» Höhe), nicht auf dem Stativ 



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198 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



beobachtet; sondern an der Wand, wo 1818 Kater mit dem Keversions- 
pendel beobachtet hatte. Auch kamen daselbst nur 2 Pendel zur An- 
wendung. Die Greenwicher Beobachtungen sind nach Baily p. 45 
nicht einwurfsfrei, vielleicht infolge eines Irrtums bei der Pendelauf- 
hängung; dieselben sind daher besser nicht zu benutzen. Obwohl 
wir dies gethan haben, sind sie doch von uns wenigstens in nachfol- 
gende Tabelle mit aufgenommen worden, weil die Differenz der beiden 
Pendel 103,08 Schwingungen vom Mittelwert der Differenz auf allen 
Stationen 103,44 nicht sehr abweicht. Baili/ beobachtete nach der 
Ruckkehr der Apparate, da Foster auf der Reise verunglückte, noch- 
mals in London in seinem Hause (5P31'26" Breite, 31™ Höhe); die 
Ergebnisse stimmen bei den beiden vorher benutzten Pendeln auf 
0,7 Schwingungen im Mittel. Im allgemeinen differieren die Pendel 
auf verschiedenen Stationen, Baily p. 71, bis zu 2,5 Schwingungen 
täglich. 

Die geogr. Breite des Kap d. g. H. setzt Baily gleich — 33® 54' 37"; 
da aber im Observatorium beobachtet ist, nehmen wir — 33® 56' 3", 
vergl. Nr. 8. 



Para - P27' 0" 

Maranham — 2 31 35 

Fernando do Noronha — 3 50 

Ascension -— 7 55 23 

Porto Bello + 9 3230 

Trinidad +10 38 55 

St. Helena |— 15 56 7 

Kapd. g. H -33 56 3 

Montevideo — 34 54 26 

[Green wich] +51 28 40 

London '+51 31 17 

Staten Island 1-54 46 23 

Kap Hom '-55 51 20 

Süd Shetland Inseln !— 62 56 11 



i 



12''*"86260,61 (6) 10,990924 + 1 10,666 

24 i; 258,74(4)1 0881 +2I 

11 271,20(2): 1167 +1 

5 272,25(6)1 1192 +0j 
4 272,01(2)1 1186 +q 

6 267,24(6)1 1077 +1 
9 288,29(4), 1560 !+l 

10 331,33(6) 2549+1 

4 334,36(2) 2619+01 
48 398,90(2) [4104]+5 
30 400,00(6)' 4129 +3| 

5 415,22(6) 4479 +0, 

12 417,98(2) 4543 + 1 

7 444,52(6)1 5154 j+1 



Gemeinsame Korrektion + 22. 

12. Lütke 1826—29 mit Halh Pendel. Wir haben im Folgenden 
die Angaben von Borenius, vergl. die S. 87 angegebene Schrift, be- 
nutzt. Sie weichen etwas von denjenigen Baily b ab, entsprechen aber 
der neueren Angabe Lülkes im 3. Bd. der Memoires pres, ä (Academie 
imp. de St. Pelersbovrg 1837. In Kandalaks ist nicht von Lülkey son- 
dern von Reinecke beobachtet. Die Schwingungszahlen sind so redu- 



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§ -20. Ältere Pendelbeobathtungen. 



199 



ziert, dafs sie Fosiers Angabe für 6'/. Helena entsprechen; ebenso 
wurde von uns vorläufig C für diesen Ort adoptiert. Die geogr. Breite 
desselben ist nach Baüf/ augesetzt. Die zur Reduktion aufs Meeres- 
niveau angewandten Werte der Meereshohe und von F sind uns nicht 
bekannt. 



1 


2 


4 


5 


UalaU, Ctolinon I.. 
Guam, L»dtonen I.. 

St. Helena 

Bonin Insel 

Valparaiso 

Greenwich 

Petropawlowsk . 
öitka 


+ 5»21'16" 
+ 13 26 18 
-15 54 59 
+27 4 9 
—33 2 30 
+51 28 40 
+53 59 
+57 3 
+59 56 31 
+67 7 43 


86275,64 
280,85 
288,29 
322,10 
328,44 
399,25 
408,87 
420,62 
432,39 
452,55 


0,991269 
1389 
1560 
2338 
2483 
4112 
4333 
4604 


Petersburg 

Kaudalaks 


4875 
5339 



Gemeinsame Korrektion + 17. 

13. Parrot 1829—33, mit einem 24 Zoll langen invar. Pendel 
auf einer Chalcedonplatte an der Wiand; nach StebnUzki^ Astronom. 
Nachr. 1882 Bd. 103 Nr. 2472 S. 375, mitgeteilt. Diese Beobach- 
tungen, welche Baily noch nicht zugänglich sein konnten, verdienen 
Vertrauen. In Dorpal wurde vor und nach der Reise beobachtet; 
wir haben das C für diesen Ort einstweilen nach Sawiisch, vergleiche 
Nr. 17* weiterhin, angesetzt. 

Die Koefficienten F haben wir bei Tiflis und Ararat rückwärts 
aus den a. a. 0. ebenfalls mitgeteilten Schwingungszahlen ohne Re- 
duktion aufs Meeresniveau unter Voraussetzung der Benutzung von 
Bovguerz Formel berechnet. Bei Dorpal ist F von uns zu 0,625 an- 
genommen; hier scheint ein Druckfehler vorzuliegen, da die Reduktion 
aufs Meeresniveau hier nur im Betrage von + 0,25 anstatt + 0,50 
Schwingungen eingeführt ist; dadurch entsteht 0,005"»"* Unsicherheit 
in £ — wir haben die fürs Meeresniveau angegebene Zahl beibehalten. 



Ararat, Kloster deshei- 
UgenJakob 39M6' 12" 

Tiflis j4l 41 27 

Dorpat !58 22 51 



1883" 

435 

47 



110819,67 

834,38 
921,47 



0,992901 



+ 225|0,62 
3165 1+ 56i0,59 
4726 1+ 6|| 0,625 



Gemeinsame Korrektion + 21. 



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200 



3. Ka)>itcl. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



14. Freycinel 1817—20 mit 3 Pendeln, davon das eine (Nr. 3), 
wie invariable Kalcrsche^ mit flacher, zwei andere mit runder Stange; 
Voyage auloiir du monde enlrepris par Vordre du Bot, Observations du 
Pendula, Paris 1826 p. 29. Vergl. auch Phil. Transact. 1828 p. 38. 
Auf den Falklandinseln wurde nur 1 Pendel beobachtet. Nach Baily 
differieren die Unterschiede der Ergebnisse der 3 Pendel für die ver- 
schiedenen Stationen bis zu 6,5 Schwingungen täglich; doch meint 
er, dafs die Anwendung der 3 Pendel die Fehler eliminiere. Er re- 
duziert soweit nötig; för die Falklandinseln ist die Reduktion wegen 
' der runden Form der Pendelstange etwas zweifelhaft. Hierauf kommt 
jedoch wegen der Unsicherheit der Messungen wenig an, ebenso wie 
auf den Umstand, dafs uns die im Original angegebenen Meereshohen 
und Koefficienten F fehlen. Für Paris haben wir £ vorläufig nach 
Sabine, Nr. 9, angesetzt. 



Rawak 

Guam 

Isle de France Port loui« 

MaUWi Saadw. I 

Rio Jaueiro 

Port Jackson 

Kap d. g. H 

Paris 

Falkland Inseln FrcnohB»y 



— 0» 1'34' 
+ 13 27 51 
—20 9 56 
-1-20 52 7 
-22 55 13 
-33 51 34 
-33 55 15 
-f 48 50 14 

— 51 35 18 



86279,35 
300,86 
315,97 
315,41 
311,39 
351,96 
349,48 
406,00 
414,64 



0,990948 
1442 
1790 
1776 
1684 
2617 
2560 
3860 
4059 



Gemeinsame Korrektion -(- 18. 



15. Duperrey 1822—25 mit Freycinela Pendeln Nr. 1 und 3; 
publiziert (nach Angabe Bailya) in den Connaissance des lemps 1830. 
Auf Ascension uud Isle de France schwang nur Nr. 3. Nach Baily diffe- 
rieren die Unterschiede der Pendelergebnisse bis zu 2,0 Schwingungen. 
Für Paris haben wir £ vorläufig nach Sabine angesetzt; Angaben fflr 
Meereshöhe und Koefficient F fehlen uns. 



Ascension '— 7''55' 48" 190132,96 



Isle de Fraucc j —20 9 23 

Port Jackson ! —33 51 40 

Toulon |-f43 7 20 

Paris '+48 50 14 

Falklaiid luseln st. looi« — 51 31 44 



159,63 
196,55 
232,31 
254,65 
266,44 



0,991182 
1768 
2581 
3368 
3860 
4120 



tien^einsame Korrektion -|- 34. 



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§ 20. Ältere Pendelbeubachiutigen. 



201 



16. Biot u. Maihieu 1808—24 (?) mit einem Decimalsekunden- 
pendel. Wir entlehnen aus Biot, Memoire sur la Figvre de la Terre 
{Memoires de l'Ac. royale des Sciences de C Institut de France t. 8 1829), 
da Baiiy diese Messungen nicht aufführt. Die Angaben bei Biot (im 
Folgenden, Kolumne 6) sind nur mit 2H:R aufs Meeresniveau re- 
duziert; wir haben daher (in der 5. Kolumne) auch die Werte nach 
Bouffuers Formel mit F= 7^ beigefügt. Inwieweit vorstehende Werte 
sonst reduziert sind, ist nicht angegeben. Die Unterschiede in den 
geogr. Breiten mit den Angaben von Kater unter Nr. 1 für Unst und 
Leith sind wohl nicht ganz reell. 



Lipari 

Formentera 

Barcelona 

Figeac 

Bordeaux 

Fiume 

Padua 

Mailand 

Clermont-Ferraud 

Paris 

Dünkircheu 

Leith 

Unst 



38« 28' 37" 


38 39 56 


41 23 15 


44 36 45 


44 50 26 


45 19 


45 24 3 


45 28 1 


45 46 48 


48 50 14 


51 2 10 


55 58 37 


60 45 25 



9« 

203 

4 

223 

17 

65 

31 

150 

406 

70 

4 

21 

9 



0,993078 
3046 
3232 
3432 
3451 
3576 
3604 
3530 
3535 
3859 
4080 
4529 
4945 



0,993079 ij 0,625 

3070 „ 
3232 ll „ 
3458 1! „ 
3453 
3584 
3607 
3548 
3582 



3867 
4080 
4531 
4946 



Gemeinsame Korrektion -\- 19. 



Bessel hat in seiner Abhandlung Über die Länge des Sekunden- 
pendels in Königsberg (Abh. der Bert. Ak. 1826; Werke Bd. 3 S. 164) 
die Beobachtungen von Biot, Arago und ffvmboldt in Greenwich 1817 — 18 
und in Paris (vor- und nachher) mit 2 unveränderlichen Pendeln, die 
nahezu Sexi^esimalsekimden schwangen, reduziert. Man vergl. auch 
Biot et Arago, Beceuil d'Observations geod. 1821, sowie Walker, Account 
of the pendulum Operations (der genaue Titel dieses engl, indischen 
Pendel- Werkes folgt unter Nr. 19) App. 2 p. 32. Nach Sabine, Phil. 
Transact, 1828 p. 35, zeigten allerdings die Beobachtungen keine 
gute Übereinstimmung; immerhin scheint uns die Bestimmung ver- 
gleichsweise nicht ohne Wert, da beide Pendel die Differenz .i'am- 
Greentoich bis auf 0,000034*" übereinstimmend geben. 

Setzt man die Schwere in Paris gleich 1, so wird sie darnach in 
Greenuich gleich 1,0002523; hierbei fehlt die Beduktion aufs Meeres- 
uivean. Nimmt man £ für Greenwich gleich 0,994145, so wird es für 



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202 3. Kapitel. Die Schwerkraft im MecresDivcau. 

Paris 0,993894; uimmt man femer die Bouguer%(A\Q Reduktion für 
beide Orte bezw. gleich + 11 und + 16 Einh. der 6. Stelle, so folgt 



Paris 48« 50' 14"!, 0,993899 

Greenwich 51 28 40 j, 4145 
Gemeinsame Korrektion — 10. 

§ 26. Neuere Pendelbeobac*.htangen und absolute Bestim- 
mungen. Um den Einflufs der Luft vollständiger zu eliminieren, als 
es bei Anwendung invariabler Pendel oder auch unsymmetrischer 
üTa/^rscher Reversionspendel möglich ist, wurden in neuerer Zeif die 
relativen Schwerebeobachtungen mit invariablen Pendeln im Vacuum 
(nach Airy^ Vorschlag) oder mit symmetrischen Reversionspeudeln 
(nach Bessel, Astronom, Nachr. 1850 Bd. 30 Nr. 697 S. 1) ausgeführt. 
Leider hat sich herausgestellt, dafs im letzteren Falle die Stative 
mehrfach derjenigen Festigkeit und breiten Basis, sowie hinreichend 
soliden Untergrundes ermangelten, wie zu einwurfsfreien Beobachtungen 
nötig. Wenn auch diese Fehlerursache bei den relativen Beobach- 
tungen gröfstenteils unschädlich bleibt, so besitzen doch infolge dessen 
nicht alle neueren Messungen eine im Vergleich zu den älteren Be- 
stimmungen erhöhte Genauigkeit, wie man gehofit hatte. Denn bei 
letzteren wurde an der Wand beobachtet oder es kam ein sehr festes 
breites Stativ zur Anwendung. (Von der Solidität des Sabinesch&i 
Stativs haben sich weitere Kreise auf der Loan Colleclion in London 
1876 durch Augenschein überzeugt; vergl. auch den Bericht über die 
wissenschaftlichen Apparate auf der Londoner internationalen Ausstellung 
von 1876 S. 190). 

Das Mitschwingen des Stativs bei den neueren Reversionspendeln 
konstatierte C. S, Peirce für seinen Apparat gelegentlich seiner Be- 
obachtungen in Berlin 1875, wobei er abwechselnd das Pendel an der 
Wand und auf dem Stativ schwingen liefs*). Weitere Untersuchungen 
von E. Plantamour zeigten, dafs auch das Fundament des Stativs von 
Einflufs ist. Für das ^4" Sekunden -Reversionspendel der Schweiz 
von Repsold ist darnach wegen des Mitschwingens eine Korrektion 
nötig von 

+ 0,1724""» =0,0764 par. Lin. für festes Holzfundament, 
+ 0,1302bis+0,1357"^=0,0577bisO,0602par.Lin.fürSteinfundament. 



*) Nach einer Bemerkung von G, Bnihns in den Verhandlungen der perm. 
Kofnmmion der europ. Gradmessung zu Brüssel 1876 (publ. 1877) S. 48. 
Vcrgl. auch die VerJiandl der allgemeinen Konferenz zu Stuttgart 1877 (publ. 
1878) S. 22 u. Annex Ib S. 171. 



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§ 26. Neuero Pendolbcobachtuogon und absolute Bestimmungen. 203 

Hieraus erkennt mau, dafs ohne Beachtung des Untergrundes 
eine Unsicherheit von mehreren Hundertelmillimetern entstehen 
kann*). 

17». Sawitsch, Lenz und Smt/slof 1865—68 mit zwei Repsold- 
sehen V4- Sekunden -ReTersionspendelu auf Stahlplatten; Memoirs of 
tke Royal Aslronomical Society 1870—71 vol. 39. Vergl. auch Vieriel- 
jahrsschrifl der Astronom. Ges. 1874 Bd. 9 S. 44 und Clarke, Geoäesy 
p. 343. 



Ismail i45»20'34" 

Kischinef | 47 130 

Kamenelz 

Kremenetz 

B^lin 

Wilna 

Jakubstadt 

Dorpat 

Keval 

St. Petersburg . . 
Nicolaistadt .... 
Tornea 



48 40 39 
50 6 8 
52 2 22 
54 41 2 
56 30 3 

58 22 47 

59 26 37 
59 56 30 
63 5 33 
65 50 43 



30 »'1440,4479 



92 

178 

297 

141 

101 

83 

68 

3 

8 

14 

4 



5278 
5844 
6533 
7268 
I 8353 
! 8900 
I 9762 
1 441,0190 
0319 
i 1293 
I 2525 



0,993534 
3714 
3842 
3997 
4163 
4408 
4531 
4726 
4820 
4852 
5071 
5349 



7> 

v 



+ 4:0,625 

+ Uli 
+ 2ii 

+ 351 
+ I61 
+ 12 
+ 10 

+ 8, 

+ 0,1 
+ l'l 
+ 2> 

+ ^ 



Gemeiusame Korrektion + 16. 



V 



Die 4. Kolumne giebt die ursprünglich beobachteten Werte der 
Länge des Sekundenpendels in par. Linien um eine Konstante nach 
Lüikes Beobachtung (vergl. im vorigen Paragraphen Nr. 12) derartig ver- 
mehrty dafs sich die Zahlen den von ^aier und Sabine erhaltenen Längen 
einreihen. Für uns ist der Betrag dieser Konstanten gleichgültige 
da Sawitsch auf grund späterer Messungen eine zweite Korrektion 
angebracht hat. Es wurden nämlich von Zinger in Pulkowa und 
von Heaviside in Kew mit dem Apparat die Pendellängen gemessen 
und die Konstanten des Apparats neubestimmt. Folgendes Täfelchen 
giebt diese Pendellängen in par. Lin. und Metern sowie die früher 
ermittelte Länge für Petersburg ^ welche nach der älteren Berechnung 
440,958 par. Lin. gegeben hatte, neu berechnet; Memoirs of ihe Royal 
Astronom. Soc, 1877-79 Bd. 44 (publ. 1879) ß. 307-315. 



*) Verhandlungen der perm. Kommission zu Hamburg 1878 (publ. 1879) 
S. 9; ausfükrlich in der Abb.: Eecherches expMmentales sur le mouvement 
simtUtand d'un pendüle et de ces Supports par E, Plantamour am Schlüsse der 
Publikation über die VerhandL der allgem, Konf, su Stuttgart 1877 S. 61. 



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204 



3. Eapitel. Die Schwerkraft im Meer«sniveau. 



1 


3 


3 


. 


» 


6 l! 7 


Kew 


51« 28' 6" 
59 46 19 
59 56 30 


75'» 
8 


440,6405 
9428 
9488 


0,994156 

4838 
4852 


+ 9 
+ 1 




Pulkowa 


0625 


Petersburg 


ii 



Gemeinsame Korrektiou + 16« 

Für das 1. Täf eichen haben wir mit Rücksicht auf die Neu- 
berechnung für Petersburg die 5. Kolumne aus der 4. durch Ver- 
wandlung der par. Lin. in Meter mit dem Logarithmus 7;3533062 — 10 
und unter Beifügung von — 0,041'""» konstanter Korrektion ermittelt. 
Dieselbe berücksichtigt ftuch das Mitschwingen des Stativs , welches 
im Mittel für beide Pendel n^ch , Kuhlherg^ Untersuchung, Astronom. 
Nachr. 1882 Bd. 101 Nr. 2416 S. 243, eine Korrektion von + 0,0650 
par. Lin. erfordert. Bei der 2. Tabelle ist diese Korrektion an den 
Angaben der 4. Kolumne beim Übergang zur 5. angebracht worden. 
Wegen mangelnder Berücksichtigung des Untergrundes haften viel- 
leicht an einzelnen Werten ff noch Fehler bis zu -f- 0,040"»"», da 
nicht überall dieselben Verhältnisse wie bei den Versuchen von KufU- 
herg stattfanden, der in der Kegel auf Steinpfeilern beobachtete und 
vermutlich auch dafür die Korrektion bezüglich des Mitschwingens 
bestimmt hat*). 

In Bezug auf die erlangte Genauigkeit ist noch Folgendes zu 
bemerken: die Bestimmungen haben nach der Anordnung der Be- 
obachtungen mit Rücksicht auf alle Korrektionen die Bedeutung von 
absoluten Messungen. In KeWy wo 1873 — 74 Heaviside beobachtete, 
führten beide Pendel bis auf 0,0004 Zoll engl, zu demselben Werte, 
und der hieraus unter Beifügung der Korrektion für das Mitschwingen 
des Stativs berechnete, oben angegebene Wert*^*) stimmt mit einem 
weiterhin unter Nr. 19 aufgeführten, absoluten Werte, der mittelst 
eines anderen Apparats erhalten worden ist, auf 0,006""". Diese 
Differenz erscheint für zwei wesentlich verschiedene absolute Be- 
stimmungen ganz unerheblich, wenn man beachtet, dafs Sawitsch nach 



*) Hr. Sauntsch korrigiert in der 2. Abhandlung mit dem Plantamounchen 
Wert der Korrektion gleich 0,0765 par. Lin. Auf briefliche Anfrage erteilte 
aber derselbe seine Zustimmung zur Anwendung des inzwischen bekannt ge- 
wordenen KuMbergüchen Wertes. Bei dieser Gelegenheit wurden wir freund- 
lichst in Kenntnis gesetzt über die Meereshöhen der Stationen und den Betrag 
des Koefficienten JP—%. 

**) Nach S. 268 des in Nr. 19 zu erwähnenden engl, indischen Pendel- Werkes 
ibt die Pendellänge für Kew nach denselben Beobachtungen zu 39,1345 Zoll 
engl., d. i. mit den Verwand lungslogarithmcn 8,4048298—10 au^' Meter und 
weiter mit 2,G4C6938 auf par. Lin. gleich 440,6394 par. Lin., anstatt 440,6405 wie 
oben, angegeben. Die geringe Differenz haben wir weiter nicht beachtet. 



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§26. Neuere Pendelbeobachtungen und absolute ßestimmungen. 205 

S. 262 des engl, indischen Pendel- Werkes in Petersburg zwischen 
seinen beiden Pendeln sogar 0^01 8 par. Lin. Differenz hatte. 

S. 299 des ebengenannten Werkes wird als Endresultat zahl- 
reicher Untersuchungen des russischen Apparates in England und 
Indien hervorgehoben, dafs er entschieden den invariablen Pendeln 
mit festen Schneiden und soliderer Aufstellung nachstehe"^). Selbst 
in der Anwendung mit festgestellten Schneiden und Achatplatten 
zeigte sich der russische Apparat den invariablen Pendeln nachstehend, 
wie dies folgende Zusammenstellung von Bestimmungen nach S. 298 
a. a. 0. zeigt, wobei für alle Pendel in Kew die Länge des Sekunden- 
pendels zu 39;1401 Zoll engl, angenommen ist: 

Invar. Pendel Russische Pendel 

Nr. 4 Nr. 1821 Nr. 1 Nr. 2 

Ismailia 39,0644 39,0646 39,0660 39,0655 

Aden 0243 0243 0241 0246 

Colaba 0367 0366 0366 — 

Kaliana ^ 0584 0585 0608 0546. 

IT'*. Kuhlher g 1879—80 mit denselben beiden Pendeln wie vor- 
her; Astronom, Nachr. 1881 Bd. 99 Nr. 2370 S. 281. Die Schneiden 
sind während der ganzen Beobachtungsreihe in derselben Lage be- 
lassen, wie bei den letzten Beobachtungen von Heaviside in Kew 
(vergl. auch S. 200—242 des engl. ind. Pendel- Werkes). Um die Re- 
sultate denen unter Nr. 17* anreihen zu können, ist eine Korrektion 
angebracht, weshalb wir die Beobachtungen der Täfelchen von 17* 
und 17^ als eine Reihe ansehen dürfen. 



1 
Jelisabethpol 

Batum 

Tiflis 

Duschett . . . 

Gudaur 

Wladikawkas 



i 
40» 40' 53" 


427-" 


41 39 28 


2 


41 41 29 


435 


42 4 49 


846 


42 29 17 


2247 i 


43 159 


693 1 



2522 
2126 
1368 
1476 
2629 



0,993098 
3280 
3179 
3062 
3087 
3305 



3rTX 

+ 50|J0,625 
+ „ 
4- 56 «0,59 
+ 10o||o,625 
+ 2651 
+ 821 






Gemeinsame Korrektion -\- 16. 



Die Korrektion wegen des Mitschwingens des Stativs ist auch 
hier beim Übergang von der 4. zur 5. Kolumne berücksichtigt. Wah- 



*) Der Umstand, dar« die Schneiden für den Zweck abeolnter Bestimninngen 
nicht ganz fest angebracht worden sind, veranlafatc wahrscheinlich auch bei 
Versuchen zu Kaliana einen Fehler von 0,01 Zoll engl, in dem Ergebnis mit 
einem der beiden russischen Pendel. 



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206 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

reiid Kuhlberg sich noch der Planiamouraclien Werte bedient: 
+ 0,0577 par. Lin. im allgemeinen, + 0,0764 für Gudaur und Duschet (, 
wo das Stativ auf Holzboden stand, haben wir die neuere, oben er- 
wähnte K^uhlbergsehe Bestimmung benutzt und demgemäfs im all- 
gemeinen + 0|0650 par. Lin. angewandt, wie auch für Tiflis^ wo 
Slehniizki beobachtete, bei anderer Gelegenheit geschieht.*) Für 
Gnäaur und Duschett haben wir die Korrektion auf + 0,0837 erhöht, 
um dem Holzboden Rechnung zu tragen. Einige Unsicherheit ist bei 
diesen Korrektionen allerdings nicht zu umgehen. 

18. AlhrechL 1869 — 70 mit einem Bepsoldachen Sekunden- 
Reversionspendel; P^likaiionen des kön. preufs. geod, InsiittUs^ astronom. 
geodäl. Arbeiten 1870 und 1872, 1869 und 1867 (publ. 1871 und 1874); 
vergl. auch A. Fischer, Astronom. Nachr. 1876 Bd. 88 Nr. 2094 S. 84. 
Die 4. Kolumne des folgenden Täfelchens zeigt die Beobachtungs- 
ergebnisse in Metern ohne Rücksicht auf das Mitschwingen des Sta- 
tivs; beim Übergang zur 5. Kohimne ist deshalb die Korrektion 
-f 0,0001820"» angebracht, die so bemessen ist, dafs für Berlin sich 
BesselB C ergiebt. Wegen der Unmöglichkeit, den Untergrund zu 
berücksichtigen, entsteht auch hier eine nicht geringe Unsicherheit. 



1 

Mannheim 
Bonn .... 
Inselsberg 
Seeberg. . 
Gotha . . . 
Leyden . . 
Berlin . . . 



i 


. 1 


49« 29' 11" 


125™ 


50 43 45 


62 


50 51 11 


910 


50 56 6 


353 


50 56 38 


315 


52 9 20 





52 30 17 


36 1 



0,9937207 
38869 
38926 
38835 
38036 
40252 
40498 



0,993903 + 810,732 



4069 
4075 
4066 
3986 
4207 
4232 



+ 5| 

+ 77| 

+ 30; 

+ 27,j 

+ dl 



Gemeinsame Korrektion + 3. 



Die gemeinsame Korrektion ist mit Rücksicht auf den Aus- 
gleichungswert für Berlin angesetzt. Bezüglich Mannheims mufs be- 
merkt werden, dafs die Erdschicht daselbst nur 100"» dick ist, 25'» 



♦) Astronom: Nachr, 1882 Bd. 103 Nr. 2472 S. 376. Allerdings folgt mit 
+ 0,0650 filr Tiftis 440,2776 anstatt 440,2792, wie daselbst angegeben ist. Die 
kleine DiflTerenz haben wir ebensowenig beachtet, wie die in der Breite, deren 
Sekunden daselbst zu 31 notiert sind. Dagegen haben wir im obigen Täfelchen 
Tiflis mit den im vorigen Paragraphen unter Nr. 13 gegebenen, neueren Daten 
reduziert (mit den ÄwWfccrp sehen Daten lf — 471'", F=- 0,625 wurde 
Ä« 0,993191). 



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§ 26. Neuere Pendelbeobachtungen und absolute Bestimmungen. 207 

der angegebenen Hohe kommen auf einen Turm. Bei Jnselsberg ist 
in der Publ. 1874 S. 225 bei der Reduktion aufs Meeresniveau für 
1800 par. Fufs der Hohe eine parabolische Bergkuppe gesetzt, dabei 
aber eine falsche Beduktionsformel angewandt. Indessen ist der ent- 
stehende Fehler wegen der geringen Abweichung vom ebenen Terrain 
unerheblich (etwa 0,002*^) und innerhalb der Grenzen der Unsicher- 
heit der Reduktion überhaupt enthalten. * 

19. Basevi und Heaviside 1864 — 74 mit 2 invariablen Pendeln 
(davon eines das Pendel Nr. 4 von Sabine) im Vacuum auf Achat- 
platten an festen gro&en Holzstativen; Account of ihe Operations of 
the great trigonometrical survey of India, vol. V: Details of the pendtdum 
Operations^ Calcutta 1879. Die Stationen bilden z. T. eine Reihe von 
2 zu 2 Grad Breitendifferenz auf dem mittleren Meridian Vorderindiens, 
z. T. sind es Eüstenstationeu. In Madras ist in demselben Obser- 
vatorium beobachtet^ wo Goldingham die Länge des Sekundenpendels 
ermittelte. Der Unterschied der täglichen Schwingungszahl beider 
Pendel schwankt nach S. 133 a. a. 0. von 49,69 bis 50,91; die in 
A'ew 1864 und 1873 erhaltenen Schwingungszahlen differieren für das 
eine Pendel um 0,1, fürs andere um 0,5 Schwingungen. Ebenso 
günstig ist die Übereinstimmung bei wiederholten Beobachtungen 
in A'aliana 1866, 70 und 73. 

Heaviside bestimmte 1873 mittelst Katers renoviertem Reversions- 
pendel für Keiv die absolute Länge des Sekundenpendels zu 

39,14008 Zoll engl. = 0,994150"» 

(a. a. 0. S. 293). Diese Zahl ist in der 5. Kolumne des folgenden 
Tableaus eingeführt, vergl. a. a. 0. S. 133. 

Die Kolumne 4* giebt die Anziehung des Terrains nach dem 
2. Gliede von Bovguers Formel mit /*= 0,625 in Schwingungen; in 
einigen Fällen ist darunter die unregelmäfsige Terrainanziehung be- 
merkt. Diese dem Original entlehnten Angaben übersetzt die 6. Ko- 
lumne in Metermafs. 



Punnae 

Küdankolam 

Minicoy 

Mallapatti . . 

Alleppy 

Pachapaliam 

Aden 

Mangalore . . 



8» 9' 28" 
8 10 21 

8 17 1 

9 28 45 
9 29 39 

10 59 40 
12 46 53 
12 51 37 



15''':i 85982,88 + 0,07 

51 85982,99 + 0,26 

2 ,85987,02 + 0,01 

88 1 85983,34 + 0,44 

2 j 85985,90+ 0,01 

296 I 85984,77 j+ 1,50 

2 , 85991,68 + 0,01 

2 ' 85988,89 '+ 0,01 



+ 
+ 
+ 



0,991005 
0,991008 
0,991101 
0,991016 + 
0,991075 + 
0,991049 -f- 
0,9912081 -f 
0,991144' + 



2 

6 


10 


35 





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208 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



1 

Bangalore, Süd 
BaDgalore^ Nord 

Madras 

Namthabäd . . 

Gocauäda 

Kodangal 

Damargida . . 
Co)aba(Bombay) 

Somtana 

Badgaon .... 
Üalcutta 

Ahmadpür . . . 

Kalianpür . . . 
Pahargarli . . . 

Usira 

Datairi 

Kaliäiia 

Nojn 

Dehra 

Mussoorie .... 

Ismailis 

Meean Meor. . 

More 

Kew 



13» 0'41" 
13 4 56 
13 4 8 

15 5 52 

16 56 21 

17 7 57 

18 3 17 

18 53 46 

19 5 

20 44 23 

22 32 55 

23 36 21 

24 7 11 
24 56 7 

26 57 6 

28 44 5 

29 30 55 

29 53 28 

30 19 29 

30 27 41 

30 35 55 

31 31 37 

33 15 39 
51 28 6 



göO» 
917 

8 
358 

3 

584 

593 

11 

522 

342 
6 

516 

538 
500 

247 

218 
247 
269 

683 

2109 

10 
215 

4696 

5 



85986,47 
85987,08 
85989,10 
85990,71 
85998,25 
85995,91 
85996,03 
86005,28 

86000,69 

86005,13 
86012,73 

86012,62 

86014,87 
86015,30 

86023,50 

86028,57 
86029,33 
86029,87 

86026,89 

86030,47 

86036,01 
86036,36 

86024,48 

86119,19 



+ 4,83 

+ 4,66 

+ 0,04 

+ 1,82 

+ 0,02 

+ 2,96 

+ 3,01 

+ 0,05 

+ 2,66) 

- 0,04) 
+ 1,73 
+ 0,03 
+ 2.62. 

- 0,07) 
+ 2,73 
+ 2,54 
+ 1,25» 

- 0,11» 

+ 1,11 

+ 1,25 

+ 1,36 

+ 3,47, 

- 0,29! 
+10,72j 

- 1,17' 
+ 0,05 
+ 1,09 
+23,86| 

- 0,41 i 
+ 0,02 



0,991088 + 111 
0,991102 + 107 
0,991149' + 1 
0,991186'+ 42 



0,991360 
0,991306 
0,991309 
0,991522 

0,991416 

0,991518 



+ 
+ 
+ 
+ 

+ 

+ 




68 
69 

1 

60 

40 
1 



0,9916931 + 

0,991691:+ 59 

I 

0,9917431+ 63 

0,991752|+ 58 

0,991942i+ 26 

0,9920591+ 26 

0,992077+ 29 

0,992089'+ 31 

0,992020 + 73 



'0,992103 

0,992230 
0,992238 

0,991965 

0,994150 



+ 220 

+ 1 
+ 25 

+ 540 

+ 



Gemeinsame Korrektion + 19. 



Die gemeinsame Korrektion ist nach Maisgabe des Ausgieichungs- 
wertes für Kew angesetzt. 

20. Sessel, Schumacher, C. F, W. Peters mit Besseh Faden-Pendel- 
apparat. Derselbe wurde von Bessel in Königsberg und Berlin ^ von 
Schumacher in Güldeüstein angewandt; Peters wiederholte nach Ablauf 
von 4 Decennien die Beobachtungen in Königsberg und Berlin auf 
Anordnung des Präsidenten des kon. preufs. geodat. Instituts^ Baeyer, 
um die Un Veränderlichkeit der dem Apparat beigegebenen Toise zu 
prüfen. Die Enden derselben sind allerdings nicht völlig unbeschädigt 



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§ 26. Neuere Pendelbeobachtimgen und absolute BestimmuDgen. 209 

erhalten, jedoch wohl nicht in dem Grade, dafs die Bedeutung der 
Resultate illusorisch würde. Vergl. die Abhandlungen der Berliner 
Akademie der fViss. von 1826 und 1835 sowie das Referat in der 
Vierteljahrsschrift der Astronom. Ges. 1876 Bd. 11 S. 33 mit Angabe 
der anderen Litteratur und sonstigen Bemerkungen. Die 4. Kolumne 
des folgenden Täfelchens giebt £ in par. Lin., die 5. dasselbe in 
Metern. 



1 


Bessel 1835 

Schumacher 1829—30 

Peters 1871 

Bessel 1826-27 

Peters 1870 


2 


3 { 4 


S 6 7 


Berlin 

Galdenstein 

Königsberg. 


52» 30' 16" 
54 13 9 

54 42 50 


34"' 
67 

22 


440,7390 
440,8076 

8018 
440,8179 

8294 


0,994232 
4386 
4374 
4410 
4436 


+ 3 
+ 5 

+ 


0,75 
0,74 

l 



Gemeinsame Korrektion für B. u. Seh. + 13 
„ „ „ Peters + 11. 

21. C. F. W, Peters 1869 mit Lohmeyer^ synmietrischem Reversions- 
pendel mit festen Schneiden; Astronom. Nachr. 1880 und 81, Bd, 97 
S. 1, 98 S. 65, 99 S. 129 und 380 (Nr. 2305, 2333, 2361, 2376). 
Vergl. auch 1870 Bd. 76 Nr. 1810 S. 145. Diese Beobachtungen 
sind an festen Wandkonsolen ausgeführt; in Altona fand sich noch 
das ÄyWw^che mit Achatplatte vor. Dasselbe wurde auch in Berlin 
und Königsberg benutzt. Nur hinsichtlich des Metermafsstabes be- 
steht eine kleine Unsicherheit des absoluten Wertes, die jedoch die 
DiflFerenzen der Angaben nicht wesentlich beeinflufst. Für Berlin 
haben wir in der 5. Kolumne £ vorläufig nach Bessel angesetzt. 



L. 


t 

52« 30" 16" 

53 32 45 

54 42 50 


S 4 


6 


6 


7 


Berlin 

Altona 

Konigsbei^ 


34"- 

31 

22 


0,9941860 
0,9943007 
0,9944061 


0,994232 
4347 
4452 


+ 3 
+ 2 
+ 


0,75 
0,76 
1 



Gemeinsame Korrektion — 4. 

22. C. S. Peirce] Report of the Superintendent of the ü. S. Coast 
and Geodetic Survey for 1876. Bei diesen Beobachtungen, deren Er- 
gebnisse wir aus dem American Journal of Science 1880 2. Hälfte 
S. 327 entlehnen, wurde ein Bepsoidsches Sekunden-Reversionspendel 
benutzt und wegen Mitschwingens des Stativs korrigiert*). Nur be- 

♦) Verhandlungen der allgem. Konferens der ewrop. Oradtnessung zu Stutt- 
gart 1877 (publ. 1878) S. 173. 

Helm«rt, mathem.ii. phytik. Th«oiieenderhOh. Oeodfttie. II. 14 



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210 



3. Kapitel Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



achtete Peirce nach E. Planiamour und Cellerier noch nicht genügend 
die Verschiedenheit des Fundaments*), und es besteht hinsichtlich 
des Metermafsstabes eine geringe Unsicherheit. Die Differenz mit 
Bessel für Berlin ist z. T. dem Umstände zuzuschreiben, dafs das Meter 
jetzt um etwa 0,008"*"* kleiner definiert ist, als gesetzlich aus der 
Toise (Annual Report upon the Surveys of nothern and northwestem 
lakes in Charge of C. B. Comslock 1881 p. 2788). 



1 
Hobokeii 


40'»44'31" 


9« 


4 

0,9932074 


5 

0,993207 


+ ll0,74' 


Paris 


48 50 14 


70 


39500 


3950 


+ 5;! „ 


Kew 


51 28 6 


6 


41790 


4179 


+ o) „ 


Berlin 


Ö2 30 16 


35 


42482 


4248 


+ 3,j „ 



Gemeinsame Korrektion — 13. 

In vorstehender Tabelle ist die 5. Kolumne lediglich eine Ab- 
kürzung der vierten. Die Meereshöhe für Hohoken haben wir rück- 
wärts aus den Originalangaben fUr die Länge des Sekundenpendels 
ohne Reduktion berechnet und dabei F so angenommen, dafs damit 
für Paris ^ Kew und Berlin die bekannten Werte von H heraus- 
kamen. Auch die geogr. Breite iilr Hoboken i^i rückwärts berechnet 
aus den Angaben von Peirce für die Reduktion auf den Äquator; sie 
ist auf 2" sicher. 

§ 27. Zasammenstellnng you Bestimmangen am gleichen 
oder nahezngleichen Orte. Nachstehende Tabelle giebt für diese Be- 
stimmungen diejenigen vier Decimalstellen der Längen C des Sekunden- 
pendels, welche hinter 0,99 folgen. In den Fällen, wo die geogr. 
Breite gleichnamiger Stationen bei verschiedenen Beobachtern ver- 
schieden ist, wurde mit -{-0,000001.5 sin 2B JB, für JB in Minuten, 
auf die angegebene Breite reduziert. Diese Reduktion entspricht der 
Variation 0,0053 fsin*^^ in ff. Während New York und Hoboken 
bei 4^ Distanz mit Rücksicht auf diese Reduktion noch als eine 
Station betrachtet werden durften, ist dies bei Kewy London und 
Greenwich nicht geschehen, da hier die Distanzen successive 2 und 1 
geogr. Meile betragen. Die gleichnamigen Stationen Falklandinseln 
bei Freycinet und Duperry sind bei 1 Meile Abstand wegen sehr ver- 
schiedener orographischer Verhältnisse als verschiedene Stationen 
aufgefafst; ebenso Guam bei Lütke und Freycinet wegen 3 Meilen 
Abstand. Diese Stationen brauchten in der Tabelle gar nicht auf- 
geführt zu werden. 



♦) VerhandStwfigefn der allgem. Konferenz der europ. Gradmessung zu München 
1880 (publ. 1881) S. 6 Annex IIa, Bericht über die Pendelbeobachtungen. 



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§ 27. Zusammensiellnngy. BesiimmuDgen am gleichen od. nahezugleichen Orte. 211 



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14* 



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212 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Als besonders brauchbar sind zu nennen die Beiheu 1, 3, 6, 8, 9, 10, 
] 1, 13, 19 und 21. Die Genauigkeit beeinträchtigende Momente liegen vor 
bei Reihe 2, Goldinghami das Pendel ist nach der weiten Seereise nicht 

zurückgekehrt; 

14, Freydnet: grofse Diflferenzen, gemildert durch Anwen- 

dung von 3 Pendeln; 

15, Duperryi ziemlich grofse Differenzen , zwar kleiner als 

bei Freydnet y aber auch nur 2 Pendel; 

17, Sawitsch u.j nicht völlig befriedigende Berücksichti- 
Kvhlberg l: gung des Untergrunds; Schneiden nicht 

22, Peirce ) absolut fest; 

20, Bessei, Schumacher n. Peiers: absolute Bestimmung. 
Über 12 und 16 sind uns nähere Umstände nicht bekannt. 

Für die Ausgleichung der Ergebnisse gemeinsamer Stationen 
wurde noch Folgendes erwogen: Aus den Reihen 6, 10, 21 und 22 
gelangt man mit London = 0,994129 auf 2 Wegen zu ^ew, und zwar 
findet sich J^ew = 0,994146 und 52, im Mittel 0,994149, was mit den 
Werten für ICew in Reihe 17 und 19 leidlich pafst. Nun sieht man 
aber, dafs die Reihen 2 und 19 nicht harmonieren, sondern für 
Madras stark von einander abweichen. Mit Rücksicht auf obige Be- 
merkung zu Reihe 2 wurde daher ihre Angabe für Madras als in der 
Ausgleichung nicht stimmföhig weggelassen, womit die Reihen 2 und 
19 überhaupt aus der Ausgleichung herausfielen. Ausgeschlossen 
wurde auch der Wert für Paris nach 22; derselbe wird nämlich, wenn 
I^ew = 0,994150 gesetzt wird, gleich 0,993921, was mit den älteren 
Bestimmungen ganz und gar nicht stimmt und vielleicht auf die ge- 
rade bei Paris zweifelhafte Berücksichtigung des Untergrunds in 
Reihe 22 zurückzuführen ist. 

§ 28. Ausgleichung der mehrfachen Bestimmungen. Die- 
selbe erfolgte nach einer Annäherungsmethode (vergl. Ausgleichungs- 
rechnung S. 154 — 158), wobei alle Bestimmungen als relative aufgefafst 
wurden. Es ergaben sich die Resultate beistehender Tabelle (S. 213). 

Die konstanten Korrektionen der einzelnen Reihen, welche sich 
zunächst fanden, wurden um eine gemeinsame Korrektion so ver- 
mehrt, dafs den absoluten Bestimmungen von Heavisiäe, Fessel, 
Schumacher und Peirce möglichst genügt wird, also die Summe der 
Reihenkorrektionen zu 17, 19, 20 und 22 null giebt: Diese Korrek- 
tionen sind gegenwärtig -|- 16, -|- 19, -|- 13 und — 13 Mikrons 
(Tausendelmillimeter); denkt man sich aber mit Rücksicht auf die 
Bemerkung zu § 26 Nr. 22 über die neue metrische Längeneinheit 
die Angaben in Nr. 17, 19 und 20 durch Beifügung von -|- 8 auf 
neues Metermafs reduziert, so sind die Reihenkorrektionen nunmehr 
-f- 8, +11, +5 und — 13. Da jedoch in den beiden ersten Fällen 



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§ 28. Ausgleichung der mehrfacheD Bestimmungen. 



213 



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214 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

dasselbe englische Normalmafs zu gründe liegt; haben diese beiden 
Korrektionen nur zusammen das gleiche Gewicht wie die 3. und 4. 

erhalten. Die Summe von -i- (8 + 11) + 5 — 13 ist in der That 

genügend genau gleich null. 

Die Tabelle zeigt also die Zahlen der vorhergehenden Tabelle, 
vermehrt um die den einzelnen Reihen zukommenden konstanten Kor- 
rektionen. Unter jedem Wert ist die Verbessenmg l in ^krons an- 
gesetzt, welche die Ausgleichung fordert. Die Gewichte g sind nach 
Mafsgabe der Bemerkungen am Schlüsse des vorigen Paragraphen 
geschätzt DaTs nun wirklich sehr nahe eine Ausgleichung nach der 
Methode der kl. Qu. vorliegt, zeigt sich dariu; dals für jede Horizontal- 
reihe die Summe [A] und für jede Vertikalkolonne die Summe [kff] 
nahezu null wird. (S. vorh. Seite.) 

Die Anzahl der Unbekannten der Ausgleichung ist gleich 21 -f- 18 
= 39, indem relative Werte für 22 Orte aus 18 Reihen mit 18 Reihen- 
korrektionen bestimmt sind. Hiermit folgt der m. F. einer Beobach- 
tung vom Gew. 1 in Mikrons gleich 

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57 — 39 

Fürs Gew. 2 und 3 wird er bezw. +11 und + 9 Mikrons. 

Bildet man die Durchschnittswerte von klg für die 3 Gewichts- 
klassen, so erhält man 

Gew. 1 1054 : 14 = 75 
„ 2 2774 : 32 = 87 
„ 3 744:11 = 68, 
woraus man erkennt, dafs die Gewichte im allgemeinen ziemlich rich- 
tig angesetzt sind. 

Mit Rücksicht auf die Relation £ = «0^^: V (vergl. S. 192) 
findet man, dafs den m. F. 9, 11 und 16 Mikrons in der Länge £ 
des Sekundenpendels die nachstehenden m. F. in der tägl. Schwingungs- 
zahl entsprechen: 

+ 0,4 , 0,5 und 0,7 , 

Beträge, die recht plausibel erscheinen. 

Günstig erscheint das Ergebnis der Ausgleichung auch insofern, 
als der kassierte Fostersche Wert für Greenwich durch dieselbe in 
0,994126 übergeht und nur noch 17 Mikrons Fehler aufweist. Günstig 
ist auch, dafs die in den Reihen 17 und 19 auftretenden absoluten 
Bestimmungen für Kew durch die Ausgleichung sich bis auf 3 Mikrons 
nähern. 

Über die konstanten Korrektionen derjenigen Reihen, welche sich 
nicht in der Ausgleichung befinden, ist schon bei den Aufstellungen 
in § 25 und § 26 das Nötige gesagt. 



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§ 29. Übersicht der Längen des Sekundenpendels. 



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§ 29. Übersicht der Längen des Sekundenpendels. 



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3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveaa. 



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§ 29. Übersicht der Längen des Sekundenpendels. 



219 



Bemerkungen , 

mit Besug auf Anomalieen 

lokalen Charakters. 


1 


1840 noch thitiger Vulkan. 

Im Thale dot Kur südl. vom Kau- 
kasus. 


«che Küste; in N. Y. 30*» Sand 
auf Serpentin. 
«Uer KüttenabfaU. 

luXiBthal. 

aukasus; meist Kalkgebirge. 

aukasus; Abhang des Kasbek. 

5043*» hoch aus Trachytporphyr. 

ochland. 
Min, y. d. langsam abfallenden 


Küste entfernt. 

onünental wegen geringer Tiefe des 
Adriatisohen Meeres. Der 1000 m 
hohe Karst nahebei. 
Min. T. d. Kttste des Sohwarxen 


Meeres. 

Min. y. d. Küste. 

m Fufse der Alpen. 

ebirgig; in 9 »m Abttand ein 1200*» 
hoher Berg. 




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3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



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■29. Oberaicht der Längen des Sekandenpeodels. 



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3. Kapitel. Die Schworkraffc im Meeresnivean. 



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§ 30. Die Kondensations-Reduktionen. 223 

Zu vorstehender Zusammenstellung der Längen des Sekundeu- 
pendels C, reduziert mit Bouguers Formel, wie sie sich zufolge der 
Ausgleichung ergeben^ ist noch zu erwähnen^ dafs die geogr. Längen 
teils nach den Originalangaben, teils mit Benutzung vorhandener 
Zusammenstellungen (von Borenius und A, Fischer) unter Kontrolle 
durch Karten angesetzt sind.*) Die Zahl 0,002636, welche zur Re- 
duktion der Pendellängen auf 45® dient, entspricht einer vorläufigen 
Ausgleichung. Diese reduzierten Pendellängen £' enthalten selbst- 
verständlich ebenfalls sämtlich nur die Bou^uersche Reduktion; die 
Reduktion nach der Kondensationsmethode auf die Werte C" erfordert 
weitere Reduktionsglieder, welche nach Näherungsformeln berechnet 
sind; wie es der nächste Paragraph angeben wird. 

Die Bemerkungen über lokale Verhältnisse sind zumeist den Ori- 
ginalquellen entlehnt, teilweise aber auch aus Karten entnommen. 
Der allgemeine geologische Charakter: Festland, Küste oder Insel, 
ist durch /*, A^ und / bezeichnet. Eine Parenthese um diese Sym- 
bole bedeutet, dafs für die Kondensation ein anderer Charakter mal*s- 
gebend war. 

§ 30. Die Kondeusatious- Redaktionen vorstehender Tabelle 
konnten wegen uns mangelnder genauer Spezialkarten nur mehr oder 
weniger roh ausgeführt werden. Dabei wurde ausgegangen für kleine 
Inseln von der Formel (6) S. 181, welche für die Länge £ des Se- 
kundenpendels, insofern dieselbe der Schwerkraft proportional ist, 
als Reduktion giebt in Bruchteilen von £: 

__ 3(©— 1) h 

mit 

w = Äcotv:aÄ, (2) 

für Küsten von der Formel (4) S. 182: 

3(0-^1) /. 2 log"at?^t>Mn+narctan-J- 

11,2 B n n ~ ' W 

Hierin ist @ die Dichtigkeit der Insel- bezw. Küstenmasse, h 
die Tiefe des Meeres in der weiteren Umgebimg, üB die lineare Ab- 
plattung der Erde, tant/ das Gefälle der Böschung. 

Mit Rücksicht auf die UnvoUkommenheit dieser Formeln behufs 
einer genauen Darstellung der Reduktionen erschien es ausreichend, 
dieselben in folgender Weise zu vereinfachen. Es wurde allgemein 
f =1»»^ @ = 2,8, aÄ = 2l*™ gesetzt; da sich ferner n in allen 
Fällen mindestens gleich 2,5, meist aber mehr als doppelt so grofs 
fand, wurde 



„2 ^i.lognat(«+A'+l) (1) 



•) Der Meridian von Ferro liegt 20° westlich Paris, derjenige von Green- 
wich =- 2° 20' westlich Paris. 



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224 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresnivean. 

log (w + /w2 + 1) = log 2n , log l^n^l = log n 

w arc tan — = l 

und 

lognat n'\- 1 lognat 2n 

gesetzt. Letzteres giebt einen Fehler, der indes in den ungünstigsten 
vorkommenden Fällen kaum einige Mikrons in £ ausmacht und sich 
überdies z. T. mit einer Vernachlässigung, die in (3) bereits einge- 
führt ist, kompensiert. 

Die Formeln werden nun für Mikrons als Längeneinheit : 

Red. = - 1600 tanv lognat 2n (4) 

für Inieln 

mit n «= Ä*^ . cotv : 21 , (5) 

und ( ^^^' 1 = 1 . I ßed- 1 . (6) 

""" \ für Küflien J 3 J für Inseln J v"/ 

Um die Berechnung des Ausdruckes rechter Hand in (4) zu er- 
leichtern und zugleich bequem erkennen zu lassen, welchen Einflufs 
Änderungen von h und tani/ auf die Reduktionsgröfse haben, wurde 
eine graphische Tafel für diesen Ausdruck nach Laiannes Methode 
hergestellt.*) Wird die negative Reduktion (4) mit C bezeichnet, 
so giebt (4): 

log C = log (1600 tanv) + log (lognat 2n) . 

Betrachtet man nun log (1600 tan t/) als Abscisse x, log (lognat 2 n) 
als Ordinate y, so stellt 

logC ^ x + y 

für konstantes C die Gleichung einer Geraden vor, die gegen die Ko- 
ordinatenaxen unter 45® geneigt ist. Die zu verschiedenen C ge- 
hörigen Geraden sind parallel. 

Fig. 31 zeigt die Geraden für (7= 10, 20,. . . 400 Mikrons. Jeder 
Geraden ist der betreffende Wert C fett aufgedruckt. Das Koordi- 
natennetz der X und y ist unterdrückt; es sind vielmehr für ver- 
schiedene Werte von n und cot t/ Parallelen zur x- und ^-Axe angegeben. 
Ein Versuch wird dem Leser zeigen, dafs die Konstruktion der Tafel 
sehr rasch und, da nur gerade Linien vorkommen, verhältnismäfsig 
genau zu bewerkstelligen ist. 

Die Reduktionselemente n und tant/ wurden fast ausschliefslich 
mittelst der Tiefenkarten abgeleitet, welche Richard Andrees allge- 
tneiner Handatlas giebt. Es fand sich, dafs für die Küsten die Un- 
sicherheit der Reduktion im Durchschnitt kaum 5 Mikrons beträgt, 
also wesentlich kleiner ist, als die Unsicherheit der meisten Pendellängen 
infolge von Beobachtungsfehlern, vergl. S. 214. Erheblich ungenauer 



•) Vergl. Vogler^ Anleitnng zum Entwerfen graphischer Tafeln et<}. Berlin 1877. 



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§ 30. Die EondeDsations-Reduktioneii. 



225 



aber sind die Inselreduktionen^ weil jene Karten die Boschungsver- 
hältnisse der Inseln nicht genau genug erkennen lassen. Da indessen 
nur auf wenigen kleinen Inseln beobachtet worden ist, die Inselwerte 
Kondensations-ReductiDii für Insela. 




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Du RedttcUon ist für die Ldngc-Mes Sdcartden/teruLds irv Mikrons 

tu versteke/u 

Fig. 81. 

zur Ableitung der Abplattung auch nicht benutzt werden^ so wurde 
mit Rücksicht auf die entstehende gröfsere Mühe eine genaue Re- 
duktion für jetzt nicht in Angriff genommen. 

Erwähnt sei noch, dafs in einigen Fällen weder genau die Küsten-^ 
noch genau die Inselformel zur Anwendung kam, sondern eine Schätzimg 
in der Weise vorgenommen wurde, dafs die Ergebnisse dieser Formeln 
mit einem Faktor multipliziert auftreten. In dieser Beziehung genügt 
es darauf hinzuweisen, dafs für einen Punkt auf einer Landenge die 
Reduktion annähernd das Doppelte der Küstenkorrektion sein wird, 
und ferner, dafs bei verschiedenen Boschungsverhältnissen einer Insel 
auf verschiedenen Seiten die Reduktion sich zusammensetzt aus den, 
den verschiedenen Verhältnissen entsprechenden Werten der Reduk- 
tionen, multipliziert mit dem entsprechenden Bruchteil des Umfanges. 

Die Kondensationsreduktion auf dem Festlande und überhaupt 
für Erhebungen des Beobachtungsortes über das Meeresniveau wurde 
einfach nach Mafsgabe des in der j9ot/^t/erschen Formel auftretenden 
Gliedes, welches von der Anziehung der zwischen dem Meeresniveau 
und dem Beobachtungsorte liegenden Schicht abhängt, ausgeführt, 
dergestalt, dafs dieses Glied im Endwerte ganz beseitigt erscheint. 
Hierbei sind die Angaben der Spezialtabellen §§ 25 und 26 zu ver- 
gleichen. In einigen wenigen Fällen war die angewandte Meereshohe uns 
unbekannt; dann ist vorstehende Reduktion unterblieben. Übrigens ist 
in diesen Fällen die Meereshohe jedenfalls klein, der Fehler also gering. 

Völlig streng ist das auf dem Festlande eingeschlagene Verfahren 
allerdings nur im weithin ebenen Terrain; im Gebirge also werden 
bei einer strengen Kondensation nach Vorschrift von § 20 noch Ände- 
rungen eintreten. Trotzdem diese z. T. nicht unerheblich ausfallen, 
(vergl. S. 186 § 23), so haben wir doch auch hier vom strengen Ver- 

Helmert, mathem. o. phyiikaL Theorieen der höh. Geodfttie. IL 15 



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226 



3. EapiteL Die Schwerkraft im Meeresniveau. 



fahren abgesehen, weil eine Überschlagsrechnung zeigte, dafs die 
weiterhin gezogenen Resultate nicht wesentlich beeinflufst werden. 
Es sind der Falle , wo eine bedeutende Vernachlässigung stattfindet^ 
verhältnismäiBig nicht viele, und z. T. tritt eine Kompensation ein, 
wie im Himalaya, dem Kaukasus und in Thüringen^ wo zu den nega- 
tiven Fehlern der Hochstationen positive Fehler von Stationen am 
Fufse der Oebirge kommen. 

§ 31. Erfolg der Kondensationsmethode. Aus den auf 45^ 
Breite reduzierten Werten f für die Lange des Sekundenpendels 
wurden nun Mittelwerte gebildet für die acht Breitenintervalle 0® 
bis 10*, 10*» bis 20® u. s. f., wie dies nachfolgende Tabelle zeigt 
Für den Zweck der Aufstellung einer Interpolationsformel ist noch 
der hundertste Teil des arithmetischen Mittels der Reduktion auf 
45® Breite beigefügt. 



Breite. 


-»3 

1 


1 


Mittelwert 

von ff 
(unkondenf.) 


Kond.- 
Bed. 


Mittelwert 
vonr 

ikondnis.) 


KoefBcient 

f.d. 
Ausgleich. 


0—10» 


F 
K 
I 


1 

8 
7 


0,99 3529 
3591 
3742 


+ 10 

— 20 

— 121 


0,99 3539 
3572 
3621 


+ 24,9 
+ 25,6 


10-20 


F 
K 

I 


7 
8 
3 


0,99 3490 
3579 
3796 


+ 70 
— 21 
-158 


0,99 3560 
3558 
3638 


+ 22,9 
+ 22,9 


20-30 


F 

K 
I 


8 
3 
3 


0,99 3487 
3542 
3825 


+ 42 

— 14 

- 147 


0,99 3529 
3527 
3679 


+ 16,1 
+ 18,8 


30-40 


F 
K 

I 


6 
5 
2 


0,99 3357 
3597 
3668 


+ 181 

- 29 

- 13 


0,99 3537 
3567 
3655 


+ 10,9 
+ 9,9 


40-50 


F 
K 

T 


16 
4 


0,99 3494 
3586 


+ 44 
— 24 


0,99 3538 
3562 


+ 0,0 
+ 3,0 


50—60 


Ä 

F 

K 
1 


26 

6 


0,99 3548 
3568 


+ 11 

— 16 


0,99 3559 
3552 


- 7,8 

- 8,1 


60—70 


F 


5 


0,99 3539 


+ 1 


0,99 3540 


-16,2 




MM. 

I 


1 


3631 


— 19 


3612 





70-80 


F 


2 
3 


0,99 3540 
3567 


+ 2 
- 12 


0,99 3542 
3554 


— 21,3 

— 23,3 




I 


— ~ 


— 


— 









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§ 31. Erfolg der Kondensationsmethode. 227 

Der Erfolf]^ der Eondensationsreduktion zeigt sich zunächst in einer 
besseren Übereinstimmung der Werte in verschiedenen Breiten für 
jeden der drei Charaktere F^ K und 7; er tritt ferner deutlich hervor 
in einer grofsen gegenseitigen Annäherung der Werte für Festland-, 
Küsten- und Inselcharakter. Für F und K ist beinahe jeder Unter- 
schied geschwunden. Berechnet man aus den sieben Differenzen F— K 
einen Mittelwert des Unterschiedes der Pendellängen, indem man dabei 
diesen Differenzen Gewichte n, n^ : (n, + n,) beilegt, Wj Anzahl für 
F^ n^ für A", so folgt für Mikrons als Längeneinheit: 

/• = jSr — 8 + 6; 
wobei + 6 den aus der Übereinstimmung berechneten mittleren Fehler 
bezeichnet. Dagegen folgt 

F = I— 105 ±16. 
Man kann hiernach in der That F — K als null annehmen, selbst 
wenn man berücksichtigt, da(s bei genauerer Reduktion der Fest- 
landsstationen die Differenz sich um ein paar Mikrons vergröfsern 
würde. Von null verschieden ist aber unzweifelhaft die Differenz 
F '— 1. Vielleicht liegt dieses z. T. daran, dafs die Inselreduktionen 
trotz entgegen wirkender Vernachlässigungen der Formel (4) des 
vorigen Paragraphen etwas zu klein sind , weil die Formel konstante 
Böschung voraussetzt, während diese vielleicht in der Nähe der Meeres- 
fläche steiler als in größerer Tiefe ist. "Zum Teil liegt es auch wohl 
an der Annahme 2,8 für die Dichtigkeit, die jedenfalls in mehreren 
Fällen einen um etwa 0,3 höheren Wert hat. Ein Teil der Differenz 
dürfte aber reell sein. Es läfst sich dieselbe auch nicht wesentlich 
vermindern durch eine ein wenig veränderte Tiefe der Eondensations- 
fläche. Die Formel (1) S. 223 zeigt, dals eine Vergröfserung der 
Inselreduktionen von durchschnittlich 130 auf 230 eine so aufser- 
ordentliche Verkleinerung von n d. h. eine so bedeutende Vergröfse- 
rung der Tiefe der Kondensationsfläche erfordert, dafs sich dadurch 
auch die Gestalt der Meeresfläche in einem Betrage ändern Vürde, 
der nicht mehr zu vernachlässigen ist. 

Übrigens braucht man, wenn wirklich wie es scheint, 1 > F ist, 
noch nicht anzunehmen, dafs auch auf dem Meere im allgemeinen 
die Länge des Sekundenpendels gröfser ist, als auf dem Festlande. 
Wenn die Inseln Massenanhäufungen sind, denen unterhalb in der Erd- 
rinde nicht Massendefekte entsprechen, würde vielmehr notwendig /> F 
sein, wenn auch auf Meer und Festland im allgemeinen gleicheLänge des 
Sekundenpendels vorhanden wäre. Die Entscheidung der Frage kann nur 
durch Messungen der Schwerkraft auf dem Meere selbst erfolgen und 
wird einen Beitrag liefern zur Kenntnis der Konstitution der Erdrinde.'*') 

*) Man vergleiche hierzu auch einen Aufsatz von Fctye, 0, B, 1880 Bd. 90 
S. 1444. Derselbe empfiehlt ebenfaUs in der ^(mpuer sehen Formel das Terrain- 

lö» 



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228 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniyeau. 



Es mag bemerkt werden, dafs eine ähnliche Frage die ist^ ob auf 
den Bergen die Schwerkraft im allgemeinen^ nach gehöriger Reduktion, 
eine andere ist als in der £bene. Zur Entscheidung dieser Frage 
sind gerade in diesem Falle unsere Eondensationsrechnungen nicht 
scharf genug; wenn sie zeigen, dafs auf hohen Bergen £" (mit Kon- 
densation) gröfser ist als in der Ebene^ am Fulse hoher Berge aber 
kleiner als in der Ebene (vergl. nachstehende Tabelle, deren Werte ohne 
und mit Kondensation mit 0,993550 als Normalwert flir Festland im 
Meeresniyeau verglichen werden können), so liegt dies, namentlich 
bei den Bergkuppen, gröfstenteils an Reduktionsfehlem.*) 



Ort. 



Bangalore S. . 
„ N.., 

Dehra 

Mussoorie .... 
Meean Meer. . 

Mor^ 

Ararat 

Dnschett 

Gudaur 

Wladikawkas . 
Inselsberg . . . 

Seeberg 

Gotha 




950 
917 
683 

2109 
215 

4696 

1883 
846 

2247 
693 
910 
353 
315 



0,99 3476 
3487 
3331 
3403 
3452 
3034 
3400 
3346 
3334 
3501 
3543 
3527 
3446 



Mit 
Kondensation. 

«" 



0,99 3587 
3594 
3404 
3623 
3477 
3574 
3625 
3446 
3599 
3583 
3620 
3557 
3473 



Bemerkungen. 



^Plateau 



Fufs des Himalaya 
Ausläufer des „ 
Fufs des „ 

Himalaya 

Fufs des Kaukasus 
Abhang des Kasbek 
Pafs am „ 



Fufs des Seeberg. 



Da sich die Anomalieen der vierten Kolumne durch genauere 
Rechnung vermindern oder heben, so scheint es, dals in der That 



glied wegzulassen; fCir die Inseln aber empfiehlt er die Anziehung des Insel- 
pfeilers, seine Dichtigkeit vermindert um 1, abzuziehen. Es ist nun in der 
That richtig, dar« man auf diese Weise findet, dafs auf dem Meere und Festiand 
ein Unterschied der Schwere nicht besteht (wir haben dies fflr obige Inseln 
mittelst der im 4. Kapitel § 17 entwickelten Näherungsformel durchgeffihrt und 
zufällig gerade das gewünschte Resultat erhalten). Der Übelstand ist nur, dafs 
man bei Fayea Verfahren von der Wahl der Pfeilerhdhe in hohem Grade ab- 
hängt, was bei der Kondensationsmethode nicht der Fall ist. Auch ist Fayes 
Verfahren kein methodisches: es giebt nicht an, wie die Reduktion wird bei 
nicht kleinen Inseln, bei KOsten u. s. w. Unser strenges Verfahren hat stets 
eine konsequente Antwort und läfst namentlich fSr den wichtigen Fall, dafs 
Kästen in betracht kommen, nicht im stich. 

*) Im 6. Kap. § 16 wird erwähnt, dafs wiederholt mit leidlichem Erfolge 
durch Bestimmung der Pendellänge am Fnfse und auf dem Gipfel eines Berges 



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§ 32. Interpolationsformel für die Schwerkraft g, 229 

unter hohen Bergen und Gebirgen Massendefekte auftreten, die der 
Anziehung der sichtbaren Massenanhaufung entgegenwirken. Vergl. 
hierzu anch im 4. Kapitel § 38. 

§ 32. Die Ermittelung der Interpolationsformel f&r die 
Sehwerkraft g. Wäre g im Meeresniveau überall auf der Erdober- 
fläche bekannt, so würde man zur Herstellung einer Entwicklung 
von g nach Eugelfunktionen der geographischen Breite B und Länge L 
nach § 28 (1) S. 116 verfahren. Darnach ist g im Punkte {B'.V) gleich 

wobei die Pn als Funktionen von B\ L\ B und L (anstatt 9', A', 9 
und A) nach Mafsgabe von § 4 S. 57 aufzufassen sind. Leitet mau 
andererseits g aus dem Potential W der Schwerkraft ab, so nimmt 
es die Form an: 

^ = ö (1 + CT/ + CT/ + i/; + . ; . ) , (2) 

wenn U^^ ü^ ü^ ... Eugelfunktionen von Bf und 1! zweiten, dritten, 
vierten, . . . Ranges bedeuten. Auf diese Ableitung kommen wir in 
§ 39 dieses Kapitels. 

Eine Kugelfunktion ersten Ranges fehlt in (2), wie a. a. 0. sich 
zeigen wird und überdies im zweiten Kapitel unter Voraussetzimg ge- 
wisser Normalformen für W schon hervorgetreten ist. 

Von dieser Formel interessiert uns besonders die Bestimmung 
der Glieder G und G V^. Dieselbe ergiebt sich aus der Vergleichung 
mit den entsprechenden Gliedern in (1). Es ist, da P^t=»\^ das erste 
Glied von (1), (d.h. der Mittelwert aller g^ vergl. S. 66): 

G — -^fdlJgcosB dB . (3) 



die mittlere Dichtigkeit der £rde beBtimmt worden ist; in solchen Fällen würde 
naturlich die wegen Kondensation reduzierte Pendellänge des Gipfels ein erheb- 
liches Zuviel aufweisen. Immer aber ist dies nicht der Fall. Dies zeigte oben 
bereits Mori, 

So fand Auch'Foster auf Ascension auf einem 680'" hohen Berge die täg- 
liche Schwingungszahl n » 85878,96. Mit nH : B reduziert giebt das 85888,13. 
Am Fufse des Berges in 9"* flöhe war n = 85887,44, reduziert: 86887,66. Hier 
ist nur ein Zuviel von 0,67 Schwingungen oder von 14 Mikrons in C (mit roher 
Kondensationsreduktion) . 

Nach Laplace, Mdc. cel. t. 5 1. 1 1 p. 56, zeigen auch schon Bouguen Messungen 
in Quito eine ganz ähnliche Erscheinung; hier erklärt Laplace sich dieselbe 
durch den vulkanischen Charakter der Gegend, infolge dessen viele Hohlräume 
unterhalb der Bergmassen vorhanden sein würden. 



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230 3. EapiteL Die Schwerkraft im Meerei*Diyeau. 

Ferner ist das zweite Glied: 






G O2 = ^-JdLJP^ g cos B dB , (4) 



-I 



wobei nach S. 57 

;>, = |(8iu^^-|)(sin^ir-i) 

+ 3 cos^ COS J?' sin^ sin^ cos(Z — Z') (5) 

+ 1- cos«^ cos^^ cos 2 (Z — L') . 

Werden aber für die Entwicklung des Potentials W wie im zweiten 
Kapitel § 5 S. 59 die drei Haupttragheitsaxen der Erde als Koordi- 
uatenaxen gewählt, so fallen in IV und also auch in g^ vergl. weiter- 
hin § 39, die Glieder mit cosZ', sinZ' und sin2Z' weg und es bleiben 

nur die Glieder mit (sin^-^ ""T; ^^^^^ cos2Z' übrig. Ganz ist dies 

indessen bei obiger Entwicklung nicht durchführbar: man bezieht 
zwar die Breiten auf die Äquatorebene^ es ist also die eine Eoordi- 
uatenaxe die Erdaxe und somit Hauptaxe, aber die geographischen 
Längen kann man nicht von einer der beiden in der Äquatorebene 
liegenden Hauptaxen abrechnen, weil deren Lage unbekannt ist. 
Werden nun die geographischen Längen yon einem beliebigen Meri- 
dian ab gezählt» so verschwindet (wie schon S. 60 in Parenthese er- 
wähnt) das Glied mit sin2Z' nicht Hiermit wird 

G U; = ^ {«a^e — ^)fdLfff (sm'B - -J) cos^ dB 

-f 

+ ~ cos».»' cos 2L' j cos 2LdL fff cos'Ä dB (6) 

— : 

+ ^ cos»^ sin 2r J sin 2L dLJg cos'^ dB , 

-T 

Durch Ausführuug der Integrationen würde GU^'i wenn man 
rechter Hand G als Faktor zieht, die Form annehmen 

Gri/2 = 6![hj(8in2jr--^)+k/cos'jrco82Z' + h/'cos2i9'8in2Z'j . (7) 



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§ 33. Auwendang der Methode der kleinsten Quadrate. 231 

Unterbleibt die Bestimmung von kj' ^^^ K" ebenso wie diejenige der 

Eoefficienten der höheren Eugelfunktionen , so erhält mau hiermit 
zur Ermittelung der Formel 

^ = ö(l + b,(8in2^-.|) + ...j (8) 
die beiden Gleichungen 

G = i^f^^J 9 cos^ dB (9) 



2^ +1 



6?ii2 = if^ f^^j^ (^^^'^ "" iy^^^ ^^ ' (^^) 



Nach diesen strengen Gleichungen kann jedoch die Ermittelung 
der Eonstanten yon (8) wegen mangelnden Beobachtungsmaterials 
nicht stattfinden. Man begnügt sich damit, und mufs dies thun, den 
gegebenen Werten von ff eine Formel (8), oder eine äquivalente 
Formel, nach der Methode der kleinsten Quadrate anzupassen. 

Zunächst wollen wir nun zeigen, dafs die Methode der kleinsten 
Quadrate streng richtige Werte ergeben würde, wenn ff überall auf 
der Oberfläche bekannt wäre. 

§ 33. Die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate 

geht von Fehlergleichungen der Form 

g+S^G+Gb,{sm^B'-^^)+... (1) 

aus, wenn wir für g rechter Hand denjenigen Ausdruck beibehalten, 
welcher aus der Entwicklung nach Eugelfunktionen folgt, und wenn 
wir femer mit d eine Verbesserung des Beobachtungswertes von ff 
bezeichnen. Da man nun ff innerhalb des Elementes da' = oosB'dB'dL' 
der Eugeloberfiäche vom Radius 1 als konstant betrachten darf, so legen 
wir der Gleichung (1) das Gewicht da bei und denken uns die ganze 
Oberfläche dieser Eugel in Elemente da' zerlegt und für jedes Element 
die Gleichung (1) angesetzt. Dann führt die übliche Bildung der 
Normalgleichungen zu den nachstehenden Gleichungen, die Integration 
über die ganze Eugeloberfläche erstreckt: 

Gjda'r^^Jffdtf (2) 

Gb^J\sm^B' - 1)' d&' =Jff (sin^^,- 1) da' (3) 

u. s. f. 



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232 3. KapiteL Die Schwerkraft im Meeresniveam 

Jede Gleichung enthält nur einen der unbekannten Eoefficienten Gy 
0^2 ^' ^' ^* Bilden wir nämlich zunächst die Normalgleichung (2) 
für Gy 80 ist die Fehlergleichung (1) mit 1 . d& zu multiplizieren 
und dann zu integrieren. In Gleichung (2) nimmt nun der aus der 
rechten Seite von (1) hervorgehende Ausdruck zunächst die Form an : 

G fda' + gJu^ da' + gCc/^' da' + gCu^' da' + . . . , 
wenn wir die rechte Seite von (1) in die Form 

gebracht denken^ worin 1/2% U^, U/ . , , die Kugelfunktionen zweiten, 
dritten, vierten Ranges u. s. f. von J/ und Z' bezeichnen. Nach § 7 
(5) S. 66 oder nach der allgemeinen Gleichung (3) § 28 S. 116 ver- 
schwinden aber alle Glieder mit Ausnahme des ersten. Hiermit ist 
(2) als richtig nachgewiesen. 

Was (3) anbetrifft, so ist ersichtlich^ dafs diese Normalgleichung 
aus der Fehlergleichung (1) entstehen mufs-, wenn dieselbe mit 

(sin'i?' — H ) ^^ multipliziert und integriert wird. Die Glieder, welche 
aus der rechten Seite entstehen, lauten zunächst: 

Gji^m'ff _ i.) d a' + gJu^ (sin«i?' - -i) d(f 

+ gJü^ (sin^ff - \)d(f + gJv; (sin«^' — ^)dif + . . . 

und hier verschwinden alle Glieder bis auf das zweite nach dem 
Satze (4) § 28 S. 116. Eg folgt also, wenn wir für GU^ nunmehr 
den Ausdruck (7) S. 230 restituieren : 

Gb^Rsin^B' — yY äa' + Gb^H^in^B' — -i) cos^^' cos 2Z' da 

+ Gb2j(sm'B' - -1) cos^^ sin 21' da\ 

Man bemerkt leicht, dafs wegen cos2Z' und 8in2Z' die letzten beiden 
Integrale verschwinden, und so bleibt nur das erste Glied, womit auch 
Gleichung (3) verifiziert ist. 

In gleicher Weise würde sich finden, dafs bei der Bildung der 
Normalgleichungen aller Konstanten der in (1) etwa noch angesetzten 
Glieder immer nur das betreffende sogenannte quadratische Glied 
übrig bleibt. 

Berechnet man nun zu (2) und (3) die Integrale linker Hand, 
nämlich 



/ 



rf<y'-=4» (4) 



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§ 34. Fortsetzung: Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate. 233 
und 



2« 4-2 



f(sm'B' — y)W d. i. fdrf{9m^B' - |)' cosJT dJT ^ ^7t, (5) 



iL 

9 



80 sieht man sofort, dafs (2) and (3) für G und Gb2 ganz dieselben 
Werte geben wie (9) und (10) des vorigen Paragraphen. 

Mit Hilfe der S. 57 angegebenen Werte von P^ und />, lä&t sich 
die Übereinstimmung beider Methoden durch direkte Ausrechnung 
für alle Koefficienten der Glieder bis zum vierten Range incl. nach- 
weisen. Es ist dieses aber nicht notig; wenn man Satz (2) § 28 S. 116 
beachtet, welcher einen allgemeinen Nachweis der Übereinstimmung 
gestattet. Wir überlassen dieses aber dem Leser und beschriLnken 
uns darauf, nur an dem oben entwickelten Glied zweiten Ranges dieses 
Verfahren zu zeigen, welches leicht auf ein beliebiges Glied über- 
tragen werden kann. 

In Gleichung (2) S. 116 nehmen wir n = 2 und Ä'j "=" sin'^ — — ; 

dann verschwinden bei der Integration wegen des Auftretens von 
L in P^, vergl. (5) S. 230, diejenigen Teile von Pj, die nicht in 

(sin'^ — Y) multipliziert sind. Es entsteht also, da sich überdies 

der Faktor |sin^^ — —j linker Hand gegen X2 = sin^jP' — — rechter 
Hand aufhebt, die neue Relation: 

Aus (3) des laufenden Paragraphen folgt hiermit 

nicht wesentlich verschieden von Formel (10) des vorigen Paragraphen, 
dem Ergebnis der Entwicklung nach Kugelfunktionen. 

§ 34. Fortsetzung. Da g nicht für die ganze Erdoberfläche 
gegeben ist, sondern nur in einzelnen Punkten, die ungleichmäfsig 
verteilt sind, so giebt die Methode der kleinsten Quadrate nicht die 
richtigen Werte. Diese zu erlangen ist aber auf keinem Wege mög- 
lich. Übrigens ist die ungleichmäfsige Verteilung wenigstens den 
geographischen Breiten nach, nicht beträchtlich, wie die Tabelle des 
§ 31 S. 226 zeigt, wobei allerdings der Unterschied der Vorzeichen 
in den Breiten nicht beachtet ist. Eine gleichmäfsige Verteilung 
nach den Breiten verlangt nämlich, dafs die Anzahl der beobachteten 
Werte der Schwerkraft g bezw. der Pendellänge £ in der Breite B 
proportional cos^, nämlich proportional dem Radius des Parallel- 



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234 ^* Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

kreises auf der Kugel vom Radius 1 sei. Im grofsen und ganzen 
ist dieser Bedingung bei dem zur Zeit vorliegenden Beobachtungs- 
material genügt; man kann ihr aber bei der Ausgleichung dadurch 
noch besser nachkommen; dafs man den Fehlergleichungen in .bevor- 
zugten Breiten Gewichte kleiner als 1 erteilt. Übrigens hat die Oe- 
wichtsannahme thatsachlich bei der Auswertung des gegebenen 
Materials wenig Einflufs, wie wir weiterhin bei der numerischen 
Rechnung finden werden. 

Weit ungleichmäfsiger als nach den Breiten überhaupt «ist die 
Verteilung nach nördlichen und südlichen Breiten und nach den geo- 
graphischen Längen. Dadurch erhalten die kontinentalen Glieder in g 
bezw. C (die Kugelfunktionen von höherem Range als dem zweiten) 
einen Einfiufs; der weit schädlicher sein kann, als derjenige der 
Glieder lokalen Charakters. Denn während dieser mit dem Orte rasch 
wechselt imd also deii Charakter eines zufälligen Beobachtungsfehlers 
hat, wird jeuer oftmals ganze Gruppen von Beobachtungsorten in 
nahezu gleicher Weise beeinflussen. 

Hierzu treten noch die Mängel der Reduktion, insofern nämlich 
die Kondensation nur die erkennbaren Massenunregelmäfsigkeiten 
berücksichtigen kann. Diese Mängel erzeugen Fehlerglieder lokalen 
und kontinentalen Charakters. 

Die Fehler, welche bei der Ausgleichung infolge ungleicher Ver- 
teilung nach den geographischen Längen und infolge von Reduktions- 
mängeln in G und G\i^ entstehen, kann man nach den Gleichungen 
(9) und (10) § 32 S. 231 schätzen, unter der Voraussetzung, dafs die 
Verteilung der g nach den Breiten, nördliche und südliche durch- 
einander gerechnet, proportional cosjP ist. Wir entwickeln die Formel 
zur Schätzung des Fehlers in G\i^, 

Lidem wir zunächst g als überall gegeben voraussetzen, denken 
wir uns für dieselbe Breite + D den Mittelwert gs gebildet und haben 
sodann aus (10) S. 231 



«k, = t 



8 

-/'^B(8in2^-|)(f(8in^). (1) 

Durch die oben genannten Ursachen entstehen in den gs Fehler 8gBy 
die man nach Gutdünken zu schätzen hat. Es ist dann der ent- 
sprechende Fehler in G\i^ gleich 



8 {G\^^) = ^(sgB . (sin^^ - y) rf (sin^) . (2) 

Für Gruppenbildung von 10 zu 10 Grad folgt näherungsweise richtig: 

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§34. Fortaetzung: Anwcndaog der Methode der kleinsten Quadrate. 235 



d(Gb,) = 



46 
4 



dff^ . (sin^ö® - -jj (sin 10» — siu 0«) 

+ *^i5 . (sinnö® — -i-) (8in20ö - 8inl0«)+. . . 

+ *^85 .(sin^Söo — y) (8iii90<> — sin 80») 



worin dg^ , dgn, u. a. f. nnn Mittelwerte der Fehler innerhalb der 
Gruppen — 10», 10 — 20» u. s. f. bezeichnen. Ausgerechnet hat 
man die Näherungsrelation: 

S {Gh^) 0,64 *^5 — 0,50 d^,5 - 0,27 dg^ - 0,00 Sg^ 

+ 0,23 *^45 + 0,38 d^55 + 0,41 d^65 + 0,30 *^75 (3) 
+ 0,11*^85. 

Da nun die Länge £ des Sekundenpendels proportional g ist und 
angenähert 1*" betragt, so kann man hiernach auch setzen 

*h, 0,64 *f6 - 0,50 *ffi5 - 0,27 aff^s - 0,00 tffts 

+ 0,23 tfffis + 0,38 *«» + 0,41 8t^ + 0,30 *ff75 (3*) 

+ 0,11**86. 

Mit Rücksicht auf das Clairaui sehe Theorem hat man noch für 
die Abplattung a sehr nahe 

da = — 5^2. 

Diese Formeln gestatten u. a. den Einflufs der Inselstationen zu 
schätzen. Auf Inseln ist £ sowohl ohne als mit Kondensation gröfser 
wie an Küsten und auf dem Festlande. Wie wir im nächsten Para- 
graphen sehen werden, ist ferner im Mittel für die nördliche und 
südliche Erdhälfte das Verhältnis von Wasser und Land in allen 
Breiten annähernd dasselbe. Die Tabelle des § 31 S. 226 zeigt aber, 
dafs die Anzahl der Inselstationen keineswegs für verschiedene Breiten 
in konstantem Verhältnis zur Anzahl der Küsten- und Festlands- 
stationen, welche man zusammennehmen darf, steht. Eine Berech- 
nung von ^2 ^^^^ Ä, welche diese ungleiche, rein zußUige Verteilung 
bestehen läfst, kann ^r keinen Wert haben; denn eine Vermehrung der 
Anzahl der Stationen führt der Wahrheit nicht erkennbar näher. Bei 
den älteren bisherigen Berechnungen, vergl. 2. Kap. § 16 S. 85 u. flF., 
wurde ü um 7289 herum gefunden. Dabei war in äquatorialen Ge- 
genden die Anzahl der Festlands- und Küstenstationen gering im Ver- 
hältnis zur Anzahl der Inselstationen. Clarke nahm neuerdings die 
indischen Stationen hinzu, vermehrte so in dieser Zone die Festlands- 
und Küstenstationen und mufste zufolge (3*) und (4) einen gröfseren 
Wert für b, und einen kleineren für a als frühere Rechner erhalten. 
Da(s er den richtigen Werten näher gekommen sei, kann aber auf 
grund seiner Berechnung nicht behauptet werden. 



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236 3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meeresniveau. 

Bezüglich des Ansatzes der Fehlergleichungen für die Ausgleichung 
ist es ganz gleichgültig, ob man nach (1) § 33 S. 231 ansetzt: 

g^S^G + Gb^{sin^B ^^) (4) 

^^^^ g + d = A + B sin^B (5) 

nimmt. Es folgt dieses daraus, daß) (5) aus (4) durch die linearen 
Substitutionen ö^ e= ^ -|- — und 0^2 = ^ hervorgeht und die dem 
Minimum der Fehlerquadrat« entsprechenden Gleichungssysteme 

—dÄ ^ ~~dB~~ = ^ v^ ; 

mittelst jener Substitutionen in einander übergeführt werden können. 
An Stelle von (5) kann man endlich auch die Form wählen: 

^ + d=C — />cos2i?. (6) 

Ebenso wie {/ kann man auch die Länge £ des mathematischen Se- 
kundenpendels durch Formeln darstellen, die denen für g ganz ana- 
log sind, da ff un^ £ einander proportional sind. Dagegen ist es nicht 
erlaubt, die tägliche Schwingungszahl eines mathematischen Pendels 
von konstanter Länge / in ganz derselben Weise zu behandeln. Nach 
der Formel für die Schwingungszeit 



-/? 



9 

ist die Schwinguugszahln proportional^^. Geht man daher von n aus, 
so mufs die Form p -]- q sin^B für n^ gewählt werden und nicht für 
n selbst, d. h. man mufs setzen 

n^^d = p + q Bin^B (7) 

und Idd] zu. einem Minimum machen. Da n weÄig variiert, darf 
man auch, wie u. a. Baify und Clarke gethan haben, setzen : 

. (n + *)^=i> + ^sin^^, (8) 

wobei dann rechter Hand S^ zu vernachlässigen und die Summe der 

(nd)^, oder was nahezu dasselbe giebt, der d^, zu einem Minimum 

zu machen ist. 

Würde man aber (wie Borenius, vergl. die Anmerk. S. 87) die 

Gleichung 

n + * = p, + (/Tj sin«^ (9) 

ansetzen, so würde man damit eine Formel zu gründe legen, die der 
gesuchten Formel (4) gar nicht entspricht, beim Übergang zu g 



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§ 34. Forteetzung: Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate. 237 

noch ein Glied vierten Ranges nnd trotzdem nicht die besten Werte 
von G und G\^^ ergiebt. 

Es ist hier der Ort, auf eine scheinbare Differenz mit den Angaben 
auf S. 43 von H. Brwns, Figur der Erde, hinzuweisen. Daselbst wird be- 
hauptet und durch ein Beispiel erläutert, dafs die Methode der kleinsten 
Quadrate in ihrer Anwendung auf die Schwere wegen der Störungen 
auch bei gleichmäfsiger Verteilung der Angaben für g nicht notwendig 
denjenigen Wert von bt liefert, den man im Sinne des zweiten Kapitels 
zur Bestimmung eines Niveausphäroids erwartet. Dies steht in direktem 
Gegensatz zu unseren Angaben, jedoch wesentlich nur deshalb, weil wir 
uns g wegen Kondensation gewisser Massen in der Erdkruste reduziert 
denken, während Bruns den wie üblich aufs Meeresniveau ohne Konden- 
sation reduzierten Wert g voraussetzt. Stokes dagegen glaubte auch ohne 
Reduktion wegen Kondensation das richtige b^ zu erhalten ; es ist also für 
diese Ansicht durch Bruns eine Berichtigung gegeben. Aber letzterer 
teilt nicht mit, wie zu dem besten Werte von bi zu gelangen oder wie 
der Fehler bei dem Ergebnis des gewöhnlichen Verfahrens zu schätzen 
ist. Unsere Methode hat nun u. a. den Vorteil, zu einer Schätzung dieses 
Fehlers zu führen: man hat nur nötig, Formel (3) auf die geschätzten 
Kondensationsbeträge anzuwenden und daraus dli« sowie mittelst Clairauts 
Theorem du zu berechnen. Sie giebt auch wesentlich dasselbe Niveau- 
sphäroid, welches Bruns annimmt, weil die Kondensation Schwerpunktslage, 
Axenlage und Trägheitsmomente der Erde nur unerheblich ändert, sodafs 
in den^ den Niveausphäroiden U zu gründe gelegten einfiächen Potential- 
ausdrücken bei Bruns und hier (im 2. Kapitel) wesentlich dieselben 
Konstanten auftreten. 

Wir müssen nun allerdings erwähnen, dafs immerhin auch nach Be- 
rücksichtigung der Kondensation sich für die theoretische Richtigkeit der 
^run^schen Behauptung noch ein Grund ergiebt, den wir gleich hier im 
Anschlüsse an den weiterhin folgenden § 39 erledigen. Daselbst wird 
nach einem Näherungsverfahren aus dem allgemeinen Ausdrucke für das 
Potential W der allgemeine Ausdruck für g in Kugelfunktionen abgeleitet. 
Wenn man diese Entwicklung dahin verbessert, dafs bei Ableitung von g 
aus Gleichung (4) daselbst für r' überall, wo einfach B gesetzt ist, der 
elliptische Wert angewandt wird, so erscheint der Koefficient hf beein- 
flufst von den Koefßcienten der höheren Kugelfunktionen von W: er 
gestaltet sich somit etwas anders als bei der Entwicklung aus U. Da nun 
die oben behandelte Berechnung einer Interpolationsformel für g den 
ersteren Wert von b^ ergiebt, so pafst dieser nicht streng zu dem Niveau- 
sphäroid. Allein die Substitution von B für r genügt, wie auch am 
Schlüsse von § 39 bemerkt wird, und wie man leicht verifizieren kann, 
völlig für Kugelfunktionen von mäfsig hohem Range, wie sie kontinen- 
talen Störungen entsprechen. Den lokalen Störungen genügt die Rechnung 
freilich nicht; diese äufsem sich aber wenig in der Form des Geoids, 
vielmehr wesentlich nur in g, woselbst sie gleiche Ordnung wie die kon- 
tinentalen erlangen. Ihr Einflufs auf ii, ^^m^ indessen aus den Abweichungen 
der Einzel werte g gegen die Interpolationsformel seinem mittleren Betrage 
nach geschätzt werden, wenn man die hierbei unschädliche Fiktion macht, 
dafs alle diese Abweichungen lediglich zufälligen Ursprungs seien. 



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238 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meereaniveau. 



§ 35. Ableitung einer luterpolationsformel fOr die Länge 
des Sekundenpendels und f&r die Schwerkraft. 

Wir untersucheo zuerst die VerteiluDg vou Fedtland F und 
Meer M in verschiedenen Breiten für die nördliche und südliche Erd- 
hälfte^ sowie für beide zusammen. Folgende Tabelle zeigt die An- 
zahl der Längengrade für beide Charaktere F und M. 





Nord 


Sfld 


Znsaminen 


Breite 


F 


M 


F 


M 


F 


M 


0«- lO" 


100» 


260« 


110» 


250» 


210» 


510» 


10 — 20 


120 


240 


i 90 


270 


210 


510 


20 — 30 


150 


210 


90 


270 


240 


480 


30-40 


170 


190 


40 


320 


210 


510 


40 — 50 


210 


150 


1 ^^ 


350 


220 


500 


50 — 60 


230 


130 


1 - 


360 


230 


490 


60-70 


290 


70 


30 


330 


320 


400. 


70-80 


120 


240 


90 


270 j 


210 


510 



es 



Es zeigt sich hier die merkwürdige Thatsache, dais für die nord 
liehe und südliche Erdhälfte zusammengenommen F in nahezu kon 
stantem Verhältnis zu M steht Infolge dieses Umstandes ist 
möglich unter der Voraussetzung, dafs in allen Breiten die Schwer- 
kraftsdüferenz M — F konstant ist, ohne Kenntnis der Schwerkraft 
auf dem Meere, nur aus den Beobachtimgen der Schwerkraft auf dem 
Lande, den zur Berechnung der Abplattung a geeigneten Wert von }^<^ 
abzuleiten. Die Inselbeobachtungen, welche doch nicht die Schwer- 
kraft auf dem offenen Meere geben, lassen wir als zu ungleichmäfsig 
verteilt aufser acht. 

Verstehen wir unter £ eine beobachtete und gehörig aufs Meeres- 
uiveau, sowie wegen Kondensation reduzierte Länge des Sekunden- 
pendels, so setzen wir mit Rücksicht auf S. 236 (6), wenn d eine 
Verbesserung, B die geographische Breite und x und y zu bestimmende 
Konstanten sind: 

£ + d=:a; — j^C082^. (1) 

Für y setzen wir unter Einführung eines Näherungswertes 



und erhalten 

oder 
wobei 



0,002636 (1 - -j^) 

£ + d = X — 0,002636 (l - -^\ cos 2B 

C + d = a; + 0,00002636 cos 2^ . ij , 
r = f + 0,002636 cos 28 



(2) 
(3) 



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§ 35. InterpolatioDsformel für die Schwerkrafb. 



239 



ist. Die Werte von £"' für die einzelnen Orte giebt die Haupttabelle 
§ 29 S. 215 u. S. und nach derselben die Tabelle § 31 S. 226 *ür 
Gruppenmittel. Diese Vereinigung in Gruppenmittel empfiehlt sich, 
um die nach § 34 notwendige Verteilung nach der geographischen 
Breite annähernd herzustellen. Darnach soll die Anzahl der Beob- 
achtungen in der Breite B proportional cosB sein. Es ist daher den 
Gruppenmitteln strenggenommen ein Gewicht proportional dem Mittel- 
werte von cosB für die Gruppe beizulegen. 

Um auch in geographischer Länge innerhalb jeder Gruppe eine 
möglichst günstige Verteilung herzustellen; vereinigen wir im allge- 
meinen in jeder Gruppe die Werte von £" für F und K zu einem 
einfachen Mittel mit Rücksicht darauf; dafs die A^- Werte besser ver- 
teilt sind; als die /"-Werte. In einigen Fällen wird aber davon ab- 
gewichen. Der Vorgang ist im einzelnen folgender: 

Gruppe — 10®. Da für F nur ein Wert existiert, werden die 
Werte £" für F und A^ mit Rücksicht auf ihre Anzahlen 1 und 8 
zu einem Mittel vereinigt. Strenggenommen ist hierbei noch die 
Differenz F — K = — 8 zu berücksichtigen, die wir aber als zu un- 
sicher ignorieren. Das Mittel wird 0,993568. 

Gruppe 10 — 20® bis mit 50 — 60». Hier wird einfach gemittelt 
ohne Rücksicht auf die Anzahlen. Das ist sehr notig, weil von 10—30® 
alle -F- Werte lediglich in Indien genommen sind und bei 50 — 60® 
nur in Europa; bei 30 — 40® und 40 — 50® sind sie zwar etwas besser 
verteilt, doch auch nur auf zwei oder drei Gebiete. 

Gruppe 60 — 70®. Hier giebt es zwar nur /'-Werte, indessen haben 
dieselben teilweise nahezu Küstencharakter bei leidlicher Verteilung. 

Gruppe 70 — 80®. Hier ist nach der Anzahl zu mittein; Verteilung 
ziemlich gut. 

Die zu (2) notwendigen Paktoren 0,00002636 cos 2B oder 26,36 cos 2B 
in Mikrons giebt für die einzelnen Gruppen die letzte Kolumne der 
Tabelle S. 226. Dieselben sind für die Mittelwerte der C aus den 
F' und JT- Werten in derselben Weise zu vereinigen wie die £" selbst. 
Damit ergeben sich nachstehende Fehlergleichungen, Mikrons als 
Längeneinheit genommen: 



99 3568 


■+«, 


= 


X + 25,5 ij 


3559 


+ s. 


= 


X + 22,9 n 


3628 


+ *, 


= 


X + 17,5 ij 


3552 


+ 9, 


= 


X + 10,4 ij 


3551 


+ 9, 


=■ 


x+ 1,5 ij 


3555 


+ 9, 


= 


X— 8,0ij 


3540 


+ *7 


= 


X — 16,2 71 


3549 


+ *8 


-= 


X — 22,5 Tj 



(4) 



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240 3- Kapitel. Die Schwerkraft im UeereBuiyean. 

Sehen wir nun zunächst von der Annahme der Gewichte propor- 
tional zu cos^ ab und nehmen für alle Gleichungen das Gewicht 1 
an, so folgt aus (4) durch Bildung der Nomialgleichung für x nach 
Division mit 8: 

993550 = ar -f 3,9 ij . (5) 

Zieht man diese Gleichung von den Gleichungen (4) ab, so ei^ 
geben sich die Gleichungen 

18 + 5, = 21,6 n 
9 + dj = 19,0 11 

— 22 + ^3 = 13,6 11 

2 + «,= 6,5, 

1 + *, = - 2,4, ^''^ 

5 + «Je 11,9 'J 

' — 10 + «7 20,1 , 

- l + tfg 26,4,, 

deren Surnme^ abgesehen von den 8 j wie es sein mufs, hinreichend 
gleich null ist. 

Als Normalgleichung für ri folgt aus (6): 

439 = 2304 ri ; (7) 

es wird daher 

r\ = + 0,19 und y = 0,002631 , 

und ferner mit Rücksicht auf (5): 

f = 0,993549 — 0,002631 cos 2B , 

oder unter Einführung von sin^^: 

ff = 0,990918 + 0,005262 sin^^ = 0,990918 ( 1 + 0,005310 sin^^ j .(8) 

Die Verbesserungen d werden in Mikrons 

d, = - 13,9 *5 = — 1,5 

^2 = — 5,4 8^ = — 7,3 

*3 = + 24,6 *, = + 0,2 

*4 = — 0,8 *8 = — 4,0 

Hieraus folgt [dd] = 937 und der mittlere Fehler [i einer Gleichung 
demnach gleich 

^«/^ = + i2,6. 
Mit Rücksicht auf (7) wird darnach der mittlere Fehler in i] gleich 
— ^'— d.i. +0,26; 



^2304 



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§ 36. Forteetzang: Plausible Grenzen der Abplattung. 241 

es ist somit y mit seinem mittleren Fehler gleich 

y = 0,002631 (l + 0,0026) . 

Endlich folgt hieraus der mittlere Fehler des Koefficienten 5310 von 
sin'^ in (8) gleich + 14. Als Resultat der Ausgleichung ergiebt sich 
somit die Länge des mathematischen Sekundenpendets für Festtand und 
Küsten, nach der Kondensationsmethode aufs Meeresniveau reduziert^ 
gleich 

ff = 0,990918 j 1 + [0,005310 + 14] sin^i?} Meter . (8») 

Durch Multiplikation mit n'^ wird für die entsprechend reduzierte 
Schwerkraft erhalten 

g = 9,7800 j 1 + [0,005310 + 14] sin^^ } Meter . (9) 

Im zweiten Kapitel S. 85 ist hierzu die Abplattung berechnet 
worden; mit Angabe des mittleren Fehlers wird 

« = 0,0033416 + 140 = ^,,^,'^^ • (10) 

§ 36. Fortsetzung: Plausible Grenzen der Abplattung. Wir 

haben zunächst noch nachzuweisen, dafs die Vernachlässigung in der 
Gewichtsannahme bei der Ausgleichung des Systemes (4) keinen 
wesentlichen Fehler giebt. Die mittleren Werte von cos^, also die 
Gewichte, sind für die Gleichungen (4) der Reihe nach sehr nahe 

1,00 0,71 

0,97 0,57 

0,91 0,42 

0,82 0,26 . 

Bildet man hiermit die Normalgleichungen, so findet sich x wie früher, 

ferner ly = -j- 0,25 

und y = 0,002629, 

mithin kein wesentlich anderes Resultat. 

Wir weisen jetzt nach, dafs die südliche Halbkugel, wo weniger 
Beobachtungen als auf der nördlichen vorliegen, keine nennenswerte 
Abweichung von der nördlichen verrät. Zu diesem Zwecke stellen 
wir nach der Tabelle des § 29 S. 215 die Verbesserungen zusammen, 
die sich für die südlichen Stationen ergeben. Da die Werte in der 
Tabelle mit 0,002636 cos2i? reduziert sind, ist noch eine kleine Ver- 
besserung wegen des Überganges auf 0,002631 cos 2^ anzubringen und 
sodann mit 0,993549 zu vergleichen. 

Helmert, mathem. n. physUuü. Theoric«n der höh. Geodfiiie. IL 16 



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242 



3. Kapitel. Die Schwerkraft im Meereeniveau. 
Südstationen. 



Ort 



Breite 



I 



Rawak 

Para 

Maranham . . . 

Fernando 

Ascension 

Bahia 

St. Helena i 16 

Isle de Frauce ... i 20 

Rio Janeiro j 23 

Valparaiso I 33 

Paramatta ! 34 



1 
3 
4 
8 
13 



Port Jackson . . . 
Kap d. g. Hoffn. 
Montevideo 



Falkland Inseln . . 

Staten Jsland 

Kap Hörn 

Süd Shetland Ins. 



34 
34 
35 

52 

55 
56 
63 



«■' 


Verb. 


Char. 


0,99 3572 


— 23 


W 


3567 


- 18 


K 


3519 


+ 30 


kJ) 


3567 


(-18) 


I 


3578 


(-29) 


I 


3548 


4- 1 


K 


3642 


(-93) 


I 


3640 


(-91) 


I 


3534 


+ 15 


K 


3526 


+ 23 


K 


3533 


+ 16 


K 


3588 


-39 


K 


3639 


-90 


K 


3542 


+ 7 


K 


13544 
3462 


+ 5| 
+ 87 


(/) 


3611 


— 62 


{1) 


3586 


-37 


K 


3615 


(-66) 


J 



Mittel- 

werte der 

Verb. 



- 4 



+ 1 



+ 15 



~ 17 



Schliefst man die /-Werte aus, so bemerkt man in der That kein 
Vorherrschen eines Vorzeichens der Verbesserung. Hiermit ist eine 
wesentliche Grandlage unserer Rechnung ziemlich gesichert: die 
Gleichheit beider Erdhälften , wenigstens insoweit Festland- und 
Eüstenmessungen dies erkennen lassen. 

Was die andere Grundlage anlangt, dafs die DiflFerenz der Pendel- 
Jängen für Meer und Festland in allen Breiten konstant sei, so ist 
allerdings hierfür das Beobachtungsmaterial sehr dürftige da in 
höheren Breiten nur eine Insel, Süd-Shetland, vorkommt. Jedoch be- 
stätigt auch diese die Annahme der Konstanz der Differenz M — F. 

Nehmen wir aber einmal an, da(s in höheren nördlichen und 
südlichen Breiten diese Differenz nur halb so grofs sei wie am Äqua- 
tor und von hier nach den Polen hin allmählich abnähme, so ist 
leicht zu erkennen, dafs nun zwei Drittel des Betrages der halben 
Differenz für äquatoriale Gegenden auf Verminderung des Koefficien- 
ten 5310 in (9) wirken, weil nach der Tabelle auf S. 238 in geographi- 



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§ 37. Die Schwerkraft auf der physischen Erdoberfläche. 243 

scher Länge die Verteilung von Festland und Meer rund wie 1 : 2 sich 
verhält. Setzen wir nach S. 227, indem wir für M — F schätzungs- 
weise 1 — F nehmen, M — /'am Äquator gleich 100, so würde sich 

also 5310 um -r- • 50 d. i. 33 vermindern und in 5277 übergehen, die 

Abplattung aber würde von 0,0033416/ auf 0,003375 oder V296 an- 
wachsen, ^y^ 

Eine noch gröfsere Abplattung erscheint uns nicht wahrschein- 
lich ; jedenfalls ist 7289; 2" ^^^ Koefficienten 5200 gehörend, zu grofs. 
Denn um diesen Koefficienten herauszubringen, mufs man annehmen, 
dafs die Differenz M — ^ am Äquator um 160 Mikrons gröfser ist 
als an den Polen. Dieser Betrag ist selbst mit Rücksicht auf ver- 
nachlässigte, imbekannte Kondensationseffekte höchst unwahrscheinlich. 
Auch derjenige Wert, den Clarke sowohl aus den Gradmessungen 
wie aus den Pendelbeobachtuugen für die Abplattung a findet (vergl. 
Bd. 1 S. 610 und Bd. 2 S. 89), nämlich 7394, erscheint uns nicht sehr 
wahrscheinlich. 

Wie wir weiterhin im 6. Kapitel § 7 finden, führen die Mond- 
storungen zu dem Werte a = V^ot'S» ^^^ obgleich dieser Wert zufolge 
seiner Ableitung um mehrere Einheiten unsicher erscheint, giebt er 
doch eine wertvollere Kontrolle als die Gradmessungen für das Er- 
gebnis der Pendelmessungen und dient zur Bestätigung unserer Rech- 
nung. Im 6. Kapitel werden wir ferner sehen, daCs wohl diese Ab- 
plattung, aber nicht Yjsoj ™^* ^^^ Ergebnissen der Präzession und 
Nutation zu einer plausiblen Funktion für die Dichtigkeitsänderung 
im Erdinnern führt. 

Die Haupttabelle § 29 S. 215 u. ff. zeigt die Abweichungen der ein- 
zelnen Längen £" von den entsprechenden Formelwerten, wobei aller- 
dings nicht der günstigste Koefficient 2631, sondern 2636 zur An- 
wendung gelangt ist, was jedoch bei der Gröfse der Einzelabweich- 
ungen bedeutungslos bleibt. Diese Einzelabweichungen machen ganz 
den Eindruck lokaler Anomaliecn; nur bei den Inseln ist vielleicht ein 
Teil kontinental, jedoch gestattet das vorliegende Beobachtungsma- 
terial nicht dieses zu entscheiden. (Vergl. S. 227 sowie § 38 im 
4. Kap.) 

§ 37. Die Schwerkraft auf der physischen Erdoberfläche. 

Im § 20 des 2. Kap. S. 97 ist angegeben worden, wie man 
mittelst der Formel, welche die Variation der normalen Schwerkraft 
im Meeresniveau mit der Breite darstellt, für einen Ort in der Meeres- 
höhe H den normalen Wert der Schwerkraft ableiten kann. Wenn 
nun an einem Orte der physischen Erdoberfläche g nicht beobachtet 
ist, so kann die Frage von Interesse sein, welche Verbesserungen am 
Normalwerte von g anzubringen sind, um dem wirklichen Werte 

16* 



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244 3. Kapitel. Kontinentale Unduiationen des Geoids. 

möglichst nahe zu kommen. Insbesondere fragt es sich, inwieweit 
die Anziehung des Terrains zwischen physischer und mathematischer 
Erdoberfläche zu berücksichtigen ist. 

Wenn wir aber auf die Ableitung der Formel (9) für die Schwer- 
kraft g bezw. (8*) für die Länge des Sekundenpendels C im Meeres- 
niveau auf S. 241 zurückblicken , so kann es nicht zweifelhaft sein, 
dafs der Übergang vom Meeresuiveau zu der Meereshöhe H so zu ge- 
schehen hat, als erfolge er in freier Luft. Denn bei dem umgekehrten 
Übergang eliminiert sich durch die Eondensationsmethode die Terrain- 
anziehung ebenfalls — wenn auch nicht vollständig» so doch gröfsten- 
teils. Die Vorschriften im § 20 S. 97 reichen daher völlig aus, um 
für die physische Erdoberfläche g aus Formel (9) S. 241 (und ent- 
sprechend ff) herzuleiten. Eine Berücksichtigung der Terrainanziehung 
im Sinne des Gliedes (3) S. 164 würde im allgemeinen von der Wahr- 
heit entfernen. Nur für kleine Inseln im ofi'enen Ocean hat man den 
erhaltenen Wert der Pendellänge um etwa 200 Mikrons zu vergröfsern, 
wie die Angaben auf S. 226 erkennen lassen. 

Die Fehler, welche in dieser Weise berechnete Pendellängen gegen 
die wirklichen haben können, zeigt die Kolumne „Verb." der Tabelle 
des § 29 S. 215 u. flf.; nur ist bei den Inselwerten + ^00 hinzuzufügen. 
Die mittlere Abweichung, berechnet aus den ersten Potenzen, {Aus- 
gleichungsrechnung S. 19) wird gleich: 

+ 34 Mikrons 
oder 

±-3ÖÖÖÖ^^' Betrages 
von g bezw. ff. 

§ 38. Allgemeines Aber die Ermittelung kontinentaler Un- 
duiationen des Geoids. Nachdem in diesem Kapitel eine solche 
Reduktion der Schwerebeobachtungen auf den Meeresspiegel ange- 
geben worden ist, dafs die Entwicklung der Potentialfunktion W der 
Schwerkraft nach negativen Potenzen des Radiusvektors aufserhalb 
bis zur Geoidfläche gültig erscheint und die hierauf aufgebauten Ent- 
wicklungen des zweiten Kapitels einwurfsfrei sind, entsteht die Frage, 
ob es möglich ist, aus den Schwerebeobachtungen die Form des Geoids 
im Detail zu erkennen. Denn das zweite Kapitel lehrt nur die Be- 
stimmung der Form irgend eines Niveausphäroids, entsprechend einer 
einfachen Interpolationsformel für die Beschleunigung^ der Schwer- 
kraft im Meeresniveau, eines Niveausphäroids, das mit einem Rotations- 
ellipsoid fast ganz identisch ist: des Normalsphäroids (§ 17 S.89). Wenn 
wir uns aber den hierbei eingeschlagenen Gang vergegenwärtigen, 
so leuchtet ein, dafs es nur einer Interpolationsformel mit mehr 
Gliedern für g bedarf, um die Formen des Geoids detaillierter zu 
erkennen. 



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§ 39. Belationen f. d. Abweichungen des Geoids vom Normalsphäroid. 245 

Allein dieser sich unmittelbar darbietende Weg ist praktisch von 
geringer Bedeutung, erstens wegen zu geringen Materials an Beob- 
achtungen für g^ zweitens wegen der Schwierigkeit der Ableitung 
einer gliederreichen Interpolationeformel. Der erste Grund führt zu 
einer Änderung der Methode; der zweite zu einer Änderung der 
Rechnungsvorschriften. Unter der Voraussetzung genügenden ßeob- 
achtungsmaterials hat Siokes eine Formel gegeben^ um ohne Ableitung 
einer Interpolationsformel die Abweichung des Geoids von einem ge- 
wissen einfachen Niveausphäroid an irgend einer Stelle zu berechnen. 
Man kann diese Formel als eine strenge bezeichnen ; sie bedarf aber 
eigentlich zu ihrer Anwendung die Kenntnis von g auf der ganzen 
Oberfläche. Kennt man g nur an einer Stelle und will hieraus, d. h. 
aus seiner Abweichung von dem entsprechenden Wert der dem Ni- 
veausphäroid zu gründe liegenden Formel, die Abweichung des Geoidd 
an der betreffenden Stelle berechnen, so kann das offenbar ohne 
Hypothesen (welche die mangelnde Kenntnis von g auf der ganzen 
Oberfläche ersetzen) nicht geschehen. Diese Methode führt also nur 
zu Näherungsformeln. Leider wird sich zeigen, dafs diese Formeln 
wertlos sind und selbst bei gehöriger Vervollständigung wohl eine 
Bedeutung, aber nicht die gewünschte, erlangen. 

Alle diese Wege sind analytischer Natur. Ein synthetischer 
bietet sich dar bei der (sicher nicht korrekten) Annahme, dafs die 
sichtbaren Massenunregel mäfsigkeiten der Erdrinde allein Ursache 
der Abweichungen des Geoids seien. Das Potential T dieser Unregel- 
mäfsigkeiten läfst sich schätzen, und das BrunsHoke Theorem (§ 5 
S. 148) gestattet sodann die Berechnung der Abweichungen. Dieser 
Weg, obwohl nicht geeignet zur Ermittelung der wahren Beträge 
der Abweichungen des Geoids, bietet doch viel Interesse. Er wird 
den Gegenstand des vierten Kapitels bilden, während wir hier noch 
die anderen, oben angedeuteten Fragen erörtern. 

§ 39. Strenge Belationen fttr die Abweichungen des Geoids 
vom zugeliorigen Normalspliäroid. Das Potential W der Schwer- 
kraft setzt sich zusammen aus dem Potential V der Anziehung und 
dem Potential der Zentrifugalkraft. Es ist also, vergl. § 5 (7) S. 60: 

^ = F + Y oV'2 cosV (1) 

und dabei mit Rücksicht auf S. 66 § 7 (4) : 

^=V^ + 7i-'+#' + $'+---- (2) 

Hierbei sind r , tp und A' bezw. Radiusvektor, geozentrische Breite und 
Länge des angezogenen Punktes, und es bezeichnen Ä^o , ^2? ^s» ^i 
u. 8. f. Kugelfunktionen von tp und A' nullten, zweiten, dritten, vierten 



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246 



3. Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 



Kanges u. s. f. Die besonderen Werte von Kq und K^ zeigt die er- 
wähnte Gleichung (4) unschwer, speziell K^ ist gleich Mk^. Im Ver- 
gleiche zu dort ist jetzt Mk'^ in K^ u. s. f. mit inbegriffen. 

Multipliziert man Gleichung (1) mit r : W ^ so folgt mit Rück- 
sicht auf (2): 

r' = A(iS'o' + ^ + f^ + §'+...+l(»V'»co8>'). (3) 

Andrerseits wird die radiale Komponente der Schwerkraft gleich 

-^ ^^[k^ + '-^ + i^» + ^-fi +. . . - a,V'3 cos^,,') . (4) 

Beide Gleichungen denken wir uns auf die Geoidfläche ^ = ^^ be- 
zogen. Wenn wir nun dieselbe Genauigkeit in den weiteren Ent- 
wicklungen festhalten wie in § 10 und § 11 des zweiten Kapitels 
S. 72 u. ff., dabei aber die Glieder mit K^^ Kl u. s. f. ebenso beröck- 

sichtigen wie dasjenige mit K^y so ist zunächst k-t- gleich der 

Schwerkraft g selbst; und es ist ferner (unter einer gewissen noch zu 
besprechenden Voraussetzung) erlaubt, rechter Hand von (3) und (4) 
in den Parenthesen für r' den mittleren Radius R einzuführen. Diese 
Gleichungen gehen hiermit, und wenn wir (um alles in Kugelfunktionen 

darzustellen) für cos^ schreiben y + (y ~ sin^j, über in: 



1 



und 



(a','+ i- (D»Ä») + i- o'TJ» (1 - sin V) 

"T" :b« "*" i23 "T üT "!-••• 

' (ä^o' - I «''Ä») - ^-^B? (I - sin V)^ 
">" iJ' "T" B? "r 2i< -r ■•• 



(5) 



(6) 



Mit Rücksicht auf die Bemerkung zu Gleichung (5) S. 66 ist das 
Glied nullten Ranges in (5) der Mittelwert R der Radienvektoren der 
Geoidfläche (im Sinne von S. 66), und man hat daher 

^=r„(^o' + ia'^Ä^)=#;(H-ic), (7) 

sowie ferner, immer mit gleicher Genauigkeit der Entwicklungen: 

r' = /i|l+lt(i._8inV)+-^^g+^+^. + ...l,(8) 

wobei für d^R^ : K^ das Symbol t gesetzt wurde, welches hier als 
übereinstimmend mit der in (12) § 11 S. 76 eingeführten Gröfse t zu 
betrachten ist. 



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§ 39. Relationen f. d. Abweichungen des Geoids vom Normalsphäroid. 247 

Hieraus folgt 
1 1 f. ^/i • 9 A 2X,' 2Z3' 2Jr/ \ 

und durch Substitution dieses Ausdrucks für 1 : r ^ in (6) mit üblicheu 
Vernachlässigungen : 






+ ^t I 2 Jfg I ^^*_ I 



(9) 



Der Mittelwert von g im Sinne von S. 66 ist hiemach 

Wir führen denselben in den Ausdruck (9) für ff ein und setzen zu- 
gleich 

Jx.f » cJi.^ . 3xL4 . o /1 1 \ 

KilP ™ *2 ' 'Ko'B' "^ *3 ' Ka'M* °° *4 5 u. 8. 1. , (1 1 ; 
womit (9) und (8) fibergeheu in: 

ff=,G[l-2c(l-8m^q>')+/c,-\-k, + k,+ ...] , (12) 

r' = Ä| l + -lc(i— 8inV) + A, + lÄ:3 + |A:, + . . . ) . (13) 

Diese Näherungsformeln; in denen für 9' und X' auch geogra^ 
phische Breite B und Länge L gesetzt werden dürfen, zeigen zunächst^ 
in welcher Weise für die Geoidfläche die höheren Kugelfunktionen in ff 
übergehen auf den Radiusvektor: je höher der Index^ desto geringer 
ist der Einflufs auf r . Lokale Einflüsse in ff, welchen immer Kugel- 
funktionen von sehr hohem Index entsprechen, werden daher den 
Radiusvektor der Meeresfläche wenig beeinflussen — eine Sache^ die 
übrigens synthetisch sehr leicht einzusehen ist (vergl. das 4. Kap.). 

Berücksichtigt man ferner die aus dem Eingang dieses Kapitels 
ersichtliche Thatsache, dafs die Anziehung einer ausgedehnten Platte 
auf Punkte über ihrem mittleren Teile wesentlich nur von der Stärke 
derselben abhängt, so leuchtet nun andererseits ein, dafs kontinentale 
Massenunregelmäfsigkeiten die Schwerkraft ff nur etwa von gleicher 
Ordnung beeinflussen wie lokale, dafs daher in einer Darstellung von 
ff nach Kugelfunktionen der geographischen Breite und Länge die 
Koefficienten in ^3, k^ u. s. f. bis zu hohen Lidices durchschnittlich 
annähernd gleiche Ordnung besitzen werden, und dafs daher, weil in 
den Kugelfunktionen mit wachsenden Indices auch die Anzahl der 
Koefficienten wächst (vergl. S. 65), eine sehr grofse Anzahl von Ko- 
efficienten notwendig werden würde zu einer einigermafsen voUstän- 



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248 3* Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

digen Darstellung von g. An eine solche Darstellung ist natürlich 
wegen mangelnden Beobachtungsmaterials nicht zu denken, aber auch 
die Rechnung würde kaum zu bewältigen sein; sie würde schon bei 
Beschränkung auf die wichtigsten kontinentalen Glieder erheblich 
werden und Hunderte von Koefficienten betreffen. 

Deshalb hat Siokes in seiner mehrfach erwähnten Abhandlung 
eine Formel entwickelt, welche gestattet, die Anomalieen in r' aus 
denen in g ohne Reihenentwicklung zu berechnen. Diese Formel hat 
freilich gegenwärtig nur theoretischen Wert, aber sie ist insofern von 
Wichtigkeit, als sie den einzig richtigen Weg zur Berechnung der 
Anomalieen im Radiusvektor, d. h. der Unterschiede N zwischen dem 
Geoid und seinem Niveausphäroid (Normalsphäroid), aus Schwerebeob- 
achtungen zeigt. Auch ist die Möglichkeit einer praktischen Ver- 
wendung der Formel in nicht zu ferner Zeit zu hoffen. 

Bei der Entwicklung dieser Formel im nächsten Paragraphen 
behalten wir die Näherungsrelationen (12) und (13) bei, da dies für 
unsere Zwecke einer allgemeinen Orientierung in der Sache ausreicht. 
Sollen die erwähnten Relationen strenger entwickelt werden, so ist 
dies nach Mafsgabe (und event. mit Benutzung) der Entwicklungen 
der §§ 12 bis 15 des vorigen Kapitels S. 77 u. ff. leicht zu bewerk- 
stelligen. Es werden dadurch übrigens in den Gliedern obiger Formeln 
mit Eugelfunktionen fünften und höheren Ranges keine Änderungen 
herbeigeführt. Da man femer die zweiten Potenzen der Kugelfunk- 
tionen vom dritten und höheren Range, und ebenso ihre Produkte in 
Koefficienten der Kugelfunktionen vom zweiten Range vernachlässigen 
kann, bleiben die Ausdrücke für g undr' frei von Gliedern ersten Ranges. 

Zu bemerken ist aufserdem, dafs die Zulässigkeit der Substitution 
von R für r ebenso wie eventuell diejenige von B und L für 9' und X 
in den Parenthesen der Gleichungen (3) und (4) bei den Gliedern 
von sehr hohem Bange zweifelhaft erscheint. Denn offenbar weicht 
z. B. r'^^® von R^^^ sehr ab, obgleich r imd R wenig verschieden 
sind. Die weitere Erörterung dieser Frage kann indessen hier unter- 
bleiben, weil aus praktischen Gründen jede Anwendung der Entwick- 
lungen dieses und des folgenden Paragraphen nur kontinentale Ano- 
malieen ins Auge fassen kann. 

Die Beziehung zwischen den Eugelfunktionen von höherem als dem zwei- 
ten Bange in TT, g und r\ sowie dem Krümmungsradius ^ (genauer: der 
Gradeslänge) erörtert schon Laplace, M6c, cü, t. II, 1. III p. 97. Vergl. 
auch Thomson und Taüy Handbuch der theor. Fhysik I, 2 S. 344 — 346 
uDd 336. Wir beschränken uns auf das hier Gegebene, da die betreffen- 
den Relationen ihrem Wesen nach synthetisch weit leichter zu erlangen 
sind (4. Kap.). Vergl. übrigens noch den Schlufsparagraphen des dritten 
Kapitels. 

Es mag hier auch erwähnt werden, dafs die Anwendung des Glaxra%^- 
sehen Theorems auf Teile der Erde unstatthaft ist. Wollte man also 



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§ 40. Stckes* Schätzung kontinentaler Abweichungen. 249 

fClr g eine Formel p-j- 9 »in*^ aus Beobachtungen ableiten, die sich nur über 
einen Kontinent erstrecken, so würde das nach Cla%raut% Theorem berech- 
nete H wohl allenfalls ein Näherungswert für die £rdabplattung sein, 
aber nimmermehr für die spezielle Ab|.lattung des Kontinents. Dies tritt 
aus den Entwicklungen des § 39 deutlich hervor, da diese eben nur gelten, 
wenn die ganze Erde ins Auge gefafst wird Hier besteht ein wesentlicher 
Unterschied mit Gradmessungen, welche ja auch für einen Teil der Erde 
allein die Krümmungsverhältnisse angeben können. 

Borenius versucht S. 26 seiner früher (S. 87) erwähnten Abhandlung 
eine Formel für spezielle Abplattung aufzustellen; allein sie ist zu hypo- 
thetisch, um erwähnt zu werden. 

§ 40. Formel von Stokes zur Schätzung kontinentaler Ab- 
weichungen des Oeoids. 

Ißt für die Beschleunigung g der Schwerkraft eine Interpolations- 
formel ^a (1 + b sin^^) augenommen, so weichen deren Ergebnisse 
von den wirklichen Werten g ab. Für diese haben wir nach (12) 
des vorigen Paragraphen den Ausdruck 

g = G[\ -2t(|-sinV) +k, + k, + k, + ...) , (1) 
für jene, welche wir mit y bezeichnen wollen, dagegen 

y = <?(l-l»(l-8mV))- (2) 

Der letztere Ausdruck folgt aus ga{\ + ^ sin^^), wenn zunächst für 
sin'^ geschrieben wird /sin^g)' — ~j + — • und sodann für ^a (l + y) 
das Symbol G gesetzt wird. 

Die G beider Formeln sind identisch, da sie denselben Mittelwert 
vorstellen. Wir werden übrigens am Schlüsse der Entwicklungen 
nachweisen, dafs eine Differenz der G nichts ausmacht. Aus (1) und 
(2) folgt nun durch Subtraktion, wenn 

g = Y+ ^9 (3) 

gesetzt wird: 

^^=c{(|,_2c)(]--smV) + *, + *3 + A:4+...j • (4) 

Für den Radiusvektor r hat man nach (13) des vorigen Para- 
graphen, entsprechend der Gleichung (1) für g: 

r'<=Ä(l+i-c(i-_8inV)+A-,+Y*s + T*4+-l- (5) 

Dagegen ist der Radiusvektor, welcher der Gleichung (2) für y ent- 
spricht und dem Normalsphäroid ü = Wq angehört, gegeben durch 
den Ausdruck 

Ä[l + a(]--8inV)|, (6) 



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250 3. Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

welcher aus dem bekannten Ausdrucke a (l — ü sin^^') hervorgeht, 
wenn sin^gj' in — — (-r- — sin^g)'j zerlegt und für an + -r) der mitt- 
lere Radius R des Normalsphäroids gesetzt wird, der nach (7) S. 246 für 
Geoid fF = Wq und Sphäroid U^^ IV^ übereinstimmt. Zu (6) bestimmt 

sich a aus b nach dem ClairautsQh^n Theorem ^ =-- 1 — b • 

Bezeichnen wir nun den Überschufs von r über den durch (6) 
gegebenen Wert mit N : 

r nach (6) = r nach (6) -f" -^ , (7) 

so folgt durch Subtraktion von (5) und (6): 

iV==Ä ((b -2c) (i—sinV) + *2 + 1*, + 1*, +...) . (8) 

Dieses N kann ohne weiteres bei der hier festgehaltenen Genauigkeit 
als Erhebung des Geoids über das durch (6) bezeichnete Normal- 
sphäroid (Erdellipsoid) aufgefafst werden. 

Ziehen wir in (4) und (8) die beiden ersten Glieder 

(b-2c)(|-8inV) + >t2 
in ein Glied ^2* zusammen, so folgt: 

dg=^G[k* +k^ + k^+ ...] (9) 

N^R[k* + ^k, + \k,+ ... ] . (10) 

Wir können hier sogleich darauf hinweisen, dafs ein in li und 
demgemäfs in der Bestimmung des Niveausphäroids (6) begangener 
Fehler sich bei Benutzung der Gleichungen (9) und (10) dergestalt 
verbessert; dafs die Gestalt des Geoids korrekt erhalten wird. Bei 
völlig richtiger Bestimmung von k müfste k^ bis auf Glieder mit der 
geographischen Länge verschwinden. Im allgemeinen denken wir uns 
in (I) und (5) k^ in 

V + (2r-b)(|-sinV) 

zerlegt und erhalten: 

^ = ^{l-ll(|-sinV) +k,^ + fcz + k,+ ...) 

r' = ÄJl+(|r-b)(| -8inV)+V + 1^3 + 1^4+..- 1- 

Bringt man aberC? { l-^{\ — sinV) 1 bezw.Ä { 1+(y^— b)({ — sinV) } 
nach links; so gelangt man wieder zu den Gleichungen (9) und (10). 



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§ 41. Stokes' Schätzung kontinentaler Abweichungen. 251 

§ 41. Fortsetzung: Summierung. Die Entwicklung (9) des 
vorigen Paragraphen ist eine Entwicklung nach EugelfunktioDcn. 
Wir können aber andererseits mit Rücksicht auf (1*) § 28 S. 116 für 
den Wert ^dg in einem bestimmten Punkte P' setzen: 

n=0 

wobei die Integration über die ganze Kugelfläcbe vom Radius 1 aus- 
zudehnen ist und die Pn die S. 57 (1) angegebenen Funktionen des 
Winkels zwischen den Radienvektoren nach P' und nach demjenigen 
Punkte y auf welchen sich Jgd6 bezieht, vorstellen. Bei der An- 
nahme der Koordinaten ist man in Formel (1), was zu bemerken 
wichtig ist, nicht an Breite und Lange gebunden^ sondern man kann 
offenbar u. a. auch denjenigen Punkt der Kugelfläche, welcher dem durch 
Formel (1) dargestellten dg entspricht, als Pol annehmen. Dies 
wollen wir thun und als Koordinaten Poldistanzen ^ (anstatt Breiten) 
und Längen % einführen , sodafs 

dö =^ 9m^ dTl) äx (2) 

wird. 

Vergleicht man (1) mit (9) des vorigen Paragraphen Glied für 
Glied, so folgt für irgend einen Index n , insbesondere also auch für 
n = 2 bis oo: 

Die Einführung dieser Relation in (10) des vorigen Paragraphen giebt 
endlich 

welche Reihe nun zu summieren ist*). Um dieses auszuführen, be- 
trachten wir mit Stokes die Reihe 

d. i. also »=* 

S = 5Pjg + |i>3g^ + |/>,g3+.... (5) 

Ist diese Summe gebildet, so wird 

*) In einem ähnlichen^ jedoch einfacheren Falle aummiert bereite Laplace, 
Mec, cel. t. II p. 70 etc., eine nach Kugel funktionen fortschreitende Reihe. 



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252 3. Kapitel. Kontinentale ündulationen des Geoids. 

Aus (5) folgt 

J^=5/>3+7/>,e+y/',g*+ ... 

und weiter hiermit 

C 



V' 



s*-Jf ät = p,t^ + p,i^ + p,i^ +.,. . 



Nach den Gleichungen (5) und (8) S. 50 und 51 ist aber bei beliebigem 
Werte von ^ für g^ <; i 

Diese Entwicklung gilt nach S. 53 § 3 aufserdem für £^ = 1 , falls 
cos^^ < 1 ist. Man hat nun 



i/«»f ät^yt („_.,L,^.ir - ' - ".«) ->^- ^. 



m 



wenn die Parenthese für den Augenblick mit Z bezeichnet wird. Aus 
(7) folgt durch Differentiation 

ds=2r^ d{zj/f) 

und hieraus mittelst teilweiser Integration 

S = 2f-{-ifzt-'dt, (8) 



wobei die untere Integrationsgrenze ohne weiteres zu null angenommen 
werden konnte, weil einerseits zufolge (5) für g ^s null auch S null 
ist, andererseits wegen ^ = /^2S' +^3^^ + • • • <las erste Glied der 
rechten Seite und also überhaupt die ganze rechte Seite der vorigen 
Gleichung für g = null in null übergeht. 

Aus (8) folgt mit Berücksichtigung des Wertes von P^ , der nach 
der ersten Gleichung (9) S. 51 gleich cos^ ist: 

1 

Sc=i V ~ 2 (1 + cosit.) + 3/z t-^ dt (9) 

Bin- }f 

mit 

^ _l-gcos^. (10) 



Kl - 2f cos-^-f- J* 



Um das in (9) auftretende Integral zu erhalten, beachten wir 
zunächst; dafs 



.Kl -2^0081^ + ^» 

i 



l ^^^-„-^ -> 1 dt . 

IsKi-ifcoß^+J« rKl-2jco8^ + £«J 



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§ 41. Stokes' Schätzung kontinentaler Abweichungen. 253 

Es wird daher mit Rücksicht auf die zugehörige Integralformel: 



•/( 



J * * f ^J sKi-äfcosi^ + r 

^ + ~r)'ii- Ol) 

Den Wert des ersten Integrales rechter Hand findet man leicht, wenn 
man für g setzt 1 : z; es geht damit über in 

/COStJf , 

--n^^ _-.:= dz. 
Vi — 2Z COüfp + £P* 

und dieses ist gleich 

— cos ^ log nat 12 z — 2 cos ^ + 2 ]/l — 2 z cos i;^' + z^ } + iConsi, 

Hieirmit, sowie unter Auswertung des zweiten Integrales rechter Hand 
in (11) geht diese Gleichung über in 

Zg dt = j (12) 

— cos^ lognat{2 — 2g cos^ + 2 /l — 2 g cos^ + £^} + ^onst. 
Für g *= 1 giebt die rechte Seite dieser Gleichung 

1— 2sin-|- — cos^lognat{2(l— cos^) + 4sin"|-} + Ä^on^.5 (13) 

für g =as null giebt sie mit Rücksicht auf die Reibenentwicklung der 
yi — 2{; cos^ + £^ °»c^ Potenzen von g: 

cos^ — cos^ log nat 4 + ^omt. (14) 

Mau hat daher aus Gleichung (9) : 

5f=x — CSC ^ — 2 (l + cos^) 

+ 3 jl — 2sin^ - cos^ — cos^lognat(^ -2"- + ^'^ y))'(^-'^) 
und es ist endlich nach (6) und (2): 



"-^'-N- 



in n { csc^ + 1 — 6 sin ^- — 5cos^ 



^9 
G 



— 3cos^ log nat (sin y Fl + sin yj) 



sin^rf^. XI 6) 



Da in der letzten Gleichung die Integration nach ^ die Werte 
^ = null und it einschliefst, so ist noch zu untersuchen; ob die 
Gleichung (15) auch für diese beiden Fälle gilt. {Stokes erwähnt 
dieses nicht.) 



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254 3. Kapitel. Kontinentale ündulationen des Geoide. 

Betrachten wir zunächst den Fall t = null. Hier geben die 
Formeln (5) und (15) beide für 6f=i den Wert unendlich; allein 
unendlich grofsa Werte sind nicht ohne weiteres vergleichbar, und es 
ist also eine Prüfung erforderlich. 

Für t = ^ giebt (15) 5^=1 =1 + 3 lognat2. Dagegen giebt (5) 

6c=i = ö — Y + y-'-'i "^^1- + • • • » 
oder wie man leicht findet: 

^,=. = 3(1-1+1-...+;^^+...) 
+ 2(1-1 + l-...± 1 +...). 

Von den beiden Reihen rechter Hand hat nur die erste eine bestimmte 
Summe, nämlich lognat2; der Wert der zweiten oscilliert zwischen 

null und + 1. (15) setzt dafür augenscheinlich — • Übereinstimmung 

ist hier nicht, aber es handelt sich nur um eine endliche Unsicher- 
heit, welche nichts ausmacht, da sie bei der Integration nur für ein 
differentiales Oberflächenelement in betracht kommt. 

Somit bleibt noch der Einflufs der Anwendung der Formel (15) 
auf (16) für if = null zu prüfen. In Bezug hierauf ist es aber gleich- 
gültig, ob ^ff konstant oder veränderlich ist, weil die Prüfung sich 
nur auf die unendlich nahe Umgebung des Punktes ^ = null zu er- 
strecken hat. Nehmen wir ^^ konstant, so zeigt die direkte Aus- 
rechnung von (16), welche wir im nächsten Paragraphen geben, dafs 
N den richtigen Wert null erlangt. Mithin ist Formel (16) über- 
haupt richtig. 

§ 42. Fortsetzung: Probe und Übersicht. Wir haben bisher 
angenommen, dafs in den Formeln (I) und (2) des § 40 S. 249 G den- 
selben Wert habe; ist er verschieden, so erhält die rechte Seite von 
(9) S. 250 noch ein konstantes Glied k^. Man sieht aber sofort, dafs 
dieses die folgenden Entwicklungen nicht ändert. Deshalb mufs die 
Gleichung (16) für N null ergeben, wenn ^g konstant gesetzt wird. 
Überdies folgt dieses auch unmittelbar aus Gleichung (4) S. 251, 
wenn man die Relation (5) S. 66 beachtet. Es mufs also 

CSC Y -|- I — 6 sin Y — 5 cos 

, sin^ dilf (1) 
— 3 cos^ lognat (sin ^[1 + sin ~T\ 

gleich null sein. Hierin liegt eine Prüfung der Entwicklungen der 
letzten beiden Paragraphen. 

Beachtet man, dafs sin^ dt «= 4 sin -^-tf siuy, so ist behufs 

Ermittlung von (1), wenn für sin ^ geschrieben wird u: 



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§ 42. Stokes* Schätzung kontinentaler Abweichungen. 255 

n 1 

/ CSC ~ ' sin^ tf ^ = 4 1 dw = + 4 ; 



j\ .8inV'tf^ = + 2; 

7t 1 

— 6 /sin^ . sin V' rf* = — 24 /w^ tf « = - 8 ; 

— 3 /cos^ lognat (sin yN + sin yl) sin^ tf^ 



1 
= - 12 /lognat (t/ [1 + w]).(t/ ~ 2u^)du. 

Letzteres Integral giebt durch teilweise Integration: 

M=0 Ü j 

und hieraus folgt, wenn man unter den Integralzeichen ausdividiert 
und dann integriert, da die eckige Parenthese an beiden Grenzen 
verschwindet, als Wert des Ausdruckes -{- 2. 

Mithin ist (1) in der That gleich null. Um einen Überblick da- 
rüber zu gewinnen, wie in Formel (16) die verschiedenen Werte z/^ 
der ganzen Oberfläche eingehen, denken wir uns in diese Formel die 
Mittelwerte der ^ff für konstantes ^, also für konstanten sphärischen 
Abstand eingeführt. Wir bezeichnen diese mit Jff^ und erhalten 



-12 



wobei 



F = 



n 

Ü 

CSC Y + 1 — 6 sin ~ — 5 cos^ 
— 3 cos ^ log nat (sin ^ f 1 + ^^^^ 'l'l) 



^n^ 
2 



(2) 



(3) 



Nachstehende Tabelle giebt eine Übersicht des Faktors/*, welchem 
für die numerische Rechnung die folgende, bequemere Form zu 
geben ist: 

^^cosf - >* {6 sinf - 1 + C08^(5 + Sloguat [l^f-?* + 8m}])}.(3*) 



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256 



3. Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 



t 


F 


* 


F 


0« 


+ 1,00 


180« 


0,00 


10 


+ 1,22 


170 


+ 0,26 


20 


+ 0,94 


160 


+ 0,46 


30 


+ 0,47 


150 


+ 0,56 


40 


-0,06 


140 


+ 0,53. 


50 


— 0,54 


130 


+ 0,36 


60 


-0,90 


120 


+ 0,08 


70 


— 1,08 


HO 


— 0,27 


80 


-1,08 


100 


-0,62 


90 


— 0,91 


90 


— 0,91 



(4) 



Hieraus erkennt man vor allem sehr deutlich; dafs die ^ff in 
der Umgebung eines Ortes allein ganz und gar nicht zu einer sicheren 
Bestimmung von N ausreichen. Immerhin haben die Jg der nächsten 
Umgebung den meisten Einflufs, denn obgleich F den Wert 1 auch 
in gröfseren Abständen erreicht, so gehören doch in solchen Distanzen 
zur Bildung eines ^fftp vergleichsweise mehr einzelne Werte ^dg als 
in der l^ähe, und es hat also dann das einzelne ^g weniger Einflufs. 
Jedoch müssen Schlüsse auf N^ die ^g nur in der Umgebung eines 
Punktes beachten, trügerisch ausfallen. 

Was die Anwendbarkeit der Formel (2) anlangt, so glaubt Ver- 
fasser, dafs in nicht zu ferner Zeit für einzelne günstig gelegene 
Orte eine solche möglich werden wird.*) Ein Ort ist günstig, wenn 
^g in seiner Umgebung bis ^ = 30^ bestimmbar ist und wenn in 
die Gebiete um ^ = 60 » bis 100<> und 140 » bis 170® nicht zu viele 
Gegenden der Erdoberfläche fallen, welche nicht wenigstens eine 
Schätzung von ^g zulassen. 



*) Im 4. Kapitel § 37 machen wir eine Anwendung von Formel (2) auf ein 
synthetisches Beispiel. 

Im übrigen hängt die Anwendung dieser Formel davon ab, dafs es gelingt, 
mit Elasticitätsapparaten Beobachiungsreihen für die Schwerkraft; auf dem offenen 
Meere zu erhalten. Inwieweit das hierher gehörige Bathometer von William 
Siemens als Schweremesser brauchbar ist, blieb uns zweifelhaft, da wir aufser 
den verschiedenen, wesentlich beschreibenden Mitteilungen (vergi. u. a. 

A. W. Hofmann^ BericM über die toissenschaftlichen Apparate auf der 
Londoner internationalen Ausstellung im Jahre 1876, Braunschweig 
1878 und 1881 S. 203 und 565.) 
nur eine Beobachtungsreibe auffinden konnten, die mit demselben angestellt 
worden ist, auf gruud deren sich indessen nichts entscheiden läfst. Im vierten 
Kapitel werden wir am Schlüsse des § 88 auf diese Beobachtungen näher ein- 
zugehen Veranlassung haben. 



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§43. Allgemeine Sätze für die Verteilung der kontinentalen Wellen dea Geoids, 257 

Selbstredend kann nur eine Bestimmung des kontinentalen Teiles 
von N versucht werden; für den geringfügigen lokalen ist das Ver- 
fahren nicht beabsichtigt und nicht geeignet Die /ig müssen thun- 
lichst von lokalen Einflüssen befreit werden: es müssen also die g 
nicht nur aufs Meeresniveau, sondern nach unseren Angaben auch 
wegen Kondensation reduziert werden. Andernfalls ist ja überhaupt 
die Zulässigkeit der Reihenentwicklung für W und somit der ganzen 
Entwicklung nicht vorhanden. 

Die Auswertung des Integrales für N würde mit der (meist inter- * 
polatorischen) Bildung der Werte ^gxf,^ am bequemsten an der Hand 
eines GlobuS; beginnen und (ohne Anwendung numerischer mechani- 
scher Quadratur) am besten und ganz ausreichend graphisch bewirkt 
werden, wobei die Werte F Ag^, : ^ als Ordinaten zu Abscissen ^ 
(als Arcus gen.) und das Integral als Fläche auftreten. Eine Ge- 
nauigkeitsschätzung für TV ist dabei leicht zu erhalten, indem der Ein- 
flufs der Unsicherheit in den Ag^, auf diese Fläche ermittelt vnrd. 

§ 43. Allgemeine Sätze für die Terteilung der kontinen- 
talen Wellen des Geoids. 

I. Wenn man berücksichtigt, dafs in dem Ausdrucke (8) S. 250 
für I^, d. h. für die Differenz der Radienvektoren des Geoids und des 
Normalsphäroids gleichen Potentialwertes, ein konstantes Glied fehlt, 
so erkennt man zunächst leicht, dafs hdde Flächen wesentlich gleiche 
Volumina einschliefsen, weil jedes Integral der ¥orm J K'd& y worin 
K' eine Eugelfunktion von mehr als nulltem Range bezeichnet, über 
die ganze Eugeloberfläche ausgedehnt, nach S. 66 (5) verschwindet. 
Allerdings sind bei diesem Nachweise gleicher Volumina Bruchteile 
des Radius R von der Ordnung des Quadrats der Abplattung in N 
vernachlässigt; aber eine genauere Untersuchung, die wir übergehen 
dürfen, bestätigt den gefundenen Satz. Ganz streng allerdings existiert 
Gleichheit der Volumina nicht, und zwar schon deshalb nicht, weil die 
zur Gültigkeit der Entwicklung vorausgesetzte Kondensation gewisser 
Massen die Geoidfläche etwas verschiebt. 

II. Im Anschlufs an § 39 S. 246 (8) haben wir für den Radius- 
vektor des Geoids die Näherungsrelation: 

r' = ÄJl + t/, + t/3 + t/, + ...), (1) 

wenn die in erwähnter Gleichung (8) auftretenden Eugelfunktionen 
2., 3.^ 4. Ranges u. s. f. mit t/,? t^, t/4 . . . bezeichnet werden. 
Eoordinatenanfang ist der Schwerpunkt der Erde. Die Gleichung (1) 
bedeutet aber, da t/, fehlt, dafs mit diesem Schwerpunkt der Volumen- 
Schwerpunkt des Geoids zusammenfällt. 

Hierauf macht Stokes in seiner wiederholt genannten Abhandlung 

Helmert, maUiem. n. physik&l. Theorieen der höh. Oeod&iie. II. 17 



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258 3. Kapitel. EontineDtale Undulationen des Geoids. 

aufmerksam. Um den Satz zu beweisen, denken wir uns drei recht- 
winkelige Eoordinatenaxen durch den Erdschwerpunkt, dergestalt dafs 

X = r cos 9>' cos X 

y = r cos ^! sin X (2) 

z = r sin q> 

wird, vergl. § 4 S. 5. Wir denken uns ferner das Volumen des 

Geoids vom Erdschwerpunkt aus in Elementarpyramiden mit dem 

' körperlichen Winkel dfi' zerlegt und haben dann, da der Schwerpunkt 

jeder Elementarpyramide im Abstand -— r von der Spitze liegt, als 

statische Momente des Volumens des Geoids beziehungsweise filr die 
yz-, XZ' und ary-Ebene die über die Oberfläche der Kugel vom 
Radius 1 auszudehnenden Integrale: 

— / r^x'dö' d. i. -j- / r'^ cos q) cos X d& 

ij^'^y ^^ d- i- T /^'^ ^^^ ^' ^'" ^ ^^' ^^ 

— 1 r^zdö d. i. -— / r^ sin q/ da' . • 

Hierzu giebt Gleichung (1), wenn die bei der Entwicklung dieser 
Gleichung angenommene Genauigkeit festgehalten wird: 

r'* = Ä*(l + 4i/, + 4t/3 + 4t/, + ...j. (4) 

Beachtet man nun, dafs cos g/ cos X\ cos q sin X und sin g/ Kugel- 
funktionen 1. Ranges sind (vergl. S. 65 § 7), in r^ aber gerade 
diese fehlen, so müssen nach Satz (4) § 28 S. 116 die drei Integrale 
(3) verschwinden, womit das Zusammenfallen von Erdschwerpunkt 
und Volumenschwerpunkt des Geoids erwiesen ist. 

Allerdings ist dieses Zusammenfallen kein ganz vollständiges. 
Weun man in § 39 S. 246 etwas strenger entwickelt und beim Über- 
gang von (1) zu (4) im laufenden Paragraphen auch die Quadrate 
und Produkte der u mitnimmt, so entsteht in (4) nach Zerlegung in 
Kugelfunktionen auch ein Glied mit einer Kugelfunktion 1. Ranges. 
Die Integrale (3) sind dann nicht null; aber da die Koefficienten 
dieses Gliedes erheblich kleiner als von der Ordnung n^ sein werden, 
so sind auch jene voraussichtlich weit kleiner als Bruchteile des Pro- 
duktes aus dem Volumen in den mittleren Radius R von der Ordnung a^. 
Aus diesem Grunde kann also der Abstand von Massen- und Volumen- 
schwerpunkt nur wenige Meter betragen. 

Eine ebenso geringfügige Difierenz ergiebt sich aus dem Um- 
stände, dafs die Entwicklungen des § 39 und also auch diejenigen 
des laufenden Paragraphen nicht für das wirkliche Potential der Erde 



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§ 44. Relation för die Dicke der stör. Schicht. 259 

gelten, sondern nur für dasjenige, welches nach der Kondensation 
gewisser Massen übrig bleibt. Indessen ist, wie früher gezeigt, die 
entsprechende Verschiebung der Geoidfläche sehr klein. 

Zufolge des nahen Zusammenfallen s des Volumenschwerpunktes 
des Geoids mit dem Schwerpunkt der Erde hat nun dieser letztere 
eine mittlere Lage zur Oberfläche des Meeres. Denkt man sich dazu 
das Normalsphäroidy gegen welches die Meeresfläche Ein- und Aus- 
biegungen zeigt, so erkennt man sofort, dafs keinesfalls auf einer 
Hälfte der Meeresfläche nur Ein- und auf der anderen nur Aus- 
biegungen vorkommen können, wie man auch den die beiden Hälften 
trennenden Zentralschnitt durch die Erde legen möge. 

Bestünde die Erdoberfläche zur einen Hälfte aus einem Kontinent, 
zur anderen aus einem Ocean und wären unsichtbare Massenunregel- 
mäfsigkeiten nicht vorhanden, so würde zwar jedenfalls in der Nähe 
der Küste das Geoid gegen sein Normalsphäroid im Kontinent ge- 
hoben, im Ocean gesenkt erscheinen, aber jene Hebung und diese 
Senkung könnten nach dem oben entwickelten Satze keinesfalls überall 
im Kontinent bezw. im Ocean vorhanden sein. Die wirkliche Erd- 
oberfläche kann man aber, wie ein Globus zeigt, in 2 Hälften teilen, 
deren eine hauptsächlich vom stillen Ocean nebst Australien und der 
Südpolarregion erfüllt wird, während die andere die gröfseren Teile 
der Kontinente und die kleineren Oceane enthält. Hierdurch wird es 
plausibel, dafs die gröfsten Depressionen des stillen Oceanes nicht im 
Zentrum desselben, sondern vielmehr in einiger Nähe der Küsten von 
Asien und Amerika stattfinden. (Vergl. dazu das 4. Kap. § 38, wo 
noch gezeigt wird, dafs jedenfalls auch unsichtbare Massenstörungen 
existieren müssen.) 

§ 44. Relation zwischen Scliwerestörang , Störung im 
Radiusvektor und Dichtigkeit der störenden Schicht fQr einen 
Punkt des Geoids. 

Wir knüpfen an S. 147 § 5 an uud verstehen in Fig. 14 unter 
der Niveaufläche W=^Wq die Geoidfläche, unter der Fläche ü== fV^ 
ein Normalsphäroid. Für irgend einen Punkt setzen wir wie dort 

W = U+T, (1) 

wobei U den normalen Teil von W bezeichnet, für welchen die Schwer- 
kraft durch das Symbol y ausgedrückt wurde. 
Im Punkte Q des Geoids ist nun zufolge (1): 

wobei es wegen der geringen Lotabweichung gleichgültig ist, ob man 
sich h in Richtung der Normale des Geoids oder in Richtung der 
Normale der durch Q führenden Fläche ^^c^Konst. denkt. Es ist daher 

17* 



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260 3. Kapitel. Kontinentale Undnlationen des Geoids. 

wenn g die Schwerkraft im Meeresniveau bezeichnet, und es ist ferner 
wobei in ausreichender Annäherung 

gesetzt werden darf. 

Auf den Differentialquotienten von T nach h wenden wir die 
Formel (8) §4 8. 147 an, indem wir vorläufig annehmen , dals die 
störenden Massen lediglich in der Erdrinde ihren Sitz haben, und in- 
dem wir ferner die zulässige Voraussetzung der Kugelgestalt der Erd- 
oberfläche machen. Dann ist nach der erwähnten Gleichung: 

ßx).= -2-*'^-Ä + ---- (5) 

^ bezeichnet hierin die störende Masse für die Flächeneinheit derjenigen 
Fläche, auf welcher wir uns die störenden Massen ausgebreitet denken. 
Zufolge der Bedingungen, welche (5) zu gründe liegen, mufs man die 
Meeresfläche selbst als diese Fläche nehmen. 

Indem wir beachten; dafs nach S. 148 (2) in der hier innegehal- 
tenen Genauigkeit 

aarserdem aber ebenso geuaa 
gesetzt werden kann, folgt aus (5): 

Fahren wir (3), (4*) und (6) in (2) ein, so ergiebt sich: 

''-'■+li(l^-^)+-- w 

Bezeichnen wir g ^ y mit Ag und denken uns ^ aus der Konden- 
sation einer Schicht von der Dicke D und der Dichtigkeit -^ ^m ent- 
stehen; setzen wir also 

g^y=Ag und ^^^e^D, (8) 

so folgt 



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§ U. Belaidon für die Dicke der atör. Schicht 261 

oder J) = 2 [^Jff + If ]+.... (10) 

Für y kann man hierin den Mittelwert G setzen. 

Diese Näherangsformel giebt also die Dicke ß der störenden 
Schicht, wenn Jg und N bekannt sind. Sie erlangt aber erst Be- 
deutung, wenn mittelst der Stokes8chen Formel N aus den Jg für 
einzelne Erdorte berechnet werden kann. Da diese letztere Formel 
nach unserer Darstellung g und Jg mit Kondensationsreduktion ver- 
langt, mufs auch in (10) ^^ so gedacht werden. 

Bei der jetzt gegebenen Darstellung ist angenommen, dafs nur 
in der Nähe der Meeresfläche störende Massen vorhanden seien. Die 
Potentialtheorie lehrt aber, dafs man immer unbeschadet der Wirkung 
aufserhalb alle Massen innerhalb einer geschlossenen Fläche in einer 
bestimmten Weise auf derselben verteilen kann. Wir können 
uns also auch etwa vorhandene störende Massen im Erdinnem auf 
die Meeresfläche verschoben denken, wobei aber Gröfse und Richtung 
der Verschiebung unbekannt bleiben. Ein aus Formel (10) ermit- 
teltes D bezieht sich auf 4iese ideelle störende Massenschicht. Wenn 
man also dereinst von Formel (10) wird Gebrauch machen, so erhält 
man nur die ideelle störende Massenschicht, nicht die wirklichen 
störenden Massen nach Oröfse und Lage. Trotzdem wird man aus 
*m Verlauf von J) in der ideellen Schicht immerhin Vermutungen 
über die wirklichen störenden Massen aufstellen können, da die 
Dichtigkeiten im Erdkörper an gewisse Grenzwerte gebunden sind. 
Vorläufig ist eine strenge Anwendung von (10) noch nicht mög- 
lich. Wir werden aber im § 38 des nächsten Kapitels sehen, dafs 
die jetzt bekannten Beobachtungen über die Schwerkraft bereits An- 
haltspunkte über die kontinentale Verteilung der Störungsmassen ge- 
währen. Auch über mehr oder weniger lokale Störungen sind Unter- 
suchungen mit Erfolg möglich, vergl. in diesem Kapitel § 31 S. 228 
und im nächsten Kapitel § 41. 

Über den Beweis des angezogenen Satzes der Fotentialtheorie, der von 
Gaufs aufgestellt wnrde, ist zu vergleichen: 

Gaufsy Allgemeine Lehrsätze u. s. f. Art. 36 (vollständiger Titel auf 

S. 29) oder 
Dirichlet, Vorlestmgen u. s. f. S. 151 (voller Titel S. 14). 
Wenn die einschlielsende Fläche als Eugelfläche angenommen wird, 
so kann mau mit HiKe der Theorie der Kugelfunktionen aus den gege- 
benen störenden Massen auf die äquivalenten, auf der Kugel ausgebrei- 
teten Massen wie folgt scbliefsen. 

Wir nehmen den Mittelpunkt der umhüllenden Kugel als Koordinaten- 
anfang. Dann ist nach S. 64 (1) das Potential der eingeschlossenen 
Massen auf einen Punkt aufserhalb im Zentrumsabstand / gleich 



> = ^ jlf + ^< /P.rim + ^ rP,r»d« + 4s /P,r»di« + . . . j , 



(«) 



wenn M die betreffenden Massen bezeichnet. 



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262 3- Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

Denken wir uns nun andererseits auf der Kugeloberfiäche einen Massen- 
belag, 80 ist dessen Dichtigkeit ^ nach Kugelfunktionen entwickelt 

^-^o + ^. + «'. + ^s + ..., 
wobei rechter Hand der Index den Rang der Kugelfunktionen anzeigt. 
Wir können aber die Formel (a) für v auch auf diesen Belag anwenden, 
wobei nun für t*=»a als Kugelradius dm^=^ a^d- da wird und die Inte- 
gration über die Kugelfläche auszudehnen ist 
Dieselbe ergiebt: 

V = — -, — {9i ^ 



3r 



^¥i-+-f;' +■■•!• (*) 



wenn man die Sätze berücksichtigt, welche im § 28 S. 116 unter (2) 
und (3) gegeben sind. ^/ bedeutet, dafs in ^^ für cp und l die zu dem 
angezogenen Punkte gehörigen Werte q/ und X' zu setzen sind. 

Die Vergleichung der Ausdrücke (a) und (6) führt, faDs nur (a) wirk- 
lich explicite vorliegt, zu dem Werte «ö-q == Jf und zu den Werten der in 
den d-^ auftretenden Koefficienten. 

Der umgekehrte Schlufs: von den Massen ^ auf diejenigen im Erd- 
innem, ist im allgemeinen unmöglich. Man wird nur, wenn Q- von 2,8 so 
sehr abweicht, dafs aus physikalischen Grihiden die Massenstörung nicht 
lediglich in der Erdkruste stattfinden kann, auf Massenstörungen im Erd- 
innern schliefsen müssen. 

§ 45. Die sogenannten Näherungsformeln zur Berechnung 
des Abstandes Yon Geoid und Normalsphäroid aus der Schwere- 
storung. Die Entwicklung im vorhergehenden Paragraphen benutzt 
z. T. eine Entwicklung von Bruns, Figur der Erde, S. 26. Daselbst 
wird aber der Punkt P der Meeresfläche nicht wie bei uns ein wenig 
überhalb der störenden Schicht vorausgesetzt, sondern in derselben. 
Mithin verschwindet in der Endformel (10) die Gröfse D und es 
wird in der Gleichung: 

A'=-^f-Jff (1) 

ein Mittel zur Schätzung von N aus ^dg erhalten. 

Bruns bemerkt indessen, dafs lokale Störungen die Brauchbarkeit dieser 
Formel beeinträchtigen können, und er verwirft in einer Besprechung 
in den Forischriiien der Mathematik von 1877 (herausgegeben 1879), 
welche die Abhandlung von Listing, Neue geometrische und dynamische 
Konstanten des Erdkörpers, betrifft, dessen Vorgehen S. 37 u. ff., aus 
einer derartigen Formel spezielle Werte von N abzuleiten, wobei es 
ganz gleichgültig ist, dafs Listing infolge anderer Herleitung einen 
etwas anderen Koefficienten benutzt. 

In der That ist Formel (1) für die wirkliche Ausrechnung eines 
N ganz wertlos. Man kann dieses im 4. Kapitel an synthetischen, 
den irdischen Verhältnissen entsprechenden Beispielen bestätigt sehen ; 
denn bei diesen Beispielen kennt man Ny D und /ig. Die Formel 



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§ 45. Die sogen. Näherongsformeln für N, 263 

(1) giebt vielfach sogar das Vorzeichen falsch. Ebenso führt sie zu 
ganz falschen Resultaten, wenn man als Normalform des Geoids die 
Kugelflache nimmt. Wir wollen aber dieses nicht weiter ausführen. 

Ursache der Wertlosigkeit der Formel (1) ist, dafs N, D und Ag — 

im allgemeinen Gröfsen von gleicher Ordnung sind. Man darf daher 
in einer Formel , worin sie alle drei auftreten, nicht eine derselben 
yernachlässigen. Formel (1) vernachlässigt aber thatsächlich die 
störende Schicht i>, welche unterhalb des betreffenden Punktes der 
Meeresfläche liegt (ob die etwa noch darüberh'egende Schicht in be- 
tracht kommt, hängt von der Art der Reduktion von g ab). 

In seiner Abhandlung On Grravity etc. beschäftigt sich Stokes 1849 
u. a. anch mit dem Einflnfs der sichtbaren Massenonregelmäfsigkeiten der 
Erdoberfläche auf die Gestalt der Meeresfläche und auf die Schwerkraft 
Dabei denkt er sich dieselben auf das Meeresniveau kondensiert und zeigt 
nun, dafs einerseits die Hebung der Meeresfläche infolge der Existenz 
des Potentials T jener Massen T : g beträgt, andererseits mit dieser Hebung 
wegen des vermehrten Abstandes vom Erdzentrum eine Verminderung 
von g gleich 2T:B verbunden ist. Der Verminderung steht eine Ver- 
mehrung durch die Anziehung der störenden Massen entgegen, für welche 
Stokes T:2JR ableitet, indem er das Mittel der Vertikalanziehungen fiir 
einen aufserhalb der Meeresfläche und einen innerhalb derselben ihr nahe- 
liegenden Funkt nimmt, abo die Anziehung der Nachbarmassen ignoriert. 
Hier haben wir wieder das Resultat der BrunsBchen Entwicklung; der 
Gang ist bei letzterer durch Vermeidung der entbehrlichen Eugelfunk- 
tionen vereinfacht Schliefslich berücksichtigt aber Stokes für die Konti- 
nente noch die Vermehrung der Schwerkraft durch die Anziehung der 
zwischen ungestörter und gestörter Niveaufläche liegenden Schicht Fest- 
land, womit bei einer Dichtigkeit gleich der halben mittleren Erddichte 

3 
eine Verminderung um — T:B in der Schwerkraft für die Erhebung 

3 
T : g übrig bleibt. {Stokes hat anstatt —- die Zahl 0,82 weil er eine etwas 

andere Dichtigkeit voraussetzt). 

Hiemach würde also auf den Kontinenten der Abnahme der, augen- 
scheinlich nach Youngs Regel redoziert vorausgesetzten Schwerkraft um 

Jg eine Erhebung der Meeresfläche von -— — Ä entsprechen. Auf dem 

Ocean wäre dieselbe Formel anzuwenden, indem man sich denkt, dafs 
hier eine darüber gelegene Schicht von der halben mittleren Dichtigkeit der 
Erde in Wegfall gekommen ist. Das auf den Inseln beobachtete g würde 
ebenfalls einfach aufs Meeresniveau nach der genannten Regel zu redu- 
zieren sein (strenggenommen müfste man noch die Anziehung der im 
Meere an der halben mittleren Erddichte fehlenden Massen berücksich- 

4 
tigen). Stokes wendet übrigens für diese Fälle anstatt -— den Koef- 

2 

ficienten -7- an. Denn er benutzt seine Formeln keineswegs zur Schätzung 

der Abstände von Geoid und Sphäroid, sondern nur zur Ermittelung des 
Anteiles der sichtbaren Massenunregelmäfsigkeiten (Erhebung der Konti- 
nente übers Meer, geringere Dichtigkeit des Wassers im Ocean als des 



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264 3* Kapitel. Kontinentale Undulationen des Geoids. 

Festlandes) an den Störungen in der Lage des Meeresniveaus und in der 
Schwerkraft. 

Diese letztere Aufgabe behandelt 1868 auch Fh. Fischer in seinen 
Untersuchungen über die Gestalt der Erde S. 289—292, allerdings mathe- 
matisch insofern weniger vollkommen, als er sich nicht der Potential- 
theorie bedient und die Anziehung der nicht benachbarten störenden 
Massen deshalb nicht durch Ti2R ausdrucken kann, sodafs er sie nur 
bis zu einem gewissen Umkreis berücksichtigt. Er bemüht sich aber, den 
Einflufs der speziellen Gestaltsverhältnisse der Kontinentalküsten darzu- 
stellen. ^ 

Wenn nun Hawn u. a. in der Gaea 1876 Bd. 12 S. 81 unter Beziehung 
auf Stdkes und Ph. Fischer das Pendel als Instrument zur Bestimmung 
der Abstände ?on Geoid und Erdellipsoid hinstellt, so ist das insofern 
nicht zutreffend, als die letztgenannten Autoren bei den entsprechenden 
Entwicklungen nur rein synthetisch die Störungen der Lage der Meeres- 
fläche und der Gröfse der Schwerkraft für bekannte Massenstörungen ab- 
leiten wollten, allerdings mit Seitenblicken auf die vorhandenen Schwere- 
störungen. Ebenso wenig kann die von Listing a. a. 0. S. 37 und die von 
Hann a. a. O. S. 139 gegebene Ableitung der Formel zur Berechnung der 
Erhebung N aus der Schwerestörung Jg=a g — y befriedigen. Denn diese 
Formeln bringen die Erhebung N und die Differenz Jg einfach durch 
Youngs Begel in Beziehung. Mit unseren Zahlen (S. 166) wird also gesetzt: 

^ — 4f^^- <^> 

Durch die nahe Übereinstimmung dieser Formel mit (1) darf man sich 
aber über ihren Wert nicht täuschen lassen! 

§ 46. Zusammenhang zwischen dem Mittelwert der rezi- 
prol[en Erfimmungsradien in einem Punl[te einer Niveaufläche 
und dem Differentialquotienten der Schwere nach der Höhe. 

Im 1. Kapitel S/ 37 (11) war die Relation gefunden worden: 

worin q^ und Q2 ^^^ ^^^ UBLch aufsen convexcr Krümmung positiv 
gerechneten Hauptkrümmungsradien in eiuem Punkte Pq einer Niveau- 
flache, — den Durchschnittswert aller 1:^ daselbst, ^i.j den 

2. Diflferentialquotienten von TF nach g, W2.2 denselben nach ly und 
^3 den ersten nach g bezeichnen; wobei ferner die Normale in Pq nach 
aufsen als positive g-Axe dient, während die g- uod ly-Axe in die Tan- 
gentialebene der Niveaufläche von Pq gelegt sind. Man hat also noch 

9 = -W,. (2) 

Nun ist nach S. 34 (8) allgemein in irgend einem Punkte bei belie- 
biger Lage des rechtwinkeligen Axensystemes (wie sich leicht durch 
Transformation zeigen läfst): 

^1.1 + ^2.2+ ^8.3 = — 4ÄA:2 6> + 2al^ (3) 

wenn & die Dichtigkeit in diesem Punkte und o die Winkel- 



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§ 46. Relation für die Krümmung der Niveanflächen. 265 

geschwiudigkeit der Erdrotation bezeichnet. Beachtet man nun 
noch, dafs 

'^8.3 = ~^=-^j dh W 

ist, so erhält man aus (1) durch Elimination von ff'i.i + ^2.2 mittelst 
(3) und Benutzung der (2) und (4): 

Um hieraus k'^ zu eliminieren, führen wir im Nenner rechter 
Hand die Näherungsrelation 



ff = ^7tk'e„,R 



ein und erhalten so: 



[i] 



L^_L_L/A? J^\ rß^ 

— 2gdh'^ B\2 G^ gl ^ 

Hierin beziehen sich g, dg : dh und ® auf denjenigen Punkt, für 
welchen [1 : q] gilt. 

Auf diese Relation macht H. Bruns in seiner Figur der Erde 
8. 14 aufmerksam. 

Mit Rücksicht auf die starken Schwankungen, welchen 1 : q be- 
kanntlich in der Nähe der Erdoberfluche ausgesetzt ist, kann man 
das Glied to^Rig, welches nach S. 84 § 16 gleich rund V289 ^s^ 
vernachlässigen; für Niveauflächen in der Luft aufserdem noch das 
Glied mit & : ®mi d. i. rund 74500- Man erhält also für Niveau- 
flächen in der Luft augenähert: 

[7]— stS- « 

Bei der geringen Genauigkeit, mit welcher man gegenwärtig im 
Stande ist, dg : dh zu messen, reicht diese Relation zur Bestimmung 
von [1 : q] sicher aus. Man vergl. weiterhin im 4. Kapitel § 3. 

Wir entwickeln hier noch im Anschlufs an § 39 S. 245 mittelst 
(7) eine Gleichung, welche zeigt, wie die höheren Eugelfunktionen 
in der Entwicklung von W auf den Mittelwert [1 : q\ übergehen. 
Aus (4) S. 246 folgt mit Beibehaltung der daselbst erörterten Genauig- 
keit successive: 



und 



ö- = ;^. [iS-o' + '-# + ^' + '-^^ + • • • - «V'cos»,,') 



dÄ Fii*«+ 2 7^+^7^+ a r'< -t-'-'-J-jO» '^ CO8 9)| , 
mit Rücksicht auf (7) ist demnach 



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266 4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

ril 1 f 1 I 2^-^t' I 3.4Ä8' , i,bKi , , 3c)»r»C08»y ) 

oder mit Einführung der S. 247 schon benutzten Abkürzungen und 
Vereinfachungen : 

fll 1 fi I 3 ^ 2 , , 2.3 , , 3.4 , , 4.5 , , \ 

Nun ist nach S. 247 (13): 

und es wird daher 

l+c(A_8ia>')+^j7^Ar, 



lJ" -b 



, 3.4-2 . ,4.5^-2 . , 
+ ~2.2~ •'+ 2.3 *4 + --- 



(8) 



Diese Gleichung zeigt im Vergleich mit (12) S. 247, dafs die 
Kugelfunktionen höheren Ranges in g in dem Durchschnittswerte der 
reziproken Krümmung sehr grofsen Einäufs erlangen. 



Viertes Kapitel. 

Synthetische Untersachnngen über die Einflüsse gegebener 
Massen anf die Niveanflächen in der Nähe der Erdoberfläche. 

§ 1. Deformation der Niveaufiächen aurserhalb durch einen 
kugeligen Massenzuwachs oder einen kugeligen Hassendefekt 
unterhalb des Terrains. Die Erde ersetzen wir durch eine Kugel 
vom Radius B, deren Anziehung so beschaffen ist, als wäre ihre 
Masse 

M=j7tR^@„, (1) 

im Mittelpunkt C, dem Schwerpunkt, vereinigt. Wir setzen also ihr 
Anziehungspotential aufserhalb der Oberfläche für einen Punkt im 
Abstand H von derselben gleich 

Das Symbol JVy welches bisher bei den strengen Betrachtungen das 
Potential der Zentrifugalkraft mit einschlofs, behalten wir bei, obwohl 
wir von der Zentrifugalkraft als unwesentlich ganz absehen, und zwar 
um daran zu erinnern, dafs es sich für uns in fV um den Repräsen- 
tanten des Schwerkraftspotentials der Erde handelt. 



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§ 1. Kugelige Masse. 267 

Tritt nun zur Masse M innerhalb deren Oberfläche noch eine 
störende, positive oder negative Masse m, deren Anziehung aufser- 
halb jeuer Oberfläche als von ihrem 
Schwerpunkt m ausgehend angesehen 
werden darf; dann ist das Potential 
in einem Punkte P, der nach aufsen 
um /T -j- Ä von der erwähnten Ober- 
fläche absteht; Fig. 32, gleich 

-^-^-bF^+TT + T) 

-T«*'ö- « + » + »+*'"■ W 

worin e den Abstand mP bezeichnet. 
Verstehen wir unter W in (2) und (3) 
denselben konstanten Wert Wt,. so 

f iff 38 

stellen sie die Gleichung einer Niveau- 
fläche aufserhalb für denselben Potentialwert im ursprünglichen und 
im gestörten Zustande dar*). Aus der Subtraktion von (2) uud (3) 
folgt dann mit Rücksicht auf den jedenfalls kleinen Betrag von h 
und H gegen R in hinreichender Annäherung: 

Hiernach ist das Produkt he für die gestörte Niveaufläche kon- 
stant. Dem kleinsten e entspricht das grölste h. 

Um zu erkennen, wie grofs h werden kann, setzen wir für m die 
Masse einer Kugel vom Radius a und der Dichtigkeit &: 

m = -T- jca^® . 

Dann giebt (4) für h die Formel: 

Der Faktor von a rechter Hand ist ein kleiner Bruch; da nach 
der Voraussetzung e>a sein mufs und : @m höchstens einige Ein- 
heiten beträgt. (Für eine Platinkugel wird : Sm nach Abzug von 
2;8 für die normale Dichtigkeit der Erdrinde etwa 3, für eine Blei- 
kugel 1,5, für einen Hohlraum — 0;5.) Es wird somit h nur ein 
Bruchteil des Halbmessers der Masseustörung im Betrage von kaum 
P/o; sobald wir festsetzen, dafs die Ausdehnung der Massenstörung 
den Betrag einiger Meilen nicht überschreitet. Alsdann dürfen wir 
e anstatt auf P auf den in Richtung PC liegenden Punkt Q der un- 

*) Bei negativen Werten h mufs H-\-h doch positiv genommen werden, 
sonst gilt (3) nicht streng. 



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268 



4. Kapitel. Der Einflafe gegebener Massen. 



gestörten Niveauääche beziehen und können also in ausreichender 
Annäherung setzen: 

e^ = {B + Hf + c^ — 2(Ä + H)c cos ^ . (5) 

Nach dieser Gleichung ist ^ für ^ <» null ein Minimum im Be- 
trage von 

/ = Ä + jy _ c ; (6) 

das Maximum von h tritt also in der Geraden Cm in G ein und ist 
gleich 



'hruue — 



4 nS^Bt 






(7) 



Nehmen wir a = ÖOGO*"; womit der Kubikinhalt der störenden Masse 

rund 1^4 Kubikmeile wird^ so folgt für eine Bleikugel hmax < 6"». 

Für einen Hohlraum ist (Sf: &m wie bemerkt etwa gleich — 0,5; der 

absolute Wert von ?imax ist hierbei <! 2"*. 

Von dem Maximalwert an nimmt h absolut genommen stetig ab 

bis zum Punkte G' diametral gegenüber G. Alle h haben also einerlei 

Zeichen. 

Dies wird anders, wenn wir die gestörte Ni\reaufläche auf eine 

Fläche beziehen; die den Niveausphäroiden des 2. Kapitels entspricht. 

Eine Entwickelung von fF^ welches 
durch (3) gegeben ist, nach Kugel- 
funktionen würde aber beginnen mit 
{M-}-m): r, wenn r den Radiusvektor 
vom Massenschwerpunkt S aus be- 
zeichnet Als Normalform der Niveau- 
äächen nehmen wir nun diejenige, 
deren Potential gleich {M -{- m): r ist, 
wobei wir für r setzen Ä + ff\ 
Fig. 33. 

Wir haben also einerseits für die 
Normalform I eine Kugelfläche kon- 
zentrisch um S mit dem Radius B-^-ff^ 




das konstante Potential gleich 



^n 



k^ 



M+m 
B + H' 



(8) 



andererseits für die Niveaufläche selbst^ bezogen auf S, indem in (3), 
solange m : M ein kleiner Bruch ist, B -}- H -}- h in ausreichender 
Annäherung gleich Ä + /^' -f Ä' + & cos V'' gesetzt wird, wenn b die 
Distanz CS und h' die Erhebung der Niveaufläche über ihre Normal- 
form bedeutet: 



^0 = ^' { 2} + H' + Ä* + 6 cos v»' "^Tj 



(9) 



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§ 1. Kugelige Masse. 269 

Die Subtraktion der Gleichung (8) von (9) führt mit zulässigen Ver- 
nachlässigungen zu der Gleichung für }i\ 






Nimmt man für den Schwerpunktsabstand CS den leicht zu yerifi- 
zierenden Annäherungswert 

<75=* = 5ä, (10) 

welcher genügt, solange m in der Erdrinde vorausgesetzt wird, so 
folgt endlich 

*' = ^KT-tl + «o«'^']). (11) 

wobei es nach Analogie von (5) ausreicht zu setzen (vergl. Fig. 33; 
in welcher d für c zu lesen ist): 

tf^ = (Ä + HJ + c'2 — 2(Ä + Ä') c' cos y. (12) 

Für grofse Werte von ^' kann man hierin auch H' vernachlässigen. 
Man bemerkt nun leicht, dafs die Niveaufläche und ihre Normal- 
form gleiches Volumen haben, wie auch aus^ dem 3. Kapitel § 43 
S. 257 bekannt ist. Es wird nämlich, was hiermit gleichbedeutend, 
das über die Kugelfläche vom Radius 1 ausgedehnte Integral 



/ 



u (Ä -f ny do (13) 



gleich null, wobei dfi das Oberflächenelement der Kugel vom Radius 

• 1 ist. Mit Rücksicht auf den Rotationscharakter der Niveauflächen 

in Bezug auf die Linie CSm G kann man für dieses Integral schreiben 

n 

2« fh' (Ä + Hy sin ^'d^/. 



i"' 



und wird nun leicht mit Rücksicht auf (11) und (12) bestätigt finden, 
dafs der Wert des Integrales innerhalb zulässiger Vernachlässigungen 
^ie überdies durch genauere Aufstellung des Ausdruckes für 1i ver- 
mieden werden können) null ist. 

In Bezug auf die Verteilung der K nach ihrer Grolse ist wesent- 
lich, dafs der Massenschwerpunkt S auch den Volumenschwerpunkt 
der gestörten Niveaufläche bezeichnet, wie auch aus § 43 des 3. Ka- 
pitels hervorgeht. Zum Zwecke eines direkten Nachweises bilden wir 
in Bezug auf eine durch S gelegte zu SG normale Ebene die stati- 
schen Momente der Volumenelemente; hierbei kann das Volumen der 
Kugel R-^- H* wegbleiben. In hinreichender Annäherung wird die 
Summe der statischen Momente gleich dem über die ganze Kugel- 
fläche vom Radius 1 ausgedehnten Integral 

Jh . (Ä -f H'f cos if'dcT , (14) 



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270 



4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 



wofür mau mit Rücksicht auf den Rotationscharakter der Niveaufläche 
schreiben kann 

fi 

2% i h {R-\- H'f cos ^' sin i^ d^' . 
u 

Die Integration bereitet keine Schwierigkeit ^ wenn man die durch 
teilweise Integration leicht herzustellende Formel 



/ 



-^ udu o ./^ 

Fi — t* 



lu + ^yi ~ w^ + Konst. 



beachtet. Man erhält in der That null innerhalb zulässiger Ver- 
nachlässigungen. 

Wir bringen Ä' nach (11) unter Substitution der Werte von 3f 
und m noch auf die Form: 



*' = «Äfc{T-tl + <^°«*'l) 



(15) 



Die Differentiation nach ^' zeigt, dafs h' seinen grofsten Wert im 
Punkte G hat, von da abnimmt bis zu einem gröfsten negativen Wert, 
der ungefähr für e = f/B^ d. i. nahezu für e = B und ^' = 6(P 
eintritt, und dann wieder zunimmt bis G\ h' ist null für Ä=2^ cos^ y ; 

dies findet statt bei ^' gleich rund 30^ und 115®, wenn die störende 
Masse in der Erdrinde liegt 

Für eine daselbst befindliche Bleikugel von SOOG*" Radius wird 
die Schwerpunkts Verschiebung 4,6 "»~, h' in G' gleich 2,3 '^ und h! in 

§ 2. Fortsetzung: Lotablenkung ^ Krammungsradius. Da 

h und K sich in der Nähe der 
störenden Masse verhältnismäfsig 
nur wenig unterscheiden, behaltcB 
wir für die weitere Untersuchung 
h bei. Die Figur 34 zeigt die un- 
gestörte Niveaufläche, d. i. die 
Kugelfläche B -}- ff konzentrisch 
um Cj und die gestörte Niveau- 
fläche. Betrachten wir einen Punkt 
P der letzteren und einen unend- 
lich nahen Punkt P, derselben, 
nach G hin gelegen, so wächst h 
um dh von P bis P^ , und diesem 
Wachstum entspricht eine Lotab- 
lenkung im Sinne der Figur gleich 




'sior*{ 



^\Är 



Fig. 34. 



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§ 2. Kugelige Masse. 271 

.____ dh 

^~ '(M + H + h}'dip^ 

wofür man mit Vernachlässigung von H -{- h völlig genügend setzen 
darf: 

Für den unendlich benachbarten Punkt P^ wird die Lotablenkung 
gleich 

A-^+il'd^- (2) 

Die Normalen der gestörten Niveaufläche in P und P^ schneiden sich 
im Erümmungsmittelpunkt K unter einem Winkel, dessen Betrag aus 
der Betrachtung des Vierecks PP^ KC sich zu — tf ^ + ^ — Ä^ ergiebt ; 
führt man hierin (2) ein und beachtet die Figur, so wird zur Be- 
stimmung des Krümmungsradius p bei P leicht erhalten: 

Da nun A jedenfalls einen sehr geringen Betrag hat, so weicht PP^^ von 
— {R '\' H -\' K) di^f nicht erheblich ab; wir setzen daher in aus- 
reichender Annäherung für den Krümmungsradius p: 

\ = -R+H+h 1 ^ + ^1^ 1 > (^) 

bei kleinen h also ebenso genau: 

Die Anwendung der Formeln (1) und (3) hat auszugehen von 
den Gleichungen (4*) und (5) des vorigen Paragraphen: 



e^y{R + Hf + c' — 2(Ä + H) c cos Tf'. 
Hiernach wird mit einigen zulässigen Vernachlässigungen: 

und 

Setzen wir nun wieder voraus, dafs die störende Masse in der 
Erdrinde liegt, so können nach vorstehenden Formeln nur in der Nähe 
dieser Masse erhebliche Störungen im Krümmungsradius entstehen, 
weil schon in einigem Abstände ä^ : e^ ein sehr kleiner Bruch wird. 

Für die Nähe der störenden Masse genügt es aber in der Paren- 
these von (6) zu setzen: ^ 



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272 4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

cos ^ =» 1 , Rc sin^ ^ = 5' , 

wenn s die horizontale Entfernung von G^ lotrecht über der stören- 
den Masse m, bezeichnet. Aufserdem wird entsprechend, wie die 
2. Gleichung (4) zeigt: 

^""^'^ e'^s'^ + f. (7) 

Damit wird aus (6): 

Zugleich folgt aus (3"^): 

7-^l'-^('-f3l- (») 

Die Lotablenkung wird entsprechend nach (5), in Sekunden aus- 
gedrückt: 

in Sek. ^ ^^m 

Sie ist in G lotrecht über der störenden Masse gleich null; mit 
wachsendem Abstände s wächst sie zunächst bis zu einem Maximum 

und nimmt weiterhin ab. Das Maximum tritt ein für -^ — =: null, 

d. h. nach (6) für 

e^ cos ^ = SBc sin^if; , 

oder mit Rücksicht auf die oben eingeführten ^ in der Nähe von G 
zulässigen Vernachlässigungen, für 

e^^Ss^, wobei nach (7) ^ = 5 ^ (11) 

ist. Es hat den Wert 

Wenn durch Beobachtungen der Ort und die Gröfse des Maximums 
sowie G ermittelt sind, so giebt (11) die Tiefe an, in welcher die 

störende Masse liegt, (12) den Betrag m = -^ ^«^^ derselben. 

Der Krümmungsradius q hat in G, wie die Differentiation von 
(9) nach s zeigt, bei positivem G ein Minimum, wächst von da zu- 
nächst mit s bis zu einem Maximum und nimmt dann wieder ab. In 
gröfserer Entfernung unterscheidet er sich zufolge (3) und (6) wenig 
von Ä + ir. Es ist für: 

5 = <,^ = _^-t§_, ' (13) 



t 






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§ 2. Fortsetzung: LotablenkoDg, Eriimnmiigsradms. 



s = i 



/ 



Qt^ 



R + H 



1 — 



sKioä'O 



273 

(14) 



126 t^9^ 

s grofs Q sehr nahe gleich R -{- H. 

Im Falle eines Massendefektes, d. h. eines negativen Wertes von 0, 
ist Q im Punkte G ein Maximum, im Abstände tj/ ^ ^^^ Minimum. 
Für eine Bleikugel von 5000"» Radius wird: 

Qnnn>0,4(R + H), 



10 

f 



?«u«<:r-(Ä + ^); 



für einen Hohlraum: 



9m 



^-31", 



10 



Es mag hier zum Schlüsse noch bemerkt werden, dais die wich- 
tigsten Resultate dieses und des vorhergehenden Paragraphen sich 
auch leicht an der Hand einer Be- 



r 



trachtung finden, welche von der 
Krümmung der ungestörten Niveau- 
fläche absieht Ist nämlich Q ein ^^t^" 
Punkt der letzteren, so ist hier das ^^^-^^ 

Potential der Masse m gleich A:^ — , * 

Fig. 35; man muis daher um 



k^^:G 



(15) 






Gcsiprt 



vertikal in die Höhe bis P gehen, 
damit in P der ursprüngliche 
Potentialwert wieder vorhanden ist. 




Fig. 85. 

G bezeichnet hierin die un- 
gestörte Schwerebeschleunigung, für welche angenähert y JtA:^®,„Ä 
zu setzen ist; daher wird wie in § 1 (4): 



4 nS^R 



a* 



wobei e^ = s* + /* ist. Hieraus folgt die Lotablenkung 






ds 



e'RB^ ' 



(16) 



(17) 



ganz wie in § 2 (10). Endlich ist — q^ dA = PP^ oder hinreichend 
genau = — - e?«; daher wird 

Helmert, matheni. a. phytikaU Theorieen der höh. Geodäsie, n. 18 



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274 ^' Kapitel. Der Einflaftt gegebener Massen 

1 dA 2a»e 



Q ds ^^^m 



(i-ID- ('S) 



1 


~ B+M + h "T" ds 


Q 


1 d'h 




l ~ E + H+h d«« 



Von dieser Formel gelangt mau bis auf eine unwesentliche Abwei- 
chung zu der richtigen Formel (9)^ indem man noch die Biegung der 
ungestörten Niveaufläche berücksichtigt und demgemäfs rechter Hand 
1:{R + n) addiert*). 

Mit Rücksicht auf (3) hat man allgemein: 



(19) 



§ 3. Fortsetzung: Die gestörte Schwerkraft. Nach § 1 (3) 
S. 267 ist das Potential der Schwerkraft im Punkte />, wenn der 
Radiusvektor CP mit r bezeichnet wird, gleich 

mit (1) 

e = /r^ 4" ^^ •" 2rc cos ^ ; 

vergl. Fig. 32 S. 267. Wegen der Geringfügigkeit der Lotablenkung 
können wir die radiale Komponente der Schwerkraft für die ganze 
Schwerkraft nehmen, also setzen 

'—^- (2) 

Hieraus folgt sofort 

ff'-k^^ + ^ir-ccost)]. (3) 

Für eine bestimmte Niveaufläche genügt es mit Vernachlässigung 
von h zu setzen r = Ä + B**). Besehräuken wir uns aufserdem auf 
die Nähe der störenden Masse, so wird 

e^ = s^ '\- 1^ und r — c cos ^ = / , 
also 

Bezeichnen wir den ungestörten Wert von^, nämlich k^M:{B-{-ffy 
mit G und beachten die Relationen 



*) Von diesem Verfahren, bei Bestimmung von q erst zuletzt die ßiegung 
der ungestörten Niveaufläche zu berücksichtigen, kann man auch in anderen 
Fällen Gebrauch machen, vorausgesetzt nur, dafs gestörte und ungestörte Niveau- 
fläche nahezu parallel laufen. 

**) Es wird somit hier kein Unterschied gemacht zwischen der gestörten 
Schwerkraft in der gestörten und der ungestörten Niveaufläche, was solange zu- 
lässig ist, als /i nur einige Meter beträgt. 



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§ 3. Fortsetzung: Die gestörte Schwerkraft. 275 



so wird 



a 



Die gröfste Störung im Verlaufe einer Niveaufläche erleidet dar- 
nach die Schwerkraft im Scheitel G derselben, vertikal über der 
störenden Masse. Man hat nämlich daselbst, S positiv gedacht: 

^m<« — ö^{l+^^^) • (5) 

Für eine Bleikugel von 5000'" Radius ist daher die maximale Störung 
in g gleich 

*^ ^ (? : 850 ; 

für einen Hohlraum gleicher Ausdehnung ist, absolut genommen: 

dg£G: 2550 . 
Aus (3) folgt noch durch Differentiation nach r 

||-=_,.|i^ + ^(._ccosV-)^-J). (6) 

Diese Formel giebt zugleich sehr nahe die Änderung von g mit der 
Höhe h. Wir können demnach mit Beschränkung auf Punkte einer 
bestimmten Niveaufläche in der Nähe der störenden Masse setzen: 

dh ^ ^ [(B + H)^'^ e* c» ) ^*^ 

oder auch sehr nahe 

dh B + H [^^ 2e^9„ \ c« Vi ^^ 

Differenziert man diesen Differentialquotienten nach e, so be- 
merkt man, dafs sein absoluter Wert ein Maximum ist im Punkte G, 
& positiv gedacht. Von da an nimmt derselbe ab, geht bei ^^ = 3/^ 
durch den ungestörten Wert hindurch, nimmt weiter ab bis ^'«=«5/^; 
wo ein Minimum eintritt, und nimmt von da an wieder zu bis zum 
ungestörten Wert. Für den Punkt G ist 

aus welcher Formel man ersieht, dafs der ungestörte Wert des Diffe- 
rentialquotienten von g nach der Höbe sich beträchtlich ändern kann. 
Eine Vergleichung mit S. 272 (13) zeigt, dafs der Betrag der Stö- 
rung verhältnismäfsig derselbe ist, wie im Krümmungsradius für 
Punkt G. 

In neuerer Zeit haben einige Physiker versucht, die Abnahme von 
g mit der Höhe aus feinen Wägungen abzuleiten. Vorstehendes zeigt, 

18» 



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276 4. Kapitel. Der EinfluTB gegebener Massen. 

dafs man auf diesem Wege dem ungünstigen Einflufs lokaler An- 
ziehungen viel zu sehr ausgesetzt ist, um erwarten zu können ; dafs 
die Resultate den normalen Wert 2G:{ß-}-JI) geben. Eher könnte 
man diese Messungen dazu benutzen, 1 : p zu bestimmen^ oder, ab- 
gesehen von dem hier betrachteten^ speziellen Falle^ allgemeiner nach 
S. 264 § 46 des 3. Kapitels ^ um einen Mittelwert von 1 : q aller 
Vertikalschnitte der Niveaufläche an dem betreflfenden Punkte der 
Beobachtung herzuleiten*). 

§ 4. Fortsetzung: Yergleichung der Einwirkung auf r^ g^ 
Q u. 8. w. Nicht uninteressant ist es, die Maximal Wirkungen der 
Masse m auf die verschiedenen in betracht kommenden Gröfsen zu- 
sammenzustellen. Wir nehmen dabei die störende Masse m = — Tca^S 

3 

und bilden immer den nachstehenden Quotienten: 

Gestörter Wert — unge störter Wert 
ungestörter Wert 

Wir erhalten dann aus (7) S. 268 für die Störung im Radiusvektor: 



ferner aus (5) S. 275 für die Störung in der Schwerkraft: 

Ornax — ^ 9 a' 



^m ^** ' 



(2) 



welcher Quotient auch in der Lotablenkung auftritt; denn es ist nach 
(12) S. 272: 



zn ®m *** 



(2») 



Aus (13) S. 
Krümmungsradius : 


272 folgt weiter für 


die 


Störung 


im 


reziproken 




Qmin ^ + S 

1 


G 






(3) 




B + H 





*) In den Verhandlrmgen der 6. aUgem, Konferens der europäischen Grad- 
messung zu München 1880 S. 36 berichtet von Jolly über seine bezüglichen Be- 
obachtungen. Er fand in einem gewissen Falle anstatt 33,1 Milligramm den 
Wert 32,8 Milligramm als Einflufs der Höhenlage auf die Anziehung, d. h. also, 
er fand dg i dh absolut genommen um ca. 1% zu klein. In den Äbh. der kön, 
bayer. AJc. d. Wiss, U. Cl., Bd. 14, 2. Abt 1881 sind die Zahlen genauer zu 
33,059 und 31,686 angegeben, d. h. die Änderung von g mit h ist um ca. 4% zu 
klein. Vergl. weiterhin den Schlufsparagraphen dieses Kapitels. 



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§ 4. Fortsetzung: Vergleichang der EinwirkuDg auf r, ^, ^ u. s. w. 277 

und aus (9) 8.275 für die Störung im Differentialquotienten der Schwer- 
kraft nach der Höhe: 

\dh)max \ E + H; 9 a^ ,o#x 



\ b + h) 



Die stärksten Wirkungen sind also diejenigen auf q und -^^ nach 

(3) und (3"^)^ die schwächste ist diejenige auf den Radiusvektor und 
dazwischen stehen diejenigen auf g und die Richtung des Lotes. Dieses 
sind zugleich die störenden Wirkungen, welche in der Regel bei Beobach- 
tungen von Einäufs sind; da man weder den Radiusvektor^ noch den 
Krümmungsradius direkt messen kann und auch die Messung der 
Schwereabnahme mit der Höhe nur unter aufsergewöhnlichen um- 
ständen erreichbar ist. 

Zeigt sich bei den Beobachtungen^ dafs die Änomalieen in g und 
in der Lotrichtung lokaler Natur sind, dann entsprechen denselben 
jedenfalls nur sehr kleine Änderungen im Radiusvektor, während g 
stark variieren kann. 

Die Wirkungen einer unterirdischen Massenunregebnäfsigkeit unter- 
sucht bereits Young in den Philosophicdl Tramactions 1819 p. 89—92; 
spätere Untersuchungen finden sich in dem Hauptwerk der englischen 
Vermessung Ordnance Swrvey, Principal Triangulation (1868). p. 586; von 
BaUander in Poggendorffs Ann. (1862) Bd. 117 S. 148; in Thomson wnd Tait, 
Handbuch der tUor. Phyaik Bd. I. 2 (1874), S. 341—343; von Winterberg 
in Astronom, Nachr. Bd. 91 (1878) S. 97-108, und in Clarke, Geodesy 
(1880) p. 88-93. 

Durchaus unklar sind die Angaben Winterbergs, aus Nivellements die 
Gestalt der Niveauflächen zu bestimmen. Im 7. Kap. werden wir zeigen, 
dafs die liesultate der Präzisionsnivellements von der Gestalt der Niveau- 
flächen so unabhängig sind, dafs ein BückschluTs auf die letztere unmög- 
lich ist. Selbst mit der Anordnung, welche Bauemfeind den Nivellements 
gegeben, um die Krümmung der Niveauflächen zu studieren (vergl. Bruns, 
Figur der Erde, S. 41), ist praktisch noch kein Erfolg erzielt worden. 
Auch scheint Winterberg an diese Anordnung nicht zu denken. Dafs man 
die Höhenstörungen der Niveauflächen direkt nicht aus Nivellements be- 
stimmen kann, dürfte wohl diesem Autor bekannt gewesen sein. 

Clarke, Geodesy p. 98—101, untersucht auch den Effekt, den eine 
radicde Verschiebu/ng einer Masse giebt. Man kann dies aus dem hier ge- 
gebenen leicht abstrahieren ; sollte die Masse als Halbkugel hervortreten, 
so vergl. weiterhin § 16. * 

In der Ordnance Survey p. 591 sind auch die Störungen durch einen 
unendlich langen, Hegenden, unterirdischen Kreiscylinder behandelt. 

§ 5. Fundamentalformeln fUr die mittleren Teile langer, 
horizontaler Prismen. In Fig. 36 stelle das Dreieck 0.1.2 den 
Querschnitt eines geraden Prismas normal zu den horizontalen Kanten 
vor. Wir zerlegen das Prisma der Länge nach in Elemente vom 



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278 4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Maseen. 

Querschnitt dq. Hat ein solches Element vom Punkt den kürzesten 
Abstand r, welcher im Querprofil gemessen wird, so ist 



^' '^C.v^ 






^^^v k^& ^^^ (1) 

^ das Potential der Anziehung des Elements 

^^"""^^--^^ . auf Punkt 0, wenn die konstante 
s^X^^,^"^ : Dichtigkeit des Prismas ist und x einen 
y>^* ,.-''^ Abstand vom Querprofil in der Längs- 

...■'' *^' richtung bezeichnet, der von — Z, bis 

+ Zj variiert. Nach einer bekannten 
Grundformel der Integralrechnung wird 
das Potential (1) gleich 



Fig. 36. 



Ä:'@{lognat(^ + /-^ + l) + log nat (^ + /^f+l)) dq. (2) 

Nehmen wir Z, und Zj gegen r sehr grofs an, so geht (2) mit für 
unsere Zwecke genügender Genauigkeit über in 

k''® (lognat ^ + lognat^j dq , 

und hieraus folgt, indem wir 

/Lj:^ = L (3) ' 

setzen, als Potential des Elementes vom Querschnitt dq: 

2k^e]ogn2ii^'dq. (4) / 

Der Fehler dieses Ausdruckes ist, wie die Reihenentwicklung von 
(2) zeigt, angenähert gleich 

+ 2k^@dq\-Q\ (4») 

mithin für 2Z= lOr bereits weniger wie V2 Vo ^^^ Ausdruckes (4). 
Difi^renziert man (4) nach r, so ergiebt sich die Anziehung des 
Elementes auf Punkt in Richtung des durch eine Verschiebung 
von wachsenden Radiusvektors r. Damit erhält man mit Rück- 
sicht auf die Figur leicht als horizontale Komponente der Anziehung 
des Elementes normal zu dessen Längsrichtung: 

2^2® -^ cos 9, (5) 

und als vertikale Komponente derselben: 

2A-2(9^sin<p. (6) 



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§ 5. Fundamentalformeln f. d. mittleren Teile langer, horizontaler Prismen. 279 
Der Fehler der Gesamtanziehung ist gleich 

-2*^® 4^ -2(2-1-)', . (6*) 

mithin für 2Ze= 10 r gleich 27o der sich aus (5) und (6) zusammen- 
setzenden Gesamtanziehung. 

Wir führen nunmehr Polarkoordinaten ein, wie Fig. 36 zeigt, 
sodafs dq ■= rdrd(p wird, und integrieren den Ausdruck (4) zunächst 
nach r von null bis an die Peripherie des Querschnitts, woselbst r in r 
übergeht. Nun ist durch teilweise Integration leicht zu finden, dafs 

r log nat-^ dr = { r^ jlog nat-^ + yj , 



/ 



wobei nur zu beachten ist, dafs r lognat r für r gleich null in null 
übergeht. Hiermit findet sich aus (4) als Potential der Anziehung 
des ganzen Prismas auf Punkt 0: 

V = k^@J [lognut^ + ^] /^ dg> , ( 7 ) 

Integriert man auch (4*) nach r, so findet man, dals (7) auf 
etwa Va Vo S^i^^^u i^^ ^^ ^^^ Prisma, dessen Länge zehnmal so grofs 
ist als r/ und r^' im Mittel. 

Um nach tp zu integrieren, setzen wir mit Rücksicht auf Fig. 36 
für r den Ausdruck 



r '^n 



1 Bin (w, + 9 — q>i) ' 

in welchem Ausdruck nur 9 variabel ist. Für die Ausmittelung von 
(7) kommt es aber auf das Integral 



/■ 



1 ""l?! 1 dg> 



sin» («0, + 9 — <pi) 
an, das darch teilweise Integration abergeht in 

- (lognat ^^^^^y;+j:-^-^ +i|cotK + <P--9>0 

+ J cot^ (m;, + g) — 9)j) d(p ; 
da nun 

/ cot^ (w'i + 9 — 9>i) ^9) = — cot (w^ -{- g> — ipi) — (p + Konst. , 
so findet man endlich ohne Schwierigkeit aus (7): 

cot m;, [log nat ^ + y] 

+ cot W2 [log nat 4^ + y] — ^0 



v^k^&r^^sha}w^ 



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280 ^' ^apiteL Der Einflufs gegebener Masseo. 

wobei t^Q s= ^2 — 9>i und 1^2"==' Jr — m^o "" *^i sowie Tj' «= r,' sin t^] : sin w^ 
eingeführt sind. 

Anstatt des vorstehenden Ausdruckes erhält man, wenn vor der 
grofsen Parenthese ein Mal r/ sin w^ durch r^ sin W2 ersetzt wird 
und alsdann noch einige naheliegende Umformungeu mit Rücksicht 
auf Fig. 36 vorgenommen werden: 



v = 2k^&J 



_ + ^ log nat -jr- + -^-- -«- log nat -^ \ 

° sin w, sin w^ 



(8) 



Sin t(7o 



Hierin bezeichnet J den Flächeninhalt des Dreiecks 0.1. 2, d.i. des 
Prismen-Querschnitts. 

Eine andere bemerkenswerte Gestalt erlangt der Ausdruck für 
t;, indem man im 1. Logarithmus für r/ den identischen Wert 
r2r^' : Tj' substituiert und sodann die beiden Glieder, welche den 
Logarithmus von 2Z : r/ enthalten, zusammenzieht. Es folgt 

t;=2*»@^{| +lognat^+ rLS^-iogn^t^, - ^i?i ,^,).(9) 

Ähnlich findet sich 

v^2k^ejH+logu^t'-^ + '^-^P lognat^;:-^J^««,) . (10) 

§ 6. Fortsetzung. Führen wir in (5) und (6) des vorigen 
Paragraphen für dq seinen Wert rdrätp ein, so folgt unmittelbar 
durch Integration nach r von null bis r als horizontale Komponente 
der Prismen- Anziehung normal zur Längsrichtung des Prismas: 

2k^&J r cos (pd(p (1) 

Vi 

und als vertikale Komponente: 

2kWj r 8m (pd(p. (2) 

Vi 

Führen wir wieder r = r/ sin w^ : sin («;, + 9 — 9,) ein und 
nehmen als Variable « «= w?, + 9 — g?,, so gehen (1) und (2) bezw. 
über in 



und 



Sin a ^ ^ 

«p^ + wi 

2*»0 r,' siu «>, /-«^/"-i?L+^.Id„. (4) 

' ' ^ Bin « ^ ^ 

«Ol 

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§. 7. ADgemeine Formeln för einen Gebirgsrücken. 281 

Löst man sin und cos im Zähler auf und integriert, was keine 
Schwierigkeiten bietet, beachtet auch, dafs t^^ + t^j = ä — w?2 und 
sin W2 : sin w^ = r/ : r^ ist, so folgt aus (3) für die horizontale, 
zur Längsrichtung normale Komponente der Anziehung: 

2^^® r{ sin w^ [wq sin {w^ — 9i) + cos (w?, — 9,) log nat -^j (5) 

und für die vertikale Komponente: 

2k:'^0 r{ sin w^ [wq cos {w^ — ^j) — sin {wy — tp^ log nat ~- } • (6) 

Diese Ausdrücke besitzen scheinbar betreffs der Stücke des Drei- 
ecks mit den Indicfes 1 und 2 nicht diejenige Symmetrie, die man 
erwarten konnte. Beachtet man aber, dafs r/ sin w^ = r^ sin w^ 
und dafs w^ — 9, der Neigungswinkel von c gegen die Horizontale 
ist, so verschwindet dieser Mangel. 

Wenn Zj und Zj, die Längen des Prismas beiderseits des durch 
den Punkt geführten Querschnitts, nicht genau einander gleich 
sind, so existiert noch eine 3. Komponente der Anziehung auf in 
Richtung der durch diesen Punkt hindurchführenden Prismenkante. 
Nehmen wir Zo > Z, und beide wie oben im Verhältnis zu den Quer- 
dimensionen des Prismas grofs an, so ist jene 3. Komponente offenbar 
sehr nahe gleich der Anziehung eines Prismas von der Länge Zj — Zj, 
welches auf der Seite L^ zwischen 2 Querschnitten in den Abständen 
Z, und Z2 von liegt. Diese Anziehung kann angenähert gleich 
[Masse: Quadrat der Entfernung] gesetzt werden. Wir erhalten hier- 
mit als 3. Komponente der Anziehung in der Längsrichtung der 
Kante angenähert den Wert 

2A:^0.i^l^^, (7) 



worin z/ die Querschnittsfläche und Z die ^L^L.^ bezeichnet. 

Die Genauigkeit der Formeln (5) und (6) wird in dem Falle, 
dafs r/ und r/ nur etwa den 10. Teil der Gesamtlänge 2Z des 
Prismas betragen, mit Rücksicht auf (6*) des vorigen Paragraphen 
gleich V3V0. 

§ 7. Allgemeine Formeln fttr die mittleren Teile eines 
langen Gebirgsrückens in Form eines liegenden^ dreiseitigen 
Prismas. Für die mittlere Gegend eines Gebirgsrückens, der wesent- 
lich länger als breit ist, können die in den vorhergehenden beiden 
Paragraphen entwickelten Formeln Anwendung finden. Von der 
Krümmung der Erde sehen wir nach den Erfahrungen im 1. Beispiel 
dieses Kapitels, vergl. S. 273, vorläufig ab. 

In Fig. 37 bezeichne ABC den Querschnitt des Gebirgsrückens 
und ^^ die ungestörte Niveaufläche in der Meereshöhe H. Für einen 



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282 



4. Kapitel. Der EiDflufs gegebener Massen. 



Puukt P' derselben hat man die Wirkung aus den Wirkungen der 
Prismen ÄPCxxxiA BP'C zusammenzusetzen und kann dabei im Ver- 
gleich mit l^'ig. 36 S. 278 setzen für 



t^o 



w^ 



9i 



B"^' 



Ü 






bei BP'C bezw. die Werte: 

ferner bei ÄP'C: 

PK ^K ^K *' — ^ 

solange P' zwischen A und B liegt, dagegen: 

wenn P' in Fig. 37 linker Hand von A liegt und mithin oh^ ne- 
gativ ist FQr letzteren Fall sind selbstverständlich die Wirkungen 



-• C... 




Fig. 37. 

des Prismas AP' C von denen des Prismas BP'C zu subtrahieren. 
Zufolge der gewählten Substitutionen ist aber auch im ersten Fall 
die Horizontalanziehung von AP' C zu subtrahieren. 

Man erhält mittelst der Formel (10) § 5 S. 280 als Potential v 
der Anziehung für P' innerhalb: 



t;'=^2öV 



/A4.I0 nat— "ic ^ c-a^ b ^ ß 



sm^ 



und für P' aufserhalb: 



v^k'^@h^2 



(| + lognat|^)c 



+ (^^l?^^^lognat^ +^^lognat^ 
Uc-6)9>mB sin {B+i>')+ a sin^ sin(^— ^')1 



Bin'^ 



v=k^eh^ 



Einige leicht ersichtliche Umformungen geben hieraus für P' innerhalb: 

_ (c— <y)2 [v^'sin^^ — Y sin2^ lognat^] 

ö^ ^{n-il;')sin'^A'-^sm2AlogneLt^'^ 



(|+lognat||)c 



(1) 



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§ 7. Allgemeine Formeln für einen Gebirgsrücken. 
und fOr P' aufäerhalb: 



283 



t,'=*J©Äo' 



(1 + log nat Ige 



— (c — of [^'sin'^ff — y sin 2ä lognat^] 
+ tf« [^'sin» .4 + y sin 2 ^ lognat ^] 



•(1" 



Ferner findet sich aus (5) des vorigen Paragraphen, wobei aber 
r/ sin w^ mit r^ sin w^ zu vertauschen ist, für die zur Längsrichtung 
normale Horizontalanziehüng für P' innerhalb: 



2/t2@Äo 



{c-ö) [v^' sin'^ — y sin 2B log nat -^^] 
— tf [(ä — ^') sin^-4 -•- Y sin 2A lognat —1 
und für P' aufserhalb; 

{c — ö) \y sin'^ — Y sin 2B log nat -^--] 
+ a [^' sin'^ + Y sin 2^ log nat ^1 



(2) 



2^2@Ä„ 



(2*) 



Ebenso giebt (6) des vorigen Pari^fraphen für die Vertikalan- 
ziehung für P' innerhalb: 



— §^2@Äo^ 



{c — 6) [y *' sin 2B + sin^B log nat -^^1 
-f- <y [y (^ ~" V'') süi 2^ + sin^^ lognat -1 
und für P' aufserhalb: 

' (c—0) [y *' sin 2B + sin'^ log nat Y=y] 
+ tf [— -1- V' sin 2 .4 + sin»^ log nat ;^] 



(3) 



— 2yt''@Ao 



(3*) 



Für den Punkt P auf AC setzen sich die Wirkungen der Prismen 
APB und BPC zusammen. Im Vergleich zu Fig. 36 S. 278 kann 
man setzen bezw. 



für 



tVi 



Wo 



hei BPC: zh^ yh^ ah^ n^A — B ^ — 
bei APB: xh^ yh^ ch^ A t 



^0 9i 

A + il; —A 

7t — A — t +-^5 



zufolge dieser Substitutionen ist die Horizontalanziehung für APB 
von derjenigen für BPC zu subtrahieren. 



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284 



4. Kapitel Der Einflurs gegebener MasBen. 



Für (las Potential der Anziebaug in P erhält mau nun den Wert 
nach (9) § 5 S. 280 gleich 



t;=^2©A^2ysin(^+^) 



(|- + lognat|^(x + .) 
GOs{A-\'B) log nat ^•\ cos ^4 log nat -^ 



Nach einigen leicht zu erkennenden Umformungen folgt hieraus: 



v^k^eha"^ 



— (^ + ^) f sin« ^ — (jr — ^ — V') g' 



(4) 



2k^@h^y 



Mau erhält ferner aus (5) § 6 S. 281 für die zur Längsrichtung 
normale Horizontalanziehung in P: 

(-4+ V') sin B a\n{B — V') + cos^ siu (B — ^) log nat ^ ] 

+ sin ^ log nat — 
vofQr man auch setzen kann: 
2k^ 0\ ^{A + i>)( sin»5 + -i- / sin 2 ff log nat ^ + g lognat -J) • (5) 

Aus (6) § 6 S. 281 folgt endlich für die Vertikalanziehung in P: 

i(pt — A — t) aintl; — (A + t) cos B sin {B—f)\ 
+ sin B sin (^ — f) log nat -|- I 

wofür man auch setzen kann: 

, Um nunmehr zu den An- 
gaben für einen Punkt in CC\ 
gleichhoch mit P gelegen, vergl. 
Fig. 38, zu gelangen, gehen 
^> X wir von (4) aus und setzen darin, 
^/,^ ß um zunächst das Potential des 
Prismas CBC zu erhalten, 

t A t 

bezw.: a g a' 1-1 «(1-5) Y ^', 




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§ 7. Allgemeine Formeln fSr einen GebirgarOcken. 



285 



während die fibrigen Symbole bleiben. Damit folgt als Potential von 
CBC auf 0: 



k^®h^ 



d+lognatJD« +-^«)*-8in2/?lognat-^ 
- (f + ir) a« (1 - 1)2 sin'^ - (f - ^) |2 



Im vorletzten Gliede schreibt man besser für «csin^ einfach cos^. 
Vertauscht man jetzt ^mit B, a' mit V, a mit ß und Ä mit B', 
so ergiebt sich das Potential von ACC. Dieses ist gleich 



yt»©V 



(i + lognat 11) ß + il^ sin 2A log nat - ^ ^ 
- (f + ^) (1 - D* cos» ^ - (y - ^') I' 



Die Addition beider Ausdrficke ergiebt als Potential vo für 

2L 



»o = *'0V 



(y + log nat -jA c — a log nat a' — ^ log nat *' 
+ Y (l~5)*[8in2Mognatj^+sin2^1ognatj^] 
- (1 - if [(1 + b) cos'B + (y + ^) '^'^] 



-{n-A'-B") I» 



•(7) 



Mit Übergebung der Horizontalanziehung erbalten wir in gleicher 
Weise durch zweimalige Anwendung von (6) für die Vertikalanziehnng 
in 0: 



2A:'0Ao 



(„_ ^'_i?')|-(l _|)[(|+^)co82^+(f +i?')cos»^] 
+ (l-|)[ysin2^1og nat j^+-^8in2^ lognat j^J 



(8) 



Wir führen nun wieder als normale Schwerkraft an der Erd- 
oberfläche, sei es im Meeresspiegel oder in der Meereshohe H, den 
Wert 

ein. Dividieren wir mit demselben in das Potential; so erhalten wir 
die Erhebung j^ der gestörten Niveaufläche über die ungestörte gleichen 
Potentialwertes an der betreflfenden Stelle; dividieren wir in die Hori- 
zontalanziehung, so erhalten wir die Lotablenkung >i; dividieren wir 
endlich in die Yertikalanziehung, so erhalten wir die Schwerestörung 
dg in Bruchteilen der normalen Schwerkraft*). 



*) Die Werte von v für die Punkte A und B und die zugehörigen Er- 
hebungen berechnete auch 1880 ülarhe^ Geodesy p. 93—04. 



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286 4- Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen. 

Bei diesen Divisionen geht der Faktor k^& der oben aufgestellten 
Formeln über in k^0 : G oder in 

Man bat nun in diesen Formeln nur k^@ mit IC zu vertauschen um 
bezw. Erhebung der gestörten Niveaufläche über die ungestörte, Lot- 
ablenkung oder Störung in der Schwerkraft zu erhalten. Für die 
Lotablenkung in Sekunden ist zu setzen 

Sie entspricht mit Rücksicht auf die Figuren einer Anziehung des 
aufgehängten Lotes nach rechts. 

Es mufs noch bemerkt werden, dafs die nach den gegebenen 
Formeln berechnete Schwerestorung nur dann die ganze Störung ist, 
wenn man für einen bestimmten Punkt die Schwerkräfte vergleicht, 
welche ohne und mit Berücksichtigung der Prismenanziehung vor- 
handen sind. Wenn man jedoch vergleicht die ungestörte Schwer- 
kraft in einem Punkte einer ungestörten Niveaufläche mit der gestörten 
Schwerkraft in dem darüberliegenden Punkte der gestörten Niveau- 
fläche gleichen Potentialwertes^ so kommt auTser der Prismeuanziehung 
noch die Veränderung der normalen Schwerkraft in betracht, welche 
zu der Höhenverschiebung gehört. Diese Veränderung kann sehr be- 
trächtlich ausfallen, da Prismen von der Masse der Hochgebirge be- 
deutende Höhenverschiebungen bewirken. Da indessen einerseits für 
unsere Zwecke die Betrachtung der Schwerestörung für bestimmte 
Punkte genügt, andererseits die Berechnung des Einflusses der Höhen- 
lage einfach mit dem Quotienten 28h: R erfolgen kann, so sehen wir 
hier von der Betrachtung der Schwerestörung entlang gestörter Niveau- 
flächen ab. 

§ 8. Deformationen durch einen glelchschenkellgen Ge- 
birgsrücken. Wir nehmen jetzt als Querschnitt ein gleichschenke- 
liges Dreieck und setzen demnach 

« = &, A^B. (1) 

Um einen Überblick von der Gesamtwirkung zu bekommen, be- 

C rechnen wir zunächst die Er- 

<^ V>^^ ^"^^>Oi hebung des gestörten Niveaus 

^\^ V'^ ^^^-^ für die Punkte C\ M\ A und 

""^^ A ^[_.,.^'. :? iV^ der Grundfläche im mitt- 

'"^^ leren Querprofil, Fig. 39. 

^*«- ^- Nach Formel (1) S. 282 

wird erhalten als Erhebung der gestörten Niveaufläche über die un- 



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§ 8. Deformationen durch einen gleichschenkeligen Gebirgsrücken. 287 

gestörte für C ^ wobei <y = y,p=l, f'=:~ zu setzen ist, wenn 
man die Relationen 

a sin ^ = 1 c sin ^ = 2 cos ^ c 8m2A = 4 cos^A 

(2) 
2flr cos ^ = c c tan A =^2 c sin^A = sin 2 A 



beachtet und 
setzt : 



-|- + lognat^ = ö (3) 



2 ^ -6""« ^^ 

dhc = A'V^ { — coa^^ log nat y — -|^ sin 2^} ; (4) 

ferner für 3^' inmitten AC\ wobei <y = 4- » P^ = 1 + -7^ > tan ^' «=> — 
zu setzen ist: 



-(91ognat9-101ognat^)^ 
SHm ^^Kho^c \ Ö— -lognat 



— (iw: + 8 arc tan — ) 



4 \ Bin 2 il 



5(5) 



16 

ferner für A, wobei a = 0, p «= a, ^' = ^ zu setzen ist: 

dÄ4« i5rAo'^{ö-lognatc — -i- cos 2^ lognat -^l^_^8in2.<j. (6) 

.Es folgt weiter für N nach Formel (1*) S. 283, für welchen Punkt 
<y = — -|., p2 CS 1 + -^ , tan ^' = — zu setzen ist: 



8hif^Kh\c 



ß- -lognat 



-(251ognat25-261ognat?^+^)'-^^ 



16 3 . ^ 4 

— — Sin 2A arc tan -— 



(7) 



Wir bemerken hierbei, dafs der angewandte Ausdruck (1*) zwar 
noch für N immer eine gute Annäherung bietet, falls nur 2Z erheb- 
lich gröfser ist als ch^^ dals derselbe aber bei wachsendem Abstände 
vom Gebirgsrücken raach an Genauigkeit einbüfst, wie aus der Ent- 
wicklung der Grundformeln hervorgeht, vergl. insbesondere S. 279, 
Bem. zu (7). 

Setzen wir ® ■= -- ®,„ , so wird sehr nahe 

ir«» 3: 160000000. (8) 

Wir nehmen femer \ «= 2500™ , Kh^ = 10 : 85 rund , sowie 
2L = 750000"» und c = 10; damit ergeben sich die folgenden Werte 
der Höhenstörungen: 



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288 



4. KapiteL Der Einflafs gegebener Maasen. 



100 
85 
100 
85 
100 



8hc = -^ (7,20 - 1,85) = 6,29« 
öhM' = ^ (7,20 ~ 2,24) = 5,84« 



ShA = -^^ (7,20 - 3,00) = 4,94" 



Shs 



85 

^00 

85 



(7,20 - 3,48) = 4,38« 



Setzen wir dagegen c = 100, so folgen die Höhenstörungen 



Differenz 
0,45« 
0,90« 
0,56« 



Hör. DisUns 

j. (9) 

««so». 



dhc 



1000 
86 



J7,204- 3,942 j =.38,38™ 
dÄjtf.= ig?- j 7,204 - 4,463) = 32,25"' 
ShA = ^ {7,204 — 5,298) = 22,42» 
Shif = ig^ {7,204 — 5,777) = 16,79-» 



Differenz 
6,13» 
9,83» 
5,63» 



Hör. DistADc 

je (10) 

02500»». 



In dem letzteren Falle ist übrigens die Genauigkeit der Zahlen er- 
heblich geringer als im vorhergehenden, weil die Lange des Gebirgs- 
rückens nur das Dreifache seiner Breite betragt. Insbesondere ist dhjf 
infolge dieses Umstandes mit Rücksicht auf die Formeln (4) und (4*) 
S. 278 beinahe 1« ungenau. Immerhin reichen unsere Zahlen noch 
dazu aus, eine Vorstellung von der Grofse der Deformation zu erhalten. 

Aus den Zahlen (9) und (10) kann man auch eine annähernde 
Vorstellung von der Wirkung der Alpen gewinnen. Wenn man das 
rohe Profil derselben, Fig. 84 im 7. Kapitel, betrachtet, welches aller- 
dings die höchsten Spitzen, deren Wirkung aber gering ist, abschneidet, 
so erkennt man, dafs die Wirkung der eigentlichen Alpenmasse durch 
(10) überschätzt wird. Mit Rücksicht auf das Ansteigen des Terrains 
in Deutschland aber dürfte die Maximalerhebung im zentralen Teile 
der Alpen immerhin auf 30« zu schätzen sein, wobei nun freilich die 
Gegenwirkung etwa vorhandener unterirdischer Massendefekte un- 
beachtet gelassen ist. 

Um eine Vorstellung von der Störung des Parallelismus der 
Niveaufiächen zu erlangen, berechnen wir die Höhenstörungen 8h der 
Niveauflächen noch für die Punkte C, M und 0, Fig. 39. 

Die Formel (4) des vorigen Paragraphen S. 284 giebt für C, 
wobei X = a, y ^=^ a, z = 0, ^««=0, 6«=1, ^ = ^zu setzen ist: 



C« + 4 



dho = I^ho'c[o-Y ^^8^** -^ 



« — 2^ 



h 



(11) 

femer für M, woselbst a; = -|-, y* = — + ^- , z = |- , / = -j, 

5 = _-, tan if; = -— zu setzen ist: 



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§ 8. Deformationen durch einen gleichschenkeligen Gebirgsrücken. 289 
0-^lognat«^-l(l-4sm^^)lognat|;'i* 

- i [«+(•'' + "«^ *«» -fc) (4 «08* ^ - 1)] 

Für die oben angenommenen numerischen Ausgangswerte folgt 
bei c = 10: 



8hu=KK^c 



(J2) 



(Jäc = 



100 
85 

100 



(7,20 - 1,90) = 6,24-» 



8hu = -g^ (7,20 - 2,23) = 5,85» , 
dagegen bei c = 100: 



8}ic = 



«Ja. 



1000 



(7,204 — 3,943) = SejSS™ 
gj (7,204 - 4,463) = 32,25«' , 



85 
1000 



(13) 



(14) 



Nun ist für die ursprünglich durch Cxm^C' gehenden Niveauflächen 
der ungestörte Abstand gleich A^, der gestörte aber \ + *äo — 8hc'. 
Die Störung 8hc — Shc ist 

für ^ = 10 — 0,05"» 
„ c=100 —0,02"». ^ ^ 

Dagegen ist für die Niveauflächen durch M und M' die Störung 
8 hu — 8 Um' gleich 

fürc= 10 +0,01- 

„ c = 100 + 0,00"« . ^ ^ 

Zur BerechnuDg von 8h für giebt die B^ormel (7) S. 285, wobei 

A^B, «-^ = -1-, d-^=h"^=^^^, 6 = i- und Ä^ff 

= arctan — zu setzen ist: 



Sho=Kh^^c 



fö-|lognat-^ + 



8in*A 
~8~ 



log nat (c* + 1) 



- 1 sin 2 ^(f + arctan 1) - l(|_arctani) 



.(17) 



Für flache Profile ist 8 ho sehr nahe die Maxxmaldeformalion\ denn 
im Punkte mufs das Potential der Anziehung des flachen, sym- 
metrischen Gebirgsrückens nahezu ein Maximum sein, wie man so- 
fort erkennt. 

Mit c = 10 wird bei den angenommenen Verhältnissen 

8ho = -^ (7,20 - 1,75) = 6,42»' ; (18) 

mit c = 100 dagegen : 



*Ao = 



1000 
85 



(7,204 — 3,928) = 38,54'» . 



(19) 



Helm ort, mathom. n. physikaL Theorioon der hfth. GeodSsic. II. 



19 



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290 4* Kapitel. Der Einflufs gegebener Moasen. 

Hiernach ist für die ursprünglich durch C und führenden 
Niveauflächen die Abstandsstörung 8ho — Shc 

für c = 10 gleich + 0,13»» ^ 

für diese beiden Niveauflächen findet daher von M' M bis CO eine 
Störung im Parallelismus im Sinne einer Divergenz statt, welche 
beträgt 

für c = 10 0,12"» 

„ c = 100 0,16»» . ^ ^ 

Eine eingehendere Untersuchung der Störungen im Abstand und 
Parallehsmus der Niveauflächen wird einfacher als mittelst Potential- 
werten mittelst der Schwerestörungen geführt. 

§ 9. Fortsetzung: Störungen der Schwerkraft. Die An- 
wendung des Ausdruckes (3) S.283 giebt unter Substitution von A=B, 
c sin 2-4 = 4cos2/4 und cdixi^A *= b\m2A die Störung der normalen 

Schwerkraft in C, woselbst <; = — ,j!?=l, ^' = — zu setzen ist: 

Sgc = - 6^ . Kh^ViTt cos^^ - 2 sin 2A log nat y } ; (1) 

ferner für M\ woselbst ö = — , p2 _= i ^ _^ tan V''«^ — zu setzen ist: 

lit -{-2 arc tan — j cos^ A 
— /y log nat 27 — log nat ^^^) sin 2A 
ferner für A^ woselbst <y = 0, p =z a, if' = A zu setzen ist: 

Sg^^-- G' fChJ4A cos2^ — sin 2A log nat -^^r^)' (3) 

Es folgt weiter mittelst des Ausdrucks (3*) S. 283 für N^ woselbst 
= r>i^^ = l + i^; tan^' = -r— zu setzen ist: 

4 lo öC 



7if = — G • A-Ao { 



; (2) 



7n G.Kho 



6 co8*^arctan-r- 
sc 



(I lognat 5 — log nat-^^— ) sin 2A 



(4) 



Die Anwendung von Ausdruck (6) S. 284 gjebt sodann für C, 
woselbst y = a, z = 0, / = 0, ^ = 1 , ip ^^^ A zu setzen ist: 



+ G.J^h,[27t-4A], (5) 

und für üf, woy^=l-f ^^', z=l-, ^ = | , g = |, tanV'=- 



9c« _ a . c y 1 x^^_i. 2 

Sc 
ZU setzen ist: 



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Sffif^ + G. Kh^ 



(6) 



von Ä =^ B! 



arci 



§ 9. Gebirgsrücken: Störungen der Schwerkraft. 291 

it — U-^ arctan ^^ (l + 2 cos^^) 
+ y sin 2A lognat %^\- 

Für erhält man schliefslich ans (8) S. 285 unter Substitution 
tan-1, a'2 = i^'2 = J^-tl und 6 = ~: 

c ' 4 2 

Ä sin^-^ — 2 (1 + co8^-<4) arctan — 

+ y sin 2^ lognat (c^ + 1) 

Wenn die numerischeu Ausgangswerte des vorigen Paragraphen 
zu gründe gelegt werden, ergeben sich folgende Störungen der Schwer- 
kraft in Millionteln von G d. h. also sehr nahe Mikrons der Länge 
des mathematischen Sekundenpendels : 



8go^-\'G. Kh^ 



(7) 



c= 10 



100 









in C 

+ 259 




in M 

+ 131 


in 

+ 31 


in S 

— 4 


in^ 
- 11 


in Jf' 

- 149 


in C 

-226 














in C 

+ 292 




in M 

+ 147 


in 

+ 7 


in AT 




) 

in A 


in if' 

-148 


in C 

-281 



(8) 



(9) 



Wir stellen diesen Werten diejenigen der Erhebung der gestörten 
Niveauflächen über die ungestörten nach dem vorigen Paragraphen 
gegenüber und erhalten: 
c=10 









in C 

6,24 




in M 

5,85 


in 

6,42 


in N 

4,38 


in A 

4,94 


in iT 

5,84 


inC 

6,29 



— 0,18 



(8*) 



+ 0,13 



la* 



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292 



4. Kapitel. Der Einflurs gegebener Massen. 



C==100 







in C 

38,.36 1 




in M 

32,25 


in 

38,54 


in jy 

16,79 


tn^ 

22,42 


in Jf 

32,25 


in C 

38,38 



-0,]8 



+ 0,16 



(9*) 



Zwischen den Schwerestorungen und den Abstandsstörungen der 
Niveauflächen besteht ein Zusammenhang; der eine angenäherte Eon- 
trolle der Zahlwerte erlaubt. Bekanntlich ist für zwei unendlich nahe 
Niveauflächen das Produkt aus Abstand in Schwere konstant. Be- 
zeichnen wir nun in sehr grofser Entfernung vom Gebirgsrücken; wo 
die Störungen verschwinden, den Abstand mit h, die Schwere mit G, 
dagegen die gestörten Werte mit h -{- j^und G -{' Sg^ so mu(s sein 

G,h^{G + äg){h + äh) 

oder; mit zulässiger Vernachlässigung: 

Sh = ^^h. (10) 

Ist in dieser Formel h nicht unendlich kleiU; sondern endlich; 
so ist für 8g ein mittlerer Wert für das Intervall h zu setzen ; wie 
die Integration beiderseits in (10) sofort erkennen läfst. 

Nehmen wir nun an, dafs in der Vertikalen COC von unten 
nach oben dg algebraisch nahezu gleichförmig zunimmt, was die 
Tabellen (8) und (9) zu bestätigen scheinen und was für flache Profile 
eine gute Annäherung sein mufs; so wird z. B. die Abstandsstörung 
der durch C und gehenden ungestörten Niveauflächen bei c = 10 
sehr nahe sein gleich 



— 0, 00022 6 + 0,000031 
2 



2500 



d.i. -f 0,12« 



Auf diese Weise lassen sich auch die anderen aus (8*) und (9*) 
folgenden Abstandsstöruugen mittelst (8) und (9) kontrollieren. Man 
wird sie bestätigt finden. 

Untersucht man die Störungen der Schwerkraft eingehender; so 
findet sich; dafs von der Basis ACB aus nach' 67 hiu; Flg. 39; diese 
Störung ihrem algebraischen Betrage nach im allgemeinen bei einiger- 
mafsen flacher Form des Profils ABC nahezu gleichförmig zunimmt, 
dafs aber ganz in der Nähe von C diese Zunahme stetig in eine Ab- 
nahme übergeht. Davon kann man sich leicht überzeugen; indem 
man den DiflFerentialquotienten der Schwerestörung entlang ACy so- 
wie entlang CC bildet. Die »gröfste Störung findet somit nicht in C, 
sondern unterhalb dieses Punktes statt. Diese Anomalie ist aber bei 
einigermafsen flachen Profilen ganz und gar unerheblich und ohne 



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§ 10. Gebirgsrücken: Störungen im Paralleliflmus der Niveauflächen. 293 

alle praktische Bedeutung, weshalb wir auch nicht weiter auf dieselbe 
eingehen. 

§ 10. Fortsetzung: Störungen im Parallelismus der Nireau- 
flSclien. Mittelst der bisherigen Untersuchungen und einiger ein- 
fachen Überlegung kann man leicht eine allgemeine Vorstellung vom 
Gange der Niveauflächen innerhalb des mittleren Teiles des Gebirgs- 
rückens gewinnen. Aus (8*) und (9*) erkennt man, dafs für Über- 
einander liegende Punkte P und P' des Hanges AC und der Grund- 
fläche A(f die Höhenstörung sehr nahe dieselbe ist. Es hat dies 
seinen Grund darin, dafs das Potential v der Anziehung des Gebirgs- 
rückens für solche Punkte nahezu gleich grofs ist, wie es auch dem 
Augenschein nach für flache Profile der Fall sein mufs. Wenn nun 
in Fig. 40 irgend eine Niveaufläche, z. B. diejenige durch P^ ins 
Auge gefa&t wird, so ist 

klar, dafs dieselbe bei P^ ^, 

gegen die Grundfläche AB J^^t^^^^^^^^^^^L^ 

keine wesentliche Abstands- /» v/^— Z-__jF\-:? !/ k 




^1 



'/ 



Störung erleidet, indem für />.^^_h— t 

/>, und />/ die Potential- v^'^^^^lT^/'i h? *\i i>\(f 
diflferenz im gestörten Zu- a f; "^ 1^ c* jp^ 'p^ 'tjj^ 
stände nahezu denselben Be- Wirkliche^ 2fwjeaufUichc 

trag hat, wie im ungestör- ^ ^^ 

ten — um so mehr, je flacher 

das Profil ist. Von der Eintrittsstelle P^ an divergiert aber die durch 
Pj führende gestörte Niveaufläche gegen die durch den Fufs A führende 
gestörte Niveaufläche (Grundfläche). Die stattfindenden Verhältnisse 
werden angenähert durch Fig. 40 vorgestellt, wobei den vier gestörten 
Niveauflächen durch A^ P^, P^ und P^ dieselbe successive Potential- 
differenz /IW entspricht. Die kleinen Zahlen bezeichnen die Ab- 
standsstörungen in einer gewissen Einheit; die Summe dieser Zahlen 
in jeder Vertikalen ist null, wie es nach dem Gesagten sein mufs. 
Um die Richtigkeit der Zahlen im einzelnen zu erkennen, diene 
Folgendes : 

Geht man in irgend einer Vertikalen z. B. P'^P'^ in die Höhe, 
so nimmt die Schwerestörung im algebraischen Sinne zu, die Ge- 
samtschwerkraft, abgesehen von der Änderung der normalen Schwere 
mit der Höhe, nimmt somit zu, und die zm JW gehörenden Niveau- 
abstände werden kleiner. Angenähert entspricht bei flachen Profilen 
die Schwerestörung in P^ einer anziehenden Schicht von der Dicke 
P^P'^\ ebenso in P^, nur mit entgegengesetzter Wirkung, und ähnlich 
zwischen P^ und P^, Man findet, dafs annähernd die Schwerestörungen 
und AbstandsstöruDgen in arithmetischer Progression von unten nach 
oben sich ändern, indem insbesondere die Abstandsstörung zwischen 
zwei benachbarten Niveauflächen, Fig. 40, der Summe aus der Anzahl 



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294 ^* Kapitel. Der EinfluDs gegebener MasseD. 

der darüber liegenden, positiv wirkenden und der Anzahl der darunter 
liegenden, negativ wirkenden Schichten entspricht. 

Die Figur zeigt; dafs die gestörten Niveaufiächen von ihrem 
Eintritt aus nach innen divergieren; es gilt dies ganz allgemein für 
irgend ein Paar Niveauflächen , da vom Bande nach der Mitte des 
Profils hin die Summe der Dicken der störenden Schichten^ welche 
auf Vermehrung und Verminderung der mittleren Schwerkraft zwischen 
den betreifenden Niveauflächen wirken, im algebraischen Sinne ab- 
nimmt, der Abstand somit zunimmt. 

Die Figur deutet auch die Abstandsstörungen für die Niveau- 
flächen aufserhalb in der Nähe des Gebirgsrückens an, die sich nähe- 
rungsweise ebenfalls an jeder Stelle nach der Dicke der darunter 
liegenden Schicht bemessen. 

Um die gröfsten Abstandsstörungen innerhalb des Profiles zu er- 
halten, mufs man in den einzelnen Vertikalen die Orte der gröfsten 
und kleinsten Potentialwerte v der Anziehung mit einander kombi- 
nieren. In jeder Vertikalen wird aber bei einigermafsen flachen 
Profilen ein Mal die Schwerestörung dv : dh gleich null. An dieser 
Stelle, welche nahe mitten zwischen P und P' liegt, ist v ein Maxi- 
mum. Da nun die Schwerestörung unterhalb negativ^ oberhalb posi- 
tiv ist, sind die ins Auge zu fassenden Orte einerseits P und /^, 
andererseits jene Maximalstelle. 

Die gröfsten Potentialdiflferenzen treten in der Linie CC auf, und 
die gröfsten Abstandsstörungen müssen somit zwischen den Niveau- 
flächen durch C und C einerseits und einer Niveaufläche in mittlerer 
Höhe andererseits stattfinden. Wie (8*) und (9*) zeigen, ist die 
Störung für den Abstand der mittleren Niveaufläche von dem oberen 
Punkte C die gröfsere. Eiuen Näherungswert für diesen Abstand 
gewinnt man mittelst der Formel (11) S. 288 und (17) S. 289, deren 
Subtraktion zunächst ergiebt: 

-I lognat ^\ + I siu^^ lognat (c' + 1) + ^^^ 
Kh'^c 

° I -i «in2^ (y + arctan |) -^ (| - avctan 1) ' 

Der Voraussetzung flacher Proflle entsprechend vereinfachen wir diesen 
Ausdruck und setzen in hinreichender Annäherung 

lognat-J±^=^ 8in^ = ^ = -i arctan^ = i. 

Damit geht der Ausdruck über in: * 

Dieser NäJierungsansdruck giehi für flache^ symmetrische Profile die 
maximale Störung des Abstandes der Niveaufiächen innerhalb des Pro- 
ßes. Er stimmt in obigen Beispielsfällen mit den Zahlenangaben in 



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§ 11. Gebirgsrücken: Die Lotetörungen auf dem Hange AG. 295 

(8*) und (9*) und ist, wie man leicht bemerkt, von c wenig abhängig, 
was dadurch erklärlich wird, dafs bei flachen Profilen die Anziehung 
auf einen Punkt in CCf wesentlich nur noch von der Höhenlage dieses 
Punktes und nur wenig von der Form des Profiles abhängt. 

§ 11. Fortsetzung: Die Lotstorungen auf dem Hange AC. 
Wir betrachten vorerst die Lotablenkung des gleichschenkeligen Ge- 
birgsrückens in einem Punkt des Hanges AC des mittleren Quer- 
profils und bezeichnen sie mit A. Dann ist nach Formel (5) S. 284 
fQr j1 in Sekunden: 

^«+2r'Äo[y / sin2^ lognat-|- + | lognat |- + (^-f ^) t sin^^ j . (1) 

Um den Verlauf von A entlang AC kennen zu lernen, differenzieren 
wir nach <y, wobei wir für 6, ^, z, y und f, sowie deren Differential- 
quotienten die folgenden Relationen zu beachten haben, welche sich 
mittelst der auf die gleichschenkelige Dreiecksform anzuwendenden 
Kg. 37 S. 282 ergeben: 

g = (ytan^ t = c (1 — 6) z^=^ — i8ecA 
y^ == |2 -(. (c — cy ilf = arctan —^ — ; 

da , j 2 dt o dz 

*_ -B= tan>4 = — -^- a= — 2 -^— = — secA 
da c da da 

dy a sec* J. — c d'ip 2 

yda y* da y* 

Aufserdem ist zu berücksichtigen, dafs x = a — z ist. Wenn man 
einige naheliegenden Transformationen ausführt und die Umformungen 

a 860* J. — c — (c — <f) + J tan J. « , 
= — L_ -Lir^ cos^^ , 

y« (C — <f)* ^ ^ . 

sowie 

y / sin 2^ + 6 = [(^ — <^) + 6 tan^] sin^ cos^ 

beachtet, wird erhalten: 



da ^ 



tan A (lognat -| — l) — sin 2^ (lognat f ^ l) 
— 4- sin 2^ cos2^ _ 2 (^ + ^) sin^^ 



(2) 



Für X =- null, d. i. in Ay wird dieser Differentialquotient + cx), 
für z «= null, d. i. in (7, aber — oo; er geht also zwischen A und C 
mindestens einmal durch null hindurch. Vernachlässigen wir aber 
in der geschlungenen Parenthese von (2) in der Voraussetzung flacher 



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296 ^* Kapitel. Der Einflufs gegebener Masseu. 

Profile bereits Gröfsen der OrdnuDg A^, so reduziert sie sieb auf den 
Ausdruck 

tan A lognat — — sin 2-4 lognat — • (2*) 

Derselbe lafst sich für den folgenden Zweck mit ausreichender Genauig- 
keit durch Substitution von tan^ = 2 :c, sin 2^ = 4 : c vereinfachen, 
und hiermit erhält man als Bedingung des Verschwindens von dA : dö 
die Gleichung 

lognat — = 2 lognat -^ 

oder , 

^^-J-, also yx = z\ (3) 

Nun ist bei flachen Profilen sehr nahe y = ^ -^ z, x = ^— z. Aus 
(3) folgt damit angenähert 

somit o; = ^ (2 - ^ ) = 0,146 c (3*) 

und |Äo = 0,292 Äo. 

Der hierzu gehörige Maximalwert ron A ergiebt sich aus (1) mit 
Beibehaltung der bisherigen Genauigkeit angenähert gleich 

^m« = r'A, .i- j(c - 2ff) lognat-^ + ff lognat -|) . 

Nun ist zufolge (3) und (3*): 

damit wird 

Ar,uu: = 2i5r"Äo . 2 logUÄt (1 + ^ 2 ) = 0,0138 Äo Sekunden, (4) 

wobei mit Rücksicht auf den Wert von K nach (8) S. 287 

AT" = 0,0039 

gesetzt ist und h^ in Metern genommen werden mufs. 
Bei Äo*= 2500"» wird Amax = 34,5"*). 

*) Bereits 1780 wurde von HuUon in den Philosophicäl Transcictions (S. 603 
des 14. Bandes der Ausgabe von 1809) die Lotablenkung durch ein dreiseitiges, 
gleichschenkeliges, liegendes, oo langes Prisma untersucht und die Stelle des 
Maximums ermittelt Obwohl die Methode ungenügend ist, gelangt llutton doch 
wenigstens fflr flache Profile zu dem richtigen Resultat (3*). Todhunter deutet 
1873 in Bd. 1 der History of ÄUraction p. 472 den Vorgang einer richtigen Lö- 
sung für ein oo langes, ungleichseitiges Prisma an. 

Auch im Hauptwerke der englischen Vermessung Ordnance Survey, Principal 
TriangtUatioii, 1868, p. 680 wird die Lotablenkung durch ein Prisma untersucht, 
wobei der Querschnitt als Trapez angenommen ist. Das Maximum ist nicht ermittelt. 



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§ 11. Gebirgsrücken: Die LotstöruDgen auf dem Hange AC. 297 

Für den PuDkt A ist A jedenfalls positiv, wie auch (1) zeigt; 
von hier aus nimmt A anfangs sehr rasch zu, dann allmählich lang- 
samer bis zu dem , bei flachen Profilen von dem Werte c nahezu un- 
abhängigen Maximum , von wo aus A rascher und rascher ab- 
nimmt bis zu dem Werte null in C, Die Zunahme bei A und die 
Abnahme bei C erfolgen unendlich rasch, immerhin aber nur logarith- 
misch unendlich und daher nicht besonders auffällig. 

Um für Punkte nahe bei Aj also für sehr kleine <y, A darzustellen, 
kann man von dem Ausdruck (1) das Glied glognato; abtrennen; 
für den Rest gilt dann der Differentialquotient (2) nach Hinzufügung 
VOD tan A (log nat a; + 1) innerhalb der Parenthese. Für den Punkt 
A wird der so abgeänderte Differentialquotient: 

2ir''Äo|tan^lognatc — sin2^Aognat-^ — M"-(2^--tan^)sin2^} . 

Für sehr kleine 6 kann man nun unter Beschränkung auf flache 
Profile A dadurch bilden, dafs zu dem Werte . ^ im Punkte A 
der vorstehende, mit 6 multiplizierte Differentialquotient nebst 
— 2ä'"Äq . S log nat a; hinzugefügt wird. Mit einigen für flache 
Profile zulässigen Näherungen ergiebt sich so die für sehr kleine x 
gültige Formel: 

A = 2ä'"Äo[cos2^ log nat -^^ + A sin 2a\ 

(5) 
+ 2r'Äo(lognat(^y-0,77)f. 

In ganz ähnlicher Weise kann man A für die Nähe von C dar- 
stellen, wobei in der Parenthese von (1) zunächst — '-tBm2A lognatz 
abzutrennen ist. Damit geht (2) für C über in 

--2Ä"Äo[tan^+ Ysin2i(lognata-« + cos2^) + sin2^(4^— ^)} , 

und man findet unter Beschränkung auf flache Profile hieraus die 
für sehr kleine z gültige Formel: 

A = 2Ar"Äo ( log nat (f)' + 2) ^ • (6) 

Mit Hülfe der Formeln (1), (5) und (6) erhält man folgende 
Übersicht der Lotablenkungen auf dem Hange des mittleren Teiles des 

Gebirgsrückens, wobei unter Annahme von 6 = — &rn wie früher 

K" = 0,0039 gesetzt und h^ mit 2500"» eingeführt ist. 



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298 ■i- EapiteL Der Eiaflurs gegebener Massen. 

c = 10 c/Iq = 25000"' c = 100 cä« -= 250000'» 



<r 


oho 


A 


■■" 


Qm 


26,T 


0,01 


25 


27,0 


0,1 


250 


28,4 


0,5 


1250 


31,8 


1,5 


3750 


34,1 


3,0 


7500 


29,1 


4,0 


10000 


20,0 


4,5 


11250 


12,7 


4,9 


12250 


3,8 


4,99 


12475 


0,6 


rjanfdem 
K*mm 


12500 


0,0 



0,1 


aho 

0» 
250 


A 

27,0^ 
27,3 


1 


2500 


28,7 


5 


12500 


32,0 


10 


25000 


33,9 


16 


37500 


34,4 


20 


50000 


33,8 


30 


75000 


29,5 


40 


10(X)00 


20,3 


45 


112500 


12,9 


48 


120000 


6,6 


49 


122500 


3,8 


49,9 


124750 


0,6 


50i-:r 


125000 


0,0 



Hiernach ist auch eine übersichtliche graphische Darstellung der 
^ möglich, wie solche auf Tafel II mit anderen Darstellungen gegeben 
ist und im 7. Kapitel erläutert werden wird. 

Die Tabellen zeigen, dafs A wesentlich mit ö:c variiert; was 
auch aus dem Ausdruck (1) zu erkennen ist; wenn er flachen Profilen 
entsprechend modifiziert wird. 

§ 12. Fortsetzung: Die Lotstorungen auf der Ornnd- 
fläche AB, Die Lotablenkuug des gleichschenkeligen Gebirgsrückens 
in einem Punkte der Grundlinie AB des mittleren Querprofils be- 
zeichnen wir mit A', Wir erhalten dafür in Sekunden nach S. 283 
(2*) für aufserhalb gelegene Punkte, wenn wir beachten^ dafe 
c sin^A = sin 2 ^ ist : 



8in2J. U log nat -^ ^ (c — ö) log nat ^ 



c— a\ 



Ä = + 2K"hQ 

dagegen für innerhalb gelegene Punkte nach (2) S. 283: 

6 log nat — — {c — 0) log nat — - — 



, (1) 



^' = + 2i5r"Äo 



sinSA 



2 



c — <y 



+ 2^'-^-o 



(2) 



Im ersteren Falle hat 6 negative, im zweiten positive Werte. Aufser- 



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§ 12. Gebirgsrücken: Die Lotstörungeu auf der Grundfläche AB. 299 

dem sind für p uud ^' mit Rücksicht auf Fig. 37 S. 282 die Rela- 
tionen zu beachten: 

^' = arc cot (1 — ö) für a ^ I . 

Dieselben geben noch: 

c _^ 

dp 2 dip' 1 

p da p* ^ da p« 

Hiermit findet sich ohne Schwierigkeit für den Düferentialquotienten 
von A' nach 0y aufserhalb: 

—j— = 2K Äa • — -z — log nat ^^ — - — / ^ . , (3) 

da ^ 2 o — 4ff(c — a)' ^ ^ 

innerhalb: 

-^- = 2K"K . -*^;-^ { log nat ^P^^^ -^'-\- (4) 
da ^ 2 l o 4a(c — ö) c ] ^ ^ 

Berücksichtigt man, dafs im ersten Falle 6 negativ ist und dafs 
man identisch hat: 

_ U{c — <y) = [{c — 20y + 4] — [c2 + 4] , 

so erkennt man leicht, dafs dA : dö aufserhalb stets positiv ist; bei 
Annäherung an den Gebirgsrücken beständig zunimmt und für <r=null; 
also in ^, + cx> wird. In A beginnt dA' : dö innerhalb mit + oo, 
und es findet von da an eine fortwährende Abnahme statt. 

Diese Abnahme von Ah\^ C führt den DiffereAtialquotienten not- 
wendig durch null hindurch, da in C mit <y = v ^^^ Wert von A' null 
wird. In der That ist in C 

4f = 2i5"'Ao.8m2^(lognat|-^), 

imd dieses ist für jeden Wert von c negativ. 

Das Verschwinden von dA' : de innerhalb erfolgt in demjenigen 
Punkte zwischen A und C\ dessen der Bedingung genügt: 

lognat ^-f''>' + ^ =-g^- (5) 

^ 4a(c — a) c ^ ^ 

Setzt man zur Abkürzung für numlognat — das Symbol q, so 
folgt hieraus durch Auf losung nach 0: 

(6) 
Für c= 10 und 100 ist dieser Wert gleich 1,006 bezw. 14,10. 



2 l^ ^ l+q 



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300 4- Kapitel. Der Einflufs gegebener MasBen. 

Hierzu fiudet man aus Formel (2) die zugehörigen Werte von 
A' y die Maximalwerte f gleich 

31,0" bezw. 34,0" . 

Mit Rücksicht auf vorstehende Entwicklungen kann man nun 
den Gang der Lotablenkung in der Grundlinie des Profils wie folgt 
angeben: Die in gröfserem Abstände verschwindende Lotablenkung 
wächst bei Annäherung an den Gebirgsrücken rascher und rascher, 
besonders rasch am Fufspunkt A\ dann erfolgt die Zunahme all- 
mählich immer langsamer bis zum Maximalwert, von wo ab eine be- 
schleunigte Abnahme stattfindet, infolge welcher in C die Lot- 
ablenkung sich auf null reduziert. Über C hinaus erscheinen die 
Lotablenkungen in umgekehrter Reihenfolge, aber mit negativem 
Vorzeichen wieder. 

Wir geben hier zur Übersicht in nebenstehenden Tabellen eine 
Reihe von Werten der Lotablenkung Ä' in der Basis des mittleren 
Teiles des Gebirgsrückens für die beiden Beispielsfälle und verweisen 
im übrigen auf die graphischen Darstellungen der Tafel II (7. Kap.). 
Für die nächste Umgebung von A, d. h. für kleine Werte von <y, sind * 
die Werte aus Näherungsformeln für A' mit Hülfe der DifPerential- 
quotienten in ähnlicher Weise wie im vorigen Paragraphen abgeleitet 
Diese Formeln lauten, aufserhalb: 

A' = 2i5r"Äo |co8^^ Jog nat -^^ + A sin 2A j 

+ 2K^'hJ''l^-[\ogn^i^+^ + l]6^ (7) 

innerhalb : 

A' = 2K" Ä„ [ cos»^ log nat -^^ + ^ sin 2 ^ j 

+ 2K"K ^-",M j ,0g „at 4ti + 1- -^) ... (8) 

Die Tabellen zeigen, was auch die Formeln (1) und (2) dieses 
Paragraphen bestätigen, dafs A' aufserhalb bei flachen Profilen wesent- 
lich von 6 : c abhängt, während sich innerhalb eine Abweichung von 
dieser Abhängigkeit zeigt. 

Es mag noch bemerkt werden, dafs die für die Abstände 
a = — 500 und — 100 angegebenen Werte der A' bei c = 100 im 
Falle des S. 287 eingeführten Wertes von 2Z eine nur ganz rohe 
Annäherung bieten und eigentlich 2L weit gröfser voraussetzen. 
Die für diese Abstände angegebenen Werte der A' sind bei jenem 
Werte von 2Z zu grofs. 



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§ 12. Gebirgsrücken: Die Lotetörungen auf der Grundfläche AB, 301 



c = 10 


CAj 


= 25000'» 


c 


•=100 


cÄo = 250000"» 


ff 

-50 


=-- 


irfto 
125000'» 


A 


^- 


ff 
500 


ffÄo 

- 1250000-» 


Ä 


— 10 


— 


25000 


6,6 


— 


100 


- 250000 


6,6 


- 5 





12500 


10,2 


— 


50 


— 125000 


10,2 


- 0,5 


— 


1250 


22,3 


— 


5 


- 12500 


21,9 


- 0,1 





250 


25,2 


— 


1 


— 2500 


25,4 


— 0,01 


— 


25 


26,5 


— 


0,1 


— ^ 250 


26,8 


+ 0,01 


+ 



25 


26,7 
27,0 


+ 


O/u?. 

0,1 



+ 250 


27,0 
27,3 


+ 0,1 


+ 


250 


28,1 


+ 


1 


+ 2500 


28,7 


+ 0,5 


+ 


1250 


30,5 


+ 


5 


+ 12500 


31,8 


+ 1,0 


+ 


2500 


31,0 


+ 


10 


+ 25000 


33,6 


+ 1,5 


+ 


3750 


30,6 


+ 


15 


+ 37500 


34,0 


• 




• 




+ 


20 


+ 50000 


33,3 


+ 3 


+ 


7500 


23,1 


+ 


30 


■f 75000 


28,7 


+ 4 


+ 


10000 


13,4 


+ 


40 


+ 100000 


19,4 


+ 4,5 


+ 


11250 


7,1 


+ 


45 


+ 112500 


11,9 


• 




• 




+ 


48 


+ 120000 


5,6 


+ 4,9 


+ 


12250 


1,4 


+ 


49 


+ 122500 


3,0 


+ 5 

anter dem 
Kamm. • 


+ 


12500 





+ 50 

unter dem 
Kamm. 


+ 1250(X) 






Zu einer rohen Schätzung hat man für die Nähe des Fufses des 
Gebirges die Lotstorangsformel : 

^' = 2iS'"ÄoIognat4, (9) 

d. i. für K" = 0,0039, wobei h^ in Metern zu nehmen ist: 



A' «= 0,011 h^ Sekunden. 



(9*) 



Mit Rücksicht auf die angegebenen Werte für die Lotstörung A darf 
man sich nicht wundern, wenn sich bei einem so mächtigen Gebirge wie 
dem Kaukasus die Breitenamplitude von ca. 1^ für die beiden, nördlich 
und südlich des Kammes gelegenen Punkte Wladikaiokas und Duschett 
um 54" gestört fand*). Ebenso müssen grofse Amplitudenstöiungen ent- 
stehen, wenn die Endpunkte des Bogens zwischen 2 hohen Gebirgen liegen, 
wie die Endpunkte der Gradmesaung des Beccaria (1768) in Oberitalien: 
Andrate am südlichen Fufse der schweizer Alpen und Mondovi am nörd- 
lichen der ligurischen Alpen. Nach Oberst von Orffs Zusammenstellung 



•) NiBich Mitteilung von O. Struve, vergl. weiterhin § 41. 



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302 4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

(vergl. Bd. 1 S. 571) ist die geograph. Breite, astronom. bezw. geodätisch 
von München übertragen, gleich 

geod. — astr. 
für Andrate 4603l' 12,36" astr., 46031'40,67" geod. + 28,21" 
„ Mondovi 44 23 46,38 „ , 44 23 26,28 „ — 20,10. 

Mithin ist die Störung der Amplitude gleich 48". Beccaria fand 41", ein 
Resultat, welches anfangs seinen Messungen zur Last gelegt wurde, bis 
eine Revision im 1. Viertel dieses Jahrhunderts die Ergebnisse der 
Messungen wenigstens im allgemeinen bestätigte*). 

§ 13. Fortsetzung: Die Erümmungsradien im Niveau der 
Grundfläche. Denken wir uns den gleichsehenkeligen Gebirgsrücken 
auf eine Kugelfläche vom Radius R, dem mittleren Erdradius, auf- 
gesetzt, so ändern sich für das mittlere Querprofil die berechneten 
Lotablenkungen J und A' jedenfalls nur unwesentlich, dagegen er- 
langen wir den Vorteil, bezüglich der Krümmungsradien die Rech- 
nungsergebnisse den irdischen Verhältnissen besser angepafst zu 
haben. Nach S. 274 § 3 (19) können wir nämlich für den Krümmungs- 
radius der gestörten Niveaufläche in der Ebene des mittleren Profils 
mit Rücksicht auf die allgemeine Erdkrümmung nunmehr angenähert 
setzen 

Hierin ist für A' die Lotablenkung in der Basis AB zu setzen, 
welche die ungestörte Lage der Niveaufläche bezeichnet. Die nicht 
unerhebliche Störung der Höhenlage der Niveaufläche bewirkt aller- 
dings einen Fehler der Gleichung (1), wenn man dieselbe auf die 
gestörte, aus ^^ hervorgehende Niveaufläche bezieht; aber einerseits 
ist der Fehler nicht beträchtlich, andererseits kommt man der Wahr- 
heit etwas näher, wenn man q nicht auf diejenige gestörte Niveau- 
fläche bezieht, welche ungestört die Lage AB hat, sondern auf eine 
AB näherliegende, gestörte Niveaufläche, etwa diejenige, welche durch 
A und B hindurch geht. Ja man kann sogar diese gestörte Niveau- 
fläche als Basis des Gebirgsrückens ansehen, denn der Wert für A' 
kann dadurch merkliche Änderungen nicht erleiden. 

Nach (3) und (4) des vorigen Paragraphen erhalten wir nun 
aufserhalb (6 negativ): 

i_i(l-ü-ü.ü,2^logn.i-fc=;^i±ij, (2) 

und innerhalb (0 positiv): 

i-i(l-*-ii,,a24,„g..t<^:ii±±-f]). (8) 



•) Die Angabe für Beccaricm Fehler gleich 4l" ist der Ordnance Survcy, 
Principal Triangulation ^ entlehnt und stammt wohl aus Opirations geod^siques 
et astronomiques pour la me^ure d'tm arc du paralUle moyen^ t. II., Milan 1827. 



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§ 13. Gebirgsrücken: Die Krümmungsradien im Niveau der Grundfläche. 303 
Hierbei ist K als Arcus zu nehmen^ sodafs nach S. 286 (9): 

^^ = iH;: (4) 

wird, speziell für @ = —- ®^ aber bis auf V2 7o genau 

KR = 0,12 > (4*) 

gesetzt werden kaun. 

Zufolge der Gleichuugen (2) und (3) weicht Qa erst in solcher 
Nähe von A bemerkenswert von R ab, für welche ö nicht gröfser ist 
als von der Ordnung c, und zwar ist Qa > R. Erst in allernächster 
Nähe von A^ d.h. für sehr kleine , steigt Qa bis + 00 , springt 
nach — 00 und nimmt ab bis auf null in A selbst; innerhalb geht 
Qi ebenso rasch nach 4^ 00 und sinkt rasch auf Werte herab, die 
nur wenig grofser als R sind ; weiterhin bis C nimmt p,- langsam 
bis zu Werten ab, die etwas kleiner als R sind. In €' ist Qi ein 
Minimum. 

Von Äo, der Höhe des Gebirgsrückens, hängen Qa und Qi nicht 
ab, wohl aber von c, dem Verhältnis der Basisbreite zur Hohe, und 
zwar wachsen bei konstantem Verhältnis ö :c die Abweichungen von 
Qa gegen R nicht mit zunehmendem c sondern mit abnehmendem c, 
also mit wachsender Steilheit der Hänge. 

Dasselbe gilt im wesentlichen auch für 9,. Fassen wir ins- 
besondere dasjenige (Qt)min ins Auge, welches in C stattfindet, so ist 
zunächst nach (3): 

(ku. = i { 1 + ^^^ «- 2^ [t - •««-* -I]) ' (5) 

wobei zu beachten ist, dafs zwischen A und c die Relation tan A = 2 :c 
besteht. Der Differentialquotient von 

sin 2a[^ - lognat|], d. i. -^[^ - lognat|] , 
nach c ist gleich 

_^ |(c^ _ 4) [ log nat I + 1 ] - 2 ;r c + 8 1 ; 

derselbe ist von c gleich null bis unendlich negativ. Daher hat (5) 
seinen gröfsten Wert bei c = null. Man hat u. a. als Wert der ge- 
schlungenen Parenthese von (5) für die Anüahme (4*): 

1,039 bei c = 100 

1,177 „ 10 

1,375 „ 2 (6) 

1,470 „ 1 

1,750 „ 0. 



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304 



4. Kapitel. Der Einflnfs gegebener Massen. 



Dieses Verhalten erscheint paradox, allein es stimmt damit überein, 
dafs die Maximalablenkung des Lotes auf dem Hange, wie oben 8. 297 
wenigstens für flache Profile gezeigt wurde, unabhängig von c ist. 
Je kleiner c aber ist, desto kleiner ist der Bogen, auf welchen sich 
die Lotablenkung verteilt, und desto grofser müssen die Störungen 
im Krümmungsradius werden. 

Wir geben nun eine Übersicht für die Werte (> bei c = 10 und 
100 mit der Annahme (4*) für KR: 



c = 10 


£Ä0 


= 25000"» 


c 


= 100 


cA„ = 250000» 










Q±R 





a 


«K 


r-^ 


— 50 


— 125000"« 


1,0004 


— 


100 


— 250000'» 


1,0006 


- 10 


— 


25000 


1,0056 


— 


50 


-125000 


1,0014 


- 5 


— 


12500 


1,0139« 


. — 


5 


- 12500 


1,0084 


- 0,5 


— 


1250 


1,0896 


— 


1 


— 2500 


1,0158 


- 0,1 


— 


250 


1,179 


— 


0,1 


— 250 


1,0272 


- 0,01 


— 


25 


1,345 


— 


0,01 


— 25 


1,0390 


o^ä 

+ 0,01 


+ 



25 


null 
1,294 


+ 


•" 
0,01 


— 
+ 25 


null 
1,0387 


+ 0,1 


+ 


250 


1,136 


+ 


0,1 


+ 250 


1,0269 


+ 0,5 


+ 


1250 


1,0418 


+ 


1 


+ 2500 


1,0152 


+ 1 


+ 


2500 


1,0004 


+ 


5 


+ 12500 


1,0067 


+ 2 


+ 


5000 


0,9519 


+ 


15 


+ 37500 


0,9995 


+ 3 


+ 


7500 


0,9131 


+ 


30 


+ 75000 


0,9 


+ 4 


+ 


10000 


0,8745 


+ 


40 


+ 100000 


|0,9866 


anter dem 
Kamm. 


+ 


12500 


0,8494 


+ 50 

unter dem 
Kamm. 


+ 125000 


0,9626 



Diese Übersicht zeigt u. a., dafs das Gebiet der abnorm gro(sen 
und kleinen Qa und Qi in der nächsten Umgebung von A an ganz 
kleine 6 gebunden ist. Um dieses noch besser einzusehen, setzen 
wir für kleine 6: 

Qa^nR, (7) 

womit aus (2) folgt zur Bestimmung von bei gegebenem n: 

^^ — - — / ^ , = num log nat -^, p . ^ - = q . 

— 4 <y (c — a) ^ KR sin 2^ ^ 

Die Auflösung dieser Gleichun'g giebt, wenn wie angedeutet, die rechte 
Seite derselben mit q bezeichnet wird: 



-*i-y^? 



(8) 



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§ 13. Gebirgsrücken: Die KrümmuDgsradien im Niveau der Grundfläche. 305 

Denken wir uns entsprechend einer successiven Annäherung an 
^ den Wert von n von + 2 durch -f" ^^ ^^^^ — oo bis null gehend; 
so ist q stets eine grofse Zahl. Den kleinsten Wert hat q bei 
n = 2 und ^ = 45« oder c = 2. Derselbe ist für A"Ä == 0,12 gleich 
rund 65. Ferner ist für n = 2 , wie man durch Probieren findet, 
der kleinste Wert von c'^q nahe bei c = 1,5 gelegen. Dieses Minimum 
von c^q, gleich rund 170, ist für das angegebene Intervall von n über- 
haupt das Minimum. Wegen des ümstandes, dafs q und c'^q grofse 
Zahlen sind, genügt es anstatt (8) zu setzen: 

-'--fq{^ + i + J-q+-']' (8') 

Für c -= 10 und KR = 0,12 ist q = num log nat [21 ,7 (l — 1)1 , 

dagegen für c = 100 gleich num log nat [208(1 — Ij] • Hieraus er- 
kennt man, dafs zu 

bei c=10, dem ungünstigeren Falle, der sehr kleine Wert — <y = y2^^^j 
gehört, sodafs bei Äq = 2500"» der betreflfende Punkt von A nur um 

— (JÄo = Vg*" absteht. Im gleichen Falle ist für 

— <^ = Vsooooo ; — <y^o = 0,003'"*. Dies bestätigt das oben Gesagte 
über die geringe Ausdehnung des Gebietes abnormer Werte von Qa 
bei flachen Profilen. 

Ein ganz gleiches Verhalten zeigt Qi, was hier nicht besonders 
untersucht zu werden braucht. 

Aber auch bei steilen Profilen ist das betreffende Gebiet nur von 
geringer Ausdehnung. Durch Differenzieren von ö nach c findet man 
zunächst, dafs für jeden Wert von n der gröfste Wert von — ö 
nahe bei c = 2 liegt. Es ist dieser Maximalwert gleich 



(izi) 

\ 0,12 / 



bei 

Äo = 2500''». 



— (j = num log 

Hiermit erhält man denselben 

für n e=» 2 gleich y^^, womit — (Jä^ = 40"»] 

fi /260 V n *^ 

}) ^^ }y Aooo » ;; 0,6 "*] 

Nach dem Vorstehenden entspricht praktisch genommen der Ver- 
lauf der Krümmungsradien in der Grundfläche am Fufse des Gebirgs- 
rückens wesentlich einer stetig verlaufenden Verflachung. Dagegen 
sind in den Niveauflächen, welche zwischen A und C in das Gebirge 
eintreten, Unstetigkeiten der Krümmung vorhanden, für welche die 



Helmert, mathem. u. physikal. Theoriee^L#Hl Jiftli flgrjdftgje. II. 20 




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306 4. Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen. 

allgemeine Formel (2) S. 38 gilt, die man aber auch mittelst der 
Formeln (2) und (3) S. 302 nachweisen kann, wenn man unterhalb 
einer derartigen Niveaufläche für die Gebirgsmasse eine horizontale 
Platte und ein negativ wirkendes, gleichschenkeliges Prisma substituiert. 

§ 14. Prismatisclie Thäler. Für den mittleren Querschnitt 
eines Thaies von der Form eines dreiseitigen Prismas, dessen Länge 
grofs ist im Verhältnis zur Breite und Tiefe, gelten die Formeln der 
§§ 7 — 13 unmittelbar, wenn negativ genommen wird. Auch ist 
die zum Gebirgsrücken entgegengesetzte Lage zu beachten. Dem- 
gemäfs erhalten die Lotstörungen und Störungen im reziproken 
Krümmungsradius bei einem Thale entgegengesetzte Werte wie bei 
einem entsprechenden Gebirgsrücken. Aber , die Schwerestörungen 
bleiben in entsprechenden Punkten der Querschnitte dieselben. 

Setzen wir ein auf beiden Seiten gleichgeböschtes Thal voraus, 
^ Fig. 41, so gelten für die beson- 

- '*^. ders interessanten Lotstörungen 

V/////3>>>^ T ^^/y/// ^ ^®^ Linie AB die Formeln des 

^%>^^^ §12S.298. 

"^W^ Man hat darin ® = - -1- @„ 

**' ' = — 2,8 anzusetzen für ein offe- 

nes Thal, dagegen — 1,8 für ein mit Wasser gefülltes Thal, also 
einen Flufs oder Meeresarm. 

Unter Voraussetzung flacher Böschung, die 'hier meist zutrifft, 
ist die Lotstörung in der Linie AB nahe bei ^und B nach S. 301 
(9) nahezu gleich 

2A'"Äologiiat4. (1) 

Hierin ist für ein offenes Thal entsprechend der Annahme ® «= — y ©,„ 

zu setzen K" = — 0,0039. Dagegen ist für einen Flufs K" im Ver- 
hältnis 2,8 : 1,8 zu verkleinem. Somit folgt als Näherungswert der 
Lotstörung am Rande 

eines flachen Thaies: — 0",011 ä^ ,-^v 

eines flachen Stromes: — 0",007 h^ 

für Hq in Metern. Das negative Vorzeichen bedeutet eine Abstofsung 
des aufgehängten Lotes von C weg. 

Das Maximum der Lotstörung liegt etwas nach der Mitte zu und 
ist ein wenig gröfser. 

Der Krümmungsradius, welcher nach dem vorigen Paragraphen 
wegen des negativen Wertes von K zwischen A und B im all- 
gemeinen, ausgenommen nahe bei A und By gröfser als der un- 
gestörte Wert R wird, erhält in der Mitte C seinen Maximal- 
wert, für den sich bei flachen Profilen ebenfalls eine Näherungsformel 



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§ 14. Prismatische Thaler. 307 

aufstellen läfst. Mit einigen Vernachlässigungen giebt nämlich die 
Formel (5) S. 303 die nachstehende, für grofsere Werte von c 
brauchbare Näherungsformel: / 



\^c — B 



lognat — 

1 +4JrÄ 

c 



(2) 



Hierin ist bei ® = y 6)^ = 2.8 nach S. 303 (4*) 4JrÄ = 0,48; bei 

@ rss 1,8 also gleich 0;31, sodafs man für den reziproken Krümmungs- 
radius in der Mitte C' von AB näherungsweise hat 



/ lognat 



bei einem flachen Thale : -i i^ =: 



i-i(i-».= 



log nat -— ^ 
bei einem flachen Strome: — =» -s-l 1 — 0,3 



(2*) 



2 

Hierin ist — = tan A das Gefälle der Böschung, von welchem q ledig- 
lich abhängt. 

Da der Quotient log nat y : -|- bei y = l und oo gleich null 

wird, so existiert dazwischen ein Maximum, welches bei ~ = ^; der 

Basis der natürlichen Logarithmen, stattfindet und gleich ist 1: e. 
Man hätte hiernach für den maximalen Wert von q inmitten AB an- 
genähert bei einem flachen Thale q =» 1,22 R, bei einem Strome 
Q = 1,12 R , und zwar für die Böschung l : e d. i. 1 : 2,7. Jedoch 
ist hierbei zu beachten, dafs eine solche Böschung nicht mehr als 
flache zu bezeichnen ist und dafs daher die Formeln (2*) hier bereits 
einen gröfseren Fehler besitzen. In der That ist nach (5) S. 303 für 

Y =" ^ hei einem 'flachen Thale q =» 1^32 Ä, bei einem Strome 

Q x=2 1^18 R. Aufserdem ist bereits S. 303 nachgewiesen, dafs die 

Störung in — für den Punkt C mit wachsender Steilheit der Böschung 

fortwährend wächst, sodafs also auch im gegenwärtigen Falle q bei 
wachsendem Gefälle der Böschung im Punkte C fortwährend zunimmt, 

§ 15. Fortsetzung: steile Böschung. Indem wir unter Vor- 
aussetzung des Querprofils Fig. 42 -A^^ ^ g 

die Formel für die Horizontalan- ^^T^^^-^^^ t ^)^^ 
Ziehung am Rande in A ableiten, ^ ^^:^^'<>:^<>i''^^>^^^^ ^ 

haben wir den Ausdruck (5) § 6 • Fig. 4«. • ^ 

S. 281 anzuwenden auf die dreiseitigen Prismen 1 und 2, Fig. 42« 

20* 



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r,' = ö 


9, =0 


r,' = b 


«;, = y OJo = /J , 


r.'^b 


91=/» 


r^' =c 


«;,=/}, 



308 4. Kapitel. Der EinflufB gegebener Massen. 

Es ist zu setzen 
für 1: 

für 2: 



womit die durch die HorizoDtalanziehung erzeugte Ablenkung des 
aufgehängten Lotes in Richtung nach dem Thale hin mit Rücksicht 
auf den Schlufs von § 7 S. 286 gleich wird 

2A"' { ö sin y (cosy log nat y + j3 sinyj -^ bsin ß log nat — | • (1) 

Hierin ist nach S. 296 für ein offenes Thal Ä'"^ — 0,0039, wenn 2,8 
die Dichtigkeit der umgebenden Massen ist; für einen vollen Kanal 
reduziert sich A"' auf — 0,0025. Die Distanzen a und b sind dabei 
in Metern einzuführen. 

Ist das Querprofil ein Rechteck von der Grundlinie a und der 
Hohe ^0, so wird am Rande in A die Lotablenkung gleich 

Aus den Formehi der §§ 5 und 6 dieses Kapitels kann man leicht auch 
Formeln für vierseitige Prismen herstellen, was wir indessen dem Leser 
überlassen, ebenso wie die Behandlung des Falles einer sehr tiefen, langen 
Schlucht im Felsengebirge. Auf diesen weisen Thomson und Tait, Hand- 
buch der theor. Physik, Bd. 1, 2. Hälfte, S. 27—28, als besonders inter- 
essant hin. Die daselbst angegebene, nicht entwickelte Formel fSr die 
Lotstörung am Bande der Schlucht findet man leicht, wenn man die 
Schlucht als grofse Platte betrachtet und die Formel (2) S; 141 für die 
normale Anziehung einer solchen auf einen Punkt, der in geringem Ab- 
stände vor ihrem mittleren Teile liegt, anwendet. Da der in Bede stehende 
Punkt nicht am mittleren Teile, sondern am Bande liegt, ist nur die 
Hälfte des Formelwertes für die normale Anziehung anzuwenden. Für 
einen Punkt, der mehr nach der mittleren Tiefe zu liegt, gelten aber die 
ganzen Werte. Die Lotstörung ist gleich 

im 1. Falle, das Doppelte hiervon im 2. Falle, für a als Breite der Schlucht. 
Hiemach wird g für Niveauflächen, welche die Schlucht in mittleren Tiefen 
durchschneiden, in der Begel negativ, oben und unten aber nur bei sehr 
dichten Felsraassen. Denn dazu gehört, dafs die Summe der Absolutwerte 
der Lotstörungen für beide Seiten der Schlucht > ist als der ungestörte 

Wert -^ des Winkels zwischen den Lotrichtungen. Die mittelst der an- 
gezogenen Formel leicht zu führende Untersuchung von — zeigt, dafs — 
am Bande aufserhalb der Schlucht gleich p- ist und im Innern auf 



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§ 16. Halbkagelförmiger Berg and balbkugelförmige Finge. 309 

D I 1 "- .^-H — I springt, welchen Wert — daselbst konstant beibehält. In 

^ \ ^^m ) 9 



der mittleren Tiefe geht der Sprung von -^ auf i- ( 1 — ^— ) » welcher 

Wert obeilfalls im Innern gilt Der Betrag der Sprünge stimmt mit den 
Angaben (2) S. 38 im 1. Kapitel. 

§ 16. Halbkugelformiger Berg und halbkugelfSrmige Finge. 

Wir betrachten zunächst einen h'albkugelförmigen Berg mit dem 

Radius a und der Dichtigkeit @, Fig. 43. Dabei sind für einen 

Punkt P in der du(ch den Kugel- ^^^^ttttt^*^ 

mittelpunkt führenden Niveau- /^^/^^^W^hs. 

fläche, insoweit wir diese als ^^ v//^ 

Ebene auffassen dürfen, das /y'' " yj^^ - ^ v^,,,,,,, 

Potential v der Anziehung und ''/^i'^/////^r~~Pi o W//////// 
j. TT . , , . , Ungestörter :yiveaufläche^ 

die Honzontalanziebung genau ^ 

halb so grofs als für eine Voll- 
kugel mit demselben Zentrum (7. 

Für einen Punkt Pa der Niveaufläche von C aufserhalb im Ab- 
stände $ von letzterem Punkte ist das Potential nach S. 62 (8) gleich 

setzen wir nun die normale Schwerkraft gleich — nk^Q^nJi und di- 

vidieren damit in (l), so folgt als Erhebung der gestörten Niveau- 
fläche über die ungestörte bei Pa der Wert 

Für einen Punkt Pi der Niveaufläche von C innerhalb der Halb- 
kugel ist das Potential nach S. 62 (8*) gleich 

v = 7ck''e{a' — ^s'y (3) 

Hieraus folgt durch Division mit der Schwerkraft die Erhebung der 
gestörten Niveaufläche bei Pi gleich 

Das Maximum für hi findet für ^ «» ^ also für die Mitte des 
Berges^ statt. 

Die Lotablenkung /4 = — dhids wird für einen Punkt Pa aufser- 
halb mit Rücksicht auf (2) gleich 

dagegen für einen Punkt Pi innerhalb mit Rücksicht auf (4) gleich 



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310 4. Kapitel. Der Einflurs gegebener Massen. 

Das Maximum von A liegt bei A mit 5 = a: 



2(9. 



9 a_ 



Für den Krümmungsradius der gestörten Niveaufläche haben wir 
nach S. 274 (19) die Formel 



i 1_. dA_ 



d8 



wenn R den Radius der ungestörten Niveaufläche bezeichnet. Hier- 
mit wird für einen Punkt Pa aufserhalb: p 

und für einen Punkt Pi innerhalb: 

i-iO + T^)- W 

Innerhalb ist also der Radius g konstant; aufserhalb wächst er 
bei Annäherung an den Berg bis auf seinen Maximalbetrag in A, 
der aus (7) f ür 5 = « sich findet gleich 



(^«), 



ii^-ir 



(9) 



Für 



&m geben vorstehende Formeln bezw. 



aufserhalb 

In Sek. 



E V 2W 



in A und B: 



innerhalb 

(3a«~5«):8Ä 

Qs : 4ä 

5 

Afnax= q'^ : 4Ä 
^ 2B ' 



(10) 



(^a), 



Betrachten wir anstatt eines halbkugelformigen Berges eine halb- 
kugelförmige Pinge, so ist in den Ausdrücken für Potential und 
Horizontalanziehung lediglich S negativ zu nehmen. .Speziell für 

ö = — Y ®"» ergeben sich dabei die Ausdrücke : 



aufserhalb 

in Sek. 

P EV ^ 2«'/ 



innerhalb 

- (3a^ - s') : 8ä 

- q"s : 4ä 

_8 
4B ' 



Ol) 



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§. 17. Kleine Insel im Ocean. 311 

/ ^max = — 9'a :4:R 
in A und -^: | i 3 

\~(fiJmin ^~^S' 

Für S = + - @^ beträgt der Sprung in — bei A und B von 

Z Q 

Q 

aufsen nach innen bezw. + -7^- anstatt, wie im 1. Kap. S. 39 (5) 

angegeben ist, yw' ^^^^ ^^^ seinen Grund lediglich darin, dafs die 

Entwicklungen am letztgenannten Orte hier nicht mehr gelten, weil 
daselbst vorausgesetzt ist, dafs die Niveaufläche an regulären Stellen 
der Grenzflächen der Massen hindurch geht; A und B sind aber offen- 
bar solche Stellen nicht. Dagegen werden bei einem Berg Niveau- 
flächen in einiger Höhe über ACB bei ihrem Eintritt in den Berg 

1 3 

einen Sprung in — gleich -^ erleiden, und entsprechend bei einem 

Thale. 

Die Lotablenknng durch einen balbkngelförmigen Berg berechnete 
nach Todhunter, History of Attraction I p. 460, schon Newton 1728 in der 
Abh. A Treatise of ihe System of the World. Das Handbuch der theor, 
Physik von Thomson und Tau, Bd. 1, 2. Hälfte, S. 26-27, enthält die 
Formeln für AnziehoDg auf A horizontal und vertikal. Vergl. auch 
Dahlander, Poggendorffs Ann. 1862, Bd. 117, S. 148 u. ff. 

§ 17. Kleine Insel im Ocean. Wir denken uns eine Insel in 
Form eines geraden Kreiskegels, welcher auf dem horizontalen Meeres- 
boden aufsitzt und mit seiner Spitze j, 
P gerade bis zum Niveau der Meeres- ~^~^ '^^^C^f^^^^^^ 
fläche reicht. Durch die Anwesenheit _^^ ^a T ^^^^^^~"~. 
der Insel wird sich die letztere in V/////// ///////////^ 
der Nähe der Insel etwas heben, ^* 
jedoch nicht viel. Wichtiger ist die Vergröfserung der Beschleuni- 
gung der Schwerkraft durch die Inselanziehung. 

Nach S. 143 § 2 (3) und (4) ist mit Rücksicht auf die veränderte 
Bezeichnung das Potential der Anziehung der Inselmasse auf P gleich 

%k\@-\)h^\VW^^^-h,\ (1) 

und die Vertikalanziehung gleich 

2Äit2(0_i)Ä^jl -.sinvj . (2) 

Hierin ist unter die Dichtigkeit der Inselmasse zu verstehen. 

Dem Ausdrucke (1) entspricht eine Hebung der Meeresfläche im 
Betrage von 

wie aus (1) durch Division mit der normalen Schwerkraft G , für 



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312 4* Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

welche wir wie sonst — 7t k^ 0m R ansetzen, hervorgeht. Da bei 
gröfseren Tiefen wohl in der Regel a = Aq cot v wesentlich gröfser 
als Äq sein wird, so folgt für die Annahme @ = — ©^ = 2,8 in meist 
ausreichender Annäherung als Hebung der Meeresfläche in P: 

^ oder ^^f^ . (3') 

Hierbei bezeichnet cot v das reziproke Gefälle der Inselbosch ungen. 

Beispielsweise ist für Äq = 3500"* und cot v = dO die Hebung 
der Meeresfläche bei P gleich 14"». Dies ist so unerheblich, dafs die 
durch Hebung der entsprechenden Massenschicht entstehende sekun- 
däre Wirkung gar nicht weiter erörtert zu werden braucht. In Fig. 44 
können wir uns unter der Meeresfläche die gestörte Fläche denken. 

Die Schwerestörung wird nach (2) gleich 

+ G.^^^^(l-smv). (4) 

Für die Annahme © = -- ©^ = 2,8 und unter Voraussetzung flacher 
Böschung ist dies angenähert gleich 

Infolge der Hebung der Meeresfläche tritt fürs Niveau der ge- 
störten, d. i. wirklichen Meeresfläche noch eine kleine Verminderung 
zu dieser Vermehrung, welche sich nach der Regel für die Änderung 
der normalen Schwere bei Erhebungen aufserhalb der Erdrinde be- 
rechnet. 

Hiernach folgt aus (3) und (4) als Schwerestörung im Meeres- 
niveau, wobei wir in (3) für a schreiben Äq cot v : 

+ « • ^le;^^ (i - ^F) (1 - --) ' (5) 

oder näherungsweise bei flachen Böschungen, wenn wir zugleich 
= 1. e^ = 2,S setzen: 

Die Verminderung der Schwerestörung infolge Hebung der Meeres- 
fläche wird übrigens bei kleinen Inseln immer eine geringe sein; 
denn wie die Tiefenkarten des Weltmeeres zeigen, ist der Radius der 
Grundfläche a = Äq cot v im Verhältnis zu R stets geringfügig, so- 
dafs für eine Schätzung des Inseleinflusses auf die Schwerkraft Aus- 
druck (4*) ausreicht. 

Beispielsweise ist für h^ = 3500"» und cot i/ = 30"» die Schwere- 
störung nach (4*) gleich 0,000275.0, nach (5*) gleich 0,000270.^ 
und nach (5) strenger gerechnet gleich 0,000251.6^. 



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§ 18. Deformationen durch kreisförmige Kontinente. 313 

§ 18. Deformationen durch kreisförmige Kontinente« Für 

die Verteilung der Erdoberfläche auf Land und Wasser hat man fol- 
gende Zahlen*): 

Oberfläche =^ 9261 238 Qu.-MId.**) 

" lzu8. = 990000 Qu.-Mln. ' 



Europa 


= 


180000 


Asien 


= 


810000 


Afrika 


= 


540000 


Australien 


= 


160000 


Amerika 


=- 


750000 



}7 1 

welche letztere sich annähernd im Verhältnis 4 : 3 auf Nord- und Süd- 
Amerika verteilen. 

Betrachtet man die Kontinente als ebene Kreisflächen vom Radius 
a und setzt die Erdoberfläche =4ää^, so erhält man hiermit für: 

Europa- Asien a = 0,66 B 

Afrika . . 0,48 

Australien . . 0,26 

Nord-Amerika . . 0,43 

Süd- Amerika . . 0,37, 



indem allgemein wird: 



2ä// 



Fläche 
9261238 



Für eine schätzungsweise Berechnung der Deformatiouswirkung 
ist die Annahme der Kreisform eine gar nicht üble Annäherung, wie 
jeder Globus zeigt. Die stärkst-e relative Abweichung zeigt Afrika. 

Als mittlere Meerestiefen ergeben sich für 46n 

atlantischen Ocean 3681*" 
stillen „ 3887 

indischen „ 3344 

und im Mittel für das ganze Weltmeer 3438"». Ferner hat man für 
die mittlere Höhe der Kontinente: 



Europa 


300 


Asien 


500 


Afrika 


500 


Australieu 


250 


Amerika 


410 



und im Mittel für das ganze Festland 440"*. 

*) Bichard Andree^ allgemeiner Handatlas 1880, Hier findet man auch 
eine Tiefenkarte für den atlantischen und für den Btillen Ocean. 

**) 1 g60gr. Meile ist gleich 4 Min. des Äquators. Zur Berechnung der 
Oberfläche ist daher Bd. 1, S. 62, in Formel (9) für a^n zu setzen 2700 Meilen. 



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314 



4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 



Für die Berechnung der Deformationswirkung der Kontinente 
würde hiernach eine Dicke von 440*" mit der mittleren Dichtigkeit 
2,8 der festen Teile der Erdrinde, sowie eine Dicke von 3438"» mit 
der Dichtigkeit 2,8 — 1 = 1,8 in betracht kommen. Auf die Dichtig- 
keit ® = 1,8 reduziert giebt dies eine Dicke D = 4120"*. Zur Ab- 
rundung werden wir im Folgenden annehmen 

SeD: ©^ = 4000'", 

weun aber @ oder/? allein vorkommen, @«=1,8, />«=4000"» setzen. 
Zur Vereinfachung der Rechnung denken wir uns die Massen 
der Kontinente auf die ungestörte Meeresfläche kondensiert und sehen 
ferner von der Krümmung der letzteren ab, insoweit es sich um die 
Wirkungen handelt, welche auf Punkte innerhalb der Kontinente oder 
in der Nähe der Küsten ausgeübt werden. Für entferntere Punkte 
ist dagegen auf die Krümmung der Erde Rücksicht zu nehmen. Die 
Fehler, welche aus den angegebenen Vereinfachungen entstehen, 
werden in einigen bemerkenswerten Fällen geschätzt und für das 
Potential in Anbetracht der erforderlichen Genauigkeit als unerheblich 
gefunden weden. Dagegen zeigt sich, dafs für die Lotstörungen die 
Genauigkeit der Entwicklungen am Rande der Scheiben nicht aus- 
reicht und hier eine besondere Untersuchung erforderlich wird. 

§ 19. Fortsetzung: Die Deformationen innerhalb. Den an- 
gezogenen Punkt Pi nehmen wir als Anfang von Polarkoordinaten, 
Fig. 45 und 46, und haben für das Flächenelement dg im Ab- 





ilg. 46. 
Fig. 45. 

stand e die Gröfse dq = edq)de, das Potential der Anziehung 
dvi = k'^&Ddq : e oder 

dVi = k^®Ddq)d€. (1) 

Integriert man zunächst alle Wirkungen bei konstantem Werte y 
zwischen den diametralen Stellen der Peripherie 1 und 2 und be- 
zeichnet die Sehne 1.2 mit 5^, so folgt 






(2) 



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§ 19. Kreisförmige Kontinente: Die Deformationen innerhalb. 315 
Es ist aber nach Fig. 46 —-Sy^ «= ö^ — b^ sin^y; daher wird 



Vi = Ak^eBaij/l — ^ sin^y dtp . 



(3) 



Bezeichnet man das vollständige elliptische Integral 2. Gattung 
mit Ej setzt insbesondere 



so wird 





Vi=Ak'^@DaE{^' (3*) 

Zu diesem Betrage von Vi gehört eine gewisse Erhebung hi, 
welche erforderlich ist, um von der ungestörten Niveaufläche in die 
gestörte Niveaufläche gleichen Potentialwertes zu gelangen. 

In erster Annäherung findet man hi aus Vi durch Division mit 

der normalen Schwerkraft, für welche wir den Yf^ii G^^-r-nk^&mR 

o 

annehmen. Mit Bücksicht auf die sonstigen Vernachlässigungen reicht 
diese Annäherung trotz der bedeutenden Gröfse der Erhebungen hi 
zu der beabsichtigten Schätzung aus. Es wird 

und für 3®/) : 0„ ■= 4000« sowie wegen aR = 20000000"': 

^'-^-^-' (5*) 

Hieraus folgt die Lotstörung, positiv im Sinne einer Anziehung 
des aufgehängten Lotes gegen das Zentrum JH hin, gleich 

ft 

2 

. ' ^^i 39 D h /^ 8in«ijp , 



db e. 



9_ D b^ r sin'jp 





Schreibt man identisch im Zähler des Integrales für sin^9> 

ii-(>-7»°>)i$. 

und setzt das vollständige elliptische Integral 1. Gattung 



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316 



° 4. Kapitel. Der Einflub gegebener Massen. 



/, 



y 1-^ 8int^ 



80 wird die Lotstörung 

,!Ät(^{|)-^(I)1 

4000"» giebt dies rund 



in Sek. 



Für 3&D:0^ 



ii-^»Tk(l)-^(l)) 



in Sek. 



(6) 



(7) 



(7*) 



Um zu sehen, wie sich die Lotstorüng von der Mitte nach dem 
Rande zu ändert, differenzieren wir Ji nach b und erhalten 



~dF 






dK 



(I) 



s 



dh 






,^<P. (8) 



Dieser Differentialquotient ist stets positiv, und es wächst daher die 
Lotstörung von der Mitte stetig bis an den Rand, wo sie einen 
Maximalwert erreicht. 

Zugleich ergiebt sich für den Krümmungsradius der gestörten 
Niveaufläche, wenn der ungestörte mit R bezeichnet wird, indem nach 
S. 274 (19) 



9i 



B + h~ 



+ 



dAf 
~db 



ist, die Näherungsrelation: 



9i 



B + h, 



1 + 



'6& 



^e„ 






ein* 9 



^^9> 



(9) 



j 



Augenscheinlich wächst — mit h , also von der Mitte nach dem 

Rande zu, und ^i ist somit innerhalb der Scheibe am Rande am 
kleinsten, in der Mitte am gröfsten. 

Um das in (9) auftretende Integral herzuleiten, kann man sich 
der Funktionen K und E bedienen. £s ist nämlich 



, Bincp cosy 

^l--^Bin«<p 



1 — 2ßin*ijp , 6* 8in*< p C08*<p 



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§ 20. Kontinente: Die Deformationen in der Nähe des Randes aufserhalb. 317 
Setzt man im 1. Zähler rechter Hand identisch 

8in2()P= J jl_(l_|l8in>)) 
und im 2. Zähler hiermit 

^ sin^,? cos^tp = — sin^q) (l — -^ 

80 folgt der obige Diflferentialquotient gleich 



^ 

h* 



^1 - ^ sin' (p /=: 



(-^) 



/\-v- 



iin'9 



j/l-^8inV 



Hiermit erhält man durch Umkehrung und Einführung der Grenzen 
ohne Schwierigkeit: 



IL 

2 



Bin*y 



3^9 



^h(l)-('-:^)'©l 



1 — 



b* 



Es ist daher: 
1 



9i 



E + h, 



1 + 









(10) 



Hierin setzen wir entsprechend der Annahme 0= 1,8 abgerundet: 



3^ 



0,3. 



(10*) 



Ehe wir untersuchen, inwieweit vorstehende Formeln auf die 
durch einen Kontinent erzeugten Störungen anwendbar sind, ent- 
wickeln wir noch die entsprechenden Formeln für die Nähe des 
Randes außerhalb. 

§ 20. Fortsetzung: Die Deformationen In der Nähe des Ban- 
des aufserhalb« Mit Rücksicht auf Fig. 47 er- 
halten wir für das Potential der Anziehung des 
Flächenelements dg auf Pa den Ausdruck: 

dVa = k^&Ddfpde (1) ^ 

in derselben Weise wie im vorigen Para- 
graphen den Ausdruck (1) für dvi. Die 
Integration nach e giebt Fig. 47. 




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318 4. Kapitel. Der Einflufg gegebener Massen. 



Va=2k^®Dfs^dq), 



(2) 



wobei für O die Relation: 

^ sin 4> = a (3) 

und für Stp die Beziehung: 

— Sfp'^ = a^ — b^ sin' 9? (4) 

besteht. Hiermit wird 



v^ = 4k^®Da lj/l — ^sm'^q> d(p 



(5) 



Führt man anstatt tp eine Variable f mit Hülfe der Gleichung 

sm ^ = — sin <p 

ein, so geht der Ausdruck für Va über in 

n 

y /l-Jsin»^ 



Derselbe läfst sich unter Beachtung der Identität 

wie folgt schreiben: 

,^=.U^Sm[E(±)-(l-^)l,{±)]. (6*) 

Hierzu gehört die Erhebung der gestörten Niveaufläche gleichen 
Potentialwertes mit der ungestörten: 

*.-^I#1*(1)-(i-^)*-(t)1. m 

d. l für 50 Dl ©„, = 4000"» gleich 

'*« ^6000 ^^ ^ 

Die Entwicklung der Formeln für die Lotstörung und den 
Krümmungsradius unterlassen wir, da sie wenig Interesse bieten und 
ohnehin in der nächsten Nähe des Randes unbrauchbar werden* 



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§ 21. Deformationen durch kreisförmige Kontinente. 319 

§ 21. Fortsetzung: Die Brauchbarkeit der Formeln der 
letzten beiden Paragraphen mit Rücksicht auf die endliche 
Dicke der Kontinente. Bei den vorhergehenden Eotwickluugen 
wurden anstatt sphärischer Scheiben von der Dicke D ebene Flächen, 
mit kondensierter Masse belegt; gesetzt. In diesem Paragraphen soll 
untersucht wgrdeU; welchen Einflufs die Kondensation hat. Wir sehen 
dabei von der Erümmung der Erde zunächst noch ab und haben also 
zuerst zu vergleichen das Potential der Anziehung eines Gylinders 
und dasjenige einer ebenen Fläche vom Querschnitt des Cylinders, 
belegt mit dessen kondensierter Masse. 

Liegt der angezogene Punkt in der Mitte M der cylindrischen 
Deckfläche, so ist nach S. 142 § 2 (1) 

Entwickelt man die Parenthese nach Potenzen von D : a und ver- 
nachlässigt bereits die 2. Potenzen, so folgt 

r = 2«F©i)a(l--f- +...). (1) 

Dagegen ist für die Mitte einer Fläche vom Radius a nach (3*) S. 315 

v = 2n;k^ei)a, (2) 

indem für b = null nach (4) S. 315 E ofiFenbar in ^ übergeht. 

Man erkennt, dafs hiernach zunächst für die Mitte JH eines 
Kontinents die Voraussetzung der Flächenform genügt, indem selbst 
für Australien mit a = 0,26 Ä der Quotient J) :2a = l : 830 als ver- 
schwindend zu betrachten ist. 

Aber auch anderwärts genügt die Annahme der Flächenform. 
So ist offenbar am Bande der Fehler in v uugeföhr nur halb so grofs 
wie in der Mitte; da nun v selbst nach dem Rande zu abnimmt, 
speziell f ür ^ = « aus (3*^) S. 315 sich zu 4k^®Da ergiebt, so ist 
hier verhältnismäfsig der Fehler etwa derselbe wie in der Mitte. In runder 
Zahl sind somit v und h, wie sie für die Kontinente aus der Annahme 
der Flächenform hervorgehen, nicht über Viooo ^^ Wertes fehlerhaft. 

Es ist femer leicht einzusehen, dafs v und h wenig verändert 
werden, wenn die Küste anstatt steil abfallend, flach abgeböscht 
vorausgesetzt wird. 

Aber die Lotstorungen an der Küste hängen von deren Form 
sehr wesentlich ab. 

Betrachten wir zunächst einen cylindrischen Kontinent, so genügt 
zur Berechnung der Lotstörung ^, die Formel (7) des § 19 S. 316, 
so lange Pi um einige Vielfache der Dicke D, etwa um 31), 
vom Rande entfernt ist. Wir können nämlich Pi immer zum Mittel- 
punkt der Deckfläche eines Cylinders macheu, der den Kontinent 



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320 4. Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen. 

gerade am Rande berQhrt; derselbe ist in Fig. 48 schraffiert. Die 

Horizontalanziehung dieses Cylinders ist null; ebenso auch, wenn die 

a^ ar Masse auf die Deckfläche kondensiert wird. 

^ .firtj- ^i f Einen Fehler giebt also nur die Kondensation 

'^ "'* -*.^jr^ aufserhalb liegender Massenteilchen. Z. B. wird 

L^JW!?..^ — 3 für das in Fig. 48 angedeutete Teichen dm bei 

FiR. 48. Punkt 4 die Horizontalanziehung gleich 

k^dm • - r- d. 1. 



- ■ ■ ,iP.-'~ •' 



/^+i 



wenn a — ^ -= 3 D angenommen wird. Die Kondensation setzt daför 
mit dem Fehler 



92>» 



1 k^dm .o\ 

Derselbe beträgt also hier Ve ^^^ Wertes oder 17%« 

Er ist aber für alle anderen Teilchen kleiner. Fassen wir alle 

Massenelementc ins Auge, welche von dem Rechteck 1.2.3.4, Fig. 48 
und 49, und dem unendlich benachbarten 
r.2'.3'.4', dessen Ebene durch />, führt und 
mit derjenigen des erstgenannten den Winkel 
d(p bildet, begrenzt werden, so ist deren 
Horizontalanziehung gleich dem über die Fläche 
1.2.3.4 zu erstreckenden Doppelintegral 

Fi«. 49. 

indem mit Rücksicht auf Figur 48 dm 
^m ^x d<p dx dy wird. Die Integration nach y giebt hieraus 




k^SDd^>J^-^,^^, 



dx 

wobei die Integration ?on x «= x, bis x, zu erstrecken ist Uni» 
dem Integralzeichen kann man aber setzen 

und hiermit geht der vorige Ausdruck über in: 

Dagegen ergiebt sich als Horizontalanziehung nach erfolgter 
Kondensation der Masse: 

l^t^Ddff lognat ^; 



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§ 22. Die LotstÖrung an der Küste eines cylindrischen Kontinents. 321 

der begangene Fehler ist somit im Verhältnis zur Anziehung an- 
genähert gleich 

^ ^' lognat-^ 

Ganz denselben Ausdruck erhält man für den Fehler der in die Rich- 
tung von APiM fallenden Komponente der Anziehung der Masse 
zwischen zwei unendlich benachbarten Schnitten in irgend einem Rich- 
tungsunterschied g? gegen die durch APiM gelegte Ebene 1.2.3.4. 
Für Teile rechter Hand von der zu APiM normalen Linie DD^ Fig. 49, 
ist aber der Fehler von entgegengesetztem Zeichen, wie für Teile 
linker Hand. Wir unterschätzen hiernach den Gesamtfehler keines- 
falls, wenn wir nur die einflufsreichere rechte Seite betrachten. 

x^ ist nun zufolge unserer Annahme überall gleich ^D\ x^ nimmt 
ab mit der Annäherung der Schnitte an die zm AM normale Lage. 
Für D MD ist x^ am kleinsten, aber selbst für Australien noch rund 
bOD\ denn es ist hier 2« rund 830 Z> und x^ somit für Punkt D 
nahezu gleich ^3Z>.83()/>. Daraus erkennt man ohne Schwierigkeit, 
dafs der Gesamtfehler in keinem Falle l7o überschreitet. 

Wir dürfen daher für jeden der in § 18 S. 313 aufgeführten Kon- 
tinente die Lotstörung Ai nach der Formel (7) des § 19 S. 316 be- 
rechnen, solange Pi von der Küste des cylindrisch gedachten Kon- 
tinents um mindestens 3/>, d. i. 12 Kilometer, absteht. Bei gröfserer 
Annäherung an die Küste wächst der Fehler der Formel (7) rasch 
und wird schliefslich unendlich grofs. 

§ 22. Die Lotstorung an der Küste eines cyiindrisclien 
Kontinents« Fig. 50 stelle die Deckääehe 
des Cylinders vor, für deren Randpunkt A 
die Lotstörung zu berechnen ist. Die Tiefe 
eines Massenelementes dm unter der Deckfläche 
sei mit y bezeichnet. Dann ist seine in Rich- 
tung AM fallende Komponente der Horizontal- 
anziehung, wenn dm = 0x dq) dx dy gesetzt 
wird, gleich: Fig. 50. 

k^&cosfpdq>-ß^^^ (1) 

Integrieren wir zunächst nach y von null bis J), so folgt hieraus: 

k'^GD coswdw ^. • 

^ ^Vx^ + n* 

Die weitere Integration nach x von null bis 5y, welches letztere 
Symbol die Sehne von A aus in der durch tp markierten Richtung 
bezeichnet, giebt: 

kWD COS9 lognat (/^l + '^1+ j) dtp . 

Helmert, mathem. Q. physikal. Theorieen der hob. Oeodäsie. II. 21 




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322 ^' Kapitel. Der EinflufB gegebener Massen. 

Setzen wir hierin Stp = 2a C09q> und integrieren endlich nach q> ?on 
— ^ bis -f- ^, so ergiebt sich die gesuchte Horizontalanziehuug in 
Richtung AM gleich 

2 

2k^®Dfooaip lognat (/l + (""-^^-"^f + ^J°«?) dip. (2) 



Durch partielle Integration läfst sich dieses leicht auf vollständige 
elliptische Integrale 1. und 2. Gattung hinführen. Indessen ist es 
mit Rücksicht auf den grofsen Betrag von 2a: B vorzuziehen, die 
numerische Auswertung an eine wie folgt abzuleitende Näherungs- 
formel zu knüpfen. 

Wir betrachten zunächst das obige Integral zwischen den Grenzen 
q) gleich null und arc cos d, und denken uns unter d hierbei einen 
kleinen Bruch im Betrage V,oq. Da nun selbst für den kleinsten der 
Kontinente, Australien, 2a =.830 /> ist, so beträgt innerhalb jener 
Grenzen der kleinste Wert von 2 a cos 9 : D immer noch mehr als 8, 
sodafs man auf die Wurzel im Logarithmanden eine Reihenentwick- 
lung anwenden kann. Dieselbe giebt: 

, . / ,/i , / 2a cos q> \2 , 2a cos w \ 

wofür man ausreichend genau 

log nat — ^-^^ 

nehmen kann, indem die dabei stattfindende Vernachlässigung den 
Logarithmus höchstens um etwa '/75Q seines Wertes beeinflufst. 

Hiernach darf man für das in (2j auftretende Integral zwischen 
den Grenzen 9 gleich null und arc cos 8 setzen : 

aro oot d 

I COS q) log nat * ^* ^ d(p , (3) 



oder für sin 9 = ti : 

log nat "tt ^^1 — u^.du. 



J 



Zerlegt man den Logarithmus in 

log nat *^ + I (log nat (!-«) + log nat (1 + «)) 
und beachtet die Formel 



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§ 22. Die LotstöruDg an der Küste eines cylindrischen Kontinents. 323 
t 
I log nat V dv ==^ t (log nat ^ — 1) , 



welche sich unter Anwendung der Substitution lognatv=z einwurfsfrei 
herleiten läfst, so folgt ohne Schwierigkeit als Wert des betrachteten 
Integrales (3): 

yT=^^ log nat ^ + 1(1 + yi^^ [log nat (1 + j/r^TJ^^ - l] 

wofür man mit Rücksicht auf den Betrag d = Yjqq völlig ausreichend 
genau setzen kann: 



oder 



log nat -~ 4" log nat 2 — 1 , 

lognat^-1. (4) 



Hiermit geht (2), wenn man die obere Grenze —- durch arc cos d 
ersetzt, über in 

2k^®D(loguB.t^ — ]y (5) 

Abgesehen von den bisher erörterten unerheblichen Fehlern ist 
dies zu verbessern um 

IL 

2 

2/t» enfcoa q> log nat (/l + (l^^^Ä.^ + 1^^^ ^^ (gj 

aro cot d 

Der Wert des Logarithmus liegt innerhalb der Grenzen des Integrales 
zwischen 

log nat {y^^fj + ^*) und „Uli . 

Der erste Grenzbetrag ist für Australien gleich 2,8 und daher in 
diesem Falle der Fehler (6) kleiner als % 

2F@2>.2,8(] ^yV—J'), 

was gegen (5) verschwindet Auch für die gröfseren Kontinente ist 
der Ausdruck (5) völlig ausreichend. 

Die Lotstörung am Rande wird also mit Rücksicht auf den Wert 
G = - nk'^SmR in Sekunden gleich 

o 

21* 



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324 '^* Kapitel. Der Einfinfs gegebener Massen. 

Für 3®D:&m^ 4000« ist dies rund 

20(lognat^^— l). (7*) 

§ 23. Berficksichtigung der Böschung an der Küste. Um 

die Einwirkung der Masse zu berücksichtigen, welche zu dem cylin- 
„ ^ ^ j^jfj drischen Kontinent vom Radius a und der 



r^P^ ä je^ X^' ^^^^^ ^ '°^ Falle einer Abböschung der 

U»^* i* ai%1kot V \ Küste unter dem Winkel v hinzutritt, kann 

man in ffenügender Annäherung so ver- 
fahren, dafs man den Radius des cylin« 
drischen Kontinents, wie es die rechte Seite von Fig. 51 punktiert 
andeutet, vergröfsert auf 

a' = a + ^D cotv . (1) 

Dieser Vorgang ist nicht ganz korrekt, aber bequem und für 
eine Schätzung ausreichend. Am grofsten wird der Fehler für den 
Küstenpunkt A, insbesondere in der Lotstörung und entsprechend im 
Krümmungsradius **). 

Die Lotstorung an der geboschten Küste in A berechnen wir ge- 
nauer dadurch, dafs "wir 2 Werte ermitteln, zwischen welchen sie 
ziemlich genau in der Mitte liegen mufs. 

Qen ersten Wert erhalten wir, indem wir die Horizontalanziehung 
des Cylinders ABA^B^ vom Radius a vermindern um den absoluten 
Wert der Horizontalan ziehung eines unendlich langen Prismas vom 
Querschnitt ABCy welches jenen Cjlinder in .4^ tangiert. Eigentlich 
sollte der Kreisring {ABC — A^B^C^) berücksichtigt werden; es wird 
daher der 1. Wert zu klein. 

Den zweiten Wert erhalten wir, indem wir für A die Horizontal- 
anziehung des Cylinders DCD^C^ vom Radius a -{- D coiv vermehren 
um den absoluten Wert der Horizontalanziehung eines unendlich 
langen Prismas vom Querschnitt ACDy welches jenen Cylinder in 
D C tangiert. Eigentlich sollte der Kreisring {ADC — A^D^C^) berück- 
sichtigt werden; es wird daher der 2. Wert zu grofs. 

Die Fehler in t^piden Fällen halten sich sehr nahe das Gleich- 
gewicht, weil die Anziehungen der von A entfernteren Teile beider 

♦) Diese Formel wurde zur Eontrolle auch mittelst elliptischer Integrale 
aus (2) hergeleitet. 

•♦) Die Anlage von Böschungen an die Kontinente vermindert die mittlere 
Meerestiefe etwas; um wieder auf die bisher angenommene Meerestiefe zu kom- 
men, wäre für ein Gefalle der Böschung gleich y^ao der Betrag von D um 4% 
zu vergröfsem, was wir aber im Hinblick auf andere Vernachlässigungen unter- 
lassen. 



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§ 24. Der Einflufs der Krümmung der Meeresfläche. 325 

Kreisringe ebenso wie diejenigen der entfernteren Teile beider un- 
endlich laugen Prismen nahezu gleich sind; wie aus der Gleichheit der 
Querschnitte und der raumlichen Lage folgt. 

•Nach S. 284 (5) und S. 286 (10) § 7 dieses Kapitels ist die 
Horizontalanziehung auf A in Richtung des Radius AM für das 
Prisma vom Querschnitt ABC gleich 

- ^" "M„ Ä ^""S ""^^ ^*° " ' (2) 

für das Prisma vom Querschnitt ACD dagegen gleich 

Der erstere Wert ist von dem Ausdruck (7) bezw. (7*) S. 324 ab- 
zuzieheU; der letztere zu (7) S. 316 zu addieren , nachdem darin an- 
statt a der Wert a-^- Diioiv eingeführt ist. Damit folgt als 1. Wert : 

// 3© D /i j. 8a sin V ,\ /.^ 

und als 2. Wert: 

^ -2-C-Ä P-- V - + ^ cot v j (5) 

für 

Aus den Ergebnissen (4) und (5) ist das arithmetische Mittel zu 
nehmen. Die beiden Werte (4) und (5) weichen übrigens von ein- 
ander nicht sehr ab, am meisten für flache Böschungen und kleine a. 
Da nach § 21 S. 321 der 2. Wert (5) nur brauchbar ist, so lange 
cot 1/ > 3 bleibt, so kann man in (5) i/ cot i/ = 1 setzen. 

Zu den Formeln (4) und (5) ist für 36>/> : S^ = 4000"» mit der- 
selben Abrundung wie bei (7*) S. 318 und S. 324: 

«»"ICÄ-^O. (7) 

§ 24. Der Einflulls der Krümmung der Meeresfläehe auf 
die Formeln der vorhergehenden Entwicklungen. Wir betrachten 
die Kontinente jetzt wieder als Flächen, auf welchen die Massen 
kondensiert sind und nehmen wie früher als Masse für die Flächen- 
einheit &D. Diese kreisförmigen , die Kontinente vorstellenden 
Flächen denken wir uns auf einer Kugelfläche vom Radius B, dem 
Repräsentanten der ungestörten Erdoberfläche , aufliegend und be- 
zeichnen den sphärischen Radius MA, Fig. 45 S. 314, mit a«. Der 
Flächeninhalt eines sphärischen Kreises vom Radius a« ist aber 
gleich 



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326 



4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 



oder uäheruDgsweise 



cos 



i)-*' 



Ä» siu' 



iB 



"«•' (^-"^ +•••)• 



(1) 



(1*) 



Bisher wurden die Kontinente als ebene Flächen vom Radius a 
betrachtet; bezeichnen wir den letzteren jetzt mit a« und nehmen för die 
ebene und sphärische Kreisfläche gleichen Inhalt, so muh sein 



ö« = 2R sin 



2jK 



oder näherungsweise 



a, = a.(l--^^ +...) 



(2) 



(2*) 



Erheblich ist also selbst für Europa -Asien der Unterschied der 
Radien üe und ö, nicht; denn indem hier rund a : H '=^^1^ ist, wird 
er nur knapp 27o« Wir werden daher auch weiterhin in den End- 
formeln keinen Unterschied zwischen a^ und a, zu machen brauchen. 

Das Potential der sphärischen Fläche auf ihren Mittelpunkt M 
ist nach S. 145 (2) gleich 

2nk'^SD.2RQm^' (3) 

Führen wir den ebenen Radius mittelst (2) ein, so folgt 

2nk'^&Da^. (3») 

Vergleicht man dies mit (3*) S. 315, worin E (—1 wegen b = null 

gleich ~ ist, so erkennt man, dafs der Potentialwert für die Mitte M 

durch die ebene Rechnung genau richtig erhalten wird. 

Wir entwickeln nunmehr das Potential für einen Randpunkt A^ 
legen aber die Entwicklung so an, dafs sie im ersten Teile auch für 
einen äufseren Punkt Pa pafst. 

Den Punkt Pa nehmen wir als Pol eines sphärischen Polar- 
koordinatensystems; z sei die sphärische Entfernung eines Flächen- 
elementes dq, Fig. 52. Wir 
haben 

äq =^ R sin ^ ä<p . dz 

und seine gerade Entfernung 
von Pa gleich 2B sin -^, mit- 
hin das Potential der auf dq 
lagernden Masse gleich 

k'^&D cos yj> ^9 ^^' 




Fig. 62. 



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§ 24. Der Einflafs der Krümmung der Meeresfläche. 327 

Integriert man zunächst nach z vom Punkte 1 bis Punkt 2, so folgt 

2k^@DB(Bm^-sm-'^j^)dq> (4) 

als Potential des Flächenstreifens 1.1'. 2.2', Fig. 52. 

Verlegen wir Pa nach A, so gilt der Ausdruck (4) noch; er geht 
dann über in 

2kWDBsm^^dq>. (5) 

Dabei ist 

tan 2^ = isLsi -~ cos (p (6) 

und hieraus mit Hilfe des bekannten Überganges von tan zu sin: 

am -ö- cos g> 

y i — sin* -p- sin'qp 

Als Ausdruck für das Potential in A folgt somit, da (5) von — 
bis -[- \T 2U integrieren ist: 



n 



X 

J //l-8in«^'i 



Afc^SDR I -j^-. — ^._^ ^(sin^). (8) 

Man hat aber als unbestimmtes Integral hierzu den Ausdruck 
arc sin (sin -~ sin g) j , abgesehen von einer Konstanten; somit ergiebt 
die Integration den gesuchten Potentialwert gleich 

U^0Da.. (9) 

Ganz dasselbe giebt (3"^) 8. 315, nur bedeutet dort a den ebenen 
Radius ««• Indem wir mit diesem rechnen, wird der Potentialwert 
für den Randpunkt A im Verhältnis a, : a« zu klein erhalten ; vergl. 
(2^) oben. Der Fehler der ebenen Rechnung ist also für Europa- 
Asien knapp 27o. 

Um auch den Fehler in der Lotstörong am Rande zu schätzen, 
bilden wir die Horizontalanziehung der in ^^ lagernden Masse auf 
den Punkt Pa=^ A in Richtung nach M, Sie ist gleich 

C08» 



k'^en cos (pd<p — l^ d (Jj^ , 

oder in Reihenentwicklung: 

k^@Dcos(pdq> [ y - Yi ^ +'•••) 



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328 ^' Kapitel. Der Einflufis gegebener Massen. 

Fällt Pa nach A^ so würde die IntegratioD nach z unendlich geben^ 
wenn wir von z = null an integrieren wollten. Nehmen wir anstatt 
null einen sehr kleinen Wert z^y so folgt 

k'0D cos<p d(p {lognat J - A.g.+ . . . } (iq) 

mit Vernachlässigung von Zq^ : R^ . 

Eine ebene Scheibe, in welcher die Entfernungen von Pa = A 
mit e bezeichnet werden, giebt 

k'^©Dcosq)d<p {lognat 1^} • (11) 

Durch Subtraktion von (10) und (11) folgt: 

k^@D C0S9 d<p (lognat (-J J«) - A_^.+ . . . j . (12) 

Hierin setzen wir Cq : Zq =^ \ , d. h. wir schliefsen um Pa= A in 
beiden Fällen kleine halbkreisförmige Elemente von der Anziehung 
aus, deren Anziehung auf A wegen Cq == Zq als gleichwertig betrachtet 
werden dai-f. Aufserdem haben wir als Wert von Zj • ^2 ™ Falle 
g) = null den Quotienten ffa' Oe, d. i. nach S. 326 (2*) angenähert 

^ ^ 24Ä« 

lognat (2:2:^2) V^^^ demnach für 9= null angenähert gleich ä^: 24 Ä^ 
Dieses kleine Glied vernachlässigen wir in (12) gegen 5;e:2^:48Ä^, 
welcher Quotient für g) = null in 5a^ : 12 Ä^ übergeht. 

Wir können ebenso für einen beliebigen Wert von g) den Betrag 
des lognat in (12) gegen das 2. Glied vernachlässigen und erhalten, 
Z2'=^2a C08q) setzend, in hinreichender Annäherung anstatt (12) den 
Ausdruck: 

3 1. 

Beachten wir nun, dafs cos^g) = — cos 9 + -— cos 3 9 ist, so giebt die 
Integration dieses Ausdrucks von 9 = — ^ bis + v l^i^^^t: 

Um die Wirkung dieses Fehlers in der ohne Rücksicht auf die 
Krümmung der Erde berechneten Uorizontalanziehung auf den Rand- 

punkt A in der Lotstörung zu erhalten, dividieren wir mit G=~itk'^ ©mR 

und erhalten den Fehler der Lotstörung für A in Sekunden gleich 

d. i. nahezu 

— M^ Sekunden. (13) 



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§ 25. Die ßtöreDde Wirkang der KontineDte in gröfserem Abstände. 329 



Dieser Betrag würde als Verbesserung an der nach § 22 (7) 8. 324 
mit ö == ^^ berechneten Loistörung anzubringen sein, um den Lot- 
störungswert am Rande der sphärischen Scheibe vom Radius r/, zu er- 
halten. 

Für Europa- Asien ist derselbe gleich 2", also nicht sehr erheb- 
lich. Auch kompensiert sich dieser Fehler zum Teil mit einem ent- 
gegengesetzten, der bei Anwendung der Näherungsmethode des § 23 
entsteht. 

Die Krümmung der Erde kann hiernach bei der Berechnung der 
Storungswirkungen selbst bei dem gröfsten der Kontinente au(ser acht 
bleiben, so lange nur Punkte innerhalb, oder auch aurserhalb nahe 
der Küste, in betracht gezogen werden. 

Bei der weiterhin folgenden numerischen Auswertung ist aller- 
dings ein nicht mehr zu beseitigendes Versehen in der Weise be- 
gangen worden, dafs. die ebenen Entfernungen a«, für welche Er- 
hebungen h berechnet wurden, bei der Zusammenstellung ohne 
Vergröfserung als sphärische betrachtet worden sind, was einer De- 
formation der . gestörten Niveaufläche in der Nähe der Küste im 
Sinne einer Verschiebung nach dem Zentrum M entspricht. Es 
äuisert sich dieses Versehen indessen wesentlich nur bei den Kontroll- 
rechnimgen, auf welche wir weiterhin geführt werden. 

§ 25. Die störende Wirkung der Kontiueute in gröfserem 
Abstände yom Zentrum Af kann nach der 
Annahme, dafs alle Masse in M konzentriert 
sei, hinreichend genau ermittelt werden, so< 
bald der zu dem Abstände Pa^-, Fig. 53, 
gehörende Zentriwinkel y am Kugelmittel- 
punkte C mindestens nahezu 90^ beträgt. Die 
Masse ist a^JtSD, die Entfernung PaM gleich 

2J?sin-|-, folglich das Potential nach dieser 

Annahme gleich 



Va = nk'^@ 



2-B8in ^- 



(1) 




die zugehörige Erbebung der gestörten Niveaufläche über die un 
gestörte also gleich 



Äa = 



E* Bin -|- 



(^) 



oder für 3@Z> : 6>,„ = 4()00" 



•Ä.= 



öüoa* 



(2*) 



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330 ^ Kapitel. Der Einflurs gegebener Massen. 

Die Lotstörung; welche hierzu gehört, wird gleich 





9 


3© afj) 

2 S 


ithin für 3©2> : ©,„ = 4000» 






y/-= - 




8a« 



(3) 



(3*) 

in Sek. 222 Bin X tan ^ 
2 2 

fr 

Diese Lotstörung ist für y>90^ sehr gering, insbesondere für 
Europa-Asien bei y «= 90® nur 5". Da bis y «= 180® dieser geringe 
Betrag ganz allmählich auf null sinkt, so ist auch die Störung in ^ 
ganz unerheblich (selbst für Europa-Asien nur ca. 200"») und braucht 
hier nicht weiter untersucht zu werden. 

Um die Genauigkeit dieser Formeln, welche eben nur für 

y > 90» (4) 

Anwendung finden sollen, zu erkennen, berechnen wir v« strenger 

für y = 90o. Aus der Entwicklung 
des § 24 S. 327 läfst sich der Ausdruck 
für Va leicht herleiten. Wir setzen da- 
bei identisch in (4) a. a. 0. : 




Wenn aber in Fig. fA PaM gleich dem 
^^^' "• Quadranten eines grölsten Kreises ist, 



so ist auch 


(^,+ 


2,): 2 so 


grofs 


und daher 






-'^'^ 


- = co8 45o = |y2 


Aufserdem ist nach Fig. 54: 










cos 


Z^-Zi 

iB 


a 

COB (jp ' 


somit 




z. ~ z, 
s,n -•-^' 


=> 






/ « 

/ COS <p — cos -^ 
2 cdäqp 



Hiermit erhält man aus der Gleichung (4) S. 327 durch Integration, 
ds^ Rq) zwischen — a und + a liegt: 



a.R 

/ 1 / cos qp — cos ^T- 

1 1 y ■«. 

«/ ' cos qp 



V. = Ak-^QDRj V ^„— - d<p . (6) 





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§ 25. Die störende Wirkung der Kontinente in gröfserem Abstände. 331 
Um diesen Ausdruck zu integrieren, setzen wir darin für cos 9 
den Ausdruck 1 — 2siü^ ^ ^^^ entsprechend für cos -g- . Wir führen 
zugleich eine neue Variable mittelst der Relation 



sin I = sin ^^ sin ^ 



ein und erhalten 



Va = 8 



ysin* j^ cos'-^ d'^ 
^^ -^ ^^ -^ • (7) 
y 1 ~ tfsin* jT sin'i/» y \ — sin* -^ sin*«^ 



Die Integration läfst sich jetzt in genügender Genauigkeit durch 
Reibenentwicklung bewirken. Wir setzen 



a 



= 1 + 2^*°%S 81'*''^+ • 



7/ 1 — 2 sin* -= sin»^ 1/ 1 — sin* - -^ sin* V^ 

und beachten die Relationen: 

cos'^^ c~ ^ -1» cos 2^ 

cos^^ sin^^ = V — -5-c^s 4^. 

o o 

Damit wird 

Va = 2 V2itk'^®DR sin' .^ (l + | sin» r,^ + • • •) • (8) 

Um dieses mit Formel (1) vergleichen zu können, müssen wir da- 
selbst sin Y = s'o 45* = 1 : ^2 setzen , aufserdem aber noch in (8) 

anstatt des sphärischen Radius a den ebenen einführen, welcher in 
(1) figuriert. Mit Rücksicht auf die Relation (2) S. 326 geht (8) 
über in 

"■-'*'*;'".('+ "i +■■•)■ OT 

wenn a den ebenen Radius bezeichnet. Der Fehler der Formel (1) 
wird in Bruchteilen von Va hiernach durch 3a^:32^^ bezeichnet, 
d. i. für Europa- Asien 4%. Dieser Betrag kann als unerheblich an- 
gesehen werden. 

Berechnet man i;« endlich noch für y = 180^ was keine Schwierig- 
keit bereitet, so findet man 

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332 



4. Kapitel. Der EiDflufs gegebener Massen. 



worin a der sphärische Radius ist. Durch Einführung des ebenen 
Radius, sowie durch Reihenentwicklung folgt 

.,=«F®z)^'';-(i+-j^ + ...). (9) 

Die Formel (1) giebt also hier d^ i\QR^ Bruchteile von Va zu wenig, 
d. i. für Europa- Asien S^o« 

§ 26. Berücksichtigung der Schwerpunktsyerschlebung. 

Durch Hinzutritt eines Kontinents zu einer 4000"» hoch mit Wasser 
bedeckten Kugel vom Radius R entsteht eine Schwerpunktsverschiebung. 
Bisher wurden die Lagenänderungen einer Niveaufläche; die anfangs 
mit der Meeresfläche zusammenföllt, unter der Bedingung betrachtet, 
dafs der Potentialwert nach Hinzutritt des Kontinents derselbe bleibt 
und von der Verschiebung der Wassermassen, deren Oberfläche eine 
GleichgewichtsQäche, d. i. Niveaufläche, bleiben mufs, abgesehen wird. 
Indem wir uns die Erörterung dieses letzteren Punktes vor- 
behalten, beziehen wir jetzt die gestörte Niveaufläche nicht mehr auf 

ihre ungestörte Lage, sondern auf eine 
Kugel vom Radius R^ deren Mittelpunkt 
mit der gestörten Schwerpunktslage S zu- 
sammenfallt, Fig. 55. 

Zunächst ist die Schwerpunktsver- 
schiebung zu ermitteln. Um dieses aus- 
führen zu können, bestimmen wir die 
Lage des Schwerpunktes S^ des Kontinentes, 
den wir hierbei als sphärische Kreisfläche 
vom Radius a auf der Kugel vom Radius 
R mit dem Mittelpunkt C ansehen. Dieser 
Schwerpunkte, liegt jedenfalls auf dem zentralen Radius CM. Senkrecht 
zu diesem letzteren legen wir durch C eine Ebene, für welche wir die 
statischen Momente aufstellen. Ein zu M konzentrisches, ringförmiges 
Element der sphärischen Kreisfläche vom Radius Ry und der Breite 
Rdy^ welches in Fig. 55 bei P im Durchschnitt angedeutet ist, hat 
das Moment 

2xR'^ siny dy . R cosy . 

Die Integration von y = null bis ^ giebt das statische Moment der 
ganzen Fläche gleich 

^R^{l- cos ^) d. i. hR^ sin^ J • (1) 

Diesem Werte mufs das Moment des in S^ vereinten Flächen* 
inhalts gleich sein. Bezeichnen wir die Entfernung S^C mit Ä(l — c), 
so ist das Moment mit Rücksicht auf S. 326 (1) gleich: 




Fig. 55. 



4ÄÄ2sin2 2~ .Ä(l — c), 



(^) 



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§ 26. Berücksichtigung der Schwerpanktsverschiebaog. 333 

Die VergleichuDg der Ausdrücke (1) und (2) führt zu der Relation 

1 _ c = cos^ äi = 1 — sin' 2^ . (3) 

Hierin ist a der sphärische Radius. Führen wir den ebenen ein, 
nach (2) S. 326, so folgt 

wobei der Ausdruck rechter Hand nicht abgebrochen, sondern ge- 
schlossen ist. 

Ist nun S der Schwerpunkt des gesamten Massenkomplexes; und 
wird SC mit R\i bezeichnet, so folgt aus der Gleichsetzuug der sta- 
tischen Momente bezüglich des Punktes 5, wenn die Masse des Kon- 
tinentes jetzt mittelst des ebenen Radius a ermittelt wird: 

woraus in hinreichender Annäherung mit Rücksicht auf (3*) hervor- 
geht: 

^^ = Te;: ^ (l - r - M) = ^^^^ ^, (1 _ ^^-) . (4) 
Für 36>/> : ®« = 4000»» wird 

Ein Punkt P der Kugel vom Radius R konzentrisch zu C, Fig. 55, 
hat von S sehr nahe den radialen Abstand 

R{\ — ft cosy). 

Die Verschiebung des Kugelmittelpunktes niach S erzeugt somit 
in den Erhebungen Ä,- und ha der gestörten Niveaufläche Änderungen 
im Betrage von 

— Äft cosy , (5) 

oder, wenn für Ryi Ausdruck (4*) gesetzt und zugleich & : Ä für y 
geschrieben wird, Änderungen im Betrage von: 

Die entsprechende Änderung der Lotstörung ist in Sekunden gleich : 

d.i. 

-(>'>smy, (6) 

oder mit Rflcksicht auf {^*) rund 



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334 4. Kapitel. Der Einflaf^ gegebener Massen. 

§ 27. Mittelwert der Erhebungen hi für einen'^Kontinent. 

Nach S. 3] 5 (5) und (4) ist zunächst ohne Rücksicht auf die Schwer- 
punktsverschiebung die Erhebung der gestörten Niveaufläche inner- 
halb eines Kontinents 

n 


wenn b der Abstand des betreffenden Punktes vom Zentrum M ist. 
Indem wir nun den Kontinent als ebene, kreisförmige Fläche auf- 
fassen, wie das auch bei Entwicklung der Formel (1) geschah, haben 
wir die Anzahl der Ä,- für einen ebenen, ringförmigen Streifen vom 
Radius & und der Breite dh proportional ^></^> zu setzen, und es wird 
daher der Mittelwert von Ä,- gleich 



Es ist aber 



a a 

jhihdb : j 



b dh . (2) 



J J j/^ — ^ sin>.«^ db dg) , (3) 







wenn man zuerst nach b integriert, was sehr leicht ausführbar ist, 
gleich 






a* /* 1 — cos'cp , 

T J 1 - C08'<p '^'P • 

ü 
Nun ist identisch 

1 — COS'qp 1 H- COSqp + COs'qp ,1 « cp 

„ - = — —rr — ~ = COSQP + — sec' ^ • 

Mit Rücksicht hierauf läfst sich das Integral sofort bilden und mau 
erhält für (3) den Wert: 

2a* 
3 

Hiermit findet man als Durchschnittswert der hi für den ganzen 
Kontinent ohne Rücksicht auf die Schwerpunktsverschiebung 

(4) 



e^ nM 



Infolge der Schwerpunktsverschiebung tritt zu diesem Ausdruck 
der Durchschnittswert von (5) S. 333, für den Kontinent genommen, 
hinzu. Betrachten wir hierbei die Erdoberfläche wie bei Entwicklung 
dieses letzteren Ausdruckes als gekrümmt, so erhalten wir als Mittelwert 



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§ 28. Kleinste Erhebung der gestörten Niveaufläche. 335 

* a: R a:R 

— R[i I cosy siny dy : / smy dy , 

indem, vergl. S. 332 Fig. 55, für einen ringförmigen Streifen vom In- 
halt 2nR'^ siny dy der Ausdruck (5) konstant ist Die Ausführung 
der Rechnung giebt , da der Integralquotient nach (3) S. 333 gleich 
1 — c ist : 

-Äft(l-C), 

d. i. nach (4) und (3*) S. 333 gleich 

(4) und (5) zusammen geben als Mittelwert der Erhebungen hi für 
einen Kontinent mit Rücksicht auf die Schwerpunktsverschiebung: 



40^_a2) 
9^ nR 



?-c-tS('-w)t ■ w 

Für 30i> : ®m = 4000« wird dies: 

T^M>-S('-ri)'l- («•' 

Diese Formel gilt zunächst nur für einen cylindrischen Kontinent; 
wird zur Berücksichtigung der Böschung anstatt a der vergröfserte 
Radius a nach S. 324 (1) eingeführt, so giebt (6) bezw. (6*) den 
Durchschnitt der Erhebungen über die Küste hinaus bis zu einer 
Stelle, welche vertikal über der Mitte der Abboschung liegt. Indessen 
kann man sich auch hier recht wohl mit diesen Formeln begnügen. 

§ 28. Kleinste Erhebung der gestörten Niveaufläche. Be- 
rücksichtigt man die Schwerpunktsverschiebung, so liegt die kleinste 
Erhebung nicht mehr diametral gegenüber der Mitte des Kontinents 
in Mf sondern ungefähr bei einem Winkel y = 90®, wie der Augen- 
schein lehrt. 

Nehmen wir an, dafs für die Stelle des Minimums die Formel 
(2) S. 329 noch ausreicht, so wird mit Rücksicht auf den Einflufs der 
Schwerpunktsverschiebung nach (5) S.333 in hinreichender Annäherung 

^'«=='8-Ö^^Ä'~|— r-2<^^sy(l--^,)|. (I) 

Diflferenadert man die Parenthese nach y und setzt den Differential- 
quotienten gleich null, so wird als Bedingung des Minimums erhalten: 

y 

cos - 



-^_=2smy(l--^^,). 



2Bin^ ^ 
2 



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33G 4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen, 

oder reduziert: 



mit 



8 (l — ^"J, ) sin-^ Y = h d. h. sehr nahe y = 60% (2) 

{K)min = g^^ \, (l + 4^) • (3) 



Wie wir später sehen werden, gilt die Formel (2) S. 329 in der That 
mit genügender Genauigkeit bis y = 60^ auch noch für Europa- Asien, 
sodafs der Ausdruck (3) das Minimum ziemlich korrekt giebt. 
Indem wir in (3) 3&D : 0rn = 4000"* einsetzen, wird 

(K)min = b00^,(l + {1); (3*) 

§ 29. Zusammenstellung der Formeln für die Störungs- 
wirkungen eines Kontinents mit RUcksicht auf Schwerpunkts- 
yerschiebung. 

Wir setzen hierbei sogleich 3GD : &m = 4000*" ; im einzelnen 
0= 1^8, /> = 4000"». a ist der ebene oder sphärische Radius des 

Kontinents, v sein Böschungswinkel, end- 
lich [S. 324 (1)] 

a' = ö + 2000coti;. (1) 

Die Erhebung innerhalb von b = null 
bis a, also bis zur Küste und noch etwas 
darüber hinaus bis zur Mitte der Böschung, 
folgt aus S. 315 (5*) und S. 333 (5*) gleich 

Fig. r>6. 

Aufserhalb in der Nahe der Küste, von 
b = a an ist die Erhebung nach S. 318 (7*): 

wobei 

y^Q^" i = 0,009 />*^. (3*) 

in Graden -" 

Von y gleich 90" bis 180» ist nach S. 329 (2*) 

Ä, = 5()0--^-1000^Vl-;»;,)cosy. (4) 

72* sin l 
2 

Das Intervall von der Nahe der Küste bis y = 90" füllen wir bei der 
folgenden numerischen Anwendung dadurch aus, dafs wir (3) bis 



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/:^-Hxx)g(i-;;)cos,.(2) 



§ ^9. Zusammen&telloQg der Formeln für Kontinente. 33? 

y s= 90^ und (4) bis zur Küste anwenden und sodann mit Benutzung 
graphischer Darstellung aller h verbesserte Werte aufsuchen. 

Die grofste Erhebung innerhalb findet statt in der Mitte M des 
Kontinents und beträgt nach (2) mit ^ «= 0: 

W«« = -iS^;,- 1000^(1-;^^); * (5) 

die grofste Erhebung aufserhalb liegt diametral gegenüber M und 
beträgt nach (4) mit y = 180»: 

Die kleinste Erhebung liegt nach dem vorhergehenden Para- 
graphen nahe bei y «» 60® und beträgt angenähert 

Die mittlere Erhebung eines Kontinents ist nach S. 335 (6^) gleich 

15000 l^ 16Ü \^ 4UV 1 ^^ 

Den Mittelwert aller h für die ganze Oberfläche leiten wir aus- 
reichend genau aus einer Tafel der h ab, welche h für y von 10 zu 
10® giebt, indem wir bilden 

2^Ä siny : 2^siny. (8) 

Dies ist ein Näherungsausdruck; entsprechend dem strengen Ausdruck 



n n 

I h 8\ny dy : 1 sin y dy 



Er genügt aber völlig, und es ist nicht erforderlich, strengere Formeln 
der mechanischen Quadratur anzuwenden'^). 

Der Mittelwert (8) läfst sich aber noch auf eine ganz andere Art 
berechnen. Schon im 2. Kap. S. 66 ist angegeben , dafs der Mittel- 
wert des Potentiales v für alle Punkte einer die betreffenden Massen 
umschliefsenden ; zum Schwerpunkt konzentrischen Kugelfläche gleich 

*) Die beiden Summen in (8) entsprechen der einfachsten Formel der me- 
chanischen Quadratur, welche für 

Jydx 



setzt 



^^{jyo + yi + yt + — h y«-i +-2"^«) • 



Im vorliegenden Falle sind yQ und y^ gleich null. 

Über die SimpsonschQ Regel vergl. weiterhin § 32. 

Helmcrt, inathein. u. pbytikal. Theoricen der höh. Geodäsie. II. 22 



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338 4- Kapitel. Der Einflurs gegebener Maesen. 

Ar^.Masse: Radius ist. Jetzt handelt es sich allerdings um das Poten- 
tial t; von Massen, die auf der betreffenden Kugelfläche selbst liegen 
und deren Schwerpunkt nicht in den Kugelmittelpunkt fällt. Jedoch 
gilt der Satz auch hier, wie sowohl aus der Theorie der Kugelfunk- 
tionen folgt, als auch leicht direkt zu beweisen ist. Denn das Potential 
der Anziehung eines Massenelementes dm auf einen Punkt derselben 

Kugelfläche im Abstände ^ ist k^dm :e, oder für ^s= 2-Ä sin — gleich 



2iJ8in-|- 



Die Anzahl dieser Werte für denselben Abstand e, d.h. denselben 
Wert y auf einem Ringe von der Breite ßdyy ist proportional 
27C siuy dy und daher der Mittelwert aller v gleich 

nk^dm / einy rfy o- / • ^ i • k^dm 

~~^~J '^n^~ ^^J^'^y^yf d.i. -^. 

2 

Der Satz gilt also für das Massenelement dm und ebenso auch für 
die ganze Masse. 

Da nun h der Quotient v : G ist, abgesehen von dem Einflufs der 
Schwerpunktsverschiebung, der sich im Mittel für die Oberfläche auf- 
hebt, so mufs der Mittelwert von h gleich sein der gesamten stören- 
den Masse mal (k^ : RG), d. i. 



4©,Ä« > 



also für 30/> : ®m = 4000 gleich 

1000 ^ . (8*) 

Die Vergleichung mit (8) gewährt eine Kontrolle. Auf eine an- 
dere Probe kommen wir am Schlüsse des § 34 zu sprechen. 

Zieht man den Mittelwert (8) von den Werten A ab, so erhält 
man Höhen K einer Parallelfläche zu der bisher betrachteten Niveau- 
fläche, die mit gleicher Annäherung wie diese eine Niveaufläche ist. 
Die Fläche der h' und die Kugelfläche konzentrisch zum Schwerpunkt 
S verbalten sich zu einander wie Niveaufläche und zugehöriges Niveau- 
sphäroid (Normalsphäroid); insbesondere entsprechen die K den N 
des 3. Kapitels. Die Summe der K für die ganze Oberfläche ist ebenso 
wie diejenige der N gleich null. 

Wir werden weiterhin die erwähnte Kugelfläche bezüglich der 
Niveaufläche der h! das normale Niveau nennen. 



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§ 29. Zusammenstellung der Formeln fClr Kontinente. 339 

Die LotstöruDg im Sinne einer Anziehung des aufgehängten Lotes 
nach der Mitte des Kontin&its M hin folgt nach S. 316 (7*) und S. 333 
(6*) innerhalb des Kontinents bis zur Küste, also für h = null bis ä, 
aus der Formel: 

,.4-^T(*-e)-4i))-»#('-^)- ») 

Der Wert des 1. Gliedes von Ai ist an der Küste mit h =^ a nach 
S. 325 (4) bis (6) unter Voraussetzung flacher Böschungen genauer 
gleich 

10Jlognat^ + 2^^(^^>^>-) (10) 

mit 

* "^ a+ 4000 cot* * (^^) 

Ist der Abfall an der Küste so steil, dafs cotv < 6, so wird die 
Formel (9) für die Küste unbrauchbar, weil alsdann der Abstand der 
Küste vom Rande der Scheibe mit dem Radius a kleiner als 3/> ist 
(§ 21 S. 319). Formel (10) versagt aber erst für coti;<3. Bei 
vertikalem Abfall der Küste ist (7*) S. 324 zu benutzen. 

Für y ^ 90« ist die Lotstörung nach S. 330 (3*) und S. 333 (6*) 

Ja ""^ 30-"^ (l - ^) Sin Y . (11) 

i-Bek. ie.8in|tan| ^' ^ ^^'' ^ 

Diese Lotstörung hat insofern wenig Interesse^ als nur ihr 1. Teil 
den Krümmungsradius beeinflufst, was bei dem 2., von der Schwer- 
punktsverschiebung erzeugten, nicht der Fall ist. Der 1. Teil ist aber 
der kleinere und sein Einflufs auf q nur höchstens ein paar hundert 
Meter (S. 330). 

Für den Krümtnungsradius hat man nach (10) S. 317 innerhalb 
des Kontinents die Relation 



9i' "" ^' 



1 I ^200 






(12) 



Hierin ist für iT, um (>, auf diejenige Niveaufläche zu beziehen, deren 
Lage durch die Erbebungen h! gegen die zum gestörten Schwerpunkt 
konzentrische Kugelfläche R markiert ist, gleich zu setzen: 

R + dem 1. Teil von Ä, aus (2) — dem Mittelwert (8). 

Die Formel (12) giebt eine Annäherung für 1 : p, innerhalb der- 
selben Grenzen wie (!'). 

22* 



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340 4- Kapitel. Der EinfinfB gegebener Massen. 

§ 30. Numerische Auswertang der elliptischen Integrale 

K und E« Zur Berechnung der Wert« dftr Integrale 

n_ 
2 



und 

2 



J Vi — %* sin« (jp 



E=^ jyi — x2 sin^^) 






giebt es verschiedene Methoden, die hauptsächlich von Legendre, Gaufs^ 
Jacöbi und Weiersirafs herrühren. Die bequemsten Formeln bietet 
die Theorie der elliptischen Funktionen, aus welcher wir die nach- 
stehenden Formeln auswählten, die sich für uns beim Gebrauche am 
vorteilhaftesten herausstellten.*) 

Bezeichnet q eine gewisse, von Jacobi eingeführte, von x ab- 
hängige Hilfsgrofse, so ist 



mit 



mit 



ir = f . 1 1 + 2^ + 2^* + 2^^ + . . . } ^ (I) 

1 = 1,5708 ..., logf = 0,19612...; 

2%^ = 19,7392 . . . , log (27t^) « 1,29533 .... 



Hieraus folgt E bei bereits berechnetem K, Zur gleichzeitigen 
Kontrolle für ^, E und ir dient die Gleichung 

^ ~ ^ " ^~ i- 2g + 22* -22» +7.7 • W 

Bei der Berechnung der A, A und q werden aufser E die durch 
(2) und (3) direkt gelieferten Kombinationen von E und A^ gebraucht. 

Zur Ermittelung von q aus x dienen Tabellen. Wir benutzten 
diejenige, welche Schlömilch im 2. Bande seines Kompendiums der 
höheren Analysis nach Jacobi, Grelles Journal Bd. 26 1843 S. 93, 
im Auszug, aber mit der Erweiterung giebt, dafs auch x selbst als 
Argument auftritt (bei Jacobi nur p** arc sin x) . 



*) Formeln und Lehrsätze gum Gebrauche der elliptischen Funktionen. 
Nach Vorlesangen und AafzeichnungeD des Herrn Prof. K. Weierstrafs be- 
arbeitet und herausgegeben von H. A. Schwarz Göttingen 1881 S2. 



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§ 30. Numerische Auswertung der elliptischen Integrale K und J^. 341 
Bei direkter Berechnung von q ermittelt man zunächst 



i + ^T^ 



(4) 



Setzt man x = sin« und cos/J = ^cosor , so ist / = tan* ~". Dann 
wird 

'-(I) +2(1)'+ >5(ir+. 50(1)"+.... (6) 

Ist X nahezu eins, so berechnet man besser zunächst 
oder für cos/J' -= ^^x, /' = tan* -- und 

«•-(v)+2(t)' + '»(t)'+ •«■©"+ •■• (') 

Alsdaun folgt ^ aus der Gleichung: 

(— log q) (- log q) = n^Mod^ = num log 0,26986836 . (8) 

Alle Reihen konvergieren so stark , dafs meist nur das erste Glied 
oder die beiden ersten Glieder für unsere Zwecke erforderlich sind. 

Die Formel (1) findet sich bei Weierstrafs Schwäre S.61 unter(7) ; (2)nnd(3) 
auf 8. 44 unter (15) und (16); (4) und (6) auf S. 61 unter (3); (S) folgt 
aus S. 61 (2) Nr. 2 und 8. Dabei ist zu beachten, dafs q daselbst mit h 
bezeichnet ist. Die in den Gröfseu auftretenden drei Wurzeln e einer 
kubischen Gleichung, in der der Koefficient des Quadrats der Unbekannten 
null ist, sind definiert durch das System 

«. + «. + «.-0 «»--^-A. 

Die 2. Relation sagt, dafs «i > et > e, ist, da x' ^ 1. Schreibt man sie 
in der Form 

xV, -c, + (l-x«)e,-0, 

so g^ebt sie mit der 1. Relation die Proportion 

e, : e, : e, = 2 - X» : - (l — 2x«) : — (l + x«). 

Mit Hilfe dieser Proportion gelangt man ohne Schwierigkeit zu unseren 
Formeln, wenn man noch beachtet, dafs nach S. 61 (1) das in den citierten 
Formeln auftretende a)| und gleich K : Ve^ - e^ , nach 8. 84 (2) 

und nach 8. 61 u » 2 , y » 3 ist. 



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342 



4. Kapitel. Der Einflafs gegebener Massen. 



Für einige Werte vou x, die im Folgenden besonders häufig ge- 
braucht werden, stellen wir AT, E u. s. w. zusammen: 



X 


logq 


q K 


E 


£-(1 — x«)«" 


K-E 


E- (i-««)jr 




+ J0 








\ * 


«'(i - ««) 


0,0 — oo 


0,0000 1,571 


1,571 


0,000 


0,00 


0,79 


0,1 


6,80 


0,0006 


1,575 


1,567 


0,008 


0,08 


0,80 


0,2 1 7,40 


0,0025 


1,587 


1,555 


0,032 


0,16 


0,82 


0,3 7,77 


0,0059 


1,608 


1,534 


0,071 


0,25 


0,86 


0,4 j 8,037 


0,0109 


1,640 


1,506 


0,128 


0,34 


0,95 


0,5 8,255 


0,0180 


1,686 


1,468 


• 0,203 


0,44 


1,08 


0,6 8,445 


0,0279! 1,751 


1,418 


0,297 


0,56 


1,29 


0,7 


8,623 


0,0420; 1,846 


1,355 


0,414 


0,70 


1,66 


0,8 


8,803 


0,0635: 1,995 


1,276 


0,558 


0,90 


2,42 


0,9 


9,0101 


0,1023 2,280' 1,171 


0,738 


1,23 


4,80 


1,0 


10,0000 


1,0000 


00 


1,000 


1,000 


00 


00 



In Bezug auf die ersten und letzten Werte der Kolumnen ist 
eine Bemerkung nötig. Für x = null ist nach (4) und (5) auch q 

null; damit wird nach (1) A' = ^ "°^ ^^^^ (3) ^= ^- Ist x sehr 
klein y so ist nach (4) und (5) sehr nahe g = x"^ : 16 , und zwar um 
so genauer, je kleiner x. Hiermit und im Hinblick auf (3) und (4) 
ist ersichtlich, dafs für x = null {K — E) : x gleich null und 

[^ - (1 - x'')K] : x'(l - x^) = " wird. 

Ist X = 1 , so wird nach (7) und (8) ^ = 1 und nach (1) K un- 
endlich grofs. Den Wert von E kann man in diesem Falle aus (2) 
und (3) nicht entnehmen; er folgt aber leicht aus dem definierenden 
Integral zu 1. 

Ist X sehr nahe gleich 1, so ist sehr nahe 

K = lognat ,._^ , E=\ 

und zwar für x «= 0,9999 ersteres bis auf V25000» letzteres bis auf 
V2000 ^Jes betreffenden Integralwertes.*) Hieraus erkennt man, dafs 
(1 — x') AT für X = 1 gleich null wird, womit sich die angegebenen 
Werte der drittletzten und letzten Kolumne obiger Tafel für x = 1 
sofort ergeben. 

*) Genaueres siehe in Schlömilchs Kompendium der höheren Analysis Bd. 2, 
Braunsch^eig 1866, S. 316 und 317. 



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§ 31. Störungen durch Europa- Asien. 



343 



§ 31. Störiingeii dureh Europa- Asien. Wir behandeln spe- 
ziell den gröfsten und den kleinsten Kontinent; jenen zuerst. Nach 
S. 313 ist dafür 

ö = 0,66ä = 4200000"». (1) 



Setzen wir für den Böschungswinkel v der Küste 

cotv — 100, 
so ergiebt sich nach (1) S. 336: 

a' = 4400(X)0"' = 4400*«». 



(2) 



(3) 



Nach (2) S. 336 sowie nach (9) und (12) S. 339 ist nun, wenn 
Ä' und £ auf x = ^ : «' bezogen gedacht werden: 

(4) 
(5) 



A, = 880 Ä — 420 cosy 

in Metern 

^, = 40^":^-9x 

in Sek. " 



(6) 



Wir setzen hieriu der Reihe nach und mit Rücksicht auf (3*) 
S. 336: 





y 





0" 


0,1 


3,96 


0,2 


7,92 


0,3 


11,88 


0,4 


15,84 


0,5 


19,80 


0,6 


23,76 


0,7 


27.72 


0,8 


31,68 


0,9 


35,64 


"/44 


37,80 



Dazu giebt die Tabelle von S. 342 Ä'undA', ausgenommen für j<=42:44, 
wofür K und E direkt zu berechnen sind. Dieser Wert von x ent- 
spricht einem Küstenpunkte, indem für die Küste b ^^^ a = 4200000»* 
ist. Die Formeln geben mit x = 42 : 44 der Reihe nach ^ = 0,14700, 
K = 2,6340, E = 1,0956 und js: — (1 - x^) iT = 0,8615. 



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344 4* Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

Man gelangt nun zu folgender Zusammenstellung: 



Zentrums- 
abstand 

6 


Er- 
hebung 


Er- 
hebung 


Lot- 
störung 


R-.g, 


iT-p, 


iJ-P, 


EQston- 
abstand. 


Zentrnm 


962-» 


504» 


0" 


1,00022 


1400-» 


500'» 


4200*" 


440tm 


960 


502 


2 


1,00022 


1400 


500 


3760 


880 


952 


494 


5 


1,00022 


1400 


500 


3320 


1320 


939 


481 


7 


1,00023 


1500 


600 


2880 


1760 


921 


463 


10 


1,00026 


1700 


800 


2440 


2200 


896 


438 


13 . 


1,00030 


1900 


1100 1 


2000 


2640 


863 


405 


17 


1,00035 


2200 


1400 1 


1560 


3080 


821 


363 


22 


1,00045 


2900 


2200 I 


1120 


3520 


765 


307 


29 


1,00066 


4200 


3500 i 


680 


3960 


689 


231 


41 


1,00131 


8300 


7700 1 


240 


4200 


632 


174 


55 


1,00291 


1850Q 


18000 


An der 
Küste. 



Die 3. Rubrik giebt Ä/, gleich hi weniger dem Mittelwert aller 
h für die ganze Oberfläche, welcher weiterhin zu 458"* berechnet wird. 

Bezüglich der 7. Rubrik ist zu bemerken, dafs inmitten des Kon- 
tinents Ä'=Ä-|- 1382"»— 458'», an der Küste Ä'= Ä+964"»--458'« 
wird. R — ^ ist also um 900 bis 500*" kleiner als R' — p , was die 
7. Rubrik für die einzelnen Orte genau berücksichtigt. 

Die Lotstörung an der Küste folgt aus der strengeren Formel 
(10) S. 339, wobei x = 42 : 46, ^ = 0,11030, /T «= 2,3414 und 
A^— i^= 1,1862 wird, gleich 

70 — 8 = 62". 

Nach S. 328 (13) gehen wegen der Krümmung der Erdoberfläche, die 
in (10) S. 339 nicht berücksichtigt ist, 2" ab, sodafs als Lotablenkung 
an der Küste bleiben 

60". 

Wenn man nun bedenkt, dafs in der Regel der Abfall der Küste 
anfangs ein sanfter ist (etwa 1 : 250 bis zu 50^ Abstand) und erst 
in einiger Entfernung vom Lande rascher erfolgt (etwa mit 1 : 100), 
so wird ersichtlich, dafs der in der Tabelle angesetzte Wert von 55" 
an der Küste den Verhältnissen ganz gut entspricht. 

Einige Sekunden mehr oder weniger sind aber überhaupt an der 
Küste ganz bedeutungslos, insofern hier die Lotstörung in hohem 
Grade von dem Böschungsmafs abhängt. Für letzteres nahmen wir 
1 : 100, weil es ein Wert ist, dem man nach Ausweis der Tiefen- 



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§ 31. Störungen durch Europa- Asien. 345 

karten in Andrees Atlas — abgesehen von der Beschränkung auf 
Europa- Asien — vielfach begegnet; so namentlich u.a. an den Küsten des 
atlantischen Oceans von Amerika, Afrika, Spanien. Vielfach ist die 
Böschung aber steiler, namentlich an der pacifischen Küste von Nord- 
und Südamerika, woselbst sie auf rund 1 : 40 steigt, und ostlich von 
Japan und den Kurilen, wo der Abfall nach der 8500'« tiefen Tus- 
carora-Senkung mit 1 : 36 erfolgt. Indessen wird hier die Wirkung 
gemildert durch die Meere, welche die Inseln vom Festlande trennen. 
An der amerikanischen Küste kommt aber die volle Wirkung zur 
Geltung bis auf die Abschwächung, welche auch hier durch das in 
der Nähe des Landes geringere Abfallen entsteht. 

Wir berechnen jetzt noch für das Böschungsmafs 1 : 40 die an 
der Küste stattfindenden Werte im Hinblick darauf, dafs dieses Mals 
den steilsten Abfall bezeichnet, der 
in gröfserem Umfange an Festlands- ^-^ 

küsten auftritt. Wir denken uns da- ! J — -^^r^ 

bei für eine Küstenstrecke die steilere J^^^ ^ 

Böschung durch die im allgemeinen ^-^'/l 
stattfindende sanftere in der Weise f^ I 

unterbrochen , dafs a unverändert j 
bleibt, also der Abstand der Küste vom j ' j 
Zentrum um die absolut genommene Sard 

Änderung von -- Z> cot v wächst, ^**' *'' 

vergl. Fig. 57. In den obigen Formeln für A, , ^, und 1 : Qi ist nun 
zu setzen 

a - \dao 

b = 4320*^^* r = 38,88». 

Es wird q = 0,19712, /T = 3,0668, £ = 1,0466 und £ — (1 — x') /T 
= 0,9359; femer 

hi = 594"» ^ = 73" R:Qi= 1,00736 . 

Nach der strengeren Formel (10) S. 339 würde sich /1i um 5" 
gröfser ergeben, wovon aber 2" wegen der Erdkrümmung abgehen. 
Der Wert von rund 

ly^ Minute 

kann für Europa-Asien als Maximum der Lolslörung kontinentalen 
Charakters angesehen werden. Durch Kombination mit lokalen Ein- 
flüssen kann allerdings die Lotstorung sich noch erheblich steigern. 
Immerhin aber dürften diese lokal gesteigerten Werte von demjenigen 



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346 



4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 



Betrage weit entfernt bleiben ; der sich an einer vertikal abfallenden 
Küste ergiebt.*) 

Für die vertikale Küste ist bei Festbaltung des Wertes von d 
die Lotstörung aus Formel (7*) S. 324 zu entnehmen, wobei d für a 
zu setzen ist. Es wird dieselbe mit Abzug von 9" wegen der Schwer- 
punktsverschiebung gleich 154" oder rund 

2V2 Minute. 

Während wir bisher nur die gröfsten Lotstöningen im Äuge 
hatten^ so ist nun darauf hinzuweisen, dafs vielfach selbst die in der 
Tabelle angesetzten 55" nicht eintreten werden, weil der Abfall der 
Küste überhaupt gering oder bis zu erheblichem Abstände vom Lande 
sehr schwach ist. Dies gilt unter andern für die atlantische Küste 
von Frankreich, England und Norwegen. Insbesondere ist auch zu 
beachten, dafs die mittlere Tiefe der Nordsee nur 89"» beträgt. 

§ 32. Fortsetzung. Den erheblichen Lotstöruugen in der Nähe 
der Küste entspricht im Verlaufe der Erhebungen h eine Art Schwelle. 
Um dieselbe zur Anschauung zu bringen, mufs man für die Nähe 
der Küste noch einige Werte ha berechnen, wobei die Formel (3) 
S. 336 zur Anwendung gelangt. Die Schwelle wird am besten aus 



iOOO'^ 




Fig. 58. 

beistehender Zeichnung, Fig. 58, die überhaupt alle h von y = bis 
180* darstellt, y als Abscisse und h als Ordinat« giebt, ersichtlich. 

Zur Konstruktion dienten aufser den Werten Ä,- der Tabelle von 
S.344 eine Reihe von Werten hay die für solche Argumente d :b = x 
nach Formel (3) S. 336 ermittelt wurden, dafs die S. 342 angegebenen 
Werte von E — (1 — x') äT benutzt werden konnten. Die Formel 
(3) lautet jetzt: 

^« ^ 5000 



420 cos y . 



(i) 



Sie wurde bis b = 11000**" angewandt**). Den Fehler der Formel 
bei diesem grofsen Werte von b zeigt die Formel (4) S. 336 , welche 
jetzt mit d = 4400*"» lautet : 

•) PÄ. Fischer, Gestalt der Erde S. 92, findet für die Koutinentalküsten ab- 
gesehen von lokalen Störungen als maximale Lotablenkung etwa V f Min. 

**) Die in Fig. 68 mit , »Formel (1)" bezeichnete Kurve ist innerhalb des Kon- 
tinents selbstverständlich mit den früher angegebenen Werten von h. konstruiert. 



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§ 32. StöruDgen durch Europa- Asien. 



347 



239 CSC -f — 420 cos y, 



(2) 



und die für y = 90« nach § 25 S. 331 4Vo, d. i. 14"», zu wenig giebt. 
Diese Formel wurde aufser auf mehrere Werte von y zwischen 90® 
und 180® auch auf einige kleinere Werte von y bis an die Küste an- 
gewandt^ um ihre mit Annäherung an dieselbe wachsende Fehler- 
haftigkeit zu erkennen. Da die Formel (1) für ^ = 11000*'" etwa 
45"* Fehler zeigt, wurde sie nur bis h = 7200*"» beibehalten, an welcher 
Stelle sie mit (2) gleiche Werte giebt; von hier an aber wurde für 
wachsende h Formel (2) angewandt. Die Zahlen sind folgende: 



b 


y 


4400*»' 


39,6» 


4890 


44,0 


5500 


49,5 


6290 


56,6 


7333 


66,0 


8800 


79,2 


11000 


99 


13330 


120 


14440 


130 


15560 


140 


16670 


150 


17780 


160 


18890 


170 


20000 


180 



nach (1) 

558-» 
420 
341 
289 



nach (2) 
383"« 



296 



264 


267 


279 


296 


348 


379 




486 






533 






576 






611 
637 
653 
659 



Mit Hilfe der graphischen Darstellung folgt nachstehende Über- 
sicht der h für y von 10 zu 10*: 



81D y 



0»j962"' 
10 1 946 
20 894 
30 1796 
40 542 



50 
60 
70 
80 



338 
278 
270 
296 



Agio y 



90J340 
li'siny = 



0,000 659'» 


180" 


0« 


0,174 653 


170 


278 


0,342 i637 


160 


524 


0,500 1611 


150 


704 


0,643 |576 


140 


719 


0,766 


533 


130 


666 


0,866 


486 


120 


662 


0,940. 


442 


110 


669 


0,985 '392 


100 


678 


1,000 1 




340 


11,432; 


Xhi 


iny = 


5240. 



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348 ^« Kapitel. Der EinflafB gegebener Maesen. 

Der Darchschnittswert der h ist hiermit nach S. 337 (8) gleich 

458"». 

Die Simpsonsche Regel giebt bezw. die Zahleu 11^461, 5265 und 459. 
Der Unterschied ist also ganz unerheblich.*) 

Der Durchschnittswert der h folgt andererseits aus S. 338 (8*) 
gleich 

479"», 

der vorige Wert ist somit um 20"* zu klein. Dies kann nicht be- 
fremden, da überhaupt alle Werte Ä, ausgenommen für y = 0*^, zu 
klein sind, vergl. §24 S. 327 und §25 S. 331. Bei 40« ist der Fehler 
ca. 20"», bei 90» 14"», bei 180^ 6»". Dazu tritt nach § 24 S. 329 noch 
für y = 0^ bis 60® eine Verkleinerung der Abscissen um ca. 2^/q , 
was insbesondere bei y «=» 30® bis 50** Fehler von durchschnittlich 
18"* erzeugt. 

Die mittlere Erhebung innerhalb des Kontinents Europa- Asien 
wird nach Formel (7) S. 337 mit a = 4400000"« gleich 802"»; nach 
Abzug von 458 aber für die Niveaufläche der Ä': 

344"». 

Die kleinste Erhebung ist nach S.337 (6) gleich 267"», die graphische 
Darstellung giebt dasselbe; hieraus folgt die tiefste Senkung der 
Niveaufläche der h' unter das normale Niveau gleich rund 

190"». 

Zieht man überhaupt 458 von den h ab, so gelangt man zu der 
Übersicht der Erhebungen h' über das normale Niveau, welche 
weiterhin mit den Werten für die anderen Kontinente zusammen- 
gestellt ist. 

§ 33. Störungen durch Australien. Nach S. 313 ist hier 

a = 0,26Ä = 1660000"». (1) 

Setzen wir wieder für den Böschungswinkel v an der Küste 

cot i; = 100 , (2) 

so ergiebt sich nach (1) S. 336 

a = 1860000^" = 1860*"». (3) 



*) Die Simpsaniche Begel setzt für 

fydx 



die Summe 

3 - (yo + 4yi + 2y, + 4y, + 2y4 + . . . + 4y^.i + yj ; 

die Anzahl der im iDtenrall dx berechneten y mafs also eine ungerade sein. 
Wenn oben als Ergebnisse der Simpsonschen Regel 11,461 und 6265 genannt 
sind, so ist dabei der Faktor Jx weggelassen. 



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§ 33. Störungen durch Australien. 



349 



Nach (2) S. 336 sowie nach (9) und (12) S. 339 ist nun, wenn 



K und E auf x = -r bezogen werden : 



hi — 372 ^ — 83,5 cosy 

in Metern 



Ai = 40 

in Sek. 



,000645 



— 0,8x 

E-{\ - x«)g] 

X«(l — X») " I 



(4) 
(5) 
(6) 



Wir setzen hierin der Reihe nach und mit Rücksicht auf (3*) 
S. 336: 



X = — 7 

a 









0,1 


P40' 


0,2 


3 21 


0,3 


5 1 


0,4 


6 42 



_ b 
a 


y 


0,5 


80 22' 


0,6 


10 3 


0,7 


11 43 


0,8 


13 24 


166/ 
/t86 


14 56 



E und E folgen aus der Tabelle S. 342 teils direkt, teils durch Inter- 
polation. Es ergiebt sich damit nachstehende Übersicht: 



Zentrams- 

abstand 

h 


Er- 
hebung 

ÖOl" 


Er- 
hebung 

_V_ 
417" 


Lot- 
stOruDg 


K : p.. 


3200-» 


2700"' 


Abstand 

von der 

Kaste. 


Zentrum 


0" 


1,00051 


1660*» 


186*» 


499 


415 


3 


1,00052 


3300 


2800 


1474 


372 


495 


411 


6 


1,00053 


3400 


2900 


1288 


558 


488 


404 


10 


1,00056 


3600 


3100 


1102 


744 


477 


393 


13 


1,00061 


3900 


3400 


916 


930 


464 


380 


17 


1,00070 


4500 


4000 


730 


1116 


445 


361 


22 


1,00083 


5300 


4800 


544 


1302 


422 


338 


27 


1,00107 


6800 


6300 


358 


1488 


393 


309 


35 


1,00156 


9900 


9500 


172 


1660 


358 


274 


47 


1,00289 


18400 


18000 


An der 
Kfiste. 



Die 3. Rubrik giebt h/ = ä, weniger dem Mittel aller h für die 
ganze Oberfläche, welches weiterhin zu 84*" berechnet wird. 

Die Lotstörung an der Küste folgt aus der strengeren Formel 
(10) S. 339 mit x = 166 : 206, für welchen Wert (Ä^ - £) : x aus 
der Tabelle S. 342 interpoliert werden kann, gleich 

53,4 - 0,7 = 52". 



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350 4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

Da die australische Küste meist sehr flach ist^ entspricht der 
Tabellenwert von 47" den thatsächlichen Verhältnissen genügend. 
Doch kommt im Südosten auch eine sehr steile Böschung vor. 

Setzen wir mit Rücksicht hierauf cot v = 40 und behalten den 
Wert von d wie oben bei, so wird in diesem Falle für die Küste 

^, = 1780*« y = 16,020 

^ "" o' ~" 186 ' 

q = 0,15007, Ä- = 2,659, E =-- 1,091 und E — {i — x') J^ = 0,868, 

hi = 326»» , ^ = 65" , B:Qi= 1,0072 . 

Die strengere Rechnung nach Formel (10) S. 339 giebt hier 71". 

Für vertikalen Abfall folgt mit Beibehaltung von a' nach S. 324 
(7*) als Lotstörung an der Küste 144", also rund 

2V2 Minute. 

Um eine Übersicht der 7i zu gewinnen, wurde nachstehende 
Tabelle aufgestellt, S. 351, zu deren Berechnung teils obige Zusammen- 
stellung teils die Formeln (3) und (4) S.336 dienten, welche hier lauten: 

'^^ = * ^~60W--- 83,5 cos y (7) 

mit ^ ö' 

und Äa = 42,7 esc ^ ~ 83,5 cos y . (8) 

Definitiv angenommen wurden die Werte von ha nach Formel 
(7) bis y = 40®, von da ab diejenigen nach Formel (8). 

Der Durchschnittswert der h folgt nach S. 337 (8) gleich 83,5 
oder abgerundet 

84*»; 

die Simpsomche Regel giebt dasselbe, Formel (8*) S. 338 85*». Ziehen 
wir ersteren Wert von den Ä ab, so erhalten wir die Höhen h' in 
Bezug auf das normale Niveau. Diese Höhen h' zeigt die weiterhin 
folgende Übersicht 

Der kleinste Wert ä« folgt nach S. 337 (6) gleich 44»», überein- 
stimmend mit nebenstehender Tabelle; nach Berücksichtigung der 84"* 
ergiebt sich hieraus die gröfste Senkung der Niveaufläche der // unter 
das normale Niveau gleich 

40''*. 

Die mittlere Erhebung innerhalb des Kontinents Australien wird 
nach Formel (7) S. 337 gleich 425"*, nach Abzug von 84*" für die 
Niveaufläche der fi gleich 

341"'. 



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§ 34. StOnmgen darch Afrika, Nord- and Süd-Amerika. 



351 



h nach 



(4)bezw.(7)| (8) 






0" 


501"' 


, 


lllO*« 


10 


445 




2220 


20 


195 


, 


3330 


30 


97 


93 


4440 


40 


60 


60 


5560 


50 


45 


47' 


6670 


60 


40 


44 


7780 


70 


, 


46 


8890 


80 


, 


52 


10000 


90 


56 


60 


11110 


100 




70 


12220 


110 


• 


81 


13330 


120 




91 


14440 


130 


. 


101 


15560 


140 


. 


110 


16670 


150 




116 


17780 


160 


, 


122 


18890 


170 




125 


20000 


180 


, 


126 



§ 34. Storufigen durch Afrika, Nord- und Sfid- Amerika; 
Übersicht der Höhenstörungen. Für diese drei Kontinente wurden 
nur die Höhenstörungen nach folgenden, aus § 29 S. 336 hervorgehen- 
den Formeln berechnet, wobei gesetzt wurde mit Rücksicht auf die 
Werte der Radien a nach S. 313 und mit cot v = 1(X) für 

Afrika: 0=3260000'», 

Nord-Amerika: =2940000 , 



Süd Amerika: 



2560000 



Die Formeln geben sofort die Erhebung h' gegen das normale 
Niveau, indem der nach S. 337 (8) berechnete Mittelwert der h den- 
selben subtraktiv beigefügt wurde. Sie lauten für 

Afrika : h/ = 652 ^ — 245 cos y — 256 



5000 
'= 131 C8C|- 



bis 



:50o 



von y = 60® an, 



Nord-Amerika: h{ = 588 ^ — 202 cos y — 208 



ÖOÜO 



bis 



= 50« 



ha' = 106,5 CSC -^ 



von y = 60« an, 



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362 


4. Kapitel. Der Einflure gegebener Masaen. 


SOd-Ämerika: 


Ä/ = 512 E — lööcosy— 159 




V-»*-L"*'? ,. „ bi.,-*:. 




ha = 81 CSC ^ „ „ von y -= 50<> an. 



In h/ bezieht sich E immer auf x ^ b : a\ in ha auf x ^=^ a :b. Der 
Mittelwert der A, welcher bezw. zu 256, 208 und 159 berechnet ist, 
folgt aus S. 338 (8*) bezw. zu 262, 213 und 162. 

Die tiefste Senkung der Niveaufläche der ä' unter das normale 
Niveau wird nach S. 337 (6) gleich 

116"« für Afrika 
96 „ Nord- Amerika 
75 „ Süd-Amerika. 

Alles übrige zeigt die nebenstehende Tabelle. 

Zu derselben ist nur noch bezüglich der letzten, mit Eontrolle 
bezeichneten Zeile zu bemerken, dafs die darin enthaltenen Zahlen 
aus der Berechnung von 



n 



sin 2y dy 



nach der Simpsonschen Regel hervorgegangen sind. Diese Zahlen 
geben den Abstand des Volumenschwerpunktes des von der gestörten 
Niveaufläche eingeschlossenen Raumes vom gestörten Massenschwer- 
punkt. Denn das statische Moment dieses Raumes in Bezug auf eine 
durch letzteren Punkt normal zu dem, nach dem Mittelpunkt des be- 
treffenden Kontinents gezogenen Radius gelegte Ebene ist gleich 



2nR^ I h' siuy cosy dy y 



das statische Moment des im Volumenschwerpunkt vereinigten Vo- 
lumens aber sehr nahe 

wenn x den Schwerpunktsabstand bezeichnet. Die Gleichsetzung 
beider Ausdrücke führt zu obigem Resultat. 

Nach 8. 258 mufs dieser Abstand null sein oder dürfte nur ein 
paar Meter betragen, da im vorliegenden Falle die dort erörterte Be- 
dingung für das Zusammenfallen beider Schwerpunkte noch besser 
wie bei der Erde erfüllt ist. Die berechneten Werte der letzten 
Horizontal reihe der Tabelle rühren daher wesentlich von den Fehlern 
in den Ausdrücken für h' her, auf die schon früher — für Europa- 
Asien S. 348 — aufmerksam gemacht wurde. 



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§ 84. StörODgen durch Afrika, Nord- und Süd-Atnerika. 



353 



Höhenstörungen h' der Niveauflächen gegen das normale Niveau durch 

die Kontinentalmassen, 





Europa- 


Afrika. 


Nord- 


sad- 


Austra- 


7 


Asien. 


Amerika. 


Amerika. 


lien. 


0» 


+ 504» 


+ 523« 


+ 514» 


+ 490» 


+ 417» 


10 


+ 488 


+ 496 


+ 483 


+ 453 


+ 361 


20 


+ 436 


+ 405 


+ 375 


+ 315 


+ 111 


30 


+ 338 


+ 150 


+ 87 


+ 46 


+ 13 


40 


+ 84 


- 35 


- 37 


- 34 


- 24 


50 


-120 


— 99 


- 83 


- 67 


- 37 


60 


— 180 


-116 


— 96 


— 74 


- 40 


70 


— 188 


-111 


— 91 


— 70 


- 38 


80 


— 162 


- 95 


- 77 


- 60 


- 32 


90 


- 118 


— 70 


- 57 


- 44 


- 24 


100 


— 66 


— 42 


- 34 


— 26 


- 14 


HO 


- 16 


— 14 


— 7 


— 7 


— 3 


120 


+ 28 


+ 18 


+ 16 


+ 12 


+ 7 


130 


1 + 75 


+ 46 


+ 39 


+ 30 


+ 17 


140 


+ 118 


+ 71 


+ 60 


+ 45 


+ 26 


150 


+ 153 


+ 92 


+ 77 


+ 58 


+ 32 


160 


+ 179 


+ 107 


+ 90 


+ 69 


+ 38 


170 


+ 195 


+ 117 


+ 98 


+ 75 


+ 41 


180 


+ 201 


+ 120 


+ 101 


+ 77 


+ 42 


Zentrum 












des Kontinente: 












Ceogr. BniU 


+ 48« 


+ 7,5« 


+ 51» 


- 13« 


— 25« 


Oitl. Lftng« Ton Ferro 


95 

1 


37,5 


280,5 


318 


152 


Badiiua 


38« 


27,5« 


24,5« 


21,5« 


15« 


Mittler* Erhebung 












Innerhalb 


344» 


384"' 


384» 


375» 


341» 


des Kontinent« 












Kontrolle 


— 14™ 


- 10» 


_8» 


_4m 


— 1» 



Nach Bann, Gaea 1876 Bd. 12 S. 79, hat Saigey 1842 in der Schrift 
Petite Physique du Globe für kreisförmige Eontinentalscheiben berechnet 
die HöhenatöruDgen der Niveauflächen im Zentrum und an der Küste, 
sowie für innerhalb im Durchschnitt; jedoch sind die Dicken der Scheiben 
nur den Erhebungen übers Meer proportional angesetzt. 

Bnmn berechnet 1878 in seiner Figur der Erde S. 22 bis 24 die Höhen- 
Störungen, welche ein Kugelzweieck von der ungefähren Gröfse Amerikas, 
das von Pol zu Pol geht, auf dem Äquator erzeugt. Er geht von einer 
homogenen Kugel ohne Wasserschicht aus, läfst die östliche Halbkugel 

Helmert, maihem. n. pbyiikal. Theorieen der höh. Geod&iie. II. 23 



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354 4- Kapitel. Der Einflnls gegebener Massen. 

angeändert und bringt auf der westlichen positive und negative Beläge, ent- 
sprechend dem übers Meer hervorragenden Festland und dem Wasser, an. 
Diese Annahme ist nicht wesentlich von der unsrigen verschieden; es war 
fQr uns nur bequemer^ das Meer nicht durch einen Belag zu ersetzen. Da- 
gegen vermögen wir nicht einzusehen, dafs fQr den Äquator die östliche 
Halbkugel wenig Einflufs habe, da sich thatsächlich hier ein der Wirklich- 
keit entsprechender, positiver und negativer Belag gar nicht balancieren. 
Die Lotstörungen ermittelt Bruna nur beiläufig aus den Höhenstörungen, 
also an den Küsten etwas zu klein. 

§ 35. Zusammenwirkung der Störungen der 5 Kontinente. 

Die StoruDgen h\ welche jeder Kontinent einzeln giebt, setzen sich 
zur gesamten Storungs Wirkung der fünf Kontinente einfach durch al- 
gebraische Addition zusammen. Als Normalniveau tritt dabei eine 
zum Gesamtschwerpunkt konzentrische Kugelfläche vom Radius R auf. 

Denken wir uns nämlich fünf Kontinente auf der ursprünglich 
vorhandenen Kugel angenommen, so setzt sich für irgend einen 
Punkt der Oberfläche der Zuwachs des Potentials offenbar aus den 
Potentialen v zusammen, die nach der früheren Rechnung jeder Kon- 
tinent einzeln giebt. Was aber für die v gilt^ gilt auch für die 
ersten Teile h^ der Störungen h, welche ja gleich v : G sind. 

Aufserdem entsteht nun eine Schwerpunktsverschiebung Ä und 
infolge derselben vermindert sich h um JTcosF, wenn F der Winkel 
ist, welchen die Richtung der ScWerpunktsverschiebung mit der 
Richtung vom Zentrum nach dem betreffenden Oberflächenpunkte P 
einschliefst. Jedem Kontinent einzeln möge eine Schwerpunktsvei^ 
Schiebung x., i «« 1, 2, 3, 4, 5 , mit einem Winkel y,- bezüglich der 
Richtung nach P entsprechen. Dann ist aber in hinreichender An- 
näherung 

Ä cosF = oc^ cosyi -j- x^ cosyj + • • • + ^5 cosy^ , 

wie man sofort erkennt, wenn man sich die Kontinente successive 
zur Kugel hinzugesetzt denkt und den hierbei von den Schwerpunkts- 
verschiebungen x^, X2, ... x^ gebildeten Linienzug betrachtet. Die 
Gleichung zeigt, dafs die Einflüsse der Schwerpunktsverschiebungen, 
also die zweiten Teile der A, bezüglich der einzelnen Kontinente sich 
bei der Gesamtwirkung ebenfalls algebraisch addieren. 

Schliefslich ist es offenbar auch gestattet, von allen A- Werten 
eine Konstante h^ abzuziehen, indem dies der Konstruktion einer 
Parallelfläche entspricht, die (falls nur die Konstante nicht gar zu 
grofs ist) ebenso genau eine gestörte Miveaufläche vorstellt, wie die 
durch die h gegebene. Ob diese Konstante auf einmal oder in fünf 
Teilen angebracht wird, ist für den Effekt gleichgültig; das successive 
Vorgehen führt aber ganz von selbst zu einem solchen Wert der 
Konstanten, dafs bei der Gesamtwirkung der Kontinente die Summe 
der h' für die ganze Oberfläche gleich null wird. 



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§ 36. ZuBammenwirknng der StOnmgen der fünf Kontinente. 355 

Behufs Ausführung der Addition der h' wurden die in Bezug 
auf den Meridian von Ferro östliche und westliche Halbkugel in 
stereographischer Projektion , mit Gradnetz von 10 zu 10^^ benutzt 
Die in der Tabelle 8. 353 aufgeführten Mittelpunkte der Kontinente 
wurden eingezeichnet und um jeden herum Kreise von 10 zu 10® 
Zuwachs in y aufgesucht. Dieses ist sehr leicht, da die Projektionen 
solcher Kreise wieder Kreise sind^ deren Mittelpunkte alle auf einer Ge- 
raden liegen. Die Hilfskreise erhielten für jeden Kontinent eine andere 
Farbe, in welcher nun auch die Hohenzahlen h' angeschrieben wurden. 
(Die endgültige Zeichnung, Tafel I, enthält diese Kreise nicht mehr.) 

um nun Kurven gleicher Summen der h' zu erhalten, wurden 
Profile der entsprechenden Niveaufläche, insbesondere entlang der 
Parallelkreise, abgeleitet. Im letzteren Falle z. B. wurde der Parallel- 
kreis auf Millimeterquadratpapier ausgestreckt und in seinen Schnitt- 
punkten mit den Hilfskreisen eines ersten Kontinents die zugehörigen 
h' aufgetragen, deren Endpunkte aber durch eine Kurve verbunden. 
Auf diese letztere wurden die h' eines zweiten Kontinents aufgetragen 
u. s. f. Die letzten Kurven wurden durch Parallelen zur Abscissen- 
axe in 100*" Äquidistanz geschnitten, die Schnittpunkte aber auf die 
Parallelkreise zurückgetragen. Das Hesultat zeigt Tafel I. 

Die Kurven gleichen ä'- Wertes geben auch ein, wenngleich 
rohes Mittel, um die Lotstörung und die Abweichung des reziproken 

Krümmungsradius q von -g-zu taxieren. Man kann sich dabei u. a. 

des graphischen Verfahrens bedienen, indem man flür irgend ein Pro- 
fil A\Q h' als Ordinaten normal zu einer geradlinigen Abscissenaxe 
aufträgt, die Profilkurve zeichnet und über denselben Abscissen zu- 
nächst eine zweite Kurve konstruiert, deren Ordinaten den trigono- 
metrischen Tangenten der Neigungswinkel der ersten Kurve gegen 
die Abscissenaxe proportional sind. Diese Ordinaten repräsentieren 
in irgend einem Mafsstab die Lotstörungen. Indem man femer auf die- 
selbe Art aus der zweiten Kurve eine dritte Kurve herleitet, erhält 

man Ordinaten proportional l ^j , d. h. proportional den Stö- 
rungen in \ : Q, 

Übrigens lehrt schon der Augenschein, dafs die Zusammenwirkung 
der Kontinente die für die Einzelkontinente gefundenen Zahlen für 
Lotablenkung und Krümmungsstörung im ganzen nicht bedeutend 
ändert, aber eher mildert als verschärft. 

Wir müssen im Anschluß an Tafel I noch darauf hinweisen, dafs 
die bisherigen Annahmen über die Dicke der Kontinentalplatten nicht 
ausreichen, um einen Zustand auf der physischen Erdoberfläche her- 
beizuführen, welcher dem wirklichen ähnelt. Mit den bisherigen An- 
nahmen nämlich würden die Kontinente einfach überschwemmt. 

23* 



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356 4- Kapitel Der Kinflufs gegebener Massen. 

Um dieses einzusehen, beachten wir zunächst, dafs die Niveau- 
fläche der h' von der ursprünglichen Meeresfläche (der Kugelfläche 
vom Radius R konzentrisch zu C, Fig. 56 S. 336) an irgend einer 
Stelle um ä' + -^cosF absteht, wobei h' für dieselbe aus Tafel I zu 
entnehmen ist, während für die Bestimmung von X cosjT auf den 
nächstfolgenden Paragraphen, insbesondere die Angaben (8) verwiesen 
werden mufs. Die Niveaufläche der h' liegt hiernach in Europa- 
Asien und Afrika um 600 bis 700*» über der ursprünglichen Meeres- 
fläche, in Amerika 200 bis 300"», in Australien etwa 50"» über der- 
selben. Die Niveaufläche der h' hat nun zwar gleiches Volumen mit 
der ursprünglichen Meeresfläche; da aber die Niveaufläche der h' an 
den Kontinenten emporsteigt, so schneiden diese aus dem Volumen 
derselben mehr aus, als aus dem der ursprünglichen Niveaufläche. 
Um den Mehrbetrag mufs sich die gestörte Meeresfläche über die 
Niveaufläche der h' erheben. Mit Rücksicht auf das Flächenverhält- 
nis für Meer und Land findet sich ab Hebung des Meeresspiegels 
über die Niveaufläche der K rund 200"». 

Im Durchschnitt für die sämtlichen Kontinente liegt innerhalb 
derselben die gestörte Meeresfläche um 500 -|- 200 = 700"» über der 
ursprünglichen Meeresfläche. Da wir aber als mittlere Höhe der 
Kontinente bezüglich letzterer Fläche 440"» angesetzt haben, so wür- 
den die Kontinente überschwemmt werden. Dies verhindern wir, 
wenn wir letztere Zahl durch 1440"» ersetzen; damit kommen 1000"» 
Dicke vom spezifischen Gewicht 2,8 oder 1560"» von der Dichtigkeit 
1,8 zu den bisher für die Kontinentalplatten angenommenen 4000"» 
von der Dichtigkeit 1,8. Da nun, abgesehen von den Böschungen 
der Kontinente, die Wirkungen der Dicke proportional sind, müssen 
alle bisher erhaltenen Zahlen im Verhältnis 4000 : 5560 , d. h. um 0,4 
ihres Betrages, vergröfsert werden. Insbesondere gehen die 700"» 
Höhenstörung der Meeresfläche innerhalb der Kontinente in rund 
1000"» über, sodafs nunmehr die Kontinente sich über die gestörte 
Meeresfläche gerade 440"» erheben. 

Man kann noch die Frage aufwerfen, ob die Verschiebung der 
Wassermassen nicht auch die Resultate wesentlich ändert. Dazu ist sie 
indessen zu gering; denn die Meeresfläche liegt im gestörten Zustande 
im allgemeinen kaum + 100"» von der ursprünglichen Lage entfernt, 
wie die Berechnung von ä' + -^ cosjT zeigt. Die gröfste Senkung von 
rund 200"» tritt östlich von Neuseeland ein, die gröfste Hebung im 
nördlichen Eismeer, woselbst sie an der asiatischen Küste auf rund 800"» 
anwächst. Im allgemeinen sammelt sich das Wasser an den Küsten und 
die Wirkung ist eine kleine Verstärkung der hier berechneten Störungs- 
beträge, die aber in erster Annäherung vernachlässigt werden kann. 

Die Zahlen der Tafel I sind nach dem Vorhergehenden um 0,4 
ihres Betrages nach den neuen Annahmen über die Kontinental- 



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§ 86. Die SchwereatörungeD. 357 

massen zu vergrofsern. Die grofste Amplitude der H geht damit 
von rund 900 in rund ISOO*^ über. Ohne indessen weiter auf die 
Einzelheiten der von Tafel 1 dargestellten Hohenstörungen K einzu- 
gehen, wenden wir uns vielmehr sogleich zu der Frage, ob es über- 
haupt zulässig ist, die Störungen der Meeresfläche aus den Kontinental- 
massen zu folgern. Um dieses zu entscheiden^ müssen wir die ent- 
sprechenden Störungen der Schwerkraft berechnen und mit den Er- 
fahrungen Tergleichen. (Die Multiplikation mit 0^4 können wir hier- 
bei vorerst weglassen und uns zunächst auf Tafel I beziehen.) 

§ 36. Die Schwerestörungen. Bei der Berechnung der Schwere- 
störungen können wir uns sogleich alle Kontinente auf der Kugel vom 
Radius R mit dem Mittelpunkt C ^ Fig. 56 S. 336; angebracht denken. 
Als Begrenzung aller Massen nehmen wir die durch die H gegebene ge- 
störte NiveauflSche, dergestalt, dafs etwa aufserhalb liegende Massen 
auf dieselbe kondensiert gedacht werden und der Wert g der Schwere- 
beschleunigung für Punkte der Niveaufläche so berechnet wird, als 
läge alle Masse innerhalb. 

Die ursprüngliche Schwerebeschleunigung auf der Kugelfläche 
vom Radius R konzentrisch zu C sei mit G bezeichnet, dann ist sie, 
insoweit die Kugelmasse in betracht kommt, im Abstände K' aufser- 
halb in hinreichender Annäherung gleich 

<'('-^)- w 

Dies gilt auch, wenn ä" negativ ist, weil wir die aufserhalb der ge- 
störten Niveaufläche liegenden Massen auf diese kondensiert denken. 
Zu (1) tritt nun die Anziehung der störenden Massen, welche 
im wesentlichen als auf einer Kugelfläche vom Radius R liegend an- 
zusehen sind. Nach S. 147 § 4 (8) können wir daher den Anteil der 
Schwerebeschleunigung aus diesen Massen hinreichend genau gleich- 
setzen 

-2^+2«*^*, (2) 

wenn v ihr Potential und -&• die Masse für die Flächeneinheit unter- 
halb des betrefi^enden Punktes bezeichnet, v ist aber gleich h^ G^ unter 
Ä, den ersten Teil von ä, d. h. h ohne Schwerpunktsverschiebung, ver- 
standen, sodafs mit Bezug auf die Werte U nach dem vorigen Para- 
graphen 

Ä, =Ä' + Ä„, + ^cosr (3) 

wird, worin Ji der Gesamtwirkung der Kontinente nach Tafel I ent- 
spricht, also gleich ist der Summe der K für die einzelnen Konti- 
nente, worin ferner hm, die Summe der Mittelwerte der h für die ein- 
zelnen Kontinente bezeichnet und X die Gesamtschwerpunktsver- 
scbiebung vorstellt, welche mit dem Radiusvektor nach dem betreffen- 
den Punkte den Winkel T einschliefst. . 



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358 ^' Kapitel. Der EinflafB gegebener Massen. 

Die gestörte Schwerebeschleunigung in einem Punkte der gestör- 
ten Niveaufläche der ä' ist hiermit^ insofern für dieselbe ä" == ä, — hm 
wird, gleich 

ff = ^[^ 5 + -2^" + Tb—b)' W 

In diesen Ausdruck führen wir den Mittelwert der Beschleuni- 
gungen für die ganze Niveaufläche ein. Der Mittelwert von h^ ist 
gleich hfn. Ferner ist der Mittelwert von 3&:Gm} wenn nur ein 
Kontinent vorhanden ist, für die ganze Niveaufläche gleich 

4nBW^ ' 
d. i. für 3eD:@m = 4000« gleich 

1000 j; , 

also nach S. 338 (8*) gleich dem Werte hm für diesen Kontinent. 
Dasselbe findet sich bei Anwesenheit mehrerer Kontinente, wenn hm 
alsdann auf ihre Gesamtwirkung bezogen wird. Hiermit ergiebt sich 
der Mittelwert von (4) gleich 

Gr=G{l +''£-). (5) 

Verbindet man dies mit (4), so wird 

^^^'l^-iH^ + ^^+ueJl- («) 

Hierzu ist h^ direkt durch Summierung der von den einzelnen Kon- 
tinenten erzeugten h^ zu bilden, oder aus Formel (3) abzuleiten. Bei 
Anwendung dieser Formel ist für h' der durch die Tafel I gegebene 
Wert einzuführen und für hm der Wert 

Ä^ c=. 458 + 256 -t- 208 + 159 + 84 = 1165« . (7) 

Der Betrag Ä und die Richtung der Schwerpunktsverscbiebung, 
markiert durch die geographische Breite B und die Länge L, ist noch 
zu ermitteln. Ist x die Schwerpunktsverschiebung infolge des einzel- 
nen Kontinents und zwar in einer durch die geographische Breite b 
und Länge / markierten Richtung, setzen wir ferner 

X cosb cos/ = g 
X cos ^ sin / = 1^ 
X 8\nb =6 1 

wobei 1, 12, 5 offenbar Projektionen von x auf drei zu einander recht- 
winkelige Richtungen sind, so wird 

JC cosB cosL = 27g 
Ä cosB sin Z = £ri 
Ä8mB = Zt . 



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§ 37. Die Schwerestörangen: numerische Werte. 359 

Nach S.'343, 349 und 351 bis 353 hat man folgende Werte von 
Xy b und /: 

Eur.-Asien Afrika Nord-Amer. Süd-Amer. Austr. 

X 420»» 245« 202»» 155« 84« 

i, + 48» + 7,5» + 51 ö - 13« — 25<> 
/ 95« 37,5« 280,5« 318« 152«. 

Hiermit fand sich (unter Anwendung eines Rechenschiebers): 

X cosB cosZ =.235 ^ -« 546« 

^cos^sinZ = 237 B= 52« (8) 

.¥ sin ^ =435 Z = 45« ostl. Ferro. 

r wird man am bequemsten einem Globus entnehmen^ in wel- 
chem der zu B und Z gehörende Punkt eingetragen ist. 

Was d anbetrifft;, welches im letzten Gliede von (6) auftritt, so 
hat man über Kontinenten 

3^ -30-0 =2000«, (9) 



dagegen über dem Meere gleich null, abgesehen von der Küstenzone 
über der Abböschung der Kontinente, wo dieser Quotient von 2000 
bis null variiert. 

Es sei hier noch bemerkt, dafs g -- G als Schwerestörung im 
Siune des dritten Kapitels aufgefafst werden kann. Bereits S. 338 
und 354 wurde darauf hingewiesen, dafs die zum tiesamtschwerpunkt 
S konzentrische Kugelfläche vom Radius R für die Niveaufläche U 
als Normalniveau erscheint, sich also zu ihr verhält, wie im zweiten 
Kapitel eine Niveaufläche zu ihrem Normalsphäroid. Insbesondere kann 
mau im Anschlufs an § 44 S. 259 die Niveaufläche U als die Fläche 
fV = fV^ und die Kugelfläche um S als die Fläche U ^^ W^ auffassen ; 
denn der letzteren entspricht das erste Glied der Entwicklung von W 
nach Kugelfunktionen, nämlich das Glied k^. Masse iR, Zu dieser Fläche 
gehört die normale Schwere (?', genau nach Mafsgabe von (5), wie 
man sich leicht überzeugt, indem man die Anziehung der Gesamt- 
masse in der Entfernung R ermittelt. 

§ 37. Fortsetzung: Numerische Werte. 

Wenden wir die Formeln des vorigen Paragraphen zunächst auf 
einen einzelnen Kontinent, insbesondere Europa-Asien an^ so erhalten 
wir nach § 31 S. 343 u. ff. 

Ä,n = 458« a; = 420« 

und hiermit aus den S. 353 gegebenen Werten von h' die A, nach- 
stehender Tabelle: 



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360 



4. Kapitel. Der EUnflufe gegebener Massen. 



y 


Ä, 


Jg .B:G' 


^g.G' 








Milliontel 


0» 


1382-» 


+ 385" 


+ 61 


10 


1359 


+ 419 


+ 66 


20 


1287 


+ 527 


+ 83 


30 


1159 


+ 719 


+ 113 


40 


864 


- 38 


- 6 


50 


607 


-453 


- 71 


60 


487 


-273 


- 43 


70 


413 


— 162 


— 25 


80 


369 


- 96 


- 15 


90 


340 


- 52 


- 8 


100 


319 


- 21 


— 3 


110 


299 


.+ 9 


+ 1 


120 


277 


+ 42 


+ . 7 


130 


264 


+ 62 


+ 10 


140 


254 


+ 77 


+ 12 


150 


248 


+ 86 


+ 14 


160 


244 


+ 92 


+ 14 


170 


240 


+ 98 


+ 15 


180 


239 


+ 99 


+ 16 



Die Werte der vorletzten Kolumne haben die Bedeatung 

— g^Ä 

und sind mit Rücksicht auf (6) des vorigen Paragraphen nach der 
Formel 

(1) 



^^ = _|.. + Ä.+ ^ 



berechnet. Die letzte Kolumne giebt Jg : G' in Millionteln oder sehr 
nahe Mikrons in der Länge des Sekundenpendels. 

um die Werte Jg , R: G' zu erhalten, wurde bei y «= 0®, \Q^, 
20« und 30<> für 30- : 20„, der Wert nach (9) des vorigen Paragraphen 
gesetzt. Dagegen ergab sich für y = 40® dieser Quotient zu 8(X) mit 
Rücksicht darauf, da(s von 4200*^ Zentrumsabstand bis zu 4600**" 
dieser Quotient von 2000 stetig auf null sinkt und dafs zu y = 40® 
ein Zentrumsabstand von 4440**» gehört. 

Die Werte wurden einer Kontrolle durch Einführung in die 
Formel (2) S. 255 unterworfen. Versteht man darin unter ^ und 
Jg : G bezw. y und {g — G*) : G\ so mufs der Wert von N das U 
im Zentrum des Kontinents werden. Um die Integration zu be- 
werkstelligen, konnte wegen der zwischen 30 und 40® stattfindenden 
raschen Änderung von ^g nicht ohne weiteres nach Simpsons Regel 



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§ 37. Die SchwerestÖraDgen : nnmerische Werte. 



361 



vorgegangen werden, es wurden vielmehr die drei Teile von -^R, 

aus welchen sich dasselbe nach Mafsgabe von (1) zusammensetzt, 
einzeln behandelt. Zunächst wurden also die Produkte ^, . F von 10 
zu 10® gebildet und nach Simpsons Regel integriert Der hieraus 
folgende Anteil von N ist 

3767 
6,730 

DerEinflufs des konstanten ^^ verschwindet bei der Integration. 
Das Glied Z^:2&rn betragt, wenn man anstatt der abgeboschten 
Küste eine steilabfallende setzt, (die eigentliche Voraussetzung der 
Rechnung) von bis 4400**« Zentrumsabstand konstant 2000"». Mit 
Rücksicht darauf, dafs 1® in y gleich 111*"» ist, wurde F von 1100 
zu 1100 ^'^ berechnet und sodann die Integration der F nach Simpsons 
Regel bewirkt. Hiermit folgt als weiterer Anteil in N 

. 6380 



6,730 



Mit dem vorigen vereinigt erhält man im Zentrum für .Y, d. i. h% 
anstatt 504*" nur 

458"». 

Die Differenz beruht wesentlich darauf, dafs gerade von 50® bis 
80® in den h' und also auch in den h^ starke negative Fehler stecken, 
auf die schon früher hingewiesen worden ist. Bei der entsprechenden 
Rechnung für den Punkt, welcher dem Zentrum des Kontinents Eu- 
ropa-Asien diametral gegenüber liegt, haben diese Fehler weniger 
Einflufs; in der That fand sich hier anstatt 201"» der nicht sehr 
abweichende Wert 215"». 

Ebenso zeigte sich bei Afrika und Australien, wofür die Rech- 
nung auch ausgeführt wurde, eine bessere Übereinstimmung, da hier 
die Fehler kleiner sind. Für diese Kontinente fand sich zunächst: 



Afrika 



Australien 



y t,- 

_i 

0« 
10 
20 
30 
40 
50 
60 



jg .B:G' 



1024'" 
993 
891 
618 
408 
314 
262 



+ 720« 
+ 796 
+ 919 

— 21 
-356 

— 215 

— 137 



^g:G\ 


Ä. 


UUUontal 




+ 113 


584"' 


+ 124 


528 


+ 144 


273 


- 3 


170 


- 56 


124 


- 34 


101 


- 22 


85 



dg.R:G\^g:G' 



MllUont«! 

+ 1208"' j + 190 
+ 1296 + 203 



326 

171 

102 

68 

44 



61 

27 
16 
11 

7 



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362 



4. Kapitel. Der Einflnlb gegebener Massen. 



y 


Afrika 




AuBtralien 




Ä. 


Jg.BiG' 


^9 


:&■ 


Ä. 


^9- 


E:G' 


^g-.G' 






MilUontek 








MUHontel 


70» 


229-" 


— 88" 





14 


74m 


— 


27'» 


— 4 


80 


204 


- 50 


— 


8 


66 


— 


15 


— 2 


90 


186 


- 23 


— 


4 


60 


— 


6 


- 1 


100 


171 


— 1 







56 










HO 


160 


+ 16 


+ 


2 


52 


+ 


6 


+ . 1 


120 


151 


+ 29 


+ 


5 


49 


+ 


10 


+ 2 


130 


145 


+ 38 


+ 


6 


47 


+ 


13 


+ 2 


140 


140 


+ 46 


+ 


7 


45 


+ 


16 


+ 3 


150 


136 


+ 52 


+ 


8 


44 


+ 


18 


+ 3 


160 


133 


+ 56 


+ 


9 


44 


+ 


18 


+ 3 


170 


132 


+ 58 ■ 


+ 


9 


43 


+ 


19 


+ 3 


180 


131 


+ 59 


+ 


9 


43 


+ 


19 


+ 3 



h' im Zentrum folgt hieraus anstatt gleich 523"» und bezw. 417"* zu 
5172 und 410"». 

Die Tabellen zeigen, dals ^g auf den Kontinenten starke positive 
Werte, auf dem Meer in der Nähe der Küste starke negative Werte 
hat. Auf der Erdoberfläche hat man aber nach dem dritten Kapitel 
gerade das Gegenteil beobachtet, vergl. S. 226. Zwischen den aus 
Beobachtungen abgeleiteten dgi und denen obiger Untersuchung besteht 
allerdings in der Regel noch der Unterschied , dafs bei ersteren g nur in 
ge wohnlicher Weise reduziert wird, also auf den Kontinenten von der An- 
ziehung der Massen über dem Meere befreit, auf dem Meere dagegen 
von der Anziehung der Inselmassen nicht befreit ist, während in obiger 
Untersuchung g offenbar fürs Festland gerade so verstanden ist, wie es 
sich mittelst der von uns eingeführten Reduktion durch Kondensation 
gewisser Massen ergiebt, und die auf den oceanischen Inseln beob- 
achtete Schwerkraft um die Anziehung der Inselpfeiler vermindert 
werden mnfs, damit sie der Schwerkraft auf dem Meere selbst entspricht. 

Prüfen wir nun, ehe wir dies weiter untersuchen, das Verhalten 
der Schwerestorung bei der Zusammenwirkung der Kontinente. 

Wir setzen hier ä, = ä' -}- 1165 + 546 cosjT und entnehmen ä' 
den Planigloben der Tafel I sowie Feinem Globus, auf welchem der Punkt 
mit der geographischen Breite 52® und Länge 45^ östl. Ferro einge- 
tragen ist. Als Beispiel diene der Meridian in + 90® ostlicher Länge 
von Ferro. Für denselben ergaben sich folgende Zahlen, wobei gesetzt ist: 



G' 



B = 



3 , _i_ iiß;^ _i_ /2000»» auf Kontinenten^ 
— y /i, -t- UDO -t- [ Q^ ^^f ^gj^ jjg^^^ I 



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§ 37. Die SchwerestOruDgen: nnmerische Werte. 



363 



üeogr. 
















Breite 


h' 


r 


Ä, dg.R-.G' 


dg-.G' 


Bemerkungen 














MUUonUl 




+ 90» 


— HO" 


38« 


1485»' 





1063'" 


-167 


Eismeer 


+ 80 


+ 100 


32 


1727 


+ 


574 


+ 90 


Asien 


+ 70 


+ 210 


28 


1856 


+ 


381 


+ 60 


» 


+ 60 


+ 260 


26 


1915 


+ 


292 


+ 46 


>t 


+ 50 


+ 310 


28 


1956 


+ 


231 


+ 36 


)> 


+ 40 


+ 330 


33 


1952 


+ 


237 


+ 37 


i> 


+ 30 


+ 310 


40 


1893 


+ 


325 


+ 51 


» 


+ 20 


+ 230 


47 


1767 


+ 


514 


+ 81 


»» 


+ 10 


+ 80 


55 


1557 




1170 —184 


Nahe d. Küste*) 





-150 


64 


1253 





715 —112 


Indischer 


— 10 


— 220 


72 


1113 





505 


- 79 


Ocean 


— 20 


— 240 


81 


1010 





350 


— 55 


V 


— 30 


— 240 


91 


915 





208 


- 33 


>; 


-40 


— 220 


100 


851 





112 


- 18 


)j 


-50 


— 150 


109 


838 





92 


— 14 


>i 


— 60 


— 90 


118 


820 





65 


- 10 


Südliches 


-70 


- 60 


126 


785 





13 


- 2 


Eismeer 


-80 


— 10 


134 


777 










;; 


-90 


+ 20 


142 


755 


+ 


28 


+ 4 


M 


— 80 


+ 30 


148 


732 


+ 


72 


+ 11 


»» 


-70 


+ 40 


152 


725 


+ 


77 


+ 12 


» 


-60 


+ 50 


154 


726 


+ 


76 


+ 12 


>i 


-50 


+ 60 


153 


740 


+ 


55 


+ 9 


Stiller 


— 40 


+ 50 


147 


758 


+ 


28 


+ 4 


Ocean 


-30 


+ 30 


140 


778 




2 





>> 


-20 


+ 20 


133 


813 





55 


- 9 


»» 


— 10 


+ 10 


126 


855 





118 


- 18 


>; 





- 50 


117 


868 





137 


— 21 


i> 


+ 10 


-120 


108 


877 





151 


- 24 


}f 


+ 20 


- 20 


99 


1060 





425 


- 67 


1) 


+ 30 


+ 180 


90 


1345 


+ 


1147 


+ 180 


Nord-Amerika 


+ 40 


+ 270 


81 


1520 


+ 


875 


+ 137 


;> 


+ 50 


+ 260 


71 


1602 


+ 


762 


+ 120 


V 


+ 60 


+ 220 


62 


1641 


+ 


703 


+ 110 


>> 


+ 70 


+ 100 


53 


1592 


+ 


777 


+ 122 


V 


+ 80 


- 100 


46 


1443 


— 


1000 


— 157 


Nördl. Eismeer 



•) Wegen der Nähe der Küste ist hier Jg unsicher; der richtige Wert 
ist kleiner. 



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364 4- Kapitel. Der Einflurs gegebener Massen. 

Die Zahlen für Jg zeigen wiederum; dafs auf den Kontinenten die 
Schwerestörung positiv und auf dem Meere nahe den Kontinenten ne- 
gativ ist, entfernt von denselben zwar positiv, aber geringwertig. Die 
Erhebung h' und die Schwerestörung haben im allgemeinen dasselbe 
Zeichen. 

§ 38. Diskussion der Resultate. Die störenden Massen der 
Erde. In den letzten beiden Paragraphen haben wir gefunden, dafs 
die Schwerestörungen auf den Kontinenten positiv sind, während sie 
auf dem Meere negativ sind oder doch nur kleine positive Werte 
haben. Jedenfalls führt unsere Untersuchung für die Sekundenpendel- 
längen F auf dem Festland und M auf dem Meer zu dem Resultate 

F> M . 

An diesem Resultat ändert sich auch nichts, wenn nach Mafs- 
gäbe des letzten Teiles von § 35 S. 356 alle Werte k der Tafel I 
um 0,4 ihres Betrages vergröfsert werden; es führt dies lediglich zu 
einer Vergröfserung der Schwerestörungen um ebenfalls 0,4 ihres 
Betrages. 

Auch der Umstand, daft die Schwerestörungen für die Niveaufläche 
der^' berechnet sind, anstatt für die wirkliche Meeresfläche, ändert nichts, 
da diese letztere mit dem ihr zukommenden Normalsphäroid bei dem 
bisher festgehaltenen Genauigkeitsgrade dieselben Höhendifferenzen h' 
besitzt, wie die Niveaufläche der ti imd ihr Normalsphäroid. 

Das Resultat F > M steht aber in Widerspruch mit der Erfah- 
rung. Nach dem dritten Kapitel § 31 S. 227 ist ^ =« / — 230 Mi- 
krons, wenn / die Länge des Sekundenpendels auf den Inseln aus- 
schliefslich der Kondensationsreduktion für die Inselpfeiler bedeutet. 
Es ist also F <i l. Um dieses mit der Ungleichung F > M m 
Übereinstimmung zu bringen, müfste man annehmen, dafs die Länge 
des Sekundenpendels auf dem Meere um etwa vierhundert Mikrons 
kleiner sei als auf den Inseln. Dieses ist aber nicht annehmbar, 
denn sowohl nach dem, mittleren Verhältnissen angepassten Beispiel 
am Schlüsse des § 17 S. 312, wie nach den (S. 227 erwähnten) Be- 
rechnungen von Faye führt die Anziehung der Inselpfeiler nur zu 
einem Betrage von etwa 250 Mikrons für die Differenz I — M. Zur 
Erklärung einer gröfseren Differenz I — M müfste man daher voraus- 
setzen, dafs unterhalb der Inselpfeiler die Erdkruste ungewöhnlich 
dicht s^i. 

Solange nun M nicht durch Beobachtungen der Schwerkraft auf 
dem offenen Meere mit F direkt vergleichbar ist, erscheint es das 
natürlichste, von der zu gründe liegenden Voraussetzung, dafs die 
Kontinentalmassen Störuugsmassen vorstellen, ganz abzusehen, an- 
statt dessen aber anzunehmen, dafs die Wirkung der Kontinental' 



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§ 38. DiskoBsion der ReBultate. Die störenden Massen der Erde. 365 

massen mehr oder weniger kompensier i wird durch eine Verminderung 
der Dichtigkeit der Erdkruste unterhalb der Koniinentalmassen , derge- 
stalt, dafs von einer gewissen Tiefe unterhalb des Meeresniveaus an 
bis zur physischen Erdoberfläche vertikale Prismen von gleichem 
Querschnitt annähernd gleiche Massen enthalten^ wo man die Prismen 
auch annehmen möge. 

Entsprechend dieser Voraussetzung mufs die Erdkruste unterhalb 
des Meeresbodens etwas dichter sein, als unterhalb der Kontinental- 
massen. Nehmen wir aU; dafs der Dichtigkeitsunterschied bis zur 
Tiefe von 5 Min. reicht, so genügt zur Kompensation der Kontinental- 
massen ein Betrag desselben gleich 0^2. Die Kontinente erscheinen 
hiermit als Schollen der Erdkruste, welche etwas geringere Dichtig- 
keit habeU; als letztere im allgemeinen. Ohne auf die physikalische 
Erklärung eines solchen Zustandes einzugehen^ erinnern wir an die 
bereits im dritten Kapitel § 31 S. 228 besprochene Thatsache^ dafs in 
der Regel Gebirge durch unterirdische Massendefekte mehr oder 
weniger kompensiert sind, eine Thatsache^ welche zu gunsten der 
oben eingeführten Voraussetzung über die Kompensation der Kon- 
tinentalmassen spricht. 

Diese Voraussetzung ist auch die einfachste zur Erklärung der 
durchschnittlichen Gleichheit der Längen F und K des Sekunden- 
pendels für das Innere des Festlands und die Küsten, vergl. 8. 227. 

Mit ihr steht auch nicht in Widerspruch, dafs nach dem eben an- 
gegebenen Orte F < I ist. Denn wenn auch die Dichtigkeit der Erd- 
kruste unterhalb der Kontinente geringer ist als unter dem Meere, 
so wird man wegen der geringen Ausdehnung der in betracht kom- 
menden kleinen Inseln doch nicht voraussetzen müssen, dafs sich die 
Dichtigkeit unterhalb der Inseln wie diejenige unterhalb der Konti- 
nente verhält. Stimmt sie aber wesentlich mit derjenigen unter dem 
Meere überein, so erklärt sich der Überschufs von / über F durch 
die Anziehung der Inselmasse, wie oben bereits angedeutet wurde. 

In welchem Grade die störende Wirkung der Kontinentalmassen 
durch die darunter befindlichen Massendefekte kompensiert wird, läfst 
sich zur Zeit genau nicht sagen. Jedenfalls aber darf man mit ziem- 
licher Sicherheit nach dem Vorhergekenden annehmen, dafs das Geoid 
vom Normalsphdroid weit weniger abweicht^ als Tafel I angiebt. Wenn 
eine Überkompensation stattfände, so würden sich die Vorzeichen der 
Uöhenabweichungen sogar umkehren. Mit Rücksicht auf das oben 
Gesagte ist jedoch vor der band kein Grund vorhanden, eine wesent- 
liche Abweichung von der genauen Kompensation zu vermuten. 

Die Kompensation ist selbstverständlich nur als eine im grofsen 
und ganzen stattfindende zu verstehen. Namentlich werden an den 
Küsten beträchtliche Stönmgen der Lotrichtungen und des Krümmungs- 
radius eintreten. Während aber nach den der Tafel I zu gründe lie- 



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366 



4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 



gendeu Voraussetzungen die Gradmessungen die Gröfse der Erde 
immer zu klein geben würden , wird in einigem Abstand von der 
Küste nunmehr die Störung des Krümmungsradius gering anzunehmen 
sein, wodurch der Wert der Gradmessungen zur Bestimmung der Gestalt 
und Gröfse der Erde im allgemeinen erheblich wächst. 

Die einzige Beobachtungsreihe für die Schwerkraft auf dem Ocean selbst, 
welche bis jetzt bekannt wurde, ist diejenige, welche Wül, Siemens 1875 
am Bathometer auf dem Schiffe Faraday anstellen liefs (vergL auch S. 256). 
Der Mitteilung in den Phü, Transact. von 1876 Bd. 166 II entnehmen wir 
auszugsweise von S. 684 und 685 folgende Zahlen*): 





Geograph. Position 


ßathom.- 
Ablesung 


TipfA in 


Tag 


Nördliche 
Breite 

Victoria 


Westliche 
Länge V. Gr. 


Faden 


Okt. 15 


k Docks 


~ 


2 


„ 25 


61» 25' 


260 25' 


2180 


1900 


„ 26 


51 7 


31 14 


2680 


2000 


„ 27 


— 


~ 


2870 


2100 


Okt. 29 


47 50 


47 


201 


197 


,. 29 


47 34 


48 23 


100 


100 


,. 31 


45 5 


54 28 


218 


204 


„ 31 


45 10 


54 14 


55 


54 


Nov. 1 


45 10 


54 18 


50 


58 


„ 3 


45 6 


54 26 


111 


100 


„ 4 


45 11 


54 20 


70 


64 


.. 7 


46 45 


47 17 


388 


353 


» 7 


46 35 


46 57 


799 


698 


» 7 


46 26 


46 20 


608 


503 


» 8 


46 23 


41 11 


2789 


2516 


„ 10 


48 12 


33 12 


2388 


2320 


„ 11 


48 49 


28 55 


1907 


1861 


,. 11 


48 56 


28 3 


1615 


1700 


„ 24 


Victoria 


i Docks 


5 


2 



An den Bathometerablesungen des zweiten Teiles der Tabelle sind 
Korrektionen fQr Temperatur und Luftdruck angebracht; im ersten Teil 
scheinen sie zu fehlen, doch sind sie nicht erheblich und betragen keines- 
falls 20^ . Die Tiefen des ersten Teiles waren zur Zeit der Beobacht- 
ungen bereits aus früheren Lotungen bekannt, diejenigen des zweiten 
Teiles aber noch nicht; sie wurden erst gleichzeitig mit den betreffenden 
Bathometerablesungen ermittelt und zwar dergestalt, dafs letztere immer 
bei Bekanntwerden des Lotnngsergebnisses bereits ausgeführt waren. 



*) Eine deutsche Ausgabe ist unter Mitwirkung des Verfassers 1878 bei 
Jul Springer in BerUn erschienen in der Schrift: „Die Eisen- w%d StM-In- 
dustrie in England, Der Bathometer.'* Vortröge von Dr. ö. Will. Siemens. — 
Auf dem Schiffe befanden sich zwei Bathometer, ein grohea und ein kleines. 
„Beide lostrumente wurden sorgföltig beobachtet." Die Tabelle giebt die Re- 
sultate „dieser Beobachtungen". Hierbei ist aber auffallend, da beide Instru- 
mente sicherlich etwas verschiedene Skalen gehabt haben, dafs sonach Mittel- 
werte aus nicht unmittelbar vergleichbaren Ablesungen gebildet sein mfifstenl 



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§ 38. Diskussion der Resultate. Die stOrenden Massen der Erde. 367 

Wegen der Veränderung der Schwerkraft mit der Breite ist keine Kor- 
rektion angebracht: Die Bathometerablesungen folgen bereits ohne eine 
solche cien Tiefen in Faden unabhängig von der Breite so regelmäfsig, 
dafs das Bedürfnis nach einer solchen Korrektion gar nicht entsteht. Auch 
einige Messungen auf dem englischen Festlande zeigten nur einien sehr 
geringen Einflufs der Breite. 

Wenn man nun aber bedenkt, dafs in den geographischen Breiten, 
auf welche sich die Beobachtungen erstrecken, eine Breitendifferenz von 
3<^ die Schwerkraft ebenso sehr beeinflufst, wie ein 2000 Faden »a 3658"* 
starker, unterhalb des Beobachtungsortes allseitig plattenförmig ausge- 
dehnter Massendefekt von der Dichtigkeit 1,8, so murs man es geradezu 
rätselhaft finden, dafs die Yorstehende Beobachtungsreihe keinen Einflufs 
der Breite verrät — um so mehr^ als starke Änderungen der Breite nicht 
nur ein Mal, sondern mehrere Male stattfinden. Die Beobachtungsreihe 
ist hiemach jedenfalls an irgendwelche abnorme und seltsame Umstände ge- 
knüpft, und es wäre gewagt, aus ihr irgend einen Schlufs auf das Verhalten 
der Schwerkraft auf dem Meere im Vergleiche zum Festlande zu ziehen. 

Zu der Anschauung, dafs die sichtbaren Massenanhäufnngen der Erd- 
kruste durch unsichtbare kompensiert seien, gelangte schon Pratt auf 
grund seiner Diskussion der Lotablenkungen und Schwerebeobachtungen 
in Ostindien und dem Himalaja (vergl. auch Clarke, Geodesy p. 98). 
Er denkt sich, dafs die erkaltende Erdrinde sich in vertikaler Richtung 
ungleich zusammenzog und an den Stellen Hervorragungen entstanden, 
wo die geringere Zusammenziehung stattfand. 

Seine Untersuchungen finden sich aufser an dem S. 114 angegebenen 
Orte in den Phüosophical Transactiona 1855, 59 und 71. Besonders ist 
die letzte Abhandlung zu vergleichen: On the Constitution of the Solid 
Crust of the Earth^ p. 335-357. Erst hier gelangt Pratt au der Hand der 
Schwerebeobachtungen zu sicheren Ergebnissen (p. 335 bespricht er auch 
ältere Anschauungen). Wenn Pratt allerdings annimmt (1859 vol. 149 
p. 747), dafs \n jeder Vertikalen der Erdrinde sozusagen die Masse kon- 
stant ist, abgesehen von lokalen Störungen, so dürfte dies vielleicht etwas 
zu weit gegangen sein. Für Ostindien und den Himalaja gelangt er aber 
mit dieser Annahme zu recht befriedigenden Ergebnissen (p. 355—356). 
Die Tiefe, bis zu welcher die Ausgleichung der Massen erfolgt, wird etwa 
200 miles, d. i. ca. 300*™ oder 40 Min. 

Nach G. H, Darwin, American Joum. 1882 Bd. 24, hat Stokes ebenfalls 
die Ansicht, dafs unterhalb jedes Kontinents ein Massendefekt sei. 

Auch Faye ist zu dieser Ansicht gelangt, vergl. seine Abhandlungen in 
den Comptes rendus 1880 Bd. 90 S. 1185 und S. 1444. Er macht darauf 
aufmerksam, dafs in 4000 m Tiefe unter den Kontinenten eine sehr hohe 
Temperatur bestehe, am Meeresboden in dieser Tiefe aber nur eine nied- 
rige Temperatur vorhanden sei. Dies allein beding^ schon einen Dichtig- 
keitsunterschied. Aufserdem nimmt er an, dafs unterhalb des Meeres die 
Abkühlung des ErdkOrpers viel rascher erfolgte, als an den Kontinenten. 

Wir haben hier auch der Untersuchungen von Ph, Fischer in seinem 
Werke: Untersuchungen über die Gestalt der Erde, Darmstadt 1868, zu 
gedenken. 

Ph, Fischer betrachtet zunächst die Störungen der Lotrichtung und 
der Schwerkraft in einem bestimmten Punkte; er findet jene sehr grofs, 
diese klein, im Gegensatz zu den Erfahrungen bei der Ausgleichung der 
Gradmessungen und Pendelbeobachtungen. Bei den Gradmessungen findet 
er den Widerspruch erklärt durch die Eigenschaft der Rechnungsmethode, 



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368 4* Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

bei welcher sich die absoluten Lotstörungen verstecken können (vergL hier- 
zu Bd. 1 S. 609 § 11). Bei den Pendelbeobachtungen findet er die Erklä- 
rung des Widerspruchs darin, dafs durch die Anziehung der Kontinente 
die Meeresfläche sich über das ungestörte Niveau hebt und dafs dieser 
Erhebung eine Abnahme der Schwerkraft im Meeresnivean entspricht, 
dafs man es also nicht mehr mit Störungen der Schwerkraft für einen be- 
stimmten Punkt zu thun hat, sondern zugleich noch mit Störungen wegen 
Verschiebung des Niveaus. Diese Erhebung der Meeresfl&che nahebei 
und unterhalb der Kontinente bezw. die Senkung der Meeresfläche ent- 
lang des Oceans entsprechen nach seiner Meinung der beobachteten That- 
sache, dafs die Schwerkraft auf den Kontinenten gegen die bekannte Inter- 
polationsformel zu kleine, auf den oceanischen Inseln zu grofse Werte giebt. 

Hier ist nun Ph. Fischer offenbar in seinen Untersuchungen nicht weit 
genug gegangen. Ganz abgesehen davon, dafs die Vergleichung der 
Beobachtungen mit der Interpolationsformel nur Sinn hat, wenn man als 
normales Niveau sphäroid ein solches nimmt, welches konzentrisch zum ge- 
störten Erdschwerpunkt ist, hat er nicht eingehend genug die gestörte 
SchwerkiUft im gestörten Meeresniveau untersucht, sonst müfste er be- 
merkt haben, dafs ein Widerspruch mit der Erfahrung besteht. 

Durch die wenig kritische Auflassung der Resultate Ph. Fischers durch 
andere Gelehrte ist die Ansicht von der allgemeinen Depression des 
Meeres weit verbreitet worden (-4. Fischer, Astronom. Nachr, 1876 Bd. 88 
Nr. 2094, 2096 und 2104 teilt sie indessen nicht; doch sind seine Ansichten 
nicht hinreichend motiviert und, wie uns scheint, z. T. unzutreffend). 

Man hält sich von dieser allgemeinen Depression um so mehr über- 
zeugt, als die im dritten Kapitel § 45 S. 262 erwähnten Näherungsformeln 
die Existenz derselben mit Rücksicht auf die Anomalieeu der Schwerkraft 
anscheinend bestätigten. Die Wertlosigkeit dieser Formeln zeigt aber 
beispielsweise die Tabelle von S. 363 sehr drastisch: hier entsprechen h' 
und G' den Symbolen N und y in (1) S. 262; aber es stimmen nicht ein- 

mal die Vorzeichen von h' und ^y,— Jg überein. 

o Cr 

§ 39. Berechnung des Einflusses der lokalen Massenord- 
nung auf die Lotrichtung. Wir sehen von der Krümmung der 
Niveaufläcben ab und betrachten demgemäls die Niveaufläche des 
Punktes P% für welchen die Anziehung berechnet werden soll, als 
Ebene. In derselben denken wir uns konzentrisch zu P' ein System 
von Kreisen augeiiommen, welche durch ein System von radialen 
Strahlen in krummlinige Vierecke zerlegt werden^ innerhalb welcher 
die Erhebung ^ des Terrains über die Niveaufläche Ton P' als kon- 
stant betrachtet werden kann. Vergl. § 18 im 3. Kap. S. 169 u. flf. 

Setzen wir nun konstante Dichtigkeit 0^ in der ganzen in be- 
tracht zu ziehenden Umgebung von P' voraus, so würde von Lokal- 
anziehung keine Rede sein, wenn das Terrain innerhalb derselben 
eben wäre. Es kommt daher als störend nur die Anziehung derjeni- 
gen Massen zur Geltung, die über einer beliebigen Niveaufläche liegen 
oder unterhalb derselben fehlen. Von dieser Anziehung wird viel- 
fach nur die nordsüdliche, oftmals aber auch die ostwestliche Kompo- 
nente zu berechnen sein. 



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Mrä^ 



§ 39. Einflafs der lokalen MassenanordnuDg auf die Lotrichtung. 369 

Um für ein Viereck zwischen den Kreisen vom Radius ö,- und «*, sowie 
den Strahlen / und m, die unter 9<und ^^ gegen die Nordrichtung ge- 
neigt sind; Fig. 59; diese Anziehungs- 
komponenten zu erhalten; berechnen 
wir zunächst die horizontale Anziehung 
des über dem Flächenelement dq der 
Horizontalebene (Niveaufläche) von P' 
liegenden prismatischen; bis zum Terrain 
in der Höhe h reichenden Massenele- 
mentes. Werden vertikale Erhebungen 
über der Horizontalebene im allge- 
meinen mit z bezeichnet; so ist diese 
horizontale Anziehung gleich 







Ost 



Fig. 59. 



Dieses Integral; welches von z gleich null bis ;? = ä zu erstrecken 
ist, wird gleich 

wenn dq ^= a d(p da gesetzt wird. Denselben Ausdruck findet man 
für die Anziehung einer unterhalb der Horizontalebene fehlenden 
Masse und zwar mit richtigem Zeichen; wenn h wie üblich für eine 
unterhalb des angenommenen Horizontes gelegene Terrainstelle nega- 
tiv genommen wird. 

Es folgt nun als Horizontalanziehung aller im Winkelraum d^ 
des betrachteten Vierecks, also zwischen a^ und a^ liegenden Masse: 



k^&^h 



'^fww 



d. i. k^&Qh dg> lognat 



«*+^V + Ä* 



Multipliziert man dies mit cos 9) und integriert von (p = (pi bis 

q>m y so ergiebt sich die nach Norden gerichtete Horizontalanziehung 

des betreffenden Vierecks; dasselbe mit sin 9 giebt die nach Osten 

gerichtete Komponente. Bei der Integration ist der Faktor von dtp im 

. letzten Ausdruck konstant. Indem wir das Resultat derselben noch mit 

der Schwerebeschleunigung G =^ -- nk'^ S^R dividieren und mit 

p" SS 206265 multiplizieren; erhalten wir die Anteile an der nörd- 
lichen bezw. östlichen Ablenkung des aufgehängten Lotes, welche 
das betreffende Viereck giebt, in Sekunden. 

Ihre Summe für alle Vierecke der Umgebung bezeichnen wir 
mit I und 1/. Es ist dann wie in Bd. 1 S. 516: 

Helm ort, mathem. u. physikal. Theorieen der höh. Geodftsie. IL 24 



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370 4. Kapitel. Der Einflars gegebener Massen. 

i die südliche Abweichung des wirklichen Zeniths vom ungestörten, 
rj die westliche „ „ „ „ „ „ 

und zwar hat man 



in Sek. 



^e^nB ^ 



wobei 



in Sek. 



n = -^^ y. (C089,- C089™) /". (2) 

(3) 




Mit ®o = Y ®"* "* ^^' ^ ^" Metern 

,j^ = 0,00386. 

Bei der über alle Vierecke zu erstreckenden Summierung ist F 
für jedes Viereck zu ermitteln, während die Sinus- bezw. Cosinus- 
Differenz mindestens für eine Anzahl Vierecke konstant sein wird, 
ja meistens sogar durch geeignete Wahl der ^> mit Vorteil ganz 
konstant gemacht werden kann, wenn es sich nur um eine der Ab- 
lenkungskomponenten handelt. 

Der Faktor F läfst sich für die Mehrzahl der Fälle vereinfachen. 
Ist nämlich h klein gegen a^, so kann man setzen 

a + ^Sq:Ä5 = 2a(l+^+...) 

für a = tti und aj^. Damit wird in weiterer, einfacher Entwicklung 

^_»(l.gn^-^-^[^-^]+...) 
und hieraus 

^ = *-2 «, + a, V 2--4V^.-+l2 l^a^ + aj +•••)• 

Für den praktischen Gebrauch setzt man mit Rücksicht hierauf 
meist ausreichend 



iP = Ä lognat -^^ oder h—^ — —— , (4) 



ausnahmsweise aber 



^-^^^^r^l'-^^.r^^!- <P) 



iEventuell ist sogar (3) heranzuziehen. 



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§ 39. Einflufs der lokalen Massenanordnung auf die Lotrichtung. 371 

Die erste Formel (4) empfiehlt sich für Radien, deren Betrage 
in geometrischer Progression wachsen. Es eignet sich diese Art der Zu- 
nahme aber nicht in der nächsten Umgebung, sondern erst in grofseren 
Abstanden. Für die nähere Umgebung empfiehlt sich eine Zunahme 
in arithmetischer Progression und damit die zweite Formel (4). 

In der näheren Umgebung wird man auch am ersten noch Ver- 
anlassung haben, die genauere Formel (5) oder sogar (3) herbeizu- 
ziehen. Den Radius a^ wird man immer so klein wählen können, dafs 
der Einflufs der eingeschlossenen Masse verschwindet. Wie schon 
eingangs erwähnt, kommt es dabei nicht auf den ganzen Betrag von h 
an, sondern auf die Schwankungen. Ist deren Amplitude dh^ so 
kann die Gesamtwirkung der betreffenden Masse auf | z. B. nur ein 
Brachteil der Anziehung der nördlichen oder südlichen Hälfte eines 

Gylinders vom Radius a^ und der Höhe Jh sein, d. i. für 0^ = — @ 



m 



0,0077" Jh lognat ^« +i^^±^^ , 

also für z/Ä = 1*» und a^ =25"* nur ein Bruchteil von 0,03". 

Wenn es sich darum handelt, ungleiche Dichtigkeiten bis zu einer 
Tiefe H' unterhalb P' zu berücksichtigen, so wird man in obiger 
Rechnung für jedes Viereck eine mittlere Dichtigkeit & anstatt 0^ 
einzuführen haben. Die Annahme einer mittleren Dichtigkeit für 
alle zu einem Viereck bis zur Tiefe H' gehörende Masse reicht wohl 
immer aus, da im allgemeinen der Betrag der Anziehung von der 
Tiefe nicht wesentlich abhängt. 

Durch die bisherige Rechnung aber wird zunächst nur die An- 
ziehung der positiven und negativen Masse zwischen der Niveaufläche 
von P' und dem Terrain berücksichtigt. Jetzt ist noch die Anzie- 
hung des zwischen dieser Niveaufläche und der um If tieferen zu 
ermitteln. Dazu dienen wieder die Formeln (1) und (2). In den- 
selben ist aber für 0^ zu setzen die besondere Dichtigkeit ® oder 

J&^& — 0^^ (6) 

wobei man ®q den nächstgelegenen Massen entsprechend annehmen 
kann, damit diese aus der Rechnung verschwinden. Ferner ist für h 
durchaus der konstante absolute Wert von H' zu setzen. 

Zu den Ausdrücken (1) und (2), in denen aber, wie bemerkt, 
anstatt 0^ zu schreiben ist, welches Symbol nunmehr unter das 
Summenzeichen gehört, treten dann noch folgende Teile für $ und ij : 

,ir ii «^2 (-°9>-. - «m^O ^0 . F' (7) 



in Sek. 



24* 



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372 ^- Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen, 

mit 



f = |l — 4-^-?-C2 l X lognat "* oder 



-;*---^- (9) 



Die Anwendbarkeit dieser Formeln ist an die Bedingung gebunden^ 
dafs man J@ bis zu einem Umkreis a,- als konstant ansehen darf, 

— ~ j bereits ein kleiner Bruch ist. 

§ 40. Fortsetzung: Die Ausfahrang der Rechnung. Zahl- 
reiche Berechnungen von Lokalanziehungen finden sich in dem Haupt- 
werke der englischen Vermessung*). Hierbei wurde 0^ >= ^ ®m ge- 
setzt und a in der Regel der Reihe nach gleich 100, 200, 300, 400, 
500 Fufs engl, genommen (1. Gruppe), sodann wachsend von 500 zu 
500 Fufs bis 5000 Fufs (2. Gruppe), endlich weiter in geometrischer 
Progression mit dem Verhältnis 7 : 6 bis a^^ oder ö^j (3. Gruppe). 
Unter Umständen fand für aufserhalb der 3. Gruppe liegende Massen 
bis zu 12 geogr. Meilen und mehr Abstand eine Schätzung statt. 
Die normale Berechnung ging aber nach den angegebenen Daten nur 
bis etwa 15*"* oder 2 geogr. Meilen. 

Da man nur g zu berechnen hatte, nahm man nach dem Vor- 
gange von Hution die Werte ip dergestalt, dafs die SinusdiflFerenz für 
Formel (1) stets 0,1 betrug. Man setzte also im 1. Quadranten fp 
der Reihe nach gleich 



0» 


0' 


30» 


0' 


5 


44 


36 


52 


11 


32 


44 


26 


17 


27 


53 


8 


23 


35 


64 


9 


30 





90 


0, 



Es erleichtert diese Wahl die Rechnung einigermafsen, indem 
man damit den Faktor (sin (pm — sin 9/) konstant gleich 0,1 erhält. 
Aber es scheint uns doch, als sei wenigstens das Intervall von 64^ 9^ 

♦) Ordnance Trigonometriccä Survey of Great Britain and Ireland. Prin- 
cipal Triangulation. London 1868. Seite 583, 606 und 624 bis 664. Es dürfte 
jedem, der sich mit dergleichen Arbeiten beschäftigen will, das Studium des 
trefflichen Werkes auch an den betreffenden Stellen anzuraten sein. 

Man findet hier S. 576 auch die Anziehung eines rechtwinkeligen FaralleU 
epipeds behandelt (für Tafelländer brauchbar). 

Auch C. Ä. F. Feters giebt eine Formel für die Anziehung des rechtwinke- 
ligen Parallelepipeds, Astronom. Nachr. ^ 1855 Bd. 40, Nr. 939, S. 46, sowie für 
eine Pyramide^ Bulletin de la Classe physico-mathem. deVAcademie de St. Peters- 
bourg, t. III, p. 219. 

Vergl auch Dahlander, Poggendorffs Annalen, Bd. 117, 1862. 



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§ 40. Die Aasfübrung der Rechnung für lokale Lotablenkung. 373 

bis 90^0' zu grofs. Innerhalb dieses Intervalls geht cos (p von 0^44 
auf null herab; sodafs die Rechnung mit einem Mittelwerte von h 
bei einigermafsen unebenem Terrain für den betreffenden Anteil in | 
keine genügende Annäherung geben kann. 

Bei der Einteilung in Vierecke ist nämlich offenbar darauf zu 
achten , dafs die der Annahme eines konstanten h entsprechende 
Planierung des Terrains die Anziehung bezw. deren Komponente nicht 
merklich ändert, dafs mithin Verschiebungen der Ausgleichsmassen 
von einem Rand zum andern keinen erheblichen Einflufs haben. Da 
aber die Anteile in | dem cos q) proportional sind^ so darf dessen 
Änderung in jedem Vierecke nur eine mäfsig grofse sein. Wir 
würden daher im Falle praktischer Rechnung das letzte Intervall 
über 64^9' hinaus noch weiter unterteilen. 

Um sich praktisch eine Vorstellung von der Unsicherheit zu 
verschaffen, welche im Endresultat durch die Schwankungen von 
h innerhalb je einer Abteilung entsteht, kann man einzelne be- 
sonders beachtenswerte Vierecke halbieren und ihren Einflufs noch- 
mals berechnen u. s. f. Dabei ist zu erinnern, dafs die betreffenden 
Fehler für gröfsere Gruppen benachbarter Vierecke sich anhäufen 
können. 

In dem Werke über die bayerische Landesvermessung finden sich 
Ermittelungen der Lokalanziehungen für 2 Stationen*). Hier wurden 
g und ri berechnet und q) demnach in arithmetischer Progression fort- 
schreitend angenommen. Ebenso die a, wenn auch für mehrere 
Gruppen mit verschiedenem Intervall. Die äufsersten Kreise erstreckten 
sich bis zu etwa 45 Meilen, alle Massen umfassend, die beide Sta- 
tionen merklich verschieden beeinflufsten. Auch hier fand man die 

Annahme 0^ «=» -— @^ ausreichend. Die gröfsere Ausdehnung des 

benutzten Gebietes in Bayern gegenüber England erklärt sich durch 
die Absicht, die naheliegenden Alpen zu berücksichtigen. 

Um h für ein Viereck zu fin- 
den, bedient man sich in der Regel 
mit Vorteil der äquidistanten Hori- 
zontalkurven. Denken wir uns ein 
Viereck von mehreren solchen durch- 
schnitten, Fig. 60, so ergiebt sich 
A, indem man die im Viereck ent- 
haltene Masse durch die Grundfläche 
dividiert. Man wird am besten so ^^* ^' 

vorgehen, dafs man, wie Fig. 60 zeigt, das betreffende Viereck 




*) Die bayerische Landesvermessung in ihrer wissenschaftlichen Grtmälage. 
München 1873. S. 768 bis 768. Auch dieses Werk ist fQr Details der Berech- 
nung nachzusehen. 



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374 ^' £^apitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

durch äquidistante Linieu in kleinere Vierecke zerteilt, für die Mitte 
eines jeden die Höhe interpoliert (wobei eben die Horizontalkuryen 
sehr nützlich sind) und dann zunächst für die Werte, die zu gleichem 
Radius gehören, Mittel bildet. Im Falle der Figur ist sodaun zu 
setzen, wenn ä'...ä"" die Mittelwerte und ö'...«"" die zugehörigen 
Radien sind: 

, ah+ah+ah+ah /-x 

n ^ — /"-, 77— i 777— i frr, • ( 1 ) 

Dieses Verfahren scheint uns wenigstens bei kleinen, nur durch 
wenige Kurven zerlegten Vierecken richtiger und zweckmäfsiger als 
dasjenige, mit Hilfe der Inhalte der Horizontalschnitte (welche sich 
allerdings mit dem Planimeter leicht ermitteln lassen) die Kubizierung 
zu bewerkstelligen. Denn bei letzterem zeigt sich als Übelstand, dafs 
Teile z. B. bei A und B übrigbleiben, auf «reiche die Formeln der 
mechanischen Quadratur nicht recht passen. Dieser Übelstand kann 
jedoch von unerheblichem Einflufs sein, wenn die Teile von der Art 
A und B infolge eines relativ zu den Dimensionen des Vierecks sehr 
dichten Systems von Horizontalkurven verhältnismäfsig klein sind. 
Dann kann man setzen (vergl. S. 337 Anm. u.) 

A ■= Ao + ^(i yo + yt +y2 + • . • + y.-i + |y«). (2) 

Hierin bezeichnen y^, ^i • • • <lie Flächeninhalte der Horizontalschnitte 
in aufsteigender Reihe, h^ die Höhe des tiefsten Schnittes i/q und ^h 
das Höhenintervall. Als tiefster Schnitt i/q ist das Viereck selbst zu 
nehmen, als y^ der Inhalt der Schnittfläche zwischen der 1. Kurve 
und dem Viereckscontour. *) Übrigbleibende, in der Formel nicht 
berücksichtigte Kuppen kommen bei der vorausgesetzten relativen 
Dichtigkeit der Kurven nicht in betracht. 

Welches Verfahren man auch zur Ermittlung der Durchschnitts- 
höhen h wählen mag, so ist stets der Umstand günstig, dafs eine 
grofse Sorgfalt überhaupt nicht erforderlich, insoweit zufällige Fehler 
in den h in betracht kommen. Fassen wir z. B. die 3. Gruppe von 
Vierecken der Ordnance Survey, vielleicht an Zahl 400, ins Auge, 
so erhalten wir zunächst deren Beitrag zu ^ in Sekunden gleich 

0,000391ognat-^.Z'Ä, 



dt 7 

wobei log nat —- = log nat-- = 0,15 ist. Beträgt der mittlere zu- 

fällige Fehler in h aber ft^^ so wird der entsprechende mittlere zu- 
fällige Fehler in | gleich 

•) Die Bayerische Landesvertnessimg S. 764 wendet eine etwas andere Formel 
an; die unsrige ist vielleicht vorzuziehen. 



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§ 41. Erfolge der Berechnung von lokalen Lotablenkungen. 375 

0,00039.0,15.20 f**, d. i. 0,0012 p*, 

mithin für ^^ «« 100"» erst 0,12". Selbstredend wird für die 1. und 
2. Gruppe die Genauigkeit etwas gro&er sein müssen, wofür wir aber 
die Schätzung übergehen. 

Es mag noch erwähnt werden, dals die Ordnance Survey für die 

1. Gruppe F nach Formel (5) berechnete; für die 2. Gruppe wurde 
ein Näherungsverfahren mit Benutzung dieser Formel angewandt, 
während für die 3. Gruppe die 1. Formel (4) zur Benutzung gelangte. 
In Bayern rechnete man nur mit der 2. Formel (4). 

Hierbei mufs nun noch darauf hingewiesen werden, dals in den 
Formeln (4) und (5) zwar h den Höhenunterschied mit dem angezo- 
genen Punkte P' bedeutet, dals aber in (4) und dem 1. Gliede der 
Parenthese (5) für h auch die Höhe über einem beliebigen Horizont 
z. B. also die Meereshöhe H gesetzt werden darf, da sich die dadurch 
begangenen Fehler in der Summe der 4 Quadranten aufheben. Im 

2. Gliede von (5) ist aber h in der ursprünglichen Bedeutung zu 
nehmen. Bei der 2. Gruppe von Vierecken setzte nun die Ordnance Survey 
für alle 20 Vierecke der nördlichen oder südlichen Hälfte eines Ringes 



^A3 = 20(4^-Ä')'. 



Genaue Berechnungen der Lokalanziehung fährte zuerst HuUon ans 
gelegentlich der 1772 — 76 von Mashelyne unternommenen Bestimmung der 
Dichtigkeit G^ der Erde aus der Lotablenkungsdifferenz für zwei bezw. 
nördlich und südlich des Berges Shehallien in Pertshire gelegenen Breiten- 
stationen. Er berichtet darüber in den Philosphicdl Trcmsactiona 1778 
(Aasgabe von 1809 Bd. 14 S. 408 u. ff.)- ^^^ vergl. auch 2 Abhandlungen 
in den PhiL Transact, 1775 von Masketyne^ betr. Auswahl der Berge und 
Beobachtungen am Shehallien. Für die Hadien, an Zahl 20, und für sinqp 
nahm er arithmetische Progression, <Jsinqp=» Vit» ^a =» 666% Fufs. Zur 
Interpolation der h fand er es bequem, zunächst Punkte gleicher Höhe 
durch Linien zu verbinden, er führte also faktisch Horizontalkurven ein. 

Für P nahm er wahrscheinlich den Ausdruck (5), d. h. er setzte eigentlich 

F=a (flj^— a^) sin arc tan — , 

berechnete aber den Sinns aus der Tangente nach einem einfachen (uns 
nicht näher bekannten) Verfahren, das sicher auf Anwendung von (5) 
hinauslief. 

§ 41. Erfolge der Berechnung yon lokalen Lotablenkungen. 

ßei der englischen Vermessung ergab sich folgende Zusammenstellung. 
In derselben enthält die Kolumne A den Wert von g aus der Ablenkung 
der Massen innerhalbeine8Ümkreisesvonca.2geogr.Meilen(beiden ersten 
4 Stationen der Insel fViyhi nur 5*^), B den Wert bei Berücksichtigung 
auch der entfernteren Massen, (7 die Verbesserung dergeogr. Breite, welche 
das für das Vermessungsgebiet günstigste Referenzellipsoid erfordert 



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376 *• Kapitel. Der Einflure gegebener Maesen. 

I aus der Ordnance Survey, Principal TriangtUation p. 699 und 100. 



Name der Station 



Dunnose 

Boniface 

Week Down 

Port Valley 

Clifton 

Burleigh Moor .... 

Hungry Hill 

Feaghman 

Porth 

Tawaaghmore ..... 

Lough Foyle 

Eellie Law 

Monach 

Ben Hutig 

CaltoD Hill, Ediub. 
Cowhythe 



— 1,02" 
+ 1,94 
+ 1,50 
+ 2,81 



-0,54" 
+2,42 
+ 1,98 
+ 3,29 



—0,90 



— 3,03 
+ 3,85 



-4,55 
+ 5,40 



-1,95 



—0,17 
— 1,43 
—2,15 



+ 1,13 
— 2,30 
-4,02 



+ 2,08 
+0,47 



-1,63 
-2,43 
-2: 



— 2,01 
-3,57 
—5: 



a 



- 1,62" 

+ 0,80 

+ 0,58 

+ 1,61 

-2,56 

-3,54 

+2,92 

-0,88 

+0,26 

—0,95 

-4,48 

+ 1,82 

+ 1,36 

-2,86 

-5,30 

—9,55 



C-A 



-0,60' 
-1,14 
—0,92 
-1,20 

— 1 
— 0,51 
—0,93 



C-B 



— 1,08" 
-1,62 

— 1,40 

— 1,68 
,66 

+ 1,01 
—2,48 



+ 1,07 



+ 0,43 
+0,48 
-2,33 



—0,87 
+ 1,35 
—0,46 



—0,26 
+ 0,89 



-1,23 

—2,87 
— 7: 



—0,85 
-1,73 
-4: 



Hiernach trägt offenbar im allgemeinen die Anziehung der um- 
gebenden Massen in dominierender Weise zur Erzeugung der Ab- 
weichungen gegen das Referenzellipsoid bei. Immerbin bleiben er- 
hebliche Beste. Die Erweiterung des in die Rechnung einbezogenen 
Terrains nutzt nicht immer, sondern schadet zum Teil. So wird be- 
merkt, dafs für die 4 Insel- ^t^A^8tationen die Differenzen wachsen, 
wenn man die Sfidküste von England und einen entsprechenden 
Eanalteil mitberücksichtigt. Bei Cowhythe ist zwar wegen mangeln- 
der Daten die Berechnung von A und B sehr unsicher; es soll aber 
.ff jedenfalls — 6" nicht erreichen, sodafs C — B mindestens — 4" 
betragen würde. 

Günstiger war der Erfolg der Rechnungen der bayerischen Landes- 
aufnahme. Hier ergab sich für die Differenz der geographischen 
Breiten beider Stationen, Benediktbeuren — München, mit Bessela 
Erdellipsoid : 

9,00" astronom. — geodätisch, 

8,64 aus der Massenanziehung; 

femer ergab sich für das von München nach Benediktbeuren über- 
tragene Azimut 



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§ 41. Erfolge der Bereclmuiig von lokalen Lotablenkungen. 377 

— 5,83" astronom. — geodätisch, 

— 5,22 aus der Massenanziehung. 

[Bei diesen Übertragungen kommen die Formeln (9) S. 536, Bd. 1, 
in frage.] 

Sehr günetige Resultate erzielte für die Alpen auch Oberst Pech- 
mann "') bei zwei Meridianbögen und drei ziemlich entfernten astrono- 
mischen Stationen in Breite und Azimut Er suchte durch seine 
Rechnungen nachzuweisen, dafs es Hypothesen über die Dichtigkeit 
der Massen unterhalb des Meeresniveaus nicht bedürfe, um die Ab- 
weichung zwischen geodätischen und astrogomischen Beobachtungs- 
ergebnissen zu erklären. 

Auch Denzler erzielte günstige Resultate; nur in der Amplitude 
Mailand' Zürich bleiben 5 bis 6" unerklärt, und es vermutet daher 
Ph, Fischer, dem wir dies entlehnen, hier den Einflufs unterirdischer 
Maesenstörungen**). 

Dafs solche existieren, ist ja bereits bei Moskau unzweifelhaft 
konstatiert***), nacb Pratt für den ffimalaya erwiesen und von 0. Struve 

*) E. Pechmann, Die Abweichungen der Lotlinie hei astronomischen Beohach- 
tungsstationen und ihre Berechnung als Erfordernis einer Gradmesstmg. Wien 
bei Gerold. 2 Teile. 1863—65. (Der 1. Teil ist auch in dem 22. Bde. der Denk- 
schriften der mathem. naturwiss Glosse der Wiener Akademie der Wissenschaften 
enthalten.) 

**) Denzler, Jahrbuch des schweizer Alpenkluhs, 3. Jahrg. 1866 (nach 
Ph. Fischer, Gestalt der Erde, S. 46). 

•♦*) G. Schweizer, Untersuchung ütber die in der Nähe von Moskau stattfindende 
Lokalaitraktion. Moskau 1863. Wir folgen Referaten von C. A. F. Peters 
und O. Struve in den Astronom. Nachr. vom Jahre 1864 Bd. 61 Nr. 1449 S. 142 
bezw. in den Monthly Notices of the Boyal Astron. Society Bd. 23 S. 185. 

Für 90 Punkte innerhalb einer Zone, die sich bis 4 Meilen nördlich, 8 süd- 
lich, 5 östlich und 9 westlich erstreckt, wurde die Polhöhe beobachtet. Die 
10 Minuten südlich von Moskau von WSW n&ch ESE laufende Linie hat keine 
nordsüdliche Ablenkung, aber auf den Parallelen beiderseits wächst sie bis ca. 8" 
in etwa iVt Meilen Abstand und nimmt dann wieder ab. Da gröfsere ober- 
irdische Massenstörungen fehlen, so mufste Schweizer die Lotstörungen auf eine 
unterirdische Ursache zurückführen. Es liefsen sich durch verschiedene An- 
nahmen befriedigende Darstellungen der Ablenkungen erzielen. Hervorgehoben 
wird die Hypothese, dafs eine Erdschicht von ca. 500"» Mächtigkeit und von 
der halben Dichtigkeit der Erdrinde (das wäre somit 1,4) in einer Breite 
von 3Vt bis 4 Meilen sich in unbegrenzter Länge von. Ost nach West quer zu 
dem Meridian von Moskau hinzieht, und dafs sie im Norden und Süden von 
5 Meilen breiten Schichten von lV,facher Dichtigkeit der Erdrinde (also 4,2) 
begleitet wird. 

Etwas anders referiert Franz Klein (in der Schrift Zweck und Aufgabe der 
ewrop, Gradmessung. Wien 1882). Damach fand sich als Ursache eine Höhlung 
von elliptischer Form, ly^ Eubikmeilen fassend, langgestreckt in Richtung J5 ]F. 
Nach den Verhandlungen der 6. allgem. Konf der eitrop. Gradmessung zu Mün- 
chen 1880, S. 35 des Generalberichts, wird gegenwärtig die Umgegend von Moskau 
auch mit einem Beversionspendel untersucht. 



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378 4. Kapitel Der Einflufs gegebener Massen. 

am Kaukasus ebenfalls bestätigt gefanden worden. Hier ist in einer 
vulkanischen Gegend eine Berücksichtigung der oberirdischen Massen 
zum Teil in solchem Mafse schädlich, dafs sich dadurch die astro- 
nomisch-geodätische Differenz von ca. 24 auf ca, 40" steigert*). 

Auch im Harze**) und in Nordamerika***) wurde man auf unter- 
irdische Massenstorungen hingewiesen und Petit fand ^ dafs die 
Pyrenäen bei Toulouse scheinbar das Lot nicht ablenken f). Vergl. 
übrigens im 3. Kap. S. 228 und im 4. Kap. S. 364 § 38. 

Hiemach wird man, ohne den Berechnungen der Anziehung 
durch sichtbare Massenunregelmäfsigkeiten ein hohes Interesse ab- 
sprechen zu wollen, sich^doch andererseits sagen müssen, dafs es be- 
denklich ist, für Gradmessungszwecke, wie Schubert , Pechmann u. a. 
wollen, die astronomischen Beobachtungsergebnisse an der Hand 
solcher Berechnungen verbessern zu wollen. Es wird immer fraglich 
sein, ob eine Verbesserung eintritt. Man darf mindestens nicht weiter 
als bis zu einer solchen Grenze die Massen in betracht ziehen, bei 
welcher die Wahrscheinlichkeit erheblich wird, dafs ober- und unter- 
irdische Massenstorungseinfiüsse von gleicher Ordnung sind. Auch 
würde es unerlälslich sein, durch Pendelbeobachtungen die Masseu- 
yerteilung zu prüfen. Besser ist es jedenfalls, anstatt die Elimination 
lokaler Einflüsse durch Berechnung erzielen zu wollen, nach der Ort- 
lichkeit verdächtige Stationen aus der Rechnung wegzulassen oder 
die Zahl der astronomischen Stationen in solchen Bezirken, wo man 
Störungen vermutet, zu vermehren und zwar in der Weise, dafs 
der Wahrscheinlichkeit nach dadurch eine Kompensation der Einflüsse 
in den Gradmessungsergebnissen erzielt wird. (Bd. 1 § 11 S. 611.) 

Die Krümmung der Niveauflächen kann bei Berechnungen der 
Massenanziehung nur dann in frage kommen, wenn es sich lediglich 
um Studien über die Wirkung kontinentaler Massenstorungen han- 
delt, wie in den §§ 18 u. fif. dieses Kapitels, insbesondere in § 24 S. 327. 
Dieser Fall bietet nach unseren Ergebnissen über die Massenverteiluüg 
in der Erdrinde S. 364 so wenig Interesse, dafs wir darauf nicht weiter 
eingehen, umsomehr als selbst bei Entfernungen von 1 Million Meter 
der Einflufs der Krümmung noch nicht erheblich ist; vergl. Formel 
(13) S. 328. 

Erwähnt mag werden, dafs Lamont magnetische Anomalieen und 
Anomalieen der Lotrichtung auf ünregelmäfsigkeiten des magnetischen, 

*) Beriehi über die Verhandlungen der 5. dügem. Konferenz der europäischen 
Gradmessung zu Wien S. 13 und Generdlbericht für 1871 S. 50. 

♦*) Publikation des kön, preufs. geodät. Instituts. Astronomisch-geodätische 
Arbeiten im Jahre 1876; publ. 1876 durch Prof. Albrecht; S. 157. — 1881 war 
die Anzahl der in Polhöhe beobachteten Punkte auf 39 gestiegen. 
•♦^ Nach Bruns, Figur der Erde S. 29. 
t) Annales de VObservatoire de Toulouse^ t. I p. 86. (Vom Verf. dieses 
nicht selbst gelesen.) 



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§ 42. Bestimmung d. mittl. Dichtigkeit d. Erde aus Lotablenkungen. 379 

metallischen Erdkernes zurückfuhrt, gestützt darauf, dafs beide Anomalieen 
meist gleichzeitig auftreten. (Meteorologische Wochenberichte der Münchener 
Sternwarte Nr. 29—34 von 1866 [nur metallographiert] und Sitztmgsberichte 
der bayer, Akademie der Wissenschaften 1866.) 

§ 42. Bestimmung der mittleren Dichtigkeit der Erde aus 
Lotablenkungen. Denkt man sich, dafs nördlich und südlich eines 
Berges oder überhaupt einer bekannten Masse im gleichen Meridian 
und in nahezu gleicher Höhe astronomisch die geogr. Breite bestimmt 
wird und dafs man aufserdem geodätisch den Meridianbogen zwischen 
beiden Stationen ermittelt, so läfst sich berechnen, wieviel die astro- 
nomisch bestimmte Amplitude von der geodätisch in Bezug auf ge- 
wisse Dimensionen eines Beferenzellipsoids bestimmten abweicht. 
Unter der Voraussetzung nun, dafs lediglich die in Rede stehende 
Masse störend aufs Lot wirkt und ohne dieselbe die DiflFerenz der 
Lotrichtungen dem gewählten Referenzellipsoid entspricht, wird man 
die mittlere Dichtigkeit der Erde aus der Differenz der astronomisch 
und geodätisch berechneten Breitenamplituden finden können. Denn 
ist die Dichtigkeit der betreffenden Masse genau bekannt^ so hat man 
nur nach den angegebenen Regeln die Anziehung derselben auf jede 
der beiden Stationen zu berechnen und mittelst des theoretischen 
Ausdruckes für die normale Schwerkraft in der in § 39 angegebenen 
Weise die nördliche Lotablenkung g zu bilden. Die mittlere Dichtig- 
keit ®tn erscheint alsdann in der Gleichung, welche die beobachtete 
Differenz beider g darstellt, als Unbekannte. 

Zu dem in § 39 benutzten Rechnungsgange ist zu bemerken, 
dafs daselbst fflr die normale Schwerkraft nur der Nähernngsausdruck 

— 3r/r^@TOÄ gesetzt ist. Dies reicht eigentlich mit Rücksicht auf 

sonstige Fehlerquellen auch gegenwärtig-aus. Will man aber strenger 
rechnen, so hat man die Formel (17) mit (18) S. 97 anzuwenden 

und darin die Erdmasse M^=-^7tB^0m zu setzen. (Über die Be- 

rücksichtigung der Anziehung der Erdschichten über dem Meeres- 
niveau bis zum Niveau der Stationen vergl. im 3. Kap. § 37 S. 244). 
Das vorstehend geschilderte Verfahren leidet hauptsächlich an 
dem Übelstandc; dafs sich mit den Anziehungen der bekannten Massen 
leicht diejenigen unbekannter Massen mischen. Heutzutage, wo es 
mehrere gut ausgebildete physikalische Methoden giebt, um @,n zu 
ermitteln (vergl. das 6. Kap.), wird man daher derartigen Bestim- 
mungen nur einen untergeordneten Wert beilegen. 

Den ersten Versuch einer solchen Bestimmung von G^ unternahmen 
gelegentlich der Gradmessnng in Peru Bouguer und de la Condamifie am 
Chimborasso, jedoch wegen mangelhafter Hilfsmittel ohne Erfolg (vergl. 
das Werk beider Gelehrten La Figure de la Terre etc. 1749; einige 
Details hieraus ~ sowie über das weiter Folgende — teilen auch das Haupt- 



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380 ^. Kapitel. Der Einflufs gegebener Maesen. 

werk der englischen VermeBsung, Principal Triangulation S. 597—609, 
und Todhunter, Eistory of Ättraction, Bd. 1 S. 244 und 248 mit). 

Ans den bereits S. 875 erwähnten, am ShehaUien angestellten Beobach- 
tungen Maskelynes berechnete Hutton 1778 und 1821 G^ «— 6. Dabei 
setzte er die Dichtigkeit der Bergmasse gleich 2,7, oder genauer, dem 
Werte ©^ = 5 entsprechend, gleich 2,778. Zufolge nachträglicher Ermitte- 
lungen, diie von Play fair auf Anregung Hutton» gemacht wurden, yergl.P^Ü. 
Transact, 1811 und 1821 S. 276—292, schwankte sie eigentlich von 2,64 bis 
3,2; Play fair nahm nach seinen Ermittelungen ö,„ =■ 4,7. Wegen der 
Schwierigkeit der genauen Dichtigkeitsaufnahmen der Bergmassen schlug 
Hutton 1821 vor, eine grofse ägyptische Pyramide als ablenkende Masse 
zu benutzen, wobei er bemerkt, dafs das Maximum der Ablenkung in */\ 
der Höhe stattfindet. 

Es mag gleich hier erwähnt werden, dafs später C. A. F. Peters in 
seiner Abhandlung über die kleinen Ablenkungen des Lotes, Bidh de la 
Gl. phys.-math, de VÄc, de St, Pit, Bd. Ill S. 217, den gleichen Vorschlag 
macht, wobei er die einseitige Ablenkung am Fufse bei 73* Höhe und 
116^ Seite zu 0,6" angiebt. Er gedenkt hierbei des Vorschlags von 
W. Struve, &^ durch Beobachtungen an gegenüberliegenden Stellen der Ufer 
des Kanals von Bristol zu bestimmen. In diesem Kanal steigt nämlich die 
Flut auf 30' engl. Immerhin beträgt bei 8 geogr. Min. Länge und 4 Min. 
Breite die Anziehung des Lotes durch die Flutmasse nur 0,2", sodafs eine 
genaue Bestimmung selbst mit dem Passageninstrument im 1. Vertikal 
Schwierigkeiten bereitet. 

Eine sehr eingehende Untersuchung unternahm 1855 James am Berge 
Arthurs Seat bei Edinburg. Die nächste Veranlassung bot allerdings das 
Auftreten einer lokalen Abweichung bei einem nahegelegenen Punkte und der 
Wunsch, die lokalen Lotanziehungen zu studieren. AufsQr der nördlichen 
und südlichen Station hatte man noch eine auf der Spitze des Berges, 
dessen nach vielen Bestimmungen zu 2,75 angenommen wurde Es 
gaben die 3 Stationen , wenn c eine Konstant« bedeutet und S',S^=^ q 
gesetzt wird) die Gleichungen 

— 2,70 g + 2,81" + c — 
+ 2,40 g • +c=0 
+ 5,24 g — 1,26" + c — , 

welche sich bis auf [+ 0,04", —0,13" und -f 0,08" durch 'g = 0,517 mit 
S^ =» 5,32 darstellen lassen. (Aufser in der OrdvMnce Survey, Princ. 
Triang,^ auch in den Phil. Transact. Bd. 146 mitgeteilt). 

Pechmann fand gelegentlich seiner Lotablenkungsstudien in den Alpen, 
vergl. S. 377 , mit G =■ 2,75 auch 2 Werte für G^^ , von denen aller- 
dings nur der erste, nämlich 6,13, genügende Sicherheit bietet, um mit an- 
deren derartigen guten Bestimmungen konkurrieren zu können. 

Das arithmetische Mittel der drei Bestimmungen 4,7 (oder 5), 5,32 und 
6,13 ist rund 5,4. 

§ 43. Ph« T. Jollys Bestimmung yon ®m aus Wägungen*). 

Für eine Quecksilberkugel im Gewicht von 5009450'"^ fand sich 

*) Ph, V, Jelly, die Anwendung der Wage auf Probleme der Gravitation, 
2. Abhandl. München 1881. Aus den Abh, der kön. bayer. Ak. der Wissen- 
schaften, II. Cl., 14. Bd. 2. Abt. [die 1. Abh. Bd. 13 enthält nur vorläufige Ver- 
suche]. 



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§ 43. Ph. V. JoUys Beßtimmung von 0^ aus Wägungen. 381 

durch Wägungen in einem Turme mit einer feinen, zweiarmigen Wage, 
welche aufser mit den üblichen Wagschalen noch mit einent zweiten 
Paare 21,005"» tiefer versehen war, eine Gewichtszunahme von 31,686"»^, 
wenn sie in die tiefere Schale gebracht wurde. Befand sich aber 
unterhalb der betr. unteren Wagschale eine Bleikugel von 1"» Durch- 
messer, so stieg die Gewichtszunahme auf 32,275"»^, betrug also 
0,589»«^^ mehr. 

Der Radius der Bleikugel war 0,4975"*, ihr spez. Gewicht 11,186, 
ihr Abstand vom Mittelpunkt des unten befindlichen Quecksilber- 
gewichts 0,5686"». 

Nennt man die Schwerebeschleunigung ohne Wirkung der Blei- 
kugel oben ^], unten ff,^* ^^ ^^^ ^^^ ^^^ Wirkung der Bleikugel 

oben gleich ^i + ^^w . -^ , 

unten „ ^2 + ^^»» • ^ > 

wenn m die Masse der Bleikugel ist, und e^ und ^2 ^^^^ Abstände 
vom oben bezw. unten liegenden Gewicht sind. Man hat nun offenbar 

9t — gt ^ 31,686 ,-. 

01 5 009 460 ' ^^ 

ferner mit einer unerheblichen Vernachrässigung im Nenner linker Hand 

gi '^ 6009460 ' 



also 



Dabei ist 



0,689 



g, 5009450 

= 0,5686»», <fj = 21,5736™, 



(2) 

(2») 



Was fft anbetrifft, so ist nach S. 97 (17), (18) und (23) dessen 
normaler Teil gleich 

|«A:»@„Ä(l-^)(l + |«-|c + k8in^^) (3) 

anzunehmen, wenn ff die Meereshöhe und B die geogr. Breite der 
Station ist. Die geogr. Breite kann genau genug =48^8' gesetzt wer- 
den, ff wird für München zu 515*" angegeben; wie hieraus ff für 
die Beobachtungsorte sich berechnet, wird aber nicht gesagt. Die 
hierdurch entstehende Unsicherheit ist jedoch geringfügig, namentlich 
mit Rücksicht auf die Anomalieen infolge der unregelmäfsigen Massen- 



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382 4. Kapitel. Der Einflufs gegebener Massen. 

lagerung in der Erdrinde. £8 konnte allerdings noch die Anziehung 
der Terräinschicht bis zum Meeresniveau durch Beifügung des Faktors 

e Q ff 

— ZU -^ in (3) berücksichtigt werden, aber der Nutzen davon ist 

zweifelhaft, vergl. S. 244 § 37. 

Mit Rücksicht auf (2*) und (3) findet sich aus (2): 

^ 11.186 .^.Q7;.x3 / 1 1 \ 5009450 



(0.4975)3 (^-^^)i3"«^g2-l,(M3, 



"* 0,589 

also 

®m = 5,691. 

Jolly, welcher einen anderen, weniger strengen Ausdruck für ^, 
benutzt, und das zweite Glied der Parenthese vernachlässiget, findet 
5,692. Der wahrscheinliche Fehler des Resultates folgt aus der Über- 
einstimmung der Einzelwerte zu +0,068; er kann aber recht wohl 
etwas gröfser sein*). 

Jelly bemerkt, dafs der beobachteten Gewichtsabnahme von 31,686*^ 
eine theoretische im Betrage von 33,059"*^ gegenüberstehe, und er findet 
die Erklärung darin, dafs nahegelegene hohe Gebäude den Turm, wo be- 
obachtet wurde, überragen. Übrigens erhalten wir einen etwas anderen 
theoretischen Wert Nach Formel (17) S. 97 ergiebt sich für die normale 
Schwerkraft: 

2 



9t -9t 



. 21,006 



(\ + jü + t'-2üBin^B\ 



9i 7?fl_l^ 



M-^i 



9 



worin B «»■ 48^8' und Hi gleich ca. 530"» zu setzen ist. Die Erdschicht 
unterhalb des Beobachtungsturmes bis zum Meeresniveau berücksichtigen 
wir nach § 37 S. 244 nicht. 

Berechnen wir nun nach Mafsgabe der angegebenen Formel (j9t — 9t)'9i 
und multiplizieren mit 5009450, so folgt 

33,108"*^ , 

ein Wert, der durch die Unsicherheit des Nenners der Formel (d. h. der 
Annahme über ^|) kaum über V5000 nrig sein dürfte. Die Differenz mit 
dem beobachteten Werte mufs daher wesentlich durch die verschiedene 
Anziehung benachbarter Massen auf beide Orte des Quecksilbergewichtes 
erklärt werden. Vergl. hierzu noch § 3 S. 275 und 276. 



♦) Wenn Jolly angiebt, dafs die Differenz seines Wertes für ©„, von dem 
Werte aus Drehwagenversuchen (6. Kap.] eventuell z. T. aus lokalen Anomalieen 
in g erklärlich sei, so scheint uns, dafs er darin irrt, denn Anomalieen in ^j im 
Betrage von 1 bis 2% sind erfahrungsmäfsig nicht annehmbar. 



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§ 1. Die Störungen in der Schwerkraft durch Sonne und Mond. 383 

Fünftes Kapitel. 
Zeitliche ÄnderoBgen der Niyeauflächen. 

§ 1. Die Störungen in der Schwerkraft durch Sonne und 
Mond. Bei Betrachtung der Schwerkraft ist bisher von der Anziehung 
der üimmelskörper abgesehen worden; vergl. im 1. Kap. § 5 S. 7. Es 
sind auch nur die Auziehungen von Sonne und Mond merklich, und 
selbst diese sind sehr klein. Die Wirkung ist eine mit der Zeit ver- 
änderliche; da diese Gestirne zu irgend einem Erdorte eine mit der 
Zeit veränderliche Stellung haben. Nach dem 1. Kap. § 3 S. 5 erhält 
man den Einflufs der Anziehung eines Himmelskörpers auf die Schwer- 
kraft dadurch; dafs man von den Komponenten der Anziehung in 
Bezug auf einen betrachteten Punkt P' die entsprechenden, aus (6) 
S. 3 zu entnehmenden Komponenten fQr den Schwerpunkt der Erde 
abzieht. Die Masse des Himmelskörpers denken wir uns dabei genügend 
genau in ihrem Schwerpunkt konzentriert und die Niveauflächen der 
Erde ebenso genau genug als Kugelflächen, konzentrisch zum Erdschwer- 
punkt M. Die Bewegung des letzteren entspricht alsdann der Anziehung 
des Himmelskörpers auf eine in demselben gelagerte Masseneinheit. 

In Fig. 61 stellt üt Sonne oder Mond vor, f ist die wirkliche 
Zenithdistanz von ^ in P' und § die 
geozentrische Zenithdistanz. Die Anziehung 
der Masse ^ auf P' kann in eine in P' 
horizontale und vertikale Komponente zer- 
legt werden, ebenso die Anziehung von 
^ auf Punkt M in entsprechender Weise. 
Zu der Schwerebeschleunigung in P' tritt 
demnach eine horizontale Komponente in 
Richtung nach fH gleich Fig. ei. 

k^M[^lf-^] (1) 

und eine vertikale Komponente in Richtung nach aufsen gleich 

k^m[^-''-^]. (2) 

Wir formen zunächst den Ausdruck (1) um, indem wir daför 
schreiben 

'^»[-P—^] (3) 

und beachten, dafs e sin £' = r sin ^ ist, sowie gesetzt werden kann: 
e = r — r' cos J , woraus in hinreichender Annäherung folgt : 




^=i(l + 3fcosg). 



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384 5. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveanflächen. 

Damit giebt (3): 

1 k^m i,Bm2t. (4) 

Wir setzen nun für r' den mittleren Erdradius B und führen 
die Horizontalparallaxe p des Gestirns, d. h. den Winkel ein, unter 
welchem Radius MP' von fiH aus erscheint^ wenn fiH im Horizont 
von P' liegt. Es ist aber 

8ini> = -^. (5) 

Hiermit erhalten wir aus (4) mit Rücksicht auf den Näherungswert 
G der Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche behufs Elimination 
von k^, nämlich 

^-^> (6) 

die nach zu gerichtete horizontale Komponente der Schwere- 
storung gleich 

|<?f-8m»p8iii2g. (7) 

Dividiert man diesen Ausdruck mit G und multipliziert mit q% 
so erhält man endlich die Lotstörung und zwar im Sinne einer An- 
ziehung des aufgehängten Lotes gegen fiH hin. 

Die meridionale und ostwestliche Komponente der Lotstörung 
ergeben sich dann durch Multiplikation mit cos A und sin A^ wenn A 
das Azimut des Gestirns ist. Zählen wir A wie üblich südwestlich 
und bezeichnen mit £ die südliche Abweichung des gestörten Zeniths, 
mit 1] die westliche^ so wird 



mit (8) 



l = - 

in Sek. 


- jPsin 2g cosA 


In Sek. 


- i>sin 


H 


HmA 






P = 

in Sek. 


2 ^ 


* sin«;; 








Für den Mond ist 


M ^ 


1 

8IV4 ' 


p-=5r 


2,8", 


P 


=0, 



0,0174"; 

(8*) 
für die Sonne ist ^ = 329000 , p = 8,83" , P =y 0,0080". 

Diese Werte sind so klein, dafs sie bei den geographischen Ko- 
ordinaten der zugänglichen Teile der Erdoberfläche nicht in betracht 
kommen. 

Auch die Störung der Schwerebeschleunigung selbst ist unerheb- 
lich. Die horizontale Komponente (1) hat jedenfalls gar keinen in 
betracht kommenden Einflufs; was die vertikale (2) anbetrifiFt, so 
beachten wir, dafs 

e cos 5' = r cos g — r 
und wie früher: 



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g 1. Die Störungen in der Schwerkraft durch Sonne und Mond. 385 



1 1 f, , 3r 

Damit geht (2) über in 



^»^ ^ j- 1 + 3 cos^g - ^ cos 5| . 

Führen wir noch sin p mittelst (5), sowie G mittelst (6) ein und ver- 
nachlässigen das 3. Glied der Parenthese ^ so folgt die Störung der 
Schwerebeschleunigung gleich 

^.-Jsin3p(3cos'g-l). (9)' 

Für den Mond ist ^ sin^p = Vitsoooooj 

für die Sonne ist ^ %vD?p = Vsssooooo • 

Die Störung der Schwerkraft ist hiemach verschwindend klein. 

Die Störungen der Richtung und Gröfse der Schwerkraft bedingen 
aber eine Änderung der Gestalt der Niveauflächen. Um dieselbe zu 
ermitteln, bilden wir das Potential H des Einflusses der Mond- und 
Sonnenanziehung für Punkte einer ungestörten Niveaufläche. 

Dasselbe ist mit Rücksicht auf den Ausdruck (7) für die hori- 
zontale Komponente dieser Anziehungen für den Mond sowie für die 
Sonne von der Form 

U = + y ÖÄ ^ sin3p cos^g , (10) 

Denn verschieben wir den angezogenen Punkt P horizontal gegen 
das Gestirn hin um ■— Rdi und bilden dementsprechend 

a5_ 

so ergiebt sich wieder die horizontale Komponente übereinstimmend 
mit (7). Verschieben wir dagegen rechtwinkelig zur Yertikalebene 
des Gestirnes, in welcher Richtung die Anziehung null ist, so wird, 
wie es sein mufs, 3 F = null. 

Damit nun eine neue Fläche konstanten Potentials entsteht, und 
zwar desselben Potential wertes wie ohne die Störung, mufs das un- 
gestörte Niveau am Punkte P um 

+ Y Ä * sin^i? cos^g , d. i. Ä arc i> cos^? , (1 1) 

gehoben werden. Diese Hebung ist ein Maximum in der Richtung 
vom anziehenden Körper nach dem Erdschwerpunkt, null in der zu 
dieser Richtung normalen Ebene durch letzteren. Unter dem Einflufs 
des Mondes oder der Sonne ändert sich somit die Gestalt der Niveau- 
flächen im Sinne des Überganges einer Kugel in ein längliches Ro- 
tationsellipsoid mit der relativen Axenverlängerung 

arc Pj 

Uelmert, mathem. n. phyaik. Theorioen der höh. Oeod&sie. II. 25 



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386 5- Kapitel. Zeitliche Ändenuigen der Niveauflächen. 

d. i. für den Mond V12000000 -> wobei Rbji^c P= 0,54»" ist, 

(12) 
für die Sonne V26oooooo> n v =0,25»» „ . 

Die grofse Axe des Ellipsoids liegt in der Richtung nach dem stören- 
den Körper. 

Die Kräfte, welche die Gestalt der Niveauflächen ändern, be- 
wirken auch eine Bewegung des Meerwassers, welche als Flut und 
Ebbe bekannt ist. Die Veränderung der Gestalt der Meeresfläche 
entspricht jedoch nicht der Veränderung der Niveauflächen, welche 
wir eben ermittelt haben. Es würde das nur der Fall sein, wenn 
die Erde sich nicht um ihre Axe drehte und Mond und Sonne die 
gleiche Stellung zur Erde dauernd beibehielten. Wegen der Axen- 
drehung der Erde und der Bewegung von Mond und Sonne kann 
aber das Wasser den Gleichgewichtszustand nicht annehmen, welcher 
den gestörten Niveauflächen entspricht. 

Die Flutbewegung des Meerwassers bedingt im allgemeinen eine 
kleine Änderung der oben ermittelten Werte, die davon herrührt, dafs 
eben die Meeresfläche eine geänderte Gestalt und das Potential der 
Anziehung der Erde auf Punkte ihrer Oberfläche einen geänderten 
Wert hat. Diese sekundären Störungen sind jedoch im allgemeinen 
noch weit geringer, als die primären. Nur an gewissen Meeresküsten, 
wo besonders hohe Fluten eintreten, können sie durch deren Einflufs 
nennenswerte lokale Beträge erreichen, die nach den Störungsformeln 
für horizontale, unendlich lange Prismen im 4. Kap. sich leicht 
schätzen lassen. 

Die Störung des Lotes wurde bereits um 1846 richtig dargestellt von 
(7. A. F, Peters in der Abb.: Fow den kleinen Ablenkungen der Lotlinie 
und des Niveaus {Bull, de la Gl, physico-mathem. de VAe, de St, Petersb, 
t. III p. 219)*). Peters fand dieselben Koefficienten zu (8) wie wir, ob- 
gleich er etwas andere Werte für M und p ansetzte. 

Auf die sekundären Lotstörungen haben nach Thomson und Tait, 
Handbuch Bd. 1, 2. T. S. 379, schon Eobison 1804 und Forbes 1849 hin- 
gewiesen; ersterer mit Bezug auf die 20 "> hohen Fluten der Fwndy-Bay, 

§ 2. Bewegung der Erde um ihren Schwerpunkt. Bisher 
wurde angenommen, dafs die Erde sich mit konstanter Geschwindig- 
keit um eine in ihr feste Schweraxe dreht, die im Baume unverändert 
ihre Bichtung beibehält. Wir untersuchen jetzt, was die Theorie an 
der Hand der Erfahrung zu dieser Annahme sagt und beginnen mit der 
Aufstellung der allgemeinen Gleichungen für die Drehbewegung der 
Erde um ihren Schwerpunkt. Nach dem 1. Kapitel § 3 S. 5 nimmt 
d'Alemberts Prinzip für diese Bewegung (mit Weglassung der Striche 
behufs Vereinfachung) die nachstehende Form an: 

*) Die uns nicht genau bekannte Jahreszahl 1845 ist mit Rücksicht darauf 
angegeben, dafs t. I 1843 erschien. 



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§ 2. Bewegung der Erde nm ihren Schwerpunkt. 



387 







(1) 



Hierin erstreckt sich die Summierung über alle Massenteile dm der 
Erde; Jf, Fund Z sind die Komponenten der beschleunigenden Kräfte 
(der Kräfte für die Massen einheit) im Punkte (xyz), wo dm lagert, mit 
oder ohne Abzug der entsprechenden Komponenten für den Schwerpunkt. 
Die rechtwinkeligen Koordinatenaxen , welche durch letzteren gelegt 
sind, haben eine beliebige, aber konstaute Richtung, und wir nennen 
daher dieses System das feste Axensystem, wobei die nicht weiter in 
betracht kommende Parallelverschiebung der ganzen Erde ignoriert ist. 
Um nun zu Gleichungen zu gelangen, welche die Drehbewegung 
charakterisieren, nehmen wir der Reihe nach um die z-, x- und y- 
Axe virtuelle Drehbewegungen vor. Ist die virtuelle Drehung um die 
Z'Axe gleich <^a, so wird 

äx= — yda äy = xda dz==0, 

womit (1) ergiebt 

Entsprechend erhält man aus den anderen virtuellen 
Drehungen : 



und 






2 



(2) 



Rechter Hand stehen die Drehungsmomente der Kräfte. Bei 
Berechnung derselben kann man die inneren Kräfte weglassen. Be- 
trachten wir z. B. das Aggregat xF — yX iilr eine einzelne Kraft, 
deren Komponente parallel zur a:y- Ebene gleich E sei, so wird 
xF — yX = Rr sin (y — a), wenn R gegen die x-Axe um y und 
der Radiusvektor r des Angriffspunktes gegen dieselbe um a geneigt 
ist. r sin (y — a) giebt aber auch den normalen Abstand von R und 
der z- Axe oder den kürzesten Abstand der Kraft von der z- Axe an. Ist 
nun die Kraft eine innere, zu welcher immer eine gleich grofse, ent- 
gegengesetzt gerichtete existiert, so hat offenbar für beide Kräfte 
r sin (y — a) denselben Wert, das Drehungsmoment Rr sin (y — a) 
aber denselben Wert mit entgegengesetztem Zeichen, sodafs in der 
Summe die Wirkung beider Kräfte verschwindet. Wir schreiben nun 
anstatt (2): 

25* 



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388 5. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveaufläcben. 

'^/ d'x d*z\ , „ 

hierin bezeichnen LMN die Summen der Drehungsmomente der 
äufseren, bewegenden Kräfte in Bezug auf die x-, y- und z-Axe. 

Die Gleichungen (3) schreiben wir endlich noch anders mit Be- 
nutzung der Flächengeschwindigkeiten. Es ist nämlich 

^( dy dx\ 

^ dt* "^^ dt^ "^ dt "" ^ dt ' 

wenn 

-5f-J'': = 2/;, (4) 

gesetzt wird. Wie man leicht durch Anschauung findet, ist ccdy — ydx 
die doppelte Fläche^ welche die in die x^- Ebene fallende Projektion 
des Radiusvektors des Punktes (xyz) in der Zeit dt überstreicht; 
fgy hat daher die Bedeutung der Flächengeschwindigkeit in der 
a:y- Ebene. 

Hiermit erhalten wir aus (3), wenn /*,y, fy, und /^a, diese Flächen- 
geschwindigkeiten in den Ebenen xy^ yz und zXy d. h. um die z-, 
X' und y-Axe bezeichnen: 

§3. Beziehung auf ein bewegtes Koordinatenaxensysteni. Um 

die Bewegung der Erde um ihren Schwer- 
punkt zu studieren; führt man nun anstatt 
der festen Axen ein zunächst beliebig beweg- 
tes System von drei zu einander rechtwinke- 
ligen Schweraxen ein. Die Winkel, welche 
letztere mit den Axen der xyz ein- 

^ schliefsen, seien bezw. (vergl. die schema- 

^^^-"' tische Fig. 62): 

DicFig. zeigt die itasiiwerv Pole 2 2 2 i, i, n «» «# «» 

dtrAxew auf einer KagdfUefu^ ^\ '"'i'^'i^ Pl f*2 f*3 » ^1 ^2 ^3 

um.de». £rds^werfmnkt, ^^ j jjg Flächengeschwindigkeiten um diese 
^^^•®^ Axen bezw. 




fy9f t»»j /«y • 

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§ 3. Beziehung auf ein bewegtes Eoordinatenaxensystem. 389 

Dann hat man nach einem bekannten Satze der analytischen Geo- 
metrie über die Projektion von Flächen: 

fy = fi» COsAj + f^^ COS^i + f^y COSV, 

Ux = fi* cos X^ + /;, cos ^2 + /Jy COSl/j (1) 

fxy =» fi, COS A3 + /;'« COSfij -f /;'y COSV3 . 

Insbesondere folgt aus letzterer Gleichung 



dt ~ 



-gp COS A3 + -^p cosfi3 + -^f COS 1/3 
— /;, sin A3 -^» — /;, sm fij -j^ - /iy sm 1/3 -^ 



Denken wir uns aber zur Zeit / die festen Axen mit den entsprechen- 
den bewegten zusammenfallend, so ist 





A,=0 


'=-f 


^3 — Y 




J»i = T 


11,-0 


n 




7C 

»'.= 2 


7C 

V, = -j- 


«'3-0; 


es wird daher 










dt ^ dt 


'«" dt 


^" 'dt 




und ganz ähnlich für fy, und f^^. 

Bezeichnen wir nun die Winkelgeschwindigkeiten des bewegten 
Systems um die festen Axen der x, y und z zur Zeit / bezw. mit 

p, q und r , 

so ist augenscheinlich, vergl. Fig. 62 und 63: 

dX» , da* 

Man erhält hiermit 

dt dt ^'y* ^ '^''^ 

und somit aus (5) des vorigen Paragraphen: Fig. es. 

22-If ^^ ~ 2r 2^'*^^ + ^Q^nyäm = Z (2) 

Bei Anwendung dieser Gleichungen ist zu beachten, dafs immer 

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390 ^' Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

die augenblickliche Lage des bewegten Systems als festes System dient. 
Die f sind, wie aus der Aufstellung der (1) hervorgeht, so zu ver- 
stehen, als wäre das bewegte Axensystem für den Augenblick fest. 
Im übrigen bestehen keine Bedingungen, insbesondere ist die Lage 
des beweglichen Systems noch ganz willkürlich. 

§ 4. Drehbewegung der als fester Korper betrachteten 
Erde um ihren Schwerpunkt. Wir nehmen jetzt an, dafs die Erde 
ein fester Körper ist oder doch wie ein solcher rotiert, und wir 
denken uns ferner das bewegte Axensystem fest mit dem Erdkörper 
verbunden. Dann sind zur Zeit t die Gröfsen p, q und r nicht nur 
die Winkelgeschwindigkeiten 5 mit welchen sich das bewegte System 
gegen das feste Axensystem dreht, sondern auch die Winkel- 
geschwindigkeiten, mit denen sich der Körper selbst um die festen 
Axen dreht. 

Dreht sich aber der Körper im Zeitintervall dt um die x-Axe 
mit der Winkelgeschwindigkeit p, so ändern sich die Koordinaten 
y und z, wie man leicht durch Betrachtang der yz -Ebene erkennt, 
um bezw. — pzdt und -j-pyäty während x konstant bleibt. Er- 
mittelt man in dieser Weise die partiellen Koordinatenänderungen, 
welche den Drehungen um die 3 Axen entsprechen, so wird erhalten: 



(1) 



Bilden wir hiermit nach Mafsgabe von (4) S. 388 § 2 den Ausdruck 
für 2/;y, so folgt 

2fzy = ^fxy = r(x^ -f y^) ~pzx — qyz 
und 

'2^ f^yäm ^ r^ {x'^ + y^)dm — p^ zxdm -- g^yzdm . (2) 

Da wir es jetzt mit einem festen Körper zu thun haben, würde es 
angemessener sein, die Summenzeichen durch Integrale zu ersetzen. 
Jedoch behalten wir sie der Kürze halber bei, da ohnehin demnächst 
neue Symbole auftreten. 

Verlegen wir nun die mit dem Körper fest verbundenen Axen in 
seine 3 Hauptaxen, so sind die Ausdrücke 

^ yz dm j ^ zx dm , ^J xy dm (3) 

gleich null. Ferner werden die Ausdrücke 



dx 
dt 


= 


• 


+ 


qz 


— 


ry 


dy 
dt 


= 


— pz 




' 


+ 


rx 


dg 
dt 


= 


+ py 


— 


qx 







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§ 5. Drehbewegung mit Vernachlässigung der äufseren Kräfte. 391 



2 



(z» + x"^ dm = B (4) 



(5) 



2 (x^ + y')dm^C 
die drei Hauptträgheitsmomeute. Aus (2) erhält man also 

und entsprechend wird 

22!ri,dm=pJ, 

2^ fU dm = qß] 

Hiermit gehen die (2) des vorigen Paragraphen über in: 

A^^^ + (C-B)qr = L (6) 

§ 5. Drehbewegung mit Yernachlässigung der äursereu 
Kräfte und für A=^B, Die äufseren Kräfte; von denen die 
Drehungsmomeute iV, Z und M herrühren, wollen wir zunächst ver- 
nachlässigen. Wir werden weiterhin erkennen, dals dieser Vorgang 
bereits einen guten Einblick giebt. Wir setzen ferner mit Bück- 
sieht auf das Ergebnis der Pendelbeobachtungen S. 74 zunächst 
A '^ B und erhalten so aus dem Gleichungssystem (6) des vorigen 
Paragraphen das einfachere: 

A^j^-+{C-Ä)qr=^0 (1) 

Die erste dieser Gleichungen zeigt, dafs r von der Zeit unab- 
hängig ist. Nennen wir die Winkelgeschwindigkeiten /?, q und r 
zur Zeit /= null bezw. /?<,, q^ und Tq, so ist also 

r^r,. (2) 

Setzen wir jetzt 

*^r, = A, (3) 

so gehen die 2. und 3. Gleichung (1) über in 



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392 6. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

^ + ^^ = 

deren Integral nach bekannten Regeln der Lehre von den Differential- 
gleichungen die Form hat 

p = a cos Ui + u) 

^ ^^ (5) 

^ «= ö sin {ki + fi) , 

für a und fi als Konstanten , die vom Anfangszustande abhängen 

mittelst der Gleichungen 

P(.^==a cos u 

^' . ^ (5*) 

(Auf diese Ausdrücke (5) kommt man u. a. dadurch, dafs man die 
erste der (4) differenziert, mittelst der zweiten (4) dq : dt eliminiert 
und die entstehende Differentialgleichung 2. Ordnung für p integriert). 
Die (5*) geben zwei Wertsysteme (a,fi), indem das Vorzeichen von a 
nicht bestimmt ist. Beide Systeme führen aber mittelst der (5) zu 
denselben Werten p und g. 

Um die erhaltenen Integralausdrücke zu deuten, erinnern wir 
daraU; dafs den Drehbewegungen p, q und r um die drei Axen immer 

eine einzige Bewegung um die Momentanaxe 
substituiert werden kann , und zwar hat man 
nach einem bekannten Satze über die Zer- 
legung einer Drehbewegung nach den drei 
Axen, wenn co die Drehgeschwindigkeit um 
die Momentanaxe, ä, b und t ibre Stellungs- 
winkel sind, Fig. 64: 




Fig. 64. 



pTisz CD cos Ä , ^ «= o cosb , r = o COS c . 

Hierbei ist mit Rücksicht auf die voraus- 
gesetzte Gleichheit der kleineren Trägheitsmomente A und B zu be- 
merken, dafs infolge dessen das Trägheitsmoment für alle zur C^-Axe 
normalen Schweraxen denselben Wert hat und daher für die beiden 
zur C'Axe normalen Axen des mit der Erde fest verbundenen Ko- 
ordinatenaxensystems nun irgend zwei zur (7-Axe normale Schwer- 
axen zu nehmen sind. 

Die sphärischen Relationen der Fig. 64 zeigen aber, dafs 

cosÄ = sin t cosx , cosb = sine sin;i; 
ist, womit 

r CS CD cosC 

p ^=z CD siut cos X (6) 

q = €3 siniC sin^ 



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§ 5. Drehbewegung mit VernachläBsigung der äufseren Kräfte. 393 
wird. EUeraus folgt einerseits 

ß,2 _- ^2 _|_ p2 ^ ^2 . 

andererseits ist nach (2), (5) und (5*) 

r' + P' + ^' = V + V + ^o'. 

Mithin ist die Roiaiimsgeschwindigkeit der Erde um die Momentandreh" 
axe konstant, nämlich gleich 

was mit den Erfahrungen im wesentlichen übereinstimmt. 

Die 1. Gleichung (6) zeigt jetzt, dafs auch t konstant ist, d. h. 
die Momentandrehaxe beschreibt um die Axe des größten Trägheits- 
moments einen Kreiskegel vom halben Öffnung swinkel t, wobei zufolge 
der Verglelchung von (5) und (6), für ^ das Symbol Xo gesetzt, die 
Lage des sphärischen Radius t auf der Kugel vom Radius 1 gegeben 
ist durch 

Z = A/ + Zo , (8) 

die Geschwindigkeit der Rotation des Radius ( aber durch 

die Umlaufszeit der Momentanaxe um die (7- Axe also endlich durch 

r= val. abs. ^. (10) 

Wenn die Momentandrehaxe, welche die Lage der Himmelspole 
bestimmt, sich im Erdkörper verschiebt, so müssen geogr. Breite, 
geogr. LängendifiPerenzen und Azimute veränderlich sein und zwar 
im vorliegenden Falle periodisch veränderlich. Man hat namentlich 
die Beträge der Polhöhe einzelner Orte studiert und dabei überhaupt 
nur unterschiede von Zehntelsekunden bemerkt, die zum Teil perio- 
dische Veränderungen zu sein scheinen und vielleicht von der Ro- 
tation der Momentandrehaxe im Erdkörper herrühren können. Die 
Dauer T der Periode aber läfst sich zunächst nur aus anderen Er- 
scheinungen mit Sicherheit erkennen, die ebenfalls wie X von 
{C — Ä) i A abhängen. Dieses ist insbesondere die sehr merkbare 
Bewegung der Momentanaxe im Räume unter der Einwirkung von 
Sonne und Mond, wie wir weiterhin noch etwas näher ausführen 
werden. Die Lunisolarpraezession , ein wesentlicher Teil der er- 
wähnten Bewegung, giebt 

.^^A = 0,003272, 
woraus folgt (11) 

^-^A = 0,003283 . 



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394 



6. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 



Da Dun erfahrungsmärsig t sehr klein sein mufs; so kann man 
nach (6) mit grofser Genauigkeit Tq = o setzen und erhalt aus (3) : 



A=- 



d = 0,003283 CD . 



(12) 



Mittelst (10) wird somit; wenn man noch beachtet, dafs der Absolut- 
wert TOD 27C : o die Kotatiousdauer der Erde um ihre Axe, d. h. ein 
Sterntag ist: 

T = val. abs. -^ : 0,003283 = 304,6 Sterntage . (13) 

Da aber ein tropisches Jahr (Zeit des scheinbaren Sonnenumlaufs 
gegen den Frühlings-Tag- und Nachi^leichenpunkt) 366,242 Sterutage 
uud 365,242 mittlere Sonnentage hat, so folgt auch 

T = 303,8 mittlere Tage . (14) 

Andererseits beschreibt die Momentanaxe in einem Jahre um die Haupt- 
axe C einen Winkel gleich 360« . 366,242 : 304,6 d. i. 

432,8* . (15) 

§ 6. Die Polhohe von Pulkowa nach C. A. F. Peters. Eine 
genaue Untersuchung über die Bewegung der Momentandrehaxe der 
Erde führte zuerst Pelers 1842—43 mittelst einer Reihe von 279 Be- 
stimmungen des Polarsterns in Zenithdistanz, deren jede eine Gleich- 
ung für die Polhöhe (geogr. Breite) des Beobachtungsortes Pulkowa 
gab*). In folgender Tabelle (s. nächste Seite) sind die Mittel- 
werte der Beobachtungen für 18 Zeitintervalle behufs Erlangung einer 
Übersicht zusammengestellt. Fig. 65 giebt dieselbe graphisch. In 
jedem Intervall war die Lage des Fernrohres konstant. 




In den Ausdrücken für die beobachtete Polhohe bezieht sich ^tv auf 
eine Verbesserung des Ausdehnungskoefficienten der Luft, für welchen 
Peters den Ausdruck 

0,0046254 + -^~ für PÄ 

einführt, /iw wird gleichzeitig mit der Polhohe, der Biegung des Fern- 
rohrs und zwei Konstanten, welche die Bewegung der Momentanaxe 



•) „Resultate aus den Beobachtungen des Polarsterns am .EHcZ sehen Verti- 
kalkreise der Pulkowaer Sternwarte." Bulletin de la Classe physico-mathim, de 
VAc, imp. des sc. de St Päersbourg 1844 1. 11 p. 306. 

Nach Nyr6n hat auch Besscl einen Versuch gemacht, durch Beobachtung 
eines Meridianzeichens die Lage der Rotationsaxe zu untersuchen. 



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§ 6. Die Polböh« von Palkowa nach C.A.F. Peters. 



395 



NordU 



'Mmuntanae» 



charakterisieren^ aus einer Ausgleichung ermittelt Als normalen 
Wert B der Polhöhe wird man das Komplement des Winkels zwischen 
dem Zenith des Beobachtungsortes und dem 
durch die Hauptaxe C markierten^ festen 
nördlichen Himmelspol ansehen , während 
sich die Beobachtung ß auf das Komple- 
ment des Winkels zwischen dem Zenith und 
dem durch die Momentanaxe markierten 
wirklichen Pol bezieht, Fig. 66. Da die ^^^ 
Erde von Norden gesehen entgegen dem 
Uhrzeiger rotiert, führen wir anstatt % 
die mit der Zeit wachsende Variable % ein, 
indem wir für % , Fig. 64, setzen — %. 

Man hat nach der Figur mit Rücksicht 
auf den geringen Wert von c, / in Jahren gerechnet: 

^ = j? + r cosx' = B-^t co8(xo'+ 432,8» 




Osl 



Zenith vonFnUaruHi . 
Fig. 66. 







Zeit in 




^ 




CS 


Zeit 


Jahres- 


Beobachtete PolbOhe 


ii 


69» 46" 


1^ 




bruch 




1% 




1 


1842 März 11/22 


1842,21 


59»46'18,766"-0,46^M' 


12 


18,771" 


2 


April 2/11 


27 


613 —0,40 


12 


617 


1 


April 11/Mai 1 


31 


824 -0,05 


17 


824 


2 


Mai 2/26 


37 


789 +0,76 


23 


781 


1 


Mai 27/Juni 13 


43 


686 +1,20 


25 


674 


2 


Jnni 14/Juli 9 


49 


678 +1,07 


24 


667 


1 


Juli 13/Ang. 9 


58 


723 +1,22 


26 


711 


2 


Aug. 10/18 


62 


687 +1,25 


14 


675 


1 


Aug. 19/Sept. 2 


64 


723 +1,16 


9 


711 


2 


Sept. 5/20 


71 


848 +0,72 


13 


841 


1 


Sept. 21/Okt. 8 


75 


789 +0,39 


12 


785 


2 


Okt. 10/19 


79 


871 —0,02 


13 


871 


1 


Okt. 21/Dez. 7 


1842,85 


829 -0,26 


11 


832 


2 


. Dez. 17/Febr.23 


1843,07 


689 -0,67 


17 


696 


1 


1843 März 4/26 


21 


675 -0,85 


19 


684 


2 


März28/Ap»-.ll 


26 


671 -0,65 


10 


678 


1 


April 13/28 


31 


710 +0,02 


20 


710 


2 


April 28/30 


33 


615 +0,52 


3 


610 



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396 ö- Kapitel. Zeitliche Andemngen der Niveauflachen. 

Indem / von 1842,0 ab gezählt wird^ findet sich 
B = 590 46' 18,755" + 0,011" 
t = + 0,079"+ 0,017" 
Xo' - 341,60 + 14,00 
^w; = — 0,017 +0,018 
ß = — 0,010" + 0,009". 

ß ist die Verbesserung des angenommenen Näherungswertes der Bie- 
gung des Fernrohrs in oberer Kulmination; die Unsicherheiten sind 
wahrscheinliche Fehler. Peters fahrt bei der Ausgleichung Gewichte 
mit Rücksicht auf den Luftzustand ein ; als w. F. seiner Gewichtsein- 
heit folgt aus den 279 Fehlergleichuugen + 0,229", und da durch- 
schnittlich das Gewicht einer solchen 2,7 ist, so ist der w. F. einer 
Fehlergleichung (Beobachtung) gleich +0,14". 

In unserer Tabelle sind nur die Anzahlen der Beobachtungen 
aufgeschrieben, da die Mittelwerte einfache Mittel ohne Rücksicht 
auf Gewichte sind. Diese Anzahlen sind aus der später z^ erwähnen- 
den Schrift von Nyren entnommen (ihre Summe giebt aus nicht auf- 
geklärtem Grunde 280 anstatt 279). 

Mit dtv = — 0,017 folgt der Ausdehnungskoefficieut der Luft 
für 1 Centigrad gleich 0,003659 (für PÄ gleich 0,004573), ein Wert 
welcher dem Ausdehnungskoefficienten 0,003670 trockener Luft nach 
neueren Untersuchungen sehr nahe kommt. Die letzte Rubrik unserer 
Tabelle ist mit /Jw = — 0,01 berechnet, welcher Wert zu 0,003676 
gehört und durch Abrundung aus dem zu 0,003670 gehörenden Wert 
entstanden ist. Bekanntlich unterscheiden sich das Brechungsver- 
mögen trockener und feuchter Luft bei gleichem Drucke und 
gleicher Temperatur nur sehr wenig, dagegen ist noch nicht ausge< 
macht, dafs die Änderung des Refraktionskoefficienten mit der Tem- 
peratur genau nach dem Ausdehnungskoefficienten der Luft erfolgt, 
wie die gebräuchliche Theorie lehrt. Es war also einerseits von 
Peters eine nützliche Vorsicht, Jw als unbekannte einzuführen, an- 
dererseits durften wir Jw^ von 0,003670 ausgehend, etwas abrunden. 

Die graphische Darstellung, Fig. 65, zeigt die Werte der letzten 
Kolumne und die Ausgleichungslinie nach Peters. Der Anblick zeigt, 
dafs trotz des geringen w. Fehlers in t und x^ die Bestimmung 
dieser Gröfsen unsicher ist und dafs, wie Peters erwähnt, recht wohl 
ein Einflufs von jährlicher Periode (wie z. B. eine Refraktionsanomalie) 
in t und Xo ^^i' Darstellung gelangen kann. 

§ 7. Die Polhohe von Pulkowa nach Nyr6n. Peters sah 
selbst ein, dafs seine Beobachtungsreihe trotz der grofsen Schärfe 
der Messungen zu kurz sei, um andere periodische Einflüsse von der 
zehnmonatlichen Periode zu trennen. Er setzte deshalb die Beob- 



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§ ,7. Die Polhöhe von Pulkowa nach Nyren. 



397 



achtungen fort und erhielt schliefslich 1842—44 im ganzen 371 Be- 
obachtungen. 1863—70 beobachtete Gyläen im ganzen 236 mal, 
1871 — 73 Nyren 155 mal mit demselben Instrument. Alle diese 
Messungen hat Nyren einer äuTserst sorgfältigen Bearbeitung unter- 
worfen.*) 

Er rechnet mit der jährlichen Veränderung 428,9® in % und 
findet mit Angabe wahrscheinlicher Fehler aus den Messungen von 
Pelersi 

t = 0,101" + 0,014" xo = 5^Jo + 6,2« für 1843,0 ; 
aus den Messungen von Gyldeni 

t = 0,125" + 0,017" Xo' = 290,6« + 8,7« für 1868,0 ; 
aus seinen eigenen Messungen: 

t = 0,058" + 0,015" Xo' = 85,1« ± 19,3' für 1868,0 . 

Die Übereinstimmung der Xo ist aber eine möglichst schlechte. 
Denn fügt man zu Xo' ^^^ 1843,0 den Betrag 25 mal 428,9« hinzu, 
so folgt nach den Messungen von Peters: 

x; = 335,2« für 1868,0. 

Nyren bemerkt nun, dafs eine Vergröfserung des angewandten Wertes 
der jährlichen Veränderung von x' ^^^^ bessere Übereinstimmung 
für Xo hervorbringt. Mit 430,3 wird bezw. erhalten: 

Xo' = 10,2«, 293,6«, 79,1«. 

Gelegentlich seiner Bestimmung der Nutationskonst-ante aus Be- 
obachtungen von fF, Struve am Passageninstrument im ersten Ver- 
tikal hat Nyren aber erhalten: 

c-O,04O-±0,O,O"{5;;-^;«:i' lg;»:)«. 1868.0. 

Nehmen wir an, dafs die Änderungieu in Xo' ^^^ einen ander- 
weiten Zuwachs in der jährlichen Veränderung von % gleich 1,4* 
dieselben sind, wie bei dem ersten Zuwachs, was allerdings nicht 
ganz richtig ist, so werden die vier Werte von jjo' reduziert auf 1868,0: 



für 



428,9« 
430,3 
431,7 
433,1 



Peters 

335,2« 
10,2 
45,2 
80,2 



Gyldin 


Nyrin 


Strwe 


290,6» 


85,1» 


24,0» 


293,6 


79,1 


63,4 


296,6 


73,1 


102,8 


299,6 


67,1 


142,2 



•) „Die Polhöhe von Pulkowa von Dr. M. Nyren.'^ {Memoirs de VAc. imp, 
des sc. de St. Päersbourg, 7. ser. 1. 19 1«73 No. 10.) 



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398 



5. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 



Hiernach scheint der Übereinstimmung ein Wert der jährlichen Ver- 
änderung in % von 431 bis 432 am günstigsten zu sein, wenn man 
von dem Wert %^ absieht, der aus Gyldem Messungen folgt.*) Diese 
sind zur Ableitung von t und %^ wenig günstig, da sie wesentlich 
auf die Monate März bis Mai, September und Oktober fallen. Das 
Auftreten unerkannter systematischer Fehler ist auch bei dieser Reihe 
ganz besonders auifallend, da weit öfter als bei den anderen beiden 
Reihen benachbarte Feblergleichungen übrigbleibende Fehler mit 
gleichen Vorzeichen haben. **) Es ist hiernach nicht unmöglich, dafs 
bei Gyldens Reihe in t und %^ vorherrschend Einflüsse anderer Art 
zum Ausdruck gelangen, trotz des geringen wahrscheinlichen Fehlers 
der Resultate^ der wie bei allen drei Reihen, besonders aber bei dieser, 
eben wegen des systematischen Charakters der übrig bleibenden Fehler 
ganz und gar keinen GenauigkeitsmaTsstab abgiebt. 

Nyren erwähnt, dafs eine Kombination aller drei Reihen zu einer 
gemeinsamen Bestimmung von t und %q unausführbar ist wegen zu 

♦) Zu demselben Resultat führen die Beobachtangen dreier Sterne für die 
Bestimmung der Nutationskonstante , die Nyrin S. 38 anführt, xo' wurde für 
1850 etwa gleich 2530 und. hiemach für 1868 mit 431,5» j. V. gleich 100». 

*•) Eine flüchtige Übersicht führte uns zu Folgendem. Es kommen Fehler 
mit gleichen Zeichen hinter einander vor bei 



Peters 


Gyld&n 


Nyrin 


4 X + 6 


2 X + 6 


1 X + 6 


2 X — 6 


3 X — 6 


2 X — 6 


3 X - 6 


1 X+ 6 


2 X + 7 


2 X + 8 


3 X — 8 


1 X — 8 


2 X - 8 


1 X — 9 


1 X - 12 


1 X — 10 


2 X ~ 11 


bei 156 


bei 371 


1 X - 12 


Beobachtungen 


Beobachtungen 


1 X — 16 

1 X + 27 

bei 236 

Beobachtungen 




Sa. 90 Fehler 


Sa. 140 Fehler 


Sa. 49 Fehler 


oder 24%; 


oder 69%; 


oder 32%; 


Durchschnitt 


Durchschnitt 


Durchschnitt 


6,4 


9,3 


7,0 



In dieser Tabelle bedeutet z. B. in der ersten Rubrik 4x + 6: es kommen 
vor viermal fünf positive Fehler hintereinander; femer der Schlufs der ersten 
Rubrik: 24» o aller Fehler treten als Grappen von fünf und mehr mit gleichen 
Zeichen auf; die durchschnittliche Anzahl der Fehler von gleichem Zeichen ist 6,4 
(abgesehen von den Gruppen mit weniger als fünf Fehlem von gleichem Zeichen). 



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§ 7. Die Polhöhe von Pulkowa nach Nyren. 399 

ungenauer Kenntnis der jährlichen Veränderung von %. ^ der That 
würde auch der Versuch, eine Verbesserung des angenommenen 
Wertes der jährlichen Veränderung von % ™it unter die Unbekannten 
aufzunehmen, nur wenig Erfolg versprechen, da bereits 1** Änderung 
dieser Gröfse in 30 Jahren schon 30*^ giebt, und dieser Wert kaum 
noch als kleine Gröfse, deren Quadrat verschwindet, angesehen werden 
kann, wie es die Ausgleichungsrechnung erfordert. 

Immerhin kann man auch die jährliche Veränderung von % ^^s 
den zu einer Reihe kombinierten drei Reihen bestimmen, indem man 
nämlich etwa für die jährliche Veränderung von % = 430, 431, 
432 u. s. f. je eine Ausgleichung ausführt, die Quadratsumme der 
übrigbleibenden Fehler für jeden Fall ermittelt und durch Interpo- 
lation denjenigen Wert von % bestimmt^ welcher den besten An- 
schlufs giebt. 

Eine gründliche Untersuchung würde indessen vorher zu über- 
legen haben, ob nicht t und x^' überhaupt so veränderlich sind, dafs 
eine solche Rechnung ganz wertlos sein mufs.*) Wenn allem Ver- 
muten nach meteorologische Vorgänge die wesentlichste Ursache 
von Veränderungen in t und Xo sind, so dürfte sich zeigen, dafs 
t und Xo hauptsächlich periodischen Veränderungen unterliegen, 
herrührend von den periodischen Veränderungen der meteorologischen 
Verhältnisse, während die säkularen Veränderungen der letzteren ein- 
flufslos bleiben. Es ist dann die Frage, ob gegenüber den Schwan- 
kungen in Xo ^och von einem Mittelwert für diese Gro&e die Rede 
sein kann. 

Einstweilen scheint es uns ganz angemessen, der Veränderlich- 
keit von t und Xo' ^^^^^ allzuviel Bedeutung beizulegen und nach 
Peters und Nyren anzusetzen**): 

^^ 15 

Xq = 70^ flLr 1868,0 und den MeridUn von Pulkowa. 

Die entsprechende jährliche Veränderung 431,5® pafst sehr gut zu 
dem Wert (C — Ä) : C auf S. 393 unter (11) und giebt denselben 
nur zehn Einheiten der sechsten Decimalsteile kleiner. 



*) William Thomson hält die Resultate Nyr6n& in der That für solche, welche 
die Veränderlichkeit von t und %q beweisen; als Ursache genügen ihm ledig- 
lich meteorologische Prozesse {American J. of Sc. a, A. ßd. 12 1876, S. 351). 
Wir kommen weiterhin (§ 16) auf Entwicklungen, welche gestatten, Schätzungen 
dieser Art anzustellen. 

♦*) Nach Oppolzer, BahnbesHmmung 2. Aufl. S. 151, hat Bouming aus der 
Diskussion zehnjähriger Greenwicher Beobachtungen (1868—77) ähnliche Resul- 
tÄte wie Peters und Nyren erhalten. 



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400 5- Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

§ 8. Der Einflufs einer Ungleichheit von A nnd B. Wir 

int^rieren jetzt die Gleichungen (6) S. 391 unter Vernachlässigung 
äufserer Kräfte streng*): 

C^ + {B-Ä)pq = Q 
Aft+iC-B)qr = (1) 

wobei wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit 

C> B > A 
annehmen dürfen. 

Differentialgleichungen dieser Form kann man mittelst der ellip- 
tischen Funktionen herleiten. Ist nämlich ^ als Funktion von u de- 
finiert durch die Gleichung 






SO hat man^ wenn 
gesetzt wird, aus (2): 



und daher: 



f/1 — x'^sin't^ Jtl; (3) 

d^ dtp ^ ^ 



, - ~ = ^^-_-r_ "iL = — x^ sin V» cos^ 

du dij) du ^ 

d cosi/» . , d^ • , >* , /K.\ 

~du = ~ ^^^* "d^ = "" ^^°* ^^' W 

= cos^ -~- «= cos^ z/V'. 



du ^ du 

Vergleicht man mit (1), so leuchtet die Möglichkeit ein, dafs 
denselben genügt wird durch 

♦) Im weeentlichen bis Gleichung (14*) nach Kirchhoff, Vorlesungen über 
mathemat. Physik, Mechanik, 2. Aufl. 1877 S. 64. Eb mag hierbei Folgendes be- 
merkt werden: 

Schon Eitler behandelte die Drehung eines festen Körpers, und zwar föhrte 
er p, q und r ein und stellte die Gleichungen (6) S. 391 auf. Für den Fall 
A = B weist er die zehnmonatliche Umdrehungsdauer der Momentanaxe nach. 

Laplace behandelt die Drehung in der MSc, cä. t. I, 1. 1, p. 70-90. 

Poisson behandelt das Problem u. a. in der zweiten Ausgabe der Traüi 
de mic, t II p. 194. 

Jacöbi föhrte die elliptischen Funktionen in die Behandlung des Problems 
ein. Neuere Arbeiten sind namentlich von J, Somoff in den Bull, phys.-math, 
de St. Päersbourg 1856 Bd. 14 S. 163 und E. MaUhieu in lAouvilles Journal 1876, 
die uns aber nicht zur Hand waren. 



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§ 8. Der Einflafs einer Ungleichheit von Ä und B. 401 

p «SS a cosif; ^ = ^ sin ^ r s=' c ^tf; , (6) 

worin a, b und c noch unbestimmte Eonstanten bezeichnen. Äufser- 
dem wird man du gleich einem Vielfachen von dt, d.h. dw^Xdt 
und also 

u = Xt + ii (7) 

setzen, fi eine Konstante. Hiermit geben die (5) das System: 

cl dt ^^ ab ^ 

J_ ^^ o- IL =0 
al dt "^ bc 

_1_ J^ _ P*L _ 
bX dt ac ~ ' 

welches mit (1) zur Übereinstimmung gelangt, wenn man abc X x^ 
mit Rücksicht auf die nachstehenden Gleichungen bestimmt: 



(8) 



Zwei von den genannten fünf Konstanten bleiben unbestimmt; 
dazu tritt noch fi, sodafs die Lösung drei unbestimmte Konstanten 
enthält^ wodurch sie zur allgemeinen Losung wird. Auch diese drei 
bestimmen sich, wenn der Anfangszustand bekannt ist. Sind zur 
Zeit / = null die Werte von p, q und r bekannt und gleich p^, g^ 
und Tq, so wird aus den (6) mit Rücksicht auf (2) und (7): 

p^ = a cos am ft ^^ = & sin am ft Tq = c -^ am fi , (9) 

wenn allgemein ^ die Amplitude von u genannt wird. 

Verbindet man die (8) paarweise durch Multiplikation^ so folgt: 

x«X« {B -A){C-' A) 



ab 


"~ C 


Xa 


G-B 


bc 


- A 


Xb 
ac 


C—A 
"" B 



a* BC 

xU«^ _ (g - A) (C - B) 
6« "" AC 

X^ _ {C- A)(C-B) 
c« "" AB 



(10) 



Aus den (9) aber folgt durch Elimination von am fi: 

Bestimmt man aus den beiden ersten (10) a^ : 6^ und aus den beiden 
letzten (10) b'^ : c^ und eliminiert damit b'^ aus der ersten und zweiten 
Gleichung (11); so folgt zur Bestimmung von a^ und c^: 

Helmert, mathem. u. physikal. Theorieen der höh. Oeodäiie. II. 26 



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402 &. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflachen. 

(12) 





a' = P,' 


+ 


G 


-B 


B 


q.' 






C- 


-A 






c' = To^ 


+ 


C- 


-A 

- A 


B 

C 


Q.' 




ad zur Bestimmung 


von b'^j 


A« und 


«2 


aus 


den 


(10): 




h^^ 


= a^ 


c- 

c- 


-A 
- B 


A 
B 






- 


A2 = c' 


, (C?- 


A){C- 
AB 


B) 






x2 = 




B 


-A 
-B 


A 
C 


• 





(13) 



Mittelst dieser Gleichungen (12) und (13) und einer der (9) ist 
das System der Eonstanten abc k ^ x^ aus den Trägheitsmomenten 
und dem Anfangszustande abgeleitet. Es ist indes noch zu bemerken, 
dafs die (12) und (13) die Vorzeichen von a^b^c und X unbestimmt 
lassen; jedoch bestimmen die (8) und (9) die Vorzeichen zum Teil. 
Daz/ am f( positiv ist^ so hat nach der dritten Gleichung (9) c* dasselbe 
Vorzeichen wie r^; jede der Gleichungen (8) verlangt ferner, daJs das 
Produkt Xabc positiv sei. Für zwei der drei Grofsen X ab ist somit das 
Vorzeichen beliebig. Die verschiedenen Annahmen führen jedoch 
mittelst der (6) und (7) zu denselben Werten von j», q und r, wie 
man erkennt^ wenn man noch die Bestimmung von am ^ aus den 
ersten beiden Gleichungen (9) in betracht zieht. Es ist nicht nötige 
dieses hier weiter auszuführen. 

Wie bemerkt, bestimmen sich p, q und r mittelst der (6) und 
(7), wobei noch (2) und (3) zu beachten sind. Mit Einführung der 
Bezeichnung ^ = amt/ in die (6) ergiebt sich zur Ermittlung von 
p, q und r das Gleichungssystem: 

p tss a cos am u 

9 «= ^ sin am t/ (14) 

r = c -^ am t/ 
M = A/ + ft , (14*) 

worin die drei Faktoren von a, b und c als elliptische Funktionen 
bezeichnet werden. 

Zur Bestimmung der Lage der Momentanaxe und der augenblick- 
lichen Drehgeschwindigkeit ist wie in § 5 S. 392 zu setzen: 

p = Cd sinr cos% 

q s=z G) sinr sin% (15) 

r s= o cost . 
Hieraus und aus den (14) folgt a}^=a2 cos%mt/-|-^^ QiD?Simu-\'C^J^SLmu 
oder 0,2 = «2 ^ ^2 _ (^2 _ ^,2 + ^2;^2) gin^ am u ; (16) 



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S 8. Der Einflufs einer Ungleichheit von A und B, 403 

da u aber Ton der Zeit abhängt, so ist o jetzt veränderlich — nicht 
mehr konstant wie für Ä^= B, 

Betrachten wir nun ferner die (14), so ist klar, dafs ein Wachs- 
tum von am ti um 2» wieder dieselben Werte p, q und r, und also 
nach (16) und (15) dieselbe Lage der Momentanaxe ergiebt. Wächst 
dagegen am u nur um n^ so wechseln p und q ihr Vorzeichen und 
die Lage der Momentanaxe wird bezüglich der Axe C die entgegen- 
gesetzte. Hieraus erhellt, dafs die Momentanaxe um letztere eine ge- 
schlossene Eegelfläche beschreibt. Die Umlaufszeit ergiebt sich aus 
der Betrachtung von fi nach der Definition durch Ausdruck (2). 

Geht nämlich am t/ = ^ von ^, in ^j =" ^i 4" ^ä über, so wird 



2ft 2/r4.^| 






Im zweiten Teil rechter Hand setzen wir ^ = 2jr -|- ^'; dadurch geht 
er in 

Vi 






über; das ist aber u^. Für den ersten Teil beachten wir, dafs der- 
selbe viermal so grols ist als 



2 



da das Integral von dil) : Jil} augenscheinlich für alle vier Quadranten 
denselben Wert erhält. Damit wird 

tij =* W| -f- 4:K . 

Setzen wir nun die Änderung der Zeit t von /, bis t^ absolut 
genommen gleich J, so folgt mit Rücksicht auf (7) die Umlaufszeit 

J=val.abs. >^ . (18) 

Man erkennt, dafs sie für alle Umläufe denselben Wert behält. 

Aus den beiden ersten (15) sowie aus (14) folgt ferner mit Rück- 
sicht auf (16): 

**" ^-' a« -f c« - (a« — 6« -f c«x«) sin« am u ^^^^ 

Hieraus ergiebt sich durch Differentiation 



, . 2 ^ c« (5* — g« + <»*x*) d sin« am u _ 

ö sm r — |-^, + c« - (a« - 6« -f c«x«) sin« am uf 



26* 



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404 ^- Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

Da b^ > a^ ist, wie die erste Gleichung (13) zeigt, so ändern sich 
hiernach sin^t und sin^amt/ in demselben Sinne: Ihre Maxima und 
Minima fallen zusammen. 

Das Maximum von sin^r fällt auf amti =— bezw. -^u.s. f., 

und zwar ist 

, G^A A 

Ol - 

sin tma^ — ir^Tct-:- c«x« rr , A (C+_B-^Ai ' y"^^) 



Das Minimum fällt auf SLxnu = null bezw. ^ u. s. f., und zwar ist 
Hieraus folgt noch 



siu^tn^n = -^r^a2- • (21) 



Sin^Cmoa: 



^ B - A /. A + B - C , -^\ 

/. ■ ,\f , , , A(ü + B — A)\ ■ ^ ^ 



Die Maxima und Minima von sin^r teilen die (Jmldufszeit T in 

2 



vier gleiche Teile, denn wenn am « = ^ von null aus um - wächst, 



T 
so wächst u um Ä' und t absolut genommen um Ä^ : A, d. i.— , u. s. f. 

■jf jt 

§ 9. Fortsetzung: B — A sehr klein. Für die Erde ist -(tz:^ 

jedenfalls ein kleiner Bruch, etwa von derselben Ordnung wie Vioo- 
In diesem Falle ist nach (22) des vorigen Paragraphen angenähert: 

. „ . 5 a« B — A . ^^ B~A 

und hieraus: 

1 . B — A ... 

sm Cmax — sinr;„,„ = — sm r -^ _^ , (1) 

wenn sint rechter Hand irgend einen mittleren Wert von sinr be- 
zeichnet. Die Schwankungen in t sind somit auch sehr klein und 
bei der Erde ganz unmerkbar. 

Auch (o ist für die Erde als konstant anzusehen. Denn es wird 
nach (16), sowie mit Rücksicht auf (12) und (13) des vorigen Para- 
graphen : 

1 o , 9 , o I B-^A {C-B){C — A){^ 2\ 

und somit angenähert, wenn ^ = co sinr sin;^ ^^^ ^o = ^ ^^^^ ^^^Xo 
gesetzt wird: 



Google 



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§ 10. Der Satz von der unveränderlichen Ebene. 405 

Für r = 1 " schwankt die Abweichung des Wertes der grofsen Par- 
enthese gegen die Einheit nur um rund 

^^ : 8 000 000 000 000 000 . 

§ 10. Der Satz Ton der unyerftnderlichen Ebene. Wenn 
wir von äufseren Kräften absehen, so gilt für die Bewegung der 
Teile der Erde um ihren Schwerpunkt — auch wenn die Erde kein 
fester Körper ist — der Satz von der unveränderlichen Ebene. Diesen 
Satz wollen wir hier ableiten. 

Bezogen auf das System der festen Eoordinatenaxen der Xy y 
und z ist nach (5) S. 388: 

224^ ^^- = 



^^-^P""-« 


(l) 


22'4r- "■»-'>• 




woraus durch Integration folgt, wenn P, Q und B 
bezeichnen : 


drei Konstanten 


2 ^V». dm^P 


(2) 


2 ^V« dm = Q. 





Ä, P und Q kann man als Projektionen einer Gröfse K ansehen, der- 
gestalt, dafs 

R = js'cosr' 

P=Kco%ti (3) 

() = Ä'cosb' 
und also 

P'^ + 0"^ + R'^ = K^ 

ist. Die Winkel fl', b' und r' legen als Stellungswinkel eine Ebene durch 
den Schwerpunkt von konstanter Lage fest, die wir sogleich die unver- 
änderliche nennen wollen und die sich, wie wir sehen werden, auch 
ohne Bezug auf ein festes Koordinatenaxensystem charakterisieren läfst. 
Wir erinnern nun daran, dafs fxy^ fy, und ftx die Flächenge- 
schwindigkeiten der Projektionen des Radiusvektors eines Teilchens 
dm bezw. in der Ebene xy^ yz und zx sind. Bezeichnet man mit / 
die wirkliche Flächengeschwiudigkeit des (vom Erdschwerpunkt aus- 
gehenden) Radiusvektors und sind die Stellungswinkel des Flächen- 
elementes fdt bezw. zur a:-, y- und z-Axe u, v und w, so hat man 

fxy = / COSU; fyt = /"COSW fix "^^f cosv . 



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406 &• Kapitel. Zeitliche ÄnderaDgen der Niveauflächen. 

Projiziert man nun f auf eine andere Ebene mit den Stellnngs- 
winkeln a, b und C; so ist die Projektion gleich f cosn^ wenn n der 
Neigungswinkel von fdt gegen die Ebene (abc) ist. Nun ist aber 

cosn o» cosö costt + cos^ cost; -f- cosc cosw; , 

folglich wird 

f cosn «= fy, cosa + /« cosb -f- fg^ cosc 
und 

2 ^ /cosn dm ^^ P cosa -|- jp cos^ -|- Ä cosc , 

oder mit Rücksicht auf die (3): 

2 ^ /cosn rfn» = A" (cosa cosa' + cos^ cosb' + cosc cosr') . 

Der Ausdruck rechter Hand ist ein Maximum für den Fall, dafs 
die Ebene {abc) in die unveränderliche Ebene ßlllt oder mit ihr par- 
allel ist. Alsdann wird 

2^fco^ndm = K. (4) 

Die unveränderliche Ebene ist also dadurch charakterisiert, da(s für 
sie die Summe der Projektionen der auf gleich grofse Massenteilchen 
bezogenen Flächengeschwindigkeiten f der Radienvektoren ein kon- 
stantes Maximum ist — oder anders ausgedrückt: 

Es hat die Ebene der konstanten grofsten Projektionssumme der 
Flächengeschwindigkeiten eine konstante Lage im Räume. 

K ist eine von der Wahl des Koordinatensystems unabhängige, 
dem Massensystem eigentümliche Eonstante. 

§ 11. Die Bewegung der Momentanaxe im Baome^ abge- 
sehen von äufseren Kräften. Nehmen wir zur Zeit t als Axen 
der X, y und z die Hauptaxen A^ B und C, so ist wie S. 391 (5): 

2^f^dm = R^rC 

2^fy,dm^P^pA (l) 

"i^Udm^Q^qB. 

Hieraus folgt mit Rücksicht auf die (3) des vorigen Paragraphen 
sofort für die Neigungswinkel a', V und i der Normale der unver- 
änderlichen Ebene zu den drei Hauptaxen A^ B und C\ 

cosa = -jr- cosb = -V- cosr = -^r- 

K K M. ^2) 



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§ 11. Die Bewegung der Momentanaxe im Räume. 407 

Dafs K konstant ist; wissen wir aus dem vorigen Paragraphen ; man 
erkennt es aber auch leicht aus dem System (1) S. 40ü; indem man 
dessen Gleichungen bezw. mit r^ p und q multipliziert, addiert und 
integriert. • 

Nach S. 392 (6) haben wir für die gleichzeitigen Stellungswinkel 
der Momentanaxe 



cosÄ = — cosb e= — cosr «= — (3) 

CO CO 09 ^ ' 

co^ = p2 + ^2 + r^ . 



Mithin ist der Neigtmgswinkel n der Momentanaxe gegen die Nor- 
male der unveränderlichen Ebene zufolge der Gleichung 

costt = cosa cosä' + cosb cosb' + cosr cosf' 

gegeben durch die Relation 

cosn = ^\^^ (4) 

Da p und q gegen r sehr klein sind^ so bemerkt man leicht, 
dafs cosn sehr nahe gleich' 1 ist. Wir berechnen daher 

iL*©* 

und finden 

(iJ* + 3* + »•*) CP*^* + 2*^* + r^^^) 

Mit Rücksicht auf den geringen Betrag von p und q gegen r, sowie 
von B — A gegen C — A können wir in grofser Annäherung dafür 
setzen 



sin^n 



_ P' + g» / C-^ 



(^)' 



r« 
oder unter Beachtung von (6) S. 392, wonach p^ + ^^ _> ^^2 sia2f jgt. 

smn = smc —-^ — . 

Nach S. 393 und 399 ist also zufolge der Beobachtungen ange- 
nähert 

tt = 0,003272 X Vis" = 0,0002".^ 

Um uns eine genaue Vorstellung von der gegenseitigen Lage der 
Hauptaxe Cj der Momentanaxe M und der Normale N der unverän- 
derlichen Ebene zu machen, denken wir uns um den Erdschwerpunkt 
eine Eugelfläche vom Radius 1 gelegt. Die Koordinaten x und y des 
positiven Poles M der Momentanaxe sind alsdann bezw. : 

g == cosa = -^ n = cos b s= -^ ; 

üi «0 



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408 ^* Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

diejenigen des positiyen Poles N der Nonnale der unveränderlichen 
Ebene sind: 



r = cosa' = f^ 


Ij' <= coBb' = 


qB 


Hieraas folgt 1 = 1 -7 — 








g' und ri sind also wesentlich Konstante Bruchteile von g und 17. 
Nehmen wir insbesondere A^^» Bj so wird genau ^ : ^' = i] : rf, d. h. 
Cy N und M liegen stets auf einem gröfsten Kreis. 

Die Situation der drei Pole ist nun, wenn wir sie im Norden 
annehmen, die der Figur 67, nur ist M daselbst irrtümlich linker Hand 
von N anstatt rechter Hand von N eingetragen. 
N liegt absolut fest, M und C rotieren in gleichen 
Zeiten einmal entgegengesetzt der Richtung des 
^/"^ \ Uhrzeigers um N herum. Dabei ist 

(7iV=V„" und NM^^U^'. 

Übrigens ist der letztere Betrag ganz und 
gar unmerklich. Abgesehen von äufseren Kräften 
^^^ ^'- hat daher die Rotationsaxe des festen Erdkörpers 

eine als unveränderlich zu betrachtende Richtung im Räume; nur im 
Erdkorper verschiebt sie sich um kleine, jedoch auch nicht sehr merk- 
liche Beträge. 

§ 12. Orandglelchungen für die Drehbewegung des nicht 
festen Erdkörpers.*) Zur Entwicklung dieser Gleichungen können 
wir von den Gleichungen (2) S. 389 ausgehen. In diesen Gleichungen 
ist Bezug genommen auf ein bewegliches Koordinateuaxensystem, das 
gegen seine augenblickliche Lage mit den Winkelgeschwindigkeiten 
p, q und r bezw. um die a:-, y- und z-Axe gedreht wird. Denken 
wir uns nun zunächst wie in § 4 S. 390 die Erde als festen Körper 
und das bewegte Axensystem fest damit verbunden, so gelten die (1) 
S. 390. Zu den rechten Seiten dieser Gleichungen treten aber noch 
Glieder, wenn wir jetzt annehmen, dafs die Teile der Erde sich gegen 
das bewegte System verschieben. Es wird nämlich zur Zeit /: 

*) Die Entwicklungen der Paragraphen 12—16 sind erfolgt mit Benutzung 
der Abhandlungen: ^ 

Gylden^ Recherches sur la Rotation de la Terre; präsente k la Soci- 
4i6 Boyale des Sciences d'Upsal. 1871. [Bef. in der Vierteljahrsschrift 
der Astronom. Gesellschafk 1874 IX S. 199.] 

G. H. Darwin^ On the Influence of Geological Changes on the Earth's 
Axis of Rotation [PhiL Transact, 1877 Bd. 167 I; Auszug im American 
Journal of Science and Arts 1877 Bd. 13 S. 444; Bef. in der Viertel- 
jahrsschrift der Astronom. Gesellschaft 1878 XIU 309.] Dieser Abhand- 
lung folgt ein Anhang von Wüh Thomson^ dessen Methode in § 14 be- 
nutzt ist. 



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dx 




dx, 


dt 




dt 


dt 


= 


dt 


dz 
dt 


= 


dz, 
dt 



§ 12. Grnndgleichgn. f. d. Drehbewegang d. nicht festen Erdkörpers. 409 

. +qz — ry 

pz . +rx (1) 

^py — qx . , 

wobei wir also annehmen, dafs zur Zeit t die Erde sich mit dem be- 
wegten System gegen dessen augenblickliche Lage mit den Winkel- 
geschwindigkeiten p; q und r verschiebt und die Teile der Erde anfser 
dieser Drehbewegung im Zeitintervall dt noch gegen das bewegte 
Eoordinatenaxensystem die Verschiebungen dx^ y dy^ und dz^ erleiden. 
Wie man sieht, bleiben Py q und r jetzt noch ganz willkürlich, denn 
sie bezeichnen vorläufig nur einen nicht näher definierten Teil der Be- 
wegung der Erdteile gegen das feste Eoordinatenaxensystem, der zur 
Zeit t stattfindenden Lage des willkürlich nach Mafsgabe von p, q, r 
bewegten Axensystems. 

Mittelst der (1) folgt jetzt aus (4) S. 388: 

'^r^ = 2U = r{x^ + y^)^pzx-qyz^[x^^ -^y^^f)^ 
Es wird daher 
2 ^ f!gydm = r ^ (a:^+y2)dw — p ^ zx dm — q ^ yz dm 

oder 

2^r^dm = rC,^pB'-^qÄ + H, , (2) 

wenn gesetzt wird: 

^ (x^ + y^) dm = C, 

^, zx dm = B' 

^, yz dm ^^ A 

Ebenso erhalten wir 

2^ry,dm=pA,^qa ^rB' + H,, (4) 

wenn ferner gesetzt wird: 

2 (y* + ^') dm =-- A, 

^xydm^f (5) 

2 ('-':r~'-/r) "'•-«'■• 



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410 &• Kapitel. Zeitliche ÄnderuDgen der Niveaaflftchen. 

endlich 2 ^ f„ dm ^ qB^ -- rA' — pC -{- H^ , (6) 

wenn noch gesetzt wird: 

Hiermit nehmen die Gleichungen (2) 8. 389 folgende Form an : 

*** —prÄ + qrff — qH^-{-pHj]'^' 

dt ^gpB' + rpC-rff^+gHj 

d(qB,-rÄ-p(r+H,) + rp {A - ^i) + il-^ - »•') ^ 



;i 



Bei der Anwendung dieser Gleichungen ist man verschieden vorge- 
gangen. Man hat das bewegte Koordinatenaxeusystem so angenommen 
(Gylden)y dafs es eine mittlere Bewegung aller Körperteile hat, indem 
man die // null setzte ; man hat es auch so angenommen (G, H, Darwin)^ 
dafs es mit den . veränderlichen Hauptaxen zusammenfällt. Beide 
Methoden geben eine Vereinfachung der (8) und führen zum Ziele, 
solange nur die Bewegung der Erdteile nicht von der Rotation selbst 
abhängig vorausgesetzt wird. Auf letzteren Fall gehen wir hier 
nicht ein.*) 

§ 13. Forteetzung: Modifikation der Gleichungen. Wir 
nehmen die veränderlichen Hauptaxen ABC ^A^ bewegtes Koordinaten- 
axensystem; aufserdem aber zur Zeit t dieselben Axen als festes 
System xyz^ sodafs in den Gleichungen (2) S. 389, von denen wir 
wieder ausgehen, p, q, r die Winkelgeschwindigkeiten bezeichnen. 



•) Nach Gylden, Astronmn. Nachrichten 1878 Bd. 93 Nr. 2226 S. 278. sind 
die Gleichungen (8) von lAauville in seinem Joamal, s^r. II t. in, aufgestellt; 
indessen war uns diese Zeitschrift nicht zur Hand. Gyld&n knüpft an diese 
Gleichungen eine interessante Untersuchung über die Bewegung der Momentan- 
axe in dem Erdkörper, wobei derselbe als aus einem festen Teile, dem Kern, 
und einem beweglichen, der Masse des Weltmeeres, zusammengesetzt gedacht 
und Rücksicht darauf genommen wird, dafs die Oberfläche des Weltmeeres durch 
die Rotation beeinflufst ist. Für diese Untersuchung ist es deshalb nötig, das 
Koordinatenaxeusystem mit dem Erdkern fest zu verbinden, denn jedes der beiden 
oben erwähnten Systeme ist in diesem Falle in Bezug auf seine Lage zum Erd- 
kern unbekannt und erst aus der Bewegung herzuleiten. Die Untersuchung 
hat aber nur ein Interesse für die Entwicklungsgeschichte des Erdkörpers; gegen- 
wärtig ist die Stabilität der Momentanaxe im Erdkörper wegen des erfahrungs- 
mäfsig starken Überwiegens des Trägheitemomentes C über A und B eine so 
grofse, dafs die Verschiebung des Meeres nicht in betracht kommt. 



Google 



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dz^ 


sich verschiebe. 


Paragraphen: 






dx 


_ dx. 




df 


dt 




dy 


_ dyt 




dt 


~ dt 




dz 


_ dB, 




dt 


"■ dt 



% 13. Grundgleichgn. f. d. Drehbewegung d. nicht festen Erdkörpers. 411 

mit welcheu zur Zeit t das System der Hauptaxen sich um sich selbst 
verdreht. Die Bewegung der Erde aber beziehen wir nunmehr nicht 
wie im vorigen Paragraphen auf dasselbe bewegte Axensjstem^ son- 
dern auf ein anderes. Wir nehmen nämlich an, dafs in dem Zeit- 
intervall t bis t -^ dt die Erde sich im allgemeinen mit den Winkel- 
geschwindigkeiten p — a, 9 — ßf f — y gegen die festen Äxen ver- 
drehe und ein einzelner Punkt (xyz) gegen drei rechtwinkelige Axen, 
die zur Zeit t mit den festen Äxen zusammenfallen^ aber im Intervall 
dt die allgemeine Drehung mitmachen, aufserdem um dx2i dy^ und 
Dann wird nach Analogie von (I) des vorigen 

-f (^ - /J) ;r - (r - y) y 

-(P — a)^ . ^{r-'y)x (1) 

+ (p — a) y — (^ — /*) ^ 
und hieraus ähnlich wie im Beginn des vorigen Paragraphen: 

2 2/"-» äm = {r-Y)^ {^x^ + f) dm 

— (p — g)^ zx dm — {q — ß)^ yz dm 

Da wir nun zur Zeit t als festes Koordinatenaxensystem der 
x^ y und z die Hauptaxen nehmen, verschwinden die Summen 

y, zx dm ^ yz dm ^ xy dm ; (2) 

aufserdem können wir ohne Zweifel die drei Gröfsen (p — «), (^ — /J), 
(r — y) so gewählt denken, dafs sie die mittlere Drehbewegung des 
veränderlichen Erdkorpers vorstellen und somit auch die Summen 



2( 



-^-^-t-)"" 



verschwinden.*) Bezeichnen wir alsdann die veränderlichen Haupt- 
tragheitsmomente 



*) Dars diese Bestimmung möglich ist, geht aus den weiterhin folgenden 
(5) hervor. Denkt man sich die Bewegung der Erdteile gegen die festen Axen 
bekannt, so sind darin nur die drei Gröfsen a>,, cof, a>t unbekannt und diese 
lassen sich jedenfalls bestimmen. 



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412 &■ Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

2* {x^ + y') dm mit C 

2 (y* + ^') <^»» mit 31 (4) 

2 (^* + a;') rf»j mit « , 
80 wird mit Rücksicht aufs Vorige und nach Analogie 

2^n,dm = (r - y) C = co,C 

2 2/^« <^'» = (* - ^) * = ®2« ' 

wenn zur Abkürzung r — y, /> — o, q — ß mit oJj , o, , Oj bezeich- 
net werden. 

Die Gleichungen (2) 8. 389 geben nunmehr folgendes System : 

-^7r - ('"^ + ^) '»'^ + (''' + '^) ""^^ = ^ 

** -dl~ - ("3 + y) «.« + (», + ^) «,c = z (6) 

- dT*- - («. + «) «3C + (e>3 + y) «,3l - ^ • 

Hierin sind sAsoJi^ü, (£, die veräDderlichen Hauptträgheitsmomente, 
Oj, c»2, O3 die mittleren Drehgeschwindigkeiten der Erde um die für 
den Augenblick festgehaltenen Hauptaxen ABC und (»1 + «), (öj + ZJ), 
(c»3 + y) die Drehgeschwindigkeiten* der veränderlichen Hauptaxen 
selbst gegen ihre augenblickliche Lage. 

Die Hauptträgheitsmomente Ji, ji, (L und die Gröfsen a, ßy y^ 
welche das Voraneilen der Hauptaxen gegen den Erdkörper markie- 
ren, müssen als Funktionen der Zeit gegeben sein, wenn die a» aus 
den (6) ermittelt werden sollen. 

Als Momentanaxe wird man bei einem veränderlichen Erdkorper 
eine Axe bezeichnen, deren Stellungswinkel ü, b und t sich nach 
den Formeln 

ö, = OJ COSÄ Cöj == G) COSb 0)3 = 0} COSC 

Cd2 ~- c^2 _|_ ßj^2 _|_ ßj.2 

aus den Werten cd,, co^i coj berechnen, die mithin als Komponenten 
der augenblicklichen mittleren Drehgeschwindigkeit cd der Erde um 
die Momentanaxe aufgefafst werden. 

Hierbei ist zu bemerken, dafs w nicht notwendig mit der astro- 
nomisch beobachtbaren Rotationsdauer der Erde zusammenfällt, indem 
die einzelnen Teile der Erde sich eben nach der Voraussetzung etwas 
verschieden bewegen. Die Frage nach dem Grad der Verschieden- 



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§ 14. Bewegung des veränderlichen Erdkörpers. 413 

heit bat übrigens nur bei Massenverscbiebungen von der Art der 
Flut und Ebbe (auf der Oberfläche oder im Innern) eine praktische 
Bedeutung. 

§ 14. Bewegung des yeränderllchen Erdkorpers^ abgesehen 
TOn äufseren Kräften. In diesem Falle geben die (6) des vorigen 
Paragraphen : 

i^2^1 _ (0,, + y) 0,,« + (0,, + ß) 0,3(1 = (1) 

— d!" - («^^ + «) <»s(b: + («3 + y) e»,3l = . 

Als Unbekannte nehmen wir G)^Ji, ^2^j ^z^} weil dieses einfacher 
ist und weil aufserdem diese Grofsen auch eine besondere Bedeutung 
haben. Da wir von äufseren Kräften absehen, gilt nämlich jetzt der 
Satz von der unveränderlichen Ebene, § 10 S. 405. Zufolge der (5) 
des vorigen Paragraphen haben aber zur Zeit t die Gröfsen P,Q,R 
des § 10 die Werte cd,^, (o^ii, ^^^^ und es sind daher die Stellungs- 
winkel der Normale der unveränderlichen Ebene gegen die Hauptaxen 
gegeben durch die Relationen: 

0J,3l = Ä" COSfl' CD2Ä = ArC0sb' ©od ■= Ä' COSC' 

für (2) 

K ist nach § 10 eine Eonstante; man erkennt dies auch aus den (1), 
wenn man sie bezw. mit 03 C; oi^%^ (q^^ multipliziert, addiert und 
integriert. 

Legen wir um den Erdschwerpunkt eine Kugel vom Radius l, 
so sind die Koordinaten des positiven Poles der Normale der unver- 
änderlichen Ebene auf der Kugelfläche in Bezug auf die drei Haupt- 
axen A, B, C bezw. 

6' = cosä' = '"j^ 

,y' = cosb' = -^^^ (3) 

g' = cosc' = -^^^ . 

Dagegen sind die Koordinaten des positiven Poles der Momentanaxe 
mit Rücksicht auf (7) des vorigen Paragraphen: 

| = cosÄ= *"* =6'#- 

, = C08b= ^ =V-J^ (4) 

e = cosc= '"'- = r 5- 



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414 &• Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niyeauflächen. 

Die Relationen (4) gestatten g ij g zu berechnen, wenn erst g' rl f 
ermittelt sind; was im Anschlufs an die (1) zu geschehen hat. Wenn 
wir annehmen^ dafs wie gegenwärtig die Haupttragheitsmomente ^, 
tf und C näheruDgsweise einander gleich bleiben^ dann ist ange- 
nähert 

d. h. S und |\ fi und ti^ t und g' unterscheiden sich nur um kleine 
Bruchteile ihres Wertes. Abgesehen von äufseren Kräften bleibt 
daher die Momentanaxe der Normale der unveränderlichen Ebene 
sehr nahe und hat somit im Räume angenähert eine konstante Rich- 
tung. Die Abweichungen der Momentanaxe von der konstanten Richtung 
sind jedenfalls viel kleiner als die Verschiebungen des Erdkörpers gegen 
die Momentanaxe. 

Wir führen nun, wie beabsichtigt, in die (1) die Ausdrücke (3) 
ein und erhalten: 

^f + v'i{i-f)-yn+ßt'-o (5) 

1f + rr(-f-f)-«r + H- = o. 

Die bedeutenderen Massen Verschiebungen, welche gegenwärtig 
erfahrungsmäfsig stattfinden, erfolgen durch meteorologische Prozesse, 
durch Erdbeben und vulkanische Ausbrüche, durch langsame (säku- 
lare) Hebungen und Senkungen der Erdkruste und endlich durch die 
Ebbe und Flut. Die Massen, welche hierbei in betracht kommen, 
sind jedenfalls wesentlich kleiner als diejenigen, durch deren Anhäu- 
fung in der Gegend des Äquators C über % und tf dominiert. Es 
wird daher das gegenwärtige Verhältnis von ^ zu. % und A nicht 
wesentlich gestört werden, ebenso wird die (7-Axe und demgemäfs 
voraussichtlich auch die Momentanaxe nur geringe Verschiebungen 
im Erdkörper erleiden. Dies letztere (nach der Anmerkung zu § 12 
S. 410 eine notwendige Voraussetzung der Brauchbarkeit der Ent- 
wicklungen) kommt auf die Voraussetzung der Kleinheit von £' und rf 
hinaus, infolge welcher ^ von der Einheit nur sehr wenig abweicht. 
Mit Rücksicht auf diese Bemerkungen vereinfachen wir unter An- 
nahme von y es null das System in folgendes : 

in welchem C und A Mittelwerte für C und % nebst tf bezeichnen. 



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S 15. Bewegung dee yeräoderlichen Erdkörpers. 415 

Die Annahme y => null reicht ftir unsere Zwecke auS; abgesehen 
von flutartigen Bewegungen der Massen. Denn das Wesentliche der 
anderen Fälle wird auch erkannt^ wenn wir dabei die Axen A und B 
so zu den bewegten Massen gelegt denken^ dafs sie keine Verschie- 
bung erleiden, welche aus einer Drehung um die 6?-Äxe hervorgeht. 

Bei flutartigen Massenbewegungen ist im System (6) zu setzen 

§ 15. Fortsetzung: Integration und spezielle Fälle. 

Die erste und zweite der Gleichungen (6) des vorigen Paragraphen 
haben dieselbe Form wie die (4) S. 392, falls wir « = ^ = null setzen ; 
in diesem Falle würden wir demnach erhalten: 

g' a= a cos (A / + ft) ri «=^ a sin (A^ + ^) , 

wenn der Faktor von ri in der ersten Gleichung (6) mit A bezeichnet 
wird und a und ft Eonstanten bezeichnen. Lösen wir die trigonome- 
trischen Funktionen in den Ausdrücken f&r g' und r[ auf, so folgt: 

§' sss/cosA/ — g BmXi 

fl) 
71 = fsinXi + ff cosXt , ^ ^ 

worin f und g ebenfalls Eonstanten sind, die aber von a und fi ab- 
hängen. 

Wir versuchen nun eine Losung unserer beiden Differential- 
gleichungen 

worin 

(2») 



(2) 
C — A K 



A C 

ist, dadurch zu erzielen, dafs wir f und g als Funktionen der Zeit t 
betrachten, die noch zu bestimmen sind. 
Aus (1) folgt: 

-2f = — X/'sinXi — Xg cosXt + ^ cosA/— ^|- sinA/ 
-^j- = X fcosXi — Xg sin Xt -|- ,J sinXt -|- -^ cosXt . 

Setzt man diese Differentialquotienten und die (1) in die (2) ein, 
so wird erhalten: 

^cosA^-^f-sinA/ ß 

If sinA/+ jJ-C08A/= + «, 



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416 &• Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveau flächen. 

woraus durch Auflösung nach den Differentialquotienten hervorgeht: 

,^= — ß cos Xt -^ a sin Xt 

dt ■= H" /^ sin A/ + " cos Xi , 
welche Gleichungen ergeben 

/"= / (— /J cos A/ -f a sin Xt) dt 
^ = 1 (-^ ß sin Xt + a cos Xt) dt . 



(3) 



Diese Gleichungen enthalten mit den (1) die Losung der Aufgabe, 
^' und r^' zu finden. Man kann zum besseren Verständnis der (3) 
bemerken, dafs X ungefähr Yaoo ^®^ Drehungsgeschwindigkeit der 
Erde um ihre Axe ist und wesentlich dieselbe Bedeutung hat wie die 
Drehungsgeschwindigkeit X der Momentanaxe um die Hauptaxe C im 
festen Erdkörper, vergl. § 5 S. 394 

Schliefslich giebt die 3. Gleichung (6) des vorigen Paragraphen ^ ; 
doch ist es einfacher, von der Relation l"^ + V^ + 5'^ = 1 auszu- 
gehen, womit sich für den vorliegenden Fall ausreichend genau findet: 

r = i--^^- (4) 

Wenn wir eine stofsweise Massenverschiebung (Erdbeben) an- 
nehmen, so ist das Zeitintervall, innerhalb dessen a und ß von null 
verschieden sind, so klein, dafs in den Ausdrücken für f und g 
cos Xt =\y sin A^ (=> gesetzt werden kann. Damit folgt: 



f 



= /"o -Jß dt g = g^ +Ja dt , 



wobei /*Q und g^ die konstanten Werte von f und g vor dem Stofse 
sind und die Integration sich über das Zeitintervall des Stofses er- 
streckt. Es ist somit: 

r = (/"o -Jß ^') <^os Xt - (^0 + J « ^0 ^*" ^^ 

y\ = (/"o — / ß dt) sinXt + (^g^ + / a dtj cos Xt . 
Elechnen wir / vom Moment des Stofses ab, so ist gleich nachher 

r-A- fßät 

•^ (5*) 



Oq + 



j adt ^ 



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§ 16. Fortsetzung: Integration und spezielle Fälle. 417 

also die Änderung in g' und !r{ bezw. gleich 

- \ ^ dt und + ja di . > (6) 

Vor und nach dem Stofse beschreiben auf der um den Erdschwer- 
punkt gelegten Kugel vom Radius 1 die Normale der unveränderlichen 
Ebene und die Momentanaxe Kreise um die Hauptaxe C, Der Radius, 
der für beide nahezu denselben Betrag hat, ist vorher gleich 

Vf^^ + ^oS nachher gleich yp + ^^» ^^^ Rotationsdauer 304 Tage. 

Es ist noch zu beachten, dafs während des Stofses der positive Pol 

der Hauptaxe C sich auf der Einheitskugel in Richtung der ^^-Axe um 

I ßdt, in Richtung der B- Axe um — j adt verschiebt, da die Haupt- 

axen sich gegen die mittlere Drehbewegung der Erde mit den Winkel- 
geschwindigkeiten a, ßy y verschieben. Dieses sind gerade die entgegen- 
gesetzten Werte wie die, um welche sich die Koordinaten |' und ti 
nach (6) infolge des Stofses ändern, und man erkennt, dafs die 
Normale der u. E. gegen die Anfangslage der 6" -Axe nach dem 
Stofse dieselbe Lage hat wie vor dem Stofse. 

Die stofsweise Massenverschiebung äufsert sich hiernach wesent- 
lich nur darin, dafs im Augenblick ihres Eintritts die Axe des gröfsten 
Trägheitsmoments C ihre Richtung ändert, wodurch der halbe öflfnungs- 
winkel des Kegels, welchen* die Axe der u. E. und die Momentanaxe 
in 304 Tagen um die 6^- Axe beschreiben, von jZ/'q^ -|- ^^^ j^ yfi^gi 
übergeht. 

In den geographischen Koordinaten entstehen hierdurch Ände- 
rungen in der Amplitude der 304-tögigen Periode, sowie in den Mittel- 
werten (vergl. S. 395). 

Wenn wir eine säkulare Massenver Schiebung annehmen, so werden 
wir ein Bild der Veränderungen erhalten, indem wir a und ß kon- 
stant setzen. Die (3) geben zur Zeit /, wenn / vom Beginne der 
Verschiebung an gerechnet wird: 

/• = /o — -^ sin A/ + ^ (1 _ cos Xt) 

^ = ^0 + X (1 — cos A/) -f y sin Xt , 
und hiermit wird zufolge (1): 

r ^ + {f, + ^)tosU- {g, -h I) sin ^ t 

1?'= - 4 + (/"o + t) «^'^ ^^ + (^0 + y) cos ki . 

Beachtet man nun, dafs A die Bedeutung einer Winkelgeschwindig- 
keit hat, welche in 304 Tagen eine volle Umdrehung ergiebt, so er- 

Helmert, matbem. n. physikal. Theorieen der hOh. Geodäsie. H. 27 



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(7) 



418 ^* Kapitel. Zeitliche ÄnderuDgen der NiveanflächeD. 

kennt man leicht, dafs in vorstehenden Ausdrücken die durch l 
dividierten Glieder unerheblich sind. Denn selbst wenn, in Sekunden 
genommen, a oder ß in hundert Jahren 10" betrügen, was erfahrungs- 
mäfsig gegenwärtig nicht zu erwarten ist, so würden in 304 Tagen 
a oder ß nur 0,083" geben, sodafs mithin « : A oder ß : k den Betrag 
0,00000007 oder 0,013 in Sek. erhalten würden, welcher so gut wie 
gänzlich verschwindet. Wir dürfen mithin setzen: 

I' = /; cos A/ — ^0 sin ^t .^ 

r[ = f^ sin Xt + ^o ^^^ A/ . ^ ^ 

Demnach behält die Normale der u. E. und somit auch die 
Momentanaxe zum veränderlichen Hauptaxensystem bei säkularen 
Änderungen des letzteren immer dieselbe relative Lage wie zu An- 
fang. Die Momentanaxe folgt also den Verschiebungen der Haupt- 
axe C in der Erde, wobei sie in 304 Tagen um dieselbe einen Um- 
lauf von demselben Oflfnungswinkel wie zu Anfang beschreibt. 

Den säkularen Verschiebungen der Momentanaxe in der Erde 
entsprechen säkulare Änderungen der geographischen Koordinaten 
und Azimute von im allgemeinen gleicher Ordnung. 

Der Unterschied der Wirkung stofsweiser und säkularer Massen- 
bewegungen ist nach dem Vorigen der, dafs erstere den Offnungswinkel 
des Kegels ändern, welchen die Momentanaxe in 304 Tagen in der 
Erde um die Hauptaxe C beschreibt, letztere aber nicht. In beiden 
Fällen aber entsprechen die nichtperiodischen Teile der geographischen 
Koordinaten und Azimute der Lage der Hauptaxe C im Erdkorper. 

Die entwickelten Fälle mögen hier genügen; allerdings kommen 
bei meteorologischen Prozessen noch periodische Verschiebungen der 
Hauptaxe C vor, insbesondere mit Perioden von 1 Jahr und 11 Jahren, 
deren Betrachtung recht interessant ist (namentlich weil Multipli- 
kationen der Wirkungen eintreten können); aber das wesentliche 
Resultat läfst sich auch an der Hand der bereits entwickelten Formeln 
nachweisen. Es ist das Folgende: alle Verschiebungen der Hauptaxe C, 
welche nicht säkularen Charakter haben, wirken auf eine Veränderung 
des Abstandes von Momentanaxe und Hauptaxe, also auf eine Verände- 
rung des Radius, mit welchem erstere um letztere in 304 Tagen ro- 
tiert. Für Wirkungen, welche nur kurze Zeit, bis zu etwa einer 
Woche im Maximum, andauern, zeigt dies das Formelpaar (5); für 
etwas längere Wirkungen das System (7). In letzterer Beziehung 
kann man sich recht wohl denken, dafs bei meteorologischen Prozessen 
aik und j3:A in den (7) nicht immer verschwindend sind, wie bei 
säkularen Wirkungen ^ mögen diese von meteorologischen Prozessen 
restieren oder anderer Natur sein. (Durch Auflösung in successive 
stofsweise Verschiebungen kann man übrigens mittelst der (6) 
graphisch jede Wirkung verfolgen.) 



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§ 16. Schätzung der Veränderung der Hauptträgheitemomente. 419 

Betrachten wir zum Schlüsse ^, so finden wir mit Rücksicht auf 
(4) S.416, dafs es von eins sehr wenig abweicht, solange der Neigungs- 
winkel der Hauptaxe C gegen die Normale der unveränderlichen 
Ebene nur einige Sekunden betragt. 

Nun ist nach S. 413 (3) ^ = —^j folglich wird unter Voraus- 
setzung konstanten Wertes von J': 

ci>3(I = Konst. (8) 

Genauer ist unter Einführung des Wertes von g' aus (4) S. 416 

a,3(S; = Ä'(l-iy--l-). (8*) 

Die Gleichung (8*) gestattet einen Schlufs auf die Änderungen 
in der Winkelgeschwindigkeit co der Rotation um die Momentanaxe. 
Es war 

also ist in hinreichender Annäherung 

- = -3+^Ä.^-, (9) 

wobei (»I und ©j durch die Relationen ^^ = g' und ^^ = r( be- 
stimmt sind. Für K kann man hierin 03 C setzen. Machen wir 
aufserdem keinen Unterschied zwischen % und <B, so giebt (ß) die 
Näherungsgleichung : 

Aus (8*) und (10) folgt endlich 



Für ]/g'2 ^ ^'i gleich arc 10" wird die Parenthese mit Rücksicht auf 
(11) S. 393 gleich 1 + Vnoooooooooo- ^^^ Annahme cö(I:= K enthält 
daher einen Fehler, der auf gj reduziert in einem Jahre oder in rund 
32000000 Sek. erst 0,0003 Zeitsek. beträgt. 
Setzen wir hiernach 

aj(E; = Konst., (11) 

so hängt nun die Änderung in o nur von derjenigen in C ab und 
zwar ist für eine Variation in (C die entsprechende in o: 

§ 16. Schätzung der Yeränderang der Hanptträgheits- 
momente. 

Wir denken uns, dafs das System der Hauptaxen nach Mafsgabe 
der Winkelgeschwindigkeiten a, ß und y sich im Erdkörper gegen 

27* 



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420 6. Kapitel. Zeitliche Andeningen der Niveauflächen. 

sich selbst um ein Geringes verschiebt, wobei wir zur Vereinfachung 
das betreffende Zeitintervall als Zeiteinheit nehmen. Hat ein Punkt 
gegen die 1. Lage des Systems die Koordinaten x, y und z, gegen 
die 2. Lage die Koordinaten a; + **> ^ + *y> z -{- dz, so ist: 

tfir«== . —ßz + yy 

dy =^ -{- az . — yx (1) 

dz = — «y + ß^ 
Bezeichnet man nun die Cosinus der Richtungswinkel einer vom 
Schwerpunkt nach dem Punkt (xyz) gezogenen Linie für die 1. Lage 
der Axen mit /, m und n, so ist für die 2. Lage die Variation in 
/, m und n bezw.: 

d/ == . — /Jn + y^ 

dm = + an . — yl (2) 

dn = —- am '\- ßl 

wie man aus (1) findet, indem man beachtet, dafs z.B. l = x:r, 
mit r als RÄdiusvektor, ist. 

Am Schlüsse der Zeiteinheit ist das System in seiner 1. Lage 
nicht mehr System der Hauptaxen; das Trägheitsmoment in Bezug 
auf die Linie {l, m, n) hat daher alsdann für diese Lage des Systems 
die Form 

^^p^ B,m^ + C^n^ — 2A'mn -^2B'ln — 2(rim. (3) 

Dagegen ist dasselbe Trägheitsmoment für die 2. Lage des Systems 
der Hauptaxen von der Form 

3l(/ + Sir + ß(m + dmy + (l(n + dny, 
d. i. für sehr kleine Variationen angenähert gleich 

31/2 ^ ^^2 ^ (jj;^* ^ 23l/d/ + 2ümdm + 2€ndn, 
oder mit Benutzung der (2): 
31/2 + ^^2 ^ f^^2 ^ 2 wna(«-C) + 2lnß{€-Ji) + 2lmy{Z-a). (4) 

Da (3) und (4) bei beliebigen Werten von /, m und n über- 
einstimmen müssen, so zeigt sich, dafs 

A=^7 ^i=Ä, ^1 = 01; (5) 

wird. Diese Formeln gestatten nicht nur eine Schätzung der a, ß 
und y, sondern auch der Änderungen der Hauptträgheitsmomente. 
Da nämlich am Ende der Zeiteinheit die Hauptträgheitsmomente Ji, 
tf und C bezw. gleich ^,, B^ und C", , den Trägheitsmomenten für 
die 1. Lage der Hauptaxen, sind, so sind die Variationen d^, du 
und d(t der Hauptträgheitsmomente gleich den Variationen der Träg- 



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§ 16. SchätEung der Yeränderang der Hauptträgheitsmomente. 421 

heitsmomente für ein Axensystem, welches die 1. Lage der Haupt- 
axen hat. Zugleich erkennt man aus den Relationen 

A^ =^(y^ + z^)dm ^=^ yzdm 

B^=^{z'' + x^)dm ff^^^zxdm (7) 

C,=^{x'' + y'')dm C =^ ^ xy dm , 

dafs Variationen in Aen A^B^Cy und den ÄB'C im allgemeinen von 
gleicher Ordnung sind. 

Bei der Betrachtung von Masseuverschiebungen reicht es zur 
Gewinnung einer rohen Vorstellung für unsere Zwecke aus, anzu- 
nehmen, dafs eine über die ganze Erdoberfläche gleichmäßig verteilte 
Masse sich in einem Punkte zusammenzieht. Denn nur in diesem 
oder einem ähnlichen Falle kann eine verhältnismäfsig kleine Masse 
infolge ihrer grofsen Verschiebung eine erhebliche Wirkung äufsem; 
dagegen geben kleine Verschiebungen an der Erdoberfläche nur 
geringfügige Wirkungen — Verschiebungen aber, bei denen auch 
das Erdinnere zu berücksichtigen ist, können wir wegen ihrer relativ 
geringen Wahrscheinlichkeit aufser acht lassen, solange zur Erklärung 
beobachteter Erscheinungen die Vorgänge auf der Erdoberfläche und 
in der Erdkruste genügen. 

Indem wir die Erdoberfläche als Kugelfläche vom Radius R neh- 
men, verlegen wir zur Erlangung einer maximalen Drehung der 
Hauptaxe C den Konzentrationspunkt in 45® nördl. Breite und zugleich 
der Einfachheit halber in die za;- Ebene, sodafs von den drei Grofsen 
aßy nur ß einen Wert erhält, der von null verschieden ist. Für 
den Konzentrationspunkt wird: 

y = z = x = y^ za: = — ; (8) 

es ergiebt sich somit nach (7) der allein in betracht kommende Wert 
B' = -^ B^m, wenn m die konzentrierte Masse bezeichnet. Bei ge- 
nauerer Rechnung wird stets eine Verkleinerung dieses Wertes da- 
durch stattfinden, dafs die Konzentration in einer Fläche und nicht 
in einem Punkte erfolgt. Dagegen hat die mit der Konzentration 
verbundene Schwerpunktsverschiebung keinen Einflufs. Da es sich 
hier nur um eine Schätzung handelt, behalten wir den angegebenen 
Wert für ff bei. 

Im 6. Kap. wird aber gezeigt, dafs die Trägheitsmomente der 

Erde annähernd gleich yÄ^üf, für M als Erdmasse, sind. Da nun 
C — Ä ungefähr Vj^^j von C oder A ist, so folgt C — A '=^ -^ R'^M 



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422 5. Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveanflächen. 

rand (vergl. hierzu aach (6) S. 127). Es ergiebt sich daher aus der 
2. Gleichung (6): 

^--450^. (9) 

Denken wir uns die Masse m ursprünglich als eine die ganze 
Erdoberfläche h^ hoch bedeckende Masse von der Uichtigkeit 1^ so ist 



aufserdem ist 



m^AnR^h-, 



M = ^nR^S„,. 



Mit e„, = 5,6 und R = 6370000»" folgt rund 

ß S.Ä"». (9*) 

in Sek. 

Hiernach kann man die maximalen Wirkungen von verschiedenen 
meteorologischen Prozessen und von Yerbiegungen der Erdkruste, die 
mit Hebungen und Senkungen verbunden sein werden, schätzen. 

Nehmen wir beispielsweise an, dafs sich im Winter die Kon- 
tinente der nördlichen Erdhälfte nordlich von 45® Breite mit Schnee 
und Eis bedecken und zwar äquivalent mit 0,1 *" Regenhohe, so ist 
damit 0,01 bis 0,02" Verschiebung der Hauptaxe C verbunden. Die 
betreffende Masse bedeckt nämlich in Europa- Asien etwa Vso ^^^ ^^^~ 
Oberfläche, wovon durch die Gegenwirkung Nordamerikas indessen 
nur etwa die Hälfte wirksam bleibt, deren Einflufs wegen der geogra- 
phischen Lage überdies kein maximaler ist. Reduzieren wir ^^=0,1"* 
von V40 ^^^ Erdoberfläche auf die ganze Erdoberfläche, so wird 
h — 0,0025"' und nach (9*) unter Voraussetzung der Maximalwirkung 
ß = — 0,02". In ähnlicher aber entgegengesetzter Weise wirkt in 
heifsen Sommern eine Austrocknung der Kontinente. Wir unter- 
lassen es ^uf weiteres hier einzugehen und bemerken nur noch, dafs 
es uns immerhin nicht ganz leicht scheint, mehr wie einige Hundertel- 
sekunden irreguläre Schwankungen aus meteorologischen Prozessen 
zu erklären.*) Dagegen würde z. B. eine zunehmende Vereisung 
des Südpols recht wohl säkulare Bewegungen von merkbarem Betrage 
erklären; denn mit derselben ist teils eine Verminderung der Wasser- 
menge des Oceans und infolge dessen ein Hervortreten der Kontinente 
verbunden, teils eine Verschiebung der Niveauflächen, welche wieder 
ein Hervortreten der nördlichen Kontinente bedingt. 

Was die Formänderungen der Erdkruste anlangt, so findet 
G. B, Darwin^ dafs bei den gegenwärtigen Festigkeitsverhältnissen 
der Erde eine Kontinent- oder Meeresbildung nicht Ober 3® Ver- 



*) Will, Thomson allerdings nimmt irreguläre Schwankungen der Erdaxe in- 
folge meteorologischer Prozesse bis zu */," an. Vergl. American Joum, of 
Science and Arts 1876 Bd. 12 S. 336—364, insbesondere S. 351. 



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§ 17. Verschwindender Einflurs von Flut und Ebbe. 423 

schiebuDg der Hauptaxe C erzeugen werde. Selbstredend gehören 
dazu ausgedehnte Zeiträume.*) 

Die mit den Massenverschiebungen «verbundenen Änderungen der 
Rotationsdauer sind am gröfsten^ wenn die Massen von den Polen 
nach äquatorialen Gegenden versetzt werden oder umgekehrt; Es ist 
alsdann tfC = + Ä^w. Verteilt sich die vorher an den Polen be- 
findliche Masse gleichmäfsig über die Erdoberfläche, so ist d^ vom 
vorigen Werte zwei Drittel. Behalten wir diesen Wert bei und setzen 

C wie vorher gleich —K^M^ m und M aber ebenfalls wie vorher, so folgt 

«5 

mit Rücksicht auf (12) des vorigen Paragraphen für eine Massen- 
versetzung vom Pole nach dem Äquator rund: 

(fco h 

Damit sich o um Vsaoooooo ^^'^^^^ Betrages ändert, sodafs also das 
Jahr um 1* kürzer erscheint, müfste h etwa ^j^^ betragen, oder 
reduziert auf 725 ^^^ Erdoberfläche als beiläufigen Flächeninhalt der 
etwa in betracht kommenden Umgebung der Pole: 5"». Das Schmelzen 
einer Eisschicht von 5"* in der Umgebung der Pole würde also den 
angegebenen Erfolg haben. 

§ 17. Yerschwindender Einflnfs von Flut und Ebbe auf die 
Lage der Botationsaxe. Wir betrachten hier die Flut und Ebbe 
unter der Voraussetzung, dafs die Erde gleichmäfsig mit Wasser be- 
deckt sei. Wir nehmen zugleich an, dafs ohne die Flutberge ^ = tf 
sei und betrachten nur die Wirkung eines der beiden Himmelskörper, 
Mond oder Sonne, auf einmal. 

Infolge der entstehenden Flutberge verschiebt sich die 6^-Axe, 
welche erfahrungsmäfsig der Momentanaxe naheliegt, etwas in einer 
durch deren Scheitel gehenden Ebene und rotiert dann um ihre un- 
gestörte Lage C^ mit dem störenden Körper und den Flutbergen. Die 
Axe des kleineren der beiden Hauptträgheitsmomente % und ^ liegt 
nun in jener Ebene und die des größeren in einer dazu senkrechten 
Ebene durch die Axe C. Da wir die jedesmalige Lage der Haupt- 
axen als_Eoordinatenaxen nehmen und ^ < jß setzen, so geht also 
die za:- Ebene durch die Scheitel der Flutberge und die {7- Axe. 

Li Fig. 68 ist die um den Erdschwerpunkt gelegte Kugelfläche 
vom Radius 1 in der Gegend des Durchschnitts mit der Hauptaxe C 
dargestellt: Z bezeichnet die zAxe oder augenblickliche Lage der 
Axe C^ Cq deren ungestörte Lage; ZXund ZY sind die Durchschnitts- 
linien mit der zx- und zy -Ebene. Da im Erdkörper das System 
der Hauptaxen gegen sich selbst im allgemeinen nach Mafsgabe der 

•) Vergl. die S. 408 erwähnte Abhandlung. 



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424 



5. Kapitel. Zeitliche Änderangen der Niveauflächen. 



Winkelgeschwindigkeiten aßy bewegt gedacht wird, wobei der 
Drehungssinn durch die Pfeile der Fig. 68 angedeutet ist, so sieht 

• man sofort, dafs beim Übergang des 
Systems in die Lage X T Z nur Ro- 
tationen um die z-Axe und x-Axe 
stattfinden; dabei ist für das Zeit- 
intervall dt 



X'^. 



< ;g« 




mithin 



ZZ = sydt= — adt , 



a = 



^y, 



(1) 



Flg. 68. 



wenn s den Winkelabstand der ge- 
störten und ungestörten Lage der 
Hauptaxe C bedeutet. 
Wie schon S. 415 am Schlüsse des § 14 bemerkt wurde, ist jetzt 

in den Differentialgleichungen (6) S. 414 oder (2) S. 415 zu setzen 

anstatt 

^~ A G 
der Wert 



A-y = 



G-A 



K 

-G-r 



Damit werden die Endformeln nach S. 415 (1) und S. 416 (3): 
g' = /• cos (A — y) ^ — «7 sin (A — y)i 
r{ =' f mn {X — y)t -{- g cos (A — y)^ , 



wobei 



f= / (— /3 cos (A — y)/ + a sin (A ~ y)t) dt 
<7 = / (-f /J sin (A — y)t + a cos (A — y)i) dt . 



(2) 



(3) 



(4) 



Hierin ist jetzt nach (1) zu setzen a^^ — ay und /J = null. 
£ selbst ist langsam veränderlich. Es beschreibt thatsächlich Z keinen 
Kreis um Cq, sondern eine Art Spirale, indem mit wechselndem Pol- 
abstande der störenden Körper die Flutberge ihren Äquatorabstand 
ändern.*) Wir tragen dem Rechnung, indem wir 

£ = iE" sin X / (5) 

setzen. E bezeichnet den Maximalabstand. Die Periode T in der 
Änderung von a entspricht dem Mond- bezw. dem scheinbaren Sonnen- 
umlauf um die Erde; x.ist gegeben durch 
%T = 2jt. 

*) Infolge dessen ist |3 nicht genau gleich null. Durch den Verlauf der Flut 
auf der wirklichen Erdoberfläche findet aufserdem eine ungleichmäfsige Änderung 
von £ und eine ungleichförmige Drehung um Gq statt Diese Umstände ändern 
indessen das Resultat unserer Untersuchung nicht wesentlich. 



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§ 17. Verschwindender Einflufe von Flut und Ebbe. 425 

Da T einem Monat bezw. Jahr entspricht (genauer 2V/^^ bezw. 
365 V4''), so ist X ein kleiner Bruchteil von2Ä und daher weit kleiner 
als ©, welches bereits in einem Tage 2 ä giebt. Da ferner y für 
Mond und Sonne nahezu gleich o ist (im letzteren Falle erheblich 
genauer als im zweiten) so ist also x von y ein Bruchteil derselben 
Ordnung wie angenähert der Tag ?om Monat bezw. Jahr. 

Wir erhalten jetzt: 

f= — Eyj sin (A — y)t sin xt dt 

g ^^ —. Ey j cos (A — y)/ sin xt dt 
und hieraus, da 

sin (A — y)t sin xt = y(cos {X — y — x)t — cos (A — y + x)i\ 

cos (A — y)t sin xt = -^(si" (^ — y + ^)^ — sin (A — y — ^)^i 

wenn der Einfachheit halber zunächst die Werte f^ und ^^, welche 
zur Zeit ^ «= null stattfinden^ gleich null angenommen werden: 

ft^l- F'vi— BiQ(^ — y — ^ t)^ I ^ (^ — y^- '*)*\ 

/» = ^ Ä»^ / co B(i — y — x)< , 08 {X - y + x)n ,ß. 

+ Y ^^ Vx^yjTi i — y + X / ' 

Das konstaute Glied in g yernachlässigen wir, denn es giebt zu- 
sammengezogen 

+ ^(i_y)r-X«5 C^) 

da aber A von oj und y nur etwa V306 ^s** '^^^ ^^^^ ^ einen gegen 
y kleinen Wert hat; so giebt dieses Glied angenähert 

+ ^y, (7*) 

mithin selbst für den Mond nur einige Prozent von E, Nimmt man 
die Hohe der Mondflut auf dem oflFenen Ocean zu rund y.^*" an, so 
wird die behufs Anwendung der Formel (9*) S.422 auf die ganze Erd- 
oberfläche reduzierte Hohe h den Betrag von V^"* nicht erreichen und /J, 
d. h. jetzt E^ mit Rücksicht darauf, dafs auch die Maximalwirkung nicht 
entsteht, <r'sein. Mithin beträgt(7*) kaum ein paar Hundertelsekunden. 
Wir erhalten endlich durch JEinführung der (6) in die (3) nach 
einiger Reduktion: 

6, 1 „ / mi%t . sin x^ \ „ y{ l — y) s in nt 
= J^y U-y~x + T'-^T + 'h ) = ^ (X-y)»-: i^ 
, l p / cosxi , cosx* \ „ yxcosx* 

V ^Y^y\- T^^-i + T^Ti) ^(T-y)'-«»" 



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426 &• Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveanflächen. 

Vernachlässigen wir wieder Gröfsen von der Ordnung des Gliedes 
(7*), so folgt 

i' = — Eainxt = — 6j ri = null , (8) 

und dies bedeutet, dafs die Normale der u. E. und also auch die 
Momentanaxe immer bis auf Gröfsen der Ordnung (7*) mit der un- 
gestörten Lage der Hauptaxe C zusammenfallt; denn in Fig. 68 liegt 
zufolge der (8) der Durchschnitt dieser Normalen mit der Kugelfläche 
konstant in Cq . An der wesentlichen Bedeutung dieses Resultates wird 
auch nichts geändert, wenn f^ und g^ sowie Bewegungen der Haupt- 
axe C aus früher erörterten Gründen mit in die Rechnung aufgenommen 
werden, wofür wir die Ausfuhrung aber übergehen. Dagegen ist noch 
hervorzuheben, dafs die Momentanaxe für die mittlere Drehbewegung des 
ganzen Erdkörpers auch eine solche für den festen Erdkörper allein ist, 
weil sie auch im wesentlichen als Drehaxe für die Flutberge auftritt 
Zu dem Resultate, dafs die Flut und Ebbe (dynamisch und ohne Bück- 
sicht auf Kontinente u. s. f. berechnet) keinen Einflufs auf die Lage der 
Botationsaxe im ßaume hat, gelangte schon Laplace, Mec, cSl.^ t II, 1. V , 
p. 325—339; p. 341—347 berücksichtigt er auch ungleiche Meerestiefe, 
Beibnng u. a. m. 

Man vergl. übrigens noch in der M4c. cd, t. II, 1. IV, p. 204—211 sowie 
t. V, 1. XI, p. 16—17 und p. 57—71 über die StabilitÄt des Meeres. Flut- 
artige Massen Verschiebungen behandelt auch Cryld6n in der S. 408 ge- 
nannten Abhandlung. 

§ 18. Die Botationsaxe im Erdkorper unter dem EinflnCs 
des Mondes und der Sonne. Mond und Sonne sind die einzigen 
Himmelskörper, welche beachtenswerte ürehungsmomente Z, M und N 
erzeugen. Dafs solche überhaupt entstehen, ist lediglich eine Folge 
der Ungleichheit der Hauptträgheitsmomente oder, wie man häufig 
weniger korrekt sagt: der ellipsoidischen Erdgestalt. Infolge dessen 
geht die Resultante der gegenseitigen Anziehungen der Erde und 
eines Himmelskörpers nicht durch den Erdschwerpunkt. Die Wirkung 
der so entstehenden Drehungsmomente ist allerdings unerheblicU 
hinsichtlich der Verschiebung der Momentanaxe im Erdkörper, aber 
nicht verschwindend für die Bewegung der Momentanaxe im Räume. 
Wir werden hier ausführlich nur die Bewegung im Erdkörper be- 
trachten, dagegen über die Bewegung im Räume nur berichten, weil 
diese Bewegung kein direktes geodätisches, sondern ein hervorragend 
astronomisches Interesse hat. 

Wir gehen, indem wir die Erde als starr betrachten, von den 
Gleichungen (6) S. 391 aus: 



(1) 



c 


dr 
dt 


+ {B- 


-A)pg-' 


= N 


A 


dp 
dV 


+ ic- 


-B)qr = 


= Z 


B 


dq 
dt 


+ (-4- 


-C)rp = 


= M 



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§ 18. Die ßotationsaxe unter dem Einflufs des Mondee und der Sonne. 427 

Hierzu sind jetzt die N^ L und M zu berechnen. Es ist nach 
S. 388 z.B.: 



N^y^{xY-'yX)dm, 



wobei wir unter Xy Y und Z die Komponenten der beschleunigenden 
Kräfte (d. i. der Kräfte für die Massen einheit) verstehen, welche Mond 
und Sonne auf das im Punkt {xyz) lagernde Massenteilchen dm der 
Erde ausüben. Es genügt, wenn wir jeden dieser Körper einzeln ins 
Auge fassen, und zwar soll immer der Mond genannt werden, da er 
die grofsere Wirkung ausübt. Die Modifikation für die Sonne leuchtet 
sofort ein. 

Bezeichnen wir mit ^ die Mondmasse und mit e den Abstand des 
Mondschwerpunktes von dem Teilchen dm, so ist die gegenseitige 
Anziehung des Mondes und dieses Teilchens, wobei wir uns die Mond- 
masse in ihrem Schwerpunkt vereinigt denken können, gleich 

Ädm, Ydm , Zdm sind die Komponenten dieser Anziehung in Rich- 
tung nach dem Monde. Entgegengesetzt gleich diesen Komponenten 
sind die Komponenten derselben Anziehung in Richtung nach dm. 
Diese letzteren kann man aber mit X$S^^ Y'fi^, Z'fiH bezeichnen, 
wenn X, Y' und Z' die Komponenten der Anziehung k^dmie^ von 
dm auf die Masseneinheit von fiH bezeichnen. 

Wir führen nun in dem Ausdruck für N anstatt Ädm und Ydm 
bezw. die negativen Werte von X^fiH und Y'fiH ein; zugleich aber 
anstatt der Koordinaten xyz von dm, die Koordinaten xyz' des 
Mondschwerpunktes, was zulässig ist^ da die Richtung der Anziehung 
in die Verbindungslinie beider Punkte fällt und das Drehungsmoment 
einer Kraft für jeden Punkt ihrer Richtung als Angriffspunkt das- 
selbe bleibt. Wir erhalten so: 

N = ^(y'X-x'Y')m. 

und da x\ y' und ^ konstant sind für alle Summanden: 

Die Summen der X ^ Y' und Z sind aber die Resultanten der 
Anziehungen aller Erdteile auf die Masseneinheit des Mondes. Ist V 
das Potential der Erde, so ist somit nach § 6 im 1. Kap. S. 9: 

und hiermit folgt 



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428 ^- Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveaaflächen. 



Ebenso wird 






(2) 



Nach § 5 (7) S. 60 im 2. Kap. ist aber, wenn r, (p', X die 
Polarkoordinaten des Mondschwerpunktes in Bezug auf den Erdschwer- 
punkt als Eoordinatenanfaug sind, in hier jedenfalls ausreichender 
Annäherung: 

r=^- \m-\-^-.^{c- ^^(l-38m>')+ ^J. {B-ä) co8'9,'co82A'), 

wobei nach S. 56 (2) für die Polar- und rechtwinkeligen Koordinaten 
die Beziehung besteht: 

X = r cos ^! cos X 

y = r cos tp sin K (3) 

z = r sin ^! . 

Es ist hierbei in Erinnerung zu bringen, dafs an der angezogenen 
Stelle des 2. Kapitels ebenso wie bei den (1) oben vorausgesetzt ist, 
dafs die drei Hauptaxen A^ B^ C bezw. mit der Axe der Xy y und z 
identisch sind. 

Eliminieren wir sin^9)' und cos^^)' cos2A' aus dem Ausdruck für 
V und setzen zu diesem Zwecke: 



und 
so folgt 



l-38inV' = -^*'---t-^'-+^*^-^ 



cos' 9 cos2A' 



x^ - y « 



V = k' 



^ 4- JL 



+ (C+A^2B)y'^ 



(4) 



Hiermit ergiebt sich 



oder in anderer Schreibweise und wenn zur Abkürzung die zu xy z' 
symmetrische Funktion 

gesetzt wird: 



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§ 19. Die Rotationsaxe unter dem Einflnrs des Mondes nnd der Sonne. 429 



dv 






Ebenso findet sich: 



womit sich endlich aus den (2) ergiebt: 
N 
L 



(5) 



^,zMiß-Ay^^. 



F ^*i§.=^ yz 



M^k"^ 






(6) 



O 



z X 



Die Differentialgleichungen (1) lauten hiermit wie folgt: 



dr 
dt 
dp 
~dt 
dq 
dt 



^{B-Ä)pq 



-{-{C — B)qr = it« 



* - V^ — ^'y 



m{G-B) . . 

r'5 y * 



(7) 



^{A—C)rp = k^ ~ 



HM (Ä - C) 



Z X , 



§ 19. Fortsetzang. Die Integration erfordert die Kenntnis 
von x\ y und z als Funktionen der Zeit /. Kehren wir zu Polar- 
koordinaten zurück, 80 sind für xy z die Gleichungen (3) anzuwenden, 
in denen nun ^> und X Funktionen der Zeit sind. Um dieselben 
kennen zu lernen, betrachten wir Fig. 69. Sie zeigt die Koordinaten- 
axen und Ebenen im Durch- 

ZANardjiol 
h^est ^-''^" y¥K Ost 



FriÜi 




Flg. 69. 



schnitt mit einer um den 
Erdschwerpunkt gelegten 
Kugel vom Radius 1. Für 
unsere Zwecke genügt es 
bei Ermittelung der Aus- 
drücke für X y y und z 
anzunehmen, dafe die z- 
Axe, d. i. die Hauptaxe C^ 
stets zugleich Momentanaxe und mithin die a:y- Ebene Äquatorebene 
sei. Femer nehmen wir an, dafs der Mond sich in der Ebene der 
Erdbahn (Ekliptik) bewegt, da die Neigung der Mondbahn gegen die 
Ekliptik nur einige Grade beträgt. Ein grofser Fehler kann durch 
diese Annahme um so weniger entstehen, als die Mondbahn zur 
Ekliptik keine feste Lage hat, indem ihre Durchschnittslinie in der- 
selben in 18Va Jahren einen ganzen Umlauf ausführt. 

Ist nun n die mittlere Winkelgeschwindigkeit des Mondes in der 



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430 5- Kapitel. Zeitliche Änderangen der Niveauflächen. 

Ekliptik und beachtet man; dais der Bogen F^ in der Fig. 69 mit 
der Zeit wächst^ so ist zur Zeit t angenähert 

Fm=^l = h + ni, (1) 

wenn Fj^ zur Zeit null gleich Iq ist. Das sphärische Dreieck F0101\ 
in welchem der Winkel s bei F die Schiefe der Ekliptik gleich 23,5" 
bedeutet, giebt bei Bezeichnung von FfilC mit t: 

sin 9' es sin / sin s 
sin t cos 9' = sin / cos s (2) 

cos r cos 9 = cos / . 

Bezeichnen wir nun FÄ, die Sternzeit des Meridianes ZX, mit 
©, so ist zufolge der Figur 

Indem wir dies in die 2. und 3. Gleichung (2) setzen, erhalten wir 
nach Auf losung von sin /' und cos /' linker Hand : 

(sin cos A' — cos & sin A') cos 9' = sin / cos s 

(cos cos A' + si^ ® si^ ^') CO8 9 = cos / 

und hieraus durch Kombination: 

cos A' cos o)' = 4- sin/ sin© cosf + cos/ cos® 

(3) 
sin A' cos 9' = — sin/ cos cos fi + ^^^^ sin © . ^ ^ 

Für die Koordinaten x, y und z' ergiebt sich jetzt mittelst Ein- 
führung der (3) und der 1. Gleichung (2) in die (3) des vorigen 
Paragraphen : 

X = r (+ sin/ sin @ cos£ + cos/ cos@) = y (+ s cos (/— &)'\-d cos (/+ &)\ 

y' = r'(— sin/cos@cosfi+cos/sin0)=-|-/^ — ssin(/--@) + dfsin(/-f 0))(4) 

z'=r' sin / sin b 

für 5 = 1 + cos f und rf = 1 — cos £ . (5) 

Indem wir diese Gleichungen paarweise miteinander multiplizieren 
und die Produkte in naheliegender Weise transformieren, erhalten wir: 

xy = ^ {— 52 sin 2 (/ — 0) + J' sin 2(/ + ®) + 2sd sin 2® j 

y / = -^sinf {i?r--cos0 + cos(2/--0)]+drcos0~ cos(2/+®)1} (6) 

zV= ^sin£|5r+sin0 + sin(2/— 0)1 — tfFsin© — sin(2/+0)l} • 

Die Integration der Gleichungen (7) des vorigen Paragraphen 
wird in der Regel unter der Annahme B => Ä ausgeführt. Diese 
Annahme giebt jedenfalls eine sehr scharfe Annäherung. Zufolge 



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§ 19. Die RotatioDsaxe unter dem Einflufs des Mondes und der Sonne. 431 

derselben wird r konstant gleich r^ und die 2. und 3. der Gleichungen 
(7) geben für p und q nach einfacher Transformation: 

^^ + A^ = + (> { j? co8(2/— 6>) ~ d cos (2/+ ®) — 2 cos« cos®] 

^ — lp = -.Q\s sin(2/— &)+ ä 8in(2/+6>) + 2 cos« sin®} , 

wobei 

A = -^r, ß==^»m^4)_sin6. (8) 

Nach dem Muster der Integration der Gleichungen (2) § 15 
S.415 folgt jetzt, wenn wir die rechten Seiten der (7) für den Augen- 
blick mit ß und a bezeichnen: 

p = /cos Xt — g ^ün Xi 

(9) 
^ = /* sin A / + ^ ^03 Xt ^ ^ ^ 

wobei gesetzt ist: 

/•= / {ßcosXt + a sin Xt) dt 

^ = / (-- j5 sin A/ + « cos A/) dt . 
Die Substitution der Werte von a und ß giebt: 
^ == +5 jco8{2l—®+Xt) dt--djcos(2l+@—Xi)dt- 2cos6 / cos(@ - Xt) dt 

I = ~s /sin(2/— 0+ A/) dt—dr8in{2i+&—Xt)dt—2co8€jsm{0 -Xt) dt . 

Bei Ausführung der Integration ist zu beachten, dals zufolge des 
Ausdruckes (1) / die Form hat: 

ferner ist zu beachten, dafs die Sternzeit ganz entsprechend die Form hat: 

& = &, + nt, (10) 

worin 0^ eine Konstante und n den absoluten Wert der Winkel- 
geschwindigkeit der Erdrotation bezeichnet. Hiermit folgt, wenn in 
/" und g diejenigen Glieder von f bezw. g vereinigt werden, welche 
von / unabhängig sind: 

f r , ,8in(2Z-e+X0 Bm{2l+&-Xt) « sin (©-Ai) 

e = «■ + ^ 2n'-n4- i -^n' + n-X "^^^^^ ^n - A 

e" """ö ■*" "~2n'-n+A + ^~"2n^ + n - A" i-^COSf ^ _ ^- 
Endlich ergiebt sich: 
;, = AosA/-^'sinA/-()(g?|sin®-i^j^sin(0-2/)+l£^8m(®+2/)) 



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432 &• Kapitel. Zeitliche Änderungen der Niveauflächen. 

Die Glieder mit /' und g entsprechen der in den §§ 5 und 6 dieses 
Kapitels betrachteten Bewegung der Momentanaxe, insbesondere den 
Ausdrücken (5) S. 392. 

Mit Rücksicht auf (6) S. 392 und (8) S. 393 sowie auf die Er- 
gebnisse des § 7 S. 399 ist für die von f und g abhängigen Glieder: 

^ (>" = 0,07" cos (A^ — 7(>>) 

r (12) 

-« (>" = 0,07" sin {Xt - 70«) , 

/ von 1868,0 ab gezählt und der Meridian von Pulkowa als z«- Ebene. 
Bezüglich der neu hinzutretenden Glieder, welche man sich so- 
wohl für den Mond als auch für die Sonne hingesetzt zu denken hat, 
ist zu bemerken, dafs für k die 1. Gleichung (8) in betracht kommt; 
da aber r^ sehr nahe gleich co ist und co gleich — n wird , indem 
vom Nordpol aus gesehen die Erde thatsächlich der Richtung von o 
(siehe S. 392 Fig. 64) entgegengesetzt, d. h. entgegengesetzt der Be- 
wegung des Uhrzeigers, rotiert, so hat man: 

X ^-^ 

und mit Rücksicht auf S. 394 (12): 



A 



n — X = ^n = 1,003283 n. 



(13) 



A 

Da ferner die siderische Umlaufszeit des Mondes 27,322 mittlere 
Tage beträgt, diejenige der Erde um ihre Axe aber 86164 : 86400 
= 0,99727 m. Tage, so ist 

""^ rt — A - 2 n' = 0,93028 n 

„ _ ;i 4- 2n' = 1,07028 n . ^^^^ 

Mit f = 23*» 27,5' wird also für den Mond: 

(15) 



(16) 



Der Wert (15) gilt auch für die Sonne; da für diese die Umlaufszeit 
(die siderische der Erde) 365,256 mittlere Tage beträgt, so ist hier ferner: 

^' = ~SM^ - [^'43621 - 10]n = 0,00273« 

1 4- cos « [£'??????]_ J:»^-L 

n — A — 2n' n n 

1— cos« ^ [8,913 — 10] ^ 0,082 ^ ^ ^^ 

n — A + 2n' n n 





2 cos 8 


= - 


[0,>6216] 
n 


_ 1,8287 
"~ n 


_1 


+ cos « 
-r-2n'" 


= 


[0,31409] 
n 


2,061 
n 


1 


— cos e 

-X + 2n' 




[8,885 — 10] 


0,077 


n- 




n 


w 



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§ 19. Die RotatiODsaxe unter dem Einflars des Mondes nnd der Sonne. 433 
Um zu ermitteln, bringen wir es auf die Form 

worin M die Erdmssse und a« der Äquatorialhalbmesser des Erd- 
ellipsoids ist. Ar^Af : a„^ läfst sich aus den Pendelbeobacbtungen ent- 
nehmen (verg). auch im nächsten Kapitel § 4). Nach § 15 des 
2. Kapitels Formel (7) S. 83 und den Zahlen (1*) bis (5*) des § 16 
daselbst ist, bezogen auf die mittlere Zeitsekunde als Zeiteinheit: 

-^ = 9,7800 : (1 — 0,001843 — 0,000005) 
o.« ' ^ ' (19) 

= 9,7981. ^ 

Hierzu nehmen wir entsprechend der angenommenen Abplattung den 
^esse/sehen Wert 

a, = 6377397 . 

EndUch wird mit c = 23'»27',5 und ^~^ == 0,003283: 



Q=[l,imi-lO]§-[^y. 



üq : r ist der Sinus der Äquatorial-HorizoDtalparallaxe p, deren Wert 
nebst fiH : M bereits S. 384 § 1 (8*) für Mond und Sonne angegeben 
worden ist*). Damit folgt: 

für den Mond = [3,92781 - 20] 

für die Sonne = [3,58960 - 20] , ^^^ 

womit sich nun die in den (11) vom Monde und der Sonne her- 
rührenden Glieder berechnen lassen. 

Wir berechnen aber nicht p und q selbst, sondern die Werte 

cosa — S«« — , cosb = ij = -^- • (21) 

I und 1] sind die x- und y- Koordinaten des Durchschnittspunktes der 
Momentanaxe mit der um den Erdschwerpunkt gelegten Kugel vom 
Radius 1. 

Beachten wir, dafs für die mittlere Zeitsekunde, indem die Erde 
in 23*56'"4» um ihre Axe rotiert, 

'» = -" = --8& (22) 

*) Die MoDdparallaxe int nicht über 0,5" unsicher. (Siehe auch Kap. 6 § 5.) 

Die Parallaxe 8,83" der Sonne ist eine Mittelbildung aus den besten Werten 
und kaum mehr als 0,03'' irrig. Vergl. die Zusammenstellung in S, Neweomb, 
Populäre Astronomie y deutsche Ausgabe von E. Engelmann, 1881, S. 225. 

Die Mondmasse wird zu y^o bis '/gi^g angegeben. Nach Newcomb ist sie 
gleich 0,0123, d. i. nahezu '/g,^. 

Über die Sonnenmasse siehe weiterhin.. 

Holm er t, mathem. u. physikal. Theoriften der höh. Oeodäsio. U. 28 



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434 6' Kapitel. Zeitliche JLnderangen der NiTeauflachen. 

ist, so wird nun mit Weglassung der kleinen von (1 — cos c) ab- 
hängigen Glieder nnd unter Vereinigung der in sin & bezw. cos & 
multiplizierten Glieder für Mond und Sonne: 

1 = 4- 0,07 cos (70» -f Z — A/) + 0,008765 sin 
^ ^^- — 0,0068 sin (0 - 2 /,) - 0,0029 sin (0—2 /,) 

• (23) 

,, 0,07 sin (70« + Z - AO — 0,008765 cos® 

"' ^^ + 0,0068 cos (® — 2/,) + 0,0029 cos (0 -21,). 

L die weetl. Länge der «»-Kbene ge