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Full text of "Handbuch der algebraischen Analysis"

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Handbuch 



der 



algebraischen Analysis 



Dr. Oskar Schlömilch, 

Geh. Schulrath im K. S. Cultusministerium. 



Sechste Auflage. 2. Druck. 



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Mit in den Text gedruckten Holzschnitten. 



Stuttgart 

(vormals Jena) 

Friedrich Frommann's Verlag (E. Hauff) 
1889. 



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Vorrede 

ur dritten Auflage. 



Als ich in der Vorrede zur zweiten Auflage erklärte, dafs ich der 
sogenannten algebraischen Analysis keine eigentliche wissenschaftliche 
Berechtigung, sondern nur das Interesse zugestehen könne, welches 
die genauere Bearbeitung jedes bestimmt abgegrenzten Wissensgebietes 
für sich hat, glaubte ich nicht an die Möglichkeit einer ferneren Auf- 
lage des vorliegenden Werkes. Wenn gleichwohl eine dritte Auflage 
noth wendig geworden ist, so scheint diefs zu beweisen, dafs jenes 
Interesse sich über einen gröfseren Kreis von Lesern erstreckt, und 
es hat mich diese Thatsache ermuthigt, noch einmal Hand ans Werk 
zu legen. 

Die Anordnung des Stoffes und der allgemeine Gedankengang sind 
ungestört geblieben; um aber eine kürzere und präcisere Darstellung 
zu gewinnen und um gleichzeitig den Fortschritten der Wissenschaft 
Rechnung zu tragen, habe ich die ersten zwölf Capitel fast gänzlich 
umgearbeitet. Das nächste Zeugnifs hiervon giebt Capitel II , worin 
die hauptsächlichsten Grenzwerthe auf einfachere und elegantere Weise 
als früher abgeleitet sind. Die geometrischen Anwendungen der Lehre 
von den Grenz wer then (Quadraturen und Cubaturen) wurden auf den 
Begriff des mittleren Werthes einer Function gegründet (Cap. IV), 
welcher seine Bedeutung auch dann noch behält, wenn man jene An- 
wendungen weglassen will. In der Lehre von der Convergenz der 
unendlichen Reihen sind die §§. 27, 29 und 30 hinzugekommen, wo- 
mit diese Theorie zu einem gewissen Abschlüsse gelangt. Bei den 
unendlichen Reihen in Capitel VI — IX habe ich tiberall eine Rest- 
untersuchung vorgenommen, einerseits um für die numerische Sum- 
mirung die Fehlergrenze zu bestimmen, andererseits um nachherige 



IV 

Grenzenübergänge mit Sicherheit ausführen zu können, denn bekannt- 
lich ist der Grenzwerth von der Summe einer unendlichen Reihe nicht 
immer identisch mit der Summe von den Grenzwerthen der einzelnen 
Summanden. Dafs hierdurch manche neue Betrachtungsweise noth- 
wendig wurde (wie z. B. in den §§. 45 und 46) , versteht sich von 
selbst; hoffentlich sind mit diesen und einigen weiteren Änderungen 
in den Capiteln X und XI alle Anforderungen an die wissenschaftliche 
Strenge befriedigt. 

Auf Wunsch mehrer erfahrenen Freunde habe ich anhangsweis 
die Theorie der höheren Gleichungen so weit entwickelt, als diefs auf 
elementarem. Wege geschehen konnte; ich will nur wünschen, dafs 
mein Buch dadurch an Brauchbarkeit gewonnen haben möge. 

Dresden, im October 1861. 

Schlömilch. 



Vorrede 

ur vierten Auflag 



Da sich die dritte Auflage des vorliegenden Werkes einer durch- 
aus beifälligen Aufnahme zu erfreuen hatte und da andererseits die 
Fortschritte, welche die Wissenschaft in den letzten Jahren gemacht 
hat, von keinem wesentlichen Einflufs auf die Gestaltung der alge- 
braischen Analysis gewesen sind, so lag für mich kein Grund zu be- 
deutenden Änderungen des Buches vor. Ich habe nur, wo es nöthig 
schien, eine präcisere Fassung eintreten lassen, hie und da einige 
Erläuterungen oder Beispiele hinzugefügt, bei den hauptsächlichsten 
Resultaten aber die historischen Quellen angegeben. Zahlreiche Bei- 
spiele zu den hier vorgetragenen Lehren findet man in der „Samm- 
lung von Aufgaben aus der algebraischen Analysis, von Prof. Joh. 
Lieblein" (Prag, Verlag v. Satow, 1867), welche sich dem gegen- 
wärtigen Handbuche genau anschliefst und hiermit empfohlen sein 
möge. 

Dresden, im Mai 1868. 

Schlömilch. 



Vorrede 

zur fünften Auflage. 



Die in der Vorrede zur vierten Auflage angegebenen Gründe 
haben mich auch bei der jetzigen neuen Auflage bestimmt, von we- 
sentlichen Umgestaltungen des Buches abzusehen. Dagegen wird man 
im Einzelnen manche Verbesserungen finden wie z. B. bei der Ab- 
leitung der unendlichen Producte für die trigonometrischen Functio- 
nen und bei der Untersuchung über die Werthe der cyclometrischen 
Functionen complexer Variabelen. 

Dresden, im Juli 1873. 

Schlömiloh. 



Vorrede 

zur sechsten Auflage. 



Da sich das vorliegende Werk darauf beschränkt, eine elemen- 
tare Theorie der Functionen und Reihen zu geben, so hat dasselbe 
bei der gegenwärtigen sechsten Auflage keine bedeutenden Ände- 
rungen erfahren, denn die zahlreichen neueren Eroberungen der Wis- 
senschaft berühren jenes eng begrenzte Gebiet nur wenig. Hinzu- 
gefügt wurden: in §.11 das Nöthigste über die Grenzwerthe der 
Functionen zweier Variabelen, in §. 26 ein neuer Fall von simultaner 
Convergenz und Divergenz zweier Reihen, in §. 54 mehrere neue 
Sätze, welche dem Theoreme von Cotes analog sind. Dagegen ist 
im Anhange die Auflösung der cubischen und biquadratischen Glei- 
chungen weggelassen worden, da sie in jedem Lehrbuche der Algebra 
behandelt zu werden pflegt. 

Dresden, im April 1881. 

Sehlömilch. 



Inhalt. 



Seite 

Einleitung 1 

Cap. I. Von den veränderliclien Gröfsen und Functionen im 

Allgemeinen. 

§. 1. Grundbegriffe und Aufgaben der algebraischen Analysis 4 

§. 2. Die cyclometrischen Formeln 9 

§. 3. Die verschiedenen Arten von Functionen 12 

§. 4. Die geometrische Darstellung der Functionen 15 

Cap. IL Die Grenz werthe der Functionen. 

5. Begriff der Grenze. Beispiele 17 

6. Allgemeine Sätze über Grenzbestimmungen 21 

7. Grenzbestimmungen an Potenzen 24 

8. Die Exponentialgröfsen und Logarithmen als Grenzwerthe von Potenzen . 29 

9. Folgerungen aus dem Vorigen 39 

10. Grenzwerthe bei goniometrischen und cyclometrischen Functionen ... 42 

11. Grenzwerthe der Functionen zweier Variabelen 45 

Cap. III. Die Continuität und Discontinuität der Functionen. 

§. 12. Begriff und Kennzeichen der Discontinuität einer Function 49 

§. 13. Allgemeine Sätze 54 

Cap. IV. Die Mittel werthe der Functionen. 

§. 14. Der mittlere Werth einer Function 56 

§. 15. Der Mittelwerth der Potenz 60 

§. 16. Die Mittelwerthe der Exponentialgröfse , des Sinus und Cosinus .... 62 

§. 17. Der Mittelwerth von (1 -\- x)~'^ 65 

§. 18. Der Mittelwerth von (1 + x'^)~^ 70 

§. 19. Der Mittelwerth von (1 — x^)~^ .74 

§. 20. Die Mittelwerthe zusammengesetzter Functionen 76 

§. 21. Geometrische Anwendungen 80 

§. 22. Näherungsweise Bestimmung der Mittelwerthe 87 



Inhalt. YII 
Cap. V. Die imendlichen Reihen. 

Seite 

§. 23. Entstehung und Eintheilung der unendlichen Reihen 91 

§. 24. Das Princip der Reihenvergleichung 96 

§. 25. Vergleichung einer beliebigen Reihe mit der geometrischen Progression . 100 

§. 26. Simultane Convergenz und Divergenz zweier Reihen 104 

§. 27. Fernere Reihenvergleichungen 108 

§. 28. Allgemeine Regeln für die Convergenz und Divergenz von Reihen mit po- 
sitiven Gliedern 114 

§. 29. Reihen mit positiven und negativen Gliedern 118 

§. 30. Bedingte und unbedingte Convergenz 121 

§. 31. Die Potenzenreihen 125 

§. 32. Periodische Reihen 130 

§. 33. Die Addition und Multiplication unendlicher Reihen 134 

§. 34. Die Doppelreihen 140 

Cap. VI. Der binomische Satz. 

§. 35. Der binomische Satz für ganze positive Exponenten 149 

§. 36. Die Convergenz der allgemeinen Binomialreihe 154 

§. 37. Der allgemeine binomische Satz 157 

§. 38. Der Rest der Binomialreihe. Anwendungen 163 

§. 39. Eigenschaften der Binomialcoefficienten 169 

§. 40. Zusammengesetztere binomische Entwickelungen 173 

Cap. VII. Die Reihen für Exponentialgröfsen und Logarithmen. 

§. 41. Die Exponentialreihe 178 

§. 42. Die Reihen für Z(l + «) und Z(l — x) . . . . * 184 

§. 43. Die Berechnung der Logarithmen 186 

Cap. VIII. Die goniometrischen Reihen. 

§. 44. Die goniometrischen Functionen vielfacher Bögen 189 

§. 45. Endliche Producte für Sinus und Cosinus 196 

§. 46. Die unendlichen Reihen für Cosinus und Sinus 203 

§. 47. Unendliche Producte für Sinus und Cosinus 207 

§. 48. Reihen für l sin z, l cos » u. s. w 212 

§. 49. Transformation der vorigen Reihen 217 

Cap. IX. Die cyclometrischen Reihen. 

§. 50. Die Reihen für aresin x, arccos o; u. s, w 224 

§. 51. Die Reihen für arctan x und arccot x 229 

Cap. X. Die Functionen complexer Variabelen. 

§. 52. Übergang zu den complexen Zahlen 231 

§. 53. Die algebraischen Functionen complexer Varial)elen 234 



VITT Inhalt. 

Seite 

§. 54. Anwendungen der vorigen Sätze 239 

§. 55. Die Exponentialgröfsen mit complexen Variabelen 246 

§. 56. Die Logarithmen complexer Zahlen 250 

§. 57. Die goniometrischen Functionen complexer Bögen 252 

§. 58. Die cyclometrischen Functionen complexer Variabelen 255 

§. 59. Die Bedeutung der complexen Zahlen 263 

Cap. XI. Die complexen Keihen und Producte. 

§. 60. Grundbegriffe 268 

§. 61. Die Binomialreihe mit complexer Variabelen 272 

§. 62. Die Exponentialreihe mit complexer Variabelen 279 

§. 63. Die Logarithmenreihe mit complexer Variabelen 282 

§. 64. Die complexen Producte • 285 

Cap. XII. Die Kettenbrüche. 

§. 65. Eigenschaften der Näherungsbrüche 290 

§. 66. Die unendlichen Kettenbrüche, ihre Convergenz und Divergenz . . . 298 

§. 67. Die Irrationalität gewisser Kettenbrüche 308 

§. 68. Die Reste der Kettenbrüche 316 

Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche. 

§. 69. Verwandlung einer beliebigen Reihe 321 

§. 70. Verwandlung einer Reihe von besonderer Form 326 

§. 71. Kettenbrüche für einige der wichtigsten Functionen 332 

§. 72. Die Irrationalität der natürlichen Logarithmen und der Ludolph'schen Zahl 337 

Schlufsbetrachtung 340 



Anhang. 



I. Allgemeine Eigenschaften der ganzen rationalen algebraischen Functionen . 343 

II. Die Discussion der höheren Gleichungen 357 

III. Die numerische Auflösung der höheren Gleichungen 374 

IV. Die irrationalen Gleichungen 394 

V. Die transcendenten Gleichungen 398 

VI. Gleichungen mit mehreren Unbekannten 401 



Einleitung. 



Jede Arithmetik, welchen Namen sie auch führen möge, beschäf- 
tigt sich lediglich mit Zahlen, und daher ist jede Rechnung nichts 
Anderes als ein, nach einer vorgeschriebenen Regel ausgeführter 
Übergang von einer Stelle der Zahlenreihe zur andern, wobei es 
gleichgültig bleibt, ob man sich die Zahlen als specielle denken will, 
wie bei den bürgerlichen Rechnungen, oder als allgemeine und will- 
kürliche, wie sie in der Buchstabenrechnung vorkommen. So hat es 
denn auch die algebraische Analysis oder allgemeine Arithmetik, wie 
man sie öfters nennt, nur mit Zahlen zu thun ; in welcher Weise aber 
diefs geschieht und welche Stellung die algebraische Analysis der 
Buchstabenrechnung gegenüber einnimmt, das läfst sich nur erken- 
nen, wenn man vorher über die Leistungen der niederen Arithmetik 
vollständig orientirt ist. Wir geben daher zunächst einen Überblick 
über den Gedankengang und die Resultate des ebengenannten Theiles 
der Mathematik. 

Nichts ist einfacher als die Entstehung der Zahl. Wer eine Viel- 
heit von Gegenständen irgend welcher Art vor sich sieht, hat zu- 
nächst nur den unbestimmten Begriff einer gewissen Menge; Be- 
stimmtheit erhält dieser Begriff erst dann, wenn jener ungeordnete 
Haufe aufgeräumt wird und die einzelnen Objecte in eine Reihe ge- 
stellt sind. Es erhält nämlich bei dieser Anordnung jeder Gegen- 
stand seinen bestimmten Platz, und die Vorstellung dieser Stelle, 
welche das entsprechende Object in der angenommenen Reihenfolge 
einnimmt, ist eben die Zahl. So entsteht zunächst die natürliche 
Zahlenreihe (1, 2, 3 etc.), und diese bildet vor der Hand das ein- 
zige Material der Arithmetik. 

Als Grundlage für jedwedes Rechnen dient der Übergang von 
einer Zahl zu ihrer Nachbarin, eine Operation, welche man passend 
mit einem Schritte vergleichen kann. Geht man nun von einer Zahl 

Schlömilch algebr. Analysis. 6. Aufl. ;^ 



2 Einleitung. 

a aus um so viel Schritte weiter als eine andere Zahl h anzeigt, so 
hat man die Addition in ihrer einfachsten Gestalt; die Zahl c, zu 
welcher man bei diesem Fortgange gelangt, ist die Summe von a und 
l, nämlich c = a -\-'b. Sieht man umgekehrt die Summe c als ge- 
geben an und ebenso einen der Summanden, etw^a a, so entsteht die 
Aufgabe der Subtraction, die Umkehruug der Addition. Hier ist 
zweierlei zu bemerken, erstens nämlich, dafs es nur eine solche 
Umkehrung giebt, weil a -\- h = h -\- a ist, und es mithin gleich- 
gültig bleibt, ob man h aus c und a, oder a aus c und h bestim- 
men will. Der zweite bemerkenswerthe Umstand ist, dafs es Fälle 
geben kann, in welchen die Subtraction unausführbar wird; da näm- 
lich die Zahlenreihe, im Sinne des Fortschrittes genommen, unbe- 
grenzt ist, so stöfst die Addition niemals auf eine Schwierigkeit, bei 
dem Rückschritte dagegen kann es sich treffen, dafs man aus der in 
dieser Richtung durch die Eins begrenzten Zahlenreihe herausgeräth, 
wie z. B. bei 4 — 4 oder 5 — 7, und es sind daher solche Differen- 
zen vor der Hand als unmögliche Zahlen zu betrachten, weil es eben 
unmöglich ist, in der bisherigen Reihe eine Zahl zu finden, welche 
aus einer derartigen Subtraction entstanden wäre. 

Durch Wiederholung der Addition, d. h. durch Addition mehrerer 
gleicher Summanden, gelangt man zur nächsten Rechnungsart, der 
Multiplication, und es bedeutet hier ab zunächst weiter nichts 
als die Summe von a Summanden, deren jeder =& ist. Setzt man 
ab = c und sieht jetzt das Product c und einen der Factoren, etwa 
a, als bekannt an, so entsteht die Aufgabe, den anderen Factor b 
zu bestimmen, und diese Umkehrung der Multiplication ist die Di- 
vision. Hier wiederholen sich dieselben zwei Bemerkungen, die wir 
vorhin bei der Subtraction machten; weil nämlich die Anordnung 
der Factoren keinen Einflufs auf das Product ausübt, so ist es in 
Beziehung auf die Art der Rechnung gleichgültig, ob man b oder a 
sucht, und es giebt daher nur eine Umkehrung der Multiplication. 
Ferner kann es sich treffen, dafs die Division unmöglich wird, was 
der Multiplication nie begegnet, und es tritt diese Unmöglichkeit hier 
jedesmal ein, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist. 

3 11 

Ausdrücke wie j oder -^ sind daher vor der Hand als unmögliche 

Zahlen zu bezeichnen. 

Aus der wiederholten Multiplication entsteht nun weiter die Po- 
tenzirung, und zwar bedeutet hier a* das Product von b Factoren, 
deren jeder = a ist. Verglichen mit der Addition und Multiplication 



Einleitung. 3 

zeigt die Potenzirung die Eigen thümliclikeit, dafs keine Vertauschung 
der Zahlen a und h vorgenommen werden darf, wenn die Potenz un- 
geändert bleiben soll; mit anderen Worten, es ist im Allgemeinen a* 
nicht = &*. Aus eben diesem Grunde hat die Operation des Poten- 
zirens zwei Umkehrungen, weil man die Fälle unterscheiden mufs, 
ob in der Gleichung a^ = c aus h und c die Grundzahl a, oder aus 
a und c der Exponent h bestimmt werden soll; das erste giebt die 

b_ 

Wurzelausziehung (Vc), das zweite die Aufsuchung des Lo- 
garithmus (log c für a als Basis, oder kürzer Hog c). Wiederum 
findet hier die Bemerkung statt, dafs die Operation des Potenzirens 
jederzeit ausführbar ist, während die umgekehrten Operationen auf 

Unmöglichkeiten stofsen können, wie z. B. bei y? oder ^log 10. 

So wie nun bisher aus den einzelnen Schritten die Addition, aus 
dieser die Multiplication und hieraus die Potenzirung gebildet wurde, 
so könnte man es auch versuchen, durch wiederholte Potenzirung 
eine neue Rechnungsart zu schaffen; bemerkt man aber, dafs die 
Potenz einer Potenz wiederum eine Potenz ist, so erkennt man auf 
der Stelle, wie mit einer solchen Wiederholung jener Operation nichts 
Neues gewonnen wird. Es schliefst sich hiermit die Reihe der Rech- 
nungsoperationen, welche demnach drei ursprüngliche (directe) und 
vier abgeleitete (indirecte) Operationen enthält. Gleichwohl ist aber 
die Arithmetik defswegen nicht als abgeschlossen zu betrachten ; denn 
wenn auch ein Zuwachs an neuen Operationen nicht mehr zu erwar- 
ten ist, so kann doch die Aufgabe gestellt werden, die vorhandenen 
Operationen unter allen Umständen ausführbar zu machen, und es 
entspringt diese Aufgabe naturgemäfs aus der Bemerkung, dafs die 
indirecten Operationen in vielen Fällen unmöglich wurden. Diese 
Unmöglichkeit liegt aber nicht in dem Begriffe jener Operationen 
(denn die Forderung z. B., von 4 aus um 7 Schritte rückwärts zu 
gehen, enthält keinen Widerspruch in sich), sondern einzig und allein 
in dem Mangel an Zahlen, an der Einseitigkeit und Lückenhaftigkeit 
der Zahlenreihe. Jene Unmöglichkeit, verschwindet daher, sobald man 
das Zahlengebiet passend erweitert, und auf welche Weise diese Er- 
weiterung vorzunehmen sei, das müssen die indirecten Operationen 
selbst zu erkennen geben. 

So führt uns die Subtraction zunächst auf den Begriff der Null 
und der negativen Zahlen, wodurch sich die bisher einseitig unbe- 
grenzte Zahlenreihe zu einer nach beiden Seiten hin unbegrenzten 
erweitert (positive und negative ganze Zahlen). Um ferner die Di- 



4 Cap. I. Yon den veränderlichen Gröfsen 

Vision ausführbar zu machen, bedarf es der Aufstellung solcher Zah- 
len, die in gleichen Abständen von einander zwischen je zwei Zahlen 
der bisherigen Reihe enthalten sind; so erscheinen die Brüche (po- 
sitive und negative) als eingeschaltete Zwischenglieder jener Zahlen- 
reihe. Das Wurzelausziehen nöthigt zu einer weiteren Interpolation 
der Zahlenreihe, welche sich aber von der vorhergehenden in so fern 
unterscheidet, als man eine zwischen zwei ganzen Zahlen liegende 
Irrationalzahl durch eine Theilung des Intervalles in gleiche 
Theile nicht erreichen kann. Die Erscheinung der Irrationalzahlen 
berechtigt nun, sich an jeder beliebigen Stelle der Zahlenreihe eine 
Zahl zu denken, d. h. mit anderen Worten, die ursprünglich lücken- 
hafte Zahlenreihe wird zur lückenlosen, die punktirte Zahlenlinie zu 
einer ununterbrochenen. Diefs ist das für den weiteren Fortgang 
der Arithmetik bedeutendste Resultat der Buchstabenrechnung, und 
es erreicht letztere ihr Ende, sobald sie diesen Nachweis geliefert 
und zugleich die Regeln angegeben hat, nach welchen mit beliebig 
aus der Zahlenreihe herausgegriffenen Zahlen die sieben Grundopera- 
tionen vorzunehmen sind. Was endlich die Bedeutung der imagi- 
nären Zahlen anbelangt, so wird der Verlauf dieses Werkes selbst 
darauf hinführen. 



Gapitell. 

Von den veränderlichen Gröfsen und den Functionen 
im Allgemeinen. 

• §.1. 

Grundbegriffe und Aufgaben der algebraischen Analysis. 

Der ununterbrochene Fortgang der Zahlenreihe, welchen die nie- 
dere Arithmetik am Ende ihrer Betrachtungen nachweist, gestattet 
eine Operation, deren Einfachheit nicht minder grofs ist als ihre 
Wichtigkeit. Das ursprünglichste Verfahren nämlich, um von einer 
Zahl a zu einer anderen & zu gelangen, bestand darin, dafs man von 
a aus in einzelnen Schritten (a, a + 1, a + 2 etc.) weiter ging, bis 
man auf die Zahl h traf; jeder solcher Schritte bildete einen Sprung, 
in so fem anfangs zwischen den einzelnen ganzen Zahlen keine Zwi- 
schenstufen existirten. Die Brüche aber geben die Möglichkeit an 
die Hand, die Weite dieser Sprünge bis zu jedem beliebigen Grade 
der Kleinheit zu vermindern, und sie dienen hierbei als Zwischen- 



und den Functionen im Allgemeinen. 5 

stufen von gleicher Gröfse. Stellen wir dazu noch beliebige Irratio- 
nalzahlen, so lassen sich zwischen a und l willkürlich viele Zwi- 
schenstufen von ebenso willkürlichen verschiedenen Gröfsen einschal- 
ten, und es kann nun der Übergang von a nach h ohne alle Sprünge, 
d. h. mit Durchlaufung aller möglichen Zwischenstufen, erfolgen; ein 
solcher Übergang heifst ein stetiger oder continuirlicher, jeder 
andere ein unstetiger, sprungweiser oder discontinuirlicher. 
Wir können uns jetzt auch eine Zahl x denken, welche erst den 
Werth a besafs und nachher durch stetigen Übergang den Werth h 
erhielt, und es hat dieser Procefs die gröfste Ähnlichkeit mit der 
stetigen geradlinigen Bewegung eines Punktes von einer Stelle des 
Raumes zur anderen. Diese Vorstellung einer stetig veränderlichen 
Zahl bildet die Grundlage alles höheren Calcüls und ihre Wichtigkeit 
wird sofort aus der Bemerkung erhellen, dafs eine Anwendung der 
Arithmetik auf die stetig veränderlichen Gröfsen des Raumes und 
der Zeit unmöglich sein würde, wenn nicht auch die Zahl als stetig 
veränderlich angesehen werden könnte. 

Nach dieser Erörterung über das Wesen der stetig veränder- 
lichen Zahl oder Gröfse bedarf es noch eines äufseren Unterschei- 
dungszeichens für dieselbe, da es sich treffen kann, dafs in einer und 
derselben Rechnung veränderliche und unveränderliche Zahlen vor- 
kommen, die zu verwechseln man sich hüten mufs. Für diesen Zweck 
ist es allgemein üblich geworden, die unveränderlichen oder con- 
stanten Gröfsen mit den ersten Buchstaben des Alphabets a,!}, c . . . 
zu bezeichnen, für die veränderlichen oder variabelen Gröfsen da- 
gegen die letzten Buchstaben, wie t, x, y, s, zu brauchen. In einem 
Ausdrucke wie ax -\-h bezeichnet daher x nicht eine unbekannte 
Gröfse, wie in der Algebra, sondern eine unbestimmte, welche bei 
stetiger Änderung alle möglichen Zahlenwerthe durchlaufen kann, wo- 
gegen a und & festbestimmte Zahlen bedeuten, welche sich nicht 
ändern, während x andere und andere Werthe erhält. 

Diese Unterscheidung führt von selbst um einen bedeutenden 
Schritt weiter, wenn man die Bemerkung hinzubringt, dafs jede Rech- 
nung, die etwas mehr als unbestimmte Beziehungen enthalten will, am 
Faden der Gleichungen fortlaufen mufs. Setzen wir nämlich einen be- 
liebigen Ausdruck, worin constante Gröfsen mit einer Variabein ver- 
bunden vorkommen, einer neuen Gröfse gleich, also etwa unser obiges 

«^ -f- ^ == y^ 
so ist die neue Gröfse y offenbar wieder eine veränderliche; denn 
wenn x andere und andere Werthe annimmt, so ändern sich auch 



6 Cap. I. Von den veränderlichen Gröfsen 

die Werthe von y. Aber diese Veränderungen sind nicht willkür- 
lich; eine Änderung des oc zieht eine ganz bestimmte Änderung des 
y nach sich; z. B. für zwei bestimmte Zahlenwerthe von x, die wir 
mit x^ und x.^ bezeichnen wollen, kommen auch ein paar bestimmte 
entsprechende Werthe von y, etwa y^ und y.^, heraus, so dafs ist 

ax^ -[- b = y^ und ax^ -{- b = ij^. 
Nehmen wir nun an, dafs x^ um eine bestimmte Gröfse S gröfser sei 
als x^, mithin x^ = x^ -{- ö, so haben wir 

^2=0 (^'i -^ ö) -i- b = ax^-{- b ^ aö 
d. h. 7/2 =y^ -{- a8 
wenn also x sich um ö ändert, so ändert sich y um ad, mithin hängt 
die Veränderung des y von der des x ab und zwar auf fest bestimmte 
Weise. Noch auffallender tritt diefs an dem folgenden Beispiele her- 
vor. Es sei u eine ganz beliebig veränderliche Gröfse und 

U^ -\- C = V 

so ist offenbar auch v eine Variable, aber nicht so willkürlich als u. 
Denn wenn c eine positive Zahl bedeutet, so ist für alle möglichen 
positiven oder negativen u das Quadrat ti^ , folglich auch u^ -{- c, 
mithin jenes v positiv und es existirt kein Werth von u, für welchen 
M^ + c oder v negativ werden könnte. Trotz der gänzlichen Unbe- 
stimmtheit des u ist also doch durch die Natur der Gleichung die 
Veränderlichkeit von v eingeschränkt und ihr als Spielraum nur das 
Gebiet der positiven Zahlen angewiesen. Man mufs daher unab- 
hängige und abhängige veränderliche Gröfsen unterscheiden; die 
ersteren sind solche, denen man willkürlich jeden beliebigen Werth 
beilegen darf, die letzteren diejenigen, deren Veränderungen durch 
die stetigen Veränderungen einer anderen unabhängig veränderlichen 
Gröfse nach irgend einem Gesetze bedingt sind. Dieses Gesetz selbst 
spricht sich in irgend einer analytischen Formel aus, welche die un- 
abhängig veränderliche Gröfse enthält (wie oben ax + l). Jeden 
solchen Ausdruck, in welchem eine unabhängig veränderliche Gröfse 
auftritt, nennt man eine Function dieser Veränderlichen. Dem- 
nach sind alle beliebigen Ausdrücke wie 

ax, x^ , a' , y^^ — ^2^ iQg X, sin x etC. 
sämmtlich Functionen von x, die sich nur dadurch unterscheiden, 
dafs in jeder die Art des Vorkommens der Hauptgröfse eine andere, 
oder wie man auch sagt, dafs jede anderer Natur ist. Zur Bezeich- 
nung der Functionen im Allgemeinen bedient man sich der Buchsta- 
ben Fj f, (f, ip oder ähnlicher, welchen man denjenigen Buchstaben, 
der die in der Function vorkommende Veränderliche bezeichnet, in 



und den Functionen im Allgemeinen. 7 

Parenthesen eingeschlossen auf der rechten Seite beisetzt*). Sym- 
bole wie F{x), fix), cp(x), ip{x) bedeuten also nichts Anderes, als 
gewisse, nicht näher bestimmte Rechnungsausdrücke, in welchen eine 
unabhängig veränderliche Gröfse vorkommt, wobei durch die ver- 
schiedenen Buchstaben F, f, q), ip zugleich angezeigt wird, dafs in 
jeder der genannten vier Functionen x auf verschiedene Weise vor- 
kommt, oder dafs jede anderer Natur ist. Hiernach ist nun der Sinn 
einer Gleichung wie 

folgender: die Gröfse y läfst sich dadurch aus x ableiten, dafs man mit 
X irgend welche nocli nicht näher bestimmte analytische Operationen 
vornimmt, und daher ist y slu x so gebunden, dafs jedem bestimmten 
Werthe von x ein gleichfalls bestimmter Werth von y entspricht. 

Es kann eine Function auch zwei oder mehrere unabhängig ver- 
änderliche Gröfsen zugleich enthalten. So ist z. B. der Ausdruck 
ax + C0, in welchem x und zwei von einander unabhängige beliebige 
Gröfsen bezeichnen, eine Function von x und z zugleich, weil er sich 
ändert, wenn x oder allein eine Änderung erleidet. Setzt man 
ax-\- C0 = y, so bezeichnet man die Abhängigkeit des y von x und 
zugleich durch die Gleichung 

y =f{x, z) oder y == (p{x, z) etc. 
Ebenso würden nun entsprechend f{x, 0, t), (p{x, 0, u, v) etc. Func- 
tionen von drei und mehr Veränderlichen andeuten. 

Sehen wir uns nun zunächst im Gebiete der niederen Arithmetik 
nach Functionen um, so finden wir als einfachste 

c 

a -\- X, a — X, bx, — 

X 

welche dadurch entstehen, dafs man mit der Variabein die vier ein- 
fachsten arithmetischen Operationen vornimmt. Hierauf folgt natur- 
gemäfs die Potenz, welche zu zwei verschiedenen Functionen Veran- 
lassung giebt, jenachdem man die Basis oder den Exponenten als 
unabhängige Variable ansieht. So erhalten wir die Functionen 

x^ und «^ 
von denen die erste in der Analysis den Namen Potenz ausschliefslich 
führt, während die zweite sehr passend Exponentialgröfse heilst. 
Da die Constante h auch gebrochen oder negativ sein kann, so begreift 
die Potenz zugleich die Functionen 

*) Bisweilen läfst man wohl der Kürze wegen die Parenthesen weg und setzt z. B. 
schlechthin fx statt f{x). Eine solche Schreibweise ist aber defswegen nicht zu empfeh- 
len, weil man bei ihr das Operationszeichen / leicht mit einem Coefficienten verwechselt. 



8 Cap. I. Yon den veränderlichen Gröfsen 

m 1 

Vo?" und — 

in sich. Als letzte Function von arithmetischer Abkunft stellt sich 
noch der Logarithmus dar, den man bei constanter Basis und ver- 
änderlicher Zahl mit 

zu bezeichnen pflegt. 

Die Allgemeinheit, welche im Begriffe der Function liegt, erlaubt 
uns, noch ein paar Schritte weiter zu gehen und auch solche Functio- 
nen in Betrachtung zu ziehen, die nicht ursprünglich arithmetischer 
Abstammung sind. Beachten wir also aufser dem Gehalte der Arith- 
metik noch den der Geometrie und Trigonometrie, so stellen die go- 
niometrischen Verhältnisse wiederum Beispiele einer gegenseitigen Ab- 
hängigkeit von Gröfsen dar, in so fern zu jedem Bogen ein bestimmter 
Sinus, Cosinus etc. gehört. Denken wir uns den Bogen x jederzeit in 
Theilen des Halbmessers ausgedrückt*), so giebt es zu jeder ab- 
stracten Zahl x einen Sinus, Cosinus etc. und man hat daher die 
goniometrischen Functionen 

sin X, cos Xy tan x, cot x, sec .r, esc x. 

An diese reihen sich noch sechs andere, welche die ümkehrungen 
derselben sind. Sehen wir nämlich die Variable x nicht als Bogen an, 
wie vorhin, sondern bezeichnen wir damit einen gegebenen Sinus, so 
gehört zu demselben ein ganz bestimmter spitzer Bogen, welchen 
man mit 

arc (sin = x) oder aresin x 
bezeichnet; hiernach ist z. B. 



. 1 n 


1 ^ 




TT 


arcsin - = -, 


arcsin —=r = -> 


arcsin 1 


_ 


2 6 


V2 4 




2' 



Bei negativen x nimmt man auch den Bogen negativ nach Analogie 
der Formel sin ( — u) = — sin u, z. B. 



in \— — j = — 3' arcsin (— 1) == — 



arcsin 

2 



Ebenso versteht man unter arccos x den kleinsten aller der Bö- 
gen, deren Cosinus die Länge x haben, z. B. 



*) Wäre der Hogcn ursprünglich in Graden gegeben, so dafs er etwa g^ fafste, so 
würde die Proportion 

180« : flro = tc: g.^ also cc = -^ tc 
1 80 

gelten, und dadurch bestimmt sich eben jenes a;, wovon oben die Rede ist. 



und den Functionen im Allgemeinen. 

1 TT A ^ 

arccos - = ö> arccos = -, 

2 o ^ 



arccos 



(~Vl)^?' '"''^''"^~')=''- 



Ferner bezeichnet ö^rc^aw :r denjenigen zwischen — l^r und + i ^ 
liegenden Bogen, dessen Tangente == x ist, wobei dem Bogen dasselbe 
Vorzeichen gegeben wird, welches x besitzt, z. B. 

arcfanl=-, arcfan Vs = -^ arctanoo = -, 

4i 6 ^ 

arctan ( — 1) = — 7, arctan ( — 00) = — -. 

Wie man auf ähnliche Weise die Functionen arccotx, arcsec x und 
arccsc x definiren kann, ist unmittelbar ersichtlich ; die so erhaltenen 
sechs Functionen heifsen cyclometrische. 

Was nun die Aufgabe der algebraischen Analysis anbelangt , so 
ist dieselbe eine doppelte. Sie hat erstlich mit den Mitteln, welche 
die Algebra bietet, die allgemeinen Eigenschaften der Functionen so 
weit als möglich zu erforschen, und zweitens die Kesultate dieser 
Untersuchung speciell auf die bisher genannten Functionen anzuwen- 
den. Die algebraische Analysis zerfällt demnach in zwei Haupttheile, 
deren erster als eine elementare Theorie der allgemeinen 
Eigenschaften der Functionen, und deren zweiter als spe- 
cielle Theorie der einfachen Functionen bezeichnet werden 
kann, wobei wir die bisher genannten Functionen unter der Benen- 
nung „einfache Functionen" zusammenfassen. 

§. 2. 

Die cyclometrischen Formeln. 

Da in den Lehrbüchern der Trigonometrie die cyclometrischen 
Functionen nicht behandelt zu werden pflegen, so schalten wir an 
dieser Stelle die Entwickelung der cyclometrischen Grundformeln ein. 

I. Bezeichnet u einen Bogen des ersten Quadranten, x seinen 
Sinus, so hat man folgende Gleichungen 

sin u = X , cos u = yi — x'^ , 

y 1 — x^ X 

von denen jede zur Bestimmung des u dienen kann; es ist daher 

I aresin x = arccos "j/ 1 — x^ 
X 1/1—^2 
= arctan = arccot • 

y 1 — a?2 X 



10 Cap. I. Von den veränderlichen Gröfsen 

Nennen wir ferner ^ die Tangente des Bogens u, so haben wir 

1 





tan 


u = z, 


cot u = -, 








1 




z 




Y 


l + z^ 


y 


1 -\-z^ 


mithin umgekehrt 










l 


arctan z = 


1 

= arccot- 




2) 

/ = arccGs — - 


1 


= aresin — 


z 



yi + ^2 yi4. 

IL Das Complement des Bogens aresin x hat x zum Cosinus; 
daher ist 

3) aresin x -\- arceos x = \n. 

Das Complement des Bogens arctan z hat z zur Cotangente; diefs 
giebt 

4) arctan z -\- arccot z = ^n. 

IIL Ist wieder u ein Bogen des ersten Quadranten, so haben 
alle die Bögen 

Uj +7E — u, -^2% -\- u, •jrZn — u, +47r-|-M, +571 — w, .... 
einen und denselben Sinus; überhaupt ist 

sin u = sin [^ ^ + (y ^ — ^) i ^ ^^\ 
wobei man der Reihe nach ä;==0, 1, 2, 3, ... zu setzen und für 
jeden individuellen Werth von h erst das obere und dann das untere 
Zeichen zu nehmen hat. Bezeichnet x den gemeinschaftlichen Werth 
aller jener Sinus , so folgt u = aresin x, weil u im ersten Quadran- 
ten liegt ; wird dagegen ganz unbestimmt die Gleichung sin w = x 
gegeben, ohne dafs man vorher weifs, in welchem Quadranten w liegt, 
so kann w alle die Werthe u, 7t — u, 2 7t -\-u, 37t — u etc. haben ; 
die allgemeine Formel für w ist daher 

Mit anderen Worten, alle Wurzeln der Gleichung 

sin w = X 
sind in der Formel 

w =^7tJJ^ (^7c — arcsin j;) + 2 Ä:7r 
enthalten, wenn 7<; = 0, 1, 2, 3 etc. gesetzt wird. 

Bezeichnen u und v zwei Bögen des ersten Quadranten und ist 
sin u = Xy si?i v =y 

mithin 

u = arcsin x, v = arcsin y, 

so hat man 



und den Functionen im Allgemeinen. 11 

sin (?/ -f- v) = sin u cos v -\- sin v cos u 

= X y 1 — iß + y y 1 — ^'2 

mithin nach dem Vorigen 

u -\- V = ^ 71 ^[^^ Tc — aresin (.r y 1 — y^ -\- y '[/ 1 — ^"^J + 2/i7t 
oder zufolge der Werthe von u und v 

aresin x -f- aresin y 

= Y TT + [y ^ — aresin {x^ \ — y^ + V ^ '^ — ^^)]i ^^• 
Hier ist noch zu bestimmen, ob das obere oder untere Zeichen, und 
welcher Werth für h genommen werden soll. Die Summe zweier Bö- 
gen des ersten Quadranten giebt nun entweder einen zwischen und 
^ 7t ^ oder einen zwischen ^ 7t und 7t liegenden Bogen ; daher ist h = 
und im Falle u-\- v <c\^ das untere , dagegen für u-^-vy^ \7t 
das obere Zeichen zu nehmen. Um aber zu entscheiden, ob der erste 
oder zweite Fall stattfindet , berechnen wir cos {u -\- v), weil dieser 
Ausdruck positiv oder negativ ist, jenachdem u -\- v im ersten oder 
zweiten Quadranten liegt. Es ergiebt sich 

cos (u -\- v) = cos u cos V — sin u sin v 

= T/Tzr^2 yinr^ -xy == i — i^' + £} — 

uud nach allen bisherigen Bemerkungen folgt nun im ersten Falle 



5) 



aresin x -\- aresin y = aresin (x'^ 1 — y^ -\- y '[/ 1 — x^), 
a;2^y2 < 1, 



dagegen im zweiten Falle 

. ( aresin x -j- aresin y==7t — aresin (a^-yi — y^ -\-y y 1 — x^), 
\ a:2 +^2 > 1. 

Durch ganz ähnliche Schlüsse gelangt man zu der Formel 

7) aresin x — aresin y = aresin (^yi — y'^ — V ^ ^ — '^^)> 

bei welcher es keiner Unterscheidung bedarf, weil die Differenz zweier 

Bögen des ersten Quadranten immer zwischen — | tt und -{-^Tt liegt. 

IV. Ist wieder u ein Bogen des ersten Quadranten, so haben 

alle die Bögen 

u , ^7t -\-Uj ^^2 7t-\- Uf +37r-f-^> • • • • 
dieselbe Tangente, weil immer 

tan u = tan (it + kji). 
Für tan u = x ist u = arctan x; aus der allgemeinen Gleichung 

tan w =. x 
folgt dagegen 

Tz; = ?/ + A'TE = arctan x + kit. 



12 Cap. I. Yon den veränderlichen Gröfsen 

Sind ferner u und v zwei Bögen des ersten Quadranten, so ist 

für tan u = x und tan v = y 

tan u -j- tan v ^ + V 

tan (u-{-v)= ' = :; — !— ^-, 

^ ^ 1 — tan u tan v 1 — xy 

mithin 

'Ij \ u 

?/ -f- i; = arctan ~ + kn. 

1 —xy - 

oder vermöge der Werthe von u und v 

X I 11 

8) arctan x -\- arctan y = arctan — + kn. 

l—xy — 

Hier sind wie früher zwei Fälle zu unterscheiden. Entweder liegt 
arctan x + arctan y = u -{- v im ersten Quadranten, dann ist 
cos (u -\~ v) = cos u cos V — sin u sin v positiv , mithin sin u sin v 
<C cos u cos V oder tan u tan v <C 1 d. h. ^«/ -cC 1. In diesem Falle 
mufs Jc = sein , weil sonst ein Bogen ":> rc oder ein negativer Bo- 
gen zum Vorschein käme, also 

ix -\-y 
arctan x -+- arctan y = arctan > 
1 — ^y 
xy-^l. 

Beträgt dagegen u -\~ v mehr als ^ tt , so ist xyy^l und aus der 

Gleichung 8) wird 

X A-y , , 

arctan x -\- arctan y = — arctan -r kn. 

xy — 1 — 

Damit nun rechter Hand gleichfalls ein Bogen des zweiten Qua- 
dranten erscheine , mufs h = l mit dem oberen Zeichen genommen 
werden, also 

1 n\ ) arctan x + arctan y = n — arctan —» 

1^) j -1- if xy—l 

( xy-^l. 

Durch ganz ähnliche Schlüsse gelangt man zu der Formel 

X -~~~~ XI 

11) arctan x — arctan u == arctan '—, 

bei welcher keine Unterscheidung nöthig ist, weil die Differenz zweier 
Bögen des ersten Quadranten immer zwischen — | tt und -{- i^i liegt. 

§.3. 

Die verschiedenen Arten von Functionen. 

Die grofse Unbestimmtheit, welche in dem allgemeinen Begriffe 
der Function liegt, macht eine Eintheilung der Functionen in Classen 
nöthig, wobei man als Eintheilungsgrund die verschiedenen Rech- 



und den Functionen im Allgemeinen. 13 

nungsoperationen nimmt, aus welchen die Functionen hervorgehen. 
Man theilt nun gewöhnlich die arithmetischen Operationen in zwei 
Classen, von denen die erste die Operationen des Addirens, Subtrahi- 
rens, Multiplicirens, Dividirens und Potenzirens für constante Expo- 
nenten, wozu auch das Wurzelausziehen gehört, in sich begreift und 
die andere alle übrigen Arten von Operationen umfafst. Die Operatio- 
nen der ersten Classe nennt man algebraische, die der zweiten 
Classe transscendente und theilt hiernach die Functionen in alge- 
braische und transscendente. Zu den ersteren gehören alle Functionen, 
in welchen mit der darin enthaltenen veränderlichen Gröfse blofs alge- 
braische Operationen vorgenommen werden, zu den zweiten die, in wel- 
chen die Veränderliche transscendenten Operationen unterworfen wird. 
Auf die Art und Weise, in welcher die constanten Gröfsen der Function 
auftreten, wird bei dieser Unterscheidung keine Rücksicht genommen. 

Die algebraischen Functionen theilt man noch in rationale und 
irrationale. Zu den ersteren gehören alle diejenigen, in welchen 
die veränderliche Gröfse unter keinem Wurzelzeichen, oder was das 
Nämliche ist, mit keinem gebrochenen Exponenten behaftet vorkommt, 
vorausgesetzt, dafs man alle angedeuteten Rechnungen so weit als 
möglich ausgeführt, also die Function selbst auf den möglichst ein- 
fachen Ausdruck reducirt hat. Die letztere Bemerkung ist defshalb 
nicht ganz überflüssig, weil eine Function als nicht rational erscheinen 
kann, so lange man sie nicht so weit als möglich reducirt hat, z. B. 
die Function 

C\/a + -\/x) (]/a — -\/x) 
die man beim ersten Anblick nicht zu den rationalen rechnen würde, 
die aber in der That dazu gehört, weil sie sich bei Ausführung der 
Multiplication auf a — x reducirt. Kommen dagegen in einer Func- 
tion Wurzelzeichen vor, die sich nicht durch blofse Reduction weg- 
schaifen lassen, so heifst dieselbe eine irrationale. 

Man unterscheidet bei den algebraischen Functionen auch noch 
ganze und gebrochene. Zu den ersten rechnet man die, in de- 
ren Nenner die veränderliche Gröfse selbst nicht vorkommt, zu den 
zweiten die, in welchen die Variable auch im Nenner auftritt. So 

sind z. B. 

a ^ bx ^ cx^ und ']/ a^ — b^x^ 

eine rationale und eine irrationale ganze Function, dagegen 

a -{- bx - fl — V^ 
und ^ 



c -|- dx"^ X 

eine rationale und irrationale gebrochene algebraische Function, 



14 Cap. I. Von den yeränderlichen GrÖfsen 

Da in einer rationalen algebraischen Function keine anderen Rech- 
nungsoperationen als die vier Species und die Erhebung auf eine Po- 
tenz von ganzen Exponenten vorkommen dürfen, so sieht man leicht, 
dafs eine ganze Function dieser Art unter der allgemeinen Form 

stehen mufs, in welcher Äq, ^i, . . . Am constante Zahlen (gleichviel 
ob ganze oder Brüche) bedeuten, von denen natürlich auch eine oder 
mehrere = oder negativ sein können. Der höchste aller vorkom- 
menden Exponenten bestimmt den Grad der Function. In unserem 
Falle ist die Function vom Grade m, weil die einzelnen Glieder nach 
den steigenden Potenzen von x geordnet sind, also der letzte Expo- 
nent m der gröfste ist. Eine gebrochene rationale algebraische 
Function läfst sich immer auf das allgemeine Schema 

ß, + ß,x + ß^x^ + . . . + ^„.r" 

bringen, in welchen B^^ B^^ . . . Bn ebenfalls constante Zahlen sind. 
Die Differenz der höchsten vorkommenden Exponenten, also hier 
m — n, giebt dann den Grad der Function an. 

Es kann auch der Fall eintreten, dafs man wohl im voraus weifs, 
eine gewisse Gröfse sei eine Function einer anderen vorhandenen 
Gröfse, dafs man aber die Form dieser Function nicht angeben kann. 
Z. B. wenn x und y beliebige Gröfsen bedeuten, kann die Gleichung 

xy — ax -\- by = c 
nur dann bestehen, wenn y eine gewisse Function von x und ebenso 
umgekehrt x eine gewisse Function von y ist. Denn wenn man dem 
X einen beliebigen Werth giebt, so ist y schon nicht mehr willkürlich 
und sein Werth kann durch Auflösung der Gleichung nach y gefun- 
den werden. Ebenso verhält es sich umgekehrt mit x. In solchen 
Fällen, wo man zwar weifs, dafs die eine Gröfse eine Function der 
anderen sei, ohne dafs man ihre Form näher zu bestimmen im Stande 
ist, nennt man die eine Gröfse eine unentwickelte oder un ge- 
sonderte Function der anderen. Kann man aber die Form näher 
angeben, so hat man eine entwickelte oder gesonderte Function. 
Diese Sonderung der Veränderlichen würde sich in der oben ange- 
führten Function leicht durch beiderseitige Subtraction von ab be- 
wirken lassen; man erhält dann 

(^x -\- b) [y — d) = c — ab 
und daraus 

, , c — ab c — ab 

or == — Ä H , y^=a-\ — r-. 

7/ — a X -^^ b 



und den Functionen im Allgemeinen. 15 

Ebenso ist in der Gleichung 

u -\- X sin u = 
u SO lange eine ungesonderte Function von x, als man nicht eine 
Gleichung von der Form u = . . . aufweisen kann , aus welcher für 
jedes beliebige x das zugehörige u berechnet werden könnte. 

Es giebt endlich noch eine Eintheilung der Functionen, welche 
sich nicht auf die Operationen, sondern auf gewisse Eigenschaften 
derselben gründet. Manche Functionen besitzen nämlich die Eigen- 
schaft, dafs sie nach einem gewissen Intervalle wieder die Werthe 
annehmen, die sie früher schon einmal gehabt haben, wie z.B. der 
Sinus , in welchem sin {27t -\- x) = sin {4:7t -{- x) == sin (ß/r -\- x) , . . 
== sin X ist; Functionen dieser Art heifsen periodische, während 
alle anderen, welchen die genannte Eigenschaft abgeht, nichtperio- 
dische heifsen. Das Kennzeichen einer periodischen Function f{x) 
ist, dafs es eine constante Gröfse a giebt, für welche 

/{x) =^f{a + x) =^f{2a + :r) =/(3ß + x) . . , 
wird, wobei man a das Intervall oder den Index der Perio- 
dicität nennen kann. Für f{x)==sin x beträgt dasselbe 27r, für 
f{x) = tan X i^t a = 7t. In der niederen Analysis scheiden sich 
durch diese Eintheilung die goniometrischen Functionen von den 
übrigen. 

§. 4. 

Die geometrische Darstellung der Functionen. 

Man kann sich von einer Function einer einzigen Variabelen sehr 
leicht ein geometrisches Bild verschaffen, wenn man den in einer 
Gleichung wie 

y =/W 
vorkommenden Veränderlichen eine geometrische Bedeutung unter- 
legt. Das einfachste in dieser Beziehung ist, dafs man die Zahlen 
X und y als die Längen gerader Linien ansieht und letztere nach 
Fig 1 irgend einem Maafsstabe construirt, in- 

dem man eine Gerade von willkürlich 
festgesetzter Länge als die Linie Eins 
annimmt. Um aber die zusammengehö- 
rigen Werthe von x und y übersichtlich 
bei einander zu haben, pflegt man eine 
unbestimmt lange Gerade OX (Fig. 1) 
als Basis und einen festen Punkt in 
ihr als Ausgangspunkt der Constructiou 




16 Cap. I. Von den veränderlichen Gröfsen 

ZU wählen und zwar in der Weise, dafs man die verschiedenen Ge- 
raden, welche die individuellen Werthe von x darstellen, jedesmal 
von aus abschneidet [OM == x) und die zugehörigen Geraden, 
welche die entsprechenden Werthe von y angeben, senkrecht an den 
Endpunkten jener Strecken errichtet (MF = y). Mit anderen Wor- 
ten, und in der Sprache der analytischen Geometrie ausgedrückt, 
heilst Diefs: man denke sich die unabhängige Variable x als Ab- 
scisse und die abhängige Variable als rechtwinklige Ordinate irgend 
eines Punktes in der Ebene. Da y nicht willkürlich ist, sondern 
im Gegentheil aus x durch gewisse Rechnungsoperationen abgeleitet 
werden kann, so erhält man durch diese Construction nicht willkür- 
liche Punkte in der Ebene, sondern solche, die mit einer gewissen 
Regelmäfsigkeit auf einander folgen und in dieser Regelmäfsigkeit 
irgend eine gerade oder krumme Linie bilden. Diese Linie, von wel- 
cher y = fix) die Gleichung in rechtwinkligen Coordinaten ist, stellt 
nun das geometrische Bild der Function f{x) dar. 

Auf analoge Weise lassen sich auch die Functionen zweier Va- 
riabelen geometrisch construiren. Denken wir uns in der Gleichung 

^ = /(^» y) 
die Variabelen x, y , z, von denen die ersten beiden die unabhän- 
gigen sind, als rechtwinklige räumliche Coordinaten, so entsteht fol- 
gende Construction. Durch die beiden willkürlichen Coordinaten x 
und y wird zunächst ein völlig beliebiger Punkt B in einer Ebene 
(der Coordinatenebene xy) bestimmt; errichtet man in diesem Punkte 
eine Senkrechte von der Länge z auf jener Ebene, so erhält man einen 
Punkt im Räume, von welchem x, y , z die rechtwinkligen Coordi- 
naten sind, wie OM=Xy MN==y, NP == z in Fig. 2. Jedem 
Fig, 2. Punkte N der Ebene xy entspricht jetzt 

ein Punkt F im Räume, von welchem N 

I die Horizontalprojection darstellt; der Ge- 

y^ ~~^^^^ sammtheit aller in der Ebene xy liegenden 
f ~y / Punkte entspricht demnach eine räumliche 

/ Gesammtheit von Punkten, oder kürzer 

eine Fläche. 

Weiter als bis zu den Functionen 
— --^ — ^^ zweier Variabelen reicht indessen die 
^ geometrische Darstellung der Functionen 

■^ nicht; denn um die Functionen einer Ver- 

änderlichen zu construiren, bedurften wir 
zweier Dimensionen (für die unabhängige und abhängige Variabele), 



und den Functionen im Allgemeinen. 17 

indem wir die Construction in der Ebene ausbreiteten; für die Dar- 
stellung der Functionen zweier Variabelen waren drei Dimensionen 
nöthig, und mithin würden zur Construction der Functionen von drei 
oder mehreren Variabelen vier oder noch mehr Dimensionen des Rau- 
mes erforderlich werden, die für uns wenigstens nicht existiren. Hier 
wird also der Calcül der Anschauung überlegen, ein Phänomen, wel- 
ches man öfter zu beobachten Gelegenheit finden wird. 



Capitel n. 

Die Grenzwerthe der Functionen. 
§.5. 

Begriff der Grenze. Beispiele. 

Da in einer Function die veränderliche Gröfse alle möglichen 
Werthe annehmen darf, so kann man dieselbe auch auf die Weise 
sich verändern lassen, dafs sie von irgend einer Stelle an sich be- 
ständig vergröfsert und gröfser als jede angebbare Zahl werden kann. 
Hierdurch wird nun auch eine beständige Veränderung in den Wer- 
then der Function herbeigeführt werden, die sich bei der unbestimm- 
ten Allgemeinheit, welche in dem Begriffe der Function liegt, schlecht- 
hin nicht angeben lässt. Ein Fall aber bedarf ganz besonderer Auf- 
merksamkeit. Es kann nämlich vorkommen, dafs die Function sich 
mehr und mehr einer bestimmten Grenze nähert, wenn die in ihr 
enthaltene Variabele fortwährend ins Unbestimmte hinaus zunimmt. 

Diefs ist z. B. der Fall bei der Function -. Diese nimmt fortwäh- 
rend ab, wenn x wächst, und zwar kann ihr Werth kleiner als jeder 
noch so kleine beliebige Bruch ß werden, sobald man nur ^ "> n 
nimmt; man sagt daher: „bei unendlich wachsenden x convergirt - 

X 

gegen die Null" oder: „für x = oo hat - die Null zur Grenze." 

X 

Der letztere Ausdruck lässt sich dadurch in Form einer Gleichung 
darstellen, dafs man die Worte „Grenzwerth von" irgendwie abkürzt, 
und es ist üblich, dafür die Sylbe Lim. (Abkürzung von Limes = 
Grenze) zu brauchen; der vorige Satz wird daher geschrieben 

Lm - = 0, für a? = oo 

X 

Schlömilch algebr. Analysis. 6. Aufl o 



18 Cap. II. Die Grenzwerthc der Functionen. 

Hieraus folgt z. B., dafs der etwas zusammengesetztere Ausdruck 

a -\- - gegen die Grenze a convergirt, d. h. 



Lim 1 ö -i \ = a, x = oo. 



(■+3 

Überhaupt bedeutet die Gleichung 

Li'm f{x) = u, X ^= oo, 

dafs der Unterschied zwischen der Function f{x) und der Constanten 
a kleiner als jede angebbare Zahl gemacht werden kann, wenn man 
X ins Unendliche wachsen läfst. Um den letzteren Zusatz zu ersija- 
ren, werden wir nicht selten eine unendlich wachsende Zahl durch 
einen der Buchstaben (j, t, w bezeichnen, mithin statt der vorigen 
Gleichung kürzer Lim f{o)) = a schreiben. 

Setzt man - = d^ so ist (^ eine gegen die Null convergirende 

Zahl, und an die Stelle von /'(w) tritt eine Function von ö^ welche 
F{ö) heifsen möge. Man hat jetzt die neue Gleichung Lim F{d) = a, 
welche sagt, dafs der Unterschied zwischen F{ß) und a kleiner als 
jede angebbare Zahl gemacht werden kann, wenn ö die Null zur 
Grenze hat*). 

Wir geben zunächst ein paar einfache Beispiele von Grenzbe- 
stimmungen. 

a. Sucht man die Grenze, welcher sich der Bruch 

b -\- (o 

a -\- ca 

bei unendlich wachsendem co nähert, so kann man zwei Wege gehen. 

Man benutzt entweder die identische Gleichung 

b -\- (o 11^^ — ^ 

fl -j- Q) a -\- oa 

und beachtet, dafs der letzte Bruch einen constanten Zähler und 

einen unendlich wachsenden Nenner besitzt, dafs folglich sein Werth 

gegen die Null convergirt. Oder man dividirt Zähler und Nenner 

des gegebenen Bruches mit w und erhält 

b -{- CO _^'^^^ _b8 -\-l 

a -[- ta 1 , a6 -{- l 

a 1- 1 



*) Die Lehre von den Grenzwerthen ist behufs einer strengeren Begründung der 
höheren Analysis von L' Hui Her eingeführt worden in dem Werke Expositio elementaris 
j^rincipiorum calculi dlfferentialis et mtcgralis. Tubingae, 1795; ihre weitere Ausbildung 
verdankt sie hauptsächlich Cauchy; s. dessen Cours cCanalyse algcbri<iue. Paris, 1821. 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 19 

WO ö die Null zur Grenze hat. Auf beiden Wegen gelangt man zu 
dem Kesultate 

1) £,V„*_±_^=l, 

-^ a -{- CO 

welches sich leicht in Worte fassen läfst. 

b. Es sei zweitens die Grenze zu bestimmen, gegen welche die 
Differenz 

y (ö -\- cc — y^o) 
convergirt, wobei die Wurzeln im absoluten Sinne genommen werden 
mögen. Die gesuchte Gröfse läfst sich hier mittelst der Bemerkung 
finden, dafs die obige Differenz gleich ist dem Bruche 



der zufolge des constanten Zählers und des unendlich wachsenden 
Nenners die Null zur Grenze hat; es ist also 

2) Um (Vw + a — y«) = 0. 

Für 0) == x^ — a^, a == a^ folgt hieraus eine bekannte Eigenschaft 
der Hyperbel. 

Auf ganz ähnliche Weise kann man den Grenzwerth von 

yo) (cö -f~ ") — ^ 
ermitteln. Zunächst ist diese Differenz 

a yto 



(y w -\- a — ycö) y( 



y» -|- « -|- yco 

und wenn rechter Hand Zähler und Nenner durch y» dividirt wer- 
den, so entsteht die neue Form 



V 



1 + - + 1 



Hier bleibt der Zähler constant, während der Nenner gegen die Grenze 
yi + 4- 1 = 2 convergirt; es ist daher 

3) Lim jycö (o) -j- a) — cö! = -Ja. 

Auch dieser Gleichung lässt sich im co = x^ a = 2a ein geometri- 
scher Sinn unterlegen, der auf die Hyperbel Bezug hat*). 



*) Bevor die Theorie der Grenzwerthe begründet war, pflegte man Gleichungen 
wie No. 2) folgendermaafsen abzuleiten: „Die endliche Gröfse a verschwindet gegen 
das unendlich gröfse to, niithin ist 



V^o) -|- a — V^O) = V^ü) — Kü) = 0.' 



20 Cap. II. Die Grenz werthe der Functionen. 

c. Es möge endlicli noch die Frage erörtert werden, welcher 
Grenze sich a" bei unendlich wachsenden lo nähert. Für a ^ 2 ist 
allerdings leicht genug zu sehen, dass a^ ins Unendliche zunimmt, 
dagegen erhellt dies nicht so unmittelbar, wenn a nur wenig mehr 
als die Einheit ausmacht. 

Nun ist durch gewöhnliche Division 

^^ = a»-' + «"-' + ... + «. + „+1; 

unter der Voraussetzung a ;> 1 beträgt jede der Potenzen a, a^^ , . , 
qti-i mehr als die Einheit, mithin ist, wenn jede der genannten Po- 
tenzen durch die kleinere Einheit ersetzt wird, 

fl"— 1 
a — 1 
oder durch Multiplication mit a — 1 und Transposition 

ö" > 1 + w (fl — 1). 
Bei unendlich wachsenden n kann das Product n {a — 1) jede an- 
gebbare Zahl übersteigen, und daraus folgt 

Lim fl" = oo, ö ^ 1, n = oo. 

Ist der Exponent von a keine ganze, sondern irgend eine andere 
positive Zahl, so bezeichne n die nächst vorhergehende Zahl; man 
hat dann w > w, a« > a", mithin um so mehr, da schon a" ins 
Unendliche wächst, 

4) Lim a^ = oo, a ^ 1. 

Im Falle a <I 1 kann man » = t setzen, wo hy^ 1 ist; in der 
identischen Gleichung 

steht dann rechter Hand ein Bruch, dessen Zähler constant bleibt, 
und dessen Nenner ins Unendliche wächst; hieraus folgt 

5) Lim fl«» = 0, fl < 1. 

Der letzte Fall a = 1 bedarf keiner besonderen Untersuchung, 
da 1^ immer = 1 ist. 



Die Unsicherheit dieser Schlufsweise erhellt sehr deutlich aus Nr. 3), denn in dieser 
würde bei ganz derselben Vernachlässigung der unrichtige Grenzwerth 
statt des richtigen |a zum Vorschein kommen. 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 21 

§.6. 

Allgemeine Sätze über Grenzbestimmungen. 

Wenn eine Function aus mehreren anderen Functionen zusam- 
mengesetzt ist, deren einzelne Grenzwerthe bekannt sind, so entsteht 
die Frage, wie man den Grenzwerth der zusammengesetzten Function 
aus den Grenzwerthen ihrer einzelnen Bestandtheile herleiten soll. So 
besteht z. B. die Function 

f{x) = — ~ — . (irctan x 
\ -\- X 

aus zwei Factoren, von denen der erste sich der Grenze Eins und 
der zweite der Grenze ^tt nähert, wenn x unendlich wächst, und es 
bleibt nun noch zu untersuchen, wie sich Lim f{x) aus 1 und ^tt, 
bildet. In solchen Fällen bedient man sich der nachfolgenden Sätze. 
I. Nähert sich die Function cp(x)^ gleichviel ob für wachsende 
oder abnehmende x^ der Grenze a, so darf man (p{x) = a -\- ö 
setzen, worin d zwar eine an sich unbekannte Gröfse ist, von der 
man aber wenigstens weifs, dafs sie verschwindet, wenn man von 
q)(x) zu Lim cp(x) übergeht, weil in diesem Falle die Gleichung 
Lim (p{x) == a, der Voraussetzung nach, entstehen soll. Ist ebenso 
Lim \p(x) = & , so darf ip{x) = h-\- s gesetzt werden , wo nun auch 
€ beim Übergange zur Grenze verschwindet. Man hat nun 
(p{x) ± i/;(a:) ==:a-\-ö±{b-^ s) 
= a±b-\-6±e 
folglich 

Lim [(p(x) + '^{x)] = a ^ b 
oder vermöge der Werthe von a und h 

1) Lim [g){x) + ip{x)] = Lim (f(x) + Lim ip{x) 

d. h, der Grenzwerth einer Summe oder Differenz wird dadurch ge- 
funden, dafs man die Grenzwerthe der einzelnen Bestandtheile addirt 
resp. subtrahirt. 

Hat man allgemeiner für m verschiedene Functionen (p ^ (x), 
(fc^ix), . . . (p^ix) 

Lim cpj^{x) = a^y Lim (jPgW = ^2» 
so folgt 

Cp^{x) = öl + dl, Cp^{x) = «2 4- ^2» 

und mithin 

2) 9>iW±92W±^3W± • 
= «1 ±«2 ±«3 ± • 
+ ^1+^2 ±^ ±' 



• ^"1 fm 


(X): 


= <>m 


9'mW = 


= «m 


+ s, 


±9'mW 






±«. 






±K- 







22 Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 

Nach dem Begriffe des Grenzwerthes kann jede der Gröfsen d^^ 
^2, . . . djn beliebig klein gemacht, mithin soweit verringert werden, 
dafs ihr Werth zwischen — q und + q liegt , wo q eine willkürlich 
gewählte kleine Zahl bedeutet. Die Summe 

ist dann zwischen — mg und + mg enthalten, und da sich unter der 
Voraussetzung eines unveränderlichen m auch das Product niQ durch 
hinreichend klein gewählte q beliebig weit verringern läfst, so folgt, 
dafs das in No. 3) verzeichnete Aggregat sich der Grenze Null nähert. 
Von der Gleichung No. 2) bleibt nun übrig 

4) Lim [(p^{x) ± cp^{x) ± (p^{x) ± . . . + g>,nW] 

= Lm g>i(.r) + Lim 9^2 W i ^^^" ^'sW i • • • i ^^''^ ^'mW- 
Diese Gleichung zeigt, wie man den Grenzwerth einer Function fin- 
det, die aus einer endlichen Menge anderer Functionen durch Ad- 
ditionen oder Subtractionen zusammengesetzt ist. Es besteht aber 
dieses Theorem im Allgemeinen nicht mehr, wenn die Anzahl jener 
Bestandtheile unendlich grofs ist, denn es könnte dann sehr wohl sein, 
dafs die Summe (5^ i<52 i^s i etc., die nun aus einer unendlichen 
Menge abnehmender Gröfsen besteht, sich einer von Null verschiede- 
nen Gröfse näherte. 

IL Die Aufgabe, den Grenzwerth eines Productes zu finden, 
läfst sich leicht auf die vorige zurückführen. Aus 
(p^{x) (p^{x) (p^{x) . . . (p^{x) 

= («l+^l) («2+^2) («3+^3)-.-(«m + 

folgt nämlich, indem man beiderseits die Logarithmen nimmt, 
log- [cp^^x) (p^(x) cp^{x) , . , cpj^{x)] 

= % (fl, + ÖJ + log' («2 + ^2) + ''«O («3 + ^3) + • • • + % («m + ^m) 

nennen wir die linke Seite f(x)^ so ist durch Übergang zur Grenze 
Lim f(x) = hg' a^ + log a^ + % «3 + . . . + log' a^ 
= l0g (fl^fljj «3 • • • O 

mithin 

f(x) = log («1 Ö2 flg . . . a^) + s 
WO e eine Gröfse bezeichnet, welche beim Grenzenübergange verschwin- 
det. Bezeichnen wir mit B die Basis des logarithmischen Systemes, 
so folgt weiter 

Bf(^^ = jö'«*^ ("1 «2 «3 . . . am) + « 

oder vermöge der Bedeutung von f{x) 

9>i W 9'2W g^sW • • • ^mW == «1 «2 ''s • • • ^m • ^' 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Punctionen. 23 

Beim Übergange zur Grenze verwandelt sich B^ in 5« = 1 und es 
wird jetzt 

5) Lim [cp^{x) 9^(0:) (p^{jc) , . . (p^{x)\ = a^ «2 ^3 • • • ^m 

= Lim ^> J^x) . Lim cp.^i^) • ^^^'^ ^^sW • • ^"^ ^mip^) 
d. h. der Grenzwerth eines Productes ist das Product aus den Grenz- 
werthen der einzelnen Factoren. In der Anwendung auf das im An- 
fange genannte Beispiel ist also 

T • ( ^ \^.a: ,. ^ Tt 

Lim \ . arclan x I == Lim . Lim arcta/i x = \ . - 

\l-\-x J l-\-x 2 

Doch mufs hier wiederum bemerkt werden, dafs der in No. 5) aus- 
gesprochene Satz nur für eine endliche Anzahl von Factoren Gültig- 
keit besitzt. 

IIL Bei der Division ist die Sache ganz ähnlich; aus Lim cp{x) = a^ 
Lim ip{x) = h folgt nämlich 

ip{x) b -{- E b (IS — bd 

q){x) b -\- ö a a{a + ö) 
und durch Übergang zur Grenze 

6) i,-„*W = * = ^ifL) 

cp{x) a Lim (p{x) 
was dem Früheren völlig analog ist. 

IV. Um den Grenzwerth des zusammengesetzten Ausdrucks 

(p{x) ^(=^^ = (a + ö)^ + ' 
zu bestimmen, nehme man beiderseits die Logarithmen der Basis B; 
dann ist 

log [cp{x) ^(«^)] == (Ä + e) log {a + ö) 
Bezeichnen wir die linke Seite für den Augenblick mit f{x)^ so folgt 

Lim f{x) = b log a 
mithin 

f{x)^b log « + ^ 

wo C eine beim Grenzenübergange verschwindende Gröfse ist. Man 
hat nun weiter 

5/(*) == 5* 'o^ « . B^= 

oder vermöge der Bedeutung von f{x) 

cp{x) ^-(^^ = a^ . B^ 
und hieraus folgt durch Übergang zur Grenze 

7) Lim [q)[x)'^^''^] = a^ = [Lim q){x)\^irn ^p{x) 

V. Sehr häufig benutzt man zu Grenzbestimmungen folgenden 
Satz : wenn die Function f{x) zwischen q){x) und \p{x) liegt, also die 
Ungleichung 

^{x) >/(:r) > i\>{x) 



24 Cap. II. Die Grenz werthe der Eunctionen. 

stattfindet, und sich (p(x) sowohl als \p{x) einer und derselben 
Grenze Je nähert, so ist auch Lim f(x) = L 

Diefs folgt leicht aus der Bemerkung, dafs eine zwischen Ä und 
B liegende Zahl M, (Äy- MT^ B) jederzeit unter der Form 

M==B-\-Q {J— B) 
dargestellt werden kann, wo q einen positiven echten Bruch bezeich- 
net. Man kann daher auch 

f{x) = ^{X) + Q [Cp{x) — ipix)] 

setzen, und es folgt nun durch Übergang zur Grenze, wegen Lim (p(x) 
=^Jc und Lim yj{x) = ]c, 

Lim f{x) = k 
wie behauptet wurde. Beispiele hierzu wird man in den nächsten 
Paragraphen finden. 

§.7. 

Grenzbestimmungen an Potenzen. 

Die Untersuchung, welche wir über mehrere aus der Potenz ent- 
springende Grenzwerthe anstellen werden, beruht auf einigen sehr 
einfachen Grundformeln, deren Entwickelung wir vorausschicken. 

Bekanntlich gilt für ganze positive m die identische Gleichung 



in welcher rechter Hand m Summanden vorkommen; ist nun a>&;>0, 
so wird die rechte Seite zu grofs, wenn man statt & überall a setzt, 
mithin ist 

«"" — ^"^ 

1) r- <. ma"'-\ 

a — 

dagegen wird die rechte Seite zu klein, wenn man überall h an die 

Stelle von a treten läfst, d. h. 

ö"» _ ^m 

2) r- > mb^-^. 

^ a — b 

Multiplicirt man die Ungleichung 1) mit dem positiven Factor a — h 
und vereinigt nachher diejenigen Gröfsen, welche den gemeinschaft- 
lichen Factor a"^-^ enthalten, so erhält man 

3) [a — m {a — b)] a^-^ < Ä"* ,• 

durch eine ganz ähnliche Rechnung zieht man aus No. 2) 

4) a"*>[Ä + w [a — b)] b^-\ 

Unter der Voraussetzung, dafs a — m {a — h) eine positive Gröfse 
ist, kann man die Ungleichung 3) mit a — m (a — h) dividiren; diefs 
giebt 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 25 



<C 



a — m (a — V) 
wobei die Bedingung 

a"^ m (a — b) oder b >• a 

^ ^ m 

festzuhalten ist. Setzt man m = n + 1 , so wird 

Ä«+i , n 

^ a — (« + 1) (ö — b) n -{- \ 

Aus der Ungleichung 4) erhält man, wenn der Symmetrie wegen n für 
m geschrieben wird, 

6) ö" > [Ä + ;2 (fl — Ä)]Än-i , ß > Ä. 

Diefs ist der Apparat, dessen wir für das Folgende bedürfen. 
Die erste Aufgabe sei, den Grenzwerth des Quotienten 
(1 + (^)^ - 1 

für den Fall zu bestimmen, dafs ö gegen die Null convergirt, wäh- 
rend ^i einen gegebenen constanten Werth behält. Wollte man ge- 
radezu (5 = setzen , so würde man zu dem Ausdrucke l gelangen, 
der bekanntlich (dem Begriffe der Division gemäfs) jede beliebige Zahl 
bedeuten kann, und womit man nur erfährt, dafs jener Grenzwerth 
irgend eine Zahl sein wird. Die Sache bedarf daher einer genaueren 
Untersuchung. 

Es sei zunächst d positiv und (.i eine ganze positive Zahl = n. 
Man kann in diesem Falle die Ungleichungen 5) und 6) für a = 1 + d, 
J = 1 benutzen, nur mufs 

i>4-i(i + ^) d.h. ä<i 

sein; darin liegt aber keine Beschränkung, weil ö gegen die Null 

convergiren soll und daher gleich anfangs <C. - genommen werden 

darf. Man hat jetzt bei Zusammenstellung der genannten Unglei- 
chungen 

7) * y^—^ > (1 + (J)n > 1 + ;^5 

mithin durch Subtraction der Einheit und Division mit ö 

n (1 -L 5)n _ 1 

hieraus folgt, wenn d gegen die Null convergirt, 

8) ^,v„(i+y_:zi = „. 



26 Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 

Es sei zweitens (.i ein positiver Bruch = -, wobei p und q ganze 

positive Zahlen bedeuten. Da d als positiv vorausgesetzt wird, so 
beträgt der absolute Werth von 

(1 + 8y, = y(i + 8)v 
mehr als die Einheit und man kann folglich 

(1 -j- ^)f = 1 + £ 

setzen; die Gröfse e kennt man nicht genauer, doch weifs man von 
ihr, dafs sie positiv ist und dafs sie gleichzeitig mit d gegen die Null 

V 

convergiren mufs, weil I7 = 1 ist. Aus der vorigen Gleichung er- 
hält man 

(1 4- d)v = (1 + bY 
ferner durch beiderseitige Subtraction der Einheit und durch Division 

(1 + ^)i> _ 1 ^ 

(1 4_ ,)? _ 1 

Zufolge dieser Gleichungen ist nun 

(1 -\. 6yq—\ _ £ _ £ (1 + ^)p — 1 
ö ~ ~8~ 8' (1 -f- £)9 —Ti 

oder auch 

V (1 + ^)^ - 1 

(1 + d) g — 1 ^ ö 

8 (1 H- £)9 — _1 

s 

Bei verschwindenden S nähert sich der Zähler des rechts stehenden 
Doppelbruches der Grenze p; da gleichzeitig € gegen die Null con- 
vergirt, so hat der Nenner die Zahl q zur Grenze, mithin ist 

_ . (1-1-5)1 — 1 p 

Lim - — :f = -. 

8 q 

Indem man dieses Resultat mit dem unter No. 8) erhaltenen vereinigt, 
gelangt man zu dem Satze, dafs die Gleichung 

9) ,,.(L+^ = , 

für jedes positive und rationale l gilt. 

Da man sich irrationalen Zahlen durch rationale Brüche (Decimal- 
brüche) beliebig weit nähern kann, so ist zu erwarten, dafs die For- 
mel 9) auch für irrationale l richtig bleiben wird. Diefs kann auch 
apagogisch bewiesen werden. Bezeichnet nämlich x eine irrationale 
positive Zahl, so würde, falls die Gleichung 



Cap. II. Die Grenzwertlie der Functioueu. 27 

10) . Lim ^ ^ ^ == X 

nicht gelten sollte, rechter Hand entweder mehr oder weniger als >t 
vorhanden sein müssen. Sei nun erstens 

Lim % = K -\- a 



und a eine positive Gröfse , so läfst sich zwischen x und z + a im- 
mer eine rationale Zahl l einschalten, und dann ist x <! /t, ferner 

(1 + ^Y < (1 + 8)\ 

(1 + ^)^ - 1 ^ (1 + ^)' - 1 

mithin beim Übergange zur Grenze 

Lim ^ ^ ^ <A,- 

diese Folgerung widerspricht aber der Annahme, dafs der fragliche 
Grenzwerth == z -[- a d. h. :> ^ sei. Wäre zweitens 



Lim 



(^ + y--i = ._^ 



und ß positiv, so läfst sich zwischen z — ß und v. wieder eine ratio- 
nale Zahl l einschalten, und es ist x ^^ A, ferner 



8^6 
und durch Übergang zur Grenze 

Lim ^ ^ ^ X; 

diese Folgerung widerspricht aber der Annahme, dafs der fragliche 
Grenzwerth == x — ß d. h. <; l sei. Demnach kann jener Grenz- 
werth weder mehr noch weniger als x betragen; die Gleichung 9) gilt 
also für jedes positive l. 

Ist ferner der Exponent ^i eine negative Zahl = — ^, so hat 
man 

1 

1 



(1 4- 8)- ^ - 1 _ (1 + ^f _ l-(l + ^) 
^ ^ ö (1 + ^)^ 



d. i. 



(1 + 8) -^ — 1 _ _ (1 -1-^)^ — 1 1 

8 ■" 8 ' (1 _|_ ^)V 

wegen des an sich positiven l convergirt der erste Bruch rechter Hand 
gegen die Grenze A, der zweite gegen die Einheit, mithin wird 



28 Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 



Indem man dieses Resultat mit dem unter No. 9) erhaltenen vereinigt 
gelangt man zu dem allgemeinen Satze, dafs die Formel , 

11) Lim -^ = jit 

für jedes reelle f.i gilt mit alleiniger Ausnahme des Falles (.c = 0. 

Wir haben bisher d immer als positiv vorausgesetzt und wollen 
nun noch untersuchen, wie sich die Sache bei negativen d gestaltet^ 
Lassen wir zu diesem Zwecke — ö' an die Stelle von ö treten, so 
wird der fragliche Quotient 

(1 — 6Y — 1 __ i~-(i — ^y 
— ö' "~ ö' ' 

wo ö' an sich positiv ist. Unter der gemachten Voraussetzung hat 
der Ausdruck 

die Null zur Grenze und man kann daher statt ö' die neue Gröfse ^ 
einführen, indem man 

1 + d' 



substituirt; diefs giebt 

(1 _ ay _ 1 ^ ~ \^i 4_ ^j (1 4_ ^)^ _ 1 1 



U + ^J 



~ 8' d- d- (1 4_ ^)^ - 1 

1 -i-^ 
Rechter Hand nähert sich der erste Bruch der Grenze f.i, der zweite 
der Grenze 1, mithin ist 

Lim ~ = |x, 

und daraus geht hervor, dafs die Formel 10) auch für negative d 
richtig bleibt. 

Eine naheliegende einfache Anwendung dieses Satzes ist folgende. 
Wenn d einen sehr kleinen Bruch bezeichnet, so mufs wenigstens 
näherungsweis die Gleichung 

(1 + ^r - 1 _ „ 

stattfinden; daraus ergiebt sich 

(1 + 5)^ = 1 + |W,Ö 

und liegt hierin ein Mittel, um aus Zahlen, welche wenig von der 



Cap. II. Die Grenzwerthe und ihre Functionen. 29 

Einheit differiren, näherungsweis Wurzeln beliebiger Grade zu ziehen. 
So ist nach dieser Formel 



y 1,0008 = 1,0004, 

was mit dem genaueren Werthe 

yi^ÖÖS = 1,00039992 
sehr gut übereinstimmt; bei kleineren ö wird selbstverständlich die 
Genauigkeit gröfser, z. B. 



y 1,00009 = 1,00003 

statt 

3 

yi,00009 = 1,0000299991. 

Mit einer Modification kann dieses Verfahren auch bei Wurzeln 
aus grofsen Zahlen angewendet werden, sobald der Radicand nahe an 
einer Zahl liegt, deren Wurzel schon bekannt ist. So differirt z. B. 
7564 nur um 5 von der nächsten Quadratzahl 7569 = 87^, daher 

y7564 = y7569 — 5 = ]/7569 (^1 - ^^ 

= 87 fl — i . -^\ == 86,97126437, 
V 2 75697 

was mit dem genaueren Werthe 



y7564 = 86,97125962 
auf fünf Decimalstellen übereinstimmt. 



§.8. 

Die Exponentialgröfsen und Logarithmen als Grenzwerthe von Potenzen. 

I. Benutzt man die im vorigen Paragraphen abgeleitete Un- 
gleichung 

a — (« + 1) (fl — b) n -\- \ 

für den Fall 

= 1-1-1, Ä = 1 H 1— , 

n « -f- 1 

welcher der angegebenen Bedingung genügt, so erhält man 

Für % = 1, 2, 3, 4 etc. giebt diese Ungleichung 



30 Cap. II. Die Grenzwerthe der Fimctionen. 

d. h. mit anderen Worten, die Potenz I 1 -| — | wächst fortwährend, 
wenn w das Gebiet der natürlichen Zahlen durchläuft. 

Die Ungleichung 1) liefert weiter füra = l-|-^^ & = 1, n = p 



(' + if} 



p 

<2 



und durch Erhebung aufs Quadrat 

/- 1 Yp 

Um so mehr ist nun nach Nr. 2) 

es mag also m eine gerade oder eine ungerade Zahl sein, jeden- 
falls beträgt I 1 H — j weniger als 4. Demnach wird der Ausdruck 

I 1 H — I , trotz seines fortwährenden Wachsthums, nicht unendlich 

grofs;,er mufs sich folglich einer bestimmten Grenze nähern, die 
>- 2 und zugleich ^ 4 ist. Man bezeichnet diese Zahl mit e, wobei 
es vorläufig nicht auf ihren genauen Werth, sondern nur darauf an- 
kommt, dafs die genannte Zahl existirt; es ist mithin für ganze po- 
sitive unendlich werdende co 

3) Lün[[l+^y'j = e. 

Wenn co keine ganze, aber wenigstens eine positive Zahl ist, so 
kann man immer zwei auf einander folgende ganze positive Zahlen 
o und T = G -\- 1 angeben , zwischen denen w liegt ; man hat dann 



mithin auch 



6 CO Z 



(■+.')"-(' +r>o +9' 



Ferner läfst sich co unter der doppelten Form co = a -{- a und w = 
T — ß darstellen, wo a und ß positive echte Brüche sind, die sich 
zur Einheit ergänzen und auf deren Werthe es nicht weiter ankommt; 
die vorige Ungleichung wird nun zur folgenden 

1 \ 6-\-ci f l\o) ( \\ ^ — (5 



+ ä) >0 + ») >0 + ^) ' 



oder 



Cap. II. Die Grenzwertlie der runctionen. 31 

Zugleich mit co wachsen auch die einschliefsenden ganzen Zahlen g 
und T ins Unendliche; die Ausdrücke I 1 H — 1 und i 1 H — j con- 

vergiren nach No. 3) gegen die gemeinschaftliche Grenze e, und - 

o 

8 
sowie - haben die Null zur gemeinschaftlichen Grenze. Nach allen 

diesen Bemerkungen folgt, dafs die Gleichung 

4) Um\{x+IY~\-' 

auch für nicht ganze positive unendlich werdende co gilt. 

Ist 0) eine negative Zahl, so kann man w = — (^ + 1) setzen, 
wo Q eine positive unendlich wachsende (ganze oder nicht ganze) Zahl 
bedeutet; man hat dann 

Der erste Factor rechter Hand nähert sich der Grenze e, der zweite 
der Grenze 1, mithin folgt wieder 



5) i,«[(n_iy"] = 



Die bisherigen Resultate zusammengenommen führen zu dem all- 
gemeinen Satze, dafs die vorstehende Gleichung für jedes irgendwie 
unendlich werdende reelle co gültig bleibt. Nicht selten stellt man 
die Formel 5) in einer anderen Gestalt dar, welche durch die Sub- 
stitution - == ö entsteht : man erhält nämlich 

6) Lim \s^-\-8f\ = e, 

und hierin bedeutet d eine irgendwie gegen die Null convergirende 
Zahl. 

Behufs der numerischen Berechnung von e ist es gut, immer je 
zwei Zahlen angeben zu können, zwischen denen e enthalten sein 
mufs. Aus der im vorigen Paragraphen bewiesenen Ungleichung 

folgt nun, wenn ^ = 77- gesetzt und Alles auf die ¥^ Potenz er- 
hoben wird, 



32 Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen, 

und bei unendlich wachsenden n 

') G-4t)'>'>('4^)' 

Dabei ist Je eine willkürliche positive Zahl, die freilich sehr grofs 
genommen werden mufs, wenn man einige Genauigkeit verlangt. So 
ergiebt sich z. B. für k = 1000 mittelst der logarithmischen Tafeln, 
dafs e zwischen 

liegt, mithin ungefähr = 2,718 ist. Ein viel bequemeres Mittel, um 
e mit grofser Genauigkeit zu berechnen, werden wir später zeigen. 
Es läfst sich nun auch der Grenzwerth des allgemeineren Aus- 
druckes 



('*;)■ 



■iv 



auffinden, worin s eine beliebige reelle Zahl von endlicher Gröfse 



0) 



bezeichnet. Der Bruch - wächst nämlich gleichzeitig mit w ins 
Unendliche, und daher ist, wenn - = w gesetzt wird, 

(>+r-('+if=[('+i)'T 

hieraus folgt durch Übergang zur Grenze für unendlich werdende w 
und cd' 



8)*) ^'40 +9"] 



e«. 



*) Es läfst sich dieser Formel eine sehr anschauliche Seite abgewinnen, wenn man 
die Lehre von den zusammengesetzten Interessen damit verknüpft. Bezeichnet nämlich 
z die Zinsen des Capitals 1 auf ein Jahr , so ist bei einfachen Interessen das Capi- 
tal K in einem Jahre auf K (l-\~z) angewachsen. Werden dagegen die Interessen in 

Terminen von — Jahr zum Capital geschlagen und mitverzinst, so ist der Werth des 
m 

Capitals K am Ende des ersten m-tel Jahres = K (l -] ), am Ende des zweiten 

w-tels = k(i-{-—J , am Ende des dritten m-tels = K (l -\- — ) u. s. £. , am Ende 
des ganzen aus m gleichen Theilen bestehenden Jahres also 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 33 

Beachtet man, dafs linker Hand eine Potenz, rechter Hand eine Ex- 
ponentialgröfse vorkommt, so liegt hierin ein bemerkenswerther Satz, 
dessen wörtliche Fassung keine Schwierigkeit bietet. 

Um dieses Resultat zu verallgemeinern, denken wir uns die Zahl 
e als Basis eines logarithmischen Systemes; diese Logarithmen heifsen 
natürliche und werden entweder durch Hog, oder log nat oder am 
kürzesten durch ein blofses l bezeichnet, wonach immer e^^ == Z ist. 
Demgemäfs hat man 

e'« = fl, e'^"^ = a^ ; 

setzt man daher in der Formel 8) z = xla^ so ergiebt sich 

9) ..4(1-1-^^] = «. 

In Worten heilst diefs: jede Exponentialgröfse kann als 
Grenzwerth einer gewissen Potenz angesehen werden. 

IL Bezeichnet ^ irgend eine gegen die Null convergirende Zahl, 
so hat a^ die Einheit, a^ — 1 die Null zur Grenze und man kann 
daher 

a^ — 1 = 8 
setzen, wo d gleichzeitig mit ^ verschwindet. Aus der vorstehenden 
Gleichung folgt 

^ = «% (1 + 8) 

mithin ist 

a^—l __ 8 _ 1 _ 1 

^ö~ "" Hog (1 + ^) ~ ^% (1 + ^) "~ r iT 

6 «%L(i-i-^)^J 

Durch Übergang zur Grenze für gleichzeitig gegen die Null conver- 
girende ^ und d gelangt man zu der Formel 



10) Lim 



fl^ — 1 1 



^ «% e 



Läfst man nun m beständig wachsen , so werden der einzelnen Termine immer mehr 
und die Zeiten zwischen ihnen immer kleiner, und geht man zur Grenze für unendlich 
wachsende m über , so giebt jetzt 

denjenigen Werth des Capitales an, welcher entsteht, wenn stetig nacheinander die in 
jedem Augenblicke gewonnenen Interessen sogleich zum Capitale geschlagen und mit 
verzinst werden. Man kann daher sagen : eine Gröfse, welche in einer gewissen Zeit 
bei einfachem Wachsthum von K bis K (l -|- ») zunimmt, wächst in derselben Zeit auf 
Ke^ an, wenn das Wachsthum so geschieht, dafs in stetiger Folge jeder bereits erzeugte 
Theil gleichmäfsig wieder neue Theile erzeugen hilft. Das Erste entspräche ungefähr 
einer unorganisclien Anhäufung , das Zweite einem organischen Processe. 
Schlömilch algebr, Analysis. G. Aufl. 3 



34 Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 

Eine bessere Gestalt erhält dieselbe durch folgende Bemerkung. 
Aus der Gleichung 

ergiebt sich, wenn beiderseits die Logarithmen des Systemes mit der 
Basis a genommen werden, 

hl . "■log e == '^log a = l 
mithin 

aiog e = — oder —- — = /(t, 

^ la ""los e ' 



mithin ist durch Substitution in No. 10) 



a^ - 1 



11) Lim = la. 

Auch dieses Kesultat läfst sich verallgemeinern. Man hat näm- 
lich die identische Gleichung 











z"" 


— 


1 




— 


1 






~d^ 




«^' 




1 




a^ 





1 



in dem Doppelbruche rechter Hand nähert sich der Nenner der 
Grenze la, der Zähler der Grenze h, folglich wird 

12) Lfm ' -1 = ^. 

a^ — lla 

Mmmt man ferner von beiden Seiten der identischen Gleichung 

die natürlichen Logarithmen, so erhält man 

13) lz = ''log z . la oder t^ = '^log z, 
und durch Substitution hiervon in No. 12) 

z^ — 1 

14) Lim — = "'log z, 

a^ — 1 

d. h. Jeder Logarithmus läfst sich durch einen gewissen 

Grenzenübergang aus der Potenz herleiten. 

In den gegebenen Formeln liegen die Mittel zur Berechnung der 

Logarithmen beliebiger Systeme. Statt der Gleichung 

-^ — 1 
Lim — : — = iz 



kann man nämlich auch die folgende benutzen, worin ^ = f^ gesetzt 
worden ist 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 35 

15) Um L«U"— 1 jj = l^. 

und wenn man hier für w eine möglichst grofse ganze Zahl n nimmt, 
so mufs näherungsweis 

16) iz ==^ n (y; — l) 

sein. Um die verlangte Wurzelziehung direct ausführen zu können, 
wählt man für n eine Potenz der 2 etwa n = 2^ ; man erhält dann 

n_ 

y^, indem man ^ - mal nacheinander die Quadratwurzel auszieht. So 
findet sich z.B. für ^ = 7, jp = ll, n = 2048, also durch Umalige 
Quadratwurzelziehung, dafs die 2048'^*^ Wurzel aus 7 gleich 1,00095 
ist; vermindert man diese Zahl um 1 und multiplicirt den Rest mit 
2048, so erhält man näherungsweise Z7 = 1,9456, während der ge- 
nauere Werth von ?7 = 1,94591 ist. Nachdem man auf diese Weise 
eine Tafel der natürlichen Logarithmen berechnet hat, benutzt man 
die Gleichung 13), um hieraus die Logarithmen jedes anderen Syste- 
mes herzuleiten; es ist nämlich 

17) Ho,.^l.,^. 

Der constante Factor y , womit die natürlichen Logarithmen multi- 
plicirt werden müssen, um sie in künstliche zu verwandeln, heifst 
der Modul US für die Basis a und wird nicht selten durch Ma be- 
zeichnet. Für das gewöhnliche Logarithmen System ist a == 10 ; nach 
Formel 16) findet man Z 10 = 2,3026, mithin ist der reciproke Werth 
hiervon M^ o == 0,43429. Multiplicirt man damit den vorhin gefun- 
denen Werth von Z 7 , so erhält man log 7 = 0,84509 übereinstim- 
mend mit den Tafeln*). 

III. Der vorige Gedankengang läfst sich auch umkehren d. h. 
man kann die Gleichung 11) direct beweisen und daraus die Formel 
5) herleiten. Bei der Wichtigkeit, welche die erhaltenen Resultate 
für die algebraische Analysis besitzen, ist es vielleicht nicht über- 
flüssig, dieses Verfahren näher zu erörtern. 

Aus der bekannten , für a ;> & geltenden Ungleichung 

(;,+ 1) «n> ______>(,,+ 1) ^« 



*) Das obige Verfahren ist trotz seiner Mühseligkeit von den Erfindern der Loga- 
rithmen praktisch angewendet worden. S. Neper (Lord John Napier) , Mirifici loga- 
rithmorum canonis descriptio, Edinburg 1614; Briggs, Aritlunetica logarühmica, 1624. 
Vergl. Klügel's Matlicm. VV^Örterb. Bd. III, S. 548—550. 

3* 



56 Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen, 

erhält man mittelst der Substitutionen 

a == — --, Z» = 1, 

n -{- l 

wobei die Bedingung ay-h durch -sf > 1 ersetzt wird, 



\n + l) 



1 > « — 1 



oder nach Weglassung der Einheiten und Ausziehung der (n + 1)^" 
Wurzel 

18) '^ > z^\ z > 1. 

// -1- 1 



Nimmt man zweitens 



ff = 1, b = 



n 



indem man ^ <:1 voraussetzt, um & <: a zu erhalten, so findet man 



V» + i; 



1— 2> 1 

oder 

19) ^ > ^"'^, ^ < 1. 

Die Ungleichungen 18) und 19) zusammen beweisen, dafs die 
Kelation 

20) ^ > z^^ 

^ 72+1 

für jedes positive, von der Einheit verschiedene z besteht. Mittelst 
der Substitution 

y 



folgt daraus die neue Gleichung 

21) nx^+y:^{n-\-\) {xyf^^ 

welche für alle positiven x und y gilt, und nur in dem Falle x=^%f 
zu einer Gleichung wird. 

Für x=^ay>'^ und 2/==l ergiebt sich aus No. 21), vorausge- 
setzt, dafs a nicht = 1 ist, 

«(fl^ _ l) > (;2 + 1) (fl^i — i) 

mithin , wenn der Reihe nach w = 1 , 2 , 3 ... gesetzt wird, 

a — 1 > 2 (V^ — 1) > 3 (y« — l) > 4 (y« — l) > . . . ; 
der Ausdruck w (a" — \) nimmt also bei unendlich wachsenden n 
fortwährend ab. Aus Nr. 21) folgt weiter für x = a, y = - 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 37 

n G^— i) > 1 — ^; 

jene Abnahme geht also nur bis zu einer, die Zahl 1 überstei- 

Ci 

genden Grenze, die wir mit A bezeichnen wollen: 
22) Lim [/2(fl«_l)] = J. 

Nehmen wir a :> 1 , so beträgt A weniger als a — 1 und mehr 

als 1 , ist also jedenfalls positiv ; im Falle a < 1 setzen wir 

a = T , wo & >• 1 , und haben 



Lim [nKy*' — \)\ = Lim 



n{b^— l) 



= — B, 



und zwar liegt B zwischen h — 1 = 1 und 1 — y == 1 — a. 

^ ah 

Wir haben daher zusammen 

23) 



1 <:^<ö— 1, fürfl>l, 

a 



-G-0<^<-(^-") 



für ö<; 1, 



und es ist folglich A eine bestimmte, von Null differirende Zahl, wo- 
fern nicht a = l ist. 

Bezeichnet ferner r eine nicht ganze positive Zahl, so giebt es 
immer zwei benachbarte ganze positive Zahlen m und >^ = m 4- 1, 
zwischen denen t enthalten ist , und es darf ebensowohl t = m + ^< 
als T = n — V gesetzt werden, wo {.i und v positive echte Brüche 






sind, die sich zur Einheit ergänzen. Der Ausdruck t \a^ — \) liegt 
nun zwischen 



und 



die rechter Hand stehenden Gröfsen nähern sich bei unendlich wach- 
sendem m, T und n der gemeinschaftlichen Grenze A, daher gilt die 
Gleichung 



24) Lim 



m \j\d' — 1 j J == 



38 Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 

allgemein für jedes irgendwie ins Unendliche wachsende positive r. 

Für T = ö wird 
1/ 



a^ — l 

25) « Lim —~^ = ^, 

und hier bedeutet & eine gegen die Null convergirende Gröfse. 
Um Ä näher zu bestimmen, betrachten wir den Ausdruck 

worin 10 eine unendlich wachsende Zahl sein möge. Da. log ( 1 H — | 

die Null zur Grenze hat, so setzen wir 

«% (1 -f - I = -^ , mithin w = -^: 

\ (üj a^ — 1 

und erhalten 

^™ j"% [(1 + lyj ^ Um -L_ = ^ = a„. (i) 
und durch Rückgang zu den Zahlen 

26) Lim fj^i + I^'^J = a^. 

Diese Gleichung beweist, dafs sich die Potenz llH — | einer be- 
stimmten endlichen Grenze nähert; letztere kann aber nur eine ab- 
solute Zahl sein, weil linker Hand aufser w keine andere Gröfse vor- 
kommt. Nennen wir e die erwähnte Zahl, setzen also 

27) Lirn r|^14-ij"J = e, 

so erhalten wir durch Vergleichung der rechten Seiten von No. 2^) 

und 27) 

j. 

28) e = ö^. 

Hiervon läfst sich ein doppelter Gebrauch machen. Einerseits 
ist nach No. 23 , wenn a >> 1 genommen wird. 



A^ ö— 1 
mithin 



>^>«' 



oder für a == 1 H — 
a 



(1+-) >^>0+j' 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 39 

wonach e mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden könnte. An- 
dererseits dient die Gleichung 28) zur Bestimmung von A; es ist 
nämlich 

- = f^log e. folglich A == —, = ^/05- rt, 

A "'log e 

und damit kommt man auf die früheren Resultate zurück. 

Noch verdient bemerkt zu werden, dafs man aus den Formeln 
11) und 6) auch die im vorigen Paragraphen bewiesene Gleichung 
10) herleiten kann. Schreibt man nämlich zur Abkürzung log statt 
Hog, so ist identisch 

(1+6)^—1 _ ^.a%(i + ^) — 1 log{l-\- ö) 

Ö ~^ ^/oo(14-5) ' d 

oder, wenn /n. % (1 -f- d) = ^ gesetzt wird, 

durch Übergang zur Grenze für gleichzeitig gegen die Null conver- 
girende d und ^ folgt hieraus 

^. (1 + 0)^—1 , 1 

Lim r = (A, . la . — = ^, 

la 

was mit dem früher auf anderem Wege gefundenen Resultate über- 
einstimmt. 



§.9. 

Folgerungen aus dem Vorigen. 

Die in den §§. 7 und 8 entwickelten Formeln bilden nicht nur 
die Basis für alle späteren Untersuchungen über Potenzen, Exponen- 
tialgröfsen und Logarithmen, sondern werden auch bei vielen anderen 
Gelegenheiten wieder gebraucht. Aus diesem Grunde verfolgen wir 
die Sache etwas weiter und entwickeln noch einige Grenzwerthe, wel- 
che mit den vorigen in nahem Zusammenhange stehen. 

Die erste derartige Betrachtung betrifft die Function 



" /<"«=D-(.-i,)']- 



worin, wie gewöhnlich, co eine unendlich wachsende Zahl bezeichnen 
möge. Setzt man = ö, so wird 

fi.) = fi L_] ^= — L.- . (L+Jfiz} 



40 Cap. II. Die Grenz werthe der Functionen. 

und hieraus folgt durch Übergang zur Grenze für unendlich abneh- 
mende ö , 
2) Lim f{^) == ii. 
Wir untersuchen zweitens den Ausdruck 

Hier ist identisch 

log (0 log 0) 

r 

und da der Quotient rechter Hand gegen die Null convergirt, so 
setzen wir 



log (l + i) 



= , also %(«'+l)^i^,, 



log CO log 03 

und erhalten zunächst 

f (co) = [l ^- 1 («%a)= ?^ (1-1-0^—1 . a>elog(o, 

-^'^ ^ L (1 + frJ (1-fO^ ' 

Zufolge des Werthes von e ist e log to = log I 1 H — | daher 

und hieraus ergiebt sich, wenn lo ins Unendliche wächst, mithin 6 
gegen die Null convergirt, 

4) Lim f^((o) = fi log €. 

Zur Abkürzung bezeichnen wir log (log lo) mit Zo^2^ ^^^ setzen 

Unter Beibehaltung der vorigen Zeichen haben wir 

log, (o) + 1) = log [log (« + 1)] = log [(!+€) log a>] 
= log,m-{- log (1 +«) 
mithin 

log,(co+l) _ ^ %(l + g) . 
/o^jjW log^co 

der Bruch rechter Hand convergirt gegen die Null, daher sei 

'Mi + !)=.^ also '^1:5(^+1)= 1+*; 

%2W log^CO 

wir erhalten dann 



Cap. II. Die Grenz werthe der Functionen. 41 

1 (1 4- ^)^ _ 1 



(1 + &)f^ d' 

Zufolge des Werthes von ,9- ist weiter 



CO hg OD . ^ log 2^' 



^ hg 2(0 = hg 
mithin 



(l+e) = f hg Ll(+«)'J 



AH 



^1±^ 1 .a>e hg ay hg Ul+s)^i 



oder endlich, weil s log w ==>log 1 1 + - 1 war, 

Bei unendlich wachsenden co convergiren d- und e gegen die Null, 
daher wird 

6) Lmf2{a>) = ti {hg e)K 

Eine ganz ähnliche Behandlung gestattet die Function 

7) U.) = [l - (^^^^5^)"] <» % <» %.- %3<», 

worin log^o) zur Abkürzung für Zö^ [log (Joga))] geschrieben ist. Man 
hat zunächst 

%3(a) + 1) = hg [hg^ico + 1)] = hg [(1 + &) %2«] 
= %3a, + % (1 + n 
%3(a) -f- 1) _ , , % (14-^) _^ 
%3Q) %3a) 

wobei 

%3Ü> 

gesetzt wurde; hiemach ist 

/sM = I 1 — ,yn7^J « % « %2«» %s~ 

1 (1-1- ^)^ „ 1 
==(T4r^ • ^ . 0) hg CO hg^co . ^ hg^m 

Zufolge des Werthes von C kann ^ %3W durch log (1 + ^) ersetzt 
werden und man erhält 



42 Cap. II. Die Grenzwertlie der Functionen. 

worin sich das Product co log^io . 3- log^co ganz wie früher umge- 
stalten lässt; das Endresultat lautet 

8) Limf^{oy) = (, {log- e)3. 

Den Fortgang dieser Schlufsweisen übersieht man leicht. Setzt 
man überhaupt für ein ganzes positives p 

9) /,«», = [l - (^_J!g^Jj „ /„,. „ fog,. . . . tos,., 

SO gelangt man zu der allgemeinen Formel 

10) Lim fj,{co) r= ^ [log e)V. 

Am einfachsten wird dieselbe bei natürlichen Logarithmen, weil dann 
log e = l ist. 

§. 10. 

Grenzwertlie bei goniometrischen und cyclometrischen Functionen. 

I. Der Sinus eines im ersten Quadranten liegenden Bogens & 
ist kleiner als der Bogen, letzterer wieder kleiner als die Tangente, 
daher 

sifi d'<C^<.lan d^ 
und umgekehrt 

1 \ cos d" 



sin d" '9' sin -O* 
Multiplicirt man durchgängig mit sin ^, so folgt 

^. sin O 

1) 1 > —^ > cos &, 

und hiervon läfst sich Gebrauch machen, um den Grenzwerth des 
Verhältnisses — -— für den Fall zu bestimmen, dafs ^ gegen die Null 
convergirt. Man erhält, weil cos ^ die Einheit zur Grenze hat, 

2) lim'^!^=l. 

Dieses Resultat läfst sich noch verallgemeinern. Es ist nämlich 
identisch 

sin ad- sin ccd^ 



a . 



& ad' 

und wenn hier & gegen die Null convergirt, während a constant bleibt, 
so hat a^ gleichfalls die Null zur Grenze und kann daher mit &' 
bezeichnet werden. Unter Anwendung der Formel 2) ergiebt sich nun 

ö) Lim — - — = a, 

oder wenn der reciproke Werth von d^ mit w bezeichnet wird, 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 43 

4) Lim j w sin — | = a, 

wobei 0) ins Unendliche wächst. 

Mit Hülfe der bekannten Formel 1 — cos u = 2 sin^ ^u über- 
zeugt man sich leicht von der Richtigkeit folgender Gleichung 
1 — cos ßd- 



=K^*-)"'- 



^2 

daraus folgt unter Anwendung der Formel 3) für a = \ß 

5) Lim — =iiS^ 

oder auch 

6) Lim [(o^ (i — cos^y\=:=^ßK 
Man hat ferner die identische Gleichung 

tan ad' sin ad" 1 



d' cos aO"' 

bei Anwendung der Formel 3) giebt dieselbe 
• 7) Lim — -- — = ci 

oder 

8) Lim I CO tan —\=a. 

Als Beispiel für die Bestimmung eines zusammengesetzteren 
Grenzwerthes betrachten wir noch den Ausdruck 



cos — I . 

03/ 



Dieser läfst sich zunächst auf folgende Form bringen 

II — sin^ —\ ; 

\ «y 

a 
hier ist sin^ - eine gegen die Null convergirende Zahl, ihr recipro- 

ker Werth wächst daher ins Unendliche und mag mit r bezeichnet 
werden, so dafs der vorige Ausdruck übergeht in 

(-9*"=[(-i)T' 

d. i., vermöge des Werthes von t, 



[(■H)'] 



sm — 

CO' 



Bei gleichzeitig unendlich wachsenden r und w wird 



44 Cap. II. Die Grenz werthe der Functionen. 

Lim I I 1 I I = e~^, Lim I co sin — \ = cc, 



a 

Lim sin — = 0, 

0) 



der gesuchte Grenzwerth ist also 

9) Lim (cos -| =1. 

Will man sich auf ganze positive o) = m beschränken, so kann 
man diesen Satz auch folgen dermafsen herleiten. Es ist zunächst 



mithin 



ly^cos -= l/i — fsin -Y > ]/i_(^y, 
in f \ mj y \m) 



■>{~r>(K-sr 



Rechter Hand läfst sich die in §. 7 unter No 3) bewiesene Un- 
gleichung 

h^ > [fl — ^« [a — i)] a"»- 1 (^ < fl) 
anwenden, indem man 

^=1/1 -2=-^^ , fl==l 

f m^ m 

setzt; man erhält dann 

1 > icos -"l > 1 — {m — y?n^ — «2) 

oder besser 

1 > co^ - >1 ~ , 

und daraus folgt augenblicklich 

10) Lim \ Icos —i 1=1, {m = oo) 

Nach demselben Verfahren, mittelst dessen die Formel 9) ent- 
wickelt wurde, ergiebt sich auch bei derselben Bezeichnung 

.,(-r=[(-9f-'"^' 

mithin durch Übergang zur Grenze 



11) Lim \ Icos —\ I 



e 



IL Setzt man sin ^- = 0, so folgt umgekehrt, weil ^ ein im 
ersten Quadranten liegender Bogen war, d^ = aresin ö, mithin 
aresin öd" 1 

6 sin & sin -O-' 



Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 45 

die Gröfse & und d convergiren gleichzeitig gegen die Null und da- 
her ist 

arcsin ö 
12) Ltm == 1. 

In ähnlicher Weise folgt aus der Gleichung tan S^ = ö umge- 
kehrt ^ = arctan d und 

arctan öd" 1 



tan d" tan ^ 



& 
beim Übergange zur Grenze für gleichzeitig gegen die Null conver- 
girende ^ und d ergiebt sich 

arctan 8 
13) Lim = 1. 

Als Beispiel für einen zusammengesetzten Fall diene die Bestim- 
mung des Grenzwerthes, welchem sich der Ausdruck 

arccos (1 — f) 

yr 

bei unendlich abnehmenden e nähert. Benutzt man zuerst die Formel 

arccos z = arcsin "^1 — 2 ^ 
SO erhält man 

arccos (1 — £) arcsin ^2« — f^ 

yi ~ yi , 

I arcsin 1/2« — f^ / arcsin 8 

y2g _ £2 ^ 8 



wobei y2 e — «^ =6 gesetzt worden ist. Die Gröfsen e und S con- 
vergiren gleichzeitig gegen die Null und daher ist 

14) Lim ""^^^^IHiJ = y2 

■\/e 

Zu dem nämlichen Resultate gelangt man durch Einführung von 

goniometrischen Functionen ; man würde nämlich arccos (1 — 6) = -^ 

mithin' 1 — £ = cos d-^ e = 1 — cos ^ == 2 sin^ ^ d- substituiren und 

dabei zu beachten haben, dafs e und & gleichzeitig gegen die Null 

convergiren*). 

§. 11. 

Grenzwerthe der Functionen zweier VariaUelen. 

Wenn der Grenzwerth einer Function f{x, y) für den Fall be- 
stimmt werden soll, dafs hur die eine Variabele, etwa y, unendlich 

*) Auf den Grenzbestimmungen 11) in §. 7, 5) und 10) in §. 8, 2), 12) und 13) 
in §. 10 beruhen die Fundamentalformeln der Differentialrechnung. Die in §§ 7 und 8 
raitgetheilten Beweise der ersten drei (neicliungen sind zuerst vom Verfasser gegeben 
worden. 



46 Cap. II. Die Grenz werthe der Functionen. 

wächst oder unendlicli abnimmt, während die andere (x) dabei als 
relativ constant gilt, so ist selbstverständlich ganz nach den früheren 
Regeln zu verfahren. Als Beispiel diene die Function 

xy — 1 
y 

ersetzt man hier y durch eine gegen die Null convergirende Zahl e 
und denkt sich x als Constante, so ist wie in §. 8, II 

Ltm^ = fx, 

wobei der an die Sylbe Lim angehangene Index s bedeutet, dafs sich 
die Operation der Grenzbestimmung lediglich auf die unendliche Ab- 
nahme des 8 bezieht. 

Wesentlich anders gestaltet sich die Sache, wenn der Grenzwerth 
für den Fall gesucht wird, dafs sich beide Variabelen ändern, sei es 
nach einander oder gleichzeitig. Diefs möge zunächst an einem ein- 
fachen Beispiele erläutert werden, bei dem sich die Grenzwerthe für 
unendlich abnehmende x und «/ durch blofses Nullsetzen ergeben. 
Nimmt man in der Function 

1) y(,,,)=?fi±M^+i?' 

zuerst «/==0, so erhält man 

f{x, 0) = ax-{-a 
und hieraus folgt für x==0 

Setzt man dagegen in No. 1) zuerst x==0, so wird 
My) = ßy-]-b 

und für t/== 

/(O, ö)==b. 

Drittens ergiebt sich, wenn in No. 1) y = lx gesetzt und unter 
X irgend eine Constante verstanden wird, 

{a-j-ßk^ ) x-i-a-{-bk 
ß,r,Xx)= -— 

und für x = 

welcher Ausdruck , wegen der Willkürlichkeit des X, alle möglichen 
Werthe haben kann. — Der hiermit bewiesene Satz, dafs im vor- 
liegenden Falle /'(0, 0) unendlich vieldeutig ist, verliert sein Befremd- 
liches, sobald man die Sache geometrisch, d. h. 
2>^ ^ ^ c^J-2 -i-ßy'^ -^ax -{-by 

x + y 



Die Grenzwerthe der Functionen. . 47 

als Gleichung einer Fläche betrach- 
tet (Fig. 3). Wird nämlich tj = 
gesetzt, so ist 

z = ax -\- a 
die Gleichung der Verticalspur, und 
zwar ist die letztere eine Gerade 
ÄÄ\ welche mit der ^- Achse den 
Winkel arctan a bildet und auf der 
- Achse die Strecke OÄ = a ab- 
schneidet; für x = geht der Punkt 
xz in den Punkt Ä über. Dem ana- 
log gelangt man, wenn erst x = 
jr genommen wird, zur zweiten Verti- 
calspur, welche durch die Gleichung 

bestimmt und ebenfalls eine Gerade BB' ist; nachher y = setzen, 
heifst, auf dieser Geraden bis zum Punkte B herabgehen, der in der 
Höhe OB = h liegt. Für den dritten Fall bedeutet die Gleichung 
y = lx eine in der Horizontalebene durch den Coordinatenanfang be- 
liebig gelegte Gerade OL; die Substitution von y = lx in No. 2) 
giebt 




3) 



ßV 



bl 



und diefs ist die Gleichung der Verticalprojection des Durchschnittes, 
welchen die Ebene COZ mit der Fläche bildet. Da beide Projec- 
tionen dieses Durchschnittes gerade Linien sind, so ist er selbst eine 
Gerade MM\ welche von der ^- Achse die Strecke 

abschneidet. Für x = geht der Punkt xz der Geraden 3) in den 
Punkt M über. Die betrachtete Fläche gehört demnach zu den wind- 
schiefen Flächen, welche dadurch entstehen, dass eine bewegliche Ge- 
rade MM' längs der <0- Achse fortgleitet und sich gleichzeitig um 
dieselbe dreht; im vorliegenden Falle ist sie ein einfaches Hyper- 
boloid. Die vorhin genannte Vieldeutigkeit von /"(O, 0) erklärt sich 
nun aus der Entstehung der Fläche, derzufolge der Punkt 00^ jeder 
Punkt der ^-Achse sein kann. 

Um diese verschiedenen Resultate genau und ihrer Herkunft nach 
bezeichnen zu können, wendet man, wo es nöthig ist, das Zeichen 
Lim zweimal an und hebt jedesmal durch einen Index diejenige Va- 



48 Cap. II. Die Grenzwerthe der Functionen. 

riabele hervor, auf welche sich der Grenzenübergang bezieht. Die 
Reihenfolge der Indices geht hierbei von rechts nach links; es be- 
deutet daher Lim^ Lim^^ dafs zuerst der Grenz werth für unendlich 
abnehmende e bei constant bleibenden ö ermittelt und nachher der 
Grenzwerth für unendlich abnehmende ö bestimmt werden soll; da- 
gegen ist unter Lim^ Lim§ der umgekehrte Gang der Operationen 

zu verstehen. Für das vorige Beispiel ist hiernach 
Lim^ Lim^ f{8, s) = a, 

im dritten Falle, wo e==ld ist, bedarf es der Sylbe Lim nur einmal, 
nämlich 

Ein paar weitere Beispiele sind folgende, 
a) Lässt man in dem Ausdrucke 

(1-i-^ + ^f — 1 
ad + bs 

zuerst e gegen die Null convergiren, so gelangt man zu dem Grenz- 

werthe 

l (1 -j, 6f — 1 

fl * S 

welcher (nach §. 7, Formel 11) bei verschwindenden ö in - . fi über- 
geht; es ist daher 

Ebenso leicht ergiebt sich bei umgekehrter Anordnung 

^-^^-^ — ^Ti^s — —y 

Setzt man d = ad^^ e = ßd-^ wo a, ß Constanten bedeuten und d- eine 
gegen die Null convergirende Zahl ist, so nehmen S und e gleich- 
zeitig und zwar so ab, dafs ihr Verhältnis constant bleibt; es han- 
delt sich dann um den Grenzwerth 

^^^^ {aa + bß)& ' 

der sich leicht findet, wenn {a-i-ß)d^ = ^ gesetzt wird, wo nun ^ 
unendlich abnimmt; er ist 

//;. \JL±L (^ +^)^- ! )_ (« + % 

^"'^S jaa-\-bß ' t \ aa-^bß' 

b) Mittelst der Formeln in §.8, II übersieht man unmittelbar 
die Richtigkeit folgender Gleichungen 



Cap. III. Die Continuität und Discontinuität der Functionen. 49 
' _L- ^£ _ 2 



Lim§ Lim^ 



Lhn^ Lim^ — 



8 + B 



Lim, 



ö 



la. 



— =zLim - = /b. 

-\- s * £ 



Für d = ad^, e = ßS wird bei constanten a, ß und unendlich abneh- 
menden ^ 



Lim 8 



Lifn, 



.a^ 



1 ß bß^ — l) a la-\-ß Ib 



{a-\-ß 



ad- 



a-\-ß' ß» 



« + /5 



Capitel III. 

Die Continuität und Discontinuität der Functionen. 

§. 12. 

Begriff und Kennzeichen der Discontinuität einer Function. 

Die unabhängige Variabele einer Function wird zufolge des in 
§. 1 Gesagten immer als stetig veränderliche Zahl angesehen, bei 
welcher der Übergang von einem individuellen Werthe zum anderen 
nur vermittelst Durchganges durch alle möglichen Zwischenstufen 
erfolgen kann, oder deren individuellen Werthe eine ununterbrochene 
Reihe bilden. Dem entsprechend wird man eine, mit x durch die 
Gleichung y = f{x) verbundene abhängige Variabele y nur dann als 
continuirliche Zahl betrachten dürfen, wenn der Übergang von einem 
individuellen Werthe des y zum andern ohne Unterbrechung er- 
folgt. Um diefs völlig klar zu machen, nehmen wir die Sache von 
der geometrischen Seite und denken uns y = f{x) als Gleichung einer 
auf rechtwinklige Coordinaten bezogenen ebenen Curve; sollte letztere 
aus mehreren Zweigen bestehen, so untersuchen wir jeden derselben 
einzeln. 

In der Fig. mögen OÄ == a und OB 
= h'> a zwei beliebige Abscissen sein, 
denen die Ordinaten ÄC = f(ä) und 
BD=f{h) entsprechen; hinsichtlich des 
Curvenstückes CD sind dann zwei Fälle 
möglich: Die Curve verläuft entweder in 
einem ununterbrochenen Zuge von C 
nach D, oder sie erleidet auf dieser 

4 



Fig. 4. 




^ MB 

Schlömilch, algebr. Analysis. 6. Aufl. 



50 Cap. III. Die Continuität und Discontinuität der Functionen. 

Strecke Unterbrechungen. Im ersten Falle nennen wir f{x) conti- 
nuirlich von x^==a\)\^ x = 'b, im zweiten Falle discontinuirlich. 
Den erwähnten Unterbrechungen können verschiedene Ursachen 
zu Grunde liegen. So ist es erstens möglich, dafs zwar f{a) und 
f(h) reell sind, dafs aber f{x) für gewisse, zwischen a und h liegende 
Werthe von x imaginär wird. Die Gleichung z. B. 

y^-y/{x—l) (i"=^ 
liefert reelle y solange x^l bleibt, für l<Cx<c'^ wird y imagi- 
när, für ^^3 dagegen entstehen wieder reelle y; nimmt man also 
a <: 1 und & :> 3 , so sind zwar die anfänglichen und die letzten 
Ordinaten reell, dazwischen aber liegen imaginäre Ordinaten, und 
die Curve geht demnach nicht in einem ununterbrochenen Zuge von 
x = a bis x = h. Dasselbe gilt von Curven mit isolirten Punkten 
wie z. B. 

y = (^; _ 2) y(jc~~ 1) [X — 3) ; 
diese Curve ist gleichfalls imaginär für 1 <; o; <:: 3 und hat nur in 
der Mitte dieses Intervalles einen reellen Punkt mit den Coordinaten 
x = 2 und y = 0. 

Aber selbst in dem Falle, wo f{x) reell bleibt von x = a bis 
x = 'b, kann eine Unterbrechung der Continuität vorkommen, sobald 
nämlich an einer Stelle 0M=^ die Ordinate sprungweis von einem 
Werthe MP zu einem anderen MQ übergeht (s. Fig. 5)*). Zu jener 
Fig. 5. Abscisse gehören hier plötzlich zwei 

verschiedene Ordinaten, während au- 
fserdem jeder Abscisse nur eine Ordi- 
nate entspricht; mit der ersten Ordi- 
nate MP schliefst sich die Reihe der 
bisherigen Ordinaten ; die zweite Ordi- 
j^ nate MQ bildet den Anfang einer neuen 



A MB Reihe von Ordinaten. Beachtet man, 

dafs jedes x, welches weniger als ^ beträgt, durch f — e, und jedes 
x7>^ durch ^ -\- ö ausgedrückt werden kann, wobei selbstverständ- 



*) VieUeicht ist ein aus dem Leben gegriffenes Beispiel nicht überflüssig. Denkt 
man sich die Zeit als Abscisse und den jedesmaligen Cassenbestand einer Person als 
Ordinate aufgetragen, so entsteht eine continuirlich steigende Curve, wenn jenes Indi- 
viduum während der durch AB dargestellten Zeit unausgesetzt für Lohn arbeitet. Da- 
gegen wird die Curve discontinuirlich , wenn der Arbeiter während derselben Zeit das 
Glück hat, in der Lotterie zu gewinnen, oder wenn ihm das Unglück widerfährt, einen 
pecuniären Verlust zu erleiden. 



Cap. in. Die Continuität und Discontinuität der Functionen. 51 

lieh d und e positive Gröfsen bedeuten, so ist jede frühere Ordinate 
mit f(^ — s) , jede spätere mit f{^ + d) zu bezeichnen und conse- 
quentermafsen ist dann MF = f(^ — 0), MQ = M + 0). Bei einer 
continuirlichen Function sind beide Ordinaten gleich, tritt aber an der 
Stelle ^ eine Unterbrechung der Continuität ein, so differiren jene 
Ordinaten um irgend eine angebbare Grösse. Indem wir nun den Fall, 
wo f{x) zwischen x = a und ^ = & theilweis imaginär wird, aus- 
schliefsen, haben wir folgenden Satz: 

Die reelle Function f{x) bleibt innerhalb eines ge- 
gebenen Intervalles continuirlich, wenn für alle 
zwischenliegenden x 

Lim if[x-\-6)—f{x — B)\==Q 
ist; giebt es dagegen innerhalb jenes Intervalles 
einen oder mehrere Werthe von x, für welche 

Lim [f{x + 6) ~f{x - 6)] > 

ist, so erleidet /'(^) für jeden derartigen Werth von 
X eine Unterbrechung der Continuität*). 
Den Gebrauch dieses Satzes werden die folgenden Beispiele zeigen. 
1. Es sei 

die in Betrachtung zu ziehende Differenz ist im vorliegenden Falle 

k^ k^ 

y(. + ,) _y(. _.) = ____ ___. 

So lange x von h verschieden ist, convergirt dieselbe gleichzeitig mit 
d und € gegen die Null; für x = li dagegen wird jene Differenz zu 
einer Summe, nämlich 

k^ k^ 

/(^ + <5)-y(/i-E) = -^ + - 

und wächst ins Unendliche. Die Function = erleidet demnach 

X — h 

eine einzige Unterbrechung der Continuität und zwar an der Stelle 
x = hy wo sie von f{h — 0) == — oo nach /*(ä + 0) = + oo über- 
springt. Dieses Resultat l^estätigt sich geometrisch; die Gleichung 



*) Als Kennzeichen der Continuität findet man häufig die Gleichung 
Lim ^/(x-^d)—f{x)i =0 

angegeben ; dieses Criterium ist aber nicht so sicher als das obige, dessen Nothwendig- 
keit sich bei einer von Lejeune-Dirichlet zu anderen Zwecken vorgenommenen 
Untersuchung herausgestellt hat. (Cr eile's Journal f, Math. IV, S. 157.) 

4* 



52 Cap. III. Die Continuität und Discontinuität der Functionen. 

A'2 



y = 



h 



charakterisirt nämlich eine Hyperbel, wovon die eine Asymptote zur 
^- Achse genommen ist, während die 2/ -Achse parallel zur anderen 
Asymptote in der Entfernung h liegt. In der That besteht die Curve 
aus zwei völlig getrennten Zweigen und der Abscisse x^h entspre- 
chen die beiden Ordinaten «/ == — 00 und y=^-\-oo, 
2. Als zweites Beispiel diene die Function 

Auch hier verschwindet gleichzeitig mit ^ und € die Differenz 

k^ k^ 



wofern x-^l/i ist. 



^^ J^^ ^) {x — h^^Y {x — h — zY 

Für x^li dagegen stellt sich der Grenzwerth von 

J{h + h) -f{h - i) 



k^ 
d2 



k^ 



unter die Form 00 — oo , die alles Mögliche bedeuten kann , 
und € auf beliebige Weise gegen die Null convergiren dürfen, 
man z. B. € = 2 d, so wird 

3/t3 



weil d 
Nimmt 



4öi 



00; 



Lim {f{h-\-ö)—f{h — i)\ = Lim 
setzt man dagegen 

so ergiebt sich 

Lim [f{h + S) —f{/i — f)] = Lim [k^ (2 + s'^)] = 2k^, 
mithin erleidet die genannte Function eine Unterbrechung der Conti- 
nuität an der Stelle x = h. Zu demselben Besultate führt die geo- 
metrische Darstellung der Function. Die Curve, deren Gleichung 

__ k^ 

ist, besteht nämlich aus zwei congruenten, völlig gesonderten Zweigen, 
welche die in der Entfernung OH=h parallel 
zur Ordinatenachse liegende Gerade HI zur ge- 
meinschaftlichen Asymptote haben (s. Fig. 6). 

Während jeder Abscisse S h nur eine Ordinate 

entspricht, gehören zur Abscisse h zwei Ordina- 

naten, beide von unendlicher Gröfse; auch ist 

jr es nicht möglich, von irgend einem Punkte U 




Cap. III. Die Continuität und Discontinuitat der Pimctionen. 53 

des einen Zweiges nach dem Punkte V des anderen Zweiges zu ge- 
langen. 

3. Um auch ein Beispiel zu geben, bei welchem f(§ — 0) und 
f(§ + 0) von endlicher Grölse sind, betrachten wir die Function 



/W 



c -^ b 



arctan 



71 



Da der Quotient 



a 



an der Stelle x — a sich discontinuirlich än- 



X — a 

dert, so ist auch hier die Discontinuitat von fix) zu erwarten; in 
der That hat man 

c -\- h c — h 



/(« - ^) 



2 ' TT 

oder zufolge der Gleichung arctan ( — z) 



arcian 



(-9 



arctan z 



/(« - ^) = 



— b 



arctan 



(") 



2 7t 

und bei verschwindenden «, wenn a als positiv vorausgesetzt wird, 

V 



/(«-o) = 
Ferner ergiebt sich 



/(« + o) = 



-j- ^ C b 71 

2 TT 2~ ^' 



c — b l a 

arctan , ,. 

TT \o 



b 7t 

"' 2 



An der Stelle x 

Fig. 7. 



Y 


C 
D 


"^ 




B^ 




ü 




4 X 



2 ' 7t 

a springt also die Function von dem Werthe h 
nach dem Werthe c über. Die Figur giebt 
ein Bild der Curve, welche durch die Glei- 
chung 



y 



c -\-b 

~2 



arcta?i 



71 X — a 

charakterisirt wird; darin ist OA = a, AB 
= h, äC==c. Die beiden, rechts und links 
von ABC liegenden Zweige der Curve sind 
congruent und von entgegengesetzter Lage; 
sie besitzen eine gemeinschaftliche Asymp- 
tote, welche in der Entfernung AD = ^(h-{-c) parallel zur Ab- 
scissensache liegt. 



54 Cap. III. Die Continuität und Discontinuität der Functionen. 

§. 13. 

Allgemeine Sätze. 

1. Es sei f{x) eine gebrochene Function, etwa 

und sowohl der Zähler als der Nenner continuirlich , so kann doch 
der Quotient discontinuirlich werden und zwar geschieht diefs jedes- 
mal, wenn der Nenner für gewisse Werthe von x zu Null wird und 
wenn in diesen Fällen der Zähler endliche Werthe besitzt. Bezeich- 
nen wir nämlich mit ^ einen der speciellen Werthe von x, für welche 
der Nenner verschwindet, und setzen 

SO bedeuten l und f.i Gröfsen, welche gleichzeitig mit d und e gegen 
die Null convergiren, mithin ist, weil für x = § der Zähler nicht 
verschwindet, 

ij. \M + S) -Ai - .)( = Lim i^-^ - ?(i-:ii^} 

= - ^=00-00. 

Nun sind aber ö und e von einander unabhängig, mithin sind es auch 
l und /f ; der Ausdruck oo — oo kann daher im vorliegenden Falle 
jeden beliebigen Werth haben. 

Die Kichtigkeit der letzteren Bemerkung läfst sich an jedem ein- 
zelnen Beispiele näher darlegen. Ist z. B. 

(p(x) = sin X, '^{^) = (^os ^ X , I = ^ TT, 

so folgt 

/(l„+d)_/(i„_.) = 4^ i^, 

und hier kann man durch geeignete Wahl von d und s die verschie- 
densten Grenzwerthe zum Vorschein bringen. So ist z. B. für £==2ö 

t c /., , ^ 1 , . 4 cos ^ d — cos 2 8 

Um )/(i^ + ä) _ /(> „ _ s)J = Um -—^-^^^^— = oo, 

für s = ^d dagegen entsteht der Grenzwerth — oo. 

2. Die Function f{x) sei die Summe von m continuirlichen Func- 
tionen Fiix), F^{x), . . . F„(x); man hat dann die Gleichungen 
/(x) = F,{x) + F,(x) + .... + f„W, 
f(x + S)-f{x-e) 
= [F,(x + S) — F,{x — 6)] + [F,(x + S)— F,(x _£)] + .... 
■■■+[F„{x + i)-F^{x-,)]. 
Zufolge der vorausgesetzten Continuität von Fi{x\ F^ix), . . . F„{x) 



Cap. III. Die Continuität und Discontinuität der Functionen. 55 

kann jede der eingeklammerten Differenzen beliebig klein gemacht 
werden, wenn man nur d und e hinreichend klein wählt; bezeichnet 
daher q einen willkürlichen positiven echten Bruch, so lassen sich 
d und e so wählen, dafs jede der genannten Differenzen zwischen 
+ Q und — Q fällt , mithin 

WQ > f{x -j-ö) — f{x — £) > — niQ 
wird. Bei unendlich abnehmenden q convergirt das Product mQ gegen 
die Null, folglich hat man auch 

Lim [f{x-{-d)—fi.v-e)] = 
d. h. die Summe einer'endlichen Menge continuirlicher 
Functionen ist gleichfalls continuirlich. Für eine unendliche 
Menge von Summanden darf man diesen Satz nicht ohne Weiteres 
anwenden, denn das Product mq kann sich einer von Null verschie- 
denen Grenze nähern, wenn m unendlich wächst, während q gegen 
die Null convergirt. In der That werden später Fälle vorkommen, 
wo die Summe einer unendlichen Menge stetiger Functionen discon- 
tinuirlich ist. 

Befindet sich unter den Functionen F^(x), F^{x), . . . F,n{x) eine 
einzige discontinuirliche , so erleidet auch die Summe f(x) eine Un- 
terbrechung der Continuität und zwar an derselben Stelle wie jener 
einzelne Summand. Diese Bemerkung gilt aber im Allgemeinen nicht 
mehr, wenn mehrere der Functionen für denselben Werth von x dis- 
continuirlich werden, vielmehr kann es dann geschehen, dafs sich 
die Discontinuitäten aufheben. So sind z. B. sec x und x^ — sec x 
gleichzeitig discontinuirlich, ihre Summe aber ist eine continuirliche 
Function. 

•3. Wenn mehrere Functionen F^{x), F^{x), . . . F^ix) zu einem 
Producte vereinigt werden, etwa 

f(x) = F,(x) . F,{x) . F,{x) . . . F,,{x), 
SO hat man 

/(:r + 6)-/(ar-s) 
= F,{x + ^) F,{x -f ö) . . . F^(x + 5) [F^{x + d) - F^{x - ,)] 
+ F^{x - e) F,{x -^6) .., F^{x + 8) [F,{x + 5) - F,{x ~ s)] 

+ 

-^F,(x-e)F,{x-e) , ,. F^_,(x - e) [F^{x -{- ö) - FJx - e)]. 

Unter der Voraussetzung, dafs F^{x), F^{x), , . . F^{x) stetige Func- 
tionen sind, convergirt jeder dieser m Summanden gegen die Null, 
mithin gilt dasselbe von der Summe (nach derselben Schlufsweise wie 
in No. 2), d. h. das Product aus einer endlichen Anzahl con- 
tinuirlicher Functionen ist gleichfalls continuirlich. 



56 Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 

Für eine unendliche Menge von Factoren gilt dieser Satz im Allge- 
meinen nicht mehr. 

Befindet sich unter den Functionen F^{x), F.^{x), . . F^{x) eine 
einzige discontinuirliche, so kann das Product discontinuirlich wer- 
den, doch ist es auch möglich, dafs die Discontinuität durch einen 
der übrigen Factoren aufgehoben wird. Von den drei Factoren z. B. 

F^(x) = sec X, ^2^-^) "^^ '"^'^ ' ^sW = ^^^ ^ 

erleidet der erste Unterbrechungen der Stetigkeit unter den Stellen 
x=^^i7v, -jz^Tt etc., während die beiden übrigen Factoren immer 
continuirlich sind; das Product f{x)==x^ bleibt aber continuirlich. 

4. Die bisherigen Erörterungen sind leicht auf Functionen meh- 
rerer Variabelen auszudehnen. Handelt es sich um eine Function 
zweier Variabelen , etwa z == f{x, y) , so denkt man sich erst für y 
irgend einen individuellen Werth h gesetzt und hat es dann nur mit 
einer Function von x zu thun, die man nach den gegebenen Regeln 
untersucht; nachher ändert man 1%, indem man sich vorstellt, dafs Ji 
der Reihe nach alle Werthe von — oo bis -f- oo annimmt. Geo- 
metrisch heifst diefs: man betrachtet die Fläche, deren Gleichung 
z =z f{x, y) ist, als die stetige Folge aller der Schnitte, welche sie 
mit Ebenen parallel zur ^^-Ebene bildet. Ähnlich verhält sich die 
Sache bei Functionen mehrerer Variabelen; obschon hier die geome- 
trische Bedeutung aufhört, so bleibt doch das analytische Verfahren 
immer das nämliche. 



Capitel IV. 

Die Mittelwerthe der Functionen. 

§. 14 

Der mittlere Werth einer Function. 

Eine der elegantesten und zugleich brauchbarsten Anwendungen 
der Lehre von den Grenzwerthen der Functionen bildet die Bestim- 
mung des mittleren Werthes, welchen eine Function innerhalb eines 
gegebenen Intervalles besitzt. Man gelangt hierzu auf folgendem 
Wege. 

Die Function y = f{x) ändere sich continuirlich von x = a bis 
x^h und sei aufserdem so beschaffen , dafs jedem , das Intervall 
a bis h nicht überschreitenden x nur ein y entspricht; ferner denke 
man sich die Strecke h — a m n gleiche Theile getheilt und nenne 
d einen solchen Theil, wonach 



Cap. ly. Die Mittelwerthe der Functionen. 



57 



ö = oder b = a -\- /i8 

n 

ist. Giebt man nun dem x der Eeihe nach die n Werthe 

ö, a-\-h, «4-2^, ö + 3d, . . . ö + (/2— l)d, 
deren letzter mit & — ö übereinkommt , so erhält y ebensoviel in- 
dividuelle Werthe, die folgendermafsen bezeichnet werden mögen 
//o=/W^ //i=/(« + ^). 2/2 ==/(« + 2 ö), 

Das arithmetische Mittel dieser n Fanctionswerthe ist 
2/0+^1+ 2^2 + + 2/n-i 



/(«) +/(« + ^) +/(« + 25) + ....+/(« + 



1]5) 



und giebt eine ungefähre Vorstellung von dem mittleren Werthe, wel- 
chen die Function innerhalb des Intervalles x = a bis x = 'b besitzt. 
Je gröfser die Zahl n ist, je mehr Functionswerthe also berücksich- 
tigt werden, desto genauer erhält man auch den mittleren Werth der 
Function, und wenn man zur Grenze für unendlich wachsende n über- 
geht, so folgen die verschiedenen Werthe des x stetig aufeinander 
und der Ausdruck 

Lim / W +/(^ + ^) +/(« + 25) + .... +/(«.+ {n - l] 5) 

n 

ist nunmehr das arithmetische Mittel aus allen den unendlich vielen 

Werthen, welche die Function nacheinander erhält, während x das 

Intervall a bis h stetig durchläuft; jener Grenzwerth mag daher der 

Mittelwerth der Function, bezogen auf das Intervall 

x=^a bis r?? = &, heifsen. 

Diese Betrachtungen sind leicht geometrisch zu deuten, wenn 

man wie früher y = f(x) als Gleichung einer Curve ansieht und 

OJ.==a, OB==h als Abscissen abschneidet, (s. Fig. 8.) Die Strecke 



Fig. 8. 




AB ist dann in n gleiche Theile 
zu theilen, und ö bezeichnet einen 
solchen Theil; ferner sind y^, y^, 
y2} ... 2/n-i die Ordinaten, welche 
den n Abscissen a, a-\-ö, a-\-2 6, ... 
a -{- (n — l)d entsprechen, und 
der Quotient. 

. . • +2/n-i 



giebt den mittleren Werth jener Ordinaten. Durch Übergang zur 



58 Cap. ly. Die Mittelwerthe der Functionen. 

Grenze für unendlich wachsende n gelangt man zum arithmetischen 
Mittel aus allen zwischen ÄC und BD möglichen Ordinaten d. h. 
zum Mittelwerthe der Ordinaten innerhalb der Strecke ÄB"^'). 

Um zunächst einen einfachen Fall vor Augen zu haben, nehmen 
wir beispielweis 

y = CT, 

wo c einen constanten Factor bezeichnet. Hier ist 

yo==cay yi=c{a-{-S), y^=c{a-]-2ö), . . . 

yn-\ =c{a-\-[n-- 1](5); 

unter Anwendung der bekannten Summenformel 

1 4_ 2 + 3 . . . . H- (;^ — 1) = |/^(;^ _ 1) 

erhält man als arithmetisches Mittel 

^0 +2/1 +• • • +yn 



n 
oder vermöge des Werthes von d 
2/o +2/i + • • • +2/71-1 



c[a+^{n-l)6] 



('— '^o 



n 
und durch Übergang zur Grenze für unendlich wachsende n 

Lim 'l±±l^ll^:i+yi^l = |o (i + «) = ^^ + f*. 

Geometrisch heifst diefs: wenn die Linie CD eine durch den Coor- 
dinatenanfang gehende Gerade ist, so kommt der Mittelwerth aller 
zwischen ÄC und BD liegenden Ordinaten überein mit dem arithme- 
tischen Mittel aus ÄC und BD, was auch unmittelbar ersichtlich ist. 

*) Derartige Mittelwerthe kommen nicht selten in der Physik vor. Sind nämlich 
zu den Zeiten a, a -\- d , a -\- 2 d , . . . a -\- (n — 1)^ die veränderlichen Gröfsen 
2/0' 2/i5 2/2) • • • 2/n-i (z- B- Temperaturen, Barometerstände u. dergl.) beobachtet worden, 
so giebt das arithmetische Mittel der letzteren den genäherten Mittelwerth von y wäh- 
rend der Zeit b — a. Der genaue Mittelwerth würde erst dann erreicht werden, wenn 
alle zwischen die Zeiten a und b fallenden y beobachtet wären d. h. wenn der stetige 
Verlauf des y vorläge. Dieser läfst sich in vielen Fällen durch einen selbstregistriren- 
den Apparat beschaffen, dessen Einrichtung gewöhnlich darin besteht, dafs ein beweg- 
licher Stift auf einen mit gleichförmiger Geschwindigkeit um seine Achse rotirenden 
Cylinder diejenige Curve aufzeichnet, deren Ordinaten die verschiedenen Werthe der zu 
beobachtenden Variabelen darstellen. Denkt man sich den Cylindermantel in eine Ebene 
abgewickelt , so entsteht eine Curve , worin die Beobachtungszeiten als Abscissen , die 
beobachteten Werthe als zugehörige Ordinaten erscheinen , und wo nun die Aufgabe 
ganz dieselbe ist wie in der obigen geometrischen Darstellung. 

Zur Berechnung der Mittelwerthe aller möglichen Functionen liefert die höhere Ana- 
lysis die nöthigen Vorschriften ; bei den meisten einfachen Functionen führen indessen 
auch elementare Methoden zum Ziele. Fälle der letzteren Art hat der Verf. auf eigen- 
thümliche Weise im Cap. IV zusammengestellt, welches demnach als eine Vorstudie zur 
Integralrechnung gelten kann. 



Cap. ly. Die Mittelwerthe der runctionen. 59 

Als zweites Beispiel diene die Annahme 

Mit Hülfe der Summenformel 

12 -f-22 +32 -I- . . . 4-(;2— lJ2==^//(«_ 1) (2«— 1) 

findet man sehr leicht 

2/0 +yi +2/2 + ' ' ' +yn-i 

n 

=^1 [a^ j^ a {71 — \)8 ^ \ (n — l) (2ti—\)6^. 

Nach Substitution des Werthes von d bringt man die rechte Seite 
durch einige Zusammenziehung auf die Form 

«2 -[- ab -^b'^ __b^ — a^ {b — a)^ 
3c 2n ' 6^2 

und daraus ergiebt sich 

Um ^0+^1+^2 + - "+y n-i _ a^ +ab-i-b^ 
n 3c 

Geometrisch ist diefs der Mittel werth aller Parabelordinaten, welche 
zwischen x == a und x = h eingeschaltet werden können. Am ein- 
fachsten gestaltet sich das Eesultat, wenn man a = setzt d. h. die 
Parabelordinaten vom Scheitel an nimmt; es wird nämlich der obige 

Mittelwerth = -^ — d. i. gleich dem dritten Theile der letzten 

Ordinate. 

Bevor wir ausführlichere Untersuchungen über Mittelwerthe fol- 
gen lassen, wollen wir erst eine Vereinfachung der allgemeinen For- 
mel erwähnen. Wenn nämlich x das Intervall x = a bis x = h 
durchläuft, so ändert sich die Differenz x — a von bis h — a; 
man kann daher x — a = § setzen, ^ als neue unabhängige Variabele 
betrachten und dieser den Spielraum von ^ = bis ^ = & — a an- 
weisen; ferner ist jetzt f(x) = f{a-\-^), und da f(a-\-^) wieder 
eine Function von ^ darstellt, so mag dafür kürzer F{§) geschrieben 
werden. Nach diesen Substitutionen geht der Ausdruck 

n 

in den folgenden über 

Lim n0)-{-FiS)-^F{2Ö) -{.... -\-F{\n--l]6) ^ 

n 
d. h. der Mittelwerth von fix) bezogen auf das Intervall x=^ a bis 
ic = 6, ist einerlei mit dem Mittelwerthe von jP(^), wenn letzterer 
auf das Intervall | = Obis^ = & — a bezogen wird. Man wird 



60 Cap. ly. Die Mittelwerthe der Functionen. 

leicht bemerken, dafs diese Operation analytisch Dasselbe ist wie 
geometrisch die Verlegung des Coordinatenanfanges von nach A; 
die Abscisse x wird dabei um a verkleinert , mithin ist x — a = ^ 
die neue Abscisse, und an die Stelle der früheren Curvengleichung 
y = f{x) tritt die neue y = f{a -f- f ) == F{^). 

Da ferner a und l nur der Bedingung & > et unterworfen sind, 
so kann l — a jede beliebige positive Gröfse bedeuten und mit irgend 
einem Buchstaben bezeichnet werden. Wir wollen dafür x selber ge- 
brauchen, so dafs jetzt 

^ .^ /^(O) + m + m^) + . . . + F([/? - 1] 8) 

n 

U^-y a:>oY 

das arithmetische Mittel aller Ordinaten darstellt, welche sich auf 
der Strecke x errichten lassen. Dasselbe mag schlechthin der Mittel- 
werth von F{x) heifsen und mit MF{x) bezeichnet werden, wobei M 
keinen Factor, sondern nur die Abkürzung der Worte „Mittelwerth 
von" bedeutet. Vermöge des W^erthes von ö gilt nun die Gleichung 

als Definition des Symboles MF{x). 

Die rechte Seite dieser Gleichung läfst sich noch etwas einfacher 
darstellen. Wenn nämlich eine Partie von gleichartigen Gröfsen u^^^ 
u^, u^^ ... Un-.i zu addiren ist, so schreibt man statt 

kürzer 

Euu, X-^O, 1, 2, . .. (;2 — 1) 

und liest „Summe aller der Gröfsen, welche aus u für h = 0^ 1, 2, 

. . . {n — 1) hervorgehen;" demgemäfs kann man die vorige Gleichung 

in die folgende zusammenziehen 

wobei nur ein für alle Mal zu merken ist, dafs Ic die Werthe 0, 1, 2, 
. . . {n — 1) erhalten soll. 

§. 15. 

Der Mittelwerth der Potenz. 

Zufolge der gegebenen Definition wird der Mittelwerth von x^ 
durch folgende Gleichung bestimmt 

«•')=-{i»'H-e)'+(i)'+-+(!^')1= 



Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 61 

damit 0^ nicht unendlich werde, müssen wir 'p als positive Gröfse 
voraussetzen, wir haben dann einfacher 



m,{x^) = Lim^ ^p+i 



/li' _^ 2^ + 3^ + . . . + (;.-l/ ^,\ 

oder, weil der Factor x^ kein n enthält, 

1) Jl(..) = \Li,n 1^ + 2^+ 3^ + ; ■• + (^-^--] ,,. 

In dem speciellen Falle, wo j9 eine ganze Zahl ist, lässt sich der 
nöthige Grenzwerth mittelst der in §. 7 entwickelten Ungleichungen 
finden ; es ist nämlich für jedes a > & > 

(p+i)«^>'4-_4- 

mithin für a = ^, & = ^ — 1 

2) z^:>- ^, '^ • 

Man hat ferner 

folglich wenn & = ^, a = ^ + l gesetzt wird 

3) - < ;, + ! 

Die beiden Ungleichungen 2) und 3) gestatten folgende übersicht- 
lichere Zusammenstellung 

/. + ! -^"^ -^ ;.+ l 

und daraus ergeben sich für ^ == 1, 2, 3, ... {n — 1) folgende spe- 
cielle Relationen 

oP+i iP+i iP+i 



3^+1 2^"'"^ 2^'*'^ 1 ^■'■^ 

4P+1 _ 3P+1 ^ 3P+1 _ 2^+1 



/. + ! -^ - Tp-\-\ 



P^I __(;,_ 1)P+1 ^ ^^^ __ ^^^ ^ (,, __ 1)P^X _ (,^ _ 2)P+1 



Die Summe dieser Ungleichungen ist 

wobei linker Hand die negative Einheit weggelassen werden kann, 



62 Cap. ly. Die Mittelwerthe der Functionen. 

weil dadurch die Ungleichung stärker wird; ferner liefert die Divi- 
sion mit n^'^^ 

Bei unendlich wachsenden n und constant bleibenden p convergirt 
II j gegen die Einheit , und daher wird die vorige Unglei- 
chung zur Gleichung 

4) ^.^ 1^ + 2^ + 3^ + ...+i^-2r^_^. 



mithin ist nach Formel 1) 

5) Jl(:r^) = 



wobei p eine ganze positive Zahl sein mufs. 

Für nicht ganze positive p gilt ein ähnlicher Satz, dessen Be- 
weis aber nicht so einfach ausfällt; die Mittheilung desselben kön- 
nen wir um so eher übergehen, als bei späteren Anwendungen der 
Formel 5) immer nur der Fall eines ganzen positiven p in Frage 
kommen wird. 

§. 16. 

Die Mittelwerthe der Exponentialgröfse , des Sinus und Cosinus.» 

I. Für den Fall F(x) == a^ haben wir nach der Definition des 
Mittels 

Jl(a^) = Lim — ^ ^ ^ > 

wo (^ = - ist. Giebt man der im Zähler stehenden Gröfsenreihe die 
n 

Form 

1 + «^ + {p^Y + {a^Y + .... + («^)"~\ 

so erkennt man darin eine geometrische Progression und hat als 
Summe derselben 

[a^y — 1 _ «"^ •— 1 __ <?^ — 1 
Demnach wird 



ji(«^)=z.-.(i.5--i) 



oder auch, wenn man - durch - ersetzt, 



Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 



63 



Jt(«^) = Lim 



~a^ 


— 


1] 


. 1 


a* 


— 


1 




d 





der Zähler bleibt ungeändert, wenn 6 gegen die Null convergirt, der 
Nenner hat la zur Grenze (§. 8, No. 11), mithin ist 

ö^— 1 



1) 



M{a-) 



X la 



Besser noch gestaltet sich diese Formel, wenn man statt a die 
Basis e einführt, indem man la = a oder a = e^ setzt; es wird 
nämlich 



2) 



Jl(e«") = 



ax 



II. Der Mittelwerth des Sinus bestimmt sich durch die Gleichung 
3) Jl [sin x) 

, . sin ö -^ sin 2 8 -\- sin 3 8 -{-.... -\- sin (n — 1)8 

= Lim ■ — ^ —f 

n 

WO es zunächst auf die Summirung der im Zähler stehenden Sinus 

ankommt. Bezeichnen wir den Werth des Zählers mit Ü und multi- 

pliciren die Gleichung 

U = sin 8 -{- sin 2 8 -\- sin S 8 ~\- . . . . -\- sin {n — \) 8 

mit 2 sin | ^ , so können wir rechter Hand jedes doppelte Sinuspro- 

duct in eine Cosinusdifferenz verwandeln, indem wir die Formel 

2 sin J sin B = cos [A — B) — cos (A -\- B) 

benutzen; wir erhalten 



2 U sin ^8 = cos ^ 8 
-f- cos l" 8 



cos "l 8 
cos ^ 8 



-f- cos ^8 — cos ^ 8 

-f- cos {n — |-) ö — cos (n — ^) ö 
d. i. nach gehöriger Hebung 

2 U sin ^8 = cos ^8 — cos [n — ^) 8. 
Hieraus ergiebt sich U, und zufolge der usprünglichen Bedeutung 
dieses Ausdrucks gilt nun die Summenformel 

4) sin 8-\-sin2 8-\-sin3 8-\- . , , -\- sin (n—l)8 

cos ^8 — cos {n — ^)8 
2 sin ^ 8 
Bei der Anwendung von No. 3) ist zu berücksichtigen, dafs nö=^x, 
folglich 



cos (n — ^)8 = cos (^n8 — i. 6) = cos {x 



i«) 



ist; ersetzt man ferner in No. 3) den Divisor n durch den Factor -, 

X 



64 Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 

SO hat man 

M{sm x) == Lim ^ ^ ^-^ • ~^-^ I 

|_ X sin -^ 0^ 

und bei Ausführung des angedeuteten Grenzenüberganges 

5) M(sinx) = ^-^^'^^ 

X 

Auf ganz gleiche Weise kann man auch das etwas allgemeinere 
Resultat 

6) M{sinßx) = ^~~'JJ^ - 

finden, worin ß einen beliebigen constanten Factor bezeichnet. 

III. Der Mittelwerth des Cosinus bestimmt sich durch die Glei- 
chung 

7) M{cos x) 

1 -f- cos S -\- cos 2 8 -\- cos 3d -|- . . . -f- cos (?i — 1)8 

n 
und hier ist zunächst der Zähler in eine kürzere Form zu bringen. 
Wir setzen defshalb 

F== l-{-cos8-\-cos2 8-{-cosS8-]- . . .-\-(n — l)8, 
multipliciren beiderseits mit 2 sin | d und zerlegen rechter Hand je- 
des doppelte Product nach der Formel 

2 cos A sin B = sin {^A -f- ^) — sin {A — B) ; 

wir erhalten 

2 Fsin^8 = 2sin^8 

-(- sin ^8 — sin ^ 8 

+ sin ^8 — sin ^8 

-|- sin ^8 — sin j 8 



-f- sin (n — ^)8 — sin (n — ]|) 8 
d. i. nach gehöriger Hebung 

2 rsin ^8 = sin ^ ^ + ^^^ (^ — y) ^' 
Hieraus findet sich V und man hat daher die Summenformel 
8) l-^cos8 -\-cos2 8-\-eosS8 -{- , . . -{- cos [n — l) 8 

sin Y 5 + sin (n — ^)8 
2 sin ^ 8 
Indem wir diefs zur Umwandlung der Formel 7) benutzen und 

nö = x, w = T^ setzen, gelangen wir zu der Gleichung 



) = Lim p^'^i^ + ^^'^^(^— H ) . _ii_] 
[_ X sin^ 8j 



cos X 

d. i. 

^, . sin X 
9) M{cos x) == 



Cap. lY. Die Mittelwerthe der Punctionen. 65 

Nach demselben Verfahren erhält man leicht die etwas allgemei- 
nere Formel 

10) Micosßx) = '%^. 

px 

Die bisher entwickelten Mittelwerthe der Potenz, die Exponen- 
tialgröfse, des Sinus und des Cosinus sind die einzigen, deren Auf- 
suchung keine besonderen Kunstgriffe erfordert; um aber die ver- 
schiedenen Mittel zu zeigen, welche in anderen Fällen benutzt wer- 
den können, verfolgen wir den Gegenstand weiter. Dabei wird sich 
auch das wichtige Resultat ergeben, dafs die Functionen 1(1 -\- x)^ 
arctan x und aresin x als Mittelwerthe gewisser algebraischer Func- 
tionen betrachtet werden dürfen. 

§. 17. 

Der Mittelwerth von (1 -|-a;)-i. 

Wir erinnern zunächst an die in §. 7 bewiesenen Ungleichungen 

a"^ — b"^ <im{a — b) a"»-^ , 
welche für jedes ganze positive m gelten, wenn a'>h^O ist. In 
der ersten Ungleichung nehmen wir 

ö=l+-, b = l, 
m 

wobei s eine beliebige positive Gröfse bedeuten möge; diefs giebt 



('+=)"- 



1>^ 



und durch Übergang zur Grenze für unendlich wachsende m 

1) e^ — 1>^ oder e*>l + ^. 

In der zweiten Ungleichung setzen wir 

fl = l, b = \ — -» 
m 

und erhalten 



-(-0 



und durch Übergang zur Grenze für unendlich wachsende m 

1 — e-* < 5 oder e-^ > 1 — z 
und umgekehrt, wenn z ein positiver echter Bruch ist, 

Die unter No. 1) und 2) gefundenen Resultate stellen wir in der 
Form 

_L_>e--. !_!_;:,, (0<^<1) 

Schlömilch algebr. Analysis. 6. Aufl. e. 



ßQ Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 

zusammen und nehmen überall die natürliclien Logarithmen; diefs 
giebt 

^) ''(t^) > ^ > ^(1 + ^)^ (0 < ^ < 1). 

Ertheilt man dem der Reihe nach die Werthe 

^ 6 ö ö ö 

1' iH-(5' r+Td' r+T5' * * ■ i + («_i)d' 

worin d einen positiven echten Bruch bezeichnen möge, so erhält 
man die folgenden Ungleichungen 



(r^) > { > i^y 

m > rh > 'my 

\l+6) 1+20 -^ \i-^2S)' 

n+(«-l)3 N S_ / l+n S \ 

{l +(„ — 2)S) ^ l + (n— \)ö-^ {l+(„--i)S)' 

und die Summe derselben ist bei gehöriger Hebung 

> 4t + rr* + fTM + ■■•■ + T+T^-i)*] >* +•'">■ 

Die in Parenthesen stehende Summe ist dieselbe, worauf man bei 
der Bestimmung des Mittelwerthes von kommen würde, da- 

her ist für d = - 

n 

^) _ _i['0+-3-'(-9]^ 

> ^ LT "^ r+^ "^ r+Ts + • • • + 1+(72 — i)dj ^ 

i/(l+x) 
und durch Übergang zur Grenze für unendlich wachsende n 

Hierin liegt der bemerkens werthe Satz, dafs der natürliche Lo- 



Cap. ly. Die Mittelwerthe der Functionen. 67 

garitlimus durcli den Mittelwerth der algebraischen Function 

i ~j — 00 

dargestellt werden kann. Damit ist gleichzeitig eine Methode zur 
Berechnung der natürlichen Logarithmen gewonnen, denn bei grofsen 
n mufs näherungsweis die Gleichung gelten 



/(l+:r) _l 
X n 



1 + 



1 



n n 



,H-(^ifc] 



oder 

Zum praktischen Gebrauch empfiehlt sich diese Formel nicht sonder- 
lich, da man für n eine sehr ansehnliche Zahl nehmen müfste, um 
einige Genauigkeit zu erreichen. Die Sache läfst sich aber unter 
einem anderen Gesichtspunkte betrachten. 
Nach einer bekannten Formel hat man 

\ ~'' = l-f-a + a2-|-. ... + a"'-i 
1 — « 

oder für a = — ^ 

1 _]_ ( \\m-\r\am 

\];^ =1-^ + ^2-... . + (-1 )— 1 ^—1 ; 

denken wir uns ß als positiv und setzen für m eine gerade Zahl 2/c, 
so geht der Zähler in 1 — /5^^ über und beträgt weniger als die Ein- 
heit; daher ist 

6) _L_>i_/3 + |32 + ^3 + .,.._/32^-i. 

Setzen wir dagegen m gleich einer ungeraden Zahl 2^ + 1, so über- 
steigt der nunmehrige Zähler 1 + /?^^-^ die Einheit und daher ist 

Die beiden Ungleichungen 6) und 7) benutzen wir, um aus No. 4) 
zwei neue Resultate abzuleiten. Es ist nämlich erstens 






1 




1 1 


>-n 


1- 


n n 



und wenn man rechter Hand die Ungleichung 6) auf jeden einzelnen 
Bruch anwendet, so erhält man bei Zusammenfassung der gleicharti- 
gen Gröfsen 

5* 



68 Cap. IV. Die Mittelwertlie der Functionen. 



>1 

1 1 


1 


+ 2 + 


3 + .. 


..+(«- 


-1 


), 


22 +32 


«2 

+ ••• 


+ («- 


1)2 


^2 


1 

1 


' + 


23 .-1-33 


«3 
+ ... 


+ («- 


1)3 


X^ 


+ 


+ '■ 


2"-' + . 




— 1 


/*-> 



Durch Übergang zur Grenze für unendlich wachsende n folgt hieraus, 
wenn man erst die Formel 4) in §. 15 benutzt und nachher mit x 
multiplicirt 

8) /(l+a:)>:r — |a:2+^ar3_|^4_|_.. .. 



2k 



Andererseits ist vermöge der Ungleichung 4) 



1+f 1+H l+ ^"-^> 

L /2 W W j 

und wenn man rechter Hand die Ungleichung 7) auf jeden einzelnen 
Bruch anwendet, so gelangt man leicht zu dem Ergebnisse 

1/(1 +x) 

1+2+3+. ..+(»- 1) 



+ ^ — ' — ^ — ^ — ^^ 



12+22 4-32 + ... + (« - 


-1)2 


«3 


12«: ^ 22* + _ _ , _ + (n - 


- 1)^^ 



2 



' ;22A:+1 

Durch Übergang zur Grenze für unendlich wachsende n und nach- 
herige Multiplication mit x folgt hieraus 

9) 1(1 4- a:)< A- _ |x2 _|_ |ar;^ — Jor* + 

2k ^ 2k-\-\ 
Mittelst der Bemerkung , dafs jede zwischen A und B'> A lie- 
gende Zahl durch A -\- q {B — A) dargestellt werden kann , wo q 



Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 69 

einen nicht näher bekannten positiven echten Bruch darstellt, lassen 
sich die Ungleichungen 8) und 9) zu einer Gleichung zusammenzie- 
hen, nämlich 

10) /(l+x)=|a:-i:r2+|x3-i^r 



0<^<1. 
Dieses Resultat ist besonders bei echt gebrochenen x von Werth, 
weil man in diesem Falle die willkürliche ganze Zahl li so grofs 
wählen kann, dafs ^2^+^, mithin auch der letzte Summand, kleiner 
als irgend ein gegebener Bruch wird; die Grenzen, zwischen denen 
li)L-\-x) liegt, lassen sich also bei echt gebrochenen x beliebig eng 
ziehen. Für ic = 0,3 z. B. hat man folgende Rechnung 



\ 


(0,3) 


== 


0,3 


\ 


(0,3)2 


^= 


: — 0,045 
0,255 


k 


(0,3)' 


= 


+ 0,009 
0,264 


i 


(0,3)* 


= 


— 0,002025 
0,261975 


* 


(0,3)5 


== 


-f- 0,000486 
0,262461 


\ 


(0,3)6 


= 


— 0,0001215 
0,2623395 


i 


(0,3)' 


=: 


-\- 0,000031243 




0,262370743 


i 


(0,3)8 


== 


— 0,000008201 




0,262362542 


\ 


(0,3)9 


== 


+ 0,000002187 



+ _ 

0,262364729 u. s. w. 

Setzt man daher der Reihe nach Z; = 1 , 2 , 3 etc. , so liegt l (1,3) 
zwischen 

0,255 und 0,264 

0,261975 - 0,262461 

0,2623395 - 0,262370743 

0,262362542 - 0,262364729 
und es ist daher auf fünf Decimalen genau Z(l,3) = 0,26236, was 
mit den Tafeln übereinstimmt. 



70 Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 

§. 18. 

Der Mittelwerth von (1 -|-a;2)-i. 

Durch Anwendung der bekannten goniometrischen Formel 

„ sin {A — B) 

tan A — tan B = — 

cos A cos B 

Überzeugt man sich leicht von der Richtigkeit der Gleichung 

tan (« -}- i^) — tfin « '"^in ß ß 

ß ß cos (a -f- ß) cos ci 

worin a und a-\- ß zwei beliebige Bögen des ersten Quadranten be- 
deuten mögen. Unter dieser Voraussetzung ist (§. 10, No. 1) 

sw ß 

-y- > cos ß, 

ferner 

cos (a -\- ß) = cos « cos ß — sin a sin ß <^ cos a cos ß ; 

stfi 3 
ersetzt man daher in No. 1) den Factor —~- durch cos ß und im 

Nenner cos (a -\- ß) durch cos a cosß, so erhält man 
tan (a-\- ß) — tan a , 1 

ß cos^ a 

oder 

2) {tan {a + ß) — tan cc] cos^ a > ß. 

Diese Beziehung gestaltet sich für unsere Zwecke brauchbarer, wenn 
wir die Substitutionen 

tan (x=z z, tan (c( -\- ß) = z -\- S 

vornehmen ; zufolge der Voraussetzung, das cc und a-]- ß gleichzeitig 
im ersten Quadranten liegen, ist jetzt 

a = arctan z , a -{- ß = arctan {z -{- ö), 

ß = arctan (^z -\- 8) — arctan z, 

2 _ 1 _ 1 

COS «— j_^^^^2^— j_^^2' 

3) -— - — - >► arctan {^z -\- 8) — arctan z. 

Um eine zweite und ähnliche Relation zu finden, gehen wir von 
der Gleichung aus 

tan a — tan (a — ß) sin ß 1 

ß ß COS a COS (« — ß) 

Rechter Hand ersetzen wir den Factor —J- durch die gröfsere Ein- 

ß ° 

heit und cos (a — ß) durch den kleineren cos a; wir haben dann 



Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 71 

tan a — tan (a — ß) ^^ 1 



5) — -^-^ <i arctan z — arctan {z — ö). 



ß cos^ a 

oder 

4) [tan a — tan (a — ß)] cos^ a < ß. 

Es sei ferner sowohl a als a — ß ein Bogen des ersten Qua- 
dranten, 

tan a = z, tan (a — /3) = ^ — (5, 

so ist umgekehrt 

a = arctan z, a — ß = arctan (z — ö), 

ß = arctan z — arctan {z — ö), 
und die Ungleichung 4) geht dann in die folgende über 

1 -^ z- 
Aus No. 3) und 5) zusammen folgt 

arctan z — arctan (z — 5) !> — — —x > arctan {z -\- 8) — arctan z ; 

1 -f- ^2 

wir nehmen hier der Reihe nach = 6, 2S, 3ö, . . . . {n — 1)J, ad- 
diren alle entstehenden Ungleichungen und fügen überall noch d hinzu, 
diefs giebt die neue Ungleichung 

arctan ([« — 1](5) -[- ^ > 

L ^ l_^52^1_|_(2Ö)''ä ^l+(3d)2^ ^1_^([,,_ l]a)2j 

^ arctan (nb) -\- 8 — arctan ö, 
welche noch stärker wird, wenn man die zuletzt vorkommende posi- 
tive Differenz d — arctan S wegläfst. Für nö = x und durch beider- 
seitige Division mit x folgt 



1 f ^\ , ^ 

b) - arctan \ x \ -\ — 

X \ n) n 



> 



1 + W.H \-,7-^-\-"" 



■+(:) ■+(!) •+e^^) 



> - arctan x, 

X 



und es erhellt unmittelbar, dafs diese Relation zur Bestimmung des 
Mittelwerthes von :j— - — - dienen kann. Durch Übergang zur Grenze 

JL ~f~ X 

für unendlich wachsende x ergiebt sich in der That 

womit der bemerkenswerthe Satz gewonnen ist, dafs arctan x durch 



72 Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 

den Mittelwerth der algebraischen Function zr—- — ^ ausgedrückt wer- 

den kann. Gleichzeitig liegt hierin eine Methode zur Berechnung 
eines Bogens, wenn seine Tangente gegeben und = x ist, denn für 
grofse n mufs die Gleichung 

arctan x = 

wenigstens näherungsweis richtig sein. So erhält man z. B. für 
x = l und w == 10 

4 (100^ 101^ 104^ 109^116 

4__L.J_._L._L_L._iJ 
"•" 125 "^ 136 "^ 149 "^ 164 "^ 18l( 

d. i. 

\n = 0,70998; 

die nicht unbedeutende Abweichung von dem wahren Werthe \7t = 
0,7854 zeigt, dafs man n weit gröfser nehmen müfste, um eine er- 
trägliche Genauigkeit zu erreichen. Hierdurch wird aber das Ver- 
fahren sehr unbequem. 

Dagegen gelangt man zu viel brauchbareren Formeln, wenn man 
die im vorigen Paragraphen entwickelten Ungleichungen 

8) j^>l-/5 + ^^-^^ + ...-^^^-S 

9) Y^ß<l-ß + ß'-ß'+^^^ + ß'' 
der Reihe nach für 

'=©"• (I)" &')'-e-.^')" 

auf No. 6) anwendet. Zunächst ergiebt sich 

1 / :r\ 1 

- arctan \x \ A — 

X \ nj n 

12 
> 1 



l2_f_22 + 32 


+ 


... + («- 


■^)%2 


14_|_24_|_34 


;z3 


...+ {n- 


^>* X* 


1 

16 _^26 +36 


«5 


... + (;^- 


1>\« 


4- .... 


n'^ 






I4fc-2_j_24fc-2_|.._ 


-{-{n-iy^- 


-2 



Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 73 

durch Übergang zur Grenze für unendlich wachsende n und durch 
Multiplication mit x folgt hieraus 

10) arctan x^ x — ^x^ -{- ^x^ — \x'^ -|- . . . . 

1 



x^^-^ . 

Benutzt man dagegen die Formel '9) zur Umwandlung von No. 6), so 
hat man erst 

1 ^, 12-1-22 +32 +... + (;/— 1)2 
- arctan or < 1 ^ '- L_l____^_ ^2 



1* + 2^ + 3^+. .- + (^-1)^ . 
x^ 

n^ 



I4fe _^ 2^fe + +{n — Vf" 

und nachher durch Übergang zur Grenze 

11) arctan x <Cx — ^x^ -f- ^x^ — ^x"^ -f~ 



U—X ^ 4/t + 1 

Aus den gefundenen Ungleichungen läfst sich eine Gleichung bil- 
den, wenn man einen nicht näher bekannten positiven echten Bruch 
Q einführt; es ist nämlich 

12) arctan x = \x — ^x^ -f- ^x^ — 



.... ?■ a:**-! -1 -? a:*^+i 

4^—1 ^ 4>t + 1 ' 

0<?<1. 

Diese Formel leistet im Falle x<il gute Dienste, weil sich dann 

Tc so grofs wählen läfst, dafs ic*^+^ beliebig klein gemacht werden 

kann. Nimmt man z. B. 

X == y^::^^ = 0,2679492, 

1/3 + 1 

was gerade der Werth von tan 15^ ist, so hat man für h = 2 fol- 
gende Rechnung 

X = 0,2679492 

_ ^x^ = — 0,0064126 

0,2615366 

4- 1^5 == -t- 0,0002762 

0,2618128 

_ |ar7 == — 0,0000142 

0,2617986 

+ ^x^ = + 0,0000008 

0,2617994. 



74 Cap. rV. Die Mittelwertlie der Functionen. 

Demnach liegt der gesuchte Bogen zwischen 0,2617986 und 0,2617994 
und es ist also auf sechs Decimalen 

yä— 1 

in der That stimmt dieser Werth mit arc 1^^ =-^7v in sechs Stellen 
überein. 



arctan l^ )= 0,261799; 

Vl/3 4- 1/ 



§. 19. 

1 

Der Mittelwerth von (1 — x^) ^. 

Durch Anwendung der bekannten goniometrischen Formel 

' n c ^ + ^ . -4 — B 

Sin A — sin B = 2 cos sin 

2 2 

findet man augenblicklich 

srnja + ^-sin . _ ^^^ ^^ ^ ^^^ sjnjß^ 

Der erste Factor rechter Hand beträgt weniger als cos a, der zweite 

weniger als die Einheit, daher ist 

sin (a-\- ß) — sin a 

^ ^ <:cos a 

oder 

sin (a^ß) — sin a 

' cos a 

Dieser Ungleichung geben wir dadurch eine andere Form, dafs wir 

sin a = z , sin (a -\- ß) = z -\- 8 

und gleichzeitig a und cc -{■ ß als Bögen des ersten Quadranten vor- 
aussetzen. Zufolge der vorstehenden Substitution ist nämlich 
a = aresin z, a -\- ß=: aresin (z -{- 6), 

ß == aresin (z -{- 8) — aresin z, 
cos a = "j/l — sin^ a = "y/l — z''^, 
mithin wird aus No. 1) 

2) << aresin (z-{-8) — aresin z, 

yi — s2 

Zu einer ähnlichen Relation gelangt man dadurch, dafs man von 
der Gleichung 

sin a— sin (a — ß) _ sjn^^ 

ß -eos{a ^p) ^ß 

ausgeht und für die beiden Factoren rechter Hand kleinere Werthe 
setzt. Da nun cos {a — ß) mehr als cos a beträgt, so hat man 
cos a -f- cos (a — /3) }> 2 cos a 

oder 



Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 75 

2 cos {a — ^ß) cos ^/? >> 2 cos a 

folglich 

^ -^ cos et 

Ferner ist nach §. 10, Formel 1) 

sin 4/3 
-T^>^osiß, 

und durch Substitution dieser kleineren Werthe erhält man aus der 
letzten Gleichung: 

sm a — sin (a — ß) 



ß 

oder 



]>> cos et 



sin a — sin (a — ß ) ^ 

cos a 

Unter der Voraussetzung, dafs a und a — ß im ersten Quadranten 
liegen, sei 

sin a = Zf sin (a — ß^ = z — 8, 

mithin 

et = aresin z, a — ß = aresin {z — ö), 

ß == aresin z — aresin {z — 6) ; 

die Ungleichung 3) wird dann zur folgenden 

8 
4) , — - ">► aresin z — aresin (z — ö). 

Die gewonnenen Resultate stellen wir in der übersichtlicheren 
Form zusammen 

aresin {z -{- 8) — aresin z }> - >► aresin z — aresin (z — 8), 

yl — z^ 

nehmen der Reihe nach ^ = 6, 2ö, 3d, . . . (n — 1)6, und addiren 
alle entstehenden Ungleichungen, wobei wir überall noch d hinzu- 
fügen; diefs giebt 

aresin (nS) — {aresin 8 — 8) "^ 

L yT^TF yT— {28)^ "" yi_([«_ippj 

^ aresin ([n — l]ö) -j- ^7 
welche Ungleichung noch stärker wird, wenn man die linke Seite 
um die positive Gröfse aresin S — d vergröfsert. Für nö = x wird 
femer 



76 Cap. ly. Die Mittelwerthe der Functionen. 

5) - aresin x ^ 



1 + 



X 

1.1.1 



y-er K-(¥)' K-ra 



V-T^^')". 



^ - arcsin \ x \ A — 



n 



und es erhellt unmittelbar, dafs diese Ungleichung zur Bestimmung 

des Mittelwerthes von (1 — ■ x'^^ ^ dienen kann. Man gelangt so zu 
der Formel 

6) Ül I - -- I == - (ircsin Xy 

\^\—x^J ^ 

worin sich der Satz ausspricht, dafs die Function arcsin x durch 

1 

den Mittelwerth der algebraischen Function {1 — x) ^ dargestellt 

werden kann. Gleichzeitig ergiebt sich hieraus ein Verfahren, um 

den Bogen zu finden , wenn der Sinus bekannt und = x ist , denn 

für grofse n mufs die Gleichung 

arcsin x = 



'^i/'-e)'''K'-(T)"^' 



+ 



F-(^^X 



wenigstens näherungsweis gelten. Man erreicht indessen nur dann 
eine erhebliche Genauigkeit, wenn man für n eine sehr bedeutende 
Zahl nimmt, und daher ist das Verfahren nicht bequem. Wir wer- 
den später zeigen, wie sich der angedeutete Grenzübergang ausführen 
und damit eine vollkommen brauchbare Formel entwickeln läfst. 



§. 20. 

Die Mittelwerthe zusammengesetzter Functionen. 

I. Wenn F{x) aus zwei anderen Functionen (D{x) und ^(x) so 
zusammengesetzt ist, dafs die Gleichung 

F(x) = JO{x) + B^^{x) 
stattfindet, wo A und B irgend welche Constanten bedeuten, so hat 
man auch 



Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 77 



und erhält daraus sehr leicht 

+ » ■ ;['^») + Kf) + Kt) + • • ■ + K^^')]- 

Durch Übergang zur Grenze für unendlich wachsende n giebt diefs 

MF{t) = ^ . M^(or) 4- 5 . Jl^(^), 
oder zufolge der ursprünglichen Bedeutung von F{x) 

1) My . ^W 4- ^ . ^(^)] = ^ . Jl<^(^) + B ' ^(^')- 
Für A = B = 1 liegt hierin der Satz: Der Mittelwerth von 
der Summe zweier Functionen ist gleich der Summe von 
den Mittelwerthen der einzelnen Functionen; für Ä==l, 
B = — 1 erhält man einen analogen , leicht in Worte zu fassenden 
Satz. 

Auf gleiche Weise, wie Formel 1) abgeleitet wurde, kann man 
auch folgende allgemeinere Formel entwickeln 

2) My,o,(x) + j,o,(x) + . . . + Jk^kia^)] 

= J^ . MO^(x) + ^2 • iM^gW -h . . . + ^fc . W 0t(^), 
welche für jede endliche Anzahl von Summanden gilt. Dagegen darf 
man sie nicht ohne Weiteres auf unendliche Je anwenden, weil der 
Grenzwerth der Summe einer unendlichen Menge von Functionen nicht 
nothwendig gleich der Summe der Grenzwerthe der einzelnen Sum- 
manden zu sein braucht (§. 6). 

Die Formel 2) dient zur Berechnung der Mittelwerthe aller sol- 
chen Functionen, welche sich in Theile zerlegen lassen, deren Mittel- 
werthe schon bekannt sind. So hat man z, B. 

= «8 + 3«2^__|.3„p_ + ^3^. 

Als zweites Beispiel diene die Bestimmung des Mittelwerthes von 
cos^ x: es ist 



78 Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 

Micos^ x) = iH(^ + I cos 2:r) = I + -|-iH(co^ 2x) 
oder 

M{COS^X) = i-{~i. '-^^^^ 

X 

In ähnlicher Weise ergiebt sich 

M{sin^ x) = iH(^ — I cos 2x) = i — ^M{cos 2x) 

sin 2x 

II. Wenn die Function F{x) von ^ = an bis zu irgend einem 
Werthe x = a positiv bleibt, so sind für ^ < a die sämmtlichen 
Werthe 



F{0) 



i^- '(¥>•■■ <"^^') 



positiv, mithin ist es auch ihr arithmetisches Mittel, sowie dessen 
Grenzwerth. Man hat daher den Satz: So lange die Function 
F{x) von^==0 an positiv bleibt, so lange hat smch MF(x) 
einen positiven Werth. 

Hieraus folgt ein sehr brauchbares Theorem, wenn man sich 
F(x) als Differenz zweier Functionen 0{x) und W(x) denkt, also 

F{x) = Q{x) ■— W{x) 
und dem entsprechend 

MF{x) = m^{x) — MX ^{x) 
setzt. Ist nämlich 0(x) > 'F(^), so bleibt F{x) positiv, mithin ist 
MF{x) positiv, und diefs kann nur der Fall sein, wenn M0{x) >- 
MyF(x) ist. Man hat daher den folgenden Satz, der übrigens geo- 
metrisch unmittelbar einleuchtet: wenn von zwei Functionen 
die erste immer gröfsere Werthe als die zweite hat, so 
ist auch ihr Mittelwerth der gröfsere von den Mittel- 
werthen beider Functionen. 

So erhält man z. B. aus der Ungleichung 

1 ^ cos X, 

wenn man beiderseits die Mittelwerthe nimmt 

sin X 

1 :> oder X ;> sin x 

X 

wie man ohnehin weifs. Durch Wiederholung des Verfahrens gelangt 
man zu dem neuen Resultate 

X 1 — cos X ^ .^ , ^^ 

- ^ oder C05 ar >- 1 — • 

2 X 2 

Die nochmalige Bildung der Mittelwerthe giebt 

sin X ^^ 1 . ^ ^^ 



Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 79 

wiederum ist nach demselben Verfahren 

1 — cos X X x^ 

7 "^ 2 ~ 2.3.4 

oder 



X 



cos X <:^ 1 



2 ^ 2.3.4' 

ferner mit Hülfe der Mittelwerthe 

sin X *^ _i '"^^ 

' ~x~ '^ ~~ 2~^~3 "^ 2~. 3 . 4 r'ö 

oder 

x^ x^ 



sin x <^ X — 



2.3 ' 2.3.4.5 
Man übersieht leicht, wie sich dieses einfache Verfahren fortsetzen 
lässt und dafs man hierdurch beliebig viele Ungleichungen ableiten 
kann, die sich wechselweise auf den Cosinus und Sinus beziehen. 

Stellt man zunächst alle für den Cosinus geltenden Ungleichun- 
gen zusammen, so hat man 
cos a: <^ 1 , 

cos X '■:^ 1 — j — ^, 

cos X ^ \ -\- 



1.2^ 1.2.3.4' 



cos X '^ \ 



X 



1 . 


. 2 


. 3 . . . 

x^v 


(4/^)' 


1 


. 2 


. 3 . . . 
a;4p+2 


-(4/^) 



1.2 '1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 
U. S. W. 

d. i. wenn p irgend eine ganze positive Zahl bezeichnet, 

x^ x^ x^v 

cos a: <! 1 1 — . . . . + 

^ 1.2^1.2.34 ^ 

x^ x'^ 

cos X '^ 1 1 — . . . . + 

^ 1.2^1.2.3.4 ^ 



1.2 (4/? + 2) 

Eine Zahl, welche gröfser als S aber kleiner als T ist, kann immer 
unter Form T — q {T — B) dargestellt werden, wenn man unter q 
einen nicht näher bestimmten positiven echten Bruch versteht; daher 
lassen sich die obigen Ungleichungen in folgende Gleichung zusammen- 
ziehen: 

x'^ x^ x^P 

Ö) cos x== 1 h :: . . . . H 

^ 1.2^1.2.3.4 ^ 1 . 2 . . . (4jo) 

QX^P+'^i 

~ l . 2 . . . {4p-\-2)' 



80 Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 

Durch Zusammenstellung aller Ungleichungen, in denen sin x 
vorkommt, hat man ferner 



sin X ^x, 










sin X y> 


x^ 
1.2.3' 








sin ^ < Y ~~ 


.3 




0:5 




1.2.3 ' 1 


. 2 


.3.4, 


. 5 


sin a: > Y — 


.3 




x^ 




1.2.3^1, 


. 2 


.3.4. 


. 5 



1.2.3.4.5.6.7' 



U. S. W. 

oder allgemein ausgedrückt, 

X x^ , x^ 



sin X <^ ~ — + 



1 1.2.3 ' 1.2.3.4.5 



x^P+i 



1 . 2 . 3 . . . (4/? + 1)' 



X X'^ X 

sin X "^ - — ■ - — - — - -j- 



Hieraus folgt die Gleichung 

4) ..V.a: = ^-^-^+....+ - 



1 1.2.3 ' 1.2.3.4.5 

x^P+^ 
~1 . 2 . 3 . . . (4/? -I- 3)' 

2. 3... (4/7+1) 

~~ 1 . 2 . 3 ... (4/7 -I- 3)' 
worin q wieder einen positiven echten Bruch bedeutet, dessen Werth 
nicht näher angegeben werden kann. 

Die Gleichungen 3) und 4) lassen sich zur Berechnung von cos x 
und sin x auf ganz ähnliche Weise benutzen wie die Formel 10) in 
§.17 zur Berechnung der natürlichen Logarithmen. Wir kommen 
später darauf zurück. 

§. 21. 

Geometrische Anwendungen. 

I. Die Quadratur ebener Curven. Wie in §. 14 bezeichne 
y =z F{x) die Gleichung einer ebenen krummen Linie, welche von 
:r = an bis zu irgend einem individuellen Werthe des x reelle und 
endliche, sich stetig ändernde Ordinaten besitzen möge. Unter die- 
ser Voraussetzung schliefsen die Abscisse OM=x (s. Fig. 9), die 



Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 



81 




Fig. 9. Ordinaten OC-=F(0), MP=F(x) und 

das Curvenstück CP eine endliche Fläche 
COMP== V ein, deren Bestimmung wir 
uns zur Aufgabe machen. 

Ein Mittel zur näherungsweisen Lö- 
sung dieses Problemes bietet sich leicht 
dar. Theilt man nämlich die Abscisse 
X in eine grofse Anzahl gleicher Theile 
und errichtet in jedem Theilpunkte eine Ordinate, so zerfällt die 
Fläche COMP in eine gleiche Menge von Streifen, deren Breite um 
so geringer ausfällt, je gröfser die Anzahl jener Theile ist. Mit eini- 
ger Aufopferung von Genauigkeit könnte man jeden solchen Streifen 
als Rechteck ansehen, hiernach seine Fläche berechnen und die 
Summe dieser Flächen als einen Näherungswerth der Fläche COMP 
betrachten. Setzt man die Anzahl der Theile =n, so hat jedes 



Rechteck die Basis 
die Ordinaten 



den Abscissen 0, -, — u. s. w. entsprechen 

n n n 



.vo = m, vt = f[j^, y, = f[~) 

(in - l)x\ 

und diese sind die Höhen der verschiedenen Rechtecke. Demnach 
ergiebt sich für die Summe aller Rechtecksflächen, welche S^ heifsen 
möge, 






-i-zyi+zy2-i- " ' +z Vn-i 



So gewiss nun S^ einen Näherungswerth der gesuchten Fläche 
darstellt, so ungewifs ist der Grad der erreichten Genauigkeit, und 
es bedarf daher noch einer besonderen Untersuchung, ob man durch 
fortwährende Vergröfserung der Theilzahl n sich der Fläche COMP 
beliebig weit nähern kann, oder mit anderen Worten, ob der Unter- 
schied zwischen V und Sn kleiner als jede angebbare Zahl werden 
kann. 

Da wir die Curve als stetig von C nach P verlaufend voraus- 
setzen, so läfst sich die Differenz zweier benachbarten Ordinaten klei- 
ner als jede beliebige Linie machen, weil es durch hinreichende Ver- 
gröfserung der Zahl n jederzeit möglich ist, die Ordinaten einander 

Schlömilch algebr. Analysis. G. Aufl, ß 



82 Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 

beliebig nahe zu rücken. Es sei nun n so grofs gewählt, dafs jede 
der Ordinatendifferenzen 

kleiner als die willkürliche Linie l ist, so trage man l, von dem 
oberen Endpunkte jeder Ordinate aus, zweimal ab, einmal nach oben, 
einmal nach unten, und ziehe durch jeden der erhaltenen Punkte eine 
Parallele zur Abscissenachse. So bezeichnet z. B. in Fig. 10 GG'H'U 
Fig. 10. einen der Streifen aus Fig. 9, ferner ist HI=HK=l 
und IT\\KK' = GG\ Zufolge der Voraussetzung, dafs 
die Ordinatendifferenz G'H' — GH weniger als l beträgt, 
fällt nun der Bogen HH' in das Kechteck IKKT und 
es gilt für die Flächen die Ungleichung 
GG'I'I > GG'H'H > GG'K'K. 
„ ^, Indem wir dieselbe auf alle t^ Streifen anwenden, deren 
Flächen v^, v^, v.^, ... Vn-i heifsen mögen, erhalten 
wir folgende Ungleichungen 



T 


r 




j 


t 


H 


^ 




II 




K 



l(yo+^) 


>''o 


>liy.- 


-i) 


'-(y. + ^) 


>v. 


>7>- 


-i) 


l(y,+^) 


>v. 


> liy. - 


-i) 


^^(2,,_i + i)>i'„_ 


. > -„(yn- 


l 



wir addiren dieselben und bezeichnen mit S^ die Summe der Streifen 
der Fläche COMP; es ist dann 

S,,-\-xX> F> S^ — xk 
oder 

Xx> r— s^> — kx. 
Da nun X, mithin auch Ix beliebig klein gemacht werden kann, so 
folgt, dafs sich der Unterschied zwischen V und 5« unter jede an- 
gebbare Gröfse herabbringen läfst, dafs also V der Grenzwerth ist, 
welchem sich ;S^„ bei unendlich wachsenden n nähert. Zufolge der 
Bedeutung von Sn ergiebt sich hieraus die Formel 

'■="-!l''"'+'©+<l)+--+'(-^)] 



d.i. 



1) F=.r.M\F{x) oder M\F{:f) = -. 



,T 



Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 83 

Die über die Abscisse x stehende Fläche ist also gleich 
dem Rechtecke aus der Abscisse und der mittleren Ordi- 
nate, oder, der Mittelwerth aller auf x stehenden Ordi- 
naten ist die Höhe desjenigen Rechtecks, welches die- 
selbe Basis und gleichen Inhalt mit der übero; liegenden 
Curvenfläche hat. 

Mit einer geringen Modification bleiben alle vorigen Betrachtun- 
gen auch bei einem schiefwinkligen Coordinatensystem anwendbar, des- 
sen Coordinaten Winkel XOY=y sein möge. Die einzelnen Streifen 
"^of "^1} '^2> ••• ^n-1 sind dann Parallelogramme mit den Höhen 

iJq siny, y^ siny, ij^ siny, . . . ijn-i sin y; 

es tritt also überall y sin y an die Stelle von y und daher wird 

2) F=^x .MF{x) ,smy. 

Als Anwendung der Formeln 1) und 2) geben wir die Quadratur der 
Kegelschnitte. 

Die Parabel. Wenn die Scheiteltangente zur Achse der x, die 
Parabelachse zur «/-Achse, und der ganze Parameter = c genommen 
wird, so ist die Gleichung der Parabel 

für die über der Abscisse x stehende Fläche S erhält man folglich 



(x^\ x^ 



was schon Archimedes gefunden hat. 

Die Ellipse. Wie gewöhnlich sei die Gleichung der Curve 



(9 +6) =^ °'^^'- y—aV"'-^'^ 

die über der Abscisse x stehende Fläche ist hiernach 

r= X M\(^ y^a ^a:A =-.xM -\/a^ — xK 

Das Product x . M Va^ — ic^ bedeutet geometrisch die über der- 
selben Abscisse stehende Fläche in einem Kreise, dessen Halbmesser 
= a ist ; diese Fläche besteht aus einem rechtwinkligen Dreiecke mit 
den Katheten x, '\/a^ — x^ und einem Kreissector, dessen Centri- 

X 

Winkel einen Sinus =- besitzt, mithin ist 
a 



X i^ ya^ — x2 = 1 a: Vö^ _ a:2 _|_ |. «^ arcsin -, 

und hieraus folgt für die elliptische Fläche 

F=z X X . - V«^ — x^ -{- X ab arcsin -. 
^ a ^ ^ a 



84 Cap. lY. Die Mittelwerthe der runctionen. 

Den geometrischen Sinn beider Summanden wird man leicht er- 
kennen. 

Für X = a erhält man die Fläche des Ellipsenquadranten 
r=\Tcah; die ganze Ellipsenfläche ist daher == jc ah = n (^aby^ 
d. h. gleich einer Kreisfläche, deren Radius das geometrische Mittel 
zwischen a und & ausmacht. 

Die Hyperbel. Die Asymptoten der Curve nehmen wir zu 
Coordinatenachsen ; ein Scheitel sei C und seine Coordinaten OA = c, 
AC= OB = c; ferner mögen OM und MP die Coordinaten irgend 
eines Hyperbelpunktes bezeichnen; bekanntlich ist dann 

031 , MP=OJ . JC=c^ 
oder wenn AM=x und MP = y gesetzt wird, 

{c -\- jc)y = c^ woraus i/ = — ■ — . 

c -\- X 

Demnach ist die über der Strecke AM stehende Fläche AMPC 

/^ = a: . JH — ; . sin y, 

c -\- X 

WO y den Winkel zwischen den Asymptoten bezeichnet. Die hier vor- 
kommende Mittelgröfse bildet den Grenzwerth des Ausdrucks 
c^fi . 1 1 1 



/i \ c , X 2x in — \) X 

c + - c + — c-\ 

ii n n 

und kann leicht gefunden werden, wenn man für den Augenblick 

X 

- == f oder x = c^ setzt ; der vorstehende Ausdruck verwandelt sich 
dann in 

^ 71 n '^ ) 

und hiervon ist der Grenzwerth 

Für die gesuchte Fläche ergiebt sich nun 

die Fläche F verhält sich demnach zur Fläche des Rhombus OACB 

(x\ 
1 H- - I zur Einheit. 

IL Die Cubatur begrenzter Volumina. Rings um die 
Achse der x liege eine Fläche und es heifse F(x) der Inhalt des 



Cap. ly. Die Mittelwerthe der Functionen. 85 

Querschnittes, welchen eine im Endpunkte des x normal zur ;^;-Achse 
gelegte Ebene mit der Fläche bildet ; wenn nun F{x^ stetig und end- 
lich bleibt von x = ^ bis zu irgend einem individuellen Werthe des 
X, so umschliefst die Fläche nebst den beiden Querschnitten F(0) 
und Fix) einen körperlichen Raum von endlicher Gröfse, dessen Be- 
stimmung wir uns zur Aufgabe machen. 

Um zunächst einen Näherungswerth für das gesuchte Volumen 
zu erhalten, denken wir uns die Strecke x in n gleiche Theile getheilt 
und durch jeden Theilpunkt eine Ebene normal zu x gelegt; hier- 
durch zerfällt das Volumen in n Schichten, von denen jede die Dicke 

X 

oder Höhe - besitzt. Betrachten wir diese Schichten als Cylinder, 
deren Querschnitte der Reihe nach sind 

* '©• <¥)■■■■ '(^"^•). 

SO giebt die Summe jener n Cylinder einen Näherungswerth 

Zufolge der Voraussetzung, dafs sich die Querschnitte stetig 
ändern, kann die Differenz zweier benachbarten Querschnitte kleiner 
als jede beliebig kleine Fläche l gemacht werden; letztere nehmen 
wir willkürlich und denken sie uns ringförmig um die einzelnen 
Querschnitte gelegt, einmal nach Aufsen (additiv), das andere Mal 
nach Innen (subtractiv). Im ersten Falle lassen sich über den um 
l vermehrten Querschnitten Cylinder von der gemeinschaftlichen Höhe 

X 

- bilden, welche die Schichten des Volumens einschliefsen , mithin 
n 

gröfser als letztere sind; im zweiten Falle erhält man zu kleine Cy- 
linder. Die in Abschnitt I. aufgestellten Ungleichungen bleiben nun 
dieselben, wenn man unter y^, y^, 2/2^ •• • Vn-i die Flächen der ein- 
zelnen Querschnitte, unter Vq, v^, v^, ... Vn-i die Volumina der 
Schichten und unter V das gesuchte Volumen versteht. Man gelangt 
daher zu dem analogen Resultate 

F = x .MF{x) 
d.h. das Volumen ist das Product aus seiner Höhe in den 
Mittelwerth aller seiner Querschnitte. Als Beispiele mögen 
die Flächen zweiten Grades dienen. 

Das Ellipsoid. Die Gleichung dieser Fläche ist bekanntlich 



er + er + er = " 



86 Cap. lY. Die Mittelwerthe der Functionen. 

der Querschnitt am Ende des x , senkrecht zur Achse der x gelegt, 
bildet eine Ellipse mit den Halbachsen 

-yfl2 _j:2 und -y«^ — a:^ 



c 
a ' a 

mithin ist die Querschnittfläche 



F(a:) = ^J(a2_a:2), 



hieraus ergiebt sich 



und diefs ist das Volumen einer Zone, welche längs der ^r- Achse die 
Höhe oder Dicke x besitzt. Für x==a geht V in das Volumen des 
halben Ellipsoides == | ^ abc über ; das Volumen des ganzen Ellipsoi- 
des ist daher ==^n abc d. h. gleich dem Inhalte einer Kugel, welche 
das geometrische Mittel aus a, h und c zum Radius hat. 

Das einfache Hyperboloid, dessen Gleichung 



- ©■ + (!)• + 0) " = 



sein möge, wird von einer im Endpunkte des x senkrecht zu x ge- 
legten Ebene in einer Ellipse geschnitten, deren Halbachsen sind 

-l/ö2 -j_ a:2 und ^y^iT^T^. 
Diefs giebt 

in dem speciellen Falle x = a folgt hieraus , dafs die Zone von der 
Höhe a den nämlichen Inhalt besitzt, wie ein aus den Halbachsen 
a, hy c construirtes EUipsoid. 

Das getheilte Hyperboloid. Verlegen wir den Coordinaten- 
anfang nach einem Scheitel der Fläche, so haben wir als Gleichung 
der letzteren 



('^r-(9"-0)"='' 



Der Querschnitt am Ende des x ist eine Ellipse mit den Halbachsen 
b 



\/2ax-{-x'^ und -y^ax 



mithin ist das Volumen einer Kappe von der Höhe x 

bc bc 

r= xn 2 M{2ax -\- x^) = 7t — (ax^ + ^x^). 

Für x = a erhält man V=^7t abc wie beim EUipsoid. 



Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 87 

Das elliptische Paraboloid hat zur Gleichung 

^ + — = 2 x, 
h c 

und der Querschnitt ist eine Ellipse mit den Halbachsen '\^2hx und 

'^2cx, daher 

F=x .27t -\/J^ . M{x) == 7t yb^ . .r2 . 
Der Inhalt der Kappe von der Höhe x beträgt also die Hälfte von 
dem Volumen des umschriebenen ellyptischen Cylinders. 

Das hyperbolische Paraboloid mag durch die Gleichung 

^ = 22r 

a 

dargestellt werden. Sein Querschnitt ist eine Parabel, von welcher 

die ^^-Ebene ein begrenztes Stück abschneidet; betrachten wir nur 

das über der a;«/-Ebene liegende Volumen, so ist 

mithin 

r=x . 2 JiLin(:r3)= 1 yXxK 

Man bemerkt leicht, dafs dieses Volumen dem Drittheil vom Inhalte 
des umschriebenen parabolischen Cylinders gleichkommt. 

§. 22. 

Näherungsweise Bestimmung der Mittelwerthe. 

Wenn es nicht gelingen will, den Grenz werth zu ermitteln, Avel- 
chem sich der Ausdruck 

bei unendlich wachsenden n nähert, so bleibt nichts übrig als die 
wirkliche numerische Berechnung desselben. Letztere kann auf ver- 
schiedene Weisen ausgeführt werden, und um diese anschaulich zu 
machen, denken wir uns die Sache geometrisch, indem wir nicht den 
Mittel werth MF{x), sondern die ebene Fläche V=x.MF{x) be- 
rechnen, woraus MF{x) immer wieder hergeleitet werden kann. 
Setzen wir wie früher 



-=ö 



^(0) = .o. <;)=... <?)=. 



2 ' 



und benutzen das Zeichen /, um anzudeuten, dafs zwei Gröfsen 
nahezu gleich sind, so haben wir als erste Näherungsformel 

1) ^7^ %0 + Vi + ^2 + //3 H- • • • + yn-l\ 

und hierbei werden nach §. 21, I die einzelnen Flächenstreifen Vq^ 



88 Cap. IV. Die Mittelwerthe der Functionen. 

v^, v.^^ ... Vn^i als Rechtecke betrachtet. Durch einzelne Beispiele 
von quadrirbaren Curven überzeugt man sich leicht, dafs die Formel 
nur dann eine erhebliche Genauigkeit bietet, wenn n sehr grofs ge- 
nommen wird, und da hierin eine nicht geringe Unbequemlichkeit 
liegt, so entsteht die Frage, ob sich nicht Formeln aufstellen lassen, 
die eine raschere Annäherung gewähren d. h. schon bei mäfsigen n 
ein ziemlich genaues Resultat liefern. 

Es erhellt nun unmittelbar, dafs man dem wahren Werthe von V 
näher kommen wird, wenn man die einzelnen Streifen als Trapeze 
ansieht, was im Grunde darauf hinausläuft, einen kleinen Bogen mit 
seiner Sehne zu verwechseln. Bei dieser Berechnungsweise ist 



r^ö 



Uo 



ll-^öl^ 



2/! 



y-. 



+ ... + 6 



!/n-l + Vn 



2 ' 2 • 2 

oder durch Vereinigung der gleichartigen Gröfsen 

2) ^'/<5(|7/(j +2/i +2/2 ■+■ • • • +2/«-i+lyn). 

Ein noch genaueres Resultat läfst sich dadurch erreichen, dafs 
man die Bögen, welche drei aufeinanderfolgende Ordinatenendpunkte 
verbinden, als Parabelbögen ansieht und sich demnach die Fläche aus 
Streifen zusammengesetzt denkt, welche für sich betrachtet von Pa- 
rabeln begrenzt werden. Zu einer für diese Voraussetzung geltende 
Formel gelangt man auf folgendem Wege. 

Der Parameter einer gewöhnlichen Parabel sei c, die Scheitel- 
tangente zur ::c-Achse und die Parabelachse zur ^/-Achse genommen; 
die Gleichung der Curve ist dann 

und die über der Abscisse x stehende Fläche 

3c 
Wenden wir diefs auf die Figur an, worin CY die Parabelachse, C 



Fig. 11. 





Y 






J 


/;» 






I 


■/ 




B 


C 


L 


L 




V X 
















der Scheitel und 

CL = Xy LL' = L'L' 

sein möge, so haben wir 

Fläche CLP 



Fläche C/."P' = 



X" 

{X 



= ö 



28y 



3c 



M M' M" 



Fl. 



3c 



mithin durch Subtraction der kleineren 
Fläche von der gröfseren 

^ . 6i:2-}-12ir5-h8d2 



Cap. IV. Die Mittelwerthe der Eunctionen. 89 

wofür man schreiben kann 

Fl. .m>= is l^-l + 4 i^ + ^^+y-^]. 

Andererseits ist, wenn die Ordinaten LP, LP', L"P" der Reihe 
nach mit y , y , y" bezeichnet werden, 

.r2 , (.r + 6)2 „ (o: 4- 2^)2 

^ = T' 2/=—-^—, y = -— 

und vermöge dieser Gleichungen erhält die vorige Formel die elegante 

Gestalt 

Fl. LL"P"P = ^8{y-{-4y' + i/y 

Um das gewonnene Resultat zu verallgemeinern, legen wir durch 

einen willkürlichen Punkt Parallelen zu OX und OY, betrachten 

dieselben als neue Coordinatenachsen und setzen 

OJ==:a, OB = b, 

MP = ri, M'P' = V , M"P" = Yi". 

Zwischen den früheren und den jetzigen Ordinaten finden die Glei- 
chungen statt 

ferner besteht die Fläche MM"P"P aus dem Rechtecke LMM"L" 
und der vorhin berechneten Fläche LL"P"F, mithin ist 

Fläche MM"FP = 25^ + -J ^ [t] — /> + 4 (V ~ *) + V — ^J 
und bei gehöriger Zusammenziehung 

Fl. MM'P'P =^8{n-\- 4ri' 4- ri"). 
Man kann diese Betrachtung leicht umkehren. Sind nämlich 
drei Punkte P, P\ P" durch die Coordinaten f und iq, ^-{-d und rj ^ 
^-\-2ö und if bestimmt , wobei alle fünf Gröfsen willkürlich blei- 
ben, so läfst sich durch jene drei Punkte immer eine Parabel legen, 
deren Achse parallel zu den Ordinaten ist. Als Gleichung dieser 
Parabel hat man nämlich 

c 

und da die vorstehende Gleichung richtig bleiben mufs, wenn man 
der Reihe nach X = ^, ^-\-ö, ^ + 2(5, r=?^, rj , rj' setzt, so 
ergeben sich drei Bedingungsgleichungen, aus denen die Scheitel- 
coordinaten a und h sowie der Parameter c bestimmt werden können. 
Hierin liegt folgender Satz: wenn durch die Endpunkte dreier, um 
je d von einander entfernter Ordinaten yj^ rj\ rj" eine Parabel gelegt 
wird, deren Achse den Ordinaten parallel ist, so hat die zwischen 
rj und rj" enthaltene parabolische Fläche den Inhalt 



90 Cap. ly. Die Mittelwerthe der Functionen. 

Nach dieser Vorbereitung kehren wir zu der allgemeinen Aufgabe 
der Berechnung von V zurück. Nehmen wir für n eine gerade Zahl, 
so können wir die Summe von je zwei aufeinander folgenden Streifen 
Vq und Vi, V2 und v^ u. s. w. näherungsweis als eine parabolische 
Fläche der vorigen Art betrachten und haben dann 

^i^iHVo +4^1 +2/2) 
-\-iHy2 +42/3 +2/4) 

+ iHy, +42/5 +y,) 



oder bei gehöriger Zusammenziehung 

. 3) F^i8[y,+y„-{-4(y^-{-y,-\-y,-{-' - • + 2/n-i) 

+ 2 Cva + ^4 -1- ?/6 + . . . + yn-2)']. 
In der Praxis ist diese durch erhebliche Genauigkeit sich aus- 
zeichnende Formel unter dem Namen der Simpson'schen Regel be- 
kannt. 

Um ein Beispiel zu haben, bei welchem sich die Gröfse der Ap- 
proximation direct beurtheilen läfst, nehmen wir 

die über der Abscisse x stehende Fläche ist dann 

r = X , Mi = arctan x 

1 4- ^ 
und speciell für x=^l wird 

F=\n = 0,78539816 ... 

Die einzelnen Ordinaten sind für a; = 1 

1 1 



2/0 = 1» 2/] 



1 + 52 



©"' 



1 +(2Ä)2 



1 + 



u. s. w. 
oder wenn wir ^ == 10 , mithin ö == ^-^ setzen, 

y^ =1 y^= 0,9900990, y^ = 0,9615384, 

y^^ = 0,5; ^3 = 0,9174312, y^ = 0,8620690, 

2/5 = 0,8 , y^ = 0,7352940, 

y^ = 0,6711409, ^8 = 0,6097561, 

y^ = 0,5524861. 

Zufolge dieser Werthe erhält man nach Nr. 1) 

^ / tV (//o + ^1 + 2/2 + 2/3 + • • • + 2/9) 
^0,70998147, 



Cap. V. Die unendlichen Reihen. 91 

was von dem angegebenen genauen Werthe noch bedeutend abweicht. 
Die Formel 2) giebt 

^/ tV (y2/o -h ^1 + .^2 + 2/3 -f- • • • + ^9 + 1^1 o) 
/ 0,78498147, 

wo schon eine bessere Übereinstimmung vorhanden ist. Mittelst der 

Simpson'schen Regel findet man 

+ 2(2/2 +y4 + ...+y8)] 

/ 0,78539813, 
welcher Werth dem genauen Betrage sehr nahe kommt. 



Capitel V. 

Die unendlichen Reihen. 

§. 23. 

Entstehung und Eintheilung der unendlichen Reihen. 

Bezeichnet q>im) eine gegebene Function der willkürlichen gan- 
zen positiven Zahl m, so bilden die einzelnen Functionswerthe 

qp(0), cf(l), cp{2), (p(3), . . , (p{n^l) 
eine sogenannte endliche Reihe, welche im vorliegenden Falle 
aus n Gliedern (Termen) besteht ; die Summe derselben erhält offen- 
bar verschiedene Werthe, je nachdem man n gröfser oder kleiner 
nimmt, sie ist daher eine gewisse Function von n, welche f(n) heifsen 
möge, nämlich 

fin) == gp(0) 4- cp{\) + 9)(2) + . . . + <5p(;2 _ 1). 
Lassen wir jetzt die Gliederanzahl n ins Unendliche wachsen, so 
wird die endliche Reihe zu einer unendlichen, und gleichzeitig 
entsteht die Frage nach dem Grenzwerthe , welchem sich f{n) bei 
unendlich werdenden n nähert. In dieser Beziehung sind nur zwei 
Fälle möglich ; entweder ist Lim f(n) eine bestimmte endliche Gröfse 
S oder es ist keine derartige Gröfse. Im ersten Falle heilst die un- 
endliche Reihe 

9'(0) + Kl) + K2) + 9'(3)+-... 

convergent und S ihre Summe; im zweiten Falle nennt man die 
Reihe divergent, und selbstverständlich kann dann von einer 
Summe derselben nicht die Rede sein. 

In dem Vorigen liegt die ursprünglichste, wenn auch nicht im- 
mer anwendbare Methode zur Summirung unendlicher Reihen; ge- 



92 Cap. Y. Die unendlichen Eeihen. 

lingt es nämlich, die Summe der n ersten Reihen glieder als Function 
von n darzustellen , so bedarf es nur der Aufsuchung des Grenzwer- 
thes, welchem sich diese Summe bei unendlich wachsenden n nähert. 
Ein paar Beispiele mögen das Verfahren erläutern. 

a. Für q){m) = ß"^ hat man folgende Gleichung 

wo es auf die Bestimmung von Lim /?" ankommt. Ist nun ß ein po- 
sitiver oder negativer echter Bruch , so wird Lim /?" = , folglich 

Für /? = -]- 1 ist die Summe der 9^- gliederigen Keihe = n, mithin 
die Summe der unendlichen Reihe =00; für ß '> 1 beträgt die 
Summe der »^- gliederigen Reihe mehr als n und wächst daher um 
so mehr ins Unendliche. Im Falle ß = — 1 ist die Summe der 
Reihe 

1 — 1 + 1-1+. ...+(— 1)«- 
= oder = -f- 1 , jenachdem n gerade oder ungerade genommen 
wird, und diese Summe nähert sich bei unendlich wachsenden n kei- 
ner bestimmten Grenze; für ß <c — 1 wächst /:?" ins Unendliche und 
wechselt dabei fortwährend sein Zeichen. Aus diesen Bemerkungen 
geht hervor, dafs 

nur unter der Bedingung — 1 <C ß <C -\- 1 einen bestimmten end- 
lichen Werth hat; die unendliche Reihe 

convergirt daher einzig und allein in dem Falle eines echt gebroche- 
nen ß und hat dann :j ^ zur Summe; in jedem andern Falle ist 

die Reihe divergent*). 



*) Unendliche Reihen findet man zuerst angewendet von Wallis {Arithmetica in- 
finitorum, 1655, I, p. 214), Mercator {Logarithmotechnia, Londini 1668), Gregory 
(Exercüationes geometricae , Londini 1668) und Newton (Methodus ßuxionum et sei-ie- 
rum infinitarum; opuse. T. I , p. 150). Der Unterschied zwischen convergireuden und 
divergirenden Reihen wurde bis auf Cauchy (Cours d' Analyse algebr. Paris 1821) 
wenig beachtet, man hielt die divergirenden Reihen zwar für numerisch unbrauchbar, 
aber doch für analytisch richtig (vergl. Euler, Introductio in Anal, inßn.) ; indessen 
hat auch diese Ansicht durch neuere Untersuchungen (namentlich über die Functionen 
complexer Variabelen) alle Berechtigung verloren. 



Cap. V. Die unendlichen Eeilien. 93 

b. Setzt man in der leicht beweisbaren identischen Gleichung 

ß{ß + l){ß-i-2) . . . (^ß^m- l) __ /3(/3 + l)(^+2) . . . {ß-\-m) 
a(a + 1) (a + 2) . . . {u -}- m — 1) a(a + 1) (a + 2) . . . (a + m 
^a--ß /3(^+l)(^ + 2 . . . ißJ^m-l) 
« (« + l)(« + 2)(« + 3)...(« + //^) 

nacheinander m=l, 2, 3, . . . {n — 1) und addirt Alles, so erhält 

man 

ß ß(ß+l){ß-j-2) .... {ß-i-n-l) 



V 



cc \_cc 



a a(« -|- 1) (a + 2) . . . . (a + /^ ~ 1) 

3(^5+1) , ^(ß 4- 1) (/5 + 2) 



+ 



_j_l ' («4_i)(«4_2) ' («+l)(« + 2)(« + 3) 
, ß{ß + l){ß + 2).,,,{ß-{-n 



{ß-{-n- 2) n 
•.•(«+^-l)J 



' (a + i)(a + 2)(« + 3) 
wobei die eingeklammerte Reihe n — 1 Glieder zählt. Bei unendlich 
wachsenden n kommt es linker Hand auf den Grenzwerth von 

ß iß-hl){ß-{-2) .... (ß + n- l) 
«(« + 1) (« + 2) . . . . (a + 72 — l) 

an, und da man augenblicklich übersieht, dafs für a = ß der vor- 
liegende Bruch constant = 1 bleibt , so sind noch die Fälle a y- ß 
und a < /? zu untersuchen, wobei a und ß immer als positiv voraus- 
gesetzt werden mögen. 

Aus dem ersten Theile der Ungleichung 7) in §. 7 folgt unter 
der Voraussetzung ncJ <C 1 



(1 + öY 

mithin ist für n=p und durch Erhebung auf die g^^ Potenz, wobei 
p und q ganze positive Zahlen bedeuten mögen, 

Giebt man dem zweiten Theile derselben Ungleichung die Form 

l+;z5<(l+6r, 
setzt n^=ci und erhebt auf die 2?^^ Potenz, so erhält man 

3) (1 + qh)^ < (1 + 6/^. 

Das Product der Ungleichungen 2) und 3) ist 
iy—p^f (l + ^(5/<l, /^5<1; 

für ö = - und durch Ausziehung der ^^^" Wurzel folgt weiter 



V 
(l — ^z) (l-f-^)?<l, ^^<1, 



oder für - = ^t 



94 Cap. Y. Die unendlichen Eeihen. 

4) (i+^)(*<^ p^^l, 

i flZ 

WO nun f.t irgend einen positiven rationalen Bruch bedeutet. Da 
jede irrationale Zahl als Grenzwerth eines rationalen Bruches be- 
trachtet werden kann, dessen Zähler und Nenner unendlich wachsen, 
so ist leicht zu sehen, dafs die Ungleichung 4) auch für irrationale 
f^i mithin für alle positiven f.i gültig bleibt. 

Nimmt man in No. 4) ^ = - und u = a — h, so ist die Bedin- 

gung ^-0<1 d.h. <cl immer erfüllt wenn «>Z>>0 ist, 

und es wird 

'« + 1\°-* a 



C-^)' 



<, 



oder umgekehrt 

5) -<(^y"- 

'' ö \a -j~ 1^ 

Sind nun cc und ß Gröfsen, welche der Bedingung a > /? > genü- 
gen, so gelten nach No. 5) die Ungleichungen 



ß 
o<:i- < 



ß-\-2 



U + 3J ' 



a -\- 71 — 1 V. cc-f- n J 

aus deren Multiplication entsteht 

^ a(a -f- 1) (a + 2) . . . (a + « — 1) ^ V« + wj 

Bei unendlich wachsenden n convergirt -37— gegen die Null, und 

wegen des positiven Exponenten a — jS nähert sich auch die rechts 
stehende Potenz der Grenze Null; diefs giebt 

Für n = a wird hiernach aus der Gleichung 1) 

ß ^ ß . W+^) I Ptf+l)(^ + 2) 

u — ß « _!- 1 "t- (c + 1) (a + 2) "^ (a + 1) (« + 2) (« + 3) "^ • • • • 

oder auch, wenn man beiderseits die Einheit hinzufügt und a=a — 1 
/? = & setzt, 





a 


— 1 


Cap. 


T. 

+ 


Die unendlichen Reihen. 

b b(b + \) b(b-\-\)(b+2) 
a~^ a{a-\-l) ' a{a -|- 1) (« -|- 2) 
ö — l>/>>0. 


a 


— 


b — 



95 

6) 

Der zweite Fall a <c ß kann sehr leicht auf den ersten zurück- 
geführt werden, indem man die Gleichung 

ft/3 + 1) . . . (/3 + ;z — 1) l 

ft(a 4- 1) ... {n -\- n — 1) (v((x -f- 1) . . . (g -j- /? — 1 ) 

«^ + 1) . . . (^ + /^ - T) 
beachtet; wegen ß "^ cc nähert sich der im Nenner rechter Hand 
stehende Bruch der Grenze Null, der Bruch linker Hand wächst 
daher ins Unendliche und es wird 

ß ß{ß+l) , W+l)(^ + 2) 



«+1 ' (,,+ l)(«-|-2) ' (a + l)(a + 2)(« + 3) ' 

ebenso auch 

oo-l , ^ , K^ + 1) , ^(^+l)(^ + 2) 

"^ö"^fl(fl+ 1)"^ ö(fl + l)(fl+2) "^ •••• 
Ä > a — 1 > 0. 

Unter der Voraussetzung, dafs a — 1 und h positiv sind, convergirt 
oder divergirt also die Reihe 

b bjb^l) b{b-^l)(b-{^2) 
"T" fl "^ fl(fl _{_ 1) "^ rt(a _|. 1) (fl _|- 2) "^ • • * •' 
jenachdem a — 1 mehr oder weniger als h beträgt. 

Der noch übrige dritte Fall a — 1 = & oder a = ß verlangt eine 
besondere Untersuchung, weil dann die Gleichung 1) übergeht in 

woraus sich die Summe der Reihe nicht finden läfst. Setzt man da- 
gegen in der aus §.17, No. 3) bekannten Ungleichung 

z = ^r—, ? SO erhält man zunächst 

o-\- m 

l{b ^m) — [{bJrm^l)':^ ^— > l{b + w + 1) — l{b + m) 

mithin für m = 1, 2, 3, . . . (w — 1) und durch Addition aller Un- 
gleichungen 

l{b + 7i—l)^lb 



^ + l'^4-2'Ä4-3' '/> + ;? — 1 

l{b + n) - /(Ä + 1). 

Hieraus ersieht man sofort, dals 



96 Cap. V. Die unendlichen Reihen. 

1 1 . 1 



oo 



wird, mithin auch 

b h h 

ist. Die in No. 5) erwähnte Eeihe divergirt demnach in dem Falle 
a — 1 = 1 oder a = 6 + 1. 

§. 24. 

Das Princip der Reihenvergleichung. 

Die im vorigen Paragraphen benutzte Methode zur Bestimmung 
der Summe einer unendlichen Keihe kann nur selten angewendet wer- 
den, und es wird sich im Verlaufe unserer Untersuchungen öfter zei- 
gen, dafs es gewöhnlich viel leichter ist, eine Summenformel für die 
ganze unendliche Reihe als für ihre n ersten Glieder aufzustellen. 
Wird nun eine unendliche Reihe gegeben und die Aufgabe ihrer Sum- 
mirung gestellt, so mufs erst die Vorfrage erledigt werden, ob die 
gesuchte Summe überhaupt existirt, denn aufserdem liefe man Ge- 
fahr, viel Zeit und Mühe an die Auffindung einer Gröfse zu ver- 
schwenden, die sich gar nicht bestimmen iäfst. Nach dem anfangs 
Gesagten ist jene Vorfrage meistens nicht direct beantwortbar, man 
mufs sich daher nach anderweiten Kennzeichen umsehen, mittelst 
deren die Convergenz oder Divergenz einer unendlichen Reihe be- 
urtheilt werden kann. 

Eine der Convergenzbedingungen ist leicht zu bemerken; sie be- 
steht darin, dafs jedes Glied der Reihe 

^0» ^1» ^^2' ^3> ^4' .... 

gröfser als sein Nachfolger sein und dafs diese Abnahme ins Unend- 
liche fortgehen d. h. Lim ^f„ = sein mufs. Denn wären alle Glieder 
gröfser als eine angebbare Zahl £, so hätte man bei positiven Gliedern 

und da die Summe der rechter Hand vorkommenden Reihe jede end- 
liche Zahl übersteigt, so findet dieselbe Eigenschaft links um so mehr 
statt d. h. die Reihe u^ -{-u^-\- u^-\- etc. divergirt. 

Obschon die genannte Bedingung nothwendig ist, so erweist sie 
sich, wenigstens bei durchaus positiven Gliedern, doch nicht als hin- 
reichend, wie man leicht an Beispielen sehen kann. Für 

«0 = 0, u,=-^^, u,^±, «3=:jJ|. •••• 

ist zwar 



Cap. V. Die unendlichen Reihen. 97 

Lim u^ == Lim --=. = 
aber gleichwohl divergirt die unendliche Reihe 

Denn bezeiclinen wir mit S,, die Summe ihrer w ersten Glieder, so ist 

" yT^y2^y3^ ^y» 

"]/// -yn '\Jn y/i 



d. h. 



S„ > n -- oder S„ > y;2, 

y/^ 



woraus Lim S,^ = cxd, also die Divergenz der genannten Reihe folgt. 
Ein zweites Beispiel der Art bietet die sogenannte harmonische 
Reihe 



^ + i + 4 + i-f-^ 



Zufolge der Ungleichung 6) im vorigen Paragraphen liegt nämlich 
die Summe 

. 1 



i + i + i + ...-T-- 



zwischen In und l(n + 1) — ^2, und daraus erhellt sofort die Diver- 
genz der erwähnten Reihe. 

Erscheinungen dieser Art weisen darauf hin, dafs es zur Conver- 
genz solcher Reihen, die nur positive Glieder enthalten, noch anderer 
Bedingungen bedarf als der unendlichen Abnahme der Reihenglieder. 
Um diese Bedingungen zu entwickeln, benutzen wir das folgende un- 
mittelbar klare Princip: „wenn die beiden Reihen 

und 

u^ H-«/i H-?^2 4-'^3 + • • • 
aus nur positiven Gliedern bestehen und man schon weifs, dafs die 
erste derselben convergirt, so convergirt die zweite ebenfalls und 
zwar stärker, wenn 

«^0 < 'o » ^'i < ^ ' ^^2 < ^2 etc. 
divergirt dagegen die erste, so ist diefs um so mehr mit der zweiten 
der Fall, wenn die Ungleichungen 

^0 > 'o ' 2^1 > ^ . «^2 > ^2 etc. 
stattfinden." So erkennt man z. B. augenblicklich die Convergenz der 
Reihe 

Schlömilch al^ebr. Analysis. G. Aufl. 'j 



98 Cap. V. Die unendlichen Reihen. 

—^- + -^— + -'— + ... 

21 + 1^22 + 1^23 + 1^ 
weil ihre Glieder kleiner sind als die der folgenden 

-+-+-+ 

21 ~22 ~ 23 ~ * ' * 

welche convergirt und die Einheit zur Summe hat. 

Das soeben aufgestellte Princip ist noch einer Erweiterung fähig, 
wenn man bemerkt, dafs eine convergente unendliche Reihe und eine 
endliche Reihe zusammen wieder eine convergente Reihe bilden, und 
dafs ebenso eine divergente Reihe mit einer endlichen Reihe vereinigt 
eine divergente Reihe giebt. Wäre nämlich, wenn auch nicht von 
Anfang an, Uq <C t^^ u^ <C ti etc., so doch, wenigstens von einer 
bestimmten angebbaren Stelle an, 

so convergirt die Reihe 

Uk + Uk+l + i^k+2 + . . . 

wenn dasselbe mit der Reihe 

h + tk+l + 4+2 + • • • 

der Fall ist, und wenn man die endliche Summe von Uk + Uk+i + etc. 
mit der endlichen Reihe Uq -{-Ui-{- . . . Uk-i vereinigt, so folgt, dafs 
jetzt auch die Reihe 

?/0 + ?/j + Z/g + . . . + Wt_i + Uk + Uk+1 + . . . 

convergent ist. Ebenso leicht kann man sich tiberzeugen, dafs diese 
Reihe divergirt, wenn von einer gewissen Stelle an Uk'> tk, Uk+i^* 
^ 4+1 etc. und die Reihe tk + 4+i + etc. eine divergente ist. 

Zu einer anderen für die Anwendung bequemeren Ausdrucksweise 
dieses Principes der Reihenvergleichung gelangt man durch folgende 
Schlüsse. Es sei 

fk 4+1 4+2 

SO findet man sehr leicht 

4+1== fk • ^1 

4+2 == 4+1 . ^2 ^^ ^'^ • ^1^2 

4+3 = 4+2 . A.3 =;= 4 • ^i^2^3 

u. s. w. 
mithin 

2) 4 + 4+1 + 4+2 H- 4+3 + • • • 

= /,(l+A, +^,^2 +^1^2^3-1-.. •) 
Bezeichnet man entsprechend wie folgt 



Cap. V. Die unendlichen Eeihen. 99 

SO ergiebt sich durch dieselben Schlüsse wie vorhin 

4) uk + Uk+i + Uk-^2 + ?'fr+3 H- . • • 

== Uk (14-^^+ (i^fA^ 4- f4<^^2^3 + . . .) 

Wenn nun zwischen den mit f^i und l bezeichneten Quotienten fol- 
gende Beziehungen stattfinden: 

5) (i^^X^, f*2<^^2» ^3<^3> ••• 

so ist auch ^t^i^fg <^^i^2» 1^11^21^3 <I^i^2^3 ^- s. f., ferner 

1 + f*l + f*lf*2 H- /^lf*2f*3 + • • • 
<14-A, +A,^2 +^1^2^3 +••• 

d. i. vermöge der Gleichungen 2) und 4) 

— K + ^k+l 4- f^k+2 + Wfc+3 + . . .) 

<^ :r- (^fc H~ ^k+i + 4+2 + ^fr+3 + • . .) 
fk 

oder durch beiderseitige Multiplication mit Uk 

Uk + ?'it+l + «'Jt+2 + Wjt+3 + • • • 
<^ -7- (^fc + ^fr+1 + ^fc+2 + ^fc+3 + • • •) 

Im Fall die Reihe i^o + ^1 + ^2 "H ^^c. convergirt, ist die Summe von 
^it + 4+i + 4+2+ etc. eine endliche Gröfse, und da jetzt rechter 
Hand in der obigen Ungleichung eine endliche Gröfse steht, so mufs 
die Summe von Uk + wt+i + W)t+2 + etc. ebenfalls endlich sein; das- 
selbe gilt dann auch von der Reihe Uq -\- u^ -\- u^ +..., welche 
also unter den gemachten Voraussetzungen convergirt. Setzt man 
für die Gröfsen l und (.i ihre Werthe aus 1) und 3), so gehen die 
Ungleichungen 5) in die folgenden über: 

^fe+l ^ 4+1 ^A:-f2 ^ 4+2 -. 

Uk h Uk+1 /jt+1 

und es läfst sich nunmehr folgendes Theorem aufstellen: 
Aus der Convergenz der Reihe 

^0 + ^ -4- ^2 H- ^3 + • • • 
folgt die Convergenz der anderweiten Reihe 

«^0+^1 +^2 +^3 + • • • 
sobald der Quotient w„+j : w„ von irgend einer be- 
stimmten Stelle an kleiner bleibt als der entspre- 
chende Quotient ^„+1 : ^„. 

Durch ganz ähnliche Schlüsse wie vorhin überzeugt man sich von 
der Richtigkeit des analogen Satzes: 



100 Cap. Y. Die unendlichen Eeilien. 

Aus der Divergenz der Reihe 

folgt die Divergenz der anderweiten Reihe 

U^ H-?/l +?/2 +?/3 + . . . 

sobald der Quotient t*„+, : u^ von irgend einer be- 
stimmten Stelle an gröfser bleibt als der entspre- 
chende Quotient tn^^ : t^. 
Von diesem wichtigen Doppelsatze wollen wir nun die haupt- 
sächlichsten Anwendungen vornehmen; sie bestehen darin, dafs wir 
die gegebene Reihe 

u^ ^u^ +//2 +?/3 + • • 
mit solchen Reihen vergleichen, deren Convergenz oder Divergenz 
bereits entschieden ist. 

§.25. 

Vergleichung einer beliebigen Reihe mit der geometrischen Progi'ession. 

Von derjenigen Reihe, welche entsteht, wenn man eine geome- 
trische Progression ins Unendliche fortsetzt, nämlich 

1) l+|3 + /32-f-ß3_|_ß4 _!_.... 

kennen wir nach §. 23 die Bedingungen der Convergenz oder Diver- 
genz ; jene findet für /? < 1 , diese für /? > 1 statt. Wenden wir das 
am Ende des vorigen Paragraphen entwickelte Theorem hier an, indem 
wir die Reihe 1) an die Stelle der dortigen Reihe ^o + ^i + ^2 "+" ^tc. 
setzen, so ist ^„+, : ^„ = /^"'*"^ : ß'' = ß, mithin convergirt die Reihe 

2) «^0 +"1 +^2+«^3 + 

sobald von einer bestimmten Stelle an die Ungleichung 

stattfindet und zugleich die Reihe 1) convergirt d. h. ß <1 ist ; die 
Convergenz der Reihe 2) wird also durch die Bedingung 

^<l 

Uk 

bestimmt. Auf ganz analoge Weise ergiebt sich, dafs die Ungleichung 

Uk 

für die Divergenz der Reihe entscheidend ist. Die Reihe 2) conver- 
girt oder divergirt also, jenachdem der Quotient ^*„+^ : u^ von einer 
bestimmten Stelle ^ == ä; an kleiner oder gröfser als die Einheit bleibt. 
Zu einer für die Anwendung bequemeren Ausdrucksweise dieses 
Satzes führt folgende Bemerkung. Es heifse a der Grenzwerth, wel- 



Cap. Y. Die unendliclien Eeilien. 101 

chem sich der Quotient t*„+, : u^ bei unendlich wachsenden n nähert, 
d. h. es sei 

wir unterscheiden dann die beiden Fälle a <d und « > 1. Wenn 
« < 1 ist, so denke man sich zwischen a und 1 den beliebigen ech- 
ten Bruch ß eingeschaltet {a <cß <.!); der Quotient u„+^ : u,^ nähert 
sich dann einer Grenze, welche unter ß liegt, und diefs ist auf keine 
andere Weise möglich, als dafs jener Quotient von irgend einer Stelle 
^ = ^ an kleiner wird und kleiner bleibt als ß. Die Bedingung 
(uk-hi '. Uk) <, ß <C^ kann also durch die Bedingung a <C 1 vertre- 
ten werden. Im Falle « > 1 denken wir uns zwischen 1 und a den 
unechten Bruch ß eingeschaltet (a :> /? > 1); der Quotient Un+^ : u,, 
nähert sich dann einer über ß liegenden Grenze und mufs folglich 
von einer bestimmten Stelle n==^h an gröfser als ß bleiben ; die Be- 
dingung {uk+i : Uk) "> ß "> 1 kann mithin durch «^^ 1 ersetzt wer- 
den. Diefs zusammen giebt den Satz: 

Die unendliche, aus nur positiven Gliedern beste- 
hende Keihe 

convergirt oder divergirt, jenachdem 

Lim "^ 

weniger oder mehr als die Einheit beträgt. 
Einige Anwendungen dieses Theorems sind folgende, 
a. Die gegebene Reihe sei 



^ ^1^1.2 ^ 1.2.3 



wobei p und x als positive endliche Gröfsen betrachtet werden; man 
hat dann 

""" l .2....n ' ''«+^ ~ 1 . 2 . . . (;z H- 1) "^ ' 

Lim ^^ = x, 

mithin convergirt die Reihe für ^ <:; 1 und divergirt für ^ >" 1. 
b. Es sei ferner, x als positiv vorausgesetzt, die Reihe 



X . X 



2 r^Z 



4) 1 + ;^ + ^ 



1.2.3 



102 Cap. V. Die unendlichen Reihen, 

zu untersuchen. Hier ist 



/ 



" 1.2.3...«' "•*•' 1 . 2 . 3 . . . (« 4- 1) 

Lim ^-^ = Lim —^ == ; 

die Reihe convergirt demnach für jedes endliche bestimmte x. Es 
ist nicht überflüssig, sich hiervon direct zu überzeugen, weil es für 
den ersten Anblick scheinen könnte, als divergirte die Reihe bei 
einigermaafsen grofsen x, wie z. B. für x = 10, wobei sie zur folgen- 
den wird 

500 

1 + 10 + 50 4--^ -4-....; 

dafs hier trotz der anfänglichen Zunahme der Reihenglieder später 

doch wieder Convergenz eintritt, kann man auf folgende Weise sehen. 

Aus der für a > & geltenden Ungleichung 

fl"" — b"^ 

-— < wfl"»-i oder [a — m (a — b)] a""-^ < A™ 

a — b 

ergiebt sich für a = m + l, h = m 

{m + 1)"»-! < m"" 

oder 

— ^ — < ("^ + 1)' ; 

setzt man m==l, 2, 3, ... (k — 1) und multiplicirt alle entstehen- 
den Ungleichungen, so folgt 

/:fc < 22 . 32 . 42 k^ 

und 

< 



m 



1 . 2 . 3 . . . A: 

Die mllkürliche ganz positive Zahl Je wählen wir so , dafs V ^ > ^ 
oder ]c> x^ ist, und zerlegen die ursprünglich gegebene Reihe fol- 
gendermaafsen 



X X 



l+T + -r-7^+-" + 



1 ' 1.2 ' ' 1 . 2 . 3 . . . (^ — 1) 

+ 



' 1 . 2 . . . A' • 1 . 2 ... (A' 4- 1) ' 1 . 2 . . . (A + 2) ' 

der erste Theil ist eine endliche Reihe und hat eine endliche Summe; 
der zweite Theil beträgt weniger als 

fr + 2 






fc4-2 

+ .... 



Cap. V. Die unendlichen Keihen. 103 

d. h. weniger als die Summe einer geometrischen Progression, die 
nach Potenzen des echten Bruches — r. fortschreitet. Die Reihe 4) 

convergirt also von der Stelle h > x^ an stärker als eine geometri- 
sche Progression. 

c. Die gegebene Reihe sei 

wobei X und 2/ als positive endliche Gröfsen vorausgesetzt werden. 
Hier ist 

" ~ 1 . 2 . . . //' "+^ ~" 1 . 2 . 3 ...(// + 1)' 



«n+i (J^ + ^y + y) 



"+1 



im zweiten Factor setzen wir 



(.-;-!+') 0+4-^)' 



X X 

w -4- - = 0) also /i = co , 

// y 

und erhalten 

1 — 



^ = (4-1 +')[(■ +91 



2/ CO 



mithin durch Übergang zur Grenze für gleichzeitig ins Unendliche 
wachsende n und co 

Lim ""^ = ye. 
Demnach convergirt oder divergirt die Reihe 5), jenachdem y weni- 
ger oder mehr als - beträgt. 
d. In der Reihe 

6) 1 -[- Ix + 1 . 2a:2 4- 1 . 2 . 3j:3 -[- 1 . 2 . 3 . 4jr4 + . . . . 

ist 

und der Grenz wer th hiervon wird unendlich für jedes von Null ver- 
schiedene X. Wenn also die Reihe existirt, so divergirt sie auch 
und zwar stärker als eine geom_etrische Progression; denn nach dem 
Früheren ist 

1 . 2 . 3 . . . A-^r*^ > (x y/c)^, 

und sobald x "j/^ gröfser als die Einheit geworden ist, divergirt die 
Reihe stärker als die folgende 

[x yk)^ 4- {x y^)t+i + {x yit)^+2 -f. , 



104 Cap. V. Die unendlichen Keihen. 

wovon man sich durch eine ähnliche Betrachtung wie bei dem zwei- 
ten Beispiele leicht überzeugen wird. 

Die vorigen Anwendungen lassen erkennen, dafs die aufgestellte 
Regel zu einer sicheren Entscheidung über die Convergenz oder Di- 
vergenz einer gegebenen Reihe führt, sobald Lim {u,,+^ : u„) weniger 
oder mehr als die Einheit beträgt. In dem Falle Lim (w„+i : u^) == 1 
hört dagegen die Anwendbarkeit des Theoremes auf, denn der Nerv 
seines Beweises liegt darin , dafs von einer bestimmten Stelle n = h 
ab der Quotient u,,^.^ : u^ kleiner oder gröfser als die Einheit blei- 
ben mufs; diese Voraussetzung findet nicht mehr statt, wenn jener 
Quotient die Einheit selber zur Grenze hat, und es kann daher im 
letzteren Falle die Reihe ebensowohl convergiren als divergiren. Hier- 
durch sind wir genöthigt, uns nach weiteren Kennzeichen der Con- 
vergenz und Divergenz umzusehen. 

§.26. 

Simultane Convergenz und Divergenz zweier Reihen. 

I. Unter der Voraussetzung, dafs alle Glieder der Reihe 

^1 + '^2 + '^3 + ^4 + 

positiv sind und dafs die Ungleichungen t*i > Wg > «^g > ^^4 u. s. w. 
stattfinden, gelten folgende einfache Beziehungen 

4^4 >U^ 4-^5 +Wg -\-U^ > 4?/8, 
16^16 >W^ 6 +?^7 +• • -+^^31 > 16^3 2' 

deren Fortgang leicht zu übersehen ist. Addirt man dieselben und 
fügt allerseits u^ hinzu, so erhält man die Ungleichung 

?^^ + 2^4 + 4^8 + 8?^i 6 -f- . . . . , 

die sich mittelst der Abkürzungen 

^1^ U^-h ^3+ «4 + ...==^ 

^/, + 2u^ + 4^/4 + 82^8 H- ... = r 
in folgender Form darstellen läfst 

1) T>S>^u^ —u,-\-^T. 

Wenn nun die Reihe T convergirt, so ist T eine endliche Gröfse; es 
liegt dann S zwischen zwei endlichen Gröfsen und hat daher einen 
endlichen Werth, woraus die Convergenz von S folgt. Wenn dagegen 
die Reihe T divergirt, so ist T=(X), S> ■^Ui—U2 -hi^o mithin 



Cap. Y. Die nnendlichen Eeihen. 105 

um so mehr S = oo^ was die Divergenz von S beweist. Aus der 
Convergenz oder Divergenz von T kann man hiernach die Convergenz 
oder Divergenz von S erkennen. 

Diese Schlüsse lassen sich leicht umkehren, wenn man die Be- 
ziehung 1) in der umgekehrten Form darstellt 
2) 2{S-\-u^)—u^>T>S; 

der Convergenz von S entspricht dann die Convergenz von T, der 
Divergenz von S die Divergenz von T. 

Diese Resultate kann man in folgenden Satz zusammenfassen: 
Die beiden unendlichen Reihen 

^1 + ?^2 -h «^3 + ^-^4 + ^5 + • • • 
und 

u^ 4- 2«2 + 4?/4 + 8^8 4- 16;/i6 + • • • 

convergiren oder divergiren immer gleichzeitig. 

Um also die ursprüngliche Reihe auf ihre Convergenz oder Divergenz 

zu prüfen, braucht man nur die abgeleitete Reihe zu untersuchen; 

die Bedingungen für diese gelten zugleich für jene. 

Eine bemerkenswerthe Anwendung hiervon ist folgende. Es sei 

1 1 1 . 

2/.= — , ^9 = — > w„ = — , u. s. I. 

SO sind die beiden in Rede stehenden Reihen 



L+L+L+L 

Ifi 2^ 3^ 4^ 



und 



u^ + 2ir^ + 4?/, -f- 8?/8 + 16?/, g + . . . 
= 1 + 2^-f^ + 4'-^ + S'-f" + 16^--^ + . . . 
Giebt man der letzteren die Form 

1 + 2^-'" + (2^-^)2 -1- (2^-^)3 + . . . 
so erkennt man in ihr eine geometrische Progression; zur Convergenz 
derselben ist nöthig, dafs 

2^-^== — <1, d.h. iit>l 
2f^ 

sei; in jedem andern Falle divergirt sie. Nach dem obigen Theoreme 

ist nun auch die Reihe 

3) L + L + L + L + ... 

1^ 2'^ Si^ 4^ 



*) Cauchy, Cours d' Analyse algebi-igue p. 153. 



106 Cap. V. Die unendlichen Keihen. 

convergent für ^a > 1 und divergent für f.i ^ 1. Hieraus erkennt 
man z. B., dafs von den vier Reihen 

L + L + L + L +... 



lyi 2y2 31/3 4y4 

yi ^ y2 ^ V3 ^ Vi ^ 
f + 1 + i + i +... 

die beiden ersten convergiren, die übrigen dagegen divergiren, wäh- 
rend bei allen Lim {u^+i : t*„) == 1 ist. 

Als zweites Beispiel nehmen wir die Reihe, welche entsteht, wenn 
_ 1 _ 1 

gesetzt wird, wobei die Basis der mit L bezeichneten Logarithmen 
die Zahl 2 sein möge, mithin L2 = 1, L4 = 2, X8 = 3 u. s. w.; 
die beiden in dem allgemeinen Theoreme vorkommenden Reihen sind 
jetzt 

2(L2>" 3(Z3)^ 4 (£4)^ 5(15)^ 



und 



i+^+i.+^ 



2^ 3^ 4^ 

Die letztere Reihe ist mit der in No. 3) untersuchten identisch, mit- 
hin convergiren und divergiren 3) und 4) unter ganz gleichen Be- 
dingungen. 

Für ein drittes Beispiel sei 

1 1 

?/ =M=W — 0, M. =— , U.= ; , . . . ; 

' ' ' ' 4.L4{LL4:r bLb{LLbY 

die beiden zu vergleichenden Reihen sind in diesem Falle 

5) L_+ 1 + L_ + .... 

^L4.(LMY bLb{LLh)^ 6Le{LL6)f^ 
und 

1.1.1. 



2(/:2f 3 (£3)^ 4(14)^ 
deren letzte mit No. 4) zusammenfällt. Die Reihe 5) convergirt und 
divergirt daher gleichzeitig mit den Reihen 4) und 3). 
Nimmt man für ein weiteres Beispiel 

_ 1 ___ 1 

'^^ ~" 8 Z8 LLS {LLLS)f^' ^ ~~ 9 Z.9 LL9 (LLLd)f^ > ' ' 



Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 107 

SO wird die abgeleitete Reihe identisch mit No. 5) und daher gelten 
für die Reihe u^ -\- u^ + etc. die nämlichen Bedingungen der Con- 
vergenz und Divergenz wie für die Reihen 5), 4) und 3). Durch 
Fortsetzung dieser Schlüsse gelangt man überhaupt zu dem Satze, 
dafs die Reihen 

li+^ ^ 2'-'^ 3'+/5 4'+^ -^ . . . . 

2 (L2/+^ ^ 3 (£3)^+/^ ^ 4 (£4)^+/^ -t- • • • • ' 

1 I 1 .___!__ . 

4^4 (Z:/:4f+^ 5Z5 (Z:Z5)'+^ 6Z.6 (£Z6)^+^ 
u. s. w. 
für jedes positive, die Null übersteigende ß gleichzeitig convergiren, 
dagegen für jedes andere ß gleichzeitig divergiren. 

IL Zu einer anderen Reihe, welche unter denselben Umständen 
convergirt oder divergirt wie die Reihe u^-^-u^-^-u^^ , , , gelangt 
man auf folgendem Wege. 

Wegen t«i > Wg >^3 u- s. w. gelten die Ungleichungen 
3Mi>Mi+?^2 -I-W3 >3m4, 

5M4>M4-1-W5 -\-U^+U^-\-U^ >5?/9, 
72^9 > 2^9 +^10 + +"15 >'^"l6» 

deren Addition giebt 

l 3?/, + 5?/^ + 7e/9 +9?/ig + 

6) j > ?'l+ «2+ Wg + w^ + > 

f 3m^ + ÖMg + 7«^,6 + 9^25 + 

Setzt man wie früher u^ + u.j, +W3 -\- . , , = S, ferner 
lu, + 2?/, + 3^/9 + 4«/i6 + . . . = p, 

^1+ ^^4+ ^^9+ ^l6-f--. = Ä, 

SO kann man die Ungleichung 6) in nachstehender Form darstellen 

7) 2Q-irR:>S>2Q — R—u^ 

und daran folgende Schlüsse knüpfen. Convergirt die Reihe Q, so 
convergirt die aus kleineren Summanden bestehende Reihe R um so 
mehr, also sind Q und B gleichzeitig endliche Gröfsen, und die 
Reihe S convergirt, weil ihre Summe (nach No. 7) zwischen zwei 
endlichen Zahlen liegt. Divergirt die Reihe Q, so divergirt um so 
mehr die aus gröfseren Gliedern bestehende Reihe 3^*4 + 6uq + lu^^ 
+ ...., und nach dem zweiten Theile der Ungleichung 6) divergirt 
dajin auch die Reihe S. 

Wenn umgekehrt die Reihe S convergirt, so gilt dasselbe von 



108 Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 

(1er Reihe B, weil diese nicht alle in S vorkommenden Glieder ent- 
hält; nach No. 7) ist aber 

mithin convergirt auch die Reihe Q. Falls endlich die Reihe S di- 
vergirt, hat man wegen Q^B, die Ungleichung ^Q^2Q -\-B d. i. 
nach dem ersten Theile von No. 7) 3§ > /S^ oder Q> \S, was die 
Divergenz von Q beweist. 

Nach allen diesen Bemerkungen gilt der Satz 
Die beiden unendlichen Reihen 

U-L + ?^2 + ^^3 + ^4 + ^5 + • • • 

und 

convergiren oder divergiren immer gleichzeitig. 
Beispielsweis ergiebt sich hieraus und unter Benutzung des in 
§. 25 angegebenen Kriteriums, dafs die Reihe 

X -\- X -\- X -\- X -{-•••• 
für positive x <.l convergirt und für x^l divergirt. 

§. 27. 

Fernere Reihenvergleichungen. 

Nachdem wir durch die vorigen Betrachtungen zu neuen Reihen 
gelangt sind, für welche die Bedingungen der Convergenz oder Di- 
vergenz feststehen, können wir wieder das in §. 24 auseinander ge- 
setzte Princip der Reihenvergleichung benutzen, indem wir statt der 
Reihe t^ -\-t^'\-t^ -\- etc. die eine oder andere jener neuen Reihen 
nehmen. Vergleichen wir z. B. die Reihe 

li" 2^ 3'* 4^ 
mit der allgemeinen Reibe 

so folgt aus §. 24 unmittelbar, dafs die vorliegende Reihe convergirt, 
wenn von einer bestimmten Stelle an 

2) "f^H^ < {-^Y und zugleich /i > 1 

ist, dafs hingegen die Reihe 2) divergirt, wenn von einer bestimmten 
Stelle an 

3) ?fiHi ^ i-A-^Y und zugleich ^ < 1 

ist. Zu einer bequemeren Form dieser Regel gelangt man durch fol- 
gende Betrachtungen. 



Cap. Y. Die unendlichen Eeihen. 109 

Für unendlicli wachsende n sei 



4) .,•.[« (l-«^)]=A, 



SO können, wenn nicht gerade 1 = 1 ist, die Fälle A > 1 und A < 1 
unterschieden werden. Unter der Voraussetzung l> 1 denken wir 
uns zwischen 1 und l eine beliebige Zahl f.1 eingeschaltet, so dafs 
>l > iif > 1 ist, und betrachten ^< als den Grenzwerth, welchem sich 
das Product 

bei unendlich wachsenden n nähert (§. 9 Formel 2). Statt der Un- 
gleichung l> iLi haben wir jetzt die folgende 

.„.{„(-"^)}>.,.(.[:-(,-^)-]} 

und daraus geht hervor, dafs von einer bestimmten Stelle an 

sein mufs, weil sonst das erste Product sich nicht einer Grenze nä- 
hern könnte, welche vorausgesetztermaafseu mehr beträgt als der 
Grenzwerth des zweiten Productes. Die so eben erhaltene Unglei- 
chung liefert 



"-<(^)' 



während gleichzeitig /ii>l ist; die in No. 2) verlangten Bedingungen 
sind also erfüllt , wenn A > 1 ist und ^t willkürlich zwischen A und 
1 gewählt wird. 

Im zweiten Falle A > 1 schalten wir wiederum f.i zwischen l und 
1 ein, es ist dann A < ^ < 1. Ferner denken wir uns /ti auf die- 
selbe Weise wie vorhin als Grenzwerth, so dafs die Ungleichung 
K (,1 durch 

-{■(-^)}<"-{'{-(.-iT)1 

ersetzt werden kann. Bei hinreichend grofsen n mufs hiernach 

sein, woraus folgt 

während gleichzeitig |i< < 1 ist; die in No. 3) aufgestellten Bedin- 



110 Cap. y. Die unendlichen Eeihen. 

gungen sind demnach erfüllt , wenn l weniger als die Einheit beträgt. 
Diefs Alles zusammen giebt folgenden Satz*): 

Die unendliche, nur positive Glieder enthaltende 

Reihe 

^0 + ^'l +^2 -f-^3 + • • • . 

convergirt oder divergirt, jenachdem der Ausdruck 

mehr oder weniger als die Einheit beträgt. 

In Verbindung mit dem Theoreme des §. 25 reicht der obige Satz 
meistens aus, um die Convergenz und Divergenz einer Reihe vollstän- 
dig zu entscheiden; einige Beispiele werden diefs zeigen. 

Die gegebene Reihe sei 

1 . ^ _j_ ^ • ^ . ^ 4_ 1 . 3 • 5 a:7 _^ 



5) 






2.4 5 ' 2 . 4 . 6 7 
man hat dann, wenn Uq für Null gerechnet wird, 
1 . 3 . 5 .... (2/z— 3) x^"-^ 



6 .... (2n 
5...(2w- 



-2) 2n 
3) (2n - 



- 1 
1) 



«+i 






2.4 



(2/2 



6. ..(2« 



2) (2w) 

(- 



-V 

2n) 



2« + l^ 



272(2« -f 1) 



1 + 



2n 



der Grenz werth hiervon ist x^^ mithin convergirt oder divergirt die 
Reihe 5), jenachdem der absolute Werth von x ein echter oder ein 
unechter Bruch ist. Um den noch übrigen Fall x^ = 1 zu erledigen, 
berechnen wir das Product 



"[-"f] 



1 — 



V 2nJ 2 4; 



'-^Yn 



1 + 



An 



2n 



der Grenz werth desselben ist |> 1, mithin findet auch für a;^ = 1 
die Convergenz noch statt. 

Als zweites Beispiel diene die sogenannte hypergeometrische Reihe 
«(«+1) «/5+l)^, 



6) 



'+if'^ 



1 .2Ky+i) 

«(« + !) («4-2)^(/?-Hl)(ß + 2) ^, 
1.2.3y(y+l)(y + 2) 



*) Unter einer etwas anderen Form wurde derselbe von J. Raabe aufgestellt in 
der „Zeitschr. für Phys. u. Mathem. von Baumgartuer u. Ettingshausen" ; Bd. X, S. 63. 



Cap. V. Die unendlichen Reihen. 111 

worin a, ß, /, x positiv sein mögen. Hier ist 



(cc + n){ß + n) 



(-1)6+-) 



und der Grenzwerth hiervon == x; die Eeihe convergirt also für 
X <1 und divergirt für x> 1. Für den Fall x=l hat man 

und als Grenzwerth hiervon y -{- 1 — a — /?, welcher Ausdruck die 
Einheit übersteigt, wenny>a-f-/? ist; unter dieser Bedingung con- 
vergirt die Reihe 6) auch für x ^^ 1. 

An diese Beispiele knüpft sich noch eine allgemeine Bemerkung. 
Im Falle x=l besteht nämlich das Verhältnifs u^^^ : m„ aus einem 
Bruche, dessen Zähler und Nenner nach Potenzen von n geordnet 
werden können; so war im ersten Beispiele 



im zweiten 

und es kann sich überhaupt treffen, dafs jenes Verhältnifs die Form 

annimmt, wobei k eine constante ganze positive Zahl, Ä, B, (7..., 
Äj B\ G\ . , . irgend welche Constanten bezeichnen. Unter dieser 
Voraussetzung ist 

(^ — J')n^ -i-{B— B')n^-^ + {C — C')n^-^ + . . . 



"[■-•f] 



J — J^ 



B — B' C—C . 



•+f+Ä+- 



mithin 



^"f[^-^]}=^ 



J', 



Hiemach ergiebt sich folgende Regel: wenn das Verhältnifs t*„+j : w„ 
auf die in No. 7) erwähnte Form gebracht werden kann, so conver- 



112 Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 

girt oder divergirt die Reihe Uq-\-u^ ■^u.^-\- etc., jenachdem Ä — Ä' 
mehr oder weniger als die Einheit beträgt*). 

Wir kehren noch einmal zu der anfänglichen Reihenvergleichung 
zurück, um zu zeigen, dafs man den unter No 2) und 3) ausgespro- 
chenen Bedingungen auch auf andere Weise genügen kann. 

Setzen wir 



8) H-itJl^^" 



so lassen sich, wenn nicht gerade z = 1 ist, die beiden Fälle it > 1 
und x < 1 unterscheiden. Unter der Voraussetzung % > 1 denken 
wir uns zwischen 1 und /, die beliebige positive Zahl /n eingeschaltet, 
so dafs % :> |U > 1 ist, und betrachten ^ als den Grenzwerth, wel- 
chem sich das Product 

bei unendlich wachsenden n nähert. Statt der Ungleichung %"> /j. 
haben wir jetzt die folgende 

und daraus geht hervor, dafs von einer bestimmten Stelle an 

sein mufs, weil sonst das erste Product sich nicht einer Grenze nä- 
hern hönnte, welche vorausgesetztermaafsen mehr beträgt als der 
Grenzwerth des zweiten Productes. Die erhaltene Ungleichung giebt 

J^>{, + '-Y oder '^>{^Y 

Während zugleich ^t« > 1 ist; die in No. 2) verlangten Bedingungen 
sind demnach erfüllt, wenn x > 1 ist und (.l willkürlich zwischen 
z und 1 gewählt wird. Ganz ähnliche Betrachtungen gelten für den 
Fall z < 1; man schaltet wiederum (.l zwischen 1 und z ein, betrachtet 
^t als denselben Grenzwerth wie vorhin und gelangt zu dem Schlüsse, 
dafs von einer bestimmten Stelle an 



iL, 



\n + l) 



bleiben mufs , während ^t < 1 ist. Die Bedingungen 3) sind dem- 
nach erfüllt, wenn x weniger als die Einheit ausmacht. Man hat 
daher den Satz**): 

*) Vergl. die Abhandl. v. Graufs: Disquisitiones circa seriem inßnitam etc. in den 
Commentat. Gotting. rec. T. II, a. 1812. 
**) Vom Verf. angegeben. 



Cap. V. Die unendlichen Keihen. HS 

Die unendliche, nur positive Glieder enthaltende 
Reihe 

convergirt oder divergirt, jenachdem 

mehr oder weniger als die Einheit beträgt. 
Als Beispiel möge die unendliche Reihe 

^^ ^ "^ ~r" "^ 1 .2 ^" 1.2.3 "^ * • • • 

dienen, von welcher bereits in §. 25 nachgewiesen wurde, dafs sie für 
y <,- convergirt, für 2/ > - divergirt, und wobei der noch übrige 

Fall «/ == - unerledigt blieb. Unter dieser Voraussetzung ist 



um diesen Ausdruck weiter zu entwickeln, benutzen wir die in §.17 
unter No. 10) bewiesene Formel 

/(l 4- ^) = ^ _ 1^2 _|_ |^^3 , < ^ < 1, 

indem wir das eine Mal 



das andere Mal 



ex , 



1 1 

n -\- ex 



setzen. Nach gehöriger Zusammenrechnung erhalten wir 

/ u, \ nex (1 — ex) , T-^^^'k ' 4- ^ T— '— "i ' 



1 12 



n ^ ^ 1 ;/ -f- 1 ^ L ex 






?ij 



, ex ( ex \^ n\ 



1 "^2 1 



ex 



Schlömilch al?ebr. Aualysis. G. Autl. 8 



// -\- ex 



114 Cap. V. Die unendlichen Eeihen. 

mithin, weil q' und q" immer zwischen und | liegen, 

Dieser Grenzwerth beträgt weniger als die Einheit, folglich divergirt 



die Ileihe 9) für y = — 



§. 28. 

Allgemeine Regeln für die Convergenz und Divergenz von Reihen mit 
positiven Gliedern. 

Die bisherigen Kennzeichen für die Convergenz oder Divergenz 
der unendlichen Reihe 

?^) + ^h + ^^2 + ^^3 + 

verlieren ihre Brauchbarkeit, sobald gleichzeitig 

Lim "^ = 1 und Um \n [l — '^^1 == 1 

ist; das Princip der Reihenvergleichung mufs dann von neuem an- 
gewendet werden, und zwar mag hierzu der Satz dienen, dafs die 
Reihen 

1.1.1. 



1) 



2(L2y+^ 3(13)1+/^ 4(/.4y+/^ 



4iL4(/.Z.4)i+^^ 5A5(ZZ.5)i+f^ 6Z.6(L/:6)i+^ ' 

3) ^- — — ^ H ^— — — ^ + , 

%L^LL%(LLL%y+P 9L9LL9{LLL9y+(^ 
u. s. w. 
gleichzeitig convergiren oder divergiren, jenachdem ß positiv oder 
negativ ist (§. 26). 

I. Wir betrachten zuerst den Ausdruck 

und setzen voraus, dafs sich derselbe einer bestimmten endlichen 
Grenze y^ nähere, falls n ins Unendliche wächst. Ist nun y^ positiv, 

so denken wir uns zwischen und V- eine willkürliche Zahl ß ein- 

geschaltet, so dafs <: ß Le <Cyi ist, und betrachten ß Le als den 
Grenzwerth, welchem sich die Function 

/.« = [-(.l^T,)']- 

bei unendlich wachsenden n nähert (§. 9, No. 3 und 4). Da nach 



Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 115 

den gemachten Voraussetzungen Limf^{n) <cLimip^{n) ist, so mufs 
es immer ein bestimmtes n geben, von welchem ab f\(n) <.\p^{n) 
bleibt, und vermöge der Werthe dieser Functionen findet sich von 
einem bestimmten n ab 

?l!yj <- " f ^''' V 

oder 

. 5) 'i«±i^^y-, 

wobei zur Abkürzung gesetzt wurde 

__ 1 



1+/^' 



Die Reihe 1^2 + ^3 + ^4 + ^^^- ^^^ identisch mit der Reihe 1) und 
convergirt wegen ß '> 0; zufolge der Ungleichung 5) convergirt nun 
auch die Reihe u^ +^3 +^4 + etc. 

Wenn zweitens /^ negativ ist, so wählen wir die willkürliche 
Zahl ß auf die Weise, dafs 0>^^ Le>/i ist, und haben dann 
Lim ipt{n)<. Lim f^ (n), mithin von einer bestimmten Stelle ab ip^ {n) 
<A Wi woraus sich ergiebt 

'^n fr, * 

Wegen des negativen ß divergirt die Reihe der t, und zufolge der 
vorstehenden Ungleichung divergirt um so mehr die Reihe der u. 
Die Convergenz oder Divergenz der letzteren Reihe entscheidet sich 
also durch das Vorzeichen von Lim ip^{n). Mittelst der Substitution 

Iz 

Lz ==: — = M Iz 

12 

kann man die künstlichen Logarithmen leicht in natürliche umsetzen 

und hat dann das Theorem: 

Die unendliche, nur positive Glieder enthaltende 
Reihe ^0 + ^1 + ^2 + ^^c. convergirt oder divergirt, 
jenachdem 

Lm L In — ^^^^ {n -{- 1) l{n + 1)1 

positiv oder negativ ist. 
II. Der vorstehende Satz liefert in dem Falle /i = oder 

6) Lim L hl _ "^ (// + 1) /{n -f 1)\ == 

keine Entscheidung; wir betrachten dann die Function 

1(^2 (//) = n LnLLn — '^' (n + 1) L{ri -}- 1) LL{?i + 1), 

8* 



116 Cap. y. Die unendlichen Reihen. 

von welcher wir voraussetzen, dafs sie sich für w = oo einer bestimm- 
ten endlichen Grenze /a nähere. Bei positiven y^ wählen wir eine 
beliebige Zahl /?, so dafs 

und denken uns [ß LeY als den Grenzwerth des Ausdrucks 

/.<")=['-(d:r'^,)"] •'-"•■ 

Aus Lim f<i(n) <,Lim tp2(n) folgt, dafs von einer bestimmten Stelle 
an f^in) < V'2W sein mufs; die letztere Ungleichung giebt 

oder 

"n 'n 

wobei zur Abkürzung gesetzt wurde 

_ 1 



nLn(LLny+ß 

Die Reihe ^4 + ^5 + ^e + ^^c- ist identisch mit der Reihe 2) und 
convergirt wegen /? >► ; zufolge von No. 7) convergirt nun auch die 
Reihe ^4+^5 + ^*6 + ^^^- I^^i'ch ganz ähnliche Schlüsse, welche 
fast nur in der Vertauschung der Zeichen < und > bestehen, über- 
zeugt man sich leicht, dafs die Reihe W4 + W5 + etc. im Falle 
)/2 <C0 divergirt. 

Ersetzt man die künstlichen Logarithmen durch natürliche, so 
wird 

^^(n) = J/2 L In U(n) — '-^ {n + 1) l(n -^ 1) ll(n + 1)1 

— MIM lnln—^-^^{n-\- 1) l{n + 1)1; 

bei unendlich wachsenden n hat der Coefficient von MIM die Null 
zur Grenze zufolge der in No. 6) gemachten Voraussetzung, mit- 
hin ist 

y^ = M^ Lim h in lln — ^'-^^ {n + 1) l{n + 1) //(// + 1)1 

WO nun das Vorzeichen des y,^ nur noch von dem angedeuteten 
Grenzwerthe abhängt. Demnach convergirt oder divergirt die Reihe 
^0 ■+■ **i + ^2 ^tc., jenachdem 

Lim [n In lln _ ^^ (/? -j- 1) /(« -|- 1) ll(?i + 1)\ 



im tn 



positiv oder negativ ist. 



Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 117 

Man wird ohne Mühe erkennen, wie die Betrachtung weiter zu 
führen ist, falls y.^ oder der vorstehende Grenz werth verschwindet; 
es wird daher die Angabe des Endresultates der ganzen Untersuchung 
ausreichen, nämlich: 

Um die Convergenz oder Divergenz der unendlichen, 
nur positive Glieder enthaltenden Reihe 

^0 + '^ + '^2 + "3 + 

zu entscheiden, berechne man folgende Grenzwerthe 
^ = 1 — Lim '^, n == Lim (n (l — '~^)\ — 1» 

C^ == Lim L in — -'^ (fi + 1) /{n + 1)|, 

Cg = Lim In In l^n — -"^ {n + 1) l{n -|- 1) l^{n + 1)\, 

= Lim hlnl^nl^n — -"^ (n + 1) I{n + 1) l^{n -\- 1) i^{n + 1)\, 

U. S. W. 
die gegebene Reihe convergirt oder divergirt dann, 
jenachdem die erste nichtverschwindende der Grö- 
fsen Ä, B, C^, C^, C3 etc. positiv oder negativ ist*). 
Als Beispiel diene folgende Reihe 
^(1-/3) (l + ft ß{l-ß) (2-/?) 

(2 + /3) (1+^) ^(1-/3) (2-ffl (3-^) 

"t- 1^5 . 22 . 32 -r-. . . . 

worin ß einen positiven echten Bruch bezeichnen möge; für i^q = 0, 
u^ = ß{l — ß) u. s. w. ist 

und daraus findet man A = und ^ = 0. Ferner ergiebt sich 
nln—^'^(n-^ 1) /(« + !) 



^3 






■ '-«'-«^^-^ 



(-:) 



*) Vergl. die Aufsätze von Bertrand und Bonnet in Liouville's Journal de 
Mathematiques Bd. VII, S. 35 u. Bd. VlII , S. 73 , sowie Catalan, Traue eUmentair 
des series, Paris 1860. 



118 Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 

wie leicht zu ersehen ist, hat der letzte Bruch die Null zur Grenze *) 
und daher wird 

folglich divergirt die obige Reihe. 

§. 29. 

Reihen mit positiven und negativen Gliedern. 

Wenn die Glieder einer unendlichen Reihe verschiedene Vorzei- 
chen besitzen, so kann man eine neue Reihe dadurch bilden, dafs 
man alle Glieder mit demselben Vorzeichen nimmt, und es läfst sich 
erwarten, dafs die ursprüngliche Reihe convergiren wird, wenn die 
abgeleitete Reihe convergirt. Um diefs genauer zu untersuchen, be- 
trachten wir erst den einfachen und am häufigsten vorkommenden 
Fall, wo die Zeichen wechseln. Die ursprüngliche Reihe ist dann 

und die abgeleitete Reihe der absoluten Werthe 

2) ?/o 4- ^^1 + '^2 + «^3 4- ^^4 + 

Wenn nun diese Reihe convergirt, d. h. wenn 

lim S„ = Lim {f/^ -\-u^-]-i/^-{-?i^-\-u^-\- . . . -f- /^„_ J 
eine endliche Gröfse ist, so müssen sich die beiden Summen 

Pm == 'H + u^ _j_ ,,^ -^ ,,g 4- . . . 4_ u^^_^ 

Pm == ^^1 + «^3 H- ^^5 + "7 + • • • 4- 2^2«.-! 

endlichen Grenzen nähern, denn im Gegenfalle würde Lim (P^ + öm) 
= 00 werden, was der Convergenz der Reihe 2) widerspräche. Hier- 
aus folgt augenblicklich, dafs auch der Grenzwerth von 

= Wo — 2^1 + ^2 — W3 4- ^/^ — ?/5 -f- . . . -}- U^^_^^ — 11,^^^^ 

eine endliche Gröfse ist, dafs mithin die Reihe 1) convergirt und §ine 
kleinere Summe besitzt als die Reihe 2). Ähnliche Schlüsse gelten 
in jedem anderen Falle. 

*) Nach Formel 1) in §. 17 ist e^^z^ mithin, wenn beiderseits quadrirt wird, 
e^^ "^ z'^ oder eV ^\'iß ; setzt man eV = «, so folgt 



> \il(aY oder 
und bei unendlich wachsenden m 



«,>i(i«,)^ oder -<^ 



Lim — = w. z. b. w. 



Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 119 

Man kann nun z. B. die Convergenzbedingung 



tf... 



auf die Eeihe 2) oder direct auf No. 1) anwenden, nur hat man zu 
beachten, dafs der Quotient zweier auf einander folgender Glieder in 
den Reihen 1) und 2) der Gröfse nach derselbe und nur im Vorzei- 
chen verschieden ist; die genannte Convergenzbedingung lautet daher 



("-":')^ 



In ähnlicher Weise kann man z. B. auch die in §. 27 gegebenen 
Convergenzbedingungen auf die Reihe 1) übertragen, doch ist diefs 
um so weniger nothwendig, als sich die Convergenz einer Reihe mit 
alternirenden Vorzeichen viel einfacher mittelst nachstehender Be- 
trachtung erledigen läfst. 

Wir setzen voraus , dafs von einer bestimmten Stelle n == k an 
jedes u gröfser als das nächstfolgende, mithin 

if'k > fJk+l > f^k+2 > «/c+3 • • • • 

sei und aufserdem wie früher die Bedingung Lim u„ == stattfinde. 
Bezeichnen wir nun mit R^, R^, B^, etc. die Gröfsen 
/2i == uk 

/?3 = ^k — {Uk+l — Uk^2) 

R^==Uk (Uk+i ~ llk+2) — (?^/t+3 — ///c+4) 



und beachten, dafs alle eingeklammerten Differenzen positiv sind, so 
haben wir 

3) R^>R^>R^>R, 

Andererseits gilt für die Gröfsen 

R2 = O'fc — "fc+i) 

^6 = (^t — "fc+l) -f- ('^fr+2 — «^fc+3) H- (^A+4 — Wfr+5) 

die Beziehung 

4) R,<R,<R,<R, ...., 

und endlich ist noch bei unausgesetzt wachsendem m 

5) Lim (Ä2m-1 R2m) = Lim ?<Jt+2m-l = 0. 

Aus der vorstehenden Gleichung folgt, dafs sich B^m-i und ^2« einer 
und derselben Grenze B nähern und zwar B2m-i durch fortwährende 
Abnahme, B^m durch fortwährende Zunahme. Der gemeinschaftliche 
Grenzwerth B ist nun erstens positiv, wie die Ungleichungen 4) un- 
mittelbar zeigen, ferner beträgt er zufolge der Gleichung 5) weniger 



120 Cap. y. Die unendlichen Reihen. 

als jede der Gröfsen R^, R^, R^ etc., er mufs daher eine bestimmte 
endliche Gröfse sein. Vermöge der Gleichung R = Lim Rim-i = 
Lim R2m ist 

R = ^'k iik+l + ?/fc + 2 — ?'it+3 + • • • • 

mithin convergirt die vorliegende Reihe und ebenso die ursprüng- 
liche Reihe 

n^ — ?^i -f 2 — ^'3 + • • • + (— ^f~^ ^^k-i 

4- (— 1)^ {Uk — fik + l -f f^+2 — ?/t+3 +••••)• 

Nach diesen Erörterungen haben wir folgendes Theorem: 

Eine Reihe mit alternirenden Vorzeichen conver- 
girt immer, sobald ihre Glieder von einer bestimm- 
ten Stelle an fortwährend und ins Unendliche ab- 
nehmen. 
Diese Convergenzregel greift weiter als die vorige. So würde 

man z. B. die Convergenz der Reihe 

1 2^3 4^5 6^ 
nach dem früheren Satze nicht entscheiden können, weil die Reihe 
der absoluten Werthe, nämlich 

divergent ist; dagegen zeigt das zweite Theorem, dafs die fragliche 
Reihe convergirt und dafs ihre Summen zwischen folgenden, einan- 
der immer näher kommenden Zahlen liegt 

1 und 1— i 

2^3 2~3 4 

2^3 4^5 2^3 4^5 6 

U. S. W. 

Wir wollen an dieser passenden Stelle eine Eigenthümlichkeit er- 
wähnen, die bei divergenten Reihen mit alternirenden Vorzeichen 
stattfinden kann. Ist nämlich Lim ti^ eine endliche von Null ver- 
schiedene Gröfse ^, so nähert sich w„ — Un+j der Grenze Null, 
und in Folge dieses Umstandes kann es geschehen, dafs die Reihen 

^^m == O'O — "1) -1- (^^2 — ^^3) + + Km-2 — «^m-i). 

•^2m+i = ^0 — (^1 — "2) — 0^3 — ^^4) — • • • — Km-x " '^^m) 

gleichzeitig convergiren. Dann ist sowohl Lim S^m ^Is Lim S^m^^ 
eine endliche Gröfse, und als Differenz beider Werthe ergiebt sich 



■^.»==7-0 + 



Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 121 

d. h. die Summen der Reihenglieder 

It^ — ^1 4- ?/2 — «^3 + '^4 — 

nähern sich zwei endlichen, um q von einander verschiedenen Gren- 
zen, jenachdem eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Gliedern 
zusammengerechnet wird. Divergente Reihen dieser besonderen Art 
hat man oscillirende Reihen genannt. 

Das einfachste Beispiel bietet die Reihe 

a — fl-f-a — a -\- a — a -\- . . . . 
deren Summe bei gerader Gliederzahl =0, bei ungerader Glieder- 
zahl = a ist. 

Ein zweites Beispiel liefert die Reihe 

Hier ist, wenn jeder unechte Bruch von der Form in 1 + - 

zerlegt wird, 

1-1 + 1-. .-l 

S =l_l4-l_ _J_4_?^+^ 

2m+i ^ 2 "^ 3 277? "^ 2/7Z + 1 * 

bezeichnet nun o die Summe der convergirenden Reihe 

l_lKl_i . i_ 

1 2~3 4^5 ' 

so ergiebt sich 

Lim S^^ = 6 , Lim S^^^^ = (j -j- 1 , 

mithin oscillirt die genannte Reihe zwischen a und a -f- 1. 

§. 30. 

Bedingte und unbedingte Convergenz. 

Aus der im §. 23 gezeigten Entstehungsweise der unendlichen 
Reihen geht unmittelbar hervor, dafs es nicht ohne Weiteres erlaubt 
sein kann, die Anordnung der einzelnen Glieder willkürlich abzu- 
ändern (denn es hiefse das, die Function 9 durch eine andere er- 
setzen); es wird daher immer einer besonderen Untersuchung bedür- 
fen, ob eine solche Umstellung der Glieder einen Einflufs auf die 
Reihensumme hat oder nicht. Dafs in der That eine veränderte An- 
ordnung der Glieder zu einer ganz anderen Summe führen kann, mö- 
gen folgende Beispiele darthun. 

Die ursprüngliche Reihe sei die im vorigen Paragraphen erwähnte 

G=l_l4-1 — l-i-i— 14- 
1 2~^3 4~^5 6~^ 



122 Cap. V. Die unendlichen Reihen, 

und daraus die folgende gebildet 

._^l,l_lll__llj__l 

* 1~^3 2'^5"^7 4"^9'^ll 6"^ ' 

wobei die Anordnung so getroffen ist, dafs auf zwei positive Glieder 
ein negatives folgt; es ist dann 



1.2.3 ~~ U . 5 "^ 6 . 7 "^ 8T9 "^ * " j "^ 6' 



Die Keihe s kann man sich dadurch entstanden denken, dafs in 
dem Ausdrucke 

11 1 Sm — 3 



4?n — 3 ' 4m — l 2m (4m ~— 3) {4m — 1) 2m 

m = 1 , 2 , 3 , ... genommen wird und alle entstehenden dreigliede- 
rigen Gruppen addirt werden. Da jede solche Gruppe einen positi- 
ven Werth hat (wegen 8m > 3), so ist 

^^5 13 21 5 

1.3.2~^5.7.4~^9.11.6~^***"^6' 
woraus bereits hervorgeht , dafs s > tr ist. Übrigens läfst sich das 
Verhältnifs von s : o auch genau bestimmen, wenn a angesehen wird 
als der Grenzwerth von 

[^ 1.1 l^ . P 1.1 l^ . 

^V4a! — 3 4;^— 2^4// — 1 4n) 
und ebenso s als Grenzwerth von 

^ \4n — 3 ' 4/2—1 2//^ 

Die Differenz beider Gleichungen giebt 

~\4n —2^ 4n 2nJ 

und hieraus folgt durch Übergang zur Grenze für unendlich wach- 
sende n 

1 fl 1.1, 1 

sodafs also s = |(y ist*). 



*) Hie und da findet man die Meinung ausgesprochen, dafs ein Satz, der für jede 
endliche Anzahl von Gröfsen gilt, auch dann richtig bleiben müsse, wenn jene Anzahl 



Cap. V. Die unendlichen Reihen. 123 

Als zweites Beispiel diene die convergirende Eeihe 

-A____i_+2__J_ + _L_.... 

yi y2 ys y4 ys 

Werden ihre Glieder folgendermaafsen umgestellt 

_L . J L . ^ . J L^ 

yi"^y3 y2"^y5"^y7 ^/^ ' 

so sind die einzelnen dreigliederigen Gruppen von der Form 
1.1 1 



und zwar beträgt diese Gruppe mehr als 
1 1 



'2m \ -\/2J y/ 



y^m y4:m y2m 

Die neue Keihe besitzt demnach eine gröfsere Summe als 



y2)(yT'^y2+y3 + ---j 



und ist folglich divergent. 

Hiernach stellt sich die Nothwendigkeit heraus, zweierlei Arten 
von convergirenden Reihen zu unterscheiden; es heifse nämlich eine 
Reihe beding t-convergent, wenn ihre Summe von der Anordnung 
der Glieder abhängt, sie heifse dagegen unbedingt-convergent, 
wenn ihre Summe auch bei beliebiger Umstellung der Glieder immer 
dieselbe bleibt. Damit wird man zu der Aufgabe geführt, die Kenn- 
zeichen der unbedingten Convergenz aufzusuchen. 

Es sei Un die Summe einer ^ - gliederigen Reihe etwa 

1) ^n == "O + ^'l + ^2 + • • • H- ^^«-1 

und bei unendlich wachsenden n der Grenzwerth von Z7„ gleich einer 
bestimmten endlichen Gröfse U, mithin 

2) U==:Uq J^u^-^U^^U^-{- 

unendlich wird; das obige Beispiel, welches von Lejeune-Dirichlet in den Ab- 
handlungen der BerHner Akademie vom Jahre 1837, S. 48 angegeben worden ist, zeigt 
die Unrichtigkeit eines solchen Princips. Bei jeder endlichen Anzahl von Summanden 
ist die Anordnung der letzteren ohne Einflufs auf die Summe , bei unendlich vielen 
Summanden im Allgemeinen nicht. 

Wie sich in §. 42 zeigen wird, ist 6 = 12 mithin s = ^12. Dieses Resultat bil- 
det einen speciellen Fall des folgenden, vom Verf. mittelst der Integralrechnung ge- 
fundenen Satzes: wenn in der convergirenden Reihe 

"i — «2 + Wg — %^ + . . . = Ä 
die Glieder so umgestellt werden , dafs immer p positive und q negative Glieder auf- 
einander folgen , wobei j}"^ <i sein möge , so beträgt die Summe der neuen Reihe 

(S. d. Verf. Übungsbuch zum Studium d. höheren Analysis. 2. Aufl. Bd. II, S. 178.) 



124 Cap. y. Die unendlichen Reihen. 

d. h. die vorliegende Reihe convergent, so ist zu untersuchen, ob 
eine neue unendliche Reihe 

3) v^^v^-]rv.^-\-v^^ 

welche sich von der vorigen nur in der Anordnung der Glieder un- 
terscheidet, gleichfalls JJ zur Summe hat. Nehmen wir von der 
zweiten Reihe vorläufig die p ersten Glieder und setzen 

4) ^p = ^0 + ^'i + i'a + • • • • H- ^p-xy 

SO können wir p so grofs wählen, dafs die ^Glieder von Z7„ sämmt- 
lich unter den p Gliedern von Fp enthalten sind. Aufserdem kom- 
men in Fp noch p —^Glieder vor, welche sich in der Form 

vereinigen lassen und deren Indices q, r, s etc. gröfser als n~l 
sind. Demnach ist 

mithin bei unendlich wachsenden n und p 

Lim Fp — U =■ Lim. {Uq -{- Ur -{- Ug -\- . . . .) ; 
soll nun die Reihe ^0+^1 + ^2 + ^tc. gleichfalls U zur Summe 
haben, so mufs Lim Vp = Z7, mithin 

5) Lim {Ug -\- Ur -\- Ug -{- . . . .) = 

sein, und diefs ist das Kennzeichen der unbedingten Convergenz der 
Reihe 2). Zu einer andern Form gelangt man auf folgendem Wege. 
Wenn die Reihe 2) von einer bestimmten Stelle an nur positive 
Glieder enthält, so kann man n so grofs wählen, dafs alle in der 
Gleichung 

^—^« = ^« + ^^«4.1 + ^^2+ • • • • 
rechter Hand vorkommenden Gröfsen positiv sind; die Summe w„ + 
Wn+i + etc. ist der sogenannte Rest der Reihe und hat die Null 
zur Grenze, weil bei unendlich wachsenden n die linke Seite in 
U — Lim Un==0 übergeht. 

Was ferner die Summe Wg + Wr + etc. anbelangt, worin die An- 
zahl der Glieder =p — n und jeder Index 7> n — 1 ist, so hat 
man wegen des positiven Vorzeichens aller Glieder 

< Wg -h Wr + w« + . . . < w^ -f- M„^i -\-u„^-{- 

mithin bei unendlich wachsenden p und n 

Lim [Ug -{- Ur -{- Ug -{-..,) = ; 
unter der gemachten Voraussetzung convergirt also die Reihe un- 
bedingt. 

Wenn die ursprüngliche Reihe theils positive, theils negative 
Glieder enthält und von keiner Stelle an Glieder mit gleichen Vor- 
zeichen liefert, so verlieren die vorigen Schlüsse ihre Anwendbarkeit 



Cap. V. Die unendlichen Reihen. 125 

und die Convergenz kann in diesem Falle möglicherweise eine nur 
bedingte sein. Unter der besonderen Voraussetzung, dafs die Reihe 
auch dann convergent bleibt, wenn statt der einzelnen Glieder deren 
absolute Werthe genommen werden, läfst sich aber die Sache weiter 
verfolgen. Bezeichnen wir nämlich den absoluten Werth irgend eines 
Gliedes Un mit [t*„] und ist nun 

eine convergente Reihe, so hat man nach dem Vorigen 
Lim \[ug]-^[ur]+M -}-.... \ =0 

d. h. der absolute Werth von Uq-\-Ur-\- etc. kann kleiner als jede 
angebbare Zahl gemacht werden. Daraus folgt augenblicklich, dafs 
% + Wr+etc. selber gleichfalls die Null zur Grenze hat oder dafs 
die Reihe unbedingt convergirt. Diefs giebt den Satz*): 

Eine unendliche Reihe convergirt unbedingt, wenn 

sie ihre Convergenz auch in dem Falle behält, wo 

alle Reihenglieder auf ihre absoluten Werthe re- 

ducirt werden. 

Hiernach erklärt sich, warum die anfangs besprochenen Reihen 

nur bedingt convergirten ; sie werden nämlich divergent, wenn man 

ihre Glieder mit gleichen Vorzeichen nimmt. 

§. 31. 

Die Potenzenreihen. 

Unter den Reihen von specieller Form, die später häufig vorkom- 
men werden, führen wir zuerst die sogenannten Potenzenreihen 
an; sie sind unter dem allgemeinen Schema 

1) ÜQ -f ßjX + tfgor^ -f- fl^a-s + . . . . 

enthalten, worin x eine beliebige Variabele bezeichnet, und die von 
X unabhängigen Coefficienten üq^ a^, «2 ^^c. nach einem gegebenen 
Gesetze fortschreiten. 

Zufolge der in den §§. 25, 29 und 30 entwickelten Sätze con- 
vergirt die Reihe 1) unbedingt, sobald der absolute Werth von 

Lim "^^ „ — = Lm 



weniger als die Einheit beträgt; setzt man 
2) Lim -^ = A 



*) Derselbe ist von Scheibner aufgestellt worden in der Abhandlung ,,Über 
unendliche Reihen und deren Convergenz. Leipzig, 1860" (§. 7). 



126 Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 

SO wird 



Lim ^''^ — 



und der absolute Werth hiervon liegt unter der Einheit, wenn 

— /l<a:<-|-A oder j:2<A2 

ist. Hierdurch bestimmt sich der Spielraum , auf welchen x be- 
schränkt werden mufs, wenn die Reihe 1) unbedingt convergiren soll. 
Ob sie noch für x=^-\- l oder x = — l ihre Convergenz behält, ist 
in jedem speciellen Falle nach den Convergenzregeln in den g§. 27, 
28 und 29 zu entscheiden. 

Bezeichnen wir den absoluten Werth einer Zahl z mit [;^], so 
haben wir für den Fall, dafs die Reihe convergirt. 



-h'?^] = [!]<■' 



für hinreichend grofse Werthe von n, etwa für n = h, h-\-l^ ä; -}- 2 
etc., mufs demnach der Quotient 

L ^.^" J 

kleiner bleiben als ein zwischen y und 1 eingeschalteter willkür- 
licher Bruch /, und nach einer schon oft gebrauchten Schlufsweise 
folgt hieraus 

K+i ^'+'] < Wk ^'] y, [«it+2 «^'■+'] < [«A- ^'J y^ .... 
mithin 

[au x^] + [«,^1 ar^+ij + [flA+2 x^'^^] -f- • . . • 

oder 

3) [a, x^^] + K+i 0:^+1] + [«t+2 ^^+^] + ....< j-^. 

Denkt man sich die Reihe 1) in zwei Theile zerlegt, von denen der 
erste die h Anfangsglieder, der zweite alle übrigen Glieder enthält 
und Bk heifsen möge, so ist 

4) ö(j + «1 ar -f «2 a:2 _j_ Ö3 0:3 4- . . . . 

5) Rk == <>k x^' + ^M ^^+' + «/c+2 ^^+' + 

und nun kann die Ungleichung 3) zu einer kürzeren Darstellung von 
Efc benutzt werden. Es erhellt nämlich unmittelbar, dafs B>h zwischen 

[«, x'^] + [«,+! OT^+i] + [«,+2 :r^+2] _i_ . . . . 

und 



Cap. Y. Die unendlichen Keihen. 127 

enthalten ist, dafs also die Ungleichung 

1 — y 1 — y 

stattfindet; bezeichnet^ einen nicht näher bestimmten positiven oder 
negativen echten Bruch , so kann hiernach 

b) Hk = , — 1 <: 9 < -I- 1 

1 — y 

gesetzt werden. Diese Formel ist in dem P'alle von Werth, wo man 
die Summe der Reihe 1) durch wirkliche numerische Berechnung und 
Addition ihrer Glieder ermitteln will ; hat man nämlich die Je ersten 
Glieder summirt, so liefert die Formel 6) für q == — 1 und ^ = -|- 1 
zwei Zahlen, zwischen denen der Rest Rk liegt, d. h. sie bestimmt 
das Minimum und Maximum des Fehlers, welcher aus der Vernach- 
lässigung der übrigen Glieder entspringt. 

Die Summe einer unendlichen und convergirenden Potenzenreihe 
ist im Allgemeinen eine gewisse Function der Variabelen (x)^ nach 
deren Potenzen die Reihe fortschreitet; die specielle Natur dieser 
Function hängt von der Form der Coefficienten ab und kann daher 
erst dann angegeben werden, wenn das Bildungsgesetz der Coefficien- 
ten näher bestimmt ist. Doch läfst sich wenigstens die Frage nach 
der Continuität der genannten Function allgemein entscheiden. 

Innerhalb der Grenzen x = — l und x = -{- X sei f{x) die 
Summe der Reihe 1), also 

und f ein beliebiger, zwischen — l und + X liegender individueller 
Werth des x; denken wir uns die positiven Gröfsen S und e so klein 
gewählt, dafs ^ -\- d und ^ — e gleichfalls zwischen — l und + 1 
enthalten sind, so dürfen wir die Gleichung 7) sowohl für x==^ -\~ ö 
als für x = ^ — 6 in Anspruch nehmen und haben dann 

wo nun zu untersuchen ist, ob die rechte Seite die Null zur Grenze 
hat, wenn ö und e gegen die Null convergiren. Der Einfachheit we- 
gen wollen wir zunächst voraussetzen, dafs alle die Coefficienten a^, 
«2, et 3 etc. positiv seien und dafs auch ^ und ^ — e positive Werthe 



128 Cap. V. Die unendlichen Reihen. 

haben mögen ; auf der rechten Seite von No. 8) läfst sich dann auf 
jedes einzelne Reihenglied die Ungleichung 

mci > — > W ^ 

a — p 

für a==:§-|-J, ß = ^ ~ e anwenden , und diefs giebt , weil alle 
Glieder positiv sind, 

(5 + [l«, + 2fl2a + ^) + 3«3a-f 5)2 + ... .] 

>/(l+d)-/{^--^)> 

(5 + £) [Ifl, +2fl, (|-^£)+3«3(^— e)2 + ]. 

In der unendlichen Reihe 

9) 1^1 + 2a^x + Sflgjrä + ia^x^ + . . . . 

ist nun 



uJi+A^^^^^j^^u», 



na„x 



0+-)- 



n+i 

a. 



mithin convergirt diese Reihe für x^ <^l^ d. h. unter derselben Be- 
dingung wie die Reihe 7) , folglich ist ihre Summe eine bestimmte 
Function, welche f{x) heifsen möge. Da ^ + ^ und ^ — e der Con- 
vergenzbedingung genügen, so haben wir jetzt 

Bei unendlich abnehmenden d und e bleiben /"(? + ^) und /"(? — «) 
immer endliche Gröfsen , während d + e die Null zur Grenze hat, 
daher wird 

Hierin liegt der Satz, dafs die Summe einer aus positiven Gliedern 
bestehenden Potenzenreihe eine continuirliche Function bildet, so 
lange x^ <,l^ bleibt. 

Dieses Theorem ist leicht auf den Fall auszudehnen, wo die Po- 
tenzenreihe positive und negative Glieder enthält. Denkt man sich 
nämlich alle positiven Glieder zu einer Reihe zusammengefafst und 
ebenso alle negativen Glieder, so erscheint die ursprüngliche Reihe 
als Differenz zweier neuen Reihen, von denen jede für sich nur po- 
sitive Glieder zählt; auch ist eine solche andere Anordnung erlaubt, 
weil die ursprüngliche Potenzenreihe wegen x'^ <C^^ unbedingt con- 
vergirt. Jede der neuen Reihen hat nach dem Vorigen eine stetige 
Function von x zur Summe, mithin ist auch die Differenz der beiden 
Reihen eine stetige Function von x, d. h. 

Die Summe jeder Potenzenreihe, welche von irgend 
einer Stelle an rascher als eine geometrische Progres- 
sion convergirt, ändert sich continuirlich innerhalb des 
hiernach bestimmten Convergenzintervalles, 



Cap. y. Die unendlichen Eeihen. 129 

Wir wollen endlich noch die Frage beantworten, unter welchen 
Bedingungen zwei Potenzenreihen 

welche innerhalb eines gegebenen Intervalles — l ^x <C^'X gleich- 
zeitig convergiren, eine und dieselbe Summe haben. Der Voraus- 
setzung zufolge soll 

10) flo + ^' iS'i + ^2^ + ^3^"^ + ) 

==.b,^x{b^-\-b,x-^b^x'^-\-. ...) 

sein; die eingeklammerten Reihen convergiren innerhalb des angege- 
benen Intervalles und besitzen daher endliche Summen, welche (p^^ix) 
und ^)^{x) heifsen mögen, so dafs 

Läfst man x in Null übergehen, so bleiben ^i(O) und t/^,(0) endliche 
Gröfsen und es folgt 

«0 = *o- 
In No. 10) kann jetzt «^ gegen h^ gehoben und die Gleichung mit 

X dividirt werden; diefs giebt 

11) tf 1 + j(ff2 + a^x -\- «4^2 + ....) 
= b,-\-x{h,^b^x^b^x^ + ) 

oder in selbstverständlicher Bezeichnung 

Hier sind (p.^{x) und '^^{x) die Summen zweier convergiren den Eei- 
hen , also Functionen , welche für — l<ix<Z-\-l endliche Werthe 
haben. Durch Übergang zur Grenze für unendlich abnehmende x 
folgt daher 

«i = *r 
Aus der Gleichung 11) wird jetzt 

oder kurz 

"2 + -^^JPs W = *2 + ^^3 W ' 

WO (p-^ix) und xp^(x) für —X<^x<^-\-l endliche Werthe behalten; 
der Übergang zur Grenze für unendlich abnehmende x giebt 

«2=^2- 

Den weiteren Fortgang dieser Schlufsweise übersieht man leicht; er 
führt zu dem Satze: 

Wenn zwei Potenzenreihen innerhalb eines die Null 
umfassenden Intervalles gleichzeitig convergiren, so 
können sie nur unter der Bedingung eine und dieselbe 
Summe haben, dafs die Coefficienten gleichhoher Po- 
tenzen beiderseits gleich sind, 

Schlümilch algebr. Analysis. G. Aufl. g 



130 Cap. V. Die unendlichen Reihen. 

Läfst sich eine gegebene Function f{x) in eine nach Potenzen 
von X fortschreitende und convergirende Reihe verwandeln, so ist 
dies zufolge des obigen Satzes nur auf eine einzige Art möglich. 

§.32. 

Periodische Keihen. 

Wegen späterer Anwendungen betrachten wir noch Reihen von 
den Formen 

1) Y^o ~l~ ^1 ^^'^ ^ ~\~ f^2 ^^* 2a: -[- 0^3 cos 3x -j- . . . . 
und 

2) /»i sin x -\- /;.2 sin 2x -\- h.^ si/i Sx -\- . . . . 

in welchen wir die mit a und h bezeichneten Coefficienten sämmtlich 
als positiv voraussetzen wollen. Wir können hier drei Fälle unter- 
scheiden: entweder nämlich sind die Coefficienten einander gleich, 
oder sie bilden eine steigende oder endlich eine fallende Reihe. 

Findet das Erste statt, wobei wir a den gemeinschaftlichen W^erth 
der Gröfsen a^, a,, a,^ etc. und h den gemeinsamen Betrag von ft^, 
62, & 3 etc. nennen wollen, so ist in der ersten Reihe die Summe der 
n ersten Glieder 

,9„ = rt [-J -j- cos X -j- cos 2x -\- cos ^x -\- . . . -\- cos {n — 1) a:] 
d. i. nach der in §. 16 entwickelten Formel 8) 

sin{n—\)x 
" 2 sin \x 

Für unendlich wachsende n nähert sich dieser Ausdruck keiner be- 
stimmten Grenze, weil der Sinus eines zunehmenden Bogens immer 
zwischen + 1 und — 1 hin und her oscillirt. Die Reihe 1) hat dem- 
nach, ins Unendliche fortgesetzt, keine angebbare Summe, divergirt 
also. — Ähnlich verhält es sich in unserem Falle mit der Reihe 2); 
für diese ist nach §. 16, Formel 4) 

S^ = b \sin X -\- sin 2x -\- sin Sx -\- . . . -\- sin nx] 



/.Fl ,1 cos {n -\- l)x'] 



wo nun wiederum Lim S,, nicht angegeben werden kann und defswe- 
gen die unendliche Reihe 2) divergirt. 

Bilden die Gröfsen «o, «i, «2 ^^c. und ebenso h^, h^, 63 etc. 
eine steigende Reihe, so findet offenbar die Divergenz um so mehr 
statt, und es bleibt daher noch der Fall zu untersuchen übrig, in 
welchem jene Gröfsen eine fallende Reihe ausmachen. 

Multipliciren wir die Gleichung 

.S„^^ =^(1^ -\- (i^ cos X -\- a^ cos 2.f -f- • • • + "n ^^'•^" ''^ 



t 



Cap. Y. Die unendlichen Keihen. 131 

mit 2 sin } x und zerlegen rechter Hand jedes doppelte Product aus 
einem Cosinus und einem Sinus in die Differenz zweier Sinus, so 
wird 

= ÖQ sin\x -\- a^ (sin ^x — sin ^x) -{- n^ {sin ^x — sin ^x) -\- . . . 
. . . + fl„_, [sin {n — ^)x — sin (n — f ) x] 
-\- an ['^in (;z -f- 1) X — sin {n — |) x]. 
Durch Vereinigung derjenigen Glieder, welche dieselben Sinus ent- 
halten und durch Transposition von a„ sin (n -\- ^) x ergiebt sich 

hieraus 

2 sin^^^x . S^^^ — fl„ sin (/? + |) a: 

= (flo — « J sin ^x 4- (ß, — a^) sin ^x -j- (a^ — Ö3) sin ^x -['.,, 

. . . + («„_, — a„) sin (n — ^) x. 

Lassen wir n unendlich wachsen und setzen wir voraus, dafs die 

Abnahme der Gröfsen a^^ a^^ a^, . . . ins Unendliche geht, mithin 

Lim a„ = ist, so bleibt jetzt linker Hand nur 2 sin | x . Lim Sn+i 

übrig und rechter Hand wird die Reihe unendlich, also 

3) Lim ^„+, = ^— r^- («0 — «1) '''""y^ + («1 — «2) ^'>' Y^ 

^ (a^ — a^) sin ^x -{- (a^ —a^)sinlx-\- . . .j 
Betrachten wir zunächst die Reihe 

4) («0 — «1) + (^1 — «2) + («2 — «3) + («3 — ^4) + • • • 

bei welcher wir die in Parenthesen stehenden Differenzen als ihre 
einzelnen Glieder ansehen, so besitzt dieselbe erstens durchaus posi- 
tive Glieder (wegen üqT^ a^^y^ a2 etc.) und ist zweitens auch con- 
vergent, denn man erhält durch Vereinigung der aufeinander folgen- 
den Glieder successive 

d. h. Summen , welche sich (der Voraussetzung Lim a„ = zufolge) 
der endlichen Grenze a^ nähern. Wenn nun schon die aus nur po- 
sitiven Gliedern bestehende Reihe 

(«0 — «1) + («1 — «2) + («2 — «3) + 

convergirt, so mufs dasselbe um so mehr mit der Reihe 

5) (öQ — «1) sin\x-]r{a^ — a.^) sin %x-{-{a^—a^) sin^x-{- 

der Fall sein, weil ihre Glieder, den absoluten Werthen nach, kleiner 
als die gleichstelligen Glieder der ersten Reihe sind, und aufserdem 
die Reihe 5) theils positive theils negative Glieder enthält. Bezeich- 
nen wir demnach die endliche Summe der Reihe 5) mit A, so folgt 
aus No. 3) 

Lim S.... = - — —-^ — 
"+* 1sin\x 



132 Cap. Y. Die unendliclien Reihen. 

und hier ist die rechte Seite eine endliche Gröfse, sobald x nicht 

== oder == + 27r, + 47r, + ^n etc. ist. Diefs giebt folgenden Satz : 

Wenn die positiven Gröfsen a^, «j, a^, .... eine ins 

Unendliche abnehmende Reihe bilden, so conver- 

girt die Reihe 

-| öq + ^^1 c(*s ^ H~ ^2 *'^^ 2a: -f- ^3 C0.9 3.r -|- • • • ♦ 

für alle ^, welche nicht = 0, + 2/r, + 47r, + ß/r etc. 

sind. 
Läfst man tc — ^ an die Stelle von x treten , so folgt weiter : 

Unter den obigen Voraussetzungen convergirt auch 

die Reihe 

\a^ — öj Qos z -\- a^ cos 2z — a^ cos 3^ -f- . . . . 

für alle z, die nicht = + tt, + S/r, + ö/r etc. sind. 
Die Nothwendigkeit der hinzugefügten Determination erhellt übrigens 
auch von selbst aus der Bemerkung, dafs die Reihe in den angege- 
benen Ausnahmefällen die Form 

Y«0 + «1 H- «2 + «3 -H 

erhält, wo nun, wegen des gleichen Vorzeichens aller Glieder, die 
blofse unendliche Abnahme von «o, a^, a^ etc. zur Convergenz nicht 
hinreicht. Für x = n oder ^ == kommt man auf das schon in 
§. 29 aus anderen Gründen bewiesene Theorem zurück. 

Ganz ähnliche Betrachtungen gelten für die Reihe 2); multipli- 
ciren wir nämlich die Gleichung 

S^ = b ^ sin X -\-b^ sin 2x -f- b^ sin Zx -{-... -\- Ä„ sin nx 
mit 2 s%n\x und zerlegen rechter Hand jedes doppelte Sinusproduct 
in eine Cosinusdifferenz, so folgt 

2 S^ sin ^x = b^ (cos \x — cos ^x) -{- b^ (cos -| x — cos |- x) -{- . . . 

• • • 4- K-i [^»* ('^ — I) ^ — ^«^ ('^ — Y^)] 
-f- b^ [cos {n~}) X — cos (n -}- |) x], 

und dieser Gleichung kann man leicht die Form geben 

2 sin ^x . Sf^-\- bj^ cos {n-{- }) x 
= b^ cos^x — (Äj — b^) cos f .X' — (^2 — ^3) (^os^x — ... 

... — (^,,_^ — bj cos {n—})x 
Unter den Voraussetzungen &i > &2 ^ ^3 ^ • • • ^^^ -^^^ ^n = 
folgt hieraus 

LimS^= . U^ cosix — {b^—b^)cos^x — ib,2 — b^) cosp— . . . 
Jj sin -^x ^ j 

Die Reihe 

{K - K) + (^2 - ^3) + (^3 - ^) + • • • ' 
enthält nun lauter positive Glieder (jede Differenz für ein Glied ge- 



Cap. y. Die uuendlichen Reihen. 133 

rechnet) und ist aufserdem convergeut, nämlich ihre Summe =&i; 
hieraus folgt, dafs die Summe 

(/;, — h,j) cos^x-\- {b^ — b^) cos ^x -{-... . 
um so mehr eine endliche Gröfse und dafs mithin auch die Differenz 

b^ cos ^x — {b^ — b^) cos |.r — [b^ — ^3) cos ^ x — . . . . 
einen endlichen Werth haben mufs. Nennen wir den letzteren B, 
so ist jetzt 

Lim S^^ == . 

2 sw ^ X 

also LimSn eine endliche Gröfse, wenn nicht ^==0, +27r, + 4/^ 
etc. Die Eeihe 2) mufs demnach, die genannten Fälle ausgenommen, 
convergiren, ist aber x^O, oder =+27r, +47r etc., so reducirt 
sich die Reihe auf Null und convergirt also noch; man kann daher 
das Theorem aufstellen: 

Wenn die positiven Gröfsen &i, h^, b.^ etc. eine ins 
Unendliche abnehmende Reihe bilden, so ist die 
Reihe 

b^ sin X -\- b^ sin 2x -\- b^ sin ^x -\- . . . . 

jederzeit convergent. 
Für x=^7T — 2 ergiebt sich hieraus noch der Satz: 

Unter den gemachten Voraussetzungen ist die Reihe 
b^ sin z — b^ sin 2z -f- b^ sin 3^ — ... . 

gleichfalls jederzeit convergent. 
So geht z. B. aus den entwickelten vier Theoremen auf der Stelle 
hervor, dafs von den Reihen 

cos 2>X , cos 4:X . 



1 




cos 


X 


1 




sin 


X 


1 




sin 


X 



' 


2 




cos 2x 




2 


+ 


sin 2x 


2 




sifi Ix 



1 


3 


+ 


cos Zx 
3 


1 


sin Zx 


■ 1 


3 


■4- 


sin Zx 



1 


4 




cos 4x 




4 


+ 


sin 4tx 


4 




sin 4:X 



+ . . 



1 2 ' 3 4 ' 

die erste für alle x convergirt, die nicht = oder gleich einem ge- 
raden Vielfachen von ji sind, dafs ferner die zweite convergirt, wenn 
X kein ungerades Vielfaches von ji ausmacht und dafs endlich die 
beiden letzten Reihen jederzeit convergiren*), 

*) Die beiden allgemeinen Sätze dürfte der Verf. zuerst aufgestellt haben. Für den 
speciellen Fall, dafs a^, a,, a^ etc., b^, b.j, etc. Binomialcoefficienten sind, hat Abel 
dieselben Sätze bewiesen in seiner Untersuchung über die Binomialreihe , C r e 11 e 's 
Journal für Mathem. Bd. I, S. 311. 



134 Cap. V. Die unendlichen Reihen. 

§. 33. 

Die Addition und Multiplication unendlicher Reihen. 

Wir haben früher angedeutet, dafs es eines der wichtigsten Ge- 
schäfte der Analysis sei, unendliche Reihen zu summiren; diese Auf- 
gabe läfst sich nur dadurch lösen, dafs man mit den fraglichen Rei- 
hen verschiedene Rechnungsoperationen vornimmt, wobei auch der 
Fall eintreten kann, dafs man unendliche Reihen zu addiren oder zu 
multipliciren, oder sonstige Hülfsmittel des Calcüls auf sie anzuwen- 
den hat. Bevor wir aber derartige Untersuchungen anfangen, haben 
wir die Frage zu beantworten, in wie weit es erlaubt ist, solche Rech- 
nungsoperationen mit unendlichen Reihen vorzunehmen. Diese Frage 
ist defshalb noth wendig, weil die Arithmetik nur mit endlichen be- 
stimmten Gröfsen oder Polynomen von endlicher Gliederanzahl rech- 
nen lehrt, hier aber Ausdrücke, welche ins Unendliche fortlaufen, 
dem Calcül unterworfen werden sollen. 

Über die Befugnifs nun, mit unendlichen Reihen nach den Re- 
geln der Arithmetik zu rechnen, haben wir Folgendes zu bemerken. 
Alle bisherigen Rechnungen beschäftigen sich mit Gleichungen, und 
selbst da, wo Ungleichheiten eingeführt wurden, geschah diefs nur 
zur Ausmittelung von Grenzwerthen, v/elche sich zuletzt doch wieder 
in Gleichungen aussprachen. Es liefse sich wohl auch eine Analysis 
denken, die es mit unbestimmteren Beziehungen, etwa Ungleichheiten, 
Ähnlichkeiten u. dergl. zu thun hätte, aber sie würde nur von unter- 
geordneter Bedeutung sein, da man in das Wesen der Gröfsenver- 
knüpfungen offenbar durch Gleichungen die klarste Einsicht bekom- 
men mufs. Daraus folgt sogleich, dafs wir die divergenten Reihen 
aus analytischen Betrachtungen ganz ausschliefsen müssen, weil di- 
vergente Reihen keiner gestimmten Gröfse gleich sind. So bleiben 
uns allein die convergenten Reihen und bei diesen lassen sich die 
Umstände, unter welchen man mit ihnen rechnen kann, leicht aus 
der Lehre von den Grenzen herleiten. 

I. Setzen wir 

^n = ^0 + «^1 + ?^2 + • • • • + ''n' 
Qn = ^0 + ^1 + '^2 + • • • • + ^n' 

und bezeichnen mit a und h zwei von n unabhängige Factoren, so 
haben wir 

Unter der Voraussetzung, dafs Lim Pn = P und Lim §„ = ö ^^d- 



Cap. y. Die unendlichen Eeihen. 135 

liehe Gröfsen sind, convergiren die obigen Reihen, und die Summe 

der ersten ist F , die der zweiten Q; ferner ergiebt sich aus der 

letzten Gleichung für w = oo 

{au^ H- bv^) -\- {au^ + bv^) + {aii^ + bv^) -|- . . . . 
= uP + bQ 

d. h. in Worten: 

Das Aggregat zweier convergenter Reihen ist wie- 
der eine convergirende Reihe und die Summe der 
letzteren gleich dem Aggregate von den Summen 
der ursprünglichen Reihen. 

Dieser Satz kann leicht auf jede endliche Anzahl convergirender 

Reihen ausgedehnt werden. 

IL Um den entsprechenden Satz für das Product zweier Reihen 

zu erhalten, denken wir uns letztere als Potenzenreihen, wodurch 

die Übersicht über die entstehenden Partialproducte erleichtert wird ; 

es sei nämlich 

Das Product von beiden Reihen ist 

-f- («0^2 +«1*1 -|-«2*o)^^ 






3) + («0*2« -l-fll*2n-i + • • • + «2«-i*l + «2n*0^ ^' 
+ {"An -\- «2*2«-i + • • • +«2n-i*2 + «2«*l) ^' 
+ 

+ («.«-i*.n + «2n*2«-i) ^'"~' 
+ «.n*.n^^". 

Bezeichnen wir mit S^^ die Summe der n-\-l ersten Glieder des 
Productes, also 

4) •^,n = «0*0+(«0*l+«l*o)^+(«0*2 + «l*l H-«2*o)^^ + --- 

• • • + («0*2n + «1*27.-1 -+-•••+ «2«_i*l + «2n*o) ^'" 

so ist 

5) S,^<,P,^Q,^ 

weil PtnQ^n aufser dem, was in S^n sicli findet, noch die Glieder 
mit ic^"*', a;^"■^^ ... x^'' enthält, welche positiv sind, da alle Glieder 
der Reihen 1) und 2) positiv angenommen werden. Multiplicirt man 
dagegen die Reihen 

7) e„==*o + *i^+V^+- • • +*«^" 



136 Cap. V. Die unendlichen Beihen. 

welche n Glieder weniger enthalten als die in 1) und 2), so erhält 
man als Product 

+ 

und aus der Vergleichung desselben mit 4) ergiebt sich 

Es ist also zusammen mit 5) 

liassen wir nun n ins Unendliche wachsen , so werden die mit P^« 
und P„, §,„ und Q,^ bezeichneten Keihen zugleich unendliche; be- 
zeichnen wir ihre Summen mit P und Q, welche hier wegen der Con- 
vergenz jener Reihen endliche bestimmte Gröfsen sind, so ist 

Die äufsersten Grenzen in der Ungleichung 9) , zwischen denen S^^ 
liegt, rücken also dann immer näher an einander und es mufs folg- 
lich sein: 

LmS^,=PQ 
d. h. die Summe der Reihe 4) ist endlich, folglich die Reihe conver- 
gent und ihre Summe gleich dem Producte der ihre Factoren bilden- 
den Reihensummen. 

Hören die Reihen 1) und 2) mit ungeradstelligen Gliedern auf, 
d. h. sind sie von der Form 

a, + a,x + a^x'^ + • • • + «.„^'" + «.n^,^*""-' 

so bezeichne man sie mit 

^.«+^„^.^^"^' und ß.n + ^.n-..'^'""' 

und setze diefs in dem vorigen Beweise für P.,,j und §,„, so redu- 
cirt man diesen Fall auf den vorigen und kann nun allgemein sagen : 
Wenn die unendlichen und convergenten Reihen 
«0 -f- a^x -j- «2^^ + ^3^^ + . . . . 
b, + b,x + V^ + b,x^ + . . . . 
nur positive Glieder enthalten, so ist ihr Product 
identisch mit 

und das Product ihrer Summen gleich der Summe 
dieser neuen Reihe. 



Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 137 

In diesem Falle also ist die Multiplication nach den Eegeln der Arith- 
metik geradezu erlaubt. 

Die soeben geführten Schlüsse finden keine Anwendung mehr, 
wenn die Reihen 1) und 2) auch negative Glieder enthalten. Denn 
in diesem Falle kann man nicht sagen, dafs S^^ <, P^nQ-^n sei, 
weil die Glieder, welche P^nQ->ii mehr enthält als S^n-, zusammen 
so viel Negatives geben könnten, dafs P.nQm gleich oder kleiner 
als S^n würde, und eben so wenig darf man behaupten, dafs S.^^ "> 
> P,, Ö„ sei. 

um auch diesen Fall zu erledigen, betrachten wir Reihen mit 
alternirenden Vorzeichen, nämlich 

P = a^ — a ^x -\- «2"^*^ — a.^x^ -j- . . . ., 
Q= b^ — h^x -f- b^x^ — b.x^ + . . . , 
Vorausgesetzt, dafs diese Reihen auch dann ihre Convergenz behal- 
ten, wenn alle Glieder mit gleichen Vorzeichen genommen werden, 
sind die Summen der Reihen 

b,-\-b^X-^h,X^-^h^X^-\-.,.. 

endliche Gröfsen, mithin convergiren auch die Reihen der geradstel- 
ligen und ungeradstelligen Glieder für sich; setzen wir daher 

^'o = ^ -^b,x^-^b,x^ + b,x^-\-...., 
V^=b^x-^b,x^-{-b,x^-\-...., 

so sind TJq^ ü^, Fq , V^ endliche Gröfsen*)* Nach dem in No. I 
bewiesenen Satze ist nun 

p=u,-~u,, q^v,-i\ 
ferner nach der Regel für die Multiplication von Reihen mit posi- 
tiven Gliedern 
^0^0 =«0^ -\-{a^b^^a.^b,)x'^ +.... 

^/^O = ^^^0^ + («1*2 -l-«3^o)^^ + 

U,l\^ a,b,x^ +.... 

*) Die Nothwendigkeit der gemachten Voraussetzung 'zeigt u. A. das Beispiel ic= 1, 
a^ = , a, == ^ , a^ = — i etc. Die Eeihe 

T i+s \ v ^ ~ -k ~T ' • • • 
verliert nämlich ihre Convergenz, wenn alle Glieder mit gleichen Vorzeichen genommen 
werden , und daher darf auch die Convergenz der einzelneu Eeihen 

1 + 1 + ^ etc. und ^ + i + ^ + etc. 
nicht behauptet werden. 



138 Cap. V. Die unendlichen Reihen. 

und daraus ergiebt sich 

— («0^3 +«1*2 +«2*l + «3*0)^^ + 

Die linke Seite ist eine endliche Gröfse und einerlei mit 

mithin convergirt die rechts stehende Reihe und hat PQ zur Summe. 
Nach der gemachten Voraussetzung gilt jetzt folgender Satz*): 

Wenn die unendlichen und convergirenden Reihen 

*o — *i^ + *2^^ — *3^^ + ••••» 
ihre Convergenz in dem Falle behalten, wo alle Glie- 
der mit gleichen Vorzeichen genommen werden, so 
convergirt auch die Reihe 

«0*0 — («0*l + «i*o)^ + («0*2 +«1*1 +«2*o)^^ — 

und ihre Summe ist gleich dem Producte aus den 

Summen der vorigen Reihen. 
Wie man sieht, darf man unter der angegebenen Bedingung die Rei- 
hen auf gewöhnliche Weise multipliciren ; dafs im Gegenfalle die Gül- 
tigkeit des Satzes aufhört, mag folgendes Beispiel zeigen. 
Nimmt man 

oc = \, a^ = b^ = — 

V« + i 

und multiplicirt die convergirende Reihe 
10) P = ,i_,i+,i_,i_.... 

yi y2 ys y4 

mit sich selbst, indem man die Glieder auf die angegebene Weise 
ordnet, so erhält man eine neue Reihe 

'^ = ^ — ^2 + ^3 — ^4 + • • • • 
und darin ist 

^n = -^- + T — ^ H -. i- ' - • 

-]/n -\/{n — 1)2 y(w — 2)3 

y2(«— 1) y» 

Um diesen Ausdruck zusammenzuziehen, erinnern wir an den be- 
kannten Satz, dafs das geometrische Mittel zweier Zahlen kleiner ist 
als deren arithmetisches Mittel, daher auch 



*) Derselbe rührt von Cauchy her: Cours d'analyse algebrigue, p. 157. 



daraus folgt 



und umgekehrt 



Cap. V. Die unendlicilen Eeihen. 139 

y(«— /i-)(A-+T) < yi(« + i) 



V] 



>' ^ 



V(«-yt)(A-+l) ' n + l 
Setzt man in dieser Ungleichung Z; = 0, 1, 2, 3, . . . w — 1 und ad- 
dirt alle entstehenden Ungleichungen, so erhält man 

'» > " Ft^T «der /„ > |/^ > y^(^=l). 

Hieraus ist ersichtlich, dafs t^ gleichzeitig mit n ins Unendliche 
wächst; die Keihe S divergirt also und es kann daher S nicht = P^ 
sein. Gleichwohl war die Reihe 10) convergent, aber sie würde eine 
divergente Reihe geliefert haben, wenn man die einzelnen Glieder 
sämmtlich positiv genommen hätte. 

Das gegebene Beispiel zeigt sehr deutlich, dafs man Rechnungs- 
operationen, die für endlich bestimmte Gröfsen gelten, nicht ohne 
besondere Vorsicht auf unendlich fortlaufende Ausdrücke anwenden 
darf. Das vollständige Product der als convergent vorausgesetz- 
ten Reihen 

11) «0 -f a^x -j- flg-rä -[- a^x^- + 

und 

12) Ä^ + ^^:,_|-A^x2+^3a:3 + .... 
ist nämlich 

13) a^b^-\-aQb^x J^ a ^b ^x^ -\- a ^b ^x^ -\- - -- ^ 
-j- a^b^x -{- a^b^x^ ~\- a^b.^x^ -|- a^b^x^ -\- . . . . 

-i-a^b^x'^ +«2^1^^ +«2*2^^ +«2^3^^ -h.... 

_j_ a^b^x^ + a^b^x^ + 03^2^5 + a^b^x^ + . . . . 



und diefs giebt in der That immer eine convergente Reihe, sobald 
man die Glieder in horizontaler oder verticaler Richtung zu- 
sammen nimmt. Aber so ordnet man die Glieder nicht; man ver- 
einigt sie in diagonaler Richtung, indem man immer diejenigen 
Glieder sucht, welche gleiche Potenzen von x enthalten. Diese An- 
ordnung ist es, welche den Fehler herbeiführt. Man nimmt gewis- 
sermaafsen immer nur die eine durch die Diagonale abgeschnittene 
Hälfte von dem Quadrate, welches die sämmtlichen Glieder des Pro- 
ductes bilden, und bekümmert sich um die andere Hälfte nicht. Wird 



140 Cap. Y. Die unendlichen lleihen. 

nun letztere immer kleiner, je weiter man mit der Diagonale lierab- 
rückt, so ist eine solche Anordnung erlaubt; wird sie aber immer 
gröfser, wie in unserem Beispiele, so ist diese Anordnung falsch, weil 
sie vernachlässigt, was nicht vernachlässigt werden darf. Man kann 
diefs auch so ausdrücken: Das Aggregat der Glieder in 13) ist das 
vollständige Product der lleihen 11) und 12), die Reihe 

dagegen nur das unvollständige Product; dieses kann jenes ver- 
treten, wenn das, was zur Vollständigkeit fehlt, immer kleiner wird, 
wie unter den oben angegebenen Umständen; das unvollständige Pro- 
duct darf aber nicht an die Stelle des vollständigen gesetzt werden, 
wenn man nicht von der beständigen Abnahme der Ergänzung über- 
zeugt ist. 

§. 24. 

Die Doppelreihen. 

Unter einer Doppelreihe, oder, wie man öfter sagt, einer Reihe 
mit doppeltem Eingange, versteht man ein Aggregat von Gliedern, 
welche nach folgendem Schema zusammengestellt sind: 
1) u^ -i-u^ -\-u^ -{-u^ -^.,,. 

+ < +< +< +< +.... 



Das allgemeine Glied einer solchen Reihe wird durch das Symbol 

(m) 

dargestellt, worin m und n ganze positive Zahlen sind, von denen man 
m den oberen und n den unteren Index nennen kann. Nimmt man 
eine endliche Anzahl von Gliedern aus dem Schema 1) heraus, etwa 
2) u^ -i-u^ +w, +... + ?^„_i 

-l-< +< +< +... + <_x 
+ < +< +< +... + <-, 



(m—i) (m— 1) (Jn—i) , ^(m—i) 

SO ist die Summe derselben jedenfalls eine endliche Gröfse, sobald 
die einzelnen Reihenglieder selbst endliche Gröfsen sind, und in so 
fern jene Summe eine Function von m und n sein mufs, wollen wir 
sie mit 



Cap. y. Die unendlichen Reihen. 141 

bezeichnen. Die Summe der unendlichen Doppelreihe 1) nennen wir 
dasjenige, was aus s^'^ wird, wenn man die ganzen Zahlen m und 
n gleichzeitig ins Unendliche wachsen läfst. Hierbei sind of- 
fenbar zwei Fälle möglich; entweder nämlich nähert sich s^^^ unter 
den angegebenen Umständen einer bestimmten Grenze S, oder es ist 
eine solche feste Grenze nicht angebbar, sei es nun, weil sie im 
Unendlichen liegt oder weil sie überhaupt unbestimmt ist, wie z. B. 
Lim sin {nix -\- ny). Im ersten Falle nennen wir die unendliche Dop- 
pelreihe convergent und Ä* ihre Summe, im zweiten Falle heifst 
die Reihe divergent und besitzt keine Summe. Die Verhältnisse 
der Convergenz und Divergenz gestalten sich hier so eigenthümlich, 
dafs sie einer besonders genauen Untersuchung bedürfen. 

I. Setzen wir die gegebene Doppelreihe als convergent voraus, 
so mufs jede einzelne einfache Reihe, welche man aus ihr herausgrei- 
fen kann, selbst convergiren, weil sie einen Bestandtheil jener Dop- 
pelreihe bildet; daher mufs jede der einfachen unendlichen Reihen, 
welche aus den horizontal neben einander oder vertical unter einan- 
der stehenden Gliedern gebildet ist, ebenfalls convergent sein. Be- 
zeichnen wir mit s*^"'^ die Summe der m ersten unendlichen Horizon- 
talreihen in No. 1), d. h. die Summe der m ersten Glieder der ein- 
fachen Reihe 

3) ^0 + ^+^^, +... 

+ ^h + '\ H- ^^2 + • • • 



(jede Zeile für ein Glied gerechnet), so ist 5^"*^ die Grenze von 5^™^ 
für unendlich wachsende n, und lassen wir in s^"*^ auch m noch un- 
endlich zunehmen , so geht Lim s^"*^ in S über. Bezeichnen wir auf 
gleiche Weise mit s„ die Summe der n ersten unendlichen Vertical- 
reihen, also die Summe der n ersten Glieder der Reihe 

4) "o + ^0 +< + ••• 

-\-u^-\- u\ + ?/" + ... 



(jede Zeile für ein Glied gerechnet), so ist s„ die Grenze von s^"^ 
für unendlich wachsende m; lassen wir in s^ nachher auch n unend- 
lich werden , so wird Lim s„ = S. Diefs giebt folgenden Satz ; 



142 Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 

Wenn die unendliche Doppelreihe 1) convergirtund 
/S^ihre Summe heilst, so sind auch die Reihen 3) und 
4) convergent und besitzen dieselbe Summe S. 

IL Die soeben angestellten Betrachtungen setzen voraus, dafs 
die Convergenz der Doppelreihe 1) bekannt sei, und schliefsen von 
da auf die Convergenz derjenigen einfachen Reihen 3) und 4), wel- 
che entstehen, wenn man entweder jede Horizontalreihe oder jede 
Verticalreihe als Glied einer neuen einfachen Reihe ansieht; es fragt 
sich nun, ob diese Schlüsse auch umgekehrt gelten, ob also aus der 
Convergenz der Reihen 3) und 4) die Convergenz der Doppelreihe 
nothwendig folgt. Die zur Beantwortung dieser Frage dienende Un- 
tersuchung ist folgende. 

Wenn eine einfache Reihe convergirt, also die folgenden Glei- 
chungen stattfinden: 

^t = ^0 + ^1 + ^2 + • • • + ^k-1 

Lim Sk= S = Üq-^ U^-i- U^-^ U^ -}-,., in inf. 
so folgt durch Subtraction 

5 — ^, = ^fc + f/,+1 + ^,+2 + . • .; 
läfst man hier Tc ins Unendliche wachsen, so wird wegen Lim Sk = S, 

= Lim ^Uk-\-CIk+i-{-Uk+2-\--..\ 

d. h. man kann bei einer convergenten Reihe Üq -\- ü^ -{- U2 -{- etc. 
die Summe Uk -\- ük-^i + Ük+2 + etc. kleiner als jede angebbare 
Gröfse machen, wenn man nur Je hinreichend grofs wählt. Diese 
einfache Bemerkung läfst sich in unserem Falle auf folgende Weise 
anwenden. 

Aus der gegebenen Doppelreihe 1) bilden wir die Reihe der ab- 
soluten Werthe aller Reihenglieder, nämlich 
5) ^ +^ +^ +... + r„_, +r„ 4-r„^, +... 
H-^ +r\ -i-r\ +...4-rU +d +^^1 +-• 

+^ +^ -\-r: +...+-«-. +r: +r:,^ +... 



+ r\ ' + r\ ' + r^ ' + ... + /„_^ ' + r 



n+1 



_!_,(;) +,(;) +,c'") +...+,(;_)^ _^,(.) _^,(;"j^ ^ ... 

+ 

Setzen wir voraus, dafs die einfache Reihe der Horizontalcolonnen, 
also die Reihe 



Cap. V. Die unendlichen Reihen. 143 

+ '■'o + K + '"l + • • • 



convergire, so kann nach dem ebenerwähnten Satze die Summe 

7) r[ > + /, )+r^, ) + ... 

(m+i) (m+i) (m+i) 

+ 

bei wachsenden m kleiner als jede angebbare Zahl gemacht werden, 
und wenn wir also mit e eine willkürliche Gröfse bezeichnen, so 
kann die vorstehende Summe unter ^ € verringert werden. Da ferner 
jedes einzelne Glied in No. 6) nach der gemachten Voraussetzung 
selbst eine convergente Reihe bilden mufs, so kann auch jede der 
Summen 



8) 



für sich betrachtet, unter jede beliebige Gröfse herabgebracht wer- 
den, wenn man n hinreichend wachsen läfst; demnach läfst sich jede 

solche Summe kleiner als ^r- e machen und mithin können die in 

No. 8) verzeichneten Glieder zusammen kleiner als m . ^r— « = ,c « 
^ 2m 2 

werden. Fügen wir zu den in No. 8) enthaltenen Gliedern noch die 

in No. 7) stehenden hinzu, so folgt nunmehr, dafs die Gröfsen: 

9) r, +r„^, +... 



^« 


+ ^n^^ 


+ 'n-f 2 


+ •• 


I 


, I 


, I 


+ •• 


n 


t II 


+ C. 


+ •• 


rm- 


,/"»-' 

1^ ' n+1 


' + C7 


" + .. 






(m+i) (m+i) (m+i ) 



zusammen genommen kleiner als die willkürliche Gröfse s gemacht 
werden können. Das Aggregat der in No. 9) verzeichneten Glieder 
darf nun jedenfalls für eine Doppelreihe gelten, von welcher eine end- 



144 Cap. V. Die unendlichen Reihen. 

liehe Gliederanzahl = und mithin ausgefallen ist; diese Doppel- 
reihe mufs nothwendig convergiren, weil ihre Summe erstlich we- 
niger als 8 beträgt und weil sie zweitens nicht eine unbestimmte 
zwischen endlichen Grenzen hin- und herschwankende Gröfse (wie 
sin oo) sein kann , da sie sich im Gegentheile beliebig klein machen 
läfst. Fügen wir nun zu der unendlichen Doppelreihe 9) die endliche 
Doppelreihe 

^ +^. +^ -f..- + ^«-i 
+ ^ +^ H-^ +... + /„_, 

+ ''o +''i +'-2 +••• + '■«-, 



+ rr"+ K'"~"+ rr'^+ . . . + rz-" 

hinzu, so entsteht die Doppelreihe 5), welche nunmehr ebenfalls con- 
vergiren mufs. Unter Rücksicht auf das in No. I bewiesene Theorem 
ergiebt sich jetzt der folgende wichtige Satz '^) : 

Wenn die absoluten Werthe der Glieder einer un- 
endlichen Doppelreihe, in Horizontälcolonnen grup- 
pirt, convergente Reihen bilden und wenn zweitens 
die aus den einzelnen Horizontälcolonnen gebildete 
einfache Reihe wiederum convergirt, so ist auch die 
Doppelreihe convergent und es bleibt dann gleich- 
gültig, ob man die Glieder in horizontaler oder ver- 
ticaler Richtung vereinigt. 
Dafs dieses Theorem sogleich zu gelten aufhört, wenn die absoluten 
Werthe der einzelnen Glieder nicht mehr convergente Reihen liefern, 
wollen wir an einigen lehrreichen Beispielen nachweisen, 
a. Die Doppelreihe sei 

.•)K'-9-K-ö+K-D-.-('-i)+K-i)-- 
+K-y'-K-5)+K-ri('-iy+J('-9"-- 
+K-ö'-^('-5)'+K-J)"-K'-y+i(-i)'-- 

+ 

Die Summe der ersten Horizontalreihe ist hier, weil sich je zwei 
Glieder aufheben und zugleich eine unendliche Abnahme der Glieder 
stattfindet: 



*) Caucliy, Cours d'analyse alyehr. p, 537, 



Cap. V. Die unendlichen Beihen. 145 

Die Summe der zweiten Horizontalreihe ist auf gleiche Weise 

die Summe der dritten Horizontalreihe 

u. s. w. Vereinigt man diese Summen wiederum, so ergiebt sich 



1 


^ 1 ^ 


2 


. 1~ ' 2 



1 

2 

Nehmen wir dagegen die Glieder der Doppelreihe erst in Vertical- 
colonnen zusammen, so ist die erste derartige Colonne 

die Summe der zweiten Colonne 

-i[i+(iy+(i)"+-]=-i- 

2 

Die Summe der nächsten Colonne ist -\- 01 ^^^ der folgenden 

u. s. f. Durch Vereinigung dieser Verticalreihen ergiebt sieh 

2 — 3 + 3 — 4H-4--5 + 5 — ••• 

und diefs ist keine convergente Reihe mehr, da sie keine bestimmte 
Summe hat; hört man nämlich mit einem positiven Gliede auf, so 
ist für ein positives ganzes Je 

schliefst man dagegen mit einem negativen Gliede, so ist 
c 1 A: 1 1 

und die Reihe gehört demnach in die Kategorie der Reihen wie 
1 — 1 + 1 — 1 + etc., weil sie dieser immer ähnlicher wird, je 
weiter man geht. Das anscheinend befremdliche Resultat, dafs die 
Doppelreihe 10) bei der einen Anordnung convergent, bei der ande- 

Schlömilch algebr. Analysis. G. Aufl. i q 



146 Gap. Y. Die unendlichen Reihen, 

ren divergent ist, erklärt sich sehr einfach, wenn man die Doppel- 
reihe erst als endliche ansieht und ihre Summe aufsucht. Schliefsen 

wir die erste Horizontalreihe mit dem Gliede ( 1 1 ab , so 

ist ihre Summe 

die Summe der zweiten Horizontalreihe ist auf gleiche Weise 

indem man so fortgeht, ist die Summe der mten Horizontalreihe 

Durch Vereinigung dieser m endlichen Horizontalreihen ergiebt sich 



oder 



,(-i)-(-r ,(-D-('-=) 



tn+i 



=h(r-(-a+(-r 

und diefs ist die Summe der endlichen Doppelreihe. Um hieraus die 
Summe der unendlichen Doppelreihe abzuleiten, mufs man m und n 
gleichzeitig ins Unendliche wachsen lassen und diefs giebt: 

1 r i\^+^ 
- — 1 -f- Lim Lim 11 1 

2 \ nj 

Hier ist aber der Grenzwerth von II 1 für gleichzeitig un- 
endlich werdende n und m eine völlig unbestimmte Gröfse ; läfst man 
erst n bei constanten m zunehmen, so ist 

Lim ll — -\ =1"^+' = 1; 

also wenn nachher m unendlich wird 

r i\"*+' 

Lim Lim 11 I =1. 



(-;) 



Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 147 

Läfst man dagegen zuerst m bei unveränderten n wachsen, so wird 



Lim 
mithin 






Lim Lim 11 | =0. 

Man kann ebenso leicht jeden anderen Grenzwerth erhalten; setzt 
man z. B. m -{- 1 = Icn , wo k eine unveränderliche ganze positive 
Zahl bedeutet, so wächst m mit n gleichzeitig und es ist jetzt 

f l\"i+i r l\kn 

Lim Lim 11 | = Lim | 1 i = e'~^. 

Die in No. 10) verzeichnete unendliche Doppelreihe hat demnach keine 
bestimmte Summe und ist folglich divergent,, obgleich die einzelnen 
Horizontalcolonnen selbst convergiren und auch die Reihe ihrer Sum- 
men convergent ist; dagegen würden die absoluten Werthe der Rei- 
henglieder nicht mehr convergente Reihen liefern, und ebendefshalb 
besteht das vorhin ausgesprochene Theorem nicht mehr. 

b. Wie man leicht findet, bleibt der absolute Werth von 
2a? (1 — x) so lange ein echter Bruch, als x zwischen — i(V3 — 1) 
und + i(V3+ 1) enthalten ist; es gilt daher die Reihenentwicke- 
lung 

11) i:r^^^^ = l + 2^(l-^) + 4^Ml--^)'H-8^Ml-^)' + ... 

— 0,366 . . . < j: < -{- 1,366 . . . 

Andererseits hat man folgende identische Gleichung 

(1 +2a: -1-2^2) ^ 



1 — 2j^-(1— J-) ^ ' ' M-|-4a:* 

und hier läfst sich der rechts vorkommende Bruch wieder in eine 
Reihe verwandeln, wenn 4ic* < 1 ist, d. h. wenn x zwischen — |y2 
und -}- iV2 liegt; nach Multiplication mit 1 + 2^ + 2a;2 ergiebt 
sich 

12) 

= 1 -I- 2ar + 2j:2 — 4x^ __ Sar^ — 8a-6 + IQx^ +^2x^ + S2x^^ +... 

— 0,707 ...<: a? < + 0,707 .. . 
Als gemeinschaftliche Quelle der Reihen in 11) und 12) kann man 
nun folgende Doppelreihe ansehen 

10*' 



148 Cap. Y. Die unendlichen Reihen. 

1 _|_ 2x — 2^2 

+ 4x^ — 8a:3 -f- 4x^ 

+ 8jr3 _ 24a:* + 24,x-5 — S.v^ 

-f- 16a:4 — 64.i;5 + 96x-6 — 

_|_ 32a:5 _ leOar^ + 

_L. 64jr« — 



und in der That entsteht hieraus die Reihe in 11), wenn man zuerst 
die Horizontalzeilen zusammenrechnet, dagegen die Reihe 12) durch 
Vereinigung der in Verticalcolonnen stehenden Summanden. Unter 
welchen Umständen die eine oder andere Anordnung zu convergiren- 
den einfachen Reihen führt, läfst sich hier im voraus beurtheilen, 
weil man die Convergenzbedingungen der Reihen 11) und 12) bereits 
kennt. Sind nämlich die beiden Ungleichungen 

— 0,366 . . . < .X- < + 1,366 - . . 

— 0,707 . . . < o: < + 0,707 . . . 
gleichzeitig erfüllt, was im Falle 

13) — 0,366 . . . < .X- < + 0,707 . . . 

eintritt, so liefern beide Anordnungen convergirende Reihen; genügt 
X der ersten, aber nicht der zweiten Bedingung, wozu gehört 

+ 0,707 . . . < ^ < + 1,366 . . . , 
so convergirt nur die Reihe aus erster Anordnung; ist die zweite, 
aber nicht die erste Ungleichung erfüllt, d. h. 

— 0,707 . . . < a: <: — 0,366 . . . 

SO convergirt auch nur die Reihe aus zweiter Anordnung; wenn 
endlich x keine der obigen Bedingungen erfüllt, was der Fall ist für 

a7< — 0,707... und für .r> 1,366..., 
so convergirt keine der beiden Reihen. — Das allgemeine Crite- 
rium auf S. 144 sagt nun, dafs die doppelte Anordnung erlaubt ist, 
wenn alle Glieder, positiv genommen, nach der ersten Anordnung 
eine convergirende Reihe liefern, d. h. im vorliegenden Falle, wenn 
die Reihe 

1 + 2:r(l + ^) -I- 4.^2 (1 + x)^ + 8^3 (i _^ ^.)3 _j_ . . . 
bei positiven x convergirt; hierzu gehört ^<J(y3 — 1), also, falls 
auch negative x zugelassen werden, 

— 0,366 . . . < j' < + 0,366 ... 
Das Intervall für x ist hier etwas enger als in No. 13), wie diefs 
öfter vorkommt, wenn allgemeine Sätze auf einen ^speciellen Fall an- 
gewendet werden. 



Cap. V. Die unendlichen Reihen. 149 

III. Es seien P und Q die Summen der beiden convergenten 
Keihen 

«'o + «'l + '^2 + ^3 + • • • 

'^0 + ^1 + ^2 -1- ^3 + • • • 

von welchen wir voraussetzen, dafs sie auch dann noch convergiren, 
wenn man die einzelnen Glieder auf ihre absoluten Werthe reducirt; 
bildet man die Doppelreihe 

UqVq + ?/i^o + '^2^0 + ^i^o H- 

+ '^O^'l + ^h^l -1- ^^2^1 + 

+ ?'o^2 + ^1^2 + 

+ ^0^3 + 

so ist jede der hier vorkommenden Horizontalreihen convergent, und 
zwar hat die erste v^P, die zweite v^^P, die dritte v^P etc. zur 
Summe; ferner convergirt auch die Reihe dieser Summen, denn 

ist das Product aus P und der als convergent vorausgesetzten Summe. 
Nach dem Theoreme in II convergirt nunmehr auch die obige Dop- 
pelreihe und darf in Verticalcolonnen geordnet werden, d. h. die neue 
Reihe 

-\-u^Vq -i-u^v^ -\-UqV^ 

+ ... 

convergirt unter den gemachten Voraussetzungen und hat PQ zur 
Summe. Es führt so die Betrachtung der Doppelreihen auf das Theo- 
rem in §. 33, II zurück. 



Capitel VI. 

Der binomische Satz. 



§. 35. 

Der binomische Satz für ganze positive Exponenten. 

Bereits in den Elementen der Buchstabenrechnung begegnet man 
der Aufgabe, die verschiedenen ganzen positiven Potenzen einer zwei- 
theiligen Gröfse durch Potenzen ihrer einzelnen Bestandtheile auszu- 
drücken; mittelst gewöhnlicher Multiplication erhält man auch für die 



150 Cap. VI. Der binomische Satz. 

einfacheren Fälle leicht die Auflösung jenes Problemes, welche in fol- 
genden Gleichungen ausgesprochen ist: 
{a-{-by ==a'^ -i-2ab -{- ö^ , 
{a -f- b)^ == fir3 -I- Sn^b -|- Sab^ + b^ , 
(a + bY = fl* + 4«^ + 602^2 _^ 4ß^3 _|_ ^4^ 
. u. S. W. 
Daran knüpft sich die weitere Frage, ob die allgemeine Potenz 
(a + &)^, worin jn eine beliebige reelle Zahl bedeuten möge, auf ähn- 
liche Weise entwickelt werden kann und nach welchem Gesetze die 
einzelnen Glieder der etwaigen endlichen oder unendlichen Reihe ge- 
bildet sind. Mit dieser Untersuchung beschäftigen wir uns im Fol- 
genden. 

Um zunächst den einfachsten Fall zu erledigen, betrachten wir 
die Potenz (1 -j-ir)"*, worin x eine beliebige Variabele, dagegen m 
eine ganze und positive Zahl sein möge. Aus dem Gange der Mul- 
tiplicationen , die zur Entwickelung von (l + ^r)^, (l-{-x)^ u. s. w. 
dienen, ersieht man ohne Mühe, dafs die wirkliche Ausführung der 
m Multiplicationen, welche durch das Zeichen (1 + x)"' angedeutet 
werden, eine endliche Reihe liefern mufs, die mit 1 anfängt und alle 
die Potenzen x, x^ , x^, . . . x"' enthält. Denkt man sich diese Reihe 
nach steigenden Potenzen von x geordnet, so gelangt man zu einem 
Resultate von der Form 

2) (1 + x)"* = 1 + C\x 4- C,x^ + C,x^ -I- . . . + 0-". 

worin C^, C^, C3, . . . C^ gewisse, vor der Hand unbekannte Zah- 
lencoefficienten bedeuten. Die Bestimmung derselben kann auf ver- 
schiedene Weise erfolgen, entweder durch combinatorische Betrach- 
tungen oder rein analytisch auf folgendem Wege. 

Entsprechend der Gleichung 1) ist, wenn wir x um eine belie- 
bige Gröfse Q wachsen lassen, 

(i+^+^r=i -^ c,(x -\- Q)-^ c,(x -{- Qr + c,{x+ Qr + . , , 

wir subtrahiren hiervon die Gleichung 1) und geben der Differenz 
die Form 

Zur Abkürzung setzen wir 



Cap. YI. Der binomische Satz. 151 



1 -\-x X 

und dividiren beide Seiten der vorigen Gleichung mit q, wobei wir 
linker Hand q durch das gleichgeltende (1 -\- x)ö, rechter Rand q 
durch das ebenfalls gleichgeltende xe ersetzen; diel's giebt 

• • • • n- ^^m g ^ 

Lassen wir die willkürliche Gröfse q gegen die Null convergiren, so 
haben auch ö und e die Null zur gemeinschaftlichen Grenze; fer- 
ner ist 

Z>?w. ^ — ' — f = TW, Lim - — ■ — = k, 

£ 

mithin geht die vorige Gleichung in die folgende über 

m{l +0:)"'-' ==Cj J^C^2x-\-C^^x'^ -\- C ^4:X^ -\- . . . -\- C^inx""-", 
Durch Multiplication mit 1 -\- x wird hieraus 

2) w{\ 4- xY 

= IC, + (2^2 + lC,)x-{-{ZC^+2C^)x^ + (4^, + 3C3)a:3 + . . .; 
andererseits ist nach No. 1) und durch Multiplication mit m 

3) w(l + xY 

=:m-\- mC^T -f- mC^x^ -\- mC^x^ + mC^x^ + • • . 
Die linken Seiten der Gleichungen 2) und 3) sind identisch, mithin 
müssen es auch die rechten Seiten sein ; hierzu gehört nach §. 31 , 
dafs gleiche Potenzen von x gleiche Coefficienten besitzen, dafs also 
folgende Gleichungen stattfinden: 

lC\=m, 2Cg + IC, =?//C,, SC^-\-2C^==mC.^, ... 

hieraus ergeben sich der Reihe nach die Werthe der unbekannten 
Coefficienten G^, €2-, G^ etc., nämlich 



c —"^ 


^ ^ m — 1 m m — l 




2 — ^1 2 "~r 2 ' 






^ ^ m — 2 m m—l m — 2 






^^^23 1 2 ■ 3 ' 






^ ^w — 3 mm — Im — 2 
^4—^3 4 — i' 2*3' 


m — 3 








4 



u. s. w. 
Das Gesetz, nach welchem diese Coefficientenwerthe fortschreiten, ist 
leicht zu übersehen und spricht sich in folgender Formel aus 



152 Cap. YI. Der binomische Satz. 

_ m(m — 1) {m — 2) . . . {m — [k — 1\) 

^^ ^' \ .2 .3...k ' 

durch Substitution der Coefficientenwerthe in No. 1) wird endlich 



?n in{m — 1) m(^m — 1) (w — 2) 



5) (1 + ^r— 1 + ^^+ \ ^ ^ '^^-\- 



1.2.3 



X' 



Setzt man x = - und multiplicirt beiderseits mit a"*, so entsteht 
die Formel 



1 L t Ji 



m{rn-\){m^2) 
^ 1.2.3 ^ 



diese enthält die allgemeine Regel, wonach jede zweitheilige Gröfse 
a-^h auf die w}^ Potenz erhoben werden kann , vorausgesetzt , dafs 
m eine ganze positive Zahl ist. Die Gleichung 6) heilst daher der 
binomische Satz für ganze positive Exponenten. 

Die hierin vorkommenden Coefficienten, welche anfangs proviso- 
risch mit Oj, 0^, Og, etc. bezeichnet wurden, nennt man Binomial- 
coefficienten und bezeichnet sie am zweckmäfsigsten *) durch (m)j, 
(m)2, Ws, etc., so dafs 

7x m{ m-l){m-2) . . .{m-lk-l]) 

^ ^ ^'^ l . 2 . S . . . k 

ist ; statt der Formel 6) läfst sich dann kürzer schreiben 

8) [a + b)^ = {m),a'- ^(m)y^-^b-^ (m),a^-H'^ -{-.,, ., 
wobei der Symmetrie wegen (m)^ für 1 gesetzt wurde. 

Mittelst der Formeln 7) und 8) kann man nicht nur die ganze 
Entwickelung von (a -f- h)"" ausführen, sondern auch jeden einzelnen 
Bestandtheil derselben, unabhängig von allen übrigen angeben. Wird 
z. B. verlangt, aus der Entwickelung von (a-\-h)^^ denjenigen Sum- 
manden herauszuheben, worin h^ vorkommt, so hat man für diesen: 

IQ lo 11 in Q 
^ ^5 1.2.3.4.5 

Da es nicht selten bequem ist, eine Tabelle der Binomialcoeffi- 
cienten zur Hand zu haben, so wollen wir noch zeigen, wie eine sol- 
che leicht aufgestellt werden kann. Aus der Gleichung 

(1 4-a:r ={m), + (m),x -\-irn),x^ + Ws-^' + • • • • 



*) Die frühere, sehr schwerfällige Bezeichnung war 33 ; später schrieb man , wie 
auch hie und da noch jetzt, jT 1; das letztere Zeichen wird aber unbequem, sobald 
m ein Bruch ist, was bei dem nachherigen allgemeinen binomischen Satze vorkommen 
}^ann, 



Cap. YI. Der binomißche Satz. 153 

folgt durch Multiplication mit l-{-x 

(l+:rr- 

= Wo + [Wo + Wi> + [Wi + W2>' + [«2 +«3]^' 4- • • • ; 

andererseits ist auch, wenn man in der vorhergehenden Gleichung 
m + 1 für m setzt 

(1 -i-x)'^'-' 
= (^^ + 1)0 + i^" + 1)1^ + (rn + 1),.;^+ (m + 1)30:3 + ...., 
folglich hat man durch Vergleichung beider Entwickelungen von 
(1 + x)"^"-' 

(»1)0 = (//?+ 1)0, Wo+Wl^C'^^+l)!» Wl+W2 = ('^+1)2' 

W2 + Ws == ('^ + 1)3 u. s. w. 
Die erste dieser Gleichungen sagt nichts Neues, dagegen liegt in den 
übrigen, welche allgemein durch 

9) Wt-i + W/c==0'' + l))t 

ausgedrückt werden können, der Satz, dafs die Summe zweier be- 
nachbarten Binomialcoefficienten wieder einen Binomialcoefficienten 
giebt, welcher zum nächst höheren Exponenten gehört. Von den Wer- 
then (l)o = l und (1)^ = 1 ausgehend, bildet man hiernach leicht 
durch blofse Addition von je zwei in einer Horizontalreihe stehenden 
Zahlen die folgende Tabelle der Binomialcoefficienten: 



m 


(''')o 


Hl 


(^)2 


(m). 


W4 


«5 


We 


W7 


Ws 


1 


1 


1 
















2 




2 


1 














3 




3 


3 


1 












4 




4 


6 


4 


1 










5 




5 


10 


10 


5 


1 








6 




6 


15 


20 


15 


6 


1 






7 




7 


21 


35 


35 


21 


7 


1 




8 




8 


28 


56 


70 


56 


28 


8 


1 



u. s. w. 
Noch erwähnen wir einige Eigenschaften der Binomialcoefficienten. 
Setzt man in der Formel 8) einmal a = l, h = z, das andere 
Mal a = und h = 1 , so erhält man in beiden Fällen linker Hand 
dasselbe, folglich müssen auch die rechten Seiten gleich sein, d. h. 
(rn), + (m), z + {rn),z^ + • • . + Wm-,^""^ + W«. -,^"-' + W»»^" 
= Wo^" + W,."^- + W.^""' + • • • 

• . . + Wm_2-' + (^n)^_^z + (w)„. 
Die Vergleichung der Coefficienten gleichnamiger Potenzen von z giebt 

(w)o = Wm» Wi = Wm-i» W2 = Wm-2» • • • • 



154 Cap. YI. Der binomische Satz. 

Überhaupt 

demnach sind diejenigen Binomialcoefficienten gleich, welche von An- 
fang und Ende gleich weit abstehen. Da in jedem Falle die Anzahl 
der Binomialcoefficienten = m + 1 ist , so folgt noch , dafs es bei 
geraden m einen mittelsten Binomialcoefficienten giebt, der nur ein- 
mal vorkommt, während bei ungeraden m jeder Coefficient zweimal 
vorhanden ist. 

Die Gleichung 5) liefert für x = -\- 1 

11) 2"'==im), 4- (m), + im), + (m), + ...., 
dagegen für :r = — 1 * 

12) == (m), - {m), + {m)^ - {m)^ + ....; 

auch diese Relationen sind leicht in Worte zu fassen und mittelst 
der aufgestellten Tafel zu verificiren. 

§. 36. 

Die Convergenz der allgemeinen Binomialreihe. 

Nachdem wir die Entwickelung von (1 + x)f^ für den Fall eines 
ganzen und positiven ^t erledigt haben, wenden wir uns zu der all- 
gemeineren Frage, ob eine ähnliche Entwickelung auch bei jedem an- 
deren (II möglich ist. Wir betrachten defshalb die Reihe 

1) j^^ K^-1) ^, K^-i)(f^-2) 

^ ^1^1.2 ^ 1.2.3 ^ 

und stellen uns die Aufgabe, ihre Summe zu finden. 

Wenn nun (i keine ganze und positive Zahl ist, so geht die ge- 
nannte Reihe ins Unendliche fort, und von einer Summirung derselben 
kann nicht eher die Rede sein, als ihre Convergenz aufser Zweifel 
steht; daher bedarf es erst einer Voruntersuchung über die Bedin- 
gungen, unter welchen die Reihe 1) convergirt oder divergirt. 

Bezeichnen wir zur Abkürzung die Coefficienten von x, x^ , x^ 
etc. wieder mit (^)i, (^)2, d^)^ etc., so haben wir bei unendlich 
wachsenden n 

und nach §.29 convergirt oder divergirt die Reihe 1), jenachdem 
der absolute Werth von — x weniger oder mehr als die Einheit be- 
trägt. Der Fall x^'>l ist daher sofort auszuschliefsen , und da 
für x^ <,1 die Reihe convergirt, so haben wir nur noch die Fälle 
x = + l und ^ = — 1 zu betrachten. 



Cap. VI. Der binomisclie Satz. 155 

Bei der ersten Voraussetzung ^ = + 1 unterscheiden wir die 
Fälle eines positiven und eines negativen ^t^, wobei immer l der ab- 
solute Werth von (.i sein möge. Für ^/ == -|- A geht die Reihe in die 
folgende über 

und da l keine ganze Zahl ist, so giebt es immer zwei aufeinander 
folgende ganze positive Zahlen Ic — 1 und h, zwischen denen l liegt, 
Die vorstehende Reihe läfst sich nun in die Form bringen 

A xa — 1) 



i(A-l)...(A— [A— 1]) 




' 1.2.3....* 

l(i_l)...(i_[A— 1])(A-A) 




l .2 .Z . ... k{k-lrl) 
i(i_l)...(A_[4_l])(A_i)(Ä + l- 


-^) 


' 1.2.3 *(*+!) (* + 2) 



Wk 1 



k — l (k — X)(k — X-\- \) 

(k — X) {k — l-{-l)(k — l + 2) 



+ 



sie zerfällt demnach in zwei Theile, von denen der erste eine end- 
liche Reihe von h Gliedern bildet, während der zweite eine unend- 
liche Reihe mit alternirenden Vorzeichen enthält. Die letztere Reihe 
convergirt unbedingt, wenn die Reihe ihrer absoluten Werthe 

k-\ {^k-X){ k-X+\) {k-\){k-X + l){k-\-\-2) 
^ k-\-\^ {k^\)(k^2) "^ (A:-|-i)(A'-|-2)(A:4-3) ^••* 
convergirt ; diefs ist aber nach §. 27 der Fall, mithin findet die Con- 
vergenz der Reihe 2) für jedes endliche l statt. 

Wenn zweitens (unter der Voraussetzung a;= + l) ix= — l 
ist, so wird die Reihe 1) zur folgenden 

l A(A+1) A(A+l) (A + 2) 

welche nur für X <C 1 convergiren kann , weil für A, = 1 die Glieder 
einander gleich werden und für ü >- 1 eine steigende Reihe bilden. 
Ist nun A < 1 , so hat man 

daher 

A(A 4- 1) . . . (A 4- z, - 1) A(A+1).. .iX-\-n—\){l + n) 
1.2...« ^ 1.2 n{n-\-\) 



156 Cap. yi. Der binomische Satz. 

mithin beträgt jedes Reihenglied mehr als das darauf folgende; zur 
Convergenz gehört aber noch , dafs für n=oo 

Lim KA + 1)(^+2)...(A + «^_1) _ , 
1.2.3 n 

sei. In der That ist diefs nach §. 23 Formel 2) der Fall, wenn X 

weniger als die Einheit beträgt ; hieraus folgt, dafs die Reihe 3) für 

A <C 1 convergirt. 

Auch im zweiten Hauptfalle x = — 1 unterscheiden wir , ob in 

positiv oder negativ ist. Für ^< = -{- A haben wir die Reihe 

A^ ^ M^-l) X{X-l) {X -2) 

^ l"^ 1 . 2 1.2.3 "^ 

welche sich unter der Voraussetzung , dafs X zwischen Je — 1 und Je 
liegt, auf dieselbe Weise wie die Reihe 2) zerlegen läfst in 

1-W1 + W2- + Wit-i 



+ »)tjl 



/t+l ' (^+l)(Ä-|-2) 



(^+l)(^ + 2)(^+3) ' \ 

Wie schon bei Gelegenheit des Falles x=-\-l, f.i = — X gezeigt 
worden ist, convergirt die letzte Reihe für jedes endliche i; dasselbe 
gilt auch von der Reihe 4). 

Endlich erhalten wir unter der Voraussetzung x = — 1, ij. = — l 
die Reihe 
p^^ , , A , X{X-{-i) , A(A + i) (A + 2) , 



und diese divergirt für jedes ^ > , wie das in §.27 entwickelte 
Kennzeichen lehrt. Durch Zusammenfassung aller bisherigen Ergeb- 
nisse gelangen wir zu folgendem Satze: 
Die unendliche Reihe 

'+x^+'-^'' + '-^,^^^' + ---- 

convergirt für jedes endliche fi^ wenn der absolute 
Werth von x weniger als die Einheit beträgt; ist 
dagegen ^^^= + 1, so mufs ^ zwischen — 1 und -{-00 
liegen, und ist x = — 1, so mufs (.1 positiv sein, wenn 
die Reihe convergiren soll. 



Cap. YI. Der binomische Satz. 157 



§. 37. 

Der allgemeine binomische Satz. 

Unter der Voraussetzung, dafs die vorhin betrachtete Reihe con- 
vergirt, läfst sich deren Summe als eine noch unbekannte Function 
der Variabelen fi betrachten und demgemäfs mit f{fj) bezeichnen; 
zugleich wollen wir die Abkürzung 

K^-l)(f.— 2)...(^ — [A:— 1]) 
^^^' = 1.2.3.,..k 

einführen und daher 

1) /(^) = (^t), 4-Ca),x4- (^)^x^^{(x),x^ + 

setzen. Für ein ganzes und positives in kennen wir bereits die Summe 
der Reihe, nämlich f{!.i)==(l -\-x)^; es fragt sich daher, ob man 
den Fall eines gebrochenen oder negativen f.i auf den vorigen Fall 
zurückführen kann. Hierzu dienen folgende Betrachtungen. 

Entsprechend der Gleichung 1) ist, wenn wir für fx das eine Mal 
a, das andere Mal ß setzen, 

/(«) = Wo 4- Wi^ + ^2^' + Ws^' + , 

/(«-(fto + (fti^ + («2^' +(Ä3^^ + ; 

vorausgesetzt, dafs beide Reihen unbedingt convergiren, dürfen wir 
auf gewöhnliche Weise multipliciren und erhalten dadurch ein Re- 
sultat von der Form 

2) /(«) . Aß) ==c,+ c,x + c,x^ + c,x^ + 

worin die neuen Coefficienten Cq , Cj , Cg etc. durch folgende Glei- 
chungen bestimmt sind 

^0 == Wo(^)o' 

^2 = Wo(^)2 + («)l(ftl + («)2(^)o> 



d. i. allgemein 

. . . • + («)„-,(ft2 + («)„-.(^)l + H„Wo 

und ebenso 

• . . • + (cO„-,(ft2 + («)„(ßi H- («)„^,(fto. 

^ Um c„ kürzer ausdrücken zu können, stellen wir folgende identische 
Gleichungen auf 



158 Cap. YI. Der binomische Satz. 

c( -{- ß — n a ß — n 



n + l 


» + 1 




n 




n + l ' 




«— 1 




+ 


ß_ 


-{n-1) 




«4-1 


n + l ' 




« — 2 
n+l 




+ 


ß_ 


-(»-2) 
n + l ' 




a — {n — 


^ 


+ 




ß-2 
n+l ' 




a — {n — 


1) 


+ 




ß-1 
n+l ' 




a — n 




\ . 




ß 



hiermit multipliciren wir die Gleichung 3) und benutzen rechter Hand 
bei der Multiplication des ersten Summanden die erste Form, beim 
zweiten die zweite Form u. s. w.; diefs giebt 

-7^ «« = ,^ («)«(«» + «^ Wo(«» 

+ ^ («).(««-. + ^~^7^^ («).((ä)..-, 

+ 

+ ^(«)„(fto+^(«)«((3)o- 
Zufolge der Definition von (fi)i, ist 

^q:7^ (f )t = (f )*+i oder (jt — *) W* = (*+!) (,«)*+! ; 

diese Formel kann man auf jeden einzelnen der vorigen Summanden 
anwenden und zwar in der ersten Verticalreihe für ft ^ a , ^ = 0, 
1, 2, ...n, in der zweiten Reihe für fi = /J, ä = m, n — 1, ...1, 0; 
man erhält 



Cap. yi. Der binomische Satz. 159 



+ («)„+xtf)o + ^ Wn(ftl 

und durch Zusammenfassung der in diagonaler Richtung vorkommen- 
den gleichartigen Summanden 

aJ^ß — n 
n-{- l~ """ 

Die rechte Seite ist nach Formel 4) identisch mit c„^^ , und daher 
bei umgekehrter Anordnung 

cc-{- ß — n 

Man kennt unmittelbar den Anfangscoefficienten Cq = (")o^/^)o = 1^ 
mithin läfst sich die vorstehende Gleichung benutzen, um der Reihe 
nach Cj, Cg, Cg, etc. zu bestimmen, indem man successiv w==0, 1, 2 
etc. setzt; diefs giebt 

a-\-ß a-\-ß 



-l-s 1 - 1 ' 




« + /3-1 („ + ^)(„ + |3_i) 




""^-"i 2 — 1.2 




« + (3-2 („ + ß(« + ,3_l)(„ + ^- 


-2) 


'3 — '^* 3 ~ 1.2.3 




u. s. w. 





Nach Substitution der Coefficientenwerthe nimmt die Gleichung 2) 
folgende Form an 

/(«)./(ß 

"" "^ 1 ^ 1.2 

"* 1.2.3 ^ "^ • • • ' 

die rechte Seite ist hier nach demselben Gesetze wie die Reihe für 



160 Cap. YI. Der binomisclie Satz. 

f{fx) gebildet , wenn man sich a -[- /? an die Stelle von ^ gesetzt 
denkt, mithin ist 

5) /(«)./(«=/(« + ^). 

Bevor wir zeigen, wie sich aus dieser Eigenschaft der Function 
f die Form der letzteren bestimmen läfst, wollen wir erst die Frage 
nach der Continuität der gesuchten Reihensumme discutiren. Da die 
Summe jeder Potenzenreihe innerhalb der Grenzen der Convergenz 
eine stetige Function derjenigen Variabelen darstellt, nach deren Po- 
tenzen die Reihe fortschreitet, so ist die Summe der Reihe 

^1^1.2 ^ 1.2.3 ^ 

eine stetige Function von x, solange die Convergenz der Reihe statt- 
findet, also z. B. für jedes .a , wenn x zwischen — 1 und + 1 liegt. 
Um zweitens zu entscheiden, ob die genannte Summe auch eine con- 
tinuirliche Function von (,i bildet , nehmen wir in der Gleichung 5) 
a = fx — €, ß=d -{- £ und erhalten 

oder umgekehrt 

Die eingeklammerte Reihe convergirt , wenn S -\- e und x denselben 
Bedingungen unterworfen werden wie früher /,i und x; hieraus folgt, 
indem man ö und s gleichzeitig der Null immer näher kommen läfst, 

Ferner ist, wie man leicht bemerkt, 

Lim\ if{(i -j- S) — /f((i- s)\ ==0, 
die Function Z/'(^) erleidet also nirgends eine Unterbrechung der Con- 
tinuität, mithin ändert sich auch e^'^'^'^^ d.h. fii^i) continuirlich , so- 
lange die Reihe convergirt. Diese Sätze zusammen führen zu dem 
Resultate, dafs die Summe der betrachteten Reihe innerhalb des 
Convergenzintervalles eine stetige Function von x und f.t ist. 

Wir kehren nun zur Gleichung 5) zurück. Nehmen wir darin 
zuerst a = ß^==fi, so erhalten wir 

[/(^)]^=/(2rt; 
diese Gleichung multipliciren wir mit fifx) und wenden rechter Hand 
wieder die Formel 5) für a = 2fi und /^ = |W an ; diefs giebt 

[/(^)]'=/(3<^). 



Cap. YI. Der binomisclie Satz. 161 

Auf gleiche Weise gelangen wir durch nochmalige Multiplication mit 
/*(/<) zu der Relation 

SO fortgehend, erhalten wir überhaupt für jedes ganze positive h 

[mY =/(V). 

Ist nun f.i ein positiver Bruch ==-, worin ^ und q ganze positive 

Zahlen bedeuten, so können wir die willkürliche ganze positive Zahl 
h gleich dem Nenner q nehmen und haben dann 

wegen des ganzen positiven p ist der Werth von f{p) bekannt und 
zwar = (1 + xY , mithin 

[/(^)J = (l+^)^ oder /(^Q=(i + 4 
Die Frage, welcher von den möglichen verschiedenen Werthen des Aus- 



drucks (1 + xy = y(l + xY hier gelten soll , entscheidet sich 

durch die einfache Bemerkung, dafs die Function f{f^i)^ gemäfs ihrer 

in No. 1) gegebenen Definition , für o; = den Specialwerth 1 er- 

V. 
halten mufs; es ist daher (1 + ^)*^ im absoluten Sinne zu nehmen. 

Da jede rationale positive Zahl l entweder eine ganze Zahl oder 

ein Bruch sein mufs, so lassen sich die beiden Gleichungen 

f{m) = (1 + ^r und /Q = (1 + ^.)^ 

zusammenfassen, indem man sagt: für jedes positive und rationale 
l ist 

/(A) = (l+*)^. 
Um diese Gleichung auf positive Irrationalzahlen auszudehnen, 
genügt die Bemerkung, dafs man ein irrationales (.i mit jedem belie- 
bigen Genauigkeitsgrade durch rationale Brüche l (Decimalbrüche) 
darstellen, d. h. den Unterschied zwischen {.i und l beliebig klein 
machen kann. Aus No. 5) folgt nun für a = A, ß = /.i — l 

oder kurz 

wo S die Summe einer convergirenden Reihe, mithin eine endliche 

Schlömilch, algcbr. Aiialysis. G. Aufl. | J 



162 Cap. yi. Der binomisclie Satz. 

Gröfse bedeutet; da die Differenz /« — l kleiner als jede angebbare 
Zahl gemacht werden kann, so nähert sich l der Grenze ^ti, der Fac- 
tor 1 -\- {{.L — X) S der Grenze 1 , und die rechte Seite der Grenze 
(1 -{- x)f^. Man hat daher für jedes positive ^w 

6) f{^) = (1 + :rf . 

Aus der Gleichung 5) folgt endlich für a = ^i und ß = — [x 

/'-''' = /li=(Mbr==<^ + ^>-^ 

mithin gilt die Formel 6) auch für negative in. 

Durch Zusammenfassung der bisherigen Resultate gelangen wir 
zu folgendem Satze: 

Bei ganzen positiven f.i gilt die Formel 

7) (l+:rf 

für jedes reelle x; ist dagegen jll nicht ganz und po- 
sitiv, so mufs im Allgemeinen x zwischen — 1 und 
+ 1 liegen. Für x = -{- 1 bleibt die Gleichung nur 
unter der Bedingung — l<C/<<;4-oo richtig und im 
Falle x = — 1 darf fi nur positive Werthe erhalten. 

Des späteren Gebrauchs wegen erwähnen wir einige specielle 
Fälle der Formel 7). Für ^ = — 2 wird 

— l<;r<-fl; 



für ii^ = — 2 



yi+x 



1 , 1.3 _ 1.3.5 „ , 

— 1<^<+1; 



für fi = + 2 



t/TT- 1 , ^ 1^2 1.3,^3 

— ^ X ^ + 1 ,• 
aus der letzten Gleichung folgt noch durch Anwendung einer bekann- 
ten Formel 



Cap. YI. Der binomisclie Satz. 163 



|/rr2 



=ö(Vi + ^-Vi-^) 



2 2 

X . 1. 3^3 1.3.5.7^ 



2'2.46 "2. 4. 6. 8 10' 
— l^a:^4- 1. 
Ist die f.1^^ Potenz einer zweitheiligen Gröfse zu entwickeln, so 
nenne man a denjenigen Theil, welcher den gröfseren absoluten Werth 

hat, nehme in No. 1) x ^=- und multiplicire beiderseits mit a^; die 

entstehende Formel 

8) (« + b)(' = a^' + ^ö^-^ b + ^li^-Zli) 0/^-2^2 

heifst der allgemeine binomische Satz*). 

§. 38. 

Der Rest dej Binomialreihe. Anwendungen. 

Wie in §. 36 zerlegen wir die binomische Reihe in zwei Theile, 
deren erster aus Jo Anfangsgliedern besteht, und deren zweiter alle 
folgenden Glieder enthält; wir setzen demgemäfs 

1) (1 + ^T = Wo + Wi^ H- W2^' + Ws^' + 

— + (A-i^^~^ + ^Ä-» 
wo Bu der Rest der Reihe ist, nämlich 



2) /^. = (.)..-|l + ^x+ -^^^--^^_^^^ - X- + ....J 

Wir untersuchen nun folgende Fälle. 

a. Es sei ii eine ganze positive Zahl = m. Selbstverständlich 
ist dann 'k<Cm, und wenn wir gleichzeitig x als positiv voraussetzen, 
so beträgt die Summe der Reihe 

^Ä + 1 ^ (A + l)(/t + 2) ^ 

mehr als Null, aber weniger als 

1+ yt'+lä"' + A3^ +•••-, 



*) Die Allgemeingültigkeit des binomischen Satzes hat Newton entdeckt (Brief an 
Leibnitz v. 13. Juni 1676); der oben gegebene Beweis rührt im Wesentlichen von Euler 
her [Nävi Comment. Petropol. T. XIX, p. 103) und ist von Cauchy vervollständigt 
worden (Cours d'analyse algebr. p. 164). 

11* 



164 Cap. YI. Der binomische Satz. 

diese Reihe bildet eine geometrische Progression, deren letztes Glied 

fm \^--^^ 

I T ^ I ist , deren Summe also durch 

"VF) 



mx 

T 



dargestellt wird. Der Rest Bk liegt demnach zwischen Null und 

(mx'V 



^mx\'^-^+^ 



(^)ux^ 



mx 

oder es ist, wenn ^ einen nicht näher bekannten positiven echten 
Bruch bedeutet, 

4) Rk = Q ii^)kx^ ^^ , < ^ < 1. 

mx 

Bei negativen x ändert sich nur wenig an diesen Schlüssen. Be- 
zeichnen wir nämlich den absoluten Werth einer Zahl s mit [-s^], so 
liegt die Summe der Reihe 3) zwischen 



und 



h[M-[M^ ■} 



+{'+[f']+[M- * 



7 

hieraus ersieht man leicht, dafs B^ unter folgender Form dargestellt 
werden kann 



1 

5) Bk = Q{(^)kX^ hr::4 , — i < ^ < + 1. 

1 



[mx~\ 



Die Formeln 4) und 5) lassen sich zu einer einzigen zusammenziehen, 
welche äufserlich mit der letzten übereinstimmt; man hat dabei nur 
zu merken, dafs bei positiven x auch q positiv sein mufs. 

In dem speciellen Falle, wo -j- ein echter Bruch ist, hat man 



[mx"!"^-^' 
Xj 



+1 
<1 



durch Multiplication dieses Zählers mit q entsteht ein kleinerer echter 
Bruch, welcher q' heifsen möge, und daher wird einfacher 



Cap. YI. Der binomische Satz. 165 

— 1 <()'<:+ 1 , < ;wa: < A\ 
Auch hier entspricht einem positiven x ein positives q. 

Als Beispiel diene die Aufgabe, in Ermangelung gröfserer loga- 
rithmischer Tafeln den Werth von 

(1,00000 00007)1000000 

auf 10 Decimalstellen genau zu berechnen. Hier ist 

n^=Q . 0,0007 . . ., R^=Q . 0,000000245 .. ., 

R^ = Q . 0,00000 00000 57 . . . 

woraus man ersieht, dafs für die verlangte Genauigkeit h mindestens 
= 3 genommen werden mufs; diefs giebt 

(1,0000000007)1000000 = 1,00070 024505 

b. Es sei zweitens |U eine positive aber keine ganze Zahl; die 
binomische Reihe geht dann in's Unendliche fort und convergirt unter 
der Bedingung — 1 ^ or ^ -f- 1. Dasselbe gilt von der Reihe in 
No. 2) ; wir nehmen dann die willkürliche ganze positive Zahl ^ ^ ^^ 
und unterscheiden die Fälle eines positiven und eines negativen x 
nämlich x = -\-- ^ und x = — ^. Im ersten Falle wird die erwähnte 
Reihe 



7) 


k+1 


1 + 


(*-f')(*-t'+l)„ 


und im 


zweiten Falle 






8) 




1 + 


{k + 1) (* + 2) 


Da die Factoren 








k-i. 


k- 


-(, + 1 k — ti + 2 



positive echte Brüche sind und ^ unter der Voraussetzung — 1 <Cx<C-\-l 
gleichfalls ein positiver echter Bruch ist, so beträgt in den Reihen 7) 
und 8) jedes Glied mehr als das folgende; die Summe der Reihe 7) 

z» ___ ij 

liegt daher zwischen 1 und 1 — rTTi ^ ^^^ ^^^ folglich positiv; ebenso 

erhellt unmittelbar, dafs die Summe der Reihe 8) positiv sein mufs. 
Ferner beträgt die Summe der ersten Reihe weniger als die der zwei- 
ten und die letztere ist wiederum kleiner als 



166 Cap. YI. Der binomische Satz. 

i + ^+^^ + S^ + .... = 34:j 

Denkt man sich zwischen ^ und 1 noch einen beliebigen echten Bruch e 
eingeschaltet (^ < e < 1) , so ist 

1— 1^1 — £' 

die Summe jeder der Keihen 7) und 8) liegt nun zwischen und 

q , man kann also beide Summen unter der gemeinschaftlichen 

1 — € ^ 

Form r— ^ — darstellen, wenn man unter o einen nicht näher bestimm- 
1 — € ^ 

baren positiven echten Bruch versteht. Für den Rest ergiebt sich 

hiernach die Formel 

9) /?. = ^^^, 

W<:£<:4-i, '^'>^, o<:^<:i, 

wo [x] den absoluten Werth von x bezeichnet. 

Diese Schlufsweise verliert ihre Anwendbarkeit im Falle x==^-{-A 

d. h. für J = 1, doch bleibt die anfängliche Bemerkung noch richtig, 

dafs die Summe der Reihe 7) positiv und kleiner als die Summe der 

Reihe 8) ist. Nach Formel 3) in §. 23 hat man ferner für a = ^ -j- 1, 

h = Je — ^/ , wobei die Bedingung a — 1 p* & > erfüllt ist, 

k — fi {k — (i){/c — fi-\~l) ^k^ 

-^^ + l-t- (^_|_i) (;tH-2) '^"' ^' 

mithin kann man die Summen der Reihen 7) und 8) für ^ = 1 unter 

Je 
der gemeinschaftlichen Form q - darstellen; für den Rest folgt hieraus 

10) Ä, = ,o(^— l),_i(±l)^ 

c. Drittens sei jn negativ = — l; die Reihe in No. 2) wird dann 
bei positiven x zur folgenden 

^^) k-^l^'^ {k -^ l) [k -\- 2) ^ 

dagegen bei negativen x 

^^) l+F+T^+ (yt+l)(A- + 2) ^^ 

Jc-{- ^ 
Da sich der Ausdruck | | für unendlich wachsende Je der Grenze ^ 

nähert, so kann man, falls ^ <: 1 ist, ^ so grofs wählen, dafs 



Cap. YI. Der binomische Satz. 167 

ist, WO E einen zwischen ^ und 1 eingeschalteten echten Bruch be- 
zeichnet. Aus der vorstehenden Ungleichung folgt in der That 

und diese Bedingung läfst sich immer erfüllen. Ist diefs geschehen, 
so hat man um so mehr 

oder 

mithin 

(^+l)(A- + 2) ^ ^ ' (^+l)(/:+2)(^ + 3) ^ ^' 

u. s. w. 
Die Summen der Reihen 11) und 12) sind hiernach positiv und klei- 
ner als 

1 £ 

sie können daher unter der gemeinschaftlichen Form :j— ^ — darge- 
stellt werden; für den Rest ergiebt sich nun 

13) ^k == YZIT' 

[ar]<£<l, y^>[^~', 0<^<1. 

Im Falle x = + l d. h. ? = 1 verlieren diese Schlüsse ihre An- 
wendbarkeit und sind durch folgende Bemerkungen zu ersetzen. Für 
x = -^l d. h. in No. 11) mufs (nach No. 7) in §. 37 ^^ > — 1 mit- 
hin l «Cl sein; die Ausdrücke 

TJ^' yt + 2 "' ~^ + 3 ' • * • 

sind dann bei jedem Je echte Brüche, folglich liegt die Summe der 
Reihe 11) für ^ == 1 zwischen 1 und 1 — ; ist also ein echter 

Bruch Q, woraus sich für den Rest die Formel 

14) 7?fc = ^(^)fc, 0<:^<l 

ergiebt. Für x = — 1 darf /ti überhaupt keine negativen Werthe er- 
halten, in der Reihe 12) kann also der Fall ^ = 1 gar nicht vor- 
kommen. 



168 Cap. VI. Der binomische Satz. 

Durch Zusammenfassung der gewonnenen Resultate erhalten wir fol- 
gendes Theorem: 

Wenn f^i keine ganze positive Zahl und x zwischen 
— 1 und + 1 enthalten ist, so gilt für den Rest der 
Binomialreihe die allgemeine Formel 

15) Rk = -y^ir^ ' 

M<8<1, 0<^<1; 

bei positiven i^i ist hier h^ (.i zu nehmen, bei nega- 
tiven i-i dagegen 

Für die Specialfälle a; = + l gelten die besonderen 
Formeln 10) und 14). 

Wenn x positiv ist, kann der Rest noch einfacher ausgedrückt 
werden. Die Reihen 7) und 10), welche dieser Voraussetzung ent- 
sprechen, haben nämlich alternirende Vorzeichen und in jeder ist ir- 
gend ein Reihenglied gröfser als das darauf folgende, wenn in No. 7) 
Z; ;> itt und in No. 10) 

genommen wird. Die Summe der Reihe 7) liegt daher zwischen 

sie ist folglich ein positiver echter Bruch, welcher q heifsen möge; 
die gleiche Bemerkung gilt für die Reihe 10) und daher haben wir 
in beiden Fällen die einfache Formel 

Rk = QMk^'', <:^ < 1, 
wobei 7c wie vorhin zu wählen ist. Man kann diefs auch so aus- 
drücken: Wenn bei positiven x die Binomialreihe soweit fortgesetzt 
wird, dafs sie abnehmende Glieder mit alternirenden Vorzeichen er- 
hält, so beträgt der Rest immer einen Bruchtheil desjenigen Reihen- 
gliedes, welches auf das zuletzt genommene folgen würde. 

d. Mit Beachtung des Restes kann man den binomischen Satz 
zur Ausziehung von W^urzeln beliebig hoher Grade benutzen. Ist 
nämlich aus die m^'^ Wurzel zu ziehen, so zerlegt man z so in zwei 
Theile a und h, dafs a die zunächst an liegende Zahl bedeutet, 

deren m}^ Wurzel rational angebbar ist; man hat dann 

m 1 

y, = V^4:i=j/«(i + *) = y«(i + ^)", 



Cap. YI. Der binomische Satz. 169 

WO nun I 1 + - 1 nach dem binomischen Satze entwickelt werden 
kann. So ist z. B. 

y 129 = yT25qri = 5 (^1 + Y^) 

_. ix , i_4 2 f 4 y 2.5 r 4 y ) 

j "^3 125 3.6V125,/ "^ 3 . 6 . 9 VlSöJ j' 

schreibt man kurz 

5 

yi29 = u^ -\-u^ — ?^2 + ^^3 — "4 + • • • • ' 

so ist die Rechnung folgende 

u, + .,^ =5 + ~-^ =5,05333 33333 

?/^ = ? . -— ?/, = ^ u, =0,00056 88889 (— ) 

2 6 125 1 3 . 1000 ^ — .\.^^;rTTT^T-^— ^ 

5,05276 44444 

^ -i^ «/„=., — ^ 2/ =0,0000101136 (+) 



9 125 2 9 . 100 2 



5,0527745580 



//. = ?/„ = z/„ =0,00000 02158 (— ) 

* 12 125 3 3.1000 ^ .\.^>,>. .0.^^ - — ^ 

5,05277 43422 

U. S. W. 

und wegen der alternirenden Vorzeichen liegt die gesuchte Wurzel 

immer zwischen zwei aufeinander folgenden Werthen. 

§. 39. 

Eigenschaften der Binomialcoefficienten. 

In §. 37 wurde gefunden,, dafs die Summe der endlichen Reihe 

durch 

^ _(a + /3) (g + ^-l) (« + /3- 2)... (« + ^- [// — !]) 

*" 1.2.3 n ' 

ausgedrückt werden kann, mithin wieder ein Binomialcoefficient ist. 
Diese Fundamentaleigenschaft der Binomialcoefficienten stellen wir in 
der Gleichung dar 

1) Wo(ßn + («)l(«n-: + WgCß«-. + ' ' • + Wn(«0 

und benutzen sie zur Ableitung anderweiter Relationen zwischen Bi- 
nomialcoefficienten 

(Vfb\ 
^ I den Coefficienten von rc'' in der 

Entwickelung von (1 + oof"^^ und zwar ist 



170 Cap. VI. Der binomische Satz. 

m (m \ (m \ (m \ (m \ 

Ujp 1.2.3.../7 

Multiplicirt man Zähler und Nenner mit 2^, so erhält man leicht 
m{in — 2) (w — 4) (»z — 6) . . . [in — 2/^ + 2) 



^' 6). 



2.4.6. .,{2f) 

Von diesen Coefficienten halber Exponenten gelten mehrere brauch- 
bare Relationen, welche auf folgende Weise entstehen. 

a. Sei i-i eine ganz beliebige Gröfse, n eine positive ganze Zahl 
und folgende Reihe 

s) „,(ix+„,('-=-^)__+„.(^X__+... 

mit der Forderung gegeben, ihre Summe aufzufinden. Bezeichnet r 
eine ganze positive Zahl, so ist ein beliebig aus der Reihe heraus- 
gegriffener Summand von der Form 

und die Reihe selbst entsteht dadurch , dafs man successive r = 0, 
1 , 2 , 3 , . . .n setzt und alle hervorgehenden Gröfsen addirt. Ent- 
wickelt man den Werth jedes Factors, so erhält man 

_ fi(^— 1) (m— 2) . . . (m— 2r- |-l) (ni — 2r) (^ — 2r — 2). . . (|Lt— 2yz-f -2) 
1.2.3... (2r) 2 . 4 . 6 . . .(2;z — 2r) 

Im Zähler bilden diejenigen Factoren, in welchen gerade Zahlen sub- 
trahirt werden, nämlich 

fi, \K — 2, \x. — 4, . . . fi — 2r -j- 2 und ft — 2/', jix — 2r — 4, 

f4 — 2/2-f-2, 

eine fortlaufende Reihe und wir können daher das Product in folgen- 
der Form schreiben: 

Kf^— 2)... (^—272+ 2) ( ^-l)(^-3)...(^— 2r-fl) 1 

1 . 3 . 5...(2r— 1) * 2.4.6...(2r) 2 . 4 . 6 ...(2»— 2r) 

Setzt man noch im Zähler und Nenner die Factorenreihe 

(2r + 1) (2r + 3) . . . (2w — 3) (2/^ — 1) 
ZU, wodurch sich der Werth des Bruches nicht ändert, so erhält man 
im Nenner des ersten Factors die ununterbrochene Reihe der unge- 
raden Zahlen von 1 bis 2n -h 1, mithin: 



Cap. VI. Der binomische Satz. 171 

|M(fi— 2)...(m— 2/^H-2) (ju— 1)(^— 3)...(,a— 2r4-l) (2//— l)(2/z— 3)...(2/-+l) 
1 . 3.5 ...(2;z— 1) * 2.4.6...(2r) ' 2 . 4 . 6. . . (2// — 2/) 

Der erste dieser Factoren ist von r unabhängig; wir setzen daher 
der Kürze wegen 

K^ — 2) (^—4)... 0.-2/^ + 2) _ 
^^ 1.3.5...(2a/ — 1) "^^• 

Der zweite Factor ist nichts Anderes als der Binomialcoefficient 

— ,c — I , wie man leicht durch Formel 2) prüft; schreibt man den 



e-?^). 



dritten Factor in der Form 

(2/1 — 1) (2;? — 1 — 2) ... (2/z — 1 — 2// — 2r + 2) 

2 . 4 . 6 ... (2/2 — 2r) 

SO erkennt man auch in ihm einen Binomialcoefficienten , nämlich 

( — ^ — I ; es ist also 

Setzt man hier successive r = 0, 1, 2, . . n und addirt alle ent- 
springenden Gleichungen, so folgt, dafs die Reihe 3) gleich ist der 
nachstehenden 

'[f-?^).(-i^I+(^).(-?^L+- 

Die eingeklammerte Reihe läfst sich aber nach Formel 1) summiren, 

2^1 1 n 1 

wenn man a = — ^ — , ß = —^— setzt ; ihre Summe ist (a + ß)n 

oder 

2n — 2\ (^ -f 2n — 2) (jit -j- 2/2 — 4) . . . (|ii + 2)iu 



('-±^=-1 



2.4.6... (2//) 

Setzt man hierzu den Factor K aus 5), so findet man, dafs die 
Reihe 3) gleich ist dem Ausdrucke 

K^ — 2) (fi — 4)...(iii — 2/2 — 2) ^ K|ti+ 2) ((ti + 4) . . . (^4-2 /2—2) 
1 . 3 . 5 ... (2/2 — 1) ' 2.4.6... (2//) 

woraus die Gleichung folgt 

'> ««e).+«.(^)..,+<'>.{^)._.+- 

•■■■+<').- ('-=¥±-0,+H.(s-). 

^ H,2(^2 _ 22) (^2 -^ 42) . . . (jtt2 _ [ 2 /1 — 2]^) 

1.2.3.4... (2/2) • 



172 Cap. YI. Der binomische Satz. 

b. Durcli eine ganz ähnliche Transformation gelangt man zur 
Summirung der Eeihe 

^r.A rf*-— 2«-f-l\ , ,. /^__2;^— n 

. . . + {N,n-r y ^ j + W.n+x (^ ^ j • 

Irgend einer dieser Summanden ist 

~ 1 . 2 . 3 . . . (2r +T) * "~~~ 2 . 4 . 6 . . . (2^^ — 2r) ~~ ~* 
Im Zähler bilden diejenigen Factoren, in denen ungerade Zahlen ab- 
gezogen werden, nämlich 

(X — 1, |ü — 3, . . . (i — 2r + 1 
und 

ju — 2r — 1, (i — 2r — 3, . . . ft — 2/? + 1 
eine ununterbrochene Reihenfolge; wir können daher die rechte Seite 
der Gleichung 9) in folgende Form bringen : 
(A{fi-~l){^—3)...{fi—2n-\-l) (^— 2)(fi— 4)...(fi— 2 r) 1^ 

1 . 3 . 5 . . . (2r -I- 1) * 2.4.6... (2r) '2.4.6.. .(2«— 2r)* 

Setzt man noch im Zähler und Nenner die Factor enreihe 

(2r -[- 3) (2r + 5) . . . (2/2 — 1) {2n + 1) 
ZU, so ist der obige Ausdruck gleich dem folgenden 
|u(^— l)(|it— 3)...(ft— 2;?+ l) (,u— 2)(fi— 4)...(^— 2r ) (2/?+l)(2;2— l)...f2rH- 3) 
1 . 3 . 5 . . .(2« + 1)"" * 2.4. 6... (2r) * 2 . 4 . 6 . . . (2/z — 2/^ 
in welchem der erste Factor von r unabhängig ist und mit K be- 
zeichnet werden mag. Schreibt man die anderen beiden Factoren in 
folgenden Formen: 

(H* — 2) (|it — 2 — 2) . . . (i^ — 2 — 2r + 2) 



und 


(2/ 


' + 


1)(2> 


. + 1 


2.4 

-2) 


.6. . . 

. . (2;? 


2r 


r+2) 






_|» 1 __ 272 — 2 






kennt 


man 


in 


2. 

ihnen 


4 . 6 
die 


. . . (2/2 — 2r) 
Binomialcoefficienten 


A.- 


^) 




l 2 


)r 



und 
\ '^ Jr 

I — ^~\ 5 folglich ist 

Setzt man successive r == 0, 1, 2 . . . ^ und addirt alle so ent- 



Cap. YI. Der binomische Satz. 173 

stehenden Glieder, so findet man, dafs die Eeihe 8) gleich ist der 
folgenden 

4(^1.(-n-('-^).(-n.-,+- 

woraus man durch Entwickelung des zweiten Factors und Substitu- 
tion des Werthes von K findet: 

• • • + W.n-i (^ ^ j + W.n+i (^ ^ j 

_ Hi(|ti2 _ 12) (^2 _ 32) . . . (^2 _ ^2// — 1]2) 

~ 1 . 2 . 3 . 4 . . . (2/2 4- 1) * 

c. Man bemerkt ebenso leicht, dafs 

1 . 3 . 5 ... (2/2 — 1) bjr V 2 j„_, 

ist, und hieraus findet mau, wenn r = 0, 1, 2, ...»^ gesetzt und 
Alles addirt wird, 

") ".(^^). + w.(^)._,+<".(^)._>- 

d. Aus der Gleichung 



/ ^ — 2/2 — n __ (^2 _ 1 2) (^2 „ 32) , , , (^2 _ [2,, ^ 1]2) 

'''V 2 Jo"" 1 .2.3.. .(2/2) 



(.)2.. ( -, j_ 

^ Ki^-2)(ft — 4)...(fi — 2/2) /- jit— n rs^+i^l 

1.3. 5... (2/2 + 1) V 2 Jr V 2 ;„_, 

ergiebt sich endlich noch für r = 0, 1, 2, . . . n und Addition aller 
entstehenden Glieder 

1.) „,(^)_+<,,(^X.+<">('-i-°L+- 

_l_r ^ / ^— 2/2— 2 \ ^ fi(^^— 2^)(^^— 42)...(^2 _[2;,]2) 

•••-t-l/^J2«+i \^ 2 Jo 1 . 2. 3... (2/2 + 1) 

§. 40. 
Zusammengesetzte binomische Entwickelungen. 

Um eine Anwendung der vorigen Formeln zu zeigen, gehen wir 
von den folgenden Gleichungen aus, welche für jedes endliche z gelten, 



174 Cap. YI. Der binomische Satz. 

die halbe Summe derselben ist 
und die halbe Differenz 

2) i[(yTT^^ + ^)^^ - (yr+"^ - ^)'*] 

Betrachten wir zunächst jn als ganze positive Zahl, so müssen 
wir gerade und ungerade /.i unterscheiden, denn im ersten Falle sind 

>, Hfl — 2), Kiii - 4), iiti — 6), ... 
ganze Zahlen, während gleichzeitig 

i(^ -1), i(/^-3), 4(fi-5), . . . 
Brüche sind; im zweiten Falle verhält sich die Sache umgekehrt. 

a. Aus No. 1) folgt unter Voraussetzung eines geraden f.i und 
durch Entwickelung der Potenzen von 1 -\- z^ 

+'".{('-f^).-+('-T-).='+(^n =•+■•■■} 
+<".{ (^n ••+■■■■} 

+ 

wofür wir kurz schreiben 

3) i[C\/i~-F^^ + ^'T + ('V'^+^^ - ^)''] 

Der Coefficient von j"' ist hier, wie man aus dem Vorigen ersieht, 
oder nach Formel 7) des vorigen Paragraphen 



Cap. YI. Der binomisclie Satz. 175 

•^" ~ rr2 .3.4 — (2w) 

Entwickelt mau hiernach J.^, Ä^, Ä^, etc. und berücksichtigt, dafs 

ist, so erhält man aus No. 3) die folgende, für gerade /t gültige 
Formel : 

4) i [(V 1+^ + ^)" + (V 1+7^ - zr] 

^1.2 ^1.2.3.4 ^ 1.2.3.4.5.6 ^ 

Bei ungeraden ^i geben wir der Gleichung 1) die Form 

und da hier ^(^t — 1), |(|tt — 3) etc. ganze positive Zahlen sind, so 
können wir die Potenzen von 1 -\- 0^ wieder in endliche Reihen ver- 
wandeln. Das Resultat ist von der Form 

5) i [(1/1+^2 ^ ^)^ ^ (V T+T2 — zf] 

== -yr+rr^ (a, + a^z^ + a^z^ + ) 

und darin «o = 1 

oder nach Formel 11) des vorigen Paragraphen 

__ (Hi» — 12) (fi2 — 32) . . ^ . (^2 _ [2;; ^ 1]2) 

^^" ~" 1.2.3 .It (2/2) * 

Gemäfs No. 5) haben wir nun für ungerade /n: 

6) i[(yT4^^ + ^)'* + (vn-"^^ - ^)^] 

»^^ /^1.2 ^ 1.2.3.4 ^ ( 

Die Transformationen, welche zu den Formeln 4) und 6) führten, 
können auch bei jedem beliebigen f.i vorgenommen werden, nur ist 
dabei zu beachten, dafs in diesem Falle die Exponenten von 1 -{- 0'^ 
keine ganzen positiven Zahlen sind und dafs folglich der Bedingung 
— 1 xC ^ <C 1 unterworfen werden mufs. Man erhält zunächst eine 
unendliche Doppelreihe, welche nach §. 34 die Umsetzung in eine 
Reihe von Verticalcolonnen gestattet, und gelangt schliefslich zu dem 
Resultate, dafs die Formeln 4) und 6) unter der Beschränkung ^^ < 1 
für jedes i-i gelten. 



176 Cap. YI. Der binomisclie Satz. 

b. Wenn in No. 2) unter /.i eine ungerade Zahl verstanden wird, 
so führt die Entwickelung der Potenzen von l-{- z^ zu einer Glei- 
chung folgender Form 

und zwar ist der Coefficient von s'"*^ 

oder nach Formel 10) des vorigen Paragraphen 

_ I^Cft^ _ 1 2) (^2 _ 32) . . . . (^ü __ [2« _ 1]2) 

^"+' 1 . 2 . 3 . 4 . . . (2» + 1) 

Daher ist zufolge von No. 7) für ungerade ju: 

8) i [(v T+^" + ^j** — cyr+T' - ^n 

f , K^»"-!') .. , Kf^-l^) ((^''-3 ^) 

= — Z -\ • Z ^ -f— — ^ *^ -4— .... 

1 ^ 1.2.3 ^ 1.2.3.4.5 ^ 

Bei geraden /< dagegen schreiben wir statt No. 2) 

i[(yr+T« + zY - (-\/\Tv^ - zY-\ 

= vr+^ { (^)i (1 + ^••»)Km-2) ^ + (^)3 (1 + j2)4(^-*)^3 + . . . j 

und erhalten durch Entwickelung der Potenzen von 1-^ g"^ 

9) i [{ij+^' + ^)'' - ( vn-~^ - ^n 
== yr+^ («js + b,z^ + b,z^ + ... .); 

darin ist 

'....-w.('-^l+w.('-^l_. + -- 

oder nach Formel 12) des vorigen Paragraphen 

•^""^^ ~" 1.2.3.4 (2/2 + 1) ■ 

Wir haben daher für gerade ^u: 

10) i [(V Hh^^ + ^T - (V M-^"'^ - ^)'^] 

»^ ^ )l ^ 1.2.3 ^ 1.2.3.4.5 ^ I 

Auch die Formeln 8) und 10) lassen eine Verallgemeinerung für 
beliebige ^.c zu, nur mufs dann z"^ *Cl genommen werden. 



Cap. YI. Der binomische Satz. 177 

c. Setzt man 

so folgt 

man hat dann aus No. 4) bei geraden im 

11) x^ + -i- 

"^ 2.4.6.8.10.12 V ^) "^•**"/ 

und aus No. 6) bei ungeraden ^ti: 

12) .' +i 

"^ 2.4.6.8 ~r~xj +••••/• 

Ferner ist nacli No. 8) bei ungeraden /.i: 

13) ^r'' — -1 

|2V x) 2.4.6 V W 

■^ 2.4.6. 8.10 V a:J "^ / 

und nach No. 10) bei geraden f,i: 

14) x^ — — 

K^2_22)(^2_42) ^ ly ) 

"^ 2 . 4. 6.8, 10 V ^J / 

Bei nicht ganzen (x gelten die letzten vier Formeln gleichfalls, 

wenn der absolute \Verth von x weniger als die Einheit beträgt. 



Schlömilch algebr, Anulysis. G. Aull. -to 



178 Cap. yil. "Die Reihen für Exponentialgröfsen und Logarithmen. 

Capitel VII. 

Die Reihen für Exponentialgröfseii und Logaritlnnen. 

§. 41. 

Die Exponentialreihe. 

In §.8, Formel 8) wurde gezeigt, dafs bei unendlich wachsen- 
den m die Gleichung 



Lim 



[(■+r] 



gilt und dafs folglich die natürliche Exponentialgröfse als Grenz- 
werth einer gewissen Potenz betrachtet werden kann; dieses Theo- 
rem bietet ein Mittel, um aus irgend einer Eigenschaft der Potenz 
die entsprechende Eigenschaft der Exponentialgröfse herzuleiten, und 
daher benutzen wir dasselbe auch zur Entwickelang einer Reihe für 
e^ , indem wir die oben angedeuteten Operationen an der Binomial- 
reihe ausführen. 

Nach Formel 6) in §. 38 ist unter der Voraussetzung eines gan- 
zen positiven m und für h ^ mx 



m{rn—\) {m — 2) . . . {m — k— 2) 
" " "^ 1 . 2 . 3 . . . (/i — 1) 

m{m — 1) . . . {vi — k — 1) QX^ 

wobei ^ einen positiven echten Bruch bezeichnet; nehmen wir x=^-~ 
und h'^ z, so wird 

\ ^ mj ^1^1.2 ^ 1.2.3 ^ 

'*•*"*" 1 . 2 . 3 .... (/t — 1) 



n -t 
Q ^ 



1.2.3 k 



Cap. YII. Die Eeihen für Exponentialgröfsen und Logaritlimen. 179 

Wir lassen nun m ins Unendliche wachsen, ohne die willkürliche 
ganze Zahl h zu ändern; die linke Seite hat dann e- zur Grenze, 
rechter Hand nähern sich die Brüche 

1 2 3 A — 1 

m^ m* rn' ' ' ' m 

der gemeinschaftlichen Grenze Null, mithin wird 
1) e^=l+i^-+ ' -• ' ■•• 



1 '1.2 '1.2.3 



i 1 __i^ 



1 . 2 . . . (^ — 1) ' 1.2. 



W 



Hieraus läfst sich auch wieder eine unendliche Reihe für e"" ab- 
leiten. Wir schreiben zu diesem Zwecke 

2) e^- 



. . _ . 2.3... yt 



-ß] '■ 



-3 



-=i4-T + -r-i; + 



1 ' 1 . 2 ' 1 . 2 . 3 ' ' 1 . 2 . . . (^ — 1) 

und lassen die Zahl k, welche die Anzahl der rechts stehenden Sum- 
manden bestimmt, ins Unendliche wachsen. Wie in §. 25 bewiesen 
wurde, beträgt der absolute Werth von 



1 . 2 . 3 . . . A- 
weniger als der absolute Werth von 



(#)' 



und da bei unendlich wachsenden k schon —pz die Null zur Grenze 

yk 

hat, so ist um so mehr 

mithin folgt aus No. 2) 
3) ,» = i+^+^ + _i'_ + ...., 

wobei jede beliebige endliche Gröfse bedeuten kann. 

tin dem speciellen Falle = 1 geben die Formel 1) und 3) 
12* 



180 Cap. YII. Die Reihen für Exponentialgröfsen und Logaritlimen. 

4) e = 1 4- i + -— H ^ h • . . . ' ^ 

^ ^1^1.2^1.2.3^ 



' l . 2 . . . (^ — 1) 
+ L ?_ 



5) .^,+\ + -'--^ + -}- 



hieran knüpfen sich einige wesentliche Bemerkungen. 

Was zunächst die Formel 4) betrifft , so dient sie zur numeri- 
schen Berechnung der Zahl e, wobei die Genauigkeit beliebig weit 
getrieben werden kann, wenn man Je grofs genug wählt. Man erhält 
z.B. für Z; = ll 

' + T+r-2 + ---- + r72^iö==''^''''^'''' 

^ —0,00000 00276 . q 



1 .2 ... 10 10 

mithin, wenn man dem q erst seinen kleinsten Werth Null und dann 
seinen gröfsten Werth 1 ertheilt, 

2,71828 18011 <e<: 2,71828 18287, 
womit e auf sieben Decimalen genau bestimmt ist. 

Mittelst der Formel 5) läfst sich entscheiden, ob e eine rationale 
oder irrationale Zahl ist. Die Summe der Reihe 

^ 2 "^ ¥7s "^ 2.3.4 "^ 2.3.4.5 ~^ ' ' ' ' .. 

beträgt nämlich weniger als die Summe der folgenden 

2~2.2^2.2.2^2.2.2.2~ 

sie ist daher ein echter Bruch. Wäre nun 

2"^2.3~^2.3.4~^ (/' 

WO p und q^-p ganze positive Zahlen bedeuten , so würde durch 
Multiplication mit 2 . 3 . 4: . . . q folgen 

3.4.5...y-t-4.5.6.r/ + 5.6...y + + 1 



1 ' (y + l)(y + 2) ' (^+l)(^ + 2)0/ + 3) ' 

==/?. 2.3.4.5 (7—1). 

Die erste Zeile enthält nur Producte von ganzen positiven Zahlen; 
die Summe dieser Producte ist daher wiederum eine ganz positive 



Cap. VII. Die Keihen für Exponentialgrölsen und Logarithmen. 181 

Zahl, die M heifsen möge. Die rechte Seite ist ebenfalls eine ganze 
positive Zahl, die wir mit N bezeichnen wollen, mithin wäre 

Nun beträgt aber die Summe der Beihe 
1 

weniger als 



y + 1 + (V+ 1) (^ + 2) + (7 4- 1) {q 4- 2) (y + 3) + 



' + ' ■ ' 



ry+l ' (y + l)^ ' (y+l)3 ' (^+1)* ' 
_ 1 1 _ 1 

und daher auch weniger als 1, da g jedenfalls die Einheit übersteigt. 
Hiernach müfste in No. 7) die ganze positive Zahl M, vereinigt mit 
einem echten Bruche, die ganze positive Zahl N geben ; diefs ist aber 
unmöglich, und daher kann die Summe der Reihe 6) keinem ratio- 
nalen Bruche gleich sein, mithin ist auch e eine Irrationalzahl*). 

Nach dieser Digression über die Zahl e kehren wir zur Formel 3) 
zurück und wollen zunächst eine andere Ableitung derselben zeigen, 
welche keinen Grenzübergang erfordert. Setzt man 

8) /(.)=i+- + __ + ____ + .... 

und dem entsprechend 

SO giebt die Multiplication beider Gleichungen 
wobei die Abkürzung benutzt wurde: 



1.2..« ' 1 . 2 . . (« — 1) 1 ' 1 . 2 . . (72 — 2) 1.2 



• 1 . 1 O /^ 1 \ *^ 



1 • 1 . 2 . . (« — 1) ' 1.2 

Der letzten Gleichung kann man die Form geben 

d. i. nach dem binomischen Satze 

1 



1.2. 



(^ + ^r; 



*) Der obige einfache Beweis wurde von Stainville gegeben in den Milnngcs 
d' Analyse, p. 339. 



182 Cap. VII. Die Reihen für Exponentialgröfsen und Logaritlimen. 
die Gleichung 9) geht nun über in 

d. h. 

10) f{x).fiy)^f{x + y). 

Wie in §. 37 folgt hieraus, wenn m eine ganze positive Zahl bedeutet, 

11) [/W]" =/(,«^) 

und speciell für m = 1 bei umgekehrter Anordnung 

/W = [/(!)]"' 

oder vermöge der Bedeutung von f{x) 



/('») 



+ T + r!-2 + r4T^ + ----) 



Bezeichnet e die Summe der Reihe l+y + ^-hi-h etc. , so ist 
hiernach 

Im Fall X ein rationaler Bruch - ist, erhält man aus No. 11) für 

q 

m = q 
mithin 



y^j =/W = «' 



m = •■ 



welche Gleichung sich leicht auf positive irrationale Werthe von x 
ausdehnen läfst, so dafs für jedes positive 

ist. Endlich folgt aus No. 10) 

/W./(-^)=/(o)-i 
mithin 

und daher ist für jedes endliche 
d. h. 

z z^ z^ 

'+-i + r72 + T72-rz + --- = '"' 

was mit der Gleichung 3) übereinstimmt *). 

Setzt man einmal = ax, das andere Mal = — axj so erhält 
man die beiden Gleichungen 



*) Cauchy, Cour& d^analyse alg^hr. p. 168. 



Cap. yil. Die E-eilien für Expoiiouiialgröfseii und Logarithmen. 183 



ax a ^ o: '^ a'^a:'^ 



1^) ^^'^-^ + T + r:^ + i.2.3 ■ - ■' 

^ 1^1.2 1.2.3^ 

welche sich wieder durch Addition und Subtraction combiniren las- 
sen; diefs giebt 

^("■^ _L. r.—CCX ^2^2 ^4,-4 



14) ^, = 1 + 



WX 



1.2 ' 1.2.3.4 



15) 



eCi^_^—0!X ^^ ^3^3 «5^5 



2 1 '1.2.3'1.2...5' 

Diese EntWickelungen betreffen immer nur Exponentialgröfsen, 
deren Basis e ist, wir haben daher noch den Fall einer beliebigen 
Basis a zu erörtern. Setzen wir 

so folgt, indem wir beiderseits die Logarithmen in irgend einem Sy- 
steme nehmen, 

X log a 

z log e == X log a , z = —- — 

log e 

mithin durch Substitution der Werthe von e^ und z in die Formel 3) 

16) «^ == 1 + 1 {'^^ + -L^ {'p'-^] ' 

^ ^ \\ log e J ^ \ . 2\ log e J 

^ l . 2 . 3\ log e J ^ 

Die Basis des logarithmischen Systemes ist hier willkürlich ; nehmen 
wir dafür die Zahl e, so wird 



1 '1.2 '1.2.3' 

dagegen erhalten wir, wenn a als Basis des Systems gewählt wird. 



^1.2.3 y'^log e) 



Das letzte Resultat ist in sofern von Bedeutung, als es zu einem 
gegebenen Logarithmus die zugehörige Zahl finden lehrt ; aus a^ =y 
folgt nämlich x = Hog y und 

«) ■' = ' + K^) + r^(^.)' + 

In dem speciellen Falle a= e wird 
20) y = i +\{iy)+^^{iyY+~-rz^'y)' + ■■■■• 



184 Cap. VII. Die Reilien für Exponentialgröfsen und Logarith.men. 

woraus man wiederum ersieht, dafs das Logarithmensystem mit der 
Basis e das einfachste und darum natürlichste ist*). 

§.42. 

Die Eeihen für Z(l -\-x) und Z(l — x). 

Sowie im vorigen Paragraphen die Exponentialreihe aus der Bi- 
noraialreihe abgeleitet wurde, so läfst sich auch eine logarithmische 
Eeihe finden, wenn man von der in §. 8, No. 11) bewiesenen Formel 

,. «^— 1 , 
Lim ^ = la 



Gebrauch macht. Zufolge dieses Satzes ist nämlich 

und hier übersieht man auf der Stelle die Möglichkeit, den binomi- 
schen Satz anwenden zu können. Denken wir uns zunächst unter d 
einen beliebigen positiven echten Bruch, so müssen wir dem x die 
Beschränkung — i ^ x <C -\- 1 auferlegen und haben dann nach 
Formel 15) in §. 38 , wenn k^ ö und 

[:r] < £ < 1 , < 9 < 1 
genommen wird. 



S(S—l)iS-2). 


. . (S-k-2) 


' 1.2.3... 
S(S-l){S-2). 


.{k-1) 

r 



mithin 

8 1^1.2^ 1.2.3 ^ 



(^-l)((^^2)....(5^^- 2) 
^ 1.2. Z,..,{k—\) 

(5 _ 1) (ö _ 2) (ö — - k—\) QX 



1.2.3 k 1 — s 

Durch Übergang zur Grenze für unendlich abnehmende d wird hieraus 



1) l(l-^x):=ix^^X^^ix'' 



k — 1 



X 



k-i 



(— 1)^ +1 QX^ 



1 



*) Die Exponentialreihe wurde unter der Form 20) zuerst von Newton aufge- 
stellt (Brief an Oldenburg für Leibnitz vom 26. Juli 1676). 



Cap. VII. Die Reilien für Exponentialgröfseii und Logarithmen. 185 

Will man statt dieser endlichen Reihe eine unendliche Reihe für 
l{l -{- x) haben, so schreibe man vorerst 

( l\k 

— y ^ — Y^r -t- -g-.r — -j- ^^ ^ X 

und lasse dann die willkürliche ganze Zahl 7c ins Unendliche wach- 
sen. Da X ein positiver oder negativer echter Bruch ist, so wird 
Lim ix^) = 0, mithin''') 

2) /(l + x) = \x-lx'^^ix^-lx^ + . . . . 

— <^< + l. 

Zu demselben Resultate führt auch die Gleichung 10) in §. 17, wenn 
man /.; ins Unendliche wachsen läfst und x als echten Bruch voraus- 
setzt; jedoch ist die so erhaltene Formel nur auf positivem beschränkt. 
Aus den Bemerkungen, welche wir im Fall eines positiven x an den 
Rest der binomischen Reihe knüpften, folgt übrigens leicht, dafs die 
Gleichung 2) auch für x = -\-l richtig bleibt; für ^ = — 1 dage- 
gen wird die Reihe divergent. 

Läfst man in No. 2) — x an die Stelle von x treten , so er- 

giebt sich 

3) /( i _ ;,.) = _ |x - f r ^ — ^x 3 - Ix 4 _ . . . . , 

— l<x<-f- 1, 
oder auch 

4) {rzT^) -i^ +1-^' -\-¥' +i^* + ...., 

Da der Quotient 1 : (1 - x) einen echten Bruch zum Divisor hat, 

so beträgt er mehr als die Einheit; man kann daher 

1 , z 
z=z\-\- z oder X = — -— - 

1 X Z '\- l 

setzen, wo nun z jede beliebige positive Zahl sein darf; die For- 
mel 4) wird dann zur folgenden 

Theoretisch betrachtet liegt in den Formeln 3) und 5) die voll- 
ständige Lösung der Aufgabe, den natürlichen Logarithmus einer ge- 
gebenen Zahl zu finden; für alle Zahlen unter 1 dient nämlich die 



t*) Die Reihe 2) findet sich zuerst in der Logariihmotechnica von N. Mercator 
1686). 



18G Cap. YII. Di(3 lieilien für Exponeiiiialgrörsou und Logarithmen. 

Formel 3) , für alle Zahlen über 1 die Formel 5). Zur practischeu 
Rechnung eignen sich aber diese Formeln nicht sonderlich, weil die 
vorkommenden Reihen meistentheils langsam convergiren; wir ent- 
wickeln daher noch einige logarithmische Reihen von stärkerer Con- 
vergenz. 

§. 43. 

Die Berechnimg der Logarithmen. 

Nimmt man die Difierenz der beiden Formeln, welche für 1{1 + x) 
und 1{1 — x) gelten, so erhält man 

— I<:r<+1,. 
durch Substitution von 

l-f-:r ^ — 1 

r= z mithm X = — -— - 

1 — X ^ + 1 

geht die vorige Gleichung in die folgende über 

die für jedes positive z gilt, weil dann x immer zu einem echten 
Bruche wird. Bei kleinen ist die Formel 2) vortheilhaft ; so erhält 
man z. B. für ^ = 2 



/2 



Li . 31"^ 3 . 33 "^ 5 . 35^""J' 



Brechen wir die eingeklammerte Reihe mit dem Summanden — ,^ 

m > 6 

ab, wo m eine beliebige ungerade Zahl bezeichnet, so beträgt der 

noch folgende Rest 

1.1.1. 



+ /„- I >\om4-4 + 



weniger als 



(jn -\- 2)3*"+" ( ' 32 ' 34 ' 36 

1 1 1 



mithin ist, wenn q einen nicht näher bestimmten positiven echten 
Bruch bedeutet, 

Q 



/2 



LI . 31 ^ 3 . 33 ^ 5 . 35 ^ ^ m . 3"*J 



4(w + 2)3' 



Cap. VII. Die lloilien für Expoiieniialgrörsen und Logarithmen. 187 
Durch successive Berechnung der Potenzen von ^ findet man 

^ 0,0000 00001, 



4 . 17 . 315 

folglich liefert die Annahme m == 15 den Werth von 12 auf 8 Deci- 
malen genau, nämlich 

/2 = 0,69314718. 
Kennt man la, so findet sich l(a -f- h) durch die Bemerkung, dafs 



/(' 



ist, wobei der letzte Logarithmus nach Formel 2) des vorigen Para- 
graphen entwickelt werden kann , wenn der absolute Werth von h 
weniger als der von a beträgt; man hat 

1 rb\^ 



3, ,(,+,=.+ie)-ig+KD 



Hiernach liefse sich z. B. 13 finden , wenn man a = 2, h = l nähme 
und den vorigen Werth von 12 benutzte. 

Eine brauchbarere Formel zur Berechnung von l{a-\-h) ergiebt 
sich aus der Bemerkung, dafs 



/{a-{-b) == /ö -f- /jl + -| = /«-}- / 



b ' 
2a -V- b 



ist; entwickelt man nämlich den letzten Logarithmus nach Formel 1), 
so folgt 

und zwar gilt diese Formel für alle positiven a und lo, weil dann 
5 : (2 a + &) d. h. X immer ein echter Bruch ist. Die Annahme 
a = 2, & = 1 giebt 

bricht man die Reihe mit der m^*" Potenz ab, so kann man den fol- 
genden Rest leicht auf die vorhin gezeigte Weise beurtheilen und 
zwar findet man, dafs derselbe weniger beträgt als 

1 C2V^ 

24(w-|-2)\löj ■ 

Für m = 9 wird der Rest so klein, dafs er auf die 8^^ Decim als teile 
keinen Einflufs hat; diefs giebt 

/3 = 1,0986 1229. 



188 Cap. VII. Die Heihen für Exponcntialgröfscn und Logarithmen. 

Zu einer weiteren logaritlimischen Reihe führt die identische 
Gleichung 

/;> = i [/(p - 1) + /(? + 1) - /(i - ^)] ; 

entwickelt man nämlich den letzten Logarithmus nach der Formel für 
1{1 — x)^ so erhält man 

/^> 1. 
Diese Formel lehrt den Logarithmus einer Zahl p finden, wenn die 
Logarithmen der beiden Nachbarzahlen p — 1 und p -{- 1 schon be- 
kannt sind. Ist nun p eine ungerade Zahl, so sind p — 1 und p-{- 1 
gerade, d. h. zusammengesetzte Zahlen, und daher kann man deren 
Logarithmen aus den schon vorher berechneten Logarithmen ihrer 
Factoren herleiten. Für p = b z. B. ist 14 = 212, 16 = 12 + Z3, 
mithin 

/5_3_/2-fW3 1_4 1^ i_V-4- Y--V^- 

2 ~^2 100"^4V100/ ~^6U00j "^ ' 

wobei leicht zu sehen ist, dafs man nur bis (0,04)^ zu gehen braucht, 
um 8 Decimalen genau zu erhalten; man findet 

/5 = 1,6094 3791. 
Die Rechnung nach Formel 5) wird übrigens um so bequemer, je 
gröfser die Zahl p ist; denn einerseits braucht man bei grofsen p 
sehr wenig Reihenglieder, andererseits wird man mittelst der obigen 
Reihe nur die Logarithmen von Primzahlen berechnen, und diese letz- 
teren treten um so spärlicher auf, je weiter man in der Zahlenreihe 
fortschreitet. 

Hat man nach den angegebenen Methoden eine Tafel der natür- 
lichen Logarithmen construirt, so kann man aus ihr die Logarithmen 
jedes anderen Systems ohne Mühe herleiten. Nach Formel 13) in 
§.8 ist nämlich 

die künstlichen Logarithmen entstehen also dadurch, dafs man die 

natürlichen Logarithmen mit dem constanten Factor j- multiplicirt. 

Letzteren nennt man den Modulus des Systemes mit der Basis a 
und bezeichnet ihn durch 



Cap. Vni. Die goniometrischen Reihen. 189 

Für das gewöhnliche Logarithmensystem ist a = 10, 
ao = /2 + /5 = 2,3025 8509, 

/»/,.== -^ =0,4342 9448; 

durch Multiplication mit 0,434 . . . werden also die natürlichen Loga- 
rithmen zu gewöhnlichen ; umgekehrt erhält man die natürlichen Lo- 
garithmen aus den gewöhnlichen, w^enn. man letztere durch den Mo- 
dulus dividirt, d. h. mit ZIO == 2,302 .. . multiplicirt. In den loga- 
rithmischen Handbüchern findet man meisten theils eine Hülfstabelle 
zur Erleichterung dieser Operationen. 



Capitel VIII. 

Die goniometrischen Reihen. 

§. 44. 

Die goniometrischen Functionen vielfacher Bögen. 

Sowie der binomische Satz die Grundlage für die Entwickelung 
der Exponentialreihe und der logarithmischen Reihen bildet, so be- 
ruht die Ableitung der goniometrischen Reihen auf denjenigen Formeln, 
welche den Sinus oder Cosinus eines vielfachen Bogens berechnen leh- 
ren, wenn die goniometrischen Functionen des einfachen Bogens be- 
kannt sind. Meistentheils fehlen diese Formeln in den Lehrbüchern 
der Trigonometrie (weil dort überhaupt die Goniometrie nur als Vor- 
studie zur Trigonometrie dient), wir müssen sie daher erst entwickeln. 
Zur Abkürzung sei 



1) 


COS nu 
''~ cos'' u' 


sin nu 


man hat dann 






p 


COS {n-\- \)u 


cos nu COS u — sin nu sin u 


^n+i - 


~ coä""^' u ~ 


cos^"*"^ u 



oder, wenn man mit dem Nenner in jeden einzelnen Theil des Zäh- 
lers dividirt und die eingeführte Bezeichnung anwendet, 

2) l\^^^P,,-Q,tanu. 

Auf ganz gleiche Weise findet man sehr leicht 

Von den Werthen P^j = 1 und Q^ =0 ausgehend, kann man die 
Formeln 2) und 3) der Reihe nach für 7^ = 0, 1, 2, 3, 4 etc. benutzen, 



190 Cap. YIII. Die goniometrischoii Eeilien. 

um nacheinander P^ und Q^, P.^ und Q^, P^ und Q. etc. zu be- 
rechnen; dabei ergeben sich folgende Gleichungen 
P^ == l, (?i = ^^'^ ''? 

^2 = 1 — tan^ ?/, (^2 = 2 tan u, 

Pg = 1 — 3 taji'^ u, Pg == 3 /^-//z ?/ — tan^ u, 

P^ = l — 3 tan^ u -j- tau"^ ?i, Q^ = 4: tan u — 4 tan^ u, 

Mit einiger Aufmerksamkeit bemerkt man, dafs in den Formeln für 
P immer nur gerade Potenzen von tan ii vorkommen und dafs die 
Coefficienten mit den Binomialcoefficienten gerader Indices überein- 
stimmen ; dem analog enthalten die Formeln für Q nur ungerade Po- 
tenzen von tan u, und die Coefficienten sind Binomialcoefficienten un- 
gerader Indices. Hieraus schliefst man inductorisch, dafs die allge- 
meinen Formeln sein werden: 

P^ = (n?)^ — (w)2 tan^ u -\- (m)^ tan^ u — (w)g tan^ u -\- . . . . 

(>j„ = (-V?) j tan u — (A/?)g tan^ u -\- {m)^ tan^ u — ; 

selbstverständlich bedeutet hier m eine ganze positive Zahl, und die 
Reihen sind soweit fortzusetzen, bis sie von selbst abbrechen. 

Um die Gültigkeit der gewonnenen Formeln zu untersuchen, ent- 
wickeln wir die Ausdrücke 

Pm — Qm tan u und Q^ -f Pm ton u, 
indem wir für P^ und Qj,^ die vorigen Keihen setzen und die gleich- 
artigen Gröfsen vereinigen; diefs giebt 

Pfn — Qm tan u 
= Wo — [Wi + W2] tan^ u 4- f(w)3 + {ni)^ tan^ u 

— [W5+("06]^«^«^^4- , 

(?m + Pm tan u 
= [(^^')o +(^^0 1] tanu — [(w)2 + (^)3] tan^ u -h [W4 + W5] tan^ ?/ — .... 
Vermöge der Formeln 2) und 3) sind die linken Seiten dieser Glei- 
chungen identisch mit P„+i und Q,,,^^\ rechter Hand läfst sich (m)o 
durch das gleiche (m -j- l)o ersetzen und aufserdem die Summe je 
zwei benachbarter Binomialcoefficienten mittelst der Formel 

(A/?)fr_i + (w))t = {in 4- \)k 

zusammenziehen; die vorigen Gleichungen gehen jetzt in die folgen- 
den über 
Pm^, = (//^ + 1)0 — {in + 1)2 tan^ ^/ -f (/^^ + 1)4 tan^ u 

— {m -\- l)g tan^ ?/-}-...., 
öm+i = (''^ -h 1)1 tan u — {m + 1)3 tan^ u-^{jn -f- l)^ tan^ u—.... 
Diese unterscheiden sich von den früheren Formeln für P^ und Qm 
nur dadurch, dafs m -\- 1 an der Stelle von m steht; wenn daher 



Cap. yill. Die goniometrischen Eeihen. 191 

jene Formeln für irgend einen Werth von m richtig sind, so bleiben 
sie es auch, sobald man m um die Einheit vergröfsert. Für m = 
1, 2, 3, 4 liefern die obigen Formeln richtige Resultate, sie gelten 
daher auch für m = 5 , dann wieder für m = 6 u. s. w. , d. h. sie 
gelten für jedes ganze positive m. Zufolge der ursprünglichen Be- 
deutung von P,n und Q^ haben wir nun folgende Resultate 

-- sin mu , ^ ^ ^ „ , ^ 

O) — -jfi^ = (///)i tan u — (w)3 lau^ u -f- [rn)^ tan^ u — .... 

oder auch 

6) cos mu = (w) Q cos^ u — (///) ^ cos^"'^ u sin ^ u -\- (///) ^ cos^ '"^ ?i sin ^ u — .... 

7) sin mu = (/w) ^ co*'" ~^ v. sin u — ('-'Os ^^•''^ ^ '^ •^'''^ "^ ?/ -]- 

Hierin liegt die Lösung des anfangs erwähnten Problemes , cos mu 
und sin mu aus cos u und sin u herzuleiten"^'). 

Die Formeln 6) und 7) sind noch weiterer Umwandlungen fähig, 
welche auf dem Grundgedanken beruhen, das gleichzeitige Vorkom- 
men von cos u und sin u zu vermeiden , also entweder cos u durch 
sin u oder umgekehrt sin u durch cos u auszudrücken. Um das Erste 
zu thun, setzen wir 

sin u = x mithin cos u=={l — x^)^ 
und erhalten statt der Gleichung 6) die folgende 
8) cos mu 

worin sich die verschiedenen Potenzen von 1 — x^ mittelst des bino- 
mischen Satzes entwickeln lassen. Hierbei sind aber zwei Fälle zu 
unterscheiden. Wenn nämlich m eine gerade Zahl ist, so werden 
|m , \(m — 2) , \{m — 4) etc. zu ganzen positiven Zahlen und dann 
liefert das Binomialtheorem endliche Reihen; für ungerade m dage- 
gen sind |m , -|(m — 2) etc. Brüche und dann führt die binomische 
Entwickelung zu unendlichen Reihen. Um letztere zu vermeiden, be- 
schränken wir uns vorläufig auf gerade m und haben dann 

cos mu 

='"'.[6).-e)."^-G).'*-©.-+---] 

-<-'-[r-?^)/-(^?^).-*+(^?^)/- ] 

+'-'.[r-?^)."-^?^),-+--] 



*) Die obigen Formeln wurden schon 1590 von Vieta gefunden (^Respo7ino ad 
Adriani liomani prohlema in den Oi)p, pag. 315). 



192 Cap. YIII. Die goniometrischen Reihen. 

Durch Vereinigung aller Glieder, welche die nämlichen Potenzen von 
X enthalten, gelangt man zu einem Resultate von folgender Form 

9) cos mu = ^0 — ^2'^^ ~i~ "^4 *^ — ^6^^ +••••> 

darin ist 

und irgend eine Potenz von x^ z. B. ^^'^ hat den Coefficienten 

. . . . + (^)2fc-2 (^ ^ j + (/«)2fc (^— 2 j . 

Nach Formel 7) in §. 39 läfst sich die hier vorkommende endliche 
Reihe summiren, und es ist kürzer 

_ W2(;,;2 _ 22) (;y;2 _ 42) (;^/ 2 _ ß^) . . . (w,2 — . \2k — 2]2) 

^^ 1.2.3.4.5.6 (2/4) ' 

Substituiren wir die hiernach gebildeten Werthe von Ä^^ Ä^^ Äq etc. 
in die Gleichung 9) und schreiben wieder sin u statt x, so haben 
wir folgende Formel 

^ 1.2 '1.2.3.4 

77?,2(/w2 _22)(a/?2 —42) 

^?/2 ^ ?^ -|- . . . ; 



1.2.3.4.5.6 

darin mufs m eine gerade Zahl sein, und die Reihe ist soweit fort- 
zusetzen, bis sie von selber abbricht. 

Bei ungeraden m dividiren wir die Gleichung 8) durch cos u == 

yi — x^^ und erhalten zunächst 

cos mu 
cos u 

Hier sind die Exponenten \(m — 1), \{m — 3), \(m — 5) etc. ganze 

positive Zahlen und daher lassen sich die Potenzen von 1 — ^^ [^ 

endliche Reihen entwickeln. Ordnet man, nachdem diefs geschehen. 

Alles nach Potenzen von x, so gelangt man zu einer Gleichung von 

der Form 

cos mu „ . - 

= 1 — a^x^ ~\- a.x^ — ii R^ +••••> 

cos U Z 4 D 

und zwar ist hier 

a,, = W„ (^-i)^ - W, (-■^)^_^ + ('«). (-i^),_, - • • • • 

Nach der Formel 11) in §. 39 hat man dafür einfacher 



Cap. VIII. Die goniometrischen Eeihen. 193 

— (w^ — 1^) (ffi^ — 3^) (m'^ — 5^) . . . (m^ — [2/ c — 1]2) 
^^^ 1.2.3.4.5.6 {2/c) 

mithin aus der vorigen Gleichung 

11) cosmu==cosu\ 1 sin^u-^^ 2 \ ~4 -^«'' '^— "•••• 

wobei m ungerade sein mufs. 

Ahnliche Umwandlungen gestattet die Formel 7), welche für 
sin u = X lautet 

Bei ungeraden m sind die Exponenten |(m — 1), ^(m — 3) etc. ganze 
Zahlen, mithin lassen sich die Potenzen von 1 — x^ in endliche Eei- 
hen verwandeln, was ein Resultat von folgender Form giebt 
si'/i mu = B^x — ^3*^ + ^5^^ — . . . . , 

..„=(..,, (-?i).+(.>. (^J),__+<.,(-pi),_+.... 

Kürzer ist nach Formel 10) in §. 39 

_ m{m^ — 12) (//z^J —32) (///2 — 52)...(y7?— [2A---1]2) 
^^"^"^ 1.2.3. 4.T7..(2/t-l- 1) 

mithin 

lo) sin mu = — sin u ^ sin^ u 

^ 1 1.2.3 

W^2 _l2)/^2_32).;] 

^ 1.2.3.4.5 

wobei m ungerade sein mufs. 

Ist dagegen m eine gerade Zahl, so dividirt man erst die Glei- 
chung 12) durch cos ti = yi — x''^ und entwickelt in der nunmeh- 
rigen Gleichung 

sin mu 
cos u 

die Potenzen von 1 — x^\ man erhält ein Resultat von der Form 
sin mu 



{m)^{l — x^f^'^ '^JT — (w)3 (1 -~jr2)^("' *^a:3-f.. 



cos u 



b^x — b^x^ 4" ^5*^ — 



..„-<-), (-F-^).+(... (--^)._.+(->. (^-i)^+.. 

Nach Formel 12) in §. 39 reducirt sich diefs auf 

_ m{m^ ~ 22) (7^2 — 42) {m ^ — 62) (;w 2 — [2;^] 2 ) 

2^_^ — r. 2 . 3. 4 (2^4-1) 

und daher ist 

Schlömilch algebr. Analysis. G. Aufl. ^g 



194 Cap. YIII. Die goniometrisclien Eeilien. 
14) sin rnu = cos u 1 — sin u sin ^ u 



?,/(w2_22)(/w2 —42) . ^ 

4 ^^ ~ sin^ u 

^ 1.2.3.4.5 



worin m eine gerade Zahl sein mufs*). 

Durch ganz ähnliche Transformationen könnte man aus den Glei- 
chungen 6) und 7) neue Gleichungen ableiten, in welchen die Reihen 
nach Potenzen von cos u fortgehen ; zu den nämlichen Resultaten ge- 
langt man aber kürzer, wenn man in den Formeln 10) bis 14) J/c — u 
an die Stelle von u treten läfst. So erhält man z. B. aus No. 10), 
wo m eine gerade Zahl bezeichnet, 

( — 1)^ cos mu 

= 1 — cos^u-\-- — - cos*u — — - — - — 7 — - — ~—cos^u-\-.... 

1.2 '1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 ^ 

r_ r- n^" 7n\m^ -2 ^){m^ - ^^) , . ,{m^ -[m-2Y) ^^^„, ^^ 
* " "^ ^ ^ 1.2.3.4 m 

und wenn man beiderseits mit (~ 1)^"' multiplicirt, so ist bei um- 
gekehrter Anordnung der Reihe 

15) cos mu = A^ cos"* u — ^m-i f^^s^^~^ ^^ + -^m— 4 cos^~'^ u — .... 

+ (- 1)^^"-') J, cos^^ u + (- 1)^". 

Irgend einer der Coefficienten , etwa Am-2k-> hat den Werth 

r/i^(w2 _ 22) {in^ — 42).... {m^ —.\jn — 2k— 2]2) 

"'-'*^ "" 1.2.3.4 {m--2k) ' 

welcher sich durch folgende Umformung vereinfachen läfst. Man hat 

7^2 = 2 . /w . - 
2 



m' 



ni' 






m^ —(rn — ^k — ^y =^2'^{in — k—l) {k -\- \) 
mithin 

_ {m^k-\) (m-k-2) . . . {im-{-l)im{im-l ) . . . (/^+2) (^+1 )^^, „,_,,_, . 

1.2.3 {m — 2k) 

im Zähler sind hier alle ganzen Zahlen von Je -\- 1 bis m — k — 1 



*) Die obigen Umwandlungen haben viel Ähnlichkeit mit den in §. 40 vorgenom- 
menen Transformationen; der Grund dieser Übereinstimmung wird sich später bei der 
Theorie des Imaginären zeigen. 



Cap. VIII. Die goniometrisclieii Reihen. 195 

mit einander multiplicirt, setzt man daher im Zähler und Nenner 
noch das Product 1 . 2 . 3 . . , äj zu, so wird 

rm — k—\)(m — k — 2) 3.2.1 

^m-2k— \.2.,,{m — 2k).l.2.,,k • "'^ 

^ (nt~k-^l)(m-k-~2),..{m.^2k-^l) ^^ _^ 

1 . 2 . 3 . . . A' 
Nur in dem Falle ä; = erleidet diese Schlufsweise eine Ausnahme ; 
die vorhergehende Formel liefert dann unmittelbar 

^^ = 2— \ 
Nach diesen Erörterungen haben wir aus No. 15) die folgende, für 
gerade m gültige Formel: 

cos mu = 2"*-' C05™ u — m 2"*""' cos"^-^ u 

J^m2'^-' ^-^ cos"^"" u^ 

^ 2 

oder besser 

16) 2 cos mu =(2 cos w)"» — ^ (2 cos w)"»"« + "^^^"^^ (2 cos u)"^-' 

m(m — 4) (m — 5), ,„ , 
^ ^^ \2cosu)'"-^ -\- 



1.2.3 

In der Formel 13) lassen wir gleichfalls }jt — u an die Stelle 
von u treten und schreiben die Glieder rechter Hand in umgekehrter 
Ordnung ; mit Rücksicht auf den Umstand, dafs jetzt m eine ungerade 
Zahl bedeutet, erhalten wir ein Resultat von der Form 

cos mu = ^^ cos^ u — ^m— 2 co*"*~^ ^ + ^m—4 cos"*""^ u — .... 
und zwar ist 

__w(w2_i2) {jn^ — 32) {m'^ — \m — 2k-- 2]^) 

"•~^* ~ 1 . 2 . 3 . . . . (w — 2A:) * 

Zur Transformation dieses Bruches benutzen wir die identischen 
Gleichungen 

--■■=-mc-^) 

ff(2 — (m — 24 — 2)2 = 2* (m — ;^ — 1) {k + 1), 

aus denen folgt 

^m-k-\.)[m-k-^) . . . ^1 . "^i . . . (4+2) (4+1) 

-^"— = 1.2.3. ■■■(,»-24) '" ^'^''-'- 

Im Zähler steht die Reihe der natürlichen Zahlen von Ä + 1 bis 

13* 



196 Cap. yill. Die goniometrisclieii Reihen. 

m — k — 1 ; setzen wir im Zähler und Nenner noch die Factoren- 
reihe 1 . 2 . . . Z; hinzu , so erhalten wir nach Hebung der Factoren- 
reihe 1 . 2 . . . (m — 2^) 

^"'-''~ 1.2.3.../t '^^ 

Für Z; = giebt die vorhergehende Gleichung A^ = 2""" ' , es stim- 
men also die neuen Coefficientenwerthe vollkommen mit den früheren 
überein. Daher ist auch bei ungeraden m 

17) 2 cos mu == (2 cos itf' — ^' (2 cos w)"*"^ + rn{m — '6) ^^ ^^^ ^^^„_^ 

m(m — 4) {m — 5) , ^„_^. , 

!^ Li ^ (2 cos w)"* " -4- . . . 

1.2.3 ^ ^ ^ 

d. h. die Formel für 2 cos mu bleibt bei ungeraden m die nämliche 

wie bei geraden m. In jedem Falle ist die Reihe soweit fortzusetzen, 

bis sie von selbst abbricht, so dafs negative Potenzen von 2 cos u 

auszuschliefsen sind. 

Die Gleichungen 11) und 14) gestatten fast wörtlich dieselben 

Transformationen, und es wird daher die Angabe des Endresultates 

hinreichen. Man erhält sowohl für gerade als für ungerade m 

18) sin mu 

(2 cos «)•»-' — ^^ (2 cos «)"•-' + (>"— 3) ('"- 1) ^2 ,„, „)">-» 

- (^-4)(./^-5)(;.-6) n 

1.2.3 ^ J 

wobei negative Potenzen von 2 cos u auszuschliefsen sind*). 

§. 45. 

Endliche Producte für Sinus und Cosinus. 

I. Die bekannte goniometrische Formel 

i) sin w =^ 2 Sin — cos — 

läfst sich auf folgende Weise benutzen um sin z in ein Product aus 
den Sinus und Cosinus kleinerer Bögen zu verwandeln. 
Man hat zunächst 

sin z = 2 sin - cos - , 
2 2 

femer, wenn rechter Hand sin |^ wieder nach Formel 1) zerlegt 
wird, 



= sin u I I 



*) Die Formeln 10) bis 18) sind von Jacob Bernoulli gefunden worden {Mem. 
de VÄcadiiaie den ac.ienses 1702 oder Opp. T II, No. 97). 



Cap. VIII. Die goniometrischen Keihen. 197 



sin z ==2^ sin - cos — cos -. 
4 2 4 



Benutzt man wieder die Formel 1) für w= Is, so folgt 

z z z z 
sin z = 2^ sin - cos - cos - cos - ; 
8 2 4 8' 

auf diese Weise fortgehend gelangt man zu der allgemeinen Formel 

2) sin ^ = 2" sin ^'Cosl cos ^cos^.,, cos ^-^, 

worin n eine beliebige ganze positive Zahl bedeutet. 

II. Eine Modification des vorigen Gedankens ist folgende. Statt 

der Formel 1) schreiben wir 

r. . ^ . f^ -{-^ 
ö) sin V) = 2 sin — sin , 

und haben zunächst 

s?n z = 2 sin - sin . 

2 2 

Wird nun rechter Hand jeder Sinus wieder nach No. 3) zerlegt , so 

ergiebt sich 

z . z •4- 71 . z -{- 2Tt . z -{- 3tc 

sm z = 2"^ sin - sin sin sin ; 

4 4 4 4 

die Wiederholung dieses Verfahrens liefert 

^-7 . ^ . ^-\-^ . ^ 4- 27r . z-\-l7t 

sw z = 2' sin - sin s?n . . . sin . 

8 8 8 8 

Nach w- maliger Anwendung dieser Zerlegungsmethode findet sich, 

wenn 2" = jp gesetzt wird 

^«_t . - . Z-\-7l . Z-\-2Tt , Z-{-{p \)tC 

siH z = 2*^ ^ sin~ sin sin . . . sin 

V V P P 

oder in kurzer, von selbst verständlicher Schreibweise 

4) sin z == 2^-' ^0^1-^2 ^p-1- 

Die Reihe der Factoren s^, s^, s^-, ... ordnen wir folgendermaafsen 

1 p-i 2 p-1 ^p_i ^p+i ^p» 

so dafs, abgesehen von s^ und *,^, immer je zwei Factoren wie s^ 
und s j^ zu einer Gruppe vereinigt werden. Dabei ist 

. hn -{- z 

s, =isin 

" p 

, (p — htSTC-^- z , hn — z 

s , = sin = sin 

p— « p p 

mithin das eine Gruppe bildende Product 

/ . ÄTT ZY r /l7t . ZY hn ^ Z 

'^fc'^ j, = \ sin — cos - I — I cos — sin -\ = sin^ sin^ -. 

^ ^-^ \ p pj \ p pj p p 



198 Cap. YIIL Die goniometrischen Reihen. 

Macht man hiervon Gebrauch für ä = 1, 2, 3 .... 1^^ — 1, be- 
achtet ferner, dafs 



— — I 

^ PJ 



cos 



ist, und setzt zur Abkürzung 

so erhält man aus der Gleichung 4) die folgende 



5) sin ^ = 2^""* si'n 



sin^ sin^ - I I sin^ sin^ - 1 

P PJ \ P pj 



I si7i^ sin^ - I cos -. 

\ P PJ P 



Bemerkenswerth ist derjenige specielle Fall dieser Formel, welcher 
sich ergiebt, wenn man beiderseits mit z dividirt und dann zur Grenze 
für unendlich abnehmende z übergeht; wegen 



sin - 
Lim = 1 und Lim = Lim < 





. z 




1 


sin - 
P 


_ 1 


p 


z 
P 


P 



folgt nämlich 
6) 



2^ ' 7t 27i; qit 

1 = sin^ ~ sm^ — sin^ ^— . 

P P P P 



Dividirt man endlich die Gleichung 5) durch No. 6), so kann man 
den Quotienten in folgender Form darstellen 



sin z 



7) 













. z 


z 








p sin - cos - 








^ P P 




sin - 


2 


■ 




~ . z' 
sin - 


2 


1 — 


P 

sin - 




V 


— 


P 

. 27i; 
sin — 






_ P^ 


. 






_ P ^ 


) 



1 — 



sin — 



>> 



an welche sich später eine wichtige Consequenz knüpfen wird. 

III. Nach einem bekannten Satze, dessen Beweis man auch im An- 
hange findet, läfst sich die ganze, rationale und algebraische Function 

in ein Product verwandeln, sobald es gelingt, n specielle Werthe von 
X anzugeben, für welche f{x) verschwindet. Sind nämlich x^^ x^^ 
iCg, . . . a;„ diese n Werthe, bei denen 

/(^l) =/(^2) - /(^a) • • • =/(^n) = 
wird, so hat man 

J[X) = fl„ (JT — x^) (x — X2) {x — x^)...(x-- Xn). 



Cap. VIII. Die goDiometrischen Reihen. 199 

Hiervon läfst sich eine Anwendung auf die Gleichung 9) des vorigen 

Paragraphen machen ; für sin u = x und bei geraden m hatten wir 

cos mu=l— J^x'^ + J^x^ — -f- (— l)i"' ^^.x^"*, 



daher mufs sich cos mu auch in folgender Form darstellen lassen 

cos mu = (— 1)^"* 2""-' (x — Xj) {x — x^) (.r -— xj 

und zwar sind hier x^^, x^^ ... x^ diejenigen m Specialwerthe von 
X, für welche 1 — A^x'^ + A^x^ — etc., d. h. cos mu verschwindet. 
Sowie nun x den Sinus von u bedeutete, so können auch x^^ x^, -.-x^ 
als die Sinus gewisser Winkel u^^ u^^ • • • w„i angesehen werden, und 
es ist folglich 

cos mu = ( — 1)^"* 2"'""^ (sin u — sin u^) (sin u — si?i ?/^) . . . (sin u — sin ?/„^). 
Die m Werthe u^^ u^^ ... u^^ für welche cos mu verschwindet, sind 
aber 

5;i; 
'^2m'" 

OTT 

~ 2m' * * 



TT 

2m' 



7t 

2m' 



37C 

27n 
2m: 



(in — \)7t 

2m7~~' 

(pi — 1)71; 



2 m 



und daher ist 



cos mu 



(— 1)5"'2"*~' \sinu — sin--\ { sinu — sin~\..,\ sinu — sin^— ^| 

^ ^ V 2^7 V 2/«y V 2/w ) 



X 



I si?i u -{- sin — I \smu-{- sin — I ... I sui u 
\ ' 2mJ \ ' 2m) \ 



sin 



) 



(m — l)7r 

2mJ \ ' 2m J\ ' 2m 

oder, wenn man je zwei unter einander stehende Factoren zu einem 

Producte vereinigt und diesem das entgegengesetzte Vorzeichen giebt 

cos mu 

{m—l)Tt , \ 

— sin'' u I. 

2m J 

Wendet man diese allgemeine Gleichung auf den speciellen Fall u = 

an, so erhält man 



= 2"* ^1 sin"^ sin^ u\\ sin'^ sin^ u\...\ sin^ sin 

\ 2m j\ 2m J \ 



8) 



sin^ — sm^ — 
2m 2m 



. s/n- 



[m — \)tc 
2m ' 



und ferner, wenn man damit in die vorige Gleichung dividirt, 
9) cos mu 







sin^ — 



1 — 



sin" u 



[m — l)n;| 



szn 



2m 



2m j I 2m 

Die Anzahl der Factoren beträgt ^m, wobei jede Parenthese für 
einen Factor gerechnet wird. 



200 Cap. YIII. Die goniometrischen Reihen. 

Eine ähnliche Transformation kann mit der, für gerade m gel- 
tenden Gleichung 14) des vorigen Paragraphen vorgenommen werden. 
Man schreibt erst 



sin mu 
sin u cos u 
worin 



^1 - -^3-^' + ^5** - • • • + (— l)^"'-^ ^™_x^"-% 



m{m'^ — 2*) (TW* —42) . . . (, 



\in — 2Y) 



m—\ 



1 . 2 . 3 . 4 . . . (w — 1) 



= 2' 



ist, und erhält dann weiter 



sin mu 



sin u cos u 

= (_ 1)^"»-! 2"*-^ [X — x^) {X - x^) {X — x^) ...{x — .r„_J 
== ( — 1)^"*""^ 2"*~' (sin u — sin u^) {sin u — sin u^) . . . {sin u — sin u^_^). 
Die m — 1 Bögen w^, u^, ... w^_, , für welche die linke Seite d. h. 
sin mu verschwindet , sind im vorliegenden Falle 



27t 4:7t 

2m' "^ 2m' 


6;r 
^2m"' 


..-+- 


{m. — 2)Tt 
2m ' 


27t 47t 

2m' ~ 2m' 


67t 

2m' ' ' 


• • — 


{m — 2)7t 
2m ' 


et hiernach 


sin mu 








sin u cos u 





= 2*"-^ Isin'^ ~-—sin'^?i\ ( sin'^ --— .w/^ u] ... ( «V?« ^^ '^ — sin'^ u\ 

\ 2m J \ 2m J \ 2m h 

Läfst man u in Null übergehen und berücksichtigt, dafs 

sin mu 

sin mu 



Lim 



sin u 



u m 

Lim — : = — 

sin u 1 



ist, so gelangt man zu der speciellen Gleichung 



10) 



w, = 2' 



sm' 



271 



4n 



sin 



{m — 2)ti 



2m 2m 2m 

Indem man die vorhergehende Productenformel durch die letzte divi- 
dirt, erhält man noch 

sin mu 



11) 



m sin u i 



cos u 

,2 



sin'^ u\ ( sin"^ u \ ( 

sin^ — I sin^ — I I 

2wj I 2mj y 



sm 



'^ )*. 



. o ('« ~ 2)^ 



sin' 



2m 



I 



*) Setzt man w = — , so erhält man eine VeraUgemeinerung von No. 7) in so fern 



Cap. VIII. Die gonioraetrisclien Reihen. 201 

Auch die GleichuDgen 12) und 13) können auf analoge Weise 
transformirt werden, und es wird die Angabe der Endresultate hin- 
reichen, da die Methode immer dieselbe bleibt. Aus No. 13) findet 
man 



12) 
13) 



siii^ — sin'' — 
2/w 2w 



. sin- 



{m — l)7t 



m sin u l 



sin^ u 

TT~2^ 

sin^ — 
2w 



sin mu 

,2 



1 — 



Sin" u 



sin^ u 



4:7t 

sin'^ — 



47r/ 
2wj 



sin- 



{m — \)7t{' 
2m 



und aus No. 12) 

14) 1 = 2^ 



15) 



(■ 



sin^ u 



sin 



\ 1 



2^_ 



Zn 



sin- 



2 m 



2m 2m 

cos mu 
cos u 
sin^ u \ 

sin^ — I 
2m\ 



sin' 



{m — 2)7t 
2m ' 



sin^ u 



sin 



.^ {m. — 2)7t 



2 m 



wobei 7n immer eine ungerade Zahl bedeutet. 

Dafs nun auch secmu, cscmu, tan mu und cot mu in Form 
von Producten darstellbar sind, wird keiner näheren Erörterung be- 
dürfen. 

Bemerken swerth ist noch eine aus No. 18) folgende Producten- 
formel, bei welcher keine Unterscheidung von geraden und ungeraden 
m vorkommt. Die genannte Gleichung erlaubt nämlich 

s?'n mu 



sin u 
__ 2^—1 ^^^^ ^^ — ^^^ ^^^^ ^^^^ ^^ — ^^^ ^^^j ^ ^ ^ ^^^^ ^^ — ^^^ w^__j) 

ZU setzen, wo u^^ u.^, . . . w,„_,j diejenigen Specialwerthe von u sind, 
für welche sin mu verschwindet. Nimmt man dafür 

71 27i; Zn [m — l)7i; 

m. m m m 

so erhält man zunächst 



sin mu 



sin u 



c.m-, I A I 27r\ / 

= 2 {cosu — cos —j \cosu — cos I .... Icosu — 



cos 



{m — l)7i; 



w. 



nämlich m eine beliebige gerade Zahl ist, während p in No. 7) eine Potenz der 2 sein 
mufs. Dagegen bietet die Ableitung der speciellen Formel den Vortheil, dafs sie die 
Kenntnifs der zu Anfang des Abschnittes III erwähnten Zerlegung von /(x) nicht vor- 
aussetzt. 



k 



202 Cap. VIII. Die goniometrischen Reihen. 

Weiter ist 

[m — l)7t 



7t ( '^\ 

— = cos I TT I = 

m \ m) 

(-S)= 



m 



2Tt ( 2n;\ (w— 2)7E 

cos = cos I TT I == COS 

m 



im — \)n ( (m — l);r 

COS --,^ I - / 



({m — l);r\ tc 

Tt l _- f.(yg __ . 
m J m 



m 

substituirt man die rechts stehenden Ausdrücke in die vorige Pro- 
ductenformel und schreibt die Factoren in umgekehrter Ordnung, so 
wird 

sin mu 
sin u 

= 2 \ cos u -4- COS — \ \ cos u -^ cos — I .... I COS u A- cos I 

V m) \ ' in) \ ' m J 

und durch Multiplication beider Gleichungen 

(sin mu\^ 
sin u J 

==2'''-^(^cos^u~cos'^^\(cos'^u—cos^^y.,L^^^ 

Jeder einzelne Factor rechter Hand läfst sich mittelst der Formel 

co5^ n — cos"^ a = sin {a -f- u) sin (a — u) 

in zwei Factoren zerlegen; diefs giebt 

(sin m?i\^ 
sin u J 

X2 ^ sin \ u\sin \ u ] sin \ — — u] . , , sin \ u\. 

\m J \m J \m J \ m J 

Die Anwendung der Formel sin v = sin {rc — v) zeigt, dafs die Fac- 
toren der zweiten Reihe mit denen erster Reihe identisch sind, wenn 
man letztere in umgekehrter Ordnung nimmt; daraus folgt durch 
Wurzelziehung 

— = -f 2"* ' ' *//2 I - -\-u\ sin I \-u\ . .. sin ^ — -\- u\. 

sin u ~ \m ) \m J \ m J 

Um über das Vorzeichen entscheiden zu können, gehen wir zur Grenze 
für verschwindende u über; in der entstehenden Gleichung 

I m_, . ^ , 27P . (m — l)n; 

m = -|- 2 ^ sin — sin — ... sin 

~ mm m 

sind alle vorkommenden Bögen zwischen und 7t enthalten, mithin 



Cap. YIII. Die goniometrischen Reihen. 203 

deren Sinus positiv, und hieraus folgt augenblicklich, dafs nur das 
positive Zeichen Geltung hat. Diefs giebt 

^ns r.m-1 . TT . 27C . 3n; . (m l)7C 

Ib) m = 2 sin — sin — -sin — ... sin , 

^ mrn m m 

und nach dem Vorigen 

17) sin mu 

^m-, . . r^ . \ . /'27C , \ . ({m — \)'Jt , \ 

= 2 ^ sin u sin\ h ?M sin I — ■A- u\ . . .sin\ T ^' I • 

\m ' ) \m ) \ m J 

Hieraus lassen sich auch die früheren Productenformeln für sin mu 
wieder herleiten , wenn man auf die Unterscheidung gerader und un- 
gerader m eingeht*). 

§. 46. 

Die unendlichen Eeihen für Cosinus und Sinus. 

In Formel 4) S. 44 setzen wir w = - , bezeichnen mit Je eine 

beliebige gerade Zahl < m und zerlegen die rechts stehende Eeihe 
auf folgende Weise: 

^ r~-r^ ^^"^n'"^J +(")4'''-J "" 

1 cos — I 

V m) 



l)i^-i [m),_.^ [tan |^ +(- 1)^* {m)u [tan ^ S, 



^_^_(._,) (.,„,_!) ^^^^^^y 



^m — k),..{m~k~Z) r z\^ 



zur Abkürzung sei 
„. w — k z m — k — 1 z m — k — 2 z 

u. s. w. 
mithin 

Da m und h nicht von z abhängen und m nur gröfser als h sein 
mufs, so kann man sich z als gegeben vorstellen und h und m will- 
kürlich wählen, jedoch in der Weise, dafs 

my> k^ z und zugleich m tan ~ <ik 

*) Die Productenformeln verdankt man Euler [Introductio in Analysin infinito- 
rum T. I). 



204 Cap. VIII. Die goniomeirischen Reihen. 

ist. Die letztere Bedingung läfst sich jederzeit erfüllen; bei unend- 

lieh wachsenden m convergirt nämlich m tan — gegen die Grenze Zy 

welche vorausgesetztermaafsen weniger als h beträgt, folglich mufs 

m tan — bei hinreichend grofsen m kleiner als h werden und blei- 

ben*). Nach diesen Bestimmungen ist 

z 

(m tan — 
x^i\ ^<(i_A^_i_<i 



A'-|- 1 m 

d.h. 

auf gleiche Weise hat man 

z 

d. h. 

und überhaupt ersieht man, dafs alle die Gröfsen g'^, ^'2, g'3, g'4 etc. 
positive echte Brüche sind; mithin ist auch 

4) 1 > ^i<72 > '7i'/2^/3^4 > fliU^^nU^Q > 

Die Summe einer endlichen alternirenden Reihe Uq — u^ -{- u^ — 
u^ -\~ etc., in welcher jedes Glied gröfser als das nächstfolgende ist, 
beträgt aber (bei jeder beliebigen Gliederzahl) weniger als der erste 
Summand Uq und mehr als die beiden ersten Glieder Uq — u^; in 
der Anwendung auf Formel 3) unter Rücksicht auf No. 4) folgt nun 
S<,1 und S'>1 — QiQzi mithin ist S ein positiver echter Bruch, 
welcher q heifsen möge. 

z 
*) Man kann übrigens leicht solche m finden, welche m tan — «^h machen; es 

m 

ist nämlich 



m tan 



Wählt man erst yfc ^ » , dann 



V--& 



o folgt aus dieser Ungleichung 



z z 
j— <^ k und um so mehr m tan — <^ k. 



Cap. YIII. Die goniometrischen Reihen. 205 

Nach dieser Restuntersuchung kehren wir zur Gleichung 1) zu- 
rück und geben ihr folgende Gestalt 
1 



1 
cos z 



mr z\^ \ ?n)\ m)\ mjf z\^ 

= 1- \mlan~\ -[- ^-—^ ^— ^ -{rnta/i-X — , 

1 . 2V mj ^ 1.2.3.4 V ffij 



(cos— I 
mj 

../■-^)(--^)-0-^), .y-. 

... 4- — 1)2^-1 ^ ^^-^ -—-" m tan - \ 

^ ^ ' 1.2.3 (^ — 2) V m) 

^, „..(■ -i)(-l)-(-'-^ ). -v 

+ <- ■>■ i.ü.3.....t (- "• 7.) •■ 

Lassen wir m ins Unendliche wachsen, ohne Ic zu ändern, so nähern 

2 2 Je 1 

sich die Brüche - , - , . . . der gemeinschaftlichen Grenze Null, 

m m m 

femer ist nach Formel 8) in §. 10 

Lim \ m tan —\ = z, 
und nach Formel 10) desselben Paragraphen 

mithin ergiebt sich zusammen 



5) cosz=^l — ~~^^+ ^ 



1.2 '1.2.3.4 



4_ (_- l)it-l .h-2 _|_ (__ 1)^' 



1 .2...(A^— 2) ' ' ' \ .2,.,k 

Diese Formel stimmt mit dem in No. 3) §. 20 erhaltenen Resultate 
überein, wenn Ic für z geschrieben und die gerade Zahl ä = 4p + 2 



gesetzt wird. 



Die Formel 5) in §. 44 gestattet eine ganz ähnliche Behandlung, 
itituirt man nämlich 
Zahl < m, so hat man 



Substituirt man nämlich u= ~ und versteht unter h eine ungerade 

m 



\cos — \ 



S = l 



{m—k){m—k~-\) f zY {m—k)...{m—k-~Z) 



( zY , (m—k)...{m—k-~3)f z\^ 



{k-{-l){k-\-2) 
Für die mit S bezeichnete Summe gelten wörtlich dieselben Schlüsse 



206 Cap. YIII. Die goniometrischen Eeihen. 

wie vorhin; ihr Werth ist ein positiver echter Bruch ^, wenn k > 
und m so grofs gewählt wird, dafs die Ungleichungen 

z 
m 

zusammen stattfinden. Die Formel 6) läfst sich schreiben 



m'^ k'^ z und m tan — <C.k 

m 

)ie Formel 6) läfst 

V m) V m) 



sin z 1 z V in]\ m)( z\^ 

- m tan 



I cos — I 

V rn) 



TU 1.2.3 



(m tan ~ \ 
m) 



...+(- 



l)i(A-3) V ^l\ ni) \ nj_J 



1.2 (^ — 2) 



(/// tan — I 
m) 



A— 2 



+ ( 



.„,.„ (-a(-^)-(-^ ), ... 

- ■'" ' ^ 1.2. ....< (- '" i) '• 



und hieraus folgt bei constantem k und endlich wachsendem m 
7) sin z = ~ z — - — - — - z^ -|- 



1 1.2.3 ' 1 . 2...5 

^ ^ ^ 1 . 2 . . . (/t ■— 2) ^ ^ ^ 1 . 2 . . . A- ' 

was mit der Formel 4) in §. 20 übereinstimmt. 

Die unter No 5) und 7) erhaltenen Resultate bringen wir auf 

die Form 

_, z^ 

cos z — ( — l)^''" p 

^ ' '^1.2.3...^ 

1.2^1.2.3.4 ^^ ^ 1.2...(/:~2)* 

z^ 
sinz — {— 1)^(^-1) (>- 



2 . 3 . . . Ä 

= '- ?!.__+ __^! .... + (_i)k^-3) '.^ , 

1 1 . 2 . 3 ^ 1 . 2 . . 5 ^ ^ ^ 1 . 2 ... (/^ — 2)' 

und lassen die ganze Zahl Je ins Unendliche wachsen; es ist dann 

für jedes endliche z 

gleichzeitig werden die vorkommenden Reihen unendlich, und es er- 
geben sich die beiden eleganten Formeln*) 



*) Die Reihen für cos z und sin z sind von Newton gefunden worden (Brief von 
Oldenburg an Leibnitz v. 12. April 1676). Der Gedanke, jene Reihen aus den For- 
meln für cos mu und sz'n mw herzuleiten , wurde zuerst von Euler benutzt i^Introductio 
in Anal. inf. T. I, §. 134), aber in nicht hinreichend strenger Weise ausgeführt. 



Cap. YIII. Die goniometrisclien Reihen. 207 



^2 z^ Z' 



8) eos. = l-^-^ + :^-^^--^-j~- + 



Z 



^3 ^5 



9) «"^-^-nYTs + l 2.3.4 .'^~---- 

Zufolge der Unbeschräiiktheit des z ist hiermit das Problem gelöst, 
den Cosinus oder Sinus jedes beliebigen Bogens zu finden. Wollte 
man nach den Formeln 8) und 9) eine Tafel der Cosinus und Sinus 
berechnen, so würde man höchstens z = \tc = 1,57 ... zu setzen ha- 
ben , und dann convergiren die Reihen sehr stark. Aus sin z und 
cos z lassen sich die übrigen goniometrischen Functionen von z her- 
leiten, in den obigen Formeln liegt daher auch die Lösung der all- 
gemeinen Aufgabe, die goniometrischen Functionen irgend eines Bo- 
gens zu finden ; doch werden wir nachher noch besondere Reihen für 
ian z, cot z , sec z und esc z entwickeln. 



§. 47. 

Unendliche Producte für Sinus und Cosinus. 

So wie im vorigen Paragraphen aus den endlichen Reihen für 
sin z und cos z unendliche Reihen für dieselben Functionen hergeleiet 
wurden, so dienen auch die in §. 45 entwickelten endlichen Producte 
als Ausgangspunkte zur Herleitung unendlicher Producte für die 
goniometrischen Functionen. 

I. In der Formel 2) des §. 45 sei für den Augenblick 

^==^ mithin 2" = |, 



es ist dann 



sin d" z z z z 

sin Z = Z cos - cos — - cos — ir . . . cos —z: 

d' 2 22 23 2" 



Läfst man nun n in's Unendliche wachsen, so convergirt ^ gegen 
die Null und das Verhältnifs — ^— gegen die Einheit ; es wird folglich 

xr 

. Z Z Z 

1) Sin z = z cos - cos — - cos —r 

^ 2 2^ 2^ 

Dieses Resultat ist zwar theoretisch von Interesse, gewährt aber kei- 
nen praktischen Nutzen, weil sich hiernach sin z nur dann berechnen 
liefse, wenn aufser dem Bogen z auch die Cosinus der Bögen ^z, 
^s, ^z, . . . bekannt wären. 

II. Der Formel 7) in §. 45 geben wir zur Abkürzung folgende 
Gestalt 



208 
2) 



Cap. VIII. Die goniometrischen Eeihen. 

sin z 

. z z 

p sin - cos - 

P P 



-(1 - T,) (1 - 1\) 1-7^3) (1 _ T,), 

worin irgend eine der Gröfsen T, etwa Tu, durcli die Formel 

sin 



sm 



hn 

P -^ 



bestimmt ist. Unter h eine beliebige ganze positive Zahl < q ver- 
stehend, zerlegen war die in No. 2) vorkommenden q Factoren in zwei 
Gruppen, deren erste Ic Factoren, und deren zweite die q — h übrigen 
Factoren enthält; dem entsprechend setzen wir 

3) _*i^^_ 

^ . Z Z 

V sin - cos - 
P P 

= (1 - r,) (1 - T,) (1 - 73) ... (1 _ r,) . /?, 
/?=(!_ 7Wi) (1 — 7W2) ....(1 — T,) 
und richten die Aufmerksamkeit zunächst auf das Ergänzungspro- 
duct B, 

In den Nennern der mit T^+i, Ta+2, . - ^ Tq bezeichneten Brüche 
kommen die Bögen vor 



y^ + 1 



k-\-2 



TT, 



2q 



die sämmtlich <.i^ sind; in den Zählern steht immer der Bogen -, 
welcher kleiner als alle jene Bögen ist, sobald 
4) k>"' 



TV 



Je 



genommen wird, denn zufolge dieser Wahl ist - < - tf mithin um so 

mehr kleiner als die vorhin genannten Bögen. Da nun im ersten 
Quadranten dem gröfseren Bogen der gröfsere Sinus entspricht, so sind 
unter der Voraussetzung 4) 



, z 

sin - 

P 



sm 



sin 



sm 



(/t+l> 



qjt 



(k-i-2)7t' • •• . 

sin — sm 

P P 



echte Brüche, mithin liegt auch jede der Gröfsen I^/r+i, Tk+2 • • • 
zwischen und 1, Dasselbe gilt von den Differenzen 1 — Tk+u 
1 — T/t+2, . . ., folglich ist 



Cap. YIII. Die goniometrischen Reihen. 209 

(1 — 7Wi) (1 — n+2) ... (1 - 1\) < 1 

d. h. 

5) R<\. 

Um zweitens eine Gröfse zu erhalten, die weniger als B aus- 
macht, benutzen wir den leicht beweisbaren Satz, dafs ein Product 
von der Form (1 — € J (1 — e^) . . . mehr als die Differenz 1 — 
(ßi +«2 +•••) beträgt, falls «i, e^^ ... positive echte Brüche sind*); 
hiernach gilt die Ungleichung 

6) /?>i_(7Y-[-7,+i + .... + r,), 

die sich auf folgende Weise vereinfachen läfst. Es ist identisch 

^ TT sin a — « = a (1 — sin a) sin a -j- {tan a — «) cos'^ a 
-f- [{^7t — a) — sin {^7t — a)] sin a ; 

liegt nun der Bogen a im ersten Quadranten, so sind die Differenzen 

1 — sin a , tan a — « , (^^rt — a) — sin {^rt — «) 

positiv, mithin besteht die rechte Seite der vorigen Gleichung aus 
drei positiven Summanden, woraus folgt 

1 TT 

i 7t Sin a >► « oder -^ — < 7—» 
sin a 2a 

Für a == — ist weiter, falls — einen Bogen des ersten Quadranten 
p p 

bezeichnet 











1 
f . hTty 






und 


wenn 


man 


diese 


Ungleichung i 


mit der 


folgenden 



multiplicirt , so erhält man vermöge der Bedeutung von 7^ 

z^ 1 

hieraus ergiebt sich unmittelbar 



I 



*) Aus der identischen Gleichung 

(1 _ ,^) (1 _ f j = 1 _ (,^ 4- ,j + ,^,^ 

folgt nämlich durch Weglassung des positiven h^b^ 

(1-8,) (1-S,)> l_(f, +.,). 

Multiplicirt man mit dem positiven Factor 1 — tg ? so wird 
(1 - f J (1 - f,) (1 - 83) 

> 1 — (^1 + ?2 + ^s) + (^1 + ^2) ^3 

und um so mehr bei Weglassung des letzten Summanden 

(l-£,) (1-8,) (I-83) > 1 -(«,+«2+^3); 
hier würde man wieder mit 1 — f^ multipliciren u. s. w. 

Schlömilch algebr. Analysis. 6. Aufl. . 1 4 



210 
7) 



Cap. VIII. Die goniometrischen Beihen. 

^^+1 + ^A + 2 + + ^9 



1 



Zufolge der Bemerkung, dafs 

1___ 1 1_ 1 ^ _ 

mithin 

1 1 



(A-4-2)2 ^/f+l k-\-2 



1 _1 1 1 



(A-4-1)« '(;?• 4-2)2 ' ' q'i ^ k p^k 

ist, wird die Ungleichung 7) einfacher und zugleich stärker nämlich 

Subtrahirt man beide Seiten von der Einheit und beachtet die Un- 
gleichung 6), so findet man 



4k' 



8) /?>1 

Die Relationen 5) und 8) geben zu erkennen, däfs 

gesetzt werden kann, wo q einen nicht näher bestimmten positiven 
echten Bruch bezeichnet. 

Nach diesen Erörterungen ist leicht zu übersehen, was aus der 
Gleichung 3) wird, sobald p iii's Unendliche wächst und dagegen Je 
constant bleibt; man hat nämlich 



Lim I p sin - 1 



Lim Th = Lim 



pfstn - 
^ P_ 

. ItTC 



P 



(a J ' 



pj 



der Werth von R ändert sich nicht und daher wird 

») ■■"=-0-S)(-Ä)(-Ä) 

Um eine analoge Formel für cos z zu erhalten, setze man in 
Noo 9) das eine Mal 2/fc für k, das andere Mal \z für z und multi- 
plicire die letzte Gleichung mit 2; diefs giebt 



Cap. yill. Die goniometrischen Keihen. 211 

wo q' und q" nicht näher bekannte positive echte Brüche sind. Di- 
vidirt man die erste Gleichung durch die zweite, so ergiebt sich 
10) cos ^z = 

^2 



16A- 
und diefs ist die gesuchte Gleichung, in welcher man nur 2z für ^ 
zu schreiben braucht, wenn man eine Productenformel für cos z ha- 
ben will. 

Der Gleichung 9) ertheilen wir folgende Gestalt 

und gehen dann zur Grenze für unendlich wachsende h über. Der 
Grenzwerth der linken Seite ist sin z, rechter Hand wird das Pro- 
duct, welches aufser 2 noch h Factoren enthält, zu einem unendlichen 
Producte*), mithin 

11) .„•„.=.(i_^;)(i_^)(i-^).... 

Aus der Gleichung 10) ergiebt sich durch gleiche Behandlung 
12) ..„,.. = (,_5)(i_^)(l_-|l,).... 



*) Ein unendliches Product convergirt oder divergirt, jenachdem es sich einer be- 
stimmten endlichen Grenze nähert oder nicht. Die Entscheidung hierüber ist leicht, 
wenn man die Logarithmen nimmt; convergirt nämlich die Reihe 

U^ + Iv^ + ^^2 + ^^8 + • • • • 
und ist ihre Summe von Null verschieden , so convergirt auch das Product 

«o^i^a^s 5 

in jedem anderen Falle divergirt das letztere. Dafs das obige Product convergirt, ver- 
steht sich nach der Ilerleitnng von selbst, könnte aber auch direct bewiesen werden, 

14-^ 



2l2 Cap. YIII. Die goniometrisclien Eeihen. 

oder, wenn man 2z an die Stelle von treten läfst, 

Die Gleichungen 11) und 13) führen zu dem bemerkenswerthen Ee- 
sultate, dafs alle sechs goniometrischen Functionen unter der Form 
unendlicher Producte dargestellt werden können'^). 

In dem speciellen Falle == ^Jt giebt die Formel 11) 
_7t 1.3 3.5 5.7 
~2 * 2 . 2 * 4 . 4 * 6 . 6 ' * ■ * 
und umgekehrt 

,,, TT 2 2 4 4 6 6 

^ 2 13 3 5 5 7 ' 

auf ähnliche Weise erhält man für x = ^tt 

... ^_ 1_ 4 4 8 8 12 12 J16 16 

4"~y2*3*5*7*9*n'r3'T5*17 ' 

überhaupt gelangt man immer zu einem unendlichen Producte für die 
Ludolph'sche Zahl, wenn man z gleich einem aliquoten Theile der 
Peripherie setzt, dessen Sinus bekannt ist. 

§. 48. 

Reihen für l sin z, l cos % u. s. w. 

Aus den im vorigen Paragraphen entwickelten Productenformeln 
11) und 13) lassen sich wieder Reihen formein ableiten, wenn man bei- 
derseits die Logarithmen nimmt; um hierbei die Logarithmen nega- 
tiver Factoren zu vermeiden, beschränken wir in No. 11) ^ auf das 
Intervall bis + tt, und in No. 13) auf das Intervall — ^/r bis -\- \tc. 
Hiernach gelten folgende Gleichungen 



1) /.«.=/.+/(i_i;)+/(,-^4,)+/(i-^,)+..., 

< .^ <: TT, 

2) /.o.. = /(i-^)4-/(i^^) + /(l-^)+...., 

welche wieder als Ausgangspunkte zur Entwickelung weiterer gonio- 
metrischer Reihen dienen. 



*) Dieses Resultat hat Johann liernoulli gefunden {O'pj). T. IV, No. 152); zu 
der speciellen Formel 14) war schon früher Wallis gelangt mittelst einer sogen. Inter- 
polation {Arithmetica infinitorum ., propos. 191). 



Cap. VIII. Die goniometrischen Beihen. 213 

In No. 1) denken wir uns -\- d- statt geschrieben und d^ so 
klein gewählt, dafs auch -\- ^ zwischen und tt liegt ; von der neu 
entstandenen Gleichung subtrahiren wir die Gleichung 1) und haben 

') '("^IS^')-'0+l)+'(-^S.-) 

Bei hinreichend kleinen ^ ist - ein echter Bruch, mithin 

'('+!)=!r4e)'+5e)"-- 

und hieraus folgt bei positiven ^ 

oder auch, wenn q einen nicht näher bestimmten positiven echten 
Bruch bezeichnet, 

Unter der Voraussetzung eines echt gebrochenen positiven x ist 
ferner 

mithin 

und zugleich 

' (r^:^) -^ •'^ + *(■'''+ ^^ + ^' + ••• •) 

man ist daher berechtigt 



1(1 -x) = 






2 \—x 
oder 

Qn x^ 
2 1 —X 

zu setzen, wo Qn einen positiven echten Bruch bezeichnet. Für 

2z^ + ^^ 



2^2 



n^n 



ergiebt sich hieraus 



214 Cap. VIII. Die goniometrischcii Ecihen. 

(25-^ + 1*^2)2 






und wenn wir die Gleichungen 4) und 5) zur Transformation von 
No. 3) benutzen , so haben wir nach beiderseitiger Division mit ^ 



1 .^^WM:^^ 1 

^ \ s/// z J z 



2^2 




2^-f-^ 




TT^ — Z^ 




2z-\-d' 




2^7t^—Z^ 




2z -{-d' 





2 ' [7r2 — ^2] [;,2 „(^ +^)^] 

P2 (2^-h^)2j^ 

2 * [22n;2— Z2][22;t2__(2^^)2] 

9_3 (2z H-^)'^ 

32;j2_22 2 * [327i;2_s2][32;j2_(2_|_^)2] 

In der ersten Verticalcolonne hat & den Coefficienten 

9.1. 1 1 



2-2 ' TT^ — 22 ' 227r2_.2 ' ß2jj,2 _ ^2 ' 

diese Reihe convergirt und daher ist ihre Summe eine endliche Gröfse, 
welche P heifsen möge. In der zweiten Verticalcolonne findet sich 
j(2^ 4- ^"^)- ^ multiplicirt mit 
9i , 92 

[:i2 __ .2] [jj,2 _ (- -f. ^)]2 "^ [2*^7r2 — z2] [2271*2 — (z + O)^] 

J ?3 L. 

^ [S^TT^ _ s«] [32;r2 — (z -h ^)2] ^ * * * * 

und da vorstehende Reihe selbst in dem Falle convergirt, wo man 
alle Zähler durch die gröfsere Einheit ersetzt, so ist ihre Summe 
von endlichem Werthe, welcher Q heifsen möge. Statt No. 6) haben 
wir jetzt 



* ^ \ sin z ) 



1 2z ^^ _ ^^ __ 

~~ 7 "" 7i;2. _ 32 ~ 227r2— ^ ~~ PtT* — z2 """ 

_ PO _ 1^(22-1-^)2^ 
Um auch die linke Seite in eine andere Form zu bringen, bemerken 

wir, dafs der Quotient V-^^^ — - um so weniger von der Einheit 

differirt, je kleiner ^ ist, wir setzen daher 
8) fi'L(i±^) = i+<S 

' sm z 

und erhalten 



Cap. VIII. Die gonioraetrischen Keihen. 215 

/(1 + 5) /(l-f-^) ^ 



1 r sm(z-i- &)\__ 

1 

sin (z -j- '9') — sm 



^ 6 & 

1 
/[(I + ÖH]. 



0^ . sin z 

oder auch, wenn die Differenz der Sinus in ein Product aus Cosinus 
und Sinus verwandelt wird, 

d' \ sin z J LV -r ; J ^ ^.^ ^ 

Die Gleichung 7) wird jetzt zur folgenden 

^^ ' ' ^ sin z 1^ 
_ 1 2^ 22 2z 

~~Z ~'7i;2_7^ 22712 — ^2 ^2;r2_22~ 

-^^ — iP(2^ + ^)^^, 
und hier kann man den Übergang zur Grenze für unendlich abneh- 
mende ^ leicht ausführen. Da nämlich d gleichzeitig mit ^ gegen 

die Null convergirt, so ist 

1 
Lim j/[(l + ö)ö]j =/e = l, 

ferner haben Pi?- und ^§(2^ + ^)2^ zur gemeinschaftlichen Grenze 
die Null, und so bleibt 

1 2z 2z 2z 
9) cotz^-- — -^^^rZZ^ "" 2-^7r^ — ^ ~ 3^2;i2— ;s2 — 

Der anfänglichen Voraussetzung gemäfs gilt diese Gleichung zunächst 
nur für solche 0, die zwischen und tt enthalten sind; da aber die 
vorkommende Reihe immer convergirt, wenn nicht gerade ein Viel- 
faches von 7t ist, so läfst sich vermuthen, dafs die Gültigkeit der 
obigen Formel noch weiter reichen werde. Um diefs zu untersuchen, 
bezeichnen wir die Summe der Reihe mit f(z) und zerlegen folgen- 
dermaafsen 

1 __ r_\ 1 \ _ fl l \ __ 

^^^^ z \n — z n + zj \2n — z 2n -^ zj 

....-(-i L_) 

\mt — 2 nn-\-zj 



— 2z \ 1 4- . . . 

im Falle 0<^<7r ist dann nach No. ^)f{z) = cotz. Liegt aber z 



216 Cap. VIII. Die goniometrischen Beihen. 

zwischen tz und 27r, so kann mau s = ti -\- u setzen, wo <C w •< tt 

ist, und hat dann 

f[Ti _|- ,/) = ^ ^ ^^ -f- _ -f- -^ ^ ^^ — ^^3JY^ "T" 3;t _|_ ,^ "~ 2;i; — z^ ~^ * * " * 



(// — 1 ) TT — ?/ (;2 + 1 ) n; -4" '' 



oder bei anderer Anordnung 



«TT -j- ?/ (» -|- 1) TT -j- ?/ 

1 1 

+ 2( 



> + '')/^ 



1 2?/ 2?/ 2?/ 



Läfst man die willkürliche ganze Zahl n ins Unendliche wachsen, so 
findet man leicht, dafs die Summe der Reihe 

' + ' + .... 

der Grenze Null nähert und daher wird 

d. i. weil u zwischen und jt liegt 

fi'^ + '') = cot u = cot {n -\- u). 
Die Gleichung 9) bleibt also richtig, wenn für ein Bogen zwischen 
TT und 27r genommen wird oder wenn der vorkommende Bogen um 
TT wächst; sie gilt daher successiv für alle Bögen zwischen und tt, 
TT und 27r, 27r und S/r u. s. f. Bei negativen z ändern beide Seiten 
der Gleichung ihre Vorzeichen und liefern nichts Anderes wie für 
gleichgrofse positive z. Damit ist die Allgemeingültigkeit der For- 
mel 9) bewiesen. 

Ganz ähnliche Betrachtungen lassen sich an die Formel 12) in 
§. 47 knüpfen , doch gelangt man zum Endresultate kürzer auf fol- 
gendem Wege. Aus No. 9) folgt, wenn man \z für z schreibt, 

1 , , 1 22 22 2z 



zieht man hiervon die Gleichung 9) ab und berücksichtigt die gonio- 
metrische Formel 

\cot ^z — cot z = ^tan ^z, 

SO erhält man nach der Multiplication mit 2 

10) tan U = -^ 1 ~ I ^1 L- . . . . 



Cap. YIII, Die gouiometrischen Eeihen. 217 

oder auch 

Mit Hülfe der goniometrischen Formel 
cot z -f- tan ^z = esc z 
ergiebt sich aus den Gleichungen 9) und 10) 

.,^. 1 , 2z 2z 2z 

12) CSC z = — .... 

Um schliefslich eine Reihe für sec zu erhalten, bringen wir die 
Reihe 12) auf die Form 



CSC z 



i+/-J L_\_/_i i_\ 

Z Itü Z 7t -\- Zl y^7t Z 2.TC -{- z( 

+ i-J ^L_\_.... 

' |37r — z 37r 4- zj 

und lassen \7t — z an die Stelle von z treten; durch Vereinigung 
der einander entsprechenden Brüche folgt dann 

^^. TT ^TC bn 

lo) sec z = 



(|7r)2 _ ^2 



§.49. 

Transformation der vorigen Eeihen. 

Wir kehren zur Formel 1) des vorigen Paragraphen zurück und 
stellen sie in folgender Gestalt dar 

'e-)='(-Ä)+'(-Ä-.)+'(-Ä)+ 

wobei alle Logarithmanden positiv sind , wenn z zwischen — tz und 

z z 2 
-\- 7t liegt. Unter dieser Voraussetzung sind -, 7r~? 77- etc. echte 

It In OTT 

Brüche, mithin lassen sich alle auf der rechten Seite vorkommenden 
Logarithmen mittelst der Formel 



/(l-.r) = -^—|a:2-i.r3 — i.r4 -...., 




— l<^<-f 1, 




in Reihen verwandeln, die nach Potenzen von z fortschreiten; 


diefs 


giebt 




rsi/i z\ z2 1 z* 1 z6 
\ z )~~ l'^Ti^ 2 Htt* 3 l^Tt^ 






Z2 1 Z* 1 z6 




2271;^ 2 2*71* 326716 




Z2 1 z* 1 Z6 




3271:2 2 3*7r4 336716 '"* 





218 Cap. YIII. Die goniometrischen Eeihen. 

Die vorstehende Doppelreihe genügt den Bedingungen, unter welchen 
die Anordnung nach Verticalcolonnen erlaubt ist (§.34), daher hat 
man auch 

2 VI* 24^3*^ J 7t^ 

3 VI« ^26 ^36^ 7 TT« 

Setzt man zur Abkürzung 

^) '^m ""^ 7m \ ^m "T" gw "f" • • • •> 

wobei die Reihe für m > 1 convergirt, so wird die vorige Gleichung 
zur folgenden 

^ \ z J ^TT« ^;r* ^JT« 

Auf ganz ähnliche Weise läfst sich die Gleichung 

V 1^71^ J^ V ^^Tt'J^ V 5271:27^ 

behandeln, wenn zwischen — ^tt und + ^jt liegt; mit Hülfe der 
Abkürzung 

*^) ^ m ^^^^^ Tm 1" o in i T m "i • • • • 

findet man 

4) / cos z = 



x2_!Z:?.._i?lL.._.?!L«,6_ 



' TT^ - 7t* 

— i^r < ^ < + |7r. 
Die Summen Tjj , T^ , Tg etc. können übrigens durch die vorigen 
/Sg, S^^ Sq etc. ausgedrückt werden; nach Formel 1) ist nämlich 

Ol» ^m o"» •" 4™ "i™ A™ "' • • • •» 

und wenn man diefs von No. 1) subtrahirt, so bleibt 

ftiB m 1 tn I o*» I c w* • • . • « ml 

Demnach kann man statt No. 4) schreiben 

dasselbe Resultat erhält man aus No. 2) mit Hülfe der identischen 
Gleichung 



Cap. VIII. Die goniometrischen Reihen. 219 

[sw2z\ .(sin z\ 
l cos Z z=zz l\ I — / 1 I . 

V 2^ ; \ z ) 

Die Formeln 2) und 5) lösen das Problem, die Logarithmen der go- 
niometrischen Functionen direct aus dem Bogen herzuleiten. 

Um auch die für cot z, tan s, esc z und sec z gefundenen Reihen 
in Potenzenreihen umzusetzen , nehmen wir zuerst die Gleichung 9) 
in §. 48 vor und schreiben dafür 

__1^ 25? 1 25r 1 

Unter der Voraussetzung, dafs z zwischen — tz und + ^ liegt, sind 
-•^ ^-^ n- etc. echte Brüche, und dann lassen sich die einzelnen 

TT ZJT, OTT 

Reihenglieder nach der Formel 

- 1 <jr<: + l 

entwickeln; man erhält zunächst eine Doppelreihe, welche nach Po- 
tenzen von z angeordnet werden darf und zu folgendem Resultate 
führt: 

1 25. 2S. ^ 25ß ^ 

6) cotz = -Az — -^Z^ ^ ^5 _ . . . 

z n^ 71^ n^ 

TT <^ ^ <^ -[- TT. 

Die Gleichung 11) in §.48 gestattet eine ähnliche Behandlung, 
wobei — ^71 <C z <. -\- Iti vorauszusetzen ist; kürzer gelangt man 
mittelst der Formel 

cot z — 2 cot 2z = tun z 
zum Ziele, nämlich 

7) ,„,,^2(2^-1)5, 2(2^-1)5,^3 

_,£(!i=li)f..a + ..... 
— |7r < 5 <: 4- |7r. 

Läfst man ^z an die Stelle von z treten und addirt die neue 
Gleichung zu No. 6) so erhält man 

Z 71^ 71* 

7r <^ S <^ -|- ^- 



220 Cap. VIII. Die goniometrischen Reihen. 

Die Reihe für sec z entsteht aus der Reihe in No. 13) des vori- 
gen Paragraphen, wenn man letztere in folgender Form darstellt 
4 14 1 



\ti ^ /2s\2 Stt 



-(S) '" -d) 



-I-. 



und die einzelnen Brüche nach Potenzen von z entwickelt, wobei vor- 
auszusetzen ist, dafs z zwischen — \n und -^\7t liegt. Man erhält 
vorerst eine Doppelreihe, welche indessen eine andere Anordnung ge- 
stattet; setzt man zur Abkürzung 



9) 




Vn, 


1 




■.'.+ 


1 
5^~ 


-^+. 


so ergiebt 


sich 














10) 


sec 


z == 


2W, 
n 


+ 


^>- 


' + 


7t^ 



Es liegt sehr nahe, die Formeln 6), 7), 8) und 10) einer Art 
von Probe zu unterwerfen, welche auf der Bemerkung beruht, dafs 
die links stehenden Functionen als gebrochene Functionen gelten kön- 
nen, nämlich 

cos z sin z 

cot z = — — , tan z = u. S. W., 

sin z cos z 

und dafs folglich die obigen Reihen den Quotienten aus den Reihen 
für cos z und sin z gleichgelten müssen. Multiplicirt man z. B. die 
Gleichung 7) mit 

cos 2 = 1 Z^ -\- 



1.2 '1.2.3.4 
so kann das Resultat nicht verschieden sein von 

1 3 I 1 . 

sin z = \z 2^-4- z^ — ..... 

^ 1.2.3 ^1.2. .5 

und darin liegt ein Mittel, um den Coefficienten der Reihe 7) auf an- 
dere Weise zu bestimmen. Schreiben wir statt No. 7) kürzer 

so erhalten wir durch die erwähnte Multiplication 

und nun führt die Vergleichung mit der Sinusreihe zu folgenden Re- 
lationen 





Cap. yiii. 


Die goniometrischen 


Reihen. 




1 








«1 

'^ i.2=- 


1 
1.2.3' 








«1 _ , 


1 




.2.3.4 ' 1.2 


.3.4.5 


oder 


überhaupt für irgend ein ungerades n 




12) 


'■-'frl+- 


««-4 «n-o 


1 


1.2.3.4 1.2.. 


.6 + --* 




= (- 


^ 1.2.3... 


n 


Diese 


Gleichungen geben 


der Reihe nach 






«1 = 1' ''3=Y" 


2 


16 




2.3' ^ 1.2. 


3.4.5' 



221 



wonach es passend erscheint, die Zähler 1, 2, 16, etc. mit besonde- 
ren Buchstaben zu bezeichnen. Wir setzen daher 






1.2. 3.. . /? 
und dem entsprechend nach No. 11) 

13) .«„. = Ii. + --^^^.3+_|^,.+ 

die Formel 12) geht nach Multiplication mit 1 . 2 . 3 . . . n über in 
""" 1 . 2 """-" "^ 1.2. 3T4 ^"-* ~~ 

oder, weil n eine ungerade Zahl ist, 

14) r„ — [rt)^ T„_^ + (/?)^ r„_^ — . . . = sm \nn. 

Für w = 1, 3, 5 etc. ergeben sich hieraus die schon bekannten Werthe 
T^ == 1, Tg = 2, x^5 = 16 u. s. w. , auch übersieht man leicht, dafs 
alle z ganze rationale positive Zahlen sind. Durch Vergleichung der 
Formeln 7) und 13) erhält man die Relationen 

2(2^ — l)>y ,^T, 2(2^-l)>y,^ Tg 

TT« 1 ' 7C4 1.2.3' 

welche zur Kenntnifs der Summen S^ , ^4 etc. führen , nämlich 
und überhaupt für ganze positive Tc 



^^^ 1 2I ~T" Ö21 ~I" o2i "i" • • • 



12A- ^ 22^ ^ 32^ ^ 2(22^ — 1) . 1 . 2 . . . (2A — 1) 



222 Cap. YIII. Die goniometrischen Eeihen. 

Zu einem ähnliclieii Resultate gelangt man durch Multiplication 
der Gleichung 10) mit der Entwickelung von cos z. Setzt man nämlich 



16) secz=.\-\- -^- z 



1.2.3.4 



so erhält man durch die angedeutete Multiplication 

1 _ 1 . rj.2 \\ .2 . r^A l2_ . J_ , . \\ .4 , 

~V1.2 1.27" ^Vl.2.3.4 1.2 1.2^1.2.3.4;" ^"" 

und hier müssen die Coefficienten von ^2, ^*, ^^ etc. der Null gleich 
sein. Demnach ist für gerade n 

^- '^-- 1 I ^n-4 ]^ ... =0 



1.2... 72 1.2..(^^ — 2) 1.2 ' 1.2.. («—4) 1.2.3.4 

oder durch Multiplication mit 1 . 2 . . . 7^ und wenn man sin \n7t für 

schreibt 

Wie man sieht, gilt für die in der Secantenreihe vorkommenden Coef- 
ficienten das nämliche Bildungsgesetz wie für die Coefficienten in der 
Tangentenreihe; die Werthe 7^ = 2, 4, 6 etc. geben der Reihe nach 
xr^ = 1, T^ = 5, Tg == 61 etc. Die Vergleichung von No. 10) mit 
No. 16) führt noch zu den Relationen 

^ 22' 3 2^.1.2 32' ^ 26.1.2.3.4 1536'*** 
und Überhaupt 



I2fr+1 32t + l I 52A + 1 22^+2 1.2... (2/5-) 

Theoretisch bemerkenswerth ist die erste dieser Gleichungen, nämlich 

4 3^5 7^9 ' 

wenn sie auch wegen der sehr langsamen Convergenz der Reihe nicht 
zur Berechnung von tt dienen kann. 

In Folge verschiedener Anwendungen, welche die Summen 82^ 
S^ , Sq etc. bei anderweiten Untersuchungen gefunden haben , ist es 
üblich geworden, die Quotienten 

2i7r2' 23^' 25^' 
auf besondere Weise zu bezeichnen; man setzt nämlich 

^ 22^^-1 7r2Är — 1 . 2 . 3 . . . {2k) 

und nennt B^, JB3, B^ etc. die Bernoulli'schen Zahlen. Dieselben 
sind leicht aus den Coefficienten r^, T3, T5 etc. herzuleiten, denn 
der Vergleich von No. 19) mit No. 15) giebt 



Cap. yin. Die goniometrischen Reihen. 223 



o k r^h-i 




^zic-x. — 22fr-l (22* _ 1) 




mithin für ä; = 1, 2, 3 etc. 




^•=^' ^' = fo' "^-k' ^'=^' 


«. = ä. 


R ^^^ R '' R ^^^^ R - 
"~2730' '» 6' •* 510' " 


43867 
= 798 U.S.W. 


Nach dieser Bezeichnung ist 




«Ol .0^- '^ ^'*' - ^'^^ - 




M) oot.-^-^_^. 1.2.3.4- 





26^5 



1.2.3.4.5 
21) -- = ^^^"^+%^^^^ 

I 2<'(2«-l)g, ., 
"^1.2.3.4.5.6 ~ ' 

2(2--lH>. 

^1.2.3.4.5.6 ^ 

— TT < ^ < + TT. 

Der Symmetrie wegen schreiben Manche auch B^^ B^, Bq etc. statt 
der Secantencoefficienten r^ , T4 , z^^ etc. 

Das Gesammtergebnifs dieser Untersuchungen besteht in dem 
Satze, dafs alle sechs goniometrischen Functionen in Potenzenreihen 
verwandelbar sind, wenn der Bogen, von Null ab gerechnet, nicht 
weiter ausgedehnt wird, als die betreifenden Functionen sich conti- 
nuirlich ändern*). 



*) Der gröfste Theil dieser Formeln ist von Euler entwickelt worden, jedoch ohne 
Angabe der Grenzen für deren Gültigkeit {Introd. in Anal. inf. T. I) ; die Bestimmung 
dieser Grenzen verdankt man Cauchy [Cours d*Anal. algebr.). 



224 Cap. IX. Die cyclometrischen Eeihen. 



Capitel IX. 

Die cyclometrischen Reihen. 

§. 50. 

Die Eeihen für aresin x, arccos x u. s. w. 

Um eine Reihe für aresin x zu erhalten, gehen wir auf den in 
§. 19 bewiesenen Satz zurück, dafs aresin x der Grenzwerth ist, wel- 
chem sich der Ausdruck 



1 



]/,_(fca.)-J 



bei unendlich wachsenden n nähert oder dafs 
1) aresin x -\- i 

X 



.+ ■ ' 



1 K;-(r K.-(?r v-er 

gesetzt werden kann, wenn man unter e eine Gröfse versteht, welche 
bei unendlich wachsenden n die Null zur Grenze hat. Die rechte 
Seite der vorstehenden Gleichung bringen wir mit Hülfe des bino- 
mischen Satzes auf eine andere Form; es ist nämlich für echt ge- 
brochene z 

yi_52 ^' ^2.4 ^2.4.6 ^ 



1 1.3.5...(2/^-3) ^,,_, 
"^ 2 . 4 . 6 ... (2^ — 2) 
1.3...f2/-— n „. ( 2/.-4-1 . r2yi-4-lW2A'-4-3) . . 



' 2 . 4 . 6 ... (2^ — 2) 
1.3... (2/- 

2.4 (2k) 

die Summe der zuletzt eingeklammerten Reihe ist positiv und klei- 
ner als 



lL] .2)t !i , ^i±i .0 , {2k_±\)j2k±^ ^ ) 

k) ^' "^2/t-h2^ "^(2/f + 2)(2A- + 4)^' l" • • -j » 






Cap. IX. Die cyclometrischen Eeihen. 225 

sie kann folglich mit 

9 

1 — -2 

bezeichnet werden, wenn man unter q einen nicht näher bestimmten 
positiven echten Bruch versteht. Die nunmehrige Gleichung 

yT3.-T¥-^+^*- +2.4^ +2.4.6" +•••• 

1.3...(2A-3) ^^,_^ 1.3... (2^- 1) _fj^ 
■ ■ ■ ■~'~2. 4...(2A-— 2) " """ 2. 4....(2A-) 1 — «2 
benutzen wir zur Transformation der rechten Seite von No. 1), in- 
dem wir der Reihe nach 



X 


2x 


3j: 


n' 


?r 


n 



n 

und ^1, ^jj, ^3, ... ^„_.j für q setzen; diefs giebt 

arcsin x -\- s 

_^ 1 . 3 14 + 2^ 4- 3* -f . . . + (/^ - 1)* _, 



2.4 r/ö 

1.3.5 16 +26 +36 + ... + (;?-— 1)< 



' 2.4.6 
+ . . . 



1 . 3 ... (2/^ — 3) l2fc-2 -I- 22^^-2 4- . . . + (y; -^ l)2<r-2 ^^_^ 

"^ 2 . 4 ... (2/: —"2) * «2fc-i ' 

4_ 1 ' 3 . . . (2^ - 1) / g,P^ _?A.22^ ^ 

'■'■■■'-' 1-0' ■-(?)' 

Da a; die Einheit nicht überschreiten kann, so sind die Nenner 

-(r- -(¥)• -f^^T 

positiv und sämmtlich gröfser als 1 —x^, mithin werden alle in der 
eingeklammerten Reihe vorkommenden Brüche zu grofs, wenn man 
ihre Nenner gleich 1 — x^ und statt q^, q.^, ... Qn~i die Einheit 
setzt. Feiner sind jene Brüche positiv, und daher liegt ihre Summe 
zwischen Null und 

12/r _j_ 22/c _|_ 32/c _|_ -\-(n — ly^^ 

l—x^ ' 

Schlömilch, algebr. Analjüis. 6. Aufl. 15 



226 Cap. IX. Die cycloraetrischen Reilien. 

verstehen wir unter q einen gewissen positiven echten Bruch, so ist 
nach diesen Bemerkungen 

arcsi'n t -{- e 

1 1-2 _!_ 22 _|_ 32 _!_.... _!_(,,__ 1)2 



^ 2 



1.3 n + 2* + 3^i 4- + (/z — 1 



2.4 n^ 

1 . 3 . 5 16 -f 26 -I-.3« -[- -\- {ri — \)6 , 

2.4.6 ' 77 ""' 



1 . 3..(2^— 3) l2A-2_|_22A:-2^^^^ _!_(,,_ ] )2/c-2 ^^_^ 
"^ 2 . 4 . . (2/t -^ * //2/r-l ^ 

1 . 3 ..(2/^— 1) ]2^ 4- 22^'- + .... + (;?-- 1)2'^- Q .r2/c+i 
~^ 2.4... (2/^) * ^+1 ' T"^"^* 

Es hat nunmehr keine Schwierigkeit, zur Grenze für unendlich wach- 
sende n überzugehen ; in diesem Falle wird nämlich Lim e =0 und 
für jedes ganze positive p 

lP_|-2^4-3^ + ...+(;^ — 1)^ 1 



L 



un 



riP"-' p + 1 

mithin 

.r , 1 j:» 1 . 3 0:5 1 . 3 . 5 1:7 

^ 1^23^2.45^2.4.67^ 

1 .3..(2/^ — 3) j:2ä-i 1 . 3 . . (2>^ — 1) .r^^+i g 
'" "^ 2 . 4 . . (2A- — ^ 2^111 "*" 2.4... (2/.) 2I+T T— x^' 

0<(><1, 

wobei der letzte Summand den Rest der Reihe darstellt. 

Um hieraus eine unendliche Reihe für arcsm x abzuleiten, geben 

wir der Gleichung 2) die Form 

1 . 3 . 5 ...(2/^— 1) p.r2^^+i 

arcsin x 



T "^ 2 T "^ rr 4 T "^ ^TTTe Y "^ * 



2.4.6 {2k) (2A-+1)(1 — j'2j 

1 . 3 . 5 . . . (2A- — 3) x^^-^ 
"^ 2 . 4 . 6. ..(2^ — 2) W—i 
und lassen die bisher willkürliche ganze positive Zahl k ins Unend- 
liche wachsen. Unter der Voraussetzung, dafs x ein echter Bruch 
ist, haben wir Lim (^^a+i) ^^ q^ ^^^ ^^ ferner 

1 . 3 . 5 . . . (2/f — 1) Q 

2.4. 6 (2k) {2k'-\-\){l — x^) 

eine endliche Gröfse bleibt, so ergiebt sich 



Cap. IX. Die cyclometrisclien Eeihen. 227 

,x- 1 x3 1 . 3:r5 1 . 3. 5:r7 
^ 1^23^2.45^2.4.67^ 

~1 <./•<+ 1. 
Die hier vorkommende Reihe convergirt noch für ;r = + 1 und 
mufs daher in diesem Falle eine bestimmte endliche Summe haben; 
ob letztere = aresin (+ 1) ist, läfst sich aber aus dem Vorigen nicht 
erkennen und mufs daher besonders untersucht werden. Bezeichnet 
u einen Bogen des ersten Quadranten, so gilt die Gleichung 

. , 1 / 1 — ^^*' '^1 , . 1 / 1 — '''«^-^ ^f 
stn\u== y — oder \u = arcsm 1/ , 

worin das Wurzelzeichen im absoluten Sinne zu nehmen ist; für 
sin u =■ X wird cos u = '\/l — x^^ u = aresin x, mithin 

. 1/ 1 — yr^"^ 

\arcsin x = nrcsin y = oj'csi/i y, 

wobei y zur Abkürzung dient. Läfst man x von bis 1 gehen, so 
durchläuft y das Intervall bis y ^^ mithin kann aresin y nach 

Formel 3) entwickelt werden , nämlich 

1 13 

- aresin x = i/ -\~ ~ i/^ -{- -— y^ -\- . . • - 

2 "^ ' 6 40 

und diese Gleichung gilt von ^ = bis x = -\-l inclusive, weil der 
gröfste Werth von y immer noch weniger als die Einheit beträgt. 
Nach der ersten Formel auf Seite 163 läfst sich die Wurzel 



y 



1-yr 



2 

für alle, die Einheit nicht übersteigenden x in eine Potenzenreihe ent- 
wickeln, dasselbe gilt von den verschiedenen Potenzen dieser Wurzel, 
und man hat daher 

1 . 1.1 



- aresin x = - x -] — — x^ -\ .r* 

2 2 ^16 ^256 



''' ■■ + ^^^+....) 



6 V 8 ' '64 



^40V32 ^ J 



-h 

Diese Doppclreihe genügt den Bedingungen, welche nach §. 34 er- 
forderlich sind, um die Reihengiieder in Verticalcolonnen zusammen- 

15*- 



228 Cap. IX. Die cyclometrisclien Reihen. 

nehmen zu dürfen, und daher ist für alle x von rc i= bis x = '\-\ 
inclusive 

1 3 

aresin x = x -\ — x^ -\ x^ + . . . . 

'6 '40 ^ 

Zufolge des in §. 31 bewiesenen Satzes mufs diese Reihe identisch 
mit No. 3) sein ; man gelangt also zu keinem der Form nach neuen 
Resultate, wohl aber erfährt man, dafs die Gleichung 3) auf das In- 
tervall ^ = bis x== -\-\ ausgedehnt werden darf, wenn sie früher 
auch nur von x = bis x = V-^ gegolten hätte. Da beide Seiten 
derselben für negative x gleichzeitig negativ werden, so bleibt sie 
auch von x = bis x = — 1 richtig. 

Aus No. 3) lassen sich Reihen zur Berechnung der Ludolph'schen 
Zahl herleiten, wenn man dem x einen solchen Zahlwerth ertheilt, 
dafs arcsin x einen bekannten aliquoten Theil von u beträgt ; so er- 
hält man im x =1 



4) 


n 
2 


= 1 


+i- 


1 
3 


und für 


X = 


= 1 










n 


=1+ 


1 
2 



1.3 11.3.5 1 



2.4 5 ' 2 . 4 . 6 7 
1 .1.3 1 



^+. 



3 . 23 ' 2 . 4 5 . 25 • 
welche Reihe für die numerische Rechnung stark genug convergirt. 
Mit Hülfe der Relation 

arccos x = ^ tt — arcsin x 
erhält man leicht eine Reihe für arccos x, nämlich 

% X \x^ 1 . 3.r5 



5) arccos x 



2 12 3 2.45 
wobei man für ^n seinen Werth aus No. 4) setzen kann. 

Aus den Gleichungen 3) und 5) ergeben sich wieder unendliche 
Reihen für arccsc x und arcsec x. Bezeichnet nämlich x die Cose- 
cante eines zwischen — \n und -\- \tc liegenden Bogens u, so hat 
man 

1 

CSC 11 = X , sin 11 = - 

X 

mithin, wenn beide Gleichungen nach u aufgelöst werden, 

. 1 
arccsc x = arcsin - : 
.r 

die rechte Seite läfst sich nach No. 3) entwickeln, wenn man - für 



X 



X schreibt und beachtet, dafs - nie die Einheit übersteigt. 

X 



Cap. IX. Die cyclometrisclien Reihen. 229 

Ist ferner u ein zwischen und it liegender Bogen, x seine Se- 
cante, so gelten die Gleichungen 

1 



See u == r ; cos u = - 

1 
arcsec x = arccos —, 

X 



WO die rechte Seite nach Formel 5) entwickelt werden kann. 

§. 51. 

Die Reihen für arctan x und arccot x. 

Zur Entwickelung einer Reihe für arctan x benutzen wir den in 
§. 18 bewiesenen Satz, dafs arctan x als der Grenzwerth betrachtet 
werden kann, welchem sich der Ausdruck 

1.1.. 1 



1 + 



'+(1) •+(?)■ +c^-"-yj 



bei unendlich wachsenden n nähert, und dafs hiernach die Gleichung 
besteht (§. 18, No. 12) 

1) arctan x = \x — ^x^ -f- ^x^ — \x'^ .... 

.... -^ ar^fr-i H ^ .r*^+i , 

worin q einen nicht näher bestimmten positiven echten Bruch be- 
zeichnet. Aus No. 1) folgt nämlich 



arctan x — q 



4/^-f-l 



1 ^ 1 ,y.3 _l_ 1 r5 T-^rfc— 1 

y.r -g-.r -j-3-X ^^ ^X , 

und wenn wir voraussetzen, dafs der absolute Werth von x die Ein- 
heit nicht übersteigt, so wird bei unendlich wachsenden h 

mithin 

2) arctan x = \x — \x^ -\- ^x^ — |x7 4- 

— l^JT^+l. 

Im Fall der absolute Werth von x mehr als die Einheit beträgt, 
läfst sich diese Formel nicht anwenden; man hat aber 

1 

arctan x = ^tv — arctan - 

^ X 

und da jetzt - <C 1 ist, so kann der Subtrahend nach No. 2) ent- 
wickelt werden, wodurch man erhält 



230 Cap. IX. Die cyclometrischen Eeihen. 

7t II \ flY 1 flY , 

= .r — 

Hiermit ist gleichzeitig die Aufgabe gelöst, Reihen für arccot x 
zu finden. Man hat nämlich allgemein 

4) arccol X = arclan - = ^it — arcfan x 

und hier setzt man für arctan x die Reihe 2) oder die Reihe 3), je- 
uachdem der absolute Werth von x weniger oder mehr als die Ein- 
heit beträgt. 

Die Gleichung 2) liefert Reihen zur Berechnung von tc, wenn 
man dem x einen solchen gebrochenen Werth ertheilt, dafs arctan x 
einen aliquoten Theil der Kreisperipherie ausmacht. So erhält man 
z. B. für X = 1 die schon in §. 49 entwickelte Formel 

4 1 3"^5 7"^ ' 

ferner für x = --=, wobei arctan x = ^n: wird, 

1/3 

Am vortheilhaftesten geschieht die Berechnung von tt auf fol- 
gende Weise. Für echt gebrochene a und ß gilt die Formel 

arctan a -j- urclan 6 = arctan ; 

1 — «p 

wählt man hier a und ß so, dafs 

TL^l^^^l, mithin i3 = 



1 — (Y^ ' ' 1 _|- a 

ist, so wird die vorige Gleichung zur folgenden 

Kx . 1 — an 

5) arctan a -\- arctan - — ; — = -, 
^ 1 +« 4 

und hier lassen sich die linker Hand vorkommenden Bögen nach For- 
mel 2) entwickeln , nämlich 

6) ^ = |«-ia34_l,5_i«7 + .... 

1 n — (v\ 1 n — a y in — ay _ 
Hieraus ergiebt sich z. B. für a = ^ 



Cap. X. Die Eunctionen comploxer Yariabelen. 231 

4 l\2j 3 \2j ^ 5 \2J 



wonach die ReclmuDg sehr leicht ist*). 



Capitel X. 

Die Funclioiien complexer Variahelen. 











§. 52. 












Übergang 5 


5u den complexen 


Zahlen 






Vei 


^gleicht mau die 


in 


§. 41 unter No 


14) mid 15) 


entwickelten 


JO VI lllClU 

1) 








e>'.2/_|_^-K2/ 








2 






_, , "V^, 


%\ 


/^ 1 


x^yß 


1 






_ 1 + --. 


2 ^ 1 


. 2. 


3.4 ' 1.2. 


3.4. 


5.6 + 




2) 








e^y e—'^y 








2k 






— ''-4- 


x2?/3 


1 


yAy^ 


x6?/7 


1 






-1 + 


1.2.3 


n^ 


1 . 2 .4. 5"^ 1 


.2.. 


77 + -- 




mit den für cos y 


und sin y 


geltenden Formeln 






3) 


COS y =\ 


y. 


1 


11' 


y' 


1 




1 . 2 


n^ 


1.2.3.4 1 


. 2. . 


76 + -- 


• •> 


4) 


sin y = 


' 1 1 


. 2 


1 "' 




. . . ., 




. 3 ^ 1.2.3. 


4 . 5 





so findet man in so fern eine auffallende Übereinstimmung zwischen 
beiden, als in den Reihen 1) und 3), sowie in den Reihen 2) und 4) 
dieselben Potenzen von y und dieselben Nenner vor kommen. Es liegt 
daher nahe, die genannten Reihen zur völligen Coincidenz zu brin- 
gen, indem man die noch willkürliche Constante v. so wählt, dafs 

ist. Diese unendlich vielen Bedingungen, denen x gleichzeitig ge- 
nügen soll, reduciren sich auf eine, weil aus der ersten Gleichung 



*) Die cyclometrischen Reihen sind fast gleichzeitig von Jac. Gregory, Leib- 
nitz und Newton gefunden worden (Brief von Oldenburg an Leibnitz v. 12. April 
1675, von Leibnitz an Oldenburg v. 27. Aug. 1676 und von Newton an Leibnitz v. 
24. Oct 1876); die Formel 6) rührt von Euler her {Introd. in Anal. inf. T. I). 



232 Cap. X. Die Eunctionen complexer Yariabelen. 

'/^^ = — 1 alle übrigen folgen, wenn man jene auf die zweite, dritte 
u. s. w. Potenz erhebt. Man erhält nun 

und da für diesen Werth die Reihen 1) und 3), sowie 2) und 4) zu- 
sammenfallen , so müssen auch die linken Seiten jener Gleichungen 
identisch werden; diefs giebt 

5) = cos y, 

6) —= == sin y, 

2y— 1 

oder auch, wie man leicht findet 

7) ey V^-i = cos y -\- "j/^^ sin y, 

8) c-2/V/=i = cos y — yiTi sin y. 

In dem Auftreten der imaginären Zahl y — 1 liegt hier nichts 
Überraschendes, ja es hätte sich sogar bei einiger Aufmerksamkeit 
voraussehen lassen, dafs der Versuch, den Cosinus und Sinus durch 
Exponentialgröfsen auszudrücken, auf etwas Unmögliches führen 
mufste. So lange nämlich x eine positive reelle Zahl bedeutet, so- 
lange ist e^y eine Function, welche bei wachsenden y fortwährend zu- 
nimmt, während e~~^^^ immer abnimmt, ohne negativ zu werden. Hier- 
aus folgt, dafs die Function 

9) -^- 

mit «/gleichzeitig unendlich wächst und immer positiv bleibt. Diese 
Eigenschaften stimmen aber nicht zu denen des Cosinus, welcher im 
Gegentheil eine zwischen -f- 1 und — 1 hin und her oscillirende Func- 
tion bildet. Ähnlich verhält sich die Sache mit dem Ausdrucke 

welcher gleichzeitig mit y unendlich wächst, ohne negativ zu werden. 
Es darf daher nicht befremden, dafs kein reeller Werth von z existirt, 
für welchen die in 9) und 10) verzeichneten Ausdrücke mit cos y und 
sin y zusammenfallen, sowenig wie man eine Curve von ungefähr pa- 
rabolischer Gestalt mit einer wellenförmigen Linie zur Deckung brin- 
gen kann. 

Trotzdem enthalten die Gleichungen 7) und 8) ein immerhin be- 
merkenswerthes Resultat; sie geben nämlich zu erkennen, dafs die 
Function e"" in zwei neue Functionen {cos y und sin y) zerfällt, wenn 



Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. 233 

die Variabele z imaginär == y V — 1 wird. Diefs ist gewissermaafsen 
ein vom Calcül selbst ertheilter Fingerzeig, bei der Betrachtung von 
Functionen sich nicht auf reelle Variabele einzuschränken. Um die- 
ser Weisung in völliger Allgemeinheit nachzukommen, werden wir uns 
im Folgenden die Variabele einer Function als sogenannte complexe 
Zahl X -{- y y — 1 denken , weil in dieser Form sowohl die reellen 
als die rein imaginären Zahlen enthalten sind, jene für y = 0, diese 
für x = ^. Sowie nun die Function einer reellen Variabelen meistens 
eine reelle (abhängige) Variabele ist, so läfst sich voraussehen, dafs 
die Function einer complexen Variabelen im Allgemeinen wieder eine 
complexe Zahl sein wird; demnach darf man erwarten, dafs eine 
Gleichung von der Form 

/(^+yy=^)=9'(^, y)-i_^(x, 2/)y=n: 

bestehen wird, und die Aufgabe ist, die beiden reellen Functionen 
(^(x, y) und i/'(^, y) zu bestimmen, in welche eine gegebene Function 
f{z) zerfällt, sobald an die Stelle der reellen Variabelen s die com- 
plexe Variabele x -\- y y — 1 gesetzt wird. Meistentheils bedarf es 
hierzu neuer Definitionen, denn die bisher gegebenen Erklärun- 
gen der Functionen 

sin z , cos z , tan z , cot z , sec z , esc z, 
m^csin z , arccos z , arctan z , arccot z , arcsec z , arccsc z 

setzen stillschweigend ein reelles ^ voraus, und daher hat vorläufig 
z. B. a^^~^ ebensowenig einen angebbaren Sinn als die trigonome- 
trische Tangente des imaginären Bogens y y — 1. Aus demselben 
Grunde ist die Ableitung der Formeln 7) und 8) keineswegs streng; 
sie sollte nur zur Einleitung in die Theorie der imaginären Zahlen 
dienen. 

An das erwähnte Problem knüpft sich noch ein zweites. Die 
verschiedenen Functionen besitzen nämlich charakteristische Eigen- 
schaften, die aus der Elementarmathematik hinreichend bekannt sind, 
z. B. 

log u 4- log V = log {uv), 

U. S. W., 

aber eben diese Gleichungen werden dort nur für reelle Werthe 

der Variabelen «* und v bewiesen. Ob nun jene Gleichungen auch 



234 Cap. X. Die Functioneii complexer Variabelen. 

l)ei complexen u und v richtig l)leibcii, das bedarf wieder einer neuen 
Untersuchung *). 

§. 53. 

Die algebraischen Functionen complexer Variabelen. 

Zur Abkürzung bezeichnen wir künftig die imaginäre Einheit 
"]/— 1 mit i und nehmen die Wurzel im absoluten Sinne; es finden 
daher folgende Gleichungen statt 

Zwei complexe Zahlen x -\- iy und ^ -\- irj nennen wir gleich, 
wenn ihre reellen, sowie ihre imaginären Theile gleich sind, nämlich 
x^= ^ und y == iq. Eine Gleichung zwischen zwei complexen Zahlen 
ist demnach ein Complex von zwei Gleichungen zwischen reellen 
Zahlen. 

Die Addition zweier complexen Zahlen definiren wir durch die 
Gleichung 

d. h. unter der Summe der complexen Zahlen x-\-iy und ^ + h] ver- 
stehen wir die neue complexe Zahl x -{- ^ -\- i{y -\- r^^ welche ebenso 
gebildet ist, als wenn i ein reeller Factor wäre. 

Die Subtraction betrachten wir als das Umgekehrte der Ad- 
dition; der Unterschied der beiden complexen Zahlen X -^ iY mal 
x-\-iy ist hiernach diejenige noch unbekannte complexe Zahl u -\- iv, 
welcher die Eigenschaft 

Ä+iY=(x-\-iy)-\-{u-^iv) 
zukommt. Nach No. 2) ist diese Gleichung einerlei mit 

X^iY=(x-\-ii)-{-i{y-\-v) 
und hieraus folgt 

Ä=x -\- u, Y=y-\-v 
mithin 

u = X — jr, v=Y — y. 
Vermöge dieser Werthe ist 

3) (^+ iY) - (^ -I- w) = {^-'^) + f{y-y)\ 

die Subtraction geschieht daher ebenso, als wenn i ein reeller Coef- 
ficient wäre. 



*) Es gehört zu den Verdiensten Cauchy's, die obenerwähnten Probleme zu- 
erst als nothwendige erkannt und im Wesentlichen gelöst zu haben (Cours d'Anal. 



I 



Cap. X. Die Functionen complexer Variabelen. 235 

DieMultiplication erfordert wieder eine neue Definition, und 
zwar verstehen wir der Analogie wegen unter dem Producte von 
x-\-iy und ^ + irj denjenigen Ausdruck, der ebenso gebildet ist, als 
hätte man diese complexen Zahlen wie reelle Factoren multiplicirt 
und i^ = — 1 gesetzt; die Gleichung 

,4) (JT 4- ly) (I + in) = (x^ — yr]) + i(xYi + y^) 

enthält daher die Erklärung der Multiplication. 

Die Division betrachten wir als die Umkehrung der Multipli- 
cation , d h. wir bestimmen die in der Gleichung 

X 4- iy , . 

vorkommenden Unbekannten u und v durch die Bedingung 

.r 4- iy = (Ä + il') {u + iv) = {Äu — Fv) + i{Äv -\- Vu). 

Hieraus folgen die Gleichungen 

Äu — Yv = x, Äv -\- Vu = y, 
welche geben 

nach Substitution dieser Werthe haben wir 

^\ ^stJl = ^^ + ^^ _j_ / -^y — y^ 

^ Ä-i-iV X'' + 72"^ X'^ H- }-2- 

Zu demselben Kesultate gelangt man auch dadurch, dafs man Zähler 
und Nenner des linker Hand stehenden Bruches mit X — iY multi- 
plicirt und die Gleichung {'X^iY) {X—iY) = X^ -f Y' beachtet; 
für die Praxis ist dieses Verfahren bequemer als das vorige. 

Zu einer anderen Methode der Multiplication und Division führt 
folgende Bemerkung. Irgend zwei gegebene reelle Zahlen x und p 
kann man sich immer als rechtwinkelige Coordinaten eines Punktes 
der :r^-Ebene construirt denken und dann ist es auch möglich, die- 
selben durch Polarcoordinaten auszudrücken; man setzt zu diesem 
Zwecke 

X = r cos 8 , y ==^ sin 9, 
und findet für r und 9 die reellen Werthe 



6) r2=.r2+2,2, ,._y^xqi^2, 

7) /ff« == •^, 9 = of^cfan - -f kn, 

X X ~ 

worin h eine beliebige ganze positive Zahl bedeutet. Demnach läfst 
sich jede complexe Zahl x -\- iy unter der Form 

8) X -\- iy = r(cos ^ -\- i sin 0) 

darstellen; hierbei nennt man r den Modulus der complexen Zahl 



236 Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. 

X -f- iy und nimmt ihn stets im absoluten Sinne; das Quadrat des 
Modulus heilst die Norm, die Amplitude. 

Handelt es sich nun um die Multiplication zweier complexen Zah- 
len x-\-iy und x -\- iy\ so bringt man dieselben erst auf die Formen 
r{cos ^ -\- isin 6) und r\cos 0' -j- i sin ö') und hat dann 
r(cos 9 -f- sin 9) . r (cos ö' -\- i sin 0') 
= rr \cos 6 cos ö' — sin sin ö' -j- i{sin ö cos 9' -|- cos 9 sin 9')] 
== rr [cos (9 -}- 9') -f- i sin (9 + 9')]; 

der Modulus des Productes ist also das Product der gegebenen Mo- 
duli, und die Amplitude des Productes ist die Summe der früheren 
Amplituden. 

Durch mehrmalige Anwendung dieser Regel gelangt man zu der 
allgemeinen Formel 

9) r j(c05 9^ 4" ^ ^'^ ^i) • 1^2^^^^ ^* ~l~ ^^^'^ ^2) • • • '^mi^^^ ^m ~h * -^'^ ^m) 

= ^^2 • • • 'm [^os (9^ + 9, -I- . . . + 9 J + isin (9, + 9^ + • • • -f" M^ 
w^orin m eine beliebige ganze positive Zahl bedeutet. 

Auf ähnliche Weise kann die Division ausgeführt werden. Mul- 
tiplicirt man nämlich Zähler und Nenner des Bruches 

r [cos 9 -f- * ^2« ö) 
r [cos 9' -j- i sin 9') 

mit -7 (cos 9' — i sin 9'), so erhält man im Nenner die Einheit, mit- 
hin ist der gesuchte Quotient 

- {cos Q -\- i sin 9) {cos 9' — i sin 9') 

-7 [cos 9 cos 9' -f- sin 9 sin 9' -j- i{sin 9 cos 9' — cos 9 sin 9')] 

= ^, [cos (9 — 9') -f- / sin (9 — 9')] 

oder zusammen 

,^, r (cos ^ -{- i sin Q) r ^ .^ a'n 1 • • /a am 

^ r (co.9 9 -|- 2 .V?« 9 ) r 

Diese Divisionsregel läfst sich ebenso leicht in Worte fassen wie die 
vorige Multiplicationsregel. 

Die Potenz entspringt bekanntlich aus der Multiplication, in 
so fem man bei ganzen positiven m unter z"^ den speciellen Werth 
versteht, welchen das Product z^ . ^^ . . . ^^ für ^ ^ = ^^ ==... = ^„» == ^ 
annimmt. Diese Definition benutzen wir auch bei complexen z und 
bezeichnen demgemäfs mit [r (cos ^ + i sin ^)Y dasjenige, was aus 
dem Producte in No. 9) hervorgeht, wenn alle r und 9 gleich genom- 
men werden; diefs giebt die Formel 



r 
r 

r 

r 



Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. 237 

11) [;- {cos e + i süt 0)]"" = r^ {cos mB -f- t sin m^), 

welche unter dem Namen des Moivre'schen Satzes bekannt ist*). 
Wie bei reellen z, so verstehen wir auch bei complexen z unter 

m 

0" diejenige Zahl, deren w^^ Potenz gleich ^"* ist; setzen wir dem- 
gemäfs 

m 

12) [r{cos 9 -[- 2 sin 9)]" = q{cos ri -\- i sin t/), 

WO Q und 7] vorläufig unbekannt sind, so mufs die Gleichung gelten 

[r{cos 9 -j- i sin 9)]"* == [q{cos t] -\- i sin 'ly)]". 
Unter der Voraussetzung ganzer positiver m und n können wir diese 
Gleichung durch die folgende ersetzen 

r"* {cos 7w9 -f- / sin mB) = ^" {cos nrj -\- i sin nri) 
welche zerfällt in 

Q^ cos 717] = r^ cos niB , q^ sin nrj = r"* sin mB. 
Quadrirt und addirt man diese Gleichungen, so erhält man 

wobei Q und r im absoluten Sinne zu nehmen sind. Nach Substitu- 
tion des Werthes von q gehen die vorigen Gleichungen über in 

cos nv] = cos rnB, sin nr] = sin w9, 

und diese können nur dann zusammen bestehen, wenn die Bögen nr] 
und m9 um ein Vielfaches der Kreisperipherie von einander differiren ; 
demnach ist, unter h eine ganze positive oder negative Zahl ver- 
standen, 

7w9 4- 2k7t 

nr} — ?nB = 2k7tf r} = 

n 

und nach No. 12) vermöge der Werthe von q und rj 

13) [r{cos 9 4- i «/2 9)]« == r" cos [- / sin . 

In Folge des Umstandes, dafs für Je jede ganze Zahl zwischen — oo 
und + oo genommen werden darf, scheint die rechte Seite der Glei- 
chung 13) unendlich viel verschiedene Werthe zu haben; bei genaue- 
rer Ansicht reducirt sich aber diese Zahl. Ertheilt man nämlich dem 
k ein Mal den individuellen positiven Werth h, das andere Mal den 

W^erth h -\- n, so erhält der Bogen — ^ die beiden entspre- 



chenden Werthe 



L und L ^ 27r, 



und diese Bögen haben gleiche goniometrische Functionen. Dasselbe 



^) MisceUanea analytica, 1730, T, I. 



238 Cap. X. Die I'unctionen complexer Yariabelen. 

gilt von den Fällen Je ^h -{- 2n, h -\- 3n etc.; will man also Wie- 
derholungen vermeiden , so braucht man bei positiven 7c nur Je = 0, 
1, 2 . . . (n — 1) zu nehmen. Ferner ändert sich die rechte Seite der 
Gleichung 13) nicht, wenn man einmal ]v = — h und das andere Mal 
]c = n — h setzt ; die negativen Je liefern also keine neuen Resultate. 

m 

Demnach hat die Potenz [r(cos ^ -{- isin 0)]" nur n von einander ver- 
schiedene Werthe, die aus der Gleichung 13) durch die Substitutio- 
nen Je = 0^ 1 , 2 , ... (n — 1 ) hervorgehen. 

Um noch den Fall zu betrachten, wo der Potenzexponent eine 
positive Irrationalzahl jli ist, nehmen wir erst Je gleich einem Viel- 
fachen von m, etwa Je = hm und lassen in der nunmehrigen Gleichung 

[r{cos e -|- i stn 0)]« = r" cos ~ — ' -f i sin — — 

lyyt 

m und n gleichzeitig ins Unendliche wachsen, jedoch so, dafs Lim - 

TV 

== fii ist. Wir erhalten 

14) [ricos -f i sin 0)]^ = r^[cos ^m(0 -{-2hn)-\- i sin ju(0 -f- 2Jin)\ ; 

die Zahl h bleibt hier willkürlich, und die rechte Seite hat unendlich 
viel verschiedene W^erthe. 

Ist endlich der Potenzexponent eine negative Zahl — p, so ver- 
stehen wir, bei complexen wie bei reellen z, unter z"^ den recipro- 
ken Werth von z'^. Hiernach ist z. B. bei ganzen positiven m 

{,icos 9 + ,• sin e)]-" = __^^i-,--^ = _,^,__^___ 

= r~'^ {cos 7W0 — isin /a/0) ; 
ähnlich verhält sich die Sache in jedem anderen Falle. 

Es läfst sich nunmehr auch die Frage entscheiden, ob die in 
der Gleichung 

ausgesprochene Haupteigenschaft der Potenz ihre Gültigkeit bei com- 

plexen z behält. So ist z. B. im Falle a = -, wenn 

z = r {cos ^ -\- i sin 0), z = r' {cos 0' -f- i sin 0') 
gesetzt und auf gewöhnliche Weise multiplicirt wird. 



^r w0+2A'7r , . . m^-\-2Ji7t'^ ,J? T 7w0'-f2A-';r , . . m^'-\-2Ji7f\ 
r cos — — - + isin X-r^ \ cos ■ — — + 1 sin ' 

{rr ) I cos h ? sin 1 ; 

[_ // « J 



Cap. X. Die Eunctionen complexer Variabelen. 239 

schreibt man h für h -j- Ic und beachtet, dafs jetzt h eine ebenso be- 
liebige ganze Zahl ist wie 'k in No. 13), so hat man 

z'' . z"" = irrV' cos -^— ' ^' h z sm ~ — '--^ 

{_ 71 '^ J 

m 

= j rr [cos (9 + 9') -|- i sin (9 -f- 9')]!'' 

= {zzf. 
Wie man sieht, bleibt der erwähnte Satz ungestört, nur mufs man 

m 

ihn genauer so aussprechen: irgend einer der Werthe von 0", mul- 

m 

tiplicirt mit irgend einem der Werthe von ^'", giebt einen Werth von 

{zs'y . Man wird leicht bemerken , dafs der Satz in dieser Fassung 
auch bei jedem anderen Exponenten gilt. 

§• 54. 

Anwendungen der vorigen Sätze. 

I. Unter der Voraussetzung eines ganzen positiven m ist nach 
dem Moivre'schen Theorem 

cos w9 -j- i sin jnB = {cos 9 -j- « si/i 9)"*, 

wobei die rechte Seite ein Product aus m gleichen Factoren darstellt. 
Da die Multiplication bei complexen Factoren auf ganz dieselbe Weise 
geschieht wie bei reellen Factoren, so kann die Entwickelung jenes 
Productes mittelst des binomischen Satzes geschehen und giebt 

cos mO -j- / sin ?nO 

= (w)o cos"" 9 4- (///)^ i cos"^-' 9 sin 9 + {m)^ i^ cos'^-'' Q sin^ B -{- 

Nach Substitution der Werthe von i^, ^3, i^ etc. zerfällt die rechte 
Seite in einen reellen und in einen imaginären Theil, mithin ist durch 
Vergleichung 

cos fn^ = (w)o CO*"' 9 — (m)^ cos'^^^ sin^ 9 

+ (7//)^ cos"^-^ sin^ 9 — , 

sin w6 == {7n)^ cos""' ' 9 sin 9 — {m)^ cos""-^ 9 sin^ 9 

4-(w)5 cos"^-' sin^ 9 — 

Diese Formeln stimmen mit denen überein, welche in §. 44 auf an- 
derem W^ege entwickelt wurden. 

IL Die Auflösung der Gleichung ^z;" == + 1. Die vor- 
stehende Gleichung giebt 

d. i. nach Formel 13) des vorigen Paragraphen, wenn r = l, 9=0 
und m == 1 gesetzt wird, 



240 Cap. X. Die Punctionen complexer Yariabelen. 

2kTi . . . 2k7i 

x = cos \-i sin , /t == 0, 1, 2, ...(// — 1). 

n n ' 

Bei geraden n lassen sich die Wertbe von k, folgendermaafsen ordnen 

>^ = 0, 1, 2, a^' — 1), 

\n, w— 1, 72 — 2, [\^n-\-\\ 

dagegen bei ungeraden n: 

k= , 1 , 2 , ... ^(« — 1), 

n—l, « — 2, /? — 3, ... !(/?-}- 1). 

Hiernach sind für gerade n die Werthe von x: 
1) +1 , -1 

2n , , . 2n 27t 2rr 

cos [- i sin — , cos i sifi — , 

n n n n 

4;r . 4n; 47r . . 4n; 

cos h- i sin — , cos — — i sin — , 

n « ' n n 

67r , , . 6rr 67t Gtt 

cos V- i sin — , cos i sin — , 

n n n n 



{n — 2)71 , . . (« — 2)Tt (n — 2)Tt . . in — 2)n; 

cos \- i sin , cos i sin : 

n n n n 

bei ungeraden n dagegen hat x folgende Werthe: 

2) 4-1, 

27i; , . . 2;r 2ti , , 2Tt 

cos V- i sin — , cos i sin — , 

n n n n 

An , , , ^7t 4» . . 47r 

cos \- t sin — , cos i sin — , 

n n n n 

Gtt , . . OTT 67t . . 6;r 

cos H i sin — , cos i sin — , 

n n n n 



(n — l)7r , . . in — l)7t [n — 1);e . . in — \)it 

cos \- i sin , cos i sm . 

n n n n 

In allen Fällen, wo sich die Theilung der Kreisperipherie in 2w 

gleiche Theile geometrisch ausführen läfst, kann man die Werthe der 

vorkommenden Cosinus und Sinus algebraisch darstellen. So ist z. B. 

für w == 5 

n , Vö -f- 1 

cos - = cos 360 ^- JL^_1 — 
5 4 

und wenn man hieraus cos \tc^ cos ^tt, sin f /r, sin ^n berechnet, so 

findet man, dafs die Gleichung 

folgende Wurzeln hat: 



Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. Ö4l 



v^-^+, 


4 


jyö 
1 


y5 + i 


, .Vio- 


-21/5 



ys - 1 

4 


.VlO 


+ 21/5 
4 


yä+i 


.VlO 
- 1 


— 21/5 



4 ' 4 ' ^ 4 4 

III. Die Auflösung der Gleichung ;3;" = — 1. Durch Auf- 
lösung dieser Gleichung erhält man zunächst 

^ = (— ir 

und nachher aus Formel 13) des vorigen Paragraphen für r = 1, 

e = TT, m == 1, 

X == C06' ^^ ^-^ -}- ^ ;?//? ^ — ^-^j >t = 0, 1, 2, ...(// — 1), 

Demzufolge hat x hei geraden n die Werthe: 

o) CO* 1- i Sin - CO* i sin -, 

/^ /^ « n 

co>v 1- z *«;2 — , cos i sin — 

n n n n 

bn ^ . , 57t bw , , 5tc 

cos \- i sin — , cos i sin — , 

n n n n 



(n — l)7r , . . in — \)n, (n — l)7r , . in — \)n 

cos -\- i sin , cos i sin ; 

n n n n 

dagegen gelten hei ungefaden n folgende Werthe von x: 

4) -1, 

Tt , , Tt n , , n 

cos \- i sin -, cos i sin -. 

n n n n 

Stt . Sti OTT . Stt 

cos \- i sin — , cos i sin — , 

n n n n 

OTT ,. OTT bn , , bn 

cos \- i sin — , cos i sin — , 

n n n n 



in — 2)7t , . . {n — 2)Tt {n — 2)7i; . . (n — 2)7r 

cos h i sin , cos i sin • 

n n n n 

IV. Das Theorem von Cotes*). Nach einem bekannten 

Satze, dessen Beweis man auch im Anhange findet, läfst sich jede 

ganze rationale algebraische Function 

5) /(.r) = x'' + a^,^-' + ./,ar"-'^ + • . . + «„_, ^ + «n 

in Factoren ersten Grades zerlegen, sobald es gelingt, die n Wurzeln 



*) Harmoma riiensur. 1722. p. 114. 

Schlömilcli algcbr. Analysis. 6. AuH. Ig 



242 Cap. X. Die Punctionen complexer Variabelen. 

der Gleichung f{x) =0 zu finden; heifsen letztere x^, x^, x.^ • • -^n, 
so ist nämlich 

6) /W = (-^ — -^i) (^ — ^'2) (^ — ^3) • • • (-^ — ^n). 

Diesen Satz wenden wir zuerst auf die Function f{x) = x'' — 1 an 
und haben dann statt x^^ a;^ , . . . ^n die unter No. 1) oder No. 2) 
verzeichneten Werthe zu setzen, jenachdem n gerade oder ungerade 
ist. Dabei lassen sich je zwei conjugirte complexe Factoren zusam- 
nienziehen und liefern ein reelles Product, weil 

j X — {cos -}- 2 sin $) j \x — {cos — i sin ö) j 
= (x — cos 9)2 — (/ sin ^Y =x^ —2x cos + 1. 
Hiernach ist für gerade n: 

.2?«— 1 

= {x^ — 1) (x^ — 2x cos — + 1 j I x« ~ 2x cos -^ -\- \\ 

dagegen für ungerade n: 

X« — 1 
= (x — 1) I x^ — 2x cos -^ 4- 1 I (x^ — 2xcos ~ -\-\\ 

Setzt man ^==r und multiplicirt mit &", so wird für gerade n: 



7) ö" — b^ 



=(«'^-- 


^2)^2- 


— 'iah cos 


27r 
n 


+ * 


■)(■ 


2 _ 

(■ 


und bei 


ungera 


den n: 










8) 








ö" 


— Ä« 





47r N 

2äf^ CO* h^^ I • • ■ 

n J 

(n— 2)71 
— 2ah cos ^- — -j- Ä2 



)■ 



= (fl — Ä) ^02 _ 2ab cos — + ^»2^ ^2 __ 2«^ C06- — -\- b^\ . . . . 

Zwei ähnliche Formeln entstehen, wenn man die Gleichung 6) 
auf den Fall f{x) = x"- + 1 anwendet und für ^r, , ^^^2^ • • • ^« ^i^ ^^ 

No. 3) oder No. 4) verzeichneten Werthe setzt. Für ^ = r erhält 
man schliefslich bei geraden n: 



Cap. X. Die Eimctionen complexer Yariabelen. 243 

9) ö" + b^ 
= Tflä _ 2ab cos - + ^2^ 1^2 _ 2ab cos -^ -{- b^\ 





(a^ -ab cos ^"~'^^'' 


. • . 


\ ^i 


und bei ungeraden n: 




10) fl« + Ä« 




= (a + Ä) ia^ — 2ab cos - + b^\ (a^ - 


-2abcos^^bA..,, 




.(«« 2«^ CO. (''-')" 



Nicht ohne Interesse ist die geometrische Bedeutung dieser vier 
Gleichungen. Ein mit dem Halbmesser CB = h aus dem Mittel- 
punkte C beschriebener Kreis sei nämlich in 2n gleiche Theile ge- 
theilt und es mögen Bq, B^, B^, ... -0211-1 die 2^^ Theilpunkte der 
Peripherie heifsen; verbindet man diese mit einem auf dem Radius 
CBq oder dessen Verlängerung befindlichen Punkte Ä, für welchen 
CÄ = a ist, so hat man folgenden Satz: das Product aller Strah- 
len gerader Nummer ÄBq^ ^B^, AB^^ . . . AB^,,_^ ist gleich 
AC'' — BC'' oder = BC"" — AC"" , jenachdem der Punkt A 
aufs er halb oder innerhalb des Kreises liegt, und das Pro- 
duct aller Strahlen ungerader Nummer J.j5i,J.^3, ,,.AB.^,^_^ 
ist immer gleich AC'' -\- BG'\ 

V. Eine andere Form gewinnen die Gleichungen 7) bis 10) 
wenn man 

a^-^b^=-ci, 2ab = ß 
setzt, woraus folgt 

a-]- b = y«+/3, a — b== ^a—ß, 

V'« + V«^ — ß^ 1/a — ya2 _ |3^ 

2 * ' 2 ' 

bei umgekehrter Anordnung der Factoren erhält man nämlich aus 7) 
und 9) für gerade n: 

11) ^.^ßcos ^] (a + /3.o. ^] . . . (a J, ß cos ^" "^ '^") 

~Y^=^^^\\ 2 ) ~\ 2 j )' 



16 



* 



244 Cap. X. Die Punctionen complexer Tariabelen. 

und analog aus 10) und 8) für ungerade n: 

13) (a + /3c..^)(. + ^co.^]...(« + ß.o.>^^ 

"y^^jl 2 j ~v 2 j r 

Diese Formeln gestatten folgende geometrische AnAvendungen. 

a. Denkt man sich aus den Halbachsen a und h <Ca eine El- 
lipse construirt, einen Brennpunkt derselben zum Anfangspunkte eines 
Polarcoordinatensystemes genommen und die positive Seite der Polar- 
achse nach dem nächsten Hauptscheitel hin gelegt, so besteht zwi- 
schen dem Polarwinkel d (der sogenannten wahren Anomalie) und 
dem zugehörigen Brennstrahl r die bekannte Polargleichung 

h^ / b'^ 

oder a-{-ya^ — b^ cos d- 



a -\- ya^ — b^ cos d' r 

Den Werthen ^=0, -, — , — u. s. w. mögen die Vectoren ^n, r., 
r^, ^3 u. s. w. entsprechen, die zusammen einen Büschel bilden, worin 

7t 

jeder Strahl mit dem folgenden den Winkel - einschliefst; für 

ergiebt sich nach diesen Bemerkungen aus No. 11) 

b^ b^ b^ b^ l[fa-\-b\^'' (a — b\l''i 



Jim -(^ 

Umgekehrt ist also für gerade n: 



2 '4 '6 ^1 



15) 



[a -4- Ä)^" — {a — bß^ 
und nach Formel 12) 

2^" b'' 



16) 



(a 4- b)2'' + (fl — Ä)t» 
auf analoge Weise wird aus No. 13) und 14) für ungerade n: 



Cap. X. Die Functionen complexer Variabelen. 245 

Multiplicirt man die Gleichungen 15) und 16) ebenso 17) und 18) 
und setzt noch die Factoren r^rn = h^ hinzu, so gelangt man zu der 
Formel 

welche für jedes ganze positive n gilt und sich auch aus No. 11) er- 
giebt, wenn man 2n an die Stelle von n treten läfst. 

b. Behufs einer zweiten Anwendung der Formel 11) nehmen wir 
den Mittelpunkt der vorigen Ellipse zum Anfange und die kleine 
Halbachse h zur Achse eines Polarsystemes B, Q; die Polar gleichung 
der Ellipse ist dann 

oder nach einer leichten Umformung 

20) _^ + __.«. 20 = y 

Der rechte Winkel zwischen a und h sei nun in n gleiche Theile ge- 
theilt, und es mögen den Polar winkeln 

^ -ffTC -i-TC XtZ 

n n n 

die Vectoren i^^ , i?^ , E^ u, s. w. entsprechen; es ist dann 

= I — COS - I I 1 — cos — I ... . 

V2^2 ;^7V2^2 n) 

/ö2_i ^2 a'^ — b'^ [n—l)Tt\ 
.... I cos I . 

V 2 ^ 2 n J 

Aus No. 11) ergiebt sich für a = ^{a^ +1^), ß = ^{a^ —h^) und 
wenn 2n für n gesetzt wird, der Werth des rechts vorkommenden 
Productes und damit auch der Betrag von E^, B^ ...E„_,; durch 
Hinzufügung der Factoren Bq ==h, B„= a folgt noch 

21) ^o/^.^.--^. = (2«rVJ(-qr ,)..Ü(„_,,.4 

c. Die sogenannte Fufspunktcurve der Ellipse wird bekanntlich 
in rechtwinkligen Mittelpunktscoordinaten durch die Gleichung 

dargestellt , welche für ^ = q cos Q, rj = q sin Q in die Polarglei- 
chung 

^^ = ^/2 cos'^ -f Z»2 sin'^ ß ^ — X L. ": ^ cos 20 



246 Cap. X. Die Punctionen complexer Yariabelen. 

übergeht. Aus dem Vergleiche mit No. 20) ersieht man augenblick- 
lich das Bestehen der Relation 

Q ' 
welche sich zur Umwandlung von No. 21) benutzen läfst. Sind näm- 
lich ^1, ^2, ^3, ... die Radienvectoren , welche den Polarwinkeln 

1_ 2 ^, 3 ^, . . . . 
n n n 

entsprechen, so ergiebt sich aus No. 21) die Formel 

22) Q,Q,Q^ . . . ?n = ^ -^aölia^br^ia-br] 

Mittelst der Gleichungen 11) bis 14) kann man überhaupt ana- 
loge Productenformeln für die Radienvectoren aller Curven entwickeln, 
deren Polargleichungen unter einer der P'ormen 

r^ = a -\- ß cos & oder rl^ = et -^ ß cos 2& 
enthalten sind*). 

§. 55. 

Die Exponentialgröfsen mit complexen Variabelen. 

Bei reellen ^ und unendlich wachsenden m gilt bekanntlich die 
Formel 



=^'■'"{0 +£)""[ 



welche den Satz enthält, dafs die natürliche Exponentialgröfse als 
Grenzwerth einer gewissen Potenz angesehen werden kann; diese For- 
mel eignet sich besonders gut zur Definition der Exponentialgröfse, 
weil nach den Untersuchungen des §. 53 die Bedeutung der Potenz 
unter allen Umständen feststeht. Wir definiren daher e^-^'y durch 
die Gleichung 



1) e^..-.^.,-.|(, + ^-^)'"J 



und setzen m als ganze positive Zahl voraus, um jede Mehrdeutig- 
keit der Potenz zu vermeiden**). 



*) Die in V abgeleiteten Resultate hat der Verf. zuerst mitgetheilt in der Zeit- 
schrift für Mathematik und Physik, Thl. XXVI. 

**) Cauchy definirt in seinem Cours (VAnal. al(ßbr. die Exonentialgröfse e*"^'^ 
als Summe der Reihe 

wodurch einerseits die Theorie jener Function und ihrer Verwandten in eine keineswegs 
nöthige Abhängigkeit von der Reihenlehre geräth, und andererseits die Sonderung der 



Cap. X. Die Functionen complexer Variabelen. 247 

Der in No. 1) postulirte Grenzübergang läfst sich in folgender 
Weise ausführen. Wir bringen vorerst die Basis der Potenz auf die 
Normalform complexer Zahlen, indem wir 

2) 1 + ^ii^ = r(cos ö + i sm 6) 

setzen, woraus folgt 

l 

3) r = 1 -^ ^-^- , fan e = . 

[^ ?n m^ J 1 _i ^ 

m 

Bezeichnen wir mit ^ den spitzen Bogen, welcher dieselbe Tangente 

wie 9 besitzt, so haben wir die beiden Gleichungen 

4) ^ = arctan , e = ^ -f- A^/r, 

WO h jede positive oder negative ganze Zahl bedeuten kann. Die 
Gleichung 2) wird jetzt zur folgenden 

1 _j_ ^i:T_^ = r[cos (^ -+- kn) -I- i sin [d- -|- kn)] ; 

im speciellen Falle rr = 0, t/ = ist r==l, ^ = 0, mithin 

1 = cos kn -f- / sin kn = cos kn 
und daraus erhellt, dafs Ic eine gerade Zahl sein mufs. Man hat 
defshalb einfacher 

X -4- iv 

1 _| J 1 =: r(cO* d' + « Ä-Z'/? ^) 

m 
und nach dem Moivre'schen Satze 

I 1 _^ ^dl^'j = r"* (ro6- ///^ + i sin m^) 
mithin nach No. 1) 

5) e^+'y = Lim [r'^icos m^ -\- i sin 7W^)]. 

Nunmehr kommt es darauf an, die Grenzwerthe zu bestimmen, ge- 
gen welche r"" und m^ bei unendlich wachsenden m convergiren. 
Nach No. 3) ist 

\ rn m^ J 

und wenn zur Abkürzung 



reeUen und imaginären Bestandtheile erschwert wird. Die obige Definition ist vom Verf. 
gegeben und von den Kennern der Theorie complexer Zahlen adoptirt worden. (Vergl. 
Roch in der Zeitschr. f. Mathem. u. Phys. Jahrg. VIII, S. 15.) 



248 Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. 

2x x^ -{- y^ __ 1 

gesetzt wird, so hat man auch • 

ml . 35* + y* 



(■+r=[('+B'T "=[('+-1)"] 



2ot 



Wie die vorhergehende Gleichung zeigt, wächst to gleichzeitig mit m 
ins Unendliche, daher ist 

6) Um (r"") = e*. 

Was ferner md- betrifft, so folgt aus No. 4) die identische Glei- 
chung 

d cos -& y 



tan d- sin d" X 

und wenn man berücksichtigt, dafs (nach No. 4) ^ gegen die Null 
convergirt, falls m unendlich wächst, so erhält man 

7) Lim (m^) == y. 

Die Gleichungen 5), 6) und 7) liefern nun zusammen 

8) e^+^'y = e^ (cos y -\- i sin y) 

und diefs ist die vollständig ausgearbeitete Definition der Exponen- 
tialgröfse mit complexen Exponenten. 

Ganz analog kann die allgemeinere Exponentialgröfse a* behan- 
delt werden. Für reelle z hat man nämlich 



'— {(■+^')"} 



und wenn man diese Gleichung im Falle z = x -\- iy als Definition 
von a^+''^ benutzt, so erhält man leicht 

9) ü^'-^^y == </-^ [cos {y la) + / sin [y la)]. 

Mittelt dieser Gleichung läfst sich auch entscheiden , ob die Fun- 
damentaleigenschaft der Exponentialgröfse, nämlich die Formel 

bei complexen z und / richtig bleibt oder nicht. Multiplicirt man 
nämlich die Gleichung 9) mit der analogen Gleichung 

a^'+iy' = ö*' \cos [y la) -\- i sin [y la)\ 
und benutzt rechter Hand die Formel 

Q {cos ö -f- / sin ö) . q' [cos O' -[- / sin 9') = qq' [cos (ö + ö') -f- / sin (ö -f- 9')], 

SO findet man 

ßx+ ty , fjx'+if/ ,^ f^x+x' Los [{y + y) ia] -f- 1 sin [{y -|- y) /«] j 

^^ fjix+x') + i(y+y')^ 

woraus zu ersehen ist, dafs die erwähnte Eigenschaft der Exponen- 
tialgröfse auch bei complexen Exponenten gilt. 



Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. 249 

Um eine Anwendung der Formel 8) zu geben, setzen wir x = 
einmal y = u, nachher y = — u und haben 

e*" = cos u -\- i sin ?/, e~^" = cos u — i sin u 
mithin durch Addition und Subtraction 

10) 2 cos H = e^" -[- e-"% 2 / sin u == e'« — e-*«. 

Beide Seiten dieser Gleichungen erheben wir auf die m*^ Potenz und 
benutzen rechter Hand den binomischen Satz unter der Voraussetzung 
eines ganzen positiven m; diefs giebt 

11) 2"^ cos"^ IL 

12) ?•"» 2"' sin"^ u 

Die hier vorkommenden Exponentialgröfsen lassen sich wieder in Co- 
sinus und Sinus umsetzen, nämlich 

^imu __ f^f^g f^j^ _|_ ^ gf'jj^ ^^^ 

gi(m—2)u __ f.Qg (jj^ — 2) ?/ -f- i sin (m — 2) n, 

u. s. w. 

und nachher können beiderseits sowohl die reellen als die imaginären 

Theile verglichen werden. Aus No. 11) erhält man auf diesem Wege 

2"* cos"^ u 
== (w)q cos mu -\- (ni)^ cos (m — 2) ?f -\- (jn)^ cos (m — 4) w -j- . . . ., 
wobei es nicht überflüssig ist, gerade und ungerade m zu unterschei- 
den. Bei geraden m giebt es einen mittelsten Binomialcoefficienten, 
welcher nur einmal vorkommt; jeder andere Binomialcoefficient tritt 
zweimal auf und daher können diejenigen zwei Summanden vereinigt 
werden, welche einen solchen Coefficienten zum gemeinschaftlichen 
Factor haben. Diefs giebt nach beiderseitiger Division mit 2 

13) 2"'-' cos"" u 

= (ni)^^ cos VW -\- {yn)^ cos (m — 2) u -\- (m)^ cos (m — 4) 2/ -f- • • • • 

4- (f»)xm-, 'OS 2U 4- |(/W)^_^. 

Dagegen findet man bei ungeraden m: 

14) 2'"-' cos"^ u 

= {ifi)^ cos mu -\- (m)^ cos (m — 2) u-\- (w)^ cos {in — 4) ?/ -f~ • • • • 

Ganz ähnlich läfst sich die Gleichung 12) umgestalten; man er- 
hält bei geraden m: 

15) (— l)^*"2"»-l .9//?"* 7/ 

= (w)q cos mu — (7w)y cos (jn — 2) ?/ -{- (w)^ cos (r/i — 4) w — .... 

•••• + (- l)'»"" ' ('»)j. - , "OS 2« + (- l)^" iWjm, 



250 Cap. X. Die runctionen complexer YariabeleD. 

dagegen für ungerade m: 

16) (— l)i^'"-')2"'-^.7'/2"'?/ 

= (/w)(j si/i mu — {m) ^ sin {rn — 2) w -f- (''Oa ^^'^ (^ — ^ ^^ — * • • • 

Die letzten vier Gleichungen können als die Umkehrungen der For- 
meln 10), 11), 13) und 14) in §.44 angesehen werden. 

§. 56. 

Die Logarithmen complexer Zahlen. 

Einem reellen und positiven t entspricht bekanntlich nur ein 
reelles ^, welches die Eigenschaft e^ == C besitzt, und dieses z ist der 
mit 2==lt bezeichnete eindeutige natürliche Logarithmus von ^. Da 
es aufser diesem reellen z möglicherweise noch complexe z geben kann, 
die ebenfalls der Gleichung e'' = C genügen, so mag im Folgenden 
jedes complexe z, welchem die erwähnte Eigenschaft zukommt, mit 
z = Lt bezeichnet werden und der allgemeine natürliche Loga- 
rithmus von t heifsen. Dieselbe Definition behalten wir bei com- 
plexen t wörtlich bei und setzen demnach 

1) Z,(^ + /t?)=.x-+/2/ 
sobald die Gleichung 

stattfindet. Letztere ist identisch mit 

e^ {cos y -{- i sin y) = ^ -]- itj 

und liefert die beiden Gleichungen 

2) e^ cos y = ^, e^ sin y = rj, 

welche zur Bestimmung von x und y dienen. 
Zunächst erhält man 



das Wurzelzeichen darf hier nur im absoluten Sinne genommen wer- 
den, weil X als reell vorausgesetzt wurde und daher e^ immer posi- 
tiv bleibt. Nach der anfangs gemachten, reelle z und C betreffenden 
Bemerkung folgt nun für x der eindeutige Werth 

3) X = i/(|2+^2). 

Nach Substitution des Betrages von e^ erhält man aus den Glei- 
chungen 2) 

A) cos y = , sin y = — , — 

5) tany = ^f y = arctan - -j- 'w^. 



+ TUTt , COS y ,_ 



Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. 251 

WO m irgend eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Um 
sie näher zu bestimmen, gehen wir auf den speciellen Fall ^y == 
zurück; es ist dann 

l_ 

mithin, weil die Wurzel im absoluten Sinne genommen werden mufs 
cos y ==-{-! d. h. cos nm = + 1 für positive ^, 
cosy = — 1 d. h. cos nni=^ — 1 für negative f. 
Daraus geht hervor, dafs im ersten Falle m eine gerade Zahl, im 
zweiten m eine ungerade Zahl sein mufs. Bezeichnet h irgend eine 
positive oder negative ganze Zahl, so gelten vermöge der Gleichungen 
1), 3) und 5) folgende Formeln: 

6) L{^-\- iri) = i l(e^ +^2)4- i\arctan | + 2/:n;"j , | > 0, 

7) /: (I -f iri) = i ^(1 ' + ^'0 + «* \arctan ^ + (2>t -f- l)n;l , |< 0. 

Wie man sieht, besitzt der allgemeine Logarithmus einer com- 
plexen Zahl unendlich viel verschiedene Werthe. Dasselbe Resultat 
ergiebt sich auch, wenn man nach Analogie der Formel 

l^=Lim j;2(^»--l)j, für « = oo, 
den allgemeinen Logarithmus von ^ -\- ir] mittelst der Gleichung 

L{l+iyi)=^Lim j«[(5 + .'t?)^ _ 1]| 

n 

definirt, die n verschiedenen Werthe von '\/^-{-ir] aus der Formel 13) 
in §. 53 bestimmt und nachher n unendlich wachsen läfat*). 
Die Gleichung 6) liefert für ^ = -j- 1 , ?y = 

8) Z.(-f-l) = /. 2k7t', 

.von den unendlich vielen Werthen des L{-\- 1) ist einer reell nämlich 
der für h==0 entstehende Werth, welcher mit ?(+ 1) == überein- 
stimmt. 

Für ^ = — 1 , ?y = giebt die Formel 7) 

9) L{—l) = i. {2k-\-\)n, 

die Werthe von L{ — 1) sind demnach sammt und sonders imaginär. 
Vermöge der Gleichungen 8) und 9) lassen sich die Formeln 6) 
und 7) auch in folgender Gestalt darstellen 



*) Die Vieldeutigkeit der Logarithmen hat Euler zuerst bemerkt, indem er die 
von d'Alcmbert angeregte Streitfrage nach den Logarithmen negativer Zahlen discu- 
tirte. {Memoires de VAcadimie de Berlin^ annee 1749.) 



252 Cap. X. Die Functionen complexcr Yariabelen. 

11) /.(^ 4- ^•t7) = ^/(|8+ ^2) _^/.«^e/««| +/.(-!), ^<0, 
Für ^ = , r]=l erhält man sowohl aus ISFo. 6) als aus No, 7) 

12) ^('•) = '-f, 

WO m irgend eine positive oder negative ungerade Zahl bedeutet. 
Im vorigen Paragraphen wurde bewiesen, dafs die Gleichung 

13) e^ . e^' = e^+^' 

bei complexen ^ und z' ebenso wie für reelle und / gilt. Setzt 
man nun bei complexen und 

mithin 

so erhält man aus No. 13) 

d.h. 

14) Lt-\-Lt' = L(tt'y 

Die Fundamentaleigenschaft des eindeutigen reellen Logarithmus gilt 
demnach auch für den allgemeinen Logarithmus, nur mufs man, we- 
gen der Vieldeutigkeit des letzteren, präciser sagen: irgend ein Werth 
von jLC, vermehrt um irgend einen der Werthe von LK\ giebt einen 
der Werthe von L{^C). 

Als Anwendung dieses Satzes kann man L{§-\-irj) und L(^ — irj) 
entweder nach No. 6) oder nach No. 7) entwickeln und die Differenz 
beider Gleichungen nehmen; in beiden Fällen ergiebt sich 

15) ^(r^|) = 2{''-'-l +>*-]' 

wobei h eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet. 



§.57. 

Die goniometrischen Functionen complexer Bögen. 

In §. 55 , No. 10) erhielten wir zwei Gleichungen , die sich fol- 
gendermaafsen darstellen lassen 

piu [ a — iu niu e~~^^ 

COS n = , sin u = : — — ; 

für alle reellen u gelten diese Formeln schlechthin, wir wollen sie 
aber auch für complexe u beibehalten und sie in diesem Falle als 



Cap. X. Die I^unctionen complexer Variabelen. 253 

Definitionen benutzen. Demgemäfs verstehen wir unter cos {iy) den 
Ausdruck |(e*'('y) + 6-'('y)) d. i. 

cos{iij)== ^ , 

und auf gleiche Weise nehmen wir 

eV — e-y 
sin {ty) = i ^ . 

Ebenso ist allgemeiner , wenn u = x-^ iy gesetzt wird, 

f>i(x+iy) _[_ ^-i{x+iy) fjix—y _j_ ^—ix-*-y 

COS (x 4- ty) = ^ = 

oder, wenn e^^ und e~^^ durch cos x und sin x ausgedrückt werden, 

ey _j- e-y . , ey ■ — e-y 

1) cos {x -\- iy) = cos x i sin x — — ; 

die Formel für sin u giebt bei gleicher Behandlung 

ey -f- e-y eV — e-y 

2) sin {x -\- iy) = sin x \- i cos x . 

2 2 

Zufolge der Werthe von cos (iy) und sin (iy) lassen sich die Glei- 
chungen 1) und 2) auch so schreiben 

cos {x -\- iy) = cos x cos (iy) — sin x sin (iy), 
sin (x -}- iy) = sin x cos (iy) -f- cos x sin (iy), 

woraus erhellt, dafs die bekannten goniometrischen Formeln für 
cos {a + ß) und sin (a + ß) auch bei imaginären ß ihre Gültigkeit 
behalten. 

Diese Bemerkung läfst sich noch verallgemeinern. Verbindet 
man nämlich die Formeln 1) und 2) mit den folgenden 

,.,,.,, ,ey' -ir e-y . . , e^' + e-y' 
cos (x -\- iy) = cos X i sin X , 

, ey' -\- e-y' . ,ey' — e-y' 

sin (x -\- iy) = sin x — 1- 1 cos x , 

2 2 

so findet man leicht durch gewöhnliche Multiplication 

cos (x -\- iy) cos (x -\- iy) — sin (x -\- iy) sin (x' -\- iy) 

, e?/+j'' -j- e-(y+y'^ 

= (cos X cos X — sin x sin x ) 

, e^+y' — e—^y^y'^ 

— i(sin X cos x -\- cos x sin x ) — 

^ ev+y' -|_ e-^y^y') . . , e^+y' — e" f^^+y') 
= cos (x -\- x) i sin (x -{- x) 

= cos \{x H- x) -\-i{y + y)] ^ cos [{x -j- iy) -f- {x + iy')] ; 
rückwärts gelesen, giebt diefs den Satz, dafs die Formel für cos (a + ß) 
auch bei complexen a und ß richtig bleibt. Auf gleiche Weise über- 



254 Cap. X. Die runctionen complexer Yariabelen. 

zeugt man sich von der entsprechenden Verallgemeinerung der For- 
mel für sin {a-\- ß)\ überhaupt gelten nunmehr alle goniometrischen 
Formeln, in denen nur Cosinus und Sinus vorkommen, gleichförmig 
für reelle und complexe Bögen. 

Die übrigen goniometrischen Functionen definiren wir nach Ana- 
logie durch die Gleichungen 



sec z = , CSC z = — — , 

cos z sin z 

sin z cos z 

tan z == , co/z = , 

cos z sin z 



wobei immer ^ = x -{- iy sein möge. Hiernach ist z. B. 

1 



sec {x -f- i'y) 



cos X . -^{ey -^ e~y) — i sin x , ^{eV — e~^)' 
oder, wenn Zähler und Nenner mit 

cos X . ^(eV -\- e~y) -j- i sin x . ^{ey — €~y) 

multiplicirt wird, 

-. , . X fos X (ey -J- €~y) -\- i sin x (ey — e~y) 

3) sec (x -4- 2v) = 2 — ^ ^ ^--^ ^-^ — — . 

^ V -T- jy 2 cos2x-lr {e^y -\- e-^y) 

Man kann dafür auch schreiben 

2 cos {x — iy) 



sec {x -\- iy) 
:ändige t 

sec {a -J- 



cos 2 t -\- cos {2iyy 
und hat dann vollständige Übereinstimmung mit der Formel 

2 cos {a — ß) 



cos 2a -|- cos 2/3* 

Durch ganz ähnliche Umwandlungen ergeben sich die folgenden 
Formeln 

sin X (ey -\- e~y) — / cos x (ey — e~y) 



4) CSC (x -j- iy) = 2 

5) tan (x 4- iij) = 

6) cof (x -\- iy) = 



2 cos 2x -\- (e^y -f- e-^y) 
2 sin 2x + / (e^y — e~^y) 

2 cos 2x -f- (e^y + e-^yy 

2 sin 2x — i (e^y -\- e-^ y) ^ 
— 2 cos 2.r 4- (e^y -{- e-^ ' 

Überhaupt gelten nun alle goniometrischen Relationen gleichförmig 
für reelle und complexe Bögen. 

Die beiden, in den vorigen Formeln öfter wiederkehrenden Func- 
tionen 

ey -4- e-y , ey — e-y 
und 



2 2 

nennt man nicht selten den hyperbolischn Cosinus und den 
hyperbolischen Sinus und bezeichnet sie entweder mit C06 y und 
5iU y oder zweckmäfsiger durch cshp y und snhp y. Demnach ist 



Cap. X. Die Eunctionen complexer Yariabelen. 255 

7) == cos (iy) = csAp y, 

eV e~~y 

8) i ^ = sin {iy) = i snhp y, 

mithin können die Gleichungen 1) und 2) in folgender Gestalt dar- 
gestellt werden 

9) cos {x -j- iy) = cos x cshp y — i sin x snhp y, 

10) sin {x -f- iy) = sin x cshp y -j- i cos x snhp y. 

Ebenso erhält man statt der Formeln 3) bis 6) die nachstehenden 



11) 


sec (x + iy) = 2 . ^ ' V ^ % 
^ ^ ^^ cos 2x -1- cshp 2y 


12) 


. , sin X cshp u — /' cos x shnp y 


^ ^ COS 2x — cshp^y 


13) 


^ . , . . sin 2x + / snhp 2y 


14) 


, . ^ sin 2x — i snhp 2u 


^ ' "' cos 2x — csAp 2y 




§. 58. 




Die cyclometrischen Functionen complexer Variabelen. 



I. Wenn C eine reelle, die Grenzen — 1 und -|- 1 nicht über- 
schreitende Zahl bedeutet, so giebt es unendlich viele Bögen z, welche 
der Gleichung sinz=t genügen ; der kleinste, zwischen — | tt und 
-\- ^Tv enthaltene derartige Bogen heilst bekanntlich aresin C; die 
übrigen Bögen sind der Reihe nach 

+ TT — aresin ^, + Stt -f- aresin ^, + Sti; — aresin ^, .... 
Bezeichnet man mit Arcsin t den allgemeinen Arcussinus d. h. 
irgend einen Bogen z, welcher der Gleichung sin z =^t genügt, so 
sind alle Werthe der vieldeutigen Function Arcsin C in folgender 
Formel enthalten 

1) arcsin ^= mn -\- ( — 1)*" arcsin ^ 

wobei m eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet. 
Dem analog verstehen wir unter Arcsin (^ -|- irj) jede complexe 
Variabele x -^ iy, deren Sinus = ^ -{- ir] ist; es gelten also die si- 
multanen Gleichungen 

2) Arcsin (^ + irj) = x -\- iy, 

^ -j- iri== sin {x -f- ly) = sin x . \- i cos x . ■, 



deren letzte giebt 



eV-L-e-y . ey — e-y 

B = — sin X , 7) =: COS X 



256 Cap. X. Die Functionen complexer Variabelen. 

Daraus folgt 






sin^ X 



und wenn man hierzu die Gleichung 

eV -\- e-y . 
2^ = 2 . —^ sm X 

2 

erst addirt und dann subtrahirt, so erhält man jedesmal rechter Hand 
vollständige Quadrate mithin umgekehrt 

i ^'"t^ ' + sin X = y (r+ 172"+^, 

■^ \ ey -4- ß—y 

Die Wurzelwerthe müssen hier im absoluten Sinne genommen werden, 
weil bei reellen x und y 

1 (^y _|_ e-y) > 1 , sin :r < 1 

mithin jeder links stehende Ausdruck positiv ist. Die Gleichungen 3) 
führen nun zur Kenntnifs von x und y; setzt man zur Abkürzung 

5) T = I [y(T+F +v - yö"— 1)^+^4 

so folgt erstens 

5?V/ .r = T mithin a? = Aresin z, 

zweitens 

— "t^^ö mithin y==I{G±^7^ — 1). 

Wegen 

1 



(y__yö2 _1 



ö -I- yö2 — 1 

kann man den Werth von y auch in folgender Form schreiben 

und hat dann y^r^ — 1 im absoluten Sinne zu nehmen. Bezeichnet 
e eine reelle positive oder negative Einheit, so ist vermöge der Werthe 
von X und y 

Aresin (| -f- iy^ = Aresin t -j- « £ /(a -j- y<>2 — 1), 
oder , wenn Ärcsin t durch aresin t ausgedrückt wird, 



6) Aresin (^ + ir]) = nm + (— 1)"' aresin t -f- ?' g /(ö + -^/q^ — 1). 
Um zu bestimmen , in welchen Fällen « = -f- 1 und in welchen 
€ = — 1 zu setzen ist, nehmen wir speciell ^ = und r^ positiv, 
worin keine Beschränkung liegt, weil i{ — rl) = ( — i) rj ist und daher 



Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. 257 

das etwaige negative Zeichen von tj auf Rechnung des i geschrieben 
werden kann; es ist nun t = 0, (y = yi + ?^2 mithin 

j4rcsin {i'rf) == mn -\- i s /{y 1 -f- i?^ "f~ ^) 
und daher mufs umgekehrt die Gleichung 

7) tr) = sin [mn + i 8 /(Vf + V^ + n)] 

stattfinden. Setzt man für den Augenblick 

woraus folgt 

8) e^^yrqri^ + t^, e-^ = yi+t^2— ^, 

so geht die Gleichung 7) über in 

itj = sin {mit -\- i zX) = cos mit . sin (i s X) 

d. i. nach No. 8) 

und daraus geht hervor e = ( — 1)"*. Die Formel 6) gestaltet sich 
hiernach zur folgenden 

9) Aresin (^ + itj) = vin + (— 1)"^ [arcsin x -\- i l{o + yä^ — 1)], 
worin m eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet. 

Versteht man arcsin {^ -\- irj) denjenigen speciellen Werth von 
Arcsin (^ + i^), dessen reeller Theil am kleinsten ist, nämlich 

10) arcsin (^ -j- ir\) = arcsin x -\-i l{p -\- '\/6^ — 1), 

SO erkennt man augenblicklich, dafs die Formel 1) auch bei complexen 
S richtig bleibt. 

Als specielle Fälle sind die folgenden bemerkenswerth. Für i;=0 
und |2 <C 1 wird aus No. 4) und No. 5) 

2 ' 2 ^ 

mithin aus No. 10) arcsm § = arcsin ^. Dagegen ist für ^ = und 

mithin 



11) flrc^//?^=i7r + //(? + y^2__i)^ ?2^1; 

dieses Resultat wird nicht überraschen wenn man berücksichtigt, dafs 
es keinen reellen Bogen geben kann, dessen Sinus die Einheit über- 
steigt. 

Für ? == und positive tj folgt aus den Formeln 4), 5) und 10) 

12) arcsin (irj) = / i(\/T^if + i?). 

Schlömilcb, algebr. Analysis. 6. Aufl. 1 Y 



258 Cap. X. Die Functionen complexer Variabelen. 

II. Betrachtet man eine reelle, die Grenzen — 1 und + 1 nicht 
überschreitende Zahl C als Cosinus eines Bogens, so bedeutet arccos C 
den kleinsten, zwischen und tt enthaltenen zugehörigen Bogen ; der 
allgemeine Arcuscosinus dagegen bestimmt sich durch die Formel 

13) arccos ^ = 2wn; Hh arccos ^, 

worin m eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet 
und ebensowohl das positive als das negative Zeichen von arccos T ge- 
nommen werden darf. 

Es sei nun analog der Definition von Arccos C 

14) arccos (5 -{- irj) ==:x -\- i'y 
und umgekehrt 



ey -\- e-y 


. . ey — e-y 


s n~ 'V — *^^-^ v*^ 1 "/) — *^"* * • n 


2 


es sind dann a; und y aus den Gleichungen 


. 


eV 4- e-y eV - 

ä = cos X, 17= 


-e-y 

sin X 



2 ' ' 2 

ZU bestimmen. Durch eine ganz ähnliche Rechnung wie in I findet 

man leicht 

cos X ==T mithin .r = Jrccos X 

^^"^^ ^ = (5 mithin ?/==£/(<? + ^g'^ — i) 

mithin nach No. 14), wenn gleichzeitig Arccos t durch arccos t aus- 
gedrückt wird, 



15) Jrccos (I -j- irj) = 2rmi + arccos r -\- i s l{6 -\- '^6^ — 1). 

Zur Bestimmung von e läfst sich wieder die Specialisirung f = 0, 
?^ > benutzen ; sie giebt nach der vorigen Bezeichnung 
Arccos {iY\) = 2m7t + ^7t -{- t s /(")/ 1 + 7}'"^ — rj) 
und umgekehrt 

ifj = cos (2mn -^^^n -{- i 1 1) =1^ sin (i s k) 
==J^E sin (i k) =^ E i ri. 

Daraus geht hervor, dafs e negativ oder positiv zu nehmen ist, je- 
nachdem arccos t in No. 15) das obere oder untere Vorzeichen hat; 
die allgemeine Formel lautet hiernach 

16) Arccos (I -|~ ^V) = 2w7r + \arccos r — i i[6 -j- "(/ö^ — l)j . 
Definirt man arccos (^ + irj) durch die Gleichung 

17) arccos (| -\- irj) = arccos r — i i(a -j- "l/ö'-* — 1) 

so erhellt augenblicklich, dafs die Formel 14) auch für complexe C 
richtig bleibt. Ferner zeigt die Addition der Gleichungen 10) und 
17), dafs die Formel 

aresin ^ -{- arccos ^ = ^71; 

auch für complexe ^ fortbesteht. 



18) 



Cap. X. Die Functionen complexer Variabelen. 259 

Die Formeln 10) und 17) erhalten übrigens eine sehr elegante 
Gestalt, wenn man den hyperbolischen Cosinus von y mit cshp y und 
dem entsprechend die aus der Gleichung 

\{ey -\- e~y) == 6 oder cshpy = a 
folgende umgekehrte Function mit y = Are cshp a bezeichnet. Diese 
ist zweideutig wegen 

verstehen wir aber unter arc cshp o ihren absoluten Werth, so haben 
wir statt der Gleichungen 10) und 17) die folgenden*) 
aresin (| -j" i^) == aresin x -\- i arc cshp ff, 
arccos (| -|- irj) = arccos r — i arc cshp 6. 
III. Dem Früheren analog möge arctan ^ den kleinsten, zwischen 
— ^Tt und -{- ^Tt enthaltenen Bogen bedeuten, welcher die reelle 
Zahl t zur Tangente hat, dagegen bezeichne Arctan C irgend einen 
zur Tangente = ^ gehörigen Bogen; es ist dann, unter m eine be- 
liebige positive oder negative ganze Zahl verstanden, 

19) arctan ^=zmn -\- arctan ^. 
Es sei nun allgemeiner 

20) arctan (^ -f- ir\) = x -f- i^ 

wenn umgekehrt die Gleichung 

V . . , . . X sin [x-X- iij) 
I 4- ?ti = tan (x 4- iy) = 7—7-^ 

stattfindet. Substituirt man rechter Hand die gleichgeltenden Aus- 
drücke No. 1) und 2) in §. 57 und setzt zur Abkürzung 

ey — ß-y 

SO geht die vorige Gleichung über in 

tan X -f- iq 



1 + '»)== 



1 — iq tan x 

und daraus folgen nach Wegschafiung des Bruches und Vergleichung 
des Reellen und Imaginären die Gleichungen 

22) tan X = ^ -\- riq tan X , q = 'r} — |y tan x. 

Die Elimination von q giebt nun 

1 1 — ^«— r?« ^ 2| 

tan X = ^- — oder tan 2x 



tan X I 1 — J* — 1/^ 



*) Die Werthe von Aresin (| -\- irj) und Arccos {^-j-irj) sind zuerst von Cauchy 
untersucht aber durch unbequeme Formeln dargesteUt worden {Cours d' Analyse algebrique, 
Chap. IX); die in I und II entwickelten Formeln hat der Verf. im 17. Jahrg. d. Zeit- 
schrift für Mathematik und Physik mitgetheilt. 

17* 



260 Cap. X. Die Functionen complexer Tariabelen. 

mithin ist umgekehrt 

23) '-i^'-'"'"'T=W+^y 

Andererseits liefern die Gleichungen 22) durch Elimination von tan x 

q n 

und daraus folgt weiter 



(i^:)=f 




z + y_2 ' + ^' + n' 



q r) 



mithin 



24) 



S-K 



^2 + (l_|_^)2 



hierbei ist die Wurzel im absoluten Sinne zu nehmen weil bei reellen 

y aus No. 21) hervorgeht, dafs q <C 1 mithin t— ^— positiv sein 

mufs. Setzt man in No. 24) den Werth von q aus No. 21) ein, so 
erhält man 

Vermöge der Werthe von x und y ist nun 

25) Jretan (| + ir,) = i^r..«« ^(|:p^) + j {J^:^;]- 

Diese Gleichung bedarf einer weiteren Discussion, weil der erste Aus- 
druck rechter Hand eine Unterbrechung der Continuität erleidet, so- 
bald der Nenner 1 — (?^ + ^^) aus dem Positiven durch Null ins 
Negative übergeht. Behufs einer solchen Discussion verfolgen wir 
den naheliegenden Gedanken, die Gleichung 25) einfach zu verificiren 
mittelst der Formel 



26) tan (u -f- iv) 



sin 2«/4-2'.^(e^ — e"") 



Es sei erstens ^^ + »?^ •< 1 und zur Abkürzung 

2S 

27) arctan -^- = «, (_ ^ti: < a < -j- | tt) 

1 — (i^+i?^) 



mithin 
und ferner 



2| 
Arctan ^ _ ^^, _^ ^,^ = "^^ + « 



28) T^Ll^^_(i_,)2j ^- 



Cap. X. Die Eunctionen complexer Variabelen. 261 

Die Formel 25) lautet nun 

29 Jrctan (| + iri) = |(w7r + «) + iß 

und daher mufs umgekehrt sein 

30) | + ,, = ,«„(^ + ,-^) 

_ sin (mn + «) + i ^{e^^ — e^ 

~ cos (rrnt + «) + 2 i(e2/^ + e-^ß) 

cos mn sin a -\- i ^i^ — e~^i^) 

cos mit cos a -\- i ^ {e^r _j_ e~^P) 

Aus dem oben angegebenen Werthe von a folgt nun 

2? 



tan a 



i-& + n')' 



1 — (l'+f*) . 21 

cos et = , sm a 



y(l_^2_^2)2_^4|2 y(l_|2_^2)2_|_4^2 

da a zwischen — ^jt und + ^/r liegt mithin cos a positiv ausfallen 
mufs , so kann , wegen des positiven Zählers von cos a , die Wurzel 
nur im absoluten Sinne genommen werden. Aus dem Werthe von /? 
findet sich weiter 

1 + |2_|_^2 



(e2/5 



Va — r^ — ^•^)^ + 4r^' 



l(,2/? + ,-2^)_ 



2t7 



y(i _ ^^ _ ^«)2 _|_ 4^2 

wo aus ähnlichen Gründen wie vorhin die Wurzel im absoluten Sinne 
zu nehmen ist. Substituirt man die letzten vier Werthe in die For- 
mel 30), so erhält man 

| + ,-, = 2 icosmn + in 

1 -f- COS mn + (s'^ + 1?^) (1 — cos mn) 
und daraus geht hervor, dafs m eine positive oder negative gerade 
Zahl sein mufs, denn für ungerades m würde die rechte Seite nicht 
in f 4- irj übergehen. 

Zweitens sei §^ -i- rj^ >- 1 und zur Abkürzung 

f^rctan ^^ __ .^ = a', (_ I-tt < « < + | n) 

mithin 

Jrctan ^_^^^_^^ ^ ^mn — a, 

unter ß werde dieselbe Gröfse wie im ersten Falle verstanden; die 
Formel 25) lautet jetzt 

31) Arctan (^ -j- ir]) = ^(mn — u) -\-iß 

woraus umgekehrt folgt 



262 Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. 

— cos nm sin cc' -Jr i ije^^ — e-^^) 

62) I 4- ^^ = . , ... 2/3 ■ ^ • 

cos mn cos a -\- i -^[e^^ -\- e~^i^) 

Zufolge des Werthes von a ist nun 

cos a = — f si/i a 



V(l - ^* — ^^) + 4^2 VCl — |2 _ ^2)2 _|_ 4^2 

und hier mufs die Wurzel im absoluten Sinne genommen werden, da- 
mit cos a positiv ausfällt. Die Werthe der Exponentialgröfsen sind 
die nämlichen wie vorhin, und damit ergiebt sich aus No. 32) 

^ I y,,^g -^cosmrc^iri 

^^ ' 1 — cos mn -\- (^^ -\- Ti^) (1 -^ cos mny 

diese Gleichung zeigt, dafs m eine positive oder negative ungerade 

Zahl sein mufs. 

Aus den Formeln 29) und 31) erhält man schliefslich , wenn in 

der ersten m = 2n, in der zweiten m = 2n -\- 1 gesetzt wird und 

die Werthe von a, ß und a substituirt werden, 

33) Jrctan (^ + iri) = nn -\- ^ arctan — -_^— -_ 

( 2| \ 

34) Jrctan (^ -\- i'v) = nn -{- ^^n — arctan "^ \ 

worin n eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet. 

In dem speciellen Falle n =0 schreiben wir arctan statt Arctan 
und haben 

35) arctan (| -{-irj) = \ arctan ^ __ 

+ 4'b^ + (i-^)-J' ^ +^ ^'' 

36) arctan (g -f ?V?) = ^ / 7g — arctan ^ — U 

e rr^ + (l+^)n ^2 . ,2^1. 

der Vergleich mit den vorigen Formeln zeigt, dafs die Relation 

arctan ^ = n7t -\- arctan ^ 
auch bei complexen ? ihre Richtigkeit behält. 

Für f = ergeben sich die besonderen Formeln 

37) arctan (iri)^'-/^^^y, r^^ < 1, 

38) «''^^««('^) = i + i^(^)'> ^*>^J 



Cap. X. Die Eunctionen complexer Variabelen. 263 

Die Function arctan (it]) ändert sich also sprungweis an den Stellen 
jy = + 1 und 7] == — 1. 

Auf ähnliche Weise können die Functionen arc cot (^ + irj)^ 
arc sec (f + ir]) und arc esc (^ -j- irj) in ihre reellen und imaginären 
Bestandtheile zerlegt werden; das seltene Vorkommen dieser Func- 
tionen macht aber eine ausführliche Untersuchung hierüber unnöthig. 

§. 59. 

Die Bedeutung der complexen Zahlen. 

Für denjenigen, der nur positive ganze Zahlen und positive ra- 
tionale Brüche kennt, also z. B. für jeden, der sich nur auf die Rech- 
nungen des bürgerlichen Lebens versteht, sind irrationale Zahlen und 
negative Zahlen reine Unmöglichkeiten ; diese Unmöglichkeit ist aber, 
von einem höheren Standpunkte aus betrachtet, keine absolute, son- 
dern eine relative, und sie läfst sich in der That durch eine Er- 
weiterung des Zahlengebietes wegschaffen. Wenn wir nun die Zahl 
y — 1 eine unmögliche nennen, so ist diefs allerdings in so fern rich- 
tig, als es in der bis jetzt aufgestellten Zahlenreihe 

.._3, .._2, ..— 1, ..0, .. + 1, .. + 2, .. + 3, .. 
keine Zahl giebt, deren Quadrat = — 1 wäre, und es also unmög- 
lich ist, sie darin zu finden; doch wäre es auch in diesem Falle 
denkbar, dafs eine passende Erweiterung des Zahlengebietes zu einer 
reellen Bedeutung von y — 1 führen könnte. Eine derartige Erwei- 
terung kann aber in der Längenrichtung der Zahlenreihe nicht 
vorgenommen werden, weil bereits nachgewiesen ist, dafs die Zahlen- 
reihe von — oc bis -f- oo stetig, d. h. lückenlos verläuft, dafs die 
also in dieser Richtung bereits alles Mögliche umfafst; es bleibt 
daher nur übrig, das Zahlengebiet seitlich zu erweitern, oder mit 
anderen Worten, das Zahlengebiet nicht als einfache, sondern als 
Doppelreihe zu betrachten. Diese Bemerkung gewinnt an Gewicht, 
wenn wir auf die Entstehungsweise der Zahlen zurückblicken. 

Ist nämlich eine Reihe gleichartiger Gröfsen 
. . . d , c, b f üy b, Cf df , . , 

gegeben, so dienen die Zahlen 

... — 3, — 2, — 1, 0, +1, +2, -f-3, ... 
um jenen Gröfsen ihre Stellen in der obigen Reihe anzuweisen, wefs- 
halb man auch in vielen Fällen die sprechendere Bezeichnung 

..•fl_8' ^-2» ^-1' ^0» «1' ^2^ ^'3» ••• 
anwendet; die Zahlen sind demnach die Stellenzeiger der Gröfsen. 



264 Cap. X. Die Fiinctioneii complexer Yariabelen. 

Dabei ist jedoch die stillschweigende Voraussetzung gemacht, dafs 
es möglich sei, die gegebenen Gröfsen in eine einfache Keihe zu 
ordnen; kommen aber Gröfsen vor, welche sich einer derartigen An- 
ordnung nicht fügen, wie z. B. die Glieder einer Doppelreihe, so 
reicht man natürlich mit den Stellenzeigern einer einfachen Reihe 
nicht mehr aus, und das Zahlengebiet mufs nun selbst zu einer Dop- 
pelreihe erweitert werden. 

Denken wir uns eine Doppelreihe von Gröfsen nach dem Schema 



...r, 


35', 


e; as; 


% 33, S, D, (g, . . 


...E', 


D\ 


c, b; 


J, B, C, D, E,.. 


...i. 


S', 


r, ?, 


", ß, y, *,«,•• 


•••«'. 


d\ 


o\ *', 


a, b, c, </,«,.. 


. . . e', 


b', 


c', V, 


0, b, c, b, e, .. 



und darin a als Anfangspunkt, so ist der Übergang von a zu einer 
beliebigen anderen Gröfse, z. B, (5, auf sehr verschiedene Weisen 
möglich, man könnte in dem vorliegenden Falle die Wege aßyöeE^ 
oder aßyJD^ einschlagen, also von einer Stelle der Reihe aßy . . . aus 
in verschiedenen Richtungen fortgehen, um nach @ zu gelangen. Ist 
die Doppelreihe eine stetig erfüllte, so dafs also an jeder denkbaren 
Stelle eine Gröfse steht, so bilden diese Gröfsen zusammen auf die- 
selbe Weise eine Gröfsenebene, wie die einfache stetige Gröfsen- 
reihe eine Gröfsenlinie darstellt; wir können daher der Anschau- 
lichkeit wegen die Sache unter einem geometrischen Gesichtspunkte 
betrachten, und es ist diefs ebensowenig eine Anwendung auf die 
Geometrie, als es die Vergleichung der einfach continuirlichen Grö- 
fsenreihe mit der Geraden sein würde. Nehmen wir in Fig. 11 die 
Gerade X'X für die Reihe . . . yß'ccßy ... und den Punkt für die 
Fig. 11. Gröfse a, so kann der Über- 

gang von zu einer belie- 
bigen an der Stelle P« ste- 
henden Gröfse dadurch ge- 
schehen, dafs man zunächst 
eine Strecke OM auf OX 
'\ / fortgeht und sich dann von 

"''-. ,x-'' M. nach P„ wendet. Die ab- 

solute Länge von OM heifse 
X, die von MPu sei y, so ist im Ganzen der Weg x-\-y zurückge- 
legt worden , wobei es aber noch eines Kennzeichens bedarf, um an- 




X' 



M 



\P. 



Cap. X. Die Functionen complexer Variabelen. 265 

zudeuten, dafs die Kichtung des y von der des x verschieden ist. 
Zu diesem Zwecke wollen wir unter dem Zeichen yu eine Gerade 
MFu verstehen, welche die Länge y besitzt und die mit ihrer an- 
fänglichen Lage MPo den Winkel PqMPu == u einschliefst. Der 
zurückgelegte Weg ist dann 

1) x-hVu 

und sowie hier x der Stellenzeiger des Punktes M oder der daselbst 
befindlichen Gröfse ist , so bedeutet x -\- yu den Stellenzeiger des 
Punktes P«. Für m==0 hat man x-\-yQ als Stellenzeiger von Pq, 
und da andererseits OPq = x -{- y ist, so folgt 

2) yo = y = i/ •(+!); 

für w == fr dagegen ist x -\- y^ der Stellenzeiger von Pn , und da 
OPn == X — y, so ergiebt sich 

Aus diesen Werthen schliefst man durch Induction, dafs der all- 
gemeine Ausdruck yu aus zwei Factoren besteht, deren erster y 
selbst, d. h. die Länge des Weges MPu ist, und deren zweiter von 
dem Winkel u abhängt, indem er die Gröfse der Ablenkung u an- 
giebt. Wir setzen daher 

4) yu=-y'f(u) 

und suchen die unbekannte Function f{u) zu bestimmen. Zu diesem 
Zwecke sei MPu+v eine zweite Gerade, welche mit OX den Winkel 
XMPu+v == u -{- V einschliefst und der Länge nach ebenfalls == y 
ist; man hat dann 

5) Vu+v =y 'f{u + v). 

In so fern aber die Gerade yu+v ihrer Richtung nach um den Winkel 
V von yu abweicht, mufs auch die Gleichung 

^u^v == yu ' fiy) 
stattfinden, indem man y„ als die ursprüngliche und «/„+„ als die ab- 
gelenkte Gerade ansieht; durch Substitution von «/„ aus No. 4) ver- 
wandelt sich die vorstehende Gleichung in 

yu+v==y '/(u) .f{v), 
deren Vergleichung mit No. 5) zu der Bedingung 

führt. Hieraus bestimmt sich die Natur der Function f(u); nach 
§. 41 ist nämlich 

/M ==[/(!)]" 
oder kürzer, wenn die constante Gröfse /*(!) mit a bezeichnet wird, 



266 Cap. X. Die Functionen complexer Yariabelen. 

Der Werth von a wird durch die Bemerkung gefunden, dafs die nun- 
mehrige Gleichung 

für w = TT mit der Formel 3) zusammenfallen mufs ; man erhält so 

Vn'^y^'^^'y • (—0 
und folglich 

1 

Aus der Gleichung 6) wird jetzt vermöge dieses Werthes von a 

1 ^ 

Ist der Ablenkungswinkel ein rechter, also w = ^7r, so folgt 

und es bedeutet demnach y V — 1 eine Gerade, welche die Länge y 
besitzt, aber senkrecht auf ihrer ursprünglichen Richtung steht. Für 
OM = X und ein rechtwinklig darauf errichtetes MF = y ist nun- 
mehr 

der Stellenzeiger des Punktes P oder der an dieser Stelle stehenden 
Gröfse. Für w==|7r würde sich auf ähnliche Weise 

ergeben, wonach der Ausdruck 

x — y y — 1 
als Stellenzeiger des unterhalb liegenden Punktes P' gelten mufs. 

In dieser Untersuchung liegt nun die reelle Bedeutung der com- 
plexen Zahlen. Auf dieselbe Weise nämlich, wie eine reelle Zahl x 
das Mittel ist, um sich eine bestimmte Stelle der einfachen Gröfsen- 
reihe zu vergegenwärtigen und vor der Einbildung festzuhalten, so 
dient die Zahl x -f- iy zur Fixirung einer bestimmten Stelle in der 
Doppelreihe von Gröfsen; setzen wir z. B. voraus, dafs in der auf 
Seite 264 verzeichneten Doppelreihe e, von a aus gerechnet, an der 
Stelle X, und (^, von e aus gezählt, an der Stelle y stehe, so ist 
X 4- iy der Stellenzeiger von ^ 
x—iy- - - e 

— X -\- i'y ' - - (S' 

-..x—iy - - - e' 

Zugleich ergiebt sich, dafs die Zahlen + i und — i für die laterale 
Erweiterung des Zahlengebietes dasselbe sind, wie -f- 1 und — 1 für 
die longitudinale Fortsetzung desselben. Während nämlich -|- 1 einen 



Y 








N" 






P" 




^ 


N' 


V\^ 


y 




>/Tx 




N 


■■^^\ 









MM' 


A 


r' X 



Cap. X. Die Eunctionen complexer Yariabelen. 267 

Schritt vorwärts (etwa nach rechts) in der einfachen Zahlenreihe a, 
ß, y, ... bezeichnet und — 1 einen Schritt rückwärts (nach links), 
so geschieht der Übergang von einem Gliede der Reihe a, /?,/,.. . 
zu dem entsprechenden Gliede der darüberstehenden Reihe (z. B. der 
Schritt von d nach D) mittelst der Zahl + i und der umgekehrte 
Übergang zu dem entsprechenden Gliede der nächst tieferen Reihe 
(z. B. der Schritt von ö nach ä) mittelst der Zahl — ^*). 

Noch mögen einige Bemerkungen über die Constructionen folgen, 
welche zur geometrischen Darstellung der Addition, Subtraction, Mul- 
tiplication und Division complexer Zahlen dienen. 

Pig 12. Iß Fig. 12 sei OJtf =a:, ON=y, 

mithin x-\-iy der Stellenzeiger desjeni- 
gen Punktes P, welcher die Coordinaten 
X und y besitzt, ferner sei x -\-iy' der 
Stellenzeiger eines zweiten Punktes P', 
so kann man fragen, welcher Punkt F" 
der Summe x -\- iy -\- {x -\- iy) ent- 
~x spricht. Nach der Regel für die Addi- 
tion complexer Zahlen ist F" derjenige 
Punkt, dessen Coordinaten OM" = x-\-x und ON" = y -{-y' sind. 
Aus naheliegenden geometrischen Gründen bildet F" die vierte Ecke 
des aus den Seiten OF und OF' gebildeten Parallelogrammes , er 
kann also, wenn F und F' gegeben sind, unmittelbar d. h. ohne vor- 
herige Aufsuchung von x, x, y, y construirt werden. Ganz analog 
gestaltet sich die geometrische Darstellung einer Differenz; in die- 
sem Falle sind etwa F" und F' gegeben, aus denen F durch eine 
leicht aufzufindende Construction hergeleitet wird. 

Um das Product zweier complexen Zahlen zu construiren, den- 
ken wir uns die beiden Factoren durch Modulus und Amplitude aus- 
gedrückt, nämlich 

X -^ i'y =r {cos ^ -\- i sin 9), 
X -j- iy = r {cos $' -|- i sin ö'). 

*) Die obige Deutung der complexen Zahlen ist schon 1750 von H. Kühn {Novt 
comment. Acad. Petropol. ad annum 1750) angeregt, aber erst von Gaufs begründet 
worden (Göttinger gelehrte Anzeigen, Jahrg. 1831, S, 64). Den im Texte gegebenen 
Beweis nebst einer Geschichte aller hierher gehörenden Arbeiten verdankt man W. Dro- 
bisch (Berichte über die Verhandl. d. K. Sachs. Gesellsch. d. Wissensch. , Bd. II, 
S. 171). Später hat Möbius gezeigt, wie man mittelst der obigen Construction Eigen- 
schaften von Punkten in einer Geraden auf Punkte in einer Ebene übertragen und da- 
mit zu neuen Verwandtschaften zwischen Punktesystemen gelangen kann. (Bericht d. 
K. S. Ges. d. Wissensch. Jahrg. 1852, S. 41 u. Jahrg. 1853, S. 14.) 




""o Cap, X. Die Functionen complexer Variabelen. 

Fig. 13. In Fig. 13 sei ferner OP = r, L XOF 

= e, OP'^r\ L XOF==^\ es sind dann 
P und P' die Repräsentanten der beiden com- 
plexen Factoren. Da nun 

(X 4- iy) (x' + iy) 
= rr [cos (e + e') -\- i sin (9 + 6')] 
ist, so wird das Product durch einen Punkt 
dargestellt, dessen Modulus rr und dessen 
Amplitude 9 -|- 6' beträgt. Um zunächst rr als 
Linie construiren zu können, nehmen wir auf der ic-Achse die Strecke 
OA gleich der Längeneinheit, ziehen AT und construiren ein dem 
Dreiecke OAT ähnliches Dreieck OF'F" der Art, dafs OA und ' OF' 
entsprechende Seiten, L AOF und L F'OF" gleiche in derselben 
Drehungsrichtung genommene Winkel sind. Aus der Proportion 

OJ : OP=OP' : OP^' 
folgt nun OF" == OF . OF' = rr, mithin ist OF" der Radiusvector 
von F" wenigstens der Gröfse nach. Zufolge der Construction hat 
man ferner L XOF' = 9 + 9', mithin ist zugleich L XOF" die 
Amplitude von F", also F" der gesuchte Punkt. Die Multiplication 
der beiden gegebenen Factoren besteht hiernach darin, dafs der 
Modulus r im Verhältniss von 1 : r vergröfsert und gleichzeitig die 
Amplitude 9 um 9' vermehrt wird. Auf ganz ähnliche Weise läfst 
sich der Quotient zweier complexen Zahlen construiren. 



Capitel XI. 

Die complexen Reihen und Produete. 

§. 60. 

Grundbegriffe. 

Auf gleiche Weise, wie wir den Begriff der Function in so fern 
erweitert haben, als wir uns nicht mehr auf reelle Variabele be- 
schränken, ist auch der Begriff der Reihe einer Verallgemeinerung 
fähig, indem an die Stelle der früheren reellen Reihe 

^0 •+■ "i + "2 H- ^3 + • • • 
eine Reihe complexer Zahlen gesetzt werden kann. Ist diese com- 
plexe Reihe eine endliche 

(^0 + '"^ü) -I- (^1 + ^'^'l) + (^2 + ^^i) + • • • + K^x + i^u^x)y 



Cap. XI. Die complexen Keihen und Producte. 269 

SO hat die Betrachtung derselben keine Schwierigkeit, da die endliche 
Reihe als Summe einer endlichen Anzahl Summanden erscheint und 
demgemäfs auch unter der Form 

dargestellt werden kann. Geht aber die Reihe ins Unendliche fort, 
so entsteht, wie früher, die Frage nach ihrer Convergenz oder Diver- 
genz, wobei es jedoch vorher einer Verständigung darüber bedarf, 
was Convergenz oder Divergenz einer complexen Reihe heifsen soll. 
Hierüber zu entscheiden, ist nicht schwer, wenn man sich erinnert, 
dafs nur convergente reelle Reihen einer bestimmten reellen Zahl 
gleich gesetzt werden dürfen, welche letztere dann die Summe der 
Reihe ist ; behalten wir diese Definition ungeändert bei, so heifst die 
complexe Reihe 

convergent, wenn sich eine bestimmte complexe Zahl F+iTT fin- 
den läfst, welcher die obige Reihe gleichgesetzt werden darf; dar- 
aus folgt 

^0 + ^1 + ^2 + ^3+'-='^ 
^0+^1+^2+^3 + " '==^ 
und hier müssen nun die einzelnen reellen Reihen convergiren, weil 
sie aufserdem keine bestimmten Summen V und W haben würden. 
Man kann demnach die Definition der Convergenz einer complexen 
Reihe auch folgendermaafsen ausdrücken: 
Die complexe unendliche Reihe 

(^0 + ^^0) + (^1 + ^^1) + (^2 + '"^2) + • • • 
heifst convergent, wenn die reellen Reihen 

/ «'o + ^1 + «^2 4- ^3 +•.• 

«^o+^l +^2 +«^3+••• 
gleichzeitig convergiren, divergent dagegen, sobald die eine 
oder andere der genannten reellen Reihen divergirt oder beide 
divergiren. 
Dieser Definition zufolge reducirt sich die Untersuchung der Conver- 
genz oder Divergenz unendlicher complexer Reihen auf die Prüfung 
zweier reellen Reihen und kann demnach unter Zuziehung von Cap. V. 
jederzeit durchgeführt werden. Setzen wir z. B. voraus, es sei eine 
reelle Reihe von der Form 

dadurch in eine complexe Reihe übergegangen, dafs z {cos 9 + i sin 6) 
an die Stelle von getreten ist, so hat man die complexe Reihe 



270 Cap. XL Die complexen Reilien und Producte. 

2) ^0 -h -4^z (cos + isirt 0) + ^^'-^ (^«-^ 20 + «■;9/« 2$) 

4- ^3^3 (co5 3e 4- /.9/« 39) -}- . . . 
und als reelle Eeihen daraus 

Jq -{-J^zcos e + ^2«* ^^•'^ 29 + .^3^3 C0.9394-. .., 
^,5 5/// 9 -|- .^.^s^ ^//^ 20 + ^338 sin 39 + . . .; 

die letzteren convergiren, wie sehr leicht zu sehen, jedesmal, wenn 
diefs mit der Reihe 1) der Fall ist, und man kann daher sagen: die 
complexe Reihe 2) convergirt immer unter denselben Bedingungen, 
unter welchen die reelle Reihe 1) convergent bleibt. So z. B. con- 
vergirt die reelle Reihe 

für 1 > ^ > — 1 ; dasselbe gilt auch von der complexen Reihe 

3) \z {cos e -I- i sin ^)-{-\z^ {cos 29 -|- / sin 29) 

-{-\z^ (co;y 39 + /ä/;i39)4-. .. 
Für z = \ divergirt die obige Reihe; die complexe Reihe bedarf dann 
einer besonderen Untersuchung, und zwar findet man aus §. 32, dass 
sie noch convergirt, wenn 9 kein gerades Vielfaches von tt ausmacht; 
für ;2f >► 1 oder z <i — 1 divergirt die reelle Reihe und ebenso die 
complexe. Mit diesen einfachen Bemerkungen ist für alle Fälle die 
Entscheidung gegeben. 

Was femer die Rechnung mit unendlichen complexen Reihen be- 
trifft, so wird man sich leicht überzeugen, dafs sie ganz denselben 
Regeln unterliegt wie die Behandlung der reellen Reihen, und zwar 
folgt diefs aus der Bemerkung, dafs jede complexe Reihe als Com- 
plex zweier reellen Reihen angesehen werden darf. Man kann dem- 
nach zu jedem der in §. 33 enwickelten Sätze ein Correlat aufstellen, 
welches die Erweiterung desselben auf complexe Reihen ausspricht. 
So z. B. wird unter der dort gemachten Determination das Product 
der convergenten reellen Reihen 

durch die convergente Reihe 

dargestellt; betrachtet man statt dessen die complexen Reihen 
-[-a^z {cos 9 4- / *//? 9) 4- fl j z2 (^,.(js 29 -{- i sin 29) -|- . . . 
4- b^z {cos 9 4- isin 9) 4- b^z^ {cos 29 4- i sin 29) 4- . . . 
welche convergiren, wenn hier z denselben Bedingungen wie in No. 4) 
genügt, so enthält das Product, nach Potenzen von z geordnet, die 
nämlichen Partialproducte «o^o» ^o^n ^1^0 ^tc. wie No. 5), aber 
aufserdem noch mit goniometrischen Factoren behaftet. Zerlegt man 



^ {:: 



Cap. XI. Die complexen Reihen und Producte. 271 

das Product in seinen reellen und imaginären Theil, so findet man 
zwei Reihen, welche rascher als die Reihe 5) convergiren, weil ihre 
einzelnen Glieder kleiner als die entsprechenden Glieder der Reihe 5) 
sind; es convergirt also auch die complexe Reihe, welche das Pro- 
duct der complexen Reihen in 6) darstellt. Ähnliche Schlüsse gelten 
für alle solche Erweiterungen der in §. 33 enthaltenen Theoreme. 

Sowie nun früher Summirungen reeller Reihen vorgenommen wur- 
den, so können jetzt auch complexe Reihen summirt werden, indem 
man sie analogen Betrachtungen wie jene unterwirft. Um diefs zu- 
nächst an einem einfachen Beispiele zu zeigen, erinnern wir an die 
Summenformel für die geometrische Progression 

7) 1 +a:-f X» +x3-|-^-4 +..._^^«-> 

__1— a:« 

die man auch als das Ergebnifs einer ausgeführten Division ansehen 
könnte. Da nun, den Lehren des §. 53 zufolge, die Grundoperationen 
bei complexen Zahlen dieselben wie bei reellen Zahlen sind, so mufs 
die obige Formel auch für ein complexes Xy etwa 

X = z (cos -{- 2 sin 0) 
richtig bleiben; man erhält durch diese Substitution 

8) l + z {cos e 4- tsin e) -f- z^ {cos 20 -f- i sin 2$) + . . . 

. . . + z"-' {cosn~U -f- isin n— 10) 
1 — z^ {cos «0 -j- i sin »0) 



1 — z cos $ — i z sin 9 
Multiplicirt man Zähler und Nenner des rechter Hand stehenden Aus- 
drucks mit 

1 — z cos ö -f- iz sin 

und vereinigt soviel als möglich, so geht derselbe in den folgenden 
über : 

1 — z cos^ — z^ cos «9 -j- z^*^ cos {n — 1)9 
l — 2z cosB-\-z^ 
. z sin 9 — z^ sin »9 -f- z^"*"^ sin {n — 1)9 
"^' 1 —2zcosQ-\-.z^ • 

Aus der Vergleichung der reellen und imaginären Partie des vorlie- 
genden Ausdruckes mit den reellen und imaginären Theilen der Reihe 
in 8) fliessen jetzt unmittelbar folgende Reihenformeln: 

9) l -^ z cos Q-^z^ cos 2B-\-z^ cos 3Q -{-... -\- z""'' cos {n — 1)9 

1 — z cosB — ;5" cos 729 -j- z""^* cos {n — 1)9 

l — 2z cosQ-\-z^ 



272 Cap. XI. Die complexen Reihen und Producte. 

10) z sin + z^ sin 20 + z^ sin 39 -|- . . . + ^"-^ sin {n — 1)9 

z sin — 2" sin w0 -j- 5?""^' sin {n — 1)0 

1 — 2z cosQ-{- z^ 
von deren Richtigkeit man sich auch umgekehrt überzeugen kann, 
indem man beiderseits mit 1 — 2^ cos 9 + ^^ multiplicirt und linker 
Hand jedes doppelte Product zweier goniometrischen Functionen in 
eine Summe zweier Cosinus oder Sinus zerlegt. 

Nehmen wir z als echten Bruch, lassen die Gliederzahl ins Un- 
endliche wachsen und beachten, dafs <^" unter der obigen Voraus- 
setzung die Null zur Grenze hat, so gehen die Formeln 8), 9) und 
10) in die folgenden über: 

11) l +z {cos + isin 0) -|- z^ {cos 20 + i sin 20) + . . . 

__ 1 1 — z cos Q -\- iz sin 

1 — z {cos -f- ?' sin 0) 1 — 2z cos ^ -\- z^ 

12) 1+ z cos -\- z^ cos 20 -j- z^ cos 30 -|- ^^ co* 40 + . . . 

1 — z cos 
1 — 2zcos^-\- z^ 

13) z sin + z^ sin 20 + z^ sin 30 -f- z^ sin 40 -|- . . . 

z sin 

1 — 2z cos ^-{-z^ 
wobei allen drei Formeln die Bedingung 

1>^>— 1 
gemeinschaftlich zukommt. 

§. 61. 

Die Binomialreihe mit complexer Variabelen, 

Die Rechnungsoperationen, mittelst deren wir in §. 37 die Summe 
der Reihe 

= Wo + Wi ^- + W2 ^' + W3 ^^ + . . . . 

bestimmt haben, bezogen sich hauptsächlich auf ^ und waren ganz 
unabhängig von der Frage, ob x reell ist oder nicht; daher läfst sich 
dasselbe Verfahren auch zur Summirung der complexen Binomialreihe 

1) f{^)={fji)^ 4- (^a) j z {cos -}- isin 9)4-(fi)a z^ {cos 29 -j- isin 29) -f- . . . 
benutzen, vorausgesetzt natürlich, dafs dieselbe convergirt. Die frag- 
liche Reihe besteht nun aus den beiden reellen Reihen 
(rto 4- Wi zcosB-\- {fx), z^ co^ 20 -f . . . ., 
(jM-)^ sin + {(x)^ z^ sin 29 -j- , 

welche für 0^ < 1 gleichzeitig convergiren und für ;2?2 >• 1 gleich- 



Cap. XI. Die complexen Eeihen und Producte. 273 

zeitig divergiren; im Falle 0^ = 1 ist nach §. 32 zur Convergenz die 
Bedingung Lim {f,i)n ^ erforderlich und dieser genügt man durch 
die Annahme — 1 < ^t < -j- oo (s. §. 23, Formel 2). Den in §. 32 
erwähnten Ausnahmefall, wo 9 ein Vielfaches von tt beträgt, können 
wir übergehen, weil derselbe auf die Binomialreihe mit reellen Va- 
riabelen zurückführen würde. 

Aus der Gleichung 1) erhalten wir nach derselben Methode wie 
in §. 37 für f{(j.) die Eigenschaft 

/(«)./(«=/(« + « 
mithin bei allen reellen fi 

/W = [/(i)F. 

d. i., wenn /*(!) mittelst der Gleichung 1) bestimmt wird, 

/(^) = [l-^z {cos e -f- isin e)f ; 
demnach gilt die Formel 

2) [1 -\- z {cos ^ + i sin B)]f*' 

= Wo + (^)i ^ (^^^* ^ + ^'^^'^ ^) + W2 ^^ (^^^ 2e + ism 20) + 

und zwar unter den Bedingungen 

j entweder z^ ^l und (i beliebig, 
( oder 5j2 = i - — l <c (^ <Coo. 
Um eine Vergleichung der beiderseitigen reellen und imaginären 
Theile vornehmen zu können, bringen wir die Basis der links ver- 
zeichneten Potenz auf die Normalform complexer Zahlen, indem wir 

setzen 

l -\- z {cos Q -\- i sin 0) = r (cos t -\- i sin r). 

Daraus folgt zunächst 

4) r = y r+27c^79+72 , 

wo das Wurzelzeichen im absoluten Sinne zu nehmen ist, ferner 

z sin ö - z sin 8 , , 

tan T = -— oder T = arctan — + An 

1 -{- z cos 9 1 + ^ f^os 9 — 

worin h eine beliebige gerade Zahl bedeutet; zur Abkürzung sei 

5) (0 = arctan — ; , mithm r = w + Attt. 

l -\- z cos Q — 

Man hat nun mit Rücksicht auf das in §. 53 Gesagte 

[1 -|- 5? {cos 9 -f- i sin B)Y = i^^ [(^os (i (r -{- 2h7i) -f- i sin (i {r + 2/i7t)] 

= (1 + 2^ cos 9 4- z'^f^f^ [cos |Lt (q) -f- njt) -\- isin /it (« -f- nn)\ 
und darin bezeichnet n = 2h-\:lv irgend eine positive oder negative 
gerade Zahl. Endlich führt die Vergleichung der reellen und imagi- 
nären Theile zu folgenden zwei Formeln 

6) (1 4- 2z cos 9 -f- «2)1^ cos ^{(ü + nn) 

= (fi)o -f- (ju)^ z cos 9 + (jit)^ z^ cos 29 + (|it)g z^ cos 3^ '■\- . . , , 

Schlömllch algebr. Analysis. 6. Aufl. ]^g 



274 Cap. XI. Die complexen Beihen und Producte. 

7) (1 H- 2z cos e 4- ^2)1,^ s?n ft (cö + ;i7i) 

= (^)^ z sf/f e + («)2 z'^ sin 29 + {^i)^ z'^ sin 39 -[- 

Der Natur der Sache nach bestehen die linken Seiten dieser Glei- 
chungen aus mehrdeutigen Ausdrücken, während jede der rechts ver- 
zeichneten Reihen nur eine Summe besitzt; daher mufs n bestimmte 
Werthe haben, entweder einen einzigen immer gültigen oder nach 
einander verschiedene, je nach der Gröfse des z oder 9. (Man kann 
sich z. B. denken, dafs n^= — 2 oder = oder = + 2 zu nehmen 
wäre , jenachdem z zwischen — 1 und — | oder zwischen — | und 
+ \ oder zwischen + \ und + 1 liegt.) Hierüber entscheidet fol- 
gende Bemerkung. Die Reihen in No. 6) und 7) schreiten nach Po- 
tenzen von B fort, mithin sind ihre Summen stetige Functionen von 
z innerhalb der Grenzen der Convergenz (§. 31, S. 128), daher müs- 
sen auch die linken Seiten der Gleichungen 6) und 7) continuirliche 
und endliche Functionen von z sein. Was nun den ersten Factor 

(1 -\- 2z cos ^ -^ z^)^f^ 

betrifft, so bleibt derselbe bei positiven f.i immer endlich und stetig; 
bei negativen ^t würde er unendlich werden, wenn 1 -\- 2z cos ^ -\- z^ 
den Werth Null erhielte, und dieser Fall läfst sich durch die An- 
nahme z^ <Cl vermeiden, weil dann immer 1 -\- z^ "> 2z "> 2z cos B 
ist. Im zweiten Factor ist unter derselben Voraussetzung w eine 
endliche und stetige Function von z, dagegen ändert sich n sprun.g- 
weise, und daher würden cos f,i{co -{- mc) und sin f.L{io -\- nn) Unter- 
brechungen der Continuität erleiten, wenn n nacheinander verschie- 
dene Werthe erhielte. Die Continuität der linken Seiten von 6) und 7) 
erfordert demnach, dafs n immer denselben Werth behält, solange z 
zwischen — 1 und + 1 bleibt ; um diesen einen Werth von n zu fin- 
den, genügt irgend eine Specialisirung des z, am einfachsten ^ = 0, 
wodurch a> = wird und folgende Gleichungen entstehen 

cos iÄn7i== 1 , sin (xmi = 0. 

Bei beliebigen /.i können diese Gleichungen nur dann zusammenbe- 
stehen , wenn ^ = ist ; man hat daher 

8) (1 4- 2z cos e + z^)if^ cos \ u arctan -~^-^ | 

^ ^ ' V 1 -f" -^r cos 9y 

= Wo + Wi zcos^-\- Wg z^ cos 29 -i- (rts ^' oos 39 + . . . ., 

z sin 9 \ 



9) (1 + 2^5 cos 9 -f- z'^)^^ sin 1 ^ arctan 



\ -\- z cos 9y 
= (|Lt)^ z sin 9 -}- (|w)jj ^2 .y/;^ 29 -f- (1^)3 z^ sin 39 -j- 

Im Falle eines ganzen positiven f,t brechen diese Reihen ab und 



Cap. XI. Die complexen Eeihen und Producte. 275 

gelten dann, wie leicht zu sehen ist, ohne alle Beschränkung des s ; 
in jedem anderen Falle mufs z zwischen — 1 und -f- 1 enthalten sein. 
Einige bemerkenswerthe Specialisirungen der Formeln 8) und 9) 
sind folgende. Für ein ganzes positives ,u = m und z = 1 wird 

z sin 9 / -, ^N 

arctan ^ = urctan Uan 4 6) 

l -{- z cos^ ^ ^ ' 

was mit |0 übereinkommt, wenn -Jö zwischen — \tc und -\-\n\, mit- 
hin ö zwischen — n und -j- n liegt. Unter dieser Voraussetzung er- 
geben sich die Formeln 

10) {^ (tos \^y^ cos \rn^ 

= ijn)^ -|- (w)j cos 9 -j- (w)g cos 29 -f- {jn)^ cos 39 -f- • • • + (''Om ^^^ ^^^f 

11) (2co.9|9)'"a7»|w9 

= (///)j 52/^ 9 -f- ('^02 ^'^ 2^ H~ Ws ^'^'^ 39 -|- . . . -|- (7/?)^ 5«>/ w9. 
Da beide Seiten dieser Gleichungen ungeändert bleiben, wenn für 9 
der Reihe nach 2^^^ 4^ 9, 47r + 9 etc. gesetzt wird, so gelten die ge- 
nannten Gleichungen auch für jedes beliebige 9. 

Eine zweite Specialisirung ergiebt sich durch die Annahme ^ = 
— cos 9, wobei wir <I 9 -< tt voraussetzen , damit 2 stetig von — 1 
bis -\- 1 gehe ; es wird 

12) sinf^ ^ cos ^H 7t — 9) = {^)q — ((Li)j cos 9 co* 9 -j- {fi)^ cos^ 9 cos 29 

— (114)3 cos^ 9 cos 39 -|- . . . . 

13) sinf^ 9 sin ft (-^tt — ^ 9) = {(x)^ cos 9 sin 9 — {(jl)^ cos^ sin 29 

-j- (iw)3 cos^ B sin3B — .... 

< 9 < 7E. 

Im Fall |U eine ganze positive Zahl ist, gelten auch diese Formeln 
für jedes beliebige 9. 

Für 9 = ^7r erhält man aus No. 8) und 9) 
(1 4_ ,2)i^ ,os (^ arctan z) = (^), - (rf, z^ + (rf, z^ — (rtg ^^ -f . . . . 
(1 4_ ^iJ)i^ sin (fi ö;r/fl// .^) = {(x), z — (^3 ^' + W5 ^^ — . . . . 

— 1<^<+1, 
oder wenn arctan z = u, mithin z = tan u gesetzt wird, 

C09 litt 
15) 7^— = (rti ^ö/« U (|U)3 ^0^3 ?< -}- (|li)g /a«6 M — .... 

Diese Formeln sind in so fern die Verallgemeinerungen von den For- 
meln 4) und 5) des §. 44, als hier /t beliebig ist, während 9 auf das 
Intervall — \7t bis -{- \Tt beschränkt bleibt. Auch lassen sich mit 
den Formeln 14) und 15) genau dieselben Umwandlungen vornehmen, 

18* 



276 Cap. XI. Die complexen Reihen und Producte. 

welche in §.44 zu den Gleichungen 10), 11), 13) und 14) führten; 
es gelten daher bei beliebigen in und für — \n<iu <i-{- ^n fol- 
gende vier Gleichungen: 

16) cos (xu = l — - — - sin^ u -j — - — - — -—j- sin^ u 

11^ {(A^ —22) (^2 _42) 



1.2.3.4 



sin^ u -\- , . . ., 



"2 12 

17) cos (XU = cos u \l — — — sin^ u 

1 . 2 



+ 1.2.3.4 ««'«-•• 

u 1^ (l'*^ — 1^) 

18) sin (iti = - sin u — - — - — sin^ u 

1 1.2.3 

+ 1.2.3.4.5 '''' " ••••• 

,Q, . if* . fiCfi» — 22) . 

ly) 5/72 ftM = cos u \- Sin u ' — sin^ u 

I 1 1.2.3 

, v.[}f^— 2^) (f.=' — 42) 

sin^ u — . 



1.2.3.4.5 

Die Grenzen — -Itz und +^7^, innerhalb deren diese Kesultate rich- 
tig bleiben, lassen sich durch folgende Bemerkung etwas erweitern. 
Setzt man in No. 16) ^ = 2A, u = ^Vj so hat man 

(2A)2 . , , , (2A)2[(2A)2_22] . 

CO* ^t; = 1 — ^—'— sin^ \v-\- ' *•' ' — - — ^ sin^ \v — 

1.2 ^' 1.2.3.4 ^ 

12 \i n2 1 2\ 

= 1 - ^-^ (2 sin 1^)2 + ^]^^ l (2 «« if)* 

X2 (^2_12)(X2_22)^^ . , .« . 

^ ' ^ ' {2 sin |v)6 -f 



1.2.3.4.5.6 

und zwar gilt diese Gleichung unter der Bedingung — ^tt ^^v 
<C + i^ d- h. — -J/r < V <C + i^' Ferner ist 

2 sin''^ ^v = l — cos v=l — "|/l — sin'^ v, 
wobei das Wurzelzeichen im absoluten Sinne genommen werden mufs, 
weil der Cosinus eines zwischen — ^ti und -{-^tv liegenden Bogens 
V positiv ist; entwickelt man noch "j/l — sin^ v nach dem binomi- 
schen Satze, so wird 

. « , sin^ V , 1 sin^ v . 1 . 3 sin^ v 

2 sin* lv= [- . . . . 

^ 2 ^2 4 ^2. 4 6^ 

oder 

/o • 1 N2 -9 I ^ *^*'^* V , 1 . 3 sin^ V 

(2 sin ^vY = sin* i; + - — — -f- --- — — + . . . , 



Cap. XI. Die complexen Eeihen und Producte. 277 

Indem man beide Seiten dieser Gleichung nach einander auf die 
zweite, dritte u. s. w. Potenz erhebt, gelangt man zu Keihen für 
(2 sin iv)^ , (2 sin ^vY etc. und es ist dann 

cos Xv=l Ist'n^ V -\- \sin^ v -\-^sin^ v -\- . . , A 

22 (12 1 2\ , , 

A2(A2_12)(A2_22) , > 

1.2.3.4 I ^ i 

+ 

Diese Doppelreihe genügt den Bedingungen, unter welchen die An- 
ordnung nach Verticalcolonnen vorgenommen werden darf; man erhält 
(immer für — \7t <C.v <.-\- ^tv) 

\2 \2 n2 2^) 

20) cos A,v == 1 sin'^ V -\ sin^ v — , . . ., 

und zwar mufs dieses Resultat mit No. 16) übereinstimmen, weil es 
im Falle — \7t <.v -^C-^-^^ nicht von Dem verschieden sein kann, 
was die Gleichung 16) für /< = X und u = v geben würde. Man ge- 
langt also formell zu nichts Neuem, wohl aber zeigt sich, dafs die 
Gleichung 20) für — I^tt <:^ «< H-^^, oder die Gleichung 16) für 
— \7t <:iu <,-\-\n gültig bleibt. Ganz ähnliche Betrachtungen sind 
auf die Gleichungen 17), 18), 19) anwendbar, und man kann dem- 
nach die Formel 16) bis 19) für alle zwischen — ^n und -\-^7t lie- 
genden u in Anspruch nehmen*). 

Noch wollen wir ein paar bemerkenswerthe Folgerungen aus den 
Gleichungen 16) und 19) erwähnen. Die erste dieser Gleichungen 
läfst sich folgendermaafsen darstellen 

1 — cos (XU sin 2 u 



2 



2 / (i^\ sin^ u 

3V ^22J~T~" 

L-iTl — ^'l (\ — ^\'± 
3.5V 2V V 42 J 



sin"^ u 



*) Eine fernere Erweiterung des GültigkeitsintervaHes ist übrigens nicht möglich. 
Liegt z. B. V zwischen ^n und n, so ist 

2 sm* ^v = 1 -\- Vi — sin^ v 
sin* V sin* v 

= ^-^-4-4-- 

und nun wird das Resultat ein ganz anderes, Diefs sieht man auch leicht a posteriori. 
Die Reihe in No. 16) bleibt nämlich dieselbe für u = tv und für u = n — w, dagegen 
sind cos uto und cos fi{n — w) verschieden (wofern ^ nicht eine gerade Zahl ist), mit- 
hin hört die Gültigkeit der Gleichung 16) auf, sobald u den ersten Quadranten über- 
schreitet. 



278 Cap. XI. Die complexen Beilien und Producte. 

und wenn f.i als echter Brucli vorausgesetzt wird, so beträgt das im 
k^^"" Gliede vorkommende Product 

('-S)(-S)(-S)--(-^,.) 

weniger als die Einheit, aber mehr als das unendliche Product 

(.-i;)(.-S)(.-S) ....-'ilF' 

diefs giebt folgende zwei Ungleichungen 

1 — cos (JLU sin^ u 2 sin^ u 2.4 si?i^ u 

1^ "^ ~~2 ^ 3 ~4 ^ 3T~5 "~6 ^ * • " 
1 — cos iiu sin l^fATT (si'n^ ii 2 sin'^ u \ 

^^^~~ ^ 17^ \ ~2^~ + 3 "T~ + • • • '1 • 

Indem man 1 — cos ^m durch 2 sin* \iiu ersetzt; zieht man hieraus 



< 



.52«^ ?^ . 2 ^?w* z/ . 2.4 ^2«^ u 



2 '34 '3.56 



2 \ f(AU J ^|ü7r 

durch Übergang zur Grenze für unendlich abnehmende f.i verwandelt 
sich diese Ungleichung in die Gleichung 

. fi^ sin'^ u 2 sin^ m 2 . 4 sin^ u 
^^^ T^ 2^ + 3 ^4"+3T5~6""^ ' 



oder 



\n<Zu<^-^\n, 



22) (~•^o^=?+|Y+^:^y+••••' 

wobei sin u ■= X gesetzt wurde. 

Die Gleichung 19) läfst sich folgendermaafsen darstellen: 

sin (jiu 



cos u sin 



^ ^ 3 V 2^7 

+H('.-S)('-S)— +■•) 

und kann im Übrigen wie vorhin behandelt werden; durch Übergang 
zur Grenze für verschwindende /< erhält man 

/ 2 2.4 ^ 

23) u = cos II sin u )\ -\ sin"^ u -\ sin^ a -\- . . . .\ 

I 3 3.5 I 



oder auch 



tanu ( . 2 tan'^u ,2.4/ tun'^ u V 

l ) ^—Y'J^tan'^u y'^Z r+7^1i"^ 3T5 Xl^tan'^ u) 



— ^7i;<M<-{-|7r. 



Cap, XI. Die complexen Eeihen und Producte. 279 

Setzt man tan u = x, woraus u = arctan x folgt, so gelangt man 
zu einer für jedes endliche x geltenden Entwickelung von arctan x, 
nämlich 

25) arctan x == / 1 H | \ -\- \. 

^ 1-^^.2^ ^ 3 14-^2^3. 5 Vi +.x-^J ^"'r 

Hierin liegt wieder ein Mittel zur Berechnung der Zahl tt; durch 
Anwendung der Formel 

^71= 6 arctan -f + 2 arctan -^ 
ergiebt sich z, B. 

4 10 I ^ 3 100 ^3 . 5 VlOOj ~3.5.7V100j "^ j 

7584 I 2 144 ■ ^ - 4 / 144 V^ ^ 

"'"TÖÖÖÖO^ "^ 3 lOOOÖO "^ 3"r5 viooooo j "^ I 

und hier braucht man nur wenig Keihenglieder, um eine bedeutende 
Genauigkeit zu erreichen. 

Die Gleichungen 17) und 18) gestatten eine ganz ähnliche Be- 
handlung, doch gelangt man dabei zu keinen neuen Resultaten. 



§. 62. 

Die Exponentialreihe mit complexer Variabelen. 

Wie in §. 41 benutzen wir die Formel 

Lim <(iH — ) >==<?, CO == oo, 

um von der Binomialreihe zur Exponentialreihe zu gelangen, wir ge- 
hen dabei von den Gleichungen 8) und 9) des vorigen Paragraphen 
aus und denken uns der Einfachheit wegen ^tt als ganz und positiv. 

Ersetzt man in den genannten Gleichungen ^< durch m, durch — , 

und theilt die m + 1 vorhandenen Glieder in zwei Gruppen von Je 
und m + 1 — k Gliedern , so kann man schreiben 

f ^ . , ^^Y f zsin^ \ 

1) 11 + 2 — cos Oh I cos I m arctan l 

^ \ m m^J \ m-\-zcosBj 

(i_i)(i_n 

= l-\--zcos^-\- -^-^ z'^ cos 29 H- -^^ ^^— ^ — ~- ;s3 C05 39 + . . . . 

1 L » 2 1.^.0 

(l-i)fl-^)...(l-^) 



280 Cap. XI. Die complexen Reihen und Producte. 

, V rn)\ m) ' ' ' \ ^ ' v 

1 . 2 . 3 . . . . yi: 

1 m 

X {cos M + ^. — , — z cos (^ 4- 1) e 

I Ä + 1 



Denken wir uns beliebig gewählt, dann Jc'>0 und m'>Jc genom- 
men, so liegt der absolute Werth der zuletzt eingeklammerten Reihe 
zwischen 



-{■+ ß] + Gl + DT ^- '"'»'] 

I V I den absoluten Werth von t bezeichnet; es ist daher, wenn 

unter q' ein nicht näher angebbarer positiver oder negativer echter 
Bruch verstanden wird, 

"^^ ^ ~ 1.2.3....Ä 



und 



wo 



'-Gl 

m>k>z, _1<^'<+1. 

Durch ganz ähnliche Betrachtungen erhält man aus No. 9) des vori- 
gen Paragraphen 

2 ^ Z Sl/lB \ 



3) I 1 -f- 2 - C05 $ -j I sf'r/ I m arctan 



m-\- z cos $^ 



(-a(-J) 



1 m 

= -zsin^-\- — z^ sin 20 + r— -^-z z^ sin 30 + 

1 '1.2 1.2.3 ^ 

(,_j)(,_5)...(,_i^n 

■■■+ ^ ■■;\.s"'..,.Li - -^.'-.■M>-.,.+r. 

UDfd darin bestimmt sich der Rest durch die Formel 



4) 7?''==L___^Z_L ^i'v '^ / 



q z^ 



1.^.3 yt i — f- 

>k>z, --l<^"<-f.l. 



Cap. XI. Die complexen Reihen und Producte. 281 

Betrachten wir Tc vorläufig als constant, m dagegen als unend- 
lich wachsende Zahl, so nimmt auch der Ausdruck 

m"^ m 

' 2 z cosQ-\ 

??i 

ins Unendliche zu und mag defshalb mit w bezeichnet werden, woraus 

« ^ . . ^' 1 
2 - cosB-\ = - 

m m" CO 

folgt; hiernach ist 

('+^£""+sr=o+r=[('+=)f 

und durch Übergang zur Grenze für gleichzeitig unendlich wachsende 
CO und m 

5) Lim < 11 4- 2 - CO* e + ^ 1 > = e^ ^'^^ ^ 

Zur Abkürzung sei ferner 

z sinB ^ .,. . ^ z sinB 

arctan ; = ^, mithin tan & = 



m-\-z cos 9 ' m -\- z cos 9* 

dann convergirt ^ gegen die Null, wenn m unendlich wird, und 
man hat 



m 


arctan 


z sin 9 
m -{- z cosQ 


= m& = 


tan d' 


m tan & 








= 


cosd' 
sin d' 


z sin 9 




l-\--cos 
m 




Lim 


m arctan — 


z sin 9 


1 = ^ sin 9. 



folglich 

6) 

V m -\- z cos Bj 

Mit Hülfe der Gleichungen 5) und 6) und unter Beachtung des Um- 
standes, dafs 

Lim - = Lim — = .... = Lim == 

mm m 

ist, zieht man aus den Gleichungen 1) bis 4) die neuen Resultate 
gz coA- 9 cos {z sin B) = l -{- - z cos Q -\ z^ cos 2^ + 

1 1 n" k^ 

"^-^COSik- 1)9+ ^ 



1 . 2 . . . (Ä — 1) 



'" ■*-[l] 



282 Cap. XI. Die complexen Keihen und Producte. 
e~- ''«'' ö sin (z sin 0) = - ^ sin ö -[- z'^ sin 29 + . . . . 



1 



-Gl 

Bringt man die Reste auf die linke Seite und läfst ä; ins Unendliche 
wachsen, so gelangt man zu den folgenden für jedes endliche z gül- 
tigen Formeln 

7) e^ <^o* Ö cos {z sin 6) 

= 1 4_ f C05 e + j^ CO* 29 -f- ^2"~3 ^^* 3Ö + . . . . 

8) 6=5 ''«« Ö 5/;^ (;5 ^iV^ e) • 

Z ^2 _53 

== - sin 9 -j sin 29 + sin 39 -}- 

1 '1.2 ^1.2.3 ' 

Diese lassen sich wieder zu einer einzigen Gleichung zusammenzie- 
hen, nämlich 

e* *'<'* ^ [co* (s *//z 9) -j- i sin {z sin 9)] 

__ 2? (CO* 9 + isin 9) [5? (co* 9 + i sin 9)]2 

__ _^ _ __ _j 1 .2 ^ 

oder, wenn ;2? cos 9 = ir, z sin = y gesetzt wird, 

9) ...,„=i+q-j'+(^±M! + .... 

und es liegt hierin der Satz, dafs die Exponentialreihe für beliebige 
complexe Variabele gilt. Man kann dieses Resultat auch direct er- 
halten , wenn man die Summe der Reihe mit f{x-{- iy) bezeichnet 
und die Natur der Function f mittelst des auf S. 181 angewendeten 
Verfahrens bestimmt. 

In dem speciellen Falle ^ = \7t führen die Gleichungen 7) und 
8) zu den schon bekannten Entwickelungen von cos z und sin z. 

§. 63. 

Die Logarithmenreihe mit cornplexer Variabelen. 

Um den Übergang von der Binomialreihe zur Logarithmenreihe 

auf ähnliche Weise wie in §. 42 bewerkstelligen zu können, setzen 

wir wie in §. 61 

^ . z sin 
1 ) Q) = arctan -—- r 

' \ -{- z cos^ 

und geben den Gleichungen 8) und 9) folgende Formen 



2) 



Cap. XI. Die complexen Keihen und Producte. 283 

(1 -\- 2z cos e + r.2)> cos ftO) — 1 



= lzcos^-\- ^ ^ z^ cos 20 + ^- ^^ — z^ cos 39 + . 

^ ^1.2 ^ 1.2 



^ 1.2...(yt— 1) ^ 



/?', 



3) (1 +2^co5e + ^2)i<^ 



0) 



= 4-z ^i>/ + !!^— i z^ sin 20 + ^^^^ ^^ ?-^ ^s sin 30 + . . 

^ ^1.2 ^ 1.2.3 ^ 



Was zuerst die Reste B! und E" betrifft, so ist 



(A:4-l)(yt4-2) 



^2 CO* (^ + 2) 9 



] 



unter der Voraussetzung eines positiven echt gebrochenen (.i conver- 
girt die eingeklammerte Reihe sowohl für z^ <Z\ als auch für 
z^ = + 1 , wofern im letzteren Falle 9 kein Vielfaches von 7t aus- 
macht, mithin ist bei dieser Annahme die Summe jener Reihe eine 
endliche Gröfse, welche S' heifsen möge, also 

4) /?= i.2....yt ^ '^• 

Auf gleiche Weise findet man 

5) /?" = (ft-i)(^-2)...(^-/r =-T) ^,_, ^.^ 

wo ^" wieder die Summe einer convergirenden Reihe bedeutet. 

Wegen des nachherigen Überganges zur Grenze für verschwin- 
dende (,1 machen wir ferner auf der linken Seite der Gleichung 2) 
Gebrauch von der Formel cos juco =^ 1 — 2 sin^ ^fio) und erhalten 

(1 -|- 2z cos 9 -+- z^)h(^ cos ^co — 1 

1 (l+23C05 9-j-^2)ia_i ^,.^1 

= - . ^— ! -" ■ ( 1 + 2 :r CO* 9 + z 2 )2.«^ . — -2I1_ CO sm ^11(0; 

2 ^(i ^(ico ^ 

da liU und ^^tfco gleichzeitig mit ^ gegen die Null convergiren, so 
gelangen wir zu dem Resultate 

,. II -[- 2z cos ^ -\- Z^)if^ cos UCD ■— l 

6) Lim ^—^ ^ ^ ^ == |/(1 4- 2z cos _j_ js% 



284 Cap. XI. Die complexen Reihen und Producte. 

Ebenso findet sich für die linke Seite in No. 3) 

n\ w- 0^ -{- '^z COS ^ -\- z^)^^ sin u(o zsin^ 

7) Lim "^ — ' ^ n_ = CO = arcian 



(i 1 -\- z cosQ* 
und nunmehr bietet der Übergang zur Grenze für verschwindende ^u 
keine Schwierigkeit. Läfst man vorläufig Je ungeändert und nennt g 
und o" die jedenfalls endlichen Grenzwerthe von S' und 5", so er- 
geben sich aus No. 2) und 3) die Gleichungen 
}l{l-\-2zcos^-\-z^)=:j-zcosQ — ^z^ cos2Q + ^z^ co* 39 — 

z sin 9 

arctan -— , — - = ^z sin $ — Iz^ sin 2^ -{- 1 z^ sin 3Q — 

1 -|- ^ CO* ^ ^ ^ 

.... + (— 1)^ 5*^-1 sin (Ä _ 1) 9 + (— 1)^+1 ^ zK 

Hieraus folgen wieder unendliche Reihen, wenn man die Reste auf 
die linke Seite schafft und nachher Je ins Unendliche wachsen läfst; 
es wird nämlich 

8) ll(l + 2zcosQ-\-z^) = ^zcosQ — ^z^ co*29 + -j5?3 co.v39 — .... 

9) arcfan - — ; = ^z sin^ — Iz^ sin 29 + -i-z^ ^m 39 — , 

^ l+zcos^ ^ ^ ' ^ 

wobei nur für den Fall 0^ = 1 zu beachten ist, dafs 9 kein Viel-' 
faches von tt sein darf. 

Die Specialisirung = — cos B giebt 

10) — li{sin^B) = ^cosBcosB -^:^cos^ Q cos 29-|-^eo53 9 co.y 39 + ; 

11) — arctan {cot 9) == ^cos 9 sin 9 + ^ cos^ 9 sin 29 + ^cos^ 9 ^//z 39 + 

Hier ist zu bemerken, dafs im Allgemeinen ^l(sin^ B) nicht durch 
l sin B ersetzt werden darf, weil überhaupt die Functionen iK^^) 
und Ix nur für positive, nicht aber für negative x identisch sind; 
beschränkt man dagegen 9 auf das Intervall 9 = bis = tt, so ist 
jene Substitution erlaubt. Ebenso kann arctan {cot 9) im Allgemei- 
nen nicht = arctan \tan {^tz — 9)] = |7i; — 9 gesetzt werden, denn 
die erste Function ist periodisch wie cot 9, während die zweite keine 
Periodicität besitzt. 

Für ^ = 1 erhält man aus den Gleichungen 8) und 9) 

12) /2+i/(co*2^9) 

= ^ C05 9 — -Jco* 29 4- ^ cos 39 — ^ co* 49 -|- . . . . 

13) arctan {tan ^9) 

^=\sin 9 — \sin 29 -f- ^sin 39 — \sin 49 + , 



Cap. XI. Die complexen Reihen und Producte. 285 

oder specieller, wenn 9 auf das Intervall — n bis + ^ beschränkt 
wird, 

14) /2 + /coÄ-|e 



\cos^ 



I cos 20 



I cos 39 



cos 49 



15) 



¥ 



Sin 



I sin 29 + ^ sin 30 — ^ */« 49 -f- 

— TT -< 9 <; + :r. 
Im Falle ^ = — 1 findet man Dasselbe, als wenn man 7t 
Stelle von 9 treten läfst, nämlich 

16) /2-f-/5i>|i9 



9 an die 



— \cos^ 



icos 29 — -^co^39 



cos 49 



17) 



^(n — 9) = \sin 9 + \sin 29 + ^sin 39 -}- 

< 9 <27t; 
diese Gleichungen lassen sich wieder mit den vorigen durch Addition 
oder Subtraction verbinden, wenn man 9 auf das gemeinschaftliche 
Gültigkeitsintervall <: 9 <c tt einschränkt. 



§. 64. 

Die complexen Producte. 

Durch vollständige Entwickelung eines Productes von der Form 

(1 -f- «lOr) (1 4- a^x) (1 + «3^-) 

gelangt man immer zu einer Potenzenreihe 

deren Coefficienten einem bekannten combinatorischen Gesetze gehor- 
chen; es ist nämlich 

^1 == «1 + «2 + «3 + «4 + 

^2 = «1^2 + «1«3 4- «1<^4 + 

+ «2«3 + «2«4 + 

+ «3*^4 + 

+ 

u. s. w. 
Demzufolge hat man z. B. 

1) o+r^)0^^2^yo+py-- 

und für den ersten Coefficienten 

^^ "" ;r^ U 2 "^ 2^ "^ 3^ + 42 "^ • * • • j 

d. i. nach Formel 19) in §. 49, wenn das Product ins Unendliche 
fortgeht, 

^1 = h 



286 Cap. XI. Die complexen Reihen und Producte. 

Auch die übrigen Coefficienten sind leicht zu bestimmen; setzt man 
nämlich in No. 1) x = — z^ und multiplicirt beiderseits mit z, so 
erhält man 

und hier ist die linke Seite identisch mit sin 8 , folglich mufs die 
rechte Seite mit der Sinusreihe übereinstimmen, woraus sich die 
Werthe ergeben 

c -— ^^ r - ^ c -— l_ etc 

^^ ~" 1.2.3' ^2 ~ 1.2... 5' ^«~1.2...7' ^^^• 
Die Gleichung 1) lautet hiernach 

X , x^ x^ 

^1.2. 3^1. 2. ..5^1. 2... 7^ 
sie gilt ebensowohl für reelle als für complexe x, weil die Multipli- 
cation reeller und complexer Factoren nach einer und derselben Re- 
gel erfolgt. 

Ganz ähnliche Betrachtungen gelten in dem Falle, wo 

__ 4 _ 4 _ 4 

genommen wird; man erhält nämlich 

») (■ + Ä)0+3&)('+Ä)-- 



X X 



1 + 7-7; + 



1.2 ' 1 . 2. . .4 ' 1 . 2.. .6 ' 
Für x=^v'^ gehen die Gleichungen 2) und 3) in die folgenden 
über: 



2v 



(•+-Ä)('+,^)('+Ä)0+Ä) 

"" 2 ' 

welche mit denen übereinstimmen, welche man aus 

5) --=0-S)0-3S)0--5S)---' 



Cap. XI. Die complexen Beihen und Producte. 287 

für z = iv erhält. In der That sind die vorstehenden Formeln nicht 
wesentlich von den Gleichungen 2) und 3) verschieden und sie gelten 
daher wie jene auch für complexe Variabele. 

Um nun die allgemeinere Substitution z = u -{- iv auszuführen, 
geben wir der Gleichung 4) die Form 
, / sin z 

='-+'(^?)+'(nr)+'fi~)+'(n±^) 

und haben 

6) / sin {u -\- iv) 

= /(„ + ,.) + /(--- _ , -) + 1(^~±- + > J-] 



Linker Hand ist 



sin {u -j- iv) = sin u . j- t cos u . 



2 ' 2 

mithin, wenn man die Logarithmen nimmt und die Formel 

7) 1% + iy^) = ^/(l^ + i?^) + ({arotan | + ki^ 

anwendet, 

8) / sin {u -\- iv) 

/e2y_p^-2i; cos 2u\ , .\ ( e^ — e-^ \ ) 

^ * V 4 2~j + ' Y"^'^''" \ e- + e- '""^ "j + '^''i * 

Rechter Hand hat man zuerst die Formel 7) für f == w, i^ = i; an- 
zuwenden; ferner ergiebt sich für irgend ein ganzes positives n 

\ rnt nnj 

== i ^1 ^^-T^- — I — « Wctan \- kTtl , 

' \ n^n^ ) ( nn — u ) 

/«« + «. J^^ 

\ mi rnij 

= i M 2 2 + ' y^'^'''' — r— + H ' 

V n^n^ ) f mi-\- u \ 

und nach allen diesen Substitutionen wird aus No. 6) 



288 Cap. XI. Die complexen Eeihen und Producte. 

1 /e2^ + e-2^ cos 2n\ . .( /e^ — ^-^ \ \ 

- l\ ;; — I + i {arctan I ; cot u \ -\- m7i\ 



-^ l{ii'^ -\- v^) -f- i arctan 



V 



II 



+ i M T^~^ — ~ I ~ ' arcta?i 

^^ V 227r2 7 2« — w 



. . Y(2^ + w)^ + ^^^ . . 



275+1/ 
+ 

Darin bedeutet m eine ganze Zahl, welche aus der Zusammenfas- 
sung der verschiedenen Tz entsteht. Sie ist leicht durch die Bemer- 
kung zu bestimmen , dafs man für v = auf die Gleichung 4) zu- 
rückkommen mufs; diefs giebt m == 0. Vergleicht man schliefslich 
die reellen und imaginären Theile, so gelangt man zu folgenden Re- 
sultaten : 

e2v J^ Q-2V COS 2U 



9) 



4 2 



a2n—u )'^ -\- ü2A /(27C+ w)*^ + i»2\ 
V 2^n^ J \ 2^ ) 

V ^ , V 

= arctan arctan h arctan ; — 

u \n — u In-f-u 

V , V 

— arctan h arctan 



2n — u 2n -{- u 



Eine ganz ähnliche Transformation kann mit der Gleichung 5) 
oder mit der, nicht wesentlich von ihr verschiedenen 

/ cos z 

='(-f:)+'('+g)+'('-i)+'('+S)+ 

vorgenommen werden, indem man z = u-\-iv setzt und schliefslich 
die reellen und imaginären Theile vergleicht; bei der Leichtigkeit 
der Rechnung wird die Angabe der Endresultate genügen, nämlich 



Cap. XI. Die complexen Reihen und Producta. 289 

1) l I ^ 

n^Tt — 2u)'^-\- 4i;2\ / (37r + 2?/)^ + 4i'^ \ 

V 3^7^^ J V P^^2 J ' 

tan u I 

ev -I-, e-^ ; 

2<; 2?; 2y 

= arctan arctan : h arctan 



Itt — 2m l7t-\-2u ' Stt — 2w 

2ü 

Noch wollen wir bemerken , dafs der specielle Fall v = u nicht 
ohne Interesse ist. Zwei aufeinander folgende Factoren in No. 9) 
sind nämlich 



V n'^Tt'^ ) \ 



•2^2 



und geben für v = u 

ni^jt'^ + 2u^ — 2/mii\ r?i^T€'^ + 2«2 _|_ 2/^:rw\ 
V n^Tt^ j V «27j2 J 

mithin wird aus No. 9) 

g2u _j_ g— 2u ^^^ 2^^ 

13) — ^ — 

Die Formel 11) liefert bei gleicher Behandlung 

. , e^" 4- 6—2« cos 2u 

14) ___ + ___ 

Durch weitere Specialisirungen (z. B. u = ^7r, u==l7t u. dergl.) er- 
hält man noch einige bemerkenswerthe Resultate, welche für die Ex- 
ponentialgröfse ungefähr dasselbe sind wie bei den goniometrischen 
Functionen das unendliche Product für die Ludolph'sche Zahl*). 

*) Die strenge Herleitung der Resultate dieses Capitels ist zuerst von Cauchy 
gegeben worden. (Cours d' Analyse algebr. chap. IX.) 



Schlümilch algebr. Analysis. 6. Aufl. l Q 



290 Cap. XII. Die Kettenbrüche. 



Capitel XII. 

Die Kettenbrüche. 

§. 65. 

Eigenschaften der Näherungsbrüche. 

Ein Kettenbruch entsteht, wenn man mehrere beliebige Brüche 
so miteinander in Verbindung bringt, dafs jeder folgende einen Be- 
standtheil von dem Nenner des vorhergehenden Bruches ausmacht, 
wie in den folgenden Ausdrücken : 

2 2 2 

3' 3 ' 3 

5 + 7 5H 5 + 



4 — - 4 - 



Das allgemeine Schema eines Kettenbruches ist hiernach 
*i 

wobei «j , «2 1 ^3 1 ' ' ' ^1-) ^2 1 ^3-) • • • positive oder negative, ganze 
oder selbst gebrochene Gröfsen bedeuten können. Die einzelnen 
Brüche 

^ ^ h h _, 
a/ ög' flg' dl " ' 

welche in dem Kettenbruche vorzukommen scheinen, nennt man die 
Glieder desselben und den Kettenbruch selbst einen ein-, zwei-, 
. . . ngliedrigen, je nachdem derselbe aus ein, zwei, . . . n Gliedern 
besteht*). 



*) Das erste Beispiel von der Verwandlung einer Zahl in einen Kettenbruch gab 
1655 Lord Brounker ohne Beweis; den letzteren suchte Wallis hinzuzufügen (O^jp. 
T. I, 469). Eine fernere Anwendung machte Huyghens, um das Verhältnifs zweier 
grofsen Zahlen näherungsweis durch kleinere Zahlen auszudrücken (i)e automato plane- 
tario in den Opp. reltquis, Vol. II). Die erste eigentliche Theorie der Kettenbrüche lie- 
ferte Euler (Comment. Acad. Petropol. T. IX, a. a. 1737 und Introductio in Anal, infin.). 



Cap. XII. Die Kettenbrücke. 291 

Bricht man den n-gliedrigen Kettenbruch 



«2 + -^ 

der Reihe nach bei dem ersten, zweiten, dritten, . . . wten Nenner 
ab, so entstehen die Brüche: 



^2 . , ^2 






welche Näherungsbrüche heifsen, weil sie sich in manchen Fäl- 
len dem Werthe des ganzen Kettenbruches successive nähern. Der 
erste Näherungsbruch ist nichts Anderes als das erste Glied des Ket- 
tenbruches, und der letzte (nte) Näherungsbruch ist der ganze Ket- 
tenbruch selbst. Durch Reduction erhalten die Näherungsbrüche fol- 
gende Formen 

^1 «2^1 «3^2^1 +^3^1 

«l' Ö2«l+*2' «3(«2«1 +^2) + ^3«l' 

«4 (^3^2^! + ^3^1) + ^4^2 ^1 

«4 [^'3 («2^1 +*2)+*3«l]-H^4 («2^1 +^2)' 

und wenn man diese Brüche der Reihe nach mit -- , — , — , be- 

^1 ^2 ^3 
zeichnet, so ist 

^3 03^2+^3^1' ^4 «4^3 +^4^2' * * ' 
Hiemach scheint für jedes ganze positive n 

qn anqn-x + ^«^n-a 

zu sein und ebenso 
2) 






Nun geht der nächstfolgende Näherungsbruch ^^- aus dem vorher- 

9'n+i 
'D J) 

gehenden — dadurch hervor, dafs man in diesem a„ + -^^^ für a„ 

setzt; denn es ist 

19* 



292 Cap. XII. Die Kettenbrüclie. 



Pji 


_*1 








?n 


«1 


+ 


*. 
"^+«1+- 










..+t. 

an 


;>«+■ 


_*1 








?n+i 


«1 


+ 


*2 










^*n 























^«+1 


(««+1 «n + ^n+i) ^n-, + ^^n-i ^n !7n-e 


;^«+i 


_ «n+, Ki»«-i + *n)»«-J + ^«+, y»«,-, 



Lassen wir dem entsprechend in 1) an-\ — '^^ an die Stelle von an 
treten, so erhalten wir 

rn+x __ _V "n+i/ 

?-. («„ + ^) ?„_. + *„?„_, 

d. i. nach Multiplication mit a„+j im Zähler und Nenner 
oder 

^n+i «„+1 K ^«-1 + '^n 9n-2) + ^n+, ^n-i 

und, wenn man gemäfs der Gleichung 1) 

an Pn-r + ^n Pn-^ = Pn, «« ^„_i "f ''^/i ^/„_, = </« 

setzt, 

Diefs ist die Gleichung 2); das hypothetisch angenommene Bildungs- 
gesetz der Näherungsbrüche gilt also für den (n + l)ten Nähe- 
rungsbruch, wenn es für den wten richtig war; es gilt mithin allge- 
mein, wenn es bei dem dritten zutrifft. Für die successive Berech- 
nung der Näherungsbrüche, deren letzter den Totalwerth des ganzen 
Kettenbruches giebt, hat man daher nicht nöthig, alle die einzelnen 
Brüche 

h h h 

etc. 



*. 


*, 


K 


",' 


*2' 


A, 




''^+S 


"^ + '73 



auf gewöhliche Weise einzurichten, sondern man berechnet nur die 
beiden ersten 



Cap. XII. Die Kettenbrüche. 293 

und leitet aus diesen nach Formel 1) alle übrigen ab. 

Bemerkenswerth sind noch die Ausdrücke für die Differenz zweier 
auf einander folgenden Näherungsbrüche. Man hat nämlich 



ferner 



folglich 



/^«+l 




Vji 


_ 


^/„+, Pn + Vi Pn-x 


_/^ 




^«+1 




qn 


== 


^«+1 9n + Vi qn-, 
Vi Pn-, qn — b^^. 


Pnqn^ 






qn+v qn 














«+1 (^ r. 


— Pn-i 


^n), 






yn..?«^'''*'"-" 




Vn 

qn 


— 


Pi 


Pnqn-^—Pn- 


-1 ^n 






q^ 


-7 ^« ^n-i 








±fPj^_Pn^_l\ 

\qn qn-J 



und durch Substitution dieses Ausdruckes in die vorhergehende 
Rechnung 

Pn+i __Pjl^_ Vi-iln-, (Pn P, 

qn+i qn qn+i 

Nennen wir z/„ die Differenz links, so ist die auf der rechten Seite 
in Parenthesen stehende = z/„_,, mithin hängt die ^te Differenz so 
von der vorhergehenden ab, dafs 

3) z/^^^^«*^^«-^ ^ 



qn^. 

ist. Hiernach kann man alle Differenzen berechnen, weil man die 
erste kennt, nämlich 



4) ^,= 



«2*1 *1_ *1*2 



Unter der Voraussetzung, dafs «j, a^^ «3, . . ., 61, h^, ^3, . . . 
sämmtlich positiv sind, lassen sich hieraus noch mancherlei Folge- 
rungen ziehen. Dann ist nämlich J^ negativ, z/g positiv, z/3 ne- 
gativ, z/4 positiv u. s. f., oder wenn man das Negative und Positive 
durch < und > unterscheidet, 

^2 9l qs 92 

q^ qs n ^4 

Uo s. f. 



294 Cap. XII. Die Kettenbriiche. 

woraus folgt 

Hx ^2 ^2 9z' 

>^ > ^ ^ < ^5 

U U' ^4 ^5' 
u. s. f. 
Es ist aber auch, abgesehen von den Vorzeichen, jede Differenz klei- 
ner als die vorhergehende. Denn in der Gleichung 3) hat man 

folglich, weil alle die Gröfsen a und h, mithin auch alle p und q 
positiv sind, 

9n-^x 

und also 

wenn man blofs die numerischen Werthe berücksichtigt. Wir haben 
also z. B. den numerischen Werth von — — ^^ >. als den von 

~ — ^, oder, weil die erste Differenz an sich negativ, folglich ihr 

ö's 9.2 

numerischer Werth das Entgegengesetzte ist. 



p-\. 


_^>^3_ 


-Pl 


9l 


9i U 


H2 


woraus 


^l>^3 




folgt. Ebenso würde aus 







P^ —P^-^P-^ —P-A 
U U 95 94. 
folgen 

^>^ u. s. f. 

9-3 95 

Die Näherungsbrüche ungerader Ordnung nehmen also 
beständig ab. 

Der numerische Werth von z/3 ist ferner kleiner als der von z/g, 
oder, weil z/3 an sich negativ ist, 

P^ -.IIa ^Pl — Pj^ 
9z 94. 9z 9i 
woraus folgt 

P^.^Pa.. 
9t 94. 



Cap. XII. Die Kettenbrüche. 295 

Ebenso würde mau 

u u 

finden, d. h. die Näherungsbrüche gerader Ordnung wach- 
sen fortwährend. 

Wir haben hier für Kettenbrüche, deren sämmtliche Zähler und 
Nenner positiv sind, die wesentliche Eigenschaft kennen gelernt, dafs 
die Näherungsbrüche ungerader Ordnung eine fallende, die gerader 
Ordnung eine steigende Reihe bilden, während die Differenzen der 
benachbarten Näherungsbrüche ihren absoluten Werthen nach immer 
abnehmen. Da nun der letzte Näherungsbruch der Werth des gan- 
zen Kettenbruches ist, so niufs folglich eine Annäherung an den 
Werth des ganzen Kettenbruches stattfinden. Man kann sich dieses 
Verhältnis leicht durch eine Zeichnung veranschaulichen. Man trage 
nämlich auf einer geraden Linie SF in gleichen Entfernungen von 
einander die Punkte P^, F^^ P3, ... auf, errichte in diesen die Senk- 
rechten F^Qi^ F2Q21 PsQ-di • • -1 ^^^ nehme nach irgend einem 

Maafsstabe F,Q, =^, F2Q2 = -, P3Ö3 = — u. s. f. Endlich 
Qi Q2 Q3 

mache man FQ dem Gesammtwerthe des Kettenbruches gleich und 
ziehe durch Q eine Parallele QT zu FS. Verbindet man jetzt die 
Punkte §1, Ö3, ^5, ... und ebenso Q^, Ö4, Qq, ... durch eine 
zusammenhängende krumme Linie, so erhält man zwei Curven, deren 
erstere vom Punkte Q^ nach der Geraden QT zu herabgeht, wäh- 
rend die zweite vom Punkte Q2 aus nach jener Geraden hinaufsteigt 
und zugleich die Differenzen zwischen je zwei aufeinanderfolgenden 

Senkrechten beständig abnehmen. Der letzte Näherungsbruch — eines 

wgliedrigen Kettenbruches ist dann der Gesammtwerth FQ des gan- 
zen Kettenbruches. 

Bei weitem weniger einfach gestalten sich die Eigenschaften der 
Näherungsbrüche in den Fällen, wo einige oder alle Glieder eines 
Kettenbruches negativ sind. Nur in einem einzigen Falle läfst sich 
hier eine bemerkenswerthe Eigenschaft der Näherungsbrüche angeben, 
wenn nämlich alle Glieder des Kettenbruches mit Ausnahme des er- 
sten negativ und zugleich ganzzahlige echte Brüche sind. Unter der 
gemachten Voraussetzung hat der Kettenbruch die Form 



b. 



bs 



296 Cap. XIl. Die Kettenbrüche. 

worin «^ , a.^^ «g , . ., . ^^ , &2 ? ^3 ? • • • g^iize Zahlen sind, welche die 
Eigenschaften 

haben. Hier ist nun 

h ^ ^ 



"1 « -^ 

denn in dem zweiten Näherungsbruche ist der Nenner vermindert, 
folglich der Quotient gröfser. Man kann bemerken, dafs derselbe 
immer noch ein echter Bruch ist, weil im Nenner a^ wenigstens um 
eine Einheit gröfser als h^ sein mufs, aber die Verminderung keine 

volle Einheit beträgt, indem — <; 1 ist. Ferner hat man 



*2 *2 

«1 ~ «1 -r 



Denn es wird rechts der Nenner a^ um einen gröfseren Bruch ver- 
mindert als links, weil 



*2<*. 



«2 _ *3 

ist, wiewohl beide Ausdrücke echte Brüche sind. Man kann auf diese 
Weise fortfahren zu schliefsen, und findet so das Resultat, dafs jeder 
Näherungsbruch kleiner als der nächstfolgende ist, dafs mithin die 
Näherungsbrüche eine steigende Reihe bilden. Die ganze Schlufs- 
weise würde aber nicht passen, wenn nicht alle einzelnen Glieder 
des Kettenbruches echte Brüche wären, weil dann einer der Nenner 
in den Näherungsbrüchen negativ werden könnte, wie z. B. in dem 
Kettenbruche 

1 



-^ 



wo schon der zweite Näherungsbruch negativ wird. 

Es ist übrigens sehr leicht, einen gegebenen Bruch in einen Ket- 
tenbruch von vorgeschriebener Form zu verwandeln. Will man z. B. 

289 
den Bruch ,^777 in einen Kettenbruch von der Form 
Tbl 





Cap. XII. Die Kettenbrüche. 29' 
1 




" 1 ' 




^ 5 




*+^ 




«+:+- 


auflösen, so 


hat man folgende von selbst verständliche Rechnung vor 


zunehmen : 






289 1 1 




761" 761"^^ 183' 




289 " ' 289 




183 3 . 183 3 3 




289 867 867 135 
183 ' 183' 




135 5 . 135 5 5 




183 915 915 105 
135 ' 135' 




105 7.105 7 7 7 




135 ■" 945 ~945~~ 105 "~ 8+1* 
105 ' 105 



Weiter kann man hier nicht gehen, weil der letzte Rest kein Bruch, 
sondern die Einheit ist. Substituirt man jede Gleichung in die vor- 
hergehende, so erhält man 

289 _ 1 



e + ^ 



8 + 1' 

also den Bruch in der vorgeschriebenen Form; so weit diefs über- 
haupt möglich ist. Um denselben Bruch in einen Kettenbruch von 

der Form 

2 



7 + ^ 



9 + ^ 



t 



11 + .. 

ZU verwandeln, bedarf es folgender Rechnung: 
289 _ 2.289 2 2 

761" 



IL 

289 




617_ 

TY" 462 462 "~ 5091 ' 

617 ■""eiY 



298 Cap. XII. Die Kettenbriiche. 

Will man keine negativen Glieder, so mufs man hier abbrechen und 
erhält durch Substitution jeder Gleichung in die vorhergehende: 

289 _ 2 

761 "~7~1 



7 + ^ 



5091 



617 ' 
wobei die verlangte Form so weit als möglich beobachtet ist. Diefs 
Beispiel zeigt zugleich, dafs man den nämlichen Bruch in unendlich 
viele Kettenbrüche verwandeln kann. 

Es läfst sich recht gut denken, dafs Rechnungen der Art exi- 
stiren können, bei denen man ins Unendliche fortgehen darf, ohne 
auf negative Glieder zu stofsen, d. h. mit anderen Worten, dafs es 
unendliche Kettenbrüche geben kann, deren successive Näherungs- 
brüche sich einem bestimmten endlichen Werthe als Grenze beständig 
nähern. Wir wollen diesen wichtigen Gegenstand einer genaueren 
Betrachtung unterwerfen. 

§. 66. 

Die unendlichen Kettenbrüche , ihre Convergenz und Divergenz. 

I. Wir untersuchen zunächst diejenigen Kettenbrüche, deren 
Glieder sämmtlich positiv sind, so dafs also in dem Ausdrucke 



h 



h 



^ a^-\- ... in inf. 
die Gröfsen «i, a^, ... ?>j , h^, ... als positiv betrachtet werden. 

Durch ganz dieselben Betrachtungen wie im vorigen Paragraphen 
tiberzeugt man sich leicht von der W^ahrheit der folgenden Sätze: 

1) Jeder Näherungsbruch ungerader Ordnung ist grö- 
fser und jeder Näherungsbruch gerader Ordnung 
kleiner, als alle folgenden Näherungsbrüche. 

2) Die Näherungsbrtiche ungerader Ordnung werden 
immer kleiner, die gerader Ordnung immer gröfser. 

Es folgt hieraus noch 

3) Kein Näherungsbruch ungerader Ordnung kann so 
klein sein als einer gerader Ordnung, und kein Nä- 
herungsbruch gerader Ordnung so grofs als irgend 
einer ungerader Ordnung. 

Da nun die Näherungsbrüche ungerader Ordnung immer abneh- 



Cap. XII. Die Kettenbrüche. 299 

men, ohne so klein zu werden, als man will, und ebenso die Nähe- 
rungsbrüche gerader Ordnung inimer wachsen, ohne beliebig grofs 
werden zu können, so ist beim unendlichen Fortgehen kein anderer 
Fall möglich, als dafs sowohl die Näherungsbrüche ungerader als 
die gerader Ordnung, jede für sich einer gewissen Grenze zueilen, 
ohne sie erreichen zu können. Es sind also für 

Lim ^--i == /^, Lim^-^=.k 

7 211—1 ^2» 

h und Ä gewifs zwei endliche bestimmte Gröfsen. Dabei können nur 
zwei Fälle vorkommen : entweder sind h und Iz verschieden, oder sie 
sind identisch. Mit einem Kettenbruche der ersten Art wäre nicht 
viel anzufangen; man könnte nicht sagen, derselbe sei dieser oder 
jener Gröfse gleich, sondern blofs, er sei eine symbolische Darstellung 
von zwei Gröfsen zugleich, von denen die eine der Grenzwerth der 
Näherungsbrüche ungerader, die andere der Grenzwerth der Nähe- 
rungsbrüche gerader Ordnung ist. Kettenbrüche dieser Art können 
divergenten Reihen verglichen werden, mit denen man auch nicht 
rechnen kann, und sie mögen defshalb entsprechend divergente 
Kettenbrüche heifsen. 

Sind dagegen die beiden Grenzen Ifi und h identisch, so nähern 
sich die Näherungsbrüche des Kettenbruches von beiden Seiten her 
dieser gemeinschaftlichen Zahl, welcher sie so nahe kommen können, 
als man es verlangt, und die wir den Grenzwerth des Kettenbruches 
nennen wollen. Es ist dann für unbegrenzt wachsende n 



k = Lim 



«1 + 



K 



«3 4-. 



an' 



wofür wir kürzer schreiben 



K 

«. + '^ 



ög-f-... in inf. 

Kettenbrüche dieser Art mögen convergente Kettenbrüche hei- 
fsen, weil sie mit den convergenten Reihen die Eigenschaft gemein 
haben, dafs man sich mehr und mehr einer fest bestimmten Grenze 
nähert, je mehr Glieder man zusammennimmt. 

Es entsteht nun die Frage, woran man die Convergenz oder Di- 
vergenz eines unendlichen Kettenbruches erkennen soll, welcher, wie 
hier immer vorausgesetzt wird, nur aus positiven Gliedern besteht. 



300 Cap. XII. Die Kettenbrüche. 

Auf diese Frage, welche für die Theorie der Kettenbrüche von 
ebenso grofser Wichtigkeit ist, wie die analoge Frage für die Theorie 
der Reihen, kann man im Allgemeinen sehr leicht antworten, wie- 
wohl die specielle Anwendung der Antwort nicht ohne Schwierigkei- 
ten ist. Betrachten wir nämlich die Differenzen je zweier aufeinander 
folgenden Näherungsbrüche, so ist 

Durch Übergang zur Grenze für unendlich wachsende n wird 
Lim ^,„_^ == Lim ^ — Lim ^^ 

d. i. wenn wir uns an die Bedeutung von /^ und ^ erinnern, 

Lim ^,^n—i = '^ — ^' 
Für einen convergenten Kettenbruch ist Je = h, folglich 

LimA^„_^==0, 
dagegen bei einem divergenten Kettenbruche Je von h verschieden, 

mithin 

Lim A^^_^ = einer endlichen Gröfse. 

Ebenso mufs auch umgekehrt, wenn Lim J^n^-, =0 ist, Jc==Ji, und 
wenn LimJ^n__^ von Null verschieden ist, auch Je von h verschieden 
sein. Wir können also sagen : ein Kettenbruch convergirt ganz sicher, 
wenn die Differenzen je zwei benachbarter Näherungsbrüche sich un- 
begrenzt der Null nähern, und er divergirt gewiss, wenn diese Be- 
dingung nicht stattfindet. 

Nun ist überhaupt nach Formel 3) §. 65 



^n+. 9n- 



und hieraus findet man der Reihe nach 

yl _- ^4^2 yf _ ^3^1 ^4^2 ^ 

' ^4 ^3 ^4 

^ = __ ^A ^ = _ ^-i . ^^ . -5-13 ^ 
' n ^ U n ^5 ' 

u. s. f. 
überhaupt 

^3 ^4 H ^n+i "' 

Man bemerkt leicht, dafs hier Jn durch ein Product von lauter ech- 
ten Brüchen dargestellt wird; denn die einzelnen Brüche sind von 
der Form 



Cap. XII. Die Kettenbrüche. 301 

^m+\ 1m—i ^m+i ^w — i 

und hier sieht man gleich, dafs der Nenner gröfser als der Zähler 
ist, weil alle a und b, folglich auch alle q, positiv sind. Da es nur 
auf die absoluten Werthe ankommt, so ist 

Ein unendliches Product von echten Brüchen kann aber ebenso- 
wohl eine endliche bestimmte Gröfse, als die Null zur Grenze haben. 
Der erste Fall tritt leicht dann ein, wenn die einzelnen Factoren 
durch Zunahme sich mehr und mehr der Einheit nähern; wir müs- 
sen ihn daher zu vermeiden suchen. Sind aber alle Factoren klei- 
ner als ein gewisser, selbst echter Bruch - (wo u^l ist), so hat 



Lim Jn==^^' -'-^ . ^^-2 . ^?3 , _ ,.^ i„j^ 



man nach 1) 



folglich , weil Lim 1 - j 



*<© 



n — 1 



= ist, um so mehr 



I 



Lim Jn==0. 
Es convergirt also der in Eede stehende Kettenbruch ganz gewifs, 
wenn alle die einzelnen Factoren 

^?A, h?A, b>lA, ,,,ininf. 

^3 ^4 ^5 

kleiner als die Einheit sind und es bleiben, so weit man auch in der 
Reihe selbst fortgehen mag. Wir können diese Bedingungen einfach 
durch die Ungleichung 

Lim ^«±i-?«=i < 1 

ausdrücken. 
Es ist aber 

9n+i «n+i 9n + ^„+z 9n-^ 

1 



n+^ 



11^"— +1 



Soll nun der Grenzwerth dieses Ausdruckes unter der Einheit blei- 
ben, so mufs 

Lim ^'_?!L_ > 

^n+i 9n~i 

sein. Man hat weiter 



302 Cap. XII. Die Kettenbrüche. 











_«t,+i K7n-i -\-bn 


^n-2) 




K+, Hn-r 


















Ist 


nun 


schon 






















so 


ist offenbar die 


Bedingung 














^+1 y«-i 

















um so mehr erfüllt, weil «„+,, &„, &„+, , g«.^ und ^„_, positive 

Gröfsen sind, also Lim -~- — ^ • ^- nicht negativ werden kann. 

Wir können daher sagen: 
Der Kettenbruch 



2) 



K 



h 



worin alle a und 6 positiv sind, convergirt sicher, 
wenn 

ist bei unbegrenzt wachsenden n. Findet aber diese 
Bedingung nicht statt, soläfst sich nicht entschei- 
den, ob der Kettenbruch convergirt oder divergirt. 
Hiernach findet man, dafs von den Kettenbrüchen 

12 

_ . 22 



7 + 



12 



22 
2 + — 



2 + 



32 



2 + ... 

der erste sicher convergirt, während man diefs von dem zweiten nicht 
behaupten kann. 

II. Auch bei denjenigen Kettenbrüchen, in welchen alle Glieder, 
mit Ausnahme des ersten, negativ sind, können Fälle der Convergenz 
oder Divergenz vorkommen. Einen convergenten Kettenbruch nennen 
wir hier wieder denjenigen, dessen Näherungsbrüche sich einer ein- 



. *^ 


^1 


"2 — 


*3 

a, — ... 


*1 


*. 


*3 


«,' 


«.' 





Cap. XII. Die Kettenbrüche. S03 

zigen bestimmten Gröfse als Grenze fortwährend nahem, divergent 
jeden, welcher diese Eigenschaft nicht besitzt. Im Allgemeinen ist die 
Convergenz bei Kettenbrüchen mit negativen Gliedern sehr schwer zu 
entscheiden und läfst sich mit Sicherheit nur dann nachweisen, wenn 
in dem unendlichen Kettenbruche 

4) 



alle einzelnen Glieder 



echte Brüche sind, welche ganze positive Zahlen zu Zählern und Nen- 
nern haben. 

Zuerst bemerkt man leicht, dafs alle Näherungsbrüche positive 

echte Brüche sind. Denn da alle a und h ganze Zahlen, — , — , ... 

echte Brüche sind, so mufs a^ von h^ wenigstens um eine Einheit 
differiren. Es wird aber in dem zweiten Näherungsbruche 

K 

«1 

von «1 keine volle Einheit, sondern nur ein Bruch theil derselben ab- 
gezogen, folglich ist noch immer 

"2 

mithin der zweite Näherungsbruch ^ ein positiver echter Bruch. 

T ^^ 

In 

P3 ^ ^ 

^3 ^ _^ 

«3 
ist nun ferner aus ganz denselben Gründen 



b. 



ein positiver echter Bruch; wird derselbe von a^ abgezogen, welches 
wenigstens um eine Einheit gröfser ist als h^ ist, so bleibt 



*3 



304 Cap. XII. Die Kettenbrüche. 

woraus folgt, dafs auch ^ ein positiver echter Bruch ist. Aus den 

nämlichen Gründen mufs die ähnlich gebildete Gröfse 

b, 



ein echter Bruch sein, woraus folgt, dafs 



*4 

flo 

' «4 

ein positiver echter Bruch ist. Man übersieht auf der Stelle, dafs die 
Fortsetzung dieser Schlufsreihe ins Unendliche möglich ist und dafs 
sie zeigt, wie alle Näherungsbrüche echte und positive Brüche sind. 
Ferner läfst sich nachweisen, dafs die Näherungsbrüche bestän- 
dig wachsen. Man kann diefs auf ähnliche Weise wie im vorigen 
Paragraphen thun, gelangt aber auch auf folgende Weise dazu. Da 
schon gezeigt worden ist, dafs 

Pi P_i P^ n 

sämmtlich positiv sind, so folgt leicht, dafs auch 

9iy ^2» 9z-> Uy • • • 
positiv sein müssen. Da ferner ^^ positiv ist, aber l^^ &3, &^, ... 
negativ sind, so hat man aus den Formeln 3) und 4) in §. 65 







^n 




^«-. 








^1 








Hieraus findet 


man 


für n -- 


= 2, 3 u. s. 


f. 






^2 = 


= ^3_ 


P, _^1^2 


^3^1 
• < 






j 


U 


92 9i92 


9z 






/l - 


— Ia_ 


Pz_hK 


. hS^ 


^4^2 




^3 - 


^4 


9z 9x92 
u. s. f. 


9z 


* 9. ' 


Es sind also alle Differenzen positiv und daraus folgt 



p 



3 ^^4 



LÜ <^0 ^ ^-^ .^ 

9x 92 9z 9^ 
d. h. die Näherungsbrüche wachsen beständig. Gleichwohl können sie 
nicht ins Unendliche zunehmen, weil sie nach dem Vorigen immer 



Cap. XII. Die Kettenbrüche. ' 305 

echte Brüche bleiben; es müssen sich folglich die successiven Nähe- 
nmgsbrüche durch beständige Zunahme einer gewissen festen Grenze 
nähern, welche höchstens die Einheit sein kann. Man hat daher 
den Satz: 

Der unendliche Kettenbruch 

^ 



K 



convergirt immer, wenn seine einzelnen Glieder 

-S ^, ^, .... 
«i' «2' «3' 
echte Brüche sind, deren Zähler und Nenner aus 
ganzen positiven Zahlen bestehen. 
Es giebt in der That einen, aber auch nur einen Fall, in wel- 
chem der Kettenbruch 

K 



ög — ^ 



worin -^, -^ , ^, . . . echte Brüche sind, die Einheit zur Grenze hat, 
«1 «2 «3 

wenn nämlich jeder der einzelnen Nenner um eine Einheit gröfser als 
sein Zähler, der Kettenbruch also von der Form 

5) ^- 



^ + 1-*. , 



^2+1 



*3 + l — •• 

ist, worin sonst ö^, h^, 63, ... ganz beliebig bleiben. Da dieser Fall 
von Interesse ist, so wollen wir ihn etwas näher ansehen. 

Zur successiven Berechnung der Näherungsbrüche hat man hier 
die Formeln 







)»«+! = (^i+i + 1) i»n — ^„+1 Vn-x > 






^«+, = (^n+, + 1) ^n — /^t+i qn-i > 


aus welchen man leicht erhält 


6) 




Pn^y —Pn=^iPn—p„-,)K+,y 


7) 




^n+i —9n = {qn — </„_i) ^„+i ; 


ferner 




Pl_ ^1 /^2_ ^1*2+^1 

^1 ^4-1' U ^^2+^4-1 


folglich 






Schlömilch 


algebr. 


Analysis. ö. AuH. 



20 



306 Cap. XII. Die Kettenbrüclie. 

Fi = ^; 

und nun folgt aus No. 6) für ^^ = 2, 3, 4, u. s. f. 
lU —Pi =ip3 —P2)^4.==b^b^h^b^, 

Addirt man alle diese Gleichungen nebst den zwei vorhergehenden, 
so ergiebt sich sogleich: 

8) Pn=^lh +^1*2 -\r^l^2^3 +• "-hf'l^^2^^3 " ' ^n- 

Ebenso hat man 

U = ^i + 1» 

^2— ^yi=^i^2> 
und nach No. 7) für t^ = 2, 3, 4, . . . . 

^3—^2 ==(^2 — ^l)*3=^1^2^3' 
^4 —^3 ==(^3 —^2) ^4 ='^1^2^3^4» 



folglich durch Addition dieser und der vorhergehenden Gleichungen: 
mithin der wte Näherungsbruch 

gx Pjn^ ^1 + ^1^2 + ^i^2^3 + " ■ + ^1^2 • • • ^" . 

qn ' 1 4-^1 +^1^2 +^1^2^^3 + ••• +^1*2 ••• ^« 

Läfst man hier n ins Unendliche wachsen, so wird offenbar p„ gröfser 
als jede angebbare Zahl, weil es einer aus n Gliedern bestehenden 
Reihe gleich ist, von denen jedes eine positive ganze Zahl sein mufs. 
Bemerkt man aber, dafs g'„ = l+^„, also 
Pji ^^ Vn ^^ l__ 

gn~~Pn-\- 1~~ 1 , 1 
Pn 

ist, so erhält man für unbegrenzt wachsende n 

Pn 
9n 



LivJ-^=\, 



mithin auch 



1=^ 






wodurch der Werth des Kettenbruches gefunden ist. 

Nimmt man z.B. für &,, h^, 63, ... die natürlichen, die unge- 
raden und geraden Zahlen , so liat man 



Cap. XII. Die Kettenbrüche. 307 

1 _1^ 

2^^ ~- ' 



4 — ... 6 

2 



3 



5-1 



und man würde auch die Näherungsbrüche dieser Kettenbrüche nach 
Formel 9) berechnen können. 

Man überzeugt sich nun leicht, dafs der Werth eines Ketten- 
bruches nicht mehr die Einheit sein kann, wenn auch nur ein ein- 
ziger Nenner seinen Zähler um mehr als eine Einheit übersteigt. Ist 
z. B. der Kettenbruch 
^1 



10) 



^1+1 



^.4-1-^-^ 



gegeben, worin a.^ den Zähler h^ um mehr als eine Einheit über- 
treffen soll, so gelten folgende Schlüsse. Der Kettenbruch 
h 



4 . - ^,4-1-... 
hat die Einheit zum Grenzwerthe, weil in ihm alle Nenner die zu- 
gehörigen Zähler um eine Einheit übersteigen. Der unendliche Ket- 
tenbruch in 10) ist also gleich dem folgenden endlichen: 
b. 



11) 



^.4-1-"^ 



1 ' ' b. 

. + !-.-, 



^2 + 1 "' 

b 



Hier ist nun -—r ein echter Bruch. Denn da 63 und «3 ganze 

«3 i 

Zahlen bedeuten und «3 die Zahl ^3 der Voraussetzung nach um mehr 
als eine Einheit übertreffen soll, so mufs a^ wenigstens =h^ -\- 2, 
also «3 — 1 wenigstens = 63 -|- 1 sein, woraus folgt 

b. 

«3 - 1 
Der Kettenbruch 11) gehört also unter diejenigen, deren einzelne 
Glieder echte Brüche sind, welche ganze Zahlen zu Zählern und 
Nennern haben. Sein Werth, d. h. der des unendlichen Kettenbru- 

20'- 



308 Cap. Xn. Die Kettenbrüche. 

ches 10), ist demnach ein echter Bruch, also von der Einheit ver- 
schieden. Ganz ähnliche Schlüsse sind in jedem anderen Falle an- 
wendbar. 

§. 67. 

Die Irrationalität gewisser Kettenbrüche. 

Bei den Verwandlungen gewöhnlicher Brüche in Kettenbrüche 
von einer gegebenen Form, wie wir diese in §. 65 vorgenommen hat- 
ten, kann man im Allgemeinen bemerken, dafs früher oder später 
entweder kein gebrochenes Glied mehr kommt, also der Kettenbruch 
sich mit einer ganzen Zahl schliefst, oder ein negatives Glied ent- 
steht, wenn auch das vorgelegte Schema keines enthält. Diese Er- 
scheinung tritt namentlich immer dann ein, wenn die einzelnen Glie- 
der des gegebenen Schemas echte Brüche sind, welche ganze Zahlen 
zu Zählern und Nennern haben. Man überzeugt sich hiervon leicht 

durch den Versuch, einen beliebigen echten Bruch -r in einen Ket- 
tenbruch von der Form 
2) L^ 



^3 



«3+.. 



in welchem die einzelnen Glieder 

Li ^ —3 ... 

fl/ «2* «3* 

sämmtlich echte Brüche sind, zu verwandeln. 

I. Wir wollen zuerst voraussetzen, dafs die Glieder des Ketten- 

bruches sämmtlich positiv sind. Soll nun j in einen Kettenbruch 

TD 

von der obigen Form 1) umgewandelt werden, so mufs man dem -j 

zuvörderst den Zähler h^ verschaffen und dann seinen Nenner in zwei 
Theile zerlegen, von welchen der eine a^ ist. Diefs geschieht durch 
folgende Rechnung: 

~B~ 

Soll diefs gleich dem in 1) stehenden Ausdrucke sein, so folgt dar- 
aus die Gleichung der Nenner, also 






Cap. XII. Die Kettenbrüche. 309 

oder 

b^ ^ — a^ B b^ 







^ . ^3 


und wenn 


wir 


der Kürze wegen 

b^ A — a^ B=:C 


setzen 






2) 




C b^ 


Es ist ferner 








C __b^ 



B h^ B 

und durch Vergleichung mit dem Kettenbruche in No. 2) 
--— — ff J -I — 



oder 



und wenn wir 



b^ B — a^C b^ 



«3 + «. 



«4 4- 



setzen, 
3) 



b^B—ti^C=^D 
D b. 



_ __3 

C , Ä 



Man übersieht leicht, wie diese Rechnung weiter geht. Werden 
nämlich die Zahlen (7, 2), ^, ... aus folgenden Gleichungen be- 
stimmt: 

C=^b^J—a^B, 

D^=b^B — a^Cy 

E = b^C — a^ Dy 

u, S. f. 



SO ist 
4) 

5) 



B b^ 



^ , h 



«2 +••• 



C b^ 



ß . . h 



«3 H- 



310 Cap. XII. Die Kettenbrüche. 



ö) 



''^^t 



7) i = ^ 



ö> 



u. s. w. 
Nun couvergirt aber der unendliche Kettenbruch 



«. + ^-, 



«2 + 



ganz sicher, wenn überhaupt a„ immer > hn ist, weil dann gewifs 

Lirn '^"±1 > 
ist, und sein Grenzwerth mufs ein echter Bruch sein, weil er kleiner 
als der erste Näherungsbruch -^ , und dieser selbst ein echter Bruch 

ist. Wollen wir also -j in den unendlichen Kettenbruch 4) ver- 

wandeln , so mufs ^ ein echter Bruch sein. Die nämlichen Schlüsse 

sind aber auch auf die Gleichung 5) anwendbar. Hier ist ebenfalls 

der Kettenbruch rechts ein unendlicher convergenter und sein Grenz- 

C 
werth <I 1. Es ist also auch ^^ ein echter Bruch. Aus den näm- 

B E 

liehen Gründen sind ferner die Brüche ^, ^^ u. s. f. echte Brüche. 

Hieraus folgt der Keihe nach 

^>Z?, ^>C, C>D, D'>E\i.s.l 
oder 

jy>B'>C':>Dy>E etc. 
Die Zahlen Ä, JB, C, J), . . . bilden also eine unendlich abnehmende 
Reihe. Sie sind aber auch sämmtlich ganze Zahlen, wie man sogleich 
aus ihrem oben angegebenen Bildungsgesetze ersieht. Wenn aber eine 
Reihe von positiven ganzen Zahlen ins Unendliche abnimmt, so mufs 
sie an irgend einer Stelle ins Negative übergehen. Diefs kann ent- 
weder mittelst Durchganges durch die Null, wie in 

... 6, 4, 2, 0, — 2, — 4, .. . 
oder mit Überspringung der Null, wie in 

... 5, 3, 1, — 1, — 3, — 5, . . . 



Cap. XII. Die Ketteubriiclie. 311 

geschehen. Im ersten Falle müfste also eine der Zahlen Ä, B, C, 
D , . . ., mithin auch einer der Brüche 



B C 


1) E 




A' B' 


c />'••■ 




d. h. einer der Kettenbrüche: 






K 


b. 






' «4-*^ 




• "^ + «3+- 




*, 

"-^r^ 




, u. s. f. 



gleich Null werden, was nicht möglich ist. 

Im zweiten Falle mufs in der Reihe A, B, C, D, . . . M, N, P, , . . 
eine der Zahlen, etwa M, die letzte positive, und die darauf fol- 

M 

gende N die erste negative, also der Quotient ^ negativ sein. Es 

müfste also auch der entsprechende Kettenbruch, etwa 

K 

b, " 



a 



n+i 



einen negativen Werth haben, was unmöglich ist. 

Aus diesen Betrachtungen folgt, dafs es nicht möglich ist, einen 
rationalen echten Bruch in einen unendlichen Kettenbruch zu verwan- 
deln, dessen Glieder echte Brüche sind und ganze positive Zahlen zu 
Zählern und Nennern haben, weil früher oder später ein Glied er- 
scheint, dessen Zähler die Null oder eine negative Zahl ist. Man 
übersieht auch gleich, dafs dieses Glied um so früher eintreten wird, 
je kleiner die Zahlen A und B selbst sind, weil dann die Reihe A, 
B, C, D, . . . bald ins Negative übertritt, dafs dagegen für sehr 
grofse A und B viele Glieder des Kettenbruches positiv sein können, 
weil die Reihe A, B, C, . . ., wenn sie hoch anfängt, lange zu laufen 
hat, ehe sie das Gebiet des Negativen erreicht. 

Wenn umgekehrt ein unendlicher Kettenbruch von der Form ge- 



geben wird: 



K 



. ^2 



h 



worin — , ~ -, - , . . . sämmtlich echte Brüche, a^, a^, . . . &i, 

«1 «2 ^Ä 

62 , ... ganze positive Zahlen sind, so kann derselbe nicht einen ra- 



312 Cap. XII. Die Kettenbrüche. 

tionalen echten Bruch zum Grenz werthe haben, weil sonst gegen die 
Voraussetzung ein negativer oder ein sich annullirender Zähler in 
demselben vorkommen müfste. Aber der gesuchte Grenzwerth ist 

sicher ein echter Bruch, weil er unter dem ersten Näherungsbruche — , 

der selbst echt ist, liegen mufs. Es kann folglich der Näherungs- 
werth des ganzen unendlichen Kettenbruches kein rationaler, sondern 
er mufs ein irrationaler echter Bruch sein. Diefs stimmt auch 

7? 
ganz zu der Bemerkung, dafs der aus -j entstehende Kettenbruch 

desto mehr positive Glieder enthält, je gröfser A und B sind. Be- 

7? 

deutet aber -r einen irrationalen echten Bruch, so sind B und Ä un- 
Ä 

endlich grofse Zahlen ; der Anfang der Eeihe Ä, B, C, . . . liegt also 
über jeder angebbaren Zahl (wie bei der Keihe der natürlichen Zah- 
len, rückwärts genommen) und folglich kann die Reihe Ä, B, C, . . . 
selbst ins Unendliche fallen, ohne negativ zu werden. 

IL Ganz ähnliche Betrachtungen lassen sich für diejenigen Ket- 
tenbrüche durchführen, in denen alle Glieder, mit Ausnahme des er- 
sten, negativ sind und ganze Zahlen zu Zählern und Nennern haben, 
vorausgesetzt noch, dafs von irgend einer Stelle an die Nenner ihre 
zugehörigen Zähler um mehr als eine Einheit übertreffen. 

Ist nämlich 



h 



«3 — ... 

der gegebene unendliche Kettenbruch, in welchem 

h h ^ ... 
flj' flg' «3' ' * 

echte Brüche, a^, ag, ... &i, &2? ••• ganze positive Zahlen sind, so 

würde der Versuch, einen rationalen Bruch -j in jenen Kettenbruch 

zu verwandeln, zu folgenden Rechnungen veranlassen: 

B __ b^ 

'¥' 
soll diefs gleich dem Kettenbruche in 8) sein, so folgt 
b,^ ^ b. 



B ^ b. 



Cap. XII. Die Kettenl)rüche. 313 



mithin 



oder für 



Ferner ist 



oder für 
10) 



sein. Ebenso wäre ferner für 



a^B-^b 


,A_b, 






B 


a *« 






«2 

^3- 


K 






«4 


— . . . 




a^B — b^A==Cy 






C 
B~ 


b, 

C b^ 
B~~b,B' 
C 


— . 


— 


gleich dem Kettenbruche 


in 


9) sei 


b^B 

C 


^3 
' «4 


— . 


— 


I) 
C~ 


_*3 

«4 : _ 







a.D — b^C = E, 



3-^ "3 



E b. 



D b. 

u. s. w. 
Vorausgesetzt nun, dafs in allen den einzelnen Kettenbrüchen 

die Nenner ihre entsprechenden Zähler um mehr als eine Einheit 
übersteigen, so sind die Werthe aller jener Kettenbrüche, mithin auch 
die Brüche 

^ C ^ ^ 

j' B' e D' '' 



314 Cap. XII. Die Kettenbrüche. 

positiv und kleiner als die Einheit, mithin 

A>B, B:>C, €->!), i?>£'u. s. f. 
Hier sind nun ganz die nämliclien Schlüsse anwendbar wie früher, 
aus welchen folgt, dafs eine der Zahlen A^ B , C, ... gleich Null 
oder negativ werden mufs, was nicht sein kann, weil alle die einzel- 
nen Kettenbrüche 

b. b^ 



^3 



u. s. f. 



positive echte Brüche zu Grenz werthen haben. Es ist also die Vor- 
aussetzung, dafs der unendliche Kettenbruch 

b. 



h 



«3—... 

einen rationalen Bruch zum Grenzwerthe habe, falsch, und er hat 
demnach einen irrationalen Grenzwerth. 

Diese Betrachtungen würden aber nur theil weise passen, wenn 
von irgend einer Stelle an die Nenner des Kettenbruches ihre Zähler 
nur um eine Einheit überstiegen. Wäre z. B. der Kettenbruch von 
der Form 

b. 



h 



h_ 

^3 + 1-'^ 



^ + 1-... 
wo nur die ersten zwei Nenner ihre Zähler um mehr als eine Ein- 

heit übersteigen, so setze man den Werth desselben == -v; man hat 

dann für 

a^B — b^J^Cy 

C b. 



2 

B 



*, + i '^ 



und für 



*4 + l 



I) b. 



C , b. 






b, + \-.. 



Cap. Xn. Die Kettenbrücho. 315 

Ti C D 

Nun ist der Reihe nach -| < 1, ^ ^ ^' ^^^^ n ^^^^* ^ ^' ^^^^ 

der Grenzwerth des entsprechenden Kettenbruches die Einheit ist. 
Man hat daher 

J> B, B:>C, c= D==zE . . . 
Hier geht also die Abnahme nicht ins Unendliche, sondern nur bis 
zu einer gewissen Stelle. Es sind also die weiteren Schlüsse nicht, 
wie vorhin, anwendbar; dagegen hat man wegen B=C auch 

a^C—b^B = C, 
folglich 



flg — 1' 



ferner : 



aR-.b.J^-^^ 



woraus 



folgt. Diefs würde man auch unmittelbar erhalten, wenn man be- 
merkte, dafs der in Rede stehende Kettenbruch dem folgenden 

h 



^ «2 — 1 

gleich ist, und diesen einrichtete. 

Fassen wir nun alles Bisherige zusammen, so können wir das 
Theorem aussprechen: 

Wenn in dem unendlichen Kettenbruche 

^ 

b. 



«x + "'^ 



^"«3+... 

alle einzelnen Glieder echte Brüche sind, welche 
ganzeZahlen zuZählern und Nennern haben, wenn 
ferner von keiner Stelle an der Grenzwerth des übri- 
gen unendlichen Kettenbruches der Einheit gleich 
ist, so hat der genannte Kettenbruch einen irratio- 
nalen echten Bruch zum Grenzwerthe. 
Wir werden später von diesem merkwürdigen Satze einige An- 
wendungen machen*). 



■) Legendre, Elements de geometrie, Note IV. 



316 Cap. XII. Die Kettenbrüclie. 

§. 68. 

Die Reste der Kettenbrüche. 

Schon bei der Verwandlung eines gewöhnlichen Bruches in einen 
Kettenbruch von vorgeschriebener Form begegnet man der Erschei- 
nung, dafs der Nenner des letzten Partialbruches einen Rest bei sich 
führt, der aus der Natur der ganzen Rechnung von selbst hervor- 
geht; so war in den früheren Beispielen 

289 _ 2 _ J 



289 ' . 617 



1 + - 



5091 
9 — 



617 
Das allgemeine Schema derartiger Kettenbrüche ist 



1) 



^. + ^ 



fln -I- rn 



und hier entsteht die Frage, ob man berechtigt ist, den Rest r„ weg- 
zulassen, sobald die Anzahl n der Partialbrüche ins Unendliche 
wächst. Man kann diese Frage auch so formuliren: „unter welchen 
Umständen hat die Differenz der beiden Kettenbrüche 

2) t- 



K 



-^+k 



+ '•„ 



und 
3) 



^ 



«1 + 



13 

«3+-. ^ 



für unendlich wachsende n die Null zur Grenze," denn es ist un- 
mittelbar klar, dafs in den Fällen, wo dieser Grenz werth stattfindet, 
beide Kettenbrüche identisch werden, sobald man sie ins Unendliche 



Cap. Xn. Die Kettenbrüche. 317 

fortsetzt Es läfst sich leicht vermuthen, dafs die Weglassung des 
Restes, ähnlich wie bei den Reihen, dann erlaubt sein werde, wenn 
er selbst sich der Grenze Null nähert ; indessen bedarf die Sache doch 
einer genaueren Untersuchung, weil diefs, wie man gleich sehen wird, 
nicht der einzige Fall ist, in welchem die Differenz der in 2) und 3) 
verzeichneten Kettenbrüche die Null zur Grenze hat. 
Bezeichen wir die Kettenbrüche 

h ^ ^ 



^ . n— 1 



n— 2 n— 1 

ißit ^'^-=^ , — ^=^ und den Kettenbruch in 3) mit ^, so ist nach einer 
früheren Formel 

^ qn anqn-, + bnqn-',' 

Der Kettenbruch 2), dessen Werth durch -^ angedeutet werden möge, 

entsteht aus dem in 3) dadurch, dafs man an -{- Tu an die Stelle 
von a„ treten läfst; es ist also 

Pn ^ (dn + ^Ti) /^n-i + hPu- , 
Qn (ttn 4- rn) qn-, + ^n^«_2 

mithin, wenn man für pn und g„ ihre Werthe aus 4) setzt, 

Qn qn-\- qn-, ^n 

Um nun die Differenz der Kettenbrüche 2) und 3) in Rechnung zu 
bekommen, ziehen wir beiderseits — ab, wodurch bei Reduction auf 
gleichen Nenner entsteht: 

pr X fjn Pn 

^^ Qn qn 

_ Pn-x qn r-n — Pn ^n-i ^« ^ _ ^'n ^ Pnqn-i — qnPn-i 

~ {qn + qn-i ^n) qn qn + ^„-x ^n q» 

Es ist femer 

qn qn-i qnqn-i 

folglich durch beiderseitige Multiplication mit q^^^ 

(Pn _ Pn-^\ ^ Pnqn-, — qnPn-^ 
^"-M^n qn-J qn 



318 Cap. XII. Die Kettenbriiche. 

Hier ist die rechte Seite nichts Anderes, als der zweite Factor in der 
Gleichung 5). Substituiren wir dort die linke Seite unserer Gleichung 
für denselben, so wird 

ß^ ^_^^ V n-, ^n fPn Pn-Ä 

Qn qn qn-i ^n -[- ^n ' qn qn-J' 

Hier haben wir nun zwei Fälle zu unterscheiden. 

I. Es seien alle in 2) und 3) vorkommenden a, h und r, mit- 
hin sämmtliche Glieder und Reste positiv. Dann sind alle p und q 
positiv und der erste Factor rechts in 6) ist ein echter Bruch, der 
zweite eine Gröfse, weiche beständig abnimmt, ohne dafs sie sich je- 
doch der Null zu nähern braucht. Soll aber der gefundene Ausdruck 
sich der Null unbegrenzt nähern, so mufs einer der beiden Factoren 
selbst die Null zur Grenze haben. Nun läfst sich der erste Factor 
auch in folgender Form schreiben: 

1 

und wenn diefs die Null zur Grenze haben soll, mufs 

qn 

qn-i ^r 



T ' qn 

Lim — == oo 



sein. Man hat aber femer 



§'«-1 ^n 



Hier ist nun ganz sicher Lim — ^ — = oo, wenn schon Lim — == oo 

ist, weil das, was zu — noch hinzukommt, um die Gleichung her- 

zustellen, eine positive Gröfse ist. Die Differenz zwischen den 
Kettenbrüchen 2) und 3) nähert sich also gewifs der Null, 
wenn 

7) Lim ^" = oo 

ist, was entweder dadurch geschehen kann, dafs Liman==oo und 
Lim Tn eine endliche Gröfse ist, oder dadurch, dafs Lim a» von Null 
verschieden und Lim Vn = ist, wie wir früher unmittelbar bemerkt 
haben. Da der erste Factor in 6) ein echter Bruch bleibt, so könnte 



fytin I 7" 1 = 

\Qn qn) 



Cap. Xn. Die Kettenbrüche. 319 

auch dann werden, wenn Lim {-- — =^^izii J (j, h. Lim J,., =0 

würde. Diesen Fall haben wir schon untersucht; er ist derjenige, in 
welchem der Kettenbruch 3) convergirt. Die Differenz zwischen 
den Kettenbrüchen 2) und 3) nähert sich auch dann der 
Null, wenn der letztere convergirt, was immer geschieht, 
wenn 

8) Lim ^^ > 

ist, wie gezeigt wurde. 

IL Weniger einfach gestalten sich die Resultate, wenn die Grö- 
fsen &21 ^3^ ^4^ • • • und r„ negativ, also die Glieder, mit Ausnahme 
des ersten, negativ sind und die Kettenbrüche 2) und 3) die Form 
haben : 

9) '-• 



b, 

«2 - 



10) 



Hier ist dann 



K 



^ 



h 



n — qn-i ^n + qn KHu f/n-J 



Qn q 
oder . 

Pn Vn 1 



11) 



j \qn qn-J 



Qn qn qn 

Hieraus ersieht man erstlich, dafs die fragliche Differenz zwischen 
den Kettenbrüchen 9) und 10) sich der Null nähert, wenn diefs mit 
Yn der Fall -ist, was wir schon früher unmittelbar bemerkt haben. 
Es giebt aber noch einen zweiten, günstigeren Fall. Ist nämlich der 
Kettenbruch 10) ein convergenter, was immer stattfindet, wenn seine 
einzelnen Glieder echte Brüche sind, so hat man 



\qn qn.yJ 



Daraus allein folgt noch nicht, dafs der Ausdruck in 11) sich der 
Null nähert, weil es geschehen könnte, dafs in dem ersten Factor 



320 Cap. XII. Die Kettenbrüche. 

Lim — ~ — = 1, 
mithin 



flu j 



oo 



wäre. Es würde dann der ganze in Rede stehende Ausdruck aus 
zwei Factoren zusammengesetzt sein, von denen der eine immer zu-, 
der andere beständig abnähme, und es könnte dann das Product eine 
endliche Gröfse zur Grenze haben. Wir müssen daher noch darauf 

sehen , dafs Lim — ~ — von der Einheit verschieden sei. Sind nun 

alle Nenner a gröfser als die Zähler h, was wir der Convergenz we- 
gen voraussetzen müssen, so ist jeder Näherungsnenner g« gröfser 

als der vorhergehende ^'„„i*), mithin -^- > 1. Dies hindert aber 

Q /yyi I 1 

nicht , dafs Lim -^^ = 1 sei (wie z. B. Lim -—^— für wachsende 
m). Ferner ist 

Lim —^- — = Lim —-^ . Lim — 
Da nun möglicher Weise der erste Factor sich der Einheit nähern 



*) Der Beweis davon, dafs hier immer g^ ^ Qn—i '^^^y lautet kurz: Gesetzt, man 
wüfste schon, dafs q^-.^ ^ ä'n— 2 ^^^ ? ^° mufs auch 

an-i>- 7U-2 

"n — ^ 

sein. Denn da wir «n ^ ^u ^^^^l beide als ganze Zahlen voraussetzen, so mufs a„ 
wenigstens um eine Einheit ^ b„ sein. Wäre im ungünstigsten Falle a„ = 5^ -|- 1, 

so wäre — = 1, also die obige Ungleichung richtig; ist aber a„ um mehr als 

«n — 1 

eine Einheit von i„ verschieden, so ist — ein echter Bruch, also ^n— 1 ^"^ ^^ 

mehr gröfser als ein Theil von qji—11 ^^ ^^ schon gröfser als das ganze qn^i voraus- 
gesetzt wird. Aus jener Ungleichheit folgt nun («„ — 1) ffn— 1 '^ ^n 2n— 2 ^*^®^ 
oft dn—i — ^n ffn— 2 ^ Ün—n ^der vermöge des Werthes der linken Seite qn^^n—i- 
Ist also Qn—i ^ Q'n— 2 5 ^^ ^^* auch g-^ y> q^—i' ^Siu hat aber q^ = a^, S'a ^^^ «la^ 
— &2 • ferner offenbar a^a^ !^ ^1 "4" ^2' ausgenommen im Falle a^ = a^ = 2 ; da aber 
«2 !>■ ^2 ^^* ' ^^ ^^^ ^^^ gewifs in jedem Falle a^a^ *!^ ^1 "h ^2 ' °*^®^ ''^i^a — ^2 
^ a j , d. h. ^2 ^ ^j . Nach dem vorher bewiesenen Satze folgt nun für w = 3, q^^ü^t 
für w = 4 , ^4 ^ ö'a u. s. f. , also überhaupt 

^i<9i<qB<^4 

Die Nenner der successiven Näherungsbrüche bilden mithin eine steigende Reihe, 
"W. z. b. w. 



Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche. 321 

kann , so mufs , wenn wir sicher gehen wollen , Lim — von der Ein- 

heit verschieden sein. Die Differenz zwischen den Ketten - 
brüchen 9) und 10) nähert sich also für wachsende n un- 
begrenzt der Null, wenn der Kettenbruch 10) convergirt, 

und wenn zugleich in 9) Lim r„ ^ 1 ist. 



Capitel XIII. 

Die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche. 

§. 69. 

Verwandlung einer beliebigen Reihe. 

Das Verfahren, dessen wir uns bedient haben, um gewöhnliche 
Brüche und Quadratwurzeln in Kettenbrüche umzugestalten, kann mit 
einer kleinen Modification auch auf jede endliche Reihe angewendet 
werden. Wir betrachten zu dem genannten Zwecke die aus n + 1 
Gliedern bestehende Reihe 

'O ^1 '2 'n 

und nennen Ri, den Rest, welcher bleibt, wenn von dieser Reihe ihre 
1c ersten Glieder weggenommen werden, so dafs also folgende Glei- 
chungen stattfinden 

1) iio=r+r + +7' 

2) Ä„ = f 

Die Gröfse Rk besitzt nun, wie leicht zu sehen ist, die Eigenschaft 

» » i_ ^ ^^ Ä^+i + l 
^jfc ^k 

hieraus folgt 



Rk t Ric+i + 1 tk Rh+i -|- 1 

und dafür kann geschrieben werden 



Schlömüch algebr. Analysis. 6. Aufl. 21 



322 Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche. 
Setzt man noch zur Abkürzung 

3) i-'^-"^' 

SO geht die vorige Gleichung über in 

(4)2 



Uk = — 



fk + 4+1 + Uk+i 
es ist mithin der Reihe nach /<; = 0, 1, 2, . . .n — 1 

U (^o)^ 

t^^t^^ü,' 



U 



(^) 



^ + ^2 + ^2 



ü. ^^^ (^-^^ 



Substituirt man jede dieser Gleichungen in die vorhergehende und 
beachtet, dafs nach 1), 2) und 3) 

ist, so erhält man 

1 _ , (^o)^ 



^0 " . , , (^)^ 



'^ "^ '' {t,Y 



'l -f- ^2 — 



^2+^3— •. (^«-,)' 



Hieraus ergiebt sich JR^, indem man beiderseits die reciproken Werthe 
nimmt, nachher folgt vermöge der Bedeutung von B^ (No. 1) 

4) T + r + T^-- + T 

*0 1 2 W 

1 



/ 


Co)* 










'o 


'o + '. - 


(<l)* 


'äH-'s — •.. 


('» 
'»- 


-,)* 



Diese Formel dient zur Verwandlung einer endlichen Reihe in einen 
endlichen Kettenbruch. Enthält die Reihe wechselnde Vorzeichen, so 
ist dasselbe Verfahren anwendbar und giebt 



Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Ketten brüche. 323 

111 ( — D" 

^ t t I / 





t _ 


, Co)' 
















'o 


1 


'2 — 


's 


h+-. 


•H- 





wie man auch kürzer aus der Formel 4) findet, indem man — t^^ 
— t^i — ^5 etc. an die Stelle von t^, t^, t^ etc. treten läfst *). 

Es hat keine Schwierigkeit, aus den Formeln 4) und 5) noch 
andere abzuleiten, welche sich auf besondere Voraussetzungen be- 
ziehen. Nimmt man z. B. 

ÜQ a^ ög 

^o=Y' ^ — — ' '2— -2> •••• 

und schafft die Brüche aus den einzelnen Gliedern der Kettenbrüche 
weg, so findet man: 

6) .-+„^+§^ + ... + ? 

1 



fljJT + öf, — '-?^ 



«2^ H- «3 — • . . _ K-i)^^ 
1 X , X2 , (— 1)«^« 

"0 "1 



a ' «"»'^^ 



^ (n \2 



{a^)^x 



öo — ff,.r 4-- 



Für «0 = "o? ^1 =«0^11 ^2 ==«o^i"2 ^- s. f. ergiebt sich hieraus 
nach gehöriger Hebung 

8) l + ^ + _f.L,+...+ "• 



«n ofn«. «n«.«« ««a 



"0^1 "0"1"2 "0"1 • 



1 «1^ 

«3+^ — • 


«n-,^- . 




«„ + :r' 


useala analytlca, T. II, p, 148. 






21* 



324 Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Kettenbriiche. 

1 



«o4- 









Nimmt man beispielsweis in der Formel 8) 

1 2 3 

SO steht linker Hand die binomische Reihe; setzt man dafür ihre 
Summe (1 + xY und schafft rechter Hand die Brüche weg, so fin- 
det sich 

10) (1 + xy 

__ 1 

nx 



l.{n^l)x 
nx -\- 1 



2 .{n —2)x 



{n - 2)x -\-3 — ., [71 — 1) . Ix 

l.r -[- « 

Aus den bisherigen Kettenbrücben für endliche Reihen lassen sich 
unmittelbar Kettenbrüche für unendliche Reihen herleiten, indem man 
die Zahl n-\-\, welche die Anzahl der Reihenglieder und ebenso der 
Kettenbruchgiieder bestimmt, ins Unendliche wachsen läfst. Eine be- 
sondere Vorsicht hierbei ist nicht nöthig, denn jeder Näherungsbruch 
des Kettenbruches bildet den Repräsentanten von so viel Gliedern 
der Reihe, als er selbst Glieder enthält; convergirt also die unend- 
liche Reihe, so mufs der Kettenbruch ebenfalls convergiren, und auf 
gleiche Weise zieht die Divergenz der Reihe die Divergenz des Ket- 
tenbruches nach sich. 

Aus No. 8) erhält man z. B. für a^ = 1 , «^=«2=^3 = 2^ 

linker Hand die Reihe 

welche unter der Bedingung y^'> x^ ins Unendliche fortgesetzt und 
summirt werden kann; diefs giebt 
y ^ 1 

y — x j_f 



1 + 



y+x-y' 



// -f •^' — • • 



Cap. XIII. Die Yerwandlung von Reihen in Keitenbriiche. 325 
oder, wenn man die reciproken Werthe nimmt, 

11) x = ^— , 7/2 > ^.2. 

yx 7 ,f ^ 



Durch die nämlichen Substitutionen und unter derselben Bedingung 
ergiebt sich aus No. 9) 

y-^ + 1^ 

y — x ' 



y — x-\-... 
Setzt man in No. 11) 

y = a -\~ya^ — Ä, x = a — y«^ — b, 

wobei sowohl a als h positiv und h<,a^ sein möge, so ist die Be- 
dingung y^ > ^2 erfüllt und es folgt 



13) 1/^2 __ ^ = « fl > 0, r/2 > /; > 0. 

2a ^ 

Ein ähnliches Kesultat liefert die Gleichung 12) für 

wenn a > & > ist, nämlich 

14) ya^~+T=ö_j , rt>/^>0. 

2« + ^ 

2a 



2« -f- . . . 

Die beiden letzten Formeln lassen sich in eine einzige zusammen- 
fassen, welche für positive und negative h gilt wenn a und a^ -\- h 
positiv sind. 

Als zweites Beispiel für die Gleichung 8) diene die Annahme 
«0 = 1, «^ == 1, «2 = 2, «3=3, etc.; für w == oo entsteht dann 
linker Hand die Exponentialreihe, mithin ist für jedes endliche x 

15) e^= ^ 



1~^ 



\x 

1 J^x 



2-\-x — 



3_|-a? — ... 

Nimmt man in No. 7) a^ = 1, a^ = 3, «2 =^5 «^s =7 etc., n = «, 
a; = ^2 ujj^ multiplicirt beiderseits mit ^, so erhält man 



326 Cap. XIII. Die Verwandlung von Keihen in Kettenbrüche. 



16) (irctan z, = Tr~\i ^^ ^ ^* 



1 + 



u^+^M! 



3^^-f 



(5^) 



?r^2 



7 — 5.-^2 _j__ 



Für ^ = 1 folgt hieraus die Gleichung*) 

n 1 



17) 



' 1 + ^ 



2 + - 



52 

2 + 



24-... 

welche die Umsetzung der Leibnitz'schen Reihe in einen Kettenbruch 
darstellt, der natürlich ebenso langsam convergirt wie jene Keihe. 

Noch wollen wir bemerken, dafs sich jetzt auch Kettenbrüche 
angeben lassen, bei denen die Näherungsbrüche ungerader Ordnung 
gegen eine andere Grenze convergiren als die Näherungsbrüche gera- 
der Ordnung, während beide Grenzwerthe endliche Gröfsen sind. Man 
gelangt hierzu, wenn man eine oscillirende Reihe in einen Ketten- 
bruch verwandelt. So ergiebt sich z. B. aus No. 5) 

2 



1+^ 



1+?^-^ 



^_^4».6 



und da die Reihe zwischen 1 + '2 und Vi oscillirt (§. 29), so con- 
vergiren die Näherungsbrüche ungerader Ordnung durch Abnahme 
gegen die Grenze 1 + ?2, die Näherungsbrüche gerader Ordnung 
durch Zunahme gegen die Grenze ^2. Derartige Kettenbrüche hat 
man oscillirende Kettenbrüche genannt. 

§. 70. 

Verwandlung einer Reihe von besonderer Form. 

Bei den Untersuchungen des vorigen Paragraphen blieb die Reihe, 
um deren Verwandlung in einen Kettenbruch es sich handelte, völlig 
allgemein; ist dieselbe aber von besonderer Form, so können beson- 
dere Methoden angewendet werden. In dieser Beziehung ist die Reihe 

*) Nach Angabe von Wallis {Arithvietica infinitorum) ist dieselbe von Brounker 
gefunden worden. 



+ 



Cap. XIII. Die Verwandlung von Keihen in Kettenbriiche. 327 

1 I ^-^^ I K^ + l)-^(^+ l)^, 
~^l.y "^ 1.2 .Ky + 1) 

«(«+!) (« + 2) . ßiß-j-l) (ß± 2) ^3 

"^ i.2.3.Ky+i)"(7-f2) " "^••* 
von Interesse, welche die meisten der in der algebraischen Analysis 
vorkommenden Keihen als specielle Fälle in sich enthält. Sie conver- 
girt für alle x, deren absoluter Werth weniger als die Einheit beträgt, 
wie auch sonst a, ß und / beschaffen sein mögen; für x = 1 con- 
vergirt sie unter der Bedingung y^a-^-ß (§. 27). Unter Voraus- 
setzung ihrer Convergenz bezeichnen wir ihre Summe mit F{a, ß, /), 
so dafs die Gleichung 

a{a+l){a + 2).ß(ß + l ) (ß + 2) , 
"^ 1.2. 8. Kr +')()' + 2) 

stattfindet; es ist dann auf gleiche Weise 

2)^(.,^+l,y+l)_H-^_^^_^^^.+ 1.2.(y-fl)(y+2) '^^ 

«(«+!) (a+2) . tf +lK/3+2)^+3) ^3 
"^ 1.2.3.(y-|-l)(y+2)(y+3) "^ * ' * 

und wenn man hiervon die Gleichung 1) abzieht, so ergiebt sich, dafs 
die Differenz der beiden obigen Reihen wiederum eine Reihe von der- 
selben Form ist. Man hat nämlich 

^(«, /5+1, y+l)_/^(«, ß, y) = 

^Y—ßy^ r. ■ («+i)(/3+i) («+!) («+2) (P+i) (^+ 2) 

y(y + 1) L 1 • (y+~2) "^ "^ 1.2. (y+2) (y+3) 

d. i. 

3) F{a, /5+1, yJrl)-F{a, ß, y) = "^^^^ F{a-{-l, ß-^l, y^2). 

Diese Eigenschaft läfst sich benutzen, um zunächst den Quotienten 
der Reihen 1) und 2) und dann die Reihe 2) oder 1) selbst in einen 
Kettenbruch zu verwandeln*). Man erhält nämlich aus der Glei- 
chung 3) durch Division mit F{a, /^ -f- 1, / + 1) sehr leicht 

F{a, ß, y) a{y — ß)x 1 



] 



4) 1- 



F{a,ß-\-l,y+l) y(y + l) F(«, /S+1, r + 1) 



n«+l, /3+1, y + 2) 
Hier setzen wir der Kürze wegen 



*) Gaufs, JJisquisitio circa seriem infinitam in den Abhandlungen der Göttinger 
GeseHsch. d. Wissensch." Bd. II, 1812. 



328 Cap. XIII. Die Yerwandlung von Reihen in Kettenbrüche, 
und 

Wollen wir durch Einführung dieser Abkürzungen die Gleichung 4) 
in die möglichst bequeme Form bringen, so wird es zuvörderst nöthig, 
den auf der rechten Seite dort vorkommenden Quotienten 

/^(cx' + l, /3+1, y + 2) 

ebenfalls durch die Function \p auszudrücken. Vertauschen wir zu 
diesem Zwecke die Gröfsen a und ß in der Gleichung 6), so erhal- 
ten wir 

Da die Gröfsen a und ß in F{a^ ß, y) symmetrisch vorkommen, so 
kann man sie ihre Plätze wechseln lassen, ohne dafs F(a, ß, y) sei- 
nen Werth ändert; in der That ist 

^l.y ^ i.2.Ky + i) ^ 

~' + i.r^+ i.^.yir+i) +••• 
d. h. jP(«, /?, y) == F(ß, a, y) und aus demselben Grunde hat man 
auch F(a + 1, ß, / + 1) = F(ß, a -\- 1, y+1). Unter Benutzung 
dieser Kesultate geht die Gleichung 7) in die nachstehende über: 

aus welcher dadurch, dafs man ß + 1 und y -\-l im ß und y setzt, 
die folgende entspringt: 

Der hier stehende Quotient ist derselbe, welcher auf der rechten Seite 
der Gleichung 4) vorkommt ; substituiren wir seinen Werth dort , so 
ergiebt sich wegen der Abkürzungen in 5) und 6) 

oder 

Setzt man hier für a, ß, y der Keihe nach ß -\- 1, cc, y + 1, so wird 

Substituirt man ferner in 8) «4- 1, /? + 1, y-i-2 für a, ft y, so ist 



Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche. 329 

und wenn man für «, ß, y in 8) der Keihe nach /? + 2, « + 1, / + 3 
einführt, 

Man kann auf diese Weise beliebig weit gehen. 

Will man nach einer gefundenen Gleichung eine weitere bringen, 
so substituirt man in die Gleichung 8) für «, /?, / der Keihe nach 
diejenigen Gröfsen und in der Ordnung, wie sie im Nenner auf der 
rechten Seite der schon gefundenen Gleichung hinter \p stehen. Ein 
paar allgemeine auf einander folgende Gleichungen dieser Art wür- 
den sein: 

j\aArn, ^ + 7?, y + 2/?) 



12) 1/^(«+/^ ^-\-n, 7+2^/)=! 

13) i/;(^+'^+l, «+^^ y+2;z+l) = l 



/(^-h;2+l, a-\-n, y+2//+l) 



1/;(«+;^^-l,^+/^+l,y+2/^^-2r 

von welchen die erste als allgemeiner Typus für die Gleichungen 8) 
und 10), die zweite für 9) und 11) gilt. 

Substituirt man in jede dieser Gleichungen die nächste, indem 
man bei 8) anfängt und etwa bei 12) aufhört, so wird 

/(«, /5, y) 



^K /5, y)=i— ■ 



^ /(/3+1, «, y+i) 



/(«H-l, /3-j-l, y4-2) 



^ 



/(^+2, g+l, y+3) 

1—.. /(«+'^, Z^^-'-^, 7+2«) 



Vermöge der Bedeutung von t//(a, /?, 7) ist nun 

/^'K /3+1, y + l)^ 1 

folglich 

/^K /5+1, y + 1) 



14) 



/^(«, ft y) 



/(«, ^, y) 



j_/(/5+l, «, y+1) 



/(« + i, ^+1, y + 2) 



1 /(^ 4-2, g + i, y + 3) 



^(^ + « + 1, « + ^^ y + 2« + i) 



330 Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche. 

und dabei sind die verschiedenen Werthe der mit f bezeichneten 
Function nach 5) folgende: 

u. s. f. 
deren Gesetz leicht zu übersehen ist. 

Um den Kettenbruch 14) ins Unendliche fortsetzen zu können, 
ist zuvörderst noch eine Bemerkung nöthig. Der fragliche Ketten- 
bruch steht unter der Form 
1 



iß + 1) ()' + 1 — 


«) 


(y + 1) (y + 2) 
(« + i) (y+i- 


ß) 


(y + 2) (y + 3) 
(^ + 2) (r + 2- 


«) 



l^^-l 



k. 






1 



1 



l-*-i 



1 — 



1-.. >t.« 



Setzen wir hier 1 — ^^„ ==r,„, so geht der Kettenbruch ganz in die 
Form des Kettenbruches 9) in §. 68 über, und es ist erlaubt, den 
Rest r^,, wegzulassen, wenn sich derselbe für wachsende n unbegrenzt 
der Null nähert, d. h. wenn 

ist. Dieser Umstand findet in der That statt; es ist nämlich 

W4-W+1, «H-w, y+2/?-f-l) 

= /^( «+^> ^4-^^+^ y+^^-'+ i) 

F{a + n^l, ß + n-j-l, )' + 2« + 2) 

^ (M-^') (/5+« + i) («4-^) ( o^+;?-hlH/3+/^+i)(/ ^+^+2) ^2 , 

_ "*" l.(y-f2//+l) ""+ 1 . 2. (y+2A/-i-l) (74-2/^ + 2) "^ 



+ 1 . (y-f-2/i-l-2) "^"^ 1 . 2 . (y4-2//4-2) (y+2« + 3) '^" 



Cap. XIII. Die Yerwandlung yon Reihen in Kettenbrücke. 381 

und um diesen Quotienten genauer untersuchen zu können, erinnern 
wir an die Definition der sogenannten Mittel gröfse zwischen ge- 
gebenen Gröfsen. Sind nämlich a, l, c, d, ... beliebige gegebene 
Zahlen, die wir der Einfachheit wegen als sämmtlich positiv voraus- 
setzen wollen, und nennen wir g die gröfste und h die kleinste der- 
selben, so heifst Mittelgröfse zwischen a, 1), c, d, . . . jede Zahl, 
die nicht gröfser als g und nicht kleiner als Ic ist, und sie wird 
durch M{a, h, c, d, . . .) bezeichnet. Von diesen Mittelgröfsen gilt 
der Satz*l 



*« 


+ ß. 


+ B, 


+ «3 


+ ... 


^0 

Mi 




«1 


B. 


+ ■■■ 



\^0 ^1 ^2 ^l 

vorausgesetzt, dafs der linker Hand verzeichnete Quotient im Zähler 
und Nenner gleichviel Glieder enthält. Nehmen wir n so grofs, dafs 
a -\- n, ß -\- n und y ^ n sämmtlich positiv ausfallen, so giebt die 
Anwendung dieses Satzes 
o = 'wfi (« + ^0(y + 2// + 2) _±±^)Jl±ll±^_ 1 



*) Der Beweis derselben lautet: Nennen wir G den gröfsten und K den kleinsten 

D 71 7> 

unter den Quotienten -~ , — * , '^ etc., indem wir dieselben als positiv voraussetzen, 

^0 -^1 ^2 

so sind die Differenzen 

7 — 
A 



G-^, G-^, G-^ 



und 



^" - Ä- ~^/ - K, 4-^ - K, . 



\ 



sämmtlich positiv. Dasselbe gilt noch, wenn man diese Differenzen mit den Factoren 
A^ , ^2» -^3 > • • ■ multiplicirt; demnach sind die Ausdrücke 

-^o^-^o. ^,^-^1, A^G-B^, .... 

B^ - A^K, B^ - A^K, B^ - A^K, .... 
positiv und ebenso sind es ihre Summen. Man hat demnach durch Vereinigung der in 
jeder Horizontalreihe befindlichen Differenzen 

(-^o + ^i+^^-F---) ^-(^0 + ^^ ~f ^2 + ••)>o 

und hieraus findet man aus der Stelle 

^ ^0 + ^x + ^2 ¥■ ' 

^^« + ^x + ^r+'--' 

was mit der im Text stehenden Behauptung identisch w 
Bezeichnung der Mittelgröfsen anwendet. 



rd , wenn man die erwähnte 



332 Cap. XIII. Die Verwandlung von Eeihen in Kettenbrüche, 
und wenn nun n unendlich wächst, 

Lim ^.^„==i/[i, 1, 1, ....] 

d. h. Lim q^^==1. Wir sind demnach berechtigt, den unter No. 14) 
verzeichneten Kettenbruch ins Unendliche fortzusetzen; vermöge der 
Bedeutung der Function f giebt diefs 

^ ^(«, ß, r) 
1 ^ 

~ cc{y~ß)x 

1- 



Y{y+1) 




(^ß-\-i)(r + i — oc)x 


1 


(y+i)(y + 2) 




(„+I)(y4.1_(3)x 




{ß+2){y + 2 — oc)x 




{y + 3) (y + 4) 




' 1 — 



und dieses Resultat ist so lange richtig, als die mit F{a, ß, y) und 
JF'(«, /9 + l,/-|-l) bezeichneten Reihen convergiren. 

Aus dieser sehr allgemeinen Relation lassen sich neue Ketten- 
brüche für die wichtigsten in der algebraischen Analysis vorkommen- 
den Functionen ableiten. 



§. 71. 

Kettenbrüche für einige der wichtigsten Functionen. 

I. Nehmen wir in Formel 15) ß = 0, so wird jP(«, ß, /) = 1 
und es bleibt der Zähler allein stehen; diefs giebt 

1 + " . I "^"+^) x^ + a(« +!)(« + 2) 

1 





T^ 


\ 


1 . (y + 1 _ „) 




. (y + 2)(y + 3) 




2.(y+2 — ß) 

, (y + 3)(y + 4) 




' 1- 



und nach Wegschaffung der Doppelbrüche 



Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüclie. ""SSS 

') -t-y + l^^-(y + l)(y + 2) ^(y+l)(y + 2)(y + 3) ^ 
1 



«j: 



y+l_l(| + l-«)^ 



y+2_("-+^)(''+^^^ 



y+3-iö:-±^-")^ 



, , (« + 2)(y + 2)a: 



y + 5- 

In dem speciellen Falle a = — fi, y^O, x = — erhält man 

linker Hand die Binomialreihe , mithin 

2) (i+^)^ = _l— 



1+Hm+i)« 



2_i(iii-i)2 



g _^ 2(^ + 2) ^ 



2(^ — 2)z 

5 , 3(ft + 3)^ 



6 — 

und zwar gilt diese Gleichung für jedes s, wenn /j. eine ganze posi- 
tive Zahl ist, aufserdem nur für solche 0, bei denen die Keihe con- 
vergirt. 

SC 

Nimmt man in der vorliegenden Gleichung ^ = - und geht zur 

/i 

Grenze für unendlich wachsende fi über, so gelangt man zu folgen- 
dem Resultate 

' ü 

2 - -'" 



2.f 

3+ - 



4-^^- 



5 + i^- 



6-«^ 



wofür einfacher geschrieben werden kann 
3) e^=- ^ 



7 + . 



1-^. 



1 + ^ 

X 

X 

X 

2 



2-^^ 

7+... 



334 Cap. XIII. Die Yerwandlung von Eeilien in Kettenbrüche. 

Aus No. 1) ergiebt sich ferner für a = / = 1, x = — z und 
durch beiderseitige Multiplication mit z 

4) /(i + .) = ^^ 
1 + -^ 



2 + i^ 



2^^ 



4H 



Z^z 



6 



7 + ... 
wobei z an die Bedingung — \<iz'^-\-\ gebunden ist. 

Nimmt man in No. 1) « = / = y, ^; = ^^ und multiplicirt bei- 
derseits mit z, so erhält man unter der Voraussetzung — 1 <^ <+ 1 



^) *'(S) 



12^2 



22^2 



32^2 

5 



42^2 

7 — 



9 — . . . 

Läfst man z'\ — 1 an die Stelle von ^ treten, so hat man weiter, 
falls — 1 ^ -^ ^ 1 ist, 

6) arctan 




und z. B. für 5 = 1 



3_j 

^ 9 

5 + - 



16 



IL Kehren wir wieder zu der Gleichung 15) in §. 70 zurück 



X 



und setzen dort -^ für x, so haben wir 

aß 

Ff. ß .^ 1-^ ^' , «( «+1)^(^ + 1 )^* I 
F(., ß, y) = i + --_ + ____-__-__+... 

Nehmen wir hier ß = a, lassen dann a ins Unendliche wachsen und 



Cap. XIII. Die Yerwandlung von Eeihen in Kettenbrüclie. 335 

nenneo U und V die Grenzwerthe der Reihensummen für unendlich 
wachsende «, so ist 

9) A-= 1 + JT^Jj^^ + Y.2.(y+l)(y-f2) "^ 1^2 . 3 .(y+l)(y-|-2)(y4-3J +- 

und wenn wir auch im Kettenbruche —5 für x setzen, darauf ß = a 

aß ' 

ins Unendliche wachsen lassen, 

V_ 1_ 

, + yk+^l—, 






l_^(y + 2)(y + 3) 



1 + 

woraus nach Wegschaffung der Brüche folgt 



10) 



y-\ — 



j' + i + - 



X' 

y + 2 ■ 



yH-3 + ... 

Eine wichtige Substitution ist hier / = | und ^x für ii?. Man 
erhält durch dieselbe 

^==1 + 7--^ + 



1.2 • 1.2.3.2« ' 1.2.3.3.5.2* ' 
^1.2^1.2. 3.4^1.2.3.4.5.6^ 

d. i. 

2 

femer 



1.2.3 ' 1.2.3.5.22 • 1.2.3.3.5.7.23 

==1 + 



x^ x^ 



\ 



1.2.3 ' 1.2.3.4.5 ' 1.2.3.4.5.6.7 

oder 



i/ = 



2x 
Setzt man auch in dem Kettenbruche / = ?> und ^x für :r, schafft 



336 Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche. 

die Brüche weg und substituirt für ü und V die gefundenen Werthe, 
so wird 



a:(e^-l- e-^) x' 



X' 

3 + - 



54- rr 



7+. 



oder 

11) 



e* — e~ 



-I- e-^ x^_ 



X' 

5 + 



Hieraus folgt noch , wenn man x "j/ — 1 für x eintreten läfst, 

X 

12) tan X = 



3 

X 



7 — ... 

Die letzten zwei Gleichungen sind besonders merkwürdig und 
bieten aufserdem noch durch ihre Form den Vortheil dar, dafs man 
aus ihnen mittelst des in §. 67 bewiesenen Theoremes etwas Näheres 
über die irrationalen Werthe von e^ und tan x erfahren kann. Be- 
vor wir aber diese specielleren Consequenzen ziehen, schalten wir erst 
eine allgemeinere Bemerkung ein, deren Zweck in der Erklärung des 
Unterschiedes besteht, welcher zwischen den hier gegebenen und den 
früher in §. 69 entwickelten Kettenbrüchen stattfindet. Es läfst sich 
diefs am anschaulichsten machen, wenn man die beiden für arctan z 
gefundenen Kettenbrüche No. 11) in §, 69 und No. 6) dieses Paragra- 
phen vergleicht. Die Näherungsbrüche jenes Kettenbruches sind: 
z z z z^ 

V z^ " ^T"^ Y^ 



-^3 



Z' 



^ h — Zz'^ 

U. S. W. 

und sie repräsentiren immer so viel Glieder der Reihe, als sie selbst 
Glieder enthalten. Der Kettenbruch 6) dagegen giebt 



Cap. XIII. Die Yerwandlung von Eeihen in Kettenbrüche. 337 

z z z z^ . z^ 



4 

zA z'^ 

^15 z z^ . z^ 3s7 



^ ,4.2 ' ^ 15 

^ + -r 

u. s. w. 
Die einzelnen Näherungsbrüche sind hier die Stellvertreter von un- 
endlichen Reihen, die in so viel Gliedern mit der gegebenen Reihe 
übereinstimmen, als der Näherungsbruch Glieder enthält. Dieselbe 
Bemerkung wiederholt sich für alle Kettenbrüche der §§. 70 und 71, 
und darin liegt der wesentliche Unterschied zwischen den früheren 
und den jetzigen Verwandlungen der Reihen in Kettenbrüche. 

§. 72. 

Die Irrationalität der natürlichen Logarithmen und der Ludolph'schen Zahl. 

I. Setzt man in der Gleichung 1\) x = einer rationalen Gröfse 

— , gleichviel ob gebrochen oder nicht, und bemerkt, dafs 

n 

gX Q—x q2x I 2 



e^ -|- e-^ e2^ -|- 1 e^^ -j- 1 

ist, SO wird 

m 
2 n 



8OT 

e" + 1 






Gl 

3 -f- - -^ 



I 



© 



' 71+ ' 

woraus sich nach WegschaiFung der Brüche in den einzelnen Gliedern 
des Kettenbruches leicht die Relation 

.« +1 n + - — 



3« 



bn 



7« + ... 
ergiebt. Da in dem Kettenbruche die Zähler der einzelnen Glieder 

Schlömilch algebr, Analysis. 6. Aufl. 22 



338 Cap. XIII. Die Verwandlung von Beihen in Kettenbrüche. 

immer = m^ sind, die Nenner dagegen fortwährend wachsen, so mufs 
früher oder später in demselben eine Stelle kommen, von welcher aus, 
abwärts gerechnet, alle Glieder des noch folgenden Kettenbruches 
echte Brüche sind. Der Grenz werth eines solchen Kettenbruches ist 
nach §. 67 irrational, folglich ist es dann auch der Grenzwerth des 
in 1) stehenden Kettenbruches, weil jedenfalls ein Theil desselben ir- 
rational sein mufs. Hieraus folgt unmittelbar die Irrationalität der 
linken Seite in der Gleichung 1) und diefs führt zu dem Satze, dafs 

m 

für jedes rationale m und n die Potenz e" irrational ist. 

Nehmen wir einfacher n = 1, so entspringt der merkwürdige 
Satz, dafs alle ganzen Potenzen der Grundzahl der natürlichen Lo- 
garithmen irrationale Gröfsen sind. In der Gleichung e"^ = y ist da- 
her y irrational, wenn 2 rational ist; soll aber y rational werden, so 
mvii^z = logy irrational sein. Das natürliche Logarithmen - 
System hatalso die merkwürdige Eigenschaft, dafs die 
Logarithmen aller rationalen Zahlen irrational sind, und 
hierdurch unterscheidet sich dasselbe wesentlich von allen anderen 
Systemen, die entweder rationale ganze Zahlen, oder algebraische 
Wurzeln aus solchen zu Grundzahlen haben; weil in jedem dieser 
möglichen Systeme rationale Zahlen vorkommen müssen, zu denen 
auch rationale Logarithmen gehören. 

IL Setzt man in der Gleichung 12) des vorigen Paragraphen 

X = - , so ergiebt sich leicht 

_- rn m 
2) tan - = ^ 



^n — 



m- 



bri 



In — .,. 

Hier können ganz ähnliche Betrachtungen gemacht werden. Es 
mufs nämlich irgend eine Stelle kommen, von welcher abwärts alle 
Glieder des noch folgenden Kettenbruches echte Brüche sind; auch 
tritt hier der Fall nicht ein, dafs von irgendwo an der Kettenbruch 
die Form 

;w2 4- 1 _ 



haben könnte, weil die Nenner n, 3n, bn, In u. s. f. ins Unendliche 
wachsen. Bezeichnen also m und n rationale Zahlen, so ist nach 
§. 67 der Grenzwerth des Kettenbruches rechts irrational und mit- 



Cap. XIII. Die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche. 339 

hin ist es auch die linke Seite; d. h. die Tangente eines Bo- 
gens, welcher zum Halbmesser in einem rationalen Ver- 
hältnisse steht, ist incommensurabel mit dem Halb- 
messer*). 

Hieraus folgt sehr leicht, dafs die Ludolph'sche Zahl tc eine Ir- 

rationalzahl ist. Nach §.71 Formel 12) ist nämlich für x = ~ 

7t 

4 



7C' 



16 



TT 



7t 

Wäre nun j gleich einem rationalen Bruche des Halbmessers, etwa 

T = — , SO würde daraus folgen 
An ® 



e)^ 



m 



o 



3// 



bn — 



In 



(i") 



7 — ... 
Aber der Grenzwerth dieses Kettenbruches ist irrational und kann 
daher der rationalen Einheit nicht gleich sein. Daraus folgt, dafs 

7t Wl 7t 

die Voraussetzung -i = - falsch war und demnach ^, mithin auch 

7t selbst, incommensurabel gegen den Halbmesser ist. 

Man kann noch zeigen, dafs 7t^ irrational ist. Aus Formel 12) 

§. 71 folgt nämlich vermöge der Relation cot x = 

t(m X 

X cot X =\ 



oder 



• ) L e g e n d r e , Elements de giometrie , Note IV. 

22 



340 Cap. XIII. Die Yerwandlung von Reihen in Kettenbrüclie. 
1 — X cot X = 



»-?^ 



und hieraus für x = -^ 



3 



©^ 



©^ 



(9^ 



^1 rational =-, so würde daraus folgen 



i = — ^ 



3^ — — 



5^ ^^ 



7^-... 
Der Grenzwerth dieses Kettenbruches ist aber irrational und kann 

nicht =1 sein. Mithin ist auch l-xj nicht rational, d. h. n^ ir- 
rational. 



Schlussbetrachtung. 

überblicken wir noch einmal die Gesammtheit der entwickelten 
Resultate, indem wir wiederum den anfangs aufgestellten Unterschied 
zwischen unabhängigen und abhängigen veränderlichen Zahlen hinzu- 
bringen, so sind es hauptsächlich zwei Bemerkungen, die sich, als 
besonderer Aufmerksamkeit werth, hervorheben lassen. 

I. Es war das Geschäft der Buchstabenrechnung, nachzuweisen, 
dafs das Zahlengebiet als ein in seiner Längenrichtung (von — oo 
bis + oo) continuirlich fortgehendes betrachtet werden kann und dafs 
sich mit diesen Zahlen die sieben algebraischen Operationen aus- 
führen lassen. Nur bei den imaginären Zahlen stöfst die Buchsta- 
benrechnung auf eine nicht so unmittelbar zu beseitigende Schwierig- 
keit. Diesen Mangel ergänzt die algebraische Analysis, indem sie 
die eigentliche Bedeutung der imaginären oder besser complexen Zah- 
len hervorhebt (§. 59) und die Regeln für die Rechnung mit densel- 



Schlufsbetrachtung. 341 

ben feststellt. Es zeigt sich, dafs das Zahlen gebiet nicht aus einer, 
sondern aus zwei Dimensionen besteht, und es ist dieses Resultat um 
so bemerkenswerther, als damit eine eigenthümliche Verbindung zwi- 
schen den verschiedenen Formen der mathematischen Erkenntnifs her- 
gestellt werden kann. Betrachten wir nämlich die Dinge der Aufsen- 
welt von ihrer mathematischen Seite, so sind sie einer dreifachen 
Auffassungs weise fähig; wir denken uns dieselben entweder nach 
einander an verschiedenen Stellen der Zeit, oder schematisch ge- 
ordnet, indem wir ihre Stellen durch Zahlen bezeichnen, oder end- 
lich nebeneinander an verschiedenen Stellen des Raumes; das 
Eigenthümliche dabei ist, dafs die Zeit eine, das Zahlengebiet zwei 
und der Raum drei Dimensionen umfafst. 

IL Für die abhängigen Variabelen, also für die Functionen gel- 
ten zwei Bemerkungen, von denen sich eine auf den Inhalt der ge- 
stellten Aufgabe, die andere auf die Form bezieht, in der wir sie 
gelöst haben. 

Die Aufgabe lautete: „eine Theorie der einfachen Functionen 
x"', a^ , log X ; sin x , cos x , tmi x , cot x y sec x, esc x ; 
aresin x , arccos x, arctan x, arccot or, 

zu liefern;" es war kein ursprünglich bekannter organischer Zusam- 
menhang zwischen jenen Functionen, der uns veranlafste, aus der un- 
endlichen Menge möglicher Functionen gerade die obigen herauszu- 
greifen und einer specielleren Betrachtung zu unterwerfen, es war 
nur die äufserliche Thatsache, dafs sie es sind, welche in der Ele- 
mentarmathematik (Arithmetik wie Geometrie) einzig und allein vor- 
kommen. Dagegen hat uns die nunmehr beendete Untersuchung ge- 
zeigt, wie nahe jene Functionen einander verwandt sind, sie hat die 
Willkür, welche in der Wahl des Themas zu liegen schien, durch 
den Nachweis gerechtfertigt, dafs die genannten Functionen eine noth- 
wendig zusammengehörende Gruppe bilden, sie hat endlich die Mittel 
geliefert, um den Übergang von der einen Function zur anderen be- 
werkstelligen zu können. Fangen wir nämlich mit der Potenz an, so 
können wir aus ihr sowohl die Exponentialgröfse als den Logarith- 
mus ableiten, und es bedarf hierzu nur der Formeln 

1 if z^ — 1 
Lim )(1 + ^z)^\ = e*, Lim ^ — = Iz. 



Mittelst der complexen Zahlen gelangt man von der Exponentialgröfse 
zu den trigonometrischen Functionen und andererseits von dem Lo- 
garithmus zu den cy ciometrischen Functionen, so dafs sich der Zu- 



342 Schlufsbetraclitung. 

sammenhang zwischen den Functionen der algebraischen Analysis in 
folgendem Schema darstellen läfst: 

Potenz 

/ , \ 

Exponentiaf große Logarithmus 

Goniometrische Cyclomelrische 

Functionen Functionen. 

Die einander gegenüberstehenden Functionen sind die Umkehrungen 
von einander ; bei der Potenz fällt die Umkehrung mit ihr selbst zu- 

m_ 

sammen, weil der Ausdruck x'^ ebensowohl x^ als '}/x in sich enthält. 
Was endlich die Form anbelangt, unter der irgend eine der obi- 
gen Functionen dargestellt werden kann, so ist dieselbe nach unseren 
Untersuchungen eine dreifache: die Reihe, das Product und der Ket- 
tenbruch. Diese Formen entsprechen den vier Species; die Reihe 
repräsentirt die Addition und Subtraction, indem sie durch successive 
Additionen und, bei negativen Gliedern, durch successive Subtractio- 
nen gebildet wird; das Product stellt die continuirliche Multiplication 
und der Kettenbruch die fortgesetzte Division dar. Diese Formen, 
unter welchen die Functionen hier erschienen, sind jedoch nicht die 
einzig möglichen, und es läfst sich im voraus absehen, dafs man so- 
gleich zu neuen Formen gelangen mufs, wenn es glückt, den bis- 
herigen Rechnungsoperationen neue zuzugesellen. Diese Andeutung 
möge genügen ; sie weiter ausführen hiefse die Grenzen der niederen 
Analysis überschreiten. 



Anhang. 



Die höheren Gleichungen, 



I. Allgemeine Eigenschaften der ganzen rationalen 
algebraischen Functionen. 

§. 1. Eine ganze, rationale und algebraische Function von x 
ist bekanntlich unter der Form 

enthalten, wobei die ganze Zahl n den Grad der Function angiebt; 
wir bezeichnen eine derartige Function künftig immer mit f{x). Dem 
Werthe ^ = entspricht der Functionswerth /*(0) = c^ ; für sehr 
kleine x mufs daher f{x) nahezu = c^^ folglich f{x) von demselben 
Vorzeichen wie c^ sein. Diese Bemerkung kann noch verallgemeinert 
werden. Es sind nämlich die absoluten Werthe der Quotienten 

Ck+l f''k+2 Ck+3 
<^k ' Ck-\-l CkW 

endliche Gröfsen, wofern keiner der Coefficienten c/,, Ck+i, Ck+2 etc. 
verschwindet, mithin läfst sich immer eine Zahl q finden, deren ab- 
soluter Werth mehr beträgt als der absolute Werth jedes solchen 
Quotienten; man hat dann folgende Ungleichungen 

Ck+2<(^k+if/<,Ckq^y 

ck+3<('k+2q<(-kq^, 

u. s. w. 

Nennen wir ferner ^ den absoluten Werth von x, multipliciren die 

vorigen Ungleichungen der Reihe nach mit ^^, g'^+i, ^^^+2 q^^^ ^jj^ 

addiren, so erhalten wir 



344 Die höheren Gleichungen. 

Die willkürliche Gröfse ^ mag jetzt <^ gewählt werden, es ist 
dann 

1+^| + ^2|2_|_ ^3^3 _!_.... 

< 1 +i+ (i)' +(i)' + in inf. 



oder 
mithin 
d. i. 






In Worten heilst diefs: man kann x immer so klein wählen, 
dafs der absolute Werth irgend eines Gliedes ChX^' mehr 
beträgt als die Summe der absoluten Werthe aller fol- 
genden Glieder. Bei hinreichend kleinen x hat also die Summe 

cux^ + ^^+1^-^+^ + eu^^x^^^ + . . . . 
dasselbe Vorzeichen wie der erste Summand. 

§. 2. Bezeichnet r irgend einen speciellen Werth von x, so 
gelten die Gleichungen 

und aus ihnen folgt 

f{x) — f{r) _ x2 — r2 a:3_r3 ^« — r« 

Cj -|- Cg -— - 1-^3 "T" • • • "T" ^n • 



o; — r a; — r 

Bekanntlich sind die angedeuteten Divisionen ohne Reste ausführbar 
und geben 

''^^^^==c,-{-c,{x + r)-^c,(x^+xr^r^)-{-,... 

welche Gleichung durch Anordnung nach Potenzen von x die Form 
erhält 

m^m = y^ + y^.^ + y^^. + . . . + y„^^ .^-. . 

Die Differenz der Functionen ist demnach ohne Rest 
theilbar durch die Differenz der Variabelen, und der 
Quotient bildet eine ganze Function des nächst'niedri- 
geren Grades. 

§. 3. Ersetzt man x durch eine complexe Zahl u -\- iv, so wird 

f(u + iv) = Cq + c^u + Cg {u^ — i;2) 4- . . . 

4- i[Cj^v -j- 2^2 UV -\- Cg (ßu^v — v^) -\- . . .] 

oder kürzer 



I. AUgem. Eigenschaften d. ganzen rationalen algebr. [Functionen. 345 

WO TJ und V reelle Functionen von u und v bezeichnen. Die Norm 
dieses Ausdruckes ist ü^ -{- F^ mithin jederzeit positiv. Man kann 
dieselbe beliebig grofs werden lassen, wenn man u und v sehr grofs 
nimmt, dagegen läfst sie sich nicht negativ machen, und daher mufs 
es einen kleinsten Werth der Norm geben. Dieser mag für w = a, 
V = ß eintreten und heifse Ä^ + ^^ , so dafs 

/(a + ?ft = ^2_|_^2 

ist. Irgend ein von a -f- iß verschiedener Werth des x sei 

,r = a -{- fß -\- z (cos $-(-?* sm ö), 
wobei cos -f i sin 9 kurz mit t] bezeichnet werden möge; man hat 
dann 

f(c, -f iß -f zrj) = Co + ^1 [« + iß H- ZT]] 

+ ^2 [(« H- 'ß)' + 2 (« + ^ß) ^n + ^'v'] 

+ 

Nach Potenzen von 011 geordnet giebt diefs einen Ausdruck von fol- 
gender Form 

/(« + iß + zrj) =fic. + iß) + (J/, + /.VO zrj 

worin ilf^ , JV^ , ilf 2 , -ZV^, etc. gewisse Polynome bezeichnen , deren 
Werthe sich bei gehöriger Ausrechnung von selber finden. Übrigens 
können mehrere der Gröfsen M^^, JV^, M^, N^ etc. gleich Null sein, 
und daher wollen wir voraussetzen, dafs 0''r/' die erste von denjenigen 
Potenzen sei, deren Coefficient nicht verschwindet. Zur Abkürzung 
bezeichnen wir ferner f{a -\- iß -{- zr]) mit P-\-iQ und haben nun 

P + iQ 

= ^ _|_ ^•^ _t_ (J4 _^ /iv,) z^^ri^ + (J/,+1 + i^^k+i) ^^+V+' + • . . . 

Für das bisher willkürliche 7] setzen wir einmal eine Wurzel der 
Gleichung rj^ = -\- 1, das andere Mal eine Wurzel der Gleichung 
rj^ = — 1 ; es lassen sich daher solche Werthe von r] angeben , bei 
welchen r/' = s wird , wenn wir unter e die positive oder negative 
Einheit verstehen. Nehmen wir dagegen für rj eine Wurzel der Glei- 
chung 7]^^ = — 1 , so wird t]^ = -jr V — 1 = 4: ^'«- Demnach giebt 
es einerseits Werthe von rj^ bei denen 

pjriQ==^ + ellhz^ + ... + «■ (^H- ^iV,^^ + . . .) 
wird, andererseits auch Werthe von rj, bei denen 

P + iQ = ^ — f/Vfr^^ 4- . . . + / (Ä + eMf^z'' + . . .) 
wird. Berechnet man für beide Fälle die Normen, so existiren Werthe 
von rj, welche 



346 Die höheren Gleichungen. 

machen, und ebenso auch Werthe von 'ti, für welche 

P2 _|_ ^2 _ (^2 _|_ /y2) ^ 2e (BMk — JN^) z^ -\- 

wird. Bei hinreichend kleinen z haben die rechten Seiten dieser Glei- 
chungen die nämlichen Vorzeichen wie die ersten Summanden (§. 1), 
und da man e nach Gefallen positiv oder negativ machen kann, so 
giebt es immer Werthe von ?; und s, für welche die rechten Seiten 
negativ ausfallen, wofern nicht AMk + BNk und BMu — ANu gleich- 
zeitig verschwinden. Dieses Resultat widerspricht der Voraussetzung, 
dafs A^ -\- B^ der Minimal werth der N^orm, mithin P^ -\- Q^ — 
{A'^ + -B^) positiv ist, und der Widerspruch besteht so lange, als 
AMk -+- BNk und BMk — ANk nicht gleichzeitig verschwinden. Da 
nun die Voraussetzung (dafs nämlich ein Minimum der Norm existirt) 
richtig ist, so müssen die Gleichungen 

JMu + BNu == und BMk — ^^k = 
bestehen, woraus folgt 

{JMk H- BNuY + {BMk — ^^'hY = 
oder 

{Ml + ISl){J^+B^)^0. 

Der Voraussetzung zufolge verschwinden Mk und Nk nicht gleich- 
zeitig, mithin ist Ml -\- Nl keinenfalls = 0, und daher mufs A'^ + 
B^ =0 sein; weil ferner A und B reell sind, so folgt ^ = 0, B = 
d. h. 

Hiernach giebt es mindestens einen complexen Werth x = a -\- iß, 
für welchen f{x) = wird, d.h. jede algebraische Gleichung 
hat wenigstens eine reelle oder complexe Wurzel. 

Diefs ist der Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen 
Gleichungen; er wurde zuerst von Gaufs auf drei verschiedene Ar- 
ten bewiesen, nachher von vielen Anderen. Der obige Beweis rührt 
von Legendre her und ist später von Cauchy und Sturm modi- 
ficirt worden. 

§. 4 Nennen wir x^ den reellen oder complexen Werth, wel- 
cher /"(ä^i) = giebt, so haben wir identisch 

Nach §. 2 geht die angedeutete Division auf, und der Quotient ist 
eine ganze Function {n — l)ten Grades, welche fi(x) heifsen möge; 
daher ist 

/W = (^ — •»•i)/iW- 
Wenden wir auf f^{x) wieder den Fundamen talsatz an, so existirt 



I. Allgem. Eigenschaften d. ganzen rationalen algebr. Functionen. 347 
jedenfalls ein Special werth x=-x^^ für welchen f^(x.^)=^^ wird; 
daraus folgt /*i(^) = (^ — ^2) AW oder 

/(!•) = [x — x^ {x — JTg) /gCar), 
wo fgCit;) vom {n — 2)ten Grade ist. Durch Wiederholung dieser 
Schlüsse gelangt man schliefslich zu fn-i{^) = {^ — ^n-i) fn-X^)-, 
und hier ist fn-A^) ^^^^ ersten Grade etwa = (ic — Xn) C, Man 
hat demnach 

/W = ^0 + ^1^ + ^2^' +•••• + V 

= C{X — X^) (X Xg) (x — x^). . .(x — Xn); 

die wirkliche Ausführung der Multiplication giebt C als Coefficienten 
von x" , mithin C = Cn und 

= ^^ (j: _ x^) (x — j:^) (j: — ^3) . . . (j: — jr„). 

Jede ganze Function läfst sich demnach in lineare Fac- 
toren zerlegen, die ebensowohl reell als complex sein 
können. 

Wenn f{x) = wird für x = a-\- iß^ so verschwindet f{x) auch 
für den conjugirten complexen Werth x = a — i/i, wie aus §. 3 leicht 
zu schliefsen ist. Zwei conjugirte lineare Factoren sind demnach 

X — a — iß und X — a-\- iß ; 

sie liefern zusammen das reelle Product 

(:r — a)2 4- |32 = x^ — 2«jr + («2 4. ßi). 

Jede ganze Function kann daher in reelle Factoren zer- 
legt werden, die höchstens vom zweiten Grade sind. 
§. 5. Dividirt man die vorhin erhaltene Gleichung 

=^ Cnix — X ^) {X ~ X^) {X — X^) . . . [X — Xn) 

durch Cn und setzt 



so ist auch 
1) 



Cq C^ Cg 

t'M ^n t'» 



X» + fl^x»- + «2^«-^ -f . . . + fl„_,X -f- fl„ 



2' 

Aus dieser Gleichung lassen sich mehrere Beziehungen zwischen den 
Coefficienten a^, «2 ? ^3 ^tc. und den Wurzeln x^^ x^^ x^ etc. her- 
leiten. 

Denkt man sich die rechte Seite der Gleichung 1) durch Multi- 
plication entwickelt und alle Partialproducte nach absteigenden Po- 
tenzen von X geordnet, so erhält man durch Vergleichung der Coef- 
ficienten von a;""', ^""'^ etc. folgende Relationen: 



348 Die höheren Gleichungen. 

«1 = — (*1 + .-»^2 + ^3 H- • • • • + ^n), 
«2 = + (^1^2 +^1^3 + • • • • H- J^i^n 

«3 == — (^1^2^3 + ^1-^2^4 + • • • + ^1^2^« 
+ 

ün = (— l)''X^X^X.^ X„. 

Um dieselben allgemein und kurz darstellen zu können, bezeichnen 

n 

wir mit Ck die Summe, welche entsteht, wenn die n Elemente x^^ 
x^^ . , . Xn ohne Wiederholungen zu Gruppen von je h Elementen 
combinirt, diese Combinationen als Producte betrachtet und addirt 
werden; es ist dann 

2) fl,==(— l)^Cfc, 

mithin a^ die negative Summe der Wurzeln, a^ die posi- 
tive Summe ihrer Amben, a^ die negative Summe ihrer 
Temen u. s. w. 

Eine zweite Anwendung der Gleichung 1) beruht auf folgendem 
Grenzenübergange. Zur Abkürzung sei 

3) f{x) = X» + fl,X«-' + a^X^-^ + . . . + On-,^ + «n, 

also nach No. 1) 

/W == (^ — ^i) (^ — ^2) (^ — ^«)5 

in dieser Gleichung setzen wir :r -f- 19^ an die Stelle von ^, dividiren 
die neue Gleichung durch die vorige und nehmen beiderseits die natür- 
lichen Logarithmen; wir haben dann zunächst 

Die linke Seite dieser Gleichung ist einerlei mit 
wobei zur Abkürzung 



\-v^'^^^^\^iiy-^^). 



gesetzt worden ist; dividiren wir noch beide Seiten der Gleichung 4) 
durch ^, so wird die linke Seite 

/(l + ^)^/(l + ^) g^ /(l+^) /(a: + ^)-/(:r) 
^ ö ' d' ö ' f{pi:).d' 



I. Allgem. Eigenscilaften d. ganzen rationalen algebr. Functionen. 349 
d. i. vermöge der Werthe von f(x -f- d-) und f{x) in No. 3) 

f{x) ' ~6 \ ¥ " "^ ^1 ^ 

Noch etwas besser gestaltet sich dieser Ausdruck, wenn 

- = d-' oder ^ == o' JT 

X 

gesetzt wird; man erhält nämlich 



— 2 



Auf der rechten Seite von No. 4) stehen Summanden von der Form 
dividirt man jeden derselben durch ^ und setzt 

X — Xk'" 

so wird jener Summand zum folgenden 

1(1 + h) /(1 + ^it) 6, /(1 + ^^) 1 







9 


h 




« 


h 


X 


Xk 


und 


man 


hat die Summe 














6) 




/(l + a,) 1 


^1 


+ 


/(l + d,) 


X 


^.-- 


.., 



Die in No. 5) und 6) verzeichneten Ausdrücke sind gleich und blei- 
ben es, wenn man zur Grenze für verschwindende & übergeht. Wie 
man aus den Werthen von d, &\ J^, d.^ etc. sieht, convergiren diese 
Gröfsen gegen die Null und zugleich ist 

Lim ^ilti) = Lim j /[(l + öM == /e == 1, 

(i+^T — 1 

Lim ' -7 == w, 

d' 

mithin bleibt, wenn gleichzeitig in No. 5) für f{x) sein Werth sub- 

stituirt wird, 

nx--^ +(«-!) «1^-"-" + (n - 2) a.x^-' + ♦ ♦ ■ + 1««-, 

<^ x« + fl,ar»-^ -h a^o:"-^ + . • . + «„-,^ + «n 

1.1.1. .1 



Für « ^ t 8®''* ''i® Gleichung über in 

« + (/»-!) a J + (« - 2) sl^ +•■•■ + lfl„ -,l''-' 
1 + a J + a,^2 + ••••+ «„_,r'-' + «„1" 



1— Xj^ 1—^2^ 1 ^3^ 1— ^n^ 



350 Die höheren Gleichungen. 

und wenn man hier die willkürliche Gröfse ^ so klein wählt, dafs 
der Modulus von jedem der Producte x^^, x.^§^ ... x^^ weniger als 
die Einheit beträgt, so kann man die Brüche rechter Hand mittelst 
der Formel 

1 Z 

rnod 5? < 1, 
in unendliche Keihen verwandeln. Die rechte Seite der vorigen Glei- 
chung wird 

« 4- (^1 + ^2 + ^3 + + ^n) J 

^(x\-\-xl-^ + <)5^ 



wobei zur Abkürzung 

sein möge; man hat nun 

A^ + («-!) (7,^ + (;?-- 2) fl,g2+.... + U„,,r-' 
1 + « J -f- «,|2 + .... 4- a^_^ r^' + «„^" 

= n-{-S,l-{-S^l^-^rS^k^-{- 

Multiplicirt man mit dem links stehenden Nenner die rechter Hand 
befindliche Reihe und ordnet das Product nach Potenzen von ^, so 
müssen die Coefficienten gleicher Potenzen von | auf beiden Seiten 
dieselben sein; aus der Vergleichung der Coefficienten von ^, ^^, ^^^ 
. . ., g" ergeben sich hiernach folgende Relationen: 
0=lfli+5i, 

= 2ö2-l-fl,5, + ^2 



8) 



= 3fl3+fl2^,+«l52+53, 



die Vergleichung der Coefficienten von |""*"' , ^"■'■' liefert noch 



9) 



O^^n+i"^! +ön^2 + + «l^«+, + »^^ 



Mittelst dieser von Newton gefundenen Relationen lassen sich 
aus den blofsen Coefficienten der Gleichung 

xn 4_ ß^x«-' -f. . . . + fir„_,a: + fl„ == 

die Summen der ganzen Potenzen ihrer Wurzeln berechnen, ohne dafs 
man die Gleichung aufzulösen braucht; die Gleichungen 8) geben 
nämlich der Reihe nach 



I. AUgem. Eigenschaften d. ganzen rationalen algebr. Functionen. 351 



10) 



^3== — < + 3^/,^.-3tf3, 

S, = + < — 4<«, + 2al -f- ^a^ü^ — 4a^ 

S,^ = — ^/J + 5«^«, — 5«^«^ — 5ö^^3 + 5fl,fl3 

u. s. w. 

§. 6. Die Newton'schen Relationen gestatten eine noch viel weiter 
gehende Anwendung, behufs welcher erst einige Definitionen voraus- 
geschickt werden müssen. 

Eine Function mehrer Variabelen u, v, w etc. nennt man sym- 
metrisch, wenn sie ungeändert bleibt, sobald die Variabelen irgend- 
wie gegen einander vertauscht werden. So sind z. B. 
b {u -\- V -\- w) — ßuvw, 
UV {u -\- v) -\- VW {v + m;) + ^^^ (^^ + ^A 
ganze und rationale symmetrische Functionen der drei Veränderlichen 
u, V, w; zu den gebrochenen symmetrischen Functionen gehört 

u^ -\- v'^ -j- w^ 
UV -\- VW -\- wu ' 

als Beispiel für irrationale symmetrische Functionen mag die Fläche 
eines aus den drei Seiten u, v, w construirten Dreiecks gelten, nämlich 



\y2{u:^v'^ -\-v^w^-\-w'hi'^)—{u^ -\-v^ -\-w^). 

Wie leicht zu sehen ist, gehört zu einer gebrochenen symmetrischen 
Function, dafs Zähler und Nenner für sich symmetrisch sind, ebenso 
müssen bei irrationalen symmetrischen Functionen die unter den Wur- 
zelzeichen vorkommenden Ausdrücke symmetrisch sein; wir haben da- 
her nur ganze rationale symmetrische Functionen zu betrachten, die 
in Functionen verschiedener Grade eingetheilt werden müssen. 

Die einfachste symmetrische Function der n Variabelen x^^ x^^ 
. . . Xn ist deren Summe; die nächst allgemeinere ist 

< + < + < + ... + <, 
worin a jede beliebige Gröfse sein kann. Wir bezeichnen dieselben 
mit 2{x^^) und haben 
11) 2:(x« = 5,. 

Unter einer sogenannten zwei förmigen symmetrischen Func- 
tion von ^^ , ^Tg , . . . Xn versteht man eine solche, die aus Produc- 
ten von der Form x'^y^ zusammengesetzt ist; sie lautet vollständig 
entwickelt 



352 Die höheren Gleichungen. 

cc ß . ß a . o: ß , ß a , . aß, ß cc 

I «<3, ß a . , aß, ß a 



t^ cc ß _j_ ß « 

und wird mit 2{x^y^) bezeichnet. Man erkennt leicht, dafs sie dem 
Ausdrucke 

gleichkommt, dafs also 

12) 2(.V) = 5/^.-5^^^ 

ist. Für den Fall ß = a erleidet diese Formel eine Ausnahme, viel- 
mehr wird dann 

13) 2(,^Y)-Hsl-sj. 

Die dreiförmige symmetrische Function 2(x^,y^0'^) besteht aus 
Summanden von der Form x^y^z^ und kann leicht durch Multipli- 
cation der drei Functionen -2'(^*^), -5'(«/^), ^{/^") entwickelt werden. 
Das Product enthält nämlich erstens Summanden von der Form 
^a-f/?+y^ ferner Summanden von den Formen x^^^ y^ , x^'^'^y^, 
x^~^yy^ ^ endlich Summanden von der Form x^y^z^\ es ist also 

SaSßSy = 2;(j;«+^+>') 

und wenn man für die drei zweiförmigen Functionen ihre Werthe 
setzt, so erhält man 

14) Z{x-yhy)^S^S^S^~S^j^^S^-S^j^^S^-S^^^S^ 

In dem speciellen Falle ß = a wird 

15) S{x-y-zV = i {S-^S^ ~ S,^S^ - S^_^^S^ + 2S,^j^^) ; 
endlich für y = ß = a 

16) 2{sc^yV) = USl- 3S,,S^ + 2^3 J 

Den weiteren Fortgang dieser Betrachtungsweise übersieht man 
leicht; um ^ix^y^z^u^) zu erhalten, würde man 2{x^)^ ^(y^)-, ^{^'^)i 
^(u^) mit einander multipliciren und alle dreiförmigen Functionen 
nach Formel 14) oder 15) oder 16) ausdrücken u. s. w. Jedenfalls 



I. Allgem. Eigenschaften d. ganzen rationalen algebr. Functionen. 353 
kann man die zusammengesetzten symmetrischen Functionen auf S,^, 
Sß^ Sy etc. zurückführen, und da man die Werthe der letzteren un- 
mittelbar aus den Coefficienten a^, a^, a^ etc„ herleiten kann, wo- 
fern a, ß, y etc. ganze positive Zahlen sind, so hat man den Satz: 
jede symmetrische Function der Wurzeln ^i, x^, . . . Xn 
läfst sich unmittelbar durch die Coefficienten der Glei- 
chung ausdrücken. 

Beispielsweis lösen wir die Aufgabe, den Inhalt A eines Drei- 
ecks zu berechnen, dessen Seiten die Wurzeln der cubischen Glei- 
chung 

17) x^ -\-a^x^ -\-a^x-{-a^ = 

sind, wobei die Möglichkeit dieses Dreiecks vorausgesetzt wird. Hier 
ist für drei Wurzeln x^, x^, x^ die gesuchte symmetrische Function 

ferner nach No. 13) und 11) 
mithin 



und schliefslich, wenn die Werthe von 8^ und fi'^ aus No. 10) sub- 
stituirt werden, wobei a^ = zu nehmen ist, 

18) A = i V— «t + 4flja2 — »«lös- 

Als zweites Beispiel diene die Berechnung des Productes 

19) /*= (.^1 - ^2)^ (^2 - ^3)* (*3 - ^l)^ 

worin x^^ x^^ x^ wie vorhin die Wurzeln der cubischen Gleichung 

a:^ -|- ^1^'^ ~l~ ^2-*^ ~f~ ^3 "^^ ^ 

bedeuten mögen. Die Ausführung der angedeuteten Multiplication 
giebt 

/>== E{xHj^) — 2S(x^y^) + 2x^x,x^ Z{xy^) 

— ^(x^x^x^Y —2x^x^x^ S{x^\ 

mithin ist nach den früheren Formeln und wegen x^x.^x^ = — «3, 

P=^S,S^ — Sl - a, (2S,S^ — 453) - 6flJ 
und durch Substitution der Werthe von 5^, /Sg, ^^3, S^ 

20) P= a\al — Ula^ + 180,0,03 — 4«« — 27fl|. 

§. 7. Auf den vorigen Untersuchungen beruht auch die Lösung 
des Problemes, diejenige Gleichung zu entwickeln, deren Wurzeln die 
Quadrate aller Differenzen zwischen den Wurzeln einer gegebenen 
Gleichung sind. Bezeichnen nämlich ic,, x^^ . , . Xn die Wurzeln der 
Gleichung 

21) xr^ + ff ,ar"-' -h a,x^-* + . . . + «^ ^x -f «„ = 0, 

Schlomikh, algebr. Analysis. G. Aufl. 23 



354 Die höheren Gleichungen. 

SO denke man sich erst die Quadrate aller Wurzeldifierenzen gebildet: 

{X.2 ^3) , {^2 '^4) j • • • • {^2 •'^n) > 

(Xg X^) , .... yX Q Xjl) , 



und nenne diese Gröfsen, deren Anzahl = \n(n— 1) ist, der Reihe 

nach «/i, «^21 2/31 2/77 wobei 0' zur Abkürzung für ^n(n — 1) dient. 

Wird ferner die negative Summe von 2/n 2/21 • • • yq ^i^ ^1 bezeich- 
net, die positive Summe der aus «/i, 2/21 • • • 2^? gebildeten Amben mit 
&2 u. s. w., so sind 2/n 2/2 7 • • • • .^9 ^^^ ^ Wurzeln der Gleichung 

22) y^ + ^.r9-i + ^2?/9-2 + . . . + ^,_i .V + Ä, = 0, 
und es kommt nun darauf an, die Coefficienten &j, 62? • • • &? un- 
mittelbar aus den in No. 21) gegebenen Coefficienten a^ , a^^ ... a„ 
herzuleiten. 

Wenden wir die Newton'schen Relationen auf die Gleichung 22) 
an, indem wir 



setzen, 


so 


haben v 


ifir 
O^Ui + T",, 


mithin 
23) 





es lassen sich also die Coefficienten h^^ h^ etc. finden, wenn man die 
Summen T^, T^, etc. kennt; es handelt sich daher nur noch darum, 
Ti, T2, etc. durch a^^ a^^ etc. oder durch S^^ S^, etc. auszudrü- 
cken. Wir betrachten zu diesem Zwecke die Function 

cp (x) = {x- x,r + (^ — ^2)'' + .... + (o: — a:„)2^ 
setzen darin ij? = ^r, , rz;,, . . . . ^„, und addiren alle entstehenden 
Gleichungen; diefs giebt 

(p(x^) + (p(x^) -f (p{x^) + . . . . -f fp(^n) 

+ (:r, - a:,)2^ + (^2 - ^3)'' + ...• + (^2 - ^n)'' 
+ (.r„ ~ o: J2fc 4- {x„ - x,f^ 4. . . . . -}- (:r,„ — x,. ,fK 



L Allgem. Eigenschaften d. ganzen fationalen algebr. Functionen. 355 
Zufolge der Bedeutung von «z^, t/ 2, ... y^ ist die rechte Seite dieser 
Gleichung das Doppelte von yj + 2^2 H" • • • + 2^J = ^/m mithin um- 
gekehrt 

Die ursprüngliche Function cp{x) läfst sich auch dadurch in eine an- 
dere Form bringen, dafs man die Potenzen {x — ^i)^'% {x — x.^y^^ 
etc. mittelst des binomischen Satzes entwickelt und Alles nach Po- 
tenzen von X ordnet; man erhält ohne Mühe 

q){x) == nx^^ — {2k) ^ S^x^^-^ + (2^)2 S^x^^-^ — . . . . 

und hieraus 

<)p(^i) + ^{^2) 4- + ^PC^n) 

= nS2k — (2A')j S^S2k-i + (2/5-)^ S^S2k-2 — 

Die linke Seite ist, dem Vorhergehenden zufolge, =2 Tu; rechter 
Hand sind die vom Anfang und Ende der Reihe gleichweit entfernten 
Glieder gleich und können zusammengezogen werden, während da- 
gegen der mittelste Summand (2]c)kSkSk nur einmal vorkommt. Divi- 
dirt man beiderseits mit 2 und schreibt der Symmetrie wegen Sq für 
n, so hat man zur Berechnung von Tk folgende Formel 

24) Tk = {2k),S,S2k — {2k)^S^S2k-i 4- {2k)^S,S2k-2 — . • . • 

... + (— 1)^-1 i2k)k-^Sk-.iSk+i 4- (- 1)^ i(2k)kSkSk, 
mithin für ä; = 1, 2, 3 etc. 



25) 



Ti=-S,S,-Sl 



[T, = S,S, — QS,S, + 15S,S^ — 10^3% 
u. s. w. 
Nach den Formeln 10) kennt man die Werthe von Ä^, ^2, ^3, etc.; 
die vorstehenden Gleichungen liefern T^, T^, Tg, etc., endlich findet 
man S^, h^^ ftg, etc. aus No. 23). 

Als Beispiel diene die cubische Gleichung 
ars + fl^x^ 4-02^ + 03 = 0; 



wegen «^ = a 


5=16 • 


. . = ist dann 






■Si 


= — a, 


t 








S, 


= + «; 


— 2^2, 








s. 


== — aj 


4-3fli«2 


— 303, 






s. 


= + «* 


— 4<fl2 


4-40103 


4-2flJ, 




s. 


= — «1 


4-5«««2 


— bala^ 


-5«i«l 


4-00203» 


s. 


=+«; 


— 6<fl2 


4-6«;s 


4-9ö>« 










— I2a^a 


2^3 -2a 


J + 3«;; 


ferner erhält 


man aus 


No. 25) 






23* 



356 





Die höheren 


Gleichungen. 


T, 


= zs,- 


-5« = 2«; 


— Gflg, 




T, 


= 35,- 


-iS^S^ 


+ 


35^ 






= 2»J- 


- 12«?«2 


+ 


IK' 




t'z 


= 35,- 


-65,5, 


+ 


1552^4 


— 10^^, 




==2<- 


- 18«J«, 


— 


12«>3 


+ ö7«!^l 



+ 54fl!ifl2a3 — 66fl^ — 81«^, 
und aus No. 23) 

^3 = 4<ß3 — « - 18^,.;2«3 + 4< + 27a|; 
die Substitution dieser Werthe liefert die gesuchte Gleichung 

Der letzte Coefficient h^ ist == — yiV^Vd ^^^ daher das Entgegen- 
gesetzte von dem in §. 6 betrachteten Producte P. 

Die für y gefundene Gleichung No. 22) nennt man die Glei- 
chung der quadrirten Wurzeldifferenzen; sie kann bei der 
Untersuchung über die Existenz imaginärer Wurzeln benutzt werden. 
Der letzte Coefficient ist 

^==(— 1)^^1^22/3 Vq 

= (.^ l)4n(n-i) (^^ _ ^^)2 (^^ _ ^3)2 . . . . (o:^ _ ^„)2 



und heifst die Determinante der ursprünglichen Gleichung x^ -\- 
a^x^~^ H- . . . =0. Hiernach wird z. B. die Determinante der qua- 
dratischen Gleichung 

x^ -{-a^x-{-a^ = 
durch 

^2 == — (^1 - ^2)' == ~ («? - 4S) 
dargestellt; für die quadratische Gleichung 

ax^ + 2^0: 4- c = 
ist 

^2 = ^(«^-^^). 

Als Determinante der cubischen Gleichung 
ax^ -\- Ux^ + 3cx -f- fi?= 
ergiebt sich aus dem Obigen 
27 

Die Determinante der biquadratischen Gleichung 



II. Die Discussion der höheren Gleichungen. 357 

bildet einen sehr complicirten Ausdruck, welcher sich indessen kurz 
darstellen läfst, wenn 

B = ace -\- 2bcd — ad^ — b^e — c^ 
gesetzt wird; es ergiebt sich nämlich 

IL Die Discussion der höheren Gleichungen. 

§. 8. Die bekannten elementaren Methoden, welche zur Auf- 
lösung der cubischen und biquadratischen Gleichungen dienen, reichen 
nicht mehr aus, wenn es sich um die Auflösung der allgemeinen, in 
Buchstaben ausgedrückten Gleichung 

.r« -h ^i:"-^ + iSj;*'-^ -f- . . . + il/a: + iV== 

handelt, worin n mehr als 4 beträgt ; auch ist bereits auf mehrfache 
Weise direct bewiesen worden, dafs solche höhere Gleichungen nicht 
algebraisch sondern nur durch Hülfsmittel der Integralrechnung auf- 
gelöst werden können. Sind dagegen die Coefficienten der Gleichung 
in Zahlen gegeben, so lassen sich auch die Wurzeln der Gleichung 
mit jedem beliebigen Genauigkeitsgrade berechnen (s. Abschnitt IIL). 
Bevor man hierzu schreitet, mufs aber untersucht werden, wieviel 
reelle oder imaginäre Wurzeln die Gleichung besitzt, ob darunter 
gleiche Wurzeln vorkommen oder nicht, wieviele der etwaigen reellen 
Wurzeln positiv sind, wieviele negativ, zwischen welchen Grenzen die- 
selben liegen u. s. w. Zur Entscheidung dieser Vorfragen dienen 
mehrere Sätze, deren Herleitung uns obliegt. 

Wir gehen von der Voraussetzung aus, dafs die gegebene Glei- 
chung 

f{x) = a:» 4- Jx""-' + ^r**~^ _j- ..._[_ J/^ -f 7V= 
mehrere positive Wurzeln «,/?,/,... besitze; nach Formel 1) in 
§. 5 können wir dann f{x) unter folgender Form darstellen : 

f{x) = cp{x) . {x ~ a) {x — ß) {x — y) , 

wobei q){x) eine Function von niedrigerem Grade ist, etwa 

(p (^x) = x^ -{- ax^~^ -|- bx^""^ -|- . . . . 
Die Coefficienten a, l, c, etc. können theils positiv, theils negativ 
sein, ihre Vorzeichen werden daher irgend eine unregelmäfsige Reihe 
bilden, z. E. 

+ + -H + -, 



358 Die höheren Gleichungen. 

und wir richten dabei die Aufmerksamkeit auf die Anzahl der Zei- 
chenfolgen (-f- + oder ) und der Zeichenwechsel (H oder 

h) 5 wonach in dem erwähnten Beispiele drei Folgen und fünf 

Wechsel zu notiren sind. Multipliciren wir (p (x) mit x — a, so ent- 
hält das Product wieder gewisse Folgen und Wechsel, deren Anzahl 
sich etwas näher bestimmen läfst, wenn wir das obige Beispiel wie- 
der vornehmen. Die einzelnen Partialproducte, welche durch Multi- 
plication mit x und durch Multiplication mit — a entstehen, haben 
nämlich folgende Vorzeichen 

-1- + -H h- 

+ - + + + -+, 

mithin sind die Vorzeichen von cp{x) . {x — a) 

+ ±- + -±± + -+, 
wobei die Zeichen + solange unentschieden bleiben, als die Zahl- 
werthe von a, h, c, etc. nicht näher bekannt sind. Es leuchtet nun 
ohne Weiteres ein , dafs in dem Producte cp {x) .{x — a) ebensoviel 
unentschiedene Zeichen vorkommen als Zeichenfolgen in cp{x)\ wären 
alle unentschiedenen Zeichen positiv, so würde cp{x) .{x — a) sicher 
einen Zeichenwechsel mehr als cp{x) haben, weil das letzte Zeichen 
des Productes jedesmal dem letzten Zeichen von cp{x) entgegenge- 
setzt ist; ebenso verhält sich die Sache, wenn alle unentschiedenen 
Zeichen negativ ausfallen. Sind endlich die unentschiedenen Zeichen 
theils positiv theils negativ, so nimmt die Anzahl der Zeichen- 
wechsel um mehr als eine Einheit zu. Auf alle Fälle hat das Product 
q){x).{x — a) wenigstens einen Zeichenwechsel mehr als (p{x), 
Multiplicirt man weiter mit x — ft so besitzt (p {x) .(x — a) {x — ß) 
mindestens einen Zeichenwechsel mehr als das vorige Product, mit- 
hin wenigstens zwei Zeichen Wechsel mehr als q){x)', wie diese Schlufs- 
weise fortzusetzen ist, erhellt leicht. Gesetzt nun, cp{x) enthalte gar 
keinen Zeichen Wechsel , so würde q){x) . (x — a) mindestens einen 
Zeichen Wechsel haben, ferner würden in cp {x) . {x — d) {x — ß) min- 
destens zwei Wechsel vorhanden sein u. s. w. Geht man so fort, bis 
die letzte positive Wurzel in Rechnung gebracht ist, so hat man den 
Satz, dafs f{x) wenigstens ebensoviel Zeichenwechsel besitzt, als po- 
sitive Wurzeln vorhanden sind, oder umgekehrt, dafs die Gleichung 
f{-x) = höchstens soviel positive Wurzeln als Zeichenwechsel ha- 
ben kann. 

Läfst man — ^ an die Stelle voü x treten, so sind die Wurzeln 
der Gleichung 

/(— x)=^x^— Ax^-' + i9x"-^ — . . . = 



II. Die Discussion der höheren Gleichungen. 359 

gleich und entgegengesetzt den Wurzeln der vorigen Gleichung 
f(x) = 0'^ demnach hat die Gleichung f{x) =0 soviel negative Wur- 
zeln, als f{ — x) = positive Wurzeln besitzt, mithin höchstens so- 
viele, als in f{ — x) Zeichenwechsel vorkommen. Jedem Zeichen- 
wechsel in f{ — x) entspricht aber eine Zeichenfolge in f{x) , also 
hat f(x) = höchstens soviel negative Wurzeln als f{x) Zeichenfol- 
gen. Alles zusammen giebt folgenden, von Descartes herrührenden 
Satz: Eine Gleichung besitzt höchstens soviel positive 
W^urzeln als Zeichenwechsel und höchstens soviel nega- 
tive als Zeichenfolgen. 

Die vorigen Schlüsse beruhen auf der Voraussetzung, dafs keiner 
der Coefficienten A, B, . . . M, N verschwindet, also die Gleichung 
lückenlos ist; sie lassen sich aber leicht auf diesen Fall ausdehnen, 
indem man den fehlenden Gliedern die Coefficienten + zuschreibt. 
Mit dieser Modification bleibt der Satz allgemein richtig. 

Die Cartesianische Zeichenregel entscheidet nicht über die Exi- 
stenz von reellen oder complexen Wurzeln und kann daher auch nur 
in dem Falle angewendet werden, wo man sich auf anderem Wege 
von dem Vorhandensein reeller Wurzeln überzeugt hat. Ist man 
sicher, dafs alle Wurzeln der Gleichung reell sind, so kann man auch 
die Anzahl der positiven sowie der negativen Wurzeln angeben. Es 
sei nämlich n der Grad der Gleichung, v die Anzahl der Zeichen- 
folgen, w die Anzahl der Wechsel, es ist dann einerseits v -\-iü = n. 
Wenn andererseits jp positive und q negative Wurzeln existiren, so 
ist wegen der Realität aller Wurzeln p -\- q = n, mithin 

Die obige Zeichenregel giebt ferner 

und wenn diese Relationen keinen Widerspruch gegen die vorige Glei- 
chung enthalten sollen, so mufs 

p=^w und q = v 
sein, d.h. Eine Gleichung mit durchaus reellen W^urzeln 
hat soviel positive Wurzeln als Zeichenwechsel und so- 
viel negative als Zeichenfolgen. 
Als Beispiel diene die Gleichung 

a:3 — 39a: -{- 70=0 

oder 

^3 + . j:2 — - 39 j: + 70 = 0. 
Sowohl wenn der Coefficient von x^ mit dem positiven, als wenn er 
mit dem negativen Zeichen genommen wird, besitzt die Gleichung 



360 Die höheren Gleichungen. 

zwei Wechsel und eine Folge, mithin zwei positive Wurzeln und eine 
negative, wenn alle Wurzeln reell siad. 

§. 9. Wir wollen die vorige Untersuchung noch etwas weiter 
führen und namentlich auf den Fall ausdehnen, wo mehrere der Coef- 
ficienten Ä, B, C, . . . M, N gleich Null sind. Übrigens findet der 
letztere Fall statt, denn die Gleichung besitzt die Wurzeln + 2, + 5 
und — 7. 

a. Die gegebene Gleichung sei vom nten Grade und zwischen 
zwei Gliedern derselben mag eine gerade Anzahl aufeinander fol- 
gender Glieder fehlen ; es ist dann zu unterscheiden, ob die einschlie- 
fsenden Glieder, zwischen denen die Lücke vorkommt, gleiche oder 
entgegengesetzte Vorzeichen besitzen. 

Im ersten Falle können wir den fehlenden Gliedern, deren An- 
zahl 2h heifsen möge, dasselbe Vorzeichen geben, was die einschlie- 
fsenden Glieder besitzen; wir haben dann 2Jc + 2 Glieder mit glei- 
chen Zeichen und darin 2Z; + 1 Zeichenfolgen. Sind nun in den übri- 
gen Gliedern noch v Zeichenfolgen , so ist die Anzahl der positiven 
Wurzeln ^n — (v -{- 2k -\- 1). Geben wir dem ersten, dritten, fünf- 
ten etc. der fehlenden Glieder das entgegengesetzte Vorzeichen, so 
erhalten das erste und letzte der fehlenden Glieder entgegengesetzte 
Zeichen (weil eine gerade Anzahl fehlt) und das letzte fehlende Glied 
giebt mit dem nachfolgenden einschliefsenden Gliede eine Zeichen- 
folge, welche die einzige unter den betrachteten 2k + 2 Gliedern ist. 
Demnach mufs die Anzahl der negativen Wurzeln <v-{-l sein; die 
Anzahl der positiven und negativen Wurzeln zusammen, d. h. die An- 
zahl der reellen Wurzeln, ist daher ^n — {v -\- 2k -{- 1) -\- v -{- 1 
d. i. ^n — 2k, und daraus folgt, dafs wenigstens 2k complexe Wur- 
zeln existiren müssen. 

Wenn zweitens die Grenzglieder entgegengesetzte Vorzeichen ha- 
ben, so denken wir uns die fehlenden Glieder erst mit dem positiven 
Zeichen versehen ; in den betrachteten 2k -\- 2 Gliedern entstehen 
hierdurch 2k Zeichenfolgen, mithin ist die Anzahl der positiven Wur- 
zeln <.n — {v -{- 2k). Geben wir dagegen den fehlenden Gliedern 
alternirende Vorzeichen, so kommt in den fehlenden Gliedern keine 
Folge vor, und daher ist die Anzahl der negativen W^urzeln ^v. 
Die Anzahl der reellen Wurzeln mufs daher -^n — (v -\- 2k) -\- v 
d. h. ^n — 2k sein , woraus man wieder auf 2k complexe W^urzeln 
schliefst. Das Bisherige zusammengenommen führt zu dem Satze: 
Eine Gleichung, worin 2k aufeinander folgende Glieder 
fehlen, besitzt wenigstens ebensoviel complexe Wurzeln. 



II. Bie Discussion der höheren Gleichungen. 361 

h. Im Fall die Anzahl der fehlenden Glieder ungerade ===2Jc 
+ 1 ist, unterscheiden wir wie vorhin, ob die einschliefsenden Glie- 
der gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben. 

Besitzen die Grenzglieder dasselbe Vorzeichen, so denken wir 
uns zuerst alle fehlenden Glieder mit dem nämlichen Vorzeichen ge- 
nommen ; wir haben dann in 2Jc -\- 3 Gliedern 2Jc -{- 2 Folgen , mit- 
hin sind höchstens n — (v -\- 2Jc -{- 2) positive Wurzeln vorhanden. 
Geben wir dagegen den fehlenden Gliedern alternirende Vorzeichen, 
so entsteht innerhalb der fehlenden Glieder keine Folge, mithin ist 
die Anzahl der negativen Wurzeln nicht gröfser als v. Die Anzahl 
der reellen Wurzeln beträgt demnach höchstens n — (v -{- 27c -{- 2) 
-\- V = n — (2Z; + 2) und die der complexen Wurzeln wenigstens 

Im Fall die Grenzglieder entgegengesetzte Zeichen haben, neh- 
men wir erstens alle fehlenden Glieder mit gleichen Zeichen; in 
21c -\- 3 Gliedern entstehen dann 2h -\- 1 Folgen, woraus sich er- 
giebt, dafs höchstens n — (v + 2Ä; + 1) positive Wurzeln vorhanden 
sind. Geben wir dagegen den fehlenden Gliedern alternirende Vor- 
zeichen, so erhalten wir jedenfalls eine Zeichenfolge, mithin höch- 
stens V -\- 1 negative Wurzeln. Demnach wird die Zahl der reellen 
Wurzeln höchstens = n — {v -\- 2^ -{- \) -{- v + 1 = n — 21c, wor- 
aus mindestens 2h complexe W^urzeln folgen. Alles zusammen giebt 
den Satz: Eine Gleichung, worin 2Z; -f- 1 aufeinander fol- 
gende Glieder fehlen, hat wenigstens 2h-\-2 oder 2h com- 
plexe Wurzeln, jenachdem die einschliefsenden Glieder 
mit gleichen oder mit entgegengesetzten Zeichen ver- 
sehen sind. 

Man kann diese Untersuchungen leicht auf den Fall ausdehnen, 
wo in der gegebenen Gleichung mehr als eine Lücke vorkommt; wir 
überlassen dies dem Leser. 

§. 10. Denkt man sich in einem Ausdrucke von der Form 

F{x) = (a: — c J (.r — a^)... (x — a^) 

X als stetig veränderliche Gröfse und giebt ihr continuirlich alle 
Werthe von — oo bis + oo, so ändert F(x) mehrmals sein Vorzei- 
chen und geht an den Stellen x==a^, a^, . . . «/c durch Null hin- 
durch; daraus folgt, dafs der reciproke Werth ^^-r an denselben 

Stellen eine Unterbrechung der Continuität erleidet und entweder von 
+ oo nach — oo oder von — oo nach -|- oo überspringt Dasselbe 

0(x) 

gilt von der allgemeineren Function x^t-t, vorausgesetzt, dafs deren 



362 Die höheren Gleichungen. 

Zähler und Nenner nicht gleichzeitig für x = a^, «^ etc. verschwin- 
den. Die hieran sich knüpfenden Fragen wollen wir genauer unter- 
suchen, da sie offenbar in naher Beziehung zur Theorie der Glei- 
chungen stehen; dabei flögen q){x) und t/^(^) immer zwei ganze ra- 
tionale und algebraische Functionen von x bedeuten, die nicht gleich- 
zeitig verschwinden. 

Wenn x das Intervall x = a bis x = h stetig durchläuft ; so 

w (x^ 
kann es geschehen, dafs der Quotient -yy-^ mehrmals, etwa m-mal, 

von — oc nach + oo überspringt und i^-mal von + oo nach — oo ; 

cd( x^ 
die Differenz m — n nennen wir dann den Excefs von -^V^ bezo- 

ip{x) 

gen auf das Intervall x==a bis x = h, und bezeichnen denselben mit 



a 1/^W 

w (x^ 
Die Function — yV^? welche der vorigen gleich und entgegenge- 
setzt ist, hat den Excefs n — m; daher gilt für jedes Intervall die 
Gleichung 



Es sei ferner 






^_^<pi^) 



^{xy 

und der Excefs der reciproken Function 

e =:E —-— , 

SO kann man auf folgendem Wege eine Gleichung zwischen e und e 
finden. Unter der Voraussetzung, dafs die reciproke Function m'-mal 
von — oc nach + oo und w'-mal von -|- oo nach — oo überspringt, 
hat man gleichzeitig 

e = in — n, e =m — n. 

Die reciproke Function ^-7^ wechselt ihr Zeichen jedesmal, wenn ent- 

cp[x) 

weder cp{x) oder t/'(;r) das entgegengesetzte Vorzeichen annimmt; sie 
geht demnach so oft aus dem Negativen durch Null hindurch ins 
Positive, als ihr Zähler t/;(ic) denselben Weg macht, d. h. sovielmal, 

(D ( Oß\ 

als die ursprüngliche Function yy^ aus — 00 nach -f- 00 überschlägt, 

nämlich m-mal; sie geht ferner so oft aus dem Negativen durch das 
Unendlicbe hindurch ins Positive, als ihr Nenner (p{x) vom Nega- 



II. Die Discussion der höheren Gleichungen. 363 

tiven durch Null hindurch ins Positive übertritt, d. h. m'-mal. Nen- 
nen wir daher f.i die Gesammtzahl der Übergänge vom Negativen 
zum Positiven, so ist in = m -\- m. Eine ähnliche Betrachtung gilt 
für die Übergänge vom Positiven zum Negativen; die Gesammtzahl 
derselben ist v = n -{- n. Daraus folgt 

e -\- e ={in — n) -\- {'ff' — n) = {in -\- m) — {?i -j- «') = |tt — v, 
und es kommt nun darauf an, die Differenz ^l — v zu ermitteln. 

Hierzu dient die Betrachtung der Werthe, welche der Bruch ^-{ 

(fix) 

an den Grenzen des Intervalles x = a bis x = h'> a erhält. Sind 

nämlich -^-^ und ^-XJ- von gleichen Vorzeichen, so gehen die Zei- 
(p(a) (p(b) "^ 

chenwechsel, die -^-^ innerhalb jenes Intervalles erleidet, entweder 
q)(x) 

nach dem Schema 

H h~ + -+, 

oder auf folgende Weise: 

9>(«) 9^W' 

— H H — + — , 

und in beiden Fällen sind ebensoviel Übergänge vom Negativen zum 
Positiven als vom Positiven zum Negativen vorhanden; es ist daher 
fi = v und 

Wenn zweitens -^-^ das negative, ^—J- das positive Zeichen hat, so 
gestaltet sich die Zeichenreihe folgendermaafsen 

^'(fl) 9>{b)' 

— H h- + -+, 

und es ist ^ = V + 1 , mithin 

Endlich hat man bei positiven -^ ( und negativen ^-ivl folgende 
Zeichenreihe : 

gcw (p{f^y 

H 1 H h-, 

woraus folgt fi = v — 1 und 



364 Die höheren Gleichungen. 

Das Bisherige zusammen führt zu dem Satze, dafs die Summe 

E "^^-^ + E ^^-^ 

= oder == + 1 oder = — 1 ist, jenachdem die Vorzeichen von 

-^ --< und -~~ eine Folge, oder einen Wechsel von Minus nach Plus 
cp{a) cpQ)) 

oder einen Wechsel von Plus nach Minus bilden. Beachtet man noch 

die Vorzeichen der einzelnen Functionen (p{d)^ V^(ö^), ^f (^), V^W, so 

kann man folgendes Theorem aussprechen: Die Excesse der reci- 

xIj ( oc\ cr> ( oc\ 

proken gebrochenen Functionen -~~ und -r—^. bezogen 
® cpix) xp(x) ^ 

auf das Intervall x==a bis x = h, geben zusammen Null, 

wenn cp(a) und 4'{a)^ sowie cp(b) und ip{h) gleichzeitig eine 

Folge oder gleichzeitig einen Wechsel bilden; dagegen 

ist jene Excefssumme =+1, wenn fp{a) und xp(a) einen 

Wechsel, cp(b) und t//(&) eine Folge zeigen; sie ist endlich 

= — 1, sobald bei q)(a) und ip{a) eine Folge, bei q){'b) und- 

ip(h) ein Wechsel stattfindet. 

Zufolge dieses Theoremes ist 

wo e einen der W^erthe 0, + 1 , — 1 liat. Bedeutet nun -^-^ eine 

(fix) 

Cf) ( X) 

echt gebrochene Function, so ist -jy4 unecht gebrochen und kann 

daher durch Division in eine ganze Function Q und in einen echt 

gebrochenen Rest ^tV^ zerlegt werden, nämlich 
ip(x) ^ 

die Function Q geht niemals durch das Unendliche hindurch, daher 

ff) ( 'T*'^ y ( X) 

hat -yy—^ denselben Excefs wie -V^, und es ist mit dem Vorigen 

zusammen 

oder 

(p{x) 1 i/;(x)( 

Der Excefs der echt gebrochenen Function ^^^^ kann dem- 



II. Die Discussion der höheren Gleichungen. B65 

nach auf den Excefs der gleichfalls echt gebrochenen 

Function 4V4i deren Nenner von niedrigerem Grade ist, 

zurückgeführt werden. 

§. 11. Die mehrmalige Anwendung dieses Fundamentalsatzes 

führt zu einer allgemeinen Formel für den Excefs einer beliebigen 

f M 
echt gebrochenen Function. Ist nämlich '~~~ die gegebene Function, 

so dividire man zuerst den Nenner durch den Zähler, bezeichne den 
ganzen Quotienten wie oben mit Q, und nenne f^ix) den mit ent- 
gegengesetzten Seiten genommenen Rest; es ist dann 

man wiederhole nun dieses Verfahren und bilde die ähnlichen Glei- 
chungen 



f^i^ — n 

SO ist in der Reihe der Functionen f(x), fi{x), f 2(^)1 • • • fn{x) jede 
folgende von niedrigerem Grade als die vorhergehende, mithin mufs 
diese Reihe einmal aufhören, da Functionen negativer Grade nicht 
vorkommen können; ist nun fn{x) die letzte der betrachteten Func- 
tionen, so ist der letzte Quotient §„_, entweder eine ganze Func- 
tion oder eine blofse Constante. Zufolge des oben bewiesenen Fun- 
damentalsatzes gelten jetzt folgende Gleichungen: 



^'-^^^"■T^.+h> 



AW IM 



E''-^i==E''-J^, + e,, 



^/„_,W_ „ /nW 






■2> 



366 Die höheren Gleichungen. 

addirt man dieselben unter Berücksichtigung des Umstandes, dafs 

ist, so erhält man 

und es handelt sich nun darum, die Summe der Gröfsen ß^, e^, €21 
. . . €„_, zu bestimmen. Wir erinnern dabei, dafs irgend eine dieser 
Gröfsen, z. B. €„,, in der Gleichung 

^ r f \ — ^ "7 T\ H" ^m 

/mW /m+xW 

vorkommt und den Werth hat, wenn fj^d) und f^+iia) zugleich 
mit fm(b) und fm+^{h) eine Folge oder einen Wechsel bilden, dafs 
dagegen 6^^ + 1 oder = — 1 ist, jenachdem das erste Paar einen 
Wechsel und das zweite eine Folge, oder das erste eine Folge und 
das zweite einen Wechsel giebt. 

Man bilde nun die beiden Reihen 

A) /(«), A(«), /,«, ..../nW, 

B) /W, AW, Üb), ....Mb\ 

und achte auf die Vorzeichen aller dieser Functions werthe; die An- 
zahl der in A) vorkommenden Zeichenfolgen sei Va, die Anzahl der 
Wechsel sei Waj und ebenso bezeichne Vh die Anzahl der Folgen, 
Wb die der Wechsel in der Reihe B). Ferner ist zu unterscheiden, 
wie oft Folgen oder Wechsel in beiden Reihen untereinander stehen; 
es können nämlich zusammentreffen 

in A) fVechsely Folge , Wechsel, Folge, 

in B) Folge , Wechsel, Wechsel, Folge, 

P , q y r , s , 

und dabei mögen die Buchstaben p, q, r, s angeben, wie oft die 
entsprechenden Combinationen vorkommen. Zufolge der Regel für €„^ 
haben p der Gröfsen e den Werth -\-l^ q derselben den Werth — 1, 
und r -\- s von ihnen sind =0; daraus folgt 

«0 + «1 + ^2 + • • • -+- ^«-1 =P — 9- 
Ferner ist die Gesammtzahl der in A) vorkommenden Folgen = q 
+ s, mithin 

und ebenso ist die Anzahl der Wechsel 

für die Reihe B) hat man analog 

Vi,=p-\-s, y)i, = q -\- r. 



II. Die Discussion der höheren Gleichungen. 367 

und diefs giebt, abgesehen vom Vorzeichen, 

^a — Vb = i'^a — ii>b==p — y> 
mithin nach dem Vorigen 

Zur Aufsuchung des Excesses einer echt gebrochenen Function dient 
nun folgende Kegel : Aus den gegebenen Functionen f(x) und 
f^{x) leite man durch die beschriebenen successiven Di- 
visionen die neuen Functionen f^{x)^ AC^)? • • • fn(^) ab, 
bilde die beiden Reihen 

fifl\ /iW» /2W» • • • • /«(«)» 

m, Mb\ f,{b), .... /„(*), 

und zähle die darin vorkommenden Zeichenfolgen Va und 

Vb oder die Zeichenwechsel Wa und wö; der Excefs von 

f (x) 

'~7-v, bezogen auf das Intervall x = a bis x = b, ist dann 

fix) 

= Va Vb = Wa Wb* 

Gebrochene Coefficienten vermeidet man bei diesem Verfahren 
dadurch, dafs man f(x), fA^)-, AW? ^tc. mit passenden Zahlen 
multiplicirt , wodurch sich die Excesse nicht ändern. Beispielsweis 
mag der Excefs von 

5x* — 30^2 _j- 6 
x^ — 10x3 _|_6^_j_Y 

für das Intervall a; = ~l bis x = -\-2 bestimmt werden. Hier ist 

f{x) = a:5 — lOorS -|- 6ar + 1, 
/^(a:) = 5a:* — SOo:« + 6, 
f^{x) = 20x^ — 24a: — 5, 
f^(x) = 96j:2 — 5a: — 24, 
/^(ar) = 43651j: + 10920, 
/^(a:) = -^ 13374559296; 
für X = — 1 sind die Werthe dieser Functionen : 

H-4, —19, —1, +77, —32731, +1337 

und für ä; = + 2 : 

— 35, —34, +107, +350, +76382, +1337 

Die erste Reihe enthält vier, die zweite einen Zeichen Wechsel ; zwi- 
schen den angegebenen Grenzen ist also der gesuchte Excefs = 
4—1 = 3. 

§. 12. Einer besonderen Untersuchung bedarf der specielle Fall, 
wo mehrere Glieder der Reihen A) und B) verschwinden. Da a und 
h willkürlich sind, so können dieselben immer so gewählt werden, 



368 Die höheren Gleichungen. 

dafs weder f{a) noch fil) den Werth Null hat; die Frage ist dann, 
wie sich die Sache für die übrigen Functionen gestaltet. 

Im Fall es einen Special werth x = § giebt , für welchen zwei 
benachbarte Functionen /*,„(^) und f„t+X^) gleichzeitig verschwinden, 
bedarf es nur der Erinnerung an die Gleichungen 






um einzusehen, dafs alle vorhergehenden und alle nachfolgenden Func- 
tionen gleichzeitig verschwinden müssen, dafs also f{^) = ist. Zu- 
folge der gemachten Voraussetzung hat aber weder f{a) noch /"(&) 
den Werth Null, mithin können fm(x) und fm+X^) weder für x = a 
noch für ^ = & gleichzeitig verschwinden. In den Reihen A) und 
B) sind also zwei benachbarte Glieder nie gleichzeitig Null. 

Wenn nur /"„,© verschwindet, so folgt ^-X?) = — /*m+i(?); 
d. h. die beiden Glieder, zwischen denen ein Glied wegfällt, besitzen 
entgegengesetzte Vorzeichen. 

Hiernach ist der Fall leicht zu beurtheilen, wo in der einen Reihe 
ein Glied , in der anderen keines fehlt. Wenn nämlich f„^{a) = 
ist, so folgen die drei Glieder fm-i(ct), /"mC«), /"m+iW entweder mit 
den Zeichen +, 0, — , oder mit den Zeichen — , 0, -[-, aufeinander, 
und wenn man der Null einmal das positive, das andere Mal das 
negative Zeichen ertheilt, so hat man folgende vier Fälle: 



Jede dieser Combinationen enthält einen einzigen Zeichen Wechsel und 
liefert daher beim Zählen der Zeichenwechsel einen Beitrag = 1. 
Überspringt man dagegen das fehlende Glied ohne Weiteres, so giebt 
jede Combination gleichfalls nur einen Zeichenwechsel, und es ist da- 
her für die Anzahl der Wechsel (nicht aber der Folgen) ganz gleich- 
gültig, ob man dem fehlenden Gliede irgend ein Vorzeichen ertheilt 
und es mitrechnet, oder ob man es unbeachtet läfst. Dafs die Sa- 
che sich ebenso verhält, wenn mehrere nicht benachbarte Functionen 
in A) ausfallen, ist leicht einzusehen ; dasselbe gilt von der Reihe B). 
Die im vorigen Paragraphen aufgestellte Regel zur Excefsbestimraung 
bleibt daher, auch wenn die Reihen A) und B) Lücken enthalten, 



II. Die Discussion der höheren Gleichungen. S69 

ganz ungestört, sobald man nicht die Folgen, sondern die Wechsel 
zählt; nur müssen a und h so gewählt sein, dafs weder f{a) noch 
f{b) verschwindet. 

§. 13. Um nun die Theorie des Excesses auf die Gleichungen 
anzuwenden , kehren wir zur Formel 7) in §.5 zurück. Setzen wir 
zur Abkürzung 

1) f{x) = a:« + fl,^"-^ + «2^"-' + . . . + ^„_,^ + «n, 

und bezeichnen mit «j , «^ , ... of„ die n Wurzeln der Gleichung 
f(x) == 0, so haben wir nach der genannten Formel 

und dabei sind alle Nenner von einander verschieden, wenn «j, «g, 
. . . of„ von einander verschieden sind, was wir für jetzt immer vor- 
aussetzen wollen. Irgend eine der Wurzeln sei au und es bezeichne 
d eine sehr kleine Zahl wenigstens kleiner als die kleinste aller Wur- 
zeldiiferenzen ; läfst man nun x von x = ak — d hi^ x = au -\-ö sich 

stetig ändern , so erleidet der Bruch an der Stelle x = au 

X — ak 

eine Unterbrechung der Continuität und springt von — oo nach -f- oo 

über, während alle übrigen Brüche endliche Gröfsen bleiben; die ge- 

f ix) 
brochene Function '—^ geht daher gleichfalls für x = ak von — oo 
fyx) 

nach + '^ über. Umgekehrt ist auch leicht zu sehen , dafs diese 

sprungweise Änderung von '---- nur dann eintreten kann, wenn x 

einen der verschiedenen Werthe of^, «2, . . . «„ erhält. Wenn nun x 

ein willkürlich gewähltes Intervall x ^== a bis x^h stetig durch- 

f (x) 
läuft und dabei ^jt-^ mehrmals , etwa m-mal , von — 00 nach -f- 00 

überspringt, so müssen auch m der Gröfsen a^, a^^ ... «„ zwischen 
x = a und x = h enthalten sein, d. h. in dem Intervalle x== a 
bis ic = & liegen nothwendig ebensoviel von einander ver- 
schiedene Wurzeln der Gleichung f{x) = 0^ als der ent- 

f {x) 
sprechende Excefs von '-^7^ beträgt. 

Läfst man z. B. x das reelle Intervall ic = bis o; = -f- 00 
durchlaufen, so erhält man die Gesammtzahl der positiven Wurzeln 

-^ooffx) 

Schlömllch al&ebr. Analysis. 6. Aufl. 24 



370 



Die höheren Gleichuiio:en. 



p -{- q und die Anzahl 



ebenso ist die Anzahl der negativen Wurzeln 

mithin die Anzahl der reellen Wurzeln 

der imaginären = n — (p -\- q). 

Um diefs auf die Gleichung 

x^ — 10jr3 _|_6.r4- 1 =0 

anzuwenden, hat man noch Formel 2) 

/^(x) = 5^4 — 30i:2 _|_e 

und wie im vorigen Paragraphen 

f^{x) = 20ar3 _ 24x — 5, 
/3(jr) = 96a:2 — bx — 24, 
f^{x) = 43651a: + 10920, 
/5(j:)= 13374559296. 
Setzt man der Reihe nach 

^ = — Oü, —4, —3, —2, — 1, 0, + 1, +2, +3, +4, 
SO erhalten die obigen Functionen folgende Zeichen: 



+ 00, 



X 


/(^) 


/iW 


AW 


AW 


AW 


AW 


— oo 


— 


+ 


— 


+ 


— 


+ 


— 4 




+ 


— 


+ 


— 


+ 


— 3 


+ 


+ 


— 


+ 


— 


+ 


— 2 


+ 


— 


— 


+ 


— 


+ 


— 1 


+ 


— 


— 


+ 


— 


+ 





+ 


+ 


— 


— 


+ 


+ 


+ 1 




— 


— 


+ 


+ 


+ 


+ 2 




— 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 3 


— 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 4 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ oo| 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 



5 Wechsel 
5 
4 
4 
4 
2 
1 
1 
1 



Zwischen x = — 4 und x = — 3 liegt demnach eine Wurzel , weil 
im letzteren Falle ein Zeichenwechsel weniger vorhanden ist; zwi- 
schen X = — 1 und X = liegen zwei Wurzeln , zwischen x = 
und ic == + 1 ist eine , zwischen ^ == + 3 und x = -{- 4 wieder 
eine Wurzel enthalten. Die Gleichung besitzt demnach drei negative 
und zwei positive Wurzeln, mithin keine complexe Wurzel. 

§. 14. Wir haben im Vorigen immer angenommen, dafs sämmt- 
liche Wurzeln der Gleichung f{x) = von einander verschieden sind, 
es ist daher noch zu untersuchen, wie sich die Sache in dem Falle 
gestaltet, wo unter den Gröfsen a^, a^^i • • • «« mehrere gleiche vor- 



II. Die Discussion der höheren Gleichungen. 371 

kommen. Gesetzt nun, es wären nur h von einander verschiedene 
Wurzeln «i, a^, ... au vorhanden, so würde jede derselben mehr- 
mals zu zählen sein, und dann hätte f{x) die Form 

f[x) = {x — a,)P {X — «2)9 .. .{x~ ciu)\ 

worin die ganzen positiven Zahlen p, q, r etc. angeben, wie oft a^, 
«j,, «3 etc. vorkommen. Aus der vorigen Gleichung erhält man 
/f{x-i-^) — /f{x) pr^^ ^ ^ , y 






und hier läfst sich der Übergang zur Grenze für verschiedene d- nach 
demselben Verfahren wie in §. 5 ausführen. Auf der linken Seite 
bedarf es gar keiner Änderung, rechter Hand ist nur zu bemerken, 
dafs die Logarithmen mit den Coefficienten p, q, etc. versehen sind, 
während sie in §. 5 die Einheit zum gemeinschaftlichen Coefficienten 
hatten; nach diesen Bemerkungen gelangt man zu der Formel 

U^^__P . __? . ...j L_. 

f{x) x — a^ X — «2 ' x — ^k 

Denkt man sich Alles auf gleichen Nenner gebracht, so erhält man 
zum Zähler eine ganze Function {k — l)ten Grades, welche kurz \\)(pc) 
heifsen möge, also 

/i(^_ Mp^ . 

j\x) [x — «i) (ar — ttg) . . . (j: — a^)' 
und endlich folgt durch Multiplication mit No. 4) 

5) /i(^) == ^(•^) • (^ — «i)^~' (-^ — «2)^"' . . . (^ — «t)*-^ 
Der Vergleich von No. 4) und No. 5) zeigt augenblicklich , dafs bei 
mehreren gleichen Wurzeln die Functionen f{x) und f-^{x) einen 
gröfsten gemeinschaftlichen Theiler haben, denn in der That läfst 
sich sowohl f{x) als f^{x) durch die Function 

{X — «i)?-^ {X — «2)9-1 (j, ^^)«-l 

ohne Rest dividiren. 

Der hierin liegende Satz gestattet sehr leicht die Umkehrung. 
Wenn nämlich f{x) und f^{x) keinen gemeinschaftlichen Theiler be- 
sitzen, so würde die Annahme, dafs gleiche Wurzeln vorkommen und 
dafs demgemäfs f{x) unter der Form 4) enthalten sei, zur Gleichung 
5) führen; diefs gäbe dann einen gemeinschaftlichen Theiler, was der 
Voraussetzung widerspricht. Man hat daher folgendes Theorem: die 
Gleichung f{x) = ^ besitzt gleiche oder verschiedene 
Wurzeln, jenachdem ein gemeinschaftlicher Theiler von 
f{x) und f-^{x) existirt oder nicht existirt. 

Um nun zu untersuchen, ob f{x) und f^{x) einen gemeinschaft- 
lichen Theiler haben oder nicht, gehen wir wieder auf die in §.11 

24* 



372 Die höheren Gleicliungen. 

aufgestellten Gleichungen zurück, welche das Bildungsgesetz der Func- 
tionen /*2(^), AW, • . . fn(x) enthalten. Setzen wir voraus, dafs f(x) 
vom ^ten Grade sei, so ist f^ix) vom {n — l)ten Grade, /*2(^) vom 
(n — 2)ten Grade u. s. w., mithin fn{x) vom nullten Grade, d. h. eine 
Constante, wie das im vorigen Paragraphen gegebene Beispiel zeigt. 
Möglicherweise könnte aber die Reihe der Functionen /"gC^;), f^i^)., 
. . . fn{oo) schon früher abbrechen und wenn z. B. fm+^i^) = ist, so 
würden die erwähnten Gleichungen folgendermaafsen lauten: 

/m-.(^) ^"-^ fm-.i^y 

.^\ — Vn»— 2 



Qm-,- 



/mW 

Die letzte Gleichung zeigt, dafs fm(x) in /"„_,(«) aufgeht; multipli- 
cirt man die vorhergehende Gleichung mit fm-,{^) und dividirt mit 
f„(x), so wird 

d. h. f^(x) geht in fm-^i^) ^^f- ^^^ drittletzte Gleichung giebt 

und sie zeigt, dafs fmi^) in fm-A^) aufgeht. Die Fortsetzung dieser 
Schlüsse lehrt, dafs /"m(^) in allen vorhergehenden Functionen, mit 
Einschlufs von f{x\ aufgeht, dafs also f^i^} gemeinschaftlicher Theiler 
von f(x) und /^{x) ist. 

Wenn dagegen keine der Functionen /*2(^), AC^), . • • fn{x) ver- 
schwindet, so kann man die Nichtexistenz eines gemeinschaftlichen 
Theilers von f{x) und f^(x) durch folgende Schlüsse darthun. Ge- 
setzt, die Function xi^) ginge sowohl in f{x) als in fi(x) auf, so 
wäre nach der ersten Gleichung 

/(fL)_/>A(f)_/2(^. 

fix) f (x) 

der Voraussetzung gemäfs sind hier '-j- und -—-^ ganze Functio- 

X[x) xW 



II. Die Discussion der höheren Gleichungen. 373 

f ix) 
nen, mithin mufs auch '-^^^ eine solche sein, d. h. %{x) in f.^{x) 

aufgehen. Die zweite Gleichung giebt 

und hier zeigen ganz ähnliche Schlüsse wie vorhin, dafs f(x) in f^{x) 
aufgehen mufs. Auf diese Weise fortfahrend, gelangt man zu dem 
Ergebnisse, dafs %{x) in allen den Functionen f2(x)-, fzi^)i • • • AW 
gleichzeitig aufgehen mufs. Diefs ist aber, weil fnipo) einen constan- 
ten Werth besitzt, nur dann möglich, wenn x{x) eine Constante, d. h. 
keine Function von x ist; dann existirt aber auch kein gemeinschaft- 
licher Theiler in dem hier genommenen Sinne. 

Das Verfahren der successiven Divisionen entscheidet also nicht 
nur, ob die Functionen f{x) und f^{x) einen gemeinschaftlichen Thei- 
ler haben oder nicht, sondern es liefert zugleich diesen Theiler selbst, 
und zwar ist leicht zu sehen, dafs es aufser f^^ioo) keine Function 
höheren Grades geben kann, welche gleichzeitig in f{x) und f^{x) 
aufgeht. Da hiernach fmioo) der gröfste gemeinschaftliche Theiler von 
f{x) und f-^{x) ist, so hat man durch Vergleichung mit dem Vorigen 

/m(^) = {x — «i)P-^ {X — «2)'-' . . . (j: - ^kY-\ 
mithin 

/^ = (o: _ « 1) (j: — «2 ) • • • (^ — «*)• 

./mW 

Die Gleichung 

enthält dieselben Wurzeln wie f{x) = 0, aber jede der von einander 

fix) 
verschiedenen Wurzeln nur einmal; setzt man also 7-^7-4: = ^W und 

behandelt diese Gleichung ^(ic) == nach der Methode der succes- 
siven Divisionen, so erhält man Aufschlufs über die Anzahl und Lage 
der von einander verschiedenen Wurzeln der ursprünglichen Glei- 
chung. 

Als Beispiel diene 

f{x) = x7 4- bx^ H- 6x5 — 6x4 _ i5j;3 _ 3J.2 _|. 8jr -I- 4. 

Hier ist, abgesehen von constanten Factoren, 

f^{x) = 7j:6 4- 30x5 _j_ 30a:4 _ 24x3 — 45^2 _ 6x + 8, 
/g(jr) == 11x5 -f- 46x* 4- 50x3 _ 2Qx^ — 61x — 26, 
/3(x) = x4 + 3x3 4_.^2 _ 3:p_ 2, 
/4(^) = 0, 



374 Die höheren Gleichungen. 

mithin f^{x) der gröfste gemeinschaftliche Theiler von f{x) und f^{x). 
Weiter hat man 



= ar3 +2J72 _ j:__2 = 9)(r); 



die Wurzeln der Gleichung cp{x) = sind x = \^ x= — 1, x = — 2, 
daher 

fix) = g> (X) ,f^{x) == (X — 1) (./• + 1) (^ + 2) [x^ + 3a:3 _|. ^^2 _ 3^ _ 3). 

Setzt man den Factor f.^(x) = 0^ so erhält man die übrigen Wur- 
zeln der Gleichung f(x) == und zusammen 

/(j:)==(:r— 1)2 (:r + 1)3(0: + 2)2. 

Die vollständige Discussion einer Gleichung mit Hülfe der suc- 

f (00) 
cessiven Divisionen und der Bestimmung des Excesses von -^^7— ist 

zuerst von K. Sturm gezeigt worden, wefshalb die Functionen fi(x\ 
f^{x\ . . . fn{x) den Namen Sturm'sche Reste führen. Auch für 
die complexen Wurzeln läfst sich eine ähnliche Untersuchung anstel- 
len, hinsichtlich deren wir auf die Quelle verweisen: Sur la deter- 
mination du nombre des racines etc. par M. Moigno, in Liou- 
ville's Journal, Jahrgang 1840, S. 75. 

ni. Die numerische Auflösung' der höheren Gleichungen. 
§. 15. Wenn die Coefficienten der Gleichung 

ganze Zahlen sind, so zeigen folgende Schlüsse, dafs x keinen ratio- 
nalen gebrochenen W^erth - haben kann, worin p und q relative 

Primzahlen bedeuten. Die Substitution des angegebenen Werthes lie- 
fert nämlich 

die linke Seite dieser Gleichung ist ein Aggregat von ganzen Zah- 
len, mithin selbst eine ganze Zahl; rechter Hand steht ein irredu- 
cibeler Bruch, weil q nicht in p und ebensowenig in p^ aufgeht. 
Zwischen einer ganzen Zahl und einem irreducibelen Bruche kann 

aber keine Gleichung bestehen , mithin ist die Annahme x = - un- 
richtig, wofern nicht entweder q==l ist oder ^ und g- gleichzeitig 
unendlich grofs sind. Eine Gleichung mit ganzen Coefficien- 



III. Die numerische Auflösung der höheren Gleichungen. 375 

ten hat daher entweder ganze oder irrationale oder 
complexe Wurzeln. 

Das Vorhandensein von ganzen Wurzeln läfst sich mittelst der 
Bemerkung erkennen, dafs der letzte Coefficient a„ dem Producte 
aller Wurzeln gleich ist, dafs also die ganzen Wurzeln unter den 
Theilern von a„ vorkommen müssen. Man versucht daher, ob die 
Factoren von a„ der Gleichung genügen; ist diefs mit dem einen oder 
anderen der Fall, so erniedrigt man den Grad der Gleichung durch 
Division mit dem Unterschiede zwischen x und der gefundenen Wurzel. 
Genügt keiner der Factoren, so hat die Gleichung nur irrationale 
oder imaginäre Wurzeln. 

Als Beispiel diene die Gleichung 

fi^x) = x^ — IOj:^ +26x3 — 23a:2 -j- 22.r -j- 6 == 0; 

hier sind die Theiler von 6 zu versuchen, nämlich 

jr = -J-l, +2, ±3, 

wobei sich zeigt, dafs nur die Annahme iz; = -j- 3 der Gleichung ge- 
nügt; diefs giebt 

X — 3 ' 

/(o:) = (x — 3) [x^ — 7x3 _^ 5j;2 _ 8x — 2). 
Um die übrigen Wurzeln zu finden, setzt man 

x* — 7x3 -[- öx^ — 8x — 2 = 
und erhält nach bekannten Methoden 

x = 3±yii, x==i + iy::::3; 

die fünf Wurzeln der gegebenen Gleichung sind daher 

X, = 3, ^2 = 3+-yTi, X3 = 3 — yn, 
^4 = i(i + ^'y3), X5=i(i-?y3). 

Wenn die Coefficienten der Gleichung 

o:« _|_ a^x''-' + flgx"-^ H- . . . + a^_^x + tf„ = 
rationale Brüche sind, so kann man dieselben auf einen gemeinschaft- 
lichen Nenner bringen, welcher ^ heifsen möge, so dafs etwa 

a, «9 «q 

ist. In der nunmehrigen Gleichung 

^n _|. *!l ^«-1 ■ ^ ^«-'^ _|_ . . . _|. "^EtzI ;r _i_ ^ == 
sind «1, «2, ... a„ und ^i ganze Zahlen, und wenn man 

X = - 

setzt, so erhält man nach Multiplication mit ju" 



376 Die höheren Gleichungen. 

Diese Gleichung besitzt ganze Coefficienten und kann nach der vo- 
rigen Methode behandelt werden; jedem § entspricht dann ein x, 
welches der ^f-te Theil von § ist. 
Beispielweis sei 

8 . . 13 « 13 , 1 1 

hier ist ^t^ == 12, und die Substitution x=^^ giebt 

F(^) = |5_32|4 _j_ 468^3 — 187212 __ 6912^ + 41472 = 0. 
Von den Factoren der Zahl 41472 genügen ^ = — 4 und ^ = + 6 
der vorstehenden Gleichung; weiter hat man 

_^__Z(|__. = |,_ 301^ +4321 -1728 

und da der Ausdruck rechter Hand für f == 6 verschwindet, so ist 
g == 6 eine neue Wurzel der Gleichung und 

Die Auflösung der noch übrigen quadratischen Gleichung giebt f == 
12 (1 + *) ; die fünf Werthe von x sind demnach 

y> ~f~ Y' ■T"Y> l+^> 1 '• 

§. 16. Hat man nach der vorigen Methode die etwa vorhande- 
nen ganzen Wurzeln einer Gleichung ausgeschieden, so besteht das 
nächste Geschäft darin, die noch übrige Gleichung von den etwaigen 
gleichen Wurzeln zu befreien (§. 14), so dafs man zu einer Gleichung 
gelangt, deren Wurzeln sämmtlich von einander verschieden und ent- 
weder irrational oder complex sind. Im Folgenden beschäftigen wir 
uns immer nur mit derartig vereinfachten Gleichungen. 

Durch Entwickelung der Sturm'schen Reste und Substitution be- 
liebiger Werthe von x lassen sich die Grenzen, zwischen denen die 
reellen Wurzeln der Gleichung liegen, beliebig eng ziehen und da- 
her kann man auch für die gerade aufzusuchende Wurzel einen vor- 
läufigen Näherungswerth finden, der x^ heifsen möge. Der genaue 
Werth des x diiferirt hiervon nur wenig und mag mit x^ + ^ be- 
zeichnet werden, wobei ö die erforderliche kleine Correction be- 
deutet. Ist nun 

f{x) = o:« + a^x^-- + a.,x-— + • • • + «n-x^ + ''« = 
die gegebene Gleichung, so mufs wegen x =^ x^ -\- d ferner sein 
f{x^ + ö) = (X, + bY + a, (x; + hf-^ + «, (X, + hf- + . . . 

— + fl„_i {x^ + ö) 4- fl„ = 



m. Die numerische Auflösung der höheren Gleichungen. 377 
d. i. wenn Alles nach Potenzen von d geordnet wird, 

+ [<-' +(«-!) «i^r' + ('' - 2) s-<~' + • • • + 1«„-J^ 

+ 

Die erste Zeile stellt den Werth dar, welchen f(x) im Falle x = Xi 
erhält, und ist daher mit f(x^) zu bezeichnen; die Coefficienten von 
(5, 1^2, etc. sind gewisse ganze Functionen von x^^ die zur Abkür- 
zung f(x^), f"{x^)^ etc. heifsen mögen, und wobei besonders her- 
vorgehoben werden mufs, dafs f{x) identisch mit der Function f^ {x) 
ist, welche in dem Sturm'schen Satze vorkommt. Aus der nunmeh- 
rigen Gleichung 

/(^i)+/Vi)^ + i/Vi)^^+... = 0, 
worin x^ bekannt, dagegen d unbekannt ist, läfst sich ö zwar nicht 
genau, aber doch näherungsweise finden. Weifs man nämlich im 
voraus, dafs cJ<[tV^ mithin ö^ <Ct^t7? ^^ < tthttf ^tc. ist, so hat 
die Summe 

keinen bedeutenden Einflufs auf die 2te Decimalstelle und daher ist 
A^i) + A^i) ^ nahezu = 0. Der hieraus folgende Werth von d 
mag, weil er nicht absolut genau ist, mit ö^ bezeichnet werden; man 
hat für ihn 

Setzt man in der Gleichung x==x^ -\- d für ö den gefundenen Nä- 
herun gs werth , so erhält man einen zweiten Näherungswerth für x, 
nämlich 

der, unter der Voraussetzung (^<tVi ^^ Allgemeinen auf 2 Der- 
malen richtig ist. Man wiederholt nun dasselbe Verfahren, d. h. man 
betrachtet x.^ als anfänglichen Näherungswerth, bestimmt die zuge- 
hörige Correction 

und gelangt zu einem dritten Näherungswerth 

X ^ = x^ -\- Og, 

der im Allgemeinen 4 richtige Decimalen zählt. So fortgehend kann 
man der Reihe nach 8, 16, 32 etc. richtige Decimalstellen finden. 

Bei diesem Verfahren ist es der Sicherheit wegen unerläfslich, 
jeden gefundenen Näherungswerth zu prüfen, was auf folgende Weise 



378 Die höheren Gleichungen. 

geschieht. Da x einen irrationalen Werth hat, 30 besteht die ge- 
suchte Wurzel aus einer ganzen Zahl € und den unendlich vielen De- 
cimalen ^^, C2, ?3, etc., es ist also 



»1 I ^2 I ^3 



10 ' 102 ' 103 ' 

ein gefundener Näherungswerth von x ist nun auf k Decimalstellen 
richtig, wenn der wahre Werth von x zwischen 



und 



£ 4> ll 4_ A^ _L. 4_ Jl 



f _i_ li -j_ Ji- _!_ I fe^fc + 1 

~^10~'"l02~^ "^ 10^ 



liegt. Um diefs zu erfahren, braucht man nur die beiden vorstehen- 
den Näherungswerthe von x in f(x) zu substituiren und auf die ent- 
stehenden Vorzeichen von f{x) zu achten. Sind nämlich diese Vor- 
zeichen entgegengesetzt, so liegt in der That x zwischen jenen Wer- 
then, weil f{x) sein Vorzeichen nur mittelst Durchganges durch Null 
ändern kann. 

Diese von Newton herrührende Methode wird an folgendem 
Beispiele klar werden. Es sei 

f{,x) = j:5 _ 6.r — 10 = 0, 

/(^.) = 5jr* —6; 
durch Versuche findet man leicht, dafs eine Wurzel dieser Gleichung 
zwischen 1,8 und 1,9 liegt; es ist daher 

X, =1,8; 

^^~" /(1,8)~ +46,488 ^"'"*' 

^2 = 1,8 + 0,04=1,84. 

Die Substitution dieses Werthes macht f(x) positiv, dasselbe findet 

statt für a;=l,85, dagegen giebt ^ = 1,83 einen negativen Werth; 

es ist nämlich 

/(1,84) = + 0,0506, 

/(l, 83) = — 0,4563, 
mithin liegt die gesuchte Wurzel zwischen 1,83 und 1,84 und zwar 
näher an der letzten Zahl als an der ersten. Man hat weiter, von 
x^ = 1,84 ausgehend, 

,^_„/(i^)___M506^_0,00099, 
2 /(1,84) 51,3114 

Xg = 1,84 — 0,00099 = 1,83901, 
und zur Controle: 



(Jg = — i-i^-^—L-ri = ^-v.'-TT.T^T^ = + 0,0000025, 



m. Die numerische Auflösung der höheren Gleichungen. 379 

/(l, 83901) = — 0,00013, 
/(l, 83902) = -j- 0,00043, 
woraus hervorgeht, dafs x zwischen 1,83901 und 1,83902 liegt. Die 
Berechnung des vierten Näherungswerthes giebt 
/(l, 83901) _ ___ —0,00 013 
/(1,8390T)~" +51,18820 
:r4 = 1,8390125, 
welcher Werth bereits auf sieben Decimalen genau ist. 

Das hiermit auseinander gesetzte Verfahren gestattet noch einige 
Modificationen , wodurch es bequemer für den praktischen Gebrauch 
wird; um diefs zeigen zu können, müssen wir in den beiden näch- 
sten Paragraphen Einiges vorausschicken. 
§. 17. Setzt man 
1) f(x)^a,x^ + fl,:r«-» + a^x''-' + . . . + ^„_,a; + «„, 
SO ist die Differenz f(x) — f{r) ohne Rest durch x = r theilbar 
(§. 2), und der Quotient bildet eine ganze Function {n — l)ten Gra- 
des; man hat also 

■^-~~" = *«^'-' + *i'"-^ + • • • + *«-.^ + *»-. 

oder 



x — r " ■ ^ ■ ■ "^ ■ " ' • X — r 

Diese Gleichung läfst sich auch folgen dermaafsen aussprechen: wenn 
f(x) durch X — r dividirt wird, so besteht das Resultat aus einer 
ganzen Function nächst niedrigeren Grades und aus einem Reste f(r), 
welcher den Specialwerth darstellt, den f{x) für x = r erhält. Man 
würde demnach f{r) finden können, wenn man jene Division auf ir- 
gend eine einfache Weise auszuführen wüfste. Aus No. 2) folgt aber 
durch Multiplication mit x — r 

— b^rx""-' — ^^rx"-^ _ . . . _ b^^^rx 
und nun giebt der Vergleich mit No. 1) 

^0=«0' *i =«1 4-'^ü''' ^2 =«2 +*l^' • • • • 

Hieraus entspringt folgende Rechnungsvorschrift: man schreibe 
die Coefficienten «o, «j, ... a„ nebst ihren Vorzeichen 
in eine Horizontalreihe, multiplicire den ersten Coeffi- 
cienten mit r, setze das Product unter den nächsten 
Coefficienten a^ und addire beides; die Summe multi- 
plicire man wieder mit r, schreibe das Product unter a^ 



380 Die höheren Gleichungen. 

und addire u. s. w.; die entstehenden Summen sind die 

Coefficienten h^, h.^^ etc. und die letzte Summe ist der 

Rest oder der Functionswerth f{r). 

Soll z. B. die Function 

/{x) = x^ — lla:4 _|-79^2 __i6jr_2 

durch X — 3 dividirt werden , so ist die Rechnung : 

4-1, _ii, 0, +79, —16, — 2, 

+ 3, —24, —72, +21, +15 , 

+ 1, — 8, —24, + f, +5, +13; 

man hat folglich 

fix) 13 

•^ ^ ^ —x^ — Sx^ — 24x2 4_ 7a: + 5 + 



x—S ' ' ' j:— 3 

und zugleich 

/(3)== + 13. 
Dafs diese Methode selbst bei gebrochenen a^^ a^, ... a„ und r 
immer noch kürzer als die gewöhnliche Division ist, mag folgendes 
Beispiel zeigen. Es sei 

f{x) = 52.^3 _ 3, 25.r2 + 47^' — 73, 084 
durch X — 15,231 zu dividiren und sowohl der Quotient als der Rest 
auf drei Decimalstellen zu berechnen. Man hat in diesem Falle 



52; —3,250, 




+ 27; 


— 73,084; 


761,55 




7887,62 


120606,34 


30,462 




3943,810 


60303,170 


792,012 




157,752 


2412, 127 






23, 663 


361,819 






0,789 


12,061 






12013,634 


183695,517 


52; +788,762; 


+ 


12060,634; 


+ 183622,433; 


52^3 — 


3,25 


x2 ^4lx- 


- 73,084 




X 


— 15,231 




= .*>9:r2 1 7QÖ » 


7fi9r 


-1- 19060 63^ 


183622,433 



^ ...,...-,-rx. ,... , :r — 15,231' 
/(15, 231) = + 183622, 433. 
§. 18. An das Vorige knüpft sich eine Aufgabe, welche im Fol- 
genden sehr oft vorkommen wird, nämlich diejenige Gleichung 

«,^" + or^r-^ + a2r-« + ... + a,,_J + a^ = 

ZU finden, deren Wurzeln um eine gegebene Gröfse r kleiner sind als 
die Wurzeln der Gleichung 

fix) = a,x- + ^,T»-^ + a,x—' + . . . + a,_^x + «„ = 0. 
Der gestellten Forderung nach soll § z= x — r sein , mithin ist 



III. Die numerisclie Auflösung der höheren Gleichungen. 381 
«0 i^-^r + «1 ix-rr-' + a, (.r-r)«-^ + . . . . 

und hieraus folgt füYx = r 

Subtrahirt man diese Gleichung von der vorigen und dividirt mit 
X — r, so erhält man rechter Hand einen ganzen Quotienten, wel- 
cher q){x) heifsen möge, also 

«0 (^ — rr.'' 4- «1 (^ — rr-' + «2 (-^ - ^0"-' + . . . 

und für x == r 

Hier wiederholt sich dasselbe Verfahren; man zieht diese Gleichung 
von der vorigen ab, dividirt mit x — r, nimmt x = r und erhält, 
wenn ip{x) den ganzen Quotienten bezeichnet, 

«„_, = i/^(r) U. S. W. 

Nach dem im vorigen Paragraphen entwickelten Satze ist f(r) iden- 
tisch mit dem Reste bei der Division von f(x) durch x — r, ebenso 
ist g){r) der Rest bei der Division von q)(x) durch x — r u. s. w.; 
die gesuchten Coefficienten «„, a„_j, a^_^ etc. sind also 
die Reste, welche entstehen, wenn f(x) durch x — r, der 
ganze Quotient wieder durch x — r, der darauf folgende 
ganze Quotient gleichfalls durch ^ — r dividirt und auf 
diese Weise fortgefahren wird. Die ganze Reihe dieser Di- 
vision läfst sich nach dem vorhin gezeigten Verfahren ausführen und 
damit die ganze Rechnung auf einen einfachen Mechanismus zurück- 
bringen. 

Beispielweis mag aus der Gleichung 

x* — 10^3 + 6a-2 -f.7:r -j-130 = 
eine neue Gleichung 

hergeleitet werden, deren Wurzeln § um 3 kleiner als x sind; man 
hat dann folgende Rechnung 

r = 3 



+ 1, 


— 10, 


+ 6, 


+ 7, +130; 




+ 3, 


— 21, 


— 45, —114, 


+ 1, 


- 1, 


— 15, 


— 38, + 16^ 




+ 3, 


— 12, 


— 81, 


+ 1, 


- 4, 


-27, 


-119=«3; 




+ 3, 


— 3, 




+ 1, 


— 1. 

+ 3, 


— 30 = 


= «,; 



+ 1, + 2 = «, 



382 Die höheren Gleichungen. 

mithin ist die gesuchte Gleichung 

^4 + 2^3 _ 30^2 _ 119 |_^ 16 = 0. 
Nach demselben Verfahren kann man die abgeleitete Gleichung 

aol" + c.,r-^+«,r-^ + ... + cv,._J + (v„ = 

auch so einrichten, dafs «^ = wird. Aus der ursprünglichen 
Gleichung 

a^x^ -f- fl.or"-' + «2^«-^ + . . . + o„_,x + «„ = 
folgt nämlich , wenn man § = x — r oder x = ^ -\- r setzt, 

«o^" + («'i+'^«o^)r-^ +.... = 0, 

a^=aQ, «1 =«1 -f-^'^o^' 

und hier wird of^ == für 



mithin sind in diesem Falle successive Divisionen mit x H vor- 

naQ 

zunehmen. Für die Gleichung z. B. 

^5 — IOjt* _ 7.x3 + 8:r2 + 61^4- 43 = 

ist X — 2 der fortwährende Divisor und giebt folgende Rechnung: 
+ 1, —10, — 7, H- 8, + 61, 4-43; r = 2; 
+ 2, — 16, — 46, — 76, — 30, 

= «5 5 



+ 1, 


— 


8, 


— 23, 


— 38, — 15, 


+ 13: 




+ 


2, 


— 12, 


— 70, —216, 




+ 1, 


— 


6, 


— 35, 


— 108, — 231 : 


= «4; 




+ 


2, 


— 8, 


— 86, 




+ 1, 


— 


4, 


-43, 


-194 = a3; 






+ 


2, 


— 4, 


= «2 5 




+ 1, 


— 


2, 


— 47 = 






+ 


2, 









+ 1, = «^; 

die neue Gleichung lautet daher 

J5 _47|3_ 194 12 _23U + 13 = 0. 

Wenn r eine mehrzifferige Zahl ist, so kann man die Vermin- 
derung mit einer Ziffer nach der andern ausführen, um jederzeit nur 
einen einzifferigen Factor zu haben. Um z. B. die Wurzeln der Glei- 
chung 

.T* — 12a:3 _|_ 17^2 _. 9^_|_ 7 = 
um 3,27 zu vermindern, erniedrigt man sie erst um 3, dann um 0,2 
und zuletzt um 0,07, wobei sich jede folgende Operation unmittelbar 
an die vorhergehende anschliefst, nämlich 



III. Die numerische Auflösung der höheren Gleichungen. 

— 12, +17, — 9, +7, 

+ 3, —27, — 30, —117, 



10, 
18, 



39, 

84, 



110, 
26,0784 



- 6, 
+ 3, 



-28, 
— 9. 



— 123, 

— 7,392 



— 3, 
+ 3, 



37, 
0,04 



— 130,392 

— 7,376 



0, 
0,2 



— 36,96 
-h 0,08 



4-0,2 —36,88 
+ 0,2 + 0,12 



+ 0,4 
+ 0,2 



0,6 
0,2 



136,0784 
9,82358559 



383 
(3 

(0,2 

(0,07 



— 145,90198559 



— 137,768 

— 2,568937 



140,336937 
2,564331 



— 36,76 
+ 0,0609 



142,901268 



— 36,6991 
+ 0,0658 



0,8 
0,07 



36,6333 
0,0707 



+ 0, 87 — 36, 5626 
+ 0,07 



+ 0,94 
+ 0,07 



1,01 
0,07 



+ 1,08 
Die VerminderuDg um 3 giebt hiernach die Gleichung 

^4 _ 37 12 _ 123 g-_ 110 = 0; 
die Verminderung um 3,2 giebt 

7}^ + 0,8 1^3 — 36,76*^2 __i37^768r;— 136,0784 = 0; 
endlich erhält man durch Verminderung um 3,27 
t^ + 1,08^3 — 36,5826^2 _ 142,901268^ 

— 145,90198559 = 0. 
§. 19. Mittelst der in beiden vorigen Paragraphen gemachten 
Bemerkungen läfst sich die Newton'sche Näherungsmethode auf fol- 
gende Weise praktischer gestalten. Wir setzen voraus, dafs man 
einen ersten, auf eine Decimalstelle richtigen Näherun gs wer th für die 
gesuchte Wurzel der Gleichung 



1) 



+ «,.r"-^ + ... + «„_,^. + «„ 



384 Die höheren Gleichungen. 

gefunden habe und bezeichnen denselben wie in §.16 mit 

-'=^ + 15' 
während der genaue Werth 

j: = £ + -^ + ^-4--^4-.... 

sein möge. Wird nun ic um ^r^ vermindert, indem man x — Xj^=y 
setzt, so entsteht eine neue Gleichung 

2) r + ^y"-^ + b,y--^ -I- . . . + *^_^^ + Ä„ = 0, 
und darin ist vermöge der Werthe von x und x^^ 

V = -^ -4- -^ -4- -^ -I- 
•^ 102 "^ 103 ~f~ 10* "^ 

mithin ^<[tV- Zufolge dieses Umstandes sind y^^ y^^ ... tf^ kleine 
Brüche, deren Weglassung keinen grofsen Fehler erzeugen kann; es 
ist daher näherungsweis nach No. 2) 

^„_,2^ + ^« = oder ^ = — — "-, 

''n— 1 

r 
und dieser Ausdruck mufs nahezu mit j~ übereinstimmen, weil der 

dekadische Werth von y, auf seine erste Decimale beschränkt, in der 

r 
That = Y^ ist. Demnach bestimmt sich die nächste Decimale von 

X durch die Formel 

und der zweite Näherungswerth von x ist 

Bevor man weiter geht, mufs man erst die Prüfung der neuen Deci- 
male ^2 vornehmen, und zu diesem Zwecke substituirt man in No. 2) 
sowohl X2 als den Werth 

^2-^ + 10^ 10'^ ' 
wodurch f{x) verschiedene Vorzeichen erhalten mufs. Diese Controle, 
welche nach §.17 ausgeführt wird, bildet zugleich den Anfang zur 
Ermittelung der nächsten Decimale ^3. Man vermindert nämlich y 

r 
um — |j und gelangt dadurch zu einer neuen Gleichung 

3) ^" + ^1 ^""' + 0, z^-' -f . . . + c„_, ^ + c„ = 0, 
deren Wurzel ist 



III. Die numerische Auflösung der höheren Gleichungen. 385 

^ 102 103^10*^ ' 

da ^ weniger als y^^ beträgt , so kann man die Gleichung 3) auf 
c„_i -{- Cn = reduciren und erhält dadurch den ungefähren Werth 

von z. Dieser mufs nahezu == i~ sein, mithin bestimmt sich die 

dritte Decimale ^3 durch die Formel 

103 

und der entsprechende dritte Näherungswerth von x ist 

j. r I- ^1 I ^2 1-^3 

3 — '^ 10^102^103- 

Nachdem man die gefundene dritte Decimale controlirt hat, geht man 
auf demselben Wege weiter zur Bestimmung von C4, ^5, etc. 
Als Beispiel diene die Gleichung 

a:3 -f- 8x2 4- 6a:— 75,9 = 0. 
Eine reelle Wurzel derselben liegt zwischen 2 und 3; durch Versuche 
findet man leicht 

x, = 2,4. 
Vermindert man x um 2,4, so erhält man die neue Gleichung 
?/8 4- 15,2y2 _j_ 61,68^— 1,596 = 0, 

diese giebt 

__^3 _ 1,596_ 

~~ i^ "~ ei; 68 ~" ' '"' 
mithin als zweiten Näherungswerth 

^2 = 2,42, 
der sich durch die Controle als richtig zeigt. Die Verminderung des 
y um 0,02 führt zu der weiteren Gleichung 

s3 _j_ 15^26^2 -1-62,28925 — 0,356312 = 0, 

woraus folgt 

Co 0,356312 

3^_j =0,005 . . ., 

c^ 62,2892 ' ' 

X3 =2,425. 

Nach geschehener Prüfung ist s um 0,005 zu vermindern; hierdurch 

entsteht die Gleichung 

m3 -^15,275^2 4-62,441875^ — 0,044484375 = 0, 

welche giebt 

d. 0,044484375 

^ = = 0, 0007 .... 

rf, 62,441875 ' ' 

x^=2,4257. 

Schlümilch, algebr. Analysis. 6. Aufl. 25 



386 Die höheren Gleichungen. 

Das Detail dieser Rechnung giebt die folgende Zusammenstellung, 
worin x erst um 2, dann um 0, 4 vermindert worden ist. Unter den 
stärkeren Strichen stehen jedesmal in diagonaler Richtung die Coef- 
ficienten einer durch Verminderung erhaltenen Gleichung. 



6, 
20, 



75,9 
52, 



10, 

2, 



26, 
24, 



12, 

2, 



50, 
5,76 



14, 
0,4 



55,76 
5,92 



— 23,9 
22, 304 

— 1,596 
1,239688 

— 0,356312 
0,311827625 



14,4 
0,4 



61,68 
0,3044 



0,044484375 



r = 2, 
r = 0, 4 
/• = 0, 02 
,.^0,005 
,. = 0,0007 



14,8 
0,4 



61,9844 
0,3048 



15,2 
0,02 



62,2892 
0,076325 



15,22 
0,02 



62,365525 
0,076350 



15,24 
0,02 

15,26 
0,005 



62,441875 



15,265 
0,005 



15,270 
0,005 



15,275 

Handelt es sich um die Bestimmung negativer Wurzeln, so ver- 
wandelt man dieselben dadurch in positive Wurzeln, dafs man a^, 
a. , «5 , etc. mit entgegengesetzten Zeichen nimmt. 

Besondere Aufmerksamkeit verlangt der Fall, wo zwei Wurzeln 
einander sehr nahe liegen. Besteht z. B. die eine Wurzel aus den 
Ziffern «, Cj, Cg etc., die andere aus «, ^i, ^^ ^tc, so genügt der 
Gleichung 2) sowohl 



^1. U 

•^ 10^ 102 



^3 
103 



m. Die numerische Auflösung der höheren Gleichungen. 387 
als auch 

2/=:— l4.:^4-l3__4_ 

^ 10~ 102 ~ 103 ^" * •' 

mithin mufs ihre linke Seite sowohl für 



als auch für 






einen Zeichen Wechsel erleiden. Das letzte Glied c„ der nächsten trans- 
formirten Gleichung enthält das Resultat einer solchen Substitution, 
man erkennt also die Trennungsstelle zweier naheliegenden Wurzeln 
daran, dafs einerseits der Gleichung 2) zwei Zahlen genügen und 
dafs andererseits das letzte Glied der nächsten transformirten Glei- 
chung sein Zeichen wechselt, wenn ^^ für Ci gesetzt wird. 

Die hiermit auseinandergesetzte Modification des Newton'schen 
Verfahrens ist unter dem Namen der Horner'schen Methode 
bekannt; sie empfiehlt sich vor allen übrigen Auflösungsarten durch 
Leichtigkeit und Sicherheit. Bei der praktischen Anwendung der- 
selben können noch manche Rechnungsvortheile benutzt werden, deren 
Erörterung hier zu weit führen würde. Auch zur Berechnung der 
complexen Wurzeln läfst sich die nämliche Methode anwenden. Hin- 
sichtlich dieser Einzelnheiten verweisen wir theils auf Horner's Ab- 
handlung in den Philosophical transactions vom J. 1819, theils auf 
die Schriften: Spitzer, Allgemeine Auflösung der Zahlengleichungen, 
Wien 1851, und Scheffler, die Auflösung der algebraischen und 
transcendenten Gleichungen, Brauuschweig 1859. 

§. 20. Eine andere Methode zur Auflösung von Gleichungen be- 
ruht auf der sogenannten regula falsi und läfst sich leicht geome- 
trisch veranschaulichen. Denkt man sich nämlich x als Abscisse und 
y = f{x) als Ordinate eines Punktes, so repräsentirt die genannte 
Gleichung eine gewisse Curve, welche die Abscissenachse schneidet 
oder berührt, so oft y den speciellen Werth Null bekommt. Die Auf- 
lösung der Gleichung f{x) = ist daher nichts Anderes als die Auf- 
suchung derjenigen Punkte, in welchen ein Durchschnitt oder eine 
Berührung der Curve mit der Abscissenachse stattfindet. In einer 
Figur, die man leicht entwerfen wird, mögen 

OM^=x^ und M,P^==^y,=f{x,\ 

OM^ = x^ und M^P^ = 2/2 =f{x^), 

die Coordinaten zweier Curvenpunkte P^ und P^ sein, auch werde 

noch vorausgesetzt, dafs «/, und y.^ entgegengesetzte Zeichen haben, 

25-^ 



S88 i)ie höheren Gleichungen. 

mithin P^ und Pg auf entgegengesetzten Seiten der Abscissenachse 
liegen; die Curve mufs dann, wofern sie überhaupt continuirlich von 
Pj bis P2 verläuft, die ^-Achse wenigstens einmal schneiden. Aber 
auch die Sehne P1P2 schneidet die ijs- Achse in einem Punkte M.^^ 
dessen Abscisse OM^ = x.^ mittelst der Proportion 
.x'3 — x-^ : x^ — x^ = — y^ : y^ — ij ^ 
leicht zu bestimmen ist, nämlich 



Sind nun x^ und x^ wenig^ von einander verschieden, so liegen die 
Punkte Pi und Pg einander ziemlich nahe, und der Curvenbogen 
P^P^ kann näherungsweis mit seiner gleichnamigen Sehne verwech- 
selt werden; dann liegt aber M^ dem gesuchten Durchschnitte von 
Curve und ^- Achse jedenfalls näher als jeder der Punkte M^ und 
iltf 2 , d. h. wenn x^ und x^ ein paar Näherungswerthe für 
das gesuchte x sind, und wenn y^ und y^ entgegenge- 
setzte Zeichen haben, so ist x^ ein besserer Näherungs- 
wert h. Diese einfache Betrachtung läfst sich gleich wiederholen, 
um einen neuen Näherungswerth zu finden. Berechnet man nämlich 
die zu ^3 gehörende Ordinate y.^ =f(^s), so ist dieselbe von Null 
verschieden und bildet daher entweder mit y^ oder mit y^ einen 
Zeichenwechsel, wobei wir, um einen bestimmten Fall vor Augen zu 
haben, beispiel weis voraussetzen wollen, dafs ^^ ^^^ ^3 entgegen- 
gesetzte Zeichen haben mögen. Die Verbindungslinie P2P3 schnei- 
det die X - Achse in einem Punkte If 4 , und die Abscisse desselben, 
nämlich 

giebt nun einen neuen, wiederum besseren Näherungswerth für x, 
u. s. w. 

Als Beispiel mag nach diesem Verfahren die zwischen und 1 
liegende Wurzel der Gleichung 

y = x'^ -{- 1 x — 3 = 
berechnet werden. Indem man zuerst die Werthe ;r = 0, 1 und 
ic = 0, 2 etc. versucht , findet man 

für a: = 0,4; ^ = —0,19; 
- a: = 0,5; ^/ = + 0,53; 

daher ist ein genauerer Werth 

0, 5 — 0, 4 

a: = 0, 4 '- — -— ^ (— 0, 19) = 0,426. 

0,53 — (—0,19)^ ' ^ 



III. Die numerische Auflösimg der höheren Gleichungen. 389 

Diesem entspricht y = — 0,004, daher combinirt man 
X = 0, 426 ; 2/ = — 0, 004 ; 
a: = 0, 5 ; 7/ = + 0,530; 

diefs giebt 

0,074 
07 = 0,426 +7;^^7r7 • 0,004 = 0,42655. 
0, 534 

Der zugehörige Werth von ^ ist «/ = — 0,00003, mithin x = 0,42655 

schon ziemlich genau. Vergröfsert man die letzte Decimale um eine 

Einheit, so wird y positiv, mithin kann man von der neuen Combi- 

nation ausgehen: 

X = 0, 42655 ; z/ = — 0, 00002952 ; 

o: = 0, 42656 ; ^ == -|- 0, 00004214; 

der neue Näherungswerth ist 

0,00001 

X = 0, 42655 4- ——^ . 0, 00002952 = 0, 4265541 

' ^ 0,00007166 ' 

und giebt auf sieben Decimalen genau y = 0. 

§.21. Im Principe wesentlich verschieden von den bisherigen 

Auflösungsmethoden ist folgende. Sind a, ß^ y, . . . v die n Wurzeln 

der Gleichung 

1) X- — A^x^-' + J.,x--' — . . . + A^_,x + A = 0, 

so gilt bekanntlich die Relation 

= (x — «) (ar — ^) (o: ~ y) (^ — v); 

daraus folgt, wenn man — ^ an die Stelle von x treten läfst, 

,^n + J^^n-. ^ j^^n-, + . . . + A „_^X + A^ 

= (o; + a) (.T + /3) (^ + y) . . . . (x + v) 

und durch Multiplication beider Gleichungen 

- {AI - 2A,A^ + 2A^A, - ^A,) x^-~^ + . . . . 

= (a:2 _ c^2) (a;2 _ ^2) (.;p2 _ y2) (x^ — v^). 

Zur Abkürzung sei 

y = x^, 
B^^A\ — 2A^, 

^^ \b,^AI- 2A,A, + 2A,A, ~ A,, 



die vorige Gleichung lautet dann 

yn __ B^y""-' + ^2?/"-' — 

In den speciellen Fällen «/ = «^, y = ß^ •, y =^y^ etc. verschwindet 
die rechte Seite dieser Gleichung; die n Wurzeln der Gleichung 



390 Die höheren Gleichungen. 

3) r - B^y^-' + ^2/'"' — ^3/"^' + . . . = 

sind also a^^ ß^^ y^, . . , v^, äL.\i. dl^ Quadrate von den Wurzeln der 
ursprünglichen Gleichung 1). Diese Transformation kann leicht wie- 
derholt werden; setzt man nämlich z = y^^ und 

C^^Bl — 2B^B^+2B^, 
SO erhält man eine neue Gleichung 

deren Wurzeln die Quadrate von y, d. h„ die Biquadrate von x sind. 
Indem man auf diese Weise fortgeht und das erwähnte Verfahren 
p-mdX anwendet, gelangt man zu einer Gleichung 

4) u^ _ PjW«-^ -}- />2M«-2 _ ^3«"-=' -I- . . . = 0, 

deren Wurzeln die 2^ten Potenzen von den Wurzeln der Gleichung 1) 
ausmachen; setzt man zur Abkürzung 2p = q, so genügen hiernach 
der Gleichung 4) die Werthe 

u = a9, u = ß9^ u=:y9, ..,?/ = v9, 

und es ist dabei nach §. 5 

P^ == «9 -f- ^9 -j- y<7 4- Ö9 +'. . 

P^ = a9ßl -j- cc9y9 -f- «9^9 -}- . . 

_|_ ßgyq _j- ßqßg _j_ . . 

+ y989 + . . 



/>3 = a'lßQyl -\- agßlöi 



u. s. w. 
Unter der Voraussetzung, dafs a, ß, y, etc. reell und nach der Gröfse 
ihrer absoluten Werthe geordnet sind, etwa 

hat man 

«9 > i^'^ > y'' > 

und hier kann man q immer so grofs wählen, dafs «*? die übrigen 
Potenzen ß'f, yf etc. bedeutend überwiegt. Dann ist nahezu a? + 
/?9 -}- y9 -|- einerlei mit ai, also 

/*! == «9, 

und aus gleichem Grunde 

/>2 = alß9, 1\ == alßlyl, u. S. W. 

Diese Gleichungen liefern der Reihe nach alle reellen Wurzeln, nämlich 
„ = Vy>- ß = fc v==fc 

"^ »' ^ a ' ^ aß ' 



III. Die numerische Auflösung der höheren Gleichungen. 391 
oder bei logarithmischer Rechnung 



log a 



logl\ log'P^ 



5) { log ß = -^-^ — 



9 9 

Im 
log y 



logl\^ logP^ 



U. S. W. 



Begreiflicherweise sind P^ , Pg, P.j etc. sehr grofse Zahlen; man 
berechnet daher nur die Logarithmen der Coefficienten 



^l> ^2» ^3' 

^1 > ^2» ^3 > 



P P P 

1 ? 2 » 3 ' 



und benutzt hierzu die Tafeln der Additions- und Subtractionsloga- 
rithmen. 

Auf die Gleichung 

^4 — 15.r2 + 2O1: — 2 = 
angewendet, giebt dieses Verfahren zuerst 

y4. _ 302^3 _}_ 221 z/2 — 340y + 4 = 

und als zweite Transformation 

z^ — 458;53 _|_ 22449^2 _ 1 13832^ 4-16 = 0. 

Von hier an steigen die Coefficienten so rasch, dafs wir nur deren 
Logarithmen benutzen und zur Abkürzung statt num log C das ein- 
fache Zeichen 7: schreiben; als dritte, vierte und fünfte der trans- 
formirten Gleichung finden sich 



5, 1843065 s^ + 8, 8482340 s^ — 10, 1124984 



+ 2, 4082400 



10,3415830| t^ H- 17, 69299301 r« — 20,2249968] t 

-\- 4,8164800 = 0, 



//4 — 20, 6822760 u^ -\- 35, 3859760 u^ — 40, 4499936 ?i 



+ 9, 6329600| = 0, 
und zwar sind die Wurzeln der letzten Gleichung 

u = a^^, u = ß^^, ti = y^^, w = ö32. 

Ob man noch weiter gehen soll oder nicht, entscheidet sich durch 
folgende Bemerkung. Der Coefficient von P ist: 

10,3415830| = cei6 _|- ^1 6 _j_ yi 6 _|_ ^i6^ 

und der Coefficient von u^: 



20, 6822760| = a32 -\- ß^2 -f.yS2 _|_Ö32 



392 Die höheren Gleichungen. 

der letztere kommt beinahe dem Quadrate des ersten gleich, mithin 
überwiegen bereits die Potenzen von a so sehr, dafs angenähert 
10,34.. . = %(«i6) und 20,68. . . = % («3 2) ^ 2 /o^ («i6) 
ist, als wenn die Potenzen von ß, y, d gar nicht vorhanden wären. 
Diese Bemerkung gilt auch allgemein, d. h. man wird mit dem suc- 
cessiven Quadriren innehalten, sobald die Coefficienten der transfor- 
mirten Gleichungen quadratisch wachsen oder, was dasselbe ist, wenn 
ihre Logarithmen sich verdoppeln. Die Coefficienten der letzten Glei- 
chung geben nun nach den Formeln 5) 

20,6822760 

log a= =0,6463211, 

32 

, ^ 35,3859760 

log ß=: 0,6463211 ==0,4594910, 

32 

40,4499936 

log y = ' 1, 1058121 = 0, 1582502, 

32 

log 6 = Q^^^^^^QQ __ 1^ 2640623, = 0, 0369677 — 1, 
32 

mithin sind die gesuchten Wurzeln 

az=-j- 4,429157; 
/3 = + 2, 880653; 
y = + 1,439628; 
d = + 0, 108885; 
Um die Vorzeichen zu bestimmen, substituirt man entweder die ge- 
fundenen Werthe in die ursprüngliche Gleichung oder man benutzt 
die Cartesianische Zeichenregel (§. 8). Vermöge der letzteren sind 
im obigen Falle drei positive Wurzeln vorhanden, und die Summe 
aller vier Wurzeln mufs =Ä^ =0 sein; diesen Bedingungen zusam- 
men genügen nur ein negatives a und positive ß, y, d. 

Diese Methode ist theoretisch sehr elegant, für die praktische 
Benutzung aber zu weitläufig namentlich dann, wenn die gröfste 
Wurzel nur wenig von der nächst kleineren difFerirt. Auch com- 
plexe Wurzeln lassen sich nach demselben Verfahren berechnen, doch 
wird dann die Arbeit noch mühsamer. Das Nähere hierüber giebt 
die Schrift des Erfinders: „Gräffe, die Auflösung der höheren nu- 
merischen Gleichungen, Zürich 1837", womit man einen Aufsatz von 
Encke in Crelle's Journal der Mathematik Bd. 22, S. 193 ver- 
gleichen möge. 

§. 22. Wir wollen zum Schlüsse noch ein Auflösungsverfahren 
mittheilen, welches sich auf die Bemerkung gründet, dafs der ganz- 
zahlige Bestandtheil einer irrationalen Wurzel durch Versuche leicht 
zu ermitteln ist und dafs der gebrochene Bestandtheil auch unter der 



m. Die numerische Auflösimg der höheren Gleichungen. 393 

Form eines unendlichen Kettenbruches dargestellt werden kann. Die 
gegebene Gleichung sei 

und es bestehe eine ihrer Wurzeln aus der ganzen Zahl a und einem 
echten Bruche. Setzt man 

1) ;z. = « + 1 

y 
in die obige Gleichung ein, so gelangt man zu einer neuen Gleichung 
von der Form 

und wegen - <C 1 ist «/>* 1. Man ermittele nun zunächst die gröfste 
in y enthaltene ganze Zahl ß und bezeichne den echt gebrochenen 

Rest mit -; die Substitution 

z 

2) y = ^+7 
liefert dann eine Gleichung von der Form 

Hier beträgt z mehr als die Einheit und daher kann 

3) . = , + 1 

gesetzt werden, wo y wiederum durch Versuche zu bestimmen ist, 
und u die Einheit überschreitet. Man übersieht unmittelbar, wie sich 
dieses Verfahren beliebig weit fortsetzen läfst und dafs aus den Glei- 
chungen 1), 2), 3) etc. die Formel 

. 1 



4) 



^ 



'+^ 



hervorgeht. Die Näherungsbrüche dieses unendlichen Kettenbruches 
sind abwechselnd gröfser und kleiner als dessen Gesammtwerth x und 
liefern daher Grenzen, die beliebig eng zusammengezogen werden 
können. Sollte die gesuchte Wurzel negativ sein, so verwandelt man 
sie gleich anfangs dadurch in eine positive, dafs man a^, «3, a^^ etc. 
mit entgegengesetzten Zeichen nimmt. 
Als Beispiel diene die Gleichung 

x^ -I-3.T — 5 = 0, 
welcher ein zwischen 1 und 2 liegendes x genügt. Vermindert man 
erst X um 1 nach dem im §. 18 angegebenen Verfahren, so erhält 
man 



394 Die höheren Gleichungen. 

P +3^2 _^ 6,^— 1 = 0, 
mithin , wenn ^ = - gesetzt wird, 

Eine Wurzel der neuen Gleichung liegt zwischen 6 und 7; man ver- 
mindert daher erst y um 6, wodurch 

^3 -}_l2t?2 -I- 33t? — 19=0 

entsteht, und substituirt dann »y==-; diefs giebt 

y==6 + -, 19^3 _33z8 — 12 5r — 1 = 0. 

z 

Zwischen 2 und 3 liegt ein Werth des 0; daher ist die weitere 
Rechnung 

s==2H--, 5/3 — 84^2 _ 81/— 19 = 0, 

t=17-\-- u. s. f. 

u 

mithin 

:r=l + ^^ 



17+... 



oder X = 1,154. . . 

In den meisten Fällen ist dieses von Lag ränge (sur la resolu- 
tion des equations numeriques) herrührende Verfahren zu weitläufig 
für den Gebrauch und es hat daher nur noch ein historisches Inter- 
esse; zur praktischen Berechnung der Wurzeln empfiehlt sich immer 
die Horner'sche Methode als die kürzeste und sicherste. 

IV. Die irrationalen Gleichungen. 

§. 23. Eine algebraische Gleichung heifst irrational, wenn sie 

irrationale Functionen der unbekannten Gröfse enthält, wie z. B. 
3 

yjx -1-0 + ysx + /> + c = 0. 

Um eine solche Gleichung auf die rationale Form 

^- + a^,-^-^ + «, o:'"-^ + . . . + «,_, :r + «,„ = 

zurückzubringen, kann man ein Radical nach dem anderen durch suc- 
cessive Potenzirungen wegschaffen. Zu diesem Zwecke giebt man z. B. 
der obigen Gleichung erst die Form 



yjx + fl + c = — yßx + b 



ly. Die irrationalen Gleichungen. 395 

und erhebt beiderseits auf die dritte Potenz; das Resultat läfst sich 
folgendermaafsen anordnen 

(^x + ö + 3 c2) y^-i-ö 

==— [{3Jc-\- B)x^ 3ac + b-^c^] 
und wenn man beiderseits quadrirt, so gelangt man zu einer cubi- 
schen Gleichung für die Unbekannte x. Dieses Verfahren ist noch 
einer wesentlichen Modification fähig, die wir erst an einem Beispiele 
auseinander setzen wollen. 

Die gegebene Gleichung sei 

x + 6yi = 91; 
nach dem Vorigen ist die Form 

^• — 91 ==— 6 y^ 

herbeizuführen und dann zu quadriren, wodurch die quadratische 
Gleichung 

(j:— 91)2=:6a: oder a:^ — 218 a: ==— 8281 
entsteht, deren Wurzeln sind 

x==49 und j:=169. 
Der erste Werth genügt in der That der gegebenen Gleichung, vom 
zweiten Werthe gilt diefs aber nicht, vielmehr enthält er die Auf- 
lösung der Gleichung 

X — 6 y5 = 9i. 

Dafs hier eine fremde Wurzel hinzugekommen ist, hat seinen Grund 
in der Operation des Quadrirens; bei dieser geht nämlich das Vor- 
zeichen von yx verloren, und daher führen die beiden verschiedenen 
irrationalen Gleichungen 

X — 91= — eyi- und x — 9l=-\-6'\/x 
zu einer und derselben rationalen quadratischen Gleichung. Achtet 
man gleich anfangs auf die Doppeldeutigkeit jeder Quadratwurzel, 
so kann man die rationale Gleichung auch kürzer finden, indem man 
sagt: so lange das Vorzeichen von yx nicht bestimmt ist, liegen in 
der Aufgabe ^ + 6 yx = 91 eigentlich zwei verschiedene Gleichun- 
gen, nämlich 

X — 91 -{- 6 yx = und x — 9l—6yx = 0; 
beide sind gleichzeitig lösbar, wenn man ihr Product zum Verschwin- 
den bringt, also 

(x _ 91 _|_ 6 y.r) (.r — 91 — 6 yx) = 
setzt, und damit gelangt man zu derselben quadratischen Gleichung 
wie vorhin. 

Dieses zweite Verfahren gewährt namentlich dann einen Vortheil, 



396 Die höheren Gleichungen. 

wenn mehrere Wurzeln vorkommen. So sind z. B. in der Gleichung 

yj^ + fl + -]/ßx~-\^ 4- ycx-\-c == 

vier verschiedene Aufgaben enthalten, welche hervortreten, sobald 
man die Radicale im absoluten Sinne nimmt und ihnen alle möglichen 
verschiedenen Vorzeichen giebt, nämlich 

+ y^ + ö 4- -\/Bx-{-b + y Cjr "+e = 0, 
— yjx -}-a + yBx-\-b 4- y C^+c = 0, 

+ y]^ + fl — y^x + Ä 4- -\/cx^ = 0, 
4- y]^4-fl 4- y^r 4- Ä — y6>"+c = o. 

Das Product dieser vier Gleichungen ist rational und zwar 

— (^x 4- a)^ — (/?jc 4- by — {Cx 4- c)2 
4- 2(^j: 4- a) {Bx 4- ^) 4- 2 (i^x 4- b) {Cx -\- c) -\-2 {Cx -\- c) {Ax -\- a) 

= 
oder bei Anordnung nach Potenzen von x 

{J2 _^ 52 _|_ (72 _ 2JB — 2BC —2CA)x^ 

+ 2{Ja-\- Bb-\- Cc — Jb — Ba — Bc— Cb -^ Ca — Jc)x 

^a^ ^b2 _^c^ _^2ab — 2bc — 2ca 

Als Zahlenbeispiel diene die irrationale Gleichung 

+ y2x +~7 + y6^'4- 19 +y23^4-41 = 0; 

ihr entspricht die quadratische Gleichung 

177x2 4- 130^—307 = 

mit den Wurzeln 

. 1 ^ 307 

o: = 4- 1 und X = — — . 

Die beiden existirenden Auflösungen sind hiernach 

4-34-5 — 8== 0, 
^5_ _ _3 9_ _1 4_ _ 

yi77 ym yi77~~ 

§. 24. Um das so eben benutzte Verfahren auf den Fall auszu- 
dehnen, wo Radicale höherer Grade vorkommen, mufs man sich er- 

Innern, dafs ein Ausdruck von der Form ^z vieldeutig ist und die 
n Werthe von q^K, q^I^, q^I, ... ^„C besitzt, worin g^^ q^, ... Qn die 

n _ n __ 

n Werthe von yi bedeuten und C der absolute W^erth von y^ ist. 
Um hiernach die Gleichung 

R 

1) yjx 4- « 4- yBx 4- Ä 4- c = 

rational zu machen, bezeichne man für den Augenblick den abso- 
luten Werth von yAx 4- a mit u und den absoluten Werth von 



lY. Die irrationalen Gleichungen. . 397 



yBx -\- h mit v; die drei Werthe von ^JBx -\- h sind dann q^v, q,^Vj 

Q^V, WO 

Q = '\/l oder Q^ — l = o 
ist. In der Aufgabe 1) liegen nun folgende sechs specielle Gleichungen 

-f-M-f 93i; + c = 0, 

• U -|- Q.^V -|- C = 0. 

Das Product der drei ersten Gleichungen ist 

(^ + '0' + (^ + ^)M?i + ?2 + Ca) ^ ' 

+ (c + u) {q^q.^ -\- Qi^Qs + Q2Q3) ^^ + Q1Q293 ^^ = ö; 
da ^^, ^2, ^3 die Wurzeln der Gleichung ^3 — 1=0 darstellen, so 
hat man 

(?1 +^2 +^3 = 0, ^1^2 + ?1?3 4-^2?3 = ^> QlQ^Qi =1, 

mithin einfacher 

oder 

Als Product der letzten drei Gleichungen in No. 2) findet man auf 
dieselbe Weise 

(c3 _j_ 3 ^^2 _^ ,;3) _ ^^ (^3 ^2 _|_ ,^2) == 0, 

mithin ist das Product aller sechs Gleichungen 

(C3 -}-3c^^2 -f z;3)2 _^^2 (3^2 _j_^2)2 ^ Q. 

Hierin kommen nur u^ =Äx-\- a und ^3 = jß;^ _|_ j yor^ ^j^j daher 
ist die gesuchte rationale Gleichung 

3) [c3-|- 3ac + Ä4-(3^c + i5) j^]2 
— {Jx + ö) (3c2 + fl 4- Jxy = 0, 

oder 

4) ^3^3 _|_ |-3^2 (a ^c'Ä) — B (6 ^c + Ä)] x^ 

+ [3 ^ (ö — c2) 2 _ 6 ^Äc — 2 i9 (3 flc + Ä 4- c 3)] jr 
+ [(« — C2)3 _ ^ (6 flC + Ä 4- 2^3) = 0. 

Zur Auflösung des Zahlenbeispieles 



y^t- 4- 4 + y j: + 3 + 1 = 

ist hiernach 

j:3 4_ 2a:2 _ 23.r — 60 == 0; 

daraus folgen die Werthe 

x=^-\- 5f X = — 3, x== — 4, 



398 Die höheren Gleichungen, 

welchen die Auflösungen entsprechen 

— y94-y8 + i = o, _yr-f-yö + i=o, 

yö + y^^ + 1=0. 

Diese Beispiele zeigen hinreichend, wie irrationale Gleichungen 
rational zu machen sind. Ein anderes Verfahren, welches die Kennt- 

n _ 

nifs der n verschiedenen Werthe von yi nicht erfordert, werden wir 
in §. 30 erörtern. 

V. Die transcendenten Gleichungen. 

§. 25. Unter dem Collectivnamen der transcendenten Gleichun- 
gen fafst man meistens alle diejenigen Gleichungen zusammen, welche 
weder zu den rationalen noch zu den irrationalen gehören. Durch 
passende Umformungen oder Substitutionen lassen sich manche tran- 
scendente Gleichungen auf eine algebraische Form zurückführen, und 
man mufs daher reductibele und irreductibele transcendente Glei- 
chungen unterscheiden, falls man es nicht vorzieht, nur die irreduc- 
tibelen Gleichungen als die eigentlich transcendenten anzusehen. Wir 
beschäftigen uns zunächst mit den hauptsächlichsten Formen der re- 
ductibelen Gleichungen. 

Bezeichnen Ä, B, C, . , , Constanten, (p{x), ^^(^), z(^), • • • alge- 
braische Functionen von x, so hat die Gleichung 

jcpix) ß^4j(x) ^x(^) .. .=K 

zwar eine transcendente Form, wird aber zu einer algebraischen, wenn 
man die Logarithmen nimmt, nämlich 

wo zur Abkürzung log A = a, log B = 1 u. s. w. gesetzt worden ist. 
So führt z. B. die Gleichung 

ZU der irrationalen algebraischen Gleichung 

log 2 . o: + % 7 . -y/hx— 11 = % 392; 
macht man dieselbe rational, so erhält man die quadratische Gleichung 

^ _ 2 % 2 . log 392 + 5 . (% 7)2 _ __ (% 392)^ + 11 . (% 7 )^ 
^ (/oo-2)2 ^' "~ "{log 2)2 ~~ 

oder 

.r2 _ 56, 6356 . . . :r = — 160, 9068 . . ., 
deren Wurzeln 

a: = 3 und X = 53, 6356 . . . 
den beiden Aufgaben 



Y. Die transcendenten Gleichungen. 399 



2^ . 7^^^-'' = 392 und 2^ . 7-^'"^^-'' 



392 



entsprechen, wenn y^x — 11 im absoluten Sinne genommen wird. 
Zu den reductibelen Exponentialgleichungen gehört noch die fol- 
gende 

denn sie geht durch Substitution von a^ = y über in 

woraus man «/ und nachher x = Hog y findet. 

Gleichungen, in denen nur goniometrische Functionen eines un- 
bekannten Winkels vorkommen, lassen sich dadurch reduciren, dafs 
man eine dieser Functionen als Unbekannte ansieht und die übrigen 
Functionen durch jene ausdrückt. So giebt z. B. die Gleichung 

a cos u -\- b sin u = c, 
wenn cos u = x gesetzt wird, 

ax + b yr~— ./;2 = 0. 

Meistentheils thut bei solchen Gleichungen die Einführung eines 
Hülfswinkels noch bessere Dienste. In dem vorliegenden Falle z. B. 
lassen sich a und h auf folgende Weise darstellen 
a=^r cos , b = r sin 0, 

SO dafs 

^ a 

ist; die vorige Gleichung geht dann über in 

r cos cos u -\- r sin ö sin u = c 
oder 

C f 

cos (u — ö) = - == 



r y«2 _^ 1,2 
Hieraus erhält man die W^erthe von u — 0, mithin auch die von u, 

wenn man die Werthe von u — um == arctan - vergröfsert. 

§. 26. Zur Auflösung von irreductibelen Gleichungen bedient 
man sich gewöhnlich des in §. 20 auseinandergesetzten Verfahrens, 
dessen Princip bei jeder Gleichung f{x) = anwendbar bleibt, wo- 
fern f{x) von x = Xi bis x = X2 continuirlich verläuft, und die 
Werthe y^ = f\x^) und y^ = f{x.^) entgegengesetzte Vorzeichen 
besitzen. Wenn die Näher ungswerthe x^ und x^ diese zwei Bedin- 
gungen erfüllen, so ist dann 

•^■3 = -^^i ~ ^ //i 

' ^2— .Vi 

in der Kegel ein genauerer Werth von x. 



400 Die höheren GleichuDgen. 

Als erstes Beispiel möge die Gleichung 

% ^ = ^ oder y=.logx—^^o 

dienen. Mit Hülfe der logarithmischen Tafeln findet man zunächst 
ohne Rechnung, dafs x zwischen 1,3 und 1,4 liegt, und zwar ist 
für .r = l,3, ^ = — 0,016, 
- ^=1,4, 2/ = +0,006, 

mithin genauer 

0,1 

a:=l,3 + -^-— . 0,016 = 1,37. 

Ferner entsprechen einander die Werthe 

x = \,^1 und 2/ = — 0,00028, 

a:=l,38 - // = + 0,00188, 

daher ist der nächste Näherungswerth 

, „^ , 0,01 .0,00028 , ^_ 

j:= 1,37 + - — = 1,3713. 

' ^ 0,00216 

Durch mehrmalige Anwendung desselben Verfahrens erhält man 
x=^ 1,13712884. . ., %^' = 0, 13712884 . . . 
Als zweites Beispiel nehmen wir die Gleichung 
X = cos X oder y = X — cos t = 0, 
worin x einen Bogen des ersten Quadranten bedeuten möge. Durch 
Vergleichung der Tafel für die Längen der einzelnen Kreisbögen und 
der natürlichen goniometrischen Tafeln findet man sofort, dafs x un- 
gefähr der Bogen von 42^ ist; man hat nämlich 

für ^ = örc420, 2/==0, 733 — 0,743 = — 0,010, 
- a: = flAc430, y = 0, 750 — 0, 731 = -j- 0, 019, 
mithin genauer 

a: = «7^420 + ^^^ . 0,01=örc420 +0,0058 . . 
^0,029 ' ^ ' 

oder 

x = arcA2^ 20'. 

Ferner ist 

für X == arc 42^ 20', ?/ = — 0, 00038, 
- ;r = flrc420 2l', y = + 0,00010, 
und hieraus ergiebt sich als folgender Näherungswerth 

. = a,.c 42« 20' +|2oS •«'"«"'' 
= arc 42« 20' + 0, 00023 = arc 42« 20' 47". 
Combinirt man ihn mit der Annahme :r -= 42^ 20' 48", so findet man, 
dafs derselbe noch um 0",23 zu vergröfsern ist. 



YI. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 401 

VI. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 

§. 27. Wir beschäftigen uns zunächst mit dem allgemeinen Pro- 
bleme, n Gleichungen ersten Grades zwischen n Unbekannten aufzu- 
lösen; die Lösung desselben beruht auf einigen Hülfssätzen, die wir 
vorausschicken müssen. 

Es seien n von einander verschiedene Gröfsen 

a, h, c, g, h 

gegeben und aus ihnen die Diiferenzen zwischen jeder Gröfse und 
allen ihren Vorgängern gebildet, nämlich 

b — a, 

c — a, c — b, 

d — flf, d — bf d — c, 



h — fl, h — bf h — c, h — g ; 

das Product derselben 

Pn = {b-a){c~a){c — b)..,.{h — a){h — b)... (h —5) 
besitzt dann die Eigenschaft, dafs es jedesmal gleich Null wird, so- 
bald man für eine der Gröfsen eine der übrigen setzt. So wird z. B. 
P„ = , wenn man statt a überall h schreibt oder wenn c durch g 
ersetzt wird. Der Grund dieses Verschwindens liegt einfach darin, 
dafs P alle möglichen Differenzen zwischen a, h, . . . h als Factoren 
enthält und dafs folglich bei jeder von den erwähnten Substitutionen 
ein Factor = wird. Denkt man sich das Product entwickelt, z. B. 
bei drei Gröfsen 

P,=^{b-a){c-a)(c-.b) 

== bc^ _ h'^c -f ca^ — c^a -\- ab^ — a^b, 
so bleibt die genannte Eigenschaft des P ungestört, und das Ver- 
schwinden des Productes geschieht dann auf die Weise, dafs sich zu 
jedem Summanden ein anderer findet, welcher ihm gleich und ent- 
gegengesetzt ist, wie man an dem obigen Beispiele prüfen kann. Aus 
dem entwickelten Producte bilden wir einen neuen Ausdruck, indem 
wir jeden Potenzexponenten in einen gleichgrofsen Index verwandeln, 
wodurch z. B. a^b^c'^ in a^h^c^ oder h^c^ = a^h^c^ in a^h^c^ 
übergeht; diesen neuen Ausdruck nennen wir Qn. Hiernach ist z. B. 

Ö3 == '^0*1^2 — ^0^2^1 + ^0'^1^2 — ^0<^2«l + <^0«1*2 — ^'0«2*1 

und zwar bildet Q^ eine gewisse Function der neun Buchstaben «q, 
«n «2? ^0) ^n ^2 7 ^0? ^ii ^2- I^ gleicher Weise ist Qn eine ge- 
wisse Function der n'^ Gröfsen 

Schlömilch algebr. Analysis. 6, Aufl. 26 



40ä 



Die liölieren Gleicliungeii. 



0> ^Of 


^0> 


•••^0. 


^, 


1> ^1» 


^1> 


•••^1, 


^, 


2> *2» 


^2. 


•••^'2. 


^2> 



und heifst die Determinante derselben. Man bezeichnet sie ent- 
weder kurz mittelst eines Summenzeichens, indem man 

schreibt, oder ausführlicher durch 



Qn 



0> 



0* 



^1 

b„ 



.... h 



...k. 



Die Determinante Q„ besteht aus n(n — 1) theils positiven theils 
negativen Gliedern, deren jedes von der Form aphq ... hs ist; die 
Indices p, q, . . . s werden durch alle möglichen Vertauschungen der 
Zahlen 0, 1, 2, ... {n — 1) gebildet, und dabei erhält der betref- 
fende Summand das positive oder negative Vorzeichen, jenachdem 
die Anzahl der Vertauschungen gerade oder ungerade ist. Dieser 
Bemerkung folgend, kann man jede Determinante auch direct ent- 
wickeln, z. B. 

c. 



Z{±a^b^c^d^) 



f^Qy *0» ^0» ^0 



2» ^ 

bo , c 



2 > ^2 
3> ^3 



a^b^e^d^ 



«1, *i» ^1, d^ 
öp, b, 

^3> "3' 

= a^b^c^d^ — a^b^c^d^ + 00^2^3^! 

-f«0^3^W2 4-«0^3^2^1 

— ^i^oC^d^ -\-a^b^c^d^ ^a^b^c^d^ -{-a^b^c^d^ 

— a^b^c^d^ +ßi^3^2^o 
+ a^b^c^d^ — a^b^c^d^ + a^b^c^d^ — a^b^c^d^ 

"|-Ö2*3^'0^1 
— 03^0*^1^2 +«3^0^2^1 

— «3^2^0^1 +«3^2^1^0- 

Für das Folgende ist besonders der Satz wichtig, dafs die 
Determinante jedesmal verschwindet, wenn statt eines der Buchsta- 
ben a, h, c, . . o h einer der übrigen gesetzt wird. Bei dem ent- 
wickelten Producte P« fand diese Eigenschaft statt, weil dann jeder 
Summand durch einen gleichen und entgegengesetzten aufgehoben 
wurde; die Verwandlung der Exponenten in Indices stört diese Gleich- 
heit und die Vorzeichen nicht, mithin gilt für Qn dasselbe wie für 
P„. Dieser Satz läfst sich auch in Gleichungen darstellen, wenn man 



a^b^c^d^ 
a^b^c^d^ 



«3*1^0^2 



YI. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 403 

die Determinante entweder nach den a oder nach den h u. s. w. an- 
ordnet. Bezeichnen wir z. B. mit A^a^ die Summe aller Glieder, 
welche den gemeinschaftlichen Factor a^ besitzen, mit A^a^ die 
Summe aller den Factor a^ enthaltenden Glieder u. s. f., so stellt 
sich Q„ unter die Form 

und zufolge der vorigen Bemerkung gelten zusammen die Gleichungen 

= ^0^+^^ +^2^2 +--- + ^n-.^«-,. 
= -^0^0 -i-^1^1 +^2^2 +•••+ A-i^«-P 



== A^h^ + A^h^ + A^h^ + • • • + ^n-xK-i- 
Mit Hülfe dieser Relationen gelangt man zu einer directen Auf- 
lösung des folgenden Systemes von n linearen Gleichungen zwischen 
den n Unbekannten x^ y, z, . . . w: 



■^n— 1 



Man multiplicire nämlich die erste Gleichung mit A^^ die zweite mit 
J.1, die dritte mit A.^ u. s. w. ; die Summe aller Producte ist dann 

{A^a^ + ^i«! + ^2^2 H- ••• + A-i«n-,) -^ 
+ (^0*0 + ^1^1 + ^2^2 + ••• 4- A-i^t-i) y 



Der Coefficient von x ist die Determinante Qn; die Coefficienten von 
2/, Zy . , . w sind zufolge der obigen Relationen sämmtlich =0, mit- 
hin enthält die Gleichung nur die eine Unbekannte x. Auf der rech- 
ten Seite steht gleichfalls eine Determinante, welche sich von der 
Determinante Qn dadurch unterscheidet, dafs h an der Stelle von a 
steht, mithin ist 

Zur Bestimmung von y dient ein ganz analoges Verfahren. Man 
ordnet nämlich Qn nach h^^ &i, ... &n-ii 

und bemerkt, dafs dieser Ausdruck verschwindet, wenn h durch einen 
der Buchstaben a, c, d, , . . h ersetzt wird; man multiplicirt dann 

26* 



404 Die höheren Gleichungen. 

die aufzulösenden Gleichungen mit Bq, B^, . . . J5„_, und addirt, 
wobei die Coefficienten von x, ^, ... w zu Null werden; man erhält 

Auf gleiche Weise findet man 

u. s. w. bis zuletzt 

^(± «0*1^2 •••^n-A-i)' 

Diese sehr elegante, im Princip schon von Leibnitz angegebene Auf- 
lösung ist nichts Anderes als eine Verallgemeinerung des bekannten 
Subtractionsverfahrens ; so sind z.B.Äq^ä^^... ä^^, die Factoren, 
womit die einzelnen Gleichungen multiplicirt werden müssen, damit 
nach der Addition alle Unbekannten aufser x wegfallen. Zugleich 
ersieht man, dafs die Werthe von x, y, . . . w einen gemeinschaft- 
lichen Nenner besitzen, wie bei Gleichungen mit zwei oder drei Un- 
bekannten schon aus der Algebra bekannt ist. 
§. 28. Der specielle Fall 

^0 =^ ^1 ==^ ^2 ••••== ^„_i = 

verdient etwas näher betrachtet zu werden. Nach geschehener Ad- 
dition ist nämlich gemäfs der vorigen Methode 

&^ = 0, p„2/ = 0, ....e„w;==0, 
und daraus folgt entweder 

07 = 0, y = 0, ....w = 
oder 

Diefs giebt folgenden Satz: wenn den n linearen Gleichungen 
«0^ +^o// +<^o^ -{-... h^w =0, 
a^x -\-b^y -\-c^z -{-.,. h^w ==0, 



«„_, J: + *„_iy + ^n-i^ -+-••• ^«-i^^ == 

noch andere Werthe als x =^ y = s . . ,== w =^0 genügen 
sollen, so mufs die Determinante 



a^, Äj, ... h^ 



von selber verschwinden. 
Den drei Gleichungen z. B. 



YI. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 405 

«2^ + ^22/ + ^2^ = 

genügen aufser x = y = = nur dann noch andere Werthe, wenn 

«0 (*l^2 — *2^l) + «1 (^2^0 — ^0^2) + «2 (^0^1 — ^1^0) = Ö 

ist. Das nämliche Kesultat findet man auch auf dem gewöhnlichen 
Wege; setzt man nämlich 

-z = ^' ; = ''' 

so hat man zwischen den zwei Unbekannten | und rj die drei Glei- 
chungen 

01^ + ^1^ + ^1 = 0, 

«2^+^2^ + ^2 = 0. 

Die beiden ersten liefern die Werthe von § und r], nach deren Sub- 
stitution die letzte Gleichung in die obige Bedingung übergeht. 

Eine andere Form des vorigen Theoremes entsteht durch die Sub- 
stitutionen 

X y z V 

w tv w w 

wobei vorausgesetzt ist, dafs x, y, z, ... w nicht den Werth Null 
haben. Betrachtet man nämlich §, iq, c, , , ,v als n — 1 neue Un- 
bekannte, so hat man den Satz: die n — 1 Unbekannten ^, j^, 
^, . . .V können den n linearen Gleichungen 

«0^ +^0^ +---+^o^ +^0 =ö> 
flj +^1^ +•••+^1'^ +^^1 =0, 



xl + ^ft_,'»? + • • • + Sn-x^ + h, 







nur unter der Bedingung genügen, dafs die Determinante 



'0> 



0» 



60» 

^1. 



I "n— 1 > n— 1 > * • • 5n— 1 > ^n — i I 

von selber verschwindet. 

§. 29. Wie in §. 27 , so kommt es auch bei mehreren nicht- 
linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten darauf an, aus den 
gegebenen Gleichungen eine neue Gleichung herzuleiten, welche nur 
eine Unbekannte enthält, also die übrigen Unbekannten zu eliminiren. 
Bevor wir an die allgemeine Lösung dieses Problemes gehen, beschäf- 
tigen wir uns erst mit einem einfachen Falle desselben. 

Denkt man sich zwei Gleichungen von den Formen 



406 Die höheren Gleichungen. 

1) «0 + a^u + a^u^ + . . . «„?/*" = 0, 

gegeben, beide nach u aufgelöst und die erhaltenen Werthe einander 
gleichgesetzt, so bleibt nur eine Gleichung zwischen den Coefficienten 
«0, a^, ... of^, /?Q, /?j, ... ßn übrig, und diese ist das Resultat der 
Elimination von u aus jenen Gleichungen. Sie spricht zugleich die 
Bedingung aus, unter welcher die ursprünglichen zwei Gleichungen 
wenigstens eine gemeinschaftliche Wurzel haben, denn nur in diesem 
Falle ist einer der m Werthe von u aus No. 1) gleich einem der n 
W^erthe von u aus No. 2). Das oben erwähnte Eliminationsverfahren 
bietet keine Schwierigkeit, wenn m und n die Zahl 2 nicht über- 
steigen, bei gröfseren m und n dagegen würde es bald an der Un- 
möglichkeit der Auflösung von Buchstabengleichungen höherer Grade 
scheitern. Wir gehen defshalb einen anderen Weg. 

Solange man die Werthe von u nicht hat, solange sind die Potenzen 

?/i, u^, m3, m"»+« 

gleichfalls unbekannte Gröfsen und mögen kurz mit 



"l, «2> «3» ^m+n 



bezeichnet werden. Die Gleichung 1) multipliciren wir nun der Reihe 
nach mit u, w^, w^, , . . w" und stellen alle neuen Gleichungen unter 
einander, indem wir die eingeführte Bezeichnung anwenden ; die Glei- 
chung 2) behandeln wir ähnlich durch Multiplication mit u, w^, w*, 
....«*"*; hierdurch entstehen folgende m -{- n Gleichungen 

«0^1 + «i«'2 + «2^3 + • • • + «m^m+i = 0, 

«0«2 + «1^3 + + «mWm+2 = ^^ 

«0^3 + + «m"ii.+3 = Ö> 

«o"m -f 4- «m«in+n = <>; 

1^0"l +/5iW2 +^2^3 + -\-ßn^n+r = ^f 

i5o"2 + ^i"s + + ßn^n+2 = ^' 

ßo^s-h + M„+3 =0, 

ßo^n + -h ßn^^n+m == ^' 

Hierin sind die m-\- n Unbekannten u^, u^^ ... w„j+„ enthalten, und 
die Gleichungen sind in Beziehung auf dieselben vom ersten Grade, 
während rechter Hand lauter Nullen stehen. Nach dem ersten Satze 
des vorigen Paragraphen können diese Gleichungen nur dann zusam- 
menexistiren , wenn entweder u^=u^ . . . =u^+n = ^ ist, oder 
wenn die Determinante des Systemes verschwindet; der erste Fall 
findet im Allgemeinen nicht statt, mithin mufs die zweite Bedingung 
erfüllt sein, nämlich 



YI. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 



407 



«0» «1> «2> • • • «m. 0» 0, 

0, 0, «0, a. 



ßo^ ßi, /52, ... ß„, 0, 0, 

0, ^0. ^1. ßn, 0, 

0, 0, ^0. ßn> 



= 0. 



Da in dieser Gleichung kein u vorkommt, so ist sie das Resultat der 
verlangten Elimination. 

Als erstes Beispiel mögen die beiden Gleichungen 
(«0 -f«i«' + «2^^^ =^y 



3) 



ß^-\-ß^uJrß2^' = ^ 



1 ri'" I r2' 

dienen. Die vier einzelnen Gleichungen sind hier 
«0^1 -H«i«2 +«2^3 =ö> 

«0'^2 +«1^'3 +*^2^'4 ==ö» 

|i5o"l+^1^2+/52^3 =0, 

ßo^2+ßl''B+ß2^U=^^ 

mithin ist die Schlufsgleichung 



4) 



5) 



= 



«0» "l' "2» ^ 
0, «o> «1> «2 

i^o, /5,, ^2. 

0, ^0. ^1' ß2 

oder entwickelt nach der Formel für ^(+«0^1 ^2^3) 

Da viele Glieder der Determinante 5) wegfallen, so thut man besser, 
die Gleichungen 4) erst zu vereinfachen, indem man aus ihnen u^ 
eliminirt; es bleiben dann folgende drei Gleichungen 



«0 


"1 + ai"2+«2^'3 


= 0, 


^0^1 + /3i«2+/52"3 =0, 


(«0^2 —«2/^0)^2 + («1/^2 — «2^l)"3 = Ö, 


deren Determinante 




«0, «1 , «2, 






^2' ßl > /^2» 


= 




0, «0/^2 — «2^0> «1/^2 — «2^1 





bequemer entwickelbar ist und mit No. 6) übereinstimmt. 

Als zweites Beispiel diene die Elimination von u aus den beiden 
Gleichungen 

fl -\~bu -^ cu^ = 0, 



7) 



Man hat hier folgende fünf Gleichungen 



au^ 


+ 


hu. 


+ 


C«3 












au. 


+ 


bu. 


+ c«i 














auj 


+ *«4 


+ 


C«5 


Au^ 


+ 


B«.i 


+ 


Cu, 


+ Du, 










.'In. 2 


+ 


Bu, 


+ Cu, 


+ 


Du, 



= 



408 Die höheren Gleichungen. 

= 0, 
= 0, 
= 0; 
= 0, 
= 0, 

welche sich durch Wegschafifung von Ur, und u^ auf drei reduciren, 

nämlich 

Jcu^ + {Bc — Da)u^ + (Cc — Db)u^ = 0, 

{Jc^ — Cac + Dab)u^ -\- {Bc^ — Che — Dac -\- Db^)u.^ = 0; 
setzt man zur Abkürzung 

J = Je, B'^Bc — Da, C' = Cc — üb, 
B" = Jc^ — Cac + Z>flÄ, C'=Bc^ — Cbc — Dac + Db^, 
SO ist die Determinante der letzten drei Gleichungen 

fl, b, c 
A\ B', C 
0, B\ C" 
oder entwickelt 

8) a {B'C" — Ä'7;') — A' {bC" — cB") == 0. 

In dem speciellen Falle, wo die Gleichungen 7) die einfachere 
Form haben 

j-i^ Bu-i- Cu^ + ^«^ = 0, 
B -\-2Cii-\-ZDu^ =0, 

geht die resultirende Gleichung 8) in die folgende über 

b4:ABCD—\2AC^ — ^\A^I)^ -\^2^B^C^ —12B^D = 0. 
§. 30. Wenn aus zwei gegebenen rationalen algebraischen Glei- 
chungen 

die Unbekannte y eliminirt werden soll, so ordnet man beide Glei- 
chungen nach Potenzen von y und erhält dadurch die Formen 

(?o + Qiu ■i-Q2y' + • • • + Qnr = 0, 

worin Po, Pi, ... Pmi sowie Qq^ Q^, ... Q» Functionen von x sind; 
die Anwendung der vorhin auseinandergesetzten Methode führt dann 
zu einer Gleichung, welche kein y sondern nur noch x enthält. 
Um z. B. y aus den Gleichungen 

ax -{- by -|- c = 0, 



zu eliminiren, ordnet man erst wie folgt 



VI. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 



409 



{ax -\- c) -\- by 
{Ax^ -^D)-{-2Cxy- 
diefs giebt nach der vorigen Methode 
«j7 -4- c, h 



= 0, 
ljy^ = 0; 



U , ax -f- 6*, 
Jx'^'^+D, 2Cx , 
oder entwickelt 

2) (Jb^ _|_ ^«2 _ 2 Cah)x^ + 2{Ba — Cb) ex + ^c^ -f- Db^ = 0. 
Bei mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten eliminirt 
man mittelst desselben Verfahrens eine Unbekannte nach der anderen. 
Als Beispiel mag die Aufgabe dienen, aus den beiden Gleichungen 



3) 



+ 2//2==43, 



xy= 10 



eine neue Gleichung herzuleiten, welche nur die Unbekannte 2y — x 
enthält. Setzt man hier 

4) 2y — x = s, 

so hat man drei Gleichungen mit den drei Unbekannten x, y, z, 
von denen die beiden ersten zu eliminiren sind. Durch Wegschaf- 
fung von X reduciren sich die vorhandenen drei Gleichungen auf fol- 
gende zwei 

5) {z^ —43) — 4^.V + 6?/^ =0, 

6) {z^ — 10) — Zzy -\- 2.y2 = 0; 
nach den Formeln 3) und 6) in §. 29 wird hieraus 

(s3 -f- 89^) 10^ — (42?^ -f 26)2 ^ 

oder 

3^* — 341^2 _[_ 338 = 0. 

Die Wurzeln dieser biquadratischen Gleichung sind 

^1 1 I 26 26 

1/6 1/6 

ihnen entsprechen als gemeinschaftliche Wurzeln der Gleichungen 5) 

und 6) 

y6 1/6 

woraus nach No. 4) die Werthe folgen 

cr = -f-5, —5, — ^ 



V6' 



yl- 



Dasselbe Verfahren kann auch zum Rationalmachen irrationaler 
Gleichungen benutzt werden, wie wir an dem, in §. 23 gegebenen 
Beispiele 

s 

'\/Ax -h « -h ^/Bx -f. ^ + e == 
zeigen wollen. Substituirt man nämlich 

Schlömilch algebr. Analysis. 6. Aufl. 27 



410 Die höheren Gleichungen. 



y^ar -]-«== //, mithin ^a: + «r = ?/ ^ , 

8 

SO läfst sich die genannte irrationale Gleichung durch die drei ratio- 
nalen Gleichungen 

y + ^ + ^ = 0, 

^or + ö — ?/2=x0, ßa:-\-b — z^=0 

ersetzen, und aus den letzteren sind y und zu eliminiren. Durch 

Wegschaffung von entstehen die beiden Gleichungen 

{^x-{-a) — y''=0, 

(^Bx + Ä + c3) -j- 3c2y -j- 3£?//2 + y3 ^ 0, 

welche sich wie die Gleichungen 7) in §. 29 behandeln lassen , wenn 

man die dortigen Buchstaben 

a, h, c, A, B, C, />, 

durch 

Ax-\-a, 0, —1, Bx-\-b-\-c^, 3c^ 3c, 1, 

ersetzt. Man findet 

^' == _ {Bx -]-b-\-c^), W = — {Jx -\- a + 3c2), 6^ = — 3c, 

B"=z{^Jc-\-B)x-\-^ac-\-b-\-c^, 

C = Ax + ff + 3c2 = — ß', 

und die Gleichung 8) in §. 29 wird zur folgenden 

{Ax + ö) (^x + « + 3c2)2 
— f(3 ^c + ^) T + 3 flc + Ä + c3]2 == 0, 
welche mit No. 3) in §. 24 identisch ist. 

Eine fernere Anwendung des auseinandergesetzten Eliminations- 
verfahrens besteht in der Berechnung der complexen Wurzeln einer 
gegebenen Gleichung 

o:« + a^ x--^ + flgx"-'^ + . . . + ^^n^r^' + «n = 0. 

Substituirt man nämlich 

X = U -\- IV 

und fafst sowohl die reellen als die imaginären Summanden zusam- 
men, so erhält man statt der vorigen Gleichung die folgende 

cp{u, v) + ?*i/;(w, z;)==0, 
worin r/) und i// ganze rationale algebraische Functionen von u und v 
bedeuten. Die letzte Gleichung kann nur bestehen, wenn gleichzeitig 

cp (u, v) = und ifj {u, v) = 
ist, man hat also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Elimi- 
nirt man aus beiden einmal v, das andere Mal u, so gelangt man 
zu zwei Gleichungen von den Formen 

wodurch sich u und v einzeln bestimmen. Dieses Verfahren ist zwar 



VI. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. . 411 

theoretisch tadellos, für die numerische Rechnung aber zu mühsam^ 
weil die Eliminationen in der Regel viele Weitläufigkeiten verursachen. 

§. 31. Wir schliefsen mit einigen Bemerkungen über die nume- 
rische Auflösung zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten, wobei es 
gleichgültig ist, ob jene Gleichungen algebraischer oder transcenden- 
ter Form sind. Es versteht sich von selbst, dafs man in den Fällen, 
wo eine der beiden Unbekannten ohne Mühe eliminirt werden kann, 
diese Elimination wirklich vornehmen wird, und daher bedarf nur der 
entgegengesetzte Fall einer Erörterung, die wir der Anschaulichkeit 
wegen vom geometrischen Gesichtspunkte aus vornehmen. 

Denkt man sich x, y, z als die rechtwinkligen Coordinaten eines 
Punktes im Räume und die Ebene xy als horizontal, so wird durch 
die Gleichung 

1) ^-/(^, ^) 

eine gewisse Fläche charakterisirt ; letztere schneidet die ;3?^- Ebene 
in einer Curve, der sogenannten Horizontalspur, für welche ^ = 
ist, mithin ist 

2) /(.T, .v) = 

die Gleichung jener Horizontalspur. Bezeichnet in ähnlicher Weise 

3) t = <3p(^, y) 
die Gleichung einer zweiten Fläche, so ist 

4) (V{x, .7/) = 

die Gleichung der entsprechenden Horizontalspur. Beide Horizontal- 
spuren können einander schneiden, und für alle solche Durchschnitts- 
punkte gelten die Gleichungen 2) und 4) zusammen, d. h. alle die 
Werthe von x und y, welche die Gleichungen 

f{x, ij) = 0, cp{x, y)==0 
zusammen befriedigen, lassen sich als die Coordinaten der Durch- 
schnitte von den Horizontalspuren der beiden Flächen betrachten. 

Giebt man in der Gleichung 2) dem x einen willkürlich gewähl- 
ten Zahlwerth a^, so enthält die nunmehrige Gleichung fia^^ y) = ^ 
nur eine Unbekannte y, und daher kann man die zugehörigen Werthe 
von y, deren einer l^ heifsen möge, ermitteln; damit sind soviel 
Punkte der ersten Horizontalspur bestimmt, als h^ verschiedene 
Werthe hat. Wiederholt man diese Rechnung, indem man dem x 
einen zweiten Werth a^ giebt und die zugehörigen h.^ ermittelt, so 
erhält man eine zweite Reihe von Punkten ; so fortfahrend kann man 
die erste Horizontalspur durch eine beliebig grofse Anzahl einzelner 
Punkte bestimmen und mit beliebiger Genauigkeit graphisch darstel- 
len. Dasselbe gilt von der zweiten Horizontalspur und dann ersieht 

27* 



412 Die höheren Gleichungen. 

man aus der Zeichnung von selbst, wo die Durchschnitte beider Hori- 
zontalspuren zu suchen sind. 

Nach dem Gesagten hat es keine wesentliche Schwierigkeit, Nä- 
herungswerthe für die gesuchten x und y zu finden, und es kommt 
jetzt nur noch darauf an, die Annäherung beliebig weit zu treiben. 
Zu diesem Zwecke setzen wir voraus, dafs drei Paare von Nähe- 
rungswerthen x^^ y^\ x^^ y^\ x^^ y^ gefunden seien; die Functionen 
f^^i-) yi)-, (pi^ii yi\ f{.^2^ y:>) ^tc. verschwinden dann nicht, sondern 
erhalten gewisse, durch die Rechnung sich ergebende Werthe, die 
wir bezeichnen mit 

5) < ^2 ==/(^2> .V2)' ^2 = 9'(^2> 2^2)» 

Da die drei Flächenpunkte ^i«/i-^i, ^c^y^z^, ^^y^^s einander nahe 
liegen, so mufs eine durch dieselben drei Punkte gelegte Ebene sich 
der Fläche ziemlich eng anschliefsen , mithin auch nahezu dieselbe 
Horizontalspur besitzen, da überhaupt ein kleines Curvenstück nähe- 
rungsweis für geradlinig gelten kann. Als Gleichung der genannten 
Ebene schreiben wir 

z = ax -\- by -\- Cf 
wobei a, h, c an die Bedingungen 

.-3 =«'^3 +%3 +^ 

geknüpft sind; die Gleichung der Horizontalspur dieser Ebene ist dann 

7) = ax-\- bij -{- c. 

Durch die Punkte x^y^K^^ ^2y2^2^ ^3^3?3 ^^g^^ wir aus denselben 
Gründen eine Ebene, deren Gleichung 

heifsen möge; es ist dann 

^3 = ^^3 + /52/3 +r, 

und die Gleichung der entsprechenden Horizontalspur lautet 

9) == ax 4- ßy + y. 

Die beiden Horizontalspuren 7) und 9) schneiden sich in einem 
Punkte x^y^ , dessen Coordinaten 

ein paar neue und bessere Näherungswerthe für x und y liefern. 



VI. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 413 

weil jene geradlinigen Horizontalspuren innerhalb einer kleinen Aus- 
dehnung die krummlinigen Spuren der Flächen 2) und 4) vertreten 
können. Um vollständig entwickelte Formeln zu erhalten, müfste 
man a, h, c aus den Gleichungen 6), a, ß, y aus No. 8 bestimmen 
und die gefundenen Werthe in No. 10) einsetzen, kürzer ist dagegen 
folgender Weg. Zufolge der Gleichungen 6) und 8) erhält man leicht 
^2^3 ■— ^3^2 = («^ — M (^22/3 — ^3^2) 

+ (^« — «y) (^3 — ^2) + C^y — ^Ä 02 — y^> 

-f- {cct — ay) [x^ — arg) -\- (by — c/S) (^3 — y^), 
-1^2 — ^2^1 = (^^ — ^«) (^1.^2 — ^22/1) 

addirt man diese Gleichungen und setzt zur Abkürzung 

^1^2 — ^22/1 + ^3^1 — '^i^s + ^22/3 ~ ^32/2 = S^ 
so findet man 

^2^3 -^3^2 "f" ^3^1 ~ ^1^3 + ^1^2 ^2?1 



Ferner ist auch 

^1 (^2^3 — ^3^2) + ^'2 (^3^1 — ^1^3) + ^8 (^1^2 — ^2?l) 

^{by-cß)S, 

Vi (^2^3— ^3^2) + 2^2 (^3^1 —^l^?^) + yz (^1^2— ^2?j) 

= (f?« — ay) S, 
und wenn man die beiden letzten Gleichungen durch No. 11) dividirt, 
so erhält man dieselben Quotienten wie in No. 10), mithin 

X =: ^1 (^2^3 ~ "^' 3 ^2) -H ^2 (^3^1 " ^l^s) + ^3 (^1^2 " ^2^l) 
* (^2^3 — ^3^2) + (-3^1 — ^1^3) + (^1^2 — ^2^ 

^ 2/1 (^2^3 — ^3^2) 4- ^2 (^3^1 — ^1^3) + ^3 (^1^2 — ^2^1) 
(^-2^3 - ^3^2) + (^3^1 - ^1^3) + (^1^2 - ^2^1) 

Durch mehrmalige Anwendung dieser Formeln, wobei jedes neue 
Paar von Näherungswerthen mit zwei früheren Paaren zu combiniren 
ist, kann man die Genauigkeit beliebig weit treiben. Dieses Verfah- 
ren ist das Seitenstück zu dem in §. 20 gezeigten und verlangt bei 
schwierigeren Fällen einige nähere Untersuchungen, hinsichtlich deren 
wir auf die schon erwähnte Scheff 1er 'sehe Abhandlung verweisen. 



In demselben Yerlage ist früher erschienen: 

Schlömileh, Dr. Osk., Beitr. zur Theorie bestimmter Integrale. (13 Bg.) 
4. 1843. 4 Mk. 

Erler, 0. "W., Aufgaben aus der Mathematik für grössere Yierteljahrs- 
arbeiten der Primaner. Mit 2 Fig. Tafeln, gr. 8. (8 Bg.) 1867. 

2 Mk. 40 Pf. 
Jacobi, C. F. A., comment. geometr. de proprietate rectarum punctum 

quoddam intra circulum ita transeuntium, ut etc. 4. 1840. 52 Pf. 

— — die Entfernungsörter geradliniger Dreiecke. (6^ Bg. m. 2 Stein- 
tafeln.) gr. 4. 1851. 2 Mk. 40 Pf. 

— — desselben Werkes II. Die äusseren Entfernungsörter. (9J Bg. 
m. 2 Steintafeln.) gr. 4. 1854. 3 Mk. 

Kries, Er., Lehrbuch der reinen Mathematik, 9. Aufl. bearb. von 
K. Kuschel. I.Arithmetik. 8. (27| Bg.) 1864. 2 Mk. 40 Pf. 
II. Geometrie, mit 330 Holzschn. 8. (33 Bg.) 1864. 

3 Mk. 60 Pf. 
Kunze, Dr. L. A., Lehrbuch der Geometrie. I. Planimetrie. Mit 19 

in Kupf. gestochenen Eigurentafeln. 3te Aufl. (19J Bg.) 8. 1872. 

3 Mk. 60 Pf. 
Snell, K., die Streitfrage des Materialismus. Ein vermittelndes "Wort. 

(4| Bg.) gr. 8. 1858. 1 Mk. 20 Pf. 

Swinden, J. H., Elemente der Geometrie, a. d. Holland, übersetzt u. 

vermehrt von E. F. A. Jacobi. gr. 8. 1834. (Mit 12 Taf., alle 

Figuren enthaltend.) 9 Mk. 



Druck voü Ed. Frommann in Jena. 



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DATE DUE 



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3 5002 00035 0806 

Schlomilch, Oskar Xaver 

Handbuch der algebraischen Analysls. 



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