Skip to main content

Full text of "Einfuhrung In Die Theoretische Physik In Zwel Banden Erster Band"

See other formats




Einführung 

in die theoretische Physik 

In zwei Bänden 


Von 

Dr. Clemens Schaefer 

a. 0, E^ofessor m der Universität Breslau 


ERSTfiRBAND 

Mechanik materieller Punkte, Mechanik 
' stamr Körper und Mechanik der Kontinua 
(Elaltizitöt und Hydrodynamik) 

Mit 249 Figuren im Text 



LeiiMig 

Verlajg ’Ton Veit & Comp, 
lölf 



Vorwort. 


* Seine Entstehung verdankt das vorliegende Werk einerseits häufigen 
Anregungen mir befreundeter Pachgenossen, die nach dem £jfscheinen 
meiner kleinen Einführung -in die Maxwellsche Theorie es mir ntdie 
legten, ein größeres Werk über das Gesamtgebiet der theoretischen Physik 
W schreiben; anderseits war auch ich im Laufe meiner zehnjährigen 
akademischen Tätigkeit durch Unterredungen mit meinen Hörern zu der 
(Überzeugung gelangt, daß ein Buch, das die theoretische Physik etwa 
in dem Umfange darstcllt, wie sie in einem fünf- bis sechssem^trigen 
Vorlesungskursus vier Wochenstunden behandelt werden kann, nicht 
überflüssig »sein draffte und seinen Plsitz neben den vorhandenen Werken 
einnehmen könnte. Ich bin deshalb einer Aufforderung des Herrn Ver-, 
legets gerne gefolgt und lege heute den* Pachgenossen den ersten Band 
vor. Er enthält die Mechanik diskreter materieller Punkte, starrer Körper 
und die Mechanik der Kontinua, d. h. Elastizität und Hydrodynamik. 
D^rin ist die Akustik tnitverarbeitet, die jji zum Teil der» Punktmechanik, 
zum Teil der Elastizität? oder Hydrodynamik angebört. Der zweite Band 
soll die Wärmelelure, die Ejlektrizität und die ' Optik in modömer Dar- 
stelhmg bringen. 

Natürlich kann es sich bei einem solchen Buche im wesentlichen nur 
iim eine Auswahl aus dem ungeheuren Stoffe handeln; da eine allgemeine 
Einigung darüber unmöglich ist, so kaim iph nur hoffen, daß ich im all- 
gemeinen eine akzeptoble kGttellinie getroffen habe. Vielleicht darf ich 
noch hervorheben, daß ich mit besonderer Liebe die Sohwingungsprobleme 
behandelt habe, die eintnal zur Vorbereitung auf die elektrischen W'ellen 
im zweiten Bande dienen sollen, und denen anderseits ein großer Teil 
meiner eigenen wissPnsehaftlichefa Tätig^it angehört. Hier bot sich 
auch 6ele|[enheit, z-. B. bei den SaitenschwingungeM, die Bedeutung der 
lutegralglelhhnngen ' für das Problem der Entwicklung, willkürlich» 
Funktionen qasW Systemen vorgea.ol|^bener zu zeigen; um dabei und 

älthlichen*^ Geliggen^ten. denf*idty8ikalische|i Kpm nicht mit, rein 



ly VorworL. 

mathematischen Untersucliungen zu belasten, habt' ich die Anordnung 
so getroffen, daß diese Abschnitte beim ersten Studium übersclilagen 
werden köimen. Überhaupt ist Kenntnis des Inhaltes des XIV, und 
XV. Kapitels (Schwingungen xöii Saiten und Membranen sowie Schwin- 
gungen von Stäben und Platten) für das Folg^ide nicht notwendig; sie 
bilden vielmehr ein Gebiet für sich von wesentlich akustischem Interesse. 

Ich möchte noch ein Wort sagen über den Gebrauch der Vektor- 
analysis. Die dieser angehörenden Begriffe und Formeln habe ich, da ich 
sie nicht als bekannt voraussetzen konnte, an den Stellen, an denen sie 
sich zwanglos darboten, entwickelt und dami im folgenden kuiutzt, 
ohne jedoch ausschließlich Gebrauch davon zu machen. Vielmtdir habe 
ich in manchen Kapiteln die Koordinatendarstellung bevorzugt. Dies 
scheint mir in einem Lehibuche geradezu notwendig zu sein, schon damit 
der Lernende die wichtigsten Formeln, z. B. die Gleichungen der Elastizität 
und Hydrodynamik, in l)eiderlei Gestalt kennen lernt; denn so braucht 
er sie beim Studium der Literatur. 

Es ist kaum notwendig, zu sagen, daß ich bei meiner Darstellung di(‘ 
gesamte mir zugängliche Lehrbucbliterattu* zu Kate |;ezogen habe. Ich 
möchte hier neben den Lehrbüchern der Hydro<lynainik von La mb 
nnd W. Wien namentlich die Monographie üImu* den Kreisel yon Klein 
imd Sommerfeld, sowie die Mechanik von Hamei als diejenigen Werke 
nennen, die mich in vieler Hinsicht beeinflußt hakui. Ferner möchte* 
ich noch liier hervorheben, daß ich.durch häufige Bezugnahme auf das 
vortreffliche Tabelleuwerk voa Jahnke und Emde (Funktionentafoln 
mit Formeln und Kteven, Leipzig 1909) meine Darstellung entlasten 
konnte; ich habe um so unbedenklicher auf^dieses Werk mich l>ezogen, 
als es in der Hand jedes Studierenden der Mathe niatik und Physik mn 
sollte. 

Zahlreichen Fachgenossen habe ich für ihre liebenswürdige und stets 
bereite Hilfe zu danken. Vor allem Herrn Professpr Dr. Adolf Knes*^r, 
mit dem ich nicht nur fast alle Partien des Buches besprechen konnte, 
sondern der mich mit seinem Eate ganz besonders bei Abfassung der 
Kapitel XIV und xV unterstützt hat, in ^nen dia Integralgleichungen 
lienutzt werden. Diese hatte er auch die Fremdlkbfoit, in den JCorrektur 
bogen noch einmal durchzusehen. In den genannten Kapiteln habe ich 
übrigens ausgiebig die Anregungen verw'ertet, :die ich in einer Vorlesung 
über die Theorie der Integralgleichungen von Kneper biabe. 

Herr Professor Dr, Alexander Pfiügör in Bonn hat eine Kojrektiu 



Vorwort, v 

^^elesen und mir zahlreiche weriv(dle Vc‘rbejjiserungs Vorschläge, nament- 
lich in pädagogischer Hinsicht, gemacht. Mein Kollege, Herr Privat- 
Jozent l)r. Walter Schriee» hat die Mechanik der materiellen Punkte 
und der starren Körpet im Manuskiipt gelesen, viele Ungenauigkeiten 
berichtigt, die Darstellung in vielen Punkttui verbessert. Von ihm rührt 
ferner die elegante Darstellung der Sätze über Transformation quadra- 
nsclier Pormen in Nummer 58 lau-, ln gkächer Weise bin ich Herrn 
Frivatdozenten Dr. Fritz Keiche in Berlin für Durchsicht des Manu- 
skriptes der Mechanik der Kontinua verpflichtet, deren Darstellung er 
durch vi(de Batschläge gefördert hat. Eine Schülerin von mir, Fräulein 
^Dr. Stalhvitz, stellte mir ihre sorgfältig aiisgearkuteten Vorlesuiigs- 
hefte zur Verfügung, die ich als Grundlage für die erste Niederschrift 
d(‘S Manuskriptes benutzt hal»e. Herr Dr. Gustav Groß hatte die 
Freundlichkeit, eine ganze Korrektur zu lesen; Herr cand. phil. Paul 
Hahn hat mit großem G(‘schick die Figuren gezeichnet. Ihnen allen 
gi^bührt mein aufrichtiger Dank! In nicht geringerem Maße schulde ich 
diesen auch dem Herrn Verleger, der auf alle mt*ine Wünsche in der be- 
reitwilligsten Weise einging. 

Möge d(‘r Erfolg die aufgewandte Mühe lohnen! 

Breslau, Ostern 1914. 

Clemens Schaefer. 




Inhalt. 


Einleitung« 

Seite 

1. Aufgabe der Mechanik; ihre Stellung im System der theoretischen Physik . 1 

2. Grundbegriffe: Baum und Zeit in der Mechanik 2 

3. Substantielle Punkte; starre Körper; deformierbare Körper 4 

4. Einteilung der M^hanik 6 


Erstes Buch. 

Mechanik materieller Punkte. 


Erstes Kapitel. 

Kinematik eines materiellen Punktes« 

5. Lif^e eines materiellen Punktes; Koordinatensysteme; Bezugssysteme ... 7 

B. Bewegung eines substantiellen Punktes; Eigenschaften der in der Mechanik 

vorkommenden* Funktionen 9 

7. Der Begriff der Geschwindigkeit 10 

8. Kömponentendarstellung der Geschwindigkeit 13 , 

9. Vektoren imd Skalare; Vektoraddition 15 

10. Zusamiiiensetzung und Zerlegimg von Geschwindigkeiten 20 

11. Verhalten der Geschwindigkeit bei Änderung des Koordinatens^'stems . . 22 

12. Darstellung der Geschwindigkeit in Polarkoordinatcn 26 

13. Der Begriff der Beschleunigung *. . . 29 

14. Verhalten der Beschleunigung bei Änderung des Koordinatensystems . . 35 

15. Ebene Beschleunigung in Polarkoordinaten 36 

16. Bestimmung der Beilrc^ng aus der Geschwindigkeit oder der Beschleunigung 38 

17. Beispiele: Freier Fall; Wurfbcw’egung 42 

J8» Beispiele; Planetenbewegung . 47 

19. Periodische und harmonische Bewegung 50 

20. Relativljewegung * . . . . 67 

21. Dimensionen 67 

Zweites Kapitel. 

Allgemeine Dynamik einet iubitantieUen Punktes. 

22. Der Begriff der Trägheit \ . , 68 

23. Der jpe^iff der Kraft und der Masse . . . . 71 

24. Das erste und zweite Bewegungsgeeetz von Newton . 74 

25. Das Koordinatensptem der Dynamik; Oalileisohes Relativitätsprinzip . 77 

26. Transfcnmation der Bewegungsgleichungen auf relativ zuin Fundamental- 

^ System beschleunigte Systeme . gO 

27. KineUsol^ Energie; Arbeit T 81 



vra Inhalt, 


8eite 

28. Potentielle Energie; Eneigieprinzip 110 

29; Statik; Prinzip der virtuellen Verrückungen 04 

30. Beschränkte Bewegungsfreiheit 07 

31. Däs d’AlembertBohe Prinzip 102 

32. Stoßkräfte; Bewegungegröße; Impuls 104 

Drittes Kapitel. 

Speiidle Bewegungen eines substantiellen Punktes. 

33. Geradlinige kleine Schwingimgen eines Massenpunktes 108 

34. Kleine Sohwingungsbewegung im Raume 115 

3ß. Ged&npfte Schwingungen . HO 

36. Aperiodische Bewegungen 1^'^ 

37. Erzwungene Schwingungen ohne Berücksichtigung der Dämpfung .... 126 

38. Erzwungene Schwingungen mit Berücksichtigung der Dämpfung .... 135 

39. Lineate freie Schwingungen von endlicher Amplitude 141 

40. EiTwungene Schwingungen mit endlicher Amplitude; Theorie der Kom- 

^ binationstöne ' 

41. Bew^^g eines substantiellen Punktes auf einem vertikalen Kreise; ebenes 

mathematisches Pendel • 

42. Bewegung eines substantiellen Punktes auf einer Kugelfläche; räumliches 

Pendel 157 

43. Der Foucaultsche Pendelversuch ' - . . . 165 

,44. Einfluß der Erdrotation auf die Schwerebesohleunigung . ‘ 173 

Viertes Kapitel. 

Allgemeine Dynamik eines Systems materieller Punkte. 

45. Das Newtonsche Reaktionsprinzip H6 

46. Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt 100 

47. ^wegung des Schwerpunktes eines beliebigen Systems; Erhaltung der Be- 

wegung des Schwerpunktes für ein freies System 133 

48. Das Vektorprodukt • - • • 137 

49. Die Rotationsmomente , 100 

50. Erhaltung der Rotationsmomente der Geschwindigkeiten; Flächensatz . . 198 

51. Das d^Alembertsche Prinzip . . . 203 

52. Das Eneigieprinzip 207 

53. Gleichgewicht eines Systems; Stabilität des Gleichgewichte« 210 

54; Das Hamilionsobe Prinzip 215 

s|i5. Kanonische Form der Bewegungsgleichungcn nach Lagrange 221 

Fünftes Kapitel. 

{Serielle Dynamik dnei Syitemi materieller Ponkte. 

56. IHe Atwoodsohe Fallmaschine; experimenteller Nachweis der TTägheits- 

kräfte. . 230 

57. Freie kleine Schwingungen eines Systems von Massenpunkter. . * . \ . 238 

58. I^tae über Transformation von quadratischen Formen , 246 

59. ErzWttfe^ne Schwingungen eines Systems vgn Massepunkten 256 

60. The<»ne ddb Doppelpendels ... 1 * • ^ 253 

61. Die allgemeine Gravitationskraft ' . . * 266 

62. Das Zweikürperproblem . . . . : 269 

63. Das Fundamentalsystem der Mechanik • 283 

64. Das Potential eines Systems graviUemider Massenpuakte . . . ... 28i 

' \ ( * , ,1 



Inhalt, 


IX 


Zweites Buch. 

Mechanik starrer Körper. 

Sechstes Kapitel. 

Kinematik starrer Körper. 

65. Verschiebung eines starren Körpers; Translation und Rotation; Freiheits- 

grade 292 

66. Allgemeinste ebene Bewegung eines starren Körpers 295 

67. Allgemeine Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt (sphä- 

rische Bewegung); das Theorem von Euler 303 

68. Zusammensetzung von zwei aufeinanderfolgenden Rotationen um zwei Aclisen 306 

69. Allgemeinste Verschiebung eines starren Körpers; Theorem von Chasles 312 

70. Analytische Darstellung der ebenen Bewegung eines starren Körpers . . . 315 

71. Analytische Darstellung der allgemeinsten Bewegung eines starren Körpers 322 

72. Die Eulerschen Winkel . 334 < 

Siebentes Kapitel. 

Allgemeine Dynamik starrer Körper. 

73. Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers 340 

74. Theorie der Trägheitsmomente und Deviationsmomente 344 

75. Tensoren; Tensortrijjel; lineare Vektorfunktion 365 

76. Die Eulerschen Gleichungen für einen in einem Punkte festgehaltenen 

Körper 366 

77. Reduktion der allgemeinsten Bewegung des starren Körpers auf «wei ein- 

fachere Bewegungen 376 

78. Die kinetische Energie eines starren Körpers 37$ 

79. Das Kräftesystem des starren Körpers; Statik 380 

" Achtes Kapitel. 

Spezielle Dynamik stamr Körper. 

$0. Das physische Pendel; experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten 393 
$1. Rollen eines Zylinders oder einer Kugel auf der schiefen Ebene; Bestimmung 

von Trägheitsmomenten mit der Wage 398 

82. Mechanische Bedeutung der Dcyiationsmomente; ihr Nachweis mit de^ Wage 403 

83. Kräftefreie Bewegung eines starten Körpers um einen festen Punkt . . . 406 

84. Kräftefreie Bewegung de.s symmetrischen Kreisels . 420 

85. Summarische Betrachtung der Bewegungen eines symmetrischen Kreisels 

unter dem Einflüsse von Kräften 428 

86. Das Potential kontinuierlich verbreiteter Massen, speziell einer homogenen 

Kugelschale; Begriff dw Grodienteii 431 

87. Potential von Oberfläohenbelegungon und Doppelschiohten ....... 438 

88. Die Poissonsche Differontialgleiohung * . . 440 


Drittes Buch. 

Meojianik dar Kontinua (Ela8tizität8l6hra%Qd 
Hydrodynamik) 

Ehd^toiur. 

$9. Allgemeines . ^ 

^ 90. Holekülartheorie und Kontinuumshypivthese; Natur der elasttsohen Medien 444 
91. Ur^ieoidiMta und geoidnete Bewegu^ . 446 



X 


Inhalt. 


Neuntes Kapitel. 

Kinematik ein«i Kontinaiiiiui. 

Seite 

92. Analytische Darstellung von Deformationen; lineare Deformation 448 

93. Allgemeine Eigei^haften linearer Deformationen 451 

94. Einführung eines mitbewegten Koordinatensystems . . 463 

95. Zusammensetzung zweier linearer Deformationen * * . . 454 

96. Lineare infinitesimale Deformationen; Zusammensetzung^ üerseiben . . . 466 

97. Untersuchung der infinitesimalen Drehung 467 

98. S^mtheee einer reinen Dehnung nach drei zueinander senkreehten Achsen 462 

99. Analyw der reinen Dehnung nach drei zueinander senkrechten Achsen . 465 

100 . Geometrisobe Darstellung 468 

101. Synthese der allgemeinen infiniteÜmaien Defondation aus Diehung und 

Dehnung; Divergenz ^ind Rotation (Curl) \ . 471 

102. Defiiiitive Bezeichnungen; die drei Hauptdilatationen als TenScwtripel . ^ 4^4 

103. Beohenregeln mit den Operationen Divergenz, Rotation und Gradient . 476 ' 


Zehntes Kapitel. 

Allgemeine Dynamik eines Kontinuums: Analyse des Spannungssqftandes. 

104. Verschiedene Arten der wirkenden Kräfte; innere Spannungen ..... 478 

105. Beziehungen ^wischen den Masaenkräften und den Spannungen .... 481 

106k Reduktion auf sechs Spannungskomponenten . 484 

107. Abhängigkeit der Spannung von der Richtung; Oberflächenbedfngunge^ 487 

^08. Hauptspannungen und Hauptspannimgsrichtungen . 488 

109. Geometrische Darstellung; Spannungsellipsoid 492 

Elftes Kapitel. 

AUgomsine Dynamik sinss Kontinuums: Zusammenhang swisohen 


SpaAnung und Deformation. 

110. Das allgemeine Hookesche Gesetz 497 

111. Der erst^ Greensche Satz 499 

112. Der Gausssche Satz; dievircitereti Sätze von Green 502 

113. Das allgemeine elastische Potential 504 

114. Das elastische Potential für einen isotropen Körper 509 

llfk Das Hookesohe Gesetz für einen isotropen Körper 512 

116. Die allgemeinen Gleichungen der Elastizität 513 

Zwölftes Kapitel. 

Spesislls Fälle des elastischen Gleichgewichts. 

117. Eindeutigkeit der JLösungen . 515 

118. AUsmtiger gleiohmä^er Druck * • v 1^19 

119. Einseitiger Xhruck < , j 522 

120. ToeiOn eines ^Kreiszylindera ^ . 528 

121. Biegung eines Stabes . . 532 

122. Iheope der CornUsohen llpthode zur Bestimmung von <x 540 

123 . DefoimatjOT eines Stabes durch sein eigenes Gewicht 544 

124« j^sperimentelle Ergebnisse 543 


Dreizehntes Kapitel. 

CßeichgeärUhl und Bewegung in einem unendlich ansge^Uhnten Mettum. 

125. Die Gleiohgewisht^mchungen für diednibisohe Dilatation und die Kotatidiis^ 

kompouenten , ööO- 



Inhalt* 


126. 

127 . 

128 . 

129 . 

130 . 

131 . 

132 . 


Die Laplftcesehe Gleichung; paHikuIäre Integrale derselben 

Alleemeine Integration der Poissonschen Gleichung 

Die Wcllengleichung für die kubische Dilatation und die Rotations- 

komponenten 

Partikuläre Integrale der Wellengjeichung 

Allgemeines Integral der Wellengleichung • • • • • ; • 

Die Bestiminung der Verrückungskomponenlen aus der kubischen Dilatation 

und den Rbtationskoraponenten 

Longitudinale und?, transversale Wellen 


Seite 

552 

554 

657 

658 
565 

672 

574 


Vierzehntes Kapitel. 

' Sobwingungen von Saiten und Membranen. 

133. Lineares System diskreter Massenpunkte 

134. tJbergang zii einer kontinuierlichen Saite 

135. Freie Schwingungen der Saite ‘ ‘ ‘ 

136. Bntw'ickelung willkürlicher Fimktionen nach Ligenfunktionen 

137. Die möglichen Schwingungsformen der Saite 

138. Dfa arawungenen Schwingungen der Saite . 

139. Die jCfreensche Funktion der schwingenden Saiti 

140. Bildung einer Integralgleichung 

141. DefinUiorfen und Satze über Konvergenz von Reihen . . . 

142. Die Bllmcarform für den Kern der Saite 

143. Die Eaylcighsche Methode /••*.**■*,*' 

144. Die inhomogene Integralgleichung für die schwingende Saite 

145. Oedämpfte Schwingungen der Saite ’ 

14Ö. Kreisrunde Membran 

147. Rechteckige Membran 

'f 


577 

581 

582 ^ 

587 

590 

592 

599 

608 

614 

.621 

*624 

629 

637 

643 

..... 649 


Fünfzehntes Kapitel, 

Schwingungen von Stäben und Platten, 

148. Lohgitudinalschwingungen von Stäben • • • *’/.*.* 

149. Greensehe Funktion im weiteren Sinne; Bildung einer Inte^^gleichung 
150^ Mögliche Schwingungsfoniieii des an beiden Enden freien Stabes .... 

15|, Torsionsfichwingungen von 

löi Biegungsschwingungen von Stäben rechteckigen Querschnittes 

An einem Ende eingeklemmter, am anderen freier Stab 

164 , Erweiterung der Resultate für Wiebige Querschnittsform . 

155. An beiden Enden gehaltener Stab; Einfluß gleichraäßipr * 

166 . Deformation eines um seine lilngsachse rotierenden, gleichmäßig belasteten 

* Stabes ^ j ü I o* i 

167 . Fortpflanzung von Biegungswellen in einem unendlich ausgedehnten öteoe 

158 . Sätze über Krümmung schwach gekrümmter Flächen ; • \ * 

169 . Die zweidimensionalen GreeUschen Sätze 

IßO. Potentielle Energie einer sohw'ach gebogenen Platte 

161 . Differeutialgleiphimg der Transveisalschwingungen einer Platte 

162 . Kreissoheibe mit freiem Rande bei axi^er Symmetrie 


657 

662 

673 

678 

682 

686 

691 

693 

695 

698 

700 

706 

706 

713 

718 


Seohzehntea Kapitel. 

CHftlchgewioht und ktoine Schwingungen von Bniiigkeilen, 

|68. Die Gleichungen der Meinen Schwingungen von Flüssigkeiten 

t64. Spezielle Fälle de« FlüssigkeitsgleiohgeViohte» - 

Idö, Starre Körper in einer ruhenden Flüssigkeit 



XU 


V aeiie 

166. Rot^ktion einer Flüssigkeit um eine feste Achse 740 

167. Kleine Schwingungen einer Flüssigkeit (SchaIIl)ewegung) 740 

168. Das Dopplersehe Prinzip 754 

Siebzehntes Kapitel. 

Wkbelfttfe (Potential)-Beivegiiiig einer 

160. Allgemeinste Bewegung eines Flüssigkeitselenientes 759 

170. Die Eulersoben Gleichungen der HydixKlynamik . . 702 

171. Die Lagrangeschen Gleichungen der Hydrodynamik; die Webersohe 

Transformation 706 

172. Obetfl&cbenbedingungen . v . 768 

173. Geeehwindigkeitspotential; Erhaltung des Geschwindigkeitspotentials ... 771 

11^4. Spezielle Fj&Ue stationärer Beilegung 774 

175. Iter Stokesscbe Satz; Gescbwindigkeitspotential in einfach und mehrfach 

, zusammenhängenden Räumen ' 779 

176. Beispiele; Satz von Helml^oltz 790 

177. Zweidimensionale "^pbleme * 790 

178* Strahlbildung; unstetige Püssigkeitsbewegung r , . *809 

170. Bewegung einer ebenen Lamelle in einer Flüssigkeit # * > 

180. Geschlossene 'UnstetigkeitsfhLchen 025 

Achtzehntes Kapitel. 

Wirbelbewegtiiig. 

1814 Erhaltung der Wirbelbewegungen . ^ 1 

^ 1$^ Erhaltung der Wirbellmien 834 

^ 1^. Zmtliche ünd räumliche Konstanz, der Wirbelintensität 835 

184. Bttjti tnm u n g der Gen^windigkeitskomponenten aus den Wirbelkompcnenten $38 

185i A0]cigien zur Elektrodyn^ik . / ^ 

1^ Kraft von Wirbeln; magnetische Energie von Strömen , 846 

l|7.;j|^'}og^thmische Potential ^ « i 847 

188^ Geradlinige Wirbel ^0 

1^ ^nkin.es. kombinierter Wirbel " * • 858 

Iw GeacidcMBette Wirbel (Wirb^nge) 4^3 

olOL WhiiejllläcM Diskontinuitätsflächen 866 

' Ifilli Bei, nöullii^es Theorem ^ 860 

Neunzehntes Kapitel 
Beibung ?oa inkomprewibleii Fltbtlgkeiien« 

'||!k\|^]6i^gii!er Düfermitialgleiehungen für reibende inkompxeenble ilüsdg- 

leiten .871 

104i l^bu^iehenl^e^Üngiingeh . . . . ! 877 

1(95. Edgc^ungea • ; ..880 

l86b^ParaI!e!BtiOnituig durch ein zylindriitches Rohr; Poiaeuilleiohes Gesetz 882 
107. Stationäre Beilegung einer Kug^ in einer reibenden Fh^gbeit. . . . . « 888 




V^ditiu^ einer DnsteMgkfItsfläche durch Reibungi . 

AbnHchkeit' von Flüssigkeitsbewegiuigeti . 

hydi^y^ Widentandet Jl,. ,♦ 


Einleitung. 


1. Aufgabe der Mechanik; ihre Stellung im System der theoretischen Physik. 

Die Mechanik ist die Lehre von den Bewegungen materieller Körper 
und von den Kräften, die jene verursachen. Sie hat dii‘ Aufgabe, die 
Gesamtheit der Bewegungen zu klassifizieren und auf die einfachste 
Weise zu l)eschreibc‘n. Sie leistet dies durch die Aufstellimg geeigneter 
Begriffe, die es gestatten, das Typische der verscliiedenen Bewegungs- 
fornien herauszuschälen und zu formulieren. Unsere heutige Mechanik 
beruht, wenn auch nicht ausschließlich, so doch im wt‘sentlichen auf 
einer Anzahl von Axiomen, die man Newton wrdankt, die aber zum 
Teil schon durch Galilei vorbereitet sind. Das System der Newton- 
scheu Mechanik ist eine widerspruchsfreie, in sich logische Lösimg des 
Problems; es kann zwar kein Zweifel bestehen, daß es möglich sein würde, 
andere Systeme der Mechanik aufzustellen, die ebenso A\iderspruchsfrei 
wären und die Erscheinimgen ebenfalls darstellten; aber es ist fraglich, 
ob diese anderen Systeme ebenso einfach sein würden, wie das System 
Newtons. Es hat deshalb auch bisher kein anderes System das New- 
ton sehe .ernstlich in seiner Stelhmg zu erschüttern vermocht. 

Wir stellen die Newton sehe Mechanik an die Spitze unl^s Systems 
. der theoretischen Physik. Dazu veranlassen uns mehrere Grmule. Zu- 
nächst ein historischer. Dh^ Mechanik ist derjenige Teil der exakten Wissen- 
schaften, der sich am frühesten — zum Teil schon im Altertum — zu 
hoher Blüte entfaltet und zuerst praktische Früchte gezeitigt hat. Des-' 
halb sind naturgemäß in dieser Disziplin zuerst die grundlegenden Be- 
griffe der theoretischen Physik, z. B. Kraft, Arbeit, Energie usw. ent- 
wickelt worden, und von der Mechanik aus haben sie die übrigen Ge- 
biete der Physik erobert mid befruchtet. 

Neben diesem historischen Gesichtspunkte hat zur dominierenden 
Stellung der Mechanik lange Zeit "folgender grundsätzliche Standpunkt 
beigetragen: Man sah eine Naturerscheinung (Elektrizität, Licht, W^txße) 
dann und erst dann als erklärt an, wenn sie auf. Mechanik, d. h. auf jle- 
wegungen materieller, Körper zurückgeführt war. So hat man z. B. die 
^(l¥ärme erkläh als eine ungeordnete Bewegung der Moleküle der Körper-, 
^so faßte man das Licht als eine elastische Wellenbewegimg iji einem 
. materiellen Medium, dem Liohtäther, auf usw. 



2 


Einleitung» 

Die Erwägimgen, die zu diesem grundsätzlichen Standpunkte liin- 
führen, sind etwa folgende gewesen: Die Bewegungen materieller Körper, 
wie sie in der Mechanik behandelt werden, scheinen — wenigstens dem 
naiven Menschen — leichter verständlich, als z. B. die Erscheinungen 
der Elektrizität oder der Wärme. Erklären heißt aber nichts anderes, 
als weniger Bekanntes auf besser Bekanntes zu reduzieren. So ergab 
sich aus diesen Überlegungen ganz zwanglos die Forderung, alles auf 
die Mechanik als das am besten Bekamite zurückzuführen. An der Aus- 
führung dieses großartigen Programms des „mechanischen Welt- 
bildes“ hat die Physik sich bis in die jüngste Zeit gemüht, ohne daß 
es allerdings zu einem befriedigenden Abschluß gelangt w^äre. Man neigt 
heute sogar angesichts der vielen scheinbar unüberwindlichen Schwierig- 
keiten, die namentlich Elektrizität und Magnetismus dem Versuche, sic* 
4iis mechanische Weltbild einzureihen, entgegensetzen, jetzt zu der dia- 
metral entgegengesetzten Forderung, alles auf elektromagnetische 
Grundlage zu stellen Doch ist bisher das „elektromagnetische 
Weltbild“ auch nur Programm geblieben, und mag auch vielleicht jetzt 
die Wagschale sich schon mehr zugunsten des letzteren neigen, so kann 
doch jedenfalls der jetzige Zustand der Wissenschaft keinen Grund da- 
gegen bilden, die Mechanik noch an den Anfang der theoretischen Physik 
zu stellen. 

Jn dieser Auffassung bestärkt uns eine dritte Erwägung, die päda- 
gogischer Natur ist. Wenn wir die Mechanik in ihrer alten Stellung be- 
lassen, so folgen wir damit, wie oben erwähnt, der historischen Ent- 
wicklung der Wissenschaft. Bei dieser Anordnung erkennt der Anfänger, 
für den dieses Buch in erster Linie bestimmt ist, unserer Ansicht nach 
am leichtesten, wie die Probleme der theoretischen Physik entstanden 
sind, und so wird in ihm am ersten das das „Sichwmidem“ 

mit anderen Worten, der methodische Zweifel erweckt, der der Lebens- 
nerv jeder Forschung ist, 

& GnmdbegriBe: Raum und Zeit in der Mechanik. 

Das Objekt der Mechanik ist die Bestimmung der Bewegungen 
materieller Körper. Bewegung eines Körpers ist aber eine örtliche Ver- 
änderung in der Zeit. Wir werden uns daher, ehe wir an die Aufgabe der 
Mechanik herangehen köimen, mit Baum und Zeit, oder Vielleicht besser 
gesagt, mit Baummessung und Zeitmessung zu beschäftigen haben. 

Die Eigenschaften des Baumes sind aus der Euklidischen Geometrie 
her bekannt; die Axiome und Lehrsätze derselben werden hier als bekannt 
vorfmsgesetzt. Wir müssen vor allen Dingen den Baum durch Längen- 
maße ausmessen. Dazu bedürfen wir einer Einheit des Längenmaßes. 
Diese ist natürlich willkürlich und muß durch Übereinkunft festgelegt 
werden.. Durch internationale Verständigung ist folgendes bestimmt 
bestehender, zu Sövres bei Paris auf bewahrter Stab 


Einleitung. 

hat in der Nähe der Edden zwei feine Striohmarken ; die Distanz derselben 
bei der Temperatur 0® Celsius wird als Längeneinheit zugrunde gelegt; 
sie heißt: das Meter. Von diesem ürmaße, dem sogenannten m^tre.des 
archives, sind durch eine internationale Kommission Kopien angefertigt 
worden, von denen mehrere Exemplare im Besitze jedes Kulturstaates 
sind. Mit ihnen sind alle Maßstäbe, die in der Physik benutzt werden,' 
verglichen. Statt des Meters benutzt man in der Physik übrigens den 
hundertsten Teil desselben, das Zentimeter, als wissenschaftli(die 
Längeneinheit. 

Da man Gründe hat, an der absoluten Konstanz der Länge von Metall- 
stäben S5U zweifeln, so hat man neuerdings das Meter mit der Größe von 
Lichtwellen verglichen. Albert Michelson hat diese Bestimmung aus- 
geführt und gefunden, daß, wenn man die Wellenlänge '/. in trockener 
Luft bei 15® C der roten Cadmiumlinie benutzt, man hat: 

lm = 1553164,03A. 

Bisher sind keine Gründe bekannt geworden, an der Konstanz der 
Lichtwellenlänge (unter gleichen Bedingungen der das Licht erzeugenden 
Lichtquelle und im nämlichen Medium) zu zweifeln. Indem man also 
vorläufig die absolute Konstanz dieser Wellenlänge annimmt, hat man 
so die Möglichkeit, die Veränderlichkeit des Urmeters zu kontrollieren 
und in Rechnung zu ziehen. 

Neben dem Raume, d. h. deö ^geometrischen Stücken, die Ort und 
Ortsveränderung bestimmen, müssen wir auch die Zeit als meßbare ver- 
änderliche Größe einführen. Auch die hierzu notwendige Einheit des 
Zeitmaßes ist willkürlich und wird durch Konvention festgesetzt. Zu 
einer brauchbaren Zeiteinheit gelangt man folgendermaßen: Man be- 
obachtet, daß die Erde relativ zum Fixstemhimmel eine Drehung aus- 
föhrt; ob dabei die Erde oder der Fixsternhimmel sich bewegt, ist an 
dieser Stelle ganz gleichgültig; es handelt sich hier nur um die reine Be- 
öbuchtungstatsache der relativen Veränderung beider Systeme gegen- 
einander. Deshalb eben können wir — um die Ideen zu fixieren — ohne 
Schaden sagen, daß die* Erde rotiere. Die Rotationsachse ist durch Be- 
obachtung festgestellt als die Verbindungslinie deö Erdmittelpunktes mit 
einem bestimmten Fixstern, dem 8ogeua^^n Polarstem. Durch die 
Rotationsachse und durch einen beliebig herausgegriffenen Fixstern legen 
wir eine Ebene. Wir wollen sie kurz die „feste" Ebene nennen. Diese 
‘Ebene dreht sich also relativ zur Erde. Eine zweite Ebene .werde bestimmt 
durch die Rotationsachse und einen beliebigen Punkt der Erdoberfläche; 
daim erhalten wir eine sogenannte Meridianebene, die relativ zur Erdb 
keine Bewegung hat, sich aber gegen die „feste" Ebene dreht. In di^r 
relativen Bewegung beider Systeme gegenemandejr haben wir 'einen peri- 
odischen Vorgang vor uns, den wir zur Zeitmessuög benutzen kSnnen. 
Wir ^finieren folgeüdermaßen: Die Zeit soll gemessen“ werden durch 
den Winkel zwischen den obigen beiden Ebenen: der Zeiteinheit ent- 



4 Einleitung, 

spriclit also eine Drehung der in der Erde festen Meridianebeno um einen 
bestimmten Winkel gegen die feste Ebene. Die Zeit, di(‘ verstreiclit, 
wt'ini die Meridianebene eine Drehung um 3()0 (h ad gegen die feste Acdise 
gemacht hat, nennt man einen Stern tag. Der 80164ste Teil eines Stern- 
tages wird als Sekunde bezeichnet, und dies ist die in der Physik üb- 
liche Zeiteinheit. Natürlich kann man nicht daran denken, stets durch 
astronomische Beobachtungen die Zeit zu m(‘ssen. Man stellt sich viel- 
mehr andere Instrumente, sogeiuiimto ,, Uhren“ her, d. h. mechanische» 
Apparate, die eine periodische Bewegung ausführen. Dtr einfachste 
Apparat dieser Art ist das Pendel. Man bestimmt einfach die Anzahl 
der Pendelschwingungen, d. h. der Hin- und Hergänge dess(»lben, die 
auf die Zeit eines Sterntages fallen. Ein Pendel von solcher B(»schafft»n- 
heit, daß 86164 Schwingungen auf einen Sterntag entfallen, heißt eii] 
Sehundenpendel. Mit einem solchen odt‘r Apparaten ähnlicher B(‘- 
schaffenheit w*erden alle prakti.schen Zeitnu'ssungen angestellt. Natür- 
lich werden alle Uhren regelmäßig durch astronomiscla» B(»obachtungen 
kontrolliert. 


3. Substantielle Punkte, starre Körper, deformierbare Körper. 

Die' in der Natur vorkommenden niat(»riellen K()rp(‘r. deren Be- 
wegungen die Mechanik untersucht, sind stets ausgedehnt, d. h. sie er- 
füllen ein endliches Raumgebiet. Die verschieden<*n i’eih» eines solchen 
ausgedehnten Körpers können sieb sehr verschieden bew(‘g(»n uml zur 
exakten Angabe der Bewegung des ganzen Körpers gelairt offinbar die 
Angabe der Bewegungen aller seiner Teile. Man (»rkennt als<», daß die 
Bewegung eines ausgedehnten Körpers im allg(»meinen eim* sehr kom- 
plizierte Erscheinung darstellt, die zu entwirren schwierig ist. Man kann 
jedoch durch einen Kunstgriff die Schwierigkeit erheblich vermindern. 
Je kleiner der Körper ist — oder je kleiner der Teil des Kör])ers ist, den 
wir ins Auge fassen — um so weniger w'erden sich die Bewegungen inner- 
halb des Körpers oder des betrachteten Körperteiles voneinander unter- 
scheiden. ln Gedanken können wir den Köq)or oder Kcirjn rttü sogar 
unendlich klein werden lassen, daim haben wir es schli(*ßlic}i nur mit 
der Bewegung eines unendlich kleinen Bereiches zu tun, (l(‘n man kurz 
als „materiellen“ oder „substantiellen“ Punkt bezeicluiet. Ein 
solcher ist natürlich nicht mit einem geometrischen Punkte zu verwech- 
seln, denn er besitzt vor allem eine Ausdehnung, W(»nn auch ein«» sehr 
kleine, während die geometrischen Punkte ausdehimngsloso Gebild«» sind. 
Die Bewegungen solcher materiellen Punkte sind die denkbar (»infaclisten, 
die in der Mechanik möglich sind, weil die Komplikation der end- 
lichen räumlichen Ausdehnung bei ihnen beseitigt ist. Des- 
halb ist es zweckmäßig, zuerst die Mechanik eines solchen zu entwick(dn. 
Übrigens kann man manchmal auch einen ausgedelmten Körper so be- 
handeln, als ob er ein materieller Punkt wäre, wenn es eben nur auf die 



5 


Einleitung. 

lictnicbtuiig cUn- J3ewogiing (»ines Punktes ankommt; z. P. bei der Be- 
-Nvegiing der (T(‘stirne am Himmel genügt es, diejenige des Mittelpunktes 
jedes Körpt^rs zu ktmnen, und deshalb reicht für dieses Pro])lem die 
Mechanik mat(*rieller Körper aus. 

Perner kann man sagen, daß jeder endlich ausgedehnte Körper als 
aus niateriellen Punkten zusanmiejigesetzt gedacht werden kann. Denn 
man kann dim Körper durch drei Schar(‘n von aufeinander senkrecht stehen- 
den Ebenen in kleine Würfel, sogenannte Körperelemente, t(dlen; die 
Jk‘wegung eines solchen Elementarwürfels wird aber wegen seiner mini- 
malen Ausdehnung durch die Betrachtung eines Punktes desselben mit 
ausreichender Genauigkeit dargestellt, und man kann daher in jedem 
Elemente ein(‘n Punkt, etwa den Mittelpunkt, markieren, .leder dieser 
Punkte* bleibt bei der Bew(*gung an seinem Elemente haften, ist also das, 
was wir oben als materiellen Punkt bezeichnet haben. Die Bewegung 
des gesamten Körpers ist also dann bestimmt, wenn die Bewegung aller 
dieser so gewonnenen materi(*ll(‘n Punkte bestimmt ist, und in diesem 
Sinne kann man den endlich ausgedehnten Körper als aus materiellen 
Ihinkton bestehend ansehen. 

Di(‘Se Auffassung leitet nun über zu dem Begriff des starren Kör- 
])ers. Zwei materielle Punkte heißen starr miteinander ver- 
bunden, wenn ihre Entfernung bei allen möglichen Be- 
wegungen derselben sich nicht ändert. Ebenso neunen wir 
(‘inen Körper starr, wenn seine sämtlichen materiellen 
Punkte b(‘i der Bewegung ihre gegenseitigen Entfernungen 
nicht ände rn. Viele der in der Natur vorkoramenden Körper lassen 
sich mit großer Annähermig als sta**r betrachten, wenigstens, wenn es 
nicht auf dit* äiißen^ Genauigkeit ankommt. Deshalb wird sich an die 
Mechanik diskreteu materieller Punkte anschließen die Mechanik starrer 
K()rp(*r. 

Im Gegensatz zu den staiT(*n Körpern stehen diejenigen, deren 
mat(‘riellen Punkte ilirim gegenseitigen Abstand während der Bewegung 
verändern, od(*r, wie wir kurz sagen wollen, die ihre Gestalt oder ihr 
Volumen verändern. Solche Körper nennen wir deformierbare oder 
elastische Körper. Streng genommen gehören alle in der Natur vor- 
kommenden Körper zu dieser Kategorie, und deshalb ist es notwendig, 
über die Mechanik des starren Körpei*s hinauszugehen und ihr eine 
Mechanik deformierbaror Körper anzuschließen. 

4. Einteilung der Mechanik. 

Man kann die Mechanik in verscldedener Weise einteilen, je nach 
den Gesichtspunkten, die man verfolgt. Eine solche Emteilimg haben 
wir in der vorigen Nummer angegeben. Eine andere Einteilung ist die 
folgende: Solange man nur die Bewegungen als solche betrachtet, d. h. 
die aufeinanderfolgenden La^en eines Körpers zu verscliiedenen Zeiten, 



6 Einleitung, 

ohne Eücksicht darauf, wie diese Bewegungen entstehen, hat man es 
mit einer rein geometrischen Betrachtung zu tun. Diesen Teil der Mechanik 
nennt man Kinematik. Sie nimmt zu den drei Baumkoordinaten nur 
noch die Zeitkoordinate hinzu. Als ihre Aufgabe kann bezeichnet werden 
die Untersuchung und Klassifizierung aller denkbaren Bewegungen. So- 
bald man wirklich vorkommende Bewegimgen in dieser Weise betrachtet, 
mnnt man die Kinematik auch wohl Phoronomie;.doch w^erden beide 
Bezeichnungen "vielfach ohne Unterschied benutzt. Der Teil der Mechanik 
ferner, der, die Bewegungen in Verbindung mit den sie hervorbringenden 
Ursachen, den Kräften, untersucht, heißt die Dynamik, von der die 
Statik, die Lehre vom Gleichgewicht der Körper unter dem Einfluß 
von Kräften, ein spezieller Fall ist. Die allgemeine Dynamik stellt 
die allgemeinen Bewegungsgesetze auf und liefert die allgemeinen Piin- 
zipien, nach denen diese Bewegungsgleichungen behandelt werden müssen, 
während die spezielle Dynamik die besonderen Probleme behandelt. 

So ergibt sich denn für die drei Mechimiken des materiellen Punktes, 
des starren Körpers imd des deformierbaren Körpers die Haupteintfilung 
in die jeweilige Kinematik und die jeweilige Dynamik. 



Erstes Buch. 


Mechanik materieller Punkte. 


Erstes Kapitel. 

Kinematik eines materiellen Punktes. 

5. Lage eines materiellen Punktes; Koordinatensysteme; Bezugssysteme. 

Unter der Lage eines substantiellen Punktes verstehen wir die An- 
gabe des Kaumpiinktes, mit dem er koinzidiert. Was ist notwendig, 
um eine derartige Bestimmung auszuführen? Denken wir uns, der ganze 
Raum sei leer, mit Ausnahme eben des einen materiellen Punktes, dessen 
Lage festgestellt werden soll. Der leere Raum ist unendlich groß, d. h. 
ohne Begrenzimg, und ferner ist sowohl jeder Eaumpunkt dem anderen 
gleichwertig und durch nichts miterschieden, als auch sämtliche durch 
(len Punkt gehenden Richtungen. Man drückt diese Eigenschaften des 
Raumes dadurch aus, daß man sagt, der Raum sei „homogen“ 
und „isotrop“. In Verbindung mit der Unendlichkeit des Raumes 
machen diese beiden Eigenschaften des leeren Raumes es aber unmög- 
lich, einen Raumpunkt zu individualisieren; denn diese Eigen- 
schaften schließen eben die Möglichkeit dazu aus. Also kann man im 
leeren Raum auch nicht die Lage eines materiellen Punktes angeben: 
eine „absolute“ Lagenbestimmung ist unmöglich. Man muß vielmehr 
außer dem zu bestimmenden materiellen Punkte noch das Vorhanden- 
sein irgend eines materiellen Körpers hinzunehmen, in bezug auf den 
oder relativ zu dem die Lage des substantiellen Punktes bestimmt werden 
kann, indem man die Entfernungen des letzteren von einigen oder allen 
Punkten des materiellen Körpers angibt. Es ist also eine „relative“ 
Lagenbestimmung, und nur eine solche, möglich. Den ma- 
teriellen Körper, relativ zu dem die. Lagen eines materiellen Punktes 
bestimmt werden, nennen wir den „Bezugskörper“. 

Als Bezugskörper wollen wir stets starre Körper nehmen. Wir greifen 
ferner einen Punkt 0 desselben heraus, und legen durch denselben 
drei zueinander senkrechte Gerade, die wir als die at-, und s-Achsen 
eineä kartesischen Koordinatens 3 rstemes nehmen wollen.^ Die Achsen 



8 Mechanik materieller Punkte. 

sind also Linien, die dem starren Körper angehören, also nach einer in 
Nr. ^ gemachten Bemerkung als aus substantiellen Punkten des Körpers 
bestehend angesehen werden können, und daher als „substantielle Linien** 
bezeichnet werden. Als Koordinatensystem wählen wir ein sogenanntes 
ivchtshändiges Koordinatensystem. Bei einem solchen sind die positiven 
Achsenrichtimgen folgendermaßen bestimmt: Zwei positive Achsen- 
vichtungen können beliebig gewählt werden. Es seien dies etwa die a*- 
und 2 /-Eichtungen ; man denke sich nun einen menschlichen Körper auf 
die xy-Ehene im Koordinatenanfangspunkt so gestellt, daß die positiv(‘ 
a--Bicbtung zu seiner Hechten, uixl die positive //-Bichtung seine Blick- 
richtung ist. Dann nehmen wir die Eichtung von seinen Füßen zum 
Kopfe als positive 2 -Bichtung an. Diesen Festsetzungen (mtspricht das 
Bild der Fig. 1 . 





Man kann Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand lidciit 
so stellen, daß sie zueinander senkrecht stehen. Dann entspricht der 
Daumenrichtung die positive a'-Eichtung, dem Zeigefinger die positivt* 
^'Eichtung, dem Mittelfinger die positive j^-Eichtung. Das gilt aber nur 
für die rechte Hand, daher der Name: rechtshändiges System. Das links- 
händige System geht aus dem obigen durch Umkehrung einer Achs^ 
daraus hervor, ist also ein Spiegelbild des rechtshändigen. 

Die relative Lage, oder wie wir in Zukunft, da es sich nur um solcln* 
handelt, einfacher sagen werden, die Lage eines materiellen Piuiktes V 
ißt nun nach den Lehren der Geometrie vollkommen .bestimmt durch 
die Angabe der drei senkrechten Abstände von den Koordinatenachsiui 
(Fig. 1). Statt dieser drei kartesischen Koordinaten x, y, z kann man 
natürlich die Lage des Punktes auch durch drei beliebige eindeutige 
Funktionen der ä, j/, z bestimmen, wie es z. B. Polarkoordinaten sind. 

Für die Kinematik, die ja nur denkbare Bewegungen geometrisch 
zu untersuchen hat, ist die Wahl des Bezugskörpers offenbar gleichgültig, 



Kinematik eines materiellen Punktes. 9 

i‘beiiso \vi(‘ die Wahl des Koordinatensystems in der Geometrie die geo- 
metrischen Eigenschaften der zu untersuchenden Gebilde nicht beein- 
flußt. Kein Bezugskörper ist vor dem anderen in irgend 
einer Weise grundsätzlich ausgezeichnet. Würde umgekehrt 
ein Bezugssystem eine ausgezeichnete Bolle spielen, so könnte man die 
Lage relativ zu diesem — obwohl es natürlich auch eine relative Be- 
stimmung ist — im g(*wissen Sinne als „absolute“ bezeichnen, weil eben 
diese Bestimmung dann vor allen and(‘ren ein(*n Vorrang hätte. In der 
Kinematik ist dies nicht der Fall, wohl aber, wie wir später 
sehen werden, in der Dynamik. Dort gibt es ausgezeichnete Ko- 
ordinatensysteme und also im obigen Sinne absolute Bestimmimgen. 


6. Bewegung eines substantiellen Punktes; Eigenschaften der in der Mechanik 
vorkommenden Funktionen. 

Wir betrachten nun die Lagen eines Massenpunktes (relativ zu einem 
beliebigen Bezugskörper), wie sie zeitlich aufeinander folgen. Zu jeder 
Zeit, die wir an dt'r Uhr ablesen, können wir drei Abmessurgen xyz 
angeben, die s('ine Lage zur Zeit i bestimmen. Mit anderen Worten: 
X, ?/, z sind Funktionen der Zeit f: 

(1) a- = i(t), y = y{i), z = 

Diese drei Funktionen der Gkichung (1) stellen uns die sämtlichen 
fiagen des Punktes dar, wTim wir der Zeit i alle möglichen Werte bei- 
l(‘gen. Sie stellen also den Inbegriff sämtlicher Lagen oder die 
Bewegung des Punktes dar; die Gleichungen (1) werden deshalb 
als die „Bewegungsgleichungen der Kinematik“ bezeichnet. 
Die Bewegung eines substantiellen Punktes ist *also bestimmt, wenn 
seiiu‘ Koordinaten als Funktionen der Zeit bekannt sind. Während der 
Bewt*gung beschreibt der materielle Punkt (relativ zu dem im starren 
Bezugskörper befestigten Koordinatensystem) eine Kaumkurve. Diese 
wird durch (1) unter Vermittlung des Parameters t dargestellt; Glei- 
chung (1) ist die Gleichung der Bahn in sog. Parameterdarstellung. Sind 
die Gleichungen (1) so beschaffen, daß zwischen je zweien von ihnen t 
eliminiert werd(m kann, z. B. aus der ersten imd zw^eiten, dann aus der 
zweiten und dritten, so liefert das erstt» Gleichungspaar einen funktionalen 
Zusammenhang zwischen den Variabehi x und y, das zweite Paar zwischen 
y und Zf den wir in der Form schreiben können: 

(2i I = 

I = 

Dip Gleichungen // — 0 und /, = 0 stellen jede eine Oberfläche dar, also 
beide gemeinsam die Schnittlinie derselben, welche eben die gesuchte 
Kurve ist. Diese Baumkurve nennen wir die „Bahnkurve“ oder die 
„Bahn“ des substantiellen Punktes. 



10* Mechanik matmeller Punkte, 

Die Punktionen (1) könnten vom rein mathematischen Standpunkte 
ganz willkürliche sein; aber wir wollen diese Willkür von vornherein 
einschränken, um eine einfache mathematische Darstellung der Mechanik 
möglich zu machen. | 

Wir nehmen deshalb zunächst an, daß diese Funktionen stetig 
sind. Die Zulassung unstetiger Funktionen würde auch physikalisch 
Schwierigkeiten mit sich bringen. Denn dann müßten wir z. B, den Fall 
zulassen, daß die Bahnkurve eines substantiellen Punktes zu einer be- 
stimmten Zeit in zwei Stücke zerrissen sein könnte, so daß der substan- 
tielle Punkt gleichzeitig an zwei verschiedenen Stellen des Baumes wäre 
(Fig. 2). 



Damit aber würde jedes Mittel fehlen, sich der Identität des sub- 
stantiellen Punktes zu vergewissern. 

Weitere Einschränkungen für die Funktionen (1) werden die im 
folgenden zu entwickelnden Begriffe der Geschwindigkeit und der 
Beschleunigung liefern; wir wollen jedoch der Übersichtlichkeit halbef 
bereits hier alle Eige^chaften dieser Funktionen zusammenstellen: Wir 
werden von den Funktionen (1) außer der schon besprochenen 
Stetigkeit noch verlangen, daß sie beliebig hohe stetige 
Differentialquotienten nach der Zeit besitzen. 


7. Der Begriff der Oeschwindigkeii 

ÜJB den Begriff der Geschwindigkeit zu erhalten, wollen wir von 
einem möglichst einfachen Falle ausgehen; Ein substantieller Punkt 
bewege sich auf einer geradlinigen Bahn derartig, daß er 
in gleichen Zeitabschnitten gleiche Strecken zurücklegt 
(Kg. 8). Eine solche Bewegung heißt „gleichförmig“. 

Zur Zeit sei er im Pimkte 1, im Zeitmomeute in 2, und so 
fort. Die zeitlichen Differenzen »oUen 

gleich groß sein; dann sind der Voraussetzung gemäß 'die Strecken 

die in diesen Zeiten zurückgelegt werden, ebeü- 

falls gleich. Dabei werden die Strecken s von einem beliebigen Anfangs- 
punkte 0 aus gemessen, wie es die Kg, 8 angibt. ' 



Kinematik eines materiellen Punktes, 11 

Hier ist es leicht, eine Definition für die Geschwindigkeit zu geben, 
die sich überdies mit dem gewöhnUchen Sprachgebrauch deckt; wir 
nennen nämlich die Strecke, die der Punkt in der Zeit- 



einheit zurücklegt, seine Geschwindigkeit. Bezeichnen wir 
also die Größe*, oder wie wir lieber sagen wollen, den „Betrag“ der Ge- 
schwindigkeit durch c (celeritas), so ist demgemäß: 


^ : 
4 -Ti' “ 


Bezeichnen wir ferner die seit Beginn der gleichförmigen Bewegung 
des substantiellen Punktes verflossene Zeit durch ty die gesamte zurück- 
gelegte Strecke durch 5, so können wir auch schreiben; 


l3a) c = 

In Worten: Bei einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung erhält 
man den Betrag der Geschwindigkeit als den Quotienten aus der zurück- 
.gelegter Strecke s und der während der Durcheilung von s verflossenen 
Zeit, f. Die Geschwindigkeit hat einen konstanten Wert; wie groß oder 
wie klein daher $ und t genommen w'erden, ist offenbar gleichgültig. 

Aber diese Definition versagt bereits, wenn der substantielle Punkt 
auf geradliniger Bahn in gleichen Zeiträumen verschieden große Wege 
zurücklegt (Fig. 4). 


0 ^ . J 4 s 

Fig. 4. 

Die zur Zurücklegung der Strecken — «i, — «g, «4 — «a» • • • 

^»-1 erforderlichen Zeiten seien gleich. 

Bilden wir nun wie oben einen Quotienten, etwa > so stellt 

dieser offenbar nur einen Durchschnittswert der Geschwindigkeit dar, 
die sogenannte „mittlere Geschwindigkeit“ in dem betreffenden Zeit- 
intervalle. D. h. wenn ich dem substantiellen Punkte zur Zeit t, im Punkte 8 



12 


Mechanik materieller Punkte. 


die konstante Geschwindigkeit erteilen würde, so durcheilte er 

die Strecke 54 — S 3 gleichförmig derart, daß er zur Zeit '/4 iin Kaiunpuiikte 4 
eiutreffen würde. Anfang und Ende der Bewegung werden also richtig 
durch die mittlere Geschwindigkeit dargestellt; aber über die Lage des 
substantiellen Punktes zu den Zwischenzeiten sagt sie nichts aus, imd 
das wird doch gerade von uns verlangt, daß wir in jedem Zeitmomente 
die Lage des sich bewegenden materiellen Punktes angoben können. 

Um hier '\^eiter zu kommen, überlege man folgendes: Die Größe 
der mittleren Geschwindigkeit hängt offenbar von der Größe des gewählten 
Zeitintervalles ab und die wirkliche Bewegung wird durch sie 
um so w'eniger genau dargestellt, je größer das Zeitintervall 
ist. Man sieht dies leicht am Beispiele eines Eisen bahn zuges ein. Wenn 
ich sage: Zwischen Köln und Berlin, d. h. in einem Zeitintervalle von 
9 Stunden, hat der Zug eine mittlere Geschwindigkeit von 70 km pro 
Stunde, so sagt diese Angabe offenbar weniger aus über die wdrkliclu* 
Bewegung — obwrohl der Wert der mittleren Geschwindigkeit völlig 
exakt ist — , als wenn ich die mittleren Geschwindigkeiten des Zuges 
für die erste Stunde, für die zweite, und so fort einzeln angt^be. Denn 
im ersten Fall stimmen i. A. nur Anfangs- und Ei^dlage mit der wirklichen 
Bewegung überein, im zweiten Falle dagegen noch die ZwiNchenlagen 
.zu Beginn jeder neuen Stunde. Noch genauere Ergebnisse w’ürden wir 
bekommen, wenn für jede Minute die mittlere Geschwindigkeit angegeben 
würde, usw. 

Durch diesen Gedankengang gelangen wir zu ein(*r brauchl)aren 
Definition der Geschwindigkeit; die mittlere Geschwindigkeit wird ja 
den Bewegungsvorgang um so genauer darstellen, je kleiner das Zeit- 
intervall ist, für das dieselbe gebildet wird. Nennen wir A s eine khine 
Strecke, A t die zur Zurücklegung derselben erforderliche Zeit, so ist 

^ die mittlere Geschwindigkeit im Intervalle At, Lassen wir nun At 
immer kleiner und kleiner werden, so wird auch As immer kleiner und 
kleiner werden, und der Quotient ~ wird sich einer bestimmten (irenze 

nähern, die in der Sprache der Differentialrechnung der (*rste Differential- 
Quotient von s nach t genannt wird: 


Dieser Grenzwert, dessen Existenz wir postulieren müssen, ist zwar 
Funktion von f, hängt aber nicht mehr von der Größe des Zeitintcr- 

valls dt ab. Deshalb ist, es zweckmäßig, ^ als den betrag c der Ge- 
schwindigkeit im „Zeitpunkte zu bezeichnen. Wir erhalten also jetzt: 


( 4 ) 




Kinetnatik eines materiellen Punktes. 


13 


welche Definition auch auf den ersten Fall der gleichföniiigen Geschwin- 
digkeit paßt, da dann 

ds . s 

=const.^-7- 
dt t 

ist. 

Es muß besonders hervorgehoben W(‘rdon, daß Gleichung (4) zu- 
nächst nur abg(*leitet ist unter der Voraussetzung, daß die Bewegimg 
geradlinig ist. Wenn man jedoch die Reiht? der Schlüsse prüft, durch 
dit» wir zur Gleichung (4) gelangt sind, so findet man, daß von der Voraus- 
stdzung der Geradlinigkeit in Wirklichkeit kein Gebrauch gemacht wurde. 
l)it‘ Gleichung (4) gilt daher auch für jed(* krummlinige Be- 
w'egung, d.h. ganz allgemein. 

DieS(‘ Erweiterung des (Jültigkeitsbereiches von (4) führt uns nun 
selbst zu der Erkenntnis, daß durch die Gleichung (4), di(‘ den Be- 
trag dt'r Geschwindigkeit in jedem Fallt* richtig angibt, die Geschwin- 
digkeit selbst doch nicht ausreichend charakterisiert wer- 
den kann. .Denn offenbar geliört zur völligen Bestimmtheit derselben 
auch die Angabe der Richtung der Geschwindigkeit. 

Diese Ergänzung ist leicht anzugeben. Denn da die Gt*schwindig- 
keit nach (4) der in der unendlich kleinen Zeit äi zurückgelegtt* Weg ds 
dividiert durch diese Zeit, ist („Weg pro Zeiteinheit“), so ist klar, daß 
die Richtmig der Geschwindigkeit mit derjenigen des Balmelementes ds 
zusamim'ufällt. Als positive Richtung des letzteren nehmen wir zw’eck- 
mäßig diejenige, in der dasselbe von dem materiellen Punkte durcheilt 
wird. Wir können also saigen: Die Geschwindigkeit ist tangential 

d s 

zur Balm gfrichtot, \wshalb man lüiufig auch als „Bahn- 
geschwindigkeit“ bezeichnet. Die Bichtimg von ds und dalier die 
Bahngeschwindigkeit wird nach den Regehi der Geometrie Iwstimmt 
(hirch die Angab»" der drei Winkel, die ds mit den Koordinatenachsen 
bildet imd die wir durch (sj), {syj, (sz) l>ezeichnen wollen. Natürlich 
sind nur zwtn von ihnen unabhängig, da die Relation besteht: 

(l)) cos* (sx) 4- cos* (sy) + cos* (sz) = 1 . 

d 8 

Durch die Angabe dos Betrages c - -ji »obigen 

Winkel ist daher die Geschwindigkeit charakterisiert; sie bedarf also 
der Angabe dreier unabhängiger Stücke. 

8. KomponentendantelluiiK der Oeschwindigkeit. 

Die Darstellung der Geschwindigkeit durch ihren Betrag und durch 
zwei Winkel ist unsymmetrisch, insofern, als die drei Daten von ver- 
schiedener Natur sind. Es ist daher wünschenswert, auch eine symme- 
trische Darstellung zu erhalten. Diese ge\vinneu wir folgendermaßen: 
Statt das Bahnelement durch seinen Betrag äs imd zwei Winkel zu be* 




14 


Mechanik materieller Punkte. 


stimmen, können ^vi^ es offenbar auch durch seine drei Projektionen 
auf die Koordinatenachsen eindeutig und vollständig festlegen. Denn 
wenn wir die Projektionen der Eeihe nach mit dx, dy, dz bezeichnen, 
so können wir daraus wieder den. Be trag und die Winkel gewinnen. Denn 
es ist nach dem pythagoräischen Lehrsätze: ds^ ^ dx^ + dy^ + dz^y 
also der Betrag: 

(6) ds ^ + ’^d + d y^ + d ^ 

und ferner sind die Kosinusse der Winkel, die sogenannten Eichtungs- 
kosinusse : 

(7) cos(s®) = ^. cos(sj/) = -j|-, cos(s*)=^*- 

Diese Darstellung durch die drei Projektionen ist völlig symmetrisch 
uM4äßt sich auf die Geschwindigkeit übertragen. Wir wollen also die 
Greschwindigkeit auf die drei Achsen projizieren. Die Projektionen seien 
Uy V, w. Dann ist offenbar: 

(8) u == cos‘(s x)] V = cos (ä 2 /) ; w = cos (s z ) , 


oder unter Berücksichtigung von (7) 
ds dx ^ dx 

17 ~'dT 


(9) 


V = 


dy . 


W 


dz 
d i 


Es laßt sich nun genau wie für das Bahnelement zeigen, daß durch An- 
gabe der Projektionen ^ ^ ^ di© Geschwindigkeit völlig bestimmt 

ist. Deim zunächst folgt durch Quadrieren und Addieren der Projek- 
tionen unter Eücksicht auf (6): 

Also ist der Betrag c der Geschwindigkeit: 

(10) . = Jf - + / - + yu ’+ .> + 

(irobel di»' Wurzel stete mit dem Pluszeichen zu nehmen ist) und die 
Biohtungskosmusse sind offenbar, wenn die Winkel mit (cx), (ey,) (ez) 
bezeichnet Werden: 

(11) oos{cy)^~; cos(cz)»-f, 

wodurch die Geschwindigkeit vollkommen bestimmt ist. 

Die Größen 

dx 

“■“TT' 


( 12 ) 


W ’ 


dy 

dT* 

dz 

dt 



Kii^matik eines materiellen Punktes. 


15 


(12a) 


nenn^> iiiau die „rechtwinkeligeri Komponenten“ der Geschwindig- 
keit. Dieser Darstellung werden wir uns vorzugsweise bedienen. 

In dem speziellen Falle, daß die Bewegung eben ist, kann man 
die Ebene derselben etwa mit der «y -Ebene zusammenfallen lassen; 
dann wird = und wir erhalten für die ebene Bewegung die 

Komponentendarstollung : 

( dx 

Daraus der Betrag c der Geschwindigkeit; 

(10a) c = 

und für die Richtungskosinusse: 

^lla) cos(ca;)«~» cos(ct/)==y> 

wcibei offenbar (co:) + {oy) ist. 

Die Darstellung der Geschwindigkeit durch die Komponenten (12) 
liefert gleichzeitig die Rechtfertigung dafür, daß wir in Nr. 6 von den 
Funktionen (1) verlangt haben, daß sie erste Differentialquotienten 
nach der Zeit besitzen sollen, die selbst stetige Funktionen von t sein 
müssen. Denn wäre die erste Bedingung nicht erfüllt, so existieren ja 

die Größen'** *** 


dl ’ dt ’ di 


gar nicht, also auch kein als Geschwindigkeit 
zu bezeichnender Grenzwert • Auch die ünstetigkeit von ^ 

würde zu ähnlichen Unzuträglichkeiten führen, wie. wir sie in Nr. 6 be- 
sprochen haben. 

9. Vektoren und Skalare; Vektoraddition. 

Größen, wie die Geschwindigkeit oder das Bahnelement, die zu ihrer 
vollständigen Charakterisierung der Angabe von drei unabhängigen 
Stücken bedürfen, d.h. bei denen außer 
dem Betrage noch die Sichtung an- 
zugeben ist, nennt man „gerich- 
iete Größen“ oder „Vektoren“. 

Der letztere Name kommt daher, 
daß der Fahrstrahl oder Bädius- 
vektor, d. h. die von einem festen 
Punkte 0 nach einem variablen Punkte 
P gezogene Gerade (Fig. 5) der ein- 
fac^te Bepräsentant der Klftsse der 
gerichteten Größen ist. 

Gegensatz dazu' nennt .man’ diejenigen Größen, ' die durch 
:Anga|be ihres Betrages bereits völlig bestiimnt sind, Skalare, weil 




16 Mechanik materieller Punkte, 

ihr Betrag iii gerasen Einheiten, d. h. an einer gewissen Skala abge 
messen wird. 

Die Größen, mit denen man in der Algebra und Analysis zu tun hat, 
sind Skalare, und dafür gelten die allgemeinen Bechenregehi, die wir 
dort benutzen, z. B. die Gesetze der Addition und Multiplikation. 

Um die Vektoreigenschaft einer Größe zu charakterisieren, bezeich- 
nen wir sie mit fettgednickten deutschen Buchstalxm; also werden wir 
eine Geschwindigkeit, wenn wir sie der Größe und Eichtimg nach charak- 
terisieren wollen, durch C bezeichnen, während c oder |c| lediglich den 
Betrag der Geschwindigkeit bedeuten sollen. So verfahren wir allgeim in : 
Ä bedeutet einen Vektor vom bestimmten Betrage und bestimmter Bich-* 
tung, \ %\— A lediglich seinen Betrag. Geometrisch können wir (ünen 
Vektor durch eine gerade Linie darstellen, deren durch einen Pfeil mar- 
kierte positive Eichtung mit der Eichtimg dös Vektors übereinstinnnt, 
wie dies in Figur 5 bereits ausgefülirt ist, während die Länge der Linie 
den Betrag des Vektors angibt. Zwei Vektoren M und ® sind also 
nur dann gleich, wenn Betrag und Eichtung übereinstimmen, 

und diese gleichzeitige Aussage machtn 
wenn wir die Vektorgleichung hinschreiben: 
(18) « . 


25 


Z. B. sind die Vektoren % und ® der 


Fig. 6 nicht gleich, obwohl ihr Betrag der- 
selbe ist; dagegen gilt dafür: 

\% == I ® I oder 
A ^ B, 


(14) 


^ ^ Ein Vektor % umfaßt also in einem 

* Symbol drei unabhängige Größen (Betrag 

und zwei Winkel). Diese Zusammenfassung ist bequem, weil sie 
kurze Ausdrucksweise, erlaubt.. Ähnliche Zusammenfassungen hat man 
in der Mathematik schon bei den komplexen Größen eingeführt: 
Statt mit einer Zahl wird in der Theorie dieser komplexen Größen mit 
einem Zahlenpaar gerechnet. Dabei müssen die Eechenoperationen, 
z. B. die Summation zweier Zahlenpaare, erst neu definiert werden^ 
was m^ natürlich zweckmäßig so macht, daß sie als Spezialfälle die 
Eechen%>erationen für die einzelnen Zahlen enthalten. Z. B.: Was ist. 
die Summe zweier komplexer Zahlen und Z 2 = Ug + 1)2%? 

Man definiert die Summe als diejenige komplexe Zahl z — a‘+ bi^ 
für dte gleichzeitig*ist: 


(lö) 


I a — Uj + a2 , 

I 6 = 61 + 62. 


und diese beiden Aussagen können in der einen Gleichung zwischen 
Zahlenpaaren zusammengefaßt werden: * 

^ + ^2 > 



Kinematik eines materiellen Punktes. 17 

oder Ausführlich 

(16) a + b t = Ol + bj i + «i + i = (®i + ög) + (bi + bg) i . 

Ganz analog müssen wir verfahren, wenn wir mit Vektoren rechnen 
wollen, die ja Zahlentripel sind. 

Was die Summe zweier Vektoren und ® ist, kann nur durch De- 
finition festgesetzt werden. Wir können nun H und 85 dadurch ge- 
geben denken, daß ihre rechtwinkehgen Komponenten, d.h. die Pro- 
j^'ktipnen auf die Achsen gegeben sind; diese bezeichnen wir durch die 
angefügten Indizes x, y oder z, also sind z. B. die Komponenten von f( : 

Wir wollen nun definieren: Unter der Summe zweier Vektoren W 
und 85, wollen wir einen Vektor Ä verstehen, dessen Komponenten mit 
denjenigen von 81 und 85 folgendermaßen Zusammenhängen : 

[ = + 

(17) ' »,««,-1-85,, 

I 9t, ^ 

Sind diese drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt, so schreiben wir: 

(18) «=«-fS5, 

indem wir in d®r einen Gleichung (18) zwischen Vektoren, d. h, Zahlen* 
tripein, die drei Gleichungen (17) zwischen einzelnen Zahlen zu- 
sammeufassen. Ebenso wie eine Gleichung zwischen komplexen 
Größen stets zwei Gleichungen zwischen reellen Größen äquivalent ist, 
so ist eine Vektorgleichung äquivalent drei Gleichungen 
zwischen ungerichteten Größen. 

Durch die Gleichung (17) ist der neue Vektor 98, die Summe von 
81 und 85 oder der „resultierende“ Vektor völlig bestimmt. Denn 
.•da 81 und 85, d. h. die sechs Komponenten 8J;, ... 85, ... 85, gegeben sind, 
bedarf e^ nur der Ausführung der in (17) geforderten Additionen, um die 
Größen 91,, 98,, 91, zu erhalten, wodurch nach dem Früheren 98 selbst 
,naöh Größe und Bichtung bestimmt ist. Denn es ist offenbar der Betrag 
von 98: 

(19) i9l| = B - -b y98;*+‘98/+987 - + y(8l,+a5,)‘+(8l,+»/+^CW* . 
und die Bichtungskosinusse sind: 

(20) co8(9la:)- co3(9tJ/)- *^ cos(98a) = *•-• * 

Analytisch ist damit alles voUkominen erledigt. Wir wollen aber des 
Folgenden wegen den Vorgang der Addition zweier Vektoren nodi geo- 
metrisch deuten. Wir behaupten; Wenn man den Vektor 89 parallel 
mit|«ioh selbst so verschiebt; daß sein Anfangspunkt auf 
den Bndphnkt von 81 fällt, so. stellt die Verbindungslinie 

6«b«*(ar, I^htbuoh. 2 



Meehanik materieller Punkte. 

vom Anfangspunkte von ^ nach dem Endpunkte von ® der 
Größe und Richtung nach den Vektor 91 = 81 + ® dar (Fig. 7). 

In der Fig. 7 stellen OP bzw. OP’ der Größe und Richtung nach 
die beiden gegebenen Vektoren 81 und ® vor. Durch den Endpimkt P 
von 81 ziehen wir die Gerade PP" der Größe mid Richtung nach gleich 
OP', also identisch mit dem Vektor ®; das ist die Ausfühning der vor- 
hin geforderten Konstruktion. Dann wird behauptet, daß OP" der 




Größe und Richtung natch 91 = 81 -t- ® darstellt. In der Tat: Bilden 
wir z. B. die Projektionen von OP und PP", d. h. von 8C raid ®, auf 
die af-Achse. Das liefert die Strecken Op — 81^ und pp" — ®,. Ferner 
ist offenbar die ganze Strecke Op" gleich der Projektion der Geraden 
OP". 5»un besteht offenbar die Relation: 

Op" = Op + pp", 

oder, wenn wir die Projektion von OP" auf die x- Achse durcli (OP"), 
bezeichnen: 

(OP"), = 81, 4-»,. 

Folglich ist nach den Gleichungen (17) (OP"), die x-Komponehte der 
Summe von fl und ®. Genau dieselbe Überlegung gilt für die y- imd 
z-Achse. Man erhält dort: (OF'), = ^-Komponente und (OP"), = 
z-Komponente der Summe von Ä und ®; also ist endlich (OP") die- 
Summe von 81 und 8, d. h. gleich 91. Es möge bemerkt werden, daß 
inittfls derselben Konstruktion bekanntlich auch die Summe zweier 
komplexer Zahlen geometrisch gebildet werden kann.; 

Nachdem dies einmal festgestellt ist, ist es leicht, mehr als zwei 
Vektoren zu addieren.- Die Summe oder die Resultierende 9t der Vek- 
toren 81, 8, 91, ®, tt ... ist derjenige Vektor, der die folgenden %din- 
gungen erfüllt, die ganz analog sind (17): 



Kinematik eines materiellen Punkles. 19 

(21) I Ä, = + ®9 + + ■ • • 

1 + + + .,. 

Dadurch ist genau wie vorhin der Vektor 91 der Größe und Dichtung 
nach bestimmt. Für den Betrag folgt nämlich: 

I i gi i = ß = + 0/ + 91/ + 9i/ = 

1 ]/»: • 
und für die Kichtungskosinusse : 

(,23) cos(9ia:)“= , cos (912/,)= ^ ’ cos(9i^;= ^ 

Geometrisch läßt sich diese Summation in der Weise ausführen, 
daß man zuerst zwei Vektoren (91 und 95) nach der vorhin gescliilderten 
Weise vereinigt, dann « + 95 mit usf. Das liefert, wenn man die 
Zwischenkonstruktion fortläßt, wie man sich leicht überzeugt, folgende 
Konstruktionsregel: Man setzt die Vektoren %, ®, K in be- 
liebiger Reihenfolge aneinander (wie es vorhin mit zweien ge- 


Fig. 8. 

schehen ist); die Verbindungslinie vom Anfangspunkt des 
ersten bis zum Endpunkte des letzten Vektors, die das 
entstandene Polygon schließt, ist der Größe und Richtung 
nach der gesuchte Vektor 9l=-9C+95 + ®4-.'- 

In Fig. 8 ist in dieser Weise die Addition von fünf Vektoren 91, 95, 
S, S ’ausgeführt. I 

In dem Spezialfalle, daß das Polygon geschlossen ist, d. h. der 
Endpunkt des letzten Vektors mit dem Anfangspimkt des ersbm zu- 
sammenfällt, ist die Resultante oder die Summe gleich Null. , 

Die Subtraktion zweier Vektoren 91 und 95 läßt sich in analoger 
Weise definieren; sie läßt sich stets auf eine Addition zurückführen. Es 
sei z. B. gefordert, einen V^tor 89 zu bestimmen, derart, daß 

(24) « « H-» . 




2 



20 ' Mechanik materieller Punkte. 

Nun ist — ö ein Vektor, der daiselben Betrag, aber die umgekehrte 
Bichtung wie +® hat. Statt also +3S zu subtrahieren, kann man 
—8 addieren. Man kann ja (24) so schreiben: 

{24a) »-« + {-8). 

Sind also die Vektoren % und 8 gegeben, so bildet man zunächst 
—8, und addiert % und —8 nach den bereits besprochenen Regeln. 
Eine derartige Konstruktion ist in Eig. 9 durchgeführt, in die gleich- 
zeitig zum Vergleich die, Summe 91-4-8 eingetragen ist. 



Fig. 9. 


Wir wollen nun die Regeln der Vektoraddition an wenden auf dtn Fall, 
daß wir zwei oder mehrere, sagen wir n gleiche Vektoren zu addieren 
haben. Es soll also 91 so gefunden Verden, daß: 

(25) 8 = 91+ 8 + * . . = W'8 

ist. Wenn man die Konstruktion ausfülirt, so sieht man, daß 81 in dit^sem 
Falle ein' Vektor von derselben Richtung wie 8, aber von 
w-mal größerem Betrage ist. In Fig. 10 ist dies Resultat für n - 8 
veranschaulicht. ^ 



Fig. 10. 


Man sieht daraus, daß Vektoren gleicher Bichtung addiert 
werden wie Skalare; die Vektoraddition artet in diesem 
Falle in die algebraische Addition aus. 

' 10» Zusammenietzimg und Zeriegung yon Geschwindigkeiten» 

Wir wollen uns denken, an einem substantiellen Punkte seien mehrere 
Geschwindigkeiten wirksam. Dann entsteht die Aufgabe, die resultierende 
Geschwindigkeit oder die Sumihe der Einzelgeschwindigkeiten zu be- 
stimmen. Zunächst ist hervorzuheben, diß ein* substantieller Punkt 
natürlich in Wirklichkeit nur eine Geschwindigkeit besitzt; aber es 



Kinematik eines materiellen Punktes, 21 

kami unter Umständen vorteilhaft sein, zu fingieren, diese eine Ge- 
schwindigkeit sei die Summe oder Eesultante mehrerer Komponenten, 
die wir dann gleichzeitig an dem substantiellen Punkte wirkend denken 
müssen. Ein Beispiel dafür bietet die Darstellung der Geschwindig- 
keit c durch ihre drei rechtwinkligen Komponenten oder 

in Vektorschreibweise c^, c,, die wir in Nr, (8) besprochen haben. 

Die wirklich vorhandene Geschwindigkeit kann als die Vektorsumme 
der drei Geschwindigkeiten Cy, C, aufgefaßt w^erden, und in diesem 
jSinne kann man natürlich auch sagen, der betrachtete substantielle 
Punkt habe gleichzeitig die drei Geschwindigkeiten Cy, C,. Eiijie solche 
Ausdrucks weise ist ein mathematischer Kunstgriff, der von großer 
praktischer Bedeutung ist. Eignen wir uns dieselbe an, so haben wir 
das Problem vor ims, mehrere an einem Körper angreifende Geschwindig- 
keiten zu ihrer ‘Summe zu vereinen, oder umgekehrt, die Geschwindigkeit 
eines substantiellen Pimktes in Komponenten zu zerlegen. 

Da die Geschwindigkeit ein Vektor ist, so geschieht die Zusammen- 
setzung von Geschwindigkeiten nach den Kegeln der Vektoraddition, 
die wir in Nr. 9 gelernt haben. Danach verstehen wir unter der Summe c 
mehrerer Geschwindigkeiten C' t!' t ”' . . . denjenigen Vektor, der die 
Bedingungen erfüllt: 

1 c, = «; + ctc;" + ... 

(26) c, = c; + c;' + c;'- + ... 

> c. = cz + c + + 

oder, wenn die rechtwinkeligon Komponenten von C usw. durch u, v, w 

usw. bezeichnet werden: 

(27) u -r' -f r"' i-... 

I w = w' -f iv" + w'*' -f . . . = Z M?' . 

Der Betrag c der resultierenden Geschwindigkeit ist also: * 

(28) C « je; -+ «+ 

und die Kichtungskosinusse sind: 

(29) cos(Ca;) « i cos(ei/l « ~-i eo8(tz) - 

Sind speziell zwei Geschwindigkeiten c' imd c"' zusammenzusetzen, so 
haben wir; 

U ssz u' -h u" , 

^ aa t?' + , 

w = w' + w" , 



22 Mechanik materieller Punkte. 

also ist der Betrag der resultierenden Geschwindigkeit zu berechnen aus 
der Gleichung: 

c* = (u'® + m"®) + (u'® -f- ü''®) + (u’'® 4- + 2(u'ii" 4- v'v'" 4~ 

oder 

(30) c® = c'® + c''2 4-2c'c''ccs,V-, 

wenn wir mit c'c" die Beträge der Geschwindigkeiten c\ und mit «'A 
den Winkel zwischen t' und c" bezeiclmen (Fig. 11). 




Fig. 11. Fig. 12. 

Denn der Ausdruck ** “ ^ ^ ist gleich dem Kosinu.s de.s 

. c e 

Winkels ß-. Die Bichtigkeit der Gleichung (80) kann man übrigens 
sofort aus der Fig. 11 erkennen. 

Umgekehrt kann verlangt werden, eine Geschwindigkeit c in zwti 
Komponenten c', t” von gegebener Sichtung zu zerlegen. Z. B. soll c 
nach den Bichtimgen OP und OQ in Fig, 12 zerlegt werden: 

Die Aufgabe ist natürlich nur lösbar, wenn OP und OQ mit c in 
derselben Ebene liegen. In diesem Falle erhält man die Lösmig sofort, 
indem man durch den Endpunkt von c Parallehn zu OP und OQ zieht. 
Dann stellen offenbar die durch die Parallelen auf OP und OQ ab- 

geschnittenen Stücke OA und OB der Größe und Bichtung nach die 
gesuchten Komponenten dar. 

11. Verhalten der Oeechwindigkeit bei Andenmg des Koordinatensystems. 

Sehr wichtig ist die Frage, wie die Geschwindigkeitskomponeuten 
sich ändern, wenn man von einem Koordihatensystente ‘{xys) zu 
einem anderen (f ^/C) übergeht. ^ 

Wir wollen zunächst anriehmen, die Achsen (f tj C) seien den Aclist u 
(x y z) parallel, aber der Anfangspunkt von (f tj f) falle nicht zusammen 



Kinematik eines materiellen Punktes. 23 

niit demjenigen von {x y z), sondern habe im System {x y z) die Ko- 
ordinaten a, 6, c (Fig. 13). 



2 


Fig. 13. 

Dann bestehen offenbar folgende Gleichmigen : 

j iC = ü + I , 

(31) y^b+fj, 

* z = c + . 

Differentiieren wir nach so folgt, da a, b, c Konstanten sind: 

...o. dx di ihj _ dri dz _ d: 

^ ^ dt di' dt dt' dt “ dt 

Darin sind die linken Seilen die Geschwindigkeit«komponenten im 
System {xyz)^ die rechten Seiten diejenigen im System (f >?C). Da sie 
gleich sind,. so folgt der Satz, daß eine Parallelverschiebung des 
Koordinatensystems die Geschwindigkeitskomponenten nicht 
ä ndert. 

Nun wollen wir zweitens den Fall nehmen, daß das System (f r/C) 
zwar den nümliclien Anfangspunkt mit (xyz) hat, daß alx^r die 
^-Richtungen gegen die x-, y-, 2 -Bichtungen gedreht sind (Fig, 14). 

Dann bestehen, wie aus der analytischen Geometrie bekannt ist, 
folgende Relationen zwischen und {xyz): 

( f = X cos uj + ?/ cos ßi+ z cos , 

(38) X cos Oj + y cos /?2 + ^ cos ^2 , 

' • f == X cos üg + 1/ cos + Z cos . 

Dabei sind a^, ßi^ die Winkel, vrelche die Achse mit den respek- 

tiven Achsen des xj/ 2 - Systems bildet, imd analoge Bedeutung ‘haben 
die übrigen Winkel. Löst man die Gleichungen nach xyz auf, so folgt: 



24 Meciianik maierieller Punkte, 

j ar = f cos + »I cos «2 + C « 3 » 

(34) I t/ = I cos cos + ? cos , 

I Ä =3 f cos + t? cos 5^2 + ^ OOS . 

Die Differentiation von (88) ergibt nun: 



Fig. 14. 


Diese Gleichungen drücken die Komponenten der Geschwindig- 
keit nach den ;aeuen Achsen, nämlich ^ ^ ^ » aus durch die Ko- 
effizienten der Koordinatentransformätion (38) und die Komponenten 
der Geschwindigkeit im alten System. Man erkennt, daß bei einer 
Drehung des KoordinatensysteTms die Geschwindigkeit»- 
komponenten sich gerade so transformieren wie die Ko- 
ordinaten. 

Wir wollen nun den Spezialfall betrachten» daß die f-Achse mit 
der s- Achse zusammenfällt; dann ist in (88) zu setzen: 

7z = 0, 08 * ^^3 « ^- 3 ;?/, , 

und wir erhalten die speziellen Tranßformationsgleichungeu, die einer 
Drehung um die Achse entsprechen: 



Kinematik eines materiellen Punktes, 25 

( f = a; cos Ol + 2 / cos , 

(36) rj = x cos Oi + y cos ß^, 

I 

Ferner ist offenbar nach Fig. 15: 



I «i + = W* > 

(37) oj -- tt/ü + Ol . 

I — njj — ßi . 

Damit werden die Transformationsgleichungen (36): 


(38) 


f =' a: cos Oj 4- y sin oj , 
t) X sin Ol + y cos Ol , 
i:^ z 


und dann folgt für die neuen Geschwindigkeitekomponenten ^ ^ ^ ■ 


(39) 


r dx , dy , 

'df” ät 

dti dx . , dij 


<*> Äi. 
d< ” ht ' 


Ein wibhtiger Fall, in dem wir diese Formeln anwenden k&men, 
ist derjenige, daS die Bewegung eine ebene ist. Nehmen wir die da- 
durch bestimmte Ebene zur Ebene der (xy) bzw. der ({n), so können 
• ^ de de 

wir f =* yT “ST ® setzen, und die beiden ersten Gleichung (89) 
gebep dann die Transformation für die abene Geschwindigkeit an« 



26 Mechanik materieller Punkte. 

Wir haben hier das Problem erledigt, wie die Geschwindigkeits- 
komponenten sich transformieren, wenn das Koordinatensystem einmal 
eine Parallelverschiebung, einmal eine Drehung erfährt. Daboi waren 
die Koeffizienten der Transformationsgleichungen (81) und (33) als un- 
abhängig von der Zeit vorausgesetzt, d. h. das alte und das neue 
System waren relativ zueinander in Kühe. Wir werden später 
den Fall untersuchen (Nr. 20), daß das System (SrjC) sich parallel dem 
System (x y z) mit einer bestimmten Geschwindigkeit verschiebt luid 
daß zweitens das System (f t] C) gegen das System (x, y z) mit bestimmter 
Winkelgeschwindigkeit rotiert. Das kommt darauf hinaus, daß die 
Koeffizienten der Transformationsgleichungen dann als Funktionen der 
Zeit zu behandeln sind. 


12. Dantellong der^Oeschwiadigkeit in Polarkoordinaten. 

Von den Überlegungen der vorhergehenden Nummer wollen wir 
eine Anwendung machen, um die Geschwindigkeitskomponenten in 
Polar koordinaten zu finden. 

Zunächst wollen wir den Fall der ebenen BeW'egung in der xy- 
Bbene behandeln. Dann haben wir (Fig. 16) folgende Anordnung: 



Der Punkt (x y) wird bestimmt durch den Badiusvektor r und den 
Winkel (f. Die Bichtungen von r und (p sind senkrecht zueinander, wie 
in Fig. 16 angedeutet ist. Die Transformationsgleichmigen sind: 

(40) . • I 

[ y==rsm9>. 

Durch Differentiation folgt: 


(41) 


dz dr dtp 

dt dt 

du dr . , dtp 


oder, wenn man nach und r auflöst: 


di 



Kinematik eines materiellen Punktes. 


27 


(42) 


dr 

di 




dx , dy . 

rf« ccsy+ mn>f, 


ix . , dy 

«m fr, 4 




Das sind zwei Gleichungen von derselben Form, wie die beiden 
ersten Gleichungeil (39), nur daß rechts statt hier tp tritt. Also können 

wir und r^y- analog wie ^ und ^ als die Geschwindigkeitskompo- 
nenten in unserem neuen System (r, q>) betrachten, und zwar ist offenbar 
die Geschwindigkeit parallel dem Badiusvektor, die sogenannte 

„Badialgeschwindigkeit“ und die sogenannte „Trans- 

versalgeschwindigkeit“ Cy, die senkrecht zur ersten in der Rich- 
tung wachsender tp (Fig. 16) gerichtet ist, was auch leicht ^rekt nach 
(41) zu verifizieren ist. Wir erhalten also für die Komponenten der 
ebenen Geschwindigkeit in Polarkoordinaten: 



Die Art der Zerlegung von c, das ja parallel der Bahnkurve s ge- 
richtet ist, wird durch Fig. 17 veranschaulicht. 



In dieser Figur stellt PP' der Größe und Richtung nach C vor, das 
tangential zu s im Punkte P gerichtet ist; Pr und P<p sind die positiven 

Richtungen von r und und PA folglich der Gröfe und Richtung nach 
— >■ 

C-, PB ebenso c,.. Man hätte die Zerlegung (48) natürlich auch direkt, 
ohne Bezugnahme auf die Resultate der vorhergehenden Nummer er^ 
halten können. Denn eine unendlich kleine Bewegung eines Punktes 



28 Mechanik maierieller Punkte, . 

(r, 9 ?) kann man sich stets darstellen durch die beiden Komponenten 
dr (bei konstantem 9 ?, also radiale Bewegimg), und rdtp (bei kon- 
stantem r, also transversale Bewegung auf einem Kreisbogen, senk- 
recht zur ersten). Denkt man sich diese Verrückungen in der Zeit dt 

ausgeführt, so hat man sofort die Komponenten und r -jj, die mit 
(43) übereinstimmen. 

Wir wollen nun zur Darstellung der Geschwindigkeit in räumlichen 
Polar koordinaten (r, 9 ?» {f) übergehen (Pig. 18). 



Wir charakterisieren die Lage des Punktes P {n^yz) erstens durch An- 
gabe seiner Entfernung r vom Anfangspunkte 0. Dadurch wird eine 
Eugelfläche bestimmt, von der ein Oktant in Fig. 18 gezeichnet ist. 
Ferner ziehen wir durch P' eine Ebene> parallel der x t/-Ebene, die die 
Kugel in der Kurve BB schneidet, die ein Teil eines sogenannten Breiten- 
kreises ist., ühd endlich können wir durch P und die Projektion (> = OP' 
von f lauf die x y*Ehene eine Ebene legen, die die Kugel in der Kurve LL 
schneidet: das ist %in sogenannter Meridiankreis. Unter verstehen 
wir den Winkel zwischen a?- Achse und Meridianebene; also ist nach 
Fig. 18; 

X — yeosfp , 

y m: Qm (p . 

Han nennt (p die. ^geographische Läufe*' oder das „Azimut**. 

Ferner ist & der Winkel zwischen r und z, der in der Meridian* 
ebene liegt; man nennt & die „Zenitdistänz**; sie kt offenbar das 
Komplement der sogenannten i,geogxaphisehen BreHe*'» Daher ist: 


Kinematik eines maieridlen Punktes, 29 

z —rcosi)’ f 

Q sin & . 

Also ist schließlich; 

i o; ~ r sin ^ cos 93 , 

(44) . I ^ = r sin i9* sin 9 ? , 

l z = rcos & . 

Dabei ist stets; 

0^,9-^ TT, 

0 ^(p , 


Der Punkt P kann nun drei zueinander senkrechte Verrückungen er- 
leiden, aus denen jede Verschiebung zusammengesetzt gedacht werden 
kann : 

1 . längs des Kadius ( 9 ? imd & konstant); 

2. auf einem Breitenkreise (r und & konstant); 

3. auf einem Meridiankreise (r und tp konstant). 

Eine unendlich kleine Verrückimg längs des Kadius wird gemessen 
durch dr; eine Länge auf dem Meridiankreise durch r also eine un- 
endlich kleine Verrückung durch tdih. Endlich ist der Kadius eines 
Breitenkreises offenbar gleich (>=fsini9*, also eine Länge' auf dem- 
selben wird gemessen durch rsin &^(pi und daher eine unendlich kleine 
Verrückung auf dem Breitenkreise durch rmix^'d^p, Denken wir diese 
drei unendlich kleinen Verschiebungen in der Zeit di gemacht, so haben 
wir die drei Geschwindigkeitskomponenten: 


(45) 


s* -i“ (Radialgcschwindigkeit) ; 

r (Meridiankreisgeschwindigkeit); 

=» rsin (Breitenkreisgeschwindigkeit). 


13. Der BegriK der Besdüennignng. 

Wir wollen eine geraillinige Bewegung eines suGstantiellen Punktes 
Ix'traohten; der Betrag seiner Geschwindigkeit — am ihre Biohtung 
brauchen wir uns hier nicht «u kümmern, da sie sich nicht ändert — 
sei mit der Zeit veränderlich, und zwar der Einfachheit halber ztmächst 
eine lineare l<\iaktion der Zeit; also: 

» c = rtt+b. 

Wir klbuien aus dieser Gleichung die Zunahine (oder Abnatoe, 
wenn a negativ ist; da wir aber Abnahmen stets als negative Zunahmen 
■rechnen, brauchen wir ^ts in Zukunft nicht mehr besonders hervor- 
zuhebm) der Geschwindigkeit in der Zeiteinheit bestimmen. Dazu be- 



30 Mechanik materieller Punkte, 


trachten wir den Wert von c zu zwei beliebigen Zeiten ti und wir 

durch die entsprechenden Indizes charakterisieren wollen; also; 

Cg == u ^2 H“ 

durch Subtraktion folgt: 

^2 — = ö (^2 ~ fl) f 


also für die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit: 


Wie groß bei diesem Verfahren die Zoitdifferenz < 2 — fi genommen wird, 
ist offenbar gleichgültig, weil eben die Größe a eine Konstante ist. 
Wir nennen die Zunahme der Geschwindigkeit pro Zeit- 
einheit die Beschleunigung des materiellen Punktes, und 
wollen sie auch in Zukunft durch den Buchstaben a (acceleratio) be- 
zeichnen. 

Die in der letzten Gleichung enthaltene Bestimmung von a läßt sich 
aber nicht mehr anwenden, wemi c eine beliebige Fimktion der Zeit ist. 
Es sei also etwa: 


(46) c-/(f). 

Hier kann man aber die ähnlichen Erwägungen anstell(‘n wie bei der 
Bildung des Begriffes der Geschwindigkeit, sobald der Körper keine 
konstante Geschwindigkeit besitzt. Wir werden so dazu gdührt, als 
Betrag der Beschleunigung in diesem allgemeineren Falle die Grenzt» 

anzusehen, der der Ausdruck -jj zustrebt, wenn At sich der 0 nähert. 

Also haben wir jetzt für den Betrag der Beschlemiigung, dem wir aus 
später hervortretenden Gründen noch den Index t anfügen wollen: 


(47) 


t lim 


Jt 


de 
dt * 


welche* Definition die frühere als Spezialfall umschließt, wie es sein muß. 
In Verbindimg mit Gleichimg (4) folgt weiter: 


(48) 


^ Id9\ d^e 

yjl] ” ’^d V ’ 


In Worten also: Der Betrag der Beschleunigung bei einer 
geradlinigen Bewegung ist gleich dem zweiten Differential- 
quotienten des Weges nach der Zeit; und offenbar stimmt 
ihre Eichtung überein mit derjenigen der Geschwindigkeit 
bzw. des Bahnelementes. Das deutet der Index t in Gleichung (47) 
und (48) an. ' , . ' 

Indessen ist auch dieser Wert im allgemeinsten Falle noch nicht 
ausreichend, denn wir haben bisher eine geradlinige Bahn vorausgesetzt, 
konnten also nur Änderungen im Betrage des Vektors der Geschwindig- 


Kinematik eines mcUeriellen Punktes, Bl 

keit berücksichtigen. Aber da zwei Geschwindigkeiten auch schon dann 
als ungleich betrachtet werden müssen, wenn (bei gleichem Betrage) 
ihre Eichtungen verschieden sind — hier macht sich der Vektorcharakter 
der Geschwindigkeit bemerkbar — , so müssen wir auch sagen, daß bei 
einer krummlinigen Bahn, wenn sie auch mit konstantem 
Geschwindigkeitsbetrage durchlaufen wird, eine Geschwin- 
digkjöit^änderung auftritt. Es tritt dann eine neue Komponente 
der Beschleunigung zutage, die sich zu der obigen binzufügt. 

Sehr leicht wäre die Bestimmung dieser zweiten Komponente mit 
]lilf^^ der Vektorrechnmig zu machen. Aber da wir dieselbe hier nicht 
benutzen wollen, müssen wir uns nach einer anderen Methode umsehen. 
Wir können nun jede Geschwindigkeit, auch die eines Massenpunktes x 
auf einer beliebigen krummlinigen Bahn, in ihre drei recht winkeligen 

Komponenten zerlegen, die die Werte besitzen. Jede dieser 

Geschwindigkeiten kann ihre Kichtung nicht ändern, da sie dauernd 
i'in und derselben Achse parallel ist. Also können wir auf die Geschwindig- 
keitskomponen ten unbedenklich die Gleichung (48) an wenden; die 
drei erhaltenen Werte sind dann die Komponenten der Ge- 
samtbeschleunigung, die wir, um ihren Vektorcharakter auszudrücken, 
durch ü bezeichnen. Also ist: 

du __ dtx 

dl “ Tt ’ 
dv ty 
dt dl ’ 

die ^ d C, 

d t ““ ~d V ’ 

Diese Beschleunigungskomponenten charakterisieren die Beschleunigung 
vollkommen; der Betrag a -=ital ist offenbar: 

<“) . »- • -+i/(flNW^W- ■ 

und die Richtungscosinusse sind: 

d^x d^y d^z 

(51) cos(aa;)^-^* co3(at/)-^j » cos(az)«“* 

Die gestellte Aufgabe, die Beschleunigung allgemein zu bestimmen, 
kann daher als gelöst angesehen werden, und es bedarf nur noch der Iq- 
bezugsetzimg mit dem Ausdruck (48), den man offenbar schreiben kann: 

(48a) / (4f)*+ <■) + (It) • 

.Vergleich von {48 a) und (60) zeigt übrigens deutlich die Biohtig- 
l^eit der Behauptung) daß der absolute Betrag von tt, nach Gleichung (48) 




32 


Mecfumik materieller Punkte. 

aj sein kann, da (50) und (48) iin 


nicht der allgemeine Ausdruck für 
allgemeinen nicht Übereins timmen. 

Um den Anschluß a]|^ di^ Form der Gleichung (48) zu finden, in der 
ja von Koordinaten nicht die Kede ist, schreiben wir die Gleichungen (8) 
für die Geschwindigkeitskomponenten noch einmal hin: 

(ix de ». d y di t \ . ^ ^ 

di- = d f > dt -dT^°^ ' rfi 


Y* cos(s«l. 


Dabei ist nach (7): 

eos(sx)^-jj 


cos(sj/)= 


cos(s^) = 


also können die Geschwindigkeitskomponenten geschrieben werden: 

'' dt dt di ^ di dt di ^ dt dt di 

Kfferentiieren wir nach i, so liefert die erste von diesen Gleichungen der 


Eeihe nach: 






<Pz d^i da 

r di 

d /( 

ia:\ 


d*Ä dx ( 

d W ““ TW Te 

r dt 

dt i'( 

ii] 


dt^ di V 

also erhalten wir: 







' (Px 

d® i 

dx 


(diy d*x 


dt^' 

*“ d>~ 

di 

+ 

[df) dÄ* ’ 

(53) 

dt^' 

dt^ 

^y. 

d i 

+ 

/d« \* d^y 
[dt) di^' 


d^z 

d^i 

dz 

+ 

(diy d*2 



~ de* 

di 

Vdi) di*’ 


(iÄ\* d ( d x\ 

di ) 7i / 


Quadrieren und addieren wir diese Gleichungen, so erhalten wir links 
das Quadrat des Betrages der Gesamtbeschleunigung, o*; rechts steht, 

_ , 


da 


I ist: 


(4^)’+(4frp)+(-s)’+(-s-)') 


+ 2 


d*i 


d^x 

d«*' 


dy d*y 
di d^ 


{diY\dx 

\d«; \ di ; 

letzte Glied kann offenbar geschrieben werden: 


iL £i 

d§ di^ 


und das hat den Wert 0, da die eckige Klammeif den konstanten Wert 1 
besitzt. Also folgt schlieSlich der Betrag a der GeeamtbescUl^igung: 

malytijld» /Geometrie lehrt, die e<ikige^ Klammer 



Kinematik eines materiellen Punktes. 


33 


gleich dem reziproken Quadrate des Krümmungsradius B der Bahn- 
kurve; also ist endUch: 

(55) « ” 1“! = + l/(iO (d" ) ■ 

Dies^ Gleichung lehrt, daß a aus zwei zueinan<lt'r senkrechten Kom- 
ponenten besteht, einer tangentialen einer normalen » 

von der wir gleich noch zeigen werden, daß sie stets nach der konkaven 
Seite der Bahn gerichtet ist. Nehmen wir die Richtung des Krüm- 
mungsradius als positiv vom Zentrum nach außen hin, so 
ist also, Wenn die beiden Komponenten durch und (n bedeutet 
normal) bezeichnet werden: 



Wir wollen diese Gntersuchimg noch durch einige vektoranalytische 
Betrachtungerl ergänzen, die uns gleichzeitig zeigen werden, daß die 
Norraalkomponente nach dem Krümmungszentrum hin gerichtet ist. 
In Fig. 10 sei S die 


Bahnkurve, P und P' 
zvrei unendli ch 'ben ach bar U* 
Punkte derselben. Das Stück 
ds der Kurve zwischen P 
und F kaim als eben be- 
trachtet werden. 

In P und P' errichten 
wir die Tangenten und tragen 
auf ihnen die Strecken PQ 
imd P'Q' ab, die der Größe 
und Richtung nach die 
Geschwindigkeiten C und 
c'=c+dt in diesen bei- 
den Bahnpunkten darstellen 



O 

Fig. 19. 


mögen. Durch beide Tan- 
genten läßt sich eine Ebene, die sogenannte Schmiegungsebene 


der Kurve legen, die auch den Krümiuungsmittelpunkt in sich ent-^p. 
hält, der bekanntlich der^ Schnittpunkt Ö der beiden in P und P* er- 
richteten Normalen ist. OP und OP' stellen dann dem Krümmungs- 


radius B dar; der Winkel zwischen den Normalen sei dtp, derselbe 
Winkel existiert natürlich auch zwischen den Tangenten, den 


Geschwindigkeiten e und C + dC. Wir wollen in e^ner besomleren 
^^eichnung (Fig. 5!0) C tmd c'~C + dc könstniieren: sie schließen 
i^ach dem ^Obigen den Winkel d 9 ?, den sogenannten „Kpntingmz- 



34 Mechanik materieller ihinkle. 

Winkel“ ein. In Fig. 20 sind die beiden Geschwindigkeiten so anf- 
getragen, wie sie der Fig. 19 entsprechen. Die Bahnkurve ist also in 
Fig, 20 ebenfalls nach unten hin konkav zu denken. 



Fig. 20. 


TÄ und PB mögen der Größe und Eich tung nach C bzw. c + de dar- 

stellen; dann stellt AB offenbar ihre vektorielle Differenz dt der Größe 

und Eichtimg nach dar; ist also als die vektorielle Beschleunigung zu 

-->► 

bezeichnen. Diese ist parallel ABy nur von anderer Größe. Wir 


können also sagen, daß AB proportional der Beschleunigung 0 ist; 
bilden wir nun die Komponenten parallel und senkrecht zur Richtung 

— >► — >► 

von c, so erhalten wir die Strecken AC und CB. Die erste ist parallel c, 
also tangential zur Bahnkurve, ist daher proportional a,; die zweite 
ist normal zur Bahnkurve, und zwar, wie die Figur ergibt, zum Krüni- 
mungszenti-um hin gerichtet; sie ist also proportional a„. Damit haben 
wir imsere obige Behauptung betreffs der Richtung von 0 „ bewiesen; 
sie wird wegen dieser Eigenschaft auch als „zentripetale“ Beschleimi- 
gung bezeichnet. Man kann beiden Komponenten noch eine etwas andere 
Gestalt geben, indem man beachtet, daß nach Fig. 19 PP' ~ ds offen- 
bar gleich Bd(p ist; also ist nach ( 66 ): 



Endlich läßt sich noch ein Satz über die Ebene, in der die Bescldeunigung 
liegt, aus Fig. 19 und Fig. 20 ableiten. Offenbar liegt d c in derselben 
Ebene wie C imd t + dt. Das ist aber nach Fig. 19 die Schmiegungs- 
ebene. Daherder Satz: Die Beschleunigung liegt in der Schmie- 
gungsebene der Bahnkurve, was schon Leonhard Euler erkannte. 

Im Vorhergehenden haben wir die Beschleunigungskomponenten in 
eineiDj. Koordinatensysteme (B, 90 ) ausgedrückt. Dabei war jedoch 
der Koordinatenanfangspunkt nipht willkürlich, sondern 
dieser war identisch mit de'm Krümmungszentrum. Dieses 
ist durch die Kurve bestimmt, und daher nennt man dieses spezielle 



Kinematik eines materiellen Punktes, 35 

Koordinatensystem das „natürliche Koordinatensystem der 
Kurve'*. Diese Art der Zerlegung ist in Fig. 21 dargestellt. 

Die Existenz einer Beschleunigung erfordert, wie das Vorhergehende 

HC w d^z 

ergibt, die Existenz der Größen (49), nämlich . Daher 

rechtfertigt sich hier die Forderung der Nr. 6, daß die Funktionen (1) 
zweite Differentialquotienten nach der Zeit haben müssen, die wir der 
Einfachheit halber auch als stetig annehmen. 


14. Verhalten der Beschleunigungr bei Änderung des Koordinatensystems. 


Wir hatten in Nr. 11 die Frage behandelt, wie sich die Geschwindig- 
keitskomponenten ändeni, wemi man das Koordinatensystem ändert. 
Die Änderung des letztere*!! bestand einmal in einer Parallelverschiebung, 
das zweite Mal in einer Drehung. Das analoge Problem hegt für die 
Beschleunigung vor. Es sei, wie in Nr. 11 das ursprüngliche Sj^tem durch 
(Xy y,z)y das zweite System durch (f, r/, C) bezeichnet; dann sind die Be- 

X y d^ z • 

schleunigungskomponenten im mtoii -jf, > HW’ zweiten 

d'i £ji 
dt*’ dt' ' dW 

Für eine Parallelverschiebung gelten die Gleichungen (31) mit der- 
selben Bezeichnung wie dort; 


(31) 


j I = a; - a, 
y-b, 
1 C = 2 -c. 


Durch zweimaliges Differentiieren nach t ergibt sich 


(57) 


fÄ £± 

dt* “ dt* ' 
d\rL _ 

"dt* ~ dl* ’ 
d*t fz 
dt* dt\' 


d. h. die Beschleunigungskomponenten bleiben bei einer 
Parallelverschiebung des Koordinatensystems ungeändert, 
wie die Geschwindigkeitskomponenten. 

Für den Fall der Drehung haben wir die Gleichungen (38): 


J « Äcosefi + y(^osßi + «cos ♦ 
fl « a;,cos «j + y cos « cos y, , 

, I f « «cos «3 + yCOS/S, + «003^3 . 
Durch dereh zweimalige Differentiation nach i folgt; 


3 




(58) 


. Mechanik materieller Punkte, 

d*^ d*x d*y ^ , f /®2 

d P “ d-p + TF 008 Yi . 

d^ n V A^ n A^ s 

+ ^di TJr ^ 


i!I 

dt^ 


d^x 

TF 


cosa.» + 


-^ 008/^3 + 


d^z 


d.h. bei einer Drehung des Koordinatensystems transfor- 
mieren sich die Beschleunigungskomponehten wie die Ko- 
ordinaten; sie verhalten sich also genau so wie, die Ge- 
schwindigkeitskomponenten. 4 , 

Dies gilt für jeden Vektor W, da die Dänge der ihn darstellen- 
den Strecke durch eine Drehung des Koordinatensystems nicht l)e(in- 
flußt wird; aho hat man: « 


(59) Ä, = cos cos + % cos /j U8W. 

Diese Formeln gelten offenbar nur so lange, als die Koeffi- 
zienten der Koordinatentransformation in (81) und (38) von 
der Zeit unabhängig sind; sind sie umgekehrt Funktionen der Zeit 
— dieses Problem wird in Nr. 20 l)ehandelt werden — , so ergebtai sich 
andere Kesultate. 


15« Ebene Besdüeunignng in Polarkoordinaten. 


In Nr. 12 hatten wir die ebenen Geschwindigkeitskomponenten in 
einem ebenen Polarkoordinatensystem (r, 9 ?) ausgedrückt. Das analoge 
wollen wir jetzt für die Beschlevmigungskomponenten der ebenen Be- 
wegung durchführen. 

Nach Gleichung (41) ist; 


(41) 


dx dr dm . 

dy dr . . dm 

+ r cosy.. 


Dabei sind ^ und r ^ die „Radial-** bzw. „Transversnlkomponente“ 

der Geschwindigkeit. Differentiieren wir (41) hoch , einmal nach t, so 
daß links die" kartesischen Imcfaieunigungskomponenten auftreten, so 
folgt: 

d*x d*r dr dfp. . dr dw . 

-dF’^TF^V-Jt -j/ 8 iny. J-sm^ 

cosy, 

d*y d*r . , dr dtp dr dw 

de • + It ■^IT ■37®*'®''^ 


andere geordnet: 


+ r^-C 08 .jPf- r 



Kinematik eines materiellen Punktes, 


37 


d^x 

d'^y 

dt* 


^\j^ - »• (^ )1 ~ h ’ 


►iü 

' dt 


dqi 
d l 


d* q> 
dt* 


,COS ff 


])iese Gleichungen stimmen der Form nach mit (41) völlig überein, )ind 


■( 


rfqpy 

dt) 


die Radial- 


d*r 

daraus Jäßt sich leicht zeigen, daß die Größe 
komponente, die Größe ^ + die Transversalkompo- 

nente der Beschleunigung darstellt. 

Bezeichnet ‘man diese Komponenten durch und a^, so haben 
wir die Lösung der ’^gesuchten Aufgabe in den Gleichungen: 

d*r ( dq) Y 

dr dqt . d*q: 


(60) 


^ df dt' ^ dt* 


In Nr. 13 haben wrir eine andere Zerlegung der Beschleunigung vor- 
genommen, nämlich .nach dem natürlichen, Koordinatensystem 
der Kurve, das ein zeitlich bewegtes Koordinatensystem 
darstellt. Unter gewissen Umständen sind die Gleichungen {56a) als 



Spezialfälle in den Gleichungen (60) enthalten. In der Tat: Ist die Bahn 
<‘l)en, ferner der Krümmun^radius R von t unabhängig und hat der Krüm* 
mungsipittelpunkt eine feste Lage im Baume, d. h. beschreibt der Punkt 
eine Kreisbahn, so erhalten wir, unter Ersetzung von r durch ß, aus (60): 



in Übereinstittüuung mit (50^^^ wie es sein muß. Die Badialbesohleu« 
^rd dann identisch mit der Norn^ibeichleuni^ung > 



38 Mechanik materieller Punkte, 

und die Transversalbeschleunigung geht über in die Tangen- 
tialbeschleunigung a^. 

Die beiden Zerlegungen (56 a) und (GO) sind also ini allgt^meinen 
vollkommen voneinander verschieden und dürfen nicht 
miteinander verwechselt -werden; Fig. 21 zeigt die Zerlegung na-ch 
dem natürlichen Koordinatensystem der Kurve, Fig. 22 ebenso diejenige 
nach einem beliebigen Polarkoordinatensystein; sie sind ohne nälaue 
Erklärung verständlich. 



16. Bestunmuiig der Bewegung aus der Geschwindigkeit oder der Beschleunigung. 


Die Bewegung eines substantiellen Punktes ist bestimmt, wenn seine 
drei Koordinaten, z. B. die kartesischen Koordinaten x, y, z als Fimk- 
tionen der Zeit bestimmt sind. Es ist daher die meistens vorliegende 
Aufgabe der Kinematik, entweder aus der (durch Bt;obachtung oder 
Theorie gegebenenj^ Geschwindigkeit oder Beschleunigung diese Funk- 
tionen (1) zu bestimmen. 

Wir wollen zunächst annehmen, die Komponenten der Geschwindig- 
keit u, V, w seien gegeben ; diese werden im allgemeinen Punktionen 
von X, y, z und i sein : 

f Tr 


(62) 


di 


ft y* r 


dt 

dT 


ft 2/» • 


Das ist ein System von simultanen Differentialgleichungen erster Ord- 
nung, deren Lösung eine rein mathematische Aufgabe ist. Sehr einfach 
gestaltet sich dieselbe, wenn die Geschwindigkeitskomponenten lediglich 
Punktiohen der Zeit sind (worunter als ßpezialfall natürlich der einer 
konstanten Geschwindigkeit enthalten ist). Dann lauten die Glei- 
chungen (62): 



Kinematik eines materiellen Punktes. 


39 


(62a) 4 / ■ = ’ 4 « = ■’ Tt “ ' 

unil man erhält, da die Variabein getrennt sind, durch einfache Quadra- 
turen: 

(63) x= ffiUät + A; »/ = | /j (0 d < + ß ; z = j fg(t)dt + C , 

0 ö ■ » 


welche Gleichungen schon das Verlangte leisten. A, B, C sind Integrations- 
konstanten. Ihre physikalische Bedeutung ist folgende; Die Glei- 
chungen (63) gelten für alle Werte von i, auch für t = 0. Für diesen Zeit- 
wert wollen wir die Koordinaten durch .t„ i/„ bezeichnwi. Dann er- 
geben die Gleichungen (63) offenbar: 


(64) 
Also : 


( 65 ) 


= A; Da ^ ß ; ^ • 

’ t 

a; = r« -t- J*/, (t)d i = r„ + F\(0. 
0 

t 

y= Vo+ffi (0 d t = y„ + ß, (0 , 
0 

t 

z: = + f = Zq + Fs(t)- 

ö 


Man erkennt aus (65), daß durch Angabe der Geschwindigkeitskompo- 
iionte die Bewegung nocb nicht vollkommen bestimmt ist; viebnebr 
müssen drei Integrationskonstanten Xo, t/o» noch besonders gegel^n sein. 
Diese Konstanten bestimmen die sogenannte „Anfangslage“, \^ir 
erhalten also den Satz: Durch Angabe der Geschwindigkeits- 
komponenten und der Anfangslage ist die Bewegung be- 
stimmt. 

Natürlich brauchen es nicht die kartesischen Komponenten von C 
/u sein, die gegeben sind, sondern man sieht leicht, daß es die Kompo- 
lu'iiten in einem beliebigen Koordinatensystem sein können, z. B. in einem 
räumlichen Polar koordinatensystem. Dann müßten nach (45) gegeben 
sf^in — wie wir der Einfachheit halber gleich annelimen wollen, als Funk- 
tionen der Zeit allein — die Größen: 


m 


. dr 
dT 

dß 

rs, 






rsiu^^^ -/,(e) 



40 


Mechanik materieller Punkte. 


und die Anfwagslage, die durch die drei Werte oharakteri^iiert 

ist. Die Integration der Gleichung (1) liefert: 

I • ' 

(67a) r=J/i(i)d< + r, = F,«) + r,.. 

0 

Damit gibt die zweite Gleichung (66): 

dt + 

deren Integration ihrerseits liefert: 


(«b) 




Mit {67a) und (67b) wird die dritte Gleichung (66): 

d(f /a (f) 

dl ” (0 + r„) sin {>,)<! + «„) ’ . 

und die Integration gibt: 

(67c) <JP +\i!inlF,W + 

0 

Durch (67a) bis (67c) ist offenbar die Bewegung wieder vollkoiniiien 
bestimmt. 

In vielen f’ällen sind cs aber nicht die Geschwindigkeitskomponenten, 
sondern diejenigen der Beschleunigung, die gegeben sind, und zwar im 

allgemeinen als Funktionen der sieben Variabein x , «/, 2 , 


( 68 ) 


d*x 1 i dx 

dy 

dz 

Tir 4 , ■ 

dT 

dt 


dy 

d z 

rf, • 

di * 

dt 

dH . / ^ 

dy 

dz 

•jlJ' “/s (*».’/>*» d< ’ 

dt * 

dJ 




Dies isk ein System dreier simultaner Differentialgleichungen zweiter 
Ordnung, das auf sechs Differentialgleichungen erster Ordnung zurück- 
geführt werden kann. Man erkennt daraus, daß die jetzt vorliegende 
Aufgabe der Integration komplizierter ist als vorher, wo die Geschwin- 
digkeitskomponeuten gegeben waren. Wir wollen der Einfachheit hallxu 
nur den Fall behandeln, daß die Beschleunigungskomponenten Funktionen 
der Zeit (oder Konstante) sind. Wir setzen also; 




dfi'h 

7 ^ •■ /»(<)• 



Kinematik eines niateriellm Punktes, 41 

Eine einmalige Integration ergibt: 

t 

0 ’ 
t 

0 

‘ / 

^ = ff^iDdt + C, 

0 

welche Gleichungen die Geschwindigkeitskomponenten liefern, wenn die 
Integrationskonstanten A\ B', C bekannt sind. Ihre physikalische Be- 
deutung, die man durch die nämliche Überlegung erkennt, wie vorher, 
ist die der Geschwindigkeitskomponenten zur Zeit i ==.0, die 
wir durch bezeichnen und „Anfangsgeschw^indigkeit“ nennen 

wollen; a&o ist mit leicht verständlicher Abkürzung: 

(70) -^f--F,{0 + r;o. 

Fs (<)+«'«' 

Damit haben wir wieder das Problem der Gleichung (62a) vor uns; die 
Bestimmung der Bewegung aus den Geschwindigkeitskomponenten, die 
als Funktionen der Zeit i gegeben sind. Eine nochmalige Integration 
nach i liefert also nach dem früheren die Bewegungsgleichungen: 
j X ^ 0i{t) “jr + ^0 » 

(71) 2/-<i>2{0 + rof+t/o» 

1 = 03 (f) + ^0 • ^ 

wobei die 0(t) Abkürzungen für die Integrale y* F (f) d# sind. Man er- 
kennt also den Satz: die Bewegung ist bestimmt, wenn außer 
den* Beschleunigungskomponen ten noch die Anfangsge- 
schwindigkeit und die Anfangslage gegeben sind. 

Das Integral (71) enthält mithin sechs willkürliche Konstanten, die 
den Differentialgleichungen (69) fremd sind. . Das ist ein wichtiger Zug 
in dem Verhältnis der Differentialgleichimg zu ihren Integrale. Die 
sechs Konstanten spezialisieren die Bewegung, deren allgemeine, 
von jedem speziellen J’all losgelöste Formulierung wir in der Diftoential- 
gleichung haben. Während also die Integrale der Differentialgleichungen 
durch passende Bestimmung der disponiblen Konstanten die M^gh<^liheit 
bieteni, ein^"' besti^ten Spezialfall zu i ndivi du alisierenf enthalten 
die CÜfför^Ualgleiofeungen gewissermaßen nur das Typische, allen 
Bpezialfäll^ Gemeinsame, 



42 


Mechanik maimelltr Punkte. 


17. Beispiele: Freier Fall; Worfbewegtmg. 


Wir wollen die gewonnenen Eesultate an zwei wiohtigeai Beispielen 
illustrieren. Galilei hat durch seine berühmten Versuche gezeigt, daß 
alle Körper gleich schi:iell zur Erde fallen, und daß sie eine konstante 
Beschleunigung g = 981 cm in der Sekunde erhalten. Wir können auf 
dem fallenden Körper einen Punkt markieren, dessen Bewegmig wir allein 
verfolgen, z. B. wenn wir Kugeln fallen lassen, etwa den geometrischen 
Mittelpunkt. Dann haben wir es mit der Bewegung eines substantiellen 
Punktes zu tun, W’oher die Beschleunigung kommt, gehört nicht in die 
Kinematik, das wird später in der Dynamik erörtert werden. 

Nehmen wir ein Koordinatensystem, das in der Erde fest ist, dessen 
X t/-Ebene horizontal, dessen 5:-Aciise vertikal nach oben gerichtet ist, 
und dessen Anfangspunkt auf der Erdoberfläche liegt, so haben mv nacli 
Galilei also folgende Gleichungen: 


(72) 


77 **“^» dh 


Die Integrale sind offenbar: 


0 , 


d'z 


i X^ Uff t + 

(‘3) y = «0 < + 2/,. ' 

' i = - \gt* + wj + g». 

uiid nun können, je nach den Werten von JTo, J/o> ^o> «o» W’o verscliiedene 
Bewegungen ein treten. 

1. Preier Fall: Die Anfangsgeschwindigkeit sei Wq = Vq — -= 0; 

ferner sei die Anfangslage gegeben durch acp = po ~ dagegen -h; 
d. h. der Körper wird zur Zeit f = 0 in der Höhe h losgelassen. Dann 
haben wir nach (78): 

(74) x = 0, y = 0, + 


Man erkemit aus (74) folgendes: Durch Differentiation nach t folgt die 
Geschwindigkeit : 


(75) ^ 


7r 7/ * ITi 




d. h. sie ist entgegengesetzt der positiven 5(-Achse gerichtet und pro- 
portional der Zeit; die Bewegung ist also geradlinig. Wendet man ferner 
(74) auf zwei Zeiten t = 0 und f = f an, so folgt: 

z 

also durch Subtraktion, da Zff-- z die durchlaufene Strecke ist: 

s « 

d. h. die Pallräume sind proportional dem Quadrate der Zeit. Das sind 
die aus der Experimehtalphysik bek^nten „Fällgesetze*', die Galilei in 



Kinematik eines materiellen Punktes. 


43 


der Tat bestätigt fand; sie gelten stets, wenn eine konstante Beschleu- 
nigung vorhanden ist und die nämlichen Anfangsbedingungen vorliegen ; 
sie sind also von viel allgemeinerer Bedeutung, als das spezielle Beispiel 
des freien Falles. 

2. Vertikaler Wurf. Die Anfangsgeschwindigkeit sei gegeben 
durch Uq —Vq =0, 4= Ö; die Anfangslage durch Xq = ijq — Zq — 0, 

d. h. also: dem sijbstantiellen Pmikte wird zur Zeit < = 0 im Koordinaten- 
anfangspunkte eine .parallel der positiven 2 ;- Achse gerichtete konstante 
(leschwindigkeit lüo erteilt. 

Dann haben wir nach (73): 

(77) = y = 0, z 


Die Bewegung ist" also geradlinig und parallel der z-Achse gerichtet. 
Durch Differentiation' von (77) folgt für die Geschwindigkeit: 


(78) 


_ n 

Vf dt 


dz 
d t 




Die Richtung der Geschwindigkeit ist also zui.ächst die der positiven 
^-Achse, nämlich solange — gt +Wq> 0 ist, sie wird 0, wenn dieser 
Ausdruck verschwindet und sie ist nach unten gerichtet, wenn —gt+WQ-0 
ist Die Gleichung 

— ^ / -f- w’o ~ 0 


liefert al^o die Zeit t = leo///, während der der Körper in die Höhe steigt 
(„Steigzeit“). Setzt man diesen Wert in (77) ein, so erhält man die Höhe k, 
bis «u der der Punkt überhaupt steigen kann: 


(79) 



Hat der Punkt diese Höhe erreicht, so begiimt er von dieser Höhe herab 
t’ine freie Fallbewegung, da dann alles genau so liegt, wie im ersten Bei- 
spiele, nur daß die dortige Zeit f — 0 hier der Zeit t — w^jg entspricht. 
3. Horizontaler Wurf. Die Anfangsgeschwindigkeitsei: 


Die Anfangslage: 


Wo=0, ro==|=0, u'o^O. 

^0 ” Vo = Zq = h] 


, d, h. dem l^unkt wird in der Höhe h die kcmstante horizontale Geschwindig- 
i keit Vq erteilt; „er wird horizontal geworfen“. Dann liefert (73): 


I r 


80) 




Da bei der Bewegung x dauernd seinen Wert beibehält, so liegt die Bahn- 
kurve ganz in der 1 / 2 -Ebene; durch Elimination von t aus den zwei 
fetzten Gleichuncren (80) folgt daher für die Bahngleichmig : 





44 Mechanik materieller Punkte. 


oder 

(Sl) 

das ist aber eine Parabel mit der ^f-Achse als Achse und dem Punkte 
-? == Ä als Scheitelpunkt (Fig. 23), 


z 



Durch Differentiation von (81) nach 


t folgt für die Geschwindigkeit: 


(82) 


dz 

It 



di 


-gt, 


aus der man ersieht, daß zu der ursprünglich horizontal gerichteten Ge- 
schwindigkeit Vq eine vertikal nach unten gerichtete Komponente gt 
hinzukomiht, die der Zeit proportional ist. Der Gesamtbfftrag der Ge- 
schwindigkeit c ist alsa:. 

(83) ^ c »-}. ]fv„* + jf* t* . 

Ihre Biehtung ist natürlich stets tang^tial sur Kurve gerichtet. In 
Fig. 28 sind ffi#zwei Funkte der Sahn die Oescbwindfgkeiten nach Qröfe 
und Bicbtnng durch gcricfitet^ Strecken eingezeichnet. ^ 

Die „Wurfweite", d. b, ^e horizontale Strecke, die der Körper bis 
zum ^Aufschlagen auf den ^dboden durchfliegt, erhält man folgender' 
maßen: Die Bewegung hört auf, wenn der sulMtantlelle Funkt auf den 
Erdboden aufschlägt. Das ist ^r Fall, wcnd gemäß der drittem Qleichnug 
(80) g =a—^gi* h SS 0 ist,' Daraiu fö!^ die Zeitdauer vom Beginn 

bis zum Ende der Bewegung: :,^tzt inan diesen Wert in die 



Kinematik eines materiellen Punktes. 45 

zweite Gleichung (80) ein, ao folgt der maximale Wert ym^x,, d. h. die 
Wurfweite: " 

2/inax. == Vo 

4. Schiefer Wurf. Die Anfangsgeschwindigkeiten seien: Uq = 0, 
t'o + 0, «;o 4= ö; die Anfangslage sei: o:® = 2/o == d. h. zur Zeit 

t == 0 wird dem substantiellen .'Punkte eine Geschwindigkeit Co erteilt, 
deren Betrag Co = ist, und deren Neigung a gegen die Hori- 

zontale sich aus der Gleichung bestimmt (Fig. 24): ,tanga == 



M. a. W. : Der Körper wird unter dem Winkel a mit einer bestimmten 
Geschwindigkeit Co aufwärts geworfen. Dann liefert (73): 

(86) x==0, = Wf^t. 


Da X unverändert bleibt, liegt die Bahh offenbar wieder in der y z- 
Ebene.; die Eliihination von t aus den beiden letzten Gleichtmgen (85) 
ergibt dann füi' die Gleichung der Bahnkurve: 


m 



Das ist wiederum die Gleichung einer Parabel, die abi^r eine andere, nach-, 
her zu besprechende Lage relativ zum Koordinatensystem hat, wie im 
vorigen Fall. 

Durch Differentiation von (86) folgt für die Geschwindigkeit: 


(87) 


' dx 
; . dT 


0, 







Während also die horizontale Komponente der Geschwindigkeit unver- 
ändert weiter besteht, ist jBunächst dtp i^rtikale Komponente ^ > 0, 

h* naeh phen geachtet, wird dann zur Zeit t = ^ zu Null, und kehrt 
dann ihr Vöj^eichen um, ist also nach mien gerichtet. Der Körper steigt 



46 


Mechanik materieller Punkte, 


also bis zur Zeit t~~~, zu der er seine öiaxinlale Höhe, erreicht, und 

fällt dann herab, bianach der dritten Gleichung (85) z -- — w^t ^ i) 

geworden ist; dann schlägt der Körper auf den Boden auf, die Bewegung 
ist zu Ende. Diese letzte Gleichung zeigt, daß dies der Fall ist zur Zeit 

Wie hoch steigt der Körper? Die maximale Höhe^niax. erhalten 

wir, wenn wir die „Steigzeit“ i = in die dritte Gleichung (H5) ein- 
setzen. Das liefert: 

M) . * in. * 


^max. — — io ' 


9' 


9 


^9 


oder, da nach Fig, 24 Wq ~ c© sin a ist : 

/Q*7\ Cq* sin* M 

(87) W = 

Wie groß ist die „Wurfweite“ Diese erhält man, wenn man die 

T • 2 XD 

„Wurfzeit“ in die zweite Gleichung (85) einsetzt. Das liefert; 

^ .. _ 2v„w„ 

Ifmnx, ^ > 

oder, da nach Fig. 24 i'o = Cq cos a ist: 


( 88 ) 


t/max. = -y Siniß. 


Die maximale Wurfweite erzielt mau demnach unter einem Winkel 
a = jr/4 und gleich große Wurfweiten imter Winkeln, die nach oben und 



unten gleich weit von ^/4 abstehen, da sin 2 (jr/4 — j8) = sin 2(^4+^) 
ist (Flachschuß und Steilschaß). Wir haben also folgendes Bild der Bahn 
kurve (Kg. 25). . _ 

Danach hat der Scheitel der Parabel^ die Koordinaten 
die Achse derselben ist eine. Parallele zur s-Atdise im Abstande \ymtx.- 
Damit ist alles vollkommen bestimmt. 



Kinematik eines materiellen Punktes. 


47 


18. Beispiele: Planetenbewegung. 

Manchmal sind weder die drei Geschwindigkeitskomponenten, noch 
die drei Beschleunigungskomponenten von vornherein gegeben, sondern 
drei andere unabhängige Daten, B. die Bahngleichung und zwei rein 
kinematische Gesetze der betreffenden Bewegung. Dann liegt die Auf- 
gabe vor, aus diesen Daten z. B. die Beschleunigung nach Größe und 
Eichtung zu bestimmen. Diese Problemstellung lag historisch vor bei 
der sogenannten Planeten bewegung. Newton waren gegeben die drei 
Keplerschen Gesetze, die dieser aus den sorgfältigen Messungen Tycho 
de Brahes abgeleitet hatte. Newton bestimmte aus diesen Größe und 
Kichtung der Beschleunigung. 

Die Keplerschen Gesetze — rein kinematischer Natur — lauten 
folgendermaßen : 

1. Die Planeten bewegen sich in Ellipsen, in deren einem Brenn- 
punkte die Sonne steht. 

2. Der Radiusvektor» beschreibt in gleichen Zeiten gleiche Flächen- 
räunie. 

3. Die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten sich wie die Kuben 
der großen Halbachsen. 

Aus dem ersten Gesetze folgt zunächst, daß die Bahn in einer Ebene 
liegt, die wir deshalb zweckmäßig zur x ^-Ebene wählen. Zuni Koordi- 



natenanfangspunkt wählen wir den Brennpimkt JPj, in dem die Sonne 
steht. Neben dem karteBischen Koordinatensystem {xy) benutzen wir 
Polarkobrdinatenflystem (r, <p). 

. Bezeiöh^et p eine gewisse Konstante, e die numerische Exzentrizität, 
lautet »bekanntlich die Pölargleichung einer Ellipse (Pig. 26); 

(S9) 

1 + ^ C08 «/> 


Mechanik moitrieüer Tunkte, 


48 

Die Bedeutung von p ist leicht ersichtlich. Setzen wir nämlich <p = jr/ 2 , 

so wird == p. Das ist in Pig. 26 die Strecke D, die auch so*bezeich- 
2 ' : ' 

net ist. , * 

Das zweite Gesetz sagt dann folgendes aus : Lassen wir den Badius- 
vektor/ sich um den Winkel dcp drehen so liegt zwischen beiden Vektoren 
ein Stuck der Ellipsenfläche dF, dessen Größe offenbar \r^d<p ist. 
Nim soll das Verhältnis dF zur Zeit dt, in der dieses Flächenstück vom 
Badiusvektor überstrichen wird, gleich einer Konstanten sein; also ist: 


(’90) . = 

* 

und das ist die mathematische Formulierung des zweiten Keplerschen 
Gesetzes. Durch Differentiation nach t folgt: 


'(91) 



IT + ^-dF 


0 . 


Das ist aber der zweiten Gleichung (60) zufojge nichts aotideres als 
die transversale Komponente der Beschleunigung. Wir finden 
also: Die Transversalbeschleunigung ist gleich 0; es existiert nur die 
Komponente in Bichtung des Eadiusvektors, also nur eine 
Badialbeschleunigung. Diese, hat nach der ersten Gleichung (60) 
den WeA:, ^ . 



und diese gilt es, aus (89) und (90) zu berechnen. Da in (89) r als Funktion 
von <p und nicht als Funktion von t gegeben ist, so ist es zweckmäßig, 
mit iülfe von (90) Differentiationen nach t auf solche nach 9 zurückzu- 
führeta. Gleichung (90) kann geschrieben werden: 



JL 

dt 


C 

r* rfqp 


und diese leistet das Verlangte. Wir erhalten also zunächst: 

dr ^ C dr 
dt f* dtp 


und dutcb^ochmalige Anwendung von (92): 

dt \dt ) r* d<p\f* 


was ausgerechnet ergibt: 
^8) , ' 


d'f 


( 7 * P r 
r* dip* 


Ferner ist nach (90): 






Kinematik eines materiellen Punktes. 


49 


^\dt ) f* i r dtp* [dq)/ J ' 


also erhalten wir für üy. 

Durch Differentiation der Polargleichung (89) findet man ^ und ^ ^ 
so daß schließlich wird: 


dtp* ’ 


«, = -j,\-‘reeo8tf> + 'p\, 


worin- nach (89) der Klamnierausdruck den Wert — r hat. Ako folgt 

endgültig: 

(9ä) . = 


d.h. die Radialbeschleunigurig ist umgekehrt gerichtet wie 
r, also stets auf die Sonne zu, und umgekehrt proportional 
dem Quadrate der Entfernung von der letzteren. 

Der Faktor C^/p hängt nun von den Konstanten der Bewegmig 
jedes einzelnen Planeten »ab; man sollte also vermuten, daß er für alle 
einen verschiedenen Wert habe. Doch jetzt greift das dritte bisher noch 
nicht benutzte Gesetz ein; bezeichnen wir die große Halbachse der Ellipse 
mit a„die Umlaufszeit mit T, so soll nach dem dritten Keplerschen 
Gesetze"' sein: 

(96) . . ^ = B, ’ 

WO B eine dem ganzen Planetensystem gemeinsame Konstante ist. 
Nach dem zweiten Gesetze (Gleichung 90) ist: 

Integrieren wir dies von 0 bis T, so beschreibt der Bedeutimg voi^ T 
gemäß der Radiusvektor die ganze Fläche der Ellipse: also wenn 
h die kleine Halbachse ist, so folgt: 

(97) 

0 ’*’ 


Damit schreibt sich das dritte Gesetz nach (96) : 


(98) 


' a*C> Ca 
"r 4A’6’n* " 4"6> a' ■ 


Nim ist aW die Bllipse eine Kurve, für deren Punkte die Summe ^ei 
Rntfemun^ .von dpi Brennpunkten konstant, nämlich gldioh de r do ppeltem 
großen Htdba dhse. ako = 2a k t. Es ist also in Fig. 26 Sf*,« 2a 

also da Ff JO m p, zo ist DFf^ia — p. Ebenso ist J\B‘+jF,B'"2o 
also wegen der Byrametrie FjB'«=a, und nach Pefinition C R ^ b 
also ist .iiri, j^ehtwinkligen Dreieck F^RC die Seitsi Fjfi *= yo*— 6* 
«•hseUt.Xjailbiiilhi, ' 4 



50 Mechanik materieller Punkte. 


und FjFg “ 2 Va *— 52 . Demnach haben wir ein rechtwinkliges Dreieck 
DFjjPa (Fig. 27) mit folgenden Seitenlangen: 


Also ist 
oder 


DF^ « p; DF., - 2a-p'2. ^ 

p» 4* 4a^ — 46 ^ — 4 a^ 4 p2 _ 


(99) 

Damit ergibt sich aus (98): 
und folglich: 


¥ 




B- 


4**p ’ 


Q\ 

(100) — — 4«*jB— einer für alle Planeten gemeinsamen Konstante. 


Damit wird die Beschleunigung nach (95): 


( 101 ) 




4ji»B 


P 

r* * 


WO k' ^ B zur Abkürzung gesetzt ist. 


D 



Fig. 27. 


Damit ist das gestellte Problem völlig erledigt. 

Zerlegt man in seine kartesischen Komponenten, so folgt: 


( 102 ) 


^ = 0,cos(rx) = 
^ = tt,co8(ry) = 


Ar' ar k' x 

—r “ *=» r > 

r* r r* 


aus denen rückwärts durch Integration die Keplerschen Gesetze ge- 
wonnen werden können. Damit werden wir uns später bei dem sogen. 
Zweikörperproblem beschäftigen (Nr. 61). 


19. Periodiiche und barmoniiohe Bewegung. 

Wir wollen jetzt die Eigenschaften der sogenannten periodischen Be- 
wegung untersuchen. Unter einer solchen versteht man eine Bewegung, 
deren einzelne Phasen sich in bestimmten Zeitabschnitten ^ederholen. 



Kinematik eines materiellen Punktes, 51 

Nehmen wir den denkbar einfachsten Fall, daß während der ganzen Be- 
wegung y ~ 0 bleiben, so daß nur x sich ändert, so muß also x gleich 
einer beliebigen periodischen Funktion der Zeit sein : ^ 

X period, Funktion von t, y ~ z ~ 0 , 

Der einfachste Fall einer solchen Bewegung wird erhalten, wenn wir als 
periodische Funktion einen Kosinus oder Sinus wählen. Dann haben 
wir also etwa: 

(103) cos {at 6), y - ^ - 0 , 

oder auch 

(103a) X ~ A sin (a^+ d), y = r = 0 . 


Fine derartige spi‘zielle periodische Bewegung nennt man eine harmo- 
nische. Von beiden Typen (103) und (lOSa) braucht nur der eine be- 
trachtet zu werden; denn man kann (103a) offenbar schreiben: 

(103 b) X - A cos (a/ -f- d — 7r/2), y ^ z , 

und dann erhält man eine Gleichung von der Form (103), in der offenbar 
nur der Anfangspunkt der Zeit anders gewählt ist. 

Wir wollen jetzt die Bewegung (103) untersuchen, x ist ein Maximum, 
nämlich « /f, wenn der Kosinus d. h. wenn ist: 


a< + ö - 


also wenn: 

(104) t 


0 . 


2.-t, ... 

2nr — ^ 

« 


2fr.T(A- -0, 1,‘ 2, ... a), 
An — d 2 k n — ^ 

H u 


Umgekehrt ist x ein Minimum, nämlich — A, wenn der Kosinus 1 
ist, d. h. wenn 

a< + ^ ™ 3.^, 5:r, . . . (2fc + 1) Jr (fc==l, 2, ... a), 


d.h. wenn: 


G05) 





(2il -f l)r, 
u 


ist. 


Die aufeinanderfolgenden Zeiten (104) und (105) haben gleiche Diffe- 

r(‘nzen, nämlich nach Ablauf von Sekunden ist der nämliche 

Zustand der Bewegung wieder hergestelli. Man neni^t deshalb 
diese Zeit T die „Periode“ oder, da die periodische Bewegung auch als 
-Schwingung“ bezeichnet wird, die „Schwingungsdauer“: 

U06)- T>=— i 

« i 


Utii reziproken Wert von T neimen wir die Sciivring^gszahl n: 


(107) 



« 2 ;r n . 


4 



52 


Mecltanik maUrieller Punkte, 


Man kann daher jede harmonische Schwingung (103) in folgende Gestalt 
bringen : 

(108) ' iP ^ /I cos (2nnt+ ö) = A cos + dj . 

Die Größe die das ''^Maximum von x darstellt, nennt man die 
„Amplitude“ der Schwingung, das Argument (2;t n t + 6) die „Phase“ 
^zur Zeit t; ebejaso x die „Elongation“ zur Zeit t. Durch geeignete 
Wahl des Zeitan^angspunktes kann man es offenbar stets erreichen, daß 
die Phaswikonstante 6 gleich 0 wird; dann haben wir einfacher: 

2n t * 

(108a) x = ^cos2jim{^’=-4cos y • 

die wir den weiteren Betrachtungen zugrunde legen wollen. Zur Zeit 
< = 0 ist äc = ^, d. h. der betrachtete materielle Punkt in der positiven 
x-Bichtung bis zur Entfernung A vom Koordinatenanfangspunkte ver- 



schöben; zur Zeit t=r/4, d. h. nach */4 Periode, ist x = 0, d. h. der 
substaa^eie >Punkt ist im . Koordinatenanfangspunkte: wieder nach 
*/* Periode ist x=~-A, d. h. der Punkt befindet sich wieder 

im Anstande , ri vpm Koordinatenanfangspunkte, aber auf der nega- 
tiven Seite der, X-Achse, und wieder nach V 4 Periode (<=8r/4) ist x>= 0 , 
d. h. der sultetantielle Punkt wieder im Koordinatenanfangspunkti\ 
Nach Verlanf einet- weiteren - ■^j^ Periode (f =: Tji T = T) ist x =»= ri ,, wo 
es auch *ur Zeit t « 0 war, und die ganze Bewegung beginnt von neuem. 
Der Punkt „schwingt“ also mit der Amplitu<ie A auf der x-Achsb hin 
und her^ und z^tur um den ^OQrdinetenanfangspunkt als Anfang- o^er 
„Buhelage“. Daher rechtfer^gt jrich auch die bereits oben 
^Zeichnung der periödi 8 ebeh.Bewegni^dl 8 einer Schwingungj^^ib Wer 
betrachtete Schwingung nennt man ^ziell eine „gert^lihige". I^ogt 
man die Zei®. bis Abszisse, die ElosBgati« x als Ordinate ai^, so hab« wir 
das Bild ansgezeiehneten Kurve, ^t l^ig. 28.' 


Kimmatik eiim materiellen Punktes. 53 

Wir wollen nun die, Geschwindigkeit der durch. (108a) davgestellten 
{Schwingung bestimmen. Wir haben: 

(109) 4f ‘^5* n • sin 2nnt, jj = 0. 


d. h. die Geschwindigkeit ist ebenfalls eine periodische Funktion der 
Zeit, die durch die gestrichelie Kurve in Fig. 28 dargestellt ist. "^Man 
erkennt im besonderen fönendes: Die Geschwindigkeit ist =0, wenn 
die Elongation, absolut genommen, ein Maximum ist; umgekehrt hat 
die Geschwindigkeit, absolut genommen, ihre maximalen Werte, wemi 
die Elongation ^0 ist. Wir können im Hinblick auf Fig. 28 offenbar sagen, 
daß die Geschwindigkeit der harmonischen Bewegung wieder eine Schwin- 
gung von der Periode T darstellt, die gegen die Bewegung selbst um eine 
Viertelperiode (T/4) verschoben ist, und eine andere Amplitude, nämlich 
Ä 2n n besitzt. Denn durcb^ Verschieben der gestrichelten Kurve um 
eine Viertelperiode nach rechts gelangen die Stellen der Maxima und 
^finima, sowie die Nullstellen beider Kurven zur Deckung. 

Ganz älmlich verhält sich die Beschleunigung. Diese hat, durch 
Differentiation von (109) hervorgeht, den Wert: 

(HO) ^*1 »-A 4»*n*cos2Än<, 0- 


und di^e^ Glmchung läßt sich mit Bücksicht auf (108a) schreiben: 


( 111 ) 


d^x 

d(^ 




dhj _ dH . 
dt* df* “ ^ 


In dieser Form erkennt man sofort, daß die Beschleunigung ebenfalls 
eine periodische Fimktion der Zeit ist, die abgesehen vom Vorzeichen 
und dem konstanten Faktor gleich x selbst ist. Zu den Zeiten, 

zu denen x ein Maximum oder Minimum passiert, passiert infolge des 
Minuszeichens die Beschleimigung umgekehrt ein Minimum oder Maximum. 
Die Beschleunigung ist also gegen die Bewegung um eine halbe, 
gegen die Geschwindigkeit um eine Viertelperiode in der 
^^it verschoben. Die Gleichung (111) können wir nun so formulieren, 
daß die Beschleunigung eines substantiellen Punktes, der 
<dne harmonische Bewegung ausführt, proportional, dem 
j< weiligen Abstande x von der Buhelage und auf diese zu- 
gerichtet ist; diese Jetztere Behauptung ergibt sich aus der Beacht>^^ 
di‘8 Minüszeichehs. Eine derartige Bewegung eines substantiellen Punktes 
lanu man realisieren, indem man ihn an einer sogenaiJiten elastischen 
I oder o^er einem Gummifaden befestigt. Zieht man ihn ap der Buhe- 
liigo heraus und.läßtFhin dann Ids, so vollführt er eine harmonische Be- 
^v\‘gung um die Bnhelage. 

Wir woU^ npf zwei zueinander senkrechte geradlinige Schwingungen 

derselbex^Bltfede Es sei z.B,: 



54 Mechanik materieller Punkte, 

. ^ . \ X ^ Aco&2n nt, 

( 1 * <w J I 

I y = Bcos{2int + <)).' 

Der grpßeren Allgememheit halber haben wir die zweite Schwingung in 
der Zeit gegen die erste um die Konstante d verschoben und eine andere 
Amplitude B gewählt. Die, zweite Glenchung kann geschrieben werden: 

(113) y ~ B Go^ *271 n t . cos d — B sin 27int . sin d , 
imd aus der ersten folgt: 

cos2vTnt«^t sin2Än< = ± j/l — • 

, Das liefert in (113) eingesetzt: 

y = ^ cos <)* + J5 sin <)' |/ ^ — * 

was umgeformt geschrieben werden kann: 

(114) 1 / -2ABGosd,xy i- B^ x^ - A^ B^ sin- ö. 

Diese Gleichung stellt die Bahnkurve dar, die ein Punkt unh‘r der 
gemeinsamen Wirkung zweier zueinander senkrechter harmonischer Be- 
wegungen von gleicher Amplitude ausführt. Diese ist eine Kurve zweit(‘r 


3 



. 

Ordnung, also, da sie ganz im Endlichen verlaufen muß, offenbar* eine 
Ellipse. Wir erhalten als das Besultat: IXurch Slusammensetzung 
zweier rechtwinkliger geradliniger ßchwitfgungen. von. glei- 
cher Periode erhält man im Anfang eine Bewegung auf einer 
Ellipse, deren Achsen aber i. Ä. nicht mit den Koordinatenachsen zu- 
sammenfallen (Pig, 29). 



Kinematik eines materiellen Punktes. 55 

In speziellen Fällen kann die Ellipse in eine gerade Linie oder einen 
Kreis ausarten. Ist nämlich 'die zeitliche Verschiebung der beiden 
Schwingungen, die sogen, Phasendifferenz d = 0 oder =;r, so wird (114): 

iß T 2.4 B xy + — {Ay ^ BxY — 0 , 

d. h. 

(115) Ay^Bx^O. 

Das ist eine gerade Linie durch den Anfangspunkt, und zwar entweder 
durch den ersten und dritten, oder durch den zweiten und vierten 
Quadranten; die Neigung a derselben gegen die Abszissenachse ist 
offenbar durch die Gleichung bestimmt tga=± B/A. 



Nehmen wir ferner die Phasendifferenz d=^±7r/2, so wird (114): 


oder 

(116) 


42 yZ ß2 ^2 — J2 ßZ^ 



üL 



mid das ist eine Elhpse, die auf. die Koordinatenachsen als Hauptachsen 
bezogen ist (Fig. 81), Das doppelte Vorzeichen von d bedeutet eine 
Durcheilung der Ellipse im Sinne, einmal entgegen dem, Sinne des 
Uhrzeigers. 

* Nehmen wir endlich in (116) noch die Amphtuden der beiden Schwin- 
gungen gleich (A “ B), so ist: 

(117) x^ + y^ ^ A\ 

d.h,: da^n ist die Bahn ein Kreis. 

Für diesen speziellen Fall wollen wir die Geschwindigkeit und 
die Beschleunigung berechnen. 

Die gegebenen Gleichungen (112) gehen hier über in {A A, 

ö-±^/2): 



56 


Meclumik materieller PunUe. 


(118) 


{ X ^ A coB2nni, 
*y = ± A aiü^nnt. 


Das doppelte Vorzeichen von d bedeutet, wie man sich wiederum leicht 
überzeugt, daß je^nach dem Vorzeichen der Phasendifferenz der Kreis 



einmal im Sinne des Uhrzeigers, das andere Mal entgegen dein Sinne 
des Uhrzeigers durchlaufen wird. Durch Differentation nach i folgt: 

dx 


(119) 


^ 2 ;in*y j y, 

^ —±A2Kn'C082nnt^±2nn*x j x. 


Erweitert man diejle Gleichung mit x und f/, wie angedeutet, und sub- 
^ tarahiert, po ist: 

- . 't * ' y 47 ~ * 57 “ ± ” (** + ’ 


i# iCNler Broksicbt auf (117): 


'■ r- '* 


dx 


dy 


y-dT^^dt 


== ± 2nnA*, 


worau daroh Differentation i^aoh t folgt: 


( 120 ) 


y 


d*a? d*y 

dp^ny 


0 . 


Etwas anders geschrieben lautet diese jQleichuqg; 

“ /ÄV ^ ^ 

iTari 


( 121 ), 



Kinematik eines materiellen Punktes, 57 

d. h. die Richtung der Beschleunigung fällt mit der des Radiusvektors 
zusammen und ist ihm offenbar entgegengesetzt gerichtet. Ferner folgt 
durch Quadrieren und Addieren von (119): 

also : 

(122) , ^ |c| «.<?» + 2ffn^. 


d. li. die Geschwindigkeit ist dem Betrage nach konstant und ändert 
nur ihre Richtung. Der Kreis wird also mit konstanter Ge- 
schwindigkeit durchlaufen. Den Betrag der Beschleunigung erhält 
man, indem man (119) noch einmal nach t differentiiert: 


(123) 


d*x 

TF 

d*y 


• — An^cos2nnt *= — in^n^x. 


Asin2nnt = — An*n*y, 

woraus durch Quadrieren, Addieren und Wurzelziehen folgt; 

* . ( tt I a= a Ä 4 51* n* -4 

oder, da nach (122) 27rn = ojA ist: 

(124) * j U = a *= -2* 

oder unter Einführung der Winkelgeschwindigkeit ^ durch die Gleichung 


dt 


(124 a) 


Oi =a 




/ 


und das stirai^jt mit (60) überein, wenn man r und die Geschwindigkeit 
als konstant annimmt. 


20. Relativbewegung. 

‘ Es ist bereiUr mehrfach betont worden, daß alle Bewegungen der 
Kinematik relativ sind, d*. h, die Bewegung kann nur relativ zu einem 
Koordinatensystem oder Bezugskörper beschrieben werden, imd von 
diesem ist keiner von dem andern ausgezeichnet. In der Dynamik ist, 
wie wir4m zweiten Kapitel sehen werden, dies anders. Dort gibt es 
«in ausgezeichnetes Bezugssystem {oder vielmehr eine Klasse 
ausgezeiohnhter: Bezugssysteme), für die allein die Qleichungm 
der Dynacfiik Geltunlg besitzep. Die auf ein solch ausgeacieh* 
netes System * bezogene Be^wegung kann" man^ als absolute^, 
bezeichnen.-* ' ' 

ihm,durch|% jg, 4 b0»wch«‘ 



aubstinti^len Bwktes in 



58 Meefianik materieller Punkte, 

nen. Wir nehmen nun ein anderes Bezugssystem K\ welches relativ zu 
K eine behebige Bewegung haben kann; die Koordinaten unseres sub- 
stantiellen Punktes in bezug auf K- seien (f,?;, C), die 'wir in Gegensatz 
zu den absoluten Koordinaten (x, y, z) als relative Koordinaten bezeichnen 
werden. Ist die Bewegung des Koordinatensystems K' in bezug auf K 
gegeben, so sind dann auch die Beziehungen zwischen {x^ y, z) und 
(f> Vf 0 sowie zwischen absoluter und relativer Geschwindigkeit und Be- 
schleimigung gegeben. Als relative Geschwindigkeit bezeichnen wir sinn- 
gemäß diejenige mit den Komponenten ^ » als relati^'e Be- 
schleunigung ^diejenige mit den Komponenten 

nämlich diejenigen Geschwindigkeiten bzw. Beschleunigungen, die ein 
Beobachter konstatieren würde, der sich mit K mitbewegt (und von 
dessen Bewegung nichts zu wissen braucht). Übrigens gelten die Be- 
trachtungen, die im folgenden angestellt werden, ganz aUgeniein für 
den Übergang von irgendeinem System K zu einem beliebigen anderen I\\ 
Die hier vorliegenden Beziehungen sind nun aufzustellen, mid zwar 
wollen 'wir dies zimächst für den einfachen Fall tun, daß K' sich relativ 



zu £ so bewegt, daß jede der Achsen {(, v, C) von K' während der ganzen 
Bewegung sich parallel bleibt. Dann sagt man: IC führe relativ zu 
K eine reine Translationsbewegung aus. 

Wir können sogar, ohne die Allgemeinheit einzuschränken, annehnien, 
daß die (f-, C-)Achsen dauernd bzw. den Achsen ar-, y, z von K parallel 
sind, da wir die Beziehungen zwisch^ zwei ruhenden, gegeneinander 
gedrehten Systemen bereits erledigt haben (Nr. 11 und 14). 

In Fig. 82 sind K' und K dargestellt; P ist der betrachtete sub- 
stantielle Punkt. 



Kinemalik eines materiellen Punkles. 59 


Wir. kommen am einfachsten zu dem gewünschten Besultat, wenn 
wir zunächst keine Koordinatenzerlegung vornehmen, sondern die Lage 
von P und von 0', dem Koordinatenanfangspunkte von K', durch den 
entsprechenden Eadiusvektor r charakterisieren. Nennen wir den „Lagen- 
vektor‘* von den von P relativ zu K:t^, den relativ zu 

wobei die Indizes „a“ und „r“ auf absolute und relative Bestimmung 
hindeuten (der Index „f* findet später seine Erklärung), so ist offen- 
bar die geometrische Summe von tf und X/y also: 

(126) + 

oder in der Sprache der Komponentendarstellung gemäß der Definition 
der Vektorsumme: 

j 

(126) \ y^Vf+’l. 

I 2 = + C , 


wenn Xp jjf, Zf dii,^ Komponenten von tf sind ; die Bedeutung von {x, z) 
und (I, rjy ;) ist schon vorher festgesetzt wwden. 

Gleichung (126) läßt sich folgendermaßen formulieren: Die Ko- 
ordinaten der absoluten Lage (d.h. in bezug auf ein Ko- 
ordinatensystem K) eines substantiellen Punktes setz^ 
sich additiv zusammen aus denen der relativen Lage (in 
bezug auf ein Koordinatensystem K') und denen des Ko- 
ordinatenanfangspunktes von K' im System K, 

Durch Differentiation nach der Zeit von (126) gewinnen wir die ent- 
sprechende Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten: 

I dx ^ dxf d i 

dt ~ di dt ' 


(127) 


dif/ , y 
dt ~ dl 

dz ^ I 
dt dt dt 


Darin sind als die Komponenten der absoluten Geschwin- 
digkeit zu bezeichnen; und ebenso » wie schon vorher er- 

wähnt, als die der Eelativgeschwindigkeit. Die Größen 

i^ind die Geschwindigkeitskomponenten des Koordinatenanfangs- 
punktes O' des Systems K' in bezug auf K, also auch die Geschwindig- 
keitskomponenten jedes Pimktes des Systems K' in bezug auf K, also 
endlich die Geschwindigkeitskomponenten des betrachteten Punktes P, 
wenn er in K* fi^dert wäre. Man nennt sie die Komponenten der „Füh- 

d X 

•■angsgeschwindigkeit". Denn man kann sich t ••• nach (127) 
dadurch entotandeu denken, daß zunächst P ia K' fixiert sei, d. h. 



Meekonik materielier Punkte, 


6Ü 

von K' mitgeführt werde, und darin außerdem noch die Belativ- 
geschwindigkeit -jy » • • • gegen K' erhalte. Wir erhalten also das Resultat: 

^ Die Komponenten der absoluten Geschwindigkeit setzen 
sich additiv zusammen aus denen der Pührungsgeschwin- 
digkeit und denen der Relativgeschwindigkeit. 

Bezeichnet man die vektorielle Führungsgeschwindigkeit durch 
die relative und absolute Geschwindigkeit durch die Indizes „r“ und ,,a“, 
so kann man (127) auch schreiben: 

( 128 )^ ’ • c. = C/+c,: 

in Worten also: Die absolute Geschwindigkeit' ist die Vektor- 
summe aua^Führungsgesohwindigkeit und RelatiygescHwindig- 
keit. 

Dieses Resultat ist zwar nur abgeleitet unt^r der Voraussetzung, 
daß K' gegen K in einer Translation begriffen sei; es gilt aber, wie leiclit 
Zu sehen ist, und wie wir später zeigen werden^ allgemein. 

Um zu den Beschleunigungen überzugeheh, haben wir (127) noch 
einmal nach t zu differentiieren und erhalten: 


(129)^ 


4t* dt\ di*' 

d*y ^ d*yj d* r/ 

dt* ~ dt* dt* ' 

d*z d*Zf d^t 

dt* ^ dt* *** dt* ' 


, Zi^al^ bedeuten offenbar *ä 7 r»’** Komponenten der absoluten 
B^bbleunignng, diejenige der Relativbeschleunigung: 

dnd o^aibar die Komponenten derjenigen Beschleunigung, 

die^ P l^tte, wenn es in £' fest wäre imd mitgeftthrt würde. sind also 
diß : Komponenten der „Führungsbesohlennigung“. Beseichn«n wir 
die dm BeschlenoigongOn durch die Indizes a, f, r, so können wir (129) in 
.einer^ y^torgleieiran^ schreiben ; 

(130) = + 

d.b.: Im Falle K' gegen K eine Translationsbewagung besitzt, 
ist die Absolhtbbsehleuniguhg die Vektorsumme aus^'Füh' 
ran^sbescblennignng und Belativbeschlennigung. - 
4^ Ein besonders einfach^ Fall ist der, daB jS' relativ zu K eine 
gleichmäBige Translationsgesbhwindigklgit, besitzt. ist 

(dfffltj^r ssconstant, also 0, und dann fd^ anfh(12S^ ^er'(i80): 



KinemcUik eines materiellen Punktes* 61 

(1. “h. die Beschleunigung bjeibt unverändert (Absolutbe- 
schleun'igung = Eelätivbcsohleunigung), wenn man von einem 
System K zu einem solchen K' übergeht, das relativ zu K 
eine gleichförmige Translationsbewegung ausführt. 

Dieser Satz h^t für die Dynamik eine fundamentale Bedeutung, 
indem er solche Koordinatensysteme, die relativ zueinander eine gleich- 
mäßige Translationsbewegung haben, in Hinsicht auf die Be-’ 
schleunigung als gleichwertig bezeichnet, während in allen 
anderen Fällen die einfache Gleichung (131) nicht gilt. 

Nachdem im Vorliegenden der Fall der reinen Trar.slationsbewegung 
von K' relativ zu K erledigt ist, wollen wir nun eine Drehung von IC 
gegen K in Betracht ziehen, wobei die Anfangspunkte von K' und K, 
der Einfachheit halber als zusammenfallend angenommen werden sollen. 
Dann gelten die Gleichungen (34), in denen jetzt aber die Kosinusse als 
Fimktioneii der Zeit zu betrachten sind: 


(34) 


a; =» J cos ^ cos ^ cos «3 , 

y = Icosß^ -h vcosß^ + ?cos/? 3 , 
2: = icosri + fjcosra + ?co3;'3. 


Differentiieren wir jetzt einmal nach t, so erhalten wir: 


(132) 


dx 

tdS 


. dii 


. dl 



~di^'=‘ 

[di 

COS^i 

+ dl 

cos er, 

+ dt 

COS £^ 3 ] 

1 




d CO« «, 


d cos ff, 


d 005 «8 



+ (l 

dl 

-f 1} 

dt 


dt 

B 

/rff 

\dt 

COS/^i 

^ dt 

cosß^ 

^ dt 

cos/?,] 

) 



+ (l 

d C09 

~'dr 

-•ft; 


d 008 ^8 
dt 

dz 



d 11 


. dl 



Tt “ 

[di 

COS/j 

+ -jr 

cos;'j 

+ if 

cosr 3 j 

1 


-)■ 


* . ,(i dcnajt I „ dyo»r« . ^ ^ 

»■•■VS ä«' ~dt''}^ 

Jot^t Stehen links die Komponenten der absoluten Oeschwindigkeit : 

dx dydz * • ' 

<it ’ dt’ ~di' rechten Seife kann man zwei Terme, die durch 

Klammern' vpnwumder’ getr^t sind, uniierscheiden. Darin sind ^e 
Größen der n^ei ersten Klammern die ar-, j^-, z-Komponente der Ge- 
schwindigkeit, die ein auf dem System K’ befindlicher* Beobudfater 
konstatiere. '(tfirde, der nichts von der Bewegung von £' K 
^■üßter ih;m können nur die Größen f, tj, C varjabel ersohöin«^.,* 
Also sind f-, ij-, f-Komponentea äer fröii|j4ven. Ge- 

schwinjjigki^l «nd-^cos«, CM«, -)- cos dm af-Koinr 



62 Mechanik maimetler Punkte. 

ponente usw. der relativen Geschwindigkeit. Die Größen der jeweiligen 
zweiten Klammern auf der rechten Seite sind die Geschwindigkeiten, 
die man erhält, wenn f, t?, f als konstant, d, h. der substantielle 
Punkt P im System C) als fixiert betrachtet wird. Es sind somit 
jedenfalls Komponenten der sogenannten Führungsgeschwindigkeit, und 
zwar die bezüglichen x-, y% 2 - Komponenten der Führungsgeschwindig- 
keit. Denn man erhält durch Differentiation der Gleichung (34) nach t 
bei konstanten^ C offenbar nach der Definition der Führungs- 

geschwindigkeit die Komponenten derselben; also z. B. liefert die erste 
Gleichung (34): 

dx/ . rf cos a, d co;» i r ^ 

TT s - + h ^7"^- -r Q- ^7 > 


womit das oben Gesagte bewiesen ist. Daher lassen sich die Gleichungen 
(132) in die Vektorgleichung zusammenfassen: 

«a < 

die mit (128) identisch ist. Es gilt also auch in unserem »Falle der Satz: 
Die absolute Geschwindigkeit ist gleich der Vektorsumme 
aus relativer und Führungsgesclnvindigkeit. AVir werden später 
sehen, daß jede unendlich »kleine Bewegimg eines starren Körpers — 
solche sind ja unsere Koordinatensysteme — aus einer Translation imd 
einer Drehung zusammengesetzt werden kann. Also gilt der obige 8atz 
ganz allgemein. ^ 

Um zur Beschleunigung zu gelangen, differen liieren wir die Glei- 
chung (132) noch einmal nach f, dann folgt: 


dt dt dt ^ ä 

, (u d*C03rt, , d'COS«, , ud^COBU 


^ , o/d| dcb«Ä , dt} rfcosft , df 

dt di di '^ di' 

+ 1» dt* dt‘ W 


d** /d»f ■ , d*tj , d*i \ 

, n/d| deo»y, , d^ dcogy, , dr dcpsy, \ 
■•■"vdii' dt ■*' d< .» dt dt 'hr j 

+ i« dF” + “d«* + f , 


Links stehen wieder die x, y~, ;?«Kompon6nten der absoluten Besohleuni- 
gdng Bechts kann man drei Gruppen unterschdden, die durch 



Kinematik eines materiellen Punktes, 63 

Klammem voneinander getrennt sind. Die erste Klammer jeder Glei- 
chung gibt offenbar die x-, t/-, ^-Komponenten der Beschleunigung an, 
die ein mit K' mitbewegter Beobachter konstatieren würde, also der 
sogenannten Belativbeschleunigung a^. Die dritte Klammer jeder 
Gleichung, in denen t/, f konstant gehalten sind, ergibt die 
Komponenten derjenigen Beschleunigung, die man erhalten würde, wenn 
der substantielle Punkt P in K' befestigt wäre, also der sogenaimte 
Führungsbeschleunigung tt/. Während damit im Falle der Translation 
von IC gegen K alles erlecligt war, tritt hier noch ein drittes Glied auf, 

indem die Produkte zweier Geschwindigkeiten, z. B. und 

auftreten. Dieser Teil der Beschleunigung wird „Zusammengesetzte 
Beschleunigung“ oder auch, nach dem französischen Physiker und 
Ingenieur Coriolis, die „Coriolissche Beschleunigung“ genannt, 
die wir durch a,, bezeichnen wollen. Demgemäß sind hier, wenn wir die 
Gleichung (IBS) in eine Vektorgleichung zusammenfassen wollen: 

(134) a, = a, + a^4-öc; 

in Worten: Im Falle, daß K' relativ zu K eine Drehbewegung 
ausführt, ist die absolute Beschleunigung gleich der Vektor- 
summe aus Belativ-, Führungs- und Coriolis-Beschleunigung. 
dieser Satz gilt allgemein, welches auch die Bewegungen von K gegen K 
sein mögen; er schließt, wie man leicht sieht, den Fall der Translations- 
bewegung von in gegen K als Spezialfall in sich , indem dann 0^ == 0 
wird. 

Seiner Bedeutmig halber w^ollen wir nun noch den einfacheren Fall 
behandeln, daß li* imd K die 2 :-Achse bzw. C-Achse gemeinsam haben, 
und IC eine Botation um diese gemeinschaftliche Achse ausführt. Dann 
hulx'ii wir von den Transformationsgleichungen (38) auszugehen, die nur 
nach X, y aufgelöst zu werden brauchen: 

j = I cos Ul — y sin a , 

?/ = J sin a + cos , 

z = 

Deren Differentiation ergibt: 



■ (135) 



-)• 

-)■ 


^md diese Gleichungen sprechen, nur in spezieller Form, wiederum aus, 
daß die absolute Geschwindigkeit gleich der Vektorsumme aus rela- 
tiver und Führungsg^ohwindigkeit ist. Durch nochmalige l^ifferen- 
tiation na|h < .folgt weiter: 



u 


Mechanik maierieUer Punkte^ 


(136) 


d*x 

'dt» ** 

(^cos«,- fj-sin«; 

1+^1 

fdl dcosfaf dri dein ' 

dt dt di ^ 

% 

+ (i 

d*Q09^i d’slao, \ 

dfi ‘‘ di* j' 

d»y 

df * 

(i^f-8in«i-l--^cd8a, 

)+2, 

/dl dsinr^i t dco8«, 

[dl^^^dr dt dt 



+ (l 

, d* Bin «i , d^ C08 «i \ 

■ + j,. ). 

dH 

«PJ 


a 

df» 

d¥" 




Gkichungea, die wiederam, wenn auch m spezieller Form, dem batz (134) 
lehren. Diese Gleichungen können nun zur Deutung der einzelnen Glieder 
der Gleichung (60) benutzt werden. Dazu wollen wir noch spezieller 
annehmen, daß der Punkt P im System K’ auf der {-Achse hege, abo 
, die Koordinaten ({..0) habe. Mit i? = 0 gehen die Gleichungen über in 

« CO.«, - 2^1 - 1»»». 

m «, + 2 ‘Ji CO.«, - |.in«, + {c6s«, . 


d*; 


d'z 
IF 

oder anders geordnet: 



fd»« ' 

Tf" 

[df *1 

14^)1 

COSf^j — 1 

(187) 

d^y 

df 1 

LdP *1 

:^)‘i 

6in + | 


(tz 

d*? 





di* ' 




dk da ^ 
U dt 


+ 6 dfi 
+ S df 


Sinr^ 


I » 


cose^ 


Setaen'^wir noch z * C = 0, so haben wir den Fall mer ebenen Be- 
tti^iping und ein Vergleich mit (88a) zeigt sofort, daß •j-jj" £ j j die 
^Komj^edtd, 2^-^ + 5 die »j-Komponente der Beschleuni^g 
i^rKjl .C^ietog (187) ® Spricht folgender Anordnung (Fig. 88). 
*:twir k^en also schrlähm: 

J «»■“’* U r) ’ ' - 

] n ^ o d d«, . 

1 ^ dt/jr^%d^ 

Nun T^oll«! irir d«tt R da^oh 




i»88) 


^^'hodtinunen, welches riBt K .nnd.,,jS^ d^selben Anfangspunkt hat. 
Dann ist offenbar nach Fig. 88: .< :■ 

^(189K: 





, Kinematik eines materiellen Punktes. 65 

Die f-Komponente wird dann zur Badialkomponente (l^, die »;-Kompo- 
nente zur^ Transversalkomponente (l der Beschleunigung, und es ist 
nach (138) und (139): 


2/ 



(140) 


I = a, 

■ I ^ SS H 



n dr dtp , d*m 

Vr dt^^'dw 


Diese Gleichungen stimmen mit unseren alten Gleichungen (60) überein und 
gestatten eine Deutung der auftretenden einzelnen Glieder im Sinne der 
absoluten und relativen Bewegung. Die gesamte Beschleunigung a selzt 
sich nach (140) zusammen aus zwei zueinander senkrechten Kompo- 
nenten und a^; nun können wir offenbar a als absolute Beschleu-; 
iiigung in bezug auf {x^ y) auffassen,. während wir das Polarkoordinaten- 
system als bewegtes System iv' deuten. Dann ist die radiale 
HelativbescKleunigung, bzw. die radiale 

und transversale Komponente der Führungsbeschleunigung, 
die trans^versale Coriolisbeschleunigung. 


Für die Anvendungent die wir später zu machen haben, woUen wir 
noch eine wmtere ^p^äalisienmg Eintreten lassen; wir wollen n&nli^ 
äiinehm«!,. cbl^das Syatenii £[' relativ zürn System £,am die g^o^>- 
Same z-Achsö wit konstanter Winkelgeschwindigkeit ä> rö^je. 
Dann k^en wir in den , wieder als Anfangspunkt dienend^ '@^i*<' 
chungen den Winkel Oj als Funktion der Zeit aüsdrüoken diireh 

‘wi, !>»m idaim]^ ist in Tat die k<mstan% Winkel» 


gesc 



66 Mechanik materieller Punkte, 

f ® = f cos ca < — I? sin Cü i , 

2 / = f sin ca < 4* cos ca ^ , 

Setzen wir ai=cat ebenfalls in die Gleichungen (135) ein, oder differen- 
tiieren wir direkt (141), so erhalten wir für die Geschwindigkeiten; 

~~ = cosft) < — sin mt — ro (| sin w t + ^/ cosw t) , 

4'f^ = sin (w ^ cos raf + ca(| cosw t — t] sin (o t) , 

dz _ 
di dt' 


und diese können unter Berücksichtigung von (141) in die Form ge- 
bracht werden : 


(142), 


dx dt j dt} , 

4 ; = jf sin Ol t + 4’ < + w j-, 

rf ^ cf • dt 

dz ^ dl 
di dt' 


Durch nochmalige Differentiation nach t folgt für die Beschleunigungen: 


d^x , d*n ^ , du 

dt^ di* di* di 


dli 

di* 


p: 

di* 


(dl 

w« 

+.jll 


sin 0 ) t + cose; t\ 


d*y d*| . , , d*Ji , , dx 

di* ^ !¥ "dl* ^ di 


cosrat — simui 


und durch. Anwendung von (142) lassen sich diese in die endgültige B'orm 


(143) 


d*x 

/<pf 

dt* 



/d*l 

dV ^ 


d*z 


di* 

df ■ 


Di^e Gleichungen werden eine wichtige Bolle spielen, wenn wir den 
EinflnB der Erdrotation auf die Ersdua^gen der Mechanik unter- 
suchen werden. Auch hier lassen sich rechts wieder drei Gruppe unter- 
scheiden, die beziehungsweise als die Komponenten der Belativ-, CorioHs- 
und Führuttgsbeschleunigun« zu bezeichnen Änd. 



Kinematik eines materielles Punktes, 67 


21. Dimensionen. 

In der ganzen Physik pflegt man, in Erweiterung des geometrischen 
Ikgriffes der Dimensionen, allen vorkommenden Größen eine „Dimension“ 
beizule'gen, wobei man natürlich nicht alles auf Längen zurückführen 
kann. In der Kinematik, die aus der Geometrie durch Hinzufügung 
der Zeit als vierter Variable hervorgeht, müssen wir außer der Grimd-*^ 
(?inheit der Länge, die wir stets durch L bezeichnen werden, ^och die 
Grundeinheit der Zeit, die T genannt werden soll, hinzunehmen. Eine 
Geschwindigkeit, die der Definition nach eine Länge dividiert durch 
eine Zeit ist, ist also in bezug auf L von der ersten, in bezug auf T von 
der ( — 1)^“ Dimension. Um dies anzudeuten, schreibt man „Dimensions- 
gleichungen“, indem man die zu untersuchende Größe iind die Dimen- 
sionen in eckige Klammern einschließt. So erhält man für die Geschwin- 
digkeit: 

(144) [CJ = [LT-*]. 

In derselben Weise findet man für die Dimension der Beschleunigung, 
die als eine Geschwindigkeit dividiert durch eine Zeit definiert ist: 

(145) [aJ^CLT-*]. 

Diese Dimensionsbetraohtimgen haben den Vorteil, daß man sehr leicht 
von einem Maßsystem zum anderen übergehen kann, imd daß man 
geeignete Festsetziuigen für die Einheiten treffen kann. So werden wir 
nach (144) als Einheit der öreschwindigkeit diejenige bezeichnen, bei der 
in der Einheit der Zeit die Einheit der Länge zurückgelegt wird; also 
im sogenannten absoluten physikalischen Maßsystem ist die Einheit 
der Geschwindigkeit diejenige, bei der 1 cm in 1 Sekmide zurückgelegt 
wird. Ebenso ist die Einheit der Beschleiuiigung in diesem Maßsystem 
diejenige, bei der eine Geschwnndigkeits Vermehrung um 1 cm pro Sekunde 
eintritt, Li der Dynamik wird zu den beiden Grundeinheiten L mid T 
noch eine dritte, die der Masse M hinzukommen. Damit gelingt es, alle 
in der Mechanik vorkommenden Dimensionen darzustellen. 



Zweites Kapital. 

Allgemeine Dynamik eines substantiellen Punktes. 

22. Der Begriff der Trägheit. 

Wenn wir irgendeine Bewegung betrac^iten, so lassen sich zwei 
bestimmende Momente an ihr unterscheiden. Der ^größeren Deutlich- 
keit halber wollen wir die beabsichtigte Unterscheidung am Beispiel 
des horizontalen Wurfes erläutern und nachher verallgemeinern. 

Für^ den horizontalen Wurf gelten die Formeto (80) und (81) des 
ersten Kapitels (pag. 43), die wir hier nochmals anschreiben : 

(1) z \gt- + h, 

( 2 ) = 

von denen die letztere aussagt, daß die Bahn eine Parabel ist, die ini 
wesentlichen durch die Anfangsgeschwindigkeit und die Beschleuni- 




Jügemeim Dynamik eines substantiellen Punktes. 69 

Vergrößerung von Vo Parabel verflacht und weiter öffnet, während 
eine Vergrößerung von g die Parabel steiler macht. Wie eine Vergrößerung 
von Vo» so wirkt auch eine Verkleinerung von g und umgekehrt. Eine 
Erläuterung^ soll die Eig. 34 geben, in der die Parabelbahrien für den- 
selben Wert von g^ aber für verschieden große Werte konstruiert 
sind. Je größer desto gestreckter isl die Balm, und für = oo 
würde sie eine horizoniale Gerade, darstellen. 

Man kann dies auch etwas anders ausdrücken. Bilden wir ^u diesem 

dz 

Zwecke den Differentialquotienten aus (1), so finden wir dafür: 



Dieser Wert gibt die Neigimg der Parabeln an einer solchen Stelle 

an, die der substantielle Punkt zur Zeit t gerade erreicht hat. Nennt 
man a den Winkel, den die in diesem Punkte errichtete Tangent^ mit 

der positiven i/-Aclise bildet, so ist ^ = tga. Nun wollen wir die Winkel a 

für die verschiedenen Parabeto zur selben Zeit t vergleichen; nehmen 
wir etwa < = 1 Sekunde, dann ist: 



und diese Neigung ist offenbar um so kleiner, je größer Vq ir 
m (/, d. h* je größer die Anfangsgeschwindigkeit im Verhältnis zur Be- 
schleimigung ist. In der I'ig. 34 sind die Winkel a für die drei Parabebi 
eingezeichnet, und man ersieht unmittelbar die Bichtigkeit dieses Sach- 
verhaltes. Man kann diese Neigung als ein Maß der Kichtungsändermig 
oder Ablenkung von derjenigen Bahn betrachten, die der substantielle 
Punkt bÄchreiben würde, wenn die Anfangsgeschwindigkeit unendlich 
groß im Verhältnis zur Beschleunigung oder besser, wenn die Beschleu- 
nigung 0 sein würde. Denn in diesem Palle würde die Bahnkurve nach 
(3a) die Neigung 0 gegen die t/- Achse besitzen, also in eine horizontale 
Gerade ausarten,^ 

Man kann also die vorliegende Bewegung als einen Kampf zwisdhen 
der Wirkimg der Anfangsgeschwindigkeit und derjenigen der Beschleu- 
uiguiig ansCuen; Die tatsächliche Bewegung ist gewissermaßen ein Kom- 
promiß ;^sohe% Beiden Wirkungen* Welchen Pall von ^wegung 
luan aui>h%s Ai^e fassen mag, so lassen sich doch iminer diese beiden 
gegenaät^ohen Bestrebungen daraü unterscheiden. ^ 

Itetatiert wurde, ist natürlich keine Erfahrungstatsache; 
denn h^lt dra aus den rein kinematischen Gleichungen (1) und (2) 

. Denn wenn eih Körper 



70 


Mechanik maierieUer Punkte, 


keine Beschleunigung hat, hat er eben eine konstante Geschwindigkeit, 
und dadurch ergibt sich alles eben Behauptete. Aber die obigen Über- 
legungen drängen zu einer Frage hin, die im Gegensatz zu den bisherigen 
Erörterungen als eine quaestio facti anzusehen ist, nämlich zu der Frage : 
„Unter welchen Umständen behält in der Natur ein substantieller Punkt 
eine ihm erteilte Anfangsgeschwindigkeit der Größe und Kichtung nach 
bei?“ Oder anders ausgedrückt: „Unter welchen objektiven Umständen 
ist ein substantieller Punkt imstande, eine gleichförmige Bewegung auf 
geradhniger Bahn auszuführen?“ Die Antwort, die man in der Mechanik 
seit Galilei darauf zu geben pflegt, ist im Grunde aus fplgenden anthropo* 
morphen Erwägungen hervorgegangen: Wir können durch Eingreifen 
unserer Muskeltätigkeit den Bevregungszustand eines substantiellen 
Punktes verändern, seine Geschwindigkeit vergrößern, verkleinern, die 
Bichtung ändern usw., kurz, wir können durch diesen äußeren Eingriff 
Beschleunigungen erzeugen. Dies führt dazu, die Beschleunigung all- 
gemein als Folge oder Wirkung äußerer Eingriffe anzusehen. Akzeptiert 
man vorläufig einmal diese Formulierung, so ist. Fehlen von Beschleu- 
nigung gleichbedeutend, mit dem Fehlen äußerer Einwdrkmigen, und 
somit lautet die Antwort auf die gestellte Frage: „Ein substantieller 
Punkt verharrt in seinem Zustande der gleichförmigen Bewegung auf 
geradliniger Bahn, wenn keine äußeren Einwirkungen vorhanden sind.“ 
Diesen Satz kann man bis zu einem gewissen Grade durch das Experi- 
ment stützen. Lasse ich eine Kugel mit einer bestimmten Geschwindig- 
keit über eine beliebige Unterlage rollen, so wird Ixjobachtet, daß die 
Kugel zur Buhe' kommt, also ihren ursprünglichen Bewegungszustand 
nicht beibehält. Das scheint zunächst ein direkter Widerspruch gegen 
das obige Prinzip zu sein. Macht man aber jetzt die Unterlage glatter 
und immer glatter, so kommt die Kugel erst nach längerer und immer 
längerer Zeit zur Buhe, Man wird also geneigt sein, zuzugeben, daß 
dies darauf beruht, daß infolge der Politur der Unterlage die Kugel von 
der Unterlage Ureniger beeinflußt wird als vorher, also geringere „äußere 
Einwirkungen“ erfährt. Gibt man dies wirklich zu, so kann man das 
Besultat des Experimentes folgendermaßen aussprechen: „Je kleiner der 
EinfhiB der Unterlage ist, desto länger behält die Kugel ihre gleich- 
förmige geradlinige Bewegung bei“, und der Experimentalphysikei: wird, 
namentlich wenn alle übrigen Erfahrungen sich in derselben Weise 
deuten lassen, kein Bedenken tragen, diesen Satz zu extrapolieren auf den 
allerdings nie realisierbaren Fall, daß gar kerne äußeren Einflüsse vor- 
handen sind. In dieser Form würde der Satz laukn: „Die Kugel k- 
hält, wenn alle äußeren Einflüsse l^seitigt worden sind, ihren anfämg- 
lichen Bewegungszustand unverändert bei.“ Das ist aber oereits das 
oben ausgesprochene Galileische Prinzip. Ifatürlich sind derartige 
Experimente kein strenger Beweis, vor allem deshalb nieht, weil eine 
unabhäng^e Erklärung des Begriffes „äußere Einwirkung“ fehlt. Aber 
so viel zeigen diese Überlegungen do^,, daß jedenfalls dir obige Satz 



Allgemeine Dynamik eines substantiellen Punktes, 71 

der Erfahrung nicht widerspricht, sondern daß man letztere im Sinne 
des obigen Satzes interpretieren kann. Das ist überhaupt beim Experi-' 
ment das Wesentlichste: die Interpretation; eine Einzeltatsache bleibt 
eine Einzeltatsache, auch wenn sie tausendmal beobachtet worden ist; 
erst die Interpretation, der Gedanke, macht die rohe Empirie fruchtbar. 

Galilei war der erste, der dieses Gesetz ausgesprochen hat. Er 
stellte sich damit auf den Standpunkt, daß eine gleichmäßige gerad- 
linige Bewegung, da sie ohne äußere Einwirkung bestehen bleibt, keiner 
Erklärung bedürfe. Im Gegensatz dazu nahmen die Alten an, daß zur 
Aufreohterhaltung auch einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung 
äußere Einflüsse notwendig seien. Nur in dem Falle, daß die gleichförmige 
geradlinige Bewegung in die Euhe ausartet, hat auch vor Galilei kein 
Zweifel darüber bestanden, daß dieser spezielle Zustand zur Erklärung 
keiner Einwirkung von außen bedürfe. Man sieht, daß Galileis Stand- 
punkt der einfachere ist: Für ihn sind nur die Beschleunigungen zu er- 
klären, d. h. als Wirkung äußerer Einflüsse zu betrachten während für 
die Alten sowohl Beschleunigung als auch gleichförmige geradlinige 
Bewegung durch Einwirkung der Außenwelt erklärt werden müssen. 

Man kann es also als Galileis Fortschritt bezeichnen, daß er 
erkaimt hat, daß die Erfahnmgstatsachen im Sinne des von ihm formu- 
lierten Satzes gedeuttet werden können. Man kann daher auch streng 
genommen nicht sagen, daß der Galileische Satz, den wir später im 
Anschluß an Newton noch genauer formulieren müssen, ein Erfahrungs- 
satz sei; im Gegenteil könnten sich eher die Alten auf die nackte 
empirische Tatsache berufen, daß jede Bewegung schließlich zur Ruhe 
kommt. Man kann aber Galileis Prinzip etwa als „interpretierten 
Erfahnmgssatz“ bezeichnen. 

Um dieses Verhalten der Körper, eine einmal vorhandene gleich- 
förmige geradlinige Bewegung beizubehalten, vmserem Kaus^albedürfnis 
näher zu bringen, hat man ilmen eine Eigenschaft zugeschrieben, die 
man als „Trägheit“ oder als „Beharrungsvermögen“ bezeiclmet, 
und daher nennt man aiuh den oben ausgesprochenen Satz das Träg- 
heitsgeseiz. 

Vorläufig nur ein Wort, eine bequeme Abkürzung für eine längere 
, Aussage, wird sich die Trägheit im folgenden als eine meßbare Größe 
erweisen. 


; ^ 23. Det^Begriff der Kraft und der Masse. 

Wenn wir uns jetet auf den Standpunkt des Trägheitsgesetzes 
stellen, den die glänzende Entwicklung der Mechamh seit Galilei als 
fraohtbar gerejiditfertigt hat, so müssen wir die Bcschleunigongm als< 
die Folge der äußeren Einwitku^n anhehmen. Andererseitä haben wir 
für das Bäsem, das Wirken eines äußeren Einflusses kein andeW Merk- 
mal als,jciä^<4aä er an einem segebenm substsmtiellai Punkte öbe Be- 



72 Meeliatiik materieller Punkte. 

schleunigung hervorruft. Wir wollen nun die Ursache einer 
'Beschleunigung als eine Kraft bezeichnen^, in dem wir 
unter „Kraft“ gewisse objektive äußere Verhältnisse und Bedingungen^ 
verstehen, insbesondere die geometrische Konfiguration imd ^ie physi- 
kalische Natur aller den betrachteten Punkt umgebenden übrigen 
substantiellen Punkte. Jedesmal also, wenn derselbe substantielle 
Punist denselben äußÄen Bedingungen unterstellt wird, ist nach 
unserer Auffassung dieselbe Kraft wirksam. Es ist von fur^damentaler 
Wichtigkeit^ .sich klar zu machen, daß die objektiven Ui^tände, die an 
einem substantiellen Punkte eine Beschleunigung hervor bringen, sowohl 
von der Lage als auch von der Bewegung des Koordinatensystems ganz 
unabhängig siifd, da sie nicht von einer mathematischen Zwischen- 
koDStruktimi abhängen können. 

Der Ursprimg der Bezeichnung „Kraft“ für diese realen Bedingungen 
ist zweifellos anthropomorphen Ursprunges, insofern, als Beschleunigungen 
direkt vom Menschen unter Aufwendung von „Muskelanstrengung“ oder 
„Muskelkraft“ hervorgebracht werden können. Wenn eine Kraft einem 
substantiellen Punkte eine Beschleunigung erteilt, so drücken wir dies 
kurz folgendermaßen aus: „An dem substantiellen Punkte wirkt 
"eine Kraft“, oder „greift eine Kraft an“. 

Es liegt nun nahe, näch dem Vorstehenden #in Maß für die auf 
•einen substantiellen Punkt wirkende Kraft in der Beschleimigimg zu 
suchen, die sie demseUxn erteilt, und etwa in einfachster Ausführung 
dieses Gedankens die Kraft ft proportional der Bf'Schleunigung zu setzen, 
wobei der Propdrtionalitätsfaktor eine universelle Konstante wäre. 
Würden wir den letzteren willkürlich etwa == 1 setzen, so würden wir 
damit^ da die Einheit der Beschleunigung festgesetzt ist, sofort auch eine 
Krait^heit besitzen. Indessen ist dieser einfachste Weg nicht zweck- 
mäffig; die Ta-tsachen weisen vielmehr auf eine andere Art hin, ein Kraft- 
maS zu finden. Die Erfahrung lehrt nämlich, daß zwar dieselbe Kraft 
einem frei beweglichen substsuatiellen Punkte stets ein und dieselbe Bi*- 
schleunigung erteilt, aber verschieden substantiellen Punkten im all- 
gemein ^verschiedene Beschleunigungen. Wir können ' z. B. einer 
Beihe 'stthstantieller Punkte dadurch Beschleunigungen erteilen, daß 
wir sk at^wechselnd an eine zu bestimmter Länge ausgezogene elastische 
Federt, anh&igen, die dann, iosgelassen, jeden an ihr befestigten Punkt 
in ganz bktintoter Weise beschleunigt. Die Einwirkung der Fe^r oder, 
wie wir jetzt sagen kihinen, die „Federkraft“ stellt in diwzUi^alle lör 
tpjere substantiellen Puukte die „äußerm Eintiffaingi* 
smgebj&i, daß, wenn dieselbe Feder siefs zur tdinge 

j|kd, dan 8 tets^ dieselbe äußel^ Einwkkung oder "^^»sejibe 
vorhanden ist. Diese Ann^mj^ wäre lM|eh?^ohi^ 
sieh durcHirihre einleuehtÄde 
beobacbtei, wio. yerschi^c^’ 

^dcbe Besfel^TOigungen durch dk 



»• 

Allgemeine Dynamik eines substantiellen Punktes. 73 

Punkte 1, 2, 8 usw. und bezeichnen wir die Beschleunigungen derselben 
durch entsprechende Indices, so müssen wir, falls wir die Kraft der Be- 
schleunigung proportional setzen wollen — und eine andere Möglich- 
keit liegt überhaupt nicht vor doch in jedem Falle den Proportionalitäts- 
faktor verschieden annehmen, also etwa setzen; 

(4) Ä « w^ai « w,a2 » %a3 = . . . . 

Die Konstanten sind dabei Größen, die jedenfalls von dem betref- 
fenden substantiellen Punkte ä abhängen; es wäre aber natürlich auch 
denkbar, daß sie noch von der Kraft St abhingen. Diese Frage kann 
durch das Experiment entschieden w^erden, indem man verschiedene 
Federn auf die nämlichen substantiellen Punkte wirken läßt. Wir nehmen 
also eine andere Feder, üben folglich eine andere Kraft St' auf die sub- 
stantiellen Punkte aus, die ilinen die Beschleunigungen ... er- 

teilen möge. Dann ergibt das Experiment, daß hier gilt: 

(5) St' = ^ 

wo die Faktoren ni^ die nämlichen sind wie vorher. In beiden Fällen 
sind die beschleunigten Punkte ungeändert, aber die Kräfte sind andere. 
Dennoch sind die Faktoren ungeändert geblieben, sie können mit- 
hin nicht von den Kräften, sondern nur von der Natur der 
substantiellen Punkte abhängen. Wir nennen den Faktor 
die „Masse“ des substantiellen Punktes. Die Masse ist durch die obige 
Ghichung allerdings nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt, 
da Gl(dchung (4) nur Massenverhältnisse zu bestimmen erlaubt. 
Sobald jedoch eine Einheit der Masse festgestellt ist, sind damit sämtliche 
Massen Vollkommen bestimmt. 

Ala Einheit der Masse dient das sogenannte „Kilogramme des 
archives“, das zu Sövres bei Paris aufbewahrt ist; der Absicht nach 
sollte es die Menge von 1 Kubikdezimeter Wasser bei 4® C sein. Da 
das hergestellte Hohlmaß nicht genau gleich 1 Kubikdezinj^eter ist und 
ein Maß überhaupt nie exakt sein kann, so hat man ganz analog wie bei 
der Längeneinheit einfach diejenige Wassermenge bei 4® als Einheit 
der Hasse genommen, welche jenes Hohlmaß füllt. Sie führt den Namen 
Kilogramm, In der Physik ist es übrigens üblich, als Einheit der 
den 1000, Teil des* Kilogramms, das Gramm, zu benutzen., Die Masse 
tritt als 'dritte Grundeinheit M neben die beiden schon ein^führt^ 
der Länge Zeit Zur Bestimmung der Masse würde maü alsp 

einmalj^die MÄSsWi^ durch eine Feder beschlemiigen lassen 
•"^chleunij^g s^i;*=» Äof ; dann eine ^uhbekannte Masse' . wd ^MStde 



74 


Meehanik matemller Punkte. 


d. h. die Masse würde sich als das Verhältnis zweier Beschleunigungen 
ergeben, die mit Maßstab und Uhr gemessen werden köimen. 

Nach Gleichung (4) folgt, daß die durch eine bestimmte Kraft 
einem substantiellen Punkte erteilte Beschleunigung um- 
gekehrt proportional seiner Masse ist. Je größer die Masse, 
desto größer fiJso der „Widerstand“ des substantiellen Punktes gegen 
Beschleunigung. Erinnern wir uns an die in der vorigen Nummer ein- 
geführte Bezeichnung der „Trägheit“, so können wir die Masse 
direkt als ein Maß der Trägheit oder des Beharrungsver- 
mögens betrachten. 


24. Das erste und zweite Bewegungsgesetz von Newton. 


Die in den beiden vorhergehenden Nummern besprochenen Tat- 
sachen und Definitionen lassen sich zu zwei Sätzen zusammenfassen, 
deren genaue Formulierung man Newton verdankt, und die als erstes 
pnd zweites Newtonsches Bewegungsgesetz bezeichnet werden. Sie 
lauten : 

I. Jeder Körper verharrt im Zustande der Ruhe oder 
der gleichförmigen Bewegung auf geradliniger Bahn, so- 
lange keine äußeren Kräfte auf ihn oinwirken. 

II. Die auf einen Körper wirkende Kraft ist gleich dem 
Produkte aus der Masse und der Beschleunigung desselben. 

Der erste Satz ist da.s Galileische Trägheitsgesetz, den zweiten 
werden wir kurz als „Kraftgesetz“ iK'zeiclmen. 

Die analytische Formulierung des letzteren ist nunmehr immittel- 
bar gegeben. Nennen wir die Kraft 9, so können wir dasselbe schreiben; 

(7) ft = m . a . 


Diese Gldcbung sagt aus, daß die Kraft ft ein Vektor ist, dessen Rich- 
tung mit der Beschleunigung a übereinstimmt und dessen Betrag im 
m-fachen Verhältnis zu dem der Beschleunigung vergrößert ist. 

. Nim wollen wir eine wichtige Folgenmg aus (7) ziehen ; Es seien die 
.Winkel, die ü mit den Achsen bildet, respektive (ax), (ay), (ft-?). 

Durch Multiplikation mit den, Richtungskosinussen erhalten wir 

aus* (7)^ 

X 

ftco8(aa:) • oos(dx) = m 


( 8 ) 


Äcos(ay) = mo • eoB^ay}.- m 


<P y 

dP' 



Sl 008 ( 112 ) ^ ma ■ C 08 (ft;^ 




.7^'' 


D» (ax), (ay), (az) respektive gleich Bind dffli Winkeln (#»), (9y), (9z), 
die die Kraft ft nnl den Aclaeh bildet, ’lsö sind die links ftisbenden Aus* 
drücke die rechtwinkligen Komponenten' der Krsft^ ll’,: die entweder 


AUgemeim Dynamik eines aubslaniiellen Punktes. 16 

durch ftj oder X,Y,Z bezeichnet werden. Wir erhalten also 

nach ( 8 ): , 


( 9 ) 






d‘^x 

dV 




m - 


d^y 

df 




d^z 

dV 


Dies sind die Newtonschen Bewegungsgleichungeii. 

Sie leiten zu einem wichtigen Postulate liin, nämlich dem, daß 
Kräfte sich wie Vektoren addieren sollen, oder anders aus- 
gedrückt: Wenn ich drei Kräfte gleichzeitig an einem sub- 

stantiellen Punkte wirken lasse, so ist die resultierende Kraft ® diejenige, 
die man durch vektorielle Addition von erhält. Allgemeiner: 

Aus mehreren gegebenen Kräften ftj, ®2'» • • •> gleichzeitig an 

einem substantiellen Punkte angreifen, kann man nach den Gesetzen 
der Vektoraddition die resultierende Kraft ® bilden, genau so, wie mau 
es mit den Beschleunigungen und Geschwindigkeiten macht. Falls man 
zwei Kräfte ftj und Äg znsammenzusetzen hat, so ist die Besultante ® 
geometrisch der Gniße mul Eichtung nach durch die eine der beiden 
Diagonalen des aus ftj mid ®2 konstruierten Parallelogramm^ dargestellt, 
woher dieser Satz den Namen „Satz vom Parallelogramm der Kräfte“ 
erhalten hat; haben wir mehrere Kräfte zusammenzusetzen, so erweitert 
sich dieser Satz zu dem vom „Kräftepolygon“. 

FjS ist wichtig, sich hier klar zu machen, daß dieser Satz, für die 
Kräfte ausgesprochen, ein Erfahrungssatz ist, der keineswegs selbst- 
verständlich ist, während für Beschleunigungen und Geschwindig- 
keiten der analoge Satz eine rein geometrische, von aller physi- 
kalischen Erfahrung unabhängige Folgerung darstellt. Um 
diesen Sachverhalt klar zus teilen, betrachten wir folgendes* Beispiel: 
Wenn einem Körper gleichzeitig zwei Beschlemiiguiigen üi und O2 mit- 
geteilt werden, so läßt sich rein geometrisch zeigen, daß die Tesultierendo 
Beschleunigung a = ist, . Gehen wir jetzt zu den Ursachen der 

Beschleunigung, den Kräften über, so sagen wir, daß die Beschleimigmig 
durch die Kraft und die Beschleunigung a2 durch die Kraft 
erzeugt werde, wenn beide Kräfte einzeln auf den substan- 
tiellen Punkt einwirken. Nun wäre es aber doch natüilich ä priori 
recht gut denkbar, daß die Hinzufügung von «2 zur Kraft ftj, so daß 
beide gleichzeitig am selben Pmikte acgreifeii, die vorher alleia be- 
stehende Kraft ftj total abänderte, etwa in den Wert ft,', so daß, wenn 
swei Kräfte ft, und ft, zusammengesetzt würden, das Besultat ft+ft,-i-ftt, 
sondem^gleich ft, - 1 - ft, sein würde. In Wirklichkeit ist dies nicht 
der-Pall; die Hinzuftgung von beliebig vielen Kräften,' 
ändert. die^schQn vorhandenea nicht ab; die Kräfte wirken, 

^8» sap, nnabhängii voneinander; jede erzeugt ihre Be- 



76 Mechanik materieller^ Punkte. 

schleunigung nach Gleichung (t), als ob sie allein vorhanden 
wäre. Deshalb wird dieser Satz manchmal als das „Prinzip von der 
Unabhängigkeit der KrUfte*‘ bezeichnet. 

Natürlich ist es durchaus unwesentlich, daß wir in Gleichung (9) 
die Kraft'^in drdi kartesische Komponenten zerspalten haben. Unter 
Einführung eines ebenen Polarkoordinatensj^tems (r, 9 ) z. B. kann die 
Kraft It in die zwei Komponenten Ä,, die „Eadialkraft“, imd die 
„Tranaversalkraft“, zerspalten w'erden, so daß wdr dann untei* Be- 
nutzung von Gleichung (60) des I. Kapitels (pag. 37) haben : 





ma^ 


« m 

mm m 



, dr dq> 
dt dt 


+ r 


■ 


Speziell können wir als Polarkoordinatensystem das natürliche Ko- 
ordinatensystem der Kurve wählen, in dem r in E, den Krümmungs- 
radius der Kurve, übergeht. Dann erhalten wir nach (56 a) des I. Kapitels 
(pag* 84) eine „Normalkraft“ oder „Zentripetalkraft“ und eine 
„Tangentialkraft“ ft,, die den Gleichungen genügen: 



if ' 

Durch die Gleichung (7) ist auch die Dimension der Kraft voll- 
kommen bestimmt, indem sie gleich der Dimension der Beschleunigung 
mal der einer Masse ist. Also nach (145) des ersten Kapitels (pag. 67): 

(12) ^ [ft]-[itfLT-^]. 

tiie Einheit der Kraft ist also diejenige, die der Masse 1 g die Beschleu- 
nigong 1 *cm/sec* erteilt; diese Kraft wird eine Dyne genannt, 
i K» Unsere ‘ früheren kinematischen Betrachtungen können wir nun 
dynättlii^lf ^aussprechen. Statt z. B. zu sagen, daß alle Körper mit 
äer Beschleunigung ^=981 cm/sec* zur Erde fallen, können wir jetzt be- 
^uf jeden Körper von der Masse wt wirkt eine Kraft von der 
mfff die vvertital abwärts gerichtet ist. Wird der betreffende 
Kö 3 ^r etwa durch ^Dtttsrstützung mit der Hand am Fallen verhindert, 
so emp^den wir diese Kratt ab seine „Schwere“, weshalb sie den Namen , 
Schwerkraft erhalten bat. Also: 


. (18) 'v Schwerkraft ^ --füg , , 

■ ' ■ . W ' 

Ebenso , können wir jetzt sagen daß jeder Planet von der Masse m zur 
. ScÄine folg«ider Kraft angezogen wi^ fnaeh C^ohtmg <101^ de^ 

^l^iKapiteb auf pag* 50]: ^ Kraft nennt Newton 

die „GravitaUonikrjkft" 



Allgemine Dynamik eines substantiellen Punktes, 77 

die Bedeutung dieser Bezeichnungen wird später besser hervortreten. 
Also haben wir: ^ ^ 

(14) Gravitationskraft- 

^5. Da# Koordinateniyftem der Dynamik; Oalileisches Relativitätsprüudp. 

In den Entwicklungen der drei vorhergehenden Nummern ist noch, 
eine bedenklich^ Unsicherheit enthalten. Unser Begriff „Kraft***" reprä- 
sentiert die äußeren Einwirkungen auf einen substantiellen Punkt; diese 
äußeren Einwirkungen, als etwas objektiv Vorhandenes, als eine 
physikalische Eealität, können, wie schon in der vorhergehenden 
Nummer hervorgehoben, offenbar nicht abhängen von rein mathe- 
matischen Zwiachenkonstruktionen. Eine splche aber ist das 
zugrunde gelegte Koordinatensystem. Wir müssen postulieren ^ daß 
die Kraft ft gänzlich unabhängig sowohl von der Lage als auch 
von der Bewegung des Koordinatensystems ist. Nun ist aber ander- 
seits durch die Newtopscho Kraftdefinition ft gleich dem PÄ)dukt 
aus der Masse m und der Beschleunigung d gesetzt, und diese letztere 
ist, wie wir in Nr. 20 bei unserer Untersudhung von absoluter und rela- 
tiver Bewegung sahen, vom Bewegungszustande des Koordinaten- 
systems sehr wesentlich abhängig. Da nun aber das Produkt au.s 
Masse und Beschleunigung der Größe und Richtung nach die vom Ko- 
ordinatensystem unabhängige Größe ft darstellen soll, so kann diese 
Gleichung offenbar im allgemeinen nur für ein bestimmtes 
Koordinatensystem erfüllt sein. Für alle anderen Systeme wird 
%8ich im allgemeinen die Form der Neuvtonschen Kraftgleichungen 
ändern müssen. 

Wenn wir also unsere bisherigen Betrachtungen retten, ja ihnen 
überhaupt erst einen bestimmten Sinn verleihen wollen, so müssen wir 
die Existenz eines solchen Koordinatensystems postulieren, in bezug 
auf welches die Gleichung ft = ma Gültigkeit besitzt. Dieses Koordi- 
natensystem .wollen wir das Fundamentalsystem der Mechanik 
nennen; dasselbe besteht wie alle imsere Koordinatensysteme aus sub- 
stantiellen Geraden, ist also in einem bestimmten sjtarren Körpei 
verankert^ denken. Diesen Bezugskörper nennt man allgemein „Funda^ 
nientalkörper*^ manche Autoren auch den „absoluten Raum“, andere 
den „Weltäther*^, Carl lleumann endlich, um seine Existenz be* 
sonders anscj^lich zu macben, den „starren Körper Alpha^.^ Ir 
bezug auf Fundamentalsy^tem sind daher auch die 
gleichförmige und geradlinige Bewegung zu beziehen, .^ in 
Trägheitegesetain der Newtonsoben Formulierung auftreteh.» ' 

Diei B^wejpngen, Gesdiiwindigkeiten, Beschleuni^gen^ äijß ,au 
^ das vcir Koordinatensystemen ausgezridtoD|^ Eundanmta| 



78 Mechanik fmierieller Punkte. 

Diese Bezeichnung wird hier nut in obigem Sinne verwendet werden. 
Danach kömien wir sagen, daß das Fundamentalsystem selbst 
m absoluter Buhe sich befindet. 

Welches ist denn das Fundamentalsystem? A priori ist 
dasselbe nicht angebbar, da die Mechanik eine Effahrungswissen- 
schaft ist; dasselbe muß vielmehr aus den Beobachtungen erschlossen 
werden. Zunächst liegt der Gedanke nahe, ein auf der Erde, etwa ini 
.Erdmittelpunkte festes ^Koordinatensystem als Fundamentalsystem an- 
zusehrfi* In der Tat spricht eine große Anzahl von mechanischen Ver- 
suchen nicht dagegen, woraus allerdings, da das Kesultai der Versuche 
negativ ist, noch nicht der Schluß gezogen werden kann, daß dieses 
System wirklich das Fundamentalsystem sei. Wirklich gibt es auch eine 
Beihe von Versuchen, von denen der wichtigste und bekannteste der 
sogenannte Foucaultsche Pendelversuch ist (auf den wir später 
genau eingehen werden), die beweisen, daß ein in der Erde fest ver- 
ankertes Koordinatensystem nicht das Fimdamentalsystem sein kann. 
Ein Koordinatensystem dagegen, das im Fixstenihimmel festgelegt ist, 
ist mit allen bekannten Tatsachen wenigstens nicht im Widerspruch. 
Man beachte aber, ehe voreilige Schlüsse daraus gezogen werden, die 
negative Form, in der wir cjas Eesultat des Experimentes aussprechen. 
Da natürlich alle Versuche mit endlichen Fehlem behaftet sind, so 
kann man nur folgendes aussagen: „Innerhalb der Fehlergrenzen der 
Versuche ist ein im Fixstemhimrael befestigtes Koordinatensystem als 
Fundamentalsystem zulässig“, nicht aber: „Die Versuche beweisen, 
daß usw.“ Eine solche Aussage könnte nur gemacht werden, wenn man 
absolut richtige Messungen austellen könnte. Natüilich ist es sehr un- 
wahrscheinlich, daß das Fixstemhimmelsystera wirklich exakt das 
Fundamentalsystem sein sollte; denn die Existenz der Fixsterne ist 
schließlich doch etwas Zufälliges; aber der praktischen Mechanik, die 
Ja keine mathematische, sondern eine physikalische, auf Beobachtung 
gegründete Wissenschaft ist, wird durch Auffindung eines Systems go- 
nü^t, das praktisch den Anforderungen an ein Fundamentalsystem 
gimügt. Wir werden deshalb das Fixsternhimmelsystem als 
das Fundamentalsystem ansehcn, auf das die Be^vegungs- 
gleichung d^r Dynamik zu beziehen sind. 

Nun tritt auch die Wichtigkeit der Untersuchung der Nr. 20 des 
ersten Kapitels für diese Frage hervor. Denn vnr sahen dort, daß, wenn 
man von einem System K zu einem ärgeren IC übergeht, das relativ 
zu K in gleichmäßiger Translation begriffen ist, daß dann 
undMüur dann der Auadrüek für die Beschleunigung sich 
nicht ändert. Daraus ergibt sich folgend^ Konsequenz: Wenn wir 
ein Fundamentalsystem gefunden Waben (für das also die 
Gleichtingen der Dynamik gelten), >6 gelten sie auch für 
j^dea Koordinatensystem, das relativ znta. Fundamental* 
System jsine gleichmäßige TransIatiOnSgesoh^^ihdigkeit be« 



Allgemeine Dynamik eines suibBtantiellen Punktes, 79 

sitzt. Mit einem Fundamentalsystem besitzen wir infolge dieses 
Satzes also gleich eine unendlich große Klasse äquivalenter 
Fundamentalsysteme. 

Man kann diesen Satz physikalisch anschaulicher formulieren: 
Da die Gleichungen (7) *der Dynamik gleichmäßig für alle Fundamental- 
Systeme gelten, so macht sich ihre gleichmäßige Translationsgeschwindig- 
keit (die sich zur absoluten Geschwindigkeit als Führungsgeschwindig- 
keit addiert), in keiner Weise mechanisch geltend. "SVir können 
also sagen; „Es ist durch kein mechanisches Experiment möglich, 
eine gleichmäßige Translationsbewegung dos Bezugssystems 
zu erkennen**, oder; „Die mechanischen Vorgänge, die ein 
ruhender Beobachter in einem ruhenden System wahrnimmt, 
sind genau dieselben, die in einem mit gleichförmiger Trans- 
lationsgeschwindigkeit bewegten System ein mit diesem 
System mitbewegter Beobachter wahrnimmt“, oder endlich: 
„Eine gleichmäßige Translatioiisbewegung des Bezugssystems 
ist auf die mechanischen Erscheinungen ohne Einfluß**. 

Man nennt diesen Satz, der ja die Unmöglichkeit konstatiert, eine 
absolute gleichmäßige Translationsbewegung feslzus teilen, das Bela- 
tivitätsprinzip der Mechanik oder auch, nach dem Begründer 
der Mechanik, das Galileische Belativitätsprinzip. Es sei gleich 
hier bemerkt, daß in der Elektrodynamik ein anderes Belativitätsprinzip 
Geltung besitzt, in dem das mechanische als Spezialfall enthalten ist. 

Die Gültigkeit des Galileischen Belativitätsprinzips liefert nun 
eine gewisse Einschränkung für die analytische Gestalt, in der die Kräfte 
auf treten. Wir haben schon früher bemerkt, daß sie im allgemeinen 
Funktionen von x, j/, 2 , d. h. den Koordinaten des bewegten Punktes, 
und der Zeit / sein werden. Diese Aussage müssen wir jetzt ergänzen. 
Denn da die Kraft unabhängig vom Koordinatensystem sein muß — 
eine objektive physikalische Bealität kann nicht von einer Zwischen- 
konstruktion abhängen — , so scheint diese analytische Formulierung 
eine gewisse Schwierigkeit mit sich bringen. Denn sei etwa für das 
Fundamen talsyatem : 

* ft = 


^0 ist im allgemeinen nach Transformation auf ein System 
weim die Bezeichnung der Transformationsgleichungen (126) des 1. Ka- 
pitels (pag. 59) verwendet wird: 


® *==/(?/+ + f) ^ 

h. aber, ft hat in bezug auf Ä' nicht die nämliche Folm; deim dann 
luüßte man^ ft i) erhalten haben. Dieser Widerspruch ver- 

^mvindet durch die" Annahme, daß im analytischen Ausdrucke von 
^ nur Koordlhätendifjeren^zen des. beschleunigten substantiellen 
unktes relatt^Hm einem oder mehreren anderen auftreten, d. h. ' 



Mechanik materieller Punkte, 


. 80 

daß die Kraft 9 nicht von der Lage des beschleunigten Punktes gegen 
das Pundamentalsyatem, sondern nur von seiner relativen Lage m anderen 
materiellen Punkten abhängt. Das ist im besten Einklänge mit dej* Vor- 
stellung, daß die objektive Außenwelt es ist, deren Einwirkungen wir 
als Kräfte bezeichnen, ft muß also von der Form sein: 

wo die Koordinaten irgendeines anderen substantiellen Punktes 

sind; natürlich werden im allgemeinen mehrere äußere substantielle 
Punkte mit in den Ausdruck von ft eingehen. Wendet man jetzt die 
Tr|nsformhtionsgleichungen (126) des 1. Kapitels auf ft an, d. h. gleich- 
zeitig auf x,y,z und so heben sich bei der Differenzbildung 

die vorher störenden Zusatzglieder heraus, denn wir haben z. B.: 

x = 4* 

also 

jr — ^ — ^a, 

womit der Beweis geliefert ist. 

Das Auftreten der Koordinaten o;., von anderen substantiellen 
Punkten gleichzeitig mit denjenigen (x,y,z) des beschleunigten sub- 
stantiellen Punktes liefert die erste Andeutung für ein sehr umfassendes 
Gesetz, das unter dem Namen des Gesetzes der Gleichheit von actio 
unÄ reactio bekannt ist. Während man einerseits. sagt: die Kraft 
greift an dem substantiellen Punkte (r, 2 /,«) an, kann man 
diese Aussage nunmehr dahin ergänzen, daß man sagt: die Kraft geht 
von dem substantiellen Punkte aus. Diese Ausdrucks- 

weise spricht kurz aus, daß die auf einen Massenpunkt wirkende Kraft 
von außen kommt. 


% Vnuuformatton der Bewegongiideichiingen auf rdativ zum Fundamental- 
•ysiem liesdileunigte Syitehie. 

ist im Grunde eine negativ^ Aussage, 
i^ajliöh die, daß eine gleichmäßige Tran^lationsbgwegung des Koordi* 
nUc^ystems relativ |um Fundamentalsystem die Form der meoha- 
nischm Gleichungen nicht ändert. Diese negative. Aussage bedatf der 
Ergänzung durch die positive, wie eich d^ die G^chungen 4or Mechanik 
äudfih, wenn das gewählte Koordmatensysle:^ 

Pundameni^lsysientt y,z) besehleun^ jslJ ; . ^ ^ ^ t 

Zunächst wollÄVw den Pall erledi^W'daß das 
relativ, ma Fundamentalsj^leöi {as, 4 iftans- 

latiohsbewegung äusfübrt, wpW <§r ^fa^l^t mebmen 

Achsen bzw. 



Allgemeine Dynamik eines substantiellen Punktes. 


81 


DanÄ haben mx im System K {He, yyZ) die Gültigkeit der Gleichung (7) : 

ft = m • 

\Yobei jetzt die Beschleunignag durch den Index a („absolut“) aiw- 
gezeichneb ist. Andererseits haben wir nach (130) des ersten Kapitels 
(pag. 60).^ ♦ 

0a =» + 0^; 

also ist unter Benutzung dieses Wertes: 

; ft == m • 0^ + 0,. , 

oder 

ft ~ ft — m 0^ =» w 0^, 

wo ft nur eine Abkürzung für ft — m 0^ ist. Diese Gleichung stellt bereits 
(las Eesultat der Transformation dar. Denn rechts steht, abgesehen 
vom Faktor m, die relative Beschleunigung, d. h. diejenige, die 
ein auf (f C) befindlicher Beobachter allein konstatieren kann; 

und diese Beschleunigung ist nicht gleich - , wie es sein müßte, wenn 

ein Fundamentalsystem wäre, sondern gleich ^ «^-11^®/., 

wo 0^ die Führungsbeschleimigung ist, die in diesem Falle mit der Be- 
schleijfnigung des Koordinatenanfangspunktes von relativ zu 

(x,y,z) identisch ist. 

Durch Zerlegung nach kartesischen Koordinaten finden wir also 
aus (15): 


(16) 


U 


m 

(PXf 

== m 


d 

dt* 

m 

d*.V/ 

= m 

d* 17 

dt* 

dt* 

m 

d*Xf 

dt* ■ 

= m 

d‘i 

di* 


Fjs treten also für einen im System (f,J/,C) festen Beobachter, der von 
der Beschleunigung seines Systems (f,w,C) g^g^n das Fundamental- 

System nichts weiß, scheinbar neue Kräfte, 

Abweichung von den Gleichungen 

<ler Mechanik- bedeiiften, tinci die experimentelle Beobachtung 
dieser Al^^iiiohung von den gewöhnlichen Gesetzen det, 

>]^'-Kain|d,"!i^,her.'Znr Ermittlung der Werte ”5^’ 


di ^ > clj<Br Gr^ße und «Eichung 





Stern führen. Man alsa 

ftmg Beso^ettnigungsznatandk’d^^ JCo< 

* len, dagegen geih&& ttela- 




82 


Mechanik materieller Punkte. 


* Die Komponenten der Zusatzkraft, — 

werden erhalten, indem man das Produkt aus der Masse in die negativ 
genommenen Komponenten der Fülirungsbeschleimigiuig bildet; man 
nennt wegen dieser Bildungsweise die Zusatzki*aft auch wohl die Püh- 
rungskraft. Najürlieh ist das gar keine abjektiv vorhandene Kraft, 
sondern sie wird vorgetäuscht durch die Beschleunigung des Ko- 
ordinatensystems. 

Man kann dies etwas anders formulieren: Es ist reclmerisch nicht 
immer zweckmäßig, als Koordinatensystem ein Fundam'entalsystem 
(x,y,z) zu nehmen, sondern es kann sich ereignen, daß wir mit Ab- 
sicht ein System benutzen, das eine bekannte Beschleunigung 

relativ .zum Fundamentalsystem besitzt. Dann 


können wir die Gleichungen der Mechanik ruhig weiter be- 
nutzen, vorausgesetzt nur, daß wir statt der Kräfte X,Y,Z 
solche Kräfte -A, Y, Z benutzen, die den Gleichungen ge- 
horchen (gemäß [16]): 


X^X^m 


dNtf 

__ __ 


(17) 


r^r^m 


£y^ 

dt* 




m 


d^Xf 

dt* 


d, h., daß wir statt der wirklich vorhandenen Kräfte die vektorielle 
Summe aus diesen und der Führungskraft benutzen. 

Diese Sätze mögen durch ein Beispiel erläutert werden, das aller- 
dings wegen seiner Enfachheit wohl schwerlich realisiert werden kann. 
Wir wollen annehmen, ein Beobachter, in dem wir ein .System (f,r/,f) 
verankert denken, falle aus einer großen Höhe zur Erde, ohne etwas 
davon zu wissen. Er beobachtet nun das freie Pallen eines substan- 
tieUen Punktes, dessen Koordinaten seien. Dieser Beobachter 

würde dann die gewöhnlichen Gleichungen (9) auwenden ; denn da er von 
seiner Bewegung nichts weiß, so liegt für ihn zunächst kein Grund vor, 
die gewöhnlichen Gleichungen der Dynamik zu verlasseri. ^r setzt 
atod an: ' 

r 




^ wärde d^nn beobachten (da er, wie wir wiesein, mit der Jlschlen* 
T&gang^g f&IIt), daß der sntei^tielle) Punkt keinerlei Besohluuni' 
gung relativ zu ihm hgt. ^Er würde aW ßnd^s 



Allgemeine Dynamik eines substantiellen Punktes» 83 

- iül - jfJ - 0 ' 

dt* dt* ““ dt* “* ' 

und folglich nach den obigen Gleichungen: 

Z-Y=Z-0; 

d. h. er würde zu dem Eesultat gelangen, daß auf die von ihm beob- 
achteten substantiellen Punkte die Schwerkraft nicht ein wirkt. 
Dieses unmögliche Eesultat würde unseren Beobachter stutzig machen, 
und bei voller Kenntnis der mechanischen Gesetze würde er schließen 
müssen: „Also bewege ich mich mit einer gewissen Beschleu- 
nigung gegen das Fundamentalsystem“. Diese würde er dann 
so bestimmen: Nachdem der Beobachter erkannt hat, daß er selbst be- 
schleunigt ist (die Komponenten der Beschlemiigung seien 

, würde er nunmehr die Gleichungen (16) der Rechnimg zugnmde 
legen und würde aus dem Verschwinden von folgern, daß 


d. h. daß : 




d*Xr 

dt* ’ 


kt 


Da der Beobachter die Fallgesetze kennt, so weiß er: Z = Y=0, 
Z - j;-also folgert er weiter: 

d*Xf d*u/ f. d>*Zf 

' '% 

und weiß darauf, <fäß er sich vertikal abwärts mit der Beschleunigung g 
bewegt. Er hat also durch Beobachtung der Abweichimg von den mecha- 
nischen Gesetzen seine Eigen bi‘schleunigung völlig bestinmit. 

Wenden wir die Sache ehvas anders und schreiben einem zweiten 
Beobachter zwar die Kenntnis der allgemeinen Gesetze der Mechanik 
zu, \vährend wir^ zulassen wollen, daß er die spezielle Größe der Fall- 
beschleunigung nicht kennt. Wenn dann dem Beobachter seine eigene 

Jkschleunigimg bekannt ist (d. h. wenn ihm 

^^nd), so kann er die Pallgesetze finden, ohne daß er selbst 
jemals eine Fallbeschleunigung wird konstatieren können. 
Bonn dieser Beobachter würde sofort die Gleichimgen (16) zugrunde legen, * 

iilso wegen des Verschwindens von ^ ^ genau wie der erste 

IJeohaohter sohlieBen: = 


X - y-Z-0, 




und diese Gleichungen enthalten in der Tat die Fallgesetze. 

Übrigens «<Bigt auch die Erfahrung des täglichen Lebens schon, daß 
in einem beschleunigten System die gewöhnlichen Gleichungen der 
Mechanik nicht gelten. Nehmen wir einen Beobachter in einem mit 
gleichmäßiger geradliniger Geschwindigkeit fahrenden Eisenbahnwagen. 
Wären die Schienenstöße nicht, und wäre alles dunkel, so könnte er 
von dieser Bewegung nichts merken. Aber sowie der Zug beschleunigt 
wird, fällt der Beobachter nach rückwärts: eine Folge davon, daß das 
Trägheitsgesetz für den beschleunigten Beobachter nicht mehr gilt; 
wird der Zug verzögert, so fällt der Eeisende nach vorw'ärts aus demselben 
Grund^e. 

Nunmehr gehen wir zu dem Fall über, daß das bewegte System, für 
das wir die Bewegungsgleichung aufstellen W'ollen, eine Eotation relativ 
zuto Pandamentalsystem ausführe, und zwar wollen wir der Einfachheit 
halber die ^'-Achse des Fundamentalsystems mit der C-Achse des rotie- 
renden Systems zusammenfallen lassen und diese Achse gleichzeitig 
als Eotationsachse nehmen. Die “Winkelgeschwindigkeit des (f,r/,C)- 
Systems sei konstant gleich Dann haben wir die Traiifeformations- 
gleichungen (141) des ersten Kapitels (pag. 66) anzuwenden und er- 
halt^ nach den Gleichungen (143) desselben Kapitels: 

X^m — m cos o) t — ^ sin o> f | — 2 nt « -f m ^ 

Jpi8) T ^ ^ m siarat + coswtj -f -f 


. ; pieije 01eichungen enthalten im Grunde schon das geiÄÜnschte Besultat, 
; '4ind aber zuih Gebrauche unzweckmäßig, da einerseits auf der rechten 
noch x und y verkommen, die noch durch f und rj ausgedrückt 
werden müssen, und anderseits die Kraft ft in^ die Komponenten 
parallel den Achsen des Fundamentalsystems zerlegt ist, widirend 
es naturgemäß wäre, ft in die Komponenten iiach den neuen Achsen 
% zerlegen. Da ft ein Vektor ist, der vom Koofdina*enaj|>tem 
gi^zlich unabhihgig ist, so bestehen zwob^ den Kpmgd|MtOü 
f dnd^^j^^^ wir lieber sagen i^llen,^S>imd H, uni/iw^Iten 

KomiKii^ten X, T, die nämlich|m Transf(^uldtio9iiig^eiebui]^ ' wie 
zwisehek;:!?, I tiiid x, jji, die durch "GIeiehttn(f|(t41) des^^^e^ 
dargäiwit sin4j' Also ist: * . 



ÄUgemdm Dynamik eines substantiellen Punktes. 


85 


(19) 


( 20 ) 


Z « £ cos oj i — f^s n fo t , 
y H sin <ü ^ + H (JOS w < , 

die nach H, H aufgelöst lauten: 

X cos ö> f + y sin fo t , 
sin (ot^Y cos (o t . 


I £ *“ X coi 
I H «-Xsin 


Man erhält also z. B. E aus (18), indem man die erste Gleichung (18) 
mit cos (ot, die zweite Gleichung (18) mit sinwf erweitert und dann 
addiert. Analoges gilt für die Bildung von H. So folgt: 


(21) 


— m 


^11 

dt* 






d X 


dt ^ dJ ^ ) 


+ 2m(o 


m 


d*; 

dt* 


( 

+ m (0^ {t cos 0 ) t -h // sin co t ) , 
{^co3w«+ Ifsinfot) 

+ mfo^ij/cojMt ~ xsin«<), 


Die Klammergrößen auf der rechten Seite kann man nach (141) und 
(142) (pag. 66) des ersten Kapitels leicht durch f uiid rj ausdrücken, und 
man erhält dann endgültig: 


( 22 ) 


E + 2m« 

d* fj 

Tt* ' 
d*: 
dt^ ’ 




H — 2 m « ^ m 

Z 


m 


m 


Auch bei dar Rotation mit konstanter Geschwindigkeit des Koordinaten- 
systems treten also zu den Kräften Zusatzglieder, „scheinbare Ivräfte“, 
hinzu. Will man also ein rotierendes System benutzen, so sind* zu den 

wirklich vorhandenen Kräften £,H die scheinbaren I^räfte 2m (o^ , 
und mro^Sf mca^ti hinzuzufügen. Diese Zusatzglieder be- 
dingen die Abweichung der Gleichungen (22) von den Gleichungen (9) 
der Dynamik und gestatten es, den ilotationszustand des Systems 
zu bestimmen. v ^ ^ 

Die Zusatzkräfte sind hier verschiedener Natur; die Komponehten 

ü ^ 

dt 


2m«4^i —2m«' 


4t 


der ersten Zhsat^aft hängen von der relativen Geschwindigkeit 
des betoaohb^en s^]|bs^ntielien Punktes, die KomponeA|eh der zweiten 



86 Mtchanik maierieller Punkte, 

von der relativen Lage desselben ab. Nun sind die Größen 

+ 2 ß)^ nach den Ausführungen der Nr. 20 auf pag.62ff. die Kompo- 
nenten der Coriolisbeschleunigung; also werden die Komponenten 
der ersten Zusatzkraft erhalten, indem man die Masse mit den negativ 
genommenen Konff)onenten der Coriolisbeschleunigung multipliziert. 
Daher neiint man die erste Zusatzkraft die „Corioliskraft“ 
(«c)^ Ganz analog gebildet sind die Komponenten der zweiten Zusatz- 
kraft aus den Komponenten der Führiingsbeschleunigung, 
weshalb die zweite Zusatzkraft den Namen „Führimgs kraft“ (Ä^) er- 
halten hat. Der Übersicht halber stellen wir die Beschleunigungen hnd 
Kräfte noch einmal zusammen: 


JComponente 

der Coriolis* 

' beschleunigung 

der 

' Corioliskraft 

1 der Führungß- 
! beschleunigung 

der 

Führungskraft 


’’ a di? 1 

'1 dt 

dl? 

+ 1 

1 


i 

j •+• W Ol’ 1 

1 

n 

ji 

^ « dl 

— 2 m w j ^ 

a t 

! 

— W* 1/ 1 

+ w 01' /; 


In dem speziellen hier betrachteten Falle konstanter Botationsgeschwindig- 
keit ist die resultierende Führungskraft {%) stets radial nach außen 
gerichtet, und durch Addieren und QuaWeren der Komponenten folgt, 
'wenn wir die Wurzel ziehen und + 7^2 setzen: 

(23) 

In diesem Falle wird die Führungskraft auch „Zentri- 
fugalkraft“ genannt. 

Auf einen Spezialfall der Gleichungen ( 22 ) sei noch aufmerksam ge-' 
macht. ^ W^enn der substantielle Punkt im rotierenden System ruht 

= 0 ) , so ist die Corioliskraft 0 , und als einzige Zusatz- 
kraft bleibt die Zentrifugalkraft übrig. 

Daß man in der Tat Eotationen des Bezugssystems aus den Ab- 
weidiungen von den New ton sehen Gleichungen erschließen kann, 
zeigt wieder am einf^lbten das Beispiel des im Eisenbahnzuge fahrenden 
Bewenden. Sobald der Zug seine Bichtung ändert, wird der Beisende^^ 
weil eben das Trägheitsgesetz für den sich drehenden Wagen nicht gilt, 
durch die Wirkung der Zentrifugalkraft nach außen geworfen. Bewegt 
er sich außerdem relativ zum Wagen, so tritt auch noch die Coriolis- 
sche Kraft auf, deren Wirkung etwas komplizierter ist. Daraus geht 
hervor, daß es z. B. möglich sein muß, die Eotation der 
Erde um ihre Achse mittels meohanilcher Yersuoh<^ nach- 
zuweisen; wir kommen darauf später eingehend zurück. 



Allgemeim Dynamik eines substantiellen Punktes. 


87 


27. Kinetische Energie; Arbeit. 

Mit (len Bewegungsgleichungen (9) läßt sich eine wichtige Trans- 
formation vornehmen. Zu diesem Zwecke sollen dieselben der Eeihe 

nach mit den Komponenten der Geschwindigkeit ^ ^ nfiulti- 
pliziert werden; dann folgt: 


( 24 ) 


m -- 


m -r : 


X dx 

dY ^di 
dy dy 
d f dt' 


m 


^ dx 

~ ^ di' 

dz 


d*z dz ^ jj 
~'dY dT “ ^ di 


und die Addition dieser Gleichungen liefert: 
(25) m + TF'd ~ 


' * l ^ V ^ ^ 
it] ^ ^ht 


+ Y‘ 


d y 
d t 


+ z 


dz 
d t 


Das Bemerkenswerte an dieser Gleichung ist zunächst das, daß die linke 
Seite als ein vollständigen* Differentialquotient nach der Zeit dargestellt 
werden kann; man hat offenbar: 



Auf der linken Seite steht nun in der geschweiften Klammer das halbe 
Produkt aus der Masse in das Quadrat der Gtschwindigkeit c des be-* 
wogten substantiellen Punktes; setzen wur zur Abkürzung für diesen 
Ausdruck: 

(27) 


so läßt sich nach Multiplikation mit dt Gleichung (26) folgendermaßen 
schreiben : 


(28) dL=:^Xdx + Y dy +Zdz. 


Beide Seiten der Gleichung haben eine wichtige mechai.ische Bedeutung. 
rk?trachten wir zunächst die rechte Seite. Dort sind die Komponenten 
der Kraft, die auf den substantiellen Pimkt wirkt, multipliziert mit 
den Komponenten der durch die Kraft hervorgerufenen unendlich kleinen 
Verschiebung des Punktes, die wir di nennen wollen. Nennen wir die 
Winkel, die fl mit den Achsen bildet, bzw. (Äa*), (ftj/), (#;sr), die- 
jf*nigen, dmdß mit den nämlichen Achsen bildet, ebenso (Sx), (8 t/), (84» 
fio bestehen folgende Gleichungen, wenn der Betrag von ft durch 
der von (|8 durch ds bezeiclinet wird: 


( 29 ) 


f X«ii:cos(ft4* 
{ y « Kcos(ft //), 
1 « KatmiStz). 


dx = dscos{ix). 
dy « dscosdy), 
^ d$coB(iz)' 



88 


Mecfianik materieller ^Punkte, 


Bildet man mit diesen Werten den auf der rechten Seite von (28) stehenden 
Ausdruck, so erhält man: 

Xäx + Ydi/ + Zdzj^ K ä^fcos (ft x) cos (8 «) + cos (fty) cos (8 y) 

4-008(11^)008(82^)1, , 

und darin ist der Winkelausdruck offenbar gleich dem Kosinus des 
Winkels zfwischhn ft und 8, deti w mit (ft, 8) bezeichnen wollen» Also 
finden wir schließlich: 

(30) Xdx + Y dy + Zdz — K* d$co^{9tfi)i 

, und damit wird (28): 

(81) ;* dL = K. ds cos (L.i). 

Berits steht jetzt das Produkt aus den Beträgen der Kraft ft und der 
in die Bichtung von ft fallenden Komponente der Verschiebmig Ä8, 
oder wie man sich kurz ausdrückt: „Kraft mal Weg in Bichtung 
der Kraft/* Statt dessen kaim man auch sagen: Produkt der Ver* 
Schiebung d8 in diejenige Kraftkomponente, die in die Bichtung von di 
fällt, oder kurz: „Weg mal Kraft in Bichtung des Weges.“ Diesen 
rechtsstehenden Ausdruck nennt man die (imendlich kleine) Arbeit der 
]&aft, die an dem substantiellen Punkte längs des Weges di geleistet 
^rd. Diese Definition kann sofort auf den Fall erweitert -werden, daß ^ 
die Kraft eine endliche Verschiebung des Punktes hervorruft; man 
f hat sich nur diese endliche Verschiebung als aus unendlich kleinen zu- 
i/sammengesetzt zu denken, und die» Arbeit längs jedes dieser unendücfi 
^ kjeiuen Wege, nach (31) zu berechnen. Indem man schließlich diese 
/ s&mtlichen Arbeiten summiert, erhält man die Gesamtarbeit über die 
#en44<^ Strecke, Also, wenn die Arbeit durch A bezeichnet wird: 

‘'C-,-' ,<!'■' f* ' i* * 

m A’^fKdseoB(StS)^f(Xdx+,Ydy + Zdz). 

JC^ie Arbeit wie hervorgehoben werden muß, kein Vektor, 
i^ß^j^dern ein Skalar, da sie allein durch Angabe ihres Betrages 
;’'ehtH:4^ieft ist. V<m einer Bichtung der Arbeit zu reden, ist sinnlos, 
Fom^ des Ausdrucks für die Arbeit, de» wir oben angegeben 
' habet!, :;;spielt m geeigneter Verallgemeinerung in der Vektorrectoimg 
esp« Bolle. Im Ausdruck für die Arbeit trete auf iBssf Betrüge zweier 
^klM^ und der Kosinus des eingesohlossw^ Winkels« ß. fa. wenn 
und 9 zwei beliebige Vektoren sind, ein Ausdruck v(ni der Form: 

1 tCl . 1 9| .cos (119). , Für BK^ukte dieser Art j»t die Vektoranarysis 
eine;. bes<md^ Schreibweise einen bespndste Kante ' 

' Ifiut actoeibi'das obetatehende ]&odttkt, indeht ihan die beidw, Vektoren 
^;’ni^&i|l;}einkhder seist ur^' ^tet^; ln tuAde^j^üinetn 



- Allgemeine Dynamik eirm su batantiellen Punktes, 89 

und nenidt es daa „skalare“ oder „innere“ Produkt der beiden Vek- 
toren *11 und ®. Man erkennt sofort, daß nach der Definition ^(33) die 
Beziehung gilt: 

34) («•«) « |«H«;--cos(«») « i»;.i«hco8(»«) = (»«), 

(l. h. ^e Beihenfolge der Multiplikation ist gleichgültig. Dies ist bei 
Produkten von Vektoren nicht selbstverständlich, sondern muß erst 
bewieser^ werden. Wir werden später ein anderes Vektorprodukt kennen 
lernen» bei dem dieses’ „kommutative“ Gesetz nicht mehr gilt. 

In dieser Schreibweise hat man für die Arbeit: 


(35) ^ 


und die Definition derselben kann folgeildermaßen ausgesprochen werden : 
Die zu einer endlichen Verschiebung notwendige Arbeit ist 
gleich dem skalaren Produkt aus der Kraft und der Ver- 
schiebung des substantiellen Punktes. Man pflegt auch kurz 
Zusagen: Die Arbeit ist das „Wegintegral“ der Kraft. Analog (35) 
erhalten vrir für eine unendlich kleine Arbeit, die wir durch dA be- 
zeichnen wollen: 

(35a) dA^(Stdi), 

Von Interesse ist noch der Betrag der pro Sekunde geleisteten Arbeit, 
den wir erhalten, wenn wir die letzte Gleichung durch dt di\ddieren. 
Die so erhaltene Größe nemit man den „Effekt“ oder die „Leistung“ 
der Kraft. Wir haben daher: 


dA 

di 




oder, da der Größe und Bichtung nach, die Geschwindigkeit c des 
substantiellen Punktes ist: 

dA 


(36) 


dt 




d. h. de^ Effekt ist gleich dem skalaren Produkte aus Kraft 
und Geschwindigkeit. Dann kann man die endliche Arbeit in die 
Porm bringen : * 

(36a) . 

die mit ^6) überdiüAtiliamt, vettn man für t seinen Wert einsetzt. 

. Unter EnüiU^hibg dra Arbeitsbegriffes können wir nnsfre Ansgwegz^^. 
gleichung (SB);^chreiben^' - ’i c 

'X dt^d-A. • 

WMd^i^^etzi zur Be^aohtung der lin^ 9äte diet Gleidbtng (2d)(| 


oder das Differe^rial einer Funktidn 

halbe Madie r^d dem 


’ d^.^.das: 



90 


Mechanik maierieller Bankte. 


substantiellen Punktes definiert ist. Für diese Funktion hat Leibniz 
den Namen „lebendige Kraft“ eingeführt, den man heute besser durch 
die Bezeichnung „kinetische“ oder „aktuelle“ „Energie“ ersetzt. 
Dann kann man Gleichung (37) so aussprechen; Die unendlich kleine 
Zunahme der kinetischen Energie ist gleich der von den 
äußeren Kräften geleisteten unendlich kleinen Arbeit.^Dieser 
Satz gilt aber nicht nur für unendlich kleine Verrückimgen, sondern 
auch für endliche. Denn wenn wir Gleichung (87) auf beiden Seiten 
durch dt dividieren und mit di multiplizieren, sö folgt: 

di^*' ~ dt 


und diese Gleichung kann sofort nach i zwischen zwei beliebigen Zeiten 
ti und integriert werden: 

(?8) 

Dabei bedeutet L 2 die kinetische Energie zur Zeit zur Zeitfj, A 21 
die endliche Arbeit der äußeren Kräfte. Also ist die Zunahme 

der kinetischen Energie und es gilt allgemein: Die Zunahme der 
kinetischen Energie ist gleich der von den <äußeren Kräften 
geleisteten Arbeit. 


28. Potentielle Energie; das Energieprinzip. 


Eine besondere Bedeutung gewinnt der letzte Satz, wenn die Kräfte 
"Z, y, Z»sich alle aus einer einzigen Funktion der Koordinaten [x^y^z) 
des substantiellen Punktes durch Differentiation herleiten lassen. Es 
ist in der Natur häufig der Fall realisiert, daß, wemi O {x,y,z) eine 
solche Funktion der Koordinaten bezeichnet, man schreiben kann: 


(39) 




dx 


y-- 


d0 


Z = - 


80 

dz 


Beispiele dafür sind etwa die Schwerkraft und die allgemeine Massen- 
anziehung. 

Denn setzen wir für die erstere 0 = m ^ 5 :, so ist in der Tat nach (89) ; 
X^O, y = 0, Z = 

wie ei sein muß. Die Gravitationskraft ist nach Gleichung (14) 

wo f die Entfernung der Mittelpunkte der Sonne und eines Planeten ist. 
bilden wir die Komponenten X, Y, Z dieser Kraft, so ist: 

(40) X - - ^co»{rx), r « - 4r-co8(ry), Z — 

Hat der Mittelpunkt der Sonne die Koordicateti.z,, y„, dagegen der , 
Pl^et die Koordinateii x, y, z, so ist ^ 

f* = (® — »•)* + (» -r P#)* + (* — *o)* . 



91 


Allgemeine Dynamik eines suhsianiiellen Punktes. 

Die Richtungskosinusse sind aber, da die Projektionen ^ von r auf die 
Aclisen x — Xq^ y — z — Zq sind : 

cos (r x) « y cos (r y) - , cos (r z) = — , 

oder auch, wie man sich durch Ausführung der Differentiation überzeugen 
kann: 

(4 1) cos (r x) = I“ . cos (ry) = ^7 ’ cos (»■ ^) = ' 


Also kann man die Komponenten der Gravitationskraft schreiben: 

^ k'm dr ^ Ic m Br „ k' m Br 
A = - -f“ » y - - Vr r- Bz ^ 


Ic* rft 

und wenn wir nun die Funktion 0 = bilden, so erkennt man 

unmittelbar, daß vnederum ist: 




B0 

Bx' 


Y 


B0 „ B0 

dy* ^ "Bz 


In diesem Falle nimmt der Ausdruck dA auf der rechten Seite von 
(28) oder (37) eine andere Gestalt an. Denn es ist: 

dA ^ Xdx ^ Y dy +Zdz^- dx+ ^ dy H- 


und hier ist die rechte Seite, da 0 eine nur von x, y, z abhängende Funk- 
tion ist, das negative vollständige Differential — ddl> dieser 
Funktion; also kann man schreiben: 

( 42 ) dA^—d0, 


Es möge hier noch folgendes bemerkt werden: 

Wenn n eine beliebige Richtung bedeutet, so läßt sich mit Hilfe 
bekannter elementarer Formeln der Differentialgeometrie leicht zeigen, 
daß eine (39) analoge Gleichung auch für die n-Richtung gilt; d. h. daß 


( 43 ) 


»n = - 


B0 
B n 


ist, wenn unter ft die Kraftkoniponente, in dieser Richtimg n verstanden 
wird. Dies ist übrigens unmittelbar plausibel, da ja die Koordinaten- 
richtungen vor keiner anderen bevorzugt sind. Haben die Kräfte die 
Eigenschaft (89), so nennt man sie aus einem Grmide, den wir gleich ein- 
sehcn werden, „konservative“ Kräfte. 

In diesem Falle ist also dA ein totales Differential einer Funk- 
der Koordinaten, was im allgemeinen natürlich nicht 
52U trifft. Man nennt die Funktion 0(xyz), deren negative partielle 
Differentialquotienten nach den Koordinaten die Kraftkomponenten 
die „potentielle Energie“ oder „Energie der Lage“. 



92 


Mechanik maierieller Funkle, 


Gleichung (ÖT^läßt sich damit schreiben: 

(44) ' dL^--d0, 

Diese Gleichung kann nur möglich sein, wenn L ebenfalls, wie 0 (xy's!) 
eine reine Funktion der Koordinaten ist, die von i explizite 
ycht abhängt. Von t hängen L imd 0 nur insofern ab, als die Ko- 
ordinaten X, y, z des substantiellen Punktes Funktionen von i sind. Denkt 
man sich also die Koordinaten a;, y, z durch ihre Funktionen in t ersetzt, 
so können L und 0, die jetzt Xy tjy z nicht mehr enthalten, als Funktionen 
von i allein betrachtet werden. Schreiben wir (44) demgemäß: 

so kann man zwischen zwei beliebigen Zeiten ti und integrieren: 



oder: 

(45) L,-L,=.^(02--0,). 

In dieser Gleichung beziehen sich die Indizes zunäclist auf die Zeiten 
fl und es bedeutet also Lg den Wert der kinetischen Energie zur Zeit fg, 
usw. Denkt man sich aber die eben vollzogene Substitution wieder rück- 
gemacht, indem man t wieder durch Xy j/, z ausdrückt, so bedeutet 
Lg den Wert der kinetischen Energie im Kaumpimkte 2 (den der sub- 
stantielle Punkt zur Zeit fg innehat), während die analoge Bedeutimg Lj 
lür ^en tlaumpunkt 1 hat (wo der substantielle Punkt zur Zeit sich 
bef^d). Analoges gilt für <2>g imd <2>i. 

^Man kann also (45) so aussprechen: die Zunahme der kine- 
tischen Energie beim Übergang vom Punkte 1 zum Punkte 2 
ist gleich der Abnahme der potentiellen Energie des sub- 
stantiellen Punktes. 

Bringt man die Größen mit dem Index 2 auf die linke, mit dem 
l äuf die rechte Seite, so kann (45) geschrielxm werden: 

, Z Lg + ^2 ~ > 

j(46y.l . ^ (L'-f* 0)2 = (L -f- 0)i == Const., 

d.^; die Summa aus der kinetischen und pptentiell^h Ener- 
gie, die wir Oesamtenergie nennen, ist konstant. Man nennt 
diesen ßatz das Energieprinzip oder den Satz, von der Erhal- 
tung der Energie. Br ist in speäellen Ftil^ jfür die Mechanik schon 
frffli, z.B. von Leibniz erkannt worden, währ^d erst in der IBtte des 
vorigen Jahrhunderts sich durch die Arbe^ei^ von Julius Bobert 
Meyer, "James Prescdtt Joule und Hermann von ÄclÄdUz 
Jpberzeugung Beim brach, daß ,dufl Energie^ rin zip, piu ganz 



Allgemeine Dyno^mik eines substantiellen Punktes, 93 

Allgemeines Naturgesetz sei. Wir kommen datauf ausführlich 
zurück. Hier sei noch darauf aufmerksam gemacht, daß nun der Aus- 
druck „kon^rvative Kräfte** verständlich wird. 

Nach, (45) kann man, vtrenn eine Funktion 0, die sogenannte „Kräfte- 
funktion**, existiert, sagen, daß die Bewegung eines substantiellen Punktes 
so verläuft, daß die Gesamtenergie konstant sei. Nimmt die kinetische 
Energie zu, so nimmt die potentielle ab, imd umgekehrt. Es wird gut 
sein, diesen Sachverhalt an einem möglichst einfachen Beispiel zu er- 
läutern. Wir nehmen dazu die Gleichungen des freien Falles, die in den 
bisherigen Bezeichnungen lauten: 

fy dU 


Daraus folgt durch Multiplikation mit 


dz 

JT 


dz 


oder 

(47) 


d I m I dz V) 

di I 2~ i“äT/ 1 


‘ + mg z ^ Constans. 


Die letzte Gleichung spricht das Energieprinzip aus; Das erste Glied 
stellt die kinetische, das zweite die potentielle Energie des fallenden 
Pimktes dar. Nehmen wir etwa den Fall an, daß zur Zeit f=0 der Körper 
sich in der Höhe h in Buhe Ixdindet, so ist zu dieser Zeit die kinetische 
Energie gleich 0, die potentielle gleich mgh. Der Gesamtwert der Energie 
ist also für t — 0: mghf also ist er cs nach (47) für alle Zeiten. Dadm*ch 
ist der Wert der rechtsstehenden Konstanten bestimmt und wr erhalten so: 

(48) . 

Die Gleichimg zeigt deutlich die Umsetzimg der kinetischen und der 
potentiellen Energie ineinander. Für z gleich /t, die höchste Lage des 

Massen Punktes, muß ~ 0 sein, also L = 0; 0 ~ mgh; wenn jetzt 
z allmählich kleiner wird, so nimmt die potentielle Energie von ihrem 
maximalen Werte mgh entsprechend L zu. Das Maximum von L ki 
vorhanden für z = 0; dann ist 0 = 0; L = mgh. 

Es ist für das Folgende wichtig, noch die Dimensionen von L, 0 
festzustellen; da alle drei Größen paarweise in einer Gleichung vorlqjmmen,^ 
so sieht man von vornherein, daß sie gleiche Dimension haben müssen; 
Nun ist eine Arbeit gleich dem skalaren Produkte einer Kraft II und^, 
<:‘iner Strecki Also / . > 

; CiltWd L:{Kraft ] . [Länge] - [ML^T -^] . 
nämlichen Besultat gelangt man natürlich füi* L und 0: 



Mechanik materieller Funkte, 


29. Statik; Prinzip der virtuellen Verrückungen. 

V Wenn an einem substantiellen Punkte Kräfte angreifen (®iÄ 2®3 
, . . StJ, so werden sie im allgemeinen demselben eine Beschleunigung 
erteilen. In dem speziellen Falle jedoch, wo das Kräftesystem derartig 
beschaffen ist, daß die Beschleunigung 0 ist, sagen *wir: Der substan- 
tielle Punkt ist im Gleichgewicht. Welche Bedingungen sind es 
nun, denen die Kräfte zu gehorchen haben, damit Gleichgewicht vor- 
handen ist? Nach den Bewegungsgleichungen (9) ist, wenn die Kompo- 
nenten der Beschleunigung gleich 0 sind: 

X-0, r=o, Z=0, 

oder, da wir die Gesamtkiaft St als die Eesultante mehrerer Einzelkräfte 
Sti bis St^ auf fassen können imd wollen, und dasselbe für die Komponenten 
von St gilt, so ist: 

...X, -0, 

y == Yj + Yg , Y„ = 

+ Z 2 + ...Z,, = =0, 

die wir auch durch eine Vektorgleichmig zusammengefaßt ausdrücken 
können : 

(50) 

Diese letztere Form der Bedingung ist geometrisch leicht zu deuten. 
Denn X Stx ist ja die Vektorsumme der Kräfte, die wir geometrisch er- 
halten, wenn die Kräfte ihrer Größe und Richtung nach zum Kräfte- 
polygon zusammengesetzt werden. Diejenige Strecke, die das Polygon 
SchlieBt, ist der Größe und Richtung nach (die Richtung ist vom Anfangs- 
punkt der ersten bis zum Endpunkt der letzten Kraft zu nelimen) die 
Resultante ft. Diese soll der Gleichung (50) zufolge gleich Null sein; 
dann herrscht Gleichgewicht. Das bedeutet also, daß das Polygon aus 
im Kräften fti .... ft„ geschlossen sein muß, so daß der Endpunkt 
der letzten Kraft ft„ mit dem Anfangspunkt der ersten ft^ zusammen - 
fäBt (Kg. 85). 

Denn d^nn ist die Eesultante in der Tat gleich Null. 

Wir erhalten also den Satz: ein substantieller Punkt ist im 
Gleichgewicht, wenn die Vektorsummo der Kräfte gleich 
Null ist, oder: wenn das Kräftepolygon geschlossen ist, 
oder: wenn die algebraische Summe der Komponenten der 
auf ihn wirkenden Kräfte gleich NulLfst. 

Die drei Bedingungen (49) können nun zu einer einzigen Gleichung 
vereimgt worden. Nicht etwa, indem man sie addiert; allerdings wütde 
ihre Summe X auch noch gleich Null sein, aljerumgelfehrt 





Allgemeine Dynamik eines substantiellen Punktes. 95 

könnte man aus defa Verschwinden der Summe X -f ¥ + ^ nicht auf 
das Verschwinden der einzelnen Summanden schließen. Wir multipli- 
zieren vielmehr die drei Gleichungen (49) mit drei ganz beliebigen Funk- 
tionen von xyZy die wir etwa fif 2 h nennen wollen, und addieren sie 
■dann erst. So folgt: 

( 51 ) Xfi + Y f2+ ZU ^0 

und daraus weiter, wegen der völligen Willkür der drei Funk- 
tionen, daß diese Gleichung nur befriedigt werden kann, wenn x, y, z 
<dnzelu gleich Null werden, wie Gleichung (49) es verlangt. Vom rein 
mathematischen Standpunkte können diese drei Funktionen / ganz be- 
liebig gewählt werden; doch ist es zu erwarten, daß diese Umformung 



der Gleichgewichts bedingung erst dann eine physikalische Brauchbarkeit 
erlangt, wenn wir — obwohl unter voller Beibehaltung der Un- 
abhängigkeit der Funktionen ihnen doch spezielle physikalische 
Bedeutung beilegen. 

Wir wollen uns denken, dem substantiellen Punkte mit den Koordi- 
naten (x y z) werde eine kleine Verrückupg d 8 (absoluter Betrag =^6$) 
erteilt, so daß er an die Stelle (« + y + dy^ ^ + dz) gelange. Diese 
Verrückung soll nicht in der Zeit geschehen; es handelt sich durchaus 
nicht um dne tatsächliche, sondern nur um eine gedachte Ver- 
«cliiebimg. Deshalb bezeichnen wir sie auch mit dem Zeichen ö der 
Variationsrechnung, nicht mit dem Zeichen d der Differentialrechnung, 
Weil die Variation der Lage liur gedacht wird. Eine derartige Verrückuni^. 
iK tmen wir eine „virtuelle** („mögliche**, im Gegensatz zu „aktuellen“,, 
»»wirklichen“ Verrückungen). Die Komponenten der Verschiebung di 
;«nid offenbar doj, dy, dz. Diese Verrückungen sind, da der Substantielle 
|Punkt völlig frei ist, voneinander ganz unabhängige {3|röfiem Wir 
|i'<>nnen sie also ala^unktionen /j, U wählen und erhalten dann aus (61) : 



96 


Mechanik materieller Funkte, 


welche Gleicht^ sofor^ wegen der '^Mlkürlichkeitj^?iier d«, dt/, dz in 
die drei Gleichungen (i9) zerfällt, ihnen also völlig gleichwertig ist, 
Gleichung (62) gestattet aber eine elegante Deutung der Gleiiihgewichts- 
bedingung. Denn wennt wir die Gleichung (29) benutzen und umgekehjt 
wie in Nr. 26 X, T, S», dx, dy, dz durch K und d « ausdrücken, so folgt: 


(63) X dx + Tdy ^Zdz^Kde cos (ft, dV) « (ft . 68) == 0, 

wobei der letzte Wert das Skalarprodukt aus der Kraft ft und der Ver- 
rückung d 8 darstellt. Man erkennt sofort, daß die auf der linken Seite 
von (58) befindlichen Größen die Arbeit d A darstellen, die während der 
gedachten Verschiebung d 8 von der äußeren Kraft geleistet werden würde. 
Es ist keine wirkliche Arbeit, sondern eine „virtuelle“ Arbeit, und 
man kann daher (62) so aussprechen; Ein substantieller Punkt 
ist im Gleichgewicht, wenn die virtuelle Arbeit für eine 
beliebige virtuelle Verrückung gleich Null ist. Man nennt die 
^Gleichung (62) das Prinzip der virtuellen Verrückung, aucK wohl, 
was aber nicht recht zutreffend ist, weil die Zeit gar keine Rolle dabei 
spielt, das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten. 

Eine ‘ besonders elegante Form nimmt das genannte Prinzip für 
konservative Kräfte an, für die also eine Kräftefunktion Cb existiert. 



linke Seite ist aber hier nichts anderes als die vollständige Vkria- 
tion d^r Funktion <J>,* also folgt die neue Form der Gleichgewichts- 
be^Kngung: 

60 « 0 ; 

substantieller Punkt ist unter dem Einfluß 
konsefvativer Kräfte im^ Gleichgewicht, wenn die Varia- 
potentiellen Energie gleich Null ist. Damit dies der 
Fabia^ kann» muß O m der betrachteten Stelle entweder ein ^aximum, 
]|i^in|[|;iim oder ein sogenannter Sattelwert sein« Darauf gehen wir 
getaner bei der Behandlung von Systemen substantieller Punkte ein* 
Man kann fragen: Welchod Nutzen ha| das Prinzip der virtuellen 
Verrückung, da ja die eine Gleichung (62) doch nur tot mal eine Gleichung 
mt unÄ in Wirklichkeit sofort in die drei Gleichungm (49) zerfälll? ^ar- 
aU ift zu erwidam» daß allerdihgEi in dem FaUci dal der Ha^ehpunkt 
v6l]^ frei ist, das genannte Prinzip (62) keiuex^lei Verzug,^ ein- 
^^^Öteidmngen (49) besitzt; dar Nutzen öiclysrst in I^Falie, 
z^’deru i*ir jetzt übergehen wollen# daß djw JPünkl in seinet* 
yrl^pttgsjreihei^ beschrlnkt Jatiii \ 


t' 

iä Wort«»: ] 



Ällgemeine Dynamik eines substantiälen Punktes. 97 


• ’ - * 

30. Benehränkie Bewegongsfreiheit. 

Es^kann sich der Fall ereignen, daß einem substantiellen Punkte, 
der gewissen Kräften unterliegt, außerdem noch gewisse Bedingungen 
vorgeschrieben sind, die während der ganzen Dauer der Bewegung oder 
des Gleichgewichts erfüllt sein sollen. Z. B. können wir eine Bewegung 
untersuchen, die ein Massenpunkt unter dem Einfluß der Schwerkraft 
vollführt, wenn er gleichzeitig gezwungen wird, auf einer Kugelfläche 
oder au! der Oberfläche eines gegebenen Ellipsoids zu bleiben. Dann 
muß außer den Bewegungsgleichungen noch eine Gleichung zwischen 
den Koordinaten gegeben sein, die dauei*nd erfüllt sein muß. Z. B. wenn 
der Punkt {x y z) auf einer Kugelfläche bleiben soll, die mit dem Badius R 
um den Koordinatenanfangspunkt geschlagen ist, so müssen die jeweiligen 
Koordinaten des Punktes die Bedingung erfüllen: 

x^ + y^ + z^- R^^O. 

Allgemein können wir also das Vorhandensein von Bedingungen durch 
eine oder mehrere Gleichungen zwischen x, y, z ausdrücken. Es kann | 
auch Vorkommen, daß die Zeit t in den Bedingungsgleichungen auf tritt, 
weim z. B. die eben betrachtete Kugelfläche sich noch in bestimmter 
Weise bewegen soll; doch wollen wir diesen Fall hier ausschließen. Es 
sei also gegeben eine Bedingmigsgleichung: 

(55) • V' = 0 , 


die eine Oberfläche darstellt, auf der der Punkt sich dauernd befinden 
soll. Wir fragen nun: Wann ist der substantielle Punkt unter 
der Einwirkung von Kräften -Y Y Z unter diesen Umständen 
im Gleichgewicht? 

Offenbar ist dazu nicht erforderlich, daß, wie früher, nach (49) 
Y == Y =3 Z = 0. Auch können wir nicht ohne weiteres die Gültigkeit (fcr 
Gleichung (62) Xdx + Ydy-\-Zdz=0 annehmen. Diese Gleichung 
würde, wenn sie gilt, allerdings jetzt etwas anderes besagen. Im 
Falle völliger Freiheit des Massenpunktes sind ja die Verrückungen 

dy, dz völlig willkürlich und voneinander unabhängig, 
also Gleichung (62) völlig gleichbedeutend mit (49). Hier aber können 
dio Verschiebungen dx^ dy, dz nicht mehr imabhängig voneinander sein, 
da die Bedm|ö[ungsgleichung (66) y {x, y, z) —0 stets erfüllt sein muß. 
Fs muß also auch für die benachbarte Lage {x + dx, y + dy, z + dz) 
galten: ' ’ 


(56) 


y {t + dx, y + dy, z + dz)^0^ 


l^der, wenn wit nach^ dem Taylorschen Satze entwickeln ündlhl 
linearen Gliedein abbifeche^l 


den 




>tin Ä 


98 


Mechanik mateneller Punkte. 


oder endlich in Büclisicht auf (55): 

(67)\ + + 

Diese Gleichung stellt offenbar einen Zusammenhang zwischen den vir- 
tuellen Verschiebungen dx^ di/, dz her. Eine von ihnen ist durch die 
beiden anderen mitbestimmt. Würden wir die Gleichung X öx + Y öy + 
Zöz =^0 noch an wenden, so köimten wir doch nicht mehr schließen: 
X = Y = Z = 0; und umgekehrt ist damit überhaupt dieser Gleichung 
zunächst die Grundlage entzogen. 

Wir können die hier sich ergebenden Schwierigkeiten folgendermaßen 
überwinden: Was bedeutet denn eigentlich physikalisch die Existenz 
einer Bedingungsgleichung von der Art (55) ? Der Effekt der Bedmgungs- 
gleichung ist doch der, den Massenpunkt auf einer gewissen Oberfläche 
festzuhalten, oder besser, ihn zu verhindern, dieselbe zu verlassen. Diese 
Bemerkung zeigt uns, daß w denselben Effekt auch erzielen könnten, 
wenn wir geeignete Zusatzkräfte X' Y'Z' an Stelle der Bedingungs- 
gleichung einführten. Tun wir dies, so haben wir die Gesamtkräfte 
X + X\ Y + Y', Z + Z\ aber dafür, daß die Bedingungs- 
gleichung fehlt, einen freien Massenpunkt. Jetzt aber gelten 
für die Gesamtkräfte die alten Gleichgewichtsbedmgungen (49) oder (52) 
des fröien Punktes; also ist: 

X+X' = r + Y'=Z+Z'=0, 

oder 

(58) [X + X') dx, + (Y + Y') dy^ + (Z + Z') dz,^0, 

wobei jetzt die dajj, dj/j, dz^ wieder gänzlich unabhängig sind, weshalb 
wir sie von den in Gleichung (57) vorkommenden durch den Index 1 
unterscheiden. Die letzte' Gleichung kann geschrieben werden: 

(59) Xdxj^ + Ydy^+Zdz,==--{X'dXi + Y'di/,+Z'dz{). 

Nun müssen wir etwas über die Zusatzkräfte X'Y'Z' aussagen. 
t)as geht natürlich nur, wenn wir uns dabei der Gleichung y>{xyz) =0 
der Oberfläche bedienen, auf der der Punkt durch diese Kräfte gehalten 
wiird. Da die Zusatzkräfte lediglich ein Herausrücken des Punktes aus 
der Fläche hindern sollen, ist es plausibel, anzunehmen, daß die Besul- 
tante V derselben in die Normale der Fläche falle. Machen wir dies(‘ 
Voraussetzung, so folgt, daß die Komixmenten X' Y'Z' der die" Be- 
dingungsgleichung ersetzenden Kraft, der sogenannten „Zwangskraft'', 
proportional den Bichtungskosinussen 

dp dp dp 

der,]^he sein müssen. Verstehen inr un^r A, dei^BroportionajH&ts- 
fakior, BO mnB sein : 



Allgemeine Dynamik eines substantiellen Punktes. 


99 


(60) 




r = A.. 


Z’ 


^i 'fz ' 


dx' " ~ Ti 
und daa gibt, in (59) eingesetzt: 

(61) XSx, + Yl,, +Z6r.. — J. + «t«,, + U«,,), 

oder, da die dxj, di/i, dz^ ganz willkürlich sind: 

(62) 




Y + + .0, 


d.h. die Kräfte XYZ halten den Körper auf der Fläche im 
Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende senkrecht zur 
Fläche gerichtet ist. 

Wir haben bei dieser Betrachtung die Bedingungsgleichung ganz 
unterdrückt, da wir sie durch die Kräfte ^ ^ • • • ersetzt 

haben. Wir können aber nach Lagrange auch anders verfahren. Ziehen 
wir nämlich jetzt in Gleichung (61) die Bedingungsgleichung heran, d.h. 
betrachten wir nur Verrückungen dx, öy, dz, die Gleichung (57) erfüllen, 
so muß die rechte Seite von (61) für sich verschwinden. Folglich gelten 
gleichzeitig die beiden Gleichungen: 


(63) 


X ÖX+ Y dy+ Z öz-^0, 


1 


d \p 


dyf 


Von diesen spricht die erste Gleichung das Prinzip der virtuellen Ver- 
rückung aus, das aber jetzt einen ganz anderen Sinn erhält, wie schon 
oben angedeutet worden ist. Denn da gleichzeitig die zweite Gleichung 
erfüllt sein muß, so sind dx,dy, öz nicht mehr miabhängig voneinander, 
und es kann folglich aus der ersten Gleichung nicht mehr geschlossen 
werden: X = Y — 0. Der Vorteil ist aber der, daß wir jetzt für 
einen unfreien Massen punkt dieselbe Gleichung X öx + Y öy -{ Z dz = 0 
Iiabun, wie für einen freien. Wollen wir nun aus (63) Schlüsse auf die 
Art der Kräfte ziehen, die sich das Gleichgewicht halten müssen, so 
können wir nach Lagrange so verfahren, daß wir die zweite Gleichimg 
(68) mit einem zunächst noch willkürlichen Faktor a multiplizieren und 
dann zur ersten addieren. Dann folgt: 


(64) 


(x + A 4-j) J, + (y + A + (z + A ü, . 0 , 


die mit (61) formal übereinstimmt, aber etwas anderes bedeutet. In (61) 
waren ^e dosj, dy^, dz^ ganz willkürlich, bestimmtj hier fct A 
noch willkürlich, dagegen wird einer der drei Werte dxdj/di'rfurch 
die beiden anderen bestimmt. Gemeinsam ist beiden Gleichungen (61) 
und (64), daß in ihnen drei willkürliche Größen Vorkommen, die^abör 
nicht iden^isnh sind. Wir wollen etwa dz al^ Funktion \cai dx und 
betrachten.. Dann wäre in (64) willkürlich A, dx, dy^ aber in (64) 

: ' . r ^ ’ 



100 


Mechanik maieneÜer Punkte. 


sind stets drCi, by^y als unabhängig voneinander ^isu nehinen. . Den- 
noch treffen die Schlüsse von beiden J^leichungen^zusaAmen.. Denn 
^r ^abaa den^^Faftor A m (64) ja nicht' eingeführt; damit ^f'ldllküilich 
bleiben soll, sondern um ihn geeignet bestimmen zu können. Wir wollen 
lim' so festlegen, daß bz (das ja nicht frei, sondern abhängig von bx 
und by ist),- in Gleichung (64) in Fortfall kommt, also so, daß der Koeffi- 
zient Z + a 4^ =0 wird. Dann ist zunächst: 
ox 

( 65 ) ,, Z + >.ll = (), 


und folglich, da bx, by voneinander unabhängig sind: 



I 

I v + -0. 


welche Gleichimgen mit (62) identisch sind und das Gleichgewicht 
bestimmen. 

Das Gleichgewichtsproblem kann nun von zweierlei Art sein, indem 
^entweder nach den Kräften gefragt wird, die an unem bestimmten Punkte 
der Fläche tp^O den substantiellen Punkt im Gleichgewicht halten, 
oder aber, indem bei gegebenen Kräften gt fragt wird, in welchem Punkte 
der Fläche y = 0 diese den Massenpunkt im Gleichgewicht lullten. 

Im ersteren Falle haben wir zur Bestimmung der Kräfte X Y Z 
die drei Gleichungen (65), die aber, wegen der darin vqrkommenden 
Dnl^Hänuten x zur vollständigen Rstiramimg nicht ausreichen; auch 
die Heranziehung der Gleichung (55) yf (x y z) =0 reicht dazu nicht, 
X Y Z gar nicht enthält. Das einzige, was man aus (63) über die 
Kiffte ^schheßen kann, ist, daß die Besultante in die Kichtung der 
Flächenhormale an dem betrachteten Punkte fallen muß; der Betrag 
||}mbt unbestimmt. 

Anders steht die Sache im zweiten Falle. Dann haben wir zur Bo- 
der Gleichgewichtslage (x, y, z) erstens die drei Gleichungen (65) 
"Gleichung (55) der Fläche tp{xyz) =0, und in diesem Falle 


.lei&en. ehe vier Gleichungen gerade aus, um tlie vier Unbekannten x, y, 
zriÄi l^tiJöiöen. 

■ \ G^au dieselben Erwägungen gelten, wenn zwei Bedingungsglei- 
cbtmgeh gegeben sind: 

{x, y, i?) - 0 , 


V^* {x, y, z) ^0. 


Da sie -für alle* Werte (x, y, z) gelten müssen, so ist auch: 


. a* * ^ a« T'.d* f<!) 'V 



»immmmmmmmmaßmm 


wv* 3|JLw» 




Y~ 


I^V 





aü>^,^tl% dUw^ M^xiS > 

Afc»4 u>iuwtSk"Ci»^ A *i^ H M>. ■^»** ') h «iAjiW ^*4j j J i V* Ly«3/ 

vj .A. * T * r ~- . r ' (-V ' ^ - Y '*^ * . 

AX4. { 


Wk 


l(wwt «JU >uX y^ictuölrj:»'." ^ 

il4V»<f «luL 

2^Ä4Äiy} M^w k ly a |4 ^Tai-%a.« mp^IT • 



!l«w «f Aa ju,. ^f ^;, A\^ 


^«JliA tj-iJl. 


■♦«fc 






^ * iÄ tscu» (<*»ty , Mi%%A <iju*w 

l%ii)*(-%|»)^*»'«;|t‘ t jp< X*4 ^ Y** ® 




^ . ♦ i * 


ijX^XM 


't^' 

hlir*^t^ *'** ^MSXUC 

r5?r^<-f«-?-'»^‘* J 4^ A<m^ . 

^'‘ '' ' 

- ».sii'KSc Vjt+;x*^^u 

T’ w - 4 ApiaÄ 

»y,. , ^»1 1 < ;, » I ■ ^ ^ 

|JU« ^ . . ^ 4 ?=^"V '« •■ **>-•. 





k ..... .k ^ .... 

T^T^ssdrssl* 

rt# ^ f •% w %dC , ^ i» y 


•44dh«u 

*^-t- 'Ssr,»j*:^t^w dElÄjtei?, 

<U**«44. C1>4. «WM-L^jtdWt ta»f 

4wJi&^>-«i|| ^ ' **'*^ 'i..'*J^ AÄJi 7** v4«jt 

'r -.$<-< 

M» A t »*jii |^ *^k 

;i'-' ' ■ '■’ ' '. :■'’•*'• *'. ■ . ' * jfj ' ' ' ‘ 


J* 4 t' 



.Ä»lk A«*^. t , C^**} 


Allgemeine Dynamik eines svhstaniiellen Punktes, 101 

und ferner gilt* wie vorhin auseinandergesetzt, gemein- 
öchaftlieh mit ihnen das Prinzip der virtuellen Verrückt- 
ungen (52):^ i •' 

Xöx + Y 6y . 


Multiplizieren wir die variierten Bedingungsgleichungen bzw. mit un- 
bestimmten Faktoren l und und addieren sie zu der letzten Gleichung, 
so folgt: 


(* + »1? + - Ä) + (l’ + ^^ + <• ■s'J) 




Hier sind nun infolge der beiden Bedingungsgleichungen zwei Ver- 
rückungen, etwa by und ($- 2 :, nicht mehr willkürlich, sondern nur noch 
eine, bx) dafür aber die Faktoren A, ß noch unbestimmt. Bestimmen 
wir sie so, daß: 


( 66 ) 




SO wird auch, da bx frei ist: 

(66) X + 


und die drei Gleichungen (66) bestimmen das Gleichgewicht. 
Bei gegebenen Kräften -Y Y Z stellen für di(* fünf unbt'kamiten Xy y, 2 , /.,/i 
fünf Gleichungen zur Verfügung, nämlich die drei Gleichungen (66) und 
die beiden Bedingimgsgleichungen, die also zur Bestimmung ausreichtm. 

Man erkennt aus der angegebenen Darstelhing, daß die Gleichung (52) 
+ Y by Z bz 0 nur erhalten werden kann — \vie man auch 
ini speaellen Falle die Dai'stellung wählt — , wenn man eine geeignete* 
Hypothese über die Natur der Zwangskräfte macht. Bezeichnen wir 
die Zwangskräfte, die irgend widche Bedingimgsgleichimgen ersetzeh, 
wieder durch X' Y' Z\ so muß zur Erziehmg der Gleichung (52), die 
das Prinzip der virtuellen Verrückungen ausspricht, die Summe X' bx 
Y' by + Z' bz z\i Null gemacht werden, d. h. alle speziellen Annahmen, 
die man über die Zwangskräfte macht, müssen darauf liinauslaufen, 
daß . die Zwangskräfte bei einer mit den Bedingungen ver* 
träglichen virtuellen Verrückung keine Arbeit leisten. Lo- 
gisch ist es deshalb am durchsichtigsten, von vornherein zur Ableitung 
des Prinzips der virtuellen Verrückungen diese Hypothese zu^ machen,, 
die als etwas Neues zu den Newtonschen Bewegungsgleichungen, liinSKu- 
tntt. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen ist also ein selbständiges 
Prinzip . der Mechanik, das nicht ohne besondere Zusatzannahmen 
den Newtonschen Gleichungen gefolgert werden kann. Da es^sioh stefe 
bewährt hat-xvdas ist iabei jeder experimentellen Wissenschaft überhaupt ' 


102 ' Mechanik materieUer Punkte. 

das einzige Kriterium für die Brauchbarkeit einer Hypothese — , so 
werden wir von jetzt ab die oben formulierte Annahme über die Zwangs- 
kräfte stets machen. ^ 

Es möge noch hervorgehoben werden, daß die Anzahl der Be- 
dingungen bei einem substantiellen Punkte nicht größer als drei werden 
kann, da nur drei Koordinaten xyz vorhanden sind. Wären drei Be- 
dingungen gegeben, so würde keine der Verrückungen öx^ öy, dz frei 
sein, der betreffende Punkt ist dann nicht mehr beweglich. Dies ist auch 
geometrisch leicht einzusehen: Eine Bedingungsgleichung bedeutet, daß 
der Punkt auf einer Oberfläche sich befinden muß; zwei Bedingungs- 
gleichungen engen die Bewegungen des Pmiktes auf ihre Schnittlinie 
ein, während drei Bedingimgsgleichimgen einen Eaumpmikt bestimmen, 
in dem der substantielle Pimkt sich dauernd befinden muß. 

Man nennt die Anzahl miabhängiger Koordinaten, die zur Bestim- 
mung eines materiellen Systems notwendig sind, die „Freiheitsgrade“ 
desselben. Ein" völlig freier, substantieller Punkt hat demnach drei 
Preiheitsgiade, und durch jede Bedingung^gleichuiig geht einer davon 
verloren. 


31. Das D’Alembertsche Prinzip. 


Mit Rücksicht auf die Gleichung (49) des Gleichgewichts kaim man 
den Gleichungen (9) der Dynamik eine veränderte, sehr fruchtbare Deu- 
tung geben. Schreiben wir dieselben folgendermaßen: 


(67) 


- d’X 

A'sX-m =0, 

f^Y-mg- = 0, 

Z^Z-m% + 0. 


E^rm wir die aus (67) ersichtlichen Abkürzungen Y, Y, Z ein, so sieht 
nilmi daß die Gleichungen 

^ie Form der Gleichung (49) der Statik haben, d. h. also: die 
Kräfte X, Y, Z halten den substantiellen Punkt im Gleich- 
gewicht. M. a. W.: wenn wir zu den wirklich vorhandenen 

Kräften XYZ die Kräfte -m-J*- hinzu- 

ffigen, so ist der substantielle Punkt im Gleichgewicht. 

Man kann also das vorliegende Problem der Dynamik auf 
ein solches der Statik formal zurückführen; das ist der Kern 
des.sogenannten D’Alembertschen Prinzips. Die zlu den wirklich 

vorhandenen Kräften XYZ hinzugefügten 

nennt mmi die „D’Alembertschen Trägheitskräfte'^', Se existieren 



Allgemeim Dynamik eines substantiellen Punktes, 


103 


natürlich ebenso wenig, wie die schon früher eingeführten Zusatzkräfte 
(Coriolis'-, Führungs-, Zentrifugalkraft); sie machen sich nur bemerklich, 
wenn man ein dynamisches Problem nach den Sätzen der 
Statik behandelt. Den Fehler, den man dadurch macht, kann man 
gewissermaßen kompensieren durch Hinzunahme gewisser fingierter 
Kräfte, eben der Trägheitskräfte. 

Multiplizieren wir die drei Gleichungen (67) resp. mit dx^ dy, dz, 
wo die öx, Sy, dz unabhängige virtuelle Verrückungen sind, so folgt: 

(68) . (x - m ^ r + ( y - m ^ y + (z - m J . = 0 , 


die aussagt, daß die virtuelle Arbeit der wirklich vorhandenen und der 
Trägheitskräfte Null ist. Natürlich ist die Zerlegung nach kartesischen 
Koordinaten durchaus unwesentlich; in einem ebenen Polarkoordinaten- 
system (r, (p) würden wir nach (10) haben: 


(68 a) 



d-r 





0 . 


Zerlegt man nach dem natürlichen Koordinatensystem der Kurve 
{B, (p), so hat man nach (11): 


(68b) 


*. +»«("-:)■]'>«+ 1 *. - - (" 4 ’ )] ’fS't-o- 


Die zur Normalkomponente St„ hinzuzufügende Trägheitskraft -f j* 

ist nach (28) identisch mit der Zentrifugalkraft. Auch hieraus er- 
kennt man, daß diese letztere keine wirkliche Kraft, sondern eine fingierte 
Zusatzkraft ist, deren Einführimg manchmal praktische Vorteile bietet. 

Gleichung (68) bildet offenbar eine Verbindung des Prinzips der 
virtuellen Verrückungen mit dem eigentlichen D’Alembert sehen Prinzip, 
die man Lagrange verdankt. Freilich fällt — da der substantielle Punkt 
völlig frei ist — diese Gleichung wieder in drei Gleichmigen (67) aus- 
einander ; aber wir köimen nun diesen Gedankengang auch bei beschränkter 
Bewegungsfreiheit* des Massenpiuiktes noch anwenden. 

Sind nämlich etwa folgende Bedingungsgleichungon gegeben: 


tpi(a;yz) = 0, 
y^iixyz) = 0, 


(69) 


ßj!L 

d X 


-f 


^3. 


■■ 



0 , 

0 , 


so läßt sich durch dio nämlichen Schlüsse (immer natürlich unter der 
Hy|)othese, daß die Zwangskräfte bei kemer mit den Bedingungen ver- 
träglichen virtuellen Verrückung Arbeit leisten) wie beim Prinzip der 
virtuell^ Verr(|oknngen zeigen, daß die Gleichung (68) ihre Gültig- 



104 


Mechanik matmeller Punkte. 


kei.t behält, wen» manidie Gleichungen (69) dazu nimmt. Multi- 
pliziert map die letzteren mit zwei unbestimmten Faktoren addiert 
sie zu (68) und bestimmt die Faktoren A, ^ in derselben Weise wie früher, 
«0 liefert uns das D’Alembertsche Prinzip in der Form (68) die Be- 
wegongsgleichungen : 


(70) 


X- 

Y~ 

Z- 




0 , 


0 , 


0 . 


Es sind dann auch in jedem Falle genügend Gleichungen vorhanden, 
um die sämtlichen Unbekannten x, y, z, A, /x zu bestimmen, genau wie 
vorher. 

Das Prinzip der virtuellen Verrückungen und dasjenige von D'Alem- 
bert gelten nicht nur für einen einzelnen Massenpunkt, sondern auch 
für Systeme solcher, wie später gezeigt wird. Der leichteren Verständlich- 
keit halber haben wir sie bereits hier eingeführt, wo ihr Nutzen relativ 
gering ist, wo ihr Sinn aber auch relativ leichter zu durchschauen ist. 


32. Stofikrälte; Bewegungsgröfie; Impuls. 

In manchen Fällen, wenn die wirkenden Kräfte außerordentlich groß 
sind, aber nur sehr kurze Zeit an epiem substantiellen Pimkte angreifen, 
geht der Vorgang der Beschleunigung so rapid vor sich, daß man den- 
selben nicht beobachten kann. Was man konstatieren kann, ist die Ge- 
sch^digkeit Ci, bevor die Kraft wirkte, und die Geschwindigkeit C 2 , nach- 
dem sie gewirkt hat; diese Geschwindigkeitsänderung gehe in der kleinen 
Ziwt T vor sich. Die plötzliche Veränderung der Geschwindigkeit eines 
M^enpunktes durch eine Kraft nennt man einen „Stoß“, t die „Stoß- 
In diesem Falle ist es zweckmäßig, den Bew'egungHgleicbungen 
etwas andere Form zu geben. Wir .schreiben dieselben: 



und da es, wie schon oben erwähnt, auf den Vorgang der Beschlpttidgung 
selbst hiei nicht so sehr ankommt, ab auf däi^" Endresultat, SQ liegt es 
nahe, diese Gleichung nach der Zdt zu intc^ieren und zwar der 
^it t an, zu der der Stoß beginnt, hf zur ^ Stofi zu^^de 

bt. . T)ann folgt aus (71): 



105 


^Allgemeine Dynamik eines substantiellen Punktes* 


f+T l+r ^ 

fxdi -/^(«4f) 

und so fort für die übrigen Gleichungen; führen wir für die Geschwindig- 
keiten die Komponenten u, w ein und bezeichnen dieselben 

nach, UiViWi dieselben vor dem Stoß, so ist: 


(72) 


<+r 


Jxdt ^ m(u2 — ttj), 

t 

<+r 

fvd, m(i;2 — V,), 

f+T 

J Zdt 


Diese drei Gleichungen lassen sich offenbar in die folgende Vektorgleichung 
zusammenfassen, die Veranlassung zur Bildung zweier neuer Begriffe gibt: 


(73) 


/+r 

JSdt = w(C, — Cj. 

t 


Das linksstehende Zeitintegral über die Kraft ft nennt man in der Medianik 
die „Stoßkraft*^ die wir durch [ft] bezeichnen wollen; offenbar sind 
die drei Größen auf der linken Seite von (72) die Komponenten der 
Stoßkraft. 

Wir schreiben also: 

« + r 

(74) Jftdt = [a], 

#+r t+x /+T 

(75) ' [Xl-Jxd«. [Z]^fzdt: 

< ( t 

Die Einführimg des Begriffs der Stoßkraft [ft] ist in gewisser Weise ein 
Analogon zum Arbeitsbtigriff; denn während die Arbeit das sogenannte 
Wegintegral der Kraft ist, ist die Stoßkraft das Zeitintegral der*» 
selben, . ^ 

Dae Produkt aus der Masse in die Geschwindigkeit des substantiell«^ 
l^unktea n«xmt ,man die „Bewegungsgröße“, die „Quantität der 
Bewegung“, oder auch, im Anschluß naiocntlich an en^ische 
den ^ ^ 

(76) 


„imguis der ürait ; wir bezeichnen ihn durch JU, 


B «= w c. 



106 


Meehamk tncUerieUer' Punkte. 


<77) 




m 


m 


m 


dx 

dJ 

dy 


dt 

d^ 

dt 


.mu, 

« mVf 

mw^ 


Mit dieser Bezeichnimg läßt sich Gleichung (73) schreiben: 


(78) [ft] = 0*-ß,=m(t,-Ci), 

und eine entsprechende Komponentendarstellung liefert (72): 

(79) [ftj = - D,* = OT (ug — Ul) usw. 

* r' 

Man kann die Gleichung (78) also so formulieren: „Die Stoßkraft 
ist gleich der vektoriellen Änderung der Bewegungsgröße**. 

Wie aus der obigen Darstellmig hervorgeht, sind [ft] und D, Vektoren. 
Der letztere hat die Eichtung der Geschwindigkeit c und den w-fachen 
Betrag derselben. Die Stoßkraft [ft] ist gleich der Differenz zweier der- 



artiger Vektoren £^; nennen wir die Vektordifferenz zweier Geschwindig- 
keiten (2 so ist [ft] gleich gerichtet mit c', aber vom w- 

fached Betrage, c' ist diejenige Geschwindigkeit, die man zu Cj hinzu- 
. muß, um C 2 zu erhalten. Man kann also sagen, daß die Stoßkraft 
diese Zusatzgeschwindigkeit erzeugt, pie Pig. 36 veranschaulicht die 
Dage dieser Vektoren zueinander. 

* Den Inipuls kann man in Beziehung zur kinetischen Energie L setzen. 
Diese letztere ist gleich und wenn wir die Ableitung von Lnach c 

^bilden» so folgt also: 



dL 

de 


* Dl 


d.h. der Differentialquotient der kinetischen Energie nach 
der Geschwindigkeit ist gleich dem Impulse. Anderseits ist 
off^bar, wenn wir die Schreibweise des skalar^ Produktes «nwenden : 

(81) , i«i«(ec)=.i(jD«)«lilV(v|c|, 

'' if ' ' 

d. h. aie kinetische Energie ist gleich dem halben skalaren 
Produkte ans ‘dem Impulse» nnd der Geschvindiskeit. Diese 



Allgemeine Dynamik eines sübstantiellen Punktes. 107 

Gleichung kann unter Einführung der Komponenten offenbar geschrieben 
werden: 

(8l a) L ^ \ Cy + D, , 

wie sich durch Einsetzen der Werte nach (77) unmittelbar e^bt. 

Der Impuls Dliat übrigens eine anschauliche mechanische Bedeutung. 
Denn wenn wir den speziellen Fall ins Auge fassen, daß vor dem Stoße 
die Geschwindigkeit Cj = 0 ist, und nach demselben C 2 — C ist, so ist 
nach Gleichung (78) 

[ft] = m c = G, 

d.h. der Impuls ist diejenige Stoßkraft^ die aus der Kühe 
heraus dem betrachteten Massenpunkte seine augenblick- 
liche Geschwindigkeit erteilen würde. 


Drittes Kapitel. 


. Spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes. 


33. Geradlinige kleine Schwingungen eines Hassenpnnktes. 

Wir wollen einen Massenpunkt betrachten, der unter dem Einfluß der 
ihn wirkenden Kräfte in Buhe ist, an dem diese sich also gemäß den 
Formeln (49) des IL Kapitels auf pag. 94 das Gleichgewicht halten. Der 
substantielle Punkt falle dann mit dem Baumpunkte (jTo» ^o) zusammen. 
Wir wollen denselben durch eine weitere Kraft X aus dieser Gleich- 
gewichtslage entfernen und der Einfachheit halber diese Kraft so wählen, 
daß sie eine Verschiebung des Punktes parallel der a:-Achse, etwa ks 
zum Punkte {x Zq), bewirkt. In dieser neuen Lage ist der Massenpunkt 
im Crleichgewicht unter dem Einfluß der alten Kräfte und der neuen Kraft 
vX, und da die Gesamtsumme dieser Kräfte nach (49) des II. Kapitels 
den Wert Null haben muß, so besitzen die alten Kräfte eine Besultante 
gleich — X. Denn dann ist die Totalsumme gleich 0. Hebt mau jetzt 
die. neue Kraft X auf, so wirkt auf den Punkt die Besultante —X, die 
ihn in die Buhelage zurückzuführen bestrebt ist. 

^ ■ Die Kraft X ist abhängig von der Größe der Verscliiebung, die dem 
Pun^t erteilt wird, d* h. Funktion von x, die wir etwa durch / (x) be- 
^»eicimen wollen. Lassen wir also den substantiellen Pmikt los, so wirkt 
iöiifihn die Kraft —X ——f(x). Nach dem D’Alembertschen Prinzip 
wir diö Bewegungsgleichung, indem wir zu —X die Trägheits- 
■*' ' ' " d^x 

l^iürift 'hinzufügen, und diese Summe gleich 0 setzen. ; Also ist: 


wie wir ^ueh »dbreiben können, da x^ konstant ist: 

( 1 )'; 

troUai mm lediglich kleine Verrücktmgen ans ?det 
g^chtelage y«, a,) ins Auge fassen« d.b. 9—2, al^jeme seht, 


.hek^bt^. Dann kdnden nach dem 
;^),;^i^e :^e in der ütn^lning vwi #rafi:^twieKe^^ 



Spezdelle Bewegungen eines substantiellen Punktes, 1G9 

worin wir, da (x — «o) »ö’Ch Voraussetzung ßehr klein ist, Quadrate und 
noch höhere Potenzen von ^ (oü — Xo) vernachlässigen wollen^ Ferner 
ist f(iCo)f der Wert der Kraft in der Gleichgewichtslage, gleich Null, 
da eben x — Xo eine Gleichgewichtslage bildet. Also ist schließlich; 

(3) / (a:) = f'M (x - Xo) = a* (x - x«) , 

wenn wir f'(xo) durch die Abkürzung bezeiclinen. Denn es muß in 
der Tat /'(Xq) eine positive Konstante sein, weil die Kraft mit x wächst. 
Also können wir (1) schreiben: 

(4) m — =-a}{x- x^), 

d. h. die Beschleunigung ist proportional der Elongation 
(x — «o) ö-'is der Buhelage. Die Gleichung (4) stimmt also dem 
Sinne hach mit Gleichung (111) des I. Kapitels (pag. 63) überein, und* 
damit ist sogleich der Charakter der Bewegung als einer periodischen, 
und zwar einer harmonischen Schwingung festgestellt. 

Wir wollen indessen hier unabhängig von den Ergebnissen des 
I. Kapitels andere Wege einschlagen, um zur Integration der Gleichung (4) 
zu gelangen. 

Zunächst bemerken wir, daß die Kraft — a* (a: — Xq) in der Tat 
nur eine Koordinatendifferenz enthält, also, wie wir es in Nr. 24 er- 
kannt haben, ihr Wert vom Koordinatensystem völlig unabhängig ist, 
wie es sein muß. Um die weitere Behandlung zu vereinfachen, wollen 
wir noch jCo — j/o = = 0 annehmen, wodurch wir erhalten: 

/EX 2 

(5) m . 


Die Kraft — a®x ist nach der Euhelage (0,0,0) hin gerichtet ^und 
wird deshalb auch als „zurück treibende“ l6:aft bezeichnet. Allgemein 
nennt man Kräfte, die, wie die hier behandelte, proportional der Ent- 
fernung aus der Gleichgewichtslage sind, „elastische“ Kräfte* i ^ 

^ Um nun zu einer Integration von (5) zu gelangen, wollen wir den 
Weg einschlagen, der zum Energieprinzip führt, d. h. wir multipliziere 
dx 

auf beiden Seiten mit Dann folgt: 


oder 

d*x dx 
df df 

(6) 

oder 

d (m (dx\*\ 

dt [TVdi .1 ) 

oder 

d Im /dx' 
, "dt U< 

(7) 



i «- a*x 


d X 

~dJ 


110 


Mechanik materieller Punkte. 


IW /dx\* 

Darin ist offenbar der Ausdruck ^ (* 57 ), kinetische Energie L des 

Massenpuhktes. Ferner stellt — ~ die pro 

Sekunde geleistete Arbeit, den „Effekt“, der Kraft X = dar, und 
folglich spricht ( 6 ) in spezieller Form den Satz aus, daß die Zunahme 
von L gleich der Arbeit der Kraft ist. Fenier sieht man, daß die Kraft 
X = — a*a; aus einer Funktion durch Differentiation ableitbar ist; denn 
es ist offenbar: 



also erhalten wir für die sogenannte Kräftefunktion 0 oder die poten 
tielle Energie 


Daher spricht (7) in spezieller Form den Energiesatz aus: Die Summe 
von kinetischer und potentieller Energie ist konstant. 
Nennen wir die maximale Elongation, die der Massen pun kt machen 

kann, Ä, so ist für x—h die potentielle Energie gleich ^ die kine- 
tische gleich^ Null, also die Gesamtenergie . Daher kann (7) ge- 


schrieben werden: 

. (7a) 


T \dij ~ 2 


Diese Gleichung lehrt, wie wir schon früher beim freien Fall gesehen 
•hfi^ben, die Umwandlung der beiden Energieformen ineinander: Für 
X =» hist die kinetische Energie gleich Null, die potentielle ein Maximum 

= für a; = 0 ist letztere gleich Null imd die kinetische Energie 

ein Maximum = -j- So findet bei jeder Schwingung, d. h. in 

JWe/ Periode, eine zweimalige Umsetzung der beiden Energieformen 
ineinÄnder statt. Eine leichte Umformung von (7a) liefert: 

dx , /a*Ä* — a* a?* 

di^^V — m — ’ 

i&er 



di = ± — ---- 

y m 



ii <diewr Gleichung Bind die Variablen getrennt, abo das Probtem auf 
' j»ne Quadrätur zuräekgefühit. Fähren wir eine neue Variable 
^ em, so räd (8): . 



_ Bewegungen eines substantiellen Punktes. 111 

und die Integration liefert: 


^ ± t + Const. = arc sin | = arc sin , 

KW h 

oder endlich : 

(9) x=±h sin . 

Wm ) 

Damit ist das uns schon von früher her bekannte Besultat gewonnen, 
daß die durch Gleichung (5) dargestellte Bewegung eine harmonische 
Schwingung ist: der Vergleich mit (103a), (105) und (106) des 1. Kapitels 
auf pag. 51 liefert für die Schwingungsdauer T» und die Schwingungfe- 
zahl Wo die Werte: 


( 10 ) 


1 _a 


^0 = 



d. h. die Schwiiigungsdauer Tq ist proportional der Quadratwurzel aus 
der Masse des substantiellen Punktes und umgekehrt proportional der 
Größe a, die die Stärke der zurücktreibenden elastischen Kraft mißt. 

Die Gleichung (9) enthält zwei unbestimmte Konstanten, die von der 
zweimaligen Integration herrühron, h und d, die hinreichend, aber auch 
notwendig sind, um die hier gefundene Lösung dem gegebenen Anfangs- 
ziistande anzupassen. Da wir hier nur eine variable Koordinate haben, 
so kann uns nur der Anfangswert für die x - Koordinate und die x- 

Komponente der Geschwindigkeit vorgeschrieben sein, d. h. es sind 

zwei Gleichungen zu erfüllen, und dazu reichen die zwei disponiblen 
Konstanten gerade aus. Es sei z. B.: 


a: = 0, 

für t = dx 


dt 




SO folgt aus (9): 

(ic)f «0 == 0 = ± sin d . 

isomer durch Differentiation von (9) nach t und Nullsetzen von t: 

® ° * Ä h® (Ä ‘ + ^')},=o = ± i/i • 

Also haben wir zur Bestimmung von h und d: 

± Ä sin d = 0 , 


woraus folgt: 

:<i) 




S = Of A «a ± 


V w 


^r^chriebenen Anfangszustande angepaßte Lüsung (9) 



112 


Mechanik materieller Punkte, 


'*{ 12 )' ^ 

womit alles vollkommen bestimmt ist. 

Man kann die hier abgeleitete Lösung (9) noch in eine andere, etwas 

symmetrischere Form bringen, indem man sin t + d) entwickelt 

' vym / 

Dann erhält man: 


( 18 ) 


Ä = ± Ä cos ^ sin-j—r-t ±h$mä cos 


yin 


•t. 


Da h und 6 willkürliche Konstanten sind, so sind dies auch die Aggre- 
gate ± Äcos d und ± fesin d, die wir etwa durch A und B bezeichnen 
können. Also haben wir nach (13); 

(14) x = ^ cos -4=- f + ß sin 1. 

V m ym 

Darin sind der Cosinus und der Sinus vollkommen gleichberechtigt, wie 

^wir es bereits aus der Kinematik wissen. cos~^-< wie auch sin^f be- 

|/w> ytn 

friedigen einzeln die Differentialgleichimg (5), sind also Lösungen der- 
selben; aber da in ihnen noch keine willkürliche Konstante steckt, 
können sie öicht die allgemeine Lösung darstellen, sondern sind „parti- 
kuläre“ Lösungen oder Integrale von (5). Dagegen stellt (14), 
da dort zwei willkürliche Konstanten A und B auf treten, die all- 
gemeine Lösung dar, die somit in einfacher Weise aus zwei partiku- 
lären Lösungen sich zusammensetzen läßt. 

! Was wir; hier an einem speziellen Falle erkannt haben, gilt ganz 
allgemein für Lösimgen der sogenannten linearen homogenen Diffe? 
röuiiulgleichung. Eine Differentialgleichung ist linear, wenn die 
u^te Funktion bzw. deren Ableitungen nur in der ersten Potenz 
IjyOj^kommen; sie heißt ferner homogen, wenn sie kein von der unbe- 
kämtcn Funktion freies Glied enthält. Die hier in Frage stehende 
:^^{ferentialgleichung (5) ist also eine lineare homogene Differential- 
j, und iswar von der zweiten Ordnung, da die höchste Ableitung 

Funktion die zweite ist. Außerdem hat (ö) noch 

, nämlich die, daß ihre Koeffizienten (m u;|d 
konstante Größen sind. 

, Zunächst beweisen* wir den Satz: „Wenn tti eine LöBung der 
Differentialgleichung (5) ist, so ist auch W0r4 
beliebige Konstante ist, e|ne Lösung**, In der lät^.da nach 
Yorauföetzung ^ Differentialgleichung erfüllen sö|l, so wt identisch, 
ym wir durch ^ ändeuten: 








spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes» 113 

fjS wird behauptet, daß auch Ax^ eine Lösung sei, d. h. daß ebenfalls 
identisch söi; . 

* ^ üi ) , \ t A \ A 

Das ist aber gleich: ‘ 

und dies isij in der Tat identisch erfüllt, da eine Lösung ist. 

Ganzi ebenso beweisen wir den Satz: „Wenn und X 2 Lösungen » 
der Differentialgleichung (5) sind, so ist auch Ax^ + Bii^^* 
wo A und B beliebige Konstanten sind, eine Lösung.“ Denn 
es ist nach Voraussetzung identisch: 

d“ i 9 /V 

m 4- a aJj ^ 0. 
d^ Xm . 2 i i 

Erweitert man die beiden Gleichungen mit A bzw. B und addiert, so 
kann man die Summe schreiben: 

m {Ax^ + B X 2 ) 4- a*(*4 4* B x^) ^ 0, 


und das bedeutet, daß Axi + Bx^ eine Lösung ist, wie behauptet wurde. 
Und da die allgemeinste Lösung zw’oi disponible Konstanten enthalten 
muß, so ist ^a;i 4 -Ba ;2 die allgemeinste Lösung, wenn imd Xg zwei von- 
einander linear unabhängige partikuläre Integrale sind. Dabei ist durch- 
aus nicht vorausgesetzt, daß die Konstanten A und B reell sein müssen ; 
sie können vielmehr auch komplex ausfallen, und davon kann man gerade 
besonderen Vorteil ziehen, wie gleich gezeigt werden soll. 

^ Wir wollen nämlich nun die Lösimg der Differentialgleichung (5) 
auf einem ganz anderen Wege versuchen, wobei die Konstanz der Koef- 
fizienten unserer Differentialgleichung eine wichtige Bolle spielt. Wir 
wollen einmal Gleichung (5) nach t differentiieren. Dann folgt: 


oder, wenn wir für-^j die Bezeichnung i einführen: 


ffi ^ o*§ == 0, 


d. h. aUo: Durch Differentiation (und, wie man ebenso zeigen kann» 
durch Integration) wu‘d die Gestalt von (5) nicht verändert, denn die 
letzte Gleichung ist identisch mit (ö), nur steht statt x der Buchstabe f*, 
was natörliöh ohne Belang ist. & liegt daher nahe, zu vermuten» daß 
die Inte^ale von;(6) dieselbe Eigenschaft haben, nämlich sich durch 
LifferentSitiö^ repro^uziwen, höchstens noch imt 



114 ^ Mechanik maimcüfxr Punkte. , 

Konstanten zu multiplizieren. EiiSO: Funktion von dieser Eigenschaft 
ist aber die l^ponentialfunktion. Wir werden also den Ansatz versuchen, 
wenn n eine ^noch unbestimmte Konstante bedeutet: 

(16)^ 

und densdben in Gleichung (5) einsetzen. Wir haben jetzt zu bilden; 
das gibt: n 

also Kefert (5) mit dem probeweisen Ansatz (15): 

(16) , + a*j == 0. 


Die Erfüllung dieser Gleichung ist die Bedingung dafür, daß unser Ansatz 
^(15) möglich, also ein Integral der Gleichung (5) ist. 

Die Gleichung (16) kann nun in der Tat erfüllt werden; zunächst 
durch die Annahme jc = c^* = 0, die aber offenbar trmal ist und die 
wir stets ausschließen wollen. Dann bleibt uns aber der noch unbestimmte 
Faktor p, und dieser kann so bestimmt werden, daß 

Wir erhalten also: 

m . 

WO vdie imaginäre Einheit ist. Damit haben wir sogar zwei mögliche 
Werte von p,- und folglich nach (15) zwei mögliche Lösungen, die wir 
Xx nnd nennen wollen : 

e , 

Die beiden Lösungen erscheinen liier, wovon wir die Möglichkeit 
andeuteten, in komplexer Form. Führt man trigonometrische 
l^j^^tionen än, so kann man schreiben: ^ 




m. 


. . . e . 

t — tsin 


OOS 


]/ m 


Yr» 


Was bisdeatet non das Auftreten einet kogtnplexen Lösung? ~ ' die 
untSrsnehto XMfferentialgleichnng (ö) reelle Köeffizienten faaiji tne es 
.bä . physikalischen Problemen stets, sein mnS, so müssen jdii^^angen 
^adi^ stets reell' sein. Erscbeiat eine Lösung ^r 

so ^nn idas nur den Sinn haben, da^ so der 
'#’^}i'der imaginäre Teil' eine Lösung dei.DiffWejntialipi^i^hg 
’'*^-'‘\en,;'die' nur dmreh'dfä';^ — .. 



SpexkUt Bewegungen eines substantMlen Punktes. 


115 


gefaßt sinä. Daim geben ^ also die Gleichungen (19) die beiden reellen 
Lösungen, dip wir ebenfalls durch a!i,und bezeichnen .wollen: 


( 20 ) 


X, = cos--— <, 
' Vm 


sin 


Vm 


t, 


auf die wir schon in (14) gestoßen sind. Erweitern wir die beiden Lösungen 
mit den beliebigen Konstanten A und B, so erhält man durch Addition 
(las allgemeine Integral in der Form: ' 


X Ax, + Bx. = Acos + Biin-ßr-t, 
y fn y m 

das mit (14) völlig identisch ist, wie es sein muß. 


34. Steine Schwingangsbewegung im Raume. 

Wir wollen das in Nr. 33 behandelte Schwingungsprobleni insofern 
verallgemeinern, als wir nicht mehr annehmen wollen, die Bewegung des 
substantiellen Punktes erfolge längs der a:-Achse. Vielmehr werde ihm 
eine beliebig gerichtete Verschiebung 3 erteilt; wird der substantielle 
Punkt dann sich selbst überlassen, so ist eine zurücktreibende Kraft 
( 21 ) = 


bestrebt, ihn in die Kuhelage ZAirückzufüliren. Nach dem d’Alembert- 
schen Prinzip erhalten wir also die Bewegungsgleichung, wenn wir zu 
Ä die Trägheitskraft — w a, wo a die Beschleunigung ist, hinzufügen 
und die Summe gleich Null setzen. Also; ' 


oder durch Koordinaienzerlegung, wenn wir als Ruhelage des substan- 
tiellen Punktes den Koordinatenanfangspunkt nehmen: 


( 22 ) 


m -h = 0, 

m -Jjf + “ 0, 

VH + 0*2 «= 0 . 


Lamit ^es|p Bewegung völlig bestimmt sei, müssen die Anfan^wetjte 
'on *, V 0 Q ^ j .^ gegeben sein; es sei z. 



0 : 





y = y»» ! 

4» , „ dz . ' 

Ht ■ * 


116 Mechanik materieller Ihtnkte. 

- , .. - - 

Dies sind 6 Daten, also sind im ganzen 6 disponible Konstanten not- 
wendig, von denen auf jede der drei Gleichungen (22) zwei entfallen, 
entsprechend d^n notwendigen zweimaligen Integration. 

, Die Lösung der Gleichung (22) können wir nun sofort angeben, da 
es ja unsere alte Differentialgleichung (5) ist. Sind 
sechs willkürliche Konstanten, so können wir nach dem Resultat der 
vorhergehenden Nummer schreiben; 


(23) 


X - .4, cos t + Bl sin - t , 
3/ = ^,cos-^^t + ß,sin^f, 
^ = ^3Cos-|^< + B,sin-^<. 


Aus diesen drei Gleichungen können wir einen wichtigen Schluß 
ziehen. Wir können nämlich die Gleichimg auffassen als Bestimmungs- 
gleichung für die beiden Unbekannten cos ~t und sin Zu 

ym ym 

deren Bestimmimg würden aber schon zwei Gleichmigen hinreichen; 
wenn also drei Gleichungen gegeben sind, so werden im allgemeinen nur 

die Werte cos -~r t = sin == 0 diese drei Gleichungen gleich- 
ym ym 

zeitig befriedigen können. Nur in dem Falle, daß die Determinante D 
des Gleichungssystems (23) verschwindet, können von Null verschiedene 

Werte von cos-— imd sin-™- erhalten werden. Also muß sein: 

« . ym ym 


124) 



— X 

Bi-y 


= 0 


\A,B,-z\ 

oder ausgerechnet; 

^( 25 ) (^2 ^3 — *^3 ^ 2 ) ^ “ i " (*^3 -^1 ^ 3 ) y ^2 — ^2 ^ 1 ) ^ 


0. 


Das ist eine lineare Gleichung zwischen x,y,z, den Koordinaten des 
schiif^ngenden Massenpunktes, die zu allen Zeiten erfüllt sein muß; es 
vist ffie Gleichung einer Ebene durch den Koordinatenanfangs- 
punkt; abo li^ die Bewegung des Massenpunktes stets in dieser Ebene: 
^ vdUfiliirt also eine ebene Bewegung. 

Ke Lage der Ebene (25) im Baume ist leicht zu bestimmen. Denn 
die Bichtungskosinusse der auf ihr errichteten Normale sind respektive 
gleich: 






‘'Um nun ^mien wir unsere ganze AtUgftbe sehr ^^infacb^n^ wenn. .wir. 
xmes Koordinatensj^tem einfiUiräi', and zwar' daB smne 
dauernd mit der' i$ewegu^ebene zasäm^^w|) dadurch 



• Spezielle Bewegungen eines suhstaniiellen Punlcka. 117 


wird dauernd z und wir haben es dann nur noch mit zweien der 
Gleichungen (23) zu tun. Natürlich werden die Konistanten durch die. 
Drehung des Koordinatensystems jetzt andere; wir wollen sie durch E 
und F bezeichnen, also wird unsere Bewegung dargestellt durch: 


(27) 


■n €t t , (t t 

X = EiCOS^y:. + P,8m:;7-=. 

. ym , ]/wi 

t/ = £jCo.s-^- + FjMn^. 

ym ym 


Um diese weiter zu untersuchen, wollen wir vereinfachende Bezeichnungen 
einführen: 


(28) 


£, = El cosd'i , 
Fj == E, sin dj . 


Dieser Ansatz ist stets möglich, denn durch 
folgt einerseits: 

(29) Fi^ + Fi^^E,- 


durch Division anderseits: 

(30) = 


Quadrieren und Addieren 


und beide Gleichungen können stets erfüllt werden. Ebenso setzen wir: 

I Ej = EjCos^,, 

I jPj = Ejsin^j, 

was analoge Bestimmungen für Fg F 2 liefert. Damit können die 
Gleicliungen (27), in die einfache Form gebracht werden; 



Damit aber haben wir diejenige Form der Gleichungen gewonnen, die 
wir in Formel (112) des ersten Kapitels (pag. 54) untersucht haben. Alle 
dortigen Besultate sind also ohne weiteres übertragbar. Im besonderen 
folgt: Die Bahn ist eine Ellipse, jderen Achsen im allgemeinen nicht mit 
den Koordinatenachsen zusammenfallen (Fig. 29). 

Für gewisse Spezialfälle kann die Ellipse entarten. Ist die Phasen- 
differenz ^ 0 oder jr , so wird die Bahn geradlinig (Fig. 80); 

ist dj — go wird die Bahn eine Ellipse, die die Koordinat6n^ 

achsen als Bömptachsen besitzt (Fig, 81), und werden überdies die AmpE- 
Ej tmd Ej gleich, so ist die Bahn ein Kreis. Damit ist die 
tollkonmaen bestimmt, * 



118 


^Mechanik matmeller FmkU, 




T 


85^ Oedämpfle Scbwingnngen. 


Die bisher betrachteten Schwingungen weichen in eifern sehr wesent- 
lichen Punkte von denjenigen ab, die man in der Natur *u beobachten 
Gel^enheit hat. Die ersteren, einmal angeregt, würden in alle Ewigkeit 
. ungeändert foiiidauern, was sich daraus ergibt, daß die Amplitude der 
Schwingungen nicht von der Zeit abhängt, sondern konstant ist. Im Gegen- 
sätze dazu beobachtet man stets, daß die Amplituden mit der Zeit 
kleiner und kleiner werden, so daß schließlich die Schwingungsbewegung 
unmerklich wird. Wir müssen daraus schließen, daß außer den bisher 
als wirkend angenommenen Kräften noch andere vorhanden sind, deren 
Wirkung eben das allmähliche Verschwinden der Schwingung ist. Diese 
Kräfte nennt man „Eeibungskräfte“, Sie machen sich bei allen 
Vorgängen bemerklich, und sie sind es auch, die scheinbar zu dem Be- 
sultat führen, daß das Trägheitsgesetz nicht gilt, wie wir in Nr. 22 sahen. 

Der Vorgang der Beibung ist äußerst kompliziert und keineswegs 
vollkommen erforscht; die experimentellen Untersuchungen haben er- 
geben, daß für kleine Geschwindigkeiten die Beibungskraft angenähert 
proportional der ersten, für größere, proportional der zweiten Potenz 
der Geschwindigkeit, und dieser stets entgegengesetzt gerichtet ist. 
Nennen wir dife Beibungskraft 91, so ist also bei Beschränkung auf kleine 
Geschwindigkeiten annähernd: 

wfo der stets positive Proportionalitätsfaktor fc als „Beibungskoeffi- 
bezeichnet wird. Die Komponenten der Beibungskraft sind also; 





*4f' 


5 ,^ ^^ Jlu'i4er elastischen Kraft (ßl) tritt also noch die Beibungskraft (38) 
mid die Bewegongsgleichung ergibt sich, wenn zu dieser Summe 
noch dif Trä^eitskraft — gemäß dem d’A lern bertschen^ Prinzip 
liiikzugesetZt und das ganze annuliert wird. Also ist: 

— TU + 0*+ Ä ~ 0 , , 


. oder nach Einffihmng der Werte aus (21) und "(8»},; 




(35) 




Wir wollen uns damit begnügen, eine, etwa die erste Gleichung, zu unter- 
suchen? die Bewegung im Baume bietet nichts wesentlich Neues. 

Da jede der Gleichungen (35) linear und homogen ist ünd konstante, 
Koeffizienten besitzt, so hat sie die Eigenschaften der Differential- ‘ 
gleichung (5) in Nr. 33. Wir werden also auch hier ein Integral ver- 
suchsweise in der Exponentialform ansetzen: 


(36) 

was liefert: 
(36 a)- 



e ist dabei ein unbekannter, zu bestimmender Faktor. Die Ein- ' 
Setzung von (36) und (36a) in (35) liefert als Bedingung dafür, daß (36) 
ein Integral ist, die Gleichung: 

+ kQ + a^) = 0 , 

die, wenn man von der trivialen Lösnng j: = 0 absieht, folgende qua- 
dratische Gleichung für g liefert: 


( 37 ) 

Das gibt für g: 

(38) 


2 I ^ I /\ 

tfi m 




m ' 


Wir haben also zwei Lösungen, den beiden Werten von g entsprechend : 


( 39 ) ; 


s= c 



Multipliziert man jede mit einet willkürlichen Konstanten A und B 
und addiert, so erhält man die allgemeine, Lösung a;: 

' a: -|- Bx ^ . 


Wir wollen zunächst die Partikularlösungen a:i und a:, untetltt)^ep;J 
Dabei sin4, jß nii^em der Ausdruck unter der Wurzel 




120 


Mechanik mateneiUr Punkte* 


4m* 


< 0 ist. 


Wir wollen diesen Wert gleich — setzen: 


(40) 


t« 

4 m* 




Dann kann die Wurzel geschrieben werden: und wir haben iür 

die beiden Partikularintegrale (39): ^ 


(41) 


I 


oder nach Einführung trigonometrischer Funktionen: 


j Xj — e {cos23iw^f + i8in2»«^f;» 
L./ _ 

ajj * 6 {cos2;i«^jt — i8in2;r«(,fj. 


(4^j 


Nach dem früher über die Bedeutung komplexer Integrale Gesagten 
schließen wir, daß sowohl der reelle als auch der imaginäre Teil 
der Lösungen (41) für sich eine Lösung darstellt; bezeichnen wir 
die so erhaltenen Werte wieder durch ar^ und X 2 , so ist endlich: 


(43) 


I a5| » c C032;rw,,f , 

a;j«e •8in27Pü<jf, 


aus denen nach Multiplikation mit zwei willkürlichen Konstanten und 
, Addition die allgemeinste Lösung hergeleitet werden kann. 

fc ^ 

Die Fartikularlosnngen (48) bestehen aus zwei Faktoren, e *• 
iii^ leineia Sinus bzv. Kosinus vom Argument 271 (. Letzterer stellt 

V eine rein periodische Bewegung und zwar eine har- 

möltische Schwingung vor, wie wir sie in den vorhergehenden 
’lhuaihera' untersucht haben. Der andere Faktor, den man als Ampli- 
tade 'deuten kann, ist eine Exponentialfunktion mit negativem Expo- 
ruaten, eine mit wachsender Zeit abnehmende Oröße. Wir können 
dso« (43) anffassen ab eine Schwingung, deren Amplitude mit der Zeit 
ahmhunt und zwar offenbar in geometrischer Progresfion, und um so 
stfo-ker, je größer der Beibungskoeffisdent k ist. Dieser Vorgang ist also 
^nicht mehr streng periotUsch, sondern nur .noch angenähert; man be- 
^ielmet ihn als „qnasi'periodiscb"; die hier vorlie^den Behwin- 
gnngm werden als „gedämpfte". bezeiidmet'im' Q^ensatz zp d(^ Insber 
beläEMbteten „ungedämpften“. Pig#8%,tetanschaiilieht Ablwif 
der SäjfWQigangen. 




Spezielle Bewegungen eines suhstmtiellen Punktes, 


121 


1 

(44) 


Für die Schwingungszahl und die rezfproke Schwingungsdauer 
’ der gedämpften Schwingung folgt aus (40); 


® Tq 2nV m 4m* 


Vergleichen wir diesen Wort mit der Schwingungszahl % und der 
Schwingungsdauer Tq der ungedämpften Schwingung nach (10), so 
erkennt man, daß stets; 



Die Dämpfung verlangsamt also die Schwingung. Ist die Bei- 

Jfl Qt 

bungskonstante k sehr klein, so daß man in (44) gegen — 
vernachlässigen darf, so ist angenähert: 

d. h. für sehr kleine Dämpfung bleiben Schwingungszahl und Schwingungs- 
dauer ungeändert. Esistaber zu beachten, daß das nie für die Ampli- 
tuden gilt; diese nehmen bei noch so kleiner Dämpfung stets 
ab, und das macht sich bei genügend langer Beobaclitungsdauer stete 
geltend. Theoretisch erstirbt eine gedämpfte Schwingung (48) erst nach 



122 Mtohanik maimdUr PunkU. 

koeffizienten k ist durc^folge^de Figur dargestellt (Pig. 88) ; darin sind 
' als Abszissen die JJeschwindigkeiten, als Ordinaten die Werte k auf- 
getragen. V ^ 

:iOberhatt der Geschwindigkeit (o ist k praktisch konstant, unter- 
halb nimmt es'' sehr’^ schnell zu. Der Einfachheit halber beschränken wir 
uns auf die Behandlung der Fälle, wo k als konstant angesehen werden 
darf. 


k 



Die Beobachtung des Schwingungsablaufs gestattet, die Dämpfung 
e^rimentell zu bestimmen. Denn wenn man die aufeinanderfolgenden 

timkehrpunkte der Schwingung, die ja um g® auseinander liegt, be- 
^obacf^ty BO hat man für die entsprechenden Amplituden: 

c 6 s 27 inQtf 


I.: 


H+i* « 2- ^ 2 } cos2xn^{t + Y-j =• - e ^ ^cos25r^t, 




co82a«j (t + T„) = + e co82»5jf. 




Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden ist also 
genommen nach (46): 






ii. 

^ ^ " - . «I a 




‘ Netmeb. mr die Amplituden jetzt einfacher iti, xa, xgi 

jfo jft.naidi der letzten. Gleichung: f / 




*n 






123 


Spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes, 

Amplitude^ ist eine Konstante, der betreffenden Schwingung/ 
Die" Form derselben legt cs nahe, die Logarithmen zu bilden; man hat 
(lanii: ^ ^ 

(48) Iglaiil -lg|ten| = •••lg)*«! - lg|a!j»+i| “ - 

Man nennt diese Größe das „logarithmische Dekrement“ 
der Schwingung; da die Größen x^^ ... leicht beobachtet werden 
können, so ist die Bestimmung des logarithmischen Dekrementes größer 
Genauigkeit fähig; die Masse m wird auf der Wage, die Schwingungs- 
dauer Tq mit der Uhr bestimmt; so erhält man schließlich die Beibungs- 
konstante "fe. 


36. Aperiodische Bewegungen. 

Wir betrachten jetzt den Fall, daß der Ausdruck unter der Wurzel 


in (39) 

^ > 0 
4w» m'^ 

ist. Setzen wir zur Abkürzung: 

^ 

^ . 2m 

, 

' \ 4m* m 

k 

i/ 

^ 2m 

y 4m* m 

so haben wir statt (39): 

(49) 

[ x^ = e"A<, 

1 X, = e-A‘, 


und das allgemeine Integral wird mit zwei Konstanten A und B: . 
(50) x^ Ae + 

d X 

Zur Zeit 0 sei etwa *== z., «o- Das liefert zur Bestimmung 

der Konstanten A, B: ' ' 

^ *4" J5 j 

»■ A ßi S ^2’ 


(51) 

und daraus folgte 


(52) 


A 


!<t - tir 


n ^*0 + ßi 


Dw aU^naei^^ integral stellt sich als die Summe zweier'xsit 
abneh^l^i^ Bij^nenfialfunktionTO dar; dabei ist zu 

i<ßi<ßt 

also aü^BÜt 



124 


Mechanik maieHeäeT Punkte. 


Trägt 'man die Kurven und unter Berücksichtigung 

der Gleichung (52) auf, sb erhält man zwei verschiedene* Fälle, je nach- 
dem |-4| >|B1 |)der |^| < |B|. Wir wollen zunächst annehmen:* 
^>0, B<0, M|>|B1, 

d. h. die positive Anfangsamplitude der Exponentialfunktion, die lang- 
samer abnimmt, sei absolut genommen größer, als die absolut ge- 
nommene Anfangsamplitude der rascher abnehmenden Exponential- 
■ funktion, die selbst negativ sei. Dem entspricht die Zeichnung der Fig. 39, 
in der die gestrichelten Linien die beiden Funktionen, die ausgezogene 
ihre algebraische Summe bedeutet. 



. In diesem Falle nähert sich der Massenpunkt allmählich der Kuhe- 
lage, ohne sie jemals zu überschreiten, woher der Name 
'ap$nodiscbe Bewegung herrührt. 

',;Ein zweiter Fall: 

A>0, B<0, M|<|B| 
dm Bild der Fig. 40. 

* - In diesem Falle findet eine einmalige Überschreitung der Bubelage 
imd dann asymptotische Annäherung an dieselbe statt. Diese Bewegung 
^jst also wesentlich auch aperiodisch. Die übrigen Fälle liefern nichts 
weseotlieh Neues. 

Bin jSpezialfall der aperiodischen Bewegung ist der, wenn der Wurzel* 
ausdiuck 



ist. Dann fallen nämlich die beiden Integrale (49) ausamm^ M dea einer 



125 


Spexielle Bewegungen eines substantiellen Punktes, 

In diesem Falle muß man noch 6in zweites Integral der Differential- 
gleichung (35) suchen. Das kann in folgender allgemein möglichen Weise 
geschehen. Wir setzen, wenn Xi die Lösung (53) und z eine neue Variable 
bedeutet: 

(54) X ^ x^.z 

tföd wollen diesen Wert in unsere Differentialgleichung 



Fig. 40. 


eintragen. Wir erhalten aus (54) der Beihe nach: 


d X 

dT 

d*x 

dt^ 


dxi 


dz 


dt " ' di ^ 
d^x, , Ci dx, dz , d^z . 

= + + d>--' 

also durch Einsetzen: 

( . n dXi dz . d*z\ , , [dxi . d?) • ^ 

m ^ + 2 + X. + fc s + X, ^} + a* X, 2 = 0. 

Diese Gleichung kann geschrieben werden: 

^ (”• + -ll {2 -tr + *.) + TF i»« - 0 • 

Da aber eine Lösung der Differentialgleichung ist, so ist der Koeffizient 
von z identisch gleich Null, also reduziert sich die letzte Gleicb^g 
auf die folgende: f 

. ■37|*»4t + H + S"*'-"- 

Nun ist Äbe^ wie durch Differentiation von (53).$of(^t fol^i 



126 


Mtchdnik makfülUfr Punkte, 


also wird di^ letzte Gleichung: 




dz 

di 


> mir, 


d^z 


0 > 


oder^ da^das erste Glied fortfällt, einfach; 
^.was die partikulare Lösung ergibt: 


.0, 


2 

, I Nehmen wir diesen Wert,;? und setzen ihn in unseren Ansatz (54) 
ein, so erhalten wir einen Wert für x, der unserer Differentialgleichung (35), 
gdhugt, d*h. ein zweites Integral derselben. Wir haben so: 




X2 — ^i2^t*e 


aus dem man nun durch Kombination mit (53) das allgemeine Integral 
herstellen kann : 

(56), 




; Während ' das erste Glied wieder eine gewöhnliche Exponential- 
ftinktion darstellt, tritt im zweiten Gliede noch der Faktor t auf. Für 
^^^br große Werte von t jedoch wird diese Funktion auch beliebig klein, 

: Ijä ^ *"* schneller zu Null abnimmt, als t ansteigt. Der Charakter 
J jÄ^Bewegung ist daher nicht wesentlich verändert. 


37« fowungeAe Sehwingungen ohne BeräckiichUgnng der Dämpfung, 


> Öie bisher untersuchten Schwingungen können durch das Beiwort 
charakterisiert werden, da sie — einmal von außen angeregt ^ 
4;^ unto dem Einfluß der elastischen Kraft vor sich gehen. Ln Gegen- 
dazu nntersucben wir jetzt den Fall, daß eine äußere gegebene Kraft 
elastischen Kräften hinzutritt und den Ablauf der Schwin^g^>n 
Da der, normale Ablauf der Schwingungen durch die auf^e 
■ßxBtt gestört wird, so netat man. diese &aft auch „Störungs- 
Schwingungen selbst „erzwungene'* Schwingtipgen« 
/Wßm wir den Einfluß der Dämpfung zunächst unberücksichtigt lässep, 
das d'Alambertsche Prinzip bei Beschränkung auf die 
des Punktes lähgs der x- Achse die folgende Bewegan|^sulei<diiinil^ 

»'*+i (ft -fV. 










i< Bew egungen eine» sitbsiantieUen Funkte». 127 

Wir müssen zunächst einige Eigenschaften der Gleichtapg (57) ,£est- 
jtellePt die zwar linear ist tind konstante Koeffizienten besitzt, aber nicht 
mehr die Eigenschaft der Homogenität hat, da ein'von x und seinen Ab- 
leitungen freies Glied, /(<), auftritt. (57) ist-also eine „inhomogene“ 
Differentialgleichung. 

Wir wollen nun annehinen, zwei Lösungen dieser Gleichung' seien 
gefunden, etwa und Dann gilt identisch: 

=/«), 


iurch Subtraktion folgt; 


d* X 


58) m 2Ä (®i - ^ 2 ) + a*(«, - **) - 0, 

|.h. aber: Die Differenz zweier Lösungen der inhomogenen 
jleichung ist keine Lösung derselben mehr, wohl aber 
ine solche der homogenen Gleichung (die man erhält, wenn 
nan / (t) = 0 setzt). Nennen wir die Differenz x, - x, etwa so können 
fir X( schreiben: 

59) 2^1 = a-g + >; , 

nd das heißt: Wenn man zu einem Integral x, der inhomo- 
enen Gleichung ein Integral »; der homogenen Gleichung 
inzufügt, so ist die Summe ebenfalls ein Integral (x.) der 
ihomogenen Differentialgleichung. Die Bedeutung dieses Satzes 
t die folgende: Um das allgemeine Integral von (57) zu finden, welches 
I zwei disponible Konstanten haben muß, genügt es, nach dem obigen 
neorem, ein beliebiges partikuläres Integral der inhomo- 
gnen Gleichung aufzusuchen. Ist dieses gefunden, so ad- 
leren wir dazu einfach das uns bekannte, mit zwei dispo- 
inien Konstanten versehene Integral der homogenen Glei- 
nnng. Da die Summe nach dem obigen Satze wieder ein Integral der 
diomogenen Gleichung ist und außerdem zwei disponible Konstanten 
äsitzt, so ist sie das allgemeine Integral der inhomogenen Gleichung. 

Ein weiterer wichtiger Satz ist der folgende: Es seien zwei ver- 

gegeben, die sich nmt 
otf Ihre Storungsgheder (t) bzw. /, (f) unterscheiden, und je eindv 
derselben, so daß wir die folgenden identisi^l]^ 
pnenden Gleichungen haben: • - > 

1 X, «/,(«), 







128 


Meehamk tnaUrieller Pmktt. 


■ (61) , (®i + ai) + a’ (*i + «a) (<) + U (<) , 

d.h. die Summe acf+aig ist eine Lösung derjenigen inhomo- 
genen Gleichung, die- statt des Störungsgliedes /^(i) oder 
die Summe /^(t) +/ 2 W enthält. Die Bedmitung dieses Satzes 
* wird klar, wenn man ihn umdreht. Wir wollen annehmen, / (i) sei gegeben 
als eine Summe von periodischen Funktionen : , 

(62) /(^) = ^4^ cos 2 < + .4, cos 2 « nj < + . . . = 2 2 ^ 

V 

d. h. es sei die Differentialgleichung zu lösen: 

(63) m -h o* a; ~ cos 2 TTn^ f + ^2 cos 2 ;r Wj ^ , 

Dann können wir setzen: 

(64) « = a?! + ajj + «3 + . . . = a;^, 

. V 

und jede« Glied der einfacheren Gleichung gehorchen lassen: 

' m + a^a^j ~ cos 2;inj <, 

» w 4- a*a:2 = 42COs2;rn2^, 


m + a^a:^ = A^coB2nn^i, 


Sind diese gelöst, so ergibt die Summe der Integrale 

«j + 052 + . . . ®» 2 

: ü . y 

das Integral der ursprünglich vorgelegten Differentialgleichung (64) mit 
dem komplizierten Störungsglied /(<). Man kann also durch diesen Satz 
!^die gestellte Aufgabe vereinfachen, indem man sie auf eine Anzahl gleich- 
^ artiger Aufgaben mit einfacherem Störungsglied zurückführt. Wir wollen 
r^kitt annehmen, die Funktion /(f) sei stetig und differentiierbar, sowie 
;4%ach der Zeit periodisch. Unter dieser Einschränkung ist es stets mög- 
^lich^ nach einem von Fourier bewiesenen Satze f (t) in eine Eeihe von 
Kosinussen und Sinussen zu entwickeln. Es ist unter diesen Voraus- 
setzungen in der folgenden Form darstellbar: 


(65) 


« I f[t)^ + AiCOB2nn^i + A2COB2nn2i + ••• 

I + sin 2 Ä f + Ej sin 

Es genügt also, wenn wir die einfachere Gleichung betrachten 


P). 




<*** 1 » - 

m-air + ö*«' 


Acoa2!$nt. 


Ütena ^ eine Anzahl solch^ jSleiehungen läßt 4 m 
. ri — — gtets auÄ^ehr^n. Ke etörende Kt^t feit itf^esetti 



129 


Spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes. 

Falle eine harmonische Schwingung mit der Schwingungszahl^ n. Um 
den lästigen Faktor 2;7r nicht dauernd mitschleppen zu müssen, wollen wir 

2nn^v 

setzen, vist die Schwingungszahl in 27 p Sek., die sogenannte „Frequenz“. 

Der größeren Gleichmäßigkeit der Behandlung halber wollen wir 
schon hier von einem Kunstgriff Gebrauch machen, der nachher bei Be- 
rücksichtigung der Dämpfung uns die Untersuchung sehr erleichtern 
wird: wir wollen nämlich gleichzeitig mit (66) noch die folgende Gfei- 
chung betrachten: 

(12 y 

(66a) “ ^8iD2^rnf « A^invt, 

die sich nur dadurch unterscheidet, daß die störende Kraft um ein Viertel 
ihrer Periode gegen die von (66) verschoben ist. Gleichung (66 a) soll 
nun mit t = |/— 1 erweitert und zu (66) addiert werden. Dann folgt: 

(67) m [x iy) a^[x + iy) — A (cos vt + isiuvt) — A e**'*, 
oder wenn wir für x 4- ^«/ wieder den Buchstaben x setzen: 

(68) m a'^x ^ A e**''. 


Natürlich wird so x komplex w(*rden. Wir haben dann aber nur 
den reellen Teil abzuspalten, um dann nach dem eben bewiesenen Satze 
di<‘ Lösung der Gleichung (66) zu besitzen. Da (68) linear ist und kon- 
stante Koeffizienten besitzt, so werden wir wieder ein Integral in Ex- 
poneutialform ansetzen. Damit die Exponentialfunktion sich, wie bisher, 
fortlieben kann (worin ja der Vorteil dieses Ansatzes besteht), müssen 
wir dieselbe Exponentialfunktion c**'* nehmen, die die Ab- 
hängigkeit der störenden Kraft von der Zeit darstellt; dabei 
ist also jetzt v (im Gegensatz zu dem früher unbestimmten Faktor q in 
ganz bestimmt und nicht mehr willkürlich, tlenn es ist 
gleich der Frequenz der erzwingenden Kraft. Um aber größere Beweg- 
lichkeit im Ansatz zu haben, w^olh^i wir der Exponentialfunktion c**'l 
noch den unbestimmten Faktor B erteilen, wa^s sich auch sofort als not- 
wendig erweisen wird. Wir setzen also Versuchs w^eise an: 

(69) ^ ^ jgg. ^ ßivt 


nnd das gibt in (68) eingesetzt, w^nn mr die Exponentialfunktion gleich 
fortheben: 


(70) B(— a®) = , 


oder zur Bestimmung von B: 

A 


( 71 ) ■ • 





130 


Mechanik maimeüer FunUe, 


^ Man erkennt hier, daß die Hinzufügang de| unbegtimmWn Faktors B 
notwendig war. Demi sonst hätten wir statt (70) die Gleiohung erhalten 
und diese ist gar nicht erfüllbar, da w, a, ^ festem 
Werte sind, die natürlich im allgemeinen die Gleichung nicht befriedigen 
werden. 

Mit (71) wird dann unser Integral (69): 


jpt 


— 


oder^ wenn wir den reellen Teil, wie vorher besprochen, abspalten, den 
wir auch a: nennen: 

A 

— cos y t 

( 72 ) ® = 


Darin ist nach Gleichung (10) ™ = 4 ti* = Vq*, wenn wir durch Vq 

,die Frequenz der freien ungedämpften Schwingung bezeichnen, 
^amit haben wir endlich: 


■ cos yt 


ab partikuläres (denn es sind keine disponiblen Konstanten da) Integral 
der vorgelegten Differentialgleichung (66). 

Wir wollen uns zunächst mit diesem partikulären Integral be- 
; s^äftigen und erßt nach Untersuchung seiner Eigenschaften das allge* 
Ditegral bilden. 

Man erkennt aus (73) zunächst» daß die erzwungene Schwingung (ac) 
);]i|i^lb6 Frequenz hat, wie die erzwingende Kraft A cos vL Das ist natür- 
joli kein neues Eesultat, sondern war durch unseren Ansatz direkt ge- 
aber die Bechnung zeigt, und das ist der Fortschritt gegen den 
eh Ansatz, daß dieser Ansatz in der Tat bei geeigneter Bestimmung 
J^opstanten B eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung (66) 
Wir können also sagen: Eb ist die Wirkung der Störungskraft. 

Frequenz in v abzuändem. Die Amplitude von ^ iff .^^»2 ’ 
jÄbö um so größer, je näher v an liegt. Für v würde die AmpUtud< 
tin^Uidi groß sein. In diesem Falle sagt man: Das schwingeinde SysteTii 
^^btfäuf die störende Kraft „abgestimmt** odei dteht in 
'[mit derselben. Natürlich k^en die AmpUtudep in natura 

Ke Abweichung der Theorie ratoi|l|her,;4hß f 
den wir bisher nicht berücksiöbti| 





131 


^ Spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes* ^ 

sein. Fig. 41 Ätellt die Amplitude der erzwungene^ Schwingtmg als Funk-' 
tion von.i» dar. " # 

jvollen wir das allgemeine Integral herstellen; datzu addieren 
wir nur das allgemeine Integral der homogenen Gleichung 

, z . A 

m ct iXi ** 0, 

* 

das nach Gleichung (14) den Wert hat: 

Ccos t -I- Dsin-^f « Ccosv^^ -f Dsin 
]/m 



WO C und D zwei willkürliche Konstanten sind. Also wird: 

A 

( 74 ) X ^ —^^-ycosvi + Cco9P^t + Deinv^t. 

Wir müssen nun die Anpassung des allgemeinen Integrals an einfa 
willkürlich gegebenen Anfangszüstand vornehmen; es sei etwa mdg* 
liehst einfach: . ^ 

[ « = 0, 

für 

das liefiärt die Bedingungen: 




132 


Älechanik materieller Punkte* 


if * - 


1 1 / e — cos . 


Wir wollen nun den speziellen Fall betrachten, daß v von nur wenig 
abweicht, so daß v^ — v eine kleine Zahl = 2i$ ist. Wenden wir nun das 
Additionstheorem des Kosinus an, so ist: 

coBvt — cosv^t Ä 2 8m— • sin t, 

und dafür kann man nach der vorhergehenden Betrachtung setzen: 

cos V i — cos i'o f = 2 sin J f • sin — y-- t. 

Also wird (76) unter diesen Umständen: 

[77) X = I sin d<) sin t. 

Diese Gleichung läßt sich folgendermaßen interpretieren : Wir 
können (77) auffassen als eine harmonische Schwingung sin - ■ t**'* t mit 


2.A sin V t • • « 

4er variablen Amplitude ^ die Möglichkeit dieser .Deutung 

‘beruht darauf, daß sin di sehr langsam veränderlich gegen 

^ » ' 

sin-^“i ist. Denn das ist der Sinn unserer Voraussetzung, daß 

ff—r eiiM «ehr kleine Zahl ist. Für t =* 0 ist die Amplitude von sin — < 
gl^cb Nhil, um langsam zuzunehmen, bis slnsdt gleieh 1 gewor<jU^ ist. 
Da^ pinpnt die Amplitude äu Null ab, sinkt weiter b^s zuöi ^trago 
— Ij fwrd' wieder Null, "dann wieder +1 osw. Obige «Fig, Ä stellt 
die S^wingung (77) graphisch dar. , . , ' 




Spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes. 138 

Da das Ohr eine Schwingung als Ton vernimmt, so hört man in diesem 
Falle ein Abwechselndes Stärker- und Schwächerwerden des Tones, und 

zwar offenbar mal in der Sekunde. Diese Erscheinung ist in der 

Akustik als „Schwebung“ bekannt; sie tritt erst auf, wenn v nahe Vq 
ist, d. h. unmittelbar in der Nähe der Resonanz. Sie ist eines der schärf- 
sten Mittel, um geringe Tonunterschiede festzus teilen. 

Gehen wir jetzt direkt zur Resonanz über (v = rj, so kann man 
zeigen, daß das dem vorgeschriebenen 'Anfangszustande an- 
gepaßte allgemeine Integral (76) für alle endlichen Zeiten 
endlich bleibt, obwohl wir doch vorhin gesehen haben, daß das parti- 
kuläre Integral (73) dann un(‘ndlich wird. Man kann nämlich schreiben: 
__ A cos vt — cos !•„ t jA 0 I 
^ m i'o* - “"iw Olfür»=v» 

d.h. wir haben die unbestimmte Form ^ . Diese bestimmt man, indem 

man Zähler und Nenner nach v differentiiert und dann v == Vq setzt. So 
folgt: 

A 

(78) 

und das ist eine Schwingung \ on der Frequenz Vq, deren Amplitude, , 

proportional der Zeit < ist, also in arithmetischer Reihe ziinimmt, 
wie es die Fig. 43 zeigt. 



Erst für i 0 wird die Amplitude unendlich groß, und dann ist die^ 
hösimg unbrauchbar. Dieser Vorgang ist leicht verständlich. Wenn im 
Moment # = 0 die störende Kraft zu wirken anfängt, so beginnt der 
Massenpunkt „anzuschwingen“, wobei er immer mehr Energie von der 
äußeren Kr^ft aufnimmt, imd so steigert er allmählich seine Amplitude 
mul seine eigene Energie, Unendlich große Ampljitude entspricht unend- 
großer Enei^ie des Massenpunktes, und eine solche kann von einer 
e ndlichen äuß^nr Kraft erst in unendlich großer Zeit aufgenommen 


Mechanik materieller Punk^* 

■ ,1 M I 

werden. Um kann dies Ansohwingen ai^h als dk 'Grenzfall der. ßobwe- 
bungen auffassen^da'lür r=^Vo.die Schw 6 bnn©($ner imendlich lang 
' sein a»iß' In der ^Tat kanir man aus Gleichung (77) sofort die letzte Glei- 
chung (78) erhalten. Benn man kann setzen: 

-* ' ro*-»'*=(vo+v)(»'o-v) = 4i'od ; 


also ist nach (77): 

! lim { i— 

4-0 >2»»' 


(®)4= 


A* sin ^ < 




. f •sinvpi, 


da 


also" 


ist. 


lim 


sin d t 
dt 


lim 


8in4 ^ 

“"d ^ 


Diese letzte Formel stimmt also wirklich mit (78) überein. Natür- 
lich haben diese Entwickelungen insofern nur mathematische und keine 
phjsikalische Bedeutung, als unser einfacher Ansatz, daß die Kraft pro- 
pörtional der Elongation aus der Ruhelage ist, nur für kleine Amplituden 
^t. Für große Amplituden können daher die aus den Gleichungen ge- 
zogeb^ Folgerungen nur annühernd zutreffen. 

• . Wir wollen jetzt noch die Lösung eines etwas komplizierteren Problems 
geben, wenn nämüch die äußere Kraft aus zwei harmonischen Schwn- 
gungen von der Frequenz Vj und i '2 besteht. Dann lautet die DifferentiaU 
igU emb iin g nach (57): 

iS,;“'; 


m 


"(fi* 


-h a* ® = A cos »»1 1 -h B cos »j 1 . 


MVie'düese gelöst wird, haben wir im Vorhergehenden ausführlich be- 
Ächem; deshalb genügt es hier, das allgemeine Integral hinzuschteiben 
D sind disponible Konstanten) : 


; i Ä (7 cos 1^0 < + D sin i'o < 4- 


A 

tn 


, * ^ ; 


: COS 


JL 

m 




ver- 


Resultat ließe sich natürlich ohne Schwierigkeit 
r^ gftmftitiern : mM erkennt aus (80) das wichtige Brgphnis, daß in dei 
Zitierenden Schwingung a; nur die Eigenfrequenz v, sowie die Ißre- 
'Lenzen v, qnd v, der störenden Kraft auftreten, daß aber keine neuen 
Frequenzen sich gebildet haben; ferner sind die Amplituden 4et Schnwn' 
gungeh mit den Frequenzen und r, genau die nämliohen,: i^te si*' 
auch «ein würden, wenn die andere^ Sebwingungv^ht./hl® 
wate, Denn z. B. jst der Ktwffiztot 

ude in (78); das.hinzugefägte StÖ*||n|88^i^, 



135 


Spetielle Bewegungen ei nes auhstantieUen Punktes. 

gggggfm • • --Hl -Vj t'i •r'-'i ' ■ j »assi^a^asiaqaaaaaasgc;- ■ ‘n, u. ^ ; i , -rj :;,=:ragteEj 

eia n^8 öüe<J Wnzu, ohne die sc^on vorhandenen zä Sndism. Dieses 
einfaolw. ^ultarboruht, .wie wir schon, vorher gesehen^* haben,, -auf der 
aus d« Dinearität der Dleichung folgenden Eigenschaft, daß man die» 
Lösung mit kompliziertem .Störungsglied / (<) durch Superposition der 
Lösung von Gleichungen mit je einem einfachen Störungsglied von der 
Form erhalten kann. Man nennt diese Erscheinung daher 

auch das „-Gesetz von der ungestörten Superposition“ der* 
Schwingungen. In dem Moment,- wo die Differentialgleichung nicht ihehr 
linear ist, hört dieses auf zu gelten. 


,38. Erzwungene Schwingungen mit Berücksichtigung der Dämpfung. 

Unter Einführung einer Eeibungskraft - k erhalten wir nach * 
dem d’Alembertschen Prinzip statt (57) die allgemeinere Gleichung: 

( 81 ) 


X (ix 

dp dt = /(<), 


oder, bei Beschränkung auf eine harmonische Störungs kraft: 


(82) 


m 


d^x 

~di^ 


dx • 


^2 + k -jj -h X A cos I» t , 


ri*' 


oder endlich, indem wir rechts noch das Störungsglied lA sin vt hinzu- 
gefügt denken: 

(®3) m -f k + a^x = A e'". 

Um ein partikuläres Integial von (83) zu finden, setzen wir, genau wih 
vorher, versuchsweise an: 

(®4) X = ße'”', 

wo B eine noch unbestimmte Konstante, dagegen v die fest gegebene 
Frequenz der erzwungenen Schwingung i.st. Das Einsetzen in (83)^ liefert 
die Bestimmungsgleichung für B: 

ß (— m V* -f fc >' t + a*) -= /I , 

oder auch: 

A. 

( 86 ) 


B 


j. a ,.a + ^ 

m 


wobei |/~ wieder gleich Vq, der Eigonfrequenz der ungedämpftöh. 

,8®Mngung, gesetzt ist. Analytisch besteht, wie man d^rch Ver. 
gleich ^t dä a^logen Gleichung (71) erkennt, der EinfluB*des DIjdu]^ 
lun^gji^^ darin, die Konstante ß komplex zu machen. Wi? 'WoÄen 

etwas, utitforipen, indem ‘ wir 

t&V schr^thAn ; 


136 

( 88 ) 


Mechanik materieller Punkte. 


«0*— P* ^ (>C08V>, 
k» 


(87) 


Dann hat man für ^ und y>: 

? = + i/k" - ’’’)■ + - 5’ 


kv 

m 

yj — y* 


Dann wird der Nenner von (85): 

Q cos ip + i (> sin xp*^ q e* v ; 
also kann man schreiben: 

( 88 ) 


ß= e-v-, 

m (j 


und das liefert endlicli durch Einsetzen in (84) für das partikuläre In- 
tegral : 

(89) x = 

m ^ 


was durch Abspaltung des reellen Teiles das gesuchte partikuläre Integral 
tinserer Ausgangsgleichung (82) ergibt: 


(90) 


, —coaii’t - f) 

x^~-- cosht- w)^ - 

»»f ^ fr* 




^ \ Wir beschäftigen uns zunächst mit den Phgenscliaften dieses parti- 
kulären Integrals. 

Man erkennt aus (90), daß die erzwungene Schwingung 
dieselbe Frequenz y*hat, wie die störende Kraft, und 
zweitens, daß sie ungedämpft ist. Die Wirkung der äußeren Kraft 
'besteht also darin, einmal die Dämpfung aufzuheben, ein 
zwisites Mal die Eigenfrequenz in v abzuändern. Ander- 
seits macht sich die Dämpfung in dem Auftreten einer Phasenverschiebung 
vom^Betrage y in der erzwungenen Schwingung gegenüber der erzwingen- 
den bemerkbar. Denn nach (87) ist tangy proportional dem BeibungS' 
koeffizienten h Man kann den obigen Bachverhalt unmittelbar erkennen 
durch eine passende Umformung der äußeren Kraft, wobei wir von^der 
Existenz des partikulären Integrals (90) Gebrauch machen. Man kann 
nämlich schreiben: 

^ cos vt ^ 4 cos j(v f — y) + xp\ A cos (i^ t — y) cos y - 4 sin (y • sin ip • 

'Nun ist nach (90): 

A CO» (vi -- Xt 




137 


Spexielle Bewegungen eines substantiellen Punktes, 
und durch Differe^ntiation nach t: 

also kann schließlich die äußere Kraft Acosvt in die Form gebracht 
werden : 

A ± , niQ dx . 

Acosvi- mgx- cos tp 4- ^ j~ sintp. 

Endlich ist nach (80) 

dx 

(91) A Go^vi^m[vQ^ — i/^)a: + 

Die äußere Kraft ist demnach zerlegt in einen Bestandteil, der pro- 
portional dem Abstand x von der Kuhelage ist, also nach Art einer 
elastischen Kraft wirkt, und in einen Summanden proportional der 
Geschwindigkeit, also von der Art einer Reibungskraft, aber anderem 
Vorzeichen. Betrachten wir nun die Gleichung (81), in der die „Kräfte- 
bilanz“ aufgestellt ist, so nimmt diese unter Einführung von (91) fol- 
gen(l(' Gestalt an: 

(92) m X X mv^ X k 

Man sieht zunächst, wie durch den zweiten Summanden der Störungs-^ 
kraft das Reibungsglied gerade aufgehoben wird; ferner wird, wenn man, 

berücksichtigt, daß Vq* ~ — Ist, die ursprüngliche elastische Kraft —a^x 

kompensiert durch ’- niVg^x, und es bleibt als elastische Kraft nur übrig; 
— mv^x^ welches Glied eben die Fi'equenz v (an Stelle von Vq) ergibt. 
Damit ist die Wirkung der äußeren Kraft vollkommen klargestellt. 

Dil* Größe der Amplitude der erzwungenen Schwingung hängt w'esent- 
lich — ähnlich wie ohne Dämpfung — von der Differenz der Frequenzen 
V und ab; Gleichung (90) zeigt, daß im allgemeinen, je geringer diese 
Differenz ist, um so größer die Amplitude des Mitschwingens wird. Doch 

tritt wegen des Zusatzgliedes einerseits niemals — im Gegen- 
satz zu früher — ein unendlicher Wert der Amplitude ein und 
darin besteht eben die Wirkung der Dämpfungskraft ; anderseits be- 
wirkt dieses Zusatzglied, daß das Maximum der Amplitude nicht genau 
dann eintritt, wenn v = Vq ist, weil das Zusatzglied selbst Funktion voar 
ist. Doch sind die Abweichungen im allgemeinen gering. Das Maximum 
der Amplitude tritt offenbar ein, wenn 

(>“|/(V- •-’)’+ 

‘‘in Minmiuiia ist, Differentiieren wir q nach v und setzen deh Differential* 
quotienten gleiÄ Nul^ zur Bestimmung des Maximuäis, so folgt: 






139 


' Spezielle Bewegu ngen eines subsiantiellen Funkles, 
und für die Eesonanzintensität nach (95) und ( 96)5 


(98) 


Er 


_m 

2 * 


Daraus folgt zunächst t Die Höhe des Eesonanzmaximums ist in beiden 
Fällen um so größer, je kleiner die Dämpfung ist, und zwar ist die Ee- 
sonanzamplitude angenähert umgekehrt proportional der ersten Potenz 
von k, (üe^ Eesonanzintensität streng umgekehrt proportional der zweiten 
Potenz von k. Setzt man in (97) und (98) für einen Moment k = 0, so ^ 
erhält , man das schon aus der vorhergehenden Nummer bekannte Ee- 
sultat, daß dann Eesonanzamplitude sowohl als auch Resonanzintensität , 
unendlich werden. 



Nehmen %vir nun aber eine gegebene Differenz zwischen v und 
sagen wir v*— V q* = z 1, an, so schreiben sich Amplitude und Energie , 
der erzwungenen Schwingung als Funktion von k nach (90) und (96) i 
allgemein so: 

A 




140 J^ec^ianik fnaterieller Punkte. , 

iaß B und als Funktionen von v upi so Isleinere Werte und ein um so 
■flacheres l^aximum haben, je größer k ist, oder anders ausgedrückt: 
Die'‘ Erscheinung der Besonanz ist um so ausgesprochener, 
je kleiner die Eeibungskraft ist. Bei kleinen Werten von fc kann 
bei genauer Abstimmung die Amplitude noch immer sehr große Werte 
erhalten. In Fig. 44 ist B als l'\mktion von v für verechiedene Werte h 
aufgezeichnet. 

Nunmehr gehen wir zur Bildung des allgemeinen Integials über; 
* zu diesem Zwecke addieren wir zu (90) das allgemeine Integral der freien 
gedämpften Schwingung, das aus den Gleicliungen (43) mit Hilfe zweier 
disponibler Konstanten C und D zusammengesetzt werden kann, und 
wir erhalten so: 

L. i _ ^ ~ » i4 CO*» (i' f — w/) 

(100) a: = e {Ccos j<„l + Dsin 


wenn wir für 2 .'t«o abkürzend Vq schreiben. 
Setzen wir etwa als Anfangsznstand fest: 

( a: = 0, 

(101) für« = 0^j;_ 

• [dt ~ 


so folgt zur Bestimmung der Konstanten: 


(102) 


m 


Daraus ergibt sich: 


(103) 


I C = - 

I D 


A COS V' 
m V 
A 


m(iVo [ 2m 

Slifc^^diesen Werten wird aus (100): 


_.{_.^_co8V/-.'sin^.) 




<104) 


X 


— * f r 

|cos(*'t- V') + e |-cosP,f-co8V' 

sin ^ t • cosV'] ) • 


- Nehmen wir speziell den Fall, daß k sehr klein und 5, nahe^an 
liegt, so ist ungefähr gleich 1, das Glied mit dem Faktor 2m}, 

' tmgeaäbert zu vernachlässigen, und für eine größere Zahl von Schwin- 

*^^gnngen ist e~ von 1 wenig verschieden. Mili diesen' Veremfachtthgen 

[ . Ä. 1 

|io^ *“ co8(Faf -“i^»)], 


Spexielle Bewegungen eines substanliellen Punktes, 


141 


und da endlich, wenn ist, \p nach (87) ungefähr gleich Jiß ist, so 

ist noch einfacher: 

(106) a; = ™[8invf — e 

])a für kleine Zeiten, wie wir schon wissen, e 2 »« ^ nur wenig von I 
abweicht, so haben wir praktisch zu Anfang: sin vf — sin und das 
gibt wieder zu Schwebungen Veranlassung, die in dem Maße verklingen, 
als mit wachsender Zeit der Exponcntialfaktor kleiner und kleiner^wird. 
Nach Ablauf hinreichender Zeit sind alk* mit demselben behafteten Glieder 
verschwunden, und es bleibt dann nur noch die erzwungene Schwingung 
übrig; die den Anschluß an den Anfangszustand vermittelnden Eigen- 
schwingungen sind abgeklungen, der Einfluß des Anfangszustandes auf 
den Vorgang ist damit erloschen. 

Für manche Fälle ist wieder zu beachten, daß der Eeibungskoeffi- 
zient k keine Konstante ist, sondern unterhalb eines gewissen Minimal- 
wertes der Geschwindigkeit rasch anw'ächst. Dieses Verhalten bringt 
gewisse Abweichungen von dem hier untersuchten idealen Falle mit sich* 


39. Lineare freie Schwingungen von endlicher Amplitude. 

Wir wollen jetzt die Untersuchung der geradlinigen Sch\\ingung 
eines Massenpunktes, die in Nr. 33 ausgeführt wurde, nach einer anderen 
Kichtung hin ergänzen. Es >vurde dort angenommen, daß die Amplitude 
der Schwingung stets klein ww, und deshalb konnte die Kraft gemäß 
d(*r Gleichung (2) und (3) als lineare Funktion von x betrachtet werden. 
Dies ist jedoch nicht mehr zutreffend für größere Amplituden, und man 
muß dann allgemeiner noch die iiöheren Potenzen berücksichtigen; wir 
werden jetzt noch das quadratische Glied beibehalten, also statt (3) 
schreiben, indem wir 0*0 sofort gleich 0 setzen: 

/(a;)«/'(0).a: + ir(0)a:S 

oder : 

(107) / (x) ^ X bx^ , 

Dann liefert das d’Aloinbertsche Prinzip die Sclnvingungsgleichung: 

(108) + a*« d- 6«^ = 0. 

Der Kraftansatz (107) besagt außer der endlichen Größe der Ampli- 
tude auch noch, daß eine tinsymmetrie vorhanden ist. Denn z. B. bei 
positiven x und h sind beide Glieder des Ausdmeks x +bx^ gositivi^ 
Verstärken sich also, während bei negativen x das erste Glied negativ 
wird, während das zweite positiv bleibt: sie schwrichen einander dahn. 
Schwingungen sijnd also unsymmetrisch. ^ 

Im allgemeinen sind die. Werte von h sehr klein; dies wollen wir von 
jetzt ab aü^drlinklifb yoraussetzen^ u darauf beruht die Methode der 




, * 

j 42 ' Mechanik matc rie^ 

sogenannten „sukzessiven Approjdmationen^, die wr zui* 
voitrtOS) benutssen werden. Vorweg sefnodbi bemerkt, daß Gl^ohTOg.(108) 
nicht mehr ’linÄr ist; daher können wir zwei Integrale derselben 
nicht meto durch Addition nach Multiplikation mit beliebigen Konstap- 

tbn zum allgemeinen Integral zusammensetzen: Das für lineare Glei- 
chungen geltende Gesetz der ungestörten Superposition 
der Lösungen gilt nicht mehr. 

Wir wollen nun die Lösung ansetzen als Potenzreihe, die nach Po- 
tmizen der kleinen Größe b fortschreitet: 

(109) x = <p,t + Vi^ + + 

-vro natürlich die Größen Funktionen von < sein müssen. Ferner wollen 
yfa z. B. als Anfangsbedingungen festsetzen; 

I 

fllOl fürt = 0 „ 


Nun bilden wir mit (109) die Werte und z*. Das liefert: 

( «P* <P»« , <Pvi 1, , _<PVi 1 

(111) . ^ rfp *’ ’kp ^ 

' I ** “ 9'o* + 2 + + *’*■*■••• • 

^tzt man diese Werte in (108) ein, so folgt: 

" {tF + ‘ S- + •• •}+“‘ ^ 

wenn man nach Potenzen von b ordnet: 

1 -l-b*[m^^*- + o*<ir', + 2g»o9'i] +•••=- 0. 

dteiehung kann, für beliebiges b, nur dadurch befrie^gt werden, 
die Ifoeffizienten jeder Potenz von b einzeln verschwinden. Das 
^ht ^0 folgende Keihe der Gleichungen: 

w ^ » 

^18) + • 
m H- a*(pt + f P» 


^iuigsb^ngm^n 



14B 


Bawegungm eines suhsiantiellen Punktes, 




114) 


ri«r2 = r3== 

* dq^Q dq^ dq» 

. TT ^ ^ TT “ - 


ü, 

0 . 


' Die erste Gleichung (113) ist uns nun bereits bekannt. Sie ist Men- 
fisch mit der Gleichung (5) für einen mit kleiner Amplitude schwingenden 

Massenpunkt. Das Integral ist also nach (14), wenn wir 

ym . 

setzen: 

(po = A cos v^t + B sin VqI, 


und nach der ersten Anfangsbedingung (114) wird daraus: 

(115) (Pq == c * cos VqI, 

Mit diesem Werte wird die zweite Gleichung (118): 

(116) m -^*1^ 4- = — c-cos^i^^f = — ^ — jCos2v^i, 

Diese kann man aber vereinfachen, indem man das konstante Glied 
rechts fortschafft. Das geschieht durch die Substitution: 

Dann erhält man füi* tpi die einfachere Gleichung: 

(1 18) m + a* V'i == - 

und das ist eine Gleichung vom einfachsten Typus der erzwungenen 
Sclnvingungen, wie wir sic schon in (66) kennen gelernt haben. Das all- 
gemeine Integral ist also: 

c* 

i/Zj » Ccosv^jf 4- DsinvQt 4- -^-C08 2y^f, 

und daraus folgt, mit Hilfe der Beziehung (117) für tp^: 

Vi^^ + 0 < OS vJ + D sin i-, i + - cos 2i-, f , 
und unter Berückachtigung der zweiten Gleichungen (114): 

7 >, » -^{8 — dcosKjt + cos2i',tj. 

Bleibt man b^i diesem Grade der Annäherung stehen, so ist nach (109i 
(115) und (119): • ■ * 

fi cos fo f + -^ {8 - 4 cos i>„ f + cos 2 Kj 

oder: ' ‘ 

(l20)^v■•■' 




144 


Michanik materieller Punkte. 


d.h. in der Schwingung iritt jetzt noch die doppelte Schwingungszalil 2vo, 
^öder akustisch gesprochen: neben dem Grundtpn tritt als Ober- 
ton die Oktave auf. 

Bilden wir noch die nächste Annäherung, so ist nach (118), (115) 
und (119): 

+ ==-2y»yi = - -^cosv^tiS - fcosvj + cos2v^t), 


oder entwickelt: 


( 121 ) 


m 






2 c* 


•? c» 


2 c’ 


6 


COS t 


+ t 


6» 

6 a* 




und das ist wieder eine Gleichung für eine erzwungene Schwingung; es 
tritt dann, wie man leicht sehen kann, auch noch das Glied cosdv^t 
auf usw. 

Natürlich hat das ganze hier geschilderte Verfahren nur 
dann Sinn, wenn die Reihe (109) für x, von der in (120) die 
drei ersten Glieder dargestellt sind, konvergent ist; dies 
bedarf jedesmal einer besonderen Untersuchung,^) 


40« Erzwungene Schwingungen mit endlicher Amplitude; Theorie der 
Kombinationstöne. 

^ Eine für die Akustik bedeutsame Erweiterung der Untersuchung 
der voiliergehenden Nummer erhalten wir, wenn wr zu der elastischim 
Kraft — (a*x+&®*) noch äußere periodivsche Kräfte hinzufügen, und 
zwar wollen wir / (f) in der Form annehmon: A cos yt + B cos qt, d. h. 
also, akustisch gesprochen: zwei harmonische Schwingungen 
fvo^ den Frequenzen p und g wirken auf einen schwingenden 
Ha^senpunkt ein und beeinflussen ihn derartig, daß seine 
Amplitude eine endliche Größe anniramt. 

, Statt der. Gleichung (108) erhalten wir daim nach dem d'Alembert- 
«j|hen/ Prinzip die Bew^egungsgleiohung: 

Mm 

« ilcospt + Bcosgt. 

Um in Uieser Gleichung keine überflüssigen Konstanten mitzuseWeppeu 
— uns kommt es hier wesentlich nur auf die Kenntnis der Frequenzen 
a|i, die der schwingende Massenpunkt ausführt — , wollen wir noch durch 
— .1 b ^ wieder ß $ohreiben^J 1 ^^ 

Dani^ haben wir; 


m 


m dividieren und statt 

"'a* ' 

die Frequenz gesetzt wird 


XiHoru, H 47/f. ^rJzhrg* 19^^^^^ 


SpexidU Bemegungen eines svhstaniiellen Punktes* 


( 122 ) % ’jjT + 6a;* »= -4 cospe -f ficosg«. ^ 

Wir wollen wieder nach der Methode der sukzessiven Approximationen 
(len Ansatz machen: 

(123) , X (Pih -\-rp2h^ . 

r 

Damit wird aus (122) folgende Eeihe von Differentialgleichungen er- 
halten, indem wie vorher die zu gleichen Potenzen von h gehörigen Koef- 
fizienten einzeln annulliert werden: 

+ Bcosqt, 

(124) + = 

S- + "»V* + SqPoy, = 0, 


Setzen wir als Anfangsbedingung etwa fest: 

(125) fürt = 0: x = c, ^ = 0, 

SO ergeben sich folgende Anfangsbedingungen für die Funktionen q?: 

I <)t>o(0) = c, q(),(ü)=r9;j(ö) = ... = 0, 

(126) < dq>„ (0) _ d(fi(0) _ _ n 

( dt dt ^ di •••— • 

Die (^rste der Gleichungen (124) ist die einer gewöhnlichen erzwungenen 
Schwingung. Wir können daher nach dem Früheren das allgemeine 
Integral für (p^ sofort anschreiben, wenn C und D willkürliche Konstapten 
sind : 

= C cos ( + D sin r, t + „ j l-„i- cos pt + cos g « , 

woraus mit Eücksicht auf die Anfangsbedingung (126) wird: 

f, = {o--;/zy+ + -^i-<^ospt + cosgt. 

Nim haben wir zwar von dej: Einführung euier Dämpfung Abstand ge- 
nommen; dies würde im wesentlichen den Erfolg gehabt haben^ die : 
Eigenschwingung von der Frequenz Pq mit der Zeit zu beseitigen, ' 
riinfachheit halber Wollen wir aber im folgenden — was durch eine' ge- 
nauere Bechnung bestätigt wird — uns erlauben, das Glied mit cos f 
einfach fortzulassen. Dann hat man; 

^ -^^9 •• 

1Sleichun^.(lÖ4J^; , 


146 


Mechanik materieller Punkte, 




oder entwickelt: 
(128) 


B^oos^qt ^ABeospioo&qi 
' W “• 9*7 K‘~ P*)K* -3*) 




B* 


d<* 


+ «'o - - 2 (.'o* ~ p')* - g*)* 

B* cos 2g < iAB 


A^eosipt 

2W-P*)* 




l,y (cos (p + g) t + cos (p — g) t} . 


Dies ist nun wieder eine Gleichung für eine erzwungene Schwingung, 
und man erkennt schon ohne Rechnung, daß 99 ^ die Frequenzen 2 p, 
2 g, p +g, p — g enthalten muß, d. h. die Oktaven der ursprünglichen 
Primärtöne p und g, sowie die Summe und die Differenz der 
Frequenzen der Primärtöne. Tatsächlich nimmt das Ohr diese 
Tmie wahr: der „Differenzton“ ist zuerst von Tartini beobachtet 
worden, der „Summationston“ ist zuerst aus der obigen von Helm- 
holtz herrährenden Theorie von diesem erschlossen und dann auch 
von ihm beobachtet worden. 

Wenn man die Annäherung noch weiter treibt, so erhält man aus 
den weiteren Gleichungen (124) u. a. noch folgende Töne: 


(129) • 2p-g, 2g-p, 3p-2g, 3g-2p,... 

die als Differenztöne „höherer Ordnung“ bezeichnet werden und tat- 
sächlich auch beobachtet worden sind. 

Ke oben dsurgelegte Helmholtzsche Theorie ist früher heftig be- 
stritten worden; doch ist durch die neueren Versuche von C. Stumpf 
und E. Waetzmann festgestellt, daß der weitaus größte Teil der Folge- 
rung^ der Helmholtzschen Thtwie zntrifft. Dies gilt z. B. für die 
• Amphtuden der Differenz- und Summationstöne, oder wie man zu- 
sammenfas.send sagt, der „Kombinatiönstöne* , hinsichtlich zu den 
Amplituden der Primärtöne. Die ausführliche Rechnung zeigt, daß 
folgende Amplitudenverhältnisse vorliegen. 

Ton j Amplitude ist proportional; 

Primärton p t 

” . * I 

Snmmations- u« Düferoizton p db ^ | 

Büferenzton Ü. Ordnung 2p- q ! 

„ n. .. 29 -p i 


A , 

» 

A-B 

AB^ 

A*B 


: Nun bat speziell Waetzmann gezeigt, daß di« Intensitäten der Difi«»n'/- 
föne ach in der Tat so verhalten, wie die obige Tabelle e» verlaltgt. 

' Daraus kann alllerdiitgA noch nicht de rj^gj bjna auf di'‘ 
Richtigkeit der ;Helml}|>ltz8cfae|t Gleichung werdee; 


Spezielle Bewegungen ^eines aubaiantülUn Punktes. 147 

denn es wurde durch den Verfasser gezeigt^), daß alle Gleichuujgen 
von der Form: 

(130) , S' + »'<>*®±2*./j0-^-“^cospt + ßco8gt, 

wo a und ß zwei ganze positive Zahlen mit Einschluß der 
Null sind, Kombinationstöne liefern, und bei ihnen allen 
gehorchen die Amplitudenverhältnisse der obigen Tabelle. 
Es ist also durch die obigen Versuche nur gezeigt, daß die Ursache der 
Kombinationstöne jedenfalls in einer oder mehreren der Gleichungen 
vom Typus (130) zu suchen ist, dem die Helmholtzsche Gleichung (122) 
als Spezialfall angehört, nämlich für a — ß~0. 

Nur ein wichtiger, in der Natur voraussichtlich häufig erfüllter 
Spezialfall sei von (130) hervorgehoben: a = /5 = 1. Dann folgt: 

(131) ± = Acospt+ Bcosgt. 

Darin läßt sich ± 6 als ein Beibungsglied deuten, welches 

dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional ist und das 
erfahrungsgemäß fast stets vorhanden ist. Da die Reibungskraft der 

Geschwindigkeit stets entgegengesetzt ist, so muß das Glied & 

jedesmal sein Vorzeichen wechseln, wenn die Bewegungs- 
richtung sich umkehrt. Diese Gleichung ergibt mm insofern ein 
anderes Resultat als die Helmholtzsche, als aus ihr folgt, daß die 
Intensität der Kombinationstöne ceteribus paribus um so 
größer ist, je höher die Frequenzen der Primärtöne sind. 
Dies Verhalten. ist mm in einer Arbeit von Waetzmann und Mii^cke^) 
tatsächlich beobachtet worden, so daß in der Tat in manchen Fällen 
die Gleichung (131) der Helmholtzschen vorzuziehen ist. Doch ist 
das letzte Wort in dieser Angelegenheit noch nicht gesprochen. 


41. Bewegung eines substantiellen Punktes auf einem vertikalen Kreise: 
ebenes mathematisches Pendel. 

Wir wollen einem der Schwere unterworfenen substantiellen Punkfe 
die Bedingung auferlegen, daß er auf der Peripherie eines in einer verti- 
kalen Ebene befindlichen Kreises sich bewegen soll. Nehmen wir die- 


0 0. Sohadfer, Ann. d. Phya. 8S, p. 1216, 1010; vgl. auo^ P. A. SchuUl", 
A. a, 0. 84, p. 817. 1911. i , 

^ K Waetzmann u. G. Mücke, Verhandl, d, deutsch. physiki Ges. 1018, 



148 


Mechmik maierUil&r Punkte. 


vertikal nach oben, die y-Aohse horizontal von links nach rechte, 
so haben w, da x dar^md gleich 0 ist, nach dem d*Afembert<|<^en 
'Pri^pidie Gleichung: • 


(182) ^ m 3y m^yj - 0, 


da Y = 0, Z = — mjf ist. 
w" Dazu tritt nun die Bedingungsgleichung: 


(188) 


j -h j/^ ^ = 0, oder: 

I + ?/djy ==0. 


Wenn wir nach der Vorschrift des d’Alembertschen Prinzips bei be- 
schränkter Bewegungsfreiheit die variierte Form der Bedingungsgleichung 



Fig. 45. 


unbestimmten Faktor Z erweitern und zu (182) addieren, so 
nach dem Früheren das Gleichungspaar: 




ä*z 


m 


d/* 


— i; 2 r -f mff = 0. 


jii^eitem wir, um zu einer Integration zu gelangen, die erste Gleiohui% 
die zweite mit y und subtrahieren, so wird der unbekannte 
Faktor i eliminiert und wir haben: 


HISS) 


• ^ 


ä*z 

-ynT 


9V‘ 


” das £V>lgeQde i<it es prektoofi, ein 

9^) Mg. 0 




i' , ■ , 

■ , S pexüUe Bewtgungm eines stAstantieUm Punktes, 149 

Dann ist offenbar, da der Badiusvektor stets gleiclt B sein nuiS: 

m 1 

I ^ — R COS fp, 

und wenn man die daraus sich ergebenden Werte von und ^ in (135) 
einsetzt, so ergibt sich folgende Gleichung: 

(137 a) + g Rsinif, = it, 

und nach Kürzung durch B: 

(137b) Jj+Asiny, = 0. 

Dieser Fall kann sehr einfach experimentell realisiert werden, wenn 
man einen schweren Massenpunkt an einem möglichst leichten Faden 




A 

Fig. 46. 

von der Länge B befestigt und im Erdfelde schwingen läßt; dieser 
Apparat ist ein sogenanntes mathematisches Pendel und die Differential- 
gleichung der Schwingungen haben wir in (137) vor uns. 

Man kann diese Gleichung auch durch eine direktere Betrachtung 
mit Hilfe des d^Alembertschen Prinzips erhalten. Sei in Fig, 46 
0 der Befestigungspunkt des Pendelfadens von der Länge B; P die augen-^ ' 
blickliche Stellung des Massenpunktes. % 

Im Punk^ P greift dann die Kraft PA ——mg an ; diese zerlege wjbci 

I^c^ponente PA' senkrecht m OP und PA" pj^rallel 
*Dieöe letzteW Komponente wird vernichtet durch die BedingungsgleicH nn ^ 
daß der substantielle ]punkt die Kreisperipherie nicht 

dur<3h die Spannunj^-^^J^^ 



150 


Medmnik jnatmdler 'Funkte, 


Nach dem d’Alembertsohen Prinzip wird dieser Kraft das Gleich- 
gewicht gehalteQ durch die tangentiale I^omponente — der Träg- 
heitsfcraft§ die z. B, nach (68 b) des 11. Kap. auf pag, 106 den Wert 

— hat, da hier B = Const. ist; also ist: 

mg sin (f mR =» 0, 

und das ist wieder die Gleichung (137). 

Wir behandeln zunächst den Fall unendlich kleiner Pendelschwin- 
gungen; d. h. wir nehmen <p so klein an, daß sin (p durch (p ersetzt werden 
darf. Dann folgt statt (137): 

(138) + 


die sich somit als von der Form der gewöhnlichen Bchwingungsgleichung 
eines substantiellen Punktes herausstellt. Die allgemeine Lösung ist 
folglich mit zw^ei willkürlichen Konstanten A und B: 


(139) ^p = ^co8|/-|.« + ßsm|/-» <, 
also ist die Schwingungsdauer TqI 

(140) . r„ = 25r|/|. 

' Da hian Schwingungsdauern sehr genau messen kann, so bildet die 
Beobachtung von Pendelschwingungen nach (140) eine ausgezeichnete 
Methode, um y zu bestimmen. Es hat sich dabei herausgestellt, 
daß g eine Funktion der geographischen Breite ist. Wir 
werden auf die Erklärung dieser Erscheinung in Nr. 44 
eingehen. 

> Es handelt sich nun um die Frage, wie genau diese Annäherung ist; 
Um dies zu beantworten, kömite*man folgendermaßen verfahren. Wir 
e^jtwiekeln sin<jp in die bekannte nach (p fortschreitende Potenzreihe: 


S^zt man dies in (137) ein, so folgt: 


ind diese nicht lineare Gleichung könnte nach der Methode der sukzes- 
siven Approximationen ohne Schwierigkeit Ijehandelt werden. . Der 
Vergleich mit der angenäherten Lösung (189) hrgäbe dann das Kriterium 
für die Brauchbarkeit der letzteren. , 

wollen jedoch die Gleichung (IS’D ^mit voller Allgemeinheit 
behahdelm. Multipliziert man (187 a) mit so kanm diese Fcirmel ' 



Spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes. 


151 


alsd; 


Ti )-»»<)'« -ii 

■ [Ti] -”<■9^ cos ff] = 0> 


d 

dt 


also der Klammer ausdruck selbst konstant. Diese Gleichung 
spricht offenbar das Energieprinzip aus, denn | ist gleich de^»^ 

kinetischen, — m^Bcos^? gleich der potentiellen Energie, und deren 
Summe ist nach der letzten Gleichung eine Konstante. 

Es sei etwa zur Zeit f = 0 der Winkel (p und die Geschwindig- 
keit Co= ® (4t ) ’ letzten Gleichung: 

Y ( il) - H = Y “ Ä ' 

oder auch : 

(142) = ± |/-g- - -/ cos cos (f , 

oder endlich: 

(142a) B - — ± -- 2gR cos 9 ?^ -f- 2g R cos (f > . 


Jetzt sind zwei Fälle voneinander zu treimen: es kann sich ereignen, daß 
zu gewissen Zeiten B^t ' Geschwindigkeit, 0 wird: in diesem 

Falle haben wir es mit einer hin und her schwingenden 
Bewegung zu tun; oder aber die Geschwindigkeit ist zu allen Zeiten 
von 0 verschieden: in diesem letzteren Palle durchläuft der 
Massenpunkt — mit allerdings variabler, aber nie ver- 
schwindender Geschwindigkeit — den vertikalen Kreis stets 
in einer Bichtung. 

Wir behandeln zunächst den ersten Pall, nehmen also 
etwa an, daß bei dem Winkel 9 :^ die Geschwindigkeit c = Cq “ O^wnrd. 
Dann ist statt (142a): 

B ^ j- = ± ^ cos «jp - 2 s( K cos tpo , 

oder indem cos 9 ? == 1 “- 2 sin*Y» hnd ontsprochond für cos 9 ;o gesetzt 
wird: 

B =• ± f47:B ■ |/ sin* ( 7 -) - sin* (| ) , 

und endlich: 

|/|.W. = ±j/si„*(.^'L)- 8 in*(|). 

Setzen wir noch den echten Bruch 

‘ 9in»(-f)=Ä*(<l), 



152 


Mechanik materidlcr PunkU. 




s<r «rhalt maa für die l^kelgesohwmdigkeit aus der letzten Glei- 
ohung: 

(HS) ' 

und ferner durch Trennung der Variabein; 

t 

(144) 

die integriert liefert: 

1145) 


df = ± - — 


'(I) 





Hier wird es zweckmäßig, eine neue Variable einzuführen durch die 
Gleichung: 

( 14 g) fcsin i/' = sin-l-i 

dann .wird der Nenner ; 

ferner: 


j/fc» - sin* = fc cos v», 

j(<p\ ü? CO» y J y . 

“ l’z / “ i^-1»7m'y ’ 


^sJsp kann das Integral (145) geschrieben werden: 

V’* 

9 nd für die Geschwindigkeit wird nach (143): 


J* = ± yfc*(l - ““V) =» ± k cm 

g dt * ' 


Dal'W der rechten Seite von (147) auftretende Integral läßt sich nicht 
iMf die bekannten elementaren Funktionen zurückführen, es ist viel- 
ein „elliptisches Integral". Führt man die gebrftuchüohe Be- 
zeichnung ein, die andeutct, daß das Integral Funktion seine» oberen 
Grenze oder „Amplitude“ und des „Moduls fe ist: 

l'"» /?! 

r 0 

4o ^147) offenbar geschrieben werden: 

nöOk l/4f*«±fjP(feW*“ 


J Vl - l^mu*w • 



_ Spexie^ Bewegut^en eines substantiellen Punktes. 153 

Man nennt das, Integral (149) ein „^Hiptisohes Inlegräl erster 
Gattung in der Legendreschen Normalform“. , Man sieht sofort 
aus (149), daß * 

(151) F[k, 0) = 0 

ist. 

Las Integral ferner' 


(152) 




das nur noch Funktion des Moduls fc ist, nennt man das „vollständige 
elliptische Integral erster Gattung.“ Für die elliptischen Inte- 
grale F{k,<p) und K{k) liegen Tabellen vor, die Legendre in seinen 
„Exercises du calcul intdgral“; Bd. III, 1816 berechnet hat; sie sind 
abgedruckt in dem Tabellenwerk von Jahnke und Emde*), S. 54, 
woselbst auch dtr Verlauf des Integrals F als Punktion von Modul fe 
und .\mplitude tp graphisch dargestellt ist. Aus diesen Tabellen 
kann man zu jedem Werte ip, also auch zu jedem Werte <p, 
mit Hilfe der Gleichung (150) die zugehörige Zeit finden. 
Man kann also insbesondere die Schwingungsdauer T feststellen, wozu 
wir jetzt übergehen wollen. 

Wir wollen zunächst die Zeit bestimmen, die verfließt, bis der 
substantielle Punkt, der zur Zeit 0 in der festgesetzten Anfangslage 
ist, seine tiefste Lage (p-=0 erreicht hat. Dann ist nach (146) sin «p = 0, 
und so folgt aus (150) mit Eücksicht auf (151): 

|/^fo=TF’(fc,. /•<,). 

Da <0 > 0 sein muß, und F (fe, ebenfalls > 0 ist, wenn, ■wie wir voraus- 
setzen wollen im Einklang mit Fig. 46, daß also auch Vo > 0 ist, 
so haben wir in (150) das negative Vorzeichen zu wählen; also ist definitiv: 


(153) 



’a 


Von dieser Zeit ^ an wollen wir die Schwingungsdauer T rechnen; man 
kann (158) benutzen, um dio Punktion F {k, ^o), die den Anfangszustand * 
enthält, zu eliminieren; denn durch Kombination mit (150) (mit dein 
negativen Vorzeichen) folgt: 


t-t, ]/jF{k,t). 

Von der tiefsten Stelle steigt der Massenpunkt in die Höhe (sag^ 
am fbderto, nach 'links, wenn wir 9J0 > 0 


154 Mechanik maierieller Punkte. 

nehmen,’ wie ei^ der Fig. 46 entspricht), bis die Geschwindigkeit 
-^=0 geworden ist. Nach (143) ist dann fc^—sin^ oder nach (146) 

fc* = fc*sin*y, also siny ~ ± 1. Hierbei ist das Zeichen — ■ zu wählen, 
da jetzt nach der vorhergehenden Festsetzung (p und tp negativ sind. 

Also kommt der Punkt zur Euhe zu einer Zeit für die ^ 
ist. Also hat man nach (154): 

<i = <,-|/|F(fc, -1-), 

oder nach der Definition der Punktion F gemäß Gleichiing (149) unter 
Beachtung von (152): 

<1 = «. + |/f 1=’ (fc> + f) = <« + |/f A' (fe) , 

oder: man erhält für die zwischen dem tiefsten und dem höchsten Punkte 
verflossene Zeit: 

(155) 

Die diesem Viertel des Weges einer ganzen Schwingung entsprechende 
Zeit ist ein Viertel der ganzen Schwingungsdauer, also haben wir: 

(156) T = 4«,-g = 4|/-^A’(/t), 

^ womit T bestimmt ist. Wir können durch Entwicklung des K {k) dar- 
stellenden Integrals (152) einen beliebig gcmauen Wert für T finden. 
Es isVoffenbar: 




K(k) = ßl 

0 

ft 

2 

“ ^ j kf^ 8in<* j/^l . 


;Die(^ Beihe ist, da fc siny; <0 ist, konvergent und zwar absolut kon- 
vergent, da auch die Beihe der absoluten Werte konvergiert. Indem 
m^ die Integration gliedweise ausführt, erhält man nach elementaren 
Bechnungen: 


(167) K(«.iji+(i)v+(|fi)v+(-!^;--:l)»-+...j, 


ailso ist schließlich die Schwingungsdaacr bei endlicher Amplitude fg, 
wenn für fc* sein Wert sin*^-^j substituiert -wird; , 


tt58) T-.2®l/4ä + 





spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes, 155 

Das ist die gewünschte genaue Formel für die Schwingungsdatier, die 
für sehr Jileine Amplituden in unsere alte Formel (J40) übergeht. Nehmen 
wir einen Ausschlagswinkel von 1 ® an, so ist: 

.sin (1®) - 0,0175; sin« (1®) - 0,0003; sin^ (1®) = 0,00000009 ; 

also ist die Schwingungsdauer nach (158) und (140): 

r = Tojl + 0,000075 + 0,000000021 . 

Daraus ergibt sich: Für eine Amplitude von einem Grade beträgt die 
Abweichung von T gegen den Wert Tq der Gleichung (140) etwa '/13000 
und bei einem Ausschlagswinkel von 5 Grad nicht mehr als Vzooo- 

Wir haben jetzt noch den zweiten Fall zu erledigen, in dem die 
Geschwindigkeit nie zu 0 abnimmt. Sie ist ein Minimum offenbar dann, 
wenn der Punkt gerade am Scheitelpunkt des Kreises sich befindet, 
ein Maximum, wenn der substantielle Punkt gerade die tiefste Lage 
^ r= 0 passiert; denn im ersten Falle ist die potentielle Energie ein 
Maximum, im zweiten ein Minimum. Wir gehen aus von der Glei- 
chung (142): 

(159) cos <)?o+ y cos 95 = Const. + cos 9 p, 

WO (fQtCQ irgend zwei zusammengehörige Werte von Ausschlag und Ge- 
schwindigkeit sind. 

Das Minimum der Geschwindigkeit haben nach dem Obigen 
für 9 ? = TT, das Maximum für 99 0 ; für diese beiden Werte ist nach (159): 


(159.) ('£);. Cst-.y, 

(169b) (-'5y|‘-Coiist+ y. 

also : 



womit die Konstante eliminiert ist. Wir köimen nun (159) schreiben: 

oder endlich: 

(161) 

l^uu ist nach Vpraussetzung 0» ‘‘^so die Konstante, die i|i ruMeiet 

Gleichung, vorkpnimt, nach (159a) größer als mithin der 


(4f)' +x) 


Const. + “ 



Meefianik materüüer Punkte^ 


Const. -f 


Sdtzen wir diesen Bruch gleich fc*, so haben wir: 
Nach Definition von fc* ist : 


Const. + 


2gf 4 g J 


aiüo schließlich: 




oaer : 

' Setzen wir fest, daß der Kreis im positiven Sinne durchlaufen werden soll, 
so ist -■ >0; also ist auch rechts das +.Zeichen zu wählen. Also: 


li/iL 

hV B 


f. 


.oder, wenn wir <p„ d. h. den AusscUag für t = 0, gleich 0 setzen: 




1 t/a 


kV R 




■= +F 


(fc- I) 


dieser Gleichung besitzen wir die Lösung, indem wir für jedes y das 
i^&iörige t aus den zitierten Tabellen finden können. Wollen w* nun 
^^^irisäkehrt, was mechanisch das Gewöhnlichere ist, tp als Funktion von ( 
8° Funktion (162) umzukehren; man erhält 

llwhi^ ^ (-f) die „Amplitude“ des Integrals genannt wird: 

^ 9» » 2 ampL (j |/ J «) - 2 an» ^ ]/ Ä 

^iji^.für die Amplitude das übliche Funktionszeiohen „am“ gebracht iat. 
" BÜr^fee Umlaufzeit T findet man aus ( 162 a), indem man ip 




..’v - yf? 





157 


Spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes* 

1 ’T-’r-r’-i'-i— fir- i i i ' i i i ■ , r.tgraffa&v: 

oder mit Btioksioht auf die Reihenentwicklung (153): 


(164) 




Damit ist auch dieser Fall vollkommen erledigt. Die Verbindung zwischäh 
dieseni und dem Fall der schwingenden Bewegung stellt der Spezialfall, 
her, daß die Winkelgeschwindigkeit für cp d. h. für den Scheitel- 
punkt des Kreises gleich 0 wird; dann ist A: ^ 1 . In diesem Falle nähert 
sich der Massenpunkt mit stets abnehmender Geschwindigkeit dem 
Scheitel, ohne ihn jemals zu erreichen: die nach (164) berechnete Größe T' 
wird dann unendlich. 


42« Bewegung eines substantiellen Punktes auf einer Kugeliläche; 
räumliches Pendel. 

Viel komplizierter als der eben behandelte ist der Fall, wenn ein 
substantieller Punkt sich auf einer Kugelfläche bewegen muß, wenn 
also die Pendel bewegung eine räumliche ist. Wir wollen nur den Spezial- 
fall der kleinen Schwingungen des räumlichen Pendels näher unter- 
suchen, der uns eine Vorbereitung für die nachher zu behandelnde Theorie 
des Foucaultschen Pondeiversuches liefern wird. 

Das Koordinatensystem befinde sich im Mittelpunkt der Kugel- ' 
fläche vom Radius B; die positive Achse sei vertikal nach oben ge- 
gerichtet, dann ist: 

X - y - 0, Z - -mg. 

Das d’Alembertsche Prinzip liefert also die Gleichung: 

(165) (wgi + Sz - 0, 

wozu die Gleichung der Kugelfläche hinzu tritt: 

I a;* -f y* + 2 :* - B® = 0 , oder 
1 xöx + yby + zbz , 

Erweitert man die variierte Form der Bedingungsgleichung mit einem 
unbestimmten Faktor X und addiert sie zu (165), so folgen in bekannter 
Weise die Bewegungsgleichungen: 


158 


Mechanik mtUerieUer Punkte, 


3| 

der Sd^wingungen werden wir erst an einer späteren Stelle ein- 
führen. , 

iann aus (167) zwei andere Gleichungen ableithn,^ die eine 
^malige Integration gestatten. Zunächst erweitern wir dieselben resp, 
mit-^» addieren sie. Dann folgt sofort: 


in 




d X d^y dH 

~dT ~dfi Tf - d ¥ d t dt^ 

_ A [a: 4f- + 2 / 4f- + z-^t] * “ 


oder, da wegen (166) 


ist: 


d X 

di 


r + J/ 


dy 


dz 


dt d* “ ® 


Wl endlich: 


wo Ä eine Konstante bedeutet. Dies ist die Gleichung der Energie: 
der Term in eckigen Klammem ist die kinetische, myt die potentielle 
Energie; ihre Summe ist konstant. Dividieren wir durch den über- 
flüssigen Faktor ^ (168), wenn wir für die Geschwindigkeit c 


(iw) 


+ 2 gz ^ A . 


lu dieser Gleichung ist — darin besteht eben ihr Vorteil — die un- 
bekannte Funktion . >l fortgefallen. Eine zweite derartige Gleichung er- 
’lmten wir durch Erweiterung der ersten Gleichung (167) mit der 
^Sweiteu mit x und darauffolgende Subtraktion. Das ergibt sofort: 


öd^ integriert: 
(170) 



1** 

dfi 


« 0 , 


dt y dt 


B, 


wo B eine zweite Konstante bedeutet. Auch diese Gleichung bat eine 
einfache Bedeutung, auf die wir nachher eingehen wollen. 

' Jetzt ist es zweckmäßig, räumliche Polarkoördinaten (i^^» ^) 
einzuführen, die der Fig. 18 auf pag. 28 entsprechen: 

X = B sin ö' • cos 9 , 
ü = Bsini^'sin^, 

2 =3 Beos d'. 

Dfflxüt verteil, m» man in Imchter .Becbn^ (}69) niid (170): 



159 


Spezielle Bewegungen eines substantiellen Punktes, 

(171) (4f) +«*““*^(4!)’+ 

(172) B. 

Li dieser Form ist die Bedeutung der Gleichung (172) besonders leicht 
zu erkennen. Bsin^ ist die Projektion des Radiusvektors B auf die 
X j/-Ebene. Diese Projektion nennen wir der Kürze wegen r. Dann 

ist dieser Projektion in der a; t^-Ebene pro Zeiteinheit 

überstrichene Fläche, die nach (172) konstant ist, oder anders aus* 
gedrückt: die von der Projektion des Radiusvektors auf die 
a; {/-Ebene überstrichene Fläche ist proportional der Zeit; 
dieser Satz ist identisch mit dem zweiten Keplerschen Gesetz und wird 
der „Flächensatz“ genannt. 

Die Konstanten A und B wollen wir noch durch die Anfangsbedin- 
gungen ausdrücken. Nehmen wir etwa der Einfachheit halber an, die 
Anfangsgeschwindigkeit sei horizontal gerichtet, sei gleich c» und habe 
die Komponenten «o,®o. während »o =0 sei. Ferner sei für t = 0: 

, . = '9'o , dagegen fo—O. 

Dann ist offenbar: 


(173) 


A =c„*-|- 2gfBcosi>,, 

B = Bsin.I^.u^ = B®siQ*.9-j 


Nun wollen wir die Vereinfachung eintreten lassen, daß die Schwin- 
gungen klein sind, d. h. daß der Winkel ^ von n nur um einen so kleinen 
Winkel Ö abweicht, daß wir schreiben können: 


sin S = d . 

* 1 

cosd = 1 — 


also da i9' = zj 
(174) 


■ d ist, folgt für 

sin S-'^n — «9-, 


I 




wir nun vorhin B sin gesetzt haben, so ist auch B {ti — 
dies wollen wir als die eine Variable in (171) und (172) einführen, 
lan erhält in elementarer Eeclmung: 

^0 r# = B gju B (zr — /?■,) gesetzt ist, und: 


( 176 ) 


B 


* 


roCo. 


' CrfT/«- 

. der letzten Gleichung leicht folgendes: Ist B^O, 



160 Mechanik materieller Punkte. 


d. h. entweder Tq oder gleich 0 , so ist *>»0,talso <p—C<mt; also, 

da ^0 ist, ist 9 stets gleich 0 . Die Bewegung ist däbn alsa 
eine ebene, und zwar in der «^-Ebene, und wir erhalten- 
^den Pall der vorigen Nummer. 

Die beiden Gleichungen (175) und (176) gestatten nun eine voll- 
ständige Integration. Aus der letzten folgt: 

^dt “ r* 


{Setzt man diesen Wert in (175) ein, so haben wir eine Differential- 
gleichung für r allein, nämlich: 


oder: 






"oder endlich: 


(177) 

1 

/Idt- - 

]/-T*+ + rjj f» - 


I^r unter der Wurzel .stehende Ausdruck ist nur brauchbar, solange 
positiv ist, denn nur dann ist die rechte Seite reell. Um den Be- 
lÄch d^r r-Werte festzustellen, in dem dies der Fall ist, müssen wir also 
die Wurzeln der quadratischen Gleichung bestimmen: 



findet für r* die beiden W'erte a* und ß^: 






+ ro 


ji- 

i~g 

iTrJc*' 


düdger^hnet: 


1 


}i\m ist ferner leicht zu sehen, daß für r 0 der Wurzelausdruck in (177) 
negativ, nämlich ^eioh — — - ist; er bl^bt negativ, bis jsr zuni 
ersten Mäle, etwa für r* = r|* « a* Null wirdi bleibt dann p<w^iv> 

zweiten Male für f* »» jj* Null “ wird, uin dfiwÄ-^üerntl 
$e^tiv zu werden. Bezeichnend den Atnrdrnck kur^ 

muwir nach dieser ^ 



Speziel le Betonungen eines snbetantielten Punktes, 161 

/. ^(»^<0, für 0 

(179) ' ■J’(r’)>0, für 

F(/S‘)-0, 

. iJ’(r*)<0, für /?* g r’ ^ CX3 . 

Die Kg. 47 stellt das Verhalten von F{r^) qualitativ dar. 


F(r') 



Fig. 47. 


Es muß also in Gleichung (177) r® stets zwischen dem Werte und 

g 

Tf? bleiben* Die Gleichung r* = Const. stellt nun auf der Kugel offenbar 
einen horizontalen Breitenkreis dar; dann folgt also das Beaultat, daß 



Fig. 48. 


Punkt stets innerhalb zweier Bi 
und öoJ^^^^aingesohloaaeÄ, 



102 Mechanik materidUr Punkte, 

, _ — ^ CT 

]d unserer Darstellung in Kg. 48 ist angenommen, daß Co |/y < sei ; 

das hängt, wie man sieht, oeteris paribus von der Anfangsgeschwindig- 
keit e, ab, die dem Punkte erteilt worden ist. 

Da r = B (?r — ^) ist, und r zwischen und schwankt, so ist der 
'AnssoUagswiiikel ti — ~ 5 dadurch ebenfalls vollkommen bestimmt. 

Die Ausweichimg des räumlichen Pendels von der Vertikalen schwankt 
zwischen den Winkeln: 


.(180) 





beständig hin und her, ohne jemals diese Grenze überschreiten zu können. 

Nach diesen Vorbereitungen wollen wir nun Gleichung (177) etwas 
umformen. Wir schreiben den W^urzelausdruck F(r^) zunächst in folgender 
W^eise * 

F(r^) = - r* + (r,2 + r^*) r* - fi* , 


und daraus folgt leicht: 

( 181 ) = 

^ bann setzen wir den Ausdruck: 

( 182 ) r» - = j{rr--r^ü, 

WO ü eine neue Variable bedeutet; es ist also: 

(182a) 4fdr «(fj*- 

Damit wird die zu integrierende Gleichung (177): 

yrtir.’ 

Um das Vorzeichen zu bestimmen, müssen wir bedenken, daß zur Zeit 
«Soll r = ro ist. Nun ist nach unserer Annahme, die auch unser) 
Zdcbhung 48 entspricht, der größte Breitenkreis, der in der Bey^ni;4 
„ des ''jl^ktes auftreten kann. Es wird ' also im nächsten Augenblu l 

V ahnehmen, also -^<0 sein. Da dü proportional dr ist, aber naoli 

(l^a) das entgegengesetzte Vorzeichen hat und die linke ^te d“' 
letzten Gleichung größer als Null ist, so müssen tir rechts d« l^aeich' •' 
■^pft htiye n,* damit auch sie gijößer als Null adsfällt. Also ist '^idghi^'r!' 

’hfi« f Qi/H A'iwa • 



Spezielle Bewegungen eines Matantiellen Punktes. 


163 


was integriert sofort liefert: 

2|/^ f + Const » arcsin U = arc sin . 

Für t — 0 wird r also haben wir zur Bestimmung der Konstanten, 
da == Tq ist: 


Const s= arc sin (— 1) s= — ~ ; 

2 


arc sin — — 

r,* — rJ 


folglich ergibt sich: 
oder : 

(184) =. + ain [2 j/| f - " j cob2|/|«. 

Berücksichtigt man, daß 

cos 2 l/j- < = cos“ j /^- 1 - sin* |/ 1 1 
ist, so erhält man schließlich für den Wert: 

(185) _ r*= r 2 *cos*|/|-t + r|*8in*|/^<, 

woraus hervorgoht, daß r* periodisch und zwar mit der Periode ?r |/y 

ist. Mit (186) ist schließlich auch der Winkel d" als Funktion der Zeit 
bestimmt, da r = JB (ti — if) ist; es folgt also: 

(185a) (jt — fj* cos* j/j- 1 + »"i* sin* |/^ <J • 

Setzt man den in (185) erhaltenen Wert von r* in Gleichung (176) ein, 
so folgt: 

(186) d 9? - _ -^«5-1' , 

fj* cos* |/;|- < + r,’ sin* j/ ( 

und <liese Gleichung läßt sich integrieren mit Hilfe der Substitution: 

(187) tang|/j/=F, 
woraus folgt: 


Vi 


dl 


Also wird (186): 


.d<P 


008^ 




==dV. 




164 


Mechanik matefrülUfr l^unkte. 


oder int^iert: ^ 

y + Const = ^ |/f arcte^g [-^f] , 

oder, wenn wir für fi,r2, V die Werte einsetzen: 

q> + Const = arc tang [-^ [/y j/j" *] ' 

and da zur Zeit Null (p = (po sein soll, folgt für die Konstante der 
Wert Null, so daß wir endgültig haben: 


<p = arc tang [-^ j/y tang |/f f| , 

tangy = ^|/ftaDg|/|-t. 


*(»88a), 

oder: 

M188b) 

■ 

Gleichung (188a) erlaubt, die Werte sin 9? und cos 9? zu bestimmen; 
man erhält dafür offenbar: 


(189) 


i2.l/£twig 

8 i„y=. y: ? 


it 


COS(f 


_ 1 

|/t+^"-teng*|7|- 


nün X —rcos<p,y =r$m<p ist, so gewirmt man aus (185) * und y 
Punktion von t, und durch Elimination der Zeit schließlich die Bato, 
rfie diö Projektion des substantiellen Punktes in der x y-Ebene beschreibt. 
Wir erhalten durch Multiplikation von (185) mit resp. cos* 91 und 



t, 


' d. ^. die Pröjeklion der Bahn auf die * jf-Ebene ein^' 

JEliipse, deren Halbachsen 

^Me Undaufzei^^T, betrat nach (190) gftenb«;' 


sin’dav?<^u 

0 . 





165 


‘ ^ Spevelle Beufegung m eines auhsUmtieüen Punktes, 

also übereinstimmend was für kleine Amplituden zu^eg^^arten war — 
mit der SchwingiingsdauSr des ebenen Pendels gleichfalls für kleine 
Amplituden. ^ 

Damit ist die kleine Bewegung des räumlichen Pendels vollkommen 
bestimmt; die weitere Spezialdiskussion kann dem Leser überlassen 
werden. Wir gehen jetzt über zur Untersuchung des sogenannten Fou- 
caultschen Pendelversuches in einem besonders einfachen Palle. 


48. Der Foucaultsche Pendelversuch. 

Wir Wüllen jetzt das Experiment mit der Theorie v(*rgleichen. Zu 
diesem Zwecke begeben wir uns auf den Nordpol der Erde (was ja jetzt 
möglich ist) und lassen dort ein Pendel schwingen. Wir gehen ihm keine 
Anfangsgeschwindigkeit (Cq— 0). sondern eine Elongation parallel 
der a*- Achse, d., h. iTo - r^, 2/o — Ö oder Dann muß nach der 

oben auseinandergesetzten Theorie das Pendel ebene Schwingungen in der 



, Pig.49. 


aJ^-Ebene ausführen; denn die Konstante B der Gleichung (176) ist 
dann Null, also der Winkel tp dauernd gleich Null Man beobaclrtet 
aber bei sorgfältiger Anordnung des Versuches etwas andetes: 
Iliö Ebene der Pendelschwingungen dreht sich aus der>4i?4 
Ebene heraus und durchläuft mit gleichmäßiger 
geschwindigkeit alle Biohtungen der Windrose in unge|ftte 
24 Stunden; der Fehler dieser Angabe beträgt nach den 
^^^genytoiv Käberlingh Onn^ etwa 7 Minuten; qack 


166 Mechanik matmeUer Punkte* 

Nehmen wir etwÄ, um die Ideen zu fixieren^ an, die positive ai-Bichtung 
sei nach Osten^ die positive y-Bichtung nach Norden gerichtet, die Äf- Achse 
Ygrtikal nach oben, wie es 'die Pig. 49 zeigt,, so erfolgt die Drehung der 
PWdelebene am Nordpol der Erde in der Bichtung des Pfeiles, also von 
Osten über Süden nach Westen. 

« Die Winkelgeschwindigkeit co, mit der die Pendelebene sich dreht, 
hat nach den obigen Angaben ungefähr den Wert: 


( 193 ) 


0) SS 


2n 

86400 


sec 


ist also eine außerordentlich kleine Größe. 

Was lehrt nun diese Beobachtung, die zuerst von L4on Foucault 
im Jahre 1850 gemacht worden ist? Ist die Theorie falsch? Das würde 
bedeuten, daß die Gleichungen der Mechanik unrichtig wären. Zu dieser 
Annahme wird man sich angesichts der vielen glänzenden Erfolge der- 
selben schwer entschließen können. Halten wir die Gleichungen der 
Mechanik aber fest, so ist nur ein anderer Ausweg möglich: was wir 
beobachten, ist ja eine relative Drehung von Erde und Pendelebene, 
Nun führt die Annahme, daß die Erde mht, die Pendelebene sich dreht, 
zu dem Widerspruch gegen die Gleichungen der Mechanik; es bleibt 
also noch rein kinematisch die Möglichkeit offen, anzunehmen, daß 
die Pendelebene ruht und die Erde sich mit der entgegen- 
gesetzten Winkelgeschwindigkeit von Westen über Süden 
nach Osten dreht. Die Begriffe Buhe und Bewegung sind hierbei 
natürlich in bezug auf das noch unbekannte Fundamentalsystcm der 
,I)ynamik zu verstehen. Bei der ersten Aufftissung (ruhende Erde) ist 
also ein in der Erde befestigtes Koordinatensystem als Pundamental- 
system angenommen, aber diese Annahme hat sich als unmöglich er- 
wiesen, bei der zweiten dagegen nicht. Stellen wir uns auf diesen letzteren 
Standpunkt, so ist eine Möglichkeit vorhanden, die Abweichungen des 
Experimentes von der Theorie zu erklären; denn die Bewegungsgleichungen 
4er Mechanik gelten nicht für ein System, welches relativ zum Pundamental- 
^ystem rotiert. Vielmehr haben wir, wenn die ^-Aclise, wie hier, di(‘ 
Jlotationsachse'ist, die Gleichungen (22) des II. Kapitels auf pag. 85 
i^^wenden, wobei wir aber hier durch die Buchstaben j/,: 

ersetzen wollen. 

Welchwi Anhaltspunkt gibt nun der Foucaultsche Pendelversnch 
zur Bestimmung des Pundamentalsystems ? Das ist sicher: von dem 
Fundamentalsystem aus betrachtet, darf die Botation der Pendelebern* 
tucht stattfinden, oder anders ausgedrückt; relativ zur Erde muß dn^ 
3(fcndamentalsystem in derselben Weise rotieren, wie die Pendelebeiit 
beim Foucaultschen Pendelversucb. Ein solches System erhalten wir 
folgendermaßen: Als Koordinatenanfangsptqikt halten wir den Erd' 
mittel^nkt, als z-Achse die Erdachse fest. Senkrecht zu der^etzterm 
durcii dm Erdmittelpunkt legen wir die Äquatorialcbme, die wir 
^;eBbeße wäilfen. In dieser EbeÄe ziehen wir vom Miitelnunkt d( ’ 



Spexiüle Bewegungen eines substantiellen Punktes. 167 

Erde zwei zueinander senkrechte Gerade nach zwei Fixsternen, die als 
X- bzw. t/- Achse derart genommen werden, daß das ganze System rechts- 
händig wird. Gegen dieses System dreht sich die Erde um ihre Achse 
nach Definition der Sekunde in Nr. 2 einmal in 86164 Sekunden, oder 
umgekehrt: dieses System dreht sich scheinbar in 86164 Sekunden von 
Osten .über Süden nach Westen um die Erdachse. Die Zahl 86164 Se- 
kunden stimmt bis auf 4 Minuten mit der Zahl 86400 Sekunden überein, 
ist also innerhalb der auf 7 Minuten geschätzten Fehlergrenze des Fou- 
caultschen Pendelversuches. 

Soweit also die Genauigkeit des Foucaultschen Pendelversuches 
reicht, können wir behaupten, daß ein solches durch die Erdachse und 
den Fixsternhimmel bestimmtes System als Fundamentalsystem brauch- 
bar ist; dagegen ist ein in der Erde festes System nach der obigen Dis- 
kussion mit den Gesetzen der Mechanik nicht verträglich. Wir werden 
auf die Frage des Fundamentalsystems im V. Kapitel noch einmal beim 
Zweikörperproblem und der Planetenbewegung einzugehen haben. Dort 
wird sich zeigen, daß für die Himmelsmechanik auch das hier benützte 
System noch nicht das Fundamentalsystem sein kann. 

Die Gleichungen (22) des II. Kapitels (pag. 85) für einen völlig freien 
Massenpunkt laufen : 


(194) 


X + 2m (0 + m (o^ X — m ? 


Z 


d*z 


die sich durch das Hinzutreten der Coriolis sehen und Zentrifugal- 
(Führungs-)kraft von den gewöhnlichen Gleichungen der Mechanik 
unterscheiden. Nach unseren Festsetzungen ist X F == 0, ^ — mgi. 

Aber der Massenpunkt ist hier nicht frei, sondern gez^mngen, älif einer 
Kugelfläche zu bleiben, also genügen die Koordinaten der Bedingung: 

( oder: 

i Xfix-V zöz — O. 

Infolgedessen können die Gleichungen (194) nicht einzeln für sich gelten, 
sondern nach dem d’Alembertschen Prinzip haben wir die eine Gleichung: 

wob^i die. Verrückungen 6x, dy, dz der zweiten Gleichung (196) zu ge- 
horchen haben, also nicht vollkommen frei sind. Mnltiphziereu wir die 
yarüfüje form der Bedinstunasaleichung (196) mili. einem iinbestimmtm 


( 196 ) 




+ w** 



168 


Mee^nik nuUerieller Pwnkie. 


Faktor l und addioren sie m (196), so zerf&llt dioientst^dene; Eichung 
in. bekamiter jlfeiso in die drfef ESnzelgleiohungen!)» ’ ‘ 


(197) 




dt 


- ' 
-g+Xz 


de 

d\y 

dV 

d^z 

di^' 


Wir haben nmi zu zeigen, daß diese Gleichungen sich in der Tat mit dem 
Experiment in Übereinstimmung befinden. 

Wir bilden, genau vne in der vorhergehenden Nummer, zwei Glei- 
<jhungen, die den Energiesatz imd den* Flächensatz aussprechen. Durch 

Erweiterung der Gleichungen (197) mit imd Addition er- 

halten wir: 

^±4. 4- i-L - Icr ^ 4- 11 

d^ dt ^ dt* dt ^ dt* dt dt ^ y dt j 

, ^ I dx . dy . dz \ dz ^ 

+^(^Tr+y-dT + "-rff) -y-dT’^ 

^pder, wenn A, eine Konstante bedeutet und die Geschwindigkeit mit 
l^zeichnet wird : 


Dt^;!iBrweiterung der ersten Gleichung mit y, der zweiten mit jc, und 
Subtraktion der ersten von der zweiten liefert: 


dt* 


d^x 

■y-dF 


dx 


,-.2o,{xY~ + y-i 


dy 


9' 


Hd^r» wenn B eine zweite Konstante bezeichnet: 

x ^-y-% + <o{x* + y*)’=^ B. 

P^ebimgen (198) und (199) entsprechen genau den Gleichungen (168) 
f^(16Ö) der vorhergehenden Nummer. 




i .wollen nun die Anfangsbedingungen festsetzen; es sei für 


f =c0: yo--0, x^xt,;z^z^ 


0» 


Co = 0. 


Fegtsetztfng würde im Falle der vorhergehendea Knm* 
ij^er genügt haben, B gleich Null zu machen; hier dagegen 
J(i^^ert der Term {o{x* + y*) ein von Null versehie^liVpa ■ 

: lUiren wir wieder Polmkoordinaten ein und bezchrünken uns a^^ddine 
/S^^tiingangen, so gehen, <198) und (199) in d^ früheren B^iduii^en 
/doi^b leichte Bechuong über in: 



^exiüle Bewegungen eiim substantiellen Punhtfisi 


169 


( 201 ) 




Datei ist fo 4er Wert von r für <== 0, d. nach den 

festgesetzte^ Anfangsbedingungen gleich «qJ d. h. das Argument <p ist 
für f = 0 ebenfalls gleich Null. Diese Gleichungen entsprechen g^au 
den Gleichungen (175) und (176) der vorhergehenden Nummer. 

Wir behandeln nun diese Gleichungen (200) und (201) genau so weiter, 
wie die entsprechenden der vorhergehenden Nummer: wir bilden aus 

(20i) , setzen den Wert in (200) ein, die dann eine Differential- 

gleichung für r allein liefert. So erhalten wir nach einigen Bechnungen, 
wenn wir das Vorzeichen genau so wählen wie in der vorhergehenden 
Nummer: 


( 202 ) 






rd r 


* 9 ) 


f* 


w* fo* R 
9 


die von genau derselben Form ist wie (177) und dieser auch entspricht. 
Bilden wir jetzt — immer genau wie vorher — die Wurzeln der unter 
der Quadratwurzel stehenden Gleichung, so erhält man — analog (178) — 
den Minimal- und den Maximalwert von r^: 


(2Ö3) 


I 


9 


0 f 


und es ergeben sich die nämlichen Folgerungen wie dort: 
der substantielle Punkt bewegt sich auf der Kugel inner-,; 


halb der beiden Breitenkreise A^om Badius roco 


fj 


und fo 


Ebenso liefert die Integration von (202) die Gleichung, die (185) ahalog ' 
ist, und sich nur durch die Werte von r, imd r« davon unterscheidet: 


(204) 




Weiter haben wir jetzt die Gleichung (201) zu integi-ieren, indem wir 
den Wert von r aus (204) einsetzen. Das liefert: 


t205) 


dw , 




008 ’ 


Diedinke Seite läßt sich ak Differentialquotient von (^+mt), w, 
Siuhme wir durch y bezeichnen Avollen, darstellen; die rechte Seit^ 
von ^ der nM^liohen Form wie die analoge Gleichung 
. Substitutiph (187) weiter behandeli|jarde^^^^ 

^ioh u^tteÄar^ ergibt, wema gleibhzeitig auf die 

"wird: 


170 


Mechanik matmelier Punkte, 


arctaDgcy|/|. Jtangi/^< , 


(206a) , + ö)t * 

oder auch: 

(206b) taDgi//stang(<^ + cot) = -tangl/l i. 

Die Gleichungen (206a) und (206b) entsprechen vollkommen den Glei- 
chungen (188a) und (188b) und.es ergibt sich weiter, analog (189): 


^ (207) 


sin {(p -f CO 




|/- 


tang' 


']/i 


cos(^ + (oi) ^ 


i' 


l 4“ tang* 
9 




Der wesentliche Unterschied dieser Formeln (207) gegen (189) besteht 
dmrin, daß hier au Stelle von cp getreten ist. Führen wir 

nun ein Hilfskoordinatensystem (f.j;) durch die Festsetzung ein: 

^ I f = f cos y , 


(208) 


^ rum yp , 


§0 erhält man durch Multiplikation von (204) mit cos* rp bzw. sin* yp 
folgende Werte von f und rj als Funktionen von t: 

9 . 9 , / <7 . 

die durch Elimination von t liefern: 


m) 








1, 


VW 


|läl ^ebenso wie (191) ausspricht, daß bezogen auf das System (^, iy) 
die Projektion der Bahn auf die mit der ajt/-Ebene zu- 
aammenfallende Ebene eine Ellipse mit den Halbachsen fi 

jSzw. T^io ist. 

Nun ist aber, wie oben hervorgehoben, die Winkelgeschwindigkeit o) 
sefef klein, und daher da« Achsenverhältnis ce l/— eine im allgemeinen 
außerordentlich kleine Größe, wenn -• nicht Vktrem groß ist, ww bei 

» ,if * ' 


den ex|>ärimen teilen Anordnung^ nicht der Fall ist, pie 
^0 prakiis^ mit s^hr großer Amifiiierung eipe gerade 




SpexieUe Bewegungen eines substantiellen Punktes. 171 

- ' I ' ' r'T v '! .= =:: r.:Lr;;.. ■-. ,v , 

der Achse. Dies folgt sofort aus (209), da mit diesem Graie der An- 


näherung 1 ] —0, f == fo cos 



Wir können also mit hinreichender Genauigkeit sagen: In bezug 
auf das (f , 7 ;)-System ist die Projektion der Bahn des Massen- 
punktes auf die a:j/-Ebene eine geradlinige Schwingung 
parallel der f- Achse. Es ist nur noch die lYage zu beantworten: 
Wie verhält sich das System (|,?;) zu unserem in der Erde fest ver- 
ankerten (ic, t/)? Die Antwort ergibt sich aus den Definitionsgleichungen 
(208) in Verbindung mit dem Werte xp =^(p +ü)t, Danacli ist: 


f = r cos ( 9 ? + (uf) = r cos 9 ? • cos ct)f — r sin (p • sin rof , 
Yj = f sin ( 9 ) +o)t) — r sin 9 ; • cos cot + r cos 9 ? * sin co f , 


oder unter Benutzung der Werte von x und y: 

I ~ X cos cot — y i^in cot , 
7] ~ X sin cot y cos cot . 


Diese Gleichungen liefern nach x und y aufgelöst: 


( 211 ) 


a* — i cos cot 4- f] sin cot y 
y - — ^ sin cot + f] cos cot , 


Ein Vergleich mit den Gleichungen (141) des ersten Kapitels auf pag. 66 
zeigt sofort, daß das System (f,?^) ein solches ist, das um die 
gemeinschaftliche 2 :-Achse mit der Winkelgeschwindigkeit —w 
sich gegen das in der Erde ruhende System {x^y) dreht. 
D. h. in der Bezeichnungs weise der Fig. 49: das System (I,??) dreht sich 
von Westen über Norden nach Osten gegen das S^'stem (x, i/). In bezug 
auf das System (S^rj) bleibt die Pendelebene erhalten; diese dreht sich 
also — genau wie es das Experiment ergibt — gegenüber einem 
in der Erde festen System {Xy y) in der Bichtung des Pfeiles der Fig. 49. 
Das Experiment stimmt also jetzt mit der Theorie überein. 

Da bei imserer Annähermig f—rocosy^j- 1, ij = 0, so ist auf das 
2/)-System bezogen: 


( 212 ) 


® |C080>f« fjjCOSj/^f • COSWf, 

t/ « I sin (M < ^ cosj,/™ t • sin co t . 


Um die Sohwingungsbahn des Foucaultschen Pendels zeichnen 
zu können, muß man eine sehr langsame Pendelschwingung annehnien; 


Setzen wir ä>s» d, b. nehmen wir eme so langsame Pendelschwingung 

volbtän^^ Dindi^h^g 



172 ifoöÄamÄ ^ 

der P^elebene erfolgt* s& ist es Allerdings nijßht'mehr zuteig, an Stelk 
^ jeBiptiscli^ Benregimg *(209) und (210) eine geradlinige Schwingung 
setzen; d. h, 17 =»0 zu:;nehmen. Denn dann ist das Verbältiiis dei 

B^badisen der Ellipse (210) u>|/y ~ ^ ^d es ergibt sich dann, daß 1 

nie gleich Null, sondern höchstens gleich “ werden kann. Die genaue 

Zeichnung Fig. 50 zeigt, daß die Kurve einerseits wie vorher ganz inner- 
halb des Ki'eises mit dem Eadius Tq liegt, anderseits ganz außerhalb 

/J^ r 

d^Erdses mit dem Radius y “ lo > si® tangiert. Wir erhalten 
aI$o dann folgendes Bild; (Fig. 50) 



Hg. 50. 


haben im vorstehenden den einfachsten und durchsichtigste^ 
Foucaultschen Fendelversuches behandelt, indem wir uns 
^i^:jden Nordpol begaben, d. b. auf einen solchen Funkt, an der 
^^Bi^ttung der Schwere mit der der Rotationsachse iibereinstimmt| 
li^wen 'Ftmkten der Erde ist dies natürlich ni(dit der Fall,, und 
’r^r Versdch an einem Orte von der geographischen Breite x gemacht 
"|itd^ so <Md%t eine'ga^ Umdrehung der FendJIebene nidit in 24 Stunden, 

6deBn.i(jl Stnnäffli, Vas dutidi Exp«nment nnd 


wird. Für die allgcmeiim jChepae «C| 
thi^ Mecjastok (S; 8dyiWjnei«ii/l 





Spezielle Seuxgungen eit^s substantiellen Punktes, 473 

Zufiarpmenfassend. können wir also sagen: Durch d^; Foucault- 
schen PendehersUoh wird auf Grund der Gleichungen 4^r 
bewiesen, daß die Erde relativ zum PundamentalSystein sich, 
dreht; es ist also in unserer Mechanik nicht möglich, die Erde" 
als ruhend zu betrachten und eine entgegengesetzte Botatien 
des Fixsternhimmels anzunehmen. Kinematisch und geometrisch 
läuft das allerdings auf dasselbe hinaus, aber die Newtonsehe Mechanik, 
liefert eine Entscheidung zwischen beiden Möglichkeiten. 


44. XiinfluB der Erdrotation auf die Sohwerebeschlennignng. 

Wenn die Erde ruhte und eine vollständige Kugel wäre, so müßte, 
schon aus Symmetriegründen die Richtung der Schwerkraft an der Erd- 
oberfläche mit der des Radiusvektors R vom Mittelpunkte nach dem 
betreffenden Punkte der Erde übereinstimmen. Die Kosinusse der Winkel, 
die B mit den Koordinatenachsen bildet, sind offenbar:* 

(213) cos(jR,x) = siniT’cos^p, co8(ß, j/) = sin Ö'sin^p, cos{B,^) = cos 

Die Winkel S' mid p sind dabei so gewählt, wie es der Fig. 18 (pag. 28) 
entspricht: & ist die sogenannte Zenitdistanz, (p das Azimut in der 
X y-Ehane. Das Koordinatensystem ist so gewählt worden, wie in der 
vorhergehenden Nummer. Die Komponenten der Schwerebeschleunigung 
der ruhenden Erde am Punkte {R,&,<p) sind dann nach (213), wenn 
die Gesamtbeschleunigung durch G bezeichnet wird, resp.: 

(214) — G sin cos ^ , — G sin »T" sin y , — Gcost^’. 

Denken wir uns nun einen Körper auf der Erdoberfläche ruhend, 
so ist in den hier anzuwendenden Gleichungen (194) 

d t* dt* di* dt dt dt ^ 


xii nehmen; für X, Y, Z haben wir die mit m multiplizierten Werte (214) 
zu setzen. Es wirken also auf der bewegten Erde scheinbar die Kräfte; 


I Ä, ~ — w fr sin »V* cos (p + m co* B sin & cos 9 , 
(215) I fty Ä — w ß sin sin 9 + mm^B sin ö- sin 9 , 
1 ft, =5 — w ß cos 19* . 


^huch die Wirkung der Zentrifugalkräfte (die Coriolisschen Kräfte 
^^rschwinden jetzt) wird also die Schwere der Größe und Bioh*' 
nach, abgeändert; was wir beobachten, sind die Komponenten 
A nicht die Komponenten der Schwerkraft ~~wß; die Quotienten 

" bezeichnen; diese stellen 

der bewegten Etde 

'ec.wirkUeh l^ba<2)iteten Sohw^b^hlbhigmigV^ 


be,^ 

ÜUßfilJjg: 


174 ^ 


Meokanik materieller Punkte, 


g sat} g^ + Vvö — B)^ sin*^ + (S^COS* , 

oder 

(216) j, = G j/ 1 - sin* i9- + 'sin* & . . 

Nun ist aber o) = - ^ ~ ^ 40000000 cm; G ist, wie man aus 

der letzten Gleichung sieht, am Nordpol, d. h. füi* i9-=0, mit g, das 
beobachtet werden kann, identisch. Aus den schon früher erwähnten 
P^delbestimmungen ergibt sich durch Extrapolation einer rein em- 
pi^chen Formel, die g als Punktion der geographischen Breite darstellt, 
am Nordpol: 

!/Nordpoi = G* 983,09-£^, 

also ist und das Quadrat dieses Ausdruckes kann neben 1 

vernachlässigt werden, !^Gt dieser Genauigkeit ergibt sich dann: 

^ = G|/l- ^^sm*,9-, 

oder, indem die Wurzel entwickelt wird, mit derselben Genauigkeit: 

(217) 3 = G (l - sin* , 9 ) = G (l - ) • 

Bein empirisch hat man eine ebenso gebaute Formel gefunden: 

(SI8) 

^ : Der Unterschied in den Zahlenfaktoren ist jedoch sehr beträchtlich; 
^r rührt davon her, daß die Erde keine Kugel, sondern angenähert ein 
an den Polen abgeplattetes Eotationsellipsoid ist. Diese Abplattung für 
sich ohne Eotatiön — würde in derselben Weise wirken wie die Zen- 
^diiigalkraft; wir kommen darauf später eingehend zurück. Eben 
liegen dieser Diskrepanz in den Zahlenwerten ist die Abhängigkeit der 
j^cWere von nicht so beweisend für die Erdrotation wie der Fou- 
caultsche Versuch. 

Eine Bemerkung betreffend die Gleichung (197) muß hier noch 
Platz finden. Es geht aus den obigen Darlegungen hervor, daß ih (197) 
für die Schwerebeschleunigung der Wert auf der ruhenden Erde 
zu nehmen ist, den wir im vorhergehenden mit G bezeichnet haben. 
E$ ist jedoch dieser Wert am Nordpol identisch mit g, und daher recht- 
fertigt eich in (197) die gewöhnliche Bezeichnung. 

Von derselben Größenordnung wie in ^18) ist die Abweichung der 
j|ic)Stung;d^r Schwerkraft von der Bichtung ip Badii^vektötB nach 
^^sieih l^kte. Nach (213) und (215) haben jpir öBenban^ 




Spezielle Bewegungen eines aubstantiälm Punktes, 


175 


cos (Ä, !b) fe* sitf & ioap, coa(g, x) 
cos{B,y)^ aiad-ain q>, coa{g,y) 


cos {B,e) = coa&. 


co8(o,®)= 

9 

Coa{g,y) = 

N ö COS 

COS(j(.«) = ^ - . 


Indem die horizontal nebeneinanderstehenden Glieder miteinander multi' 
pliziert und dann die drei Produkte addiert werden, erhält man sofort: 

cos (g, B) = , 

oder unter Benutzung der Gleichung (216): 

, . ... 


coalg, B) — 


|/l _ 2^ ^ ( "ö -)’«“’ » 


Daraus folgt in elementarer Kechnung für den sin(gr, ß) angenähert: 


sin ig, R) « siu 2 1 ?* , 

1/1 R • • /i 

j/l- 

oder, da (jf, fl) klein ist, der Sinus also niit dem Bogen vertauscht werden 
darf, mit demselben Grade von Genauigkeit: 

. 219 ) J,z{g,B)^%^-am2&. 


Um diesen Winkel weicht die Kichtung der Schwere (also die Vertikale) 
von der des Eadiusvektors ab. 

Außer den hier besprochenen Erscheinungen gibt es noch eine Anzahl 
andere — namentlich die Abweichung von den einfachen Fall- und W^urf- 
gesetzen die das Vorhandensein einer „absoluten“ Botation, d. h. 
einer Botation der Erde gegen das Fundamentalsystem, beweisen; doch 
Brreicht keiner dieser Versuche die Genauigkeit des Foiic au It sehen 
Pendel Versuches, weshalb wir hier nicht näher darauf eingehen. 


Viertes Kapitel. 

‘ Allgemein^ Dynamik eines Systems materieller Punkte. 

45. Das Kewtonsche Deaktionspriiuäp. 

Bisher betrachteten wir immer nur einen Massenpunkt, an dem ge- 
gebene Kräfte angreifend gedacht wurden, ohne uns darum zu kümmern, 
^ woher die Kräfte kamen. Aber diese Betrachtung ist einseitig, und w 
;'and darauf im Laufe unserer Untersuchungen schon zweimal hingewiesen 
JVorden. Einmal nämlich verstanden wir mit Newton unter der auf 
j^en Massenpunkt wirkenden Kraft gewisse äußere objektive Bedin- 
gongen, die dem Massenpunkt eine Beschleunigung erteilen: die Kraft, 
^ die auf einen Massenpunkt wirkt, stammt nicht aus dem Massen- 
J;|runkt selbst, sondern ist in seinem Verhältnis zur Außenwelt begrün- 
Zweitens sahen wir, daß der hieraus fließende Satz von der Un- 
• t^al^äiigigkeit der Kraft vom Koordinatensystem nur so mit dem Be- 
;>J[4^yitätsprinzip der Mechanik in Einklang gebracht werden kann, daß 
w daß im analytischen Ausdruck der Kraft nur Koordi- 

.yiaatendiffereri^sen vorkon^nen, nämlich die Differenzen der Koordinaten 
beschleunigten Massenpunktes (x^yVa^z^) und der Koordinaten ge- 
^yiöser anderer . Massenpunkle (x^tyiyZf). Wir haben bereits damals die 
|■Jk^druck8weise eingeführt: „Die Ifraft greife an dem ersteren Punkte 
“" V* und „gehe von den letztwen Punkten aus“. 

Wir wollen das jetzt gcmauer untersuchen: Nach der wiederholt 
Grundanschauung der Newtonschen Mechanik, daß die auf 
|piv|i(aäsenpunkt wirkende Kraft nicht aus ihm selbst statnmt, können 
einzigen, im leeren Baume isolierten Massenpunkt keine 
Damit dies der Pall sei, ist also mindestens die Anwesen- 
hpßh eines, im aJlgemeinen mehrerer, Massenpünkte erforderlich. 
I^^^^Bctraehtcn vrfr jetzt außer den bisher allein ins Auge gefaßtem 
' ^ " ligten Massenpunkten auch alle diejenigen oder einen Tetf : * 

deren Vorhandensein für das Zustm^ekommen der B^Wsun»- 
: d^ Steren maßgebend ist, von deneipt^slso, yrie wir 
% die Kraftwirkungen ausgehänf 0 nennen udr 
Betracht gezoge^ •flpbstant|^p:;;]^kte;.^^^ 




177 


^ AUgmrif^ Dynamik eines Systems maierieller Funkte, 

_;^lfcsixsssasatt ^ !Wia.^f w^;wawwr,a.'.i'.a:^!.vtfN%i . i'r.'-w."i' i .',.'.. ,'.ir . ■ : : • ; i i -nr" 

Ml tab$n irri die Bewegungen eine^ »nldien Systems, 

d. h. (öe B#:0guügen jedes materiellen Punktes des Systei^, ^ unter- 
suchen# Die Grundlage dafür hat Newton geschaffen, indem er über 
die Kraft^itkungeü zwischen den einzelnen Punkten des Systems >ein 
Gesetz aufstellte, welches von der Erfahrung im Gebiete der Mechanik 
stets bestätigt worden ist. Es zeigt sich nämlich, daß die Kraftwirkung 
eine gegenseitige ist, daß also, wenn von einem Punkte (x^, 
einen Punkt (a^, eine Kraft ausgeübt wird, die wir nennen 

wollen, daß dann äuch stets vom Punkte (6) rückwärts eine Kraft auf den 
Pimkt (a), die wir entsprechend ^ nennen, ausgeübt wird. Dieser 
Satz gilt nach Newton allgemein: in einem System kann man die 
Massenpunkte also nicht in zwei verschiedene Teile trennen, von denen 
die einen diejenigen wären, auf die von den anderen ICräfte ausgeübt 
würden, und die anderen die die Kräfte ausübenden wären, sondern 
wenn auf einen Massenpunkt des Systems von einer Anzahl anderer 
Kräfte ausgeübt w^erden (d. h. dieser Punkt infolge der Anwesenheit 
anderer Massenpunkte eine bestimmte Beschleimigimg erfährt), so übt^^ 
er auch rückwärts auf die anderen Punkte Kräfte aus (d. h. er erteilt 
ihnen infolge seiner Anwesenheit gleichfalls Beschleunigungen). 

Wir wollen nun weitergehend ein ganz einfaches System von zwei 
Massenpunkten ins Auge fassen. Die beiden substantiellen Punkte üben 
aufeinander die Kräfte St^ bzw. aus; bei der Formulierung bedienen 
wir uns im folgenden der Vektorsymbolik, um außer der Größe auch 
die Bichtung der Kräfte anzudeuten. Dami behauptet das erwähnte 
Newtonsche Gesetz, daß stets sei; 

( 1 ) 

d. h. die von dem substantiellen Punkte (1) auf den substan** 
tiellen Punkt (2) ausgeübte Kraft soll gleich und entgegen- 
gesetzt der Kraft sein, die (2) auf (1) ausübt. 

Man nennt die Kraft #12 mit einem kurzen Ausdruck die „Aktion“ 
von (1) auf (2), und dementsprechend 1^21 „Eeaktion“ von (2) auf (1). 
Das dritte Newtonsche Bewegungsgesetz sagt nun für eine 
beliebige Anzahl von Massenpunkten aus: ,, Jeder Aktipn 
entspricht eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete 

Eeaktion“. 

In dem speziellen Palle eines Systems von zwei Punkten haben wi# 
nach Koordinatenzerlegung von (1) also die Gleichungen: 

i Xji -= 0, 

y„ + Y„ = o. 

und' in System von nMassenpnokteiQ avr«i ;btK!:i^ 



178 

Meehanik iTuUerieller Punkte. 


( ■X,i + -Xjo = 0> 

( 3 ) 



1 = 


a^b. 


Wenn wir diese Gleichvingen nun über sämtbche Massenpmkte 
sununieren. d. h. a und b der Eeihe nach aUe Werte von 1 bis n annebmen 
lassen, und dann alle go gebildeten Gleichungen (3) addieren, so erhal- 
teö wir: 

(4) \ + = o 

Der Faktor \ muß hinzugefügt werden, weil jeder Massenpunkt einmal 
/als a, einmal als b auf tritt. 

" Der Zusatz o h ist notwendig, weil ein Massenpunkt auf sich seltet 
Kraft ausüben kann. Natürlich kann man die Gleichungen (4) 
in eine Vektorgleichung zusammenfassen: 


+ «J “ 


a 4= h • 


a b 


Brand nun, nachdem das System abgegrenzt ist, zwei lalle möglich, 
liatweder sind die auf jeden Punkt des Systems wirkenden löäfte sümt- 
Keb auf solche zurückführbar, die von anderen Punkten des 

oder dies ist nur zum Teil möglich, indem auch noch Kräfte 
Von fremden Massenpunkten, die dem System nicht angehören, wir 
«am sind. Im erstmen Falle nennt man die Kräfte sinngemäß ' 

im »weiten Falle hat man auch noch „äußere“ heranzuziehen. Wirken 
Äur innere Kräfte an einem System, so heißt dasselbe ein 
Uteins“ oder ein „abgeschlossenes“ System; im anderen 
allo ist das System „unfrei“. Es ist klar, daß man ein u^eies 
dadiurch zu einem freien machen kann, daß man die Massen- 
^^tVön den«" die äußeren Kräfte ausgehen, noch mit in das System 

ses^bbt. 

S'f;» Vil’ir' Stollen zunächst den Fall nehmen, daß das °y® 

^i^oi sei. Dann stellen die Kraftsummon der Gleichung (6) 
i den Massenpnnkten des Systems wirkende Kräftr dar, andm« Kraf e 
(iht es nicht, und dann kann man (6) etwas einf^ 

^Ben einen Massenpunkt r beUebig 

r# Am übrigen {f- 1) Punkten auf ihn ausgbub^ 

|,jb, ^e auf dwi Punkt v wirkende resultierende Kral^fp®» 

Ki^ ä^h t. bezei^^. Es Ist ako: 


» ^ ÄUgemeim Dynamik eines Systems materieller Punkte, 179 

— — , ^ ^ 4 

Weiui dtw geBoh^en ist, lassen wir nacheinander v sämtliche Werte von 
1 bis durchlaufen, d. h. wir bilden die resultierende Kraft 9^ fitf’ den 
ersten, für den zweiten, ... Ä, für den letzten Punkt des Systems, 

1 , » 

und davon bilden wir nochmals die Besultante: 

r 

ItJI 

Nun ist es khu:, daß die* Besultante sämtlicher Kräfjbe 

des S ystems darstellt, also genau dasselbe bedeutet, nur in anderem Ge- 
wände, wie Gleichung (5). Also können wir (6) schreiben: 

(6). = 

V 

d. h. in einem freien 'System ist die Besultante sämtlicher 
Kräfte gleich Nu^ In Koordinatendarstellung lautet (6) offenbar: 

a) = = = 

V ¥ ¥ 


Für ein unfreies System gelten die Gleichungen (6) und. (7) 
natürlich nicht, da daim noch die äußeren Kräfte hinziitreten, deren 
Summe selbstverständlich im allgemeinen nicht verschwindet. 

Bezeichnen wir die Masse des vten Massenpunktes durch seine 

Beschleunigung durch und ihre Komponenten resp. durch , 

d* 2 . 

so haben wir nach dem zweiten New ton sehen Bewegmigsgesetz 
statt (6) und (7) für ein freies System: 


( 8 ) 

bzw. 





¥ 


Zum Soh^se dieser Nummer sei nochmals betont, daS dad^^^*' 
aktionsprinzip ^ Brfabrungssatz ist. Wenn derselbe auch 
Mechanik stets bisher bestätigt worden ist, so kann doch {prun^ftkä^i 
nicht die JSdt^chkeit von neuen Erfahrungen ausgesohlo«en 

, Solche scheinen neuerdings auf dein ^Ctebiete 

'ler ' 

Pferden*?" 


C y^uliegeu; 4^t, (Im zweiten Bande dieses ISciiies) 
haben. 





MHAatuk mattriiiler PmkU. 


v'i#,. ; • 

.'’W& wHeia tuJ8 etmfiobßt mit den*Bewegui^en eines fteiön SjjwteiM 
onife.d^m E&flnß der inneren Kräfte lEieschäftigen, welch letatere dw 
f 'GhiSnrwen (9) erfifllOTi. Um allgemeine Besultate au erhalten, ut es »weci- 
' einen neuenBegriff einauführen, au dem dieForm der Gleichungen (9) 

^OTon hinleitet. 

- ^ Wir wollen n&mlinh einen Punkt mit dem Koordinaten fe 8) 

■ deftig bestimmen, daß letztere den Gleichungen gehorchen: 

8Sm, = i;w,2,. f 

\ p * 

lÄeser so bestimmte Punkt wird als „Massenmittelpunkt“ odeir 
i( Schwerpunkt“ bezeichnet. Man erkennt aus den Definiti^- 
Sjuchungen leicht den Grund für die erstere Benennung; seine Ko- 
i^ürd^ten S,9>8 j stellen ja offenbar in bestimmter Weise gebildete 
ÄNlwerte aus den Massen und Koordinaten der einzelnen 
Ätempunkte dar. Die Bestimmung dieses Punktes ist also, wenn 
ia^ Missen und die Lage der Punkte des Systems gegeben sind, eine 
lösbar© Angabe; es ist ein ' geometrischer Punkt, der da- 
^<^ih f«tgelegt wird und der keineswegs mit einem Massenpunkt 
f i^M Ämiinanznf allen braucht. 

v- 'öie- experimenfcelle Bestimmung des Massenmittelpunktes ict aus 
ifeiHemCnten bekannt. Wir gehen darauf nicht näher ein. KeMf 
Wb öibe Bemerteiög eiiigeffi^[t für den besonderen Fall, daÄ|nje 

K te deer Systems sehr zahlreich sind und außerordent- 
beieinander liegen. Solche Systeme sind nach d^ Vor- 
physik fast alle ausgedehnt«! Körper, die man sidi aus 
umbaut denkt. Diese liegrai so dicht für unsere Sinn», daß 
Ihr manche Zwecke ab kontinuierlich betra<ditet i^den 
«» Pit abo jetzt m einem kontinnierüchffli Körp«: i|ber- 
wir n^ (10) jedes unmidlich kleine Masseoetement d w 
a von der y «-Eben» zu niultiplizieten ubw.| so daß 
fMe erste -Gleichung (10) erhalten: 


%'^dm - X 

fsäiM-'äatni if*n" man di» Sumnien wegen d»r*nnesliBcheÄ.';®3te|i^|^ 
ffiSS dnwh^tegratipen. tbei di#..G»i#mt^j^fe«« 




eim» Syitem ma^rieUer 


Nenow'^ii acKsh cU^.T^lttiaen 0 mes polcben HasBenelem«»^ dm 
dt tuotd dett^(^otienten 

9 »': , Ir-*- 

60 ist"« offenbar die Masse pro Volumeinheit, die als „spezifische 
Dichte des Körpers*' bezeichnet wird. Dann hat man, wenn man Am 
durch «dr ersetzt; 


jJ*«d r « exdr, 

b J bAt = J Bydtf 

tzdr. 


Wenn die Dichte als |i\inktion des Ortes gegeben ist, so kann mw in 
gewissen einfachen FälAn die Integrationen ansführen und so den Schwer- 
punkt finden. Für eine homogene Kugel z. B. erhält man das Besultat, 




Fig. 51. 

daß ihr Schwerpunkt mit dem geometrischen Mittelpunkte zusammen- 
fällt usw. . 

Wir mfissen Iran beweisen, däB der Schwerpunkt dn durch die Massen 
und die geometrische Konfiguration des Systems bestimmter Punkt, dwln^' 
unabhängig irofi der Lage und Art des gewählten Koordinateft*;. 
Systems ist.; '' , 

iSu dem Zwecke mdssen wirkeigen, daß, wenn wir statt des 
(®>y.s) ^ein bidieW^ anderes wählen, wir zu dems^^^i 

Funkte lomdtCQ: Die beiden Bjwteme (», «) und 

etwa die it- der Kg. ö^a^gedeiitete Lä^ zueinander häbed, 
seien Anlaugspunktes voh’ ((", jl) 


drei A^ 





Mechanik materiell&r Punkte. 


182 

(». j. ') 

K^orcebrÄoht gedad^t werden, daß man erstens das Sutern (*,y,z) 
oaral^f au sich Mbst^ versohiebt, bis sein Anian^punkt im Punkte 
(A B O Hegt: das gibt das Hilfssystem (f',V>n« ^^®Ht man ^es 
te.'AS^im»Ki (A.B.O) m goeigneto W».e, - 

» oltob« mit r.v".n »t D“,!“”« ^ 

System (r, v"> C") Hann aus (*, y, z) durch eine 
iLsohiebung und eine Drehung hervorgebracht werden. 

Wir können uns also darauf beschränken, zu zeigen, daß sow^l 
bei e T>«y Parallelverschiebung als auch bei einer Drehung um einen 
MfMigspunkt man zu demselben Schwerpunkte gelangt. 

Zwischen den Koordinaten (!',»/, H \ini {x,y,z) erneu und des- 
selben Punktes bestehen offenbar folgende Beziehungen: 

I 0 ! = I' + - 4 , 

■t ( 13 ) ! y = y' + B, 

\ 2 = 5 * +c. 

Bilden wir nun den Schwerpunkt für das Koordinatensystem (| , >? , C ) 
2«ih Vorschrift der Gleichung (10). so haben wir für seine Koordinaten 

öf.lj'.ä') zu setzeh: t' 

.(1^- I 2’»»''»» 

. Anderseits ist nach (10), wenn wir mit Hilfe von (13) 

Ittch f/, n,'> C ansdrüoken: 

,g (i6) ' I + 

' “ 1 “ S*”!- C + ^ 2”^»’ 

ioderf Wdm wir für ... die aus (Id)' folgenden Werte einsetzen 

M ^ '^idiirch den gemeinsamen Faktor kürzen: 

J “ S +4* 

^ m tjf -i- B, 

ist ab« gem&ß ( 18 ) genau diejenige »«Hition zwfeoh^ (g. ^ ^ 
ft' l&a'l. die sw«oh«a dwi Koordinaten eines und dessdhatj^«^ • 
. das System (*, ,,z) das .weite Mal 

n. bestehen muß. Also stellen in der ^t J'J 

IeS#fn Punkt in beeng auf «ootdinat l;. 


AÄt&.ft.|^*»WelVetfiä^eb%ngd«^:^^ 


Allgemeine Dynamik eines Systems materieller Punkte, 183 

Endlich geht das SystÄ ri", f ") aus (f', r{, f ') duich eine Drehung ' 
hervor. Es bestehen aEo zwischen f ", rf', f " und f rf S C' die Belationen 
der Gleichung (33) des ersten Kapitels ^ag. 28):* 

I r =• fCOSKj + ij' C08/9j + Tcos/i , 

(1.7) I fl" = 1* cos «ä + fl' cos ß^ + C cos , 

I i" = l'co 8 a 3 + fl'co8/9, +^co 8 ys, 

wobei natürlich zwischen den a, ß, y noch Beziehungen bestehen, die uns 
aber hier gleichgültig sind. Bilden wir, immer nach Vorschrift von (10), 
die Koordinaten ( 5 ",y",}") des Schwerpunktes in Bezug auf das System 
(f", fl", ^"), so haben wir zunächst: 

(18) ■ { = 

oder nach (17): 

* j" 2 = 2 »‘i- { 1/ cos «, + fl/ cos ß^ + C/ cos y, } , 

¥ ¥ 

(19) S =■ + fl/cos/9j + (;'C08y,}, 

* 2m,||/co8a, + fl/ cos/?, + ?/cosy,l, 

¥ ¥ 

oder, nach (14), wenn der gemeinsame Faktor Zm^ gestrichen wird: 

j 5"' •» cos «j + u' cos /?, + j' cos yj , 

( 20 ) I = j' cos a, + tf cos /?, + j' cos y, , 

I j" = j'cos«, + ^'cos/?, + j'cosy, . 

Da dies nach (17) dieselben Belationen zwischen den Koordinaten 
des auf (|", fl", f") und auf ({', fl', f ') bezogenen Schwerpunktes sind, die 
auch zwischen den Koordinaten eines und desselben Punktes, der ein- 
mal auf (f", fl", {"), das andere Mal auf {(', rf, C) bezogen ist, bestehen» 
müssen, so stellt wirklich ( 5 ", t)", j") denselben l^nkt dar, wie (y', j'). 

and folglich auch wie ( 5 , j). Also folgt das wichtige Besultat: die 

Lage des Schwerpunktes ist von dem gewählten Koordi- 
natensysteme gänzlich unabhängig. 


47. Bewegung dei Sehweminiiktee eiiiM beliebigea Syetems; Edultii]w;iii 
Bewegui^ dea Sehwerpoaktei für eia freies System. 

• ’^dUeg^nftehst ein beliebiges (unfreies) System ins Aage-||i^en; 
m das a^,mb«a. den innereu auch äußere Kräfte wir^, 
u dm ^l^^d itüßon^ Kräl(to, die auf dmi b^^Idge^llfMSsUh- 



jg4 MetAmik maUrieüer JhmkU* 

mmea w ^ wrher 9t„ und Ät,dwm üaoji dein zweiten 
Newtonadien Äwgun^eseta: 
pi) ’ ♦ . 

Wir woUen nun sämtliche Kräfte, die an dem System wirksam siftd, 
addieren, also den Ausdruck bilden. Dieser ist jetzt keinesw^ 

cieich Null, denn die Gleichung (6) gilt nur für ein freies System. Wir 
werden also aus (21) erhalten, wenn wir gleichzeitig eine Koordinaten- 
eerlegung vornehmen: 

2 t „ VI d*x^ 

^ dt* ’ 


- t# 
(Sä) 


V r 


-?**L 


Führen wir nun die Koordinaten des Schwerpunktes 
^ung (10) ein, so wird aus (22): 

üi 

dt* 


gemäß Glei- 


(23) 






dt* 


‘M- 




M 


dt» 

«PJ 

di* 


ffmx wir 2»,, die Gesamtsumme des Systems, durch M bezeichnen. 

I^e Gleichu^n (23) haben genau die Form der Newtonachen Bewegungs- 
SÄletdmngen. Links stehen die «-Komponenten der auf das System 
wirkenden resultierenden Kraft; rechts die Produkte aus der Gesamt- 
säMSe des Systems in die entsprechenden Beschleunigungskomponenten 
lt na gcbwerpunktes. Wir erhalten also den Satz: „Der Schwerpun ■ 
sl&es Systems materieller Punkte bewegt sich so, als o i 
# ihm die Gesamtmasse des Systems konzentriert wäre 
ask Ati ihm die Besultante sämtlicher Systemkräfte an- 
ar^fe. Da die inneren Kräfte des Systems sich nach «lei- 
Sinng (6) gegenseitig kompensieren, io kann man unte 
tX^ ... in Gleichung (23) auch allein ^ ^ 

ßeren Kräfte verstehen. Der Schwerpunkt emM^^Systen 
beiregt sich also wie ein einzelner 

DsiW^ beruht es, daß wir in den BetrachtimgeB des , 

statt iubetantiellm Punkte ausgedehnte Körper, a,,, 

|^^; u^fledighch .d^^ ^egung ^, fhim»^^ 


185 


4Ug(m0im Dynamik eines Systems materieller Punkte. 

. ...p.,. j, , ,, , , 

gnogi' Auch dw I^ame S<9h:w’erpunkt erfährt jetzt seine f.rltl&iTing , Be- 
traohten einen Körper, 'so peift die Schwere an smoä aftTntlifihftn 
Massenpnnkten, also an seinen sämtlichen Molekülen an. Statt dessen 
können wir nach dem obigen Satze die Schwere auch im Massenmittel- 
punkte, in dem wir die Gesamtmasse konzentrieren, angreifend d «»nlr«w< , 
und daher hat dieser Punkt ursprünglich den Namen Schwerpunkt er- 
halten, der aber, wie man sieht, zu eng ist, da der obige Satz für alle 
äußeren Kräfte gilt. 

Die Gleichungen (22) und (28) gestatten eine anschauliche Formu- 
lierung nüt Hilfe der in Nr. 32 eingeführten Begriffe der „Stoßkraft" 
und des „Impulses“. Denn wir können (22) zusammenfassen in die fol- 
gende Vektorgleichung: 

■r y 


deren Form eine Integration nach der Zeit, etwa von bis ^ nahelegt. 
Dann folgt: 


(22 b) 




Die linke Seite dieser Gleichung ist offenbar die resultierende Stoß- 
kraft, die rechte stellt die Differenz der gesamten Bewegungsgröße 

T j, n 

zu den Zeiten und Iq dar. Also können wir schreiben: 

V P 

fl 

(22c) = 

eine Gleichung, die mit (22) und (28) äquivalent ist und folgender- 
maßen formuliert werden kann: 

Bie resultierende Stoßkraft ist gleich der Zunahme 
des Gosamtimpulses des Systems, In dieser Form heißt der Schwer- 
pimktsatz auch der erste Impulssatz; man nennt aber auch 
häufig die Gleichungen (23) oder (22 a) so. 

Wenn wir jetzt zu einem freien System übergehen, so sind nach 
Gleichung (6) die Kraftsummen auf der linken Seite von (28) gleich 
Null, und es folgt für die Bewegung des Schwerpunktes eines hreicn 
Systems: 


(24) „ d»a 

di* d#» dt^ 

Worten; Der, Schwerpunkt eines freien Systems 
n eschieü^gte, dvh* geradlinige und gleiehförini^i|^J|^#‘ 

»iDet Sohwerpimkt: einet 


186 


Mechanik materiell&r Punkte. 


„Geradlinig“ und „unbesohleunigt“ ist natürlich relativ zum Fun- 
damentalsystem zu verstehen. Da nun jedes relativ zum Fundamental- 
system in gleichmäßiger Translationsbewegung befindliche Koordinaten- 
system diesem äquivalent ist, so kann man den Anfangspunkt des Ko- 
ordinatensystems, das wir zugrunde legen, stets mit dem Schwerpunkt 
eines freien Systems zusammenfallen und sich mit diesem bewegen lassen. 
Dann kann man also behaupten : mit unserer Mechanik ist die Auffassung 
verträglich, d. h. durch kein mechanisches Experiment widerlegbar, 
daß der Schwerpunkt eines freien Systems „absolut“ ruht. 

Man nennt den in (24) enthaltenen Satz: den Satz von der Er- 
haltung der Bewegung des Schwerpunktes; Beispiele für den- 
s^^n bietet das tägliche Leben in Hülle und Fülle: der Schwerpunkt 
" des Systems Kanone-Kugel bleibt nach Abfeuerung des Schusses in Buhe; 
das Herausfliegen der Kugel nach vorne würde den Schwerpunkt nach 
vorn verlegen, aber das ^vird kompensiert durch eine Bückwärtsfeewegung 
der Kanone, den „Bückstoß“. Ein Segelschiff kann dadurch nicht in- 
wärts bewegt werden, daß im Boot befindliche Personen Wind ins S^el 
blasen, während dies möglich ist, wenn die betreffenden Personen außer- 
halb des Bootes sich befinden. Das sind natürlich gleichzeitig alles Bbi- 
spiele für das Prinzip von der Gleichheit von actio und reactio, 

,;,.'"Die Integration von (24) liefert zunächst für die Geschwindigkeit 
des Schwerpunktes, wenn ihre Komponenten zur Zeit < = 0 mit 
be^icfanet werden: 


(25) 


tmd für die Lage desselben zur Zeit t: 


dt “o> 
dt) 
dt 




, I E = «o<+Eo- 

9=*Po< + 9o- 

8o» 

mm h Koordinaten desselben zur Zeit t » 0 sind.’ 

Dtw^ Einführung des Begriffes der BevegungsgröSe oder des Im- 
puises k a nn man die Gleichung (25) noch etwas anders formulieren. Denn 
tlmltiplizieren wir die (Heichung (25) mit m, = M, so folgt, wenn 
wir durch ihre Werte nach Gleichung (10) wieder ersetzen: 


m 





Allgmeine Dynamik eines ^stema materieller Punkte.^ 187 

oder m.einer Vektorgleiehung zusammengefaßt, wenn C^.die Geschwindig- 
keit des ^ Massenpunktes ^bedeutet: 

(28) 

Dann ist die linke Seite öffenbar die gesamte Bewegungsgröße (oder 
der Gesamtimpuls), die wir wieder Ei 20«^ nennen, indem D,, wie vor- 

her die Bewegungsgröße des Massenpunktes bedeutet. Dann kann 
man (28) bzw. das identische (27) so formulieren: „Die Bewegungs- 
größe oder der Gesamtimpuls eines freien Systems bleibt 
konstant“ 

Da wir unter Impuls diejenige spezielle Stoßkiaft verstehen, die 
das betrachtete System aus dem Zustande der Euhe in seinen augeft- 
blicklichen Geschwindigkeitszustand überführt, so hat der eben aus- 
gesprochene Satz eine einfache, mechanisch anschauliche Bedeutung: 
Betrachten wir das in Frage stehende freie System zu verschiedenen 
Zeiten, so werden seine einzelnen Massenpunkte im allgemeinen ver- 
schiedene Geschwindig]jeiten c, besitzen. Für jeden einzelnen Massen- 
punkt wiy wird also der Impuls = mit der Zeit sich ändern, aber 
der Gesamtimpulß 20. nicht; er verteilt sich nur anders auf die 

I» 

verschiedenen Massenpunktes des Systems. Betrachten wir also unser 
freies System auch in den verschiedensten Zustände n: s tets ist dieselbe 
Stoßkraft erforderlich, um es aus der Ruhe in den gerade ins Auge ge- 
faßten Geschwindigkeitszustand zu bringen. 

Der Schwerpunktssatz liefert für ein freies System stets ein Inte- 
gral der Bewegungsgleichungen mit sechs disponiblen Konstanten. Bei- 
spiele werden wir im nächsten Kapitel kennen lernen. 


48. Dai Vektorprodukt. 

Zur Vorbereitung auf die folgende Nummer ist es zweckmäßig, einen 
neuen Begriff der Vektoranalysis einzuführen. Wir haben bereits in 
Nr. 27 ein Produkt von Vektoren, das sogenannte skalare (oder „innere“) 
Produkt, kennen gelernt, und zwar hatten wir es dahin definiert, daß 
unter dem skalaren Produkte der Vektoren und 18 der Ausdruck 

(«»)-|«l-l»hos(««) 

verstanden werden sollte. Dieses Produkt ist ein Skalar. Man kann 
jodoch auch ein anderes Produkt von Vektoren definieren, welches man 
nu Gegensatz zu dem Obigen das „äußere*' oder das „Vektorprodukt*^ 
nennt. ; 

Wir versi^en unter dem Vektorprodukt S der Vektoren W und 18 
'Schrieben 
( 21 )) 


"tt r«. «1. 


188 


JUßahanik nuüerMur AmMa. 




einen Viktor %, .dessen Biehtoikg senkrecht auf der Ebdhe ^«r^; beiden 
Vektoren und JB steht,, dessen absoluter Betrag |B| ‘ 

(29a).. " ‘ : l«i>|«|.l»isin(««), / 


d.h. gleich dem Flächeninhalte des aus H und B konstruierten Far^elo> 
Stamms ist; dabei ist der Winkel (VB) stets spitz oder stumpf, der 
Sinus also positiv zu nehmen. 

ln dieser Definition ist die positive Eichtung des Vektors 8 = [H®] 
noch zwideutig, da die Normale auf der Ebene von % und 8 nach oben 
und nach unten gezogen werden kann. Um diese Zweideutigkeit zu be- 
seitigen, setzen wir noch fest, daß die Richtung der Vektoren V, 8, 8 => 
m,»] zueinander dieselbe sein soll, wie die der x-, y-, z-Achsen unseres 
z^fikditshändigen Koordinatensystems. 

'Wenn also die Vektoren 8 und 8 gegeben sind (Kg. 62a), so ist 
danüt die Richtung des Vektorproduktes 8= [8» 8] ebenfalls festgelegt 
(Kg. 52b). 



z 




^ . 'Man sieht in der Tat, daß die Richtungen von 8, 8, 8 aufeinander 
wie die Bichtui^en der drei Achsen x, y, z. Man kann dies noofa 
mders ansdrücken: denken wir uns einen Funkt den Umfang des 
~ ‘ ramms beschreiben, und zwar so, daß er zunächst den iih, 

{% 8] an erster Stelle stehenden Vektor 8 und dann 8, beide 
i posHiven Richtung, durchläuft, so wird das Parallelogramm in 
bestihimten Sinne umkreist (Pfeilrichtung in Kg. 52b). Entsteht 
fiTmläufräui; wie in Kg. 52 b, dem Sinne, in dem man auf dem 
Wege von der positiven x- zur positiven ^-Achse gelanj^f SO 
stimmt die Ri^tung der Normale auf der Ebene ton 8 und 8 lint dai 
Itiohtung d^ pöeitiven z>Adise überein. Dies ist offenbar nur eine andere 
Formulierung, die manchmal bequemer ist. • 

.«Wir wollen nun fragen nadi der Bedeutung des Vektcnp>d^fl^ 
[88J absolute Betrag desselben ist |{8I0| 5» j8[ . 18] . ^ 

aw g^u der nämUehe, wie d» J^hrag von [ 88 ]. Wie; 1^1 


w dia . 






190 *• Mechanik matmeller Punkte, 

(31) 

Man kann sich die Komponenten von [Ä8] leicht merken, indem 
man die symbolische Determinante betrachtet: 

! (y) (ß) \ 



Entwickelt man diese nach den , Gliedern der ersten Horizontalreihe, 
so folgt: 

(32) J = - «.«,i + 

Der Vergleich von (Bl) und (32) ergibt, daß die Koeffizienten von 
(x), (y), (z) bzw. die a;-, y-, ^f-Komponenten des Vektorproduktes dar- 
stellen. Durch Benutzung der Komponentenausdrücke folgt nun auch 
leicht die Gültigkeit' des distributiven Gesetzes der gewöhnhchen 
Multiplikation, d. h. die Eichtigkeit der Formel: 

(38) [« + «,6] «[««] + [»«], 

wo W, 8, 6 irgend drei Vektoren sind. Denn z. B. für die a:- Komponente 
"haben wir nach (31): 

[||+ 8,«1 - («+ 8 ),«, - (« + »), 6 , - - «- 6 ,) + (»,«. ~ »,«,), 

also: 

[« + 8,«L «[««],+ [8«],. 

Analog für die übrigen Komponenten ; also folgt in der Tat durch vekto- 
rielle Zusammenfassung die Gleichung (33). 

Eine wichtige Bemerkung muß noch gemacht werden. Das Vektor- 
produkt ist seiner Dichtung nach nicht mehr definiert, wenn entweder 
8- oder 8 oder der Winkel (88) verschwindet; in allen drei Fällen ist 
da: absolute Betrag gleich Null. Umgekehrt sei die Gleichung 

[88]- 0 

vörgelegt. Diese hat nach dem obigen die drei Lösungen: 

8^0, oder 8 — 0, oder sin («») = 0. 

Kaeh diesen Yorbereitangen kehren wir wieder zu unserem System von 
Ifassenpunkten zurück. 

49. Dfe Botstionsmomttlte. 

Warn dra SchwcKpunki eines iC^tssensystena im Ba^e fes%ehahi'n 
wd dadurch die; BewegoiQgBm^dikeit des Sysi^ 
in singeschi^t. ^Ilan i^ksi^ ah^ daß 'n 



Allgemeine, Dynamik eines Systems materieller Punkte, 191 

jedem Falle noch Eotation^bewegiingen um durch den Schwerpunkt 
rächende Achsen möglich sind. Diese Erkenntnis führt uns zu der ‘ Auf- 
stellung eines wichtigen Begriffes, nämlich des Begriffes des „Botations- 
luoments** oder des „Drehmoments** um eine bestimmte Achse.- 
Die Gleichungen (21) für einen beliebigen Massenpunkt m des 
Systems lauten in Komponentendarstellung: 



Erweitern wir die erste mit j/^, die zweite n)it x^y und subtrahieren die 
erste von der zweiten, so folgt: 




d*x, 1 = 


Wir erkennen hier diejenige Operation wieder, die wir schon einige 
Male z. B. in Nr. 41 (Gleichung 135 auf pag. 148), Nr. 42 (Gleichung 170 
auf pag. 158), Nr. 43 (Gleichung 199 auf pag. 168) angewendet haben, 
um zu einer einmaligen Integration der Bew^egungsgleiclmngen zu ge- 
langen. Jetzt untersuchen wir den allgemeinen Fall dieser Methode, 
Summieren wir die letzt(‘ Gleichung, über alle Massenpunkte v von 
1 bis n, und machen die nämliche O])eration mit bzw. der zweiten und dritten, 
und der dritten und ersten Gleichung, was einfach durch zyklische Ver- 
tauschung der Buchstaben x^y bzw% in der letzten Glei- 

chung geschehen kann, so erlialten wir folgende drei Gleichungen: 



Darin läßt sich stets die rechte Seite als ein vollständiger Differential- 
fiuotient nach d^r Zeit darstellen. Man überzeugt sich in der Tat leicht 
der Eichtigkeit dieser Behauptung; z. B. ist: 


dt* dt* dt\ dt 


X 

r 



"w. Also man (84) schreiben, wobei wir die Reihenfol^ der Ötei- 
«‘»«ngen etwMf«iiäerw 



192 


Mtohanik materitüv Punkt», 


(35) 


2 (x. .. - Z. ..) - i 2 ”■ (t^ •’) ' 


Dabei sind X„ Y,, Z. die Komponenten des Kraftvektors ft„ ^d 
X V . 2 die Komponenten des Radiusvektors der vom Koordinaten- 
/k«#anpa piinkte nach dem »'!?“ Massenpunkte gezogen 
riXto^nkte P befinden möge; in P ist der Größe und RichUmg nach 

die an diesem Massenpunkte angreifende Kraft », angesetzt {PQ). 





Fig. 54. 


Dcbreiben wir stattX,:#,. usw., statt 4^- ; t,. «sw., wo C, die Ge- 
i^windigkeit des Massenpunktes bedeutet, so können die Gleichun- 
^ (85) geschrieben werden: 


2 {•« • *« " ^ l*'* ’ ~ *” ’ ’ 

2 * {*„ • *r. - • *»»1 “ ii 2 K » ■ *”* “ ‘ *”''1 ’ 

xmA tarn erkennt unter Heranziehung des B^riffes des 

^, ,1 j.fl * R f# t -Ä f .) die ac-Koitiponente des vektorpn» 

dnktes [»»«jnaw. ist! I&an kann also statt (^) schteibOT, mdem man 
düuiretGleicbungen in einer Vektorgleichung zusammeotoßt, ^ 

1,» - - 


1 ^ 


I 1 


d 





194 


Mechanik materieller Punkte, 




Wir können (85) bzw. die gleichwertigen ( 86 ) und (37) also folgender- 
maßen formulieren: „Die Summe der Botationsmomeftte der 
Kräfte um die Koordinatenachsen ist gleich der Änderung 
pro Zeiteinheit der Summe der Eotationsmomente der Ge- 
schwindigkeiten um resp. dieselben Achsen.“ 

Wegen der Form von (37) liegt es nahe, die Gleichung nach, der Zeit, 
etwa von Iq bis zu integrieren. Das liefert: 
k 


(37a) 








l,n 


Für Drehbewegungen ist diese Gleichung das völlige Analogon zu der 
Gleichung (22b) dieses Kapitels, die für die fortschreitende Bewegung 
gilt. Deshalb wollen wir, um diese Analogie hervortreten zu lassen, zwei 
neue Bezeichnungen .einführen; wir nennen: 

(38) 




den „Drehstoß“ der Kraft und 
(38a) 

V t * 

A ^ 

den „Gesamtdrehstoß“ oder „resultierenden Drehstoß“; der Dreh- 
stoß entspricht dem Begriffe der „Stoßkraft“. Ferner nennen wir: 

(39) 

den „Drehimpuls“ des Massenpunktes, und 
^9a) , « = = 


„Gesamtdrehimpuls“ des Punktsystems. 

Gleichung (37) kann in dieser Bezeiclmungsweise geschrieben worden : 

\m 

h* die Änderung pro Zeiteinheit des Drehimpulses ist gleicli 
dfm wirkenden Gesamtmomente 91 . 

Ebenso läßt sich Gleichung (37a) schreiben: 

[4la) *«»,-»0. 

d.b# der Gesamtdrehstoß ist gleich der Zunahme des Gesamt- 
drehimpulses des Systems. In dieser Form nennt mhn (40) oder 
(40a) den 11. Impulssatz, eine Bezeichnung, die auch häufig auf die Gloi- 
ebung (87) oder (85) angewandt wird. Dem Bej^ff des Drehimpulst^ W 
läßt sich vermittelst (40a) eine anschauliche Deutong geben. Detm 1»^ ‘ 
^aeht^ wir den Fall, daß vor Einvdrkung des Drehstoßef |y^ 
in Jlnhe war (alle c„4»Ö), so kt tt 0 ^O;,naoh dem dk ' 

«t r- - n . •* 






196 Meohaniik matirieü&r funkte. 

scyai^'. ij / i':)ai'r..'"i.-'' 1 .1. ii' B'rgsai,' iVt.ix> i rt,‘rr,\r;i.uji 

t käim man v6r 4fs Smumemeieiieii setzen, es ftr alle Hassen- 
punkte konstant ist. offenbar die ßumm^ der preh- 

moxEtönte um eine durob den neuen Momentenpunkt 0' gehende Achse; 
denn es ist genau so gebildet mit Bezug auf 0\ wie 2 [^r ^y] Bezug 
Ituf 0. Man erkennt sofort aus der letzten Gleichung, daß die Summe 
der Botationsmomente der Kräfte nur dann in ihrer Form uiigeändert 
hleibt, wenn: 

[t.2ftj = o 

ist. 

Wann ist dieses Vektorprodukt Null? — Erstens offenbar dann, 
wenn einer der Vektoren t und ^ 9^ verschwindet; t kann nach Voraus- 
setzung nicht verschwinden, also ist die erste Möglichkeit: 

m) 


d.*h. aber nach Gleichung (6), daß das betreffende System ein freies 
ist. Also: für ein freies System ist die ^Summe der Botation^^ 
mpmente der Kräfte unabhängig von der Wahl |les Mo- 
^^mentenpunktes. 

Zweitens aber kann das Vektorprodukt [z, verschwinden, 

j^äß der Definition des Vektorproduktes, wenn der Sinus des einge- 
ßdhlossenen Winkels verschwindet, d. h. wenn r und dieselbe 
; :BXeht«®g haben; es ist also die W^ahl des Moraentenpunktes 
att|5h dann ohne Einfluß auf die Summe der Rotations- 
;^;i»Qmente der Kräfte, wenn die Verschiebung des Moinenten- 
pk^ktes von 0 nach 0' in der nämlichen Richtung liegt, die 
sämtlicher Systemkräfte besitzt, — was 
^jaatiiifich ein ganz spezieller Fall ist. 

, * ;Wie verhält es sich mit den Botationsmomenten der Geschwmdig- 
Da die Geschwindigkeit durch eine derartige Verschiebung gai’ 
Pliöht beeinflußt wird, so haben wir nach (88): 


- [*. 2»»r«r] + SfC »».«J- 

wir jetzt mit Hilfe von (28) die Gesamtmasse M und die 
iP^ebl^digkeit io des Schwerpunktes ein, so haben wir: 




s«. M + sie «,0* 


skalare Faktor M kann anfierhalb des [ }-Zeichen8 gesetzt i»^den^ 
'joe'te'cht zu sehen. 


tilde Summe 


der Botationsmotne^te der O^elmnd 
’ |ht», Gestalt unabhängig von der WaM des Mopebt 
* Bedüagpj^ da0 



JUgmtim Dynamik einaa SysUma .materm«r 


wirdi !d. }i. also, entweder dann, wenn 

■ ''-V . ..V . • ^ = 0 

ist} d.h. wenh der Schwerpunkt des Systems ruht, oder wenn 

sin (t, ö = 0 

ist, d.h. wenn die Richtung der Verschiebung von 0 nach 0' 
nbereinstimmt mit der Richtung der Geschwindigkeit des-' 

Schwerpunktes des Systems, was im allgemeinen natürlich nicht 
der Fall ist. 

Setzen wir nun in der Momentengleichung (87) an Stelle von X die 
Summe Jp+t,'. Dann folgt: ' 


l.n 


1.» 


oder : 


y ^ 

fühlt man rechts die Differentiationen aus, so erhält man: 


dt. 


V 

Xun ist aber offenbar 


+2 1 ji- ’ +2 K’ 


_ - 
d t ~ 


dx 

dt 


■■ 0 . 


Gie letzte Gleichung gilt, weil t nach Größe und Richtung konstant 
if't, da 0 festliegt. Deshalb fallen das erste und das dritte Glied der 
obigen vier Terme fort; das dritte läßt sich ja schreiben: 


V 

und dM ist Null, weil der Winkel zwischen den beiden Vektoren c und 
Null ist. Also erhält man sohließlicli: 

K2».] tZK'«.] - [«. 

^un ist ferner'-^ = jl^, aJso nach den Newtonschen Gl eichnng ^^ 

fblglioh hebt sich in der letzten 




Mechanik mai&rielUr Punkte* 



¥ V 


oder auch, wenn man das versch’wdndende Glied 



r 


rechts hinzi^addiert: 



dt 


l»n 


Das ist aber nichts anderes als die Momentengleichung (37) für einen 
beliebigen festen Bezugspunkt. Sie gilt also allgemein, solange 
der Bezugspunkt im Baume fest ist; natürlich gilt das auch 
die Form, die wir der Momentengleichung in (40) gegeben haben. 
Ist der Bezugspunkt dagegen nicht im Baume fest, so gilt 
** der Momentensatz im allgemeinen nicht mehr unverändert. 
Wir werden auf diese Frage später eingehen, wenn wir 
den dann geltenden Satz brauchen. 


(Sß^ Erhaltung der Botationamomente der Geichwindigkeiten: Flächensaiz. 

^ : Wir haben uns nun zu fragen, in welchen Fällen die Gleichungen (37) 
b)8W. die drei mit ihr gleichwertigen (35) eine einmalige, einfach durch- 
fülurbare Integration erlauben. Da die rechte Seite ein Differentialquotient 
naeh der Zeit ist, so ist dies sicher dann der Fall, wenn die linke Seite 
gleich Null ist, d. h. wenn das resultierende Drehmoment der Kräfte ver- 
schwindet; also wenn: 

m 

•^Dicfee Gleichung kann auf verschiedene Weise erfüllt werden. 
Bratens können alle Kräfte ft, gleich Null sein, d.h. die einzelnen 
Buhlte des Systems bewegen sich dann alle nach dem 
Trägheitsgesetz — ein offenbar trivialer Fall. Zweitens ist (44) dann 
'^rjullt, wenn der Winkel zwischen jedem r, und ft, gleich Null ist, <^n 
dmin ist nach Definition des Vektorproduktes dieses selbst gleijch piil, 
d. h. also, wenn alle Kräfte radial vom Koordinatenanfangs- 
punkte fortweisen oder auf ihn hingerichtet sind; auäh 
ist ein spezieller Fall. Der dritte Fall' ist der wichtigste. Wir woUeh to- 
nehmen, daß das betrachtete System frei sei, d. h/naoh (6): 



199 


Ällgememe Dynamik eines Systems materieUer Punkte, 

Wir wollen nun ferner noch annehmen — das ist eine neue Voraus-^ 
Setzung, die an sich über die Forderung eines freien Systems 
hinausgeht — daß die zwischen zwei Punkten a und b wirkenden 
Kräfte bzw. einander nicht nur entgegengesetzt gleich 
sind, sondern auch in Richtung der Verbindungslinie tal 
der beiden'Punkte wirken sollen. Solche Kräfte zwischen Massen- 
punkten, deren Richtung parallel der Zentrale der Massenpunkte ist, 
nennt man „Zentralkräfte**. 



Unter diesen Annahmen greifen wir ein beliebiges Paar a und b von 
Massenpunkten des Systems heraus und berechnen die Summe der Haupt- 
drehungsmomente der Kräfte für diese beiden Massenpunkte; es ist 
offenbar 

oder, da nach dem Beaktiousprinzip — ftj, ist: 

- [*.«.»3 + [*.*. 61 . 

oder schließlich, indem die beiden Ausdrücke zu einem Vektorprodukt 
vereinigt werden: 

Nun ist aber nact Fig. 67 offenbar: 

Denn es ist nach den Begeln der Vektoraddition «dsp i| 

der tat (46^ erfüllt. Also wird unser Drehmoment: 

T" tti “* ®a»3 1 , 



Meehanik maierieUer PmlOe. 


200 

»woria nwh Yoriwiaiet^g and #,» von Null versehen’ smd. Aber 
das 'V^torwdukt kann ja anoh verschwind«», wena,,der#^Wmk9l zm- 
sehen den beiden Vektoren t.j'nnd gleich Null ist, d. h. weim 
in die Sichtung der Verbindungslinie der beiden Massenpunkte t.» f&Ut. 
Das- haben wir aber soeben als erfüllt vorausgesetzt; also 

i'st in der Tat 

(47) *« J ® • 

^ Diese Berechnui^ läßt sich für jedes Punktpaar des Massensystems 
durchführen, also ist auch für das ganze Massensystem die Summe der 
Drehmomente der Kräfte gleich Null. d.h. Gleichung (44) erfüllt: 


(44) 




wenn das System frei ist und die Kräfte Zentralkräfte sind. 

Man hat früher angenommen, daß alle in der Physik aufteetenden 
Kräfte Zentralkräfte seien; dann wäre für jedes Ireie^ystem 
(44) erfüllt. In der Tat hat sich nun nie ein Widpspruch 
mit der Erfahrung gezeigt, wenn man für ein freies System 
die Annahme (44) gemacht hat, obwohl wir über die Natur 
der Kräfte vielfach gar nichts aussagen können. Wii 
wollen daher jetzt die Gleichung (44) für jedes freie System 
(oh Zentralkräfte oder nicht) als gültig annehmen, also 
Wmein den Satz akzeptieren, daß für ein freies System 
die Summe der Drehmomente der Kräfte verschwindet. 

-' Diese Annahme ist von grundlegender Bedeutung für die Auff^sung 
4„ Mon»i.lmglBel.imgen (85) oder (87). In ih|«n 
V T Z die Komponenten der gesamten, auf das v Massenteilchen 
, wkkenden Kraft «„ die die Besultante der in-neren und äußeren 
auf m wirkenden Kräfte ist. Nach (44) aber heben sich (he Momente 
der inneren Kräfte heraus, so daß wir in den Momentengleichungen 
^ tot«, den 9 . (mit den Komponenten X,, Y,, Z,) nur die äußeren 
‘iHliftä zu verstehen haben. Dadurch wird der Momentensatz erst 
ifra^htbaar, da die inn«en Kräfte meistens unbekannt sind. 

'Dl €en besprochenen drei Fällen ist also nach (35): 






• auch kürzer in einer Vektorgleicbung zusamintowto^^'^ 


■ 


201 


Aügmeine Dynamik emea Systems materieller Punkte, 

odei;, aueb, skdiare Faktor % in die eckige K}anuner mit 

hineing^omi^en Wird: 



Führen "wir die Integration von (48) aus, so ist, wenn A, B, C Kox^ 
stauten bedeuten: 



oder zusainmengefaßt, durch Integration von (49), unter Beachtung der 
Definition des Drehimpulses nach (39a) 

(51) ^ [t,, w, C,| = tt = Const, 

¥ 

wobei der absolute Betrag des Vektors tt, also |tt| — ]/^^+ß^+C'* 
ist, d. h. also; Für ein freies System ist die Summe der Dreh- 
momente der Geschwindigkeiten nach Größe und Richtung 
konstant (Satz von der Firhaltung des Drehmomentes der 
Geschwindigkeiten). 

Unter Verwendung des Begriffes des Drehimpulses kann man (61) 
offenbar auch so formulieren: 

Der Gesamtdrehimpuls eines freien Systems ist kon- 
stant. 

Dieser Satz kann mechanisch anschaulich interpretiert werden, 
indem man bedenkt, daß der Drehimpuls ein spezieller Drehstoß ist, 
derjenige nämlich, der das System aus dem Zustande der Buhe in seinen 
augenblicklichen* Zustand überführt. Betrachten wir nämlich ein freies 
System zu verschiedenen Zeiten, so werden die Geschwindigkeiten 
und die Radienvektoren im allgemeinen variieren, also auch der Dreh- 
ini])uls tty für jeden einzelnen Massenpunkt. Aber der Gesamtdreh- 
impuls ist konstant. Also kann das System stets durch den 
nämlichen Drehstoß von der Ruhe aus in seinen augenblick-* 
liehen Zustand gebracht werden. 

Wir wollen noch die Richtung des resultierenden Drehmomenten 
der Geschwindigkeit bestimmen. Nach (50) sind die Richtungskosinusse 
offenbar bzw. 

(52) 

Wese dr^ Biefatungskosinusse bestimmen die Richtung 
tierendcn Geschwindigkeiten, also 

der Zeijt 



202 Mechanik materieller Punkte. 

1, ^ 

also “im Baume, d. relaiiv zum Fomdamentalsystem, fest 
ist. jDiese' Ebene wird als „invariable Ebene** und die dazu senk- 
recbte Bichtung des resultierenden Drehmomentes d%x Geschwindig- 
keiten als „invariable||Ä.chse*‘ bezeichnet; die Bedeiftung beider wird 
später hervortreten. 

Der Inhalt der Gleichung (50), die die Erhaltung der Eotations- 
momente aussprechen, wird manchmal auch als das „Prinzip der 
Flächen** oder als der „Flächensatz“ bezeichnet. Das hat folgenden 
Grund. Betrachten wir ein Glied der in (50) auftretenden Summen, etwa 


df 


U - ^ 

»» dl 


und führen für einen Moment Polarkoordinaten in der j/e-Ebene ein: 

(53) f = 

SO ist offenbar, wie durch Ausrechnung sofort folgt: 

dt y- dt dt ’ 

und das ist, wie wir schon in Gleichung (90) des ersten Kapitels sahen, 

gleich dem doppelten der Fläche, die vom Badiusvektor pro Sekunde 

dF * 

äberstrichen wird, die wir also nennen können. Damit gewinnt 
Qteichnng (50) folgende Gestalt: 

2^' dt 

^ m. - A = B, 


(35) 


^ dt 
dFJ 




ln dem einfach.sten Falle, daß alle gleich groß =m sind, ist also, 
.^eon wir 

> y 

t P V 

^^etaen, und die Gleichungen (55) einmal nach t integrieren: 

»I F, =» 1 + a j 

Bt + ß Uutß,/ Constanten) ; 


wtF. 


Ct + y I 


d. h. die in gleichen Zeiten überstrichenen Flächen sind 
gleich (das ist das zweite Keplersche Gesetz), und deswegen nitont 
.man auch im allgemmnen Falle den Satz den „llächensatz", 

Beispiele fht die hier als besonders bedeutsam hervortretenden freien 
Sjrsteme werden wir im nächsten Kapitel bei der BetaMwb*""® leeres 
JEIanetensysteme finden, 



Allgemeine Dynamik eines Systems materieller Punkte. 


303 


51. Das d’Älembertsche Prinzip. 

Einen allgemeinen Gesichtspunkt, unter dem wir die in den bis- 
herigen Nummern dieses Kapitels erhaltenen Resultate ableiten und 
wiedergewinnen können, liefert das d’Alembertsche Prinzip, das wir 
in seiner einfachsten Form für einen Massenpunkt bereits in Nr. 31 kennen 
gelernt haben. Wir beweisen es hier für ein System von n Massenpunkten, 
deren Bewegungsfreiheit durch m Bedingungsgleichungen eingeschränkt 
sei. Da jeder freie Massenpunkt drei Freiheitsgrade hat, so hat ein System 
von n freien Massenpunkten 3n Freiheitsgrade, von denen durch Hinzu- 
fügiing jeder Bedingungsgleichung einer fortgenommen wirilj also be- 
sitzt unser System {3n ~ m) Freiheitsgrade. Es ist klar, daß diese Zahl 
positiv seih muß, d. h. es muß stets 3n > m sein. Die gegebenen Be- 
dingungsgleichungen seien : 


2 1/2 *^2 ? * * * Vn ~ ^ > 

■^3 (*^1 Vl > ^2 V'Z ^2 » • • • ^11 Vn ~ ® ? 

^mi^l ^2 2/2 ^2 > • • • Hn O ~ ^ • 


Wir können nun. wie vdr es schon früher getan haben, die Wirkung 
der Bedingungsgleichungen durch Kräfte ersetzen, die w'ir zu den explizit 
gegebenen Kräften Z,. hinzufügen; diese wollen wir durch 

H,., bezeichnen. Dann können wir das System als völlig frei 
betrachten, und haben also z. B. füi' den r*®” Massenpunkt folgende Glei- 
chungen: 


(57) 


-IX. +=-)->’. 
V*' - (x. + 

- (x. + z.) = »■ 


Denken wir uns jedem Punkte des Sj’stems mit den Koordinaten 
ifv> y,> 2 .) ^ine unendliche kleine, mit den Bedingungen (56) verträg- 
liche Verschiebung (dx,, dy^, Öz,) erteilt, und erweitern wir die obigen 
Gleichungen bsnv. mit dx,, d%j,, dz,, addieren und summieren über das 
ganze Massensystfem, so erhalten wir die Gleichung: 

^ {(m, --1^ - X,) dx, + (w, - Y,) Sy, 

(6«) . ' !• 

Die rechte^, Seite dieser Gleichung ist die virtuelle Aeböt der 
gesamten 2,(rta^larfttte, die bei der gedachten, aoit den Bedinffdngen 



204 M€ckanik mak^Uer 

^ ■ .j:! -, 't .i, .f ' „ , ^.U'- ' . ..J, ,,1 ^ ^- ■'■■■.■> -‘ 1 ^) 1 ^ , ' ' ' ^ , irf! ' -l. 

vertoägliohen Verrueiaing geleistet iverden wurde. Wie wr in Nr. 30 
berelte:;nus^^ndersetzten, kommt man ohne eine besondere Annahme 
über d^e Zwfimgskräfte £„ nicht weiter, und alle ' Hyjmthesen, 

die man über deren Natur machen kann, müssen darin gipfeln, daß für 
jede mit den vorgeschriebenen Bedingungen verträgliche 
virtuelle Verrückung die virtuelle Arbeit der Zwangs- 
kräfte verschwindet. Es ist daher am einfachsten, von vorneherein 
di^e Hypothese direkt zu machen; wir wollen daher stets^ die Gültig- 
keit der Gleichung voraussetzen: 

(ü»). ÖA ^ [£.. + H, dy^ + Z, Sz^ = 0. 


Bfitbin ist unter den von uns gemachten Voraussetzungen; 

l.n 

d*y. 


t«0) 


2 IK i? - + (”■ 7? - »’.) 

. » 

+(%5' 


Wären keine Verbindungen da, so w’ären die sämtlichen dj/^, 
unabhängig voneinander. Dann erhalten wir durch Zerfall von (60) 
die gewöhnlichen 3w Bewegungsgleichungen Newtons; das ist das 
^'d’Alembertsche Prinzip in seiner einfachsten Form, in der es keinen 
Nutzen bietet. Aber wenn Bedingungen da sind, hier die m Bedingungen 
(56), so zerfällt die Gleichung (60) nicht in dieser Weise, da dann die 
dy^y dz^ nicht mehr alle unabhängig voneinander sind. In diesetn 
Falle kann man so verfahren, daß man mittels der m Gleichungen (66) 
^ beliebige der Koordinaten y^y und entsprechend dx^y öy^y 6z^ 
^durdi die übrigen, die dann unabhängig voneinander sind, aus- 

Irückt, und die ersteren m Koordinaten und Verrückungen in (60) oli- 
lldidert. Doch sind die Rechnungen meistens sehr umständlich. Lagrange 
ein anderes Verfahren angegeben, das wir bereits im zweiten Kdpitel 
r^iw/ainen Massenpunkt angewendet haben und das auch hier brauch- 
Wir gehen folgendermaßen vor: 

VPa die Bedingungsgleichungen (56) für alle Werte der KoordinateÄ 
betareffenden Massenpunkte gelten müssen, so ist auch* für 
^ benachbarte Lage x^+dx^y 

■0'-' 

Wenn wir diese letsterfn Gteiehnn^en ip , die Taylorait^el^ibe 
^Mebeln und beMbten, so 07 hidt nnHi,<|ie Oieiebungm: : 

i , . '''d/j.' .rtV' ' 

iP / + iiir •*: 


( ■^1 (®i + ^*1 > !/j + ^ ^1 > *1 + ^«1 > •• 0 » 

FJ.Zi + dit, , + ... + Se^ 




Aj^ememe pynamtK emes .ist/gtems matmelier Jhmkte, ‘Jüö 



Wir multiplizieren diese Gleichungen mit noch unbekannten Fak- 
toren Al, Ag . . . A^ und addieren sie zu (60); dann folgt: 


i.ft 

2 


II’ 

f 

+ {i 
+ {»»» 


fx, 

dp 

, d^y. 

> dr- 


dp 


Y 4- 5 ^ ^ 1 r 5 4. 3 V /»• 

dZy ‘ ‘2 .0 2v ^ * *"• a 2, 


'"]Sz^ 

V > 


0 . 


Von den in dieser Gleichung vorkoiiimenden 8tt Verrückungen 
6 x^, dy^, öz^ sind nun m durch die (3n — w) übrigen ausdrückbar; es 
seien dies etwa die m ersten Verrückimgen a^i. Öy^, öx^ . . . Diese 
m ersten Verrückungen sind also Funktionen der übrigen; wir bringen 
sie zum Verschwinden, indem wir die m Größen Ai, Ag,,. A^ 
nunmehr so wählen, daß die Faktoren der ?« fraglichen 
Verrückungen dXy Stji, dzi, 6 X 2 verschwinden. Das gibt also 
die ?n Gleichungen : 


d*x^ 




Y' 4- A 

^ dx, 


+ l 


aF, 

dxj 




(m Gleichungen) . 

Die Übrigbleibeuden (8?i-~ w) Verrückungen sind unabhängig von- 
einander, also müssen ihre Koeffizienten ebenfalls verschwinden, so daß 
Wir noch (8n — m) Gleichungen derselben Art erhalten. In toto gelten 
also für jeden beliebigen Massenpunkt die Gleichungen: 




206 Meehanik mateneUer PmJUe* 


lü (64) sind die Größen 




ÖF«\ 

di: 


U8W., 


die Komponenten der Kraft, die die Bedingungsgleiohungen auf den 
V*®“ Massenpunkt des Systems ausüben, die zusammen mit dem explizit 
gegebenen die „Totalkräfte“ bilden. Dann sagt (64) aus, daß, 

wenn man zur Totalkraft die d’Alembertsche TrägheitskrajEt 
mit den Komponenten 

d* Zy 


— tn„ 


hinzufügt, Gleichgewicht besteht: das ist def eigentliche Kern 
des d’Alembertschen Prinzips. 

Sind die Beschleunigungen jedes Massenpunktes gleich Null, so 
lirfert (64) die Bedingungen des Gleichgewichtes eines Systems unter 
dem Einfluß explizit gegebener Kräfte, wenn Bedingungsgleichungen be* 
stehen; auf diese Folgerung gehen wir in Nr. 53 genauer ein. 

Wir haben das d'Alembertsche Prinzip nur unter einer speziellen 
Voraussetzung beweisen können. Dennoch lehrt die Erfahning, daß 
die Gleichung (60) stets gültig ist. Wir w'erden daher das d’Alem- 
bertsche Prinzip (60) als stets richtig annehmen. Aus dieser 
Darlegung geht hervor, daß die allgemeine Gültigkeit des d’Alembert- 
sehen Prinzips nicht aus den Newtonschen Gleichungen ohne Hinzu- 
ifithme weiterer Voraussetzungen abgeleitet werden kann; das irAlem- 
.»bertsche Prinzip ist vielmehr ein neues Prinzip der Dynamik, dessen 
Ehiführung sich wie bei jeder experimentellen Wissenschaft nur durch 
die Übereinstimmung mit der Erfahrung rechtfertigen läßt. 

Wir können mm aus (60) sehr leicht die Sätze über die Schwer- 
ponktsbewegung und die Rotationsbewegung ableiten. 

i Wir wollen ein System betrachten, dessen Bedingungsgleichungen (ö6) 
die Eigenschaft haben, daß wir jedem Punkte des Systems die nämliche 
^^irtueHe Verrückung erteilen können. Dies ist sicher dann möglich, 
>1V0nh alle Punkte völlig frei sind, wie wir in den Nni. 45 bis 50 voraus- 
Sjbtefen, Wir geben also dem System eine gemeinschaftliche Translation, . 
.|irc^ die rektiven Lagen der Massenpunkte zueinander ungeänd^ 
"bleiben. Dann ist: 


= d-iTj = dajj » ... ^ 

••• 

— ••• - 

Also' nach der Formel (60) des d’Alembertschen Prinzips, weiSfa wir, 
\li^unmehr gleichen Größen 6x,dy, dz vor das Summenzeichen nehiäen: 


\ » V , f 









Allgemeine Dynamik eines Systems materieller Pmkte, 207 

und diese Gleichung zerfällt wegen der Unabhängigkeit von Öx, dy, dz 
in die drei Gleichungen: * • 


2 

2 




~di^ 


2 /. 

dt\ 



dU^ 


2^- 

2y- 

2^-. 


Das sind aber die bereits erhaltenen Gleichungen (22), aus denen die 
Schwerpunktssätze folgen. 

Ebenso erhalten wir die Sätze über die liotationsmomente, wenn 
wir annehmen, daß die Bedingungen des Systems es gestatten, ihm als 
Ganzem eine Botation um die x- oder y- oder 2 - Achse zu erteilen. Darauf 
gehen wir hier nicht näher ein, die genauere Untersuchung dem Leser 
überlassend. 


52. Das Energieprinzip. 


Außer den in diesem Kapitel behandelten Erhaltungssätzen, dem 
batz von der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunktes und dem 
Flächensatz, die jeder eine Integration der Bewegungsgleichungen liefern, 
gibt es in vielen Fällen noch das sogenannte „Energieprinzip“, dessen 
einfachste Form für einen Massenpunkt wir in Nr. 28 kennen gelernt 
haben. Wir legen der Behandlung die Gleichungen (64) für ein be- 
liebiges Massensystem zugrunde in Verbindung mit den Bedingungs- 
gleichungeri (56). Darunter ist als Spezialfall der eines Massensystems 
ohne Bedingungsgleichungen enthalten, indem dann die Größen 
■ ■■ identisch Null situl. Wir multiplizieren nun die Gleichungen (64) 

der Eeihe noch mit . -?} > . addieren und summieren über das 

dt dt dt 

' ganze Massensystem (v = 1 , 2, ... n); dann folgt : 




I d* Xy dXy W Jfy , 

rdiF-rfr+ -i» + 


dt> dt 


dU, 


di’ 

dtl 




P 

'^'"^•2 \dx, 


djr 
■ di 

BF, dy. 


dt By^ dt ^ Bzy d 


H 


BF^ dx, ^ BF^ dpy , BF, 


dt 


dt dzy 


Trl-o- 


1 y®*"™ sinid zunächst die Faktoren von Aj, ... i,. nichts 
ils die Differentialquotienten von 1*, 

äsii ' Bedingungsgleichungen (56) alle gleich Null sind. AlMf“ 

pieibt nur,.fiffiii: • - 



208 


Meohanik tHOteri^Uer Punktt. 


0] 




’W 






dP dt 


dP 


-37- + 


<«' dt 


>.« 




dt I 


Wir köimen iiier jeden Summanden der linken Seite in die Form 
bringen: 

d 
dt 




I dt* di dt* dt ***) 




und das ist nach Gleichung (27) des, zweiten Kapitels auf pag. 87 nichts 
anderes als die zeitliche Ableitung der lebendigen Kraft oder kinetischen 

Energie des Massenpunktes, also . Wir können also die linke 

Seite schreiben oder auch und darin ist^L^ offenbar 

:die gesamte kinetische Energie aller Massenpunkte des Systems; wir 
awollen sie durch L bezeichnen. Mithin wird ((>5): 


( 66 ) 


Ktt Term der rechten Seite, X, y' + + > **** dssska- 

laare Produkt aus der Kraft ft, und der Geschwindigkeit C, des r'™ 
Massenpunktes, also die von der Kraft ft, pro Sekunde bei Verschie- 
^.boim. des »•*“ Massenpunktes geleistete Arbeit, oder der „Effekt“ der 

l,,n 

IJCraft 9^, Die rechte Seite läßt sich also schreiben; ^(9^ty)t und 

ist nach dem Vorhergehenden gleich der Gesamtarbeit 
ri4«r im System wirkenden Kräfte pro Zeiteinheit. 

Also haben wir nach (66); 

Ä'- ■' 


!p^jh.%ie Zunihme dör kinetischen Energie des Systems 
gleich der von den Kräften des Systems geleiteten Arbeit , 
V^i^er Säte aueh für endliche Zustandsänderangen gilt: 



und h' 
kill»'- 


Allgemeine Dynamik eines ^stems materieller Punkte, 209 

tischen Energien in der Lage 1 und in der Lage 2; ebenso ^4^ die von 
(len KrÄften des Systems geleistete Arbeit beim Übergange des Systems 
aus der Lage 1 in die Lage 2. Im allgemeinen wird diese Arbeitsleistung 
außer von der Lage der Punkte 1 und 2 auch noch von dem Wege 
abhängen, auf dem das System von 1 nach 2 übergeführt wirdi 

Von besonderem Interesse ist es nun, den Spezialfall zu betrachten, 
daß die sämtlichen Kraftkomponenten Y^, (v = l, 2, ... n) sich 
als partielle Differentialquotienten einer einzigen eindeutigen Funktion 
der Koordinaten (r = l, 2, ... n) darstellen lassen. Wir nennen 

diese Funktion —<P die „Kräftefunktion“. Dann ist die rechte Seite 
von (66) : 



dx^ ^ dz^ \ 

\dx^ dt dy^ dt ‘da,, dt]' 

und das ist gleich dem negativen totalen Differentialquotienfen von 0 
nach U d.h. gleich Damit wird aus (66): 

(68) . -JT^- Tt 

Den negativen Wert der Kräftefunktion, also + 0 nennen wir die 
„potentielle Energie“ des Systems. Wir können (68) in der Form 
schreiben: 

(69) ^_(L+0) = O, 

oder zwischen zwei beliebigen Zeiten integriert: 

(70) Lg 02 Lj “f* 0j = Const. , 

d.h. wenn eine Kräftefunktion existiert, so ist die Summe 
der kinetischen und potentiellen Energie, d.h. die Gesamt- 
energie eines Systems, konstant. In diesem Falle haben wir als<)j 
wenn 0 bekannt ist, ein weiteres Integral der Bew^egungsgleichungeh. 
Schreiben wir (70) in der Form, die (67a) entspricht: 

(70a) i,- L j — (0,-0,). 

so sieht man, daß jetzt die Arbeit = 0,, (iie geleistet werden 

omß, um das System aus der Lage 1 nach 2 zu bringen, nur von der 
Lage des Anfangs- und Endpunktes der Bahn abhftngt, da* 
fiegen nicht mehr von dem Wege, auf dem es von 1 naoW # 
Überführt wird. Das geht sofort daraus hervor, daß die Aihmtv 
. Differenz der Fonktionswerte 0i und 0, dargestellt, iuid'0; 
®>ne. li’unhtion ist, dianur von den Koordinaten abhängt; 0j'hlfQgi 
“M von den 'Koöeäiiaten der Syst^punkte in der L^-1 
® sprechei^ Koor^a^, die die Idige 3 



,210 ifockam/b nuttmaUer Ptmkk. 

.. M . , , ,, ,.. : .. j . 4 , . ;. ., g , ,^ ,,., ^ .. w „, ra»T ^ 

auch die piffci^önz 0i — von der tage dieser 

In diesto F^e ist die unendlich kleine Arbeit dÄ = ^ auch 
iih IKÄerential einer Punktion der Koordinaten, Das ist eine 

" auä^«eichnete Eigenschaft der Systeme, die eine Kräftefunktion* be- 
«dtaen, ; 

Kräfte, die aus einer Kräftefunktion ableitbar sind, haben wir früher 
„konservative*^ genannt;, entsprechend nennen wir ein System „konser- 
vativ“, wenn seihe sämtlichen Kräfte konservativ sind. 


58. Oleidigewicht eines Systems; Stabilität des Gleichgewichts. 

Sollen sich' die Kräfte eines Systems im Gleichgewicht halten, so 
dürfen die einzelnen Massenpunkte dauernd keine Beschleunigung haben, 
älso liefert die d'Alembertsche Gleichung (60) als Bedingung des Gleich- 
gewichts : 

(71) ^\XJx^ + YJy^ + ZJz)^0. 

Im allgemeinen werden dann auch die Geschwindigkeiten dauernd 
gleich Null sein müssen; deim wenn dies nicht der Fall ist, so 'gelängen 
die Massenpunkte im Laufe der Zeit an andere Stellen des Raumes, und 
d^ die Kräfte Y,, i. a. Funktionen des Ortes sind, so wird (71) nicht 
JtS^ alle Lagen erfüllt sein können, sondern nur für spezielle, in denen 
4a^ die Massenpunkte dauernd verbleiben müssen. Wenn die Masäen- 
'funkte des Systems völlig frei sind, so sind die 8n virtuellen Verrüctomgen 
all^ unabhängig voneinander, und es zerfällt daiM|^>(?l) in 
^ S« Gleicbnngen: * 

■^) i X,= y,=Z,=0 (v=l, 2...n). 

i|Pa8 ist genau die nämliche Bedingung, die auch für einen Mas^- 

l'fVi ’ist dagegen die Bewegungsfreiheit des Systems eingeschvänljt, 
|p^.dateh die m Bedingungsgleichungen (56), so zerfällt (71) nicht mein 
l^pJOchenen'Weise, ans demselben. Grunde wie früher. Wir 
'Summen dann die Qleichgewichtsbedingungen aus (64), welche Gleicbun;,' 
j^'.dem d’Alembertschen Prinzip im Palle besohrfokter Bewegung^^- 
ypibät äquivalent ist. Wir finden so die Sn Gleichgewichtsbedingnngon : 




^ AUgmeine Pymmik eines Systems materieller Punkte, ' 211 ^ 

der (8k+m) ünbekannfei^ /i, ... aJ„, Aj, A| d*h. 

der (}Jfcihgewieht^ag6,^ge^de ausreichen. Sind die Kr&fte t^ibekani^l, 
so werfllia diese, genau wie im IL Kapitel auseinandergeisetzt, nur ihrer 
Biobtung nach durch (78) bestimmt; der Betrag bleibt unl^timmt. 

Eine besonders einfache Form nehmen die Gleichgewichtsbedingungen 
an, wenn das System konservativ ist, d. h. eine Kräftefunktion — <P 
existiert. Dann wird nämlicli (71): 




Dieser Ausdruck ist aber nichts anderes als die vollständige Variation 
von <P; also kann (74) kürzer geschrieben werden: 


( 75 ) 


d® - 0. 


In Worten: die Gleichgewichtslage eines konservativen Systems 
ist durch einen Extremwert der potentiellen Energie cha- 
rakterisiert. 


Das Gleichgewicht kann von verschiedener Art sein, je nachdem der 
Extremwert der potentiellen Energie ein Minimum, Maximum oder ein 
sogenannter Sattelwert ist, oder endlich die potentielle Energie über- 
haupt konstant ist; man unterscheidet stabiles, labiles und in- 
differentes Gleichgewicht. Man kann diese drei Arten des Gleich- 
gewichts folgendermaßen charakterisieren: Um zu untersuchen, in welche 
der drei Kategorien eine Gleichgewichtslage des S^^tems gehört, teile 
man dem System einen kleinen Stuß mit, den wir in der Grenze un- 
endlich klein denken, und der das System^ aus der Gleichgewichtslage 


entfernt. Dann wird das System entweder, wie klein auch der 
Anstoß gemacht wird, sich dauenid (und zwar alle oder auch 
nur einzelne Massenpunkte desselben um endliche Strecken und mit 
endlichen Geschwindigkeiten) aus der ursprünglichen Gleichgewichtslage 
entfernen, um nicht wieder in dieselbe zurückzukehren: in diesem 


Falle war das Gleichgewicht labil. Oder aber das System kehrt wieder 
m die alte Gleichgewichtslage zurück, von der es sich nur um sehr 
kleine Strecken und nur mit sehr kleinen Geschwrindigkeiteu (und zwar 
jeder Punkt des Systems) durch den Stoß entfernte; dann ist das Gleieh- 
gewicht stabil Es ist übrigens noch denkbar, daß ein imd dieselße 
Gleichgewichtsfege nicht für beliebige Verrückungen sich gleichari^ 
verhält, sondern für gewisse Verrückungen sich als stabil und für ar4i^ 
als labil erweist. Darauf werden wir später näher eingehen. Die dölp 
Möglichkeit ist die,* daß das System für alle oder auch nur für 
y^rtückung^ aus der Gleichgewichtslage stets im Gleichgevrioht 

das Gleichgewicht indifferent echläölpP| 


l^^j^different Ainsiebtlich det 


5^12 


M^hanik materieller Punkte* 


Diri;ßhl6t hat zuerst bewiesen, daB, wenn die potentielle 
Energie eines Massensystems ein Mihi ist, daB dann das 
^lleiohgewicht stabil ist. Wir wollen seinen Beweis, der siotf auf das 
Energieprinzip stützt, hier reproduzieren. Da (P, die potentielle Energie, 
lediglich dadurch definiert ist, ^daß ihre negativen Ableitungen die Kraft-' 
komponenten darstellen, so kann man, ohne diese Eigenschaft zu stören, 
eine willkürliche Konstante addieren; sie ist eben nur bis auf eine additive 
Konstante bestimmt. Wir wollen nun diese Konstante so wählen, daß 
0 in der Gleichgewichtslage gleich Null ist; da nach Voraus- 
setzung in dieser Lage 0 ein Minimum sein soll, so ist 0 in der Um- 
gebung der Gleichgewichtslage positiv. 

^ Wir geben nun dem System einen kleinen Anstoß, den wir nach- 
her zu Null abnehmen lassen; dann erhält das System eine gewisse kine- 
tische Energie L und entfernt sich aus der Gleichgewichtslage. Die po-^ 
tentielle Energie 0 steigt also von Null in der Umgebung zu kleinen 
positiven Werten an. Die gesamte Energie L + 0 hat einen kleinen kon- 
stanten Wert, den wir E nennen wollen; die Größe von E hängt natür- 
lich von der Stärke des Anstoßes ab und reduziert sich auf Null, wenn 
•w den Anstoß immer kleiner und kleiner machen. Also 


(76) L + <P-£,^ 

und daraus folgt, da L und 0 beide positive Größen sind, daß iif'der 
Umgebung der Gleichgewichtslage stets sein muß: 


(77) 


L'^Ef 

0^E. 


Was bedeutet nun die Jüngleichung 

Um ims dies klar zu machen, wollen wir 0, das ja Funktion im all- 
gemeinen sämtlicher Koordinaten (x^, z^) ist, in der Umgebung der 

GWehgewichtslage, die etwa durch die Koordinaten (x/, -?/) cha- 

rakterisiert sei, in eine Taylorsche Beihe entwickeln. 

> per Bequemlichkeit der Schreibweise wegen wollen wir die Ko- 
oidjbaten jetzt etwas anders benennen; die Bezeichnung von bleibt 
unUfprfiPdert; dagegen schreiben wir statt statt 

daß wir 8n Koordinaten bis x^, x^^.j bis x,„, bis Xj„ b< - 
kopoimen. Mit dieser Bezeichnung liefert die Taylorsche Beihenent- 
wi^Uung: 





; . JSariu siod aadi VonuistietzaDg 


d bJÄmo fsiC d«Ä 


213 


Allgmmm Dynamik eines Systems materieller Funkle. 

Glied gleich NulJ, weil die QleichgeTrichtslage durch d<P = 0 charakteri- 
siert ist. Es bleiben also nur die quadratischen Glieder übrig; mithin 
ist 2 (P von der Form: 

l,3nl,3n 

• ^ ^ ^ ^ ^vti ■” O 

y fi 

Nach (77) muß nun sein: 

22«,/. - O (*,. -x/)^E, 

y fi 

und es fragt sich, was diese Ungleichung bedeutet. Wir können die Lage 
des Systems, da sie durch 3 n Koordinaten bestimmt ist, durch einen 
Punkt im 8 n-dimensionalen Eaume charakterisieren. In dieser Auf- 
fassung bedeutet: 

2 2 {*. - a/) (a:„ - a:,.“) ^ E 

^ y fi 

ein Gebiet ira 3 w -dimensionalen Baume, ebenso wie etwa 

(a;, - + (X, ~ X,r + {X, - ^ E 

ein von einer Kugelfläche vom Eadius j/E umschlossenes Gebiet im ge- 
wöhnlichen Eaume bedeutet, um das Zentmm (rci®, xj^, x^^). Nehmen 
wir die Ungleichung 

(«1 - x^y + {X2 r + {x ^ - X3®)2 < £, 


so bedeutet sie, daß der Punkt (Xj, X 2 , 0 : 3 ) innerhalb dieser Kugelfläche 
bleiben soll. Lassen wir nun E immer kleiner und kleiner werden, so 
zieht sich die Kugelfläche immer mehr und mehr auf ihr Zentrum zu- 
sammen, so daß der absolute Betrag von Ixg— Xg®], [iCa— iCs®! 

immer kleiner werden muß. Bei der allgemeinen Gleichung 


kann man nicht genau so schließen, da liier auch negative Glieder vor- 
koninun können, die im Beispiel der Kugelfläche fehlen. Es ist aber, 
da 0 eine stets positive quadratische Form ist, stets mög'- 
lieh, wie später in Nr. 68 bewiesen werden wird, durch Ein- 
führung anderer Variabein 0 als Summe von Quadraten 
darzustellen. Nennen wir diese neuen Koordinaten etwa und sind 
positive Konstanten, so ist: 


20 


also:. 


'^Kily-lyr. 


V 

.. ’jetet tKwitiv Üt, so gilt a fortiori fä? iedea 'ifflKed * . 

Ungleiolittijß! ;/<■ • • 




214 


J^hehanik mateneUer Punkte. 


E=0 


ulio ist in der Tat : 




d D. aber, daß, wenn der Stoß kleiner und kleiner wird, dann, 
'auch die Verschiebungen jedes Punktes aus der Gleic^h- 
■ gewichtslage kleiner und kleiner werden, und damit ist das 
erste Erfordehois für die Stabilität der Gleichgewichtslage erfüllt. Nun 
ist das Analoge für die Geschwindigkeiten zu beweisen: auch diese müssen 
, sich mit abnehmendem E sämtlich der Null nähern; nun ist aber nach 
(77) und der Definition der kinetischen Energie: 




:E, 


also, da die Summanden von L alle positiv sind, a fortiori: 


’^C^E; 


‘ also endlich für jede 

.<1 r 


aber: 


Geschwindigkeit: 



0 , 


S5U beweisen war. Damit ist der ganze Dirichletsche Satz 
b^ewiesen. 

’ Umgekehrt kann man sich leicht klar machen, daß, wera <P ein 
in der Gleichgewichtslage ist, dann das Gleichgewicht labil 
eefo wird. Denn machen wir in der Gleichgewichtslage wieder 0 - 0, 

t nmS es also in der Umgebung der Gleichgewichtslage kleiner als 
ir sein, d.h. abnehmen. Erteilen wir nun einöi beliebig klemoii 
#, 80 daß wieder 

■ L+0=E 


cQOBt man, da 0 mit zunehmender Entfernung von der Gleitb 
gt^ehtsla^ immer mehr abnimmt, daß L immer mehr zunehmen mul . 
fiilh. init wachsender Entfernung von der Gleichgewichts- 
ta#e wftchst dje Geschwindigkeit des Systems. DidS gilt, vu' 
» auch der Stoß gewählt ist; das System entfernt ;««^ »‘J*’ 
vm stets wachsender Geschwindigidit voh der^i GldH’i' 
eewichtslaae. Diese ww alsö IsbiL 



" AUgemine Dynamik eitua Systmu maierieUer Punkta. 215 

. ■■■■^.1 ■ ii 

zontaler üniei^Äge; er auch a&t derselben ^ verschob wd^ inüner 
ist die potentielle Energie dieselbe, überall ist er irii Gfäcligewcht, ' 

Ein sehr gutes Beispiel für die Verschiedenartigkeit der Gleich- 
gewichte liefert die Betrachtung eines starren Massensystems, das die : 
Gestalt eines dreiachsigen EUipsoids mit drei ungleichen Achsen hat,*) 
Dasselbe ist auf einer horizontalen Unterlage im Gleichgewicht, sobald > 
das Ellipsoid mit einem Endpunkt seiner drei Achsen auf der Horizon- 
talen aufliegt. Nehmen wir an, das Ellipsoid liege zunächst mit seiner 
kürzesten Achse auf, so hat der Schwerpunkt des EUipsoids die tiefste 
Lage, die er überhaupt haben kann, also ist die potentielle Energie des 
Systems in diesem Falle ein Minimum. Denn diese wird, da man im 
Schwerpunkt die ganze Masse konzentriert und die ganze Kraft in ihm ^ 
angreifend denken kann, nur durch die Lage des Schwerpunktes bestimmt. 
Nach dem Diriohletschen Satze muß also das Gleichgewicht stabil 
sein. Gibt man einen kleinen Stoß, so treten in der Tat nur kleine 
Schwngungen um die Gleichgewichtslage ein, die durch Beibung ver-^ 
nichtet werden, und das System kehrt wieder in seinen ursprünglichen 
Zustand zurück. 

Liegt umgekehrt das EUipsoid mit seiner größten Aclise auf, so ist 
die potentielle En<*rgie ein Maximum, das Gleichgewicht also labil. In 
der Tat bringt ein kleiner Stoß das Ellipsoid zum Umkippen. Eine Sonder- 
stellung bildet der FaU, wenn das Ellipsoid auf seiner mittleren Achse 
aufliegt, wenn also der Schwerpunkt zwischen der höchsten und der 
tiefsten Lage liegt. Stößt man jetzt das EUipsoid in der Weise an, daß 
es sich um die kürzeste Aclise dreht, so hebt sich der Schwerpunkt. Die 
potentielle Energie hat für diese Verrückungen also ein Minimum, die 
Gleichgewichtslage ist hinsichtlich dieser »Verrückungen also stat^l. 
Stößt man dingen Ellipsoid derartig, daß die größte Achse als 
Drehungsachse dient, so senkt sich der Schwerpunkt, die potentielle 
Energie ist für diese Verrückungen in der Gleichgewichtslage ein Maxi- 
mum, das Gleichgewicht hinsichtlich dieser Verrückungen ist also labiL^ 
In diesem FaUe hat <P in der Gleichgewichtslage einen sogenannten 
Sattelwert. 


64, Das Hamiltonsohe Prinsip, 

Die Bewegungsgleichungen (60), die in der Form des d'Alembe^ 
sehen Frinzips zu einer Gleichung kondensiert sind, lassen siobj, 
Hamilton gefunden hat, in eine sehr einfache i^orm bringen, dio 
Vorteil hat, gar k^e Beziehung mehr auf ein Koordinatensystem 
tmthalten, und die . deshalb besonders dann von Vorteil isÄ, 
von feinem l^ooördinatensystem zu einem Koordinatensystem 
z. B; kartejä^ichen mt Polatkoordinaten usw. 




216 Meehanik materidler Punkte. 

Wir wolS^^itorAÄtung des HamiltonsoheB Prinzips zu- 
nächst ein konservatives System voraussetzen; dann wird (60), wenn 
wir die Kräftefunktion ei|;4ühren: 



Diese Gleichung können wir folgendermaßen schreiben: 



""Darin ist die rechte Seite aber nichts anderes, als die negative voll- 
ständige Variation von 0; also ist: 



9 


womit bereits ein Schritt in der angedeuteten Sichtung gescheh(^n ist: 
^die rechte Seite enthält keinerlei Beziehung mehr auf das Koordinaten- 
syatem. Dasselbe hat mit der linken Seite zu geschehen. Zu diesem Zwecjie 
l^achten wir folgende Identität: 




#*, 


i f 


dXj, 

~dT 




VI 


dXy 

dt 


dÜXy 

'^dT 


,Im letzten Gliede ist es gestattet, die Differentiation nach f mit der 
Variation zu vertauschen, da die letztere sich nicht auf i be- 
.i^eht; also: 

di dt 


'K ^ « 

haben wir offenbar, wenn wir noch dieselbe Operation auf die 
«-Koordinaten ansdehnen: 



. Hjim wild «treog in folgender Weise bewiesen. Wir, betrachten als 
'Ftn&ltto Ton*( (siehe 1%, 66) imd gldohzritig ^ns helik>^t benaoläiifsrte Kurv^ 
«/# IXe Diffenos der ]tebkii9|ir^ ein «pd dendtiMt wir 

d«i dew ehMii^ eiw iwigd 






, 218 mokftMer Punkte. w, 

;^otieDt saoh der Zeit itft, nabe, eine Megration nach t'auB- 

Til^ibren, etwa zwiBchen ssiroi Zeiten /, und <i m ‘integri«ren. , Dann 
«Wten Wir; 

M ? K + Tfh.+ 57 ^4) “ ' 

" ' ' ' "'*0 U 

Nun wollen wir die Verrückungen dx^y dt/,, dz^ in einer bestimmten 
Weise wählen, die aus folgendem klar werden wird. In der Zeit zwischen 
^ und ti hat das System, d. h. jeder Punkt desselben, eine bestimmte 
Bahn beschrieben, d. h. die Koordinaten (x^, z^) haben als Funk- 

tion^ von t gewisse Werte angenommen. Die Bahn des Massen- 
imnktes sei in Pig. 59 gezeichnet, zwischen dem der Zeit ^0 entsprechen- 
den Anfangspunkte 0 und dem Endpunkte 1 zur Zeit 



Fig. 59. 


Nun haben w uns aber zu jeder Lage (a:,, y,, zj) eine virtuelle Ver- 
i^^lining ix^, iy,, dz, gedacht, so daß wir au^r der wirklichen 
$£ durch x,(t), y,(t), «,(<) dargestellt wird, auch noch von einer „vari- 
:&|tien Bahn“ sprechen können, die durch die Gleichungen 


/ y,(0+^yA0> 

&'BW%meterdarstellui% dargegeben ist. Das ist eine Bahn, die offen- 
lAK wegen der unendlichen Kleinheit der virtuellen VerBchiebungäi 
dp;, ds, ganz in. der Nähe der wirklichen Bahn verläuft, aber im 
p^en ganz willkürlich ist. Nur müssen die dx„ dp,, dz„ die Bedingungs- 
(|ll|mkiu]gea des Systems erfüllen. Z. 6. können die drei in Figur ö9 ge- 
limdielten Babnmi als variierte Bahnen angesehen wwden. Nun wollen 
Wit^bdr die variierte Bahn so wählen, daß sie zu den Zei- 
nijid d. b. in den Punkten 0 und 1 mit der wirklichen 
SiiinintoenfftlU (Fig.ßO); im übrigen bleibt sie mit der obigln Ein- 
idiräiiknüg voin^mm^ wiUkürh^ 



^ ^ 

. AUgefif$ine Df^m k ünes Systems maime^ Punkte, 219 

schwimdet UUke Seite von <81), da der beirte|:|ende Auf- 
druck für die untere und die obere Grenze ve:^ct\wfddet. 
Also fol^ schließlich, wenn wir noch die Beihenfolge von Ihtegmtion 
und Variation vertauschen, was gestattet ist, da die Variation sich nicht 
auf die Integrationsvariable t erstreckt: 


(82) 




die- die Hamiltonsche Gleichung darstellt, den Bewegungs- 
gleichungen (60) äquivalent ist und keinerlei Beziehungen 
auf ein Koordinatensystem mehr enthält. 

Man kann das Hamiltonsche Prinzip folgendermaßen in Worten \ 
aussprechen; Unter allen Bewegungsarten, die ein konser- ; 
vatives System aus einer gegebenen Anfangslage in ge- j 
gebener Zeit in eine gegebene Endlage führen, ist die- ^ 
jenige die in der Natur eintretende, für welche der zeit- | 
liehe Mittelwert von (L— <P) einen Extremwert hat (d. h. j 
für die die Variation des zeitlichen Mittelwertes von(L— <P)i 
verschwindet). j 

Hat man einmal kinetische und potentielle Energie in den in Be- ' 
tracht kommenden Variablen aufgestellt, so kann man rückwärts aus 
dem Hamiltonscheu Prinzip die Bewegungsgleichungen gewinnen, 
zwar durch einen ein für allemal feststehenden Algorithmus, also durch 
eine rein schematisch vomehinbare Operation. Da es für viele Fälle 
leichter ist, L und 0 zu bilden, als die Bewegungsgleichungen aufzu- 
stellen, so ist die praktische Bedeutung dieser Formel einleuchtend. 

Wir wollen zunächst L und 0 als in kartesischen Koordinaten ge- 
geben denken und nun zeigen, wie die Bewegungsgleichungen (60) rück- 
wärts aus (82) erhalten werden. Zunächst ist: 

t, t, 

Sjldt^sj 0dt^ Jdt'S0 


(83) 


to 





Ferner ist: ' 




oder, Venn die yariation euBgeidhrt wird: 




220 


Mechanik materielie^ Punkie, 


oder, indem das Operationszeichen 6 in der Reihenfolge ver- 

tauscht mrd, was aus demselben Grunde wie oben zulässig ist: 

j dt ■ 2^ f-rfi' rr + d f "rf7‘ +~dt- -d v] ’ 


oder auch: 

h 


+ fj; !&[*. 


<0 » 


Hier wollen wir eine partielle Integration ausführen, die wir der 
Kürze halber nur am ersten Gliede durchrechnen wollen: 

h Jx fx . ^ ' 

/ dx^ dÖx^ j. dx^ ^ d*a‘ ^ 

-It -Tf j 

" “* 4 

Darin verschwindet das erste Glied, weil für und die Größ<m 
dx^i öy^, 6z^ gleich Ntill vorausgesetzt sind; also folgt schließlich: 

(84) j/idl - J «*. + f?' 

Durch Verbindung von (83) und (84) hat man also: 

h ^ 

<0 ^ 

oiei, "wenn die beiden Integrale zusammengefaßt werden und der Integrand 
tiiidik j&x^, öy^f bz^ geordnet wird: 

h If« 




^ X i-? 
dfi a*. 


+K-7^ + ||)h]“0: 


' Eä Mt sieb nun zeigen, daß da« Verschivinden die|||f^tegrfll8 ;i^ur 
ii|yNtä>en kann, daß der Integrand veiscktrindot. Dann netoen 
^i^tkwa an, doe^^be sei positiv oder negativ; nun ist der« Inte^ahd 
raDi^stf^^g;« EDaktjcHi dsx iZeit; ich kann d^er die Zeitgreng^ 

daß imi^halb' des Intervalles ty—t^ der 'Ibte^lllU sein 
Zeielte^ . ni Jht rreebselt^ Dum aber, .käihite das, 0 
luNi daher nqe so vsiaebTOiidui der Jäte* 







Allgemeine Dynamik eines Systems materieller Punkte, 221 

graud sich ^nulliert; also folgt in der Tat das die Bewegungsgleichungen 
enthaltende d’Alembertsche Prinzip (60): 


l.n 



Das Hamiltonsche Prinzip ist im vorhergehenden ntir abgeleitet 
für konservative Systeme, doch hat die Erfahrung gezeigt, daß 
es allgemeiner gültig ist. Namentlich Helmhol tz hat darüber 
wichtige Untersuchungen angestellt und gezeigt, daß für nicht kon- 
servative Systeme das Hamiltonsche Prinzip auch gilt, wenn man statt 
— wieder die Summe dx^ + Y^ dy^+Z^dzJ) substituiert: 


(82 a) 


]dL+:^{XJx^.^YJy^i-Z^dzy,dt=^0, 

r 


56. Kanonische Form der Bewegongsgleichungen nach Lagrange. 

Wir wollen jetzt das Hamiltonsche Prinzip dazu benutzen, um 
die Bewegungsgleiohungen in beliebigen Koordinaten zu gewinnen. Als 
„allgemeine Koordinate'* bezeichnen wir jede Abmessung, die ge- 
eignet ist, die Liige eines Punktes eindeutig zu bestimmen. Es brauchen 
dies durchaus nicht, wie die kartesischen Koordinaten, Längen- 
abraessungen zu sein, sondern schon das Beispiel der Polarkoordi- 
naten zeigt, daß es auch Winkelgrdßen usw. sein können. Wir wählen 
diese allgemeinen Koordinaten nach Möglichkeit so, daß die vorhandenen 
Bedingungsgleichungen dabei schon erfüllt werden. Z. B. wenn ein 
Massenpunkt sich auf einer Kugelfläche vom Radius B bewegen soll, 
so haben wir als Koordinaten die Zenitdistanz & und das Azimut tp zu 
wählen, und bei der Bildung von L und <P hat man zu beachten, daß 
R konstant ist. Kann man die Koordinaten in dieser Weise wählen, so 
erhält man so viele unabhängige allgemeine Koordinaten, als das System 
Freiheitsgrade hat. Wir wollen im folgenden zunächst voraus- i 
»etzen, daß die allgemeinen Koordinaten ^lle unabhängig 
voneinander sind. Wir bezeichnen die allgemeinen Koordinaten 
durch die Buchstaben Pi, p 2 . . . p^i . . . ; es sind im allgemeinen die kar- 
tesischen Koordinaten als Punktionen aller allgemeinen Koordi- 

naten Pj^, p, . . . pJ^ . , . anzusehen. Da nun 0 lediglich eine Punktion 
JHy ist, so ist, wenn der Zusammenhang zwischen kartesischen 
nnd allgemeinen Koordinaten gegeben ist — eine rein geometrische 
Aufgabe “— 4 *^ potentielle Energie sofort als Funktion von pg*. 

P;. • • • bekaMt. Wir haben also für das folgende: 

<D(P,P4 



222 


MnluMik matmeUar PimÜe. 


tui4 

iö4er. 




dß s , S0 
dp, dp, 


Pi+ !"|^*Pl+' 




Etwas komplizierter ist die Gestalt von L. Denn L ist ja in karte- 
sischen Koordinaten abhängig von nsw. Nun ist aber allgemein: 


( 86 ) 




Also nach dem Satz: vom totalen Differentialquotienten: 

d d Pt . B ^ 1 ^ ^Vk 

~dT äpi ~ 


dx^ 

~dt 


oder: 


Bpi 


dp, , 

dt 


dt 


+ ..• 


(87) 


dx, _ dpi 

d t B Pi dt 

X 


Die zeitlichen Ableitungen der allgemeinen Koordinaten p., also 
nennen wir sinngemäß die „allgemeinen Geschwindigkeits- 
komponenten** und bezeichnen sie durch Beachten wir, darnach 
^ ^86) die Ausdrücke Funktionen von p^, P 2 ••• Px W 

faxten wir, wenn wir dies zum Ausdruck bringen: 


-dl- 

X 


für das in L vorkommende Quadrat . 

("(ilf) “ [^/i ’ 9i|* -* •^ 11 3j 9* "i“ +• •• 

« - Dabei sind die Koeffizient^ bestimmte Funktionen der p;^, und 
g$nze Ausdruck ist eine homogene quadratische Funk- 
i|dn in derep Koeffizienten Funktionen der p^ sind. Also 
L als Funktion dar und qj, anzusehen, derart, daß wir habep^,. 

^ (Pi> Pi • • • Pj • • • 5 ■ 9i> 9» • ■ • 9i • • ')■ 

I, Also nimmt die Variation von L folgende Gestalt an: 




dh 



Allgemeine Dynamik eines Syetenu materülM' 


223 


tn . V to A <0 K 

Darin können wir das erste und dritte Glied, die beide dpj enthalten,. . 
zusammenfassen : 

to l <0 *' 

Das letzte Glied dieser Gleichung ist noch umzuformen, um darin 
ebenfalls an Stelle von Sq^ die Variation von zu erhalten. Dies ist 
möglich, da; 

" 5 ^ dt dt 


ist. Das letzte Glied in (91), in dem wir das Summenzeichen der Einfach- 
heit halber jetzt fortlassen, kann also geschrieben w^erden: 



io 


BL d^pi 
jqx “Tr 



und kann weiter durch partielle Integration umgeformt w'erdcn; 



^ io <0 


Da für und ti die Variationen ö verschwinden, weil die Variationen 
^Vv* verschwinden, so ist einfach: 


•I 

/ 





Das ist die gesuchte Transformation, und diese liefert, in (91) ein- 
gesetzt, wenn die zwei Integrale zusammengezogen werden: 

<0 A 

Da der Integrand eine stetige Funktion der Zeit ist, könnte imm,; 
wenn er von Null verschieden wäre, das Zeitintervall von f, bis ii ßo 
Wählen, daß er sein Zeichen nicht ändert. Dann aber könnte die GM-^i 
«bui^j (92)^nioht bestehen. Also annulliert sich dieser Integr^^^' 
^gen ,der Doahhängigkeit der dp* aber zerfällt er wieder 
Weise/ (laß. für jedes dpi für sich verschwindet,-! 11» 
git lür j^j^ jEpiter^ate. die sogenannte „kanohiBchi! 

(ani^ BeWwcflWEägleiohnng «weiter Art 



224 


Mtdumik mattrieUar Funkle. 


sp ., d jdL\ „ ' 

IJater Beräcksichtigung des Umstandes, daß 0 nicht von den q^ abhSngt, 
.^kaiin man den verschwindenden Term — hinzufügen. Dann 


kann man (86) so zusammenfassen: 

S(0-L) 




_ d /l(0-l)]_. 
dt [ 8g, -)-^‘ 


Die Differenz 0 — L— T nennt man das „kinetische Potential“ 
tiäd kann dann die Lagrangeschen Gleichungen schreiben: 

8T _ d 8T 
SPi it dg, 


(94) 


= 0 . 


Wie liegt nun die Sache, wenn die allgemeinen Koordinaten nicht 
80 gewählt worden sind, daß sie aUe unabhängig sind, sondern daß noch 
Bedingungsgleichungen zwischen ihnen bestehen? Datm bleibt offenbar 
alles im Gedankengange erhalten bis zur Gleichung (92) einschließlich. 
Aber es kann jetzt nicht mehr geschlossen werden, daß jedes einzelne 
Glied der Summe 


21 


8L 

Bf, 


80 
3 Pa 


d 8L 
di 8g, 


^'Pa 


verschwindet, denn dazu ist eben völlige Unabhängigkeit der 6 erfor- 
derlich. In unserem Falle kann also aus (92) wegen des Veischwindens 
des Integrals nur geschlossen werden, daß sein muß: 


m 


^ 1 dp, 8'p, 


dt (e,J) ^Vi 


Diese Gleichung ist nun zu betrachten in Verbindung mit d(*n Be- 
<|jingiingsgleichungen, von denen etwa die beiden’ folgenden vorgeschrieben 
imp mögen: 


I ^’ilPiP* ••Pa"-) = 0» 
1 P’,(p,p,...p,...) = 0. 


Bldai wir die Variationen dF, und dF^: 




moj^plizierea wir mit zwei unbestimmten i^aktoren p, und j», und ad- 
dieläh zu (95), so folgt: 


^ 2llr-jr-Ä(lr 

~ yPi [ogi 



A»4^^«4fW^ , «M ti3 ^ i»y»fc fc A«m Aui< 4 .^>I1I^ ^ 
^juJvCSt^ tjU ^ ^•»^‘kJf, «6^4.4: 

^•4U«W2t 





4u^JL a-:c oi^J.»-.Y T**^^’^1^*^^3(r 


... >«■ 
H ' 


^ • f iy\ 


ia ^ r^\ 

i^* 


UHa 











''^*fc4*l* t-vivAlt* 4 S •A.a. 


^ T.L>« 



-'- » JU^>.^n4o tvie VW - '-^ 


I /'Jf \ . ♦ fi»' •4r4/^/‘'<'' i«,’->-*5-»!3^ 

M'vJix ^%- — . V. 

‘lX«4i4|r %>^ w^T’' 


Lri^ 


i.-?! 




. /_. *rf. 


-5 »J • T , >.^.v:%^f 4 ;f ^ 


dilgemeim Binea ßyaiems materieller Piinf^e*. 225 . 

Durch die aswei Bedingungsgleichungen (96) sind nun zw^ der Größen 
dpxf ^Vi ^V 2 durch die übrigen ausdrückbar; beßfiÄfeeh l)ßr 
nun, wie früher, die Koeffizienten juj und daß die Glieder* ^ 

Klammer mit den Faktoren d pi und d pg fortfallen, so bleiben nur die 
Glieder mit dpj ... ... übrig, welche jetzt alle unabhängige 

^ind. Deshalb müssen diese Summenglieder einzeln verschwinden, und 
so erhalten wir insgesamt: 


dL 

d0 

d /dL\ 

+ 


dF, 

+ 


dF, 

dpi ■ 

~ öpi ” 

■ dt (dqi) 

/*! 

dp. 

f^2 

dp. 

dL 

d0 

d , 

(dL\ 

1 + 


dF, 

+ 


dF, 

dp. 

dp, ~ 

" ~di ' 


Ml 

dp. 

Ms 

dp. 

dL 

d0 

d 1 

fdL\ 



dF, 



dF, 



* 7/T 1 


1 + 

Ml 

Spx 



dpx 


Darin verschwinden, um t‘s nochmals liervorzuheben, die beiden ersten 
Gleichungen deshalb, weil die Koeffizienten Pj und pg so gewählt wurden; 
die übrigen aber, w^eil die Größen d pg . . . d . . . nun alle voneinander 
unabhängig sind. Wir erhalten also ganz allgemein als Lagrangesche 
Gleichungen zweiter Art, wenn Bedingungsgleichungen vorhanden sind, 
für jede Koordinate: 


(98) 


dn dn dt idgj dp, + 


0 . 


d 0 

Hier ist noch eine Bemerkung notwendig über die Größen -» t 

d. h. die negativen Ableitungen der potentiellen Energie 0 nach den 
allgemeinen Koordinaten. Für kartesische Koordinaten ist die Größe 

~ die Kraftkomponont(‘. jjarallel der x-ßichtung, oder auch; die- 


jenige Kraft, die die x-Koordinate zu verändern bestrebt 
ist. Da wir nun den Begriff der allgemeinen Koordinaten 'p, und all- 
gemeinen Geschwindigkeiten q, eingeführt haben, so liegt es nahe, die 

Größen — in Analogie zu „allgemeine Kraftkompo- 

d 

turnten“ zu bezeichnen, also unter die allgemeine Kraft 

verstehen, die die Koordinate p, zu verändern bestrebt 
Es ist nun zu beachten, daß P, im allgemeinen nicht die Dimension 
(Miier Kraft im gewöhnlichen Sinne, hat; denn 0 hat 

selbstverständlich gleichgültig, in welchen Koordinaten es auagedrückt 

ist ^ Dimension einer Arbeit der Ausdruck 

also nur dann die Dimension [MLT“*] haben, wenn p, die Dime»- 
d, h, die einer Länge hat. Das ist nun z. B. schon bei Äum* 

i^hon Polarkoordinaten (p nicht immer der Fall; allerdi{igs ist 
dor Dimeiutton JAfLr"*!, also einer Kraft im alten Sinne, dagegen 

; «chueiet ' 15 




226 Mieh(^ mattrieUtr FimUe. --.i 

^ r ^,r-wr - Tr;--^-rr r .-. 

!l3F dwhaiat jaicÄ;. sie feind vielmehr, da Winkel dimen- 

sinnülos sind, von der Dimension [Kraft x Länge], d. h. von der Dimen- 
Siöh^ die ein Drehmoment hat. Daher nennt man die allgemeinen Kräfte 
d0 

P;i— — ^ auch wohl „Momente*'. Die von der allgemeinen Kraft 

bei einer unendlich kleinen Veränderung von geleistete Arbeit, 
fet offenbar P^ d , also die von sämtlichen Kräften des Systems ge- 
leistete ^Pjidp;^. Dieser Ausdruck hat natürlich stets die Dimension 

einer Arbeit, [ML^T^^], 

Nach diesen Erläuterungen wollen wir den Nutzen der Lagrange- 
.?ffichen Gleichungen an einigen Beispielen zeigen. Zunächst indem wir 
einen freieh Massenpunkt betrachten, dessen Koordinaten x, y, z seien. 
„ Dtnni müssen wir natürlich unsere alten Bewegungsgleichungen wieder 
erhalten, und die Lagrangeschen Gleichungen lehren uns nichts Neues. 
1 Diese Betrachtung ist also nur eine Verifizierung. Es ist in unserem 
FaUe 

dx (ly dz 

Pj — o; ; Pj — p ; Ps — ^ » 5i — Yi' ’ di’ ^ ' 

also ist die kinetische Energie: 

i=Tl(lf)'+(5f)’+(4:-n' 


. während <P eine gegebene Funktion von x, y, z ist, so daß: 

d0 


d0 

dx 






y, 


iÄi. Also folgt z. B. für die a:-Richtung 

dx 

A. /- 

dt 




BL dx 


Alm ist m der Tat nach (93); 


(t') 


mm 


d*x 

~d0' 


dH « 
m 

Bod ebenso für die ül>rigen Bichtungen. 

Ke Lage desselben Punktes können wir ih rftuihHohen Polatkourdi- 
liij^ ansdrücken. Dann ist: 

. Ä. dt '* dt, dw 

ft ”7(1 5 





. Mlgenum» D^ftamik eitm Sykems matendler Punkte. 227 


Also ist: 


ix d * 

"37 “* “37®^ d’C09fp + rcost9*co8<^~- — r sim?- sin ^ 

dt 
di 


—-sintS^sin cp + rcos^sin 9?-— + rsin/Zcos^*^, 


4 V cos 19* — r sin t 9 4r 

a c dt 


Also folgt für die kinetische und potentielle Energie: 

<J) = <J> (r, d-y (p) , 

Daraus folgt für die erste Koordinate pj— r: 

80 80 , 8L (d(^Y . . .^{dwY 

BL dr . d (dL\ 

a?. - aV’ dl (ö?J . 


fl!*r 

* rfi» 


Also lautet die erste BeWgiingsgleichung: 


Ebenso für wie haben: 

8L 
d& 


* mr*8ini9cosi9 


also: 


(d<py. 

BL 

[ dt) ’ 

Till.] 


^[dtj 




,d» 


dt 


BL \ „ d» dr , .d*» 

aT + «‘’’ de*- 


Also lautet die zweite Bewegungsgleichung: 

4 t +’•*-!?' - esin i;^co8^(-^^-)'j + ^ = 0. 

Endlich folgt für p^ = (p: 

8L ^ BL 


8<p 


0 ; 


8 


dt 


8L 


(#) 


7»f*8in*i?' 




2mf + 2j»r*8in 


dt 


»00.»" 


+ mr®8in*i^-^- 


^Iso ist die .Äitte Bewegungsgleiotong; 

** f2V4i««iBlÄ.MSEilj;. o J«:« A «./*. JJ.4^ Av • i 




228 


Mechanik fnaterieller Funkle. 


Schreiben wir nun dieselben noch einmal übersichtlich zusammen, 
so lauten die Bewegungsgleichungen eines freien Punktes im Polar- 
koordinaten: 


.m 


m 


m 






dr ä» , ,d'& 

TTr+^iv 




+ + = 0 . 


Spezialisieren wir diese Gleichungen jetzt dahin, daß auf den Massen- 
punkt die Sch^Ycr^ allein wirken und er sich auf einer Kugelfläche vom 
Badius B bewegen soll; dann ist r= li= const. zu setzen und scheidet 
somit aus der Anzahl der Koordinaten aus, d. h. die erste Gleichung (99) 
fällt fort. Ferner ist 

0 = mg Bco8&, 


alle Ableitungen von B verschwinden und man erhält die beiden Glei- 
d 0 

- chungen, da noch B sin vrird: 

B^^ — Bein i^’cos & — p simS* « 0, 



die mit denen des räumlichen Pendels, nämlich (171) und (172) df' 
driUen Kapitels auf pag. 159 identisch sein müssen. I)aB dies der Fall 
ist, davon kann man sich in der Tat leicht überzeugen; denn die letzte 
ß^ehung (100) kann geschrieben werden: 




oder: 


„ d »in b d /if] 

dt _ dT (dt / 

»io b dj^ 

dt 


0 , 


™ (logsin» ^ + log-^^ j - 0, 
sin* &■ • ■« Const, 


«SS wir, da R auch konstant ist, auch sohrt^ben können, wenn B ein«' 
andere KmiBtante bedeutet: 



229 


AUgm^m Dynamik eines Systems materieUer Punkte. 

was wirklich mit (172) des dritten K^iipjitels übereinstimmt: es ist der 
Flächensatz. Setzen wir diese Gleichung in die erste (100) ein, so wird 
dieselbe: 

•r\ d^'O' C08 S" • n. 

( 101 ) « ip-- 

und wenn wir die Gleichung (171) des dritten Kapitels nach t differen- 
zieren und (172) berücksichtigen, erhalten wir sofort diese letzte 
Gleichung (101). 

Spezialisieren wir noch weiter auf eine ebene Bewegung des Punktes 
auf einem vertikalen Kreise (ebenes Pendel), so brauchen wir nur das 
Azimut 9?=Consff=0 zu machen; dann fällt auch die zweite Glei- 
chung (100) fort, und die erste vereinfacht sich zu: 

(102) ß~-5f8inö- = 0, 

die in der Tat mit (137 a) oder (137 b) auf pag. 149 des dritten Kapitels 
identisch ist, wenn man die dortige andere Bezeichnung berücksichtigt. 

Weitere Beispiele für die Anwendung der Lagrangeschen Glei- 
chungen werden wir im nächsten Kapitel kennen lernen. 



Fünftes Kapitel. 

Spezielle Dynamik eines Systems materieller Punkte. 

SS. Di« AtwoodMhe Fallnuuchine; experimenteUer Rachwei« der Tri«- 

hettsto&tte. 

» .Wir wollen zunächst, um die Eesultate des vorigen Kapitels zu er- 
ISntem, und zwar speziell das d’Alembertsche Prinzip, ein ganz ein* 
faohes Massensystem betrachten, bestehend aus zwei Massenpunkten % 
und mj, die durch einen über eine feste Bolle laufenden gewichtlosen 
Faden von konstanter Länge verbunden sind (Fig. 61) ; auf die Massen, 
punkte soll von äußeren Kräften nur die Schwere wirken. 



Das Koordinatensystem legen wir so, wie in der Figur angedeutet, 
'd^ Koordinatenanfangspuakt in den Mittelpunkt' der Bofld und di*’ 
. pontiTe s-Aehse naeh o8en; die xr und p*^ch8e spielen hi^ ^keine Bulle. 
“ Jie ganze Bewegung, wenn die Masscm % und kpine Anfang*' 
Ugkät haben^ Denker punallel dw »•Ao)ia«< geht 





|.;Pnnkk'».' 
ist, die 



^ ^5^ 

Dynamik eims Systems materieller Punkte. 231 

wir ssunSchst festst^llep wollen. Nennen wir die 2f-Ko9rdinaten der beiden 
Massenj^nUkte % und^^^fj, so muß nach Pig. 61 offenbar sfin; 

( 1 ) ’ 2^ + Z^-l^O, 

wenn l die Gesamtlänge der frei herabhängenden Fadenstücke isi 
Die Gleichung des d’Alembertschen Prinzips, (60) des vierten Ka- 
pitels auf pag. 204, lautet in geeigneter Spezialisierung: 




1,2 

d'x, 

”^^-d-ir 

1 

11 

oder, ausführlicher, da 





«1 = 


Z, 

ist: 





(2) 

L 

+ m,g 

J 

)m+ 1 


Hier mm kann man 

z. B, Ä 

1 nach 

(1) durch ^2 ausdrücken. 




f ‘ 

— f ^2 ♦ 

(3) 



1 <i*2, (£*2* 

d¥ dfi’ 




[ = 

= - Sz^ . 

Also wird Gleichung 

(2): 




L 

-»H<7 

> 

) + 1 


oder nach der Kürzung durch öj ^2 


(4) 


‘*‘**r«, 

dt' 

+ m,) 



d^z 

das liefert für die Beschleunigung , mit der sich der zweite Massen- 
punkt abwärts und folglich der erste aufwärts bewegt: 

rf*«, d*Zi ^ m,— m, 

TW TW *“* 


(5) 




diese Gleichung enthält die Theorie der Atwoodschen Pall- 
maschine.. 

Denn diese? Apparat dient bekanntlich zur Demonstration der Pall- 
gesetze, die er dadurch ermöglicht, daß bei ihm die Beschleunigung dei 
fallenden Masse % beliebig klein gemacht werden kann, wexm man 
gemäß Gleichung (6), % geeignet wählt, nämlich möglichst nahe gleich 
Wir hätten bei der Behandlung dieses Problems auch von 
herein statt dßr Gleichung (60) des vierten Kapitels die fertigeffipi^ 
grangesohen Gleichungen (W) desselben Kapitels auf pag* 206 
jJMt beschränkter Bewegungsfreiheit anweuidcia 


Denn di^^. 
stimmte“^'' 



^ und? % Xi der .] 



282 


Mtehmik tnaterieUer Punkte. 


( 6 ) 


•j 




also ist 


1 

In unserem Falle ist gemäß (1) 

Fj s2:j + — 1 = 0, 


af, 

dz^ 


BF^ 

dz^ 


1 ; 


folglich liefern die Gleichungen ( 6 ) 

I /«I 

( 7 ) 


d*z. 


\ 




’S df 


+ »»äj + Ii =0, 


die zusammen mit ( 1 ) zur Bestimmung der drei Unbekannten 2 I 3 , 

(i*z, d^z 

außreichen. Da aus (1) oder (3) folgt: ~ «— -~f so liefert z. B, 

Subtraktion der beiden Gleichungen (7) wieder das Besultat der Glei- 
chung (5): 

m, — m* 

di* ^ m, + Wj ^ ^ 

was zu beweisen war. 

dF d F 

Von Interesse ist es noch, die Größen — und , die 

fl 2| 0 

tnw mit — Ij zusammenfallen, zu berechnen. Das ergibt sich durch 
Biosetzen von (5) in (7) zu: 


m 


. af, _ . ajp, _ . 

* a*, ” ' dz, ~ ** ™ »B, + TO, ' 


Dieser Ausdruck stellt nach den allgemeinen Auseinandersetzungen 
(fe Nr. 51 des vierten Kapitels die Kraft dar, mit der die Ile- 
J^ppingsgleichnng ( 1 ) auf die beiden Massenpnnkte 'wirkt, durch <lie die 
Bedihgongsgleichung also ersetzt werden kann. 

;^i)i«808 einfache Beispiel ist nun sehr geeignet, den 
des d’Alembertschen Prinzips klar zu machen. Wir 
kdimen dieses so aussprechen: Es gestattet, die Gesetze der D 3 maTiiil' 
Mif die 4 er Statik znräckzufähren, wenn man statt der explizit gegebenen 
Kräfte die Summe aus ihnen und den d'Alembertschen Trägheits- 

krftften — einführt; diese Kräfte zusammen 

sich das Gleichgewicht. Es ist schon frühhr mehrfach darauf hi"' 
gewiesen worden, daß die Trägheitskräfk‘*f gar nicht wirklici' 
auf' däD Massenpnnkt agieren (sonst gehörten sie ja 
plizü g^henen Kräftmi); es sind Scbeinkräfte, dian^, 
zu d^ esqiliäieD es geäli|tet» me 




Spezielle D^mik eines Systems materieller Punkte, 233 

Stelle def-komplizierteren der Dynamik anzuwenden. Diesen Gedanken- 
gang woBen wir am Beispiele der Atwoodschen Fairmaschine erläutern. 

Wir wollen zu dem Zwecke die Vorfrage erörtern, unter welchen 

d^x 

Bedingungen sich die Scheinkräfte — dt^ » ' * * überhaupt bemerk- 
bar machen bzw. experimentell nachweisen lassen. Darauf gibt eben 
das d’Alembertsche Prinzip Antwort: Sie sind nur dann da, 
wenn man an dynamische Probleme mit den Methoden der 
Statik herangeht; denn die statischen Methoden und Sätze gelten 
ja nur dann für dynamische Vorgänge, wenn man diese Scheinkräfte 
den explizit gegebenen hinzufügt. Man kann diesen Sachverhalt auch 
so ausdrücken: Indem man auf ein dynamisches Problem die Gesetze 
der Statik anwendet, begeht man einen Fehler; diesen kompensiert man 
dann wieder dadurch, daß man zu den expliziten noch die Scheinkräfte 

— ...» eben die d’Alembertschen Trägheitskräfte, hinzufügt. 

Die Atwoodßche Fallmaschine bildet nun, in diesem Sinne be- 
trachtet, ein Mittel, die Trägheitskräfte nachzuweisen. 

Ebenso wie die Massen und auf den sie verbindenden Faden 
Kräfte ausüben, so tut dies nach dem Reaktionsprinzip auch der Faden 
umgekehrt auf die beiden Massen. Diese Rückwirkung kommt in der 
Natur in folgender Weise zustande: die angehängte Masse v^^rlängert 
durch ihr Gewicht den Faden um ein außerordentlich kleines Stück; 
durch diese Verlängerung werden alle Punkte des Fadens aus ihrer Ruhe- 
lage herausgerückt und dadurch werden „elastische“ Kräfte im Faden 
geweckt, wie wir sie in Nr. 33 ff. kennen gelernt haben, und diese üben 
die Reaktion auf die angehängte Masse aus. 

Da die Masse M die Kraft —Mg auf den Faden ausübt, so wird in 
dem Faden eine elastische Kraft, die wir seine Spannung S nennen 
wollen, geweckt, vom selben Betrage und umgekehrter Richtung. Wir 
haben also den Satz: die Spannung eines Fadens ist ihrem 
Betrage nach gleich dem angehängten Gewicht; in Formel:. 

(9) ' S - Mg, 

Es ist nun für das Folgende wohl zu beachten, daß bei diesem Satze 
vorausgesetzt ist, daß Gleichgewicht herrscht. Die Massen 
dürfen keine Beschleunigung haben; Gleichung (9) gilt also 
für die Statik. 

Würden wir diesen Satz ohne weiteres auf die Spannung des Fädens 
an der Atwood sehen Falhnaschine übertragen, so würden wir 4$8. 
Resultat erhalten, daß auf der einen Seite des Fadens die Spannung?; 
jf , auf der anderen Seite die Spannung = m, g herrschte,, so da| 

öhier (übrigens nicht näher bestimmbaren) Stelle, des Fadens dk 
' panuung desseljben unstetig sein müßte, was offenbar umnCg^e^ 
keine dif angegeben wirkChi^ W 


maierMer fVwigte. 

j D&rin dafl wir einen statischen Sat? ohne wei- 

?r,» Ä.«U.he. Probl.» 5be,i,.8.B-. «■. 

r.“ 3- d’Al3mb.r..cl..n Prin.ip «« . »S» : 

ist jetzt nachzuholen. 

Die expliziten Kräfte sind: 

Zi--mig; Z2=-”h!f‘ 

Die Trägheitskräfte sind -”h'dF’ 

chnng (6), wo die Beschleunigungen IW ausgerechnet sind. 


■m. 






- m, 




^ 3LrJh.a 

w, + Ml ^ * 


,ite. b«lt»gt di. Summ, der eupMen u»d TrigbeitakrSIte: 




-m. ^ =-i»,g - 


(10) 


I Z, -»».-jTi 

<f**, 


\ 


• 1 ». 


dC 


' — »»äSf + ”*i + 1» m, + »», ^ 


S.-£,sr5.r..r=r,::tii •»»■- 

k ' 

(U) 


Ml + w, 


»■ 


&±33'dl! Spmmmrg m.P. * "^JTSr.’Ji’dr;?; 

^|^!Bteip8.-Mche ^®’^J^^^^,^^7c!"schaefer beschrieben 
'^m Prinäps sind von 0. Lummer una ovu 

ieu. » ei« •rAz'irS'SSÄi^^’- 

die man als „ausaxnmengesetzte lallmasobine Kooidinaten- 

^ über eine feste Bolle, in der der ^ 

Utems liegt, geht ein Faden von 

:^l«^ab&raden Stäche l, ist; an dem emenEnde h&n^dif l^j.*^ 





Spexielh Dynamik eines Systems fnatsrieller PwnkU* . ^ 23 & 

■:sr-- iri't.-., M ■ ■■ ■.“US"-' ■' ‘ -iir- 1 ■ ,' V ■■,■ '•■ 'l " - ' ' — , ■ i-’i ■! il-/ ^ 

an dem arideren 'Ende ist eine EolTe von der Masse Wg befestig; über 
diese letztere l&uft ^eder ein Faden von dey „freien^* Länge Ip 
an riem einen Ende die Masse ,an dem anderen die Masse tlägt. 
Es sind die Beschleunigungen für jeden Massenpunkt festzustelle^q^* 

Wir haben zuerst die beiden Bedingungsgleichungeii aufzustellen, 
die die freie Beweglichkeit der Massen einschränken. In der nämlichen 


z 



Bezeichnuiigsweise 

ablesbar: 


wie vorhin sind diese, wie sofort aus der Figur 62 

I J?! ™ + Äia = 0 , 

I jP| d“ ^3 2 .2^2 ^ 0 \ 


also haben wir nach den Gleichungen (64) des IV. Kapitels auf pag. 206 
für die vier Massen: 

7 4- a 4. a = 0 


( 13 ) 


0 , 


dz, 

** “ ”** dt* +/»«*, + ** e«, 

„ tP*. , , öf, , , dF, « 
+ A, - 0, 

Z —m ^*** 4- 1 y* X X. -> 0 


Züsammea init des Gleichungen (12) hinreichenv i|tti 
If Zu hestinunen. Seteen irir 




Mechanik materielter Punjpte* 


(14) ' 


- - »h S- + = 0, 

-w»3gi-m3-^ + Ä, = 0, 
d*z 

+ ^ = 0 . 


Vermittels (12) folgt nun zuerst: 


(16) 


~d¥ ^ dV ’ 

d^z^ d^z^ . 2 ^ ^ o 

T/* “ dt^' rf7* di* di* ’ 


also, wenn man diese Werte für 


^2, 

di*" 


und 


in (14) einsetzt: 


(1«) 


+ = 0, 

- OTjgf + >»3 ^ + A, - 2Aj = 0 , 

d*zi 

-«»8<?-W»,-j^ + A2 = 0, 

— »»4SI + »»4 ^ + 2^4 ^ + A, » 0 . 


d*2 d*2« 

Aus diesen Gleichungen wollen wir zunächst und be- 
‘ le^en. 

Die Addition der beiden letzten Gleichungen liefert: 

-(»»,+»»4)?+‘^{»t4-»nj) + 2m4^^ +2Aj =0. 


gi^trabiert man diese von der ersten, so ist: 


tmd sabteahiert man davon die zweite, so folgt eine Gleichung, die Ax 
tind A, iiicbt mehr enthält: 

(1?), ?(«» + % +'«*- «j) “ + «»1 + »»j) ? ® • 

' d* d* 

Biü^ zweite Gleichung zwiischen und -j|r, die. frei von .den A 
ist^i'äeW^ die Snbtraktion der beiden letztmi Gleiohtd^en: 

^6) gim^ — ^(»4 + “ f • 



%>exielle Dynamik e ines Systems materieUer Pitnkte. 237 

Die Kpmbioation von (17) und (18) liefert endlich, für Ä und ^ 

'*<’ dt* 


die Werte: 

( iüh. = 

dt* 


(19) 


— m,) — (Zm« + m, + +”^3)” 


dt i»3 + m, I * ä 


und folglich Sind gemäß (15) auch die übrigen Beschleunigungen ^ 

**'^**^ it* Daraus ergeben sich dann sofort die Werte für Äj 

und üj, womit alles bestimmt ist. Da die Formeln etwas lang werden 
wollen wir jetzt nur den einfachen Fall weiterbehandeln, dal 


(20) 




ist. Da dann der über die feste Bolle gehende Faden zu beiden Seiten 
insgesamt die M^sen 4wt trägt, so sollte man bei flüchtiger Prüfung 

erwarten, daß = 0 sein würde. Dies ist jedoch keineswegs der 

Fall, und der Fehler dieses Schlußverfahrens liegt wieder in der Igno- 
nerung der Trägheitskräfte. Die Formeln (19) und (15) ergeben unter 
der Bedingung (20) vielmehr folgende Werte für die Beschleunigungen 
der vier Massenpunkte : 


d*z. 

_ 1 

dt* 

~ 23 

d*z. 

, 1 

dt* 

— 23 

d*z. 

. 9 

dt* 


d*z. 

7 

dt* 

= - 23 -p. 


Die Masse «tj — 4»t bleibt also nicht in Buhe, sondern bewegt sich 
ini üer Beschleunigung -^gg nach unten, was a priori durchaus 
ment zu sagen war. Für Xj und A, findet man dami die Werte; 


( 22 ) 


^1 


'88 

28 


, 82 
1 A, - 

womit die Aufgabe vollkommen gelöst ist. 

zwisnh**'*' /°^*^^**** umgekehrt die Frage, welche Verhältnisse 

unhA«»m Massen bestehen müssen, damit der erste Massenpuokk 

(23) ” bleibt. Dazu muß nach der ersten Gleichung (19) seib: 
(»»a ri- «»4> («a + OTj + m| - »tj) = («4 - mjl*. 

Betrachten wir als gegeben, so muß w, folgende« Wett haben; 


288 MeohanA maferielkr Punkte; 

^ ^ ^ ^ . ,,. ..■■ I I ^ 

Es kt ^0 nicht, .in (20) ah^enpmmen worden war, % ~ +m 4 , 

soa^d^ % stets ^Jdeiner als die Summe der drei übrigen Massen, wenn 
der triviale Pall ausgeschlossen wird* 


87* Freie kleine Sohwingüngen eines Systems von Massenpunkten« 


Wir wollen ein System von Massenpunkten in der Nähe seiner sta- 
bilen Gleichgewichtslage betrachten; dann ist die potentielle Energie Ö> 
in derselben ein Minimum, also, wenn wir 0 in der Gleichgewichtslage 
gleich Null wählen, in der Umgebung derselben positiv. 

Wir wollen annehmen, das System sei charakterisiert durch N all- 
gemeine unabhängige Koordinaten, die wir der Einfachheit halber durch 
^3 • • • Xif bezeichnen. Das System hat also nach unserer Vor- 
a^setzung N Freiheitsgrade. Die Gleichgewichtslage sei durch, die 
Werte Xj®, « 2 ®, iTa® . . . bestimmt. Wir nennen dann die Verrückungen 
aus der Gleichgewichtslage 

Xi f X 2 f . *• Xjf Xif bzw. , ... 


wplch’ letztere Größen wir auch als Koordinaten nehmen können und 
wollen. ^ 

Wir können 0 in der Umgebung der Gleichgewichtslage in eine 
Taylorsche Beihe entwickeln; brechen wir die Entwickelung mit den 
qufulratisohen Gliedern ab, so haben wir: 




(25) 0 


60 


"(vv-rf ) + 2 


1,A’ 1,2? 

- VV- 


d*0 


-)M dieser Oleiobung sind aber, da (xj® x,® . . , xß) eine Gleichgewichts* ^ 
.läge charakterisieren, das konstante und die linearen Glieder gleich^ 
rKrdl; es blriben nur die quadratischen Glieder übrig. Bezeichnen 
#|te^t erkennbare Abkürzungen, wobei wegen ihrer Bedeutung in (25) 
ist, so können wir also 0 schreiben: 


2ö> “ b„ I,* + b„ I, |,.+ bj, I, + . ■ • hx |a' 




^ + hl ii ll + fl* + b„ I, I, + . . . b2x f, f Ar 

+ I« fl + hl f» it + *88 fs* + •••fcsirf.fy 


+ kin|jrli + biralirfi + bursfirf, + 

J^jktilidi ist die kinetische Energie L, wie wir bereits in Nr. SB gesehen haben, 
M|iae hptnpgene quadratische Funktion der allgemeinen O^chwin^g- 

. die wir im folgenden der Kürze ^Iber düroh 

HKwrir WM( 





239 


SptxuUe Dynamik emtt Systems materieüer Funkle. 

ui,*L;aia. : t r-=r — — 

hier diese Koeffizienten als konstant betrachtet Werdeir. Wir 

wollen äurch ^bezeichnen, wobei ebenfalls a^^==to^^ J#C:^I)em- 
gemäß ist in unserem Falle L in der Form darstellbar; 

2LÄaiili* + ai3 |i I 2 + öjalilg + ... + aiiirlilAT 
+ ^21 I 2 li + ^ 22 12 * + ^28 12 la + • • • + I 2 |y 

(27) + la + ^32 I 3 I 2 + ®88 Is* + • • • + ösjsr I 3 |w 


+ öyl IatIi + + *•• + 


Wir wenden jetzt die Lagr angesehen Gleichungen zweiter Art 
(Gleichung (93) des vorigen Kapitels auf pag. 224) an, die wir hier noch- 
mals für unsere Koordinaten anschreiben w^ollen: 


(28) 


d0 dL d 


dL 


_01/_ 


Nach (27) ist nun hier stets = 0; also ist noch einfacher: 
(29) ^ 


dt 


m 




Die Ausführung dieser Differentiationen liefert das folgende System 
V(# N linearen homogenen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, 
wobei wir wieder der Kürze halber Differentiationen nach f durch Punkte 
bezeichnen: 


(30) 


“n la+®u is+ •••aiwlir+bi, li+^u |j+ ••• +iiw|j[r“ 

®«i li+*»t Ij+fl*» lj+ •••oawlif +&31 ii+h% ls+ ••• +^w|ir«» 

. . » 


0, 

0, 


+ÖÄ'2|2 +ajv8|g + • . . CtyN^N + • • • + = 0^ 


Wegen der Linearität und Homogenität dieser Gleichungen liegt 
nahe, den alten Ansatz (15) des IIL Kapitels auf pag. 114 für die 
kleinen Schwingungen eines M^enpunktes auch hier anzuwenden, also 
zu setzen, wenn und q zu bestimmende Konstanten sind: 

hetzt man diesen Ansatz in das System (30) ein, so erhält man folgendes 
System in den A, linearer Oleiohungen : 

®n + Oj, ff*Af + ...Oi2f ()*Ak + + ^ii + •••hifAir^Q, 

Ay + .,.airirP*Atr + + bssA^ + •.■ bgirÄif’» 0+ 

naoh Ü# gwrdnet^. ' 



240 Mechanik materieller Punkte, 

— » 

■^ 1(^11 + ?*) + -^ 2 (^12 +^ 2 .('*)■■ 0, 

, Ax {b,i + «Ji (>*) + ^2 (^22 + »22 1^*) + • ‘ + <i2N « 0 , 

(82) 

Al [bsi + Äiiri (>®) + ^2 (^^2 + ay2 (>*) + . [byif + ayyQ^ = 0 . 

Diese N linearen und homogenen Gleichungen für Ai ... Ay sind 
nur dann durch von Null verschiedene Werte dieser Un- 
bekannten lösbar, wenn die Determinante des Gleichungs- 
systems verschwindet, also wenn: 

+ ^11 ^2 +«12 

^21 + ^21 ^2 -i“ «22 • hy + a^yQ^ 

( 33 ) 

1 byi + ayi , by 2 -f a^2 (>“ > • • • byy -f üyy 

Diese Gleichung ist erfüllbar, da q noch unbekaimt ist. Sie stellt offen- 
bar eine Gleichung Grades für dar. 

Zunächst läßt sich zeigen, daß alle Wurzeln dieser Gleichung nur 
negativ reell sein können. Um dies zu beweisen, betrachten wir eine, 
etwa die vte der Gleichungen (3*2), die folgendermaßen geschrieben wer- 
den kann: 

(84) g*[Ai a^i -f a,.,v] + b^i +A 2 b^2 + *=*0. 

^ 1 ;’ 

Jetzt führen wir folgende Bezeichnungen ein: statt der Unbekaiinteii 
Ai*.> Ay wollen wir für diese Untersuchung Mj . . . u/f , und A statt 0 - 
sehreiben; also wird (34): 

(34a)' = 0. 

’ 'iP- 

Jetzt benutzen wir folgende Abkürzungen: Es ist nach (26) und (27) 

Setzen wir in L statt 4 : u, in ^ statt so erhalten wir: 

tind es ist 

+a,jW» +- 0r5M# 

- h,i «1 + b,tUf + ...6,jr u* •ff 

Also^haben wir statt (84a}: 






241 


SpexMU Dynamik eines Systems materieUer PusMe. 


Diese Gleichungen sind iSeniisch mit den N Gleichungen (82). 
Ferner is^ nun, /wie durch Ausrechnung leicht zu sehen ist:. 


I 2L(m) = 

j 20{u) = '^hy^u,u = '^UyOyiu), 
und ebenso, wenn eine andere Variablenreihe ist: 

[ 4(“) - 2“» 

2 V, W = S «v = = 


(36) 


(36 a) 


Nach diesen Vorbereitungen nehmen wir an, A sei komplex = fe + li; 
dann werden auch die Werte u nach Gleichung (85) komplex sein: 

u,. — Xy + 


Nehmen wir dies an, so können wir in (35) und 0^ in den reellen und 
imaginären Teil spalten, und zwar haben, wie man sich vermittels der 
Gleichung (84a) leicht überzeugt, der reelle und imaginäre Teil die- 
selbe Gestalt; also: 


(fc + li)[Ly{x) + iLy{*l))] +0y{x) + ^ ^ , i^) 

also weiter: 


(ä7) 


I ltLyO()+0y{x)-l-L,(t{f) = O fy 
\ kLy{^lj) + 0y(lt>)-\-l-Ly{x)=O Xy 


0 ; 


Erweitert man die Gleichungen (37) resp. mit yjy und Xy, und summiert 
über V, so folgt: 


W + 2vv<p. W - = 0, 

^2 XyLy{^>) + 2 Xy<l>.{i) + 12 ^, ’ Ly {x) =‘ 0 . 


Unter Heranziehung von (36) und (36a) kann das geschrieben werden: 


f '>PyX^-^^hy^ip,X^-^lL{xp)^Q, 

(38) I '»'* 

1 *2 V *i>rX^ + 'EK V>yX^ + 21L (ir) ” 0 , 

also folgt: 

-hL{ip)^^+lHx), 


und da l nach Voraussetzung 0 ist: 

L{x)=‘-Lht>)^ 

L als kinetische Bnergie ist aber nun' stets positiv für alle reellen Wette 
der Variabein; also L (jf) > 0; L (y) > 0; mithin kann die’4etzte Glei- 
chung nicht bestehen; alpo kann A nicht komplex sein, soiulem ist 
notwendig reell. Ist aber A reell, so sind die Verh&lti^e di«, ün- 
ckannten. 4^ 4|j^, , » . i», die ans (82) besHimnt werd«i 8oUbn;^«II». 

tdutmrt. . - , > 




!?42 Mechanik fnateri^er Pmkte. » # 

der sie sdBflt mMeä^lso» venn sie kmaptox'^nd, 

die jöOT h^m: ’ ‘ * ■* 

d..t. mit demselben komplexen Faktor e'* behaftet sein; denn nur dann 
I^Qen die Verhältnisse reell sein. Multiplizieren wr (35) mit u, und 
summieren über v von 1 bis N-, so folgt: 

A M, L, (u) + 2 u, (m) = 0 

oder nach (36): 

AL(m) + 0(m) = 0, 

l^lso: 

Mft\ «1 s= 3 _ _ % S “r __ ^ ■ 

* ” ' ^(n) iw 


Nun sind aber L und <P nach unseren Annahmen stets positive 
. Größen für alle reellen -Werte der Variabein; also ist nach 
.^dO) ß* negativ reell, was zu beweisen war; mithin ß selbst 
Xjbin imaginär, und das bedeutet nach dem Ansatz (31), daß die 
großen rein periodische Funktionen der Zeit sind, daß 
also das System in ganz bestimmter Weise Schwingungen 
jam die Gleichgewichtslage ausführt. 

Im allgemeinen 'wird die Determinante (33) N verschiedene Werte 
( für ß* liefern, die wir durch ßi*, ßg* ... bis ßjJ bezeichnen wollen ; die 
Grdfito ßj, ßg ... ßy selbst können nach dem eben bewiesenen Satze 
alro dargestellt werden durch: 

%(41) ß, - n, t; ß, = «g»; ... ßy = ny t. 


Isi, , Zu jedem Werte von ß*, der gemäß Gleichung (38) bestimmt wird. 
^eAtallten wir einen Satz'voi;i Werten A^Ag . . . A\, die die Gleichung (3-2) 
V t^jfriedigen, von denen aber nur die Verhältnisse bestimmt sind; 
f .eine von den Größen A^ ist also noch frei, sagen wir etwa Ai. Nach 
obigen ist dies von der Form A, = Oj e'*, und alle Werte A, mässen 
l^^^lben Faktor e** haben. Wir erhalten also z. B. für den Wert o, 
folgende Lösungssystem von (32): 

-■«11 e***; .d, -»«f,!«'*»; Af - ... Ag * agie“‘; 

daa Wertsystem: 

V 4, «„ • =• a „ «'*• ; .4, =* «„ • e**» ; . . . .dy =■ «jr* • e'-: 

^||r ßy endlich: . 

«ly Af =* ofgy • e'*y; ^1, = «jy • iiy *» «yy • e" '• 


ganaen sind in diesem System 2N noch nnbesfärnuite Konstant«'. 
N von. den Größen und die N Größen «| . . . ly ^ g«’’ 
|de|^lt'*8o viel, als Früheitsgräde VtM'hand^ ailid, füi 3^' ''*' 



? . SpeXlielle Dynamik eim$ Systems materieller Punkte. 243 

die v*” KoolMinate die aUgemeinsile Lösung durch Ädcl^QD ^ der den 
einzelnen Werten von gi, g** • • • Qv entsprechenden Partiknlatlöstingen; 
also Ist allgemein: 

1» “ ^yi ■ e*^"**'*'*'^ + «,j • e'("*‘ +••) + • «‘(»y'+'i?) , 

oder, wenn wir uns auf den reellen Teil beschränken: 


(42) Iv ®“ ^yi ' ^5 f + ®i) + • COS (n^f + + • • • jV • cos (rti^ t + . 


Insgesamt erhalten wir also folgendes Lösungssystem für unser 
schwingendes Gebilde: 


(43) 


cos{ni f + «i) + ^13 t + f^) + ...ai^coB [ un f + «jjt), 

= cr,i C08(ni f + €j) + «22 Cös(n 2 f + € 2 ) + . . . « 2 .vCOs(niy t + 62 ^), 


l-y ** ßfjyi cos (tIj f + fij + cos (ng f + «g) + • • • cos (nji^ i -f . 


Wir haben also das Eesultat: jede Koordinate des Systems ist 
dargestellt als die Summe von N harmonischen Schwin- 
gungen, mit den Frequenzen nj, ng ... n^f. 

Die einzelnen Summanden, also die Ausdrücke cos i + a^) nennt ( y, 
man die „Eigenschwingungen** oder „Normalschwingungen**! 
dos Systems. Wir können also auch sagen: Ein System von N Frei-| 
heitsgraden besitzt im allgemeinen N Eigenschwingungen, i 
und die Bewegung jeder Koordinate läßt sich durch Super- 1 
Position dieser N Eigenschwingungen darstellen. ^ 

Wir wollen die Eigenschwingungen der Kürise halber durch pi, 

P 2 • • • Pw bezeichnen. Dann kann man die Gleichungen (43) schreiben: 

li => «H p, + «Jä p, + a,s Pj + . . . aiÄ Pj:, 

Mü ■\ Ps + “»8 Ps + • • • “2i*^ Piff 


V lüT (^NlPi + «W2P2 + ®^.V8Ps + • • • «^A^.vpV' 

Darin ist die Determinante 


I 

• ; 
<tffl •. • • ffHN 1 


von Null verschiedon, da nach Voraussetzung die N Größen fj, 
voneinander unabhängige Koordinaten sein sollen, was nicht 
wäre, wenn di^ Determinante verschwände. Daher läßt si«^ 

Normalaehwingung p, als lineare Punklld^i^jf^ 
‘ 1 lei<dit ausrechenbare KQMtanteoi' 

f> , ’ ' , ' ' '■j.!'* . aA 


fy darsteÖwi. 
man 



in 


Mechanik materieUer Punkte. 


(44) 


Pi = ßn ii + ßi* I* + ßis 
Pi ^ßii I1 + Ä1I2 + + 


pi? = ßmii + ß^^i + •'•ßififtif- 

Ebensogut nun, wie wir unser Massensystem durch die Koordinaten 
ii ii • ■ • |ir charakterisierten, können wir es natürlich auch durch 
lineare Funktionen der f, tun; wir können also die Größen 
Pi Pt Vif > resp. ihnen proportionale Größen auch als 
allgemeine Koordinaten unseres Massensystems benutzen. 
In diesen Koordinaten nehmen die kinetische und potentielle Energie 
eine besonders einfache Gestalt an, denn gemäß der Bedeutung von 

p^^co8(n,< + *,) 

gehorcht p, der Differentialgleichung der trigonometrischen Funktionen : 


dt* 


+ n/p, = 0, 


oder auch: 

(45) T»- (%)+»»'*?' = 

die also die Bewegungsgleichung ist. 

Denken wir uns nun L und 0 als Funktion der 
resp, p, ansgedrückt: 

m 



L-L(PiP,P3...Pir). 

0 =‘ 0 {PiP»Pe---Pif), 

SO lauten die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen 

d l dL\ . 30 n 

rfT (d^j dp, ~ 

Darin gibt das erste Glied die d’Alembertschen Trägjptskrftite. 
während die expliziten Kräfte liefert. Ein Verglei« von (M>) 
rad (47) legt daher die in der näclisten Nummer streng m beweisend*' 
Tramutnng nahe, daß ist: • 

' dp^ Pi»- 

Nehmen wir dies vorläufig als richtig an, so können wir folgende r- 
mafien weiterschließon; Da 




Spexielh Dijnamik eines Systems materieUer Punkte. 245 

,so ist unter Beachtung von (48): 

dL = d\\'^pA, 

> L _ 

d0 =. s d [i;svPv*l « 

V ' L * 

also würde unter Fortlassung belangloser Konstanten für L und 0 die 
Darstellung folgen: 

j 2 l=:2p/. 

I 2<i) = 


odi^' ausführlich geschrieben: 

I 2 L == + ^2^ + Ä* + • • -Pj^» 

1 2<P = n/p,=> + n,»p,* + «,*p,* + ...nipi, 


(i. h. in den neu'en Koordinaten stellen sich sowohl L als auch' 
0 als Summen von Quadraten dar; die doppelten Pro- 
dukte, die im allgemeinen auch auftreten, sind hier fort- 
gefallen. 

Wir vermuten also den in der Tat richtigen Satz: es existieren: 
stets lineare Funktionen der Koordinaten eines Systems,! 
das um seine stabile Gleichgewichtslage kleine Schwin- 
gungen ausführt, die, selbst als Koordinaten genommen,! 
L und 0 gleichzeitig in Summen von Quadraten trans-j 
fornii ereil. 


Diese neuen Koordinaten sind offenbar für allgemeine theoretische 
Untersuchungen am vorteilhaftesten, da sie der so einfachen Differential- 
gleichung der trigonometrischen Punktionen gehorchen; man nennt sie 
deshalb auch „Hauptkoordinaten** oder „Normalkoordinaten“. 
Bind L und 0 in Normalkoordinaten gegeben: 

20 «2^. P/» 


(51) 


wo die positive Konstanten sind, so ergeben diese Konstanten sofort 
<he Eigenfrequenzen des Systems; durch Vergleich von (51) und (49) 
ja sofort für die v** Eigenfrequenz: 

‘1- b. die Koeffizienten der in Normalkoordinaten ausgedrückten doppel- 
«■u potentiellen Energie sind direkt die Quadrate der Eigenfrequenzen. 

ln der ^zen obi^n Betrachtung ist vorausgesetzt, daß alle Worzelü 
!,v^ Betermin^tenglÄchung (88) iinglei<^ sind, daß also N vetsehiec^gne . 
j '^‘■^chwü^piiigen Existieren. Ist dies nicht der Pall, liegwi also mehr* 
^nweln v^, 8» die Verhältnisse in mand^ -iHinsioht 



24Ö 


maimeUer Punkte* ' ^ ^ 

- ■ , J ^ .y . — 

andere j do^fi existiert aueh* dann immer -ein Satz von Normalkoordi- 
naten, def £ und 0 in" die einfache Gestalt von (61) zu bringen gestattet. 

Wegen der Details der Untersuchung bei mehrfachen .Wurzeln sei 
etwa auf Helmhol tz, Vorlesungen über die mathematischen Prin- 
zipien der Akustik verwiesen. 


58. Sätze über Transformation von quadratischen Formen.^) 

Die in der vorigen Nummer vermutungsweise ausgesprochenen 
Sätze verlangen einen strengen Beweis; zu diesem Zwecke bedürfen wir 
einiger einfachen Sätze über Transformation quadratischer Formen, die 
. wir hier zusammenstellen und beweisen wollen. Wir definieren: 

Unter einer quadratischen Form von N Variabein F {x^X 2 . » ^ x^) 
verstehen wir den Ausdruck: 


(ö3) 


F(x, z,... irw)->^a,»!r.Xi., 


wobei flj. — Unter der „Diskriminante“ D derselben W- 
stehen wir die aus den Koeffizienten der quadratischen Form gebildete 
Determinante: 


( 64 ) 


i • ■ 

•aiif 

! 0,1 Oj, . . 

• 0>2If 

D=.| . . . . 

. . 

{ 

1 (^Nl ÖÄ2 • 

• • clnn 


ist D gleich 0, so heißt die quadratische Form „singulär“, ist D ds- 
L von 0 verschieden, so heißt sie „nichtsingulär“. 

Die qu^ratische Form (53) wird einer homogenen linearen S«b- 
i^^^ltitation: 

*,' >■ «fj, Xj H- «u + • • • *ijr 
a^' = a,j X, + + . . . «fgy xjt 




x'k «otX, + «ira Xf + ... ttjfifXK, 


nhterwr W die ebenfalls als singulär oder niohtsingulär bezeichnet 
-wd, je<^aehdem die Determinante A des Systems 




h KaU ist od^ nicht 


«II «ij • 
«« «ti - 

«««»*• 


■ «ur 
:;«w 

' , * 


I 



^exielle Dynam ik eines, Systems materieller Punkte. ■ 247 

Wi? beweisen nun zunächst den Satz , ' ^ , • 

I, Ist in der quadratischen Porih (53) 4= 0, io |äß]t,#ie 

sich durch eine nichtsinguläre Substitution %stets in die 
Form bringen: 

(57) 

wobei Xi , x^ ... Xtr die neuen Variabein bedeuten und die 
„ijusatzform“ 0' die Variable x^ nicht mehr enthält. 

Der Beweis läßt sich folgendermaßen erbringen (Lagrange): Wir- 
schreiben F («i, x^ ... x„) nach (58) folgendermaßen: 



e<i 

III 

H- «12 ^ 4* «13 Xj ajg + . . . aiy X^ Xy 


1 + «31 ^2 Xj 

+ »M *,* + 0,3 X, Xj -t- . . . Oiii Xj X.V 

(o3a) 

+ Ogj a?! 

+ ... +... +... 


^ + dNlXyXy^ 

\+ ay^XyX^-i^ , . . + . . . ayy Xy 


Die außerhalb des j -Striches befindlichen Glieder sind sämt- 
liche, die Xj enthalten: die innerhalb des Striches befindlichen sind frei 
von Xj. Die ersteren Glieder können geschrieben werden: 

(58) {oj, xj*+ 2a„ -f 2a„ a„ o:, Xj +. .. 2o„ aj;,®, x^} . 

da ja ist; und die Form dieses Ausdruckes legt es nahe, die 

quadratische Ergänzung zu addieren, um den Klammerausdruck auf 
nn vollständiges Quadrat zu bringen, und dann dieselbe wieder zu sub- 
trahieren. Die quadratische Ergänzung lautet offenbar: 

+ . . . aij^xx 

4“ 2aj2 Ujj Xj Xg + 2a|3 + . . . 2aj2 Xjf 

+ 2aj3 + . . . 2aj3 oi^a^ xy 

+ , . 

+ 2ai,j\r<-l • Xy^i • Xyy 

«0 daß wir den Ausdruck (58) schreiben können: 

(59) I ^;7{^n®i + ~ aj, 

— 2öj 3 «13 • — 2ai^ ^xv-i Xyt 

wobei zu bemerken ist, daß die quadratische Ergänzung nicht 'entr? 
* Man kann also F schreiben, indem man in der geschilderten 
enthaltenden Glieder züsammenfaßt: 

+*”Oijr®A'|' + <P'(*|.a:8 ... asjf), . 


248 Meehanik matmeUer IHmkte. 

quadiratis(die Bremsung lusamih^ngefaBt sind. Benutzen wir jetzt die 

«i'— ttjj ajj + «13 iCj + * • • o,wXft 
«3 

Xs = ^ Xy t 

SO geht in der Tat F nach (61) über in die behauptete Form (57): 

-F = ^-a:,'*+<P'(a:,'a^'." a:’v). 

Die Determinante A der Substitution (61) ist offenbar: 

Ujl Ujj • • • UlA’ 

0 10 0...; 

(82) ‘^= 0 0 1 0 ... =«11 ’ 



0 0 0 ... 1 


also nach Voraussetzung von Null verechieden, iiatliin ist die Sul»li- 
tntion (61) uichtsingulär, wie behauptet wurde; ferner ist die Sulisti- 
tatuHi auch reell, wenn die 0 ,^ reell sind. 

Dnrch diese Traasfonnation ist nun erreicht, daß von F ein Qimdnd 
abgespalten ist, so daß die quadratische Zusatzfovin <P' höclistens noch 
(N— 1) Quaditrte (neben den doppelten Produkten) enlhillt. 

Wir beweisen ferner den Satz: 

II. Jede quadratische Form (singulär oder nichtsingu- 
lär) kann durch eine nichtsingnläre Substitution auf di< 
Form gebracht werden: 


(63) F =s c, z, '* + Cj a:,' * + . . . ci’* ; 

sind die a,j der quadratischen Form (.53) reell, so sind auch 
die Koeffizienten der die Transformation bewirkenden 
Sobstitotion reell, ebenso wie die Ci,fj...cjir, von denen i'hri 
gens einige Null sein können. 

Um diesen Satz zu beweisen, wenden wir zunächst auf die voig« • 
l^te quadratische Form F nach Gleichung (58) die Substitutiou (fd 
wt^urch wir erhalten: 


(64) F- 

Wir können jetzt denselben Prozeß auf die ^nadratisohe Zusatzf' "" 


m^irendeo^abet woUen 
eifen «u 


d>'(3i'ä%' ... Zjr) 

wir abe^' um n^t iiä allzu 
mä^en,; die 



SpexieUe Dynamik eines ' Systems materieller Punkte, 249 

wieder durch % bezeichnen. Nach Satz I erreichen ynt dann, 

daß in die Form gebracht werden kann: 

<&' (x^ «3 . . . fljjr) « Cj + 0" aj/ . . . Xs ) ; 

dann können wir ebenso mit <P" verfahren, also 0'\ wenn wieder x^' 
... x'j^ durch x^ ... x^ ersetzt werden, in die Gestalt bringen: 

0" (0:3 «3 . . • xn)^c^ x^^ + 0"' [x^ . • . ariir) , 

URW., bis alle quadratischen Glieder erschöpft sind. 

Bei jedem einzelnen Schritte ist nach dem Satze I die angewendete 
Substitution nichtsingulär und reell, wenn die Koeffizienten der je- 
weiligen Zusatzform reell sind. Das gleiche gilt, wie man sich durch 
direkte Ausrechnung überzeugen kann, für die Transformation, die 
direkt — ohne Zwischentransformation — die ursprüngliche Form F 
von ihren Quadraten befreit. 

Wenn nun alle quadratischen Glieder erschöpft sind, so sind zwei 
Fälle möglich: 

Entweder sind gleichzeitig die doppelten Produkte ver- 
schwunden: dann sind wir fertig und der Satz II ist bewiesen, da dann 
F [Xi ... %) in die Form (63) gebracht ist, und zwar mit Hilfe einer 
nichtsingulären Substitution; oder aber es sind noch doppelte 
Produkte vorhanden, die dann noch weiter behandelt wer- 
den müssen. Der Allgepieinheit halber nehmen wir dies letztere an 
und haben also zu zeigen, daß eine quadratische Form, in der nur doppelte 
Produ kte verkommen ; 

I jp = 2ai,®ia:,'+ ZauO-, a-, +... 2ai2fX, 

(65) + 2fl„ +....2a2.va:,sj^ 

1 +••• 2oif_i, 


fbenfalls in die Form (63) gebracht werden kann. 

Ist etwa Oj, ^ 0, so kann (65) geschrieben werden, indem wir die 
und enthaltenden Glieder jsusammenfassen, d. h. die in den beiden 
ersten Horizontalreihen in (65) enthaltenen Glieder: 

(66) 1 ^*^“^^**1**4 «18^ +■•* + 2x,(a„Xj, +••• «2»*^) 

1 . ' +<I>«(arr®4 ••• ®-v). 

Wobei also die Znsatzform 0^^ nur noch die Variabein x^ '. ■ . x^ enthält. 
Weiter kann man schreiben: 


F =a — (((jj Xg + Ojj ®j + • • • Oi^r ®ir)(®*i ®i + öj, *»■!■••• OSJT 


m] 


den beiden Faktoren des in ( 67 ) stehenden Produktes 4 ?# , 
liehe Glied« mdt «i Wd, ®* enthaltenj außerdem iÄtiätli(ar:i^)|i^ 
’^eicUe GIied«.(^|uj^ ttöd 




gekeh^n \|przll(^lien Zuisftts^om kweio^teo^kt sisdi dainit 

i^&t iUid«^'<2)i'>nthldt also jetzt «uäi wieder Quadrate. Jetzt 
im^en wir folgende niohtsingaläre Substitution: ' 


*l'” öl»®» + ««*»+■ 

‘•ai2fXif 

Xf ^ ö|2 Xi 4“ ^23 X^ 4“ • 

• • CttlfXN 

ai'- *1 


, Xy^ 

Xn 


deren Determinante — O 12 * ist, wodurch die Nichtsingularität bewiesen 
\|drd. Mit dieser Substitution wird (67): 

(69) F^-^x,'x,'+0’{x;...xi,). 

“1* 

Wenden wir darauf nochmals eine nichtsinguläre if^formation an: 
W), a:j"“’*s'=*» 


l Xx =■ *iir= Xx > 

Determinante — — 1 ^=.0 ist, so folgt schlieBlich: 

inan non gleich zwei Quadrate abgesondert hat. Aus 0' sondert 
■,in^ nach der vorher besprochenen Methode wieder alle Quadrate ab,, 
fidin]^4iie etwa noch übrig gebliebenen Produkte auf die zuletzt beschrie^, 
Weise, bis man fertig ist. Dann hat man in der Tat F in die Form ' 
gebracht. Man macht sich leicht klar, daß nie mehr als N Glieder 
';|Ül^ten können, wohl aber unter Umständen weniger; wovon dies 
werden wir später untersuchen müssen. — Es schließt sich 
^Jl&laitttdbar mi der: Satz: 

Jede .quadratische Form läßt sieh durch eine nicht* 
.<^"^l&re Transformation auf die Form bringen: 


(J2) I 


a^'*+ a^'*+... a!/*(f :i2 J/)- 


% D^ da soeben bewiesen ist, daß man jede quadratische Fonii|^ 
gestalt (68) bringen kann, so hat man nur zu setzen: 

rS^ ist* Bsnn dahn bat man sofort die (72), ^||i^ 

za böa<ditmi, da0 die Tnmsformafipgn (TPfcteht 



251 


^ SpeuiU& Dynamik ^ein6s Systems materieller PurikiB. 

läßt si<5h also das Resultat (72) im alJ^einjeineti nicht ersahen. Dag^en 
gilt für raella Transformationen der folgende Satz. \ ' * ^ 

lila. Sind ift der quadratischen Form J? 'die Koeffi- 
zienten reell, so kann man sie durch eine reelle mcht- 
singuläre Transformation auf die Form bringen: 

(74) V±aj;*±<»±... ±x;^[r^N). 

Denn wenn die reell sind, so sind auch die in (63) reell, aber im 
allgemeinen nicht alle positiv. Wendet man nun die reelle Transfor- 
mation an : 

ajj « 1 ]/ci I icj ; j ; • • • ~ I V^r 1 ‘ » 

so erhält man sofort die Gleichung (74). 

Über die Größe der Zahl der Quadrate r, die in (73) und (74) Vor- 
kommen, d. h. darüber, ob r gleich oder kleiner als N ist, gibt Auskunft 
der Satz 

IV. r ist stets dann und nur dann kleiner als wenn 
die quadratische Form F singulär ist; eine singuläre Form 
kann daher durch eine geeignete nichtsinguläre Trans- 
formation, die im Falle reeller auch reell ist, von einer 
Variabein befreit werden. 

Der Bew^eis beitiht auf einem bekannten Determinantensatz. Trans^ 
formiert mmi eine vorgelegtc quadratische Form F mit der Diskrimi- 
nante D durch eine nichtsinguläre Substitution mit (also nicht ver- 
schwindender) Determinante A in F\ das die Diskriminante D' haben 
möge, so ist die neue Diskriminante T)' gleich: 

(75) 


Es ist also D' dann gleich Null oder nicht gleich Null, .weim 'D gidch 
Null oder nicht gleich Null ist; d. h. F* dann singulär oder nicht- 
singulär, wenn F singulär oder nichtsingulär ist. Ist ntin 


U- 


terminante 

D' 

von 

(72) 

bzw. (74) 

±10 0 

0 

0 

0 . 

.. 0 1 

0 ±1 0 

0 

0 

• • • • 

.. 0 i 

0 0 ±1 

0 

0 



0 0 0 

« « • 

* . • 


i 

• 0 i 


0 , 


da dann ja nur r Diagonalglieder von Null verschieden sind 
(N — r) Nullen vorkomHien, also jF' singulär; dagegen ist im Falle 




±10 0 

0 

0 

0 

0 ... 0 

0 ±1 0 

0 

0 

0 

0 ... 0 


0 

> 

. 4 

« « 

0 ^ 






252 Mechanik materieller ^Punkte. 

also F* nichtemgulär, d. h. also wegen (75): nur wenn F singulär 
ist, ißt r kleiner, als N, was zu beweisen war^ 

Eine Anzahl weiterer Sätze bezieht sich auf positive quadratische 
Formen, worunter wir folgendes verstehen wollen: 

Eine reelle quadratische Form heißt positiv, wenn sie 
für kein reelles Wertsystem der Variabein einen negativen 
Wert hat und den Wert Null nur für das einzige Weltsystem 
^ 2 * 2 = ... Xy ==^0 anniniint. 

Für eine positive quadratische Form gilt der Satz: 

V. Jede positive quadratische Form kann stets durch 
eine reelle nichtsinguläre Substitution auf die Form ge- 
bracht werden: 

(76) F + xif^ 

und ist daher nach Satz IV stets nichtsingulär. 

Um diesen Satz zu beweisen, braucht nur gezeigt zu werden, daÜ 
erstens kein negatives Vorzeichen auf der rechten Seite von (70) auf- 
treten kann, und zweitens daß die Zahl der Quadrate genau gleich N, 
nie kleiner als N ist. Denn alles übrige ist schon durch die vorhergelumdeii 
Sätze, speziell III und lila bewiesen. Nehmen wir nun zunäclist an, 
es käme in (76) ein negatives Vdfzeichen vor, etwa - so könnt! 
— im Widerspruch zur Voraussetzung — die Form F nicht positiv seih. 
Denn dann wäre sie für das reelle Wertsystem 


Ij Xj — 2^*— ••• Xy — 0 , 

afeo auch für ein reelles Wertsystem der Xj bis Xy, negativ, nämlicli 
gleich — 1. Dieser Fall ist also ausgeschlossen. Wäre anderseits dit 
2!ahl der Quadrate r kleiner als N, so wäre die Form F gleich Null füi 
folgendes von Null verschiedenes Wertsystem der x^' bis Xy: 


«2 


Xy-i=» 0, aJy = I» 


da die Transformation nach Voraussetzung nicht singulär ist, ent- 
s^dit dieser Wahl der x^' bis xy ein von Null verschiedenes System 
d^ X| Ins Xy, für die also F gleich Null wäre. Eine positive quadratischt 
i verschwindet aber nur für. das System der Werte Xj|= Xg^ • •• 

Also ist auch die zweite Möglichkeit ausgeschlossen und Satz V be- 
«'iyieBen. Sätz V läßt sich umkehren in der folgenden Form: 

^ Va* Kann eine quadratische Form von N Variabelnflltcli 
eine reelle, nicht singuläre Substitution in die GestftÄ^ 

(76) .F=x/Ha^'* + -.ajy 

r, , " ' f 

■ gebracht werden, so ist sie positiv, 

'* we verschwindet offenbar nur für 

und' wem dm Niehtidntcnlarität der Tren^oro^tiöu ,hai 



Spezielle Dynamik eines Systems maUriell&r PuhkU, 253 

daß diesem Wertsystem der x' nur das Wertsystem = — 

xs—^ entspricht, womit der Satz bewiesen ist. 

Endlich sagt der folgende Satz noch eine Eigenschaft der positiven 
quadratischen Formen aus: 

VI. In einer positiven quadratischen Form F 

kann kein Koeffizient eines quadratischen Gliedes ver- 
schwinden oder negativ sein. 

Denn wäre z. B. ^0, so wäre die Form sicher für das Wert- 
system 

äJj = 1 j ~ ~ == 0 

Null oder negativ, was dem Begriff der positiven quadratischen Form 
widerspricht. 

Diese Sätze haben eine direkte Beziehung zu unserem Problem, 
da L und 0 in der Umgebung einer stabilen Gleichgewichtslage positive 
quadratische Formen sind. 

Wir betrachten nun zwei quadratische Formen vön N Variabein 

Xi Xa . . . 

I F^^^h;j^XiXf.. mit der Diskriminante B, 

^ F** ^ a» ^ Xp i A. ^ ^ 

die wir mit dem variablen Faktor zu einer Form zusaramenfassen : 

( 78 ) 

deren Diskriminante D (i) lieißen möge; dieselbe hat folglich den Wert: 

5ji~Aajp • • • biif — k am : 

[ ][[’,.[ \ \ ] [ [ .* ; ; ; ; 

! 5^ ^ Ä.vi I 5 jv2 — k a2J2 » • • • bjifjf — k Uifif 

oder, entwickelt nach Potenzen von k: 

(80) D(k) ^ do - d,k + d^k*^ ly^d^fk^. 

Wir bemerken, daß dies dieselbe Determinante ist, auf die wir in 
til(‘ichung (38) bei unserem Problem der kleinen Schwingungen gestoßen 
^iod; nur ist hier p* durch — >l ersetzt. 

Die Gleichung D{k) nennen wir die A- Gleichung für das Formen- 

\w Fj und Fg, Zunächst gilt folgender Satz über den Grad der /-Glei- 

tdimig: 

VII. Die A-Gleichung für das Paar F^ und F* ist stets 
‘ und nur dann genau vom JV ten Grade, wenn F^ nicht 

ist. ‘ ' .• 

ik^nn man erkennt leicht aus (78), daß man das Glied mit der jV ten 
i! . 7 *^’ also erhält, wenn man alle —0 setzt, ^ 

übrig: 


2S4 


MBehanit matenetkr Funläe* 



' f '■ 


« . . • . , *.* • 

— Ao^n — Aaj^..^. — Aaiw 

-(-ifF 

. . . . 


i* h. der Faktor der JVten Potenz von A ist im wesentlichen die Diskrimi- 
n^te Ä von F^; die Nie Potenz ist also nur vorhanden, wenn A von 
Null verschieden, also F 2 nicht singulär ist. wie behauptet war. 

VIII. Ist Fl reell (singulär oder nichtsingulär) und Fj 
positiv, so hat die A- Gleichung für F^ und F^ nur reelle 
Wurzeln. 

Dieser Satz ist bereits in der vorigen Nummer bevriesen, so daß 
wir hier nicht näher darauf einzugehen brauchen. 

Nach diesen Vorbereitungen endlich läßt sich der bisher nur ver- 
mutete Satz streng beweisen: 

IX. Ist Fl reell (singulär oder nichtsingulär) und F^ 
positiv, so läßt sich durch eine reelle nichtsinguläre Sub- 
stitution bewirken, daß gleichzeitig Fi und F^ in die Gestalt 
gebracht werden: 

^ “b ^2 ^ ^ 


ßi) 


( F, 

\ F. 


» + . 






wo die Aj . . . A,v die nach Satz VIII reellen Wurzeln der A- 
Gleioh^ng von Fi und F^ sind. 

" V Zunächst sieht man sofort nach Satz VII, da F^ positiv sein soll, 
daß die A-Gleichung in der Tat vom N^ten Grade ist, also N Wurzeln 
hat, die allerdii^ nicht alle voneinander verschieden zu sein brauchen. 
& mi nun Aj eine Wurzel von D (A) — 0. Dann bilden wir: ^ 

Fi^lF2^(Fi^liF^+{Ai^l)F2, 

ist die (Juadratische Form: Fj — liF^ singulär; denn sie hat die 
kriminan te D(Ai)sO, da ja A^ eine Wurzel von D{X)—0 ist. 
ätier kann F^ — A^ F^ nach Satz IV von einer Variabein befreit werden, 
gibt also, da Aj reell ist, reelle nichtsinguläre Substitutionen, die 


j^hen. Durch dies,elbe Substitution gebt Fj in Gleichung (82| in ,F 2 ' 
imei, und da F^ positiv ist, gilt das gleiche von F^ * Wir haben daher 
(82) und (88): 

Fj — A Fj s Fj' («/ . . . xjf) + (Aj — A ) [Xi aj/d ♦ 


ist aber, da F* positiv ist, nach SatziYI jedci; Koeffizie^ 
i^tiichen Gliedes größer als Null; setzen wir also 
f ^ B* pdsitm Also ergiht jicb durch die^l*eüe hw 




Dynamik ein ea Syatme materialer Punkte 
l 


( 85 ) 


''Ä 


' Jl - ^ 

aj"«i 4. (jr,j iSj'4. gif x^+,.. gnfXi^,' 

.... 


«» Xjf, 

indem man auf J’,' das Verfahren von Lagrange (Satz I) anwendet: 

+ <p (V' «s" . ■ • *j;;) . 

Gleichung^ (84) geht dann, da weiter nicht durch diese 8 uh«tJ 
tutjon altenert wird, da es ja ar/ nicht enthält, über in: ^ 

(87) JPj - A Ji’, Ä fj' (a^" . , . jb") 4 . ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

Was wir hier durch zwei Substitutionen (r^ in 
hata kann darah ein, ditekte sLlitnti« (*, dirät? « 
geschehen, auch diese ist teell und nicht öineulär Nun j 

YariabiU« ™„ d (87) beatchen. 

von A gleich sind, also folgt: roienzen 

F - f'"*! ;»V ■ ^ ^ 

Pt^Xi » + 0[x,"... x'i), 

(88) I -^1 ^ ^1 ®i''* + <P, {Xf" ... xx), 

' ^3 = « 1 "* + <7>J (a^"'. . . a:iJ) . 

Schritt ist also getan, und damit man in derselben Weise 
1 ( f) pcmtiv lal; 2 ) d„ d-Okichung von ® „nd ®, die Wurzeln 

™iort ™ (M)‘ dL“: fr- ff-“?*™« “>*' 

Se <? Lr“ 2 - GleichUg ( 88 ). DeS 

St ‘ **'” “ ™ Werlajatera a^" , " L; 

iür das das nositJ^A P ** t, *^***^*' verschwinden, 

Um sebiLfir*u'^r'^f was unmöglich ist. 

chung der Forme?® ^ Behauptung zu beweisen, daß die A-GIei- 
Wsbirdnante 0^1?' ““i ?‘l Wurzeln A^ bis hat, haben wir die 

tische Form von -^ui ^t*'acl»ten; dies ist eine quadn^ 

(^1 - r j "i li **"••• Additiin vS 

l'iskrimiänte ^tde'darth ^ Variabein; di^ 

l^fiminanteS'T?« bezeichnet, im Gegensatz; zur 

*«I übrig® die bnks oben (Aj, — A) hinzugbfÖgi 'Kod 

also: ^ ßlSÄ Hbazotttaf. und VertiküOreihe aus Null®.^jÄiJ 



256 ^ 


Mechanik materieüer Punkte, 




1 < 

O 

O 

O 

O 

0 


0 


0 


0 



Es ist also: 

(89) D;^(;.)={A,-A)Z)iJ_i(A). 


T 


Nun ist aber die Form — A) Xj" ^ + 0i~- 10^ anderes als 

Pj — AFg, wie man aus (88) leicht erkennt, wenn man die zweite Glei- 
chung mit A multipliziert und von der ersten subtrahiert. Also kann sich 
die Diskriminante ß/' (x) der Formen (Aj ~ A) ajj"* + — A 0^ von 

der Diskriminante (A) von Fj — A Fg einen konstanten Faktor 

unterscheiden, also haben ß„ (A) = 0 und ß/' (rc) = 0 dieselben Wurzeln, 
also hat nach (89) ß/ (A) die Wurzeln Ag, ... A^, was bewiesen werden 
sollte. 

Wir können also auf 0i und 02 genau dieselbe Operation anW;enden 
wie auf Fj und F 2 , und dies Verfahren führt schließ]]^ zur 'Gh^i- 
chung(81); die direkte Substitution ist auch reell und nM^lkgulär. 

Jetzt identifizieren wir F^ mit der doppelten potent ielleSjpItgie 2 0 , 
Fj mit der doppelten kinetischen Energie 2L, und A endlich Jlit — = 

+ n*. Dann ist nach Satz IX in der Tat bewiesen, daß L und v, die sfgai‘ 
beide positiv sind, durch eine reelle nichtsinguläre Transformation in 
die Form gebracht werden können: 

1 =* 1 '* + 05*'* 4-...arw‘, 

1 20 = -e,*v»-e**x*'*.:.-eia5y. 

od«, da Si=nj^i ist: 

{90a) 2<I> = n, *»,'* + w, * a^'* + ...njfxi#, 

'd> h. L und 0 können durch eine lineare Transformation dor Koordinaten 
>ia Bommen von Quadraten verwandelt werden, und die Koeffizienten 
jd« Ysriabeln im Ausdruck der doppelten potentiellen Energie sind dann 
die Quadrate der Frequenzen der Normalschwingungen. 


58. Bcnrnngrae Sehwingnngen einei Syimu von wuwnpn 


Syste 


' Wir wollen nun den Fall annehmen, daß auf unser 
jetat dnreh eeine N Notmalkoordinaten p* . . . Pv cbarqlkterisj 
asSer dmt l^ten, die sieh aus seiner potm^iellen Enerf 
ooi^ andere Kräfte, und zwar Kräfte im ^ppeinen. Sr 
ffieyW 'fde in Nr. 66 eingeführt haben, n 
' duz)^,P, 'P* . . . Pvbezmclmen wollen. 

)v indem notdi dde 



Wir 

Woll''ii> 
irleih’Wi 
Wortes 
;en, die wir 
^ligesclirn 



SpeuMle Dynmik eines Systems materieller Pu/nJUe. \ 257 


Speriell wollen wir den Fall betrachten, daß alle Null sind, mit 
Ausnahme der auf die Koordinate wirkenden Kraft P^, die ^he 
gegebene I\inktion der Zeit sei ; also P^—f (0 . Diese Funktion wollen 
wir noch so spezialisieren, daß wir /(f) als periodische Funktion der 
Zeit voraussetzen. Also etwa: 


(92) Py = ^0 ^ ^ • 

ln Normalkoordinaten lauten L und 0 nach Gleichung (51): 


L = 
0 - 



Also lauten die Bewegungsgleichungen für die Koordinaten, mit 
Ausnahme der 


(93) 


dt* 






und für die Koordinate selbst: 

(94) = ^co8w<. 

Da wir Normalkoordinaten benutzen, so haben wir den großen Vorteil, 
für jede Koordinate die einfache Schwingungsgleichung der linearen 
Schwingungen eines Massenpunktes vor uns zu haben; also sind die 
Lösungen sofort angebbar. Wir haben für die Gleichung (98), für die 
^ 4= V ist: 

(95) « p^cos + 0 (i =}= v), 

wo und €;^ willkürliche Konstanten sind, und für die Gleichung (94), 

(A ~ v) nach den Ergebnissen der Nr. 87: 

(9®) p, - ■— sr cos nt + ß, cos (j/c, i + tj- 

Darin ist offenbar das Glied — die „erzwungene“ Schwingung, 

>M>d das zweite Glied mit den disponiblen Konstanten ß, und die 
darüber gelagerte ,4reie“ Schwingung. Da das Lösungssystem (9^) 
und (96) im guusen 2 N disponible Konstanten hat, so kann es einem 
^t'liebigen Anfangszustande angepaßt werden, stellt also die allgemeine 
bbsung unseres i^blems dar. Die Verhältnisse liegen jetzt info^ d^, 
enntzung von NormäBcoordinaten so, als ob wir V ganz unäblbängig?) 
sssonpunkte hSttoi^ von daien einer eine erzwungmie Schwingung ^ 
ausführt. Nati^Hob-Btönde nichts im Wege, auch auf mehrere. Eo^- ' 

“'‘tea erzwh%|||^!|^te >i wirkto ^.lassen. 

ff 



258 


Meekanik maimeUe/r PunkU. 


Die Lösung (96) versagt für t=oo, wenn n = ist, d. h. 

wenn 4ie betreffende Eigenschwingung dieselbe Frequenz hat, wie ^»die 
erzwingende Kraft. Das liegt an der Vernachlässigung der Dämpfung, 
die auch hier ähnlich wie iin IIL Kapitel eingeführt werden kann. Wir 
gehen hierauf nicht näher ein. 


60. Theorie des Doppdpendds. 

Wir wollen im folgenden ein ganz einfaches, aus zwei Massen m, 
und W 2 bestehendes System betrachten, dessen kleine Schwingungen 
untersucht werden sollen. Die Masse sei an einem gewichtslosen 
^unveränderlichen Faden von der Länge befestigt; an dieser Masse ist 
vermittels eines zweiten Fadens von der Länge ^2 die Masse be- 
festigt. Das ganze System stellt ein sogenanntes „Doppelpendel“ dar, 
dessen ebene Schwingungen in der a;^f-Ebeno wir untersuchen wollen. 
(Figur 68.) 



Fig. 6S. 




Zwischen den kartesischen Koordinaten {x^Zx) bzw. {x^z^ der 
Hassenponkte bestehen offenbar die beiden Relationen: 

F, m (x, - if,)* + [z, - a,)* -- Q . 

Dm betd^ also io^der »a-EbeiW äftei 

*'siQd'di0 Mrkend^ IDr&fte: * 

X, - 0.} 


filier 


«MM Systems materieller Punkte. 259 

Das d’Alembertsehe Prinzip liefert also, wenn und 1 zwei un- 
bestimmte laktoren bedeuten, die vier Gleichungen: 

”‘>T*T + 2A,x,-2A,(a:,-^,)=:0, 

dHe 

(98) dF + »»1? + 2 - 2A, (z^ - z,) = 0, 

»»2^ + 2A,(a:,-a:,) = 0, 

d'z^ 

nii -jY« + wia gf + 2;«, = 0 . 


Diese genügen in Verbindung mit den zwei Gleichungen (97) zur Be- 
stimmung der sechs Unbekannten *„ x^, z^.z^, Aj. Man sieht indessen 
wie kompliziert diese Gleichungen in kartesischen Koordinaten schon bei 
einem relativ einfachen Problem sind; wir woUen sie infolgedessen nicht 
weiter behandeln, sondern lieber andere, allgemeine Koordinaten ein- 
führen. Man sieht aus der Figur 63, daß die Lage des Systems voll- 
kommen bestimmt ist durch die beiden Winköl y>^ und y>^, die die beiden 
Faden mit der Vertikalen bilden; diese Winkel wollen wir als Koordi- 
naten nehmen. Man erkennt aus der Figur 68 unmittelbar die Bichtig- 
Keit folgender Beziehungen: ^ 


(99) I - Xi ^ sin sin yj + sin y*; 

I = li cos yi; Zj - cos y,; z, = \ cos y^ + IjCos y,. 

Beschränken wijiuns, da wir kleine Schwingungen untersuchen 
wollen, auf kleine Winkel y, und y^, so ist mit hinreichender Annäherung: 
I a:, = Ij y, ; .j. . 

[ «1 * ^1 (l - + y,* - ^ y,*. 


( 100 ) 


( 101 ) 


Bei dem hier benutzten Grade der Annäherung ist: 
also wird die kinetische Energie L des Systems: 

sohoi^Slit® Koordinaten sind die Bedingungsgloiohtto^ii 

y, ,sind dah^ gfiazlioh unabb&niig Yoneioäadet; 

17* 



260 Meehanik materieUer JhmkU,t 

es siod keine Normftlkoordinaten, wie ein Blick auf die Gestalt 
von L ergibt. Nach den Lagr angesehen Gleichungen (29) sind also 
die Bewegungsgleichungen: 


(104) 


i ^ Ms 


^ + 9himi + 

-d'^ + 9h 


0 , 


0 . 


Diese lösen wir durch unseren alten Ansatz: 


(105) 


I '/'i - 

I t/»j = 


wo Al, Ag und n zu bestimmende Konstanten sind. 

Einsetzen in Gleichung (104) liefert die beiden in Ai und A 2 linearen 
Gleichungen: 


(106) 


I .dj[jil,(m, +«,) — + w,)n*] - • TOjilüj n* = 0, 

I -Al - i,*TOjn*] = 0. 


Wegen der Homogenität derselben haben sie nur dann von Null ver- 
schiedene Lösungen, wenn die Determinaten des Gleichungssysteins 
verschwindet, wenn also 


(107) 


gli (»»1 + wij) - i, * (m, + TO,) nS - to, /, i, toS | 
-TOjljl,«*, jfi, TO, - i 


Das liefert für n* die quadratische Gleichung: 
(108) »* - n* ^ g’(w, + »»d 


deren Lösung ist: 




0 , 


fl» ; 4- »,) g (l| Id 
gm, li l. 


±9 


. /{Ml +-m,)‘ + i (m, + TO,) TO, i, 2, 

V ' ■ 


oder auch in übersichtlicherer Schreibweise: 


-r? 


(TO, -STO,)g (/, + !,) , ^/ZTTi IW . « I Ti i'. 

" “ " ^ ^ liHThh ' 

Diese Gleichung liefert zwei Werte für die Eigenfrequenzen «, n»'* 
~t4> und nach den aUgemeinen Ergebnissen der Nr. 67 (Gleichung 48) 
‘ lümn die Lösung geschrieben werden, wenn Ai'^'\ vl»'*', Aj'*', A^^', 
s, Eonstfmte bedeuten: 

“illQ, 1 ■* .dj'®co8(n, t + *1) + /4i’*co8(n,f + ^), 

I .i4,‘®0O8(n, f + «,) + .<4i**co8(n, f + ' 

?^%8, Konstanten und A^ sind nicht dniiionibeL sondern wegen der 
-^ndöN^'Glsicbungen (106) durch ^4,**’ resp. best« 
also dispqmble Konstanten, .tde es 


[• Dauiit ist 





i^mietU Dtfnamik eines SysUms maierieüer Pimk^. 261 

die Gleichung (110) einem gegebenen Anfangezus lande anssu^aseent Da 
(lies keineriei Schwierigkeiten hat, gehen wir darauf nicht näher em, 
sondern wollen zwei Spezialfälle weiter diskutieren. ' \ 

Erster Spezialfall; mi==m 2 =m; 1^=1^ d. h. die beiden 
Massen seien gleich schwer und die Fäden, an denen sie befestigt sind, 
gleich lang. Dann wird Gleichung (109): 


Bedenkt man, daß für die Frequenz eines einfachen Pendels = gß 
ist, so haben wir: _ 

( 111 ) «* = 2 ± fl = „^»(2 ± f 2 ). 

Daraus ergibt sich für die beiden möghchen Werte von n: 

( nj = + y 2 ^ 1,85 , 

( 112 ) \ 

1 7^3 = n^|/2 - y2^^ 0,76 . 

Setzt man diese Werte von und in Gleichung (110) ein und 
bestimmt die Konstanten durch den Anfangszustand, so ist alles erledigt. 
Wir gehen also über zum 

Zweiten Spezialfall, der dadurch ausgezeichnet sein soll, 
daß die beiden Frequenzen iii und ng nach (110) einander 
möglichst gleich sein sollen. 

Das legt die Vorfrage nahe, ob es überhaupt möglich ist, in Strenge 
zu machen. Das könnte nach (109) nur dann eintreten, wenn 
die Wurzel verschwindet, also wenn; 

(li - (Ij + == 0 


werden kann. Da aber und positive Größen sind, die mit Quadraten 
multipliziert sind, die nicht beide verschwinden können, so kaim diese 
Gleichung nie erfüllt werden; genau gleiche Frequenzen und 
sind bei dieser Anordnung nicht möglich. Aber man kami 
sie sehr nahe gleich machen, indem man die Wurzel mögliclist klein 
macht, un<^ das ist offenbar dann der Fall, wenn = lg = i und 
außerordentlich klein gegen ist, d. h. wenn beide Pendel 
von gleicher Länge sind und das angehängte eine relativ 
kleine Masse hat. 

Unter dieser Voraussetzung wird nach (109) angenähert, wenn 
Kloben 1 vernachlässigt wird: 

(!'«) .‘-fifl/f 


oder 




Ho7 emitea : 



262 

Mechanik matmeUer Punkte» 


1 %*=v(i+[/^). 

(114) 


oder wenn wir 

die Wurzel ziehen und rechts entwickeln 

(115) 



Dabei ist 


2 1/ ” 


w, 


s 


gesetzt. Setzen wir diese Werte mit der für unseren Fall erforderlichen 
Spezialisierung in (106) ein, so haben wir für n = %: 

Ailjglmi — = A 2 ^2 Wi* ; 

also: 

m^gl 

m7Z*V 

und ebenso erhalten wir f ür n = tig* 


(116) (Aj 


it« «H 


(117) 

Also ist nach (116) und (117) 


_ L 

4i* K* J 2« ’ 

= Wj: 

/— 1 =4--* . 

\Ai)n = nt 23 


Setzen vir non: 
{118a) 


'23 

"1* **** 

I (^,),,» = ^, 

I (4, )«„.,=» '“e'**, 


die zugehörigen Werte von -<4,: 


(118b) 

so ist nach (108); 

“ Ai,**’ cos (n, 1 + *,) * A,'** cos {«, t + ^) , 

V*» - äV < + *i) + i4,‘* CO» (n, 1 + <,)• 

Setzen wir der Einfachheit halber folgenden Anfangszustand fesi: 

K/,(0)«1; «)f,(0)>=i0, 


( 119 ) 




i&exmle Dynamik emea Systems materieller Punkte. 


30 erhält man zur Konstatitenbestimmung: 

... f «i = «, «0, 


f «1 = «, «0, 


also ist nach (119) endgültig: 

| i//j = |cosnit + i^cosn, t, 

% = “ To * + TcT ”2 * ’ 


oder wenn wir das Additionstheorem anwenden: 


( n. -f w, - ^ 

1 /;, = COS 1 • cos g— ’ 1, 

I V'j = öT “ t"*- * ' ““ 


also mit Benutzung von (115): 

i =s cos Uq i • cos (nQS)t, 
( 124 ) ... 1 „ 




Darin ist nun nach Voraussetzung d, also auch d, sehr klein gegen 
Ho, so daß wir cos iigt und sin n^t einerseits als rasch veränderliche 
Funktionen, cos {n^d) t und sin (n^d) t anderseits als langsam ver- 
änderliche Größen be 2 eichnen müssen. Während z. B. cos n»t schon 


viele Male durch Null hindurchgegangen ist, hat sich cos (nod)t nui 
wenig verändert, so daß wir in (129) y>i und y» als Schwingungen 
von der Frequenz «o betrachten können, die eine periodiaoh 
veränderliche Amplitude haben. Aknstisch gesprochen: ufir hftben 
einen Ton vqn bestimmter Höhe, dessen Intensität periodisch 
und von dieser äkostisb^en Betiehung her rührt die Bezeichnung „8jofiwrft| 





264 


Mechanik maierielkr ^nkU.^ 


buDgen** für dies^' Phäßomen. Mmi sieht aus (124), daß, if^enn 
das Maximum seiner Amplitude hajt, dann gerade y» di® 
Amplitude Null besitszt und umgekehrt. Zu gewissen Zeiten 
ist also das eine Pendel in Buhe; dann hat das andere seine 
stärkste Bewegung, und umgekehrt. Die Energie schwankt 
demnach zwischen den beiden Pendeln hin und her. Figur 64 
veranschaulicht die Schwebungen und die Beziehungen beider Pendel 
zueinander. 



* Eine andere Form der Koppelung zweier Pendelschwingungen ist 
‘iii Figur 65 dargestellt: zwei Pendel von den Längen und’ und den 
Massen % und sind dadurch verbunden, daß an den beiden Massen 
eine masselose elastische Feder befestigt ist. Die Länge der Feder ist 
so gewählt, daß, wenn die Pendel in Buhe sind (yi = ^2 == Feder 

.l||iigöspannt ist, und daher keine Kräfte auf die beiden Massen ausübt. 

. Vas gleiche gilt natürlich, wenn die horizontalen Verschiebungen und fa 

deir beiden Pendel aus der Euhelage einander gleich sind. Die j>otentielh' 
^Jil^gie 012» die beiden Pendel in bezug aufeinander haben, wenn 
f^ed^r gespannt ist, ist daher offenbar (wenigstens in erster Näherung) 
'^|K}^onaI (fj — fi)^ also wenn wir durch E eine von den Diinon- 
und der Natur der Feder abhängende Konstante bezeichnte : 

Nach der obigen Z^ehnung ist nun oifenbat iür kleine Amplituden ; 
o Abo ist: " " 




SpeiMie Dynamik eints Systems materieUer Punkte. 265 

die dadurch entsteht, daß sie bei einem Ausschlag um die vertikalen 
Höhen Ci und f* gehoben werden. Diese sind, wie man leicht sieht: 


(126) 


j <P, 



übjllah 2 

2 3 * 


Also ist die gesammte potentielle Energie nach (125) und (126): 

(127) 0 = + + 

und die kinetische Energie ist, wie leicht zu sehen: 

(128) 

Mathematisch besteht also der Unterschied zwischen diesem und dem 
vorhergehenden Beispiel darin, daß jetzt die kinetische Energie als Summe 
von Quadraten dargestellt ist, und die potentielle die doppelten Produkte 
enthält, wälirend es nach Gleichungen (102) und (103) im ersten Palle 
umgekehrt war. Nach der Lagrangeschen Methode erhält man aus 
(127) und (128) sofort die Bewegungsgleichungen: 

I »»I + (»»1 9k + ^k^ fi-Ekk % = 0 2 

(129) 

1 + JSOV’2 =*0. 


Macht man zur Lösung wieder den Ansatz : 


(130) 


1 =• 

' V's “ 


so erhält man genau wie früher schließlich für p* die Gleichung: 
(131) ) ^ 2 % Wj n* 


Wir wollen diese Gleichung zunächst daraufliin untersuchen, ob 
unter gewissen Umständen die beiden im allgemeinen vorhandenen Werte 
von Uj und n, zusammenfalien können, d. h. ob die beiden Eigenschwiti- 
gungen das Systems gleich werden können. Dazu ist offenbar notwendig, 
daß die Wurzel in (181) verschwindet, d. h.: 

Wh k' (m, Jl, + E I,*) - »H h' (mi9k + ^k')?j-^^”h”HW'^ 0* 

Man sieht, daß dieser Ausdruck nicht durch positive Werte, vc^ 
^'hitnt’k’k befriedigt werden kann, also: wie man auch die 
'ind PendeUf(M^ wählt, niemals kanp man gle%W,riAj 
Huenzeh e,t»|%ji 4 C;|jkl 80 * iazbesondeife auch dann nicrhkj 



266 Mechanik maimeUer Punkte, 

mj55=ma=w und gewählt werden. Wäre die Koppelung 

durch die Feder nicht vorhanden, so hätte man allerdings zwei identische 

Pendel von der Frequenz no== j/y. Aber die Koppelung verstimmt 

die beiden ursprünglich gleichen Schwingungsdauern gegen- 
einander. Für den hier betrachteten Spezialfall wird aus (131): 


(132) 




mgl + El* 



Machen wir die Koppelung d. h. E sehr klein, so wird angenähert 



p* = — n* 




(138) 




= n«’ + 


2 2 Vi!' 

* ö tn 


mad beide Werte weichen nur wenig von dem der ungestörten Schwin- 
gungsfrequenz Uq ab, der eine nach oben, der andere nach unten um 
den gleichen Betrag. Es tritt dann wieder das am vorhergehenden Bei- 
spiel diskutierte Phänomen der Schwebungen auf. weshalb wir hier mcht 
«äher darauf einzugehen brauchen. Gekoppelte Schwingungen der hier 
betrachteten Art spielen in der Elektrodynamik eine große Boll||pmd 
dort werden wir näher ins Detail der Erscheinungen eingehen. 


61.. Die allgemeine Gravitationskraft. 

In Nr. 18 [Gleichung (101) des ersten Kapitels auf pag. öO] fanden 
wir mittels der Keplerschen Gesetze das Besultat, daß die Beschleu- 
n^;ang eines Planeten bei seinem Umlaufe um die Sonne ist: 

(184) a = -^- 

5 Unter Einfähmng des Kraftbegriffes kann man dies nach Nr. 24 
[UMobnng (14) des zweiten Kapitels anf pag. 77] auch so ausdrücken, 
alle Planeten gegen die Sonne hin mit folgender Kraft ang^zo^ien 
Wden; 

(186) 

In diesen beiden Gleichungen ist k' eine für alle i:'ianetä|^emeBi* 
sanie ^Konstante, die aber noch von der Natur der Soime abhängeu 
tmd ütaäiddieh abhängt. Wir wollen nämlich jetzt Oleicbpng WK' 
hnter deia Gesichtepunkte des dritten Newtonsohen ÄxiofiOi,44^R^‘ 
ialtzßB von der Gleiehheit der acMo und reactio hetrachten.jiiUtiii,^4^' 


267 


. Spezielle Dynamik eines Systems materieller PmÜe, " 

(|uem formulieren zu können, wollen wir allen auf die Sonn^, bezüglichen 
Größen den Index 1, den auf den Planeten bezüglichen den Index 2 
geben; r erhält den Doppelindex 12 oder 21, ebenso wie ft. Die Kraft, 
die von der Sonne (1) auf den Planeten (2) ausgeübt wird, ist nach (135) 
in der neuen Schreibweise: 


(136) 


•♦12 




Aber nach dem dritten Bewegungsgesetz wirkt eine genau ebenso 
große entgegengestzt gerichtete Kraft ftji auf die Sonne, die von dem 
Planeten (2) ausgeht. Da in dem dritten Axiom keinerlei Bevorzugung 
des Körpers (1) gegenüber dem Körper (2) enthalten ist, so folgt schon 
aus Symmetriegrtinden, daß ftji die Form haben muß: 

(137) ftai = + » 


wobei der umgekehrten Kraftrichtung durch das Pluszeichen Bechnung 
getragen ist. fc" ist dabei eine Konstante, die von der Natur des Planeten 
abhängt. Nach dem dritten Bewegungsgesetz ist nun noch: 


oder : 
(138) 
also ist: 


(139) 


— fc' m, + fc" Wj s= 0 

« 1c = Const. ; 

{fe' == fc iWj , 

Je ^ Ic ♦ 


wo 1c nun ein universeller, von der Natur von (1) und (2) 
unabhängiger Faktor ist. Damit gewnnt das Kraftgesetz (136) 
die symmetrische Form: 


(140) 




ikm, 


Dieses Gesetz hat sich in der glänzendsten Weise in der Mechanik 
des Himmels bewährt und hat die Probe auf die Richtigkeit der ihm 
zugrunde liegenden Voraussetzungen bestanden. Wir nennen es in dieser 
Form das „Newtonsche Gravitationsgesetz“. Newton nahm, 
über di^ Anwendungen des Gesetzes auf die Himmelsmechanik hinaus- 
gehend, weiter an, daß nicht nur die Bewegungen der Himmelskörper 
durch dies Gesetz regiert werden, sondern er betrachtete es als eine all- 
gemeine Eigenschaft der Materie, aufeinander nach diesem Gesetze eiur 
^^iwirken. Zwischen zwei beliebigen Massen wirkt nach Newton s^ets 
fliese Kraft (140). ' So wurde er dazu geführt, die Erscheinung der Erd- 
beschleunigung, also die Schwere, als eine Folge der nach dem (Jravi- 
l^ationsgesetz . (140) .wirkenden Kräfte zwischen der Erde und den falten« 
Körpera zu betrachten. Diese großartige Verallgemeinerung ist 
der experimentellen l^Üfung fähige Denn nach (140) ist die Kraft uhi- 



268 


Mtehmik maimelier Punkk. 


gekehrt progortional dem Quadrate der Entfernung zwischen den beiden 
Massen. Newton verglich nun miteinander die Beschleunigungen, die 
die» Erde einerseits einem an ihrer Oberfläche befindlichen Massenpunkte, 
anderseits dem Monde erteilt, der sich in einer mittleren Entfernung 
von ^ Erdradien ’B vom Erdmittelpunkte befindet. 

Bezeichnen wir die Masse der Erde mit m (ohne Index), die des 
substantiellen Punktes an der Erdoberfläche mit die des Mondes 
mit f» 2 , so »sind die Beschleunigungen bzw. a 2 nach dem.Newton- 
schen . Gesetze (140): 



km 

_ 

' m, ■ 


- 1 *« i 

km 

l»*! 1 

*“ 60 * Ä* 


Nun ist aber | a, |== 981 cm/sec*, also folgt durch Division der 

beiden Gleichungen: 


sj?; also 0,1 = 


981 cm 
3600 sec* 


^ sec* 


Anderseits läßt sich die Beschleunigung des Mondes rein kine- 
matisch bestimmen aus den für eine Kreisbahn mit dem Badiiis 60 B 
und konstante Winkelgeschwindigkeit spezialisierten Formeln (60) des 
«^ten Kapitels auf pag. 37. Denn dann ist offenbar 


;fl,; = 60ß(^)*=60ßw*, 


venn'w die Winkelgeschwindigkeit des Mondes bedeutet. Nun ist die 
Gröfie des Erdradius in 2Sentinieter: 

B = 637 • 10* cm , 

ist eo = wo T die ümlaufszeit ist, die wir zu 28 Tagen gleich 

28*J^400 Sekunden annehmen wollen. Also ist der Betrag von |o,|: 

i ^ I • 887 • 10* • 4«* ^ Ql, cm 

i * 786 4ÖÖ~ ‘ IS? ' 

wirklich übereinstimmend mit dem aus dem Gravitationsgesetz fol- 
gten Werte. 

' 4 . Da also Newtons Verallgemeinerung sich in schlagender Weise 
|iest&tigt hat, so nennt man die Kraft (140) die allgemeine Massen* 
Oy^iehung. 

Wir formulieren daher Gleichung (140) folgendermaßen: Zwei. bWf 


Hebige , materielle Punkte von der Masse tn, und m, in 
iSttitfernuAg fu ziehen sicih mit einer Ki^ft an,^f.4|^ di 
pi^^Q^tional den beiden vrftgann' 
felii ; Ijildrate ihr^r Bntfernungf isi- 


269 


jSpexMlle Dynamik eines Systems maierieUer Punkte, 

Die universelle KonstÄnte k nennt man die Grav^t?l^tionskon- 
stante. Zunächst wollen wir ihre Dimensionen bestimmen; 


also 

(141) 


[fc] 


[Kraft] M 
[m*] 




Man sieht aus (140), daß k direkt bestimmt werden kann, wenn man 
die beiden Massen Wg, ilire Entfernung und die Kraft Äjg »lassen 
kann. Dies kann unter Verwendung irdischer Massen nacli mehreren 
Methoden geschehen und so sind dann von zahlreichen Forschern, von 
denen nur die Namen Boys, Braun, Eicharz und Krigar-Menzel 
genannt werden sollen, sorgfältige Untersuchungen gemacht worden, 
die für k den Wert ergeben haben: 

(142) k ~ 6,675 • IO*”® cm® sec"“®] . 

Diese Zahl dürfte auf rund 1% richtig sein. 

Die ganze obige Betrachtung beruht auf der unbewiesenen An- 
nahme, daß die Wirkung der Erde auf den an ihrer Oberfläche befind- 
lichen substantiellen Punkt dieselbe ist, als ob die Gesamtmasse der 
Erde in ihrem Mittelpunkte konzentriert wäre. Den Beweis werden wir 
später (Nr. 86) nachholen. 


62. Dflü Zweikörperproblem. 

Das wichtigste freie System ist das Sonnensystem. Es ist natürlich 
nicht anzunehmen,' daß es im strengen Sinne des Wortes frei ist, weil 
wir ja gerade auf Grund des Newtonschen Gravitationsgesetzes an- 
nehmen müssen, daß auch von den weit entfernten Fixsternen Kräfte 
auf die Massen des Soimensystems ausgeübt werden. Doch sind diese, 
da umgekehrt proportional dem Quadrate ihrer Entfernung, sehr klein 
im Vergleich zu den Kräften, die die Massen des Sonnensystems auf- 
einander ausüben, so daß erstere jedenfalls in Annähening vernachlässigt 
werden können. Zwischen je zwei Massen des Sonnensystems wirkt die 
Kraft (140), so daß wir im allgemeinen Falle, wenn wir n Massen haben, 
es mit 3n Bewegungsgleichungen zu tun haben. Dieses n- Körperproblem 
i«t in seiner Allgemeinheit heute mcht lösbar, 'Selbst für n gleich 8 nicht. 
Daher werden wir uns auf den einfachsten Pall, n= 2, das sogenannte 
»Zweikörperproblem“, beschränken. 

Der Index 1 bezieht sich auf die Sonne, der Index 2 auf einen Pla- 
neten. Wir behandeln also die Bewegung von Sonne und Planht 
w alleimgen Wirkung ihrer gemäß (140) wirkenden inneren* 
ziehen wir den Badiusvektor ri 2 von der Sonne nach d^m Planeteo^ ^ö^ 
nnd rechnen Sichtung als positiv, so ist die auf den^^etto>;#Öf^v 

kende Kräftig ^ 







Spexielk Dynamik eines Systems materiüler Punkte. 

~~ — T- 

Benutzen wir (146), so wird aus (144) ; 


271 


(146) 



ib m, t», (a;, - jCj) 

. - 

dl* 

r ’ 


kmimt{y,-yi) 

'l dt* 

T ^ 


km^m^ (2j — 2i) 

d^ 

r 9 

M* 

d*xt _ 

— Xt) 

a dt* ~ 


, _ 

km^m^ (y» - yd 

2 dl* ~ 

r ^ 

Ml 

IPz, 

k m, wi, (2, - 2i) 

'^It* ~ 

. ™ 

Ml 


Diefcfe Gleichungen sind die Differentialgleichungen des Zweikörper- 
problems, aus denen sich die Keplerschen Gesetze ableiten lassen müssen, 
— soweit sie nämlich richtig sind. Denn daß genau die Keplerschen 
Gesetze herauskommen, ist gar nicht zu erwarten, da die Gesetze (146) 
noch das dritte Gesetz Newtons enthalten, das über den Inhalt der 
Keplerschen Gesetze hinausgeht, 

Zunäclist bestätigt man leicht an den Gleichungen (146) die Schwer- 
punktssätze und Momentensätze für ein freies System, denn durch Ad- 
dition der ersten und vierten, zweiten und fünften, dritten und sechsten 
Gleichung (146) folgt sofort: 


I dt^ 


+ m, 


2 dt^ 


= 0 , 


m. 


« dt^ 




m 


<i*2i 

> 'dt* 


, d*z, 

+ »”* W 



oder, wenn man den Schwerpunkt: 


einfährt: 


( 147 ) 


8 


+ mg 

i»i + m, ’ 

» H yt 

~ mi + w, ’ 

W»! -f f»| 


dfi 

jr 

dt* 


0 , 

0 , 

0 , 



272 


Meehanik maierielkr I\inlUe, 




d. h. der Schwerpunkt des Systems Sonne — Planet ist in 
gMcbmäßiger geradliniger Translationsbewegung begriffen. 
Da wir eine gleichmäßige Tranalationsbewegung des Koordinatensystems 
nach dem Eelativitätsprinzip der Mechanik nicht erkennen können, 
so können wir den Koordinatenanfangspunkt in den Schwerpunkt legen, 
d. h. den Schwerpunkt des Systems als ruhend annehmen. 
Da die Gleichungen (147) sechs disponible In tegrations konstanten liefern, 
wird über diese sechs hiermit verfügt, so daß von den 12 Integrations- 
konstanten des allgemeinen Systems (146) nur noch sechs zu bestimmen 
sind. 

Genau ebenso finden wir die Momentensätze. Denn vollziehen wii* 
die Operationen, die in Gleichung (34) des vierten Kapitels auf pag. 191 
gefordert werden, d. h. multiplizieren wir die dritte und sechste Glei- 
dhung (146) mit bzw. und i/g, ebenso die zweite und fünfte mit 
und 2^, kombinieren diese Gleichungen in der geeigneten Weise und 
vertauschen endlich die Variabein xyz zyklisch, so erhalten wir die drei 
Gleichungen : 



oder nach einer einmaligen Integration nach der Zeit: 


(149) 


(dz, 


( dt 

dT 


dz. 



(dy. 

dx* 


-dfy^ 





,■4» die Erhaltung der Summe der Kotationnmomente der Geschwiudif.'- 
mßsprechen, was man natürlich auch direkt aus Gleichung (50} 
vierten Kapitels (pag. 201) hätte folgern köimen. Die.Bichtung 
dds Baiüptrotationsmomentes ist durch die drei Kopstaaten A, B, C f< 
g^gt, ebooso wie die dazu senkrechte Ebene, , die „invariable EIh '« “ 
. des betrachteten Systems. 


Diese inviuiable Ebene wollen wir nun mit einer der KoordinuO’ii- 
ebeneQ,'etwa der xy -Ebene, zusammenfallen lassen, so daß A und 
Null werden and das HaaptrotationsmoiiDent' gleich C wird, ab" 
Boti^ionsmoment um die r-Aohse ist. 0 fiatttrlich von Muli ver- 
si^eden. Dann läßt sieh leicht zeigen, daß, 
syst^eo wollen, dauernd ist, ab« 

Dom dann ist ja ^cMtig nw^^IdT) 

d^ngai. (!«): 


wenn wr das &^rdiufti‘’'‘' 
j die BdtiritaiM; «»nS 




^exielle Dynamik eines Systems materieller Punkte. 273 


» , i»i *1 + w* =• 0 , 

»»1 yj + »Mj 1/j = 0 , 
m, 2, + w, 2j = 0 , 

”*1 (4^ - 4f- "i) + ’"* (4i“ y* - -^f **) “ 0 , 

(4f^ - 4 t ) + »"^ (4 ‘>^) = 0 ' 


Aus den drei ersten folgt: 


(150) 


X 2 — • 

J/2 =■ 

-Jo =* 


W, 

m, 


m, 


> 


und setzt man dies in die beiden letzten ein, so folgt: 

I J* ,71 ‘ 

(151) 


dt "I dt 


dt^ rf ar, ^ 

- 3 ; * 1 -". -3-r = o. 


Diese beiden homogenen Gleichungen für und -jj- haben im allgemeinen 


dZy 


nur die Lösung wenn nicht die Determinante 


y^ dt 

X 

dt 

verschwindet. Dies kann hier nicht der Fall sein; denn es würde darauf 
folgen : 

x^ dx^ ’ 
dt 


und wemi man dies in die dritte Gleichung (149) zusammen mit den Glei- 
chungen (löO) einsetzt, so würde C==0 folgen, im Gegensatz zur Voraus- 
setzung. Also muß in der Tat, wenn wir A^B=0, C^O wählen, d. h, 
die ay -Ebene mit der invariabeln Ebene zusammenfallen lassen, Zi=z^ 
dauernd »0 sein. Es reduzieren sich also die Gleichungen (149) auf 
die eine: 

Damit ist über drei weitere Integrationskonstanteu ABG eine end- 
gültige Verfüg)^ getroffen, so daß nunmehr noch drei übrig bleiben. 
Von diesen dreien Iftßt sich noch eine, die zehnte,' mittels d^ 
md ^*“““960. Werden die sechs Gleichm^n (146) der B(^e ndoit 

8oha,f*,, 



274 


Meehanik matmtüef Funkte, 


iSl 

di 


dt 


d ^ 
dt ^ 


4yi 
dt ’ 


dz^ 

di 


multipliziert und dann addiert, so folgt sofort die Gleichung: 


± 

dt 




fcmj m. 

h-*.)(4?- 

dx,' 

~ 'dt j 

+ («8 — 

j (44 -44)1 

= 0. 


Der Klammerausdruck des zweiten Gliedes ist aber offenbar gleich 

'dt[ 2 ) ^»2 dt * 

also das zweite Glied selbst gleich 

, km^m^ dfii 

r,,* Ti ’ 


^1* 

und das kann geschrieben werden: 

^ d I kmitn^ 

,so daß wir endgültig haben: 

. 4 l?l( 4 ?)’+( 4 ?)’+( 4 M’l 


oder 


)' 


m, 1 

{dx,\ 



kmiMf 

2 { 

Urj 

+ l-iTj + 

(;drj j 



= 0 , 


+41(4?)+ (44)’+ (44)1 


‘ Const.— 


‘‘'“’i +?i( 4 ?)+(-t)’+( 4 ?)’)-‘r 

Die beiden ersten Glieder stellen die Idne tische Energie L, das dritte 
j potentielle Energie <P dar, deren Ausdruck wir besonders anrnerk(*n 
Wflten: 

(iiH) 

^1» 

' Hau überzeugt sich leicht, daß in der Tat die negativen Ableitunj^t n 
nadi den Koordinaten der beiden Massenpunkte die auf dieselben wir- 
kenden Kraftkomponenten daretellen, Z. B.: 

3 <n km, nt, Sr„ 

' n,* 




dx. 


J dz. 


r«* 


uras mit der ersten Bleichung (146) äbereinafidimt usw* 

iMe gesamte Energie hat den konstanten Wort K, und dies ist ()>*' 
izebid6 Xat^ationskolutante, die durch Einsetzen der )>< - 

ntasjmt jf^rden kann. En btoihen also noch; aniä Kan^ÜSp 
' durch ^ " 




Spezielle Dynämik eifua Systems rmterieller Punkte* 275 

Wir schicken uns, nun zur Integration der noch übrig gebliebenen 
Gleichungen (152) und (153) an. Zunächst wollen wir unser Koordinaten- 
system, von dem bisher nur der Anfangspunkt und die 2 :- Achse festgelegt 
sind, etwas näher erläutern: die x- und ^-Bichtungen sind ja noch nicht 
bestimmt, sondern es war nur verlangt, daß sie in der invariabeln Ebene 
liegen sollen. Wir machen dies so, daß wir vom Koordinatenanfangs- 
punkte aus eine in der invariabeln Ebene liegende Gerade nach einem 
beliebigen Fixstern ziehen, die wir als a;- Achse nehnuui; die durch den 
Koordinatenanfangspunkt in dieser Ebene dazu gezogene Senkrechte 
ist dann die ^-Achse. Diese Wahl des Koordinatensystems rechtfertigt 
sich durch Übereinstimmung der Eesultate mit der Erfahrung. 

Es sei nun die Papierebene die rrt^-Ebene (Fig. 67). 





Fig. 67. 

Die Verbindungslinie der beiden Massen und enthält den 
Schwerpunkt, geht also stets durch den Koordinatenanfangspunkt hin- 
durch. Wir bezeichnen die absoluten Abstände derselben von 0 mit rj 
bzw. Dann ist einmal: 

fl + r, 

und anderseits nach Definition des Schwerpunktes, wenn man beachtet, 
daß Tj und r, hier nach ihrem absoluten Betrage gerechnet werddn sollen: 

»»iri = m2r2. 

Die beiden Belationen (156) und (166) bleiben während der ganzen 
Dauer der Bewegung bestehen; der Koordinatenanfangspunkt teilt den-,' 

Abstand der beiden Massen stets in dem konstanten Verhältnis , 

Bezeichnen wir den Winkel, den r, mit der positiven «-Achse bildet, dil^ ' 
so kann (1^) durch fj, und (p bzw. durch f,, r,,' y aoagediHlcIti- : 

werden, d^^wf l^t , ja, äM Eig, 67 sofort; 



276 


Mechanik matmelkr Punkte. 


Vt^r^siiKp, 

und durch Einsetzen in (152) folgt: 
( 167 ) 


a;i = rj cos q>, 
yi=r^sin(p, 

dg> 


(m,r,= + msr,»)^| =(7. 


Wenn man hier rj und nach (155) und (156) durch ri 2 ausdrückt, 
so folgt durch elementare Bechnung: 


( 158 ) 

oder auch 

(159) 


2 «LT’ _ rt 

Wi + m, '^12 ^dt ^ » 


'12 


d(p 

dt 


wenn Q* eine andere Konstante bedeutet. Das ist aber offenbar der 
Flächensatz oder das zweite Keplersche Gesetz: „Die in gleichen 
Zeiten vom Badiusvektor überstrichenen Flächen sind 
gleich das wir im ersten Kapitel ausführlich besprochen haben. Es 



ist aber dabei noch ein Unterschied zu beachten. Denn nach der Ad- 
sohaaung Keplers war die Sonne unbeweglich, während wir den gemeiu- 
samen Schwerpunkt als fest angenommen haben. Diese Verschiedenheit 
im Auffassung kommt in den Figuren 68 und 69 zum Ausdruck, von 
denen die erste den Keplerschen, die zweite unseren Standpunkt 
charakterisiert. 

Man sieht aus der Gleichung (157) sofort, daß der vom Anfangs- 
punkte 0 in Fig. 69 nach dem Planeten W 2 gezogene Badiusvektor r.> 
in gleichen Zeiten keineswegs gleiche Flächen überstreieht, ebenso- 
Wenig wie dies der nach der Sonne gezogene Badiusvektor tut. Aiu ii 
die Summe der beiden Flächen gehorcht nidit dem Keplerschen Gt - 
setze, sondern erst die mit Wj bzw. multiplizierten Flächen, wie 
es fordert. Man kann sich nun aber leicht klar machenj^ was die 
ehung (169) bedeutet, wenn man sich vergegenw4rla|ty^*^ beobachte 
wird. ^ auf % befindlicher Beobachter wird Wj a^ ruiiÄlM betrachten, 



SpeueUe Dynamik eines Systems rmt&^ieU&r Punkte* 277 

und kann nun durch astronomische Beobachtungen die Entfernung ri 2 

dm 

von und die Winkelgeschwindigkeit feststellen. Die Bahn von 

die er so beobachtet, d. h. unter der Annahme, daß fest sei, nennen 
wir die „scheinbare“ Bahn von Wg. Man erhält sie aus Fig. 69 sehr 
einfach, indem man Om^ über hinaus um das Stück Om^ verlängert; 
das liefert statt der wahren Bahn B“ die scheinbare Bahn A B, Und 
nur für diese scheinbare Bahn, die einzige, die durch direkte Be- 
obachtung gewonnen wird, gilt nach (159) der Keplersche Flächensatz 
in der Tat. Man sieht bereits hier, wie das Newtonsche Attraktions- 
gesetz eine Korrektur an den Keplerschen Gesetzen anbringt bzw. 
iiiren wahren Sinn erst feststellt. 


A 



Die Gleichung (159) ist nur eine andere Formulierung von (152), 
nämlich in Polarkoordinaten (r^j, Genau dasselbe wollen wir mit* 
der Energiegleichung (153) machen. Die Geschwindigkeit q z. B. der 

Sonne hat eine radiale Komponente ^ und eine transversale 

*^* 7 » lind dasselbe gilt für die Geschwindigkeit C 2 des Planeten; 
also gelten die Gleichungen: 



also wird die Idnetisehe Energie L: 



278 


Mechanik maierieMer Punkte. 



Eliminiert man daraus mit Hilfe der Eelationen (155) und (156) 
die Größen und fa, indem man sie durch ri 2 ausdrückt, so erhält man 
leicht: 


(160) 


L 


1 ffii 

2 % + wij 




Die potentielle Energie 0 hat bereits die passende Form, so daß 
wir (len Energiesatz nunmehr schreiben können: 


2 m, + 1 », [\ d it j \ d t / J r„ 


E, 


'oder nach Division mit 


nii 

tn,i *4* wij 


( 161 ) 




etwas bequemer: 

k(mi -f m^) _ p 

fii m, wi, 


■E-, 


wenn E' eine andere, natürlich durch E vollkommen bestimmte Kon- 
stante bedeutSt. 


In den Gleichungen (159) und (161) sind und (/? als Funktiom‘n 
VQU t dargestellt ; eliminieren wir aus diesen beiden Gleichungen also die 
Zeit, so erhalten wir eine Differentialgleichung zwischen fi 2 und <p, die 
" die Bahn in Polarkoordinaten ergeben muß. Aus (159) folgt zunächst: 

di * 

was in (161) eingesetzt liefert: 


TllTrj + vJ 

df 

Diese Gleichung wollen wir nach auflösen, dton erhalten wii : 



^r„ 

di 


r l * 1 « i 



Dabei ist das Plus* oder Minuszeichen der Wurzel zu wählen, je nachilci» 
fy sumimiut oder abnimmt. Dividieren wir diese Gleichung durch Glei- 
ehuiüg (159), so folgt die Differentialgleichung zwischen fy und <p: 


( 168 ) 


1 df„ tfn I , *(»», + m, 

V “K 


r„* ä<p 




_ 1 
f 


Die linke Seite ist offenbar gleich ~ , und wenn man unter 

der Wurzel den Ausdruek addiert und subtrahiert, so kan» 

die Gleichung geschrieben werdoi: 

d ( 1 \ 1 1 




spezielle Dynamik eines Systems materieller Pmkie» 27^ 

Führt man eine neue Variable <r ein durch die Djefinition: * 

(164) 

SO kann die vorletzte Gleichung offenbar geschrieben werden: 

dq> y C' ^ c* > 


oder mit der Abkürzung: 


(165) . 

2 JS' + mj* 2 

C'> 0 '* “ 9 = 

oder: 


oder endlich: 

“ 4r (?) ” ~ (j) ’ 



also : . 

d(p ^ ~zi-.-"Ä1z=: 

!/>-(?)■' 

(166) 

<p = arccos(") 4 - ip„, 


wo 9^0 eine (die elfte) Integrationskonstante ist. Nach a aufgelöst ei 
gibt diese Gleichung: 


oder indem man nach (164) rjj statt a wieder einführt; 

1 h(mx -f m-) , * 

r” “ (fi - 3C08(9?~ (p^), 


was folgenden Wert von r ,2 als Funktion von tp liefert: 


^13 


0 '* 

Ä-(m, + 




oder endlich, wenn man jetzt die Lage der x- Achse geeignet wählt, i 
daß wird, womit diese elfte Integrationskonstante festgelegt win 

(7'* 

(167) 


^3 = 


1 + 


kimi 'h m,) 


( 188 ) 


k{mx + m,) 

Setzt man noch zur Abkürzung: 

/ (7'» 

j ir(mx + m,) “ 


cos (p 


280 Meehamk maimeUw Punkte. 

so geht (167) üb^ m die beKannte Polargleiohung der Kegelschnitte: 


(169) 




1 -f e cos y 


^leichung (169) stellt, vne oben auseinandergesetzt wurde, die 
scheinbare Bahn des Planeten dar, die Sonne als ruhend voraus- 
gesetzt. Diese Bahn ist also nach dem Newtonschen Attraktionsgesetz 
jedenfalls ein Kegelschnitt (Ellipse, Hyperbel, Parabel), umschließt also 
das erste Keplersche Gesetz als SpezialfalL Für 0<c<l, d. h. falls 
die numerische Exzentrizität ein positiver echter Bruch ist, stellt (169) 
bekanntlich eine Ellipse dar. Man sieht, daß aber (169) allgemeiner, 
auch noch die Kometenbahnen darstellt, die Parabeln oder Hyperbeln 
zu sein scheinen. Wir gehen hierauf nicht näher ein, sondern wollen 
noch ein Wort über die wahren Bahnen sagen. 

Aus den Eelationen (155) und (156) folgt unmittelbar: 


(170) 

I ^2 

Also sind die wahren Bahnen 


ffij -f m2 ’ 


— f 

Ml + WI2 1- 


m 


der Sonne: fj 


der Planeten: r. 


mi + Wj 

i + e C08 9? ^ 

p 

mi -f wig 

1 -I- c cos ’ 


d, h. Sonne und Planet beschreiben ähnliche Ellipsen, deren 
einer gemeinsamer Brennpunkt der gemeinschaftliche 
Schwerpunkt ist. 

f ^ Was sagt nun das Newtonsche Attraktionsgesetz über das dritte 
Keplersche Gesetz aus? Wir haben bis jetzt aus dem Newtonschen 
Gesetz das erste Keplersche Gesetz in Gleichung (169) und das zweite 
in Gleichung (152), beide für die, scheinbare Bahn der Planeten geltend, 
abgeleitet. Diese beiden Daten hatten wir auch bei unserer kinematischen 
Untersuchung der Keplerschen Gesetz^ in Nr, 18 im ersten Kapitel; 
e$ folgte daraus, wenn wir unsere jetzigen Bezeichnungen beibehalten, 
dÄ Eesultat der Gleichung (95) des ersten Kapitels auf pag. 49: 


Dabei bedeutete die Beschleunigung des Planeten relativ zu der 
als i^iegad vorausgesetzten Sonne. In unserer jetagen BezeichntöigS' 
weiie, die alles auf das im gemeinsamen Schwerpimkte rul^n^e System 
besieht^ ist die Beschleunigung d«j Planeten 



Spexülh Dynamik eines Systems materieller Fwnkte» 281 


relative Beschleunigung des Planeten zur Sonne a 2 -'Äi. 
statt der letzten Gleichung: 


(172) 




0'» 

P na*’ 


Wir haben also 


Diese Beschleunigung kann nach den Gleichungen (148 a) und (148 b) 
sofort gebildet werden, indem die erste Gleichung durch die zweite 
durch mi dividiert und dann die zweite von d(‘r ersten subtrahiert wird. 
So folgt aus (148): 

(173) ttj - tt, = - k{tn^ + w^)^’, . 

also weiter aus (172) und (178): 


(174) 

Für kann man nun einen anderen Wert bilden, der den im 

p 

dritten Keplerschen Gesetz vorkommenden Ausdruck 

T* ^ / Quadrat der Umlaufszeit \ 

M* \ Kubus der großen Ac^e / 


enthält. Aus dem zweiten Keplerschen Gesetze (152) 
^ r,2^ d(p — C' dt 


folgt durch Integration über einen vollen Umlauf: 

2.t 

9 ^ = 2abn = CT, 

0 

also: 


4 n* ^ q' 2 r£2 

a 


Nun ist aber nach Gleichung (99) des ersten Kapitels auf p. 60: 

b* 

a ~ P *’ 

also folgt aus der vorletzten Gleichung: 


oder: 

(176) 




C'* 

P 



Die Kombination mit (174) liefert dann für 


(176) 


a* 


4^r + ^* 2 )» 


T* 


den Ausdruck 


und man sieht, daB dieser Wert keine für das Planetensystem 
konstante Ordfie ist, da er von der Masse des geifade 
oetrachteten Planeten abhängt In Strenge ist also das' dritte 




282 Meehanik materieller Punkte, 

Keplersche Gesetz mcbt erfüllt. Berücksichtigt man aber, daS die 
Masse Wj der Sonne sehr viel größer ist als die aller Fleeten, so ist? es 
doch sehr angenähert erfüllt. Für zwei Planeten (Index 2 und 8) folgt 

für das Verhältnis y,- \ 

/a®\ /a*\ Wh + wia 

und das ist ungefähr gleich 1, wenn, wie hier, % außerordentlich groß 
gegen und ist. Setzen wir die Masse der Erde gleich 1, so ist die 
des größten Planeten Jupiter 314,5, die der Sonne aber 830000. Man 

erhält so folgende Tabelle für die relativen Werte von nach Glei- 
chung (176), wobei der Wert für die Erde gleich 1 angenommen ist: 


Planet 

ff 

Satvim 

1,0001 

Merkur 

1 

Venus 

l 

Erde 

1 

Mars 

1,0006 

Jupiter 

1,001 


"'Die tatsächlichen Abweichungen sind also unmerklich. 

Der gleiche Umstand, nämlich die ungeheuere Masse der Sonne im 
Vergleich zu der der Planeten, bewirkt nun auch, daß die Sonne prak- 
tisch als ruhend aufgefaßt werden kann. Denn nach Gleichung (156) 
/ist der Abstand des gemeinschaftlichen Schwerpunktes Sonne-^Erde 
. vom Sonnenzentrum 


abo nach den obigen Zahlen ~ r^, oder angenähert auch 

1 

830000 ^ 1 ** 

Nimmt man die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne zu 
rus==149* 10® km an, so folgt für der Wert 461 km. Nun ist aber der 
"Halbmesser der Sonne 1891*10®km, d. h. der gemeinschaftb^bhe 
flehwerpunkt des Systems Sonne— Erde liegt in der Sonne 
'Selbst, sehr nahe ihrem Mittelpunkte. Dies gUt auch hoch für 
den Schwerpunkt des ganzen Planetensystems; auch er liegt noch !n der 
Sonne, so daß man annähernd die Sonne statt /des gemeinäol^tlioben 
: Schwerpunktes als ruhend annehmen kann. Wir kpmnien darak m der 
^n^äehst^ Numn^ »noch einmal zurück und bemetjken ktejiFf; nur» 
die Bechtfertigung des helipzenifia^|^;^^änd- 
pUfikJles ist. 


Spezielle Dynamik eines Syst&ms materieller Punkte, 283 

ln Wirklichkeit sind die Planetenbahnen keine strengen Ellipsen, 
wie dies aus dem Zweikörperproblem folgt, sondern diese Bcdmen wer- 
den gestört durch die von den übrigen* Planeten auf den betreffenden 
ausgeübten Anziehungskräfte, die aber gegenüber der Anziehung der 
Sonne klein sind und daher als „Störungen“ bezeichnet werden. Wie 
schon erwähnt, ist die Lösung des allgemeinen Problemes der 7 ^-Körper 
bisher nicht gelungen, so daß man die Störung der Bahnen nur durch 
sukzessive Annäherung berechnen kann. Darin liegt nun im Grunde 
der größte Triumph des Newtonschen Gravitationsgesetzes, daß man 
mit seiner Hilfe die Störungen rechnerisch feststellen und dadurch fast 
alle Abweichungen zwischen Beobachtung und Theorie erklären kann. 

63. Das Fundamentalsystem der Mechanik. 

Hier ist jetzt der Platz, um festzustellen, was sich auf Grund döc 
Erfahrung über das Fundamentalsystem bzw. über die empirische Fest- 
legung eines Systems aussagen läßt, das wenigstens praktisch den An- 
forderungen eines Fundamentalsystems genügt. 

Zunächst ergibt die Erfahmng, daß für kurz dauernde Versuche 
ein mit der Erde starr verbundenes System, etwa mit dem Koordinaten- 
anfangspunkte im Mittelpunkte und der Erdachse als 2 ^-Achse, brauch- 
bar ist. In dieser Lage befand sich z. B. Galilei bei seinen Fallver- 
suchen, und man kann es nur als eine glückliche Fügung für die Ent- 
wicklung der Mechanik betrachten, daß seine Versuche nicht genau genug 
wareji und sein konnten, um ihn erkeimen zu lassen, daß das von ihm be- 
nutzte Koordinatensystem streng’ genommen nicht benutzt werden durfte. 

Der Foucaultsche Pendelversuch zeigt, daß das obige in der Erde 
fest Verankerte System sich in ca. 24 Stunden um die Erdachse relativ 
zum I\indanientalsystem drehen muß. Anderseits macht ersteres System, 
nach der Definition der Sekunde, relativ zum Fixsternhiinmel eine Um- 
drehung um die Erdachse in 86164 Sekunden. Diese Rotationsdauer 
kann in Anbetracht der Fehlergrenze von 7 Minuten beim Foucault- 
schen Pendelversuch als identisch mit der obigen Zahl von 24 Stunden 
angesehen werden. Es z^vingt demnach dieser Versuch dazu, statt des 
in der Erde verankerten Systems ein solches zu nehmen, dessen 
5;-Achse etwa die Erdachse ist und dessen ajj/-Ebene durch 
den Erdmittelpunkt und den Fixsternhiinmel festgelegt^ 
^ind. Die Annahme dieses Systems sagt also aus: Nicht der Pix- 
«ternhimmel rotiert um die Erdachse, wie der naive Mei^ch 
^uf Grund der Beobachtung schließt, sondern die Erde. 

Beiden bisher betrachteten Systemen ist aber gemeinsam der Ko^ 
ordinatenanfangspunkt, der absolut ruhen muß, d. h. beide Syst^e ^ 
^immen in der Annahme überein, daß der Erdmittelpunkt relativ kUto 
^damentalsj^teip, d.h. absolut/ in Buhe ist. Dieser Abnahme, 
die auf/%h^^^4 Foucaultschen Pendetversuches poch 



284 Mechanik materüller Punkte. ' 

zulässig erscheint, wird aber widersprochen durch die 
Theorie der Planetenbeweguiig. Schon in ihrer einfachsten Form, 
dem Problem der zwei Körper, liefert sie das Eesultat, daß der Erd- 
mittelpunkt sich im Laufe eines Jahres auf einer krummlinigen Balm, 
d. h. mit Beschleunigung um den gemeinsamen Schwerpunkt von 
Sonne und Erde bewegt. Es ist daher das vorhin benutzte System 
jedenfalls in einer beschleunigten Bewegung gegen das k\indamental- 
system begriffen, es kann also selbst kein Pundamentalsystem 
sein. Die Theorie der Planetenbewegung liefert nun aber ein 
Mittel, ein Koordinatensystem zu bestimmen, das dem Fundamental- 
system näher kommt. Beschränken wir uns zunächst auf das System 
Sonne — Erde, so ist die Ebene der Erdbahn identisch mit der invaria- 
beln Ebene dieses Systems. Die Ebene der Erdbahn ruht also 
gegen das Fundamentalsystein. Dieser Satz ist soweit richtig, als es 
gestattet ist, das System Sonne — ^Erde als ein freies zu betrachten, was 
tatsächlich bereits für manche astronomischen Zwecke und für alle ter- 
restrischen Versuche der Fall ist. Dann würden wir also folgendes System 
benutzen können: Die Ebene, der Erdbahn nehmen wir als 
«y-Ebene; als Koordinatenanfangspunkt den wegen der 
großen Masse der Sonne ungefähr mit dem gemeinsamen 
Schwerpunkt von Sonne — Erde zusammenfallenden Sonnen- 
mittelpunkt; als -s-Achse wird dann die Normale auf der 
Bahnebene genommen und die Richtung der x-Achse etwa 
durch eine Gerade vom Sonnenmittelpunkt nach einem 
Fixstern bestimmt, womit alles festgelegt ist. 

Noch genauer wäre ein System, bei dem als xj/-Ebene nicht die 
Ebene der Erdbahn, sondern die invariable Ebene des ganzen Planeten- 
systems genommen wäre. Aber das vorhin besprochene einfachere 
System genügt für alle irdischen Versuche. 


M« Das Potential eines Systems gravitierender Massenpnnkte. 

Schlüsse des Kapitels wollen wir noch einen wichtigen Begriff 
ainft^en, der aufs engste mit dem der potentiellen Energie und dem 
d^ Arbeit verknüpft ist. Wir denken uns zunächst ein möglichst ein- 
faiches System, aus zwei Massenpimkten bestehend; der eine im festen 
Baumpunkte (a^i, t/j, Zi) habe die Masse mj, der andere im variabeln Raun)- 
punkte {x, y, z) habe die Masse 1. Diesen variabeln Punkt nennt man 
dejf Aufpunkt. Wir setzen voraus, daß die beiden Massen nach dem 
Attraktionsgesetze aufeinander einwirken, und zwar wollen wir speziell 
die Kraftwirkung auf die Einheitsmasse im Aufpunkte ins Auge fas#n. 
Nennen wir die auf sie udrkende Kraft ftj, so haben, wir offenbar, wenn 
fl die Entfernung der beiden Massen ist: 

( 177 ) 


Spezielle Dyuamik eines Systems materieller Punkte, 
[ind für die Komponenten derselben folgt: 


178) 


Nun ist aber 
cos (r^ x) = 


■X, =» - cos (fl x), 

Y, = -^cos[r,y), 

Z, ^co8(r,^). 





1-: : JA, _ Aü • 

u Sy ' 


cos (r, 2 ) 


Z- Z, _ dTj 
fl dz 


285 


Also kann man — was ja schon aus der Voraussetzung, daß die 
Kräfte konservativ sind, hervorgeht — die Kraftkomponenten schreiben: 

1 dx \ r^ )’ 1 dy \ Ti i dz \ ] 

also hätten wir als Kräftefunktion [x y z) zu bezeichnen den Aus- 
druck: 

(179) = 


Man nennt . nun die Kräftefunktion in dem Falle, daß der variable 
Massenpunkt die Masse 1 hat, das Potential des festen Massen- 
punktes im Punkte (x,y,z) oder kurz das Potential des 
Massenpunktes 








n 



Fig. 70. 




Wir wollen nun die Einheitsmasse mit dem Aufpunkt sich bewegen, 
d. h. X, y, z alle möglichen Werte annehmen lassen, jedoch so, daß (^r, y, z) 
nicht mit {x^, j/j, Zi) zusammenfällt; deim in diesem Falle würde ja 
gleich Null, also 0^ unendlich werden, und die Betrachtung verlöre ihren 
^inn. Dann können wir also in jedem einzelnen Punkte den Wert an- 
geben, den die Funktion hat, wodurch das Potential in allen Punkten des 
Baumes mit alleiniger Ausnahme von (a*^, y^, z^) vollkommen bestimmt ist; 
oian erkennt aus dieser letzten Bemerkung insbesondere, daß 0^ eine 
skalare Funktion ist, was übrigens schon aus ihrem Charakter als spe- 
zielle Kräftefunktion hervorgeht. Man kann 0^ leicht mit dem Arbeits- 
ot^griff in Verbindung bringen. Wir wollen z. B. die Arbeit berechnen 
V Jg« 70), die notwendig ist, um die Einheitsmasse vom Bäumpunkte 
V®’ ß» y) in der Entfernung von in. den Kaumpünkt (», y, «) in der 



Mtektmik matmeller Punkte. 


Entfernung von % zu bringen. Da die Kraft nach (177) in der Ent- 
femung r den Wert — ~ hat, so ist die bei einer unendlich kleinen 

Verschiebung — dr geleistete Arbeit - ; das Minuszeichen bei dr rührt 

daher, daß r bei der Verschiebung von (a, ß, y) nach (a:, j/, z) verkleinert 
wird. Also ist die gesamte Arbeit, die während der Verschiebung von 
{a, ßj y) nach {x, y, z) geleistet wird: 

(180) A^km^ J-~ = (- Ä m, . 

f 

a 

Lassen wir den Punkt (a, ß, y) ins Unendliche rücken, d. h. — 00 
werden, so wird schließlich nach (180) und (179): 

(181) = 


d. h. der Wert des Potentials iin Punkte (x, ijy z) ist gleich 
der Arbeit, die geleistet werden muß, um die Einheits- 
masse aus dem Unendlichen an die Stelle (x, /y, z) zu bringen. 

Wenn wir nicht einen festen Massenpunkt Wj im Punkte (x^, z^) 

haben, sondern mehrere, von denen wir einen beliebigen durch den Imlex /. 
charakterisieren, so würde jedem von ihnen, w^enn er allein W’äiv, ein 
Potential 0^ zukommen; nämlich, W'enn die Abstände der Punkte 
{^* J/i Vx h) • * • Aufpunkte (x y z) durch . Ih - 

zeichnet werden, so ist z. IL: 






kmi 

n ’ 


und da das Potential eine skalare B'unktion ist, so (>rhalten wir das g»“- 
samte Potential 0 der vorhandenen Massenpunkte im Aufpunkte, in- 
dem wir die den einzelnen zukommenden Werte addieren; also: 

(Itö) 0izyz]^0,+0,+0,-i-...0, + ... 

. Iii der Tat überzeugt man sich leicht davon, daß die negativen pui - 
tklton Anleitungen von 0 nach x, y, z die gesamten Kraftkomponeutui 
; fuif die Eioheitsmasse darstellen. Was für die Koordinatenrichtungen gih . 
gitt» wie man leicht zeigen kann, für je<le beliebige Bichtung di< 

* d 0 

negative partieQe Ableitung -r stellt die Kraftkompouente Ä, in du 
Bichtung von «dar: 

(189) 4r- 


Ferner’ ^bt man leicht, daß 0 eine eindeutige und At^nahme di r 
Punkte*(a!| yj stetige Funktion ist; nur ip 




287 


Spekieüe Dynamik emea Systems inaterieüer Punkte. 

Wir wollen nun zwei Punkte (a) und (ß) (Figur 71) annehmen und 
durch einen beliebigen Kurvenzag $ verbinden. Dann führen wir die 



Pip:. 71. 


Einheitsmasse vom Punkte (a) nach (ß). Nennen wir die Kraftkompo- 
nente parallel der Kurve Ä,, so ist die Arbeit längs des Weges s 


ß 

^ J 

o 

oder nach (183): 

ß 

( 184 ) 

a 

also, da das Integral sofort sich angeben läßt: 

m 

woraus hervorgeht, daß die Arbeit, wenn die 
Kräfte ein Potential haben, nicht vom 
Wege, sondern nur vom Anfangs- und 
Endpunkte abhängt. Lassen wir spe- 
ziell den Punkt ß mit a zusammenfallen, 
mit anderen Worten: beschreiben wdr eine 



geschlossene Kurve 5 (Fig. 72), die in 

einer bestimmten Bichtung (etwa der Pfeilrichtung in Fig. 72). von der 
Einheitsmasse durchlaufen wird, so ist wegen der Eindeutigkeit und 
Stetigkeit von 0 nach (185) die längs der geschlossenen Kurve geleistete 
Arbeit: 


( 186 ) 




A 

^ b 

Kräfte ein Potential besitze^, kaitA, 
von Massen auf geschlossenen Kurien 


'l-h. also: wenn die 
durch Herumftihren 
“lemals Arbeit gewonnen werden; die positiven Anteile des lii' 
ogtals (186) durch die negativen kompensiert. 

" Betuohtung vorausgesetzt, daB k^n^ der 


ist bei 




288 


Meehanik maierieUer Punkte. 


auf der Kurve s liegt, denn dann , würde in diesem Punkte die 
Punktion nicht endlich sein. 

Den Baum, innerhalb dessen sich gewisse Kräfte bemerkbar machen, 
nennt man das „Feld“ dieser Kräfte; in diesem Sinne sprechen wir 
z. B. vom „Schwerefeld“ der Erde oder auch kurz vom „Erdfe^e“. 
Jedem Punkte dieses ^Feldes entspricht ein bestimmter Betrag und ^ine 
bestimmte Bichtung der Kraft, wie allgemein jedem Punkte eines Kraft- 
feldes ; statt Kraftfeld werden wir auch häufig, um es allgemein zu cha- 
rakterisieren, „Vektorfeld“ sagen, da die foaft ein Vektor ist. Um- 
gekehrt kaim man auch von „skalaren Feldern“ sprechen, indem 
man jedem Punkte des Feldes einen bestimmten Wort einer skalaren 
Punktion zuordnet, wie z. B. das Potential es ist. Wir können z. B. das 
Erdfeld auch als das skalare Feld des „Schwerepotentials“ oder „Gra- 
, vitationspotentials“ auffassen, also dem vektoriellen Schwerkraftfelde 
ein skalares Feld zuordnen. Die skalaren Felder sind im allgemeinen 
einfacher als die Vektorfelder, und darauf beruht die Bedeutung der Zu- 
ordnung eines Skalarfeldes zu einem Vektorfelde. 

Wir wollen nun ein solches Feld untersuchen. Zu diesem Zwecke 
fragen wir nach der geometrischen Bedeutung der Gleichung: 

(187) y, z)^C. 

^ Diese Gleichung stellt offenbar eine Oberfläche dar mit der Eigenschaft, 
dafi auf ihr das Potential einen konstanten Wert C hat. Solche Flächen 
heiSen „Äquipotentialflächen“ oder „Niveauflächen“. Im Falle 
des Erdfeldes z. B. ist das Potential gz, also die Niveauflächen sind 
horizontale Ebenen. 

Es ist nun leicht zu zeigen, daß in jedem Punkte der Niveauflächei i 
die dort wirkende Hraft senkrecht zu ihr, also parallel der Flächen- 
normale gerichtet ist. Denn einerseits sind die Bichtungskosimisse 
der Flächennormale einer Fläche (P = const proportional den Größen 

und anderseits sind die Kraftkom|)onenten X, 

eben dÜesen Ausdrücken proportional, womit die Behauptung bewies* n 
ist.. Parallel der Tangentialebene der Niveaufläche ist also die Kraft- 
komponente gleich Null; es kostet daher keine Arbeit, einen Masscu- 
pnnkt auf einer Niveaufläche zu verschieben. 

Wir wollen uns nun in ein gegebenes Feld die Niveauflächeu tin- 
gezeichnet denken, und zwar derart, daß, wir, von einem konstanten 
Werte des Potentials ausgehend, zu anderen Werten der Konstanttri, 
Ol, Cj|, fortschreiten. Jede Konstante soll uÄ ein bestimmtes 

Stück A größer mn als die vorhergehende; also z, B, Cg— Cg— C 4 - C 3 
Diese Niveauflächen können sich nie schneiden, sondern umhüilcn 
sich gegenseitig. Denn hätten wir eine Schnittlinie (Fig. 78) zweier 
nachbarter Niveauflächen, die in der Figur zu dneni ^plnjittpunkte vei- 
^ kürzt ist, so hätten wir in jedem Punkte der jBchnittlinit ^i Normale«' 



Spezielle Dynamik eines Systems materieller Fwnkle» ^ 289 

richtwngen, also zwei Kraftrichtungen in einem Punkte, was unmöglich 
ist. Denken wir uns in der beschriebenen Weise die Äquipotential- 
flächen (P — Const. konstruiert (Pig. 74), so können wir aus dieser 



'Konstruktion an jeder Stelle des Kauiues die Größe und 
Kichtung der Kraft bestimmen. Nach dem Vorhergehenden ist 
es selbstverständlich, da die Kraft normal auf der Niveaufläche steht, 
(baß die Kraftrichtung aus den Niveaufläclnai abgelesen werden kann; 
aber auch ihr Betrag kann unmittelbar vermittels Gleichung (183) be- 
stimmt werden. Denn nehnnm wir in (188) 60 gl(*ich A, der konstanten 



Pig. 74. 


Potentialdifferenz zweier benachbarter Niveauflächen, und bezeichnen 
TO durch d den Abstand denselben, so geht in über; also, |st 
der Betrag der Kraft gleich, der Potentialdifferenz zv^eier 
aufeinanderfolgenden Niveauflächen, dividiert du^^eh den 
Abstand derselben. Hält man, wie im vorhergehenden, 
^konstant^ so ist der Betrag der Kraft umgekehrt propor- 

Sohftefor, L(iJubUi(}h. ^ 



290 


Meehanik materieller Punkte. 


tional d, d^em Abstande der Nivoauflächon. In Fig, 74 ist also 
prima vista zu erkeimen, daß bei A die Kraft größer ist als bei D usw. 

Man kann die Fig. 74 noch dadurch ergänzen, daß man, von einem 
beliebigen Punkte einer Niveaufläche anfangend, eine Kurve zieht, die 
alle Niveauflächen senkrecht durchschneidet. Diese Konstruktion fülirt 
man für alle Punkte einer Niveaufläche durch. Die so erhaltenen Kurven, 
die sogenannten orthogonalen Trajektorien, heißen „Kraftlinien“, weil 
die Eichtung jeder Kurve in jedem Punkte mit der Kraftrichtung 
übereinstimmt. Mehrere solcher Kraftlinien sind in der Fig. 74 gezeichnet. 
Ein Kurvenelement ds der Kraftlinie habe die Komponenten dx, dy^, dz; 
diesen drei Werten sind die Eichtungskosinusse des Kurvenelementes ds 
proportional, und da die Kraftkomponenten XYZ dieselbe Eichtung 
haben sollen, so ergibt sich als Gleichung der Kraftlinie: 

(188) X:Y:Z=:dx:dy:dz. 

Diese Art der Darstellung der räumlichen Anordnung von Kräften 
durch ein Skalarfeld oder ein Vektorfeld, d. h. durch Äquipotentialflächen 
oder Kraftlinien, hat besondere Bedeutung für die Elektrizitätslehre. 



Fig. 76. 


Wir kommen darauf im zweiten Bande zurück. Hier wollen wir nur ih n 
ganz einfachen Fall betrachten, daß eine Masse vorhanden ist. Dann 
ist nach (179)t 




km^ 




und die ÄqaipotentialflächeD sind offenbar Kuk' I' 

flächen, die konzentrisch um % geschlagen sind, qnd die Kraftlinu’ii 
gehen folslich radial vom Zentrum nach allen Smteil iaus (Fis. 76 ). 




' Spezielle Dynamik eines Systems materieller Punkte* 291 


Das Potential selbst, <P, gehorcht einer partiellen Difierentialglei- 
chung, flie von Laplace* auf gestellt und nach ihm benannt ist. Wenn 

wir nämlich die Gleichung (182) fe jo zweimal nach x, 

X 

nach if und z differentiicren, so erhalten wir nacheinander folgendes: 


ferner: 


dx 

d a:* 

0 

dip 

dz^ 


=2 ^*- 2 ' “?*(»- 9 /; 



und durch Addition der drei letzten Gleichungen folgt sofort die „La- 
placesche Differentialgleichung“: 


(189) 


d*0 d*0,d*0 ^ 

+ I - y • 


dx* ^ dy^ 


Dieser Gleichung gehorcht das Potential in allen Punkten des Baumes, 
mit Ausnahme derjenigen, wo die Massenpunkte liegen. Denn in 
jedem solchen Punkte ist das Potential unendlich. Welche Gleichung 
in diesen Baumpunkttm gilt, kann man überhaupt nicht beurteilen, so- 
laiige man an der Fiktion punktförmig, d. h. diskontinuierlich verteilter 
Matt'iie festhält; dazu ist vielmehr notwendig, die Materie selbst in den 
kleinsten Massenelementen als kontinuierlich zu betrachten, worauf wir 
später eingehen werden. 



Zweites Buch. 

Mechanik: starrer Körper. 


Sechstes Kapitel. 

Kinematik starrer Körper. 

65. Verschiebung eines starren Körpers; Translation und Rotation; 

Freiheitsgrade des starren Körpers. 

Unter einem starren Körper verstehen wir, wie bereits in Nr. 
definiert worden ist, ein System materieller Punkte mit der besonden ii 
Eigenschaft, daß die Entfernung je zweier materieller Punkte dies<> 
Systems konstant ist. Bedeuten und zwei solclx' 

substantielle Punkte des starren Körpers und ihn‘ Entfernung von- 
einander, so muß stets für alle möglichen \Vert(‘ der Indizes / und // st in: 

il) + (t/i - y^f + (^i - z;f = = Const., 

wobei unter der Quadratwurzel stets ihr positiver Wert zu virstelx n 
ist. Ein starrer Körper ist also ein spezielles System materieller l^nnkte, 
und die Mechanik starrer Körper daher eigentlich ein Teil der spi‘zi» ll» n 
Mechanik von Punktsystemen. Allein dieser Teil ist so wichtig, nixl 
die Bewegung des starren Körpers zeigt so viele allgemeine Charaki* i'. 
daß es üblich geworden ist, die Mechanik starrer Körper als ein (iiii;/.' ' 
and für sich Dastehendes der Mechanik substantieller Punkte ar. ili' 
^ite zu stellen, selbstverständlich unter Benutzung aller aus jim i» 
Mheren Teile gewonnenen B<!sultate. 

Wir beschäftigen uns zunächst mit den geometrischen ESgensciiatfi n 
der Bewegung starrer Körper, d. h. also, mit der Kinematik stan ' 
Körper. ' » . 

Die einzig mögliche Veränderung eineä starren Körpers — '' 

natürlich unter Erfüllung der Belationen (1) ist die Verändi viniH 
der Lage seiner Massenpunkte, oder, wie wir kur» sagen, können. <>"' 
Veränderung der „Lago des starren Körpers" zw andee" 

K&pem.< Die Lagentodemng .eines starrea etwa a«» »l i 



Kinematik starrer Körper, 293 

liage (1) nach der Lage (2), nennt man eine „Verschiebung“ des- 
selben von (1) nach (2). 

Man kann leicht spezielle Verschiebungen angeben, die in evidenter 
Weise mit der Bedingung (1) verträglich sind, und die wegen ihrer 
Wichtigkeit durch besondere Namen ausgezeichnet worden sind; diese 
haben wir schon früher kennen gelernt und benutzt, stellen sie aber jetzt 
der Vollständigkeit halber noch einmal mit genauer Definition zu- 
sammen. Offenbar sind die Eelationen (1) dann erfüllt, wenn die Ko- 
ordinaten jedes Punktes dieselbe Veränderung erleiden, wenn also etwa 
[x.y.z) übergeht in {x-{-a, 2/-fb, 2 + c), wo die a, b, c feste Größen 
darstellen, d. li. solche, die für alle Punkte des starren Kcirpers den- 
selben Wert haben. Ist vor der Verschiebung die Lage eines beliebigen 
Punktes durch {x, y,z) charakterisiert, nach derselben durch {x\y\/), 
so muß für die betrachtete spezielle Verschiebung offenbar sein: 

[ x' — x + a , 

I 

I z' z + c , 

Jt'der Punkt des starren Körpers verschiebt sich also geradlinig um 
das Stück 

(3) / =» -f ya* + b^+ 

und diese geraden Strecken sind für alle Pmikte einander parallel, da 
ihre Hiclitungskosinusse sich wie a:b:c verhalten. 

Die liier betrachtete Verschiebung ist also dadurch charakterisiert, 
daß die geraden Linien, die jeder Punkt von der Anfangs- 
lage zur Endlage beschreibt, einander parallel und von 
gleicher Länge sind. Eine solche Verschiebung ändert also 
mit anderen Worten die Orientierung des starren Körpers im 
Baume, d. h. relativ zu einem im Raume festen Koordinaten- 
Hvstom, nicht; wdr nennen sie eine „Translation“. 

Man erkennt leicht die Richtigkeit folgender einfacher Sätze: 
erden einem starren Körper gleichzeitig oder nacheinander zw^ei 
l’i'auslationen erteilt, so ist das Resultat unabhängig von der Reihen- 
folge der Translatiohen und kann auch durch eine einzige Translation 
erreicht werden, die man die „resultierende Translation“ nennt. Wir^^ 
komit^n jede Translation ferner vollständig charakterisieren durch eine 
gerichtete Strecke, die von der Anfangslage eines Punktes des starren 
Körpers nach seiner Endlage weist, und deren Länge gleich dem Ab- 
^tand von Anfangslage bis Endlage, d. h. gleich der Vei'scliiebung des 
ninktes ist. Dann sieht man leicht, daß die resultierende Translation 
\ektorsumme der beiden primären ist. Die Translation ist' 
•Gso tdn Vektor. Wir können denselben in jedem beliebigen Punkte 
1] ^ f Körpers anbringen, da bei dieser Verschiebung alle Punkte 
tJichberechtigt sind^ oder anders auagedrtickt: der Trans 



29i 


Mechanik starrer Körper, 

Vektor kann in dem starren Körper beliebig verschoben 
werden. Wir nennen ihn deshalb einen „freien Vektor'*, zum Unter- 
schiede von solchen, denen diese freie Verschiebbarkeit gar nicht oder 
nur mit Beschränkungen zukommt. 

Eine zweite mit den Bedingungen (1) verträgliche Verschiebung 
ist die folgende: Die Lagenänderung des *starren Körpers sei derart, 
daß während derselben alle Punkte einer bestimmten Ge- 
raden L ihre Lage unverändert behalten. Dann besteht die 
Bewegung aller nicht auf dieser Geraden gelegenen Punkte offenbar 
darin, daß sie Stücke von Kreisen in zu dieser Geraden senkrechten 
Ebenen beschi*eiben. Die Mittelpunkte dieser Kreise liegen sämtlicli 
auf der Geraden L und ihre Eadien sind respektive gleich den Abständen 
dieser Punkte von L. Dabei bleiben offenbar die relativen Entfernungen 
je zweier Punkte des starren Körpers unverändert, (1) ist also erfüllt. 
Diese mögliche Bewegung nennt man eine „Rotation um die Gerade/^“, 
diese selbst die „Rotationsachse“. 

Eine dritte mögliche Verschiebung ist die folgende: Während dei* 
Bewegung bleibt ein Punkt P des Körpers in Ruhe; dann müssen sich 
alle übrigen Punkte auf konzentrischen Kugelflächen um P bewegen, 
deren Eadien gleich den verschiedenen Abständen der Punkte von P 
smd; diese Bewegung heißt „Rotation um den Punkt P“, mid P 
selbst das „Rotationszentrum“. Eine Rotation um einen Punkt 
kann stets, wie wir später sehen werden, auf eine Rotation um eine 
durch den festen Piuikt gehende Achse zurückgeführt werden. 

Wir wollen hier noch die Frage . erörtern, wieviel Freiheit sgiade 
ein frei beweglicher starrer Körper hat. Um diese Frage zu entscheiden, 
befestigen wir in einem Punkte desselben ein rechtwinkeliges Koordinaten- 
system dessen Achsen im Körper festliegen, sich also bei <bi- 

Bewegung desselben relativ zum Fundamentalsystem mitbewegen. Wir 
nennen kurz (f,»/,C) das „bewegliche System“ und, im Gegensati^ 
dazu, das System (x, y, z) das „feste System“, da es im Raume, d. 1 j. 
relativ zum Fundamentalsystem festliegt. 0' sei der im Körper feste 
Anfangspunkt des ersteren, 0 der im Raume feste Anfangspunkt F s 
letzteren. Die Lage des starren Körpers gegen das feste System 
also bestimmt, wenn die Lage des beweglichen Systems gegen das fest* 
bestimmt ist. Dazu gehört aber die Kenntnis des Koordinatenanfang>- 
'punktes 0' und der Richtungen der f-, C-Acbsen, die durch ib'« 
9 Richtungskosinusse gegeben sind. Zwischen diesen bestehen abo 
6 Relationen, so daß diese 9 Richtungskosinusse 8 unabhängigen Dat^“i 
äquivalent sind, und da auch der Koordinatenanfangspunkt 0' dui<i‘ 
8 Koordinaten festgelegt ist, so besitzt ein vollkoinmen frei be- 
weglicher starrer Körper 6 Freiheitsgrade, während ein 
einem * Punkte festgehaltener starrer Körper nur noch 
8 Preibeitsgrade, und ein starrer Körper, .vpn;Jdem cim 
öerade^^ d. h. zwei Punkte festliegen, nur nofeh eipen 



Kinematik starrer Körper. 295 

iieitögrad besitzt. Ist der starre Körper eben, und werden nur Be- 
^vegungen in dieser seiner Ebene zugelassen, so hat er offenbar 8 Frei- 
iieitsgrade, 2 zur Festlegung des Anfangspunktes dos beweglichen (f t^)- 
rtystems, einen zur Bestimmung der Achsen ricbtungen dieses Systems 
Jegen das feste {x j/)-System. 

' Die Bewegung eines starren Körpers ist im allgemeinen sehr kom- 
[)liziert, und wir wollen daher zunächst möglichst einfache Fälle be- 
trachten und dann allinählich zu verwickelt eren fortschreiten. Wir 
behandeln d(*shalb zunächst Bewegungen ebener starrer Körper in ihrer 
Fbene. 


66. Allgemeinste ebene Bewegung eines starren Körpers. 

Ein ^ beliebiger starnu* ebener Körper erleide eine irgendwie geartete 
Verschiebung, die wir dadurch charakterisieren können, daß wir die' 
Anfangs- und Endlagen zweier beliebiger Punkte desselben angeben; 
die Anfangslage sei durch die Eaumpunkte die Endlage durch 

[lie Kaumi)unkte B' gf‘geben (Fig. 7ö). Zunächst ist es klar, daß 


a' 



Fig. 76. 


durch die Angabe der Lage zweier beliebiger Punkte die Lage des ebenen, 
Körpers vollkommen bestimmt ist. Denn z. B. der Punkt A ist durch 
^wei Koordinaten charakterisiert, der Punkt B ebenfalls ; jedoch kommt 
davon in Abzug die Bedingiingsgleichung (1), der B lunsichtlich A 
unterworfen ist, so daß die beiden Pimkte A, B durch drei Koordinaten 
charakterisiert werden. So viele Freiheitsgrade hat aber überhaupt nur 
der ebene Starre ;Körper: er ist also in der Tat durch zwei Punkte voll- 

kommen bestiniit. . 



296 


Mechanik starrer Körper, 

r-Ty.-:; r.. ■ . ^ 

Sodann wollen wir |olgendes hervorheben; Wir betrachten die Be- 
wegung des Körpers^ aus der durch {A , B) charakterisierten Lago in 
die Lage (-4', ß') nur insofern, als wir Anfangs- und Endlage 
ins Auge fassen; alle Zwischenlagen ignorieren wir. Nun 
ist es klar, daß unendlich viele Bewegungen von (A,B) m {A\ B*) 
hinführen, von denen eine die wirkliche Bewegung des Körpeis ist. 
Unser Bestreben geht darauf hinaus, von diesen vielen möglichen Be- 
wegungsformen zwischen {A,B) und {A',B'), eine besonders ein- 
fache mögliche zu finden, durch die also, in Rücksicht auf 
Anfangs- und Endlage, die wirkliche ]k‘wegung ersetzt werden 
kann. Von einer möglichen Bewegung, die mit einer gegebenen wirk- 
lichen Anfangs- und Endlagt* gemeinsam hat, wollen wir sagen, sie sei 
der wirklichen Bewegung „äquivalent“. IJabei ist wohl vei*standen 
.die wirkliche Bewegung im allgt‘meinen von der äquivalenten sehr ver- 
schieden, nur Anfangs- und Endlage fallen zusammen. 

Wir wollen nun den Hatz beweisen: Jede Verschiebung eines 
ebenen starren Körpers in seiner Ebene ist äquivalent einer 
Rotation um einen Punkt, d. h„ um es nochmals ausführlicht*)* zu 
^ sagen: der Körper kann aus einer gegeben(*n .\nfangslage in 
' jede vorgeschriebene Endlage durch eine Rotation um einen 
geeignet gewählten Punkt übergeführt werden. Um dies 
nachzuweisen, setzen wjr zunächst einmal die Kichtigkeit d(‘s Satzes 
vöraus und suchen d(‘n Drehj)unkt zu b(*siimmen. Verbinden wir zu 
diesem Zwecke A mit A\ B mit B\ so ist klar, daß der gesuchte Punkt 
von A und 4' gleiche Entfernung haben muß; ebenso von B und D'. 
Er muß also auf den Mittelsenkrechten von AA' und BB\ <1. h. in 
ihrem Schnittpunkte liegen. Die Ausführung <lieser Konstruktion nacli 
Tig. 76 liefert uns den Punkt P, den wir nun mit A, B, A\ B' ver- 
binden. Nun sind offenbar die beiden Dreiecke* PAB und PA*B' kon- 
jgruent; denn nach Konstruktion von P sind PA~PA\ PB==PB\ 

, .p|id ferner nach Voraussetzung Ä B = A' B\ Folglich sind die Winkel 

APB und A* PB' einander gleich, die wir mit a in Fig. 76 bezeichnen 
wollen# Es muß nun noch gezeigt werden, daß, wenn man die fh^rade PA 

um den Winkel ß — APA' um P dreht, so daß A auf A* zu liegen 
k^mt, dann gleichzeitig durch dieselbe Drehung PB in die Richtung 
von PB\ also B auf B' zu liegen kommt, d. h. es muß gezeigt werden, 

daß ^ BPB' SS ^APA' ^ ß ist. Das ergibt sich aber sofort aus 
Fig. 76, da jeder der beiden Winkel gleich der Summe des Winkels n 

und des Winkels BPA* ist. Und zwar ist dieser DrehungswinkeJ/? gleich 
dem W'inkel, den die beiden Strecken AB und A'B' miteinander Jbilden , 
4enn denkt man sich vom Drehpunkte P auf AB Loh* 

gefällt, -Io ist der Winkel zwischen den beiden 



Kinematik starrer Körper, 297 

gleich ß, da ja bei der Bewegung von AB nach A’ R das Lot auf AB 
in da|jenige voh^'ß' übergeführt wird. Also ist der Drehungswinkel ß 
gleich dem Winkel, den ~AB und A'B^ miteinander bilden, wie dies in 
der Figur (76) auch angedeutet' ist. 

Die in Fig. 76 ausgeführte Konstruktion des Punktes P kann unter 
Umständen unmöglich werden, wenn nämlich die Geraden AÄ' und BB' 
einander zufällig parallel sein sollten. Dies kann erstens der Fall sein, 
wenn AB und A'B* einander parallel sind (Fig. 77). Dann rückt der 
Schnittpunkt P der Mittelsenkrechten von AA' und BB' ins Unend- 
liche, und die Botation geschieht um einen unendlich fernen Punkt, 
<1. h. sie ist eine Translation, wie auch direkt aus Fig. 77 gemäß 


B b' 




<ler Definition der Translation in der vorigen Nummer zu entnehmen 
ist. Denn in diesem Falle sind die Geraden, die Anfangs- imd Endlage 
alk‘r Punkte des Körpers verbinden, parallel und von der gleichen 
Länge ÄA', 


Zweitens kann AÄ* auch dann parallel BB' werden, wenn AB 
und A' iy einander schneiden (Fig. 78). In diesem Falle ist es 
leicht ersichtlich, daß der Schnittpunkt P' von ÄB und A'B' det 
Punkt ist, um den die äquivalente Botation als stattfindend gedacht , 

werden muß. Daß hier der Winkel A^A' B^^B ist, folgt 
mittelbar; es ist nur noch zu zeigen, daß einerseits P'ß = P'B', und v. 
anderseits P'A =» P'Ä' ist. Dieser Beweis ergibt sich aus der Ähnlich- 
keit der Dreiecke AP'A' und B'FB, unter Hinzunahme des Ümv; 
Standes, daß “Jß = 5'ß' ist. Denn e.s verhält sich Wä:WB ^ 
also auch: Iß : F3 = FA'i 



298 


Mechmik starrer Körper, 


alles erledigt ist, Auch^in diesen beideri Ausnahmefällen ist offenbar 
der Drehungswinkel gleich dem Winkel, den die beideh Strecken AB 
uni* A'B' miteinander bilden. Wenn wir also eine Translation als eine 
Botation um einen unendlich fernen Pimkt auffassen, so ist allgemein 
bewiesen, daß jede Verschiebung eines ebenen Körpers in. 
‘seiner Ebene einer Botation um einen Punkt äquivalent ist. 


Der hier abgeleitete Satz ist nun offenbar nicht beschränkt auf 
ebene starre Körper, sondern erweitert sich unmittelbar auf einen be* 
liebigen starren Körper, der sich so bewegt, daß die Bahnen aller Pmikte 
desselben einer im Baume festen Ebene parallel sind. Dann führt der 
Körper, wie man sagt, eine sogenannte ebene Bewegung“ aus. Jede 
dieser festen Baumebene parallele Körperebene bewegt sich nur in sich 

selbst, und für je<ie dieser Ebenen 
gilt daher offenbar der olüge Satz. 
Es sei nun in Fig. 79 E, 
diese Schar von untereinander paraW 
leien Ebenen des Körpers, und 
ferner seien {A , B) (A', B') Anfangs- 
und Endlage zweier Punkte in tler 
Ebene E; dazu bestimmen wir den 
Drehpunkt P. Betrachten wir nun 
auch in den Ebenen Ej, Eg . . . elxm- 
falls je vier Punkte AiBiA\Bi\ 
A2B2 A2B2 . . ., die folgender- 
maßen mit AyB, A',B' in E Zu- 
sammenhängen sollen: A^ A 2 ^ > 
sollen auf der Normalen der 
Ebene E liegen die durch A geht; ebenso sollen BiBg . . ., B1B2 • . 
A{A2 dieselbe L^age zu resp. B,A\B' haben. Dann ist auch 
War, daß die jeweiligen Drehpunkte auf dem Lote liegen, 

durch P hindurchgeht. Ist also für eine der Ebenen E der 
Drehpunkt l^timmt, so ist er für alle Ebenen E bestimmt, und zwar 
^ liegen dieselben offenbar auf einer Geraden, nämlich der durch P gehendt*n 
: Nominalen auf der Ebene E, Diese Gerade bleibt während der von uns 
.hetrachteten Bewegung im Baume unbeweglich; also ist eine Be- 
wegung des starren Körpers, bei der die Bahnen aller seiner 
funkte einer festen Ebene im Baume parallel bleiben oder, 
kurz gesagt; eine „ebene Bewegung“ einer Botation um eine 
Achse äquivalent, die senkrecht zu jener Ebene steht. 

Wir wollen nunmehr die wirkliche Bewegung eines ebenen starren 
Kör^^i», die (AB) in (Ä'B') überführt, und die also einer Botation um 
,^rien Punkt äquivalent ist, durch zwei äquivalente 
lltellen.^ Dazu verhilft uns eine Betrachtimg^'d^ 

Äusnähtnei^,, die in Kg* 77 und 78 dargeslejit sind* '^ " >, 




# Kinematik starrer Körper, 299 

Es sei (Fig. 80) durch eine Eotation um P (AB) in (A'B') über- 
geführt, und es soll nun diese Eotation durch zwei äquivalente Vei^ 
scliiebungen ersetzt werden. Zu diesem Zwecke denken wir uns AB 
durch eine Drehung um P' in die zur Endlage parallele Lage Ä"B" ge- 
bracht; das ist eine Drehung um denselben Winkel, durch den auch 
l)ei der einfachen Eotation gedreht werden muß. Dann führen wir 
J"B" in Ä'B' über, ^vas durch eine Translation geschehen kann. Also 
erhalten wir den Satz: Eine Eotation eines ebenen starren 
Körpers in seiner Ebene um einen Punkt ist äquivalent 
einer Eotation um den nämlichen Winkel um einen anderen 
Punkt und einer Translation. Wie die Konstruktion zeigt, ist 


B 



Fig. 80. 

(iabt‘i die Eeihenfolge der Eotation und der Translation gleichgültig. 
Dieser Satz läßt sich offensichtlich umkehren und liefert dann d^ 
Resultat: Eine Eotation durch einen bestimmten Winkel um 
einen bestimmten Punkt eines ebenen starren Körpers in 
seiner Ebene und eine darauf folgende oder voraufgehende 
'l^^ranslation sind äquivalent einer Eotation durch denselben 
^\inlvel um einen anderen Punkt. 

Ihn diesen Satz etwas anders formulieren zu können, wollen wir 
allgemeine Bemerkimg über äquivalente Verschiebungen ein- , 
«^‘halten. jJach Definition heißen zwei Bewegungen einander äqui- 
valent, wenn sie den starren Körper aus derselben Anfangslage (1) in 
dieselbe Endlage (2) überführen. Nehme ich eine dieser beiden äqui^ 
valenten Verschiebungen in umgekehrtem Sinne, so iührt sie den Körper|i 
^ or durch die direkte Versehiebun« von (Ijfnach (2) gebracht 



300 


Mechanik starrer Körper. ^ 

nach (1) in seine alte Lage zurück. Also haben wir den Satz: Eine 
Verschiebung gemeinsam mit der „inversen“, ihr äquivalenten 
Verschiebung bewirkt im ganzen keine Lagenveränd(‘rung 
des starren Körpers. 

Nun kann man den obigen Satz offenbar auch folgendermaßen 
aussprechen: Eine Rotation durch einen bestimmten Winkel 
um einen bestimmten Punkt eines ebenen starren Körpers 
in seiner Ebene, eine Translation in derselben Ebene und 
eine Rotation durch den entgegengesetzten Winkel um einen 
geeignet bestimmten anderen Punkt bewirken keine Lagen- 
äöderung des starren Kcirpers. Also können wir durch andere Grup- 
pierimg der drei Einzel hewegungen dim Satz so formulieren: Zwei gleich 
große, aber entgegengeset zt gerichtete Rotationen eines 

ebenen starren Körpers um zwei 
gegebene Punkte sind äquivalent 
einer Translation des starren 
Körpers in seiner Ebene. 

Man kann sich diesen Satz unmittel- 
bar anschaulich machen (Fig. 81). Denn 
sei K ein ebener starrer Körper in der 
Anfangslage und P und P’ die l)eiden 
Punkte, um die die Rotationen statt- 
finden sollen. Dann bringt eine Drehung 
um P durch den Winkel n den Köaper 
offenbar in die Lage Kj, wobei P' an 
den Pimkt Pi gelangt; dreht man nun 
in umgekehrtem Sinne um wieder durch den Winkel«, so hat der 
Körper die Lage K 2 , und P ist nach P 2 gelangt, derartig, daß P 2 P] 
parallel PP' ist. Und man sieht, daß das für jede Gerade im Körper 
die Endlage ist parallel der Anfangslage, also hätte die ganze Ver- 
schiebung auch durch eine Translation bewirkt werden können. 

Nach dem Vorhergehenden erweitert sich dieser Satz sofort auf dii‘ 
Zjiaammensetzung zweier entgegengesetzt gerichteter gleich großer Rota- 
tionen eines beliebigen starren Körpers um zwei parallele Achsen: Zwei 
aufeinanderfolgende gleich große, aber entgegengesetzte 
Botationsbewegungen eines starren Körpers um parallele 
Achsen sind äquivalent einer Translation in einer zu den 
Achsen senkrechten Ebene. 

- Wir wollen jetzt einen Schritt weiter gehen ’und mehrere auf- 
einander folgende Verschiebungen eines starrer^ ebenen Körpers in 
seiner Ebene betrachten; jede Lage des Körpers wird wieder durch die 
Lage zweier Punkte im Raume charakterisiert wie vorher. Die Än- 
ftogslage dieser Punkte sei wieder durch A,Bi die 
ers^n Verschiebung durch nach der zweiten durch 

11 SW. bezeichnet. Es J|t wiohb^zu beaöhf^tii djiß # 4^^ 



Fig. 81. 



KinemaHk starrer Körper, 301 

Kaume feste Punkte sind, d. h. im festen System (x, j/) festliegen. 
Zu jedter dieser Verschiebungen konstruieren wir nun die äquivalente 
Hotation um einen Punkt; der ersten Verschiebung entspreche der 
Drehpunkt P\ der zweiten P", der dritten P'" usw., die wir nach der 
Methode der Pig. 76 aus den jeweiligen Anfangs- und Endlagen finden. 
Die so erhaltenen Punkte P' P" P'" . . . sind gleichfalls im Eaume 
feste Punkte, da die Punkte A,B, A\D', A'\ B" ... es sind, auf 
denen ihre Konstruktion beruht. Bie werden natürlich im allgemeinen 
nicht zusammenfallen; denn dies trifft nur zu bei der ganz speziellen 
Verschiebung, bei der ein ebener Körper in seiner Ebene um einen fest- 
gehaltenen Punkt rotiert, nicht aber bei der hier betrachteten ganz 
allgemeinen ebenen Verschiebung. Verbinden wir die Punkte^ P' P" . . . 
durch gerade Linien, so erhalten wir im allgemeinen einen g(d)rochenen 
Linienzug, ein Polygon, das im Kaume fest ist und das wir daher auch 
kurz als das „Raumpolygon“ bezeichnen wollen.') Betrachten wir 
mm einmal die aufeinanderfolgenden, der wirklichen Bewegung äqui- 
valenten Rotationen um resp. die Punkte P' F' F" . . . usw. Bei 
jeder dieser Rotationen fällt ein bestimmter Punkt des Körpers, den 
wir allgemein durch fl bezeichnen wollen, mit einem der Punkte P zu- 
sammen. Z. B. bei der ersten äquivalenten Rotation fällt ein Körper- 
punkt /7' mit P\ lx»i der zweiten ein andeier Körperpunkt FF mit P" 
zusammen usf. D(‘nken wir uns diese sämtlichen im Körper, d. h. 
im beweglichen Byshmi festliegeiiden Punkte durch gerade Linien 
vjM’bunden, so erhalten wir ein zweites Polygon, das wir kurz als das 
„Körperpolygon“ bezeichnen wollen. Dann lassen sich die äquiva- 
lenten Bewegungen des Körpers folgendermaßen beschreiben: Wenn der 
Körper in seiner Anfangslage AB ist, fällt 77' mit P' zusammen; um 
ihn in die erste Endlage A' B' zu bringen, genügt eine äquivalente 
Rotation um P' {— FF) durch einen solchen Winkel, daß nunmehr 77" 
auf P" fällt; um den Körper in die Lage A" IF' zu bringen, genügt e.s, 
ihn um F' (= 77") zu drehen, bis P'" mit H'" zusammenfällt, und so fort. 

Man kann also die der wirklichen Bewegung äquivalente Bewegung 
öes betrachteten Körpers, die ihn von AB über A'B\ A" B'\ , , in 
eine vorgeschriebeiie Endlage führt, dadurch erhalten, daß man das 
Körperpolygon {FI' Fl" TI'" . . .) um das Raumpolygou „kantet“. 

Dieser Satz erweitert sich sofort auf die ebcuie Bewegung eines be-,. 
liebigen starren Körpers, die ja auf äquivalente Rotationen um parallele 
Achsen zurückgeführt werden kann. Verbindet man die aufeinander- 
folgenden Achsen clurch Ebenen, so i'rhält man sowohl ein im Raume 


b l^r Karne „Raumpolygon“ ist im Gegensatz zu einem weiter unten einge- 
'»nrten Begriff ,^örperpo|ygon“ benutzt, nicht jedoch in dem prägnanten Sinne 
Geometrie Gemmaatz von „ebenem“ Polygon; unsere Eaumpolygone sind 
i^iüurbch eben. . 



302 


Mechanik starrer Körper, 


als auch im Körper festes Prisma, mid man kann die Bewegung da- 
durch ersetzen, daß das bewegliche Prisma auf dem festen kantet. 

In den bisherigen Auseinandersetzungen haben wir die wirkliche enil- 
liche Verschiebung eines Körpers stets auf eine äquivalente zurück- 
geführt, d. h. auf eine solche, die mit der wirklichen Bewegung im 
allgemeinen nur Anfangs- und Endlage gemeinsam hat, während die 
Zwischenlagen voneinander abweichen. Wählen wir aber die Vei- 
schiebung infinitesimal, unendlich klein, so gibt es gewisser-, 
maßen keine Zwischenlagen mehr, und die äquivalente Bewegung 
wird dann mit der wirklichen identisch. Wir können also fiii- 
unendlich kleine Vei*schiebungen in den vorhergehenden Sätzen das Wort 
„äquivalent“ durch „identisch“ ersetzen und erhalten die folgenden 
Formulierungen derselben : 

„Jede unendlich kleine Verschiebung eines ebenen starren 
Körpers in seiner Ebene ist eine Kotation um einen Punkt.“ 

„Jede unendlich kleine Verschiebung eines beliebigen 
starren Körpers ist eine Kotation um eine Achse, die senk- 
recht zu dieser Ebene steht“ usw. 

, Betrachten wir nun die Polygone P' P“ F " . . . und TI' IT' TT" .... 
die resp. im Raume und im Körper festliegen. Sie gehen für infinitesi 
male Verschiebungen in stetig verlaufende Kurven über, die „Zentroden“ 
genannt werden, von denen die eine, bewegliche, die sog. „Körpev- 
^zentrode“, auf der anderen, festen, der sog. „Raumzentrode“ „ab- 
rollt“, da das „Kanten“ jetzt ins „Rollen“ übergeht. Ebenso gehen 
iie bei Rotation eines starren Körpers um parallele Achsen konstruierten 
Prismen über in Zylinder, die aufeinander abrollen. Man hat daher die 
beiden Sätze: 

Jede beliebige Bewegung eines ebenen starren Körpers 
in seiner Ebene kann dadurch hervorgebracht werden, daß 
eine bestimmte, im Körper feste Kurve, die Körperzentrode. 
|u£ einer bestimmten im Raume festen Kurve, der Raum* 
fcontHede, abrollt, und: 

Jede beliebige ebene Bewegung eines starren Körpers 
kann dadurch erzielt werden, daß ein im Körper festci 
Zylinder auf einem itn Raume festen Zylinder abrollt. 

Obwohl es anschaulich klar sein .dürfte, was wir unter Rollen vei - 
^ stehen, wollen wir doch hier die exakte Definition des Rollens folg< ii 
lassen* Man sa^ von einer Kurve, daß sie auf einer anderen rolle, wenn 
sie in jedem Augenblick die letztere berührt, und die Kurvenbögi n 
beider, welche zwischen irgend zweien der aufeinanderfolgendj^i 1^^< ■ 
tuhflngspunkte liegen, gleich sind. Ist nur die > erste Bedingun^rfübb 
'SO wird die Bewegung als „Gleiten“ bezeichnet. Ganz ana^ ist "die 
Definftion für das Rollen der Zylinder. Man überzeugt sich in der Int 
leicht {unter Zugrondelemmfir dieser Definition^ von der Richtigkeit 
der pUgen Sätze, 



"Kmeniatih^ starrer Körper. ^03 



TI) gemeinsam, um den die Eotation erfolgt, und der deshalb als da^ 
„instantane Eotationszentrum“ oder als „Momentanzentrum“ 
()(lt>r kurz als „Pol“ bezeichnet wird ; ebenso heißt die den beiden Zyhndern 
in jedem Augenblick gemeinsame Gerade, um die gerade die Eotation 
des beweglichen Zylinders stattfindet, die „instantane Eotations- 
achse“. 


67. Allgemeine Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt 
(sphärische Bewegung); das Theorem von Euler. 

Ein ganz analoger Satz, wie über die Bewegung eines ebenen starren 
Körpert? in seiner Ebene, gilt, wie Leonhard Euler gefunden hat, auch 
für die Bewegung eines Körpers um einen festen Punkt 0. Zum Unter- 



scldede von der ebenen Bew'egung nennt man diese Bewegung einei 
starren Körpers „sphärische“. Sind die Anfangslagen A und B zweie 
Punkte des starren Körpers, die ja zur Festlegung genügen, und ihn 
Endlagen A* und B' gegeben, so kann man dies nach Euler stets durcl 
eine Eotation um eine durch den festen Punkt 0 gehende Achse er 
zielen. D. h. also: „Die allgemeinste Verschiebung eines starrei 
Körpers um einen festen, Punkt ist äquivalent einer Eotatioi 
um eine durch den Punkt gehende Achse.“ 

Der Beweis wird ganz analog geführt wie für die ebene Bewegung 
Es seien 0^4, OB die Anfangslagen zweier Geraden des starren Körpers 
0A\ OB' ihre Endlagen (Fig. 82). Verbinden wir A mit A\ B mit B 
bestimmen die Dreiecke ÖAA* und OBB' zwei Ebenen. Wir ei 
nchten auf A£ und BW die mittelsenkrechten Ebenen WjNi re$i 
die offenbar durch 0 hindurchgehen; die eine halbiert den Whato 

AOA', die andere BO^'. Diese beiden Ebenen und NjJV» schneide 
in der Oeraden OC^die folgende Eigenschaft besitzt: Jeder Pmjl 



304 Mechanik siarm Körper. « ^ 

der Ebene ist von A und A' gleich weit entfernt, jeder ?unkt 

der Ebene desgleichen von B und B\ Die Schnittlinie OC von 

und hat also die Eigenschaft beider Ebenen gemeinsam: 

jeder ihrer Punkte ist sowohl von A und A* gleich weit entfernt als auch 

von B und B\ Ferner sind resp. gleich die Winkel AOC und A^OC einer- 
seits und BO <7 und B'OC anderseits. Die Gerade OC steht räum- 
lich also in derselben Relation zu OAB wie zu OA'B'; d, h. 
OABC kann als starrer Körper aufgefaßt werden. Wird 
dieser aus der Position 0.4B in die Position OA'B' gebracht, 
so muß die Linie OC dabei unverändert bleiben, d. h. sie ist 
die Rotationsachse der der Verschiebung äquivalenten Ro- 
tation, womit der Satz bewiesen ist. ^ 

Wenn die Ebenen und N 2 N 2 sich nicht schneiden sollten, so 
nehmen wir für OC die Schnittlinie der Ebenen OAB und OA'B\ Das 
ist derselbe Ausnahmefall, wie bei der ebenen Bewegung eines starren 
Körpers, und kann auch auf dieselbe Weise erledigt werden. 

Betrachten wir nun eine Reihe aufeinanderfolgender Verrückungen 
des starren Körpers um den festen Punkt 0, so können wir für jede Ver- 
rückung auf die el>en auseinandergesetzte Weise die äquivalente Rotation 
konstruieren, d. h. wir erhalten der Reihe nach eine Anzahl von sich im 
Punkte 0 schneidenden Achsen OC. OC\ OC" . . ., die im Baume fest- 
liegen, da die Lagen AB, aus denen sie bestimmt sind, es 

' tun. Durch je zwei aufeinanderfolgende Achsen ist eine Ebene W- 
stimmt, und legen wir durch je ZAvei aufeinanderfolgende Achsen diese 
Ebenen hindurch, so erhalten wir eine im Raum feste Pyramide 
oder ein Vielkant mit der Spitze in 0. Gleichzeitig können wir aber 
offenbar, da während Ausführung jeder äquivalenten Rotation die 
Rotationsachsen auch im Körper festliegen, die Stelle der Achsen im 
Körpei- markieren; wir wollen diese Geraden 0 /, 0 y', 0 y" . . . nennen. 
Diese ^stimmen ebenfalls eine Pyramide mit der Spitze in 0, die iin 
^Körper fest ist, also im Raume sich bewegt. Wir nennen die l)eiden 
; JPyramiden resp. die „feste“ und die „bewegliche“. Während der ersten 
äquivalenten Rotation fallen OC xmd Oy zusammen, und um diese Aebst* 
ffifirt der Körper eine Rotation, aus, bis OC' und Oy' zusammenfallen, 
d. b. bis die Lage ^'ß' erreicht ist. Dann beginnt die Rotation um tÜ** 
gemeinsame Linie OC' (= Oy') um einen solchen Winkel, daß OC" uih} 
Oy" zusammenfallen üßw. Man kann also die sukzessiven Verschie- 
bungen der Lagen unseres starren Körpers dadurch erhalten, daß man 
die bewegliche Pyramide um die f^te Pyramide kantet — ein völliges 
Analogon zu dem Satze über die ebene Bewegung^ Jn der vorigen 
Nummer. 

Gehen* ijir — genau wie vorher — zu unendlich kleinen Verschi '- 
bi^en des starren K&rpers über, so fällt die äquivj^nte 
mit der wirklichen zusammen, und wir ^könne| jä^ent, 




Kimmatik starrer Körper, « 305 

unendlich kleine Verschiebung eines starren Körpers um 
einen festen Pünkt ist eine unendlich kleine Botation um 
eine durch den Punkt gehende Achse. Diese Achse, d^ren Lage 
stetig im Baume und im Körper variiert, nennen wir die „instantane 
Botationsachse“. Bei dem Grenzübergange zu unendlich kleinen 
Verrückungen gehen die feste und die bewegliche Pyiamide über in einen 
festen und einen beweglichen Kegel, mit gemeinsamer fester 
Spitze im Drehpunkt 0, die eine Gerade gemeinsam haben, 
eben die instantane Kot at ionsachse OC. Wir können also jede Be- 
wegung eines starren Kör]iers um einen festen Punkt dadurch erhalten. 


0 

log. 83. 



0 

Fig. 84. 



«laß wir einen bestimmten, im Ktirper festen Kegel, der seine Spitze im 
festen Punkte 0 hat, auf einem ini Baume festen Kegel, dessen Spitze 
gl«'ichfalls in 0 ist, rollen lassen. Dieses ist die Voi'stellung, die man 
Poinsot verdankt. Den im Körper festen Kegel nennt man den .,Pol- 
kodiekegol“, den im Kaumi‘ festen den „Herpolhodiekegel“. Die 
Herkunft und die Bedeutimg dieser beiden Bezeichnungen kaim erst 
‘später, am Schlüsse von Nr. 08, gegeben werden. Also: ,,dede Be- 
\vogung eines starren Körpers um einen Punkt kann da- 
<itirch erzielt werden, daß der Polhodiekegel auf dem Her- 
polhodiekegel abrollt.“ 

Wir werden später an geeigneten Beispielen die Nützlichkeit dieser 
'oiBtelhmg dartun. Zwei spezielle Fälle, die bei der Kreiselbewegung 
Bolle spielen, st^ellen die Figg. 83 und 84 dar; in beiden Fällen sind 
Kegel Kraiskogeij in Fig. 88 roHt der Polhodiekegel von außen, 

^ 20 . 



Mechanik starrer Körper. 


806 

bei Pig. 84 von innen auf dem Herpolhodiekegel ab; die gemeinsame 
Gerade OG ist die instantane Kotationsachse, *die also in diesen 
beiden Fällen selbst einen Kreiskegel im Raume beschreibt. 


68. Zusammenaetiung von zwei aufeinanderfolgenden Rotationen am zwei 

Achsen. 

Betrachtet man drei aufeinailderfolgimde Positionen eines starren 
Körpers, so ist klar, daß derselbe statt durch zwei aufeinanderfolgende 
Rotationen auch direkt durch eine einzige aus der Anfangslage in die 
Endlage übergeführt werden kann, die man als die „resultierende“ 
äquivalente Rotation bezeichnen kann, und es entsteht die Aufgabe, 
die Bestimmungsstücke dieser resultierenden äquivalenten Rotation ab- 
zuleiten. Wir wollen hier die beiden Fälle behantleln, daß ein starrer 

Körper zwei aufeinanderfolgende Rota- 
tionen um resp. die Winkel a und ß 
erstens um parallele Aclisen ausfülnt 
(ebene Bewegung), und zweitins uni 
zwei sich unter einem Winkel in dem fest- 
gehaltenen Punkte des Körpers schnei- 
dende Achsen ausführt (sphärisch«' 
Bewegung). In beiden Fällen ist der 
Körper durch die Lage zweier Punkte be- 
stimmt. 

Es sei die Anfangslage des starren 
Körpers im ebenen Falle durch die btädc'ii 
Punkte A und B charakterisiert ; die beiden 
Botationsachsen sollen durch zwei im Körper (nicht im Raume) feste 
' Punkte, eben durch die Punkte ilB, gehen und senkrecht zur Papierebein* 
stehen. Um die durch A gehende Achse werde im positiven Sinne durch den 
Winkel a gedreht; dann gelangt ß mit der stets hindurchgehenden Aclis«* 
an die Stelle B' des Raumes; dann wird weiter um ß' in jiositivein 
^ Si^e durch den Winkel ß gedreht, was A an den Raumpunkt A' bringt 
(Big. 86). Die Lage der beiden Rotationsachsen im Raume ist l)‘ i 
dieser Ajiordnung der Rotationen durch die Punkte A und B' d<^ 
Baumes charakterisiert, die ihre Durchstoßpunkte durch die Zeichen- 
ebene sind. 

Ziehen wir durch die beiden Punkte A und B’ die Winkelhalbit rungs- 
linie ilC für den Winkel a und ß'D für den Winkel ß, die sich in 
schneiden mögen. Dann läßt sich zeigen, daß eine einzige Rotation uin 
eine durch 0 gehende Achse senkrecht zur Papierebeno durch den Winkel 
(a -f ß) den starren Körper gleichfalls von {A, B) nach {A\ bringt ; d 
tot also die resultierende Botation. Denn der Sölutiittpunkt 
äer WinkelWbierenden hat als einziger Punkt dif l^^pschaft, gleiche 



Kimmaiik starrer Körper. 


307 


Eutfernung sowohl von A und A' als auch B und B' zu besitzen, d. h. 
es bestehen die Gleichungen; 


ÖA=ÖA'-, OB’=OB. 


Feiner ist der Winkel AOA' gleich dem doppelten Winkel AOD, ' 
und dieser als Außenwinkel des Dreiecks AOB' ist gleich — also 

ist der Winkel gleich (a + ß)- Das gleiche gilt von dem Winkel 

der glc'ich dem doppelten Winkel B'OC ist; auch dieser letztere ist 
dii-i, also Winkel BOß' gleich (a + ß). Damit ist gezeigt, daß 

durch eine Kotation um 0 durch den Winkel (a + ß) der Körper aus 
seiner Anfangslage (A,B) in seine Endlage {A',B') gelangt; diese eine 
Dotation ist also die Resultierende der beiden Einzel- 
idtiitionen um .*1 und ß'. 

Aus <len oliigen Darlegungen ergibt sich folgende Konstruktion 
der Achse der resultit'ienden Drehung. In einer zu den beiden Achsen 
der Teilrotationen senkrechten Ebene (der Papierebene) verbinde man 
die beiden Durchstoßpunkte der Achsen (A,B') durch eine Gerade, 
trage au dieselbe in den Endpunkten resp. die halben Drehungswinkel 

|resii. “ und y] an: der Durchschnittspunkt der so gewonnenen Rich- 
tiuigen ist der Durchstoßpunkt der gesuchten Achse durch die Papier- 
ebene. der anliegende Außenwinkel gleich gibt den halben Winkel 

der I esultierenden Drehung. Die Größ<^ derselben ist also (a + ß), d. h. 
gl(‘ich der Summe der Einzeldrehungen. Dm die Lage des Punktes 0 
aiialylisch zu bestimmen, liefert der gewöhnliche Sinussatz auf das 
Dreieck AB'O angewendet; 


Es ist wichtig, .sich klar zu machen, \ / 

daß bei diesem Prozesse die Reihen- \ / 

folge der Rotationen a und ß wesent- \ / 

lieh ist; die umgekehrte Reihenfolge / 

liefert ein ganz anderes Resultat. V/ 

Denn drehen wir (Pig. 86) den Körper aus \/, 

S'iner Anfangslage AB zuerst durch eine 

Uotation um ß in positivem Sinne durch , 

'l'ii Winkel ß, so gelangt A nach A"', ' 

dreht man j^tzt um A" durch den Winkel a, so gelangt B nach B . 
'»if Endlage A':B" ist also in diesem Palle eine ganz andere 
"ie vorher. Dies liegt daran, daß jetzt die Rotationsachsen 
“w ganz ande|e Lage im Raume haben; denn die VerbindungS' 


308 Mechanik starrer Körper. 

linie der Durchstoßpunkte derselben ist jetzt BÄ'\ während es vorher 
AB* war. Dementsprechend hat zwar die resultierende Dotation noch 
die Größe (a+/?), aber die Achse derselben hat eine andere Lage; d. h. 
^ber: die resultierende Dotation ist eine andere, wenn die 
Deihenfolge der Teilrotationen umgekehrt wird. 

Man kann den obigen Satz auch anders formulieren, indem man den 
um zwei parallele Achsen gedrehten starren Körper durch die inverse re- 
sultierende Dotation wieder auf {A.B) zurückbringt. Nun ist aber klar, daß 
. eine Drehung durch den Winkel Srr die Lage des Körpers nicht ändert; 
also sind zwei Drehungen um dieselbe Achse, einmal um den Winkel d, 
dann durch den Winkel {2n—ö) zueinander inverse äquivalente 
Dotationen, oder die Dotation —d um eine Achse ist äquivalent 
der Dotation +[27r— d] um dieselbe Achse. Statt also in unserem 
Falle durch die Dotation um die durch 0 gehende Achse durch den Winkel 
— (a+ß) den starren Körper aus der Endlage wieder nach (A,B) zurück- 
zubringen, kann man dies auch durch die äquivalente Dotation durch den 
Winkel [2^— (a+/S)] erreichen. Nun ist aW in der Konstruktion nach 

Kg. 85 in dem Dreieck OB' der Winkel an der Spitze 0 gleich ‘ 

also gleich der Hälfte der inversen äquivalent(*n Drehung. Mithin kann 
man folgenden Satz aussprechen: „Drei aufeinanderfolgende Dota-* 
tianen um drei parallele Achsen durch die doppelten Kanten- 
winkel des von ihnen gebildeten Prismas bringen den Körpi r 
wieder in seine ursprüngliche Lage zurück.“ Denn diese Kanten- 

Winkel sind in unserem Falle resp. -f » also resp. gleich 

den halben Winkeln der btdden Teildrehungen und der inversen resul- 
tierenden Drehung. 

Betrachten wir nun den zweiten (sphärischen) Fall, daß ein starn i 
Körper, von dem ein Punkt 0 festgehalten wird, zwei Dotationen uui 
durch diesen Punkt gehende Achsen ausführt. Nach dem Theorem vou 
Buler kann die allgemeine Bewegung dieses Körper» auf eine Dotation 
um eine durch 0 gehende Achse zurückgeführt werden; also kann au(*l 
hier dag Desultat der zwei Drehungen durch eine Drehung um ciic 
ebenfidlä durch den festen Punkt 0 gehende Achse hervorgebraeijt 
werden. Es gilt darüber der dem obigen ganz analoge Satz von Hamil- 
ton: „Drei aufeinanderfolgende Dotationen um drei in eim '*> 
Punkte sich schneidende Achsen durch die doppelten Wink« i 
der von ihnen gebildeten Ebenen bringen de^ starren Körper 
wieder in seine Anfangslage zurück.“ 

Der Beweis ist ganz ähnlich wie in' dem ebenen Falle und kann dejn 
Leser überlassen bleiben. Wir wollen nur die geometpsche^ Konstruktion 
der Achsenrichtung der resultierenden Drehung und ^es iesultieromk n 
I^Drehungswinkels besprechen. Wir sehlagen um 
f Ämkt 0 die Einheitskugel, und markierm juf |fe^^ 



Kinematik starrer ilörper, 309^ 

punkte A und B der Achsen der beiden Teildrehungen durch resp, die 
Winkel a und ß. Die Punkte A und B verbinden wir durch einen größten 

Kreis und tragen in A und B die halben Drehungswinkel — und ^ ^ 

(Fig. 87). Der Schnittpunkt der so erhaltenen größten Kreise sei C; 
verbinden wir diesen mit dem festen Punkte 0, so ist OC die Achse der 

resultierenden Drehung; der anliegende Außenwinkel an der Spitze 

des sphärischen Dreiecks ACB ist gleich dem halben Drehungswinkel 
d(‘r resultierenden Kotation. Man 
sieht, daß diese Konstruktion 
ganz dieselbe ist, wie im ebenen 
* Falle, nur daß sie hierauf der 
Kugel aus ge führt wird; denn das 
Dreieck^ CD ist hier sphärisch. Durch 
dieselben Überlegungen wie vorhin er- 
kennt man auch hier, daß die Reihen- 
folge der (endlichen) Teilrota- 
tioiien nicht vertauscht werden 
darf. 

Wir wollen hier noch die Größe 
(les r(^sul tierenden Drehungs winkeis y 
Ix^stimmen, vrenn die Winkel a und ß 
d(‘r Teildrehungen gegeben sind. Diese 
l>('ziehxmg liefert der Kosinussatz der 
sphärischen Trigonometrie für die Winkel; danach ist nämlich aus dem 
spluirischen Dreieck ABC: 

(5) cos Ä cos • cos 4- — sin • sin • cos AO ^ ; 

m ä fi £ A 

<h(*uso liefert der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie zur ana- 
lytischen Bestimmung des Durchstoßpunktes C der Achse OC der resul- 
licreuden Drehung: 

sin AOC ^ sin BOC ^ sinAOA 
• ß * • “ ■ f 

sin sm -r *•“ « 

2 2 2 

Diese etwas komplizierteu Verhältnisse vereinfachen sich in außer- 
oidentlicher Weise, wenn die beiden zusammengesetzten Botationen 
l"' * ebenen, sei es im sphärischen Falle) unendlich klein sind, 
lau erkennt leicht aus den Konstruktionen der Fig. 86 und 87, daß 
**!* ebenen Falle das Zentrum 0 der resultierenden Rotation in die V»-'j 
Jtndungslinie der Zentren A und B' der beiden primären Rotationen' 
•I t , und daß ini sphärischen Falle die Achse OC der resultierenden 
le mng in d« Ebene der beiden Rotationsachsen' OA und OJB der 

l’«n»aren Rotatio|ien l%gt, 




j. Mee^ntk starrer Körper. 

Nehmen wir zunächst den ebenen Fall, so ergibt sich unter Be- 
achtung obiger Sätze aus Fig. 85 folgende Lage der drei Punkte B' 
zueinander (Fig. 88), wobei die Lage von 0 sich nach Gleichung (4), in 

der wegen der Kleinheit der Winkel — und ~ die Sinus mit dem Argu- 
ment vertauscht werden können, berechnet: 

^ ÖF TF 

4 d. h. der Punkt 0 teilt die Strecke A B' im umgekehrten Verhältnis der 
Botationswinkel: er liegt demjenigen Punkte näher, um den die größere 
Botation erfolgt. Oder anders ausgedrückt: Denkt man sich den Punkten 
A und B' resp. die Massen a und jS mitgeteilt, so ist der Punkt 0 ihr . 
gemeinsamer Schwerpunkt mit der Masse (a + j5). 




Ganz analog liegt die Sache im sphärischen Falle. Die Lage der 
drei Achsen OA, OB, OC wird dann durch die ebene Zeichnung der 
Fig. 89 dargestellt. Zunächst ergibt sich für die Größe des resuitierendt u 

jDrehungS'mnkfls y nach Gleichung (5), in der cosx durch 1 — - 5 - ei- 
aetet werden darf: 

(8) y* = a^-\- ß*+ 2a ß cos AOB , 

und fär die Lage des Punktes C auf der Einheitskugel nach Gleichuu:: (•>): 

,fu Bin AOC • Bin ^0() Bin Aoi 

' ^ ß «11 + ^ 

Der Wmkel {AO^ zwischen den Aclsen der primären Botationeu 
wird durch die Achse OC der resultierenden Botation so geteilt, daß 
die Sinusse der Teilwinkel sich umgekehrt , verhalten wie die prima ' D 
Botation^ni^kel ; 

Glei(&itig lehrt die Gleichung ( 8 ) folgendes: Der Winkel y 
' resultmrenden Botetion ist ans a und ß zusammenge^tzt 
Begdldes Parallelhgramins der Kräfte, d. h. a, ß, p oder 
“'■heliebige unendlich -kleine Drehung^ 



Kinematik starrer ilörper. 


811 


behandelt werden. Trägt man auf der Achse OA von 0 aus den 
Drehungswinköta, auf OB den entsprechenden Winkel ß auf, so liefert 
die Parallelogrammkonstruktion den Winkel y nicht nur 
der Größe nach, sondern auch die Achse, um die die resul- 
tierende Botation erfolgt (Pig. 90). Statt der un- 
endlich kleinen Winkel a, ß, y, die in einem Zeit- 
element dt durchstrichen werden, können wir auch die 
entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten m einführen, 
da ja offenbar ist: 

a = ft>i df ; ß = 0)2 dt; y codi, 

Bann folgt aus (8): 


(10) 


U)2 = 0)1« + 0)2* + 2 COS {AO B) ; 



also können auch die Rotationsgeschwindigkeiten, 
wenn sie längs der Achst^ aufgetragen werden, um 
die die betr. Rotation stattfindet, als Vektoren behandelt 
werden. Wir nennen einen Vektor, der längs der Rotations- 
achse aufgetragen ist, und dessen Betrag gleich der Winkel- 
geschwindigkeit um diese Achse ist, den „Drehungsvektor“, den 
wir allgemein durch tt (Betrag co) bezeichnen werden. Nennen wir Ui und 
Ua die beiden Drehungsvektoren , deren Beträge wir oben durch o)i und 
a >2 bezeichnet haben, so läßt sich Gleichung (10) in Vektorscbreibweise 
so formulieren : 


(H) 


tt==ttl + U2, 


Die positive Richtung des Drehimgsvektors ist dadurch festgelegt, daß 
ein derselben entgegenschauender Beobachter die Rotation um die Achse 
entgegen dem Uhrzeigersinne wahrninimt. 

Es muß besonders betont werden, daß der Drehungsvektor It 
zwar an jedem beliebigen Punkte der Rotationsachse an- 
gebracht werden kann, d. h. daß er sich im starren Körper 
hi-ngs seiner eigenen Richtung beliebig verschieben läßt, 
aber er darf keineswegs an einem Punkte außerhalb der 
Rotationsachse angebracht werden. Dies folgt daraus, daß Rota- 
iioneu um parallele Achsen völlig andere Bewegungen des Körpers 
^lai stellen. Während also der Vektor der Translation an jedem be- 
lic'bigen Körperpunkte angebracht werden darf, darf der Rotations-^ 
Vektor nur in den Punkten der Rotationsachse selbst angebracht werden; 

nennt daher den Rotationsvektor, da er sich nur in seinbr eigenen 
Richtung verschieben läßt, im Gegensatz zu dem „freien“ TranslaUona«* 
Rektor einen „linienflüchtigen“ Vektor. 

Der Endpunkt des , Drehungsvektors, der nach der obigen^ Vot- 
^chrift konstruiert istt, Mßt der ,J)rehpol“. Während der 

nach den fr^e^^n Auseinandersetzungen die RotatfonsaoWie ä 



312 


MeeMjiik ^i^oxter Körj)er. 

allgemeinen weder im ^ Eauml^och hn Körper fest, sondern beschreibt 
in beiden einen Kegelmantel. Der Drehpol bescWibt« dabei je eine 
auf den Kegeln liegende Kurve, eine im Baume feste, eine im Körper 
feste. Die letztere heißt „Polhodiokurve“, d. h. „Weg des Drehpoles“, 
die erstere „Herpolhodiekuive“, d. h. „Weg, auf dem der Drehpol ent- 
lang kriecht“. Beide Ausdrücke sind nach unseren früheren Darlegungen 
leicht verständlich; zugleich erkennt man den Grimd, weshalb die die 
beiden Kurven enthaltenden Kegel als Polhodiekegel und Herpolhodie- 
kegel bezeichnet werden. 

69. Allgemeinste Verschiebung eines starren Körpers; Theorem von Chasles. 

Nach der Erledigung der Spezialfälle der Translation, der ebenen 
C&d sphärischen Dotation eines starren Köri)ei‘s gehen wir jetzt zur 
allgemeinsten Verschiebung eines starren Körpers über. Dei'selbe hat 
ß Freiheitsgrade ; er ist also festgelegt durch die Angabe von dreien seiner 
Punkte, deren Anfangslage wir deren Endlage nach einer 

endlichen Verschiebung wir A\ C nemien wollen. 



Fig. 91. 


Dann läßt sich zunächst zeigen, daß durch eine geeignete 
Translation und darauffolgende Rotation um eine bestimmte 
Achse der Körper aus der Anfangslage (^BC) in die beliebig 
vlorgeschriebene Endlage {A'B'C) gebracht werden kann. Denn 
man kann zunächst den starren Körper durch eine Translation so vei- 
achi^n, daß A auf A* fällt (Fig, 91); dann fällt B auf C auf C". 
Denken wir nun durch A' senkrecht auf der Ebene von A'B' und A'B ' 
eine Gerade gezogen, so kann durch eine Rotation um diese durch dt n 

Winkel (B^'A'B') erreicht werden, daß B'' auf B' fällt, während C' 
etwa nach C'" gelangen möge. Dreht man jetzt den Körper xm A'B' 
Achse durch den Winkel zwischen den Ebenen A'WC md A'B'G' , 
so muß C'" auf fallen, womit der starre Körper in seiner vorgesckn^o<^'*i 
Ändlage angelangt ist. Die beiden Rotaticmoi^r.di®^ 



Kinematik starrer 


313 


, waren, geschehen um im Pimkte A* sich sclmeidende Achsen, können also 
nach dem in» -der vorhergehenden Ndmmer ausgesprochenen Theorem 
Von Hamilton zu einer einzigen um eine gleichfalls durch A' gehende 
Achse erfolgenden Eotation zusammengesetzt werden. Damit ist in 
der Tat bewiesen, daß ein starrer Körper aus seiner ge- 
ge^benen Anfangslage in eine * beliebige Endlage durch die 
Kombination einer Translation und einer Rotation über- 
geführt werden kann. 

Es läßt sich aber noch weiter zeigen, daß die Translation und 
die Rotation so gewählt werden können, daß die Trans- 
lation in der RJchtung der Rotationsachse geschieht; eine 



solche Kombination von Translation und Rotation nennt man eine 
„Schraubenbewegung'* oder eine „Bewegungsschraube". In 
dieser Ausdrucksweise sagt der jetzt zu beweisende Satz: Die all- 
gemeinste Verschiebung eines starren Körpers ist äquivalent 
einer Schraubenbewegung; dieses Theorem verdankt man Chas- 
les, und es ist nach ihm auch benannt. Der Beweis gestaltet sich fol- 
gendermaßen: Es ist oben bereits gezeigt worden, daß eine Translation 
und eine Rotation äquivalent der allgemeinsten Bewegung eines starren 
Körpers sind. Wir betrachten einen Punkt eines starren Körpers, dessen 
Anfangslage A sei; durch die Translation werde er nach A* gebracht; 
durch A* geht dann, wie im Vorhergehenden auseinandergesetzt, die 
Achse der Rotation, die notwendig ist, um den Körper in die ‘ vor* 
geschriebene Endlage zu bringen (Fig. 92). Wir ziehen nun durch A 
eine Parallele zur Rotationsachse und fällen von A' das Lot auf die 
^^stere, das sie im Punkte K treffen möge. , Nun ist es selbstv^tänd,*, 
uch möglich, die Translation des Körpers, durch die A nach A* gelmagt. 





314 Meo^ik aiarret Körper. 

rJl^?.JJ^::■■- jj jr.-:;:j^rs.'V".v^ja&;3 . ua.- ■ .. i ii|*n .--.■.A--r~r— 

in zwei Schritten zu vollziehfen, nämlich durch eine erste Translation 
nach K, und durch eine zweite/senkrecht dazu erfolgende, K nach A' 




zu schaffen. Diese letzter^ aber kann^ zosamm^ mit d^r Botation, 
die ja mn eine durch A' gehende Aehee erlolgl^^ eine Botati^ 



* Kinematik starrer körper. 315 

um eine parallele Achse ^^setzt werden. ;Denn nach einem in Nr. 66 
bewiesenen Sörtze ist eine Eotation um eine Achse zusammen nSt einer 
Translation in einer zur Achse senkrechten Ebene äquivalent einer 
ßotation um eine parallele Achse. Damit ist der Chaslessche Satz 
bewiesen. 

Gehen wir nun zu einer unendüch kleinen Verschiebung über, so 
können wir statt „äquivalent“ wieder „gleich“ sagen, und wir erhalten 
den Satz: 

„Die allgemeinste unendlich kleine Verschiebung eines 
starren Körpers ist eine unendlich kleine Schraubenbewe- 
gung.“ 

Betrachten wir jetzt eine Eeihe aufeinanderfolgender unendlich 
kleiner Verrückungen eines freien starren Körpers, so können wir in jedem 
Moment im Baume und im I^örper eine Sichtung angeben, um die die 
momentane» Botation und parallel der die momentane Translation statt- 
findet. Dieses Verfahren ist ganz analog dem früheren, wemn ein Punkt 
des stamm Körpers fest war, nur daß die Schar der hier erhaltenen 
Geraden natürlich nicht mehr durch einen Punkt geht; sie sind viel- 
mehr sowohl iin Baume als im Körper windschief zueinander. Man 
eihält daher als Gesamtheit der aufeinanderfolgenden Achsen keine 
Kegelflächen mehr, sondern allgemeinere, die aber ebenfalls durch ge- 
rade Linien gebildet werden und die „Segelflächen“ heißen. Die 
feste und die bewegliche Begelfläche berühren sich in jedem Augenblicke 
längs einer Geraden, die gleichzeitig Eotationsachse und Dichtung des 
Translations Vektors ist: die Flächen rollen also nicht nur auf- 
einander, sondern sie gleiten auch längs der Berührungs- 
geraden aneinander. Diese kombinierte Bewegung nennt man: 
„aufeinander schroten“. Wir haben also den Satz, der eine Ver- 
allgemeinerung der Poinsot. sehen Darstellung für die sphärische R'- 
wegung ist, „daß die allgemeinste Bewegung eines starren Kör- 
pers dadurch hervorgebracht werden kann, daß eine im 
Körper feste Segelfläche auf einer im Saume festen Regel* 
fläche schrotet,“ In Fig, 93 sind zwei solcher Segelflächen in ihrer 
gegenseitigen Lage gezeichnet; sie entsprechen den Figg. 83 und 84 für 
die. sphärische Bewegung, 


70. Analytiiohe DanMlung der ebenen Bewegung eines starren Körffbrs. 

Wir wollen nun die geometrischen Betrachtungen der V^rher-^ 
g*‘heiHlen Nummern durch die notwendigen analytischen Ergänzunge|i'| 
Vervollständigen, und zwar betrachten wir zunächst der Einfa(ä^eit 
halber die ebene Bewegung eines starren Körpers. Bei ^dieser bewÄt 
Sch^ ptttitUeler Körperebenen sich in sich selbst; wir ha^bn 
^^«r notwbndi|, einb dieser Ebenen zu betrachten, von der wir 



316 ' Mecfumik starrer Körpef\ 

- V- , ^ 

wollen, daß sie mit der im Baum festen a; «/-Ebene Zusammenfalle.^ 
Im Körper befestigen wir, gleichfalls in dieser Ebene, ein Koordinaten- 
.fSystem (f , rj), das sich mit dem Körper bewegt. Dann ist die Lage des 
starren Körpers im Baume offenbar völlig bestimmt, wenn die Lage 
des beweglichen (f ,«/)- Systems gegen das feste (x, «/)- System bekannt 
ist (Fig. 94). Dazu gehören drei Daten, nämlich die zwei Koordinaten 
(^ 0 » ^o) Anfangspimktes 0' des beweglichen Systems im festen Sj^stem, 
und die Bichtmig der Achse, also z. B. der Winkel q\ den die posi- 



j^^tive f-Bichtung mit der positiven x-Bichtung bildet. Denn vermittels 
^ dieser drei Stücke lassen sich x und y durch f und rj ausd rücken, und 
zwar durch die bekannten Transfonnationsformehr. 

I x-^Xo + lcos^-T/sin^j, 

\ y^yo+^i^’in(p + rjco&(p. 


Dabei sind (|,«/) resp. (x, y) die Koordinaten eines beliebigen Punktes P 
des starren Körpers im beweglichen fesp. festen Koordinatensystem. 

Wir wollen nun dem Körper eine unendlich kleine Verrückung er- 
teilen, deren Komponenten im festen System wir durch dx, dy be- 
zeichnen wollen; im beweglichen System bleiben natürlich f und tj fest, 
da ja das bewegliche System sich mit dem Körper verschiebt : können 
sich nur Xq, tp ändern. Wir erhalten also aus (12): 



dx=ix^— $ »in (pd(p—ti cos (p dtp — {y—yo) i <p > 

Sy== dyo+S(^<p 


es ergibt sich aus (13), daß man die Verschiebung dx, Ai/ aus zweien 
zusammensetzen kann, nämlich: 


(1^ 


I dxi^dxg; dyi = 6y^i' 

\ dxt==-{y-y^)d^; i y, = + (*-«,) Ä , 


so daß in der Tat dxi + dx^==dt; ist*;, Dell JCfcsjrak^^^ 

diie^ ))eiden Teilverschiebangen werden wir je " “ ‘ “ 



317 


' ■# 

Kinematik starrer Körper, 

' Zunächst: Die .Verschiebung ^2/i = <5j/o stellt eine für 

den ganzen Körper gemeinschaftliche Veränderung der Koordinaten 
dar; alle Punkte verschieben sich um parallele gleich große Strecken 
von der Länge Diese erste Verschiebung ist also eine 

reine Translation des betrachteten Körpers. Der Charakter der 
zweiten Verschiebung ergibt sich folgendermaßen: Die Koordinaten des 
betrachteten Punktes vor der Verschiebung sind x, nach der Ver- 
schiebung x-{-dx 2 , y + Wir wollen ihre Abstände von dem Ko- 
ordinatenanfaiigs punkte 0' mit den Koordinaten (.r-p, y^j feststellen. 
Wir haben die folgenden Werte für die Quadrate diesi^r Ahständ<^: 

(a;~a^)* + (j/-2/o)S 
und 

(x-xo+dx^y^ + (y-yo+öii,)- . 

Der letztere Ausdruck ergibt ausgerechnet: 

(a--a:o)* + {y-yoV + 2{x-Xo}öx^ - •2{y-y^)byz , 

wenn die Quadrate i j/ 2 ^, als von höhertu* Ordnung unendlich klein, 
vernachlässigt werden. Setzt man aus (14) für 6 x 2 und 6 y 2 die Werte 
in die letzte Gleichung ein, so erhält man fin das Quadrat des Abstandes 
nach der Verschiebung: 

{x-XqY -f iy-iJof - 'Mx-Xo) (y-!lo)b<i -r '^{x-x^) {y-yo)bq} 

= (x-Xo)^ + (y-yo^ f 

d. h. die Entfernung vom Kuordinatenanfangspimkte 0' ändert sich 
durch die betrachtete VeiTÜckung (bis auf Größen höherer Ordnung) 
nicht: der Punkt hat sich also auf einem Kreise um 0' bewegt. Die 
hier betrachtete Verrückung ist also eine unendlich kleine Dotation 
durch den Winkel d<p, und zwar um den Punkt {Xq, y^ als Dotations- 
Zentrum, oder, wenn wir den gesamten Körper, nicht nur die x ^-Ebene, 
betrachten, so ist die Verschiebung eine unendlich kleine Dotation .um 
eine durch (x^, y^) gehende, parallel der -s^-Dichtung weisende Achse 
diuch den Winkel d(p. 

Wir erhalten also das Kesultat: Eine beliebige, unendlich 
kleine ebene Verschiebung eines starren Körpers kann aus 
einer unendlich kleinen Translation und einer unendlich 
kleinen Rotation um eine senkrecht zu der Ebene stehende 
Achse zusammengesetzt werden. 

Es ist zu beachten, daß der Punkt 0\ in dem wir das (^, ly)- System 
v<‘rankert haben, ein ganz beliebiger ist; d yp kömien wir, da sie 
dem ganzen Körper gemeinsam sind, auch als die Translationskompo- 
lienten des Punkte? 0 ' bezeichnen; um 0 * erfolgt auch die ebene Rotation. 
! daher 0' den Bezugspunkt, — dessen Wahl, wie betont^ will- 

'^urlich^j ist ~ und kann dan obrnnn Satz auch so aussnrechen: Rina 




818 Mechanik sianer Körper. 

beliebige ebene unendlich kleine Verschiebjjing eines starren* 
Kötpers kann dadurch hervorgebracht wCrden, daß ein be- 
liebig vorgegebener Punkt eine unendlich kleine Trans- 
lation erfährt, und dann um denselben ,als Zentrum eine 
unendlich kleine ebene Eotation stattfindet. 

Die nächste Frage ist nun die, wie die Translation und die Eotation 
von der Wahl der Bezugspimktes abhängen. Wählen wir als Bezugspunkt 
einen Punkt 0'* mit den Koordinaten (Zq, Yq), fixieren in ihm also das 
(^» ^?)-System, so daß der Winkel zwischen der neuen f-x\chse imd der 
a:- Achse jetzt ip ist; dann haben wir in den Gleichungen (12) statt (xQ^y^ 
die Koordinaten (Zq, Yq), statt q? den Winkel yf einzusetzen mid vr- 
halten also: 


(15) 


{ X — Zq -f f cos ^ — /y sin , 
Yq + f sin -h 7] cos y ) ; 


und wenn wir unserem Piuikte P {x, y) die nämliche Verschiebung öXy 
wie vorhin erteilen, folgt ebenso wie in Gleichung (13): 

,jgx I dXo-(i/-yo)(5,v'; 

i ö y—d Y, 4 - (x— A'o) d y > . 

Es müssen also die Relationen bestehen: 



^ Xo - (tj-Yo) ö f = ö Xo - iy-y^) d <p ; 
d ro+ (x-Xo) df = d yo + (x-Xo) 6<p . 


" Diese Gleichungen gelten für alle Werte von x und y; sie können also 
nur bestehen, wemi die Koeffizienten jeder Potenz von x und y einzeln 
gleich Null werden. Also folgt aus (17): 


(18) I dY^ — Xgdy>~dyo—Xod<p; 

I dtp — btp; 


und gemäß der letzten dieser Gleichungen lassen sich die beiden ersten 
schreiben: 


I dXo+ (j/o- Yo) dy; 


‘ D. h. die Translationskoiuponenten dZ0, d Yq sind verschieden von den 
idten dsg, öy^, aber der Botationswinkel btp ist derselbe geblieben. Also: 
Bei Veränderung des Bezugspunktes verändert , sich, die 
Translation, der Botationswinkel aber bleibt erhalten. 

Dieses Besultat legt die Frage nahe, ob nicht durch geeignete Wahl 
des Bezugspunktes die Translation ganz zum Vet8chwi|iden gebracht 
jrerdeh’ könne. Aus den geometrischen Betrachtungoa der Nr.’ 66 wissen 
wjr, djSß dies in der tat der^all sein muß, da., eine, hl li«h%,e, «bene 
fi|lregting einer Botation. 'Äquivalent ist, l^mait^'w^en «n 



4 


Kinematik starrer Körper, 319 

bestimmenden Bezugspunkt, der dieses leistet, x, y, so muß 

sein. Aus Gleichung '(19) ergibt sich, indem man Zq, Yq, öXq, öY^ 

durch y, 0, 0 ersetzt: 

0 = + (»0 -^^ 9 ’» 


woraus sich für den ausgezeichn(?ten Bezugspunkt (i,y), der also 
offenbar mit dem Momentanzentrum identisch ist, ergibt: 



I j”9.+.4?- 


Biese Gleichungen drücken die Koordinaten des Momentanzentrunis 
der ebenen Bewegung aus durch die Koordinaten {Xq, des beliebigen 
Anfangspunktes des (f , ?;)-Systems, die Verschiebung öXq, dy^ desselben 
und den unendlich kleinen Eotationswinkel d(p. Betont sei besonders, 
daß (20) die Koordinaten des Momentanzentrums im Baume angibt, 
nicht im Körper. Den Ort des Momentanzentrums im Körper werden 
wir später bestimmen, wenn wir den Gleichungen (20) eine geeignetere 
Form gegeben haben. Jedenfalls haben wir jetzt auch analytisch den 
Satz bewiesen, daß jede unendlich kleine ebene Bewegung des 
starren Körpers eino unendlich kleine Kotation um eine 
Achse ist. 


Und wenn dieser Satz mit dem anderen in dieser Nummer be- 
wiesenen kombiniert wird, daß jede unendlich kleine ebene Bewegung 
durch eine geeignete Translation und eine Rotation hervorgebracht 
werden kann, so folgt auch der Satz, „daß zwei gleich große ent- 
gegengesetzt gerichtete unendlich kleine Rotationen um 
parallele Achsen eine unendlich kleine Translation in der 
zu den Achsen senkrechten Ebene sind“, alles Aussagen» die wir 
Hclion aus der Nr. 66 kennen, und die hier analytisch bewiesen sind. 

Wir wollen uns nun die Verschiebung d x, dy eines beliebigen 
Fimktes P des starren Körpers in der Zeit d t vor sich gehend denken. 
Die Gleichungen (13) sowie alle folgenden bleiben natürhch auch nach 
Division mit d t richtig; gehen wir nun zur Grenze d <=0 über, so gehen 


d X $y 

ÖT* IT' 


^»0 

öi 


, 4?- resp. über in 


’ it 


dx 

it 


dt' dt ’ ’dT’ 


dtp 

T% 


^ir haben also folgende Gleichungen, diej(13) entsprechen: 


dx 




dtp 


Meehanik starrer Körper. 


S20 




4f” Gesohwindigkeitskomponenten emes beliebigen Punktes 

des starren Körpers; “ diejenigen des willkürlich vorgesohriebenen 
Bezugspunktes; ~- = o> ist die Winkelgeschwindigkeit der um den 

Bezugspunkt erfolgenden ebenen Eotation. Die Gleichungen (21), die 
von Euler herrühren, gestatten also, die Geschwindigkeit eines be- 
liebigen Körperpunktes auszudrücken durch die Geschwindigkeit eines 
willkürlich gegebenen und die — von der Wahl des Bezugspunktes un- 
abhängige — Winkelgeschwindigkeit. 

Insbesondere ergibt sich für die Koordinaten (i,y) des Momentaii- 
zentrums aus (20): 


( 22 ) 



1 

1 

dy« 

dt 


(1) 

dt 

dxQ 

1 

1 

dx^ 

dt 

jdig>\ -^0 + 

(Ü 

dt 


Das Momentanzentrum ist also bestimmt durch die Koordinaten ^/q) 
eines willkürlich vorgeschriebenen Bezugspunktes, die Geschwindigkeit 


(^“1 desselben und die Winkelgeschwindigkeit co. 

Im allgemeinen sind natürlich Xq, y^, , w Funktionen dii 

Zeit, da der Körper sich in einer beliebigen ebenen Bewegung befindet ; 
also stellen die Gleichungen 


(23) 


I 4 


die Parameterdarstellung derjenigen ebenen Kurve dar, die 
das Momentanzentrum im Laufe der Zeit im Raume be- 
schreibt; (22) ist mit anderen Worten die^ Gleichung dti 
' Baumzentrode. 

Um nun die Gleichung der Körperzentrode zu erhalten, haben vn 
v^nur mittels der allgemeinen Transformationsformeln (12) auf das 
ordinatensystem (f,i;) überzugehen; nennen wir die x^y entsprechendt n 
Werte i,fl, so folgt aus (12) und (22): 

I COS9? — ^ sin aas — , 

(0 dt 

I sin (p + i]cosf , 


foi^ch ergibt sieb för | and 




B21 


Kinematik starrer Körper, 

die beide zusammen die Gleichung der Körperzentrode^4*^r; 
stellen. Aus der geometrischen Darstellung wissen wir bereits, daß die 
letztere auf der Eaumzentrode abrollt. 

Wir wollen dies an einem ganz einfachen Beispiele illustrieren. 
Ein Stab von der Länge l sei gezwungen, mit je einem Ende auf der 
X- resp. t/- Achse zu gleiten; es wird nach der Lage und der Art der 
beiden Zentroden gefragt (Fig. 95). Wir nehmen den Punkt 0', in dem 
das eine Stabende die rc-Achse berührt, als Anfangspunkt für ein mit 
dem Stabe verbundenes (f , ^)-SysteDi, und zwar werde die Achse 
längs des Stabes gereclinet, positiv von 0' nach A gerichtet. Senkrecht 


y 



dazu in & ist die f-Achse gezogen. Der Winkel ,(f, ac) sei wieder ep. 
Auch der Winkel (ÖAO') ist gleich (p; nennen wir noch 00' = so kt 
also: 


cos q? « y yi* - 0 ^* ; sin 9 * x i 
mithin ist die Winkelgeschwindigkeit 

d<p 


ro’ 


dXf, 

dt 


dt 


2/o, die ^-Koordinate des Bezugspunktes, ist gleich Null; also lietem 
die Gleichungen (22) für das Momentanzentrum: ^ 

(25) l 



322 


I 


Mtehanik starrer Körper, 


Daß |Iomentanzentruäi ist also der Schnittpunkt P de^ durch 0' gehenden 
Vertikalen und der durch A gehenden Horizontalen. Durch Elimination 
von Xq folgt als Bahngleichung der Eaumzentrode aus (25): 

•{26) + 

das ist also ein Kreis mit dem Eadius l um den Koordinatenanfangs- 
punkt 0 des festen Systems; er ist in Figur (95) ausgezogen. 

Anderseits folgt die Gleichung der Körperzentrode aus (24), in 
dem die oben angegebenen Werte von cos (p, üu (p, io, eingesetzt 
werden. So ergibt sich: 

I 

(27) 


P-X,* 


Eliminiert man daraus den Parameter so erhält man als Gleichung 
der Körperzentrode: 

oder in bequemerer Schreibweise: 

m 4)’ -(l)’’ 

woraus hervorgeht, daß auch die Körperzentrocie ein Kreis, und zwar 
mit dem Eadius um die Mitte des Stabes AO' als Zentrum ist, der 
in Kg. 95 gestrichelt eingetragen ist. Gemäß den Bedingungen dei’ 
Aufgabe kommt als Eaumzentrode nur der im ersten Quadranten liegende, 
in Rg. 95 ausgözogene Viertelkreis, als Köri)erzentrode der in d< i 
Figur gestrichelte Halbkreis in Frage. Diese beiden Kurvenstücke 
«ind nun, was für das Eollen ohne Gleiten Vorbedingung ist, gleich 
l^g, und man erkennt durch den Augenschein, daß durch das Ab- 
rollen des gestrichelten Halbkreises auf dem ausgezogenen Viertt l- 
loCeise tatsächlich die vorgeschriebene Bewegung des starren Körpers 
d^estellt wird; der jeweilige Berührungspunkt P ist das Moment aii- 
i^ntrum. 


Analytifche DanteUung der aligemeinifen Bewegung einei starren Körpers. 

Führt der starre Körper nicht, wie bisher, eine ebene Bewegunu^ 
aus, so muß die Betrachtung auf den Kaum ausgedehut werden. Auß< r 
dem festen Koordinatensystem (x,yfZ) nehmen wir im Körper ein in 
ihm verankertes System (f,»/,f) an. Sein willkürlich wählbarer Anfangs- 
punkt-'O" habe die Koordinaten (a?©» Betrachten wir nun einm 

|)eliebigen Körperpunkt P, der im Körper die Koordinaten 
im Baume (a;,y,js) hat, so bestehen die bekajiigiten 



323 


Kinematik awrrer Körper. 

X - = «1 1 + «2 + 03 C , 

2/ — 2/o = A + ^2 ^ + /^3 C » 

Die Lage des Körpers ist vollkommen bestimmt, wenn die Lage des * 
Koordinatenanfangspiinktes des beweglichen Systems sowie die Bich- 
tung seiner Achsen bekannt ist. Diese Richtungen sind in (29) durch 
die 9 Richtungskosinusse ... 5/3 ausgedrückt, zwischen denen aber 
bekanntlich 6 Relationen, die wir später notienm werden, bestehen; 
also sind in toto t> Daten erforderlich, um die Lage des starren Körpers 



y 



im Raume zu fixieren, entsprechend seinen 6 Freiheitsgraden. Die 
Transfornmtionsgleichungen beziehen sich auf den in Pig. 96 dar- 
gestellten Fall, 

Es ist offenbar das Quadrat des Abstandes des betrachteten Punktes P 
s on 0' gänzlich unabhängig davon, welches Koordinatensystem zugrunde 
gelegt wird; es ist also; 

(30) I* + + {z-z^Y ; 

l^<‘ide Seiten dieser Gleichung sind positive quadratische Formen von 
Variabein, die durch die Substitutionsgleichungen (29) ineinander über- 
giführt werden. Die Diskriminante beider quadratischer Formen ist 
gleich der Einheit. Wir betrachten (a;— a*^)* + (?/ — ^ 
<lie ursprüngliche, durch (29) in + transformierte quadratische 

l'orni. Nach einem bekannten, schon früher (auf pag. 261) benutzten 
^atze ist nun die Diskriminante der transformierten quadratischen Form 

Produkt aus der Diskriminante der ursprüng- 
heben quadr|itischen Form und dem Quadrate der Substitutionsdetermi^ 
^^nte. jD^rem Falle ist also, zufolge dieses Satzes; - 

21» 



324 

Mechanik starrer Körper, 



Ol «2 «3 


(31) 

/!* = 

ßl Ä ßs 

= 1, 

, also; 


yi ys rz 




J = ± 1 . 



Unser System ist so gewählt, daß, wemi die positiven 

und i?-Eichtungen resp. mit den positiven x- resp. 2/-Kichtungen parallel 
werden, daim auch die positive C-Eichtung der positiven ;^-Eichtung 
parallel wird. In diesem Spezialfalle haben die Eichtungskosinusse 


folgende Werte: 

01=1; 

02=0; 

^ 

«3=0: 


A=0; 

ft=i; 

O 

11 


yi=0; 

y2 = 0; 

y3=U 


.woraus folgt, daß bei uns sein muß: 

(32) J =+ 1 . 

Wir wollen jetzt die 6 Eelationen bilden, die zwischen den 9 Rich- 
tungskosinussen Ol ... 73 bestehen. Zu diesem Zwecke tragen wir auf 
der rechten Seite von (80) die WVrte yon x—Xq, y — aus (29) 

ein. Dann folgt: 

+ 2f (oiO* + ßJi + + y^y^) 

+2i:H<h<^x+ß3ßt+y,yi) , 


^ und daraus sofort 'weiter: 

I 1; + ßißz + yiyt-0; 

(W) I Oj* + ß^ + y** = 1 ; ®3 *f" A ■i' y* ya ~ ® • 

I V + ^3® + ya® = U «3 «1 -r ^3 ft + ys yi ” 0 . 

JMes sind die ge'wüuschten Belationen, die mau aber noch in ändert')' 
Fonn aosdrücken kann. Wegen der Bedeutung der o, • . • y, als Kich- 
^ctnngakosinusse kann man nun die Gleichungen (29) in folgender Form 
nach S,Ti, C auflösen: 


I S = ai(x-Xo) + ßi(y-y^) + yi(z-z^) , 

(84) I ij-Oi (x-Xt) + ft (y-J/o) + y» (^-^o) > 

I f?=a 3 (®-ai,) + ft(i/-yo) + y 3 {«— ft). 

und indem man diese Werte in die Unke Seite von (80) einträgt, folp'« 
, ganz analog wie vorhin die 6 Beziehungen: 


■ f ai*+v+V=i; 
.ft*-Fft*+ft*=l; 
hyi*+y,*+}»,*^l; 


«1 A + «I ft <ft Äi ~ 0: 

A yt + ft y* + ft y, « 0 ; 

• yy «I + ysft ?/ 



Kinematik starrer Körper. 


325 


diese stimmen inhaltlich mit den 6 Gleichungen (88) überein, aber ihre 
Form ist anders. Wir benutzen beide nebeneinander, je nach ihrer größeren 
Bequemlichkeit. 

Lösen wir endlich das Gleichungssystem (29) nach durch 

die gewöhnlichen Methoden auf, ohne davon Gebrauch zu machen, daß 
die Ol ... ^3 Eichtungskosinusse sind, so folgt: 


(36) 


X,) + {y- y^) hl»- 

n^{x- Xo) + {y- j/o) + [z- z ,) ^ 


«8 fe - «8 ßi 
A 


A 

? =« + iy - 


Da J = 1 ist, erhält man durch Vergleich von (84) und (30) noch die 
]]eziehungen: 

j öl — ^2 /'s ßs 72 9 ^1 = 72 }'3 1 7l~ ^ ß2 ’> 

(■^1) ^.<h==ßiYi-ßi7z> ß%= Yi<h> n=^<hßi-Oißi> 

\ 03 — ßiYz — ßiVi'i ßz— Yi^z~Yz^i> Yz — ^ißi~^ßi' 

Wir wollen nun dem starren Körper eine unendlich kleine Verschiebung 
crtoilen, so daß der Punkt P vom Eaumpunkte {x,y,z) an den Baum- 
punkt (a: + da:, y + dy.z + Öz) rückt; f , t/, C bleiben dabei natürlich un- 
veriiiidert, da das (^, ry, C)- System sich mit dem Körper mitbewegt. 
Nach (29) erhalten wir also: 

j <5 X d 0*0 + f <5 öl + ?; d Ug + f d 03, 

m dy=:^dy, + (dß, + t^dß^ + Cdß^, 

\ d z = d Zq + ^ d Yi + t] d Y^ + C d y^. 

In diesen Gleichungen wollen wir fjf f nach (34) durch x, z aus- 
diück«*n. Das liefert z, B. für dx: 

dx = dXy + dai[ai(x-Xo) + ßiiV-Vo) + 3'i(2-«o)] 

+ ÖOs[a,(x-Xo) + ßtiy-Vo) + y»(2-*o)] 

+ doj [<i3(*-a^) + ßi{y-yo) + 5's(‘’~2o)] . 

Oller anders geordnet: 

ix = dxo + (x— Xo)[aidai + a,da, + ajda,] 

+ (y- 

+ («-2o) + Yt^^ + ys^ö»] • 

l>>irch Variation det ersten Qieichung (36) folgt aber sofort, daS’der,^ 
<iktor von (x^-Xo) ^ch Null ist; also fol^ einfacher für dx, wie auch 
oy und dt: 



826 


Meohanik starrer Kötjier, 


öx^if3^ + {y-yo)[ßiöai + ßtdat + ß3dat] 

+ (2-2o) . 

6y = 6j/o + («— iCo)[ai^/?i + a,6/5j +asd/?3] 

+ (^~*o) \yi^ßi + 7i^ßt + ya^ßa] > 
dz = ^^o + (a — ®o) [«i^n + <h^ya + fh^Ya\ 

+ {y-y^[ßihi + ßaha + ßa^Ya] • 

Die Klammerausdriicke, die als Faktoren von x — Xq, y—y^, 2—^0 ^lUf- 
treten, stehen miteinander ebenfalls in Beziehungen durch die Glei- 
chungen (35); z. B. ergibt die vierte dieser Gleichungen durch Variation: 

usw., so daß die 6 Klammerfaktoren sich auf 3 reduzieren, für die wir 
. die folgenden Abkürzungen einführen, deren physikalische Bedeutung 
sofort klar werden mrd: 

J ßi^Yi+ ßa^Y 2 + ßa^Ya — f 

(89) I yidai-byjdaj-f ysda3=dg, 

I aidßi + a^dß^ + a^dß^^ dr . 

Damit werden die obigen Gleichungen: 

1 dx=dxa+ 0 -{y-yo)dr+(z-z^)dq, 

dy=dy^+{x-Xg)dr-i 0 -(z-z^)d'p, 

dz = dZo-ix-Xt)dq+{y-yn)dp+ 0 

Wir können nach (40) die Verschiebung dx, dy, dz wieder als SuinniH 
zweier Verrückungen dx' + dx^', dy'+dy”, dz' + dz” auffassen, der- 
artig, daß wir setzen: 

(418) dx'=^dx^; dy\=dy^-, d/ = d2o>’ 

I dx’' = -{y-y^)dr-\^{z-z^)dq-, 

(41 b) I dy"= (a:-X3)^r-(^-^o)dp; 

I dz" =--{x-x^dq-\-(y-y^d‘p. 

Die erste Verrückung mit den Komponenten dx\ dy', dz' ist otfenbai 
allen Punkten des Körpers gemeinsam, da die Koordinaten aller Punkt' 
eine gleich große Änderung erfahren: wir haben es mit einer un- 
endlich kleinen Translation des starren Körpers zu tun. 

üm den zweiten Teil der Verschiebnng zu charakterisieren, fiüS*'" 
wir zunächst, ob es Punkte des Körpers gibt, die ihre Lage 
•flÄhrend der Verschiebung unverändert beibeludten. Pär diese spezi*' 
Puifkte muß d*"=dp"s»d2"=0 sein, also nach ded Öleiohungen (41'')^ 
wenn man die Koordinaten dieser ausg^icbnet^ * 

andeutet: ■' 



Kinfimatik starrer Körper» 327 

iy-yo)Sr= (i~-Zo)dq, 

{x-Xo)6r= (z~Zo)h> 

{x-Xo)öq = i^-y^dp, 
oder in anderer Schreibweise: 

( 42 ) öpidqiSr^ : {y~y ^) : {z^z ^) . 

])as ist aber die Gleichung einer Geraden durch den Punkt (a:o, t/o» '2’o)f 
deren Eichtungskosinusse proportional dp, 6q, ör sind. Eine derartig 
l)eschaffene unendhch kleine Verrückung, bei der alle Punkte einer 
Geraden ihre Lage bei behalten, ist eine unendlich kleine Eotation um 
diese Gerade als Achse. Alle Punkte bewegen sich also auf zur Achse 
konzentrischen Kreisen in zur Achse senkrechten Ebene. Wie groß ist 
der unendlich kleine Lrehungswinkel ? Um diesen festzustellen, rechnen 
wir den Betrag ds" der Verschiebung d5" mit den Komponenten drr", 
öi/\ dz" aus. Wir erhalten für das Quadrat derselben offenbar; 

== (j/ -- i/o)MrH ~ 

f (x -- Xo)2dg2 + (1/ - J/o)^dp2 

- ^y-Vo) (z-ZQ)öq6r-2(x-Xo) 

-2(x-Xo) 

Diesem Ausdruck kann man eine übersichtlichere Form geben, wenn 
man die drei Terme {x — x^y^dp^y (z — Zf^j^dr^ addiert und 

wieder subtrahiert. Man erhält dann durch geeignete Zusammenfassung:. 

d5''2===[(x-~Xo)H(j/-2/o)2 + (^~^o)^] [dp^ + dq^ + dr^] 

-1 (^' - ^o ) + {y- !/o) + (2 “ 2 o) dg]* , 

und dabei ist + y(x—Jo)^ + ([/"“■ + offenbar der Abstand R 

des betrachteten Punktes {x,y,z) von dem Bezugspunkte (Xo,t/o>^o)5 
vektoriell gesprochen können wir sagen, daß 91 der Lagenvektor des 
Punktes {XyXf.z) in bezug auf (Xo,!/o»^o) wir noch 

-f |/dp*+ dg*+ d;2*« d93, so kann die letzte Gleichung geschrieben 
werden: 

R^Sw^ [— 1 

^ I yc* - + (Jf - yo) + (« - h)* • ydp* + + d f» J 

^un sind offenbar 

y - yoi g- gg 

^ (i- yoF+'C« - *b? 

Bichtungskosintisse des Lagenvektors Ä des betrachteten Pnnfeea, 

Werseits . ' . 


dp, dg , ör 

yfW^ d?Ti 





Kinematik starrer Körper. 

- (y- 5^0) <5 r' + (ä _ z^) d g'7 


329 


(«) I >y-lY. + (s~X,)ir‘-^(,^Z^i;., 

\ ^»Zo-{x-Xo)dq'+{y-Yo)6p\ 

jStSStS;':;:;»:":; 

Diese können nur bestehen, wenn die zu gleichen Potenzen von x « ’ 
gehongen Faktoren auf beiden Seiten gleich sind; das hefert zui^Ä; 

<5p' = dp; öq'^dq; dr' = dr, 

d. h. der resultierende Drehungswinkel um die durch -0" 
gehende Achse ist gleich (5®'= Vd«'^j„'iX772_A,, a u 


I 


«5:^0 - «5 - {Y,-y^ Ör+{Zo- z,) d q , 

^ yo + (Xo-Xq) d r - (Zo-z„)dp, 
SZa = dz„ 


( 47 ) 

I « uv ' 

{Xq—Xq) öq + (Yq—ij^) ö p . 

Sl.° to neuen Bezug,. 

Lnten .rii« u ““®8‘'druckt durch die Translationskompo- 

GiS d« I^»^‘‘‘‘««gswinkel bestimmenden 

Dunkte« ^n’ ^ni ’ 1™^ Koordinaten des neuen und alten Bezugs- 
r.f fr Iranslation ist also ebenso wie im ebenen Falle sehr 
zu fr^o***** ^0“ der Wahl des Bezugspunktes abhängig. Es liegt nahe, 
TransSn”^ derselbe so gewählt werden kann, daß die Eichtung der 
die RiVJif "'f Kotatioasachse übereinstimmt. Da nach (42) 

hlf t ««»‘‘tionsachse sich wie Sp:dq:ör L 

. muß für einen derartigen Bezugspunkt (S,y,z) gelten: 

j d X : dy : Ä dp : d'g : d'f , 

also nach Gleichung (47): 


( 48 ) 


( - (S - «olöp + (^ - x,)Är 

; dp = - 


US ii»_ 


¥? 

^ ^ + (.V yo) ^ p 

ör ^ 


Bas ‘ . 

Geraden mit den Eichtungs|kosinuB8en 

sämthche Punkte (I, y, S) die geforderte Bige». 
‘ Richtung dfsr Translation parallel der Rotiitions. 



330 


'Meehanik aiamr Körper, ' ' 

achse wird. Gleichung (48) stellt daher «elbst die Gleichung dieser aus- 
gezeichneten Botationsachse, der sogenannten'' „Z6ntralaohs6*^ dar. 
Wir haben damit auch analytisch gezeigt, daß die allgemeinste unendlich 
kleine Bewegung eines starren Körpers eine Schraubenbewegung ist. 
Die Gleichungen (42) stellen die Lage der instantanen Rotationsachse 
im Raume dar. Im Falle, daß der Punkt {Xq, Zq) des starren Körpers 
im Raume fest ist, und wenn wir dp, dq, dr als Funktionen der Zeit 
betrachten, so stellen sie in Parameterdarstellung die Gesamtheit der 
durch den festen Punkt hindurchgehenden Rotationsachsen dar, und 
zwar bezogen auf das feste System, d. h. den HerpolhodiekegeL 
Drückt man in (42) x, y, z durch ?/, C aus, so folgt analog die Glei- 
chung des Polhodiekegels. 

Ganz ebenso ist (48), wenn darin dxo, dy^, öZq, dp, dg, dr, Xq, Po» 
als Funktionen der Zeit gegeben sind, die Gleichung der Regelfläche, 
die durch die Bew’egung der Schraubenachse im Raume er- 
zeugt wird, imd wenn man alles durch ausdrückt, würde sich 

die Gleichung der auf ihr schrotenden Regelfläche ergeben, die 
die Rotationsachsen im Körper erzeugen. So gelangt man ana- 
lytisch zu den geometrischen Resultaten Poinsots. 

Man kann die vorhergehenden Betrachtungen in einer wichtigen 
Weise abändern. Bisher zerlegten wir die allgemeinste Bewegung, indem 
wir einen beliebigen Bezugspunkt wählten, in eine Translation des- 
selben und eine Rotation um eine durch den Bezugspunkt gehende 
Achse. Der Bezugspunkt (xq, y^, Zq) bewegt sich aber i, a. im Raume, 
und es ist manchmal eine andere Zerlegung zweckmäßig. Diese wird 
sofort geliefert durch eine andere Gruppierung der Gleichungen (40). 
Schreiben wir dieselben nämlich: 

1 dx = [dxo-Jryodr-Zodq]-ydr +zdq, 

(49) dy^[dyo-{- Zodp-X 0 dr]-zdp+ xdr, 

’ I dz = [dz^ + x^dq-y^dp]-xdq+ ydp, 

■ 80 ersieht man, daß die in eckigen Klammem stehenden Ausdrücke, da 
sie von x, y, z unabhängig sind, als die Komponenten ÖXq, dy{, fiz^ 
einer dem ganzen Körper gemeinsamen Translation aufgefaßt 
werden können; anderseits stellen die übrigen Glieder, wie man 
durch Vergleich mit den Gleichungen (41b) sofort sieht, die Kompo- 
nenten einer Botation um eine durch den festen Koordinaten- 
snfangspunkt gehende Achse vor. Eine beliebige Bewegung 
kann also aufgefaßt werden als eine Translation, verbunden 
mit einer Botation um eine durch den festet^ Koordinaten- 
anfangspunkt gehende Achse. Diese Zerlegung werden wir für die 
Ableitung der Bewegungsgleichungen eines sta;^ Körpers im folgenden 
Kapitel benutzen. ? 'n 

. Endlich ist noch esne d[)arstellung möglich, <di<e,. die aSlg<$Q^üBte 
Bewegung eines starren JCörpers i§ jß^mg anf :di|^i.^heinf(e^ 



Kin&maiik starrer Körper, ^ 331 

auch diese ist bei Aufstellung der Bewegungsgleichungen 
von großepi Nutzen. Öas ({, f)-System hat zur Zeit t eine bestimmte ; 
Lage; denken wir dem Körper eine unendlich kleine Verschiebung er- ' 
teilt und dabei das (f , f)-System in seiner Lage zur Zeit i festgehalten, i 
so können wir die Verrückung im Raume durch öx, Sy, Sz, wie vor- j 
her, charakterisieren, gleichzeitig aber auch natürlich durch d^,dri, dC, 1 
bezogen auf das im Moment t festgehaltene (f , ^)-System, oder anders ; 

iiusgedrückt : bezogen auf ein festes System, das im Momente t mit dem 
bi^weglichen C)-System zusammenfällt. Der Zusammenhang zwischen 
Ö^jSrj, SC und öx, Sy , öz ist derselbe wie zwischen {x,y,z) und 
in (rleichung (34), wo nur a*o=j/o=^o“^ ^u setzen ist; also 

j d^=^a^dx+ ß^Sy+y^öz, 

(öO) \ ST} = a2Öx+ß2dy+y2dz, 

\ S C = CI 3 S x + ß^S y + y^ö z , 

Für Sx, Sy, dz setzen wir nun die Ausdrücke (38) ein; dann folgt unter 
Bücksicht auf (37) und (33) durch elementare Rechnungen, die den schon 
erli^digten ganz analog sind: 

I C öx ~V f 

(öl) dy=r.di]Q + Sdg 

1 SC^SCo + V^^-^^X^ 

\v(» Ö 7 Iq, S^qI Sn, Sxt So folgende Abküi-zungen sind: 

S fo -- a^SxQ+ßiS ijq -I- riSzQ, 

^ Vo ^ ^2 S Xq-\- ^2 ^ /^2 ^ ^ 0 » 

^ Co ~ ^ ^3 ^ 2/0 ^ ^0 » 

Sn a2Sa2 + ß^S ß2 + yz 6 yz-^ — («2 S 0^ + ß^S ß2 + yzS y^ , 

Sx ^ a^S 02 + ßiS ß 2 + yxS yz'^ - {a^S + ßzS ß^ + y^S y^ 

Sq =^,a2Say^ + ß^S ß^ + y2Sy^-=^-{a^Sa2 + ßiS ß2 + yiS y ^) . 

Aus (hm Gleichungen (51) folgt ganz analog wie aus (40), daß eine be- ? 
liebigf^ Verrückung zusammengesetzt werden kann aus einer Translation ; 

Sy^y dCo) wnd einer Rotation {Sn, Sxt Sg) um eine durch den» 
Koojdinatenanfangspunkt des bewegten Systems gehende Achse. ; 

Wir wollen noch einige Bemerkungen an Gleichung (46), die den 
Rotationswinkel angibt, anknüpfen. Es folgt unmittelbar aus derselben, 
^biß dp, Sq, Sr selbst als spezielle Botationswinkel betrachtet werden 
Idinnc n, und es bleibt nur noch festzustellen, was für Rotationen ihnen 
entsprechen. Setzen wir zu dem Zwecke in den Gleichungen {41b) etvfa 
5(i=ör=:0, so folgt: 

. Sx'*^0, Sf^-{z-z^Sp, Sz”^{y-y^Sf,^ 

das ißt eine IJotation um die a:- Achse, und zwar mit dp als Ro^tions- 
^vinkel Ebeasö e^btilt man aus (^Ib), w|nn Sr^Sp^^ gesetzt werden: 




832 * Meehanik starrer Kötptr. 

dx'' = {z—en)dq; 6y"=Ö; dz" — — (x~Xf,}Sq, 

• " ^ 

was eine Eotation um die j/- Achse durch den Winkel dq darstellt. Ebenso 
stellt für dp^dq=0 die Gleichung (41b) eine Eotation um die ;2- Achse 
durch den Winkel dr vor. 

Wir können also die allgemeine Eotation (dx", Sy", dz''), die in 
(41 b) charakterisiert ist, um eine Achse durch (aro, 2/o» ^o) Eich- 

tungskosinussen - durch den WmkeH9? = )/d‘p^-fd5^+dr^ 

ersetzen durch drei Eotationen um drei zueinander senkrechte, 
durch («0, 1/0, ^'0) gehende, den Koordinatenachsen parallele 
Geraden durch resp. die Winkel Sp, öq^ 6r. Da auch die dem 
starren Körper erteilte Translation nach Gleichung (41a) aus drei zu- 
einander senkrechten öy^, öz^ parallel den Koordinatenrichtungen 
vor sich gehenden Translationen ersetzt werden kann, so haben wir das ' 
iür die Formulierung der Bewegungsgleichungen wichtige Eesultat: 
Jede unendlich kleine Verschiebung eines freien starren 
Körpers kann durch drei Translationen parallel den Ko- 
ordinatenachsen und durch drei Drehungen um Parallelen 
zu den Koordinatenachsen ersetzt werden. 

Man erkennt auch leicht folgendes: Trägt man auf den Koordinaten- 
achsen resp. die Stücke dp, dq, dr auf und konstruiert die Eaumdiagonale 
des Parallelepipedons mit den Eantenlängen dp, dq, dr, so hat diese die 
Länge und eine Eichtung, die durch die Verhältnisse 

der Eichtungskosinusse dp:dq: dr bestimmt ist. Die Eaumdiagonale ist 
also der Eichtung nach die Achse der resultierenden Eotation und dem 
Betrage nach ist sie gleich dem resultierenden Drehungswinbd. Ver- 
fährt man allgemein so, daß man auf den Drehungsachsen den zugehörigem 
^tationswinkel abträgt, so kann man eine unendlich kleine Eotation 
^ einen Vektor betrachten, dessep Betrag gleich dem Eotationswinkel, 
dcisen Eichtung gleich der der Eotationsachse ist; ein Eesultat, das 
wir bereits im wesentlichen in Nr. 68 erkannt hatten. 

Wir haben bisher auf die Zeit, in der die Verschiebungen vor sich 
geben, keine Kücksicht genommen. Denken wir uns jetzt aber die Ver- 
•'fchiebimgen dx, dy, dz in der Zeit dt vor sich gehend, und gehen wir 
zur Grenze dt^O über, so gehen die Ausdrücke; 

dz d y dz dx„ dy„ Öz^ dp dq dr 

Tf^ d^ ' dt * ~dt ^ TF’ TF* ~dT' öf d#‘ 

♦ 

resp. über in die Größen: ^ 

dz dy dz dx^ dy^ dz^, dp dq dr 

HT' TT* rfF ; . 

t)ie drei, ersten sind die Geschwindigkeitskomponenten eines beliebigen 
Punktai des starren Körpers, die zweiten drei diejemj^ Bezugs- 
punktes, und die letzten drei ^e Bota|ion8ge8cbwih^^^4 um durch 



383 


Kinentatik starrer Körper, 


den. Bezugspttnkt gebende Parallelen zu den Koordinatenaehsen. 

(40) folgt also durch Division mit dt unU Übergang zur Grenze d<=0: 


(53) 


dx 

dx^ 

TT 

d t 

dy 


dt “ 

dt 

dz 

dzQ 

. 'dt"^ 

dt 




I dr 

(y^ye}jr 


d p 
dt 


+ ix- X,) - (z - Z,) 


oder in Vektorschreibweise, wenn die r(*sultierende liotationsgeschwindig- 
keit durch tt, die Geschwindigkeiten resp. durch C und Co bezeichnet 
werden, endlich der Lagenvektor von (x, y, z) in Bezug auf (x©, i/o, ^o) 


durch 

charakterisiert wird : 



(54) 



1 c, = c„. + |8i,tt^-8t,tt,l; 


darin sind aber, wie ein Blick auf Gleichung (31) des vierten Kapitels 
auf pag. 190 lehrt, die Ausdrücke in den geschw^eiften Klammern nichts 



anderes als die Komponenten des Vektorproduktes [UÄ], so daß (54) 
in sehr einfacher und übersichtlicher ’lfVeise geschrieben vrerdeii kann: 

c- Ci + [«»]. 

Dabti ist Cj die Geschwindigkeit des willkürlichen Bezugspunktes (Xg, jfg, 

’ Lagenvektor von diesem nach dem Punkte P (x, y , «), dessen 
«schwindigkeit bestimmt werden soll; ll endlich die auf der durch 
Ir’ ^q’ seienden Ik^tionsachse aufgej^ragene Winkelgeschwindi^ät 
’g- 98). gemgipete Wrfjl des Bez^punktes 0' (Xg, yg, z^) kann 



834 


man natürlich erreichen, daß Co parallel ,U, d, h. parallel fter Eotations- 
achse wird. 

Mit Hilfe der Geechwindigkeitskoniponenten kann man die Glei- 
chungen (42) und (iSf etwas bequemer schreiben, indem man überall 
durch öt dividiert und zm* Grenze dt = 0 übergebt. (42) geht über in: 

(56) (5 - x^y.ip- y„):(z - z,) = 

die also die Gleichung des Herpolhodiekegels durch den Punkt 
(^> ^ 0 » darstellt, wenn dieser festgehalten wird. Analog wird die 
Gleichung der Zentralachse nach (48): 


TT Ti' 

d p 






72« Die Enlerschen Winkel 

Die neun Größen gehorchen sechs Kelationen, entsprechen 

also drei unabhängigen Daten. Es muß also möglich sein, sie durch di>n 
unabhängige Stücke zum Ausdruck zu bringen. Dazu benutzt man 
meistens die drei sogenannten Eulerschen Winkel. . 

Wir denken uns zunächst den Anfangspunkt des 
mit dem des im Baume festen (x, j/, 5:)-Sj’8tems zusammenfallend fro?|). 

^ was auf dasselbe herauskommt, durch den Koordi- 
A natenanfangspunkt des (f , f)-Sy8tems dauernd Pa- 
rallelen zu den x-, y-, z- Achsen gezogen, die wir am li 
1 als (x, I/, z)-System bezeichnen wollen. 

\ Dann schneiden sich die x i/-Ebene und tlic s >/■ 

N. Ebene in einer durch den gemeinsamen Anfangspunkt 

gehenden Geraden, die inan als „Knotenlini« “ b(- 
^ zeichnet. Sie steht offenbar senkrecht auf der (hncli 
\ z und C gelegten Ebene; als positive Bichtung ‘ 
^ Knotenlinie nehmen wir diejenige an, für die tun m 
gj 99 umgekehrter Bichtung blickendes Auge die ^r-Acl)^ 
zur fiechten, die Achse zur Linken sieht. In 
ist^also die Knotenlinie senkrecht zur Zeichenebene, positiv nach 
zu denken. 

Die Lage der C-Achse ist bestimmt durch zwei Stücke: 

Winkel ^ (Pig. 99), den sie mit der positiven >Arfi0e 

positiv gerechnet von der jx^tiven z^Achse. zur C-Achst* lun 

natürlich Jst^^ auch der ^ 




335 


Kinematik starrer Körper^ * • 

Ebene (Fig. 100). Zweitens * wird die f- Achse bestimmt durch den 
Winkel V (Fig. 100), den die positive Bichtung der Knotenlime mit 
der positiven a;- Achse bildet; <p ist dabei positiv in dem Sinne zu nehmen, 
daß wachsendes (p auf dem kürzesten Wege von der positiven ic-Achse 
nach der positiven i/-Achse hinführt. 

Die einzige Möglichkeit der Bewegung des starren Körpers bei durch 
^ und (p festgelegter f-Achse ist offenbar eine Drehung um diese Achse. 
Diese entspricht bekanntlich einem Freiheitsgrade; wir bestimmen sie 
dadurch, daß wir den Winkel zwischen einer zur Botationsachse senk- 



Fig. 100. 


rechten Biclitung mit einer festen Bichtung angeben. Wir wählen dazu 
den Winkel ip zwischen der Knotenlinie und der f-Achse, w^obei dieser 
Winkel, von der f-Achse aus gesehen, positiv links herum gezählt wird 
(Fig. 100). 

Die Winkel 0,(p,yf gehorchen offenbar den folgenden Ungleichungen: ^ 
j 0 ^ # g TT , 

(58) I 

1 0 ^ V' — 2:?* • 

Zunächst ist es notwendig, die neun Bichtungskosinusse durch die Eulet- 
Bchen Winkel aoszodrücken. Wegen der Bedeutung von y, als cos («{) 
ist zunächst: 

• , y, = cos d . 

Nach Definition ist ferner 9» der WinkeLzwischen der positivefii. »||ii8e 
wttd der p()8itiywi/Ei<i|«((§der Kttotenlinis. , Die Qteiohnn| Jer‘ Kisten« 



336 


' ' .^Meehmik starrer Körper. " 

linie ist dadurch gege^n, daß se die Schnittlinie der x, y- und der f 
Ebene ist. Wir h«ien also die beiden Gleichungen; 

2 = 0 ; f = 0 . 

Das ist aber nach der letzten Gleichung ( 84 ), wenn darin a:j = t/„=2jr=( 
gesetzt werden* (da die Koordinatenanfangspunkte beider Systeme jetz 
Zusammenfällen): 


als Gleichung der Knotenlinie. Die Kichtungskosinusse derselben gegei 

die und j/- Achse sind offenbar - , und daraus folgt füi 

± y«3* + A* 

Kosinus und Sinus des Winkels zwischen Knotenlinie und positive] 
a;-Achse, d. h. des zweiten Eulerschen Winkels (jp: 


cos (f = H r±=rr: 


sin 9? = ± 


y«3* + Ä* ‘ 


Nach der dritten Gleichung ( 33 ) ist die Quadratwurzel im Nennoi 
= sin #; also folgen die beiden Werte: 

T cos 9 sin # = ^3 , 
f ± sin 9? sin # = 03, 

. worin das doppelte Vorzeichen einer Unbestimmtheit des Winkels (p um n 
entspricht. Durch unsere Festsetzungen über die positive Richtims 
der Knotenlinie ist für das obere Vorzeichen entschieden, so daß bleibt; 

l 03 = + sin ^ sin # . 

j^uf dieselbe Weise lassen sich und ^2 durch y ausdrücken. Denn wir 
erhalten für die Gleichung der Knotenlinie a^x+ß^y^O, wenn wir 
dam X und y durch f und ij nach ( 29 ) ausdrücken, wobei 2:0=0, ^»= 0 . 
Sg=0 und (=0 zu setzen sind: 

+ ßsißi^ + ßsVi) — 0 , 

oder: 

; (<*i‘%+AÄ)f4-(a2a»+Ä/?8)’?=*0 . 

Kur die Faktoren von ( und tj kann nach der fünften und sechsten Glei- 
chung ( 38 ) resp. geschrieben werden — yjy, und — yty*"» so daß für <''e 
Gf^nng der Knotenlinie im f,>7-SyBtem folgf^:^ 

I^Bcanl ergabt rieb unter Bsiiiickriobrignng dos 
Kiiotenlhrie und der der 




337 


(58c) 


Kinematik starrer Körper, 

I Vi == sin ö » 

\ y^zz: OOS ip sin & . 


Dadurch ist nun alles übrige ausdrückbar. Man erhält z. B. aus den 
Helationen der Gleichungen ( 38 ) und (35): 


«i?'i+a2?'2=’~a3}'3 


für Gl und 02 die Werte: 






( 58 d) 


ttj = cos q? COS rp — sin q> sin tp cos , 
Og == — cos 9? sin yf — sin 99 cos 9; cos , 


iisw. Insgesamt erhält man folgende Tabelle: 


(59) 


Ol ^ cos (p cos tp — sin 9? sin ip cos & , 

Og — — cos 99 sin 9; — sin 9? cos y; cos 5?, 

Ug — sin 99 sin d , 

ßi ~ sin 9^ cos 9^ + cos tp sin yf cos ^ , 

— sin 9? sin 9; + cos 9? cos 9; cos d , 

= — cos 9) sin , 

~ sin y) sin ^ , 

y2 - cos ip sin # , 

j'g cos ^ . 


Nachdem so die sämtlichen Bichtungskosinusse ... 73 durch die 
EulersChen Winkel ausgedrücki sind, kann man die Verrückungs- 
komponenten da;,dy, d 5:, die Geschwindigkeitskomponenten 4 ^» 47-> 4 ^> 

ct t at di 

speziell auch die Eotationsgeschwindigkeiten ~ di® -sr- 

Achson, wie auch * -~Y 1 um die C- Achsen durch dieselben 

leicht ausdrücken. Z. B. erhält man aus der ersten Gleichung ( 89 ) und 
den Gleichungen ( 59 ) für ^ und ähnlich für die übrigen Komponenten' 
tler Rotationsgeschwindigkeiten im (o:, y,;?)-System: 


( 60 ) 


4 .coa. 9 ‘Ä. 
dt dt » 


dt 


^nd ebenso für die w, C zerlegten Komponenten iet Botati^** 

geschwmdigkei*: r ‘ ^ 

o.i- _ . 4. 


Schaef.^'JiÄiwlK 



Die drei Eulerschen Winkel haben besondere Namen empfangen. 
Nehmen wir an, d und <p seien konstant und allein f ändere sich. Dann 
ist nach den vorherigen Auseinandersetzungen (vgl. auch Fig. 100) die 
Bewegung folgende: die f-Achae bleibt unbeweglich, da sie durch ö und <p 
festgelegt ist. Wir haben also eine Rotation des starren Körpers um 
’ dief-Achse. Man nennt daher y den ..Eigendrehungswinkel“. Ändert 


Fig. 101. 



fD<^ dagegen nur der Winkel q>, während & und y/ konstant bleiben, so 
dreht sich die Knotenlinie in der x, ^'Ebene, während die C*Ächse. da 
konstant, einen Kreiskegelmantel um die «-Achse beschreibt: 
«ne derutige Bewegung nennt man „Präzessionsbewegung" un't 
den Winkel q> daher „Präzessionswinkel“. Bleiben endlich <p und v 
konstant, so daß nur 9 sich ändert, so bleibt die Knotenlinie bei du 
betrachteten Bewegung ungeändert. Die C'Achse ändert ihre Neigano 
gegen die «-Achse, oder was auf dasselbe herauskommt, die f »/-Ebem 
ändert ihre Neigung gegen die x ^-Ebene. In spesiolien Fällen noiuit 
mtfti eine derartige Bewegung „Pendelung" und den .Wnkel 9 d‘» 
„Pendelungswinkel“. 

Wir wollen diese Bezeichnung noch durdt .Ibijpnipiifizi6>tu*i8 
/^die Bewegui^ der Erde erläutern. Als Achse' di^, <4e Erdachse, 
£i}||bene die Äquatorialebene der &dc..; „Als as^lp^ 


Kinmatik starrer Körper, 


839 


die Ebene der Eldip|pc» die Bahnebene, die ja angenähert die invariable 
Ebene ist; als ät- A chse die Normale auf derselben. Das gibt, wenn man 
die Anfangspunkte beider Systeme zusammenlegt, das Bild der Fig. 101, 
Bliebe die Erdachse im Baume fest, d. h. zeigte sie stets nach dem 
Polarstern, so änderte sich nur der Winkel zwischen Knotenlinie und" 
f- Achse; die Erde führt dann lediglich eine Eigendrehung um die C- Achse, 
die in diesem Falle die Figprenachse ist, aus. Aber in Wirklichkeit be- 
schreibt die Erdachse in rund 26000 Jahren einen Kegelmantel um die 
Normale zur Ekliptik; es ändert sich also auch der Winkel <p: die Erde 
führt also auch eine Präzessionsbewegung aus. Endlich aber 
ist auch der Winkel der Kegelwinkel, noch kleinen Schwankungen 
unterworfen, so daß die Erdachse um einen gewissen Mittelwinkel # 
hin und her schwankt, was als „Nutation“ (Nicken) oder als „Pen-* 
delung“ der Erdachse bezeichnet wird. 


n 



Siebentes Kapitel. 

Allgemeine Dynamik starrer Körper. 

73. Die Bewegnngsgleidiuiigen des starren Körpers. 

Nachdem wir im vorigen Kapitel die Bewegimgsmöglichkeiten des 
starren Körpers analysiert haben, gehen wir jetzt zur Untersuchung 
der Bewegung unter dem Einfluß gegebener Kräfte über. Dazu be- 
dürfen wir vor allem der Bewegungsgleichungen. Als einheitlichen Aus- 
gangspunkt zur Ableitung derselben bietet sich das d’Alembertsche 
Prinzip dar, das wir in der Form ansetzen: 

.V 

Diese Summe ist zu erstrecken über alle Massenpunkte v des starren 
Körpers, dy^, öz^ sind virtuelle, mit den Eigenschaften des starren 
^ Körpers, d. h. mit der Bedingung unveränderlichen Abstandes je zweiei 
Punkte desselben, verträgliche Verrückungen. Für die allgemeinste 
unendlich kleine Verrückung des Körpers haben wir nun in Gleichung ( 40 j 
yi. Kapitels auf pag. 826 die folgenden Gleichungen erhalten: 

I dx,-dx^ • +{^-^o)iq-{yr~yo)^f> 

( 2 ) • iy^=iyo- +{x^-Xf)6r, 

dz, +(y,-j^„)ap-(a:,-a:o)dg. 

iSeBe drücken bekanntlich aus, daß die aligemeinste Yeirückung 
starrOB Körpers sich zusammensetzen l&Bt aus drei zueinander senk- 
recht^ Translationen öa\), dy^, ÖZq eines beliebig gewählten Bezugs- 
punktes parallel den Koordinatenachsen, sowie drei l^tationen dp, 

' um Parallele zu den Koordinatenachsen durch den Bezugspunkt. 
könnten unmittelbar an diese Gleichungen (2) anknüpfen und sie init 
(1) kombinieren; doch knöpfen wir zweckmäßiger noch an die Olei- 
^hnngen (49) des vorhei^ehenden Kapitels auf pag.'880 an, die in 
eigneter i^zeichnungsweise lauten: , ' ' : 

| da:,=dx,' +z,dg-p,M^ 

dz, aa dV -ir p,dp 




Allgeimins Dynamik starrer K&rper, 


341 


)iese haben wir folgendermaßen interpretiert: ÖXq, öy^, ÖXq^ sind die 
vomponenten einer Translation; ferner sind 

liei Eotationen um die Koordinatenachsen selbst, während wir es in den 
jleichungen (2) mit Rotationen um Parallele zu diesen zu tun hatten. 
iVir können also sagen: Die allgemeinste unendlich kleine Ver- 
ückung eines starren Körpers kann ersetzt werden durch 
foohs unabhängige spezielle Verrückungen; nämlich durch 
hei Translationen d Xq\ 6 yQ, Szq parallel den Koordinaten- 
ichsen und drei Eotationen dp, dq, dr. um diese als 
Achsen. 

Die Gleichimgen (8) kombinieren w'ir mit der Gleichung (1) des 
[l’Alembertschen Prinzips. Das liefert: 

2 ~ "''S) 

V 

+ {l\- ) {ä J/; + 

+ (2. - d Ja-) (^' V + J/. P - X, ^3)] - 0, 


oder in anderer Anordnung, wenn man gleichzeitig dt/o, d^^o» dp, dq, dr 
vor das Summenzeichen zieht, da sie für den ganzen Körper konstant 
sind: 

"-S’) + ■'».'S 

+ 2 {(K - "‘.-ff) ’j. - w) '■! 

9 

+ 1(^- - “■^?) - ”■ w) *4 

+ «'■2' K^'- - ”• w - (^- - “■tf) 


Wegen der Unabhängigkeit der 6 Verrückur^en dxo', öy^, dz^, dp, dq, dt 
^prfällt diese Gleichung in 6 Gleichungen, indem die Koeffizienten dieser 
Größen sich einzeln annulieren müssen. Das liefert also: 


■■ ‘I* 


( 4 ) 



Diese 6 unabhängigen Gleichungen entsprechen genau den 6 Freibeits- 
graden eines starren Körpers; durch ihre Auflösung ist also d^e Lage 
desselben vollkommen bestimmt, wenn noch die Anfangsdaten gegeben 
sind. Die beiden Gleichungstripel können noch etwas transformiert 
werden; das erste durch Einführung der Koordinaten f, } des Schwer- 
punktes und der Gesamtmasse M, das zweite durch Beachtung des Um- 
standes, daß die rechten Seiten vollständige Differentialquotienten nach 
der Zeit sind. Man findet so: 



Sie sind offenbar identisch mit den Sätzen über die Bewegung des Schwer- 
punktes und über die Eotationsmomente, die im IV. Kapitel in den 
Gleichungen (28) (pag. 184) und (85) (pag. 192) formuliert worden sind: 
eilte selbstverständliche Folge davon, daß in unserer Auffassung ein 
Starrer Körper ein speaaelles System von Massenpunkten ist oder wenig- 
stens als ein solches betrachtet werden kann. Wir sprechen sie mit 
spezieller Fassung für den starren Körper noch einmal aus: 

Der Schwerpunkt eines starren Körpers bewegt sich 
als ob in ihm die Gesamtmasse konzentriert wäre und 
Besultierende sämtlicher Kräfte in ihm angrilfe.. 

Die Summe der Eotationsmomente der an einem staiK » 
Körper angreifenden äußeren Kräfte um die festen Kocidi- 
natenachsen ist gleich der zeitlichen Änderung der 
der Eotationsmomente der Geschwindigkeiten nm resp. dn^- 
selben Achsen. ' , 

Die Gleichung {1} kann man in eine andere •^ 1 ^d|t'!bringen durt i 

Mm»« TO. m d» 



34B 


JUgmeim Dynamik starrer Körp&r, 

genau so, wie wir es bei dem Mächensatze gemacht haben. Z. ist in 
der Ebene der Ausdruck 2 :, gleich dem doppelten In- 
halte der vom Kadiusvektor in der Zeiteinheit beschriebenen 

Fläche; die Botationsgeschwindigkeit ist in diesem Falle also ist 
zu setzen (ähnlich für die anderen Gleichungen): 



wobei die Größen offenbar für den ganzen Körper kon- 

stant sind. Setzt man die Werte (8) in (7) ein, so lassen sich » ~ » “ 
nach der eben gemachten Bemerkung vor das Summenzeichen ziehen, 


und es folgt das (7) äquivalente Tripel: 


li 

ivr“ 

1 


(9) 







Die Größen ... usw. sind im allgemeinen Funktionen der 

Zeit, da sie aus den Koordinattm des beweglichen Punktes in Bezug 
auf das im Baume fest^^ Koordinatensystem gebildet sind. Liegt jedoch 
die Rotationsachse gleichzeitig iin Baume und im Körper fest, d. h. 
ist der Körper gezwungen, sich um eine feste Achse zu drehen, z. B. 
die a;- Achse, so sind die Summen +-?,*) natüi’lich konstant, also 
werden Körper eigentümliche Konstanten. Man 

nennt die so gebildeten Ausdrücke „Trägheitsmomente“. Die Bedeutung 
derselben können wir uns schon an dieser Stelle klar machen, indem 
wir den erwähnten Spezialfall, daß die Rotationsachse im Raume und 
im Körper fest sei, etwas weiter verfolgen; speziell wollen ^Yir noch an-; 
nehmen, daß die a- (resp. {)- Achse die Rotationsachse sei. Darm bleibt 
von den Gleichungen (9) nur die erste übrig, und wenn wii* das jetzt 
zeitlich konstante Trägheitsmoment abkürzend durch T 

bezeichnen, so haben wir: 


Sunn^^- der B0tation8momente der &ttäer|n JCr&U^ 



344 


Miehanii starrer 'Körper. ^ 

ist in^diesem Falle glefoh dem Produkte aus dem Trägheits- 
moment und' dei: Winkelbeschleunigung. Vergleicht man ^amit 
die Newtonsche Bewegungsgleichung eines Massenpunktes 

ft =i m . a , 

so sieht man die formale Analogie zwischen beiden: An Stelle der Kraft 
tritt hier das Eotationsmoment der Kraft, an Stelle der Beschleu- 
nigung die Winkelbeschleunigung, an. Stelle der Masse das Träg- 
heitsmoment. Die d’Alembertsche Trägheitekraft wrd also hier 
ersetzt durch das negativ genommene Produkt von Trägheitsmoment und 
Winkelbeschleumgung; kurz gesagt: Was die Masse für die fort- 
schreitende Bewegung eines Punktes, ist das Trägheitsmoment 
für die Eotationsbewegung eines starren Körpers; T mißt die 
„Trägheit“ bei der Eotation. 

Die fundamentale Bedeutung der Trägheitsmomente dürfte aus 
dem Obigen klar sein; zur Theorie derselben wollen wir jetzt übergehen. 


74. Theorie dm Trägheitsmomente und Devistionsmomente. 

Die vorhin als Trägheitsmomente bezeichneten Grüßen sind fol- 
gendermaßen gebildet: Jedes Massenteilchen m, des starren Körpers ist 
qiultipliziert mit dem Quadrate seines Abstandes von der betreffenden 
Botationsachse, und die so gebildeten Ausdrücke sind dann ülx'ralleMassen- 
punkte des Körpers summiert. Wegen der Beziehung zur Eotationsachsc 
sagt man besser „Trägheitsmoment in Bezug auf eine bestimmt*' 
Achse“. So ist also Trägheitsmoment in Bezug auf 

die *-Achse, dasjenige in Bezug auf die tj-Achsi. 

dasjenige endlich in Bezug auf die «-Achse. Wir be- 
seidinen diese drei Trägheitsmomente durch resp. T^, T^, T,: 

J(10) T, = + *,*), 

1 T, =2’«»(V + !/»*)• 

Die folgende Untersuchung ist rein kinematisch; daher ist 
glmchgöltig, ob wir uns das (®, p.zj-System im Raume oder im piF' 
festliegend denken. Wir wollen für diesen Abschnitt annehme't- 
\{x,y,z) sei ein mit dem Körper verbundenes System, so ns* * 
Inach dem Vorhergehenden die Ausdrücke T,,T,,T^ Kötperkönstan ‘‘»i 
jsind, die fralich noch von der Lage des («.p.sj-Sjmtems im Körper i -- 
'hängen werden. . ■ , „ 

Wir legen uns jetzt die Frage vor, wie eine ParaPeb3^w®!j’“^'^ 
des Kowdihatensystems im Körper die Trägheitammiente b^^^ 

Wir wollen unter ö, h, c Konstanten verstehen nnd e^^^^jKoor o® 

System y, V einfübren’ durch die Fes^eMning: 



( 11 ) 


Allgemeine J)ynamik starrer Körper. . ' 345 

t X := x' + a, * 

■{ y=^y' '+f>, 

a,b,e sind offenbar die Koordinaten des Anfangspunktes des (x', y', «')• 
Systems. Diese Werte setzen wir in Gleichung (10) ein. Es genügt, die 
Kechnimg z. B. für vorzunehraen, die übrigen können dann ohne 
weiteres hingeschrieben werden. Wir haben so: 

T.= 2»«,[(V+c)* + {y:+h)^] - + (6Hc^) 2 :«», 

+ 2c2»t,V+-2b "^m^yj, 

oder in anderer Schreibweise, da das erste Glied das Trägheitsmoment 
T/ um die a;'- Achse ist: 

(1*2) I Ty = Ty' + (a* + c*)2% + V. 

I T, — T,' + (b* + a*)^»i, -f 2h + 2a'^m^xJ . 

Die jeweiligen beiden letzten Ght'der dieser drei Gleichungen können 
in Beziehung zu den Koordinaten , h)', §' des Schwerpunktes, bezogen 
■ auf das (x', y', z')- System, gebracht werden. Denn es ist offenbar 
= ••• «s.w. Setzen wir noch so erhalten 

wir schließlich: 

I T, = T,- + M(6*+c*‘) +2cMä', 

(13) I =t Tj,- + M (c* + 0 *) + 2c M j' + 2oM jc' , 

1 T. = T,< + M(aHl»*) + 2aME' + 2bM t )' . 


Mau erkennt sofort, daß die Gleichungen (13) eine besonders einfache 
Gestalt annehmen, wenn j' = ^' = 5 ' = 0 ist, d. h. wenn der An- 
fangspunkt des (*', y', ^')-S 3 ^stenls mit dem Schwerpunkte zu- 
sammenfällt, Dies wollen wir von jetzt ab annehmen, und 
dann folgt: 

f T. = T,,+ il/(6*-fc®), 

(14) { T, = T,. + .l/(cHa*), 

: I T, - T.--fAf(o*+&®). 


Diese Gleichungen gestatten es offenbar, wenn die Trägheitsmomente 
^x> Ty', T,' um durch den Schwerpunkt gehende Achsen gegeben sind, 
daraus die Trägheitsmomente um parallele, nicht durch den Schwer- 
punkt gehende Achsen zu berechnen. Es ist z. B. offenbar (b*-l;^c*) 
gleich dem Quadrate des senkrechten Abstandes des Schwerpunktes 
von der «-Achse, (c*-t-o*) desgleichen von der y-Achse usw. Diese drei ) 
Größen wollen wir durch resp. Ä,*, hA Ä,* bezeichnen und haben Quillt 


f T, = T..+ Mk,*, 

1 T, a=T,< 


( 15 ) 



346 


Mechamk starrer Körper, 

in Worten: Das Trägheitsmoment für eine ^vorgesohriebene 
Achse ist gleich demjenigen für die parallele durch den 
Schwerpunkt gehende Achse, vermehrt um das Trägheits- 
moment der im Schwerpunkt konzentriert gedachten Ge- 
samtmasse des Körpers, bezogen auf die vorgeschriebene 
Achse. 

Da die Größen Mh^^, . . . stets positiv sind, da sie eben selbst auch 
Trägheitsmomente darstellen, so erkennt man, daß unter allen 
auf parallele Achsen bezogenen Trägheitsmomenten das- 
jenige um die durch den Schwerpunkt gehende Achse ein 
Minimum ist. 


y 



Fig. 102. 


Da der Koordinatenanfangspunkt yon'{x,y,z) im Körper festliegt, 
so ist offenbar: 

06) L + T, + T, = 2 2/.*+^,*) = Const. = 2 K; 

also kann nuua schreiben: 

{17> = = 

Die 0,, . . . werden manchmal als Mindingsche oder Binetsdhe Träg* 
heitsmomente bezeichnet; sie sind einfacher gebaut als die eigentlichen 
Trägheitsmomente T,, und man schließt daher die weitere Unter- 
sndinng in manchen Punkten zweckmäßiger an die 0^, ... an, von 
denen man ja in jedem Augenblick nach (17) zu den Trägheitsmomenten 
ubkgehen kann. Wir wollen uns das Bildungsgewtz d^r Größen 6yf 0, 
klatnuudien. Jedes Uassenteilchen m, ist dort multipliziert mit’ dem 
Quadrate der Projektion des Badiusvektors x,JKon«jponi|pldn>irf 4 r V,» 
auf die betreffende Botationsadisf. Die Oleichmgea^ sofort 


Allgemeine Dynamik starrer Körpe r» ^ 347 

ausgedehnt werden? auf eine beliebige Achse die durch den Koordinaten- 
anfangspunkt hindurchgeht. Denn nennen wir die Projektion des ab- 
soluten Betrages des Eadiusvektors 1 | auf diese s- Achse so haben wir : 

(18) = 

und nach (17) für das Trägheitsmoment T, um diese Achse: 

(19) T.-Ä-0.. 

Es liegt die Frage nahe: Wie verhalten sich die Größen der Trägheits- 
momente um eine durch den Koordinatenanfangspunkt gehende Achse 8, 
wenn dieser nach und nach alle möglichen Bichtungen erteilt werden? 
Um diese Frage zu beantworten, wollen wir bilden {Fig. 102). Be- 
zeichnen wir den Winkel zwischen der s- Achse und dem nach dem Massen- 
punkte weisenden Badiusvektor durch (s, r^), so ist die Projektion 
von I ty 1 auf die 5- Achse offenbar: 

5, = I t^l cos {s rj) — r, cos (srjj , 

oder, wenn die Bichtungskosinusse der s- Achse durch cos(sx), cos (sj/), 
cos (sz) bezeichnet werden: 

£= rjcos (r^x) cos {sx) + cos (r^y) cos (sy) + cos (r^z) cos (ssf)}, 
oder da 

cos (r, x) = » cos (r^ y ) « » cos (r^ z) « 

Tp Tp Tp 

ist: 

(20) 8^ = x^ cos (sx) + yp cos {s y) + cos {$z ) . 

Nunmehr bilden wir nach (18) Ö,. Dafür ergibt sich mit Hilfe von (20): 

1 0, = cos* (sx) + cos*(si/) + cos*(sz) 

(21) j 2 cos (sx) cos (sy) + 2 cos (sy) cos (ss) '^m,y,z, 

1 + 2 cos (s 2 ) cos (sx) 2 m, 2 ;,x,. 

Darin sind 

2wt,x.*=0„ '^m,y,*=e^, = 

Die drei Ausdrücke: 

= r/, , 

'^m,x^y, = Cf. , 

bezeichnet man als die „Deviationsmomento um die Koordinaten« 
achsen“; woher dieser Name kommt, werden wir später (in Nr. 77) 
erkennen. Damit läßt sich (21) schreien: 

I 0. = 0, • OOS* (sx) + 0, • cos* (sy) + 0. • cos» (ss) 

I -f 2 tr, ' 008 (s V) cos (««) + 2 TJy cos (s«) cos (s x) 

I Jk^Üy%m(sx)’<X)s^y) ,, 


( 23 ) 



848 ♦ Mtehmik starrfr K&rptr. 

und nach (17) und (19) folgt für das Trägheitsmoment T, um die s- Achse; 

I T, = T, • OOS* (sa;) + cos* {sy) + T, • cos* {sz) 

-2f7. • cos {stj) cos (sz) — 2 17^ cos (sz) cos (s») 

— 2 P, OOS (sa) • cos (s y) . 

Beseichnen wir die Biohtungskosinusse der Kürze halber durch 01 , 02 , 0 ,, 
SO können wir übersichtlicher statt (28) und (24) schreiben: 

(25) ö. = « 1 * ö, + Oa* 0J, + a,* 0, + 20, o, P, + 20, Oi + 2oi o, P, , 

(26) T, = Ol* T,, + o,* T, + ff,* T, - 2a, o, P, — 2a, o, P, - 2ai o, ü, . 

Die letztere Formel gibt an, wie die Größe des Trägheitsmomentes T, 
um die s>Achse von deren Dichtung (o,, o,, o,) abhängt. 

Wir fragen nun, ob in gewissen Bichtungen (o,, o,, o,) T, 
einen Extremwert (Maximum, Minimum, Sattolwert) an- 
nimmt, und welche Bichtungen dies gegebenen Falles sind. 
Um dies zu entscheiden, bilden wir die Variation von T,, die wir gleich 
Null setzen müssen; dabei ist aber zu beachten, daß die Größen 01 , 0 ,. o, 
d« Gleichung gehorchen: 

(27) , Ol* + o,* + o,* = 1 , 

woraus folgt: 

(28) Oidoi + «ada, + ffsdos = 0 . 

Diese nmltipliziereD wir — genau so wie bei den analogen Betrachtungeii 
des d’Alembertschen Prinzips — mit einem unbekannten Faktor /. 
addieren sie zu dT, und setzen diese Summe gleich Null. So folgt; 

dT, = 0 = dai[aiT,-a, P^— ff, P, — Aoi] 

+ da,[a,Ty— 0, P^— ffi P,— Aff,] 

+ du,[a3T, — o, P,— OiPj— Ao,] . 
oder. anders geordnet: 

I dT.-doaa,(T,-A)-a,P.-a,PJ 
(29) ^ j + da,[-Oi P,+ o, (T,- A)-a, PJ 

1 +da,[-OiP,— o, P,+a3(T,— A)]=*0. 

LSfit sidi diese (jleichung erfüllen, so liefern die sich daraus' ergebenden 
'Werte die Bichtung oder die Bichtungen, in denen T, einen 

^ctremwert anninunt. Die Größen da,, da,, da, sind nun nicht unabhängig 
%^iiiander, sondern durch die Gleichung (28) miteinander verknüpft. 
Wir können also etwa da, als Funktion von da, und da, betrachten, welch 
letztere unabhängig voneinander sind. Wir bestimmen ntm in (29) deu 
unbestimmten Faktor, A so, daß der Koeffizient >vcm da, verschwindet. 
Wegen, der UnaUiängigkeit.von do^, da, kann die GlOichtmg (29) dann 
nur so bestehen, daß die Faktoren von da, und d<% sich f^, sich annnl- 
lieten. Insgesamt erhalten wir also für «inen 
drei Bedia^ngigieidningen; 


(30) 


AUgem&ine Dynomik starrer Körper,»^ 349 

— - rrr- : - ■- -- - _ ■ ■■ . ■ --I - - - -r— ^ ♦ 

ai(T,-A)-fl^I7,-a3Üj, = 0 , 
i -a,D’.+aj(T,-A)-a8U, = 0, 

-Ol Cfy-Oj ?7^+a3(T,- A) = 0 . 

Da diese drei Gleichungen homogen sind, so liefern sie für die drei Un- 
bekannten Ul, Cj, Og nur dann von Null verschiedene Werte, wenn die 
Determinante des Systems verschwindet; es muß also dazu sein: 

IT.-A -V, ~U^ 

(31) , -U, T,-A -U^ =0. 

i -U, -U, T-?. 

Diese Gleichung stellt die Bestimmungsgleichung für A dar; sie ist vom 
dritten Grade und Trird im allgemeinen drei verschiedene Wurzeln 
A", A'" haben, deren jeder also nach (80) ein Wertetripel (uj, o,, o,) 
entspricht, die w resp. mit denselben Akzenten versehen wollen. Man 
kann nun zunächst zeigen, daß die drei Werte A', A", A'" stets 
reell sein müssen, sowie daß die drei Bichtungen (a/, 03', o,') , 
(oi", Uj", a,"), (oj'", Oj'", 03"') aufeinander senkrecht stehen, 
wenigstens wenn die drei A-Werte voneinander verschieden 
sind. *■ „■ 

Wir beweisen zunächst die Beellität der A-Werte. Zu dem Zwecke 
schreiben wir die Gleichungen (30) folgendermaßen: 

Osü, — Ult/, — Aa2=0, 

UiGj,— Ojl',— Aa3=0. 

Wir wollen nun einmal annehmen, A sei komplex, wir setzen also ver- 
suchsweise 

(33) A = 1 + m t ; 

dann werden auch die aus (32) folgenden a- Werte im allgemeinen kom- 
plex sein. Wir setzen also ebenfalls: 

(04) a, = a, -f b^i (v — 1, 2, 8) . 

(33) und (84) setzen wir in (82) ein ; für die erste Gleichung folgt dann z. B. : 

(ai+ibi) T, — (o, -f tbj) 17, — (o, -f tbs) Cf, — (1 -f ff>t) (o, -f- bjt) =0 , 

und daraus ebenso durch zyklische Vertauschung der Indizes x, 
und 1, 2, 8 die beiden anderen Gleichungen (82). Jetzt trennen wit‘ 
das Beeile von dem Imaginären. Die reellen Teile der Gleiohüngen (88) 

sind: ' 

I aiT.-OjCf.-ajC/,— lai-l-»tbi=0, 6, 

< OiI7,— lo,-l-»ib,=0, b,. 


I « 1 '.- 
(32) «sT,- 

\ a,T.- 


( 35 ) 




360 


# ' 

Ar.'-a^ 


Mechanik starrer Körper, 


Die imaginären Bestandteile liefern: 


(86) 


< 6,T,-baü,-6iü,— l6g-mOj=0, 
\ 63T, — oto3 =0. 


«1 

<h 


Die Gleichungen (35) werden, wie angedeutet, der Reihe nach mit 
^2» ^3» Gleichungen (36) ebenso resp. mit a^, a^, erweitert und 
dann sowohl die drei Gleichungen (85) wie auch (36) zueinander addiert; 
Das liefert die beiden Gleichungen: 



(Oibj Tjg 4* ^2^2 Ty + ^3^3 ^2) (®2^1 "t" 

- (« 3 ^ + « 1^2 + « 2^3 ^ L ) - ^« 1^1 + « 2^2 + « 3 *^ 3 ) 

+w(V+V+V) = ö. 



(® 1^1 ^ 3^3 ^*) (® 1^2 " f “® 2^3 ^ 3^1 ^ 

(%^3 ^y“t“^2^1 ^*"t“^3^2^x) U®l^l“l"®2^2"l"^3^3) 

-~m(ai* + a2Ha3*) = 0. 


Die Subtraktion der beiden Gleichungen (37) und (38) liefert: 
-m(V+ V+ V) = +wi(aiHV+«3*) » 

1)der, da w nach Voraussetzung von Null verschieden ist, da ja sonst / 
reell wäre: 

- (bl* + ^2* + ^3^) == {<^1 + «2* + «3®) • 


Diese Gleichung ist unmöglich, da die und reell sind, es sei demn 
daß alle a und h gleich Null wären, was durch (27) ausgeschlossen ist. 
^Iso führt die Voraussetzung, daß X komplex sei, zu einem 
Widerspruch; es ist also bewiesen, daß alle Wurzeln der 
Gleichung (3l) reell sein müssen. Jedem der reellen Werte 
i'" entspricht also ein reelles Wertetripel (aj, o,, 03); es gibt also 
itß allgemeinen, nämlich wenn A' 4= >1" 4= 1'", drei Richtungen, auf 
*4die als Achsen bezogen das Trägheitsmoment -T, einen Extremwert hat. 
Nun läßt sich auch leicht zeigen, daß X\ V" positiv sein müssen. 
Denn wir können die Gleichungen (80), In denen für X der Wert A', für 
,ni, Oj, 02 die zugehörigen Oj', Og', 03' eingesetzt worden sind, so schreibt'n: 






Werden diese beziehungsweise mit a^, a^, Og' "erw^fitert und addiert, so 
fo||t re'chts wegen (27) der Wert X*; links bei geeignete Z^mmenfa^ 
sung der Glieder:, , . 



361 


4 ♦ AUgmäne Dynamik starrer Körper. • 

iiin Vergleich mit (26) lehrt, i&ß i' das Trägheitsmom&nt um die 
Achse in der «'-Richtung (a,', Oj', Og') ist, also in der Tat 
positiv. Dasselbe gilt entsprechend füi- und Es ist also: 

f =T, , 

(41) 

I r'=v. 

Wir wollen nun weiter zeigen, daß für X' 4= X" 4^ die Richtungen 
.s', s", s'" aufeinander senkrecht stehen. Zu dem Zwecke erweitern wir 
die Gleichungen (89) statt mit a/, «3' mit a^' und addieren. 

Das liefert auf der rechten Seite den Ausdruck: 

(4‘2) A'(a/a2" +a2 02 ' + f^ a ^"') ; 

den auf der linken Seite brauchen wir nicht auszurechnen. Statt (39) 
nehmen wir jetzt die aus (30) hervorgehenden Gleichungen, in denen wir 
jetzt aber die Werte X", a^'', ag", Uj" einsetzen. Erweitern wir diese 
nun mit a^', Og', und addieren, so folgt rechts: 

(43) A'^a/a/'+ag'a/' + a/aa"). 

Die linken Seiten beider so erhaltenen Gleichungen sind aber identisch, 
wie man sich leicht überzeugt. Subtraktion der vollständigen Glei- 
chungen (42) und (43) liefert also das Resultat: 

(44) (r ^ ;/') (a/a/' +a2'a2" +a3'ü3-) == 0 . 


Da nach Voraussetzung 2/ 4= muß 

(45) a/u/' +^z<h" = ^ 


sein. Das ist aber der Kosinus d(*s Winkels zwischen s' und s", die 
nach (45) also senkrecht aufeinander stehen. Genau ebenso zeigt man, 
daß und sowie s" und s**' aufeinander senkrecht stehen. Die drei 
ausgezeichneten Richtungen s\ s'\ denen die Extremwerte der 
Trägheitsmomente zukommen, bilden also ein rechtwinkeliges 
Achsenkreuz. Man nennt diese drei Achsen die „Hauptträgheits- 
Hchsen“, die zugehörigen Trägheitsmomente* die „Hauptträgheits- 
momente**, 


Das Resultat unserer Untersuchung ist also folgendes: 

Durch jeden Punkt eines starren Körpers lassen sich im 
allgemeinen drei zueinander senkrechte Achsen, die Haupt-. 
D ägheitsachsen, legen, in Bezug auf die das Trägheits- 
uioment einen Extremwert (Maximum, Minimum, , SatteD. 
^^^t) aunimmt. Dies gilt natürlich auch für den Schwerpunkt, und^ 
ur diesen zeichnet man die Hauptträgheitsachsen jund die Hauptir&gheits- 
Wiomente, durch den Zusatz: „durch den Schwerpunkt“ auSi 
jj Bei den Betrachtungen mußte die Ungleichheit dei* »|rei 

Ptträgh^ts]EÄ|^^ voi;ausgesetzt werden. Wie liegt die Babhe 




852 Meehanik starrer f. 

aber, wenn für einen Körperpunkt zwehHauptträgbeitsmomente, etwa 
A' und i'\ gleich werden, aber ungleich A"' sind? 

Dann läßt sich noch immer zeigen, daß die ^'-Bichtung auf der 
«'"-Eichtung, und ebenso die s^-Bichtung auf der s'"-Eichtung senk- 
recht steht. Dagegen läßt sich nicht mehr dasselbe beweisen für a' und a". 
Es folgt also nur, daß s' und a" in einer zu a'" senkrechten Ebene hegen; 
in dieser Ebene ist jede durch den Körperpunkt gehende 
Gerade allen anderen gleichwertig. 

Werden endlich für einen Körperpunkt alle drei Hauptträgheits- 
momente einander gleich, so läßt sich über ihre Bichtung gar nichts 
mehr aussagen: jede durch den betrachteten Punkt gehencU» 
> Gerade ist allen anderen gleichwertig. 

Der Fall zweier gleicher Hauptträgheitsmomente ist z. B. realisiert 
für den Mittelpunkt eines homogenen Eotationselhpsoides; aus Sym- 
metriegründen folgt bereits, daß die dritte Hauptträgheitsachse die 
dritte Hauptachse des EUipsoides ist, während alle durch das Zentrum 
des EUipsoides senkrecht zu dieser Hauptaclise gezogenen Geraden ein- 
ander gleichwertig sind. Der FaU dreier gleicher Hauptträgheitsmomente 
ist realisiert für den Mittelpunkt einer homogenen Kugel; das Trägheits- 
* moment um jede durch den Mittelpunkt gehende Achse ist gleich groß. 

Alle diese Verhältnisse werden besonders klar durch eine geometrische 
Konstruktion, die man Poinsot verdankt. 

Zu diesem Zwecke denken wir uns in dem betrachteten Körpor- 
punkte die Hauptträgheitsachsen konstruiert, die wir als Koordinaten- 
achsen (x, y, z) nehmen woUen; etwa, um die Ideen zu fixieren, s' als 
x^Aohse, als j-Achse, 5"' als «-Achse. Dann nehmen die Bichtungs- 
kosinusse aj\ «2', 03' . . . 03"' folgende speziellen Werte an: 

I a/ =1; a2'=a3'=0; 
a/'-O; Os'-O; 

03'"=: 1. 

.^Petzi man diese Werte in die Gleichungen ( 89 ) ein, und zwar zunächst 
* di^ eingestrichenen, so folgt ans ihnen; 

, T, = ;.'; i/. = 0. , 

][|acbt man es genau so mit den zwei- und dreigestrichenen, so ergibt 
»'sieh fär die Hanptträgheitsachsen als KoordinatenachK »; 


I T.=//; T^=A"; ■ 

t Ü.= fr,= t7,=0, 


’and infolgedessen wird aus Gleichung ( 26 ), die das TrägheitBinoiiicn 

i ih Bezug auf eine beliebige Achse «, durch den betrachteten , K&perpuni' 

• ansdrübkt, wenn wir wieder statt o,, o,, Og tasp. *)| 

‘ ' eo§{»s) setzen: , ' 

(48y T,=T,cos*(«a:)+T,co8*(«»)4-t|»\4|w)^*., 



353 


^Ugm>ein6 Dynamik starrer Körper» 


die TjB,Ty, T, sind jetzt nach (47) die Hauptträgheitsmomente, 
die Deviationshaomente sind verschwunden; (48) steDt also den 
einfachsten Ausdruck für T, vor. Konstruieren wir nun eine Oberfläche, 
deren vom Koordinatenanfangspunkte (der mit dem gerade ins Auge 
gefaßten Körperpunkte identisch i^t) in einer behebigen s-Bichtung 
gezogenen Kadiusvektor wir B nennen und dessen Länge wir: 


(49) 


B 


C 

VX 


[C eine Konstante) 


nehmen, d. h. umgekehrt proportional der Wurzel aus dem 
Trägheitsmoment in Bezug auf die s-Achse, dann ist offenbai*: 

co8(5:r) = | , co8(sy) = |-, cos (s -j) » 

also nach (49): ^ 

(50) cos {s x) = , cos (5 y) == , cos {s z) ~ • 


Setzt man diese Werte in (48) ein, so folgt: 

( 61 ) _ + 



Fig. 103. 


Bas ist aber die Gleichung eines auf seine Hauptachsen 
bezogenen dreiachsigen Ellipsoides, da die Koeffizienten 

• . . alle positiv sind; die Achsen haben also die resp. Längen: 

C c . . * 

(Kg. 108). Geometrisch erhält man dieses Elhpsoid folgender'. 

niaßen: Man zieht' durch den betrachteten Körperpunkt die drei Haupt- ' 
trägheitsaehMn und trfigt nach beiden Seiten von ihrem Schnitt- 


punkte aus resp. Aehseii des 4 

kiUipsoides auf. ;^ern^. ziehe man eine • beliebige Achse s durtdi den- 



QU« 


jrcorror ikurjim'» 


Punkt und trage auf beiden Seiten den Bettag ab, wo T, aus 

Gleichung (48) zu entnehmen ist. Darin, daß wir die Werte auf 

y T, 

beiden Seiten der Achse abtragen, spricht sich die Tatsache aus, daß die 
Trägheitsmomente unabhängig vom Botationssimie um die betreffende 
Achse sind. Diese „Zweiseitigkeit“ der Trägheitsmomente werden wir 
in der folgenden Nummer noch ausführlicher würdigen. 

Sind für einen beliebigen Punkt die Hauptträgheitsachsen und. 
Haupttrl^heitsmomente bekannt, so kann man in ihm folglich dieses 
Ellipsoid, das sog. „Poinsotsche Trägheitsellipsoid“ konstruieren, 
das mit einem Schlage die sämtlichen Trägheitsmomente um durch 
den betreffenden Punkt gehende Achsen liefert, da der Badiusvektor 



Fig. 104. 


des EUipsoides der Wurzel aus dem Trägheitsmoment um den Badius- 
vektor als Achse umgekehrt proportional ist. 

Sind zwei Hauptträgheitsmomente einander gleich, so wird aus dem 
^i^beitBellipsoid ein Botationsellipsoid ; sind sie alle drei einander 
'gleich^ eine Kugel. Im ersteren Falle ist eine Bichtung ausgezeichnoi, 
aber in der dazu senkrechten Ebene sind die Trägheitsmomente um ali(‘ 
durch den Mittelpunkt gehenden Achsen gleich; im letzteren Falle sind 
alle durch das Zentrum gehenden Achsen gleichberechtigt. Ini id- 
gejmeinen aber haben wir es mit einem dreiachsigen Ellipsoid mit un 
gleichen Achsen zu tun; der längsten Achse entspricht d<‘^ 
Minimalwert, der kürzesten der Maximalwert des Trägheits- 
momentes, und der mittleren endlich das sogenannte „mitt* 
lere“ Hauptträgheitsmoment, wofür man auch manchmal dm 
Ausdruck „sattelwertiges Trägheitsmoment“ gebraucht. 

^ Von beendetem Interesse ist die Konstruktion des Trägheifeselhp' 
spides für den Körper-Schwerpunkt; da die ‘ 

dielen gehende Achseni verglichen mit sollhen^jd^^ Achsen, 




355 


* AUgem$%n$ Di/tumik starrer Körper. 

die kleinsten s^ind, iet nach ^Konstruktion das im Schwerpunkt i 
liegende Trägheitsellipsoid, das sogenannte Zentralellipsoid J 
das größte von allen (Fig. 104). i 

Eine Bemerkung über die Berechnung der Trägheitsmomente und 
Doviationsmomente soll hier noch Platz finden. In vielen Fällen kann 
man die starren Körper als kontinuierlich ansehen und hat dann statt 
das Massenelement dw zu setzen, wobei die Summation in eine Inte- 
gration übergeht. Statt der Gleichungen (10) und (22) hat man dann: 

(10a) « Jdm{y* + z*), L =* J dm {x^ + y% 

(22a) Jdmyzj =- Jhnzx, Jdmxy. 

ln gewissen einfachen Fällen können die Trägheitsmomente und 
Deviationsmoinente nach diesen Formeln berechnet werden. Wie sie 
experimentell bestimmt werden können, w^erden wir im nächsten Kapitel 
erörtern. 


75. Tensoren; Tensortripel; lineare Vektorfunktion. 


In den Trägheitsmomenten stoßen wir zum ersten Male auf eine 
neue Klasse von Größen, die neben den Skalaren und Vektoren in der 
Physik eine große Bolle spielen. Das Trägheitsmoment nämlich 
ist durch seinen Betrag nicht völlig charakterisiert, sondern 
erst durch Hinzufügung der Bichtung der Eotationsachse, 
um die es genommen ist. Aber dennoch ist es kein Vektor, denn 
bei einem solchen ist die Dichtung einseitig, während beim Träg- 
heitsmoment beide Bichtungen der Achse gleichberechtigt 
sind. Dies drückt sich schon, wie wir in der vorigen Nummer erwähnten, 
darin aus, daß wir bei der Konstruktion des Trägheitsellipsoides den*' 


Ausdruck 


G_ 

Vf. 


nach beiden Seiten vom betrachteten Körperpunkte 


aus auf der Botationsachse auftrugen. 

Solche Größen, denen zw^ar außer dem Betrage eine 
Bichtung zukomrat, bei denen aber beide Seiten dieser 
Richtung gleichberechtigt sind, nennt man nach W. Voigt, 
dom man zuerst eine systematische Untersuchung dieser 
Größen verdankt, Tensoren. Der Name kommt daher, daß die 
Dehnung eines elastischen Körpers der typische Repräsentant eines 
fonsors ist. Denn wenn wir einen beliebigen Körper parallel einer be* 
«tmimteri Richtung dehnen, so genügt zur Charakterisierung dieser Deh* 
nicht deren Betrag, etwa die prozentische Verlängerung, sondern, 
muß auch die Richtung, parallel der die Dehnung erfolgt, ängeg^hon 
4.6f6n beide Seiten aber offenbar gleichwertig sind. Ih 
hlastizitätstheorie^ werden wir solche Tensoren häufiger antreff^il, 
ist deshalb zif^lonftßig, schon hier etwas ^nauer 




juwruMW^ fffurrcr joLvrj/tfr, 


schäften einzugehen. Auf einen .Unter^hied gegenüber den Vektoren 
j ipuB von Anfang an aufmerksam gemacht werden: Der Betrag eines 
1 Vektors ist stets positiv, der eines Tensors braucht es nicht ;su sein, 
jwie man am Beispiele der Dehnung erkennt. Eine negative Dehnung, 
! d. h. eine Verkürzung, ist ein Tensor mit negativem Betrage. 

Wir wollen einen Tensor beliebiger Eichtung durch Tj bezeichnen 
und fragen nach den Komponenten desselben, die wir 
nennen. Es läge nahe, nach Analogie der Vektoren Ti^^—Ticos (Tp®), 
TiySsTj cos (Tj,i/), Ti,«TiCos(Ti,;2) zu setzen; doch würden diese Formeln 
dei; Zweiseitigkeit des Tensors nicht Eechnung tragen, da, wenn man 
die Winkel (TpO;), (Tj,j/), um. jr wachsen läßt, die Komponenten in 
den dem Vorzeichen nach entgegengesetzten Wert überschlagen würden, 
während sie nach unserer Auffassung ungeändert bleiben sollten. Mankami 
diesen Übelstand auf folgende zwei Weisen vermeiden, die beide ihie 
Vorteile und Nachteile haben. Man kann nämlich erstens die Größen: 

(52) ^i=TiC0s2(Ti,x), Ei=TiCos2(Ti,2/), C’i=Ti cob^(Ti,z) 


als die Komponenten des Tensors bezeichnen, zweitens aber auch die 
Größen: « 



Al =TiCos (Ti,y) co.^; (Tj,^) , B/ ==T ^ cos (Tj, z) cos (Tj, x ) , 

Ci =T 1 cos (T 1 , x) cos (T i, y ) , 


die man nach Voigt als Tensorkomi)onenten erster und zweiter Art 
unterscheidet. Sie sind natürlich, da drei Stücke zur Bestimmung eim .-’ 
Tensors ausreichen, nicht unabhängig voneinander, vielmehr sieht man 
leicht, daß Eelationen zwischen ihnen bestehen; denn nach (52) ist ja: 

co8*(T„a:) - ^ , cosni,, j/) = = "?;■ ’ 

♦ 

' also ist nach (53): 

(54) = 


; oder, nach A^, 0, aufgelöst: 

(^) = B.» 


Cr’A,' 

~W~’ 


c, 




Wie wird nun durch die Komponenten erster und zweit' ' 
Art der Tensor bestimmt? Seien etwa die Komponenhm A^, Bj, 
§E8ter Art gegeben, so ist nach (52) zunächst 


|(56) • Ti=A+B,+(7,, 

I d. der Betrag des Tensors ist dnrcb die Komponenten erster A^' t 
bestünmt; aber seine Bicbtungskotinusse nur dem absolut' n 
; Betrage nach, denn aus (52) folgt nur: ^ 

! (37) cosCTj.*) - ± ]/^,, cos(T;j,y) - ± - ± / fl ' 



367 


AUgmeine Dynamik starrer Körper, * 

Paduroh bleibt der Oktant, in dem der Tensor liegt, völlig un- 
bestimmt, indem die Gleichungen (57) acht möglichen Vorzeichen- 


kombinationen entsprechen: 

1) 

+ 

+ 

+ 

2) 

+ 

+ 

— 

8) 

+ 


+ 

4) 

— 

+ 

+ 

5) 

+ 

— 

— 

6) 

— 

— 

+ 

7) 

— 

+ 

— 

8) 

— 

— 

9 


wählend die in einem Tensor liegende Unbestimmtheit des Oktanten, 
die wegen seiner Zweiseitigkeit notwendig vorhanden sein muß, nur 
eine zweifache sein dürfte. 

Anderseits ist. wenn die Komponenten zweiter Art ge- 

geben sind, nach (56) und (55): 


(58) 


T, 


A' ' ^ cy 


d. h. der Tensor ist seiner Größe nach auch durch die Komponenten 
zweiter Art vollkommen bestimmt, aber gleichzeitig auch seiner 
Kichtung nach. Denn aus (53) folgt offenbar: 


cos (li,x) = Bl cos (Ti,y) = cos (Ti,^) 

oder: 

(59) co8(Tp x ) ; cos [l^y): cos(Ti, z) = • Jr » 


während gleichzeitig nach (57) und (55) sich für die Eicht ungskosinusse 
selbst ergibt: 


(60) 


cos(T„a:) = ±|/-^‘'y ; 

cos(T„ »/) = ± j 

1 


COS(T„ 2) = ± J 

' C.'T, 


IHe Größen unter dem Wurzelzeichen sind stets positiv, wie unter Be- 
achtung der Formeln (55) und (52) leicht folgt; die Eichtimgskosinusse 
fallen also stets reell aus, wie es sein muß. 

Eie Komponenten zweiter Art bestimmen also wegen (59) außer i 
d<.‘in Betrage der Eichtungskosinusse auch deren relative Vorzeichen; | 
sie bestimmen somit die Sichtung des Tensors vollständig und zeigen 
«ich somit den Komponenten erster Art überlegen. Sind zum Beispiel 
alle Größen A\ C positiv, so muß man wegen (59) in Gleichung (30) 
die Vorzeichen entweder alle positiv oder alle negativ wählen: 


1 ) + + + 
2 ) ^ - 



a68 


f puimät «fc trmr KSrpit, 






d. h, man hat hier gerade diejenige ünbestimtatbeit, nlmlioh eine zweit * 
fache, die im Wesen des Tensors notwendig begründet ist. 

1 Dagegen zeigen sich anderseits die Komponenten erster Art denen 
I zweiter Art überlegen, wenn der Tensor Tj mit einer der Koordinaten- 
i achsen zusammenfällt; z, B. wenn Tj in die aj- Achse fällt, so ist nach (62); 


(60a) 

. pnd nach (53): 
(60b) 


-4|=:T|, jB^==:C7j=0, 


d, h. in diesem Falle versagt die Bestimmung des Tensors aus den 
^Komponenten zweiter Art, wählend die aus den Komponenten erster 
ZAürt möglich bleibt und sogar besonders einfach wird, da Tj direkt gleicli 
«ner Komponente erster Art wird. Daraus geht sofort hervor,, daß 
Al, Bl, Ci mit Tj gleichartige Größen sind, während dies für Ai,' B/, C/ 
offenbar nicht gilt. 

Wegen des folgenden ist es notwendig, zu untersuchen, wie die Kom- 
ponenten Al, Bl, Ci, Al, Bl, Gl eines Tensors Tj sich ändern, wenn 
man von dem Koordinatensystem (x,y,z) zu einem dagegen gedrehten 
{S,ri,C) übergeht. Von den Vektoren wissen wir bereits, daß sie sich 
fransformieren, wie die Koordinaten selbst; von den Tensoren, deren 
Komponenten ganz andersartig gebildet sind, ist dies schon von vorn- 
’ heran nicht zu erwarten, ♦ 

Es mögen (x,y, 2 ) und (^,ri,C) in folgender Weise zusammen* 
hingen: 

^ == «if + diV + «3^ > 

. 2 = yif + y*«? + ysC • 

^ '* 

I^Die Komponenten erster Art des Tensors Tj in Bezug auf das (f, //,?)■ 
;Ä^tejfn sind nach der Definitionsgleichung (52) offenbar: 

(52Ä) Ji;-T,‘co8>(T,,{); « TiC08*(Tj,!/); (?, « T, co8»(TpD. 

4^nigen zweiter Art nach (58): 

($8a) I * Ti T, co8(Tj,{)J5oti{Tjt{); 




T,cog(T,,ßco8{T,,?). 


Es sei nnn der Tensor T, durch eine vom Kpordinatenanffljig»t'un)^*^ 
|i,^zogene Strecke repräsentiert von der GrdBe Tj und von der ’di iK 
Sensor zukommenden Biditnng, von der wir einen d«| beiden möglichen 
j^nne willkürHeh anszeiohnen, und die daher entwvdel'dmrch die Wink' * 
Jii.»), oder durch (T»Ö,.(T„«), {T„Q;dl^niert »*. Df 
JSndptnkt dieser Strecke habe die K^r^oaträ (a; fj z) ifQ»- iß’ ’?> 

. E| ill d(^ ‘(^enbar; 



fl 

<|«n\i*X • ^fc^** * ÄiAiVV mÄ« <&>^<»C<« •**»-« 

Tct'>-ilV»ii~\^»ti>*y -<“i>/^i'> j Ajc*. fiJieX*. Ajuv*W*»«c4 

uÄ *T»wt ^►v^'LJL^^'n. , 

|?c'i Vi £* 

y U. A r, 


z' 

. 1 1 . 

i : 


rxr,i 

* ^.7i; : 

t 1 


T-, • i </ 

i A* 

t 

r* 

' r,./>,r, 

A r;^, 

A V.' ^ 


A' 

r/ 

A A A 

A r»Zi 

Vt. 

Tsi < : 

A‘ 

r/’ 

AA?i 

Anzj 



ft T„ ZK/, Ar.n \r,*rxf'i v> ^»tn 

!«/>,;«, Ar>r, v,+nA n‘,«jr, V-^'A*_ 

I ■ ' 

ft«,«, :fi^,j5, /«nn ftri't/».r, T,«!i>nz, *Aj"*‘-h 





^ 'I^'' < 


A W' Mite^MÜMMK Kiä'!^ >" 


ai^>|^*Aa!-^ ’****<» f 

•yT* /mA I>~mJ j«.laC<>^< J' •'■^> 5 ■’"*^ -■ .“^•'^ -s^Of «-Ä •*r*^*«r4Cy.>s>T- 
,^^^Ä/>Ji-(* “? . i ?,-T’ --J-S* -'••«' ^■'*^'‘ .V.- v-o.’ 


^ \ \ 

5 Y^ x. 

X-lZIi 

.V f _ tv '. 


^ 't'iV 

' • 4* 

' _ •• 

■.4.' •<*'>' 

<4 *♦ 41' 


iV 

>■? iV 

;^c r. ^'i 


^ jV iV 

i\'1 ■■' 

iv V • 

nr 

il’ 

■ 

•‘i '<■ iV 
f C^ *'‘ 

. - s.* it i . 

'• * ' t» V t ‘ 

T 

dt*' 


i’v! 


T* Jl 

tV 

'>;^ , «■ 

/'i'^-' ,'»{1 

Ut-'^V 

h 

^ ^ V'r' *i‘ ^ ' , 

C' "3^ 

2 Y ', '4 ^ ^ 


'r*‘»-'*‘i't if'<^‘‘^ 

? 

iv 



1 




Ätigemim Dynamik atarrer Körper^, 


859 


cos (Tj* a?) « ” , cos (Tj, y) » > cos (T^, z) j 


H ' »I 

Abo köimen die Tensorkompbneoten in Bezug auf das {x,y,zySyntem 
geschrieben werden: 

I«) A,.^. C:- 4^: c/.a. 

Ebenso ist für die Komponenten im System: 

(61 a) Jj- , Ö, » ; J/- 4i , ß/- ^ • 


Drückt man nun in den Gleichungen (61) die Koordinaten x, y, z 
durch ihre Werte in rj, C »us, so erhält man z. B. für für das wir 
allein die Eechnung durchführen wollen: 


(52a) =01*1* + 02 *//* + + ^cLiCtzSt] 4- ^OgOgayC + 2a3aiCf , 


(1. h. unter Berücksichtigung von (61a) erhält man das folgende Trans- 
formationsschema : 


(62) 


Al ^ Aiü^ -{• Bia^-\- Via^^-\-%Ai f 

Bl - -Vi* + W+ 

Ci ^ A^yi^ + IiiY2^+ Giy32 + 2.4i'y2y3 + 2/fi'y3yi4"2CVyiy* , 

^ Al = AißiYi + fhßiVz 'l' ^'iß^yz “I“ Ai (ß^Yz +^33'2) 

+ >y (^3yi+/iy3) +^i'(^iy2 +Ä n), 

Bl = Ay,a, + 7 ^ 1^202 + ^irsOa + (^203 +^302) 

+ BJ (ys«! f yiOs) + 7^1' (yia 2 + 7 % «1)^ 

Gl = Aiüißi + ^^\^zß% 4" ^ 1<*3^3 “1" (®2^3 “t' ^ 3 ^ 2 ) 

4" B^* («3^ 4" 01 ^ 3 ) 4“ ^ '/ («1^2 4- «2 ft)* 


Bie Komponenten erster Art transformieren sich also wie 
tlie Quadrate, die zweiter Art wie die Produkte der Ko- 
ordinaten. 


Nunmehr können wir zur Untersuchung von mehreren Tensoren 
übergehen; denn in der Natur kommt häufig, ja sogar meistens, der 
Fall vor, daß Tensoren zu je dreien auftreten, die drei zueinander senk- 
rechte Bichtungen haben. Dann haben wir in der Voi gischen Äus- 
drucksweise ein sogenanntes „Tensortripel“ vor uns. Das Tenaor- 
tripel ist durch sechs Größen vollkommen bestimmt, nämlich offenj^ 
dwh die Beträge der drei Tensoren Tj, Tj, Tj, und durch die 4reä 
Winkel, die die Bichtttng des Tensorachsenkreuzes gegen das Koor^naten- 
^^ystem festlegem Wir wollen nun die Komponenten erster und 
jedes Tetäth dieses Tripels bilden; d. h. die Größen Ai, 
nV Og, Ct und die entsprechenden gestrichenen 


Bilden 


d^n dte, Jumnien der zusanmjengehärifen I^Qjttpdilön^^^ 



860 


Mdohanik starrer Körper, 


A = 4i + -^2 + 

B =c= Bj -f Bg 4; B3 » 

C = + C 2 + C^f 

A'= .4i'+ ^ 2 '+ A^\ 
B'== B/+ 82 '+ B 3 ', 
C'= 0/+ ^^2 + ^3^ 


SO haben wir sechs Größen, die wir A, B, C, - 4 ', B\ C nennen 
wollen, durch die, wie sich zeigen läßt, das Tensortripel im 
allgemeinen gleichfalls vollkommen bestimmt ist. Man macht 
sich leicht klar, daß die obigen sechs Größen voneinander völlig unab- 
hängig sind, was eine selbstverständliche Voraussetzung der eben aus- 
i^gesprochenen Behauptung ist, daß sie das Tensortripel bestimmen. 

Betrachten wir zum Beweise eine beliebige Richtung s durch den 
Koordinatenanfangspirnkt, so können wdr derselben folgende Funktion 8 
mit Hilfe der sechs Größen A, B, C, A\ B\ C und der Richtung.*^- 
kosinusse cos (s x), cos (sy), cos ( 52 ) zuordnen: 



S=A cos* (s a?) -f B cos* {sy)+C cos* (s ^) + 2 ^ ' cos {s y) cos (s z) 
+ 2B' cos {$z)cos {sx) + 2C' cos (sx)co8 (sy). 


' Die hier definierte Größe S ist ein Tensor, da ihr zwar eine be- 
stimmte Richtung s zukommt, aber eine Änderung der Winkel (sx), 
(syj, (sz) um nichts an S ändert. 

Konstruieren wir nun eine^) Oberfläche zweiter Ordnung, indem wir 

den vom Anfangspunkte gezogenen Radiusvektor B = nehmen, 

wobei das untere Vorzeichen zu wählen ist, wenn S negativ ist. Dann 
«ind natürlich: 

: C 08 (sx) * usw., 

und aus (64) wird: 

,(65) ±l:=^Ax^+By^ + Cz^ + 2A'yz + 2B'zx + 2Cxy; 

(of, p, z) 8ind dabei die Koordinaten eines der Fläche angehöronden Punktes. 

Flache ist offenbar völlig bestimmt, wemi A, B, C, A\ B'. C 
gegeben sind. Man kann auch von den auf das (f , ??, f)*8ystem bezogenen 
GtdSen A, B, Z\ Ä\ Ü, Zf ausgehen, und eine (65) analoge Fläche bilden : 

[65a)^ ±1 + Gf* + 24'i?f+2/?C| + 2C?'|i7, 

wobei (f, rj^C) die Koordinaten eines Punktes der Oberfläiehe sind. Wii 
behaupten nun, daß die durch (65) und (66 a) definierten Fliehen ideu 

*) Dä» Wort „eine“ ist cum gruio seile zu versieben. Es sich ' 
weiteren EtCi^tmng zeigen, daß d» Gleiobung (65) .unter ümsdUidÄi zw^ f/ 

konjugierte Hyperboloid also zwei FUoIien zweiter Grd)|Uiig, darstellt. ' 

verstäiidnls ist durch die obige kurze Aueßtucksweisb ab^ ||d|^u»egßch. 



361 


AUgmeme Dynamik starrer Körper.. 

" ■i'?=i=^-:rr-_ - -^---=:crj==z==rÄi;: 

tisdh sind, d. h. daß die nach der Vorschrift (65) gebildete Fläche gegen 
eine Koor^natehtransfori&ation invariant ist. Denn benutzen wir dig 
Gleichungen, welche f durch x, y, z ausdrücken, so folgt aus (65a): 

± 1 [a,®+Ay +n«P+ H<hX+ß2y+Yi^f+ öla^x+ß^yi-y^z]* 

-{-2ä [®3®'t*^32/"f'y3^*] 

+ 25 ' ia3X+ßay+ Yaz] [aiX+ßiy+ y^z] 

+ 2C {<iiX-\-ß2y-\-yiZ^[a3X-\-ß3y-\-ß2z]. 

Ordnet man diese Gleichung nach den Größen x*, i/*, z*, yz, zx, xy, 
BO hat man z. B. für den Koeffizienten von x*: 

doi® + 4- + ß/y'agOi + , 

und das ist nach der ersten Gleichung (62) nichts anderes wie A ; ebenso 
folgte als Koeffizient für y^, z^, yz, zx, xy resp. B, C, A', B', C'\ 
mithin geht Gleichimg (65 a) durch die Transformation wirklich in (65) 
über, womit die Invarianz der Fläche (65) gegen Koordinatentrans- 
formationen bewiesen ist. Daß wir auch wirklich die Gleichungen (62) 
hier benutzen dürfen, beruht darauf, daß die hier benutzten Größen 
A, B, C A', B', C nach Gleichung ( 68 ) Summen von Tensorkompo- 
nenten sind (z. B. A ist die Summe Ai + A^ + A^); die Summen 
transformieren sich aber natürlich wie die Summanden. 

Wählen wir nun speziell unser Koordinatensystem (x, y, z) so, 
(laß die Achsen rbspektive mit den Hauptachsen der Fläche (65) zu- 
sammenfallen, so müssen die doppelten Produkte verschwinden, d. h. 
A' = B' = G' =0 werden. Was bedeutet dies hinsichtlich der Lage 
der Tensoren Tj, Tj, T 3 des Tensortripels ? 

Wir wollen, um diese Frage zu beantworten, zunächst voraussetzen, 
daß die drei Tensoren Tj, Tj, T3 des Tripels voneinander verschieden 
sind. Ferner legen wir denselben für einen Moment, um die Zweideutig- 
keit der Bichtung zu beseitigen, einen bestimmten Bichtungssinn 
l'('i, so daß die Winkel (Tj, x) . . . bis (Tj, z) vollkommen eindeutig fest- 
gelegt sind; wir Wählen diese Bichtungen so, daß das Achsenkreuz des 
i ensortripels, ebenso wie das (x, y, 2 )-Sy 3 tem, ein rechtshändiges System 
'urd. Ferner bezeichnen wir der Kürze halber die Bichtungskosinusse 
der T gegen die Achsen folgendermaßen: 

cos (Ti, ®) = Ol ; cos(Ti,p) cos (Ti,s) = 

cos (Tj, x) = Oj ; cos (Tj, y)=ßt; cos (T*, z) — y2-. 
cos (T„ x) = oa ; cos (T 3, y) = ßs', cos (T3, «) = ya . 

0 P^c®®B®*eiohnungen sind so gewählt, damit wir für die zwischen dieatito 
de *VT ® Belationen die Gleichungen (33), (84), ( 86 ), (87) 

* P* 8 » 824 ff. unverändert benutzen können. 

DefmitionsgleicLungen (68) und (68) lassen äch nun die 
’® 8 «ngeir ‘ 4 ' ^ ß' ^ q so.sol^ibeh: 



r I ^ ’ — T" 

362 . , * Meekanik •torrer Körper, - * , ' 

I ^ ^ißiYi + ^ißiYt + “^zßsYi — 0 

^6) l B' « Viai + TjyaOa + TayaOs == 0 / ^ 

I Cs T^^ißi + ~\~ *^303^3 Ä 0 . 

, Wir behaupten» daß, wenn diese Gleichungen befriedigt sind unter 
der Voraussetzung Tj 4= Tj =t= T3, die Tensoren mit den Koordinaten- 
achsen, also auch mit den Hauptachsen der Fläche ( 65 ) zusammenfallen. 
Zunächst ist leicht zu sehen, daß das eine hinreichende Bedin- 
gung für das Verschwinden der Gleichungen (66) ist. Denn ist z. B. 
Ti parallel der ®- Achse, Tj parallel der y- Achse, T3 parallel der 2- Achse, 
so ist Ol = Jjj = 73 = ± 1 , dagegen = 03 = y* = 03 = jS, «= 0, 

Man sieht in der Tat, daß unter dieser Voraussetzung die rechten Seiten 
^yon (66) sogar einzeln verschwinden; also ist Gleichung (66) erfüllt. Das 
ist natürlich auch der Fall, wenn Tj usw. einer der anderen Achsen parallel 
ist. Wir wollen nun zeigen, daß das Zusammenfallen der Tensoren mit 
je einer Koordinatenachse auch notwendig zur Erfüllung von (66) ist. 
Benutzt man die Belationen ( 85 ) des VL Kapitels auf pag. 824 , so 
Aann man die erste Gleichung (66) schreiben: 

^ s* Tj {ß2Y2'^ßzyz) + ^zßiYz + ^zßzYz ~ ^ * 

oder 

A s (Tj— Ti)^2y3 -f (T3— T|) = 0 ; 


analog die übrigen, so daß wir erhalten: 

I ^ * (T2~“ T|) ß^y^ + (T3 — T|) ß^y^ = 0 , 

(66a) ß' « (T3 ~ T,) y,a^ + (T3 - T,) 7303 == 0 , 

' I C SS (Tj— Ti) 02^2 + (T3— Tj) 03^3 = 0 . 

^ In dieser Gleichung sind ai,ßi,yi eliminiert; diese drei Größen können, 
wegen der Belation Cj* -f ft* + yj* = 1 nicht alle verschwinden; 
nehmen wir etwa an, Oj 4= 0 . Jetzt erweitern wir die zweite Gleichung (66a) 
mit ß^, die dritte mH y^ und subtrahieren; es folgt: 

^sC^a““ Tj) (yzßt'^Yißz) ~ 0 • 


Vporch Erweitern derselben Gleichungen mit resp. ß^ und 73 und Subtraktion 
i^lgt weiter: 

' 03(12- Tj) {Yzßz-Ytßz) = 0 . 


Öwide Gleichungen können vermittels der Belationen ( 87 ) des VI. Kapih Irf 
, auf pag. 825 einfacher geschrieben werden, da der dritte Faktor gk‘i^ i‘ 
Ol ist; also: 



(T3— Tj)oia, 0 , 

(T2-T,)oia3 = 0. 


Diese Gleichungen köimen nur ‘erfüllt sein, da T3— T|^,0, T3-- T1 + 
^ Oj4^ 0 sein sollen, wenn gleichzeitig ' ^ 




^'‘ AUgenuint liynamik atarrer Körper. 868 

Wegen oi* + 02 * + <* 3 * = 1 folgt daraus weiter, daß ± 1 , und 
damit aus Oj® 4 - ft* + yi® — Ö,'! daß auch /Jj = = 0 sein ‘ müssen- , 

bas ^stem 

ai = d:l; ßi = Yi = 0 

bedeutet aber, daß (unbeschadet der Zweideutigkeit, die sich 
im doppelten Zeichen von ausdrückt) mit der jr-Achse zusammen- 
fällt. Genau ebenso läßt sich zeigen, daß auch T 2 und Tj mit je einer 
der anderen Achsen koinzidieren; man kann es also durch geeignete 
Numerierung der Tensoren erreichen, daß mit der Achse, Tg mit der 
«-Achse koinzidiert. 

Also: Aus der Bedingung A' = B' = C'=0 folgt, wenn 
alle Tensoren Tj, Tg, Tg voneinander vers.chieden sind, daß 
die drei Tensoren je einer Koordinatenachse parallel sind, 
d. h. mit den Hauptachsen der Fläche (65) zusammenfallen. 

Das folgt jedoch nicht mehr, wenn zwei der Tensoren Tj, Tg, Tg 
einander gleich werden. Wir wollen nunmehr diesen Fall untersuchen, 
also etwa annehmen Ti=T 2 , aber Tg 4 ^ T^ und Tg 4 = Tg. Dann ver- 
einfacht sich ( 66 a) folgendermaßen: 

f (Tg Ti) ^g^g = 0 , 

( 66 c) I (T 3 -~Ti)y 3 a 3 = 0 , 

t (Tg—Ti) Ug^g = 0 . 

Diese Gleichungen sind nur dann und stets dann erfüllt, wenn 
zwei der Größen Og, /Sg, yg den Wert 0 haben; die dritte hat dann den 
Wert ±1 wegen der ßelation ag^+/J 3 ^+y 3 *=l. Sind z. B. a^z=ß^=z0, 
yj^z=z ±1^ so heißt das, daß Tg mit der «-Achse koinzidiert. Würden 
wir eine andere Wahl treffen, so würde Tg mit einer der beiden anderen 
Achsen koinzidieren; doch kann man dann die Numerierung der T so 
abändern, daß stets Tg mit der «-Richtung zusammenfällt. T^ und T, 
liegen dann in der ay-Ebene, aber über ihre Richtung läßt sich nichts 
aussagen. 

Sind endlich alle drei Tensoren einander gleich, Tg = Tg = Tg, so 
sind die Gleichungen ( 66 a) stets erfüllt, bei beliebiger Lage der Tensoren. 

Nehmen wir nun den ersten Fall T, 4= Tg 4= Tg an. Dann folgt 
aus ^'=:B' = C' = 0, daß die Richtungen dieser Tensoren resp. den 
Koordinatenrichtungen parallel sind, und durch geeignete Numerierung 
kann erreicht werden, daß T^ parallel der aj- Achse, Tg parallel der Achse, ; 
Tg parallel der «-Achse wird. Dann werden die Winkel folgende Werte J 
annehmen: 

(T,,a:)«0, ' (Tpy)-.(Tp«)«±Y; 

(Tg.#- ± i , (Tg, y)^0, (Tg,«) « ± f ; 

ä) * dt ^ * (Ts> y) ** i -g * ® > 



884 


Meehanik Harrer Körper. 'n 
Abo wird nach den Definitionsgleichungen (63) und (52): 

ß = ßj = Tj , 

C=C3 = T3, 

abo die auf (x, y, z) ab die Hauptachwn bezogene Fläche (66): 

± 1 = TjX* + TjÄ* , 

und, wenn die Größen der Halbachsen derselben durch a,b,c bezeichnet 
werden, so muß sein: 

C-T.-). 

Es ist nun die Fläche (65) stets durch die Werte A, B, C, A\ B\ C' 
völlig bestimmt, da die Größen und Bichtungen der Halbachsen be- 
stimmt sind, und damit auch die Größen und Bichtungen der 
Tensoren Tj, T2, Tg des Tensortripels. Dieses ist also, wenn 
Ti+T 2 4 =T 3, durch die sechs Größen A, B, C, A\ B\ (7 voll- 
koBcunen bestimmt, was zu beweisen war. 

Snd dagegen Tj = Tg 4= Tg, so folgt, wenn wir die Bezeichnungen 
unverändert lassen: 

C = Cg = T3 und /f =B==Ti==:T 2; 

]dnd die Fläche (65) wird dann eine Botationsfläche: 

Ti(a:»+.V") + Tg^« = ±l. 

Es sind dann zwei Halbachsen einander gleich (0 = 5), und man hat also: 



Die durch A,B,0, A\ B\ C bestimmte Botationsfläche bestimmt durch 
die Größe der Halbachsen zwar die Tensoren des Tripels der Größe nach 
noch vollständig, aber die Bichtung nur eines Tensors, Tg, während die 
Biohiung der beiden anderen in der zu Tg senkrechten Ebene unbestimmt 
bleibt. Diese Unbestimmtheit liegt in der Natur der Sache, da in dieser 
.letzteren Ebene alle Bichtungen gleichberechtigt sind, wie sich sofort 
der Bedeutung der Fläche als Botationsääcbe ergibt. 

^ Sind endlich alle drei Tensoren einander gleich, so ist zwar die 
* Größe derselben bestimmt, nicht aber die Bichtung derselben. Die 
'^Fläche wird um ihr Zentrum symmetrisch, also eine Kugelfläche, 
und. alle durch das Zentrum gehenden Geraden sind gleichberechtigt. 

'vDie sechs Giößen A, B,C ,A', B',C' nennt man, weil durch si« im 
all^ineinen das Tensortripel völlig bestimmt ist, der Kftrze halber ein- 
lieh die Komponenten erster und zweiter Art des^j^enso^ipelö* 
Sind die Tensoren Tj, Tg,. Tg alle positiy oder aÜ^'he^fäv, so ist 
die jpiäche (66) ein BlUps^id; ist dies 



AUgeimme Dynamik starrer Körper, 366 

Gleichung (65) zwei zueinander konjugierte Hyperboloide. Man spricht 
jedoch der Einfachheit halber gewöhnlich von Fläche (65) als dem 
„Tensorellipsoid“, während man besser „Tensorfläche“ sagen 
sollte. 

‘ Die Beziehungen dieser Untersuchung zu den Trägheitsmomenten 
liegen auf der Hand. Das Trägheitsmoment um eine beliebige durch 
einen gegebenen Punkt gehende Achse in der Eichtung $ ist nach (26) 
ebenso durch sechs Größen T^, T^, T^, bestimmt, wie 

nach (64) der Tensor S in der Eichtung s durch die sechs Größen A, B,C, 
A\ B\ G\ Das Trägheitsmoment um eine beliebig gerichtete Achse 
ist daher ein — stets positiver — Tensor. Das TrägheitseDipsoid ist 
ein spezieller Fall der Tensorfläche, die Trägheitsmomente um die Ko- 
ordinatenachsen sind die Komponenten erster Art, die Deviations- 
momente die Komponenten zweiter Art eines Tensortripels, dessen 
drei Tensoren Tj, Tg, Tg mit den Hauptträgheitsmomenten identisch 
sind. 

Man kann noch in einer anderen Weise, als dies hier geschehen ist, 
die Tensoren einführen; diese zweite Art wollen wir hier erwähnen, weil 
sie in der Elastizitätstheorie die von selbst gegebene ist. Wir köimen 
nämlich die Gleichung der Tensorfläche (65) in folgender Weise schreiben: 

i 1 =s! (A X'\“C y B X 
+ (C'x + By + A'z) y 
+ {B'x-\-A'y + Cz) z . 

Daiin können wir x, y, z, die Koordinaten eines Punktes der Tensor- 
fläche, als die Komponenten t,, ty, Vg des Eadiusvektors t nach diesem 
Punkte bezeichnen; diese sind mit linearen Ausdrücken multipliziert, 
die gleichfalls als Komponenten eines Vektors dt betrachtet werden 
können, so daß 

( = + C"ry + 

iienn da die linke Seite der Flächengleichung ein Skalar ist, so stellt 
in dieser Auffassung die rechte Seite den Ausdruck 

• r, • + «y • ty + », • t, 

und das ist das skalare Produkt der Vektoren fR und t, also eben- 
falls ein Skalar, wie es sein muß; die Auffassung, die durch Gleichung (67) 
ansgedrückt wird, ist also zulässig. In diesen Gleichungen sind Vektor- 
komponenten als lineare Funktionen der Komponenten eines anderen Vek- 
tors ausgedrückt; man nennt deshalb 8t eine „lineare Vektorfunktion 
f ^ V ®P^ 2 iell in unserem Falle ist die lineare Vektorfunktion homogen 
ein absolutes Glied fehlt, und die symmetrisch 
Glieder gleiche Koeffizienten haben, ibiff lineäre 



866 Meehamk aiamit Köfptir» 

homogene symmetrische Vektorfunktion bat sechs unabhängige Koef- 
^ fisdenten, wflirend eine beliebige lineare homogene Vektorfunktion deren 
offenbar neun hat. Die sechs Koeffizienten der Vektorfunktion (67) sind nun 
die Komponenten unseres Tensortripels. Umgekehrt lassen sich stets die 
sechs unabhängigen Koeffizienten einer linearen homogenen symmetrischen 
Vektorfunktion als Komponenten eines Teflsortripels auffassen j denn 
von der linearen Vektorfunktion (67) gelangt man rückwärts zur Fläche 
(66), und diese bestimmt ja, wie wir gesehen haben, ein Tensortripel dev 
Größe und Richtung nach im allgemeinen vollständig. 

Dieser Gesichtspunkt wird in der Elaistizitätstheorie im dritten 
Buche der vorherrschende sein. 


76. Die Eoleriohen Gleichungen für einen in einem Punkte lestgehaltenen 

Körper. 

Bevor wir daran gehen, die Bewegung eines ganz freien starren Körpers 
zu untersuchen, wollen wir zunächst die Bewegungsgleichungen für einen 
in einem Punkte festgehaltenen in geeigneter J’orm aufstellen. In diesen 

Punkt S legen wir den Anfangspunkt 
sow'ohl des (jf, y, ;j)-Sy8tems als auch 
des (f, f)-Systems (Fig. 105). Mit 
Bezug auf das ruhende (ar, y, ^)-Systein 
{ haben wir nun die Momentenglei- 

chungen (7). Die Lage des beweglichen 
Systems (f, r), f) wird entweder diiroli 
** * die neun Bichtungskosinusse Cj . . . 
gegen (a:, y, z) unter Beachtung Hrr 
zwischen ihnen bestehenden sech< 
Belationen, oder durch die Euh i- 
schen Winkel 9 ?, y bestimmt. Wir 
Pig. 106. werden später das O-Bystt in 

mit den Hauptträgheitsachsen «lun K 
di^ festen Punkt zu.sammenfallen lassen; vorläufig aber wrollen wir 
darin volle Freiheit bewahren. 

Nun wollen wir die Gleichungen (7) auf das bewegte Systf^m (f, ri, ' 
beziehen, üidem wir alle Größen a?^, darauf trau * 

formieren. Zwischen den Kraftkomponenten Y^, Z^ und^ H,., Z, 
bestehen die nämlichen Transfonnationsgleichungen, ^e zwiHclnn 
{x,y,z) und (f,i7,f)» nämlich die Gldohungen (29) VI. Kapitels auf 
pag.828, in denen, da die Nullpunkte zusammenfaljei|' oJo» 0 ' 

setzt werden müssen. Dies fol^ sofort aus dem Umstande, daß die Kräit<^ 
vom Koordinatensystem unabhängige Vektoren sii||^ Wir erhalten 
zunächst aus der Glmchnng (29) VI. KiapiM beliebi]^ 

y> k)t, 

. >* 




367 


AUgemtim Dynamik ttarrer Körper. 

^ «j + H «j + 2 «g , 

Y^Eß,'+Hß, + Zß„ 

2»=yj +Hyg + Zy,; 

also folgt z. B. für das Moment der Kraft 9t um die a:- Achse: 
Zy-Yz^[E.Yi+Hr,+ZY»)(iß, + riß^ + ;ß^) 

— (^ßi+ H/?g + Zßg)[iYi + VYi + S^'g)- 

Bevor wir an die Ausrechnung gehen, wollen wir eine kürzere Bezeich- 
nung einführen. Wir nennen das resultierende Drehmoment der Kräfte 
SR und seine Komponenten nach den (x, y, z)- Achsen resp. SW^, »i ,TO^, 
seine Komponenten nach den beweglichen Achsen entsprechend 
SR,, 3R,j, SHj. Also ist z. B. für das Moment einer Kiaft: 

— Y; 2 ; Wl^ = Zi? — usw. 

Man erhält leicht: 

3», = (= V - H Dö'g ß, - Y, ß,) + {H^- ZfiW, ß, - r» ß,) 

+ (Zi-~Q[Ytßi-Yiß»), 

oder, unter Benutzung unserer neuen Bezeichnung und imter Bäcksicht 
auf die Gleichungen (87) des vorigen Kapitels (pag. 825): 

aH. = SR,.ai + SR,.ag + 8Rf.ag, 

und so fort für die übrigen Momentkoni[)onenten. Insgesamt erhalten 
wir also das Kesultat: 

[ SR, tti -f 3»^ • ug + SRf • oj, 

(68) ^y=%-ßi + ^.rß2 + ^>-ß,, 

\ 9l.= «. yi + 3R, >’* + SRf ys. 

otler nach SBj, 3R,, 3Rj aufgelöst: 

( 3R.= aR,-ai + 3«g-ft + 8R,.yg, 

(68a) I + + 

l SRf = SR, • «s + 3Rg • + 3R; • ys. 

6- h. auch die Kraftmomente transformieren sich wie die Kräfte und 
oordinaten. Nicht dasselbe gilt von den auf der rechten Seite auf; 
retenden Geschwindigkeiten, die bekanntlich von der Bewegung des 
Koordinatensystems sehr wesentlich abhängig sind. Hier müssen wir 
anter Zuziehui^ der Formel (29) des VF. Kapitels (pag. 828) einfadt 
■^usrechnen. Wir erhalten so für den auf der rechten Seite von (7) stehf^n.-’ 
Ausdruck — wir behandeln wieder nur die erste Gleichung — ; 

^ - 4' ' - (tYr + ->-3? + £-4?) (« A + 1 A + d) 

, ■ , , ~ (* jf + ■' -jf + f 4f ) (i >’l t « )•,,+ 



368 


Mechanik starrer Körper, 


Das liefert ausgerechnet: 



dx dz 

und zwei analoge Gleichungen folgen für die Ausdrücke z — jj- x, 

die sich aus den obigen durch geeignete zyklische Vei- 
tauschung ergeben. 

Nunmehr ziehen "wir, um die Koeffizienten von f*, bequemer 

ausdrticken zu können, die Gleichungen (52) des VI. Kapitels auf pag. 881 
heran, welche die Kotationskomponenten in Bezug auf die C-Achseii, 

4r’ W’ * durch die Kosinusse . . . ^3 ausdrücken. Es ist naelj 
diesen Gleichungen z. B, 


iL 

^dt 

dt 


du 


dfy 


^3 dt dt ^3 dt 


d »t 

‘'2 jr 


+ ßt vf*' + yt 


dfj 

ir 




iBrweitem wir diese, wie angedeutet, mit resp. und 03 und addiiren, 
so folgt: 


«3 Ir + “» d l “ ^^2 “2 “ d 1 ■ 


:^i nnd daö wird nach den Gleichungen (87) des VI. Kapitels (pag. 825 j; 



Ibotalog fo^en die beiden anderen Gleichungen durch geeignete zyklisclif 
Vertimschnng: 



«1 


A* +•« A?- 

di di 
dr , dn 

Ti +“»Tr 


ä|? “'j'ilf • 


Bezeichned wif die Faktoren von jj f , i’l» f jy'in (89^<^lÄuÜg der K'i' » 
halber durch die reep. Abkürzungen 4|', ' 

«dureibar; 



Aüganmne Dynamik starrer Kürper. 


369 


+ ^ (“> vr + “i 7r) + 4'- « f + '«.'• £1 + 4'- { 0 , 

oder auch in anderer Zusammenfassung: 

(’2) fe* + f*) + «, If- (?* + 1*) + «3 -j?- (I* + 

+ f I -f I . 

Entsprechende Formeln ei-geben sich für aij und x--~ yj • 

äT"' - TT ® j "(>?* + O + + I*) + ^3 (I* + ,2) 


(73) 


(f o; 


dn , 


+ 4"-*?? + 4"*?^ + 4"- 1*7. 


dl ® - -rf = yi -57 ('7* + ?*) + y* (f* + I*) + y, -Jf (I* + ,2) 


Versehen wir in (72) un<l (78) die «roßen £r, y. z. f, y, c usw. mit 
dem Index r. multiplizieren mit m, und summieren über die ganze 
M^se des starren Körpers, so stellen die zeitlichen Ableitungen der so 
erhaltenen Gro^ dm Kiaftmomente um die ®, r- Achsen dar, die wir 
also durch SR^, W,, SR^ zu bezeiclmen haben; rechts treten die Ausdrücke 

27»..(^* + ?/). :^mX* + sV)i 2%(l,* + o, 

auf, die nach den Erörterungen der Nummer (74) nichts anderes sind als resp. 

Tj, T,, Tf, ü^, U^, U^, , 

(1. h. die Trägheitsmomente und die Deviationsmomente um die S- «- 
f- Achsen. Also folgt zunächst: ' 


(74) 


SR B ^ 

st t 

% 


dt 

a» « 

y dt 
d 
dt 


dn. 


45r’'‘f + “2jfT,+«, Jj’Tf + 4 ' -D.+j; .D,+ 4 ' .4 


d(. 


_^^dt ^f'*'4” *^f-^4' ■^7''‘4" 

■^t + ya^[T,+y,-JJ-Tf+4"^D^+4''^^/^+4"^4 

I'ur späteren Gebrauch wollen wir hier noch die Größen J ' A 


( 75 ) 


AJ B 3 il* _ y i/t 4. /} „ dft 

Ps d < 7^» Tr + Pi T? ~ T', -jf 1 

.J ' B Ä _ y 4Ä . o dji _ dft 
t i« ri d/ 7^1 di ^ Fs d« ^*'dt7’ 


L 4' «^“iL _ «4a + Ä ia y 

Sch.. • ^ d< TfF» d* • y» dT* 




84 



370 


j, Mechanik sihrrer Körper^ 

Daraus ergeben sich die entsprechenden zwei- und dreigestrichenen 
Größen, indem man bei konstantem Index die Buchstaben y 

zyklisch vertauscht. 

Die Gleichungen (74) sind recht unangenehm zu behandeln; sie ge- 
statten aber eine weitgehende Vereinfachung, wenn man jetzt das (f , ?/, f)- 
System geeignet festlegt. Bisher w-ar es ja nur insofern Ix'stimmt, als der 
Koordinatenanfangspunkt desselben sich in dem festgehaltenen Punkt ti 
des Körpers befinden sollte; jetzt aber wollen wir das 
System mit den durch diesen Punkt gehenden Hauptträg- 
heitsachsen zusammenfallen lassen. Dann verschwinden nän^cli 
nach Gleichung (47) die Deviationsmomente, d. h. = 

^U3yd Tj, T^, werden identisch mit den Hauptträgheitsmomenten, die 
wir, wie es üblich ist, durch A, B, C bezeichnen wollen. Dami wird ans 
(74); wenn wir gleichzeitig noch (68) W,, 91, durch 91^, 91^, 91^ 

ausdrücken: 



«.•yi+«,-y2+«i:'y3=s7 




dt 


di ' di 


]|ührt man rechts die Differentiationen aus, und erweitert diese Glei- 
chnng^ der Beihe nach z. B. mit «j, und addiert sie, so folgt 

hi^ daher ergibt sich, da rechts 


<h«t+ßißt+yin 

/ 


«i«s + ßu% + Yir, = «1 h? +ßi^ + yy 


dH. 


dt 


dt 


'di 



^ dfi dt 1, 1 dl di ^ 'y dt ) 

+ ^-dt' r » ~dT + ßy dt + yy dT) ' 


od^ äiit fiäcksicht auf die Gleichungen (52) des VI. Kapitels auf pag. 331 : 


^ 7/* ^ 1< 7r + ^ ~iT UV' 


nsw. ffe die eweite und dritte der Gleichungen (76). Mah erhält 
sichlieSlich folgende Gleichungen, die man Leonhard Euler verrianlU, 
die sogenannten „Eulerschen Gleichungen": 



B-Sl + W-CI-lf-If.Siy 

,s , . ' ^ 'V Sr 


371 


AUgtmeim Dynamik atarnr Körper. 

Aus ihnen läÖt sich in gewfssen einfachen Fällen 1^’ 4f 

stimmen, und dann hat man aus den Formeln (61) des vorigen Kapitels, 
die wir hier nochmals anschreiben: 


- sin v- sin^ 4f + 


d Q 
dt 


cos & 


d (p 

hf 


dip 

dt 


die drei Eulerschen Winkel <p, yf, & als Funktionen der Zeit zu be- 
rechnen. Dann ist die Lage des (f,?y,C)-Systems gegen das im Punkte S 
befindliche, an der Botation nicht teilnehmende (a;, ;?)-System zu jeder 
Zeit bestimmt, und damit ist allt^s erledigt. 

Die Eulerschen Gleichungen (77) gestatten Glied für Glied eine 
anschauliche Deutung; es genügt, die erste von ihnen zu betrachten. 

A , das Produkt aus einem Trägheitsmoment und einer Winkel- 

beschlounigung, ist das Analogon zur d’Alembertschen Trägheits- 
kraft, und ist ein Eotationsmoment äußerer Kräfte. Nach den 
Bemerkungen a'm Schlüsse der Nr. 73 würden diese beiden Glieder die 
einzigen sein, die auftreten könnten, wenn die Botationsachse 
gleichzeitig im Baume und im Körper festläge. Die Euler-, 
sehen Gleichungen beziehen sieh nun aber auf ein nur im Körper 
festes Koordinatensystto und die erste der Eulerschen Glei- 

chungen stellt eine Botation um die im Baume variable f-Achse dar. 

Man sieht also von vornlierein, daß das Glied {C—B) sein Auf- 

treten der Botation des benutzten (f, f)-Systems verdankt. Nun 
haben wir bereits früher gesehen, daß bei Zugrundelegung eines rotie- 
renden Bezugssystems scheinbare Kräfte auftreten: die mit der Zentri- 
fugalkraft identische Führungskraft und die Coriolissche Kraft. Die 
letztere entsteht nur, wenn der betrachtete Massenpunkt eine Bewegung 
relativ zum rotierenden System hat, was hier nicht der Fall ist, da 
mit dem starren Körper verankert sind. Es können also — so vermuten 

wir — die Glieder (C— B) ^ ^ und die entsprechenden in den übrigen 

Eulerschen Gleichungen nur Botationsmomente der Zentrifugal- 
kraft sein. Diese Behauptung wollen wir im folgenden verifizieren. 
Es sei in Fig. 106 OC die Bichtung der augenblicklichen Botations- 
achse, die also, wenn wir den Betrag der resultierenden Botatikte 

durch oj abkfirzen, Blphtjmgskosinnsse 



372 


Mechanik starrer Körper. 



dt . dt dt 

(ü ’ 6) ’ O 

besitzt. Koordinaten eines beliebigen Massen- 

punktes m/y den Banmpunkt Q bezeichnen wir durch Das 



von ihm auf die Eotationsachse gefällte Lot trejfe iliese in G und habt^ 
die Länge Die auf den Massenpunkt Avirkende Zentrifugal- 
kraft hat dann den Betrag (nach Kapitel II, Nr, 26, 61. (23) auf pag. 86 j : 

und, wenn a, jS, y die Winkel sind, die die von C nach gerechnete 
Bichtang vonB, mit den (f , ?y, f)- Achsen bildet, so sind die Komponenten 
der Zentrifugallaaft auf das Teilchen m/. 

= Wy B,,co8a, 

= cos/?, 

^¥C =** y • 

Älso^ wenn wir über den ganzen Körper summieren^, folgt für die Koiu“ 
ponenten der gesamten Zentrifugalkraft: 

«.«ö>*-2w,B,coay, 

^ y 

nnä tör .cUe Hoaponenten de« 


378 


^ Allgemeine Dynamik starrer Körper. 

7 “ 

=* (>)*'^[m^%R,co8Y - m^C^R^coaß], 

y 

{3»,} = W* 2 {i^y ?» COS a - TO, I, jß, cos r\ , 

y 

{SRfl = «*21”^»^» R,cosß — TO,»/, B,co8«}. 

*• 


Wir müssen nun B^cosa, R^conß, fi^cosy, d. h. die Projek- 
tionen von By auf die drei Achsen ausdrücken. Da B^ gemäß der Fig. 106 

die geometrische Differenz von OP^ und OC darstellt, so sind die Projek- 
tionen von By einfach gleich der gewöhnlichen Differenz der entsprechenden 

Projektionen von OP^ und OC; die Projektionen der ersteren Strecke sind 
offenbar ÖC müssen vär aasrechnen, und zu diesem Zwecke 

bilden wir den Kosinus des Winkels & zwischen der Eotationsachse OC 

und dem Lagevektor OP^; da die Richtungskosinusse der ersteren, wie 
schon oben angegeljeii, resp. 

diT dx dq 

‘ 'df ~dt ~df 


die des letzteren offenbar 




sind, so ist 




COS& = 


-j-r «f + -j r tr 




^*^1" i* ''1- J‘ _ 

lind für die Strecke ÖG erhalten wir aus dem Dreieck OOP/. 

I-Ln 

"At 


OC 


du 

dl 


c « X 

Vy + ~ TT” Vv + "TT 


dt 


Die Projektion OC' von OC auf die f- Achse ist also 

dn dt 
dt 


bc 


dV’”'*' dt 


also ist endlich der zu bildende Ausdruck B,cosa: 


dn 


Sy + 


dq 

dt ^ 


ebenso; 


dn 

dt 


dx 


dq 




B,C0Ba - I, - • 

B,C 08 /?- 1 ,,^^A 

f 4. Al« 4.ALr 
. “ -tf 



374 


Mechamk starret Körper, 


und mit diesen Teerten werden die Momente der Zentrifugalkräfte j 

du . , dx „ 'dd 

■5r^'+-Tr’'+Tr‘' 




;• _ li. . 

^ di 


dx dt dT’’”'*' d* ^ 1 
0,«- — 


und zwei analoge Gleichungen für {3R^j und {SB J . 

Den Ausdruck für {WJ wollen wir ausrechnen, und dabei gleicJj 
die Ausdrücke (22) für die Deviationsmomente einftihren; dann folgt: 


i«.i - -It TT + (4f )' + 2 4f 


dg 

di 


- u, 


dit 

:Tr 


dt 



dt 


dg 

dt 



Da aber die C- Achsen mit den Hauptträgheitsachsen durch dm 

festen Punkt zusammenfallen, sind alle Deviationsmomente gleich Null; 
also ist einfacher: 





. li 

~dt dt 


Die Ausdrücke ond sind die sogenannten Bi net- 

r r 

sehen Trägheitsmomente, die wir in Nr. 74 (Gleichung 17) durch resji. 

und bezeichnet haben; sie hängen nach derselben Gleichung mit 
den Trägh^tsinomenten T, und folgendermaßen zusammen: 

T, = -K-ö,, 

T, = Ä-0f, 

•Im ist Öf— Tf, oder gleich (B—C), da T^und Tj hier uiit 
Hanptträ^rätsmomenten identisch sind. Also «ird {9t.} (ntxi 
gilt für |9l,} und {9^}): 


Es können also die Enlerschen Gleichungen (77) geschrieben werdf n: 




{77a) 

,• * 

1 




womit die fragliidi^ Glieder tatsächlich il^ Dettili^:^ Botation^* 
momente der Pfil||ongB*(Z^tri^8l-)Krafl» ^ 



Allgemeine Dynamik starrer Körper» 876 



ruhte; nur sind die Führungskräfte mit unter die äußeren Kräfte auf- 
genommen, was der allgemeinen Theorie der Nr. 26 auch vollkommen 
entspricht. 

Man kann endlich die Eulerschen Gleichungen in sehr ein- 
facher Form mit Hilfe der Vektorsymbolik schreiben. Denn berück- 
sichtigt man, daß der Drehimpuls ll die Komponenten -4—, 

(7 die Eotationsgeschwindigkeit tt die Komponenten 

hat (alles auf das bewegte (f,ry,C)-System bezogen), so sieht man leicht, 
daß die Botationsmomente der Zentrifugalkräfte als die Komponenten 
des Vektorproduktes [ll tt] aufgefaßt werden können, so daß man die 
Eulerschen Gleichungen in der folgenden Vektorgleichung zusammen- 
fassen kann; 

(77b) + = 

Dabei ist geschrieben, um die vom bewegten System aus beurteilte 
Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulses II von der Änderung 

die vom ruhenden System aus bemrteilt ist, zu unterscheiden. 

Wir haben damit gleichzeitig einen allgemeinen Zusammenhang zwischen 
<ler von einem ruhenden und von einem bewegten System aus gemessenen 
Ändermigsgeschwindigkeit eines beliebigen Vektors Ä gewonnen: 

( 78 ) 

Denn bei der Transformation des II. Impulssatzes (etwas anderes sind 
ja die Eulerschen Gleichungen nicht) auf das bewegte System haben 
wir von ll nur allgemeine Vektoreigenschaften benutzt. 


77. Reduktion der allgemeinsten Bewegung des starren Körpers auf zwei 
einfachere Bewegungen. 

Wir haben jetzt die allgemeinste Bew^egung eines starren Körpers 
zu untersuchen; diese ^äßt sich jedoch auf zwei uns bereits bekannte 
Rewegungstypen zurückführen, nämlich auf die Bewegung eines mate- 
riellen Punktes und auf die in der vorigen Nummer be- 
handelte Bewegung eines starren Körpers um einen fest- 
gehaltenen Punkt. 

Aus den Bewegungsgleichungen (6) und (7) des starren Kör]^ 
äßt sich nämlich folgender Schluß ziehen: Zunächst lehren die Gwi- 
^ringen (6), daß der Schwerpunkt sich so bewegt, wie ein 
^viasse^unkt, auf den die Gesamtkraft 3?#« wirkt, und der 'die' Ge- 



376 Mechanik starrer Körjicr. 

samtmasse ==5 M Hes starren Körpers besitzt. Der Schwerpunkt 

V 

bewegt sich also wie ein isolierter Massenpuhkt. 

Die Momentengleichungen (7) beziehen sich auf ein im Raume festes 
Koordinatensystem (ä, y, ;?), Wir wollen nun aber zeigen, daß sie 
auch für ein Koordinatensystem {z\ y\ z') gelten, dessen 
Anfangspunkt im Schwerpunkt S des Körpers verankert ist, 
^tind deesen Achsen den x, ^-Achsen dauernd parallel sind. 
{x\ y\ z') führt also im allgemeinen eine beschleunigte Translations- ' 
bewegung gegen das Fundamentalsystem (oder das (ic, 2^)- System) aus 
(Mg. 107). Machen wir uns zunächst klar, was es bedeutet, wenn die 





Oleichungen (7) auch für ein im Schwerpunkt l)efestigtes, (x, y, z) dauernd 
* paralleles System (x', y', O gelten. Das heißt .doch offenbar nichts 
fuaderes, als daß die Translationsbewegung des Schwerpunktes sich in 
den Gleichungen (7) nicht bemerkbar macht, daß also der Schwer- 
pnnkt hinsichtlich der Momentengleichungen (7) als ruhend 
bdtrachtet werden kann. Die allgemeinste Bewegung d(^ 
Katarren Körpers ist damit reduziert auf zwei wesentlich ein- 
eine Translationsbewegung des sich wie ein Massen- 
punkt verhaltenden Schwerpunktes, und eine Rotation 
starren Körpers um den festgehaltenen Schwerpunkt. 

Wir gehen jetzt zum Beweise dieses fundamentalen Satzes übt j. 
Es seien die Koordinaten des Schwerpunktes S im (x, y, r)-Systein, 
stets, durch* jf, t), i bezeichnet; dann sind die Koordinatfm (x'^, 
eines beliebigen Punktes P im neuen System mit seinen I&ordinattn 
(Xy, y^, z^) im alten System durch die Gleichungen Verbunden: 

( x,-E + x;, 

, 



Aügemeine Dynamik $ta/rrer Körper. 


_ 377 

ßieichnng (7), für die wir die BechiSimg allein durch- 

■ +».-)- y.» + o) - + ^f) (» + v:) . 

oder anders geordnet: ~ (-^y + (ä + «/)} • 

.2|y.y;- y. v| + «2'^. - ä2r. - .42’’». 


+4 


(-21 « -i if) +4 («2».-&'- a2-».^l 


(■2f2''».y.'- 2!-2*>.v) 


Nun sind aber, da die Koordinaten (s',9',i') des Schwerpunktes im 
neuen System stets gleich Null sind: 

M5'=2m,<= 0 

und ebenso: 




so daß schUeßlich folgt, wenn rechts die Differentiation im zweiten 
Gliede ausgeftihrt wird: 

2" i'.v) + (»2^. - *2’'.)- 42-”. (-2?».'- v) 

+ 2 ’”'(S'>-S-»j- 

Zieht man jetzt die Gleichungen (G) heran, so heben sich die auf beiden 

beiten stehenden zweiten Glieder infolge des Schwerpunktsatzes heraus, 
und es folgt: 

die in der Tat nut der ersten Gleichung (7) völlig übereinstimmt. 

H‘ ist der behauptete Satz bewiesen, und wir haben nur noch 

le otation eines starren Körpers um seinen als festliegend gedachten 
werpunkt zu untersuchen. Das ist aber liereits in der vorhergehenden 
rlwi- 8^sohphen, und wir haben also — wenn wir das System {*', *') 

•«^^eichnen, da wir den. Schwer- 
kif 7 1 - betrachten können — durch den vorhergehenden 

sehen rliS* Gleichungen (74) und (76), sowie der Euler- 

system fA Schwerpunkt S liegendes Koordinaten- 

Bichtn bewiesen, und zwar der beiden ersteren für eine beliebige 

daß ^ *?■» f'Achsen, der Eulerschen Gleichungen für den P^, 

Punkt 7 .;? “i* den Hauptträgheitsachsen durch den Schwer- 

r Äusammenfallen. 

b«chsten KfiS “®ht ein, die vielmehr dem 

Kapitel vortobalten bleiben sollen. 


(/*/ 


0 , 




Mtehanik starrer Körper. 


SiwrKie eintt itiina ESnwi« 


49t es nütssUohi^. den Ausdruck ^diö ldi 
S^l'o^ st^xcn E&rpers zu besitzen. Wir haben natörlioh 


dabei ist die Qesoliwindigkeit jedes Punktes nach dem festen Ko- 
ordinatensystem (x,y,z) zerlegt; aber es muB natürlich dasselbe heraus- 
kommen, wenn nach den Achsen des (f,jy,C)-Systems zerlegt wird. Dann 
haben wir an Stelle der obigen Gleichung die folgende: 


(80) 




' und darin setzen wir für ~-i — die Werte ein, die aus den Glei- 

chungen (51) des VL Kapitels auf pag, 331 sich ergeben, wenn man 
diese durch dt dividiert und zur Grenze dt=0 übergeht. Diese Glei- 
chungen werden dann mit etwas veränderter Bezeichnung: 



d I» ^ d|o . w d X 
dt dt df 



dfjp _ d^ V dp u dj^ 

dt dt dt ’ 

dt dt dt ^^^dt ' 


Durch Kombination vdn (81) mit (80) ergibt sich für die doppelte kinetisclie 
' Energie der Ausdruck: 


(4?)’+ (4f)’t + (If)’ 

+ (4f) + V) + (4f) + o 

+*(4f 4 t - 4f 

+2(4f4f-4f7r)2-^f:,.\ 

Benutzen ■wir die Werte (10) und (22), (är dia ’ 


urnl 



Allgemeine Dynamik elarrer KörpSr. 


379 


Peviati»nß,momeij|e b^üglicb der Achsen, so werden diese^i^Bf* 

drücke» ^ Gesamtmasse M einführen: 


(82) 


Ä-«((4f)'+(4«V(4^)} 


.(4r) 

Vt,| 

[dt ; 

r+i 

ü ^ 

dn 

dl*" 

217, 

dn i 

Jt 

(dlo 

d Q 

di. 

dz 

U< 

TT*“ 

dt 

dt 

Mi 

dn 

dS, 

dg 

[dt 

d i 

dt 

~df 

/dio 

dz _ 

dfi. 

d n 

ur 

dt 

dt 

dt 






Wählen wir als Anfangspunkt des (f, C)-Systems den Schwerpunkt, so 
wird 

(4f)V (-!?)•+ 


wenn ^ der 
sind dann 


Betrag der Geschwindigkeit des Schwerpunktes ist; ferner 
==2%?» “ 


und HO folgt für 2L: 

I 21 - «e + T,(^)'+ T, T, (Aj-)’ 


( 88 ) 




Man kann daher L als aus zwei Teilen bestehend auffassen: 

(84) L«fc> + L', 

WO L' eine leicht ersichtliche Abkürzung ist. Das erste Glied ist die- 
jenige kinetische Energie, die der Schwerpunkt haben würde, wenn 
in ihm die Gesamtmasse konzentriert wäre; L' ist die kinetische Energie 
dos starren Körpers bei festgehaltenem Schwerpunkt, also die kinetische 
Energie der relativen Geschwindigkeit in Bezug auf den Schwerpunkt; 
man nennt L' daher auch kurz „die kinetische Energie relativ 
zum Schwerpunkte“, oder auch, da die Bewegung um den fest- 
gehaltenen Schwerpunkt eine Rotation ist, die kinetische Energie 

der Rotationsbewegung, dagegen wird die kinetische 

Energie der fortschreitenden Bewegung des Schwerpunktei 
is'^^nannt. ^ 

Eine weitere Vereinfachung für 2L fo^, wenn wir die 
Achsen durch den Schwerpunkt so legen, daß sie mit den Haupteägheits 
wichsen z^aminenlallto; denn 4ann .werden: 



380 


Mechanik starrer Körpert 


und BO folgt: 
(85) 


T,^A, 


T,-B. T,^C, 


2L»Mc» + ^(-Jf)’+ß(4f-)’+c(^)’ 


und wenn endlich der Schwerpunkt festliegt (c=0): 

(86) 

Derselbe Ausdruck ergibt sich offenbar auch, wenn nicht der Schwer- 
punkt, sondern ein beliebiger anderer Punkt des Körpers festgehalten wird. 
Mit Hilfe dieses letzten Ausdruckes für L lassen sich z. B. aus dem 
lEtamiltonschen Prinzip (oder aus den Lagrangeschen Bewegungs- 
gleichungen zweiter Art) die Eulerschen gewinnen, worauf jedoch hier 
nicht näher eingegangen werden soll; der Leser sei hierfür etwa auf 
Kirchhoffs „Mechanik“, Vorlesung 6, verwiesen. 


79« Da« Kräftesyatem de« starren Körpers; Statik. 

An einem starren Körper werden im allgemeinen Kräfte der mannig- 
faltigsten Größen und Bichtungen angreifen. Es entsteht so für die 
Djnf^mik die Aufgabe, diese Kräftesysteme auf möglichst einfache Typen 
atiruckzuführen. Diese Aufgabe ist ganz analog der im vorigen Kapitel 
geloeten kinematischen, wo für die allgemeinste Bewegung eines starren 
Körpers nachgewiesen wurde, daß sie auf eine Translation und eine 
Botation zurückgeführt werden kann, die insbesondere so gewählt werden 
können, daß eine „Bewegungsschraube“ sich ergibt. Bei der kine- 
matischen Untersuchung haben wir von der Vektorrechnung keinen Ge- 
brach gemacht; dafür wollen wir sie hier in den Vordergrund stellen. 

Um das jetzt vorliegende Problem zu lösen, führen wir zunächst 
den Begriff der „äquivalenten Kräftesysteme“ ein. Die an einem 
«tarren Körper angreifenden Kräfte kommen in den Bewegungsgleichungen 
(6) und (7) nur in den Kombinationen: 

‘2^.. Ä 

; ~ - z^xS, - x, </,) 

r r 9 

vor. Fassen tnr diese sechs Größen vektoriell zu je dreien zusammen, 
so kann man anch sagen: Wir haben es in den Bewegnngsglei* 
ehuhgen nur zn tun mit den beiden ans den Kräften ge- 
bildeten Vektoren: 


(87f 

2«. 

v^d 


(88) 






ÄUgemeine Dynamik starrer Körper. 


381 


Jedes Kräfte^ystem also, das unter gleichen Umstäliden auf 
den starren Körper wirkt, und das ihit dem wirklich vor- 
handenen in den Ausdrücken (87) und (88) übereinstimmt, würde 
dieselbe Bewegung hervorbringen, wie das tatsächlich an- 
greifende System, und wird daher dem gegebenen Kjaftsystenpi 
als „äquivalent“ bezeichnet. Die Aufgabe ist die, das tatsächliche 
Kraftsystem durch ein möglichst einfaches äquivalentes zu ersetzen. 

Zunächst möge ein ganz einfacher Fall von Äquivalenz betrachtet 
werden, der auf den Charakter der an einem starren Körper angreifenden 
Kräfte ein Licht wirft. Es wirke an dem starren Körper nur eine Kraft 
die durch eine äquivalente St ersetzt werden soll. Dazu muß nach (87) 
und (88) St die beiden Bedingungen erfüllen: 


I «“«1 
i [t«] »[*.«.] 


Darin sind die Lagevektoren der Angriffspunkte P und von St und 
durch X und bezeichnet, konstruiert vom festen Koordinatenanfangs- 
punkte 0 aus. Die erste Bedingung (89) fordert, daß die äquivalente 



Kraft St der wirklich gegebenen Sti an Größe und Bichtung gleich sein 
^oll. Sehen wir für einen Moment von der zweiten Bedingimg (89) ab, 
^>0 haben wir etwa das Öild der Figur (108). Darin ist schon St^Sti ge- 
wählt; nach der zweiten Gleichung muß aber sein, wenn wir die erste 
mit hinzuziehen; 

, [««] = [tl«l] = [*!«]. 

Oder 

Qieichung hat die drei Lösungen: 

(91) • »=0; 8in(t-ti,«)=0. 

l>ie beiden ersten sind trivial; denn iür ist öberba^t 



882 


Mechanik starrer Körper. 


Kraft an dem Körper vorhanden, und für würden die Angriffs- 
punkte von St und zusammenfallen, d. h. das selbstverständliche 
Besultat folgen, daß eine Kraft mit einer ihr gleichen am gleichen An- 
fangspunkte äquivalent ist. Somit bleibt nur die letzte Lösung übrig, 
daß der Winkel zwischen (t— t^) und ft. gleich Null wird. | t— tj | ist 
aber die Strecke PPj, d. h. die Verbindungslinie beider Angriffspunkte, 
die demnach mit ft^ (und ft) die gleiche Eichtung haben muß. Es folgt 
also der Satz, daß eine Kraft fti einer gleich großen ft äqui- 
valent ist, wenn der Angriffspunkt der letzteren nur so 

bestimmt wird, daß die Eich- 
tung von fti durch denselben 
geht; im übrigen kann der 
Angriffspunkt der Ersatz- 
kraft auf der so bestimmten 
Geraden beliebig verschoben 
werden. Fig. 108 erfüllt diese 
Bedingung nicht und muß daher 
durch Fig. 109 korrigiert werden. 
Man kann das anschaulicher aus- 
drücken: Eine Kraft kann in 
ihrer eigenen Eichtung im 
starren Körper beliebig ver- 
fiicboben werden; sie ist also — wie der Drehungsvektor — ein 
*,4iBi^öflüchtiger Vektor“. 

Man erkennt ferner leicht die Eichtigkeit des folgenden Satzes: 
Gegeben sei ein beliebiges Kraftsystem und ein ihm äquivalentes, das 
also nach Definition mit dem ersteren die Stücke (87) und (88) ge^ 
meinsam hat; drehen wir nun das äquivalente System um,, d. h. die 
Eichtung jeder Kraft desselben, und fügen dieses inverse äquivalente 
System deip gegebenen Kräftesystem hinzu, so werden für das kont 
fainierte System offenbar: 



(92) 


2 «. 
V 


0 , 


0 . 


Wa« bedeuten diese Gleichungen? Das erkennAi wir, wenn wir die Gl' )- 
diuug des Prinzips der virtuellen Verrückungen bilden: 

(93) - ^ 0. 


Setzen wir darin für dr,, dy„ die Werte von GleithUng (8) diese? 
Kapitels ein und argumentieren im ülurigen genau 90,, wie bei Au&tellun^; 
der Bewegnngsgleiidinngen in Nr, 78, so erhalten ..wir als Gleifii- 
gewicht'sbedingungen für den starren Körper: 

2^. -Sn 




S83 


, Aüge/mim Dynamik starrer Körper. 

oder •vektoriell geschrieben: 

d. h. ebendie Gleichungen (92); diese stellen also die Gleichungen 
der Statik eines starren Körpers dar. Ist der Körper zur Zeit 
^=0 in Buhe, so bleibt er unter Einwirkung eines den Gleichungen (92) 
gehorchenden Kraftsystems in Buhe; war er zu Anfang in irgendeiner 
Bewegung (z. B. Eotation) begi'iffen, so bewegt er sich so weiter, als 
ol) gar keine Kräfte an ihm wirkten. Wie diese kräftefreie Bewegung 
ausfällt, werden wir in speziellen Fällen im nächsten Kapitel zu unter- 
suchen haben. 

Wir haben damit den Satz: Das gegebene Kraftsystem und 
ein inverses ihm äquivalentes halten sich am starren Körper 
4as Gleichgewicht. 

Nun gehen wir zur allgemeinen Untersuchung über. Da eine Kraft 
sich nach dem obigen durch eine andere Kraft ft ersetzen läßt, wenn 
nur der Angriffspunkt geeignet gewählt wird, so liegt die Frage nahe, 
oi) stets einem beliebigen Kräftesystem fty(v = l,2...) eine 
Einzelkraft äquivalent sei? Nennen wir diese Einzelkraft ft und 
(len Lagevektor ihres Angiiffspunktes r, so muß nach Definition der 
Äquivalenz für diese Kraft sein: 

J 

\ V V 

d. h. di(^ äquivalente Einzelkraft ft muß einerseits gleich sein der Besul- 
tante der Systemkräfte, und zweitens ihr Moment gleich der Summe 
der Momente 2 SRy der gegebenen Kräfte. Wann ist dies der Fall? Wenn 
wir die zweite Gleic^^ung (94) skalar nüt ft multiplizieren, so folgt: 

»[r ft]«ft23R.* 

V 

Nach der Definition des skalaren und vektoriellen Produktes aber kann 
man sich leicht — eventuell durch Ausrechnung — überzeugen, daß 
ft [t ft] = r [ft ft] ist; der letztere Wert ist aber gleich Null, da [ft ft] =^0; 
tilso lautet die letzte Gleichung: 

r 

oder wenn man nach (94) die Werte einsetzt i 

¥ ¥ 

Woichung (95) stellt die Bedingung dar, der die gegebenen* 
ivrafte gehorchen müssen, wenn sie durch eine Einzelkraft 
setzbar sein »ollan. Da das gegebene Kraftsystem aber ganz will- 
kürlich ist, so nird im allgemeinen Gleichung (95) nicht erfüllt seiB^" und 
Wir haben dkher i^&chst das wichtige Pesultat: . tm allgemeinen ist 



884 


Meohanik siahrtr Körper. 


das an einem starren Körper angreifende Kräftesystem nicht 
durch eine Einzelkraft ersetzbar. 

Immerhin ist der Fall, wo dies dennoch zutrifft, in der Physik von^ 
großem Interesse, und wir wollen daher untersuchen, wann Gleichung (95) 
erfüllt ist. Sie hat drei Lösungen: 

(96) • 

V y V V 

Nehmen wir zunächst Dann ist nach der ersten Gleichung (04) 

auch ft=0; nach der zw'eiten Gleichung (94) muß daher 2 [^k®*- 3=Ö 
sein. heißt aber, daß das gegebene System 

t ¥ 

sich das Gleichgew^icht am Körper hält; in diesem Falle ist es 
durch eine Einzelkraft ersetzbar: aber der Fall ist deshalb uninteressant, 
weil die äquivalente Einzelkraft Null ist. 

Die zweite Lösung wäre = d.h. die gogelnmen Kräfte 

müssen so beschaffen sein, daß das resultierende Drehmoment der- 
selben gleich Null ist. Das ist möglich, wenn entweder alle Kräfte 
gleich Null sind — ein offenbar trivialer Fall — , oder wenn alle ver- 
schwinden, d. h. sämtliche Kräfte im Koordinatenanfangspunkt au- 
greifen, oder endlich, wenn die Richtung jeder Kraft St^ parallel ist, 
d.h. iwrenn die Kräfte radial auf den Anfangspunkt hin oder von ibni 
fort weisen. Dieser letztere ünterfall ist mit dem vorhergehenden iden- 
tisch; denn da die Kräfte linienflüchtige Vektoren sind, so können sie, 
ürexm die letzte Bedingung erfüllt ist, auch stets an den Koordinaten- 
anfangspunkt verschoben werden. 

Der dritte Hauptfall endlich tritt dann ein, ^enn die resultierende 
&aft 2®, und das resultierende Drehmoment ^ derselben 

r ¥ 

z^nkrecht aufeinander stehen. 

Diese letzte Bedingung ist z. B. stets erfüllt, wenn die Kräfte parall^d 
uizd gleichgerichtet sind, wie z. B. die Schwere. Nehmen wir eine 
der wirkenden Kräfte heraus, z. B. ®i, so sind alle anderen mit üir 
^cbgerichtet, unterscheiden sich also nur im Betrage, d. h. nur nni 
einen j^lareni Faktor von derselben, so daß man schreiben kann: 

Abo bt 

¥ ¥ 'l 

wenn wir-dns skaloFe Aggregat 2o, durch a abkürzen; ferner ist cian» 

- ‘ ' V" 




385 


^AUgemäfü Dynamik starrer Körper, 
wollen wir durch X bezeichnen ; 'f ist offenbar eine Art von Mittel- 
wert, der mit Hilfe der a, aus den t, gebildet ist. Dann wird: 

» 

Nach Definition des Vektorproduktes steht nun [i senkrecht auf der 
Ebene des Vektors t und des Vektors fti, also ist hier in der Tat das 
resultierende Drehmoment [««,] senkrecht zur resultierenden Kraft 
= ® fti gerichtet. 

Im Falle paralleler gleichgerichteter Kräfte ist daher die Bedingung 
(95) stets erfüllt: Parallele gleichgerichtete Kräfte — insbeson- 
dere also die Schwere — sind daher stets durch eine Einzel- 
kraft ersetzbar. Diese ist nach (94) nach Betrag und Eich- 
tung gleich der Eesultanten der wirklich angreifenden 
Kräfte. Die Eesultante ist in «fiesem Falle offenbar gleich 
der algebraischen Summe der Einzelkräfte. 

Nachdem im obigen die drei möglichen Fälle charakterisiert sind, 
in denen ein Kräftesystem durch eine Einzelkraft ersetzt werden kann, 
müssen allgemein wir den Angriffspunkt dieser äquivalenten Einzelkraft 
feststellen. Dabei schalten wir den uninteressanten ersten Fall 2#^®* 0 

r 

aus. Dann läßt sich stets aus (94) ein Punkt finden, in dem diese 
J’änzelkraft als angreifend gedacht werden kann. Denn schreiben wir 
die zweite Gleichung (94) in Koordinatendarstelluug, wobei wir aus der 
ersten für tt seinen Wert substituieren, so folgt: 

Dwin sind die sechs Größen • • • gegeben 

und bekannt; es folgt aus (37) z. H. für y und 2 die Darstellung: 


(98) 


2 " ’ 

, „ * 2 + 2(-Yy *y - Zy *,)_ . 


Heide Gleichungen stellen Ebenen dari deren Schnittlinie der geometrische 
Grt für den Angriffspunkt der äquivalenten Einzelki-aft ist. Daß es. 
T. 1.'*^ ^“nkt, sondern eine Gerade ist, ist selbstverständlich, da die 
hnifte linienflüohtige Vektoren sind. Eine besonders einfache Form 
iitdiraen die Gleichungen (98) in dem nicht seltenen Falle an, da$ alle 
.uäfte parallel und gleichgerichtet sind, ä. B. im Falle der Schwere, 
die die Erfüllu^ der Bedüngung (95) schon vorhin naohgewiesen wprde. 
funon wir die Biohtungskosinnsse der narallelen Kraftvektoren a.k.v.« 
w können wir schr^'beni-r*' . 



886 


( 99 ) 


Meekanik starrer Köt^.’ 

\ z, =;y • 


und dann ergibt sich für den Angriffspunkt aus (98) und (99): 


( 100 ) 


2 «» + «2 »V Ä» - ß'2,<^yßs . 

y « 2 a, 

- _ ®x2 *, +i‘ 2 *, «v - }i 25, a, 

* ,r2»/ 


oder in eleganterer Anordnung: 


{ 101 ) 


2 *,a, 


2 a, 




y 


2y,_a, 

28r 



Das ist eine Gerade von der Dichtung {a, ß, y), d. h. parallel der Rich- 
tung der Kräfte, die durch den Punkt 


(102) 


X 


2 »>a, 
2 a, ’ 




2 y,a, 
2a, ’ 


z 


2 *,a, 

“2är 


faindurchgeht. Dieser Punkt ist genau so aus den Koordinaten und den 
Kröten gebildet, wie der Schwerpunkt aus den Koordinaten und den 



Kg. 110. 


Manen; er beißt „Mittelpunkt der parallelen KrÄft^*. 'In 
Vftnti man die Ein^lkraft anbringen, abw natürlich 9 >n^, da die Kra 
ludttoflüchtig ist, an jedem Funkte der durch ihn hindnrchgehenut « 
Geraden (101). sperielleri Fällen wird der Mil^lpunkt der paralk i'H 
Kräfte mit dom Schwerpunkte identisch, wenn nft^^ ^ gämthc an 
Ä, {HTOportional den Massen % sitid, .wie dies z. B. bw 4® Schw« n- 
der FiÄ ist. 


f Kachdem iHr jetgt die spedeOen f i 
'eine Eiin^krait ' " ‘ 


__ in denen 
ifclst., -wollen WH' 



^ Allgemeine Jb^mik starrer Körper, 387 

zur Vorbereitung auf das Folgende ein einfaches Beispiel behandeln, 
in dem dies nicht mehr^der Fall ist. . * 

Es mögen an einem starren Körper zwei entgegengesetzt gleiche 
Kräfte fti und = angreifen und die Verbindungslinie * ihrer 
Angriffspunkte Pj und Pg falle nicht in die EichtuUg der Kräfte (Fig. 110), 
Die^ vom Koordinatenanfangspunkte aus konstruierten Lagevektoren 
der Angriffspunkte Pj und Pj seien ti und Damit eine Einzelkraft ft 
diesem Kräftesystem äquivalent sei, müßte nach der ersten Gleichung (94) 
sein: 

ft = ftj + ft2 “ 0 > 

und folglich müßte nach der zweiten Gleichung (94) auch 2 ^er- 

* ‘ V 

schwinden. Dies ist hier jedoch keineswegs der Fall; denn nach Fig. 110 
ergibt sich: 

+ [*2 » 2 ] “ [«1- *2» Äil; 

V » 

uud das ist von Null verschieden, da der absolute Betrag des 
Vektors (ti — t*) gleich dem Abstande Pj Pj der Angriffspunkte ist, 
und dieser nach Voraussetzung nicht in die Richtung von 9} f&llt. 
Also ist in der Tat keine Einzelkraft dem betrachteten 
System äquivalent. Dasselbe stellt vielmehr einen selb- 
ständigen Typus eines einfachen Kraftsystems vor; man 



nennt es ein „Kräftepaar“ oder einen „Drehzwilling“. Wir be- 
zeichnen es durch Als Betrag des Kräftepaares ^ bezeichnet man 
(Pig. 111) den Inhalt des Parallelogramms, das gebildet wird, wenn man 
den Angriffspunkt jeder Kraft mit dem Endpunkte der anderen ver- 
bindet (also z. B. in Fig. 111 das Parallelogramm PiQtPtQ^- 
ist gleich dem Produkte aus dem Betrage einer der beiden Kräfte nnd 
ihrem senkrechten ^hstande, oder auch gleich dem absoluten Betrage 
dos Vektorproduktes [*i— *g, Äi], d. h. gleich dem Betrage dfi dWl 
das Paar erzeugten resultierenden Drehmomentes. Tragen, wir se;^ 
recht zur Ebene der bejden Kräfte, etwa längs der Normaten, 

»albiert, die .j ab, und zwar in einet sb^h^ 

dab für ^ iie«(s^^ohtun(LautgegenbUoken^^ Auga ^ K^tl 



888 


Mechanik stamt '"Körper, 

päar umgekdprt dem ührz€jigeisinne zu drehen str^, sp 
Strecke der *6röße und Bichtung nach das Kräftepaar dar; 
das Kräftepaar ist daher ein Vektor, als dessen Angriffspunkt 
wir* vorläufig den Mittelpunkt der Verbindungslinie Pi Pg betrachten. 
Aber ein Kräftepaar ist ein freier Vektor, d. h. der Angriffs- 
punkt kann an jeder Stelle des starren Körpers angebracht werden. 
Denn verlegen wir das Kräftepaar — ohne natürlich seine Bichtung 
zu ändern — an irgend einen anderen Punkt des starren Körpers, so 
ändern sich 2 denn der erstere Ausdruck ist nach 

y ¥ ^ 

Definition des Kräftepaares gleich Null, und der letztere ist dem Betrage 
nach stets gleich dem Produkte der einen Kraft des Paares in den 
se n krechten Abstand ihres Angriffspunktes von der ahderen Kraft; die 
■JächtuBg ist nach Voraussetzung unverändert geblieben. Also ist in der 



^at gezeigt, daß ein Kräftepaar ein freier Vek ’• ist. Es ist natürlich 
I «och keineswegs notwendig, daß bei der Versi ’ebung des Angriffs- 
punktes des Paares i m sta rren Körper der Betrag u, Kräfte ftj (und # 2 ) 
sowie^ der Abstwd PjP* unverändert bleiben; verlangt wird nur, daß 
das Produkt ans der einen Kraft und dem senkrechten Abstande ihres 
An^piffspunktes von der anderen sich nicht ändert. Also köimen z. P- 
,die^lMfte des Paares verdoppelt werden, wenn ihr senkrechter Ab- 
sttt^ anf die Hälfte reduziert wird. Denn in beiden Fällen bleibt ja (ii<' 
der n^h der obigen Vorschrift auf der Ebene des Paares kon- 
'^^merten Normale, nämlich | [ti — t,, 9i} | ungeändert. 

, ,Wir wolkm zunächst den Satz beweisen, daß eine Kraft in.ihri i 
Wirkcung ''ersetzt werden kann, d. h. äquivalent ist eiiier nn 
binem vorgeschriebenen Punkte angreifenden gleich groß' n 
Kraft und einem Kräftepaar, dessen Bichtung senkrecht za 
^er der Kraft ist. Denn sei z, B, in Pig. 112 II, eihfr am Prakto ! > 
^nit dem Lagmivekkf. tj) wirkende Kraft, die dnrc^ eine gleioh gr«“*' 
" lif^ im.Pank^ P, niid ein Paar ersetzt werden , soll. Dann Ist kkw, “ 
'WSikung' der Kraft II, im Punkte P, ni«d»t gekillt 'wen“ ‘ 
ii|::Pttnkte- P, zwei|Krffte;'fc*i,». und 


889 


AUgmme Dynamik starrer Körper. 
diese beideh liefern ja weder zu 2 ®» noch zu 2 [t, ÄJ einen Beitrag. 

Verbinde ich jetzt Pj mit Pq, so kann ich die beiden Kräfte im 
Punkte Pi und —#1 im Punkte Pq als ein Paar ^ auffassen, das senk; 
recht zur Zeichenebene gerichtet ist. Es bleibt noch übrig die in der 
Zoichenebene liegende Kraft Sti in P 0 . Es ist also in der Tat dieses 
Paar ^ und die dazu senkrechte Kraft vorge- 

schriebenen Punkte Po der gegebenen Kraft in Pi äqui- 
valent. Dieser Satz ist offenbar auch umgekehrt richtig: Ein Kräfte- 
paar ^ und eine dazu senkrechte Kraft St können stets 
durch eine Einzelkraft ersetzt werden, wie schon aus dem Um- 
stande folgt, daß hier die Bedingung (95) erfüllt ist. Die Einzelkraft 
ist der gegebenen Kraft St der Größe und Eichtung nach gleich, nur 
greift sie an einem anderen Punkte des starren Körpers an. 

Nach diesen Vorbereitungen beweisen wir den Satz: Ein beliebiges 
an einem starren Körper angreifendes Kra^tsystem kann 
stets zurückgeführt werden auf eine Einzelkraft St und ein 
Kräftepaar Denn sei für das wirklich angreifende Kraftsystem 
die resultierende Kraft ^ und das resultierende Drehmoment 

V r 

Dann bringen wir im Koordinatenanfangspunkte eine Kraft 

an; diese liefert das Drehmoment Null, da sie durch den Anfangspunkt 
geht. Ferner lassen wir im Koordinatenanfangspunkte (oder einem 
beliebigen anderen Punkte des starren Körpers) ein Paar ^ angreifen, 

das nach Größe und Eichtung mit dem resultierenden Dreh- 

le 

momente des gegebenen Kräftesystems, übereinstimmt. Dieses Paar ^ 
liefert z» (resultierenden Kraft ^St^ keinen Beitrag, nach Definition 

des Kr Ipaares. Die Kraft ft und das Paar ^ zusammen liefern also 
die resultierende Kraft 2 das resultierende Drehmoment 2 

sind .also wirklich dem gegebenen Kräftesystem äquivalent, 
was zu bew^eisen war. — Dieser Satz ist 
analog dem im vorhergehenden Kapitel 
bewiesenen, daß die allgemeinste Be- 
wegung eines starren Körpers einer Trans- 
lation und einer Rotation äquivalent ist. 

Aber genau wie dort weiter gezeigt 
werden konnte, daß bei geeigneter 
Wahl des Bezugspunktes die Rich- 
tung der Translation parallel 
derjenigen der Botatio*n wird, sö kann auch hier be^wieSi^n 
^’^rden, daß die äquivalente Einzelkraft und das Pafe^? sb 
gewählt werden können, daß die Richtungen beider 
stimmen. Ein ^lojjes Krafts 3 rstem nenttt man eine „Kra|t8cbraij)i^> 
seien z, B, U8)^® und wßf die resultier^i^ 



Fig. 118 . 



'X ’ — 


390 Me^nik eiarrer 

das Paar, bmde im Koordinatenanfafigspunkte angreifend, auf die wir 
oben das gegebene Kraftsystem reduziert haben. Dann können wir fß 
ersetzen durch seine Komponenten und t|Jx> von denen die erste 
parallel, die zweite senkrecht zti ft gerichtet ist. Nach einem vorhin 
bewiesenen Satze können wir nun aber ft und , d. h. eine Kraft und 
ein dazu senkrechtes Paar, durch eine der ursprünglichen Kraft gleiche 
Einzelkraft ft' ersetzen, die lediglich an einem anderen Punkte angreift. 
Also haben wir statt des Systems ft und ^ das äquivalente ft' und 
wobei nun parallel ft' ist. Es ist also der Satz in der Tat be- 
wiesen, daß das allgemeinste Kräftesystem eines starren 
Körpers äquivalent einer Kraftschraube ist. Der Einfachheit 
halber wollen wir in Zukunft bei ft' und die Indizes fortlassen, wo 
^kein Mißverständnis dadurch entstehen kann, und also die Konstituenten 
;^der äquivalenten Kraftschraube einfach durch ft und ^ bezeichnen. 
Es fragt sich nun, wo die Kraft ft angreifen muß, und wie groß das 
Paar ^ sein muß. Was zunächst die letztere Frage angeht, so hal)en wir 
folgende Gleichungen, denen die resultierende Kraft ft und das Paar ^ 
genügen müssen, da sie dem gegebenen Kräftesystem ja äquivalent sind: ’ 


' r y 


Dabei ist t der (zu bestimmende) Lagen vektor des Angriffspunktes 
von ft. Diese beiden Gleichungen sagen nur aus, daß die durch ft und ^ 
hervorgerufenen Werte der resultierenden Kraft Und des resultierenden 
Drehmomentes gerade gleich ^9^ und 2 sein müssen, wie sie 

^von dem wirklichen Kräftesystem hervorgerufen werden. Es tritt noch 
hinzu die Bedingung, daß ft parallel ^ ist; diese werden wir erst später 
vierten. Werden nun die beiden Gleichungen (103) Seite für Seite 
;imtoiQander skalar multipliziert, so haben wir: 

Jtö4),-. «.f + »[t»] 

tpll] ist aber, wie sofort aus der Definition des skalaren und vekto- 
lädlen Prodäktes (oder auch durch Ansrechnen) folgt, gleich Null, dii 
ej gleich *[««] ist; also bleibt: 

pp 

oßar indem yrir jetzt die Yoraussetzui^ der Parallelität von Jl und f 
Wi^efaen: v 

/lAIH 



891 


JUgmmne , Dynamik starrer Körper, 

dafür au0Bpricht,*4aß das Kräftepaar ^ gleich Nall ist; der Biohtung 
nach stiUunt ^ mit def gegebenen resnltierenden Kraft ibetefn. 

¥ ^ tT* ” 

Wir "wollen nun den Lagenvektor t des Angriffspunktes der tesul- 
tierenden Kraft bestimmen, soweit es möglich ist. Durch skalare Multi- 
plikation der zweiten Gleichung (103) mit t erhalten wir: 

Das zweite Glied der linken Seite ist aber gleich Null, und so kann diese 
Gleichung vereinfacht werden zu: 

( 106 ) = 0 , 

oder weim wir dieses skalare Produkt ausführlich schreiben: 


(107) 


® + y • jip, - 

+ «{*P.-^X«,1} = 0; 


das ist aber Offenbar die Gleichung einer Ebene und stellt eine erste 
Bedingung für den Angriffspunkt {x,y,z) der resultierenden Kraft dar. 

Multiplizieren wir ebenso die zweite Gleichung (103) skalar mit 
S [*,»»]. so folgt: 

Setzen wir das resultierende Drehmoment ^ [t,®,] für einen Augen- 

« V 

blick gleich Sl, so laßt sich diese Gleichung schreiben: 

^•a»-i-«.[t®j = si», 


oder nach einigen leichten Umrechnungen: 

( 108 ) i[®«] = a»»-^a». 

Jetzt ziehen wir die Bedingung heran, daß ^ parallel ® ist, sich afao 
von ® nur um einen skalaren Faktor o unterscheiden kann; folglich ist: 

(109) ¥ = o®. 

Multipliaert man die zweite Gleichung (103) Seite für Seite skalar mit 

(109), so folgt: 

oder indem nochmals (109) angewendet wird: 


schjießh^h* ‘1®*' bnken Seite fort und es |ratt so^ 



Meohanik. skfrrtfr. Sßrpf'‘'_ 

(llb) 

M«iben « di» GWch». K^n.»d»t«li»g: . 

^ . . , j -> Plpiöhuna einer Ebene ist, auf der 

t» erkennt man, daß dies 'ßieichungen (107) und (IH) stellen 

"(05, »,2) sich befanden mu . /^jg Schnittlinie der beiden E^nen), 

dSÄ^« d» — d,B K,.« beu.., 

gewählt werden. Damt ist alles ® Aquivalenzsätze mit den 

Auf die Analogie der hie j+ejs ist bereits mehrfach hin- 

i^nematischen Sätzen ^ «ch! daß speziell der Trans- 

gewiesen worden. Erwähn ^ Botationsvektor und 

'Utionsvektor und das ^;*“®^hartige - resp. freie und linien- 

die Kraft sich entsprechen, da sie gle 8 
flüchtige - Vektoren darstellen. 



Achtes Kapitel. 

Spezielle Dynamik starrer Körper. 

80 . Das physische Pendel ; experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten« 

Als erstes spezielles Problem der Bewegung starrer Körper behandeln 
wir den Fall, daß ein starrer Körper sich unter dem Einfluß der Erd- 
schwere um eine im Baume und im Körper feste horizontale Achse 
dreht. Diese Bewegung ist einerseits 
besonders einfach, anderseits von 
fundamentaler Wichtigkeit, weil sie 
bei allen wirklichen Pendeln vorkommt. 

Einen so befestigten Körper nennt man 
zum Unterschiede von dem früher l>e- 
handelten „mathematischen“ ein 
„physisches Pendel“. Als horizon- 
tale Drehungsachse wählen wir die 
«/‘Achse, die mit der ?/- Achse Zu- 
sammenfalle. Die Bew'egung geschieht 
dann in der a;;8r*'Eben0; die 2 -Achse ist 
positiv nach oben gerichtet (Pig. 114). 

Die und C- Achsen seien im Körper 
befestigt, und der Winkel zwischen der 
positiven f-Achse und der a;- Achse werde 
durch a bezeichnet. Der Körperschwer- Rg. 114. 

punkt sei S und habe den senkrechten 

Abstand s von der Rotationsachse. Die Beziehungen zwischen den beiden 
Koordinatensystemen sind, wenn durch {x^z^) resp. {|^^) die Koordi- 
naten eines und desselben Punktes in beiden Systemen bezeichnet 
werden : 

cos a — Cr ein a > 
sin a + Cr cos a ; 

«/-Koordinate ist stets gleich der j^-Koordinate und nach 
Sa tzung unveränderlich. Für eine beliebige Verrückung folgt aus 

(2) f Cr sin a — Cy cos a)da 






• vM, 

Sjaextuk Dunamk starrer Körper. ' 395 

5 • 2*»* =. J • -M = 2m, 

^ '>* ¥ 

Bezeichnen wir den Winkel, den der Abstand s des Schwerpunktes, wn 
der Eotationsachse mit der negativen «-Eichtung macht, durch ®,'B 0 
ist offenbar: 

J = 5 • sin <p’, also 2*™» = -M • s • sin <p . 

Da ferner der Schwerpunkt dieselbe Winkelgeschwindigkeit und Winkel- 
beschleunigung hat, wie jeder andere Punkt des starren Körpers, so ist 

d*Jp Ö? Vr 

<i<* “ dp '^~dT’ 

und damit wird die Bewegungsgleichung, wenn wir noch das Trägheits- 
moment um die y- Achse durch bezeichnen: 

(^) + g • M • s • eiji q} 0. 


Um keine umiötigen Komplikationen hervorzurufen, beschränken wir 
auf so kleine Ablenkungswinkel y, daß sin tp durch tp ersetzt werden 
darf; dann wird Gleichung (5): 


Oller: 

( 6 ) 


r dy 

y dp' 


+ g 'M -'s • 


0 


d^<p , gM • $ 
dP + • tT“ 


’ (p — 0. 


Vergleicht man diese Formel mit derjenigen des mathematischen Pendels v 
für kleine Amplituden (Gleichung (188) des dritten Kapitels auf pag. 160): 


( 7 ) 


, 9 
dp l 


•9’ 


= 0 , 


so ergibt der Vergleich, daß das physische Pendel sich so verhält, wie 
ein mathematisches, dessen Länge 


( 8 ) 



^re. Biese Länge J, nennt man die „reduzierte Länge“; durch ihre 
^timmung ist das Problem auf das bereits gelöste des mathematischen 
endels zmückgefühh;. Diese sogenannte „Reduktion des physischen 
ondels“ verdankt, man Chr. Huygens. Eine weitere Behandlung 
>st hier überflüssig. Man findet sofort für die Schwingungsdauer t« des 
physischen Pendels: 


(9) 





aM gMt hat einen besonderen Namen. Es stellt 

dar*d*^^ Dr^ybmbment der äußeren Kräfte, also 

’ “ wird für f = »/, erhalten nn4 ist' ehitf 


896 Mkhmik starret Körper. 

... - - 1 - - ■ - 

gleich dem AtisdruQh Mgs. Iheses maximale Drehmoment nennt man 
% die „Direktionskraft“ D, Ülso ist: ' ^ ' 

( 9 »> ■ = 

in Worten: Die Schwingungsdauer eines physischen Pendels 
ist gleich der 2w-fachen Wurzel aus dem Quotienten: Träg- 
heitsmoment um die Botationsachse durch Direktionskraft. 

In dieser allgemeinen Form ist Gleichung (9 a) nicht auf das physische 
‘Pendel beschränkt, sondern gilt für alle Schwingungsvorgänge, die durch 
eine Gleichung nach Art der Gleichung (6) dargestellt werden, z. B. 
für die Schwingungen von Magnetstäben im magnetischen Erdfelde, 
^oder eines gedrillten Drahtes, der an seinem freien Ende ein schweres 
Gewicht trägt, usw. Diese Gleichung kann auch zur experimentellen 
Bestimmung von Trägheitsmomenten benutzt werden. Zur Besprechung 
dieser Methode gehen wir jetzt über. 

Es sei am unteren Ende eines vertikalen, sehr dünnen Drahtes ein 
irgendwie gestalteter Körper von der Masse M befestigt; derselbe kann 
‘ dadurch zu Schwingungen um die vertikale Drahtachse veranlaßt werden, 
däß der Draht gedrillt und dann sich selbst überlassen wird. Die Schwin- 
gungen des befestigten schweren Körpers erfolgent dann, ebenso wie vor- 
her^ um eine im Baume und im Körper feste Achse, nur werden die äußeren 
. Kräfte jetzt nicht durch die Schwere, sondern durch die elastischen Kräfte 
^ des Drittes geliefert. Diese sind in weiten Grenzen unabhängig von der 
Belastung des Drahtes, d. h. von der Größe der angehängten Masse: 
V alao ändert sich die Größe der durch die elastischen Kräfte 
6|:8eugte;n Direktipnskraft D nicht, wenn wir außer dein 
Ki$rper M noch einen zweiten anhängen. Das ist der Vorzug 
dieser Anordnung vor dem gewöhnlichen Pendel, bei dem die Direktions- 
von der Masse abhängt. Nennen wir das zu bestimmende Trägheiis- 
mombnt des angehängten Körpers T (ein Index kann hier fortgelassen 
, so haben wir für die Schwingungsdauer dieser Anordmmg 

(9a): ^ 

’ vCIO) , • T, 

MtUunehr fügen •wir zu dem Körper M noch einen zweiten hinzu, desptn 
Tlftg^mtzmoment T' bekannt izt; wie das zu erreichen ist, wollen wn 
Bi^r besprechen. Da nach dem Vorhergehenden die Direktionskfaft I> 

^ dadmh nicht ver&ndert wird, folgt für die neue Schmngimgsdauor 
-idci" Systems: 

tll) • . ; ' , . = 

ui^durch Kombination von (10) und (11) ergibt da» 

.'\|RIH!^te TiA^ätsnmin^ :'■»■• 



, m 


spezielle Dynamik »tarrer Körper. 


( 12 ) 


T-T'-- 


,1 — 




Da man Schwingungsdauem sehr genau bestimmen kann, ist die MetUl:k}e 
großer Genauigkeit fähig. Es bleibt nur noch zu erörtern, wie man das 
'Trägheitsmoment T', das bekannt sein muß, gewinnt. Dies kann durch 
Eechnung geschehen, wenn der hinzugefügte Körper eine regelmäßigie 
geometrische Gestalt hat, und dies steht ja in unserer Gewalt. Nehmen 
wir z. B. an, der hinzugefügte Körper sei ein Kreiszylinder von der Höhe h 
und dem Eadius B, der so — etwa 
mit Hilfe einer kleinen Schraube — 
an dem Körper M befestigt werde', daß 
er um seine Pigurenachse als Rotations- 
achse schwingt. Bezeichnen wir (Fig. 116) 
den Abstand eines Massenelementes dm 
des Zylinders von der Rotationsachse 
mit r, so ist nach Definition des Träg- 
heitsmomentes 


r=/. 





Fig. 116. 


wobei das Integral über den ganzen 
Zylinder zu erstrecken ist, oder, wenn wir 
in einer zur Rotationsachse senkrechten 
Ebene Polarkoordinaten (r, cp) einführen, 

so daß dm =:«»dT = €* hr drdf wird (ß soll das spezifische Gewicht 
bedeuten), so ist: 


R 2.T 


(13) 


^■=// € • hr^drdqjt 


0 0 


wobei die Integration über <p von 0 bis "In, über r von 0 bis B zu. er- 
strecken ist. In dem meist vorliegenden Falle, daß die Dichte « konstant 
ist, hat man nacheinander: 


(14) 


r 




2n 






wenn mit Af' die Masse des Zylinders bezeichnet wird. M' kann au! 
jler Wage, B durch Längenmessung bestimmt werden, so daß T' in der . 
I-at be'kannt ist. Man ist natürlich nicht gezwungen, gerade einen Zylinder 
za nehmen; sondern irgendein Körper, für den das Trägheitsmoment 
chnerisch bequem feststellbar ist, tut denselben Dienst. 

D(*r Einfachheit halber wollen wir gleich hier noch das Trägheits-^ 
^lonumt eines Hohlzylinders vom inneren Eadius und dem .äu^r^n 
^adius B angeben, wieder bezogen auf die Pigurenachse. Man hat 
b^ U Integration über r statt von 0^ bis B von 


zu^erstrec^l^; 





898 ' Meohmik starrer Körper» 

1 

(14a) T Hoiiiyiinder “ J Je - k • dr ^ d(p ^ ~(B^ 4- Bo*)’ 

* " Ä, 0 

Darin soll M'' die Masse des Hohlzylinders bedeuten; Gleichung (14 a) 
werden wir in der nächsten Nummer benutzen könhen; in dieser werden 
wir erörtern, wie man mit Hilfe der Wage Trägheitsmomente bestimmen 
kann. Diese Methode hat zwar kaum praktische Bedeutung, liefert aber 
dafür einen guten Einbhck in die physikalische Bedeutung von Träg- 
heitsmomenten und erläutert über^es in einem einfachen Ealle den 
Sinn des d*Älembertschen Prinzips. 


81. Rollen eines Zylinders oder einer Kugel an! der schiefen Ebene; 

Bestmunnng von Trägheitsmomenten mit der Wage. 

Wir wollen einen Zylinder (Voll- oder Hohlzyhnder) olme Gleiten 
^eine schiefe Ebene herabrollen lassen. Er dreht sich dabei um die durch 
den Schwerpunkt gehende Figm’enachse als Rotationsachse; diese bleibt 
sonach im Körper fest, während sie sich im Raume — sich stets parallel 



lebend verschiebt. In genau derselben Weise, nämlich um einen 

als Rotationsachse, die sich stets parallel 
kann man auch eine Kugel die schiefe Ebene herabrollen lassen. 
|j|t dhm derartigen Versuchsanordnung hat Galilei die Fallgesetzc 
geprüft; die exakte Theorie dieser Methode ist also auch von historischem 
Interesse. 

‘ Wirwerden zur Ableitung der BewegungsgleiohungdieLagrangescheii 
Qleiehungen zweiter Art benutzen, haben also nur in den geeigneten 
Koordinaten die kinetische Energie L und die potentielle Energie 0 zu 
bilden. f 


Der Zylinder oder die Kugel habe den Badir^ B, däs trägheits- 
moment um die oben charakterisierta Botationsaehse T, die Masse M; 
dei^ Winkbl der schiefen Ebene sei a. Die Fig. 117 stellt einen ^v^ikelcu 



3«9 


Dt/mmü starrer Körper. 

zeigt, worin die Bahn eines Fonktes gestrichelt ist. Man sieht n<Ut 
(laß alles^ bekannt ist, wenn' erstens die Lage des Achsenpunki^s iwf 
dieser Geraden bekannt ist; wir können diese angeben durch das StüOk s, ' 
um welches der Achsenpunkt noch von dem Schnittpunkte A seiner 
Bahnlinie mit der Horizontalen entfernt ist. Markieren wir ferner iit 
der Ebene des Schnittes der Fig.llT einen Radius in dem betrachteten 
Körper, und nennen etwa den Winkel, den derselbe mit der Horizon'- 
talen bildet, <p, so ist offenbar durch Angabe von s und f alles bestimiht. 

Nach den Ergebnissen der Nummer (75) besteht die kinetische 
Energie L aus zwei Teilen, der fortschreitenden Energie des Schwer- 
punktes, und der rotatorischen um den Schwerpunkt. Die erste hat 

offenbar den Wert Geschwindigkeit des Schwer- 


punktes ist; die rotatorische Energie hat, da die Winkelgeschwin- 
digkeit um die durch den Schwerpunkt der Rotationsachse ist, den Wert 
Y T j : also ist die kinetische Energie: 

m 


(15) 




'■Ht 


[d<py 


die potentielle Energie der Schwere ist offenbar einfach: 

(lö) 0^Mgs-sma» 

In (15) müssen wir noch eine Vereinfachung vornehmen, indem wir die 
Bedingung des Rollens einführen. Rollt der Schwerpunkt um das Stück 
ds längs der schiefen Ebene, so muß nach der Definition des Rollens 
ohne Gleiten (pag. 802) der auf der schiefen Ebene zurückgelegte Weg 
ds gleich dem Stücke des Zylinderumfanges sein, das zwischen den Ber 
rührungspunkten zu Anfang und zu Ende liegt; das ist aber gleich 
Rd(p, also ist hier die Bedin^ng des Rollens: 

, ds = Bdq>, 

oder : 


<!• b. die „Umfangsgesöhwindigkeit" ist gleich der Geschwin- 
digkeit der.^fortschreitenden Bewegung des Schwerpunktes. Damit wird 
L aus (15): . ° ° 


( 18 ) 


L 


M (ds\- 

T (37,/ ■ 


T 

Ä» 




li egen des Folgenden wollen wif nodi den Wert der kinetischen cinergie 
der sio^ ip dem FaUe ergibt, ddß die betreffenden Körper 
j i®®**dern herabgleiten. Daml^ isi 

der i^uU oad ’e^sfr eiitfaöh: 



400 


Mtchmik starrer Körper. 


( 10 ) 


L’ 


-M 


' ä ’.f 


(ds\\ 

\dtj ’ 


die potentielle Energie bleibt unverändert. 

Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art (Kapitel IV, Glei- 
/chung (93) auf pag. 224) werden in unserem Falle: 


(20) 


dt 


dL 




60 

8s 


. 0 , 


and das ergibt die Bewegungsgleichong: 


^1) 


{m + — +Mff8in« = 0, 


d»« 


aus der wir sofort die Beschleunigung des betrachteten Körpers längs 

. der schiefen Ebene haben, die wir durch ü mit dem Index „roll“ be- 
zeichnen wollen: 

M 


( 22 ) 


Äroll = 


>^8ina. 

3/ 4, 

^ R* 


Wfirde man anderseits statt L den Wert L' nach (19) zugiunde gelegt 
baten, so würde man für Ogiea die Beschleunigung eines herabgleitenden 

Körpers erhalten haben: 



(23) 


«giea 


Durch die Rollbewegung ist also die Be- 
schleunigung im Verhältnis 


- (24) 


ttroü 

•gleit 


M 


M + 


Ä* 


verkleinert worden. Diesen Wert wolli n 
wir für Vollzylinder, Hohlzylinder und 
Kugel berechnen.. 

Das Trägh^tinnonient eines Voll und 
Hohlzylindera,< 5 jfet bereits in den’ Glei- 


P%. 118. Es handi^^sich also noch um die Bi • 

rechnohj^ des ‘Tr&gbeitsniomwtes einer 
Kng^ nm einen Dmehmesser als Nennen wir den senkrechb u 


^^Nrtand.ones Hassenelementes dtn von der Bota|lonBaehse a, die Ent- 
epm Kngelzentrum r {Rg. 118 ),. so ist das Tr&gheitomoni«'i' 

o* äm'» fj’ aj d T 1 /. 


whüng vom 



401 


SpeideUi Dynamik starrer Körper, 

räumliche Polarkoordinaten (r,i9*,9) aus, wobei die Wahl der Winkel 
der Fig. 18 entspricht, so ist bekanntlich 

dr = T^äTSsin&id'dip ; 

da ferner r •sin & ist, so folgt für das Trägheitsmoment der KugeU 

R n 2.-r \ 

TKugei f f r*drsiu^&dO'd<p, 

0 0 0 

und das gibt ausgerechnet: 

(25) TKugei — i • i n e I M R* , 

wenn M die Masse der Kugel ist. Nach (14) ist für den Zylinder das 
Trägheitsmoment : 

(26) Tzyi^MR^f 

und weim wir in Formel (14 a) den Hohlzylinder sehr dünn, wir wollen 
sagen als einen „Bing“, nehmen, so ist R sehr nahe gleich Rq, und das 
liefert dann: » 

(27) TEing = MB^ 

Nach (25), (26) und (27) ist für die genannten drei Körper das Verhältois 

Oro ll . 

Ogieit 

' ( für den Zylinder: Vs» 

(28) I für den Bing 

1 für* die Kugel: V?* 


Diese Folgerungen lassen sich an der Fallrinne leicht prüfen, bequemer 
aber noch ist die folgende Anordnimg. Läßt man in einer großen hohlen 
Halbkugel vom Badius l der Beihe nach Zylinder, Bing, Kugel rollen, 
so stellt diese Anordnung ein mathematisches Pendel dar, und man kann 
daher, wenn g bekannt ist, aus der Schwingungsdauer x den Kugelradius 
I bestimmen. Nur darf man nicht die gewöhnliche Formel für die 
Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels 

ziigrunde legen, sondern muß berücksichtigen, daß die Beschleunigung 
bei dieser Anordnung nicht g, sondern g multipliziert mit einem der 
Werte aus { 8) ist. Wir haben also in der Formel des gewöhnlichen mathe- 
Hiatischen Pendels an Stelle von j, das ja die Beschleunigung beim Gleiten 
allgibt, die mit den entsprechenden Verhältnissen (38) multiplizierten 
Werte zu setzen. Man erhält so für den Zylinder eine Schwingunis- 
«iauer t': ■ . 


r'«= 

fitr den Bin|;'feit8^fcb'en^’ 



^6 




402 


Meehanik atarrv Körptr^ 




nnd für die Kogel endlich: ' 

Dann findet man aus allen drei Formeln den nämlichen Wert von J, 
womit die Eiohtigkeit derselben erwiesen ist. 

Diese einfachen Versuche stellen die schon früher charakterisierte 
Natur des Trägheitsmomentes in das rechte Licht: was die Masse für 
die Translationsbewegung, ist das Trägheitsmoment für die Eotations- 
bewegung. Um dies noch besser hervortreten zu lassen, sind in der 
folgenden Tabelle sich entsprechende Größen bei beiden Bewegungs- 
J^jfcirten einander gegenübergestellt. 


Translation 


Rotation 


Geschwindigkeit 

BeschJeunigung 

Masse 

Kraft ~ Masse x Besohleu- 
nigung 

Kinetische Energie der fort- 
schreitenden Bewegung « 

7t Masse X (^adrat der Ge> 
schwindigkeit 
u. fi. w. 


Winkelgeschwindigkeit 
W inkelbesch ieunigung 
T rägheitsmoment 
Drehmoment •» Trägheits- 
moment X Winkelbeschleu- 
nigung 

Kinetische Energie der Ro- 
tationsbewegung » 7, Träg- 
heitsmoment X Quadrat der 
Winkelgehohwindigkeit 
u. 8. w. 


Die Versuche mit der schiefen Ebene bilden auch ein 
? Mittel, Trägheitsmomente mit der Wage zu bestimmen. Man 
•denke sich die schiefe Ebene auf die eine Seite einer großen Wage ge- 
bracht, und diese äquilibriert. Dann bringt man auch den Körper, der 
die schiefe Ebene herobrollen oder herabgleiten soll, auf die schiefe Ebene, 
’ sidem man ihn durch einen dünnen Faden an dem oberen. Ende der 
Ebene befestigt; die Wage wird wieder äquilibriert. Wir wollen 
Körper zunächst herabgleiten lassen, also mit der Beschlennipng 
a parallel der schiefen Ebene. Dann kann wä h rend des Gleitens 
“A^Piage nicht im Gleichgewichte bleiben, da jetzt noch eine d’Alem bert- 
esefae Trägbeitskraft Mg Bin a entgegengesetzt der Beschleunigung 
wirksanf ist, deren vertikal nach oben gerichtete Komponente +Mgsnr a 
' ist.' Gleitet also der Körper nach unten, so bebt si^ diese Seite der 
Wage, da pie scheinbar um die Masse M 8in*a erleichtert ist. ^B,n kann 
sie alcK) v^hrend des beschleunigten Gleitens wieder ins Gteichgewidit 
btungen dnreh Anflegeit der Masse M sin* o. Lassen vrir nun denselben 
Körper rollen, so Ist seine Beschleunigung parallel der twWelea 

zii^b (22) 'gleich -■ g ■ - ~-ia- sin a, alsojst die'd’Al|>imWl'i^® 


Jf + 





SpeüeUe Dynamik starrer Körper. 


403 


heitstyaftv gleich M g ^ und deren senkrechte Komponente 


if + 


M 


Ä» 


-\-Mg j-- sin*a. Während des Rollens muß jetzt, um die Wa|^ 




im Gleichgewicht zu halten, eine Zusatzmasse M 


M 


sm^ a 


M + 




legt werden. Das Verhältnis der in beiden Fällen aufzulegenden Zu- 
satzmassen ist also tt-, woraus, wenn M und ß bekannt sind, sich 


M + 


R'* 


sofort das Trägheitsmoment ergibt. 

Natürlich hat die Methode kaum praktische Bedeutung; sie erläutert 
aber den Sinn des d’Alembertschen Prinzips in einem einfachen Palle 
und zeigt wieder die Analogie z\\ischen Trägheitsmoment und Masse. 


82. Mechanuiclie Bedeutung der Deviationsmomente; ihr Nachweis mit 

der Wage. 

Die mechanische Bedeutung der Deviationsmomente zu 

erörtern sind wir ebenfalls jetzt in der Lage, nachdem wir die^ allgemeinen 
Bewegungsgleichungen in der Form (74) des vorigen Kapitels (pag. 369) 
besitzen. 

Wir wollen zu diesem Zwecke nach den Bedingungen fragen, unter 
denen folgende möglichst einfache Bewegungsform des starren Körpers 
eintreten kann; die Achse falle dauernd mit der a:- Achse zusammen, 
>d, h. der Körper führe um die ^-Achse eine Rotation, und zwar mit 

der Winkelgeschwindigkeit ^ = ro aus, die wir der Einfachheit halber 

als konstant annehmen w^ollen. Welche Kräfte und Momente müssen 
wirken, damit diese Bewegung realisiert werden kann? 

Die Anfangspunkte des (x, j/, 2 ^)- Systems und des (f , i;, C)- Systems 
fallen zusammen, und zwar in dem festgehaltenen Punkte des starren 
Körpers, oder, falls letzterer völlig frei ist, in seinem Schwerpunkte; im 
übrigen aber sei die Richtung der f-, C-Achsen noch willkürlich. 

Gemäß ihrer Bedeutung als Richtungskosinusse nehmen die 
die das (f , ly, f). System festlegen, folgende speziellen Werte bei der 
siipponierten Bewegung an: 

I Oi=l; 02 = 0; 03 = 0; 

ßi^O; /33=—sind; 

?'i = 0; ya =* + sin 73 = + ®ns Ö . 

^abei ist der variable Winkel zwischen der Achse und ty» Achse 
bezeichnet. Dadurch werden die Rotationskomponenten nach 
f deichungen (62) des VI. Kapitels au! pag. 831 : 

^ 4i«41 4iL*o 

irr 4t r 


404 


MaAanik starrer Eär^per. 


.Mt diesen Vereinfaolinngen wird (74) des vorigen 'Bfepitels (pag. 869) 
unter JBenutzui^; von (75) desselben Kapitels: . ' ' ' 




(31) 


T T d'n 

't dt ~ dt 


[r[“ 


dta 

TT 


% 

Ä, cos # — SK^ sin 8 
W, sin d + 3»^ cos d - i [ - cos ü, - sin ^ 




Da 0 ) = 


dd 


dt 


chungen: 

und für d der Wert; 


konstant sein soll, so folgt aus der ersten dieser Glei- 

d = o>< . 

Führen wir diesen ein und differentiieren rechts aus, so ergibt sich 
(82) 


I Sl, cos ö>i — 311^ sin = CD* cos cdJU^ + o)^ sin (oi , 

1 sin 0 t cos <ot = ft>* sin o)tU^ — w® cos wi , 

^er wenn man nach ®,, auf löst: 


.(38) 




.Damit ist die gestellte Frage beantwortet: Zur Erzeugung der vor- 
geschriebenen Bewegung muß das Kotationsmoment um 
die Botationsachse gleich Null sein, während die Eotations- 
momente um die resp. f-Achse abgesehen vom Vorzeichen 
re«p. gleich den mit dem Quadrate der Winkelgeschwindigkeit 
r multiplizierten Deviationsmomenten um diese Achsen sind. 

Die mechanische Bedeutung der Deviationsmomente ist also die, 

' daß sie^ mit dem Quadrate der Winkelgeschwindigkeit multipliziert-, 
Drehniomente darstellen. Und zwar sind die Größen und 
;v#bg886heu vom Vorzeichen die Drehmomente der auf jeden Massen- 
^pua|:t des starren Körpers „wirkenden“ Zentrifugalkraft. 

hier auftritt, ist ja selbstverständlich, da wir jetzt ein mit d' i 
co um die Achse rotierendes Bezfugssystem benutzt 


ben. Die Zentrifugalkraft hat für den Massenpunkt den Wert: 


Ifreim 2^«= Vij/ + C* den Abstand des Massenpunktea fu, Von der 
y Botailom*i also -von der f*Achse bedeutet. Für die Komponenten d< ^ 
J^trifugflikraft zmcb den t]- tmd f-»Achsen folgt, do^diedelbe stets radial 
: rmd paräl||l d^ . 





, iSpexieüe^*Dymmik starrer Körper. ' ^ 405 

Also erhalten mi für die Komponenten des Drehmomehtes in. Besmg 
auf die Achsen: 

(36) I ^ySy - 

1 MJ,-E^f}^^ + m^o)^Vyiy- 

Also, wenn wir über sämtliche Massen summieren, erhalten wir für die 
Komponenten des gesamten Drehmomentes der Zentrifugalkräfte; 

(37) - ZJ,) = ^ 

womit tatsächlich unsere obige Behauptung bewi<‘sen ist. Diesen Dreh- 
momenten muß das Gleichgewicht gehalten werden durch geei^ete, von 
den expliziten Kräften hervorgebrachte Momente SR^ und SR^ gemäß Gl. (33). 
Was ist nun die Wirkung eines Drehmomentes —coU^ um die »y- Achse? 
Doch offenbar die, den Körper um die Achse zu drehen; also mit 
anderen Worten, die f- Achse aus ihrer Anfangslage zu verdrehen; 
ebenso ist es mit dem anderen Drehmoment (o^ü^. Würden also die 
Momente *— und +ü)^U^ der sogenannten Zentrifugalkräfte nicht 
in jedem Momente durch die von passend angebrachten äußeren Ki*äften 
erzeugten Momente SR^ und 9R^ äquilibriert, so könnte die voraus- 
gesetzte Bewegung um die Achse nicht dauernd stattfinden; die Momente 
und haben ja das Bestreben, die Achse, d. h. die 

Eütationsachse, zu verdrehen. Daher erklärt sich der Name „Deviations- 
momente“. 

Die Momente der äußeren Kräfte 3R^ und 3R^ werden am einfachsten 
hervorgebracht durch ein festes Lager, in dem die f-Achse gehalten 
wd; wird dasselbe entfernt, so ändert sich die Bewegung total. 
Nur in einem Falle nicht, nämlich dann, wenn die Devia- 
tionsinoinente und D. verschwinden, d. h. wenn die Rota- 
tiionsachs« mit einer Hauptträgheitsachse des Körpers zu- 
sammenfällt. In diesem Falle bleibt die Eotationsachse erhalten; 
sie ist eine sogenannte „freie“ oder „kräftefreie“ Achse. Eine be* 
liebige Achse muß in zwei Punkten gehalten werden, damit einie 
dauernde Botation um dieselbe erfolgen kann; von einer kräftefreieii 
Achse dagegen braucht höchstens ein Punkt festgehalten zu werden; 
sie geht ja durch den festgehaltenen Punkt des starren Körpers hin* 
durch, und in dem Falle, daß die kräftefreie Achse durch den Schwer* 
P'^t des starren Körpers geht, braucht kein Punkt gehalten zu werden 
ßie freien Achsen durch den Schwerpunkt heißen daher die ,,nakür 
Achsen“ des Körpers. 1 

Man kann sich leicht klar machen, daß tnan DeviationgnK)i|iTO|i 
nut der, Wage Pi4ohwfli|(9n ^tmn. Wir bringen dazu d^n Köij^, W 
‘‘U Cine .Acl^.rjridi^«Hkfii<»'' .iii*if.i«i«ni^iinU: zpnäohsl. i# ' 




406 ' Mtehanik starrer ßtrper. 

mit den beiden Enden der Achse» auf ’je eine Wagsphale, und zwar so; 
daß die ^ptationsachse parallel dem T^agebalken liegt, und äquilibrieren 
die Wage. Wenn dann der Körper gleichmäßig rotiert, so müssen auf 
die Wage noch die bei der Eotation auftretenden Zentrifugalkräfte wirken, 
die -nach dem Vorhergehenden den Deviationsmomenten proportionale 
Drehmomente ausüben; also wird die Wage unter dem Einfluß derselben 
in erzwungene Schwingungen geraten — außer eben in dem Falle, daß 
die Botationsachse eine Hauptträgheitsachse ist — , und aus diesen 
e]i:zwungenen Schwingungen lassen sich Schlüsse auf die Größe der 
Öeviationsmomente ziehen. Wir begnügen uns mit dieser Andeutung, da 
die eitakte Lösung der hier auftretenden Differentialgleichung ziemlich 
kompliziert ist.^) 


^ 88* Kräffefreie Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 

Wir woUen jetzt einen Körper, der in einem beliebigen Punkte 8 
befestigt sei, irgendwie in Eotation versetzen und dann sich selbst über- 
lassen; der weitere Verlauf der Bewegung, der ohne Einwirkung von 
Kräften vor sich geht, ist zu imtersuchen. Einen Körper, der in einem 
Punkte fest ist, nennt man einen „Kreisel“. Es ist bei unserem Problem 
statthaft, auf einen Kreisel die Schwere wirken zu lassen, die ja einer 
einzigen im Schwerpunkt angreifenden Kraft äquivalent ist; nur muß in 
Lesern Falle der Schwerpunkt des Kreisels der festgehaltene Punkt sein. 
Auch dann ist er nämlich kräftefrei, da die Eesultante der Schwere durch 
dia zum Festhalten des Schwerpunktes nötige Kraft kompensiert wird. 

Wir benutzen zu diesem Zwecke die Eulerschen Gleichungen, 
^em wir das ({,i^,4)-System mit dem Anfangspunkte in den festen 
Pimkt S des starren Körpers legen und die Eichtungen resp. mit den 
';^uptträgheitsachsen durch diesen Punkt zusammenfallen lassen. Die 
Kom^te Viyf verschwinden dann nach den Bedingui^eu des 
^Problems, und die Gleichungen (76) und (77) des vorigen Kapitels auf 
pag. 870 werden: 

It 


m 


und: 


d 

IT 

ji^ 

dt 

d 

di 


j d*n 

^ di* 








f 




+ ip * 


di 

1± 

di 

ico; 


.0, 
* 0 , 
t 0, 


>)Vy. Gi 




’ ' SpexMk Dynamik starrer Körper. * , 407 

Beide Oleicbungstripel sagen nach den Auseinandersetzungen 
des vorigen Kapitels die, Erhaltung des Botationsmomentes 
der Bewegung aus, oder anders ausgedrückt: die "Konstanz 
des Drehimpulses. Ferner sieht man leicht ein (da ja keine Kräfte 
wirken), daß das System seine anfängliche Energie unverändert bei* 
behalten muß. 

Beschäftigen wir uns nun genauer mit den Gleichungen (39). Er- 
weitert man dieselben resp. mit ^ ^ und addiert, so folgt: 


oder: 

oder endlich: 
(40) 


d*n dn j. ^ dx_ de 

dO Yt ^ do dt ^ dfi dT~'^' 

sM" (!-?)■+ 


dieser Satz ist die analytische Formulierung des Energieprinzips, wie 
ein Vergleich mit Formel (86) des vorigen Kapitels auf pag. 880 zeigt; die 
linke Seite ist gleich der doppelten Energie (die hier gleich der kinetischen 

ist). Multiplizieren wir anderseits (39) mit resp. A , B , C -^y und 
addieren, so folgt: 


oder: 

(41) 


jfd^n dn d,x d^q dg 

A yjf + B yy + C y, - ( 


Ferner ergeben die Gleichungen (38) sofort; 
(42) + + 


fcj , 

^2 > 
kj» 


wo Jcj, ^ drei Konstanten mit leicht erkennbarer Bedeutung sind 
Die Gleichungen (^) stellen ja den Satz von der Erhaltung des Botationi 
momentes der Bewegung dar; lci,k^,k^ sind also die Komponenten diesem 
Momentes nach den im Baume festen {s,y, «)- Achsen. Oder anden 
ansgedrüokt: h^, sind die«-, y-, z-KomponentendesDrehimpidBeall^ 
der Drehimpuls ist also nach Größe und Bichtung iln Bauijpat 
lOnstant, schon oben horvorgehoben. 

Mw erke^ lei^t, daß die K^ttoten ki, 1^, \ in en(^^ Ed 



408 ? ife(?Äanük starrer Körper, ^ 

und addiert sie, so folgt unter Beachtung der Belation^n, die zwischen* 
den . . . ^3 wegen ihrer Natur als Bichtuhgskosinusse bestehen, sofort: 

(48) \4.(.J')'+B*(ii)‘+C'(4f)'-V + V + V. ■ 

und der Vergleich mit (41) liefert sogleich: 

(44) + V + V“ 


Üq ist also der absolute Betrag des Drehimpulsvektors Uq, 
dessen Bichtung im Baume durch die drei Bichtungskosinusse 



b h. h. 

To’ C/o 


r ben ist. Diese drei Bichtungskosinusse bestimmen auch natürlich 
zum Drehimpuls senkrechte, durch den Koordinatenanfangspunkt 
gehende Ebene, die nichts anderes als die invariable Ebene 
des Systems ist. Anderseits folgt aus (41) sofort, daß die Bichtung des 
Drehimpulses gegen das l>ewegliche System durch resp. die 

Bichtungskosinusse 


m 


I d 7f 

Ti 


B 




ü. 


JL 

u. 


c- 




definiert wird. Dies folgt auch mit Hilfe von (42), woim man bedenkt, 
daS äer Drehimpuls ein von der Bichtung des Koordinatensystems un- 
jirbhängig^ Vektor ist, daß er sich also auf ein anderes Koordinateu- 
%$1fcem transformiert, wie die Koordinaten selbst und z. B. die Kräfte. 
Erweitert man die Gleichungen (42) z. B. resp. uiit a^, pi und addiert, 
so folgt sofört: . h 

A -jj- =>&!«, + + fc, y, , 


and die rechte »Seite ist nach der obigen Auseinandersetzung die I-Kont- 
des Drehimpulses (— tt,), woraus das Behauptete folgt. 

' ‘ ^^]k;8peziellen Fällen läßt sich nun schon der Charakter der Bewegung' 
hl^hficken: Nehmen wir z. B. an, für den betrachteten festen 
#ankt de» starre, n Körpers seien alle drei Hauptträgheits- 
hioniente untereinander gleich, J — B ==: C; das ist z, B. du 
JFaU fär den Mittelpunkt einer homogenen Kogel, weshalb »o 
|ehaffener Kreisel ein „Kugelkreisel“ genannt wird. Aas den Eub'r- 
B(d»en Qleiehungen (89) folgt in diesem Falle sofort, daß die Eotation- - 

komponenten nm die f-, tj-, {;>Achsen, zeitlid' 


kj^stant sein mü88eh,jdaß also di e Botatio ^ 
Bindigkeit vom v^etrage 



sieht maUi 




die 




dt ’jit , 

Üt'khhslMiter Wink*?*' 

erffig*'- 

skehse i®- 

% ■ 




Spexielle Dynamik starrer Körper. 


' . . 4t)9 

Bichtungskosinusse gegen das (f ,, »;;5).System^ 


ät'' dt 


d.t 


alle konstant sind. Ferner ist nach (46) der. Dreh- 

impuls, der beim kräftefreien Geisel im Raume stets nach Größe und 
Richtung konstant ist, auch im Körper konstant, und seine Richtung 
fallt, ebenfalls., nach (46), mit der der Rotationsachse zusammen 
Also hat auch die Rotationsachse im Raume eine konstante 
Richtung. Die Bewegung ist also folgende; Der Körper dreht sich 
um eine im Raume und im Körper feste Achse mit konstanter 
Winkelgeschwindigkeit; die Richtung der Rotationsachse 
stimmt uberein mit der Richtung des Drehimpulses. Die Be- 
stimmung der Eulerschen Winkel y, ist in diesem einfachsten Falle 
fast tnvial; doch wollen wir sie durcl^ühren, um die Methode zu erläutern, 
die wir auch in komplizierteren Fällen anwenden werden. Wir wollen 
zimäch^st das (x, i/, Ä)-Sy3tem uns bequem legen, nämlich so, daß seine 
xy-Ebeno mit der invariablen Ebene, die 2 -Achse mit der Richtung 
des Drehimpulses zusammenfällt. Dann vereinfacht sich (42) folgender- 
matten: ® 

1 -jf + ß«, + Ca, -|-J- = 0, 

~ ^ o du _ 


(47) 


A a. 






Spezialisieren wr diese Gleichung auf un-ser augenblickliches Problem, 
und setzen die Anfangswerte der Rotationskomponenten resp. gleich 
‘^ 0 ’ Xd, Po (die dauernd bestehen bleiben), so ist: 


(48) 


K + «* 4 + *^3 Po = 0 , 

ßiK + 4 + ßt Po = 0, 

^1 4 'S XiXd J^sPo “J" 


K 

Oder:, 

y, = 4"’ 

md ahnüph für die Werte y, und yj. Berücksichtigt man ferner, dal lEfir 
unsereii' Fall ijaoh (48) . 

,,V-f[(>r)'+(if-)’+(4f)’] 

4-4® »fc «.V ^ drÄ.WjMtfri 



und diese liefern, wenn wir die Gleichungen (69) des VI. Kapitels auf 
- pag. 387 heranzieheui die die Richtungskosinusse Oj . . . durch die 
Eulerschen Winkel ausdräcken: 


yj =s sin t// sin ö- = . 

(5b) y, = cos ^ rin tS' a , 

y, = cos ^ = it . 

Ke beiden ersten Gleichungen (50) liefern: 


(51 a) taug \p=t 

^ die letzte: 

.(51b) COS^aA. 


■ der dntte Eulersche Winkel ergibt sich aus der letzten Gleichung (61) 
<|e8 YI. Kapitels auf pag. 338, die hier lautet: 



cos,»|f 


i?- . 

bi dt 


«tizo ivird: 


(51c) 


f eine Integrationskonstante ist. Die den Winkeln y> und noch 
, anbaftei^e Unbestimmtheit wird beseitigt durch Hinz nnahme der An- 
' fai^beduagungen; mit ihrer Hilfe bestimmen die drei Gleichungen (51) 
die' Xage des Körpers vollständig t die Winkel tp und & behalten ihre 
^ kcostaaten Anfangswerte bei, <p ändert sich proportional der Zeit;< d. h. 
' älfO ^oaoh den allgemeinen Auseinandersetzungen über die Bedeutung 
^<der Eulerschen Winkel in Nummer 72, daß sich der Körper mit‘ 
'der ^nstanten Winkelgeschwindigkeit o> = |^o*+ + Po* ““ 
idie im ^umd und im Körper feste z- Achse (gleichzeitig die Richtung des 
Drehimpulses) dreht, was wir oben bereits erkannten. 

■ ■h - Wir wollen nun wieder allgemein weiter gehen tud uns. geometQSCh 
einige Züge der Bewegung klar machen. Zu diesen Zwecke geben w 
von einer geometrischen Deutung der beiden Gleichu^^ (40) und. (41) 

aus. Betirachten wir nä^ch a!f knteris^ Kodi|^f«o 

n, i eines Punktes, so stelisn (40)*Qnd (41) . 

4 Sölde dar, die auf ihn^' Hauptachsen 



(^a) / 

und 

(41a) 


SpexielU Dynamik starrer Körper. 


4U 


^f*+B»;*+CC* = 2£o, 
+ B*jy* + C'*C* = t/j« . 


Die , Halbachsen des ersten Ellipsoides, das wir das H,-ElIipsoid nennen 
wollen, sind resp. 

(52) 

die des zweiten Ellipsoides, das I7o-Ellipsoid heiße: 

( 68 ) 


wenn wir ein für allemal die Bezeichnung -4, JB, C der Hauptträgheits- 
momente so wählen, daß 


dann sind in (52) und (53) die Halbachsen nach steigenden Werten 
angeordnet^ Da wir als kartesische Koordinaten auf- 

fassen, so bedeuten die beiden Gleichungen (40a) und (41a), daß die di# 
Eütationskomponenten repräsentierenden Punkte auf beiden 
Ellipsoiden gleichzeitig liegen müssen, d.h. auf ihrer Schnitt- 
linie. Ziehen wir also vom Zentrum nach einem Punkte der Schnittlinie 


einen Kadiiisvektor, so hat dieser die Größe 

dn dx dq 

~dt^ ~~dT * ~dt 

und die Eichtungskosinusse , stellt also nach Größe 



und Richtung die Rotationsgeschwindigkeit dar. Den End- 
punkt dieses Vektors nannten wir schon früher den Drehpol. Die 
stets geschlossene Schnittlinie der beiden Ellipsoide ist 
also die Kurve, die der Drehpol im Laufe der Zeit im Körper 
beschreibt, also die sogenannte „Polhodiekurve“, die zusammen 
uiit dem Koordinatenanfangspunkt den „PolhodiekegeT* bestimm^ 
der von dem genannten Radiusvektor beschrieben wird, wenn der Dreh- 
pol die PoDiodiekurve durchläuft. Daß die Schnittkurve beider Ellip- 
soide stets reell ist, folgt sofort aus physikalischen Erwägungen: der 
Radiusvektor vom Betrage «> = + + ist ja bei physikalischen 

Problemen stets reell. Die Gleichung des Polhodiekegels läßt sich leicht 
aus (40a) und (41a) ableiten. Erweitert man (40a) mit Uq* und (41 aX 
mit 27?^, so erhält man durch Subtraktion: 

i*(4üo*-2H„^»)+,;*(BÜo*-2EoB*) + C»(Cfüo*-2,EoC>)s=0. 


l*ieB ist, wie* man sofort sieht, die Gleichung des gesuchten Kegels. ^ 

Etsetat ^(5. , Ä überall durch ^ >nit 

der 


y. ohne Schwierigkeit gesdhehen kanh. so 


412 


Mechanik etarrer Körper. 


haim (40) und (4!) mit Bezug auf das feste System ausd|ücken; 
die Sch^ttktörve der so erhaltenen’* Flächen liefert offenbar die Her- 
polhodiekurve, die zusammen mit ' dtem Koordinatenanfsingspunkte 
den Herpolhodiekegel bestimmt. Doch hat ein näheres Eingehen 
darauf keinen Zweck» da die ai . . .y^ als Funktionen der Zeit unbekannt 
sind: es ist ja gerade das Ziel der Untersuchung, sie kennen zu lernen. 

Wir können die Untersuchung, die wir eben für die Rotationsachse 
^ausgeführt haben, auch für den Drehimpuls % ausführen. Nach (46) 
sand die »y, f-Komponenten dieselben: 

(551 = 


Setzen wir dies in (40) und (41) ein, so erhalten wir zwei Gleichungen: 

tl** tl • 


57) + + 

Deuten wir 11^, als kartesische Koordinaten, d. h. als die Koor- 
dinaten des Endpunktes des Impulsvektors Uo, und nennen wir sie r/, C» 
^ so haben wir die beiden Gleichungen: 

.468) J + + 

, (59) . I» + = ü,*, 

von denen die erste ein Ellipsoid mit den Halbachsen 
(60)' y2E^^f2E^^y2E^, 


die zweite eine damit konzentrische Kugel darstellt, deren — wie früher — 
stets reelle und stets geschlossene ßchnittlinie die Kurve darstellt, di«^ 
der Endpunkt des Drehimpulses im Körper beschreibt; auch diese so- 
genannte „Impulskurve'* bestimmt mit dem Koordinatenanfangspünkte 
ein^ Kegel, den der Drehimpulsvektor bei der Bewegung des Körpers 
itk diesem erzeujgt, den man etwa den „Impulskegel" nennen kann, 
^in^ . Gleiohung ergibt sich analog wie vorher zu: 


( 81 ) ^ 25.) + n» (-^ - - iE,) - 0. 

%m kam Aiu(toke zu haben, wollen wir das EUi^id (58) das „rmpui.-^- 
,ellip8oid*‘, die Kngel (69) die „Impulskagel“ nennen. 

* , Im Batune ist der Impnis nach Größe and Bicbtong rmd dalu r 
erkennt m«n die Impnlsaehse eine viel einfachere G^tzm&6>gk('>^ 
{äifweist als die Botationsacbse, die sowohl im Ilörper -Als im BaW'' 
eimm Kegel besdurmbt; dafür bat vielleicht die* Bbtat|wMi»d»ee 
mediomsch afischaaliebm Bedeutung. fWir, woUen, uitt:^e 
.lang von bospids* and Boti^ensael^ aa8sa|^|liej^,^^;^ F’”'' 
.Uran- Kreisei^tmattir' ■berahen;'-dda^ 



, Spexidle Dynamik starrer Körper, 418 

Stellung — gleichzeitig sowohl die, Lage des Botationsvektorö kls au<^> 
de^ Impulsvektors betrachten. 

Da die* Schnittlinien der Ellipsoide (40 a) und (41a) sowie des EIllp- 
soidÄ (58) und der Kugel (59) stets reell sein müssen, so ergeben sich 
sofort folgende Grenzen für die relativen Größen dieser Oberflächen. 
Zunächst kann nämlich der Eadius TJ^ der Impulskugel (59) nicht kleiner 
als die kleinste und nicht größer als die größte Halbachse des Impuls- 
eUipsoides sein; denn in beiden Fällen wäre die Schnittlinie nicht reell, 
da die eine Fläche die andere ganz umhüllen würde, ohne einen Punkt' 
mit ihr gemeinsam zu haben. Die beiden Extremfälle sind also die, 
da,ß der Kugelradius gerade gleich der kleinsten oder gerade 
gleich der größten Halbachse des Impulsellipsoides ist. Dann 
umschließt zwar noch immer die eine Fläche die andere völlig, aber es 
tritt Berührung an den Endpunkten der kleinsten oder größten Halb- 
achse ein: die Schnittlinie ist reell, wenn auch auf zwei Punkte reduziert. 
Im ersten Fall haben wir nach (60): 

(62) 

im zweiten: 

(63) C7.= V2^. 


^ Diesen beiden Extremfällen für die Bewegung des Impulsvektors im 
Körper entsprechen zwei ganz analoge für die des Rotationsvektors. 
Denn wenn (62) erfüllt ist, also die Impulskugel (59) innerhalb des Impuls* 
ellipsoides (58) liegt, und nur Berührung an den Endpunkten der klein- 
sten Halbachse stattfindet, so gilt nach (52) und (53), daß die grö ßte A chse 

des (7(,-Ellipsoides ~ gerade gleich der größten Achse des 

Fo-Ellipsoides ist; denn ist vermöge (62) gleich === 

dann haben wir für die Halbachsen des 



und für die des ÜQ-Ellipsoides nach (58) und (62): 




'1- h. aber, da ein echter Bruch ist, daß die anderen Halbachsen des 
fVEllipsoides kleiner sind als die entsprechenden des Bo-Ellipsoides; mit 
inderen Worten: das Üo-Ellipsoid ist gestreckter als das B,* 
Ellipsoid und liegt gans innerhalb des letzteren, dasselbe nnt 
denEndepder großenHalbaohse berührend. Auch hier redutie^ 
sich also die ^hnittlinie, d. h. die Bahn des Drehpoles, «if zwei 

Um ein Tollst&ndiges Bild der gegenseitigen Beziehung von Imptus* 
Vektor lutd müfiten die \riet fUkhon 



414 , y , MtehMiik starrer Körper. 

1 ... „ „ L , . ; rr- — -rtr -W" — 

Körper einge^eiohnet , werden, mit dem gemeinsamen Zentram im festen 
Punkte Si diese FlÄohen' liegen im ^Körper fest und machen dessen ]^- 
wegung mit. Um indessen die Zeichnung nicht zu unübersichtlich zu 
machen, zerlegen wir sie in zwei, indem in Fig. 119 a ein Schnitt dturch 
die Impulskugel und das Impulsellipsoid, und in Fig. 119 b ein Schnitt 
durch das jB^- und das Uo-Ellipsoid gezeichnet sind. Die Figuren nebst 
den eingetragenen Buchstaben sind wohl ohne weitere Erläuterung ver- 
ständlich. 

‘ Wie ist die Bewegung in diesem Falle? Aus den Figg. 119a und 
119 b geht hervor, daß dann sowohl der Impulsvektor als auch der 
Eotationsvektor im Körper und im Baume festliegen; d. h. sie fallen beide'* 



sstisammen, und zwar bei unserer Wahl des (f,?y,C)-Koordinatensy8teins 
mit der C-Achse, d. h. der Achse des kleinsten Trägheitsmomentes C 
dur<^ den Punkt S. Diese Achse ist also auch im Baume fest, ohne 
anderweitig festgehalten zu sein, als nur in dem festen Punkte S. 
ist/^o in der früheren Ausdruoksweise die Achse des kleinsten Haupt- 
tri^eitamonxent^ eine ,4reie‘‘ oder „permanente** Botationsachsf . 
Ke Betatron um dieselbe geschieht mit konstanter Wihkelgesohwindig- 
' da der Eotationsvektor auch der Größe nach konstant bleibt; ob 
int Sinne oder entgegengesetzt dem Sinne des Uhrzeigers bleibt unent- 
r schieden; das hängt von den Anfangsbedingungen ab. Diese Unbestimmt- 
heit entspricht dem Umstande, daß wir in den Figg. 119 Jedesmal zw< i 
^Bermtfoii^ also zwei mögliche Bichtungen von Drehimpuls- umi 
Itotationsvekior haben. ; ^ ^ 

Beträdiltea wir jetzt den zweiten Extremfall, der dufch;(^H<»^^^‘ 
iBlärt ist. Dann sind gleiehzetiig die Adisen des ii||A 
n|^b (52) und* {m)i. " ^ 


S^exidU Dynamik starrer Körper, 
£?,-ElUpsoid: 


415 




Uj-Ellipsoid; 


]/W^i/W'U\/¥ 


£ 

C 


d. h. die beiden Ellipsoide stimmen in der kleinsten Halbachse tibejjBin, 
und das Ho-EHipsoid umhüllt das JBo'Ellip^oid vollständig, dasselbe 
nur in den Endpunkten der kleinsten Halbachse berührend. Wir er- 
halten also das Bild der Figuren 120 a und 120 b. Auch in diesem Palle 
haben wir eine Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um 
eine im Raume und im Körper feste Achse vor uns, die jetzt mit der 



9 



Fig. 120a. 





Achse des größten Trägheitsmomentes A zusammenfällt; auch diese 
Achse ist eine permanente Rotationsachse, wie wir schon aus Nummer 82' 
von der Untersuchung. der Deviationsmomente her wissen. Die Rich- 
tung der Rotationsachse und natürlich ebenso der Impulsachse bleibt 
zweideutig. 

Zwischen diesen beiden Extremfällen steht in der Mitte derjenige, , 
daß der Radius der Impulskugel gleich der mittleren Halbachse des 
Impulsellipsoides ist. Dann ist nach (60); 

üo = V^Tb- 

Dann berühren sich Impulskügel und Impulsellipsoid in den Endpunkten 
der mittleren Halbachee, durchschneiden sich aber gleichzeitig. Demi 
der Kugelradius ist dann ja kleiner als die größte, aber größer ab. dv 
. j ß l'® Hälbaokse des Impulsellipsoides. Man macht sich leicht llat 
„ die beiden Flächen »oh infolgedessen in zwei Kreisen dutehsohnekb^ 
®’i8sen, 'die durch die Berührungspunkte an den Enden der mittdeil^ 
albaohse hindittcfcgehen <1%. 121 a). Gaeioh«ei% stimmen jdaha 



416 , ^ . Mechanik Harrer Körper. * 

r "IS ' ; .„l ‘. r /v.l;.::’-; ■ ' =as=^ , ^ '' 

das £o-ElHpl>id und das üg-EUipsoid in ihren mittleren Halbachsen 
überein und durchsohneiden sich aus demselben Grunde wie vorher in zwei 
Kurven, die durch die Berührungspunkte hindurchgehen (Pig. |21 b). 
Auch hier ist die Bewegung von demselben Charakter: konstante Bo^ations- 
geschwindigkeit um die Achse des mittleren Trägheitsmomentes B, 
wobei die Bichtung des Botationsvektors und Impulsvektors zweideutig 
bleibt. 

Die Bewegung um die mittlere Achse unterscheidet sich übrigens in 
einem wesentlichen Funkte von derjenigen um die beiden anderen Haupt- 
trägheitsachsen, worauf \rir nachher noch näher eingehen müssen. 



Na^h 4^ Behandlung der Extremfälle gehen wir jetzt zum allgemeim ii 
FiBe ü^r, wobei wir uns aber auf die Betrachtung des Botationsvektors, 
jbb das und Ug'EUipsoides, beschränken können, da für Impuls- 
und Hnpulskugel alles ganz analog ist. Wir wollen also, nnt 
4d0i’'«hrtea Extremfalle beginnend, wo das {Jg'Bllipsoid ganz innerhali) 
jE^EBipsoides li^, das Hg-EUipsoid wachen lassen, wobei wir das 
'JBg'El^aoid- konstant halten. Dieses ist gestattet, da es uns ja nur a<it 
die rektivett Ordfien beider Flächen ankommt. Lassen wir das I o- 
EOipsoid ans seiner Anfai^lage wachsen, die durch Fig. dargesii ilt 
ist, so dnrchseboeidet es das Fg*Ellipsoid, und spSrat j»ffenb«r in 
kl^n oytdeh Kurven, die die größte Halbachse .w^beä (JSg- 
,|a größer d}» l7«*EIIip«nd wird, desto größer -werdönjracb die Schm ^ 
rraven; aber sie uin|[eh.e*,stetB die größtd^aÄuohse»' 
mittleren ,Balh«<^jfie'h^'N'h(»idey' 



SpexieUe Dynamik starrer Körper, ’ 417 

feind, d. h. bis der Fall der Fig. 121 b realisiert ist. in diesem Fal0iiurch- 
schneiden sich dje beiden ßchnittknrven in den Endpunkten der mitt- 
leren Halbachsen, und man kann daher hier sowohl sagen, daß die Schnitt- 
linien die größte wie die kleinste Halbachse umgeben. Lassen wir das 
170-Bllipsoid weiter wachsen, so daß wir uns dem Grenzfall der Fig. 120 b 
annähern, so haben wir nunmehr Schnittkurven (Fig. 123), die die 
kleinste Halbachse umschlingen. Diese werden immer kleiner 
und kleiner, und reduzieren sich . endlich auf zwei Punkte, wenn der 
Fall der Fig. 120 b tatsächlich erreicht ist. 



Die Schnittlinien stellen jedesmal die Polhodiekurve dar; daß man 
stets zwei erhält, entspricht der Unbestimmtheit des Kotationssinnes. 
Da wir bei unserer Darstellung das Hj-Ellipsoid konstant gehalten haben, 
so schneidet das Uj-Ellipsoid nacheinander alle möglichen Schnittkurven, 
die wir oben besprochen haben, auf dem JSp-Ellipsoid aus, wie es in 
1^'ig. 124 dargestellt ist. Wir köimen nun auch den vorhin erwähnten 
Unterschied der Botation um die mittlere Hauptträgheitsachse im Yer- 
bältnis zur Botation um die beiden anderen Hauptträgheitsachsen 'yfer- 
, Zu diesem Zwecke erläutern wir, was wir unter „Stabilität" 

'md „Labilität" einer Bewegung verstehen wollen. Das ist ein^. &• 
wcjtf^ng der in Nummer 68. eingeführten, genau definiwtten Beritt« 

/er ötahilität und' IiahiUtät,;^e8 Gleichgeu?Ät^;,6in^^?nlnkt8y8t^^ 

Sohaefet, ' 



418 


^ Mechanik starrer Körper, * w. , 

Um die Stabilität einer Gleichgewichtslage* zu definieren, gaben mt 
dem System einen kleinen Stoß und untersuchten dänn, was eintritt, 
wenn dieser Stoß immer kleiner und kleiner gemacht wurde. Wenn 
dann auch die Entfernung jedes Punktes des Systems von der Gleich- 
gewichtslage und die ihm durch den Stoß mitgeteilte Geschwindigkeit 
immer kleiner und kleiner wurden, so nannten wir das Gleichgewicht 
stabil, im anderen Falle labil. Falls das Gleichgewicht stabil ist, ent- 
fernt sich das System nur wenig von der Gleichgewichtslage und führt 
kleine Schwingungen um dieselbe aus; ist die 
Gleichgewichtslage labil, so verläßt das System 
dieselbe mit endlicher Geschwindigkeit, um nie 
wieder in dieselbe zurückzukehren, wie klein auch 
der Stoß gewählt wird. 

Nach dem Vorgang von E. I. Bouth') er- 
weitert man diese Begriffe auf die Bewegung; 
allerdings ist die Routhsche Definition nicht 
zweckmäßig. Wir sagen im Anschluß anF. Klein 
und A. Sommerfeld*), eine Bewegung sei stabil, 
wenn die sämtlichen sie bestimmenden Elemente 
(die aufeinanderfolgenden Lagen des Körpers im 
Raume, die Lagen des Drehungsvektors und des 
Impuls Vektors im Körper und im Raume usw.) 
um so weniger durch den Stoß geändert werden^ 
je kleiner der Stoß ist. Im anderen Falle nennen 
wir die Bewegung labil. 

Wir wollen nun die Stabilität der kon- 
stanten Rotation um die Hauptträgheitsachsen 
oben ausführlich besprochen haben. Wenn 
dl ^5 Körper um die Achse des größten oder kleinsten Trägheits- 
momentes rotiert, bo ändert jeder Stoß die Bewegung so ab, daß die 
/^forher sich in den Endpunkten der betreffenden Achsen berührenden 
’ ® 0 *%nd Üp-Ellipsoide sich ein wenig durchschneiden, so zwar, daß 
8Qbi4ttkurvÖ den ursprünglichen Berührungspunkt umschließt, de 
' der Stoß, um so enger umschließt die Polhodiekurve (gleiches 

gilt vbn der Impulskurve, was wir nicht mehr besonders, hervorhehen) 
jdi% betreffende EUipsoidachse, um schließlich, wenn der Stoß unendlicli 
|;ö]naebt wird, auf den Berührungspunkt emzuschrumpfenr Bei(h‘ 
Bewegungen sind also stabil. 

Da die Rotationsachse sowohl im Körper als im Baume fest ’ 

' w kann eiii in dieser Weise rotierender Kreisel offenbar zum Nachw^^^ 
der ErdfotatiQn dienen« Ein solcher Versuch ist mit Erfplg von Föppl ) 


*) £. L Rontk. on tbe fitutHlity d 

*i r. Klein n. Ä, 

- A, Fippi, Bf t. - ■■ ■ 


5 



untersuchen, die wir 



ßpexieUe Dynamik a tarrer Körper, - ■ 419 

Andere steht es mit der Rotation um die Achse, des mittleren Träff- 
heitemomentes. Ge^n wir dem rotierenden Körper einen noch so kleien 
Stoß, so umschheßt die entstehende Polhodiekurve — es sind' nur die 
Fälle der Figg. 122 und 123 mögüch - entweder die Achse des 
kleinsten oder des größten Trägheitsmomentes. Nie aber 
kann eine Schnittkurve entstehen, die die mittlere Haupt- 
trägheitsachse umschließt. Der Charakter der Bewegung ^rd 
durch den kleimten Stoß radikal abgeändert: die Rotation um die 
Achse des mittleren Trägheitsmomentes ist also labil 

Um die Bewegung im allgemeinen Falle in allen Einzelheiten über- 
sehen zu können, bleibt nichts anderes übrig, als auf die Eulerschert 
Gleichungen resp. die daraus bereits abgeleiteten Integrale (40) und (41) 
raruckzugehen. Wir werden für den unsymmetrischen kräftefreien 
Kreisel (A ^ B C) die Rechnungsmethode nur andeuten und sie in 
der folgenden Nummer für den symmetrischen kräftefreien Kreisel wirk- 
lieh durchführen. 

Erweitert man die Gleichung (40) mit B und subtrahiert davon 
Gleichung (41), so erhält man n ausgedrückt durch ö, nämlich: 

2BE„- 

A(A-B) 


(65) 


('S’ 


Erweitert man entsprechend (40) mit A und subtrahiert dann (41) 

, so folgt eine analoge Darstellung für z • 

(66) {^lY - f/,« _ a{A - Oy* 

U< j B{a- B) ' 

ffieht man die Quadratwurzeln und setzt diese in die dritte der kräfte- 
freien Eulerschen Gleichung (39) ein, so folgt: 

C = ± j/ •f' - Öy« ^ ^ - t7.» - a(A -'Ö)j* , 

oder: 

(67) 


_ _ de 


A ai Variabein getrennt und die Integration liefert für 

Li.* ^““Ktion von t offenbar eine elliptische Funktion, da das links* 
»renende Differential ein eUiptisches Differential ist. Ist « bekaniü 
so ergeben sich nach (66) und (66) sofort n und t Damit sind aüe dt^ , 

Leven “ *’**’^8 bewegte System bekannt,^^ 

z-Rieht^”^ die feste »y-Ebene in die invariable Ebene, so daß die po^tiva 
chunsen ^ 7 ^* I*“P«l8acJ»se zusammenfällt, so liefern äß 
die iw P Richtui^fskosinusse ansgedifiok^ 

‘■M. <J9) «k. VI. JCptol. mt, dep Eiu/ihSS' 
»mmenhüMM,;. Mm «hUt dim W^.SWjdffidfedi» 



420 


Mechanik starrer Körper, ^ 

. # -1^ -^r -yr- 

sehen Winkel durch ä, ^ ausgedrückt, d. h. als Funktionen der Zeit, 
womit alles bekatmt ist. Wie schdn^ bemerkt, führt, die Li5süng auf ellip- 
tische Punktionen; wir müssen darauf verzichten, näher auf diesen 
Gegenstand einzugehen. 

V 

84. Kräftefreie Bewegung des symmetrischen Kreisels. 

Dagegen wollen wir einen wichtigen Spezialfall, den des symme- 
trischen Kreisels, behandeln. Darunter versteht man einen solchen, 
für den zwei Hauptträgheitsmomente gleich groß sind. Wir nehmen 
etwa B=A^G, Die Behandlung dieses Falles können wir zweckmäßig 
• sofort in die geeignet spazialisierten kräftefreien Eulerschen Glei- 
idiungen (39) anschließen. 

Dies werden hier: 




Von diesen liefert die letzte sofort für die Komponente der Bo* 
'tationsgesch^nndigkeit am die Achse (wir bezeichnen die Kotations* 
k^ponenten im folgenden vielfach der Kürze halber durch n, x, (1); 

(69) (i «■ Const = (j, . 

. ,'1 Da die Lage der C-Achse, um die die Botation Pg stattfindet, bisher 
nur dadurch definiert ist, daß sie mit der Achse des feinsten Trägheits- 
raomentes C zosammenfällt, so wollen wir diese Bestimmung dahin 
ergSnzen, daß wir diejenige Bichtang als positive C'Achse nehmen, in 
bezug auf die die Botation im positiven Sinne vor sich geht, d. h. wir 
,1i^öimen ohne Beschränkung der Allgemeinheit ('o>0 annehmen. 

yAus (69) folgt mit Benutzung der für unseren Fall spezialisierten 
^^ciiung (41) sofort weiter: 


's^istäueb **+^* +<>**<«>* konstant, d.h. die Botationsgesebwin- 

i^igltpit ist konstant. Damit vereinfachen sich die beiden erstem 
^^Ql^ühungen (68) foi^ndermaßen: 

I . 


A — (( 7 - 4 ) ^ 0 -^ '* 


^d.b. wir haben zwei 'miteinander gekoppelte Ixneatm^luOgBn® 
chnngen/ wie wir 'sie. gpnz ähnlich b^ den ^l|(WÜo||uag^<^^ 
l^ei^ Mut^pnolttf . fer 


(iQgene 

Systems 
m man d'-'' 


' . i^j^kxieUe ' Dynamik starrer Körjper. 421 

Kunstgriff benutzt, die letzte der Gleichungen (71) mit d^ imaginären 
Einheit i= Y—l zu multiplizieren' und zur ersten zu addieren, erhält 
man die einfachere Gleichung; 

^ * T^') - 1«? - ^) ('o ('d" + » “ 0. 

oder wenn wir für einen Augenblick ~/f + i^ = V setzen: 


(72) 


dV 

dT 


C-A 


(>oV, 


die wir durch den schon früher bei dem Schwingungsproblem bewährten 
Ansatz zu lösen versuchen: 

(73) V - c“<, 

wo a eine zu bestimmende Konstante ist. Gleichung (72) liefert sofort: 

.C-A . 

« •=»— 2 — (>o> 

so daß wir aus (73) erhalten, wenn wir noch eine willkürliche Konstante E 
• einführen: 

• ?r A 

(74) Vs:i + iz = Ee'' ^ . 


Im allgemeinen wird E komplex sein, also gleich ß+iy zu setzen 
sein. Trennt man in der letzten Gleichung das Beeile vom Imaginären, 
so erhält man unmittelbar: 

Ä = /9 cos {>at-r sin «0 f > 

r = yeoa (5* t + /? sin 1, 

oder, wenn wir noch setzen: 

ß SS J? sin#, 
y «FcosJ, 

kann man für A und y schreiben: 

(76) 1 *— 

.1 j^-r+FcOS^^-pJ- 5 ), 

“der, unter Einführung einer anderen Integrationskonstanten i«, erhält 
luan für alle drei Botationskomponenten: 

ff = - F sin (ijf-g, 

m CA 

;?r+F 008 -^P„(t-U • 



422 


Mechanik starrer ^ 


Die Konstante P bestimmt sich nach (70) zu: ± ^ ■ « Nun 

drücken wir vermittels der geeignet spezialisierten Gleichungen (47) i,' 
Q durch Uj . . . yj aus. Wir haben zunächst aus (47)^: 

A(ßin + ß2X) + Gß^^f^=^0, 

Ai/i ^ + ri^ + CrsiK^h- 

IJCjI ist offenbar = TJqI aber es kann im allgemeinen nicht geschlossen 
werden, daß selbst gleich Uq ist. Wir werden jedoch nachher sehen, 
daß eine derartige Festsetzung über das Koordinatensystem getroffen 
werden kann, daß stets ist. Bis dahin führen wir das Zeichen 

IB verschieden von Üq mit. Erweitert man die letzten Gleichungen 
' init resp. Ui, ßi^ yi und addiert, so folgt: 


^(77) 


A 


dn 

'dT 


hm 


ebenso folgt durch Erweiterung mit ctg, ß^, y^i 

( 78 ) ^^^hr,-, 

tmd endlich ebenso: 

|t>(T8) C (>0 = h^f 

^Pardns folgt weiter mit Benutzung von (75): 




(80) 


A . 
A . 
G . 


T-.-Pcos-^— Po«-«.). 


AF ^ C ““ A * ft 4 \ 

an — 3 — «0 (!“<»)» 


nach (59) des YI. Kapitels auf pag. 387: 

■ ' rin-ytsinif^ 

se, - . v- 

■(fljj cos^sint^ = + -j-cos-^^— (},(<- g, 

v; y^\ < ^ , i 

. ' COStJ'-» 


A 

A 


Ans den beiden eisten folgt: 


0 . 


oder: 

(8^ 

-ä^ 


tang ip - - taug ^o(f - g, 


■f C-A . iv _ 0 

2 P9(t~g> “ 


Pabei^jbMbt in v soeh «me" Pnbestiilimtbeit 




423 


^ .Sptmeüt Dynam^ starrer Körper. 

^ ^ ii*ii I ■ I »■ — ~ ' i ' ~ 'rMr^-ii 1^ ' TU*' ■A"*-.' ^-* '" '..i''- ■ __ __ _ 

verden kann. Aus der letzten Gleichung (81) folgt, daß d konstaint gläch 
}q ist. &Q ist der Winkel zwischen der positiven 2 :- Achse und der bereits 
ndgültig festgelegten f-Achse. Nun können wir die positive Eichtung 
ler > Achse, welch’ letztere bisher nur dadurch festgelegt war, daß sie 
nit der Normalen auf der invariablen Ebene zusammenfällt, jetzt so 
vählen, daß derj Winkel (zC) spitz ausfällt, d. h. sein Kosinus und 
Sinus positiv werden. Nach der letzten Gleichimg (81) ist dann Ä 3 , da 
7 und qq positiv sind, gleichfalls positiv; es ist also direkt mit {7q identisch 
md kann daher dadurch in Zukunft ersetzt werden. Für den Sinus 
ron ^0 erhalten wir also: 

81 a) sin ,9-, = + ^ p,* . 


ins der dritten Gleichung (61) des VL Kapitels auf pag. 338 folgt 
ndlich zur Bestimmung von (f: 


lIso ist: 
83) 


('o 


d(p 

IT 


A^C , 

A 


d q> 

d i 

(p «» 


-3 

A coa 


V, 

A 


, und 






venn eine neue Integrationskonstante bedeutet. 

Wie stellt sich nun die Bewegung dar ? Da um die Achse des kleinsten - 
Trägheitsmomentes C, die mit unserer f-Achse zusammenfällt, ’Sym- 
netrie herrschen muß (da A = B), so werden wir jetzt die C- Achse als 
Symmetrieachse oder Figurenachse des rotierenden Körpers bezeichnen. 
Der Winkel zwischen der Figurenachse und der mit der invariablen Achse 
5usammenfallenden Achse ist gleich konstant. Um diese Figuren- 

ichse findet eine Eotation (in der früheren Bezeichnung eine „Eigen- 

Irehung“) mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Po 

3tatt (vgl. Pig. 100 ), die vom Winkel §q zwischen Figurenachse und 
^-Achse unabhängig ist; deim nach der letzten Gleichung (81) hängen 
^0 und nur durch eine willkürliche Konstante (k^) zusammen. Die 
Rotationsgeschwindigkeit ist bei unseren Festsetzungen positiv, da (7<i4 
Gleichzeitig ände^ sich der sogenannte „Präzessionswinkel“ ^ 
zwischen der Knotenlinie und der :r-Achse mit der gleichfalls posititen 

jjPräzessionsgeschwindigkeit“ ^ , die vom Verhältnis der Trä^its« 

uiomente C und ^4, der Eotationsgeschwindigkeit um die Figüien- 
achse, und der Neigung #0 derselben gegen die invariable Aohsa aäiS 
. ist. Da #0 konstant ist, so beschreibt^die Pigurenachse 
um die invariable Achse (^ Achse), 
^ab 6 n.es^nuj^||i^t jr|§|i «u tun. 



424 M0ehanik starrer Körper., ^ . 

Stallung ist die ganze Bewegung völlig bestimmt, da für jede Zeit die 
Lage d^ Körpers d^ch die Eulersch^n Winkel festgelegt ist, ^ 

Man bemerke, noch folgendes: Wie oben betont, haben und 

dm 

dasselbe Vorzeichen, da nach unserer Festsetzung C<A ist; die 

Eigendrehung um die Figurenachse und die Präzessionsbewegung der 
Figurenachse um die invariable Achse gehen also gleichsinnig vor sichj 
weshalb diese Präzessionsbewegung speziell „progressive Präzession“ ge- 
nannt wird. Würde die Figurenachse die Achse des größten Trägheits- 
momentessein, (C>A), so wären und von entgegengesetztem 

Vorzeichen; die Präzession heißt in diesem Falle „retrograde Präzession“. 

Die hier gewählte Darstellung ist äußerst anschaulich, ab^r es ist 
nicht die früher besprochene Poinsotsche, bei der man auf das Abrollen 
zweier Kegel aufeinander geführt wird. Wir wollen der größeren Deut- 
lichkeit halber, imd damit Verwechselungen der verschiedenen Achsen 
und Kegel nach Möglichkeit ausgeschlossen werden, jetzt noch die 
Poinsotsche Darstellung, aber in analytischer Form, geben. 

Zu diesem Zwecke haben wir zunächst die Lage der instantanen 
Botationsachse im Körper und im Baume festzustellen, was keine Schwierig- 
keiten bjetet, da die Größen und damit auch die Größen 

beltannt sind. Die Gleichung der instantanen Botationsachse im Körper 
int, ^enn mit tj, C die Koordinaten eines derselben angehörenden 
Punktes bezeichnet werden, offenbar: 

oder wenn^ man die Werte (75) benutzt und D ein Proportionalitäts- 
jbktör ist: 

I DFÜn^±ö,[t-t,), 

— DF — 

Die instuitane Botationsachse geht durch den festen Koordinaten- 
aiifangspunkt; wir wollen nur solche Punkte derselben betrachten, <lii 
,|rom Nullpunkte aus gerechnet nach der positiven Seite liegen; d. I>- 
wir kdnnen D als positiv voranssetzen. Setzen wir D direkt gleich 1, 
80 ' sind offenbar ({, f ) die Koordinaten desDrehpols, und mit 
stellen die Gleichungen (84) in Farameterdarstellung die Polho^kw^^ ’ 
d. h. die sukzessiven Lagen des Drehpoles dar. Diese GIei<d}ungen stellen 

;^Ieich bei beliebigem D in Parameterdarstellupg den!t PoÄodiekeg«' 

dir, d. h. die Gesamtheit der sukzessiven Lagen der instantanen Botationfj- 
adise im Kipper. , Zulassung negativer D-Werte wfhde -bedeuten, da 
wir iH&bden .diametralen“ Kegernützl^ 
ymf t D nrhfth m«i Imebt: < 




Sp^TiMk Dynamik starrer Körper, 


425 


I* + 
C* 


^IL 

9o* 


(7 * — * 

oder wenn für F* sein Wert gesetzt wird: 

(85),. + + )»0, 

die eine Kegelgleichung in ihrer gewöhnlichen Form darstellt. Und 
zwar einen Kreiskegel um die C-Achse. Der Kegelwinkel Ej ist offenbar 

dadurch bestimmt, daß der Ausdruck — gleich der trigono- 
metrischen Tangente von «i ist; also: 


( 86 ) 


taug«, 


1 

«0 




Das Vorzeichen der Wurzel muß so gewählt werden, daß der Zähler 
j/l* + - ± DF = ± ||/Do*-C*(V 

positiv 'ausfällt, da er den stets positiven Abstand des betrachteten 
Punktes von der C- Achse darstellt. Dieselbe Betrachtung entscheiclet 
auch nachher beim Herpolhodiekcgel über das Vorzeichen. 

Natürlich hätte man das Resultat auch direkt durch Spezialisierung 
der allgemeinen Gleichung des Polhodiekegels gemäß (54) erhalten können; 
man überzeugt sich in der Tat leicht, daß (54) für unseren Fall in (85) 
übergeht. 

Jetzt wollen wir die Lage der instantanen Rotationsachse im Baume 
bestimmen; ihre Gleichung ist: 

X :y:z^p:qir. 

P,q,r hängen mit den bekannten Eulorschen Winkeln nach 

Gleichung (60) des VL Kapitels auf pag.887 folgendermaßen zusammen; 

p Ol cos (p • & + sin (p • sind' • yj f 
^ sin qp • ^ — cos gp • sin ^ • 1//, 

1 ^ «a ^ + cos • tj/ . 

Gemäß (81), (82) und (88) wird daraus für die Rotationskomponenten 
in bezug auf die festen Achsen: 


(87) 


p « sin l/i ~ ^ 




Ä 


'Qo* 


Ejl 

A 


C 


C-Ä . , 
(V* 


A 


, , B also, wieder einen positiv zu wählenden Ptoportiopit^l^^'' 

aztor.-Bo haben vrf» fÄ Funkte der instantanep BotatioiiiOl^ 



426 


Mielumik starrer Körper. 




188) 


A 

i, - + E cos A (t _ g y 1 _ ^ 


Po I 


Bü, 


EC G-A . j 

U, A 


Das ist gleichzeitig die Paraineterdarstellung für den Herpolhodiekegel. 
Eliminiert man die Zeit t und die Konstante E, so folgt leicht: 


(89) (**+ y* 


(V, 

C 

u ■ 

■ P. A 




UQd das ist offenbar wieder die Gleichung eines Kreiskegek, jond zwar 
tun die xf- Achse. Für die trigonometrische Tangente des Kegelwinkels «2 
hat man wieder: 


(90) 


Fl 

Ä 


ü. 


Ä 




Das Hinnszeichen. rechtfertigt sich auf die vorhin beim Folhodiekegel 
>useinandergesetzte Weise. Es ist leicht, «g mit Zusammen- 

l^jEuig zu langen. ^ Denn man kann (90) so schreiben: 


tangf, 




1 + 


ACi,' 


' ta“g(»^o - « 1)3 


darin ist die rechte Seite gleich: 

tg». -tg«i 
i+tg#,tg», 

.folgt sohlieBlich: 

,^,(91) •* “ <^0 “ *1 * 

‘ j^aben also die Verhältnisse der Fig. 125 vor uns. Man erkennt ins- 
|b{i)?8Qiidefre folgendes: Von der Eigendrehnngsgescbvindi^eit yi wissen 
bwmts, daß sie positiv ist; ebenso von der Präzessionsgeschwindig- 
1:^ ^ am die z* Achse. Deshalb ist am die S' Achse und in di<' 
loreisfArinige 6mndflä(die des sog. „Präzessionskegels“ je ein Pfeil mit 
posititvm Botationssinne eingezeichnet worden. Innerhalb dieses Kegeln 
liegt zofolge (91) dia instantane Botationsachse, die den Kegelwinkel A, 
in zwm (Peile «j and ^ teilt. Im Baome beschreibt die BotatfawecbM’ 
/den Kegdl'init der Ofhmng und zwar im positiven S^e, wie niati 
. 80 ^ aas den bdden ersten Gleichungen (88) entohmi^^kann;. desha j 
^in entiprechender Pfeil eingezeichnet word^. ;l^r; Ptdhbdiekege 

nut der Offmi]^ s. wird dag^n im negativen ffinne fäiiüÄiißötatwn^- 

-jL. i<:' tTi- lassen 

^^)ien Siim» 


aöhie: nn^ofen, aciejdie besden ersten ÖleieM 
•• " “ • 



8pexi$üe Dynamik staner Körper.^ 


besohreiben; wir kommen darauf noch zurück); ein ent8precbci|ier 
Pfeil ist eingetragen. Endlich erfolgt die Botation um die insW^e 
Botationsachse im positiven Sinne, d.‘ h. in demselben, in dem die B^- 



Pig. 125. 

wegung der Botationsachse auf dem Herpolhodiekegel erfolgt, d. h. die 
Präzession ist progressiv. Bei dieser rollt also der Polhodie- 
kegel stets von außen auf dem Herpolhodiekegel ab. 

Betrachten wir nun den Fall, daß C > ^ ist. Die Unterschiede gegen 
flen bisher behandelten Fall werden am besten hervortreten, wenn wir 
die folgende Tabelle studieren. 


Eigendrehtmgsgeschwindigkeit 


Umlaufsinn der inet. Rotaticms- 
achse auf Fblhodiekegel 
auf Herpolhodiekegel 
Beziehung zwisohtti den Winkeln 

^0* ^1 1 »t 

Charakter der Fräaeedon 


negativ 


progressiv; Polho- 
diekegel rollt von 
außen auf Herpolho- 
dieke|;el ab (fig. 12ß) 


•i.®* *1 

Spez. Pedi der retib* 
graden MmmkAi 
Polhodieke^ umleiBt 
den Heri»^tkltokn|^ 
vhd roUtyfbfciMlian •» 




428 Mechanik starrer Körperp ^ 

, e^u; . T;,:r;iTiv;;)rBr/r7 :r::=^ - = 

^ ^ Wir erhalten BO dad Bild der Fig. 126 die gansr analog wie Fig. 125 
angelegt ist tind mit BSlfe der Tabelle ohne Schwierigkeit verständlich 
sein wird. 



Kg. 126. 


te. Saminiiiiielw Betnebtuv der Bewegungen einei lynunetriMlien Kceiiels 
unter dem EinflnB von KriUten.*) 


Die Behandlung des allgemeinen Problems des symmetrischen Kreisels 
nhter dem EinOuB von Kräften, insbesondere der Schwere, würde den 
■ Slidimen dieses Buches überschreiten; der lieser sei dafür auf die be- 
Mite genannte umfassende Monographie über die Theorie des Kreisels 
von F. Klein und A. Sommerfeld verwiesen. Wir beschränken uns 
auf eine summarische Betrachtung der dabei auftretenden Ver- 
HdUtaisse. 

.^r denken uns einen sehr schnell nm die Figutenachsü rotierenden 
Ejce^l, dessen Drehimpuls nach Größe nnd Bichtung tt sei. Wirkt 
«ns aof den Kreisel ein Drehmoment 91 ein, so sagen die Momenten- 
Ipddinngen oder der damit gleichwertige zweite Impulssatz (Gleich^ 'Ib) 
ly.’ Kapitels dnf p^. 194) ans, daS die zeitiiehe Ändei^ng d» Dreli- 
irngnlsM gleidi. dem wirkenden Momente ist. Alsd: 



dit 

df 






< SptxMk Dynamik ttarrer Körper. 


429 


Dabei ist^ BelbstTerstSndlioh die Änderang i 9 )m festen S]r8tem ans 

beurteilt. Aus der zweiten Pormulierung der Gleichung (92) geht hervdr, 
(laß die Änderung dtt des Drehimpulses ein Vektor ist, der mit 9t die 
gleiche Biditung hat, aber vom dt-fachen Betrage ist. Der Impub Q 
geht also infolge der Wirkung des Drehmomentes 91 nach der Zeit d( 

über in II + d tt. Wir wollen jetzt die gegenseitige Lage der drei Vek- 

— >“ — >- 

toren ll, SR feststellen. Es mögen in Fig. 127 0^ und OB der 

Größe und Bichtung nach die beiden Vektoren 3R und 11 darstellen, 
die von einem Punkte 0 aus aufgetragen sind. Dann kann dtt etwa durch 

das in Richtung von 9t abgetragene Stück OP charakterisiert werden, 


A B> 



Nach der Farallelogrammregel finden vrir dann den Punkt B' der- 
artig, daß OB* der Größe und Richtung nach den neuen Drehimpuh 
tt+dll darstellt. Der Vektor tt+dtt liegt also stets in dem Winkel 
den die beiden Vektoren 9t und U miteinander bilden, und daher kani 
man das Resultat so aussprechen, daß der Drehimpuls bestreb! 
i»t^ der Richtung nach sich derjenigen von W zu nähern 
also sich 9t parallel zu stellen. Man bezeichnet dieses Verhaltet 
des Impulses, das keineswegs auf den Kreisel beschränkt ist, Bonden 
offenbar in gleicher Allgemeinheit wie der Impulssatz gilt, beim Kreise 
als „Tendenz zum gleichsinnigen Parallelismus“. ^ 

Nun ist allerdings die Impulsachse nicht gut zu beobachten. Weni 
^r aber einen sehr schnell um die Figurenachse rotierenden Kreiste 
annehmen, und das wirkende Moment 9t nicht allzu groß ist, so wetdei 
w erwarten dürfen, daß angenähert die Verhältnisse etwa der Fignr ISü 
oder 126 des l^iSftftefreien. Kwiseb bestreu bleiben, dih. 

vfjtl, iniibiütane Rotationsaohie , noe^ 


480 


Mtchanik starrer Körper, ♦ 

•% 1 " ' " 

der Im^älsaohse ,:.bdnaohbart sind und dieselbe rasch im 
greise umlaufen. ' ‘ 

, Im Mittel ,wd daher die Tendenz zum gleichsinnigen Farallelis- 
mtm auch noch für die Figurenachse gelten, aber natürlich nicht in 
Strenge, wie für die Impulsachse. Es wird daher im Mittel sich die 
Fignrenachse des Kreisels der Bichtung des wirkenden Momentes 8R 
parallel zu stellen suchen. 

Dieser Satz erklärt das scheinbar paradoxe Verhalten eines schnell 
rotierenden Kreisels gegenüber äußeren Kräften (Pig. 128). Nehmen 
wir den in Fig. 128 gezeichneten Kreisel am Griffe in die Hand, halten 



ihil vertikal und versetzen ihn in eine Drehung, die, von oben aus l’c- 
ärt^, positiv ist. Dann ist die positive Bichtung der Impulsachse tiadi 
oto> geriditet. 

■ Vmudit man den Kreisel so zu bewegen, dag das obere Ende ilei 
I^iarenachse sich nach hinten bewegt (d. h. dreht man ihn um <!>>' 
horizontale Achse HH), so übt man ein Moment ans, dessen Bichttmg, von 
yome g^hsn, in der Zeichenebene nach linke liegt, wie^es der Pfeil »n- 
^eutet. Also bewegt sich nach dem eben Gesagten die Kreisel- 
spitze» statt nach hinten, wie man erwarten sollte, im 
Mittel nach links (die Impnlsao|i8e streng nS»eh links). 

Würde die Botatimi um die Figurenaehse im umgekehrten 
^Igen, so*wfirde ihre positive Bichtung ngch unt^ sn netoen 
^ i&eiselspitze würde Meh dann nt^ rechts ndgen,^lj^ die 


431 


SpexieUe Ih/namik starrer Körper. 

sinnig werden können. Speziell erklärt sich auf diese Weise die Wirkuügf 
der Schwere auf einen, symmetrischen Kreisel, der nicht in seinem Schwer- 
punkt S, sondern in einem anderen Punkte 0 festgehalten ist (Pig. 129^ 
Auf ihn wirkt im Schwerpunkt S die Kesultante der Schwere Mg, 
die das Moment 8R ausübt. Diesem stets horizontal gerichtetem 
Moment sucht sich die Impulsachse parallel zu stellen, was, da der 
Punkt 0 des Kreisels fest ist, zur Folge hat, daß der Endpunkt des 
Impulsvektors einen horizontalen Kreis in Bichtung des 
Momentes SW beschreibt; dabei nimmt er im Mittel die Fi- 
gurenachse und die instantane Eotationsachse mit sich. 
Würde diese Bewegung in Strenge für die Figurenachse gelten, so 
liätten wir eine „reguläre Präzession“ vor uns. Aber eine solche kommt 



0 

Fig. 129. Fig 130. 

im allgemeinen (von speziellen Fällen abgesehen) beim schweren 
8;^metri8chen Kreisel nicht zustande, sondern nur im Mittel, indem 
die, Kreiselspitze kleine Zykloidenbögen beschreibt, die bei schneller 
Rotation zwischen zwei sehr nahe gleichen Kreisbögen liegen und die 
sich der Beobachtung vielfach entziehen (Fig. 180). 



86. Das Potential kontinuierlich verbreiteter Hauen, speziell einer 
homogenen Kngelsohale; der Burtitt des Gradienten. 

Den Schluß dieses Kapitels sollen einige Ausführungen über Bo? 
ontialtheorie bilden, die eine Vorbereitung zu den detaillierteren Aus- 
emandorsetzungen bilden, die wir in der Elastizitätstheorie jumF, im 
dieses Wwies in der Theorie der Elektrizität jebenmfl»eü. 
as hier Folgende hat hanptsäohli«^ den Zweck, uns mit dem auftroten^ 
‘ cn AufKirü^tei:^‘^tw;ai ^ machen; wir ^winnen, 


432 Mechanik starrer Körper. 

•hier durch geeignete Verallgemeinerung der früher für das Potential 
diskreter Masaenpunkte aufgestellteh Werte. 

In Gleichung (182) des V. Kapitels (pag. 286) hatten wir für das 

P'otential eines Systems von Massenpunkten folgenden Ausdruck gefunden: 

" Dabei ist k die sogenannte Gravitationskonstante, und fj bedeutet den 
Abstand des A“” Massenpunktes mit den Koordinaten (X;,, tfi, z^) von 
dem Aufpunkt (x,tj, z), in dem das Potential angegeben werden soll. 
Dieser Ausdruck verliert seine Bedeutung, wenn der Aufpunkt mit 

einem der Massenpunkte (a:^, j/^, z^) zusammenfällt, da dann — un- 

- -endlich wird. Bei fortgesetzter Annäherung an einen Massenpunkt ist 
es eben nicht mehr zulässig, sich die Masse als punktförmig vorzustellen, 
sondern jede noch so kleine Masse nimmt genau genommen einen end- 
lichen Baum ein. Wir müssen daher die früheren Betrachtungen er- 
gänzen, und zwar wollen wir uns die Materie der Einfachheit halber 
als kontinuierlich vorstellen, d. h. ihr eine bestimmte Dichte zuschreibi n, 
, die wir c nennen wollen und die im allgemeinen als Funktion des Chte.'f 
«u betrachten sein wird. Die in einem Volumelement dx-Ax’ dy’ dz' 
vorhandene Masse ist dann e {x' y' z') dx' dy' dz' und der Anteil, den 
diese Masse zum Potential beiträgt, ist offenbar: 

♦ _ kj(x' y r’) djc’^ y' d z^ ^ 


f'^wo r den Abstand zwischen Aufpunkt (xyz) und diesem Volumeleuient, 
mittlere Koordinaten {x'y'z') seien, bedeutet. Haben wir alse 
endlich ausgedehnte Massen, so erhalten wir für das Potential eine Sunnue 
ähnlichen Ausdrücken, die über den betrachteten Körper erstrei k 
ist, d.h. ein bestimmtes, über den Körper erstrecktes Integral. Also: 


(93) 


4 , . _ 


Dieser 'Aüsdmck ist eine Funktion von x, y, z, d. h. den Koordinatij 
Änfponktes; die Integration dagegen erstreckt, sich über x. .v-- 
■ ^.h, die mit räumlicher Dichtigkeit e erfüllten Stellen des betreffeu'i' J* 
S -TKarpers. Es ist .nun leicht, zu sehen, daß dieser Ausdrack eni 
bleibt, auch wenn der Aufpunkt im Innern des betreffenden 
li^, d.h. mit einem der Punkte (x’y'z') ttbsUvird 

^ wird in dem Integranden allerdings r=0, »ber ^ ,,i„, 

nicht unendlich groß. Denn führt mim Polarkoordmaten f, <P 
so kimn man das Volnmelement dx schreiben,? 

dt —r* drein ^ d^df. 

Damit wird das Potential nach. (98)j . 



433 


Spezielle Dynamik, starrer Körper. 

und der Integrand wird für r=0 keineswegs unendlich groß, sondern sog« 
unendlich klein; der Ausdruck (93) für das Potential behält also seine * 
Bedeutung bei auch für „innere“ Punkte. 

Betrachten wir nun die Komponenten der Anziehungskraft, die 
von unserem Körper auf die Masseneinheit ausgeübt wird, und nehmen 
wir den Aufpunkt zunächst außerhalb des Körpers an. Darm erhält ma-p • 
offenbar: 


Auch diese Ausdrücke bleiben endlich, wenn der Aufpunkt ins Innere 
des Körpers hineinrückt, wie man auf dieselbe Weise zeigen kann. 

Nehmen wir wieder zunächst den Aufpunkt im Äußeren des Körpers 
an, so läßt sich leicht zeigen, daß die obigen Kraftkomponenten die 
negativen partiellen Ableitungen des Potentials sind, das durch (98) 
definiert ist. Denn da für einen äußeren Punkt 1/r stets endlich bleibt, 
so kann man die Differentiationen nach den Koordinaten des Aufpunktes 
unter dem Integralzeichen ausführen. So folgt zum Beispiel für: 


60 

dx 




und das ist wirklich nach dir obigen Gleichung gleich A; also gilt 
jedenfalls für äußere Punkte die alte Beziehung: 


(94) 


V — ^ ^ 7 _ ^ ® 

ö*’» ^ “ dy ’ ^ ~ Tz" 


Liegt der Aufpunkt innerhalb der attrahierenden Materie, so läßt sich 
Differentiation unter dem Integralzeichen nicht mehr ausführen, 
cs läßt sich also nicht mehr auf die bisherige Weise zeigen, daß noch immer 
die Kraftkomponenten die negativen partiellen Ableitungen des Po- 
entials sind. Vielmehr hat man zu diesem Zwecke einen geeigneten’ 
trenzübergang auszuführen. Wir wollen jedoch an dieser Stelle nicht 
naher darauf eingehen, sondern die Allgemeingültigkeit dieser Beziehung , 
a s bewiesen annehmen. Wir müssen im zweiten Bande (in d« Elektri- * 
gehen ®Lnehin noch einmal ausführlich auf alle diese Dinge mn* 

wollen wir die Beziehung, in der das Potential lur Kraft 
^ .^und die duf^h (94) f(|;maliert ist, in der Sprache der Vektor ^| ^^iu 



434 Meikmik stannrer Körper. 

•• r""!" ' ' ■ 

ausdrücken. Dies geschieht mit Hilfe des Begriffes des „Gradienten“ 
einer skalaren Funktion. ; 

Es sei eine beliebige Funktion <P gegeben; wir können derselben 
♦ einen Vektor tl durch die Beziehung zuordnen: 

ar d 0 ^ _ d 0 Qj _ 8 0 

dann gilt für eine beliebige Richtung $ entsprechend, wie eine leichte 
^ l^chnung zeigt: 


d 0 

stellt den auf die Längeneinheit bezogenen Zuwachs der 
. skalaren Funktion <2> dar, wenn man in der Bichfung s um das Stück ds 




weitergeht; analoge Bedeutung haben natürlich • 

Den so definierten Vektor Ä nennt man den „Gradienten von 
geschrieben „grad (P“. Wir haben seinen Betrag und seine Richtung 
besjunznen. Der Betrag des Gradienten ist offenbar gleich 

leine Biehtong ergibt sich aus folgender Erwägung: Die Komponeuti 
Ä, del Vektors Ä wird selbstverständlich am größten, weim die 
A tung s mit der des Vektors selbst zusammeniällt, da dann 9, direkt 

9 wird. Gemäß der Bedeutung von ist also , in diesem Fall« di'' 

Bichtung von s, d. h. die des Vektors grad <P, /diejenige» ^ 
die Funl^on 0 den stärksten Anstieg hat. . Die Bichtung des Gra- 
dienten von 0 ist alsp allgemein die dpi Anstiege 



4 - 


SpmüU Dynamik starrer Körper. ^435 

von <P. In dieser Ausdrucksweise läßt sich (94) jetzt schreiben, wenn 
die Gesamtkraft durch St bezeichnet wird: 

( 95 ) ft = - grad 0 . 

Wir wollen nunmehr einen speziellen Körper ins Auge fassen, näm- 
lich eine Kugelscliale vom inneren Radius und dem äußeren Ba 
lioniogenem Material, d. h. e sei konstant. Wir werden dabei sowohl den 
Fall untersuchen, daß der Aiifpunkt außerhalb wie innerhalb des von 
Materie erfüllten Raumes liegt. 

Zunächst nehmen wir den ersten Fall, der sich noch in zwei Unter- 
fälle sondert, je nachdem der Abstand a des Aufpunktes P vom Zen- 



trum 0 der l)eiden die Schale bildenden Kugelflächen größer als Bj oder 
kleiner als B^ ist (Figg. 131a u. 181b), d. h. je nachdem der Aufpunkt 
außerhalb oder innerhalb des Hohlraumes der Schale liegt. In beiden 
Fällen ist offenbar P ein äußerer Punkt. 

Nehmen wir (Fig. 182) OP als Achse eines Polar koordinatensystems 
(B, &y (p)y d. h. nennen wir den Winkel, den ein von 0 nach einem be- 
liebigen Punkte Q der Schale gezogener Radiusvektor OQ mit OP bildet, 
und nennen wir den Winkel, den die Ebene OPQ mit einer festen 
Ebene bildet, 9 ?, so wird die Kugelschale beschrieben, wenn B zwischen 
Bl und B^, d zwischen 0 und 71 , (p zwischen 0 und 27t variiert. End- 
lich werde der Abstand des Q enthaltenden Volumelementes 

dr = B* d B sin ^ dt? dtp 
Aufpunkte P durch r bezeichnet. 

Wir haben nun das Integral (98) für unseren Fall auszuwerten. Dad 

gibt: > 


Z8* 



486 


Meehmüt starrvr Körper. 


(96) 


Ji$ n 2.^ 


r 


®— ‘•/// 

ü, 0 0 

Rt n 2; 

, r r r rhrah 


R* d R »in &d\f^d(p 
2a}2co8 & ' 


wobei die Wurzel mit dem Pluszeichen zu nehmen ist, da r eine stets 
positive Größe bedeutet. Die Integrationen nach & und y lassen sich 
sofort ausführen, und man erhält so: 

(97) 0 = - ft « . 2 J B d B |l/o“ + B* + 2 0 B - ]/ä* + B» - '2o B • 


Jetzt sondern sich die vorher besprochenen Unterfälle ab. Denn 
die Wurzel ya^ + — 2aÄ = ±(u— B) ist so zu wählen, daß ihr 

Wert positiv ausfällt, also im ersten Unterfalle (Pig. 181a) ist a— ß, 
im zweiten (Kg. 131b) B — a zu wählen. Also ergibt sich im ersten 
Unterfalle {a>B^^ für den wir das Potential durch 0^' bezeichnen: 

R, 

(98) 0;« ^ B 4^ (B,® - B,®) , 

Ml 

* 4n 

oder, wenn wir bedenken, daß -y- «(Bg^—Bj^) gleich der Masse M ist, 
die in der Eugelschale enthalten ist, so ist einfacher: 


(98a) 



IcM 

Var* + y* + a* 


d.h. in einem äußeren, von der Kugelschale nicht umschlösse- 
nep Punkte verhält sich das Potential so, als ob ihre Masse 
im Kugelzentrum konzentriert wäre; die Kugelschale wirkt 
" also in diesem Falle wie ein einzelner Massenpunkt. Das 
gilt offenbar auch noch, wenn wir im Vorhergehenden 
Ä|S=:(), d.h. an Stelle einer Schale eine Vollkugel nehmen. 
Attch dann kann die ganze Masse im Zentrum der Kug«^*! 
Aonzentfiert gedacht werden, wenn es sich um die Berech- 
nung der Wirkung auf einen äußeren Punkt handelt. Das 
Gleiche gilt natürlich auch für die Anziehungskräfte, 
eine Vollkugel auf einen äußeren Punkt ausübt. Dieses Ei 
sultat füllt eine Lücke aus, die wir in Nr. 61 lassen mußten. Dort setzten 
wir bei der Berechnung der Wirkung der Erde auf einen an ihrer Ober- 
fläche befindlichen Punkt voraus, daß die Masse der Erde in dem Erd- 
mittelpunkte ^konzentriert gedacht werden können diese Voraussetzung 
ist jetzt insoweit bewiesen, als man die Erde ab bpmo|c^ Kugel bi - 

trachten darf. 

* 



■ ^ Spexieile Dynamik starrer Körper. 487 

Im zweiten Ünterfalle (a<2?i) erhalten wir dagegen aus (97): 

Ä, 

oder ausgerechnet (das Potential bezeichnen wir jetzt mit 
(99) ~ = Const., 


(Lh. das Potential einer Kugelschale in bezug auf einen 
äußeren vom Hohlraum der Schale umschlossenen Punkt 
ist konstant. Daraus folgt für die Kräfte das wichtige 
Eesultat, daß dieselben für 
einen umschlossenen äußeren 
Punkt gleich Null sind. 

Wir betrachten jetzt den zwei- 
ten Hauptfall, daß der Aufpunkt P 
im Innern der Kugelschale liegt 
(Fig, 133), und nennen für diesen 
Fall das Potential 0,-. 

Dieser Fall kann auf die beiden 
vorher behandelten zurückgeführt 
werden. Denn schlagen wir um 
das Kugelzentrum 0 mit dem Ra- 
dius a die durch den Aufpunkt P 
gehende Kugel (in der Figur 
punktiert), so erhält man zwei Fig. 133. 

Kugelschalen, eine innere und eine 

äußere. Für die iimere sind die Bedingungen des ersten Ünterfalles er- 
füllt (Gleichung 98), für die äußere diejenigen der zweiten (Gleichung 99). 
Addieren wir die Potentiale beider Kugolschalen, so erhalten wir das Po- 
tential der gegebenen Kugelschale auf einen inneren Punkt, Man erhält 
30 in leichter Rechnung: 

:i 00 ) Ö), = _ („3 _ _ 2 „ fe , (B^i _ «») , 



und wenn man wieder gleich 0 setzt, so folgt für das Potential einer 

0 Ikngel mit dem Eadius B« auf einen inneren Punkt im Abstande a 
vom Zentrum: 

0i^-2nkt\Ej* - ^a'], 

oder endlich, da ist, wenn wir den Koordinate nanfang a. 

p nkt ms Kugelzentrum legen: 

“) <I>, - _ 2 « fc , {fi,« - Hx* + + z*)\ . 

äon findet man hieraus durch Differentiation nach 



4S8 


Ale^umik starrer Körper. 


(101b) 


‘ö* 7 


4n j 


471 7 


z = - 


4n 


Ic ^ * Z f 


d.h. die Kraft auf einen inneren Punkt ist proportional 
dem Abstande vom Zentrum, während für einen äußeren 
Punkt aus Gleichung (98a) die Kraft sich als umgekehrt 
proportional dem Quadrate des Abstandes ergibt. 

Die letzteren Formeln sind unter anderem von Nutzen, wenn wir 
die Differentialgleichung bestimmen wollen, der das Potential (98): 

— i J in allen Punkten des Baumes gehorcht ; bevor wir dazu über- 

gehen, \yolIen wir noch zwei wichtige Typen von Potentialfunktionen 
besprechen. 


87. Potential von OberiiächenMegnngen und Doppelschiohten. 

Wir haben in der vorigen Nummer den Ausdruck — k ^ ^ derartig 

verallgemeinert, daß wir annahmen, die Massenpunkte seien kontinuier- 
lich über ein bestimmtes Eaumgebiet verteilt. Nunmehr wollen wir 
annehmen, daß Massenpunkte auf einer Fläche S angeordnet seien, deren 
Zahl wir allmählich immer mehr und mehr wachsen lassen, jedoch se, 
daß die auf die Flächeneinheit entfallende Masse endlich bleibt. Gehen 
wir schließlich zu einer kontinuierlichen Verteilung der Massen jiuf der 
Fläche über, wobei ebenfalls die Masse pro Flächeneinheit, die wir r/ nennen 
wollen, die sogenaimte „Flächendichte“, endlich bleibt, so erhalten wir 
eine sogenannte „Oberflächenbelegung“. Nennen wdr einFlächen- 
etement mit den Koordinaten (x'i/'/) dS, so ist die Masse desselben 
fjiS; seine Entfernung vom Aufpunkte sei r; dann erhalten wir als Po- 
tential einer Oberflächenbelegung den Ausdruck: 

(102) = 

Dieser Ausdruck ist wieder Funktion von x, y, z, d. h. den Koopli- 
naten des Aufpunktes; die Integration erstreckt sieb über x', y', £ > 
alle Punkte der Flficfae, für die tj von Null verschieden ist. Man zeigt 
leiefat — ebenso wie für räumliche Potentiale in der vorigen Nummer — 
daß der Ausdruck (102) auch dann endlich bleibt, wenn 

Aufpunkt in die Fläche S hineinrückt, r also in dem Integration?- 

Weich den Wert Null annehmen kann. Mit Potentialen dieser . r 
werden wir , es hauptsächlich in der Elektrizitätdehre zu tun haben. 
die elektrische Ladung im Gleichgewichtszustände aaf ^ 

der Oberfläche sitzt; dort werden wir uns anofa'ihii .j, 

^n (102) gepauer zu beschäftigen Imbea. Di^ tp^# 




439 


SptxieUe Dynamik starrer Körper. 

der Form (102) auch schon in der Elastizitätslehre auf, weswegen die 
kurzen Betrachtungen dieser Nummer schon hier notwendig waren. 

Ebenso eine Bolle in der Theorie der Elektrizität (wie auch der 
Elastizität) spielen gewisse Anordnungen von Flächen, sog. „Doppel- 
schichten . Bas Newtonsche Attraktionsgesetz kennt nur Anziehungen, 
keine Abstoßungen; solche aber gibt es bei den Kräften, die elektrische 
Ladungen aufeinander ausüben. Abstoßende Kräfte vergrößern die Ent- 
fernung r, sind also positiv zu rechnen. Wir wollen nun einmal auf 
Flächen verteilte Massen von der Dichte t] fingieren, die abstoßende' 
Kräfte aufeinander ausüben; dann würde das Potential solcher Massen 
nach (102) sein: 

(102a) 0 = + fc f -~/~ • 


Wir wollen uns nun zwei Flächen denken (Fig. 134), von denen 
die eine mit anziehender, die andere mit abstoßender Materie von gleicher 
Dichtigkeit rj belegt sei. 

Diese beiden Flächen seien in der Figur durch das ± -Zeichen cha- 
rakterisiert. Der sehr kleine Abstand der beiden Flächen voneinander 
sei konstant und zwar* gleich h. Greifen 
wir jetzt auf der einen Fläche ein Ele- 
ment derselben heraus, dessen Größe dS 
sei, und ziehen wir difreh den Eand 
desselben die Normalen, so schneiden 
diese auf der anderen Fläche eben- 
falls ein Element heraus, dessen Große 
bis auf Glieder höherer Ordnung 
ebenfalls dS ist. Der Abstand dieser 
beiden „entsprechenden“ Flächenele- 
mente von dem Aufpunkt P sei 



^‘esp. und r_; dann haben wir 


Fig. 134. 


als Potential dieser beiden 
(102) und (102 a); 


„entsprechenden“ Flächenelemente nach 


d0 


kfidS 




ftlso haben wir als Potential der beiden ganzen Flächen einen Ausdruck 
von der Form: 

Wir wollen nun die beiden Fläclien einander immer näher rücken 
assen. Würden wir dabei ij unverändert lassen, so würde das Potential 

wach (108) immer mehr abnehmen, da die Differenz y — der Null 

kommt. Wir wollen jedoch tj entsprechen! wachsen lassen, 
aß das Produkt ^ • k aus Fl^bendichte tj und Flächenabstand h 



440 Meefumik siarrer Körper, . 

^ - ;-a. _■■■ ^ s=-=nr^>r-r-_- 

ßtets endlich bleibt. Nimmt ä zu Null ab, so wird nach dieser Fest* 
Setzung gleichzeitig rj unendlich. Diese Anordnung von Massen 
* nennt man im Grenzfall eine „Doppelschicht“, das Produkt 
fjh dsis „Moment“ derselben. 

In dem jetzt betrachteten Grenzfalle, wo h unendlich klein werdend 
gedacht wird, können wir (103) einfacher schreiben, da r^. und nür 
um einen infinitesimalen Betrag voneinander verschieden sind. Ent-* 
wickeln wir nach dem Taylorschen Lehrsätze und brechen hinter 
dem zweiten GUede ab, so haben wir: 

( 104 ) + 

diff positive Richtung der Normale n ist dabei von der negativen zur 
positiven Fläche hin gerichtet (Fig. 134). Zunächst wird aus (108): 

® • ■'S = ‘/-i ■'S- 

Für das Produkt r-*r+ ist dabei einfach r+* gesetzt, was nach dem 
, Vorgehenden nur um Größen höherer Ordnung davon verschieden ist. 
Dann können wir endlich auch den Index + an r fortlassen, indem wir 
unter r jetzt einfach die Entfernung eines Elementes der Doppelschicht 
vom Aufpunkt verstehen, und so erhalten wir schließhch: 

( 105 ) 

In dieser Form stellt sich also das Potential einer Doppehichicht 
dar. Solchen Ausdrücken werden wir ebenfalls schon in der Elastizitäts- 
«lehre begegnen, die dann ihre Deutung als Doppelschichtpotentiale finden 
können. Die Eigenschaften dieser Potentiale werden wir in extenso 
allerdings erst im zweiten Bande untersuchen. 

88. Die Poisioniche Ditterentialgleiclniiig. 

Die Laplacesche Differentialgleichung versagt für den 

Fall, daß wi|r mit dem Aufpunkt unendlich nahe an den Massenpunkt 
ftii heranrücken. Welche Gleichung innerhalb der in natura doch stets 
ausgedehnten Massenpunkte gilt, kann durch die früheren Betrachtungen 
nicht entschieden werden, vielmehr ist gerade dazu die Vorstellung kon- 
tinuierlich verbreiteter Massen nützlich. Betrachten zunächst nn» 
Punkte, die außerhalb des mit Materie gefüllten Raumes liegen, so gn^ 
Mt diese jedenfalls die Laplacesche Gleichung 40*=aO. Denn m 

Ausdruck J |oder auch oder dsj tritd für 

Punkte f niemals gleich Nullt also kann man die||iffwi|l^ di* ' 




Spezielle Dynamik starrer Körp&> 


441 


da eben J 


unter dem Integralzeichen ausführen, und das liefert, 
= 0, stets J <P = 0. 


Dieser modus procedendi ist nicht mehr brauchbar, wenn der Auf- 
punkt in der anziehenden Materie liegt. Denn dann kommt in dem In-^ 
tegrationsgebiet der Wert r = 0 vor, und daher ist die Differentiation 
unter dem Integralzeichen nicht mehr statthaft. Wir wollen für das 
folgende annehmen, daß die Dichte € konstant sei; das vereinfacht unsere 
Eechnung sehr erheblich. Das Resultat gilt aber allgemein, 'viie wir 
später sehen werden. In Fig. 135 bedeute K den anziehenden Körper, 
in dessen Innern der Punkt P liege. 



Um in diesem Falle zum Ziele zu kommen, schlagen wir um einen 
Punkt 0, den wir zum Koordinatenanfangspunkt nehmen wollen,^ eine 
Kugelfläche derartig, daß P innerhalb dieser Kugelfläche und die Kugel- 
fläche selbst noch ganz innerhalb des Körpers K liegt. Wenn man 0 
hinreichend nahe an P wählt, so ist das immer zu erzielen. Dann können 
wir das Potential des Körpers K aus zwei Teilpotentialen zusammensetzei;i^ 
dem der Kugel (0^) und dem von der EJugel nicht umschlossenen Körper- 
(<Pa). In dem Ausdrucke für (P* wird, da der Aufpunkt außerhalb des 
betreffenden Körperteiles hegt, f nicht gleich Null, also kann in 0^ 
^nter dem Integralzeichen differenziert werden. Das liefert 
^02=0. Uns intereSGyiert also jetzt nur der Teil 0i* Nennen wir den 
Kadius der um 0 fi^lagenen Kugel B,» könnep wir direkt die 



442 


• Meehanik starrer Körper, 


Formel (101a) hier anwenden; deijm hier ist ja P innerer Punkt der 
Kugel. Also wird Gesamtpotential des Körpers K in P: 

(106) 0 = <J>i + 03 « 03 - 2jrfc6{Bg* - i(x* + y* + «*)}, 

Bilden wir jetzt die Operation d und beachten, daB J02=O, so 
folgt sofort: 

(107) J0 « J01 + J 03 « Anke, 

Diese Differentialgleichung ist zuerst von Poisson aufgestellt 
worden und trägt seinen Namen. Sie ist hier nur für homogene Körper 
abgeleitet worden, gilt aber allgemein; sie umfaßt als speziellen Fall 
für €=0 die Laplacesche Gleichung. Mit der allgemeinen Lösung 
der Poissonschen Gleichung beschäftigt sich die Potentialtheorie; wir 

haben oben nur gezeigt, daß der Ausdruck J ein partikuläres Inte- 
gral dieser Gleichung ist, und wir werden erst später auf die allgemeine 
Integration eingehen. Der ganze hier eingefügte Abschnitt über Poten- 
tiale sollte überhaupt nur einige Begriffe vorbereiten und geläufig machen. 



Drittes Buch. 


Mechanik* der Kontinua 
(Elastizitätslehre und Hydrodynamik). 


Einleitung. 

89. Allgemeines. 

Während wir bisher in der Mechanik uns nur mit Massenpunkten 
und starren Körpern beschäftigten, werden wir jetzt unsere Unter- 
suchungen gewissermaßen verfeinern. Bisher nahmen vnt ja an, daß 
die Gestalt des Körpers durch die wirkenden Kräfte nicht verändert 
werde, und alles, was wir zu tun hatten, war, die Fortbewegung des 
Schwerpunktes des betreffenden Körpers und die Rotation um eine 
durch den Schwerpunkt gehende Rotationsachse zu bestimmen. Diese 
Aufgabe karm als grundsätzlich gelöst betrachtet werden: Die allgemeinen . 
Gleicliungen sind bekannt, und es bleibt im Einzelfalle nur noch mathe- 
matische Arbeit zu tun. 

Jetzt dagegen wollen wir einen Schritt weiter gehen. Denn wenn 
auch die Vorstellung, daß ein Körper starr sei, in der Natur vielfach 
mit großer Annäherung realisiert ist, so ist es doch eben nur ein spezieller 
Grenzfall, der, streng genommen, nie vorliegt. Bei genauerer Beob- 
achtung kbnstatiert man vielmehr, daß alle Körper durch die angreifenden 
Kräfte mehr oder weniger deformiert werden. Mit der Untersuchung ^ 
di(‘ser Deformation in ihrer Abhängigkeit von den äußeren Kräften ' 
haben wir uns nun zu beschäftigen. Von der Translations- und feotations- 
bow(‘gung dieser deformierbaren Körper können wir dabei absehen, denn 
das ist eine bereits in der Mechanik starrer Körper erledigte Aufgabe. 

Die deformierbaren Körper nennt man im Gegensatz zu den bisher* 
betrachteten starren Gebilden „elastische“, und die Eigenschaft, ver- 
deren sie Formänderungen zeigen, „Elastizität“ im Gegensatz zur 
»Starrheit“. Eine genauere Definition des Begriffs „Elastizität** kann 
^'^st später gegeben werden, und hier sei nur noch folgendes bemerkt: 
/^wischen den .elastischen Eigenschaften der Körperwelt bestehen starke, 
quantitative tinteJ^glnede. Läßt man z.B, dieselbe äußere Kraft €|nmal auf 



444 


Mechanik der Kontinua. . 


einen Glaskörper, ein anderes Mal auf einen Körper gleicher Gastalt aus 
Kautschuk wirken, so ist schon aus der Erfahrung des täglichen Lebens- 
bekannt, daß im letzteren Falle die auf tretenden Deformationen viel 
größer sind als im ersteren. Man nennt Glas den „stärker elastischen**, 
Kautschuk im Verhältnis zu Glas den „schwächer elastischen“ Körper. 
Man beachte, daß diese Ausdrucksweise sich^keineswegs mit dem Sprach- 
gebrauch des täglichen Lebens deckt. 

90. Molekulartbeone und Kontinuumshypothese (Natur der elastischen 

Medien). 

Bevor wir nun an unsere eigentliche Aufgabe herangehen, müssen 
wir zunächst einen eigentümlichen Umstand besprechen. In der Mechanik 
^ diskreter Massenpunkte hatten wir einen starren Körper einfach durch 
die Bedingung definiert, daß der Abstand je zweier seiner materiellen 
Punkte {x^ z^) und (rCj j/j z^) voneinander konstant ist, d. h. 

V(*a - *»)* + iVa - + “ »•,*. = Const. 

Wir hatten uns aber nicht darum gekümmert, ob in der Natur solche 
Körper realisiert werden köimen. Jetzt, wo wir mit dem Begriff der 
elastischen Körper bekannt geworden sind, ist es für das Folgende doch 
notw^djg, daß wir uns klar machen, wodurch denn eigentlich die Eigen- 
schaft der Elastizität der Körper hervorgerufen wird. Dabei wird von 
selbst ein Licht auf die Natur der starren Körper fallen. 

Die am nächsten liegende Vorstellung üter die Natur des elastischen 
Körpers ist die folgende: Man denkt sich ihn aufgebaut aus einer sehr 
großen Anzahl kleinster Teilchen, die wir etwa Moleküle nennen können; 
diese Annahme ist auch in Übereinstimmung mit den Anschauungen 
4er Chemie und zahlreichen, anderen Erfahrungen. Zwischen diesen 
Molekülen müssen wir Kräfte — sogenannte „innere“ Kräfte — als 
‘mrkend annehmen, die den Körper Zusammenhalten und ihm seine 
Gestalt geben. Sind keine äußeren Kräfte vorhanden, so nimmt der 
Körper eine gewisse Gestalt an, die wir die „Normalgestalt** nennen 
^ollem Lassen wir aber äußere Kräfte wirken, so muß nach den all- 
^meinen Gesetzen des Gleichgewichtes die Konfiguration der Moleküle, 
dirunseren Körper bilden, sich ändern, d. h. die Normaigestalt geht ver- 
loren, der Körper nimmt unter der gemeinsamen Wirkung der inneren 
und der äußeren Kräfte eine neue Gestalt an. Er geht aber im allgemeinen 
nieder in seine Normaigestalt zurück, wenn die äußeren Kräfte , wieder 
vferschwinden. 

Hier haben w also ein Modell eines Körpers vor ubs, der unter 
dem Einfluß äuferer Kräfte sich deformiert, den wir also als eiastis(^ 
bezeichnen nuissen. Da wir die Eigenschaft der Elastizität dtuNl^h 
molekulare Struktur erklären wollen, wäre es offenbar^ em 
Titiosiis,^W9nn wh nun die Moleküle ebenfalls 



Einleitung, 445 

wollten; diesen müssen wir vielmehr offenbar die Eigenschaft 
der Starrheit im obenbezeichneten Sinne des Wortes 2iu- 
schreiben. 

Akzeptieren wir diese Erklärung, so haben wir die Elastizität 
zurückgeführt auf die „inneren“ Kräfte zwischen starren Gebilden. Die 
Starrheit selbst bleibt als primärer Begriff unbegreiflich. Dieser Stand- 
punkt ist derjenige, der sich fast von selbst auf drängt und der auch 
historisch bei der Entwicklung der Theorie der Elastizität zunächst in 
den Vordergrund getreten ist. 

Aber es ist auch eine ganz andere Auffassung möglich. Wir können 
versuchen, den Begriff der Starrheit zu verstehen, wobei wir dann die 
Elastizität als primären Begriff unerklärt lassen müssen. Denn wenn 
wir uns an die Beobachtung halten, daß alle Körper melir oder weniger 
elastisch sind, so werden ^vir als starr von diesem Standpunkt aus einen 
Körper bezeichnen müssen, der „unendlich stark elastisch“ ist, 
d. h. nach der oben gegebenen Definition durch sehr starke äußere Kräfte 
nur minimale — im Grenzfall gar keine — Deformationen erfährt. Hier 
wird ein starrer Körper als Grenzfall eines elastischen aufgefaßt, die 
Starrheit durch die Elastizität verständlich gemacht. 

In dieser Auffassung bleibt die Elastizität ganz ungeklärt, und es 
liegt daher auch keine Veranlassung vor, die elastischen Körper als aus 
Molekülen aufgebaut zu denken. Vielmehr liegt es nahe, die entgegen- 
gesetzte Annahme zu machen, die sich durch ihre Einfachheit empfiehlt, 
daß der Körper, wie es ja übrigens auch unsere Sinne zu zeigen scheinen, 
kontinuierlich ist. 

Mathematisch lassen sich die beiden, scheinbar so verschiedenen 
Vorstellungsweisen versöhnen. Denn wir können uns auch das Volumen 
eines aus Molekülen aufgebauten Körpers in Volumelemente geteilt 
(lenken, und diese so groß wählen, daß ein solches immer noch sehr 
viele Moleküle enthält; derartige Volumelemente nennt man wohl 
„physikalisch unendlich klein**. Man muß nun Mittelwerte der 
Kräfte bilden, die von den einzelnen Molekülen eines Volumelementes 
ausgehen, und kann diese Mittelwerte dann als die Kräfte betrachten, 
die ein Volumelement eines Kontinuums auf die benachbarten ausübt, 
womit offenbar die Brücke zwischen beiden Anschauungsweisen geschlagen 
Diese Art der Mittelwerts bildung, von der wir hier natürlich nur 
eine oberflächliche Andeutung geben konnten, wird uns im zweiten 
Bande dieses Werkes, in der Elektronentheorie, zu beschäftigen haben. 

Beide Anschauungsweisen haben ihre Vorteile und Nachteile. Der^ 
Vorteil der Molekulartheorie der Elastizität besteht hauptsächlich darin, 
daß die ihr zugrunde liegende Vorstellung einer molekularen Struktur 
dt^r Materie von fast unzählig vielen Tatsachen gefordert wird; der 
, Nachteil derselben darin, daß eine Molekulartheorie der Elastizität not- 
^vondig Hypothesen über die Natur der uns doch wesentlich noch un- 
bcikannten Molekularkräfte machen muß, die zurzeit nicht hinreichend 




446 Mechanik der Kontinua. 

, gestützt werden tiönnen. Das hat sich auch bald bei den alten Molekular- 
theorien gezeigt, deren Besultate in vielen Pallen mit der Wirklichkeit 
nicht übereinstimmten, weil eben die zugrunde gelegten Hypothesen 
nicht zutrafen. 

Im Gegensatz zur Molekulartheorie hat die Vorstellung von der 
Kontinuität der elastischen Medien den Vorteil, daß man solcher Hypo- 
thesen nicht bedarf. Letztere ist daher beim augenblicklichen Stande 
der^Wissenschaft vorzuziehen. Auch wir wollen diese Annahme machen, 
und so rechtfertigt sich der Titel dieses Buches: „Mechanik der Kon- 
tinua“. 

Freilich darf nicht vergessen werden, daß dieser Standpunkt kein 
definitiver sein kann. Das Ideal bleibt stets eine Molekulartheorie, die 
immer einen tieferen Einblick in die Vorgänge gewähren kann. Deshalb 
ist natürlich auch die Ausbildung der Molekulartheorien dringend not- 
wendig. W. Voigt ist es auch gelungen, die älteren Molekulartheorien 
wesentlich zu verbessern. Dennoch ziehen wir der Einfachheit halber 
die Kontinuumshypothese vor. Wir verzichten daher von dem hier 
eingenommenen Standpunkte aus freiwillig auf das Verständnis 
mancher Prozesse, z. B. des Bruches oder des Zerreißens von Materialien, 
die ursprünglich bei der historischen Entwicklung der Elastizitäts- 
theorie eine große Bolle gespielt haben. Derartige Vorgänge schließe 
wir nbtgedrungen von vornherein aus. Es bleibt für die Elastizität,"- 
themrie also die Aufgabe übrig, bei gegebenen äußeren Kräften die ent- 
stehenden Deformationen zu berechnen oder umgekehrt, bei gegebener 
Deformation die wirksamen äußeren Kräfte anzugeben. Weitere not- 
wendige Einschränkungen dieser Aufgabe werden wir später kennen 
lernen. 


91. Ungeonbiaie und geordnete Bewegungen. 

Zwischen den Bewegungen, die einerseits die Moleküle eines Körpers 
und anderseits die Volumelemente eines Kontinuums ausführen kömien. 
besteht ein fundamentaler Unterschied. 

Denken wir uns ein Gas in ein ruhendes Gefäß eingeschlossen, oder, 
wie man sich im Anschluß an ein Beispiel von Helmholtz etwas 
drastischer ausdrücken kann, einen Mückenschwarm. Jede Mücke 
ist von der benachbarten vöUig unabhängig, ihre Bewegungen sind völlig 
verschieden von denjenigen der' benachbarten. Eine solche Bewegung 
können auch die Moleküle eines Körpers ausführen, und vri^ nennen 
in leichtverständlicher Bezeichnung „Ungeordnete, Bewegung* . 
eine solche führt z. B. die sogenannte „Mechmaische Wärmetheorit 
die Erscheinungen der Wärme zurück. Es ist aber klar, daß s^lch^‘ 
wegungsvorgänge bei einem Kontinuum nicht jVorkommen^ könnt 
Denn die Zerlegung in Volomeleme|ite ist ja keine I 

bloß gedachte, ist lediglich ein mathematisbhfs 



Die aneinandergrenz^nden Volumelemente sind voneinander nicht 
abhängig, sondern müssen notwendigerweise in enger Beziehung zu- ; 
einander stehen, da sonst der Körper auseinandergerissen werden würde. : 
Wenn also ein Volumelement eine gewisse Bewegung ausführt, so müssen > 
die benachbarten ähnliche Bewegungen ausführen, die um so mehr mit . 
derjenigen des ersten Volumelementes übereiustimmen, je näher die ! 
Volumelemente einander sind. Diese Art von Bewegung, mit der wir I 
es im folgenden allein zu tun haben werden, da wir ja die elastischen ! 
Medien als Kontinua denken, nennen wir „Geordnete Bewegung“. j 

Geordnete Bewegungen können natürlich neben den ungeordneten 
bei den Molekülen eines Körpers Vorkommen. W^enn wir z. B. dem 
obenerwähnten Gefäß, in das wir den Mückenschwarm eingeschlossen 
haben, etwa eine geradlinige Bewegung erteilen, so erteilen wir allen 
Mücken (Molekülen) eine geordnete Bewegung, und zwar eine besonders 
einfache, bei der alle gleiche Geschwindigkeit in derselben Eichtung 
haben. Lassen wir das Gefäß sich auch deformieren, so deformiert sich 
auch der Mückenschwarm, und wir erhalten eine kompliziertere, aber 
zweifellos geordnete Bewegung, neben der ungeordneten. Natürlich 
kann man sich das ganze Gefäß auch schließlich vregdenken und die 
ganze Überlegung auf einen freien Schw^arm anwenden. 

Die obigen Erwägungen zeigen uns, daß man bei den wirklich vor- 
handenen Körpern (die aus Molekülen bestehen, welch letztere infolge 
ihres Wärmezustandes stets ungeordnete Bewegungen ausführen) zwischen 
den geordneten und ungeordneten Bt'wegungen unterscheiden kann. 
Man kann also grundsätzlich die Phänomene der Elastizität, die auf 
geordneten Bewegungen beruhen, behandeln, ohne auf die ungeord- 
neten Wärmebewegungen eingehen zu müssen. Diese Möglich- 
keit mußte nachgewiesen werden, da andernfalls die Vorstellung der 
elastischen Medien als Kontinua unzulässig gewesen wäre. 

Unsere nächste Aufgabe ist nun eine geometrische Untersuchimg 
der in kontinuiegrlichen Medien entstehenden Deformationen. Diese 
Aufgabe behandeln wir im IX. Kapitel: „Kinematik eines Kontinuums“. 
In den Kapiteln X und XI werden die Kräfte untersucht, w^elche diese 
Deformationen hervorbringen; diese Abschnitte gehören der „allge- 
meinen Dynamik“ eines Kontinuums an. Alle übrigen Kapitel dieses 
Buches sind dann der speziellen Dynamik gewidmet. Da die spezielle 
Dynamik hier einen sehr großen Kaum gegenüber der allgemeinen Dynamik 
einnimmt, so ist hier die strenge Einteilung des I. und II. Buches" in 
Kinematik, allgemeine und spezielle Dynamik in den Kapitelüberschriften 
nicht mehr zum Ausdruck gebracht worden. 



Neuntes Kapitel. 

Kinematik eines Kontinuums. 


9^. Analytische Danteilnns: von Deformationen; lineare Deformationen. 


Die Bewegung eines Volumelementes oder, wie wir kurz, aber nicht 
ganz exakt, tms ausdrücken können, eines „Punktes“ des elastischen 
Mediums ist bekannt, wenn seine drei Koordinaten (x, die auf 
irgendein im Baume festes Koordinatensystem bezogen sind, als Funk- 
tionen der Zeit t bestimmt w'orden sind. Also in Gleichungen ausgedrückt: 


(1) y=^y{i); 


Liegt das Koordinatensystem nicht im Baume fest, sondern bewegt 
es sich irgendwie in demselben, so muß natürlich außerdem die Be- 
wegung des Koordinatensystems bekannt sein. In vielen Fällen kommt 
es jedoch nur darauf an, die Bewegung relativ zum bewegten System zu 
kennen. 

Die in Gleichung (1) auf tretenden Funktionen müssen, aus dem 
nämlichen Grunde wie in der Mechanik diskreter Massenpunkte, stetige 
Funktionen der Zeit sein, sowie stetige Differentialquotienten nach der 
Zeit besitzen, denen die Bedeutung der Geschwindigkeitskomponenten 
und der Beschleunigungskomponenten zukommt. Wir würden also in 
dieser Bezeichnungsweise haben, wenn wir die Geschwindigkeitskompo- 
nenten resp. u, V, w nennen: 


( 2 ) 



w « 


dz 

dt 


> 


mtd ganz entsprechend für die Beschlennignng. Es sei nochmals hervor- 
"gehoben, daß dabei x, y, z stets die Koordinaten eines und desselben 
Massenpnnktes bedeuten. 

» Man kann aber auch etwas anders verfahren. Wir greifen etW'i 
zur Zeit /=0 einen Massenpunkt heraus, der zu dieser ZSeit mit (U'"' 
üj^aompniücte (a, h, e) zusamiwnfällt. Im Laufe der Zeit gelangt dies' ) 
uassenpu^t an immer andere Stellen des BanmesJ Ries können w) 
dadurch ausdrücken, daß wir (a, h, c), d. h. die betteffende S|elle i») 
Bamhe festhalten, uiad die Zuwächse (|, tj, {:),^e8er Qrö^ 

Zn mnet anderen Zeit befindet sich der nämliche 

d«r Stelle dte Baumpunktes, der durch die Ko<grdipiill;<*!T^V. 



Kinematik eines Kontinmms. 449 

(j+f charakterisiert ist. Die Größen C bezeichnet man als die 
Komponenten des Vektors der „V e r 8 c h i e b n n g“ oder der „V e r r ü c k u n g“ S 
des betreffenden Massenpunktes, Sie sind natürlich Funktionen der 
Zeit, aber auch von a, b, c, den „Anfangswerten“, abhängig. Wir er- 
halten also eine zweite Darstellung durch die Formeb: 

(3) i). 


Denken wir uns die Verrückungen df , dC in der kleinen Zeit di 
vor sich gegangen, so stellen die Quotienten wobei die 

Differentiationen bei konstantem {a,b,c) vorgenommen sind, 
d.h. die Ableitungen von rj, C nach t, die Komponenten der Ge- 
schwindigkeit dar, und die zweiten Ableitungen — eben- 

falls bei konstantem a, b, c — die entsprechenden Komponenten der Be- 
schleunigung. 

Um auszudrücken, daß die Differentiationen nach t sich stets auf 
ein und dasselbe Massenteilchen beziehen (d. h. a, b, c fest- 
gehalten werden), schreibt man diese Differentiationen mit großem latei- 
nischen D. Also haben wir: 


(4) 




w 


d: 

Df' 


oder auch, da a;=a+f, = und die a, b, c unabhängig 

von f sind: 


(4a) 


Dx 

Df^ 


V = 


Dt ' 


IC = 


Dz 

Dt 


Ebenso hat man für die Komponenten der Beschleunigung die ver- 
schiedenen Ausdrücke : 

^ ^ D f *“ IBJ ■" ~dT ’* dT “ Df *’ D ^ Dt* ^ Dt ' 

Die f, rjf C, w, t?, 7 Cf als Funktionen von a, b, c betrachtet, müssen^, 
cl)enfalls gewisse Stetigkeitseigenschaften besitzen; denn wir legen ja 
ein kontinuierliches Medium zugrunde, d, h. betrachten nur geordnete 
Bewegungen; d. h. aber folgendes: FjS seien die Verrückungen eines 
Banktes (a, b, e) mit f, »y, f bezeichnet, die eines anderen Punktes 
(S> hy Cq) mit ^ 0 » foJ lassen wir die Punkte (a, b, c) und (o,,, b^, c^) 
wt'h nähern, so daß la—o^jjlb— bQ|,|c~*Co| kleiner und kleiner werden. 
Dann nähern sich auch | f — f o1 » I ’y ““ ’/o U ^ fo I unbegrenzt dem Werte 0, 
h. aber nichts anderes, als daß die Funktionen stetige 

Funktionen von a, b, c sind. Ebenso nehmen wir die Differential- 
fluotionj»en nach a, b, c als stetige Funktionen von a, b, c an. ^ 

Das Auftreten von partiellen Ableitungen nach a, b, e\ 
rscheidet die Mechanik der Kontinua von der diskrete# 
f^Risenpunkte, Jöiese Ableitungen hätten ja dort auch xncht d^n 



450 ' Mtehamk der JTofiitfitia. 

■■ ■ : ;■ f'TTTvr' r r, V' , ■' i ’ ,iiv,n i ■ ■ '-.'„■u rrr.-^r,'u,. ;;iTrc::a rter^ 

I geringsten jSinn. Die Differentialgleichungen deV Bewegung 
{ sind daher hier partielle,- dort gewöhnliche. " 

^ "Nach diesen Vorbemerkungen wollen wir nun zur anal 3 rti 8 chen Dar-^ 
Stellung einer Deformation übergehen. Wir legen zunächst ein rechts- 
händiges kartesisches Koordinatensystem zugrunde, das im Baume 
festliegt. 

Wir nennen, wie oben, die Verschiebungskomponenten eines Punktes' 
(Oq, 50, C 0 ) resp. ^q, Co> entsprechend ohne Index 0 für einen 
zweiten Punkt (a, 5, c). Dann sind nach obigen Voraussetzungen 
Jn eine Taylor sehe Beihe entwickelbar, die nach Potenzen von a— Oo, 
b— bo, c — Cq fortschreitet. 

Die Verschiebungen sollen hier nicht als Funktionen 

der Zeit betrachtet werden: es handelt sich im folgenden nur um die 
geometrische Abhängigkeit zwischen den Lagen eines beliebigen Pimktes 
* vor und nach einer Deformation. Anfangslage und Endlage sind dabei 
von vornherein gegeben; wir haben also das vor uns, was man in der 
Mathematik eine „Abbildungsaufgabe*' nennt. 

Wir haben also: 




'^ 1 + (#).(»-«+(#),<» -< 4 ) 

-f- quadrat. Glieder + höhere Glieder, 

+ {« - «.) + (-If )„ - K) + (4f )„ 

+ quadrat. Glieder + höhere Glieder , 

£ - 5. + (-li-). (« - + (# ). i‘ - « + (jf ). i" - • 

+ quadrat. Glieder + höhere Glieder. 


Diese Gleichungen (5) bringen zum Ausdruck, daß die Verschiebung 
^eine geordnete ist. Man erkennt, daß die , ?y, C im allgemeinen recht 
komplizierte Funktionen von a, b, c sind. Nur in ganz speziellen Fällt u 
'^drd es sich ereignen, daß die quadratischen und höheren Glieder all- 
gemein zum Fortfall kommen, d. h. $,ri,C lineare Funktionen von 
a, b, e find. Eine Deformation, die durch eine lineare Abhängigkeit dar- 
gestellt wird, nennt man kurz eine „lineare Deformation“. Dirsi’ 
- nnd^ wie unmittelbar einlenchtet, durch besonders einfache EiK>'n- 
sehsitmi vor den allgemeinen Deformationen ausgezeichnet. Vom 
matischen Standpunkte aus sind lineare Deformationen natürlich »or 
^ ganz spezieller Fall. Dennoch können wir uns auf die Betracht ang 
linearer Deformationen beschränken, wenn ,wir nur «nen kleinf» 
JE|ereich des Körpers (statt des ganzen) in Betracht ziehmi. Dann hl* 
0 — 0 ,, b—ho, c— c, stets kleine Größen, so daß man in erster Nala- 
amig ihre Quadrate nnd noch höhtae GUador iA. (b)’ fprQiwen 
Wir erhalten so für einen hinreichend klnhmi , 



. 4M 


Kinematik eines KotUinuumf. 



i “ io “ «o) + (If ).(6 - &o) + (-ff “ ^o ) . 

^ - «o) + “ *’«) + (ff) ~ ^o)f 

f " S) + (ff)/« - «o) + (ff)/6 - bo) + (4i)(e - c,): 


Es möge des Folgenden wegen nochmals betont werden, daß das Fort- 
. fallen der höheren Glieder nur darauf beruht, daß (a — Uq)* . . . klein gegen 
|a — Uol '. . . ist. Keineswegs aber fallen die höheren Glieder fort, weil 
die Koeffizienten von (a — Uo), . . . klein wären. Die Koeffizienten sind 
vielmehr alle endliche Größen; ihr Betrag kann unter Umständen sogar 
groß sein. 

n t 

Den Index 0 an den Ableitungen -5—, ... können wir in Zukunft 

0 CI 

fortlassen; denn da der betrachtete Bereich nur klein ist, so können 
wir ohne merkliche Fehler auch die Werte , ..., die 

\dajabe \db)abe 

an der Stelle (a,b,c) selbst gebildet sind, einsetzen. 


93. ^Allgemeine Eigenschaften linearer Deformationen. 

Man kann den Gleichungen (6) für das folgende eine etwas andere 
Gestalt geben, indem man der Beihe nach zu ihnen folgende Identitäten 
addiert: 

a « Uo + (a - ao), 
b ^bQ +(b b^), 

c ^ Cq + [c 

Dann erhält man: 


(6a) 


a+|^aa+|,+(l + |f j ( 0 - 0 ,)+ ^ {b-h^)+ f|-(c - * 9 ), 

b+V‘b^ + %+ If («-« 0 )+ (l + ff)(6-i»o)+ ff{c-«o)» 

c+f=Co + S) + ff (a-«o)+ ff + ff)(«“ «o)-‘ 


An diesen Gleichungen ‘kann eine Vereinfachung angebracht werden, 
indem wir als Vergleichspunkt (oo, 69, c,) den Koordinatenanfangspunkt 
wählen, d. h. a9=l»Q=C9=0 nehmen. Setzen wir für einen Augenblick: 

o + f=a:, b + v-y, c + C-z, 


80 haben wir aus (6 a): 

. ■JS' + 



ii 

de 


•c, 



(6b) 





jMjmonmavwt wer jMßwmwfvtvt* " 

x,y^g sind die Koordinaten des^Bsnitipnnktes/ mit dem der be- 
trachtete.. Ifossenpnnkt nach gest^ehener Verrückung (fr t;, C) koinzi- 
^ert; w können sie daher die „augenblicklichen“ Koor^naten nennen, 
im * Gegensatz zu o, h, c, den „früheren“ Koordinaten- desselben 
^Massenpnnktes vor der Verrückung. 

• Es sind also in (6b) die augenblicklichen Koordinaten dar- 
gestellt als Funktionen der früheren Koordinaten. Natürlich kann man 
im allgemeinen aus (6b) umgekehrt o, h, e als Funktionen von x, y, z 
darstellen, und ^ar wiederum als lineare Funktionen. Man erhält 
dann Gleichungen von der Form: 

( a^ A^-\- AyX + Aiy->r A^y , 
b = Bo + Bl « + j/ -f ßa z , 
c = Cq + Cj a: -f- Ca 1 / -f- Ca z , 

wo die .d, B, C leicht zu bestimmende Konstanten sind. 

Die Gleichungen (6 b) und (6c) erlauben uns einige wichtige Schlüsse 
jEu ziehen. 

a) Wir betrachten eine Schar von Punkten, die vor der Deformation 
auf einer Ebene lagen. Es besteht also zu Anfang zwischen ihren Ko- 
(Ordinaten eine lineare Gleichung: ^ 

(7) = 0. 

Nach der Deformation sind o, ö, c übergegangen in y, z. Wir er- 
halten also nach (6c), indem wir a,b,c durch x,y,z ausdrücken, für 
den geometrischen Ort nach der Deformation aus Gleichung (7): 

E{Ao+AiX+Aty+AfZ)+F(B^+B^x+B,y+BiZ) 

•4* C (Co + Cj a: -j- Ca 2 / + Ca z) + H = 0 , 

od«r, anders geordnet: 



x(EA^ 4- FBi+GCj) -f y(B^*-f FBa-f GC*) -f z(B^8+^ Bs+CC,' 
4" (■^Bo”l"-BBo4"GCo-f-H) = 0 , 


d-jh’. wiederum die Gleichung einer Ebene. 

Wir erhalten also den Satz: Punkte, die. vor der Deformation 
auÜ einer Ebene liegen, liegen auch nach der Deformation 


, »nf einer solchen. 


b) Wir. &8sdn nunmehr eine Punktmenge ins Auge, die vor der 
^Deformation auf einer geraden Linie liegt: Eine Gerade kann abe> 
' lltets ab der Schnitt zweier Ebenen aufgefaßt werden und wir «halle n 


dureh eine zweimidige Anwendung des vorhergehenden Satzes: 


' Funkte, , die vor der Deformation auf eitler deraden 
lie^n, lie|Een auch nach der Deformation aut einer splcbce. 

cj Vife tetrac&ten endlich «ne Fnnktmenge, dib wdrj der Deförmatioo 
auf ..einer Oberfläche^ zweiter .Ordifung liegt ^(!Blh|^|f, , 



453 


f » kinemoHk eines* K(mtimnim$. 

' ' ' 1r- ' ■ ' 

Paraboloid)« Ihre Koordinatdh' genfigen also einer Gleiohnng weiten 
Gr^es: , ' % 

(8) ai3i*a*+a22*6*+a33*(j*+2ai2*^^+2a23’bc+2a3i*ca+a44 = 0 . 

Um zu erfahren, welchen geometrischen Ort die Punkte nach der Defor- 
mation erfüllen, drücken wir wieder nach (6c) a, b, c durch x, y, z aus. 
Man erkennt ohne Bechnung, daß man eine Gleichung von der Form 
erhält; 

(8a) AiiX^+A 22 y^+A^z^+ 2 Ai^xy+ 2 A^yz+ 2 A^iZx+A^ = 0, 

d. h. wiederum die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung, 
Daraus folgt der Satz; 

Punkte, die vor der Deformation auf einer Fläche zweiter 
Ordnung liegen, tun dies auch nachher. 

d) Ein spezieller Fall des vorhergehenden Satzes ist folgender: 
Eine Punktmenge erfülle vor der Deformation eine Kugelfläche. Nach 
der Deformation ist es keine Kugelfläche mehr, wohl aber nach Satz c) 
noch immer eine Oberfläche zweiter Ordnung, und zwar hier im beson- 
deren ein dreiachsiges Ellipsoid. Durch eine bestimmte Deformation 
wird also eine Kugel in ein bestimmtes Ellipsoid übergeführt. Dieser 
Gedankengang kann auch umgekehrt werden. Wir betrachten vor der 
Deformation ein dreiachsiges Ellipsoid. Dieses kann durch eine ganz 
bestimmte Deforlnation in eine Kugel übergeführt werden. 

' i 

94, Einführung eines mitbewegten Koordinatensystems, 

Wir schließen unsere Betrachtungen an die Gleichung (6 b) an. In 
dieser kommen die von a, 6, c freien Koeffizienten deren 

physikalische Bedeutung wir nun untersuchen wollen. 

Nehmen wir a=:b=c=0 an, so betrachten wir die Bewegung dest 
Koordinatenanfangspunktes. Dann ergeben die Gleichungen (6b): 

( 9 ) « = = « = 

d. h. vor der Deformation waren die Koordinaten unseres Punktes 
(0, 0,0); nach der D.eformation werden sie durch Gleichung (9) an- 
gegeben. Dadurch ist die Bedeutung von fo klar /gestellt: es 

sind die Verrückungskomponenten des Anfangspunktes, 3ei 
einer wirklichen Deformation, die wir doch in der Umgebung des Antan^- 
punktes untersuchen wollen, kommt es aber natürlich nur auf die. 
relativen Verschiebungen zum Anfangspunkt^ an, während 
eine gemeinsame Translation gegen das ruhende Koordinatensystem 
. gleichgültig ist. Die Größen (q, fo bedeuten für die eigent- 
liche ^^formaiion nichts, da sie nur eine gemeinsohsdüUche Trahs- 
laÖpÄ ttärsteÄen,^^^ elastische Mediüm gleich wie pin staper .Körper 

Zukunft ganz absehen.^ Wir e^^- 



4M li£eekanik^d$r Kantiniuk "" ^ 

Tf"' ' '■ ■' rj c ss.z = s:s= : t=:y<.x7.iess:: s .'s^z^^asiw!^ 

nieren die Bevegimg des Anfangspunktes aus unseren Gleichungen> indem 
das Koordinatensystem nicht mehr fest im Baume ann^hmen, 
sondern parallel mit dem ursprünglichen fn einem Punkte 
des Körpers selbst befestigen» den wir als Koordinatenanfangs- 
punkt nehmen. Bann sind dessen Koordinaten dauernd gleich 0, d. h. 
fo sind in unseren Gleichungen gleich 0 zu setzen. 

Durch die Überlegungen dieser Nummer ist bereits ein Schritt zur 
Analyse der Gleichungen (6) getan. Wir haben ^kannt, daß in ihnen 
unter anderem eine Translation des Systems, wobei es sich als starr 
verhält» enthalten ist, und haben diese Translation eliminiert durch 
Beziehung auf ein geeignet mitbewegtes Koordinatensystem. 


95. Zusammensetzung zweier linearer Deformationen. 


Um nicht immer die Differentialsymbole -g— , ... hinschreiben 

zu müssen, wollen wir einige, allerdings nur vorläufige, abkürzende Be- 
zeichnungen einführen. Wir setzen: 




dl 

= ku; 



da 

"dö 

de 

^10) 

wm ; 

dtj 

db 

~ k,,; 

bn 

de 


da '^1* 

db 

= k,,; 

dl 

de 


^18 r 
^8» 


Mit dieser Bezeichnung werden die Gleichungen (6 b)» wenn man nach 
Nr. 94 in ihnen £o» tjQ, Co gl^ch 0 setzt: 


^(il) I y = k2röl+ (1 + ^2*)'^ + 

l Z ss= ^31 *(14- ^32 • 6 4" ^ * 

■d' 

;Ditn^ Sabtraktion von resp. a, b, c anf beiden Seiten erhält man 
,daa gleichwertige System: 

( { = Äjj • O + fcjj • b -j- Äj3 • C , 

Tl==kfi'a-i- k„’b-i- k„'e, 

t — ksr'ö ■}■ ^,'b -f- 


Beaeichnen wir des unendlich kleinen Vektor der Verschiebung mit (l9, 
deh Lagevektor des verschobenen Punktes mit den Koordinaten ^(a, b, <) 
durch so kann (11 a) auch geschrieben werden: ^ 


(11h) 


, <**.= + fc« V + kat/, 

d#, «= k« »,* + kat,® + 

'd%i « Jr!& 



Kinematik eines Kontinuums. 


455 


4 

- ... ^rTTrTTrg:?; , — U . . ; .i-i .. 

Dies ist. also in unserer früheren Bezeichnungsweiae (vergl. gag. 3^ ff.) eine 
lineare homogene Vektorfunktion, aber keine symmetrische, sdndetn 
‘eine allgemeine, ifiit 9 unabhängigen Koeffizienten bis 
Wir wollen nun zunächst eine Deformation (I) vornehmen, die wir 
durch die Koeffizienten fcn', fci2'» charakterisieren, die die 

Koordinaten a, h, c in x\ y\ z' überführt. 

Sodann wollen wir, ohne die erste Deformation rückgängig zu 
machen, auf die bereits deformierten Koordinaten x\ y\ z' noch eine 

Deformation (II) mit den Koeffizienten \ feig", fcas" 

wirken lassen, die x\ y\ z' in x^\ y'\ z'\ überführt. Dann haben 

wir also: 



Deformation 1 

1 


Deformation II 

1 

f aj' s* (1 + kii) a -f ^n' b + c , 



(12a) 

* kn' a + (1 + ) i + ^*3 c , 

I ■■ kn a + A'jj 6 + (1 4 “ ^33 j ^ • 1 

(12b)| 

y” ^ (1 + kf^ X , 

1 


Die Gleichungen (12 b) geben uns die „endgültigen“ Koordinaten x*\ y'\ e" 
durch die „mittleren“ x\ y\ z\ Diese letzteren können mr mit Hilfe 
von (12a) durch die „ursprünglichen“ a,h,c ausdrücken; also können 
wir auch x", y*\ z'* durch a, fe, c darstellen. Wir erhalten so; 

:= (1 + fcn") [(1 + tu') «+ + ^12" [^21' « 

-f (1 + k<^) • b + ^23^ * + kjs'' [k^i u + ^32' • 6+ (1 + > 

(12 c) „ 

y = ebenso, 

, = ebenso. 


Diese Gleichungen ordnen wir anders und erhalten: 



x" = a [(1 -f (1 + kii) + ki 2 "' k 2 i + A‘i3"* k^i ] 

+ &[(! + kii') ki2 + ^‘22 ) + Kz * W] 

4“ c [(1 ~{~kii*) ki2 4* ki2 * ^23 4“ ki^ ( 1 4* ^ 33 )] > 

y*^ = ebenso, 

= ebenso. 


Wir können die in Gleichung (13) dargestellte lineare Deformation als 
das „Resultat“ der Deformation I und II bezeichnen. Statt dieses End- 
ergebnis durch zwei getrennte Schritte zu erzielen, können wir auch 
iint einer einzigen betormation, die wir durch die ursprünglichen Koeffi- 
zienten ki 2 f fci3 .... ^33 charakterisieren wollen, erreichen, daß die 
ö» c in z" übergehen. Wir erhalten dann: 

j SÄ (1 4“ fcii) u 4* ^^13 ^ "f* ^ » 




456 Mechanik der KonUiwa, 

Diese Deformation soll hach Voraussetzung identisch sein mitlier durch 
Gleichung (13) dargestellten, also müssen die^ Koeffizienten bzw. gleich 
sein. Wk erhalten so: 

1 + fcll = (1 + (1 ^11 ) ^12 ^21 “ I ” ^18 > ’ 

fcj2 = (1 + fcii'O ^12 + K 2 ' W > 

^13 = (1 + Kl ) Kz + Kz' ^ 23 ' + Kz ' + Kz ) y 

Kl = Kl* (1 + Kl) + (1 + Kz*) Kl + ^9»* Kl y 

1 + fcjj = feji" ki2 + (1 + Kz ) + Kz) + Kz* Kz 9 

Kz = Kl* Kz* + (1 + Kz**) ^2Z* + ^ZZ* (^ + ^ ) > 

Kl = Kl * (1 + Kl) + Kz* Kl "f” (1 + Kz**) Kl * > 

Kz ~ Kl* Kz* + ^zz* Kz) + (1 + ^83 ) Kz y 

1 + ^33 = Kl* Kz* + Kz* ^ZZ* + (1 + Kz) (1 + ^33 ) • 

Man erkennt, daß die Koeffizienten der ,, resultierenden“ Deformation 
in keineswegs einfacher Weise aus den Koeffizienten der beiden primären 
zusammengesetzt sind; insbesondere ersieht man folgendes: 

Wir wollen einmal die Keihenfolge der primären Deformationen I 
und II umkehren, d. h. Deformation II soll (a, b, c) in (^,y, ^), Defor- 
mation I (ir,y, 5) in JP,y, f überführen, i y 2 erhalten wir dann durch 
(a, 6, c) ausgedrückt, wenn wir in Gleichung (13) x" y" ä“ durch resp. 
f y I ersetzen, und die eingestrichenen mit den zweigestrichenen Koeffi- 
Identen vertauschen. Denken wir uns diese Deformation durch eine 
einzige hervorgebracht, deren Koeffizienten Ki* Kzy Kzy ••• ^zz seien, 
so folgt aus (13), (14) und (15) z. B. für den Koeffizienten Ki- 

1 + ^11 = (f + ^ 11 ) (1 + ^ 1 / ) + Kz* Kl* + Kz* Ki*y 

«»und so weiter, d. h. die überstrichenen Koeffizienten Ku ^ 12 » ^ 13 » • • • Kz 
sind sämtlich verschieden von den Koeffizienten Kiy Kiy 
i Kzf Kz^ Wir können dies Besultat so aussprechen: Bei Vertauschun;^^ 
I der Beihenfolge der Deformationen I und II kommt man nicht zu do - 
ijBflben „resultierenden“ Deformation, oder wenn wir die resultierend 
tl)efprmationen durch die Symbole (I, II) resp. (II, I) charakterisien n, 
lann man die symbolische Ungleichung schreiben: 

1- (I, ii) + (n, I). 

96. Uneaie infinitarimale Defonuationan; Zusanunensetaug derselbexi. 

. Um dies raerwfinschte Ergebnis zu beseitigen, daß die resultieif 
Deformation abhängig ^ist von der EeihenfolgSf Hn der die priui« ^ 
Defonnationen mken, wollen wir jetzt npsereö hneä^^^ 







. 468 ^ Mmihamk der Kf)ntihucL 

Da es uns in der Slastiiätätslehre nur auf eigentliche Deformationen 
ankommt^ müssen wix lernen^ die in (11) eventuell'ilteokende Botation 
^ ateusondem. Das erfordert aber eine Untersuchung der letzteren. 

Wir betrachten zuerst eine spezielle Botation, und zwar um die 
" äj-Achse im positiven Sinne (entgegengesetzt dem Sinne des Uhrzeigers). 

Durch die infinitesimale Botation 
(Fig. 186) wird der Punkt (6, c) in den 
Punkt (i/, z) übergeführt, und zwar be- 
steht dabei, da die Entfernung vom 
Anfangspunkt 0 sich nicht ändert, die 
Belation: 

f 

oder da 

wobei r)i und Ci infinitesimale Größen 
sind: 

2(69/1+ cCi) + 2»*+c* = 62+c*, 

oder: 

— 0 , 


z 



oder endlich, wenn p eine Konstante bedeutet: 

(II) -T-+f-+I’- 

Wir erhalten also folgende spezielle (uneigentliche) Deformation: 

ffi = 0*a+0*6+0*c» 

(18) I 0*a+0*6 — p'C, 

I C, = 0»o+p-i> + 0-c. 

, Die Bedeutung von p ergibt sich dabei folgendermaßen: Die Entfernuni; 
da Punkte iy, z) und {b, c) voneinander ist gleich Rdy>, wenn ß den Badius- 
. vaktor und dp den infinitesimalen Drehungswinkel bedeutet, ^idcm- 

Ikeiti ist nach (18) diese nämliche Entfernung gleich 

, 

> +y»?i* + ?i* ■» p yp + c* B» B • p , 

t 

d.h. p ist gleich dem infinitesimalen Drehungswinkel um 
dB-Achse. 

Wir volfep jetzt weiter eine ebensolche Botation um die 
unterrachen und setzen den infinitesimalen Drehungswinkel glei<'i> I- 
Durch einfache zyklische Vertauschung, und indem man p dmcli q ' 
setzt, erhält man ans* (18): 

■ *} Der Inhalt der Mgandco Unterraohnng ist aehca ads Hr. 'V' 

siaiifB< diew Wlederhotaag ehwr Towstamg vor, danit dar |«icr die 
ah OaBadl,:VU|^.d^ . 



KiMmcUik eifUs KonHmmms, ^8^ 

I ^3= 0*a+ 0*5 + . 

(18a) { ^? 2 == O-a+O-6 + O-c, 

Indem man nach Maßgabe der Gleichung (16) die beiden Botationen 
zusammensetzt, erhält man für die resultierende Botation: 

( fi + fz— 0*a+0*6 + g*c, 

(18b) I m+V2— O-a+O-fc— p»c, 

1 + — 5*a+p*5 + 0*c. 

Endlich erhalten wir für eine infinitesimale Botation um den Winkel f 
um die Achse: 

[ f8 = 0*a-r-b+ 0*c, 

(18c) I iy 3 = r-a+0*fe + 0*c, 

und durch Zusammensetzung mit (18 b), wenn wir die resultierende 
Verrückung mit bezeichnen: 

o*a — r-6 + g-c, 

f = — q*a+ p*b + O’C. 

Dies ist die allgemeinste infinitesimale Botation, 
bilden folgendes Schema: 

0 — r + g ! 

I + r 0 - p i . 

1-9 +P 0 i 

Es ist durch folgende Eigenschaften charakterisiert: Die Diagonalglieder 
sind gleich 0, und an den zur Diagonale symmetrisch gelegenen Stellen 
stehen entgegengesetzt gleiche Koeffizienten. Ein solches System nennt, 
man antisymmetriach. 

Würden wir die Größen von p, gi r kennen, so könnten wir unsere 
allgemeine Deformation in die „uneigentliche Deformation“ (19,) näm- 
lich die Botation, und die übrigbleibende zerlegen. Augenblicklich geht 
dies jedoch noch nicht, weil p, g, f eben noch unbekannt sind. 

Es bleiben noch einige Ragen, die Botation betreffend, zu er- 
ledigen, die wir jetzt besprechen wollen. 

Die erste lautet; Welches ist die Botationsachse ? 

Man bestimmt diese aus der Definition, daß ihre sämtlichen F\:^tev 
in Buhe bleiben, daß also sein müssen. 

^ AijuUieren wir dementsprechend die rechten Seiten von (IS)> 80- 
^ind die aitif di^ Weise jsrhaltenen Werte von a, 6, e iPunkte, dif det 
Botatiopsaohle «^ngehören. Wi? erhalten aus (19); 





Die Koeffizienten 






Kinmatik emes KorUintmns, 


461 


Nun hat (Kg. 168) die Achse Eichtangskosinusse, die naölk4leichifiig (21) 
proportionalp, q, r sind. Die Eichtungskosinusse selbst haben den Wert: 


coscr < 


]/p* + g» 4- > 


COS/J ' 


yp‘+j*+r‘ ' 


Greifen wir nun einen beliebigen Punkt P (a,b, c) heraus, den wir mit 
dem Anfangspunkte verbinden, so ist OP=B. Die Eichtungskosinusse* 
dieses Eadiusvektors sind offenbar: 



Mit diesen Bezeichnungen wird aus (22): 

(22a) -- — ^ r = 1 — (cos<rcosa, + cos/Jcos/J, + cosycosy,)*. 

' p’ g* “4" » * * • * 4 


Nennen wir nun (Kg. 138) den Winkel zwischen Achse und Eadiusvektor 
nach dem betreffenden Punkte 0, so liefert (22 a); 


oder endlich: 
( 23 ) 


t. 

P* + g* + f * 


= 1 — cos* 0 =* sin* 0 , 


m l/p* -j- q* + r* sin 0. 


Wir denken uns nun eine Kugel um den Anfangspunkt mit dem Eadius Ä 
f^eschlagen (Pig. 189). Legen wir durch 0 senkrecht zur Achse eine Ebene/ 
^0 schneidet diese die Kugel in einem größten Kreise, dem Äquator« 
l' ür Punkte, die auf diesem liegen, ist 0=?r/2, 8in0=sl. Also hat nsich 
(23) tfj seinen maximalen Wert am Äquator: 

man «ds „Zenitdwtanz" oder „PoldistaM“ bezeichnen, Dand^ 
alle die Bofetion betreifenden Fragen eiiedigt. 




4ffil \ Meohamk der Kontinua, 

^ r ’ ; 

98. Ssmthei# einer reinen Dehnang nach drei ineinander lenkreoliten Aeluen. 

, Wir wollen nun eine sehr einfache eigentliche Deformation unter- 
suchen. Wir greifen eine beliebige, durch den Anfangspunkt gehende 
toade heraus, die uns eine bestimmte Bichtung festlegt, und kon- 
struieren die durch den Anfangspunkt gehende zu ihr senkrechte Ebene EE 
tKg. 140). Dann sollen die senkrechten Entfernungen aller Punkte von 
^lUeser Ebene im selben Verhältnis verändert (vergrößert oder verkleinert) 
werden. Eine solche Deformation nennt man eine reine Dehnung. 


p 



Um sie analytisch möglichst einfach darzustellen, legen wir die 
^Aehse eines neuen rechtshändigen Koordinatensystems, dessen Nuli- 
punkt mit dem des alten zusammenfällt, in diese ausgezeichnete Bich' 

r ;. Wir nennen das neue System X, Y, Z, Die Kosinusse der Winkel. 

X mit XtjffZ resp. bildet, seien ai.a^fOt; entsprechend werden 
j^ntdi ßi^ß^f Ä xmd y,, y,, die Bichtungskosinusse der neuen Y-Achse 
neuen mit den alten bezeichnet. 

Wir wollen nunmehr alles auf die neuen Achsen beziehen. 
Punkt ist Also charakterisiert darob' {A,B,(J)'t s^ine Ver8chiebui)$-'< n 
'.dnnb S, S, Z. Dann wird die eben besprochene Dehnung dargest^ ilt 
^doreb die Gleichungen: 


— <j|^ -f-O'B+O'C, 

Hi = 0-d + 0-B + 0*C, . 
Zi = 0-.4 + OB + OC.V 


Nadi (24a) sind die netien Koordinaten deg betoiliendem;B<U)ite^ 









KinmaHk 


468 


also die Verhältnisse/in dem die neiien zu den alten stehen: 






Es sind also, in der Tat nur die senkrechten Abstände von der neuen 
YZ-Ebene im Verhältnis 1 geändert. Da die Dehnung infinitesimal 
sein soll, so ist (rj als unendlich kleine Größe zu betrachten. 

Wir betrachten nun eine zweite genau gleichartige Dehnung, deren 
Koeffizient sein möge; diese Dehnung soll aber parallel der neuen 
Y-Achse erfolgen. Man erhält also für die Verrückungen analog (24 a): 


(24b) 

Hier ist * 


—2 — ^2 — ^ 2 ^; Z2 — 0 . 



Und endlich drittens lassen wir eine Dehnung mit dem Koeffizienten 03 
parallel der Z* Achse auf unser Medium einwirken und erhalten: 


(24c) 
Hier ist 


-^3 

Ä 


0 ; 


H3 — 0; Z3 — ü^C • 

=* 1 ; -g" SS 1 + 0*3 • 


Setzt man diese Dehnungen nach Gleichung (16) zusammen, so 
erhält man eine allgemeine Dehnung nach drei zueinander senkrechten 
Achsen, die durch folgende Gleichungen dargestellt werden kann: 


(25) 


H-O'/l + OgB + OC, 
Z = 0*^ + 0-ß+<T3-C. 


Die drei aufeinander senkrechten Achsen führen den Namen „Haupt- 
dilatationsachsen“, die drei Werte rTp heißen „Hauptdilatationen“. 
Die Bedeutung dieser Bezeichnungen wird später hervortreten. 

Nennen wir die Koordinaten des Punktes (A, B, C) nach der Defor- 
mation (25) Z, Y, Z, so ist: 

(25a) + = l + 

Die Deformation (25) hat zwar allgemeinen Charakter, aber ihre Dar- 
»tell^ ist deshalb nicht die möglichst allgemeine, weil sie aut ein 
^l^*'^i^ll gewähltes Koordinatensystem (X, Y, Z) bezogen ist. Wir müssentl 
jmn zu unserem alten System (x, y, g) und zu den diesen Achsen pariJ- 
wen Verschiebungskomponenten zurückgehen. Das tun wir mV 
^ e der Gleichungen, die die neuen Achsen aut die alten znrüektAfih 
mrmieren: • ' 



464 


Abehanik der KonHnua, 


( .4 — ai'a + aj’6 + Oj'C,’ 

B = ß^-a + ß,-b + h-c, 

C^yi-a + ya'b + y^’C. 

^tsprechende Beziehungen bestehen zvrischen S, H, Z und f , »j, 

■ ==ail + a2»? + aaC. 

(26a) + + 

2 = YiS + YiV + ysC • 

' Gem&B der Bedeutung der o , , y als Bichtungskosinusse bestehen folgende 
Belationen: 

ai*+aj»+aj*=/?i*4-^j*+^s»=yj*+yj»+yj*=l , 

V+ft*+yi®=a,*+/J2*+y2*=a3®+^8*+y8®=l - 
(27) ai02+Ä^2+yiy2 = 6 > 

«8<^+ÄÄi+y2y8=o. 

ajai+/?j/?i + y3yi=0 . 

Durch Einsetzen in (2ö) erhält man zunächst: 

®if+Ö2»?+ast = ffi(ai«+«2*'+a8c) , 

Äf + ^2»? + ^8C— <'a(^l‘* + ^2*’ + /^8‘^) > 
yil+y 2 »?+ysf=<%(yi«+y 2 ^+y 2 <’) • 

Dnrdi Multiplikation der letzten Gleichungen der Beihe nach mitai,^i,yi 
.and Beachtung von (27) erhält man schließlich die erste der folgenden 
Gleidinngen ^8) und durch entsprechende Behandlung auch die zweite 
und dritte: 

I = (Oi 02 *+ 0 , ^ 1 *+ 03 -yi*)o+ (<>1 a, «,+ u* ß^ /?*+ Uj yj y^h 
+ («7t Ol Oj + o, /?j + O, y, y,) c , 

JJ =?,(oi Oj <*i+ Of ßi /?2+ ®8 yi ys) ®'l" {®i Oa*+ Oa ®s ya*) 

+ (oTi o, Oj + «j* ^ 2 /?, + «^ y, y,) c , 
f *= (oittiOf+efßißf +<^yiy8)o+(uiaaöa4-®aÄÄ+<%ya)'<’*' 

+ (®i® 8 *+ ffaÄ*+ ® 8 ya*)<’ • 



Diese Gleiidinngen stellen mm unsefe allgenmne Dehnung auch wil'- 
• lieb allgemem dar. Wir erkennen sofort folgende üfesetemäBigk^t iii> 
Ban des Koeffizientenschemiis d» Defonnatipqj: Die symmetris«» 
zur Diagonale stehenden Koeffizientei^ sihd gleieh. Wft l“ ’"“ 
1 abl^ nnalddkigi^ Koeffiziffliten. Dies; tritt norib draibriier h<'t ver, 

«nfi^%; £ 


Kimmatik eines Kmtinuurhs. ^ 465 

h = (Ji OgH (72 <73 ya^ , 

2 = 0^1 02 Üg + (72 ^2/^3+ <^3 ^2 73» 
m = <Xi 0301+ (72 ^3^1 +<^373 71» 
n = cyiaia 2 +^ 2 ^ii ^2 + <^37i72- 

Diese wichtigen Gleichungen drücken die 6 Koeffizienten der Dehnung 
aus durch die Hauptdilatationen und die Eichtungskosinusse, welche die 
Hauptdilatationsachsen mit den Koordinatenachsen bilden. Mit diesen 
Bezeichnungen wird die Deformation (28) 

I I == fa+nh+mc , 
rj^ na+gh+lc, 

I = ma~\-lb-\-hc . 

Man nennt das Koeffizientemschema hier im Gegensatz zu dem der 
Eotation ein symmetrisches. Die Gleichungen (30) stellen offenbar den 
Vektor der Verschiebung (mit den Komponenten hneare 

homogene symmetrische Vektorfunktion des Lagevektors r® mit den 
Komponenten (a, b, c) dar. 

Bevor wir dazu übergehen, die reine Delmung nach drei zueinander 
senkrechten Achsen [Gleichung (30)] und die Kotationsbewegimg [Glei- 
chung (19)] zu einer allgemeineren Deformation zusammenzusetzen, wollen 
wir uns zunächst noch w'eiter mit der reintui Dehnung beschäftigen, und 
zwar wollen wir jetzt den umgekehrten Gang gehen und die Gleichung (30) 
analysieren. 

99. Analsrse der reinen Dehnung nach drei zueinander senkrechten Achsen# 

Wir knüpfen an die Gleichungen (30) an; daß sie eine (wie wir an- 
nehmen wollen, uns noch unbekannte) Deformation darstellen, ist klai‘, 
da wir es ja mit einem Öpezialfall der Gleichungen (11) und (11a) der 
allgemeinen linearen Deformation zu tim 
halHin. Unser Problem ist, zu untersuchen, 

^as für eine Deformation die Glei- 
chungen (80) darstellen. Wir betrachten 
einen Punkt P (a, b, c) des Mediums, den 
■'^’ir mit dem Anfangspunkte 0 verbinden 
141). Dadurch wird eine bestimmte 
Eichtung im Körper festgelegt. Wir fragen, 
eb eine Verrückung des Punktes P in dieser Fig. Ul. 

Achtung, d. h. eine einfache Dehnung 

parallel dieser Dichtung mit den Gleichungen (80) verträglich 
ist. Wenn ja, so ist unsere nächste Aufgabe, die Bichtung odw die 
Schaefer. Lehrl>u«Jt. 





466 


^ Mechanik der Kontinua, 


^ tungen, in denen dies statl^aben kann, zu bestimmen.^ Durch di6 Defor* 
mation geht (a, 6, c) über in (a+f > ^+t)> ^+0* Di® Bedingung dafür, 
: daß dieser neue Punkt auf der durch 0 und P gelegten Geraden liegt, 
ist nach den Elementen der analytischen, Geometrie: 


( 31 ) 


a + I 6 + 1? 


i±i. 

c 


Nennt man den gemeinsamen, noch unbekannten Wert dieser Verhält- 
nisse /, so können wir (81) schreiben: 

= c+f==Ac; 

oder 

|«(A-l)a; 7;==(A-1)6; 

oder, wenn wir eine neue Konstante s=s — 1 einführen: 

(31a) f=ua; f] — ah; C~ac. 

Ist diese Deformation mit (30) verträglich, so müssen die Werte f , t;, u 
aus (31a) in (80) eingesetzt, Werte von a, fe, c liefern, die die Gleichungen 
(80) befriedigen. Man erhält so: 

( (/— u)a + mc~0 , 

(^) j na+(jf— u)6 + ic=0, 

( mo+i6 + (fc — (j)c = 0 . 

Diese drei linearen Gleichungen lassen sich, da sie homogen sind, 
im allgemeinen nicht durch von 0 verschiedene Werte von (a, &, c) 
auilösen. Nur in dem Falle, daß die Determinante 


(83) 


f-a 

n 

m 


n 

g^fT 

l 


m 

l 

h — a 


0 wird. 


besitzen diese Gleichungen von 0 verschiedene Lösungen. 

Da nun die Determinante eine unbekannte Größe a enthält, so 
tenn man diese so bestimmen, daß die Determinante verscbwindot. 
Für jeden Wert von u, der die Determinante (88) zum Ver- 
schwinden bringt, erhält man Werte von a, 6, c, die unserer 
voransgesetzten Deformation entsprechen, also eine rejtu 
Dehnung d arg teilen. Für diese Werte von a ist also eine einfadi^ 
Dehnung nach einer Achse mit den Gleichungen (SO) verträglich 

Berechnen wir zunächst den Wert von c aus (M). Die Auflösung? 
der Determinante ergibt folgende kubische Gleiohujpig für u: 

' • 

KeBe Gleidutng Uefert, wie wir mgea |«tdeQi drei, reelle WeO« 




Kinemaiik eines KontinuurAs. 461 

r^ , - , -i . -T-i-n-^ , — 

von 0, die im allgemeinen voneinander verschieden sind. Wir nenne/i 
sie ffi, Oa» ÖS- Zunächst erhalten wir durch Einsetzen von Oi in (32): 


(35) 


cr^a = /a + wfc + mc, 

Oih^na + gb + lCf 
a^c = rna + Ih + hc . 


Diese Gleichungen sind jetzt lösbar und geben ein Werttripel dyb^c. 
Ebenso ergibt die Einsetzung von ^2 und <73 davon irn allgemeinen ver- 
scliiedene Werte a,5,ö und Da die a, 6, c nur bis auf einen 

konstanten Faktor bestimmt werden können, so erhält man nicht drei 
Punkte, sondern drei Eichtungen im Körper, parallel zu denen reine 
Dehnungen stattfinden können. 

Diese Eichtungen wollen wir kurz als Eichtungen 1,2,3 bezeichnen. 
Sie sind nichts anderes, als die in der vorigen Nummer bereits besprochener 
Hauptdilatationsachsen. 

Daß die Werte Ui, 02, O3 alle reell sind, kann man direkt aus dei 
Theorie der algebraischen Gleichungen beweisen, doch würde diesei 
Weg zu lange Eechnungen erfordern, vreshalb wir ihn hier nicht ein- 
schlagen. Wir werden statt dessen später einen indirekten Beweis geben 
und setzen zunächst die drei a als reell voraus. 

Dagegen wollen wir jetzt beweisen, daß, falls Uj 4= ^^2 4= die drei 
Eichtungen 1,2,3 senkrecht aufeinander stehen müssen. Zu dem Zwecke 
setzen wir in (35) die Werte ä,b,c ein, durch die (35) identisch be- 
friedigt wird. Dann folgt: 

a^a^fä + nb + mc , 

(T^b ^nä + gb + Ic , 

(T^c^mä + Ib +hc. 


Multipliziert man diese der Eeihe nach mit ä, 6, c und addiert, so folgt; 


(36) 


(r^(aa + bb + cc)^faa + nba + mca 
+ nab + g bb + l cb 
+mac + Ib c + hcc» 


Setzt man ebenso in (32) die Werte 02 und ä, b,c ein, so folgt ebenso: 

(T^a^fa + nb + mCf 
(rjlsana + gb + ic, 

(T^c^fna+ + ÄC. 

Erweitert man diese bzw. mit a,5, c und addiert, so folgt: 

f (T2{aa + bb-\- co) aa + nba + mca 
\ + nab -h gib -hieb 

I S3fli*** JA ^ 

\ +»lOl/ + l6c+fcC6. 

80 « 


(37) 



468 " Mechanik der Kontinua. i 

* ** 

Nun sind die rechten Seiten von (36) und (37) gleich, also müssen 
es auch die linken Seiten sein. Mithin folgt durch Subtraktion: 

(38) (o-j ö-j)(aa + 65 + cc) « 0, 

oder, da nach Voraussetzung ai=j =(;2 ist: 

aa + 66 + cc=»0. 

Da aber d,b,c und a,5,c proportional den Eichtungskosinussen 
der Eichtungen 1 und 2 sind, so heißt dies, daß 1 und 2 aufeinander 
senkrecht stehen. Genau ebenso verläuft der Beweis für die dritte Eichtung. 

So haben wir alle die Eesultate wiedergefunden, die wir bereits aus 
der vorigen Nummer kannten. Wir können aber jetzt noch etwas weiter 
gehen. 

Der obige Beweis für die OrthogonaUtät der Bichtungen 1,2,3 
versagt offenbar, wenn zwei Wurzeln cTj und Ug oder alle drei Wurzeln 
einander gleich werden. Nehmen wir zunächst einmal an: Ui — Ug, aber 
{Tj =1= Ug, so stehen die Eichtungen 1 und 2 noch immer auf 3 senkrecht, 
aber in der zu 8 senkrechten Ebene ist dann jede Eichtung gleich- 
berechtigt. Endlich sind alle Eichtungen gleichwertig, im Falle (T 2 = 
ist. 

Dieser Gedankengang kann auch dazu dienen, die Eeellität der drei 
Wurzeln Ug, Ug zu zeigen. Da nämlich komplexe Wurzeln immer 
paarweise als konjugiert komplex auftreten, so muß bei einer kubisch« !! 
Gleichung jedenfalls eine Wurzel reell, und es können höchstens zwei 
konjugiert komplexe Wmzeln vorhanden sein. Nehmen wir als dies«* 
letzteren Oi, an und setzen 

<^2 = *4“ ^^2 > Ug = ^2 — i ^g . 

Diese komplexen W’erte in (32) eingesetzt, liefern natürlich komplex«' 
Werte von a, 6, c resp. d, S, c. Und zwar sind a,d; S,S; c,c paar- 
weise konjugiert komplex. Dann liefert Gleichung (38) folgendes Resultat : 

(öTi — (Tg) • (einer Summe von 6 Quadraten), 

Da aber nach Voraussetzung crj 4= Gleichung h« i 

komplexen Wurzeln nicht erfüllt werden. Folglich muß die Voraus- 
setzung komplexer Wurzeln als falsch fallen gelassen werd««. 

100. Geometrische Darstellung. 

Betrachten wir einen kugelförmigen Baum des Körpers vor d<'r 
Deformation mit dem Zentrum in 0 und dem Badius B. Die Gleichung 
dm* Oberfläche ist also 

Bezeichnet man die Koordinaten nach der Verrü^kuug i»it 
so ist nach ( 80 ); 



A *■ * Kinematik eines Kmtimmma» 469 

j a; = (l + /)a+nb + mc , 

(30a) I j/ = na+(l + 9 f )6 + Zc, 

I z =zma+lh+{\+h)c . 

Aus diesen Gleichungen können umgekehrt a, 6 , c als Funktionen von 
x,yyZ dargestellt werden. Man erhält, wenn a, /^, y, fiyV leicht be- 
rechenbare Abkürzungen sind: 

j {\j^a)x-\-Yy-{-nz, 

(30b) h =:^vx+{\+ß)y + lz , 

I c ^ ^x+Ay + {\-{-y)z . 


Dies in die Kugelgleichung eingesetzt liefert: 

(39) l(l+c£)x+vy+fiz\^+\vx+(l-^ß)y'^lz\^+\fix+/.y+[l+y)z\^=B\ 

Dies ist aber die Gleichung einer Fläclu» zweiter Ordnung, welche „De- 
formationsfläche“ oder „Verzerriingsfläche“ genannt wird. Es ist 
natürlich zweckmäßig, diese Fläche auf die Hauptdilatationsachsen als 
Koordinatenaciisen zu beziehen. Es ergibt sich für die Gleichung der 
uiideformierten Kugel in X, Y, Z: 


Daraus nach (25 a): 


(40) 


(1+ <ri)* 


, y* , z* 




woraus man erkennt, daß die Verzerrungsfläche stets ein Ellipsoid, und 
zwar im allgemeinen ein dreiachsiges, ist. Die Größe der Halbachsen ist ' 

22(l-t-cri), ii(l“(~^2)' jß(14*<^3)« 


Werden zwei der Größen u, also etwa und einander gleich, 
So artet das Ellipsoid in ein Rotationsellipsoid, und falls alle drei Größen 
0 gleich werden, in eine Kugel aus. Natürlich gelten diese Betrachtungen 
nur, solange die Deformationen linear sind, d. h. im allgemeinen nur, 
solange wir einen kleinen Bereich ins Auge fassen. Wir werden später 
lalle kennen lernen, in denen man nichtlineare Deformationen in Be- 
tracht zieht. Für einen endlichen Bereich existiert in diesen Fällen kein 
Deformationsellipsoid, sondern die entstehende Deformationsfläche 
ist viel komplizierter. Erst bei Beschränkung auf einen unendlich kleinen 
l^ereich resultieren wieder die hier besprochenen einfachen Ergebnisse, 
Die obigen Überlegungen gestatten uns sehr einfach die Volum- 
veränderung der Volumeinheit des deformierten Körpers zu bestimmen; 
^vir wollen sie Z nennen. 

^or der Deformation haben wir eine Kugel mit dem Radius 2i;’^alBO 




nach der Dehnung ein Ellipsoid mit den Halbachsen B(\ + a^), B(1 + 
Ca); also 



Mechanik der Kontinuß. l * k 

+ (Ti) (1 + (T^ (1 + a^) +5f (y*+ 03) , 

da die aj, aa, cxj infinitesimale Größen sind. 

.Die Volumänderung der Volumeinheit, die sogenannte „räumliche 
Dilatation'* ist also 


(40a) 



— = 0*1 + <^2 + <^3 • 


Wir wollen nun noch eine Eigenschaft der Größen ab- 

" leiten, deretwegen man ihnen den Namen „Hauptdilatationen“ 
beilegt. 

Wir schlagen im undeformierten Medium um 0 eine Kugel mit dem 
Badius 1; die Gleichung der Oberfläche ist also 


«2 + 52 + c2 « 1 . 


Nach der Dehnung ist diese in das betreffende Deformationsellipsoid 
übergegangen. Wir wollen nun nach den maximalen oder minimalen 
Dehnungen fragen. Der Abstand der Punkte der Kugeloberfläche vom 
Zentrum war vor der Deformation 1, nach der Deformation ist der Ab- 
stand derselben Massenpunkte ein anderer, etwa gleich l + s. Dann 
haben wir unter Beachtung des Umstandes, daß s, C infinitesimal 
sind: 

(l + 5)2=l+2s = (a+f)H(b+r/)2+(c+;T, 

oder: 

(41) • 


in (41) setzen wir nun für f, C die Werte aus ( 30 ) ein; es folgt dann 
s—fa^+gb^ + hc^+2nah+2lbc+2mca; 


d. h. die Dilatation der Längeneinheit, nimmt ihren Maximal- od^ r 
Minimalwert an, wenn die Variation ds verschwindet, wobei zu * 
achten ist, daß stets sein muß, oder, in variierter Form: 


ada+6db-f-cdc=0 . 

Wir erhalten also: 

ds:=^0:=fada-^-^bdb+fcdc+nadb-\-nbda-\-lbdc+lcdh 


+ mcda+madc, 

oder: ^ 

(48) 0=»(/a+w6-f mc)da+(«a-f </f4'^c)(5b-f(ma+Z6-f fcc)^e • 


Da die Gleichungen (42) und (43) zusammen befriedigt werden miisFen, 
so können sich die Koeffizienten von da, db. Sc in beiden nur durcli 
einen konstanten Faktor unterscheiden. Wir erhalten also, weiiu 
Faktor mit r bezeichnet wird; 

^ fa^nb'h'tnc aa -ec 6 4* Je tna fb ke 

' ■ «a .*■*■■■>. Mr am * 

“ * "4 ■ 


Kinematik eine$ Koraimmms. 


471 


oder 

(44) 


I 


/ a , 

na+gh^lc =:xh , 

7tlü'\- Ih 4 “ hc =^ TC . 


Die diesen Geichungen (44) genügenden Werte a, b, e bestimmen zu- 
sammen mit dem Anfangspunkte Eichtungen. in denen die Dilatationen 
Ihre Grenzwerte annehmen. Di<- Behandlung der Gleichungen (44) können 
mr uns aber ersparen; ,lenn sie sind mit den Gleichungen (82) 
identisch, welche uns die drei senkrechten Eiclitungen 
lieferten, in denen reine Dehnungen auftraten. Wir seLn 
also daraus, daß die Werte Oj, die eben diesen lliehtungen zu- 

kommen, die Grenzwerte <ler Dilatationen darstellen. Damit ist die 
13ezejchnung als Hauptdilatationcn gorechtfortigt. 


101. Synthese der aUgemeinen Unearen infinitesimalen Deformation ans 
Drehnng nnd Dehnung; Divergenz und Rotation (Cnrl), 

Wir wollen jetzt zwei Deformationen nach den Eegeln der Glei- 
c Hingen (16) zusammensetzen, nämlich eine Dotation (1) und eine 
Dehnung (II). Die Formeln (19) und (30) lauten: 


(19) 


»?i = 

Ci = 


I. 

Oa — Tb-\-qc , 

ra+Ob — pc , 
— qa+ pb+Qc . 


(30) 


. II. 

^2 = /« -Fnb-f-mc , 
t]^ = na+gb+lc , 
^2 “ wm-j- Ib hc m 


Dann erhalten wir für die resultierende Deformation (I -f II): 


(45) 


I ^ — /« + (« — r)b-f(w-)-g)c, 

■ »?==(« + r)«-fp6-f(f-p)c, 
^ = {m~q)a+{l+p)b+hc. 


<J>^ungen (19), (30) und (45) lehren nun folgendes: Die beiden 
! imaren Deformationen sind sju-zielle, wie aus dem Koeffizientenschema 
anti«i!!“ J^^fgeht: Die erste hat die Diagonalglieder Null und ist 
li Koeffizienten), die zw^eite ist symmetrisch mit 

ohne ir”*®,”' ‘‘i« Deformation (1-^11) 9 Koeffizienten, 

kunffen-^^/rlm Symmetrieeigenschaften oder Beschrin- 
])pfnL»I- eine ganz allgemeine lineare infinitesiinale 

ation, wie sie in Gleichung (11a) formuliert ist. ' , 

als zi^oü*®^’ infinitesimale Deformation kann 

«nd an« ^^^“Sesetzt betrachtet werden aus einer Drehnng 
, iQ^r Dehnung nhch drei zueinander senkc^^ten 



472 Mechanik der Kontinua. < * ^ 

: Achsen^)**, oder, vektoriell gesprochen, in allgemeiner 4Pfi^sung: „Jede 
i lineare , homogene Vektorfunktion kann in einen symme- 
I irischen und einen antisymmetrischen Teil gespalten werden.“ 
Damit (45) und (11a) die nämliche Deformation darstellen, muß 


sein: 

1 

kn -n — r 

(46) 

1 k2i==^n+r; 

k^23i=^yt 



k^-==l+p] 


ki3 = wi+?; 

^23 — i — p ; 


Ist uns, wie hier, die Aufgabe gestellt, eine allgemeine Deformation (11a) 
in eine Drehung und eine Dehnung zu zerlegen, so haben wir aus den 
Gleichungen (46) die drei Koeffizienten p, (j, r der Botation und die 
6 Koeffizienten /, h, Z, m, n der Dehnung zu bestimmen. Da die 
Gleichungen (46) linear sind, so ist dies stets und nur auf eine Weise 
möglich. Wir erhalten zunächst für die drei Koeffizienten der Drehung: 

(47) ^'23)5 1(^13 ^3i)‘ H^2 i ^ 12)« 

Ebenso ergeben sich die 6 Koeffizienten der Dehnung: 

f481 1 =Ä:22l h^k^; 

\ I (fcj 2 + ^23) » .w = I (A’j 3 -}- A31) ; w — ^ (A* 2 i **}- ^12) • 

Diesen Gleichungen kann man noch eine andere Gestalt geben, W(‘nii 
man auf die Bedeutung der Koeffizienten bis A33 nach Gleichung (10; 
zuruckgreift. 

f Dabei wollen wir gleichzeitig berücksichtigen, daß wir es nur mit 
^infinitesimalen Deformationen zu tun haben. Dies bedingt in folgender 
I Wwse eine Vereinfachung: Die Größen kn, fcjg, . . . ^33 haben wir, ('bi‘nso 
»wie 17, als Funktionen der Anfangswerte a, 6, c, betrachtet. Als 
. Funktionen von o, b, c sind auch die augenblicklichen Koordinattii 
i y=^h+r], 2^c+C zu Ix'trachten, die sich übrigens von ihnen 

I nur um infinitesimale Beträge unterscheiden. Umgekehrt natüilich 
I ka^ man a, b, c als Funktionen von x, y, z betrachten und daim 
(.auch (tfjfC lind die Koeffizienten fcjj, fcjj . . . ^33 als Funktionen d^r 
i augenblicklichen Koordinaten x, y, z. Wir haben nun für eine intim* 
teßimale Größe /: 

/(aiy,^)-/(a+|,6+fl,c+i0-/(a,6,c)+|^|+-|if;+|f?+ usw,. 

d. h. aber, wenn infinitesimale Größen erster Oi'lmmf! 

sind, daß bis anf Größen zweiter Ordnung gesetzt w^en dar{: 

f{x,y,z) = f{a,b,c). 

*) Damit «oU mcht gemgt tem, daß die obige Zerlegung die einzig 
ist; da aber bei der oben vorgmommenen Zerlegung die Hai^^ilaßafcionöa«h.«'‘ß 
«naader eenkieoht sind, so ist sie die wi<dit%st4^ ; " 




Kinematik eines Kontinmms. * 473 

Dassell:^ gilt für die Ableitungen dieser Größe /; man kann die partiellen 
Ableitungen nach a, 6, c mit demselben Grade von Genauigkeit ersetiaen 
durch diejenigen nach x, y, z. Denn man hati 

df (ah c) ^ d f da , 6 / ^ 

dx ^ da da? ‘ db dx de dx^ 

und da: 

da ^ ~ 1) *= 1 — A_i *. d (y ~ ly) _ _ 

dx ^ dx ^ dx' dx ^ dx ~ dx' 


de ^ ^(2 _ dt 

dx dx dx' 

SO ist weiter: 

df jahe) ^ _djL _ j d/ dj dj_ d^ d/ d: 1 

dx da \da dz db dz de dx) 


und darin ist die Klammer unendUch klein von der zweiten Ordnung, 
wenn / und j~ 


' ~8x ' ' ' ersten Ordnung 

sind. Also hat man untiT den bisher benutzten Yernachlässigimgen: 

IL^ IL PL = AL. 

da dx' db dy ' de dz 


Wenn man dies berücksichtigt, so erhält man nach (10) und (47) die Formeln: 

. — L (PJL — Al\ 

" 2 \ dx dy)' 


/.m t /ds diy\ 1 /dl d;\ 

5' =■ ¥ - T*‘ ) ’ ^ “ '2 i ö T ” Tx) ’ 

und ferner nach (10) und (48): 

) ö?/’ 


(50) 






l)ii aus (29) und (40a) folgt, daß 


ist, so erhält man schließlich für die räumliche Dilatation: 
( 5 D - AL 4. Pl 4. PL, 

^ ^ ^ ^ dx ^ dy ^ dz 


In den Gleichungen (49) und (51) sind z\vei Ausdrücke enthalten, die 
in der Vektoranalysis eine große Edle spielen. Führen wir statt 
die Bezeichnung 8.., 8^, 8, ein, um anzudeuten, daß I, C die Kom- 
ponenten des Verschiebungsvektors 8 sind, so lassen sich die genannten 
Gleichungen schreiben: 


(49a) ps 


N 1 f dt 

dl.\ 


99A. 

)’ 2“¥t-ä¥ 

dx)’ 

^ 2 \ö* 

öyr 


(51a) 


dl. 

dx 


dl, , dl. 

jy^HT 


^us der physikalischen Bedeutung von I folgt sofort, daß die rechte 
ein Skalar ji«t, der in einer bestimmten, a^ (51a) erkennbaren 



474 ^ Mechanik der Kontinua, 

Weise aus dem Vektor ^ abgeleitet ist^ fenaer ist 2 offenbar unabhängig 
vom Koordinatensystem, denn die räumliche Dilatation als physi- 
kalische Eealitat kann nicht von einer mathematischen Zwischen- 
konstruktion abhängen. Um diese Unabhängigkeit zum Ausdruck zu 
bringen, hat die Vektoranalysis eine besondere Bezeichnung und ein 
besonderes Symbol für einen so gebildeten Skalar eingeführt. Sie nennt, 

wenn Ä ein beliebiger Vektor ist, den Ausdruck 

die „Divergenz“ des Vektors Ä und schreibt „div 9(“; also ist: 

(51 b) 2^' div ä . 

Woher der Name „Divergenz“ stammt, kann erst in der Hydrodynamik 
gesagt werden. Anderseits sind p, q, r die Komponenten des Vektors 

öS ö 8 

der Botation ; also stellen auch die Ausdrücke “ , . . . Kompo- 

nenten eines Vektors dar, der in einer ganz bt\stimmten, aus {4Da) er- 
kennbaren Weise aus dem Vektor i abgeleitet ist. Die Vektoranalysis 
nennt diesen abgeleiteten Vektor die „Botation“ oder den „Curl“ 
(„Quirl“) des ersten Vektors und bezeichnet ihn durch das Symbol 
„rot“ oder „curl“. Es wird dann also (49a), wenn wir den als Wktor 
aufgefaßten infinitesimalen Eotationswinkel durch b bezeichnen: 

(49b) b«|rot8==icurl8. 

thfferenziert man diese Gleichungen nach so ist offenbar der Vektor 
der Botationsgeschwindigkeit, den wir früher durch It bezeichneten ; 
ferner ist -jj- gleich der Translationsgeschwindigkeit c; also erhält man 
die (49b) äquivalente Formel: 

(49c) tl ~ |rotc =» |curlc. 

Die Begriffe „Divergenz“ und „Botation“ werden uns im folgenden 
^imtner wieder begegnen. 

Daß wir jetzt alle Größen als Funktionen der Baumkoordinaten 
Xf y,z haben, ist insofern ein Vorteil, als wir in dem nächsten Kapitel 
gmsse mit den Deformationsgrößen in innigem Zusammenliango stehend» 

, (Stößen betrachten werden, die als Funktionen der Baumkoordi- 
naten x,y^z gegeben sind. Dann haben wir es in unseren (d i 
chongen nur mit Funktionen von x^y^zm tun* 


lOß* Defiaittva Baseieliniiiigen; die drei Hauytdilatatioiien alt Tensortripel. 

Da wir uns im folgenden fast au8scl}Ue0ficb mit dar minen^Dph«'”''' 
zu befassen haben, wollen wir nun die in der Slaftiffit&tslehre iililif»" 
Bezeicbnung einfnhren. . Ifan schmbt: - 



Kiwnutiik eines Kontinuums. 


475 


(52) 


' e* 

21 = + 


Sy 

äy 


Sy 

d z 


h 

2m 


li 

dz 






il 4 .il 

dz öx 






o c» 7 . ^ ^ 

2 n = ~ + == w =r a; 

öx ' dy y 


Die drei Größen nennt man die „Dehnungen“, die sechs 

Großen x^^y^, „Gleitungen“ oder „Scheerungen“. 

Durch die Gleichungen (52) sind neun Koeffizienten definiert, von 
denen diejenigen, deren Index mit dem Buchstaben nicht übereinstimmt, 
paarweise gleich sind. Sie sind also äquivalent sechs unabhängigen 
Koeffizienten, wie es für die reine Dehnung ja auch sein muß. 

Mit diesen Bezeichnungen lassen sich die Gleichungen (30) der reinen 
Dehnung folgendermaßen schreiben: 

Zunächst hat man: 


dafür kann man setzen: 

i = a:^( a: ~ I) 4- i a;y(j/ ~ 1 ?) + - ^). 

Vernachlässigt man hier C gegen Xy y, Zy da erstere infinitesimale 
Funktionen sind, so hat man endgültig in sehr eleganter Form: 

I ^-=x^-x+lx^-y + \x,-Zy 
'(^ 3 ) ^’^\y,-x + y^-y + \y,-Zy 

1 L ^ }z^ - x + Izy ' y + z^ • z. 

Definiert man eine Fimktion 0 durch die Gleichung: 


(54) 2<p « X. • + t/y m/ 4* -3, • • xt/ + 2 /, • ?/z 4- 2 , • 2 ®, 

so erkennt man, daß man nach (53) und (54) schreiben kann: 


(55) 




80 

dx 


V = 


60 

Sy 


60 

6z 


oder, vektoriell geschrieben unter Benutzung des auf pag. 434 ein- 1 
Begriffs „Gradient“: ( 

(56 b) 8=:grad(f>. ; 

Der b’unk'tion 0 kommen also die Eigenschaften eines Potentials zu, j 
das wir etwa „Deformations potential“ nennen köimen. | 

Bie sechs Größen J/,, y,. «x» treten in den Gleichungen (63) 

als die Koeffizienten einer linearen homogenen symmetrischen 
Vektorfunktion auf, wie wir schon öfters hervorgehoben haben. 
(Daraus folgt nach den allgemeinen Untersuchungen der Nr. 76, diA 
diese sechs Größen als Komponenten erster Art (*,, y ^, «,) und zweiter Art 
('/.« 2*, ?,) eineS’ Tenso’rtripels aufgefaßt werden müssen. TDie Ten- 
soren Ti, ■'Tj dieses Tripels sind nichts anderes als die Hauptdilata» 
lonen, die wir dnr<dt u,, bezeichnet haben. Aud^ die zagehikn{|Si 



476 


Mechanik der Kontinua, 


Tensorfläche ist leicht ableitbar; ihre Gleichung ist nach Gl (65) des 
VIJ. Kap. auf pag. 860 unter Berücksichtigung von Formel (68) einifach : 

±l x + iXj,-y+ - z)x + X + y^ - y z)y 

+ x + \2^*y 

oder 

(66) ±l ^ x^^ x^ + yj^-y^ + z,-z^ y^*yz + z^- ZX + Xj,^ xy. 

Da Dehnungen im Gregensatz zu den bisher allein als Tensoren erkannten 
Trägheitsmomenten auch negativ sein können (Verkürzungen), so ist 
hier die in Nr. 76 erwähnte Möglichkeit gegeben, daß (66) zwei konjugierte 
Hyperboloide darstellen kann. Die Tensorfläche (56) ist natürlich nicht 
zu verwechseln mit der in (39) oder (40) definierten „Deformatioas- 
fläche“, welch letztere ja stets ein dreiachsiges Ellipsoid darstellt. 


108. Bechenregeln mit den Operationen Divergenz, Rotation, Gradient. 


Zum Schlüsse dieses Kapitels wird es zweckmäßig sein, die wich- 
tigsten Bechenoperationen mit den Begriffen Divergenz, Rotation, Gra- 
^ dient hier zusammenzustellen, da im folgenden häufig davon Gebrauch 
gemacht werden wird. Man muß sich vorher klar machen, daß die Ope- 
rationen „Divergenz“ und „Rotation“ ihrer Definition gemäß nur auf 
Vektoren angewendet werden können, während die Operation „Gradient * 
rfor auf einen Skalar wirken kann. Deswegen hat zum Beispiel di<* 
doppelte Operation div (rot#) einen Sinn, da rot # wieder ein Vektor 
ist, dagegen würde z. B. rot (div#) sinnlos sein, da div # kein Vektor 
ist. Wir untersuchen folgende Ausdrücke: 

1. div grad <P, 2. rot grad 0, 8. rot rot #, 4. div rot #. 

Wir erhalten zunächst für die Operation div grad 0, gemäß der 
Bedeutung der Divergenz und des Gradienten, offenbar: 


oder nach Aasrechntmg: 

0>7) di.grad<P = |^ + -|^ + ^«J<l). 


Offenbar ist div grad 0 wieder ein Skalar. 

Dagegen ist der zweite der zu untersuchenden Ausdrücke „rot gre t 
0“ ein Vektor, und wir können uns damit begnügen, die Bechnui"-' 
für .die «-Komponente auszuführen und das Eesultat nachb" 
vektoriell zu yerallgemeinem. Die «-Komponente der Kotation ein* ' 
Vektors Ä ist: 


rot,« 


dy Bt' 


Setzen wir « *> gcBd0, d. b. maobfn vir 




Kinematik eines Kontinuums. 


All 


^ 60 
* ~ dz ' 


«« 


60 
6y * 


BO folgt aus der letzten Gleichung: 

Ebenso für die y- und -sr-Komponenten; also schließlich: 

(58) rotgrad(P«0. 

Per dritte der zu untersuchenden Ausdrücke „rot rot 91“ ist ebenfalls 
ein Vektor, und wir beschränken uns daher wieder auf die Ableitung der 
a;-Komponente, die nachher vektoriell verallgemeinert wird. Setzen wir 
für einen Moment den Vektor rot 91 gleich ®, so ist: 

rot,« = - 4- ■' 

* 6 y dz 

wird nun für 8 sein Wert rot 91. d. h. wird 






6 X 


« d«, 6% 

*“ ö « dy ' '^y dz 

gesetzt, so folgt für die ic- Komponenten des gesuchten Vektors rot rot 91; 

■ rot,(rot«) = ~ , 

was ausgerecJjnet ergibt: 

. ö»«. , 0*9(x\ . d ld%r , 0«. , 0«r\ 

rot^^rot« « - +J7{dx+ IJ + IT ) * 

Die Klammer des letzten Ghedes ist gleich div 9(, so daß geschrieben 
werden kann; 

rot, (rot«) = - J«, + -^(div «) = - /I«, + grad,(div«) ; 

ebenso für die i/- und 2 - Komponenten. Die vektorielle Zusammen- 
fassung der letzten drei Gleichungen liefert also das Resultat : 

rot rot 91 = 91 + grad div 91 . 

Pie Doppeloperation „div rot 91“ endlich ist wrieder ein Skalar; 
fülirt man die beiden Schritte aus, so folgt; 


/0«, 

ÖW.'I 

, 9 

/ö«. 

9H.\ 

( 0 * 

Sxj 

+ W 

id« 

9yl 


und. darin heben sich die Glieder der rechten Seite paarweise fort, so 
daß bleibt; 



Zehntes Kapitel. 

Allgemeine Dynamik eines Kontinuums: Analyse des 
Spannungszustandes. 

104. Verschiedene Arten der wirkenden Kräfte; innere Spannungen. 

Die im neunten Kapitel betrachteten Verzerrungen treten an einem 
Körper stets zusammen mit gewissen Kräften auf, die auf ihn wirken. 
Beide Erscheinungen, die Kräfte einerseits und die Verzerrungen ander- 
seits, gehören untrennbar zusammen; sie bilden ge^^issermaßen zwei 
Seiten eines und desselben physikalischen Vorganges. In der Sprache 
des gewöhnlichen Lebens pflegt man diesen Zusammenhang, entsprechend 
dem Kaosalitätsbedürfnis des Menschen, dadurch auszudrücken, daß man 
die Kräfte ala die Ursachen der Deformation oder diese als die Wirkung 
der Kräfte ansieht. 

Die auf ein elastisches Medium wirkenden Kräfte pflegt man im all- 
gemeinen in zwei Klassen zu teilen, die sogenannten Massen- odtr 
Fernkräfte und die Oberflächen- oder Nahekräfte. Die Namen 
Fern- und Nahekräfte werden wir im folgenden vermeiden, da sie an 
dieser Stelle einer exakten Definition kaum fähig sind, während die an 
erster Stelle genannten Namen verwendet werden sollen. 

Unter den Massenkräften verstehen wir, wie schon der Name sagt, 

, solche, die auf die Masse des Körpers wirken, deren Betrag also dt r 
Masse proportional ist. Teilen wir den Körper in kleine Volimielenu nl<^ 
dr^dxdy dz, so ist die unendlich kleine Masse eines solchen 
wo die Dichte e als gegebene Funktion der Koordinaten x, y, ^ 
betrachten ist.^ Nennen wir die Kraft pro Masseneinheit (d. h. 
was wir in der gewöhnlichen Mechanik Beschleunigung nennen wurdt u) 
ik, so ist die Kraft, die auf ein Volumelement wirkt, gleich ftedx, 
die auf den ganzen Körper wirkende erhält man durch eine Integration 
über das gesamte Volumen des Körpers zu: 

füßdr. 

Diese Integration ist nstärlicä -vektoriell zu .verstehen, 

> Ausdrücke 9edf Vektoren äsd und daher vekt<m#|i addiert 
müssen. ^Dk typiscbe-Beispiel lür-derattige ' 



Allg&nein^ Dynd/f/n^^ Ämlyae des SpanntmgszttsUindes, 479 

Nennen wir, wie 'jgi^wöhnlich, die Kraft pro Masseneinheit a (= 981 , 

y SÖC j 

so ist die Gesamtkraft; 

gfsdr gM, 

wenn M die Masse des Körpers bedeutet, in Übereinstimmung mit dem 
Ansatz der gewöhnlichen Mechanik. 

Nennen wir die Komponenten der Massenkraft X, Y,Z, so haben 
wir für die Komponenten der Gesamtkraft: 

(1) JXfidr, JZadr. 

Die zweite Art von Kräften, die „Oberflächenkräfte“, wirken nur 
durch Vermittlung der Oberfläche auf den Körper. Teilen wir die Ober- 
fläche eines Körpers in Plächenelemente dtr, so ist die Kraft auf ein 
solches proportional der Größe des Elementes selbst. 

Wir führen liier folgende Bezeichnung ein. Auf dem Oberflächen- 
element d(T des Körpers errichten wir die Normalen, deren positive 
Eichtung wir so annehmen, daß sie in das- Innere des Körpers weist, dem 
da angehört. Die auf ein Oberflächenelement da, dessen Normalen- 
richtung n ist, wirkende Kraft setzen wir, wie schon eben erwähnt, pro- 
portional der Größe von da und geben außerdem der Kraft als Index 
die positive Normale des Fläohenelementes, also hier den Index n. Die 
Indizes bedeuten also hier nicht Komponenten, wie in der 
Vektoranalysis, sondern die Normalenrichtung des Ober- 
flächenelementes, auf das die betrachtete Kraft wirkt. Um 
einer Verwechselung dieser Verschiedenen Indexbezeichnungen vorzu- 
beugen, werden wir in diesem und den nächsten Kapiteln, in denen die 
neue Bezeichnung angewendet wird, von der Benutzung der Vektor- 
rechnung absehen. Wir setzen den Betrag der Kraft auf das Element da 
gleich bedeutet also den Betrag der Kraft pro Flächeneinheit. 

Derartige Kräfte pflegt man auch Drucke (die natürlich positiv oder 
negativ sein können) zu nennen. Die Komponenten dieser Kraft sollen 
iint X, , y^, bezeichnet werden. Danach erhalten wir für die Kom- 
ponenten der gesamten Druckkraft: 

^YJa, fzja. 

Haben wir also ein in der y,z-Ehene liegendes Flächenelement, 
dessen Normale die positive x-Richtung ist, so wäre die Oberflächen- 
'^aft mit dem Index n zu versehen und ihre Komponenten mit X,, Y^, 
bezeichnen* Ganz entsprechende Bedeutung haben die S3rmtol6 

n, Z.. 



480 


Meehanik der Kontinua, 


Die ersten ctrei sind die Komponenten der Druckkriaft auf ein parallel 
der X 5i-Ebene orientiertes, die letzten drei auf ein parallel der x t/-Ebene 
orientiertes Flächenelement. 


Das typische Beispiel für derartige Oberflächenkräfte ist der Druck, 
den ein in ein Gefäß eingeschlossenes Gas erleidet. 

Man erkennt leicht folgendes: Die Kräfte Z, stehen offen- 

,bar normal zu dem Flächenstück, auf das sie wirken, während die 
Großen Xy, Y,, Y,, Z^, tangential liegen. Man bezeichnet 

daher die drei ersteren als die „Normaldrucke“, die seclis letzteren 
als die „Schubspannungen“ oder „Tangentialspanniingen“. 

Es könnte nach dem Vorhergehenden scheinen, als ob die Bedeutung 
, der Symbole bis Z^ auf die Oberfläche beschränkt sei. Allein eine 
einfache Überlegung wird uns zeigen, daß man das Vorhandensein solcher 
Drucke auch im Innern jedes elastischen Körpers annehmen 
«kann, ja annehmen muß. Denken wir uns nämlich aus einem elasti- 
schen Körper, auf den Kräfte wirken, und der unter dem Einfluß dieser 
Kiäfte im Gleichgewicht ist, einen Teil, z. B. eine 



Kugel vom Badius 2?, herausgeschnitten (Fig. 142). 
Dann wird, vcoxm der scliraffierte Teil plötzlich fort- 
genommen wird, der übrigbleibende Körper 
nicht mehr im Gleichgewicht sein, son- 
dern, wie die Erfahrung lehrt, eine neue Gleich- 
gewichtslage auf suchen, bei der die Gestah- 
und das Volumen des entstandenen* Hohlraunu s 


Kg. 142. gich ändern. Der herausgesclmittene Teil d( s 


Körpers hatte offenbar, solange er noch an Ort 
und Stelle war, Kräfte auf den umgebenden Körper ausgeübt. 
' Soll der Körper nun auch nach Fortnahme eines Stückes im nämliche n 
Gleichgewichtszustände bleiben, so müsseli an Stelle des fort- 
genommenen Teiles geeignete Kräfte auf der Oberfläche des Hohlraumt .s 
angebracht werden. Auch der herausgenomraene Teil kann nicht in 
seinem ursprünglichen Gleichgewichtszustände verharren, aus dem näm- 
lichen Glnmde: Der umgebende Körper übte auch auf ihn Kräfti' ans 
die “idr nach Entfernung des Stückes wieder durch geeignete Ob^v- 
fläi^henkräfte erset25en müssen, wenn wir den Gleichgewichtszustand 
unverändert erhalten wollen. Es sind also in jedem Punkte der elastisclK 
Substanz Kräfte wirkend zu denken, wenn äußere Kräfte den Körpi ^ 
allgreifen, und zwar sind die inn^n Kräfte nadh dem Vorhergehni'l< n 
offenbar ihrem Charakter nach Oberflächenkräfte. Denn wenn wir dun i 
eine gedachte Fläche einen Teil des Körpers gegöU einen ändert n y* 
grenzen, so nben beide Teile aufeinander durch die Trexm^g^i y 
hindurch Kräfte aufeinander aus. Diese Kräfte geborcl^ "»fttürlich < 
Beaktidnsprinzip, d. h. ^ 




jUgerneine Dynamik eines Kontinuums: Analyse des Spannungsxustandes, 481 

Sie heben sich. daher in ihrer Wirkung nach außen auf: durch sie kann 
der Schwerpunkt des Körpers keine Veränderung seiner Bewegung er- 
leiden. Sie scheinen deshalb bei oberflächlicher Betrachtung nicht vor- 
handen zu sein. In Wirklichkeit sind jedoch diese inneren Spannungen 
stets wirkend und verlangen eine eingehende Untersuchung, da sie ge- 
wissermaßen die nächste Ursache der Deformation sind. Man kann 
sich ja den Vorgang einer ehistischen Beanspruchung etwa so denken: 
die auf den Körper wirkenden äußeren Kräfte (Massen- und Oberflächen- 
kräfte) rufen zunächst im Innern die Spannungen hervor, diese wiederum 
die Verzerrung. Aus diesem (Irunde bedürfen wir einer eingehenden 
Analyse des Spannungszustandes, der mancherlei Parallelen mit dem 
Verzerrungszustande aufweist. Die Größe der Spannung wird zunächst 
eine Funktion des Ortes im Körper sein. Wenn wir uns nun einen be- 
stimmten Punkt im Körper herausgreifen, so können durch denselben 
unendlich viele Ebenen gelegt werden. Für alle diese Ebenen wird im 
allgemeinen der Spannungszustand ein verschiedener sein, so daß zur 
vollständigen Charakterisierung der Spannung in einem Punkte die 
Kenntms der Spannung (des Druckes) in den unendlich vielen durch ihn 
gelegten Ebenen gehört. Diese Aufgabe wird lösbar durch die im fol- 
genden bewiesenen Sätze, die zunächst zeigen, daß man dazu neun 
Größen, nämlich die Grö&m Y^, Y,, Z^., die 

man die Komponenten der Spannung“ nennt, kennen muß. Diese 
Zahl läßt sich nach einem zweiten Satze jedoch noch auf sechs reduzieren. 
Sind diese sechs Größen als Funktionen der äußeren Kräfte bekannt, 
so ist der Spannungszustand der elastischen Körper bestimmt. Diese 
sechs Größen lassen sich, wie man schon hier vermuten kann, als die 
Komponenten eines Tensortripels auffassen, und man ersieht wieder die 
Bedeutung, die diesem Begriffe in der Physik zukommt. 

105. Beziehungen zwischen den Massenkräften und den Spannungen. 

Wir beweisen zunächst einen Satz, der die Komponenten der wir- 
kenden Massenkräfte in Beziehung setzt zu den neun Spannimgskompo- 
nenten. Dieser Zusammenhang wird natürlich ein anderer im Gleich- 
gewichtszustände, ein anderer im Falle der beschleunigten 
Bewegung sein. Doch wird es grundsätzlich genügen, den ersten Fall 
ausfülirlich zu behandeln, da nacli dem d’AIembertschen Prinzip jedes 
i^wegungsproblem auf ein Gleichg<»wichtsproblem zurückgeführt werden 
kann. 

Die Bedingung dafür, daß der elastische Körper im Gleich- 
gewicht sei, ist die, daß erstens sein Schwerpunkt im Zustand 
der Buhe bleibt und zweitens der Körper keine Drehung ah.s* 
zunächst allerdings nur die Bedingungent für 
deicligewicht eines tetarren Körpers. Aber wenn ein delormierter 
örper znt h:omxht, so kann das Gleichgewicht nicht 




482 


Mechanik der Konüntta. " ^ 

durch gestört werden, daß man ihn sich erstarrt denkt. Daher 
stammt die Berechtigung, dieselben. Bedingungen füi- das Gleichgewicht 
eines elastischen Körpers zu benutzen. 

Um den Schwerpunkt in Kühe zu halten, müssen die Komponenten 
der wirkenden Kräfte in toto gleich Null werden. Also muß sein: 



Fig. 143. 

Ferner müssen, damit keine Rotation eintritt, die Drehungsmomente 
der Kräfte um die Koordinatenachsen verschwinden. Dies liefert die 
folgenden Gleichungen: 

ft{i,Z-zY)dT+f(yZ,-zYJda = 0, 

— xZ)dt +j’(zX„ — xZJdff = 0, 
f${xY-yX)dT-hßzY,-yXJdiT~0. 

Wir irollen una zunächst nur mit dem Tripel (8) beschäftigen, 
uns den gewünschten Zusammenhang liefern wird. 

Da jedes Volumelement des Körpers im Gleichgewicht sich beiiml « 
muß, so müssen die Gleichungen (3) und (4) für jedes derartige E'.ci'icin 
gelten. Dabei bedeuten die , Größen X,, Y„, K, die Oberflächenkralw. 
die von dem umgebenden Körper her auf dies Elini » 
einwirken, ganz in Übereinstimmung mit den Betarachtungf» ‘ * 
vorherg^enden Nummer. Wir wenden also (8) 4m aof «o 
kleines Paralleiepiped, dessen Kanten resp. ..di«|laa^n 
Eaben und paraUel den Koordinatenachsmi 




- — ♦ 

Allgemeine Dynamik eines Kontmuums: Analyse des Spannungsxustandes. 483 

Pas erste Glied der ersten Gleichung von (3) wird denn einfach: 

(5a) eXdxdydz , 

Eine genauere Betrachtung verlangt das zweite Glied. Das Integral 
ist über die sechs Flächen des Würfels zu erstrecken, die paarweise ii\ 
den unendlich kleinen Abständen dx, dy, dz einander gegenüberliegen. 

Nehmen wir zunächst die beiden Seiten parallel der -Ebene, 
die in Fig. 143 schraffiert sind. Die Normalenrichtung Ui der ersten 
stimmt überein mit der positiven £c-Eichtung, die Normalenrichtung 
der gegenüberliegenden ist entgegengesetzt gerichtet. Wir erhalten also 
für diese beiden Flächen aus der ersten Gleichung (3): 

{Xx)x dy + {X^^x^dxdy dz t 
oder da ist: 

^Xj^x *“ (Xa;)* + d J dy d z . 

Nun entwickeln wir iXx)x + dx nach dem Taylorschen Satze, wobei 
wir hinter dem linearen Gliede abbrechen; also: 

Damit wird die obige Differenz: 

{5b) ---^^dxdydz. 


Ebenso ergibt die Bereclmung für die anderen Flächenpaare resp. die 
Werte : 


(5c) 


dX , 


dxdy dz und 


— dxdy dz. 


Setzt man diese Größen aus (5 a) bis (5c) in (3) ein, so erhält man 
die erste der folgendeil Gleichungen (6), und durch analoge Behandlung 
der zweiten und dritten Gleichung (3) erzielt man schließlich folgendes 
Gleichungssystem: 


( 6 ) 


tX- { 
*F-( 
eZ- ( 


ex, ö z, 6Z. \ ^ 

e X ' e y ö* j 

er, s r,_ , M ^ 

dx' e'y 02 / 

dz, , dz, , ez.\_ 
TF + TF + 'öT/“ 


0 , 

0 , 


0. 


Dies ist bereits die gewünschte Beziehung zwischen den Massenkräften 
^i^nd Spannungskomponenten für den Fall des Gleichgewichtes. ^ 
Für den Fall der beschleunigten Bewegung sagt das d'Alembert** 
sehe Prinzip aus, daß man zu den wirkenden Kräften X, Y|Z nod]^ 

»lie Trägheitskräfte — hinzuaufögen h»t, 

um wieder Gleicl^wioht zu erzielen. Dabei bedeuten u,v,%p die Kom- 
et* 



I 


484 Mechanik der KonHnm. 


ponenten der * Gösohwindigkeit und das Zeichen D ist, wie früher aus- 
einandergesetzt, gewählt, um anzudeuten, daß es sich stets um ein und 
das$elbe Teilchen handelt, d.h. däß die Anfangswerte der Koordinaten 
a, 6, c konstant gehalten werden. Nun sind u,v,w bei festem a, 6, c 
‘^natürlich noch als Funktionen von x, y, m betrachten. Dann ist 
nach den Begeln der Differentialrechnung: 

Du _ fdu\ , 

Dt \dt \dxjytt Dt [dy/zxt Dt \öz )xvt Dt 


wobei die Indizes die Variabein angeben, die bei der Differentiation 
konstant gehalten werden. Also ist einfacher geschrieben: 


Du du , du , du , du 

;DT = -ä7+“?7 + “ä7 + "'ä7- 


Für sehr kleine Geschwindigkeiten u, v,w können die letzten drei 
Glieder vernachlässigt werden und man erhält einfacher: 


Du du ^ Dv ^ dv ^ Dw ^ d w 
D t * öT’ D t ~ öl ’ DT 'dT 


Ferner ist offenbar w = usw., so daß inan 

schließlich erhält: 

^ Ül Dti? _ d^: 

Dt ■” dt^ ' Dt ” ♦ Dt d/* ‘ 


Diese Vereinfachungen sind in der Elastizitätstheorie auf Grund 
der Erfahrung unbedenklich, sie würden aber zum Beispiel in der Hydro- 
dynamik, wo endliche Deformationen und Geschwindigkeiten in 
kommen, im allgemeinen nicht mehr zulässig sein. Hier ergibt sicli 
abo für den Fall der Bewegung mit hinreichender Genauigkeit: 



Sind also die Bpannungskomponenten gegeben, so kann man nin h 
(6) recp. (7) die äußeren Kräfte inklusive Trägheitekräfte berechia n. 
Dazu sind nur Differentiationen, d.h. immer mögliche Operation u, 
ausssofübren. In Wirklichkeit liegt meist die umgekehrte Aufgala* ^ 
deren Lösung natürlich viel schwieriger ist. 


106. Baduktion auf saehf SpannuagskomiKmaiitaB. 

Wir wollen jetzt die zweite der Gleichgewiiitsbedinfeungen 
näher ins Auge fassen, di^^ aussagt, daß keine Botattoti um irgend 
Achs« eintröten soll. Das muß natürlich auch fij^ 




Allg^ineine Dynamik eines KoMinuvms: Analyse des SpanntlingsxmUmdss. 485 

einzeln gelten, und auf ein solches wollen wir nun die Gleichungen (4^ 
anwenden. Wir beschränken uns. bei tier Behandlung auf die erste der- 
selben, die aussagt, daß keine Rotation um die ic-Achse eintreten kSnn. 
Wir legen die Bezeichnungen der Fig. 144 zugrunde. 


y 



Fig. 144. 


Das erste Glied von (4) wird dann einfach: 

(t/ Z — c Y) dr , 

oder, wenn wir für Y und Z die Werte aus (6) einsetzen: 



Etwas komplizierter gestalt sich die Berechnung des zweiten Teiles. 
Wir haben sechs Flächen, die einander paarweise parallel sind ; die Nor- 
malemichtungen ‘sind für diese sechs Flächen resp. x, —oj, y, — y, 

Zy ’—z; wir wollen die Flächen für das Folgende in dieser ßeihenfol^ 
mit 1 bis 6 numerieren. Man erhält dann für den Ausdruck y Zn da 
folgenden Wert: 

I y{Zy)^dx dz + {y + dy)(Z^y)„^dy dx dz 
+ y[Z^tdxdy + ^[Z^t)t+dzdx dy 
+ yiZxhdy dz+ y\Z^x)x^dxdy dz. 

Ebenso erhält man für den zw'eiten Term —zYnda folgenden Aus- 
druck : 

j z(Y ^ydx dz ^ z\\ -^y)y^dv d xdz 
(8c) _ z[Y,\dxdy-^ [z + dz){Y^^Udzdxdy 

I -- z[Yx'^xdy dz z(Y^j^)x^dxdy dz. ^ 

Berücksichtigt man hier, daß z. B. Z- j, = -»Zy, und entwickelt " 
von der Form {Zy)y^dy i» ^i^e nach dem Uneben Güede ' : 

abbrechende Taylorsohe Reihe: : ^ ^ 



486 


Mechanik der Koniinua. 


(2y)j> + rfy — (j?y)y + ^ V > 

SO erhält man. in der Zusammenziehung der Gleichungen (8a) bis (8c) 
nach (4) das Besultat: 

yZ^dxdz^yZ^dxdz — Z^dT^ ^ 

B Zg j B Zjt 1 , d Zg j B Zy j , B Zg j 

-y Bz ^-vtx ^ y-dT^^ 

-zYJxdy + zY,dxdy + YJr + z^^'- dt + dzdr 


, ST,, , er,, SY, 


Glieder — ^ dydr 


sy,x sT.,^ * 

^dr-z-^dt. 

und ~~ -dz*dr zu vemach- 
dz 


■ Darin sind die 

lässigen, da sie von der vierten Ordnung unendlich klein sind. Die übrigen 
heben sich bis auf zwei gegenseitig fort und es bleibt nur übrig: 

(-z,+ rjdT = o. 

Durch Anwendung desselben Gedankenganges auf die zweite und dritte 
der Gleichungen (4) erhält man zwei ähnliche Gleichungen, die aus der 
eXen abgeleiteten durch zykhsche Vertauschung hervorgehen und hat 
mohlieBli^ folgende Bedingungen: 




(9) 


Y = 


y.=x. 


jf’ 


wodurch, wenigstens für den Fall des Gleichgewichts, die neun Spannungs- 
komponenten auf sechs reduziert werden. 

Wie ist es nun damit im Falle der beschleunigten Bewegung ? Dann 
^ind nach dem d’Alembertschen Prinzip die Gleichungen (4) noch ?u 
ergänzen durch die von den Trägheitskräften herrülirenden Drehung«- 
inbmente. Man erhält dann statt (4) das folgende Tripel: 


/(4afj 

( und zwei analoge. 

Fuhrt man jetzt denselben Gedankengang wie oben durch, ind^ 
ma iif nun natürlich die für den Fall der beschleunigten Bewegung gelt^ »■ 
den Gleichungen (7) für X, Y, Z benutzt, so erhält man, wie eine 
analoge Bechnung zeigt, genau wieder das nänüiche Bcfsultat, die GltJ' 
chungen (9). 

Die neun Spannungskomponenten sind somit allgoii‘‘^ 

, adt sechs reduziert. Wir haben somit drei Normaldrücke 
drei Schubspannungen. Dennoch wird man Synq^trie ha < 
in den ^Oleicbungen alle nep Symbole beibehälten. 



Aügmeine Dynamik eimsKontimmns: Amlyse des Spanmmg sMuUmdes. 487 


107. Abhängigkeit ‘der Spannung von dey Richtung; Oberflschenbedingnngen. 

Wir wollen nunmehr untersuchen, wie die Spannung auf eine’ be- 
liebige durch den betrachteten Punkt gelegte Ebene mit den sechs Span- 
nungskomponenten zusammenhängt. Zu dem Zwecke wenden wir Glei- 
chung (8) auf ein geeignet konstruiertes unendlich kleines Tetraeder an 
(Fig. 146). Gleichung (3) gilt allerdings nur für den Fall des Gleich- 
gewichtes, doch werden wir gleich erkennen, daß in dem jetzt zu er- 
ledigenden Falle das Resultat allgemeine Gültigkeit beansprucht. 





Wir betrachten folgendes Tetraeder: Wir grenzen auf einem System 
von drei zueinander senkrechten Achsen, die parallel den Koordinaten- 
achsen sind, von ihrem Schnittpunkt 0 aus drei Stücke von der respek* 
tiven Länge dx, dy, dz ab. Durch die so gewonnenen Punkte B, G 
legen wir eine Ebene, die zusammen mit den drei durch die Achse ge- 
legten ein unendlich kleines Tetraeder abgrenzt. 

Die innere Normale auf der Ebene ABC werde mit n bezeichnet, 
das Volumen des Tetraeders mit dr, die Fläche ABC mit du. Dann 
ergibt die erste Gleichung (3) folgendes Besultat, wenn man sie auf vier 
Flächen OAB, OBC, OCA, ABC anwendet, denen resp. die Normalen 
-2, Vf X, n zukommen: 

eXdr + j^XJydz + \X^dzdx + iX,dxdy + XJa^O. 

Darin ist nun zunächst das erste Glied zu streichen, weil es von der dritten 
Ordnung unendlich klein ist. Ferner ist offenbar: 

•J dy d^ s=s — da* cos (nx); | d«dx = — ducos (ny); 

^ dx dy = da cos 



488 


Mechanik der Kontinua. 

Das Minuszeichen kommt daher, weil die. Winkel alle stumpf, ihre 
Kosinusse also negativ sind, wenn nach innen gerichtet ist, wie wir 
es stets annehmen; da die linken Seiten (als Flächeninhalte) stets positiv 
sind, müssen es auch die rechten sein. Wir erhalten also auf diese Weise : 

j cos (n x) + Xy cos {n y) + X^ cos (nz ) , 

(10) I = \\ cos {n x) + Yy cos (n y) + Y^ cos (nz ) , 

I cos (nx) + cos (ny) + Z, cos (nz). 

Dies einfache Resultat beruht wesentlich darauf, daß die Massen- 
kräfte in unserem Falle unendlich klein gegen die Flächenkräfte sind. 



Dn nun die d’Alembertschen Trägheitskräfte auch Massenkräfte sind, 
69 gelten die Beziehungen (10) auch für den Fall der beschleunigten Bi - 
wegung, d.h. ganz allgemein. 

I Wenn also in einem Punkte die sechs Spannungskoni* 
^ ponenten Y ,Z,, Y,,Z, bekannt sind, so ist der Span- 

nungszustand für jede Ebene durch diesen Punkt nach (10) 
bestimmt. 

Bisher haben wir stillschweigend das Tetraeder ganz im Innern dt .s 
Körpers liegend angenommen. Es läßt sich jedoch die ganze Arguiueii- 
tation genau ebenso durchführen, wenn die Tetraederfläche mit der 
Normalen n der Oberfläche des Körpers angehört. Fig. 146 zeigt diesp 
Konstruktion; die Oberfläche des Körpers ist durch FF gekennzeichnet, 
r Han erhält also auch hier wieder die Gleichungen (10), die in dieNt ni 
Falle den Zusammenhang zwischen den Oberfläcbenkräften und den an 
der Oberfläche existierenden Spannungskomponenten angeben. 

108 * Hioptepannungeii und Hanplmnntinfsrichtungen« 

Nach den Auseinandersetzungen der vorigen Nummer, insbesondere 
den Gleichungen (10), hängt die Spannung in eln^m Pimkte von der 
Biohtong ab. Im allgemeinen wird die resultierende Spannung 
Betrage , . 

''' . 



Allgemeine Dymmtk eines Kontinuums: Analyse des Spannt mgsmstandes^ 489 

die auf eine Ebene mit der Normalenrichtung n wirkt, nicht senkrecht 
auf dieser Ebene stehen. Wir wollen uns nun aber fragen, ob es gewißse 
Ebenen — oder was dasselbe ist, gewisse Richtungen — gibt, für die 
dies der Pall ist. Die Bedingung dafür ist die, daß, während im all- 
gemeinen: 

X,, = P cos (P, x ) , 

Y„ = Pco8 (P, y), 

~ P cos (P, z) 

ist, hier diese Gleichungen übergehen in: 

j = P cos (na:), 

(11) j Y„ = Pcos(ny), 

i — P cos (nz). 

Diese Gleichungen sagen offenbar aus, daß Ebenennormalen und Druck- 
richtung Zusammenfällen. 

Um nun die ausgezeichneten Dichtungen n zu bestimmen, und 
den zugehörigen Wert von P, haben wir (11) in (10) einzusetzen und 
erhalten dann: 

j (Xj, — P) cos (nx) -1- Xy cos (ny) -t- X, cos (nz) — 0 , 

(12) I y, cos (nx) -t- (V,— P) cos (ny) -}- Y, cos (nz) = 0 , 

I ZjCos (nx) -fÄj, cos (ny) -f- (Z,—P) cos (nz) = 0 . 

Diese Gleichungen können als Bedingungsgleichungen für die drei 
Größen cos (na-), cos (ny), cos (nz) aufgefaßt werden. Sie sind aber genau 
wie die entsprechenden Gleichungen (32) des Kapitels IX auf pag. 466 nur 
dann lösbar, wenn <lie Determinante des Systems verschwindet, also wenn 

X, - P Xy X, 

(13) Y, Y,-P Y. =0. 

z. Z, Z.,-P 

Diese Bedingung stellt eine kubische Gleichung für P dar; die drei 
gemäß (13) bestimmten Werte von P, die wir Pi, P,, Ps nennen wollen, 
machen die Gleichungen (12) lösbar und liefern drei W'erte n (nj, Hj), 
für die der Druck senkrecht auf die betreffende Ebene wirkt. 

Die Aufl^ung der Determinante ergibt folgendes: 

P’ - P* (X. -1- y, + z.) -f P (X. Y, -1- Y, z. 

+ 'Z,X.-X;-Y*-Z*) 

- (X, y, z, + X, y.z, -f x. z, y. 

-x,y.*-y,z,*-z,x,*) = o. 

ßie Werte von P, die sich aus dieser Gleichung ergeben, sind 8&n|1^ch 
>'<‘611, wie sich leiobt eeigen läßt, und die ihnen entsprechenden Bidh- 
tungen ni, ».; ft. at^en im alkemeinen aufeinander ^üpikrecht^,. ‘ .. 



490 


Mechanik der Kontinua. 




( 16 ) 


• Denken ■wir uns Pi/Pa. Pj ausgerechnet wir setzen sie vorläufig 
als »reell und voneinander verschieden voraus — , so können wir die "Eioh- 
tungen n 3 erhalten, indem wir Pj, Pg, P 3 der Beihe nach in 

(12) einsetzen. Die Gleichungen (12) sind dann, ja lösbar und werden 
durch die Werte 

‘ cos (nj «), . . . : cos (ug x), . . . ; cos («g x), ... ; 

identisch befriedigt. 

So ist z. B. 

I Pg cos («ja:) sa cos (»gas) + cos (hj j/) + Y, cos (%«) , 

(15) I Pj cos (nxn) = Y, cos (nj*) + cos (n^y) + Y, cos (ttgr) , 

1 Pj cos (jigz) s Z, cos (ngx) + cos {n^y) + Z, cos (njz) . 

Erweitern wir (15) der Beihe nach mit cos (ngX), cos ('UgV), cos (ngr) 
und addieren, so folgt : 

Pi [cos (n^x) cos («g x) + cos (jtj^) cos {n^y) +co8 («jz) cos (ugz)] 
3 = Yj cos (ngx) cos (njx) + Y, cos (nj y) cos (n,®) 

4- Y, cos («gZ) cos (tig®) + Y^ cos (ug®) cos (ngy) 

4- Y, cos (wg^) cos (ngy) 4- Y, cos (wgz) cos (n^y) 

4 - cos (wg®) cos (rtgz) 4 - Z^ cos (ugi/) cos (UgZ) 

4- Z, cos (rigz) cos («gz). 

Eb^o erhält man mit den Werten Pg, cob(t 12 ®), cos (n^y), cos (itgz) 
das identisch befriedigte System; 

I P, cos («g®) 3B Y, cos (iig®) + Yy cos («gl/) 4- Y, cos («gz) , 

(17) I P, CO 8 («gs) 3 = Y, cos (ng®) 4- Y^ cos (n^y) 4- Y, cos («gz), 

I Pg cos («gz) 3B Z, cos (ng®) 4- Z, cos (n, j/) 4- Z, cos (ngz) , 

;mraus nach Erweiterung mit resp. cos (ng®), cos («gt/), cos (ngz) und 
Addition folgt: 

P, [cos (ng®) cos («g®) 4- cos (ngj/) cos (ngj/)4-cos (ngz) cos (ngz)] 
38 Y,cos (ng®) cos (ng®) 4- Y^ cos (ngp) cos («g®) 

4- Y, cos (fijz) cos (ng®) 4- Y, cos (ng'®) cos (n^j/) 

4- Yyoos (n,y) cos («gj/) 4 - Y, cos (ngZ) cos {n^y) 

4- Z, cos («,*) cos («gz) 4- 2, cos (ngy) cos (ngz) 

4- Z, cos (ngz) • cos (ngz). 

Die rechten Seiten von (16) und (18) sind aber identisch, folglich 9 ncb 
die ]ihke|i. Durch Subteaktion folgt also: 

/io\ 1 + 


( 18 ) 


Allgemeine Dynamik Hnes Kon^ Analyse dea Spannungexustandea, 491 

Da nach Voraussetzung Pj 4= ^^2» sö muß die eckige Klammer ver- 
schwinäen. Das ist aber die Bedingung der Orthogonalität,, 
d.h. i. ng. Ebenso verläuft natürlich der Beweis für die anderen 
Kichtungen. 

Ei setzt voraus, daß Pi=}=P 24 =«P 3 - Wenn jedoch z. B. Pj gleich 
Pg wird, aber von Pg verschieden bleibt, so stehen die Richtungen 
und ng immer noch auf senkrecht, aber die Orthogonalität von und 
Wg läßt sich nicht mehr beweisen. In der zu senkrechten Ebene sind 
daher alle Richtungen gleichberechtigt und keine mehr vor den anderen 
ausgezeichnet. Ist endlich Pi=P2 = P3, so sind alle Ebenen, die durch 
einen Punkt gelegt werden können, gleicli berechtigt, die Spannung ist 
dann stets normal auf allen durch diesen Punkt gelegten Ebenen. 

Man erkennt den vollständigen Parallelismus dieser Erwägungen 
mit den analogen des IX. Kapitels. Genau ebenso wie dort würde sich 
auch hier der Bevreis für die Reellität der drei Größen Pi, Pg» P3 ge- 
stalten, den wir deshalb hier unterdrücken können. 

Man nennt die drei ausgezeichneten Richtungen, d. h. die Normalen 
der drei Ebenen, auf die der Druck senkrecht wirkt, „Hauptspan- 
nungsrichtungen“, und die Druckwerte Pj, Pg, P3 selbst die 
„Hauptspannungen“. 

Es liegt natürlich nahe, diese drei ausgezeichneten aufeinander senk- 
rechten Richtungen als neues Koordinatensystem j, 5,5 einzuführen; 
zwischen den alten und den neuen Koordinaten bestehen dann folgende 
Relationen: 


( 20 ) 


y =: Ol a; + Ug !/ + Og ^ , 

\^^ß^x + ß^V + ß^z , 


wobei die Größen a,j8,y folgende Bedeutung haben: 

ais=cos(jx); ß^ — cos{i)x); yi = cos(5'x); 

Og = cos (1 y)) ßz = cos (Ü y); y2 = cos (a y}; 

03 = 008(5«); ßs^: cos (t)z); 73 = ^08(5«). 

Bezeichnen wir die Komponenten der Spannungen nach den neuen 
Koordinaten durch 3 £, ?), so haben wir hier die Spannungskompo- 
mmten S«, 8s, X»,, 83 zu bilden. Da wir es aber hier nur mit 

Normaldrucken zu tun haben — das ist ja eben die Eigenschaft der 
J»<TOn Koordinatenebenen — , so ist 

», = 0; S,= P,; », = 0. 

\ 8, = 0; 8» =0; 38 = ^3- 

^«auf könntt» wir non die Gleichungen (10) anwenden; wir erhalten 
^“nn üunftchBtl’; **• 



492 * Meehanik der Kontmm. 

I X, = Xg OOS (n j) -f X« 008 (n9) + X, cfes (n i) = oos (n j) ; 

S.= ■ =P,co 8(Ä9): 

Ä.= . =PsOos(ni), 

und daraus, indem wir für n der Beihe naoh die alten Koordinaten- 
riohtui^en x, y, z nehmen, folgende neun Gleiohungen: 

I X, — Pj cos (a:?) = Px Uj; ^«=Pj^i: 

(23) I X, = Pi cos (y j) = P,aj: \ = Pjj8j; 8, = P%Y%‘’ 

1 X, = PiCOs(ar) = P,a,; D. = P*Ä; 3, = f’sy3- 

Die naoh (20) geltenden Belationen zwischen den alten vmd neuen 
Koordinaten gelten natürlich auch für die Spannungskomponenten par- 
allel den alten und neuen Achsen. Wir erhalten daher weiter: 

X, = X, Gx + Y, oj -f Z^ua, 

?), = X./fx+y,i8* + 2.Ä. 

3, = -X,y,-f y,ya + 2,ys. 

und sechs ähnliche Gleichungen, oder lungekehrt: 

X, = S, «1 + S, ft + 8» yi. 

Y, = S, oj + D, ft + 8, y*. 

®3 + ft + 3 , ys» 

und sechs ähnliche Gleichungen mit dem Index y resp. z. 

Setzt man hier die Werte aus (28) ein, so folgt: 

X.= Pxax*-hPaft*-f Payx*. 
i', = ^’iV+P,ft®+P5ya*, 

2. =P,V+P,ft*+Pzy3*, 

Xjj = Y, = Pj Ux Oj -f- -Pj ft ft -fc- P3 yx ya, 

Y, = Zj = Px Oa Oa -f- Pa ft ft -f- Pa ya ys» 

Z, = X, = Px Oa Ox + Pa ft ft + P3 ys yi • 

Diese wichtigen Gleichungen drücken die Spannungskomponenten 
aus durch die Hauptspannungen und die Bichtungskosinusse der Winkel, 
welohe die Hauptspannungsrichtungen mit den Koordinaten bilden. %e 
stellen das vollständige Analogon zu den Gleichungen (29) des Ka- 
pitel IX auf p^. 465 dar. 

109. aeometeisehe Dantellnag; Spannungs^psoid. 

Die mehrfach hervorgehobenen Analogien Zwisten den toamiun^- 
nnd Yerzerrungskomp<Hienten legen es nabe, ähnlhdi wie dh '^op^ IX 
eine geometriM^ X^tellui|£ zu Versuchern . - 


m 



Wir wollen zu diesem Zwecke eiiie Fläch^"k^W^nl^nESZ 
Vektoren der Größe und ßichtunc nach die Dm/»irö i ^ ^ n w 

mr vom Anfangspunkte aus Vektoren rlnmr. so zieüen 

flO) die Gleichunin: ^ Wir erhalten also damit aus 


(25) 


I 


X cos (nx) + cos (n y) + A', cos (m ) , 
t/ = r, cos {nx) + cos {ny) + Y, cos {m) , 
z — Z^COB (nx) + Zy cos (ny) + Z, cos (m). 


(26) 


Wenn wir diese Gleichungen nach cos (nx), cos (ny) cos (m) auf 

cos (na:) = ^ a; + iVy + A/ 2 , 
cos (ny) = Nx+By + Lz, 
cos (n«) = Mx + Ly + Cz. 

Iteachtet man daß cos*(n*) + cos*(n.v) + cos*(M = ] sein muß, so er- 

halt man für die Fläche von der geforderten Eigenschaft die Gleichung: ’ 

(27) (^a:+%+A/a)»+ {Xx+By+Lz)^ {Mx+Ly-{-Cz)^ = \. 

Von dieser Gleichung zweiter Ordnung läßt sich zeigen, daß sie im 
d es amT? dreiachsiges Ellipsoid darstellt Man erkennt 
naten™ S!re”kflh“ Hauptspannungsrichtungen als Koordi- 

,1.« (10) gehen in diesem Falle über in die Form (22) 

ir hier gleich für unsere Zwecke geeignet nochmals anschreiben: 

cos (n j) 

cos (n 9) 1 

cos (n j) • 

^zeichnen wir hier die Koordinaten der gesuchten Oberfläche mit 
so muß für die betreffende Oberfläche analog (25) sein- 

(22b) 

® (22a) und (22h) folgt durch Quadrieren und Addieren: 


(22a) 


F. ’ 

P, ’ 

Bx 

P> 



494 ^Mechanik der Kontinua. 

Das ist aW, me behauptet» die Gleichung eines dieiaohsigen Ellipsoides» 
daä vnt als „Spanhungseilipsoid** bezeichnen. Die Extremalwerte 
des Badiusvektors (Maximum, Minimum oder Sattelwert) werden offen* 
bar durch die Halbachsen des Ellipsoides dargestellt. Also sind die. aus* 
gezeichneten Dmckwcrte Pi, Ps, P3 gleichzeitig die Extremalwerte, wo- 
" durch sich der Name „Hauptspannungen*‘ oder „Hauptdrucke“ für sie 
rechtfertigt. 

Man kann aus ( 28 ) auch gleich ersehen — was wir übrigens bereits 
wissen — daS im allgemeinen die Druckrichtung nicht zusammenfällt 
mit der Normalen der betreffenden Ebene. Denn ziehen wir durch das 
Zentrum des Ellipsoides eine Ebene mit der Normalenrichtung n» so ist 
äderen Bichtung charakterisiert durch das Verhältnis der drei Kosinusse: 

cos (n j) : cos (n 9) : cos (n ^) . 

Dagegen ist die Druckrichtung nach ( 22 a) definiert durch: 

*11 • D« • 3 n = Pi cos (ny) : P^cos (n^) : P3 cos (71 5) . 

Man erkennt sogleich» daß beide Bichtungen im allgemeinen nicht 
"zusammenfallen. Wenn wir nun weiter fragen, in welchen speziellen 
Fällen dies dennoch eintreten kann, so muß dafür offenbar sein: 

co8(«y):cos(n9):cos(na) = Picos(ny): I\co 8 {nt)): Pjcos (n j), 

oder, wenn k einen Froportionalitätsfaktor bedeutet: 

cos (n y) == k Pj cos (n 5) , 
cos (n h) == & P2 cos (n t )) , 
cos (n$) = k Pj cos (n§) , 

wofür man etwas anders schreiben kann: 

j a) cos (ny)[l— kPi]=:0, 
m b) cos(n9)[l-kP2] = 0, 

I c) cos (n j) [1 — fc P3] = 0, 

die zusammen mit der Gleichung: 

cos* (ny) + cos*(n9) + cos* (n a) « 1 

die ausgezeichneten Bichtungen bestinimen, in denen der Druck i^cnk- 
recht auf der betreffenden Ebene steht. Nehmen mt amnächst 
P yerscbteden an, so kann ( 29 a) dadurch befragt werden, 

1 — genommen wird. Dann sind und l-^kPa 

verschieden, also cos(n9}s»cos(n);«:0. B^raiu l%t> / 

h%- (-W) 



AUgenumt Dynamik mnes Kotairmmai Analyst des Spannungsxustanda. 495 

Da» ist aber die s-Bichtung. Nimmt man nämlich l — kP 2 = 0 , so folgen 
weiter 

cos (n s) = cos (nj) = 0, cos (n h) = ±1 , (n h) = 0 oder n, 

d. h. als zweite Eichtung folgt die ^-Achse und so fort. 

Man erhält also das bereits bekannte Besultat, daß die ausgezeich- 
neten Bichtungen die Hauptspaimungsrichtungen, d. h. unsere neuen 
Koordinatenachsen sind. 

Sind zwei Größen P einander gleich, z. B. Pi=Pi^ P 3 , so hat 
man folgendes Gleichungssystem: 

cos (n|) [1 — fe Pi] = 0 , 
cos (n^) [1 — fe P,] = 0 , 
cos (nj)[l — kPa] =0. 


Diese kann man zunächst erfüllen durch l—kP^^O, und 


Dann folgt 


cos (n e) = cos (ny) = 0. 
cos (» i) = ± 1 . (« i) = 0 oder 71 , 


d. h. als ausgezeichnete Bichtung die }-Bichtung. Oder — das ist die 
andere Möglichkeit: 

1 — fc Pj = 0 , cos (n j) = 0 . 

Dami werden jedoch cos (n|) und cos {nt)) nicht einzeln bestimmt, d. b. 
in der j Q-Ebene ist dann jede Bichtung gleichwertig; das EUipsoid wird 
ein Botationsellipsoid. 

Sind endlich alle P einander gleich, so lassen sich die Gleichungen 
(29) nur dadurch erfüllen, daß 

1 1 — fc P = 0 , 

wobei keine Bichtung bestimmt wird: Das Spannungsellipsoid 
artet hier in eine Kugel aus, der Druck steht auf allen 
durch den Punkt gelegten Ebenen senkrecht. 

Man kann auch hier leicht den Tensorcharakter der Spannung nach- 
weisen. Zu diesem Zwecke betrachten wir die Gleichung (10). Dort sind 
die Komponenten Y,, y„, des Kraftvektora ausgedrückt als lineare 
l'’unktionen von coa{nx), cos (»«/), cos (ns); diese drei Größen aber 
können als Komponenten eines Vektors vom Betrage 1, eines sogenannten ' 
• Einheitsvektors", aufgefaßt werden, so daß wir in (10) die Krhtt 
auf ein Fläohenelement von bestimmter Normalenrichtung als llneaxa, 
homogene, symmetrische Vektorfonktion dieses Einheitsvek^rlvdar« 
gestellt habdhj Die sechs *Koeffizienten der linearen Vektrtr»^ 

tunktion können daher als Komponenten eines Tensortripels bet|tfiAit||r 



[96 


Jfyehanik der Kontinua. 


.erden, dessen Tensoren T„ T„ T, resp. mit den Hauptspannungen 
dentisch sind. Als Gleichung der Tensorfläche leitet man lacht aus 
10), unter Benutzung von GL (65) des Kap. VII auf pag. 860ff. ab: 

±1 =\x,-x+X^-y+X.-z) X + (Y.-®+ y/2/+ Y,-z) y 

+ {Z,-x+Z^-y+Z,)z, 

)der: 

■ ±l = X^-x^+Y^-tß+Z,-z^+2Y,-yz + 2Z,-zx + 2X^-xy. • 

Diese Tensorfläche, die hier im allgemeinen wieder zwei konjugierte 
Hyperboloide darstellen wird, da die Spannung m einem Punkte je nach 
der Richtung positiv oder negativ sein kann, darf naturhch nicht mit 
der Spannungsfläche (28) verwechselt werden, die stets ein Elhpsoid ist. 



Elftes Kapitel. 


Allgemeine Dynamik eines Kontinuums: Zusammenhang 
zwischen Spannung und Deformation. 

110. Das aUgemeine Hookesche Gesetz. 

Im IX. Kapitel wurde der Deformationszustand eines elastischen 
Mediums untersucht und festgestellt, daß er von sechs Größen ic*, f/y, js?,, 
Xy abhängig ist. Ganz analog wurde im X. Kapitel der Spannungs- 
zustand zurückgefülirt auf sechs entsprechende Größen Z,, Y,, 

Xy und deren Zusammenhang mit den äu߀‘ren Kräften festgestellt. 
Was uns mithin noch fehlt, ist der Zusammenhang zwischen den Span- 
nungskomponenten . . . einerseits und den Verzerrungskomponenten 
, anderseits. Denn damit hätten wir die Möghchkeit, durch 
Elimination der Spannungskoraponenten bis eine direkte Beziehung 
zwischen den wirkenden Kräften und den durch sie hervorgebrachten 
Verzerrungen zu gewinnen. 

A priori kann man über die Art des Zusanmienhanges nichts sagen; 
die hier vorliegende Aufgabe ist w'esentlich experimenteller Natur, ob- 
wohl die Spannungen im Innern eines Körpers direkt gar nicht beobacht- 
bar sind und alle Schlüsse auf den gewünschten Zusammenhang ziemlich 
indirekte sein müssen. In gewissen speziellen Fällen, die wir im XII. Ka- 
pihd besprechen wollen, sind derartige Beobachtungen duichgeführt, 
Sie haben zu dem zuerst von dem Engländer Hooke ausgesprochenen 
Resultat geführt, daß die Deformationen proportional den wir- 
kenden Kräften seien. Da nun anderseits zwischen den Kräften 
Spannungen lineare Beziehungen bestehen, so würde daraus folgen^ 
daß die Spannungen lineare Funktionen der Verzerrungs- 
koinponenten sind. 

Dieses sehr einfache Eesultat stellt jedoch keineswegs das allgemeine 
besetz dieses Zusammenhanges dar; denn wie das Experiment ergibt^ 
das Hookbsche Gesetz nur, wenn die Deformationen sehr klein, 
ßtrung genommen unendlich klein sind. Nun sind allerdings kleine De- 
f^nuationen für die Eäastizitä,J»lelire von großer Wichtigkeit; aus <Jiese2r 
Grunde durften Vir uns im neunten Kapitel ja auch auf infinitesimale 
^formationen beschränken. Halten wir diese Beschränkung auch fiu 
Schaefet, ^ 82 



498 


Mechanik der KonUmta, 


- ■ ■ -t; 

die Zukunft' aufredht, so können wir allerdings daS' llookesohe Gesetz 
als ailgemein gültig akzeptieren. * 

Wir nehmen also die Spannungskomponenten bis 

als lineare Funktionen der Verzerrungskomponenten bis 
an und bezeichnen dies als das „allgemeine Hooke^sche 
Gesetz“. 

* Es ist bemerkenswert, daß hiernach die Spannungskomponenten an 
einem Punkte nur abhängen von den Größen an dem näm- 

lichen Punkte; das ist der Grund, weshalb man die Größen Y, , 
Z,, Xy als Nahekräfte bezeichnen kann. 

Auch auf einem etwas anderen Wege läßt sich unsere Annahme 
begründen. Allgemein ist 


Vyf y»^ ^y) f 

wo / eine experimentell zu bestimmende Funktion ist. Sind jedoch die 
Deformationen infinitesimal, sd liegt es nahe, / in eine Maclaurinsche 
Beihe zu entwickeln; die nach Potenzen von fortschrei tot. 

Diese Beihe kann hinter den linearen Gliedern abgebrochen werdt u. Wir 
erhalten so: 




Nun können wir auf Grund der Erfalirung folgendes aussagen: 
Wenn die Deformationen rc, ... alle gleich 0 sind, so kehrt der Körper 
.im allgemeinen inseinen Normalzustand zurück, in dem er spannungs- 
frei ist, d. h, die X, ... sind dann auch gleich Null. Ein Medium, 
bei dem dies zutrifft, wollen wir ein im engeren Sinne elastisches 
nennen und von jetzt ab stets voraussetzen. Wir schlitßea 
dadurch von vornherein eine Beihe von Erscheinungen, z. B. Über- 
schreitung der Elastizitätsgrenze usw., aus unserer Theorie aus. Nach 
der letzten Gleichung ergibt sich, wenn X, . . . gleichzeitig mit den 
0?,... verschwinden soll, daß da.s konstante Glied /(O) verschwinden 
mufi. 

^ Wir erhalten also folgendes Ergebnis: 

= Cu + C« y, + Cu + c,4 y, + Cu z, + c„ ac, , 

r, = + c» y, + Ca «. + cg4 y, + + Cu . 

— Cji X, +■ <^ y^ + <« c, + Cm y, + Cjj c, + Cu 

Y, = C41 X, + C4, y^ + Cu c, + Cu y. + % c* + Cu 
• + c« Si + c, + <»4 y. + c« +'Cu X,, 

Xj = Cu X, + Cu y, + Cu c, + ^eiVs "k % *»• 

. • " * j ‘ - ■i • ß“' ^ ° ^ • t. 

bamaoh ist dear 8%eä>eiimte elastisidie durch 6 mal 6 g'*''® 

86 „ElaBtizitiiskoiiBtil^tes*' W 



AUgemtin» Dynam ik «ints KorUimums: Zutammenhang um. • 499 

'Mit Hilfe def Energieprinzipa läßt sich jedoch*, wie zuerst Green 
im Jahre 1Ä19 zeigte, diese Zahl auf 21 reduzieren; aus diewm Gesetz 
folgt nämlich, daß zwischen den 86 Koeffizienten Belationen bestehen 
von der Form 

Ferner reduziert sich die Anzahl der Konstanten je nach den Syiii- 
raetrieverhältnissen des Körpers noch weiter. Z. B. müssen für einen 

isotropen, d. h. nach allen Bichtungen hin gleich beschaffenen Körper 

damit allein beschäftigen wir uns im folgenden — die obigen Ausdrücke 
für die Spannungskomponenten unabhängig vom Koordinatensystem 
sein. Die Einführung dieser Forderung ergibt für einen isotropen Körper 
nur noch zwei unabhängige Elastizitätskonstanten.^) 

Bevor wir diese Betrachtungen durchführen können, bedürfen wir 
einiger mathematischer Hilfsmittel, die wir uns in den nächsten Nummern 
verschaffen werden. 


111.* Der erste Oreensche Satz. 


Gegeben sei eine stetige, eindeutige Funktion der drei 
der wir die Form -^F{xyz) geben wollen. 

Wir bilden nun das Integral 


Koordinaten, 



dy dz = J 


BF 
d z 


dr, 


erstreckt über einen endlichen, von einer Oberfläche a abgeschlossenen 
Raum. Das Integral ist so zu verstehen: wir teilen den Baum in unend- 
lich kleine Elemente ein; in jedem derselben hat die Funktion einen 

bestimmten, von Element zu Element sich ändernden, aber wegen der 
Kleinheit jedes Elementes innerhalb eines solchen als konstant zu be- 
trachtenden Wert. Wir bilden für alle Elemente das Produkt aus den 
Volumen des Baumelementes, und dem zugehörigen Funktionswert: 

Q-dxdydz und summieren diesen Ausdruck für sämtliche Volum- 
elemente. Die hier auftretenden Integrationen sind bestimmte, dia 

der betrachtete Baum nach allen Bichtungen hin feste endliche Grenzen* 

hat. 

Das zu betrachtende Integral kann folgendermaßen umgeformt 

werden: o o — o 


JKlasf ®^keimt mau deutlich den Nachteil der älteren Molekulartheorien der 
dieaeit besteht awischen den »wei EJastisitätskonstanten 
KxDpri eine Besiehuiig, so dafi nur eine unabhängige ftbrig bliebl» Daa 

^ „Multikcnstaiitentheorie“ gegen die „Rarikbnstantenk 
^tscheden. ^j»^che Äienni die Bemerkungen in »r. 90. 



500 


Meohanik der Kontinua. 


jund die rechte Seite dieser Gleichung kann geometrisch leicht inter- 
pretiert werden. 

In Eig. 147 sei durch die Fläche o der betreffende Baum abgegrenzt. 


y 



Wir zeichnen nun nach Gleichung (1) ein der y^-Elxme parallele; 
Flächenelement dy.dz und ziehen durch seine vier Ecken Parallelen 
zur aS'Achse. Durch diese Parallelen .sind vier Ebenen bestimmt, die 
innerhalb des betrachteten Baumes einen Balken vom Querschnitt dytU 
aurachneiden. Dieseu Balken interessiert uns natürlich nur insoweit, 
als er innerhalb des betrachteten Baumes liegt. Er schneidet die über- 
fläche des Baumes in der Fig. 147 an zwei Stellen (allgemein in einer 
geradenrZahl von Stellen); wir wollen die von dem Balken ausgeschnittenen 
Stücke der Oberfläche a mit du, und da^ bezeichnen, die zugehörigen 
innpren Normalenrichtungen mit n, und n,. Nun kann man dyde, den 
jOoBtschnitt des Balkens, auffassen einmal als Projektion von doi. ein- 
mal, von da^ auf die pr-Ebene. Bezeichnen wir den Winekl zwisclien 
len Nonnalen % resp. n, mit der positiven ss-AchsO durch (njz) re.'ip. 
so haben wir also; 


^a) 

dci cos (n| x) dy dz. 

und 


[2b) 

— dO( cos (n, x) SS dp dsK 


Das Minoszei^en in der Gteichnng (2 b) hat fpfeenden Grund •' ' 
Winkel (n,®) ist stiimpf, sain Kosinus also negativ. Da aber d^ i« 
iydz positiv sindj so innB das Afinnsz^idi^ Ko»9pöo®***°“ 
negativen Kosinni huumgefögt wetd^. 




AügtmeMt Dynamik eines Kontinuums; Zusammenhang uew. , 501 
Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir nun das Integrjsl 

ayds’f^ldx. 

Hier haben wir — innerhalb des herausgeschnittenen Balkens — 
eine gewöhnliche Integration nach x auszuführen, deren untere Grenze 
die Eintrittsstelle (1), deren obere die Austrittsstelle (2) des Balkens ist. 
Wir erhalten also für unser Integral: 

(3) dy dzj ■^dx = dy dz[F,- FJ. 


Dabei bedeuten Fg und Fj die Werte an der Oberfläche des Raumes, 
und zwai- resp. an der Austrittsstelle (2) und der Eintrittsstelle (1). Die 

vom Integral (1) geforderte Integration f lf über den ganzen Raum 


ist in Gleichung (3) bereits für einen Teil des Raumes, nämlich den 
Balken, durchgefülirt. Wir brauchen jetzt den Balken nur. parallel mit 
sich selbst zu verschieben, bis er den ganzen Raum bestrichen hat (ohne 
daß natürlich eine Stelle des Raumes doppelt überstrichen wird): dann 
ist unsere Aufgabe gelöst. Für* sämtliche Balken erhalten vnr ein Re- 
sultat von der Form (3). SumMeren wir diese, so erhalten wir das.ge- 
wimschte Integral (1). Wir haben also: 




. Benutzen wir (2a) und (2 b), so kann die letzte Gleichung geschrieben 
werden: 

(4) fdx ^^ ** cos(n^ x)d<T^ + Fj cos(ni x)d(T^\e 


Letzteres Integral bedeutet aber folgendes: es soll die ganze Oberfläche a 
in Flächenelemente du geteilt und mit dem zugehörigen Werte der Funktion 
pQOB{nx) multipliziert werden. Alle diese Werte summieren wir. Man 
kann also die rechte Seite von (4) einfacher schreiben: 

— J'Fcos (naj)d<r, 


und erhält so die als erster Greenscher Satz bezeichnete Integral- 
transformation: 


(5) 



— J Fcos(nx)d(Te 


Sie 


ein Baumintegral in ein Oberflächen« 


mtegi'al vielseitiger Verwendung fthig. 



♦ 

502 . , Meehanik der KonHnua. 


[ 112. Der Oaneiiohe Sati: di^ weiteren Sätae von Green.- 

• 

^ Eine dreimalig# Anwendung des ersten Greehschen Satzes liefert 
einen weiteren Satz, der an Deutschland meistens als der Gaussscho 
Satz bezeichnet wird, weil Gauss ihn unabhängig von Green in einer 
berühmten Abhandlung über Potentialtheorie gefunden hat. 

Es seien drei Punktionen F, Ö, H gegeben von den in Nummer 11 J 
Erlangten Eigenschaften; sie seien ferner so beschaffen, daß sie die 
Komponenten eines Vektors fl bilden. Wir haben also zunächst: 

(6) l^= fl„ G-«,, 

Wenden wir auf diese drei Funktionen den ersten Greenschen Satz 
an, so folgt: 

I — J Fcoa{nx)d<F = — J* fl*- cm{nx)dfr ~ J 

— J* Geos{ny) dtr ==— fl,* cos{ni/)d<r dz, 

— H cos {nz)dfT — y * flg • cos(n z) d(r rs I* d z . 

Durch Addition folgt daraus: 


[7a) 


— J* [fl,cos(na;) + fl,cos(ny) + fl, cos (nr)]d/r 


Der auf dar linken Seite in der eckigen Klammer stehende Ausdruck 
ist aber nichts anderes wie W,, die parallel der Normalenrichtung gc- 
oonunene Komponente von 9 . 

Ebenso ist der rechtsstehende Klammerausdruck 


■ , e«. . dm, . atf. 

a* dy a* ’ 

ne aus einem Vergleich mit Gleichung (51a) und (51b) des IX. Ka()it<'l3 
Hil pag. 478 herrorgeht, nicht» anderes wie die Divergenz von ff- 
Mit diesen Bezeichnungen folgt ans (7a): 


P) 


J«,d<r-J’div«-iIt. 


[Mes ist d«r sogenminte Gansssche Satz; auch er leistet die ('m- 
sandlnng einet Vohimintegrals in ein Oberflicbenint^iral. 

. Wenn, insbesondere der Vektor 9 sieh »ns eii^ Potential <f 
eitet, d. h. wenn ' ' . , i- ’ 









st, so hat man, da 9, 


— nifk dein 




Dynotfnik $inc8 Kontinuums: 2kis<Mnm€nha/ng uäw* 603 


Der Klammerausdruck rechts ist gleich A q>, und man erhält aus. (9); 


(9a) 


fjf-är—ßld.. 


Weitere Anwendungen des ersten Greenschen Satzes erhalten wir 
folgendermaßen: wir nehmen die Funktion F {x y z) in der Form an: 


t — u -Q-- , 


d V d V 

r«-sp-W öj, . resp. 


wo u, ä*’ äi" die Eigenschaften der Stetigkeit und Eindeutig- 


dv ^ ^ 

dl/ * dz 

l^eit besitzen. Wenden wir nun den Greenschen Satz dreimal auf die 
partiellen Ableitungen von F an, so erhalten wir: 

f/x (“ I7) ^ ^ ^ +i “ S /“ I i cos (n *) d < 7 , . 

( 10 ) ■ f (u^j dt §y- dt +^J,dr = -fu§-”eos(ny)d!a, 

. /■/* (« I* ) ^ 17 ^ ät^-fu^(m(nz)d<T. 

Durch Addition folgt dann weiter: 


(11^ rf™ A!l 4 . - ^ 

J d X d X * d y d y 


djn dv 
dz dz 


dr+J* uJvdrsB^ J^~fn 


Vertauscht man jetzt in ( 11 ) die Bedeutung der Funktionen u und t), 
so folgt: 

Jlöi-äF+d7ö7 + äF 

Und daraus folgt schließlich durch Subtraktion ein weiterer Satz von 
Green, den wir als den zweiten bezeichnen wollen: 


J'(uAv — vAü)dT mt—j'^u^ — v^jder. 

Der Satz (18) stellt übrigens größere Anforderungen an die beiden 
Punktionen u und v, als die Sätze ( 11 ) und ( 12 ). Denn zur Gültigkeit 
von (18) müssen beide Funktionen stetige erste und zweite Diffe* 
l'enti^quotienten besitzen, während für die Sätze (11) und (12) dies nur 
lur eine der beiden Funktionen gefordert wird. In (11) z. B. wird f^ 
w tueht einmal verlangt, daß überhaupt zweite Ableitui^n eadstieren, 
wird dies in (12) von v gefordert. Dies liegt daran, daß in 
p') “ bnd-n synmaetrisoh Vorkommen, • was in (11) and (12) nicht, der 



504 


Mbohamk d&r KonHnuai 


118. Dai aligemeine elastische Potential. 

Wir wollen nun auf ein elastisches System das Energieprinzip an- 
wenden, und zwar zunächst der Einfachheit halber auf unendlich be- 
nachbarte Gleichgewichtszustände. Dann ist die kinetische Energie 
dauernd gleich Null, und wir haben die einfache Aussage, daB jiie Ände- 
rung der potentiellen Energie gleich der von den äußeren Kräften ge- 
leisteten Arbeit ist; also wenn wir die von der Deformation herrährende 
potentielle Energie mit U und die Arbeit mit A bezeichnen, so ist für 
eine unendlich kleine Verschiebung: 

(14) dU^dA. 


Was zunächst die potentielle Energie anlangt, so ist zu bemerken, 
daß jedes Volumelement Sitz von solcher wird, wenn der Körper defor- 
miert ist,, Ist dagegen keine Deformation vorhanden, so ist auch die 
potentielle Energie gleich Null. Wenn wir daher die Größe der Energie 
pro Volumeinheit mit / bezeichnen, so ist die Energie eines Volumele- 
elementes gleich f*dr und die gesamte Energie drückt sich durch ein 
Baumintegial über den elastischen Körper aus: 

(ISa) U^^Jfdr 

und die Änderung der Energie durch: 

(I6b) dü^fdf-dT. 


f ist dabei lediglich eine Funktion des augenblicklichen Zu- 
standes, also hier der sechs Verzerrungskomponenten a,, 
Daher kann man schreiben: 


df 




^ Ty. "»• ^ dz, 

Da^tirch geht (15b) über in folgende Gleichung: 


[ 16 ) 


+ tI: ^ 41: + rk ^ ‘ 


Ferner setzt sich die Arbeit zusammen aus detjaiigen der Massen- 
krftfte' (dili) ond derjenigen der Oberflächenkräfte (dA^j. 

Bezeidinen wir die unendlich kleinen Verrfickungsitomponenteii »>' 
dt), dCt so ist die Arbeit dA: . 

I dA^-dA^+dAt,^ f*[Xdi-i-tdv + $dGdr 

^ ‘ 

■\;JiK,,AS + r^dn’¥4»dQd9, . 

Beide Teilarb^ten können nua^dt^iiii^jPenlen. ^ 



ÄOg^imne Dynamik «inea Kontinuum: Zusammenhang i«». 505 

Zunächst setzen wir für sX. eY, eZ die Werte anTGl^chutg (6) 
des X. Kapitels auf pag. 476 einj dann wird: 



Greifen wir einen dieser neun gleichartig gebildeten Ausdrücke heraus, 
z. B. den ersten 



Wir transformieren den 
der Weise: 


(19) 



Integranden durch einen Kunstgriff in folgen- 


Dann gewinnt jeder der neun Ausdrücke in (18) folgende Gestalt: 

Auf den ersten Teil von (20) kann man den ersten Greenschen 
Satz anwenden und erhält, alle neun Terme von (18) zusammengefaßt: 


( 21 ) 


— fiX^cm{nx) + X^cosiny) + X,c<^{m)]di- de 
~f[Y^coa(nx)+ Y^cos(ny)4- Y,cos(m)]dy- da 
~f iX, C 08 (na;) + Z, coa{ny) + Z, cos(nr)]d?. da. 


Diese drei Ausdrücke heben sich jedoch fort gegen die Arbeit dAg 
der Überflächenkräfte, wenn man die Gleichungen (10) des X. Kapitels 
auf pag. 488 berücksichtigt. Es bleibt also von dA^ nur der zweite Teil 
übrig, und das Energieprinzip (14) erhält folgende Gestalt: 

- P -/l-r-JT (di) + X, 5^ (d{) + 

■+r.re W + r,s7(''’'l + r.-ÄM 

+ «. S7 (äO + ^, 87 WO + «. 8~W0] ät . 

Hier kann man nun stets schreiben; 

unter B6n^tÄ^|g Qkidhungrä (62) des IX. Kapiteb auf pf||. 476. 



506 


Meehanik der Kontinua. 


(?8) ‘ -^(di,)+-^{dö = dy.. 

-^{dSi-^dz., ^[d0 + -~{di)~dz^. 

Setzt man dies in (22) ein und benutzt Gleichung (16) für dG, so erhält 
man schließlich: 

p,) ! P ' [(Ä + “ •■ + (js- + ■< ». + (ts- + ^.) ■* »■ 

, I + + y.) ■i!'. + (Ä- + ^.) ■*'. + (^ +^.) ■*».] - »• 

Gleichmig (24) gilt für jeden beliebigen Teil des defor- 
mierten Mediums und daher kann sie nur bestehen, indem die Ko- 
effizienten der Deformationskomponenten verschwinden. Wir haben also : 

dar,» dy/ 

(26) y.—rt’ — Ä- 

7 ^ / TT ^ ^ 

Bz, ^ “ d«/'* 


Das heißt: die Spannungskomponenten sind sämtlich aus der Funktioix / 
durdi Differentiation abzuleiten. / bat also die Eigenschaften 
eines Potentiales, das wir als „elastisches Potential“ be- 
zeichnen. 

Ke Existenz einer solchen Funktion ist jedoch hier nur unter der 
speäellen Voraussetzung erwiesen, daß die Verrückung unendlich lang 
sam vor sich geht, so daß keine kinetische Energie auftritt. Wir müssen 
^zeigen, daß unser Beweis sich auch auf diesen Fall ausdehnen läßt. 

Bezeichnen wir die kinetische Energie mit L, so ist zunächst: 




und die Änderung derselben: 

^264 dL^fle^di + e^dv+t^ds]dt. 

Das Energieprinzip ist jetzt in der erweiterten Potm za benutzen. 
dL + dü^dA, 

und man kann nun meder den n&mlichen Gtedankei^^ durchfübr^® 
wie pbdb. Man kann insbesondere dA zerlegen in 
den ]|9B8enkrMt4i I^rrfibrend» 4^ 



Aügmeine Dynamik eines Kontinuums: Zusammerihmg usw, 507 

’iP ; ^ ^ - -- ' i ' 

Der Ausdruck für dA^ blpibt auch hifer ganz unverändert, dagegen haben, 
^vir in dAi für Z, Y,Z jetzt natürlich die für den Pall der Be-?, 
wegung geltenden Belationen (7) des X. Kapitels auf pag. 484 
zu benutzen; statt (18) erhält man also eine Gleichung, in der noch die 
Trägheitskräfte 

a <* ’ dt* ^ * a 

auftreten. Aber diese Glieder heben sich gegen die drei Terme von dL 
in (26a) fort; so daß schließlich dasselbe Besultat sich ergibt. 

Wir haben ferner stillschweigend die Voraussetzung gemacht, bei 
Benutzung des Energieprinzips, daß keine Wärme von außen zu- 
geführt oder nach außen abgegeben wird. Einen solchen Prozeß 
nennt man in der Thermodynamik einen adiabatischen. Für adia- 
batische Prozesse haben wir also ganz allgemein die Existenz des elasti- 
schen Potentials nachgewiesen; dasselbe wäre also genauer als" „adia- 
batisches elastisches Potential“ zu charakterisieren. 

Im allgemeinen treten bei adiabatischen Prozessen Temperatur- 
veränderungen auf. Geht jedoch der Prozeß hinreichend langsam, so 
daß die Temperaturänderungen sich in jedem Moment durch Wärme- 
aufnahme oder -abgabe an die Umgebung ausgleichen können, ist also 
die Temperatur des elastischen Körpers konstant, so haben wir einen 
„isothermen** Prozeß. 

Auch für einen solchen wollen wir die Existenz des elastischen Po- . 
tentials beweisen oder wenigstens den Beweisgang andeuten. Bezeichnen 
wir die zugeführte* Wärme mit dQ, die absolute Temperatur mit T, so 
haben wir für das Energieprinzip (L setzen wir der Einfachheit halber 
wieder gleich Null): 

(14b) dü = dA dQ = dAi -4- dA2 dQ» ^ 

Nun reicht jedoch das Energieprinzip zum Beweise nicht mehr aus, 
sondern mt müssen den sogenannten zweiten Hauptsatz der Thermo- 
dynamik heranziehen. Dieser, der erst im II. Bande ausführlich besprochen 
werden kann, sagt aus, daß der Ausdruck: 

' T " T 

gleich dem totalen Differential einer Funktion S, der sogenannten „En- 
tropie“ ist, die lediglich von den Zustandsvariabein, hier also von x^, 

Xy abhängt. Wir haben also: 

(27) . • dA-dU=^-TdS 

'«1er auch, da T für einen isothermen Prozeß konstant ist: 

(‘7a) dA^^diü-TS). 

Schreiben wir, um zum AosdruQk zu bringen, da^ Energie und Bn- 
'"'apie in den VobunelmnenteQ lokalisiert sind: 



508 


Msehanik der 'KontiHua. 


(28) , 

80 haben mt aus (27 a>: 
‘(27b) ' 


( p-/» 

dA == Jd{g> — r«)dr, 


dtj 

s • dr, 


und wenn wir 93 — Ts mit F bezeichnen, so erhalten wir: 

(27c) dA^fdF-dr, 

die in der Form mit (15b) vollkommen übereinstimmt; alle Schlüsse 
übertragen sich also auch auf den Fall des isothermen Pro- 
zesses. Es existiert also auch hier ein elastisches Potential, das wir als 
,4sothermisches, elastisches Potential'* bezeichnen können. Der Beweis 
läBt sich auch hier für den Fall erweitern, daß kinetische Energie zu 
berücksichtigen ist. 

Ganz allgemein können wir also sagen, daß die Spannungskompo- 
nenten durch die Gleichungen (25) darstellbar sind; natürlich sind die 
Funktionen je nach der Art des Piozesses verschieden. 

Nun sind aber anderseits nach dem Hookeschen Gesetz dii^ 
$pannungskomponenten homogene lineare Funktionen der Verzerrungs- 
komponenten; dann folgt aus (25), daß das elastische Potential eine 
homogene quadratische Funktion der nämlichen Argumente ist. 
Wir haben also für / die Darstellung: ‘ 


/ = Ou®.*+2oi,*.y,+2ai3a5,0,+2ana:,y,+2(i„a:,«,+2ai«a:,i, 
+ 0 * 8 ?,* + 2 0*8 ?, + 2 0*4 ?, ?. + 2 0,5 ?/, + 2 fl» 

+ 033 «.* + 2 a»i 2 ,?. +2o3jVx + 2034^x3:, 

+ o«4?.* +2o«5?.2,+ 2o«,t/,^, 

+ »»2,* +2as62x^, 

+ 0*8 V- 


Mas erkennt daraus, daß das elastische Potential 21 Elastizitiits 
kdhstasten besitzt; diese sind natärlicb, je nachdem man es mit adia 
batischen oder isoi^mten Vorgängen zu tun hat, verschieden, und wer 
^n. durch diese Epitheta charakterisiert, -wo eine Unterscheidung n»* 
weMigiiat. Bei festen Ktkrpem sind die UnterschiMe kaum merkticli 


und die Unterscheidung bei diesen daher -uimötig. 

^Er mdge hier noch folgendes bemerkt -werden: Bef statisclien 
ständen wird man- es naturgemäß stets mit den. isothermen Eliv^t' 
ntätskonstanten zu tun haben, während die adia^lisohen nur bpi 
io rasch, verlaSfenden Bew^^ungsvorgängen auftreteiii. däß 


tretenden Temper^urdifferei^en sich nicht ai 
1er bei sthneUmi fdiwinggagen, s. B, 



Dies ist. 

JB 



JUgemeiine Dyfunnik eines Kontinuums: Zusamtnenkang usw» 509 

Aus (25) und (29) ergibt sich für die Spannungskomponenten 
folgende Darstellung: 


2 1 

" “ Bx~. “ ^“«1 ®*+ J/»+2ai3 2. + 2a,* y, + 20,* «,+ 2a„ 

- y, “ “ 2a„ 2a„ 2o„ a. + 2aj*y, + 2«,* 2 ,+ 2o„ a:,, 

a 1 

~ *® ^^18 ^*"1" ^^28 ^^33 ^®34 3^* “1“ ^x"l" ^^38 

a j 

” “ 5^: “ ^^I4®x+2a24^y+2a34^x+ 2a4^y. + 2a,5 2,+ 2a,ea;^, 

- “ ö-*; * 2a,5X^+2o,5yj,+ 2a„2, + 2o**y, + 2a,5 2.+ 2a,ea;,, 

“ ^*+ ®»- 


114. Das elastische Potential für einen isotropen Körper. 


Wie schon früher bemerkt, reduziert sich die Konstantenzahl sehr 
bedeutend, wenn der Körper Symmetrien aufweist. 

Zunächst ist es wichtig, zu betonen, daß der Ausdruck von /, da 
er ja die Energie, d,h. eine objektiv physikalisch existierende Größe, 
(larstellt, unabhängig vom Koordinatensystem sein muß. Wir nennen 
nun z. B. die aiy-Ebene eine Symmetrieobime für einen Körper, wenn 
man bei der Vertauschung der positiven r-Achse mit der negativen den 
nämlichen Ausdruck von / erhält. 

Untersuchen wir nun, welche Form / für einen solchen Körper 
hab(ui muß. 

Vertauschen wir z mit —z, so geht C in — f über; x, y, f , r\ bleiben 
ungeändert. Nach (52) des IX. Kapitels haben wir dann, wenn wir alle 
Größen nach der Vertauschimg mit Strichen bezeichnen; 


(31) 


öf 

d^ 




+ 

ö,' 

Bi 


d«' 

** Bx 

= a!., 

5^.- = 

öy- 

Bzf ~ 

By 

Bz 

B i{ 

B I? 



Bl'- 

'+ 

BS' 

Bi 

dl 

0/ 


II 

■? 

2., =■ 

Bx' 

ö*' “ 

Bx 

Bz 

ör 

« ^(-0 



Bf 

+ 

Bn' 

Bi 

, dl/ 

d«' 




By* 

By' 

By 

Bx 





Da nach Vertauschung von in — s der Körper nach Voraussetzung 
sich in derselben Lage befinden muß wie vorher, so muß der Ausdruck 
hh das Potential derjenige der Gleichungen (29) sein. Anderseit| ^ftber 
nach (31) und s* das Vorzeichen gewechselt. Die Glieder von 
/also, in denen diese KoAponenten in der ersten Potenz auf treten, wurlfen 
as Zeichen wechseln un(| man wurde ein von (29) verschiedenes B^ul%t 
f’malten. Da. dies sein kanUt mä^i^ die 


510 


Mechanik deüf^ KonÜnua. 


Ko 6 ffi 2 denten der betreffenden Glieder verschwiifderr. Es ergibt sieb 
denmiich für einen Körper, für den die, «y- Ebene Symmetrieebene istt 

= aj5 s=s == 025 = 0^4 = 035 s= 048 = O50 s= 0. 

Man erhält für /: 

, ' /=«u®.*+2aua:,j/j,+2a„a:,2. +2ai,x„x^ • 

+ +023»,«. +2aM»,Xj, 

(192) + 033 «.* +2a38«.a;, 

+ o«4».* + 2045 »,«. 

+ 065«x* +066V- 

Das elastische Potential besitzt also für einen so beschaffenen Körper 
nur noch 18 Konstanten. 

• Soll außerdem noch die yz-lEbene Symmetrieebene sein, so muß 
X mit — vertauscht werden können. Das bedingt, daß gleichzeitig 
f in — f übergeht, imd folglich ist, wenn wir die Größen nach der Ver- 
tauschung wieder mit Strichen bezeichnen 

[ j/V= y,; 

( 38 ) . 1 /',' = y/, z'j = - 

I «V == 2,; ®V = — S- 

Durch die nämliche Schlußweise wie oben ergibt sich hieraus: 

Oj« “ O26 ~ Ose ~ 0,6 = 0 . 


rür einen solchen Körper hat das elastische Potential nur noch neun 
Koefhzienten und folgenden Ausdruck: 

/ = «11 */ + 2 a„ X, y, + 2 Ou 1 , 3, 

+ 0»^,» +2023^,2, 

+ 0,8«.* 

+ 0 «».® 

+ 0 »«,* 

+ OMV- 

' Nehmen wir auch noch die dritte Ebene, die xz-Ebene, als Syu - 
Ätnebrate, so werden y und —y,ij und —t) miteinander vertauscli'- 
Dann wird; 



y'^=y,> «V — «.; «'•' = 


erkennt, daß jetzt keine weiteren Koeffizienten in Foi t- 
fiÄl kodimen. Das heißt: Wenn für einelt Körp^ gleichzeitig 
die xp’Ebene und die yZ'Ebehe SymmetzieemilAhiitaind. 
ist ics ep ipso auch d|e aa-Ebene« 



Allgemeine Dynamik eines Kontinmms: Zusammenhang usw. 511 

Wir •wollen jjtzt noch einen Schritt weiter gehen und verlangen, 
•daß (34) bestehen bleibt, wenn man noch die ai-Achse mit der y-Achw. 
vertauscht. In einem solchen Falle nennt man die j/^-Ebene und die 
ji; 2 -Ebene „gleichwertige Symmetrieebenen“. Dann vertauscht 
Bich auch f mit t} und umgekehrt. Daraus folgt weiter; 

(35) = 

I ^ 5 ^ y ~ yx~ 

Aus (84) ergibt sich: 

®I1 “ ~ ®*5> ®13 ~ ®23> 

und für / erh&lt man: 

f = Oll (®x®+ y/) + ^ “W 2^» + ^ 2^» ®33 

+ a44(2/,*+0 + » 6 *V 

mit sechs Koeffizienten. 

Tf fltiti endlich noch z mit x vertauscht werden, so ist: 

(37) j «V = *. = «x. 

1 «V = a:. = y,, «7 = ^»- 

Dann ergibt sich aus (36): 

und es folgt für /; 

(38) /= Oii(V+ !f/+ ^.*) +2 o« (a;,t/,+ i/,c.+ 2 .®.) + a„(y,H «,»+ x,*) , 

mit nur drei unabhängigen Koeffizienten. 

Endlich fordern wir noch, daß der Ausdruck ( 88 ) gegen jede Drehui^ 
des Koordinatensystems invariant sein soll. Dazu benutzen wir die 
Formeln (29) und (52) des IX, Kapitels auf pag. 465 und 475. Zunächst 
geben wir der Bequemlichkeit halber (38) eine etwas geeignetere Form: 

(88a) j /=(«u-2a44)(®x+2/»+««)* + 2®«(®«*+22»*+*«*+'^2''* 

l ■4' 2 («IJ ”<* 11 + 2044 ) (x, yy+ Vy ®x)* 

Nach den genannten Gleichungen (29) und (52) des IX. Kapitels ist nun : 

(39) I (®x+ yv + «/“(/ + 3' + ^)*“ (*^1 + 

I «**+ V+*.* + i(^»* + *** + ®V*)”*^>* + '^**'*'‘^»*' 

Diese Ausdrücke sind, da die Größen Oi, <r„ <r» die Hauptdilatütionen 
sind, vom Koordinatensystem unabhängig. / nimmt also folgende Ge* 

stalt an: * % 

(88b) I ^**;‘!(®U-^2fl44)(<»i+0|+<^*+2044(07+ V+® 8 *) > 

I * * 7^ + 2 (Oii-Ou+äa«) (*, lf,+y, ».+^. «4.- 


512 


MBchanik der KoniinwL 


Das letzte Olied jedoch ist vom Koordinatensystem ^abhängig, es muß 
daher der Koeffizient 

(40) ai 2 öj! + 2 Ö 44 =s 0 

werden* 

Dadurch reduzieren sich die drei Konstanten auf zwei 
unabhängige, die dem isotropen Körper zukommen. 

, Wir schreiben in Anlehnung an die Bezeichnungsweise von Lame: 



^^44 — 

2044=/i. 


Mit diesen beiden Elastizitätskonstanten läßt sich nunmehr / in defi- 
nitiver Form schreiben: 


(42) / = W+ i 

An diese Gestalt knüpfen unsere weiteren Überlegungen an. 

Hier möge noch eine wichtige Bemerkung angefügt werdt^n. / ist 
*so bestimmt, daß es im undeformierten Zustande des Mediums (x 
=^.=y,=^*=iry==0) selbst Null ist, wie zum Überfluß auch noch aus 
Gleichung (42) hervorgeht. Diese undeformierte Lage ist nun offenbar 
eine stabile Gleichgewichtslage; sie entspricht nach den Grundsätzen 
der aUgemeinen Mechanik also einem Minimum der potentiellt a 
Energie. Da nun / in dieser Gleichgewichtslage Noll ist, muß es au&u- 
halb derselben stets positiv sein. Da es aber eine quadratische Pirnktim. 
ist, so müssen die Koeffizienten X und fi positiv sein. 


115. Das Hookesche Gesetz für einen isotropen Körper* 

Benutzt man den Ausdruck (42) für das elastische Potential ein( s 
isotropen Körpers, so kann man nach Gleichung (30) für die Spannung^^- 
^komponenten setzen: 

J I — ^ (**+ x,i - y, *= 1/,; 

(48) j . -> y, - + 2/i y^; - Z, = ft z/, 

I - 2, = ^(x,+ j/,4-«.) + 2/i^. ; -x, = /tx,. 

Mul erkennt darans — was wegen der Analogie zwischen Spannnngs- 
nutand and Deformationszustand eigentlich zn erwarten war — . 
ehgere Beztehangen zwischen den Nomialspaantingeii X^, Y^, Z, 
den Behnnngskomponenten z, einerseits, nnd zwischen den Tüh- 

g^tialspanniingen Y,,Z,,X^ and den Oleitnngskoi^ponenten y,<~x’'"3 
andersdts existieren. . , ■ ^ 

:■ Die Gleiehnngen (48) stellen das allgeineine jffookeschß 
Gesetz för einen isotropen Körper dar. f , 

Man kann die Glmchnngen ungekeh)^ 
kompoiyenten anflösen and trhAM folgend 




AUgmein« Dynamik eines Kontinuums: Zusammenhang usw. 613 


(44) 


-2(1 + M)X. + 1 r^l Zi 
2^(81 + 2fl) 

IX, -2(i + y)y. + 1Z. 

2/j(81 + 2f*) 

ix , + ij |, -2a + /<) z. 

+ 2ii) 




-X„. 




])iese Ausdrücke legen es nahe, zwei neue Elastizitätskonstanten einzu- 
führen, nämlich folgende Aggregate von und fi: 


(45) 


/i(8)t 4- 2 fl) 
i + ji* 


Eg 


X _ 

2a + )ir 


AVir nennen E den „Elastizitätsmodul“ oder nach dem englischen 
Sprachgebrauch den „Youngschen Modul“, den „Torsionsmodul“ 
und endlich a den „Poissonschen Querkontraktionskoeffizienten“. 

Die drei Größen ‘JS, /^, a sind natürlich nicht unabhängig vonein- 
ander, sondern nach (45) besteht zwischen ihnen die Beziehung: 

(46) — = 


Nach einer vorhin gemachten Bemerkung über X und [a sind die Größen 
£, /i, 0 ebenfalls sämtlich positiv. 

Mit Hilfe der Bezeichnungen (45) kann man die Gleichungen (44) 
in folgende Gestalt bringen; 


(44a) 




116. Die allgemeinen Gleichungen der Elastizität. 

Setzt man die in (48) angegebenen Werte der Spannungskomponenten 
und die Werte der Verzerrungskomponenten aus Gleichung (52) des 
IX. Kapitels (pag. 475) in die Gleichungen (7) ‘des X. Kapitels auf 
pag. 484 ein, die uns den Zusammenhang zwischen Massen- und Träg- 
beitslcräften einerseits und den Spannungskomponenten anderseits änr 
geb( n, so folgt nach elementaren Eechnungen folgendes Gleichungsaystem 
hii die kleinen Bewegungen, die ein elastischer Körper ausführen kann|; 

zwei analog®, -wobei J ^ ^ ^ 

ftnher _-|l 2 , soti^abei wir; 

Sch».*.. ■ 



514 



.Mtohanik d» Kontinm. 

_ -^rr- — - -- ^ j r I 

« = »X + /t J I + (i + m) i 

«-|^ = «y + #»/Ji? + (i + /*)-|“> 

‘Jf "" ® ^ + M) 4 r ■ 


Diese Gleichungen lassen sich durch Einfiilirung der Rotationskompo- 
nenten p, g, r noch in die folgende Form bringen, wie eine einfache Recli- 
nung leicht ergibt: 


(47a) 


dt* 

d*f} 

dt* 

d*: 

dt* 


= sX + (A + 2;*) 4f - 2/t - -ll-) • 

= « y + (A + 2/t) ly - 2/1 - -|y] , 

= *Z + (A + 2/t)4|-2/t(||.-4^). 


Indem wir links die Beschleimigungskomponenten gleich 
erhalten wir daraus die Gleichgewichtsbedingungen eines 
Körpers: 

0 = eX + /iid| + {A + /t) , 


0 nehmen, 
elastischiii 


(48) 


d ^ 

0 ^ sY + fl + ß + f^) » 


die man ebenfalls durch Einführung von p ^ 5 » ^ auf eine (47 a) entsprechonde 
Gestalt bringen kann. 

Im nächsten Kapitel werden wir einige Beispiele des elastiscln ’i 
Gleichgewichtes besprechen, die hauptsächlich darauf abzielen, uns 
Methoden kennen zu lehren, die Elastizitätsmoduln zu bestimmen. 


iSi(35iS5SS5i3Sip3SiS5ppi> 

(j||) HI-WV «s)kA4jll 

x»*r«7*« 

ttk . 4. i- . 4Cl. 

Jimm. oju. 

5» *, ,s*ö. 

<«Vm/v JLCl ^t<XeXt.«.wM.«| 


• M.-r 

\ WM»A Z *4 




'j 




«IUa 


CuLAv^P^ ^VJA/V ^ ^ \lv\,ls,Kik^\^ 

v-»»». JU>*, W-.4. 


*)i.U 


'*• f • i( 7 ' •-*«• V 

1 v ^ WOflJLw*^ •. V)vi 

i “»l*» •» 5»0. 

«a4i^«JlXCm Xxi^ 

Sali-lnv'Ü.O 

r- 

4I4 ?*^«<*waä 3 u««vi v>w»*« 4 t '^•>* 1 % ^»i**'K*X 

^4 XI iltuM. j XY 

«<^iyL«MAibH , 

^ «Jkac 


I iT 



, JL5 ^ ^ « l!f a 

’ j»r * *ir -* 

Obti>tf*^ J.f *■« JU^wJk <««*^ /Sf(/^ 






' > - »il« CN* _>^ _iv~^ 

W, 

^/-L\> . f-'l.Illf 

' 3 r y JA A / T> j » f 


> 


AA.^ 


^ *“ AiA^ 


,V j-j.7 ».aJ» ^ o-^ 

^ «rgjl % ~ 

.#Ma^ >k .«M A M /!> ^ ^ «1^ 

. ' . lüTTT'i . ^ „ 

V T r • T " 


AAA|iCfcÄI 

, ö « & t 




«a A '.t* 


wJjCCfsNH^ C,/M^ V f 


•TsA'An/^^ ^ ^ 

0. -»r^cf'^lr.s 
- iT '^** 

AiUtW^iA 

,^I^»<U AA. . AA*<» ^ ^A? SX 

«AhAVij 



Zwölftes Kapitel. 

Spezielle Fälle des elastischen Gleichgewichtes. 

117. Eindentigkeit der Lösungen. 

Bevor wir dazu übergehen, die erhaltenen Eesultate auf spezielle 
Fälle anzuwenden, ist es notwendig, sich zu versichern, daß erstens 
eine Lösung überhaupt existiert, und zweitens, daß, wenn man eine 
Lösung gefunden hat, die die geforderten Bedingungen erfüllt, keine 
zweite davon verschiedene existieren kann; mit einem Wort: wir müssen 
den „Existenzbeweis“ imd den „Eindeutigkeitsbeweis“ für die Lösungen 
füliren. 

Der Existenzbeweis kann im allgemeinen niu' dadm-ch geführt 
werden, daß man die alle geforderten Eigenschaften besitzende Lösung 
wirklich darstellt; dies werden wir im folgenden auch wirklich tun. 

Deshalb interessiert uns hier nur der Eindeutigkeitsbeweis, der 
uns die Zuversicht gibt, daß die später von uns aufgefundenen Lösungen 
auch wirklich die einzigen sind. 

Es können mm zwei Arten von Problemen überhaupt vorliegen: 

I. Es können die Verrückungen I, C als Funktionen von x, y, z 
gegeben sein; dann besteht die Aufgabe, die Massenkräfte X, Y^Z und 
die Oberflächenkräfte daraus zu bestimmen. Zunächst zeigt 

Gleicliiing (47) des XL Kapitels auf pag. 514, daß die Massenkräfte in 
der Tat eindeutig durch die I, J bestimmt werden; denn es sind 
dazu ja nur Differentiationen auszuführen; ferner bestimmen nach (43) 
des vorigen Kapitels (pag. 512) die f tesp. die y^yZ^, y,, 
eindeutig die Spannungskomponenten 1^, nimmt 

also für die die Werte an der Oberfläche des gegebenen 

Kih’pvi’s, SO erhält man die Spannungskomponenten an der Oberfläche 
der Substanz. Dann aber folgen, wiederum eindeutig, nach Gleichung 
(Ib) des X. KapitelB auf pag. 488 die Werte X„, Y„,Z„ der Oberflächen- 
kräfte. Dieses Problem besitzt also nur eine Lösung. Aber es liegt 
^iH'istens das umgekehrte Problem vor: 

n. Es« sind gegeben die Massenkräfte X, Y, Z und die Oberflächen- 
kiufto X,., Y„, Es wird gefragt, ob dadurch die Verrückungen f , C 
tbidoutig bestimmt sind. 

Don Beweis, dies’ wirklich so ist, hat zuerst Gustav Kitch- 
Ü erbracht, dem wir uns hier anschließen. Diese Art von Bewei^n 



516 



ist inder ganzen theoretischen Physik typisch and>vor allenDingeh geeignet, 
die gtofie Bedeutung der Qreenschen Sätze iii hellste licht zu, stellbn. 

Wk nehmen zmaächst einmal an, es seien zwei Lösu&gen gefvmden: 
f ij', Z' und f", tj", C". Dann haben wir auch zwei Systeme von Ver- 
zerrungskomponenten : 

(1) j .** “ 

l y,"* y"’ 

* 

Jedes dieser Systeme von Verzerrungskomponenten bestimmt nach 
Gleichung (43) des XI. Kapitels ein System von Spannungskomponenten; 
wir erhalten also: 

I Av, y;. z.-, y:. z’. a;, «.a. 


j AV, Y,', z/, Y.'. z.-, x; 

I "V f* tJ f* V* tf f? ** V 


Jedes dieser Systeme (2) erfüllt an der Oberfläche des betr. Körpers 
nach Voraussetzung die allgemeinen Gleichungen (10) des X. Kapitels; 
nämlich, wenn X,,Y^,Z„ die gegebenen Oberflächenkräfte sind, so 
muß sein: 

I X„ — X,' cos (nx) -f Xg cos (nt/) + X’, cos (nr) , 
r, = y,' cos (nx) + y,' cos (ny) -f- Y,' cos (m) , 

• Z, = ZJ cos {nx) -f Z,' cos (nt/) + Z,' cos (nz ) , 

-und ebenso: 


I X, = X," cos (nx) + Xj," cos (ny) + X," cos (nz ) , 
(8b) l y, = y," cos (nx) + y," cos (ny) + y," cos (nz) , 
I Z, = Z," cos (nx) + Zy" cos (ny) + Z," cos (nz) , 


Beschränken wir uns ferner auf den Fall des Gleichgewichtes, 
so gelten ebenso im Innern des Körpers die folgenden Gleichungen, ^vo 
X, y^Z die gegebenen Massenkräfte sind: 


: 

«X« 

dX/ 

+ 

ex; , ex; 

By dz ^ 

(4a) 

«7- 

BT,' 

dz 

+ 

BY' by: 

By Bz ^ 


*Z- 

Pli 

d X 

+ 

bz; bz: 

dy ^ dt 

und ebenso: 






[ «J- 

dXi‘ 


dX" , dX." 


dz • 

+ 


(4b) 

! «r- 

dY;; 

dz 

+ 

dY," .JT," 
dy 



dZ" 

äz 

+ 

Miir 1 . 


'Wir wollen, non folgte 




Sj^dtüt FtUU des elßaütehen Oleiehgeunditea. 


617 


(5) •' 



usw. 


X ® 


Wenn wir nun die Gleichungen (3a) und (3b) und ebenso (4a) und (4b) 
paarweise voneinander subtrahieren, so erhalten wir: 

I 0 = XJ^ cos (nx) + Xy® cos (ny) + X,® cos {nz ) , 

I 0 = Ya® cos (nx) + Yy® cos (ny) + Y^® cos (nz ) , 

( 0 = Z,® cos (nx) + cos (ny) + Z.® cos (nz ) . 


(7) 


0 » 

0- 

0 « 


ÖX/ 6X/ ÖX.® 
~dx ’ 

■ä^~+ äy+TT’ 
dz.o az,o dz,\ 

d z d y dz 


Die Annahme von zwei verschiedenen Lösungen f', j/, C' tmd 
und 1", T)", C" führt also zu der Folgerung, daß ein Spannungssystem 
A'/ . . . Z,® existiert, das den Gleichungen (6) und (7) gehorcht, d. h, 
den allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen, in denen aber 
Massen- und Oberflächenkräfte gleich 0 sind. 

Wir wollen sehen, welche Konsequenzen sich daraus ergeben. Wir 
multiplizieren (7) der Beihe nach mit fodr, ^dr, Co^r, addieren und 
integrieren über das Volumen des Körpers. Dann erhalten wir folgende 
Gleichung; 

fdz.". . ax,% , ÖX». . ar/ 


( 8 ) 




dz 


l» + ^to + “-^lo + 


dz 


+ 


ax* .. 


dz 


5» + ' 


a X 

dZ, 

dz 


% 




0 . 


Jedes Glied des Integranden von (8) kann nun nach fönendem Schema 
umgestaltet werden: 


IT« 




Setzen wir dies ein und bezeichnen das Integral über die neun ersten 
Glieder durch Jj, so haben wir: 


(9) 


I + Ä- Wlj +.■^(''.•■0 

I 


+ ... + -^(W 


£1» bleiben noch weitere neun Glieder dbrig, deren Summe wir J, nenn^ 

wollen; , • ' • 



518 


Jßeehan^ der Kontinua. 


A«f jedes GäM \(Ä (9) wenden w nun den ersten , öreenschen Satz 
an und erhalten; , ‘ * '''t 

Jj - “/[l-T,® P 08 (na!) + X,® cos (n y) + cos {n 2 )| 

, + jx,® cos (nx) + Yy® cos (w y) + Y,® cos (ns)| % 

+ jz,,® cos (nas) + ZJ‘ cos (ny) + Z,® cos (n 2 )|| d a . 

Dieses Integral ist aber gleich 0 infolge der Gleichungen (6); 
also muß Jj für sich verschwinden. Benutzt man mm, daß = x/ 
ist, usw., so folgt aus (10): 


(11) /[X,®*,® + Y,®t/,« + Z.“z.® + Y.®y.® + Z/2,® + X;*,®] dr - 


0 . 




Hierin drücken wir die Spannnngskomponenten durch das elastische 
Potential aus und erhalten: 

öy,»»» d*.“** " J' 

Nim ist aber / eine homogene quadratische Funktion der Vetzerrunss- 
komponenten; nach dem Eulerschen Theorem ist also der Integrand von 
(Ita) einfach gleich ß/g; also folgt aus (11a): 


(11a) 


J 1Ö*X* * ~ Ä«»»» ~ 


(lU) 


ff.d< 


0 . 


*Da aber /g nach Gleichung (42) des vorigen Kapitels (pag. 512) aus laut i 
positiven GHedem besteht, da ü und ju auch positiv sind, so müssen die 
Glieder einzeln verschwinden, d. h. 


( 12 ) 




X,® = 0. 


oder, wenn wir die Werte für die Verzerrungskomponenten einsetzeii: 


( 


% 


ff« 


a«. 

d.x 

^Oo 


0; d. h. Io ist nur Funktion von y imd z; 

*> 0; d. h. % ist nur FunlUion von z und x-, 

*«* “ 1^ “ ^ j^ktion von x und y, 


Ä’ 

k 

«m 


dz 
^ d<7» . 

*ir + i7 


0 ; 


T fl- ■■ V» 


T* 

«ft . .. 


dt 


0 . 


Differemdert man jede dieser Glmehuii^ je taiänÄl nach 
so whält man onmittelSrnr das ^Snltat, daß llmtBohen ' ' 
D^erentialguotionten^^on '' 

lineare 



Han hat al.^o: 



(14) 


FäUe des ebutUseken Okiehgewiehtes. ' ,!'519 


% 


■%(«)+ 4? 

■&(»)+ 41- 


«+4^ 


Ik 

dt 






dtio 


• X + 


ik 

dy 


•!/ + 


d z 
dz 


z , 


Nach den drei ersten der Gleichungen (18) fallen nun die Glieder — - 

ö n 0 Va * dx 

T* bezeichnen wir ferner für einen AugenbUck: 

ii. „ 5f(i „..-i . 9i?i, 


(löa) 


dy 


mit -r, ^init+ 3 , mit - p, 


so folgt aus den letzten drei Gleichungen (18), daß: 

flSb) —^mi4-r' _ fl. 

dx dx Ty 


-K - y - + p . 


Mit diesen Bezeichnungen wird aus (14): 

I fo = ^o(O) + ry + qz, 

(1^) ^o = ^o(0) + ra; + 0?/~p2, 

* ^o — Co(0) — qx + py + 0z, 

Dies ist eine lineare infinitesimale Deformation, und zwar eine un- 
eigentliche; denn die Ausdrücke fo(0), t?o(0), Co(0) steUen eine ge- 
iiieinsanie Translation und die übrigen Glieder eine Kotation 
dar, wobei der Körper sich als starr verhält. Die Größen 
^ 0 » Co also keine elastischen Deformationen im engeren 
h'inne, die wir ja allein ins Auge fassen. Die zweite Lösung C' 

unterscheidet sich also nur dadurch von der ersten daß der 

Körper außer der Deformation tf, ^ auch noch eine Translation und 
eine Eotation erlitten hat, daß man ihn sich also an einer anderen 
Stelle des Baumes und anders orientiert denken muß. Das interessiert 
uns aber nicht. Somit stellen T und f , t/, ; dieselbe elastische 

Deformation dar, und daher sind die Gleichui^en(16) gleichbedeutend mit 
der Aussage, daß bei gegebenen Massen- und Oberfläcbenkräften 
die elastischen Deformationen eindeutig bestimmt sind* 

Der hier gelieferte Beweis läßt sich ohne Schwierigkeiten auch für 
den iall der beschleunigten Bewegungen ausführen, was hier unterbleiben 
soll, da die Bechnung ganz analog ist. 


118« Allseitiger gleichmäBiger Druck. 

fl Körper soll nun zunächst von außen her ein zur Ober- 4 

HC le normaler, tonstwter Druck P einwirken; Massenkräfte soUeähicht 
soll (Figvl48), Da der Druck normal zur Oberfläme eem 

mit innere Normale an einem Punkte dlrii^ben ^ 

hozei^pdet, da Dräek» und Normalemiohtimcr znaammimlklli^ 



' T— ■> " •'" ■■■■ ‘ 

620 ^ * Mechanik der Kontinua, 

^ [ X,, 5= Pcosk(naj), 

atT)' - ' : Y. = l‘c 08 (nj,). ' • ' 

I Z, = Pcos (na) . 

Piese Werte sind in die Oberflächengleichungen einzusetzen: 

'•T 

f P OOS (nx) = cos (nx) + X^ cos (ny) + Z, cos (nz ) , 

P cos (ny) =. Y, cos (wa?) + Y^ cos (ny) + Y, cos (n<^) , 

P cos (m^) = cos (na?) + cos (ny) + Z, cos {nz ) . 



Da Massenkräfte fehlen, so gelten in 
jedem Punkte des Innern die Glei- 
chungen: 

V a V ;a V 

« 0 , 

dT, . ar. 


(19) 


dXr , I ^ 

dx ~dy dz 


di 

dZ^ 


^ öy ^ dz 

dZy 


0, 


_ -i. ^ 4- ?_?i — 0 

dx ^ dy ^ dz 


die wir kurz als „innere Gleichun^^^en“ 
bezeichnen wollen. 

Wir hatten schon früher Gleichungen 
Kg» 146* von der Form (18) ausführlich k- 

^ ♦ handelt. Deshalb ist es wichtig, hioi 

: m bemerken, daß diese jetzt etwas ganz anderes aussagen wit 
damals. Früher (z. B. in Nr. 108) waren die Richtungen n und di«* 
Drucke P gesucht, für die die Gleichungen (18) bestehen konnten. 
Ergaben sich drei Werte P und drei Richtungen n. 

Hier dagegen ist P vorgeschrieben una ferner sollen alle Ricli’ 
tungen n der Körperoberfläche die Eigenschaft haben, daß Gleichung (IS) 
jgifüUt ist. Das ist nur möglich, wenn die Koeffizienten von cos(wa;). 
0O6{ny)y cos(nz) für sich verschwinden. Also folgt z^äcbst für die 


,4\\' 


■d 




( 

r. = o; 

i 


= 0; X^ = 0; 
■P; Y. = 0; 
. 0; Z, * P. 


La^n wir di« Werte für X^, Y,, Z, znn&chst probeweise aucii in’ 
loDem geltra, so redimeren sich ^e inneren Gleicbongen auf: 


i » 


ar, 

9v 


dZ. 

TT 






Anch diese and dturcb die uig^nonnnena% Wer^. . 
erfüllt, da der Druck P konstant^4|m 

mit {48),deS'SX KapltelsifiijKi^^^iiilt-’Ä 


Y, =» Z, =-- 

in \< r- 



(• 21 ) 


^ S^xielle MIU d$$ elasiieehm Gleichgewichtes, 
X, = P = -A2:-2^x.. 

r, = P=-A2-2/«y». 

Z^=P=-XZ-ifjLZ,, 


521 


■ßz^; X = 0 = — //a:. 


Zunächst folgt aus den drei ersten Gleichungen (21) mit Benutzung 
von (51) des IX. Kapitels (pag. 478): 

Z 

3 ’ 


( 22 ) 




WO I die kubische Dilatation bedeutet. Ferner folgt durch Addition 
derselben Gleichungen: 

ZPrn-{3},+ 2ß)2, 

oder 

TN "f” 2u ««r» 

(23) p = r~^^' 

oder endlich 

(24) -2: = - 


3P 


3;i + 2fi 

Man nennt nun— ^ die „kubische Kompression“ und den Quotienten 

d. h. die Kompression pro Druckeinheit, die „kubische 

Kompressibilität“. Dafür erhält man aus (24): 

Z ^ 8 _ 

" P. 3 i + 27» ’ 

als „Kompressionsmodul“ 


(24 a) 


P 

Der reziproke Wert — ^ 

bezeichnet; man benutzt dafür häufig den Buchstaben K. 

Da nach (21) keine Schubspannungen vorhanden sind, so ist 


y,' 


5» , ß_i_ 

d* ~ öy 

8 x dz 
d( , Bn 
By B« 


0 , 

0. 

0 . 


Da ferner die {, ij, { Unesre Funktionen von z,y,z sein müssen, so er- 
gibt sich mit Berücksichtigung von (22) dafür folgender Ansatz: 


(26) 




® + -f- •y + 'lf ** + »1(0)» 


8 

. Ü 

^ 





TT* 


Mechanik der KonÜnua* 




w die j^i^iclmungen von Gleichung (Iß a) , so folgt aus (2;“) j : 

|xF»*~ic — ry + gif + |( 0 ), 


(27) 


« -l“ 2^ + ry - p« + ^(0), 
z-qx + j>y + Ci^). 


Darin bedeuten in Übereinstimmung mit der allgemeinen Auseinander- 
setzung der vorigen Nummer f(0), C(0) eine Translation* die 

mit p, q, r behafteten Glieder eine Kotation, yon denen 
beiden wir abseben können. Also bleibt übrig: 


«(28) 






» 


d. h. eine reine Dehnung — die in unserem Falle nach (24) negativ ist — 
nach drei zueinander senkrechten Bichtungen. Da außerdem der Koef- 
fizient der Dehnung in allen Bichtungen der nämliche ist, so ist da» 
Defonnarionsellipsoid sowohl als auch das Spannungsellipsoid hier in 
eine Kugel ausgemrtet. 

' Was die experimenteUe Bealisierung eines solchen Vorganges ang'ht, 
«> sei bemerkt, daß man den betreffenden Körper in ein Gefäß mit 
Flüssigkeit eintaucbt und auf die Flüssigkeit durch einen Stempel einen 
Druck P ausübt. 

Nach den Gesetzen der Hydrostatik, die wir später ausfülulich 
besprechen werden, herrscht dieser Druck dann an allen Punkten und 
in allen Bichtungen der Flüssigkeit, also auch an der Oberfläche des 
räogetauchten Körpers. Übrigens sind quantitative Versuche sehr schwer, 
well derselbe Druck ja auch auf die innere Oberfläche des umhülUndtn 
ausgeübt wird und dieses sich deformiert. Grundsätzlich wäre 
jsi ^e Defomiation berechenbar, doch and die wirklichen Verhältnisse 
Mufig mit den idealen Voraussetzungen der Theorie nicht in I hc'* 
Itnäffhanung. 

119. EfnseUigtt llniok. 

Die Achse eines geraden Zylinder« von der I mög® 
positiven as-Achse zusammenfallen (Kg. 149). All| die 
vom* Quersdhnitte q soll «ne Kr<^ vom B^age Jt, auf die rl c‘‘ 

einheit also ein Druck 'Ps*— wirken.. Dcir|Nt^Wt d^ge«n soll 
fr^ sein, 'ebenso sollen keine MassraloH^ Zu oestimrm n t 

die eihtretende Deftwnu^Bm. 



. r- : 

V . (fef elastüehen Oleielyetoiehtet. j|2S 

Die Oberfläohengleichuogen sind für den Mantel und di^*^ Gttuid* 
flächen getrennt, behandeln. 

a) Für den Itotel sind sie besonders einfach, da er kräftdbei ist,!'' 
ferner ist wegen der Lage des Zylinders cos (nx)=0. 


Z 



Also nehmen die Oberflächengleichungen die einfache Gestalt an: 
( 0 = Xy cos (rtj/) -f X.cos (na) , 

(29) I 0 = i’j, cos (nij) + y, cos (m) , 

( 0 == cos (ny) + Z, cos (m) . 


Da diese Gleichungen’ für alle Hichtungen n gelten müssen, so müssen 
die Koeffizienten der Kosinusse verschwinden. Also: 


(30) 



= 0 . 


Allein X, bleibt durch (29) noch unbestinunt. 

b) Dazu dienen nun die Oberflächengleichungen für die Grund- 
flächen. Für die rechte Grundfläche ist, da die Normalenrichtting n 
die negative x-Bichtühg ist: 

cos (ns) = cos Jt = — 1 , 


cos (ny) = cos {»«) = 0; 
daher sind die Kräfte: 

= - y*==o, 

Z.--Z. = 0. 

Die beiden letzteren sind Null gemäß (80); auf die Grundfläche wirkt 
der Druck P a».—, 2 ^^ normal, also muß nach den allgememen 

Gleichungen* * " - 

X.*» Y 0QB(n ») 



524 


Mechanik der Kontinua. 


Bern. 

(32) 


ist also hier 


■ -X 


£. 

V 


( 88 ) 


Durch diese' Ausdr'üc&e für die Spannuugskomponentea werden auch 
die inneren Gleichungen befriedigt. 

Nach Gleichung (48) des XI. Kapitels auf pag. 512 folgt; 

= ^ = 

= a = - AZ - , 

= 0 = — AZ — 2fiz, , 

Y,^0=-fiy,-, 

X = 0 = 

Xj = 0 = 

Die drei letzten Gleichungen (88) liefern wieder die Gleichungen (25). 
Han würde also wieder eine Translation und eine Botation über die 
eigentliche elastische Deformation herüborgelagert erhalten. Streichen' 
wir diese fort, so bleibt folgendes übrig: 

( I a= functio lin. [x) — /, (af), 

(84) j „ ,, (y) ^ 

l ? = » .) (S') = /s («)• 

IHeci6 Fonktionen müssen nun näher bestimmt werden. Addien n 

wir smnächst die drei ersten Gleidiungen (83), so folgt: 

P = (3A + 2/t).Z. 

Daraus ergibt sich zunächst der Wert für Z: 

. V ■ ^ A 1 

g 31 kf* ’ 


01 ^ Einführung des Druckes -j 


-P; 

1 


81 + 8^ 


YeigHe^ man diesen Wert mit dem 'von (24a) für allseitigen Druck, 
so erkezmt mai^ , daB die Volumkontraktion 4** Volumeiöheit dijit 
dreimal so groß ist, als hier bei einVeitigen^Druck. 

Nadidem wir den Wert von Z haben, können nun auch au n« 
Bestimmung der Funktionen herangel^ dinttiwir haben 

(Jleichungen (M): ^ 

bder unter Binffihruiit iÄ. Werte*: 



SptxMk Fällt des üasUsehm Oleiehgeteidiies. 




l)araus fblgt für iR,: 

_ öl 


2a+t>)P 
3A + 3(t 


!f ^ T„, P ^ 

Öat f«( 8 A + 2 |«) g fl( 3 i + 2 /i) ’ 

jder mit Einführung des Elastizitätsmoduls E nach (45) des XI. Ka- 
pitels auf pag. 518; 

_V 

.36) a * ~ "f E' 

die integriert liefert: 

fc K z 

Y T’ 


da eine Integrationskonstante nicht hinzuzufügen ist. 

Wenden wir Gleichung (37) auf Anfangs- und Endquerschnitt des 
Zylinders an, d. h. auf die Werte x = 0 und iC=Z, so erhalten wir 

i.-o; S. = -f -r 

Die Differenz Ij— fo *öt aber nichts anderes als die (positive oder nega- 
tive) Verlängerung des Zylinders, die wir mit öl bezeichnen wollen. Da 
wir die Drucke positiv rechnen, so ist bei uns dl negativ; also erhalten wir: 

K l 


in Worten: Die Verlängerung dl ist pioportional der wirkenden Kraft K 
und der ursprünglichen Länge 1, umgekthit proportional dem Quer- 
schnitt q und dem Elastizitätsmodul E, 

Diese Gleichung wird häufig dazu benutzt, E zu bestimmen. Ge- 
wöhnlich wendet man allerdings negative Drucke, „Züge“, an, indem 
man an einen Draht ein Gewicht anbängt, unter dessen Einfluß eine 
Verlängerung eintritt. Die Formel (88) tritt auch gewöhnlich mit posi- 
tivem Vorzeichen auf, it^eil im allgemeinen die Züge positiv gerechnet 
werden. Gleichung (88) ist eine der einfachen Formen des Hookeschen 
Gesetzes, die sich experimentell leicht dar bieten. Die Gültigkeit des- 
selben zeigt ‘sich daraus, daß der Elastizitätsmodulus E eine 
Konstante sein muß. Beobachtet man eine Variation von E, so beißt 
das, daß die Grenzen des Ho oke sehen Gesetzes überschritten sind. 
Ähnlich erhalten wir aus der zweiten und dritten Gleichung (38) unter 
Zuhilfenahme vpn (85) ; 

^ Ä 

dy 2fi ^ q * 

di l K 

IT" + (3i + 2,1)2^ Y' 

'«1(1 daraus duKÄ la^ation: 

(37a) 




526 


Mefiutnik der Köntinmi 




Diese Ql^cihiing^n kann man nach Eirrführ^ng des ElasÜDt&tiäDodalK E 
und dwfil^o^Bsonschen Konstanten a nnii^ (46) des XI. Kapitels (|^- 5l:i) 
schteibelt^ . ' * 


(S9) 


t * 

e 

S q 


E 




q ß 

. K * 

■ + 7 


Daraus geht hervor, daß bei Verkürzung der Längsrichtung durch Druck 
- gegen die Endflächen eine Vergrößerung der Querdimensionen 
erfolgt, resp. bei Verlängerung der Längsdimension durch Zug eine 
Kontraktion der Querdimensionen. Die Querkontraktion ist 
im Verhältnis o größer als die Verlängerung; daher rechtfertigt sich 
für O'der Name „Querkontraktionskoeffizient", a ist stets ein echter 
Bruch, und zwar zwischen 0 und Vs liegend, wie die Erfahrung ergeben 
hat. Um dies einzusehen, wenden wir (39) auf einen Würfel von 1 cm 
‘ Kantenlänge an, d. h. wir setzen x=y=z=l; sein ursprüngliches 
, Volumen F# ist also 1; sein späteres Fj unter Berücksichtigung d.s 
. Umstandes, daß f , »j, C infinitesimale Größen sind: 

( Fi=(l+l)(l+>?)(l+f) = l + f+»? + C* 

; Alan ist die durch Druck eintretende Volumänderung der Volumeinheit: 


Nun wird nach Au-weis des Experiments bei Druck auf die Endflächen 
{die Volumänderung negativ, jedenfalls nicht größer als 0. Das ist aht-i 
loach (40) nur möglich, falls 
(41) 




;v‘V^i^tere Aussagen über o kann man allgemein nicht machen; o kann 'on 
V, Körper zu Körper innerhalb der durch (41) vorgezeichneten Grcnaii 

1^" variieren. • 

Die älteren Molekulartheorien der Elastizität forderten allcK i'in^ 
aul Grund zu enger Ansätze, daß u für alle Körper gleich, und zwar g • ic 
*/* müsse. Das Experiment hat dies widerlegt und der modci n« 
%höorie; Becht gegeben. . . , 

' : Die Gleichungen (38) und (39) gestatten endbeh 

Kirnung des Deformations- und des Spannungsellipsoid«. Wir wg'» 
mit dem mteren. Durch die Deformation (39) g^ht der Punkt («• !>■ “ 


in' den ben^hbarten Wert 







— i£_i : — ’ 

FSUe 4u üaaHschen QMehgewiehies. '527 

Betrachten wir — der jjlgemeinen Theorie des DeformationfleUip- 
v;uides entsprechend — die Äinkte, die vor der Deformation eil» Kugel- 
oberfläche vom Eftdius E erfüllen, so haben wir: 

== E* , 


Kach der D,eformation können wir x, y, z nach (39) folgendermaßen 
durch x', y', z' ausdrücken: 


X = 


1 - 


K 

qE 




y 


1 + 


Kij 

qE 


K (T 

^ Te 


y 



Fig. 150. 


Diese Ausdrücke, in die Kugelgleichung eingesetzt, liefern 


(42) 



als die Gleichung des Deformationsellipsoides, das hier offenbar ^ eia 
Rotationsellipsoid ist. 

Eine Besonderheit bietet das Spannungsellipsoid dar, weil nach (33) 
von den drei Normaldrucken zwei und alle Tangentialspannungen ver- 
scinvinden. Setzen wir dies in die Gleichungen (25) des X. Kapitels auf 
pag. 493 ein, die zur BestimiUung dos , Spannungsellipsoides führen, so 
folgt, wenn wir durch (x^y^z) einen Punkt der Oberfläche des Spannungs- 
ßllipsoides bezeichnen; * 

oj « JC,cos(na;)]»= *^-co8(na:), y^z^O, 

Biese drei Gleichungen (48) stellen nun, da der Kosinus von —1 bis 

+1 variieren kann, Strecke auf der a;-Achse dar, die von 

bis + Diese Stücke stellt hier das %^Äng8* 



528 Mfiehmik der Kom^m, ^ 

ellipsoid Man erkennt aus (43)^ d^B e% unendlich viele Bichtungen 
gibt, in denken der nämliche Druck wkt, nämlich in allen Bichtungen, 
die mit der a* Achse denselben Winkel bilden. . In der zur £c- Achse senk- 
re^ten Eichtüng ist der Druck gleich Null. 


120« Torsion eines Kreiszylinders« 

Wir wollen jetzt eine Art von Deformation betrachten, bei der die 
Verrückungen nicht mehr lineare Funktionen in z sind. Wir 
nehmen einen Zylinder von der Länge’ 1, dessen Querschnitt wir später- 
hin aus besonderen Gründen kreisförmig aünehmen werden, für jetzt 




aber noch unbestimmt lassen. Gemäß Fig. 151 sei die Achse des Zylindei*s 
njit der z«Achse als zusammenfallend angenommen, die Grundfläche 
in der x i(-Ebene. Nun halten wir den unteren Querschnitt fest 
drehen den oberen um die z- Achse um den infinitesimalen Winkel 
Dabei soll der Abstand r jedes Querschnittpunktes von der Achse 
nng^Sndtert bleiben. 

An '^^^eser Drehung nehmen aUe Querschnitte teil, Und zwar in 
einem ihrem Abstande z von der Grundfläche proportionalen Betrage. 
Außerdem ist die Drehung natürlich proportional dem Winkel 
welchen dW obere Endquerschnitt gedreht ist. "Nenneij wir den Propoi' 
tionalitäWaktor fe, so ist für zäI nach unserer Vorausseti^g: 

alsoIc-.-y'. 

pSr'fliDen belietngei^ Qnorsi^initt im Abstondö i ist |kl80 

V"' 'i'''"* ' 

(44) . 9 ^ m 'k'ft m ^ 


Sp exielle Mildes ehsHschen Oleiehgeunehtes, ’ 529 

Mine solche Deformation nennen wir eine „reine Torsion'^er „Dril- 

Wir haben nun die Verrückungskomponenten tj, ^ zu bestimmen; 
: ist offenbar nach den Bedingungen der Aufgabe gleich 0. Zur Be^ 
Stimmung von S,r) führen wir Polarkoordinaten {r,q)) in der Ebene 
des betreffenden Querschnittes ein (Fig. 152). 

Vor der Deformation sind die Koordinaten eines Punktes: 


(40) 


1 

I J/ = r sin 

Nach der Deformation: 

I a; + |.»= r cos (^ + ^- y) = r cos j^rp + - ? j , 

I y + tj — rsm (<p + ä tf ) = r sin ^(p + - . 

Die Ausrechnung ergibt: 

X = r cos (f cos — r sin q sin —J - , 

X 4- 1 / = r sin 9 ? cos -f r cos (f> sin , 

oder unter Beachtung des IJinstanclos, daß infinitesimal ist, alsp 
1 ist: 

a: + | = a:-)/7-; .>/ + »; = .y + x 7 , 


COS-J- 


oder endlich: 


(47) 


1 = 


tl- + x 

r = ü. 


z V' 

■y-f’ 

z ip 


I 

o o 




Man erkennt, daß die Deformation (47) nicht linear, sondern qua- 
t ratisch ist. Dies liegt daran, daß wir liier und in allen älmlichen Fällen 
^ Betrachtung nicht auf einen „kleinen'* Bereich beschränkt haben, 
>^nsammenhange damit wird sieh herausstellen, daß die Spannungs- 
^‘>m})onenten lineär veränderlich sind, walirend sie in den bisher behan- 
kel ®^^®P^^^®^T^<>Dstant waren. Das Problem ist liier überhaupt umge- 
gestellt, insofern, als hier die Deformationen gegeben sind und dife^ , 
^ l^"^^|iiungskomponenten und Kräfte gesucht worden, die sie hervorrufe^u^i' 


/zunächst bilden wir die Deformationskomponenten 
» Nach (47A erhält,, man für die „Dehnungskomponenten*^: 

(48a,) 



580 


Mechanik der KonHhua. 


d. h. die kubische Dilatation ist .hier gleich 0. Ebenso ergibt sich füt 
die Komponenten der „Gleitung“: 


(48b) 


y‘ dz ^ 8y 

8* ^ dz 


y/ X 

~r 

11. 

I 


AL 

By 


Ajl 

d X 


0 . 


Dadurch sind nach den Gleichungen (43) des XL Kapitels auf pag. 51 *2 
auch die Spannungskomponenten bestimmt. Wir haben zunächst für die 
Normaldrucke: 

(49a) X, = i;=Z, = ü, 

und für die Tangentialspannungen: 

fitpX 


(49b) 


y, = -/*y. = 1 ~ 


X.. 


Die so erhaltenen Werte können wr in die 

dX: 


»»inneren“ Gleicliungrji 


$X 


, 8X, , dX. 
dir + Ty- + -eT 


einsetzen. 

, ^ Da die rechten Seiten nach (49a) und (49 b) aber verschwinden, 
müssen auch die Massenkräfte X, Y , Z gleich 0 werden. 

. Die Oberflächengleichungen lauten hier, da X,, X^ in Foit- 

i &11 kommen: 

( X„==A\cos(n.), 
y„==i;cos(ns), 

I Z„ == cos {nx) + ZyCos {ny ) . 

' ' ^ ' 

' Wir wollen diese zunächst auf den Mantel des Zylinders anwendoii: 
dann cos(»;^)=0 wird, weil die Achse parallel der 21 -Richtung ist, 
folgt zunächst: 

j x..= y. = o, 

1 X, = Z, cos {nx) + Z,co8 {ny). 

Es ist also im allgemeinen notwendig, uni dje betraditi ti' 
Peformatiott hStvorzurufen, aut dem Mantel Kräfte Z„ 
''J’dbringen. Es liegt jedoch die Frage nabe, ob es unter gewissen 
'%&nden (und unter welchen Umständen) md^c{i ist, daß auch dcse 
letzte fpbeillächenkraft auf dem Mantel in For^I kommen kann 
Pid Bringung dafür muß sein; 


m 

f 





531 


, SpexüÜe Fälle de$^ eku iUohen Oleiökgewichtea. 

oder unter .Benutzung der Werte (49 b) für die Spännungskomponenten: 

. !/ cos (tiaj) = a; cos (ny ) , 

oder: 

( 52 ). y: x = cos (ny): cos (nx ) . 

Nun sind y und x proportional den Bicbtungskosinussen der Ge- 
raden, die den Punkt {x, y) der Zylindermantelfläche mit dem Zentrum 
des in derselben Ebene liegenden Polarkoordinatensystems verbindet 
(Fig. lo3). Das Verhältnis y:x bestimmt die Eichtung der Geraden. 
Dagegen sind cos (wx) und cos {ny) die Kosinusse der Winkel, die die 
Normale auf dem Mantel im Punkte (a-, y) mit der x- und ?/- Achse bildet. ^ 


y 



Die Bedingung (52) verlangt also, daß Eadiusvektor r und Normale n 
der Berandungskurve des Zylinderquerscimittes ziisammenfallen. Das 
ist aber, wie ein Blick auf die Fig. 153 sofort ergibt, nur möglich für 
einen kreisförmigen Querschnitt. Diesen wollen wir nun von jetzt 
ab annehmen, um das Problem so einfach wie möglich zu gestalten, und 
weil dieser Fall dem Experiment meistens zugrunde liegt. Wir erhalten 
also für einen Kreiszylinder, dessen Eadius R sei: 


(51a) = = o 

für die Mantelkräfte. 

Nun bleiben noch die Kräfte auf die obere Endfläche zu unter- 
snchen. Hier ist zu berücksichtigen, daß cos (nx) = cos (ny) = 0, und 
da die Normale der 2-Hichtung entgegengesertzt ist, cos (m) = — 1. Da 
^rner Y^,Z„X^ nach (49b) gleich Null sind, so folgt: 


(53) 


X. X = - 


MW 


Z.-O. 


Die Q.berf]ä(^ieokräfte auf die Endfläche haben folgende ^gen* 
sciafton, die ^eht; aus (68) abliest; 


532 


Mechanik ^ier Kontinua. 


'4 


n 


1. Die resultierende Kraft pro Flächeneinheit liegt 

iir der Ebene der Endfläche, sie ist also eine Tangentialkraft. 

2. Nach (53) besteht die fielation: 


ÄV^+lV2/ = 0, 

d. h. aber, daß die resultierende Kraft senkrecht auf dem Badius- 
vektor r steht. 

8. Daraus folgt, daß auf die obere Fläche ein Drehungsmoment 
von der Kraft ausgeübt wird, das pro Flächeneinlieit die Größe 

*(54) P„.r= = 


"Tiat. Auf das Flächenelement da wirkt also das Drehmoment 

und das gesamte wirkende Drehmoment D erhalten wir durch eine InU - 
gration über die Endfläche. Unter Benutzung von Polarkoordinaten ist 

(55) do=^rdr*dq>. 


Also folgt für das Drehmoment D: 


Ü 0 


oder für den Drehungswinkel xn: 

(56> ™ 


±D 


Man nennt in leicht verständücher Bezeiclmung n den „Torsions- " 
oder „Schubmodul“. Durch Kombination dieser Methode mit einoi 
Methode zur Bestimmung von E kann man den Wert der Poisson- 
schen Konstanten o erhalten. Derartige Untersuchungen waren früiicr 
von großer Wichtigkeit, weil — wie schon erwähnt — die älteren Moli - 
ktola^eorien zu der Folgerui^ ^^r alle Körper gefülirt hathn. 

Experiment hat diese Behauptung nicht bestätigt. 


llSt. Biegung eines Stabee. ^ 

•• 't* 

; Ein Stab von der Länge l, der Breite b und der Höhe h dem 

einen Eiide an einer horizontalen Wand befestigt (Fig. 154)r, und 
80 , daß die Endfläche unverrückbar festgehalten wird. D^ MitWpunlvt 0 
deraelben nehmen wir zum Anfangspunkt des in der Figilr angedeutetmi 
KoQrdinatensjnstems. An dein freien Ende ist eiji Hebelarm von il'’’ 
Länge L angpbraoht, an dessen Enden entgegengesetzt gleiche KruHc. 
vbm Befeage K wirken, die also das, Drehmommlii'Eyli ,at»ftb®®- 


ühtigeiCElädien seieii kräftefrei. Das 
Schichten Stftb^ iier]^|||«|t, die 



■während 



633 


Sptxielh FSUt -des elatt^ohen Oletehgeudehtes. 

die Mittel^er («=f=0) ihre ursprüngliche Länge beibehält. Der Bnd- 
querschnitt wird also gedreht (Fig, 155), Wir können uns denselben 

ik 


K 



Effekt durch geeignet angebrachte Oberflächenkräfte auf die End- 
flächen her vorge bracht denken. 

Dazu benutzen wir die Gleichung (38), die wir auf ein Stabelement 
TOin Querschnitt bdz, das in Fig. 154 schraffiert ist, anwenden. Dieses 



i^labelement wird durch den Druck komprimiert; bezeichnen uir 
'lie Längenänderung mit öl, so ist nach (38) und (32): 

<*’) . ii— 4‘. 

wenn w den Drehungswinkel des Endquerschnittes mit ‘a be- « 
-ochnen, so ist nhoh Fig. 166; 

=sr 0 ♦ ^ , 


584 


Meehanik ^ KotUmua. 


Also folgt: 


(58) 




Ez*<p 


Alle übrigen Spannungskomponenten sind gleich 0. 

Ferner ergibt sich daraus für die Verzerrungskomponente nach 
Gleichung (44) des XL Kapitels auf pag. 513: 

k + fl Y k + fi Eqtz «p * 

■ =* — “p- « p • 


(59) 


■ 


ft{Tik + 2fi) * fi{Sk + 2fi) 

Für die übrigen Verzerrungskomponenten hat 'man nach (43) des 
XL Kapitels (pag. 512) die folgenden Gleichungen: 

! 0 = — XS ~2uy , 

0 ^-X2-2f,z,\ 

0 = (ly^, 

0 = fiz,, 

fk Xy . 

Durch Addition der drei ersten folgt für I: 

1 


(60) 


r. 

z. 


X = 0 

t 


(61) 




si -e 2|U 


uid daher, wiederum aus (60): 

yjf “ + 2/i) * 

Mit Einführung der Elastizitätskonst-anten E und o kann man naili 
(4$) des XL Kapitels auf pag. 513 die Gleichung (62) schreiben: 

:(«2a) 

Dnrdi Integration folgt ans (59) und {62a) für ■y, 

I + 

fl “ + - + /»(**)» 

Ke drei nnbestimmt bleibenden Funktionen sind au8;!den Bedingmiu' u 

y. • -ff '•'.Ty " 






0 , 



SptxieO* FäUt des eiastMun Oleichgeunehies. v ^35 

in der bereits bekannteil Weise zu bestimmen. Streichen wir die dabei 
auftretende Translation und Botation fort, so erhalten wir nach elemen- 
taren Eechnungen für die eigentlich elastische Deformation; 


(63) 


-1^13:* + ff (2*-/)}. 


Nun haben wir die Bedingung auf zustellen, daß das wirkende Dreh- 
moment KL durch die wirkende Spannungskomponente kompen- 
siert wird. 

Das Moment der Spannung um eine durch den Punkt A gehende , 
der j/-Eichtimg parallele Achse ist: 

2 

(64) Jx^-bdz-2z. 

0 


Denn die Kraft ist X^^bds, da bdz der Querschnitt des betrachteten * 
'Balkenelementes ist, und iz die Größe des Hebelarmes. Das gibt die 
Bedingung: 

h 

"2" 2 

EL = 2bJ X^zdz = fz^dz, 

0 0 


oder: 


(65) 


Kl 


J 

12 l 


(pE. 


Hier kann man noch, was häufig bequemer ist, den Drehungswinkel ip 
des Endquerschnittes eliminieren und dafür die Senkung / des Punktes A 
ausdrücken, der vor der Deformation die Koordinaten a: = l , 7/=2:=O hat, 
Nach (63) folgt für die Verrückung von A: 

li = 0, = V = ^ 

Aus (66) folgt zunächst, daß die neue Lage von A senkrecht unter der 
alten liegt (natürlich nur bis auf Größen höherer Ordnung). Di» 
Senkung / wird als „Biegungspfeil“ bezeichnet. Führt man f ein, so 
wliält man aus (66): 

oder für den Elastintätsmodnl: 

(67) i ■ „ 6KL-P 

die z'tt.i^r^ten^xpiriineiiteilen Bestinimong dieser Gtd||e dieasi lMuiBi;. 



r » ^ , ^ 

^ 536 i Mechamk d&r Koniimm. 

Es wird gut sein, an diesem Beispiele zu sfeigen, daß auch hier bei 
Beschränkung auf einen unendlich kleinen Bereich ein Deformations- 
und Spanriungsellipsöid existiert. ' 

Zu diesem Zwecke betrachten wir nur die Punkte in der 

Umgebung des Punktes {x^y 2 / 0 , so daß wir schreiben können: 

-♦<68) a; = a*0 + a, y^yo + ß> z^z^ + y, 

wo afß,y infinitesimale Größen sind, deren Quadrate in den Defor- 
^ationsgleichungen vernachlässigt werden dürfen. Dann erhalten wir 



Fig. 156. 


den Deformationsgleichungen (68), wenn wir die Koordinaten von 
(ßt z) nach der Deformation durch x\ y\ z' bezeichnen: 

^ “ T*) “ 

y' *“ y(l + « (»0 + /3)(l + 

“ «0 + y + ^ {(*0 + «)* + + r ? - ( y » + /^)“]} • 

oder, unter Weglassung der infinitesimalen Größen zweiter Ordntm.:: 


^ j y' *■ 0 ' « + (1 + -y «0 j /? + ^ y# • y -f- (yo + X ^®) ’ 

Biese Gleicbongen sind non wieder bnear in tt, ß,y, den Moen ^ arui- 
beln. Zunfichst können wir die konstanten Glieder forts^eichen, da 
nur eine gleichm&ffige Translation liedeatett. pann, |P|pWi weit«''' « in 
.»lick anf (®9), daS das KoeffirientenseheBaa, antiii||i|gat ' '' 
die Dia^iiale irt. Die. ^oht -der ® ' 

^ .eine Botatiop vor, ^ 



SpBxieUe FäUe des elasttsdien Oleickgewicbtes, 537 

Purch Vergleich mit (19) 'des* IX. Kapitels auf pag. 459 folgt für 
die Botatioüskömponenten ft Q, r [x^ y, z sind hier natmlich durch 
a,'ß,y zn ersetzen]: 


(70) 


V 


~T~' ? r» 


Diese Eotationskompohenten lehren folgendes: 

Betrachten w*r eine Reihe von Volunielementen des gebogenen 
IStabes parallel der j/z-Ebene, wie Pig. 156 sie zeigt, und zwar gehöi*e 
(>twa CD der oberen Seitenfläche des Stabes an. Die positive a*- Achse 



z 


Fig. 157. 


weist nach vorne, die Lage der anderen Achsen ist entsprechend Fig. 154 
gezeichnet. Jedes der gezeichneten Elemente erfährt eine Rotation um 

die a;- Achse vom Betrage — y^, die also proportional dem Abstande 

jedes Elementes vom Zentrum ist. Das Voliimelement 0 erfährt alsc 
gar keine Drehung. Das Volumelement +1 (^0 = + !) erfährt eine solche 

um — Nun ist eine positive Drehung um die avAchse eine solche 

bei der man auf dem kürzesten Wege von der positiven y-Richtung naci 
der positiven z-Richtung gelangt (Pfeilrichtung in Fig. 156). Da du 
Drehung aber hier negativ ist, so wird Volumelement + 1 umgekehrter 
►^inne gedreht. In demselben Sinne, jedoch um entsprechend größer« 
Doträge werden die Volumelemente +2 und +3 gedreht. Ganz analog 
Ik trachtungen gelten für die Volumelemente —1, —2, —3, so daß mai 
erkennt, daß die oben gezeichnete Reihe von Volumelementen naol 
der Deformation die Gestalt von Fig. 167 annimmt, die natürlich h 
starker Übertreibung gezeichnet ist.' Ein Schnitt der Stabobei^ch 
iiut .einer Parallelen zur y^Ebene gibt also das Bild der Pig. 157: % is 
nach <rben konkave Kurve, deren genauere Natur wir ii de 



538 


* 2 : r ; — r: 

% Meehanik der KonHnuä. * , , 



Genau ebenso ei^bt sich für me' Bdtation um die Achse folgendes 
Bild (Fig*Jt58 und 168a), das wohl ohne Eriäutertog verständlich ist. 
Ein Schnitt der Oberfläche mit einer zur «Ä:-Ebene parallelen Ebene 
liefert ^i ne nach oben konvexe Kurve. 



Wig. 158 . 


k 


Man erkennt daraus, daß die Oberfläche, wie überhaupt jede zu 
“ihr parallele Ebene, nach der Deformation zu einer „Sattelfläche“ 
gebogen wird. 



Damit ist die Betrachtung der Botation erledigt. Nach Absonderung 
der Drehungs* und Translationskomponenten ans (69) ergibt sich nun- 
BKbr folgende „eigentliche" Deformation: 



^io uns eine reine Dehnung nach drei zueinander st'iiK- 
rechten Aclisen darstellt, wie ein Vergleich mit Gleichung (-•’) 
des. IX. Kapitels auf pag. 468 ergibt. Unsere Koordmatenachseii suxl 
übrigeios, wie ebenfalls daraus hervorgebt, die KauptdilSitetiuii^- 
achsen. Also folgt nach (40) des IX. Kapitels auf pag., 469 die Öleichmiij 


des Deformatiimsellipsoides: 
(72) 




« 4 * 




CowÄÄ-’ 


* ~ ^ ^a^chtn QkU^emchkt. 539 

j)ie durch (72) dargestellte Gleichung ist Wer ein Botationsellipsoid, 
das aber noch vom Parameter Sg abhängt. Lassen wir Sg Variieren, so 
variiert auch die Gleichung des Ellipsoides. Deshalb eben müssen wir 
uns hier auf kleine Bereiche beschränken. Endlich ergibt ein Blick auf 
die Gleichung (71), daß die kubische Dilatation den Wert hat: 


(73) = 

Siü ist gleich