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Full text of "Me?moires de l'Acade?mie royale des sciences, des lettres et des beaux?arts de Belgique."

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OF 



COMPARATIVE ZOOLOGY, 

AT HARVARD COLLEGE, CAMBRIDGE, MASS, 



The gift of Aeaa-Ztoi/jZ. VfpytJji 



No. /J^> 




MEMOIRES 

DE LACADEMIE ROYALE 



SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS 



DE BELG1QUE. 



MEMOIRES 



DE 



L'ACADEMIE ROYALE 



SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS 



DE BELGIQUE. 



TOME XLV. 




BRUXELI.ES, 

F. IIAYEZ. 1MPRIMEUR DE L'ACADEMIE ROYALE 

rue de Lou vain, 108. 



1884 






L1STE DES MEMBKES. 



DES 

CORRESPONDANTS ET DES ASSOCIES DE L'ACADEMIE. 

(1« juillet 1884.) 

LE ROi, Protecteur. 



M. Ed. Dupont, president pour 1884. 
» J.-R.-J. Liagre, secretaire perpetuel. 



COMMISSION ADMINISTRATIVE. 

Le direeteur de la Classe des Sciences, M. Ed. Duport. 

„ „ des Lettres, M. Aug. Wagener. 

des Reaux-Arts, M. Ern. Slingeneyer. 
Le Secretaire perpetuel. M. J.-R.-J. Liagre. 
Le delegue de la Classe des Sciences, M. J.-S. Stas, tresorier. 

>, » des Lettres , M. Ch. Faider. 

„ n des Beaux-Arts, M. L. Alvin. 



M. Mabchal (Chev. Edm.). Secretaire-adjoint de V Academic 



Tome XLV. 



CLASSE DES SCIENCES. 



M. Ed. Dupont, directcur pour 1884. 
» J.-B.-J. Liagre, secretaire perpetuel. 



30 MEMBRES. 



M. 



Section des sciences mathematiques el physiques (15 membres). 



lM. Stas, Jean-S.; a St-Gillcs-lez-Bruxelles. 

de Koninck, Laurent-G.; a Liege 

Melsens, Louis-F.-H.; a Bruxelles . . 

Liagre, J.-B. -Joseph; a Ixellcs 

Houzeau , Jean-C. ; a Bruxelles 

Maus, Henri-J.; a Ixellcs 

Donny, Francois-M.-L. ; a Gaud 

Montigny, Charles; a Schaerbeek 

Steichen, Michel; a Ixellcs 

Brialmont, Alexis-II.; a S'-Josse-ten-INoode . 

Folie, Francois; a Liege 

Mailly, Edouard-]N.; a Saint-Josse-ten-Noode 

De Tilly, Joseph ; a Anvers 

Van der Mensrrugghe, G. ; a Gand . 

N . 



Elu 



14 decemb. 1841. 

15 decemb. 1842. 
15 decemb. 1850. 
15 decemb. 1855. 
15 decern I). 1856. 
15 decemb. 1864. 

15 decemb. 1866. 

16 decemb. 1867. 
15 decemb. 1868. 
15 decemb. 1869. 
15 decemb. 1874. 

15 decemb. 1876. 

16 decemb. 1878. 
14 decemb. 1883. 



Section des sciences naturelles (15 membres). 



Van Ben eden, Pierre-J.; a Louvain . 

de Selys Longchamps, Ic baron Edm.; a Liege. 

Gluge, Theophile; a Bruxelles 

Dewalque, Gustave; a Liege 

Candeze, Ernest; a Glain (Liege) 

Dupont, Edouard ; a Ixellcs 

Morren, Edouard; a Liege 

Van Beneden, Edouard; a Liege 

Malaise, Constantin; a Gembloux 

Briart. Alphonse; a Mariemont 

Plateau, Felix; a Gand 



Elu Ic 



15 decemb. 


1842 


16 decemb. 


1846 


15 decemb. 


1849 


16 decemb. 


1859 


15 decemb. 


1864 


15 decemb. 


1869 


15 decemb. 


1871 


16 decemb. 


1872 


15 decemb. 


1875 


15 decemb. 


1874 


15 decemb. 


1874 



M. 



M. 



M. 



M. 



Crispin, Francois; a Bruxelles Elu le 15 decemb. 

Cornet. Francois-Leopold; a Mons . ... — 15 decern!). 

Van Ba'mbeke. Charles; a Gand — 15 decemb. 

Gilkinet, Alfred; a Liege - 15 decemb. 

CORRESPONDANTS (10 au plus). 

Section ties sciences mathematiques el physiques. 

Henry, Louis; a Louvain Elu le 15 decemb. 

Valerius, Henri; a Gand — 15 decemb. 



1875. 

1878. 
1879, 
1880. 



15 


decemb. 


1865 


15 


decemb. 


1869 


14 


decemb. 


1877 


15 


decemb. 


1882 



Spring, Walterc; a Liege 

Mansion, Paul; a Gand - 

IN • 

Section des sciences naturelles. 

Mourlon, Michel; a Bruxelles Elu le 15 decemb 

Delboeuf, J.; a Liege 

Fredericq. Leon; a Liege 

Masius, Victor; a Liege 

Menard. A.; a Uccle 



14 decemb. 

15 decemb. 
15 decemb. 
15 decemb. 



1875. 

1877. 
1879. 

1880. 
1882. 



Elu 



50 ASSOC1ES. 

Section des sciences mathematiques et physiques (25 associes) 

Airy, Georges Biddell ; a Greenwich . . 

Kekule, Auguste; a Bonn 

Bunsen , Robert-G. ; a Heidelberg . . . 

Catalan, Eugene-C: a Liege 

von Baeyer, Jean-Jacques; a Berlin. . . 
Kirchhoff, Gustave- Robert; a Heidelberg. 
Hirn, G.-A.; a Colmar (Alsace) .... 
De Colnet d'Huart; a Luxembourg . . . 
Helmiioltz, H.-L.-F.; a Berlin .... 
Menabrea de Val-Dora, le M' s L s -F ic ; a Rome 
Struve. Otto; a Poulkova 



» Clausius, Rodolphe-J.-Em.; a Bonn. . . 

» Chevreul, M. -Eugene; a Paris 

.. Buys-Ballot, C.-H.-D.; a Utrecht, . . . 
Sa Majeste Dom Pedro II, d' Alcantara, empereur 
du Bresiha Rio-de-Jancir 



15 decemb. 


1855. 


15 decemb. 


1864. 


15 decemb. 


1865. 


15 decern!). 


1865. 


15 decemb. 


1868. 


15 decemb. 


1868. 


16 decemb. 


1872. 


15 decemb. 


1875. 


15 decemb. 


1875. 


15 decemb. 


1874. 


15 decemb. 


1874. 


15 decemb. 


1875. 


15 decemb. 


1875 


15 decemb. 


1875 


15 decemb. 


1876 



I — 



M. Weber, Guillaume; a Gottingue EIu le 14 decemb. 1877. 



Boussingault, J.-B.-J.-D.; a Paris . . 

Faye, H.; a Paris 

Thomson, W.; a Glasgow 

Pasteur, Louis; a Paris .... 
Schiaparelli, Jean-Virginius ; a Milan . 
Gei\occhi, Angelo; a Turin . . . . . 

Tvivdall, John.; a Londres 

N 

N 



16 decemb. 1878. 

16 decemb. 1878. 

16 decemb. 1878. 

IS decemb. 1879. 

IS decemb. 1879. 

IS decemb. 1881. 

14 decemb. 1883. 



Section des sciences nalurelles (2S associes) 

M. Owen, Richard; a Londres Elu le 

Edwards, Henri-Milne; a Paris — 

Dana, James-D.; a New-Haven (Etats-Unis) . — • 

Davidson, Thomas; a Brighton — 

de Candolle, Alphonse; a Geneve .... — 

Donders, F.-C. ; a Utrecht — 

Hooker, Jos.-Dalton; a Kew (Angleterre) . . — 
Ramsay, Andre-Crombie; a Londres. ... — 
Steenstrup , J.-Japetus-S.; a Copenhague . . 
Huxley, Thomas-Henri ; a Londres . ... — 

Pringsheim, Nathaniel; a Berlin — 

Von Dechen, Ern. -Henri; a Bonn — 

Gosselet, Jules; a Lille — 

Daubree, Auguste; a Paris — 

Von Kolliker, Albert; a Wurzbourg ... — 
de Saporta, le marquis G.; a Aix (France). . 
von Siebold, Ch.-T.-E.; a Munich .... 

De Bary, Antoine; a Strasbourg — 

Gegenbaur, Charles; a Heidelberg .... — 

Kowalewsky, Alex.; a Odessa — 

De Quatrefages de ; Brean, J.-Q.-A.; a Paris . — 

Stur (Dionys) Rud.-J.; a Vienne 

N. 

N 

N . 



17 decemb. 


1847. 


IS decemb. 


1830. 


IS decemb. 


1864 


IS decemb. 


1865. 


IS decemb. 


1869. 


IS decemb. 


1869. 


1 6 decemb. 


1872. 


16 decemb. 


1872. 


16 decemb. 


1872. 


1 S decemb. 


1874. 


IS decemb. 


1874. 


IS decemb. 


187S. 


IS decemb. 


1876. 


14 decemb. 


1877. 


14 decemb. 


1877. 


14 decemb. 


1877. 


16 decemb. 


1878. 


IS decemb. 


1882. 


IS decemb. 


1882. 


IS decemb. 


1882. 


14 decemb. 


1885. 


14 decemb. 


1885. 



CLASSE DES LETTRES, 



M. A. Wagener, directeur pour i884. 
» J.-B.-J. Liagre, secretaire perpetuel. 



,-,0 MEMBRES. 



Section des lettres el Section des sciences morales etpolitiques reunies. 



M. Gachard, Louis-Prosper- a Bruxelles . . 

» Van Prakt. Jules: a Bruxelles . . . . 

»» Di: Decker, Pierre-J.-F.; a Schaerbeek. . 

» Leclercq, M.-N.-J.; a St-Josse-ten-Noode. 

» de Witte, le baron Jean-J.-A.-M. ; a Anvers 

» Faider. Charles; a Bruxelles . . 



Kervyn de Lettenhove, le b on J.-M.-B.-C; 

Saint-Michel (lez-Bruges) 
Chalon, Benier; a Ixelles . . . 
Thonissen, J.-J-; a Louvain . . 
Juste, Theodore; a Ixelles. . . 
Neve, Felix; a Louvain. . . 
Wauters, Alphonse; a Bruxelles 
de Laveleye, Emile; a Liege . . 
Nypels, J.-S.-Guillaume; a Liege. 
Le Boy, Alphonse; a Liege. . . 
de Borchgrave, Emile; a Belgrade 
Liagre, J.-B.-Joseph; a Ixelles . 
Wagener, Auguste ; a Gand . . 
Willems, Pierre; a Louvain . . 
Tielemans , F. ; a Ixelles .... 
Bolin-Jaequemyns , Gustave ; a Bruxelles 
Bormans, Stanislas; a Liege 



Elu 



9 mai 


1842. 


10 Janvier 


1846. 


10 Janvier 


1846. 


17 mai 


1847. 


6 mai 


1851. 


7 mai 


1855. 


4 mai 


1859. 


4 mai 


1859. 


9 mai 


1864. 


5 mai 


1866. 


11 mai 


1868. 


1 1 mai 


1868. 


6 mai 


1872. 


6 mai 


1872. 


12 mai 


1875. 


12 mai 


1875. 


o mai 


1874. 


10 mai 


1875. 


14 mai 


1877. 


6 mai 


1878. 


G mai 


1878. 


o mai 


1879. 



6 



M. PioT,CharIes-G.-J. ; a St-Gilles-lez-Bruxelles . Elu le 5 mai 1879. 

» Potvin, Charles; a Ixelles — 9 mai 1881. 

» Stecher , J. 5 a Liege . — 9 mai 1881. 

» Laurent, Francois; a Gand 9 mai 1881. 

» Lamy, T.-J.; a Louvain — 8 mai 1882. 

» Vandenpeereboom, Alphonse; a Bruxelles. . 7 mai 1885. 

» Scheler, Auguste ; a Ixelles — 5 mai 1884. 

« Henrard, Paul; a Anvers — 5 mai 1884. 

CORRESPONDENTS (10 aa plus). 

M. Loise, Ferdinand; a Lccle Elu le 12 mai 1875. 

» Gantrelle, J. ; a Gand. • — 9 mai 1881. 

» Loomans, C. ; a Liege — 9 mai 1881. 

» Tiberghjen, Guillaume; a S*-Josse-len-Noode . — 8 mai 1882. 

» Roersch, L.; a Liege — 8 mai 1882. 

» De Harlez, Charles: a Louvain — 7 mai 1885. 

Vanderkindere, Leon ; a Ixelles — 2 juillet 1885. 

» Henne, Alexandre; a Ixelles — 5 mai 1884. 

» N. . .; . * 

» N 

50 ASSOGIES. 

M. Ranke, Leopold; a Berlin Elu le 15 decemb.lSiO. 

» Leemans, Conrad; a Leyde — 11 Janvier 1847. 

» Noletde Brauwere van Steeland, J.; a Vilvorde . — 7 mai 1849. 

» de Rossi, le chevalier J-B.; a Rome . ... — 7 mai I85S. 

» de Reumont, Alfred; a Borcette (Aix-la-Chapelle). — 26 mai 18S6. 

» de Czoernig, le baron Ch. ; a Ischl(Autriche) . — 4 mai 1859. 

» Minervini, Jules; a Naples — 4 mai 1859- 

» de Kohne, le b on Bernard; a SMPetersbourg . — 15 mai 1861. 

» Cantu, Cesar; a Milan — 15 mai 1861. 

» Von Loher, Francois; a Munich — 15 mai 1862. 

» De Vries, Mathieu; a Leyde — 19 mai 1865. 

» von Arneth, le chevalier Alfred; a Vienne. . — 9 mai 1864. 

» Renier, Leon; a Paris — 10 mai 1865. 

» Mommsen, Theodore; a Berlin — 5 mai 1866. 

» Von Dollinger, J.-J. Ignace; a Munich ... — 5 mai 1866. 



7 - 



M. 



STEPHANi,LudoIphe; a Saint-Petersbourg . . . Elu le 6 mai 1867 

Egger, Emile; a Paris — 10 mai 1869. 

von Sybel, Henri-Ch.-L.; a Berlin. ..... — 10 mai 1869. 

Carrara, Francois; a Pise — 9 mai 1870. 

de Holtzendorff, le baron F.; a Munich . ... — 8 mai 1871. 

Brunn, Henri; a Munich 8 mai 1871. 

d'Antas, le chevalier M.; a Londres — 6 mai 1872. 

Alberdingk . Thym, Jos.-Alb.; a Amsterdam ... — 6 mai 1872. 

Curtius, Ernest; a Berlin — 6 mai 1872. 

Rivier, Alphonse; a Saint-Gilles — 12 mai 1873. 

Franck, Adolphe; a Paris — 12 mai 1875. 

Desmazes, Charles; a Paris 4 mai 1874. 

Offert, Jules; a Paris — 4 mai 1874. 

Jonckbloet, W.-J.-A.; a La Haye 4 mai 1874. 

Tennyson, Alfred; a Londres — 10 mai 1875. 

Lepsius, Richard; a Berlin — 10 mai 1875. 

Delisle, Leopold; a Paris — 10 mai 1875. 

Arntz, Egide;a Ixelles 8 mai 1876. 

Campbell, F.-G.-IL; a La Haye. — 14 mai 1877. 

Bancroft, George; a Washington — 14 mai 1877. 

Saripolos, INicolas; a Athenes — 6 mai 1878. 

di Giovanni, Vincenzo; a Palerme 6 mai 1878- 

Colmeiro, Manuel; a Madrid. 10 mai 1880. 

d'Olivecrona, Canut; a Stockholm — 10 mai 1880. 

Bohl, Joan; a Amsterdam — 9 mai 1881. 

Canovas del Castillo, Antoine; a Madrid ... — 9 mai 1881. 

Castan, Auguste; a Besancon 9 mai 1881. 

Gladstone, W.-E.; a Londres ....... 8 mai 1882. 

Gomes de Amorim, Fr. ;a Lisbonne 8 mai 1882. 

Miller, Emmanuel; a Paris — 8 mai 1882. 

Waitz, George; a Berlin — 5 mai 1884. 

Dareste, Rodolphe;aParis — 5 mai 1884. 

Breal, Michel; a Paris ' . . • — 5 mai 1884. 

N. 

n: . 



CLASSE DES BEAUX-ARTS. 



M. E. Sungeneyer, directeur pour 1884. 
» J.-B.-J. Liague, secretaire perpetuel 



50 MEMBRES. 



Section «le Pcintiirc 



M. De Keyser, Nicaise; a Anvers . . . 

» Gallait, Louis; a Schaerbeek . 

» Portaels, Jean; a S^Josse-ten-Noode , 

» Sungeneyer, Ernest; a Bruxelles. 

» Robert, Alexandre; a S'-Jossc-ten-JNoode 

» Guffens, Godfried; a Schaerbeek . 

» Wauters, Emile; a Bruxelles. 

» Clays, Paul-J.; a Schaerbeek. 

» Verlat, Charles; a Anvers 



Section «lc Sculptor 



M. Geefs, Joseph; a Anvers 



» Fraikun, Charles- Auguste ; a Schaerbeek 
» Jaquet, Joseph ; a Schaerbeek 
» Degroot, Guillaume; a Bruxelles 



Section fie <»rovurc 



M. Deaianjnez, Joseph; a St-Josse-ten-lNoode 
» Biot, Gustave; a Ixelles 



JNfommc le l er decemb. 1845. 
l er decemb. 1845. 
4 Janvier 1855". 



Elu 



7 


avril 


1870 


7 


avril 


1870 


6 


Janvier 


1876 


5 


Janvier 


1882 


jet 


mars 


1885 





Janvier 


1884 



Elule 9 Janvier 1846. 

8 Janvier 1847. 

11 Janvier 1885. 

— 10 Janvier 1884. 



Elule II Janvier 1885. 
— 10 Janvier 1884. 



section ""Architecture : 



M. Balat, Alphonse; a Ixelles Elu le 9 Janvier 1862. 



- 9 — 



M. De Man, Gustave; a Ixelles Elu le 12 Janvier 1865. 

» Pauli, Adolphe; a Gand — 6 Janvier 1875. 

» Schadde, Joseph; a Anvers — 10 Janvier 1878. 



Section lie Muslquc 

M. de Burbure, le chevalier Leon ; a Anvers 
» Gevaert, Auguste F. ; a Braxelles . 

» Samuel, Adolphe; a Gand 

» IIadoux, Theodore; a Liege .... 
» Benoit, Pierre; a Anvers 



M. 



Section lies Sciences et des I.ettrcs ilnns lcurs 



Alvin, Louis-J. ; a Ixelles 

Fktis, Edouard; a Bruxelles . . . . 
Siret, Adolphe; a SMNicolas .... 
.Liagre, J. -B.-Josepli; a Ixelles . 
Stappaerts, Felix; a Bruxelles . . . 
Pin chart, Alexandre; a S L Josse-ten-]Noode 



Elu 



9 


janvier 


1862 


4 


Janvier 


1872 


8 


janvier 


1874 


5 


avril 


1879 


5 


janvier 


1882 



nunorts avec les Beaux-Arts : 

Nomme le l er decemb. 1845. 

Elu le 8 janvier 1847. 

12 janvier 1866. 

— 5 mai 1874 

— 6 janvier 1876. 

— 11 janvier 1883. 



CORRESPONDANTS (10 an plus). 

Pour la Pclntnre . 

M. Dyckmans, Joseph-L. ; a Anvers . 
» Markelbach, Alexandre: a Schaerbeek. . 
» Staelart, Joseph ; a Ixelles .... 



Pour la Sculpture 



» N. 



Elu le 8 janvier 1847. 
I" mars 1885. 

l er mars 1883. 



■'our la ttrnvurc : 

M. Meumer, Jcan-Baptistc: a Ixelles . . . Elu le 10 janvier 1884. 

four l'Architecturc : 

M. Beyaert, Henri; a Bruxelles. .... Elu le l er mars 1885. 

Pour la ill usiqnc : 

M. Busschop, Jules ; a Bruges Elu le 11 janvier 1885. 

» Van Elewvck, le chev. X; a Louvain . . 11 janvier 1885 

TomeXLV. 2 



— 10 



Pour le« Sciences et les I.ettres tlans leurs rapports avec les Ileiiiix-ir«s : 

M. Marchal, le chev. Edmond-L.-J.-G. ; a Saint- 

Josse-ten-Noode. . Mule l er mars 1883. 

» Hymans, Henri; alxelles — 4 er mars 1883 



50 ASSOCIES. 



Pour la Pelnture 



M. Haghe, Louisa a Londres . . . 

» Robert Fleury, Joseph N.; a Paris 

» Gerome, Jean-Leon; a Paris . . 

» de Madrazo, Frederic; a Madrid. 

»> Bendemann , Edouard ; a Dusseldorf 

» Meissomer, Jean-L.-E.; a Paris . 

» Hebert, Aug. -Ant-Ernest; a Paris 

» Becker, Charles; a Berlin. . . 

» Frith, William-Powell; a Londres 

» Von Piloty, Charles ; a Munich . 

» Baudhy, Paul; a Paris .... 

n Makart, Jean; a Vienne "... 

» Wielems. Florent; a Paris. . 



Elu 



8 


Janvier 


1847. 


7 


Janvier 


1864. 


12 


Janvier 


1865. 


12 


Janvier 


1865. 


9 


Janvier 


1868. 


7 


Janvier 


1869. 


12 


Janvier 


1871. 


8 


Janvier 


1874. 


8 


Janvier 


1874. 


6 


Janvier 


1875 


10 


Janvier 


1878. 


5 


Janvier 


1882 


7 


decemb. 


1882 



M. 



Pour la Sculpture : 

deNieuwerkerke, le comte Alf.; a Paris . . Elu le 22 septemb 1852. 

Caveuer, Pierre- Jules; a Paris - 7 Janvier 1864. 

Monteverde, Jules; a Rome — 8 Janvier 1874. 

Boniwssieux, Jean; a Paris ...... — ' 6 Janvier 1876. 

Guillaume, Eugene; a Paris — 6 Janvier 1876. 

Thomas, Gabriel-Jules; a Paris ..... — 1 1 Janvier 1883. 

Kundmann, Charles; a Vienne — 11 Janvier 1883. 

IS. . . ' 



Pour la CSravure 



M. Henriquei. Dupont, Louis-P.; a Paris 
» Oudine, Eugene-Andre; a Paris . . 



Elu le 8 Janvier 1847. 
— 8 Janvier 1857. 



II 



M. Francois, Alphonse; a Paris Elu le 8 Janvier 1874. 

» Stang, Rudolphe; a Amsterdam 8 Janvier 1874. 

Pour I'Ai'chifecliire : 

M. Donaldson, Thomas L. ; a Londres .... Elu le 6 fevrier 1846. 

» Leins, C; a Stuttgart — 7 Janvier 1864. 

» Daly, Cesar; a Paris — 12 Janvier 1865. 

» Labrouste, Theodore-F.-M. ; a Paris .... — 9 Janvier 1868. 

' Vespignani, le comte Virginio; a Rome . . . — 12 Janvier 1871. 

» De Contreras, Raphael; a Grenade .... — 8 Janvier 1880. 

»> Raschdorff, J.-C; a Berlin — 5 Janvier 1882. 

.. N • ...'.... 

I'oui' la fflatisique : 

M. Lachner, Francois; a Munich Elu le 8 Janvier 1847. 

» Thomas, CIi.-L-.Ambroise; a Paris — 8 Janvier 1865. 

>' Verdi, Joseph; a Busseto (Italic) — 12 Janvier 1865. 

» (iouinod, Felix-Charles; a Paris — 4 Janvier 1872. 

i Basevi, Abraham; a Florence — 4 Janvier 1872. 

» Hiller, Ferdinand; a Cologne — 6 Janvier 1876. 

>> Masse, Victor; a Paris — 4 Janvier 1877. 

» LlMJNANDER DE NlEUWENHOVE , le bai'Oll Arill d ; U 

Moignanville (Oise). — 9 Janvier 1879. 

Pour les Sciences et lex (.ettres tlaiis leui's raiipoi'lM avec les Beaux-Arts : 

M. Ravaisson, Felix-J.-G. ; a Paris Elu le 10 Janvier 1856. 

» (Iailhabaud, Jules ; a Paris — 9 Janvier 1868. 

» LutsivE, Guillaume; a Stuttgart — 9 Janvier 1875. 

» Vosmaer, C; a La Haye — 9 Janvier 1875. 

•' Delaborde, le vicointe Henri ; a Paris . . . 8 Janvier 1874. 

» Sourindro MohunTagore, leradja; a Calcutta . — 4 Janvier 1877. 

»> Schliemann, Henri; a Troie (Dardanelles) . . — 5 Janvier 1882. 

» Thausing, Charles; a Vienne — 11 Janvier 1885. 

» N 



12 



NECR0L0G1E. 



CLASSE DES SCIENCES. 

Plateau (J.), membre, decede a Gand, le 15 septembre 1885. 
Dcprez (F.-J.), membre, decede a Gand, le 14 mai 1884, 
Von Bischoff, associe, decede a Munich, en decembre 1882. 
Valentin (G.-G.), associe, decede a Berne, le 24 mai 1885. 
Sabine (Ed.), associe, decede a Londres, le 26 juin 1885. 
Heer (0.), associe, decede a Zurich, le 27 septembre 1885. 
Nilsson (S.), associe, decede a Lund, en decembre 1885. 
Schlegel (H.), associe, decede a Leyde, le 17 Janvier 1884. 
Dumas (J.-B.), associe, decede a Cannes, le 11 avril 1884. 
Wurtz (A..), associe, decede a Paris, le 12 mai 1884. 

CLASSE DES LETTRES. 

Poullet (Edm.), membre, decede a Louvain, le 12 decembre 1882. 
Conscience (H.), membre, decede a Ixelles, le 10 septembre 1885. 
Heremans (J.), membre, decede a Gand, le 15 mars 1884. 
Hymans (L.), correspondant, decede a Bruxelles, le 22 mai 1884, 
Farr (W.), associe, decede a Londres, le 14 avril 1885. 
Laboulaye (Ed.), associe, decede a Paris, le 25 mai 1885. 
Lenormant (Fr.), associe, decede a Paris, le 2 decembre 1885. 
Mignet (F.), associe, decede a Paris, le 25 mars 1884. 

CLASSE DES BEAUX-ARTS. 

France (J.), membre, decede a S l -Josse-ten-Noode, le 15 Janvier 1885. 
Geeks (G.), membre, decede a Schaerbeek, le 19 Janvier 1885. 
De Braekeleer (F.), membre, decede a Anvcrs, le 16 mai 1885. 
Jehotte (L.), correspondant, decede a Bruxelles, le 5 fevrier 1884, 
Mandel (Ed.), associe, decede a Berlin, en octobre 1882. 
Von Ferstel, associe, decede en 1885. 
Dumont (A. -A.), associe, decede a Paris, le 28 Janvier 1884, 
Mercuri (P.), associe, decede a Bucharest, en mai 1884. 






TABLE 



MEMOIRES CONTENUS DANS LE TOME XLV. 



SCIENCES. 

1. Memoire sur lcs courbes du troisieme ordre (seconde partie); par F. Folic et C. Le Paige. 

2, One Baleine fossile de Croatie, appartcnnnt au genre Mcsocele (avec 2 planches); par 

P. -J. Van Beneden. 

5. Sur ['addition des fonctions elliptiques de premiere espece; par E. Catalan. 

4. Bibliographic analytique des principaux phenomenes subjectifs de la vision (troisieme 
supplement comprcnant les annees 1880, 1881, 1882); par J. Plateau. 

.'). Sur un point de la theorie des series de Fourier; par P. Mansion. 

(5. Notes sur la theorie des fractions continues et sur ccrtaines series; par E. Catalan. 

7. Theorie des inouvements diurne. annuel et seculaire de 1'axe du monde; par F. Folic. 

8. Etechercb.es experimentales sur lcs mouvements respii-atoircs des insectes (avee 7 planches); 

par F. Plateau. 



BEAUX-ARTS. 

!). Le realisme. Son influence sur la peinture eontemporaine; par Henri llymans. 



MEMOIRE 



SUR 



LES COURBES DU TROISIEME ORDM 



PAR 



M. F. FOLIE, 

MEMBRE DE L'ACADEMIE ROYALE DE BBLGIQUE 



ET 



M. C. LE PAIGE, 



PHOPBSSEUR A L'UNIVERSITB DE LIEGE. 



(SECONDE PARTIE.) 



(Pi'iSsenle a la Glasse des Sciences, dans la stance du 4 mars 1882.) 



Tome XLV. 



MEM01RE 



SUR 



LES COURBES DU TRQISIEME ORDRE. 



CHAPITRE PREMIER. 



HOMOGRAPHIE. 

Dans la premiere parlie de ce travail, nous avons expose successivement 
les theories de I'homographie, de ['involution et du rapport anharmonique 
du troisieme ordre. 

Nous nous proposons maintenanl d'en faire l'applicalion aux cubiques. 

Nous devrons faire eonnaitre d'abord quelques consequences se deduisant 
sans peine des resukals donnes au commencement de notre memoire : nous 
nous bornerons d'ailleurs a rappeler les propositions que nous aurons a 
employer, en renvoyant, pour la demonstration, aux notes speciales publiees 
sur ce sujet. 

Nous avons dit : la relation 



/"==2a iH a;,-y t z, = 0, 

definit trois series homographiques. 

Parmi les covariants de la forme f, nous avons surtoul fait remarquer les 
trois formes quadraliques 2„ 2 2> , 2 3 , el le covarianl trilineaire k. 

On pent verifier sans peine que les trois formes 2 ont un meme discrimi- 
nant A; nous Pavons appcle le discriminant de f. 



4 



SUR LES COURBES DU TROIS1EME ORDRE. 



Si A n'est pas nul, les covariants 2, egales a zero, ont des ratines dis- 

linctes. 

Representons par ti„ u. 2 ; v l} v 2 ; w i} w v les facteurs lineaires de ces trois 
formes quadraliques : nous avons fait voir (*) que, dans cc cas, /pout s'ecrire 



f = niiV { w { ■+■ x'm 2 u 2 m; s . 



(i) 



Si, au contraire, A — 0, deux cas peuvent se presenter. 

Lorsque, en meme temps que A, deux covariants 2 s'annulent idcntique- 
ment, la forme f est decomposable (**) ; si cetle condition n'est pas rcmplie, 
les trois covariants 2 sont des carres, et la forme trilineaire ne peut elre 
ramenee a la forme canonique (1). 

Comme seconde expression canonique de f, nous avons employe 

+ A 3 (x, — S ?1 x,) (y, — Sly,) [zi — <fe). . (2) 

Les proprietes dont nous venons de parler nous seront fort utiles dans la 
suite de ce travail. 

Theoreme I. — Le lieu des intersections des rayons homologues de trois 
faisceaux homographiques est une cubique, passant par les centres des trois 
faisceaux. 

Si nous representons par 

a = 0, (3 = 0, y = o, 

les trois cotes d'un triangle qui a pour sommets les centres des faisceaux, les 
equations de trois droites passant par ces sommets pourront s'ecrire 



x^a. — x t p = , y,p — y,y = 0, z%y — fsp, = 0. . . . 



(3) 



(*) Voir, sur les formes (rilineaires, ouirc la premiere partie de ce travail, les Memoircs sui- 
vants de M. C. Le Paige : Comptes rendus, t. XC11, p. 1048 ct p. 1103; Alti deW Accademia 
de Nuovi Lined, t. XXXIV; Bull, de I' Acad. roy. de Belij., 3 e scrie, t. II, p. 40. 

(**) I" partie, p. 11. 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



5 



Si ces droites apparliennent a Irois faisceaux homographiques, nous aurons 
la relation 

/' = 2fcM#$jitj = (4) 

En eliminant les x, les y et les z enlre les equations (3) et (4), nous 
Irouvons, conformement au principe de la iheorie des faisceaux (*), le lieu 
dcs points triples de ces intersections. 

Nous avons ainsi I'equation 

(a m -+- a m ypy -h a m « a p ■+■ «,„«/ -+- a m fy -+- a 122 «V -+- a sl2 aj3 s .+- a 22 ,|3y 2 = 0, . (S) 

equation d'une cubique passant par les centres des trois faisceaux. 

Tiieoreme II. — Toute courbe dm troisieme ordre peut etre engendree par 
les intersections des rayons homologues de trois faisceaux homologues, ayant 
lews centres en trois points quelconques de la courbe. 

En represenlant (**) encore par 

a = 0, [3 = 0, r = 0, 

les cotes d'un triangle qui a scs trois soramets en trois points quelconques 
d'une cubique C 5 , I'equation de cetle courbe peut s'ecrire 

A 112 « 2 [3 -+- A ltt aV + A m a(3 s h- A„,py ■+■ A 15! ay 3 H- A 233 Sy 2 -t- %k m apy = 0. . . (G) 

Pour l'identifier avec I'equation (5), il suffira de poser 

am = A i23 -+- 0; a, 12 = A U2 , a 121 = A 133 , a 211 = A 223 , 

tti22 = A J13 , <%2=A 12 2, 2 2i = A 233> U222 == A 1 25 0. 

La forme trilineaire depend, on le voit, d'une indeterminee Q. 

Par suite, c'est d'une infinite de manieres que Ton peut cngendrer une 



(*) F. Folie, Dull, de I'Acad. roy. de Behj., 2 C scric, t. XLVI, p. 193; Bull, de Darboux, 
2" scric, I. HI, p. 278. 

(**) C. Le Paige, Sur la Iheorie des formes trilineaires, C. R., t. XCIII, p 2(i4. 



6 SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 

cubique donnee par les intersections de trois faisceaux homographiques, 
ayant leurs centres en trois points donnes de cette courbe. 

Ceci va nous conduire a la demonstration de proprietes essentielles des 

cubiques. 

Si nous calculons le discriminant de la forme Irilineaire 

nous aurons 

_ ".= e 4 +■ 2e 2 rA 113 A 225 — Af SB -+- A 133 A 122 -+- A H2 A 233 ] -f- 4e[A 122 A 233 A M3 — A 112 A 133 A 2S3 ] 
+ [A? 23 •+ Al 23 A* 13 -t- A! 5S Af 28 + Af«Al M — 2A? 23 (A 223 A 113 + A 133 A 122 -+- A Ha A 233 ) 
— 2A, 13 A 223 A )33 A, 22 — 2A 133 A 1M A I12 A 233 — 2A, ia A KS AusA S s3 
-+- 4A 123 (A m A i33 A 223 -+- A 122 A H3 A 233 )J { ) 

D'apres cela, nous pouvons donner a $ une infinite de valeurs qui rendent 
A negalif; alors les trois equations 

2,=0, 2,»0, 2 3 =0, 

auront leurs racines reelles. 

Pour toutes ces valeurs de 0, qui ti'annulent pas A, la forme Irilineaire peut 

s'ecrire 

f = XufiiWi -+- X'« a t) a W 2 , 

ou, plus explicitement, 

f = x,(x d — ^(2/! - <% 2 ) (2 ( — <M + h{Xi — ^»») (»/! — «%■) (*» — *«**)■ 

Nous nous occuperons tantot de ce cas. 

Mais, de plus, nous pouvons choisir B de quatrc manieres distinctes, de 
telle sorte que A s'annule. 

Alors puisque, en general, aucun des covarianls I ne s'evanouit idenlique- 
ment, ces trois covarianls 2 sont des carres, el la forme canonique (1) est 
impossible. 



SUR LES COURBES DU TR01S1EME ORDRE. 7 

II vient, en consequence : 

2, — (re, — to) 2 ; Z. — &— Ws Z» = («, — £*.)*• 
Les trois droites, representees par Ies equations 

a — <?,§ = (); p — <Jir = 0, r — r?i'a==0, 

sonl Ies cotes tfun triangle inscrit a la cubique. 

En effet, d'apres la propriete essentielle des formes 2 (*), si Ton donne a 
- et a - Ies valeurs J„ d[, %■ est indetermine. 

Par suite, on a la propriele suivante, connue : 

Tiieoreme III. — Etant dome's trois points sur une cubique, on pent, en 
general, inscrire a celte cubique, quatre triangles clont les coles passent pay- 
ees trois points. 

La forme biquadratique (7) est assez remarquable. 
Representons-Ia par Bg. 
Elle possede deux invariants 

i = (BB')*5 J = (BB') ! (B'B") J (B"B) J . 

On verifie aisement que ces deux invariants i et j sont les deux invariants, 
multiplies par des facteurs numeriques, de la forme ternaire (6), invariants 
que nous designerons, suivant 1'usage, par S et T. 

Nous aurons 

j = 4S, j' = 8T. 

En consequence, le discriminant de la quartique B* est donne par 

R = t' 3 — 6f = 64(S 2 -6T 3 ). 

Comme on le fait d'ordinaire, nous dirons que 

S 3 — 6T 5 

est le discriminant de la forme cubique. 



(*) 1" partie, p. 6. 



SUR LES COURBES DU TK01S1EME ORDRE. 



Ainsi : 

Le discriminant du discriminant de la forme trilincairc, regarde comme 
une fonction de 6, ne differc, que par un facteur numerique, du discriminant 
de la cubique. 

Si nous ne demontrons pas direclement le caractere d'invariance des fonc- 
tions S ct T, c'esl afin de ne pas allonger inulilement noire travail, en reve- 
nant sur des points connus des geomelres : cc caractere ressorlira d'ailleurs 
de ce qui va suivre. 

On remarquera settlement, croyons-nous, combien la theorie que nous 
exposons introduil, d'une maniere simple et nalurelle, la notion des deux 
invariants fondamentaux de la forme cubique ternaire, invariants dont la 
deeouverte, on le sait, est due a M. Aronhold (*)'. 

Nous allons faire voir, brievemenl, comment on peut deduire, sans diffi- 
culte, de ce qui precede, Interpretation des relations telles que 

R = 0; S=0, T = 0, etc. 

Si nous choisissons la relation d'homographie determined par une des 
valeurs de Q qui annulent A, les trois covariants 2 sont des carres. 
Mais on a la relation (**) 

k etant un covariant trilineaire de f, dont Texpression developpee est : 



k = 1 011(0222 "+" 2aji2«l2lC2H 


- flm(Oli2C(22i ■+" 0)21*212 "+" Cht[ a MV J X llJl Z l 


— ^a 112 a22i +■ 2fflui u m ffl s« 


On2(Ol21*2)2 "+" Q%U a ffl ■+■ Wui^JJaJJ^t/jZa 


1 Oi21 a 212 ~+~ ^Oii t Oi220221 


■ Ol2l( ffl 112 a 221 ■+" (hll a ltl "+" Olll0222)JXi2/ 2 Zi 


1 ttul a m "+" 2C(iijCl2i2 tt 22i 


«21l(Od2lO S 12 ■+■ Oll20221 ■+" O u i«222)J^22/l Z i 


■+- 1 Cti220 2 n -+- *&li2fli2i&222 


0i22(0in0 2 22 "+- O212O121 "+" *i 12O221) \X>y jZj 


-+- 1 2 120i2i -+- ^ttn202n0222 


0212(0(u0 2 22 ■+■ O221OH2 -+" O122O2H) jX22/i^2 


-+- 1 0221*112 ■+■ *QuiQiu®tn 


■ O22l(Olll0222 ■+■ Ol22«2U "+" <*al<*Ui) JBlUtPt 


1 O222O1H "I- .20122*212^221 


a. m (a m a ni ■+■ a m a m •+■ a m a m )jx. 2 y<iZi- 



(8) 



(*) Journal de Crelle, t. XXXIX. 

(**) C. Le Paige, Bull, de I'Acad. roy. de Belg,, 3 e serie, t. II, j). 43. 



SCR LES COURBES DU TROIS1EME ORDRE. 9 

Par suite, si A = 0, k est le produit des racines carrees des trois cova- 
riants 2, b 2 2 , 2 3 . 

Supposons maintenant R = 0. 

L'equation A = a une racine double, qui est en meme temps racine de 
l'equation -^~= 0, c'est-a-dire de 

a 5 -+- e [A us A m -)- A i3S A, 2J -4- A 112 A 233 — Af, 3 ] + [A m A 23S A 113 — A H!! A, 33 A 2S3 ] = . . (9) 

Or, si, dans l'expression de k, donnee plus haut, nous remplacons les 
letlres a m par les A lW , l'interpretation de (9) est aisee. 

En effet, representor parcJ t , $[, $[', comme nous l'avons fait ci-dessus, 
les racines doubles des 2, on a 

k = m {x, — S&t) (y, — i\y t ) (z t — S[z t ). 

L'equation (9) revient a 

Wfi = \ . 

Comrae nous savons que le covariant k est decomposable en trois facteurs 
lineaires, lorsque A = 0, puisque les trois covariants 2 s'annulenl identique- 
menl, il suffit de verifier que Ton a 



ft»2 

I'm 



1 , Oil k M -I- &, S2 = 0. 



Or 



k in = (A 1B -+- 6f [A m — e) -+• 2A, 12 A, 33 A22j — (A B ■+- e) J A 112 A 233 ■+• A 133 A m -+- A B5 A H5 ] , 
— k m = (A 1S j — of(A ia -+- 8) -h 2A !33 A 122 A )13 — (A, 23 — 0)[A, )2 A 233 ■+- A 133 A 122 -t- A^A,,,]. 



L'equalion 



k Ui •+- k m = o , 



ne differe done pas de 1'equation (9). 
Par suite, les droites representees par 



a — <? ( S = 0, r p — 3\y = , r — S'ia = , 



concourenl. 

Tome XLV. 



10 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



Done, pour la racine double de l'equation A = 0, les trois cotes du triangle 
inscrit a la cubique concourent. Deux des quatre triangles coincident et se 
reduisenl a un point. 

II n'en peut etre ainsi que si la cubique a un point double. 

En consequence, on retrouve ce theoreme connu : 

Lorsgue le discriminant de la cubique s'annule, la courbe possede un point 
double. 

Si Ton a, a la fois, S = 0, T = 0, ou, ce qui revient au meme, i — 0, 
* = l'equation A = 0, possede, commeon le sail, un facteur triple. 

On demontrerait, par une methode analogue a celle que nous venous 
d'employer, que, dans ce cas, la cubique possede un point de rebroussement. 

Comme nous le faisions observer plus haul, de ceci ressort le caraclere 
d'invariance des fonctions S et T, car la propriete de posseder un point 
double ou un point de rebroussement se conserve dans la projection. 

On sait encore que la forme biquadratique A est le carre d'une expression 
quadratique lorsque A ne differe de son hessien que par un facteur. 

Cette condition entraine les deux relations suivantes : 



k m k m k m km ■+■ A 155 A m A 1)S A 3! s 3 -i- k m k m k ia k< m — K m (k m k m k m -+- A m A M5 A 9 53) = 0. 



(tO) 



Et Ton voit sans peine que, dans ce cas, la cubique se decompose en une 
droite et une conique. 

II en est encore ainsi lorsqu'il est possible de determiner une valeur de 6 
annulant identiquement un des covariants 2 : 2 i} par exemple. 

Nous avons vu (*) que, si 2, = 0, on a les conditions 

a ni a m — WjjjOui = 0, 

a 2H a 222 0,^uU u ^ = , 



(*) l"partie, p. 10. 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. li 

Si nous remplacons les m m par les A /w , ces conditions deviennent 

(Am +• e)A 115 — A„ 2 A 133 = , 
(A, 23 — e)A 223 — A 233 A m = , 
d'ou Ton deduit : 

2A 123 A,., 3 A 223 — A„ 3 A 233 A m — A I12 A 133 A 223 = 0; j 

et I (Id) 

(A|,2A 233 - - A 113 A 223 )(A, 33 Ai 23 — A 113 A 2 , 3 ) = 0. J 

De 2 2 =s 0, on dc 2 ;! == 0, on deduirait des conditions analogues : 

2A,, 23 A 122 A 133 — A 113 A 233 A 122 — A„ 2 A I33 A 223 = , j 
(A u ,A»ij — A 122 A 153 ) (A 122 A 133 — A 1I2 A 233 ) = ; J 

2A 123 A„ 2 A 233 — A ]13 A 233 A, 22 — "A 1J2 A 133 A 223 = 0, ) 
(A I22 A 153 — A 112 A 233 ) (A m A 233 - A H3 A 223 ) = 0. I 

Si Tun des syslcmcs (10), (11), (12) ou (13) est verifie, la cubique est 
decomposable. 

Ces qualre systemes de conditions correspondent aux cas ou la forme ler- 
naire (6) a un facteur lineaire de la forme 

pa + (jp + ry , 
ou d'une des formes 

pa -+- qP , qft -+- ry , ry -+- pa. 

II y a encore le cas, tout a fait simple, ou ce facteur est «, /3, ou ■/. 

L'emploi des formes trilincaires nous conduit encore a une notion impor- 
lante, celle du genre. 

D'apres ce que nous venons de voir, nous pouvons considerer les rapports 
~, -p, j-) comme caracterisanl chaque lerne de rayons homologues. 

Pour avoir trois rayons donnant un point de la courbe, il faul que 

Representors par I, p, v } les trois rapports donncs. Nous aurons, pour 
determiner les differcnls points de la courbe, les equations 

Xp V — \ ==o. j 



12 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



Ces deux equations peuvent etrc considerees comme caracterisant une homo- 
graphie du troisieme ordre et du premier rang (*). 
On peut done enoncer ce theoreme : 

Theoreme IV. — Toute cubique peut etrc engendree par les intersections 
des rayons homologues d'une E\. 

Nous pourrons exprimer deux des rapports A, p en fonction du troisieme. 
En effet, en eliminant w, par exemple, nous aurons : 

A 2 (a fls p.' 2 -+- a m n) -+• x[«2B,w-' 2 ■+■ («ni + »iu)m -+■ aim] ■+■ (fl Ui ft ■+■ a m ) — 0. 
Si nous cmployons les coefficients dc la cubique, cette equation devient 

^(AjHtjjK 8 ■+■ A )l3 ^) -+- x[A,„«' 2 4- 2A 1SB/ c£ -i- Am] h- (A 223 ^ ■+- A 233 ) = 0. 

On en deduit 

k m [£ ■+■ 2A 1S! p -+- A )33 



Vp 



X = • 



d'ou 



2(A (12 ^-+- A, )3I «) 
2(A, t2/ u ■+• A m ) A lffl p* ■+• 2A, 23 ,a +■ A, 53 — l/p" 



A 1S2 ^ •+- 2A„ 8/ tt -+- A 133 +I/P 



2 (A 223/ « -+- A 233 ) 



P ==. AJ„/u* •+- 4 (A m A, 23 — A, 12 A, 2 ,,)p 3 -+- (4.AJjs ■+■ 2A, M A 133 — 4A m A, 3 ,, — 4A H5 A, M ),a f 

-4- 4(A 123 A, 33 — A HS A, ss )ft -+- A? 33 (15) 

Cette forme P, egalee a zero, donne un des groupes dc ramification de (14). 
On en deduit ce theoreme : 

Par un point donne, snr une cubique, on peut, en general, mencr quatre 
langenles a la courbe. 

La forme P a les memes invariants que A. 

Comme on vient de lc voir, les coordonnees de la cubique peuvent, en 
general, s'exprimer a l'aide de fonctions rationnelles de ft et d'un radical 
carre portant sur P, expression du quatrieme degre en p. 

La cubique la plus generale est done du genre un. 



(*) V partie, p. 13. Voir, sur Ie systeme de deux formes trilineaircs, un Memoire de M. C. Le 
Paige, insere aux Atli dell' Accademia dc' IVuovi Lined, t. XXXV, 1882. 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



13 



II n'en est plus de meme quand le discriminant de A, et par suite de P, 
s'annule. 

En effet, si Ton a seulement 

*' 5 -6f = 0, 
ou, a la fois, 

,- = o, i = o, 

le radical ne portera plus que sur une expression quadratique de p. 

Nous avons vu, plus haut, que la courbe avait alors, soil un point double, 
soil un point de rebroussement. 

Par suite, 

Les cubiques a point double ou a point de rebroussement sont du genre zero. 

De la signification geometrique de Tequation P = 0, il resulte encore que, 
dans ces deux cas, les cubiques sont de la quatrieme classe ou de la troisieme. 

Bien que ces theoremes soient connus^ousn'avons pas cru inutile defaire 
voir qu'ils se deduisent facilement de la methode que nous avons employee. 

Bs decoulent, en quelque sorte, immediatement et necessairement, de Pidee 
des faisceaux homographiques. 

Nous aurions pu augmenter le nombre de ces propositions connues, ou 
nouvelles, qui derivenl de cette notion fondamenlale : notre but n'etant pas 
d'ecrire un traite des cubiques, mais un simple memoire sur ces courbes, il 
nous a paru suffisant d'indiquer les methodes generates. 

Nous avons dit ailleurs (*) que notre methode contient, comme cas parti- 
culier ou comme consequence, les methodes de Chasles, de Grassmann et de 
Scitroter. 

Cela est a peu pres evident pour la premiere. En effet, si nous laissons fixe 
un rayon du premier faisceau, les deux autres apparlenanl a une Hf , decrivent 
une conique. A chaque rayon du premier faisceau, correspond une conique, 
et vice versa. De plus, on s'apercoil que les coniques eorrespondant aux 
differents rayons forment elles-memes un faisceau. 

Quant a la seconde methode, rappelons d*abord brievement en quoi elle 
consiste. 



(*) Bull, de I' Acad,, 3 e serie, I, I, p. 6t 5. 



u 



SLR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 




Soient deux triangles ABC, abc : le lieu des points x lels que les droites 

xk, &B, xC renconlrenl les coles be, ca, 

,k x ab en trois points situes en ligne droite 

/ • \ est une cubique passant par les sommets 

/ I \ des triangles et en outre par les points r, 

r' } r", intersections des cotes ab, AB; be, 
BC; ca, CA. 

Comme nous le voyons, la relation 
d'homographie correspondanl a ce mode 
de generation est complelemcnl deler- 
minee : elle a la forme 

x,y i z l -+- x^y % z % = 0. 

Les trois covariants 2 sonl representes par les droites kb, Ac; Be, Ba; Ca, Cb. 

II resulte de la que ces six droites constituent un systeme dc deux trilalercs 
se coupant en neuf points de la courbe (*). 

En consequence kb, Ba, par cxemple, se coupent en un point p de la courbe. 

On voit, par suite, que le quadrilalere ab, AB, aB, bk a ses six sommets 
sur la courbe. 

Les points a, A, b, B, e, C constitueront six points de Schroter; ils per- 
mettent dc conslruire lineairement aulanl dc points de la courbe qu'on le 
voudra, mais comme une suite discontinue. En effet, p, r formenl un nouveau 
couple de points et on peut les employer comme on l'a fait pour a, A et ainsi 
de suite. 

Nous nous bornons a celte simple indication : elle suffil pour monlrer que 
le systeme de Grassmann se deduit, comme cas particulier, de noire melhode 
et de quelle maniere celle-ci conduit aux points conjugues de Schroter. 



(*) Voir plus bas les proprietes de ces trilalercs. 

Sur la methode de Grassmann ct sa eomparaisou avec cellc de Schboter, voir un Memoirc de 
Ci-ehsch, insere aux Math. Ann., t. V, p. 424. 



CHAPITRE II. 



INVOLUTIONS. 



Theoreme V. — Toules les cubiques ayant sept points communs sont 
toupees par une transversale el des points qui appartiennent a une I| 
(involution de troisieme ordre et du second rang). 

Ce theoreme se demontre pour ainsi dire sans calcul. 

Prenons pour centres des Irois faisceaux trois des sept points donnes. 

LTequalion de la cubique prendra la forme 

C 3 = A m a 2 [3 -+- A 113 «V ■+- A m p 2 a + A M pV •+■ A 133 r 2 a -+- A 233 |3y 2 -+- 2A, 23 a|3y = 0. 

Si, de plus, la cubique doit passer par quatre autres points donnes, il sera 
possible de determiner lineairement quatre des parametres en fonclion des 
Irois autres, de telle sorte que l'equation deviendra 

c 5 = vc; + x"c;' -+- a'"c s " — o. 

De la resulte immediatement le theoreme enonce. 

Nous avons vu, precedemment, que toute cubique peut etre engendree 
par les intersections des rayons homologues de trois faisceaux homogra- 
phiques. 

Soit 

l'equation d'homographie caracterisant une cubique donnee, equation qui 
contient, nous l'avons vu, une indeterminee 0. 



16 SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 

f peut toujours prendre la forme (2) 

/"== x 4 (x t — 8 l x i ){y t — %*)(*! — <fe) -+- A 2 (x, — tf,x,)(y t — <% s )(s, — <?&) 

-+- x s (x, — (Jj*,) (y, — % 3 ) fo ~ <fe) = 0. 

La cubique peut done toujours etre representee par une equation de la 
forme 

C s = a, (a — i$) (p — s\ r ) (r — S\' a ) ■+- Aj(« - e? 8 p) (|3 — $r) (r — *i'«) 

+ a 3 (« — cf 5 p) (p — <?:, r ) (r — «') — , 
ou 

G, == liO-fitfi •*■ >&$&t •+■ A r ,a 3 p 3 y 3 = (16) 

Nous avons ici un systeme de trois trilateres, en involution avec la courbe. 

Lorsque nous n'imposerons aucune condition parliculiere a ces trois trila- 
teres, nous dirons qu'ils sont involutifs avec la courbe. 

II resulte, tie la forme meme de l'equation (16), que Ton peulenoncer ce 
theoreme : 

Theoreme VI. — Une transversale rencontre une cubique et un systeme 
de trois trilateres involutifs avec la courbe, en douze points qui sont en 
involution I|. 

Cette meme equation (16) peut etre interpretee differemment. 

En effet, la distance d'un point quelconque a la droite dont l'equation est 
en = 0, est proportionnelle a la fonction « d , oul'on remplace les coordonnecs 
par celles du point donne. 

On arrive done au theoreme suivant : 

Theoreme VII. — // exisle une relation iineaire cntre les produits des 
distances d'un point de la cubique aux coles de trois trilateres involutifs. 

Mais nous pouvons particulariser davantage les systemes de trilateres 
associes. 

En effet, comme nous l'avons vu, nous disposons d'abord de Tindeler- 
minee 6; ensuite, lorsque les coefficients de / sont entitlement determines par 



SLR LES COURBES DU TItOISlEME ORDRE. 



17 



le choix de 6, trois des ncuf quanlites $ sont encore completement arbi- 
Iraires (*). 

Nous pourrons done nous imposer les qualre condilions suivantes : 



aw 



= I, 



= 1 



= 1. 



Les trois trilateres associes auront alors, outre les trois centres des fais- 
ceaux, quatre aulres points communs. 

Nous dirons, dans ce cas, qu'ils sont trijugues. 

Les theoremes VI et VII sont evidemment applicables a ces figures, dont 
nous verronSj par la suite, I'utilite. 



Theoreme VIII. — Toutes les cubiques qui onl hail points communs sont 



coupees, par une transversale, en des points qui appartiennent a une I 



Ce theoreme peut se demonlrer comme le theoreme V, mais il peut aussi 
etre regarde comme une consequence de cetle proposition. 

En effet, soient 1,2, 5, i, 5, 6, 7, 8, les points donnes. 

Toutes les cubiques qui passent par ces points appartiennent, a la fois, 
aux deux faisceaux 

F«(l,2,...,6,7) ct FS(1, *,..., 6,8). 

Par suite, elles determinent, sur une transversale, les groupes communs 
aux deux involutions I|, caracterisees par ces deux faisceaux. 
Or ces groupes communs appartiennent. a une \\ (**). 



(*) C. Le Paige, Sur la llieorie des formes trilineaires, Atti dell' Acc. de' Ncovi Lincei. 
(**) 1" panic, p. 20. 

Tome XLV. 3 



18 



SUR LES COURBES DU TR01S1EME ORDRE. 



De cetfe propriele decoule, immedialemenl, le theoreme connu : 

Theoreme IX. — Toutes les cubiques passant par huit points out un 
mime neuvieme point commun. 

Soient, de nouveau, 1, 2, 3, 8 les points donnes, et soient C 3 , C 3 , 

C/j, etc., des cubiques qui passent par ces huit points. 

Deux d'entre dies C 3 , C 3 , par exemplc, se coupent en un neuvieme point 9. 

Par 9, menons unc transversale 9X qui coupe C- et C 3 en des points 
ab, a'b'. 

Or, si dans une involution I", il exisle un point lei qu'il lui correspond? 
deux groupes dislincls de (n — 1 ) points, cede involution se decompose en un 
point fixe (le point donne) et une involution I', -1 (*). 



(*) Co theoreme esl presque evident, car soient 

p r . = 0, 



I'eqimlion dii point, et 



l'cquatiou des deux groupes qui lui correspondent. On pourra prendre coinme groupes earac- 
lerisliques 

et I'equation de 1'involution deviendra 

p*eC> -4- XpxV x -' = p. (a'!:' -+- X6J- 1 ) = 0. 

Si cette demonstration ne paraissait pas suflisante, en voici une seeondc, un pen moins 
simple. 
Soient 

< = o, b- = o, 

les deux equations qui definissenl deux groupes. 

La relation entre les points en involution est donnee par 

«•>;-«?; _ . 

(xy) 



SUR LES COCRBES DU TROISIEME ORDKE. 



•19 



Dans ['involution determinee par les cubiques C 3} Q A> Q/, etc., sur la trans- 
versale 9X, au point 9 correspondent les groupes distincts, a, b; a', 0' : par- 
suite, le point 9 fait partie de tous les lernes de revolution el toute cubique 
de ce faisceau passe par 9. 

On sail que ie theoreme que nous venons d'etablir peut se demonlrer de 
bien des maniercs dislinctes; nous avons employe la methode precedenle 
afin de deduire, aulanl que possible, toules les proprieles fondamenlalcs des 
cubiques, des theories de I'involution el de Phomographie. 

Corollaires. — I. Si par mi les neitf points d 'intersection de deux cubi- 
ques, il y en a six sur une coniquc, les trois autres sont sur une droile ; el 
reciproquement. 

II. Si un triangle ABC rencontre une cubique en ncuf points c, c', c" ; 
a, a', a"; b, b', b", silues sur les cote's AB, BC, CA, on a la relation 



kc.Ac'.\c".Ba.Ba.Ea".Cb.Cb'.Cb" 
A6 . Ab'. kb". Ca . Ca'.Ca". Be . Be'. Be" 



1. (Theor. dc Caii.not.) 



Menons les transversales cb", c'b' c"b, qui coupenl la cubique en trois 
nouveaux points x, y , z, silues en lignc droitc, el BC en trois points 



x , y , z . 



mats 









(17) 



oii C« est l'e'lementdu resultant ciilculc par la methode de Cauchy. 

Si pour une determination y i} j/ 2 , l'cquation (17) a plus dc (n — I) racines, cette equation doit 
etre identique : par suite le resultant de aj el de 6; sera nul et Ton aura 

o; -+- a: = p,{4~' + ^r 1 ) = o, 



re qui de'montre le theoreme. 



20 



SUK LES COUKBES DU TROIS1EME ORDRE. 



On a les egalites 



Ac.Bx'.Cb" 

Ab".Cx'.Bc~ 

Ac'.By'.Cb' 
Ab'.Cy'.Bc' ' 

Ac".Bz'.Cb 

Ab.Cz'. Be 77 



1. 



D'ou, en mullipliant, 



Ac. Ac'. Ac". Cb . Cb'. Cb". Bx'. By'.Bz' 

IbTkb'. Kb". Be. Be'. Be". Cx\Cy 7 Xz' = 1 ' 

Mais les deux trilateres ac", a'c', a"c; AB, AC, xz, sont en involution If 
avec la cubique. 

En employanl une cles formes de {'involution I, (*), on a 

Bx'. By'.Bz' __ Cx'.Cy'.Cz' 
Ba.Ba'.Ba" Ca.Ca'.Ca" 

En combinant avec I'egalite precedente, on trouve le resullat enonce. 

Dans le chapilre precedent, nous avons vu que Ton peul loujours, et cela 
d'une infinite de manieres, cboisir 9 de telle sorle que la relation d'homo- 
grapliie, caracteristique de la cubique donnee, puisse sc metlre sous la 
forme (1) 

f&~ i t (x, — ti^ly, — %,)(*! — #'*,) +■ x t (», — JjXiHy, — %,)(* 4 — fe). 

Par suite, Tequation de la courbe peut toujours s'ecrire 

C, = A, (a. — f t p) ((3 — S\y) (y — dV«) -+- A, (a — 3£) ((3 — fa) (r — & '«.) = , 

ou 

C 3 = v^in + Vt^y,. = (18) 



(*) C. Le Paige, Memoire stir quelques applications de la Iheorie des formes algebriques, 
p. 41. 



SUR LES COURBES DU TKOISIEME ORDRE. 21 

Les deux Irilateres dont les coles onl pour equations 

«, = 0, (3, = 0, n = 0; 
«,= 0, |3. 2 =0, y 2 = 0, 

se coupent en neuf poinls qui apparlienncnt a la cubique. 

Nous avons dil que ccs trilateres sont conjugues a la courbe (*). 
II resulle de I'equation (18) : 

Theorems X. — Une transversale coupe la cubique el les cotes de deux 
Irilateres conjugues en neuf points qui appartiennent a une If, 

La demonstration qui precede clablit, du memo coup, I'existence de ces 
syslemes dc Irilateres conjugues, passant par Irois points pris a volonle sur 
la courbe. 

On en deduil egalement la generalisation du theoremc de Pappus. 

Theorems XI. — ■ Le rapport des produils des distances d'un point de 
la courbe, aux cotes de deux Irilateres conjugues, est constant. 

Coroelaire. A une cubique, on peut inscrire un sysleme de deux qua- 
drilatercs conjugues. 

Nous appelons quadrilateres conjugues h une cubique, deux quadrilaleres 
lels qu'un cole du premier rencontre tons les cotes du second, un seul 
excepte, en des points situes sur la courbe. Les cotes qui ne se rencontrent 
pas sur la courbe sont dils opposes (**). 

Considcrons les transvcrsales 123, 1'2'3'; puis les droites 11', 22', 



(*) F. Foue, Fondemenl d'une Geometrie superieure cart., p. 5. 

("*) Ibidem, pp. 13 ct 22. Voir dans lc meme travail une demonstration differentc des thco- 
remes X, XI et XII. 



22 



SUR LES COUKBES DU TROISIEME ORDRE. 



33'; 12', 23', 31', qui delerminenl deux uouvelles transversales 1"2"3", 
p"q"r". 

Les deux quadrilaleres 

1 11", 22'2", 33'3", p"(j"r"; 

23V, 31 >", 12'$", 1"2"3" 

satisfonl a la definition donnee plus haut. 

L'exislence de ces quadrilaleres conjugues est imporlanle, parce qu'elle 
perrnet d'elablir un theoreme remarquable, extension, aux cubiques, du 
iheoreme de Pascal. 

Appelons 6 l} i t , 4, 4 j d\> ^, tf£, $' t les coles de deux quadrilaleres conju- 
gues, J,, 3[; 3 i ,S' i ,e[c., elant les cotes opposes, el conservons, pour le surplus, 
les notations precedentes. 

Soient A et B les points d'intersection des deux premiers couples de coles; 
menons la transversale AB. 

Cette transversale rencontre la cubique en trois points a, b, c, et les cotes 
^33 ^3? <*o &'* en des P°' nts P>P> f l> q'} f l ue nous supposerons distincts pour 
le moment. 

Nous pouvons observer que les six droites 



et 



ll'l", 22'2", 33'3", 123, 1'2'3', 1"2"5" 



12V/", 23'r", 31>", 123, 1'2'3', p"q"r" 



I'orment deux systemes de trilaleres conjugues. 

AB rencontre le premier systeme en des points A, B, p ; t, V , q' et le 
second, en des points A, B, p' ; t, V , q. 

Par suite, d'apres le theoreme X, les systemes suivants sont en involu- 
tion I* : 

a, b, c; A, B, p; t, I', q'; 

a, b, c; A, B, p'\ t, I', q. 



SUR LES COURBES DU TROIS1EME ORDRE. 



25 



De la se deduisenl les egalites 



D'oi'i 



\a .Ab .Ac 


Bo . B6 . Be 


pa . pb . pc 


At.At'.Aq' 


Bl.Bt'.Bq' 


pt pt'.pq' 


Aa. Ab .Ac 


Ba.Bb.Bc 


p'u.p'b.p'c 


M.At'.Aq 


Bt . Bt'. Bq 

Aq' Bq' 
Aq Bq 


p't .p'l'.p'q 



Eii consequence, q coincide avec q', el de meme p avec p'. 
On en conclut ce Iheoreme : 

Theoreme XII. — Les cdtes opposes de deux quadr Hater es conjugues d 
une cubique se coupent en qualre points situes en ligne droile (*). 

Autrement encore : 

Soient Wjt£ k \ itf&ft't, deux quadrilateres conjugues a la courbe. 
Par la notation d t (pqr), nous indiquerons que le cote <?, rencontre la 
cubique aux points p, q el r. 

On aura ainsi, conformement a la definition : 

'h(pqr), 3',(p'p"p'"), 

'Up'q'r'), $'%{<iq"q'"), 

#r,(p"q"r"), tf(rrV"), 

'W"q"'r'"), S\{p,q',r"). 

p'p'iqqi'rr' sont sur une conique, puisque la cubique i^fa rencontre la courbe 
donnee en neuf points, dont trois pq'r" sont sur la droite 3' t , (Tlieor. IX, 
corol. I.) 



F. Folie, F. G. S. C, p. 22. 



24 



SUR LES COUKBES DU TUOISIEME ORDBE. 



Par suite, les droiles ^d[; ij' a ; 3fi' 9 sc coupent en trois points situes sur 
une droile A (Theor. de Pascal). 

De meme p'p'"qq"'pq' sont sur une conique. 

d { $[; Wz, W t se coupent sur une droite qui ne pent differer de A, puis- 
qu'elle a, avec celle-ci, deux points communs. 

On peut demonlrer la meme chose pour les aulres combinaisons de trois 
couples de cotes opposes. 



CHAPITRE III. 



RAPPORT ANHARMOMQUE. 

Ainsi que nous venons tie le voir, la cubique donnee peul loujours elre 
representee par 1'equalion 



Cs = X^fiiri -+- A 2 a 2 [3 2 y 2 -+- X 8 a s p 3 r 8 = 0, 



• (16) 



ou les equations 



«-i^iYi 



<*■#!? 'a = , cctf-y-, = , 



represented trois Irilaleres trijugues a la courbe. 

Ces trois Irilaleres onl sept points commons. Nous appellerons points 
trijugues les six points composes des trois centres des faisceaux et des trois 
points d'inlersection des cotes <x l} /3 3J j> 4 ; « a , /3,, y 3 ; a - , p.,, /,. 

Soil m un point quelconque de la courbe, clont les coordonnees sonl p, </, r. 

Designons par 1, 2, 3, i, 5, 5, 6 les points trijugues; soienta?,-, y i} z t les 
coordonnees du point i, i prenant les valeurs 1, 2, 3 ..., 6. 

L' equation (16) pourra s'ecrire 



p 


<1 


r 


x t 


y> 


*t 


x 2 


y* 


*■ 



p q r 

*« «/* z s 

x 4 y t z t 



A-, 



p 


</ 


»* 




x 5 


2/ 6 


#S 


-+■ A 2 


«6 


.'76 


z 6 





P 9 !- 

x, »/, #, 
x 4 y t z t 



p q r 
x, «/ 5 z n 

x a JJs %e 



p 


<1 


r 


x 5 


2/5 


Z !i 


x 2 


tit 


Zl 



p 


( 1 


r 


X\ 


Vi 


*i 


«8 


J/« 


*e 



P 


'I 


»• 


Xt 


2/3 


Z3 


X% 


2/2 


*2 



p q r 

*5 J/6 *S 
^4 2/4 #4 



= 0. 



Tome XLV. 



4 



26 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



chacun des determinants represente l'aire d'un triangle : cette egalile devienl 
done 

; l (m12)(m34)(fflS6) h- A 2 (ml4)(m36)(m52) +• > 3 (m16)(m32)(m54) = 0. 

Remplacant l'aire par le produil de deux coles et du sinus de Tangle 
compris, sinus que nous represenlerons par (ik), on a : 

X t .m\ .Mt2(12)m3.OT4(34)m5.m6(36) -+- A s .ml .m4(14)m3.m6(3G)m5.»n2(32) 
-t- i-jni .«6(ie)m5.m2(52)m8.m4(54)=» 0. 

On en deduit encore 

a, (12) (34) (86) -t- x, (14) (36) (52) + A 3 (16) (32) (54) = 0. 

Si Ton divise par le premier terme, cette egalile devient : 



4 + v 04) (56) (82) (16) (52) (54) 

+ ' (12) (34) (36) + J (12) (34) (56) 



Les quotients qui figurenl dans le premier membre sonl des rapports 
anharmoniques (*). 

Nous les represenlerons par 

pour indiquer a la fois, par l'indice superieur, Torigine du faisceau des 
droiles, et par l'indice inferieur, l'ordre de ces rayons. 
Nous pouvons done enoncer le theoreme suivant : 

Theoreme XIII. — // exisle une relation lineaire enlre les rapports anhar- 



(*) I" partie, p. 29. 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



27 



moniques, da troisieme ordre, da faisceau obtenu en joignaril tin point 
quelconque de la cubique a six points trijugues (*). 

Soienl m, m' } m", Irois points de la courbe, on a les egalites 

1 + X38t+ x£Si — o, 

1 + xx& -h os — o. 

On en deduit la relation 



■I 71"' 71'" 

4 71'"' Tl"*' 

1 -5*402 Jlesi 

,1 'Jim" **|Wi" 

1 JJWJ 4)6-24 



= 0. 



(ill) 



Si nous exprimons le theoreme sur la Constance du rapport anhar- 
monique des coniques, a l'aide des memes notations, nous obtiendrons la 
relation de forme tout a fait identique 



i 3? s 
1 3£ 



= o. 



Le theoreme XIII, ou celui qui est exprime par liquation (19), 
peut elre ramene aisement au theoreme VI, applique aux trilaleres 
trijugues. 

Supposons que les trois points m, m', m" soient en ligne droile, el desi- 
gnons par I, II, HI; I', H', HI'; I", II", III", les points ou cette droite ren- 
contre les trois trilateres trijugues; puis, comme tantot, par mx {) m« 2 , etc., 
les distances de m aux droites » l} « 2 , etc. 



(*) C. Le Paige, Bulletins de I'Academie royale de Behjique, 2 e serie, t. XLV, p. 94. 



28 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



On a 

De plus, 
Par suite, 



2 (ml 2) = 12. ma; 2 (m'12) = 12 .m'a,; 2(m"12) = 12.m"a,,, ctc. 



ma, mV/,, m"«i 2(ml2) 

— - = -= -=», (12) = — , 

ml m'\ ml ml .m,2 



12. ma, 12. ml 

(12) = ' = „ 

ml .m2 ml . m2 



et d'aulres formulcs analogues. 

En inlroduisant ces expressions dans (49), on arrive a la relation 



ml. mil. mil). ml', mil', will'. ml", mil", mill" 

m'l.m'lI.m'III. m'l'.m'II'.m'IH'. m'l".m'Il". m'M" 
m"l.m"II.m"HI. m"I'.m"II'.m"III'. m"I".m"II''. m"lll" 



= 0, 



equation qui exprime que les quatre ternes de points m, m', m" ; I, II, III; 
I', II', III'; I", II", III" appartiennent a tine \\ (*). 

Les deux theoremes XIII et VI sont done, chacun en un certain sens, plus 
generaux l'un que Tautrc, et cessent d'etre completcment idenliques, comme 
ils le sont dans la theorie des coniqucs. 

A tin autre point de vue, on peut signaler Pidentite de forme enlre les 
theoremes XIII et VI. 

En effet, si nous dcveloppons le determinant (19), nous avons la relation 

D'un autre cote, le theoreme VI peut s'exprimcr par Fegalite 
%.% - 3,3;. + %,.%, — 3,3; ■+- %,%■ — 3,35.= (**). 



(*) C. Le Paige, Memoire sur quelques applications, etc., p. T>1 . 
(**) I re partie, p. 19. 



SUH LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



29 



Lc Iheoremc VI peul sc conclure immedialement du mode de generation 
des cubiques, en so rappelanl la propriele suivante de Phomographie du 
troisiemc ordre et du second rang. 

Si neuf points 

*i *2 *J 

ft ft ft 

ri r* r 3 

son/ /e/s </M6 j ifes ternes de points obtains en formant les termes du determi- 
nant compose de ces neuf elements appartiennent a I' /tomographic, les points 
triples de cette [tomographic son/, en involution I:] avec les ternes composes 
des colonnes de cc determinant (*). 

Les considerations qui precedent ont pour but de fairc voir jusqu'a 
quel point les theoremes fondamentaux des cubiques s'impliquenl enlre 
eux. 

Occupons-nous mainlenant des trilaleres conjugues. 

Deux de ces trilateres se coupent en neuf points situes sur la courbe. 

Choisissons six de ces intersections, de telle sorte que chacun des six coles 
conlienne deux de ces points; nous cxcluons, par exemple, parmi les neuf 
intersections, les Irois points pris comme centres des faisceaux. 

Ces points seront les sonrmcts des deux trilateres. 

Mors, en partant de 1'equation 



C 5 = X l 7, l p l y i -+- Xs« 2 ftys 



o, 



el en faisanl les calculs analogues a ceux qui precedent, nous arrivons a 
celte propriety : 

Tiieoreme XIV. — Lc rapport anharmoniquc du faisceau de six droiles, 



(*) (',. Lb Paige, Alti delV Accad. de 1 iVuovi Limei, memoire cite. 



30 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



ohlenu en joignant un point quelconque de la cubique aux sommels de deux 
trilateres conjugues, esl constant (*). 

A son tour, le theoreme XIV peut conduire an theoreme X, el ce dernier 
peul se deduire immediatement de la generation des cubiques. 

Nous ne repeterons pas la demonstration de ces propositions, demonstra- 
tion enlierement semblable a celle que nous avons donnee plus haul pour les 
trilateres trijugues. 



(*) F. Fome, Bull, de I'Acad. roy. de Belgique, 2 e serie, t. XLIV, p. 473. 



CHAP1TRE IV. 



CONSTRUCTIONS. 

Nous devons maintenanl appliquer les theories qui precedent a la conslruc- 
lion des cubiques. Pour y arriver, nous employcrons les theories exposees 
dans le chapitre II, l re partie, el dans le chapilre II de la seconde parlie, 
c'est-a-dire celles qui sont relatives a l'involutlon. 

Nous commencerons par resoudre un certain nombre de problemes fon- 
damentaux dont nous aurons a nous servir ensuite. 

Bien que nous ayons loujours traite jusqu'ici, suivant en cela l'ordre qui 
nous paraissait le plus logique, rinvoiution II avant l'involution If, nous 
croyons preferable, dans le cas acluel, de suivre l'ordre inverse. 

Nous aurons I'occasion de nous appuyer sur deux theoremes, en quelque 
sorte evidents, que nous rappellerons d'abord, pour ne pas interronipre, dans 
la suite, l'ordre des deductions. 

A.) Toules les coniques qui passenl par trots points fixes, dont I'un situe 
sur une conique C 9 , determincnl, sur cette conique, des points appurtenant a 
une \l. 



B.) Toules les coniques qui passenl par qualre points fixes, dont I'un 
situe sur une conique C 2 , determinent, sur cette conique, des points appurte- 
nant a une I'. 

Probleme 1. — Ondonue sept points 1, {', {" ; 2, 2', 2"; 3 d'une invo- 
lution X\; conslruire les deux autres points du terne 3, 3', 3". 



m 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



Supposons que Ics sept poinls donnes soieni distribues sur une droite 
quelconque. 

Par 3, menons une droite arbilraire $. 

Joignons 1 et 2, \' el 2' a deux points arbitrages I, I' de d. 

Au trilatere IT, 21, II', inscrivons un triangle dout les coles passenl 
respectivement par 1", 2" et a, intersection de II et de 2T (*). 

Soil d' le cote de ce triangle, passant para et \",p, q ses sommels. 

Les cubiques IT, -II, \ "I" et 2T, 21, 2"I" se coupent en neuf poinls, 
dont six, I, I', I"; p, q, a, sont silues sur les droiles tJ, J 1 '; les trois autres 

(IT, 2I)=«"; (II, 2"I") = a '; (IT", 2T) = a, 

sont done sillies sur une droile cJ 1 '. 

Les intersections do d v , J" avee la droile de 32"2'...4 determinenl les 
poinls 3', 3". 

Ce probleme a ete resolu difleremmenl par Poncelet et par M. Em. 
Weyii (**). 

Probleme II. — On donne onze points 1, 1', \"; 2, 2', 2''; 3, 3', 3"; 
A, 4', d'une involution 11; constrain' le douzieme i". 

Premiere solution. An moyen du probleme precedent, completions les 
involutions 

1, 1', t", 2, 2', 2", 4; 1, I', \", 3, 3', 3", 4. 

Nous oblenons ainsi des ternes 
qui apparliennent a I'involulion donnee. 



(*) Steinkb,- Werke, -T' r B d , s. 51 1. Chasles, G. S.. 1™ ed., p. 222. 

(**) Poncelet, Traite des proprietes projectives, etc., t. II, p. 242. 

Em. Weyii, Grundziige einer Theorie der cubischen Involutionen, pp. 23 et 37. 

Pour les cas particuliers, memo mdmoire passim. Ce travail conlenant la solution de la plu- 
part des problemcs relatifs a une I', nous n'avons pas eru necessaire de nous etendre sur ee 
sujet. 



SUR LES COLRBES DU TROISIEME ORDRE. 



35 



MaiSj clans une involution I*, a on point fixe correspondent ties couples tie 
points appartenant a une If. 

Dans le cas acluel, celle involution quadralique est detenninee par les 
couples k'M' ; M^'J . II suffira done tie ehercber le point 4", homologue de 
4', dans cette involution. 

Bien qu'il semble, a premiere vue, que Ton doive employer des construc- 
tions du second degre pour arriver a la determination de 4", nous allons voir 
qu'il n'en est rien. 

Nous pouvons loujours supposer que les points donnes soienl transported 
sur une conique, tie telle sorle que nous ayons les |>oints 

Menons les droites x { x i ; y t y% qui se coupent en B. 

La droite «,B tleterminera, sur la conique, le point A. 

x 5 A et y. a k delermineront, par leurs intersections avec x^.,, y t y s , les 
points A' et B ; . 

De meme, x { x^ et z t z^ se coupent en un point B,. 

B,m, donne le point A, et les droites x 5 \ l} z.A j donnent, par leurs inter- 
sections avec x y x. l:> z t z„, les points A(, B{. 

Les deux droites A'B', A',8', se coupent en un point &, 

En joignanl w au point u, 2) nous oblenons, sur la conique, le point ?< 3 . 

En effet, nous voyons que, par la premiere partie de la construction, celle 
qui donne la droite A'B', nous avons determine* le couple completant, avec u if 
•'involution detenninee par les deux ternes x^xjx-; y x yjj 7 ,. 

(jar les couples tie cotes opposes du quadrangle ABA'B' sont ties coniques 
salisfaisant aux conditions du tbeoreme (B). 

Nous pouvons remarquer, dans cette construction, que les couples tie 
points % { x^; y t y,,, z { z. 2 peuvent etre imaginaires, ou etre donnes par couples, 
de telle sorte qu'il n'esl pas necessaire de les conslruire individuellement, 
c'esl-a-dire tie chercher les intersections de la droite a?,as 2 , par exemple, avec 
la conique. 

Le couple w,t« 2 pourrait meme etre imaginaire sans que la construction 
devienne impossible. 

Tome XLV. S 



u 



SUR LES COCRBES DU TROISIEME ORDRE. 



En effet, supposons que Ton ait construit le groupe des elements neulres, 
ou la droile qui, par ses intersections avec C 2 , determine ce groupe : cette 
droite coupe la droite «,?/,, en tin point S; il suffira do metier, par S, tine 
droite qui coupe la conique en deux points reels u[ui : cos deux points peuvent 
etre substitues a u(ik 2 pour la construction de u 7t . 

Pour le demontrer, observons que, a u s , il correspond des couples de 
points t^u,, u[u' % , etc., en involution. Les elements neutres en font neces- 
sairement parlie, de telle sorle que ?./,u 2 et ces deux points caracterisenl 
l'involution. 

Quant a la construction du groupe neulre (ou hessien des points triples), 
on peut faire usage de la solution suivanle, ou cherchcr, par exemple, les 
involutions Y\, I', 2 correspondant a des points arbilraires p t , p[ et construire 
le groupe commun a ccs deux involutions. Toutes ces constructions son! 
d'ailleurs lineaires. 

En effet, dans la solution precedente, il suiTit de sarreler a la determination 
du point w, relatif a un point u r En determinant de meme un point p relatif a 
un autre point U 1 , la droite &p est la droile cherchee. 

Seconde solution. Nous avons vu que la relation d'homographie /'= peut 
s'ecrire 



ou 



>., (x, — (J,) (»/, — d' t ) (z, - 31') + A 2 (x, — ft) {yi — ft) ( Zl - ft') = , 



les x, y, z,-el les 3 representant des distances a une origine fixe stir une 
droile, par exemple. 

Par suite, si x i} y l} z K ; X b Y,, Z„ represcntenl deux groupes de rhomo- 
graphie, on a 

( Xi — i t ) (y, - *J) (z, - ft) (x, - ft) (»/, - H) (k, - ft') 



(X, — ft) (Y 4 - ft) (Z, - ft) (X, - ft)(Y t - ftUZ, - ft') 



• (20) 



Si les points appartiennent a une \\, les trois covariants 2 deviennenl 
identiques entrc eux et au hessien des points triples (*). 



(*) l" parlie, p. 17. 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



55 



On a 



«! = i $i \ 3% s=a (? 2 = (J 2 ' 



De I'equalion (20), on conclul que les deux points 8 l} $ i} apparliennent a 
loules les [], caraclerisees par deux ternes quelconques de rinvolulion \\ 
donnee. 

Supposons niainlenanl que les trois groupes de points x ,aj 2 a? 5 ; y^^fz) 
z { z^z s soient represented sur une conique C w et rappelons-nous le mode 
suivanl de representation d'une I' : 

Tous les triangles inscrits a une conique C. 2 el circonscrits a une seconde 
conique 2. 2 determineut, par lews sommels, une involution I* (*). 

Par suite, on relrouve ce theoreme : 

Lorsqu'on inscril trois triangles a une conique C 2 , les trois coniques 
inscriles a ces triangles, pris deux a deux, ont une tangente commune. 

Celte tangente peut d'ailleurs se construire lineairement. Designons-la 
par h. 

Elle determine, d'apres ee qui precede, par son intersection avec C 2 , les 
elements neutres de Pinvolulion donnee. 

Mais, outre les neuf points x x x^ } y>yjjz, z i z^, qui nous ont servi a 
determiner h, nous nous sommes donne deux points d'un terne : u i} u. 2 . 

La conique determinee par les cinq tangenles a?,a? a , x % x Si x z x { , i^it,, h 
permellra de construire u-, en achevant le triangle circonscrit, dont deux 
des sommets sonl u t , m 9 (.**), 

II exisle encore d'autres solutions de ces questions que nous n'exposerons 
pas, du moins pour le moment. 

Probleme 111. — Connaissant les points triples d'une involution 11, et 
deux points d'un terne, completer ce terne. 



(*) Em. Weyk. Op. cil. 

{*") C. Le Paige, Silzb. der h. Akad. der Wiss. zu Wien, Bd. LXXXIV, s. 25G. 



56 



SLR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



Supposons que les points triples t i} l % , l % , el les deux poinls donnes u t) 
u % soient sur une conique C 2 . 

Conslruisons les tangentes a la eonique en t i} L 2 , /-; ees Irois iangenles 
constituent un nouveau triangle T^Tg. 

Les coles opposes t { L 2 , T,T 2 ; y 5 , T 2 T 8 ; /.,/,, T S T U des deux triangles 
se coupent en Irois points «,, a,, a i} situes sur une droile h. 

Cette droile n'esl autre chose que la hessienne des points triples; en 
effel, toules les coniques qui passenl par «,, a 2 , f 5 delerminenl, sur C 2 , 
une I 2 (theor. A). 

Or, une droile quelconque, passant par t 3 conslitue, avec h, une de ces 
coniques : par suite les deux intersections de h avec C 2 donnenl bien les 
elements neulres de rinvolulion. 

Pour completer le terne, il sufifit de faire passer une conique par 
«!,«,, t 3 , u { , u 2 ; elle coupera C 2 en u s ; ce probleme est Iineaire, car on 
connail deja les trois points communs t s , u t} «< 2 . 

La construction suivanle mene d'ailleurs aisemenl a la determination de u s . 

Joignons les points u i} « a par une droile qui coupe C 2 en p. 

La droite t^p coupe h en k, et ku. 2 rencontre la conique au point cherche ?< 5 . 

En effet, appelons h t , /v 2 les points d'intersection , reels ou imaginaires, 
de h avec C 2 . 

Les Irois ternes ujiji^', n t pl^, u^u- font partie de rinvolulion. Done u 3 
est Thomologue de u. 2 dans 1'involulion quadralique determined par les deux 
groupes hji% } pL 2 . 

La construction precedente repose sur la determination du groupe nculre 
de 1'involulion ; mais cette determination ne peul plus s'effecluer a 1'aide des 
deux triangles jf,y s , T,T 2 T- ; lorsque deux des poinls triples L 2 , t 3 , par 
exemple, sonl imaginaires. 

Dans ce cas, on peul y substiluer la determination suivanle de la droite A,/« 2 . 

Par t x menons la langenle a C 2 . Cette langenle coupe la droile f. 2 t 7> en 
un point S. 

Menons la seconde tangentc S/J. 

Puis, par le meme point S, une transversale S/ 2 /£. 

Les deux tangentes en tit'i se coupent en un point a situe sur lj\. 



SUR LES COURBES DC TROISIEME ORDRE. 



37 



Les deux droites tij[, III',, delerminenl sur lla, U 2 a, deux points A,B, el 
la droile AB passe par S. 

A chaque droile S^ 3 correspond done line droile SAB, et reciproquemenl. 
II suffira de construire, dans cetle H®, le rayon correspondanl a S/ 2 / s . 

La demonstration de cetle construction serail un pen longue : il nous 
suffira de dire qu'elle repose sur le iheoreme suivant : 

Les points triples d'une involution \l formenl un groupe de I' involution 
particuliere I, qui a pour points triples les deux elements neutres. 

Ge iheoreme se deduit immedialement d'une propriele connue, des formes 
cubiques, a savoir qu'une telle forme peul toujours s'ecrire : 

a? 8 -+- &»* 



Set yi etanl les facteurs du hessien, propriele qui est un cas particulier du 
iheoreme que nous avons menlionne plus haul sur la forme canonique d'une 
forme trilineaire (*). 

D'apres la remarque faite au probleme II , la solution sera toujours 

possible, meme si le groupe donne, 
u { u. 2) est imaginaire. 

La construction suivanle de la 
hessienne des points triples est en- 
core plus simple. 

Soienta,, ct 2 , a- les points triples; 
les langenles a la courbe en o 1? a. 2 , 
a 3 determinant, sur les coles du 
triangle, les trois points, en ligne 
droile, «,, « fi , « v 
Soil, de plus, p, le pole de a/« s . On voil que a,^^ est conjuguee harmo- 
nique de «,a. 2 ffl 3 , par rapport aux deux droites » l p i «„a r 




(*) C. Le Paige, Comptes rendus, t.XGII, p. 1049. 



38 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



Comme il est toujours possible de construire le pole de a. 2 a z , meme si ces 
deux points sonl imaginaires, la construction precedente de la hessienne a 
toule la generalile desirable. 

Probleme IV. — Construire les points triples d'une involution deter minee 
par trois (ernes de points x,x 2 x 3 , y,y 2 y 3? z^A- 

Soient /,, /.,, h les points triples. 

lis sonl conjugues harnioniques des groupes x i x 2 x 3 ,y l y i! y., z,z 2 2 3 (*). 
En consequence, /, / 2 / 3 peul etre regarde comme un terne appartenanl a 
la fois aux trois involutions qui ont pour points triples les groupes x i x. 2 x 7i , 

y,y^h, z { z. z z,. 

On est done ramene a la solution de celle question : 

Probleme V. — Construire le groupc commun a trois involutions 
'!> H% W s > donnees par lews points triples. 

Supposous que ces points triples soient donnes par les equations 

u\ = , bl = , c\ = 0. 

Les trois involutions sonl alors definies par les equations : 

a XiX % ac % + «,(x ( x. 2 +- x. 2 x 3 -+- x,,x,) ■+■ «. 2 [x, +- x 2 + x 7 ) +• a t => , . . . (a) 
fcu^SCjSCs -+- b, (JC,X 2 •+• Xjifs ■+- XsXj) -*- fc s (x A -¥ x % -t- Xi) +■ b s = , . . . (/;) 
c x 1 x S! a: 7 , +- c, (x,x 2 -h x 2 x f , -v- x f ,x,) + c a (x, -+- x a -+- x z ) -t- c 3 — 0. • . . (<•) 

Les groupes communs a (a) el a (^) forment line \\; ceux qui sonl 
communs a (6) el a (c) une involution l(\ 

II faul done construire les deux coniques d'involulion de ces deux If, l[ s } 
ce qui esl aise puisqu'il suftit de construire deux groupes de ces involutions. 



(*) 1" parlie, p. 10, theor. II. Combine avec la definition des points conjugues harnioniques, 
p. 22, theor. IX. 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



39 



Ces deux coniques ont qualre tangentes communes. L'une est la hessienne 
du groupe 6* = 0; lcs irois aulres foment un triangle inscril, donl les som- 
mcls represenlenl les points eherches. 

Pour demonlrer ce qui precede, il suflit d'eliminer x, par exemple, 
enlre (a) el (6), puis enlre (6) el (c); puis d'eliminer y entre les deux equa- 
tions obtcnues. 

On trouve finalemenl Tequation 

(bb'fbM[{ah)m(ca)a.bAY = (*), 

ce qui demontre le theorenie. 

Quant a la construction d'ufl groupe de 1?, par exemple, choisissons un 
point /;,. A ce point, dans (a) el (b) correspondent deux involutions quadra- 
liques faciles a conslruire, par le probleme III; le groupe p. 2 p s , commun a 
ces deux involutions, conslitue, avec /?,, un terne de I,. 

Nous nous sommes quelque peu elendus sur ces diverses questions, parce 
qu'elles nous seronl utiles dans ce qui va suivre, el aussi parce qu'elles nous 
paraissent offrir quelque inleret au point de vue de la representation des 
formes algebriques. 

En general, il suflit de connaitre neuf points d'une cubique pour determi- 
ner completement la courbe, comme cela ressort immediatement de ce qui 
precede. 

La construction des cubiques reviendra done a determiner autanl de 
points de la courbe qifon le voudra, a Paide de neuf points donnes. 

Nous ramenerons ces questions a la solution de trois,, ou plutot de deux 
problemes, car le premier ne nous sera meme pas necessaire, et, si nous 
le donnons, e'est afin de ne laisser de cote aucun des problemes fon- 
damenlaux. 

Probleme VI. — Etant donnes neuf points d'une cubique, determiner les 
intersections de celte courbe avec une droile A. 



(*) C. Le Paige, Sitzb. der k. Akad. der Wiss. zu Wien, Bd. LXXXIV, s. 255. 



40 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



Soient 1, 2 ..., 6, a, b, c, les neuf points donnes. 

Le faisceau de cubiques Ff(l, 2, ..., 6, a) determine, sur A, une involu- 
tion Ig (theor. V, p. 4 5). Pour oblenir des ternes de cetle involution, nous 
pourrons employer les cubiques decomposables (12345) (6a), (12346) (5a), 
(1345a)(23), par exempie (*). 

Par le probleme IV, nous delerminerons les points triples de cetle invo- 
lution. 

En faisant la meme chose pour les faisceaux F|(l, 2, ..., 6, b), 
F|(d, 2, ..., 6, c), nous n'aurons plus qu'a appliquer le probleme V, car la 
cubique a construire, apparlenant aux trois faisceaux, determine, sur A, le 
groupe commun aux trois involutions. 

II peut se faire que les neuf points ne determinent pas une cubique; nous 
verrons, au probleme VIII, dans quel cas cela pourra se presenter. 

Probleme VII. — Elant donnes neuf points ctune cubique, determiner les 
intersections de cetle courbe avec une droite A qui passe par un des neuf 
points donnes. 

Soit c le point par lequel passe A. 

Les deux faisceaux F|(l, ..., 6, a), Ff(l, ..., 6, b) determinent sur A deux 
involutions I|. Dans chacune d'elles, au point c correspond une involution if, 
facile a determiner par le probleme III. Le groupe commun a ces deux invo- 
lutions quadraliques est le couple d'intersections a construire. 

Probleme VIII. — Elant donnes neuf points d'une cubique, determiner 
la troisieme intersection de cetle courbe avec une droite A qui passe par deux 
des neuf points donnes. 

Soient b el c les points silues sur A. 

Le faisceau Fi(4, 2, ..., 6, a) determine sur A une If. 



(*) Par (12345), etc., nous dcsignons la conique passant par les cinq points 1, 2, 3, 4, 5. 
Far FJ, nous designons les eourbes d'ordre n en nombre k plm "" infini qui passenl par 
points donnes. 



SUR LES COURBES DU TROiSIEME ORDRE. 



41 



Par le probleme 11, nous delerminerons le point qui complete le terne 
donl on connait be. 

Si le groupe be represent le hessien des points triples de ['involution 
caracterisee par le faisceau, le probleme est incletermine, car be constituant, 
avec un point quelconque de A, un terne de l'involution , il exislera une 
infinite de cubiques passant par les neuf points. 

11 est done toujours facile de determiner si, par un groupe de neuf points 
donnes, il passe une seule cubique, ou s'il en passe une infinite. 

Probleme IX. — Etanl donnes neuf points d'une cubique, construire un 
sgsteme de Irilateres trijugue's a la courbe. 

Soient 1, 2, ..., 9, les points donnes. 

Choisissons-cn qualre arbilrairement, 1, 2, o, 4, par exemple. 

Par le probleme Vllf, on peut conlruire les points d'interseclion V , 2' } 3' 
de la courbe avec les transversales 14, 24, 34. 

Les points 11', 22', 33' sont six points trijugues. 

Les trois systemes de droites 13', 22', 31'; 12', 21' 33'- 11' 23' 32' 
constituent un sysleme de trois Irilateres ayant sept points communs avec 
la courbe. 



Probleme X. — Elant donnes neuf points d'une cubique, construire un 
sijsteme de Irilateres con] 'agues a la courbe. 

Choisissons encore arbiirairement quatre points 1, 2, 3, 4. Puis delermi- 
nons les intersections 1', 3' des droites 12, 34 avec la courbe. 

Les droites 13, 24, 1'3' coupent la courbe en trois nouveaux points 
1", 2", 3", silues en ligne droite. 

Nous avons maintenant les deux systemes suivants de trois droites 
121', 343', 1"2"3"; 131", 242", 1'3'3" qui constituent deux Irilateres 
conjugues. 

Probleme XI. — Construire une cubique dont on commit neuf points. 
Tome XLV. 6 



42 



SUIi LES GOURDES DU TR01S1EME ORDRE. 



Premiere solution. A l'aidc de ccs neuf points, conslruisons un systeme 
detrois trilateres trijugues; puis prcnons deux des neuf points donnes, 89, 
par exemple, non compris parmi les sommels des trilateres. 

La transversale 89 coupe les trois Irilaleres en neuf points qui caracterisent 

une 1|, 

II suffira, par le probleme II, de completer le terse 89. Si nous 
employons deux autres points, 87, nous determinerons un nouveau point de 

la courbe. 

Celui-ci, joint au precedent, nous permettra d'en conslruire un troisieme, 
el ainsi de suite, a Faide ^intersections de lignes droites. 

Seconde solution. A Faide des neuf points, conslruisons un systeme de 
deux trilateres conjugues. 

Puis autour d'un des neuf points donnes, 9, par exemple, non silue sur 
lcs cotes des trilateres, faisous pivoler une transversale. 

Dans chacunc de ses positions, cette transversale coupera les deux trila- 
teres en deux ternes de points, caracterisant une If. 

II suffira, par le probleme I, de completer le terne donl 9 est un point. 

Nous ferons observer que, de Tenseinble des constructions qui precedent, 
il resulte que Ton peut conslruire, par des intersections de lignes droites, 
aulanl de points d'une cubique, qu'on le veut, etant donnes neuf points qui 
detcrminenl cette courbe. 

En cffet, cette question a cle ramenee au probleme VIII. 

Dans le faisceau 1^(1, 2, ..., 6, .a) que nous avons employe pour 
resoudre cette question, nous pouvons employer les cubiqucs decompo- 
sables suivantes : 

(12345) (Ca), (12346) (5a), (»24S6)(5o). 

Ces cubiques donneront trois ternes de points : 



XtX^t', y^hy-r,; zfaZi 



sur la droile A. 



SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 



45 



Parmi ces points, les Irois oc s , y 3) z s seront toujours reels. 

Les irois couples x { x. 2 , y { y tv z x z 2 , Intersections de A avec une conique, 
peuvent etre imaginaires. 

Mais, comrae nous Tavons fait observer a I'occasion du problemc II, celte, 
circonstance importe peu. 

En effcl, il faul representer les neuf points sur uno conique C 2 quelconque. 
Voyons done comment sera represents, sur celte conique que nous pouvons 
choisir arbitrairement, et supposer donnee, par exemple, par cinq points 
A, B, C, D, E, un couple tel que x^. 

11 faul trouver les intersections de A avec la conique (12345) (*). 

Menons les droites 12, 23; 14, 24; 15, 25 qui determineront, sur A, des 
couples «, x' i (3, j3' ; y, /. 

Si parmi les cinq points A, B, C, D, E, nous en choisissons un arbitraire- 
ment, il faudra determiner les intersections de celte conique avec les droites 
A«j A«', ... A/, problemes lineaires, puisque Ton connait une des intersec- 
tions A. 

Nous obtenons ainsi, sur la conique C 2 , six nouveaux points p, p'; q, q' ; 
r, r' qui definissent une homograpbie. 

Par des intersections de lignes droites, il sera possible de trouver la droile 
qui, par ses intersections avec C 2 , represente les points doubles de celte 
bomograpbie. 

Ces intersections represented les intersections de A avec C 2 . Elles peuvent 
etre imaginaires, puisque, pour la solution du problcme II, il nous suffit de 
connaitre la droile qui unit ces deux points. 

Nous n'entrerons pas dans le detail des modifications que celte construction 
peut presenter lorsqu'un certain nombre des points qui dclerminent la 
cubique sont imaginaires, parce que ces questions touchenl plutot a la Iheorie 
des coniques. 

On aurait, par exemplc, a resoudre des questions analogues a la 
suivante : 



(*) La solution dc cette question est celle qui a cte donncc par Steiner, Werke. I er Band, 
S. 512. 



u 



SUR LES COURBES DU TR01S1EME ORDRE. 



Trouver les intersections d'une droilc A twee line conique passant par 
trois points et par les intersections d'une droile $ avee line conique (1, (*). 



De la remarque finale du probleme II, il resulte memo que les deux 
points de la cubique, passant par A, peuvenl elre imaginaires, sans que la 
solution cesse d'etre possible. 

Rien n'empeche, par exemple, que la cubique soil determinee par quatre 
couples de points iraaginaires et un neuvieme point reel. 

Nous avons vu, dans le cbapilre premier, que les trois centres des fais- 
ceaux homographiques elant donnes, les trois covariants 2 sont represents 
par un systeme de trilaleres conjugues. 

On peut done demander de representor en quelque sorlc graphiquemenl 

les elements de I'homoaxa- 
pbie, et, pour cela, de con- 
slruire un systeme de Irila- 
teres conjugues passant par 
trois points situes sur la 
courbe. 

Soienl A, B, G les trois 
centres donnes. 

Par A menons une trans- 
versale quelconque qui ren- 
contre la courbe en deux 
points P", Q, determines par 
le probleme VII. 

Ensuite P"B determine 0'; 
(}'(], P;PA, Q"; Q"B, P'; 
P'C passera par Q. 

En effet, la courbe donnee, 
et les deux trilaleres P"AB; Q"BP', Q'CP; 0"AP, P"BQ', P'C ont huit 




(*) Voir, par exemple, Fiedler, Darstellende Geometrie, 2" Auf.s. 117. 



SUR LES COHRBES DU TROISIEME ORDRE. 



4S 



points communs. Done les trois cubiques passent par le meme neuvieme 
point, c'esl-a-dire que P'C coupe la courbe en Q. 

Les droites P"AQ, Q"AP ; P'BQ', Q"BP'; P'CQ, Q'CP representent les 
trois covariants 2. 

IAine de ces six droites est choisie arbitrairement. 

Parmi les six points P, P', P", Q, Q', Q" deux exigent une construction 
du second degre; mais la construction de lous les autres se fera par la ligne 
droile (*). 

Nous sommes ainsi ramenes aux conclusions du chapitre premier. 

Le choix arbilraire d'une des six droites correspond an cboix de 1'inde- 
terminee 9; de plus, les trois covariants I ayant meme discriminant, des que 
Tune des racines de Tun d'eux est connue, les racines des autres peuvent 
s'en deduire par des equations lineaires. 

II est facile de voir qu'un sysleme de cinq points, lels que ABP"Q"C, pent 
etre employe pour la generation de la courbe par la melhode de Chasles : les 
qualre points ABP"Q" constiluant la base du faisceau de coniques, et C, le 
centre du faisceau de droites. 

On voit que Ton pent prendre arbitrairement qualre de ces cinq points. 



(*) Voir C. Le Paige, Comptes rendus, t. XCIII, p. 509. 



m*mm. 



urn 



BALEINE FOSSILE DE CROATIE, 



APPARTENANT AU GENRE MESOCETE , 



PAR 



P.J. VAN BENEDEN, 



MEMBRE DE L ACADEMIE ROYALE DE BELGIQUE. 



(Memoire prfoejit* a la Glasse des sciences de l'Academie dans sa stance du 3 juin 1882.) 



Tome XLV. 



UNE 



BALEINE FOSSILE DE CROATIE, 



APPARTENANT ATJ GENRE MESOCETE. 



11 y a trois ans, ie D r Pilar, professeur a TUniversite d'Agram (Croatie), 
pendant un court sejour qu'il fit en Belgique, me fit part de la decouverle 
d'ossements de Cetaces fossiles indetermines qui se trouvaient depuis Iong- 
lemps dans les galeries du Musee national de mineralogie et de geologie 
d'Agram, el qui avaient ete deterres dans les environs de celle ville. 

M. Pilar, comprenant lout Tinleret qui s'atlache a la delerminalion de ces 
ossemenls, me fit obligeamment Toffre de me les communiquer, et, grace au 
concours bienveillanl du directeur du Musee de zoologie, le professeur Brusini, 
je recus, quelque lemps apres, la collection complete, telle qu'elle avail ete 
deposee dans les galeries. Toutes les pieces elaient encore entourees de la 
marne dans laquelle elles avaient ete recueillies. 

J'aideja fait pari decet envoi a TAcademie dans la seance du 3 fevrier 1879, 
en faisant remarquer combien les restes de ces animaux de haute mer excitent 
I'inleret, non-seulement au point de vue des affinites qu'ils ont avec les autres 
Cetaces, mais egalement au point de vue des changemenls qu'ont subis les 
mers d'Europe el surtoul la mer Noire pendant la longue periode de l'epoque 
lertiaire; celte mer, interieure aujourd'hui, qui nourrissait a Fepoque de la 



A 



UNE BALEINE FOSSILE 



mollasse superieure de Suisse des Baleines veri tables, c'est-a-dire des Celaces 
a fanons, ne renferme plus aujourd'hui que Irois especes de Celaces, toutes 
les trois de la famille des Dauphins, et qui ne lui sont meme pas propres, 
puisqu'on les Irouve egalement dans la Mediterranee el dans l'Ocean. Les 
eaux de la mer Noire dans lesquelles ces Baleines prenaient leurs ebals 
s'elendaienl alors au sud jusqu'atix pieds de l'Himalaya et au nord couvraienl 
en partie jusqu'a TAutriche, la Baviere, le Wurtemberg et memo la parlie 
basse de la Suisse; la vallee du Danube communiquail avec la vallee du 
Bhone, et les Cetaces qui se rendaient de la mer Noire a la Mediterranee 
par ces vallees, ont laisse parlout des traces de leur passage. 

Les mammiferes terreslres de celte epoque elaienl egalement bien diffe- 
renls de ceux d'aujourd'hui. C'elail une riche et noble vegetation qui 
recouvrait FEurope a ce temps de la mollasse, dit un paleontologists celebre; 
les Pachydermes dominent encore parmi les mammiferes terreslres, les 
Maslodontes apparaissent comme precurseurs des Elephants et les Hipparions 
annoncent l'apparition des Chevaux. 

Le travail que nous avons I'honneur de communiquer aujourd'hui a pour 
objet la description de ces ossements du Musee d'Agram; ils se composenl 
d'une portion de crane et de vertebres apparlenanl a diverses regions du 
corps. 



On a signale depuis longtemps la presence de Cetaces fossiles dans le 
voisinage de la mer Noire; les premiers auleurs qui en ont fail mention, apres 
Pallas, sont G. Fischer, qui a fait connailre des vertebres de ces animaux 
dans les Memoires de la Sociele des naturalistes de Moscou. II les avait rec^is 
du botaniste russe C.-A. Meyer. 

En 1833 le professeur Balhke, visitant le Musee d'anliquites de Kerlsch, 
y decouvrit une portion de crane de Cetace fossile, provenantdu promontoire 
de Takale dans la presqu'ile de Taman, qui avait ete deterree avec d'autres 
ossements pres de la forleresse d'Anapa. Le professeur de Konigsberg fit 
connailre celte decouverle dans les Memoires des savants etrangers de l'Aca- 



DE CROATIE. 



demie imperiale de S'-Petersbourg et reconnut parfaitemenl les affinites de ce 
nouveau Cetace avec les Balenopteres qui vivent encore aujourd'hui. 

Quelques annees plus tard (1841), 1'Academie des sciences de S^Peters- 
bourg recut directeraent quelques ossements recueillis, comme ceux decrils 
par Balhke, a Anapa; il y avait parmi eux une omoplate, un humerus, et une 
verlebre caudale; le D' Brandt, direcleur du Musee de 1'Academie les rap- 
porla avec raison au meme animal que Balhke avait deja fait connailre, mais, 
ne le croyant pas aussi voisin des Balenopteres que son confrere, il proposa 
le nom de Celolherium en dediant l'espece au professeur de Konigsberg. 

Trois ans plus tard, Brandt, apres avoir compare d'autres materiaux, crul 
reconnaitre certaines affinites entre les Celolherium et les Sireniens (wodurch 
die Bakeniden und Sirenien einander elwas naher gebracht wiirden, dit- 
il). II y a evidemment une erreur. Des restes de Sireniens elaient sans doule 
meles avec ceux de Cetotherium, el atlribues au meme animal. 

Nordmann fait egalement mention, en 1860, dans sa Paleontologie de 
la Russie meridionale, de restes de Celaces de Taman, de Kertsch et de 
Kischenew (Bessarabie) qui sont deposes au Musee d'Helsingfors. Le profes- 
seur de rUniversite de Finlande cite parmi les Bakvnodea, le Celolherium 
priscum, dont il figure, planche XXVI, figures 1-2, un fragment de mandi- 
bule, provenanl de Kertsch, et figures 5-6, meme planche, une verlebre 
lombaire, probablemenl, dit-il, de la presqu'ile de Taman. Nordmann a figure 
encore un fragment de cote de Kertsch, planche XXVI, figure &, qu'il rapporle 
au meme animal. II fait mention aussi de Mystacocetes, trouves en Bessarabie, 
et parmi lesquels il signale une autre espece naine du meme genre; il figure, 
entre autres, une caisse lympanique, des verlebres de differentes regions et 
meme un humerus. 

La vertebre de Kischinew, que le professeur de Helsingfors rapporle au 
genre Balenoptera, est altribuee par Brandt a un Cetodonte, sous le nom de 
Delphinaplerus (Pachypleurus) fockii. 

On a fait mention aussi d'une vertebre de Baleine trouvee dans le bassin 
de la mer Caspienne. 

On en a delerre egalement en 1865 dans les environs de Nikolajew, pro- 
venant d'un jeune animal, qui ont eleenvoyes au Musee de 1'Academie impe- 



6 UNE BALEINE FOSSILE 

riale des sciences de S'-Petersbourg et donl Brandt a fait une espece sous 
le nom de Cetotherium Klinderi. 

Independamment de ces deux especes, Brandl a encore etabli le Cetothe- 
rium helmerseni,a\ec des ossemenls deterres au promontoire de Tekla sur le 
bord de la raer Noire, le Cetotherium priscum, le Cetotherium Mayeri et le 
Cetotherium ambiguum. 

Le Cetotherium priscum est le metne animal qu'Eichwald avail nomme 
Ziphius priscus. Le Cetotherium ambiguum repose, pensons-nous, sur des 
verlebres normales de P achy acanthus. 

De Yerneuil a recueilli egalement pendant son voyage en Crimee, des 
verlebres de Celaces fossiles qui sont deposees au Museum a Paris; Laurillard 
les attribuait a une pelile espece de Baleine, ou a une grande espece de 
Ziphius. 

Dans le voyage de Demidoff, Hyot fait mention egalement d'une vertebre, 
Irouvee dans I'argile rouge pres de Ak-Burun et que Brandt rapporle au 
Cetotherium priscum. On a recueilli encore des ossemenls de Celaces sur 
les bords du Dniester et du Bug a Rischenew et a Nicolajew, a Test de la 
met* Noire. 

Enfin, dans un travail sur les ossemenls de Cetaces d'Europe, fossiles el 
sous-fossiles, le D r Brandl passe en revue (1873) loutes les decouvertes qui 
onl ele faites sur les Celaces de la mer Noire : 



Nous cilons ici les principalis travaux qui onl eu pour objet les ossemenls 
de Cetaces decouverls dans le bassin de la mer Noire. 

Pallas, KleineArl Cete, Bemerkungen auf einer Reise in die siidlichen Slaalthalterschaflen 
des Russichen Reiches, vol. II, p. 289. 

G. Fischer, Fischwirbel, Memoires de la Societe des naiuralistes de Moscou, l. VII, 
1829, p. 298 PI XXI. 

Rathke, Den lebenden Balenopteren verivandtes, aber davon abweichendes Thier, Mem. 
des sav. etrang. de l'Acad. Imp. deS'-Petersbourg, t. II, 1833. 

F. Jager, Fossile Sdugethiere von Wurlemberg, Stuttgart , 1855, pi. 1, fig. 26. 

De Verneuil, Formation lertiaire de la Crimee, Mem. de laSoc. geologique de France, 
t. Ill, part. I, 1837. 



DE CROATIE. 



Eichwald, Der gattung manalus, Bull, scient. de l'Acad. imp. de S'-Petersbourg , 
t.Vl, 1838. 

Eichwald, Die Urwelt Russlands, S'-Petersbourg, 1840. 

J.-F. Brandt, Bullet, ci, phys., mathem., Acad. imp. des Sc. de S'-Petersbourg, 1841, 
t. I, p. 146. 

Al. v. Nordmann, Bullet, de l'Acad. imp. des Sc. de S l -Pe'tersbourg, t. I , p. 202. 

H. v. Meyer, Jahrbuch fiir Mineralogie, 1841, 1842 et 1845; Paleontographica, vol. VI. 

Hyot, Voyage de Demidoff, t. II, 1842. 

H. v. Meyer, Balcenodon lintianus. N. Jahrb. fiir Mineralogie, 1849, p. 549; 1850, 
p. 205. 

Ehrlich, Ueber die Nordbsllichen Alpen, Linz, 1850. 

Eichwald, Lethaea rossica ou Paleontologie de la Russie. Stuttgart, 1853. 

Pictet, Traite de Paleontologie, 2 e edit., vol. I, p. 379, 1855. 

Giebel, Die Sdugethiere, p. 111. 

Nordmann, Paleontologie Sudrusslands , Helsingfors, 1860. 

Eichwald, Bull, de natur. de Moscou, 1860. 

Van Beneden, La cdle d'Ostende et les fossiles d'Anvers, Bullet, de l'Acad. roy. de Bel- 
gique, 2 me ser., t. XII, 1862, p. 479. 

Quenstedt, Handbuch der Petrefactenkunde, 2 Aufl. Tubingen, 1867. 

P.-J. Van Beneden et Paul Gervais, Osteographie des Ce'laces vivants et fossiles, Paris, 
1869. 

J.-F. Brandt, Bullet, sc. d. l'Acad. impe'r. dessc. de S l -Petersbourg, t. XVI, 1871. 

— Bemerkungen iiber die Bartenwale des Wiener Beckens,Silzb. d. Wiener Akad. 
Bd. LXV (1872). 

— Blicke aufdie Zahnwale, Sitzb. d. Wiener Akad. Bd. LXVH (1875). 

— Unlersuchungen iiber die fossilen und subfossilen Celaceen Europa's, S'-Peters- 
bourg, 1875, el Ergdnzungen zu den fossilen Celaceen Europa's, S'-Petersbourg, 1874, 
p. 50. 

P.-J. Van Beneden, Les Thalassotheriens de Baltringen ( Wurtemberg), Bulletins de 
I'Academie royale de Belgique, 2 me ser., t. XLI, n° 5; mars 1876. 

P--J. Van Beneden, Sur un envoi d'ossements de Cetaces fossiles de Croatie, Bulletins de 
l'Academie royale de Belgique, 2 me ser., t. XLV1I, 1879. 



8 



UNE BALEINE F0SS1LE 



On connait aujourd'hui plusieurs Musees qui renferment des ossements 
de Cetaces recueillis dans le bassin de la mer Noire. Les principaux sont 
ceux de S'-Petersbourg : cabinet de la Societe de Mineralogie, le Musee de 
l'Academie des sciences et l'Instilut imperial des Mines. Ce sont les ossements 
qui ont ete recueillis a la cote est de la mer Noire et de la mer d'Azov, a 
Kertsch et a la presqu'ile de Taman, a Anapa. 

Au Musee de l'Universite d'Helsingfors se trouvent plusieurs pieces inte- 
ressantes des memes localites que Nordmann a fait connailre; independamment 
des Phoques, il fait mention de resles de Celotherium, de Balenoptera, de 
plusieurs Delphinides el meme, en exprimant toutefois un doute, d'une vraie 
Baleine. Le professeur d'Odessa fait mention d'abord des Celotherium de 
Taman et de Kertsch, puis de restes du meme ordre trouves en Bessarabie. 

A Paris, au Museum d'histoire naturelle, on conserve les vertebres rappor- 
tees de Crimee par de Verneuil. Le Musee de Tiflis possede egalement 
quelques ossements de Cetaces. 

Le Musee de Vienne {llof miner alien Cabinet) renferme depuis 1854 
une vertebre dorsale, decouverte a Pod, pres d'Agram, dit l'etiquette, et qui 
appartient sans doute au meme animal que celui qui nous occupe. Le mot Pod, 
designe, d'apres M. Pilar, la meme localite que Poduset. Nous avons vu 
egalement dans ce meme Musee une vertebre provenant du Leithakalk, 
recueillie dans les environs de Vienne meme. Nous pouvons encore faire 
mention de debris de Delphinides deterres dans les environs de celte ville 
et qui se trouvent en partie au Musee de mineralogie et en plus grand 
nombre dans le Musee particulier de Letocha. Ce sont presque tous Delphi- 
nides recueillis dans le Tcgel de Hernals (environs de Vienne), qui corres- 
pond au terrain a fossiles d'Oeningen. 

On possede au meme Musee de mineralogie un humerus, que Brandt 
rapporte au Celotherium priscum, qui a ete deterre a Margarelhen, dans le 
Leithakalk. Nous avons eu en main tous ces ossements des Musees de 
Vienne, de S*-Petersbourg et d'Helsingfors, et, a l'exception de l'humerus du 
Musee de Vienne, tous sont fort mal conserves; nous n'oserions du reste 
affirmer que la plupart des differences que presentenl ces os ne sont pas 
des differences individuelles ou le resultat de modifications survenues par la 
fossilisation. Tous ces os sont tres-lourds et impregnes de fer. 



D£ CROATIE. 



9 



A Linz on trouve au Vaderland. Museum un squeletle assez complet 
d'un Cetace recueilli dans les environs de cette ville et que nous avons fait 
connailre sous le nom de Aulocetus. Herman v. Meyer avait propose le nom 
de Balenodon lentianus. 11 est voisin de celui qui nous oecupe. 

Nous avons vu egalement des ossements de Cetaces au Musee de Munich, 
provenant de la mollasse des environs de Lindau. Nous pouvons citer encore 
des ossements de Cetaces recueillis dans la mollasse de Suisse, el que nous 
avons pu comparer a Zurich. 

Nous avons vu une tele de Cetace au Musee de Stuttgard qui a ete 
recueillie a Oedenbourg en Hongrie. Elle appartient a un Ziphioi'de et se 
Irouve au chateau de Katzendries, propriete du comtc de Beroldingen. 
Independammenl de la tele, la region cervicale est conservee depuis la pre- 
miere jusqu'a la cinquieme vertebre. 

Le Musee de Stuttgard possede egalement une vertebre qui a beaucoup 
d'analogie avec celle de l'aulocete de Linz et qui provient de la mollasse 
superieure d'Oberschwalben. Elle a ete Irouvee a cote de restes de Squalo- 
don el (THalitherium. 

Entre Ulm et Biberach, sur la route qui conduit au lac de Constance, 
dans TOberschwalben, se trouve un endroit nomme Baltringen, qui est par- 
ticulierement riche en ossements d'animaux marins. Le pasleur Probst de 
Essendorf en possede de fort interessants dans sa collection et qu'il a eu 
I'obligeance de me confier '. A cote des Squalodons on voit surtout des restes 
de deux Delphinides que H. von Meyer a designes sous le nom de Delphinus 
(Platyrynchus) canaiiculatus el Orcopsis acutidens^. Ces deux Cetaces 
paraissent avoir ete exlrememenl abondanls a l'epoque ou la mollasse s'esl 
deposee en Suisse et en Baviere. A cole d'eux vivaient encore deux aulres 
Oauphins. 

II y a tout lieu de croire que tous ces ossements proviennenl d'animaux 
<^onlemporains qui hantaient la mer Noire a une epoque ou on pouvait la 
comparer par son extension et ses communications avec FOcean allanlique. 

1 Van Beneden, Les TliaUwsolheriens de Baltringen, Bullet, do lAcud. roy. dc Bclgiquc, 
2 C scr., I. XLI; mars 1870. 

2 Ce Dauphin vivait egalemeul sur les cotes de Portugal. — Van Delli a figure une de ses 
dents sous le nom dc Physeter. 

Tome XLV. 2 



JO 



UNE BALEINE FOSSILE 



DESCRIPTION. 



Parmi les ossements que M. Pilar a bien voulu nous communiques nous 
trouvons, comme nous l'avons dit, toute la partie posterieure d'une boite 
cranienne, le condyle d'une mandibule, plusieurs vertebres appartenant a 
diverses regions du corps et un fragment de cote. Ces os semblaienl d'abord 
provenir de deux individus differents, mais, apres les avoir debarrasses de la 
marne qui les enveloppait, il n'etait pas difficile de voir que quelques-unes 
de ces vertebres, plus grandes que les autres, etaient des lombaires se rap- 
portant exaclemcnl a une seule et meme colonne vcrtebrale. 

Boite cranienne. 



Les os qui constituent la boite cranienne sonl si parfailemenl conserves 
que leurs caracteres ne sont pas moins distincts que s'ils appartenaient a un 
Cetaee vivant : une des caisses tympaniques est encore en place et de chaque 
cote on voit l'apophyse mastoi'de enchassee dans la parlie correspondante du 
temporal. La partie superieure de la boite cranienne est moins complete; la 
portion ecailleuse de l'occipital est brisee, et toute la partie superieure de 
l'occipital a penetre dans la cavite cranienne. L'animal a sans doute ete tue 
sur place. 

En avant la boite cranienne est tronquee obliquemenl a la hauteur du 
sphenoide anterieur, de maniere que le rostre manque; la coupe a mis 
en evidence, independammenl du corps du sphenoide, en dessous le vomer 
el le palalin, sur le cote le temporal et le parietal, en haut Toccipilal. Cettc 
coupe, du reste fort irreguliere, doit avoir ete faite quand la tele elail 
solidement enchassee dans la marne et e'est probablement au moment de 
I'extraction que la tele a ete brisee. II n'en est pas de meme de la fracture 
de l'occipital qui a eu lieu probablement du vivant de l'animal, ou du moins, 



DE CROATIE. 



11 



pendant qu'il etait encore en chair. Cette interpretation s'accorde avec le 
passage d'une lettre de M. Pilar au sujel de Page de la marne qui renferme 
ces ossements : « Le calcaire de Leytha est developpe dans les environs de 
Sused, dit-il, et dans ce calcaire on trouve assez de restes pour qu'on puisse 
le ranger dans le Helvetien de Ch. Meyer. Or un bloc de ce calcaire de 
Leytha se trouve enchasse dans les marnes grises, et, selon mon avis, il y 
est arrive comme bloc erratique qui s'est precipite dans la mer du haut d'un 
rocher dolomitique ronge par les vagues. » 

Le Cetace entier a ete pris sans doute dans eel eboulement et nous 
voyons les arcs neuraux de plusieurs vertebres dorsales chevaucher sur le 
corps de l'os. 

Ainsi, toutes les parties de la base du crane sont, comme nous venons de 
le dire, parfaitement conservees; en arriere on voit les apophyses condy- 
loides saillantes de 1'occipital et enlre elles le sillon qui les separe sous 
forme d'une gouttiere. Le condyle de gauche est seul en place; sa surface 
mesure, en suivant la courbure, 12 centimetres en longueur et 5 centi- 
metres en largeur. 

Le grand trou occipital n'est pas sans presenter un interet particulier : la 
direction de la surface articulaire du condyle montre que la tete n'est point 
articulee a l'allas comme celle des Cetodontes, mais plutot comme celle des 
Mystacocetes, e'est-a-dire qu'elle forme un angle avec la colonne vertebrale, 
au lieu de se placer dans l'axe du corps. Le Cetace a fanons nage la bouche 
ouverte et le rostre leve, tandis que le Cetodonte tient la bouche fermee en 
poursuivant sa proie. 

La partie squameuse ou ecailleuse de 1'occipital est brisee de maniere que 
le bord meme de l'os, qui forme la partie superieure du trou occipital, a 
penetre dans la cavite du crane et a meme bouche la partie superieure de 
l'entree. Le cerveau comme la partie anterieure de la moelle epiniere ont 
du etre ecrases en meme temps. 

La face superieure de cette portion de 1'occipital presente une crete sur 
la ligne mediane, qui augmente d'arriere en avant et toute cette region, au 
lieu d'etre bombe, presente une forte depression; sur les bords il se releve 
au-dessus des parietaux. 11 en resulte que la boite cranienne, au lieu d'etre 



12 



UNE BALEINE FOSSILE 



arrondie a la surface est, au contraire, creusee comme dans les Aulocetes. 

La portion ecailleuse du temporal recouvre une grande partie du parietal 
qui est remarquable par la grande epaisseur de ses parois. C'est dans la 
coupe, que nous figurons plus loin, que Ton voit bien ce developpement 
extraordinaire. On voit fort bien aussi au-devant de la caisse tympanique, 
qui est placee a droite, on voit fort bien,disons-nous, la gouttiere qui loge la 
trompe d'Eustache et son entree dans un repli de l'os palatin. Tous les os de 
la boite cranienne portent les traces d'une pression exercee obliquement de 
haut en bas. 

La face inferieure de la portion basilaire de l'occipital est regulierement 
unie entre les deux protuberances, a cote desquelles se trouve la caisse 
tympanique ; ces protuberances existent dans plusieurs Mystacoceles fossiles 
et, dans le Cetace qui nous occupe, c'est entre elles que Ton voit le bord 
posterieur du vomer; ces protuberances ont a peu pres le volume des caisses 
tympaniques. Les Balenopteres vivantes ne montrent qu'une legere saillie a 
la place qu'elles occupent ici. A cote de ces protuberances on voit la cavite 
du temporal dans laquelle est logee la caisse tympanique. A la maniere 
dont elle est sertie dans cet os on voit egalement bien que le Cetace d'Agram 
est un Mystacocete. 

Le vomer s'etend en arriere jusqu'au milieu des protuberances dont nous 
venons de parler et qui sont bien indiquees sur la planche qui accompagne 
ce travail ; il recouvre le corps du sphenoi'de. Le dessinateur n'a pas d'abord 
reproduit le bord posterieur de cet os, croyant sans doute, que la ligne 
transverse du bord librc est un repli accidentel. Sur la ligne mediane du 
vomer apparait une crete, qui se developpe d'arriere en avant et forme le 
commencement de la cloison qui separe les fosses nasales. On voit done 
parfaitement dans le dessin l'origine des events. Le vomer represente bien les 
os en V des verlebres craniennes. 

La caisse tympanique est remarquable par sa forme reguliere ; toute sa 
surface externe esl parfailement arrondie. Cette caisse, vue par-dessous, est 
comparativement large et son diametre antero-posterieur est un peu plus 
grand que son diametre transverse : le premier mesure 7 centimetres, le 
second en mesure A 1 /2. En avant elle est terminee par une ligne legeremenl 
oblique, qui remonle du bord externe au bord anterieur. En arriere la caisse 



DE CROATIE. 



15 



se retrecit el prend une forme conique; sur le bord exlerne on voit, dans l'os 
en place, le repli derriere lequel se trouve l'orifice de la membrane du 
tympan. Get os est figure en place planche I. Nous Pavons figure, seul, par 
sa face interne, planche II, figure 11. II est remarquable surtout par la ligne 
diagonale qui le separe en deux moities presque egales en etendue. 

L'apophyse du tympanal, auquel nous avons conserve le nom de mastoi- 
dienne et qui n'est pas sans offrir des caracteres fort importants pour la 
distinction des genres et des especes, est en place des deux cotes. Cette 
apophyse est etroite, allongee else fait remarquer surtout par sa forme parti- 
culiere, puisqu'elle conserve a peu pres la meme largeur dans toute son 
etendue. Sa longueur n'a rien d'exlraordinaire; elle est plutot grele que mas- 
sive et presente un bord saillant sur une grande partie de sa longueur. Elle 
est figuree des deux cotes en place, planche I. On la voit dans toute la 
largeur de la gouttiere qui lui est formee par le temporal. Cette apophyse 
differe notablemenl de toutes celles que nous connaissons dans les Cetaces 
fossiles d'Anvers; celle du Plesiocelus hupschii, figuree dans notre Osleogra- 
phie, planche XVI, figure 17, et celle du Plesiocetus dubius, figuree dans 
le m6me ouvrage, planche XII, figures 2, 3 et i, sont celles qui s'en appro- 
chent le plus. Au-devant de celle apophyse, on voit une gouttiere large, 
profonde et qui loge le conduit auditif externe. Derriere la caisse tympa- 
nique le temporal est creuse par une espece crentonnoir que nous avons vu 
egalemenl chez cFautres Mystacocetes fossiles. 

Le palatin n'est visible que du cote droit de I'animal; a gauche il est 
completement absent. II n'offre quelque interet que par la coupe, qui le 
montre dans ses rapports avec les autres os du crane; par son bord interne, 
il semble elre la continuation du vomer, passe ensuite sous le parietal et le 
temporal, puis se replie en dessous pour former le plancher des fosses nasales. 

Le pterigoi'dien est represente dans le dessin par une bande assez large 
situee entre le tympanal el le palatin. Toule la parlie posterieure est brisee de 
maniere que la gouttiere, qui etablit la communication entre les fosses nasales 
et l'oreille moyenne, est mise a nu. 

En comparant la base du crane du Mesocete d'Agram avec cette meme 
legion des Balenopteres vivantes, on voit des differences notables qui les 
eloignent considerablement les uns des autres; d'abord, Tespace qui separe 



14 



UNE BALEINE FOSSILE 



les condyles de l'occipital des os pterigoi'diens est beaucoup plus grand dans 
les Mesocetes que dans les autres, et les condyles eux-memes sont plus eloi- 
gned entre eux; et ce qui dislingue ensuite les especes fossiles, c'est la forte 
luberosite qui se trouve de chaque cote du tympanal et entre lesquelles il se 
forme une gouttiere a laquelle conduisenl les deux fosses nasales. Cette por- 
tion basilaire de Toccipital presente ainsi des caracteres propres. 

La parlie posterieure du crane des Mesocetes ne presente pas moins de 
differences, si on la compare avec cette meme partie des Balenopteres 
actuelles; on est frappe d'abord de sa grande largeur, qui resulte de I'ecar- 
temenl des os temporaux et qui les rapproche plus des vraies Baleines que 
des Balenopteres. II en resulte que le contour du temporal est change com- 
pletemenl; cet os, vu par sa face inferieure, qui correspond au condyle de 
la mandibule, affecte une forme triangulaire dont la base est en dehors et le 
sommet en dedans; dans les Mesocetes, au conlraire, l'os est peu etendu 
d'avant en arriere el le bord externe est parfaitement arrondi, au lieu de 
former la base d'un triangle. II en resulte que la mandibule a beaucoup moins 
de jeu dans les Mesocetes et que le temporal laisse a nu la gouttiere du 
conduit auditif, Tapophyse mastoi'de et la partie posterieure de l'occipital. 

Si nous comparons ensuite la partie superieure du crane dans ces deux 
Cetaces, nous voyons l'occipital s'etendre a peu pres de la meme maniere en 
se relrecissanl en avant ; mais sur le cote c'est a peine si le temporal deborde 
l'occipital dans la Balcenoptera rostrata, tandis que dans le Mesocele, ce 
temporal depasse nolablement l'occipital en dehors et elargit la base du crane. 

Nous ne pouvons ne pas faire remarquer que la forme que prend I'occi- 
pital en avant, dans sa parlie qui conslitue la voute de la cavite cranienne, 
fait ressembler complelement les Mesocetes qui nous occupent aux especes 
du meme genre trouvees a Anvers, c'est-a-dire que, dans les uns comme 
dans les autres, eel os se termine en avant en pointe et se releve sur le cole; 
la voute, au lieu d'etre bornhee, comme dans les cranes en general, est au 
conlraire creusee au milieu. Les parois du crane, formees par l'occipital, ont 
nolablement plus d'epaisseur dans le Mesocete que dans la petite Balenop- 
tere et le cerveau, a en juger par la cavite qui le loge, est bien moins volumi- 
neux et moins etendu en avant. Toute la boite cranienne a pris de 
l'extension en largeur. 



DE CROATIE. 



in 



Le crane du Mesocete d'Agram est brise derriere l'os frontal de 
maniere que nous avons une coupe transversale de celte region qui nous 
montre en dessous le corps du sphenoide anterieur, en dessous de celui-ci 
la lame du vomer qui forme les parois de la partie inferieure des fosses 
nasales; en dehors de celui-ci le palatin formant les trois quarts des parois 
des fosses nasales; puis, sur le cote, en dehors, on voit le temporal aminci 
flans cette region et couvrant le parietal qui a acquis une grande epaisseur; en 
haut on voit la partie anterieure de l'occipital, dont toute la partie qui forme 
la voute du crane est defoncee. Le crane est separe des os de la face comme 
si Ton avait fait une coupe pour juger des rapports des os enlre eux; aussi, 
pour apprecier les affinites des Mesocetes avec les Balenopteres actuelles, 
avons-nous fait faire une coupe tranversale d'une lete de Balcenoptera 
rostrata, passant en dessous, a travers le vomer, le sphenoide et le palatin, 
sur le cole, a travers le temporal ct le parietal, en dessus, a travers 
l'occipital. Cette coupe correspond exactement avec la fracture du crane de 
Mesocete. 

En comparant cette coupe de Balcenoptera rostrata avec celle de Meso- 
cctus, on est frappe de voir une difference notable dans la disposition gene- 
rale des os; la tete de ces derniers est etendue en largeur, a sa base surtout, 
et cette extension a lieu aux depens de la hauteur, de maniere que la boite 
cranienne est nolablemenl plus elevee dans cette espece vivanle que clans 
lespece fossile; le corps du sphenoide a au moins deux fois plus de largeur 
quede hauteur, tandis que le corps du sphenoide de la Balcenoptera rostrata 
a le double en hauteur; le palatin consiste dans une lame qui se replie de 
nianiere a former une cavite qui s'etend horizontalement sous le sphenoide 
dans le Mesocete et a peu pres verticalement de has en haut a cote du 
sphenoide ; c'esl par cette cavite formee par le pterigoi'dien que Toreille 
moyenne communique avec les fosses nasales. 

Le frontal a une epaisseur considerable pour constituer les parois de la 
cavite cranienne dans le Mesocete, et le temporal le recouvre sur les tlancs 
comme l'occipital le recouvre au-dessus; nous reproduisons ici ces deux 
coupes, qui, sans etre failes au meme point, monlrent cependantla difference 
enorme qui eloigne ces Mystacoceles vivantes des fossiles. 



16 



UNE BALEINE FOSSILE 

Fig. i. 




Fig. i . Coupe du crane de Meso- 
cetus agrami, derriere le frontal. 

Fig. 2. Coupe du crane dc Balw- 
nopte.ru roslrata a travers le frontal. 

Dans les deux figures a indique le 
sphenoide, b le palatin, c le parietal, 
d l'occipital. 



ix \s 



DE CROATIE. 



17 



La mandibule du Celace d'Agram est representee par la partie la plus 
imporlante de cet os, c'est-a-dire, par le condyle arliculaire; cette partie de 
I'os, comme nous l'avons deja fait remarquer, presenle de grandes variations 
qui sont en rapport avec le genre de vie de Fanimal. Ces variations sont en 
effel direetement en rapport avec le regime et ont l'imporlance des dents 
des Mammiferes terrestres. 

Pour bien juger de cetle importance il est bon de placer quelques mandi- 
bules de Baleines, de Balenopleres et de Dauphins les unes a cole des aulres; 
de prime abord on est frappe du peu de ressemblance qui existe entre les 
Mystacocetes et les Cetodonles sous le rapport du condyle de la mandibule et 
de la face glenoide du temporal; la face glenoide est presque horizontale 
dans la Baleine tranche, comme le montre le dessin de la tete publie par 
Cuvier, tandis que les Cetaces a dents ont cette surface presque verticale; 
dans les jeunes Baleines elle est entre les deux et Ton peut dire que les 
Baleines tranches, jeunes, sont, sous ce rapport, egalemenl plus pres des 
Dauphins que les adultes. B resulte de cette disposition de la face gle- 
noi'de que la face arliculaire du condyle doit presenter des modifications 
correspondantes dans sa forme, dans la place qu'il occupe et dans sa 
direction. On comprend le motif de ces modifications. 

Les premiers, les Baleines franches, ne se nourrissent que de Mollusques 
et de Crustaces de petite taille qui fourmillent dans la mer et elles nagent la 
bouche. ouverte pour engouffrer cette proie de petite dimension. C'est comme 
1'ouverture du chalut qui traine au fond de la mer. Cette bouche ne se ferme 
guere; les Cetaces a dents qui se nourrissent de poissons, nagent la bouche 
fermee et ne Touvrent que pour happer la proie; ils ferment la bouche pour 
ne pas la laisser echapper. 

line Baleine veritable, qui rencontre un banc de manger, avance douce- 
ment el, nageant la bouche ouverle, engouffre Peau avec les Crustaces ou 
Mollusques vivants; la machoire se releve ensuite legerement avec ses lippes, 
la langue se rapproche du palais et Teau est chassee a droile et a gauche a 
ffavers le treillis forme par les fanons. 

La mandibule des Celodontes est toute differente de cede des Mystacocetes : 
d'abord elle est droile, au lieu d'etre courbee et, en general, vers le milieu de 
Tome XLV. 3 



18 



UNE BALEINE FOSSILE 



sa longueur, elle s'eleve insensiblement, de maniere qu'elle est souvent plu- 
sieurs fois plus haute en arriere qu'en avant ; 1'os est tronque en arriere et 
consiste dans une lame mince qui s'eleve verlicalement montrant une surface 
articulaire etroite vers le milieu de sa hauteur. Cette surface arliculaire 
semble occuper le milieu de la hauteur; l'apophyse coronoide s'eleve pour 
ainsi dire au-dessus du condyle et 1'echancrure sigmoide est a peine distincte. 

Comme difference entre la mandibule des Baleines et celle des Cetodontes 
on doit signaler encore l'entree du canal dentaire; dans les premiers, il y a un 
orifice veritable a une cerlaine distance du condyle ; dans les Cetodontes 
il n'y a pas d'orifice proprement dit : l'entree commence immediatement au 
devant du condyle et occupe toute la hauteur de l'os. La mandibule est 
pour ainsi dire formee de deux lames juxtaposees, laissant un certain espace 
entre elles, dont 1'interne ne s'etend pas aussi loin en arriere que I'autre; 
I'espace qui separe les deux lames fait fonclion de canal dentaire. Autant cet 
os est epais et solide quand il y a des fanons autant il est mince et delicat 
quand il y a des dents. 

Dans le mammifere en general, l'apophyse coronoide est separee du con- 
dyle par un col et une echancrure sigmoide tres distincte, tandis qu'ici, 
comme nous venons de le dire, 1'echancrure sigmoide est peu prononcee et 
l'apophyse coronoide est elevee au-dessus du condyle. Le bord posterieur 
forme avec le bord inferieur a peu pres un angle droit dans les divers Ceto- 
dontes. Entre cette mandibule de Baleine et la mandibule de Celodonte on 
trouve tous les degres intermediates dans des Balenopterides, de maniere 
que chaque modification correspond a une difference dans la maniere de 
vivre de l'animal. II y a done, sous ce rapport, une difference tres-grande 
entre le Cetace a fanons et le Cetace a dents. C'est cette consideration qui 
nous a fait altacher une grande importance au condyle de la mandibule, pour 
etablir des coupes generiques parmi ces grands Cetaces. 

La face posterieure du condyle de Mesocete que nous decrivons est un 
peu plus haute que large, bombee vers le milieu el sur le bord externe 
couverte de sillons qui partent de la protuberance centrale. En dessus le 
condyle est entier, en dessous il est casse juste a I'endroit qu'on peul 
appeler le col et qui loge le nerf du maxillaire inferieur avec les vaisseaux 



DE CROATIE. 



19 



qui l'accompagnent. Ce condyle a 8 centimetres en largeur, 9 en hauteur. 
II est represents planche XI, figure 1 0, vu cle face. En dessus et en dessous 
nous avons complete le dessin. Ce n'est pas un condyle saillant et arrondi 
comme une tete de femur ou d'humerus, c'est une surface aplatie et elargie 
avec des limites precises indiquees par des levres qui la bordent tout autour. 
La mandibule est tronquee et c'est par le milieu de la troncature que la face 
condyloidienne s'adapte a la face glenoi'de a peu pres verticale. En dessous 
de la face du condyle on voit le bord interne de l'os s'echancrer pour loger 
le nerf et les vaisseaux qui se rendent au canal dentaire. La partie qui est 
en dessous de celte echancrure correspond au talon qui est exlraordinai- 
rement developpe dans YErpetocete dont nous avons parle precedemment. 
La face interne est remarquable par une excavation profonde qui s'etend 
en haut el une saillie arrondie a la partie inferieure qui doit servir de 
plancher au nerf, sous la protection du bord du condyle. L'echancrure 
sigmoide ne commence pas immediatement au-devant du bord du condyle; 
il y a une partie qui se trouve sur le meme plan que lui. La face externe 
est ondulee comme l'interne et se creuse legeremenl vers le milieu de sa 
hauteur. Comme l'os est brise nous voyons parfaitement la difference de son 
epaisseur en dessus et en dessous; en dessus la mandibule s'amincit extraor- 
dinairement et n'a pas plus d'epaisseur qu'une feuille de carton; en dessous 
elle s'epaissit de maniere qu'a la hauteur du col, elle a quatre ou cinq fois 
cette epaisseur. Nous ne pouvons rien dire ni du bord superieur ni du bord 
•nferieur; ils sont tous les deux brises. 



Colouue vert6brale. 



La portion de crane que nous venons de faire connaitre est accompagnee 
de treize vertebres, appartenant aux diverses regions du corps. II n'y a que 
les verlebres cervicales qui manquent. Ces verlebres indiquent bien l'age 
adulte de Tanimal; si les dorsales ont encore leurs epiphyses libres, les 
caudales les ont au contraire complelement reunies, ce qui est conforme aux 
observations faites d'abord par Flower que la reunion des epiphyses com- 



20 



UNE BALEINE FOSSILE 



mence dans la region caudale. Ce qui prouve la justesse de cette observation, 
c'est que nous avons un squelette de femelle de Globiceps, qui est venue 
a la cote, dans un etat de grossesse a terme, et dont les epiphyses de la 
region caudale sont soudees tandis que celles de la region dorsale sont encore 
toutes separees. 

Nous avons tout lieu de croire que la vertebre que nous figurons planche II, 
figure 1, est la premiere dorsale, aussi bien, a en juger, par Fepaisseur du 
corps, l'origine et la direction du pedicule neural, la largeur du canal verte- 
bral, que par la face articulaire de la cote qui est placee tres-bas. Si nous 
comparons cette vertebre a la premiere dorsale de la Balcenoptera rostrata, 
nous trouvons que le corps est comparativement plus epais et que Tare neural 
comme les apophyses sont plus robustes ; l'impression de la tete de la cote 
est aussi plus accentuee. Nous avons tout lieu de croire que ce Cetace de la 
mer Noire etait plus solidement bati que la petite Balamoplera rostrata des 
temps actuels. 

La premiere dorsale a une epaisseur de 35 millimetres sur 95 de largeur 
et 65 de hauteur. Les epiphyses sont soudees tout en indiquant parfaitement 
leurs limites dans toute la circonference. 

Le canal vertebral est fort large, et le pedicule de Tare neural qui indique ses 
limites est fort delicat. 

La face laterale de la vertebre est deprimee au milieu, et sur la ligne 
mediane legerement bombee au-dessus; en dessous elle montre une saillie 
en forme de crete sur la ligne mediane et a cote de laquelle on voit une 
legere depression. 

Ce que cette vertebre offre surtout de remarquable, c'est la forte surface 
articulaire pour la tete de la cote et le bord nettement releve qui entoure 
toute cette surface. 

Tous les caracteres de la premiere vertebre se reproduisent naturellement 
dans la vertebre suivante- nous n'avons qu'a signaler son augmentation en 
diametre antero-poslerieur. La crete mediane a la face inferieure est plus 
prononcee et s'etend d'une epiphyse a l'autre. La troisieme vertebre dorsale 
a une epaisseur de 50 millimetres en y comprenant les epiphyses; il est 
assez curieux de voir que 1'epiphyse anterieure est en place et se trouve 



DE CROATIE. 



21 



accolee a l'epiphyse de la vertebre precedente ; l'epiphyse posterieure 
manque. II resulterait de ceci que l'epiphyse anterieure se soude mieux 
ou plus vite que la posterieure. Par suite du developpement de la crete 
mediane a la face inferieure, la vertebre devient carenee. Ces Irois verlebres 
ne se suivenl pas, eomrae Pindique l'epiphyse anterieure. Quand nous disons 
troisieme dorsale, nous voulons dire troisieme de celte region qui est en 
notre possession et qui, a en juger par comparaison, est reellement la troi- 
sieme en rang. Le pedicule de Tare neural prend racine un peu plus haut 
que dans la vertebre precedente. Celte vertebre est representee vue de face 
planche XI, figure 7 ; elle se fait remarquer par son etendue en largeur aux 
depens de la hauteur ainsi que par la largeur du canal vertebral. Le disque 
mesure en largeur 10 centimetres, en hauteur 7 centimetres. Ces trois 
vertebres sont representees planche XI, figures 1, 2 et 3, vues de profil ; 
elles montrent fort distinctement la fosselte articulaire. Ces fossettes sont 
placees tres-bas dans la premiere dorsale el montent dans les verlebres 
suivantes. 

Au Cabinet de mineralogie de Vienne se trouve une vertebre dorsale, sans 
indication de nom, provenant, d'apres l'etiquette qui l'accompagne, de Pod, 
pres d'Agram (Croatie). Elle a ete remise en 1854. D'apres l'epiphyse, elle 
provient d'un animal adulte; sa facetle articulaire est ires-marquee imme- 
diatement en dessous du pied du cercle neural., ce qui denote qu'elle est 
posterieure a la troisieme dorsale. Nous avons tout lieu de croire que e'est 
•a cinquieme dorsale. Nous ne doutons pas qu'elle ne provienne de la meme 
espece qui nous occupe ici. 

Nous avons en outre cinq autres vertebres de la meme region dont on dis- 
tingue aisement la place relative, par le diamelre antero-posterieur qui 
augmenle de vertebre en vertebre, par l'apophyse transverse qui prend 
naissance de plus en plus bas, ainsi que par le canal medullaire qui se retrecit 
successivement. La premiere est figuree meme planche, figure 4. Le disque 
ne mesure plus en largeur que 8 */% centimetres et 7 l k centimetres en hau- 
teur. D'avant en arriere, en y comprenant les epiphyses, cette verlebre mesure 
7 centimetres. Comme la troisieme dorsale ne mesure que 5 cenlimelres, il y 
a tout lieu de croire que e'est la cinquieme et que la quatrieme manque. Asa 



UNE BALEINE F0SS1LE 



face inferieure, cette vertebre n'est pas carenee, mais on voit sur le cote une 
excavation assez profonde qui augmente depuis la ligne mediane jusqu'au 
pied de l'apophyse transverse. Les apophyses transverses s'elevent encore 
tres-haut, c'est-a-dire que le pedicule de l'arc est place a la hauteur du 
canal vertebral, et l'apophyse proprement dite qui porte la cote s'eleve peu 
de bas en haut, mais beaucoup plus de dedans en dehors. Le pedicule 
s'etend d'avant en arriere, c'est-a-dire dans presque loule la longueur de 
la vertebre corame dans tous les Mystacoeetes. Dans les Cetodonles, il y a 
toujours un grand espace entre les pedicules des verlebres. En avant il 
s'eleve presque sur le bord en disque el a la meme distance que l'apophyse 
transverse et en arriere il n'est separe du disque que par la longueur d'un 
centimetre. Nous n'avons pas de zygapophyses conservees. On envoit seule- 
ment des traces. Le corps a la longueur de 7 centimetres, a 1 millimetre 
pres la hauteur est egale a la longueur et la largeur a pres de 2 centimetres 
de plus, a la hauteur des apophyses transverses. L'arc neural est assez bien 
conserve pour juger de 1'ampleur du canal vertebral. A la base, il mesure 
I centimetres en largeur et en hauteur 2 % centimetres. La face anterieure 
porte son epiphyse en place et l'epiphvse posterieure de la vertebre prece- 
dente est encore reunie. Cette derniere a faiblement glisse sur elle. La dorsale 
suivanle, la cinquieme a un */2 centimetre de plus en longueur et en hauteur 
que la precedente, et elle a conserve la meme largeur. La face inferieure est 
moins arrondie et merile presque la qualification de carenee. L'apophyse 
transverse nait un peu plus bas et presente evidemment plus de largeur a sa 
base, et plus de solidite. Ni 1'une ni l'autre de ces verlebres ne portent de 
traces de facette articulable pour les cotes. 

La vertebre qui suit a le pedicule de Fare neural incomplet, de maniere 
que Ton ne pent bien juger des dimensions du canal vertebral. II n'a 
guere change si on le compare avec celui de la vertebre precedente. Le 
corps de la vertebre a tres-peu change aussi; seulement son apophyse trans- 
verse nait un peu plus bas que dans la precedente. Les zygapophyses sont 
brisees jusqu'a la base et tout Tare a ete deplace de maniere qu'il a perdu sa 
direction naturelle. Le corps mesure en largeur 9 centimetres, en hauteur 
1 centimetre de moins, et en longueur sans les epiphyses, egalement 9 centi- 
metres. 



DE CROATIE. 



25 



La vertebre suivante est interessante sous divers rapports; d'abord son 
epiphyse anterieure manque, en avant et Ton voit un fragment a la face pos- 
terieure de la vertebre preeedente qui a glisse de maniere a ne plus couvrir 
que le quart du corps de la verlebre ; les apophyses transverses sont fort 
larges et s'etendent horizontalement vers le milieu du corps. Nous ne savons 
au juste quelle largeur elles atteignent. L'arc neural est incomplet; il a ete 
brise de maniere qu'une partie du pedicule est seule conservee. C'est une 
fracture tres-curieuse qui montreavec quelle violence tous ces os onl du etre 
muliles avant de s'ensevelir dans la marne. Cette vertebre a 9 centimetres de 
large, 8 de long, sous les epiphyses, et 7 '/ 2 de haul. La face inferieure est 
encore parfaitement arrondie et legerement creusee en dessous de l'apophyse 
transverse. 

La huitieme verlebre que nous possedons est une lombaire fort bien con- 
servee, a Fexceplion de Tare neural. Elle est figuree planche II, figure 5, 
vue de profil et figure 8 vue de face. Elle mesure nn f /2 centimetre de plus 
en longueur et a peu pres aulant en hauteur; la face inferieure n'a guere 
change, si ce n'est que la carene est devenue plus saillante. L'apophyse 
transverse nait un peu plus bas que dans la preeedente ; par la direction de 
cette apophyse comme par son origine on voit que ces dernieres dorsales se 
suivent comme les trois premieres. Le canal vertebral a considerablemenl 
perdu en largeur, puisqu'il ne mesure plus que 3 a 3 */s centimetres de lar- 
geur. Comme les vertebres suivantes, elle a conserve ses deux epiphyses. 
Cette vertebre, la neuvieme en nombre, a la meme largeur et ne differe de 
la preeedente ni en hauteur ni en largeur ; la carene de la face inferieure se 
dessine plus nettement et les apophyses transverses se dirigent un peu plus 
en avant. En dessus comme en dessous de l'apophyse tranverse, elle est 
plus ou moins creusee a sa surface de maniere que le bord du disque 
deborde legerement. L'espace qui la separe de Fare neural est un peu plus 
grand. Le canal vertebral a 3 centimelres de large au milieu et le plancher 
est pourvu d'une crete sur la ligne mediane au moins dans la partie 
recouverte par Tare neural. Un fragment d'apophyse loge dans le canal 
vertebral montre que ces os ont du etre pendant assez longtemps le jouet des 
vagues. Cette vertebre s'allonge, en meme temps que les deux dianietres, 



24 



UNE BALEIINE FOSSILE 



vertical et transversa], de maniere qu'elle est devenue plus volumineuse 
dans tous les sens; a la face inferieure, la carene est devenue plus saillanle 
et le corps est plus profondemenl creuse au-dessus comme au-dessous de 
1'apophyse transverse. L'arc neural est devenu plus etroit et le plancher 
conserve les memes caracteres. Au milieu il n'a plus que la largeur de 
2 centimetres. Le corps mesure en largeur 10 */2 centimetres, en hauteur 8 
et en largeur, mesure a la surface de Pepiphyse, 9. II y a une lacune entre 
cette verlebre et la premiere caudale que nous possesions. Cette verlebre 
s'allonge un peu puisqu'elle mesure 10 centimetres et 2 ou 3 milli- 
metres; en meme temps la carene est plus prononcee a la face inferieure du 
corps et le cote est plus profondemenl creuse. Les apophyses transverses ne 
sont pas elargies avec la longueur du corps, a en juger par la racine qui 
se dirige plus obliquement de dedans en dehors et d'arriere en avanl. En 
hauteur elle a au moins 9 centimetres et 10 en largeur. En comparant les 
vertebres de la region caudale a celles de la Balamoplera rostrata, nous 
estimons que les cinq premieres caudales manquent el que nous possedons 
les cinq suivantes. 

Nous avons plusieurs vertebres caudales qui se suivent a peu pres; les 
premieres sont comme ailleurs les plus grandes et les plus fortes de toute la 
colonne vertebrale. C'est dans cette region que Peffort est le plus grand pen- 
dant la natation. II faut les examiner avec soin, quand elles ne sont pas 
completes, pour reconnaitre leur veritable position. 

II est a remarquer que les epiphyses de toutes ces vertebres sont comple- 
tement soudees. La premiere a encore un canal vetiebral distinct mais il est 
fort etroit, puisqu'il ne mesure pas plus de 1 centimetre dans sa plus grande 
largeur. Les apophyses transverses sont tres-fort.es, mais courtes. La saillie 
des surfaces articulaires des os en V est peu prononcee en avant, mais, au 
conlraire, tres-lbrte en arriere. Le disque est plus petit en avant qu'en arriere ; 
il mesure en avant : hauteur, 10 centimetres, largeur 10 Va centimetres; la 
longueur du corps est de 11 centimetres. C'est la plus forte verlebre que 
nous possedons de eel animal. 

La verlebre suivante est enliere; le canal neural est naturellement plus 
etroit, mais il est encore complet; Tare qui le protege porte au milieu une 



DE CROATIE. 



m 



apophyse epineuse peu saillanle, mais a cote deux zygapophyses s'elevent 
qui mesurent a leur base 1 centimetre d'epaisseur. L'apophyse transverse est 
Ires-forte et large, occupant presque toule la largeur de la verlebre. La saillie 
articulaire des os en V en arriere est tres-prononcee, de maniere que la ver- 
tebre vue de profil presente au milieu une profonde echancrure. Elle mesure 
en largeur i j, 1 centimetre de moins que la precedente et a, a peu de chose 
pres, la meme hauteur. Le disque en avant est plus fort qu'en arriere, de 
soiie que la grosseur diminue rapidement. 

La vertebre suivante subit peu de modifications; elle est bien conservee 
commc les deux precedentes et nous en pouvons par consequent mieux juger 
les caracteres. L'arc neural est complet avec son apophyse epineuse qui est 
tres-courlc et les deux zygapophyses sont an peu plus devcloppees que 
dans cellc donl nous venons de parler. Nous avons fait dessiner cetlc verlebre, 
vue de face, planche II, figure 6. Les apophyses transverses sontbeaucoup 
plus faibles et sont percees au milieu pour le passage de I'arlere. En dessous 
la verlebre est fortement cchancree au milieu quand on la voit de profil. 
Elle mesure en longueur 10 centimetres, aulant en hauteur et 1 centimetre 
de plus en largeur. 

La qualrieme caudale presente encore un arc neural dont l'apophyse 
epineuse est representee par un bourrelet sur la ligne mediane que Ton 
n'apcrcoit meme pas quand on la voit de profil. Les zygapopbyses anle- 
rieures out encore la grosseur d'une amande, tandis que les poslerieures ne 
depassent pas la grosseur d'un gros noyau de cerise. L'apophyse transverse 
manque completement et on voit le trou de l'arlere vers le milieu de Pespace 
qui devrait etre occupe par elle. A sa face infericure elle est creusee d'une 
goultiere longitudinale dans laquclle on peut loger un doigt. En avant et en 
arriere les faceltes arliculaires pour les os en V sont peu prononcces. Le 
disque est de forme ovale sur la face posterieure comme sur la face anle- 
fieure et celui de devant a ses deux diamelres, transversal et vertical, un peu 
plus grands que celui de derriere. 

La derniere verlebre que nous possedons est une cinquieme caudale. Elle 
est complete comme les precedentes. II cxisle encore un canal vertebral dans 
lequel on peut passer un luyau de plume, mais tout Tare neural est reduit 

Tomk XLV. 4 



26 



UNE BALEINE F0SS1LE 



a une lame mince sans saillie qui recouvre le canal. C'est tout au plus si Ton 
peut dire qu'il existe encore des traces de zygapophyses. Sur les (lanes, au lieu 
d'une apophysc transverse, la vcrlebre presente une large goutliere d'un 
trou a Pautre, de maniere qu'en avant comme en arriere le disque deborde 
legeremenl. A la face inferieure, on voit une goultiere longiludinalc pro- 
fonde dans laquelle on pourrait cacher une amande, cl des facelles arlicu- 
laires faiblement creusees en avant et en arriere. La face anterieure est 
legeremenl creusee; la poslerieure, au contraire, est legeremenl bombee; on 
pourrait dire a la rigueur qu'elle est procoelique. 

Ainsi les cinq vertebres dont nous venons de parler se suivent et lours 
epiphyses sontcompletement soudees en avant comme en arriere. On voit bien 
ici la confirmation de Fobscrvation faite d'abord par M. Flower, que c'est 
a la region caudale que la coalescence des vertebres avec leurs epiphyses 
commence et qu'elle peut etre complete dans cellc region, quand ailleurs 
elles sont encore separees. Ces cinq vertebres se distinguent en meme temps 
en dessus par la goutliere vertebrale qui, dans la derniere que nous possesions, 
laisse a peine passer une plume de pigeon, en dessous par la goultiere qui 
resulte de la fusion des surfaces articulaires des os en V anlerieurcs avec les 
poslerieures. L'artere, au lieu de passer au milieu cle la vcrlebre cnlre les 
saillies de ces os, perce, comme dans tous les Cetaces, a travers les parois 
de la goultiere, puis entre 1'apophyse transverse a travers le corps de 1'os lui- 
meme, et penetre par une goutliere derriere Tare neural dans le canal de la 
moelle. Ces cinq vertebres se rapetissent rapidement : la premiere a encore en 
largeur 10 centimetres, la scconde, 9, la troisieme, 8, la qualrieme, 7, et la 
cinquieme ne mesure plus que 5 centimetres. En hauteur comme en largeur 
on voit la meme decroissance : la premiere mesure 10 centimetres de hauteur 
sur 1 1 de largeur- la suivante, 9 72 sur 10 1 /a; la troisieme s'allonge de haut 
en bas et la verlebre, vue de face, prend une forme ovale; sur 9 72 centi- 
metres de hauteur elle n'en a plus que 9 de largeur; la qualrieme, sur 8 centi- 
metres n'en mesure plus que 7 en iravers, cl la derniere, sur 8 en hauteur en 
a encore 7 en largeur; cette vertebre diminue en largeur sans changer ses 
autres diamelres. 



DE CROATIE. 



27 



€Atc. 

Nous avons un fragment de cote qui esl figure planche XI, figures 12 et 13. 
La coupe ne uous offre rien de particulier, si ce n'est qu'elle indique une 
cole fort solide, aplatie eu dedans corarae en dehors, en dessus et en dessous, 
ce que nous ne trouvons ni dans les coles des Balenopleres ni dans celles 
des Baleines. 



9VIESOCETUS AGRAMI. 



Tous les os don I, nous venons de donner la description se rapportent 
a un seul animal, dont nous avons deja fait mention en 1879 dans les 
Bulletins de I' Academic royalc de Belgique. 

C'esl par la forme parliculiere du condyle de la mandibule, condyle qui 
occupe le milieu enlre le condyle des Myslacoceles et celui des Denliceles, 
que le Mesocete se distingue surlout des genres voisins. 

Si nous comparons les verlebres que nous venons de decrire, avec celles 
du Musee de Linz, appartenant au genre Aidocelus, nous trouvons des diffe- 
rences notables surtout dans celles de la region caudale; a Linz, il y a trois 
caudales qui se suivcnt. En comparant noire cioquiemc caudale, figuree 
planche XI, figure 9, avec les trois caudales, figurees par Brandt, plancheXVIII, 
fig- 9 b , 10 c et ll d nous voyons les zygapophyses elevees comme deux ailes 
dans ces dernieres, tandis qu'elles depassent a peine l'apopliyse epineuse dans 
^'animal d'Agram, et cependant, a en juger par la direction des apophyses qui 
sont beaucoup plus developpeesdansl'animalde Linz, ces vertebres devraient 
e lre plus voisines des dernieres caudales. 

Comme nous ne connaissons de l'Aulocelc de Linz que la parlie superieure 
du crane et de notre Mesocete seulement la partie inferieure, il est difficile 
d'apprccier le degre d'affinile qui existe enlre la tete de ces deux Cetaces; 



°28 



UJNE BALEINE FOSSILE 



mais nous pouvons comparer la base du crane de notre Celace d'Agram avec 
le Cetolherium de Crimee figure par Brandt, planche I, figure 2, ct il resulle 
de ceite comparaison que les caisses tympaniques sont placees beaucoup plus 
en dehors, dans le Cetace de Crimee, que ses os palalins sont beaucoup 
plus allonges el que la saillie de la base de l'occipital, si caracteristique dans 
l'espece d'Agram, fait complelement defaut ici. 

Comme nous 1'avons vu plus haut, ces ossements ont ele recueillis dans 
les marnes a Podused, pres d'Agram, en Croatie. Ces marnes sont moins 
anciens que le Leilhakalk el ils peuvent etre considered comme conlemporains 
des depots sarmatiques. Ces depots s'etcndent jusqu'en Perse, se trouvent 
enlre des couches marines el des couches saumatres et rcpresenlenl la fin 
d'un depot marin. Ces marnes appartiennent a une epoque ou la mer Noire 
couvrail encore une grande partie des pays qui sont emerges aujourd'hui. 

On sail que le bassin de la mer Noire avait encore une grande extension 
a celle epoque geologique, du moins si on le compare avec celui d'aujourd'hui; 
elle renfermait alors des Baleines verilablcs, des Dauphins, des Squalodons, 
des Phoques et des Sireniens. Les affluents et les embouchures nourrissaient 
sans doule comme aujourd'hui ces derniers Thalassolheriens. Les Squalodons 
remplissaient probablement le role des Orques des temps actuels. 

A la suite de soulevemenls, les eaux se sont retirees, le bassin s'est relreci, 
la mer est devenue insensiblemenl saumatre, et lous les grands Celaces 
proprcs a la mer Noire ont ete successivement aneantis. 

On est loin de l'epoque ou Ton croyait a l'existence d'une Balenoplere 
propre a la Mediterranee, puisqu'on sait aujourd'hui d'une manierc positive 
que lous les Celaces que Ton observe dans celte mer interieure vicnnenl de 
l'Ocean. 



■n 



DE CROATIE. 



29 



EXPLICATION DES PLANCHES. 



PLANCHE I. 

La base du crane cle grandeur naturelle vue par sa face inferieure; on reconnait en dessous 
et en arriere les deux condyles de l'occipilal, les ailes dn memc os , la caisse tyrnpanique qui est 
en place d'un cote, les apophyses mastoi'des des deux cotes; en dedans de la caisse tyrnpanique 
on apcrcoil line forte saillie de l'occipital qui sc termine en avant par line crete mediane; a 
cote de cette crete mediane on voit la partie anterieurc du palalin et entre lni et la caisse le 
sillon qui loge la trompc d'Eustache. 

PLANCHE IT. 

(Toutos ces figures stmt de grandeur naturelle comme celle de la planche premiere.) 



Fig. 


1 


Fig. 


2. 


Fi<r 
1 'a 


5 


Fig. 


4 


Fig. 


5 


Fig. 


6 


Fig. 


7 


Fig. 


8 


Fig. 


9 


Fig. 


10 


Fig. 


14 


Fig. 


12 


Fig. 


15 



Premiere vertebre dorsale. 

Sccondc verlebre dorsale. 

Troisieme verlebre dorsale. 

Sixieme vertebre dorsale, vue de profil. 

Onzieme vertebre lombaire, vue de profil. 

Sixieme vertebre caudale, vue de profil. 

Troisieme vertebre dorsale , vue de face. 

Onzieme vertebre lombaire, vue de face. C'est la meme representee fig. 5. 

Cinquieme vertebre caudale, vue de face. 

Condyle de la mandibule. 

Caisse tyrnpanique. 

Cote. 

Coupe de la cote. 



-5»«@e«Bs 



Mem.de l'Acad. Royale. Tome XL IV 



PU. 



■ r / 

... rf £ > - 




^'.■< de G Severeyi e E 



P. J . Van Beneden , direxi t . 



MESOCETUS AGRAMI. 



Mem. de l'Acad. Rovale .Tome XL IV. 






PL II 











■■ 



10 




&r 







12 




13 







SUR 



L'ADDITION D1S FUNCTIONS ELLIPTIQUES 



DE PREMIERE ESPECE; 



PAU 



E. CATALAN, 



ASSOCIE DE L'ACADEMIE. 



( Pr6sent6 a la Classe des sciences, dans la s&uce du 5 aout 1882.) 



Tome XLV. 



SUR 



L'ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQDES 



DE PREMIERE ESPECE. 



Le petit travail que j'ai 1'honneur de presenter a I'Academie peut etre 
considere comrae un complement a deux Notes, deja anciennes, relatives a 
la meme question (*). Aujourd'hui, apres avoir reproduil une parlie de la 
seconde Note (en y faisant quelques corrections), je deduis, de la methode 
qui y elail indiquee, la plupart des formules connues; apres quoi je donne 
diverses proprietes du triangle de Lagrange, et une interpretation geome- 
trique de la transformation de Landen. 



I. Integrale d'Euler. 



1 . Inequation 



elant mise sous la forme 



dx dy 



A(x; A(y) 



&(y)dx ■+- A[x)dy = 0; 



('I) 



(2) 



observons que, pour rendre le premier terme inlegrable, on peut le multi- 
plier pa 



r — r , ou encore par — =• 



cos 5 a;[l -t- lg,'as(by)*] 



O Bulletins, fevrier t869; Cumples rendus, 2S m;ti 1874. 



SUR L'ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 

En effet, 

r* A(y)dx 
cos' 2 x 

d+t g MA^ =arctg [ (A ^ tga; ] (3) 

Or, 

cos 2 x[l + \gx{Ayf\ = \ — c' 2 sin'x sin 3 y = co.s'.y[i -+- tg'?/(Ax) 2 ]. 

Nous pouvons done prendre, au lieu de l'equation (2), 

A{y)dx A{x)dy 
co8 2 jc[1 +tg 2 a;(Ay) s ] + cos^l -+- tg^Ax] 2 ] = ° ^ 

Soient, d'apres la formule (3) : 

tg« — tg»(Ay), tgp«-tgy(A*); (») 

et, par consequent, en posant 

1 — c' 2 sin 2 *' sin*?/ = L : (6) 

^(Ay)dx ^ sin x cos x sin ij cosy dy \ 

~~ L °~ L(Ay)~ "' / 

V ' 7 V (7) 

(Ax)dy sin a; cos x sin « cos wdx ^ 

L ~~ L(Ax) ~ ' / 

puis, en verlu des equations (1), (2) : 

da -4- dp = (8) 

L'integrale cherchee est done, indifferemment, « + /3 = const., ou 

tg (« -j- /3) = const.; savoir : 

arctg[tgx(A ? y)j + arctg[tg?/(Ax)]=^, ' . . (A) 

sinx cosy (Ay) -+- siny cos x (Ax) 
cos* cos y — sinx sin y (Ax) (Ay) 

(*) Aprcs avoir cleraontre cctte formule, Lcgendrc ajoute : « Si l'on prenait deux angles 

» auxiliaires «, (3, lets que 

tg* = tg<B%), tg(3 = tgyA(a!), 
» il en resulterait 

> ce qui est un raoyen de caleuler aisemenl par Ies Tables de sinus. » Comment l'illustre autcur 
du TraiU des fonctions elliptiques nc s'esl-il pas apercu que ces variables a, [3 reduisent I'equa- 
tion (1) a la forme (8) ? 



DE PREMIERE ESPECE. 



2. Remarque. D'apres les valeurs (7) 



d(a. -+- p) = 



dx dy 



(Ax) (Ay) 



(Ax) (Ay) — c 2 sinx cosx siny cosy 



• (D) 



Ainsi, jwwr transformer, en tine differ entielle exacle, le premier membre 
de la proposee, il suffit de le multiplier par 

(Ax) (At/) — c 2 sin x cos x siny cos y 



A = 



10) 



Tout a I'heure, nous reviendrons sur ce sujet. 



3. Diverses formes de V integrate. Dans (B), la somme des carres des 
deux termes de la fraction est 

cos 2 x cos 2 ?/ -i- sin 2 x sin 2 !/ (I — c 2 sin'x) (I — c 8 sin 2 y) 
-+- sin 2 x cos 2 )/ (1 — c 2 sin 2 y) h- sin 2 )/ cos 2 x (I — c 2 sin 2 x). 



Si Ton ecrit ainsi celle quantile 



Ac 4 -+- Be 2 -+- C , 



on a 



A= sin 4 x sin'?/, 



Par 



B = — sin 2 x sin 2 y (sin'x -+- sin 8 y) — sin 2 x sin 2 ?/ (cos 2 x -I- cos 2 y) = — 2sin x sin y, 
('• = cos 2 x cos 2 y -+- sin 2 x cos 2 y -+- sin 2 )/ cos'x -+- sin 2 x sin 2 )/ == 1. 

consequent, 



Ac' +• Bc s -+- C = (1 — c 2 sin 2 x sin 2 )/) 2 . 

La formule (B) donne done, si Ton prend convenablemenl les signes 

sin x cos y (Ay) +■ sin y cos x (Ax) 



sin,«, 



cos x cos y ■ — sin x sin y (Ax) (Ay) 



= COS fi. 



(C) 
(D) 



4. Sm7e. Pour a; = 0, // = p, I se reduit a (a^u) = |/l — c^sin 2 ^. Je dis 
que Ton a loujours 



(Ax) (At/) — c 2 sinx cosx siny cosy 



■(V); 



(E) 



6 



SUR L'ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



de sorte que l'equation (E) est encore une integrale. Cette proposition connue, 
asscz visible a priori, sera demontree si Ton verifie que l'on a, idenlique- 
meni. (*) , 

[(Ax) (Ay) — c 2 sinxcosx siny cos y^+e 2 [sin x cosy (Ay)-t-siny cosx (Ax)] 2 =(l - c 2 sin 2 xsin 2 y) 2 , (H) 

OU 

(1 — c 2 sin 2 x) (i — c 2 sin 2 y) ■+• e*sin 2 x cos 2 x sin 2 y cos 2 ?/ 
•+■ c 2 sin 2 xcos 2 y(t — c 2 sin 2 y)-t- c 2 sin 2 y cos 2 x(l ■ — c 2 sin 2 x) = I — 2c 2 sin 2 xsin 2 y -+- c 4 sin 4 a; sin i y; 

elc.D. 

5. Remarque. On a ; simullanement, 

(I — c 2 sin 2 xsin 2 y) 2 =[sinxcosy(Ay)-i-sinyeosx(Ax)] 2 + [cosxeosy - sinxsiny(Ax)(Ay)] 2 
= [(Ax) (Ay)— c 2 sinx cos x sin y cosy] 2 ■+■ [c sin as cosy (Ay) -+- csinycosx(Ax)] 2 



• {**) 



Voici done un carre decompose, de deux manieres differenles, en une somme 
de deux Carre's. 



6. Une transformee de l'equation (1). D'apres Fintegrale (C) : 



d 



sinx cosy (Ay) -t- siny cosx (Ax) 



OU 



(Ay) 



sin yd 



tcosy (A? 
: 
L 

ou, en vertu de la proposee, 

cosy (Aw) 
sin xd 



L 

cosx (Ax) 



= 0, 



COSX COS)/ r , 

j [(Ay) dx # (Ax) c/yj ■ 



sin yd 



cos x (Ax 



:]-. . ^ 



Cette equalion (13) est la transformee dont il s'agit. Com me on peut 
a priori (***), il en resulle une seconde melhode d'integration, sur 
nous n'insisterons pas. 

(*) En vertu de (C). 

(**) Nous supprimons cc dernier calcul : il n'offre aucune difficult^. 
(***) Par un calcul assez long. 



0; 



.. (13) 

I'etablir 
laquelle 



DE PREMIERE ESPECE. 7 

7. Courbes integrates. Chacune des equations (A), (B), (C), (D), (E), si 
Ton y attribue a p. une valeur determinee, represente une certaine courbe. 
Ces cinq courbes sont identiques. En effet, elles coupent, en un meme point, 
l'axe des ordonnees (*); et chacune pourrait etre construite, par points, au 
moyen de l'equalion differentielle 

dy ^ (Ay)' 
dx (Ax) 

Celte courbe integrate coincide encore avec les lignes ayant pour equations, 
soit 

cosx cost/ — sinx siny (Ax) (Ay) == cos^, (F) 

soit 

./ (Ax) J (Ay) J (Az) { ' 



J'ignore si la discussion de ces courbes integrates, probablement tres 
epineuse, a ete faite. 

8. Systeme orthogonal. Ces courbes, de premiere espece, que Ton peut 
r epresenler aussi par 

F(«) + F(y>-P(p), (H) 

soul orthogonales aux courbes de seconde espece, ayant pour equation 

-E(jt) + E(i/) = FM (K) 

En effet, pour les premieres, 

% ,_ (Ay) , 

fir (Ax) 

et j pour les autres, 

rfy_ < (Ax) 
fix (Ay) ' 

( ) La constante ^ esl l'orf/o»He'e d I'origine. 
\ ) Pour eviter toute difficult^, j'ecris, sous lc signe /, z au lieu de ft. 



SUR L'ADDITIOIN DES FONCTIONS ELL1PTIQUES 



II. Sur liquation Mdx + Ndy = 0. 

9. Du multiplicateur I, Kappelons une proposition connue : 
Si 

x(Mdx ■+■ Nrfy) = du, 

el que 

6(Mdx -+■ My) = dv; 

on a 

Voici une remarque complementaire : 

Si u est fonclion du multiplicateur I, lout autre multiplicateur est donne 
par la for mule 

= <p(A) (U) 



10. Suite. On a trouve, ci-dessus : 

(Ax) (Ay) — c 2 sin x eosx sin y nosy 

x = — — , 

L 

sinx cos y (Ay) ■+■ s'my cosac(Aa:) 



I, 



(10) 

(C) 



D'ailleurs, I = A (p) esl, fonclion de u = sin ^ (*). Consequemmenl, la 
formule (14) est applicable, et Ton a ce theoreme (**) : 



4° 
esl une differentielle exacle ; 
2° Si 

est une differentielle exacle , 



dx dy 
(Ax) "*" (Ay~) 



dx dy 

.(££) + (Ay) 



»—?(*); 



>W 



(**) Enonce, en partie, dans les Comptes rendus. 



DE PREMIERE ESPECE. 



3° Si 



dx dy 

(Ex) * (Ay) 



<p (*) = </«, 



on peut prendre, comme integrate de I' equation (1), 

v = const. 

H. Application. Soit 
Alors 



<p(A) = ^=[(A f ,)]l 



dv = 



dx dy ' 

(Ax) + JAy~l 



[(Ap)]'. 



Cette expression peut elre reduite. En effet, 



done 

Et comme 



dx dy d/a 

dv = {Aft)dft = d.E\p), 
d.'E(fi) = (Ax)dx + [&y)dy — c ! d(sinx sinj/sinp.) (*), 

11 s'ensuit que : 
4° La quanlite 



dx dy 

(Ex) + (Ey) 



(Ax) (Ay) — c 9 sin x cos x sin y cosy 
i — c' sin* a; sin* y 



es ' une differcnticlle exaete, identu/uement egale a 



(Ax)dx + (Ay)dy-chl 



Legendre, t. I, p. 43. 
Tome XLV. 



sinx s\ny 



sin x cosy (Ay) -t- sin y cos x (Ax) 
1 — c 5 sin 2 or sin 2 */ 



2 



10 SUR L'ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 

2° Une integrate de I' equation (1) est 

~* , /-».>, rP- . » sinxcosw(Aw)-+-sin«cosx(Ax) 

f (Ax)dx + f (Ay)dy— f A* Viz =c 2 sinx sin « - .— v -•()■ ( L ) 

*i "o ' o 1 — c sin 2 ac sin' y 

12. Verification. La premiere partie du theoreme consiste en l'egalite 

(Apf = (Ax) dx + (Ay) dy — c'd. (sin x sin y sin /u) . . . (15) 



dx dy 

(Ax) + (A^j 



Comme les deux membres sonl des fonctions symetriques, il suffit de verifier 
que 



(A^) 5 



Or, 



(Ax) 



(Ax) ■ — c'siny 



sin p cosx -+- sin x cos,a 



rf,cc" 
dx 



dx (Ax) 1 j 



Done l'egalite devient 

(A,u) 2 = (Ax) 2 — c 2 sin y [sin^cosx (Ax) -+- sinx cos,«(A^)]. 

II resterait a remplacer, par leurs valeurs, sin^u, cos^, (A^). Mais il est plus 
court d'eraployer la formule 



sin y 



sin p. cosx (Ax) — sinx cos,« (Ap) 



\ — c sin 2 p sin 2 x 

On trouve ainsi, apres une reduction evidente, 

(sin'x — sin 2 p)(1 — c 2 sinVsin 2 x) = s ; n 2 x cos 2 p. (1 — c 2 sinV) — sinV cos 2 a; (1 — c'sin 2 x) 
«= (sin 2 x — sin 2 p) — e 2 sin 2 p sin 2 x (cosV — cos 2 x); 

ce qui est identique. 

(*) Autrement dit, I'integrale immediate 

r* dec ,,'J d y pi'- dz _ 

•/ (Me) ^'4 W)~-4 J^) = °' 
peut etre remplacee par (L). 

(**) On arrive a la memo conclusion en observant que 

du da. il(i (Ax) (Ay) — c ! sin x cos x s\ny cosy 

dx dx dx L (Ax) 



DE PREMIERE ESPECE. 



H 



13. Remarque. Le theoreme precedent (11) semble en defaul dans le 
cas ou, comme Fa fait M. Despeyrous (*), on met la proposee sous la forme 



dx dy 

(Ax) (A?/) 



cosx cosy (Ax) (Ay) 



= 0. 



En effet , le mulliplicateur , 



cos x cosy (Ax) (Ay) 



nest pas fonction de 



(Ax) (Ay) ■ — c'sinx cosx siny cosy 



Mais la quantite 



cosx cosy (Aw) cosy cosx (Ax) 
— dx h : dy 



neiant pas une different idle exacte (**), l'exceplion n'est qu'apparente. 



O Sturm, Cours d : 'Analyse, t. II, p. 529. 

(**) Cctlc proposition, assez visible par le calcul effectue au paragraphe (6), peut etre prouvee 
directement, corame il suit. 



La condition 



clM ___ dN 
dy dx 



devient, dans le cas actuel, 

'[ 



c*cosy c* sin* x cos % 

cos a; L (Ay) -t- L cosy — -— ■+■ cos;/ (Ay) | siny 

(Ay) L 



[c^ COS cc 
L (Ax) -hLcosx — --t-C 
(Ax) 



''1 ■ 

- SU1 

c 2 sin 2 i/ cos a;"] 
x | Ax) ■ sin i 



vr, pour x =0, y — ft, cettc egalite, qui devrait ctre idenlique, se rcduit a 



(A,u)-+-C 2 



(A, a) 



sin ft = ; 



Pius a 



sin M = 0. 



12 SUR L'ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



III. SUR LE TRIANGLE DE LAGRANGE (*). 



14. Preliminaires. Soit ACB un triangle spherique, dans lequel 
c AB«p, CB = x, CA = y. 

~P^^ y U en resulle (**) : 

cosC==— (Aft), cos A = (Ax), cosB = (A?/), 
, sin A sinB sinC 



— c. 



P P> 

diculaire a BA, on a : 

cos A = cot 1/ tgAP, cosB = cotx tgBP; 



sinx sin?/ sin,a 

De plus, si Ton abaisse Tare CP perpen- 



ou 



;AP = tg*/(Ax), tgBP = tgx(A*/). 



(16) 



Ces valeurs sont celles que nous avons designees par /3, « (1) (***). Done 



BP = a, AP 



(17) 



(*) Theorie des fonctions, (1813), p. 116. 

(**) Legendre, Fond, ellipl., t. I, p. 20 

(***) Legendre ne fait pas cette derniere remarque; mais, apres avoir fait observer que la 
consideration du triangle de Lagrange conduit a 



dco du 

1 — =o, 

(6a) (A;/) 



il ajoute : 



« Ainsi, une application fort simple de la trigonometric spherique aurait suffi pour trouver 
• ['integrate algebrique complete de l'equation transcendanlc 



dec dy 

(As;) ^ (Ay) ~~ 



DE PREMIERE ESPECE. 



15 



15. Suite. Si Tare AB, dont la longueur est constante, glisse enlre les 

coles de Tangle C, cet arc enveloppe une 
certaine courbe spherique, facile a con- 
slruire par points. Menons, en effet, les 
arcs AM, BM, respectivemenl perpendi- 
a culaires a CA, CB; et soil M leur point 
d'intersection. II est visible que M est, 
relativement a BA, le centre inslantane 
de rotation (*). Consequemment, le point Q, 
commwi a I'enveloppee KB et a I' enve- 
loppe, est la projection spherique de M. 




Cela pose, soient 



BQ 



AQ = (3', BM = x', AM 



il s'agit d'e valuer «' ou /3'. 

On a, par les triangles rectangles CBM, CAM, 

cosx cosx' = cosi/ cosy'. 

Le triangle BAM donne 

cosx' ^=cos,acos!/' + sin^siny'sinA. 

De plus, dans le triangle AQM, 

tg(3' = sin A tgy'. 

On tire, des deux premieres equations, en eliminant cos x', 

cosy — cosxeosp 



"sy 



cosx ship, sin A 



\ I Si cette proposition n'est pas admise a priori, on pent la demonlrer au moyen de Tangle 
c raedre OACBM, etant le centre dc la sphere. Quand Tangle OAB glisse entre les faces du 
ledre OBCA, il tourne autour de la droite OM; etc. 



a 



SUR L'ADDITION DES FONCTIONS ELL1PTIQUES 



ou, parce que ie numeraleur egale sin x sin p. cos B : 



Consequemment, 



ou 



cosB 
sin A 



tgjs' = (ga; cosB, 
tg|3'==tgx(Ay); 



et, a cause de la symetrie , 



tga'=tg2/(A.x) 



(18) 



(19) 



Chacune des formules (18), (19) determine la position du point Q sur le 
cole mobile AB. 



16. Remarque. La comparison des valeurs (16), (4 8), (4 9) donne 



AQ = BP, BQ = AP. 



Ainsi 



Quand un quadrilatere spherique a deux angles opposes droits A, B; les 
projections (spberiques) de deux coles opposes, sur la diagonale AB, sont 
egales (*). .'-,.,• 

IV. Substitution de Landen. 

17. Jacobi a donne une elegante interpretation geometrique de la formule 
de Landen(**), En voici une autre, moins simple que celle de 1'illustre 
Geometre, mais assez remarquable. 



(') Pour Ie quadrilatere plan, cettc propricte est inluilive. 
(**) Ou Echelle de Lagrange. Bertrand, Cakul integral, p. 657. 






mmm 



DE PREMIERE ESPECE. 



15 



Soit une ellipse ABA'B', dans laquelle 
Hi 




0A = 0A'=1, OF = OF' = c. 

1° Si Ton mene Ies rayons 
vecteurs relatifs a an point 
quelconque de la courbe, et 
que Ton fasse 



MFA = 2<p', MF'A = 2cp' — 2cp , 

A on a 

\ c 

tg (cp ~ <p') = tgcp'. (20) 

\ ■+- c 

En effet, PP' etant la tan- 
gente en M, limilee aux tan- 



genies indefinies HA, A'H', en A, A'; PF, PF' sont, d'apres une proprieie 
connue, les bisseclrices de AFM, AF'M. De plus, 

AP = AFt g( p' = AF'tg(9-9'); 
etc. (*). 

2° Les bissectrices FP, FP', des angles AFM, A'FM, sont perpendicu- 
laires entre elles. Si done I' angle droit PFP' lourne autour de F, I' hypote- 
nuse PP' ? du triangle variable PFP', enveloppe ['ellipse. De meine pour 
PP'P'. En outre, le point de contact M est facile a determiner. Enfin, Tangle 
P'PH egale «.' 



3° On a, dans le triangle MFF' : 

sin (2cp — 2<p') 



FM = 2c ■ 



sin (4<p' — 2cp) 



F'M = 2c 



sin 2<p' 
sin (4<p' — 2cp) ' 



I ) Le theoreme exprime par I'e'quation (20), assez peu connu, jc crois, peut elre enonce 
ainsi : 

a ns tome ellipse, les langenles des demi-anomalies vraies, d'un mime point, ont un rap- 
P° r t constant. 

n deduit facilement, de cette propriete, la relation entre I'anomalie vraie el I'anomalie 
excentrique. 



16 SUR L'ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 

done 

sin (49' — 29) = c [sin (2<p — 2tp') h- sin 2<p'] ; 

ou, par la suppression d'un facleur commun, 

sin (2cp' — tp)=csincp; (21) 

formule de Landen ou de Lagrange (*). 
4-° On tire, de Tequation (20), 

cos 9' 
cos (cp — 9') = — ' 

1 / '* c 

V j \ 1 s,n T 

ou 

cos 9' = cos (9 — 9') A(c', 9'); (22) 

pourvu que Ton suppose 

, 2l/c 

c = . 

I -+-C 

5° L'equalion (21) donne, immediatement, 

cos (29' — 9)==A(c, 9); (23) 

et, si Ton divise par cos 9 les deux membres, 

sin 29' ,„ : 

tg?= vr (24) 

c-t-cos29 

6° On deduit, de cette valeur : 

sin 29' c -+- cos 29' , _ 

sin 9 = i , cos tp — ■ ■ — ■ ; (25) 

(iH-c)A(c',9') T (l + c)A,c',9')' V ' 

(*) Legendre, 1. 1, p. 79. On voit qu'il est plus simple de prendre d'abord la relation (20), 
mise, si Ton veut, sous la forme 

ig (p — r') = b'tgr'- 



DE PREMIERE ESPECE. 17 

puis, a cause de 

cos (29' — 9) = cos 9 cos 2tp' -+• sin 9 sin 2cp' : 
c cos 2cp' ■+■ 1 

C08(8ip' — 9) — r: , * . , ,, (26) 

v T (4 -+- c) A (c , cp ) v 

Mais 

cos (29' — 9)== A(e, 9); (23) 

done 

(1 + c) A (c, tp) A (c' s 9') = 1 •+■ c cos 29' (*) (27) 

7° En differenciant .1'equation (21), on a 

cos (29' — 9) (2«V — dip) =c cos 9^9, 

ou 

2A (c, 9) dip' = Tc cos 9 ■+• cos (29' — 9)] f/9. 

D'apres les formules (25), (26), le coefficient de dip est 

c' ! -+- 2c cos 2cp' -+- i (4 -t-.c) s — 4c sin 29' 

1 = - — - = (1 -+■ c) A (c , cp '); 

(-1 + c) A (c', 9') (I + c) A (&, 9') 

done 1'equation differentielle, enlre 9' el <j>, se reduil a 

A(c',9') 2 A v c,9) •••■•■• 

En consequence, 

F ( C ' f 9') = d ^ F (c, 9) . . ' (29) 

Ce dernier calcul me semhle, non plus court, mais plus simple que celui 
R u e Ton trouve dans le Traite des fonctions ellipliques. 

( ) On arrive plus rapidcmenl a eelte relation, peut-etre nouvelle, en exprimant que P'F est 
la somnic des projections de P'F' et de FF'. 

Tome XLV. 5 



18 SUR I/ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



ADDITION. 



V. Elements d'un quadrilatere spherique. 



18. Dans la figure de la page 13, on a 



Nous avons trouve 



cos CM = cos x cos x'. 

cos B 

'g«/' = i S x 



sin A 



Mais : 

sin A = c sin x, co< 15 = (Ay); 

done 

, . (Ay) 

tg.V = .... 

C COS X 

On lire, de cetle formule, 

(Ay) 



c cos x 



2/ = 



l/i -+- c 2 — e 4 (sin 4 x -+- sin 4 y) 



cos t/ 



(30) 



V i-t- (?■ — c 4 (sin 4 x -1- sin 2 y) 



; (3i) 



puis, par un changement de lellres 

. , (Ax) 

sin x = — — , 

V \ -<- c 2 — c 2 (sin 4 x -+- sin* y) 



c cos y 



1/) -+- c 2 — c* (sin 2 x -+- sin 2 y) 



(52) 



Consequemraent, 



cos CM > 



c cos x cos y 



V i -1- c 2 — c 2 (sin 4 x -+- sin 2 ?/) 



(53) 



DE PREMIERE ESPECE. 



19 



II resulte, de cctte valeur 



sin CM = 



col. CM = 



1 — c 2 sin 2 x sin* y 

1 -t- c 2 — c 2 sin" 2 X -+- sin' 2 y) ' I 

c cos x cos y 



\/l — c 2 sin 2 x sin 2 y 



(34) 



19. Representors par 9, $ les angles BMC, AMC, dont la somme est 
AMC = ML Les triangles rectangles B.VIC, AMC donnent : 

cos o = cot MC ■ tg x', cos <f/ = cot MC • Ig y'; 



c'est-a-dire : 



cos x(Ax) 



COS <jl 



V I — c*sin' x sin 8 y 

cos y(Ayi 
t' 2 sin* a: sm z <y 



[00) 



(50) 



resulte, de ces valeurs : 



sin & = sin x 



an y = sin y y j 



/ i + c * 


— r 2 (sin 2 x -+- sin' 2 y) 


'] 


— c 2 sin 2 x sin 2 /y 


/-] ■+- c 2 


— c 2 (sin 2 x +- sin' 2 y) 



c sin x sin y 



(57) 



I58) 



20. On a 



ou 



sin M = sin 9 cos ty ■+- cos 3 sin +, 



T sin x cos iy (At/) -+- sin t/ cos x(Ax) 

sin M —V 1 -+- c 2 — c s (sin 2 x -t- sin 2 y — r-^-z :— ; 

I i — < 2 sin 2 x sin 2 y 



Le second facleur equivaut a sin /a. 



W SCR [/ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, etc. 



Done, finalement, 



sin M 



sin p 



-V \ ■+- c' 2 — c* (sin* x •+- sin s y)(*) 



(39) 



(*) ] J our verifier ce resullat, il suffit d'observer que, dans le triangle A MB : 

sin M cos A (A a;) 

sin v- sin x' sin a/ 



— «=3»eg>JEsc. 



BJBLIOGRAPHIE AMLYTIQUE 



DES 



PR1NCIPAIJX PHdlOlfillliS SUBJECTIFS DE 14 VISION 



PAH 



J. PLATEAU, 



MEMBBE DE 1,'ACADEMIE BOYALE DE BELGIQDE, 

CORBESPONDANT DE L'lNSTITUT DE FRANCE, DE LA SOCIETE ROYALE DE LONDRES. 

DE L'ACADEMIE DE BEBUN, ETC. 



TROISI^ME SUPPLEMENT ', 
COMPRKNANT LES ANNEES 1880, 188! ET 1881 



(PrtsenW a la Classe des sciences dans la seance du 3 timer 1883.' 



'VfSm °J''r Ur '' oavra S e et le premier supplement, le t. XL1I, el pour le tleuxieme supplement, le I. XL11I des 
• ae I' Acad, roynle cle Belgique. 



Tome XLV. 



I 



■IHI 



BIBLIOGRWPHIE AMLYTIQUE 



PHINCIP4UX PHENOMENES SUBJECT1FS DE LA VISION. 



PREMIERE SECTION. 

Gcucratton et persistancc tics tnipresisious »nr la rettne. 

I860. Rogers. On our inability from the retinal impression alone to determine which 
retina is impressed. (Proceed, of the American Association, p. 192.) 
Le litre indique suffisauiment la question traitee; experiences. 

1864. Micolai'des. Sur le lieu des intersections de deux courbes mobiles. (JNouvelles Annales 
fie Mathemaliques, 2 rae serie, t. Ill, p. 59.) 

A cause de la relation avec le second des articles J. Plateau 1 828, avecles articles Le Francois 
1829, eL Particle Van der Mensbrugghe 1863, dans la Bibliographie simple qui suil la premiere 
section analytique. 

86/. Weber. Theorie des Anorthoscops and der Anortlioscopischen Figuren. (Zeilschrifl 
fur IVlatliemalik und Physik [Schlomilch], 12 me annee, p. 133.) 

'875. Mayer. Researches in Acoustics. (Philos. Magaz., 4" 10 serie, t. XLIX, p. 552. ) 
Persistence des impressions auditives; son elude; emploi (Pun disque perce tournant. 

'"•Kleiner. Zur Theorie der intermillirenden ISelzhautrciziuuj. (Zeitschrifl fur die 

gesammten Naturwissenschaften, Nene Folgc, t. XIV, p. 133.) 

Recherche, au moyen de disques tournanls a secteurs blancs et noirs, de la relation entre le 
degre d'eclairemenl et la duree d'inlennittencc due au passage des secteurs noirs, pour la 
plus pelite Vitesse qui dbune uue teintc unil'orine. La courbe qui represents cette relation 
parail elre uue hyperbole equilatere. 



I B1BL10GRAPHIE DES PRINCIPAUX 

1877. Helmholtz. Lehre von den Tonempfindungen. (4""' edition, p. 234.) 

Persistance des impressions auditives. 

1878. Mhybbidcje. Photographies instanfanees. (Journ. anglais Nature, I, XXVI, 1882, 

p. 196, 2 me colonne.) 
Representations par la photographic des phases suecessives et tres rapproehees d'un mouvemenl 
rapide, tel que celui du galop d'un cheval, etc. 

1879. Eustis. A new method of studying wave motions. (Proceedings of the American 

Academy of arts and sciences, new scries, t. VII. De mai 1879 a mai 1880, 
p. 218.) 
Pointe de platine mise electriquement en vibration de maniere a plouger, a des iulervalles egaux. 
dans une couche de mereure eouverle d'un voile de lycopode; les elineelles eclairenl les orides 
tormees. 

Schwabtz. Effect of distance on appreciation of color. (Ibid., ibid., p. 229.) 

Bande elroite de papier colore appliquee sur un fond blanc ou uoir et observee a differences 
distances : pour un eloignement suffisanl, la sensation de la couleur disparait. 

Trowbridge. Simple apparatus for illustrating periodic motions. (Ibid., ibid., 

p. 232.) 
Modification de la rnethode de Lissajous. 

KiJiiiNE. Chemische Vorgdnge in der Netzhaul. (Handbuch der Physiologie von 
Hermann, t. Ill, p. 235; voir a partir de la page 326.) 
Examen chimique de Taction de la lumiere sur la retine. 

Corn. Determination du sens chromatique a la lumiere solaire directe et a la lumiere 
electrique. (Supplement aux Klinische Monatsblatter fur Augenheilkunde, 
Stuttgard, 1880. Voir les Ann. d'oculistique 12 mc se'rie, I. Ill, p. 68.) 
Distances auxquelles des surfaces d'un millimetre de diamelre cl teintes des ditt'erentes couleurs 
sont reconnues comme presentant ces couleurs, taut a la lumiere solaire qu'a la lumiere 
electrique. 



1880. Reynaud. he Praxinoscope-lhedlre. (Journ. La Nature, n° du 7 fevrier.) 

Modification du Praxinoscope (voir a 1878 Reynaud dans le 2™ supplement). 

Fernet. Analyse des plienomenes lumineux produits par les decharges electriques 
dans les gaz rarefies. (Coniptes rendus, I. XC, p. 680.) 
Emploi du miroir tournant. 



PHENOMENES SUBJECTIFS DE LA VISION, 3™ SUPPLEMENT. S 

1880. Lechat. Des vibrations a la surface des liquides. (Ibid., ibid., p. 154-5.) 

Large faisoeau tie lumiere parallele ou a peu pres tombant obliquement sur la surface du liquide, 
el reflechissant I'image de celle-ci sur un ecran blanc. 



Charpentieb. Sur la sensibilite de I'ceil aux differences de lumiere. (Ibid., I. XCI, 
p. 49.) 

ltecherche de la difference d'inlensile qui doit exisler entre deux lumieres sueeessives de meme 
nature pour que I'oeil juge ces deux lumieres inegales. 

Sur la sensibilite differ entielle de I'oeil pour de pelites surfaces lumineuses. 

(Ibid., ibid., p. 240.) 

Pour deux surfaces lumineuses contigues tres pelites, il faut une difference d'eclat considerable 
pour que I'ceil puisse la distinguer : pour deux carres de 2 n,m de cole,et observes a la 
distance de 3 metres, elle a du etre de 0,60. 

Sur les variations de la sensibilite luiuineuse suivant I'etendue des parties 

reliniennes excitees. (Ibid., ibid., p. 995.) 

Au-dessous decertaines dimensions d'une image reliniemie, le minimum de sensibilite diminue. 
et cela proporliounellement a I'etendue de la surface excitee. 

Sur la sensibilite visuelle el ses rapports avec la sensibilite luiuineuse et la 
sensibilite chromatique. (Ibid., ibid., p. 1075.) 

Si, dans une obscurite complete, plusieurs espaces tres petits soul eclaires d'une lumiere graduel- 
lement croissante, ce n'est qu'a partir d'une cerlaine inlensile que I'ceil percoit et distingue 
netlement les points en question (sensibilite visuelle). — Si les points sont eclaires par une 
couleur simple saluree, la couleur est percue avant que les points soient distingues (sensibilite 
chromatique). 

Sur la quantite de lumiere necessaire pour percevoir la couleur d'objets de 
differences surfaces. (Ibid., t. XCII, p. 92.) 

Petits carres colores, I'un de 12 lnm de cole, 1'autn de grandeur successivemenl croissante, a 
partir de 0"' m ,7, observes dans I'obscurite a la distance de 20 centimetres. 

Le sens de la lumiere et le sens des couleurs. (Archives d'Ophthalmc-Iogie, 
novembre et decembre.) 

La sensibilite pour la lumiere et la sensibilite pour les couleurs sonl deux fonctions difFerentes de 
l'appareil visuel; experiences remarquables. 



Napoli. Un nouveau photometre. (Seances de la Societe franchise de Physique, 
seance du 19 mars.) 
Les deux lumieres a comparer sonl placees a la meme distance de I'ecran, et Ton affaiblit la plus 
intense au moyen d'un disque perce tournant. 



6 



BIBLI0GRAPH1E DES PRINCIPAUX 



1880. Mercadier. Sur la determination des elements d'un mouvement vibratoire. (Journ. 
de Physique de D' Almeida, t. IX, pp. 217 et 282.) 

Lignes obscures dans l'ombre commune de deux styles legers fixers 1'un au corps vibrant, l'autre 
a un diapason connu. 

Govi. Sur une nouvelle experience destinee a montrer le sens de la rotation imprimee 
par les corps a la lumiere polarisee. (Coraptes rendus, t. XCI, p. 517.) 
Experience curieuse fondee sur la persistance des impressions. 

Decharme. Formes vibraloires des pellicules circulaires de liquide sapo-saccharique. 
(Ibid., ibid., pp. 625 cl 666.) 
Fails analogues a ceux que l'auteur a observes sur les bulles; voir a 1879, clans le 2 mt supplement. 

H. DiiFouR- Appareil pour montrer les courbes de M. Lissajous. (Bullet, de la 

Societe vaudoise des sciences naturelles, 2 mc serie, t. XVII, p. 79.) 

Application de la methode de projection de M. Terquem (voir Particle 1877 Terquem dans le 
premier supplement) : les courbes sont tracees sur un ecran par l'image d'un point lumineux 
produile au foyer d'une petite leulille, le point lumineux el la lenlille etanl mis en vibration. 



Rood. Newton s use of the term Indigo with reference to colour of the spectrum. 
(Journ. de Silliman, 3 mc serie, t. XIX, p. 135.) 
Emploi des disques tournants a secteurs colores. 

On the effects produced by mixing white with coloured light. (Ibid., I. XX, 

p. 81.) 
Emploi de disques tournants presentant des secteurs colores alternant avec des secteurs blancs; 

le resullat est Loujours 1'addition d'une certaine quantite de violet. 

Cabmichael. Presentation of sonorous vibrations bg means of a revolving lantern. 
(Ibid., l. XIX, p. 512.) 
Un jet de gaz d'eclairage soumis a des vibrations sonores brule a I'inlerieur d'un tube de mica, 
lequel lourne rapidement dans un plan; I'anneau lumineux apparent se montre deutele. 

Thompson (Silvanus). A new illustration of persistence of vision. (Journ. of the 
Franklin Institute, 3 m ° serie, t. LXX1X, p. 53.) 
L 'explication de Tobin est insufflsante (voir 1'article 1879Tobiu dans le 2 m » supplement). 

Konig. Untersuchungen uber die Schwingungen einer Normalstimmgabel. (Ann. de 
Wiedemann, t. IX, p. 394.) 
Emploi d'un microscope oscillant et des precedes de Lissajous. 



PHENOMENES SUBJECT1FS DE LA VISION, 3™ SUPPLEMENT. 7 

1880. Bresina. Veber die Schwingungen der luft in der chemischen Harmonika. (Progr. 

Arcliigymnasium Soest, 1880-1881, p. 1.) 
Emploi d'un miroir en mouvement. 

Grossmann. Veber die Messung der Scharfe des Farbensinnes. (CentralblaU f. pr. 
Augenheilk., t. IV, p. 298.) 
L'appreciation de la couleur varie avec la distance el avec l'elendue de la surface coloree. Les 
couleurs qui se reconnaissenl le plus loin sonl le vert et le jaune, etc. 

1881. Montigny. De I'intensite de la scintillation pendant les amoves boreales. (Bullet, de 

l'Acad. de Belgique, o" 1 " seric, t. I, p. 231.) 

Emploi encore de son scinlillomclre (voir les articles 1886 et 1804 Monlignv, dans la Biblio- 
graphic simple qui suit la premiere section analytique). 

J. Plateau. Quelques experiences sur les lames liquides minces. (Ibid., ibid., 
t. II, p. 8.) 
Exemple curieux de longue persistence d'une impression. 

Rosenstiehl. Determination des couleurs qui correspondent aux sensations fonda- 
nentales, a Vaide des disques rotatifs. (Comptes rendus, t. XCII, p. 244.) 



mi 



Les trois teintes lbndamenlales sonl l'orange, un jaune vert e un bleu : elles reproduisent, par 
le melange de leurs sensations deux a deux, le rouge, le vert et le bleu les plus inlenses. 

Determination des sensations colorees fondamentales , par /'elude de la repar- 
tition des couleurs complementaires dans le cercle chromatique. (Ibid., ibid., 
p. 557.) 

Meme sujet. 

Discussion de la theorie des trois sensations colorees fondamentales. (Ibid., 
ibid., p. 1286.) 

Caracteres de ces sensations. 

Determination de la distance angulaire des couleurs. (Ibid., t. XCII I, p. 207.) 
Emploi des disques lournants a secteurs colores. 

Recherches sur les lois de la vision des couleurs. (Bullet, de la Societe indus- 
trielle de Mulhouse, seance du 28 septembre 1881. Le Memoire a ete 
imprime a Mulhouse en 1882.) 
Ueveloppement du contenu des articles ci-dessus. Applications. 



8 



BIBLIOGRAPHIC DES PRiNCIPAUX 



1881. Charpentier. Uexamen de la vision au point de vue de la medecine generate. Paris. 

Determination de la limite du champ visuel; etude de la sensibilite visuelle, de la sensibilite 
chromatique et de l'acuile visuelle. 

Nicotra. Recherches sur les sons resultants. (Journ. de Physique do D'Almeida, 
t. X, p. 53.) 

Effets de la persislance des impressions auditives. 

Decharme. Formes vibratoires des pellicules circulaires de liquid e sapo-saccharique. 
(Ann. de Chim. el de Phys. de Paris, 5 m *' serie, I. XXII, p. 302.) 
Memoire in-exlenso (voir, plus haut. I'arlicle 1880 Decharme). 

Crova. Projection des figures de Lissajous avec des differences de phases variables 
a volonte. (Journ. de Phys. de D'Almeida, t. X, p. 235.) 
Kmploi d'un aimant pour faire varier les phases. 

Latchinoff. he dynamometre optique. (Journ. L'Eleetricien, I.. I, p. 30.) 
Application ingenieuse de la persistence des impressions. 

Mace de Lepinay et Nicati. Recherches sur la comparaison photometrique des 
diverses parties d'un meme spectre. (Ann. de Chim. el, de Phys. de Paris, 
5 me serie, t. XXIV, p. 289.) 

L'auleur verifle le fait deja signale par Newton et contesle par Draper, que I'intensite maxima 
est dans le jaune, etc. 

Contribution a I'etude du champ visuel des couleurs. (Archives d'Ophthal- 

mologie, t. I, pp. 437 et 306.) 
La sensibilite est la moindre pour la lumiere rouge et le champ visuel esl aussi le plus etroil, 

.... Les Zootropes. (Journ. La Nature, n° 448, 10"'" annee, p. 71.) 

Modification simple du Praxinoscope (voir I'arlicle 1878 Reynaud, dans le 2 mc supplemenl) ; modi- 
fication du Thaumatropc (voir I'arlicle 1825 Paris, dans la Bibliographie simple qui suit la 
Bibliographie analytique de la 1™ section). 



Forres et Young. Nouvelles experiences pour mesurer la vitesse de la lumiere. 

(Journ. anglais Nature, t. XXIV, p. 133.) 

Melhode de Fizeau modifiee (voir I'arlicle 1849 Fizeau dans la Bibliographie simple qui suit la 
Bibliographie analytique de la l re section). 

Experimental Determination of the Velocity of while and of coloured light. 
(Proceedings de la Soc. Royale de Londrcs, I, XXXII, p. 247.) 

Idem; la lumiere coloree marche d'aulant plus vite qu'elle est plus refrangible. 



PHENOMENES SUBJECTIFS DE LA VISION, 3™ SUPPLEMENT. 9 

'881. Spottiswoode. The electrical discharge , its forms and its functions. (Journ. anglais 
Nature, t. XXIV, pp. 846 et 569.) 
Emploi du miroir lournant. 

Lord Rayleigh. Experiments on colour. (Ibid., t. XXV, p. 64; voir p. 66.) 

Appareil faisant loonier rapidement sur clle-meme ['image de l'ensemble immobile de deux 
disques de Maxwell, ensemble qu'on peut ainsi ajuster pendant la relation, 

Wead. On combining colour disks. (Ibid., ibid., p. 266.) 

Modification de I'appareil ci-dessus. 

Bull. A new method of examining and numerically expressing the colour percep- 
tion. (Transact, of the Intern Med. Congress, Londres, t. Ill, p. 49.) 

Rood. Theorie scienlifique des couleurs el lews applications a I'art el a I'industrie. 
Traduction francaise, Paris. 

Etude generale du sujet. — P. 177 : a cause d'une illusion due a la persistence des impressions, 
les photographies instantanees de la mer agitee ne represented pas exactement l'aspect des 
vagues. 

V. Frey et V. Kries. Ueber Mischung von Speclralfarben. (Archiv. de Reichert el 

Dubois, p. 336.) 

Les proportions de deux couleurs spectrales necessaires pour protluire par leur melange une 
teinte determinee, varient avec les observateurs, etc. 

Glan. Ueber Apparate zur Untersuchung der Farbenempfindungen. (Archiv. fur 
die gesammten Physiologic, t. XXIV, p. 507.) 
Divers apparcils pour la comparaison et pour le melange des couleurs spectrales. 

Dobrowolsky. Ueber die Veranderung der Empfindlichkeit des Auges gegen Spectral- 
farben, bei tvdchselnder Lichtstdrke derselben. (Archiv. de PfJiiger, 
t. XXIV, p. 189.) 
L'oeil est beaucoup plus sensible au bleu qu'au rouge. 

Uhbantschitsch. Zur Lehre von S chal I emp /inching. (Ibid., ibid., p. 574..) 
Persistence des impressions audi lives. 



Ueber das An- unci Abklingen akustischer Empfindungen. (Ibid., t. XXV, 

p. 323.) 
Generation et persistence de ces impressions. 

Tome XLV. 2 



10 



BIBLIOGRAPHIC DES PRINCIPALS 



1881.Koenig. Ueber die Beobachtung der Lvftschwingungen in Orgelpfeifen. (Ann. de 
Wiedemann, t. XIII, p. 569; voir p. 580.) 
Emploi du miroir lournant, 

Lommel. Einfaches Verfahren die Stroboskopischen Erscheinungen fur viele gleich- 
zeilig sichtbar zu machen. (Carl's Repertorium, t. XVII, n" 7, p. 463.) 

Un faisceau de Iumiere vive recu sur la face posterieure d'un disque de Phenakisticope en rotation 
est renvoye par un miroir sur la face anterieure du disque. 

Dvorak. Ueber einige akustische Bewegungserscheinungen, insbesondere ilber das 
SchaUradiometer. (Bullet, de l'Acad. de Yienne, V™ partie, t. LXXXIV, 
octobre.) 
Emploi de la methode stroboscopique pour montrer la formation des anneaux de fumee sous 
rinfluence de vibrations energiques. 

V. Fleischl. Physiologisch-optische Nolizen. (Bullet, de l'Acad. de Vienne, 
3- partie, t. LXXXIII, p. 199.) 

Nous ne pouvons savoir d'une maniere immediate si nous voyons monoculairement ou binocu- 
lairement. 

Stricker. Beitrdge sur Kenntniss der Organgefuhle. (Med. Jahrb. der kk. Ge- 
sellsch. der Aertze zu Wien, p. 545.) 
Objections contre l'assertion ci-dessus de Von Fleischl. 

1882. Momtigny. Notice sur une particularity de I'aurore boreale du 2 octobre 1882, et 
sur I'accroissement d'inlensite de la scintillation des etoiles pendant les 
aurores boreales. (Bullet, de l'Acad. de Bclgique, 5 m " serie, t. IV, p. 303.) 
Toujours emploi de son scintillomelre. 

Mace de Lepinay et Nicati. Recherches experimenlales sur le phenomene de Pur- 
kinje. (Journ. de Phys. de D'Almeida, 2"' c serie, 1. 1, p. 33.) 
Elude de l'acuite visuelle correspondante a chacune des couleurs du spectre. 

Relation entre la loi de Bouguer-Masson et le phenomene de Purkinje. 

(Comptes rendus, t. XCIV, p. 785.) 
Le rapport entre la plus petite difference perceptible d'eclat de deux espaces juxtaposes de 
meme couleur et l'eclat de l'un d'eux, est constant pour toutes les couleurs simples lanl qu'on 
n'approche pas trop du violet; mais il va ensuite en augmenlanl. 

Hurion. Determination des venires des tuyaux sonores a I'aide des flammes mano- 
melriques. (Journ. de Phys. de D'Almeida, 2 me serie, t. I, p. 136.) 
Emploi du miroir tournant. 



J 



PHENOMENES SUBJECT1FS DE Lb. VISION, 3°" SUPPLEMENT. H 

1882. Marey. Sur la reproduction, par la photographie , des diverses phases du vol des 

oiseaux. (Comptes rendus, t. XCIV, p. 680.) 

Description d'uti appareil perfeclionne; les images successives disposees sur un Phenakisticope 
reproduisent 1'aspect de I'oiscau qui vole. 

Bichat et Blojndlot. Oscillations du plan de polarisation par la decharge d'une 
batterie. Simultaneity des phenomenes eleclrique et optique. (Ibid., ibid., 
p. 1590.) 
Emploi du miroir tournaul. 

L. L. Les roues d'une voilure et la photographie. (Journ. La Nature, 10 ,ne annee, 
n°471, p. 19.) 

Dans la photographie instantanee d'une voiture trainee par un cheval au trot, la partie supe- 
rieure des roues parait beaucoup moins nette que la partie inferieure; ponrquoi. 



Le Phenakisticope de projection. (Ibid., ibid., n° 473, p. 64.) 
Pelit appareil propre a etre place dans les lanternes de projection ordinaires, et projetant sur un 
ecran les effets agrandis. 



Kevnaod. Le Praxinoscope a projection. (Ibid., ibid., n° 492, p. 557.) 

Modification du Praxinoscope. (Voir, dans le 2 me supplement, Particle 1878 Reynaud.) 

Charpentier. Sur la duree de la perception lumineuse dans la vision direcle el dans 

la vision indirecte. (Comples rendus, t. XCV, p. 96.) 

Mesure du lemps qui s'ecoule entre I'inslaul de l'apparition d'une lumiere devant 1'oeil, et celui 
de la perception de cetle lumiere. Pour I'auteur et la lumiere du jour, ce temps est, en 
moyenne, dans la vision directe.de 0",13; il est plus considerable dans la vision indirecte. Etc. 

Sur la visibilite des points lumineux. (Ibid., ibid., p. 148.) 

Influence du diametre des points lumineux, de lour distance a l'oeil, de leur eelairemeut. 

Nouvelles recherches sur la sensibilile de la reline. (Archives d'Oplithalmo- 

logie, mai et juin.) 

La quanlite minima de lumiere necessaire pour distiuguer I'un de l'autre deux points lumineux 
voisins est independanle de leur ecartement, el cet eclairement est en raison inverse de leur 
surface. — Photometrie physiologique. — Etc. 



Rechercltes sur la distinction des points lumineux. (Ibid., juillel-aout.) 

Nouvelles verificalions de la loi etablie dans le travail precedent; settlement I'ecartement des 
points lumineux ne doit pas depasser, dans l'ceil, la largeur de la fovea centralis. L'eclaire- 
ment minimum est independant du nombre des points lumineux. 



12 



B1BLI0GRAPHIE DES PRINCIPAUX 



1882. Charpentier. Elude de ['influence de la coloration sur la visibilite des points 
lumineux. (Archives ^Ophthalmologic, novcmbre et decembre.) 
La loi en question est independanle de la coloration des points. 

Note complemenlaire relative a I'influence de la surface sur la sensibilite 

lumineuse. (Archives d'Ophtbalmologie, novcmbre el decembre.) 
Les variations du diametre de la pupille sont sans influence sur la loi. 

Description d'un Pholoplometre differentiel, Paris. 

Appareil propre a eludier une serie de questions, telle que la plus petite difference perceptible 
d'intensile entre deux espaces lumiueux contigus. 

Rosenstiehl. De I'emploi des disques tournants pour Vetude des sensations colorees. 
Inlensile relative des couleurs. Extrait. (Comptes rendus, t. XCIV, 
p. 1411.) 

De la sensation du blanc et des couleurs complementaires. (Ibid., t. XCV, 
p. 1275.) 

Proprieles de la lumiere blanche oblcnue par I'union de deux couleurs simples complementaires 
ou d'un plus grand nombre de couleurs simples. 

De I'intensite relative des couleurs. (Seances de la Soc. francaisc de physique, 
avril-juillet, p. 103.) 

Kmploi des disques tournants a secteurs colores pour determiner I'intensite de coloration 
d'une couleur malerielle donnee, etc. 

Recherches sur les lois de la vision des couleurs. Trois conferences (Bullet, de 
la Sociele industrielle de Rouen, mars-avril.) 

Developpements etendus. 

F. Gai.ton. A rapid-view instrument for momentary attitudes. (Journ anglais 
Nature, t. XXVI, p. 249.) 

Instrument au moyen duquel Toeil recoit directement une impression instanlanee, ou plusieurs 
impressions instanlanees successives separees par de courts intervalles, et distingue ainsi les 
divcrses phases d'un mouvement rapide. 



Lord Rayleigii. Further observations upon liquid jets. (Proceed, de la Soeiete 
royale de Londres, t. XXXI V, p. 130.) 

Etude detaillee de faction des sons sur une veine liquide lancee horizontalement etc. Emploi du 
disque perce lournanl. 






PHENOMENES SUBJECT1FS DE LA VISION, 3»° SUPPLEMENT. 13 

1882. Bowditch et Hall. Optical illusions of motion (The Journal of Physiology de 

Foster, t. Ill, p. 297.) 

Eludes des illusions decriles par Silvanus Thompson. (Voir I'article 1877 Silvanus Thompson, 
dans le 2 mc supplement.) 

WortHington. On impact with a liquid surface. (Proceed, de la Soc. royale de 
Londres, t. XXXIII, p. 347 et t. XXXIV, p. 217.) 
Eclairement instantane par I'elincelle electrique. 

Chodin. Ueber die Abhcingigkeit der Farbenempfindung von der Lichtstarke. 
(Collection de Preyer des Memoires de physiol., l re serie, 7 me livr.; cite 
sans date par Albert dans I'article ci-apres.) 

Lorsque l'eclairemenl diminue, ce ne som pas le bleu et le violet, mais le jaune, l'orange et le 
vert qui predominant. 

Albert. Ueber die Aenderung des Farbenlones von Spectral f'arben und Pigmenten 
bet abnehmender Lichtstarke. (Ann. de Wiedemann, t. XVI, p. 129. 

Objections contre les conclusions de Chodin. 

Scfielske. Versuche iiber Farbenmischungen. (Ibid., ibid., p. 549.) 

Recherche, au moyen de l'appareil de Helmhollz a prisme et a collimaleurs, des couples de 
couleurs spectrales qui donnent du blanc par leur melange, et des couples qui donnent une 
couleur spectrale delerminee. 



Boas. Ein Beweis des Talbot'schen Satzes und Bemerkungen zu einigcn aus 

demselben gezogenen Folgerungen. (Ibid., ibid., p. 359.) 

Demonstration mathematique de la loi (voir le second des articles 1 834 Talbot, dans la Bibliogra- 
phie simple qui suit la \" section analytique). Objections contre les resultats enonces par 



Pick. 



DEUXIEME SECTION. 



Couleurs accitlentellcs ordinaires tie succession. 



u - Kogers. Some experiments and inferences in regard to binocular vision. (Procee- 
dings of the American Assoc, p. 187.) 

Vision slereoscopique d'images accidentelles. 



\i 



BIBLIOGRAPHIE DES PR11NCIPAUX 



1875. Kleiner. Experiences d'optique physiologique. ( Vierteljahrschrift der naturfor- 

schenden Gesellsch. in Zurich, t. XX, pp. 474 et 488.) 

A cause de la relation avec le principe de la reaction de l'organe. 

Mouvements relatifs apparents opposes a des mouvements relatifs reels qu'ou a contemples. Ces 

mouvements apparents soul dus a une veritable sensation. — Experience curieuse de cou- 

leurs accidentelles. 

1880. J. Plateau. Une application des images accidentelles. (Bullet, de 1'Acad. de Bel- 

gique, 2 me serie, t. XLIX, p. 316.) 

Evaluation approchee de la distance a laquelle on rapporte la lune. 

Mace de Lepinay et Nicati. De la distribution de la lumiere dans le spectre solaire. 
[Spectre des daltoniens]. (Comptes rendus, l. XCI, p. 1078). 
Objection contre la theorie de Hering. 

Le conte. On some phenomena of binocular vision. (Journ. de Silliman, 3""" serie, 
t. XX, p. 83.) 
Emploi des images accidentelles pour constater la rotation des yeux aulonr de leurs axes 
optiques, lors de certains mouvements de leur ensemble. 

Thompson (Silvanus). Optical illusions of motion. (Journ. Brain, octobre.) 

A cause de la relation avec le principe de la reaction de l'organe. L'auteur decrit comme nou- 
velles.des experiences connues. Les mouvements apparents opposes qui succedenl a la 
contemplation des mouvements reels, sont dus a ce que la retine perd peu a peu la conscience 
du mouvemenl reel, de sorle qu'un objet en repos lui parait ensuite, par conlraste, anime 
d'un mouvement contraire. 

Zehfuss. Ueber Bewegungsnachbilder. (Ann. de Wiedemann, I. IX, p. 672.) 

A cause encore de la relation avec le principe de la reaction de l'organe. Le mouvement appa- 
rent oppose qu'on observe apres la contemplation d'un mouvement reel, est un phenomene 
physiologique, et non psychique, il se produit dans la retine meme. 

Peschel. Experimented Untersuchunyen iiber die Adaptation der Netzhaut fur 
Farben. (Archiv. de Pfluger, t. XXI, p. 405.) 
Objections contre les theories de Young-Helmholtz et de Hering. 

1881. J. Plateau. Une application des images accidentelles, deuxieme Note. (Bullet.de 

l'Acad. de Belgique, 3" ,c serie, t. II, p. 281.) 

Evaluation approchee de la distance a laquelle on rapporte la voule celeste a une assez grande 
hauteur au-dessus de l'horizon. 

Gillet de Grandmont. Sur un procede experimental pour la determination de la 



PHENOMENES SUBJECTIFS DE LA VISION, 5™ SUPPLEMENT. 15 



1881. 



sensibilite de la retine aux impressions lumineuses color ees. (Comptes 

rendus, t. XCII, p. 1189.) 

Un effel curieux de couleurs accidentelles ; le Chromatroposcope, instrument destine a le 
montrer. 



Emmert. Grbssenverhdltnisse der Nachbilder. (Klin. Monalsblatt fur Augenheil- 

kunde, (. XIX, p. 443.) 

Parait ne contenir que l'estimation connue de la grandeur d'une image accidcntelle d'apres la 
distance a laquelle on la projette. 

Zehender. Remarque a la suite du Memoire ci-dessus. 

L'oeil normal a l'etat de rcpos n'est adaple que pour une distance de quelques pieds ; en effet, 
1'image accidentelle parait moindre que l'olijet, quand celui-ci est a plus de 2 metres de 
distance, el plus grande, au contraire, quand la distance est plus petite que 2 metres. 

Tschermak. Zur Physiologic des Gesichtsorgans. Das Plateau-Oppel'sche Phanomen 

und sein Platz in der Reihe gleichartiger Erscheinungen. (Archiv. fur 

Augenheilkunde, t. XI, p. 241.) 

A cause de la relation avec le principe de la reaction de I'organe. Theorie parliculiere des 
mouvements apparents opposes qui succedent a la contemplation des mouvements reels. 

Dreher. New subjektive Farbenwahmehmungen a,uf Grund von Kontrastwirkung. 

(Journ. Die Natur, nouvelle serie, 7 ,ne annee, p. 571.) 

Dans certaines conditions un papier enduit de la matiere qui donne, dans 1'obscurile, apres 
insolation, une lumicrephosphorescenle verte, montre d'ahord unelumiere vertepeu durable, 
puis une lumiere pourpre Ires eclalante. 

Urbantsciiitsch. Zur Lehre von der Schallempfindung, (Archiv. de Pfltiger, 

t. XXIV, p. 574.) 

Experiences curieuses sur la diminution de la sensibilite de 1'oreille par I'action prolongee d'un 
son intense. 



"2. Chevreul. Memoire sur la vision des couleurs materielles en moitvemenl de rotation, 
et sur les vitesses respectives evaluees en chiffres, de cercles dont une moilie 
diamelrale est coloree el I'autre nioitie est blanche; vitesses correspondanl 
a trois periodes de leur mouvement a partir de I'extreme vitesse jusqu'au 
repos. Extrait. (Comptes rendus, t. XCV, p. 1086.) 
Le litre indiquc suffisamment la nature du content!. 

Hannay. Colour perception. (Journ. anglais Nature, t. XXV, p. 604.) 

Teinte complementaire observee sur un objet peu lumineux qu'on fait mouvoir rapidement 
dans une chambre qui ne recoit la lumiere du jour qu'a travers des verres d'une couleur 
determinee. 



16 



B1BL10GRAPHIE DES PRINCIPAUX 



1882, Le conte Stevens. Notes on Physiological Optics. (Philos. magaz., 5 me serie, 1. XIV, 
p. 312; voir p. 315.) 

Images accidentelles slereoscopiques. 

Bowditch et Hall. Optical illusions of Motion. (Journ. of Physiology de Foster, 
t. HI, p. 297.) 

Observations curieuses sur les mouvcments apparenls qui succedent a la conlemplalion de 
mouvements reels. A cause de la relation avec le principe de la reaction de 1'organe. 

V. Fleischl. Physioloyisch-optische Notizen , 2'"° communication. (Bullet, de 
I'Acad. de Vienne, t. LXXXVI, 3'"" partie, p. 8 ; voir le § VI de la Note.) 
Observation analogue a celles de Bowditch el Hall (voir l'arlicle precedent). 

V. Kries. Die Gesichisempfindungen unci ihre Analyse. (Arcliiv. fur Physiologic 

de Du Bois Reymond, vol. supplementaire.) 

Discussion sur la fatigue de la retine. 

P. 126 : Si Ton se dorine une image accidenlelle prononcee par la contemplation d'un petit objet 
blanc sur fond noir, et si Ton promene rapidement le regard sur ce fond,l'image disparait. 



TROISIEME SECTION. 

Images «gtii succedent a la contemplation d>ol»jets d'un grand 6clat 
ou uifiiic d'ol»jcts blancs bicn eclaircs. 

1 877. Rood. Observations on a property of the retina first noticed by Tail. (Journ. de 
Sillirnan, t. XIII, p. 52.) 
L'auteur, apres une exposition prolongee a la vive lumiere du jour a l'exterieur, voil les objets 
Wanes teinles d'une couleur rouge lirant sur le pourpre, ceux d'un vert intense d'une nuance 
grise, et les verts prononces Ires reduits en inlensite, et s'il entre dans une chambre obscure, 
pile lui parait remplie pendant plusieurs secondes d'un brouillard verdatre. 

1880. Seguin. Sur les images accidentelles des objets blancs. (Ann. de Chim. et de Phys. 
de Paris, t. XIX, p. 450.) 
Nouvelle etude du pbenomene. 



1881. F. Smith. Apparent decomposition of sunlight by intermittent reflecting surfaces. 
(Journ. anglais Nature, t. XXIV, p. 141.) 
Roue tournant rapidement an soleil et portant des rais qui rellechissent la lumiere de eel astre ; 
la couleur perdue par celui qui l'observe varie avec la rapidite de la rotation. 



PHENOMENES SUBJECTIFS DE LA VISION, 3™ SUPPLEMENT. 17 

1882. Mace de Lepinay et Nicati. Sur un phenomena d'optique physiologique. (Journ. de 

physique de D'Almeida, 2 me serie, t. I, p. 86.) 

Apparence verte prononcee des lumieres artificielles le soir, apres un sejour prolonge, daus la 
journee, au milieu de champs de neige en plein soleil. C'est que la fatigue de ]a retine pour le 
rouge persiste beaucoup plus longlemps que pour les aulres couleurs ; experience de veri- 
fication. 

Gaure. (Journal La Nature, 10 mo annee, n° 470 [boite aux lettres].) 

Apres avoir observe, pendant line heure et demie, I'eclipse de soleil du 17 mai, a l'aide d'une 
lunette dont le verre noir etait trop peu fume, Fauteur a vu, le soir, les flamraes de gaz teintes 
de vert, puis le lendemain teintees de bleualre, et le surlendemain de violace; memes effets 
depuis cette epoque. 

Hannay. Colour perception. (Journ. anglais Nature, t. XXV, p. 604*.) 

Couleurs qui se manifeslent sur un disque Wane presentanl des dessins noirs, et tournant avec 
une vitesse moder^e. 

Napier. Smith. Colour perception. (Ibid., t. XXVI, p. 50.) 

Objections contre l'explication donnee par Hannay dans 1'article ci-dessus. 

Swan. Perception of colour. (Ibid., ibid., p. 246.) 

Apres une exposition de deux ou trois minutes a une forte lumiere, telle que celle d'un 
papier blanc eclaire par le soleil, la sensibilite des yeux de 1'auteur pour des couleurs placees 
dans une lumiere faible se trouve modiflee ; elle est presque annulee pour le rouge. Si le 
rouge est expose au soleil, la sensibilite pour cette couleur est, au contraire, exaltee. 



QUATR1EME SECTION. 



Irradiation. 



*8i8. J. South. On the occupation of 3 Piscium by the Moon , observed in Blackman- 
Street, etc.; references to recorded observations of occullations , in which 
peculiarities have been apparently seen, either at the Moon's Limb or upon 
her disk; etc. (Mem. of the Astronomical Society of London, t. Ill, 1829, 
p. 303.) 
Historique des occultations avec projection sur le disque lunaire. L'auteur combat 1'hypothese 
qui attribue le phenomene a rirradialion. 

81. Andre et Angot. Origine du ligament noir dans les passages de Venus et de Mer- 
Tome XLV. 3 



IS BIBLIOGRAPHIE DES PRINCIPAUX 

4881 . cure et moyen de I'eviler. (Ann. scientifiques de TEcolc normale superieure, 

2 ,n * serie, t. X, p. 323.) 
Le ligament noir n'est pas du a l'irradiation, c'est un phenomene de diffraction; experiences 
nombreuses. 

1882. Leroy. Vision centrak, irradiation et acuite visnelle. (Archives d'Ophthalmologie, 
Janvier, fevrier, et juillet-aoul.) 
L'irradiation est due a ce que I'image d'un point sur la refine n'est pas un point, mais un petit 
cercle. 

Kuhnt. Ueber farblge Lichtinduction. (Graefe's Archiv. fur Ophthalmologic, 
t. XXVII, p. 1.) 
Dans ce que Bering appelle induction lumineuse simultanee et induction lumineuse successive, 
chaque couleur induit simplement surle fond rioir sa propre teiule, laquelle est d'autant plus 
vive que la contemplation est plus prolongee. 



CINQU1EME SECTION. 

Ph^nomcncs ordlnaircs dc contraste. 

1797. Goethe. Schweizerreise im Jahre 1791. (OEuvres posthumes de Goethe, Stuttgart 
et Tubingue, 1883, t. Ill, p. ISO.) 
Phenomene de contraste observe sur une chute d'eau. 



1881.Giraud Teulon. La vision et ses anomalies. Cows theorique et pratique sur la 
physiologic et les affections fonctionnelles de I'appareil de la vuc. Paris. 

Le contraste simultaue eutre un espace colore et un espace blanc est du a ce que les milieux 
de I'oeil rendus fluoresccnts par la couleur induclrice, absorbent dans la lumiere blanche les 
rayons de cette meme couleur. 

W. J. Herschel. Effect of green in painted Windows. (Journ. anglais Nature, 

t. XXIV, p. 883.) 

Observation d'un vitrail forme de pieces les lines rouges, les aulres vertes, oil le rouge domine. 
A dix pieds de distance, 1'effet general est rouge; a cinquante pieds, le tout parait nuageux 
et d'un legcr vert d'eau. 

Rood. Theorie scientifique des couleurs et lenrs applications a I'art et a Findustrie. 
Traduction francaise, Paris. 
Etude detaillee du contraste simultane; observations variees. 



PHENOMENES SUBJECTIFS DE LA VISION, 5™ SUPPLEMENT. 19 

1881. Szilagyi. Ueber simultancontrast. (Centralblatt fur die Med. Wiss., t. LVII, p. 849.) 

Le contraste simultane se produit non dans l'ceil, mais dans lecerveau; il ne repose pas sur une 
illusion du jugement. Experience. 

1882. Chevreul. Memoire sur la vision des couleurs materielles en mouvement de rota- 

tion, etc. [Voir ['article 1882 Chevreul, plus haut dans la 2 me section.] 
(Comptes rendus, t. XCV, p. 1086.) 

Relation entre le contraste rotatif et le contraste simultane. 

Trecul. Noir vu en rouge orange. (Ibid., ibid., p. 1198.) 

L'auteur regardant un voile noir, fait d'un r&eau a mailles assez etroites eclaire par le soleil a 
vu tous les ncauds du reseau exterieurement colores d'un rouge orange. 

Whitmell. A natural experiment on complementary colours. (Journal anglais 
Nature, t. XXVI, p. 573.) 

Contraste de couleurs observe sur une cascade. 

J. H. Complementary colours. (Ibid. t. XXVII, p. 78.) 
Contraste de couleurs observe sur un cours d'eau. 

Cross. Complementary colours. (Ibid., ibid., p. 150.) 

Contraste de couleurs observe sur les ondes qui viennent se briser a la cote. 

Madan. Complementary colours at the falls of Niagara. (Ibid., ibid., p. 174.) 
Le litre suflit. 

V. Kries. Die Gesichtsempfmdungen und Hire Analyse. (Archiv. fiir Physiologie de 
Du Bois Reymond, vol. supplemental; voir p. 122.) 
Discussion sur les phenomeues de contraste. 



SIXIEME SECTION. 

Ombres color6es. 

8i. Cross. Complementary colours. (Journ. anglais Nature, t. XXVII, p. 150.) 

Ombres pourpres des nuages sur l'ocean. L'auteur menlionne simplement le fait, sans indiquer 
dans quelles conditions il se montre. 



20 BIBLIOGRAPHIE DES PRINCIPAUX PHENOMENES, etc. 



NOTA. 

Les articles suivants, que je n'ai pas eus a ma disposition, semblent, d'apres Ieurs titres, 
devoir trouver place dans ce troisieme supplement; je les indique a tout hasard. 



1879. Cohn. New investigations on the furthest limits of colour perception by direct sun 

light and by electric light. (Brit. Med. Journ. [octobre], p. 331.) 

1880. Ott et Prendekgast. The rapidity of perception of colored Lights. (Journ. of new 

en mental diseases, nouv. serie, t. V, p. 258.) 

Hoppe. Die Scheinbare Bewegung des Ufers in einer dem Wasser entgegengesetzten 
Richtung beim stehen em flissenden oder dock bewegten Wasser. (Memora- 
bilien, t. XXV, 3 mo serie, p. 108.) 



1881. Cobbold. Observations on certain optical illusion of motion. (Brain, IV, p. 7o.) 



SUR UN POINT 



1)K 



U THEORIE DES SERIES DE FOURIER; 



PAR 



M. P. MANSION, 



CORRESPOMDANT BE L'ACADEMIE ROYALE DE BELG1QUE. 



( PrcSsente a la Classe des sciences, dans la seance du 3 fevrier 1883.) 



Tome XLV 



SLJR UN POINT 



DE 



LA THEORIE DES SERIES DE FOURIER. 



§ I. Preliminaires. 



I- Objet de la presenle Note. Depuis que M. Weierslrass a introduit 
ex plicitement, en analyse, la notion Negate convergence (*) des series dont 
les termes sonl des fonclions d'nne variable x , les geometres ont du sou- 
Qiettre a une revision attentive les principes l'ondainentaux de la theorie 
des series trigonometriques, tels qu'ils avaient ete exposes par Fourier, 
Poisson, Cauehy, Dirichlet, Riemann, etc. 

MM. Llpschitz, P. du Bois-Reymond, Heine, G. Cantor, Harnack, Dini, 
Ascoli, Jordan, etc., out elucide la plupart des points difficiles signales dans 
,es travaux anterieurs, et ont, en outre, traite maintes questions nonvelles, 
plus generates que cedes dont leurs devanciers s'etaienl occupes. 

Neanmoins, parmi les ibrmules anciennement admises comme demonlrees, 
" en est utie sur latjuelle les i>eometres cites plus haul n'ont pas, croyons- 
no »s, porte leur attention. 

1 ) En allemand gleichmassige Convergent. Dans son Cows d' 'analyse, t. I, p. 116, M.Jordan 

' s ert de l'expression un peu differenle convergence uniforme, pour traduire ce terme alle- 

net. Sur la convergence e'gale ou uniforme des series, voir le § V du Memoire sur les 

lonctions discontinues de M. Darboux, dans le t. IV de la 2 e sene des Annates de I'ficole 

norrnale superieure (fevrier et mars 1873), pp. 77 et suivantes. 



SUR UN POINT DE LA THEORIE 



Dirichlet, on le sail, a etabli, d'une maniere simple et rigoureuse, que 

la serie 

(rt| cosa; •+- b] sinx) -+- («jCOs2« -+- 6. 2 sin2aj) ■+■ •■-, 



;«o 



dans laquelle 

a pour somme 
i 



ftcosntdt, b n — <- 

TT . 



fts'mntdl, 



| /(x _ 0) + f{x + 0)1 ou - [/■(- * + 0) + f(x - ())], 



I) 



(2) 



(3) 



selon que x est compris entre — n et +ii,ou egal a I'une de ces valeurs 
extremes. La function fx est supposee verifier les conditions de Dirichlet, 
c'esl-a-dire qu'elle est (inie et u'a qu'im nombre fini de discontinuity, de 
maxima et de minima, entre — tt et -\-n. 

On deduil aisement de ce premier resullal de Dirichlet la sommation de 
la serie (1), dans le cas on 



a„=- I ft cos nidi, b n ==- J ft sin nt at, 



(4) 



c et g elant ties limites finies quelconques. Cette somme est egale a celle 
(Fun nombre fini d'expressions analogues a (3). 

Lorsque Ton veut elendrc la nouvelle formule ainsi obtenue au cas ou 
Ton a, ensemble ou separement, g = — go, a— <x>, on reconnait bientot qu'il 
se presente une difficulte speciale qui ne permet pas d'arriver inimediatement 
a la sommation desiree. Dans le premier cas, quand les coefficients ont la 
forme (2), la difference e„ entre I'une ou l'autre des expressions (3) et la 
somme des (h + 1) premiers lermes de la serie (1) est une quantite inde- 
finiment decroissante avec {. Quand les coefficients ont, la forme (4), la 
difference analogue est de la forme 



£« 4 £« -H f„ 



(5) 



k etant un nombre entier superieur, au plus, de deux unites, au rapport 
de (c — g) a 2tt, et e n) el, e" n ... , e^ ; elant encore infiniment petits en meme 



DES SERIES DE FOURIER. § 

temps que^. Quand <j = — go, ou c = go, ou bien, a la ibis, g= — go, 
c = go, on a A; = go; et la suite (5) est remplacee par une serie dont la 
sonime est fonction de n. II est impossible de voir, dans ce cas, sans une 
discussion approfondie, si cette sonime a encore pour limite 0, en meme 
temps que *. 

L'objet de la presente Note est de faire cette discussion, dans un cas 
particulier assez etendu. Nous nous servons, pour cela, de la methode 
primitive de Diricblet, sans y faire intervenir le remarquable theoreme de 
M. P. du Bois-Reymond, si utile dans toutes les autres recherches relatives 
aux series irigonomelriques. Comme application, nous demontrons une belle 
relation de la tbeorie des fonctions fhcla, qiul n'est pas facile d'etablir 
autrement avec une entiere rigueur (*). 

2. ftesultals oblenus dans cette Note. Voici, en resume, les deux propo- 
sitions etablies dans ce petit travail : 

I. On a 



ou 



§ f{oc -+■ nit) = - «„ -+- (a., cos x ■+- b, sin x) •+■ (a., cos 2;r ■+- 6 2 sin 2x) ■+■ ■ ■ ■ 

,| /-» +oo i p -i-to 

a„ — - / ft cos nl dt, b i: = - / ft sin nt ill, 



moyennant les conditions suivantes : i° les coefficients a n , b n sont finis; 
2° la fonction 

ri(ij) = [\x -t- -2m -+- 2i>) -+- f(x -+- 2rw -+- 2;r — 2 ¥ ) 

es t positive et decroissante quand ^ varie de a |tt, pour toule valeur de x 



( ) Cette relation a ete donnee, pour la premiere fois, explicitement par Poisson , Menioire 
SUr la theorie des integrates de/inies et stir la sommation des series (suite) (t. XII, 19° cahier 
cl u Journal de I'ficole poly technique, 1823, pp. 404-309), p. 420. Cacchy, clans l'article inti- 
tule Sur les fonctions reciproques (Exercices de Mathematiques , t. 11, 1827, pp. 141-156), 
P- 156, etablit la meme formule, en la deduisant d'une autre plus generale expose* par lui, 
ues 1817, dans le numero d'aout du Bulletin de la Societe philomathique. Des 1817 aussi, 
Auciry avait prouve la formule pour le cas particulier oil % = 0. Les demonstrations de 
oisson et de Gauchy donnent lieu a des objections analogues a relies que nous Tenons de 
aire a la demonstration habituelle par les series de Fourier. 



6 



SUR UN POINT DE LA THEORIE 



et de r, sauf si x -j- %rj a une valeur comprise entre deux limiles finies #, c. 
Dans I'intervaHe de g a c, il sufflt que fx verifie les conditions de Dirichlet; 
3° les series 

S *M; S *W 
sont continues aux environs de y =0. 



II. Les conditions precedenl.es sont verifiees pour la fonction e~"' r \ Pai 
suite, on a 






S e--*Pcos2rz, 



I'ormule qui permet de raraener les lonetions //uV« (rune variable imagi- 
naire, aux fonctions ihela d'une variable reelle. 



§ II. FORMCLE GENERALE. 

IL Premiere trans formation de la somme cherchee. Soil; a trouver la 
somme de la serie 



F =- a •+- (»i cos a; -+- b, sin x) -+- (a s cos 2a- -h 6 2 sin 2x) -+- etc., 



dans laquelle 



i r* i /»* 

«,, = - / /'< cos /*/ (It , 6„ = - / /i sin /t( </f , 



// elant une fonction telle que, pour toute valeur de », «„ el //„ soienl finis. 
Appelons F n la somme des (n + 1 ) premiers termes de la serie F. Nous 
aurons 



f"[ 



~ -+- cos (t — .x) -+- cos L 2 (t — x) -t- ■ • ■ -+- cos n [l x) 



dt, 



DES SERIES DE FOURIER. 



ou encore, en faisant t — x -J- 20, 

F„ ==- I /'(*' -+• 2o) ['' -t- 2 cos 2e -+- 2 cos 40 +•••.-+- 2 cos 2ne] 

1 /"" sin (2m -t- -1)8 , 

= - / fix -+■ 28) — V (U. 

x J ' sin 8 



l'osons 



1 p m * 

G m> „ = - / /(a; 



24) 



sin (2m h- i)( 
sin o 



</'.. 



Mors 
Soit 



F„ = lim B= «, [G„„ „] ; F = lim„ =00 | liin,„ =cc [G„„ „] | . 



v — x 1 

= U h — t ± a . 

-2 <•> 



*etaul positif et iniericur ou egal a -*7r. On pourra decomposer, dc la inaniere 
suivante, rintegrale G m , „ : 



G,„, „ = a i -+- 'O+i + M (+s ■+••••■+• u„ 



en supposant 



in (2/t -4-1)0 



sin 8 



■do 



sin (2/t -i- 1)8 



>x+„ x±c 



I / r"'T+~ sin (2m 

, u r = - / /(a; 4- 29) — i-r- 

»-,/ sin 



rfe: 



*" est successivemeiit egal a I + 1, £ + % ..., m — 1. 
Dans l'inlegrale w,., posons Q = rn + >j. II viendra 



1 /"*" sin (2/t -+- i)w 
v,. = - / /'(a; +■ 2/-7T -+- 2*) — ^ d? 

7T,/ sin >? 

O 

_' /"** sin (2w -+-l)i} 1 p* , sin (2m -+- l)« 

— ~ / Ax + %rx -t- 2*) H d>> -t- - / ^(x •+• 2r* + 2«j — i efy. 

" ' *s sin if v: ,/ sin vj 



Dans la dernierc inlegrale, faisons >? = tt — ?, puis remplacons de nouveau 
S par 7T. Nous trouverons 

1 /^» ,T r ,-iSin (2m ■+- \)*i 

u r = - / I fix -+- 2r* -+- 2if) -+- / (x ■+- 2/-7T -+- 2tt — 2^)1 K — d n . 

ir J L ' J sin >) 



SUK UN POINT DE L/V THEORIE 
On peul transformer la valour dc u, d'une maniere analogue. On oblienl 



ainsi 



I /"•* sin(2« + 1)if 1 r'-" 1 ,., , sin (2m +1)^ 

u,= - /Xx-*-3JW--t-2v)— / /\a;-+-2k4-2« — 2*)- 



L?r±j! 



sin if »r ( 



sin vj 



Pour n infini, la premiere partie de u t a pour limite zero, d'apres le theoreme 
de Dirichlet; la seeonde devient 



Si Ton fait 



on aura done 



- f(x •+- ^^ + 2tt) 



G„,,„= 'Hi •+- H MjB , H m , „= M; +) -+- M, +S! -+-•••■+■ M m _i, 



F = - f\x -+- 1\tx -+- 2tt) -+- Iim B=M j Iim m „„ [II,„,„] J . 



Nous allons chercher une valeur approchec de H m „. 
Remarque. Si Ton avait 



il viendrail simplement 



(l + *)*, 



F = Iim„ =00 j lim m=M [H,„ 



4. Valeur approchee de u r . Soil 

tA (if) = /'(x -+- 2nr +■ 2s?) -i- /'(x -+- 2rvr -i- 2x — 2j?) j 

supposons que >.(>,) soit une fonction positive decroissante, quand v varie 
dc a l~. On pourra enfermer ««,. entre deux limites, rune superieure, 
I'aulre inlerieure, par le procede de Dirichlet. 

On a evidemrnent, en employant une notation abregee 



7T JT_ 7T_ 7T_ T 

( fin+l f'ln+l f 7 >in+l P " 2.1+1 f ~i ) Mij) 

it,. = / •+- / -+- / -i- ••• -+- / ■+- / - — sin (2n 4- 1 

,/ ,/ ,/ ../ c/ ) sin if 



) If (^ 



f-i- 

In+i 



(»-•), 



DES SERIES DE FOURIER. 







Dans la premiere integralc, sin (2ft + l).ti est positif ou nul; dans la 
deuxieme, il est negalif on nul; dans la troisieme, il eat dc nonveau positif 
°u nul , etc. Quant an facteur A(»?) : sin >?, il n'est jamais negalif. Nous pou- 
v ons done ecrire 

■ii r = A„ — A , ~+- A 2 — A- •+-•••-+-( I — )"A„ , 

les quantites A , A,, A 2 ,'. .., A,,, toutes positives, etanl definies par les 
egalites 

, f s»+i sill (2-M -+- \)y 

Aa = (-1)*/ *(*) — ~ — <f», [A=0, 1,2,. ..,»-!, 

o/ ■ sin m 



2n+[ 



sin (2n ■+■ I)k 
sin ij 



Soieot maintenant 



«0= / 



«i-i sill (2n -+- I )y 



sin M 



efy, 



./ 



'fa-H sin (2h 4- \)tj 
sin ^ 



</>?, 



._/ 



<-i sin (2m -+- 1 ) >f 

— ill, 
sin ^ 



1) 



/ 



2 sin (%n -+- 1 )^ 



r/« 



sin j? 






^ e s quantites « , «,, « 2 , ..., «„ sont encore positives. De plus, elles forment 
Une suite de grandeurs decroissantes, car les facteurs ± sin (2jj h- \)r, , du 
n umeraieur, passent, dans chacune de ces integrates, la derniere exceptee, 
P^r toutes les valeurs que prend le sinus d'un angle, quand cet angle varie 
cle a 7t. Le denominateur sin n, au contraire, va sans cesse en croissant, 
v'uant a a n , cette quantite est moindre que 



(-'!)' 



sin (2» 4- t)ij 



/2»-*-i sili (2n 
"Si 



2»+l 



I quelle, d'apres un raisonnemenl, analogue au precedent, est inferieure 

II %~. A ; done «„ ejst aussi inferieur a «„_,. 



Tome XLV. 



10 



SUR UN POINT DE LA THEORIE 



Dans chacune des integrates A, remplacons successivement A (>,) par ses 
valears extremes; savoir, celles qui correspondent aux limites de l'integrale 
considered On trouvera ainsi, pour la premiere, 



/'s»+isin(2n-Hi)i? , ^ 
— !-. -dij> 
sin v, « 



>sr£i sin(2»-4-l)>j , 



sin 4 



2n-+-1 



/ 



sn+i sin(2n-t-i))f 



sin y 



dy. 



OU 



De meme 



1 W-> A - >A 5TTT^ 



M^r~ . r 1 > A| > A ls~~ 
\2» ■*- \l \2« -t- 1/ 

2sr \ k f 5t 

-)a 2 > A 2 > Mr— — rf«s, 



2ra -f- 1 



2m -4- 1 



x [^Tl)^ >K> "W"' 



De cos inegalites et de celles-ci : 

«0 > «l > a '2 > K S >•••>««> 

A„> A,> A 2 > A„> ...>A„. 



on deduit 



Soit 2s un nombre pair quelconque inferieur a w. On aura 

u r = [(A„ — A,) -4- (A. 2 — A») -4- •■• -4- (A,,., — Ato.t)] -4- (A,» — A 2H _,) -4- ••• -t- ( 
= [(A, — A,) -+- (A, — A s ) -4- ■ - -t- (A to _ s — A^_,) -1- K]— (A s ,+i — A 2 , +1 ) — 



-•l)"A„ 

•• 4-(-l)"A„. 



Done 



«.' > A — A 1 -4- A 2 — A 3 -4- ••• -*- Aj,_ a — A 2 ,_ ( , 

«,. < A — A, ■+- A 2 — A- -4- •■• ■+- A & _ 2 — A s ,_i -4- A s 



Dans la premiere de ces inegalites, remplacons chaque quantite A precedee 
d'un signe + , par une quantite plus petite; chaque quantite A precedee 



DES SERIES DE FOURIER. 



ii 



d'un signe — , par une quantite plus grande; faisons 1'inverse dans la 
seconde. II viendra ainsi 



«»• > a 



2»n- \ 



<x — A 



-In •+- 1 
2ss- — r 
%n ■+■ 1 



3=r \ / 3. 
a i "*- x I « T I a 2 — * I ; r I aj 



2ra-+- 1 



2« -i- 1/ * 



*8»-4 A 



2s?T tt\ . 

2n + 1 



M " <A(0)o '»-H2^rTi a 



2t 
2m ■+• 1 
/ 2s*- 



«9 — A 



2n -+- I 



■ A «j,_, + 11- - I *»,) 

\2w-f- 1/ \2n -t- 1/ 



2*3- 



°est-a-dire, en reunissant les termes deux a deux, 



",• > i 



\2n •+■ 1 

",<A(0)« - 



(<x — a,) ■+- A 



In ■+• 1 



(a a — a 3 ) 



A (« s ,. , — i 

2w +- 1 / v 



2t \ / 4t \ / 2sr 

\2« -4- 1 / V \-2n+\r ' \2n ■+- 1 ' V 



On aura done, a plus forte raison, puisque !(*) est une fonction decroissanlc, 

2s,t 



-2n -+- 1 



"*■ ^ * ( 5 r) ^ a ° — K| + a ' 2 ~~ a " + •■•-+- **-» — «h-t] , 



2s*- 



", < A(0)a — A I -I [a, — a, -+- a B — a, -+- ••■ ■+- «„_, — a,,J 



°u encore 

^ r / 2st 



2s 71 



2n -+- 1 



[«o — 



a, -+- a.i — a.-. ■ 



^eniplacons, dans ces inegalites, les quantites « par leurs valeurs. Nous 
tr ouverons 



U r > A 



u , < A 



Jul.) r 

In -+- 1/./ 



1 sn+i sin (2« •+- i)j) 
sin >> 



rff, 



2st \ /" 
2n •+- i) J 



1t7T . 

jn+i sin [In -+- 4)v 
sin 17 



dif -v u>„ 



12 



SUR UN POINT DE LA THEOttlE 



si Ton fait 



/ "2S7T 
A{0) — A 

1 ' \<Zn -t- 1 



'"'S+i sin(2« -»- \)y I %sx \ /"' sn+i sin(2w i-l)^ 

■ ■ <!■* 4- A / f/n 

\2n -f- 1/ J sin y 

2.v;T 



Sll) Y : 



Pour abreger, nous ecrirons encore 



2,sr \ /"* s»+i sin (2m -+- 'l)s< 



/- 



— (hi. 

\2)J 4- 1/ ./ sin v 



Mors les deux dernieres inegalites deviennent 



v. -C it, <C v., -*- to. 



;>, Limite de v J+ , + v 1+2 -1 1- v „, - .= L, n - PreDons pour 2s le plus 

grand enlier pair compris dans la racine carree de %>t + 1, de sorle que, 
pour n — co, on ait 2s = oo ; el, en meme temps, 



On sait que 1'integrale 



J 



2s 

im =0. 

2ra ■+■ 1 



*s»h sin (2« -+- l)i? 
sin vj 



<!■/, 



a |>our limite § tt lorsque n croit indefiniment. Nous la representerons par 
(|rr — e), e ayant pour limite en meme temps que n~\ 
On aura 



2 ~ I^Vln -\ 



- - — * I / * -+• 2»'t -t- — - — - -+- /' a; 



+- 2c3- +■ 2sr 



4s t 
2n+~1 



Par consequent, si 



L,. = »t+i ■+■ "m-2 -+-••■ -t- 1'„ 



on a 



.-—- -s a' +s »* + s7i^' + **^-s 



4$sr 



DE9 SERIES l)E FOURIER. 



i3 



Pour m= oo, cotle expression deviendra 



i, ., = 



s 



' \ "In -4- 4 / ' \ 2 



2n + 1 



Supposons la fonction 

CO 

% (f) = g f(x -t- 2™ + «) -+- /"(* -4- 2i-t + %it — 



I+4 



continue, aux environs de t = 0. En faisant n — oo, el nous souvenanl de 
' hypothese faile sur *, nous trouverons 

'*•-- = r S I/O* + - rT ) + A* + - r * -+- - );r )l = S /(■*' h 2r *) — ~ A x + -^ ■+■ 2t )- 

- i+i (+i - 

6. Limite de i„. n =\v, + , + w l+2 + ••• + w m _ t . On a 



A(0) - A 



2s« 



2«, -v- I 



a 9 , A 



2s* 



"In -4- I 



ou explicitemenl : 



w,.= «,, [/';x -4- 2rsr) ■+- /'(.<: -t- 2r*r -+- 2t)| 



4.st \ / 4s* 

2ra ■+• 1 I ' \ "In > -*- I 

4.sx \ / is* 

-4- a.. / x •+- 2r,r -4 -+- / X -4- 2rsr -4- 2sr 

2« -4- \l \ "In -t- 1 



Pa r consequent, si 



-L,„ = >Vi +l + W|+s ■+■ 



011 a, pour m = oo, 

oo 



— *0 S 



+ *u S 



/' x -4- 2j - .t -i- 



2« -t- 



t- /' x ■+• 2ry -4- "I* 



f X + 2,^-4- 



-4- /' X -4- 2rsr 



u* 



"In -4- 1 



4S* 



2rt -+- 1 



14 



SUR UN POINT DE LA THEORIE 



On sait que, pour n - oo, Iim « = | n, lim %5 = 0; d'ailleurs, d'apres l'hypo- 
tbese faite sur la continuity de la fonction x (t), la seconde serie du second 
membre de J B)W a pour limite la premiere pour n= go, puisque -JL_ a zero 
pour limite. Done enfin 



7. Fafewr rfe F. D'apres ce qui precede, 

En passant a la limite, pour m d'abord et pour n ensuite, il vient 
linw j lim Bl=ao [H„] i = l„ )M - S /"(* -♦- 1™) - Z A* + 2 ^ + 2jr )- 



Ajoutanl de part et d'aulre 



nous trouvons 



■f(x -+■ 2/* + 2sr), 



F = S A* + *'**) 



(A) 



ce qui est la fonnule cbercbee. 
Remarque. Si 



on a (n° 1, remarque finale) 



c — x , 



F = >.,- = S A x + 2r *)~ Z 1\ x •+■ 2/t + 2 ^ 



>') 



8. Formules analogues a (A) e£ (A') efams k cas oil les limites sont — go 
et (j, ou — oo el + go, II semble difficile d'etendre les formules (A) et (A') 
au cas ou la fonction X(>?) verifie simplement les conditions de Dirichlet. 
Mais on peut demontrer qu'cllc subsiste encore si les limites sont — oo eig, 



DES SERIES DE FOURIER. 



15 



on — oo el +00, moyennant les conditions indiquees au courant de la 
demonstration precedenle. 

Si les limites ties integrates a n , b„ soul — go el g, on irouve 



F = lim„ =cc j lini„ l=3 , [G' m , n ] 



sin (2n -4- I ) 



i p — , sin 5»n -. 

'" *-,/ /v sine 

G' = M_ M + M._„, +l -+- ••• •+- M(_j -+- u' t ; 



on 



M > = - / A* -+- 29) -i-r -rffl, «i_i== / 

x ./ sin S ./ 



sin 6 

2 



f (x +• 2o) 



sin (2/t -1- 1)9 



■do, 



Sill 8 



1 / 1 

:/;^-^ r±a, « *>■ - x. 

2 —2 



En raisonnanl comme dans le cas precedent, il vient 

F = § f{x ■+- 2rr) . . . 



(B) 



Si 



« est inferieur a |n; et si # — x = (2/ + 1)tc, 



F = § /'(a; ■+- 2rir) -f- - f(x -4- 2/sr + x) 



(B') 



En ajoulanl ce resultat a celui qui a ete obtenu a la fin du n° ~ , dans 
' hypothese ou g=c, et posant maintenant 



a„«=- / ft cos ntdt, &„==- / /if 



sin nldt, 



°n a enfin 



+CC 



-a -4-(a 1 cosx4-6 1 siax)-i-(o,cos2x + 6ssm2x)H-etc.= § f[x-*-%rx) . . (C) 

—i CO 



16 



SUR UN POINT DE LA THEOKIE 



Mais cette derniere formule subsiste meme s'il y a uu intervalle de g a c, 
par excmple, ou la fonction A(>?) ne verifie pas lcs conditions dont il est 
parie aux n os k , 5, mais ou fx verifie settlement les conditions do Dirichlet. 
En effet, la formule (C) s'obtient, dans ce cas, en ajoulant les formules 
(A) et (B), ou (A) et (B'), ou (A') el (B), ou enfin (A') et (B') a la formule 
de Dirichlet dans le cas ou les coefficients a n , b„ sont de la forme 



fl cos ntdt, b 



•-./> 



t sin nl ill. 



La formule (C) est done vraie pourvu que les conditions indiquees plus 
haul pour X(»j) subsistent de — go a g el de e a -j- go, et que les condi- 
tions de Dirichlet subsistent de g a c. 



§ III. Application a la fonction e nVi 



9. Premier lemme preliminaire. Soit fx = e~~"' x \ Dans ce cas, 



ou 



si I on pose 



?n ( v ) = e -'^-v + r-w 

X ■+- 2)'t -+- x ■=- X , "2y = jr — (. 



Voyons si, en general, X(»?) est decroissante quand n varie de a |jt, ou 
si cette fonction est croissante quand / varie de a n. On a 



e -„* ( x-,)e + e -«*<x+<)* = 2e — «« e-' 2 ' 5 Ch2a*Xt, 



expression dont la derivee est, par rapport a <, 

4aV ,x ' <r" a,i [X Sh2a 2 X« — ( Chief Xl]. 



DES SERIES DE FOURIER. 



\7 



On peut supposerX positif, puisque 7iX(>?) ne change pas quand on remplace X 
par — X. Soient 

X = pCba, / = pSha, 

ce qui donne 

X 2 — l' ! = P -, 2a 2 X« = «y 2 Sh2« , X Sh 2a' 2 X« — I Ch2a' 2 X« = P Sh (2a' 2 Xt - a). 

Supposons r assez grand pour que Ton ait 

i 



e t, par suite, 
II viendra 



x 2 > 



X- _ f > — -t- r s — f 2 ^ - 

a -^ a 2 



«y > 



2a 2 X« / Sh2a > 2a, Sh (2a 2 X/ — «) > 0. 

La derivee de la fonction /.(>?), par rapport a t, est done positive, si X 2 egale 
°u surpassed -4- n 1 ; autrement dit, dans ces conditions X(>?) decroit lorsque 
i varie de a | -. 

■on general, la fonction e~" 4x2 verifie done Tune des conditions supposees 
au § II, pour l'existence du theoreme qui y est demontre. II est facile de 
y oir qu'il y a reellement des valeurs de x et de r pour lesquelles le contrairc 
ar Hve, telles, par consequent, que ify) croit avec >? ou decroit avec t. Cela 
arrive notamment pour X = 0, puisque alors 

v x (,) = 2e-°"*. 

Mais cetle circonstance n'a aucune influence sur la demonstration du theo- 
'enie que nous avons en vue, corame nous l'avons remarque a la fin du n° 8. 



10. Second lemme preliminaire. I. L 



m serte 



U e -a2(»+2i-T+»)= 



est egalement convergente pour loule valeur de x -f- I enlre deux limites 
donnees. En effet, posons 



Tome XLV. 



x -4- 2A-«- ■+- ( = it, 



18 



SUR UN POINT DE LA THEORIE 



k etant pris assez grand pour que au soit superieur a l'unite lorsque x -\- t 
varie entre les limites donnees. On aura 

oo 

V g-a*(*+2rjr+<)« __ g-o%« + e -o!(«+2^)« + . . . _,_ g-o!(«+2nar-S^8 + ft 

k 



puis, suecessivement. 



T> >- „— rr(>i-|-2>iX) _^_ g-a(tH-2«r+2;r) _j_ g »(n+Snjr-M;: 



R, < e- 2 '" ,5r ■ 



e 



tnaTr—laTT _, p ~2)iff^— 4n?r 



quantity aussi petite que Ton veut pour n suffisamment grand, quel que 
soit u ou x -\- I. 

II. Z« seWe 



S « 



,— ««ii-t-srir+8jr— 1) ! 



es£ egalement convergente pour toute valeur de x 
donnees. 

Meme demonstration. 



t ew/re rfeita? limites 



III. Za sew egalement convergente 



1+1 



-«2(.,+?rT-+<) a . «— m(i+9r^'+2s--i)»' 



rfowl tows /es termes sont des fonctions continues de t, est une /miction 
continue de t (*). 



(*) D'apres un theoreme general. Voir Darboux, Memoire sur les fonctions discontinues 
(Annates de t'Ecole normale, 2 C serie, 4875, 1. IV), p. 78. 



DES SERIES DE FOURIER. 



19 



IV. La serie 



g |- e -^«+«r a 



jr+i) s 



-n2(M-8i-5r+2>r— ()*" 



es* atom wfte function continue de t. 

En effet, on pent la remplacer par celle-ci : 



p —a"-(— »+Srjr— ST+') ! 



n- - M-2riT-l)« 



(( ]ui ne differe pas essentiellement de la preeedente. 
De ces diverses propositions resulte le second lemme preliminaire : La 

fonction x (t) consider ee an n° 5 et les fonctions analogues considerees au 
n " 8 sont continues, si fx = e - " 2 * 2 . 

11. Formule de Cauchy et de Poisson. On trouve, en appliquant a la 
'onction e~"" 2x ' les formnles generates qui donnent a n , b n , quand les limites 
sont infinies, 

a = - / e-" !, *rfJ=— -— , 



Pai 



— x 



cos w! rfi = — zr~ & 



6„ = 



e-°' 2 ' 2 sin h( rf/; == 0. 



' suite, 



s*- 



2 (JH-2,'T)8 . 



1 /t 



K^a^ 



Q e l "°'cosrx 



Posons a; = 2«, ia 2 =j, cette relation prend la forme 

$ e P =\/° I +2^e- 2 r'cos2»-z], 
-« "■ > i 

°u encore 

— CC " -00 

ce qui est la formule cherchee. 



1 cos 2rz . 



20 SUR UN POINT DE LA THEORIE DES SERIES DE FOURIER 



NOTE, 



Les inegalites relatives aux quanlites A, a, ). du n° 4 pcuvent s'etablir d'une maniere 
gcnerale, comrae M. Catalan nous Fa fait remarquer, et elles conduisent au theoreme 
suivant sur les suites linies ou infinies. 

Soient a , «, , a 2 , x-, etc., des quantilcs positives deer ois sanies, A , A ( , A 2 , A 5 , etc., 
et / , X, , /.,, X 3 , etc., cl'autres quantilcs positives telles que 



Si I'on fail 



on aura 



A„ A, A» 

>,» > — > a, > — > ^ 2 > — > x 8 , etc . . 

«() «l «2 



S==A — A t -+- A,— A s -+- ■ • -t- (— 1)"A„, 
S = ct„ — «, -+- a 2 — a, + +- ( — !)"«„ , 



(1) 



*„* < S < (*o — A„)a -+- X„S. 

Eii effet : 1° Des inegalites (1) on deduit 

A () ]> ij«o) — A, / — Aja, , As > >•-,«->, — A 3 >■ — A-a 7 ,, etc., 
puis, par addition , 

S ^> >. | (a (i — «,) -+- ), - (ocj — a-,) -+- etc. 

Dans le second raembre, tons les termes sont positifs; done, a plus forte raison, 

S > a„ [«o — a, •+- a. 2 — oe s -+- etc.], 

u 

S > i„.s. 

2° Les inegalites (1) donnent encore 

A„ < V*o; — A <C — *«*i> A a < ****i — A 5 < — A 4 « 4 , etc., 

puis , en ajoufant , 

S < \)« (l — *s («i — «a) — ^j ( a r, — a*) — etc. 

Dans le second membre , lc premier terme seul est positif; de plus 

A„ [<z, — a 2 -4- « 3 — a 4 -t- etc.] <^ X 2 (a, — a 2 ) ■+- A 4 (otj — <x 4 ) -+- etc. 

S <^ A a — X n [a, — otj -+- a- — a 4 -+- etc.] , 

S < (A — A„)a + X„S. 

La demonstration subsiste evidemment si n est infini et si S ets sont des series conver- 
gentes. 



Done 
ou enfin , 



NOTES 



suit 



LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



UT 



SUR CERTAINES SERIES; 



PAR 



E. CATALAN, 



ASSOCIE DE L'ACADEMIE. 



(Prisentti a la Glasse des sciences, dans la stance du 2juin 1883.) 



Tome XLV. 



NOTES 



suu 



LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



SUR CERTAINES SERIES. 



I Tlieor6iiu', dc Kramp. 

''• Lemme. Soil une fraction continue 

x = a, b, c, ..., p, q, r, s, I, ... 

((out l es reduites succcssives sont 



ABC 



V Q H 



A" R 7 ' C' "" P'' Q" R'' '" 

boit ensuile la fraction continue auxiliaire 

y — q, r, s, t, ... 

es denominateurs ties reduites dc cclle fraction onl pour valeurs, respcc- 
tivemcnt : 

(PQ' - Qp<) ( — .1)*, (PR' _ HP') (_ \)\ (|V - SP') (- I}*, ...; 

'• etant k rang du quotient incompkt p (*), 

1 > *W la demonstration, voir Ies Nouvelles Amides (1849), p. 166. 



4 NOTES SUH LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



2. Changcons de notation; et soil 
Prenons lcs trois fractions auxiliaires : 



</*, 



2/ = 9VH> 


7»+2. •■ 


-, <//.; 


Z = (]k+i ) 


9/H-2 5 ' • 


., ?*; 


w "™ <7s+i ) 


(jf+ll ■• 


• > qv 



La valeur de ?/ est une fraction ordinaire, fonction des indices g + 
Soicnt done 

N„ 

y 



4, A. 






D J+) 



9+),ft 



S) 



''•t-M 



I) 



(2) 



9+1. J 



En vertu du Lemme : 



N 9 D ft -D„N ft ==(-^D, +1>A , 

N,A-D„N t =(-4)"n, 1+M > 

Moltipliant par D /£ , D f/ , D,,, et ajontanl, on trouve 

O = D 4 I> m „ - D ft D s+M + (- 1)"-»D,,D, i+M , 
Oil 

De meme, 

N*D„+M - N„D ?+M = (- l)"-» | - | N !/ IV 1 ,,, .... 

Les relations (A), (K) constituent le theoreme de Kramp (**). 



(A) 
(B) 



I*) D'apres cette notation , les reduites de a: , repondant aux quotients q g , q, t , </,, , seraient 



Nm, Nj,* Ni,( 
Dj, n Di,/, I)),/, 



Pour simplifier, nous lcs represeiiterons pas 



N» Nft Ni 
0,' D A ' D* 



(**) Je ne connais ce theoreme que par la mention qu'en a faitc Lebesgue, dans le Journal 
de Mathimatiques (t. V, p, 280). II ne m'a pas etc; possible; de consulter VArithmetique uni- 
verselle, de Kramp. La demonstration ci-dessus est beaucoup plus simple que eelle qui a 
ete inseree aux Nouvelles Annates. Enfin , le elefaid de si/metrie, de la formule rapport^e par 
Lebesgue, a disparu. 



ET SUK CERTAINES SERIES. 



3. Application. Soil 



x = 5, 2, 1, 4, 2, 1, 3, o, 2, 1. 



Les rcduites sont 



5 7 10 47 104 151 557 2 956 6 429 9 505 
1 2 o 



4 ' 51 ' 45 ' 166' 875 ' 1 916' 2 791 



Prenons 



g = 5, ft = 7, /,:= 10; 



nous aurons 

N 9 =10, T\ = 3, i\=557, D ft = 1 66, N ; . = 9 5G5, D A = 279<. 

Quant aux fonctions 

elles sonl egales, respeclivement, aux denominateurs des fractions 

4,2,1,3; 4,2,1,3,5,2,1; 5,2,1; 

savoir : 

11, 185, 3. 

On trouve , conformement au Theoreme : 

2 791 . 11 — 166. 185 = — 5. 3, 
9 505.11 — 557. 185 = — 10.5. 



II. Fractions pcrioiliqucs. 



4. Lemme. Soil 



V = {a, b, c, d, e) 

Une fraction periodique simple. Soient 






' J ' s ''('duties que Pan obtienl en preniml i periodes el, i + 1 periodcs. 



6 NOTES SCK LA THEOR1E DES FRACTIONS CONTINUES 

On a : 

■i" E,. +t = E,E,- +■ d,e;, e; + , = e;e, + d;e; ; (3) 

2 " D;E i+1 — d 1 e; +1 = ±e ( , e;e, +i — e,e; +1 = ^ e; o; (4) 

-J" e,.e; +i -e;e,, h = ±e; n (5) 

5. Remarques. I. D'apres Ies formules (i), si, comme on doil le sup- 
poser, E„ E- sont premiers entre eux, E i + 1 , E- +d sont egalemcnl premiers 
entre eux. 

II. Tons les denominateurs E] sont divisibles pur E', (***). 

III. Si, dans 1'cgalitc (5), on remplace E, + 1 , E; + l par lours valours (3), 
on Irouvc la relation 

e;e? + (d;-e,)e ( e; — d 4 e? — ±Ei, (6) 

a laquelle satisfont, necessairement, les valours de E,, E]. D'ailleurs, par la 
remarque preecdentc, celte relation se reduit a 

/F'\ /E'\ 2 
Ef+(D 1 '-E l )E < yJ-D 1 El( s iJ = ±I (7) 

IV. Par consequent, si quatre nombres entiers D,, 1)',, E,, Ej, sow; #& 
par la condition 

d,e;-d;e, = ± 1, 

U suffit, pour rcsoudrc en nombres entiers {'equation 

z*-+.(d; — E t )«« — d 1 e;« , = ±i, (8) 

rtfe prendre 

z = h,-, «=.- (9) 

(*) Nowelles Annates, t. VIII, pp. 177, 178. 

(**) Consequence du premier Lemme (I). Dans I'application de la formule, on devra 
prendre le signe -+-, si le nombre des termes de la periode est pair. Et, si ce nombre est 
impair, on prendra le signe -+- ou le signe — , selon que i sera pair ou impair. 

(***) hoc. til, pp. 178, 179. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 

<). Verifications et applications. Soil 

y — (8,2,1,1). 
Les premieres reduites soul 



de maniere que 



3 7 10 17 

T' I' 7' ¥ 



Dj = 10, l); = o, E, = 17, E, = 8. 

Les' formules (3) donnent ensuite : 

E 2 = 539, E, = 6 763, E, = 13492l, E s = 2 691637, E 6 = 85698 219, 

e; = -i oo, e: = i 995, e; = 59 800, e,; = 794 oos, e;, --= 1 5 840 "00. 

^onforraeraent a la Remarque II, lous les denominateurs sont divisibles 
par E; = 5. 

En on I re (8-) : 

EiE; — e;e 8 =17.1 00 — 8 . 359 = 1 700 — 1 69s = s, 

E,lv, — EjE 3 = 559 . 1 998 — 100 . (i 703 = 676 308 — 676 500 = 5, 

Iv,E; - EjE s == 6 763 . 39 800 — I 998 . 1 34 92 1 = 269 1 67 400 — 209 I (17 398 = 8, 

K;E; — EiE, = 1 34 92 1 . 794 005 — 59 800 .2 691 687 

= 107 127 948 60S — 107 1 27 9-48 600 = 8, 

E„E; - e;E 6 = 2 691 687 . 15 840 300 — 794 005 . 55 698 219 
= 42 636 654 577 100 — 42 656 054 577 095 == 5. 

D'apres les donnces, liquation (8) est 

z" — I4«w — S0m 2 = 1. 

Lelle-ci admet, comme solutions : 

* == 539, u = 20 ; z = 6 745, u = 599 ; 

etc. (*\ 



154 92 1, » = 790O; 



n 



etc. 



539« — 14 . 359 . 20 — 30 . 20 s = 1 14 921 — 94 920 — 20 000 = I , 
6 7G5 2 — 1 4 . 6 765 . 599 — 50 . 399* = 45 758 1G9 — 57 778 118 -7900050 = 1; 



8 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

7. Generalisation. On peut, evidemmcnt, reunir deux, trois, qualre, ... 
periodes, et en former une seule. Les proprietes rappelees dans les Para- 
graphs h et 5 peuvent done etre ainsi generalises : 



■r 



E„/.E(„+])/.- — l%i/,E(„ + i)i — ± E/, ; 



• • (10) 



2° Tons les dehominateurs E'„ k s'ont divisible* par E' lt . el par E' n (*). 

III. Serie de Lame\ 

8. La fraction periodique la plus simple est 

y-(i). 
dont les reduites successives sonl 

12 3 3 8 



l' 1 ' 2' 3' 5' 



Les denominateurs de ces reduiles (**) donnent lieu a la celebre serie de 
Lame ou de Fibonacci : 

I, 1, 2, 5, !i, 8, 13, 21, 54, M, 89, 144, 253, 577, (11) 

Si u p , u q , u pq sont trois termes de cette serie, il resulte, de la derniere 
proposition, que u pq est divisible par u p et par u q ; propriete signalee par 
M. Edouard Lucas, et dont il a deduit des consequences fort importanles (***). 
On pent l'enoncer autremenl : 

Les termes de la serie de Lame, pris de trois en trois, sont divisibles 
par 2 ; pris de qualre en qualre, divisibles par 3 ; pris de cinq en cinq, 
divisibles par 5 ; pris de sept en sept, divisibles par 13 ; etc. 



(*) Parce que I'indice ilk est une fonction symetrique de k et de n. bans I'exemple ci-dessus, 
EJ = 15 840 800 est divisible par EJ = 160 et par E, = 1 995. 
(**) Et aussi les numerateurs. 
(***) Sur la theorie des nombres premiers , p. 5 (1876), 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



9. On sait, et Ton verifie aisement, que 

«„-—- i-[(i+|/B)--{i-^B)-] («2) 

2"l/;i 

Done, d'apres la propriete precedente : 

•i (i -\-V1y — (l — l/5> 

2"C'- J ) (l . l _ l /; ir _ ( |_l/H r 
Oil 

(I + l/S)^'- 1 ' 4- (1 4- l/£)'>!'- J )(| — iv'5> 4- ■• + (I — V'Tiy-'i "= JR,.2*<' ,! ; 



°u encore, par le changement de q en </ + 4 



1/ 5)'"< + (I -4- ^"''-"(l - k 5)* 



;i ~V«>)Pi = $)l .1* 



10. Generalisation. Soil?/ = a, a etant un nombre entier. On trouve, 
de la meme maniere, 

(« + I/7««-|.4)m -. (« -+-1/V-*- 4)''(''-"(tt -• WV ■+■ 4)" ■+■ ■••-+- (a — l/V •+- 4) M = JR,.2". (14) 

Prenons, par exemple : 
Nous devons trouver 



a = a, /; 



ou 

Oil 



(5 + V/-29) 8 n- ('i + I 29)* (5 — 1/29) 5 4- (5 ■+■ 1/29)" (3 — »/29) 4 4- (5 — 1/29/ — JR..G4 

S 11 4- 1 5 . 5 4 . 29 + 1 5 . 5' . 29 2 +• 29 3 ■+- ( - 4)'- (25 ■+■ 29] : = , 1R, 52, 
5" -+- 15. 5*. 29 4- 15. 5 s . 29' -i- 29 3 = JR . 32. 



Si P 

01 i on remplace 5 2 par — 7, 29 par — 3, cetle egalile devient 

7 5 -h15. 49 . 3 4- 1 5 . 7 . 9 4- 27 = JYl .32; 

011 > apres quelques aulrcs reductions, 

7.47 4- 13. 17 — 15 4-27 — J1L. 52, 
°u enlm 

340 ^ 12 = JR .32. 
Tome XLV- 



10 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 
11. Remarque. Dans regalite" (14), posons 

a = 2 col . <p. 

31 rcsulle de cede transformation : 



a + V a' 2 -+- 4 -■ 2 col - cp, a — J/ a' 2 +- 4 = — 2 tg - cp ; 



puis 



Cp CP Cp CO CO Cp 

cot'"' - ■+• ( — I ) cotf** " '' - 1&" - ■+• cot' ,( ''- 2 » - l«* !+... + (_ I )»"' |dm I = entier ; 
011, sous unc forme un peu plus simple : 

colMi-t- (— l^col^- 5 '- •+ col"''' *>- + (- I f'' cot' ,( ''- 6 ' ?+••• + (-- 1)'"' cor >'«- = (W'ier. (IB) 
2 2 2 2 2 

Aulrement dit : 

Si Pare © es/ fc/ que sa tangente soit \, a etant un nombre entier, la 
f one t ion 

Cp Cp Cp Cp 

tg""* 5 +• (— 1)' tg- "" 2) ~ + tg-""- *> 3- + • • • -+■ (— I /"' IgM i 

se m/tf/7 a un nombre entier. 

1 2. Nous donnerons ici les quarante-cinq premiers termes de la serie de 
Lame. Ccux de ces termes qui sonl premiers son I designes par un aste- 
risque. 



n 


1 


2 


5 


4 


5 


6 


7 


8 


9 


10 


11 


12 


15 


14 


15 


16 


u n 


1* 


4* 


2* 


5* 


5* 


8 


15* 


21 


34 


33 


89* 


144 


255 


377 


610 


987 


H 


17 


18 


19 


20 


21 


22 


25 


24 


25 


26 


u n 


1 597* 


2 584 


4 181* 


6 763 


10 946 


17 711 


28 657* 


46 568 


75 025 


121 593 


11. 


27 


28 


29 


50 


51 


32 


33 


54 




1 96 4 1 8 


317 811 


314 229* 


852 040 


1 346 269* 


2 4 78 309 


3 324 578 


5 702 887 


35 


56 


57 


38 


39 


40 


" n ' 


9 227 465 


14 930 332 


24 1 37 8 1 7 


39 088 169 


63 243 986 


102 554 155 


11 


41 


42 


45 


44 


45 


u n 


163 380 141 


267 9 1 4 296 


453 494 457 


701 408 753 


1 1 34 905 1 70 



ET STJR CERTAINES SERIES. 



11 



13. Remarque. D'apres les premieres valeurs de u n , il semblerait que u„ 

est premier si n est premier. Mais il n'en est rien : 

w 5! = 24 1 57 8 i 7 = 1 49 .1621 33 ; 

et, comme l'a trouve M. Lucas : 

u si= = 105 580 141 =2 789.59 509. 

Quant au nombre 4-33 494 437, nous pensons qu'il est premier (*). 

iV. Serie des inverses. 



14. Pour abreger, nous appelons seWe ofcs inverses celle dont les termes 
sont les inverses des denominateurs des reduites d'une fraction continue 
'dlimitee. S'il s'agit, par exemple, de la fraction (4), qui donne lieu a la 
serie de Lame, la serie des inverses est 



i liiiii l 

7' 7' 2' 5' 5' 8' 15' 2T 



(16) 



15. Lemme. La serie (46) est convergenle. 

Cette proposition, bien connue (**), resulle, immedialement, de ce que 

i 

.. *7~: a i/o-i 



1 -+- \/5 



0,6i... 



16. Theoreme. Toute serie des inverses est convergenle. 
Soit, sous forme abregee, 

x = a, !>, c. (1, e, ...; 

( ) Si nos calculs sont exacts, ce nombre n'admet aucun diviseur premier, ri'ou resulierait 
11'il est premier. 

• S. Dans le beau Memoire intitule : Recherches sur nlusieurs ouvrages de Leonard de 
e > "• Lucas arrive a eette meme conclusion. Ainsi, le nombre eonsiderc est premier. 
(**) Nouvelles Annates (1864, p. 260; 1878, p. 253); Nouvelle Correspondence, i. ill, 
P- 4( H; etc. 



12 NOTES SUli LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

les termes a, 0, c, ..., elant, bien entendu, des nombrcs entiers. Les deno- 
minateurs 

A', B', C, ... 

surpassent, en tout ou en partie, les termes correspondants de la serie de 
Lame; done leurs inverses sont, respectivement, 6gaux ou inferieurs aux 
termes de la serie (46). Conseqnemmenl, la serie 

i i i 

A'" B 7 ' C 7 ' "•" 

est convergente. 

17. Problems (*). Trouver la limite de la somme des termes de rang 
impair, dans la serie (1 6). 

Soient, dans la serie de Lame, les lermes de rang impair : 

I, 2, 5, 13, 34,... 

II est facile de verifier que, v„ etanl le terme general de cette serie, on a 

t^-Sw..,- *„_,(") 5 ( ,7 ) 

et, par consequent, 

v n = Aa" -4- B0" (18) 

Dans celle formule, «, /3 designent les racines de l'equation 

x' 2 — ox + 1 =0; (19) 

savoir : 

5 — l/g 3-+-V/5 1 
« ~-9' p = — 2 = , ( } (20) 

(*) Propose par M. E. Lucas (Nouvelle Correspondance mathemalique , t. II, p. 223). Nous 
reproduisons ici, en grande partie, la solution publiee dans les Nouvelles Annates (1878, 
p. 253). 

(**) Cette relation est une consequence de celles-ci : 

(***) Comme on pouvait s'y attendre d'apres la formule (12), 



-I 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



13 



Determinant, au moyen des conditions initiates, lcs valeurs des con- 
stantes A, B, on trouve, au lieu de la formule (18), 

1 -+- (f n - 1 



ou 



" (1+7)7" 



j gn-l 



(21) 



Telle est, sous la forme la plus simple, l'expression du terme general de la 
serie proposee. Consequemment, si S est la limite cherchee, on a 



S ^ M q"~ l 



1 



Or, avec les notations de Jacobi et de M. Bertrand, 

1 q q l ka 

h 

1+7 1 

Done aussi 



1+7 1 ■+- 7 3 1 -+- 7 5 



2* Vi 



o- 



°Uj a cause de 



« * + 'l t ■ 

a = Kco , 

%nVq 



5 — 1/5 1/5(1/3 — i) 



i/; 



1/6 — 21/5 



Vs": 



\/ 



3 — 1/5 



1/5, 

S = ka 

2t 



22) 



(23) 



(24) 



18. Remarque. Par une autre formule connue 



— =1/7(1 -t- 7 2 + 7 6 + 7 12 + 7 2Q -»-...)* (**)• 

27T 



(*) Fundamenta nova.. . , p. 103. 

( ) Recherches sur quelques produits indefinis, p. 2. 



U NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

En egalant les deux valeurs de -£-> on a done cetle identite, a peu pres 

evidente : 

\ a d' 

H 2-^ ; + — i— ; ■ H = (1 + 9* -+- Q 6 + fl 20 H f. . . . (C) 

1 -t- q I + 7 s 1 -+- 9 s V ' ' ' ' W 

1 9. Probleme (*). Trouver la limite de la somme des termes de rang 
pair, dans la serie (16). 

Designant par S' cette limite, et operant comrae ci-dessus, on Irouve, au 
lieu de la forraule (22), 






S' „" r/» 

vi~\^ m 

J'ai cherche, en vain, la sommation de cette nouvelle serie, sommation qui 
parail dependre de celle de la serie de Lambert. 
Soit, en effet, 

1 — 9 I — 9 2 1—9" /W " V ; 



et, par consequent 



4— 9 s 1 — 9* 1— 9 s " M// 



II resulte, de ces deux egalites, 

» ,.71 

2 r-^-ZW-W) (27) 

20. Remarques. I. Reciproquement , si la somme de la serie (25) eta it 
connue, on pourrait, peut-etre, en deduire la somme de la serie de Lambert. 
Car si Ton pose 

2 7—3-9(9). (28) 

de maniere que 

(*) Egalcment propose par M. Lucas (loc. tit,.). 



ET SUR CERTAINES SERIES. 

on aura, a cause de f{q°)~ : 

f(i) = ?(';) + ?('/') + 9(9*) + <pW - f - ■ • 



15 



. (29) 



II. La relation (27) equivaut a 



1 — q \ — q~* 1 — 7 s 



(») 



4 — q % 1 — q'' 1 — r/ 6 

identite dont la verification est facile. Elle est, pour ainsi dire, conjuguee 
de celle-ci : 






H -t- H • • ■ = ■ : -t- ; 

- 1 + </- ! -J- 7' 1 -4- q'' \ — q \ — q 1 — q J 

doimec par Jacobi (*). 

En les combinant par addition, on trouve 



q + q> 



, --1L + 7 



1 — 7* 1 — 7 8 1—7* 



(E) 



I — 7 l — 7 s 1 — 7" 

Pour dcmontrer, direclcment, cetle nouvcllc identite, il suffit de developper 
'es deux mem])res, suivant les puissances cntieres et positives de la variable : 
de part et d'autre, le coefficient de q" est le nombre des diviseurs de n, ayant 
hi forme h v . -\- 1 . 



V. Generalisation de la se>ic dc Lame. 

2 i • Tiieoreme. Soil a un nombre enlier, supericur d 2. Soil a une ratine 
cie ^'equation 

a* _ ox - t - | = (") (50) 

*-« quantite 

I -4- a 1 4- a * +■ ••• + a 8 "" 3 
</„ = ^ ■ + ««" (a") 

es * ww nomftre enft'en 

Fundamenta.. . , p. 103. 

( ) L'equation (19) en est un cas particulier. 



16 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



On a 



■i 



y, 



(i —«>'"< 



!Jn+i ■ 



(1-«* 



UV. 



n + l . 



puis 



ou 



yn+i — *y n ■■ 



a 2 n +2 _ a 2 



*(1- « 2i 



(1 — a s )a n+8 



a 

On conclut, de cetle relation generate : 

i 
y a = «y«-i -*- -771; 

1 



puis, par l'elimination de — : 



ou 



:'/»+( = ^« -+- -Jy„ — yn-i, 
yn+i = «y„ — y,^i ■ - 



(32) 



Ainsi, les valeurs dc y„ +1 forment une suite recurrent. De plus, si y t <?; y 2 
sontdes nontbres cnticrs, y„ + ,, e£* wra nombre entier. 

Or : 

1 

#1 = -7 •+- «« = P •+• o« — (oS - ■])-(- a« = « 2 — l , 

a 
y 2 = a (a 2 — -1 ) -+- (3 3 = (a 2 — -1 ) a -+- («- — 1 ) S — a = a" — 2a ; 

(3 etant la seconde racine de I'equation (30). 

Ces valeurs sont done entieres, et Ic Theoreme est demon (re (*). 

22. Remarque. Le terme general pcut etre ecrit sous la forme : 

1 — a 2 " 
y = 

ou, parce que 

ap = 1 



■I- (a +- (5) a" ; 



(*) Ou plutof, la reduction numerique est effective. 



ET SUR CERTAUNES SERIES. 



17 



sous celle-ci 



l 



!Jn 



-+- «" +I -4- a" - '. 



(1 — J)a n -** 

La reduction au denominateur commun donne enfin 

1 — K 8 " +S 



2/* : 



(I — a>" + ' 

Ainsi, le second membre est un nombre entier (*). 
23. Theoreme. Soient les series : 



(53) 



u,, 


Ms > 


We , 


••» «n. 


Aw, , 


A'M, , 


Amj, 


.., Am„, 


A"M, , 


AV, 


A 2 w r , , . 


.., A 5 M„, 



S'i I'on vent que la troisieme reproduise la premiere (sauf le premier lerme 
de celle-ci), on doit prendre : 

5 - 1/5 



En effet, la condition 
equivaut a 



A 2 «„ = w„ +1 

'•'.<+!! 3 M «+l "+■ "j, = - 



(34) 



Cette lot de recurrence donne l'equation (19), puis les formules (34). 



24. Remarque. On a 



7" 



u n A -+- Bgr" 



(35) 



Si A = q qx B = 1, on retrouve le terme general de la serie (22). De ineine, 
Pour A = 1, B = — 1, la formule (35) reproduit la serie (25). 

<■ ) Transformation analogue a celle que nous avons indiquee precedemment (9). 
Tome XLV. c 



18 NOTES SUR LA THEOR1E DES FRACTIONS CONTINUES 



VI. Fractions fcournantes. 

25. Soient deux fractions continues, telles que Ton passe de la premiere 
a la seconde en effectuant, sur les termes de la premiere, une permutation 
lournante. Par exemple : 

x = a, b, c, d, e; >/ = '>> f '> d, >', «• 

Nous dirons que a?, y sont des fractions tournantes. 

26. Theoreme. Soient deux fractions tournantes, el les deux dernieres 
reduites de chacunc : le dernier numerateur el Pavant-dernier denominate ur 
forment une somme conslanle. 

Pour fixer les idees, considerons les fractions ecrites ci-dessus. Soient 



les reduites de x, et 



a b c D E 

A'' B 7 ' C'' D'' W 



6 y S £ a 

3' <y' 'J' e' «' 



les reduites de y. Soil, en outre, la fraction auxiliaire 

z = a, b, c, d, e, a, 



ou 



% == o -1 . 



11 est visible que les reduites de z sont : 



A 6' B / C 3' I) 

a = — i a h = — , oh = — > a ■+• — = — 

A' 6 B' r C <? D' 



Ea-+- D 



f' E a 

an — = — > a +• — = — — — 

6 E' a E'« -+- D' 



Par consequent : 

]" S«=B', r = C, <?=D', € = E', a = aE'-+-D'; 

2" S' = B — aB', r'=C — aC, <T=I) — aD', e'=E — aE', a' = (Ea -+-D) — aa; 

5° . a •+- e' = E ■+■ D' , 

conformemenl a Tenonce. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



J 9 



27. Remarques. I. Si, apres avoir forme y au moyen de x, on deduit, 
de y, unc fraction z, et ainsi de suite, jusqu'a ce que le cycle soit complet; 
les reduites de ces fractions tournantes dependent les lines des autres, 
coinnie on le voit dans le tableau suivant : 



Fractions tournantes. 

x = 2, 3, 1, 2, 4; 

y = 3, 1, 2, 4, 2; 

* = 1, 2, 4, 2, 5; 

m = 2, 4, 2, 5, 1 ; 

» = 4, 2, 3, t, 2; 

x — 2, 3, 1, 2, 4. 



Reduites. 

2 7 9 25 109 
7' 3' T' 77' 48"' 

3 4 tl 48 107 

!' i' y is' ~w ; 

1 3 13 29 100 



2 9 20 09 89 

v 4' y 3? "40"' 

4 9 31 40 111 

T' i' y "9"' 23"' 

2 7 9 23 109 

T' 5' 7' 77' "48"' 



En outre : 



109 ■+• I I = 107 -+- 13 = 100 -t- 20 = 11 1 + 9. 



H« Si la fraction a? est periodique, ?/ Test egalcmcnt; et la propriete 
P r ecedentc subsiste pour cliacunc des periodes. 
Exemple : 

x = (2, 3, I, 2, 4), y = (3, I, 2, 4, 2). 

Le s reduites de a? sont : 



2 7 9 2g 109 

1 3' 4' 77' "48"' 



245 838 1081 3 000 15 081 



celles de y : 



5 '' 11 48 107 

> — j , 

1 1 3 15' 29 ' 

e t Ton a : 



107 369 47fi 1 521 5 7C>0 



569 470 1 521 3 700 12 841 



100 129 558 1 501 3 480 



109 -1- 11 = 107 h- 13, 13 081 -+■ 1 521 = 12 841 -f- 1 501, 



20 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

VII. Developpcmcnt dc j/A. 

28. A etanl un nombre entier, soit a la partie entiere dc IAL On sait que 

V/X = a(/, 3, h, ..., m,n,p, q, 2a) (*) (36) 

Afin d'obtenir des resultats simples et d'eviter les discussions relatives 
aux signes, nous supposons, une fois pour toutes, que le lerme q soit de 
rang pair : dans le cas contraire, on prendrait, comme periode unique, 
l'ensemble de deux periodes (7). Soit | la reduitc rcpondant a cc terme q : 
elle surpasse [/A. 

29. Formules fondamentales. Si nous prenons n periodes, nous aurons 
l/A= a, f,g, ...,p,q, L 2a, f,g, ...,p, 9, 2a, . ..,2a, f,g, ...,p, q, a + VI; . (37) 

car le diviseur (2a, /", g,h, ..., m, n, p, q) egale a + (/A. 
En consequence, et par le raisonnement habituel, 

Q„(a-*-t/A)-.-P 

v q;(«-hi/a) + p;' 

puis 

D„ = AQ;-aQ ft , P; = Q„-aQ; ; (39) 

puis encore, par I'eliminalion de a : 

Q?,-aq; 2 «=+ i n («>) 

30. Suite. Soit 

Q 

-1- = a, f,g,..., p, q, 2«, /', 9,..., p, q, 2a, f,g, ...,p, q ; 

(*) De; plus, <y = /', p = .'/> ■• • ! en sorte f I ue la periode est symetrique. Mais cette propria 
n'a pas d'influcnco, croyons-nous, sur les recherches suivantes. 

(**) -; etant de rang pair, ~ I'est egalement; done || > \/A; etc. Nous avons cru devoir 

rappeler les relations (38), (39), (40), quoiqu'elles soient bicn connues. 



ET SLR CERTAINES SERIES. 21 

la periode etanl prise n — 1 fois. La reduite qui suivrait, immediatement, 
0^5 a pour valeur 

Q B -,.2a + P„_, 
QU,.2a ■+■ P;,_, ' 

Dans celte expression, remplacons 2a par a + |f : nous obtiendrons ^ ; 

savoir : 

Q.Q.-. 

n Q„ -i « ■+- P»- 1 ■♦• —77 — 

q; = ~ " Q^ -." ; 

°u, par les Tommies (39), 

On _ aq;q;_, + q,q.-, . 
q; = q;q»_. + q.qLi ' 

puis : 

Q n = AQiQ;_, + Q i Q„_ 1 , tt — QiQ-i + QiQLi; (41) 

e t, en outre : 

q 1 q b -aq;q;=q b _ 1) q;q„-q.q;.= q;.. n m 

31 . Autres relations. 1° Dans la seconde des formules (41 ), changeons n 
e » n + 1 : elle devient 

q;, +1 - q;q„ + q.q;, 

Done, par la combinaison avec la seconde des egalites (42) : 

Q» +1 = 2Q..Q;-Q;-i ( ; "3) 

Ainsi, comme Ta fait observer M. Lucas (**), la loi de recurrence des deno- 
viinatcnrs Q' l} Ql 2 , Qj,, ,.., est celle qui regit les cosinus des multiples d'un 
arc x. 

2° Les formules (41) donncnt, comme cas particulier : 

q* = aq; 2 -+-q?, q 2 = 2q,q; (44) 

( ) Ces egalites prouvent que Q , Q'„ sont premiers entre eux, si, comme on le doit sup- 
P^f.Q^.QUlesont. 
( ) Nouvelk Correspondance mathSmatique, t. Ill, p. 375. 



22 NOTES SUB LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



D'ailleurs, 

done 



aq; 2 =q?-i; 

Q 2 — 2Q1 - 1 (*) 



(43] 



3° Reunissant n periodes, pour en former une, on a ces deux formules 
generales : 



q 2b = 2q:-i, q;„ = 2q„q;„ 



32. Remarque. II resulte, de celles-ci : 



(F) 






Q Q« 

hA — 

Q» Q,. 



ou, sous une forme plus simple, 



x 2 „ = - x h 

" 2 \ x, 



(46) 



Ainsi, x„ e'teH* une valeur approche'e de ]/~k, on obtienl une nouvelle valeur, 
plus approchee, en appliquant la for mule (46) (**). Celle-ei ; d'apres une 
remarque de M. Berlrand, s'accorde avec ce que donnerait la formule du 
binome. 

33. Theoreme. Soient A,, A 2 , A 4 , A 8 , ... une mile de nombres enliers, 
indefiniment croissants, satisfaisant a la condition 



a,„ = 2a: — \. 



(47) 



Soient B,, R 2 , B. 4 , B 8 , ..., une autre suite de nombre entiers, satisfaisant a 

la condition 

B 2 „ - 2A„B„ (48) 



Si la periocle (f, g, h, . . . , n, p, q, 2a) avail un nombre impair de termes, la formule 



serait 



q. = 2q;-4-i. 



(**) Cettc formule a etc indiquee par M. Serret [Journal de LiouviUe, t. XII), qui ne parait 
pas avoir apercu la premiere des relations (F). 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



23 



<l 



2° Les fraction* 



A? — 1 Al— 1 A; - i 



B? 



Bf B 2 4 

A, A 2 A 4 

b? bv F/ '" 



• • = c 



tendent, indefinimenl , vers |/C. 
En effet, 

Af„ — -I 4 A* — Ut AJ — 1 



4A*B* 



(49) 



34. Remarques. I. Ce theoreme constilue, pour ainsi dire, une reci- 
proque de toutcs les propositions preeedentes. 

H. Le nombre C peut etre fractionnaire. 

Hi. Si ce nombre est entier, les fractions 



A, A 2 A 4 
B,' B? B? 



sont irreductibles. 



IV. Dans le premier cas, ces fractions ne sont pas, necessairement, cles 
r eduites de la fraction continue equivalente a V(\. 

»5. Applications. I. 

A, = 2, A, = 7, A 4 = 97, A 8 = 18 817, ... ; 

B, = 1 , B 2 = 4, B 4 = 36, B 8 = 10 804, . . . ; 

2 2 — 1 7 2 — 1 97 2 — 1 18 817 2 — 1 



En effet, 

d'ou les reduites : 



1 2 



5 7 



1 » 5' 4 



19 26 71 97 
It' IS' 44* 56 



4 J 56 2 10 864 2 
1/1=1(1,2); 
265 362 989 1351 3691 5 042 13775 18817 



153 209 571 780 2 151 2 911 7 953 10 864 



24 NOTES SUK LA THEOU1K DES FRACTIONS CONTINUES 



II. 



A, = 8, A 2 = 127, A t = 32257, A 8 = 2 081028 097, ...; 

B, = 3, B 2 mr. 48, B, = 12 1 92, B 8 = 780 554 688, . . . ; 
3*_i 127 2 — 1 32 2B7 2 — i 



C = 



I. 



3 s 48* 4 2 193* 

Si Ton developpe 1/7, en fraction continue, on trouvc 



puis les reduites 



2 3 5 8 

— , _, _ , — 

112 3 



II). 



37 45 82 127 

TV 17' ST' ~48~ 



1/7 = 2(1,1,1,4), 



590 717 1307 2 024 9 403 11427 20 830 32 257 



223 271 494 765 3 554 4 319 7 875 12 192 



A, = 2, A„ 



A, = 97, A 8 = 18 817, ...; 



B, = 3, B 2 =12, B 4 = 1G8, B 8 = 52592, ...; 
9 2 _ 1 7 2 — 1 97 s — 1 1 



5 2 12 2 1G8 2 5 

Le developpement de -p=> en fraction continue, donne les reduites 

115 4 11 15 41 50 155 

T' T' 2' a' 7' 19' 26 ' 74 ' 97' 257' '"' 

parrai lesquelles ne se trouvent pas les fractions 

2 7 97 18 817 
3' TV 468~' 32~592' 



IV. 



A, — 5, A,= 17, A,= 577, A 8 = 005 857, .. .; 

B, = 2, li 2 =12, B t = 408, B 8 = 470 832, ...; 

32—1 17 2 — 1 577 s — 1 (J65 857 2 — 1 



12 2 



408 2 



470 832 2 



etc. 



Ces dernieres sont egales, respectivement, a 



2 1 7 1 97 1 18817 1 

7 '3' 4 ' 3' 56 ' 3* 10 864 3' '" 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



25 



VIII. Analyse indetcriiiiiiee. 

36. Des formules 

Q„ - aq;q;,_, + q,q_, , q; = qiq„._ , + q,q„_, , 



°n deiluit 



ou 



0. + Q^"'A = Q„l, (Q, h- Q; i 'A) + Q;_, l/A (Q, + Q; i/A), 



q. + q: i/a = (Q„_, + q;,-, i/ a)(q, + q; i/a) . 



Par consequent : 
1° £es bindmes 

Qt + Qil/A, Q a + Qil/A, Q., H-QJi/A, ... 

torment une progression par quotient: 



2° 



(41) 



(SO) 



Q. H-Qil/A — (Q,-t-Qil/A)»0; (31) 



q„==-|(Qi-+-q;i/a)"-h(q 1 -q;v / a)* ! ] (sa) 



o: 



21/ A 



*° L'dquation 
cst verijiee par 



L(Qi + Q;i/A)'-(Q, — QIl/A)-]; (53) 

?/ — A«* = -t- I 



37. Problkme. Trouver tons les nombres enliers lels que le carve de 
e "(icun d'eux suit la somme de deux curves consecutifs. 
'-'equation 

x * = .V* •+" (2/ " H 0* 

( ) Cette demonstration me parait plus simple que celle qui a ete donnee par M. Sebret, 
a P r es Lagrange (Cowrs d'Algibre superieure, 3" 10 edit., t. I, p. 78). 

Tome XLV. d 



26 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



etant mise sous la forme 



2x 2 — (% ■+- 4)' 2 =1, 

on a, par les formules connues : 



(Si) 



x = ^-i- [(l/i -h t) 2 - 1 + (1/2 - I) 2 "- 1 ], y = - [ft/2 + I) 8 "" 1 - (V/2 - 1 )"-' - 2 J; (85) 

Le probleme, on le voit, est des plus simples; mais il fait decouvrir des 
proprietes interessantes. 



38. Ecrivons ainsi la premiere expression : 



1/2 •+• \ - V *■> 1 

u„ = (3 + 3 1/2)"-' -t- — (5 - 2 t/2)"- d 

2 1^2 21/2 



La somme des bindmes 

5 -+- 2 1/2, 5 — 21/2 

est 6; leur produit est 1. Par consequent, la suite 



it,, iu, ..., u n , 



est recurrente; et Ton a 
Le calcul direct donne 
apres quoi Ton trouve 

« s = 29, 4 4 



V„ = OK«. 1 — W 



«-l M « 2 



Hi = I, v% = o ; 



= 169, u s = 983, k, = S 74! , 



(SO) 



(57, 



39. Les nombres 



1, 5, 29, 109, 985, 5 741, 



jouissent d'une propriete remarquable. 



(*) Moret-Blanc (Nouvelles Annates, 1882, p. 261). 



ET SUR CERTAINES SERIES. 27 

On a 

8 = 1* -+- 2 2 , 29 = 2' -+- a 2 , 169 = 5 2 4- 4 2 2 , 985 == 12 s + 29 s , 3 74! = 29 2 -+- 70 2 , . . . 

On est done conduit a supposer 

w a+ i="W» -+- »J +! , (58) 

en appelant v„ le u liMW ' terme dc la suite recurrente 

1, 2, a, 12, 29, 70, ... 

dans laquelle 

v B+) = 8» B + iv. 4 (a9) 

^ette equation donne 

w » == ^[(' 1 + 1/2)" - (1 - l/2)»] (60) 

A cause de 

"" = ^7# J +l/2) i '- I -(l-V/2f-'], (33) 

011 doit, si lu relation (58) <?$£ generate, avoir, identiquement : 

-i[(i + nr-(i-^rj j 

= 8 ^ + ^ 2 )'"-(' -1/2)"]'+ LC + 1/2)'-'- (1-1/2)'-^!. j 

4 "- Verification. Le second niembve egale 

i. 

5 [(1 + \/2) 2 << + (l - V /2) 2 " + ( I + i/2) te ~ a +• (1 - l/2) J "- s — 2 ( - 1 /■ - 2 (- I )" ' ] 

l r 

— £ LC + l/2) 2n - 2 (4 -+- 2 1/2) +• (1 — V/2) 2 "-- (4 - 2 1/2) ) 

~ V LC + ^" 2 ) 2 ""' (1/2 +• 1) + (1 - i/2) 2 "- 2 (1/2 - ■!)] 

1 r 

- ^pz 2 l(< + l/2f-' - (I - v/2)'-"'-' J. 



28 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

41. L'identite (61) etant verificc, les hypotheses prccedcntes le sont 
egalement ; et, en consequence : 

4° Le nombre 

_L[(i- t - v /2r- i -(i_»/2) s '- i ] 

est la somme des carves de deux nombres entiers; 

2° Si le carre d'un nombre entier egale la somme de deux carves conse- 
cutifs, ce nombre est la somme de deux carres. 

42. Remarqoes. 1. A cause des formules (60) et (55) : 

1° Si 

n = 2ft — 1, v n = ii,,; 

2° Si 

w = 2ft, »;„_) == « { . 

Ainsi, fcs nombres v, rfe rawj impair, ne different pas des nombres u. 
D'apres eela, reprenons I'egalite 

w„ + , = »; •+- 1^+1 ( 5S ) 

Si w est impair:, et egal a 2& — 1, 

Mais, par hypothese, u\ est la somme de deux carres conseeutifs, f, ((-{-if. 

Consequemmcnl : 

t/, i+1 = «» + (« + 1)-+- «J +i (62) 

Si n est pa/r, et egal a 2/r, 

«4m = w'f + , == s 2 -+- (s -+- 1 ) s ; 
puis 

« n+1 = « 2 + («. -»- I) 2 -t- «J (65) 

Nous pouvons done resumer ainsi ies propositions precedents : 

Si le carre d'un nombre entier est la somme de deux carres consecutifs, 



ET SUR CERTAINES SERIES. 29 

ce nombre, egal a la somme de deux carves, est egal, aussi, a la somme de 
trois carres, dont deux au moins sont conse'cutifs (*), 

H. Les valeurs de % -f- 1, satisfaisant a I'dquation (34), torment la suite 
fecurrente : 

1, 7, 41, 239, 1395, 8 I! 9, ... 

On en concliU les valeurs de y : 

0, 3, 20, 119, 690, 4059, ... 

Les valeurs correspondantes de x sont, comnie on l'a vu ci-dessus (39) : 

1, 5, 29, 169, 985, 5 741, ... 

En elTet, conformenicnt a I'enouee du probleme : 

l 2 = 2 -f- I 2 , 5 ! = ? + i-, 29 2 = 20 2 -f-21 s, ) I69 a = 119 s -t- I20 2 , 

985- == 696* -\- 697 s , 5 74 1 - = 4 059- -t- 4 060 2 , . . . (**). 

43. Identities. D'apres le paragraph© precedent : 

D'un autre cote : 

~ l 1 (SS) 

^ d __L jy 2 + I)"-' + (v/2-ir*]; I 

N^-jr^+if-'-d/a-if- '-■2]*+[(i/2+4)»- , -(l''2-0 M - , +a]»| l j 

■ ( ) 

(v,)2 = Jq ! [ft/a + 1 f +l - (i /2 - '« r + ' ~ ' 2 T ■*■ [ft/ 2 + 1 ) 2t+ ' " ft/ 2 - ' )" +1 + 2 ^i ; J 

W 2 = i[((/2n-if-(i/2-ir] s (60) 

o 

Get enon.ee" complete un curieux theoreme de M. Gerono {Nouvelks Annates, '1882, 
P- 432). 

H Les verifications se font rapidement, au moyen de la Table des quarres el des cubes, ... 
P a r C. Seguin VainA (Paris, an IX). 



30 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 
Par consequent, Jes egalites (64) deviennent : 

-L [(i/2 + 1)*-* + (1/2 - lf"«] = 1 1 (j/2 + I)"" 1 - (1/2 - If" 1 - 2j 

K J. (68) 

+ ~ T(l/2 + -If-' - (|/2 - i) n -' + 2] s + i[(|/2 + l) 2 " - (1/2 - If] 5 , 
1 6 L if 1 J 

-i- [(1/2 + If +i + (1/2 - ))"-'] - 1 [(1/2 + 1f +1 - (1/2 - !)«+' _ 8 ]« 

1 [• ( 66 ' 

+ l[(|/2 + If* - (1/2 - If-' + 2] 2 + - [(J/2 -t- If - (v/2 - If}. j 

Ces identites, assez curieuses, completent celle qui a ete donnec au 
n° 40 (*). Ellcs sonl comprises dans l'identite unique : 

-i- [(^2 + if~' + (1/9 - If-'] - 1 [(J/2 + I)- 1 - [j/3 - 'I)""' - 2]" j 

+ -L[(^2 + !)"-' - (1/2 - l)"- 1 + 2|' J + i [(1/2 + I)" - (1/2 - I)"}; I 

1 o « / 

dont la verification est facile (**), 

44. Generalisation. Soil, au lieu de Fequalion (54), 

Ax 2 — s- = 'l; ((17) 

d'ou 

x = — — [(/VA h- <7f-' + (p|/A — qf-'], (68) 

Z r A 

en supposant 

A// — r/-=l (69) 

Essayons si Ton peul avoir, idenliquement : 

5T7I [(pV A + 'lf"~ i + (P\/^~-qf'-'\= TTi [(pl/A + < ? )"-'-(p|/A- (? )'-'-2j 2 j 
21/ A 4A 

+ ^ ^ (/,l/A + 'l ) "' l ~ (p ^ X - ( J)'"' + 2 I s + ^ t(P \/ A + ?)" - (P i /A - 7)"]' 2 - ) 

(*) On no doit pas oublier que chacun des termes est un nombre entier. 
(**) Dans celle-ci, les termes no sont pas necessairement entiers. Si, parexemple, rt = 1, 
on a : 

4 4 4 111 

1 = > •+- — =. 1 1 . 

16 16 8 4 4 "2 



ET SUB CERTAINES SERIES. 



51 



Le second membre, multiplie par 2A" 2 , devient 

[(p \/\ -t- c,)" ' ' — (p \/A — q)'-y -+■ 4 •+- [(p l/A + 7)" — (p |/A — 7)" ]- 
= (p \/A + r/) 2 "- 2 -1- (p J/ A - gf"- a -+- (p l/A -+- gr)*" -t- (p J/'A — qf" 
= (p[/A •+■ c/) 2 "- 5 (Ap"+ r/ 2 + I -i- ^(Jl/A)-!- (pl/A — r/)'"- 2 (Ap 2 + gr s -t- I — 2pr/l/A) 
= 2 (p l/A + r 7 ) 2 "- 2 (Ap 2 + pg l/A) + 2 (p |/A — qf-* (Ap 2 — p<? l/A)' 
= 2p l/A [(p l/A + qf'-' + (p l/A - gf '-']. 



La relation (70) se reduil done, a 

A = 2/; . 

Substituant dans (69), on trouve 

2p r ' = q" ■+■ 1 , 



(71) 



(72) 



Oil 



(2p) ! = (2r/) 2 + 4. 



D'apres Fermat, les senls norabres entiers qui verifient eette equation 

Mais coraine les noinbres A, p, q, satisfaisant aux conditions (69), (71), 
\ r ~), sont admissibles, quoique irrationnels, nous avons Videntite suivante, 
•aquelle reraplace Fegalite (70) : 

4 V(f -+- 1 [(t/(/ 2 -+- T -+- r/) 2 "- 1 -+■ (\Zq* +- 1 — r/) 2 "- '] \ 

= 2 L(^'7 : r! + r/)''-(l/^ r ^i - 9)"] a -+-[(\/^TlH-7) B - i - (l/^n-^)"-' - 2] 2 / (H) 
+ [(\/ / q i -+- i -4- qf- 1 — {Vq* h- 4 — y)"- 1 -+- 2] 2 . 

ans ce lle-ci, r/ es* ?m<? quantile quelconque. 



45. A 



ppligation. Soient 



ra = 2, ^=|/dS. 



de F ENDRE > Thiorie des nombres, t. II, p. 12;Brassine, Prick des muvres matUmaii 
mei -t'"'"'- P " 1(M; Pehn > J° ur >ial de MatMmatiqaes (1873), p. 345. Je dois ces renseii 
1 s > qui ra'avaient echappu, a I'obligeance de M. Realis. 



ques 

gne- 



32 NOTES SDK LA THEOME DES ENACTIONS CONTINUES. 



On doit trouver 



ou 

ou 

ou en fin 



46 [(4 + \/\ of -f- (4 — 1/4 5) 5 ] = 2 [(4 +■ \/\ Hf — (4 — l/lB) 2 ]' 
■ [(4 -+- 1/15) — (4 — l/ 7 '] B) - 2]- + ["(4 ■+■ 1/4 5) - (4 — \/4B -t- 2) j s 

,12 [4 8 + 5.4.4 5] = 2 [1 6 1/4 .'j] 2 + (2 |/4 S - 2) a -+• (2 </ 1 5 ■+■ 2)% 

428.61 =2.236.48 -+-8. IB Hh 8, 

(i I == 4 . 4 B -f- 1 . 



■16. Suite. Pour rend re l'identite" (H) plus symelrique, posons 



ff «=-, // -+- 4 = - |/6 8 -,. c s = - : 
b I) b 

a, b, c sont Irois nombres verifiant la condition 

rr = 6 a -+- c 2 

Noire identity se transforme en celie-ci : 



(73) 



ka [(a ■+■ cf"-' + (a — e) 2 "-* | = 2 [(« ■+■ c)" — (a -- r)"]' | 

4- [(a + c)"-' — (a — c)"- 1 — 26"-' |'V +■ [(a ■+• c)"- j — (a - e)"-' ■+■ 26"- ']>. j (K) 

47. Remarques. I. D'apres regalite (73), a, b, c represenlent ies cotes 
d'un triangle rectangle. Ces coles satisfont done a l'identite (K). 



II. Soil un cercle 0, ayant pour rayon b. 
Si, d'un 'point, exlerieur M, on mene une 
tangente MT el le diamelre MA OB, on 

aura 



40 M L-M B ■+- M A J = 2 [*l H — MA ] 
■+• ['MB" - ' — MA""' — 2MT" _1 ] 2 lf 5 ■+- [MB"" 1 — MA"~' ■+- 2MT" '] 2 MT 9 (*) 

(*) Sauf les celebrcs theoremes de Matthieu Stewart, il n'en est guere dans l'enonc<$ des- 
quels certaines longueurs sont elevees a des puissances quelconques. A ce point de vue, la 
deuxieme proprieto, malgre sa grande simplicity me semble assez curieuse. 




ET SLR CERTAINES SERIES. 



33 



III. Si les nombres a, b, c sont entiers, Tegalite (R) peut etre formulee 
ainsi : 

Le nombre entier 

4a \{a •+• c) 2 '-' + (a - c) 5 "-'] 

e $t la somme de quatre carves, clont deux sont egaux (*), et dont les deux 
Quires sont divisibles par b 2 . 

48. Theoreme. Si trois nombres, a, b, c, satis font a la relation (K), ces 
nombres mesurenl les cotes d'un triangle rectangle; c'est-a-dire que 

a 2 = If -*- c 2 . 

La relation (K) peut etre ecrite ainsi : 

W " + [(« + c )"~' - (« - cy-'p* + [(a ■+- c)» - (a - c)»] s - 2a [(a + c)*-« + (a - cf- '] = 0; 

P Ul s sous cette forme un peu plus simple : 

W " + [(« + c)"" 1 - (a - c)"~']V - (a 2 — c 2 ) [(a + c) 2 "" 2 + {a— c)*-'] — 2 (a 2 - c 2 )" = 0. (74) 

Supposons que a, c soient donnes, et que a surpasse c. D'apres le theo- 
enae de Descartes, 1'equation a une seule racine positive ; savoir, 6' 2 =a 2 — c 2 . 
Le theoreme est done demontre. 

*"< Remarque. Pour diviser le premier rnembre par b~ + c 1 — a?, on 
Peut le transformer ainsi : 

4 [{by — (a 8 - c*)»] + [(a + c)"~ ' — (a — c)""'] 5 (6 s + c« - a') + 4 (a 2 — c 5 )" 
+ [(a + c)"- 1 - ( a _ C )»- .."]» (a i _ c *) _ [ (a + c fn->. + {a _ c ju-r| ( i _ c ,j _ 2 (a .__ ^ 

' ' Par temple, en prenant a = 5, 6 = 3, c = 4 : 



0U ' Plus simpiement, 
II est 



20 (9' -H 1) = 2. 6 S60 2 -t- 2 0222 + 2 34 g 2 . 
5 (9' -+-!) = 2.5 280 s + 1 Oil* + 1 173 s . 



1p I V1 f lble c l ue ce tte reduction a lieu dans tous les cas. Autrement dit : 
he nombre entier 



est l a 



somme de quatre carrts; etc. 
Tome XLV. 



a [(a -+- cf"- 1 -+- (a — cf"-'] 



34 NOTES SUR LA THEOR1E DES FRACTIONS CONTINUES 

L'ensemble des deux dernieres lignes egale 

2 (« 2 - (?)" — 2 (a 2 - c 2 )"" 1 (a 2 - c*) — 0. 

Done 1'equation (74) devient 

4 [ (6 *)» __ ( a « _ c *)»] + [(a + c)- 1 - (a - c)»-' J 2 (6 s + c s - a' 2 ) = ; . 

et, suppression faite du facteur 6 2 — (a 2 — c 8 ), elle se reduit a 



(78) 



4 [6^-8+ b s »-*(a s — s ) + 6 2 "~ 6 (a 2 - «■)■+ ■ • • + (a 2 - c 2 )- 1 ] + [(a -+- c)"- 1 - (a- c)-«]* = 0. (7(V 

Celle-ci est impossible si, comme on le peut admettre, a surpasse c. 



IX. Developpements en series. 



50. Developpement de l/A. Reprenons encore les formules 

Q n = aq;q;_ 4 + QiQ„_ 1 , q; = q;q„-. + QiQUi- • • 

II en resulte, par ['elimination de Q if 

q.q;-.quq»-q;«k-i-aquo. 

Mais 
Done 






(41) 



(40) 

(77) 



Cetle relation montre, une fois de plus, que les denominateurs Q 2 , Qs, 
sont divisibles par Q',. 
En 1'ecrivant ainsi : 

Q» _ Q-1 _ Qi 

q; QL-* q;.-.q;, ' 



ET SUR CERTA1NES SERIES. 



33 



°n en conclut 



Q 2 


Qi q; 


qj q; " q;q;' 


q 3 q 2 q; 
q; q; = q;q;' 


Q4 Q3 q; 

q 4 q 5 =- q;q;' 


Puis, par le raisonnement connu, 


•*-$-« 


" 4 1 



Q 5 Q< 

«!• Autre developpemesvt. Des formules 

Qs„ = 2Q* — 1, q;„ = 2q„q;,, 
°n deduit : 

q;,q 2 „-q„q;„ = -q:, . 

6 galitti qui generalise celle-ci : 

q;q 2 - q,q; - .— q; d . 

n calcul semblable an precedent donne ensuite ; 






4 1 1 I 

.Qi + OT + OT + Q^ 



(L) 



(78) 

(77) 



(M) 



°»ci done deux developpements de [/A, ties dilTerents, et dont le second 
oeaucoup plus convergent que le premier (**). 

(*) Pi 

nn^; a exactement - elles rentrent Tune dans 1'autre, a condition que Ton prenne 

n l pour en former une - 

s 'con n a COnver § ence du premier developpement l'emporte, deja, sur celle de la serie 



a i 



F'G' G'H' 



.... = 1/1 



36 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



52. Application. Soit A = 7. On a 

1/7 = 2(1,4,1,4); 

et, par consequent : 

Q d _8 Q 2 _127 Q* 2024 Q i _322M Q, = 514088 Q 6 _ 8 195 151 
QT""s' Qi~"48"' Ol~765' Q;~12192' Q r ; 194507' Q 6 5096720'"' 

La formule (L) donne ensuite 



1X7—- — 3 

o 

8 1 

~~ 3~ 5 



1 



1 



I 



1 



1 

3748 + 48.765 + 765 . 12 192 + 12 192. 194 507 + 194 507 . 5 096 720 
11 1 1 1 



1. 10 ' 16.255 255.4064 ' 4064.64 769 64 769.1052 240 

Pour appliqu^r la formule (M), il suffit d'observer que 

Q;= 2Q 4 .Q; = 2. 52 257.12 192 = 786 554 688. 

On trouve, ainsi, 



^3 



1 



1 



-i 



48 12192 786 554 688 



Le terme qui suivrait le troisieme est bien inferieur au quart du carre de 
celui-ci (*). Si Ton reduit en decimales, on peut done conserver les unites 
du dix-huitieme ordre. Effecluant, on a : 



- = 2,666 666 666 666 666 606 
5 



48 



= 0,020 853 355 533 555 555 



■1 



1 2 1 952 



= 0,000 082 020 997 575 528 



1 



- = 0,000 000 001 271 567 414 
786 554 688 

1/7 = 2,645 751 31 1 064 590 591 . 



(*) En vertu de la relation 
dans laquelle Q„ surpasse 2Q^. 



Gi„ = 2Q„Q;, 



ET SUR CERTAIN ES SERIES. 

53. Remarque. La formule (M) peut etre ecrite ainsi : 



37 



A cause de 



Qi Qi Qi n ni| .. 

Qi q; Qs l 



QI — aq;» = + i. 



' e second membre equivaut a 



(40) 



Ue plus, lestermes du premier membre sont egaux, respectivement, a 

Qi 01 Qi Qi Qi o* 

Qi' QiQi' Qi'Qi'Q;'' " -; 



q;„ 2q„' 



2Q.' 2Q,.2Q 2 ' 2Q,.2Q 2 .2Q 4 ' 



ou > d'apres la relation 
egaux a 

Si done nous posons 

Z„ = 2Q„, 

n °us aurons, au lieu de l'cgalite (M), 

l \ \ 

— •+■ - — i , 



(F) 



i(Z,-l/z^4) 



(79) 



(N) 



Cette formule remarquable est due, je pense, a M. le capitaine Moreau (*). 
Ur I appliquer, on doit, apres avoir pris arbitrairemenl Z, >2, faire usage 
Ue If » relation 

"'ansformee de 



Z 2 „ i — Z„ — 2 (**), 
Q.„ = 2QI-1 . 



(80) 
(F) 



H iVoiweBeg 4jwa/es, 1878, pp. 139 et 15G. 

ans la theorie des Equations r&iproques, si Ton fait, suivant 1'usage, 
°na aussi ; ?» = «"»■+■«-», 

z a „ = U — 2. 



38 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 
54. Application. Soit Z^ = 3; et, par consequent, 

Z 2 = 7, Z 4 = 47, Z 8 = 2 207, Z« = 4 870 847, ... ; 



puis 
1 

3*" 3.7 ' 3.7.47 ' 3.7.47.2207 ' 3.7.47.2 207.4 8" 

resultat curieux obtenu par M. Lucas (*). 



-1 H 



+ ...=-(3-1/5); 



55. Autre remarque. On sail que 



l/N 2 — 4 = N — 'I ■+- 



2N — 2. 



1 



2IN— 2 



Done 



Qi-l/Qi-i = * 



l ■+-■ 



2Q, — 2 -t- 



1 -+- 



2Q,-2 + ■••' 



OU 



I( Z ,_\/Z5-4)=1 

J* 



Z. — 2 -+- 



Z, — 2 -+- 



ou encore, par une transformation connue, 

I (z, _ l/zR) = 



z, — i + 



Z, — 2 



Z, — 2 + 



(*) Nouvelles Annales, 1878, p. 138. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 

Par consequent : 

La fraction continue periodique 

x = 0, Z,-l(l, Z.-2), 

dans laquelle Z, surpasse 2 , equivaul it la serie 



\ i 



i 



Zj h\hi * j K*-H' j i £i{£i%£n£i% 



o- 



39 



X. Relation entre deux series. 

S6. Nous avons trouve : 

Q» +I = 2Q 1 Qn-Q n - 1 , (43) 

1 J_ J_ _ Q, - q; I/a 

q;q; "*" q,q^ + q;q; + q; 2 ' ( ' 

i 1 i q,-q;i/a 

— H H 1- ... = (M) 

q 3 q; Qs q; 

De Plus, a cause de 

L! ^'Snalons, ici, une particularity assez curieuse. 
Si 1'on suppose 

Z, = 2 cos a, 

° n trouve 

Z 2 = 2cos2w, Z 4 = 2cos4m, Z s = 2 cos8», ... ; 
PUls ' P ar ^application illegitime de la formule (N) : 

11 » ,/ — ■ 

5~ 1- -+- (-■•• = cos w — V — 1 sin a). 

■^ cos a 2 2 . cos to cos 2o 2 ! cos to . cos 2t» . cos 4w 

" e resu ltat, qu'admettraient certains Disciples de Wronski, est completement absurde. 



40 NOTES SUR LA THEOR1E DES FRACTIONS CONTINUES 
la formule (4-3) est la meme chose que 

q;,. +1 =^q;,-q^, ■ • (si) 

et 

ft -«^ A = w «■— (82) 

Remplacant Q' n par v n , et representant par S et 2 les sommes des deux 
series, nous avons : 

v % 

v„ +l = — »„ — v „_., , (83) 

v, 

\ \ \ i _ 

S ==—•+- + + --=t-, ("«, — V/v| — 4vjl, .... (84) 

t),v 2 » 2 u 3 « 3 v t 2«i ■ J 

2-i + i * i + ...--J-^_i^r^j, .... (85) 

2 = V ' S (86) 

On peut done enoncer la proposition suivante. 

57. Theoreme. Soil une serie 

1 l 1 l 

1 1 1 tr ■•', 

Vi V % Vz V t 

dont les termes satisfont a. la loi de recurrence : 

V n = V n _i v„_ 8 . 

v, 

Si Von en deduil les series convergentes : 

1 l 1 

s = 1 1 h • ■• , 

V { V% V^Vs V 3 V t 

« 1 1 1 1 

Wj v t »» u )B 

on a, entre les sommes S, 2> ^ a relation 

jEVi ottlre, ce« sommes sont donnees par les formulas (84), (85). 



ET SER CERTAINES SERIES. 



41 



58. Remarque. En multipliant, par un facteur convenable, tous les termes 
d'une serie., on peut la faire commencer par 1 (*). Cela etant, si Ton suppose 
«i = 1. on a, au lieu des formules precedentes : 



l i j_ 



V n = » S . U,,-! — »„-! 

1 1 1 1 

1 1 1 

I'j v t v s v u 



.(» s _l/r«-4). 



(87) 
(P) 



59. Applications. J. Soient v { == 1, ty — 8j et, par consequent : 

t>,_8, »« — M, i> 8 = 55, i> =144, c 7 = 577, r 8 = !)87, ... ("). 

On trouve 



i l 



i i 



111 I 1 III I , . /-v 

5 5.8 8.21 21.53 35.144 5 21 <J87 2 V 

comme ci-dessus (54). 

II. 
On obtient 



v, = 1, «« = 2, »« = 3 «„=n. 



1 d I 1 I 1 1 

1 1 1- . . . = -i , — i 1 ( 1- • • • = 1 ; 

.2 2.5 5.4 '248 16 



r esultats connus. 
HI- Prenons 



1-x' 2 



1— a 4 



v,= 



resulte, de ces valeurs initiales, 



V» I + X 1 1 



V, X X 



e ' ac teur est, evidemment, l'invcrse du premier terme. 
) ^es nombres sont les termes de rang pair, dans la serie de Lame (14). 

r IW XLV. 



42 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



puis 



■I \ l\ \ 1 . I— a; 6 
x )\—~ x )~\ x\= — — x s == g— 

X I \x I \x I X 1 X' 



-te-'Hs-^-l?- 4-* 4 = :L / ; 



x 



X 



et, en general, 



-I — x 5 



(*) 



(88) 



D'un autre cote 



(l-x*) s (1-xV (1-x 2 ) 4 

vi — 4vi = ; ' — 4 



, r ~i ry.4 



„ 2 - l/^i - kv\ = i ~ ; - = 2 (i - x 2 ) , 



X 



_.2 



I — x 2 ) 2 ' 



1— X 2 



Done, par ies formules (84), (85) : 



(1 _ jJ) (1 — x 4 ) (1 - x 4 ) (1 - x r 'j ( I - x") (1 - x 8 ) (1 - xT 



x 4 'I — x 8 1 — x 16 1 — x M 



1 — x 2 



(89) 
(90) 



60. Remarque. A cause de 



I — x 2 I — x 1 — x 2 



(*) Ce petit calcul est celui que Ton rencontre dans la reduction ties equations reciproc/ues. 



D'ailleurs, la valeur de v n resulte aussi de la formule generale 



jointe a l'equation 
dont les racines sont 



V„ = A a" -+- 15/3", 



l % — X + -/■+- 1 = , 



et = a>, ,i: 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



43 



ou par le changement de x 1 en x, la derniere identile devient 



1— a; 2 I -x 4 I— x 8 I —a;" 1 



Quant a la relation (89), si Ton supprime le facteur commun x ? ', el que 



1'on change encore a? 2 en x, elle se reduit a 



( I - x)(i — x' 2 ) (1 — x ! ) { I — x r> ) ( I - x r ') ( I — x 4 ) 



(1-x)' 



55 • (92) 



puis a 



'I ■+• x (1 ■+■ x) (1 ■+- a; •+■ x") (I -+- a; -+■ x 2 ) (1 -t- x -+- x' 2 ■+- x 3 



•■• = 1 ■ (Q) 



XI. — Sor la formulc (Q). 

61. Nous avons obtenu cette formule en supposant x posilif, mais 
moindre que Tunite. Si x egale 1, elle se reduit a 



11 i i 

— i 1 1 

2 2.5 5.4 4.5 



i; 



r esultat exact, deja indique (59, 11). Attribuons done, a la quautile x, des 
v aleurs superieures a l'unite. 
En general, 



(1 -+■ x ■+■ x' 2 



x"~ ') [i ■+■ x •+- x' 2 



x") 



I 



1 ■+■ X •+• X s -+- • • ■ 4- X" ' 1 4- x ■+- x' 2 -+- ■ • ■ -+- x" 

Done, identiquement : 



i -<- as (1 +i)(( -+-x -t-x* 2 ) 



(l+Jt+"' + x" _1 ) (I -+- X ■+- 

1 



1 ■+- X -+- x' 2 •+• • • • -+- x" ' 



fracti 



Gelle-ei est connue; mais on n'aurait pu s'attendre a la deduire de la theorie des 



°ns continues. 



U NOTES SUR LA THEOR1E DES FRACTIONS CONTINUES 

ou, si Ton appelle S„ la somme des n premiers termes tie la serie (Q) : 



s„ == 



1 



ou, plus simplement, 



\ -+- X -+- X' 2 • 

x" — 1 



x" + ' — 1 



(93 



De celtc formule generale, on conclut : 
1 ° Pour x < 4 : Urn S„ = 1 j commc ci-dessus ; 
2° Pour a? > 1 : //m S„ == -• 

Ainsi, quand x surpasse 1, la relation (Q) doit etre remplacee 
celle-ci : 



■1 -+- x (1-4- x) (I -V- X -H flj 2 ) (1 •+• x -+- as') (1 -i- X -1- X 2 -I- X s ) 

02. Le terme general de la serie (92) est 



par 



(94 



(1 — x k )(i — x* +l ) 
Developpe (*), il devient 

x <-> p + X " + x u + X s -+- ■••][! 4- x t+l ■+• x"+ 2 -4- x u ±* -i- 

Dans ce prod ait, suppose el'feclue, chaque terme a la forme 



X 



*~J+ta+(*+l)j3 



Soit 
ou 



d-'l + k + (4+ t)j3 = w, 
/c« -+- (fc +• I) [3 — « - k + I 



De ce qui precede, nous pouvons d'abord conclure les propositions 
vanl.es : 

1° Dans le de'veloppement de la fraction 



(95) 
sui- 



(1 — x") [\ — x k+i Y 



(*) On suppose # < 1. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



45 



le coefficient de x' 1 egale le nombre des solutions entieres (non negatives) de 
I' equation (95); 

2° Dans le developpement , suivant les puissances entieres et positives 
de x de la serie 



(1 _ x ) (J _ x") (J - £>) (\ — .x r ') (1 - x 5 ) ( 1 — x 4 ) 

le coefficient de x n egale le nombre total des solutions enlieres (non negatives) 
des n -f- 1 equations : 

* + 2p = M , 2a -+- 3p = «— 1, oa ■+- 4(3= « — 2, .. , (h 4- 1)« -*- (n + 2)0 = 0. (96) 

63. Theoreme. S* /'o« considere les solutions entieres (non negatives) de 
ehacune des n + 1 equations (96), /e nombre total de ces solutions est n + 1. 

En effet, dans le developpement de ~r^ s — (1 — a?) -2 (92), le coeffi- 
cient de x" est w + 1. 

64. Remarques. I. Ce coefficient egale le nombre des equations (96). 

H- Le nombre des solutions entieres (non negatives) de l'equation (95) 
est ? comme on sail, egal a run des deux quotients enliers de n — k •+ \ 
par k{k -f 1). Telle est done Impression du coefficient de x", dans le 
developpement de la fraction 



(1 — x k ) (1 — x* 



HI. La derniere des equations (96) est 

(«■+• 1)« •+• (n +■ 2)(3 = 0: 

elI e admet uue seule solution. Si l'on en fait abstraction, on peut rejeter les 
v aleurs de k superieures a n — k + 1 (**). 

II semble, d'apr&s cela, que ce coefficient ae peut t'tre evalue exactement. 
( *) En effet, un, au moins, to tenwes fas, (k + l)p, mrpassera n — k + l. 



W NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

L'enonce precedent pcul done elre ainsi modifie : 
Le nombre total des solutions entieres (non negatives) de chacune des \ 
ou n —„- equations : 



a + 2(3 = n, 2a -t- 3(3 = n — 1, o« -+- 4(3 = a — 2, 



est n. 



O.'i. Applications. 1. n — • 12. Les six equations a resoudre sont, : 

a + 2(3 -=12, 2a ■+- 5(3 = 1 1 , 3se •+■ 4p = '1 0, 4a H- i)(3 = 9, ua . 0(3 = 8, 6a +■ 7 (3 = 7. 

La premiere est verifiee par : 

a = 12, (3 = 0; « = '10, (3 = 1; « = 8, [3 = 2; a =6, (3 = 3; 
a = 4, (3 = 4; a = 2, (3 = 5, a = 0, |3 = 6. 



La deuxieme, par : 



La troisieme, par 



a = 4, p=5; a = 4, (3=1. 



a = 2, (3 = 1 . 



La quatrieme et la cinquieme sont impossibles. 
La sixieme admet la solution : 

a = 0, [3 = 1 . 

En tout, rfott2;e solutions. 

II. n = 13. Les sept equations a resoudre sont : 

a + 2|3 — 13, 2«-+-5(3 = 12, 3*-+-4p = ll, 4a + 5(3=10, 5« •+• 6p => 9, 

Ca -+- 7(3 = 8, 7a h- 8(3 = 7. 

La premiere admet se/tf solutions : 

a =13, (3 = 0; a = ll, (3=1; a = 9, (3=2; a=7, (3 = 5; 
a = 5, (3 = 4; « = 3, (3 = 5; a = 1,[3 = (>. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



47 



La dcuxieme en admct trots : 

a = G, *3 = 0; a = 3, 6 = 2; 

La troisieme en admet wne : 

«=1, 6 = 2. 

La quatricme en admet wwe : 

a = 0, 6«=2. 

La cinquieme et la sixiemc sonl impossibles. 
La septieme est vcrifiee par : 



. = 0, 8 = 4. 



Ln tout, tfmse solutions. 



1, S=2. 



^6- Autre theoreme (*). Se /'on considere les solutions enticres (non 
■Negatives), <ie chacune des equations 

a; + 2y=fl — t , 2a; -+■ 3»/ = « — 5, 3a; -+• 4y = n — 5, . . . , 

e nornbre total de ces solutions egale Vexces de n + 2 *w fe nombre des 
diviseurs de n + 2. 



"7. Serie d'integrales. L'egalite 



l •+- 



* (I +i)('l +i+ x s ) (1 + j + x") (1 -+- x -+- a-' J -+- x s ) 



• ■ = 1 



donne, par integration, 






x"dx 



(I ■+• X ■+■ •■ ■ + X") (1 + X ■+■•■■-¥■ X 



n+l) 



(Q) 



(R) 



tte sommation parait assez remarquable, les integrales qui y entrent 
nt de plus en plus compliquees, a mesure que n augmente. 



>aJa , resu ' te de la serie (Q), combinee avec la .«m<? de Lambert. Ces propositions ont ete 
'is pai 



a usees par M. Ernest Cesaro, dans le beau Memoire intitule : Sur diverses questions 
aA nthmeti m e. 



48 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

68. Une identite. Si 1'on essaie d'evaluer 

/"* x u ~ dx 
(!"'+. x l + x" + ■ ■ • ■+- X-"- 2 ) (1 + X 2 -+- X* H -t- X 2 ') ' 



on est conduit a Yidenlite 

(1 -+- x -+- xM -+- x*) 2 — x k = (1 +■ x -+- x 2 + ■ ■ • -h x 4 - 1 ) (i -I- X + x 2 H h x* +1 ), (S) 

dont la verification est facile (*), et qui a de norabreuses consequences. 
En void quelques-unes : 

1° IJ equation 

(1 -+- x -+- x 2 -+- • ■ ■ -i- x k f - x* = 

se decompose en 

1 ■+- x -+- x 2 ■+-..■+■ x'" 1 = o, i ■+- x -+- .x 2 -+- ■ • ■ + ,x' ,+J = o. 

2° £e polyn&me 



(1 -+- X -t- X + ■ • ■ -+- X j — X , 

egal a 

(l + i + i ! +.. + x"" 1 -+- g 2x" -+- x" +l -4- •• -+-x 2 ")(1 + x + x 2 -t- ••• + x' 1 -? H- x n+l ■+- • • H- x 2 "), 

(1 -4- X -H X 2 ■+■ •• ■ + X 2 "-') (1 -+- X ■+■ X 2 -+- • ■• 4- X in+l ). 

3° Aucun nombre, de la forme 

(1 -f- x -+- x 2 •+-•..■+• x' c ) 2 — x*, 

we pent etre premier (excepte si k = 4 ). 
(*) Par exemple : 

S^ — ./;'• = (S - x") (S -+• *■''+*) ; 
egalite d'oii Ton tire ce resultat exact : 



s — • 



1— x'+' 
1 -»• ' 



ET SUR CERTA1NES SERIES. 



49 



XII. Quelques series clliptiques (*). 



1 -+- (f 1 i q'" 



69. Dans la relation 

_ 9 . 'I 1 
1 

posons 

Oil 

Nous aurons 
^ cause de 



a" 1 lia 

-JL- + ...==- Ip). • • • • (97) 

-1 -+- c/-" 4 \ «■ 



I +■ q la 



q" 
V n = q" ■+- q~" 



(98) 
(99) 



11 est visible que gt v, est un nombre entier, superieur a 2, torn les termes 

c ' e la serie recur rente 



V,, »», «!, .., »„, .. 



s °iil des nombres enliers. 

koit, par exemple, v { = 3, valeur d'ou resulte 



La s 



serie recurrente est 



5 — 1/5 __ ft/3 — I 

9 



3, 7, 18, 47, 123, ... 



Don c, par la formule (97): 



l i i i i 

— i — +- — + — -i- \- 

3 7 18 47 123 



4 \ 7t 



— 1 



(100) 



^ | 1 ails co chapitre, nous compl&ons ce que Ton a vu ci-dessus (17, 18, 
i*J es sur quelques produits indefinis. 
[ ) Fundamentanova..., p. 103. 

Tome XLV. 



et aussi les 



50 NOTES SUR LA THEOR1E DES FRACTIONS CONTINUES 



70. Remarque. On a trouve (17) : 



1 1 1 1 ktt y- 

2 5 15 54 2tt 



(24) 



Done, en eliminant — 



111 1 

1 1 !-. 

2 b 15 54 



1 1 I 1 I I 

4 5 7 18 47 125 



A:l/o 



(101) 



Ainsi le module k, repondant a q = — j— , est donne par le rapport de 
deux series fort simples (*). 



71. Generalisation. Reprenons Ies egalites 



1 



1 -4- q 1 -+- q" 
q q 2 



I -t- q ln 
q" 



1 -4- q L \ 4- </* 1 -t- f/ 2 " 

Dans la premiere, posons, comme precedemment, 

qn-t i 

1 -+• q -1 "-' ~~ (1 ■+■ q)v n ' 

et dans la seconde, afin d'eviler toute ambigui'le : 



<2nVq' 
1 /2« 



1 



II est visible que 



1 -+- q' 1 " W n 

I 

v { = 1, Vi—q + - 

7 



(*) On ne doit pas oublier que la formule classique est 

1 -+- 2? -+- 2g' -+- 2f/ 9 h 

(Recherches..., p. 3). 



(25) 



(97) 



(21) 



(102) 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



51 



On ti 



ouve aussi : 



e tj en general, 



IV, = q -*• - = V t -+- Vi', 
<1 



»» "+-««+! (') (103 



Par consequent, si q -f- - egale un nombre enlier a, les nombres v„ v 2 , . . ., v„, 
e ' fes nombres w t , W 2) ..., w„, son/ cutlers. En outre, les premiers et les 
seconds verifient la condition (4 03). 
Cela pose, la formule (23) devienl : 



?l la formule (97) 



l> ar suite, eu egard a la relation (103) : 



1 


1 

- "H 

1 l>2 


-+- 




-t- 


1 


■+■ 




= 


1 + q 


ka 


V 


V~q 


lit* 


1 

4 


1 

H 

IV, 


-t- 


1 


-+- 




• -+- 


1 


-t- 


... = 


a 
2^ 



1 1 

1 

I'l ^2 



H -t- 



— -+- 



i v, -+■ v 2 fj -+- Us 



"n+i 






•/>•; 



° u > plus simplement, 



i i 

— i — 

Vi V, 



i 

H 1- 



I 1 I 

* v, -+- v., v* -+- v 3 



= fe l/(( -t- 2 (* 



(T) 



L. relation simple s'observe dans la formule (101). 

( ) Soit 



1+(7 ,y- 1 



es t clair que 



Vt 



VI 



q -+- - = a = ( 2 — 2. 



52 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 
72. Exemples. I. a = k-. On conclut de cette valeur, a cause de \\ 

t> 2 = 3, u s =10, v 4 = 27, v 5 = 71, i; G = 186, ...; 



puis 



1 



1111 



! 



o 10 27 71 186 

i i i i i V 

— i — i 1 — _i — ^ 

4 4 lo 57 98 257 



ft 1/6. 



II. a = 5. 



V) = 1 , p 2 = 4, », = 1 5, 1'* = 56, t> 5 = 209, v e ~ 780, 

I 1 



J 1 I 

+ 4 ~ + ' IS + 56 " 20!) ' 780 



111 1 



1 1 

— i 1 1- — _i 1 j. 

4 5 19 71 265 989 



kVl. 



73. Remarques. I (*). Soit a tm nombre cnlier, etjal ou superieur a 3 (**). 
So*7 q une ratine de I'equalion 



La quantite 

est un nombre entier. 



«' 2 — at + 1 = 0. 

1 -+- (f n ~* 
\i + q)q n - i 



II. La relation (T) subsisle pour toutc valeur de a, super ieure a 3. 
Eh elTcl, dans les calculs precedents, rien n'exprime que a soit un nombre 
entier. 

74. Une identite. En operant comtne le fait Legendre (***), on trouve : 



(0) 



1 — q* 1 — f/" +<: i — ,!"■+■'■> 



1 — 7" i — (/"■ 



identite dont un cas parliculier a ete donne precedemment (20, II). 



(*) Analogue a cello qui constitue le theoreme de la page 15. 
(**) Afin que v% ne soit pas inferieur a 2. 
:***) Fonctions elliptiques, t. Ill, p. 132. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 53 

Dans le developpcment de ehacun ties deux membres, le coefficient dc >q" 
est le nombre cles solutions entieres, non negatives, de I' equation 

ax •+• by -+■ cxy = n (I 04) 

75. Remarque. Si Ton ecrit ainsi cette equation : 

[ex ■+■ b) (cy ■*• a) — «c ■+• ab, (105) 

et que 1'on pose 

nc + ab = dd' , 

"> d' etanl des diviseurs conjugues, on aura 

d — b d' — a 

*— , ?/ = ■ ; (106) 

C C 

pourvu que ces valeurs soient entieres (non negatives). 

'6. Verification. Soient 

a = 2, 6 — 5, c = 5, ?;. = 78. 
,J equation (405) est, dans le cas acluel, 

(5x +■ 5) (5y -h 2) = 590. 

El 'e est veritiee par : 

x = 0, ?y = 26; x = 5, y =4; a: = 6, y = 2; x = 59, // = 0. 

a >' consequent, le coefficient do </ 78 doit etre 4. 
kn ell'et, le premier membre de (U) devient 

^ — -+- — I , 1 1 ! 1 ! 1 — - n L__ -, 2_ — 

1 ~ T \ — <f I — q li I — q" 1 — f ! 1 — q™ I - q il I — 7" 

q u 7" 7 30 f/ 7S 

+ I — q" + 1 ~(f + Y^lf ■*■••'■•*■ | _ q m •+• • 

-«es seules fractions qui, developpees, produisent des termes contenant r/ 7S , 
sont : 

1 7° 7 12 7™ 

iZT^' r^~7 12 ' iT_~7"' T3^»"- ; 

et i] y en a quaire. 



U NOTES SUR LA THEOR1E DES FRACTIONS CONTINUES 

77. Suite. Jacobi a donee* (*) cette idenlitc : 

q <f 9° '/ 



V-qf O-7 5 )' (*-7T 



,_JL_^ 3 _^ + 



1 — cf I — q' 1 — (f 



Eq voici une autre, dont Ja verification est egalement facile : 
q 



q q 



_2_ + 2 _l__ 1 _3_JL_ 

1 — q 1 — (/' 1 — f/' 



(!_,)» ( |_^ (|_ 9 Y 

La liinite commune de chacune des deux series est 



■1 2 /tV 5 jfc'V coE,(fc) 



(107) 



(108) 



78. Identite remarquable. La formule 



L ^ 'J 0o 



dans laqnelle 
devient, pour a? = w : 



'©'(a 



©(*■). 
l (a) = sin am. x, 



, @"(0) ©"(») 



r). 



0(0) ©(«) 



(109) 



(*) Fundameiita . . . , p. '135. — Recherches. . . , p. 93. La valour commune des deux mem- 
bres est 

(**) II est clair (et connu) que, dans le developpement do chacun des deux membres, le 
coefficient de q" est J'n [Recherche*..., p. 91). 

(***) Recherches..., p. 92. La page 91 contient une grave faute typographique. Au lieu de 
la formule absurde : 



dq xdk 



— {m'da — ado') , 



on doit lire : 



q a*lck'* 



dq 7t 

— ss — (a'da — ada'). 
q w 2 



(") Bertrand, Calcul integral, p. (352. 
A cause de ©'(«) = 0. 



et sur certaines series. 



0',) 



Or (*) 



6 (O) = 1 — 1q 4- 2<7 4 — '2rf 4- 2<7 d « , 

(-)"(()) = 2 Q* [7 - ir/ 4 + 9q* - 1 (»</ IG + •••], 

(-) (a) = 1 4- 2ry -+- 2ry 4 -+- 2(/° 4- 2<? ie 4 , 

0»= - 2 (-)[q + K>f 4- V + IGr/ 16 4- • ••]. 



La relation (109) devient done 

I (ka V q — i q* 4- Of/" — 1 69" 4- 



7 4- 4<? 4 + V 



On sait que 



4 - 27 -+- 27 4 — 27" 4 I 4- 27 4- 27* -1- 2r/ J 4- 



; "=7 i (l 



V/=-'" 



Consequemment, 



27(1 4- 7 2 4- 7 B 4- 7 ,2 4- ■••) < 

f/ _ 4 9 * .+. 97° — ICf/' f> 4- •■■ 74-47*4- 1)7" 4- ■lCf/'"4- 
' ~T~— 27 4- 27 4 — 27" -V-TT7 1 .+- 27 4- 27* 4- 27' 4- ■ • 



(V) 



79. Suite. On a (***) 

1 — 27 4- 27* — 27" 4- • ■• = 6(0) = «V, 

-1 4- 27 4- 27'' 4- 27" 4- • • = B (<a) = fa.'. 

" e plus, par les proprietes des produils a, a', (3, p' ( ,v ) : 



-—==3-; =\<p(«)?"-2'K") ( 7'. 
a a aa u 

^7 = ^ = 2 < P( n )(-7) n -f^")(-9) n - 



( ) Recherehes. n 2 

1**1 1- . ' ' ' 

' **) hoc. cit. 
(,v ) Recherches,.., pp. 1, 2, 3, 11... 



§6 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



La relation (V) est done remplacee par celle-ci : 

2</ (I -+- (f -+- rf ■+- q v ' ■+■ •••)* 

00 CO 

= ( q - i,f + <) f / J - 1 6f/ 16 + ■ ••) 2 9 (*) ?" ■ 2 * M 9" 



oo CO 

•+■ (7 -f- 4</* + 9r/ 9 + 1 <V/"'' + ».) 2 ?(») H 9)" 2 * ( "' ("* 9)"> 



(HO) 



dans laquelle il n'entre pas de fractions. Mais on peut trouver un developpe- 
ment beaucoup plus simple. 



80. Suite. A cet effet, cherchons les expressions de 0" (0), 6" («), 
sows formes finies. 

La formule de definition : 



ou 



donne 



e (*)-*' IT. h- 2 9 ? 



,*» + ! 



cos y- q i "+' i \ {'), 



4 s . (x) = f ,«' -+- 2 4 s I — V + ' cos — ■+• q ln 



(x) « — j, 



1 — 2e/ 2 " +1 cos ■ 







7fX 






7TX 



1 _ 2f/ 2 " + 1 COS h O 4 



Done, a cause de 0'(O) = 0, ©'(«) = 



0" (0) _ 9 ^ » 9 2 "+' (1 - g 2 " + ') 2 

0(0) = a 2 A (1 — 9* n+ ? ' 

6(«) " «*4 '(l-f- 7 2 "tV ; 



111] 



Eecherches..., p. 2. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 57 

°u , plus simplement : 

&" (0) n- - ^ 

I(^ t=+2 ^2(, r . ? ^ ) .' ( 112 ) 

On a 

8(0)= y— , 8(») = y/— n (M4) 

D'un autre cole, Jacobi a donne* (**) les formules : 

2 (7 ^=^-^)], (11S) 

"V — — r— , = — JE, (A) — Jc' 2 ] (110) 

D °nc, par les egalites (112), (143) : 

0"(O) = [«-E,(A)] \/ — , (117) 

H» = !«*"_ E, (ft)] \/- (418) 

ol- Suite. Reprenons l'identite 

; 1-27-f-27 i -27 ,J -H29 lc - ■ • 1 -+- 2r/ h- 2r/ + 2^ -+- ••• ' l ' 

La premiere fraction (78) egale 

\ lcA-8" (0) CO . 

2 W/ 0(0) 2^ 2 L V /J 

Recherches..., p. 2. 
( ) Fundamenta..., p. 111. 

Tome XLV. h 



58 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

Or, le second membre, limile de la serie 

i , f _ ^ ^L- ^ ... 

(1 - qf (1 - ?? ( j - ff 

(115), est aussi la limite de chacune des series : 

1 - <f i — q l 1 - 9 
q + 2g' + 4g3 + 4 ? 4 ^ 6? » + . . . + _ q « J % H ( ). 

Par consequent, 

g-V-H^-W-.- ^^n f . (119) 

1 — 2g -+- 2r/ 4 — 2r/ 9 ■+-••• ^i J 

Dans le second membre, i est le plus grand nombre impair qui divise n. 
Si Ton change q en — ■ q , on a le developpement de la seconde fraction, 
savoir : 

1 + 2 ? -t-27 4 -H2 9 9 +--- ^ i J 

En outre, par la suppression du facteur 2 : 

q \\ +q'+ ( f + c, n +...]* = | 7'/t; (121) 

ou, ce qui est equivalent, 

[ ? + 7 ° + 9 «» + 9 49 -t--.j 4 =2<? 4 '.A 

Nous retrouvons done le beau theoreme de Jacobi. 
82. Remarques. 1. Dans Fegalite (119), posons : 

~ ( * = P» 

(*) Recherches..., p. 92. Ci-dessus (77) nous avons parle des deux premieres. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



59 



'1 est clair que si Ton chasse le denominateur, on a ce theoreme d'arith- 

metique : 

La (miction 

p„ . — 2P„_ { + 2P„_ 4 - 2P„_, + ... 

egale ( — i ) n ~ l n ou zero, selon que n est ou n'est pas carve. 
Soit, par exemple, n = 13. Le calcul direct donne 

P 13 ==14, Pu—lt, P.— 15, 1\ = 4; 

et ? conformement a l'enonce, 

14 — 2.16-1-2.15 — 2.4 = 0. 

Soit encore n = 16. On a 



Done 



P 16 =16, P 15 = 24, P I2 = 16, P 7 ==8, P„ = 
16 — 2.24 -+- 2.-16 — 2.8==— 16; 



ce qui est exact. 

»• Saiif le cas ok n est un carre impair, P n est pair. 



ni. si 

£ n effet. 



w = 2*1, P„ = 2 a P ( . 
P,.= /V, et 2*==" (*) 



IV r 

• woupons Jes tcrmes dans lesquels i est constant : la formule fi\9) 

tlevient v ; 

9 — V-+- 9<7 9 — I6</ 16 + ... » 

"RTvz 2t ' + ... = 2 (* + V * V : + ■••)/»• • ■ ■ (122) 

n Recherches..., p . 85. 



60 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

Et la formule (120): 

Done, par soustraction, 

q [\ + ^ + ? « + 7 « + ...)*= j^y* (^i) 

i 

83. f/ne formule dc Cauchy. Dans les Comptes rendus (t. XVII, p. 530), 
Til lustre Geometre a donne l'identite suivante : 



1 -+- ax 1 •+■ aix \ -+- afx 



a — p X 



I ■+- (3.x 1 h- (3te 1 -+- [3rx 
a — S a — |3i! to a 



1 — I i -+- 6x 



1 — tl — f (1 ■+- (3*) (1 -+• (3ta) (1 -t- pfx) 
a — |3 1 — (3« 1 — pt* tV 

i — t'T^ 



l _ (» (4 -+- (3x) (4 •+- (3ta) (1 + prx) 



a = () , (3 = — 1 , x = t = q, 



trop peu remarquee. 
Si Ton suppose 

elle se reduit a 

4 7 <^_ t 

(1— 9)(l-5-*)(*— g»J... ' + (l-9) 2 [(l^gm-^"'" [(1-9) (*-?*)(*- 9')]*' 

Euler a trouve, comme transformed du premier memhre, 



1 42 



•9 (1 — r/) (1 — ^) (4_ 7 )(l- f /)(l_,f) 



Par consequent : 
Zes seWes 



1 -+- 



\ -g (1 _ ,) (1 _ ? «) (1 _ g) (l __ ( f) (1 _ g«) 



1 -t- 



[1—9? [(1-?)(l-9 3 )]' [(1-?)(1-«7 8 )(1-? 5 )] 2 
ow£ meme Umite. 

{*) Celle-ci est due a Jacobi (Fimdamenla..., p. 180). 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



61 



Cette limitc commune est 






k k q 



En outre, le developpement de-^, ordonne saivant les puissances de q, est, 
comme on sait (*), 

x 


84. Remarques. I. Dans la seconde serie, les exposants de q, en nume- 

rateur, sonl les carves des exposants correspondants ; les dcnominaleiirs 
s ont les carre's des denominateurs correspondants. 

II. La seconde serie est beaucoup plus convergente que la premiere. 



88. Suite. On trouve, de la ineme maniere, 



l — „-4- 



T 



\^q){\+q*){\+q*)... 1-q* ' (l-q*)(\- q *) (|_ 9 ») (1-r/) ( |_ 7 «; 

Le premier membre ecale 



i i 



,6(3' ' 



Telle est done la limite de 



la serie 



(124) 



I - 9 a (1 - <f) (1 - f/ 4 ) (1 - T) (1 - <?*) (1 - q 6 ) 



D> 



(*) Recherches..., p. 11. 

(**) Recherches..., p. 1. 

( ) A la page 52 des Recherches, j'ai indique cette autre sommation : 



l-t-— i— -+- 



q« 



* — <7 a (i— g 2 )(i-</ v ) (i-g*)(i — ?*)(* — 9*) 

= 1 ■*■ cp ,- ( 1 ) qr -+- (pi (8) r/ 2 ■+■ 'fi (5) Q 3 H 

El le redonne les formules (W). 



62 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

86. Remarques. I. En appelant ^(n) le nombre des decompositions de n 
en parlies impaires, inegales, on a (*) aussi 

« = -1— 9; (1)7 + 9,(2)7* — (p f (5) 9 5 -+- cp ; (4) 9 4 .... (128) 

II. Designons, comme dans le Memoire cite(**), par F (g, p) le nombre 
des decompositions de g, en parties egales ou inegales, non superieures a p. 
Alors : 

f V (g, 1 ) q\ j,_ J u __ rA = J F (.9. 2) 7 2 », 



1 — 7 2 



1 e" 



(1 - ?') (1 - 9*) ('1 - <f) 



2 F(ff,%V 



puis 






Done, dans le premier developpcment de « (424), le coefficient de <f sera 

_ /» — 1 \ /re — 4 \ /« — 9 \ /» — 1 6 \ 



Et comme, dans le second developpement (1 25), ce coefficient est (— l) n y t (n), 
on a la relation suivante, entre les nombres m/n) et F : 



In — 1 \ /n — 4 \ In — 9 

± f ,(n)-F[- r -,l)-F[- T -,a) + F[- I -,3)- -n- (126) 



III. Les arguments ^y- •> -y - ' ~T~ '"* doivent etre entiers. Par conse- 
quent, cette egalite se decompose en ces deux-ci : 



, v „/« — * \ In — 9 \ In — 25 



(W) 



selon que n est impair ou /?««>. 



(*) Recherches..., pp. 4 et 5. 

(**) Page 47. 

*** Le signe ■+- , si n est impair. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 

87. Verifications. I. n = 35. On doit trouver : 

(p ( (55) = F(17, 1) + F(15, 5) ■+- F(5, 8). 
Or: 

<p,(35) = 29, F(47,1) = <T, F(15,3) = 21, F(3,8)=7(*); 

e t Ton a bien 

2!) = 1 -+- 21 h- 7. 

II. n= 34. La seconde des relations (W) se reduit a 

? ,(34) = Fei5,2) + F(9,4); 



63 



savoir 



20 = 8 -t- 1 8. 



HI. Ces relations (W) peuvent etre enoncees ainsi : 

1° Soil n un nombre impair. Le nombre des decompositions de n, en 
parties impaires, inegales, se compose du nombre des decompositions de 
%T , en parties qui ne surpassent pas 1, augmente du nombre des decom- 
positions de ^— r - , en parties qui ne surpassent pas 3, augmente du nombre 
des decompositions cfe--a-- 8 , en parties qui ne surpassent pas 5, etc.; 

^° Soit n un nombre pair. Le nombre des decompositions de n, en parlies 
l, npaires, inegales, se compose du nombre des decompositions de n -^~- , en 
Parties qui ne surpassent pas 2 , augmente du nombre des decompositions de 
~~% > en parties qui ne surpassent pas k, augmente du nombre des decom- 
positions de - -"~ , en parties qui ne surpassent pas 6, etc. (**). 

oo. Lettre a M. Hermite. «... j'ai vu, ce matin, a la Bibliotheque 
ue l'Universite, le n° 1 des Comples rendus, contenant une nouvelle serie, 



1*1 Recllerc hes..., pp. S9 et 61. 

uans les Recherches . . . (pp. 49 et suiv.), on trouve divers theoremes analogues a 



celui-i 



^ 



64 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

» par M. Faa cle Bruno. Que la formule proposee soit commode, soit; mais, 
» a coup sur, elle n'est pas nouvelle. En effel, elle rcsulte, immediatement, 
» de la relation si connue : 



= \ -+- 2 (q -+- (]'' ■+- rf ■+- q u ■+• 



» L'auteur a eu la peine de changer q en q % , en </ 4 , en q H , en q K ; et c'est 
» tout. Si Ton faisail le memo changement dans la formule approchee(\>. 23), 
» on aurait une formule encore plus approchee. Serait-elle nouvelle? Evi- 
» demment non : la ou il n'y a aucune invention, il n'y a rien de nouveau. 

» On pourrait peut-etre, en partant d'une autre formule de Jacobi, arriver 
» a quelque chose d'un peu plus neuf : el encore! 

» Soit, pour abreger, 

» s = (f -+- (f -+- q a + ■■■ 
» On a : 



y - (\ •+- k') _ i •+- 3S, y - (t -+- k\) = i -+- as, , \/ - (1 + /4) = 1 + 2S S , . . . ; 



» done 

» D'ailleurs, 



» Hill I a n (1 -+- /(I,)] ass ST. 
I 

» », (4 -+- A:|) =-(] + \/li')a; 



» etc., etc. Je n'insiste point, parce que la question a ele traitee par Jacobi, 
» Gauss, Bertrand et mot (*). 

» Parmi les innombrables formules que j'ai donnees dans le Memoire 
» intitule : Iiechcrches sur quelques products inde finis , en voici deux ou 
» trois, applicables au probleme actuel : 

» 9 -Vk=* 2 



_ 2 Co/t 

2^ 



1 — c/ 

9- 



4(T-f-f J /y*«+5 

, On+4 



^ „8(i+8 4 „S, 



(*) Ce mot , generalement hdissable, est la comrae simple renseigncment bibliograpliique. 



ET SUR CERTAfNES SERIES. 



65 



8 En les combinant, on a 



t °° 


q" 


1 


q 7 '" +i 


)8 


/ 2* 

\ 


\ — f/'" +1 


j 


00 

1 

II 


q°" 




flfia+4 




,| ~8(t-f-U 


1 


~8<i+6 





8 On peut d'ailleurs ecrire ainsi le second membre : 

[1 ■+■ c s q -+- n,q 2 -+- e lr ,</ 5 -t- ■ • •]' 

» . . 

8 (ftecherches ...,[). 146.) 
» Liege, 20 juillet 1882. » 

89. Additions. 1° Comme 

— = 1 1 -t- "2q -+- %q* -t- 2<f •+- ■••I 4 , 

11 s'ensuit que 

L 1 + hq •+• ejf+f,^ + f „ ? * -+- ...]*= [1 -+- %q -+- 2</ 4 -+- Vq" + ...]« [1 -4- £$*-+- f 9 7 4 -*-•••]. (1 27) 

2° D'apres Cauchy, 



[l t- 27 + 2(/ 4 -+■ 2r/ 9 -1- ■ ■ •]' =1 + 4 (— ^ 



Soit 



1 — 7 1 — 7 1 — q 



1 — 7 I — q" 1 — </ 5 



=2 a >.t- 



■ (ias) 



II 



st tacile de voir que A„ egale I'exces du nombre des diviseurs de n, ayant 

l Lire, dans les Nouvelles Annates (1854), tin beau Memoire de M. Genocchi. 
Tome XLV. i 



^ - 



66 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

la forme iy. -j- 4 , sur le nombre de ceux qui ont la forme % — \ . Autre- 
ment dit, h. n — e n . Par suite, 1'egalite (127) se reduit a 



[1 -+■ t s 7 2 -+- f 9 (/ 4 -+- e, 3 (/ 6 ■+••••] [I -f- 4 (t,7 + f 2 r/' 2 + E r // r ' •+-•■)]; 



. - (-129) 



relation qui a de l'analogie avec celle-ci : 

[1 -*- q -+- 7 3 -*- r/ 6 + ...] 2 = [1 -+- qi' 2 -+- 9 6 -+- c/ ,2 + ...][1 + 27 +■ 2r/ 4 -»- 27" H ] (*). 

Au fond, 1'egalite (1 29) ne differe pas de la for'mule (399) des Recherches. 
Liege, 20 mai 4883. 

90. P. S. (26 Janvier i 884). Si Ton combine la relation (128) avec 
celle-ci : 

(I — 2r/ +• 2? 1 — 27 ,J -+■ •• •) (1 •+- 2<y + 27* ■+■ 2r/° -*-...) = (! — 2? 2 4- 27 s — 27 18 +- 2<f f (**), 

on trouve : 

(I — 27 + 27*— 27° •+-••■) (1 -+- 27 •+- 27* + 27 s H ) == 1 H- 4 ^ (— 1)"£„7 2 ". 

Vexposanl 2n es£ tme somme de deux carres. Celle formule demontre 
un theoreme de Gauss (***). 



(*) Legendre, t. ill, p. I'll. 

(**) Recherches ..., p. 29. 

'***) Voir le Memoire de M. Genocchi. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



67 



ADDITION O. 



Stir 1c diveloppemcnt de V\. 



»• Lemme I. Soient x, x' deux fractions continues inverses, superieures 

(t finite. Si 

E F 

e 7 ' r 
,S0/ ^ fes rfe^aj dernieres reduiles de x, ee//es ofc x' A7??wt/ 



F' F 
E' ' E 



£n 



owft*e, se chacune des fractions donnees est symelrique, 

E' = F ("). 

• Lemme II. Soient, comme dans le premier Lemme, 



E F 



s d eux dernieres reduites d'une fraction continue 



x = 6, c, rf, . . . , e, /'. 



mar s 1883r 6e Par U " intt ' ressaiU travail de M - DE Jonquieres (Compt, 
( *) JVoiwdfeg 4wna/eSj t vni) p 2gl 



es rendus , fevrier el 



L 9- 

P'' Q' 



68 NOTES SUR LA THEOR1E DES FRACTIONS CONTINUES 

Soient 

les deux dernieres reduites de la fraction continue symelrique 

y =b,c,d,...,e,f,f,e,...,d,c, b, 

composee d'un nombre pair de termes. On a : 

p = Q' = EE' -+- FF', Q = E 8 -t-F 2 , P' = E' 2 -4- V n . . . 

1° x' etant la fraction continue inverse de x, il est clair que 

et, par le premier Lemme : 

F 

Q Q F- E + E E 2 -4-F 2 



(i) 



O' P F FE' ■+- FF' 

v F'.- •+- E' 

E 

Si done (comme nous l'allons demontrer) la derniere fraction est irre- 
ductible : 

Q = E 2 -t- F 8 , Q' = P = EE' -+- FF'. 

2° Soit z = |> la fraction continue 

f, e, ..., c 

Le meme raisonnement (bien connu) donne 

F. F' 

H E 

p E' EE' -4- FF' 

— = 0, c, ..., e, /, z = — == E „ _^ F , a • 

F'.--t-E' 
E' 

P' = E' 2 -+- F' 2 . 

3° Soit, s'il est possible, 

E' 2 + F 2 = ma, EE' -+- FF' = mp. 

Posons 

E' 2 + F' 2 =r. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 
On tire, de ces egalites, 

(E 2 ■+■ F 2 ) (E' 2 +■ F' 2 ) — (EE' -4- FF') 2 = may — w 2 
(EF' - FE') J = eTII. . m, 
1 = JTL . m ; 



69 



ou 
ou 



°e qui est absurde si, comme on l'a suppose, le nombre entier m surpasse 
1'unite (*). 

3. Remarques. I. Par les formules (1) : 

P' + Q = E' + F S + E' 2 -+- F' 2 = somme, de quatre cams, 

P -+. p' -+- Q + Q' = (E ■+■ E') 2 ■+- (F -t- F') 2 = somme de deux earres. 

H- Si, apres avoir pris la fraction symetrique 

b, c, d, ..... e, /', /', e, ..., <i, c, 6, 
a .V<mz wn nombre pair de termes, on ecril deux fois, trois fois, . . . cette 
Pfriode, le numerateur de ckaque derniere reduite sera la somme de deux 
earres. Semblablement , le denominaleur de chaque avant-derniere reduite 
ser a la somme de deux earres. Enfin, chaque avanl-dernier numerateur 
e 9alera chaque dernier denominaleur. 

EXEMPLE. 



Premiere periode . 


■ % 
2 
P 


3, 
7 
5' 


3, 
25 

To' 


2; 

53 

23' 


deuxieme periode. . 


• 2, 
129 
~56~' 


5, 
440 
191' 


3, 
1 449 
"629"' 


2; 

5 558 




1 449 ' 


troisieme periode. . 


• 2, 
8 125 
3327' 


3, 
27 713 
12 050' 


3, 
91 264 
59 617' 


2; 

210 241 




91 264 



y Cette import-ante proposition, signalee par M. Serret {Cours d'Algebre superieure) , 
res ulte des formules 

tl = QT -t- PT', U' = Q'T ■+- P'T'. 
^ouvelles Annates, t. VIII, p. 177.) 



70 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 
On trouve : 

53 = 2 2 h- V, 10 = l 2 + 3 2 , 3 338 « 23 2 + 53 2 , 629 = 10 2 + 23 2 , 
210 241 = 129 2 + 440 s , 39 617 = B6 2 + 191' 2 ; etc. 

4. Lemme III. /.a valeur de la fraction continue period ique simple, 
y ==(6, c, dl, ..., e, /; /", e, ..., c, 6), 

e.s/ donnee par chacune des formules : 

Q — P' ■+■ V/(Q — P') 2 + /,p 2 
?/=- — —L 2) 

2P 

Q _ p ' + y^Q + p T _ 4 
j, _ , (3) 

E« -.- p> — E' 2 _ F' 2 -+- \/(W •+• F 2 — E' 2 — F' 2 ) 8 -t- 4 (EE' -*■ FF') 2 

2(EE' --.- FF') v 

E 2 -.- F 2 - E' 2 — F' 2 -+- l/(E , + E' , + F ! + F") , -4 
2 (EE' +• FF') 

^ ^ E» + F' 2 - E ' 2 - F" + V~\jE^FJ + (F ^E 7 ) 2 ] ["(E — F') 2 -+- (F -t- E') 2 j 

?y "" 2(EE' + FF 7 ) • • ( ') 

La premiere expression est la racine positive de I'equation 

f _ Qy -+- P 

' y Pt/H-P'' 

ou 

P/+(P'-Q)!/-P = 0- (7) 

D'ailleurs, =; est de rang pair; done 

Q _P_ j_ 

Q' P'^^P^Q 7 ' 

ou 

P 2 = QP' _ 1 ; 

etc. 



ET SUR CERTAUNES SERIES. 



71 



En outre, 

(E 2 + E' 2 +• F 2 + F' 2 ) 2 - 4 = (E 2 -+• E" 2 4- F 2 •+• F' 2 ) 2 — 4 (EF' — FE') 2 
==- (E 2 ■+■ E' 2 ■+• F 2 + F' 2 H- 2EF' - 2FE') (E 2 + E' 2 + F 2 + F' 2 - 2EF' -+- 2FE') 
«. [(E + F? + (F - E') 2 ] [(E - F') 2 + (F - E')' 2 ] (*). 

o. Verification. Soient, comme ci-dessus : 

E = 2, E' = l, F = 7, F' = 5; 
P=23, P' = 10, Q = 55, Q'— 23. 

ka quantity soumise au radical prend ces diverses formes : 

43 2 + 46 2 , 63 2 — 4, (4 •+- 49 — 1 — 9) a +■ 4 .(».•+■ 21 f, 

(4 -*- 49 +l + 9)'-4, 1(2-+- 3) ! -+- (7 — 1 ) s 1 1(2 — 3) 2 +- (7 -+- 1 ) 2 ] ; 



011 , simplement : 
Or, 



43 2 •+- 46 s , (S3 2 — 4, (S 2 -+- 6 2 ) (I 2 ■+- 8 2 ). 
45 s -+- 46 2 = 1 849 -+-2116=3 96S = 65 . 61 . 



o- Lemme IV. Une red;uite-^peut, indifferemment, elre consideree comme 
unt de rang pair ou de rang impair (**). 
Soil : 

Q 



Q 



- = x = a, b, c, . . ., p, q. 



Le 



quotient incomplet q surpasse I'unite, sans quoi Ton pourrait remplacer p 



par P + l. Celaetant 



on a 



P + -=P •+ 



</-! 



e §alHe d'oii resulte le Lemme 



enonce. 



r) A PP!ication de l'identite : 

\ab' ■+- 6a') 8 ■+- {aa' — bb'f = (a s + 6 2 ) (a' 2 -+• &'«). 
' Proposition connue. 



72 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

7. Theoreme I. Soient pi ^ deux fractions irreductibles satis faisanl 
aux conditions 

Q>P>1, Q>P'><, QP'-PQ' = ±d, Q>Q', P>P'. 

Moyennant la restriction indiqucc dans le Lemme IV, ^est I'avanl-derniere 
reduite de % (*). 

Pour fixer Ies idees, supposons 

QP' - pq ' = ■+ \ (8) 

Si Ton reduit^-, en fraction continue, et que^soit l'avant-derniere reduite, 
on aura, si --, est de rang pair : 

Q<x' - Q'« = -t- 1 (<)) 

D'apres le Lemme IV, la seconde hypothese est admissible. Cela pose, 
a cause de Tegalite (8), Ies valeurs de «' et de a sont, comme oo sail, 
comprises dans Ies formules : 

a' «= P' -+• Q'0, a=P-t-Q0; (10) 

8 etant un entier quelconque. 

4° On ne peut le supposer positif; car on aurait 

«' > Q\ « > Q. 

2° On ne peut, davantage, le supposer negatif: cette hypothese donnerait 

a'<0, a < 0. 

3° Reste done 

8 = 0; 

puis 

, „, Pa 

«' = P', a = P, _«=,_. 

P' «• 

(*) Cette proposition resulte d'un probleme resolu par Legendre (Theorie des N ombres, 
t. I, pp. 23, 24), au moyen de calculs et de raisonncments un peu longs. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 73 

8. Theoreme II. Soient^i ~ les deux dernieres reduites de la fraction 
continue symelrique : 

y = b, c, d, e, ..., e, d, c, b (*). 

Soient a , « deux nombres entiers satis faisanl aux conditions : 

Qa — 2Pa = P', a =? 2a. 

St" Ton /a/« 

A = a 2 -i- a , 

te* racines carries de tons les nombres A (**) soul donnees par la formulc 

l/A = a (6, c, d, e, . . . , e, a", c, 6, 2a). 

Soient 

Y = (b, c, d, e, ..., e, d, c, 6, 2a), 
X = a (b, c, d,e, ..., e, d, c, b, 2a). 

un a, pa r j e raisonnement habituel, 

Q ( 2a + - ) 4- P 
\ Y/ _ (2aQ+P)Y + Q 

"~ / 1\ , (2oP + P')Y + P ' 

PI2a+-JH-P' 

OU 

(2oPh- P')Y 2 — 2aQY — Q = 0; (11) 

Puis 

1 _ a Q + 1/VQ 2 -l- (2aP -+- P') Q 
Y = q ' 

et > Par consequent, 

. / 2oP -+- P' 
X=\/« 2 + — (42) 

Je te valeur se reduit a \/k , si les nombres entiers a , « satis font a I' equation 

et oi,' Qa-2Pa = P', (15) 

Kl s * I on suppose 

A = a 2 -+- a. 

(**l n 11 6St ^ aS n ® cessa i re qu'elle soit composee d'un nombre pair de termes. 
1 ) » y en a une infinite. 

T ome XLV. k 



74 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

D'ailleurs, pour que a 1 soit le plus grand carre conlenu dans A, on doit 
avoir, conformement a l'enonce, 

a^2a (14) 

9. Remarques. I. Si les nombres P ; Q sont, impairs, comme ils sont 
premiers enlre eux, l'equation (13) admet une infinite de solutions entieres 
et positives. 

II. Si Q est pair, P est impair. Alors P' doit etre pair, sans quoi l'equa- 
tion (13) serait impossible. 

III. [/A ne pent se developper en une fraction continue 

a(b, c, d, ...,p, q,<2a) 

dans laquelle, ~ > ~ etant les deux dernier es reduites de 



b, c,d, ...,p, q, 



P' soit impair, et Q, pair. 
10. Applications. I. 



Les reduites sont 
Done 



y = 2, 1, 3, 1, 2. 
2 5 11 14 59 
1 ! T' T' ¥' 14 



L'equation (13) devient 
II en resulte 



P = 14, P' = 5, Q = 39. 

59a — 28a = 5. 

a = 3-4-280, a = 4-t-39fl; 



puis 



A = 4 2 H- 3 = 19, A = 43* ■+■ 51 = 1 880, A = 82 2 ■+■ 89 = 6 783, etc.; 



et enfin : 

1/^9 = 4(2, 1,3, 1, 2, 8), 1/1880 = 43 (2, 1, 3, 1 2, 86), 1/6783== 82 (2, 1, 3, 1,2, 164), 



ET SUR CERTAINES SERIES. 



75 



II. 

Reduites : 

% 
III. 

Retinites : 



y = 2, 1, 5, 3, 4, 2. 

2 3 11 36 47 150 
I"' 1' T' 13' 17' "47"' 

130a — 94a = 17 (impossible). 

y = o, 2, 1, 1, 2, 5. 
5 7 10 17 44 149 

T' 2' T 1 y 13' 1^' 

P = 44, P' = 13, Q = 149, 
149« — 88a ==15. 



La solution la plus simple (*) est 

a = — 7, o = — 1 2. 

Done, en general, par l'addition de 88 et de 149 : 

0, = 81 +■ 886, a = 157 -+- 1498; 

puis 

A = 137 s -f- 81 = 18 850, A = 286 s -+- 169 = 81 965, etc. 

Finalement 



l/l 8 830 = 137 (5, 2, 1, 1, 2, 3, 274), 



etc. 



1/81 96S = 286 (3, 2, 1, 1, 2, 3, 572), 



**• Corollaire. Lorsque, dans 



A = a 2 -+- a, 



a aivise 2a , /e developpement de (/A esi 



/2a 
— , 2« (* 



duo i°" r ^ ten ' r ' j'emploie, non les fractions continues, mais Yalgorithme au sujet 
4uel j'ai public diverses Notes. 
1 S Th eoreme I de M. de Jonqu 



Jonquieres [Comptes rendus, fevrier 1883, p. 569). 



76 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 



Soit 

On trouve 

Ainsi 
ou 



X = a {b, 2a). 



==yA 



2a 

T 



2a 



& = ' 



2a 



12. Probleme I. Dans quel cas peut-on avoir 

l/A = a(b, b, 2a)? 

Les reduites de la fraction symetrique 

y = b, b 
b b' 1 -t- 1 



sont 



Consequemment, 



i' b 



P = 6, I>' = <|, Q = ^-t-l. 



L'equation (13) se reduit a 



ou 



(6 2 + l)a — 26a = l, 

at) 1 — 2«6 -f- a — 1 = 0. 



On tire, de celle-ci 



6= (•), 



OU 



6 = . 



l/T=n 



(IS) 



(16) 



(*) La seconde valeur de b est inadmissible, parce que le produit des deux egale 1 — s- 



ET SUR CERTAINES SERIES. 77 

b est un nombre entier; done A — a doit etre un carre par fait : 

A = « 2 + (3 S (17) 

D'apres I'equation (15), b doit etre pair : &= 2y. 
On satisfait a cette equation en prenant a— 1 , a == y. 
Les valeurs generates sont done : 

« = t + M, »ay ■+■ (4y 4 ■+- 1)8 (18) 

En outre, 

(3 = r 4- (V — 1)8 (19) 

Les valeurs remplissent la condition 

A = u 2 -*- * = « 4 -+- f (20) 

Soient, par exemple, 

c-i, •— a. 
De la resultent : 

« = 9, a =11, (3 = 7, A = 130 = 9 5 -4-7 2 ; 

Puis 

j/130 = H (2,2, 22). 

13. Cas particulier remarquable. Dans les formules (18), (19), (20), 
supposons 9 = y . Alors : 

a = l-+-4r 2 , a = 2r(2r 2 -*- 1), ,6 = 4r 3 ; 

A = V(2r a + If •+■ V •*- 1 = (V -t- If •+• (4r 5 f , 
ou 

A=[2r(2r i -+-l)]' ! + (2ry 2 -+-l=(4r 2 -<-lf-+-(4r"f (21) 

Ainsi, chacun des nombres A, A — 1 est la somme de deux carres. 
Les premieres valeurs de A sont : 

S 2 + 4 S ==41, 17 2 -h52' 2 =1513, ZT ■+■ 108 2 = 13035, ...; 

et Ton a 

40 = 6 2 -+-2 2 , 1 312 = 36 s +• 4 s , 13 052= 114 a + 6' 2 , ... 



78 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 

14. Remarque. Soit l'equation 

x 2 -t- 1/ =: u 2 -+- v 2 -i- \ (22) 

On en trouve une infinite de solutions au moyen ties formules : 

.x = 4< 2 -+- 1, y=>bt l , ?,( = 2«(2* 2 -+- 1), v=2f (23) 

1 5. Suite. II est facile de former d'autres systemes de formules donnant, 
chacun, une infinite de solutions de celle equation (22) (*). Par exemple, 
ecrivons-Ia ainsi : 

x 2 — w 2 = v* -+- 1 — if (24) 

Prenons, arbitrairement, v et y; decomposons v l 4- d — y 1 en deux fae- 
teurs p, q, de meme parite. Alors 

1 i 

16. Application. 

¥ =5, v =9, p</=--57. 

On peut prendre 

p = S7, 7=1; p = 19, <jf = 5. 

Par suite, 

x=29, u = 28; x = 41, u = 8. 

En effet : 

29 2 + 5 2 =28 2 -*- 9 2 + 1 = 841 -+- 25 = 784 + 81 ■+■ 1 = 866, 
ll 2 -+- 5 2 == 8 2 ■+■ 9 2 + 4 = 121 + 25 = U + 81 ■+• 1 = 14G. 

17. Probleme II. Dans <ywe/ cas peut-on avoir 

[/A=*a(b,g,b, 2a)? 

(*) J'ignore s'il existe dcs formules contenant toutes les solutions. Des valeurs (23) , on 
conclut u — y -+■ v. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 79 

Les reduites de la fraction h, g, b etant 

b bg -+- I Ifg ■+■ % 
1 ' g bg -t- 1 

il s'ensuit que 

P == 6g -4- 1 , P' = g, Q = 6 2 9 + 26. 

L'equation (13) devient done 

6(6jn-2)a — 2 (6gr -+- l)a«gi.(*) (25) 

Apres quelques tatonnements, on trouve qu'elle est verifiee par 

2a = — 0(6# + l), «== — g\ 

En consequence, les formules generates sont 

2a=> — £(% + 1) +•&(&#■+• 2) 9 (**), (26) 

«-- .^(^ilH (27) 

Soient, par exemple : 

6 = 5, g(=l, 6 = 2. 

On a: 

2a = — 6 + 5.7.2 = 64, a = 32, * = — 1 + 6.2=11, A = 32 2 + 11 = 1 035; 

puis 

y/\ 035 = 32(5,1, 5, 64). 

*8. Remarque. L'equation (25), ou 

, «a6 2 — 2(oa — a)6— (2a + #) = 

aonne 

ga — a h- V ' g l (a 2 ■+- a) + « 2 
(jfa 

6 est un nombre entier; done (fk + * 2 doit etre un carre V 2 (***). 

1* " e ' c ' est impossible si, b etant pair, g est impair. 

I**} ^ et 9 sont impairs, l'entier 9 doit etre j?aw\ 

( ) En particulier, lorsque g = 1, A -+- « 2 = a 2 -+- a -+- a 2 dsi wn carre 



80 NOTES SUR LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES 
En effet, des formules (26), (27), on deduit : 

A=-[— g(bg + I) ■+• b {bg •+■ 2) fl] 2 — g' -4- {bg -+- t)fi, 



?A = - 



9* ( .9 3 i b 9 -*" 4 ) 2 — % ( & # + *) ( b 9 ■+- 2 ) 



V 



-4- 4 (6g< -4- t ) 



fl -4- 6 2 (63 -4- 2) 2 



i' 



a 9 = - 1 4g 4 - 83' (6,7 -4- i ) i -4- 4 % + 1 )V] , 



4 (# 2 A -4- a 2 ) = (j 4 (69 -4- 1 f — % s (63 -4- 1 ) (63 -4- 2) 8-4- 6y (&</ -4- 2) s 

— 49 s (617 -4-1) -4-4 (63 + 1 f 

= 0*(% + *}*-• ty*{h + J ) ( 6 V ■+" % ■*• 2 ) fl + (&y+46y-i-86y + 863 + 4)« 

= [g* [bg -*- i) - (6y 4- % -4- 2)8] 2 , 
X = - [— <f {bg + \ ) -4- (&V + 263 + 2 ) «] . 

ga - « = i [_ ^(6 3 _■ I) + (6y - 2)e]. 
La somme des deux dernieres quantites est 

— 6</ 3 -4- 69 (6(/ -4-1)6, 

ou b(ja\ ce qui devait arriver. 

19. Cas particulier. Soient, dans les formules (26), (27) : 

6 = 1, e =</ -4- 5. 

On trouve 

a == 2g -4- 3, a = 43 -4- 3, A = (a + if — 4, A = 2g 2 + 4g -4- 3. 

Par consequent : 

a elant un nombre impair, superieur a 3, le developpcment dc 



est 



a 1 



l/(a-4-l) 2 — 4 
a — 3 



., 1, 2a O 



(*) Theoreme IV de M. de Jonquieres. 



ET SUR CERTAINES SERIES. 

20. Probleme III. Dans quels cas pcul-on avoir 

V/A = a (6, c, . .. , e, /', f,e,..., c, b, 2a)? 
Nous avons Irouve, ci-dessus (2) : 

P = Q' = EE' h- FF', P' = E"' h- F' 8 , Q = E 2 + F 2 . 



81 



^'equation 

est done 

A cause de 



Q*-SPa-P' (13) 

(E> -+-F 8 )« — 2(EE' + FF') a = E* -+- F' 8 (20) 

(EF' — FE') 5 = h- 1, 



e "e est verifiee par 

« = (E' a h- F'Y, a = - (EE' +• FF') (E' 2 n- F' 2 ) (*). 

^es valeurs generales des inconnues sont, par consequent : 

* = (E'« + F' 5 j ■+• (EE' + FF') 8 , a — - [(EE' + FF') (E' 2 + E' 2 ) + (E 2 + F 2 ) s] (**). (-29) 

on c, si I' on applique les formules (29), le developpement de 



sera 



\/\ = \/ t f + a 



a (6, c, ..., a, /", /', <:,..., c, 6, 2a). 



^- Application. Solent, comme ci-dessus (3) : 
E = 2, E' = l, F = 7, F' — 5. 



(*) 



(E a + F 2 ) (E' 2 + F'-) - (EE' + FF')* = (EF' — FE') ! ; etc. 



1**1 <' is 
ProhU ' pr ^ s les v aleurs de E, E', F, F', le nombre entre parentheses est impair, le 
l eme propose' sera impossible. 
Tome XLV. 



82 NOTES SUR LA THEOR1E DES FRACTIONS CONTINUES, etc. 



Les formules (29) deviennent : 
ou, si Ton fait 5 = 2/ 



a = 2o-i-25e, a =- [25.10 + 359]; 



a = 25 -+- M>1, a = 115 •+• 55«. 

II en resulte les systemes suivants : 

a = 25, a = 118; «== 71, a = 168; « = 117, a = 221; ...; 
puis 

A = 115* + 25 = 15230; A = 168 2 -+- 71 = 28 295; A = 221 2 -t- 117 = 48 958; 

Ainsi : 



V -15 250 = 115 (2, 5, 5, 2, 230); V 1% 295 = 168 (2, 5, 5, 2, 536); 
1/48 958 = 221 (2, 5, 3, 2, 442). 

Liege, 48 avril 4883. 



P. S. (27 Janvier 4884). Au Congees de Rouen (aout 4883), j'ai donne 
la resolution complete de l'equation 



X' Z -+ 'If -+- Z 2 = U 1 ■+• W? 2 , 



dont un cas particulier a ele considere ci-dessus (p. 78). Celte communi- 
cation va paraitre dans les Atti de l'Academie des Nuovi Lincei. 



THE0R1E 



DES 



BOUYffllTS DIUR1, AMUEL IT SMJLAIRE 



L'AXE DU MONDE 



PA 11 



F. FOLIE, 

HBMBBE DE L'ACADEMIE ROYALE DE BELGIQUE. 



D. O. M. S. 



(Presents a la Classe des sciences dans la sCance du i aout 188;-!.) 



Tome XLV. 



PREFACE, 



i. Le present travail a son origioe dans quelques circonslances d'un 
earactere inlime, que je compte reveler un jour en quelques pages portant 
' a meme epigraphe que cellcs-ci. 

Ces eirconstanees m'avaient amene tout d'abord a rechercher si la fluidite 
•nterieure du globe pouvail occasionner une nutation diurne. 

Hopkins, le seul auleur qui, a ma connaissance, se soit occupe do celte 
question, l'avait resolue negativement. 

En la reprenant ab ovo, je suis arrive a la conclusion que la nutation 
iurne pouvait etre sensible, dans cetle hypothese, et je me suis empresse 



de 



soumettre cette conclusion a une premiere verification experimentale. 



H resulle de mes formules que la nutation diurne est la plus forte en 
ueclinaison, pour les etoiles dont l'ascension droite est 6 h ou 18 h ; 

En ascension droite, pour les etoiles qui sont situees vers h ou 12\ 

J ai done fait relever, dans les meilleurs catalogues, les positions de plu- 
sieurs centaines d'eloiles, et les ai fait reduirc a la meme epoque; j'ai pris 
ensuile les plus grands ecarts entre les positions assignees a une meme etoile 
P ar ces differents catalogues, et j'ai constate que ces ecarts etaient, de tout 
P 0| nt, eonformes au resullat tbeorique que je viens d'exposer. 

Je crois avoir de meme elucide les ecarts signales par Auwers (Berl. 
' tthrb. /'. 4884) entre les quatre ephemerides astronomiques (Berlin, Green- 
wich, p ar j Sj Washington), et interprete ce quelqm chose de systematique 
c l u e Tastronome de Berlin avait trouve dans ces ecarts (*). 

J existence de la nutation diurne elait des lors, pour moi, chose certaine; 

fait r , . rie f * e ^ a nutation diurne, suivie des discussions dont je viens de parlor, 
)« «/. et ( *' un travai I tui a ete presente a l'lnstitut (Academie des sciences de Paris) 
6 U Juillet 1882. 



II 



PREFACE. 



et je pouvais essayer d'appliquer mes formules a des series d'obscrvalions 
tres precises, en vue de determiner la constante dc celtc nutation. 

J'ai choisi dans ce but les observations que W. Strove a faites dans 1c 
premier vertical, et dont il a deduit la constante de l'aberration. 

Les premiers resultats auxquels est arrive le D r de Ball, qui a bien voulu 
se charger, a ma priere, du laborieux calcul dc mes formules, sont assez 
concordants pour me permettre de considerer commc certain que la nutation 
diurne exisle, et commc probable que sa constante approche de 0".l (*). 

Or, si Ton remarque que la nutation diurne en declinaison pent, dans 
des circonstances favorables, etre egalc a dix ou douze fois la valeur de cette 
conslante, on voit que cette nutation ne doit pas etre negligee, et que son 
influence sera tres considerable en ascension droite pour les circompolaires. 

Lorsque la conslante en sera bien delerminee, je chcrcherai a deduire de 
ma theorie la limite de l'epaisseur de la croute solidc du globe. 



II. On m'eut, avec raison, accuse d'incurie, si je n'avais applique, a la 
recherche de la precession et de la nutation annuelle, lc procede d'inte- 
gration fort simple dont etaicnt issues mes formules relatives a la nutation 
diurne. 

Les resultats assez neufs auxquels j'ai ete conduit m'ont engage a exposcr 
cette theorie, en ne la fondant que sur les premieres notions de la dyna- 
mique et de Pastronomie, et en ne me servant d'aucune formule que je n'eusse 
demontree au prealable. 

Un jeune homme, quel(|ue pen inilie a ces deux sciences, peut done suivre 
ma theorie, sans recourir a aucune autre source. 

Est-il besom d'ajouter que mes formules, relatives a la longitude et au 
rayon vecteur de la Lune, sur lesquelles repose tout le developpemenl du 
calcul, concordent avec celles de Dclaunay, plus exactes que celles de Poisson? 

Unc indication, qui sera plus utile, est la suivante. 

J'ai du, pour resler consequent, laisser de cote les termes provenant des 

(*) Voici les valeurs, toutes positives, deduites, pour cette constante, des observations 
de W. Struve : 

de p Cass. 0".068; JCass. 0".099; v U. maj. 0".<M7; 2 Drac. 0".031; 
fcDrac. 0".028; o Drac. 0".0fi ; Pi. XIX b 371.0".113. {A. N., n° 2542.) 



PREFACE. 



in 



inegalites de la Lune, et ccux qui on! le'ur source dans les inegalites du 
spheroi'de terrestre, parce que j'aurais du les emprunter a des theories 
etrangeres a mon travail. 

Mais je me propose de publier ulterieureme.nl les lormules de la nutation, 
augmentees de res differents lermes, doni ma methode permet de ienir ires 
aisement compte. 

Les astronomes seront surpris, sans douie, d^ differences assez sen- 
sibles qui existent entre mes lormules el cellos de mes predecesseurs (*). 
Aussi ne sera-t-il pas hors de propos d'en signaler ici les principales. 

Celles-ci soot au nombre de deux. 

En premier lieu, je n'ai pas, comme ees geomelres, le coefficient unique 

2d — \ |> 

( . dans tons les termes de la precession el de la nutation, mais, au 

contraire, des coefficients differents (**), qui permettraient, si les constantes 

de ces deux mouvemenls etaienl tres exactement connucs, de determiner 

separeuient les rapports £ ct ?, et qui permettent, dans tons les cas, de 

Verifier si ces deux constantes concordent entre elles. Jlresulte, entre autres 

conclusions, de la comparaison a laquelle je me suis livre, que la constante 

( ' e la nutation de Peters concordc avec la constante de la precession de 

Vessel, mieux que celle de Slruve (***). 

En second lieu, j'ai demontre qu'en se servant des lormules de Peters, et 

des longitudes vraies de la Lune, les astronomes commeltent des erreurs; 

et qu'il est bien preferable de faire usage des formules qui renferment les 

I • 

•ongitudes moyennes des deux astres : d'abord, le nombre des termes en est 

neaucoup moins grand que dans les lormules en longitudes vraies; ensuite 



I ) Quelques differences proviennent evidemment de ce que j'ai neslice les ineaalites 
-' ia Lune et celles du spheroi'de terrestre. Mais tel n'est pas le cas pour les differences 
qu « je signale ci-dessous. 

iA ( ) La methode d'integration de Laplace, donl la notre n'est qu'un pale relief, lui 

donne" egalement des coefficients differents, s'il n'avait neglige, dans le resultat, les 

mes tres petits qui sont ren termes dans les expressions primitives de ces coefficients. 

SJ-Ja+r^ CCtS ' ( " t "' 1 ' °" 1"' nl nfyltyer ' relativement a n, et Von a, a fort pen pres : 

* ~r.~^2n~c~~ k sm (»■< -+- 1). » (Mee. eel., liv. V, art. 4.) A cause de la grande rigueur que la 

ision des observations et la perfection des theories imposent aujourd'hui, nous avons 

ne pas devoir suivre, en ce point, l'exemple de l'incomparable geometre. 

'. ) I' n'en nisulte pas que cette derniere soit inexacte, mais bien plutot que la constante 

Peters est trop faible. 



IV 



PREFACE. 



les premieres ne renfermcnt absolument aucun terme dependant des peri- 
gees du Solcil et de la Lune (*), tandis que la conversion des longitudes 
moyennes en longitudes vraies introduit de ces termes. La presence n'en a 
pas encore ete signalee; i Is sont, a la verile, tres faibles, quoique tres impor- 
tants au point de vue theorique; et leur ensemble pent n'etre pas sans 
influence sur le resultat final. 

Poisson avait juge qu'on pouvait substituer, sans erreur, les longitudes 
vraies aux longitudes moyennes. 

Le premier astronome qui ait songe a efl'ectuer la transformation des unes 
dans les autres est Peters; mais il n'a opere la transformation que dans 
les termes relatifs au Soleil seulement, el il a omis les termes dependants 
du perigee. 

De la les erreurs commises en faisant usage de ces formules, lorsqu'on y 
substiluc, ce que font beaucoup d'astronomes, les longitudes vraies de la Lune 
a ses longitudes moyennes. C'est ainsi que les termes en C + r' ont des 
coefficients a peu pres egaux, mats de signcs contraires, suivant qu'on fail 
usage des formules en longitudes moyennes ou en longitudes vraies, et que 
la signification de la constante de la nutation n'est pas la meme dans run 
ou l'a utre cas. 

Ces erreurs peuvent etre evitees, il est vrai, par 1'emploi du Berl. Jahrb., 
des Tab. Pule, ou de la Connaissance des Temps (a partir de 1884 pour 
cettc derniere); ces ouvrages permettenl d'effectuer, en longitudes moyennes, 
le calcul des termes qui dependent de la Lune. II nous parait utile qu'on 
calcule de meme ceux qui dependent du Soleil. 

Nous proposons done aux astronomes de fair'e usage, a I'avenir, des for- 
mules qui renferment les longitudes moyennes du Soleil et de la Lune, et 
nous esperons que les differents annuaires aslronomiques consacreront quel- 
ques pages au calcul de ces quantites, pour tons les jours de I'annee. 

Le present fascicule contient la theorie du mouvement diurne et du mou- 
vement annuel de l'axe du monde. 

Les mouvements seculaires de eel axe feront 1'objet d'un prochain travail. 



(*) Abstraction faite de ceux qui peuvent provenir des illegality du sphero'ide terreslre. 



THEORIE 

DES 

IODTEIEBIS DIMM, ANNUEL ET SECLLAIRE 

DI! 

L'AXE DU MONDE. 
LIVRE I. 

DE LA NUTATION DIURNE. 



CHAPITRE I. 

Formides de la nutation diurne rapportee a, I'cqualeur. 

1. Le problemc de la nutation diurne peut etre abordc d'une maniere 

"eaucoup plus aisec que celui de la precession et de la nutation annuelle. 

Tandis que dans ce dernier, en cffet, il ifest permis de considerer commc 

ixes ni lc plan de Pecliplique, ni, bien moins encore, celui de I'equateur, 

011 pent, dans le premier, rapportcr les coordonnees des astrcs a Fun on 

au tre de ces plans considere commc fixe. La position de cbacun d'eux sera 

a| ors cello qu'il occupc, an jour donne et a ['instant pris pour I'origine, en 

erlu de la precession el de la nutation annuelle; et, la periode de la nuta- 

10 » diurne etant de six heures settlement, il sera permis de considerer les 

°uvements des astres, soil en longitude et latitude, soit en ascension droite 

ueclinaison, commc uniformes pendant cette duree. 

lctee do considerer commc fixe le plan de I'equateur, quoiquc la plus 
1 P' e , ne nous est cependant pas venue la premiere. Ce n'est qu'apres avoir 



4 



THEQRIE des mouvements diurne, annuel 



traile d'une maniere generale le problcme de la nutation, commc nous Ic 
ferons dans un autre chapilre, que nous avons etc amene, pour eviter Ies 
complications des formules que nous avions obtenucs, a rapporter les mouve- 
ments diurnes de I'equaleur a la position initiale de ce plan lui-meme. Les 
formules qui expriment ces mouvements arrivent ainsi, pensons-nous, au 
plus grand degre de simplicile qu'elles puissent atteindrc. Elles sont toutefois 
beaucoup plus laborieuses a calculer que loutes les autres formules relatives 
a la position apparcnte des etoiles. 

Afin d'eviter de plus grandes complications, tout a fait superflues du reste, 
nous y regarderons les distances du Soleil el de la Lune a la Terre comme 
constanles. 

2. Considerons la Terre a un instant quelconque I; rapportons ses points 
a ses trois axes principaux x, y, z; nommons A, B, C ses moments 
d'inertie autour de ces axes, ranges par ordre de grandeur ; D la distance 
de son centre au centre du Soleil ; x , y , z les coordonnecs de ce dernier 
point rapporte aux memes axes. 

Tout en considerant les moments A, B, C comme inegaux, nous pouvons 
admetlre, quant a Faction des astres atlirants, que la Terre est un ellipsoi'de 
de revolution autour de l'axe des z. 

Ses meridiens auront alors pour equation : 

* designant l'aplatissement, et % Tangle du rayon r avec l'axe de revolution; 
et Ton trouvcra aisement que les couples provenant de 1'attraction du Soleil, 
dont nous nous occuperons en premier lieu, seront, dans les trois plans 
principaux 



Q = 5M *£! f{f - z>) dm ■ P = 3M ^ f(z< 

M designant la masse du Soleil ; ou bien 



x 2 ) dm ; R = 3M ^ / (x* — if) dm , 



3M^(C-B); 



3M— °(G-A); 



5M ^° (B ■ 



A). 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 5 

Si nous represcntons par m, le moyen mouvement de la Terre autour du 
Soleil, nous pourrons ecrire m\ an lieu de — dans les expressions prece- 
dents; et, si Ton pose 

C — B = b, C — A = a , B — A = d, 

les trois couples auront pour expression 



= 3«?6 -^- , P == — a»i, 2 « — - , R = 3m?d — ■ 

r> Do 






°iwe nous ecrirons, en vue d'obtenir une plus grande uniformite de signes 
^ns les equations (1), 



en faisant 



Q== — bnq, V = anp, R = — d/ir 



p = - a — -™- » ? — — 3 — — • 



D?" ' * " " re "D§ ' "re D? ' 



Or, ;,.»j, n elant les vilesses angulaires de la Terre autour de scs axes 
P^ncipaux, on sail que les equations qui les donnent sont : 



ou 



kdl -+- bmndl = Qdt 
ttdm — alndt = Vdl 
Qdn -+- Amldt = l\dt; 



dl 



b dm a dn 



■(I in + nr). 



obse 



*»• Avant de proceder a leur integration, nous avons a presenter une 

fvation tres importante. 
La nutation diurne, comme on le verra, et comme Laplace Pa, du reste, 
nrnie, ne peut exisler qu'a la condition que les moments A et B different 
entre eux d'une quanlite appreciable. 

ur d semble resulter des donnees actuelles de la geodesic et de la 
s eo graphie physique, que cettc difference est reellcment insensible, si les 



6 



THEORIE DES MOU YEMENIS DIURNE, ANNUEL 



moments A et B sont reJatifs au spheroi'de terreslre lout cntier. Ello pcut 
ne pas l'etre, au contrairc, si ces moments se rapportent a l'ecorce solide 
seule, et si cclle-ci est assez mince. 

Mais les equations (1) sont tout aussi bien applicables au mouvement de 
cetle ecorce qu'a celui du globe entier. 

Considerons a part le mouvement dc l'ecorce solide et celui du noyau 
fluide. 

L'axe de la premiere pourra etre soumis a une nutation diurne, qui le 
fera oscillcr autour dc l'axe du second, dont la nutation diurne pourra etre 
consideree comme insensible. 

Comme les oscillations du premier de ces axes seronl excessivement pctites, 
et comme do plus, le moment d'incrtie de l'ecorce, supposcc assez mince, 
sera notablement plus faible que celui du noyau fluide, l'axe du mouvement 
de rotation resultant de celui de l'ecorce el de celui du noyau, ou l'axe de 
rotation du globe tout entier, pourra etre regardc comme soustrait a 
I'influence de la nutation diurne. 

En d'autres termes, la vitesse n autour dc l'axe dc rotation sera la meme 
pour l'ecorce que pour la Terrc tout enliere. 

Or pour celle-ci, les equations (1) donnent dn = 0, a cause de I'excessivc 
petilesse du rapport g (*). 

Nous pouvons done admetlre que n est une constanle dans ces memes 
equations, appliquees au mouvement de l'ecorce solide. 

A. Nous aurons d'abord a substiluer, dans ces equations, aux quanlites 



m\ x o z 
1 n I), ' 



mjj y z 



leurs expressions en coordonnees spberiques. 



(*) Si la vitcssc de rotation de la Terre n'est pas absolument constante, il resulte du 
moins des reeherches de Laplace et de Poisson, que ses variations sont absolument insen- 
siblcs. [Mec. eel., livre V, n° 8, et Mem. sur le mouvement de la Terre autour de son centre 
de (jravite (Mkm. de l'Institut, t. VII, pp. 239-240.)] 



ET SECULAIRE DE L'AXE DC MONDE. 



Fig- I. 



Designons par y Tangle que l'axe ties x fait avec la ligne des equinoxes, 
conipte dans le sens du mouvement de rotation de la Terre. 

Le plan des xy etant celui de Tequaleur, Tangle forme par la droite D avec 
ce plan sera la declinaison d du Soleil, et celui que 
fait sa projection D, avec la ligne des equinoxes sera 
Tascension droite a de cet astre. 

Comme les angles « et y se comptent dans le meme 
sens, la difference de ces deux angles, ou Tangle de 
D, avec x, sera egal a « — p, Cela pose, nous aurons 



£>". 



xi 



V 



(2) -° = sin«J; 






x 



coscJsin (a — f); — = cos c? cos (a — y) ; 



D, 



et par suite 

(z\ 3 »n* ... 5 mf 

^/ • . . p = sin 2 1? cos (« — y); q — sin 2^ sin (a — y); 

011 bien, en faisant 



(4) 



4 w 



= /*: 



(5) » = 



?' = /t[sill(a-+-2rJ— y)— sin (a — 2t? — f)J; 7 = A [cos (a — 2-J — y) — COS (a-*- 2r? — ? )]. 

«• La melhode de la variation des constanles arbitrages, appliquee aux 
t'eux premieres des equations (1), donnera pour I une expression de la forme, 



(G) 



I = oti sin (n,t h- |3,) + <I>" + H, sin (a -t- 2J 1 — y) +■ H 2 sin (a — 2V • 



ails laquelle «, et /3, sont les deux constantes arbitrages; «, une quantite 
d eterniinee par n\ = ~n* = < 9 n% en faisant ^ r = ? ; H, , II, des con- 

ot * ' AB ' AL> ' " ' 

^ntes a determiner; <I> une fonction de <p egalement a determiner, et dont 
et $" designent les deux premieres derivees prises par rapport au temps. 
"our trouver ces quantites, subslituons Texpression precedente de / dans 
a deuxieme equation (1) 

dm a 

— = - ntl+p); 
dt B v /; 



8 THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 

integrons cnsuite cette equation, et porlons, dans la premiere, la valenr 
(rouvee pour m ; il viendra d'abord : 



dm a 

~dl ~~ B 



a, sin {nS ■+■ pi) ■+- *' + (Hi +■ ft) sin (a ■+- 2d — f) + (H 2 — ft) sin (a — 2<J — f) 



Inlegrons sans ajouler cle constante, puisquc nous avons Ies deux arbi- 
trages voulues ; et designons par a, et d { Ies mouvemenls du Soleil en 
ascension droite et en declinaison pendant ['unite de temps, nous aurons : 



a I a. 



U,-+-ft 



H 9 -fe 



(7) m=- n \ — ■ — cos(mJ-+-Si)4-iI> '—— — cos(a + 2<?— ?) '-— eos(«— 2 J — e) 

K> B ( «, v ™ a d + 2rf d — n v a 4 — 2d,— w * 

JJ 

Portons cette expression, ainsi que celle de - , dans I equation 



dl b 



celle-ci deviendra : 



ajHj cos (riit+B,)-*- <I>"-t-H 1 (a, + 2(i 1 — n) cos (a -4-2;?— ? ) + H 2 (rt, — 2c/i — n) cos (a — 2<J — ») = 



a& , ( a, 

— • ■ — w \ cos (tt,£-+- Si] -t- $• 

AB ( r>i K ' 



Hi+h , x H 2 -ft 

; COS(s + 2c? — y) ■ COS (a— 2<? — ?) 

a 4 -t-2ai — w a,— 2«i — m 



Mft [COS (a — 2<J — f) — COS (a -4- 2c? — f)~\. 



L'idenlification des deux membres donne 



1° *"+ <W * = 0, d'oii * = sin if, sans constanlc, par la merac raison que plus hautj 



2° 

3° 



Hi (o, -+- %:l { — n) = 



ab . II, -t— h 



AB o d -+- 2(i, — n A 



h — nft ; 



II S (a, — 2d, — ») = — w 2 



6 . 

- BR. 



AB a, — 2r/ ( — n A 

Ces dernieres egaliles s'ecriront plus simplcment, si Ton fait 



(8) . . . — = at, — = lit', a 2 + 2(/ 2 — 1 = s 2 , « 2 — 2rf 2 — 1 =-= r 2 
h n 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



H, { sl--) = 



-AH 






j -S 



Mft+r 



i)» 



S '~AB 



= AsJ a 



■>|H-S 



Irr, r 



Commc a differe, clans tous Ies cas, fort pen de b, nous ne commettrons 
Pas d'erreur sensible, et nous simplifierons considerablement nos coeffi- 
c 'ents, en remplacant, dans Ies premiers membres des egaliles precedentes, 
au P ar p j nous trouverons ainsi : 



*2 



a-* 



n.._ 



ri)„ 



r 2 



H, «, 



A/ A 



EL 



■ 6 -U- 6 /,. 
A/ A 



Les expressions (6) et (7) de / et de m deviennent par la, si nouslaissons 
^ G cole les tcrmes a longue periode, puisque nous ne nous occupons ici que 
« e la nutation diurne : 



0) 



A 



sin («-+-§(? — ? ) sid'(a — 2cJ - 



s 2 — ■ 



6 

A 



(10) 



/ COS (a -+- 2cJ ■ 

— h\ I) 
B / s, 



f) COS (a — 2$ — <p) 



b 

A 



b. Designons maintenant par ~ et ^ les variations de Fobliquite de 
ec bptique et de la ligne equinoxiale qui sonl dues au deplacement diurne 
11 Plan de 1'equateur ; il ne nous restera, pour oblenir ces quantiles, qu'a 

J stiluer les expressions precedentes dans les equations connues (*) 



(in 



da 

dl T 



m sin?; 



djt 
'It 



I sin* 



(f + in cosy, 



tan V ^ e remarc l uer ' c ' f l ue nous avons compte tous Ies angles dans le s 

1a «• C ' Ue Laplace et Poisson ont pris Tangle f en sens inverse. C'est de la qu 
"gne — dans le premier membre de l'equation en -^ . 
Tome XLV. 



le 



sens direct, 
que provient 

2 



10 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



en negligeant, dans le resultat, les termes independants de 9, puisqu'ils ne sc 
rapportent pas a la nulation diurnc. 
II viendra ainsi, apres avoir pose 



(12) 



(13) 



a b-\-c 
B = "T" 



da r, h 
Tt~ A 2 



d<!> c h 

sin co — = — 
dt A 2 



sin(a-+-2<?— 2f) sin (a — 2 J— 2y) 
_ _ 

A A ) 

■ cos (« -*- 2<? — 2f ) cos (« — 2<S' — 2 ? ) • 



b 



7. La petilesse de la variation do a permet de considerer cette quantile 



comme constante dans sin w^; c'est ee que nous ferons dans l'inlegration. 

Nous appellerons Aw et A^ les variations qui se sont produiles depuis 1= 

jusque t = t; « , dj,, (j> les valeurs initiates de «, <?, ?; « m , 4, y m leurs valeurs 

moyennes entre et J. L'inlegration entre ces limites donnera, si Ton pose 



(14) 



A w 



et si Ton ecrit simplement « au lieu de <j> — y — »*, cc qui revienl a 
estimer J en arc : 

co 1 1 cos(« n +2(?o-2yo)-cos(a4-2t?-2y) _ 1 1 cos(c/,,-2^-2y )-cos(«-2^- 2y) 



K 2 & 
1 



sin(«,„+2rj m -2 ?m ) 



S 2 -l 

sin i (1 — «,) t 



6 

ra ~A 



1— s 2 



sin |(1 — *"s)' 

- sin («„- 2<J m -2 fm ) \ -— " 

b 1 — '2 



(1! 



sinco — = 

K 2 6 



A " A 

1 1 sin(a+2cJ-2y)-sio(*o-i-2(S , o-2 ? o) 1 1 sin( a-2c?-2y)-siD(«o-2(?o- 2y^ 

r 2 — 1 



— 1 



s 2 - 



2 6 



1 sini(l— s 2 )« 1 , sin|(l— »*«)', 
-1- cos(«„,+2^-2 ? ,„ — f - r COS a, -2J, -2 ? J — f- 



Sj- 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



11 



Si Ton fait 



16) 



■ «,„ + 2J m = S m , a,„-2^ = R,„, 



c es formules s'ecrivent 



(17) / 



to> * . , c a ,«inj(t — %){ 1 sin |(1— r t )l 

— = sin S,„ — 2?,„) sin (R,„ — % ) — '— 

S a — - r 2 — - 

A A 

Ati 1 sin ifl — «,)( 1 sin i (1 — r t )t 

sin co— ■ = — r cos (S,„ — 2 ? ,„) — *-i— — — — ■ cos (R,„. — 2 ?m N 



K 6 



1 — s. 



1 - r. 



8. Poor connaitre les variations apparentes du lieu d'un astre, produites 
P a r le mouvement diurne de l'axe du monde, que nous venous de calculer, 
ll ous aurons a substituer les valeurs de A« et A<p dans les formules : 

('") Ar? = sin kAco -+■ COS « sill coAi; Aa = COS aAf -+- tg c?(sin a Sin coA^/ — cosaie), 

011 « et 6 sont Fascension droile et la declinaison de l'astre, A« el A<Hes 
variations apparentes de ces coordonnees dues au mouvement de l'axe du 
monde. 

On trouvera ainsi : 



Ar ? I , sin |(1— s t )t 1 sini(1 — r,)t 

~ = cos(S„ - 2 ? „ ,-«)- -r cos (R m _2 Pin -«) - 



S-2 — 



1 — s. 



A 



b 

r 2 

" A 



A * cos a / 1 sin | (I — S«)t I 

cos (S, - 2 f J -/ „ ^ r cos (R„ - 2 ? „„ 



(19) { K sin« 6 

/ Si— - 



1 — s. 



I 1 sinWI— 8,)« 1 

Ig <J \ - — r sin(S„ — 2 ? „ — a) — - : ~ ; + j- sin(R„ -2 ? „ - a 



1— r s 

sini(l — r,)t 
1-r, 

sin |(1— r.)t) 



b 



b 

r,— - 



1— r, 



"• Ces formules sont relatives a Taction du Soleil. 
Mais il est evident que les memes calculs peuvent s'appliquer a Faction 
e la Lime, et que celle-ci donnera lieu a des formules absolument identiqut!s 



12 



THEORIE DES MOUVEMENTS DWRNE, ANNUEL 



aux precedentes, a cette seule difference pres, que tous les termcs devront 
etre multiplies par le rapport f des actions de la Lunc et du Soleil. 

Si done nous accentuons les quantites qui se rapportent au premier de ces 
corps, les variations diurnes apparentes d'uii astro, en ascension droite et en 
declinaison, produites par les actions combiners du Soleil et de la Lune, 
auront pour expression complete : 



(20) 



K 



1 , e a sm{(t—s,)t 1 sn i(i_,;)< 
— r cos S,„— %p m —*) — *f h / cos S „— 2 ? „ ,— « — - — 

A ' S ' 2 A 

1 m o v sini(t — r,)« 1 sinifl— ra)< 

- cos(R ra -2 f „ — «) -4- - _/■ cos(R;- 2 ? „ ,-«) - 



1— r. 



A 



A 



'1 — r« 



cos(S ra -2 ? ) *»&—# ., A _L. C0S(S . ^ 2? } sin|(4-^l 

1— s„ , 6 '" r "" l— sj 

6' 2 — - 

A 



K sin col I) 
( A 



\ 



cos(R,„-2 ? , 



sin±(t — r^t 1 



\— r. 



*- f r cos(R,', 



-2-j 



r a r 



(20 bis) 



■ tg^j— l -r sin(S m -2 fm - «) S ' n f (1 -^ + /— L_ sin (s;„-2 ? „,-« 



sini(l — r 2 )A 
sin{(l — s't)l 



A A ) 



A 



L'aclion des planeles sur les mouvements diurnes apparents des astres 
se determinerait absolument de la memo maniere que cello de la Lune. Mais 
la constante R de la nutation cliurnc est tellement faible, et surlout la valeur 
de f Test tellement aussi pour tonics les planeles, que les actions de celles-ci 
peuvent, etre negligees sans aucune errcur. 

Nous pouvons done considerer les deux formules qui precedent commc 
donnant les expressions completes des mouvements diurnes apparents des 
aslres en ascension droite et en declinaison. 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



13 



10. Les formules (20), recfaerchees en vue de faciliter le calcul nunie- 
rique de la nutation diurne, sont peu propres a montrer quclles sent les 
positions des astres altirants dans lesquelics ccttc nutation est la plus grande 
°u la plus petite. Nous en developperons d'a litres micux appropriees a ce but. 

Ellcs donnent lieu, toutefois, a une remarque importante : e'est que la 
nutation diurne en decliuaison sera la plus grande pour les etoiles dont 
•ascension droile est de G 1 ' ou 18"', ou qu'elle sera plus grande pour les 
etoiles comprises cntre 3 1 ' et 9 b ou entrc 4 5 h et 24 h que pour les autres 
etoiles; tandis que Tinverse aura lieu pour la variation diurne en ascension 
droite, au moins quant aux etoiles dont la decliuaison est assez forte, et 
['our lesquelics le terme en 1g J est predominant. 

Ac? en effet sc compose de termes de la forme a cos (x — t — a) sin /, dans 
'esqueis a et / sont des quantiles a fort peu pres conslantcs pour une meme 
etoile observec au meridien, tandis que x est une variable dependant de 
Iheure de I'observation el de la position des astres altirants. 

Si Ton prend un grand nombre d'observations, cette variable passera par 
loutcs les valeurs, et la moyenne des resultats donuera pour le maximum 
d e AcJ 1 , correspondant a if= 7, des couples de termes de la forme 



(_si n (x — 



sin 



a: — a)J == — 2a sin a cos x. 



C'est done pour les etoiles dont l'ascension droile est de 6 h ou 1 8 h que les 
Nations en decliuaison seront les plus grandes. 

Act au conlrairc, pour les etoiles dont la decliuaison est assez forte, 
ependra surlout des termes multiplies par Ig J, lesquels, pris deux a deux, 
S0l >t, pour t ■= ~ , de la forme 

a [cos (x — «.) -+- cos ( — x — *)] = 2m cos a cos x. 

Les plus grandes variations en ascension droite auront done lieu pour les 
0l 'es dont la decliuaison est tres forte, et dont l'ascension droile est egale 
a °' 1 ou a 12\ 

Ul> ) si Ton admet un assez grand degre de precision dans les observations 
s tuucrenls aslronomes, il est clair que les discordances entrc Ieurs deter- 



u 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



minations devront affecter surtout les positions des eloiles dont la nutation 
diurne est la plus grande. 

Si cclle-ci exisle, les discordances devront done se presenter surtout : 

En declinaison, pour les eloiles dont l'ascension droite est voisine de 6 1 ' 
ou de 18" j 

En ascension droite;, pour cellos qui sont voisines de O h ou de 12' 1 , pour 
autant que leur declinaison ne soil pas trop faible. 

Nous avons trouvc ces rcsultals confirmed par les valours que les 
differenls astronomes ont attributes aux coordonnees d'un tres grand nombre 
d'etoiles. 

Ccttc circonstance, et les ecarts enormes qui existent entre les ascen- 
sions droites trouvees, pour une memo etoile, a ties dates differcntes, par 
les observatcurs les plus eniinents, ecarts qui,' pour cerlaincs circompolaires, 
ne s'elevent pas a moins de trois ou qualrc secondes de temps, nous ont 
conflrme tout d'abord dans noire foi a l'cxistence de la nutation diurne. 



11. Cherchons l'equation du cone decrit pendant un jour par l'axe de 
la Terre aulour de sa position moyenne. 

Cclle-ci est nalurcllemcnt colic de l'axe de l'e'quateur moyen an jour donno, 
e'est-a-dire de l'axe soumis a la nutation annuellc, niais suppose soustrait a 
la nutation diurne. 

Or, en rapporlant les points de la Torre a scs trois axes principaux, l'axe 
de l'equateur moyen elant pris pour axe des z, nous avons Irouve, pour les 
composantes do la vitesse angulaire de la Torre, aulour des axes des x el 
des y, les expressions (9) et(40) de / ct de m, qui peuvent s'ecrirc, en posant 



b i i a i 

-ft = 6,; -h 



b 
A 



a +■ 2<J = S; a — "IS ==R: 



ou Inen 



m 



I = b, [s, sin (S — f) — r,, sin (11 — f) | 
m = — a, [ ,s- cos (S — ? ) — r s cos (B — y )] , 

I— bi [ (St sin S — r 3 sin R) cos ? — («, cos S — r 3 cos R) sin y] 
= — «i[(s 3 cosS — r 8 cosR)coSf + (s 3 sin S — r s sin R) sin pi; 



ou, en faisant 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 

s z sin S ■ — r 3 sin R = o- ; s : , cos S — r s cos R = * : 

£ = 6, (a cos y — « sin y) ; m = — o, (k cos y -+- a sin y). 



15 



Ces formules se rapportent a Taction du Soleil seulemcnt. 

La Lune donnera lieu a des formules analogues, qui se deduiront des prece- 
dentes en y accenluant simplement loutes les quantites a l'exception de <?, 
"! el a\ represenlanl respectivement - It. 1 et | h', et h' elant egal a A/. 

Si nous faisons alors 



IV. 



f*' 



' e s expressions completes de / et m deviendront 



— = cr cosy — x sin f ; — 
6, «, 



(* COS y -\- a Sill y) 



d, °u l'on lire : 



I 1 m 2 _ , 



On a, de plus, n = eonstante. 

Or, si x, ?/, z dcsignenl les coordonnees d'un point quelconque de Faxe 
ln staniane de rotation, on a 

x : y : z = I : m : n ; 

Par ou liquation precedente devient 



x' y 
H + rf 



e( piation du cone du second degre qui serait decrit, pendant tin jour, par 
ax e de rotation de la Terre, autotir de sa position moyenne, si la position 
1 Soleil et de la Lune restait invariable pendant la duree du jour. 
Coinme il n'eu est pas ainsi, ce iFest done pas un cone du second degre 

l iue decrit pendant un jour l'axe de la terre, mais un cone dont Fequatioii 



16 THEORIE DES MQUVEMENTS D1URNE, ANNUEL 

scrait lout a fait inabordable, vu Timpossibilite matericllc d'eliminer t entre 
les expressions de I et m, si Ton admettait meme que les coordonnees du 
Soleil et de la Lime varient pendant un jour proportionncllement au temps. 

Nous bornerons done nos recherches sur ce sujet au resullat que nous 
venons de signaler, a savoir que, si le Soleil et la Lime restaient fixes pendant 
un jour, le cone decril par l'axe de la Terre, en verlu de la nulation diurne, 
serait un cone du second degre. 

Les expressions precedentes de ^> ~ monlrent egalement que la periodc 
entiere de la nutation diurne serait, dans cette meme bypolbese, d'un jour 
sideral exactement; mais, a cause des variations du Soleil et de la Lune en 
ascension droite et en declinaison, la duree de cette periode est elle-meme 
variable. Elle ne s'ccarlera toutefois que tres peu de celle du jour sideral, 
comme on pent le voir par les formules (20), dont chacun des termes 
renferme comme facteurs des quantiles de la forme sin | (1 — s s )l etc., qui 
ne differeront jamais bien sensiblement de sin /. 

1 2. II est aise egalement de trouver les variations diurnes apparentes 
des etoiles en ascension droite et en declinaison par rapport a leur lieu 
moyen apparent non corrige de la nutation annuelle. 

Si Ton designe, a un instant quelcouque I, par x, y, z et X, Y, Z, les 
coordonnees d'un astre rapportees a requateur vrai et a requateur moyen, 
l'axe X passant par l'equinoxe moyen du jour donne; par Am Tangle de ces 
deux plans, par^ Tangle de leur intersection avec l'axe des X, et par y celui 
de l'axe des x avec cette intersection, on aura d'abord, par les formules de 
transformation des coordonnees : 

x = cos Au sin f (Y cos % — X sin %) ■+■ cos y (X cos % -+- V sin %) — Z sin A« sin y 
y — cos &u cos y (Y cos % — X sin %) — sin <p (X cos % -+- Y sin %) — Z sin ^a cos f 
z = sin *a (Y cos ^ — X sin %) •+• Z cos Ae. 

Or 

X = D cos (J cos a , Y = I) cos $ sin a , Z = D sin 5; 

x , y, z se trouvent par des formules analogues dans lesquelles d et « sont 
remplacees respectivement par J -f- ^ et « + A« — ■/. 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



17 



(X- 



Si Ton neglige la deuxieme puissance de Am, A«, M, on aura simplement 
= 9 + X, et les formules precedentes s'ecriront en posant pour abreger 



COS [8+ AS) COS (a, — f + A a.) =COS S COS (a, — y) — da sin J sin a 
cos (tJ -+- a<?) sin (a, — c •+- Aa) = cos (? sin («! — (f) — Aa> sin S cos s 
sin (>? -+- Ac?) = sin 3 + &a cos S sin a { ; 



d ou Ton tire aisement : 



AS = Am sin (a — %), 

Aa = — A« Ig c? COS (a — %) . 



Ces formules montrent, beaucoup plus simplement encore que la discus- 
sion de Particle 10, que les variations diurnes sont les plus fortes en ascen- 
Sl °n droite pour les etoiles situees par h ou par 12' 1 , et en declinaison pour 
CelJ es qui sont situees par 6 1 ' ou par 48 h . 

EHes ne peuvent servir, malgre leur simplicity, a determiner' les mouve- 
me nts diurnes apparents des astres, a cause de l'ignorance dans laquelle 
n °us sommes quant a la valeur de Tangle x que I'intersection de l'equateur 
,ai et de l'equateur moyen fait, a un instant donne, avec la ligne des equi- 
noxes. 

^et angle ne pourra etre connu que quand la constante de la nutation 
urne aura ele Ires exactement determinee par Fobservation. 

o. Voyons maintenant quel sera le procede le plus propre a la deter- 
lnat »on d e cette constante. 

•nie nous venons de l'observer, les coefficients £ (4 — s 2 ), etc., des 
(2 
cte «rs de la forme si " 



Ules (20) sont asscz peu differents de l'unite, et, par consequent, les 
don 



sont tous peu differents de sin I. On peut 

c dire, sans commettre d'erreur sensible, que cette derniere quantite 

Pue tous les termes de la nutation diurne. Celle-ci aura done une 

e de 24 h environ, et e'est apres des intervalles de 6 h qu'elle passera 

Rr son maximum. 

ls corr >nie la courbe de ces variations est une sinussoi'de, il n'est pas 
Tome XLV. 3 



18 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



possible d'assigner, d'apres ccs formules, au lieu de l'astre, Line position 
moyenne autour de laquelle il oscille dans son mouvement diurne apparent. 

Force sera done de prendre comme position moyenne celle qui correspond 
a un instant du jour qui soil fixe, et qui soil le meme pour toute la Terre. 

Le choix le plus rationnel est evidemment celui qui donne y = en 
meme temps que t = 0, e'est-a-dire a Finstant ou l'astre arrive a cette posi- 
tion moyenne conventionnelle. 

Appelons premier meridien celui qui passe par l'axe des x. 

Comme ? est Tangle que cet axe fait, dans le sens du mouvement de 
rotation de la Terre, avec la ligne equinoxiale, ? , reduit en temps, sera l'heure 
siderale du premier meridien. 

A cette heure ® correspond l'heure siderale ? 4- L = T, pour un lieu 
d'observation dont la longitude orientale est L par rapport au premier meri- 
dien. Cette heure, etant celle de Fobservation, est celle pour laquelle sont 
valables les expressions de A3 et de A* donnecs ci-dessus; et comme, dans 
Fhypothese ou la position moyenne des astres est celle qu'ils occupent a O b 
(temps du premier meridien), % fm est egale a ? , on aura %> m =* T — h- 
Quant a t ou ? — a , il sera aussi egal a T — L. 

Ce proccde rationnel ne pent toutefois etre utilement employe que si Fon 
connail la longitude L du lieu d'observation par rapport au premier meri- 
dien. II serait incommode dans le cas ou Fon voudrait la calculer, a cause 
des produits de sinus dans lesquels enlrerait L. 

Pour ce cas, Fon devra determiner d'une autre maniere l'heure ?„ du pre- 
mier meridien, pour laquelle l'astre a sa position moyenne conventionnelle, 
9 etant l'heure de Fobservation a laquelle correspondent A* el A*. 
Or, en general, on a 

f = T — L , f o = 'o — Li , 



d'ou 
et 






<?»■■ 



2?„ 



: f + fft I 



> T — T„, 

. T •+• T„ — 2L. 



II suffit done de sc donner arbitraircment l'heure T du lieu d'observa- 
tion, a partir de laquelle on veut calculer Feffet de la nutation diurne, pour 
que Finconnue L n'entre plus a la fois dans les deux facteurs du produit. 



ET SECULA1RE DE L'AXE DU MONDE. 



19 



On peut meme profiter de cette arbitraire pour faire en sorte que cet eiTet 
soit un maximum; on n'aura, pour cela, qu'a prendre T — T = 6 h ; et e'est 
ce moyen qui sera Ie plus propre a assurer une determination precise dc L, 
e'est-a-dire de la position du premier meridien, en memo temps que de la 
constante R de la nutation diurne. 

Quel que soit, du reste, de ces deux procedes, celui que Ton voudra 
employer, il est clair que, vu la petitesse a laquelle on doit s'attendre pour 
cette constante, et malgre Ie soin que Ton prendra de ne faire usage que des 
observations les plus precises, on devra, pour eliminer de celles-ci les erreurs 
accidenielles, recourir a un nombre d'observations assez considerable, et les 
Waiter par la mclhode des moindres carres. 

1 4. Mais le probleme presente beaucoup plus dc complication encore que 
u e le font supposer les formulcs (20). 

H est evident, en effet, que l'ignorance de la nutation diurne peut avoir 
el e la cause de certaines erreurs dans la determination des constantes de la 
precession, de la nutation et de 1'aberration (*); dans cette derniere surtout, 
a cause du nombre assez petit d'etoiles dont W. Struve s'est servi pour la 
determiner, et pcut-etre aussi dans la determination du mouvement propre 
de s etoiles. 

II faudrait done, a la rigueur, introduire dans les formulcs les corrections 
' d appliquer a chacune de ces constantes, et, en outre, la parallaxc annuelle 
dc l'etoile et sa nutation diurne, pour trailer le probleme d'une maniere 
complete. 

Comme nous nc nous occupcrons, loulefois, dans ce travail, que d'obscr- 
Vf >lions portant sur un assez petit nombre d'annees, et que, dans ce cas, la 
correction de la constante de la precession et du mouvement propre sera 
PPobablcmcnl lout a fait insignifiante, nous ne tiendrons compte que des 
corrections des aulrcs constantes, ainsi que dc la parallaxc annuelle. 



Des 



*a vale 



es considerations theoriques, exposees dans la suite de ce travail, demontrent que 



c 'ur de cette constante, determinee par Bessel, Concorde mieux que celle de Struve 
Vec la constante de la nutation de Peters. 



20 



THEORIE DES MO (J YEMENIS D1URNE, ANNUEL 



Si nous representors par e s et c,, les ecarts qui existent entre la position 
apparente observee et Ja position apparcnte, calculee a l'aide de la position 
moyenne assignee a l'eioilc el des eonstantes de Struve el Peters pour I'aber- 
ration et la nutation annuelle • par Ad et A« les ecarts entre cette position 
moyenne et la position moyenne convenlionnelle definie ci-dessus; par Av 
et Aa les corrections a appliquer aux eonstantes de la nutation annuelle et 
de l'aberralion, nous aurons a ecrire : 



(21) 



es = A<? ■+■ dv • N,5 ■+• A« . A,] ■+- K • Jg ■+■ a ■ 11,5, 
e a <= Ass -t- Ay • M a ■+- Aa • k a -+- K • i a ■+- a • n a , 



formules dans lesquellcs nous reprcsenlonspour abreger par N, A, J, IT avec 
les indices « ou d, I'enscmble des lermes de la nutation annuelle, de l'aber- 
ralion, de la nutation diurne et de la parallaxe annuelle, en ascension 
droite ou en declinaison. 

Vu la petitesse probable de la correction Av, on pourra se borncr a la 
multiplier par les premiers tonnes seulement do la nutation annuelle. Quant 
aux tcrmes qui mulliplient les autres eonstantes, aucun no pcut, en general, 
etre neglige. 

Ceux do la nutation annuelle, par lesquels il faudra multiplier Ay, seront, 
comme on sait : 



(22) 



Ng= sin a Aco -f- sin co cos aA^, 

N a = (cosM + sin co sin a tg£)A^ — cos a tgiJAw, 



et Ton pourra sc bonier, pour Aw et Aty, au premier, ou, lout au plus, au 
deux premiers termes, savoir : 



(22 Us) 



Aco = cosa •+• [8.77G00] cos2Q, 

a^ = — 2col 2« sin a — [9.1 5887] sin 2©. 



Les tcrmes de 1'aberration, auxquels il est permis de s'arreler, peuvent 
s'ecrire 



(25) 



A s = — sin S sin (Q — «) — 2 sin- j cos I rJ =p - 1 rp x sin - sin si cos ©, 



k a = — seed j cos(© ■ — a) — 2 sin 2 - cosacos© [. 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



21 



Dans la premiere de ces expressions on a fait sin <*= ±(1 — A de sorte 
que les signcs superieurs conviennent anx etoiles comprises enlre 0' 1 et 12 h , 
les signes inferieurs aux etoiles comprises entre 12 h et 24- \ 

Les tcrmes de la parallaxe annuelle se deduisent simplement de ceux de 
''aberration en changeant, dans ces derniers, O en O -J- |. 11 vient ainsi 



115 = — siii(5'cos(0 — «) -+- 2 sin- < cos 1 <J =pi — J qp. x sin — sin i J sin©, 



n x sss sect?] sin(0 — a) — 2 sin 2 - cos a sin© ] 



Nous avons enfin a nous occuper des termes J de la nutation diurne, qui 
sont donnes par les seconds membres des formules (20). 

Comme ces seconds membres renferment encore line inconnue, la longi- 
tude du lieu d'obscrvalion par rapport au premier meridien, nous avons 
une dcrnicre transformation a leur faire subir. 

IS. Nous admettrons, dans ce qui suit, que celte longitude a etc deter- 
mince approximativement par 1c second procede indique a l'article 10, et 

1 u d ne s'agil plus ici que de calculcr la correction AL qu'il y aura lieu 

rl' 

u apporter a cetle determination. 

Tous les termes des formules (20) sont de la forme du premier d'entre 

eu x, c'esi-a-dirc, en laissant de cote les coefficients : 



eos(S„,-2 ? „-«) 



sin |(l — s t )t 



Si Ton y remplace 2©„ t , ainsi que I, par T — L — AL(art. 13), puis 
S '« — T -j- L + « par S„ T — L par T„ et £ (4 
de viendra, abstraction faite du facteur 4 : 



$$) par 1 — a, ce terme 



cos(S, -+- aL) 



sin (I — <r)(T, — aL) 
i —a 



22 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIIIRNE, ANNUEL 



et se reduira, si AL est assez petit, a 



cos S 



sin(l — (r)T, 

\ — <7 



-aL | sin S 



sin (i — a)f| 

'1 — a 



-+- cosS. cos (1 — o-)T, 



cos 



S, Si " (i ~ g)T -' - -^- \ cos [S, - (I - <r)T,] - , cos S, cos (1 - <r)T, 



Lc dernier terme de la parenthese pourra tres generalement ctre neglige, 
dans les expressions relatives au Soleil surtout. Nous lc conserverons toulc- 
fois dans les formules ; on jugera immediatemcnt, dans 1'application, s'il est 
negligeable. 

En traitant de la memo maniere chacune des expressions dcs formules (20), 
on obtient, pour lestermes de la nutation diurne : 



(25) 



1 sin(l-OT, I sin(i — «r')T, 

ig = — COS S, - H f — COS S, - ; ■ 

2,s 1 — <y 2s 1 — a 

I sin (I — ^) T, \ sinfl — p')T, 

cosR, / — , cosR, ■ 



-2r 



1 



If 



\ 



1 



aL 



%S (1 - a) 

f 
2*'(1 —a) 



2r(I— />) 



jcos[S d — (I— f )T,] — s cos S, cos (1 — ff)TjJ 
i cos [Si — (1 — a') T,l — a' cos S[ cos (I — a-') T, j 
jcos [R, - (1 — p) T,] — P cos R, cos (!—/>) T, | 



2r'(\- P ) ' 



CO 



s [R,' — (1 —•/»') T,] — / cos R; cos (1 — />') T, 



(25 6« 



cos a I 1 , r , sin(1 — (t)T, I sin(l— ff')T, 

<K. = — — — COS (S] -+- a) 1- / — ; COS (S t -Y- a) 



sin w I 



1* 



1 



— COS (R, -4- a 

2r V ' i— P 



1 — <r ' 2,5 

sin (1 — p) T, 1 



f — ,cos (r; 

2r 



1 — a' 

sin (I — p')T) 



1 . „ sin(l— (7 T, „ \ , sin (I — </ T, 

\aS\ — sinS, i 2 h / — sin S — — 

8 ( 28 1 — <r '2s' 1 — a' 

\ . sin(l- P )T, 1 . S in(l_/)TV 
- — sin R, / — sin R d — -~ — ' 



2r 



2r' 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



cos a 



I 



2s (1 — a) 



cos 



[S, — (1 — a) T, + a] — o- COS (S, -f- a) COS (1 — a) T, j 



— | COS [Si — (1 — u') T, ■+- a\ — a' COS (SI -t-a)cos(l — <7')T,| 

2s'(t — </) ' 



1 



— aL 



IgS 



2r(l- P ) ' 

«r' (1 - P ') ' 
_J I 

2 S (l-a) ' 



f 



2s' (I — «•') 
d 



COS [Rj — (1 — p ) T, H- a\ — p COS (R, -f- a) COS (1 — p) T, j 

cos[R; — (1 — p')T, + a]— p'cos(R;-4- a) COS ( I— //) T, I 
sin [S., — (1 — <r) tJ — o- sin Sj cos (1 — a) r, j 
sin [Si — (4 — a-.]) Ti] — ir' sin Si cos (1 — a') r, J 



, sin [R, — (1 — p) t, I — p sin R, cos (I — p) r { \ 

zr 11 — pj L J 

— — {sin [Ri — (1 —p') r,"| — p'sin RJ cos (1 — p')ti i 

On a fait, pour abreger, dans ces formules (25) : 

( b b ' i , 6 ,61 

\ s=s., =a.,-+-2<i — 1 ; cr=-a a 4-a 2 ; r=r s — -— a s — 2a.j — 1 ; p=-a 8 — ««; 

A A 2 A A 2 

-t- 2<?,„ — T+L -+-«; R, = «„, — 2r?,„- T-H-L+a 



T, = T — L; S,= S„, — T + L+«: 



On a vu que « m et (J,„ represented l'ascension droite et la declinaison 
naoyenne du Soled entre Finstant ou il est O 1 ' au premier meridien et 1'instant 
de l'observation; a 3 et cL 2 les mouvements du Soleil, en ascension droite el 
en declinaison, a ce meme instant moyen, rapporles au mouvement diurne 
P r is pour unite. 

Pour la Lune, il suffit d'accentuer loutes les lettres qui sont relatives au 
Soleil. 

L est la longitude orientale du lieu d'observation par rapport au premier 
meridien, AL la correction a y apporter, T l'heure siderale de l'observation; 
Sl celle-ci est fade dans le meridien, ou bien, pour une etoile zenithale, dans 
le premier vertical, tant a FEst qu'a 1'Ouest, on pourra prendre T = «, el 
flans ces deux cas les expressions de S, et de T, se reduisent a 

^ Uis ) s, = « flI +W„ + L, R, — * m — 24 •+- r. 



24 



THE0R1E DES MOUVEMENTS D1URNE, ANNUEL 



16. Pour resumer enfin les formules qui permcttront de calculer les 
constanles K et ■m de la nutation diurne et de la parallaxe annuelle, ainsi que 
les corrections Av, Aa, aL a apporter aux constantes de la nutation annuelle 
ou de l'aberration et a la longitude approximative du lieu de l'observation, 
nous separerons en deux groupes les termes precedents en J; le premier 
groupe J' se composera des termes independants de AL, le second des termes 
qui ont AL pour facteur; en sorte que 



(27) 



J = J'+ J"aL, 



qu'il s'agisse de 1'ascension droite ou de la declinaison. 
Si nous faisons, de plus, 



(28) 



KaL=/, 



les formules (21) deviennent 



(29) 



e s = ArJ + Ay ■ Nj +• Aa • Aj ■+- K • Jj ■+■ I ■ i$ + a • rij 

e a = Aa -+- Ay . N, -+- Aa . A . + K • J' + / • J" + CT . n » 



Chacune de ces formules renferme six inconnues, qui peuvent toules, a 
1'exception peut-etre de A^et A«, etre considerees comme etant cerlainement 
inferieures a O'M; elles se prelent done I'tine et l'aulre, de la maniere 
la plus simple, a 1'emploi de la methode des moindres carres. 

Les expressions de N, A, II, J', et J" sont donnees dans les formules (22) 
a (26). 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



25 



CHAP1TRE II. 

Formuks de la nutation diurne rapportc'c a I'ecliptique. 

I 7. De meme que nous avons rapporle la nutation diurne a la position 
actuelle du plan de l'equateur, considcree comme fixe, de memo nous allons 
'a rapporter a celle de I'ecliptique. 

Nous negligcrons, pendant la duree du jour, la precession dcs equinoxes, 
et > a plus forte raison, la variation d'obliquile de I'ecliptique. De plus, 
n °us pourrons, a cause de la faiblesse de la nutation diurne, considerer Jes 
°i"bites du Solcil el de la Lune comme circulaires, celle du premier de ces 
a stres comme coi'ncidant avec I'ecliptique, celle du second comme faisant 
avec ce plan un angle constant. 

Pour le Soleil nous aurons done : 



sin S — sin w sin O; cos <J-eos a = cos ; coscJsin a = costo",sinO. 

Si nous faisons 



(30) 



sin a = 2ft sin a = ft,, 

2 n 



Jes formules (3) deviendront par la : 



(31 



l U> CO 

p = li, j cosw silly -i- cos -sin (2© — f ) •+■ sin 2 - sin (2© + y) 



q = /i, j cosco cosy — cos' 2 - cos (2© — ?) -+- sin 2 - cos (2© -+- y) >, 



'°. Nous poserons, comme a 1'article 5, mais en laissant immediatement 
c °te les lermes qui ne renferment pas y : 

/ = $' + [I, sin (2© — f ) ■+■ II, sin (2© -+- f ) , 

n °us substituerons eette expression dans l'equation 



Tome XLV. 



dm a 

—7- = -nil •+- p) 



26 THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



il viendra : 



im a 



dl 



r.nW 4- hi cosBsiny -+■ IH f + h t cos 2 - sin(2© — f ) + tl 2 -+- /i, sin 2 - sin (2© + ? ) ; 



\ 111 + li, cos 2 - 

m = — w / <J> cos o cos jd ■ 

B V n 2m, — n 



IL 2 -+- /«, sin 2 - J 

2 > 

cos (2© — f) cos (2© -+- r ) 

2m, + m J 



Portant cette valour et cello de q dans l'equation 

dl b 

_ — -.(« + ,), 



on aura : 



<I>" -+- l[,(2m, — n) cos(2© — y) + H 2 (2m, -4- n) cos (2© -+- ?) ■ 



I If, -+- h, cos 2 - H 2 + h t sin 2 - 

a& 1 hi 2 2 

— n 8 < $ cos » cos « cos (2© — ■ s>) — 

AB / n 2m, — n 2m, -+■ n 



cos (2© 



-«ft,(cos<»coss — cos* -cos (2© — ») + sin' 2 -cos(2© +• »' 



L'idcntificalion des deux membres donne, en premier lieu 



*>" -+- <V ( .J) COS w COS » I H- - w/t, cos B COS f = 0. 

n ' I A 



d'ou Ton tire, en integrant : 



6 15 



<j> = - 



n A a 6 

1 

AB 



/*! cos w cos f •+- sin <y, 



1 



B 



en second lieu : 



A ab 
| 

AB 



— h { cos oo sin f -+- m cos / 



, II, •+■ hi cos 2 - 

II /CI , " 1 „ » «'> 2 

II, (2m, — n) = - nA, cos 2 - h n 2 

A 2 AB 2m, — n 



, H 2 + ft, sin 2 - 

H 3 (2m< -+- n) = m/i, sin 2 - h n 2 _• 

' A 2 AB 2m, -hm ' 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 
ou bien. si Ton fait ^ = m q : 

(I— 2ffl,)* 

fl + 2 m.,Y 2 



27 



II, 



ab 
AB 

a& 
AB 



6 , „ » / a \ 

- /*, cos- - ■] — 2»m, ■ > 

A 2\ B/ 



6 b / a 

■■ h, sur - I ■+- inu 

A 2\ B 



ce qui donnera, comme a l'arlicle o, en reniplacant ~ par ^ : 



COS - 

Hi = — 7 h > l h — — - K ■ 

a A 



sin 



1 — 2m, 



U 



i 4- 2m, 



II, + h, cos' 2 - 
2 



1 — 2m« 



— A, 



1 ■ — 2m, -4- 



II 2 -+- hi sin 2 - 



1 •+- 2m 9 



sin,- 



2m. 



On aura ainsi, en laissant de cote Ies termes en uf } qui sont a longue 
Periode : 



(32) 



a 

U _ B 

A, b ab 

1 

AB 



COS CO S f 



I — 2m s -f- 



sin(2© — f)- 



2m, 



a 

§ 



sin (2Q -+- 



6 
1 B 1_ ~A 

•7 — m = COF COS a ■ 

"1 a ab 



cos (2©- - r )+ - 



I- 



AB 



1 — 2m 9 



a 
B 



cos (2© +• ? ) 



l-»-2m»- 



*"• Ces expressions, substitutes dans les equations (11), donnent d'abord 



l_A</» 

\ K c di 



1 cos a sin 2y 
2 



(53) < 



! 



a6 
AB 



24- 2m. 



' A . d<b ] cos u cos 2» 

-, — sinco — — 

h c dt 1 



B 

cos - 
2 



1 



a6 
AB 



sin2(©- ? )-t- 



cos2(0-j»).- 



sin - 



[-2m,+ g 



2 l-4-2»M, 



B 

sin 2 - 



2 1-4-2W, 



sin2(0+ ? ), 



eos2(0- 



28 THE0R1E DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 

Jntegrons comrae an n° 27, en posant 

(34) Ksiiiw=K, 

voir (4.), (14-) et (30), il viendra : 



cos - 

±u cos a sin 2»„ 2 sin (I — »l>) t 

_ _ i_' s i n i s j n 2(q 9 ) — ! zL. 

Ki \^^ hi i hi i , 

i ab a 1 — in., 

1 1 — 2m» -+■ - 

A li 



sin' - 

2 sin M -' mi) t 

sin 2 (Q,„ -+- f ) • 



(55) 



a ' 1-i- w a 

I! 



a^ cos » cos 2»„, 2 sin (1 — m«) < 

sin » — = - r "' sin « h cos 2 O,,, — » „) — — 

Ki \ w in i mi i 

i an a 1 — m t 

1 1 — 2m 2 ■+•- 

AB B 



sin - 

2 ,. % sin (I ■+- m 2 ) f 

™s2(0,„ + ?ra ) 



« 1 -i- »j 

1 -+- 2tn» -+- - 

B 



ou, si nous faisons, pour simplifier, 



cos - sin - 

2 2 

(50) = c, , = s, : 

a a 

1 — 2m 2 h — 't -t- 2«n 2 + - 

B B 

aw coscosin2 ? „, sin(1— m.M . , v sln(f -+-»>*)< 
— = — s n<— c, s n2 (©_—♦_ — L -t-s,sin2 (©,„■+?,„) — — 

aTs 

A,// cosucos2p„ sin(l — m 2 )« in(l-*-m 2 )' 

K, ab x ' i — nh 1 -4- m 2 

~~AB 

20. Quant a la Lune, nous regarderons comme constante I'inclinaison de 
son orbite sur l'ecliptique, et nous nous arreterons a la premiere puissance 







7)' 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



29 



tie cette inclinaison. S'il etait necessaire, dans le calcul do la nutation diurne, 
de tenir compte de la seconde puissance pour des etoiles tres voisines du 
Pole, on pourrait recourir aux formules completes que nous donnerons dans 
la theorie de la nutation annuelle; mais, en pratique, c'est toujours de 
'expression de la nutation diurne en fonclion des ascensions droites et 
declinaisons du Soleil el de la Lune que Ton fera usage. 

Or, on a, en appelant /3 la latitude de la Lune, C sa longitude, Q celle du 
noeud, i la tangente de Finclinaison de l'orbite sur l'ecliptique : 

sin <J = cos a sin (3 -+- sin w cos (3 sin C 
cos eS'sina = — sin a sin [3 ■+■ cos a cos (3 sinC 
cos 5 cos a = cos (3 cos C; Igp = * sin(C — Q)- 

Nous prendrons cette derniere expression comme etant celle de sin /3, et 
nous ferons cos /3== 1. 

Cela etant, on lirera des formules (3) en accenluant le coefficient h pour 
'« rapporter a la Lune : 

J— = cos f cosC [*' cos a sin (C — Q) -+- sin a sin(£] 
■+- sinyfj sin 2a sin 2 ;£ -+- t cos 2a sin £ sin (<C — Q)]- 

Et, si Ton developpe ces expressions, on trouvera aisement 

(58) P — ^Kjcos?— K s sin«H-K 5 cos(2C— ?)+K 4 cos(2CH-?)-t-K 8 sin(2C— f )H-K 6 sin(2C+f); 
ft cos a 

^ °u Ton deduira, en changeant y en <p + \ '• 



(386i, S ') 7 X_ = _K,,sin ? — K s cos ? +K B sin(2C— ?)— K 4 sin(2<C-t-?)— K 8 COs(2<t— ? )+K cos(20?), 

ft COSw 

f °rniules dans lesquelles 



39) 



I K, = _ 2i sin Q ; K a = — 2 sin «(1 + 2i cos Q cot 2») ; 

1 K / cos2a\ . . / cos 2c 

I K 3 = — i S j n q f \ + _ _ 1 . K, = — i sin Q 1 - 



COS a 



COSco 



cos2a\ . , ,. _/. cos2« 
•»«== sinu(sec<»-M)-H j'cosQ '1 h ; K G =sinw(secw — !)-+-« cos Q[ I 

COS <a / \ COS a 



30 THEOIilE DES MOUVEMENTS D1URNE, ANNUEL 

21. La forme ties expressions de p et de q nous conduit nalureilement 
a poser : 

(40) I = .],' + H, sin (2C — •/) -t- \h sin (2C + ?) + H 8 cos(2C — f) ■+ H 4 cos(2C -+- ?): 

d'ou nous tirerons, en ecrivant h. 2 au lieu de h' cos w : 

( I dm a a , 

(4|) ~ 7/ - ■= jj( ' + />)== - !*' + A,(K,CQ8f-K,8i|i f ) + (H, hh //,K S ) sii.(2C-y) 

( + (H, •+• /?, 2 K B ) sin (2<t +- ? ) -f- (H, -+- h,li 7l ) cos (2C — f) + (H 4 +■ h,K t ) cos (2C •+- ?>) | ; 

et, en integrant : 



i m == 5 1 n * + /,i! ( K) sin ? + K 2 cos t) ■+- — ^-r cos (2C — ?) 



(42) 



a 

'B'i 



II, -+- A,K« 



\ -+- "im 



A~^^-f) - 5^S-n(8C - r) 



2ms 



I -f- 2m; 



Portons cette valeur, ainsi que celle de q et de | , dans l'equation : 



dl b 

_ = __„ {m+7 ), 



et identifions Ies deux mcmbres, il viendra d'abord 



$" = _ ,V<I> +■ - (1 — - W 2 (K, sin P -+- K 2 cos?), 



d'ou Ton tire, en laissanl de cote les termes en 






1 — 



b K 

— ; — (K ( sin9 -+- K 2 cos») 
oo n 

AB 



*'=. 



b B 

A ab 

I ——■ 

AB 



hi (Ki cos f — K 2 sin < 



ET SECULAIUE DE L'AXE DU MOiNDE. 



5i 



Ensuite 



H, 


ah 


b ■■ / «\ 


h» 


r , air 

(1 -+- 2«0 

AB _ 


6 , / a 

= /(,K 6 1 -t- 2m; 

A " b i B 


H, 


ab~ 

(1 — ">m",f 


b 1 a 


H* 


o6"l 

1 +• 2m; a 

v 2 AB 


hi u 



On deduit de Ia ; commc plus haut (art. 5) : 



H, == — -/!, 
A 



6 



L 



2wi 



K, 



H. + //..K, 
I — 2ml 



= fa ■ 



K« 



I — 2m; 



II, -4- A,K„ 



a , « i ■+- 2»«; 

-1 -+- 2»i, -i — 
B 



= L 



Kr, 



[J /, 

A 



K« 



•l — 2m; -t- 



Hj = — - hi 

A 



K* 



II 3 -4- fe s K 8 

1 — 2»?; 



H 4 -+- lhli ( 



\ •+- 2w?; -+- 



i — 2«; +- 



■1 + 2m; -+- 



« 1 -+- 2w; 



= /*2 



K 4 



^es expressions de / et de m deviennent ainsi : 



£A 

fa 6 ' = 



a 

\ 

B 



ah 
AB 



(KiCosy — K 2 sir 



K 5 



1— 2m;- 



•sin(2C— f)+ 



K„ 



B 



K 3 



(45) ;' 



■I— 2m;-f-- 
B 



s(2C- ? )- 



i -t-2)n;- 

K 4 



?J 



1 B 

fa a 



1— ■ 



ub 
AB 



(K|.silly + K 2 COSf)-+- 



K. 



cos(2C— ?)- 



1 -t 2;«; 



K„ 



a 
B 



•f). 



1 — 2w;+- 



K 8 



! — 2mi- 



■sin(2£- P ) 



i -f-2)«;- 

K 4 _ 

i -+-2m;~ 



o 
B 

a 
§ 



sio(2Cn 
cos(2C- 

eos(2C-+-y) 
sin(2C -*-?)• 



32 THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 

22. Leur substitution dans les formules (11) donne, si Ton ne conserve 
que les termes de la nutation diurne : 



i Ada I 

i r= sin ?i 

a t c dl < 



Ki sin »-*■ Kacos 



2 CUS f 



ab 
AB 



1 — 2mJ -+- 



■eos(2C- 



cos(2C+f) 



K, 



I -+-2ml 



K ( . 



B 



sin (2C- ? )+ sin(2(T+?)) 



I — %nl 



I -i-2jh»h- 



B * B 

•I K 2 sin2 r - K,cos2 ? K„sin2(C— ?)■* K s cos2(C~?) K 8 siri2(C-+-?>)-K 4 cos2(Of) 



5 



ub 
AB 



2 I -2«ii+ 



I! 



1 A . tl<p l 

— sin a — =eosy \ 

h. c di i 



K,siny-t-K 2 cosy 
ab 
~ AB 



1 -2mi+ 



■ cos(2C- 



1 H-2m<-«- 



cos(20 f) 



K 5 ^ K, \ 

— sm(2C— ?)■+- ■ sin(2(> ?) 



1— 2m; h- - 
B 



1 -t-^JINH 

B 



| K 2 cos2y-t-K 1 siD2 ? K 5 cos2(C— y)- K,sin2((f— ? ) K d cos2(C -+-?)— K 4 sin2(0?) 
.2~ 



1- 



a 6 

AB 



2 1— 2m; 



B 



21-*-2»v 



B 



23. Integrant entre les limites et t, coramc a Particle 7, nous trouve- 
rons, en ecrivant simplement I au lieu de nt, ce qui revient a supposer le 
temps converti en arc : 



•in 



lu c 



A K 2 sin2 ?m — K,cos2 f „, . K 8 sin2(C„— f Jn- K 8 cos2(C— f m ) sin(1 — m' t )t 

- Aa= ■ sin/ — — — i_z 1 J1L ! — 



ab 
AB 



1 — 2m;- 



i — w 2 



K 6 sin2(C m -+-?,„)- K 4 cos2(C m + ?m ) sin (I +«g< 



■I +2«;- 



B 



2m A 



K 2 cos2s>,„-t-K|Sin2 ? 

- Sin ahip = • " 

ft s c 06 

_ AB 



K 5 pos2(C„— y,„) - K 3 sin 2 (C,„— j> ,„) sin (1— m',)t 



■ zm«-\- 



1! 



K 6 cos 2(C,„ ■+■?,„)— K 4 sin2(C m + f J sin(l ■4-mi)* 



1h-2»»;- 



1 -I- ffl! 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



35 



24. II s'agit enfin de remplacer les coefficients k par leurs valeurs (38). 
Dans cette operation, nous rangerons en derniere ligne tous les termes 
qui ont i pour facteur, et, en posant : 



cos' 



2 



1 — 2m.; -+- 



s. 



(44) . 



1 -t- 



cns 2a 



1 -+- 2«lj 
\ 



a 



- cot w 



COS a 



1 — %nl 



= C 2 , - COt a- 

a 2 



13 

cos 2a 

COS a 



1 -t- 2mj -+-- 
B 



nous trouverons : 



(45) 



- = sin j _ Cl sln 2C„ ,- 7 J — ■ r- + s sm 2 C,„ ■+■ ? J — - r^- 



ab 
AB 

cosasinRcos2y m — cos2wcosQ8in2y„ 

ab\ . 
i — — sin a 

AB/ 



-c;sin(2C„-2 ? „-Q)+s;sin(2C„„+2f„.+ Q) 



1 Ap coscocos2 ?m . , sin(l— mi)* , sinfln-wisU 
--sinw — =_ — sinf-t-c,cos2(<L,„— ?,„) —~ ; s 1 cos2(C„, -*-?,„) 



cos»sinRsin2?)„ ? -+-cos2«cosRcos2-j 



ab 

1 

AB 



1 — JM« 



1 -i-nu 



-+- 1< 



1 — sine 

AB/ 



! +c 2 cos(2C„ ,-2 P ,„- R) - s ;cos(2C,+2 f „ - Q)(. 



28. Reunissant les actions do Solcil et de la Lune (37) et (4-5), on 
obtiendra enfin : 



~ i, / .,cos«sin2 ? „, . . sin(l— m. 2 )l . . ,_ sin(1— in;)J 

(46) <J i 



AB 



+ s,sin2(©„ 



'1 — tMa 

sin( I -t-m.)* 



1 -+-m 2 



-/k;sin2(C + ?„,) 



1 — m 2 
Sin(l-t-mi)( 



Tome XLV. 



1 -J-Mj 



s 



34 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



/cosasin Qcos2»,„— cos2cocosQsin 2 ? „, ,. - sin (4 — wij)< 

./» t ■ ; — — c 2 sin (2C ,„, — 2y,„— y) - 



ab\ . 

1 sin« 

AB/ 



1 — »W 2 



_ _ sinfl -v-m 2 )i , 

-sisin(2C+2 f , -Q —^ ^ 

1-t-w 2 i 



Adi cos a cos 2»_ sin (1 — ffl 8 )( 

— sin » — = — (1 -+- f) — — sin t -+- c, cos 2 (©,„ — yj ■ 



(46) 



1— 



aft 
AB 



1 — tn« 



Sinfl — m 2 )f „, sinfl -t-m s )( sinfl -v-w s )< 

-/CiC082(C— f») , „,, ■ — •s 4 cos2(0„,+ f „ l ) — — — /« 1 cos2(C„, -t-?, 



-/•* 



1— m 2 l-+-m 2 

'— - cos co sin Q sin 2f M ■+- cos 2»cos Q cos 2?. 



a6 ' 

1 ■ SlBa 

AB/ 



-+-c 2 cos(2C,„— 2 f „,— Q) 
— s;cos(2f,„H-2 ?m — Q) 



l-i- m 2 

sinfl — »w 2 )J 

1 — Wj 

sin(l -+-»i 2 )0 
1-4- m', 1 



26. II peut etre interessant, au point de vac des observations destinees 
a verifier fexistence et a determiner le coefficient de la nutation diurne, 
de rechercher quelles sont les positions des deux astres pour lesquelles 
celle-ci est la plus grande ou la plus petite, en ascension droite ou en 
declinaison. 

Nous n'aurons pour cela qu'a substituer les expressions precedents dans 
les equations (1 8), ce qui donnera : 



&# I •+- / si" (1 — m<t)t 

__ _. c os a COS (2f„ -+- a) sin t — c, cos (20„, — 2y„, — a) - 

K, ah 



1 — 



AB 



(47) -+- «, cos (2Q,„+2 f „ 



-/b;cos(2C-2 fM -«: 



sinfl -+-m 2 jf 



■ fs'iCOS(2Cm + 2? 





1 - 


- m % 




sin 


(1 


— m 


i)« 




1 - 


- m t 




sin 


(t 


-+- in 


i)< 



I -+- m» 



4 -+- m 2 
/coscosinQsin(2 ? ,„-t-a)-+-cos2«cosQcos(2 ? ,„ + a) , n ,sin('I-»^ 

-t- f« \ ; — s — C 2 C0S(2(Lm — *f» — »« — a , 



a6 \ 

1 sin a 

AB/ 

r « 2 COS (2C« -*" 2f ffl — Q — «) 



4— Ws 



sin (I -+- m 



iH> 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



3d 



(48) 



( [ ■*■ f 
tg S\ cos a sin (2o„, -+- a) sin I ■+- r. t sin (20,» — 2 



ab 



?m ~ «) 



-+- /clsin (2C— 2 



f« — <*■) 



— Sj sin (20 M +2f ffl — «)- 



sin (1 -t- m 9 )f 



— /s| sin (2C m ■+■ 2 j 



sin (4 — m,)f 
1 — m 2 

sin (1 — »»s)j 
■1 — m\ 

sin ('1 -+- »ij)t 
1 -+- mj 



'1 -I- ffi 2 

cos a) sin Q cos (2o„ ■+- a) — cos 2a cos Q sin (2y m -+- a) 

o/> \ 

1 sin co 

AB/ 

. • Ia r a r> . sin(l — mi)l , . sin (1 -t-mi)( 

-i- c 2 sin (2d — 2? m — Q — a) — p- -— s, sin (2C -t-2 y ,„— Q— a) 



4 — IMs 



1 -f- wij 



■+- COS a 



A<p 



Dans ce dernier terme, il faudra remplacer -^ par sa valeur precedeute. 

27. La periodicite que nous avons constatee precedemment dans la 
mutation diurne, article 13, se retrouve dans ces dernieres formules. On en 
ueduirait egalement avec facilite les consequences trouvees a Particle 10 
quant a Tinlluence de l'ascension droite sur les variations diurnes des coor- 
uonnees des astres; nous ne reviendrons done pas sur ces points. 

Afin de pouvoir discuter plus aisement les formules (4-7) et (48), au point 
de vue de Finlluence exercee par la position du Soleil et de la Lune sur la 
nutation diurne, il sera necessaire d'y introduire quelques simplifications, 
lui en altereront un peu, il est vrai, I'exactitude, mais offriront le grand 
Vantage de donner a ces formules une expression excessivement simple, el 
re s propre, par cela meme, a une verification experimentale. 

Dans ce but, nous negligerons -—, m, et m'. 2 vis-a-vis de l'unite; nous ne 

c °nsidererons que Feffet maximum, repondant a I = ~ ; et comme, en prenant 

°ngine du temps a 0' 1 siderale du premier meridien, nous avons 2 ?m = t, 

viendra, pour le maximum, en faisant abstraction, pour le moment, de 

inclinaison de Porbite lunaire a l'ecliptique : 



(49) 



At? 



= — (l -+- /') cos a sin a — (c, •+- s,) sin (20 — a) — f(c' t + s[) sin (2C — a). 



50 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



|50) 



K, 



tg § j ('1 -+- f) cos » cos a. — [e, -+- «i) cos (20 — a.) — /"(cj -+- *J) cos (2<C — «) j 
C ~ j (c, ■+- s,) sin 20 -i- /■(c; + s[) sin 2C J . 



On voit, par ces formulcs, que la plus grande nutation diurne se pre- 
sentera : 

1° En declinaison : lorsque les longitudes du Soleil et de la Lune seront 
de 45° (ou 225°) ou bien de 135° (ou 215°) superieures a l'ascension droite 
de l'etoile, et surtout, dans le premier cas, pour les eloiles dont l'ascension 
droite approche de 6 h , dans le second, pour cedes qui sont situees vers 18 h . 

2° En ascension droite, au contraire : 

a) Si la declinaison de Feloile est assez forte, lorsque les longitudes du 
Soleil et de la Lune seront egales a l'ascension droite de l'etoile (-f- 0° ou 
+ 180°), ou lorsqu'elles en diflercront de 90°, et surtout, dans le premier 
cas, pour les etoiles dont l'ascension droite approche de 12'', dans le second, 
pour cedes qui sont situees vers Q 1 '; 

b) Si la declinaison de l'etoile est tres faible, lorsque les longitudes du 
Soleil et de la Lune seront de 45°, et surtout encore pour les etoiles situees 
vers h ou vers 12 h ; 

c) Si la declinaison de l'etoile est moyenne, la discussion de la formule 
ne pourra pas conduire a un resultal assez general et assez simple. Le 
lecteur trouvera aisement ce resultat pour une etoile donnee. 

28. L'iniluence du noaud de la Lune, que nous avons negligee dans cette 
discussion, ne modifiera qu'assez faibiement les conclusions qui precedent. 

Dans la nutation diurne en declinaison, cette influence sera exprimee, 
pour t=\, par 



(SI) 



. fil- 



cos a sin Q cos « — cos 2» cos Q sin a 



■ (cJ-hsj) sin (2C— Q — «) 



dont le dernier terme a le meme signe que le terme correspondant, indepen- 
danl de i, en sin (2C^ — ;«)• 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



57 



Comme il est egal a (1 + i cos q) sin (2C — «) — ■ * sin Q cos (2c — «), 
d s'ensuit qu'aux epoques ou la Lune exercera sa plus grantle influence 
e n declinaison, celle-ci sera la plus forte lorsque la longitude du nceud sera 
nulle. 

L'expression complete de AJ sera alors, pour t = - (49) et (51) : 



(gg\ ) — = — J (1 -+- j) cos a -+- if cos 2w J sin a — (cj -+- Si) sin (20 — 



expression dont tous les termes s'ajoutent pour les epoques qui ne s'eloignent 
Pas fort du maximum, auquel correspondent, nous venons de le voir, 

En ascension droite, 1'influence du nceud est exprimee, pour t = | , par : 



(S3) 



/»{tg* 



cos co sin Q sin a -+- cos 2m cos Q cos c 



( c ;-f-,s;)cos(2C-Q-a) 



cos a 
sin 



- [cot to sin Q — (ej -+- Sj) sin (2C — Q)J |, 



et l'on voit qu'a l'epoque ou la Lune exerce sa plus grande action en 
as cension droite, c'est encore quand la longitude du noeud sera nulle que 
cette influence sera le plus sensible. 

^expression complete de A« sera alors, pour t~ ~, (50) et (53) : 



(84) 



COS a 



(l-*-f)C0Sa + if- 



,cos2cc 



sina> 



C0SaH-(c ) +S,)C0s(2O— a)-t-/[c;4-s;+t'(ci+s;)]cos(2C-a) 



"*" IT~ I < c < ■+■ ,s <) sin 2 ° + / L c ' + s i -+" » ( c 2 ■+■ S«)l sin 2C ! • 

BID CI 



tres 



4 J- La discussion precedente suffit pour mettre en lumiere deux points 



Wiportants relativemenl a la determination de la position absolue des 



38 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ETC. 



etoiles, et a la verification de Fexistence de la nutation diurne : c'est que 
celle-ci est, en declinaison, la plus grande pour sin (2© — «)=sin (2C — «)—i } 
nulle pour « ■ = 0, ©«■» C ■= ou ri; en ascension droite, au contraire, la plus 
grande pour cos (2© — «) = cos (2C — a) = 1, au moins pour les etoiles 
d'assez forte declinaison ; nulle pour a = *,, et © = C == ou t. 



LIYRE II. 

DE LA PRECESSION ET DE LA NUTATION ANNUELLES. 



CHAPITRE I. 

Procede d' integration. 

30. Le procede d'integration qui vient de nous donner l'expression de 
•a nutation diurne peut etre applique, sans modification essentielle, au calcul 
de la precession et de la nutation annuelles, si Ton admet, comme nous le 
terons, que la vitesse angulaire de la Terre, autour de son axe, est con- 
stants Toutefois, a raison du grand nombre de termes dont nous aurons 
a 'enir compte, il conviendra d'inlroduire, dans ce procede, une simplification 
as sez importante. 

Nous commencerons par le developper d'une maniere generate. 

Apres que les coordonnees de Tastre attirant auront ete rapportees a un 
s ysteme d'axes absolument fixes, nous verrons que la quantite p (art. 2) 
Se mettra sous la forme : 

■p =2u sin [vt ± ?), 

u et v designant des constantes connues dans le cas, considere ici, oii Ton 
ait abstraction des variations seculaires; et que la quantite q se deduira de 
a Precedente par le simple changement de y en y+f. Cette circonstance, 
u surplus, peut etre prevuc; car l'axe des y etant a 90° de distance de 
axe des a?, dans le sens direct, et celui-ci faisant, dans le meme sens, 

I'd 1 • 

an §'e a avec l'intersection des plans xy et XY, Tangle que l'axe des y fait 
ec cette ligne sera y + sr. Et comme q se tire de p par le changement 



de 



30 en y, on Ten tirera de meme en changeant <p en 9 + -• 



40 THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 

Apres la substitution dies expressions de p et q dans les equations 



dl b dm a 



nous aurons a integrer celles-ci. 

Or, p t , p%, ..., q,, q % , ... designant chacun des lermes dont les somraes 
composent les expressions de p et q; l i} 4, •••, in,, r>h, ••• les valeurs de 
I, m qui leur correspondent separement, il est evident que, si Ton satisfait 
a chacune des equations 

dk b dm, a 

— = nim, -+- (/.), — — = - nil, -+- ».), 

dt A V Hh dt B U Hih 



on trouvera, en en faisant la somme, 



dl, b r , _ dm, a r ,, , -, 



et, en comparant aux equations (1), 

I = 2,1, , m = 1m,. 

31. Envisageons done separement chacun des termes 

(55) pi = u, sin (v, I ± f), q l — ±u, cos (v, t =b y) 

et supprimons les indices 1. 

Nous commencerons par le cas particulier ou v = 0, el oil le terme cor- 
respondant de p et de q se reduit a 

(56) p = m sin y, r/ = m cos y. 

Nous poserons, dans ce cas, comme a Tarticle 5 : 
(57) l = a i sm[n i t -+- (3,) + *' -+- H sin y, 



ET SECULA1RE DE L'AXE DU MONDE. 

u, etant comme ci-dessus egal a in, et ? a ~: et nous aurous 

- y Air 



41 



dm a 

-r=>-« «i sin (n,< + S,) -+- *' -f- (H -+- w ) sin ? j , 
ar d 



d'ou, en integrant 



rNo\ ({ ( a i , "o •+- H 

V' jo j .... m == nl — cos (H,f -»- 8, ) — >[> h 

B ra, n 



COS f 



Porlant cette expression, ainsi que celle de — , dans la premiere equa- 
tlQ n (1), et identifiant les deux membres, on trouve d'abord : 



*"•+• «V$ -+- n cos f 



1-^t) + -Mnl 



AB/ A 



0; 



d' 



011 j en integrant, 



..""('-XbJ^a-^I'-b) 

* = COS(sH COS s, 

n ub 



i- 



et 



AB 



„ /, ab\ b / o\ 
\ AB/ A \ B/ 

>I> = — ; II Sill / y — Sill y. 

a6 
1 

AB 



Les expressions de / et de m deviennent par la 



(89) 



^ = <z, sin («,< + (3|) — im sin if w sin * 

A ((fc 

~~ AB 



w == n { — cos [nj, -+- S, ) — cos /» -+- 

B J/', 



A M„ 



ab 
AB 



Tome XLV. 



42 THE0R1E DES MQUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 

ou, si nous laissons de cote les termes relalifs aux variations seculaires : 

Sa b 

b B . a A 

I — — - v a - — - sin f ; m = — - u„ cos ? . 
A ao B ao 
atT ~~ ab 

Au moyen ties formules (14), on oblient alors, en appelant 8 Fincliiiaisoii 
du plan de I'equateur xy sur le plan fixe XY, et en faisant abstraction de 
la nutation diurne : 

/ 1 la b\ . ab 

.... \ do df 2 \B + A / ~~ AB 

(61) 1^ = - sin4 77= ; "- 

I at at ab 

I ~ AB 

La premiere equation donne 

6 = conslante =6 ; 

et la seconde 

(62) sin3 ( A£ = ~ -«„*, 

en faisant 

, A _. 1 la b\ ab 

r 2\B A/ AB 

et en appelant A^ la variation de Tangle </> depuis l'instant initial jusqu'a 
l'instant t. 

32. Dans le cas general, donl nous allons nous occuper maintenant, 
nous ne reviendrons plus sur les termes «, sin(w,f + /3,) et $. 
La forme des expressions (55) de p et <y, que nous ecrirons 

(fii) p = m sin («» db i)<f, q = =b w cos (t? 2 ± -1 ) ? , 



ET SEOUL AIRE DE L'AXE DU MONDE. 

en faisant v = nv,,, nous conduira done a poser simplement : 



43 



d'ou : 

et, en integrant, 



/ = H sin (« s ± 1 )y ; 



</m a 

_ = _ n (H -+- «)sin(r 2 ±l) ? , 



a 11 . -t- u 

m = ■ cos ft), ± 1 )? 



Substituant dans la premiere des equations (1), on trouve, en laissant 
(,e cote le facteur cos(u 2 ±l)<j> : 



d' 



A IS « s ± I A 



ou 



11= q= 



6 



M 



et 



a H •+■ K 



A / a\ 



a 

-±Q 
B 



B d s ±1 / a \ 



< r epresentantj suivant le cas, Tun ou l'autre des produits 



(G3) % c a 

A 5 



»i±M— g 



^ous trouverons ainsi, pour les valeurs do I, m, correspondantes a chacu 
0108 expressions (55) ou (64) de /> et q : 



ne 



(66) ^ 6 

^A" 



"«±M+ 5 ) + Q 



-sin(t-«± ? ); )»= -(_±Q 



1+gj+Q 



•cos(t)t±?). 



u 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



33. Au moyen des formules (41) on oblient alors, en faisant abstraction 
cle la nutation diurne, et remplacant Q par sa valeur (65) : 



I c 

2A 



a 



1 



(67) 



de 

— = u ■ 

dt 



i ±« 2 



B a 

i ± „ 9 

B/ . « 1±1),)- 

sin ut = m — — : — sin u(. 



c 



'i 



A « 



(I ± «,)* — . 



Quant a la valeur dc sin 0-^, on la trouvera en changeant simplement 
dans 1'expression precedente sin vt en cos vt. 
34. Si Ton integre l'equation (67), on trouve : 

I U fi(l ± l! 2 ) — ra 

) A8 = COS Vt ; 

» 1± Vif — u 



(68) 



et de meme : 

U p{\ ±Vi 



sin 6t±<p = 



V (i ± Wj) 2 — 



sin vt , 



en admettant que !es variations de 9 sont assez faibles pour que 9 puisse 
elre considere comme une constante dans sin 9~ , fait que nous trouverons 
verifie, en effet, dans Fexpression numerique de ces variations. 

Nous verrons egalement, par ces expressions numeriques, que la diffe- 
rence enlre j* et-r, pour la Terre entiere, est une quantite excessivement 
faible; et, dans la pluparl des termes de &9 et de A$ } nous pourrons, en 
consequence, considcrcr ces quantites comme egales ; alors " = -r = p, et les 
formules (68) deviennent : 



u 

A9= 



(69) 



v \ =h w 2 -+- [j. 



cos vt. 



sin SAifi = - 



«l±t), + /i 



sin vt. 



ET SECULAIRE DE L'AXE I)U MONDE. 



45 



CHAPITRE II. 

Etablissement cles formules cmxiliaires. 

35. Afin de ne pas entraver plus tard la marche des develop pements, 
nous indiquerons maintenant quelles sont les formules auxiliaires dont il 
s era fait usage. 

Toutes ces formules, au surplus, sont donnees dans la plupart cles ouvrages 
1 u i traitent la question du mouvcmenl de rotation de la Terre. 

Nous les reclierchcrons neanmoins, afin que le lecteur soit a meme de 
suivre notre theorie sans reeourir a aucune source etrangere. 

L'expression de p est, comme nous Tavons vu (art. 2) : 



nous l'ecrirons : 

s ' i] s'agit du Soleil , el 



M xz 

d 3 d*' 



M xz fa\ 3 nv\xz la 

3 -= — , - ou — 3 ■ - 

a 3 D 2 \U/ n D 2 ID 



M' xz I u'Y m\ sz la' 

s^iMo' 0U - S/ Ti5*li? 



Sl ' s 'agit de la Lune; M, D, a el M', D', a' designant respectivemeut, dans 
nn el l'aulre cas : la masse de l'aslre attirant, sa distance a la Terre et le 
emi-grand axe de son orbile, f le rapport des actions de la Lime et du 



Soleil 



> w», le moyen mouvemenl de celui-ci ; ou enfiii : 



(70) 



¥ 2 lbJ' / '=- 



m, 

a — 
n 



Pression relative au Soleil, et dans laquelle nous n'aurons qu'a accentuer 
s c iuantites h, a, D pour les rapporter a la Lune, h' etant egal a fh. 



46 



T11E0RIE DES MQUVEMENTS DIUI1NE, ANNUEL 



3(i. Nous ne nous occuperoos, dans le developpement cles calculs, que 
de ce dernier astre, duquel il sera facile de passer au premier, en rendant 
simplement nulle Tinclinaison de son orbite sur Tecliplique; et nous sup- 
primerons les accents dans ce developpement, en prevenant le lecteur qu'il 
veuille bien les supposer irnplicitement compris dans h, a, D, et dans les 
differentes coordonnees de la Lune. 

Les coordonnees x, y, z etant relatives aux axes principaux de la Torre, 
il faudra comraencer par les rapporter a des axes absolument fixes X, Y, Z. 

On fera passer l'axe des X par Tequinoxe d'une epoque determinec, et 
Ton prendra pour plan des XY Tecliplique de cette meme epoque, l'axe Z 
etant dirige au nord de ce plan. 

Designons par Tangle de Tequateur xy avec Tecliplique fixe XY; par ^ 
Tangle que fait Intersection de ces deux plans avec Taxe des X, compte 
dans le sens direct; et par y Tangle que Taxe principal x fait avec cette 
intersection, compte dans le meme sens, e'est-a-dire dans le sens du mouve- 
ment de rotation de la Terre. 

Les formules connues de la transformation des coordonnees donnent les 
expressions suivantes (*) : 



?0 



x = cos 8 sin f (Y cos <a — X sin f ) •+- cos ? (X cos A -+- Y sin <f>) — Z sin 8 sin f . 
z = sin 9 (Y cos i — X sin A ) -+- Z cos 0, 



Les coordonnees X, Y, Z s'exprimeront simplement en coordonnees sj>hc- 
riques, rapportces a Tecliplique et a Tequinoxe fixes, au moyen des formules 
connues : 



Y 



b = sm ' i; 



X 



- = cosSsinX; - = cosKcosA 
1) ' D ' 



dans lesquelles /3 et l designent la latitude et la longitude de Taslie, rappor- 
tces a ce plan el, a ce point. 



(*) Cos formules different de cedes de Laplace et de Poisscm, par le signe de Tangle h 
que nous avons compte comme Tangle f dans le sens direct, tandis que ces geometres 
Tont compte en sens contraire. 



ET SECUL/URE DE L'AXE DC MONDE. 



47 



37. Ces coordonnees doivent etre exprimees ensuile en fonction de la 
longitude vraie de l'astre. 

La latitude (3 s'exprimera d'abord en fonction de la longitude 1 de l'astre, 
de cede Q de son nceud sur Fecliptique fixe, et de 1'inclinaison i de son orbite 
s ur ce plan, par la formule : 



(7S 



fg p = /sin (/ — Q). 



De meme on aurait, en designant par de petites letlres les memes quan- 
tites rapporlees a Fecliptique et a Fequinoxe vrais : 



(756i S ) 



1g (3 = i sin (A — Q). 



Soienl maintenant el n les poles de Fecliptique fixe et de Fecliptique 
vraie, e leur inclinaison muluelle, a la longitude du 
nceud de Fecliptique vraie sur Fecliptique fixe, /3„ la 
partie de /3 comprise entre ces deux plans. Vu Fex- 
treme petitesse de s nous pourrons poser : 




et meme : 



P — ? ■*■ p. , 



t gl a = (gpH- i g ,3 . 



On tirera de la, en negligeant la quatrieme puis- 
sance de i, le carre de s et le produit s/ 2 : 



lg [i = » sin (A — Q) -H « sin (A - A) 



(74) ) sin fi = i i ; 2 j s in (a, — Q) ■+■ - sin 5 (a — Q) ■+• s sin (a — A) 



- cos 2 (A — Q) •+- - U \ cos (2). — Q — A) - • cos (Q — A) | . 



,i|S »- Pour exprimer A en fonction de )., nous considererons dans la figure 
'-jointe LP comme egal a Lp', vu Fexlreme petitesse de e. Par suite : 



Ljo — LP = pp' = lg (3 cot ;< 



48 



THEORIE DES MOUVEV1ENTS DIURNE, ANNUEL 



en prenant pp' egal a son sinus. Mais 

cot p' = sin (3 cot (X — A), 

ou, sans erreur sensible, 

= tg p„ cot (A — A) = E cos (X — A) ; 

d'ou enfin, puisque nous avons represent par <p Tangle compris enlre l'equi- 
noxe vrai et l'equinoxe fixe, angle qui n'est autre que le mouvement de 
l'equinoxe depuis ('instant initial jusqu'a l'instant acluel : 

X — A= OP — rp — OL •+■ LP — (O'L - O'y + Lp) = LP -+- O'y — lp 

= f £ tg (5 cos (A — A) , 

ou Ton peut ecrire a — a au lieu de >. — A. 

On deduit de la, a l'aide de la formule (73'"') : 



sin (A 



± y) = sin (y dr f) — s (g 6 cos (A — A) cos (> dr y) 

sin (5). — Q — A ± y) — sin (A -+- 



= sin (A ± y) Et '. 

4 ( ■+• sin ( X — Q -+- Art y) -+- sin (A — 



A dry) 
A dry) 



COS (X — & dr y) = COS (A ± y) -+- E tg (3 COS (). — A) Sill (i ± y) 



1 .( COs(5i - Q — A±y) — COS(* + Q— A dry) 

= COS (Arty) n I 

4 ( -4- cos ( A— Q + A± f )- cos (A — Q — A =p f ) 



Afin d'abreger l'eeriture, nous metlrons ces deux expressions sous la 
forme : 



(75) 



sin (X — j> ± y) = sin (A ± y) — ~ s* 2 sin {/u.X -+- ^') 

COS fX — <p dr y) = COS (A dr y) — | ft 2 COS (pi -1- p.') 



dans laquelle ^ + p.' est I'expression symbolique de cbacun des angles : 

+ (3i — Q — A dry), — (A-f-Q — A ± y), +. (A — Q-+- A dry), — (— \ -+- Q -t- A d= ?)> 

les sinus et cosinus de ces angles ayant, dans les sommes 2, les signes menies 
dont nous avons fait preceder les angles. 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



49 



39. II restera enfin a exprimer la longitude vraie a en fonction du temps. 

Comme nous negligerons, avec la plupart des geometres, les inegalites de 
la Lune autres que 1'equation du centre, inegalites dont il sera du reste aise 
de tenir compte, nous pourrons lui appliquer les formules du mouvement 
elliptique dans son plan. 

En appelant v son anomalie vraie, ainsi comptee, w, son moyen mouve- 
ment, 1'equation de I'orbite donne : 



D 



■I - <r 



a 1+e cos v ' 



et le principe des aires : 



\y dv . , 

— = io,!/ 1 — e ; 

a dl 



d'ou Ton lire, en s'arretant a la troisieme puissance de l'excentricile (" 



m K dl — (I — e 2 ) 2 [1 + ecos v]~" dv = [i — 2 e cos v -+- - e'cos 2u — e 5 cos 5vj do. 



Integrant, et designant par ^ la constante, on a : 



■* e • 

ni,t ■+■ f^t = v — 2e sin v -+• - e sin 2« — - sin a«. 



Le premier membre peut se remplacer par C — r, la longitude moyenne 
de la Lune elant representee par C, et celle du perigee par r. 
On deduit alors de la, au moyen de la formule de Lagrange : 



(76) »-C-r+ (2e — - j sin (£ — r) -+- ^ e 2 sin 2(C - V) •+• — e : ' sin 5 



r). 



40. II nous faut encore trouver la relation entre v et la longitude vraie *, 
afin de pouvoir exprimer celle-ci en fonction de C ou du temps. 



Voir la note de Particle 43. 
Tome XLV. 



so 



THEORIE DES MOUVEMENTS D1URNE, ANNUEL 



Or, si g designe la distance du perigee de la Lune au noeud, dans son 
Fig. 3 . orbite, i Tangle de celle-ci avec l'ecliptique 

vraie, angle clont la tangente est i, Q la 
longitude du nceud, on a : 



tg (* — Q) = cos / tg (t) -+-#), 



* — Q = v -»- g — | ? sin 2 (v + g) - 
= v + g-\e sin 2 (X — Q) 




fi r' 

d'ou Ton tire 
ou 



(77) 



A = „ H-r— |r 2 sin2(x — Q), 



aux quantites du quatrieme ordre pres. 

De meme, si r' designe la longitude du perigee lunaire 



d'ou 

et 

(11 bis) 



tg (r' — Q) = cos it%g, 



g = r' — Q ■+■ - sin 2 (r — Q) -+- ■ 

4 



r = r' -+- - sin 2 (r' — Q). 



Si Ton porte la valeur (76) dans I'expression precedente de A, il vient 



2e - ij sin (C - r) + it 2 sin 2 (a - Q) ; 



et enfin 



(78) 



/ e 3 \ 5 13 

A = f -+- 2e — - sin (C — r).+ -e 2 sin 2 (C — r) + — e 5 sin 3 (<£ — r) 
\ 4/ 4 12 

- -sin 2 (C— Q) + -ef {sin (C + r - 2Q) - sin (SC — r - 2Q)|. 



On tire de la, en retournant la serie : 



(78bis) 



3 1 f 

(( = A — 2e sin (A — r) -t- -e 2 sin 2 (a— r) -+- -e 5 sin 3(i — r)-t- -sin 2 b. — Q) 

4 3 4 

1 



-ei 2 jsin(3> — r — 2Q) + siii(i+r — 2Q)j. 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



81 



41 . De Fexpression de I nous allons tirer celle de sin (/A + L), qui nous 
sera fort utile. 

En nous bornant aux cubes de 1'excentricite et de l'inclinaison de Forbite, 
nous trouverons : 



sin (I A + L) == (1 — Pe*) sin {I <C -+- L) 

-+- le — -/+ : / ! e ! j s in[(/+l)C + L— r] — sin[(/— !)OL-t-r]j 

+ (s '"*" l l r sin ^ "*" 2 ^ + L -2r]— (^ / — - A 2 sin [(/— 2)C + L 4- 8T] 



8 2 

ri J — -ft» sin [(< +8) C + L- SO] + - IP sin \{l - 2) (.+ L + 2Rl 

(79) \ o o L J 

+ -(r + 20rfsin[^-+-l)C + L + r-2Q]:-Hi(P_20« 2 sin[(<-d)C+L-r + 2Qj 
— - (P + 2/) et , sin[(f + 5)0 L- V — 2Q] — - (f 2 -2^) e?ria[(/— 5)C+L+r+3Q] 

+ (^+^ 2 +^ 3 )e 3 sin[(; + 3)C+L-5r]-(^-Jp+ifje 3 sin[(/-^3)C + L + orj. 



On obtiendrait un resullat absolument analogue pour le developpement 
de cos (/A -f L); il suffirait de remplacer partout les sin. par des cos. dans 
la formule precedente. 

42. Nous aurons besoin egalement de l'expression de 



ay (i -t-ecosu\ 5 9 / 13 

-1=1 — I = 1 -+- - e 2 ■+• 5e 1 •+- — e 2 1 cos v ■+■ - e 2 cos 2e H — cos 3d , 

D/ \ 1 — € I A \ 4 / 2 4 



ce qui donne, a l'aide de la formule (77) : 



(80) 



9 / 13 

= 1 -+- - e 2 -+- 5ef 1 h e 2 lcos(A — r) 

3 I 

-+- -e 2 cos2(A— r)-*- -e°cos3(A — r) 

I 4 

-+--ei 2 [cos(5i — r — 2Q) — cos(;.-t-r— 2Q)]. 
8 



52 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



43. Nous sommes en possession maintenant de toutes les formules neces- 
saires pour exprimer p en fonction du temps, et, par suite, pour integrer 
les formules du mouvement de l'axe du monde. 

Comme on I'a vu, nous avons conserve les lermes dependants du cube 
de l'excentricite; a la rigueur meme, devrait-on tenir compte de la quatrieme 
puissance de cette quantity si elle multipliail des termes dependants du 
perigee solaire exclusivement; mais ces termes se detruisent complete- 
ment (*). Dans les autres , on peut naturellement en faire abstraction. 

De meme ferons-nous abstraction des termes qui dependent des multiples, 
superieurs a i, des longitudes des astres, comme etanl tout a fait insensibles, 
vis-a-vis du moins des termes nouveaux que notre tbeorie introduira dans 
les formules de la nutation annuelle. 

II sera aise au lecteur de restituer, non seulement tous les termes que nous 
omettrons, mais egalement, comme nous l'avons dit, ceux qui dependent de 
Tevection, de la variation et des autres inegalites de la Lune. II lui suffirait, 
pour celles-ci , de recourir aux formules completes qui expriment la longi- 
tude de cet aslre, son rayon vecteur et I'inclinaison de son orbite, en fonc- 
tion du temps. 



(*) L'importance de ce point affirme par Laplace (Mec. eel., livre V, art. S) et par Serret 
[Am. Observ. de Paris, I. V, p. 309) nous a engage a le verifier en detail. Or nous nous 
sommes assure que les termes en e& sin (2r ± f) se detruisent en eftet entierement. II en 
est de meme des termes en e%^ sin (2T" ± p). 



■T^B^™ 



ET SECULAIRE DE L'AXE MJ MONDE. 



S3 



CHAP1TRE III. 

Formates differ entielles de la precession el de la nutation annueltes. 

44. Nous avons trouve, article 2, en laissant de cote les accents qui 
indiquent qu'on a affaire a la Lune, 

p = h 



D* \D 



Commencons par calculer p. Les formules (71) el (72) donnent 

— = cos p [(1 + c«) cos (\ — ty — f) •+- (I — c,) cos (l — $ + f)\ — 2 is, sin (3 sin v . 



- = s, cos p sin (a — ifi) -+■ c, sin (3 ; 
I) 



ou, par la formule (75), en laissant de cote les termes en s, qui sont relatifs 
aux variations seculaires : 



— =1 l--j[(l+c l )cos(A- ? )+(t-c 1 )cos(A+ ? )]+j's 1 (l-™j' 2 j[cos(x-Q-H ? )-cos(A-Q- f )] 

-+--!(1+c,)Lcos(3).-2Q- ? )h-cos(a-2Q-(- ? )j+(I-c,)[cos(3a-2Q+ ? )-*-cos(a-2Q- ? ]] 
8 

-+- -5i[cos(3>— 5Q-t-rf— cos(3a— 3Q — y)]. 
8 

- =, si 1--W*-m{i- ^" 2 ksin(A-Q)-4- - s,[sin(5A-2Q)-sin(i -2Q)]h- % - c,sin3(i-Q). 
D \ 4/ \ 8 j X ° 



(8i ; 



45. Le produit de ces deux expressions donnera 



Ux 



(82) 



'~ = s J\--~Asia ? + sl\ — -r)[(l-+-c,)sin(2A- ? )-+-(l — c,)sin(2A -+- y)] 

+IU — i*j j(c,H-c 2 )[sin(2i-Q-?>)-sin(Q- ? )] + (c,-c s )[sin(2A-Q+y)-sin(Q-<- f )J| 
-s 2 jisin(2A-2Q-y)-sin(2A-2Q+ f )]+s 1 y[(l-+-c,)sin(2Q- ? )+(l-c 1 )sin(2Q+ f )] 
s 1 t a [(l-«-Cj)sin(43t— 2Q— ?)+(!— c 1 )sin(4x— 2Q + f )J 

[(c 1 -t-c s )sin(2A— 3fi + y)-*-(c.,— Cj)sin(2i— 3Q — ?)] 
- j 5 [(cjH-c)8in(4i— 3Q — ? )+(c,— c,)sin (4a— 3R +■ ?)]. 



u 



THEORIE DES MOUVEME'NTS DIURNE, ANNUEL 



46. Multipliant enfin cetle expression par celle (jjY, donnee ci-dessus, 
on trouve, en ecrivant en premier lieu les termes independants de la longi- 
tude de l'astre ; a Pexception de ceux qui sont affectes des facteurs iV on e\ 
puisqu'ils se detruironl, dans la formule (84) (*) : 



(83) 



hxz I a 



27 



- e h e* i 

2 2 2 



eV sin f 



9 , 2<l . 

2 2 



• — i ei 

4 40 



(c, -+-c 2 )sin(Q — f ) 
(d— c 8 )sin(Q +■ ? ) 



18 . 
I + — e 2 



4 

■ - « 
4 



,1 



1 

■ — \ 
2 



(1+-c,)sin(2Q - f ) 
+(4— Ci)rin(20-4-f) 

(c, +-<;,) sin (2r— -Q-~? 
-(C) — C») sin (2r~Q+ y 



s,e 2 1 -t-5« s 



1^| (l + «)dn(Sr-,)j _5_ 
(-t-(1 — c,)sin(2r-i-9>)) 16 



(4 + c,)sin(4r— 2Q-?) 
-4 (1— c,)sin(4r— 2Q -«-?)■ 



5 < sin(2r— 2Qn-f) 
■8* ,M — sin(2r — 2Q- ? ) 



5 , .- ( (c, + C|) si n (4r — 3Q — p) ; 

C 4" 



-t-.s, 1 



9 , ! * 

■ ~e 1 

2 2 



16"" (-+•(«,— c 2 )sin(4r - SQ 
(l+c,)sin(2> -f>) 






>-»-(4 — c,lsin(2AH ?)) ' 2 

(1 -+-c,) sin (A + r- 
4-(4 — c,) sin (), -4-r- 



es. 



1 h e 8 

4 



sin (> — r + y)j 
-sin(A — r — -j)) 



e°s, 

8 



4 



-s 3 e s 



s 2 e° 



43 

-t e 

4 



sin (2a 

■ sin (2), 
\ 



2 



■ e s 



2r+- ? ) 

(4 ■+- Cj) sin (3/ — r — f) 
-»- (4 — Ci) sin (3i — P+ p) 

(C)-+-c 2 ) sin (2a— Q— ? ) 
+ (C|— c 2 )sin(2A— Q+-?) 

sin (2 A — 2Q — f ) 



9 , 3 ■ 

- 1 1 1 -i — c — - i 
2 4 



-s,i 



- s 2 e?, 



3 

-t--ei 
2 



(1 ■+- d) sin (a — 3 r -+- j>) i 
-+-(1 — c^ sin (a — 3r — f) ) 

sin (3A— 3r-t- ?) ) o 

. ) -t- - es, 
— sin (3a — 3r — if)) I 

(4 ■+•<:,) sin (4a— 2r— f ) 

■+-(! — Cl )sin(4A — 2r-t- y ) 



4 (_sin(2A — 2Q-t- ? \ 

I (1+c,)sin(4A-2Q- ? )) I ,j ( C j-w 2 )[sin(2A--3Q+ ? )4-sin(4),-3Q- ? )] 
( +(4 - c 1 )sin(4i-2Q-i- ? ) )Vl +(c,-c 2 )[sin(2A-3Q - p)-t-sin(4rA-SQ+f)] 

j sin(i + r — 2Q+ f )) 9 ( (l'+c,)8in(l — r — 8Q + f) 
(_sin(A-«-r— 2Q- ? )j 16 ( -h(1 — c,) sin (a— r — 2Q — j>) 

(c, + c,) [sin (A + r — Q— </) — sin (A - r + Q - ? ) + sin (a— r— Q+ f )] 
+ (c, — c 2 ) [sin (A + r — Q + v ) — sin (a — r + Q -t- ? ) + sin (A -r— Q— ?)] 



Voir la note precedente. 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



m 



3 i (1 +-c f )sin(A-t-3r— 2Q~f)j 5 .1 sin (i - - 5r -+ 2Q + ?) 

Hi (-f ■(■! — r,)sin(A t-3r — 2Q ■+■?)) 16 | — sin (i — 5r + 2Q — ? ) 



o 



(c, + o 2 )sin(5A — T— Q— ? ) 
+ (fi — Ci) sin (a A — r— Q -+- f ) 



21 j sin(3i— T — 2Q — f )l 3 j (1 -+- c,) sin (3/ — 3r 4-2Q — ? ) 

16 ( — sin(3A — r — 2Q-4- ? )j 16 ( +(1 — c 4 ) sin (5X — 3r+ 2Q + y) 

"sin (2 A — 2r — Q + f ) - sin (2; — 2r + Q — ? ) 



(C, -4- c,) 



-+-sin(4A~ 2r— Q— f ) 

"sin (2A - 2T — Q — f ) — sin (2a — 2r + Q 4- ? ) 
-t-sin (4i — 2r — Q-f- y) 



47. II reste ersfin i vemplaoer la longitude vraie A en fonction de la lon- 
gitude moyenne C a I'aide de la formule (79); toutes reductions faites, on 
trouvera, en negligeant les termes qui dependent de la longitude, lorsqu'ils 
ont re, i 5 , etc., comme facteur : 



4» / 3 . 15 3 „ 9 

-f- = s, 1 4- - e 2 4 e 4 1 2 - 

2 8 2 



(84) 



eV -f- - i"\ sin y 



— i l+-e 2 
2 



+■ - i s s, ( 1 

2 



^ I 



+ ,, (!--.■«. 



3 f, 9 . 

+ -s,e ( + -e — 

2 \ 8 

s,e 1 — e 8 

2 8 2 



4 2 

(c, 4- c 2 ) sin (Q — ? ) 
(c,— c 2 ) sin (Q 4- ?) 

(l+ Cl )sin(2Q- f ) 
-+-(1 — c.) sin (2Q 4- f ) 

(l4-c,)sin(2C — ?) 
+•(1— c,)sin(2C+f) 
sin(C — r-t- ?) ) 
sin(C — r — y) ] 

(l + c,)sin(C-+-r-?)) 7 /, 1 ., 123 ,\{ (l4-c,)sin(5C-r- ? ) '. 
-(l-c,)sin(Or4-y)S 2 \ 2 112 ; i (4-(l-c l )sin(oC-r+ ? ) ' 



+ i 1 e 2 

2 



/{+<«— c 2 )sin(2C— Q+f)l 4* 2t I 2 



2 j |_ s in(2C-2Q + f )i 

1 . ( (f ,+c,)[-sin(C:+r-Q- f )-5sin(C-r+Q- ? )+3sin((C-r-Q+ ? )- + -7sin(oC-r-Q- ? )] ) 
^2 e 1+(c 1 -fi 2 )[-sin(C+r-Q+ ? )-osin(C-r4Q4- ? )+5sin((r-r-Q- f )4-7sin(5C-r-Q4- ? )]i 

-f- - s^ [sin (2C — 2r •+• ? ) — sin (2C — 2r — ? )] 
4 

(l4-c 1 )[sin(4C-3r- ?) ]| 
4-(l— c,)[sin(4C— 3f4- ,)])' 



56 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



Afin d'abreger I'ecriture nous ferons : 



(85) 



2 8 2 



2 



8 2 4 2 



et nous negligerons, vis-a-vis de 1'unite, les quanlites e 2 , e'" 2 , P dans tous 
les termes qui renferment la longitude des astres. 



48. On a vu (art. 30-32) comment I'expression de q se deduit de celle 
de p, et comment de Tune el de l'autre se deduisent celles de ~ t et sin §^- 

Mais, puisque les formules donnees dans les articles 33 et 34. nous per- 
mettent de passer directement a l'inlegration , nous pourrons proceder a 
celle-ci, en ne faisant usage que de I'expression (84). 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE 



Wl 



CHAPITRE IV. 



Integrations des equations du mouvement annuel de I' axe du monde. 



49 Avant d'appliquer le precede et Ies tommies (62), (68), (69), 
exposes dans Ies articles 32-34, nous remarquerons, tout d'abord, que Ies 
deux termes de I'integrale &8, qui proferment respectivemenl des termes 
en sin (yt +9) et sin (vt — ? ), sont de signes contraires, et a tres peu de 
chose pres egaux, si ces deux sinus out le meme coefficient, 

Dans ce cas, nous pourrons done negliger ces termes, puisque, du reste, 
le facteur qui mulliplie sin (vt ± ? ) est lui-meme deja tres faible dans 
chacun d'eux. 

II n'en est pas de meme pour I'integrale sin 6 &<p. 

Alors, si W| et 7 \ designent Ies vitesses du noeud et du perigee lunaires, 
I'annee julienne etant prise pour unite, Yi celle du perigee solaire, «,, 7 '.,, - h 
leurs rapports au mouvement diurne, et si Ton retablit Ies accents dans 
toutes Ies quautites relatives a la Lune, on obtiendra Ies tommies suivantes, 
dans lesquelles nous avons omis Ies termes dont le coefficient est inferieur 
a 0".0001 : 



8(1—*") 



(86) \ 



[C, + C S ) — - H {C, — C, r 



3 m? 

AB = -•— f{ 

1*T i~j S ' 



(l— «,; 



(l-V-a,) 1 — » 



cosQ 



„(.|_ 2bj )_ 



(i -he,)- ' t-(i— t 

1 — 2,u<>) — or 




fi(1 -+-2w 2 ) — CT 
(1 -t-2co,) 2 — n 



cos2Q 



cos 2© 



7 es, 
2 3/*/i — <y 



— w 2 — y s -f- fi l-i- »j 2 -4- y 2 -f- y. 

i ■+■ c { \ — Ci 



cos (0 -+- r) 



1 — 5»t 2 -t- y t -+■ y. i -+- o»n 2 — y 2 -+- 



Tome XLV. 



cos (5© — r) 
8 



58 



(86) 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



2 m\ \_\ — 2mi -+- ft 1 ■+- 2wj -+- p 
1 e's, r 1 -»- c, 

2m; -+- r! [_'l — mi — y 



cos2(£ 

1 C] 



3 m| 

4 w ] 7 e's, 



ri -+- p 1 -t- mi -t- ri ■+■ p 
c, 1 — o, 



2 5mj — ri |_-| — 3mJ -+- ri -+- p 1 -+- 3mi — ri -+- 

C ( -4- C 2 C| — c 2 



cos (C ■+- r') 

cos(3<C— r') 



2m\ — a. 



— 2mi ■+- a> 2 -+- p 1 •+• 2mj — « 2 -+- p. 



cos (2C - Q) 



c, ■+- c» 



c, — c. 



— mi — ri •+- «j -+- p l -+- m a h- ra — B 2 -+- P 



-+■ 



cos(Qr' — Q) 
m.; -+-ri — «i 

cos(f — r'+Q ) 
»»i — ri ■+• », 

cos(C-r'- Q)- 

_1 •+• mi — ri — ®j -+- ft 1 — mi + ri + »a -+- p '"! — y[ — a, 

fi + c 2 ci — c 2 "I cos(3C — r' — Q) 

1 — 3»?i-+-rs+ m 2 -+- p 1 -+- 3mi — ri — sij + f 3m, — ri — «i 



I — m 2 -+- ri — B -2 -+- p 1 ■+- wij — ri -+- w« -i- p_ 

Cj ~t~ C 2 Cj C 2 



4«"s, 



1 +c, 



1 — c, 



1 — 4m 2 -+- 2r« -+- p 1 + 4mi — 2r 2 •+• pj 4mj — 2r 



cos (4C — 2r') 



et 



(87) 



5 ni\ _ -, p — a 

sin e ^ = s, |(1 -+-*)-+-/(l — *') t 

4 « 1 13 



_»;/■ (_!(!_»") 



P (' G> 8 ) — - B , it (1 -1- »,)-+- B 

(c, -+- c 2 ) ^— - (c, — c 2 ; 



Ml— 4«0- 



(1+c.) 



3 mf 

4 n 



2 m, 

3 es. 



(1_2» 2 ) 4 — a 
\ -c, 



-(1-Ci 



('I ■+- fflj)' B 

/ ti('l-+-2u 2 ) B 

(1+2o,)» — B_ 



sin 

sin 2Q 



1 — 3m t •+- p i •+■ 2m 2 -+- ^ 
1 



2 m, — ri 

1 es, 

2 JWj -i- r i 
7 eSj 



sin2© 
1 



1 -+- m 2 — Yi ■+- p 1 — m 2 -+- r« ■+- p_ 

1 -+- c, 1 — c, 

1 — m 2 — r 2 ■+- p 1 ■+- m 2 -+- y 2 -i- p 

1 -t- Cj 1 — 'C t 



2 3m ( — n 
8ffl, — ri 



J — 3m s -+- r-2 -+■ p 1 + 3m 2 — r2 + p 



1 ■+- 2m 2 — %y<i ■+■ fi 1 — 2m s -+- 2r 2 +■ p_ 



sin (O — r) 
sin(0+ r) 

sin(30 — r) 
sin 2(0 — r) 



ET SECULA1RE DE L'AXE DU MONDE. 



39 



5 m\ | I s 

in' 2 



i H- C) 



1-c, 



5 e's 2 



2 mj- — y f 
1 e'Sj 



2?mj ■+- ,u I -+- 2m 2 -+- p 
1 



sin 2C 
1 



1m\ -+- yi 

7 e's, 

2 5m| — yj 
9 e'% 

8 Hi, — y\ 



1 -+- Hlj — y\ -+- fi <| — )Ma -t- yj -+- ft 
1 -H C, 1 — C, 

1 — »*i 2 — y j -t- ft 1 ■+• mj -i- y j ■+• ft 

1 -+- Cj i — c, 



1 — amj -+- y 2 -+- p I -+■ 5m j — y 2 -+- ft 
I 1 



1 +2i)iJ — 2y 2 -t-ft 1 — 2m 2 H-2y 2 -h p 



sin(C— '•') 
sin(C+r') 

sin (5<C — r') 
sin 2 (C — I" 



„ I 



3 m\ 



(87) , 



b , 5 

■I - - e'- 

4 n 2»nJ — w, \ 2 4 



4 ra 



ft/V 



I 



1 — 2m 2 -t-w 2 -i-ft t-+-2m 2 — Bj-4-ft 
1 



sin (2C— Q) 



5 m\ 



h ftre i 

in I 2 mj-t-y, — w, 

5 1 



1 — 2m 2 -t-2co 2 -t-ft l-t-2m.j — 2b. 2 + ^ 

Cj -H C 2 Cj C 2 



2 in', — r'i+ a t 



I — m 2 — yj-+-» 2 -«-^c 1 _(-j)jjH-yi — bj+|U 

C 4 -4-C a c, — C, 



I 



1 W1 8 +y s Wj-l-jU; 1 -+- mj yJ4-0) 2 H-|CC 

C|-*-c 8 c, — c 2 

2i«i-y|- »i |_-l — m 2 -t-y 2 -t-a 2 -t-,a i-t-mj— y,— » 8 4-/« 

7 J F fii + c 2 d— c 2 



in , e -s, 

■3-V 



2 5m| — yi— sijil— 5»4+yJ+B s -4-^ 1-t-5m 2 — j-^— w 2 -t-,u 



sin(C+r'— Q) 
sin(C— r'+Q) 
sin (C-r'-Q) 
au(5C—r'-Q) 



n im\ — 5y d 



1 — im't -+- 2yj -t- ,« 1 -+- 4m 2 — 2y s •+- / 



sin (4C— 2r') 



50. Les deux formules precedentes se distinguent de celles des Geo- 
metres (Laplace, Bessel, Poisson, suivi par Peters, Serret) en quelques 
points qui ne sont pas sans importance. 

Occupons-nous d'abord de la comparison des coefficients fondamentaux. 

Celui des Geomelres, ^^ — , qui est symetrique en A et B, est commun 
& tous les termes de la precession et de la nutation. 

Nos coefficients, a l'exception d'un seul, tie sont pas symetriques; ils ne 
sont pas non plus commons a tous les termes, a moins que Ton n'y neglige 
de petites quantiles, dont il est indispensable de tenir compte en presence 
de la precision toujours croissante des observations aslronomiques. 



60 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE. ANNUEL 



Le plus simple d'entre eux, seul, a la meme forme que le precedent; 
c'est celui de la precession : 



1 2C 



A— B 



1 - n, 2 



Celui de la nutation, au contraire, renfermant, avec des coefficients diffe- 



rents, les deux fractions 



fi ('] ± Uj) — o 

(1 ±« 2 ) 2 — CT : 



ne presente pas cette symelrie en A et B. 

De la resulle une consequence tres importante. 

La comparison des valeurs numeriques des coefficients de la precession 
et de la nutation, avec les expressions que leur donnent nos formules, 
permetlrait, en effet, si ces valeurs numeriques etaient connues avec une 
Ires grande precision, de determiner les deux inconnues ft et w, et, par 

A . I! 

suite, ? et --. . 

A la rigueur, une troisieme valeur numerique serait necessaire pour 
determiner celle du coefficient / de Faction lunaire; mais le calcul que 
nous en avons fail, a 1'aide de la comparaison precedente, et en nous ser- 
vant successivement des valeurs de Bessel et de Struve pour la constante 
de la precession, nous a conduit a des quanlites si peu differentes (2.180S B j 
2.1791 s ) que la legere incertitude de ces determinations ne pourra guere 
exercer d'influence sur celle de ft. 

Or, il decoulera a 1'evidence, pensons-nous, des resultals auxquels nous 
serons conduit dans Tune et Pautre hypothese, en parlant de la constante 
de Peters, que, si la valeur de Bessel n'offre pas une precision tout a fait 
suffisanle pour determiner le produit w == — = (C ~ A ^ ~-- } , celle de Struve, 



par contre, fail trouver pour ce produit une valeur trop considerable. 

Si done la constante adoptee pour la nutation annuelle elail exaele, 
comme les aslronomes semblent Fadmettre, nous serions oblige de conclure 
de noire comparaison, que la constante de la precession de Bessel est prefe- 
rable a celle de Struve. 



ET SECULAIRE DE L'AXE DU MONDE. 



61 



C'est de cette premiere que nous ferons usage dans le calcul de nos coeffi- 
cients (*). 

51. Demontrons d'abord le point capital que nous venons d'affirmer. 
Les valeurs numeriques que nous avons adoptees sont les suivantes, rap- 
portees a 1800.0 : 



f) = 23°27'54".22 
Igs, = 9.6000901. 
e = 0.0167712. 
lge= 8.2245642. 
1 4- * = i .00042206. 
log: 0.000185256. 
Ign = 3.3019576. 
*_».■= 9.528366607 



lgc, = 9.96231284. 

e' = 0.054857. 
]g e' = 8.7594271. 
1 — V = 0.9923410. 

9.996660955. 
Igm, =0.7981725. 
lgn== 5.7473. 



Ig Cj = 9.83455063. 

lgi = 8.954385114. 
I - *" = 0.9964527. 

9.998447971. 
Igm; = 1.9242642. 
lgrl = 9.851 3704. 



52. Designons par P, N, «„, « 2 les valeurs absolutes des constantes de la 
precession et de la nutation, de la vitesse du noeud et de son rapport au 
niouvemenl diurae. 

Les formules (86) et (87) donnent alors : 



\ 



3 ml , u. 



5 m\ /'/' 
2 » co. 



c. 



1 + 



,U B 



C 5 U,Ci 



Comme w 2 est egal a 0.0001467 eUa 0.00001 approximativement, 
nous pouiTons, dans le calcul de f, negiiger le terme en &> 4 ®-. 

(*) Ce n'cst qu'a defaut d'une base plus sure que nous avons adopte la constante de 
Peters et, par suite, celle de Bessel, qui coneorde le mieux avec elle. 

Nous partageons, sur l'exactitude de cette derniere, les doutes exprimes par des astro- 
nomes eminenls. Quant a celle de Peters, il nous parait certain qu'elle doit etre aug- 
mented peut-etre de 0".01 environ (voir p. 63). 

Dej'a M. Ie Prof. Nyren a deduil des observations au premier vertical de Poulkowa une 
valeur superieure a celle de Peters. 

M. le D r L. de Ball, en recherchant, d'apres nos formules, la constante de la nutation 



62 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



Alors la division des deux equations l'une par Pautre fail disparaitre le 
facteur ~~^. , et permet de determiner f. 

On trouve ainsi,, en se servant successivement des constantes de Bessel 
et de Struve : 



0.538JJ6240 2.18053 Bessel. 

B/ 0.55828457 2.17914 Slruve. 



o3. Cela etant, les equations (88) deviennenl, [log] designant le nombre 
qui a pour logarithme log : 



(89) 



2 m\ j [0,50029502] n ) p — u 

1 = " ~n ( [0.50010511], P 1 ~^~v 

2 T m* I [9.76300266],, / a — o m\ i [S.7657] B J 
\ 5 1 ""* "« | [9.76272485], | C 'l-s + ~n~ ( [5.7634], | 



Elimination du terme en c, y-^ conduit a Tequation : 



(90) 



2( — [1.46517142] -*- [1.4651 71 94] B ) mH [6.2640] J a 
3 ( — [1 .464981 27] + [1 .46498203], ) ~~ ~n \ [6 2635] s ) 1 — o ' 



dans laquelle les nombres P el N ont ete exprimes en secondes. 

On trouve ainsi, pour la valeur de j—£> selon que Ton adopte la con- 
stante de Bessel ou celle de Struve : 



7".396 = 0.0000359 B. 
10".080 = 0.0000525 S. 



La premiere est probablement trois fois trop forte, mais la seconde Test 
cinq fois environ. 

II ne semble done pas douteux que la eonslanle de Bessel ne soil, quoique 



diurne, ainsi que la correction a apporter a la constante de Peters, est meme arrive a une 
valeur encore plus forte (voir Astr. Nachr., n" s 2542-2544). 

Mais il faudrait des observations plus nombreuses que celles dont il a pu faire usage 
jusqu'a present, pour etablir, sur une base tout a fait solide, le calcul des constantes 
de la nutation annuelle et de la nutation diurne. (20 aout 1883.) 



ET SECULAIRE DE L'AXE D[J MONDE. 



63 



un peu faible, preferable a celle de Struve, si Ton admet comrae exacte la 
constante de la nutation de Peters (*). 

54. Pour determiner j^- u , mieux vaudrait, en presence de cette incer- 
titude, ue se servir que de la seconde formole (89). 

On pourrait commencer par y negliger le second terme, pour trouver une 
premiere valeur approchee de jz^, et en deduire celle de //, en admettant 
que m = ;/; (fou ~- = -— -• Nous supposerons qu'on soit arrive ainsi 
a ^ = 0.00001 = 2". 

La seconde equation (89) donnera alors, en partant de la constante 
de Bessel ; 

- [0 9648769] = [7.9599025] tZLl ■+- [3.7602] a. 

On voit que le dernier terme est tellement faible qu'il est impossible d'en 
tenir compte. 

II restera done jzr^ , on, comme nous venons de 1'admettre, 

(9 1 ) . . —£— = - [3.0049744] = 674",3 = 0.0032693 ; p = 0.003280 (**). 

55. Comme controle, nous pouvons determiner theoriquement, au moyen 
de la valeur (91), que nous venons de trouver, en partant de la constante de 
la nutation annuelle, pour j^, la constante de la precession. La pre- 



(*) J'ai calcule, d'apres les formules (88), ce que devrait etre la constante de la precession, 
pour la valeur suivante de la constante de la nutation annuelle : 9.23; et j'ai trouve 50.39, 
valeur notablement plus forte que celle meme de Struve. 

La determination de ces constantes et de celle de Faberration devra, dans tous les cas, 
etre soumise a une nouvelle investigation, dans laquelle il faudra tenir compte de la nuta- 
tion diurne; mais on ne pourra utilement le faire que quand celle-ci sera connue avec une 
precision suffisante. i u 20 aout 1883.) 

(**) 11 scmble resulter des donnees actuelles sur la physique du globe que cette valeur 
Rst trop faible. II en serait de meme, par consequent, des constantes de Bessel et de 
Peters. 



u 



THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE. ANNUEL 



miere formule (89) donnera, si Ton y remplace ~ * par f [3.004.9744.] : 

]gP = 1.7021692. 

On voit combien cette valeur differe peu de celle 4.7021688 que nous 
avons prise pour le logarithme de la constante de Bessel, en 4800. En 
nornbres, la difference est seulement de 0". 00005. 

56. Afin de pouvoir comparer les coefficients des autres termes de nos 
formules, aux termes analogues de Peters, il sera utile que nous com- 
mencions par les reduire en nornbres, comme l'a fait cet astronome pour 
les siens. 

Dans cette reduction, outre les valeurs numeriques donnees a I'article 54, 
nous emploierons celle que nous venons de trouver : « = 0.003280. 

Les formules (86) et (87) s'ecriront alors, pour 4800.0, tous les coeffi- 
cients etant exprimes en secondes : 

1 AH = 9.2231 cos Q — 0.0865 cos 2Q + 0.089 1 cos 2C„ *- 0.01 94 cos (2f „ — Q) 
•+- 0.0127 cos (oC„, — r') — 0.0050 cos ((.,„ •+ t") — 0.0052 cos (C» — I"+ Q) 
(92) I -4- 0.0030 cos (C,„ — r'— Q) — 0.0010 cos (C„ •+- r'— Q) 
-+- 0.0026 cos (5C,„ — r" — Q) -t- 0.001 2 cos (4<C„ — 81") 
-t- 0.SS21 cos 20,„ — 0.0092 cos (©„ ■+- r) -+- 0.021 7 cos (5© m — r). 



4^ = — 17.2421 sin Q -+- 0.2083 sin 2Q — 0.2217 sin 2C 



-t- 0.0687 sin (C„, — r') -t- 0.0027 sin 2 (C — r') -+- 0.0025 sin 2 (C — Q) 



0.0583 sin (2C,„ — Q) 
) 
Q) 



r' 



(93) ( 



— 0.0500 sin (5Q — r') + 0.0107 sin (C + r') -+- 0.0061 sin (C - 

— 0.0060 sin (C — I" — Q) -+■ 0.0020 sin (C„ ■+- f — Q) 

— 0.0052 sin (5C — I" — Q) — 0.0028 sin (4C„, — 2r') 

- 1 .2726 sin 20„, +• 0.0213 sin (0,„ -t- V) — 0.0520 sin (30„ — r) 
■*- 0.1275 sin (©,„ — T) -+- 0.0016 sin 2 (©„ — r). 



Les coefficients de Peters, ecrits dans le meme ordre, sont, pour A6 : 

4) ~t- 0.0181 



1) -+- 9.2251 


2) 


— 0.0897 


5) -+- 0.0886 


5) -4-0.0113 


■ C) 


— 0.0050 


7) —0.0051 


8) -+- 0.0050 


9) 


— 0.0010 




13) +0.5510 


1 4) 


•4- 0.0093 


15) -+- 0.0027 



ET SECULA1RE DE L'AXE DU MONDE. 



65 



et pour Aif : 






1') —17.2408 


2') -4-0.2075 


3') —0.2041 


5') -+• 0.0677 


6') -t- 0.0028 


7') -+- 0.0024 


8') — 0.0261 


9') + 0.0115 


10') h- 0.0058 


11') -+- 0.0057 


12') ■+- 0.0020 


15') 


14') — 1.2694 


15') —0.0215 


16') —0.0058 


47') -t- 0.1279 


18') —0.0005. 





4') 



0.0559 



Nous n'avons eu ni le loisir, ni le gout de rechercher a fond les causes 
des quelques divergences qui existent entre certains de nos coefficients et 
ceux de Peters (*). 

Les observations suivantes pourront n'etre pas depourvues d'interel. 

Nous ne comprenons pas Fomission, dans les formules de Peters, de 
nos termes 10 et 13', qui ne sont pas du tout insignifianls, non plus 
que le signe attribue dans ces formules, par inadvertance sans doute, au 
terme 11' (**). 

Quant a la difference qui existe entre nos coefficients \l el 15, 15' et 16' 
et ceux de Peters, elle n'esl qu'apparente, comrae nous allons le voir. 



57. Nos formules (92) et (93) renferment les longitudes moyennes du 
Soleil et de la Lime, expressement indiquees par l'indice m. 

Mais Peters a introduit dans les siennes la longitude vraie du Soleil. 

Modifions en consequence nos formules (86) et (87), dans lesquelles 
nous remplacerons les longitudes moyennes de la Lune et du Soleil , qui y 
sont representees par C et o, en fonclion de leurs longitudes vraies, au 
moyen de la formule (7 8'"'). 



(*) Voir la preface. 

(**) Le prot'esseur Nyren, qui a retail, sur des doanees nouvelles, les ealculs de Peters, 
a repare l'omission signalee ci-dessus. Mais l'erreur de signe, que nous avons relev^e dans 
le terme 11', subsiste dans ses formules (voir Mem. de I'Aead. des sciences de Saint- Peters- 
bourg, t. XIX, 1872). 

Tome XLV. 9 



66 



theorie des mouvements diurne, annuel 



Apres avoir reduit en nombres, nous obtiendrons ainsi, C et o designanl 
maintenant les longitudes vraies de la Lune et du Soleil : 

M = 9.2251 cos Q — 0.0865 cos 2Q + 0.0895 cos 20 0.01 96 cos(2<G — Q) 
II h- 0.0028 cos (5C — r') H- 0.0048 cos ((> I") — 0.0052 cos (£— V 4- Q) 

III +• 0.0050cos(C— r'— Q) •+ 0.0011 cos (C-*-t" — Q) 
(94) ( +■ 0.0004cos(oC — r'— Q) •+• 0,001 2 cos (4<t — 2l") 

IV -+- 0.00003 cos (2r' — Q) -4- 0.00005 cos 2r' 
V ■+■ 0.5527 cos 20 -4- 0.0095 cos (O -t- r)-t- 0.0051 cos(50 — T) 

VI -+- 0.00004 cos 2r. 



^ = _ -i 7.2421 sin Q -t- 0.2087 sin 2Q — 0.2240 sin id — 0.0588 sin (2C — Q) 
II' -t- 0.0689 sin (C — r') -t- 0.0027 sin 2 (€ — r') -+- 0.0025 sin 2 (C — Q) 
III' _ 0.0055 sin (5C — r') — 0.0140 sin (£ -t- r') -t- 0.0060 sin (C — r' + Q) 
IV' — 0.0059sin(C — r' — Q) — 0.0022 sin (C •+• r' — 0) 
— 0.0008 sin (5C — r' — Q) — 0.0028 sin (4-C — 2t") 
V — 0.00005 sin (2r' — Q) — 0.00024 sin 2r' 
VI' — 1 .2742 sin 2© — 0.021 6 sin (O ■+• r) — 0.0095 sin (50 — r) 
VII' -+- 1275 sin (Q — r) -4- 0.0015 sin 2 (O — r) 
VIII' — 00009 sin 2I\ 



(9 



95) < 



Ces formules se distinguent des precedentes par les valeurs numeriques 
et meme par les signes de certains coefficients, mais surtout par l'intro- 
duction de termes nouveaux qui, vu leur signification theorique, ne sont 
nullement negligeables. Ces termes sont ceux des lignes IV et V, el surtout 

VI et VIII'. 

Le terme VIII', variant avec une excessive lenteur, devrait rentrer dans 
la constante de la precession, qui deviendrait, des lors, une variable, dans 
l'expression meme de la precession lunisolaire annuelle! 

C'est done par un veritable alms, provenant de la negligence des Geo- 
metres, que Ton continue en general a calculer les formules de la nutation 
au moyen des longitudes vraies des astres, formule (89), land is que la 
formule (88), qui renferme les longitudes moyennes, est beaucoup plus 
simple a calculer, et ne contient surtout aucun terme dependant du perigee 



ET SECLLAIRE DE L'AXE DE MONDE 



67 



solnire, et qui ferait varier la constante de la precession, ni meme du perigee 
lunaire. 

On nous pardonnera de nous exprimer, avec un pen irop de chaleur peut- 
etre, sur ce point, dont nous ne croyons pas nous exagerer Timportance. 

Notre excuse est d'abord : Amicus Plato, magis arnica Veritas; ensuite 
Tautorite de Gauss lui-meme, sur la proposition de qui Encke avait intro- 
duit dans le BerL Jalirb. les longitudes moyennes de la Lune (*). 

Qu'on nous permetle done de formuler, en favour desjeunes astronomes 
qui ont des reductions de circompolaires a calculer, le voeu qu'a l'avenir les 
formules de reduction soient exprimees en longitudes moyennes, et que 
celles-ci soient inserees, tant pour le Soleil que pour la Lune, en quelques 
pages des annuaires astronomiques! 

58. Alin que le lecteur puisse verifier plus aisement la formule (89) et 
s'assurcr mieux encore do I'inconvcnient de {'introduction des longitudes 
vraies, nous donnerons au complet la formule (86), y compris quelques 
termes qui, quoique negligeables, pourront se reduire avec des termes sem- 
blables lors de la conversion des longitudes moyennes en longitudes vraies, 
ainsi que la formule (86'"'), dans laquelle cette conversion est effectuee. 

Les chiffres romains qui figurent dans cette derniere formule sont les 
coefficients complels des termes de la formule (86) vis-a-vis desquels ils 
sont places. 



(*) a Nach dem Wunsche des Herm Gauss ist der Zusatz fiir die miltlere Lange des 
Mondes und ihre Bewegung gemacht worden. » {BerL Jahrb. fur 1841.) 

Si Fori fait usage de YAnmmire de Berlin, ou des Tab. Pule, ou bien encore de la Conn, 
den Temps a partir de 1884, on pourra calculer exactement, d'apres les formules de Peters, 
les termes qui dependent de la longitude de la Lune. 

Ce que nous proposons done, e'est que l'on calcule tous les termes de la nutation en 
longitudes moyennes, pour le Soleil comme pour la Lune, afin de n'etre pas oblige de 
negliger certaines quantites qu'introduit la conversion en longitudes vraies, et dont il est 
impossible de tenir compte. 



68 THEORIE DES MOUVEMENTS DIURNE, ANNUEL 



3m] / l\ — *' 
4 » 



ii(l — w 2 ) — u «(l+o 2 ) — a 

(c 4 -4-c,)- y-ic^ — Ci) 






(1-t-c, 



+(1— c 



(1 -4-Bgf— O 
/K.(1 -+-2»,) — ST 

(T+2c0g) 2 — CT 



3 mj I I s, 

4 n 2 m, 



I ■+• c. 



1 - c, 



1 — 2m, -4- ^ 1 -+ 2w2sj -+• /x 



cos 2©„ 



es. 



2 m, -i- y, 
7 es. 



1 -I- c. 



1 — c, 



\ — m<, — Yi -+- ,tc 1 -4- wjg -+- y 4 -4- ,tc 



5 m J 1 s, 
4 « 2 m. 



! — 3mg -t- y s ~t- ft l-t-3m 2 — yi-k-p 
1 -i- c, I — c. 



i — 2m, -+- pt I -+- 2ms -+- /"_ 



cos ! 



1 e's, 



2 mi — ri 
7 e's. 



1 -t- e. 



1 — c 2 



(86) 



1 2 3mi - ri 



1 — m'c, — y' % -+■ p- 1 -t- "'a -+- rj ■+■ /« 
1 ■+- c, 1 — C) 



7>m\ 

■•7 — 1*1 

4 M 



2mi — a, 
i e'i 



I — 3mi ■+- y\ ■+- f» 1 -+- 3ma — <xg-4-,a 
c, -+- c, c 4 -+- c s 



cos R 1 I 

cos2Q II 

i 
III 

cos (0. ■+- r) \ IV 

cos(30,„— r) V 

| VI 

cos (c ■+■ n ' vn 

cos(3C — r)l VIII 



I — 2jm4 + b, + /j 1-4- 2w-2 — « 2 -t- ft 

C, -4- C2 C, C% 



2 wi-4-rI— », 

3 e'i 



1 Wig y s -+-Bg-4-/t i4-wi4-f.j M 8 4-f( 



2 mi— ri-4-«i 

3 e'« 



2 mi— yi— 

7 c'» 



2 3mJ— ri— »i 

I «' ! 



1 — m 


j+r 2 - 


Bg+iM 


I -4-»lj— yj-HM 


•+/«. 




C, -4- Cg 




c.— Cg 




1-4-m 


— rg- 


Bg-t-jK 

, 


1 — Wlg-4-yg-f-B 

c ( — c s 


■*•!*. 



-S, ; ; 

4 2m, — 2y,-4-2« 1 



-4s, 



I — 5/Mg+yg-t-B a -4-,u; 1-4-5»lg-rg— W-2-4-AC 
I-l-C, 



cos (2C„ — Q) 
eos(G+'r-Q) 
cos(C„,-r'-4-fi) 
cos(C M -r'-Q) [ 
80s(3C-r'-Q) 



4mi — 2ri 



1 — 2m 3 -t-2y s — 2&jg+ft 

I -c, 

I -4- 2mj — 2rg-t- 2w- 2 -t- ft 
1 -1- c, i — r, 



1 — 4wi 2 -f-2rg-4-ft 1 -t-4m s — 2y,-t- 



cos(8G— 2r'-t-2R) 

cos(4C— 2r') 
4mJ— 2ri 



,-4- ft 



XIV 
XV 



ET SECULAIRE DE LAXE DU MONDE. 



69 



A9= I-+- -iMX-t-e'.XI— e'.XH cosQ 

4 j 



! 11 + -» 2 . VI cos2Q 
1 4 



(8<5 6i.s)/ 



+ |(| — 4e' 2 ).VI +• e'.VIl — 5c' . VIII — V. XIII j cos2C 
+ j ( I — 4e' 2 ) . IX + e'. X | cos (2C — Q) 

+ (4_-9e' 8 ).VUI-+-2e' VI-t--e'*.Vll cos(50 r')+ — e' a .Vl— 4e'.XIV5cos(3<C— 2r') 
( 8 ) (4 ) 

_ L's.vi 1 e' 2 .VII Icos (C - 5P') + i (1— n • VII — 2e'.VI +■ -^ e' 2 . VIII cos (Or) 
( 8 ) ( * ) 

•+■ xi . cos(C— r' +■ Q) + xii . cos(C — r'— Q) 

-t- | XIII + 2e'. IX J cos (3C — r '— Q) + i X — 2e'. IX | cos (£ -+- r' - Q) 

-+- i »« . V 1 1 cos (C — r'— 2Q) + - i 2 • V 1 1 1 cos (C — ?' + 2Q) 

8 8 

-t- (XIII -+- 2e\ IX)eos(3C— r'— Q) 

i ) 15 

e't? VI — - r -VII cos (3C + r'— 2Q) + — e' 2 . IX cos (3C — 2f" — Q) 

8 S 4 

+ e'. XII cos (2C - 2r' + Q) + e', XI I cos (2d - 2r'- Q) 
-+- XV cos (4C - 2r') -4- 5e' | VIII +■ XIII j cos (4C — 2r') 

— - i\ VII eos(4C— 2Q) — t * 2 - IXcos(4C— 3Q) 

-+- |-c/MX — e'.X | r.os(2r'— Q) 
4 S 



+. _e'*.VI— e'.VIl J cos 2r' 



j(l_4e 2 ).III-t-c.IV — 5c. Vj cos 20 

, 15 ) 

+ |(4_ e *).IV — 2e.HI h e a .V cos(0 + r) 

' 4 i 



_v^(l „ 9 e ») . V -+- - e 2 - IV -+- 2e . Ill jeos(5© — V) 



I 



eMV.cos(G) — 3r) 



+ -e\III — e.IV cos2r. 
(4 j 

Tome XLV. 



W 



70 



THEOR1E DES MOUVEMENTS D1URNE, ETC. 



Cetle derniere formule renferme deux fois plus de termes que la prece- 
dente; nous n'y avons toutefois pas reduit ia longitude moyenne r' du 
perigee lunaire en longitude vraie (77'" s ); c'est une peine que nous pouvons 
nous epargneiy puisque les astronomes, qui calculcnt avce exactitude les 
lieux apparents, ne font usage que des longitudes moyennes dans les termes 

relatifs a la Lune. 

Mais il ressort deux conclusions importantes de la coraparaison des deux 
dernieres formules. La premiere, c'cst que la constante de la nutation ne 
conserve pas la meme valeur, si Ton substitue simplement, comme beaucoup 
d'astronomes le croient permis, les longitudes vraies de la Lunc aux lon- 
gitudes moyennes. La seeonde, c'est qu'en convertissant les longitudes 
moyennes du Soleil en longitudes vraies, comme I a fait Peters, on neglige, 
dans les formules (94) et (95), les termes qui dependent du perigee solaire. 






RECHERCHES EXPERIMENTALES 



SUR LES 



MOUVEMENTS RESPIRATOIRES 



DES INSEGTES, 



PAK 



Felix PLATEAU, 



11EMBBE UK L'ACAUEMIE BUYALE DE BELGIQXJE, PROFESSED R A l.'UMVERXITE DE GAND ET 



Prtsente ;'i l.i Classe dps sciences dans la seance du 3 mars -1883. 



Tome LXV. 



TABLE DES MATIERES. 






CHAPITRE PREMIER. — Introduction. 

Pages. 

§ I. Limites du travail 1 

§ II. Historique 3 

§ III. Methodes de Hausmann et de Maurice Girard . 8 

CHAPITRE II. — Methodes employees dans ces recherches. 

§ IV. Methode graphique 12 

§ V. Methode de projections 19 

§ VI. Dissection des muscles respiratoires 23 

Si VII. Procedes employes dans les experiences sur le systeme nerveux . . 24 

CHAPITRE III. — Types respiratoires. 

5 VIII. Considerations preliminaires 25 

§ IX. Les trois types respiratoires principaux ct leurs subdivisions ... 27 

CHAPITRE IV. — Etude du premier type. 

4 . Coleopteres 34 

§ X. Hydropliilvs piceus 34 

§ XI. Etude des mouvements respiratoires de l'Hydrophile par la methode 

graphique ''" 

§ XII. Etude des mouvements respiratoires de l'Hydrophile par la methode 

des projections 4 " 

§ XIII. Muscles respiratoires de l'Hydrophile ** 



IV 



TABLE DES MATIERES. 

Page*. 

§ XIV. Experiences sur le systeme nerveux de 1'Hydrophilc 47 

§ XV. Hydrochares {Hydrous) curaboides 50 

§ XVI. Dytmus 51 

§ XVII. Etude des mouvements respiratoires des Dytiques par la methode 

graphique 54 

§ XVIII. Etude des mouvements respiratoires des Dytiques par la methode des 

projections 54, 

§ XIX. Muscles respiratoires des Dytiques 59 

§ XX. Experiences sur le systeme nerveux des Dytiques 60 

§ XXI. Colymbet.es fuscus. (Etude par la methode des projections.) .... 63 

§ XXII. Carabus auratui Set Abaxsiriola. (Etude par la methode des projections ). 64 

§ XXIII. Tenebrio molitor. (Etude par la methode des projections.) .... 67 

§ XXIV. Cicindela hybrida. (Etude par la methode des projections.) .... 68 

§ XXV. Scarabeicns. Historique 69 

§ XXVI. Oryctes nasicornis. (Etude par la methode graphique.) 71 

§ XXVII. Etude des mouvements respiratoires de YOryc.tes par la methode des 

projections , 74 

§ XXVIII. Muscles respiratoires de YOrydes 7fi 

§ XXIX. Experiences sur le systeme nerveux de YOrydes ........ 77 

§ XXX. Onthaphagus nuchicornis. (Etude par la methode des projections.). . 83 

§ XXXI. Geotrupes sylvaticus. (Etude par la methode des projections;) . . . 84 

§ XXXII. Hanneton (Melolontha vulgaris). (Etude par la methode graphique.) . 85 
§ XXXIII. Etude des mouvements respiratoires du Hanneton par la methode 

des projections 86 

§ XXXIV. Muscles respiratoires du Hanneton 90 

§ XXXV. Phyllopertha iwrticola. (Etude par la methode des projections.) . . 92 

§ XXXVI. Trichius abdominalis. (Etude par la methode des projections.) . . . 92 

§ XXXVII. Staphyliniens. (Etude par la methode des projections.) 93 

5 XXXVIII. Muscles respiratoires du Staphylinus olens 96 

§ XXXIX. Curculioniens (Chlorophanus viridis. (Etude par la methode des pro- 
jections.) 97 

§ XL. Elaterides (Corymbiles latus.) (Etude par la methode des projections.). 97 
§ XLI. Donatio, simplex, Crioceris merdigera et CJirysomela staphyloea. 

(Etude par la methode des projections.) 98 

§ XLI1. Coleopteres chez lesquels les regions laterales des arceaux tergaux se 
ereusent en expiration, tandis que la partie mediane se soul eve ou 

presente un sillon longitudinal : Telephorm, Clytus, Coccinella. . 100 



TABLE DES MATIERES. v 
CHAPITRE V. — Suite i>e l'etude dc premier type. 

Pafles. 

B. Hemipteres heteropteres 104 

§ XLIII. Nepa cinerea. (Etude par la methode des projections.) 105 

§ XLIV. Pyrrhocoris apterus. (Etude par la methode des projections.) . . . 107 

C. Orthopteres blattiens 107 

§ XLV. Pcriplanetci, orientalis. (Etude par la methode des projections.). . . 107 

§ XLV1. Muscles respiratoires de la Periplaneta orientalis 110 



CHAPITRE VI. — Etude nu decxieme type. 

I. Odonates HI 

§ XLVII. LibelMa quadrimaculata. (Etude par la methode graphique.) . . . 113 

§ XLVIII. Etude des mouvements respiratoires dc la Libellule par la methode 

des projections H7 

§ XLIX. Experiences sur le systeme nerveux des Libollules 118 

§ L. Aeschna grandis. (Etude par la methode graphique.) 120 

§ LI. Muscles respiratoires de VAgrion sanguineum 121 

#• Dipteres 123 

§ LII. Tipula gigantea. (Etude par la mithode des projections.) .... 124 

§ LII I. Calliphora vomUoria 125 

§ LIV. Etude des mouvements respiratoires de la Calliphora vomUoria par la 

methode des projections 126 

§ LV. Muscles respiratoires de la Calliphora vomUoria 128 

§ LV1. Scalophaga stercoraria. (Etude par la methode des projections.) . . 129 
§ LVII. Syrphidcs : Eristalis tenax et Syrphus ribesii. (Etude par la methode 

des projections.) 129 

§ LVIII. Muscles respiratoires de Y Eristalis tenax 131 

§ LIX. Asilus (s.p. ?) (Etude par la methode des projections.) 132 

§ LX. Tabamis bovinus. (Etude par la methode des projections.) .... 133 

§ LXI. Muscles respiratoires du Tabanus bovinus 135 

§ LXII. Appendice aux Dipteres : Hymenopteres chrysidiens. Chrysis ignita. 

(Etude par la methode des projections.) 136 

C. Hymenopteres porte-aiguillon 137 

§ LXIII. Historique 137 

S LXIV. Vespa germanica. (Etude par la methode des projections.) .... 139 



VI TABLE DES MATIERES. 

Pagei. 

§ LXV. Muscles respiratoires de la Vespa germanica 143 

§ LXVI. Bombus muscorum et Bombus terrestris. (Etude par la methode des 

projections.) 146 

§ LXV1I. Muscles respiratoires du Bombus terrestris 148 

§ LXVIII. Apis mellifica. (Etude par la methode des projections.) ISO 

§ LXIX. Anthophora retusa. (Etude par la methode des projections.]. . . . 152 

§ LXX. Hypothese de Wolff I 52 

§ LXXI. Appendice aux Hymenopteres porte-aiguillon. — Nevropteres phry- 
ganiens. — Phryganea striata. (Etude des mouvements respiratoires 

et des muscles de la respiration.) 157 

D. Orthopteres Forficuliens et Acridiens . . . . . 161 

§ LXXII. Forjkula auricularia. (Etude des mouvements respiratoires et, des 

muscles de la respiration.) 162 

§ LXXIII. Acridiens i64 

§ LXXIV. Stethophyma grossum. (Etude par la methode des projections.). . . 166 

§ LXXV. Muscles respiratoires du Stethophyma grossum 169 

§ LXXVI. Experiences sur le systeme nerveux du Stethophyma grossum . . . 172 
§ LXXVI1. Stenobothrus variabilis. (Etude des mouvements respiratoires et expe- 
rience sur le systeme nerveux.) l?o 

CHAPITRE VII, — Etdde du troisieme type. 

A. Orthopteres locustiens I 77 

§ LXXVI1I. Historique I 77 

§ LXX1X. Dedicus verrucivorus. (Etude par la methode graphique.) .... 178 

5 LXXX. Etude des mouvements respiratoires du Dcctique par la methode des 

• \ 8") 

projections 10jU 

§ LXXXI. Muscles respiratoires du Dectique 184 

/?. Lepidopteres I8 5 

§ LXXXII. Historique.— Constitution de l'abdomen. — Methodes d'observation. 185 

■ § LXXXIII. Pieris napi. (Etude par la methode des projections.) 188 

§ LXXXIV. Euchelia Jacobaeae I 89 

S LXXXV. Resume des observations sur les mouvements respiratoires des Lepi- 
dopteres I 8 " 

« LXXXV1. Muscles respiratoires des Lepidopteres I 90 



TABLE DES MATIERES. 



VII 



C. Nevropteres propres 

§ LXXXV1I. Panorpa communis. (Etude par la methode des projections. 
§ LXXXVII1. Chrysopa vulgaris. (Etude par la methode des projections.) 
§ LXXXIX. Sialis Maria. (Etude par la methode des projections.) . 
§ XC. Muscles respiratoires de la Sialis Maria 



Pages. 

192 

192 
194 
195 
196 



CHAP1TRE VIII. — Resume et conclusions. 



§ XCI. Relation entre la structure anatomique et la forme des mouvements 
respiratoires. — Mouvements abdominaux et mouvements thora- 

ciques. — Tableau I 

§ XCII. Diminution du diametre vertical de l'abdomen en expiration. — 

Tableau II 

§ XCIII. Types respiratoires. — Changements de longueur de l'abdomen. — 

Tableau III 

§ XCIV. Mouvements respiratoires progressifs. — Tableau IV 

• § XCV. Pauses et arrets. — Tableau V 

8 XGVI. Vitesses de l'expiration et de l'inspiration. — Phase active et phase 

passive 

§ XCVII. Muscles respiratoires 

§ XCV1II. Mouvements generaux de l'abdomen 

§ XCIX. Influence du systeme nerveux. — Tableau VI 



Expli 



CATION DES PLANCHES 



198 

200 

202 
203 
204 

200 
200 
211 
211 

217 



X88W 9 r s * 



RECHERCHES EXPERIMENT A LES 



SUR LES 



MOUVEMENTS RESPIRATOIRI-S 



DES 



INSECTES. 



CHAPITRE PREMIER. 

INTRODUCTION. 



§ I. 

LlMlTES DU TRAVAIL. 

Fidele an plan que je me suis (race, il y a longlemps, et qui consiste a 
etudier suceessivement les differents pheuomenes physiologiques chez les 
animaux articules, j'ai consacre les recherches actuelles a I'examen des 
niouvemeiUs rcspiratoires des innectes. 

Le sujel etant trop etendu pour en aborder simultanemenl toutes les 
parties, j'ai laisse momentanement de cote les larves et les nymphes et, me 
bornant aux insectes a I'etat parfait, je me suis attache a elncider les points 
suivants : 

1° Forme do ['inspiration el de I' expiration ; 

2" Parties da corps participant aux mouvcmenls rcspiratoires ; 

3" Determination exacte des muscles expiraleurs et inspirateurs ; 

4° Influence de quelqucs parties du sysleme nerveux sur les mouvcmenls 
de la respiration. 

Tome XLV. * 



2 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Une notice preliminaire que j'ai presentee a l'Academie royale de Belgique 
le 3 juin 1882 ' renferme 1'enonce rapide des principaux resullals que 
j'avais obtenus alors. Le present Memoire modifie peu les conclusions de la 
notice qui l'a precede, raais il contient l'expose complet des methodes dont 
j'ai fait usage, la description detaillee des mouvements respiratoires des types 
principaux et une foule de faits plus ou moms importants que j'avais du 
passer sous silence dans un simple resume. 

Posterieurement a la publication de ma Communication preliminaire, et 
alors que lc Memoire actuel etait cntierement lermine, le D l 0. Langendorff 
a fait paraitre dans le volume de 1883 des Archiv fur Analomieund Phy- 
siologic de His, Braune et Du Bois-Reymond, une note fort interessante, 
intitulee Das A limiting see ntrum cler lnseclen. 

Ainsi qu'il arrive si souvent aujourd'hui, l'auleur, ignorant 1'existence de 
mes recherches, a etudie, par des precedes analogues, quelques-unes des 
questions que j'ai cherche a resoudre. Ses resultats concordent sensiblemenl 
avec les miens. Je suis heureux de pouvoir citer Langendorff, et je ferai 
ressortir plus loin la part qui lui revient dans nos connaissances sur les 
mouvements respiratoires des insectes. 

J'ai sounds a l'observation et souvent a des experiences varices 63 formes 
differentes; nombrc considerable, si Ton tient complc des difficulty pra- 
tiques, du temps qu'ont demande certaines etudes, telles que celles qui 
concernent l'llydrophilc, lc Dytique, 1'Oryctes, les Libellules, etc., et cnlin 
de la necessite ou je me trouvais de ne m'adrcsser qu'a des insectes assez 
communs pour pouvoir repeter les essais d'une facon suffisante. 

Oblige d'observer les animaux vivants et aussi vigoureux que possible, 
j'ai necessairemcnl limile mon examen aux formes indigenes. Je laisse aux 
naturalistes habitant 1'Europe meridionale ou d'aulres conlrees plus riches 
que la notre en insectes de grande taille, le soin d'etudier les mouvements 
respiratoires de toute une serie d'animaux inleressanls dont je n'ai pu 
m'occuper. 



i Recherches experimentales sur les mouvements respiratoires des insectes. (Communication 
preliminaire.) Bull, do l'Acad. royale de Belgique, 3" serie, t. Ill, p. 727, 1882. 



SUR LES MOUVEMEINTS RESP1RATOIRES DES INSECTES. 



§ "• 

ITlSTORIQUE. 

Les mouvemenls d'inspiration ct d'expiration de plusieurs insectes de 
grande dimension appartenant aux groupes des Coleopleres, des Orthopteres, 
des Odontites, etc., sont, si apparenls qn'ils ont attire de bonne heure l'atten- 
tion des observateurs; aussi de nombreux pbysiologistes ont-ils cherche a 
etudier le mecanisme respiratoire de ces animaux; les uns Font fait a l'oeil 
nn, d'autres se sont servis de la loupe; tous, sauf Hausmann dont je parlerai 
au § 111 et Langendorff dont la notice est postericure a la publication de mes 
methodes personnelies, se sont bornes a ['observation simple. 

Comme l'expose detaille des resultals auxquels ces auteurs out cm arriver 
a sa place marquee en lete des paragrapbes qui traitent speeialement de 
cliaque forme caracteristique, je me bornerai ici a donner, a litre de rensei- 
gnement, la liste des observaleurs, par ordre de dates, avec l'indication des 
insectes ou des groupes d'insectes qu'ils ont examines. 

Le lecteur voudra bien remarquer : 1° que cette liste ne concern e que les 
observations stir les mouvemenls respiratoires et ne se rapporte a aucun des 
autres (aits rentrant dans la serie des pbenomenes physiques ou cbimiques 
( le la respiration; 2° qu'il a fallu conserver certains noms d'insectes d'une 
valeur tres indccise, lorsqu'il a ete impossible de savoir exactement de quelle 
forme il s'agissait en realite. 



1648. M. Adr. Sevebincs '. 

1665. D. Schenck*. . . 

1669. M. Malimchi s . . 

1721. J.-L. Frisch 4 . . 



Gryllus. 

Coleoptercs. 

Ver a soie, Locusta. 

Hydrophilus. 



1 Severinus. Zootomia Democrituia, etc. Norimbergae, 164S, p. 344. (Git^ d'apres 

Hausman et Treviranus.) 

2 Schengk. Epistola ad autorem Gammarologiae, dans Sachs, Gammarologia , p. 935. 

Francofurti et Lipsiae, 1665. 

3 Malpighi. JHssertatio epislolica de Bombice , page 20 dans ['edition de ses oeuvres, 

publiee a Leyde en 1687. (D'apres tlagen la premiere edition est de 1669.) 

4 Frisch. Beschreibung van allerley Inseden in Teutschland, Th. II, p. 30. Berlin, 1721. 

(Cite par Nitzsch.) 



4 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



1749. Auc.-Joh. Rosel 3 . 
1792. N.-L. Vauquelin c . 
1803. J.-F.-L. Hadsmann 7 . 
1805. W. Sorc 8 . . . 

1807. L. Spallanzani 9 . 

1808. Chr.-L. Nitzsch i0 
1811. Chr.-L. Nitzsch u 
1814. G.-R. Treviranus l2 
1817. J.-R. Rengger «. 

1832. II. Bdrmeister h . 

1833. L. Ddfour 1H . . 
1836. G. Newport 1G . 



1836. Goadry l7 . , 
1838. Ant. Duces ia 



Grandes libellules. 

Locusta viridissima. 

Locusla viridissima, Libellules, Geotrupes. 

Lucanus cervus, Locusla viridissima, Sphinx euphor- 
biae. 

Libellula. 

Dipteres, llymenopteres, Lepidopteres et Coleopteres. 

Ilydrophilus. 

Libellula, Cicada, A iridium, Coleopteres, Lepidopteres. 

Locusta. 

Melolontha , Libellula. 

Nepa cinerea. 

Bombus, Apis rnellifica, Antliophora relusa, Locusla 
viridissima, Sphinx ligustri. 
, Insectcs non specifies. 
. Coleopteres, llymenopteres, Locusla, Musca, Helophilus. 



8 RoSEL. L'edition que j'ai consulted est l'edition hollandaise : Natuurlyke historie der 
hxsecten. Haarlem en Amsterdam, 4764-1768. — Tweede deel, p. 191, § 9. 

6 Vauquelin . Observations chimiques et physiologiques sur la respiration des insectes et des 
vers. (Ann. de Chimic, t. XII, p. 273, 1792.) 

i Hadsmann. De Animalium exsanguium respiratione, Commentatio. Hannoverae, 1803. 

8 Sorg. Disquisitiones physiologicae circa respirationem insectorum, etc. Rudolstadt, 1805. 

9 Spallanzani. Dans Sennebier. Rapports de I' air avec les etres organises et tires des 

journaux d'observation et d 'experiences de L. Spallanzani, p. 66. Geneve, 1807. 

10 Nitzsch. Commentatio de respiratione animalium. Vitebergae, 1808, p. 89. 

Voyez aussi Archiv fur die Physiologic de Reil et Autenrieth, Bd. VIII, Halle, 
1807-1808. 

11 Nitzsch. Ueber das Athmen der Hydrophilen. Archiv fur die Physiologic de Reil ct 

Autenrieth, Bd. X, p. 454.) Halle, 1811. 

12 Trevirands. Biologie Oder Philosophic der lebenden Natur, Bd. IV, pp. 157-158. Got- 

tingen, 1814. 

13 Rengger. Physiologische Untersuchungen iiber die Thierische llaushaltung der Insecten, 

p. 38. Tubingen, 1817. 

14 Burmeister. Handbuch der Entomologie, Bd. I, p. 419. Berlin, 1832. 

is Dufour. Becherches anatomiques et physiologiques sur les Uemipteres. (Acad, des sciences 

de Paris, savants etrangers, t. IV, p. 384, 1833.) 
■16 Newport. On the respiration of Insects. (Philosophical Transactions of the royal Soc. of 

London, part. 11, 1836.) 
" Goadry. Medical Gazette, 2 avril 1836. (Cite par Newport dans l'ouvrage precedent, en 

note, p. 549.) 
18 Duces. Traite de physiologic comparee, t. II, p. 555. Montpellior, 1838. 



SUK LES MOUVEMENTS RESP1KATOIRES DES INSECTES. 



1839 et 1848. C.-G. Cards 19 . 
1854. Tn. Williams 2 ° . . . 
1888. Fr. Barlow 2 ' . . . 

1860. E. Faivre 22 . . . . 

1861. H. Rathke 23 . . . . 



1864. E. Baudelot n . . 
1872. 0. Liebe «.'.'.. 

1875-1876. M. Girard 2U . . 
1875. J. Kunkel d'Herculais 27 , 
1875. O.-J.-B. Wolff 28 . . 



Decticus verrucivorus. 
Insectes non specifies. 
Libellula, Gryllus. 
Dytiscns. 

Carabus, Dytiscus, Staphylinus, Scarabams, Cetonia , 
Hister, Cerambyx, Tencbrio , Bruchus, Attelabus , 
Chrysomela, Hymenopteres, Tipula, Musca, Empis, 
Panorpa, Libellula, Lepidopteres, Blatta, Gryllus, 
Gryllotalpa, Acridium, Truxalis, Mantis, larves et 
nymphes. 

Libellules et larves de libellules. 

Insectes non specifies (cite surtout les observations des 
auteurs precedents). 

Libellules. 

Volucclles. 

Apis mellifica. 



-19 



20 



21 



23 



26 

27 



28 



Carus. Traite elementaire d'anatomie comparee. (Traduction francaise, pp. 335 et suiv.) 

Bruxellcs, 1839. 
— Tabulae anatomiam comparativam illustrantes , pars VII, tab. Ill, fig. 9 et 10. Lip- 

siae, 1848. 
Williams. On the Mechanism of Aquatic respiration and on the structure of the Organs 

of breathing in the invertebrate animals. (Ann. and Mag. of natural history, second 

series, vol. XIII, p. 135, 1854.) 
Barlow. Observations on the respiratory movements of Insects. (Philosophical Trans., 

vol. CXLV, part. 1, p. 139.) London, 1855. 
Faivre. De I'inftuence du systeme nerveux sur la respiration des Dytiques. (Ann. des sc. 

nat., Zoologie, i e serie, t. X1H, p. 321, 1860.) 
Rathke. Anatomisch- physiologische Untersuchungen iiber den Athmung prozess der 

Insekten. (Schriften der physik.-6k. Gesellsch. zu Kdnigsberg, Jahrg. 1, Heft II, 

p. 99, 1861.) 
Baudelot. De I'lnfluence du systeme nerveux sur la respiration des insectes. (Ann. des 

sc. nat., Zoologie, 5 e serie, t. II, p. 45.) Paris, 1864. 
Liebe. Ueber die Respiration der Tracheaten, besonders iiber den Mechanismus derselben 

und iiber die Menge der ausgeathmeten Kohlensaure. These d'lena. Chemnitz 1872. 
Girard. Traite elementaire d'entomologie, t. I, p. 31, et t. II, l er fascicule, p. 330. 

Paris, 1873-1876. 
Kunkel d'Herculais. Recherches sur I' organisation et le developpement des Volucelles, 

1™ partie. Paris, 1875. 
(La2 c partie, non publiee actuellement , sauf les planches, renfermera les obser- 
vations sur le mecanisme respiratoire que 1'auteur se borne a effleurer dans la 
l ,<r partie.) 
Wolff. Das Riechorgan der Biene. (Nova acta der K. Loop. Carol. Deutschen Akademie 

der Naturforscher, Bd. XXXVIII, n r 1, pp. 11 et suiv.) Dresde, 1875. 



6 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



1876. M. Girdwoyn 2<J . . 

1877. V. Graijer 50 . • • 
1878-1880. A.-S. Packard 
1880. B. Luchsinger 52 . . 
1880. Cn. Sedgwick Minot 

1 882. E. Donhoff u . . 

1883. 0. Langendorff 5s . 



Apis mellifica. 

Mehlontha, Acridiens, Libellula. 

Acridiens, Geotrupes. 

Larves de libellules. 

Acridiens. 

Apis mellifica. 

Ycspa, Bombus, Apis, Melolontha, Libellula, JEschna. 



L'aspect de cette longue lisle compreuant des noms d'observateurs ires 
serieux ferait supposer, au premier abord, que le sujet est epuise el que les 
mouvements respiratoives des insectes sont parfaitemenl eonnus dans tous 
leurs details. II en serait ainsi, en effet, el mon travail n'aurait aucune 
raison d'etre si la methode de l'observalion simple etait exempte de causes 
d'erreurs. 

Les causes d'erreurs sont mallieureusemenl nombreuses; en effet, pendant 
la respiration, ce n'est pas dans tin seul des anneaux du corps que les 
arceaux tergal et sternal se deplacent run par rapport a I'autre; ce no sont 
pas non plus deux somites seulemcnt qui s'eloignent ou se rapprocbenl ; les 
mouvements ont lieu, en general, dans la plupart des anneaux de l'abdomen. 

On comprend, des lors, combien il est difficile de suivre de l'oeil ce qui 
se passe a pen pres en meme temps dans une serie de somites dont les 
pikes ne se meuvent pas exactemenl de la meme maniere; I'attention se 



29 Girdwoyn. Anatomie et physiologie de I'Abeitte, p.. 21. Paris, 1870. 

30 Graber. Die Insekten, l r Theil, pp. 106 a 114 et 864 a 368. Miinehen, 1877. 

W Packard. Anatomy and Embryology of the Locust. (First annua] Report of the United 
States Entomological commission. Rocky Mountain Locust, pp. 269 et suiv.) Was- 
hington, 1878. 
— Second Report, etc., p. 181, en note. Washington, 1880. 

32 Luchsinger. Weitere Versuche und Betrachtungen zur Lehrevonden Riickenmarkcentren. 

Anhang : Ueber das llespiralionscentrum der Libellenlqrven. (Archiv fur die 
gesammte Physiologie de Pfluger, Bd. XXII.) Bonn, 1880. 

33 Sedgwick Minot. Histology of the Locust and the Cricket, dans le Report ci-dessus, p. 196. 

34 Donhoff. Beitrdge zur Physiologie, § 111, Das Athmungscenlrum der Ilonigbiene. (Archiv 

fur Anatomie und Physiologie de His, Braune et Du Bois-Reym'ond. Physiolo- 
gische Abtheilung, p. 162.) Leipzig, 1882. 
3B Langendorff. Studieu uber die innervation der Athembewegungen. Sechste Miltheilung. 
Das Athmungscenlrum der Insecten. (Archiv fur Anatomic und Physiologie. Phy- 
siologische Abtheilung, p. 80.) Leipzig, 1883. 



SUR LES MOUVEMENTS KESPIRATOIRES DES INSECTES. 7 

fatigue 3 on voudrait immobiliser 1'animal dans chaque phase, ['observateur 
consciencieux doute et ti nit par formuler des conclusions vagucs. 

.[/appreciation ci-dessus est si vraie qu'il est a peu pres impossible, apres 
avoir la les travaux de presque loos les naluralistes que je viens de titer, 
de se former une idee nelte des mouvemcnts respiratoires des tracheites. 

Les uns, comme Schenck, Sorg, Nitzsch, Treviranus, Rengger, Burmeister, 
Liebe, emploient des termes sans precision ou indiquenl line comparaison 
plus ou moins satisfaisante entre le mecanisine respiratoire des insectes el 
celui des vcrlebres; d'autres, (els que Malpiglii, Spallanzani, Newport, Duges, 
Cams, Williams, Barlow, Faivre, Wolff, Girdwoyn, Packard, etc., n'ont 
observe qu'une forme ou un petit nombre de formes el, a supposer qu'ils 
aienl toujours bien vu, ne possedent point les materiaux necessaires pour 
enoncer des conclusions gelnerales. 

Deux naturalisles settlement ont domine la question de haul et ont oblenu 
de la methode d'observation directe tout ce qu'elle pouvait donner : ce sont 
V. Graber el surtout II. Rallike, auteur d'un memoire extremement remar- 
quable, auquel je renverrai souvent. Si des details leur ont echappe, s'ils ont 
ele victimes de cerlaines illusions, c'est, encore une fois, qu'ils ne sc sont 
servis que d'uiic methode unique et imparfaite. 

Je viens de signaler rindecision dans laquelle nous laissent les publications 
du plus grand nombre des specialisles. Cette indecision se traduit d'une 
lacon caracleristique dans les trailes d'entomologie et dans les ouvrages 
generaux qui parlent do Forganisation des Arthropodes. Leurs auteurs 
insistent sur la structure des trachees, stir cellc des stigmales et puis glissent 
I'apidemcnl sur la question cependant si importanle des mouvemcnts respira- 
toires, comme s'il s'agissail d'une chose Ires simple a laquelle il est a peu pres 
inutile de s'arrelcr. 

On pent cependant citer une honorable exception : grace a une bonne 
analyse du memoire de Ralhke, A. Gerstaecker a donne dans ses Arlhropoda 
des Bronn's Klassen und Ordmngen des Thier Reichs ' un developpement 
sufflsant a la description des mouvemcnts d'inspiration et d'expiration des 
insectes. 



1 Band V, Lieferung 3. Leipzig und Heidelberg, 1807, p. 131. 



8 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 



§ ill. 
Metmodes de IIausmann et ije Maurice Girard. 

L'insuffisance de I'observation simple dans l'etude des mouvements respi- 
ratoires des insectes, comme dans celle de presque tous les phenomencs 
physiologiques eonsistant en mouvements combines et, par suite, la necessite 
de faire usage, parallelement, d'une deuxieme methode plus sure, la methode 
graphique ou toute autre permettant de suivre les diverses phases sans com- 
mettre d'erreurs, ont suggere autrefois a IIausmann et recemment a Maurice 
Girard l'emploi de dispositifs plus ou moins heureux que je vais decrire 
avec quelques details. 

IIausmann ' remplit partiellement d'eau un tube de verre gradue, ver- 
tical, long de 30 centimetres, large de 15 millimetres, ferme a son extremite 
superieurc et plongeant dans 1'eau par son extremite inferieure ouvcrte. 

II introduisit une sauterelle verte (Locusta viridissima) dans la portion 
superieurc conlenant de 1'air et dontla capacite etait d'environ 10 a 12 cen- 
timetres cubes; puis il abaissa le tubejusqu'a ce que les niveaux du liquide 
a Finterieur el a Texterieur fussent les memes. 

Dans ces conditions, Hausmann vil les mouvements respiratoires de 
I'insecte determiner des oscillations dans la colonne d'eau renfermee dans le 
lube; celle colonne montanl et descendant d'une facon rhythmique. 

IIausmann voulul rcpeler la memo experience en se servant tantot de 
Libellules, lantot du Geotrupes stercorarius , inais les deplaeements de la 
colonne liquide lurenl si faiblcs qu'il devenait tres difficile d'en apprecier la 
valeur. 

Rien que cetle methode ne puisse donner aucune solution quant au meca- 
nisme des dilatations et des contractions respiratoires de l'abdomen des 
insectes, elle semble cependant, a premiere vue, susceptible de fournir quel- 
ques indicalions precises sur les cbangements de capacite du corps, ainsi 



i De animalium exsanguium respiratione Commentatio, p. S. Hannoverae, 1803. 



SUR LES MOUVEMENTS RESl'IRATOIRES DES INSECTES. 



9 



que sur les volumes d'air inspires el expires. Aussi ai-je voulu l'essayer, en 
modiftant toutefois l'appareil de facon a le rendre beaucoup plus sensible. 
J'ai pris d'abord corame sujet d'experience I'Hydrophile brun (Hydro- 
phi his piceus), dont les mouveraents respiratoircs ont une grande amplitude 
(voy. §§ XI et XCM). L'instrument dont je me suis servi etait 
construit de la maniere suivanle (fig. 1) : une petite eprouvetle 
de verre A, de 18 millimetres de diametre interieur, est lixee 
verticalemeut a un support, I'orifice en bas. Get orifice est 
muni d'un bouchon de caoutchouc B, traverse par Tune des 
branches d'un tube de verre C, courbe en U et renfermant de 
1'eau dans ses deux branches jusqu'a une certaine hauteur. 

La branche exterieure et libre est appliquee contre une 
echelle graduee en demi-millimetres, tandis que la branche 
qui traverse le bouchon penetre de plusieurs centimetres dans 
I'interieur de 1'eprouvette. Cette branche interieure est garnie 
pres de son ouverture superieure d'un collier de liege D 
destine a empecher l'insecle de tomber dans le bas de l'appareil. 



c- 

f'ig. -1 X | 

Enlin de l'eau remplit, autour de la branche interne, l'espace cylindrique 
compris entre le collier de liege et le bouchon de caoutchouc. La couche 
liquide en question m'a permis de reduire a un minimum la chambre a air 
occupee par l'animal et assure de plus a l'instrument une fermeture parfaite. 

Le diametre interieur du tube en U a vane suivant les experiences; ainsi 
j'ai successivement employe, avec des Hydrophiles differents, des tubes de 
4 millimetres et de 2 millimetres de diametre. 

On voit ; par la figure et par la description, que 1'eprouvette A offre a sa 
partie superieure un espace plein d'air communiquant librement avec le tube 
<m U. C'est dans cet espace que j'introduis un Hydrophile vigoureux prive 
de ses elytres, de ses ailes et de ses pattes et fixe le long d'une bandelette 
de liege par le prothorax et l'extremite de l'abdomen '. 




1 11 est indispensable de fixer l'animal comme il est dit dans le texte. Sans cette precau- 
tion , il execute de violents niouvements de l'abdomen tout h fait (Strangers a facte respira- 
l °ii'e et qui se traduisent du cote de la colonne liquide par des oscillations nuisibles 
masquant completement les oscillations respiratoircs qu'on s'etait propose d'etudier. 

Tome XLV. 2 



10 



REGHERGHES EXPERIMENTALES 



En deduisant de la capacite de la chambre a air le volume de l'insecte et 
de la bandelette de liege qui le porte et en y ajoulant d'aulre part la capacite 
de la partie vide de la branche interne du lube en U, on trouve que le volume 
d'air dans lequel FHydrophile se meut est de 40 a 11 centimetres cubes. 

Les choses etant disposees comme il vient d'etre indique, si Ton observe, 
a I'aide d'une loupe montee sur pied, la colonne liquide de la branche 
exlerne de l'instrument, on voit celte colonne baisser d'une facon brusque a 
chaque mouvement expiraloire du coleoplere, pour rernonter d'une egale 
quanlite, mais d'une facon plus lente, pendant I'inspiralion. 

Les deplacements sont toujours fort petits; ainsi, dans le cas d'un tube 
en U de i millimetres de diametre interieur, la course de la colonne liquide 
n'a que X \ A de millimetre de hauteur; clle atteint '/ a millimetre pour un tube 
dont le diametre interieur est de 2 millimetres seulement. 

Afin de m'ecarter le moins possible de l'experience de Hausmann, j'ai 
repete plus tard les memes essaissur un grand Locustien, le Declicus vcrruci- 
vorus. Le lube en U avait 2 millimelres de diametre inlerieur. Les depla- 
cements de la colonne liquide ne depasserent guere % millimetre '. 

II me reste a faire ressortir les defauls du procede de Hausmann, defauls 
qui rendent sa metbode inapplicable dans la plupart des cas. 

1° Celte metbode cxige l'emploi exclusif d'insectes de grande taille, puis- 
que l'un de nos plus gros coleopteres indigenes a mouvements respiratoires 
tres amples ne fait osciller que de '/a millimetre une colonne d'eau de 2 milli- 
metres de diametre; 

2° L'observation de si petits deplacements est difficile et demanderait, pour 
se faire avec exactitude, l'emploi d'instruments accessoires speciaux; 

3° Les oscillations de la colonne liquide indiquent seulement que l'insecte 
se gonfle et se degonlle et ne peuvcnl /'aire connaitre la valeur des change- 
ments reels du volume, puisqu'en expiration, pendant que l'abdomen diminue 
de diametre, une cerlaine quantite d'air est expulsee du systeme tracheen, 



i Pour une cause que je ne m'explique pas bien, ce furent, cette fois, les ascensions et 
non les descentes qui coi'nciderent avec les mouvements expiratoires. Ce detail n'a, du 
reste, qu'une valeur minimd; il importe surtout de remarquer le peu d'amplitude des 
oscillations de la colonne d'eau. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. I i 



tandis qu'en inspiration, lorsque le diametre de I'abdomen augmente, de l'air 
de la ehambre occupee par I'insecte se preeipite dans ses tracliees. En resume, 
il ne faut jamais oublier que c'est une espece d'eponge qui change ici de 
volume apparent et non un corps plein, compaete, qui s'etend ou se resserre ; 

i° Enfin, la methodc n'apprend rien quant au mecanisme respiraloire, 
quant a la nature des pieces squelettiques qui se deplacent et quant aux 
mouvements particuliers de chacune d'elles. 

Le procede de Hausmann n'a done qu'un interet historique et les quelques 
pages que je lui ai consacrees ont eu pour but de faire bien comprendre 
pourquoi je n'en ai pas fait usage dans mes recherches personnelles. 

J'arrive au moyen preconise par Maurice Girard. Voici en quels termes il 
lindique dans son Traite d'cntomologie : « 11 sera possible de recherclier 
sur de gros insectes, comme des Sphinx, en emboitant leur abdomen dans 
une flexible enveloppe de caoutchouc reliee a un style, d'obtenir un trace 
graphiquc de ccs mouvements et d'etudier leur rhythme dans ses deux 
periodes, commc M. Bert l'a fait avec tant d'habilete pour les verlebres des 
diverses classes. » '. 

Mon savant confrere et ami ne se fait probablement pas une idee exacte 
de la valeur des forces que les insectes mettent en jeu dans les mouvements 
respiratoires. Ces forces sont loujours minimes. Une enveloppe de caoutchouc, 
quelque mince quelle soil, effacerait tous les details et, a supposer qu'elle 
permit encore des mouvements respiratoires vrais, elle rendrait ceux-ci peu 
nets et d'une interpretation penible 2 . 

II oublie aussi qu'en meme temps qu'ils execulent les mouvements respi- 
ratoires proprcment dils, les insectes captil's impriment a leur abdomen des 
mouvements d'oscillation ou de torsion d'une amplitude bien plus grande et 
qui font le desespoir des observateurs. Son exemple meme est peu heureux; 
les Sphinx contournent leur abdomen dans tous les sens el j'ai du renoncer 
a les soumettre a la methode graphique 5 . 

Une longue experience me fait considerer le procede de Maurice Girard 

1 Les Insectes. Traite elementaire d'entomologie, t. 1, p. 31. Paris, 1873. 

2 Voyez § IV. 

3 Voyez § LXXXII. 



1*2 



RECHERCHES EXPERIMENT ALES 



corame impraticablc; mais je fiens a dire que c'est la lecture du passage cite 
de son ouvrage qui m'a donne la premiere idee d'appliquer a Fetude du 
mecanisme respiratoire des tracheites une methode permettanl d'oblenir des 
traces ou des dessins qui represented les diverses phases des mouvemenls 
respiraloires. 



CHAPITRE II. 



METIIODES EMPLOYEES DANS CES RECHERCHES. 



Sans negliger Fobservation direclc, qui, insuffisanlc seule, devient fort 
utile lorsqu'on en fait usage parallelemenl a d'autres procedes plus rigou- 
reux, je me suisservi concurremment de deux methodes : de la methode 
graphique proprement dile, avec leviers inseripteurs, cylindre tournant 
enfume, etc., et de la methode des projections, qui, pour le but special que 
je m'etais propose, est certainement la meilleure. 

§ IV. 

METHODE GRAPHIQUE. 

Je rappellerai que la methode graphique a ete employee avec le plus 
grand'succes par Paul Hcrl 1 pour Fetude des mouvemenls respiraloires des 
Poissons, des Amphibiens, des Reptiles et des Oiseaux et qa'une serie de 
physiologisles Font appliquee a I'analysc des memes mouvemenls chez les 
Mammiferes. 



Lemons sur la physiologic comparee de la respiration, pp. 225 a 332 et suiv. Paris, 



1870. 



SUa LES MOUVEMENTS RESPJRATOIRES DES INSECTES. 15 

Chez les Insectes, la methode est d'un emploi assez difficile, et, par suite 
de causes materielles que j'indiquerai plus has, elle est loin de dormer tous 
les resultats qu'on croirait pouvoir en attendre. 

Le paragraphe actuel sera done consacre, non seulement a la description 
des petits instruments que j'ai imagines, mais aussi a {'indication des 
causes d'insucces dans des cas determines. II importe, en effet, que le lecleur 
sache que j'ai epuise tons les moyens et qu'il ne conserve aucun doute sur 
la valeur relative de la methode des projections qui sera decrite dans le 
paragraphe suivant. 

Lorsqu'on voit respirer un insecte, un Coleoptere, par exemple, I'idee qui 
vient immediatement a l'esprit est de (aire reposer sur la region de 1'abdomen 
qui se deplace pendant les mouvements respiratoires, un petit levier tres leger 
en contact par une de ses extremites avec un cylindre tournant en fume.. 

Dans mes recherches sur les mouvements du canir des Crustaces deca- 
podes ', j'avais employe, comme leviers, des flls de verre elires a la lampe; 
ces leviers sont encore trop lourds pour les Insectes. Je me suis fort bien 
trouve de fines bandes de 3 a 4 millimetres de large coupees an canif el a 
la regie dans du papier bristol ordinaire. Si on ne depasse pas une certaine 
longueur, ces bandes sont suffisamment raides. Elles o (Trent, de plus, eel 
avanlage qu'on leur donne aisement les dimensions et les formes qu'exige 
n'importe quelle circonstance particuliere. 

La relation entre le style inscrivant et le corps de 1'animal petit aJTecter 
deux formes : ou bien le style, veritable levier du troisieme genre, lourne 
librement autour d'un axe horizontal place a une de ses extremites el repose 
librement, par son poids, sur une des pieces squelcttiques mobiles de l'in- 
seclc; ou bien, le style, independant de tout support autre que le corps de 
l'arlicule, est fixe sur 1'animal meme. 



l er cas : Levier du troisieme genre. — La bandc de papier bristol, 
dont le poids ne doit pas depasser 1 f /-2 decigramme pour nos plus grands 
insectes indigenes, et dont la longueur est de 12 centimetres, est placee 

i Recherches physiologiques sur le coeur des Crustaces decapodes (Archives de Biologie, 
t. I, fascicule IV, p. mi). Bruxelles, '1880. 



14 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 




Fig. 2 X 



de champ. Cello de ses extremites qui frottc sur le cylindrc enfume est 
taillee en pointe; I'autre est percee d'un petit trou pour le passage de 
l'axe (fig. 2). 

L'axe est constitue, soit par une aiguille, soit par une fine epingle a 

insectes. Deux perles de 
verre enfilees sur cet axe 
et calees a 1'aide de petits 
fragments de liege per- 
meltent an levier de tourner 
presque sans frotlement, 
lout en s'opposant a des deplacements lateraux. 

L'axe est pique dans un support de liege que l'operateur faille au moment 
de l'experience, de sorle qu'il est ires aise de placer l'axe et le levier dans 
les positions les plus favorables. 

!l convient, en general, de ne pas faire reposer le levier directemenl, 
par son bord inferieur, sur )es teguments de Tinsecte, mais bien, par un 
petit talon sailiant de 5 millimetres de longueur qu'on laisse adherent en 
un point convenablc du levier lorsqu'on decoupe celui-ci. 

Le but de cc talon est bien simple : le corps des insectes est rarcmcnt 
cylinclrique; il arrive, cbez les Coleopteres, par exemple, chez lesquels le 
levier doit etrc, la plupart du temps, en rapport avec un arceau tergal de 
l'abdomen, que, lors de l'cxpiration, eel arceau s'abaisse plus bas que d'autres 
parlies voisincs (bords epimeriens, bords des elylres dans certains cas, etc.); 
sans talon, le levier viendrail reposer sur ces parties saillantes, ce qui altc- 
rerail profondement le trace. Grace a la precaution que. je viens de signaler, 
le levier n'est done jamais en contact avec des portions du corps pouvant 
arreter son mouvement oscillaloire. 

II est presque toujours utile de mettre un peu de baume du Canada 
epaissi a l'extremite du talon. Le levier adhere ainsi d'une facon suffisante 
el ne glisse pas laleralement, quelle que soit l'obliquile que prenne, par 
moments, la region du corps dont on etudie les mouvemenls. 

J'ajoulerai, enfin, que le talon du levier est un point de repere invariable 
qui ne permet aucun changcmcnl dans les longueurs relatives des bras de 



SUR LES MOUVEMEJNTS RESP1RATOIRES DES INSECTES. 15 

levier de la puissance cl tie la resistance; condition indispensable lorsqifil 
s'agit de determiner les modifications que subit, suivant les cireonstances, 
1'ampIitudeMe la courbe respiratoire d'un insecte donne. 

Dans la plupart tie mes experiences le levier avait, comme je I'ai indique 
plus liaut, 12 centimetres tie longueur, le talon etait place a 2 centimetres 
tie I'axe. 




2 e cas : Style inscrivanl porte par le corps de I' animal. — - Le style est 
conslitue par une bande de papier bristol munie, cette fois, d'un talon sail- 
Ian t de 1 centimetre place vers le milieu de la longueur. Les deux moities 
du style sont modifiees par tatonnemenl jusqu'a ce que leurs poids soient 

egaux et qu'elles se fassent equi- 
libre. Le talon, dont on reploie 
une portion a angle droit, offre 
ainsi une pelite surface plane 
borizonlale que Ton colle au point 
Flg ' 3x «' voulu du squelette tie l'insecte a 

1'aide de baume du Canada Ires visqueux (fig. 3). 

Celle disposition permet d'obtenir ties grapbiques assez interessants, 
iudiquant, outre la valeur des deplacemenls verticaux, loules les inclinai- 
sons qu'affecte, dans le plan d'oscillalion du style, la piece tegumentaire sur 
laquelle ce style est fixe. 

Je rTinsisterai pas sur la structure tie 1'appareil enregistreur que j'ai 
employe; il suffira dedire que le cylindre tournant est vertical, qu'il effectue 
une rotation en 55 secondes et qu'un compteur battant la seconde donne, 
lorsque cela est necessaire, la duree exacte ties divers pbenomenes. 

Une premiere difiiculte que Ton rencontre dans ce genre d'experiences 
reside dans la multiplicity ties petils moyens a meltre en amvre pour fixer 
les insecles sans troubler leurs mouvements respiraloires. 11 fant, pour ainsi 
dire, imaginer une disposition speciale pour cliaque forme animale. Je ne 
m'appesantirai pas sur ces details, qui rcmpliraient plusieurs pages; j'indi- 
querai brievement quelques precautions indispensables. 

La meiileure maniere tie fixer les Libellules, les Acridiens et d'autres 



16 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



insectes dont les organes du vol peuvent etre releves sans inconvenient du 
cote du dos, consiste a rassembler lenrs ailes dans un plan vertical ct a les 
serrer entre deux lames de liege ou entrc une lame de liege et une lame 
de carton attachees elles-memes, d'une facon quelconque, a un support 
fixe. 

Quant aux Coleopteres, l'operation est plus complexe. Avec des ciseaux 
fins, on pratique dans leurs clylres une fen e Ire rectangulaire, plus ou moins 
grande suivant les cas, puis, par cetle ouverture, on enleve, en les coupant, 
la plus grande partie des ailes. 

On met ainsi a nu une portion de la face dorsale de 1'abdomen. On fixe 
ensuile l'insecte en implantant de fines epingles dans les rebords laleraux du 
prothorax et dans les rebords laleraux aussi des elytres. Ces epingles ne 
peuvent ni leser ni serrer 1'abdomen, et 1'animal doit etre entile assez haul 
pour qu'aucune partie de son corps ne louche le support 1 (fig. 2). 

Les Coleopteres possedent une force relative considerable et peuvent 
effectuer a 1'aide de leurs patles des efforts exlraordinaires 2 . Lorsqu'ils 
sont fixes de la maniere que je viens de decrire, ils executent conslamment, 
pour se degager, des mouvemenls violenls qui detcrminent dans les traces 
des irregularites deplorables. J'ai done pris le parti de couper, a ras des 
trochanters, les pattes de tous les Coleopteres sur lesquels j'ai experiinente. 
Sans cette precaution que j'ai du employer aussi dans la plupart de mes 
essais sur d'aulres insectes et dans mes rccherches a Taide de la methode 
des projections, il m'eut ele souvent impossible d'oblenir un graphique ou 
un dessin satisfaisant. 

Une autre difficulle qui compromet souvent les resullats consiste dans ce 
fait que beaucoup d'insecles, surlout lorsqu'ils sentent le contact du levier 
qu'ils doivent deplacer par leurs mouvements respiratoires, font executor a 
leur abdomen soit des mouvements de torsion, soit des mouvemenls alterna- 



i II est presque inutile d'ajouter que l'inseete en experience, le levier, etc., sont fixes 
sur une tablctte susceptible d'etre haussee ou baissee a volonte et que Ton peut approcher 
ou Eloigner du cylindre enregistreur suivant les circonstances. 

2 Voyez a ce sujet mes Premiere et Deuxieme notes sur la force mnsculaire des insectes 
(Bullet, de l'Acau. ROY. DE Belgiqle, 2 e serie, t. XX, n" 11, 1863, et t. XXII, n"ll, 1866). 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOTRES DES INSECTES. i 7 

tifs et presque incessants d'elevation et d'abaissement, dans lesquels il faut 
demeler ce qui revient, d'une part, aux deplacements generaux da corps et, 
d'autre part, aux mouvements respiratoires proprement dits. 

Ce fait regrettable arrive toujours pour les Coleopteres dont on supprime 
les elytres en totalite, au lieu de pratiquer dans celles-ci une fenetre plus on 
moins restreinte, comrae je l'ai indique plus haut '. 

L'ablation d'une portion mediane des elytres pervnel, au contraire, d'ob- 
server l'animal sous ses allures normales. N'eprouvant pas I'excitation speciale 
provoquee par la mise a nu de la totalite de I'abdomen, il est bientot calme 
et respire alors d'une faeon reguliere. Si son abdomen execute parfois des 
mouvements generaux un peu considerables, ceux-ci sont si espaces qu'il 
devient tres aise de cboisir une periode convenable et d'obtenir un bon 
trace. 

II est malbeureusement des insectes pour lesquels aucun moyen de con- 
tention ne reussit. Je citerai, a cet egard, les Sphingides el specialement le 
SmeriMhuS tiliw qu'il m'a ete impossible d'utiliser, ces Lepidopteres tordant 
leur abdomen dans tous les sens et faisant d'autant plus de mouvements non 
respiratoires que 1'on cherche davantage a les immobiliser. 

Enfin, une cause toute physiologique qui restreint considerablement 
l'emploi de la metbode grapbique est la faiblesse des forces developpees par 
les insectes dans leurs mouvements de respiration, surtout pendant la phase 
•nspiratoire. 

Je montrerai, en etfet, confirmant, en cela, quelques observations faites 
par mes preldecesseurs, que fort peu d'insectes possedent de veritables 
muscles inspirateurs, que [>ar consequent l'inspiration el, par suite, I'eleva- 
'ion d'un levier dans des experiences graphiques, s'effecluent exclusivement 
par 1'elasticite des teguments et des parois du systeme tracheen. 

Beaucoiip d'insectes de taille moyenne peuvent, il est vrai, mettre en mou- 
vement un levier leger tel que ceux dont j'ai fait usage ; mais la force qu'ils 
°nt a leur disposition est si minime qu'ils ne parviennent pas a vaincre le 



i v 



oyez , pour un graphique fourni par un Coleoptere prive completement de ses elytres, 



te § XXVI. 

Tome XLV 



18 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



frottement des que la pointe du levier est mise en rapport avcc lc cylindre 
tournani enfume 1 . 

II en resulte qu'il faul renoneer a la methode graphique pour la plupart 
de nos insectes indigenes el que celle-ci ne pout donner de resultats qu'a la 
condition de s'adresser a de gros Coleoptercs, a de grandes Libellules on a 
quelques Orthopteres de forte taille. 

Je ferai encore remarquer que la methode en question ne permet d'appre- 
cier que la nature el ['amplitude des mouvements des parties determiners du 
squelette tegumentaire avec lesquelles les leviers se trouvent en contact et 
que Ton reste reduit, pour l'etude des mouvements d'ensemble, a Fobserva- 
tion simple avec toutes ses causes d'erreurs 2 . 

En terminant eel expose, je crois devoir indiquer brievement comment a 
opere 0. Langendorff 5 , qui peu de temps apres moi eat l'idee d'appliquer la 
methode graphique a l'eiude des mouvements de respiration des insectes. 
Ce physiologiste fixe l'animal sur une plaque de liege a l'aide de vernis a 
la colophane; le levier inscripteur n'a qu'un bras et est attache au corps de 
I'articule par une petite tige d'aluminium et une gouttelette de cire fondue. 

En comparant les graphiques oblenus par Langendorff aux miens, je 
constate dans les resultats de I'auleur cite des irregularites provenant cer- 
tainement d'un defaut de l'iristrument. Le peu d'amplitude des courbes 
montre, en outre, que le levier employe etait tres court. 

•i Je me suis toujours servi , pour garnir to cylindre enregistreur, de papier a la ceruse 
glace. Les tentative's que j'ai f'aites pour diminuer le frottement en munissant Fextremite 
inscrivante du levier d'un fragment de soie de pore ou de poils de blaircau sont restees 
sans rtisultat. 

^ On m'objectera peut-etre qu'il fallait employer autant de leviers ou de styles inscrip- 
teurs qu'il y a de mouvements a analyser. La reponse est fort simple : un grand Coleoptere 
robuste, tei que l'Hydrophile, deplace deja peniblement deux leviers; surcharge d'une seric 
de petits instruments de ce genre, il rcsterait immobile ou ne produirait que des traces 
incomplets et irreguliers. 

'■' Das Athmungscentrum der Insecten, op. eit., p. 82. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 19 

§ v. 

METHODE DES PROJECTIONS. 

Je viens de montrer, dans le paragraphe precedent, pourquoi la methode 
graphique employee a Fanalyse des mouvements respiratoires des insecles 
n'esl applicable qifa un nombre de formes assez restreint. 

La methode des projections offre, au contraire, 1'immense avantage de 
permettre I'elude presque complete des mouvements respiratoires chez des 
insectes quelconques, depuis les plus volumineux de nos Coleopteres jusqu'a 
des Dipleres inferieurs en laille a la mouche domestique. 

L'idee premiere de la methode tie m'appartenant pas, je dirai, plus loin, 
comment el dans quels kits le precede a etc mis en usage anterieurement, 

Voici, d'abord, ma facon personnelle d'operer : 1'insecte fixe sur une 
petite lame de liege, de maniere a ne gener en rien ses mouvements respi- 
ratoires, et a l'aide de moyens semblables a ceux que j'ai decrits a propos 
de la methode graphique ', est inlroduit dans une grande lanterne magique 
eclairee par une bonne lampe a pelrole. 

Dans rinslrument que j'ai a ma disposition, 1'animal est place entre la 
source lumineuse et le jeu des lentilles, de sorte qu'il n'est soumis qu'a une 
temperature peu elevee. 

On oblient naturellement, sur un ecran vertical, une silhouette renversee 
et si Ton ne depasse pas un certain grossissement (12 diametres, par exemple) 
°'> a sous les yeux une image tres nette sur Jaquelle on pent suivre les 
mouvements respiratoires suffisamment amplifies pour constater des depla- 
cements reels d'une fraction de millimetre. 

Ceci etanl, on attache sur l'ecran une feuille de papier blanc un peu fort 

'' Lorsque 1'insecte efi'ectue d'une facon incessante des mouvements non respiratoires 
tui masquent absolument le phenomene a etudier, on peut l'amener a ne plus executer 
que des mouvements respiratoires proprement dits en le decapitant. Les mouvements res- 
piratoires etant purement reflexes eontinuent, quoique un peu affaiblis et un peu plus lents, 
chez 1'animal prive de ses centres nerveux anterieurs. On verra par la suite de ce travail 
que je n'ai employe ce moyen que dans des cas assez rares. 



20 



RECHERCHES EXPERIMENTAL!^ 



et, a l'aide d'un crayon, on trace soigneusement les contours de la silhouette, 
en cherchant, ce qui n'exige que de la patience et de l'allention, a faire 
deux dessins superposes, Tun repondant a la phase d'expiration et 1'autre a 
la phase d'inspiration. (Voyez les figures 57 a 76, planches I a VII.) 

En changeantla position de 1'insecte de maniere a produire des silhouettes 
se rapportant a la coupe transverse de telle on telle parlie du corps, el 
meme, en collant, avec un peu de haume du Canada, sur certaines pieces a 
mouvements douteux, de petits styles de papier ires legers, dont on dessine 
les positions, on arrive a la connaissance complete de lous details qui carac- 
terisent les mouvements respiraloires d'un insecte donne. 

Les contours au crayon termines, on les repasse a 1'encre de Chine ; on 
peut meme, cornme je I'ai fait generalement (voyez les figures), mettre une 
teinte uniforme noire sur le dessin d'une des phases, la phase expiraloire, 
par exemple, el, pour eviter toute confusion ulterieure, laisser en hlanc ce 
qui depasse des surfaces appartenant a la phase opposee. 

Prenant, enfin, directenienl I'insecte comme modele et I'examinant a la 
loupe, on marque sur les dessins des silhouettes lous les points de repere 
utiles, tels que les limites du thorax, les limites des divers somites abdomi- 
naux, les numeros d'ordre de ces somites, etc. 

Avec de 1'habitude 1'observaleur parvient, a l'aide de la methode des 
projections, non seulement a eludier facilemenl les mouvements respira- 
toires de petits insectes, tels que des Mouches, des Coccinelles, de petits 
Hymenopteres, etc., mais il tranche sans discussion possible, une foule de 
questions que I'observation simple ne permet guere de resoudre avec cer- 
titude. 

Ainsi, il arrive souvent que, trompe par des mouvements d'incurvation, 
on croit voir a l'oeil nu ou a la loupe, des allongemenls el des raccourcis- 
sements alternalifs de l'abdomen, alors que les dessins superposes des 
silhouettes demontrent irrefutablement que la longueur de l'abdomen ne 
change pas. 

Plusieurs des physiologistes qui m'ont precede ( , victimes d'une illusion 



1 Kathke et Graber, entre autres. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 21 

Ires naturelle, ont dil que les mouvemenls respiratoires se propageaient, 
chez les insectes, d'anneau en anneau, sous forme d'onde, tandis que le 
procede permet d'assurer qu'un mouvement progressif de ce genre est rare 
et que, dans la plupart des cas, ('inspiration ou I'expiralion sont simultanees 
dans tous les anneaux aclifs. 

En outre, le grossissement employe etant determine, on peut utiliser les 
dessins pour mesurer, a une petite erreur pres, les valeurs relatives ou 
absolues des ehangements de diamelre et des deplacements des different.es 
parlies mobiles du corps des insectes mis en experience; chose absolument 
impossible par I'observalion directe. 

J'ai dit que le principe de la methode elait connu ; en effel, il y a une 
trentaine d'annees, le physiologiste anglais J. Hutchinson ', se souvenant 
probablement d'un moyen usite des I'antiquite pour dessiner des portraits 
en tracant sur une surface verticale les contours de l'ombre produile par la 
tete dune personne 2 , eut I'idee d'appliquer ce procede tres simple a Fanalyse 
des mouvements respiratoires de l'liomme. 

II placait le sujet qu entre un ecran Wane et une source lumineuse tres 
eclairante; puis, suivant les bords de la silhouette, il dessinait les contours 
des surfaces thoracique el abdominale dans les deux phases d'inspiration et 
d'expiration. Les figures demonstratives qu'il obtiut ainsi ont ele publiees 
dans la Cyclopaedia of Anatomy, etc., de Todd, puis reproduces dans plusieurs 
traites de physiologie. 

Hutchinson ne pouvait apprecier que des mouvements d'une amplitude 
absolue deja considerable. L'emploi d'un appareil a projection pour grandir 
notablement l'ombre de petits objets mobiles et pour arriver a dessiner avec 
neltete les diverses phases de mouvements tres peu etendus fut un progres 
consideraltle. On le doit a moo savant collegue H. Valerius, professeur de 



1 Hutchinson. Article Thorax dans Cyclopaedia of anatomy and physiology de Todd. 
Vol. IV. Londres , 1852. 

2 Suivant une tradition greeque rapportee pay Pline, la fllle de Dibutade de Sicyone 
traca sur un raur le contour de l'ombre projetee par la tete de son amant. Une tradition 
analogue attribue la decouverte du dessin a Saurias de Samos, qui l'aurait faite en tracant 
sur une muraille l'ombre d'un cheval. 



22 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



physique a 1'Universite de Gand, qui, en 1865, a applique cette methode inge- 
nieuse a Fetude des vibrations de fils de verve attaches par une de leurs 
extremites a un corps vibrant i . 

Posterieurement a la lecture de ma notice preliminaire a FAcademie 
royale de Relgique " 2 , E.-J. Marey, poursuivant ie cours de ses belles 
recherches sur les mouvements de Fhomme et des animaux, a Iu, a FAca- 
demie des sciences de Paris plusieurs travaux concernanl Fanalyse du 
meeanisme de la locomotion au moyen de series d'images pholographiques 
recueillies sur une meme plaque et represenlant les phases successives du 
mouvement. 

Dans la premiere communication 3 de l'ingenieux physiologisle il ne 
s'agissait que d'epreuves photographiques juxtaposees en serie liueairc, les 
unes a cote des autres 4 ; mais, dans les communications suivantes n , on voil 
ligurer des photographies nombreuses empietant plus ou moins les unes 
sur les autres et qui, dans les endroils ou elles se combiuenl ainsi, rap- 
pellent, jusqu'a un certain point, les dessins imagines par les freres Weber 
pour representer la marche de 1'homme, les dessins analogues concernant 
le cheval publies par Colin, les silhouettes superposees de Hutchinson et 
mes silhouettes d'insectes. 

Le lecteur se demaodera probablement pourquoi je n'ai pas eu recours 
aussi a des photographies instantanees dont les resullats doivent etre cer- 
tainement plus parfaits que de simples dessins. Je crois qu'un procede 
photographique m'aurait dillicilement permis d'arriver a une analyse aussi 
complete que celle que j'ai obtenue par un moyen plus naif. 

En ei'fet,les mouvements respiraloires des insectes sont, en general, assez 



i H. Valerius. Memoire sur les vibrations de fils de verve attaches par une de leurs extre- 
mites a un corps vibrant et libres a I' autre. (Mem. de l'Acad. hoy. de Belgique. Collection in-8", 
t. XVII, 1865.) 

2 Seance de la Classe des sciences du 3 juin. 

3 Comptes rendus de l'Acad. des Sc. de Paris, t. XCV, n" 1, 3 juillet 1882, p. 14. 

^ Voir un facsimile d'une serie des epreuves obtenues par M. Marey dans La Nature, 
numero du 22 juillet 1882, p. 116. 

y Voir, par exemple : Comptes rendus de l'Acad. des Sc. de Paris, t. XCVI1, n° 16, 
15 octobre 1883. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 25 

leiits pour que l'observateur qui marque, par fractions, les limites des mou- 
vetnents inspiratoires et expiratoires et qui assiste a la repetition rhythmique 
de ces mouvemcnts, ait tout le temps voulu pour analyser miuutieusement ce 
qui so passe. Les fcuilles qui portent mes dessins originaux se couvraient 
rapidemenl de signes, de flechcs et de notes qui m'ont toujours permis de 
rediger immedialemenl les resultats de chaque experience. Au moindre 
doute, je replacais dans I'appareil a projection l'animal essaye une pre- 
miere fois et celui-ci se chargeait de me fournir, en quelques instants, la 
confirmation on la correction demandee. 

L'analyse de photographies superposees devant se fa ire apres coup, je 
n'oserais assurer que leur etude fournisse, dans tons les cas, des resultats 
exempts d'indecision '. 

§ VI. 

Dissection des muscles respiratoires. 

La technique est ici tellement simple qu'il sufflra de quelques mots dedi- 
cation. L'insecte est plonge dans I'alcool pur du commerce et y sejourne 
vingi-quatre heures, trois on quatre jours, ou plus, suivant la laille. A 
I aide de ciseaux on fend ensuite les teguments de l'abdomen suivant les 
lignes medianes tergale et sternale, puis d'un coup de scalpel on divise aussi 
le thorax et la tete suivant un plan longitudinal-vertical. 

L'animal est ainsi partage en deux moities symetriques que Ton fixe 
sous l'eau et que Ton disseque a la maniere ordinaire, sous la loupe de 
Briickc. 

La dissection de la moitie droile, par exemple, permet de rectifier les 
erreurs commises en dissequant la moitie gauche. 



1 t)ans le cours de mes recherches, j'ai dessine cent trente-sept silhouettes de mouve- 
merits respiratoires ; je nen publie que vingt afin d'eviter la multiplicite des planches. 



n 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



§ VII. 
PROCEDES employes dans les experiences sur le systeme nerveux. 

E. Faivre, dans ses recherches sur rinfluence du systeme nerveux sur la 
respiration des Dytiques, a eu recours, dans certains cas, a de veritables 
dissections chez l'animal vivant. C'est ainsi que pour attcindre les ganglions 
abdominaux, il fixait 1'insecte sur une plaque de liege, lui enlevait le tergum 
du meso- el du metathorax, ecartant et coupant l'aesophage, et qu'il finissait 
par metlre a nu la masse allongee des ganglions de I'abdomen '. 

On comprend combien il est necessaire d'eviter ces mutilations graves. 
On y arrive en imitant le procede que V. Lemoine a imagine jadis pour 
1'excitalion des diverses parties du systeme nerveux de l'Ecrevisse, et qui 
consiste a determiner, une fois pour toutes, les rapports de position exis- 
tant enlre les ganglions ou les groupes ganglionnaires et des points de repere 
invariables situes a la surface du squelette tegumentaire 2 . 

II est naturcllemenl indispensable de sacrifier un des individus sur les- 
quels porteront les recherches. Celui-ci est plonge dans I'alcool pur plu- 
sieurs fois renouvele, ou meme dans I'alcool absolu, jusqu'a ce qu'il soil 
convenablement durci. On le divise ensuite, au rasoir, en deux moities 
longitudinales, mais en prcnanl la precaution de faire passer la section en 
dehors du plan exactement median, a I ou 2 millimetres, par exemple, a 
droite ou a gauche de ce plan. 

L'une des moities renferme ainsi la chaine nerveuse gangiionnaire en 
place et rien n'est alors plus aise que de determiner quels sont les points 
exacts de la face ventrale et de la face dorsale du corps par lesquels il 
faudra faire passer soil une aiguille, pour rencontrer a coup sur un ganglion 
ou un groupe de ganglions donnes, soit la pointe d'un petit scalpel ou les 
branches d'une paire de ciseaux fins pour couper la chaine en un endroil 
voulu. 



1 Faivre. De ('influence du systeme nerveux sur la respiration des Dytiques (Ann. des sc. 
nat. zoolog"., 4^ser., t. XIII, p. 326, 1860). 

2 Lemoine. Recherches pour servir a I'histoire des systemes nerveux, musculaire et glandu- 
laire de I'ecrevisse; these. Paris, 1868. (Keproduit dans les Ann. des SC. nat., 5" ser., 
t. IX, 1868.) 



SUR LES MOEVEMEiYfS RESP1RATOIRES DES INSECTES. 25 



CHAP1TRE III. 



TYPES RES Pill A TO IRES. 



§ VIII. 

CONSIDERATIONS PRELIMINAIRES. 

Saul' dans des cas rares, le meeanisme rcspiratoirc des insectes est loca- 
lise exelusivement dans 1'abdomen; cc qui a fait dire a V. Graber, par 
exemple, que ecs arthropodes avaient la poilrine a la partie posterieure du 
corps \ On peut ajouter que chcz les quelques formes on les segments tho- 
raciques offrent des mouvements rbylbmiqucs, ceux-ci ne sont qu'une conse- 
quence des mouvements abdominaux et on! lieu, en somme, par entrainement, 
sous rinfluence d'actions musculaires ou aulres abdominales. 

II est done utile, dans le but de faire bien saisir la nature des mouve- 
ments respiraloires qui seront decrits plus loin, dc rappcler brievement la 
constitution des anneaux ou somites de 1'abdomen. Comme il regne de plus 
one certaine confusion dans les termes; comme certains entomologistes, 
ineconnaissant ce que nous enseignent l'embryologie et I'etude comparative 
des Oustaces et des Myriapodes, oublient qu'il n'existe, entre les somites 
abdominaux et les somites tboraciques, d'autres differences que celles qui 
resullent des dimensions cxagerees de certaines parties el s'obstinent a n'ap- 
pliquer qu'au thorax seul des denominations qui conviennent a lous les 
segments du corps; on me permcltra d 1 indiquer, en meme temps, la valeur 
exacte des noms dont je me servirai dans le cours du travail acluel. 

La face dorsale du corps entier est la face tergale ; la face inferieure est 
la face stemale. 



V. Graber. Dielnsekten, 1. Th., p. 107, Miinchen, 1867. 
Tome XLV. 



26 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



L'abdonien est divise en segments annulaires ou somites, caracterises par 
un depot de chitine considerable et relies entre eux par des zones annulaires 
aussi a depot chitineux faible. On pent designer ces zones ou la peau est 
naturellemcnt flexible sous le nom de zones rnembraneuses annulaires. 

Dans un grand nombre de eas, le bord posterieur de chaque somite 
recouvre quelque peu le somite suivant; la zone memhraneuse annulaire est 
alors repiiee de lacon a former un pli rentrant analogue aux plis du cuir 
d'un soufflet. Grace a celte disposition, les somites peuvent se deplacer les 
uns par rapport aux autres dans le sens de 1'axc du corps, rentrant et sorlant 
comme les lubes d'une lunette. II o'est pas un natural isle qui n'ait observe 
des deplacements de cc genre dans l'abdonien des Hymeoopteres. 

Tout somite se decompose, a son tour, en deux arceaux, un superieur, 
arceau tergal (ou (ergile), un inferieur, arceau sternal (ou sternile), reunis 
Tun a Fautre par une zone memhraneuse laterale, dans laquclle se trouvent 
en general, mais non toujours, perces les stigmates l . 

La zone membraneuse laterale est tantot a decouvert, comme chez les 
Nevropteres vrais, les Lepidopteres, les Coleopleres (prives de leurs elytres), 
tantot cachee sous les bords des arceaux tergaux. 

Cbez beaucoup de formes, les bords lateraux de Fun des deux arceaux, 
le tergal ou lc sternal, depassent ceux de 1'autre. Ainsi, cbez les Acridiens, 
les Hymenopteres porte-aiguillon, les arceaux tergaux de l'abdonien 
recouvrent en partie les arceaux sternaux correspondants 2 . line disposition 
inverse s'observe en general cbez les Coleoptercs, les bords des arceaux 
sternaux s'elevant plus baut que ceux des arceaux superieurs. Lorsque Fune 
ou I'autre de ces dispositions existe, la zone memhraneuse laterale unissant 
Farceau tergal au sternal, forme un pli rentrant. 

L'arceau tergal et Farceau sternal soot done susceptibles de s'eloigner ou 



i On sait quo chacun des arceaux d'un memo somite est constitue, en realitc, par quatre 
pieces tegumentaires : deux sternales proprement dites et deux episternales pour l'arceau 
inferieur; deux tergalcs proprement dites et deux epimeriennes pour l'arceau superieur. 

2 Les parties laterales des arceaux sternaux off'rent, dans ce cas, des prolongements assez 
considerables auxqucls s'insercnt des muscles. Donnant une signification plus generale a 
un terme introduit par Audonin, j'appelle apodeme toute saillie quelconque du squelette 
servant a des insertions musculaires. 



SUR LES MOUVEMEINTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 27 

de se rapprocher verticalement; soit que tous deux effcctucnt ces mouve- 
ments, soit que Fun d'entre eux resle fixe el que l'autre seul se deplace. 

11 est a remarquer que la presence de la zone membraneuse lalerale a 
generalement pour effet, lors du rapprochement vertical des arceaux tergaux 
et sternaux, de determiner une legere incurvation en dedans des bords des 
arceaux de l'une des deux categories an moins, d'ou une diminution du 
diametre transversal de Fabdomen. 

11 resulte des dispositions anatomiqucs bien connues que je viens de rap- 
peler que les mouvemenls respiratoires possibles, chez les insectes, consistent 
ou bien en rapprochements cl, eloignements alternalifs des somites, c'esl-a- 
dire en raccourcissements et allongements de 1'axe longitudinal du corps; 
ou bien en rapprochements et eloignements allernatifs aussi des arceaux 
tergaux et sternaux, ce qui revient a des diminutions et a des accroissements 
des diametres vertical et transversal; ou bien en fin, en des combinaisons de 
ces deux genres de mouvemenls 1 . 



§ ix. 

Les trois types respiratoires principaux et leurs subdivisions. 

La plupart des pliysiologisles qui se sonl occupes de la respiration des 
msectes onl etudic trop peu de formes pour concevoir nettement I'existence 

' Les stigmates prescntent des dispositions anatomiques permettant aux insectes de les 
termer ou de les maintenir ouverts. Le travail interessant de 0. Krancher ( Bau der Stigmen 
bei der Inselcten, Zeitschr. f. wiss. zool., Bd. XXXV, 1881) est, je pense, le dernier qui ait 
t'te publie sur ce sujet; on y trouve une bibliographic assez complete de la question. 

La eonnaissance du mecanisme respiratoire des insectes ne sera complete que lorsque 
nous saurons exactement comment les stigmates se comportent pendant la respiration nor- 
niale. Huxley (Anatomy ofinvertebrated animals, p. 437) resume bien, a cet egard, 1'opinion 
generalement admise. « Lorsque, dit-il, la cavite abdominale se dilate, Lair y penetre par 
8 les stigmates et lorsque les parois de Fabdomen se contractent, les stigmates etant ouverts, 
8 "expiration a lieu; mais si les orifices stigmatiques sont fermes, la contraction abdomi- 
8 nale determine la penetration du gaz dans les parties profondes du systeme tracheen. » 

" n y a la qu'une hypothese tres plausible , les observations ou les experiences qui out 
c 'te faites jusqu'a present etant insufflsantes. 

^omme je n'ai point trouve de precede d'investigation convenable, j'ai laisse de cote 
etude des phenomenes, rhythmiques ou non, que pcuvent nous offrir les orifices respira- 
toires ; j'en ferai peut-etre plus tard 1'objet de recherches speciales. 



28 



RECH ERCHES EXPERIMENT ALES 



de types respiratoires differenls et, a plus forte raison, pour tenter de grouper 
les insectes suivant ces types. 

Rathkc 1 , qui, apres l'examen minulieux auquel il s'etait livre, avait entre 
les mains les materiaux necessaircs, a cependant neglige d'etablir tin classe- 
ment satisfaisant dans ses resullals. Plus lard, Gcrstaecker 2 , ulilisant les 
donnees fournies par Rathkc, est arrive a admeltre les quatre types respira- 
toires suivants : 

4° HymSnopteres. 

L'abdomen se raccourcit el s'allonge alternativement. 

2° Coleoptercs. 

Les arceaux sternaux restcnt a pen pres immobiles; les arceaux tergaux 
s'abaisscnl el s'elevent. 

3° Odonates et Acridiens. 

Les arceaux tergaux bougent peu, les arceaux sternaux montenl et des- 
cendent. 

4° Lepidopteres. 

Les arceaux tergaux el sternaux se deplacent, s'eloignanl et se rappro- 
chant alternativement. 

Cette classificalion tend a consacrer une erreur en ce sens qu'elle suppose 
les Hymenopleres des insectes trop exceptionnels. Non seulement les Hyme- 
nopteres ne sont point les seuls dont 1'abdomen change de longueur d'une 
maniere rhythmique, mais de plus, comme Ions les insectes, ils oflrent des 
mouvcments respiratoires consistant en eloignemenls et rapprochements 
alternalifs des arceaux tergaux et sternaux. 



i Anatomisch-physiologische Untersuchungen uber den Athmmgs prozess tier Insekten. 

Op. cit. . ( 

2 Arthropoda, dans Bronn's Klassen uni> Ordnungen des Thier-Reichs. 8< er Bd., a uei., 

p. 131. 



SUR LES MOUVEMENTS RESP1RAT01RES DES 1NSECTES. 29 

Mes recherches m'ayant montre, en effet, que chcz loos lcs insectes la 
phase expiratoire est caracterisee par un rapprochement des elements infe- 
rieurs et superieurs de l'abdomen, sous l'influence de muscles a direction 
plus ou moins verticale, il m'est impossible d'accepter le groupement propose 
par Gerstaecker. 

Une etude comparative des details me fait admettre /rot's types respira- 
(oires seulemeut, chaque type comportant des subdivisions d'une valeur 
secondaire. 

L'ordre dans Icquel ces types sont decrits n'est pas celui qu'indique une 
methode rigoureusement scienliflque. Au lieu de debuter par le type le plus 
simple, je mets, au contra ire, en tete, un type assez complexe, celui auquel 
appartiennent les Coleopteres. 

J'ai ele conduit a en agir ainsi par la neeessite d'exposer d'abord les 
observations que j'ai faites sur le groupe d'insectes le plus favorable a 
^experimentation. Le lecteur restera libre d'inlerverlir l'ordre des types 
I'espiraloires comme il l'enlendra. 

Des figures representant des coupes transversales d'abdomens, dans les 
deux phases inspiratoire et expiratoire, rendront, je Tesperc, le resume 
ci-dessous parfaitcment clair. La position des pieces tegumentaires en inspi- 
ration est indiquee par un (rait plein, la position des memes pieces en 
expiration est figuree par un trait pointille, des Heches montrent le sens du 
mouvement expiratoire. 



Premier type. 




Les arceaux sternaux, ordinairement solides et fort 
convexes, bougenl pen. Les arceaux ter- 
i>aux soul ires mobiles ; ils s'elevent et 
s'abaissent alternativement d'une quantite 
notable. 

A. Tons lcs Coleopteres. 

B. Les Hemipteres heteropleres. 
(. Les Orthopteres blaitiens. 



t] S- 4. — Coupe de l'abdomen d'un Coleoptere 
scarabeien. 



30 



R ECH ERCH ES EX PERIM ENT ALES 



Fig 



Deuxieme type. — Les arceaux tergaux tres developpes chevauchent late- 

ralement sur les arceaux sternaux et cachent 
generalement la zone membraneuse laterale, 
qui fait un pli rentrant. 

Les arceaux tergaux et sternaux se rap- 
procheut et s'eloignent alternativement. Les 
arceaux sternaux sont presque toujours les 
plus mobiles. 




- Coupe de l'abdomen d'une HymfoiopteiT 
clu genre Dombus. 



A. Les Odonates. 

B. Les Diptercs. 

C. Les Hymenopteres porte-aiguillon. 

I). Les Orthopteres (Forficuliens?) et Acridiens. 

Troisiime type. — La zone membraneuse laterale unissant les arceaux 
tergaux et sternaux est a nu sur les (lanes et tres 
developpee. 

Les arceaux tergaux et sternaux se rapprocbent et 
s'eloignent alternativement tandis que la zone mollc 
laterale est deprimee ou reprend sa forme premiere. 

A. Orthopteres locustiens. 

B. Lepidopleres. 

Fig. 6. — Coupe de l'abdomen ' * . . 

d'uuLepidopteresphingien. C. Nevropteres propres (moms les Phrygan.cns). 




SUBDIVISIONS DU PREMIER TYPE. 
A. Coleopteres. 

a. En expiration, l'arceau tergal devient plus plat; sa region mediane 

s'abaissant generalement plus que ses bords. 



llydrophilus, Hydrochares, Dytiscus, Colymbetes, 
Cicindela, Oryctes, Melolontha, Trichius, Dona- 
cia, Corymbites, Chlorophanus, etc. (fig. 4). 




Fig. 4. — Repetition de la figure 4 (forme-type 
chez les Coleoptferes). 



SUR LES MOU YEMENIS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 31 



b. En expiration, les regions laterales tie 1'arceau tergal se creusent; la 
t parlic mediane, formanl un pli saillant, 

s'eleve et amene une augmentation du 
diametre vertical de 1'abdomen. 

Telephorus (tig. 7). 



Fig. 7. — Coupe de 1'abdomen d'un Coleoplere 
du genre Telephorus. 

c. En expiration, les regions laterales de 1'arceau tergal se creusent; la 
f parlie mediane se souleve et il y apparait un 





sillou longitudinal (fig. 8). 

Clylus . Coccinella. 



Fig. 8. — Coupe de 1'abdomen 
de la Coccinella septan punctata. 

H. Hemipteres heteropteres. 

En expiration. 1'arceau tergal devient plus plat en s'abaissant; 1'arceau 

sternal s'eleve ordinairement d'une petite 
quantite (excepte chez les Nepes) (fig. 9). 

Nepa , Pyrrhocoris. 




Fig. 9. — Coupe de 1'abdomcn 
de la Nepa. cinerea. 

C. Orthopleres Mattiens. 

Les mouvements respiratoires sont, a pen pres identiques a eeux qui 

s'ohservent chez les Hemipteres heteropteres 

(fig. I 0). 

Periplaneta, 




Fig. 10. — Coupe de 1'abdomen 
<le la Elatte [Periplaneta orientalis). 



52 



RECHEKCHES EXPER1MENTALES 




SUBDIVISIONS DU DEUXIEME TYPE. 
A . Odonates. 

En expiration, les plaques sternales proprement dites, Ires etroites, 
f . s'elevent notablement, les flancs rcn- 

trent et la crelc dorsale s'aceuse. 

La longueur de Pabdomen reste 
invariable. 

Libellula (fig. 11), JEschna, Agrion. 

Fig. 11. — Coupe dc l'abdomen de la Libellula 
quadrimaculala . 

B. Dipteres. 

En expiration, les plaques sternales proprement diles, de largeur variable, 

s'elevent; les flancs rentrent. 

La longueur de l'abdomen change 
cliez quelques formes. 

Calliphora, Lucilia (fig. 15), Eristalis (fig. 12), 
Tabanus, Asilus, Tipula, elc. 

Fig. 12. — Coupe do l'abdomen de I'Eristatis tenets. 





Appendice aux Diptehes. 
Hymenopteres chrysidiens, Chrysis ignita. 



Fig. 13. — Coupe de l'abdomen de la Lucilia. ccesar. 

C. Hymenopteres porte-aig-uillon. 

Les arceaux stcrnaux sont prolonges vers le haut par des apodemes tres 
developpes. En expiration, les arceaux sternaux s'elevent; les arceaux ter- 
gaux s'abaissent et l'abdomen se raccourcit d'une fagon notable ct constante 
(yoyez fig. 5). 

Vespa, Apis, Bombus, Anthophora, cic. 

Appendice mix IIyme.noptehes pokte-aigcileon. 
Nevropteres phryganiens ( Phrygan en). 




SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 55 



D. Orthopteres (forficuliens?) et acridiens. 

Les arceaux sternaux se prolongent vers le haut, sous les parties laterales 

des arceaux tergaux, par de grands apodemes 
ascendants. En expiration, les arceaux sternaux 
s'elevent; les arceaux tergaux descendent un 
peu et les flancs rentrent faiblement (fig. 14). 
La longueur de Pabdomen ne change guere. 

~ (Forficula?), Stelheophyma, Stenobothrus. 



tig. 14. — Coupe de l'abdomen 
du Stettieopln/rna grossutn. 



SUBDIVISIONS DU TROISIEME TYPE. 

H n'y a pas lieu d'etablir ici de subdivisions d'apres les formes des mou- 
vements respiratoires, qui sont sensiblement les memes pour tous les insectes 
appartenant a ce groupe. Je me bornerai done a mettre les animaux que j'ai 
Indies dans Pordre artificiel suivant : 

A. Orthopteres locusliens. 

B. Lepidopteres. 

C. Nevroptercs propres (moins les Phryganiens). 

La classification ci-dessus n'est qu'un moyen de grouper les foils que j'ai 
observes moi-memc; il est evident que 1'etude des mouvements respiratoires 
d'une foule d'insectes exoliques que je n'ai pu manier a l'elat vivant y 
amenerait des modifications profondes. Le Iecteur voudra bien ne voir dans 
ce groupement qu'un premier essai donl 1'auteur comprend toute Pimper- 
fection. 



Tome XLV. 



u 



RECH ERCHES EX PERI MEJNTA LES 



CHAPITRE IV. 



ETUDE DU PREMIER TYPE. 



A . C!ol6optcres. 
Hydrophilus pice us. 



L'Hydrophile brun, I'un de nos grands Coleopleres indigenes, etait tout 
naturellement designe, par sa laille, pour des etudes sur Ies mouvemenls 
respiratoires. 

Depuis Nitzsch i qui decouvrit la facon curieuse dont cet insecle vient 
puiser de lair a la surface de 1'eau, on a frequemmenl repete et decrit la 
meme observation, mais bien peu de pbysiologistes se sont occupes du 
mecanisme a 1'aide duquel l'Hydrophile expulse l'air charge d'acide carbo- 
nique, ou fait penelrer dans son systeme tracheen une partie de Fair pur 
qu'il emporte avec lui. 

Un ancien auleur, Friscb 2 , a vu les mouvements respiratoires abdominaux 
chez un Hydrophile dont il avait enleve les elytres, et Nitzsch 5 , deja cite, a 
cru constater des mouvements d'allongement et de raccourcissement alterna- 
tifs dans I'abdomen du meme insecte lorsqu'il renouvelle sa provision d'air; 
mais Tun el Fautre se servent de termes si vagues que la question reste 
entiere. 

J'ai fait sur celle forme un grand nombre d'experiences et d'observations 
variees dont je grouperai les resultats suivant les methodes employees. 

-• Nitzsch. Ueber das Athmen tier Jlydrophilen (Archiv. fur die Physiologie de Reil et 
Autenrieth, Bd. 10. Halle, 1811). 

2 Frisch. Beschreibung von allerley Insekten in Teulschland, Th. 2, p. 30. Berlin, 1721. 
(Cite par Nitzsch.) 

3 Nitzsch. Op. cit., p. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 35 



§ XI. 

Etude des mouvements respiratoires de l'Hydrophile par la methode graphique. 

L'insecle est fixe sur le support qui porte l'axe du Ievier, par quatre 
epingles fines, deux d'entre elles traversent les rcbords laleraux du pro- 
thorax, les deux autres sont implantees dans les bords du tiers anlerieur des 
elytres et ne touchent, par consequent, pas l'abdomen. 

Vu les puissants efforts que l'animal pent faire a l'aide de ses pattes, on 
coupe celles-ci a ras des trochanters (voir plus haut § IV, page 16). 

La premiere categoric de mouvements a analyser est evidemment celle 
des emplacements de haut en has de la face (ergale de l'abdomen; il resulle, 
en efi'et, des observations direcles de Faivre, de Rathke, de Graber et de 
plusieurs autres, que, chez les Coleopleres considered d'une facon generate, 
les mouvements respiratoires peuvent se resumer comrae suit : les somites 
abdominaus bougent peu les uns par rapport aux autres, e'est-a-dire suivant 
l'axe du corps, mais, dans chaque somite, 1'arceau sternal restaut relative- 
ment immobile, l'arceau tergal s'elevc et s'abaisse allernativement, Peleva- 
tion repondant a l'inspiration, l'abaissement a 1'expiration. 

J'ai eludie graphiquemenl ce genre de mouvements respiratoires chez 
l'Hydrophile, en employant successivement les deux procedes du Ievier 
transversal et du style inscrivant porte par l'insecle lui-meme, decrits au 
§ IV, pages 13 et IS. 

Letter transversal. ■ — Une fenetre est pratiquec dans les elytres de facon 
a nicltre a nu la region mediane du premier et du second arceau tergal; le 
talon du Ievier repose sur la limite entre ces deux arceaux. 

Le premier (race A indique des mouvements respiratoires rapides, 

environ trente par minute. 

L'animal est, en effet, sous I'influence 
de l'excitalion produite par les manipu- 
lations qui ont precede l'experience. 
La portion ascensionnelle de la 
courbe represente l'inspiration; sa forme montre une diminution assez 




Sens de la rotation du cvlindre. 



36 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 




Sens de la rotation du cylindre. 



grande de vitesse a la fin de la dilatation abdominale ; la portion descen- 
dante de la courbc, repondant a l'expiration, debute d'une facon brusque. 
On remarquera que chez rinsecte excite, il n'y a de pause ni en inspira- 
tion, ni en expiration. 

Quelques minutes plus tard, l'Hydrophile, beaucoup plus calme, respire 

plus Ientcment, vingt-trois fois par 
minute, et fournit le graphique B ou 
nous retrouvons encore une fois la 
chute brusque, presque verticalc, du 
levier durant l'expiration, mais ou 
nous constalons line pause bien nette en inspiration. II suffit, du reste, de 
regarder la face dorsale du Coleoptcre pour constater dircctcment cetle 
pause inspiratoire qui ne fera que s'accentuer, jusqu'a une certain© limite, 
lorsque 1'animal fatigue respirera avec une lenteur encore plus grande. 
Le graphique C, pris une demi-heure apres le precedent, monlre, en cffet, 

outre un grand ralentissement, 

rilydrophile ne respirant plus 

que dix fois par minute, un 

allongement considerable de la 

pause en inspiration. 

Mes observations sur d'autres individus tendent a prouver que si l'insecte 

s'epuise encore davantage, la pause inspiratoire ne s'allonge plus guere. La 

modification interesse alors rainplilude de la courbe, qui devient tres peu 

elevec au-dessus de Thorizontale. 




Sens de la rotation du cylindre. 



Style longitudinal parte par l'animal meme (voyez figure 3). — Le pre- 
mier arceau tergal abdominal de noire Coleoptere, etant articule avec le 
bord posterieur du metathorax a peu prcs immobile, ne peut parliciper que 
parliellcment aux mouvements d'elevation et d'abaisscment de renscmble de 
la face dorsale de I'abdomen; il en resulte qu'il execute des mouvements de 
bascule; s'inclinant en arriere en expiration, reprenanl une position bori- 
zontale ou s'inclinant meme un peu en avant en inspiration. 

Ces mouvements speciaux, que la methode des projections permet d'ana- 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 37 



lyser beaucoup mieux et dans Ions leurs details (fig. 57, pi. I), peuvent 
etre mis en evidence par I'emploi d'un style longitudinal equilibre dont la 
petite plaque inferieure est collee au baume du Canada stir le premier 
arceau tergal et empiete un peu sur le deuxieme. 

La pointe du style inscrivanl s'etend en avant de la tete de I'insecte, 
comme le montre la figure 3. La plaque inferieure suivant les mouvemenls 
du premier arceau tergal, la pointe du style se releve lorsque cet arceau 
s'incline en arriere. La portion ascendanle de la conrbc (racee repond done 
cette fois a I' expiration. 

Le grapbique D, ainsi oblenu, n'offre pas grand interel; mais il montre 
— ,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^_^___ une fois de plus la brusquerie 
wgt avec laquelle debute le mou- 

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^™ vemenl expiratoire. Quant aux 

-<■ — Sens de la rotation du cylindre. vi i i • i« 

pauses qu il semble indiquer, 
je n'oserais ricn en deduire, le style etant un peu lourd pour Fanimal. 

Les resultals des diverses experiences qui precedent lendent done a nous 
(aire admeltre que, cbez I'llydrophile, I'inspiration se fait plus lentement 
que I'expiration ; qu'il existe, chez cet insecte, une pause ins|)iratoire mar- 
quee; enfin, que 1'expiration est un mouvement relalivement brusque. L'etude 
des autres Coleopteres nous permettra de conslater si ces faits offrent un 
caractere general. 

Les experiences ci-dessus out un resullat d'une autre nature; elles nous 
montrent combien le rbythme respiratoire d'un meme individu varie d'un 
instant a 1'autre el nous prouvent qu'il est parfaitemenl inutile de vouloir 
appliqucr la methode grapbique a des recberches sur le nombre des mouve- 
menls respiratoires des insectes en un temps donne. D'autres essais, et specia- 
lemenl ceux que j'ai faits sur le Dylique, convaincront le lecteur a cet egard. 

•le viens d'exposer comment j'ai cliidie grapbiquement les mouvements 
de la face tergale d'un des somites de 1'abdomen de I'llydrophile. On com- 
prend que cetle f'acoii de proceder est insufiisante. Tons les somites offrenl- 
ils le meme pbenomene? el, s'il en est ainsi, I'inspiration ou I'expiration 
ont-elles lieu pour tons en meme temps? 

La question offre un certain interet, car Rathke et Graber admettent que 



38 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



les mouvemenls respiratoires des insectes se propagent souvent de somite 
a somite a la facon d'une onde : « A chaque respiration, dit Rathke, a propos 
»> des Coleopteres, la face dorsale des premiers aimeaux s'eleve ou s'abaisse 
» d'abord, puis le mouvement se repete ensuite dans les derniers anneaux 
» de l'abdomen. II est plus rare que le mouvement debute au milieu et 
» progresse de la en avant et en arrierc '. » 

Si Ton enleve completement les elytres et les ailes de I'FIydrophile et si 
Ton examine directement la face dorsale de l'abdomen, on voit, pendant 
I'inspiration, le profil general et longitudinal de cette face devenir convexe, 
le point culminant elant a la limite des arceaux superieurs 1 et et 2. En ce 
moment, les somites 1, 2, 3 sont eloignes les uns des aulres autant que pos- 
sible, les zones membraneuses qui les unissent sont a nu, l'extremile poste- 
rieure de l'abdomen est un peu abaissee. 

Survient I'expiration ; le profil general de la face dorsale de l'abdomen 
devient concave, l'enscmble des somites 1 et 2 forme un plan oblique 
descendant en arriere, ces somites et le troisieme chevauchent actuellement 
les uns sur les aulres, enfin, la pointe de l'abdomen se releve vers le baut 
d'une facon manifesle. 

L'impression premiere est cede d'un mouvement vermiculaire, surtout 
en expiration, et Ton comprend fort bien comment Rathke et Graber ont 
pu voir, chez les insectes, une onde se propageant de la base de I'abdomen 
vers son extremite. Je ne detaillerai pas les experiences que j'ai faites 
a l'aide de leviers multiples reposant en differents points du corps de 
THydrophile, dans le but de m'assurer s'il existe, oui ou non, une onde 
veritable, parce qu'elles ne m'ont donne que des resultats de beaucoup infc- 
rieurs a ceux que j'ai obtenus a l'aide de la methode des projections. II 
suffira de dire, pour eviter a ceux qui voudraient repeter des essais analo- 
gues, les erreurs d'interpretation commises a mes debuts, que si Ton fait 
reposer a la fois deux leviers, I'ua sur la limite entre les arceaux dorsaux 
1 et 2, comptes a partir du thorax, l'autre sur la limite entre les arceaux 



i Anatomisch-physiologische Untersuchungen uber den Athmungsprozess der Insekten. 
Op. c$7., p. 102. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 



39 



3 et 4, ces deux leviers marchent en sens contraire et tracenl deux courbes 
inverses; le premier levier s'abaissant lorsque I'autre s'eleve, etc. D'ou 
j'avais deduit, un peu nai'vement, que la base de I'abdomen est, effectivement, 
en expiration lorsque la seconde moitie est en inspiration et vice versa. 
A celte epoque 1'onde abdominale me paraissait demonlree. 
Mais tout s'explique si l'on remarque qu'il n'y a pas seulement des mou- 
vements dans la face tergale des anneaux, que la totalite de la seconde moitie 
de I'abdomen (sa face sternale comme sa face tergale) se releve en bloc 
a chaque expiration el s'abaisse dans chaque mouvement inspiratoire. Le 
levier anterieur n'obeit qu'aux deplacements reels de la face tergale des 
somites de la base de I'abdomen, tandis que le levier posterieur est au con- 
traire mis en mouvement par les oscillations de l'extremite du corps. 

Veut-on une preuve directe de ce fait? il suffit de mettre sons les anneaux 

abdominaux 3 el 4 un 
levier B (fig. 15) a bras 
inegaux dont le bras le 
plus long soit maintenu 
>d en contact avec la face 
Fi „ i;; sternale de I'abdomen par 

Taction d'un leger contre- 
poids C l fixe au bras le plus court. Le levier ordinaire A repose, comme dans 
''experience precedente, sur la limite entre les faces tergales des somites 1 el 2. 
Dans ces circonstances, on voit les deux leviers marcher en sens inverse 
et presenter exactement le meme antagonisme dans leurs mouvements que 
s ' le levier B ou posterieur reposait sur les somites 3 et 4 au lieu d'etre en 
r apporl avec leur face inferieure. 

J'ai fait cette experience dans les meilleures conditions pour que l'insecte 
presentat des mouvements respiraloires normaux, c'est-a-dire que I'abdomen 
elait reste recouvert par les elytres et que le contact du levier dorsal A 
n'avait lieu qu'au travers d'une fenetre percee dans ces etuis. Elle nous 
montre que, chez l'Hydrophile au moins, l'onde que l'on croit voir, par 




1 Une boulette de cire. 



40 



RECHERCHES EXPERIMEINTALES 



I'observation directe, a la surface de l'abdomen, n'est qu'une illusion resul- 
tant de ce que l'ceil ne peut suivre convenablement deux mouvements 
combines, celui de l'affaissement, par exemple, de la face tergale des somites 
et le mouvement oscillatoire de la deuxieme portion de l'abdomen. Je revien- 
drai, du reste, sur ce sujet, a propos des experiences par projection. 

Enfin, j'ai cberche, a l'aide de differents systemes de leviers, a constater 
si, pendant les mouvemenls respiratoires de 1'IIydrophile, l'abdomen de 
1'animal s'allonge et se raccourcit successiveinent d'une maniere appreciable. 
Question interessante dont la solution permet de classer definitivement Ietype 
respiratoire des Coleopteres. L'observation directe et des precedes dont j'ai 
reconnu les defauts depuis m'ont encore une fois induit en erreur. J'ai cru 
un instant et ceux qui observent superficiellement s'imagineront aussi que 
l'abdomen de notre insecte s'allonge en inspiration et se raccourcit nota- 
blement en expiration. C'est la une nouvelle illusion contre laquelle je 
premunis le lecteur et que la metbode des projections fait disparailre. 



§ XII. 

Etude des mouvements respiratoires de u'Hydrophiue par la methode des projections. 

L'Hydrophile prive de ses elylres, do ses ailes et de ses pattes est fixe, 
sur la lamelle de liege a glisser dans l'instrument, par deux epingles fines 
traversant les bords lateraux du protborax. De petils styles de papier soul 
colles au baume sur les faces tergales des somites abdominaux 1, 2, 3, i, 5 
et sur la face tergale de la pointe de l'abdomen. L'image est nelle avec un 
grossissement d'environ six diametres; de sorte qu'il est facile de constater 
de petits mouvements qui, cbez 1'animal, n'auraient que '/o de millimetre 
d'amplitude. 



l ra Experience. — • Afin de memettre d'abord a 1'abri des erreurs d'inter- 
pretation amenees par les mouvemenls generaux de l'abdomen et pour pou- 
voir analyser les mouvements respiratoires verticaux seuls, je fixe, par une 
epingle fine E, I'extremile de l'abdomen (fig. 57, pi. 1). On verra, plus 
bas, que celte disposition n'altere en rien les resullals. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPUUTOIRES DES INSECTES. 41 

Dans la description, je supposerai que I'insecte etait en inspiration. Le 
contour de la silhouette de la face dorsale de l'abdomen offre alors 1'aspect 
d'une ligne convexe vers le haut dont le point culminant repond a la limite 
des somites \ et 2. 

Pendant l'expiration, toutes les pieces en mouvement se deplacent a la 
fois. II n'y a pas de mouvement progressif d'un somite a I'autre, pas (Ponde. 
J'insiste sur ce fait en raison de son importance propre et aussi parce que 
les descriptions m'obligeant a citer successivement les phenomenes speciaux 
a chacun des somites principaux, je desire que le lecteur ne deduise pas, 
de la forme de la redaction, une progression qui fait absolument defaut. 

Durant l'expiration, le metathorax ne reste pas tout a fait immobile; il 
s'abaisse un pen, entrainant Iegerement le mesothorax dans ce mouvement; 
la face tergale du somite 1 s'incline fortement en arriere; celle des somites 2, 
3, 4, $ s'abaisse a peu pres verticalement, le maximum d'effet ayant lieu 
a la hauteur du deuxieme anneau. Le contour de la silhouette de la face 
tergale de l'abdomen est alors une courbe concave; un leger deplacement 
de la base des styles indique que les somites chevauchent actuellement les 
uns sur les autres. 

Pendant ce temps, Tepine inferieure du metathorax est un peu deplacee 
vers le haut; il en est de ifl&ffie des faces sternales des somites 3, 4, 5, qui 
offrent, en outre, un leger mouvement d'arriere en avant. 

La diminution du diametre vertical de l'abdomen mesuree a la hauteur 
du deuxieme somite varie, suivant les individus, de '/ 7 a % Les mouvements 
expiratoires sont done tres profoncls. (Voyez le tableau II du § XCII.) 



2 e Experience. — L'insecte porte les m^mes styles, mais 1'extremite pos- 
lerieure de l'abdomen est libre K 

Les mouvements respiratoires affectent exactement les memes allures, 
dependant, la seconde moitie de l'abdomen oscille maintenant dans le sens 
vertical, sa pointe se relevant en expiration, tantlis que la face tergale se 
cr euse. Ces deplacements rendent l'execution des dessins tres laborieuse; la 

] Afin de ne point surcharger les planches, je n'ai pas reproduit la silhouette repondant 
;> > cette experience. II en est malheureusement de meme dans un grand nombre d'autres cas. 



Tome XLV. 



6 



42 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



precaution que j'avais prise de faire des experiences prealables sur des indi- 
vidus dont I'extremite de Fabdomen etait fixee, m'a seule permis d'inter- 
preter nettement ce qui se passait sur I'ecran. 

En suivant de la pointe du crayon l'ombre de I'extremite de Fabdomen, 
on constate que cette extremite decrit un petit arc d'uri grand cercle dont le 
centre serait au milieu de ForiFice postericur du metathorax. II en resulte 
que Fabdomen de FITydrophile n'offre ni allongements ni raccourcissements 
pendant les mouvements respiratoires. L'illusion de Fobservateur qui, regar- 
dant directement le Coleoptere, croit voir le corps de celui-ci s'allonger en 
inspiration, est evidemmentdue a Fare de cercle que I'extremite de Fabdomen 
decrit dans Fespace. 



3 e Experience. — Les images decrites ci-dessus ne nous ont appris que 
ce que Fon peut observer dans une section verticale longitudinale de l'Hydro- 
phile; il restait a etudier les details que presente une coupe transversale. 

A cet effet, Finsecte est place dans Finstrument de facon que sa te"te 
regarde la flamme de la lampe et que I'extremite de son abdomen soit 
tournee vers les lentilles. 

Le deuxieme somite abdominal, celui de tous, comme nous Font appris 
les essais precedents, qui offre les mouvements les plus accentues, a e"te 
garni d'avance d'une serie de petits styles colles au baume et disposes de la 
maniere suivante : un style sur le milieu de la face tergale, un style sur la 
moitie gauche de cette face, un style sur la zone molle membraneuse por- 
tant les stigmates et, enfin, deux styles sur les regions epimeriennes. 

En deplacant Finsecte dans Finstrument et en modifiant la position des len- 
tilles, on obtient aisement une silhouette nette de Fanneau abdominal en ques- 
tion, qui se presente par consequent sur I'ecran comme s'il etait vu en coupe '. 

Voici ce que Fon constate dans ce cas : a chaque expiration, toule la face 
tergale du somite s'abaisse a la fois; les deplacements lateraux des styles qui 
peuvent nous renseigner a cet egard etant insignifiants, il n'y a evidemment 
point de changements de courbure un pen notables. 

i La figure 59, planche II , concernant Y0ryct.es nasicornis donne une bonne idee des 
silhouettes de ce genre. Les faits observes chez l'Hydrophile sont un peu differents; il 
importe de ne pas l'oublier. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPfRATOIRES DES INSECTES. 43 

La zone molle laterale qui porte les stigniales se deprime aussi directe- 
ment et verticalement; l'obliquite de son style ne change pas. 

Les epimeres, enlraines par les mouvements de la membrane qui les relie 
aux pieces tergales, s'inclinent manifestement en dedans, pour se relever plus 
tard en inspiration. Tous ces mouvements sont simultanes. 

Les parties Iale>ales inferieures des somites restent immobiles. Elles ne 
peuvent bouger, vu leur union intime avec le metathorax. 

Resume. — Les resullats obtenus permettent de resumer nettement la 
serie de mouvements que pr^sente un Hydrophile qui respire. 

MIT* CiKmiSHAUX. 

1° La face tergale du metathorax participe legerement aux mouvements respiratoires de 
l'abdomen (detail que nous retrouverons chez d'autres Coleopteres et que Rathke avait 
signals anterieurement chez les Carabes et les Staphylins). 

2° Les mouvements respiratoires ont lieu dans tous les somites abdominaux a la fois ; il 
n'y a pas d'onde appreciable. 

3° La dilatation de l'abdomen en inspiration est plus lente que la contraction expiratoire, 
caractere deja observe en 1805 par Sorg chez le Liicaniis cervus. 

4° Pendant les mouvements respiratoires, l'abdomen oscille verticalement, mais ne 
change pas de longueur. 

Particularites proprcs a chacune dcs deux phases. 



Expiration, 

'-e mouvement debute d'une facon brusque. 

L arceau tergal du premier somite s'incllne en arriere. 

Le s arceaux dorsaux des autres somites s'abaissent sans 
changer notablemenl decourbnre dans le sens trans- 
versal. 

L « maximum d'effet s'observe pour le somite 2. 

a surface dorsale de l'abdomen devient concave dans 
16 sens longitudinal. 
es arceaux dorsaux ehevaucbent les uns sur les autres. 

L 'exlremite de l'abdomen se releve. 

a 7 :?"6 molle laterale qui porte les stigmates forme un 
P" Plus accuse et se deprime '. 

es rebords lateraux ou epimeriens de l'abdomen s'in- 
clinent en dedans. 



Inspiration. 

II existe une pause plus ou moins longue en inspiration. 
L'arceau tergal du premier somite devient horizontal 
ou s'incline un peu en avant. 

Les arceaux dorsaux des autres somites s'elevent. 



Le maximum d'effet s'observe a la limite des somites 
1 et 2. 

La surface dorsale de l'abdomen devient convexe dans 

le sens longitudinal. 
Les arceaux dorsaux s'eloignent. les uns des aulres.sur- 

tout 1, 2 et 5, el les zones modes qui les unissent 

deviennent visibles. 
L'extremile de l'abdomen s'abaisse. 
Le pli de la zone molle laterale s'ouvre et cette zone 

s'eleve un peu. 
Les rebords epimeriens se redressent. 



1 L'observation directe montre, en outre, que cette zone se plisse. 



u 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



§ XIII. 

Muscles respiratoires de l'Hydrophile. 

Les mouvements d'expiration et d'inspiration de l'Hydrophile ayant lieu 
presque exclusivement dans le sens vertical, on peul supposer a priori que 
ce ne sont ni des muscles longitudinaux, ni des muscles obliques qui les 
d^lerminent et que les faisceaux musculaires specialement destines aux 
mouvements respiratoires doivent etre diriges a peu pres de haul en bas. 

La dissection vieni pleinement confirmer cette hypolhese. Rathke d a 
decrit, le premier, chez les Coleopteres, les veritables muscles respiratoires 
qui avaient completement echappe a Slraus-Durckheim. Ces muscles, dit 
Rathke, sont disposes par paires dans chaque anneau abdominal, l'un a 
droite, l'autre a gauche, dans le voisinage de la zone molle portant les stig- 
mates. lis sont diriges verticalement el s'inserent par leur extremite supe- 
rieure sur Farceau tergal, par leur extremite inferieure sur les parlies 
laterales de I'arceau sternal. 

La contraction de ces muscles, vu la structure m<?me des somites abdo- 
minaux des Coleopteres, doit avoir pour el'fet 1'abaissement des arceaux 
tergaux, I'augmentalion du pli forme par la zone molle lalerale, enfin, par 
entrainemenl mecanique, l'inclinaison des rebords epimeriens. Ce sont done 
6videmment des muscles expiraleurs. 

Rathke n'ayant point represente ces muscles, aucun auteur, a ma connais- 
sance, ne decrivant les muscles abdominaux de l'Hydrophile et, enfin, une 
question imporlanle, celle de l'existence possible de muscles inspirateurs se 
presenlanl naturellement a Fespril, je crois faire chose utile en publiant un 
dessin et une description de la musculature de I'insecte qui fait le sujet de 
mon travail. 

J'ai indique, chapitre II, § VI, le procede que j'ai mis en usage d'une 
facon a peu pres constante pour l'etude des muscles; je me bornerai done a 
rappeler ici que l'animal est divise en deux moitids, droite et gauche, suivanl 
un plan longitudinal. 

L'abdomen de 1'Hydrophile etant assez deprime, on est oblige d'ecarter 
fortement les arceaux tergaux des arceaux sternaux pour voir ce qui existe 

i Rathke. Anatomisch-physioloyische Untersuchungen, etc. Op. err., p. 102. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES IINSECTES. 45 



a la hauteur du repli des flancs. La figure 16 a ete dessinee d'apres un demi- 
abdomen gauche ouvert ainsi d'une fa^on presque complete. 

A 




Kig. It) X £■ — Hydrophile. — Muscles de la moitie gauche de l'abdomeu. 

On y distingue les muscles longitudinaux dorsaux A et B et les muscles 
longitudinaux sternaux a et b signales chez les insectes par tous les auteurs. 
Ce sont les homologues des grands droits decrits par Newport chez la che- 
nille du Sphinx ligustri, des pretracleurs figures par Straus-Durckheim chez 
'e Hanneton, etc. 

Mais ce qui attire surtout 1'atlentiou, c'esl une serie de petits muscles «, (3, 

assez larges et courts, au nombre 
de deux pour chacun des demi- 
somites i, 2, 3, i \ croisant pres- 
que vertical ement le pli forme par 
la zone molle laterale et s'inserant, 
par leur extremite superieure, au 
bord inferieur des arceaux lergaux, 
par leur exlremile inferieure a la 
region la plus elevee des arceaux sternaux. 

Une coupe transversale de rabdomen fait encore mieux comprendre la 
valeur de cette disposition (fig. 17). 




Fig. 17 X 4. - Hydrophile. 
Coupe transverse du 3° somite abdominal. 
S Stigma le. 
a Muscle expirateur. 



1 Au nombre de quatre par consequent par somite. 



46 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Je ferai remarquer, en outre, un petit detail qui n'est pas sans valeur. 
Ratlike, dans sa description des muscles expirateurs verticaux des Coleopteres, 
indique une seule paire par somile, c'esl-a-dire un muscle a droile et un 
muscle a gauche, tandis que chez l'Hydrophile il en existe manifeslement 
deux de chaque cote, soil, quatre par somite. Cette divergence provient de 
ce que Rathke n'a probablement examine les muscles en question que chez 
les Scarabeiens. 

Les muscles longitudinaux de 1'abdomen des Coleopteres flechissent 
celui-ci dans divers sens, mais n'ont certainement qu'un role fort accessoire 
dans l'acle respiratoire. Mes experiences prouvent en effet que le corps 
conserve sensiblement la meme longueur pendant 1'inspiration et 1'expiration. 

Les pelits muscles expirateurs verticaux a, /3 offrent, au contraire, une 
importance capilale. Ce sont eux qui, ainsi que je l'ai dit plus haul, abaissent 
la face tergale de 1'abdomen et delerminent evidemment I'expulsion de 1'air 
conlenu dans le systeme tracbeen de la region la plus considerable du corps. 

Quanta des muscles inspiraleurs, on les cherche vainement; ils manquent 
tolalement chez l'Hydrophile, comme chez un tres grand nombre d'autres 
trachea les. 

L'absence de muscles inspirateurs conduit a une conclusion inleressante : 
une serie d'auteurs, Slraus-Durckheim, Treviranus, Newport, Liebe, Graber 
pour les insecles, E. Blanchard pour les Scorpions, Kulorga pour les Scolo- 
pendres, se basant sur ce fait anatomique, ont admis, avec raison, que, chez 
la pluparl des articules a respiration tracheenne, 1'expiration seule est active, a 
seule lieu sous 1'influence de contractions musculaires, landis que Finspiralion 
est un phenomene purement passif, 1'abdomen reprenant son volume primitif 
sous 1'influence de l'elasticite des teguments el de celle du systeme tracbeen. 

En d'autres termes, le mecanisme de la respiration de l'Hydrophile et de 
nombreux insectes dont j'aurai encore I'occasion de parler * est exactemenl 
l'inverse de ce qui existe chez les mammiferes chez lesquels c'est 1'inspiration 
qui est musculaire et active, 1'expiration calme etant simplement passive et 



i Voir pour les exceptions : Hymeiiopteres, Phryganiens , Acridiens, §§ LXV, LXVI1, 
LXX1 , LXXV. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 47 

resultant de l'elasticite des poumons et du relachement des muscles inspira- 
teufs. 

Ces considerations augmentent beaucoup Tinter^t que presente Ie gra- 
phique A (page 35) dans lequel la passivile de Inspiration se traduit par 
une courbe ascendante a vitesse decroissante et Pactivite de I'expiration par 
une ligne descendant presque verticalement d'une facon brusque. 

Si Ie lecteur desire une preuve supplementaire de I'etat passif en inspira- 
tion, il la trouvera dans Ies experiences suivantes sur Ie systeme nerveux. 



§ XIV. 

EXPERIENCES SUR LE SYSTEME NERVEUX DE l'HyDROPHILE. 

Faivre, dans un travail que j'ai deja cite et qui porte, comme titre, De 
/'influence du systeme nerveux sur la respiration des Uytiques ', a avance que, 
chez Ies Coleopteres qui ont fait Ie sujet de ses recherches, « Ie ganglion 
» melathoracique preside aux mouvements respiratoires ... Ies excite, Ies 
» coordonne et Ies entrelient.. . », que l'ablation de ce ganglion abolit Ies 
uiouvements d'inspiration et d'expiralion, etc. 

II y a des raisons serieuses pour considerer Ies experiences de Faivre 
comme tres soignees; malheureusement Ies conclusions que l'auteur deduit 
dfi ses resultats sont absolument fausses. 

Je reviendrai sur ces idees theoriques, a propos d'autres Coleopteres, des 
Libellules et des Acridiens; il me suffira de dire ici que Faivre a perdu de 
v ue que le systeme nerveux des Coleopteres est un systeme nerveux condense 
dans lequel certainement plusieurs ganglions abdominaux sont fusionnes 
avec celui du metathorax; de sorte qu'en detruisant la masse metatho- 
r acique, on detruit, en memc temps, Ies centres respiratoires d'un nombre 
plus ou moins grand d'anneaux de ['abdomen. 

Chez lTIydrophile I'abdomen comprend six somites apparenls et il existe 
cinq ganglions abdominaux distincts 2 . 

1 Ann. des sc. nat., Zoologie, ¥ serie, t. XIII, p. 335. 1860. 

2 E. Blanchard. Recherches anatomiques et zoologiques sur le systeme nerveux des animaux 
sans vertebres (Ann. des sc. nat., 3 e serie, Zoologie, t. V, pi. XI, fig. 1, 1846). 



48 



RECHERCHES EXPLRIMENTALES 



Le premier ganglion abdominal visible est tellement rapproche du gan- 
glion metathoracique qu'il est presque impossible de supprimer l'un sans 
I'autre. 

En operant cette double suppression, on, ce qui est plus facile, en sec- 
lionnant simplement la chaine nerveuse en arriere du premier ganglion 
abdominal distinct, on aura evidemment prive rabdomen, en fait de centres 
respiratoires, non seulement de ce premier ganglion abdominal apparent, 
mais, de plus, du ou des ganglions abdominaux fusionnes avec le metatho- 
racique. 

Theoriquement, en laissant de cote I'opinion erronee de Faivre, et en se 
basant sur le fait physiologique bien connu que chaque somite d'un articule 
possede un centre moteur propre, on devra, apres la suppression des gan- 
glions indiqucs, observer, chez I'Hydrophile, un arret des mouvements 
respiratoires dans les premiers anneaux de Fabdomen et la persistance de 
ces mouvements dans les anneaux posterieurs. 

Les experiences ci-dessous montrent que Fhypothese se verifie en grande 
partie. 

Un Hydrophile dont le sysieme nerveux est intact, mais qui est prive 

de ses elytres et de ses ailes, fait environ 

dix-huit mouvements respiratoires par 

-p, minute. Je seclionne la chaine en arriere 

Ly "Ul. — , — i i^; du premier ganglion abdominal distinct '. 

Flg 18, Les mouvements respiratoires cessent dans 

les somites 1, 2, 3, et 1'abdomen prend la forme singuliere representee 
dans la figure \ 8 qui nous montre les trois premiers somites en inspiration 
et les trois derniers en expiration. 

Cet aspect etrange s'explique tres bien; la destruction des centres nerveux 
repondant aux somites 1,2, 3 leur a permis de prendre la forme que tout 
somite abdominal de Coleoptere prend a l'etat passif, par simple elasticite, 
lorsque les muscles expirateurs se relachent ; mais la section de la chaine 




i J'ai decrit, chapitrc II , § VII, page 24, les proce'des dont je fai's usage pour exciter ou 
detruire presque a coup sur une partie determinee du systeme nerveux, sans leser grave- 
ment la surface du corps des insectes. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 49 



a determine une ccrtaine excitation dans les autres centres demeures intacts; 
ce qui amene momentanement une contraction dans les muscles expirateurs 
des somites posterieurs. 

Comme on pouvait le prevoir, les mouvements respiratoires persistent 
dans les anneaux &, 5, 6; ils sont faibles, assez lents (dix environ par 
minute), mais incontestables. 

Au bout d'un quart d'heure, on constate que les mouvements d'expiration 
et d'inspiration ne sont pas absolument abolis dans les anneaux anterieurs. 
A la loupe, on observe, cinq ou six fois par minute, une depression tres 
lege>e dans la zone molle qui porte les stigmates et 1'inclinaison en dedans 
des bords epimeriens. 

Voyant cela, je separe completement I'abdomen du thorax; les petits 
mouvements lents des anneaux anterieurs cessent tout a fait ; mais les mou- 
vements respiratoires des anneaux 4, 5, 6 persistent durant un certain 
temps. 

Une deuxieme experience, effectuee a peu pres de la meme maniere, 
a donne des resultats analogues. La section de la chaine nerveuse en arriere 
du premier ganglion abdominal distinct a ete suivie de I'arret en inspi- 
ration des somites 4, 2, 3 et de Taffaissement en expiration des somites 
posterieurs k, 5, 6, ceux-ci continuant a montrer des mouvements respira- 
toires faibles avec inclinaison en dedans des bords epimeriens. 

Ces experiences me semblent suffire pour demontrer que le ganglion 
metathoracique vrai de l'Hydrophile n'est ni le centre moderateur, ni le 
centre excitateur des mouvements respiratoires abdominaux. (Voyez § XX, 
les experiences sur le Dytique.) 

J'ai fait, sur l'Hydrophile, un autre essai interessant, afin de constater 
influence des ganglions cerebroi'des sur les mouvements de respiration. 

Les recherches de plusieurs de mes predecesseurs et celles que fai repe- 
tees moi-meme sur les Orthopteres, les Libellules, le Dytique, etc., prouvent 
que si l'ablation des ganglions cerebroi'des n'abolit jamais les mouvements 
respiratoires, cette suppression n'est pas absolument sans influence, qu'elle 
est suivie soit d'un ralentissement dans les mouvements en question, soit 
"'une diminution d'amplitude seulement. Afin de me mettre a l'abri des 
Tome XLV. 7 



m 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



illusions, j'ai employe la methode des projections qui me permettait de juger 
fort bien des changements d'amplitude. 

Un Hydrophile vigoureux, prive de ses pattes, de ses ailes et de ses 
elytres, est introduit dans 1'appareil. Des styles sont colles sur les arceaux 
lergaux 1, 3 el 5. On dessine les phases inspiratoire et expiratoire (de la 
meme maniere que pour la figure 57), et on note, comme moyenne de 
plusieurs observations faites a l'aide d'une monlre a secondes, vingt-cinq 
mouvements respiratoires par minute. 

II est a remarquer que Fiosecte execute : 1° des mouvements respira- 
toires d'une amplitude normale; 2°, de temps en temps, des mouvements 
d'une amplitude a peu pres double. 

Ceci constate, on detruit les ganglions cerebroi'des en faisant une fente 
a la paroi de la tete, entre les yeux, et en dechirant la masse nerveuse a 
l'aide d'une aiguille. Comme preuve de {'operation, les antennes deviennent 
immobiles. 

L'Hydrophile est ensuite replace dans 1'appareil a projections. Le rhythme 
respiratoire est un peu ralenti. On compte vingt-deux mouvements par 
minute. Les dessins des phases respiratoires, compares a ceux qui ont ete 
obtcnus avec l'insecte dont le systeme nerveux elail intact, montrent que 
l'amplitude a diminue de % environ pour les mouvements reguliers et de d / e 
pour les mouvements plus violenls. 

La destruction des ganglions cerebroi'des a done amene un faible ralen- 
tissement et une diminution dans l'amplitude des mouvements respiratoires. 

§ xv. 

Hydrochares (Hydrous) cararoides. 



Cette forme, tres voisine de l'Hydrophile, ne pouvait fournir que des 
resultats presque idenliques; aussi ne lui ai-je applique que la methode des 
projections. 

Comme l'Hydrophile, 1'Hydrochares releve l'extremite de I'abdomen en 
expiration. 



mm 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 51 

En employant un premier individu prive de ses elytres et chez lequel les 
mouvements etaienl probablement exageres, j'ai constate, stir la silhouette, 
un leger raccourcissement expiratoire de l'abdomen qui, reduit a la taille 
de l'insecte, devait etre environ de d / 7 de millimetre. 

Un nouvel essai sur un autre Hydrochares auquel j'avais laisse les bords 
lateraux des elytres, de facon a limiter les deplacements de l'abdomen, 
comme ils le sont a l'etat de nature, m'a prouve que le corps de l'insecte 
conserve loujours la meme longueur pendant les mouvements respiratoires. 

§ XVI. 

Dytiscus. 

Les mouvements respiratoires des Dytiques ont ete etudies a l'aide de 
^observation directe par Faivre et par Rathke. Faivre en a donne une des- 
cription assez detaillee, mais peu exacte, que je reproduirai plus loin. Quant 
a Rathke, il s'est borne a mentionner les Dytiques, sans autre indication, 
dans la lisle des Coleopteres qu'il a examines. 

J'ai surtout employe le Dytiscus marginalis, mais j'ai fait en outre quel- 
ques essais a l'aide des D. dimidialus et D. punctulatus. 



% XVII. 
Etude des mouvements respiratoires des Dytiques par la methode graphique. 

Les mouvements respiratoires des Dytiques consistent, comme ceux de la 
plupart des Coleopteres, en elevations et abaissements alternatifs des arceaux 
dorsaux de l'abdomen; seulement ces deplacemenls n'ont jamais qu'une 
laible amplitude. II existe, a cet egard, une difference notable entre les 
dytiques et d'autres Coleopteres d'une taille au-dessus de la moyenne, lels 
que l'Hydrophile, rOryctes nasicornis, etc. d . 

1 La methode par projection montre qu'en expiration la diminution du diametre vertical 
de l'abdomen du Uytique n'est que de i/ 22 , tandis qu'elle atteint 1/9 et meme 1/7 chez 
i'Hydrophile. 



52 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Le peu d'amplitude des mouvements respiratoires chez des insectes aux 
allures aussi vives et susceptibles, on le sait, d'effectuer des efforts muscu- 
laires assez considerables, a lieu de surprendre; cependant, le fait est 
incontestable. J'ai observe, au point de vue des mouvements respiratoires, 
plus tie vingt individus pris a des epoques differentes; je leur ai applique 
des methodes variees; tous ont ete etudies peu de temps apres leur capture; 
ceux que je ne pouvais employer immediatement etaient abondamment 
pourvus de nourriture el, malgre ces precautions, je n'ai jamais vu un 
Dytique effectuer les expirations energiques et profondes qui caracterisent 
l'Hydrophile et les Scarabeiens. 

II resulte du fait que je viens de signaler que le procede ordinaire du 
levier transversal reposant sur un des arceaux dorsaux ne donne jamais que 
d'assez tristes resultats. Pour obtenir de bons traces demonstratifs il faut 
supprimer tous les frottements, excepte celui de la pointe inscrivante sur la 
surface enfumee du cylindre, et utiliser les changements de courbure que 
presenle la ligne mediane dorsale de l'insecte. J'ai fait usage, a cet effet, 
d'un style longitudinal a branches equilibrees semblable a celui que j'ai 
employe dans quelques experiences effectuees sur l'Hydrophile (voyez 
figure 3, page IS). 

Le graphique E, ci-joint, a ete obtenu de celte maniere. 




•< -®s Sens de la rotation du cylindre. 

L'insecte elait un male robusle. Le style, aussi leger que possible, avait 
ete decoupe dans du carton fort mince; sa branche anterieure inscrivante 
avait 85 millimetres de longueur et sa plaque inferieure etait collee au 
baume sur les arceaux tergaux 3 et 4. 

Ces arceaux effectuant non seulement des mouvements de haut en bas, 
mais, en outre, s'inclinant en arriere en inspiration, pour se rapprocher du 
plan horizontal dans la phase expiraloire (voir § XVIII), les deplacements 
de la pointe inscrivanle du style etaient relativement grands. 



SUR LES MOUVEMENTS RESP1RATOIRES DES INSECTES. 53 



La portion ascendante de la courbe repond ici a l'inspiration et la partie 
descendante a l'expiration. 

On voit Ires netlement que l'inspiralion est un mouvement lent a vitesse 
decroissante, sans devenir jamais nulle, c'est-a-dire qu'aucune partie du 
trace inspiratoire n'est une droite horizonlale et qu'il n'y a par consequent 
pas de pause d'une duree appreciable en inspiration. 

On constate aussi que l'expiration est marquee par une descente Ires 
brusque a ses debuts el ne se terminant pas non plus par une pause reelle. 

Un caractere assez remarquable qui s'est repete dans une serie de gra- 
phiques fournis par des individus differenls consiste dans la forme tremblee 
du trace expiratoire. L'inspiration se presente sous l'aspect d'un mouve- 
ment regulier, tandis que l'expiration semble s'effecluer, surtout a l'origine, 
par petiles secousses successives. 

La lenteur de l'inspiration et la brusquerie de l'expiration s'expliquent 
tres bien en admeltant, ce que l'etude du systeme musculaire demontre, du 
reste, que l'inspiration est passive et a lieu sous Taction de l'elasticite des 
teguments et du systeme iracheen, tandis que l'expiration est active et est 
determinee par la contraction de muscles expirateurs speciaux. Quant a 
Taspect tremble du trace expiratoire, il tient peut-etre a un petit defaut 
de l'instrument, peut-etre aussi a ce que les muscles expirateurs se raccour- 
cissent par petites secousses rapprochees. 

J'ajouterai enfin, en terminant ce qui concerne la methode graphique 
appliquee aux Dytiques, que chez ceux de ces insectes que Ton a places 
ainsi dans des conditions en somme tres anormales, en les tixanl a l'aide 
d'epingles, en leur enlevant les pattes et une partie notable des elytres, les 
inspirations et les expirations se succedent sans temps d'arret. On verra 
plus loin que les cboses ne se passent pas ainsi chez le Coleoptere intact 
°u a peu pres et libre. 



u 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



§ XVIII. 

Etude pes modvements respiratoires des Dytiques par la methode pes projections. 

Plusieurs Dytiques prives cle leurs pattes, de Ieurs ailes et de leurs 
elytres et mam's de pctils styles verticaux colles an baume, soil sur le 
milieu de la face tergale des somites abdominaux, du premier au septieme, 
soil sur les regions laterales de la face tergale du troisieme somite seule- 
menl, ont ete places dans Pinstrument a projection, tantot transversalement 
a 1'axe du faisceau lumineux, tantot parallelement a cet axe. 

J'ai pu ainsi, avec un grossissement de 7 diametres environ, obtenir des 
dessins tres concordants des deux pbases respiratoires. 

Dans tous ces essais, Pinsecle n'etait fixe que par deux epingles traver- 
sant les bords lateraux du prothorax. L'abdomen etait entierement libre. 

En combinant les resultals auxquels je suis arrive ainsi, avec ceux que 
m'a donnes la methode graphique, j'arrive a pouvoir decrire comme suit les 
mouvements respiratoires des Dytiques : 



CAITS «Jli!*-«'iRAlJX. 

1° Lc metathorax est immobile, ne participe pas aux mouvements des somites abdo- 
minaux. 

2° Meme chez les individus vifs, l'amplitude des mouvements respiratoires est faible. La 
diminution du diametre vertical en expiration, a la hauteur du troisieme somite, n'est que 
de */ 22 . 

3° La face tergale des somites de l'abdomen est seule en mouvement ; la face sternale ne 
bouge point. 

4° Les faces tergales de tous les somites abdominaux actifs (du l er au 7 e ) se de"placenta la 
fois ; il n'existe pas de mouvement progressif, pas d'onde. 

5° La longueur de l'abdomen ne varie pas. Suivant les individus, l'extremite de l'abdomen 
reste immobile ou offre de legers mouvements d'oscillation de bas en haut. 

6° II n'existe de pause reelle, ni a la fin de l'inspiration, ni a la fin de 1'expiration. 



Pails speciaux a cliaque phase. 



Kxplrntion. 



Le mouvement debute d'ime facon brusque. La con- 
traclion des muscles expirateurs semble s'operer par 
peliles secousses successives? 

L'arceau tergal du somite 1 s'incline legerement en 
arriere. 



Inspiration. 



L'inspiration est un mouvement lent, regulier a vitesse 
decroissante. 

Les arceaux tergaux 1 et 7 prenneut des positions moins 
obliques. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. S3 



L'arceau tergal du somite 7 s'incline legerement en 

avant. 
Les faces tergales des somites 2, 3. 4, 3 et 6 s'abaissent 

en glissant un peu en arriere, de sorle que tous ces 

somites chevauchent davantage les uns sur les au- 

tres. 
L'abaissement maximum a lieu pour les somites 2, 3, 4. 

Dans le sens longitudinal les faces tergales 3 et 4 sonl 

presque horizontals. 
Le profil longitudinal de la face dorsale de 1'abdomen 

devient plus concave. Cet effet est augmente chez 

certains individus dont la pointe de I'abdomen se 

releve un peu pendant l'expiralion. 



La courbure Iransversale des arceaux tergaux se mo- 
difie, leur partie centrale s'abaissant un tant soil 
peu plus que leurs extremiles laterales; ils devien- 
nent plus plats. 

La zone molle qui porte les stigmales des somites anle- 
rieurs s'enfonce el les bords epimeriens s'inclinent 
fortement en dedans. 



Les faces tergales des somites 2, 3, 4, 3 et 6 s'elevent 
et se deplacent un peu d'arriere en avant. 



Le maximum d'effet parait avoir lieu pour les somites 
2, 3, 4. Dans le sens longitudinal, les faces tergales 
5 et 4 sonl, inclinees en arriere. 

Le profil longitudinal de la face dorsale de I'abdomen 
devient moins concave d'une facon generale et est 
meme legerement convexe dans la region des anneaux 
1,2,3,4. 

Chez certains individus 1'extremile de I'abdomen des- 
cend un peu. 

Les arceaux tergaux deviennent legerement plus cou- 
vexes dans le sens transversal. 



La zone molle qui porte les stigmates anterieurs se 
releve et les bords epimeriens des arceaux slernaux 
correspondents se redressent. 



Les mouvements respiratoires des Dytiques etant ainsi elucides a 1'aide 
de procedes qui laissent peu de prise aux erreurs, je me permettrai d'op- 
poser a la description que je viens d'en donner, celle qu'a publiee Faivre 
qui, jusqu'a present, a fait autorite a cct egard. Je mets en italique, dans le 
texte de l'autcur, ce qui est en desaccord avec ce que j'ai observe. 

« Sur un Dytique auquel on a enleve les ailes, on observe, a la region 
>' abdominale, deux mouvements Men distincts. Le premier consiste : 
» 1° dans l'abaissement des lames laterales de chaque cote; 2° dans l'ele- 
» vation des segments dorsaux de I'abdomen ; 3° dans la direction d'arriere 
» en avant et de bas en haut de ces segments; 4° dans Vallongement et 
» 1'inflexion legere de haut en bas et de bas en haut des trois derniers 
» anneaux. Ce temps est l'analogue de Finspiration ; il a pour resultat 
» l'agrandissement de la cavite abdominale. Le second mouvement suc- 
» cede presque immediatement au premier; il s'accomplil par un meca- 
» nisme lout a fait inverse 1 . » 

Le memoire de Faivre est un travail consciencieux; je ne cite done pas 

1 Faivre. De I'influence du systeme nerveux sur la respiration des Dytiques, op. cit., p. 324. 



56 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



le passage precedent pour la futile satisfaction de formuler une critique, 
mais pour montrer que l'observation directe des mouvements respiratoires 
fait commettre de petites erreurs et laisse passer inapercus la plupart des 
details. 

Faivre ajoute encore, un pen plus loin i : « Ainsi, soit que 1'insecte 
» marche, soit qu'il nage, deux ordres de mouvements interviennent dans 
» la respiration : les mouvements respiratoires proprement dits qui s'exe- 
» cutent a l'aide des lames laterales et des anneaux et les mouvements 
» secondaires qui ont lieu pendant la marche et la nage a I'aide de l'abais- 
» sement et de {'extension des trois derniers anneaux de l'abdomen. » 

On remarquera que Faivre insiste sur les mouvements des regions epi- 
meriennes et sur le pretendu allongement de l'abdomen. 

Comme chez l'Hydrophile, l'inclinaison en dedans des epimeres n'est 
qu'une consequence de l'abaissement des arceaux dorsaux; de plus, cette 
inclinaison a lieu en expiration et non en inspiration, bien que les termes 
dont se sert l'auteur cite semblent indiquer le contraire. 

Quant a I'allongement apparent de l'abdomen , on sail que c'est une 
illusion, les experiences par projection demontrant que la longueur du 
corps ne varie pas pendant la respiration calme. 

En parlant de l'Hydrophile, j'ai fait observer qu'il etait parfailement 
inutile de vouloir utiliser la methode graphique a des recherches sur le 
rhythme respiratoire des insectes. Les Dytiques nous fournissent une preuve 
indiscutable a eel egard, le rhythme respiratoire des individus prives de 
leurs elytres et de leurs ailes n'etant pas du tout le meme que celui des 
individus intacts. 

J'ai dit, en effet, a propos des diverses experiences qui precedent que, 
dans ces essais, les mouvements respiratoires se succedaient regulierement 
et sans interruptions. Or, il en est tout autrement chez le Dytique en liberte 
et muni du revetement normal de son abdomen. 

Pour constater ce qui se passe dans ces conditions, je n'enleve au Coleop- 
tere que la moitie posterieure de Telytre droit ainsi que la partie sous-jacente 



1 Faivre. hoc. at., p. 325. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. §7 

de I'aile du meme cote. Ceite ouverlure relativement minime suffil pour 
observer les mouvemenls respiratoires lorsqu'on s'est familiarise avec leur 
mecanisme par d'autres etudes prealables. 

L'insecle etanl lache dans 1'eau, on voit une eouche d'air argentee 
adherer aux zones foncees el velues de la face dorsale des anneaux decou- 
verts. Une bulle d'air elliptique el peu saillante se montre a chacun des 
orifices stigmatiques visibles; enfin une grosse masse d'air convexe vers 
son bord libre est comprise entre la face superieure de 1'abdomen et les 
ailes. (II ne parait pas y avoir d'air entre les ailes et les elytres.) 

La succession des mouvements respiratoires se presente comme suit : 
1" Sous l'eau, longs arrets ' en inspiration; toutes les 20 secondes environ 
(parfois apres 40 secondes), un ou deux mouvemenls expiratoires presses. 
De temps a autre, ces mouvements d'expiration si distants amenent (meme 
chez les individus absolument inlacls) 1'expulsion d'une grosse bulle 
gazeuse. En general Familial monle immediatement apres a la surface de 
l'eau pour renouveler sa provision d'air-; 

2° A la surface, long arret en inspiration, de duree assez variable, ter- 
mine par un ou deux mouvemenls d'expiration faibles, mais rapproches, 
apres quoi rinsecle plonge. 

Ainsi que je l'annoncais plus haul, il n'y a done aucune analogie entre le 
rhythme respiraloire rcgulier de l'insecte prive de ses elylres et de ses ailes 
et celui de 1'individu dont 1'abdomen est reste protege par ses couvertures. 
Je ne crois pas que Ton puisse, avec certitude, donner le motif de celle 
grande difference. Les mouvements respiratoires des insectes etant essen- 



1 11 ne faut pas confondre arret et pause ; la pause est le repos qui, chez certains animaux, 
er mine chaque inspiration ou chaque expiration; e'est un phenomene qui se repete regu- 
lerement et a intervalles egaux. L' arret est une interruption plus ou moins importante dans 
a serie des mouvements. L'animal restant en inspiration ou en expiration pendant un temps 
^eaucoup pl us long que celui qui repond a chacune des phases respiratoires lorsque celles-ci 
se s uccedent d'une fagon rhythmique. 

2 Je suis encore ici en disaccord avec Faivre qui dit : « Chaque fois qu'il descend, il se 
* contracte et laisse echapper quelques bulles d'air. » On voit que j'ai cru constater abso- 
lument l'inverse, l'insecte n'expulsant l'air vicie' qu'apres un certain temps de respiration 
s ous l'eau , puis remontant ensuite. 

To ME XLV. 8 



58 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



tiellement des raouvements reflexes, il est possible que la denudation com- 
plete de Fabdomen amene une excitation suffisante pour determiner une 
succession reguliere de mouvements que l'animal ne presente pas dans les 
conditions normales; il est possible aussi que 1'excitation emaue des centres 
nerveux cerebroi'des et que Fabscnce d'arrets ne soil qu'une des manifes- 
tations de Fetat d'inquietude de Finsecte mutile et Fixe. 

L'experience qui precede m'a permis de constater un detail qui a sa 
valeim: Faivre a accorde une grande importance, dans Facte respiratoire, 
aux mouvements des derniers anneaux abdominaux. Parlant du Dytique 
arrive a la surface, il s'exprime en ces termes : « II eleve hors de Feau 
» Fextremite abdominale, abaisse les trois derniers anneaux pour prendre 
» de Fair, puis il les applique de nouveau contre les elytres et descend avec 
» rapidite.... on peut produire a volonle ces mouvements abdominaux poste- 
» rieurs. Des qu'on sort un Dytique de Feau, les derniers anneaux s'abais- 
» sent et s'allongent; mais quand on Fy replonge, les anneaux s'appliquent 
» contre les elytres. » 

Faivre a ete trompe par le changement de courbure de la face dorsale de 
Fabdomen en inspiration. J'ai pu m'assurer, chez Findividu donl je n'avais 
enleve que le quart de la surface des elytres, que e'est toujours dans la parlie 
visible de la region moyenne de la face dorsale de Fabdomen que les mou- 
vements respiraloires s'effectuent. Les deplacements et surtout les allonge- 
ments de Fextremite abdominale sur lesquels Faivre insiste font defaut ou 
sont si peu marques qu'ils passent absolument inapercus. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 59 



§ XIX. 

Muscles respiratoires des Dytiques. 

La disposition des muscles de I'abdomen est, a tres pen pres, la meme 
que chez 1'Hydrophile. 




Fig. 19 X ■'*. — Muscles de la moitie gauche de I'abdomen du Dyiiscus marginalis $. 
A , B Muscles longitudinaux dorsaux. 
a — — sternaux. 

x, 3 — expirateurs verticaux. 

Les muscles expirateurs («, (3, fig. 19) sont encore une fois ici au nombre 
de quatre, par somite (deux a droite, deux a gauche); ils sont plus longs 
que ceux de 1'Hydrophile et les muscles d'une meme paire s'entre-croisent 
comme les hranches de la lettre X. 

Ainsi que le montre la coupe transversale (fig. 20, a), ils s'inserent, en 

haut, au bord lateral de l'arceau ter- 
gal, en dedans du pli forme par la 
zone stigmalique, en has, sur la region 
laterale de l'arceau sternal. 

L'absence totale de muscles inspira- 
teurs conduit a la conclusion que j'ai 
deja formulee au § XIII, a savoir que 
chez le Dytique, comme chez FHydro- 
Phile, Fexpiralion est seule active, Tinspiration, passive, s'effeetuant sous 
1'intluence de Felasticite des parois du corps et des parois des trachees. 

La forme du graphique E (page 52) vient, du reste, confirmer cette 
deduction basee sur un fait anatomique. 




F'ig. 20X4. Dytiscun prmctulatus. 
Coupe transverse du 3" somite abdominal. 
iS Stigmate. 
>: Muscles expirateurs verticaux. 



60 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



§ XX. 



Experiences sur le systeme nerveux des Dytiques. 



.Fai rappele § XIV (page 47) Ics experiences effectuees par Faivre dans 
ie but de determiner le role des differents centres nerveux des Dytiques et 
leur influence speciale sur les mouvements respiratoires de ces insectes. 

Faivre ayant constate 1° que Fablation des ganglions cerebroi'des, la sec- 
tion des connectifs qui unissent les ganglions sous-oesopbagiens aux suivants, 
la section de tons les connectifs qui precedent le ganglion mesothoracique, 
enfin la division des connectifs qui relient le ganglion mesothoracique au 
metathoracique, n'abolissent pas les mouvements respiratoires; 

2° Que Firritation du ganglion metathoracique active ces mouvements; 

3° Que la suppression du ganglion metathoracique ou la section de la 
chaine en arriere de ce ganglion amenent la cessation totale des mouvements 
d'inspiralion et d'expiration, conclut de ses resultats que le ganglion meta- 
thoracique preside aux mouvements respiratoires et que les ganglions abdo- 
minaux ne jouent que le role de conducteurs par rapport au centre respira- 
toire unique du metathorax. 

Je ne pourrais que repeter ici les objections que j'ai formulees (§ XIV) a 
propos de l'FIydrophile. Le systeme nerveux du Dytique est, du reste, encore 
plus condense; en effet, Fabdomen comprend huit somites apparents et il n'y 
a que six ganglions abdominaux visibles, dont le premier est tres rapprocbe 
du ganglion metathoracique. 

En detruisant la masse nerveuse du metathorax, on supprime, en fait, les 
ganglions abdominaux qui sont fusionnes avec lui et on lese, tres probable- 
ment, le premier ganglion abdominal libre qui vient immediatement apres. 

On detruit done precisemenl les centres qui animent les muscles des 
somites abdominaux anterieurs, 4, 2, 3 et peut-etre h, precisement ceux ou 
les mouvements respiratoires consistant en deplacements de haut en has de 
la force tergale sont reellement actifs (voyez § XVIII, page 55). Les cinq 
ganglions restants ne peuvent evidemment plus exciter de mouvements que 
dans les anneaux abdominaux posterieurs. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES IINSECTES. 6i 



Faivre fournit, sans le savoir, une preuve experimentale de ce que 
j'avance. En irritant Ies trois ganglions abdominaux de la partie anterieure 
visible de la chaine abdominale, il n'arrive qu'a faire se recourber Ieg^rement 
l'abdomen vers le haut, mais il n'obtient pas de mouvements respiratoires 
propremenl dits. 

L'experience suivante que j'ai effectuee sur un Dytique male confirme 
en majeure partie Ies observations que je viens d'exposer. 

L'insecte intact et calme fait neuf a dix mouvements respiratoires par 
minute. On cherche a detruire le ganglion metathoracique a l'aide d'une 
forte aiguille enfoncee par 1'intervalle entre Ies trochanters de la deuxieme 
paire et ressortant par la pointe de 1'ecusson. 

Le Dytique execute des mouvements de l'abdomen tres violents. Lorsque 
I'animal est calme, on observe encore dix mouvements respiratoires tr6s 
faibles, par minute, meme dans Ies anneaux ante'rieurs ; puis, au bout de 
fort peu de temps, ces mouvements disparaissent d'une facjm totale, la lesion 
subie par la masse nerveuse metathoracique paraissant avoir determine 
''abolition progressive rapide des proprietes des autres ganglions soudes a 
sa partie posterieure. 

Comme I'animal presentait cependant encore des mouvements abdomi- 
naux generaux (non respiratoires), on sectionne la chaine, par le dos, en 
arriere du metathorax. On supprime done, pour l'abdomen, Ies centres 
fusionnes avec la masse metathoracique, plus le premier ganglion suivant 
distinct. 

Ainsi qu'on pouvait le prevoir, tons Ies somites abdominaux anterieurs 
sont paralyses. Le dernier somite et Ies pieces de 1'armure genitale (qui 
r epondent a des somites modifies) continuent, au contraire, a offrir des 
mouvements tres prononces. 

J'ai era inutile de multiplier davantage Ies essais de ce genre sur le 
Dytique; I'erreur physiologique de Faivre est trop evidente et, si la des- 
truction du ganglion metathoracique donne, en apparence, des resultats con- 
formes aux vues de cet auteur, e'est, on ne saurait trop le repeter, que, chez 
'a plupart des Coleopleres, il est maleriellenient impossible d'aboiir Taction 
de ce centre seul. ■•■ ; 



62 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



On a vu plus haut (§ XIV, page 49) que j'avais cherche a determiner 
chez I'Hydrophile si les centres nerveux cephaliques ont une certaine action 
sur les mouvements respiratoires. Faivre ayant observe chez le Dytique 
que la destruction des ganglions cerebroi'des ne parail pas modifier les 
mouvements de respiration et que 1'ablation des ganglions sous-cesopha- 
giens ne produit une perturbation que dans les moments qui suivent Tope- 
ration, je ne pouvais me dispenser de faire des essais analogues , mais en 
m'entourant de precautions destinees a me mettre a Fabri des illusions. 

Je m'etais servi, pour I'Hydrophile, de la methode des projections; cette 
fois, j'ai utilise la methode graphique. 

Apres avoir obtenu, en employant le style longitudinal dont il est parle 
au § XVII (page 52), un trace tres net des mouvements respiratoires d'un 
Dytique male vigoureux, on decapite l'insecte, supprimant ainsi a la fois les 
ganglions cerebroi'des et les ganglions sous-cesophagiens; puis on prend un 
graphique nouveau. 

Celui-ci montre qu'il n'y a pas de ralentissement; qiTil existe, plutot, 
une certaine acceleration (neuf mouvements par minute au lieu de sept 
observes chez Panimal encore entier); mais que Famplitude a diminue 
des deux tiers environ. 

Le resultat suivant est beaucoup plus net. Chez un Dytique femelle qui 

vient de fournir, a Faide du 
style longitudinal, le gra- 
phique F ci - contre , sur 
lequel on a compte cinq 

■ < ' Sens de la rotation du cylindre. ... „ 

mouvements respiratoires par 
minute, on detruit rapidement les ganglions cerebroi'des seuls, puis on 
prend le second trace G sur lequel on retrouve les caracteres distinctifs 

de Finspiration et de Fexpi- 
J/SM I nation; ce qui prouve que 

| la forme generale des mouve- 
, ,. , ,. , ments respiratoires est restee 

4 Sens de la rotation du cylindre. I 

la meme, mais qui montre : 
1° un accroissement de vitesse, le nombre des mouvements respiratoires 




SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 63 



6tant de sept par minute; 2° une diminution d'amplitude et une faiblesse 
remarquables. 

Ainsi, chez les Dytiques, la destruction des centres volontaires n'amene 
pas la suppression des mouvements respiraloires, fait que Faivre avait deja 
constate, mais elle rend ces mouvements un peu plus rapides et notable- 
ment plus faibles. 

§ XXI. 

COLYM BETES FUSCUS. 
i Ktude ties mouvemeuts resplratolres par la methode des projections.) 

L'insecte prive de ses elytres, de ses ailes et de ses pattes est fixe par 
deux epingles traversant les rebords lateraux du prothorax. Le grossisse- 
nient employe est de 13 diametres. 

Ce petit Dytiscide, place dans les conditions que je viens d'indiquer, 
imprime a son abdomen des mouvements oscillatoires tres etendus, dans le 
sens vertical, Fextremite de l'abdomen s'elevant notablement en expiration. 
Malgre cette particularite tres defavorable a l'observation, on constate les 
trois points suivanls : 

1° Le meso et le metathorax ne bougent pas; 

2° La longueur de l'abdomen reste invariable; 

3° II existe regulieremenl une pause en inspiration. 

Afin de paralyser les deplacernents de bas en haut de l'abdomen, on 
engage son extremite sous la portion horizontale d'une epingle coudee a 
angle droit. 

Dans ces nouvelles conditions, et de petits styles verticaux ayant ete 
colles sur les arceaux tergaux 2 et 4, on assiste aux phenomenes ci-des- 
sous : 

Les arceaux tergaux s'abaissent en expiration, le maximum d'effet ayant 
lieu, comme chez les Dytiques, pour les somites 2, 3, I. 

L'inclinaison des styles montre que les arceaux tergaux de la base de 
l'abdomen s'inclinent en arriere, tandis que les arceaux posterieurs s'in- 
clinent en avant. 



64 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Le profil longitudinal de la face tergale de 1'abdomen devient, done plus 
concave et il existe, en meme temps, pendant 1'expiration, un leger chevau- 
chement des arceaux lergaux. 

De meme que chez les Dytiques proprement dils, les mouvements respi- 
ratoires ont tres pen d'amplitude, la diminution du diametre vertical de 
1'abdomen variant entre l \ % et '/is (Dytique 1 /&0- 

On s'assure aussi, comme chez 1'animal dont Fabdomen etait libre, que 
les segments thoraciques posterieurs reslent immobiles, que 1'abdomen ne 
change pas de longueur et qu'il-exisle une pause en inspiration. 

Enfin, dans une derniere experience, trois styles sont colles sur le 
deuxieme arceau tergal, \\m au milieu, les deux aulres sur les portions 
laterales; Tinsecle est place dans l'appareil a projection de facon a obtenir 
une silhouette de la coupe transversale du corps a la hauteur du second 
somite abdominal. 

La quantile dont les differents styles descendent, en expiration, permet 
de constater que lors de la depression expiratoire, les arceaux tergaux 
s'abaissent un peu plus au milieu que sur les cotes; qu'ils deviennent, en 
un mot, plus plats, absolument comme chez les Dytiques proprement dils. 

En resume, les mouvements respiratoires des Colymbeles sont a fort peu 
pres ceux des Dytiscus, fait que Ton pouvait prevoir, mais qui, dument con- 
state, autorise a general iser et permet de supposer que tous les Coleopteres 
du groupe des Dytiscides respirent de la meme maniere. 



§ XXII. 

«i'j) ..•;.; -; GARABUS AURATUS, ABAX STRIOLA. " ' 

-_ { illude des mouvements respiratoires par la methode ties projections.) ) 

Rathke a observe les mouvements respiratoires du Carabus granulalus; 
il ne les decrit pas specialemenl et se borne a signaler cette particularity 
que l'arceau tergal du meta thorax s'eleve et s'abaisse, mais moins que les 
arceaux superieurs des somites abdominaux *. 



i Rathke. Anatomisch-physiologische Untersuchungen , etc., op. cit., p. 104. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 65 

Les Carabiques que j'avais a ma disposition etant des insectes trop faibles 
pour vaincre utilement les petits frottements d'un appareil enregistreur, je 
me suis borne a etudier leurs mouvements respiratoires a l'aide de la 
methode des projections. 

Carabus awatus. — L'insecte prive de ses elytres et de ses pattes est 
place transversalement dans Tappareil. La silhouette reproduit ie profil de 
1'animal grossi environ sept fois. De pelits styles verticaux sont fixes sur 
le milieu des faces tergales des somites 1, 2, 3, i, 5, 6 et 7. 

J'ai note les phenomenes suivants : 

FAITS GEMERIVX. 

1° La face tergale du metathorax participe legerement, comme l'avait observe' Rathke, 
aux mouvements d'elevation et d'abaissement des faces tergales des somites abdominaux. 

2° Les mouvements respiratoires ont lieu a la fois dans tous les somites de l'abdomen; 
il n'y a pas d'onde. 

3° Meme chez les individus tres vifs, ces mouvements, quoique rapides, ont une tres 
Faible amplitude (l/ 26 au niveau du 4 e somite). 

*° La longueur de l'abdomen reste sensiblement constante. 

Paits speciaux a chaquc phase. 



Expiration. 

'''expiration a lieu d'une facon brusque. 

^arceau tergal du metathorax s'incline en arriere. 

es arceaux tergaux des somites abdominaux, jusqu'au 
septieme, s'abaissent en se deplacant Ires legerement 
en arriere. 

' a ace tergale de l'abdomen secreuse faiblement. 

es arceaux tergaux chevauchent un peu l'un sur 
1'autre. 

extr emilede rabdomens'abaisse d'une petitequantite. 



Inspiration. 

[/inspiration a lieu d'une facon presque ausei rapide. 

L'arceau tergal du melathorax reprend sa position pre- 
miere. 

Les arceaux tergaux des somites I a 7 s'elevent en glis- 
sanl legerement en avant. 

Le profil de la face tergale, depuis le premier somite 
jusqu'au sixieme, devienl a peu pres rectiligne. 

L'exlremite de I'abdomeii se releve faiblement. 



Le lecteur a vu plus haut, §§ XIV et XX, que la suppression des ganglions 
cerebroi'des et sous- oesophagitis chez FHydrophile et le Dytique n'abolit 
Point les mouvements respiratoires, mais que celte destruction diminue 
■ amplitude des mouvements. 

Tome XLV. 9 



66 



RECHERCHES EXP^RIMENTALES 



J'ai repete l'experience sur le Carabus auraim avec des precautions spe- 
ciales : l'insecle est muni de styles fixes sur les faces tergales des somites 
abdominaux, du premier an septieme. Apres avoir dessine sur I'ecran de 
l'apparei! a projection, les contours des deux phases respiratoires, ainsi que 
les diverses positions successives des styles, on decapite le Carabe, on le 
replace dans l'instrument et Ton effectue de nouveaux dessins. 

Or, sauf une tres legere diminution dans 1'amplitude, les deux contours 
obtenus sont a peu pres identiques. La decapitation n'a done determine 
qu'une modification fort peu importante dans la maniere donl s'effectuent 
les mouvements respiratoires. 

Abax striola. — Lorsque le Carabique examine est une femelle dont 
l'abdomen est distendu par des ceufs, la region abdominale offre, on le sait, 
un aspect tout particulier; les arceaux tergaux tres eleves sont relies aux 
arceaux slernaux par une zone molle et pale portant les stigmates et affec- 
tant une position exception nolle verticale. 

Dans ces conditions, les mouvements respiratoires ne ressemblent plus 
a ce qu'ils sont cbez les males ou chez les femelles dont les ovaires sont 
peu developpes. Non settlement le metathorax reste parfaitement immobile, 
mais les contractions expiratoires devenues difficiles, au lieu de s'operer 
simultanemcnt dans les differents somites, ne s'effectuent plus que locale- 
ment dans un petit nombre de somites a la fois et souvent d'une maniere 

progressive. 

Cette observation assez importante, au point de vue pratique, et que j'ai 
pu faire sur des femelles pleines de Carabus auratus et A" Abax striola, 
montre que, sous peine de commettre de veritable? erreurs, il faut rejeter, 
pour les experiences sur la forme des mouvements respiratoires, tous les 
individus qui se trouvent dans l'etat defavorable signale ci-dessus. 

Ainsi, dans le cas de VAbax striola femelle prete a pondre, j'aurais pu 
deduire faussement des silhouettes l'existence d'une onde et rimmobilite du 
metathorax, alors qu'en realite, chez les Carabiques, Fonde fait defaut et que 
le metathorax participe legerement aux deplacemenls des arceaux tergaux 
de l'abdomen. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 67 



§ XXIII. 

TkNEUHIO JJOLITOK '. 
(Etude des mouvements resplratoires pur la nictliodc des projections ) 

Ratlike cite le Tenebrio molilor parmi les Coleopteres dont il a examine 
les mouvements respiratoires; il signale aussi ce detail que les arceaux ler- 
gaux de l'insecte en question sont assez transparents pour permettre a l'obser- 
vateur de distinguer les deplacements de quelques organes internes, tels que 
certains troncs tracheens. Ratlike a, du reste, parfailement compris que les 
petits mouvements des trachees ne sont point lies a l'acte respiratoire et 
dependent, par exemple, des changemenls de diametre du vaisseau dorsal 2 . 
A part cette remarque, fauteur cite ne donnc aucune indication speciale 
concernant les Tenebrionides. 

Les mouvements resplratoires du Tenebrio sont assez normaux el per- 
mettent de ranger cet insecte dans le voisinage des Carabus. 

Si Ton prend la precaution de paralyser, par un petit support, les grands 
mouvements oscillatoires 3 que le Coleoptere imprime a 1'ensemble de Tab- 
donien, on constate ce qui suit : la face tergale du metatborax participe, par 
entrainemenl, aux mouvements des premiers somites abdominaux. 

Cesderniers mouvements se font en trois temps, c'est-a-dire qu'il existe, 
en expiration, une onde assez bien caracterisee : 

1° Abaissement des faces tergales des somites 1, 2, 3, avec maximum 
en 2, 3 ; 

2° Abaissement des faces tergales k et 5 ; 

1 Le lecteur trouve ici le Tenebrio molltor apres les Carabes et avant les Cicindeles, au 
mepris de toute classification entomologique. 

J'ai deja dit, dans ma communication preliminaire, qu'il n'eiiste aucune relation etroite 
entre la forme des mouvements respiratoires d'un insecte et la place occupee par cehu-ci 
dans les classifications. La suite du travail actuel le prouvera sufflsamment. 

Le Tenebrio figure en ce point de rami Memoire parce que ses mouvements respiratoires 
out beaucoup d'analogie avec ceux des Carabiques. 

2 Kathke. Anatomisch-physiologische Untersuchnngen , etc., op. cit., p. 104. 
a Non respiratoires. 



68 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



3° Incurvation de l'extremite de 1'abdomen vers le bas. 
La diminution du diametre vertical de 1'abdomen, dans la phase expira- 
toire el au niveau des somites 2, 3, est d'environ l j i6 . 

La longueur de 1'abdomen ne varie pas d'une facon sensible. 

II faut noter, enfin, des arrets en inspiration, courts mais evidents. 



XXIV. 



ClCINDELA HYBRIDA. 



( fttiule ilex mouvements rettpiratoIrcN par lu methode des projections.) 



Les Cicindeles, qui sont des insectes extremement vifs et agiles, offrent des 
mouvemenls respiratoires d'une amplitude assez considerable, beaucoup plus 
grande, par exemple, que celle de ces memes mouvemenls chez les Carabes. 
Chez la Cicindeta hybrida la diminution du diametre verlical de 1'abdomen, 
en expiration, varie enlre '/io et 1 / 7 , tandis qu'elle n'est que de '/^o cnez ' e 
Carabus auratus. 

Le mecanisme respiratoire est, du reste, celui que Ton observe chez le 
plus grand nombre des Coleopteres. 

L'abdomen execute deux especes de mouvemenls : 1° des mouvements 
d'oscillation de haut en bas dont nous n'avons pas a nous preoccuper et 
qu'on annule a peu pres complelement en faisanl reposer l'un des derniers 
segments sur une epingle coudee a angle droit; 2° des mouvements respira- 
toires vrais. 

J'ai observe ceux-ci au grossissement de 41, tantot chez la Cicindele 
dont la face lergale de l'abdomen elait absolument nue, tantot chez la 
Cicindele dont quelques-uns des arceaux tergaux elaient garnis de petils 
styles colles au baume du Canada. 

Les arceaux tergaux s'abaissenl, en expiration, el, dans ce mouvement, 
leur portion mediane descend un peu plus que leurs parties laterales; ils 
deviennenl plus plats. 

Le maximum d'effet a lieu pour les somites 2 et 3. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 69 

Les arceaux tergaux 1, 2, 3 glissent un peu en arriere; les arceaux 5 
et 6 sMnclinent en avant; Ie profil longitudinal de la face tergale devient 
ainsi concave et l'extremile de l'abdomen se releve faiblement. 

Les regions epimeriennes paraissent immobiles. Tous les mouvements 
sont simultanes; il n'y a pas d'onde. Les segments thoraciques posterieurs 
ne bougent pas. Enfin, en expiration, l'abdomen se raccourcit d'une petite 
quantite; environ i f m de la longueur abdominale totale. 

§ XXV. 

ScARABEIENS. 
(Blstorique.) 

Les Scarabeiens et les Lucaniens sont les Coleopteres dont la respiration 
a fait, a des titres divers, l'objet du plus grand nombre d'observations. Cette 
preference s'explique aisement par les dimensions qu'atteignent plusieurs de 
ces insectes et par la facilite avec laquelle on se procure quelques formes tres 
communes. 

Avant d'aborder Texpose de mes etudes personnelles, je rappellerai brie- 
vement les resultats que mes predecesseurs ont obtenus ou ont cm obtenir. 

Sorg ' a examine les mouvements respiratoires du Lucanus cervus; il a 
constate que ces mouvements etaient rhythmiques et que l'expiration s'effec- 
tuait d'une fagon rapide tandis que Pinspiration avait lieu avec plus de len- 
teur. 

Treviranus 2 , guide par une theorie evidemment fausse de Comparetti 5 , a 
cherche vainement a voir des contractions spontanees dans les trachees de 
VOryctes nasicornis. 



1 Sorg. Disquisitiones physiologieae circa respirationem insectorum, etc., p. 27. Rudolf- 
stadt, 1805. 

2 Treviranus. Bioloqie oder Philosophic der Lcbcnden Natur, 4 ter Bd., p. 161. Gottingen, 
1814. 

3 Comparetti. Dinamica animate degli Insetti , part. II, p. 505, 506 et 508. Padova, 1800. 
(Treviranus cite un autre travail de Comparetti : Obs. mat. de aure interna, p. 290, qui a 
echappe jusqu'a present a mes recherches.) 



70 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Les Geotrupes ont occupe Schenck l , Hausmann 2 , Rathke 3 et Packard 4 . 
Hausmann a voulu repeter sur ces Coleopleres Fexperience qui consiste a 
mettre en evidence les contractions et les dilatations de 1'abdomen par les 
oscillations d'une colonne liquide 5 ; Rathke a eludie les mouvements respi- 
ratoires du Geotrupes stercorarius et Packard a fait quelques observations 
sur les allures du meme insecte lorsqu'il se prepare a voler. 

Marcel de Serres 6 a examine la structure des somites abdominaux des 
Cetonia et Rathke a etendu a ce genre les etudes auxquelles il s'etait livre 
sur les Geotrupes. 

Le Hanneton (Melolontha vulgaris) a etc observe plusieurs fois, au point 
de vue du mecanisme respiraloire, mais presque toujours d'une facon super- 
ficielle el incomplete. Straus-Durckheim 7 parle en lermes fort vagues des 
mouvements abdominaux; Rurmeister 8 pretend avoir constate que l'insecte 
est en expiration complete durant le vol; Duges 9 signale les mouvements 
de rentree et de sortie de la tete et du thorax; Graber l0 prend le Hanneton 
comme exemple pour faire comprendre que, chez les Coleopteres, les arceaux 
sternaux de l'abdomen restent a peu pres immobiles, alors que les arceaux 
tergaux s'elevent et s'abaissenl. Enfln LangendoriT, dans le travail qu'il a 
public poslerieurement a ma notice preliminaire ' ', expose comment il a 
applique la methode graphique a l'etude des mouvements respiratoires du 



i Schenck. Epistola ad audorem Gammarologiae (dans Sachs. Gammarologia , p. 935. 
Francoforti et Lipsiae, 1665). Schenck se sert du terme vague de Scarabaeus. 

2 Hausmann. De animalium exsanguium respiratione commentatio, p. 8. Hannoverae, 1803. 

* Anatomisch-physiologische Untersuchungen uber den Athmungs - Prozess der InseMen, 
pp. 101 a 103. 

' l Packard. Second Report of the Untied States Entomological commission, etc., p. 181 (en 
note). "Washington, 1880. 

5 Voyez § III du present memoire. 

6 Marcel he Serres. Observations sur les usages du vaisseau dorsal (Mem. DO Museum 
d'hist. nat. de Paris , t. IV et t. V. Paris, 1818-1819), p. 85 du tire a part public en 1818. 

i Straus-Durckheim. Considerations generates sur I' anatomic comparee des animaux arti- 
cules, p. 322. Paris, 1828. 

8 Rurmeister. Handbuch der Entomologie , l ter Bd., p. 420. Berlin, 1832. 

9 Duces. Traite de physiologic comparee, etc., t. II, p. 556. Montpellier, 1838. 
to Grarer. Dielnsekten, l te Theil , p. 108. Munehen, 1877. 

il Das Athmungscenlrum der Inseclen, Op. err., pp. 82, 83 et 84. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES 71 

Hanneton et reproduit plusieurs traces deslines a montrer l'influence irri- 
tante de la fumee de tabac et la persistence des mouvements de respiration 
apres la decapitation. Je passe necessairement les auteurs qui se sont bornes 
a rappeler un fait connu de tout le monde : les mouvements respiratoires 
amples et rhythmes par fesquejs le Hanneton remplit d'air son systeme tra- 
cheen avant de s'envoler. 

La serie d'observations que je viens de citer est assez longue et cepen- 
dant, si Ton excepte les recherches conscieneieuses et methodiques de 
Ratbke, il serait impossible a I'aide des autres de tracer, avec exactitude, 
le tableau des mouvements respiratoires d'un seul Scarabeien. Ratbke lui- 
meme generalise trop. J'estime done qu'une etude nouvelle et aussi complete 
que possible du mecanisme respiratoire de quelques-uns des Coleopteres du 
groupe en question peut offrir un interet reel. 

Je me suis servi de VOrycfcs nasicomis et du Hanneton pour effectuer 
le plus grand nombre de mes experiences; j'ai soumis, en outre, a un 
examen assez detaille les quatre formes suivantes : Phtjllopertha horlicola, 
Geofrupes sylvalicus, Onthophagus nuchicorms et Trichius abdominalis. 



§ XXVI. 



Oryctes nasicornis. 



(Ktudc lies mouvements respiratoires cle Vo. U ctes par la methode graphique.) 



VOryctcs nasicomis, tres robuste, deplace aisement un levier en contact 
avec les parties mobiles de ses teguments. Co serait, a cet egard, un Coleop- 
lere a cboisir de preference a tout autre, pour les experiences graphiques, 
s'il ne faisait constamment effectuer a son abdomen des mouvements vio- 
lents d'elevation et d'abaissement, absolument distincts des mouvements 
respiratoires et qui apportent toujours un trouble plus ou moms conside- 
rable en masquant partiellement les deplacements inspiratoires et expira- 
toires vrais. 



72 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Le graphique H que je reproduis a litre d'exemple a ete fourni par un 
individu prive complement de ses ellytres et dont Tabdomen etait, par 




-< — Sens de la rotation du cylindre. 

consequent, absolument libre. Le levier transversal reposait sur le milieu 
de la face tergale du 4 e somite. 

Les grandes ondulations du trace repondenl aux mouvements generaux 
de Fabdomen qui se presentent de trois a cinq fois par minute; les petites 
repondent aux mouvements respiratoires qui se repetent environ trente- 
cinq fois dans le meme laps de temps. 

On arrive a diminuer beaucoup les mouvements abdominaux en conser- 
vant les elylres et en se bornant a y pratiquer une fenetre situee au-dessus 
de la portion du corps avec laquelle on veut mettre le levier en rapport. II 
est cependant impossible d'annuler les mouvements de 1'abdomen d'une 
facon complete. 

Le graphique I a ete trace par un individu place dans les conditions 



w\/.\j 



A A/ 



Sens de la rotation du cylindre. 



favorables que je viens d'indiquer, le talon du levier transversal reposant, 
encore une fois, sur la face tergale du 4 e somite. 

notablement moins accuses 



Les mouvements generaux de Tabdomen, 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES IJSSECTES. 73 

que dans le cas precedent, ont lieu quatre fois par minute. Quant aux 
mouvements respiraloires proprement dits, ils sont tres rapides; on en 
compte quarante-neuf par minute *. Cette rapidite n'est pas un fait isole; 
presque tous les nombreux Oryctes soumis a mes experiences offraient la 
meme particularity les quelques individus dont la respiration s'effectuait 
lentement etaient manifestement malades. 

Comme chez I'Hydrophile excite et qui, dans ce cas exceptionnel seule- 
ment, presente un rhythme respiratoire presque aussi presse, il n'y a chez 
VOryctes ni pause inspiraloire ni pause expiratoire (voyez § XI). 

Le trace fourni par V Oryctes montre en outre, comme ceux produils par 
les autres Coleopteres, que l'inspiration offrc une vitesse decroissante et 
que l'expiration determine une chute brusque du levier. 

Des a present, et en nous basant stir ce que nous ont appris les insectes 
etudies dans les paragraphes precedents, nous sommes en droit de sup- 
poser : 1° qn'il n'existe pas de muscles inspiraleurs et 2° que les muscles 
expirateurs de YOrycles sont puissants. On verra plus loin que ces suppo- 
sitions sont parfailement exactes. 

1 Cp rhythme rapide so maintient dans une serie de graphiques successifs obtenus a 
' aide du meme individu. 



Tome XLV. 



dO 



74 



RECHERCHES EXPl^RIMENTALES 



§ XXVII. 

Etude des mouvements respiratoires de VOrycles par la mtithode des projections. 

L'abdomen de 1'insecte comprend huit somites apparents; les faces 
tergales des six premiers sont seules mobiles; les deux derniers somites 
forment, on le sait, le grand bouclier convexe et lisse qui depasse le bord 
posterieur des elytres. 

l re Experience. — Un male vif, prive de ses elytres, de ses ailes et de 
ses patles, est place dans l'instrument transversalement au faisceau lumi- 
neux, de facon a obtenir la silhouette du profil du Coleoptere. Des styles 
verticaux ont ete colles sur le milieu des faces tergales des somites abdo- 
minaux 2, I et 6. 

La meme combinaison facheuse, deja signalee, des mouvements generaux 
de l'abdomen et des mouvements rcspiratoires vrais se presente. Cependant, 
avec de la patience et en y mettant le temps necessaire, je suis parvenu a 
ne dessiner que les phases respiratoires proprement dites (fig. 58, pi. I). 

Les expirations sont assez profondes, la diminution du diametre vertical 
de l'abdomen atteignant 1 / 10 a la hauteur du 3 e somite. 



2 e Experience. — L'insecte est place longitudinalement dans I'axe du 
rayon lumineux, de maniere a fournir une silhouette qui represente la 
coupe de l'abdomen. Pour des raisons inutiles a detailler el qui tiennent a 
la forme de YOryctes, je suis oblige de metlre au point pour le ¥ somite 
abdominal. Des styles ont ete fixes au milieu de la face tergale du somite, sur 
les bords lateraux de cette face et sur les bords epimeriens (fig. 59, pi. U)- 

L'experience reussit parfaitement et permet d'analyser lous les details 
que presentent les mouvements respiratoires dans un somite abdominal 
determine. 



SUR LES MOUVEMENTS RESP1RATOIRES DES INSECTES. 7S 

Je resume ci-dessous 1'ensemble des resultats auxquels je suis arrive par 
l'emploi successif de la methode graphique et de la methode des projections : 

Faits bMraiix. 

1" Les faces tergal es du mesothorax et du metathorax restent immobiles. 

2° Les mouvements respiratoires ont lieu a la fois pour tous les somites dont les arceaux 
tergaux peuvent se mouvoir ; il n'y a pas d'onde. 

3° De meme que chez le Lucanus cervus observe par Sorg, la dilatation en inspiration est 
plus lente que la contraction expiratoire. 

4° L'abdomen offre des changements de longueur tres faibles ('/ 80 de la longueur abdo- 
minale totalc). 

5° La face sternale des somites ne parlicipe point aux mouvements de respiration. 

6° Les oscillations amples de l'abdomen sont beaucoup plus espacees que les mouve- 
ments conspiration et d'expiration et constituent un phenomena etranger a l'acte respi- 
ratoire. 

Fails speciaux a elm que phase. 



Expiration, 

Les faces tergales des somites 1 et 2 basculent en 
arriere. 

La face tergale du somite 1 se degage de dessous le 
metathorax. 

La face tergale du somite 5 s'abaisse a peu pres verti- 
calement et descend le plus bas. Celles des somites 
4, S, 6 s'inclinent un peu en avant pendant leur des- 
cente. 

Les arceaux tergaux chevauchent Iegerement les uns 
sur les aulres et le profil longitudinal de la face dor- 
sale de l'abdomen devient concave. 

La courbure des arceaux tergaux se modifie, leur parlie 
centrale s'abaissant un peu plus que leurs extremites 
laterales; ils devienuenl un peu plus plats. 

Les stigmates portes par la zone molle laterale ' s'incli- 
nent Iegerement en dedans. 

Les epimeres cedent un peu dans le meme sens. 

L'abdomen se raccourcit tres Iegerement ('/so de la lon- 
gueur abdominale). 



Inspiration. 

Les faces tergales des somites 1 et 2 devienuenl a peu 
pres horizontals. 

La face tergale du somite 1 penetre un peu sous le meta- 
thorax. 

Les faces tergales des autres somites mobiles s'elevent. 



Le profd longitudinal de la face dorsale de l'abdomen 
devient a peu pres rectiligne. 

En s'elevant, les arceaux tergaux deviennent plus con- 
vexes dans le sens transversal. 

Les stigmates mobiles redeviennent a peu pres horizon- 

taux. 
Les epimeres relournent a leur position premiere. 
L'abdomen reprend sa longueur primitive. 



1 II y a chez VOryctes trois stigmates posterieurs perces dans des portions fixes de tegu- 
ments. 



76 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 



§ XXVIIi. 

Muscles respiratoires he l'Oryctes. 



En comparant les figures ci-jointes (24, 22 et 23) du sysleme muscu- 
laire abdominal de YOrycles a celles qui representent le meme systeme 




Fig. 21 X '*• — Muscles dc la moiti6 droite de l'abdomen de YOrycles nasicornts J. 
A ct a. Muscles longitudinaux. 
a Muscles expirateurs verticaux. 





Fig. 22 X 3. — Onjctes. 
Coupe transversale du ¥ somite abdominal. 
S Position spe'ciale du stigmate dans ce somite. 
a Muscle expiratcur. 



Fig. 23 X 6. — Oryctes. 

Muscles expirateurs verticaux des somites abdomi- 
naux 2, 3 et 4, Les arceaux tergaux out 6t<S 
renversCs en dehors. 



chez I'Hydrophile, le Dytique et le Hanneron, on voit que les muscles expi- 
rateurs verticaux « « sont ici proportionnellement plus robusles et surtout 
plus longs. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 77 

Rathke ' a cru remarquer que chez les Coleopteres dont les mouvements 
respiratoires sont energiques, les muscles expirateurs sont plus forts que 
chez les autres formes a mouvements respiratoires moins profonds. 

Je ne sais si cette observation est serieuse, car Rathke n'avait a sa dis- 
position aucun moyen de mesurer l'amplitude des mouvements respiratoires 
des animaux qu'il etudiait. 

Si Ton consulte le tableau II du § XC1I, tableau que la methode des 
projections m'a permis de dresser, on constate que YOryetes nasicornis ne 
figure pas parmi les Coleopteres dont la diminution relative du diametre 
vertical de l'abdomen en expiration est considerable ; j'ai du le ranger dans 
le groupe chez lequel cette diminution n'a qu'une valeur moyenne, tandis 
que PHydrophile et le Hanneton , a muscles expirateurs moins developpes 
et plus courts, appartiennent, au contraire, a la categorie des insectes a 
mouvements expiratoires tres amples. 

Les muscles expirateurs de YOryetes ne sont point decomposes en deux 
faisceaux, comme ceux de PHydrophile ou du Dytique; ils sont simples; 
disposition qui parait tres repandue et que Rathke considerait, a tort, comme 
generale chez les Coleopteres. 

Les muscles inspirateurs manquent; Pinspiration est done passive. 

§ XXIX. 
Experiences sur le systems neuveux de l'Oryctes nasicornis. 

J'ai analyse partiellement (§§ XIV et XX) les recherches de Faivre con- 
cernant I'influence des diverses regions du systeme nerveux du Dytique sur 
les mouvements respiratoires de ce Coleoptere et j'ai cherche a montrer, a 
1 aide d'experiences personnelles effectuees sur l'Hydrophile etsur le Dytique, 
que les conclusions de Pauteur etaient fausses; les effets obtenus provenant 
de la forme condensee du systeme nerveux. 

La chaine nerveuse de YOryetes offrant, comme celle de la plupart des 



Anatomisch-physiologische Vntersachungen, Op. err., p. 102. 



78 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 



Scarabeiens, une condensation poussee a 1'extreme, il m'a semble qu'il 
serait tres interessant de repeter sur eel insecte une partie des experiences 
de Faivre, afin de pouvoir mettre, plus tard, les resultats en parallele avec 
ceux que fournissent les Acridiens et les Odonates, animaux dont presque 
tous les centres nerveux sont restes bien separes. 

Je rappellerai que les masses ganglionnaires distinctes les unes des autres 
a Yornl nu, les scules, par consequent, sur lesquelles on puisse agir experi- 
mentalcment, sont, chez YOryctes : une masse cerebroi'de, une masse sous- 
oesophagienne, une masse prothoraeique, enfin, une masse mesothoracique 
resultant de la soudure complete des ganglions du mesothorax, du meta- 
thorax el de tons les ganglions abdominaux. 

Ce dernier groupe complexe est situe dans 1'interieur du thorax, juste 
au-dessus de 1'espace qui separe les hanehes de la premiere et de la deuxieme 
paire. 

L'abdomen ne contient aucun centre nerveux de la vie animate; il n'est 
traverse que par des nerfs *. 

II resulte theoriquement de la disposition du systeme nerveux de YOryctes 
qu'aucune lesion des connectifs ou des ganglions anterieurs a la masse meso- 
thoracique n'abolira les mouvements respiratoires abdominaux; mais que 



i Pour Ie syst&me nerveux des Scarabeiens, on consultera utilement les ouvrages suivants : 

Straus-Durckheim. Considerations generates sur I'anatomie comparee des animaux articule's, 

pi. IX [Melolontha). Paris, 1828. 
Regne animal de Cuvier, edition Masson. Insectes, atlas, pi. Ill (Melolon- 

tha). Paris, 1849. 
Vergleichend- Anatomische Skizzc des Nervensy stems der Insekten (Horae 

Societatis entomologicae RossiGAE , Bd. XV, 1879). (Geotrupes, Apho- 

dius, Ateuchus, Melolontha, Celonia.) 
Ueber die Metamorphosen des Nervensystems der Insekten (Ibid., Bd. XV, 

1879). (Melolontha.) 
Vergleichend Anatomische Untersuchungen iiber das Nervensystem der 

Kafer (Ibid., Bd. XV, 1879). (Aphodius, Rhizotrogus, etc.) 
Ueber das Nervensystem der Rlatthorner (Lamellicomia) (Ibid., Bd. XI V, 

1879). (Cetonia, Geotrupes, Ateuchus.) 
Reschreibung des Nervensystems von Qryctes nasicomis im Larven, 

Puppen wnd Kdferzustande (Zeitschr. f.Wiss. Zool., Bd. XXXIV, 1880). 



Em. Blanchard. 
Ed. Brandt. . 

Id. . . 
Id. . • 
Id. . . 

MlCHELS . . . 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 79 

toute excitation ou toute lesion de la masse nerveuse complexe du meso- 
thorax pourra avoir un effet simultane immediat sur la motilite des mem- 
bres mesothoraciques, des membres metathoraciques et des anneaux de 
l'abdomen. 

Les experiences qui suivent confirment cette hypothese. Je les ai rangees 
de telle facon que le lecteur peut constater successivement les resultats de 
l'excitation ou de la destruction des differents centres nerveux, lorsque Ton 
procede d'avant en arriere, de la tete vers l'abdomen. 



l re Experience. — Apres avoir observe, chez un Oryctes, les mouvements 
respiratoires el les mouvements generaux de l'abdomen, on lui enleve la tete. 

Les centres cerebroi'des et sous-cesophagiens sont ainsi supprimes; cepen- 
dant l'insecte continue a effectuer les deux especes de mouvements : oscil- 
lations prononcees de l'abdomen et abaissements rhylhmiques des arceaux 
dorsaux. Les deplacements en question sont a pen pres exactement les memes 
que chez 1'animal intact et l'on ne constate d'affaiblissement manil'este 
qu'apres 15 minutes environ. 

Cette experience n'est que la centieme repetition, peut-elre, d'une opera- 
tion eiTecluee dans des buts divers par Boyle, Lyonet, Walckenaer, Trevi- 
ranus, Straus-Durckheim, Burmeister, Duges, Newport, Dujardin, Blanchard, 
Yersin, Rathke, Faivre, Baudelot, Yung et tous ceux qui ont eludie les pro- 
prietes des centres nerveux des articules. Toujours ces nombreux observa- 
teurs ont vu persister, cbez les Arlhropodes decapites ou prives de leurs 
ganglions cerebroi'des, des mouvements varies qui , si Ton analyse les des- 
criptions, ne sont autre chose que des mouvements reflexes. 

Inexperience sur VOryctes devait etre faite pour completer la serie. Elle 
prouve, comme, du reste, des faits deja cites dans ce memoire et d'autres 
a exposer plus loin, que les mouvements respiratoires des insectes apparte- 
n ant a la meme categorie, sont des mouvements reflexes. 

Les mouvements de ce genre, tout en ayant lieu habituellement sans 
"intervention des centres nerveux volontaires (representes ici par les gan- 
glions cerebroi'des), peuvent, de meme que chez les vertebres, etre modifies 
par des excitations ayant ces centres pour origine. 



80 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Ce fait incontestable, et dont je citerai encore des exemples dans la suite 
du memoire, conduit a une explication assez plausible des resultats obtenus 
par la destruction des ganglions cerebroides seuls, ou par la decapitation 
chez 1'Hydrophile, le Dytique et le Carabe (§§ XIV, XX et XXII) : la dimi- 
nution d'amplilude constalee apres l'operation tiendrait a ce que chez 
1'insecte fixe, et evidemment inquiet, l'amplitude des mouvements respira- 
toires est un peu plus forte qu'a I'elat parfaitement normal. Si Ton detruit 
les centres nerveux d'oii emane cette excitation momentanee, Ies mouve- 
ments de respiration redeviennent a peu pres ce qu'ils eussent ete chez 
1'animal en liberte el au repos. 

II suit de la qu'en excitant les ganglions cerebroides on doit obtenir soit 
une augmentation d'amplilude, soit une acceleration. L'experience suivanle 
semble repondre a une partie de ce programme. 

2 e Experience. — On pique la masse cerebroi'de a l'aide d'une aiguille. 
VOryctes execute le mouvement de manege qui indique que Ton a bien 
atteint les centres voulus. Le nombre des mouvements respiratoires, par 
minute, s'eleve un peu; il monte de trente-huit par minute a cinquante-huit. 

Le resultat ci-dessus peui, cependant, etre du a une cause plus generale 
que celle qu'il parait prouver au premier abord. Comme l'acceleralion notee 
chez le Dytique apres la destruction des ganglions cerebroides et comme 
l'acceleration observee chez VOryctes, dans l'experience qui suit (apres la 
suppression des ganglions prothoraciques), I'augmentalion du nombre des 
mouvements respiratoires par minute consecutive a la piqure de la masse 
sus-oesophagienne pourrait provenir de ce fail que, dans une certaine limite, 
toute lesion des regions anterieures de la chaine nerveuse retentit sous forme 
d'excitation temporaire sur les regions poslerieures de cette chaine de facon 
a determiner un rhythme respiraloire plus presse. 

3 e Experience. — Un Oryctes respire soixante fois par minute ; on detruit 
la masse ganglionnaire prothoracique ; on constate, comme preuve de l'opera- 
tion, la paralysie des pattes de la premiere paire. La respiration s'accelere 
notabiemenl, le nombre des mouvements respiratoires par minute etanl 
successivement soixanle-treize, soixante-quinze, soixante-dix-huit. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 81 

i e Experience. — On sectionne les connectifs reliant les ganglions pro- 
thoraciques a la masse complexe du mesothorax. Les paltes conservent leur 
motilile, inais la coordination de leurs mouvements a disparu. VOryctes se 
renverse conslannnent sur le dos. Les mouvements respiratoires, devenus 
tres faibles, sont douteux. 



Jj c Experience. — Le resullat precedent n'etant pas satisfaisant, on opere, 
de la meme facon, sur un nouvel individu. Phenomenes identiques du cote 
des pattes. Cetle fois on constate nettement la persistance des mouvements 
respiratoires. lis sont faibles et, lors de l'observation direcle, sont masques 
par les deplacements generaux de Fabdomen. 

On immobilise la region abdominale el, des ce moment, les mouvements 
respiratoires vrais devienneul incontestables. 

Toutes les experiences qui precedent ont fourni sensiblement les memes 
resultats que les essais analogues auxquels Eaivre a soumis le Dytique; la 
conclusion de cet auteur : « persistance des mouvements respiratoires apres 
la section des connectifs en avant du ganglion mesothoracique » , est entie- 
rement applicable a VOryctes. 



6 e Experience. — On pique, a 1'aide d'une aiguille, la masse mesotho- 
racique qui comprend, ne l'oublions pas, des ganglions thoraciques propre- 
ment dits et tous les ganglions abdominaux. 

A l'etal Ires calme, VOryctes respirait environ vingt-cinq fois par minute; 
excite par les manipulations preparatoires a I'experience, il respire trente- 
°euf fois dans le meme temps. 

Apres la piqure, le rhythme s'accelere encore, le nombre de mouvements 
respiratoires rnonle brusquement a quarante-six par minute, mais retombe 
bieniot a vingt-cinq, chiffre initial. 

7* Experience. — On excite de nouveau par une piqure d'aiguille la 
meme masse mesothoracique et par suite, comme on va le voir, les gan- 
glions abdominaux qui en font parlie. 

L'insecle, a peu pres calme, respirait quarante-trois fois par minute. 



Tome XLV. 



M 



82 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 



Au moment de la piqure les mouvements respiratoires cessent; seule- 
ment Fabdomen est a l'etat & expiration forcee, preuve evidente de l'exci- 
tation des centres nerveux regissant les muscles expirateurs verticaux. 

Au bout de quelques minutes apparaissent de faibles pulsations respira- 
toires (quaranle-quatre par minute), sans que l'etat general en expiration ait 
cesse. Quinze minutes plus lard, les mouvements respiratoires normaux, 
reguliers et profonds se retablissent. On en comple successivement vingt- 
quatre, trente-cinq, vingt-huit, par minute. 

8 e Experience. — Un Orycles fait soixante mouvements respiratoires par 
minute. On divise en deux, transversalement, la masse mesolhoracique, 
operation qui semblerait, au premier abord, devoir amener la separation, a 
l'etat intact, de quelques-uns des centres posterieurs abdominaux; mais il 
n'en est rien, les ganglions abdominaux sont tous leses en meme temps. Les 
trois paires de pattes sont immediatement paralysers et les mouvements 
respiratoires cessent. L 'arret de Fabdomen a lieu cetle fois en inspiration. 

Get arret en inspiration et non dans une position mixte, a pros la destruc- 
tion des centres excitateurs de mouvement des muscles abdominaux, est 
une preuve nouvelle s'ajoutant a toules les autres de la passivite du mou- 
vement inspiratoire chez les Coleopteres. 

La serie des experiences 6, 7, 8 demontre que lorsqu'on excite ou qu'on 
detruit partiellemenl, chez un articule, une masse nerveuse complexe resul- 
tant de la soudure de centres ganglion naires succcssifs, les excitations ou 
les lesions retentissent fatalement dans tous les centres nerveux consti- 
tuants. 

Un fait curieux signale par Paul Bert en 1878 1 renlre dans le rnenie 
ordre de phenomenes. Le savant physiologiste a observe que si Ton pique, a 
l'aide d'une aiguille fine, la masse ganglionnaire thoracique d'une araignee, 
on abolit immediatement tous les mouvements spontanes et rellexes ct non 
ceux de telle ou telle paire de patles dont les centres speciaux repondraient 
a l'endroit precis de la piqure. 



i Society de Biologie, 1878. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 83 

Mes experiences prouvent done qu'il est impossible de determiner expe- 
rimentalement, chez les Coleopteres a systeme nerveux condense, des pro- 
prietes dislinctes, speciales, dans les ganglions thoraciques posterieurs et 
abdominanx anterieurs soudes entre eux. 

9 e Experience. — J'ai dit, plus haut, que l'abdomen de YOryctes ne ren- 
ferme pas de ganglions, qu'il ne contient que des nerfs conducteurs. Ceux-ci 
passenl du thorax dans la cavite abdominale sous la forme d'un faisceau 
dont les elements ne s'ecartent qu'au bout d'un certain trajet. 

On sectionne cc faisceau; les pattes pro- et mesothoraciques conservent 
leur motilite; les pattes metathoraciques sont paralysers '; l'abdomen offre 
encore des mouvements generaux autour de son articulation sur le meta- 
tborax; mais les mouvements respiratoires vrais sont abolis. Tons les 
somites sont immobilises en inspiration. 

10 e Experience. — Section du meme faisceau nerveux indique dans 
Texperience precedente. Nouvel arret des mouvements respiratoires en 
inspiration. 

§ XXX. 

Onthophagus nuchicornis. 

{ Etude des niouvemcuts respiratoires p»r ia metiiode ties projections. ) 

Commc les autres Scarabeiens, YOnthopluuje offre deux especes de mou- 
vements abdominaux : des mouvements oscillatoires dans le sens vertical et 
des mouvements respiratoires propremenl dits. Les difficuites de I'analyse 
sont assez grandes parce que le rhythme, si je puis m'exprimer ainsi, des 
mouvements de balancement de l'abdomen concorde a peu pres avec celui 
des mouvements respiratoires vrais. Jamais je ne serais parvenu a observer 
les faits d'une maniere claire sans la methode des projections. 

1 Fait complement d'accord avec les descriptions et les figures de Michels qui represen- 
tent les cordons nerveux des pattes de la troisieme paire comme associes au faisceau com- 
mun des nerfs destines a l'abdomen. En coupant ce faisceau, on doit done, ndcessairement, 
iibolir la motilite dans les pattes posterieures. 






84 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Cette methode permet de voir que les arceaux dorsaux se d^placent de la 
meme maniere que chez YOrycles ; ils descendent a pea pres verticalement 
en expiration, le maximum d'effet ayant lieu pour le quatrieme. Les expi- 
rations sont assez profondes; la diminution du diametre vertical de Pabdomen 
atteint i j ii au niveau du 4 e somite. 

Les rebords epimeriens tres rigides ne s'inclinent pas en dedans; le meta- 
thorax reste immobile et la longueur de Pabdomen ne varie point d'une 
facon appreciable. 

L'observation directe a la loupe ferail croire a Pexistence d'une onde; 
des contractions expiratoires successives ayant frequemment lieu, tantot 
d'arriere en avant, tantot d'avant en arriere. Mais avec un peu d'attention 
et surtout a Paide des silhouettes, on peut s'assurer qu'entre deux mouve- 
ments de ce genre se placent, la plupart du temps, plusieurs expirations 
regulieres ayant lieu simullanement dans tous les arceaux dorsaux mobiles. 

Je suis persuade que les contractions ondulatoires sont en relation avec 
les efforts que l'insecte fait pour se degager et qu'elles n'existent tres proba- 
blement pas chez les individus intacts et libres. 

§ XXXI. 

Geotrupes sylvaticus. 



Place dans Pappareil a projection, l'insecte imprime a l'ensemble de son 
abdomen des mouvements oscillatoircs si violents et si etendus qu'il est 
impossible de dessiner une silhouette satisfaisante. 

J'ai pu constater, par l'observation directe, sur des individus chez Ies- 
quels une fenetre avait ete pratiquee dans les elylres, que les mouvements 
respiratoires sont, d'une facon generale, ceux des autres Scarabeiens et que 
les arrets qui se presentent de temps a autre ont toujours lieu en inspiration. 

Chez l'animal decapite, la forme des mouvements respiratoires reste la 
meme. Le rhythme, d'abord accelere pendant les instants qui suivent Pope- 
ration, ne tarde pas, au bout de quelques minutes, a redevenir a peu pres ce 
qu'il etait chez Pindividu inlact. 






SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 85 

§ XXXII. 
Hanneton (Melolontha vulgaris). 

(Etude dci mouvements respiratoires par la mcthodc graphlque.) 

Le Hanneton n'est pas a recommander comme sujet d'experiences en 
raison de I'irregularite de ses mouvements respiratoires. Tel individu fait 
mouvoir le levier avec une rapidite genante et en lui imprimant des mou- 
vements d'une grande amplitude, alors que d'autres, tout aussi vivaces en 
apparence et places dans des conditions experimentales identiques, ne pro- 
duisent que des ondulations peu regulieres ou tremblees. Je ne suis parvenu 
a obtenir quelques graphiques convenables qu'en repetant mes essais un 
grand nombre de fois. 

Comme YOrycles, l'Ontbopbage et le Geotrupe, le Hanneton fait executer 
a son abdomen des mouvements de haut en bas et de bas en haut qu'il 
faut distinguer des mouvements respiratoires proprement dits. 

Une femelle tres vigoureuse, munie d'une fenetre aux elytres et suppor- 
lant un levier transversal reposant sur la face tergale de 1'abdomen, a la 
limite des somites 3 et I, a donne le graphique K. ci-dessous, dans lequel 




Sens de la rotation du cylindre. 



on voit ['influence des mouvements generaux de 1'abdomen. On observait 
de cinq a douze mouvements respiratoires entre deux mouvements abdomi- 
naux et, pendant chacun de ces derniers, deux a trois mouvements respira- 
toires vrais. 

J'ai facilement annule les oscillations de 1'abdomen en fixant l'extremite 
de celui-ci a l'aide d'une epingle. II arrive, dans ce cas, que le trace respi- 



86 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



ratoire n'est nullement altere dans sa forme; cependant, dans plusieurs expe- 
riences, j'ai pu constater que la precaution ctait plutot nuisible qu'utile. 

En comparant le graphique des mouvements respiratoires du Hanneton a 
celui des mouvements respiratoires de YOryctes, le lecteur sera frappe de la 
presque identite existant entre les facons de respirer de ces deux insectes : 
vitesse tres grande (trente-neuf mouvements par minute), pas de pauses ni 
en inspiration ni en expiration; inspiration a vitesse decroissante, expiration 
representee par une chute brusque du levier. La courbe respiratoire du 
Hanneton ne differe de celle de YOrycles que par un detail : l'inspiration 
et l'expiration paraissent etre a peu pres aussi rapides Tune que 1'autre et 
semblent s'effectuer dans des temps sensiblement egaux. 

Pour m'assurer s'il n'existait reellement pas de pause, soit en inspiration, 
soiten expiration, j'ai laisseun individu se fatiguer, pendant 45 a 20 minutes, 
a deplacer un levier, puis j'ai pris un graphique. Ce dernier accuse un grand 
ralentissement (vingt mouvements par minute); mais on n'y observe aucune 
pause veritable. 

Ce n'est que chez les Hannetons epuises qu'on obtient une sorte de pla- 
teau arrondi au sommet de la partie inspiratoire de la courbe; indiquant 
done un repos relatif en inspiration. 

Enfin, certains individus, apres avoir respire activement pendant quelque 
temps et d'une facon reguliere, presentent de longues phases de repos durant 
lesquelles les somites abdominaux cessent absolumenl de bouger. 

Dans ces periodes d'immobilite, l'abdomen est toujours en inspiration, 
fait qui permet de supposer que l'inspiration est passive comme chez les 
autres Coleopteres. L'etude des muscles nous en fournira, du reste, une 
preuve suffisante. 



§ XXXIII. 

(Etude des mouvements respiratoires du Hanneton par la mcthode des projections.) 

Quelques-uns des Hannetons essayes ont etc captures au vol dans mon 
jardin et ont ete introduits presque immediatement dans l'appareil; on ne 
peut done soupconner leurs mouvements respiratoires d'etre alanguis par la 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 87 



captivite. Les autres individus nourris pendant quelques jours s'etant com- 
poses exactement de la meme maniere, l'ensemble des resultats obtenus me 
parait meriter toute confiance. 

Dans une premiere serie d'experiences, les insectes etaient places dans 
l'instrument de facon a donner une silhouette de leur profil longitudinal. 
De petils styles de papier etaient colles sur les arceaux dorsaux abdominaux 
2, &, 6, 7. 

Le Hanneton executant, comme je l'ai dit plus haut, des mouvements 
d'elevation et d'abaissement de la pointe de 1'abdomen, mouvements qui ne 
concordent point avec les mouvements respiratoires vrais, j'ai dessine des 
silhouettes dans deux cas difftrents, dans le cas de 1'abdomen libre et dans 
le cas de 1'abdomen immobilise par une epingle. 

Une deuxieme serie d'experiences a eu pour but l'etude des mouvements 
presented par les parties laterales des somites. II s'agissait surtout de deter- 
miner la valeur du deplacement des regions epimeriennes. En effet, lors- 
qu'on observe directement, a la loupe, un Hanneton prive de ses elytres et 
de ses ailes, on voit, a chaque expiration, la zone molle qui porte les stig- 
mates et qui unit, sur les bords, les arceaux dorsaux aux arceaux sternaux 
se deprimer fortement en formant un pli profond. 

II resulte de ce mouvement : 1° que les stigmales abdominaux 1 et 2, 
horizontaux en inspiration, deviennent presque verticaux et que le stigmate 3 
devient tres oblique; 2° que les regions epimeriennes, entrainees, s'inclinent 
en dedans. 

Je n'etais parvenu ni par la methode graphique qui ne m'a fourni a cet 
egard que des resultats indecis, ni par l'observation directe, a discerner si 
1 inclinaison des epimeres en dedans, Iors de Texpiration, est assez notable 
pour faire supposer un retrecissement transversal de 1'abdomen. C'est alors 
que j'ai eu recours a la methode actuelle. 

L'insecte prive de ses ailes et de ses elytres est place longitudinalement 
dans l'axe du cone luniineux, de facon a donner, comme silhouette, la coupe 
repondant a peu pres au 3 e somite abdominal (voyez fig. 60, pi. II). 

Dans un premier cas, des styles sont colles sur le milieu du 3 e arceau 
tergal et sur les stigmates 3 (moitie gauche de la figure 60, i). 









88 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



Dans un second cas (meme individu) les styles sont portes par le milieu 
du troisieme arceau tergal et par les regions epimeriennes du meme somite 
(moilie droite de la figure 60, *'). 

Or il est aise de voir, en comparant les silhouettes obtenues, que tandis 
que rinclinaison des stigmates et de la zone molle qui les porte est conside- 
rable, les deplacemenls des regions epimeriennes sont absolument insigni- 
fiants. 

Voici le resume des resultals fournis par la methode graphique et par la 
me'thode des projections : 



Faith u£]«m*ix. 



1° L'inspiration el l'expiration s'effectuent a peu pres avec la mSme vitesse et la meme 
energie ; il n'y a point de pauses. 

2° L'ensemble du m&o- et du metathorax participe un peu aux mouvements respiratoires 
abdominaux. 

3° Les mouvements de rentree et de sortie de la tete et les displacements du prothorax 
ne sont pas rhythmiques et paraissent independants des mouvements respiratoires ordi- 
naires. 

4° Meme lorsque la pointe de l'abdomen est fixee, les faces sternales du mesothorax, du 
metathorax et de l'abdomen ne restent pas absolument immobiles ; elles effectuent de petits 
mouvements d' elevation et d'abaissement. 

5° Les mouvements respiratoires sont tres profonds; la diminution du diametre vertical 
de l'abdomen, en expiration, variant, suivant les individus, de 1/g a l/ 7 . 

6° Chez les Hannetons dont la pointe de l'abdomen est libre, celle-ci execute des mou- 
vements de haut en bas assez considerables, mais separes par des intorvalles de temps 
beaucoup plus longs que ceux qui s<5parent les mouvements respiratoires vrais. La pointe 
de l'abdomen decrivant un arc de cercle, dans un plan vertical, il n'y a ni allongement ni 
raccourcissement r6e\ du corps. 

7° Les deplacements ont lieu a la fois dans tons les somites offrant des mouvements 
respiratoires vrais; il n'y a, par consequent, pas d'onde. 

Remarque. — II arrive frequemment, lors du sejour du Hanneton dans l'appareil a pro- 
jection, que Finsecte cherche a s'envoler. II etend alors les moignons de ses ^lytres et fait 
entendre son bourdonnement caracteristique. Or on peut constater, sans exception, par les 
silhouettes, que l'abdomen du Coleoptere est alors a l'etat & inspiration forced. L'inspira- 
tion dure aussi longtemps que le bourdonnement et cesse lorsque le Hanneton rabat les 
bases de ses elytres. 

Burmeister que je citais au § XXV s'est done completement trompe et, comme il ^ ll 
facile de le prevoir theoriquement, le Hanneton est bien en inspiration pendant le vol. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 89 



Fails speciaux a chaque phase. 



Expiration. 

Les faces lergales du meso- etdu metalhorax s'inclinenl 

en avant *; en meme temps les faces sternales des 

mcmes regions s'elevent an peu. 
11 en resulle que tout 1'ensemble du meso- et du meta- 

thorax bascule sur 1'arliculation pro-mesolhoracique. 
Les arceaux dorsaux des six premiers somites ahdomi- 

naux se deplacent comme suit : tous descendant ; le 

maximum d'effet a lieu pour les somites 5 et A; 

simullanemenl, 1 et 2 s'inclinenl en arriere, et 

meme 7 s'inclinenl en avant. 
Les stigmates des Irois paires abdominales auterieures 

s'inclinent fortement en dedans. 
Les rebords epimeriens de 1'abdomen rentrent d'une 

petite quanlite. 
Le profil longitudinal de la face tergale de 1'abdomen 

devient concave. 
La face sternale de 1'abdomen s'elevc un peu, meme 

chez les individus dont la pointe de 1'abdomen est 

fixe.e. 



Inspiration. 

Les faces tergales du meso- et du metalhorax s'inclinenl 
en arriere; les faces sternales des memes regions 
s'abaissent. 



Les arceaux dorsaux des six premiers somiles s'elevent. 



Les stigmates des Irois premieres paires abdominales 

reprennent une position horizonlale. 
Les rebords epimeriens se portent faiblement en dehors. 

Le profil longitudinal de la face tergale de 1'abdomen 

devient legerement convexe. 
La face sternale de 1'abdomen s'abaisse. 



D'apres 1'enumeration qui precede, le Hanneton execute non seulement 
des mouvements rcspiratoires abdominaux, mais presente, de plus, en meme 
♦emps, des defacements assez accuses des segments meso- et metalhora- 
ciques. 

On serait tente de relier ce fait physiologique a une disposition anato- 
mique signalec par Straus-Durckheim 2 : an bord posterieur et inferieur du 
prothorax, dans la region tegumentaire molle qui unit le segment prothora- 
cique an segment mcsothoracique, il existe, chez le Hanneton, une paire de 
grands stigmates d'ou partent des troncs tracheens importants. 

Les mouvements du meso- et du metathorax pourraient done etre consi- 
deres comme produisant des appels et des expulsions d'air locaux dans la 
partie thoracique du corps des Coleopteres. 

Je ne crois pas cependant qu'il faille attacher celte signification particu- 
liere aux mouvements en question; en effet : 1° les syslemes tracheens 



1 II n'y a pas ici d'erreur : e'est bien era avant que j'ai voulu dire. 
- Considerations generales, etc., op. cit. , p. 79. 
Tome XLV. 



12 



90 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



abdominaux et thoraciques coramuniquent largement entre eux; 2° les stig- 
mates du thorax se retrouvent, par example, chez l'Hydrophile dont les 
raouvements thoraciques sont faibles et chez YOrycles dont le thorax est 
immobile. 

II est bien plus probable que les stigmatcs thoraciques fonctionnent avec 
les stigmates abdominaux sous Taction puissante des raouvements respira- 
toires de 1'abdomen *. 

§ XXXIV. 

Muscles respiratoires du Hanneton. 

L'exactitude scrupuleuse avec laquelle Straus-Durckheim s'est altache a 
decrire la structure anatomique du Hanneton rend a peu pres inexplicables 
certaines lacunes importantes qui deparent cette belle monographic Pour ne 
citer que ce qui touche a mes recherches, Straus-Durckheim n'a point 
observe les muscles respiratoires du Coleoptere qiTil avait clioisi comme type. 

Fort etonne de ne point voir ces muscles representee dans Patlas des 
Considerations generates sur t'analomie comparee des animaux articules, j'ai 
relu avec soin toutes les parties de l'ouvrage dans lesquelles on pouvait sup- 
poser que l'auteur avait fait mention des muscles respiratoires, mais inuti- 
lement. 



1 Apres mes experiences sur VOryetes, je n'ai pas cru devoir faire de recherches quant a 
l'influence des diverses parties du systems nerveux sur les mouvements respiratoires du 
Hanneton. Les resultats eussent etc evidemment les memes. 

Langendorff, dont j'ai dej;i cite plusieurs fois le travail (Dm Athmungscentrum der Irisec- 
ten), faisant usage de la methode graphique, a constate qu'un Hanneton decapite continue 
a respirer regulierement et fournit un trace tres satisfaisant. Je remarque, en comparant 
les diverses figures publiees par l'auteur, que la suppression des centres nerveux anterieurs 
n'a point modifie ['amplitude, mais a determine un ralentissement manifesto 

Langendorff a observe aussi que chez 1'animal decapite Felevation de la temperature, 
produit une acceleration comme chez 1'animal intact. Enfin , il s'est assure que 1'on peut 
enlever le prothorax sans supprimer les mouvements respiratoires, mais qu'il n'est pas 
possible de detruire impunement une plus grande partie de la region anteneure du corps. 
Tout cela, on le voit, vient confirmer parfaitement Fensemble de mes recherches per- 
sonnelles. 



SUR LES MOUVEMEJNTS RESPIRATOIRES DES 1NSECTES. 91 

Cet oubli ou cette erreur de dissection a eu pour resultat inevitable une 
theorie absolument fausse des actions musculaires dans l'acte de la respira- 
tion. Straus-Durckheim ' attribue, en effet, ia diminution de capacite de 
l'abdomen, en expiration, au rapprochement des arceaux dorsaux les uns 
des autres, sous I'influence de la contraction des muscles longiludinaux 
(pretracteurs superieurs, Straus) 2 . 

Le lecteur peut voir par les ligures 24 et 25 qui, sans avoir 1'elegance 
de celles de Straus-Durckheim,, out, au moms, le merite de l'exaclitude, 
que les veritables muscles expirateurs («) du Hanneton presentent Ia meme 
disposition generale que ceux de YOryctes nasicomis. 




Kig. 24 X i- — Muscles de Ia moitu5 droite de l'abdomen du Hanneton <?■ 
A D Muscles longitudinaux (pr6tracteui's, Straus). 
a. Muscles respiratoires vrais (expirateurs). 






Situes dans les parties laterales des segments abdominaux, ils croisent, 
comme chez les autres Coleopteres, le repli constitue par la membrane 
molle unissanl les arceaux dorsaux aux arceaux sternaux. S'inserant en 



1 Considerations generates, etc., op. cit. , p. 324. 

2 Par suite de l'erreur de Straus-Durckheim , toutes les figures de la musculature du 
Hanneton reproduces dans les ouvrages generaux sont fautives. Je citerai, par exemple, 
la figure 18, planche IX, de Y Introduction a I'entomologie de Lacordaire, la figure 5, 
planche III , de VAnatomia degli insetti de Lorenzo Camerano, etc. 

J'ajouterai que le modele anatomique en earton prepare par le D' Auzoux et qui se trouve 
dans tous les musees presente la meme lacune. 



92 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



haul sur Je bord lateral d'un arceau tergal, chacun de ces muscles se ter- 
mine, en bas, sur la region superieure de l'arceau sternal eorrespondant. 
En les comparant a leurs lioraologues chez VOryctes, on voit qu'ils sont 

proportionnellemcnl plus courts, plus etales, 
et que leur direction, surtout appreciable 
sur une coupe (fig. 25, «), est notablement 
plus oblique. 

L'obliquite des muscles expirateurs du 
Hanneton et la situation de leur insertion 
inferieure m'autorisent a supposer que le 
petit mouvement en dedans que presenlenl 
les regions epimeriennes durant 1'expiration 
est du a une traction directe effecluee par 
les muscles sur les parties laterales des 
somites, au lieu d'etre simplement, comme chez VOryctes, une consequence 
de la formation d'un pli dans la zone qui porte les stigmates. 

Pas plus que les aulres Coleopteres, le Hanneton n'a de muscles inspira- 
teurs. Le relour de l'abdomen a sa capacite premiere est purement passif. 




Fig. 28 X i- 



Coupe transversale du B" somite 
abdominal. 



a Muscle respiratoirc (expirateur). 

S Position spt'ciale du stigmate dans ce somite. 



§ XXXV. 
Phyllopertha horticola. 



Les Phyllopertha presentenl naturellement les allures respiratoires gene- 
rales des autres Scarabeiens. 

J'ai parfaitement constate, comme chez le Hanneton, que Fabdomen est 
en inspiration pendant le vol. 

§ XXXVI. 

TrICHIUS ACDOM1NALIS. 

Rathke ayant fait la pluparl de ses observations sur le Geotrupes slercora- 
rius et la Celonia aurata, il m'a semble utile de completer mes recherches 
personneiles par l'examen des mouvements respiratoires d'un Coleoptere du 
groupe des Cetoines. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 93 

A defaut de Celonia proprement dite, je me suis adresse au Trichius 
abdominalis, dont l'organisation est ires voisine. 

Les mouvements respiratoires des trichies ne different guere de ceux 
dont je viens de dormer une description detaillee, je me bornerai aux quel- 
ques indications suivanles : en expiration, tous les arceaux tergaux mobiles, 
du premier au sixieme, descendent et l'effet maximum a lieu a la limite des 
somites 2 el 3. Ce mouvement est simultane ; il n'y a pas d'onde. Contrai- 
rement a ce qui se passe chez les aulres Scarabeiens, les expirations ont 
peu d'amplitude; la diminution du diametrc vertical de l'abdomen au niveau 
du troisieme somite n'est que de x j i{) (observation faite sur un individu 
vigoureux au moment de la capture). La zone inolle portant les stigmates 
forme un pli accuse. Les regions epimeriennes paraissent immobiles; il est 
vrai que les longs poils qui garnissent cette partie du corps masquent peut- 
6tre le mouvement. 

L'extremite de l'abdomen se releve, en expiration, d'une petite quantite; 
mais la longueur lolale ne change point. Enfin, le metathorax reste positive- 
nient immobile, comme chez YOryctes et 1'Onthophage. 



§ XXXVII. 

Staphyliniens. 

(Ktmlf ties mouvements respiratoires par la methode ues projections) 

Rathke ' signale les Staphyliniens comme des Coleopteres lout a fait 
exceptionnels au point de vue du mecanisme respiratoire. 

Rien que la composition des somites abdominaux et la disposition des 
muscles qui les meuvent lui aient paru semblables a ce qui existe chez les 
autres insectes de Tordre, 1'auteur cite n'a pas pu constater de mouvements 
respiratoires nets de la part des arceaux tergaux de l'abdomen; seule la face 
dorsale du metathorax s'elevait et s'abaissait d'une facon active. 



1 Anatumisch-pkysiologische Untersuchungen, etc. Up. cit., pp. 103 et 104. 



94 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



L'observation est a tres peu pres exacte; mais, comme on le verra ci-des- 
sous, Tignorance de certains details et le petit nombre de termes de compa- 
rison out fait forauiler a Rathke des conclusions trop absolues. 

Mes experiences personnelles ont ete repctees, a l'aide de la melhode des 
projections, stir trois formes : Staphylinus cmmreus, St. pubcscens et 
St. olens. 

Staphylinus ccesareus (grossissement employe 12). — L'insecte, prive de 
ses elytres, de ses ailes et de scs paltes, est iixe par deux epingles traversant 
les bords lateraux du prothorax; il .est de plus place assez haul pour que 
l'extremite de son long abdomen ne puisse venir renconlrer le support 

(fig. 61, pi. III). 

Dans ces conditions, je constate, a chaque expiration, une depression assez 
forte des faces tergales du mesothorax (Ms. th.) et du metathorax (Mt. th.) et 
une depression plus faible mais reelle des faces tergales des trois premiers 
somites abdominaux (1, 2, 3). En meme temps, toule la seconde moitie de 
Tabdomen est legerement projetee vers le haut, sans changer cependant de 
longueur. 

Les mouvements inspiratoires sont necessairement inverses des precedents. 

Staphylinus pubescens (grossissement employe 14). — Les resultats que 
cette forme m'a fournis different legerement de ceux que m'avait donnes la 
precedente; les mouvements respiratoires apparents sont plus localises et ne 
s'observent que dans le long metathorax de Finsecte el le premier somite 
abdominal. 

Comme chez le Staphylinus ccesareus, Tabdomen est projete vers le haut 
en expiration sans que sa longueur soit modiliee. 

Staphylinus olens (grossissement employe 11). — Malgre sa taille nota- 
blement plus considerable, le grand Staphylin noir ne m'a offert aucune 
particularise nouvelle. Ses mouvements respiratoires apparents sont res- 
treints au meso-, an metathorax et au premier somite de l'abdomen, la face 
tergale de ces segments se deprimaut en expiration. La diminution du dia- 
metre vertical est, du reste, faible, environ ^ 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 95 

Les mouvements de torsion de l'abdomen ne permettent pas d'affirmer, 
comme pour les deux autres Staphylins cssayes, que la longueur de cette 
region du corps ne change pas. 



Ces experiences nous prouvent d'abord que les mouvements respiratoires 
des Staphyliniens ne se montrent pas seulement. dans le metathorax, comme 
Rathke croyait l'avoir vu, mais que le mesothorax se deprime aussi genera- 
lement en expiration et, fait bien plus important, elles nous prouvent, en 
outre, qu'il existe des mouvements respiratoires abdominaux visibles dans 
les trois premiers somites ou dans le premier seul. 

Si Ton compare les Staphyliniens aux autres Coleopteres et meme a l'en- 
semble des autres insectes, on arrive a cette conclusion que ces animaux 
sont beaucoup moins exceptionnels qu'on le supposerait a premiere vue et 
qu'ils presentent simplement, avec exageration, des phenomenes qui existent, 
moins accuses, chez un grand nombre de formes diverses. 

Ainsi, il suffit de parcourir le Memoire actuel ou, plus simplement, de 
consulter le tableau II du § XCII pour s'assurer que, chez la plupart des 
insectes, les mouvements respiratoires abdominaux offrent leur plus grande 
amplitude dans les somites qui avoisinent la base de l'abdomen ; soit le 
deuxieme somite, soit le troisieme, soit, moins souvent, le troisieme et le 
quatrieme. 

D'un autre cote, il n'est pas rare de voir, chez les Coleopteres, un ou deux 
segments thoraciques posterieurs participer aux mouvements de respiration. 
La methode des projections m'a permis, en effet, d'observer des mouvements 
de ce genre, faibles, il est vrai, mais generalement bien nets, dans le thorax 
des Hydrophilus piceus, Carabus auratus l , Melolontha vulgaris, Chloro- 
phanus viridis , Corymbites latus, Chrysomela staphylcea et Tenebrio 
molitor. (Tableau I, § XCI.) 

Chez aucun des Coleopteres que je viens de citer, les defacements res- 
piratoires des faces tergales, soit du meso- et du metathorax reunis, soit du 

1 Ainsi que je l'ai dit ailleurs, a propos de PHydrophile et du Carabe dore, §§ XII et XXII, 
Rathke lui-meme a constate des mouvements d'elevation et d'abaissenieiit dans la face 
tergale du metathorax du Carabus qranulatus. 



90 



RECHERCHES EXPERIMENT ALES 



metathorax seul, n'ont lieu sous I'influence de la contraction de muscles 
thoraciques speciaux. Les segments du thorax se trouvent entraines par les 
segments abdominaux et leurs mouvements ne sont qu'une consequence des 
mouvements respiratoires de l'abdomen. L'etude du systeme musculaire 
prouve que les choses doivent se passer de la raeme maniere pour les 
Staphyliniens. 

J'ajouterai en fin, comme remarque, que les Staphyliniens sont, de lous les 
Coleopteres, ceux chez lesquels on s'attendrail le plus a voir les mouvements 
respiratoires se propager le long de l'abdomen a l'etat d'onde; mais ces 
insectes ne nous offrent rien de pareil. 

§ XXXVIII. 

Muscles respiratoires du Staphylinus olkns. 



AB J,E 



Je n'ai pas ete plus heureux que Rathke dans la recherche de muscles 
thoraciques speciaux. Ni le mesothorax, ni le metathorax ne presentent de 
muscles qu'on ne puisse retrou'ver chez les autres Coleopteres. 

La figure 26 ci-jointe represente la disposition des muscles abdominaux. 

On peut y constater que 
les muscles expirateurs « 
affectent la forme ordi- 
naire. Les inspirateurs 
manquent completement, 
comme chez la plupart 
des insectes. 

Muscles de la moitid gauclie dc l'abdomen du Staphijliimx olens. f_,gg mUSCleS dorSBUX 

sont, en grande partie, 
disposes en deux couches 
dont les fibres se croisenl 
obliquement; ils different ainsi de ceux du plus grand nombre des Coleop- 
teres et offrent, au contraire, beaucoup d'analogie avec les muscles croiscs de 
l'abdomen mobile des Forficules parmi les Orthopleres. (Voy. fig. 45, D, E.) 




Fig. 26 X 4. 



A R Muscles longitudinaux dorsaux. 

I) E Faisceaux obliques. 

a Muscles longitudinaux sternaux. 

j. Muscles respiratoires (expirateurs verticaux) 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 97 

§ XXXIX. 

CURCULIONIENS (CHLOROPHANUS VIRIPIs). 
( titude des mouvements respiratoires par la methode tics projections) 

Les mouvements respiratoires des Curculioniens ont ete examines par 
Ralhke chez un Altelabus; mais I'auteur se borne a citer ce nom generique 
dans une lisle des formes qui ont passe sous ses yeux; il n'a probablement 
rien observe de special. Le mecanisme respiratoire des Curculioniens que 
j'ai etudie chez le Chlorophanus viridis est, en effet, celui de presque lous 
les Coleopteres. 

Je resume mes resultals comme suit : insecte prive de ses pattes, de ses 
ailes et de ses elytres, fixe par une seule epingle traversant le prothorax ; 
troisieme somite abdominal reposant librement sur une epingle coudee a angle 
droit; grossissement 12 diametres. 

Mouvements respiratoires tres normaux etd'une assez grande amplitude. 
La diminution du diametre vertical de l'abdomen, en expiration, atteint d / 10 . 

Ee melathorax participe aux mouvements des arceaux dorsaux de 
•'abdomen 

En expiration, les arceaux dorsaux s'abaissent de la facon ordinaire. Le 
maximum d'effet a lieu au niveau des somites 3, 4, 5. 

En expiration, les faces sternales des anneaux 5, 6, 7 s'elevent un peu 
et toute l'extremite posterieure de l'abdomen se souleve d'une petite quan- 
l 'te. La longueur de l'abdomen ne varie pas. 

On observe de longs arrets en inspiration suivis de deux ou trois mouve- 
ments respiratoires assez brusques. 



§ tx. 

Elaterires (Corymrites latus). 

( Rtudc des mouvements rcspiratoii-cs par la methode des projections.) 

Aucun naturaliste ne parait avoir etudie les mouvements respiratoires des 
aterides. Ces insectes respirent, du resle, suivanl le mode le plus ordinaire 
ch «z les Coleopteres. 

Tome XLV. 13 



98 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Voiei le resume de mes observations : l'insecte est supports' par une 
epingle traversant le prothorax ; 1c i c somite abdominal repose Iibrement 
sur une epingle coudee a angle droit (grossissement employe, 13). 

L'animal ne fait point d'efforts pour sauter; il execute deux especcs de 
mouvements : 4° des mouvements d'oscillation et d'incurvation de l'abdomen 
etrangers a l'acte de la respiration; 2° des mouvements respiratoires pro- 
prement dits offrant les caracteres suivants : 

Le meso- et le metathorax participent aux deplacements des arceaux 
tergaux de l'abdomen. En expiration, les deux segments thoraciques poste- 
rieurs s'abaissent. 

Le maximum d'effet a lieu pour les arceaux tergaux des somites abdo- 
minaux 2, 3, 4. La diminution du diametre vertical de l'abdomen a la 
hauteur du 3 e segment est d'environ ^ 

En expiration l'extremite de l'abdomen se releve; de sorte que le profil 
longitudinal de la face dorsale devient un peu concave. 
11 n'y a point de modification dans la longueur. 

On observe de longs arrets inspiratoires separes par un ou deux mouve- 
ments respiratoires assez rapides. 

§ XLI. 

Donacia simplex, Crioceris merdigbra , Chrysomela staphtloea. 

(Etude des mouvements respiratoires par la methode des projections.) 

II me reste a dire quelques mots des mouvements respiratoires des 
Donacies, des Crioceres el des Chrysomeles pour terminer ce qui concerne 
la serie des Coleoptercs dont les arceaux tergaux des somites abdominaux 
s'abaissent simplement pendant la phase expiratoire (voir § IX, page 30, a). 
On trouvera dans le paragraphe suivant Fexpose de ce qui se passe chez 
quelques formes ou le phenomene se compliquc d'une augmentation appa- 
rente du diametre vertical. 



Donacia simplex. — Les mouvements respiratoires de ce petit Coleoptere 
ont une forme tres normale, mais sont faibles et lents. 



SUM LES MOUVEMENTS RESPIRATCMRES DES tNSECTES. 99 



La face superieure de l'abdomen est limitee a droite et a gauche par une 
gouttiere profonde bordee par un rebord epimerien eleve. II existe la sept 
arceaux plus ou moins mobiles; mais, du cote sternal, les trois premiers 
somites sont intimement soudes sous la forme d'uoe grande plaque; les 
quatre arceaux sternaux poslerieurs peuveiit seuls se deplacer. 

Pendant l'expiration, les faces tergales se depriment; ce mouvement est 
surtout accuse a la hauteur ties somites 1 et 2 ; en meme temps, les arceaux 
dorsaux rentrent un pea les uns sous les autres, tandis que les arceaux ster- 
naux poslerieurs k, 3, 6, 7 s'ecartent legerement; il en resulte que la pointe 
de l'abdomen se releve d'une petite quantile. 

La diminution du diametre vertical de l'abdomen en expiration, au niveau 
du 2 e somite, n'est guere que de 4 / 2a . 

La longueur absolue de l'abdomen n'est pas modifiee et les segments 
thoraciques poslerieurs paraissent immobiles. 






Criocerismerdigera. — La composition de l'abdomen etant a pen pres iden- 
tique a celle qui s'observe chez les Douacies, les mouvements respiratoires des 
Crioceres sont sensiblement caiques sur ceux du Coleoptere precedent. 

La depression des faces tergales 1 et 2, la rentree des arceaux du cote 
de la face dorsale, le leger ecartement des arceaux sternaux 4, 5, 6, 7, 
incurvent de la meme facon l'abdomen vers le haul a chaque expiration. 
Seulement, les mouvements respiratoires des Crioceres s'operent avec une 
assez grande rapidite et offrent beaucoup plus d'amplitude que ceux des 
Donacies. La diminution du diametre vertical de l'abdomen, au niveau du 
3 e somite, atteint l / w . 

L'expiration est excessivement brusque et dure tres peu; l'inspiration est 
marquee par une pause courte, mais incontestable. La longueur de l'abdomen 
ne change pas el le melathorax reste immobile. 



Chrysomela staphyloma. — Rathke indique le genre chrysomele parmi les 
"nsectes dont il a etudie les mouvements respiratoires; mais il ne donne 
aucune indication speciale. Ces mouvements out, du reste, lieu suivant Je 
type le plus general. 



100 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



En expiration, les faces tergales des somites abdominaux s'abaissent; le 
maximum d'effet ayant lieu a la hauteur des segments 1 et 2. En meme 
temps, l'extremite de i'abdomen descend d'une quantite Ires minime, sans 
qu'il y ait de modification dans la longueur. 

Les mouvemenls d'elevation et d'abaissement des arceaux tergaux sont 
accompagnes de mouvements de meme sens du metathorax, qui parait 
simplement entraine. 

Les deplacements respiratoires ont one ires faible amplitude; la dimi- 
nution du diametre vertical de I'abdomen, au niveau du 2 C somite, n'est que 
de Yso environ. 

§ XLll. 

CoLEOPTERES CHEZ LESQOELS LES REGIONS LATERALES DES ARCEAUX TERGAUX SE CREUSENT EN 

expiration, tantms que la partie mediane se sotjleve ou presente un sillon longitudinal. 
Telepiiouus, Clytcs, Cocginella. 

Le lecleur a vu par le § IX (Les trois types respiratoires et leurs subdi- 
visions) qu'il existe un certain nombre de Coleoplercs dont les arceaux tergaux 
de I'abdomen se modifient, en expiration, d'une facon tres diffcrente de ce 
qui se passe generalement dans le groupe zoologique auquel appartiennent 
ces insectes. 

Chez ces formes exceptionnelles, les arceaux tergaux, au lieu de devenir 
plus plats, en d'autres lermes au lieu de se deprimer un peu plus dans la 
partie mediane que vers les bords, se creusent, au conlraire, fortement sur 
les cotes pour se relever au milieu. 

Tantot ce phenomene determine simplement une augmentation du dia- 
metre vertical de rabdomen, lanlot il amene et parfois en meme temps que 
cette augmentation, la formation d'un sillon longitudinal occupant la ligne 
mediane de la face tergale de I'abdomen. 

Telephorus fuscus. — Lors de l'expiration, les parties declives laterales 
des arceaux tergaux, du l er au 7 e , se depriment; les regions epimeriennes 
se portent en dedans et la convexile de la ligne mediane des arceaux tergaux 
et sternaux augmente. 



SUR LES xlfOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 101 



De la deux faits faciles a observer a I'aide de silhouettes : 1° le retrecis- 
» sement transversal de l'abdomen et 2° en 

meme temps, l'augmentation du diametre 
vertical de celui-ci pendant la phase expira- 
toire. Cette augmentation mesuree a la hau- 
teur du 4 e segment est d'environ ' I / 30 . 

La pointe de l'abdomen s'eleve un peu, 
en expiration ; mais la longueur reste a tres 
peu pres invariable. Les mouvements respi- 
ratoires sont simultanes dans tous les somites abdominaux et le metathorax 
reste immobile. 




RtSptStitiun de la figure 7. — Telephorus fuscus. 
Coupe transversale de l'abdomen. 



Clytus arielis. — Quelque singulier que cela paraisse, il existe beau- 
coup d'analogie entre la structure des arceaux tergaux du Coleoptere qui 
nous occupe et celle de ces memes arceaux chez les Coccinelles ; aussi les 
mouvements respiratoires appartiennent-ils a la meme variete. 

Comme chez les Coccinelles, la zone molle laterale qui porte les stig- 
mates est plus ou moins convexe et les arceaux tergaux ol'frent, sur la ligne 
niediane, une articulation plus marquee et plus mobile que chez beaucoup 
d'autres Coleopteres. 

Les mouvements respiratoires ont tres peu d'amplitude et n'ont lieu que 
dans les cinq premiers arceaux dorsaux ; ceux-ci changent de forme de la 
maniere suivante : leurs parties laterales se depriment et un sillon accuse 
se produit sur la ligne mediane des arceaux i, 2, 3 et I; le sillon est a 
peine indique sur l'arceau 5. 

Les silhouettes permettent de constater, en expiration, une certaine dimi- 
nution du diametre vertical ('/ 18 environ); elles montrent, en outre, que 
1 extremite de 1'abdomen se releve un peu dans la phase expiratoire, qu'il n'y 
a Pas d'onde, que les segments thoraciques sont immobiles et enfin que la 
'ongueur du corps reste invariable. 

Oil peut noter, comme mouvements etrangers a la respiration, de fortes 
oscillations verticales que l'insecte imprime de temps en temps a la region 
abdominale et qui sont invariablement accompagnees du petit cri caracte- 
ristique du Clylm. 



102 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Les muscles expirateurs du Clytus arielis (fig. 27, a), larges et tres 

A j puissants, comparativemenl a la 

taille de l'animal, offrenl la dispo- 
sition ordinaire propre aux Coleop- 
teres; aussi la forme speciale que 
prennenl les arceaux dorsaux, en 
expiration, ne provient-elle, tres 
probablement, que de 1'existence, 
au milieu de chacun de ceux-ci, 
d'une articulation plus mobile que 




Fig. "11 X ". 



■ Mo-ilic" gauche de l'abdomen du Clytus arielis 9. 



A , B et a Muscles longitudiuaux. 

a Muscles expirateurs vertieaux. 



celle qu'on y rencontre generalement '. 

Coccinella seplempunclala. — La petite taille des Coccinelles, leur forme 
particuliere, enfin, surtoul, Timpossibilite dans laquelle s'est trouve Rathke 
de constater, par ['observation directe, des mouvements respiratoires abdo- 
minaux chez ces Coleopteres 2 , sonl les motifs qui m'onl fait etudier 
avec grand soin le mecanisme de la respiration de la Coccinellc commune. 

Voici les resullats assez inleressants que j'ai obtenus par la methode des 
projections : 

L'insecte, prive de ses elylres, de ses ailes et de ses paltes, est place dans 
l'appareil de facon a donner une silhouette du profil longitudinal; l'abdomen 
repose par son extremite sur une epingle pliee a angle droit (grossisse- 
ment 14) (fig. 62, pi. III). 

Les mouvements respiratoires que Rathke n'avait pu observer sonl cepen- 
dant ires evidents et tres energiques. On constate des augmentations et des 
diminutions alternatives du diametre abdominal accompagnees de petites 
modifications dans la longueur et de balancements de l'ensemble du thorax. 

L'observation directe a la loupe revele quelques details dont la connais- 
sance permet d'interpreter neltement les images obtenues par projection. 



i Rathke cite le genre Cerambyx dans sa liste generate ; mais eomme pour beaucoup 
d'autres, il se borne a cette mention laconique. 
^ Anatomisch-physiologische Untersuchungen, etc., p. 104. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 103 




Repetition de la figure 8. 
Coupe transversals de 1'abdomen de la Coci 
nclla septetnpunctata. 



Les divers phenomenes peuvent se resumer comme suit : 
1° L'ensemble du thorax oscille legerement pendant les mouvements res- 
piratoires abdominaux; mais il n'existe pas de emplacements speciaux des 
segments meso- et metathoraciques; 

2° La zone molle qui porte les stigmates est toujours saillante; elle offre 

des obliquites differentes suivant les phases 
respiratoires, mais elle ne forme jamais de 
pli rentrant, comme chez les Scarabeiens, par 
exemple; 

3° Ainsi que Findique la figure 8, l'expi- 
ration est caracterisee non par la descente 
generale des arceaux tergaux, mais par la 
depression de leurs bords lateraux el par la 
formation d'une gouttiere mediane; 

i° Cette gouttiere mediane s'observe aux arceaux tergaux des somites 
compris entre le 2 e et le 6 e inclusivement ; 

S° Lorsque la gouttiere mediane se produit, elle est limitee lateralement 
par deux cretes qui, sur les silhouettes, font paraitre la face dorsale de 
1'abdomen plus elevee. Les augmentations du diametre vertical de I'abdomen, 
dans les images de l'appareil a projection, repondent done a l'expiration ; 
elles sont a peu pres de f J 9 ; 

6° En expiration, I'abdomen s'allonge d'une petite quantite ( J / tt de la 
longueur abdominale totale); 

7° Durant l'expiration, la totalite de la face tergale du thorax s'incline 
legerement en arriere; 

8° L'expiration est brusque et simultanee dans tous les somites abdomi- 
naux offrant des mouvements de respiration. L'inspiration affecte, au con- 
Iraire, plus ou moins l'aspect d'une onde ; difference qui s'expliquerait en 
admettant que 1'elasticite des divers segments, seule en jeu dans la phase 
inspiratoire, varie un peu suivant les diametres des somites. 

L'etude du systeme musculaire des Coccinelles est naturellement accom- 
pagnee de grandes difficultes pratiques. Cependant, en isolant un somite 
abdominal et en le dissequant a l'aide d'aiguilles sous le microscope a 



104 



BECHERCHES EXPERIMENTALES 



dissection de Zeiss, je suis parvenu a constater, ce qu'on pouvait prevoir, 
du reste, que les muscles expirateurs offrent la meme 
disposition generale que chez les autres Coleopteres 
(fig. 28). 

Je suis persuade que la forme singuliere que pren- 
nent les arceaux tergaux pendant l'expiration est due 
simplement a I'obliquite dcs muscles respiratoires qui 
s'inserent sur les faces tergales un peu plus haul que 
chez les Coleopteres des autres groupes et a l'exis- 
tence, le long de la ligne dorsale mediane, d'une arti- 




Fig. 28. — Coccinella septem- 

punctata, 

a Muscle cxpirateur vertical 

du 4" somite. 



culation longitudinale tres mobile semblable a celle 



de 1'abdomen du Clylus arietis. 



CHAP1TRE V. 



SUITE DE [/ETUDE DU PREMIER TYPE. 



B. II6mfpteres h6t6roptcrest. 

On a fait, jusqu'a present, peu d'observations sur les mouvements respira- 
toires des Hemipteres; aussi la bibliographic se reduit-elle aux quelques 
indications ci-dessous. 

D'apres Hausmann ', on aurait remarque que les mouvements respiratoires 
des Cigales ~ ont quelque analogie avec ceux des Vertebres; Treviranus 3 
s'exprime, a propos des memes insectes, dans des termes qui font supposer 



i Hausmann. De animaliwn exsanguium respivatione, etc. Op. cit., p. 8. 

2 Los Cigales sont, on le sait, le type des Hemiptercs homopteres; j'ai du citer ici les 
quelques observations qui les eoncernent, bien que je n'aie pu etendre mes l'echerches a ce 
genre interessant. 

3 Tiieviranus. Biologic, etc. Op. cit., Viorter Band, p. 1.57. 



SLR LES MOUVEMENTS RESPIKATOIRES DES INSECTES. 105 

qu'il s'est contente de copier l'auteur precedent; enfin, Leon Dufour ' dit 
avoir observe a la loupe « le mouvement presque insensible de 1'inhalation 
de Fair » chez la Nepa cinerea. 

J'ai examine la structure de 1'abdomen d'un certain nombre de genres 
d'llemipteres heleropteres {Pentaloma, Pyrrhocoris, Corixa, Notonecta, 
Ranalra, Nepa, etc.) et j'ai partout rencontre une disposition a peu pres 
identique dont les figures 9 et 29 donnent une idee nette. 

Les arceaux tergaux et sternaux, en s'unissant par leurs extremites, 
torment a 1'abdomen un bord lateral presque tranchant, horizontal ou plus 
ou moins rcleve en crele. La convexite des arceaux tergaux est variable, 
mais generalement faible; les arceaux sternaux sont ordinairement fort con- 
vexes an milieu el s'aplatissent vers les extremites lalerales. 

Cetle similitude de structure me permet de supposer que les mouvements 
respiratoires des Heteropteres out toujours lieu suivant le mode que j'ai 
observe chez les deux formes soumises a mes experiences, la Nepa cinerea 
et le Pyrrhocoris aplerus. 

% XLIII. 
Nepa cinerea. 

( k*hs!<- des niouvciueiit* i < sjilrnloii es iitir la miXhoiie des projections.) 



L'abdomen de la Nepe comprend six somites apparents dont les arceaux 

dorsaux sont represents par des lames presque 
planes, landis que les arceaux sternaux beau- 
coup plus convexes foment, par leur ensem- 
ble, une sorte de carene (fig. 9). 

Leon Dufour - compare, dans un de ses 
premiers travaux, la face sternale de l'abdo- 
men de la Nepe a un plastron de tortue. Cette 
comparaison est evidemment peu heureuse. 

Pour les observations par projection, l'insecte est fixe par deux epingles 




Repetition de la figure 9. 

Coupe transversale de l'abdomen de la Nepa 

cinerea. 



1 Leon Dufour. Reck. anat. etphysiolog. sur les llemipteres, p. 384. 
- Idem. Rech. anat. sur la Ranatre lineaire et la Nepe cendree. (Ann. generates des sciences 
physiques, par Bory de S'- Vincent, Drapiez et Van Mons, t. VII, p. 195. Bruxelles, 1820.) 

Tome XLV. U 



106 



RECHERCHES EXPERIMENT ALES 



traversant les parties laterales du prothorax; on lui a enleve les ailes et 
les palles; le 6 e somile abdominal est soutenu par une ep ingle coudee ; 
enfin des styles de papier sont codes sous la region lalerale droite des 
arceaux sternaux 3 et 5, ainsi que sur la region mediane et les regions 
laterales du 3° arceau tergal (fig. 63, pi. IV) '. 

Les mouvements respiratoires, fort curieux, ont lieu de la facon sui- 
vante : 

1° En expiration, les arceaux dorsaux s'abaissent exactement comme 
chez la plupart des Coleopteres; en descendant ces arceaux deviennent plus 
plats; leur region mediane s'affaissant plus que leurs regions laterales. Le 
maximum d'effet a lieu au niveau des somites 1 et 2; 

2° Le sillon lateral situe sur la limite entre les arceaux tergaux et les 
regions epimeriennes s'approfondit; 

3° Fait assez singulier, on n'observe point, comme cbez le plus grand 
nombre des insectes, un antagonisme entre les deplacements des arceaux 
tergaux et ceux des arceaux sternaux; ces pieces marcbent dans le meme 
sens; les arceaux sternaux descendent lors de l'abaissement des arceaux 
superieurs. Cependanl la descente des pieces sternales etant plus faible 
que cede des pieces dorsales, ('expiration se trouve marquee par une 
diminution du diametre vertical de Tabdomen d'environ d / 34 (mesuree au 
niveau du2 e somile); 

i° Les mouvements ne sont pas simultanes dans tous les somites, mais 
successifs; il existe une onde incontestable marcbant d'avant en arriere. 
Ainsi, pour les arceaux tergaux, Fexpiration a lieu d'abord clans les 
somites 1, 2, 3, puis, peu apres, dans les somites 4, 5 et 6; 

l)° La longueur de 1'abdomen reste invariable el les segments tboraciques 
sont immobiles. 

En terminant, j'ajouterai que les mouvements respiratoires des Nepes sont 
faciles a voir a la loupe, meme a la face inferieure du corps. L'observation 
de Leon Dufour que je citais plus baut et d'apres laquelle ces mouvements 
sont presque insensibles, a done ete mal faite. 



i Dans la fig. 63, pi. IV, on n'a reprdsente que les styles fixes aux arceaux sternaux. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 107 



§ XLIV. 

Pyrrhocoris apterus. 

(Ktntlc rtcs mouvemeuts resplratolres par la mcthotlc des projections.) 

Rien que la longueur de l'abdomen soit beaucoup moindre, sa structure 
est sensiblement celle que Ton observe chez la Nepe. Cependant, les rebords 
formes par les pieces episternales et epimeriennes sont tellemeht eleves que 
leur ombre masque absolument, siir les silhouettes, ce qui se passe du cote 
de la face dorsale de l'abdomen (fig. 29). 

Deux styles verticaux colles sur les arceaux tergaux, a la limile entre le 
3 e et le i c et sur le 7 e ou dernier, permettent, par 
leurs cbangements de position, de concevoir assez net- 
tement cc qui a lieu. 

Les mouvemenls expiratoires qui ont une amplitude 
absolue et relative tres faible ressemblcnl beaucoup a 
ceux des Coleoptercs et consistent, surtout, comme chez 
la Nepe, en abaissements des arceaux tergaux. Le 
maximum a lieu vers le i e somite et, de meme que chez plusieurs Coleop- 
tercs, la pointe de l'abdomen se releve legerement; de sorte que le profil 
longitudinal de la face dorsale devient concave. 

II n'y a ni onde, ni mouvements thoraciques, ni cbangements de longueur. 



w — -^ 

Fig. 2!) X 8. 

Coupe transversalc du 3 C somite 

abdominal du Pyrrhocoris 

apterus. 



C. Ortlioptcrcs folattieus. 

§ XLV. 
Periplaneta orientalis. 

(Etude lies moiivcmeuts resplratolres par la mcthoilc lies projections.) 

Ralhke a consacre quelques ligncs aux mouvemenls respiratoires de la 
Rlalte '. II dit que les arceaux tergaux el sternaux se rapprocbent et s'eloignent 
alternativemcnt l'un de l'autre et que leurs defacements s'effectuent avec 
une certaine lenteur. J'aurai a ajouter de nombreux details a cette description. 

1 Anatomisch-physiologische Untersuchungen, etc. Up. cit., p. 108, § 9. 



108 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 




Repetition de la figure 10. 
Coupe transversale de l'abdomen de la Blalle. 



La structure de l'abdomen de la Blatte s'eloigne completement de celles 
des abdomens des Forficuliens, des Acridiens ou des Locuslicns pour se 
rapprocher, au conlraire, d'une facon frappante de la disposition offertc par 
les Hemipteres heleropleres. 

Comme chez ces derniers iusectes, les arceaux tergaux et slernaux 

s'unissent a leurs exireinites en Formant a 
l'abdomen un bord lateral trauchant, et, comme 
chez la Nepe, par cxemple, les arceaux tergaux 
sont assez plats, land is que les arceaux ster- 
naux convexes en leur milieu et aplatis vers 
les bords constituent, sous l'abdomen, une 
carene plus ou moins prononcee (comparez 
fig. 9, page 105). 

Les arceaux tergaux offrent, sur leurs parlies declives, des empreinles 
indiquant les points d'insertion des muscles expirateurs vertieaux. 

Celle grande ressemblance entre la composition des somites des Blattes 
et des Hemipteres heleropleres permeltail de supposer que les mouvements 
respiraloires n'apparliendraient a aucune des formes que 1'on peut observer 
chez les autres Orthoptercs, mais se rapprocheraient de ceux de la Nepe et 
se rangeraient, par consequent, dans noire premier type. L'hypothese est 
exaele et, ainsi qu'on va le voir, lemecanismc respiratoire de la Periplaneta 
orienlalis est, a peu pres, celui des Coleopleres et des Hemipteres. 

Mcs experiences ont etc effectuees sur des males ; ceux-ci sont plus lavo- 
rables a l'observation que les femelles. 

L'animal, prive de ses elytres, de ses ailes et de ses paltes, n'est fixe que 
par deux epingles fines traversaiit les parlies lalerales du prolhorax. Dans 
la position horizontale, l'abdoinen repose, par le 5 e arceau sternal, sur une 
epingle coudec a angle droit (lig. 64, pi. IV). 

Les changements de courbure des arceaux sternaux et tergaux ont ete 
constates en collant des styles sur plusieurs points du 3° somite et en placant 
I'insecte de facon a obtenir la silhouette transverse de ce segment dont les 
mouvements sont Ires accuses. 

Voici le resume des resullals obtenus : 



SULi LES MOUVEMEiNTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 109 



F.iits (a;.fr,»uv. 

1" Le meso- et le metathorax participent aux mouvements respiratoires; mais les depla- 
cements ont lieu en sens inverse do ceux des arceaux abdominaux, au lieu d'etre de memo 
sens, comme chez les Coleopteres staphyliniens. 

2° Les regions medianes des arceaux tergaux et sternaux se rapprochent et s'eloignent 
alternativement; les bords restant en contact. 

3° Ces mouvements sont surtout accuses vers la base de l'abdomen. 

4° L'abdomen oscille legerement dans un plan vertical et offre de tres faibles change- 
ments de longueur. 

5" Les mouvements respiratoires paraissent simultanes ; il n'y a point d'onde. 



Pails spcciaux a cliaque phase. 



Expiration. 

La face superieure du meso- et du metathorax s'cleve; 
les bases des pattes de deuxieme ct do troisieme 
paire, et, par consequent, les faces slernales des deux 
segments thoraciquesposterieurs se rapprochent Tune 
de I'autre. 

Les arceaux tergaux de ['abdomen s'abaissent dans leur 
region moyenue, deviennent plus plats, surtout ii la 
hauteur des somites 2 et 5. Co mouvemenl 1'emporle 
do beaucoup sur celui des arceaux sternaux qui est 
faible (clans la proportion de 5 : 2). 

Le profil longitudinal de la face dorsale de l'abdomen 
devient un peu concave. 

Les arceaux sternaux s'elevent d'une petite quanlite. 
Ce deplacement n'esl nettement visible, sur les sil- 
houettes, que pour les somites 2 et 5; ii est masque 
ailleurs par les mouvements generaux de l'abdomen. 

La diminution du diametre vertical, en expiration, est 
de '/ 8 (au niveau des somites 2-5); elle est, par con- 
sequent, considerable et comparable a celle que Ton 
observe chez 1'Hydrophile et le Hanneton, parmi les 
Coleopteres. 

Les bords tranchants lateraux de l'abdomen se relevenl, 
ce qui amene une tres legere diminution du diametre 
transversal ('/„ au plus). 

extremite de l'abdomen est I'aiblement projetee vers 
le bas. 

L'abdomen s'allonge de »/ M . 

Les mouvements respiratoires ont lieu par petites series 
de trois ou quatre separees par des arrets. 
n'y a pas de pause expiratoire appreciable. 



Inspiration. 

La face superieure du meso- et du metathorax se deprime 
legerement. 



La region moyenne des arceaux tergaux devient plus 
convexe. 



Le profil longitudinal de la face dorsale de l'abdomen 

redevient legerement convexe. 
Les arceaux sternaux descendent faiblement. 



Les bords lateraux de l'abdomen s'abaissent. 



L'exlremilede l'abdomen est projetee vers le haul. 

L'abdomen reprend sa longueur primitive. 

II y a des arrets plus cm moins lougs en inspiration. 

L'inspiration est marquee par une pause '. 



1 J'ai deja dit, page 37, en note, qu'il ne faut pas confondre les arrets et les pauses. 



no 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



§ XLVI. 



Muscles respiratoires he la Periplaneta orientalis. 




Fig. 30 X 8. 

Muscles de la moi'tie gauche dc ['abdomen de la Periplaneta orientalis. 

or. Muscles expiralcurs verticaux. 



Rathke ne parie point des muscles respiratoires tie la Blalte et les des- 
criptions anatomiques assez detaillecs du memo insecle publiees par G. Rol- 
leston 1 et par Huxley 2 sont mucltes sur ce sujet. 

Le systeme musculaire abdominal de la Periplaneta est des plus simples 

et resscmble entierement 
a celui des Coleoptercs 
(fig. 30). 

Les muscles longitudi- 
naux dorsaux A et ster- 
naux a constituent des 
couches peu developpees 
dont les faisceaux sont 
paralleles a Paxe du corps. Les muscles respiratoires vrais a sont rcpresentes, 
absolument comme chez les Coleoptercs^ par uneserie de muscles verticaux 
assez courts croisant a angle droit la ligne des articulations entre les arceaux 
dorsaux et slernaux. Chacun d'eux nait du milieu de la parlie dcclive d'un 
arceau tergal et se termine verticalement en dessous sur la region laterale 
de Parceau sternal correspondanl. 

Les insertions supericures sont indiquees, a la surface tergale de l'alxlo- 
men, par des impressions laterales que j'ai signalees (p. 108). 

La contraction de ces muscles a cvidemmcnl pour effet 1'abaissemcnt des 
plaques lergalcs et Fascension des pieces sternales • cc sont done, comme 
chez tous les insectes ou 1'on relrouve pareille disposition, dc verilables 
muscles expiraicurs. Le volume un peu plus considerable de ceux qui occu- 

1 Rolleston. Forms of animal life, p. 199. Oxford, 1870. 

- Huxley. A manual of the anatomy of invertebrated animals, pp. 398 et suiv. London, 
1877. 



SUR LES MOUVEMENTS RESP1RATOIRES DES INSECTES. Ill 

pent les somites 2, 3 et k fait comprendre pourquoi l'expiralion offre sa plus 
grande amplitude vers la base de l'abdotnen K 

II n'existe pas de traces de muscles inspiraleurs; la Blatle fait done partie 
du grand nombre de formes donl l'inspiration est passive. 



CHAPITRE VI. 

ETUDE DU DEUXIEME TYPE. 



A. Otlonates. 

Les mouvemenls respiratoires tres caracteristiques des Odonates, exces- 
sivement apparents cbez les grandes Aeschna, Cordulia, Libelhda, etc., ont 
du attirer l'attention de lous les observateurs qui ont eu Poccasion de tenir, 
pendant quelques instants, enlre les doigts Tun de ces animaux a l'elat 
vivant. Aussi trouve-t-on deja quelques indications a cesujet dans l'ouvrage 
de Rosel (1749) 2 . 

Parmi les auteurs plus recents, les tins, comme Spallanzani 3 , Trevi- 
ranus 4 , Maurice Girard s , Graber (i , se sont bornes a signaler les deplace- 
nients de bas en haut et de haut en bas des lames sternales et parfois les 



1 Mes dissections m'ont permis de eonstater la presence de six muscles expirateurs de 
chaque cote du corps; mais vu la difficult^ avec laquelle on enleve le tissu adipeux de la 
olatte, je n'oserais aftirmer qu'il n'existe pas une septieme paire. Ge detail a, du reste, 
f °rt peu d'importance. 

2 Rosel. (Je n'ai pu consulter que l'edition hollandaise.) Natmrltyke historie der Imekten, 
tweede deel, bdz. 191, § 9. Haarlem en Amsterdam, 1764-1768. 

Spallanzani. Dans Sennebier, Rapport de fair avec les etres organises, etc. Op. cit., p. 66. 
4 Treviranus. Biologic, etc. Op. cit., Vierter Band, p. 157. 
° (jIRahd. Traite elementaire d'entomologie. Op. cit., p. 31. 
6 Graber. Die Imekten, l r Theil. Op. cit., p. 108. 



112 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 



contractions et les dilatations transversales qui les accompagnent; mais 
d'autres ont pousse l'etude des pbenomenes plus loin : Hausmann i a essaye, 
sans succes, de rendre les mouvements respiratoires des Libellules plus 
visibles, en ulilisant, comme dans son experience sur la Saulerelle, les oscil- 
lations d'une colonne d'eau ; Burmeister 2 s'est assure que les segments tho- 
raciques ne participent pas aux mouvements de respiration; Barlow 5 a fait 
une remarquable serie d'experiences sur le rythme respiratoire, sur les 
causes exterieures qui modifient celui-ci et sur 1'influence du sysleme ner- 
veux chez les Libellula depressa et vulgata; Rathke 4 a complete les obser- 
vations sur les mouvements respiratoires des Odonates par une description 
des muscles qui les determinenl; Baudelot 5 a public les resultats de 
recherches inleressantes effectuees sur les Libellules et Ieurs larves, en vue 
de demontrer que les differents ganglions abdominaux jouent, chacun indi- 
viduellement, le role de centres respiratoires pour les somites auxquels lis 
appartiennent et de prouver la faussete de l'hypothese de Faivre qui place le 
centre, des mouvements de respiration des insectes dans le ganglion meta- 
tboracique. Plus recemment, Lucbsinger 6 a demontre experimenlalement 
que le centre des mouvements de 1'appareil respiratoire anal des larves 
reside dans la parlie terminate de la chaine venlrale. Enfin, Langendorff 1 , 
qui parait ne pas avoir eu connaissance des travaux de Barlow et de Bau- 
delot, a repete sur la Libellula depressa et sur une forme RAeschna, la 
plupart des experiences effectuees par les auleurs precites 8 . 



1 Hausmann. De animalium exsanguium respiratione. Op. cit., p. 8. 

2 Burmeister. Handbuch der Entomologie, Erster Band, p. 419. 

:! Barlow. Observations on the respiratory movements of Insects. Op. cit. 

7| ' Rathke. Anatomisch-physiologische Untersuchungen, etc. Op. cit., pp. 108 et 109, § 10. 

8 Baudelot. De 1'influence du systemc nerveux sur la respiration des insectes, etc. Op. cit. 

6 Luchsincer. Ueber das respirationsccnlrum der Libellenlarven (Arch. f. d. Ges. Physio- 
LOGIE DE PFLUGER, 1880, ]). 158). 

1 Langendorff. Das Athmungscentrum der Insecten. Op. cit., p. 85. 

8 D'apres Langendorff, Marshall Hall aurait fait, avant 1842 (par consequent avant 
Barlow et Baudelot), des experiences tres curieuses sur la persistanee des mouvements 
respiratoires dans des troncons isoles de l'abdomen des libellules; malheureusement, ni 
Langendorff ni moi n'avons reussi a retrouver le Memoire original dans lequel Marshall 
Hall a consign^ ses observations, 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 113 

Les connaissances acquises sur le mecanisme respiratoire des Odonates 
etaient done assez etendues lorsque j'ai entrepris mes etudes personnelles; 
mais il restait a vender les resultats de ^observation directe par des 
methodes plus rigoureuses et a elucider un certain norabre de points 
douteux. 



§ XLVII. 

LlBELLULA QUADRIMACULATA. 
(Ktmlc des mouvciucnts rcsplratolres par la mcthoilc graphique.) 




Afin de permeltrc au lecteur de bien comprendre ce qui va suivre, je 
crois utile de rappeler d'abord, en quelques mots, quelle est la structure de 
l'abdomen des Libellules. 

Les anneaux abdominaux actifs comprennent cbacun, comme le montrent 
x, x- les figures 31 et 11 fp. 114), un arceau 

M / tergal tres grand constituant presque toute 

la surface visible et un arceau sternal reduit 
a une petite lamelle etroite situee au fond 
d'une gouttiere qui regne le long de la face 
infericure de l'abdomen. L'arceau tergal 
est divise par trois articulations mobiles x 
et xJ x' , figure 11, en qua t re pieces, deux 
dorsales proprement dites et deux lalerales. 
Quant a la lamelle sternale, elle est reliee, 
de chaque cote, aux bords inferieurs des 
pieces laterales par une zone plus molle formant a droite et a gauclie un 
pb rentrant au fond duquel se trouvent les vrais stigmates abdominaux 
(S fig. 31)'. 

4 Leon Dupocr, Rich. anat. el physiol. sur les Orthopteres, les Hymenopteres et les Nivrop- 
teres (Mem. Acad. sc. be Paris, savants Strangers, t. VII, p. 559, 1841), croyait avoc Sprengel 
[Commenlarius de partibus quibus Insecta spiritus ducunt, p. 3, Lipsiae, 1815) que l'abdomen 

Tome XL V. Hi 




- Libellula quadrimaculata. 
Abdomen fendu longitudinalemcnt suivant la lignc 
tti<5diane dorsale; les parois sont de'roule'es et 
iHalecs a plat. 
• s Les stigmates a droite et a gauche des plaques 
sternales. 



i!4 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 



La plupart des observateurs qui m'ont precede ont constate que la lamelle 
slernale s'eleve en expiration et Rathke a ajoule que, dans la respiration 
active, il y avail, en meme temps, retrecissement transversal de l'abdomen. 
Je montrerai plus loin que ce retrecissement a tou jours lieu. 

L'inspection de la figure 11 representant l'abdomen en coupe montre, en 



1 




RfipcHition de la figure i 1. 

Coupe transversale de l'abdomen de la Libellula quadri- 
maculata. 



outre, que le phenomene est plus com- 
plexe encore : quand la lamelle ster- 
nale s'eleve en expiration, les parties 
lalerales rentrent et l'articulation x 
separant les deux pieces tergales qui 
forment toit, s'eleve d'une petite 
quantite. 

Ce n'est la qu'un detail; mais il 
importe de ne pas le perdre de vue lorsqu'on eludie grapbiquement les mou- 
vements respiratoires des Libellules; aulrement, se laissant induire en erreur 
par ce qui se passe chez la majorile des Coleopteres, par exemple, on prendra 
pour inspiration la phase dans laquelle la crete dorsale s'eleve, alors que 
cette phase repond, au contraire, a I'expiration. 

Ceci pose, j'aborde les experiences faites a I'aide de la methodegraphique. 
La Libellule est fixee par les ailes, comme il est dit page 15; mode de 
contention qui a pour avanlage de n'alterer en rien la forme des mouvcments 
respiratoires. 

Pendant la plupart des experiences, un petit support est glisse sous 
l'extremite de l'abdomen afin d'eviter Taction des oscillations de celui-ci et 



des Odonates est absolument depourvu de stigmates et que les orifices respiratoires de ces 
insectes occupent exclusivement le thorax. 

Voyez, du reste, au sujet de Fexistence et de remplacement des vrais stigmates abdoini- 
naux des Libellules : 

Hausmann. De animalium exsanguium respiratione commentatio, 1803. Op. cit., p. 35. 

Buumeisteu. Handbuch der Entomologie, t. I, p. 175. Berlin, 1832. 

Palmen. Zur Morphologic des Tracheensy stems, p.. 36. Leipzig, 1877. 

Oskar Krancher. Ber Bau der Stigmen bei den Insekten (Zeitschr. f.Wiss. Zool., Bd. XXXV, 
p. 551, 1880). 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 1 i 5 

de n'enregistrer que les mouvements reels des pieces legumenlaires avec 
lesquelles on met Ie levier en contact. 

Mouvements des lames slernalcs. — L 'animal est tourne les ailes en has, 
les pattes en haut; l'abdomen est horizontal. Un levier semblable a ceux qui 
ont ete utilises pour les Coleopteres croise transversalement le ¥ somite 
abdominal. 

Le contact est etabli de la maniere suivante : le levier porte un petit 
talon descendant qui penetrc dans Ie sillon de l'abdomen et qui adhere, a 
l'aide d'un peu de baume du Canada, a la 4 C lame sternale dont il suit, par 
consequent, tous les mouvemenls. 

La lame sternale s'enfoncant a chaque expiration, la descente du levier 
repond au mouvement expiratoire. 

Le graphique L, fourni dans ces conditions, monlre un mouvement rapide. 



< — Sens de la rotation du cylindre. 

On y lit assez neltcment que 1'inspiration dont la vitesse decroit de plus en 
plus se (ermine par une pause inspiratoire indiquee par un trait presque 
horizontal, tandis que Texpiration est beaucoup plus courle et plus brusque. 

Mouvemenls des {lanes. — La Libellule est couchee sur le cote; le levier 
repose transversalement sur Tarete laterale du 3 e somite. La descente du 
levier repond, encore une Ibis, a l'expiration. 

La courbe M obtenue offre a Ires peu pres les memes caracteres que ceux 



-i — : Sens de la rotation du cylindre. 

qui caraclerisent le trace L des mouvements des lames sternales. 



116 



RECHERCHES EXPERIMENTALLY 



Mouvements de la crele dorsale. — La Libellule est placee dans le sens 
d'un insecte pose, Ies ailes au-dessus, les paltes tournees vers Ie sol. Le 
ievier transversal repose sur la crete dorsale mediane du 3 C somite. 

Le lecteur voudra bien remarquer, en se reporlant a la figure 11 
(page 111), que, dans le cas actuel, c'est la portion ascendanle de la courbc 
tracee qui represente l'expiration. 

Le graphique N est moins demonstratif que les deux precedents. 



-< — Sens de la rotation du cylindre. 

La rapiditc de Texpiration, la lenteur relative de {'inspiration, la pause 
inspiratoire y sont cependant exprimees. 

Oscillations rhylhmiques de I'abdomcn. — II est possible d'obtenir des 
grapbiques ou les caracteres des deux phases soient beaucoup plus accuses. 
11 suflit, dans ce but, d'enlever le petit support qui soutient rexlremite de 
Fabdomcn. Les experiences par la melhode des projections (§ XLVIII) 
montrent, en effet, qu'a chaquc expiration 1'abdomen so releve legerement. 
Ce mouvement est parfaitement rhythmique et concorde exaclement avec le 
mouvement expiratoire. En supprimant le support et en faisant reposcr le 
Ievier sur la crete dorsale du 5 C somite, on obtient le trace ci-dessous, 



-< Sens de la rotation du cylindre. 

dans lequel les mouvements do la crete et les mouvements generaux de 
I'abdomen qui ont lieu en meme temps et dans le meme sens s'ajoutent. 
II est facile d'y relrouver, d'une facon tres accentuee, la difference de vitesse 
enlre Fexpiralion rapide et Pinspiration plus lente, ainsi que la pause en 
inspiration. 

Les experiences qui precedent conduisent evidemmenta cette conclusion 



SUR LES MOUVEMENTS RESP1RATOIRES DES INSECTES. 117 

que chez les Odonates, comme chez les Coieopteres et chez beaucoup 
d'aulres insectes, l'inspiralion est tres probablement passive, tandis que 
1'expiration seule active a lieu sous 1'influence d'une action musculaire. 
L'ctude des muscles (§ LI) montrera a quel point notre deduction est exacle. 

§ XLVIII. 

Ktiule des mnnvcmcnls respiratoires tic la iJbfllula quadfimaculala par la mcthodc 

des projections. 



Apres ce que je viens d'exposer, l'cmploi de la methode des projections 
n'avait d'autre but que celui de conslalcr quelques details de valeur 
secondaire. 

L'animal fixe par les ailcs est place dans l'instrument de facon a donner 
successivement la silhouette du profil longitudinal et cede de loule la face 
inferieurc de l'abdomen (fig. 65 et 66, pi. IV). 

Dans la premiere position (fig. 66) on constate surloul le deplacement 
de l'ensemble de l'abdomen vers le haul, en expiration. Dans la seconde, 
(fig. 65) on voit parfaitement les somites se retrecir transversalement durant 
la phase expiratoire et se dilater en inspiration. 

Malgre le developpement de Tabdomen, les mouvements sont simullanes 
dans lous les somites; ceux-ci ne renlrent pas les tins dans les autres; la 
longueur de la region abdominale ne change guere. J'ai cru voir un tres 
Ieger allongement expiratoire, ma is ne depassant pas i j iS0 de la longueur 
totale, valeur que Ton peut evidemment negliger. 

En reunissant les difl'erents resultats fournis par les deux methodes, on 
decrira de la facon suivante les mouvements respiraloires de la Libellula 
quadrimaculata. 

1° Pendant les mouvements respiratoires les faces sternales s'elevent et s'abaissent (fait 
signale par les anciens observateurs) ; les regions laterales des somites rentrent et sortent 
(fait indique par Rathke et Graber) ; de plus, l'arete dorsale monte et descend. 

2° Les mouvements d'inspiration ou d'expiration sont simultanes dans tous les somites; 
il n'y a pas d'onde. 

3° La longueur de l'abdomen no change pas. 



H8 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



Expiration. 



Rapide et courte. 



Pails spcciaux a cliaque phase. 



Les lames slernales s'elevent. 

Les flancs renlrent. 

L'arete mediane dorsale s'elevc. 

L'audomen se releve d'une petite quantile. 



Inspiration. 



Plus lente et a vitesse decroissante. 
II existe une pause inspiratoire. 
Les lames slernales s'abaissent. 
Les Danes sortent. 
L'arete mediane dorsale s'abaisse. 
L'abdomen descend. 



§ XLIX. 

Experiences sur le systeme nerveux des Libellules. 

Ainsi que je le disais a la page 112, Barlow, Baudelot, Luchsinger et 
Langendorff ont eflectue un grand nombre d'experiences sur le systeme 
nerveux des Libellules ou de leurs larves. 

Barlow operant sur les Libellula depressa et vulgala a constate : 1° que 
les mouvements respiratoires abdominaux conlinuent pendant longtemps, 
mais ralentis et affaiblis, soit chez la Libcllule decapitee, soil chez Tindividu 
dont la tete a ete ecrasee brusquement; 

2° Que diverses causes, telles que les excitations mecaniques, 1'elevalion 
de temperature, un courant eleclrique traversant l'abdomen longitudina- 
lement, amenent une acceleration notable du rbylbme respiratoire, commc 
ellcs le font chez la Libcllule intacte; 

3° Que Ton peut divisor l'abdomen d'une Libellule en deux ou trois tron- 
cons qui, bien qu'isoles, continuent a presenter des mouvements respiratoires, 
mouvements qu'une elevation de temperature accelerc d'une manierc 
marquee i . 



i D'apres la belle figure du systeme nerveux du Gomphus forcipalus, publieeparE. Blan- 
chard dans le Regne animal illustrt (Edition Masson), Insccles, Atlas, pi. 100, Paris, 1849, les 
centres nerveux des Libelluliens seraient disposes comme suit : outre les ganglions cere- 
broides et sous-oesophagiens, il existe une masse ganglionnaire prothoraeique d'oit emanent 
les nerfs de la premiere paire de pattes, une deuxieme masse thoracique tres volumineuse 
resultant de la fusion des ganglions meso- et metathoraciques et distribuant des nerfs nom- 
breux aux muscles des ailes et aux deux paires de pattes posterieures ; enfin sept ganglions 
abdominaux d'un faible volume et fort distants les uns des autres. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 119 



Ces recherches interessantes, que je n'ai pu que resumer tres brievement, 
demontrent deux points importants. Elles prouvent, en effet, que Ies mouve- 
ments respiratoires des Insectes sont, avant tout, comme ceux des Vertebras, 
des mouvemenls reflexes el que les paires ganglionnaires abdominales sont 
autant de centres nerveux respiratoires animant Ies segments auxquels ils 
appartiennent. 

Baudelot, qui semble avoir ignore l'existence du travail de son prede- 
eesseur, a naturellemenl, re fait, en partie, les memes experiences; il s'est 
adresse a la Libellule el a sa larve ' et a eu pour but particulier de demonlrer 
la faussele de l'hypothesc de Faivre dont j'ai analyse le memoire a propos 
des Coleopteres. 

Raudelot a vu, comme Barlow, Ies mouvemenls respiratoires persisler 
pendant longtemps chez 1'insecte decapite, dans l'abdomen separe du thorax 
et dans des troncons ne comprenant qu'un petit nombre de somites. 

Luchsinger, ayant isole chez une larve un troncon ne comprenant que les 
quatre derniers somites, y a constate, apres un arret de quelques minutes, la 
reapparition des mouvements respiratoires actifs et Langendorff, qui a repro- 
duit plusieurs des experiences de Barlow, est arrive aux memes resultats que 
le pliysiologisle anglais. 

Les recherches de ces divers auteurs se confirmant mutuellement et 
conduisant a des conclusions identiques ont, en quelque sorte, epuise le sujet 
et ne permettaient point d'esperer des decouverles nouvelles. 

J'ai effectue cepcndant, a l'aide de la Libellula qiiudrimaculata, un certain 
nombre d'experiences qui m'ont fourni l'occasion de constater l'exaclitude 
des faits principaux et meme des details observes par Barlow, Baudelot et 
Langendorff 2 , 

Laissant de cote ['expose de mcs essais personnels qui serait superflu, 
j'insisterai sur un point interessant. 

Ces quatre series d'experiences, failes par des experimentaleurs diffe- 

1 Baudelot n'indique nullc part la forme specifique qui a servi a ses experiences. Ce 
detail importe, du reste, fort peu. 

2 Voir le paragraphe L suivant pour une experience sur le systeme nerveux de YAeschm 
grandis. 






120 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



rents, montrent que Ies mouvements respiratoires abdominaux des Libellules 
persistent lorsque I'abdomen est soustrait a I'influence des centres nerveux 
cerebroi'des ou centres des excitations volontaires et merae lorsqu'il n'est 
plus soumis a I'influence des ganglions thoraciques; mais elles prouvent 
aussi, surtout les series de Barlow, de Langendorfl" et la micnne, que les 
ganglions cerebroi'des ne sont pas absolument sans action sur l'amplitude et 
le nombre des mouvements de respiration. 

Barlow a vu, chez la Libellule decapitee, les mouvements affaiblis, et moi- 
meme j'ai pu, bien plus netlement, constater une diminution d'amplilude 
par la melhode des projections. 

Apres la suppression de la tele de i'insecte, Barlow el Langendorff ont 
toujours constate un ralentissement manifeste, le nombre des mouvements 
respiratoires par minute tombant, d'apres le premier de ces auteurs, de 
64 a 1)0, de 108 a 40, de 60 a 25, el d'apres le second, de 84 a 68, 64 et, 
enfin, 48. 

J'ai observe personnellement un leger ralentissement cbez la Libelkda 
quadrimaculala qui, intacte, respirail trente-buit fois par minute et, deca- 
pitee, trente-quatre fois seulement. 

La comparaison de ces resullats avec ceux qu'ont fournis des insectes 
d'autres groupes, me permellra de formuler des conclusions generates a la 
fin de ce travail. 



Aesciina grandis. 

(Etude lies mouvements respiratoires par la mcthoilc grnphltiue.) 



Malgre sa taille plus considerable, YAcschna grandis ne m'a pas donne 
d'aussi bons resultats que la Libellula quadrimaculala. 

Les experiences ont ele faites sur un individu tres vif venant de manger 
et, cependant, l'amplitude des divers mouvements a toujours ete faible, fail 
que j'atlribue a la forme de I'abdomen de Pinsecle. 

Les mouvements respiratoires s'effecluent de la meme facon que cbez la 
Libellule; aussi ne citerai-je qu'une seule experience. 



SUR LES MOUVEMENTS RESP1RAT01RES DES INSECTES. 121 

Apres avoir pris plusieurs traces des mouvements do rcntree el de sortie 
dcs (lanes chcz 1'individu intact, j'ai coupe la cbaine nerveuse a la base de 
l'abdomen, puis j'ai pris un nouveau trace des mouvements des flancs fourni, 
par consequent, par l'abdomen souslrait a 1'influence des ganglions cepba- 
liques et tboraciques. 

Le graphique, parfailement regulier, indique que la forme des mouve- 
ments respiraloircs est restee absolument la meme; le rbylbme et 1'amplitude 
sont souls un pcu modifies. L'amplitude a Ires legerement diminue et le 
nombre des mouvements par minute est descendu de 44 a 38. 

Co resullat interessanl confirme parfailement ce que j'ai expose, dans le 
paragraphs precedent, concernanl 1'independance des mouvements respi- 
ratoires abdominaux et 1'influence des centres neryeux anterieurs des Libel- 
Ma proprement dites. 

§ LI. 
Muscles respiratoires de l'Agrion sanguineum. 

Les muscles respiraloircs des Libelluliens ont etc decrils par Ratbke '; 
mais comme celte description n'est accompagnee d'aucun dessin, le lecteur 
eprouvc une ccrtaine peine a so fairc unc idee exacle de la disposition 
reelle. Les figures ci-joinlcs comblent, je l'espei'e, cello lacunc. 

La dissection des muscles abdominaux des Odonates esl assez difficile et 
no m'a bien rcussi que pour YAgrlon sanguineum. 

L'abdomen des Agrion n'oflre pas les aretes longitudinales de celui des 
Libcllules, mais Forganisalion est, au fond, absolument la meme. Cbaque 
somite se compose d'un grand arceau tergal dont les bords qui descendent 
fort bas limitent, sous le ventre, unc goulliere profonde occupee par une 
lame slernale etroile. Cellc-ci est rcliee a 1'arceau tergal par une zone 
flexible tres elaslique, formant de cliaque cole un pli accuse (tig. 33). 

Si Ton ouvre l'abdomen dans sa longueur, on voit le pli produit par la 
zone elaslique faire, a l'inlerieur du corps, unc saillie notable. Les muscles 



1 Anatomisch-physiologische Untersuchungen, etc. Op. cit., p. 109. 
Tome XLV. 



lti 



122 RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 

longitudinaux ordinaircs determinant lcs incurvations de Fahdomen sont 
represents comme suit (fig. 32.) : 




e£-- 



Fig. 32 X -13. - Portion dc la moitie' droile do 1'abdomen dc YAgrion sanguineum. 

I , IS Muscles longitudinaux dorsaux. 
it — — sternaux. 

a — cxpiralcurs vcrticaux. 
I,a largcur de 1'abdomen a ete exagerce a dcssein pour rendre l'inlerprelation des muscles plus facile. 

1° Dans I'arceau tergal par deux groupes de fibres elales en couches 

plus ou moins larges, Fun dorsal A, I'autre presquc 
ventral B '. Celui-ci nait de la parlic inferieure 
du bord anlcrieur de I'arceau tergal qui suit 
immCdiatement; 

2" Dans I'arceau sternal par un petit faisceau 
musculaire partant du bord anterieur de la plaque 
sternale suivanle a. 

On remarquera 1c pen de longueur de ces 
muscles et les distances considerables qui sepa- 
rent les groupes successifs. 

Les muscles respiraloires vrais a, fort courts 
et silues aussi Ires loin lcs uns des autres, ont une direction verticalc ct 
unissent, de chaque cole, la lame sternale a I'arceau tergal correspondant, 
en croisant la zone elaslique. 

Ce sont, comme on peut le voir, de pelits muscles legercmenl elales en 




Fig. SH X 18. — Agrion sanguineum. 

Coupe transvcrsale de 1'abdomen. 
S Stigmatc. 
tx Muscle expirateur vertical. 



I Son insertion inferieure est caehee sur la figure par le pli saillant de la zone elastique. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES 1NSECTES. 123 

eventail et naissant de saillics laterales que presentent les lames slernales 
dans lc voisinage de leuf exlremile anlerieure '. 

II est aise de comprendre comment ces muscles verlicaux soulevenl les 
lames slernales el comment celles-ci, a leur tour, lendant la zone membra- 
neuse, obligent les bords inferieurs des areeaux tergaux a se courber en 
dedans. 

Les muscles en question sont done expiraleurs; les muscles inspirateurs 
font defaul, ainsi que Rathke le fait remarquer, et Finspiration, cbez les 
Odonates, s'opere par Felaslicile, du reste tres grande, des teguments. 



B. Diplt-res. 

Les observations sur le mecanisme rcspiraloire des Dipteres ont ele pen 
nombreuscs; Kirby et Spence, Slraus-Durckheirn, Duges, Ralbke el Kiinkel 
d'Herculais sont les seuls auteurs que je puisse citer a des litres divers 2 . 

Les Irois premiers se bornent a indiquer incidemment de pelits fails sans 
importance. Ainsi Kirby el Spence, parlanl des vibrations des ailes de 
VOrfalis vibrans pose, emeltent l'opinion que ccs vibrations sont liees aux 
mouvements respiratoires de l'insecte 5 . Straus-Durckheim signale la persis- 
tance des mouvements de respiration chez unc moucbe decapilee *, et 
Duges s , qui a observe des moucbes et des belopbiles, se contente de resultats 
incomplels. 

11 faut lire le memoirc de Rathke 6 pour trouver une description sulfisam- 
ment delaillee el a pen pres exacte des mouvements respiratoires de quelques 
Di])ieres : Tipula, Tabanus, Empis et Musca. D'apres ce travail, les mouve- 



1 Chez quelques Odonates (les Aeschna, si ma memoire est fidele), ces saillics, beaucoup 
plus developpees, sont de veri tables apodemes arques. 

" 2 Les deux memoires de Leon Dufour sur les Dipteres (1851) et sur la Sarcophaga hevmor- 
rhoidalis nc renferment rien sur la respiration. 

3 Kihby et Spence. An introduction to entomology, People's edition, p. 447. London, 1867. 

4 Straus-Durckheim. Considerations, etc. Op. cit.,p. 377. 

a Duces. Traite de physiologic comparee, p. ooo. Montpellier, 1838. 

c Rathke. Anatomisch-ptiysiologische UntersacJiungen, etc. Op. cii., pp. 105 a 107. 



124 



RECHERCHES EXPERIMEINTALES 



merits les plus neltement visibles, chcz les insectes en question, consistent 
ordinairement en elevations et abaissernents alternatifs des plaques sternales. 
Enftn, Kiinkcl d'Herculais a public en 1875 la premiere partie et en 1881 
Fall-as seul de la deuxieme partie d'un ouvrage etendu sur Forganisation des 
Volucclles \ Lecliapitre concernant la respiration ri'a pas encore paru, mais 
l'auleur decritlesysleme musculaire abdominal et appellc ratlenlion sur des 
muscles qu'il considere comme determinant les mouvements respiratoires. 
Je discuterai son interpretation plus loin, § LVI1I. 

§ Ml. 

Tll'ULA filGANTEA. 
( l':tu<le lies mouvements respiratoires par la methode ties projections.) 



I/organisalion de Fabdomen des Tipules h'est pas sans analogic avec ce 
que nous presentent les Odonates et les Orthopteres acridiens. Get abdomen 
allonge se compose, en effet, de longs segments bien distincts conslitues 
chacun par un grand arceau tergal entrant dans la composition des flancs 
et par un arceau sternal plus petit rclie au premier au moyen d'une zone 
membraneuse fortement rcpliee en dedans. Structure caraclerislique qui fait 
supposer immedialement que les mouvements respiratoires doivenl consisler, 
comme cbez les Libellules et les Acridiens, en ascensions el en descenles des 
pieces sternales de tons les somites ou, au moins, de la plupart d'entre eux. 

Ilalhke dit cependant que les mouvements des pieces sternales sont tres 
faibles, qu'ils n'ont lieu que pour les trois ou quatre premiers somites abdo- 
minaux el qu'il lui a etc impossible de distinguer le moindrc deplacement 
ayanl un caractere respiratoire dans les segments situes au dcla. 

Mais Ratbke, qui ne disposait que de Fobservation direclc,a mal vu, comme 
on en jugera par la description suivante : 

L'insecle, qui est une femelle, est fixe par les ailes; Fabdomen est abso- 
lument libre. 

•) Kuxkel d'Herculais. Ttecherches sur I 'organisation el k devdoppement des Yolucelles, 
i"> partie, pp. 184 et 185, Paris, 1875; el Atlas de la 2 me partie, pi. XII, fig. 1. Paris, 1881. 



SUR LES MOUVEMENTS RESP1RATOIRES DES INSECTES. 12o 

Lcs mouvemenls respiratoires, quoiquc defaible amplitude, sont ires nels 
et ont lieu dans la presque tolalite de l'abdomen. L'expiration est marquee 
par la descente des arccaux dorsaux el par Pascension des pieces sternales 
qui reulrent sous les precedenles. La diminution du diamelre vertical, 
mesuree au 3 e somite, est a peu pres de l ] ts . 

Le fait le plus interessanl a noter est 1'existence d'une onde veritable, le 
mouvement n etant pas simultane dans tous les somites, mais progressif; les 
somites 1, 2, 3, h sont en expiration lorsque les segments 5, 6, 7, 8, 9 
sont en inspiration el vice versa. 

Les mouvemenls respiratoires sont accompagnes de legeres oscillations 
de l'abdomen; mais il m'a paru, sans pouvoir le certifier, qu'il n'y avait pas 
loujours coincidence; de sorte que ces oscillations sont peut-etre elrangeres 
a Facte de la respiration. 

La longueur de l'abdomen ne cbange pas; ce qui monlre que les somites 
ne se deplaccnt pas dans le sens longitudinal. Le metatborax semble 
immobile. 

§ mi. 

CaLUPHORA VOM1TOUTA. 



L'abdomen des Muscides se fait remarqucr par le grand developpement 

des arceaux tergaux qui, chez 
les Callipbores, par exemple, 
forment entieremenl les (lanes 
et se recourbenl meme a la 
face inferieure. II en resulte 
que les arceaux sternaux, en 
general fort pelits, ne sont 
represented que par une serie 
de plaques a peu pres qua- 
drangulaires occupant la ligne mediane ventrale. Ces plaques sont nalu- 
rellemenl reliees aux bords des arceaux tergaux par une zone cutanee 
molle (fig. 34 et fig. 13). 




RiSpftilion de la figure 13. 

Coupe transversale de l'abdomen 

de la Lucilia coesar. 



Fig. 34 X S. 

Face infencure de l'abdomen 

de la Calliphora vomitoria §• 



126 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Ceci rappele, je crois bien faire en reproduisant d'abord, en substance, 
les resultats des eludes de Rathke. Dans la respiration calme, dit eel emi- 
nent observateur, les plaques slernales des Muscides s'elevenl el s'abaissenl 
d'une petite quantite. Si la respiration devient precipilee, comme chez la 
mouche mainlenue par les ailes, ii y a non seulement des mouvements de 
la part des plaques slernales, inais on observe, en meme temps, des depla- 
cemenls des flancs en dedans et en dehors, c'esl-a-dire des deplacements 
des parlies Iaterales des arceaux lergaux. Pendant ces phases, Pabdomen 
s'allonge et se raccourcit alternativement, Fallongement coi'neidant avec 
Pelevation des pieces sternales (expiration), le raccourcissement accompagne 
d'incurvation vers le has repondant a rabaissement de ces memes pieces 
(inspiration). 

Le tableau qui precede est a peu pres exact ; le lecleur pourra apprecier 
les petites erreurs commises par Rathke, en lisanl Texpose suivant de mes 
experiences personnclles. 



§ LIV. 



Etude des mouvements respiratoires de la Calliphora vomitoria par la methode 

PES PROJECTIONS. 



La Calliphore, privee de ses patles el de ses ailes, est supportce par deux 
epingles fines traversant les parties Iaterales du mesothorax. On place 
Tanimal dans Tappareil de facon a oblenir successivement des silhouettes du 
prolil longitudinal enticr (fig. 67, pi. V), puis de rabdomen seul vu dans 
sa largeur et par la face inferieure (fig. 68, pi. V). Le grossissement est 
de 10 diametres. 

L'insectc execute deux especes de mouvements qu'il iinporle de distin- 
guer Tun de l'aulre : 1° un mouvement sans caractere respiraloire. Chaque 
i'ois que la Calliphore agile rapidemenl ses tron^ons de palles cl ses 
moignons d'ailes, elle etend et releve vivement Fabdomen; 

2° Des mouvements respiratoires vrais, ayant lieu comme suit : 

Le melalhorax restc immobile. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES 1NSECTES. 127 

Les inspirations sont lcntes, mais assez profondes et separees par des 
pauses inspiratoires. 

Les plaques slcrnales s'elevent en expiration et s'abaisscnt en inspiration; 
la diminution du diametre vertical de 1'abdomen en expiration est de f /n> 
par consequent de valeur moyenne. 

Memo dans la respiration calme, le diametre transversal do l'abdomen 
diminuc ct augmenlc un peu allemalivement; les bords inferieurs des 
arceaux tergaux se portent en dedans et en dehors. 

Pendant, l'expiralion, 1'extremite de l'abdomen se releve legerement et des 
styles colics sur la face dorsale du corps monlrent que les arceaux tergaux 
rcnlrent un pen les tins dans les aulres. Lors de l'inspiralion, ces memos 
arceaux s'ecartent faiblement et la pointe de l'abdomen s'abaisse. 

Les silhouettes montrent clairement que lorsque l'oviscapte ou pondoir 
des femelles est a l'etat de refraction, 1'abdomen ne subit aucun changement 
appreciable de longueur, son exlremite deerivant seulement un petit arc de 
cercle. II en est aulrement lorsque l'insccte etend l'oviscapte; dans ce cas, 
cet organe subit un allongcment manifesto et Ires facile a s'expliquer, pen- 
dant cliaque mouvement expiratoire. 

Mes resultats different done de ceux de Ralbke par deux points : les parlies 
lateralcs des arceaux tergaux se portent en dedans ct en dehors pendant la 
respiration cahnc et normale; l'abdomen ne change pas de longueur. L'au- 
leur cite a ete, quant a ce dernier point, viclimc de 1'illusion qui Irompe 
presque tons ccux qui se bornent a observer les mouvements respiraloircs 
des insccles, a l'ceil nu on a la loupe. 



Lucilia ccesar. — Les mouvemenls de respiration sont les memes que 
ceux de la Calliphore ct n'exigent, par consequent, pas de description 
specialc. 



J 28 



RECHERCHES EXPERIMEINTALES 



§ LV. 
Muscles respiratoires de la Calliphora vomitoria. 

La musculature de Fabdomen ofl'rc la disposition la plus simple que j'aie 
rencontree, jusqu'a present, chez un insecte parfait. 

Les muscles longitudinaux dorsaux A ct slernaux a ainsi que les muscles 
expirateurs a, au lieu d'etre condenses sous forme de faisceaux isoles ct 
distincts, sonl represented ici par dcs nappes musculaires larges ct minces. 



§^2Sfe^ 




Fig. 35 X 10. — Muscles de la moitic droitc dc 1'abdomen de la Calliphora vomitoria $. 
.( Muscles longitudinaux dorsaux. 
a — — slernaux. 

a. — expirateurs vei'ticaux. 

Sous la figure on a represents, a part, ane plaque sternale et ses muscles. 



Celle de ccs nappes qui joue le role des muscles expirateurs verticaux 
des Coleoptercs est composee dc fibres a direction ascendanlc et relic les 
plaques slernales a la region inlerieure des arceaux tergaux. Scs insertions 
expliquent parfailemenl l'ascension des plaques sternales ct la rentree des 
parties lalerales des arceaux superieurs pendant Fexpiralion. 

Je n'ai pas trouvc de muscles que Ton puisse considerer comme inspi- 
raleurs. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 129 

§ in. 

SCATOPHAGA STERCORARIA. 
( ictndc des inouvemciits resplratolres par In melhode dps projections.) 

La structure de I'abdomen differe quelque pen de cede que j'ai decrile 
plus haut chez les Calliphores; les plaques sternales sont proportion nelte- 
ment plus larges et la zone mode qui les unit aux bords inferieurs des 
arceaux tergaux est legerement convexe en dehors a l'etat do repos. 

Les longs poils qui couvrent I'insecte rendent les observations assez diffi- 
ciles; neanmoins jc crois avoir constate ce qui suit : dans la respiration 
ealme, les plaques sternales des somites 2, 3, 4, 5 s'elevent vers le haut, en 
expiration, lc maximum d'eflct ayanl lieu pour la ¥ et la o° plaque. Les 
poils qu'elles portent font l'office de styles; ils s'inclinent en arriere et indi- 
quent ainsi que les lames sternales deviennent legerement obliques. 

Le grossissement, assez fort, me permet d'assurer que la longueur de 
I'abdomen ne varie pas et que les somites thoraciques restent immobiles. 



§ lyii. 

(Syrphides.) Eristalis tenax et Syrphus RIBESII. 

( iUude des niouvemcnts resplratolres par la inetliode des projections.) 

VEristalis lenax me servira a exposer le mecanisme respiraloire des 
Syrphides, qui differe legerement de celui des autres Dipteres. 

L'abdomcn, tres large, ne comprend, du cote tergal, que qualre arceaux 

bien developpes, tandis qu'a la face infe- 
rieure existent cinq grandes plaques ster- 
nales mobiles (fig. 12). 

L'insecte prive de ses pattcs, de ses ailes 
et fixe par deux epingles traversant les 
parties laterales du mesolhorax, est place 
successivement dans l'appareil, suivant 
differenles positions. Le grossissement employe est de 4 diametres (fig. 69, 

pi. V). 

Tome XLV. ^ 




Repetition de la figure 12. 
Coupe transversale de I'abdomen dc YEristalis tenax 



150 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



u; 



En expiration, les plaques sternales s'elevent; le maximum d'effet a 
toujours lieu pour la 2 e . En meme temps, les arceaux tergaux 2, 3, i 
s'abaissent et les flancs rentrent, la plus grande depression de ceux-ci ayant 
encore une fois lieu pour le 2 e somite, l/abdomen diminue done de dia- 
metre dans deux sens. Dans le sens vertical, celte diminution, mesuree au 
niveau du 2 e segment, est de 4 / 9 ; dans le sens transversal, elle est de d / 
seulement. 

Fait assez curieux, vu sa rarele chez les Dipteres, l'abdomen s'allonge 
de'/ 20 durant chaque expiration; son extremite se courbe en outre vers 

le bas. 

11 existe tres nettement une courte pause a la fin de chaque mouvement 

inspiratoire ! . 

Pendant les arrets qui ont toujours lieu en inspiration, l'insecte imprime 
souvent a son abdomen des mouvements d'oscillation considerables, dans le 
sens vertical. Je rcviendrai sur ce detail a propos du systeme musculaire. 

J'ajoute, enfin, qu'il n'y a ni mouvements thoraciques, ni onde. 



Syrphus Ribcsii. — Les mouvements respiratoircs sont naturellcment a 
peu pres les memes que chez YEristalis tenax. On voit, en expiration, les 
plaques sternales s'elever, les arceaux tergaux s'abaisser et, quand la respi- 
ration est tres active, I'abdomen augmenter legerement de longueur 2 . 

La diminution de diametre, dans le sens vertical, mesuree a la hauteur 
des somites apparenls 2 et 3, est au plus de 4 / ls ; l'allongement atteint \/- 6 de 
la longueur totale de la region abdominale. J'ai observe une pause a la 
fin de rinspiration. II n'existe ni onde, ni mouvement thoracique. 



i 11 semblc aussi y avoir une trace do pause expiratoire ; mais le fait, s'il ctait. l)ien 
constate, scrait unique chez les insectes (voyez § XCV). 

2 L'allongement n'existe que lorsque la respiration est tres active ; Iorsque la respiration 
est calme, la longueur de cette partie du corps ne varie pas d'une maniere appreciable. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 151 




<z- 



Fig, 30! X 8. — Moiti6 gauche dc l'abdomen de VEristalts tenax. 
A Muscles longitudinaux dorsaux. 
o — — sternaux. 

a — expirateurs verticaux. 
m et m' — ede>ateurs et abaisseurs de l'abdomen determinant, 
les mouvements g(Sneraux d'oscillation dans le sens vertical. 



§ LVIII. 
Muscles respiratoires de l'Eristalis tenax. 

Le systeme musculaire des Syrphides a ete eludie, chez les Volucelles, par 

Kiinckel d'HercuIais \ Si, 
ce que j'ai lieu de croire, les 
figures publiees par ce sa- 
vant sont exactes, il n'exisle, 
quant aux muscles, entre les 
Volucelles el les Erislales, 
que des differences Ires pen 
importantes. 

D'un autre cole, le lecteur 
peut constater immediate- 
ment, par la comparaison 
des figures 35 et 36, que les muscles respiratoires a de YEristalis tenax sont 
exactement disposes comme ceux des Muscides et en particulier de la Calli- 
phora vomitoria. Comme chez les Calliphores, il n'existe ici que des muscles 
expirateurs offrant la disposition generale ordinaire, c'est-a-dire unissanl 
les arceaux lergaux aux arceaux sternaux en croisant la zone molle laterale. 
lis sont etales sous forme d'une nappe mince que le microscope montre com- 
posee d'une seule couche de fibres musculaires a peu pres paralleles. C'est 
celte couche musculaire continue des Muscides et des Syrphides qui se 
differencie en faisceaux musculaires dislincts chez les Tabanides (fig. 39), 
chez les Coleopteres et chez tant d'autres insectes. 

Kiinckel d'HercuIais, qui n'etait pas prepare par des etudes speciales sur 
le mecanisme respiratoire des arlicules, a donne aux muscles abdominaux des 
Volucelles des significations que je ne saurais accepter. Les deux muscles 
m et m' qui, naissant, m de la face tergale du premier somite et m' de la face 
sternale du metathorax, vont se terminer aux bords anterieurs du 2 e somite 
abdominal, muscles qu'il nomme elevateur et abaisseur de l'abdomen, sont 

1 Kunckel d'Herculais. Rech. sur I' organisation el le diveloppement des Volucelles. Op. cit., 
l re partie, pp. 184 et 185, pi. IX, fig. S, pi. X, fig. 6, et Atlas de la 2™ partie, pi. XII, fig. 1. 



132 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



pour lui des muscles irtspirateurs. Quant a la couche musculaire mince « 
que j'ai decrite plus haut comme representant les muscles expirateurs des 
autres insectes, elle concourrait, suivant Riinckel d'Herculais, a Facte respi- 
ratoire, en comprimant le canal tracheen dans lequel s'ouvrent les sligmales 
el en obligeant ainsi Fair qui remplit ce canal a s'emmagasiner dans les 
vesicules aeriennes du Diptere. 

Tout ce que j'ai expose dans les chapitres precedents me semble cepen- 
dant demonlrer que la couche de fibres musculaires a qui croise la zone 
molle laterale est exactement l'homologue des muscles expirateurs verli- 
caux des insectes des autres groupes et que c'est cetle couche dont la con- 
traction fait remonter les plaques sternales et descendre les arceaux tergaux 
en les incurvant un peu en dedans a leur partie infeneure, en un mot, qui 
determine une diminution dans la capacite de l'abdomen el amine, par con- 
sequent, Fexpiration. 

Enfin la signification d'inspirateurs donnee par Riinckel d'Herculais aux 
muscles m et m', elevateurs et abaisseurs de Fabdomen, ne me parait pas 
plus heureuse. Les experiences par projection nous ont montre, en effet 
(p. 430), que ces muscles n'enlrent en jeu que par moments et que c'est 
precisement pendant les arrets respiraioires que Finsecte fait souvent exe- 
cutor a son abdomen des mouvements oscillaloires dans le sens vertical. 



§ LIX. 

Asiujs (sp?) 

(Etude des mouvements resplratoires par la niethode <lcs projections.) 

L'abdomen allonge et etroit offre la structure ordinaire de celui des 
Dipteres; c'est-a-dire que les arceaux tergaux sont tres 
developpes et que les arceaux sternaux onl pris la forme de 
grandes plaques convexes (fig. 37). 

L'insecte intact, muni de ses ailes et de ses palles, n'est 
AsUus fixe que par une seule epingle traversant le mesothorax. Les 




■ A si In 
•en 
de l'abdomen 

sont les suivants : les plaques sternales s'elevent et s'abaissent d'un mouve 



mouvements respiratoires tres nets et tres faciles a dessiner 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES ILNSECTES. 133 

merit rapide, sans que Ton puisse discerner de deplacements du cote des 
arceaux dorsaux. Ces mouvements sont surlout accuses pour les plaques 1 
et 2; la diminution du diametre vertical en expiration est de l / i0 . De temps 
a autre, mais pas d'ane facon constant^ il y a apparition d'une onde. Dans 
ce cas, les mouvements sont plus lenls et Ton voit les plaques sternales 1 et 2 
s'elever, tandis que 3 et I s'abaissent, et vice versa. 

Enfin, pendant la respiration calme, Pextremite de 1'abdomen oscille ver- 
licalement d'une maniere lente et reguliere, sans qu'il y ait aucune concor- 
dance entre ce genre de deplacement et les mouvements respiratoires vrais. 

On n'observe ni changements de longueur de 1'abdomen, ni mouvements 
thoraciques. Quant aux arrets qui onl lieu de temps en temps, ils repondent 
toujours a I'inspiration. 

§ LX. 

Tabanus bovinus. 

( IUoit«* des mouveiiiciits respiratoires par la iiietBiotle tics project ion* ) 



En fait de Tabanides, Ratlike a examine le Tabanus aulumnalis; il en a 
decrit les mouvements respiratoires, ainsi que le sysleme musculaire abdo- 
minal. Mes observations personnelles, faites a l'aide d'un meilleur procede et 
sur une forme plus grande, me permeltent, tout en confirmant les resultats 
obtenus par Ralhke, de signaler un certain nombre de details interessants. 
L'abdomen des Tabanides differe surtout de celui des Muscides par les 

dimensions relatives des arceaux tergaux et 
sternaux. Chez les Muscides, les arceaux supe- 
rieurs sont enormes et les arceaux sternaux 
sont reduits a de simples plaques; ici, au con- 
traire, les tergites et les sternites sont presque 
egaux. A la hauteur des flancs, les arceaux 
tergaux chevauchent un peu sur les inferieurs et cachent la bande flexible 
qui les y relie (fig. 38). 

D'apres Rathke les mouvements respiratoires des Tabanides sont les sui- 




Pig. 38 X li. — Tabanus bovinus. 
Coupe transversale du 2« somite abdomina 



iU 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



vanls : les arceaux sternaux s'elevent et s'abaissent, principalement pres de 
la base de l'abdomen ; si la respiration devient un peu plus active, les bords 
lateraux des arceaux tergaux anterieurs sont alternalivemcnt inclines en 
dedans ou repousses au dehors; enfin, si les mouvcments deviennent encore 
plus energiques, les arceaux sternaux se deplacent dans le sens longitudinal, 
s'engageantim peu les uns sous les autres en expiration. 

Tout cela est a peu pres exact; ce qui a surloul echappe a l'auteur cite, 
c'est que les deplacements qui, selon lui, n'ont lieu que lorsque les mouve- 
ments respiratoires s'accelerent chez 1'insecte excite, ont lieu aussi dans la 
respiration calme. 

Voici, du reste, ce que m'ont donne les observations failes a l'aide de la 
methode des projections : 

Le Taon, prive de ses ailcs el de ses pattes, etait fixe par deux epingles 
fines traversant les parlies laterales de la region la plus large du thorax; 
l'abdomen etait fibre. L'insecte fut place dans fappareil, tanlot de facon a 
donner la silhouette du profil longitudinal et porlail alors des styles de papier 
sur les arceaux tergaux 2 et k, tantot de facon a fournir 1'image de la face 
dorsale dans loute sa largeur, tanlot, enfin, muni de trois styles codes sur 
l'arceau sternal du 3 e somite et pose suivant faxe du faisceau lumineux, de 
maniere a projeter la coupe de l'abdomen et a permettre l'examen des chan- 
gements de courbure de l'arceau sternal en question (le grossissement a 
varie de 9 a 8 diametres). 

Respiration calme; ni pauses inspiratoires, ni pauses expiratoires; mais, 
de temps en temps, des arrets en inspiration. Aucun mouvement du cote 
du thorax. 

En expiration, les arceaux sternaux s'elevent, 1'effet maximum ayant lieu 
a la hauteur de ('articulation entre le 2 e et le 3 e arceau. On voit tres claire- 
ment sur les silhouettes, ou en regardant direclemenl l'insecte a la loupe, 
que le plus grand effort mecanique a lieu au point que je viens d'indiquer. La 
disposition des muscles nous en donncra la raison. 

En meme temps, les arceaux slernaux 3, 4, 5 se portent legerement en 
avant et l'exlremite de Tabdomen se releve ; les styles fixes sur les arceaux 
dorsaux 2 et 4 monlrent par leurs defacements que les arceaux dorsaux 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 155 

rentrent un pen les litis sous les autres et que ce mouvement n'a une cer- 
certaine importance que pour les somites posterieurs. 

Pendant la phase expiratoire, les arceaux sternaux changent de cour- 
bure; leurs regions laterales se depriment un peu plus que leur region 
mediane ct les rebords infcrieurs de la plnpart des arceaux tergaux s'in- 
clinent legeremcnt en dedans, ce qui amene une diminution dti diametre 
transversal de Fabdomen. 

Tous ces emplacements sont simultanes; il n'y a pas de trace d'onde. 

La longueur de Fabdomen reste tres sensiblement invariable lorsque la 
respiration est normale. Je n'ai constate d'allongements et de raccourcisse- 
ments reels que chez Finsecte momentanement excite par les manipulations 
et les mutilations que necessilent les apprets d'une experience. 

La diminution expiratoire du diametre vertical de Fabdomen, la ou elle 
est le plus accusee, e'est-a-dire sur la limite des somites 2 et 3, est environ 
de { j a ; le retrecisssement transversal a la hauteur du 2 e somite iFest que 
de l j m . Les mouvements respiratoires out done moins d'amplitude encore 
que ceux de la Calliphore. 

§ IA1. 
Muscles respiratoires du Tabanus isovinus. 



Ralhke a compare les muscles respiratoires des Tabanides a ceux des 

Coleopteres. Ce rapproche- 
ment est, en effet, assez 
juste. En examinant simul- 
tanement les figures 35 et 

llW^lF^^^!lCI 4^ ^> ' e ' ecteur voit imme- 

diatement que le systeme 
musculaire du Taon derive 

Fig. 39 X 8. - Muscles de la moitie droite de Fabdomen du Tabanus bovinus ?. de Cellll de J3 CallipllOre 
A, B Muscles longitudinaux dorian. une differentiation IllllS 

a — — sternaux. l l 

a — expirateurs verticaux. aCCUSee. LeS fibres mUS- 

culaires, au lieu d'etre etalees en larges nappes minces, sont groupees en 




136 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



petits muscles distincts plus epais, mais affectant les memes directions et les 
memes rapports. 

Laissant de cote les muscles Iongitudinaux dorsaux A et B et sternaux a, 
on constate que les muscles expirateurs * naissent, comme chez la Calli- 
phore, des bords des arceaux sternaux, croisent la membrane molle des 
flancs et s'inserent, a la facon des memes muscles chez les Coleopteres, dans 
les arceaux tergaux correspondants. 

Le volume plus considerable des muscles expirateurs occupant les 2 e et 
3° somites, nous explique immediatement pourquoi la depression des 
arceaux sternaux offre son maximum a la limile des arceaux sternaux 2 et 3, 
comme la legere obliquite de ccs muscles et des suivants fait comprendre 
le petit deplacement en avant des arceaux inferieurs, sans qu'il soil neces- 
saire d'attribuer ici un role special aux muscles Iongitudinaux ordinaires. 

Les muscles inspirateurs son! completemcnt absents, l'inspiration est done 
passive, ainsi que chez la plupart des insectes. 

§ LXII, 
Appendice aux Dipteres. 

Hymknoi'tkres chrysidiens. Chrysis ignita. 

( lotudc rtcs mouvemeuts pevplratolres |>«r la methoilc «les projectlous.) 



Je n'ai eu Foccasion d'etudier convenablement qu'un seul Hymenoptere 
terebrant, le Chrysis ignita. Ainsi qu'on va le voir, il so rapproche evidem- 
ment des Dipteres muscides par scs mouvements respiratoires. 

Les Chrysis out l'abdomen compose dc trois segments apparenls; la 
face inferieure, a peu pros plane, est constitute par trois plaques sternales 
dont les parties lalerales sont engagees sous les bords des arceaux tergaux 
reflechis en dessous. 

En fixantranimal, privc de ses paltes et de ses ailes, a I'aide d'une seule 
epingle traversant le mesothorax et en soutenant l'abdomen par une epingle 
coudee, pour eviter les grandes incurvations vers le bas, on constate, au 



SUR LES MOUVEMENTS RESP1RATOIRES DES INSECTES. 157 

grossissement de 12 diametres, que le Chrysis ignila efTectue deux especes 
de mouvements : 

1° Des mouvements oseillatoires de I'abdomen dans le sens vertical, 
accompagnes d'allongements et de raccourcissements; 

2° Des mouvements respiratoires vrais. Ceux-ei consistent en elevations 
et abaissements exeessivement rapides des lames sternales, sans pauses et 
sans arrets. La diminution du diametre vertical de I'alrdomen, en expiration, 
atteint '/io- 

Quand Finsectc est tranquille, on s'assure faeilernent que les anneaux 
thoraciques ne bougent point et que la longueur de I'abdomen rcsle inva- 
riable, malgre les mouvements respiratoires incessants des plaques sternales. 

Ainsi, quoique les Chrysis soienl, si voisins, par leur aspect general, des 
Hymenopteres porte-aiguillon, leurs mouvements de respiration different 
profondemeut de ceux de ces derniers insectes, puisqu'il y manque le carac- 
tere tres special des raccourcisscments et des allongemenls alternatifs de la 
region abdominale. 

C. Hymciioptcrcs portc-nigiiillon. 

§ LXIII. 
II ISTORIQUE. 

Bien que le groupe ait ete beaucoup (ravaille el que des cenlaines d'obser- 
vateurs aient fait une etude parlieuliere des mceurs de PAbeille domeslique, 
on ne peut citer qu'un petit nombre de naturalistes qui sc soient occupes 
des mouvements respiratoires des Hymenopteres : Newport 1 a surtout fixe 
son attention sur le rhylhme respiraloire du Bourdon lerrestre, de PAbeille 
elde I'Anthophorfi '; Duges 2 parle des mouvements de respiration des insectes 
en question, mais sans mentionner de forme specifique; Wolff 5 , auteur d'un 



1 Newport. On the respiration of Insects (Philosoph. Transactions, part. II, pp. 548, 549 
et 550, 1836). 

2 Duces. Trails de physiologic comparse, etc. Op. cit. , t. II, p. 555. 

3 Wolff. Das Riechorgan der Bienc (Nova acta der Ksl. Leop. Carol. Deutsche* Akademac 
der Naturforscheu, Bd. XXXVIII, n r 1. Dresde, 1875. 

Tome XLV. 18 



138 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



travail Ires remarquable sur l'organe de l'olfaction cle l'Abeille, explique 
l'entree et la sortie de Pair de 1'appareil tracheen par une disposition anato- 
mique dont je dirai quelques mots apres avoir expose completement mes 
propres recherches; Girdwoyn 1 se borne a indiquer l'aspect general des 
mouvemenls d'inspiration et d'expiration; Donhoff 2 , a la suite d'essais faits 
dans de mauvaises conditions, a eru pouvoir avancer que le centre des 
mouvemenls respiratoires de l'Abeille a son siege dans les ganglions cepha- 
liques; Langendorff 5 a rectifie cetle crreur et a constate par Texperience 
que les mouvements de respiration persistent chez les Guepes, les Bourdons 
et les Abeillcs decapites; enlin, Rathke i , que je cite intenlionnellement le 
dernier, a seul rcuni tin nombre de fails suffisant pour donner une descrip- 
tion a peu pres complele el presque exacle du mecanisme respiratoire ■'. 

Les auteurs cites sont d'accord sur un fait : lous decrivent les mouve- 
ments de respiration des Ifymenopteres porte-aiguillon comme consislant en 
raccourcissements et allongemenls alternatifs de Fabdomen; plusieurs d'cnlre 
cuxcomparent meme ces deplaccrnenls a ceux des tubes d'une lunette. 

D'autres zoologues onl du faire la meme observation, mais n'ont rien 
public, n'en comprenanl pas Fimportance et acceplant, sans examen com- 
paratif, 1'opinion enracinee et conslamment reproduite d'apres laquellc Fexpi- 
ration el Inspiration de la plupart des Tracheites sc font principalement 
par le raecourcissement et 1'allongement de la portion abdominale du corps. 

Prepare par mes etudes sur differents groupes, je savais combien, an 
conlraire, les cbangements un peu notables dans la longueur de Fabdomen 
sont rares pendant les mouvemenls respiratoires normaux des insectesj aussi, 
en abordant les llymenopleres, ai - je voulu conslaler jusqu'a quel point 



i Girdwoyn. A nalomie et pliysiologie de l'Abeille, p. 21. Paris, 1876. 

2 Donhoff. Beitrage zur Physiologie, §111 Das Athmungscentrim der Honigbiene (Arch, 
f. Anat. uni) Phys., Phys. AMhlg., p. 162. Leipzig, 1882). 

3 Langendorff. Das Athmungscentrum der Insecten (Arch. f. Anat. und. Phys., Phys. 
Abthlg., p. 81. Leipzig, 1888). 

'*■ Rathke. Anatomisch physiologische Untersuchungen , etc. Op. cit., pp. 115 et suiv. 

8 Je ne puis rappeler ici, meme incidemment, les travaux concernant le mode d'occlu- 
sion des stigmates , les causes du bourdoaneinent , etc. Ces questions s'eloignent trop de 
mon sujet. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 159 

leur mode de respiration etait exceptionnel. Profitant des avantages d'une 
methode qui pcrmet de distinguer des details que l'observation ordinaire ne 
peul reveler, je me suis assure, comme le lecleur le verra paries pages 
suivantes, que si les mouvemenls les plus marques sont hien effectivement 
des displacements des somites dans le sens longitudinal, pes mouvemenls sont 
aussi accompagnes de modifications dans le diametre vertical; les pieces 
lergales el sternales sc rapprochanl el s'ecarlanl d'une facon rhijl/unique. 

Les Hymenopteres porte-aiguillon sc trouvenl ainsi raltaches, quant a 
leurs mouvements respiratoires, a d'aulres insectes tels que les Cicindeles, 
les Coccinelles, les Eristales, les Rlatles, certains Acridiens, des Lepidop- 
teres, etc., chez lesquels les changemenls dans le diametre vertical sont 
predominants, mais qui offrent, en meme temps, de pclites modifications 
dans la longueur de 1'abdomen. 

J'ai etudie les mouvements respiratoires abdominaux cbez deux Bonibus, 
cbez YApis mellifica, chez YAnlhophora relusa ct cbez la Vespa germanica. 
J'exposerai d'abord ce que j'ai vu chez la Guepe, dont rabdomen a peu pres 
nu se prete mieux aux observations que celui des Hymenopleres couverts 
de poils. 

§ LXIV. 
Vespa germaslca. 

limit- des moiivcniciits it'spli :>{<iiii-s par In methode des projections.) 



Si Ton fait abstraction des elements qui cnlrent dans la composition du 
pedicule, rabdomen de la Guepe comprend six somites apparenls; ceux-ci 
se recouvrent largement les uns les aulres (voy. fig. 40) et sont relies par 
des zones membraneuses annulaires etendues, minces et tres fiexihles 
cachees par les bords des somites successifs. Comme chez tous les Ilyme- 
nopteres porte-aiguillon, les arceaux tergaux cbevauchent forlejnent sur les 
arceaux sternaux et la aussi, sur les fiancs, existe une zone membraneuse 
repliee en dedans et d'une grande fiexibilite. II resulte de cette disposition 
anatomique deux genres de mouvements possibles, l'un dans le sens longi- 
tudinal, l'autre dans le sens vertical. 



J 



RECHERCHES EXPERlMEiNTALES 



Dans le sens longitudinal, les somites peuvent renlrer profondement lcs 
uns dans les autres, plus profondement meme que chez aucun autre groupe 
d'insectes. 

Dans le sens vertical, les arceaux dorsaux et sternaux sont susceptibles 
de se rapprocher ou de s'eloigner, de facon a diminuer ou a augmenter 
ainsi le diamelre vertical de l'abdomen. L'observation de ce qui se passe 
chez la Guepe vivanle montre, cependant, que les mouvemenls de celle 
nature n'onl qu'une faible amplitude. 

Quelques autres details sont necessaires pour comprendre convenable- 
ment de quelle manicre ont lieu les deplacements pendant la respiration : 
Tarceau sternal du l ep somite apparent est atrophic et presque fixe; la 
mobilite du 2 e somite par rapport au premier est faible; ces segments ne 
peuvent jamais se deplacer que d'une petite quanlite Tun par rapport a 
rautrc. Les segments suivants offrent, au contraire, une mobilite remar- 
quable; enfin, le glissement horizontal des arceaux sternaux est plus facile 
et plus etendu que celui des arceaux dorsaux. 

Ces preliminaires exposes, voici quels ont ete les experiences effectuees 
et les resullals obtenus : 

La Guepe, privee de ses pattes et de ses ailes, est supportee par deux 
epingles traversant les parlies laterales du mesothorax. Dans ces conditions, 
1'insecle, nalurellement excite, fait executer a son abdomen des mouvemenls 
continue!© de flexion, surtout vers le bas, 1'allongeant outre mesure et cher- 
chant a piquer. Ces deplacements auraient rendu le dessin des premieres 
silhouettes impossible; il etait done important de les faire cesser sans nuire 
aux mouvements respiratoires vrais. J'y suis heureusement parvenu d'une 
facon tres simple en faisant reposer la face inferieure du 2 e somite apparent 
sur une petite tige horizontale. 

On remarquera que rabdomen n'elait pas fixe, mais seulement soutenu. 

4 re Experience. — ■ La Guepe est parfaitement calmee et respire assez 
regulierement; le grossissement est de 14 diamtMres, ce qui permet de 
constater des deplacements fort petits. 

Aucun mouvement du cote du thorax; les mouvements abdominaux ont 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. Ui 

peu d'amplitude; les somites 1 et 2 restent immobiles; les qualre derniers 
somites bougent seuls, Pabdomen se raccourcit dlnne petite quanlite, en 
expiration, et reprend sa longueur primitive en inspiration. Le mouvement 
expiratoire tres faible de la part du 3 e somite et plus accuse pour les 
somites k, 5, 6 consiste dans la rentree des arceaux sternaux les uns sous 
les autres et dans I'abaissement simultane des pieces lergales correspon- 
dantes. L'expiration est done accompagnee d'une legere diminution du 
diamelre vertical. 



2 e Experience. — Abdomen soulenu, comme precedemment. On amene 
facilement une grande excitation chez l'Hymenoptere el par consequent une 
augmentation dans la frequence el 1'ampliUide de ses mouvements respira- 
toires, en placant sur le support une epingle verticale situee a quelques 
millimetres en avant des oeellcs. L'inseete inquiet palpe l'epingle a I'aide 
de ses antennes, s'eflbrce inutilement de 1'alteindre pour la saisir entre ses 
mandibules, etc. 

Les mouvements respiraloires deviennenl Ires difficiles a suivre; mais 
l'experience precedente a fourni des bases qui servent de guide. Les mou- 
vements sont de deux ordres dilTerents : 1° des mouvements d'allongement 
et de raccourcissement, cette fois notables; ce sont les vrais mouvements 
respiratpires ;, 2" des mouvements d'incurvation vers le bas de I'extremUe de 
Fabdomen. Ces deux series de mouvements alternent, en general; la Guepe 
execute un ou plusieurs mouvements respiratoires, puiscourbe son abdomen; 
elle le remet ensuite horizontalement pour respirer encore, et ainsi de suite. 

Ceux qui conserveraient quelques doules et croiraient que les mouvements 
d'incurvation vers le bas jouent un role determine dans l'acte de la respira- 
tion, n'ont qu'a observer une Guepe vivante renfermee dans un bocal un peu 
spacieux. lis verront, meme lorsque l'animal excite s'eleve en voletant le long 
des parois verticales de sa prison, l'abdomen rectiligne n'effectuant que des 
mouvements d'allongement et de raccourcissement alternatifs et rapides. 

Ratlike ' a, du reste, releve le fait pour les Vespides, en ajoutant qu'il en 



Anatomiseh physiologische Untersucftungen , etc. Op. oil., p. 116. 



142 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



etait autremcnt chez les Apides dont l'abdomen uormalement courbe s'incur- 
vait encore davantage en expiration. 

Revenons a la deuxieme experience : cette fois, tous les somites abdomi- 
naux sont en action, tous rentrent les uns dans les autres en expiration, 
sortent et splendent en inspiration. Les deplacements en avant et en arriere 
sont faibles pour les somites 1 et 2, plus prononces pour les autres et 
d'autant plus grands qu'il s'agit de somites plus voisins de Fextremite 
abdominale. Le raccourcissement de l'abdomen, en expiration, alleinl '/#; de 
la longueur lotale de cette partic du corps. Quant aux changements de 
diametre, la rapidite el la complexile des mouvements ne nFont pas permis 
de les discerner. 

3 C Experience (fig. 70 pi. V). — Abdomen non soutenu, completement 
libre. La Guepe le rccourbe fortement vers le bas et le maintient dans cette 
position. L'animal est Ires calme. 

Le metathorax ne bouge pas; comme dans la premiere experience, les 
somites 1 et 2 sont immobiles. On constate tres neltemenl que ce sont bien 
les faces sternales seules des somites 3, 4, 5, 6 qui rentrent les unes sous 
les autres en expiration; les arceaux tergaux ne rentrent pas ou rentrent 
peu; mais, ainsi que le montrait la premiere experience, elles se portent 
legerement vers la face inferieure de Fabdomen, diminuant ainsi quelque 
peu son diametre vertical. Les cbangements de longueur ne depassent 
pas 4 /i4 de Fabdomen entier. 

Les conclusions qui me paraissent decouler de ce qui precede sont les 
suivantes : 

1° Chez les Vespides, le metathorax ne participe pas aux mouvements respiratoires. 

2" Les mouvements respiratoires les plus caracteristiques consistent en raccoureissements 
et allongements alternatifs de Fabdomen. 

3° Ceux-ci ne sont pas les seuls : il existe, en meme temps, dans le sens vertical, de 
legcrs mouvements de rapprochement et d'ecartement des arceaux tergaux et sternaux. 

4° Dans la respiration calme, les premiers segments sont immobiles : les displacements 
n'ont lieu que pour les quatre somites posterieurs. 

u° Dans la respiration tres active, tous les somites se meuvent; mais les d('plaeements 
des segments les uns par rapport aux autres sont d'autant plus considerables que ces seg- 
ments sont plus voisins de l'extremite de l'abdomen. 

G° Les incurvations de l'abdomen ne sont point des mouvements respiratoires. 



SUR LES MOUVEMENTS. RESPIRATOIRES DES INSECTES. 143 

§ LXV. 

Muscles respiratoires de la Vespa germanica. 



Ratlike a decrit, sans le representor, le systeme musculaire abdominal 

des Hymenopteres porte- 
aiguillon. Bien que sa des- 
cription soit incomplete, 
('existence de certains mus- 
cles lui ayant echappe, et 
bien que ses interpretations 
soient, par consequent, en 
partie erronees, Thabile 
observateur a parfaitement 
saisi le caractere general de 
la musculature des articules 
du groupe qui nous occupe. 
Ralhke admet ici non 
sculement des muscles expi- 
rateurs, mais, de plus, des 




Fig. 40 X 10. 

Muscles do la inoitic droite de I'abdomen de la Vespa germanica. 

Vers la droite de la figure, le. 8 e somite a (He intentionnellement detache 
en partie du 4 C . Les muscles sont rompus en cet endroil. 
A Muscles longitudinaux dorsaux. 
a Muscles longitudinaux sternaux. 

I) cl d Muscles obliques provenant d'uue differencial ion des muscles Ion- m . ]< j„I„ e insnintPlir* vPliant 
gitudinaux ordinaires des aulrcs insecles. imiotita iiiopu aiciu a, >i.ij<iill 

I et. i! Muscles inspirateurs determinant l'allongement de I'abdomen. 
ii Muscle inspirateur (Scartant I'arceau sternal de 1'arceau tergal et 
amenant ['augmentation du diametre vertical de I'abdomen. 
Sous la figure, on a represente Paction probable des muscles f), d et I, 2. 



ajouter leur action a cellc 
de 1'elasticite des teguments 
et du systeme visceral. 
Mes dissections personnelles m'onl donne les resultats suivants, quant 
a la disposition des muscles cl a la configuration des pieces squelettiques 
sur lesquelles ils s'inserent : ainsi que le montre la figure 40, chacun des 
somites penetre profondement dans celui qui le precede et s'y termine par 
un bord libre anterieur donnant attache a des muscles. De plus, chacun 
des somites complels comprend deux moities mobiles l'une par rapport 
a l'autre: un arceau tergal dont les angles inferieurs et anterieurs sont 



A 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



transformed en apodemes 1 saillants servant a des insertions musculaires; 
un arceau sternal, dont les bords superieurs glissent a la face interne de 
l'arceau tergal (voyez Bombus, fig. 5, 42, 43) et offrent aussi des angles 
anterieurs developpes en larges apodemes sur lesquels se fixent des muscles 
importants. 

L'examen de la musculature montre qu'il existe ici des muscles homo- 
logues, des muscles longiludinaux ordinaires des autres insectes et, en outre, 
des muscles speciaux aux Hymenopteres. 

Rathke a clairement indique les attaches des premiers) qu'il distingue en 
dorsaux, ventraux (sternaux) et lateraux. 

Les muscles dorsaux A, situes de chaque cote de la ligne mediane dor- 
sale, naissent chacun du bord libre anterieur d'un somite, pour se terminer 
a l'interieur de la region anterieure du somite immedialement precedent. 

Les muscles sternaux a offrent une disposition semblable de chaque cole 
de la ligne mediane sternale. 

Quant aux muscles lateraux , que jc ne puis m'empecher de considerer 
coinme resultant d'une differencialion un peu plus accusee des muscles longi- 
tudinaux ordinaires des Coleopteres et des Orthopteres, par exemple, surtout 
en presence de la disposition qui s'observc chez les Staphyliniens(fig. 26) et 
chez les Foriicules (fig. 45), ils offrent des directions Ires obliques. II y en 
a deux de chaque cole; le superieur D nail de I'apodeme anterieur de 
l'arceau tergal pour se porter vers le haut a la region anterieure de l'arceau 
tergal immediatemenl precedent; Tinferieur (/ qui presenle une direction 
oblique descendante nail de Tapodeme anterieur de l'arceau slernal. La 
resullanle des actions combinecs de ces deux muscles doit etre une traction 
borizontale s'ajoutant a I'effet des muscles dorsaux et sternaux deja decrits 
(fig. 40). 

Tons les muscles dont nous venons de parler, dorsaux, slernaux el late- 
raux (A, a, D, rf), ne pouvant produire d'autre effet que la penetration des 
anneaux les uns dans les autres, et, par suite, une diminution de la longueur 
de l'abdomen, sont des muscles expiraleurs. 



i Voyez la note 2 de la page 26. 



SUR LES MOUVEMEJNTS RESP1RATOJRES DES 1NSECTES. 145 

Ceux dont il me reste a entretenir le lecteur sont, au contraire, inspiraleurs. 
Rathkeen a signale deux, mais je vais monlrer qu'il y en a en realite trois. 

Les deux muscles inspirateurs decrits par Ralhke s'inserenl Tun / a 
I'apodeme anlerieur de l'arceau tergal, I'autre 2 a I'apodeme anterieur de 
I'arceau sternal ; tous deux ont une direction a peu pres verficale et vont, en 
s'inclinant legerement en arriere, se terminer sur la region posterieure des 
arceaux tergaux et slernaux immediatemenl precedents '. On voit que la 
resultante de leurs actions combinees est evidemment dirigee horizontale- 
ment en arriere et doit avoir pour ellfel de faire reculer chaque somite par 
rapport a celui qui le precede; seulement, ces muscles elant presque dans 
le prolongemenl Tun de I'autre, ne faisant entre eux qu'un petit angle, leur 
effet doit etre faible (fig. 40). 

On commettrait une erreur grave en regardant les muscles 1 et 2 
comme destines a determiner I'ecarlement des arceaux tergaux et sternaux 
dans le sens vertical, puisque chacun d'eux, considere isolement, s'insere 
par ses deux extremites soit exclusivement sur des pieces tergales, soil 
exclusivement sur des pieces slernales. 

Ce role lout special est devolua un troisieme muscle 3 inconnu a Ralhke 
et dont j'ai constate l'exislence chez la Guepe et les Bourdons. (Test encore 
un muscle presque vertical, mais reliant, cette fois, les arceaux superieur et 
inferieur d'un meme segment abdominal. II nail de I'apodeme anlerieur de 
l'arceau sternal et, se dirigeant un peu obliquement en arriere, va se ter- 
miner sur le bord inferieur de l'arceau tergal correspondant. La contraction 
de ce muscle, qui est, du reste, assez court, doit evidemment avoir pour 
resultats d'ecarter un peu les deux moities de chacun des anneaux abdomi- 
naux, d'augmenter, par consequent, le diametre vertical de l'abdomen. Or, 
j'ai precisenient signale, dans les mouvements respiratoires de la Guepe, le 
fait impossible a discerner par la vue seule, d'une diminution legere du dia- 
metre abdominal en expiration, suivi naturellement d'une augmentation en 
inspiration. 



1 Ne pas les confondre avec les expirateurs verticaux des Coleopteres et d'autres insectes. 
Les muscles que nous decrivons ici sont chacun entierement tergal ou entierement sternal ; 
ils n'unissent pas un element squelettique superieur a un element inferieur. 

Tome XLV. ^9 



146 



RECHERCHES EXPERIMENTAL!^ 



L'existence du muscle que je viens de decrire prouve que ce genre de 
mouvements cxiste bien reellement chez les Hymenopteres porle-aiguillon 
et que le retour des anneaux abdominaux a leur diametre primilif en 
inspiration est, chez ces insectes, une phase active. 



§ LXVl. 

BOMBUS MDSCORUM ET BOMBTJS TERHESTKIS. 
(Ktude ilcsi monvementt respiratoires par la niethoile des projections ) 

Les Bombus, enlierement couverts de longs poils, se pretenl assez mal a 
I'observalion des mouvemenls respiraloires. Cependant, leur taille, la grande 
facilite avec laquelle on se les procure, la possibilite de dissequer leur sys- 
tcme musculaire constituaient autant de motifs pour me fa ire tenter quelques 
experiences sur cette forme d'Hymenopteres. 

Bombus muscorum ?. — L'animal, auquel on a enleve les ailes et les 
paltes, est fixe par deux epingles Iraversanl les parties lateralis du meso- 
thorax. L'abdomen est absolument libre. Le grossissement employe est de 
11 diametres (fig. 71 pi. VI). 

Comme les autres Hymenopteres portc-aiguilion, le Bourdon des mousses 
excite fait executer a son abdomen de violents mouvements d'oscillation qui 
n'ont rien de commun avec les mouvements respiraloires. En profitanl des 
instants ou 1'insccte, momentanement calme, cesse de comber el de 
decourber la region abdominale du corps, on parvient, sans trop de peine, 
a dessiner les phases d'inspiration et d'expiralion. Voici ce qui resulte de 
ces dessins : 

1" Le m&athorax ne bouge pas ; 

2" L'abdomen se ra'ccourcit en expiration et reprend ses dimensions primitives en inspi- 
ration. Le raccourcissement expiratoire est environ 1/17 'l (; la longueur de cette partie du 
corps ; 

3° Les changements dans la longueur de l'abdomen sont accompagnes de modifications 
dans le diametre. Le diametre vertical de l'abdomen dimmue en expiration d'une facon 
evidente, quoique la valeur de cette diminution soit difficile a mesurer; les mesures prises 
sur les dessins indiquent 1/59 environ ; 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES IJNSECTES. 117 

4° Pendant la respiration norraale , les somites '1 et 2 semblent immobiles ; 

o" Les somites 3, 4, 5, fi se deplaeent rapidement par rapport aux deux premiers ; 

6° La methode des projections ne permet pas dediscerner si lesquatre somites posterieurs 
se deplaeent en bloc relativement au somite 2, on s'ils rentrent individuellement les uns 
dans les autres. Des observations directcs, a la loupe, me font supposer que la derniere 
hypothese est exacte. 



II siiffit de comparer ces resultats avec ceux fournis par la Vespa germa- 
nica pour constater que les mouvements respiratoires des Bourdons et des 
Guepes s'executent presque exactement de la meme maniere. On verra, 
du reste, plus loin, que la disposition anatomique est aussi a peu pres 
identique. 

J'ajouterai qu'il faut reduire l'importance d'une difference signalee par 
Rathke. Parlant des mouvements abdominaux, cet auteur dit que si chez 
les Vespides, dont 1'abdomen est a peu pres rectiligne, les mouvements res- 
piratoires ont lieu suivant 1'axe du corps, il n'en est plus de meme chez les 
Hyinenopteres Apides, tels que les Bourdons et les Abeilles, dont 1'abdomen 
est plus ou moins courbe vers le bas. Chez ces derniers insectes, recurva- 
tion de 1'abdomen augmenlerait dans cbaque phase inspiratoire. 

II y a effectivement une augmentation dans la courbure de 1'abdomen 
en elat d'exlension ou d'inspiration, mais elle est Ires faible et ne parail etro 
qu'une consequence dc la forme meme des Hyinenopteres de ce groupe. 



Bombus terrestfis 9. — Les mouvements sont caiques sur ceux du Bour- 
don precedent et leur description n'apprendrail rien dc nouveau; mais j'ai 
fait sur cet insecte une observation que je crois interessanle parce qu'elle 
monlre bien que cbez les Hyinenopteres, comme cbez les autres tracheites, 
les mouvements respiratoires sont des mouvements reflexes ayant lieu sans 
^intervention des centres cepbaliques ou tboraciques : on separe eomplete- 
ineni 1'abdomen du thorax et on I'introduit dans un tube de verre contenant 
un peu de papier a filtrer inouille, afin d'eviter Taction nuisible de I'evapo- 
ration. Cinq heures et demie apres PinstaUation de I' experience, les trois 
derniers somites abdominaux executent encore des mouvements respira- 
toires rapides, a raisou de 79 par minute. 



148 



RECHERCHKS EXPERIMENTALES 



§ LXVU. 
Muscles respiratoires du Bombus terrestris. 

I/etude du systeme musculaire abdominal des Bombus presente unc 
importance reelle parce qu'elle eomble une lacune dans la serie des nom- 
breuses recherches anatomiques faites sur les Apides. Personne, a ma 
connaissancc, n'a figure: ou decrit les muscles qui meuvent les anneaux 
abdominaux des Abeilles et des Bourdons. 

Si Ton met en regard les dessins des muscles de Pabdomen de la 




_ ^^^*- i. 

r \3> / 

Fig. U X 7. 
Muscles de la moitie droite de I'abdomen du Bombus terrestris 9. 

Vers la droitc de la figure, un somite a etc intentionncllemcnt detache en partte, Les muscles soil rompus en et I 
ondroit. 

A Muscles longitudinaux dorsaux. 
a Muscles longitudinaux sternaux. 
I) et (/ Muscles obliques provenant d'une differenciation des muscles longitudinaux ordinaircs des autres insectes. 
1 et 2 Muscles inspirateurs determinant l'allongement de I'abdomen. 

i! Muscle inspirateur ecartant l'arceau sternal de l'arceau tergal et amenant 1'augmentation du diametre ver- 
tical de I'abdomen. 
Sous la figure, on a represenle Taction probable des muscles 1), d et 1,2. 



Guepe (fig. 40) et du Bourdon (fig. hi et 42), ou voit que, sauf quelques 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 149 

differences dans Ies proportions, le plan est absolument le meme de part et 
d'autre. 

Comme chez la Guepe, Ies muscles expirateurs sont constitues par des 
faisceaux dorsaux A , sternaux a et lateraux D et d, ces derniers a directions 
obliques. 




Fig. 42 X 30. 
Portion dune coupe transversale de 1'abdomen du Bombus terrestris 9 : cote droit. 
On y voit l'arceau sternal du 4 c somite engage' dans le Si c (comparer avec la tig. 8). 

I) L'un des muscles obliques. 

i! Muscle inspirateur inferieur faisant reculer le 4 C somite. 
Si Muscle inspirateur abaissant l'arceau sternal par rapport a l'arceau tergal correspondant. 

La surface pointillee est membraneuse et flexible. 



Les muscles inspirateurs sont pareillement au nombre de trois de chaque 
cote, par somite, savoir : deux muscles, 4 et 2, a direction presque verticale, 
reliant Ies apodemes anterieurs de l'arceau tergal et de l'arceau sternal au 
bord posterieur des arceaux qui precedent immediatement et un troisieme, 3, 
plus court, naissant de I'apodeme anterieur de l'arceau sternal et qui, des- 
cendant verticalement, va s'inserer sur le bord inferieur de l'arceau tergal 
appartenant au meme segment. 

Comme chez la Guepe, les deux muscles 1 et 2, faisant entre eux un angle 
ouverf en arriere, determinent le recul ou la sortie des anneaux successifs, 
tandis que le muscle 3 amene I'ecartement des arceaux tergaux et sternaux 
et, par suite, un accroissement de diametre. 



so 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



§ LXVI1I. 

Al'IS MELLIFICA. 

(F.tutlc <les iiiuuv<-iii<-ii(s respiratoires par la mcthoilc ties projections.) 



L'Abeille presente nalurellement des mouvements respiratoires d'une 
forme a peu pres identique a ccllc que jc viens de decrire chcz les Bour- 
dons. II existe ehez eet insecte, comme chez les autres Hymenopteres porle- 
aiguillon, des modifications dans la capacite de 1'abdomen s'opcranl a la fois 
suivant l'axe longitudinal et suivant le diametre vertical. 

En employant l'Abeillc recemment capturee et munie de ses ailes, il 
scrail impossible de suivre sur une silhouette les mouvements extremement 
rapides des somites abdominaux ; mais on peut, assez facilement, marquer 
les positions extremes du bout de 1'abdomen el determiner l'alldngement 
maximum de cette parlie du corps. On Irouve ainsi que, dans les grands 
mouvements respiratoires de 1'animal excite, I'allongemeiit inspiraloirc 
atteinl 1 / 8 de la longueur totale de la parlie abdominale. On constate, tout 
aussi aisemenl, que les segments tboraciques poslerieurs et principalement 
le metathorax ne parlicipent enrien aux mouvements de respiration. 

Pour etudier les mouvements de plus pres, il convient de les ralcntir sans 
en alterer la nature, ce (pie Ton oblienl en enfermant d'abord I'inseclc, avec 
quelques tiges degraminees ou d'aulres vegelaux, dans un petit bocal ferine 
par une toile metallique. L'Abeille, qui s'agite beaucoup pour s'echapper, se 
fatigue vile el, an bout de 30 minutes environ, ses mouvements respi- 
ratoires sonl assez ralentis pour qu'on puissc parvenir a en dessiner les 
divcrses phases. 

Dans I'appareil a projection, I'insecte, prive de ses ailes et de ses paltes, 
elait fixe par deux epingles traversanl les parlies lalerales du mesolhorax. 
Des experiences comparatives out ele faites sur des individus a abdomen 
fibre et sur d'aulres dont I'abdoinen soulenu reposait simplement par la face 
inlerieure du 2 e somite sur une epingle courbce a angle droil. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. fSI 

Les resultats peuvent etre resumes comme suit : 

1" Le metathorax nc bouge pas ; 

2° L'abdomen se raccourcit en expiration et reprend ses dimensions primitives en inspi- 
ration ; 

3° Ce genre de mouvements n'a pas lieu uniformement dans toute la longueur de la 
partie abdominale du corps. Ainsi , parmi les six somites apparents, les segments 1, 2 3 
n'offrent que des deplacements excessivement minimes donnant, en silhouette, Fimpression 
d'un fremissement leger. Le somite 4 rentre et sort , mais encore faiblement , par rapport 
a 3 ; enfm Set 6 se deplacent d'une facon active. Le meme fait que j'ai constate" chez d'autres 
Hymenopteres se retrouve done chez FAbeille, a savoir que , dans la respiration calme , les 
mouvements respiratoires n'ont guere lieu que dans les quatre somites posterieurs ; 

4" Pendant les mouvements dans le sens longitudinal ont lieu des ehangements dans 
le diametre vertical. En expiration, lorsque l'abdomen est soutenu, la face tergale s'abaisse 
pour les somites posterieurs, surtout pour le 4°; lorsque Fabdomen n'est pas soutenu, ce 
sont les faces sternales qui paraissent s'elever. Au reste, en examinant directement FAbeille 
a la loupe, on voit tres bien les arceaux sternaux rentrer en expiration et sortir en inspira- 
tion de dessous les bords lateraux rtSflechis des arceaux tergaux ; 

5° Entin, comme chez les Bourdons, Fabdomen, lorsqu'il est libre, augmente de cour- 
bure dans la phase inspiratoire. 

Ce dernier fait ne s'observe cependant que chez THymenoptere caime et 
pose. J'ai parfaitement constate chez des Abeilles el des Bourdons, butinanl 
sur des fleurs et volant de temps a autre, on chez les memes insecles volant 
le long des vitres d'une fenetre, que, pendant le vol proprement dit, rahdomen 
est recliligne et toujour,? a i'elat d'inspiration complete '. 



i J'ai montre, page 88, 
ration durant le vol. 



que les Coleopteres, le Hanneton , par exemple, sont en inspi- 



Mon Memoire, dont la publication par FAcademie avait ete decidee dans la seance de la 
Classe des sciences du 7 avril 1883, etait a Fimpression, toutes les figures etaient gravees et 
le bon a tirer de la onzieme feuille etait donne, lorsque parut dans les Comptes rendus de 
FAcademie des sciences de Paris (seance du 24 mars 1884) un travail de M. G. Carlet inti- 
tule : Sur les muscles de l'abdomen de FAbeille. La description de Fauteur, qui n'est mal- 
heurcusement pas accompagnee de figures, ne Concorde qu'incompletement avec ce que 
j'ai observe chez la Guepe et chez le Bourdon. M. Carlet n'admet que deux categories de 
muscles inspirateurs, les transverses et les interventraux , repondani , je pense, aux mus- 
cles 2 et 3 de mes figures 40 et II. 

Quoi qu'il en soit, M. Carlet deduit de ses dissections la conclusion theorique suivante, 
que mes experiences confirment parfaitement : « On voit aussi que le, meeanisme de la 
» respiration est plus complique qu on ne le croyait , car, en meme temps qu'il y a raccour- 
» cissement ou allongement <le l'abdomen , il ';/ a rapprochement on eeartement des faces 
» donates et ventrales de cette region; autremeiit dit, Fabdomen se dilate ou se resserre 
» suivant ses trois diametres, pour l'entree ou la sortie de Fair par les stigmates. » 



132 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



§ LXIX. 

Anthopiiora retusa. 

(r.lude €le» mouvenienti i-esplratolres par In uii'thode den projections) 

Apres les Bourdons el l'Abeille, PAnthophore ne pouvait rien nous 
apprendre de nouveau. J'ai tenu, cependant, a etudier la forme des mouve- 
ments respiratoires d'un insccte dont Newport avait fait, a un point de vue 
un pcu different, le sujet d'un grand nombre d'observalions curieuses. 

Voici ce que j'ai pu deduire de mes experiences : 

1" Le metathorax reste immobile; 

2° L'abdomen se raccourcit en expiration et revient a sa longueur primitive en inspira- 
tion. Comme chez les Hymenopte.res precedents, ces mouvements n'ont guere lieu, pendant 
la respiration calme, que pour les trois derniers somites apparents. La difference, a ce sujet, 
entre les somites 1 et 2, d'une part, et le groupe 3, 4, 5, d'autre part, est telle encore une 
fois que le groupe 3,4, o semble rentrer et sortir alternativement, en bloc, de l'anneau 2. 
En outre, sous l'influence de la traction longitudinale des muscles expirateurs, les deux 
premiers somites se d^placent legercmont en sons inverse du groupe posterieur; 

3 a Pendant que s'effectucnt les mouvements dans le sens longitudinal , le diametre ver- 
tical de l'abdomen est modifie d'une i'acon rhythmique. Ce sunt surtout les lames sternales 
qui, en expiration, paraissent s'elever en s'enfbncant sous les rebords lateraux des arceaux 
tergaux. 

§ LXX. 
Hypothese de Wolfk. 



Wolff, dans son beau memoire intitule Das Riechorgan der Biene, a 
decrit, cbez l'Abeille, une disposition anatomique qui se retrouve avec plus 
ou moins de developpement cbez les insectes des aulres groupes. Comme 
l'auteur attribue aux organes qu'il a observes un role assez important dans 
le mecanisme respiraloire, je vais essayer de resumer brievemenl sa descrip- 
tion et sa theorie. 

II existe dans l'abdomen des Apides, entre les teguments et la masse 
viscerale, deux diapbragmes musculaires borizontaux, l'un superieur, I'autre 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES IJNSECTES. W5 

inferieur. Le diaphragme superieur, en forme tie toil (fig. 43, ds), s'eten- 
dant de la face inferieure du vaisseau dorsal vers les parlies Jaterales des 
arceaux tergaux, est connu depuis longtemps sous le nom fautif d'ailes 
du cceur. 

Le diaphragme inferieur (fig. 4.3, di) a ete decrit et represenfe par 
Leydig l , Catlie 2 et Nusbaum 5 chez les Lepidopleres; Wolff l'a signale 
chez les Dipteres, Nusbaum deja cite y fait allusion chez les Libellules, les 
Taupes-grillons et les Tipules, et Graber 4 l'a figure cbez le Pachytylus 
migratorius. II repele, dans la moitie inferieure de l'abdomen, le diaphragme 
superieur; sa parlie mediane regne longitudinalement au-dessus de la chaine 
ganglionnaire ventrale et ses nappes laterales vont s'inserer a droite et a 
gauche sur les arceaux sternaux. 

Chez les Apides, un assez grand nombre de troncs tracheens sontcompris 
entre ces diaphragmes et les parois tegumentaires; les uns, situes au-dessus 
du diaphragme superieur (fig. 43, tr), remontent jusqu'au vaisseau dorsal; 
les autres, rampant sous le diaphragme inferieur, descendent jusqu'a la chaine 
nervcuse. 

Ces troncs sus- et sous-diapbragmatiques, que Wolff nomme Saugrohren, 
ce que je traduirai par troncs aspirateurs, adherent, d'une part, aux arceaux 
tergaux ou sternaux avec lesquels ils sont en rapport et, d'autre part, a Tun 
des deux diaphragmes; disposition qui peut faire supposer que les contrac- 



1 Leydig. Das Sog. Bauchgefdss des Schmetterlinge f Archives de Muller, p. 565; 1862). 

— Von Bau des Thierisehen Korpers , erster Band, erste Halfte, pp. 211 -213. 

Tubingen, 1864. 

— Tafeln zur Vergleichenden Anatomie, pi. V, fig. 7, et pi. VI, fig. 1 . Tiibingen, 1864. 

2 Cattie. Beitrage zur Kenntnis der Chorda supra-spinalis der Lepidoptera und des cen- 
tralen, perypherischen und sympalhischen Nervensystems der Raupen (Zeitschr. f. Wiss. 
Zoologie, XXXV Band, p. 304. 1881). 

Cattie et Nusbaum eitent D. Burger. Tiber das Sogen. Bauchgefdss der Lepidoptera, etc. 
(Niederl. Archiv. f. Zoologie, III Band, 1876-77), travail que je n'ai pas eu a ma disposition. 
;! .1. Nu'sbadm. Vorlaufige Mittheilung iiber die Chorda der Arthropoden (Zoologischeu 
Anzeiger, VI Jahrg.', ri°140, p. 291, 1883). 
Bau, Entwicldung und morphologischen Bedeutung der Leydig'sehen Chorda 
der Lepidopteren (Ibid., VII Jahrg., n» 157, p. 17, 1884). 
4 Graber. Die lnseklen, op. cit,, fig. 68, e, n, p. 109. Voir aussi : IJebcr den pulsirendcn 
Bauchsinus der Insekten (M. Schulze's Archiv. f. mic. Anat., XII Band, 1876). 

Tome XLV. 20 



\n 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



lions des diaphragmes musculaires exercent une certaine action sur Ies parois 
des Ironcs tracheens en question. 

Tous les troncs aspirateurs naissent a la hauteur des flancs dc deux longs 
tubes Iongitudinaux qui recoivent l'air des stigmates abdominaux et qui 
forment, comme on sail ', en se renflant, Ies deux enormes reservoirs occu- 
pant la base de l'abdomen des Hymenopteres (fig. 43, ra). 

Wolff accorde aux diaphragmes une action presque preponderante dans 
les mouvements d'inspiration et d'expiration. Par des vivisections, il a vu 
direclement les contractions des diaphragmes de TAbeille se propager sous 
forme d'ondes d'avant en arriere et d'arriere en avant; il aurait constate, de 
plus, que les mouvements des segments abdominaux et les contractions des 
diaphragmes sont simultanes. 

Pour Wolff, la contraction des deux diaphragmes de FAbeille (le superieur 
s'abaissant et l'inferieur s'elevanl) aurait pour effet de dilater les troncs 
tracheens aspirateurs situes, comme je l'ai dit, entre les diaphragmes et les 
teguments; une certaine quantite de Pair renferme dans les grands reservoirs 
abdominaux passerait alors dans ces troncs aspirateurs et, comme conse- 
quence, une nouvelle dose d'air exterieur scrait appelee dans les grands 
reservoirs par les orifices sligmatiques. La contraction des diaphragmes 
determinerait done Inspiration et leur relachement repondrail a l'expiration. 
Wolff, je le repete, semble altacher une grande importance au role de ces 
minces cloisons musculaires, car il a soin de nous dire que, de meme que 
chez 1'homme, l'inspiralion ne se fail pas seulemenl par le jeu du diaphragme, 
mais aussi par le mouvement des cotes, chez les Hymenopteres, les depla- 
cements des anneaux abdominaux dans le sens longitudinal s'ajoutent aux 
effets des diaphragmes superieur et inferieur. 

Malgre la valeur incontestable de la partie anatomique du travail, il m'esl 
impossible d'accepler la theorie de Tauteur et, si j'ai bien compris V. Graber, 
eclui-ci fait aussi des objections serieuses qu'il importe de rappeler. 



•i Wolff. Das Riechorgan, etc., op. cit., pi. I, fig. 5. Voyez aussi Leon Dufour. Recherches 
anatomiques ct physiologiques sur les Orthopteres, les Hymenopteres et les Nevropteres (Mkm. 
Acad. sc. de Paris, Savants etrangers, t. VII, p. 375 (Bombus terrestris), 1841); puis la 
plupart des monographies do FAbeille domestique. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 155 

Graber ', apres avoir admis que la contraction des diaphragmes doit com- 
primer la masse viscerale situee entre eux, dit, avec raison, qu'il ne peut se 
presenter que les deux cas suivants : ou bien la compression interieure pro- 
duite par les diaphragmes a lieu en meme temps que la compression 
exterieure determinee par la position que prennent les pieces squelettiques 
en expiration, sous rinfluence des muscles expirateurs proprement dits ; ou 
bien, les compressions interieure et exterieure ont lieu en des moments 
differents. 

Dans le premier cas, celui des compressions simultanees et de meme sens, 
Taction produite par le rapprochement des pieces tegumentaires est evidem- 
ment de beaucoup la plus energique ; l'effet utile des diaphragmes doit etre 
nul et le resultat definilif ne peut consister qu'en une expulsion d'air. 

Dans le second cas, celui ou la contraction des diaphragmes aurait 
lieu pendant la dilatation abdominale, ce qui parait etre le fait admis par 
Wolff, les deux actions ne peuvent s'ajouter pour determiner toutes deux 
l'inspiration comme Wolff le suppose, mais sont, suivant Graber, cerlaine- 
ment antagonistes. Pour ce dernier, les contractions des diaphragmes abdo- 
minaux ne produiraient, en aucune facon, les mouvements d'inspiration et 
d'expiration, et si elles jouent quelque role dans le mecanisme respiratoire, 
ce ne peut etre qu'en regularisant la circulation de l'air dans le reseau tra- 
cheen peripherique. 

Graber a, du reste, monlre, dans un travail special, que la veritable fonc- 
tion du diaphragme superieur des insectes est de chasser le sang des lacunes 
interorganiques vers le vaisseau dorsal 2 . 

J'ajouterai, enfin, comme observation personnelle, que la difference entre 
les diaphragmes delicats composes d'une seule couche de fibres musculaires 
striees et les robustes faisceaux musculaires respiratoires qui meuvent les 
somites abdominaux est telle qu'il serait bien difficile de ne pas voir, dans 
ces derniers, les seuls agents reellement actifs dans les mouvements respira- 
toires proprement dils. 



1 Die Inseliten, op. cit., p. 112. 

2 Grader. Yorlaiifiger Bericht fiber den Propulsatorisclien Apparat der Insekten (Sitzb. der 
K. Akad. Wien , Band LXV, l ,c Abtli. 1872). 



456 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



La figure inedite ci-jointe (fig. 43) representant la coupe transversale de 
l'abdomen du Bombus muscorum a l'endroit ou le i e somite abdominal 
s'engage dans le 3 e , figure dessinee d'apres nature avec tout le soin que j'ai 
pu y mettre, est deslinee a faire saisir ce qui precede. 




Fig. 43 X -10. — Coupe transversale de l'abdomen du Bombus muscorum, la oil le ¥ somite est engage dans le "<". 

Les muscles A, D, 2 et 3 comme dans les figures prSciidentes. 

i'd "Vaisseau dorsal. 

en Chainc nerveuse. 

?■«, ra Grands reservoirs abdominaux ouverts par la coupe. 

tr Coupe d'un tronc tracbCcn sus-diaphragmatique. 

ils Diapbragme supdriour. 

di Diapbragme infCricur. 

Si le diaphragme superieur parait ici beaucoup plus epais que le dia- 
pbragme inferieur, cola tient simplement, ainsi qu'on pent aisement s'en 
assurer, a ce que la toile conjonclivo-musculaire du diaphragme superieur 
est doublee d'une couche dc ces cellules caracteristiques que Graber a fait 
connaitrc sous le nom de Pericardialzellen i . En realite, mis cole a cote sur 
la meme plaque du microscope, les deux diapbragmes sont a fort peu pres 
aussi minces et, par suite, aussi peu puissants Tun que 1'autre. 



* Vorlaiifiger Bericht uber den propulsatorischen Apparat, etc., p. 8, pi. I, fig. 1 c etA. 



SLR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 157 



8 LXXI. 



Appendice aux Hymenopteres porte-aiguillon. 



Nevropteres phryganiens. 



La forme des mouvements respiratoires des Phryganes et la disposition 
des muscles abdominaux de ces insecles ne me permetteut pas de les eloigner 
des Hymenopteres porte-aiguillon. 

Dans ma Communication preliminaire, j'ai cite les Phryganes comme un 
exemple frappant de ce fait qu'il n'existe aucune relation etroite entre les 
mouvements respiratoires d'un insecte et la place qu'il occupe dans les clas- 
sifications zoologiques. Mais les Phryganes ne sont pas le seul exemple a 
citer; on a deja vu que j'ai ete oblige de rapprocher les Blatliens des 
Hemipteres et des Coleopteres, les Chrysidiens des Dipteres, et le lecteur 
trouvera plus loin un Locustien separe ties Orthopteres sauteurs et place a 
cole des Lepidopteres et des Nevropteres propres. 



Phryganea striata. 



( Ktuilc des mouvements respiratoires par In metlioilc lies projections.) 



Si Ton fait abstraction de 1'armure genitale qui ne doit pas nous occuper 
ici, la structure exterieure de ['abdomen des Phryganes est sensiblemenl 
cede qui existe chez les Sialis. Les arceaux tergaux et sternaux qui ne se 
recouvrent pas sont unis, sur les parties laterales du corps, par une large 
bande membraneuse a decouvert plissee longitudinalement. 

Cette similitude d'organisation ferait supposer la similitude dans la forme 
des mouvements respiratoires et, cependant, les Phryganes s'ecartent, a cet 
egard, des Sialis pour se rapprocher des Hymenopteres. Elles offrent, comme 



158 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



on va le voir, une combinaison de deux mouvements, Fun dans le sens ver- 
tical, l'autre dans le sens longitudinal. 

Je me suis adresse de preference aux femelles, dont l'abdomen est plus 
developpe que celui des males. 

L'insecte, prive de ses pattes, etait suspendu par les ailes. Afin d'empe- 
cher les incurvations exagerees de l'abdomen vers le has, celui-ci reposait 
librement, par sa region moyenne, sur une epingle coudee a angle droit 
(fig. 72, pi. VI). 

Les mouvements sont excessivemenl difiiciles a suivre; car il exisle ici 
trois especes de deplacemenls differenls : 

1° Par periodes, des oscillations de Fabdomen etrangeres a Facte de la 
respiration ; 

2° Des mouvements respiraloires faibles, consislant, en expiration, dans 
un leger abaissement des arceaux dorsaux, surlout a la hauteur des somites 
■4 et 5, accompagne d'un petit allongement de Fabdomen; 

3° De temps en temps, par exemple, apres deux ou trois mouvements 
respiratoires faibles, des mouvements expiratoires puissants, se composant 
d'un abaissement notable des arceaux tergaux (encore une fois plus marque 
dans les somites k et 5), d'une legere projection vers le bas des arceaux 
sternaux 2 et 3 et d'un raccourcissement brusque de Fabdomen determine 
par la rentree les uns dans les autres des trois anneaux terminaux. Le rac- 
courcissement est environ de 1 / 30 de la longueur abdominale totale. 

A la loupe, on voit, pendant Fexpiration, la membrane molle qui unit les 
arceaux tergaux et sternaux se plisser longitudinalement. Les plis s'elTacent 
en inspiration. 

Dans chaque phase, les deplacemenls des diverscs parties paraissenl 
simultanes. II n'y pas d'onde. 

En resume, lorsque les Phryganes respirent d'une facon active, elles 
prescntent des mouvements tres voisins de ceux des Hymenopteres porte- 
aiguillon dont l'abdomen se raccourcit en expiration, tandis que les arceaux 
tergaux et sternaux se rapprochent. Ce fait inleressant m'a naturellement 
conduit a rechercher si le sysleme musculaire etait quelque pen analogue a 
celui des Hymenopteres. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 159 



Muscles respiratoires des Phryganes. 

Le systeme musculairc abdominal des Phryganes ressemble a celui des 
Guepes et des Bourdons el merite un examen special. 

La plupart des muscles qui deplacent les somites ne sont bien developpes 
que dans la region moyenne de l'abdomen. Plusieurs d'entre eux s'aitenuent 
ou disparaissent dans les anneaux de la base et dans ceux de I'extremite. 
.Ic limiterai la description a ce qui existe dans les somites 4<, o et 6 (fig. M). 




Fig. i4 X 6. — Muscles de la moitie droite de l'abdomen de In Phryganea striata 9. 

.1, It Muscles longitudinaux dorsaux. 

a, b Muscles longitudinaux sternaux. 

0, e Muscles obliques. 

1 , 2, Muscles inspirateurs homologies de ceux des Hynieuopteres. 



Les bords anterieurs des somites so developpent, comme chez les Hynie- 
uopteres porle-aiguillon, en apodemes saillanls donnant insertion a des 
muscles imporlants. Ces apodemes sont portes par Tangle inferieur pour les 
arceaux tergaux, par Tangle superieur pour les arceaux sternaux. 



Muscles expiraleurs. — - De meme que chez les Hymenopteres, les muscles 
longitudinaux dorsaux et sternaux (pretracteurs de Straus-Durckheim) se 
sont decomposes en faisceaux Ires distincts, offrant, les uns la direction 
longitudinale vraie [A, B, a, b) et les autres une direction tres oblique (D, e). 



160 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Dans l'arceau tergal, le muscle oblique D qui nait de Tapodeme inferieur 
et anterieur pour remonter vers Tangle anterieur et superieur du somite 
precedent, est evidemment identique chez les Phryganes et chez lcs Hyme- 
nopteres porte-aiguillon (voy. fig. 40 et k\, D). 

Dans l'arceau sternal, au contraire, le muscle oblique e reliant le bord 
anterieur et inferieur d'un arceau a Tapodeme anterieur et superieur de 
l'arceau precedent, offre une direction inverse de celle que presente le muscle 
analogue des Guepes et des Bourdons. 11 n'existe pas de muscles transversaux 
croisant la zone molle des llancs. Cependant l'abaissement des pieces tergales 
pourrait assez bien s'expliquer, me semble-t-il, par Taction des puissants 
muscles obliques D, qui sont precisement silues dans les somites ou nous 
avons vu que ce mouvement s'observait (voy. fig. 72, pi. VI). 

Tous les muscles precedents sont evidemment expirateurs. Existe-t-il, 
comme chez les Hymenopteres, des muscles inspirateurs? 

Muscles inspirateurs. — On trouve, dans les segments de la region moyeime 
de Tabdomen de la Phrygane, des muscles verlicaux / et 2 absolumcnt homo- 
logues des muscles inspirateurs 4, 2 des Hymenopteres. Comme chez la 
Guepe, ils s'inserent chacun a Tun des apodemes pour se porter (en mon- 
tant, dans les arceaux tergaux, en descendant, dans les arceaux slernaux) 
sur 1c bord poslerieur du somite qui precede. 

Pas plus que pour les Hymenopteres, je n'oserais les regarder comme 
determinant Tecartement des arceaux superieur et inferieur Tun de 1'autre, 
cetle facon d'interpreler me semblant absurde. Mais si Ton veut bien consi- 
derer que, pendant Texjtiralion, les somites sont beaucoup plus engages les 
uns dans les autres que sur notre figure ii ', on comprendra que la direc- 
tion de ces muscles 4 et 2 est alors un peu oblique, qu'ils forment deux a 
deux, comme chez les Hymenopteres, un angle obtus ouvert en arriere et 
que, par suite, la resultante de leurs actions combinees doit venir en aide a 
Telasticile des tegumenls pour allonger Tabdomen et le ramener a ses dimen- 
sions primitives en inspiration. 



La dissection a rclachc 1(3 tout et a amend Tabdomen en inspiration. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 161 

Le seul muscle caracteristique des Hymenopteres porle-aiguillon que je 
n'ai pas rencontre chez Ies Phryganes, est le petit muscle vertical (fig. 40 
el 41, 3) qui unit 1'apodeme de l'arceau sternal au bord inferieur de l'arceau 
tergal correspondant. Sa presence se serait, du reste, fort mal expliquee, 
l'arceau dorsal ne chevauchant pas ici sur l'arceau inferieur. 

En resume, les muscles respiratoires des Phryganes ofl'rent avec ceux des 
Hymenopteres porle-aiguillon line similitude curieuse, et nous pouvons pro- 
bablement enregislrer un nouvel exemple d'insectes chez lesquels il existe 
des muscles inspiraleurs. Cette derniere remarque a son importance, car on 
a considere les Hymenopteres comme les seuls insectes possedant des mus- 
cles aidant a Tinspiration. 

1). OrtHoptercs Forliculiens et Acrldleiift. 

Les pages qui precedent et les observations que j'aurai encore a rapporler 
montrent les disaccords frequents qui existent enlre le groupement des 
insectes d'apres leurs mouvements respiratoires et les classifications zoolo- 
giques. Les mouvements respiratoires de deux insectes ne sont analogues, 
en effet, que lorsque la structure des arceaux abdominaux et la disposition 
des muscles qui les meuvent sont a pen pres les memes { . 

Les Orthopleres constituent, a eel egard, un exemple instructif. L'elude 
des mouvements de respiration de quelques insectes de l'ordre ~ m'a oblige a 
praliquer, dans ce groupe, un demembrement que d'autres pousseront peut- 
etre plus loin encore apres 1'examen de nouvelles formes. Comme je l'ai dit 
page 157, j'ai du placer les Blatliens dans le premier type avec les Hemip- 
leres heteropteres el les Coleopteres; les Locustiens, representes par le 
Dectique verrucivore, dans le troisieme, avec les Lepidopteres et les Nevrop- 



1 Lorsque ces deux conditions existent, on peut determiner nettement d'avance la forme 
des mouvements respiratoires. Quand il n'en existe qu'une, e'est tantot la musculature qui 
amene un mode de respiration special : lei est le cas pour les Phryganes; tantot e'est, au 
contraire, la structure squelettique de l'abdomen qui cause le genre de mouvement : tel 
est peut etre le cas chez les Forficules. 

2 Ordre, du reste, tres peu homogene. i Voyez Huxley, An introduction to the classification 
of animals, p. 121. Londres, 1869;) 

Tome XLV. 21 



162 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



teres vrais. Enfin, les Acridiens apparliennent an deuxieme type respiratoire 
et se rangent immediatement apres les Hymenopteres porle-aiguillon. 

Dans toute classification soit zoologique, soit physiologique, on rencontre 
des elres de transition, intermediaires enlre deux ou plusieurs groupes definis. 

Les Forficuliens me paraissent etre dans ce cas ; aussi la place que je leur 
assigne ici, faute de mieux, est-elle douleuse. Leurs mouvements respira- 
toires sont, je le pense, ceux d'un insecte du deuxieme type; leurs segments 
abdominaux ressemblent a ceux des Hymenopteres et leurs muscles onl plulol 
de l'analogie avec ceux des Coleopteres. 

§ LXX1I. 

FORFICULA AliRICULARIA. 

( i:tudc des mouvements respIraloBrcs par la metlioile »les projections 
et description den muscle.** de la respiration.) 



Les Forficuliens ont ele completement negliges par les auteurs qui m'ont 
precede ; personne n'a etudie leur mecanisme respiratoire. 

Quelques essais que j'avais fails sur des Nymphes, au commencement de 
Pete de 1882, ne m'avaient donne que des resultals peu satisfaisanls; les 
mouvements rcspiratoires etaient obscurs et d'une interpretation difficile. 

Je n'ai guere ete plus heureux en operant, plus lard, sur des individus 
parfails. Voici, cependanl, ce que je crois pouvoir decluire de mes observations : 
la structure de I'abdomen des Forficules s'eloigne, d'une facon generale, de 
la disposition la plus commune chez les Ortbopteres; comme les entorno- 
logisles l'ont signale depuis longtemps, la forme des parties lalerales des 
arceaux lergaux chevaucbant sur des arceaux sternaux et les contours de 
ces pieces rappellent, d'une facon etonnante, ce qui existe chez les Hyme- 
nopleres apides. 

L'insecte, cherchant a se defendre et a se degager, execute frequemment 
des mouvements violenls; il ouvre largement ses pinces et recourbe I'abdomen 
vers le haut; aussi n'est-ce que pendant les periodes de calme relatif, ou chez 
un individu decapite, qu'on peut esperer surprendre des mouvements respi- 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 165 

ratoires vrais. Ceux-ci, separes par de longs arrets inspiratoires, m'ont paru 
consister en elevations et abaissements des arceaux sternaux des somites 
1 et 2, la face inferieure du metathorax etanl entrainee dans le meme sens. 

En expiration, on voit les faces sternales du metathorax et des deux 
premiers somites abdominaux s'elever d'une petite quantite, tandis que tout 
le reste de 1'abdomen s'abaisse, masquant ainsi, sur les silhouettes, les depla- 
cements qui pourraient avoir lieu pour les faces sternales des somites qui 
suivent le second. 

J'evalue, mais avec doule, la diminution du diametre vertical, en expira- 
tion, au niveau du premier somite, a */so« On ne distingue pas d'onde et 
Tabdomen ne semble pas changer de longueur. 

Muscles respiratoires de la Forficula auricularia. 

La faiblesse des mouvements respiratoires et le peu d'etendue de la region 
du corps dans laquelle on panient a les conslaler ne perrnellent de se faire, 
a priori, aucune idee de la disposition des muscles. En partanl de la notion 




Fig. 45 X '10- — Muscles de la moitie droite do 1'abdomen de la Forficula auricularia. 

A , a Muscles longitudinaux tergaux et sternaux. 
I), E Muscles obliques. 

x Muscles expirateurs verticaux. 

que les Forficuliens sont des Orthopteres et de ce fait que les arceaux tergaux 
chevauchent sur les arceaux sternaux en cacbant la zone elastique des flancs, 



164 



RLCHERCHES EXPERIMENTALES 



on pouvait supposer que les muscles abdominaux sonl construits suivant 
le type propre aux Acridiens. L'hypothese est cependant erronee et la 
dissection demontre que la musculature de l'abdomen, fort pen differente du 
cas le plus ordinaire, se rapproche de ce qui existe chez les Coleopteres 

(fig. *»> 

Comme cbez les Staphyliniens (fig. 26, p. 96), les muscles dorsaux sont, 

en grande partie, decomposes en faisceaux D, E qui se croisent a angle aigu; 

modification probablcment en rapport avec la grande mobilite de la region 

abdominale. Quant aux muscles expirateurs *, ils naissent, il est vrai, 

d'apodemes que presentent les arceaux slernaux a leurs angles anterieurs et 

superieurs; mais ils sont peu developpes, se dirigent obliquemenl; vers le 

baut, pour s'inserer sur les arceaux dorsaux, et me semblent avoir beaucoup 

plus d'analogie avec les muscles expirateurs des Coleopteres, des Blattes et des 

Odonates qifavec ceux des Acridiens ou des Hymenopteres porte-aiguillon. 

II n'existe aucune trace de muscles aidant a rinspiration. 

J'ajouterai que la dissection des muscles des Forficules etant tres difficile, 
je n'ose affirmer avoir tout vu. L'etude analomique de grandes formes exoli- 
ques conduirait probablement a des resultals plus precis. 

Je ne puis, en lerminant, ce sujet, que repcter ce que je disais a la 
page 162. Les Forfieuliens sont probablement, quant au mecanisme respira- 
toire, des insectes inlermediaires eutre les Hymenopteres dont ils ont presque 
la structure abdominale et les Coleopteres dont ils possedent a peu pres la 
musculature. 



§ LXXIII. 
Acridiens. 



La tribu des Acridiens dont 1'bisloire analomique et pbysiologique se 
confond malheureusement souvent avec cello des Locustiens a etc, au point de 
vue du mecanisme de la respiration, non seulemenl l'objet de quelques obser- 
vations isolees, telles que celles de Treviranus ' sur les deplacemenls des 



1 Trevihan'us. Biologie, etc. Op. cit., p. '157. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 165 

pieces du squelette abdominal et celles de Marcel de Serres x sur les apodemes 
internes et leurs muscles, mais elle a fait, en outre, le sujet d'etudes plus 
approfondies. Ainsi Rathke 2 a decrit avec soin les muscles respiratoires des 
Acridiens; Graber '' a pris, dans son remarquable petit ouvrage sur les Insectes, 
le Pachytylus migratorins comme type, pour faire comprendre nettement la 
nature des mouvements respiratoires et faire saisir les differences enlre les 
muscles inspiraleurs et expirateurs; Packard 4 a donne utie description des 
mouvemenls dc respiration du Caloptenus femur -rubrum et, enfin, Sedgwick 
Minot 5 a figure Tun des muscles respiratoires principaux du meme animal, 
en accompagnant ses indicalions analomiques de quelques mots sur les depla- 
cements des somites lergaux et slernaux 6 . 

J'aurai surloul a etablir en quoi mes resultals personnels se rapprocbent 
ou s'ecartent de ceux cleRatbke, de Graber et de Packard. Les formes que 
j'ai specialement etudiecs sont le Stethophyma grossum et le Stenobothrus 
variabilis. 



t Marcel de Serres. Observations sur les usages du vaisseau dorsal, etc. Op. cit. , pp. 74 et 73. 

2 Rathke. Anatomisch-physiologische Untersuchungen, etc. Op. cit., p. 110. 

3 Grader. Die Insektm. Op. cit., pp. 108 et suivantes. 

4 Packard. Anatomy and Physiology of the Locust (First annual Report of the United 
States entomological commission. Washington, 18781, p. 269. 

■» Sedgwick Minot. Histology of the Locust {Caloptenus) and the Cricket (Anabrus) (Second 
Report of the United States entomological commission. Washington, 1880), p. 196, pi. II, 
fig. 2 et 6. 

,! On trouvera aux §§ LXV (Periplanela) et LXXVI1I (Decticus) les indications bibliogra- 
phiques concernant les Blattiens et les Locustiens. Afin de completer l'ensemble des rensei- 
gnements au sujet des observations sur le mecanisme respiratoire des Orthopteres, j'ajoute 
ici, en note, ce qui a trait aux insectes de cet ordre que je n'ai pas etudies raoi-meme. 

Rathke a donne uue description du systeme musculairc abdominal des Mantis et des 
Cryllotalpa. Le genre Gryllus a fait l'objet de diverses recherches; mais il convient de 
remarquer que sous le nom de Gryllus les naturalistes anciens confondaient une foule de 
petits groupes nettement separes aujourd'hui et que j'ai du considerer, comme se rappor- 
tant aux Grillons, les travaux dans lesquels les auteurs, en employant ce terme, n'ont pas 
ete assez explicites pour faire entrevoir qu'il s'agit d'autres insectes. Marcel de Serres a 
fourni quelques indications sur la structure des pieces squelettiques et sur les muscles qui 
les meuvent; Rarlow a constate la persistance des mouvements respiratoires chez le Grillon 
decapite; enfin Rathke a figure et decrit, en detail, les muscles abdominaux du Grillon des 
champs. 



166 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



§ LXX1V. 

Stetiiophyma grossum '. 

( I null' ilea moiivcmeiits rcaplrntolrcH par la iiivthoilv «!«■« iirojcctloiiN.) 

Chez les Slelhophyma , comrae chez les autrcs Acridiens, les somites de 
I'abdomen se composent chacun : 1° d'un grand arceau tergal resultant de 
la fusion des pieces lergales propremenl dites et epimeriennes et concourant, 
par suite, largement a la formation des flancs; 2° d'un arceau sternal plus 
elroit dont les prolongements laleraux ascendants ou apodemes penelrent 
profondement sous les parties laterales descendanles de l'arceau superieur 2 . 

Ainsi que le montrent les figures 14 et 16, l'arceau sternal est emboite dans 
l'arceau tergal; une zone molle, tres pen elevee, unit le bord inferieur de 
l'arceau tergal et la region voisine de l'arceau sternal correspondant. 

Ratlike, Graber et Sedgwick Minot ont indique brievement que les mou- 
vements respiratoires des Acridiens consistaient surlout en rapprochements 
et eloignements des pieces sternales et lergales, accompagnes de depressions 
et de saillies alternatives des flancs; la contraction de I'abdomen repondant 
naturellement a l'expiration et son relour aux dimensions primitives repre- 
sentant l'inspiration. Mais Packard, dans une description assez dclaillee des 
mouvements respiratoires du Cidoplenus femur-rubrum, semble, si je saisis 
bien la valeur de ses expressions, interpreter les fails d'une tout autre 
maniere. 

Aprcs avoir explique comment, dans la contraction, les pieces sternales 
s'elevent et les flancs ou pleurites se depriment, et apres avoir signale entre 
autres particularites que, lors du mouvcmenl inverse, c'est-a-dire lorsque les 
pleurites font saillie, la membrane tympanique s'enfonce, Packard ajoule 



\ MecGsMhus grossus, Fiebor. 

2 Pour des figures d'ensemble de Paspect exterieur de I'abdomen des Acridiens, consultez : 
Leon Ddfouk. Ilecherches anatomiques et physiologiques sur les Orthopteres, les Hyme'nopteres 
et les Nevropteres, etc. Op. cit,, pi. I, fig. 3. — Packard. First annual Report, etc. Op. eit., 
p. 259, fig. 13. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 167 

que l'ouverture des stigmates coincide a pen pres avec les depressions des 
pleurites el que les reservoirs aeriens du premier somite s'affaissent lorsque 
l'abdomen se dilate. Ce qui indiquerait, dit le savant entomologiste, que Pair 
se precipite dans les stigmates durant la contraction de l'abdomen : « that the 
» air rushes into the spiracles during the contraction of the abdomen » . 

Comme il est possible que le sens exact du texte anglais m'echappe, je 
me bornerai a citer un fail qui prouve, d'unefaeonevidente, que la pression 
a laquelle est soumis Fair renferme dans le systeme tracheen de 1'Orthoptere 
est superieure a la pression cxterieure au moment de la contraction abdomi- 
nale, ce qui oblige eel air a s'echapper en partie par les orifices stigmaliques. 

V. Graber ' et Packard 2 lui-meme ont dit que la tension de la mem- 
brane tympanique des Acridiens se trouve constamment modifiee par les 
mouvements respiratoires de ces insecles. 

Chez le Stelhophyma grossum la membrane en question est inseree obli- 
quement a la surface du corps , son bord posterieur etant situe beaucoup 
plus profondement que son bord anterieur. Or, si on observe le tympan a 
la loupe chcz un Stelhophyma vivant maintenu par les ailes, on constale, 
lors de chaque contraction de l'abdomen, non seulcment que la membrane 
se porte en dehors, mais, de plus, qu'elle devient raoins oblique et qu'elle 
tend a se placer parallelemcnt a la surface du corps. 

J'ai rendu ces mouvements tres visibles en collant perpendiculairement 
sur la membrane tympanique, a l'aide de baume du Canada, un pelit style 
de papier de 8 millimetres de longueur. Chaque fois que l'abdomen de 
l'insecte se contract©, le style de papier se porte en avant de 0™ m ,5 environ. 

Je n'ai pas a discuter, dans le Memoire actuel, la portee que peut avoir, 
au point de vue de la signification auditive 3 , le fait des changements d'incli- 
naison et de tension de la membrane tympanique pendant les mouvements 



1 Graber. Die Tympanalen Sinnesapparate der Orthopteren (Denkschriften der K. Akademie 
der Wissensciiaften. Wien, Bd. 30, 1876), p. 123. 

2 Op. cit. 

3 Graber dans l'ouvrage cite; (Die Tympanalen Sinnesapparate, etc.) a fait un grand nombre 
d'expenences et d'observations qui font dottier serieusement de la nature auditive des 
organes tympaniques des Orthopteres (voyez ses conclusions a la page 127 de son Memoire). 



■168 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



respiratoires; ce qu'il est important de remarquer ici, c'esl que, duranl la 
contraction de la region abdominale du corps, la membrane est repoussee 
au dehors, preuve incontestable que la pression interieure esl, en ce moment, 
superieure a la pression exlerieurc et que la contraction determine l'expira- 
tion, comme chez tous les insectes \ 

Ces premiers points etant elucides, j'aborde l'expose des quelques fails que 
j'ai observes a l'aide de la methode des projections. 

L'animal est intact, suspendu par les ailes el les elylres serres enlre une 
lame de liege el une lame de carton; les grandes patles de la derniere paire 
sont ramenees au-dessus du dos et liees ensemble par un bout de fil. Le gros- 
sissement est de 9 diametres environ. 

En expiration, les arceaux lergaux s'abaissent et les arceaux sternaux 
s'elevent, le maximum d'effet ayant lieu au niveau des somites 3 et 4. 

Les observateurs qui m'ont precede et qui n'ont utilise, du reste, que 
1'observalion directe, signalent generalement celte particularity que le mou- 
vement vers le haut des arceaux sternaux surpasse de beaucoup le mouve- 
ment vers le has des arceaux tergaux. Cette observation est vraie d'une facon 
absolue; mais il ne faut pas oublier qu'a chaque expiration Textremite de 
Tabdomen se releve d'une facon notable; ce niouvement d'ascension general 
s'ajoute a celui de meme sens des pieces de la face sternale et annule, pour 
l'oeil, le mouvement de descente des pieces de la face tergale qui se meuvent 
en sens oppose. 

En se rcporlant aux figures 46 et 47 qui represenlcnl les anneaux en 
coupe et les muscles expiratcurs, on voit Ires bien que les deux arceaux 
superieur et inferieur doivent simplement marcher a la rencontre Tun de 
l'autre. Mes experiences sur le Stenobothrus variabilis, § LXXVII, prouvenl 
que les choses se passent bien ainsi. 



i Ratiike. Anatomisch-physiologische Untersuchungen , etc. Op. cit., p. 120) nous fournit 
encore un argument assez important . II a observe, chez le Psophus stridulus, que chaque 
fois que l'abdomen de cet Orthoptere so contractait, les stigmates siluds au-dessus des patles 
de la deuxieme paire s'ouvraicnt d'une facon evidente. Ce qui demontre , dit cet eminent 
observatcur, qu'une certaine quantite de fair loge dans la portion anterieure du corps est 
expulsee en ce moment par les stigmates. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 469 

Des mesures prises sur les silhouettes montrent qu'a la hauteur du troisieme 
somite, le diametre vertical diminue, en expiration, de 1 / I2 . 

Les arrets qui se presentent de temps en temps ont toujours lieu en inspi- 
ration; les mouvements respiratoires paraissent simultanes dans tous les 
somites; la longueur de l'abdomen ne change pas. 

Le prothorax et la tete executent de pelits mouvements de bascule a peine 
perceptibles, se relevant un peu en expiration pour s'abaisser ensuite en 
inspiration. Je n'ai pas utilise la methode des projections pour Tetude des 
mouvements des flancs; tout ce que je puis dire, c'est que la depression des 
pleurites en expiration parait faible. 



§ LXXV. 
Muscles respiratoires du Stethophyma grosscm. 



Le systeme musculaire abdominal des Acridiens a ete esquisse par Marcel 
de Serres et decrit par Ratlike et par Graber. Sedgwick Minot s'est borne a 
attirer Fattention sur la forme du muscle expirateur principal. 

Marcel de Serres a signale, le premier, a propos des Truxales, les grands 
apodemes saillants dilates en palette a leur extremite libre superieure qui 
prolongent les angles anterieurs des arceaux sternaux des Acridiens; il les 
designe sous le nom de cotes et indique, en quelques mots, qu'ils donnent 
chacun insertion a deux muscles : « un releveur ou extenseur et un abaisseur 
» ou llechisseur; la direction de ce dernier est assez oblique ». 

Ni Marcel de Serres, ni Ralhke n'ont publie de figures de ces apodemes et 
de leurs muscles. Graber seu], a ma connaissance, les a representes dans des 
dessins reellement demoustratifs '. 

Comme mes dissections personnelles m'ont fait decouvrir quelques petits 
muscles supplementaires et qu'il est necessaire de pouvoir etablir rapidement 
el facilement des comparaisons entre les muscles abdominaux des Acridiens et 
ceux des autres insectes dont je parle dans ce travail, j'ai cm utile d'inserer ici 



1 Graber. Die Insekten, pp. 108, 109, 110, fig. 67, 68 et 69. 
Tome XLV. 






22 



no 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



des figures dessinees d'apres le Stelhophyma et sans lesquelles la description 
et les comparisons eussent ete difficiles et pen claires(fig. 46, 47 et 48). 

Un simple coup d'ceil sur ces figures et sur celles qui represented le 
squelette abdominal et les muscles de la Guepe et des Bourdons montre 
immediatement que les apodemes i ( prolong ements cosliformes de Graber) 
sont absolument les homologues des apodemes que presenlent les arceaux 
sternaux des Hymenopteres porte-aiguillon. La difference capitale qui existe 
entre le squelette des Acridiens et celui des Hymenopteres en question, c'est 
que cbez les Acridiens l'arceau tergal est prive d'appendices semblables. Les 
apodemes n'existent done, ici, que pour les pieces de la face sternale. 

Les muscles appartiennent, comme cbez les autres insectes, a deux cate- 
gories principales : il y a les muscles flechisseurs generaux et les muscles 
respiratoires proprement dils. 

Les flechisseurs generaux destines a courber 1'abdomen dans divers sens 

sont, comme loujours, des muscles lon- 
gitudinaux dorsaux A el sternaux a qui 
ne nous offrcnt, pour le moment, aucun 
inleret. 

Quant aux muscles respiratoires, 
Marcel de Serres, puis Ralhke et enfin 
Graber en indiquent deux de chaque 
cote par anneau. J'en ai observe per- 
sonnellement qualre, deux principaux 
et deux accessoires. 

Fait extremement important, deja 
mis en lumiere par les auteurs precites, 
les Acridiens possedent, comme les 
Hymenopteres portc-aiguillon el comme 
les Nevropteres Phryganides, de veritables muscles inspiraleurs, ajouiant 
leur action a celle de l'elasticite des tissus pour amener la dilatation de 
1'abdomen. 



3 




Fig. 46 X 9. — Stelhophyma grossum. 

Coupe transversale dc 1'abdomen vers le dernier tiers. 

Deux somites sont engage's l'un dans l'autre. 

a Muscle expirateur vertical, ou principal. 

3 Muscle inspirateur principal. 



Voyez la note 2 de la page 26. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 171 

Les cxpirateurs, au nombre de deux de chaque cote et par somite, ont 
une direction presque verticale; ce sonl : 

1° Vcxpiraicur principal a (dorso-veatral de Graber), sans homoIo<»ue 
chez les Hymenopleres, mais hornologue evident de I'expirateur ordinaire 
dcs Coleopleres et d'un grand nombre d'insecles, est un muscle puissant, 
naissant en dedans du bord superieur de I'arceau sternal, en arriere de 
l'apodeme et allnnt s'inserer vers le milieu de la hauteur de I'arceau tergal 
correspondant (Vest le scul figure par Sedgwick Minor); 

2° Vexpiruteur accessoire (3, que je crois avoir observe le premier, est 
plus grelc et moins long; ses insertions sont analogues; il est situe entre 
Fapodeme el I'expirateur principal. 

Ces deux muscles rapprocheut les arceaux tergaux et sternaux et, comme 
1'indique la figure 47, determinent la formation d'un pli renlrant dans la 
zone membraneuse laterale qui unit ces arceaux. 




Fig. 47 X T. 
Portion de la moitW droite de l'abdomcn du Stethophyma 



Fig. 48 X 1. 
Apodeme et ses muscles vu par sa face 
A, a Muscles longitudinaux dorsaux et sternaux. externe. 

a, (3 Muscles expirateurs verticaux, principal et accessoire. 3 Muscle inspirateur principal. 

3 Muscle inspirateur vertical ou principal. 4 Muscle inspirateur accessoire. 

4 Muscle inspirateur accessoire. 



Les inspirateurs, au nombre de deux aussi, de chaque cote" et par somite, 
sont : 

1° V inspirateur principal^, a direction presque verticale, antagoniste de 
I'expirateur principal, est evidemment l'homologue de 1'inspirateur 3 que j'ai 



172 



BECHERCHES EXPERIMENTALES 



decouvert chez les Guepes et les Bourdons (fig. 40, M et 42). Comme lui, 
il occupe la face exlerne de l'apodeme; comme lui, il nait de cet apodeme, se 
porte en bas et un pea en arriere pour se terminer sur le bord inferieur de 
l'arceau tergal correspondant. Son action eloigne l'arceau sternal de l'arceau 
tergal el augmenle le diamelre vertical de l'abdomen. II offre cetle particu- 
larity d'etre notablement plus faible que l'expirateur principal; ce qui prouve 
que Inspiration s'opere encore en grande partie par l'elaslicile des teguments 
et du sysleme tracheen; 

2° Vinspiraleur accessoire 4, qui avail, comme l'expirateur accessoire, 
echappe a mes devanciers, ne mcrile peut-etre pas la denomination d'inspi- 
rateur. 11 est silue, comme le precedent, a la face exlerne de l'apodeme; il 
nait du bord anlerieur de la base de cetle saillie, descend obliquement en 
arriere et va s'inserer sur le bord anlerieur de l'arceau slernal qui suit 
immcdiatement. Ce muscle parait devoir faire basculer l'apodeme. Dans tous 
les cas, sa situation exlerne ne permet pas de le considerer comme une sub- 
division des muscles Iongitudinaux *. 

§ LXXVI. 

Experiences sur le systems nerveux du Stethophyma. 

Les experiences sur les fonctions du systeme nerveux sont assez faciles 
a executer; en effet la chaine nerveuse est situee tres bas, de sorte qu'il est 
aise de la couper ou de I'exciter en divers poinls, en ne faisant aux tegu- 
ments que de petils orifices. De plus, les masses ganglionnaires sont genera- 
lement eloignees les unes des aulres et reliees par de longs connectifs. 

Afin d'interpreter exaclement les resultats des operations, il importe de 
remarquer que, comme cbez les Coleopleres, les premiers ganglions abdo- 
minaux sonl evideminent fusionnes avec la partie poslerieure des ganglions 
melathoraciques. Les preuves de cetle fusion sont le nombre des ganglions 
abdominaux toujours inferieur a celui des somites de l'abdomen, le grand 



1 La dissection de grands Acridiens cxotiques provenant de Java m'a permis de retrouver 
exactement tous les muscles que je viens de decrire chez le Stethophyma. 



STJR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 173 

volume de la masse metathoracique, enfin la distribution des nerfs qui nais- 
sent de cette masse el dont les uns se rendent dans le melalhorax propre- 
mentditet dans les grandcs pattes posterieures, tandis que d'autres se portent 
en arriere dans la base de 1'abdomen, animant, ainsi que le demonlrent les 
sections, les trois premiers segments de cette portion du corps. 

Mes experiences out en le meme but que celles que j'ai effecluees sur les 
insectes des autres groupes; prouver 1° que les ganglions abdominaux sont 
les centres respiratoires pour les somites auxquels ils distribuent leurs nerfs 
moteurs et 2° que la masse metathoracique n'est point le centre excitateur 
des mouvements de respiration. 

1™ Experience. — On sectionne la chaine nerveuse entre la masse 
metathoracique et la premiere masse abdominale distincte. Les ganglions 
metathoraciques n'ayant pas ete touches, 1'insecte conserve la faculte de 
sauter. 

Comme en faisant l'operation on a inevitablement coupe les nerfs qui du 
centre metathoracique se portent en arriere dans 1'abdomen, les anneaux 
que ces nerfs animent sont paralyses. Ce sont evidemment les trois pre- 
miers, car les mouvements respiratoires cessent dans les arceaux sternaux 
2 et 3 (c'est-a-dirc dans les deux premiers arceaux slernaux tip-parents, 
1'arceau sternal du premier somite etant rudimentaire ou mieux absent). 
Mais les mouvements respiratoires parfaitement reguliers persistent dans 
toute la partie de 1'abdomen situee au dela. Le rhythme est ralenti; Tanimal 
intact respirait 38 fois par minute; apres l'operation, on observe, en moyenne, 
19 mouvements respiratoires dans le meme espace de temps. 



2 e Experience. — On detruit, chez un autre individu, la masse nerveuse 
complexe du metathorax. L'animal est devenu incapable de sauter. Les mou- 
vements respiratoires condiment avec regularite dans les anneaux abdominaux 
qui suivent les trois premiers. Comme dans l'experience precedente, ils sont 
notablement ralentis. On en comple, en moyenne, 1 6 par minute, alors que 
l'animal intact et un peu excite en offrait 76. 



174 



RECHERCHES EXPER1MEJNTALES 



3 e Experience. — Chez le meme individu dont le centre melalhoracique 
est detruit, on sectionne la chaine nerveuse au bord posterieur du 4 e arceau 
sternal apparent. Les somites situes en deea de la section, c'esl-a-dire enlre 
celle-ci et la base de I'abdomen, deviennent immobiles; les somites qui sui- 
vent continuent, au conlraire, a presenter des mouvements respiraloires 
reguliers, araison de 16, en moyennc, par minute, comme precedemmenl '. 

i e Experience. — Chez un nouveau Slelhophyma, on separe complete- 
ment 1'abdomen du thorax et on l'introduit dans un tube de verre a atmo- 
sphere humide, afln d'eviter I'influence de la dessiccalion. La section des 
nerfs emanant des ganglions abdominaux soudes aux ganglions melalhoraci- 
ques a amene 1'immobilite des arceaux slernaux 2 et 3, ahsolumenl comme 
dans la l re experience. Le reste de I'abdomen continue a respire!" pendant 
longtemps 2 ; les mouvements respiraloires, un peu moins reguliers el plus 
lents que chez Tinsecte intact, sont profonds et Ires nets. On en comptait 
avant l'operation environ 50 par minute; I'abdomen isole en presenle 16 a 17 
dans le meme temps. 

Bien que ces experiences eussent pu elre mullipliees davanlage, je crois 
qu'elles sont suffisantes el qu'elles fournissent la solution des questions que 
je m'etais propose de resoudre. Leurs resullals prouvent, en efl'et : 1° que la 
masse metathoracique n'est point le centre respiratoire de 1'abdomen; 2° que 
les ganglions abdominaux sont les centres respiraloires vrais d'ou emanent 
les excitations qui font contractor rhythmiquement les muscles inspirateurs 
et expirateurs. 

On remarquera, en outre, que toutes les fois que I'abdomen est souslrait a 
l'influence indirecte des centres cerebroi'des ou volontaires, par une section 
de la chaine nerveuse, les mouvements respiraloires sont ralentis. 

Les resultats ci-dessus sont, du reste, en parfait accord avec ce que les 
insectes des autres groupes nous ont donne a mes predecesseurs et a moi. 



i On no comprend pas bien l'arret du somite 4 qui est anime' par un centre ganglion- 
naire abdominal intact. 

2 Je n'ai pu suivre l'experience jusqu'au bout. Les mouvements existaient encore deux 
heures apres l'operation. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 175' 

§ LXXVII. 

Stenobothrus variabilis, Fieb. (biguttulus, L.)- 

(Etude fles nionvcmcnts respiratoires par la mcthodc dcs projections et experiences 

sur le syste.nie ncrveux.) 

Moiwements respiratoires. — Les diverses observations faites sur cette 
forme, beaucoup plus petite, confirment parfaitement les donnees fournies 
par le Stcthophyma. 

La manierc de fixer I'insecte dans l'appareil est un peu differente; il est 
porte par deux epingles traversant les parties lalerales du prothorax; les 
ailes et les grosses pattes posterieures sont supprimees; Fabdomen est libre 
et le grossissement employe est de 5 diametres environ (fig. 73, pi. VI). 

Pendant Fexpiration, les pieces sternales s'elevent et les arceaux tergaux 
s'abaissent d'une quanlite a peu pres egale, I'elTel maximum paraissant avoir 
lieu pour le somite k. En meme temps, rextremite de ('abdomen s'abaisse 
legerement et sa longueur augmentc de 1 / 30 environ. 

Les mouvements rcspiratoires sont simullanes clans tons les anneaux et 
les segments tboraciques scmblent reslcr immobiles. L'observation directe 
a la loupe montre, en outre, que pendant la phase expiratoire, les flancs se 
depriment et que, comme chez le Stelhophyma, la membrane tympanique 
fait saillie pour s'enfoncer ensuite pendant I'inspiration. 



Experience sur le systeme nerveux. — Chez un individu fixe par les ailes 
et dont on a seulement supprime les grandes pattes posterieures, les mou- 
vements respiratoires ont lieu par petites series de quatre ou cinq, separees 
par des arrets en inspiration. On note successivement 21, 20, 26 (moyeime 
22 expirations) par minute. 

On sectionne la chaine nerveuse a la base de I'abdomen; les mouvements 
respiratoires persistent et sont encore groupes en petites series, comme chez 
I'animal dont le systeme nerveux est entier; la seide difference reside dans 
un ralentissement marque. On note, en effet, 16, 12, 11 (moyenne 13) 
expirations par minute. 






176 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



On separe ensuile completement l'abdomen du thorax; les mouvements 
respiratoires semblent un peu plus regulierement espaces; cepenclant la 
moyenne par minute est restee la mcme, ainsi que l'indiquent les chiffres 
suivants : 13, ii, 15, 15, 12, 10 (moyenne 13). Ces pulsations rhythmi- 
ques continuent pendant plus d'une heure dans l'abdomen isole. 

Les resultats sont, on le voit, a fort peu pres les memes que ceux des 
experiences faites sur le Stcthophyma et conduisenl a des conclusions 
identiques. 



Afin de completer ces donnees concernant 1'influence du systeme nerveux sur les mouve- 
ments respiratoires des Orthoptics, je resumerai les observations de Barlow sur le Grillon 
(Observations on the respiratory movements of insects. Piiilos. trans., vol. 145, Part. I, 
pages 141 et 142. Londres, 1858), Barlow a dccapite successivement divers individus apres 
avoir compte le nombre de leurs mouvements respiratoires a l'etat normal ; il a constam- 
ment constate : 1" la persistance des mouvements respiratoires abdominaux; 2" l'affaiblisse- 
mcnt dc ces mouvements et un ralentissement manifesto. « Ces experiences, dit l'autcur, 
» prouvent a l'evidence la diminution dans la frequence et la force des mouvements respi- 
» ratoires apres la suppression des ganglions sus- et sous-oesopliagiens; mais le fait que ces 
» mouvements ne sont pas abolis demontre, d'un autre cote, qu'il existe ch'ez l'insecte une 
a multiplication des centres nerveux repondant a la distribution et a la repetition des 
» organes respiratoires. » 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. \ 11 



CHAPITRE VII. 



ETUDE DL TKOISJEME TYPE. 



1 . Orthopteres locustieus. 

§ LXXVIII. 

HlSTORIQUE. 



Les Locusla, en comprenant sous cetle denomination la Sauterelle verte, 
les Dectiques et quelques aulres formes que les naturalistes d'une epoque 
deja eloignee confondaient sous une appellation commune, ont ele frequem- 
ment examines au point de vue des mouvemenls d'inspiration et d'expi- 
ration. 

Malpighi * a vu les deplacements de leurs arceaux sternaux; Hausmann - 
a cbercbe, comme je l'ai dit page 8, a rendre plus sensibles, par les oscilla- 
tions d'une colonne d'eau, les diminutions et les augmentations de volume 
de 1'abdomen de la Locusla viridissima; Sorg 3 , Vauquelin 4 , Treviranus s 
ont determine le nombre de mouvements respiraloires par minute pour la 
meme espece, et Rengger 6 , apres avoir observe ces mouvements, a compare 
le systeme des anneaux abdominaux au systeme costal des mammiferes. 

Hurmeister 7 a indique, le premier, dans 1'abdomen des Locusta, 1'exis- 

1 Malpighi. Dissertatio epistolica de Bombyce, etc., op. cit., p. 20. 

2 Hausmann. De animalium exsanguium respiratione Commentatio, etc., op. cit., p. 8. 

,:! Sorg. Disquisitiones physiologicae circa respirationem Insectorum, etc., op. cit., p. 46. 
4 Vauquelin. Annates de Chimie, t. Xli, p. 278. 
;i Treviranus. Biologic, etc., op. cit, t. IV, p. 158. 

6 Rengger. Physiologische Untersuclntnc/en iiber die tliierische llaushaltung dec Insecten, 
P- 38. Tubingen, 1817. 

7 Bormeister. Handbuch dcr Entomologie, etc., op. cit., p. 284. 

Tome XLV. 25 






178 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



tence de muscles transversaux qui ont etc, plus tard, figures, sans inter- 
pretation, par E. Blanchard ', puis considered comme faisant peut-etre partie 
d'un diaphragme inferieur, par Leydig -. C.-G. Cams a decrit en quelques 
mots 5 el a tente de representer par deux figures juxtaposees 4 l'aspect 
general des mouvements de l'abdomen du Dectique verrucivore; Duges ;; 
s'est borne a signaler l'energie des mouvements respiratoires de la Sauterelle; 
Newport 6 a etudie le rhylhme de ces mouvements et, enfin, Rathke "', 
prenanl le Dectique comme type, a decrit, avec figures a l'appui, la dispo- 
sition des muscles abdominaux. 

Cette longue enumeration bibliograpbique renferme surtout I'indication 
d'observalions isolees ou incompletes et aucun des travaux menlionnes, 
meme la description anatomique de Ratlike, ne me dispensait de recom- 
mencer l'etude detaillee des mouvements respiratoires d'un Locustien. 

§ LXXIX. 

Decti'ccs VERRUCIVORUS. 

(Ktmlc «Ies luoiivfiui'iitN rcsplrutolrcst pur In metlioilc gruplilt|iie.) 

La laille de ce bel Orthoptere et l'energie de ses mouvements respiratoires 
le designaienl comme un sujet d'etude interessant; aussi, comme je le dis 
plus haut, le mecanisme de la respiration du Dectique a-t-il ele deja 1'objet 
d'un examen de la part de C.-G. Carus et de Rathke. 



1 E. BLANCiiAnn. Dans Cuvier, Regne animal distrilme d'apres son organisation, fnseetes. 
Atlas, l'° partie, pi. 76, fig. 2. Paris (edition Masson), 1849. 

2 Leydig. Vom, Bait ties Thierischen Korpers, Erstor Band, Erste Hall'le, p. 210. Tubin- 
gen, 1864. 

3 Carus. Traite elementaire d'anatomie comparee, p. 835. 

4 < — Tabulae anatomiam comparativam illustrantes , pars VII, tab. Ill, fig. 10. Lip- 
siae, 1848. 

3 Duges. Traite de physiologic comparee, etc., op. cit., t. II, p. 555. 
fi Newport. On the respiration of Insects, etc., op. cit., p. 548. 

1 Rathke. Anatomisch-physiologische Untersiwhwngen , etc., op. cit., p. Ill, pi. VI", 
fie. 1 et 2. 



SUK LES MOUVEMENTS KESPIKATOIRES DES IJNSECTES. 17!) 




C.-G. Cams a public deux figures assez exactes de la face infericure de 
I'abdomen de la femelle; la premiere represenle la position des pieces en 
inspiration, et la secondc, les rapports des memes pieces en expiration. Ces 
figures, le texte qui les aceompagne et les quelques mots que 1'auteur con- 
sacre au meme sujetdans son Anatomie comparee sont, cependant, tout a fail 
insufTisanls pour donner une idee complete des fails. 

Dans I'abdomen du Declique, les pieces sternales apparentes (7 cbez la 
femelle, 8 cbez le male), assez red ui les, sont de petites plaques a peu pres 

quadrangulaires, reliees aux arceaux 
tergaux par de larges zones membra- 
neuses portant les stigmates et divi- 
sees chacune en deux, dans toute leur 
longueur, par un sillon Ires accuse. 
Fig. 49 xi- Decucus vemicioorus ?. Les figures 49 et 1)0 sont destinees a 

Surface exterieure de I'abdomen montrant la zone molledes f a j re cOlliprendre Cette disposition qui 

flancs, son sillon indiquc par une ligne pointillee, les 

iiepiessions qui repon.icnt a limpianiaiion des muscles dnierc notablemenl de celle que nous 

expirateurs et enfln remplacement des sligraates, , v . i .,. / - w 

oltrenl les Acridiens. On voit que 
cbaque somite est nettement divise, d'une facon classique, si je puis m'ex- 
primer ainsi, en pieces sternales, episternales, epimeriennes et lergales, 
que les pieces sternales el tergales sont seules resislanles, 
<pie les pieces episternales et epimeriennes sont molles et 
separees par le sillon cite plus haut, sillon qui marque 
exactement la limite entre les arceaux superieurs et infe- 
rieurs '. 

En examinanl le sillon avec attention, il est facile d'y 
conslater une serie de depressions profondes que Ton 
pourrait conl'ondre, a premiere vue, avec des stigmates 
vrais. Ces depressions, au nombre de 6 cbez la femelle 
el de 7 cbez le male, repondent a des insertions muscu- 
laires importantes donl je reparlerai au § LXXXI. 




Fig. SO X 3. 

Decticus verrucivorus. 

Coupe transversalc du i c so 

mite abdominal. 



1 Voyez, pour une figure analogue (Anabriis), Second Report of the United States entomo- 
logical Commission for the years is78 and 1879, p. \T2, fig. 4. Washington, 1880. 



180 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Les mouvements respiratoires les plus intenscs et les plus apparcuts 
consistant en elevations expiratoires et en abaisseraents inspiratoires alter- 
natifs des plaques sternales, j'ai naturellement cherche a obtenir d'abord des 
graphiques des deplacements de ces plaques. 

Toutes mes experiences ont porte sur des femelles. L'insecte est fixe, la 
face venlrale en haul, les elytres et les ailes scrres entre une lame de liege 
el une lame de carton. Les larses des grandes pattes posterieures sonl lies 
Fun a 1'aulre. J'ai ete oblige de couper les pattes des deux premieres paires. 

Un levier inscripteur ordinaire, transversal (lig. 2), repose, par un petit 
talon, sur la limite entre les plaques sternales 2 et 3. La pointe du levier 
s'abaissc done en expiration. Le trace P obtenu dans ces conditions el lorsque 



■< — Sens dc la rotation du cylindre. 

I'animal est encore plus ou moins sous l'influence de l'excitation produitc 
par les apprets de Texperience, monlre des mouvements respiratoires rapides 
(50 expirations par minute), sans pauses, ni arrets. La courbe ressemble 
beaucoup a celle que fournissenl les pieces tergales des Coleopleres; on y 
constate une partie ascendantc inspiraloire a vitcsse decroissante et une 
partie descendante expiratoire caracterisee par une chute brusque du levier. 
Si Ton attend 20 a 25 minutes avant de prendre un nouveau trace, on 
voit apparaitre, soit sous l'influence de la fatigue, soit parce que I'animal 
rentre a l'etat normal, et cela, comme chez I'Hydrophile parmi les Coleop- 
leres, un plateau horizontal a la partie superieure de la courbe, indiquant 
une pause en inspiration (trace Q). De plus, de lemps en temps se presenlc 




Sens de la rotation du cylindre. 



un arret complet, aussi en inspiration. II n'y a ni pauses, ni arrets expira- 
toires, ce qui concorde parfaitement avec ce que nous donnent les insectes 
des autres groupes. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 481 



Theoriquement, en expiration, les mouvements d'elevation des pieces 
slernales doivent etre aecompagnes de mouvements d'abaissement des 
arceaux tergaux et d'une legere depression des flancs. Les projections per- 
metlent, comme on le verra plus loin, de s'assurer de 1'existence reelle de 
ces deplacements, tandis que la methode graphique employee seule condui- 
rait a des conclusions erronees. Void, du reste, les resultats qu'elle donne el 
la facon dont il faul les interpreter. 

Lorsque le Dectique est dans la situation normale d'un insecte pose, on 
voil que 1'ensemble de ('abdomen est neltcment projete vers le haul a chaquc 
expiration. Ce mouvement, qui masque l'abaissement des arceaux dorsaux, 
pent etre reproduit graphiquement, soit en faisant reposer un levier ordinaire 
transversal sur la face dorsale du troisieme lergite apparent, soil en faisant 
inscrire directement le mouvement par la pointe de I'oviscapte de la femelle, 
soit encore en amplifiant les deplacements du pondoir en y fixant un style 
d'une longueur triple, par exemple. 

■Fai fait usage de ces divers precedes. Les traces obtenus, et que je crois 
inutile de reproduire, montrent lous, ce qui etait a prevoir, une partie de la 
courbe montant brusquemenl, repondant a Texpiration, et une partie des- 
cendante a vitesse decroissante, repondant a Tinspiration. 

Si, enfin, placant Pinsecte sur le flanc, en prenanl d'ailleurs toutes les 
precautions necessaires, on fait reposer un levier transversal sur les pleu- 
riles, on observe immediatement que ce levier s'eleve en expiration au lieu 
de s'abaisser. Ce fait, qui est l'inverse de ce que Ton supposerait a priori, 
tienl a cette parlicularite que, lors de 1'ascension expiratoire des pieces ster- 
nales, le sillon enlre les elements episternaux et epimeriens s'accusant davan- 
tage, les bords de ce sillon forment des bourrelets plus accuses. 

Dans les traces ainsi obtenus, comme dans les precedents, les pauses sont 
toujours exclusivement inspiratoircs. 



182 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



§ LXXX. 

l':tuflp des mouvenients respfratfttrc* <ln »ecti«|iie pur la niotltode des projections. 

L'inseele, prive de scs paltes, est fixe par les organes du vol serres enlre 
une plaque de liege et une lame de carton. Les mouvemenls respiratoircs 
ne sont done genes en rien. Le grossissement employe est de 7 diamelres. 
Les observations ont ete faites sur un male vigoureux. 

Lorsque le Declique est place le ventre en bas el de facon a fournir nne 
silhouette du profil longitudinal, on voit naturellement les plaques sternales 
s'elevcr en expiration et s'abaisser en inspiration d'une facon rhythmique; 
mais I'abdomen etant projete vers le haut d'une petite quanlite, dans 
chaque mouvement expiratoire, les deplacements des arceaux tergaux sonl 
masques. 

On pent neanmoins s'assurer qu'il existe une veritable pause inspiraloire 
courte, que les segments thoraciques ne participent pas aux mouvenients 
respiratoires et, enfin, que la longueur de rabdomen ne change guere. Les 
dessins indiquenl seulement un allongement en expiration de '/n;! de cette 
partie du corps; valeur absolument negligeable, mais que jc cite pour mon- 
trer jusqu'ou peuvent aller les resultats de la methode. 

Afin de resoudre les questions restees en souffrance, il convient de placer 
le Dectique dans la position inverse, les organes du vol en bas, la lace 
slernale en haut el le dos reposanl par un seul point, le bord posterieur du 
sixieme arceau tergal, sur un petit support saillant (fig. 74, pi. VII). 

Les mouvenients respiratoires restenl aussi libres que dans le cas prece- 
dent, mais la projection de I'abdomen du cote dorsal, en expiration, est 
supprimee. 

Dans ces conditions, on observe, pendant l'expiralion, non seulement la 
depression des pieces sternales avec maximum d'effet vers la Iroisieme, mais, 
en outre, le deplacement en sens inverse des arceaux tergaux 1 . Ainsi se 
trouve demontre ce fait que chez les Locustiens, comme chez nombre 



i l.a descente des arceaux tergaux pour un animal dans sa position normale. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 183 

d'autres insectes, les arceauX slernaux et tergaux marchenl a la rencontre 
Tun de l'autre durant la phase expiratoire. 

L'amplilude du mouvement des arceaux tergaux n'est que le quart de 
celle du deplacement des plaques sternales. La diminution lotale du diametre 
vertical de l'abdomea a la hauteur du troisieme somite est de '/i3j par con- 
sequent moyenne (voyez § XCII). 

Un autre phenomene interessanl que presente le Dectique place sur le 
dos, c'est l'exislence incontestable d'une onde progressant d'arriere en avant; 
la depression des plaques sternales 5, 6, 7 commencant un instant ties 
court avant celle des plaques 2, 3, 4. 

J'ajoulerai, comme detail de moindre importance, que chez 1'insecte pose" 
ainsi la face sternale en haut et un point du dos en contact avec la surface 
resistanle, l'exlremite de Tabdomen se porte un peu, en expiration, du cote 
sternal, au lieu d'etre projetee du cote dorsal, comme dans le cas d'un 
individu en situation normale. 

Enfin, en suspendant le Dectique verticalemenl, la face dorsale tournee 
vers la lampe, on obtient une silhouette sur laquelle on pent constaler et 
mesurer la depression des tlancs en expiration. Celle-ei, qui offre son 
maximum vers le quatrieme somite, soit dans la parlie la plus large du 
corps, amene, en moyenne, une diminution du diametre Iransyejrsal de 
Fabdomen de '/ u . 

Celte elude, assez complete, permel de resumer avec nettete la se>ie des 
mouvements respiratoires du Dectique. 

f AITS UliKKRtlX. 



1" Les segments thoraeiques ne participent pas aux mouvements respiratoires; ceux-ci 
sont localises dans rabdomen ; 

"2" Les somites abdominaux ehangenl de diametre dans les deux sens , vertical et trans- 
versal, mais ne se deplacent pas les uns par rapport aux autres ; 

3° La dilatation de l'abdomen en inspiration est plus lente que la contraction expi- 
ratoire ; 

i" Dans certaines positions de l'animal (peut-etre dans tous les cas) les mouvements 
respiratoires progressent sous forme d'onde d'arriere en avant ; 

5° Pendant les mouvements respiratoires l'abdomen oscille verticalemenl, nlais ne change 
guere de longueur. 



I 



\u 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Fails speciaux a cliaque phase. 



Expiration. 



Le mouvement debute d'une facou brusque. 
II n'y a jamais de pause expiratoii'e. 

Les (ilaques sternales s'elevent avec maximum d'effet 

vers la troisieme. 
Le sillon compris entre les elements epislernaux et 

epimeriens s'approfondil. 
Les arceaux tergaux descendent d'une quantile qualre 

Ibis plus petite que le emplacement vers le haul, des 

plaques sternales. 
Les flancs se depriment legerement. 



Inspiration. 



L'inspiration est plus graduelle et a vilesse decroissanle. 
11 existe une pause inspiratoire et meme des arrets en 

inspiration. 
Les plaques sternales' s'abaissent. 

Le sillon s'efface en partie. 

Les arceaux tergaux s'elevent. 

I.es flancs reprennent leur position premiere. 



. § LXXXI. 
Muscles kespiratoires du Decticus verrucivorus. 




Mes dissections ont confirme la description que donne Ralhke du systeme 

musculaire abdominal du Dec- 
tique etje pourrais,a la rigueur, 
renvoyer le lecteur au memoire 
que j'ai deja cite tant de fois; 
mais Rathke ayant represente 
1'insecte ouverl par le dos, la 
comparaison des muscles du 
Dectique avec ceux des aulres 
insectes figures dans mon pro- 
pre travail , demande une cer- 
taine etude que j'ai voulu eviter 
a mes successeurs en publiant un dessin d'apres un individu sectionne sui- 
vant un plan vertical. 

Laissant de cote les muscles longitudinaux dorsaux A et sternaux a, dont 
la disposition est fort simple, on voit que tous les muscles respiratoires vrais 
naissenl dans le sillon qui divise longiludinalement en deux la zone molle 
laterale et qu'ils partem tous des depressions que ce sillon offre de distance 
en distance. 



it X^- — Moitie droite tie l'ahdomen du Dectique verrucivore 9- 
A , a Muscles longitudinaux dorsaux et sternaux. 
a,(3 — expirateurs verticaux ascendants. 
,J — — descendants. 

y — — Iransversaux. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES LNSECTES. 185 

Trois categories de pelits muscles naissent de chacune des depressions 
en question : 

1° Des muscles <x, j3, a direction verticale ascendante, se portant du fond 
du sillon a la partie inferieure des arceaux tergaux ; 

2° Des muscles plus faibles <? a direction verticale descendante, se portant 
du fond du sillon sur les plaques slernales; 

3° Des muscles transversaux y, signales pour la premiere fois par Bur- 
meister l , disposes au-dessus de la chaine nerveuse ventrale comme les 
barreaux d'une echelle et reliant le sillon droit au sillon gauche. 

Tous ces muscles sont expirateurs; leur contraction rend le sillon lateral 
plus profond et eleve les plaques sternales. On remarquera que les muscles 
verticaux ascendants sont plus forts dans la region anterieure de l'abdomen, 
ce qui explique, en partie, pourquoi l'amplitude des mouvements respira- 
toires offre son maximum vers la deuxieme et la troisieme plaque sternale. 

Je n'ai trouve aucune trace de muscles inspirateurs. Leur absence a une 
grande importance si Ton considere que les Acridiens possedent des muscles 
inspirateurs developpes et tres nets. L'inspiration, chez les Locusliens, est, 
par consequent, absolument passive. 



/>. li^pitlopteres. 

§' LXXXII. 
Historique. — Constitution de l'abdomen. — Methodes u'observation. 

Les mouvements respiratoires des Lepidopteres, qu'il ne faut point con- 
fondre avec les vibrations ou les ondulations de l'abdotnen de ces insecles 
lorsqu'on les enfde sur une epingle ou lorsqu'on les tient par les ailes, n'atti- 
rent pas immediatement lattention du naturaliste, comme ceux des Orthop- 
teres ou des Libellules; ils sont peu accuses et le plus souvent masques 



1 BuitMEiSTEii. Handbuch der Entomologie, op. cit., t. I, p. 284. Represents plus tard par 
E. Blanchard chez la Sauterelle (voir p. 178). 

Tome XLV. 24 



186 



RECHECHRES EXPER1MENTALES 



en partie par un revetemenl epais d'ecailles et de poils. Aussi les observa- 
tions ont-elles ete rares. 

Sorg 1 a comple les mouvements respiratoires chez le Deilephila euphor- 
biae; Newport - a fait quelques remarques sur la facon dont l'exercice 
modifle le rhythme respiratoire du Sphinx ligmtri et a cherche a deter- 
miner, chez de grands Lepidopteres plonges dans Teau, si l'expulsion de 
Pair par les orifices stigmatiques avait lieu avec la meme force par tous les 
sligmales ou bien si elle etait plus abondanle pour certains sligmales deter- 
mines 3 . Nitzscb 4 et Cams ;i paraissent avoir vu les mouvements respira- 
toires de quelques Papillons, mais ne donnent aucune description. Enfin, 
Rathke 6 , qui est en general si explicite, ne consacre que six a sept lignes 
de son memoire aux mouvements de respiration des Lepidopteres qu'il com- 
pare a ceux des Panorpes. II dit avoir constate que ces mouvemenls sonl 
tantot plus apparenls vers la base de ('abdomen, tantot plus visibles vers 
son extremile; mais il ne cite pas de forme specifique et ne fournit aucune 
indication quant aux muscles. 

Pour se faire une idee claire de la structure de Fabdomen des Lepidop- 
teres et pour voir netlement 

l,..,i,-.<? ijj 




Pig, 82 X 3. — Structure de I'abdomen d'on lepidoptfcrc (Smerinclms). 



les relations qui existent entre 
les arceaux dorsaux et ster- 
naux, il fautevidemment en- 
lever, par le frottemenl, la 
presque total ite du revete- 
menl ecailleux (fig. 52). On 
conslate alors, comme Rathke l'a fort bien indique en quelques mots, que, 
dans la plupart des segments, les arceaux tergaux et sternaux sont separes, 
a la hauteur des (lanes, par une zone laterale mode, tres large, portent les 

1 Sorg. Disquisitiones physiologicae circa respirationem hxsectorum, etc., op. cit., p. 66. 

2 Newport. On the temperature of Insects, etc. (Philos. Trans, of the Royal Society, 
part. II, p. 292, tableau V. 1837.) 

3 Newport. On the respiration of Insects, op. cit., p. 548. 

4 Nitzsch. Commentatio de respiratione animalium. Vitebergae, 1808. 
'■> Garus. Traite elementaire d'anatomie comparee, op. cit., p. 336. 

'J Rathke. Anatomisch-physiologische Untersuehnngen , etc., op. cit., p. 107. 



"^■l 



SUB LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 187 

stigmates '. Les arceaux superieurs ne cbevaucbent done point sur les infc- 
rieurs et il exisle, par consequent, une eerlaine ressemblance generale entre 
la structure de I'abdomen des Lepidopteres et cede de I'abdomen des Panorpes 
el des Sialis. 

Cette ressemblance ne concerne pas seulement I'aspect exterieur; je 
montrerai plus loin que la disposition des muscles s'eloigne peu de cede que 
j'ai observee chez les Nevropteres propres. 

J'ai deja dit ailleurs, § IV, pages 1 1 et 1 7, pourquoi je n'avais pu appliquer 
la metbode grapbique aux grands Lepidopteres. L'emploi de ce procede serait, 
du resle, tout aussi impossible avec les Hymenopteres porte-aiguillon et avec 
beaucoup d'autres insectes a mouvements vifs et a abdomen tres mobile. 

Restait la methode des projections pour les Lepidopteres de taille moyenne. 
Par suite de circonstances independanles de ma volonte, je n'ai pu soumetlre 
a l'experimentatiou qu'un petit nombre de ces animaux. Les resultats que 
j'ai obtenus suffisent cependant, me semble-t-il, pour montrer 1° que la 
forme des mouvements respiratoires des Lepidopteres doit les faire ranger 
dans le troisieme type et 2° que ces mouvements sont, en general, si faibles, 
si obscurs, qu'il faut considerer les Papillons, et surtout les formes nocturnes, 
comme les plus mauvais sujels d'observation que Ton puisse cboisir. 

Avanl d'aborder Fexpose des fails constates, je crois devoir revenir sur 
une cause d'erreur que je signalais au debut de ce paragraphs LorsqueTon 
fixe a I'aide d'epingles traversatit les parties laterales du thorax, ou de toute 
autre facon, un Lepidoptere dont on a coupe les ailes, Familial imprime, 
soit conlinuellement, soil par phases, a son abdomen et meme a son corps 
enlier, des mouvements oscillaloires d'une si grande rapidite que le termc 
de vibrations leur est applicable. L'observaleur non prevenu pourrait prendre 
ces mouvements pour des mouvements respiratoires rapides. Ce serait la une 



1 On trouve des figures representant I'abdomen des Lepidopteres denude dans : 
Lionet. Recherches sur I' anatomic et les metamorphoses de difj'e'rentcs especes d'Jnseetes. 

(OEuvre posthume publiee par W. de llaan, pi. XLV1 , fig. 4. Paris, 1832.) 
Burgess. Contributions to the anatomy of the Milk-Weed Butterfly {Danais archippus). 
(Anniversary memoirs of the Boston Society of natural history, pi. 1, fig. 1. Boston, 
1880.) 



188 



KECHEUCHES EXPERIMENTAL^ 



faute grave; les mouvements respiratoires vrais des Lepidopteres sont gene- 
ralement lents. Les vibrations, probablement entieremenl etrangeres a l'acle 
respiratoire, sont dues aux contractions rapides des muscles tboraciques, 
moteurs des organes du vol. 

J'ai etudie, ou plus exactement, essaye d'etudier Ie mecanisme respiratoire 
des formes suivantes : Smerinlhus tiliae, Scsia apiformis, Arclia men- 
thaslri, Euchelia jacobaeae, Pygaera (Phalcra) bucephala, Triphaena pro- 
nuba, Triphaena fimbria et lHeris napi. Afin d'abreger, je me bornerai a 
la description des experiences concernant Pieris napi el Euchelia jacobaeae. 



§ LXXXIII. 



PlERIS NAPI. 



(Etude des mouvements rexpiratoire* par la methodc des projeetions.) 



L'insecte est fixe par unc seule epinglc traversant le mesotborax; les ailes 
ont ete enlevees, ainsi que les pattes de la paire posterieure (fig. 75, pi. VII). 

Les mouvements respiratoires sont lents (qualre par minute, en general) 
el ont lieu de la faemi suivante : en expiration , les arccaux tergaux de 
Pabdomen semblent immobiles, mais les arceaux sternaux s'elevent d'une 
maniere marquee. On observe, Ie plus souvent : 1° l'ascension des quatre 
premiers arceaux sternaux apparents, puis, immediatement apres, lorsqu'ils 
ont repris leur position inspiraloire; 2° Tascension des trois arceaux ster- 
naux posterieurs; 3° enfin un arret en inspiration. 

L'onde n'est cependant pas conslante; par moments, la face slernale de 
l'abdomen se deprime en entier, dans toute sa longueur. 

La diminution du diametre vertical cle Pabdomen en expiration est d'un 
pen plus de '/,,. Les segments tboraciques paraissenl immobiles et la longueur 
de Pabdomen reste invariable. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 189 

§ LXXXIV. 

ECCHELIA JACOBAEAE. 

Les observations sur les mouvements respiratoires abdominaux out ete 
faites a l'aide d'an individii fixe par les ailes; celles qui concernent les seg- 
ments thoraciques out ete efl'ectuees en se servant d'une Euehelie privee des 
organes du vol et fixee par line epingle traversant le niesotborax. Dans lous les 
cas I'abdomen etait libre (le grossisseraent employe etait de 11 diametres). 

Les mouvements respiratoires, assez nets pour un Lepidoptere, consistent 
en rapprochements et eloignements allernatifs des arceaux tergaux et ster- 
naux de I'abdomen. Ces mouvements sont surtout accuses pour les segments 
4 et o de la region moyenne. En expiration, les arceaux sternaux s'elevent 
et glissent un pen d'arriere en avant; en memo temps, I'abdomen s'incurve 
vers le bas el s'allonge de 7 S6 environ. 

L'association des deux genres de mouvements que jc viens d'indiquer, 
mouvements d'incurvation de I'abdomen et mouvements des arceaux dans le 
sens vertical, produit ['illusion d'une onde; mais il est aise de s'assurer que 
les mouvements respiratoires vrais sont simultanes dans tous les somites et 
non progressifs. 

La diminution du diametrc vertical de I'abdomen, en expiration, est 

§ LXXXV. 
Resume des observations sur les mouvements respiratoires des Lepidopteres. 



Je crois pouvoir resumer de la facon suivante les observations que j'ai 
faites sur les huit formes enumerees a la fin du § LXXXII. 

1° Les segments thoraciques des Lepidopteres au repos ne semblent pas participer aux 
mouvements respiratoires ; 

2" En expiration, les arceaux tergaux et sternaux se rapprochent et les tlancs se depriment. 
Le emplacement des arceaux sternaux vers le haut l'emporte, en general; 

3° Comme l'a fort bien remarque Rathke, ces mouvements respiratoires sont tantot plus 
apparents vers la base de, I'abdomen, tantot vers son extremite; 

4° Chez plusieurs Lepidopteres, mais non chez tous, les mouvements respiratoires sont 
suecessifs, progressent sous la forme d'onde; 

5° La longueur de I'abdomen reste invariable ou change peu ; 

6° Les arrets ont toujours lieu en inspiration. 



1!)0 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



§ LXXXVI. 
Muscles respiratoires des Lepidopteres. 

Je n'ai trouve nulle part de description on de figure concernant le systeme 
musculaire abdominal des Lepidopteres a l'etat parfait. Les travaux mono- 
graphiques de Lyonet ', de Newport 2 , de Cornalia 5 el, de Burgess 4 pre- 
sentent tous la meme lacune. Ce sujet d'etude, cependant, assez interessant, 
parait avoir ete completement neglige. 

J'ai examine les muscles de l'abdomen du Smerinthus tiliac , de YArctia 

menthastri ct de la Pygaera bucephala. 
J'exposerai d'abord ce que j'ai observe 
§m chez la troisieme de ces formes, parce 
que la disposition y est plus simple 
(fig. 53). 

Chez la Pygaera, les muscles lon- 
gitudinaux tergaux et sternaux A, a 
sont tres developpes et, comme l'in- 
dique la figure, cachent, en parlie, les 
insertions des muscles respiratoires 
vrais a. Ceux-ci, de memo que chez les 
Muscides, ne consistent qu'cn une cou- 
che de fibres musculaires verticales, 
croisant la zone molle laterale qui 
porte les stigmates el se rendant des arceaux inferieurs aux arceaux supe- 
rieurs. L'ensemble s'eloigne peu de ce qui existe chez les Nevropteres du 
genre Stalls (fig. 56), bien que, chez les Sialis , les muscles expirateurs 
soient diflereneies en faisceaux distincts. 




Fig. 53 X ?■ — Pygaera bucephala $. 
Muscles des somites 3 ct 4 de la moitid droite de l'abdomen. 
A et a Muscles longiludinaux dorsaux et sternaux. 
a Muscles expirateurs verticaux. 
Sur la gauche de la figure, le, somite 3 a etc liguriS une 
deuxieme fois, mais priv6 de la plupart des muscles lon- 
giludinaux, de facon a mettre a nu le muscle expirateurs 
dans loute son (Stondue. 



i Lyonet. Recherches sur I'anat. et les metamorph. de differentes especes d'inseetes, op. cit. 

5:2 Newport. On the nervous system of the Sphinx LigusPri, part. 1. (Philos. trans., part. II, 
p. 289, 1834.) 

3 Cornalia. Monografia del Bombice del Gelso. (Memokie dell' H. istituto lombardo, 
vol. VI.) Tire a part. Milan, 1856. 

1 Burgess. Contribution to the anatomy of the Milk-Weed Hutlerfly, op. cit. 



SUR LES MOUVEM ENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 1 9 1 



En consultant les figures publiees par Lyonet ', Newport " 2 et Cornalia 3 du 
systeme musculaire des chenilles de Cossus, de Sphinx et de Sericaria, on 
retrouvera immediatement les memes expirateurs verlicaux croisant la zone 
sligmalifere. Ce sont les muscles lateraux de Lyonet, les muscles transverses 
lateraux de Newport et les muscles communs a et ,6 de Cornalia. Ces muscles 
persistent done, sans grande modification, chez Ie Lepidoptere adulle, et il 
est a remarquer que Newport, en les decrivant chez la chenille du Sphinx 
ligustri, dit, en propres termes, que « ces faisceaux musculaires paraissent 
» avoir pour fonction de contractor les segments en expiration *. » 

Si nous passons actuellement au Smerinthus liliue (fig. 54) el a YArctia 

menthastri, nous trouvons une 
structure anatomique un pen 
plus complexe. 

La couche musculaire a, ob- 
served chez la Pygaera, exisle 
ici aussi el joue evidemment Ie 
meme role expiraleur, mais Ie 
bord anterieur de chaque somite 
presente, au-clessus de la zone 
molle portant les stigmales, un 
apodeme saillant donnant inser- 
tion a un muscle assez fort /), 
dirige obliquement vers Ie haul 
et en avant et se terminant sur 
la region anterieure de l'arceau 




Fig. S4. X 3-J-. — Smerinthus tiliae q". 

Muscles de la moitie" gauche de i'abdomen. La preparation etant etale'e 

a plat, la largeur de I'abdomen parait exagtfree. 

A Muscles longitudinaux dorsaux. 

I> Faisceaux obliques resultant d'une ditlereneiation des muscles 
precedents. 
a, b Muscles longitudinaux sternaux. 



ji Muscles expirateurs verticaux. 

tergal qui precede immediatement. 

Les muscles D en question, naissant au-dessus de la zone molle, appar- 
tiennent exclusivement aux arceaux tergaux et me semblent constituer des 

1 Lyonet. Traite anatomique de la Chenille qui ronge le bois de sanle, pi. VII, fig. 5 el 6: 
Pi T» 8. LaHaye, 1842. 

2 Newport. On the respiration of Insects, op. cit., p. 539, pi. XXXVII, fig. 1. 
'* Cornalia. Monografia del Bombice, etc., op. cit., p. 152, pi. VIII, fig. 108. 
4 Newport. On the respiration of Insects, op. cit., p. 540. 



192 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



subdivisions obliques ties muscles longitudinaux dorsaux analogues a celles 
que nous offrent d'autres insectes. Leur direction permet peut-etre de les 
regarder comme aidant a ['expiration-. 

Je n'ai rencontre aucun muscle inspirateur; Inspiration des Lepidop- 
teres est done passive. 

C. Nevropteres proprcK. 

La forme des mouvements respiratoires des Pbryganes et la disposition de 
leurs muscles m'ayant conduit a placer ces insectes dans le deuxieme type, 
a la suite des Hymenopteres porte-aiguillon, il ne saurait etre question des 
Phryganides, dans le cbapitre actuel, qu'a un point de vue comparatif. 

Les autres Nevropteres propres donl j'ai pu etudier le mecanisme respi- 
ratoire appartiennent aux genres Panorpa, Chrysopa et Sialis; ils consti- 
tuent un petit groupe homogene qui se range tres naturellement dans le 
Iroisieme type, a cote des Lepidopteres. 

On trouvera ci-dessous le resume des observations parfaitement exactes 
de Rathke sur les Panorpes, seuls Nevropteres vrais dont les mouvements de 
respiration aient fait, jusqu'a present, l'objet d'un examen. 

§ LXXXVII. 

Panorpa communis. 

(lotude des mouvements respiratoires par la methane des projections.) 




L'abdomen des Panorpes femelles se compose, on le sait, de six segments 
cylindriques assez larges, suivis de trois segments plus 
etroils, formant une sorte de queue ou de pondoir Ires 
mobile. Les mouvements respiratoires vrais ayant lieu 
seulement dans la partie elargie, je n'insisterai que sur 
la structure de cette portion. Les arceaux tergaux et ster- 

Surfaces cxtcricurcs . • • • - i 1 in „ r .^nn 

des somites s, 3, 4 et s, de naux sont ici separes, le long des flancs, par une zone 
rabdomen. mQ jj e ^ me g ran( j e hauteur, offrant quelques plis irre- 

guliers, mais sensiblement plane durant la phase inspiratoire ou de repos. 



Fig. So X "'■ 
Panorpa communis 9- 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 193 

Rathke ', qui a etudie les mouvements respiratoires cles Panorpes, les carac- 
terise tres nettement en quelques mots, en disant que la membrane unissante 
se deprirne un pen en expiration pour les premiers anneaux de labdomen et 
qu'en menie temps le diametre vertical de celte region du corps diminue. 
Pour ma part, j'ai cru un moment a I'impossibilite d'employer les Panorpes 
dans 1'appareil a projection, ces animaux fixes, imprimant a leur long abdomen 
flexible des mouvements conlinuels d'une grande energie; mais, me rappelant 
que les mouvements respiratoires continuent avec assez de regularity cbez 
les insecles decapites, j'ai enleve la tete aux Panorpes en experience et j'ai 
pu alors suivre tres facilement les deplacements expiratoires et inspiratoires. 
Les conditions experimentales sont done : insecte decapite, fixe par les 
ailes; abdomen fibre; grossissement 12. 

Les mouvements respiratoires ont lieu comme Rathke les a decrits et je 
n'ai a y ajouter que quelques details. 

La zone molle des flancs se deprirne, en expiration, pour les somites 
2, 3, I et faiblement pour le somite 5. La silhouette de la face sternale de 
Tabdomen indique nettement des diminutions dans le diametre transversal 
des anneaux que je viens de citer et montre, de plus, que le mouvement est 
simultane pour tous, qu'il n'y a pas d'onde. Pendant ce temps, les plaques 
slernales se soulevenl; comme ce mouvement a surtout lieu pour les pre- 
miers anneaux abdominaux, il en resulte que le profil longitudinal de la 
face inferieure de 1'abdomen devient concave et que toute la partie abdo- 
minale du corps s'incurve un peu vers le bas. 

L'abdomen se releve naturellement de la meme quantite en inspiration ; 
de la de petites oscillations rhythmiques avec lesquelles il ne faut pas con- 
fondre les mouvements dont je parlais plus baut. 

De temps en temps la Panorpe contracte hrusquement le premier somite 
de la partie caudale retrecie; ce qui determine un allongement brusque de 
cette region. Mais ce mouvement special est absolument etranger a l'acle 
respiratoire et, dans la respiration calme et reguliere, la longueur de 1'abdo- 
men resle sensiblement la meme. 



1 Rathke. Anatomisch-physiologische Untetsuchungen, etc., op. cit., p. 107. 
Tome XLV. 



2o 



194 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 



§ LXXXVIH. 



CuilYSOl'A VULGARIS. 



( Ijtude des mouvements resplratoll'es pur la mcthoilc lies projections.) 



Les anneaux abdominaux se composent d'arceaux tergaux et slernaux a 
peu pres egaux, unis le long des flancs par une bandelette culance molle, 
fort etroite, ne faisant pas saillie au dehors et susceptible de se deprimer en 
dedans dans la phase expiratoire. 

Les deux premiers somiles de l'abdomen ont un diametre notablement 
plus faible que ceux qui suivent et presentent des parois teguinenlaires plus 
molles. On verra qu'il existe peul-etre une relation entre ce detail anato- 
mique el certains mouvements executes par les Chrysopes. 

L'insecte est suspendu par les ailes qui sont rassemblees au-dessus du 
thorax et serrees entre une petite plaque de liege el une lamelle de carton. 
Le grossissement employe est de 11 diamelres environ. II faut naturellement, 
faire abstraction des oscillations violentes que la Chrysope imprime parfois a 
son abdomen lorsqu'elle fait des efforts pour se detacher. 

Dans une premiere experience, l'abdomen est libre et pend presque 
verticalement; il presente de pelits balancemenls rhythmiques d'une faible 
amplitude, inais assez accuses cependanl pour masquer les changements de 
diametre s'il en existe. Les deux seuls faits a noler sont : 1° I'absence 
d'allongemenls el de raccourcissements; 2° des mouvements d'abaissement 
prononces des faces tergales des somiles 1 et 2, separes par des intervalles 
de temps beaucoup plus longs que ceux qui separent les petites oscillations 
de l'abdomen. J'ai comple de quatre a huit oscillations abdominales entre 
deux retrecissements des somites de la base. 

Ce premier essai monlre la necessite de soutenir l'extremite de l'abdomen 
si Ton veut obtenir des resullals quelque peu nels. On recommence done en 
faisant reposer, cette fois, le seplieme segment sur une epingle pliee a angle 
droit. II est aise de constater, dans ces nouvellcs conditions, qu'il existe des 
augmentations el des diminutions alternatives et rhylhmiques du diametre 



SUR LliS MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 195 

vertical de la plupart des somites. L'abdomen s'abaisse legercment lors de 
chaque contraction. 

L'examen de 1'animal a la loupe montre aussi des mouvements rhythmi- 
ques de rentree el de sortie des tlancs et je suis dispose a croire, sans pouvoir 
l'afflrmer cependant d'une facon absolue, que les augmentations du diametre 
vertical sur les silhouettes repondent aux depressions des tlancs et, par 
consequent, a 1'expiration. Ce fait permettrait, malgre des differences assez 
importantcs, de rapprocher les mouvements respiraloires des Chrysopes de 
ceux des Libellules. 

J'ajouterai que les segments thoraciques semblent immobiles, que la 
longueur de l'abdomen ne varie pas et enfin que les mouvements de respi-* 
ration paraissent progressifs. 11 existerait done une onde. 

Quant aux mouvements amples et espaces des arceaux tergaux des deux 
premiers somites abdominaux, je les ai reobserves lorsque l'abdomen etait 
soutenu, et je les ai meme etudies directement a la loupe, mais cct cxamen 
ne m'a rien appris quant a leur role. 



§ UXXIX. 

SlAUS LUTARIA. 
(Ktiide lies mouvements icspirutiiircs par la incthodc lies projections.) 



Les anncaux abdominaux des Sialis ont une structure typique : les arceaux 
tergaux et slernaux, de dimensions a peu pres egales, nc chevauchent point 
l'un sur l'autre et sont reunis, a la hauteur des flancs, par une zone mem- 
branciisc a decouvert, portanl les stigmales et marquee de plis longilu- 
dinaux. 

La forme et le mode d'implantation des ailes ne m'ont pas permis de fixer 
l'inseote par les organes du vol; jai done ete oblige d'enlever les ailes et les 
pattes et d'enfiler l'animal sur une epingle traversant la region anterieure du 
thorax. L'abdomen a ete Iaisse libre; le grossissement employe etait de 
12diamelres (fig. 70, pi. VII). 



196 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



Comme beaucoup d'insectes places dans ces conditions, la Sialis Maria 
execute deux especes de mouvements : 1" de fortes incurvations de Pabdomen 
n'ayant rien de commun avec les mouvements respiratoires ; 2° des mouve- 
ments respiratoires vrais. Ces derniers consistent essentiellcment en rappro- 
chements et ecartements des arceaux tergaux et sternaux, determinant des 
diminutions et des augmentations alternatives du diametre vertical. 

Quelques details sont a noter : 

1° Les segments thoraciques posterieurs restent immobiles; 

2° Les plus grands defacements vcrticaux des arceaux dorsaux et ster- 
naux out lieu vers le milieu de la longueur de Pabdomen, au niveau des 
somites 4, 5; la diminution du diametre vertical en expiration est de '/io- 
Les deux derniers somites abdominaux ne participent pas a ces modifi- 
cations; 

3° Pendant la phase expiratoire, I'extremite de l'abdomen se releve 

un peu; 

4° Les mouvements respiratoires sont progressifs. Ainsi, par exemple, 
Pexpiration est presque terminee dans les somites 4, 5, alors qu'elle com- 
mence dans le somite 6; 

5° Malgre la forme allongce de Pabdomen, il rPexiste aucun deplacement 
dansle sens longitudinal; la longueur ne varie pas. 



§ xc. 



Muscles respiratoires de la Sialis ltjtauia. 



Les mouvements respiratoires des Phryganes (page 157) different pro- 
fondemenl de ceux que nous venons d'etudier chez les Sialis. 

De pareilles dissemblances dans le mecanismc respiratoire, alors qu'il 
exisle incontestablement beaucoup d'analogie dans la structure des somites 
abdominaux, ne peuvenl s'expliquer que par des differences notables dans 
la disposition des muscles; aussi, malgre les didicultes pratiques de la dissec- 
tion, ai-je tenu a mettre sous les yeux du lecteur des figures exactes des 
muscles respiratoires des deux lypes a comparer (fig. 44 et fig. 56). 



SUR LES MOUVEMENTS RESP1RATOIRES DES INSECTES. t97 



Comme il est facile de le consiater, le systeme musculairc des Sialis res- 

scmble a celui des Coleopteres, des Blattes 
et des Lepidopteres a disposition simple. 
Outre des muscles longitudinaux dorsaux 
et sternaux, il existe des muscles expira- 
leurs a a peu pres verticaux, croisant la 
zone molle des flancs et reliant chaque 
arceau tergal a Farceau sternal correspon- 
^-dant. Ces muscles caracteristiques , que 
je n'ai pas trouves chez les Phryganes, 
sont evidemmenl les seuls agents actifs 
dans le rapprochement des arceaux de 
l'abdomen et dans la diminution du dia- 
metre vertical de celui-ci. J'ai inutilement 

cherche des traces de muscles inspirateurs; 1'inspiration est done, encore 

une fois, passive. 




oL 

Fig. 86 X 20- — Sialis lutaria. 

Muscles de la moitie droitc de l'abdomen. 

A, B Muscles longitudinaux dorsaux. 

a, b Muscles longitudinaux sternaux. 

a Muscles expirateurs verticaux. 



198 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



CHAPITRE VIII. 



RESUMES ET CONCLUSIONS. 



Je resume ci-dessous l'ensemble des rcsultals de mes recherches. Les 
uns sont des fails nouveaux; les autres sonl, la confirmation de faits deja 
connus, mais qui demandaient a etre verifies a l'aide de methodcs rigou- 
reuses. 

§ XCI. 

Relation entre l.v strccture anatomique et la forme des mouvements respiratoires. 
mouvements abdominaux et mouvements thoraciquks. 



1° 11 n'existe point, de relation etroite entre la forme des mouvements 
respiratoires d'un insecte et la place occupee par celui-ci dans les classifi- 
cations zoologiques. Les mouvements respiratoires ne sonl analogues que 
lorsque la structure des anneaux abdominaux et surtout la disposition des 
muscles qui les meuvent sonl a peu pres les memes. 

L'importance de la disposition musculaire est preponderante et la simili- 
tude dans la direction et 1'insertion des muscles parait sullire pour deter- 
miner une ressemblance dans les mouvements de respiration. 

Comme exemples de la proposition ci-dessus, on peut citer les Blattes 
que leurs mouvements respiratoires font nieltre a cole des Jlemipleres hete- 
ropteres, les Phryganes qu'il faul dislraire des Nevropteres propres pour 
les ranger a la suite des Hymenopleres porle-aiguillon, les Locustiens que 
j'ai du detacher des Orthopteres pour les rapprocher des Lepidopteres et des 
Nevropteres ; 

2° Les mouvements respiratoires des insecles (au repos) sonl localises 
dans l'abdomen de ces animaux (confirmation d'une observation deja ancienne 



STJR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 199 

que V. Graber i a pittoresquement rappelee, en disant que les insectes out 
la poitrine placee a la partie posterieure du corps). S'il existe des mouvemenls 
respiratoires thoraciques, ceux-ci ne proviennenl point de Taction de muscles 
particuliers; ils n'ont lieu que par entrainement ou comme consequence des 
mouvemenls de certaines parties des somites abdominaux; 

3° Dans le plus grand nombre des cas ; les segments thoraciques ne par- 
licipent pas aux mouvemenls respiratoires cbez l'insecte pose. Les deplace- 
menls respiratoires des segments posterieurs du thorax sont, cependant 
moins rares que ne le croyait Rathke. Je les ai observes chez les formes 
suivantes : 

VABLEAC I. 

A. Faces tergales des anneaux thoraciques se deplacant dans le me'me sens que les arceaux 
tergaux de l'abdomen (abaissement en expiration). 

Itloiivemenls Iris nets. 



M. ; so- Mela- 
tliorax. thorax. 



Stapbylinus pubescens 

— eaesareus 

— olens . . 
Chlorophanus viridis . 
Corymbites latus . . 



+ 



.Uiinirmfiil* plus raiulCN. 



Hydrophilus piceus 
Carabus auratus, . 
Tenebrio molitor . 



B. Faces tergales des anneaux thoraciques se deplacant en sens inverse des arceaux tergaux 
de l'abdomen (ascension en expiration). 



Melolontha vulgaris . 
Periplaneln orientalis. 



Mouvemenl de bascule en avant. 



C. Faces sternales des anneaux thoraciques participant aux mouvements respiratoires. 



Forh'cula auricularia . 

Periplaneta orientalis. 



-+- 
-4- 



Plus de quaranle autres formes appartenant a des groupes Ires divers, 
examinees a ce point de vue special, ne m'ont offert aucun mouvement 
respiratoire thoracique meritant la peine d'etre signale. 



1 Graber. Die Insekten, op. cit. , 1 Theil, p. 107. 



200 



RECHERCHES EXPER1MEINTALES 



§ XC1I. 

Diminution dd diametre vertical he i.'ariiomen en expiration. 

1° Si Ton neglige tous les details et toutes les exceptions, les mouvemenls 
respiratoires des insectes consistent en diminutions et relablissements aller- 
natifs de l'ensemble des deux diametres vertical et transversal de rabdomen 1 . 

La diminution des diametres en question repond a l'expiralion; le retour 
de ces diametres a leurs dimensions premieres repond a ['inspiration. 

La diminution expiraloire du diametre transversal (vulgairement rentree 
des flancs), souvent faible, peut etre tellement minime qu'elle passe inapercue. 
D'un autre cote, la diminution, en expiration, du diametre vertical, genera- 
lement tr6s nette, exisle toujours 2 . 

Le tableau suivant renferme les valeurs relatives de la diminution expi- 
ratoire du diametre vertical, mesurees sur les silhouettes. 

DIMINUTION r>U DlAVKTilF. VERTICAL I)E 1,'jriidjieJ EN EXPIRATION. 

A. Diminution tres marquee comprise entre l/g et •/iq- 



Slenobothrus variabilis . 
Libellula quadrimaculala. 
Melolontha vulgaris . . 
Hydrophilus piceua . . 
Cicindela hybrida . . . 
Periplaneta orientalis. . 
Eristalis tenux .... 



Valtrar 

lie la 

diminution. 

l/ 8 

'/, 

'It; a ''- 

V, a '/,, 

V- a '/„, 

*k 

"a 



Region du torps oil la mesiire a iSle prise. 

4 C somite abdominal. 

Region moyenne de 1'abdomen. 

3 e somite abdominal. 

2 C somite — 

2 C somite 

Entre les somites 2 el 3. 

2 l! somite. 



i L'axe du corps etant horizontal , comme chez l'insecte pose. 

2 Elle peut etre, mais tres rarement, masquee sur les silhouettes par la formation de 
plis saillants, etc. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRAT01RES DES INSECTES. 201 



B. Diminution de valeur 



Chlorophanus viridis . . 
Corymbites latus . . . 
Oryetes nasicornis . . . 

Chrysis ignita 

Asilus 

Phryganea striata . . . 

Sialis lutaria 

Ontliophagus nucliicornis 
Crioceris merdigera . . 
Stethophyma grossum. . 

Pieris napi 

Decticus verrucivorus. . 
Staphylinus pubescens . 
Tipula gigantea . . . . 
Syrphus ribesii . . . • 
Arctia menthastri . . . 
Tenebrio molitor . . • 
Euchelia jacobaeae. . . 
Calliphora vomitoria . . 

Clylus arietis 

Colymbetes fuscus . . . 
Trichius abdominalis . . 
Forflcula auricularia . . 



moyenno 


comprise entre i/ 10 et l/ 20 , 


Valeur 




diminution. 


Region liu corps oil la mestire a tie prise. 


'/... 


3 e et 4° somites abdominaux. 


'/to 


3" somite abdominal. 


'/«. 


3 e somite — 


•/« 


l" 1 ' somite apparent. 


"i0 


2 C somite abdominal. 


'/jo 


4° et S e somites abdominaux. 


'/«, 


4 r somite abdominal. 


",, 


4 e somite — 


•/«, 


3 C somite — 


"it 


3 e et 4 C somites abdominaux. 


'/.! 


2 e somite abdominal. 


"« 


3 e somite — 


•'.s 


Limitc entre le meso- et le metathorax 


%» 


?><■ somite abdominal. 


»'« 


2 e et 3 e somites (en expiration active). 


'/is 


3 e somite abdominal. 


''to 


2 e et 3 e somites abdominaux. 


'/« 


4° et 8° somites — 


'/17 


2 e somite abdominal. 


"is 


3° somite — 


'/« a '/so 


2° et 4 C somites abdominaux. 


V«o 


3° somite abdominal. 


"•20 


d l ' r somile — (avec doute). 



C. Diminution tres faible en dessous de i/ 20 . 



Staphylinus cacsarcus. 












'/so a '/ 3fl 


2 C somite abdominal. 


Dytiacus marginalia . 












''as 


3° somite — 


Staphylinus olens . . 












"23 


Melathorax. 


Donacia simplex . . 












2» 


2 e somite abdominal. 


Tabanus bovinus . . 












"•>S 


2 e et 3 e somites abdominaux. 


Carabus auratus. . . 












"a« 


4 1 ' somite abdominal. 


Cbrysomela staphylea. 












''so 


2 C somite — 


Nepa cinerea .... 












l/ s4 


2" somite — 


Antbophora retusa . . 












1/ 


3 e somite — 


Apis mellifiea. . . . 












>u» 


Vers le 4 e somite abdominal. 


Vespa germanica. . . 












'/« 


Avec doute. 


Bombus muscorum. . 












"m 


Difficile a mesurer cxactement. 


Tripbaena pronulm. . 












l >eo 


3 C et 4 e somites abdominaux. 


Sesia apifonnis . . . 












''96 


a" somite abdominal (avec doute) 



La valeur de la diminution du diametre vertical en expiration n'a pu etre 
determined, pour des motifs divers, chez Scatophaga stercoraria, Panorpa 
communis, Triphaena fimbria et Pygaera bucephala. D'un autre cote, par 
Tome LXV. 26 



202 



RECHERCHES EXPERIMEJNTALES 



suite de causes qui ont ete exposees dans les chapilres precedents, le dia- 
metre vertical semble exceptionnellement augmenter chez Chrysopa vulgaris 
de A j e , Coccinella septempunctala de 1 / 9 et Telephones fuscus de %. 

§ XCIII. 
Types respiratoires; changements de longueur de l'abdomen. 

o° Bien que la diminution expiraloire du diametre vertical s'efl'ectue 
constamment par le rapprochement des arceaux lergaux et sternaux des 
somites de l'abdomen, on a constate, depuis longtemps, entre les formes des 
mouvements respiratoires des insectes, des differences delerminees par la 
structure des somites et par la disposition des muscles qui en meuvenl les 
diverses parties. J'ai admis Irois types respiratoires principaux relies les uns 
aux autres par quelques transitions (voir pour la description de ces types et 
les subdivisions qu'ils component, le chapitre III, § IX, pages 27 a 33). 

6° Contrairement a une opinion ancienne, les changements de longueur 
de l'abdomen, dans la respiration normale, par suite de la sortie et de la 
rentree des somites les uns dans les autres, sont rares chez les insectes. Ces 
mouvements longitudinaux ne s'observent, dans tout I'ensemble d'un groupe, 
que chez les Hymenopteres porte-aiguillon. Dans les autres subdivisions 
zoologiques, on peut en rencontrer quelques exemples isoles. 

J'ai reuni, sous forme de tableau, les noms des insectes chez lesquels 
j'ai observe des changements respiratoires dans la longueur de la region 
abdominale, ainsi que la valeur de ces changements. Cette valeur est indiquee 
en fractions de la longueur de l'abdomen. 



TABLRAU III. 

A. Raccourcissement de l'abdomen en expiration. 

1" IIvii"'i»i|Hcn> |ior(e-aigullloii. 



Apis mellifica (excitee). 
— (calme) . 
Vespa germanica . . 
Boinbus muscorum. . 
— terrcstri's . . 
Anthophora retusa . . 



'/ 8 de la longueur de l'abdomen. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 203 



Phryganea striata . 
Cicindela hybrida . 
Kcsia apiformis . . 
Orvctes nasicornis . 



*° iiilicB insectes. 

>l- rie la longueur de l'abdomen. 

"40 



Eristalis teim 

Coccinella septempunctata 
Stenobothrus variabilis . 
Periplaneta orientalis . . 
Euohelia jaoobaeae . . . 
Syrphus ribesii .... 
Arctia menthastri . . . 
Decticus vorrucivorus. . 



B. Allongement de l'abdomen en expiration. 

'/oo de In longueur de l'abdomen. 



— (en respiration tres active). 

— (avec doute; valeur negligeable). 



L'abdomen conserve une longueur invariable cbez plus de quarante autres 
formes que j'ai eludiees a ee point de vue. 



§ XCIV. 

MOUVEMENTS RESPIRATOIRES PROGRESSIFS. 



7" Les naturalistes qui se sont occupes des mouvements respiratoires des 
Artbropodes, ont cru constater que, chez beaucoup d'insectes, ces mouve- 
ments etaient progressifs et se propageaient corarae une onde, soit de la base 
de l'abdomen vers la pointe, soit du milieu vers les deux extremites. 

Cette onde est, au contraire, un pbenomene cxceptionnel. Elle paraitfaire 
del'aut dans des groupes entiers et n'apparait dans d'autres que pour des 
formes isolees. 

TABLEAU IV. 

Su-r 63 insectes appartenant a tous les ordres principaux , je n'en ai rencontre que 9 dont 
les mouvements expiratoires aient lieu d'une maniere progressive. Ce sont : 



Tencbrio molitor '. 
Decticus verrucivorus . 
Nepa cinerea. 
Tipula gigantea. 
Asilus. 



Sialis lutaria. 
Chrysopa vulgaris. 
Pieris napi. 
Scsia apiformis. 



1 Dans ma communication preliminaire, j'ai dit a tort, page 11 (6°), que l'onde manquait 
chez tous les Coleopteres. 



204 



RECHERCHES EXPERIMENT ALES 



Quelques faits mc paraissent devoir diminuer encore ['importance qu'on a 
voulu donoer au phenomene de 1'onde : ainsi, chez certains insectes, Fondc 
n'est pas constante; on observe, a de courts intervalles, tantot des mou- 
veraenls expiratoires progressifs, tantot des mouvements cxpiiatoircs 
simultanes. 

Je crois aussi, mais sans oser l'aflirmer, le nombre de mes observations 
etant insuffisant, que l'onde exisle parfois chez les femelles chargees d'oeufs, 
alors qu'elle est absente chez les males, ce qui semblerait indiquer quelle 
peut, dans certains cas, etre delerminee par une gene dans le jeu des arceaux 
de quelques somites abdominaux (voyez § XXII, page 66, Abax striold). 



§ xcv. 



Pauses et arrets. 



8° La conclusion suivanle demande quelques explications quant aux 
termes. 

Avec tous les physiologisles, j'appelle pause le repos de courtc duree qui, 
chez certains animaux, marque regulierement la fin soit des inspirations, 
soit des expirations. La pause inspiratoire ou expiratoire se repete done 
d'unc facon regulierc et avec des durees sensiblement egales. Mais il exisle 
des animaux chez lesquels, a I'etat normal, la serie des mouvements respi- 
ratoires reguliers est complement interrompue, a des intervalles egaux ou 
variables, par de longs repos en inspiration ou en expiration. Ce phenomene, 
assez different du precedent, doit evidemment porter im autre nom. J'appelle 
arret ' l'inlerruption qui peut ainsi se presenter normalement dans les mou- 
vements respiratoires. 



l Torme employe, mais d'une fapon passagere, par Paul Bert. Lemons sur la physiologic 
compare'e de la respiration, p. ')08. Paris, 1870. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 205 



Ceci dit, voici ce que j'ai observe chez les insecles 



TABLEAU V 



A. Les pauses ou les arrets ont toujours lieu en inspiration , jamais en expiration. 

B. Dne pause termine chaque mouvement inspiratoire chez les formes suivantes : 



Hydrophilus piceus (calme). 
Melolonlha vulgaris (epuise et scule- 

ment dans cc cas). 
Colymbetes fuscus. 
Oioceris merdigera. 
Decticus verrucivorus. 



Periplaneta orientalis. 
Libellula quadrimaculata. 
Aeschna grandis. 
Calliphora vomitoria. 
Syrphus ribesii. 
Erislalis tenax. 



C. Des arrets plus ou nioins longs, en inspiration, interrompent la serie des mouve- 
ments respiratoires chez les insectes ci-dessous : 



Dytiscus marginalis (en liberte). 
Melolontlia vulgaris. 
Gcotrupes sylvatieus. 
Tcnebrio molilor. 
Coryinbitcs latus. 
Chlorophanus viridis. 
Stcthopbyma grossum. 
Slenobothrus variabilis. 
Decticus verrucivorus. 



Forficula auricularia. 
Pieris napi. 
Sesia apiformis. 
Tripbaeua pronuba. 
Arctia menthaslri (au debul des obser- 
vations settlement). 
Tabanus bovinus. 
Erislalis tenax. 
Asilus. 



Ces listes, qu'il serait facile d'allonger encore, montrent que des pauses 
ou des arrets en inspiration caracterisent la respiration d'uiri grand nombre 
d'insectes. 

II peut etre interessant de rapprocher de ces laits ce qui a etc observe 
chez les Verlebres. D'apres les experiences de Paul Bert ', il n'exisle a I'etat 
norma] 2 , ni pauses ni arrets chez les Oiseaux et les Mammii'eres 3 ; mais la 
respiration des Reptiles vrais est marquee tantot par de longs arrets en 
inspiration (Caiman:) ou en demi-expiration (Torlues), tantot par des pauses 
inspiratoires regulieres et longues (Serpents). 

1 Paul Bert. Lemons stir la physiologic comparee de la respiration, op. cit., pp. 286 et 
suiv. et p. 33d. 

2 11 faut necessairement faire abstraction des cas speciaux, tels que la respiration tres 
lente et tres profonde qui, chez l'homme, presente toujours une pause, etc. 

3 Marey a demontre le fait pour l'homme. I)u mouvement dans les fonctions de la vie, 
p. 164. Paris, i868. Pneumographie (Journal d'anatomie et de physhjlogie de Ch. Robin, 
t. II, p. 431, 1865). 



206 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



§ XCVI. 
Vitesse de [/expiration et de [.'inspiration. — Phase active et phase passive. 

9° Chez les insectes assez vigoureux pour fournir ties graphiques convc- 
nables, tels que de grands Coleopleres, des Libellules, des Locustiens , etc., 
on constate que l'inspiration est ordinairement plus lente que l'expiration 
et que ce dernier mouvement est souvent brusque (confirmation, par la 
methode graphique, d'une ancienne observation dirccte faite par W. Sorg sur 
le Lucanus cervus (1805). 

Les insectes nous offrent done, a cet egard, un phenomene inverse de 
celui qui existe chez les Vertebres a respiration aerienne. Chez ces derniers, 
en efifet, e'est l'expiration qui se trouvc etre, en general, plus lente que 
l'inspiration. Paul Bert a constate, pour le Canard, que les rapports de temps 
entre les durees de 1'cxpiration et de l'inspiration sont environ comme 12 
est a 9 1 . 

Cette dillerence curieusc entre les mouvements rcspiratoires des insectes 
el ceux des Vertebres pulmones s'explique parfaitement par les conclusions 
suivantes, 10° et 11°. 

10° Chez la plupart des insectes l'expiration est seule active; l'inspiration 
est, passive et a lieu sous rinfluence de I'elasticite des teguments et des parois 
tracheennes (confirmation de plusieurs observations anterieures -). 

§ xcvu. 

Muscles respiratoires. 



1 1° Le plus grand nombrc des insectes ne possedc que des muscles expi- 
rateurs. J'ai trouve des muscles aidant a Inspiration, non seulement chez les 
Hymenoptercs porte-aiguillon el les Acridiens, chez lesqucls ils avaient ete 

1 Voyez, a ce sujet, les graphiques publies par Paul Bert dans l'ouvrage cite plus haut : 
p. 283, Grenouille; p. 304, Lezard; p. 305, Caiman; p. 319, Canard. 

2 C'est absolumcnt le contraire de ce qui se passe chez les Vertebres superieurs; ainsi, chez 
l'hornme « l'inspiration est essentiellcment active, musculaire. . . l'expiration ordinaire est 
» produite uniquement par Felasticite pulmonaire (et thoracique) et sans intervention mus- 
» culaire ». 11. Beaunis. Noiweaux elements de physiologic humaine, t. II, p. 921. Paris, 1881. 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 207 

indiques par Ratlike et, Graber, mais, de plus, chez les Phryganes parmi 
les Nevropteres. 

Les muscles respiratoires des Articules tracheites ont ete peu etudies el 
n'ont, du reste, jamais ete examines serieusement d'une facon comparative. 
II y aurait done un grand interet a traiter specialement ce point d'anatomie 
comparee. 

Malbeureusement, mes dissections, suffisantes pour completer le present 
Memoire, ne sont pas assez nombreuses pour les faire servir de bases a un 
travail morphologique. J'utiliserai done mes maleriaux (els quels, en me 
bornant, pour le moment, a faire ressortir les passages graduels existant 
entre les types que j'ai pu analyser et en negligeant, adesscin, loute com- 
parison avec ce qui existe cbez les Tracheites inferieurs et chez les larves l . 

l re CATEGOKIE 2, 

tin's ninsclrs explrjtteura seuk'iiicul 

I er Cas. — La disposition la plus simple est celle que nous offrent 
quelques Dipteres, la CaUiphom vomitoriu (fig. 35) et YEristaris tenax 
(fig. 36). 

Les muscles dorsaux et sternaux determinant les mouvements generaux 
de Tabdoinen sont reprelsenles par des nappes musculaires continues, ou a 
peu pres A, a a fibres longitudinales. Les muscles cxpiraleurs sont, de 



1 J'ai, il est vrai, otudie tres soigneusement les Memoires de Lyonet, Newport, Cornalia, 
Hathke, Kunckel d'Herculais et Scudder dans les passages qui traitent des muscles des 
Chenilles ou des Larves, eeux de Kutorga et de Voges sur les muscles des Scolopendres et 
des Jules, enfin les recherches de Wasmann et d'Enhle Blanchard sur les muscles des 
Scorpions, des Telypliones, des Phrynes, des Phalangides et des Mygales, mais, pour 
des travaux comparatifs serieux, chacun sait qu'il ne faut jamais se contenter des figures 
et des descriptions, qu'il est indispensable de refaire les dissections soi-meme; cest ce 
que je me propose d'effectuer un jour, afin d'arriver a etablir les premiers jalons d'une 
myologie comparee des Arthropodes. 

' 2 II est absolument impossible, dans un resume, de revenir de nouveau sur les travaux 
de mes predecesseurs. On trouvera dans le corps meme du Memoire, l'indication exacte de 
ce qui revient a chacun en fait de descriptions de muscles. 



208 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



meme, conslitues par une nappe musculaire « a fibres verlicales, reliant 
les plaques sternales aux arceaux tergaux, en passant sur la zone molle elas- 
tique qui unit les elements squelettiques des somites. 

II e Cas. Quelques Lepidopteres, Pygaera bucephala, par exemple (fig. 53). — 
Les muscles dorsaux et sternaux qui amenent les mouvemenls generaux de 
l'abdomen ne sont plus de simples nappes; ils sont differences en faisceaux 
longitudinaux distincts A, a. Les muscles expiraleurs sont encore repre- 
sented par une nappe musculaire a fibres verticales, recouvrant la zone molle 
elastique des flancs. 

Legere deviation du cas precedent. Smerinthus Mice (fig. 5-4), autres 
Sphingides et Arctia menthastri. — Disposition voisine ; seulement Ie sys- 
teme des muscles dorsaux presente une petite complication : des faisceaux D 
a direction tres oblique s'ajoulent aux faisceaux longitudinaux et naissent 
d'especes d'apodemes que presente Ie bord anterieur de la zone molle de 
chaque somite. Ces faisceaux obliques jouent, peut-etre, un certain role dans 
l'expiration. 

III e Cas. (Disposition tres frequente.) — Les muscles expiraleurs a, a fibres 
verticals, cessent d'etre constilues par de simples nappes de fibres; ce sont, 
actuellement, des faisceaux distincts, plus ou moins etroits, se repetant de 
somite en somite et d'autant plus distants les uns des autres que les arceaux 
sternaux sont plus longs '. Tabanus bovinus (fig. 39), Sialis Maria (fig. 56), 

i Le passage suivant, extrait d'un des ouvrages d'Emile Blanchard, est ici entierement 
applicable. L'auteur, qui n'a en vue que la musculature generale et non les muscles respi- 
ratoires en particulier, s'exprime ainsi : « En examinant les muscles d'une maniere compa- 
rative chez des especes appartenant aux principaux groupes de la classe des insectes, des 
dissemblances tres grandes en apparence s'offrcnt aux yeuxde l'observateur ; mais bientota 
son attention se revele l'existence d'un fonds commun dont les elements tantot se separent 
ou se confbndent, tantot prennent un developpement considerable ou s'amoindrissent a 
l'extreme. Les muscles deviennent plus nombreux si les mouvemenls doivent etre tres varies ; 
seulement on arrive a reconnoitre que Vaccroissement du nombre des muscles est du a de simples 
divisions. Les fibres se pariagent en deux ou trois faisceaux ou meme davaniage, au lieu d'etre 
reunies en une seule masse. » (Metamorphoses, moeurs et instincts des insectes, p. 78. Pans, 
1868.) 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES LNSECTES. 209 

Agrion sanguineum (fig. 32), Periplmieta orientals (fig. 30) et uo grand 
nombre de Coleopteres : Melolontha vulgaris (fig. M), Oryctes nasicornis 
(fig. 21), Clylus arielis (fig. 27), etc. 

Legere deviation du cas precedent. — La disposition generate est Ja meme; 
ia seule difference consiste dans ce fait que les muscles expirateurs verticaux, 
au lieu d'etre composes chacun d'un seul faisceau, sont constitues soit par 
deux faisceaux divergents, soit par deux faisceaux croises «, j3. On peul citer, 
comme exemples, le Dytiscus marginalis (fig. 49) el YHyclrophilus piceus 
(fig. 16). 

IV C Cas. — Disposition analogue a celle du III e ; mais les muscles dorsaux 
sont, en grande partie, decomposes en faisceaux obliques D, E, qui se croi- 
sent sous des angles plus on moins aigus. (Forficula auricularia, fii>\ 45; 
Slaphylinus olens, fig. 26.) 

V 8 Cas. — Les muscles longitudinaux et les muscles expirateurs verti- 
caux sont encore disposes comme dans le III e cas. De petits muscles expira- 
teurs transversaux y sont venus s'y ajouter. Places en echelons au-dessus de 
la chaine ncrveuse, ils relient, de droite a gauche, les zones elastiques des 
flancs. (Decticus verrucworus, fig. 54/ 



2 9 CATEGORIE. 

new muscle* expirateurs et tics muarlesi Insplratcurs. 



Les muscles inspiraleurs out, en general, une direction verticale et leur 
presence complique ordinaircincut beaucoup la musculature de I'abdomen. 

Vl e Cos. Acridiens. — Les muscles dorsaux et sternaux qui determinent 
les mouvements generaux sont tres simples et se composent de faisceaux 
longitudinaux. 

Les muscles expirateurs a, (3 (fig. 47), encore verlicaux, sont evidem- 
Tome XLV. 27 



210 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



ment, malgre la dimension de Tun d'entre eux a, les homologues des expira- 
teurs simples ou doubles, paralleles on croises, des Coleopteres, des Odonates, 
des Blattes, etc. (voyez lll e cas). 

Les inspiraleurs apparaissenl comme muscles nouveaux. Vinspirateur 
principal 3 est exaclement antagoniste de Pexpirateur principal, mais moins 
developpe. Vinspirateur accessoire 4, dont Faction est plus douteuse, semblc, 
par suite de sa direction oblique, devoir faire basculer, en arrierc, l'apo- 
deme saillant du bord anterieur de l'arceau sternal. (Slethophyma grossum, 
fig. 47.) 

VII" Cas. Hymenopleres porle-aiguillon. — ■ On sail que chez ces animaux 
l'expiration est loujours accompagnee d'un raccourcissement de I'abdomen. 
Une portion ou la totalite des muscles dorsaux et sternaux ordinaires est 
detournee de sa destination primitive. Ces muscles jouenl le role ffexpira- 
tcurs. D'un autre cote, les expirateurs verticaux «, /3, si constants chez les 
autres inscctes (Acridiens, Coleopteres, Blaltcs, Odonates, L6pidopteres, etc.), 
ont disparu. 

Les muscles inspiraleurs servent, les tins a ecarter les arceaux sternaux 
desarceaux dorsaux, les autres a rendre a I'abdomen sa longueur primitive. 
Vinspirateur 5 , qui ecarte les arceaux et augmente, par suite, le diametre 
vertical, est l'homologue de l'inspirateur principal des Acridiens. Les inspi- 
raleurs determinant I'allongement de I'abdomen manquent chez les Acridiens 
et sont, par suite, ici des muscles nouveaux /, 2. Leur disposition et leur 
action, (jue j'ai decriles (page ill)), sont fort caracleristiques. Siloes par 
[taires formccs d'un laisceau dorsal et d'un faisceau sternal , tres legerement 
obliques et reliant chacun le bord posterieur d'un arceau a Tangle anterieur 
saillant de l'arceau suivant, ils produisent, [>ar leur action simullanee, un 
leger recul des somites, les uns par rapport aux autres. (Vcspa gcrmanica, 
fig. 40; Bombus lerreslris, fig. 41.) 

VIII Cas (Phryg aniens). — Plus ou moins analogue au precedent. On 
relrouve encore une partie des muscles generaux dorsaux el sternaux D, c> 
a 1'elal de faisceaux obliques expirateurs et on constate la presence de mus- 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 211 

cles inspirateurs 1 et 2 homologies de ceux qui, chez les Hymenopteres, 
amenent 1'allongement de l'abdomen. (Phryganea striata, fig. 44.) 

12° Les diaphragmes superieur (aneiennement ailes du c(Eur) etinferieur 
des Hymenopteres porte-aiguillon u'ont pas, dans le mecanisme respira'toire, 
le role que Wolff leur attribue (fig. 43). 



§ XCVIII. 

MOUVEMENTS GENERAUX DE i/ABDOMEN. 

13° Un grand nombre d'insectes, peut-etre tous, impriment a leur abdomen 
des mouvements generaux, tantot faibles, tantot ties amples, qui ne coinci- 
dent pas avec les mouvements respiratoires proprement dits et qu'il importe 
d'en distinguer. 

§ XCIX. 

Influence db systeme nerveex. 

14° Les mouvements respiratoires abdominaux des iusectes sont des mou- 
vements purement reflexes '. II resulte, en efi'et : 

A. Des experiences de Straus-Durckheim sur la Moucbe commune, de 
Faivre sur le Dylique, de Barlow sur les LibeUula vulgata, L. depressa et sur 
le Grillon, de Baudelot sur des Libellules, de Langendorff sur des Libellules, 
sur des Hymenopteres et sur le Hannelon; enfin, de mes experiences per- 
sonnelles sur les Hydrophilus piceus, Dyliscus marginalis, Carabus aurutus, 
Oryctes nasicornis, Geotrupes sylvaticus, LibeUula quadrimaculata , Forfi- 
cula auricularia et Panorpa vulgaris, que les mouvements respiratoires 
persistent chez Tinsecle decapite, ou, ce qui revient au meme, chez 1'insecle 
donl on a delruit soit les ganglions cerebroi'des, soil les connectifs reliant les 
ganglions cephaliques au reste de la chaine; 

1 Des physiologistes prelereraient peut-etre me voir employer l'expression de mouvements 
automatiques. Je n'ai point la competence necessaire pour entamer une discussion a cet 
egard. Si j'en juge par ce que disent les trades reeents, la plupart des pretendus mouve- 
ments automatiques des Yertebres, tels, par exemple, que les mouvements respiratoires, 
sont en realite des mouvements reflexes. 



212 



RECHERCHES EXPERIMENTAL^ 



B. Des experiences de fiarlow, de Baudelot el de LangendoriT' sur les 
Libellules et des miennes sur les Bombus terreslris, Stelhophyma grossurn, 
Stenobothrus variabilis, Libellula quadrimaculata , Aeschna grandis que, 
ehez les insectes dont le systeme nerveux est peu condense, les mouvements 
de respiration continuent dans l'abdomen entitlement isole, ou dans l'abdo- 
raen dont la chaine nerveuse a ete sectionnee au niveau de Tun des premiers 
somites; 

C. Des experiences de Barlow, de celles de LangendoriT et de celles effec- 
tuees par moi-rneme sur les Libellules que loutes les causes exterieures qui 
augmentent l'activite respiratoire cbez l'insccte intact out exactement la 
meme influence, soit sur l'animal prive de ses centres nerveux anlerieurs, 
soit sur l'abdomen isole, soit meme sur des troncons de l'abdomen. 

L'action de la chaleur est parliculieremenl facile a constater et je citerai, 
a cet egard, une de mes observations. La temperature de la portion de l'appa- 
reil a projection dans laquelle j'introduis les insectes est superieure de 6° a 
la temperature de Fair de l'appartement. Je decapite une Libellule et je 
compte 34 mouvements respiratoires par minute (en moyenne); j'introduis 
l'animal dans l'appareil et le rbythme respiratoire s'accelere aussitot; l'abdo- 
men offre 55 mouvements par minute (en moyenne). 

On me permettra d'extraire d'un travail recent de A. Guillebeau et 
L. Luchsinger ' un passage qui confirme ce qui precede : Arnold a observe 
que si, apres avoir engourdi completement un insecle en elcvant considera- 
blement la temperature de I'air contenu dans le vase ou il est renferme, on 
cherche a ranimer 1'animal par le refroidissement, on voit reapparailre suc- 
cessivement les reflexes des membres, les mouvements respiratoires, puis 
la possibility de se retourner apres une chute sur le dos, et enfin, tardive- 
ment, les manifestations plus elevees d'une volonte consciente. 

15° Les ganglions metathoraciques ne sont point, comme le croyait Faivre, 
des centres respiratoires speciaux. 



^ Guillebeau- und Luchsinger. Fortgesetzte Studien zu einer allgemeinen Pliysiologie der 
irritabeln Substanzen. Kin Beitrag zur Kenntniss des Centralmarhes der Annulata Quvieru 
(Archiv fur hie gesammte Piiysiologie von Pfluger, Bd. XXVIII, 1- et 2" partie, p. 1. Bonn, 

1882.) 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 215 

On peul avancer comme preuves : 

A. Toutes les experiences que je viens de rappeler sous le numero pre- 
cedent, experiences qui montrent que les mouvemenls respiratoires abdoini- 
naux des insectes a systeme nerveux, pen condense, ont lieu sans I'intervenlion 
des ganglions thoraciques; 

B. La serie des experiences que j'ai effectuees sur les Coleopleres achaine 
demi-eondensee, ffydropkilus piceits, Dytisms marginalia, chez lesquels la 
destruction ou la separation de la masse metalhoracique amene la suppres- 
sion de quelques ganglions abdominaux anterieurs. Chez ces animaux, on 
observe alors l'abolition des mouvements respiratoires dans les somites ante- 
rieurs de Fabdomen et letir persistance dans les somites posterieurs. 

L'arret partiel ou total des mouvements respiratoires a la suite de la 
destruction des centres metathoraciques des Coleopleres resulte simplement 
de la condensation du systeme nerveux de ces insectes. Mes experiences sur 
le Dylique, PHydropbile et, surlout, sur VOrycles nasicomis, lendent, de 
plus, a prouver que chez les Tracheites a systeme nerveux condense, Fexei- 
tation d'un point ou la destruction partielle d'une masse nerveuse complexe 
provenant de la soudure de centres ganglion aaires successifs, produit ses 
effels sur tons les centres entrant dans la constitution de celte masse 1 . 

'16° Jl est presque inutile de rappeler que toutes les experiences sur le 
systeme nerveux des Arlhropodes ont demontre que chaque ganglion ner- 
veux de la chaine ventrale est le centre moleur du somite auquel il appar- 
tient. C'est ce que Barlow appelle la Self-sufficiency des ganglions. 

Les Myriapodes constituent, a eel egard, les sujets de recherches les plus 
inleressanls et les plus demonslraiifs. Les nombreuses experiences de New- 
port/ 2 sur les Jules et sur les Lithobies ont presque epuise la question. Nean- 
moins, j'ai soumis moi-meme le Lithobius forfieatus a des essais varies dont 



' Ce resultat demanderait a etre confirme par des experiences nouvelles sur des Artieules 
de grande faille , des crustaces, par exemple. 

2 Newport. On the structure, relations and developpement of the nervous and circulatory 
systems and on the existence of a complete circulation of the Blood in Vessels, in Myriapoda 
and Macrourous Arachnida (Philos. Transactions, part. II, p. 243, 1843). 

Aristote et Duges ont fait aussi quelques experiences incompletes sur les Myriapodes. 



214 



RECHERCHES EXPER1MENTALES 



les resultats, encore inedils, sont forts curieux. Je n'en citerai qu'un seul. 
Une Lithobie est divisee en Irois troncons, comprenant respectivemenl : le 
premier, la tele el Irois paires de paltes vraies; le deuxieme, six paires de 
pattes; le troisieme, six paires egalement. Ces troncons sont inlroduits dans 
un tube de verre a atmosphere humide. Cinquanlc-deux heures apres ('instal- 
lation de Pexperience, les pattes des trois troncons presen ten I encore des 
mouvements reflexes parfaitement constates. 

17° Bien que les mouvements respiratoires des insectes soient des mou- 
vements reflexes se produisant sans Finlervenlion des centres nerveux 
volontaires ou cerebroides, ils peuvent evidemment ,, cbez les Arlicules 
intacls, etre conslamment modifies par des influences emanant des centres 
en question. En effet : 

A. Toute excitation directe ou indirecte des ganglions cerebroides amene 
une acceleration dans les mouvements respiratoires. On a vu que, chez 
VOryctet, j'ai obtenu l'excitation directe en piquant les ganglions. Je signa- 
lerai, en outre, un cas d'excitation indirecte observe chez un Hydrophile 
intact : Pinsecte execute 26 mouvements respiratoires par minute; on lui 
cbatouille les antennes avec une aiguille ; le nombre des mouvements respi- 
ratoires par minute augmente aussitot; il s'eleve a 29; 

B. Chaque fois que Ton supprime Taction des ganglions cerebroides, soit 
par la destruction de ces centres seuls, soit par la decapitation, soil en sec- 
tionnant la chaine nerveuse venlrale dans sa region anterieure, on observe 
une modification plus ou moins profonde , tantot dans le rhytbme des mou- 
vements de respiration, tantot dans leur amplitude, tantot quant a ces deux 
caracteres a la fois. 

L'influence des ganglions cerebroides est done incontestable; malheureu- 
sement il est impossible, avec les elements reunis jusqu'a present, de decider 
posivement quelle est sa nature. 

Le tableau suivant, sans resoudre la question, permet cependanl de sup- 
poser que cette action est probablement acceleralrice, qu'elle determine un 
accroissement de vitesse et un accroissement d'amplitude. (Elle n'esl certai- 
nement pas coordonnatrice, la suppression des ganglions cepbaliques ne 
produisant pas d'irregularites; la melhode graphique le prouve.) 



SUR LES MOUVEMENTS RESPIRATOIRES DES INSECTES. 215 



TABLEAU VI. 



OKSEKVATEUR, 



OPERATION EFFECTIVE. 



EFFET SDR LES HOl'VEMENTS RESPIRATOIRES 



Faivre . 
Barlow 



Plateau 



Laneendorff. 



Dylique . . . . 

Gi'illon 

Libellule. . . . 
Hydrophile . . 
Dytique . . . . 
Dytique . . . . 

Carabe 

Orycles . . . . 

Oryctes 

Geolrupc. . . . 
Libellule. . . . 
Aeschna . . . . 
Stethopfayma . 
Stethophyma . 
Stenobotlirus . 
Hanneton . . 
Libellule. . . . 



Section des conneetifs entre les ganglions 
sous-oesopbagiens et prothoraciques. 

Decapitation 

Decapitation 

Destruction dcs ganglions cerobroidcs. . 

Decapitation 

Destruction dcs ganglions eerCbroi'des. . 

Decapitation 

Decapitation ■ . 

Section do la cbaine entre les ganglions 
meso- et metathoraciques. 

Decapitation 

Decapitation 

Section de la cliaine a la base dc l'abdo- 
men. 

Section lie la cbaine a la base de I'abdo- 
men. 

Destruction des ganglions metathoraci- 
ques. 

Section de la cbaine a la base de I'abdo- 
men. 

Decapitation 

Decapitation 



Affaiblissement momentane. 

Aft'aiblissement et ralenlisseinenl. 

Affaiblissement ct ralentisscinent. 

Diminution d'amplilude et ralentisscinent 
faiblc. 

Diminution d'amplilude, acceleration. 

Diminution d'amplilude, acceleration. 

Legere diminution d'amplitude. 

Diminution d'amplitude aprcs 15 minutes 
seulemcnt. 

Affaiblissement general. 

Acceleration lnomenlancc. 

Legcr ralentissemenl. 

Diminution d'amplitude el ralentissement 
leger. 

Ralentissement. 

Ralentissement. 
Ralentissemenl. 
Ralentissement. 
Ralentissement, 



En terminant ces conclusions, je ferai remarquer que toule section de 
la chaine venlrale ganglionnaire porte fatalement a la fois sur cette chaine 
et sur les cordons nerveux qui, situes a sa face superieure, constituent les 



216 



RECHERCHES EXPERIMENTALES 



troncs d'origine du systeme auquel Emile Blanchard, Leydig, Caltie el bien 
d'autres donncnt le nom de sympatbique. 

Ce fait seraittres grave si, comme le supposaienl Newport ct ses succes - 
seurs, le soi-disant sympathique offrait reellemenl des ganglions de distance 
en distance et si, suivant une opinion ancienne aussi, les nerfs qui en 
emanent (nerfs transverses) animaient exclusivement des trachees et les 
muscles des orifices stigmatiques. Mais il resulte des observations interes- 
santes de Catlie ' sur les Cbenilles : 1° que le sympathique ne presente 
aucun ganglion; 2° que ses nerfs naissent en realite des ganglions de la 
chaine ventrale; 3° que les uns, parmi ces nerfs transverses, se rendent au 
systeme tracheen ou aux stigmates et d'autres aux muscles Iongitudinaux 
de Pabdomen; enfin 4° que certains stigmates sont animes par les nerfs en 
question, landis que d'autres le sont par les nerfs ordinaires du systeme 
moteur. 



i Cattie. Beitrage zur Kennlniss der Chorda supraspinalis, etc., op. cit., pp. 308 et suiv. 



EXPLICATION DES PLANCHES. 



PLANCHE I. 

Les figures de cette planche et celles des planches II, III, IV, V, VI et VII sont la repro- 
duction exacte de quelques-unes des nombreuses silhouettes obtenues par la methode des 
projections. Afin de reduire l'espacc occupe par les figures, j'ai supprime generalement 
les silhouettes des tetes. 

Dans tous ces dessins, la phase expiratoire est noire, la phase inspiratoire blanche. Les 
ehiffres indiquent les numeros des somites abdominaux apparents; les Heches donnent des 
indications quant au sens des mouvements expiratoires. 

Fig. 57. Silhouette du profil de VHydrophilus piceus (grossissement 6). 

Des styles de papier sont fixes sur les arceaux tergaux 1, 2, 3, 4, 5 et sur I'extre- 

mite de l'abdomen. 
La pointe de l'abdomen est a peu pres immobilisee par une epingle EE. 

Fig. 58. Silhouette du profil de YOryctes nasicomis <? (grossissement 5). 

Des styles de papier sont portes par les arceaux tergaux 2, 4, 6 ; l'abdomen est 
libre. 



PLANCHE 11. 



Fig. 59. Silhouette fournie par un Oryctes nasicomis a" place longitudinalement dans 
l'appareil. La silhouette repond a la coupe du somite 4 (grossissement 5). 
Des styles de papier sont fixes sur le milieu et sur les parties declives de l'arceau 
tergal, ainsi que sur le bord des regions epimeriennes. 

Fig. 60. Combinaison de deux silhouettes obtenues en plaeant un Hanneton longitudina- 
lement dans l'appareil. Chacune des silhouettes repond a la coupe du troisiemc 
somite abdominal (grossissement 0). 
Dans la moitie gauche de la figure un style de papier i est fixe sur 1'emplacenient 
meme du stigmate ; dans la moitie droite un style analogue i' est colle sur la 
region epimerienne. 
TomeXLV. 28 



218 



EXPLICATION DES PLANCHES. 



PLANCHE III. 

Fig. 61. Silhouette du profit du Staphylinm caesareus; l'abdomen est libre (grossisse- 
ment 12). 
Mth. Prothorax immobile; 
Msth et Mtth. Meso- et metathorax participant aux mouvements respiratoires. 

Fig. ,62. Silhouette du profil de la Coccinella septempunctata. L'extremite de l'abdomen 
repose librement sur une epingle coudee (grossissemenl 14). 
La phase expiratoire est accompagnee ici d'une augmentation du diametre vertical 
de l'abdomen (voyez fig. 8 page 103). 

PLANCHE IV. 

Fig. 63. Silhouette du profil de la Nepa cinerea. L'extremite de l'abdomen repose librement 
sur une epingle coudee. Des styles de papier sont eolles sur les parties laterales 
de deux arceaux sternaux (grossissement 11). 

Fig. 64. Silhouette du profil de la Blatte (Periplaiieta orientalis) (grossissement 11). 
Msth, Mtth. Meso- et metathorax. 

Fig. 65. Silhouette de la face sternale de l'abdomen de la Libellula quadrimaculata (gros- 
sissement S). 
L'allongement apparent en expiration resulte du mouvement oscillatoire de l'ab- 
domen demontre par la figure suivante. 

Fig. 66. Silhouette du profil de l'abdomen de la Libellula quadrimaculata (grossissement 5). 



PLANCHE V. 



Fig. 67. Silhouette du profil de la Calliphora vomitoria (grossissement 10). La ligne poin- 
tillee montre Petendue des mouvements d'oscillation non respiratoires. 

Fig. 68. Silhouette de la face inferieure de l'abdomen de la Calliphora vomitoria 5 (grossis- 
sement 10). 
L'oviscapte s'allonge en expiration. 

Fig. 69. Silhouette du profil de l'abdomen de YEristalis tenax (grossissement 10). 

Fig. 70. Silhouette du profil de l'abdomen de la Vespa germaiiica. Mouvements respira- 
toires chez un individu calme (grossissement 11). 
Toute la partie de l'abdomen situee au-dessus de la ligne pointillee IM reste 
immobile. 



EXPLICATION DES PLANCHES. 



219 



PLANCHE VI. 

Fig. 71. Silhouette du profil de I'abdomen du Bombus muscorum ? (grossissement 11). 

Toute la partie de I'abdomen situee au-dessus de la ligne pointillee IM reste 
immobile. 

Fig. 72. Silhouette du profil longitudinal de la Phryganea striata ?. 

L'abdomen repose, par le cinquieme somite, sur une epingle coudee (grossiste- 

ment 10). 
Du cote dorsal de la figure, la ligne noire pointillee represente l'abaissement 

expiratoire dans les moments oil celui-ci est faible. 

Fig. 73. Silhouette du profil de I'abdomen du Stenobothrus variabilis (grossissement 5). 



PLANCHE VII. 



Fig. 74. Silhouette du profil longitudinal de l'abdomen du Dectkus verrucivorm (grossis- 
sement 7). 
L'animal est sur le dos, fixe par les organes du vol serres entre les lames d'un 
support S. Le sixieme somite abdominal repose librement, par sa face tergale, 
sur ce support. 

Fig. 75. Silhouette du profil longitudinal de la Pieris napi. Les deux images sont destinees 
a faire comprendre 1'onde respiratoire (grossissement 5). 

Fig. 76. Silhouette du profil longitudinal de l'abdomen de la Sialis Maria (grossisse- 
ment 12). 



Mem.de TAcad. Rovale 



PL. I. 




*»'«», 



lei. 



Lith G. Se'.'eT-eyTii:. 



Mom. de I 'Acad. Royale 



PL. II. 




Fig. 59 x 5. 




Fig. 60x6. 



i . : 



i ■ H ■■ ■ ■ ■ 



Mem.de I'Acad. Rovale 



PL 




%. 61x12. 




Fig. 62 x 14 



Uh G 



Mem . de I 'Acad . Roval 



PL. IV 




Mem . de I 'Acad . Royale 



PL. V 





Tkj. 67x10. 



Pi^. 68x10. 





%,' 



Fig.ZOx 11. 



TFla 



IjitK G Severefyns 



M6m.de l'Acad. Royale 



PL. VI. 




Fig.I3x5. 



F PlatMn io) 



lift c 



Mem. de 1'Acad. Royale 



PL. VII. 




Fitj.Z5x5 



Fmjt.78 x 12 



F. Plateau, deL 



Lith . G-. fife'.-ere.yi:s 



LE REALISME 



SON INFLUENCE SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE 



PAR 



Henri HYMAKS 

CORRESPONDANT DE L'ACADEMIE ROYALE DE BELGIOUE. 



Comnte urt bet arbrc, aimons la caloimc Jtancec; 
L Art vrai n'a--l-il done pas la nature pour sceurf 



Brizeux. 



(Memoire pre'sente' a la Classe des beaux-arts dans la seance du 7 juin 1883.) 



Tome XLV. 



"-*•* 



AVAJNT-PROPOS ' 



An raois de mai 1882 s'ouvrait, a 1'Ecole des Beaux-Arts a Paris, une 
exposition generale de I'oeuvre de Courbel. Elle s'eiait organised sous Ie 
palronage oiliciel el, a peine close, plusieurs d'enlre les loiles quon y avail 
fait figurer allerenl prendre place dans les rausees francais. 

II est diflicile de ne pas envisager comme un revirement ce double et 
solennel hommage rendu a la memoire de I'arlisle en qui Ie realisme trouvait 
naguere sa personnificalion la plus disculee. 

N'en peut-on conclure que la theorie nouvelle a sorti ses effels, que des 
mainlenant elle appailienl a Thistoire? On est sans peine genereux envers 
les moris. 

« Les haines s'en vont, les rivaliles s'effacent el la justice qui se laisait 



1 Ce memoire portant la devise : 

Comme un lei arbre, aimons la colonne ilancie ; 
L'Art vrai n'a-l-U done, pas la nature pour saw? 

Biuzeux. 

a ete soumis au concours de la Classe des beaux -arts pour 1885, el renvoye dans la seance du 
7 juio a Texamen de MM Slingeneyer, Stallaert et Fetis. 

« La Classe, adoptant les conclusions des rapports de ses commissaires, lus dans la seance 
du 25 octobrc (Bulletin, 3" seric, t. VI, pp. 544, 54C, 5S7), a juge ce travail digne de la 
medaille dor. 

» L'enveloppe qui, d'apres Ie reglement, devait contenir 1c nom de 1'auteur, ayant etc 
decacbete'e par M. Ie Directeur de la Classe, il a etc constate qu'elle ne renfermait qu'un billet 
blanc. Or le programme du concours porte la prescription suivante : 

« Les auteurs ne mcttront point leur nom a leur ouvrage; ils n'y inscriront qu'uue devise 
qu'ils reproduiront dans un billet cachete, renfermant leur nom et leur adresse. Faute par eux 
de satisfaire a cette formalite, le prix ne pourra leur etre accorde. » 

» En presence de cette prescription formelle, la Classe, consultee par le Direcleur, regrette 
de ne pouvoir accorder le prix. » 



4 



AVANT-PROPOS. 



se leve pour formuler I'ineluclable jugemenl. » Ainsi s'exprime le plus con- 
slamment fidele des partisans du novateur *. 

Peut-etre, dans le cas present, est-il permis de se demander, corame le 
faisait un eminent critique, si une justice de l'espece ne marque pas aulant 
de sceplicisme et de lassitude que d'impartialile reelle 2 . S'il en etail ainsi, 
nous n'en serions que mieux fondes, dans ce tourbillon rapide qui emporle 
les idees du jour, a arreter un moment au passage, pour I'inlerroger sur 
son origine et ses oeuvres, une theorie qui s'est aflirmee avec taut d'eclal 
et dont les effels n'ont pas cesse d'etre sensibles. 

L'accord est loin d'etre etabli sur la signification du mouvemenl realisle. 
De ce que la controverse a pu perdre de son ardeur en perdant de son 
actualite, ne resulte pas que de profondes divergences ne subsistent sur 
la legitimite d'une forme d'inlerprelalion de la nature envisagee par les uns 
comme pouvanl seule permetlre a I'arlistc d'accomplir sa tache en pleine 
conscience, par d'autres, au conlraire, comme une negation absolue des 
principes qui doivent presider a l'enfantement de son travail. 

Entre ces opinions extremes il fallait prononcer. Si nous n'avons pas 
hesile a le faire, c'esl moins, qu'on veuille le croire, en invoquant I'autorite 
de nos impressions personnclles que l'evidence des faits loujours utiles a 
remeltre en memoire, et Irop facilement tombes dans 1'oubli. 



1 Castagnaky, Preface au catalogue de Voeuvre de Courbel. Paris, 1882, p. 28. 

2 Henri Delaboiide, Eludes sur les beaux-arts Paris, 1864, t. II, p. 177. 



C'esl, de nos jours, une opinion couranle que la splendeur des beaux-arts 
sera ['inevitable consequence de la prosperile materielle des nations. II 
semble qu'a beaux ecus sonnants, le particulier, I'Etat auront pouvoir de faire 
eclore les ceuvres les plus parfaites, qu'en un mot, la perfection resulle a un- 
degre moindre de la valeur de l'artiste qui cree, que de Fimportance des 
sommes affectees a sa remuneration. 11 n'esl pas de theorie plus fausse, 
mieux faite pour egarer, non seulemenl la foule, mais 1'arliste lui-meme, sur 
la veritable signification d'une oeuvre d'art. 

« Celui, dit Qualremere de Quincy ! , qui veut, en payant le temps et 
les soins de 1'ouvrier, lui commander un chef-d'oeuvre, est presque toujours 
sur de I'obtenir. C'est pourquoi les encouragements pecuniaires sonl a peu pres 
infaillibles pour obtenir la plus haute perfection des produits industrials, mais 
ils sont a peu pres inutiles pour obtenir des arts du genie celte valeur 
morale dont on voudrait que resullal la valeur mercantile. Tel chef-d'oeuvre 
a quelquefois coute dix ibis moins de temps et de peine que le plus mauvais 
ouvrage. » 

Quelles que soient l'adresse et 1'experience de l'artiste, la parlie materielle 
de son travail est, en somme, chose accessoire, car le lien qui doit s'etablir 
enlre lui et nous est avant tout intellectuel. Chaque effort nouveau vers la 
perfection doit resserrer ce lien, sans en alterer la nature; plus Tceuvre d'art 

1 Considerations morales sur la destination des ouvrages de Curt. Paris, 1815, p. 10. 



k 



6 LE REALISME; SON INFLUENCE 

sera digne de ce nom, moins elle viendra repondre a un besoin materiel; 
elle pourra, si parfaile qu'elle soil, ne procurer qu'une satisfaction relative 
et, dans tous les cas, n'aura qu'une valeur de pure convention. 

De la ces divergences profondes depreciation que Ton a vues de tout 
temps se produire en matiere d'arl. L'ceuvre en sera-t-elle rabaissee? Nulle- 
ment. Si Platon exclul les artistes de sa Jiepublique, ce n'est point qu'il les 
frappe d'indignile; il constate simplement que leur travail ne pourvoil a 
aucune des necessiles materielles de son gouvernemenl ideal. 

En dehors des satisfactions morales ou inlellectuelles il n'est reellemenl 
possible a personne d'assigner a l'art une direction immuable, el I'artisle, 
comme I'ecrivain ou le poele, dispose en loute liberie du droit de nous trans- 
porter a sa suile dans le monde reel ou dans le mondc ideal ; comme nous 
tous, il subit l'inlluence d'uii courant d'idees qui apparliennent a son temps et 
servironl, sans douie, a le caracleriser dans J'hisloire : le chrislianisme suc- 
cedanl au paganisme, la renaissance au moyen age, etc.; mais l'artiste peul 
aspirer meme a inOuer sur ce courant. 

La religion a cite non moins puissamment servie par les arts qu'elle ne les 
a inspires; les slatuaires de la Grece creerenll'image des dieux et ajouterent 
a leur majeste. 

Les temps modernes n'onl rien enleve de son importance au role de 
l'artiste; on peul dire que cette importance a grandi, par cela meme que noire 
temps a donne plus largetnenl satisfaction aux besoins maleriels. 

Winkelmann disail que I'arl nail du besoin; un contemporain repondavec 
verile qu'il ne commence, au conlraire, qu'ou cesse le besoin *. 

Moins que jamais ilserail possible de proclamer que le beau c'est Tulile; 
car en adoplanl cette definition, bien loin de pouvoir supposcr, comnie 
Proudhon, que I'arl ne pouvanl mourir, ne retrograde jamais, nous verrions 
precisement se reduire a des proportions infimes sa place dans la sociele 
moderne. 

On a pu croire, au premier examen, que chacune des conqueles de la 
science, que tout nouveau progres de Tindusirie, que les multiples et merveil- 



1 Fetis, L Art dans la Sociele et duns I'Etat. Bruxdles, 1870, p. 4. 



1-* 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 7 

leuses applications de la vapour et de Pelectncile doivent agir dans un sens 
defavorable a la creation artistique, paralyser 1'imagination de 1'artiste 
enchainer davantage le monde moderae a la regularite methodique des 
choses. On a pu dire que les differences autrefois caracteristiques de race et 
de physionomie des nations, le piltoresquc des costumes, la ferveur des sen- 
timents religieux, 1'autorite des traditions locales et jusqu'a la libre expression 
des mouvements de Tame, vont peu a peu s'attenuant, s'allanguissant pour 
ne laisser a I'artisle d'autres elements possibles d'interet ou d'autre forme de 
superiorite qu'une technique plus ou moins adroite. Mais il n'y a la qu'une 
apparence. A mesure que 1'homme entre en possession d'elements nouveaux 
de bien-etre materiel, il en aspire davantage a s'elever au-dessus de la 
realite pure et simple el reclame precisement des arts la forme exquise de 
jouissance qu'eux seuls peuvent lui procurer. 

Reaucoup d'ceuvres contemporaines — on ne peut le nier — portent la 
marque evidente des influences que nous venons d'enumerer ; mais pour qui 
ne s'arrete point a la surface des choses, il est impossible de ne pas constater 
que 1'artiste, alors meme qu'il cede a des tendances contraires a ses progres, 
s'efforce de donner plus d'energie a l'expression de son individualite. On 
dirait que, domine par cette preoccupation de chercher une formule appro- 
priee a son temps, il se croit a meme de la trouver dans la poursuite d'un 
ensemble de precedes et d'effets aussi dissemblables que possible de la 
pratique de ses devanciers. 

Le passe lui est devenu sans valeur; a quelque prix que ce soit, il s'efforce 
de faire montre d'originalite, et ce souci I'emporte sur toute autre considera- 
tion, au point qu'il semble devoir etre — les exceptions toujours reservees — 
la caracteristiqne de l'art de notre temps. 

A nos yeux, la tendance n'a rien qui doivc rejouir. 

« C'est un des accidents qui ramenent a la barbarie, dit un ecrivain, que 
cette confiance en elle-meme d'une generation qui s'imagine que les produc- 
tions des arts qu'elle voit eclore sont les plus fortes et les plus belles, par cela 
seul qu'elles sont venues les dernieres '. » 



1 Delecluze, De la barbarie de ce temps (Livbe des Cent et un, t. V, p. 63). 



8 



LE REAL1SME: SON INFLUENCE 



En comparant Tart d'aujourd'hui a celui d'autrefois, il serait insense de 
croire que les qualites natives el l'habilele qui nous frappent dans les ceuvres 
anciennes n'ont pas passe en Ires legitime heritage a nos contemporains; il y a 
cependant un point incontestable, c'est que les conditions dans lesquelles se 
produit le talent onl varie d'une maniere lro|) absolue pour ne pas laisser a 
ses raanifeslations une profonde empreinle. 

Quiconque eluclie 1'histoire des maitres d'autrefois, est d'abord frappe de 
cette circonstance que leur faculte de crecr trouvail presque loujours son 
emploi dans une direction precise. Libre, sans doule, de ses inspirations, 
l'artiste n'en elail pas moins appele d'ordinaire a repondre a des commandes 
qui sont devenues la source des ceuvres les plus grandioses. 

Michel-Ange pouvail dedaigner l'emploi de la peinlure a l'huile et choisir 
leprocede qui s'adaptait le mieux aux necessiles des grandes pages qu'il avail, 
non seulement le desir, mais I'obligation de creer; Tilien, Paid Veronese, 
Rubens, Albert Diirer lui-meme, ont concu peu d'oeuvres dont ils ne pre- 
voyaient au moins la destination. 

Nous ne citons que les maitres de premier ordre, mais ceux-la ne font pas 
exception a une regie presque generale, el, a defaut d'autres preuves, les 
ceuvres elles-memes diraient les conditions parliculieres de leur enfanlement, 
tanl il est vrai que I' application speciale de I'ouvrage d'arl, a un. emploi 
determine est pour l'artiste, ce quest la representation scenicjue pour le poke 
dramatique *. 

L'organisation du travail, pour sa part, exercait une grande influence sur 
la nature des productions artistiques. 

Quantite de peinlres mettaient leurs aptitudes speciales au service de 
maitres en vogue. Les historiens de la peinlure nous font connaitre des artistes 
qui, pour plusieurs annees, engagent leur pinceau a tant par an, pour com- 
pleter, soit par des architectures, soit par des paysages, les ceuvres d'un 
confrere plus favorise; au cours meme de leurs peregrinations, on voit des 
Flamands gagner par etapes la Peninsule ilalique, terre de promission des 



1 Quatremere de Quincy. Tout en nc partageant pas sur plusieurs points l'opinion de ce 
savanl illustre, il nous est impossible de ne pas tenir compte de I'expose si clair qu'il fait de la 
question de la destination de tart, question tres proche de celle que nous abordons ici. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 







Neerlandais, en s'associant an Iravail de quelque peiotre etranger, puis, 
enfin, se produire, a leur tour, quand l'occasion leur en est fournie. 

En Flollande, au XVII e siecle, le droit de signer son ceuvre n'appartient 
qu'a l'artiste completement affranchi de son stage aupres du maitre qu'il s'est 
engage a servir et, portant nos regards sur I'ecole flamande, nous voyons 
Rubens, un des peintres qui comptent les collaborateurs les plus nombreux et 
les plus habiles, tenir a peine corapte de la personnalite de ces auxiliaires, 
tant il etait, a ces epoques, chose admise, que le veritable, I'unique auteur 
d'une osuvre etait celui qui l'avait concue et que I'execution pouvait etre, 
sans rien perdre de son importance, un travail collectif. 

Et les reglements des corporations d'artistes le voulaient ainsi. Nul ne 
passait maitre qu'apres une certaine periode de servage ; nombre de fois le 
conlrat d'engagement stipule que l'eleve sera loge, nourri, vetu et plus tard 
pave par le maitre, auquel, en ecbange, reviendra tout le travail de l'eleve. 
Personne n'ignore le singulier abus que Frans Hals est accuse d'avoir fait 
vis-a-vis d'Adrien Brauwer d'une pareille conveniion. 

La Revolution francaise mit fin a ce qui restait debout de cette organisa- 
tion ancienne. Depuis longtemps I'enseignemcnt des beaux-arts avait pi is, 
sous Tinfluence de l'Academie, une direction uniforme; les artistes, bien qu'ils 
fussent affrancbis de toutes les autres enlravcs, restaienl soumis a sa juridic- 
tion. L'Academie lenait a ses privileges; nul ne participait aux expositions 
sans avoir obtenu d'elle sa licence. Devenue, selon David, « le refuge de 
toutes les tyrannies », elle se vil condamnce a disparaitre. A sa place, on 
erigea la « commune de Part », et le regime des expositions absolurnent 
fibres fut inaugure. 

Le decret de PAssemblee nationale du 21 aout 1791 etait ainsi concu : 

« Considerant que, par la Constitution decrelee, il n'y a plus pour aucune 
parlie de la nation ni pour aucun individu, aucun privilege ni exception aux 
droits communs des Francais; qu'il n'y a plus ni jurandes, ni corporations de 
professions, arts et metiers ; et se conformant aux dispositions du decret du 
vingt-six du mois dernier, qui consacre le Louvre a la reunion des Monu- 
ments des sciences et des arts, 

« Decrete provisoirement, et en attendant qu'il soit statue sur les divers 
Tome XLV. 2 



iO 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



etablissemcnts de Finslruction el de ('education publique, ce qui suit : 

» Article premier. — Tous les artistes francais et etrangers, mem- 
bres on non de I'Academie de peinture ct de sculpture, seront egalement 
admis a exposer leurs ouvrages dans la partie du Louvre deslinec a cet 
objet. » 

Le changement eta i t plus radical qu'on ne pense. Les artistes, proclames 
libres, etaienl convies a se produire. « L'empire de la liberie s'etend enfin 
sur les arts; elle brise leurs chaines; le genie n'est plus condamne a Fobscu- 
rite, » disait le prcambule du decret : bientot les jurys d'artistes allaienl 
faire place a ces jurys recrutes parmi les hommes etrangers a Tart, mais 
reputes plus proches de la nature. 

Puis les pouvoirs publics s'imposaient des obligations d'une nature nou- 
velle. L'Elat enlrait en scene, et avec lui un genre de protection et d'encou- 
ragement qui ne pouvait etre qu'une barriere illusoire contre le Hot des 
raediocrites qui se crurenl appelees a s'illustrer par le pinceau : « hommes 
de genie trop longtcmps condamnes a Fobscurite! » 

Les ceuvres affluerent aux salons ; leur nombre doubla des la premiere 
exposition libre; au salon suivant il avail triple l , 

Des voies imprevues s'etaienl ouverles, du m6me coup, a la competition a 
outrancc. Nous ne disons point que les ceuvres importanles cesserent de se 
produire, mais on pent affirmer que si les musees et les cabinets ont, recueilli 
des travaux de merite, nes sous l'empire du regime nouveau, le nombre de 
toiles lombees dans l'oubli avec ceux qui les ont signees a ete infiniment 
plus considerable depuis le commencement du siecle actuel que pendant tout 
le cours des deux siecles qui Font precede. 

L'ordre des choses que nous venous d'exposer nous regit depuis cent ans. 
Les methodes d'enseignement ont quelque peu varie par-ci par-la ; mais, en 
derniere analyse, la production picturale, stimulee fort au dela du necessaire, 
a pris des proportions idles que Fon en est venu a se demander, avec 
quelque raison, si Fintervention el les efforts officiels ne pourraient etre legi- 



1 Au salon dc 178!) il y avait eu 350 numeros dont 206 peintures; tc salon dc 4794 compla 
794 numeros; le suivant 4050 otiuvrcs dont 857 peintures. 



SUR LA PEINTURE C0NTEMP0RA1NE. 



11 



timemenl employes a rclablir Fequilibre. Ce cote de la question est digne 
d'examen ; nous l'abordons plus loin. 

La direction nouvelle donnee aux beaux-arts par la Revolution n'interessa 
que ires accessoirement les bases de renseignemeot. L'introduction des prin- 
cipes academiques, qu'ii est convenu d'atlribuer (Fune maniere exclusive a 
David, n'elait pas nouvelle. L'action du maitre se borna a donner plus de 
force au courant; il y apporta loule Fopinialrete de sa nature. 

Pour etre 1'objel d'une admiration devenue presque un culle, David ne vit 
pas pour cela ses principes si universellement acceptes que, meme dans son 
entourage, il n'y eut des dissidents. Lui-meme n 'avail pas une foi inebranlable 
dans la duree de son ecole. Dans une promenade au salon de 1808, il disait 
a sa fillc : « Dans dix ans, l'etude de Fantique sera delaissee. Tous ces dieux, 
ces heros seront remplaces par des chevaliers, des troubadours chantanl 
sous les fenelres de leurs dames, au pied d'un antique donjon. La direction 
que j'ai imprimee aux beaux-arts est trop severe pour piaire longtemps en 
France... Quand je disparaitrai, Fecole disparaitra avec moi *. » 

Mais l'ecole de David ne devail pas perir par exces de severite; elle devait 
disparailre par I'infaillible ct legitime accession d'idees nouvelles. Fort heu- 
reux deja l'artisle a qui il est donne de laisser, par ses enseignements et son 
exemple, la profonde empreinle que le chef de Fecole franchise devail laisser 
des siens. De telles influences n'apparliennent qu'aux hommes d'une trempe 
superieure. 

David, nous le repetons, ne ful pas le premier a lourner les regards du 
monde artiste vers Fantiquile. La France possedait en originaux et en copies 
les plus belles oeuvres de la statuaire antique, et l'etude de ces modeles for- 
mait la base de Fenseignement des arts. 

Diderot, lorsqu'il adresse a Grimm son analyse du salon de 1765, 
rappelie une conversation avec Chardin, laquelle donne une idee de la 
methode adoptee dans les ateliers d'alors. « On nous met, disait Chardin, a 
Fagc de sept ou huit ans, le porle-crayon a la main. Nous commencons 
a dessiner d'apres Fexemple, des yeux, des bouches, des nez, des oreilles, 



1 Jules David, Le peinlre Louis David. Paris, 1880, p. 504. 



12 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



ensuile des pieds, des mains. Nous avons eu longlemps le dos courbe sur le 
portefeuille lorsqu'on nous place devant le Torse ou YHcrcule, el vous n'avez 
pas ete temoins des Iarmes que ce Salyre, ce Gladiateur, celle Venus de 
Medicis, cet Antinoiis ont fait couler. » 

En 1769, le jeune Carle Vernet eerit a son pere : « Nous dessinons une 
semaine d'apres nature el une semaine d'apres la bosse » . On voit que tout 
cela ne differe pas tres sensiblement de I'enseignemenl d'aujourd'hui. 

La veritable introduction de I'etude de l'anlique dans les aleliers francais 
remonlail au Bernin, qui avait fait en France un assez long sejour sous 
Louis XIV. 11 s'etonna beaucoup de voir negliger pour renseignemenl les 
belles copies des antiques que possedaient les galeries royales el qui sont 
encore exposees au Louvre, el conseilla les moulages des meilieurs morceaux 
des galeries italiennes *. 

David, quoi qu'on en dise, ne meconnaissait pas les droits de la nature a 
guider l'arliste - ; nous l'avons appris de plus d'un de ses anciens eleves, et ses 
portraits fourniraienl au besoin la preuve du fait. Mais, dans son enlhou- 
siasme pour l'anliquite, le chef de l'ecole franchise versait dans I'erreur de 
croire que ses personnages devaienl avoir I'aspect de statues animees. 
« Raphael, homrae divin, c'est toi qui par degres nFeleves jusqu'a l'anlique! 
s'ecriait-il... C'est toi-merne qui m'as fait apercevoir que l'anlique est encore 
au-dessus de toi! Quel grand mailre lu m'as donne, aussi je ne le quilterai 
de ma vie 3 ! » 

Si la prediction du mailre sur la duree de son ecole devait se realiser 
avanl meme que la mort eul glace sa main , il lui etait reserve ce litre 
d'honneur d'arriver, par des voies bien imprevues, a donner a I'art de son 
pays ce qu'aucun peinlre n'avait reussi a lui donner : une ecole el une 
direction. 



1 « Cela gate les jeunes gens, disail-il, de les fairc dessiner trou lot d'apres nature, n'etant 
pas encore capables de choisir le beau dans le nalurel et dc laisser le laid. » (Journal de voyage 
du (Mvulier Bernin en France, publie par M. Ludovie Lajlanne, Gazelle des Beaux - Arts, 
t. XXIX, 2 e periode, p 263.) 

2 « David a ramene son siecle a la nature, » 

((^asimik Delavignk, Seconds Messenienne.) 

3 Jules David, Le peintre Louis David, p. 10. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



13 



La periode revolutionnaire a ete jugee non moins severement dans le 
domaine des arts que dans celui de la politique; mais, a tout considerer, 
et fixanl nos regards sur les productions de la fin du XVIII 6 siecle, nous 
souscrivons de la maniere la plus complete au jugement d'un des historiens 
d'art les pluseclaires de noire temps : Que dans cette crise « Part se renou- 
velle, acquierl un ideal inconnu, des types de beaule rajeunis, des realites 
plus saisissantes el des conceptions plus vasles 1 » . A David revient une 
part considerable de cet honneur. 

Que de chemin parcouru ensuite, a grands pas, des Sabines a la Bataille 
d'Aboukir et au Radeau de la Meduse! Delacroix creera des scenes plus 
animees encore en ne s'inspirant (pie des maitres de la couleur, et lui- 
meme, pourlanl, subira Finfluence de David, comme Ingres, Vernet et 
Delaroche. 

Tout cela s'accomplil, notons-le, moins d'un quart de siecle apres la mort 
du chef d'Ecole. 

La faveur acquise, de nos jours, par les ceuvres du XVJII e siecle, faveur 
a bien des egards justifiee, ne doit se fonder que tres accessoirement sur les 
principes qu'elles representent. 

On a pu dire que « tout ce qui exige du gout, jusqu'au mobilier, jusqu'a 
la mode, devint pelrifiant d'ennui sous rinfluence de David 2 », il n'en est 
pas moins evident que I'epoque des predecesseurs du maitre est precise- 
ment celle ou, selon Texpression d'Eugene Delacroix, « la pauvre peinture 
se trainait enervee sur les traces de Van Loo et de quelques genies de 
meme force 5 » . 

Qu'a un certain moment la queue des fanatiques de David ait ete jugee 
avec une severile Ires legitime, nous n'y conlredisons pas- ce qu'il faut avant 
lout, e'est rendre hommage a des principes de dignile et de grandeur dont 
l'influence ne pouvait etre que salutaire el qui, certainement, ont excite 
Tadmiralion des hommes serieux en presence de plus d'un travail du chef 
de I'Ecole et de ses eleves. 



• Jules Renouvier, Histoire de I'art pendant la Revolution. Paris, 186B, p. 5. 

2 E. Ghesneau, L'Art, t. XXIX, p. C8. 

3 Revue de Paris, 1829. 



14 



LE REAL1SME: SON INFLUENCE 



Dans un livre ou Proudhon eondamne, sans autre reserve que le Mara/, 
Pceuvre de David, il avoue que !a contemplation du Leonidas faisail couler 
ses larmes, chaque fois que, dans sa jeunesse, i! allail au Louvre. « Je regar- 
dais avec une emotion religieuse ces guerriers si beaux, si plains d'un 
enlhousiasme sacre, gravant de la pointe de leurs epees, sur le roeher au 
pied duquel ils allaienl I'aire le sacrifice de leur vie, cello simple et sublime 
epitaphe : Passant, va dire a Lncedemonc que nous sommes morls ici pour 
obeir a ses lois *. » 

Peu d'arlistes, sans doute, pourraient se vanler d'avoir vu leurs oeuvres 
produire une impression plus profonde, el, a cboisir, aucun d'eux n'hesilerait 
a preferer le suffrage d'un bomme intelligent el leilre a celui de Partisan 
inculle, jugeanl tout au plus, comme le cordonnier d'Apeile, de I'imitation 
plus ou moins correclo de certains details de sa profession. 

De nos jours I'opinion prend une direction nouvelle. II n'est point 
d'epoque oil Ton ait donne plus d'imporlance a la question si grave, el 
d'ailleurs si digne d'examen, de I'imitation materielle par la peinlure el peul- 
6tre au grand detriment de celle-ci. 

Qu'en derniere analyse la peinlure demeure le moyen d'imiter d'une 
maniere aussi exacle que possible lout ce qui frappe le regard humain, 
personne , sans doule, no songe a le nier; quel disaccord, pourlant, sur 
la forme a donner a cetle imitation, sur le point oil elle peul s'arreler, et la 
necessite de sa poursuite elle-meme, preuve evidentc que la lachc du peintre 
ne se borne pas aux trompe-l'ceil, si grande que soil, d'ailleurs, I'habilele de 
ceux qui les produisenl. 

« Si fart est un ecolier servile, il est eondamne a n'elre jamais qu'un 
ecolier impuissant », dit Victor Cousin 2 . Parole profonde el bien lointaine 
deja. Que de couranls onl enlraine I'opinion des foules depuis le jour oil 
1'illuslre pbilosophe exposait en des pages d'une simplicity si noble, la haute 
et civilisatrice mission de l'art! 

La lulte des classiques el des romanliques appartienl a I'histoire; la con- 



1 Du principe de l'art et de sa destination sociale, p. 409. 
* Du Vrui, du Bien et du Beau, edition de 18S4, p. 17G 



SUR LA PEINTURE C0NTEMP0RA1NE. 



m 



troverse s'esl porlee sur d'aulres champs plus ardenle encore. On n'avait 
discute jusqu'alors que ('interpretation des donnees ; ce fut la pensee elle- 
meme qui, mainlenant, allait elre mise en question. 

Le romantisme avail triomphe; il avait pour lui d'inconlestables seduc- 
tions. Au theatre, eomme dans les arts plastiques, ses representants avaient 
merite de legitimes succes et venge les dedains de la generation precedente 
pour les nobles creations du moyen age el de la renaissance. Ingres, lui- 
meme, n'avait pas dedaigne de puiser aux sources de la poesie italienne; il 
avail emprunte a Dante », a I'Arioste 2 , des sujets de composition. Delaroche, 
eleve de Gros, Scheffer, Gericault et d'autres, plus contenus que Delacroix, 
mais sortis comme lui de Fatelier de Guerin, avaient entrepris d'ailier les 
droits de la couleur a ceux de la forme dans des pages historiques longue- 
ment medilees. 

L'influence de Waller Scott dans le roman etait egalee par celle des por- 
trailisles anglais dans le domaine pictural , et Delacroix s'inclinait respec- 
lueusement devanl les travaux de Reynolds qu'il proclamail « un vrai genie 
et le conlinuateur le plus serieux des anciens maitres. » 

Sans nous occuper ici du merite relatif ou intrinseque des diverses ten- 
dances, il importe de faire remarquer que, dans presque toutes les direc- 
tions, la llieorie preoccupait alors les artistes a un degre bien moindre que 
le droit pour chacun de revetir sa pensee de la forme la mieux faite pour 
lui donner sa pleine expression; s'il ne manquait pas d'arlistes fideles aux 
traditions classiques, on ne voil pas qu'il ait ele en leur pouvoir d'empecher 
des confreres plus jeunes de rencontrer le succes en s'appliquant a ['etude 
des meeurs et de la physionomie populaires, a la representation du pilto- 
resque dans le costume, a la reproduction des monuments, ou simplement a 
la traduction des aspects de la nature. Ne sufh'l-il pas de citer Decamps, 
Isabey, Meissonier, Diaz, pour prouver que l'epo(|iie etait feconde en indi- 
vidualiles d'un rare merite, pouvant ranger leurs oeuvres a cote des grandes 
pages de ceux auxqucls appartenail, sinon le droit, toujours discutable, de 



1 Francoise de Rimini. 

2 Ruyer el Ancjetique. 



16 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



dinger une ecole, tout au moins la pretention legitime de la caracteriser dans 
les plus vasles conceptions? 

La peinture franchise put arriver ainsi en moins d'un demi siecle, et par 
des etapes assez regulieres, a la pleine possession des ressources les plus 
puissantes '. 

Mieux protegee qu'on n'a voulu l'admettre, par la dignite des traditions 
classiques, contre les extremes du romantisme, elle avail vu renailre peu a 
peu, au contact des maitres de la vie el de la couleur, la grace native de son 
temperament, degage de toule contrainle. Les tendances les plus diverses 
avaienl pu se produire, a des litres egaux, sous Tegide d'une tolerance 
feconde, et l'Exposilion Universale de 4855 vint donner au monde ebloui 
le spectacle d'une ecole lout a la fois originate, variee et une. 

Qui veul reprcndre le catalogue de la section francaise des beaux-arts y 
verra en presence, dans la grande peinlure : Benouville, Bouguereau, Louis 
Boulanger, Cabanel, Chenavard, L. Cogniel, Couder, Couture, E. Delacroix, 
Flandrin, Geromc, Hebeii, Ingres, Jacquand, Jalaberl, Landelle, Lehmann, 
Muller, Philippoteaux, Pils, Bicard, Bobert-Fleury, Horace Vernet, Yvon, 
auxquels il taut ajouler Delaroche, E. Deveria el Scheffer qui s'etaient 
abstenus d'exposer, mais dont le talent etail encore dans toute sa vigueur. 

Dans les genres secondares on rencontre Bellange, Belly, Bida , Bosa 
Bonheur, Brascassat, Jules Breton, Cabal, Court, Corot, Courbel, Daubigny, 
Decamps, Diaz, Francais, Gudin, Hamon, Paul Huet, Isabey, Lami, Meisso- 
nier, Millet, Morel Fatio, Justin Ouvrie, Th. et Ph. Bousseau, Boqueplan, 
Saint-Jean, Troyon et Ziem. 

On rcmarquera que nous ne relevons ici que les noms des artistes dans 
toule ractivite de leur puissance creatrice, ceux dpnl l'opinion publique 
avait sanclionne les succes. Courbel et Daubigny, par exemple, etaient deja 
medailles. Voila ce qu'avait produit Fecole. 

« La France a grandi, ecrivait Gautier, dans un de ses elans d'enlhou- 
siasme. Sans doutc, dans son passe, elle comple Poussin, Eustacbe Lesueur, 



1 On ne s'etonnwi pas de voir cette etude, tenir eomptc dans la mesure la plus large, du 
monvement des arts on France, les peintres coinine les eerivaius de ce pays occupant la premiere 
place parmi les repr^sentants du realisme. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



17 



Lebrun, Watteau, el, plus tard, quelques peintres aimables; mais ce n'est 
guere que depuis un demi-siecle, et surtout dans ces dernieres annees, 
qu'elle est devenue une ecole ou lout le monde peut apprendre. On va 
mainlenant a Paris comme autrefois on allait a Rome; c'est, personne ne le 
conteste, la metropole de Fart... 

« A l'esprit qui l'a loujours caracterisee la France a su joindre la cou- 
leur qui Iui manquait; sans perdre son originalite, elle s'est approprie les 
procedes des ecoles de Venise et d'Anvers... Nul crayon ne dessine mieux que 
le sien, nulle brosse ne peint mieux que sa brosse... Elle peut opposer 
Ingres a Delacroix, Decamps a Meissonnier, Flandrin a Couture, Aligny a 
Rousseau, reunissanl lous les contrastes, conciliant les originates les plus 
di verses '. » 

Et cela etait absolument vrai. Si d'autres ecoles, comme celles de la 
Belgique el de 1'Angleterre, furent appreciees avec faveur, elles se presen- 
taient, dans leur ensemble, avec une superiorite moindre, et beaucoup de 
peintres beiges trahissaient une influence evidente de la France. Celle-ci, 
on peut le dire, etait devenue l'expression eloquente, la representation de 
Part contemporain dans ce qu'il avait de plus complel, de plus eleve, de plus 
vigoureux. 

On se doulail a peine, en face d'un spectacle si propre a donner aux con- 
naisseurs les joies les plus vives, que, pareille a ces tourmentes dont Foeil du 
marin le plus experimente est impuissanl a discerner les avant-coureurs, deja 
se preparail une reaction dont il serait difficile de trouver 1'analogue dans 
les annales artistiques d'aucun peuple ou d'aucun temps. 

En realite, l'Exposilion universelle de 1855 clot d'une maniere tres pre- 
cise une des periodes les plus importantes de Thistoire de la peinture 
moderne. 

1 Les beaux-arts en Europe. Paris, 1855 , l" periode, p. 5. 



Tome XLV. 



•18 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



II 



Le mouvement que nous voulons eludier dans ces pages esi si proche de 
nous, ses influences nous environnenl d'une maniere si complete, qu'il ne 
faut rien moins que ses frappants effels pour permeltre d'en saisir la 
portee. 

Les critiques de l'avenir ne verronl peul-elre pas sans surprise combien 
faibles, pour ne pas dire artificielles, i'ureut les sources du couranl qui a 
indue sur Tart de noire epoque — on ne peul le nier, — avec une puissance 
suffisanle pour operer des merveilles dans une direction plus vraiment 
conforme a ses progres. 

Mais il s'agil moins, a la verite, d'une direction precise, de 1'expression 
motivee et pour ainsi dire prevue d'un elat de 1'opinion se faisanl jour a la 
faveur d'une circonstance favorable el s'imposant par sa logique meme, que 
d'un oubli complaisant du passe, d'une negation sysiemalique de l'ensemble 
des theories formant la base meme des arts plasliques, en faveur d'une 
esthelique nouvelle ne lendanl a rien moins qu'a liberer l'artiste de toule 
recherche d'interet en dehors de ce qui l'environne, comme de tout effort 
vers la perfection, par l'elevalion de la pensee ou simplement le choix 
raisonne du type ou de la forme. 

Le nom meme que Ton adopta pour caracleriser la tendance nouvelle 
resta vide de sens pour ceux qui I'inscrivirent sur leur drapeau. « lnventee 
par les critiques comme une machine de guerre pour exciter a la haine conlre 
une generaiion nouvelle, disait Champfleury, 1'arme est de celles qui blessenl 
ceux qui 1'emploient. Le mot realisme, un mot de transition qui ne durera 
guere plus de trente ans, est un de ces termes equivoques qui se prelent 
a toutes sortes d'emplois et peuvent servir a la fois de couronne de lauriers 
et de couronne de choux '. » 



Le realisme, 1837, p. 5. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



19 



A I'epoque ou paraissaient ces lignes, I'ardeur de beaucoup de neophytes 
commencait a se refroidir, et nous devons remonter de quelques annees dans 
I'histoire de 1'art pour rencontrer les premieres manifestations du systeme. 
On les vit se produire au Salon de Paris de 1850-1851. 

En meme temps que Ton apprenait a connaitre la Jane Shore de Robert 
Fleury, le Tinloret peignant sa fille morle de Leon Cogniel, VAppel des 
condamne's de C. Mailer, lc Souvenir de la guerre civile (la Barricade), de 
Meissonier, vinrent se produire egalement, sous le nom d'artistes alors a 
leurs debuts, des pages rustiques creees, certainemenl, sous l'impression des 
nouvelles pastorales de George Sand et des etudes de mceurs bourgeoises de 
Champfleury. 

Les noms des auteurs n'evoquent pas le souvenir d'ceuvres assez mar- 
quantes de I'epoque, pour qu'il faille s'arreter a l'analyse des creations aux- 
quelles ils so rattachent. Un seul, parmi les novateurs, absorbait du reste 
I'attention unanime, et la grandeur de ses toiles mettait en relief, des 
I'abord, une hardiesse d'aflirmation qui devait conduire rapidement a la 
notoriete. 

Le peintre Gustave Courbet, ne a Ornans (departement du Doubs), 
en 1819, n'etait pas un inconnu. Au Salon de 1849 il avait figure avec un 
grand tableau auquel le Jury accorda une medaille d'or et que le Gouverne- 
ment francais envoya bienlot au Musee de Lille. Ce tableau, qui portait pour 
litre Une apres-dinee a Ornans J , se signalait par une vigueur peu commune 
d'execution. D'une conception totalement nulle, car il s'agissait d'un interieur 
de cabaret ou les personnages rassembles autour d'une table, fument, 
boivent et s'assoupissent pres d'un joueur de violon , l'ceuvre revelait un 
robuste temperament de peintre et s'ecartait, non moins par son execution 
que par sa conception, des divers courants de I'epoque. 

Le fait de choisir pour l'exhibition d'un sujet d'une telle insignifiance 
la grandeur naturelle des figures, disait assez que le peintre visait 
a rompre en visiere aux theories academiques; mais il avait fallu une 
incontestable virtuosity de pinceau pour triompher des difficultes de l'entre- 



1 Musee de Lille, n° 159. Le tableau de Courbet a perdu aujourd'hui tout son eclat. 



20 



LE REAL1SME; SON INFLUENCE 



prise ; on envisagea surtout I'eeuvre a ce point de vue , et I'artiste fit une 
moisson d'eloges nulleraent immeritee. 

D'autres creations suivirent : Ie Violoncellisle, Ie Retour de la foire de 
Flagey, les Casseurs de pierres, et surtout YEnterremenl a Ornans, dessi- 
nerent plus nettement, au Salon de 1850-1851, l'intention du peintre de 
perseverer dans sa voie novatrice. VEnterremenl mesurait jusqu'a 7 metres 
de long, presque la longueur de la Cene de Leonard de Vinci, et les 
Casseurs de pierres, deux simples personnages cassant des cailloux au bord 
d'une route, occupaient une loile large de 3 metres. 

Ces oeuvres appelaient trop naturellement la discussion, pour qu'il faille 
s'etonner des orages qu'elles provoquerenl. Leur auteur, donl on ne calomnie 
pas la memoire en disant que rien ne repondail mieux a ses aspirations, « fit 
bientot plus de bruit par la ville que vingl celebriles et leurs coteries x » . 

Pour rester dans la verile des choses, il nous faut dire que les fervents du 
novateur ne formaient point legion, et si Ton a beaucoup exalte la peinture 
de Courbet dans Ie cours des dernieres annees, il est certain que les Casseurs 
de pierres et YEnterremenl a. Ornans, pas plus que les Pay sans de Flagey, 
ne provoquerenl un bien vif enthousiasme au temps de leur apparition. 
La grande faveur devail leur venir un peu plus tard, grace surtout a I'appui 
de Proudhon. 

Ce publicisle celebre, qui Cut l'ami de Courbet et l'inspirateur probable 
de plus d'une de ses toiles, n'hesitait pas lui-meme a proclamer que quoi 
qu'en pussent dire les herauts et les vulgarisateurs de I'idee nouvelle, de 
longtemps le public ne pourrait comprendre et supporter une lecon pareille 
a YEnterrement, ni I'artiste, compter pour de telles oeuvres sur le suffrage 
des masses 2 . 

Mais le philosophe, tout en s'avouant mediocre juge en matiere d'art, 
voyait, pour son propre comple, des beautes jusque dans les choses les plus 
malencontreuses de son artiste de predilection. II s'exaltait devant les Cas- 
seurs de pierres, au point de transformer en qualites des defauls manifestes. 



1 Th. Silvestiie, Les artistes francuis. Bruxelles. 1861, p. o!). 

2 P. -J Phoudhon, Du principe, de I'art et de sa destination sociale, p. 205. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



2i 



Le garcon qui porte les pierres a Pouvrier, est d'un dessin mediocre. C'est 
que, « enchaine avant le temps a la corvee, il se decoud; son epaule se 
dejelte, sa demarche est affaissee, son panlalon tombe; Pinsoucieuse misere 
lui a fait perdre !e soin de sa personne et la preslesse de ses dix-huit ans- 
broye dans sa puberte, il ne vivra pas »>. Bref, Proudhon l'assure, les 
Casseurs de pierres valent une parabole de I'Evangile! II ne semble pas que 
cet avis ait prevalu. Qualifies de « laids mannequins porteurs d'affreuses 
loques * », a leur premiere apparition, les Casseurs de pierres, dont, on a pu 
apprecier depuis les inconlestables qualites picturales, ont desarme la severite 
de bien des connaisseurs. En 4882, pourtant, nous les trouvons toujours 
qualifies de « mannequins », par un grand organe artistique " 2 et, peu 
avant, M. Paul Manlz, avec Pautorite qui s'attache aux appreciations d'un 
juge si competent, declarait encore preferer de beaucoup le paysage aux 
figures 7 >. 

Pour VEnterremenl, de 1'avis meme de Theophile Silvestre, Pa mi, et de 
plus le biographe de Courbet, « la composition violail toutes les regies 4 » 
et le mepris des convenances esthetiques etail ici d'aulant plus regrettable 
qu'aucun sujet n'eut ete plus propre a emouvoir le spectaleur. 

Si le peintre ne recule pas devanl la lache de representer cinquante per- 
sonnages de grandeur naturelle, pour les reunir autour d'une tombe, on peul 
elre assure que sans se metlre en frais excessil's d'imaginalion, il pourra 
faire jaillir de la une emotion suffisante pour atlenuer des details parfois 
choquants, el qui se melenl inevitablement a toule scene prise sur le vif. 
Le plus grand artiste sera alors celui qui rendra le mieux le cote poignant 
de la funebre ceremonie. 

« Le meme sentiment, disait Proudhon, a de lout temps inspire les artistes 
qui, dans ce cas, peut-etre le seul, ont su lout a la fois obeir a Pideal de leur 
epoque, el resler dans la verite elernellc de leur mission. II semble qu'en 
effet aucune aberration de Part ne soil possible dans cetle solennite dechi- 



1 Corrcspondance parisienne de YIndependance beige; 22 Janvier 1854. 

2 L'Art, article de M. Veron, t. XXIX, p. 22S. 

3 Gazette des beaux-arts, t. XVII, 2 C serie (1878), p. 514. 

4 Les artistes franpais. Bruxelles, 1801, p. 56. 



22 



LE REALISME: SON INFLUENCE 



rante, ou une famille, enlouree des amis et des proches, assistee du clerge, va 
mettre le sceau a la grande separation, en rendant a la terre le cadavre 
d'un epoux, d'un pere. Comment done Courbet s'est-il complu a envelopper 
une pareille scene de ridicule, a en rendre grotesques les acteurs? » Inutile 
de dire que e'est par une transfiguration du peinlre que l'auteur repond 
a cette question, et sa pensee se traduirait assez bien par ce vers du poete 
de 1830 : 

« Le cynisme des mceurs doit salir la parole... » 

Toutefois, Popinion contraire s'etait fait jour avee une energie non equi- 
voque, au Salon de 1854. 

On eut beau expliquer que Courbet n'avait fait que copier servilement 
une scene frequente; designer par leurs noms les principaux acteurs : la 
mere du peintre, un parent de Proudhon, une sacristine, mademoiselle 
Bruleport, etc., « si ce sont des portraits de famille, laissez-les a Ornans, 
s'ecrie le critique de la Revue des Deux Mondes. Pour nous, qui ne sommes 
pas d'Ornans, nous avons besoin de quelque chose de plus qui nous attache. 
Ce qu'il fallait eveiller chez le spectateur, e'etait le sentiment nature! qui 
accompagne une pareille scene ; or, ce n'est pas precisement Peffet obtenu 
par vos grotesques caricatures. On ne pleure gu£re devant cet enterrement, 
et cela prouve bien que la verite n'est pas toujours vraie l . » 

L' Enterrement, d'apres son auteur, devait etre Penfouissement du roman- 
tisme. Ne fallait-il pas, des lors, lui etre superieur en simplicity en correction, 
en emotion veritable, se garder surtout de la charge et ne pas rendre cho- 
quante, jusque par les dimensions de Poeuvre, Pindifference du peintre devant 
une pareille scene? 

Theophile Silvestre a laisse de ce tableau une description singulierement 
expressive et peu propre, quoique tracee par une plume bienveillante, a 
faire admettre les ecarts de Partiste -. Pour quiconque a presentes a la 
memoire les toiles ou Knaus el Vautier ont voulu representer, eux aussi, 



< De Geoffroy, Revue des Deux Mondes, 1851, t. I, p. 881 . 
2 Theophile Silvestue, Les artistes franmis, pp. S3 et suiv. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



23 



1'enterrement a la campagne, sous l'empire de l'emolion discrete d'une scene 
de deuil, I'ceuvre de Courbet sera plus brulale encore. 

N'est-il pas permis de qualifier de non-sens l'idee d'un peintre de 
choisir pour sujet d'un vaste tableau, un episode lugubre, precisement 
pour ecarter de sa representation ce qui peut legilimer un lei choix : une 
emotion percue et transmise? Tout n'est pas necessairement grotesque dans 
une assembled aussi nombreuse que celle reproduite par Courbet, el dont 
le but n'est pas sans doute Famusemenl, a l'instar des Scenes populaires 
de Monnier. 

VEnierremeni appartient aujourd'hui au gouvernement francais, avec 
d'autres toiles de son auteur. Le temps, et peut-etre meme la majeste du 
lieu ou elle figure, attenueront pelil a petit, aux yeux de la foule, ce que la 
peinture avait de repulsif a sa premiere apparition. On y cherche aujour- 
d'bui des qualites propres a justifier l'honneur d'avoir penelre dans les 
musees de l'Etat, et deja M. Jules Claretie voyait en imagination Courbet et 
Velasquez converser nuitamment dans les galeries du Louvre l . N'est-ce pas 
beaucoup se hater? 

Si peu conslanle que soil, de nos jours, l'opinion, il nous parait difficile 
de croire qu'on en arrive bientot a faire de Courbet, surtout en faveur de 
sa vaste page du Louvre, un emule du plus grand des peinlres espagnols, 
d'un des maitres les plus illustres de tous les temps. 

Dans ce milieu de bonne compagnie, Y Enterrement apparait comme une 
gageure. Sans composition, sans relief, d'une gaucherie enfantine de dessin 
et d'une vulgarite de type allant jusqu'a la charge, on ne peul que s'etonner 
du bruit qui s'est fait aulour d'une oeuvre si incomplete, et tout homme de 
goul souscrira a cette appreciation de M. Alfred de Loslalot sur le peintre 
franc-comlois : « II ne saurait frayer avec les gros bonnets de l'Olympe ; 
c'est une nature par trop rustique. S'il est vrai qu'il pourrait donner a 
certains une lecon de peinture — on sail avec quelle bonne grace il s'offrait 
a rendre ce service, — il s'exposerait, de son cote, a recevoir de I'interpelle 
de precieux enseignemenls, accompagnes peut-etre d'observations peu flat- 



' Le Temps, deeembre 1881. 



24 



LE REALISME: SON INFLUENCE 



teuses, comme celle-ci : Ce n'est decidement pas pour vous qu'a ete invente 
le dicton : Mens agitat molem *. » 

L'annee 1855 est une date imporlanle dans l'histoire du realisme. Le 
jury de FExposition universale n'ayant consenli a exposer que onze toiles 
du « mailre peintre d'Ornans » — lei elait le tilre que s'etait atlribue 
Courbet, — le novateur enlreprit de reunir le surplus de son ceuvre dans 
un local independant, qu'il decora d'une enseigne porlant le mot realisme. 
Ce fut alors que parut la profession de foi que lout le monde a lue : « Le 
litre de realiste m'a ete impose a comme on a impose aux hommes 
de 4 830 celui de romanlique. Les litres n'ont donne en aucun temps une 
idee juste des choses; s'il en elait autrement, les osuvres seraient superflues. 

» Sans m'expliquer sur la juslesse plus ou moins grande d'une qualifica- 
tion que nul, il faut l'esperer, n'est tenu de bien comprendre 3 , je me 
bornerai a quelques mots de developpements pour couper court aux malen- 
tendus. 

» J'ai eludie, en dehors de tout sysleme, el sans parti pris, Tart des 
anciens et Tart des modernes. Je n'ai pas plus voulu imiler les uns que 
copier les autres ; ma pensee n'a pas ete davanlage d'arriver au but oiseux 
de Tart pour Part. Non ! j'ai voulu tout simplement puiser dans 1'entiere 
connaissance de la tradition le sentiment raisonne et independanl de ma 
propre individualite. 

» Savoir pour pouvoir, telle fut ma pensee. Eire a meme de Iraduire les 
moeurs, les idees, l'aspect de mon epoque, selon mon appreciation, etre non 
seulement un peintre, mais encore un homme, en un mot, faire de l'art 
vivanl, lei esl mon but. » 

Cette expression de principes dans laquelle il est difficile de ne pas trouver, 
une fois de plus, rintervention de quelqu'un de ces enlhousiastes, peu com- 
petents en matiere d'art, el qui prennent volontiers pour des trails de genie 



1 Gazette des beaux-arts, t. XXV (1882), p. 582. 

2 Courbet s'etait proclaim realiste des l'annee 1831. Voir a ce sujet : Paul Mantz, Gazette 
des beaux-arts, 1878. 

3 On verra plus loin la definition du realisme, donnee par Courbet lui-raeme. 



SUR LA PEINTURE C0NTEMP0RA1NE. 



m 



jusqu'aux imperfections de 1'artiste prefere, cette expression de principes 
n'aboutissait pas necessairemenl an (riomphe du disgracieux et du vulgaire. 
Malheureusemeni, enlendue a la facon de son aaleur, elle venait, legifimer 
loutes les apprehensions qu'avaient donnees ses premieres oeuvres aux esprils 
soucieux de l'avenir de la peinture. 

« Depuis Jean Cousin jusqu'a Proudhon, disait M. H. Delaborde, depuis 
Watteau jusqu'a Granet, tous, selon la mesure de leurs forces et le genre de 
leur talent, se proposaient avant lout de traduire avec le pinceau, soit une 
pensee profonde, soil une idee ingenieuse. L'esprit, sinon la poesie, etait 1'ele- 
menl principal de leurs travaux, et les tableaux produits pendant plus de trois 
siecles allestent, sauf la dissemblance des moyens employes, ce caractere 
essentiel de la peinlure dans notre pays. Jamais, avant le temps ou nous 
sommes, on n'aurait consenli a montrer ou a voir dans une oeuvre d'art la verite 
sans I'ideal ; jamais on ne se serait avise de subslituer a cette « haute delec- 
tation de l'intelligence », donl parle Poussin, je ne sais quelle sensation 
superficielle et fugitive resultant de h'mitation brute de la realite ou des arti- 
fices de la brosse. Un si mince plaisir nous suffit aujourd'hui, et lorsqu'un 
tableau, quel qu'il soit, a eveille en nous cette sensation, nous faisons bon 
marche du resle *. » 

Les partisans de Courbet, eux-memes, ne se sentaienl pas absolument ras- 
sures sur l'avenir d'une theorie qui n'allait a rien moins qu'a nier I'ideal. 
Passe encore pour quelques peinlres en quete de noloriele; mais evidemment, 
aucun ecrivain serieux n'elait dispose a transferer du domaine artislique 
au domaine lilteraire, un sysleme oii Fimaginalion perdait tous ses droits. 
« Je n'aime pas les ecoles, je n'aime pas les drapeaux, je n'aime pas les sys- 
temes, je n'aime pas les clogmes, s'ecriait Champfleury. II m'esl impossible 
de me parquer dans la petile eglise du realisme, dusse-je en elre le dieu... 
J'ai peul-elre prononce (|iielquel'ois le mot de realisme, el. j'en ai menace 
mes adversaires conime d'une machine tie guerre formidable, maisje Fai 
fail dans un moment d'emportement, abasourdi par les cris de la critique 
qui s'obslinait a voir en moi un elre syslematique, une sorte de malhema- 



1 Henri Delaborde, Melanges sur I' art conlemporain : Le Salon de 18 S3, p. 69 

Tome XLV. 4 



26 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



ticien calculant des effets de realite, et s'entetant a reslreindre ses facultes. » 

Puis, en allant, il s'exalle, et Irouve des accents d'une veritable eloquence 
a opposer aux theories les plus vanlees des fanaliques de la nouvelle ecole. 

« Comment se fait-il qu'Aristophane, Cervantes, Shakespeare, l'Arioste, 
Goethe, Byron aienl pu etre admires en France et nous aienl paru de grands 
genies forts et vivaces, (|uoique garrottes par les traducleurs el depouilles de 
leurs riches vetemenls nalionaux? 

» Un tel exemple ne prouve-l-il pas l'inferiorite de la forme el la puis- 
sance de 1'idee? De 1'idee il reslera loujours quelque chose 1 . » 

Et de la meme plume tombe celle phrase superbe : « Va, esprit rapetisse, 
elroil, tu es incapable de sentir et de comprendre les belles imaginations 
sorties de l'idealisalion! II te faut une plate realite mcsquine, qui se voie, qui 
se touche, et tu nies les efforts de ces plongeurs qui se jetlent resolument 
au fond de la mer pour y chercher des perles precieuses afin d'en parer 
leurs creations. » 

L'aposlrophe pouvait ne pas viser direclemenl Courbel, mais il faut recon- 
nailre qu'elle trahissait peu d'enthousiasme pour sa melhode, car le jour, 
helas! n'etait pas eloigne ou le peinlre lui-meme allait proclamer, urbi el 
orbi, que la base du realisme est la negation de I'ideal, « ce qu'aucun 
artiste (on se l'explique sans peine) n'avait ose affirmer avant lui 2 » . 

Nous avons cite Tavis de Proudhon. Le livre Du principe de I'ari et de sa 
destination sociale est concu presque entieremenl pour exalter la tendance 
du peintre franc-comtois. D'une forme enlrainante, celte elude, pour qui la 
considere au point de vue de Fart, est un melange de sophismes el de con- 
tradictions. Pour etre un jouleur d'une rare souplesse, Proudhon erige sur 
un fond d'idees nullemenl vulgaires, les apercus d'un esprit impenetrable 
au charme de la peinture, toule acceplion de sysleme elant mise a part. 
Lorsque son examen porte sur une creation artistique, il l' envisage a la 
facon de I'analomisle que la composition, l'exprcssion, le coloris, le modele, 



1 Le realisme, p. 16. 

2 Eugene Giiessin-Dumoulin, Compte rendu des travaux du Congres artislique d'Anvers. 
Anveis, 1862, p. 1 73. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



27 



la perspective d'une oeuvre laisseraient indifferent, et qui s'arrelerai! a 
demontrer le cote defectueux d'une attache ou le vice d'insertion d'un muscle. 

Et, cependant, Proudhon non plus ne se montre a 1'aise devant le rea- 
lisme envisage comme theorie esthetique. II peut juger severement les 
anciens el les modernes, Irouver David, Delacroix, Ingres, Rude ou Vernet 
egalement absurdes, cela ne 1'empeche pas de poser cette question : « Le 
but de l'artiste est-il de reproduire simplement les objels sans s'occuper 
d'aulre chose, de ne songer qu'a la realite visible et de laisser I'ideal a la 
volonle du spectaleur? En d'autres lermes, la tendance de l'art est-elle au 
developpement de I'ideal, ou bien a l'imitalion puremenl materielle dont la 
photographic serait le dernier effort? » El voici la reponse de ce promoteur 
du realisme : « II suffil de poser la question ainsi pour que tout le monde la 
resolve : l'art n'est rien que par I'ideal, ne vaut que par I'ideal; s'il se borne 
a une simple imitation, copie ou conlrefacon de la nature, il fera mieux de 
s'abstenir; il ne ferail qu'elaler sa propre insignifiance en deshonorant les 
objets memes qu'il aurail imites. Le plus grand artiste sera done le plus grand 
idealisaleur; soulenir le contraire serait renverser toutes les notions, 
mentir a notre nature, nier la beaute et ramener la civilisation a la 
sauvagerie. » 

Cependant, contradiclion etrange! ce fut en Proudhon et Champfleury 
que Courbet trouva ses plus energiques champions. Du reste, ils avaient les 
plus genereuses illusions sur ce qu'ils croyaienl elre les debuts d'une reforme 
feconde. A leurs yeux, et peut-etre ne se trompaient-ils pas completement, 
la direction nouvelle n'etail qu'une consequence de la revolution de 1848 ', 
quelque chose comme une liberation : l'art democralique et egalitaire 
triomphanl de l'art arislocralique ou bourgeois. « Logiquement (le hasard 
est souvenl logique), dit Champfleury, mieux valail pcindre d'abord les basses 
classes ou la sincerile des senliments, des actions, des paroles est plus en 
evidence que dans la haute societe. » 



1 Dans une notice sur de Reiffenberg, inserec dans Y Independunce beige du \\ mai 1850, 
M. E. Fetis nous apprend que ce savant etait persuade que la decadence des lettres et des arts 
serait la consequence inevitable de la revolution de 1848. Le chagrin que lui causait cette 
pensee contribua beaucoup a hater sa raort. 



28 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



Proudhon voulait que la nouvelle tendance prit le nom de peinlure 
critique, el il frappait le romantisme d'estoc et de laille, comme un agent de 
corruption. « A quoi, bon Dieu! tout ce barbouillage peut-il servir, s'ecriait- 
il, passant en revue l'oeuvre de Delacroix : suis-je meme sur qu'un artiste 
qui passe sa vie a regarder dans son imagination les figures de Jacob, de 
Sardanapale, de Marc-Aurele, celles de Lazare et de Mephistopheles, aura 
bien vu les personnes vivantes qu'il aura observees dans les circonstances 
les plus interessantes de leur vie? Mais, encore une fois, cet homme qui 
voit au dela des siecles, qui frequenle le monde invisible, qui habile le 
surnaturel, qui fait poser devanl lui les heros de Shakespeare, esl-il capable 
de bien observer el de comprendre ce qui se passe aulour de lui ? Les quatre 
cinquiemes de Toeuvre de Delacroix sont niaiserie pure, 1'aulre cinquieme 
reste douteux et suspect! » El si, enfin, Ton veut connailre a quoi aboutissait 
cette esthelique nouvelle, voici le dernier echanlillon des erreurs ou peul 
conduire l'esprit de sysleme : 

« Les tableaux du peintre d'Ornans sont des miroirs de verile, dont le 
merile, jusqu'a present hors ligne, abstraction faite des qualiles et des 
defauts de l'execution, est dans la profondeur de l'idee, la fidelile des types, 
la purete de la glace et la puissance du reflechissement. 

» Cette peinture-la vise plus haut que Tart lui-meme j sa devise est I'inscrip- 
lion du temple de Delphes : Homme, connaissez-vous vous-meme, concluanl 
sous forme de sous-entendu, avec Jean le Bapliscur, et amendez-vous si vous 
lenez a la vie el a 1'honneur '. » 



1 Du principe de I'arl, etc., p. 228. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



29 



III 



Le realisme, selon quelques critiques, n'aurait fait que poursuivre, a 
vingt-cinq annees d'intervalle, un mouvement commence par le romantisme. 
II fallait reagir contre ('esprit de sysleme, le faux gout et lout l'ensemble de 
solennelles doctrines tenues en honneur par I'ecole academique. Les Casseurs 
de pierres et le Dante et Virgile ne seraient, des tors, que des formes diffe- 
rentes d'une meme reaction. 

Nous avons montre deja que c'etait particulierement au romantisme qu'en 
voulaient Proudhon ' et ceux dont il personnifiait les tendances. 

En effet, le mouvement realiste, par son dogmatisme meme, n'etait pas 
sans avoir des points de contact avec Fesprit qui animait les partisans de 
David. La tres grande difference resultait beaucoup moins des principes que 
des hommes qui se pretendaient appeles a les personnifier. 

David autoritaire et Courbet sans gene et bon enfant, expliquent toute la 
distance qui separe les travaux des deux artistes. 

II y avait sans doute aussi , dans les premiers succes remportes par les 
oeuvres de Courbet, une part importante a faire a cerlaines preoccupations 
politiques. L'artisan, represente de grandeur naluielle, dans ses habits de 
travail, aspirait a prendre la place du grand seigneur ou du bourgeois en 
gilet de satin, comme la veille on avail vu des hommes du peuple se prelasser 
sur le trone du roi des Francais et se griser de ses vins. 

Assurement, ce n'etait pas donner une plus grande somme d'interet a 
l'ouvrier, de le transporter sur la toile que de lui donner les grands roles 
dans des drames a sensation 2 , des romans a tendances humanitaires, comme 
ceux de Gastineau 5 , ou des vaudevilles aux visees democratiques 4 , alors 



1 Du prmcipe de t'art, etc., p. 228. 

" 2 Le chiffonnier de Paris; Marie-Jeanne, ou la femme du peuple, etc. 

s Le regne de Satan, ou les riches et les pauvres; Comment finissent les pauvres, etc. 

' Le gamin de Paris. 



30 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



qu'il occupait sa place dans le gouvernement et que des voix eloquentes recla- 
maient pour lui l'organisation des ateliers nalionaux. 

Envisage de la sorte, le realisme, devenu peinture a tendance, ne serait, 
en somme, qu'un mouvement transiloire, valanl ee qu'il pouvait valoir au 
point de vue esthetique. Une certaine rudesse de forme, jointe a l'assourdis- 
sement des couleurs, etait, en quelque sorte, une profession de foi, au meme 
litre que les solennelles images de David avaient pretendu traduire l'auste- 
rite republicaine. 

Mais que devait avoir de commun avec le progres indefini de Tart un 
mouvement de I'espece? Est-ce que toutes les conditions exigees precedem- 
ment, non pas depuis vingt ans mais depuis des siecles, pour constifuer une 
creation vraimenl belle, cessaient de prevaloir, parce qu'il avail plu a certain 
peintre parisien de representor des Paysans de Flagey et des Casseurs de 
pierres au bord d'une roule? 

Comment se persuader qu'il n'y eut pas au fond de cette peinture, d'un 
genre nouveau, une certaine recherche de popularile? Car le peuple aussi 
a ses courlisans, ceux que Barbier fletrissait dans sa vigoureuse langue 
poelique : 

Oui, c'est pilic a voir, avec sa tete rase, 
Son corps sans pourpre et sans atour, 
Ce peuple demi-nu, corame ceux qu'il ecrase, 
Corame les rois avoir sa cour! 



Champfleury avait declare le realisme un mot vide de sens; Courbet n'elait 
pas du lout de cet avis. Pour lui, la definition etait des plus faciles; voici 
comment il s'exprimait, a cet egard, au Congres artislique d'Anvers : 
« Le realisme n'est bien connu d'aucun de ses adversaires; il n'est pas aussi 
ancien qu'on veut bien le dire et n'a rien de commun avec les querelles des 
reaux et des nominaux; le fond du realisme, c'est la negalion de l'ideal, a 
laquelle j'ai ete amene depuis quinze ans par mes etudes et qu'aucun artiste 
n'avait jamais jusqu'a ce jour ose affirmer categoriqucment... En concluant 
a la negation de l'ideal et de lout ce qui s'ensuil, j'arrive en plcin a ('eman- 
cipation de la raison, a l'emancipation de l'individu et finalement a la 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



31 



democratic ' !... » On voit que nous n'etions pas si loin de la verite. 

Les incarlades de Courbel n'elaient pas failes pour plaire a ses amis. 
Proudhon, qui voulait bien que la Baigneuse et le Retour de [a conference 
fussenl « des ceuvres de grand style, les seules dignes de notre temps » , 
partait precisement de ce principe que le peinlre devait elre un idealisle. 
Aussi s'empressait-il de le declarer : « Gourbet n'a invenle ni realisme, ni 
idealisme, pas plus que la nature. Ce qu'il fail a ete fait avant lui; il I'est 
aujourd'hui par d'autres que lui, souvent ses rivaux, quelquefois ses vain- 
queurs. Tout ce qu'on a dil a son occasion et qu'il a debite lui-meme est 
depourvu de bon sens 2 . » 

Le rapprochement de ces diverses opinions ne demontre-t-il pas a toute 
evidence, et abstraction faite des ceuvres elles-memcs, que le mouvement 
realiste ne se fondait nullement sur la preoccupation d'un progres indefini, 
precisement parce que Ton entendail qu'il fut en harmonie avec un etal de 
1'opinion essentiellemenlephemere? Nous montrerons plus loin a quel concours 
de circonstances, assez peu prevu, il fut redevable de s'elendre au dela des 
limites rationnelles. 

II est des hommes que Ton n'aborde qu'avec reserve; leur haine du bruit 
donne presque la portee de l'indiscretion a lout detail sur une existence 
volontairemenl derobee a l'avide curiosile des foules. Si d'autres n'ont ete 
que trop bien servis dans leur desir de noloriete par leur propre amour de 
la mise en scene et l'empressement des biographes, on ne peut meconnaitre 
que Thistoire de I'art n'ait derive un interet considerable de I'etude des par- 
ticulariles de la vie des artistes. Une ceuvre s'est presentee sous un aspect 
nouveau le jour ou les circonstances de son enfanlement se sont revelees. 

Le desir de s'eclairer sur la pensee inlime d'un auteur se legitime comple- 
tement lorsque, dans ses travaux, il s'eloigne avec eclat de la voie commune. 
Courbet fut de ceux-la. 

Delacroix, tres jeune encore, ecrivail a son camarade Pierret : « Apprends- 



1 Eugene Guessin-Dumouun, Compte rendu des travaux du Congres artistique d'Anvers. 
Anvers, 4862, p. 175. — c Ln democratic ne prend conseil que de la nature a laquellc saris 
cesse elle ramene les hommes », disait David a la Convention nationale. 

2 Du principe de I'art, p. 284. 



32 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



moi a etouffer les elans ambitieux, et quand j'aurai le bonheur de te revoir, 
retiens-moi dans la route ferme el humble que je me suis tracee '. » 

J.-F. Millet j le paysagiste, que Gautier disait « bien different des manie- 
ristes en laid qui, sous pretexle de realisme, substituent le hideux au vrai », 
ecrivail ceci : « Mes critiques sont gens instruits et de gout j'imagine, mais 
je ne peux me mettre dans leur peau, el comme je n'ai jamais de ma vie vu 
autre chose que les champs, je lache de dire comme je peux ce que j'ai vu 
et eprouve quand j'y travaillais. Ceux qui veulent faire mieux ont certes la 
part belle 2 . » 

Beaucoup plus sur de lui, Courbet ne connul pas les hesitations si frequentes 
dans la carriere des iniliateurs. 

« II se fait l'apologiste de I'orgueil, dit Proudhon; en cela il se monlre 
tout a fait artiste, mais artiste de second ordre; car s'il avail la sensibilite 
superieure, il sentirait eslheliquement (jue la modeslie a son prix; que si elle 
est quelquefois une hypocrisie, elle ne Test pas loujours. La modeslie est une 
des choses les plus delicales qu'il soil donne a I'homme de goiiter; celui en 
qui le sophisme a etouffe ce sentiment n'est plus un homme : c'est une 
brute 3 ... » 

Paroles severes dans la bouche d'un ami ! 

Sans doute, la confiance en soi a engendre bien des ceuvres glorieuses, 
mais elle ne lolere point de relache dans la poursuite du mieux. Se proclamer 
salisfait, dire que Ton a « acheve ses etudes » , n'est pas seulemenl un non 
sens dans la bouche d'un artiste, mais le presage d'une immulabilile d'ail- 
leurs ires frappante chez Courbet. 

Silvestre est plus affirmalif encore que Proudhon en ce qui concerne le 

jugement de Farliste sur son oeuvre. « Personne, dit-il, n'est capable de lui 

faire le dixieme des compliments qu'il s'adresse a lui-meme, du matin au soir, 

d'un co3ur naif, et il vous repondra, si vous lui demandez son opinion : 

« Je suis courbelisle, voila tout; ma peinlure est la seule vraie; je suis le 



1 Philippe Burty, Lettres d' Eugene Delacroix, p. 18. 

2 PlEDAGNlEL, J.-F. MUfat, 

5 Lot. cit., p. 282. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



53 



premier et I'unique arlisle de ce siecle; les aulres sont des eludiants ou des 
radoteurs. » 

On voit qu'ayant a rechercher les origines du realisme, a apprecier ses 
tendances, i) n'etait pas superflu de nous detourner un moment des oeuvres 
pour nous enquerir des vues du represenlant le plus noloire de la nouvelle 
ecole. Nous n'avons pas a pousser plus loin cet examen. 

Une chose demeure acquise : la preoccupation de beaucoup sacrifier a la 
noloriete obtenue a tout prix. Point de laborieuse recherche de 1'expression 
manifeslee par le conirasle des types; plus d'indifference encore pour la dis- 
position plus ou moins favorable du groupe, la justesse ou la grace du mou- 
vement, pour la veritable donnee piltoresque, enfin. VEnterrement et le 
Relour de la conference, les deux seules « conceptions » dans tout Foeuvre 
de Courbel, dissipent la derniere illusion que Ton pourrait conserver sur 
1'impuissance du chef de I'ecole realisie a rencontrer le succes autrement que 
par Fabandon des regies eonsacrees du bon gout et des convenances eslheli- 
ques, que tant de personnes en sont venues a envisager comme une des 
necessiles d'un art nouveau. 

Des journaux parisiens rapportaient naguere que M. Roberl-Fleury, le 
doyen de FAcademie des beaux-arts, avail designe a I'exposition de I'oeuvre de 
Courbel un portrait de ('artiste, en le proclamant une eeuvre digne du pinceau 
de Rembrandt. Les portraits qu'il fit de lui-meme furent, effectivement, les 
eludes les plus chaliees du peintre. Gaulier l'avait depuis longtemps con- 
stale. « M. Courbel, disait-il, a une fort belle tele qu'il aime a reproduire 
en ayant soin de ne pas s'appliquer les procedes du realisme; il reserve pour 
lui seul les tons frais el purs, et caresse sa barbe d'un pinceau delical. » 

Que 1'on ne s'y trompe pas, d'ailleurs : nous ne voulons pas contesler a 
Courbel un ordre de qualites picturales tres meritanles el que nul homme 
familiarise avec la technique de Tart ne pent meconnaitre sans injustice. Aux 
critiques les plus acerbes se mele presque loujours 1'hommage d'une admira- 
tion, excessive aux yeux de bien des gens, rendu aux faculles peu communes 
du peintre : mais le temps n'a pas donne tort a ceux qui pensaient que 
l'avenir de Fart n'etail pas, il y a trenle ans, dans la voie ou s'engageail le 
novateur el ou prelendaienl le pousser quelques enlhousiastes. 

Tome XLV. o 



34 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



II n'y a pas longtemps, appreciant dans YArt les ceuvres du chef d'ecole, 
M. Eugene Veron nliesilait pas a exprimer ce jugement t « En somme, 
Courbel a ele un « mailre peinlre », mais en dehors du paysage i! ne faut 
pas chercher en Iui un artiste. Pour composer des scenes humaines, il lui 
manquail rimagination, el ce tour parliculier et superieur de l'intelligence qui 
est necessaire pour comprendre la poesie el Ie sens intime de la vie \ » 

Quoi de plus juste? La peinlure, si vigoureuse qu'elie soit, n'importe-t-elle 
que comme expression d'une virluosite qui devra nous faire tenir pour suffi- 
santecette qualile a I'exclusion de toute autre? Acceplons, si Ton veul, comme 
un progres acquis, toute manifestation de talent se faisant jour avec la vigueur 
deployee quelquefois par un Courbel, mais gardons-nous de I'envisager comme 
aulre chose qu'un moyen purement materiel. II y a tant d'aulres exigences a 
salisfaire, que Ie grand art doil pousser tres au dela pour repondre a sa des- 
tination sociale. 



IV 



II nous presse de faire abstraction des personnalites. Allons aux ceuvres, 
et demandons-nous si les defauts et les coles faibles du realisme elanl elablis, 
il est permis d'atlribuer au sysleme une conceplion nouvelle de la nature, 
appelant les regards de nos contemporains et de nos successeurs vers une 
forme d'expression inapercue ou jusqu'alors incomprise. En loule conscience 
nous hesilons a repondre affirmativement. 

On nous citera telle page admiree, a juste litre, pour sa sincerite; mais 
aussitot se presenteront en foule a noire souvenir des mailres de premier 
ordre, qui en Espagne, en Flandre, en France, en Angleterre, en Hollande, 
surtout, ont laisse des chefs-d'oeuvre exclusivement inspires des scenes les 
plus insignifiantes de la vie journaliere. 



1 L'Art, i XXVIII, p. 254. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



33 



Frans Hals, Rembrandt, Jean Steen, Ostade, Pierre de Hooghe, Teniers, 
Velasquez, Le Nain, Chardin, Gainsborough, Wilkie, ne sont evidemment 
pas moins sinceres que les represenlants de 1'ecole realiste, ni moins poeti- 
ques dans leur interpretation de la nature; nous disons meme qu'ils le sont 
davantage. 

En Hollande, une nombreuse ecole d'ecrivains epanche en des poemes 
naturalisles ce puissant amour du simple et du vrai qui se revele dans les 
oeuvres des peintres du XVII e siecle, et contribue a nous les faire com- 
prendre. 

Le realisme hollandais, si realisme il y a, avail sa raison d'etre. Sous 
peine de n'exister pas, quelle autre forme pouvait revetir 1'art, chez un peuple 
libere par la plus heroique des resistances du joug de I'Espagne et, du m6me 
coup, des traditions espagnoles, et dont les artistes voyaienl larie pour eux 
une source deux fois seculaire d'inspirations : la peinlure religieuse ? 
« Un peuple nouveau et qui a su s'affranchir du pape, du roi et de la tra- 
dition, nait a la vie. Un tel milieu est seul capable de faire eclore un tel 
art, un art radicalement independant, naturel, humain, et lire des entrailles 
memes de la nation. 

» Vous cherchez le fauteur premier, le principe; il est la. Le peuple s'est 
eleve au rang de nation, I'homme a conquis son individuality. La conscience 
d'un bien si precieux et si cherement achete imprime a ses actes, comme a 
sa pensee, un caractere inoui d'audace et de virilite. Voulez-vous un echo des 
sentiments qui dominent a cette epoque? Lisez I'hymne par lequel Daniel 
Heinsius salue la vicloire de Gibraltar; lisez cette strophe ou le poete, 
s'adressant aux Espagnols, s'ecrie : « Enlevez-nous ies champs ou nous 
vivons — nous nous confierons sans crainte a rocean. — Partoul ou vous 
n'etes pas, la pour nous est la patrie. — L'oiseau est ne pour I'endre Pair — 
d'une aile rapide; le cheval pour obeir au frein; — le mulct pour porter de 
lourds fardeaux — ■ ou haler nos barques sur les canaux; nous, nous nais- 
sons pour etre libres! » Fieres et nobles paroles ou eclote danstoulesa force 
la haine de Toppression, le culle de la liberie, passionne, exclusif et prepare 
a tous les sacrifices! « Parloul ou vous n'etes pas, la est notre patrie! » 
Quelle protestation vaut ce cri sorti du coeur, et quel peuple que celui qui 



3t> 



LE REAL1SME: SON INFLUENCE 



applaudissait a de tels accents et qui s'inspirail d'un patriolisme si ardent 1 ! » 

Exalter la palrie, ses hommes illustres par la valeur guerriere el la science; 
faire revivre sur la toile les traditions locales; relraccr jusqu'aux habitudes 
du peuple, ses fetes, ses joies; rendre les lointains horizons, I'aspecl des 
campagnes verdoyantes peuplees d'innombrables Iroupeaux — cetle richesse 
de la Hollandc, — les villes pitloresques; rappeler en des marines, sans 
rivales, les aspects changeants de la mer, et jusqu'a la puissance des flotles 
neerlandaises, quoi de plus conforme, en verite, an role de I'artiste, el quoi 
de plus patriotique a ce moment de l'hisloire? 

Et combien merveilleusemenls'accomplil la (ache? Frans Hals, Rembrandt, 
Oslade, Jean Steen ne sont pas des rafflnes, bien moins, sans doule, des 
theoriciens. Que de charme pourlanl, de profondeur, de penetrantc emotion 
dans les scenes inspirees de ce qui les environne, et combien ici ['execution 
rehausse, par sa conscience el sa simplicity I'amour fervent du vrai! 

Mais les peinlres de la Hollande precedent avec un (act exquis de conve- 
nances eslhetiques. Oslade ne s'avise point de nous dormer ses tabagies dans 
le format pompeux des toiles religienses, et s'il prend fantaisie a Rembrandt 
de nous montrer un echaudoir, il saura dire a merveille sa pensee sans faire 
de la carcasse d'un bceuf ou d'un pore, le pendanl de la Ronde de nuit. 

Que Ton ne s'y trompe pas cependant : ce mouvement si plein d'inleret fut 
de courte duree, et le grand Rembrandt lui-meme mourul pauvre et obscur, 
delaisse en faveur d'une ecole dont les chefs, tant considered, altirent a peine 
aujourd'hui I'attenlion. Certains de ses eleves eux-memes en vinrent a se 
travestir au point d'etre meconnaissables dans leur nouvelle maniere. 

Si nous avons monlre a quelles causes l'ecole hollandaise dut sa plus vive 
splendeur, nous aurons fail comprenclre aussi qu'un mouvement analogue ne 
s'improvise pas. — On l'a dit avec raison : « L'action de faire fleurir les arts 
dans un pays se combine de deux elemenls : des bons ouvrages que Ton fait 
et de I'interet que la nation y porte 2 »; ils sont inseparables. 



1 C. Vosmaer, Frans Hals. Leyde, 4873. 

2 Del^cluze, lot. tit., p. S6. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



37 



Analysant le mouvement artistique contemporain, un critique allemand dit, 
avec infiniment de raison, que si la peinture n'a pas pour objet unique de 
traduire la beaute reguliere, que I'ovdinaire et merae le laid peuvent ajouter 
a la force expressive d'une ceuvre, il faut pourtant se garder de croire que 
le bourbier possede seul des charities et que le pur cristal de la source offense 
le regard. 

« Au point de vue materiel, ajoule ce critique, la nouvelle theorie ne 
conslituait pas un progres bien marquant, car le fait de peindre une trogne 
de buveur avec une verite telle que Ton croit percevoir jusqu'a I'odeur 
d'absinthe qu'elle exhale, ne fournit pas la preuve d'un talent superieur a 
celui qu'il faut pour rendre d'une maniere parfaite un profil regulier f . » 

En effet, talent pour talent, le connaisseur preferera ioujours une concep- 
tion elcvee a une conception vulgaire, et la veritable superiorite de l'artiste 
ne peut se manifesler que par le choix heureux des types et des situations 
que son pinceau doit exposer a nos regards. Quant a bien peindre, a notre 
sens c'est son premier devoir, comme le premier devoir d'un ecrivain est de 
connailre sa langue. Que dirait-on d'une ecole qui trouverail que tout ecrivain, 
digne du nom, doit puiser dans les jargons populaires pour etre de son temps 
et elre coinpris de ses lecteurs? 

Le realisme se fit toutefois accepter comme theorie; il avait, selon l'expres- 
sion de Champfleury, « fait son trou dans le diclionnaire » , il eut ses partisans 
energiques et d'une entiere bonne foi, mais que la somme de leurs connais- 
sances artisliques n'appelait pas a faire aulorile; il devait avoir aussi ses 
flatleurs, comme les a toute puissance. 

A les entendre, celte condition essentielle de toute ceuvre peinte : la since- 
rite, ne pouvait resider que dans les motifs de la plus franche insignifiance, 
aisemenl saisissables pour la foule, au meme litre que I'imagerie populaire. 
La rudesse, souvent ainsi, se confond avec la franchise. « lis ont cru, les 
malheureux, faisant injure a ce peuple auquel ils pretendaient s'adresser, 
que Part vulgaire pouvait etre Tart populaire 2 ! » s'ecrie Chesneau. 



1 Seemann, Geschichte der Kvnst im XIX. Jhhrkimrteri. Leipzig. (881. p. I L .'7. 

2 L'Ediicaliun He t'ttrlisle, p. l'.» 



38 



LE REALISME: SON INFLUENCE 



. Non moins alteres de noloriete que les critiques I'etaient d'influence, de 
jeunes artistes crurent voir s'ouvrir pour eux les voies du succes par un 
ordre de travaux certainement Ires abreges, puisqu'il allait etre permis — 
mieux encore, exige, — de ranger parmi les choses secondares, la concep- 
tion, le choix raisonne du type et, comme consequence inevitable, I'etude de 
la forme elle-meme. 

L'imprevu, en toules choses, a eel avantage indeniable de frapper l'atten- 
tion des foules. Toute forme nouvelle d'expression, sans constiluer necessai- 
rement un progres, implique pourtant I'initiative et suppose un effort. Etre 
discute n'est pas le lot du premier venu et, d'ailleurs, la confiance qu'on 
possede en ses propres jugemenls est rarement si robusle qu'une voix secrete 
ne vienne, a certaines heures, rappeler a I'homme sa faillibilite. L'artiste, le 
jeune artiste surtout, est sujet a ces moments de doule qui donneront a la for- 
mule nouvelle I'apparence d'un progres, el plus d'un a paye cher I'illusion. 

D'autres causes allaient contribuer a la diffusion rapide des theories du 
realisme. En premier lieu vint la frequence des expositions. 

Appeles a choisir entre l'exhibition d'une oeuvre halive et l'abstention, peu 
d'artistes croient devoir preferer celle-ci. Le besoin de noloriete, Pespoir des 
recompenses, les chances de la vente, la crainte de 1'oubli : autant de motifs 
qui les poussent. 

* ... Le temps ne fait rien a I'affaire », 



dit Alceste, et e'est aussi notre opinion ; mais par cela merne on doit deplorer 
de voir le peintre travailler sous Tempire de la crainle d'etre surpris par 
le temps, iravailler, enfin, en vue d'un delai fatal et rapproche. C'est, au 
regard de certains articles de revues, longuement mediles el soigneusemenl 
ecrils, la chronique hebdomadaire, paraissant a 1'heure dite. Pour emaner 
d'un ecrivain de valeur, cette derniere ne cessera pas de se ressentir des 
circonstances de sa production. 

Les effels facheux de la frequence des expositions on!, ele maintes fois 
etablis; ils etaient apprecies, des l'annee 1852, lorsque les salons devinrent 
annuels, par Gustave Planche, avec une incontestable hauteur de vues. « Je 
pense, ecrivait ce critique, que les expositions annuelles sont tres loin de 
servir au developpement de I'art; envisagee comme industrie, assimilee 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



39 



aux toiles peintes de Mulhouse, aux indiennes de Rouen, la peinlure peut s'en 
rejouir, en tirer parli. Considered comme rune des formes de Imagination 
humaine, elle ne peut que s'en allrister. 

» Quand les salons se succedaient a des epoques irregulieres, les peintres, 
les slaluaires travaillaient pour lutter ; Imposition devenait un champ de 
bataille. Aujourd'hui que les salons sont loin d'avoir la raeme importance, la 
lutte s'engagc a peine entre quelques sujets d'elite, la plupart des artistes ne 
voient dans les expositions annuelles qu'une occasion de placer les produits 
de leur induslrie : Pactivite mercantile a remplace l'emulalion. 

» Assurement le travail de la pensee ne saurait se conlenter des applau- 
dissements, il est juste que la renommee se traduise en bien-etre; malheu- 
reusement, les expositions annuelles suppriment la renommee et ne laissent 
debout que la soif du gain : le plus grand nombre se hate de produire et 
prend en pitie les ames assez ingenues pour rever la gloire; le desir de bien 
faire s'attiedit de jour en jour, les ateliers se transforment en usines, et pour 
peu que cette fievre continue, il sera bientot impossible de distinguer l'arl de 
l'industrie. » 

On soupconnait a peine, a l'epoque ou paraissaient ces lignes, a quel point 
la prediction devait se realiser, et quiconque a suivi d'un ceil atlenlif la marche 
des beaux-arts depuis vingt-cinq ans a du etre frappe de I'influence facheuse 
exercee par la succession rapide des expositions. 

C'est la poursuite du neuf a tout prix, la preference donnee a des sujets 
d'une mise en scene facile, la multiplication des tableaux d'accessoires, des 
paysages, des portraits; le Iriomphe, en un mot, de toutes les adresses sur 
la meditation. 

Non moins en Belgique qu'en France on a ressenli les effels regrellables 
des expositions trop rapprochees. 

M. E. Felis n'hesile pas a voir dans leur frequence « une des causes de 
rinferiorite de Tart moderne, une de celles donl Tinttuence est la plus directe 
et la plus dangereuse { » . 



1 L'Art dans la Sociele et dans I'Etal, p. 135. — Plus recemment, M. Fetis a en ['occasion 
de revenir sur cette question dans le discours qu'il a prononce, comme president de 1'Aca- 
de"mie, a la seance publique de la Classe des beaux-arts, le 28 octobre 1883. 



^"^ 



40 



LE REALISMS; SON INFLUENCE 



Grace aux salons annuels de peinlure, les theories mises en honneur par 
Courbet purenl arriver assez tot a se faire accepter. 

Le public, a force d'enlendre prononcer un nom et souvent proclamer un 
merite, peut croire que noloriele et valeur sont synonymes : il ne discute plus 
et cesse d'etre choque de cerlaines choses contre lesquelles il prolesterait, 
laisse a la libre manifestation de ses preferences. 



A cette phase de I'hisloire de l'arl coulemporain , une circonstance des 
moins prevues vint donner lout a coup au realisme une apparence nouvelle 
de legitimate : ce fut I'invenlion de la photographie. 

La chose etail, vraimcnt, trop mervcilleuse pour ne pas justifier lous les 
enthousiasmes. 

Comment croire que desormais l'imitalion ne serait pas le but exclusif de 
Fart, quand la simple action chimique des rayons solaires arrivail a rendre 
l'image exacle de lout ce qui nous environne, avec une perfection a desesperer 
l'arlisle le plus patient? La meilleure preuve que cette croyance exislait, e'est 
qu'on alia jusqu'a insinuer que des oeuvres comme celles de Meissonier, par 
exemple, devaienl leur superiorite au concours de la photographie, el des 
critiques prouverenl toute I'elendue de leur incompetence en se faisanl les 
echos de pareilles absurdiles. 

Mais, inconlestablemenl, la peinlure devait se ressenlir d'une maniere Ires 
direcle de I'intluence de la photographie. 

Tout d'abord, il faut le conslaler, la faculte de perception des peintres 
elait sortie victorieuse d'une epreuve qu'on pouvait voir lourner a la confu- 
sion complete de quiconque lenail le pinceau. L'effel de la lumiere el des 
ombres, la projection des objets dans l'espace se monlraient tels que nos 
regards elaieul accoulumes a les percevoir; la photographie les rendait sans 
en retrancher aucune chose apercue jusqu'alors, et donnait, en outre, a ses 
images, une precision de detail propre a contenler l'ceil le plus scrupuleux. 
Pour beaucoup d'arlistes el pour le public lui-meme, la nalure allait se pre- 
senter sous un aspect nouveau. Jusqu'alors on elail alle vers ellc, penetre d'un 
respect religieux, d'une curiosile jamais satisfaite, certain de rester toujours 
bien loin d'une realite que nul n'etait sur d'avoir bien apercue et toujours 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



M 



dans Pespoir de lui derober quelque secret; voici Pepreuve photographique se 
presentanl comme un moyen de conlrole a la porlee de lous et, precisement, 
ce qui plaidail en faveur de la superiorile du peinlre sur l'inerte machine 
allail, pour on uombre infini de personnes, elre inlerprele comme un element 
d'inferiorite. 

Chose digne de remarque et bien faite pour demonfrer celle influence de 
la pholographie sur la peinlure, il est impossible de n'etre pas frappe de la 
maniere donl chaque elape nouvelle du procede trouva son equivalent dans 
I'effet des tableaux a celle epoque d'investigalion. 

La realile avail triomphe de I'image ; Pimage allail vouloir, a son lour, 
iriompher de la realite. 

Imparfaite d'abord en ses tentatives, la pholographie n'arriva pas d'un jet 
a sa netlele presente. Les demi-leinles ne furenl rendues qu'apres une longue 
periode d'essai, el la grande puissance des lumieres ne se produisit que sous 
I'influence du perfeclionnement des lentilles joint a l'experimenlation de 
certaines matieres nouvelles. Les premieres images apparaissenl comme 
environnees de vapeurs. 

On vit des artistes se passionner pour celte indecision des contours, et si 
ce ne i'ut la qu'une epoque transitoire, on ne peul nier que la science des 
effets ne souffrit de I'innovaiion. 

On crut un inslanl devoir preter a la nature des apparences de grisaille, 
el le resullal fut plus grave encore en ce qui touchait I'elude de la forme. 

Dire que la poursuile de Tideal, que I'etude des effets eut cesse d'elre 
lenue en honneur seraii inexact; comment nier, pourtant, ['influence toute- 
puissanle el presque lyrannique de l'habilude en toute matiere regie par le 
gout? L'arliste put croire que, reellemenl, une ere nouvelle s'ouvrait pour lui 
et que certains droits nouveaux, non dissemblables de ceux que la Revolution 
avait conleres au citoyen, lui elaienl echus. Fallait-il s'appliquer encore avec 
la meine ardeur a I'analyse de la forme, a I'etude des proportions si laborieu- 
semenl poursuivie a travers les ages depuis Polyclete jusqu'au Poussin? 

La beaute gardail ses droits, mais a la condition de resider, non pas dans 
['imagination de l'arliste, mais de se renfermer dans l'ordre des realiles 
banales issues de la photographie, a la condition, enfin, de se plier a ce 
Tome XLV. 6 



42 



LE REAL1SME: SON INFLUENCE 



niveau bourgeois qui nous rend tous egaux devant I'appareil x . La distinction 
des mouvemenls, la noblesse des altitudes cessaienl des lors de prevaloir sur 
la realite pure el simple; lanl mieux ou elles residaienl, lanl pis ou elles 
faisaienl defaul, el, a force de se le persuader, 1'on se crui ndmis a rejeler, 
sans autre examen, panni ies conventions, loule recherche enlreprise dans 
le doinaine de I'ideal. 

Une cause d'autre nature el non rnoins puissanle, devail exereer son 
influence sur la inarche des beaux-arts : raccroissemenl rapide des fortunes. 

La somptuosile des inlerieurs en vint a exiger comme complement nalurel 
el oblige la presence des tableaux, des sculptures. On voulul des ceuvres 
appropriees a la decoration des apparlemenls, el s'il elail loisible a la richesse 
de s'enlourer de productions de premiere valeur, Ies fortunes plus modesles 
crurent pouvoir, a un moindre prix, se conlenler de la perfection relative, de 
Papparence des loiles signees des plus grands noms. On eut ainsi des oeuvres 
de reflel, chacun trouvant a s'accommoder a sa guise, et si I'oeuvre de reelle 
valeur devail hausser de prix par le voisinage de la mediocrile, celle-ci n'en 
restail pas rnoins tolerable, tout an moins toleree, elanl donne qu'on la jugcail 
conforme aux ressources de son acquereur. Au lieu de se conlenler de repro- 
ductions bien failes, d'eslampes de merile, on prefera des originaux de bas 
aloi. La conception nulle et I'execuliou lachee purent avoir leurs proneurs. 

Preoccupes du placement de leurs produils, nombre d'arlistes en vinrenl 
a tout sacrifier au gout d'acheleurs pen eclaires, el I'espril de speculation des 
marchands tira grandement parti de ce courant. L'ceuvre d'arl tendail a se 
denalurer, elle cessail d'etre une creation de I'espril pour se rapprocber du 



1 i La photographie, ne procedanl que du fait, commence el finit avee lui; elle 1'acceple lei 
qu'il sc prdsente, se Papproprie sans conlrdle, sans de'veloppement, sans restriction d'aucune 
sortc; elle ne pent Hen au deJa de cctte fidclile avcugle. En dehors de eelte assimilation 
a outrance elle n'existc pas. De la I'expression negative, l'aspect incrte de ses produits d'apres 
Ies olijets que la vie anime, de la ccs portraits sans physionomie et ces trisles effigies du corps 
Iiumnin qui suflfiraient pour degouler du realismc, si taut est que le rdalisme et ses a'uvrcs 
puissent seduirc scrieusement personne : images ressemblantes si Ton vcut, mais d'tine res- 
semblance figec; images vulgaires et inorles, bonnes lout au plus a clie consultces a litre de 
renseignemenls sur la lettre de la nature. » II. Delabokde, La photographie el la gravurr,. 
(Revue des Deux Mondes. I8SG, p. 619.) 



SLIR LA PEINTURE COISTEMPORAINE. 



45 



produil mercantile, regulieremenl « cole sur la place », et dcs lalenls tie 
premier ordre n'echapperenl pas a la contagion. 

Lance clans la voie de produirc vile et. beaucoup, on s'aulorisa de tonics les 
meprises et de tons les sophismes, et I'a pen pres, « Pimprossion » , en pins 
d'u'ne eirconstance, ful erige en sysieme. 

Nous parlons de choses clu passe; le bon gout el Pexperrence oni fait justice 
dans line large mesure de ces erreurs. « ()u manque Pame, la sensibilite, il 
n'y a point d'arl, il n'y a que du metier », disail Proudhon lui-meme '; Pon se 
persuade de plus en plus de la verile de cette parole. 

Affirmer, d'autre part, que Pequilibre lompu soil retabli coinplelenient 
serai! cbose hasardeuse, aulant que de piedire qu'il doive Petre de si tot. 

En effet, aiijourtPbui meuie, la peinlure ne s'est pas liberee des influences 
qui semblenl plutol devoir Peloigner que la rapprocher clu role que lui marque 
logiquemenl une succession de forces acquises depuis des siecles. 

« Nous visions haul, jadis, ecrivail Delacroix en 1859; heureux qui y 
pouvail atteindre! Je era ins que la taille des lulleurs d'aujourd'hui ne leur 
peruielte pas meine (Pen avoir la pensee; leur petite verile etroitc n'est pas 
celle des mailres : ils la cherclient terre a lerre avec un microscope! » 

Le grand artiste n'eut pas la joie de voir les choses beaucoup se modifier, 
el lui, lanl calomnie et jamais salisfail de son ceuvre, parlail encore avec une 
amerlume profonde, dans un des derniers ecrils que Pon ail de sa main, « de 
celle generation qui supprime les prineipales difficulies de la peinlure » . 
Nous craignons qu'elle n'ait encore ses represenlanls. 



1 Du principe de I'urt, etc., p. 21. 



H 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



V 



Si le realisme ne peut etre admis comme expression logique el legitime 
des preoccupalions de noire temps, c'est moins encore par sa tendance a 
vouloir subsliluer certaines qualites purement materielles a I'expression puis- 
sanle des mouvemenls de Tame, que par 1'inlluence, extremement facheuse, 
ipie I'acceptalion de ses theories menacerait d'exercer sur le grand art. 

Le grand ail! deja le mol provoquera plus d'un sourire. Que de Ibis, 
en effel, les critiques Pont dil, et que de I'ois la loule Fa repete apres eux, 
« la grande peinlure esl morle » , el gaiement on porte le deuil de la 
defunle. 

Si vraiment la grande peinlure esl morle, — et le ciel nous garde de le 
croire, — il esl une chose certaine, c'esl qu'elle n'esl pas morle de morl 
naturelle et que tout ce que Ton a pu (aire pour hater sa fin on I 'a fail. 

« En peinture, tlisait I'autre jour un crilique ecoule, le sujet est chose 
secondaire : la vie, le mouvemenl, la ligne, la magie de la couleur, le dessin, 
la louche caracleristique, voila I'art veritable! » 

« En art, comme en litterature, dit un aulre, tout consisle dans le lour de 
main, I'execution ou le style 1 . » 

Faut-il s'elonner, apres cela, de ce que le grand art soit suppose n'exisler 
pas, par ceux, du moins, qui se laissent persuader que le sujet n'esl pour rien 
dans la splendeur des conceptions de Michel-Ange a la Sixtine, de Kaphael 
au Vatican, de Veronese a Sainl-Marc, de Rubens un peu partout? 

S'arreter a demontrer rimportance des qualites techniques dans les arts 
serait en realite, selon I'expression vulgaire, enfoncer une porte ouverte; mais 
Terreur serait plus considerable encore de supposer que la forme, si parfaite 
qu'elle soil, puisse servir a aulre chose qu'a habiller une idee 2 . 



* Castagnary, Uoeuvre de Courbet, p. 8. 

2 « Une oeuvre d'art ne saurait etre autre chose qu'une pensee rendue sensible par une 
image. » (II. Delaboiide, Etnrks sur I'art, etc., p. 83.) 



SUK LA PEIFNTURE CONTEMPORAINE. 



W 



II y a eu de lout (emps des ecrivains, el meme des oraleurs, soucieux de la 
forme au point de se preoccuper moms tic I'idee que d'une maniere frappanle 
de s'adresser an public. 

Le principe realiste nous semble done inconciliable avec Tart envisage au 
poinl de vue des preoccupations de noire temps qui, sans doute, a plus qu'un 
autre remue des idees. 

Que l'artisle puise dans la rea lite, ou simplement dans son imagination, 
toute scene representee est susceptible de se revetir, sous son pinceau, d'une 
forme saisissante el complete, d'un effel puissant, el Ton est en droit de se 
demander ce que seraient les oeuvres d'un Rembrandt, si Ic maitre n'avait 
trouve dans sa feconde imagination les effels si admirablement adaples aux 
scenes qu'il lire de I'Evangile, comme le Christ guerissant les malades, 
\ 'Annoiiciation aux bergers, les Disciples il'Emmaiis. « L'ame se pro-por- 
lionne insensiblement aux objets qui Foccupent el ce sont les grandes occa- 
sions qui font les grands bommes », dit Jean-Jacques Rousseau. 

Voila la vraie definition. 

Le grand art ne sera done pas celui qui aura le plus prol'ondement exerce 
en I'arlisle la faculte de rendre, avec la somme d'adresse, meme la plus 
grande, les objets qui I'environnent, mais avant tout, celui qui exercera sa 
faculte de concevoir, faculte de mediocre avantage, nous nous plaisons a le 
reconnaitre, s'il ne possede encore celle do revetir sa pensee d'une forme qui 
soit pleinement en rapport avec elle. « Le but de 1'arl, on I'a Irop oublie de 
nos jours, dit Theopbile Gautier, n'esl pas la reproduction exacte de la nature, 
mais bien la creation, au moyen des formes el des couleurs qu'elle nous livre, 
d'un microcosme ou puissent habiier el se produire les reves, les sensations 
el les idees que nous inspire l'aspect du monde. » 

Le realismc ne l'admet poinl ainsi. Aucime eeuvre ne vaut, a en croire ses 
apotres, qu'aulant qu'elle se renl'erme dans le cercle des cboses vues el effec- 
tivement per^ues par I'ceil du peintre, comme par celui du spectateur. 

« Quand le clivin Rapbael concut la representation de la science, dit 
Burger, au lieu de prendre ses contemporains — l'ltalie et le monde ne 
manquaient pas alors de savants et de philosophes, — il alia chercher a 
dix-huil siecles en arriere et chez un autre peuple YEcole d'Athenes. II en 



4(i 



LE REALISME; SON INFLUENCE 



fail de meme pour representor toules lcs qualiles humaines et loutes les 
manifestations sociales. 

« Cet art symbolique n'est pas Ires difficile, sous reserve du genie qui a 
cree YE cole d'Athenes; on apprend lout de suite que pour faire YAslronomie, 
on pose une femme le nez en Pair et on seme d'etoiles sa robe : c'est tout 
simplement la substitution d'hieroglyphes, de logogriphes el d'enigmes, a 
I'homme memo. C'est Ic sacrifice do I'humanite rayonnanle et expressive, 
a des signes oxterieurs, materiels et conventionnels 1 . » 

Combien est plus elevee la parole de Ciceron sur Petal de Tame de Phidias 
ereant le Jupiter olympien, I'artiste dcvani loujours irouver au fond do son 
coeur un ideal d'expression qu'aucun modele exislant ne peul lui fournir. 

« Phidias, quand il faisait une statue de Jupiter ou de Minerve, n'avait 
pas sous les yeux un modele paiiiculier dont il s'appliquait a exprimer la 
ressemblance ; mais au fond de son ame residait un certain type accompli de 
beaule sur lequel il lenait ses regards attaches et qui conduisait son art et sa 
main 2 . » 

La forme, du resle, et ceci s'applique non moins a la forme lilteraire qu'a 
la forme plaslique, la forme ne saurail demeurer loujours la meme. II appar- 
lient a I'artiste de ('adapter a la nature de sa conception, et nous meltons au 
defi aucun mailre de se procurer un modele dont il soil pleinemenl satisfait. 

S'imagine-t-on les figures de YAurore el de la Nuil de Michel-Ange, copiees 
sur nature? « Ni dans un village, ni dans une fele, ni dans les ateliers, en 
Italic ou ailleurs, aujourd'hui ou au XVI e siecle, dit M. Taine 3 , aucun homme 
et aucune femme reelle n'ont ressemble aux heros indignes, aux vierges colos- 
sales el dcsesperees, que le grand homme a elales dans la cliapelle funeraire. 
C'est dans son propre genie que Michel-Ange a trouve ces types. » 

Se figure-t-on, d'autre pari, Rubens ereant les bourreaux de son Martyre 
de saint Lievin ou de mint Thomas, par la simple copie d'un modele fourni 
par le hasard? 

Quatremere de Quincy demonlre avec une singuliere puissance de per- 



1 Les musees de la ffotlande, "1858, t. I, p. 203. 

2 Quatremere de Quincy, Essui sur I'ideal dans ses applications pratiques. 



Philosophie de I'art, p. 47. 



SUR LA PEINTURE CONTEMPORAINE. 



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suasion 1'erreur de ceux qui oublient 1'influence exercee par son sujel sur 
1'inspiralion de I'homme qui cree. « Je demande, dit-il, si le genre du sujet 
ne determine pas les qualiles de l'eloquence. Je demande si le discours de 
l'oraleur, qui n'est autre chose que I'expression des sensations qu'il eprouve, 
ne recoil pas des circonslances des modifications variees; et je le demande 
encore, y a-l-il pour l'orateur quelque moyen de supposer, de supplier ou de 
feindre une disposition donl rinfluence delermine et I'ordre de ses pensees, 
et la forme de son style, et le caraclere de ses mouvemenls? » 

Ainsi de Tarliste. Croira-l-on a I'existence du bas-relief du Depart de 
Rude, sans cet elal de Tame de Pillustre slatuaire qui le crea? 

Sans douie, lorsque nous parlous du grand art et de sa feconde influence, 
nous ne saurions un seul instant nous arreler a Tidee d'imposer a la peinlure 
des formes prearretees, ni meme un role que la nature de ses moyens rend 
impossible. El pourlant, il faul le reconnaifre, Carlisle ne jouil pas d'une 
liberie enliere. II lVentre certainement a I'esprif de personne de prelendre 
que le seul fail de representee sur une grande toile, le premier objel venu 
conslitue le grand art. V Etiterrement d'Ornans ne gagnail en aucune sorle 
a revelir les proportions heroiques d'une page d'hisloire, el Rubens, qui s'v 
enlendail et avouait, d'ailleurs, que les grandes toiles allaienl le mieux a son 
temperament, Rubens s'esl bien garde de donner a sa Kermesse ou a son 
Jardin d'umour les proportions solennelles de sa Descen/e de croix ou du 
Triomphe d' Henri I V. 

Rien ne prouve, du reste, que I'impression ressentie par le speclaleur doive 
etre moins profonde devanl une oeuvre de pelites dimensions que devanl une 
toile de plusieurs metres; seulement, I'impression que Tartiste a voulu pro- 
duire est d'aulre nature dans les deux cas, et il est done evident que nombre 
de sujets s'accommodenl mieux des proportions reduites que de la grandeur 
nalurelle. L'avantage de cetle derniere reside beaucoup moins dans le moyen 
qu'elle fournil a Tarliste de mieux produire Yittu&ion que d'augmenler, aux 
yeux du speclaleur, rinlensile de V expression, encore un des coles de Tart 
que le realisle envisage comme secondaires. 

Nous sommes done en droit de dire que la grande peinlure est en majeure 
partie redevable de son abandon a la doctrine nouvelle. 



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LE REALISME; SON INFLUENCE 



Est-ce un bien? Est-ce un mal? 

Les plus recenls critiques francais el beiges envisagent comae un progres 
reel ['application des efforts de I'arlisle a la Iraduction des episodes de la 
plus extreme simplicile, sans autre preoccupation que de « (aire vrai » '. 
lis nous rappellenl combien la Hollandc a su, dans la sphere des plus hum- 
bles donnees, trouver matiere a des chefs-d'ceuvre el toucher juste, en tra- 
duisanl ce qu'elle sentail le plus profondemenl, ce qu'elle aimait le mieux. 

Nous souscrivons de la maniere la plus absolue aux eloges altribues a ces 
mailres consciencieux d'une des plus delicieuses ecoles qui hit jam