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Full text of "Theorie der Elektrizität"

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Presented to the 
LIBRARY oj the 

UNIVERSITY OF TORONTO 

by 

Mr. J. R. McLeod 



^ / 



ii2 



So 



£cl^rb. t). gE|)eritncntaIp^t)yif. 

U ® eö- «ca.-«R.«Prof . Dr.«a.<a3 :"t 1 1 n e r. 4 ?8be. 
6.bC3iö. 5. giufl. ©c^. ^. 32—, geb. ^. 64.— 
(3>ic ^önbe ftnb auc^ einscln fäufUc^.) 

*5Rcj)crtoriuntbcr*ip]^t)fif. U"?»«?. 

Dr.'».§.'3aJcacru.'iprof.Dr.3l.®on«.2«bc: 
I.^b.: ^cd&antf u-Säjarmc. UntSHitarb. 
oon 5. '21. ®c^ul3C»'iniarl)urgu. ^. gcrö" 
(Söttingen. 1 . Sc« «ai c cö a n i f, e I o ft i 3 i t a t, 
^Qbrob^namif u. <Ufu[tif. '«mttl26gtg. 
im Sejt (Scb.gn.8.-. 2. 3;cU : Ä rt p i H a r 1 1 Q t, 
•OJarmc, «asärntcicitung, finctifd&c 
(Soät^eortc u. (tatift. «aXec^anif. ^ir 
725ig.9n.ll.— ,geb. «01.12.— . II. q5b. Sn3Jorb. 

ßc|)rbuci5 bcr 'ipi^^fif. "Bon Sircftor 
<S.®ritnfct)I. 3., ücrm. u. »erb. "ülufl. 2'Sbc, 
«b. I m. 1063 5ig.u. 2 forb. %<x\. gel), -im. 11.— 
geb. 9n. 12.— ; gjb. II mit 1 «ilbn. (Srimfe^l§ 
u. 517 5ig. ge^. <ai. 7.— geb. «m. 8.—; fpit. 
gel^. 9n. 16.—, geb ^. 18.- 

ßc^rbud^ b. praftifcf)cn 'ipf)t)fif. 

■Bon «Prof. Dr. 5r. Äof)lrouf d^. 12., oerm. 
-'Uufl. Sn ©cmeinfci^aft mit §• ®ci9cr, (S. 
(»rüncifcn, fi.öolborn, 'iaj.gocgcr, CS. 
Orlid^, 5v*.©(ibecl, ©.©d^önrorf l^rgg.öon 
«.Harburg. 9nit3S9 5ig. <Seb. <ai. 11.— 

kleiner Ccitfabcn bcr prafti« 
frf)Cn *iP^^ft!. «Don ^rofeffor Dr. 5r. 
Äol^Irauf^. 2., oermeI)rtc SUuflagc. (6.bi§ 
10. Saufcnb). «mit 3ol)lr. gig. (Scb. «m. 5.60 

■^Jl^^f tf in 9ra|>|)ifd)cn S)arftcl» 

l U n 9 C n. Söon gofrat *:prof. Dr. g. «U u e r - 
bac^. 1373 Figuren ouf 213 Safeln mit er- 
läut. 3:ert ©ef). «SI. 9.—, geb. . ^m. 10.— 

*^]^l)fif. Unter «Rcbaftion 0. Dr. ©.«©ar- 
burg. 9Uit 106 'Jlbbilbungcn. (2>ie Ä>ultur 
ber (Segenaart. grgg. oon ^rof. ^. § i n n c » 
bcrg. Seil III, 'IXbi. III,^.) (Sei). 911.22.—, 
geb. «m. 24.—, in iia\h\xax^i . . . «SI. 30.— 

*=J5l^t)fi! unb ^ulturenttDtcflung 
burcS tecbntf(^c u. »iffenf^aftl. (Snoeiterung 
ber mcnfd)lid^en ^Tlaturonlagcn. «iBon ©cl^. 
Vorrat 'Prof. Dr. O. SQ5icncr. 9Kit sol^Ir. 
«abb. ®et). CO. <ai. 4.40, geb. . . ca. «01.5.40 

2!afct)cnbucöfür^atl^ematifcr 

unb'iP5i)ftf2r. nnt. «mittoirf . naml^aftcr 
5Qc{)genoffcu f)r§9. won ^ofrat ^iJJrof. Dr. %, 
^uerbad^u.'iprof. Dr. «R.9lotI)e. I. Sa^rg. 
1909. 9Ilit einem «Ubniäeorb^cloinä. (Sit\i. 
9K.6.— . II.ga^rg.l911. «aiit«8irbniä§.«0lin- 
fotoäftg. (Seb.9n.7.— . III. gaF)rg. 1913. «Olit 
«Bilbniä St. Äo^lroufc^g. @cb. . . 911. 6.— 

öinfü^rung in "ixx^ ©tubium 
ber t^corctifd^en 'iP5t)fif, insbc- 
fonbcre in \><x% ber anattjtifd^en 9Hec|)anif. 
■oaiit einer (Einleitung in bie S^corie bcr pb9- 
rifol. (Xrfenntnig. «öon ®e^. «Reg.-'iRat <5rof. 
Dr. «p. '23 1 £ m a n n. 2., me^rf. umgearbeitete 
«Uuflage. ®ct). 9H. 13.— geb. . . 9». 14.— 

Seuerunggsufdjlag auf fämtlid&e «iprcife 30 % 



(gjijertmcnteUe (glcftrisltdtg- 

I Cl^ r C. «Ocrb. mit einer (Slnfü^ning in bie 
«aiajweüfc^eu.bic (gteftronent^eorle ber (Slcf- 
tri3itat u. beg ßic^tS. «ö. qjrof . Dr. ö. 1 o r f e. 
2., ocrm. 9lufl. «mit 334 '^h. ®eb. «Ol. 12.— 

%t\\X>\t\t unb llbungen aug 
€Icttri3ität u. *2nagnctigmu§. 

'^on'iprof.Dr. 9t, '2Bcbcr. 91aciö bem 9Ilanu- 
ff rii)t ber fransöfifc^en 9luflage. 9nit 74 5i9- 
®cf>. 921. 4.80, geb 9n. 5,25 

'2Diyfcnfd)aftrtd^c ©runblagen 
bcr Sleftroted)nif. 9J.®.3crrarig. 

3)eutict) oon ^rof. Dr. ü- 5i«3i- 9lad) ben 
"öorlefungen über (Sleftrotcd&nif im 91. 9nufeo 
gnbuftriale 3.3:uritt.9ttit 161 gig. ®eb.9K.12.— 

ßcitfabcn 3. elcftrotc(f)nifd)cn 

•iPraftifum. 9Jon «Prof. Dr. ®.95ri on. 
9Eit 380 g^ig. ®cl). 9H. 10.— geb. 9K. 11.— 

S)ag£citt>ermögcn bcrCElcftro- 
1 1 e , ingbefonbere bcr toagrigen Söfungen. 
9Ketöoben, 9lefultate u. c^em. 9lntDenbungett. 
2^ ocrm. 9lufl. 93on «Prof. Dr.g. ^o^Iraufd^ 
u. Dr. £. §olborn. 9Jlit in ben Seit gebr. 
5ig. u. 1 Sofer. ®ev% 911. 7.50, geb. 911. 8.75 

3toei ^b^anbTungcn über bie 
Orunbgleii^ungen b. (gleftro» 

b^namif.9Jon«prof.Dr.§.9ninfotDäri. 
9Illt einem öinfül^nmgätoort oon «iprof. Dr. 
p. 95rumctttl^al . . . 6teif ge^. 911. 2.40 

:äbcr SiCftroncn. Vortrag, gelten 
auf bcr 77. '■accfammlung 2>eutfd)er ^aivct» 
forfdber u. «ftrstc in 9Hcran. 9Jon ®e^. gofrot 
«Prof. Dr. 9B. «©icn. 2., bie ^ortfc^rittc bcr 
«njiffcnfc^aft bcrücfftcötig. 91ufi:. ®c§. 911. 1.40 

(Srunblagcn ber SUftro» 

\i\^X\,QiVX\l. 9Jon ®cb. 9ofrat «Prof. Dr. 
e. 9Dicc|>crt ®e^. 9K. 3.60 

eicftr. sröerren-SelegrapHc. 

9Jott 'iprof. g. 91. gicmtng. «öier 93or- 
Icfungen. 9lutor. beutf(f)e 9lugg. bon ^rof. Dr. 
<£. 9lfc^fitta&. 9Hit 53 ^ig. @eb. 911. 5.— 

(£Uftri3itätg»S)urcl5gang in 
©afen. 9Jon «Prof. g. g. S^omfon. 
^eutfcöe autor. 9lu8g. unt.91lltö). beä 9lutorä 
beforgt u. crgänst oon '^Prof. Dr. 6. 9llo rj. 
9llit 187 gig. (^cl). 9«. 18.—, geb. 9K. 19.— 

saiagneto« unb (£Icf trooi)tif. 

93on ®eö. 9leg.-9lat 'iProf. Dr. «SJ. 9Joigt. 
9ntt 75 Figuren im Scft . . ®cb. 9K. 14.— 

•iöorlefungcn über bie S^eoric 
beö ßid^teg. unter 9lücf rtc|)t auf bie 
claftlfci)e nxCb eleftromagnetlfcöc 9lnfd^auung. 
93on ®ci5. 9leg.-9lot «iprof. Dr. «p. 93 o l f m a n n. 
9Kii in "btn Sejt gebr. ^Ig. ®e^. 9n. 11.20 

•tRabioaftiöität. '^qu «Prof. Dr. @t. 

9ac9er unb ^rof. Dr. (S. 0. ©d^joelblcr. 
9nit 87 9lbb. ®c^. 9n. 22.50, geb. 9K. 24.— 

einfd^acBIfcö 10% 3ufd^Iag bcr «Puc^^anblung 



•^Jcrlag t>on "B. ©. Scubncr \n 2eip3ig unb Berlin 



Sammlung 
mathematisch-physikalischer Lehrbücher 

Herausgegeben von Geh. Bergrat Prof. Dr. E. Jahnke 

Konforme Abbildung. Von Dr. Leo Lewenl, weil. Oberlehrer in Berlin. Hrsg. von Geh. 
Bergral Prof. Dr. Eugen Jahnke. Mit Beitrag vonDr.Wilh.Blaschke, Prof. an der Uni- 
versität Königsberg. Mit 40 Abb. (VIu.llSS.l 1912. Steif geh. M. 2.80, geb. M. 3.20. (Bd. XIV.) 

Die Theorie d.Besselschen Funktionen. Von Dr. P. Schaf heitlin, Prof. am Sophien- 
Realgymn. zu Berlin. Mit l Figurentaf. |Vu.l29S.l 1908. Steif geh. M. 2.80, geb. M. 3.20. (Bd. IV.) 

Theorie der elliptischen Funktionen. Von Geh. Hofrat Dr. Martin Krause unter 
Mitwirkung von Dr. Emil Naetsch, Professoren an der Technischen Hochschule Dresden. 
Mit 25 Figuren. (VII u. 186 S.) 1912. Steif geh. M. 3.60, geb. M. 4.- .... (Bd. Xlli.) 

Die Determinanten. Von Geh. Hofrat Dr. E. Netto, Professor an der Universität Gießen. 
[VI u. 130 S.l 1910. Steif geh. M. 3.20, geb. M. 3.60 (Bd. IX.) 

Funklionentafeln mit Formeln und Kurven. Von Geh. Bergrat Dr. E. Jahnke, Prüf, 
an der Technischen Hochschule zu Berlin, und F. Emde, Prof. an der Technischen Hoch- 
schule zu Stuttgart. Mit 53 Figuren. (XII u. 176 S.| 1909. Geb. M. 6.— . . . . (Bd. V.) 

Graphische Methoden. Von Geh. Reg. -Rat Dr. C. Runge, Professor an der Universität 
Göttingen. Mit 94 Fig. im Text. [IV u. 142 S.J 1915. Geh.M.4.40, geb.M.5.-. (Bd. XVIII.) 

Leitfaden zum graphischen Rechnen. Von Dr. R. Mehmke, o. Professor an der 
Technischen Hochschule in Stuttgart. [VIII u. 152 S.) Steif geh. M. 4.80, geb. M. 5.40. (Bd. XIX.) 

Theorie der Kräflepläne. Von Dr. H. E. Timerding, Prof. an der Techn. Hochschule 
Braunschweig. Mit 46 Figuren. (VI u. 99 S.l 1910. Steif geh. M. 2.60, geb. M. 3.—. (Bd. VII.) 

Die Vektoranalysis und ihre Anwendung in der theoretischen Physik. Von 
Dr. W. v. Ignatowsky. In 2 Teilen: I. Die Vektoranalysis. Mit27Fig. [VIII u. 112 S.| 1909. 
Steif geh. M. 2.60, geb. M. 3.—. II, Anwendung der Vektoranalysis in der theoretischen 
Physik. Mit 14 Fig. [IV u. 123 S.j 1910. Steif geh. M. 2.60, geb. M. 3.- .... (Bd. VI.) 

EinffihrungindieTheoriedesMagnetismus. Von Dr. R. Gans, Dir. der Hochschule für 
phys.Wissensch.LaPlata. Mit 40 Fig. (VIu.UOS.) 1908. Steif geh. M. 2.40, geb. M. 2.80. (Bd.I.) 

Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität und des Magnetis- 
mus. Von Dr. Gl. Schaefer, Prof. an der Universität Breslau. Mit Bildnis J. C. Maxwells 
und 32 Figuren. [VIII u. 174 S.) 1908. Steif geh. M. 3.40, geb. M. 3.80 (Bd. IIl.) 

Grundzfigc der mathematisch-physikalischen Akustik. Von Dr. A. Kalähne, 
Prof. an der Techn. Hochschule Danzig. 2 Teile. I.: [VII u. 144 S.j 1910. Steif geh. M. 3.20, geb. 
M.3.60. - II. Teil: Mit 57 Fig. i. T. [Xu. 225 S.l 1913. Steif geh. M. 5.40, geb. M. 6—. (Bd. XI.) 

Einführung in die kinetische Theorie der Gase. Von Dr. A. Byk, Professor an 
der Universität und der Techn. Hochschule Berlin. 2 Teile. I.: Die idealen Gase. Mit 
14 Fig. (V ü. 102 S.j 1910. Steif geh. M. 2.80, geb. M. 3.20. - II. in Vorbereitung. (Bd. X.) 

Dispersion und Absorption des Lichtes in ruhenden isotropen Körpern. 
Theorie und ihre Folgerungen. Von Dr. D. A. Gold harn mer, Professor an der Universität 
Kasan. Mit 28 Figuren. [VI u. 144 S.j 1912. Steif geh. M. 3.60, geb. M. 4.—. (Bd. XVI.) 

Die Theorie derWechselströme. Von Geh. Reg.-Rat Dr. E.Or lieh, Mitgl. d.Phys.-Techn. 
Reichsansi. Charlottenb. Mit 37 Fig. [IVu.94S.j 1912. Steif geh. M. 2.40, geb. M. 2.80. (Bd.Xli.) 

Elektromagnetische Ausgleichsvorgä nge in Freileitungen und Kabele;. Von 
Professor Dr. K. W. Wagner, Mitglied der Phys.-Techn. Reichsanstalt Charlotlenbur^. iVlit 
23 Figuren. (IV u. 109 S.J 1908. Steif geh. M. 2.40, geb. M. 2.80 (Bd. 11.) 

Elemente der technischen Hydromechanik. Von Dr. R. v. Mises, Professor 
an der Universität Straßburg i. E. 2 Teile. I.: Mit 72 Figuren. [VIII u. 212 S.J 1914. 
Steif geh. M. 5.40, geb. M. 6.—. II. in Vorbereitung (Bd. XVII.) , 

Die mathematischen Instrumente. Von Geh. Reg.-Rat Professor Dr. A. Galle in 
Potsdam. Mit 86 Abbildungen. [VI u. 187 S.| 1912. Steif geh. M. 4.40, geb. M. 4.80. (Bd. XV.) 

Mathematische Theorie der astronomischen Finsternisse. Von Professor Dr. 
P. Schwahn, Direktor der Gesellschaft u. Sternwarte ,, Urania" in Berlin. Mit 20 Figuren. 
[VI u. 128 S.j 1910. Steif geh. M. 3.20, geb. M. 3.60 (Bd. VlII.) 

in Vorbereitung befinden sich folgende Bände: 
Schwingungsprobleme. Von Grüneisen. — Festigkeitsprobleme der mod. Maschinentechnik. 
Von Th. v. Karman. — Thermoelektrizität. Von Fr. Krüger. — Grundlagen der Zeit- und 
Ortsbestimmungen. Von J.Möller. — Die Streuung des Transformators. Von W. Rogowski. 
— Die Fourierschen Reihen. Von R.Rot he. — Die partiellen Differentialgleichungen. Von 
R. Rothe. — Einführung in die Photogrammelrie. Von H. v. Sanden. — Tomographie. 
Von L. Schrutka. — Ausgewählte Spannungsproblenie des Bauingenieurs. Von A. Timpes. 
— Numerisches Rechnen. Von L. Schrutka. 

Teuerungszuschlag auf sämtliche Preise 30% einschließlich \0% Zuschlag der Buchhandlung 

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin 



(M.%^. 



BEORIE DER ELEKTRIZITÄT 

VNO 

Db. M. ABRAHAM 

BESTER BANB: EINFÜHRUNG 

IN DIE MAXWELLSCHE THEOEIE 

DEß ELEKTRIZITÄT 

MIT EINEM EINLEITENDEN ABSCHNITTE ÜBER DAS ' 
RECHNEN MIT VEKTORGRÖSSEN IN DER PHYSIK 

VON 

DR.A.FÖPPL 



FÜNFTE, UMGEARBEITETE AUFLAGE 

HERAUSGEGEBEN VON 

Dr. M.ABRAHAM 

MIT 11 FIGUREN IM TEXT 



"ERLAG UND DRÜCK VON B. G. TEÜBNER • LEIPZIG • BERLIN 1918 




SCHUTZFOKMEL FÜB DIE VEREINIGTEN STAATEN VON AMEBIKA 
COPTBIGHT 1918 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG. 



alle rechte 
einschliesslich; des übbrsetzungsrechts vorbehalten 




Vorwort zur ersten Auflage. 

Der Kreis der überzeugten Anhänger der Maxwellschen Elektri- 
zitätslehre setzte sich bis vor einigen Jahren fast ausschließlich aus 
englischen Physikern zusammen. Schon früher schenkte man zwar 
auch auf deutschem Boden dieser Theorie große Beachtung; man war 
aber noch zu sehr in dem Banne der Fernwirkungslehre befangen, 
um sich vollständig in sie einleben zu können. Anfänglich richteten 
sich daher die Bestrebungen unserer Physiker vorwiegend dahin, eine 
Versöhnung beider Theorien herbeizuführen und womöglich ein all- 
gemeines Schema aufzustellen, das beide als Spezialfälle in sich faßte. 
Eine andere Folge davon war, daß man sich zuerst und am meisten 
mit jener Seite der Maxwellschen Lehre befreundete, die von der 
Ableitung dei* Gleichungen des elektromagnetischen Feldes aus den 
allgemeinen Prinzipien der Mechanik handelt. Denn der Ideengang, 
der dieser zugrunde liegt, ist seinem Wesen nach eng verwandt mit 
den älteren üntersuchungsmethoden, bei denen der Potentialbegriff 
die entscheidende EoUe spielte. 

Alle Bemühungen, die Faraday-Maxwellsche Anschauung in den 
früheren Vorstellungskreis einzugliedern, ohne von diesem erheb- 
liche Opfer zu bringen, mußten indessen in letzter Linie an den Ver- 
schiebungsströmen im freien Äther und an der endlichen Ausbreitungs- 
geschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen scheitern. Kaum 
hatte daher Hertz diese Folgerung der Maxwellschen Theorie durch 
seine entscheidenden Versuche bestätigt, als er sich sofort dieser 
grundsätzlich zuwandte, nachdem er sich schon früher sehr mit ihr 
befreundet hatte. 

Damit war der Wendepunkt gekommen. Heute denkt man kaum 
noch daran, in der Bichtung des Weberschen Elementargesetzes weiter- 
zuarbeiten, dessen Formulierung einst den Höhepunkt der Entwick- 
lung der älteren Vorstellungen gebildet hatte. Nachdem sich schon 
auf Grund der älteren Theorie die Unhaltbarkeit dieses Gesetzes de- 
finitiv herausgestellt hatte und sich kein Ersatz dafür finden ließ, 
war die Leistungsfähigkeit der Fernwirkungstheorie erschöpft, und 
ihre Unzulänglichkeit trat immer mehr zutage. Dadurch war der 



IV Vorwort 

Boden für die Aufnahme einer grundsätzlich von jener verschiedenen 
Lehre wohl vorbereitet, und unter dem Eindrucke der Hertzschen 
Entdeckungen konnte sich der Umschwung der Meinungen daher mit 
ungewöhnlicher Schnelligkeit vollziehen. 

So kam es, daß man heute der Maxwellschen Lehre überall das 
lebhafteste Interesse entgegenbringt. Nicht nur der Physiker von 
Fach, der Lehrer und der Studierende der Physik, sondern namentlich 
auch der wissenschaftlich gebildete Elektrotechniker sucht 
sich mit den Grundzügen dieser Theorie bekannt zu machen, in der 
man heute mit großer Wahrscheinlichkeit die bleibende Grundlage ^ 
jeder physikalischen Forschung auf diesem Gebiete erblicken darf. 

Hiermit entstand auch das Bedürfnis nach einer möglichst all- 
gemeinverständlichen, dabei aber doch wissenschaftlich strengen Dar- 
stellung der Maxwellschen Theorie. Denn das Maxwellsche Original- 
werk, das als Hauptquelle zur Verfügung stand, stellt nicht nur ziem- 
lich hohe Anforderungen an die mathematische Vorbildung und viel- 
fach auch an die Geduld des Lesers, sondern es enthält, wie ja den 
Umständen iiach gar nicht anders zu erwarten, auch manche Irrtümer, 
die inzwischen berichtigt sind, und es schlägt viele Umwege ein, die 
seitdem abgekürzt wurden. 

An mathematischen Vorkenntnissen setzte ich bei dem Leser, um 
mich an einen möglichst weiten Kreis wenden zu können, nur die 
sichere Beherrschung der Anfangsgründe der Differential- und Integral- 
rechnung voraus. Ich hoffe mit Zuversicht, daß meine Darstellung 
keinem Leser, der mit diesen genügend vertraut ist, besondere Schwie- 
rigkeiten bereiten wird. Bei der mathematischen Fassimg der vor- 
getragenen Lehren habe ich mich allerdings überall der Bezeichnungen 
und Methoden des Vektorkalküls bedient; im ersten Abschnitte sind 
diese aber, soweit als sie gebraucht werden, in sehr einfacher und, 
wie ich unbedingt annehmen darf, auch sehr leicht verständlicher 
Weise erörtert. 

Ich empfehle dem Leser, zunächst den ersten Abschnitt durch- 
zusehen: er wird dort vieles finden, was ihm ohne weiteres vollkom- 
men klar ist. Über das andere möge er zunächst hinweggehen und 
sofort mit dem Studium der folgenden Abschnitte beginnen. Bei Ge- 
legenheit der Rückverweisungen auf die im ersten Abschnitte ent- 
wickelten Rechengesetze wird es dann schon von selbst darauf geführt 
werden, die vorher überschlagenen Entwicklungen aufs neue in Er- 
wägung zu ziehen, und an der Hand der konkreten Anwendungen, 



Vorwort Y 

die davon gemacht werden sollen, wird er sich mit weit leichterer 
Mühe darin zurechtfinden, als wenn die mathematischen Lehren los- 
gelöst von diesen bewältigt werden müßten. 

Im übrigen habe ich es mir zur Aufgabe gemacht, eine größere 
Häufung von Formeln (abgesehen natürlich von der mathematischen 
Einleitung) tunlichst zu vermeiden und lieber mehr Text zur Wie- 
dergabe meines Gedankenganges zu verwenden. Dieses Bestreben hat 
natürlich seine Grenzen, die durch die Rücksicht auf den präzisen 
Ausdruck gfesteckt sind. Es wird aber ganz besonders unterstützt 
durch den Gebrauch der Vektorengleichungen, die in ihrer einfachen 
Gliederung fast wie abgekürzte Sätze des Textes gelesen werden können. 

In der Tat gewinnt die Behandlung der Elektrizitätslehre so un- 
gemein an Klarheit und Durchsichtigkeit durch die Einführung der 
Vektorgrößen selbst an Stelle ihrer Komponenten, daß es im ganzen 
entschieden weniger Anstrengung erfordern dürfte, sich zuerst mit 
den wenigen Rechengesetzen, um die es sich dabei handelt, vertraut 
zu machen, und dann noch die Elektrizitätslehre durchzunehmen, als 
wenn mau diese allein mit Hilfe der gewohnten Cartesischen Dar- 
stellungsmethode studiert. Die auf das Studium der Vektoranalysis 
zu verwendende Mühe wird daher sofort durch einen entsprechenden 
Gewinn reichlich belohnt, und außerdem erzielt man damit den dauern- 
den Vorteil, sich mit jener analytischen Darstellungsform geometri- 
scher Beziehungen vertraut zu machen, die zweifellos die mathema- 
tische Zeichensprache der Physik der Zukunft sein wird. 

Neuerdings bedienen sich die englischen Physiker, nach dem Vor- 
gänge von Heaviside, mit großem Vorteile fetter Lettern zur Kenn- 
zeichnung der Vektorgrößen. Ich nahm diesen wichtigen Vorteil gleich- 
falls wahr, bediente mich aber außerdem, so wie Maxwell selbst, der 
Frakturbuchstaben für die Vektoren. Ich halte es für einen Nach- 
teil, daß man in England hiervon abgegangen ist, weil dieses Kenn- 
zeichen auch in der Handschrift bestehen bleibt, in der man mit 
fetten Lettern u. dgl. nicht operieren kann. 

Der Verlagsbuchhandlung spreche Jch meinen Dank und meine 
Anerkennung für die sorgfältige und gefällige Herstellung des Druckes 
aus. Schon in ihrem Interesse wünsche ich diesem Buche neben dem 
wissenschaftlichen — an dem mir natürlich am meisten gelegen ist — 
auch einen geschäftlichen Erfolg. 

Leipzig, im April 1894. 

A. FöppL 



VI Vorwort 

Yorwort zur zweiten Auflage. 

Der vom Verfasser der ersten Auflage ausgesprochene Wunsch 
hat sich erfüllt. Seine „Einführung in die Maxwellsche Theorie" hat 
sich viele Freunde erworben und ist der Verbreitung der Maxweli- 
schen Ideen in Deutschland recht förderlich gewesen. 

Die notwendig gewordene Neuauflage glaubte Herr Professor 
A. Föppl nicht selbst übernehmen zu sollen. Seine Tätigkeit auf dem 
Gebiete der technischen Mechanik hat ihn zu sehr von der Beschäf- 
tigung mit der Elektrizitätstheorie abgezogen; dieses war auch der 
Grund, daß der von ihm geplante zweite Teil des Werkes nicht er- 
schienen ist. 

Der Aufforderung, die Bearbeitung der zweiten Auflage zu über- 
nehmen, leistete ich gern Folge. Denn ich bin der Überzeugung, daß 
ein Buch von der Eigenart des Föpplschen auch heute nicht entbehr- 
lich ist. An dem weiteren Ausbau der Elektrizitätstheorie selbst teil- 
nehmend, hegte ich andererseits schon früher die Absicht, dieser Theo- 
rie ein die Fortschritte des letzten Jahrzehntes umfassendes Werk zu 
widmen. Dem vorliegenden ersten Bande der „Theorie der Elek- 
trizität", der gleichzeitig die umgearbeitete Neuauflage der „Ein- 
führung in die Maxwellsche Theorie" darstellt, beabsichtige 
ich demgemäß einen zweiten Band folgen zu lassen, welcher die 
„Theorie der elektromagnetischen Strahlung" behandeln soll. 
Ihm ist die atomistische Weiterbildung der Maxwellschen Theorie 
vorbehalten, die zur Lorentzschen Elektronentheorie führt, ferner die 
ausführlichere und strengere Theorie der Jjiclit- und Wärmestrahlung, 
der Hertzschen Schwingungen und der drahtlosen Telegraphie. Beide 
Bände zusammen sollen eine Übersicht über die wichtigsten Teile der 
modernen Theorie der Elektrizität geben. 

Die Grundvorstellungen der Maxwellschen Theorie sind heute 
wohl von allen produktiv arbeitenden Physikern angenommen. Diese 
Vorstellungen bilden die Grundlage jeder Elektrizitätstheorie. Der 
Kampf zwischen Nahewirkungstheorie und Femwirkungstheorie der 
Elektrodynamik ist entschieden. Heute steht eine andere Frage zur 
Diskussion, nämlich die, ob die Weiterbildung und Spezialisierung der 
Nahewirkungstheorie, welche die Elektronentheorie anstrebt, geeignet 
ist, ein allseitig getreues Bild der Tatsachen zu geben. Ich habe ge- 
glaubt, die Erörterung dieser Frage dem zweiten Bande zuweisen zu 
sollen, und bin in dem vorliegenden ersten Bande auf dem Maxwell- 



Vorwort VII 

Hertzschen Standpunkte stehen geblieben. Ich bin in der Tat der 
Überzeugung, daß man, um die Elektronentheorie gründlich zu stu- 
dieren, zunächst die Maxwellsche Theorie kennen lernen muß. Das 
Verhältnis dieser beiden Theorien ist ein ähnliches wie das der Mole- 
kulartheorie und der allgemeinen Mechanik. Die allgemeine Mechanik 
behandelt die mechanischen Eigenschaften der Körper ohne Heran- 
ziehung molekularer Hypothesen. Sie schließt solche Hypothesen in- 
dessen keineswegs aus, sondern läßt deren nachträgliche Einführung 
zu. Ähnlich läßt die Maxwellsche Theorie der atomistischen Weiter- 
bildung freien Baum. Andererseits hat man, wenn man irgendeine 
Kraft, z. B. den Gasdruck, durch Bewegungen der Moleküle erklären 
will, diese Bewegungen nach den Methoden der allgemeinen Mechanik 
zu behandeln. Dementsprechend sind die Bewegungen der elektrischen 
Atome auf Grund der Feldgleichungen der Maxwellschen Theorie zu 
bestimmen. Das Studium der Maxwellschen Theorie muß daher un- 
bedingt dem Studium der Elektronentheorie vorangehen, ebenso wie 
das Studium der Mechanik dem der kinetischen Gastheorie. 

Die allgemeine Anlage des vorliegenden Bandes wurde in der 
Neuauflage beibehalten. Die Theorie der Vektoren und der Vektor- 
felder wurde auch hier an die Spitze gestellt; sie wurde durch Ein- 
fügung der Theorie des Vektorpotentiales, der Umrechnung auf be- 
wegte Bezugssysteme u. a. ergänzt, so daß man nach der Lektüre des 
ersten Abschnittes über die Begriffe der Vektortheorie frei verfügen 
kann und Schwierigkeiten rein mathematischer Art weiterhin dem 
Verständnis nicht begegnen. Auch sind in den ersten Abschnitt Sätze 
der Mechanik starrer Körper und der Hydrodynamik eingearbeitet 
worden, die in späteren Abschnitten des Werkes zur Verwendung ge- 
langen. Sie dienen gleichzeitig zur Erläuterung der angewandten 
Symbolik, die durch ihre jede unnütze Weitschweifigkeit vermeidende 
Kürze der klaren Formulierung der physikalischen Begriffe so förder- 
lich ist. 

Der zweite Abschnitt ist dem elektrischen Felde gewidmet. Im 
dritten Abschnitte treten die magnetischen Vektoren hinzu. Diese 
werden zuerst in Verbindung mit den elektrischen Strömen eingeführt, 
der Vektor ö der magnetischen Induktion wird durch die induktive 
Wirkung auf eine Probespule definiert. So wird sein Name und seine 
quellenfreie Verteilung ohne weiteres verständlich. Vor der historisch 
überlieferten Anlehnung der Theorie des magnetischen Feldes an die 
Wirkungen auf permanente Magnete besitzt diese Einführung der 



I 



YHI Vorwort 

magnetischen Vektoren den Vorzug, daß sie die Theorie auf gut ver 
standene Vorgänge gründet. Die an permanenten Magneten beobach' 
taten Wirkungen sind weit weniger aufgeklärt, sie werden erst im 
vierten Abschnitte behandelt. 

Ich habe mich bemüht, die allgemeinen Gleichungen durch An- 
wendung auf konkrete, möglichst einfach gewählte Fälle zu erläutern. 
So habe ich im dritten Abschnitte die Theorie der Versuche von 
E. Hagen und 0. Rubens über die Reflexion langwelliger Wärmestrah- 
len durch Metalle entwickelt, die eine so willkommene Bestätigung 
der Maxwellschen Feldgleichungen ergeben haben. Auch den elek- 
trischen Drahtwellen werden einige Paragraphen gewidmet. 

Wo die Elektronentheorie zu einer Modifikation der Maxwell 
Hertzschen Vorstellungen geführt hat, wird dieses angedeutet und so 
die Brücke zu den ausführlicheren Darlegungen des zweiten Bande 
geschlagen. 

V^on Quellenangaben mußte natürlich auch in der neuen Auflage 
im allgemeinen« abgesehen werden. Man wird dieses um so eher ent 
schuldigen, als in den betreffenden Artikeln der Enzyklopädie der 
mathematischen Wissenschaften eine brauchbare Literaturübersichi 
zur Verfügung steht. Ich habe mich nach Möglichkeit an die Schreib- 
weise der Enzyklopädie angeschlossen; so habe ich z. B. die eckige 
Klammer als Zeichen des Vektorproduktes gewählt. 

Ich hoffe, daß diese Neuauflage dem Buche neue Freunde erwer- 
ben wird. Andererseits glaube ich doch, trotz der vorgenommenen 
Umarbeitung, dem Werke die Eigenart gewahrt und so die alten 
Freunde erhalten zu haben. 

Cambridge, im Juli 1904. 

M. Abraham. 



Vorwort zur dritten Auflage. 

Die Zahl der Physiker, Techniker und Mathematiker, welche der 
Maxwellschen Theorie Interesse entgegenbringen, wächst von Jahr zu 
Jahr; so wurde denn bereits nach kurzer Frist wiederum eine neue 
Auflage der „Einführung in die Maxwellsche Theorie" notwendig. 

Den Rahmen dieses Bandes zu erweitem, erschien mir nicht not- 
wendig. Doch wurden hier und da Änderungen in der Anordnung 
des Stoffes und im Texte angebracht, in der Absicht, die Lektüre des 



Vorwort IX 

Buches inögliclist zu erleichtern. In dieser Hinsicht bin ich insbeson- 
dere den Herren Dr. C. H. Müller und Privatdozent Dr. C. Caratheo- 
dory, die mich beim Lesen der Korrekturen in liebenswürdiger Weise 
unterstützt haben, für ihre Ratschläge zu Dank verpflichtet. 

Am Schlüsse dieses Bandes ist in der neuen Auflage ein beson- 
deres Register beigefügt. 

Göttingen, im Juli 1907. 

M. Abraham. 



Vorwort zur yierten Auflage. 

In dieser Auflage sind verschiedene Änderungen vorgenonoimen. 

Die Anwendungen der Vektorrechnung auf die Mechanik sind 
kürzer gefaßt, so daß die im ersten Kapitel gegebene Einführung in 
die Theorie der Vektoren und der Vektorfelder nur das für das Ver- 
ständnis der Theorie der Elektrizität Notwendige enthält. 

Die mechanischen Kräfte und die fiktiven Spannungen im elek- 
trischen und magnetischen Felde sind ausführlicher behandelt (§§ 44, 
45, 58). 

Die Theorie der elektrischen Wellen ist ergänzt durch Behand- 
lung des skin- Effektes (§ 78)^ der Hertzschen Lösung (§ 79) und 
deren Anwendung auf die drahtlose Telegraphie (§ 80). 

Im letzten Kapitel ist die Elektrodynamik bewegter Körper nur 
so weit zur Darstellung gelangt, als dies möglich ist, ohne die neueren 
Theorien heranzuziehen, deren Diskussion dem zweiten Bande vor- 
behalten sein soll. Doch sind die Induktionsvorgänge in bewegten 
Körpern, soweit sie für die Elektrotechnik von Wichtigkeit sind, er- 
örtert. 

Rationelle Einheiten einzuführen, was jetzt häufig in rein theore- 
tischen Abhandlungen geschieht, habe ich mich nicht entschließen 
können; die Berechnung von Zahlwerten wird dann zu unbequem. 
Doch habe ich die Definition des Vektors ^ der elektrischen Ver- 
schiebung geändert, indem ich setze 

^ = e(^ statt S = 7^@; 

dann wird der Verschiebungsstrom 

1 dt) , , , d^ 

so daß aus der ersten Hauptgleichung für Isolatoren das 4;i; heraus- 



X Vorwort 

fällt; diese entspricht dann durchaus der zweiten, der Vektor ^ ent- 
spricht ganz dem Vektor 8 der magnetischen Induktion. 

Zu besonderem Danke bin ich Herrn F. Emde verpflichtet für 
seine Ratschläge, die darauf hinzielten, Rudimente älterer Theorien, 
die zur Maxwellschen Theorie nicht passen, auszumerzen. 

Mailand, im März 1911. 

M. Abraham. 

Vorwort zur fünften Auflage. 

In der fünften Auflage des ersten Bandes habe ich nur gering- 
fügige Änderungen vorgenommen, so daß sich auch an sie die vor 
zwei Jahren erschienene dritte Auflage des zweiten Bandes der 
„Theorie der Elektrizität" anschließt. 

Zürich, im Januar 1917. . 

M. Abraham. 



I 



Inhaltsverzeichnis. 



Seite 

Einleitung 1 

Erster Abschnitt. 
Vektoren und Vektorfelder. 

Erstes Kapitel. 
Die Vektoren. 

§ 1. Definition des Vektors 4 

§ 2. Addition und Subtraktion von Vektoren 6 

§ 5. Einheitsvektoren und Grundvektoren, Komponenten 8 

§ 4. Das innere oder skalare Produkt 12 

§ 5. Das äußere Produkt oder Vektorprodukt 14 

§ 6. Produkte dreier Vektoren 18 

§ 7. Polare und axiale Vektoren. Skalare und Pseudoskalare , . 20 

§ 8. Differentiation von Vektoren nach der Zeit 23 

§ 9. Lineare Vektorfunktionen, Tensorkomponenten 25 

Zweites Kapitel. 
Die Vektorfelder. 

§ 10. Die hydrodynamische Abbildung : . 30 

§11. Das wirbelfreie Feld. Das Potential und der Gradient ... 31 

§ 12. Die Ergiebigkeit eines Quellenfeldes und die Divergenz. . . 34 

§ 13. Die Sätze von Gauß und Green 38 

§ 14. Quellpunkte 42 

§ 16. Doppelquellen 44 

§ 16. Berechnung des wirbelfreien Vektorfeldes aus dem Qnellen- 

felde 47 

§ 17. Flächenhaft verteilte Quellen 53 

§ 18. Doppelschichten 57 

§ 19, Der Wirbel oder Curl eines Vektors 61 

§ 20. Der Satz von Stokes 64 

§ 21. Berechnung des quellenfreien Vektorfeldes aus dem Wirbel- 
felde 70 

§ 22. Plilchenhaft verteilte Wirbel 75 



Xn Inhaltsyerzeichnis 

Seite 
§ 2S. Zerlegung eines beliebigen Vektorfeldes in ein quellenfreies 

und ein wirbelfreies Feld 78 

§ 24. Die Äquivalenz von Wirbellinie und Doppelschicht .... 83 
§ 26. Rechnungsregeln. Die Operation (tÄV)© . . 89 



Zweiter Abschnitt. 

Das elektrische Feld. 

Erstes Kapitel. 
Das elektrostatische Feld im Lufträume. 

§ 26. Die elektrische Feldstärke dl 

§ 27. Der elektrische Kraftfluß 94 

§ 28. Das elektrostatische Potential 95 

§ 29. Die Verteilung der Elektrizität auf Leitern 97 

§ 30. Die Kapazität des Kugelkondensators 101 

§ 31. Das gestreckte Rotationsellipsoid 102 

§ 32. Ein elektrischer Punkt gegenüber einer leitenden Ebene . . 106 

Zvireites Kapitel. 
Dielektrika. 

§ 33. Dielektrizitätskonstante und elektrische Verschiebung . . . 108 

§ 34. Wahre und freie Elektrizität 112 

§ 35. Die elektrischen Kraftlinien 114 

§ 36. Kugelkondensator mit zwei dielektrischen Schichten .... 115 

§ 37. Ein elektrischer Punkt gegenüber einem dielektrischen Halb- 

raume 117 

§ 38. Die Polarisation der Dielektrika 121 

§ 39. Eine gleichförmig polarisierte Kugel 125 

Drittes Kapitel. 

Die Energie und die mechanischen Kräfte 

des elektrostatischen Feldes. 

§ 40. Nahewirkungstheorie und Femwirkungstheorie 180 

§ 41. Der Thomsonsche Satz 134 

§ 42. Das Gesetz von Coulomb 137 

§ 43. Eine dielektrische oder leitende Kugel im ungleichförmigen 

Felde 143 

§ 44. Die mechanischen Kräfte im elekj;rostatiRchen Felde .... 146 

§ 45. Die Maxwellschen Spannungen 151 



Inhaltsverzeichnis XHI 

Viertes Kapitel. 
Der elektrische Strom. 

Seite 

§ 46. Die Gesetze von Ohm und Joule 158 

^ 47. Leitungsstrom und Verschiebungsstroni 162 

t; 48. Der Konvektionsstrom 166 

i; 49. Die elektromotorischen oder eingeprägten elektrischen Kräfte 170 

^ 50. Die elektrische Kontaktkraft 175 

t 51. Räumlich verteilte elektromotorische Kräfte 179 

ij 52. Die Maßeinheiten und Dimensionen der elektrischen Größen 18$ 



Dritter Abschnitt. 
Das elektromagnetische Feld. 

Erstes Kapitel. 

Die magnetischen Vektoren. 

§ 53. Die Analogie der elektrischen und der magnetischen Größen 186 

§ 54. Die magnetische Induktion 189 

§ 55. Die magnetische Feldstärke 192 

§ 56. Der freie Magnetismus und das skalare Potential eines ma- 

gnetisierten Körpers 198 

§ 57. Der freie elektrische Strom und das Vektorpotential eines 

magnetischen Körpers 204 

§ 58. Spannungen und mechanische Kräfte im magnetischen Felde 210 

§ 59. Die beiden Hauptgleichungen 214 

§ 60. Die Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes 

für ruhende Körper 221 

§ 61. Maßeinheiten und Dimensionen 228 

Zweites Kapitel. 

Elektrodynamik qnasistationärer Ströme. 

§ 62. Die Anwendung des Vektorpotentiales in der Elektrodynamik 233 
§ 63. Induktionswirkungen in einem aus zwei Stromringen be- 
stehenden Systeme 237 

§ 64. Mechanische Kräfte auf Stromleiter 245 

§ 65. Der elektrische Strom als zyklisches System. Die Lagrange- 
schen Gleichungen 249 

§ 66. Ein Stromkreis mit Widerstand und Selbstinduktion. . . . 254 
§ 67. Ein Stromkreis mit Selbstinduktion, Kapazität und Wider- 
stand. Elektrische Eigenschwingungen 25. > 



XrV Inhaltsveizeiclinis 

Drittes Kapitel. 

Elektromagnetische Wellen. g^^ 

§ 68. Ebene Wellen in einem isotropen, homogenen Dielektrikum 26 

§ 69. Ebene Wellen in Halbleitern 27 

§ 70. Das Reflexions vermögen der Metalle 28; 

§ 71. Das Eindringen elektrischer Schwingungen in Metalle: der 

vollkommene Leiter 28' 

§ 72. Fortpflanzung elektrischer Wellen längs zylindrischer Leiter 29i 

§ 73. Wellen in- Kabeln . " 303 

§ 74. Wellen längs zweier paralleler Drähte 30( 

i? 76. Kondensator am Ende der Leitnnpr 308 

§ 76. Der Poyntingsche Vektor 3,11 

§ 77. Der Energiestrom in der Umgebung eines elektrischen Stromes 311 

§ 78. Der komplexe Poyntingsche Vektor 321 

§ 79. Die Hertzsche Lösung 33] 

§ 80. Anwendung auf die drahtlose Telegraphie 34; 

Vierter Abschnitt. 
Weiterer Ausbau der Theorie. 

Erstes Kapitel. 
Die ferromagnetischen Körper. 

§ 81. Die magnetische Hysteresis . 34 

§ 82. Der permanente Magnetismus 35 

§ 83. Äquivalenz von Magneten und elektrischen Strömen .... 35 
§ 84. Die mechanischen Kräfte zwisch^sn permanenten Magneten 

und elektrischen Strömen 36^ 

§ 85. Eingeprägte magnetische Kräfte 36J 

Zweites Kapitel. 
Induktionserscheinungen in bewegten Korpern. 

§ 86. Induktion durch Bewegung zweier Stromringe 37: 

§ 87. Die Magnetinduktion 371 

§ 88. Die zweite Hauptgleichung für bewegte Körper 37! 

§ 89. Gleitflächen 381 

§ 90. Unipolare Induktion 38 

§ 91. Das Prinzip von Wirkung und Gegenwirkung 38J 

Formelzusammenstellung 39J 

Sachregister 395 



Einleitung. 

Die Theorie der elektrischen und magnetischen Erschei- 
nungen gründete sich bis zum Auftreten Maxwells auf die 
^'or3tellung von Fern Wirkungen zwischen elektrisierten, magne- 
tisierten oder von elektrischen Strömen durchflossenen Körpern. 
Nur die Anschauungen Faradays wichen in dieser Hinsicht 
von denen aller anderen Physiker ab. Faraday war aber nicht 
genug Mathematiker, um seiner Auffassung eine nach allen 
Seiten erschöpfende und widerspruchsfreie Form zu geben, 
die sie zum Range einer Theorie erhoben hätte; obschon 
auch seine Art, die elektrischen Erscheinungen aufzufassen und 
zu beschreiben, eine mathematische war, ohne daß er sich der 
gewöhnlichen mathematischen Zeichensprache bedient hätte. 
Erst Maxwell gelang dies, und er schuf, indem er die Ideen 
Faradays in strenge mathematische Formen brachte, ein Lehr- 
gebäude, das schon in der Anlage von der Fernwirkungstheorie 
wesentlich verschieden war, bei seinem weiteren Ausbau aber 
sich immer weiter von dieser entfernte. 

Die Entdeckungen von Heinrich Hertz erbrachten den Nach- 
weis, daß sich in der Tat im Dielektrikum, insbesondere im 
luftleeren Räume, elektromagnetische Vorgänge abspielen. Seit- 
dem sind die Grundvorstellungen der Maxwellschen Theorie 
wohl von allen Physikern angenommen worden. Welches sind 
nun die wesentlichen Kennzeichen, welche die Maxwellsche 
Xahewirkungstheorie von den Fern Wirkungstheorien trennen? 

Als wesentliche Grundgedanken der Maxwellschen Lehre 
werden wir die folgenden zu betrachten haben: 

1. Die Vorstellung, daß alle elektrischen und magnetischen 
Einwirkungen eines Körpers auf einen von ihm getrennten 
anderen Körper durch die Vermittelung des dazwischen- 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 1 



2 Einleitung 

liegenden leeren oder von Materie erfüllten Raumes er- 
folgen. 

2. Daß der Sitz der elektrischen bzw. magnetisclien Energl 
niclit allein in den elektrisierten, magnetisierten ode 
elektrisch durchströmten Körpern zu suchen ist, sonder 
auch, und vielfach überwiegend, in dem umgebende 
Felde. 

3. Daß der elektrische Strom in einer ungeschlossene 
Leitungsbahn durch einen im Dielektrikum anzunehmen 
den „Yerschiebungsstrom^^ zu einer geschlossenen Strö 
mung ergänzt wird, und daß dieser Verschiebungsstro 
in derselben Weise mit der magnetischen Feldstärke verJ 
knüpft ist wie der Leitungsstrom. 

4. Daß der magnetische Induktionsfluß keine Quellen b 
sitzt, oder mit anderen Worten, daß nirgends wahre; 
Magnetismus auftreten kann. 

5. Daß die Lichtwellen elektromagnetische Wellen sind. 

6. Die Betonung der Analogie der mechanischen und de; 
elektromagnetischen Vorgänge, die in der Ableitung de; 
elektromagnetischen Gleichungen aus den Grund gleichunge; 
der Mechanik, etwa den Lagrangeschen, ihren Ausdruc 
findet. 

7. Die Darstellung der Grundgesetze des Elektromagnetismu 
durch Gleichungen zwischen Vektoren. 

Der zuletzt angeführte Punkt bezieht sich in gewissen 
Sinne nur auf eine Äußerlichkeit; trotzdem ist seine Bedeutung 
nicht zu unterschätzen. Maxwell selbst hat die Darstellunj 
der Gleichungen nach der Quaternionentheorie nur mehr neben 
bei gegeben; in der Hauptsache bedient er sich der Cartesischei 
Darstellungs weise. In dieser läßt sich aber weit schwierige] 
eine Übersicht über den Zusammenhang aller Formeln ge 
winnen. Diese wird durch Verwendung der Vektorrechnung 
sehr erleichtert. Die Mühe, die es kostet, sich mit dieser ver 
traut zu machen, wird durch die Vorteile, die sich daraus er 
geben, reichlich aufgewogen. Es ist in der Tat die einzig 
Methode, die sich den Erfordernissen der Aufgabe willig an 






Einleitung 3 

paßt, weuu es sich darum handelt, die Faradaysche Idee des 
Kraftflusses möglichst getreu wiederzugehen. Wir stellen da- 
her die Theorie der Vektoren und der Vektorfelder an die 
Spitze des Werkes. Die gegebene Darstellungsweise ist als 
ein Kompromiß der Graßraannschen Ausdehnungslehre und der 
Hamiltonschen Quaternionentheorie zu bezeichnen; sie ist von 
0. Heaviside und W. Gibbs befürwortet worden und wird jetzt 
von nahezu allen auf dem Gebiete der Elektrodynamik arbeiten- 
den Forschem angewandt. Dieser Darstellungsmethode, die 
auch in der Mechanik starrer Körper und in der Hydrodynamik 
von Nutzen ist, werden wir uns in den folgenden Abschnitten 
durchweg bedienen. 



Erster Abschnitt. 

Vektoren und Vektorfelder. 

Erstes Kapitel. 

Die Vektoren. 

§ 1. Definition des Yektors. 

Unter den Größen, die zur mathematisclien Darstellung geo- 
metrischer Gebilde oder physikalischer Zustände und Vorgang 
dienen, zeichnen sich durch ihre Einfachheit die sogenannte] 
Skalaren aus. Eine Größe wird Skalar genannt, wenn die Ge 
samtheit der verschiedenen Werte, die sie annehmen kann, ii 
stetiger, umkehrbar eindeutiger Weise einer Reihe reeller Zahlei 
zuzuordnen ist. Die Forderung der umkehrbar eindeutigen Zu 
Ordnung besagt, daß nach Festsetzung der Maßeinheit die Gleich 
heit zweier Werte der Größe an der Gleichheit der Maßzahlen 
die Forderung der Stetigkeit, daß die näherungs weise Gleichhei 
der Werte an der näherungs weisen Gleichheit der Maßzahlen er 
kennbar sein soll. Es gibt Skalare, z. B. Masse, Volumen, Dichte 
deren Maßzahlen stets positiv sind; andere, z.B. Potential, Elektr 
zitätsmenge, sind sowohl positiver wie negativer Werte fähig. 

In manchen Zweigen der Physik pflegt man die Maßeinheiten 
auf die drei Grundeinheiten der Länge, Masse und Zeit zu ba 
ziehen; die Dimension einer Größe in einem solchen „absolute 
Maßsystem" drückt die Maßeinheit durch die Grundeinheiten aus 
Ob man nun jene drei Grundeinheiten oder andere dem Dimen 
sionssystem zugrunde legt, darüber mag zunächst keine Fes 
Setzung getroffen werden. Jedenfalls müssen in einer Gleichun 
stets die beiderseits stehenden Größen nicht nur der Maßzah 
sondern auch der Dimension nach gleich sein; Verschiedenhei 



§ 1 Erstes Kapitel. Die Vektoren 5 

der Dimension würde nämlicli bedingen, daß bei einer Änderung 
der Grundeinheiten die Gleichheit der Maßzahlen fortfiele. 

Es gibt geometrische und physikalische Größen, die nicht zur 
Klasse der Skalaren gehören. So ist die Gesamtheit der gerad- 
linigen Verrückungen, die einen beweglichen Punkt aus einer 
bestimmten Anfangslage in eine beliebige Endlage überführen, 
keineswegs in umkehrbar eindeutiger und stetiger Weise einer 
Reihe reeller Zahlen zuzuordnen; zur eindeutigen Festlegung der 
Endlage sind vielmehr drei Zahlangaben notwendig; denn eine 
Zahlaugabe ist erforderlich, um den Betrag der Verrückuug zu 
bestimmen, d. h. den Abstand von Anfangslage und Endlage, 
zwei weitere zur Bestimmung der Richtung und des Sinnes der 
Verrückung. Die Verrückung eines Punktes repräsentiert eine 
Klasse von Größen, die m.an als Vektoren bezeichnet. 

Wir nennen eine physikalische Größe einen Vektor, 
wenn die Gesamtheit der verschiedenen Werte, die sie 
annehmen kann, in umkehrbar eindeutiger und stetiger 
Weise der Gesamtheit der geradlinigen Verrückungen 
zuzuordnen ist, welche einen Punkt aus einer festen 
Anfangslage in eine beliebige Endlage überführen, und 
wenn für die Addition zweier gleichartiger Größen das- 
selbe Gesetz gilt wie für die Zusammensetzung der 
ihnen zugeordneten Verrückungen (vgl. § 2). 

Jedem Vektor kommt eine bestimmte Dimension zu; zwei 
Vektoren werden als gleich nur dann zu bezeichnen sein, wenn 
nicht nur die sie darstellenden Verrückungen, sondern auch die 
Dimensionen gleich sind. 

Jedem Vektor kann ein Skalar zugeordnet werden, der dem 
Betrage der ihn darstellenden Verrückung entspricht. Wir nerf- 
nen diesen Skalar „Betrag des Vektors" und schreiben ihm 
die Dimension des Vektors selbst zu. 

Zur Kennzeichnung der Vektoren sind in dieser Schrift ein 
für allemal fett gedruckte gotische Buchstaben angewendet, wäh- 
rend die lateinischen und griechischen Lettern zur Bezeichnung 
von Skalaron dienen. So bezeichnet lö einen Vektor; sein Betrag 
wird durch |ö| dargestellt. 



6 



Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



§ 




§ 2. Addition und Subtraktion von Vektoren. 

Es wurde soeben, bei der Defioition des Vektors, die Vektor 
addition auf die Zusammensetzung geradliniger Verrückungen 
zurückgeführt. Wir betrachten nun zwei Vektoren derselben Di- 
mension und Art (vgl. § 7), % und ö; um sie zu addieren, denken 
wir uns einen beweglichen Punkt, der sieb anfangs an der Stelle 1 
befindet (Fig. 1). Diesem Punkte werde zuerst 
eine Verrückung (1, 2) erteilt, die nach Betrag, 
Richtung und Sinn den Vektor % darstellt; hier 
auf werde der Punkt, von der Stelle 2 aus, um 
die Strecke (2, 3) verschoben, die nach Länge, 
Richtung und Sinn mit dem Vektor © überein- 
stimmt; das Ergebnis ist eine Verschiebung des 
beweglichen Punktes von 1 nach 3. Die gerad- 
linige Verrückung nun, die direkt von 1 nach 3 
führt, heißt Resultante oder geometrische Summe der bei 
den Verrückungen (1, 2) und (2, 3). Sie stellt einen Vektor © 
dar, der, gemäß der Definition des § 1, als Resultante oder Summ 
der Vektoren SC und lö zu bezeichnen ist: 

(1) ^ = « + 0. 
Führt man zuerst die Verrückung © und darauf die Ver- 
rückung SC aus, so beschreibt der bewegliche Punkt den Weg 
(143), welcher den Weg (123) zu einem Parallelogramm er 

^ ■ y 3 gänzt; die Resultante der Verrückun- 
'^"-^r^'^^y gen ö und SC wird demnach, ebenso 
wie diejenige der Verrückungen SC 
und ©, durch die Diagonale (1, 3) 
jenes Parallelogramms dargestellt 
(vgl. Fig. 2). Es befolgt daher die Vektoraddition das kom- 
mutative Gesetz: Die geometrische Summe zweier Vektoren 
ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden: 

(2) SCH-ö = 8-fSC. 

Das durch Fig. 2 dargestellte Parallelogrammgesetz der Ad 
dition kennzeichnet diejenigen Größen, die wir Vektoren nennen 




Fig. 2. 



§ 2 Erstes Kapitel. Die Vektoren 7 

Es gibt Größen, denen man Betrag, Richtung und Sinn zuordnen 
kann, und die dennoch nicht in dem hier festgesetzten Sinn als 
Vektoren zu bezeichnen sind, weil ihre Zusammensetzung einem 
anderen Gesetze folgt. So sind zwar, wie aus der Kinematik be- 
kannt ist, unendlich kleine Drehungen eines starren Systems um 
einen festen Punkt durch Vektoren darzustellen, weil die Zu- 
sammensetzung solchet Drehungen dem Parallelogrammgesetze 
gehorcht. Hingegen sind endliche Drehungen, weil sie sich in 
verwickelterer Weise zusammensetzen, nicht als Vektoren zu be- 
trachten. — Wie die Statik lehrt, folgen die an einem materiellen 
Punkte angreifenden Kräfte dem Parallelogrammgesetz der Ad- 
dition; solche Kräfte sind also Vektoren. 

Es mögen jetzt drei Vektoren % ©, ß gegeben sein. Zu der 
Summe % + ^, die durch die geradlinige Verrückung (1, 3) dar- 
gestellt wird (Fig. 3), addiere man 
den Vektor ^, dem sich die gerad- 
linige Verrückung (3, 4) zuordnet. 
Die Resultante ist eine Verrückung 
von 1 nach 4; dieselbe Resultante ^*^ S+S+l" 

erhält man, wenn man den beweg- Fig. s. 

liehen Punkt zuerst von 1 nach 2, und dann direkt von 2 nach 4 
verschiebt, d. h. wenn man die Vektoren U und 93 -f ^ addiert. 
So überzeugt man sich von der Gültigkeit des assoziativen 
Gesetzes der Vektoraddition: 

(3) (51 -f ö) + a = 8t + (ö 4- ©). 

Wie in Fig. 3 die Summe von drei Vektoren durch Zeich- 
nung des Vierecks gefunden wurde, welches die Summanden und 
die Summe zu Seiten hat, so dient zur Bildung der Summe von 
n Vektoren das sogenannte Vektorpolygon; dasselbe hat w + 1 
Seiten, nämlich die n zu summierenden Vektoren, und deren 
Resultante. 

Welche Bedeutung soll nun der geometrischen Differenz 
zweier Vektoren S( und ö beigelegt werden? Die Differenz soll 
so definiert werden, daß für Vektoren, ebenso wie für Skalare, 
die Beziehung gilt: 

(4) © - © = 0. 




8 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 

Demgemäß ordnet man dem Vektor — S9 eine Verrückun 
zu, welche die Verrückung 33 aufhebt, indem sie den beweg- 
lichen Punkt zur Anfangslage zurückführt, d. h. eine Verrückun 
von gleichem Betrage und gleicher Richtung wie 85, aber vo 
entgegengesetztem Sinne. Unter der geometrischen Differenz de 
Vektoren 5t und © versteht man die geometrische Summe der 
Vektoren % und — ö, und definiert dementsprechend die Vek- 
torsubtraktion folgendermaßen: Von einem Vektor ^ wird 
ein Vektor 33 subtrahiert, indem man zu % einen Vekto 
von gleichem Betrage und gleicher Richtung wie ^ 
aber von entgegengesetztem Sinne, addiert. 

In dem Parallelogramm der Fig. 2 stellt die Diagonale (13 
die geometrische Summe $( -}- 33, die Diagonale (42) die geo 
metrische Differenz ^ — 33 vor. 

Die vorstehend entwickelten Regeln der Addition und Sub 
traktion von Vektoren stimmen formal mit den Gesetzen de 
gewöhnlichen Algebra überein. 

§ 3. EinheitsTektoren und Grrundyektoren, Komponente 

. Welche Bedeutung hat das Produkt aus einem Skalar 
und einem Vektor a? Unter 
(5) Sl =«= «a == oa 

versteht man einen Vektor, dessen Betrag gleich dem Produl 
der Beträge des Skalars a und des Vektors a ist: 

(5a) !«j = |«|.|0|, 

dem ferner die gleiche Richtung zukommt wie a und gleichi 
oder entgegengesetzter Sinn, je nachdem der Skalar a posit: 
oder negativ ist. 

Die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren befolgt d 
Regeln der Algebra skalarer Größen; das kommutative Gese 
ist durch (5) bereits zum Ausdruck gebracht. Es gilt auch d{ 
. distributive Gesetz, d. h. 

(5b) (a-f/3)a = aa + /3tt, o;(a + B) = aa + «6 

Alle Vektoren % welche der Richtung nach übereinstimme 



i 




§ 8 Erstes Kapitel. Die Vektoren 9 

lassen sich auf einen, ebenfalls gleich gerichteten Vektor g, vom 
Betrage 1, beziehen: 

(6) 5(= + |§l|g; 

hier gilt das positive oder das negative Vorzeichen, je nachdem 
% und 8 gleichen oder entgegengesetzten Sinn haben. 

Ein Vektor S, dessen Betrag gleich 1 ist, wird Einheits- 
vektor genannt. Da wir in § 1 verabredet hatten, dem Betrage 
des Vektors dessen Dimension zuzuschreiben, so müssen wir dem 
Einheitsvektor g in (6) die Dimension einer reinen Zahl beilegen. 
Man bedient sich der Einheitsvektoren, um Richtung und Sinn 
eines Vektors, oder mehrerer paralleler Vektoren, anzugeben. 

Es sei nun (Fig. 4) ein fester Einheitsvektor S gegeben und 
ein beliebiger Vektor a, der mit S den Win- 
kel (p bildet. Als Komponente von a in 
bezug auf den Einheitsvektor g bezeich- ^ ^' ^ 
net man die Größe | tt 1 cos 9 ; ^^^- *• 

dieselbe ist gleich der Länge der Projektion von a auf die Gerade 
des Einheitsvektors 8, mit positivem oder negativem Vorzeichen 
versehen, je nachdem die Projektion dem Sinne nach mit über- 
einstimmt oder nicht. 

Hiernach ist die Komponente eines Vektors eine skalare 
Größe; will man die Projektion von a auf die Gerade des Ein- 
heitsvektors 8 auch hinsichtlich der Richtung kennzeichnen, so 
muß man das Produkt aus der Komponente von a in bezug auf 
s und dem Einheitsvektor 8 selber bilden: 

I a I cos q) ' 8 
stellt diese Projektion als Vektor dar. Entsprechend ihrer ska- 
laren Natur wäre die Komponente von a eigentlich mit einer 
lateinischen Letter zu bezeichnen, etwa mit a„ und unter a, wäre 
das Produkt aus a^ und 8 zu verstehen. Eine solche Bezeich- 
nungsweise würde jedoch, neben den zur Bezeichnung von Vek- 
toren dienenden gotischen Lettern, die entsprechenden lateini- 
schen Lettern festlegen. Aus diesem praktischen Grunde ziehen 
wir es vor, im folgenden die gotische Letter, die den Vektor 
selbst kennzeichnet, auch für seine Komponenten zu verwenden; 



I 



10 



Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



§3 



der Index deutet den Einheitsvektor (oder die Achse) an, in be- 
zug auf den die Komponente genommen ist; wir schreiben also 
für die Komponente von a in bezug auf g: 
(7) a, = |a|cosg). 

Wir betrachten die Summe dreier Vektoren $1, ö, ^: 
^l-H^ + d 

Wie aus Fig. 5 her- 
vorgeht, ist ihre Kom- 
ponente in bezug auf 
den Einheitsvektor S: 




Fig. 5. 



+ ®, + 6., 



d. h. gleich der algebraischen Summe der Komponenten der Vek- 
toren St, ö, ^ in bezug auf 8. Dieses Ergebnis läßt sich auf 
eine beliebige Zahl von Vektoren übertragen und folgendermaßen 
aussprechen: Die Komponente der geometrischen Summe 
einer beliebigenAnzahl von Vektoren in bezug auf einen 
Einheitsvektor ist gleich der algebraischen Summe der 
entsprechenden Komponenten der einzelnen Vektoren. 

Vektoren beliebiger Richtung und beliebigen Betrages kann 
man durch ihre Komponenten in bezug auf feste Einheitsvektoren 
kennzeichnen. Dazu bedarf es jedoch dreier nicht in einer Ebene 
liegender Einheitsvektoren. Wir wählen drei wechselseitig auf- 
einander senkrechte Einheitsvektoren i, J, t als „Grundvek- 
toren": ihre Richtunofen möcren mit den Achsen eines Cartesi- 
sehen Koordinatensystems zusammenfallen. 

Bekanntlich gibt es zwei Arten von Achsensystemen x, «/, z, 
die man als Rechtssysteme und Linkssysteme unterscheidet; alle 
Rechtssysteme lassen sich miteinander zur Deckung bringen und 
ebenso alle Linkssysteme miteinander, aber nicht die Rechts- 
systeme mit den Linkssystemen. Durch Spiegelung ai> einer der 
Koordinatenebenen entsteht aus einem Rechtssystem ein Links- 
system, aus einem Linkssystem ein Rechtssystem. Auch durch 
Spiegelung am Anfangspunkt der Koordinaten (ümkehrung der 
drei Achsenrichtungen) wird aus einem Rechtssystem ein Links- 
system, aus einem Linkssystem ein Rechtssystem. Wir werden 






§3 



Erstes Kapitel. Die Vektoren 



11 




uns weiterhin stets des von Maxwell gewählten Rechtssystemes 
bedienen. 

Durch Fig. 6 wird dieses in axonometrischer Zeichnung zur 
Darstellung gebracht. Die xys-kchsen, in die zugleich die 
Grund Vektoren i, j, f fallen, folgen so auf- 
einander, daß eine Drehung aus der ic-Rich- 
tung in die y Richtung, verbunden mit einer 
fortschreitenden Bewegung in der ;8f-Rich- 
tung, zu einer rechtsgängigen Schraube führt; 
die rr^^ -Richtungen eines Rechtssystems 
können durch Daumen, Zeigefinger und Mit- 
telfinger der rechten Hand angezeigt werden. 

Die Komponenten des Vektors a in be- 
zog auf die Grundvektoren i; j, f, oder, wie 
man auch sagt, in bezug auf die Achsen 
X, y, r, seien / Fig. e. 

Ky *y' ^z' /^ 

Es sind dann die Projektionen des Vektors c auf die Achsen nach 
Betrag, Richtung und Sinn gegeben durch 

^xh %if <^J- 

Die Summation dieser drei Vektoren führt, wie man aus Fig. 6 
ersieht, zum Vektor a selbst zurück; es ist also 

Es sei nun der Vektor a nach Betrag, Richtung und Sinn 
gegeben; alsdann sind die Komponenten eindeutig bestimmt 
durch die Gleichungen 

(8a) tt^= \a\ cos(tt,a;), a^=- \a\ cos(a,2/), o.= 1«! cos(a,^). 

Umgekehrt ist durch Angabe der drei Komponenten der 
Vektor a eindeutig festgelegt als Diagonale des rechtwinkligen 
Parallelepipeds, dessen Kanten die Vektoren o^i, tt^}, 0,f sind; 
sein Betrag ist 

(8b) |a|=/«/ + o/ + a7% 

seine Richtung und seinen Sinn bestimmen die Gleichungen (8 a). 



12 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 

Aus den drei Komponenten eines Vektors in bezug auf die 
Grundvektoren t, |, f läßt sich seine Komponente in bezug auf; 
einen beliebigen Einheitsvektor S berechnen, wofern die Winkel 
bekannt sind, die dieser mit den Grundvektoren einschließt. Man 
hat, gemäß (8), den Vektor a als Summe dreier den t, j, f paral- 
leler Teilvektoren darzustellen, und die Komponenten dieser drei 
Teil Vektoren in bezug auf g algebraisch zu summieren; so er- 
hält man 

(9) tt, = 0^ cos (8, X) + % cos (g, y) -f o, cos (8, ^). 



I 



Dieses Gesetz für die Berechnung der Komponente in bezu^ 
auf eine beliebige Achse ist den Vektoren eigentümlich. Wenn] 
man, statt den Vektor selbst als geometrisches Gebilde zu be-j 
trachten, die Werte seiner Komponenten nach allen möglichen! 
Richtungen ins Auge faßt, so tritt als kennzeichnendes Merkmal] 
an Stelle des Parallelogramm gesetzes eine auf die Komponentei 
bezügliche Regel; diese wird eben durch die Formel (9) aus- 
gedrückt, welche aus den Komponenten nach drei aufeinander 
senkrechten Richtungen die Komponente nach einer beliebigei 
Richtung berechnet. 

§ 4. Das inn re oder skalare Produkt. 

Es sei ^ die Kraft, die an einem materiellen Punkte aS 
greift; bewegt sich der Punkt mit der Geschwindigkeit ö, so isi 
die Arbeit, welche die Kraft ^ in der Zeiteinheit leistet, eine 
skalare Große; ihr Wert wird gegeben durch das Produkt aus 
den Beträgen der Vektoren ^ und ti und dem Kosinus des ein^ 
geschlossenen Winkels; dieses Produkt schreiben wir 

(10) tü = it|-|lii.cos(tti) 

und nennen es skalares oder (nach Graßmann) inneres Pro- 
dukt der beiden Vektoren; diese Bezeichnung übertragen wii 
auf beliebige andere Vektoren. 

Der Kosinus des Winkels zwischen den Richtungen der beidei 
Vektoren wird -1-1, wenn die beiden Vektoren gleich gerichtet 
— 1, wenn sie entgegengesetzt gerichtet sind; er wird NuU, wem 



$ 4 Erstes Kapitel. Die Vektoren 15 

sie einen rechten Winkel einscWießen. Wendet man dies auf die 
Grundvektoren i, \, t an, so erhält man 

(11) ii = if = H==0, hingegen ii = jj = ff=l. 

Das skalare Produkt bleibt, nach der Definitionsgleichung (10), 
ungeändert, wenn man die Reihenfolge der Faktoren vertauscht. 
Die innere Multiplikation zweier Vektoren befolgt das 
kommutative Gesetz. Man kann das skalare Produkt zweier 
Vektoren B und t) auch auffassen als algebraisches Produkt aus 
dem Betrage des einen Vektors (etwa ö), und aus der nach dessen 
Richtung genommenen Komponente des anderen Vektors (Ä). 
Aus dieser Deutung folgt sofort das distributive Gesetz der 
skalaren Multiplikation 

(12) bJ;«,.=2'»S;.- 

A=l Ä=l 

Es ist nämlich nach einem in § 3 bewiesenen Satze die nach 
irgendeiner Richtung genommene Komponente der geometrischen 
Summe der Vektoren ^^ gleich der algebraischen Summe der 
nach dieser Richtung genommenen Komponenten der Vektoren ^^. 
Werden, wie oben, die Vektoren ^j^ als Kräfte, d als Geschwin- 
digkeit angesehen, so besagt (12) : Die Arbeit der resultierenden 
Kraft ist gleich der algebraischen Summe der Arbeiten der ein- 
zelnen Kräfte. 

Aus der Gültigkeit des kommutativen und des distributiven 
Gesetzes ergeben sich für die innere Multiplikation die Rech- 
nungsregeln der gewöhnlichen Algebra. So gilt z. B.: 

(13) (a + fi)(c + b) = ac -I- U -j- ob + 6b. 

Drückt man die beiden Faktoren % und 33 des skalaren Pro- 
duktes durch die Grundvektoren i, j, f aus, so erhält man: 

m = («j + «,i + a,f) (® j + »,i + «,(). 

Wenn man die rechte Seite nach den gewöhnlichen Multiplika- 
tionsregeln ausrechnet und (11) berücksichtigt, so folgt 

(14) «8 = «A + «,®, + «A, 

eine Formel, die gemäß der Definition des skalaren Produktes 



14 



Erster Abscbnitt. Vektoren und Vektorfelder 



§^ 



und der Gleichung (8a) in die bekannte Formel der analytischen 
Geometrie übergeht 

cos (81©) = cos (^ix) cos {^x) + cos {%y) cos (ßy) + 

-f COS(Ä^) cos (©;?). 

Eine andere, einfache Anwendung des skalaren Produktes 
mag das Parallelogramm der Fig. 2 betreffen, dessen Seiten die 
Vektoren SC, ©, dessen Diagonalen die Vektoren ^ + 8 SC — ö 
darstellen. Es ist (^ + ©)2 = $(2 ^ 2 Sl © + »^ 

Durch Addition der beiden Gleichungen erhalten wir 

(15) (SC + ©)2-f (SC-©)^= 2W+2^'. 

Da das Quadrat eines Vektors gleich dem Quadrate seines B( 
träges ist, so haben wir den Satz bewiesen, daß die Summe dei 
Quadrate über den Diagonalen eines Parallelogrammes gleich dej 
Summe der Quadrate über allen vier Seiten ist. Ferner gilt 
(15a) (SC + »)' - (SC - ©)2 = 4 SCS3, 

d. h. das skalare Produkt aus den Seiten eines Parallelogrammt 
ist gleich dem vierten Teile von der Differenz der Quadrate deJ 
Diagonalen. 



§ 5. Das äußere Produkt oder Vektorprodukt. 

Die Verrückungen SC, © bestimmen ein Parallelogrami 
(Fig. 7.). Mit Graßmann nennen wir dasselbe „äußeres Pro] 
dukt" der beiden Verrückungen und schrei 
ben es [Sl©], indem wir die beiden Vekj 
toren in eckige Klammern einschließe! 
Der Flächeninhalt des Parallelogramj 
mes beträgt 

|SCi.i©|-sin(SC83), 

seine Ebenenstellung ist durch dieRichj 
tungen, sein ümlaufssinn durch die Reihenfolge der Vek«] 
toren SC, ö festgelegt. Da wir Verrückungen als gleichwertig 
betrachten, falls sie nach Betrag, Richtung und Sinn überein^ 




Fig. 7. 



§ ö Erstes Kapitel. Die Vektoren 15 

stimmeD, auch dann, wenn sie von verschiedenen Anfangslagen 
ausgehen, so gelten zwei derartige Parallelogramme als gleich- 
wertig, wenn sie von beliebigen Punkten des Raumes aus in zwei 
parallelen Ebenen konstruiert sind. Wir wollen sie sogar auch 
dann noch als gleichwertig betrachten, wenn ihre Seitenlängen 
verschieden sind und sie nur nach Flächeninhalt, Ebenenstellung 
und Umlaufssinn übereinstimmen. Ferner ordnen wir allen gleich- 
wertigen Parallelogrammen eine einzige Verrückung durch fol- 
gende Festsetzung zu: der Betrag der Verrückung soll gleich 
dem Flächeninhalte des Parallelogramms sein, seine Richtung 
soll senkrecht zu der Ebene des Parallelogramms stehen und 
dessen ümlaufssinne so zugeordnet sein, wie sich bei einer rechts- 
gängigen Schraube die Fortschreitungsrichtung dem Umlaufs- 
sinne zuordnet. Es entsprechen also zwei gleichwertige Parallelo- 
gramme einer und derselben Verrückung, zwei verschiedenwer- 
tige entsprechen verschiedenen Verrückungen; umgekehrt ist 
durch Angabe der zugeordneten Verrückung das Parallelogramm 
]iach Flächeninhalt, Ebenen Stellung und Umlaufssinn festgelegt; 
und zwar ändern sich diese Bestimmungsstücke in stetiger Weise 
mit Betrag und Richtung der Verrückung. 

Ferner soll folgende Festsetzung getroffen werden: Unter der 
Summe mehrerer Parallelogramme soll ein Parallelogramm ver- 
standen werden, dem sich eine Verrückung zuordnet, welche gleich 
der geometrischen Summe der den einzelnen Parallelogrammen 
zugeordneten Verrückungen ist. 

Nach der von uns zugrunde gelegten Definition des Vektors 
(§ 1) ist das so erklärte äußere Produkt zweier Vektoren 
selbst ein Vektor; es wird daher vielfach auch „vektorielles 
Produkt" oder„Vektorprodukt'' genannt. Gerade darum haben 
wir die Definition des Vektors (§ 1) so allgemein gehalten, um 
auch solche geometrische und physikalische Größen, die nicht 
einen Fortschreitungssinn, sondern einen Umlaufs- oder Dreh- 
sinn besitzen, als Vektoren bezeichnen zu können. 

Welche Bedeutung kommt nun den Komponenten des Vektors 
(16) a = [31©] 

zu? Da a mit einer jeden der Achsen denselben Winkel ein- 



16 



Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



schließt wie das dem Vektor d zugeordnete Parallelogramm mij 
der zu der Achse senkrechten Ebene, so sind die Komponente! 
von ^ nach den Koordinatenachsen (xy^) gleich den Flächei 
Inhalten der senkrechten Projektionen des Parallelogramms ad 
die y0-, zx-y ic «/-Ebene; ihr Vorzeichen legt den Umlaufssinn diese^ 
Projektionen fest. 

Ändert man die Reihenfolge der Faktoren im Vektorprodul 
80 kehrt sich nach unseren Festsetzungen der Umlaufssinn d( 
Parallelogramms, mithin die Richtung der zugeordneten Vei 
rückung um. Es gilt 

(17) [%m = - 



Die äußere Multiplikation befolgt nicht das komm 
tative Gesetz. 

Dagegen bleibt das distributive Gesetz auch für die Vektoi 
Produkte gültig. Es ist 
(18) [(5C + S3)e.] = [51^] -f [© d] . 

Um diese Behauptung zu beweisen, setze man %-\-^ = % unj 
konstruiere das Parallelogramm, dessen Seiten den Vektoren 
HB, dessen Diagonale dem Vektor ^ entspricht. Man projiziei 
es auf die zu d senkrechte Ebene; man erhält so wiederum ei 
Parallelogramm mit den Seiten |3(| • sin (^Kl), |©| • sin (83©) ui 
der Diagonale | ^ | • sin (2) d). Dieses Parallelogramm vergrößei 
man im Verhältnis | © | : 1 und drehe es in seiner Ebene um eint 
rechten Winkel. Alsdann stellen die Seiten die äußeren Produl 
[Ä(5^], [83©] dar, die Diagonale aber das äußere Produkt [^d] 
dieses letztere ist mithin die geometrische Summe der beid( 
ersteren, wie behauptet wurde. 

Man darf also bei der Ausrechnung der Vektorprodukte 
Regeln der gewöhnlichen Algebra anwenden, mit der Einschräi 
kung, daß bei der Vertauschung der Reihenfolge zweier Vekton 
das Vorzeichen des Produktes umzukehren ist. 

Die Vektorprodukte der Grundvektoren i, j, ! sind 

-W] = ^ [if] = i, [fi] = i; 



(19) 



Erstes Kapitel. Die Vektoren 



17 



Mithin gilt 

In Determinantenform läßt sich diese Gleichung wie folgt 



schreiben 
(20) 



[t©]== 



J 



23. ^. 



f ! 



Die Unterdeterminanten 

sind die Komponenten des Vektor- 
produktes, d. h. die Projektionen des 
Parallelogramms [%S3J auf die Ko- 
ordinatenebenen. 

Ein Beispiel für das äußere Pro- 

4 2)? 



St.». 



«.«, 



%ß. 



o'^ 





Fig. 8. 



Fig. {K 



dukt zweier Vektoren ist das Moment einer Kraft ^; es sei (Fig. 8) 
der Bezugspunkt; von ihm aus sei der Fahrstrahl v zum Punkt P 
gezogen, an dem die Kraft ^ angreift. Dann ist der Momenten- 
vektor, d. h. das Moment der Kraft ^ in bezug auf 0. 

in) aR = [tt]. 

Ein anderes Beispiel liefert die Kinematik des starren Kör- 
pers. Ein starrer Körper sei in einem Punkte festgehalten, er 
rotiere um eine Achse ON (Fig. 9). Wir tragen von aus auf 
ser Achse eine Strecke ab, deren Länge den Betrag derWinkel- 
gtschwindigkeit anzeigt, und zwar nach derjenigen Richtung, die 
der Drehbewegung sich zuordnet wie die Fortschreitungsrichtung 
dem Drehsinne bei einer rechtshändigen Schraubenbewegung. 



AbraÜam, Theorie der Elektrizität. I 5. Aufl. 



18 Erster Abschnitt. "Vektoren und Vektorfelder 

Durch diese Festsetzung ist der Rotationsbewegung ein Vektor 
zugeordnet. Ist ferner t der von aus nach irgendeinem Punk 
P des starren Körpers gezogene Fahrstrahl, so ist offenbar de 
sen Geschwindigkeit ti 
(21a) ti = [ttr]. 

In der Tat, der Punkt P bewegt sich senkrecht zu der durc 
t und tt gelegten Ebene; der Pfeil, der die Richtung von t an- 
zeigt, ist, wie die Figur lehrt, so gerichtet wie das Vektorprodukt. 
Dem Betrage nach finden wir tl durch Fällen eines Lotes von P 
auf die Drehachse und Multiplikation desselben mit der Winkel- 
geschwindigkeit; das gibt aber genau den Betrag 

|tt|.|r|- sin (ut) 
des Vektorproduktes, womit die Behauptung bewiesen ist. 

Aus dem durch Gleichung (21a) ausgesprochenen Satze fol 
sofort die Art der Zusammensetzung mehrerer Drehgeschwindig- 
keiten, deren Achsen alle durch denselben festen Punkt gehei: 
Man hat, wenn u', u" ... die Drehgeschwindigkeiten und ö', ö" . 
die durch sie hervorgebrachten Geschwindigkeiten des wiUkü 
liehen Punktes P des starren Körpers angeben, für die resu 
tierende Geschwindigkeit von P den Ausdruck 

ö = b'-f ö" + . . • = [u't] + [n''x] + . . . = [ur], 

wo u = tt' + u" H 

eine Drehgeschwindigkeit darstellt, die sich aus den einzelne 
DrehgescKwindigkeiten tt , tt". . . nach dem Parallelogrammgesetz 
zusammensetzt; die Gültigkeit dieses Gesetzes gestattet es, di 
Drehgeschwindigkeit durch einen Vektor zu kennzeichnen. 

§ 6. Produkte dreier Vektoren. 

Da wir weiterhin die eckigen Klammern zur Kennzeichnun 
der Vektorprodukte verwenden, so werden wir runde Klammer 
benutzen, wenn wir zwei skalar zu multiplizierende Vektoren vo 
den übrigen trennen wollen. Produkte dreier Vektoren kann ma 
in drei verschiedenen Weisen ableiten. 

I. Produkt aus einem Vektor und dem skalaren Pro 
dnkte zweier anderer Vektoren: 5((©^). Da (ßd) eh 



§ 6 Erstes Kapitel. Die Vektoren 19 

Skalar ist, so ist 51 (^©6.) ein zu 81 paralleler Vektor. Hieraus 
erhellt, daß z.B. (^©)^ ein von dem vorigen völlig verschie- 
dener Vektor ist. 

IL Skalares Produkt aus einem Vektor und dem vek- 
toriellen Produkte zweier anderer Vektoren: 5l[©ß]. 

Hier gilt die wichtige Relation 
(22) 5t[ö^] - ö[a$l];= ^[81©]. 

Es stellt nämlich jeder dieser Ausdrücke den Rauminhalt des 
aus den Kanten % ©, d gebildeten Parallelepipeds dar. 

Um sich hiervon zu überzeugen, beachte man, daß der Be- 
trag von [öd] dem Flächeninhalt der durch die Kanten Ö(S ge- 
bildeten Seitenfläche des Parallelepipeds gleich ist; die Richtung 
von [© d] steht senkrecht auf diesem Parallelogramm, und zwar 
weist sie nach derselben Seite wie tl, vorausgesetzt, daß die Auf- 
einanderfolge der Vektoren % ©, ^ zu einem Rechtssystem führt. 
In diesem FaUe erhalten wir das skalare Produkt ^[©^], indem 
wir den Flächeninhalt jener Seitenfläche mit der Länge des vom 
Endpunkte der Kante % auf sie gefällten Lotes multiplizieren. 
Damit ist bewiesen, daß 8C[S3©] in der Tat den Inhalt des Par- 
allelepipeds angibt, und zwar mit positivem Vorzeichen, wenn 
die Aufeinanderfolge 51©^ ein Rechtssystem, mit negativem Vor- 
zeichen, wenn sie ein Linkssystem bildet. 

Es folgt gleichzeitig, daß die Beziehungen (22) erfüllt sind, 
indem für jedes der beiden anderen Produkte dieselben Schlüsse 
gelten, und weil die Folge ©6^81 oder C^^ö gleichfalls zu Rechts- 
systemen führt, wenn dies für ^^(i zutrifi't. 

Der Ausdruck der drei Produkte durch die Komponenten der 
Vektoren «l«^ ist nach (14) und (20) 



23) %l^(i] = ©[^Ä] ^ (il^m = 



III. Vektorprodukt aus einem Vektor und dem Vektor- 
produkte zweier anderer Vektoren: [5([©6']] = Jf. 

Der Vektor fj liegt in der Ebene, die durch die Vektoren ö 
und a bestimmt ist, und zwar senkrecht zur Projektion von 9( 

2* 



«. 


«, 


«. 


®. 


», 


». 


6. 


% 


e. 



20 Erster Abachnitt. Vektoren und Vektorfelder 

auf diese Ebene. Denn der Vektor [© ^] steht senkrecht zu jene: 
Ebene, und JJ steht senkrecht auf ^ und auf [8^]. 
Die ä;- Komponente des Vektors fj ist nach (20) 
fj,= «/»,6,-»,6J - «,(«,© -»,6.); 
wir ordnen folgendermaßen 

oder nach (14) g., = ».(§^^) - ^^,(^33); 

entsprechende Gleichungen gelten für die beiden anderen Ko 

ponenten; wir fassen sie zu der Vektorgleichuug zusammen 

(24) [$i[©^]] = ^(m) - ^(3i©) . 

Hierdurch, ist ein Produkt der dritten Art auf zwei Produk 
der ersten Art zurückgeführt. Mit Hilfe dieser Beziehung find 
man auch leicht 

(25) [«[©ej] + ma^]] + [di^m] = 0, 

indem man die Glieder nach (24) entwickelt. 

Endlich berechne man das skalare Produkt aus zwi 
Vektorprodukten [^©J • [©$)]. 

Dieses ist ein Produkt der zweiten Art, in dem der ers 
Vektor durch das Vektorprodukt zweier anderer ersetzt ist; w 
wenden die Regel (23) an und erhalten 

Da nun nach Regel (24) 

[2)L3löJ] = 8l(ö^)- 83(512)) 
zu setzen ist, so folgt 

(26) L^ö]-Le^] = (^S)(ö^)-(ö^)(«^). 

§ 7. Polare und axiale Vektoren. Skalare und Pseudoskalar 

Obwohl man dem Vektorprodukte zweier Verrückungen 
umkehrbar eindeutiger Weise eine Verrückung zuordnen ka 
so besteht doch zwischen dem mit Umlaufssinn begabten P 
allelogramme und der ihm zugeordneten, mit einem Fortschr 
tungssinne versehenen Strecke (Fig. 7) ein gewisser Unterschie 
Das Wesentliche dieses Unterschiedes erkennt man, wenn m 



§ 7 Erstes Kapitel. Die Vektoren 21 

(las Parallelogramm [Ä©] an seiner eigenen Ebene spiegelt; der 
Umlaufssinn bleibt bei dieser Spiegelung ungeändert, die zuge- 
ordnete Verrückung hingegen kehrt ihre Richtung um. Hiermit 
hängt es zusammen, daß wir zur eindeutigen Bestimmung der zu- 
geordneten Verrückung einer rechtsgängigen Schraube bedurften;; 
bei der Spiegelung wird diese zu einer linksgängigen, in dem 
gespiegelten Systeme entspricht mithin die Fortschreitungsrich- 
tung dem ümlaufssinne wie bei einer linksgängigen Schraube. 

Die geradlinige Verrückung und das Vektorprodukt zweier 
solcher sind die Repräsentanten zweier Arten von Vektoren, die 
wir als polare und axiale Vektoren unterscheiden. Den po- 
laren Vektoren kommt eine Fortschreitungsrichtung, 
den axialen ein Drehsinn zu. Ist einem mechanischen Vor- 
gange ein Vektor zugeordnet, so kann man folgendermaßen über 
die Art des Vektors entscheiden: Man konstruiere die durch den 
Vektor bestimmte Gerade; bleibt bei Spiegelung an einer zur 
Geraden senkrechten Ebene der Vorgang ungeändert, so ist ihm 
ein axialer Vektor zuzuordnen; verläuft dagegen der gespiegelte 
Vorgang in entgegengesetztem Sinne, so gehört zu ihm ein po- 
larer Vektor. In der Mechanik starrer Körper sind Translations- 
geschwindigkeit und Kraft polare, Rotationsgeschwindigkeit und 
Drehkraft axiale Vektoren. 

Solange man keine aUgemeingttltige mechanische Theorie 
der elektromagnetischen Vorgänge besitzt, ist es nicht ohne wei- 
teres möglich, die polare oder axiale Natur der elektrischen und 
magnetischen Vektoren zu erkennen. Man muß hier nach anderen 
Merkmalen suchen; doch hat sich, wie wir später (vgl. §§ 51 
und 59) sehen werden, die Vermutung MaxweUs bestätigt, daß- 
die magnetischen Vektoren axialer, die elektrischen polarer Art 
sind. 

Rechnet man mit Komponenten, so kommt der Unterschied 
r beiden Arten von Vektoren nicht zur Geltung, solange man 
ausschließlich ein Rechtssystem zugrunde legt. Geht man aber 
za einem Linkssystem über, indem man etwa die Richtungen der 
'irei Grundvektoren umkehrt, so wechseln die Komponenten eines 
polaren Vektors das Vorzeichen, diejenigen eines axialen Vektors 



22 



Erster Absclinitt. Vektoren und Vektorfelder 



hingegen behalten es bei, da der durch die Reihenfolge der Grund- 
vektoren festgelegte Umlaufssinn in den Koordinatenebenen dei 
gleiche bleibt. So kommt es, daß in Gleichungen, welche Kom-j 
ponenten beider Arten von Vektoren zueinander in Beziehung 
setzen, Vorzeichenwechsel vorzunehmen sind, sobald man eii 
Rechtssystem mit einem Linkssystem vertauscht. Aus dem Um- 
stände, daß die Komponenten des äußeren Produktes zweier Vek- 
toren sich aus algebraischen Produkten der Komponenten dei 
beiden Vektoren zusammensetzen, folgt ohne weiteres die Regel:' 

Das Vektorprodukt zweier polarer und ebenso dai 
zweier axialer Vektoren ist ein axialer, das Vektorpro 
dukt eines polaren und eines axialen Vektors ist einj 
polarer Vektor. 

Beispiele für diese Regeln liefern die Gleichungen (21) unc 
(21a) des § 5. In der ersten ist der Momentenvektor als äußere« 
Produkt zweier polarer Vektoren, nämlich des Fahrstrahls um 
des Kraftvektors, dargestellt; der Momenten vektor einer Kral 
ist demnach axialer Art. In der Gleichung (21 a) dagegen ist di( 
Translationsgeschwindigkeit, ein polarer Vektor, als Vektorpr( 
dukt eines axialen Vektors, der Drehgeschwindigkeit, und eine^ 
polaren, des Fahrstrahls, ausgedrückt. 

Wie steht es nun mit dem skalaren Produkte eines polarei 
und eines axialen Vektors? Ein solches wurde im vorigen Pan 
graphen betrachtet und als Rauminhalt des durch drei polar^ 
Vektoren bestimmten Parallelepipeds gedeutet; es wurde b( 
merkt, daß das Vorzeichen des Produktes positiv oder negativ 
sein kann. Wir können jetzt hinzufügen, daß das Vorzeichen zi 
wechseln ist, wenn man von einem Rechtssysteme zu einei 
Linkssysteme übergeht. 

Wir werden so dazu geführt, auch bei den Skalaren zwe 
Arten zu unterscheiden, die wir als Skalare erster und zweite] 
Art, oder als Skalare schlechtweg und Pseudoskalare untei 
scheiden. Zu der ersten Art gehören alle diejenigen Skala« 
die nicht bloße Rechnungsgrößen sind, sondern die Mengen wirl 
lieber Substanzen messen, so z. B. Masse, Energie; denn dies^ 
werden bei Veränderung des Koordinatensystemes das Vorzeichei 



§ g Erstes Kapitel. Die Vektoren 23 

nicht ändern. Als Rechnungsgrößen hingegen treten^ wie vrir 
später sehen werden, auch Pseudoskalare in der mathematischen 
Physik auf. 

Durch Multiplikation mit einem Pseudoskalar wird der polare 
Vektor zum axialen, der axiale zum polaren. 

Offenbar dürfen nur Skalare oder Vektoren derselben Art 
ohne weiteres durch Addition oder Subtraktion miteinander ver- 
knüpft werden. 

§ 8. Differentiation von Vektoren nach der Zeit. 

Der Differentialquotient eines Vektors a nach einer skalaren 
Veränderlichen t — etwa der Zeit — wird definiert als Grenz- 
wert des Differentialquotienten: 

(27) ^ = lim °^^ + ^)-"^^^ . 

Da die Division durch einen Skalar die vektoriellen Eigenschaften 
bestehen läßt, so ist der Differentialquotient eines Vektors nach 
einer skalaren Veränderlichen selbst ein Vektor. Ist z. B. t der 
Fahrstrahl, gezogen von einem festen Punkte nach einem be- 
weglichen Punkte P, so ergibt 

28) » = 11 

den Geschwindigkeitsvektor des Punktes P. 

Da sich die Ableitung von Vektoren nach einer skalaren Ver- 
änderlichen durch einen Grenzübergang aus der Subtraktion von 
Vektoren, und deren Teilung durch Skalare ableitet, für welche 
die Regeln der gewöhnlichen Algebra gelten, so folgt, daß die 
Uechnungsregeln der Differentialrechnung sich ohne weiteres auf 
die Differentiation der Summe von Vektoren übertragen: 

^"^^^ dt '~ dt '^'dt ' 



sowie auf die des Produktes aus einem Skalar und einem Vektor: 
iaa de. , da 



,r.-. daa de. , da 



24 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 8 

und des inneren Produktes zweier Vektoren: 

(31) ^=(f ») + («§)• 

Auch für die Differentiation des äußeren Produktes gilt die 
entsprechende Regel; doch ist darauf zu achten, daß die Faktoren 
in der richtigen Reihenfolge geschrieben werden: 

(32) W[««J = [W«] + [«IW]5 

denn bei Vertauschimg der Faktoren ändert das Vektorprodukt_ 
sein Vorzeichen. 

Es ist indessen bei der Differentiation von Vektoren nach d( 
Zeit der folgende Umstand zu beachten, der bei der Differentiati( 
von Skalaren nicht in Frage kommt; die Ableitung nach der Ze^ 
ist erst dann bestimmt, wenn die Bewegung des Bezugssystei 
gegeben ist. Es seien zwei starre Bezugssysteme 2J und H' g< 
geben; das erste 2J werde als fest betrachtet, das zweite 2J' hal 
gegen 27 die Drehgeschwindigkeit u um den gemeinsamen Kooi 
dinateusprung. Man fasse nun einen beweglichen Punkt P ii 
Auge; in U hat er die durch (28) gegebene Geschwindigkeit. Ei 
Beobachter jedoch, der an der Rotation des Systemes U' tei 
nimmt, wird dem Punkte P eine andere Geschwindigkeit zi 
schreiben. Für ihn ruht ein Punkt, wenn er, in bezug auf 
die gleiche Geschwindigkeit besitzt wie der gerade mit ihm zi 
sammenfallende Punkt P' des Systemes Z"; die Geschwindigkei 
des Punktes P', der im rotierenden starren Systeme eine fesi 
Lage hat, wurde in Gleichung (21a) gleich dem äußeren Pn 
dukte der Vektoren u und t gefunden. Die Relativgeschwindij 
keit der Punkte P und P': 

(33) U'=ö-[ur] 
ist es, die der in 27' feste Beobachter dem Punkte P zuschreibt 
dieser Vektor stellt für ihn den Differentialquotienten des Fal 
Strahles t nach der Zeit dar: 

(34) ,-^g 

schreiben wir ihn, um ihn von dem auf 2J bezogenen, zeitliche! 
Differentialquotienten (28) zu unterscheiden. Es ist also bei dei 



li 9 Erstes Kapitel. Die Vektoren 25 

.Ableitung des Vektors r nach der Zeit darauf zu achten, auf 
i^-elches Bezugssystem sie sich bezieht. 

Das gleiche gilt von der Ableitung eines beliebigen Vektors 
K nach der Zeit; der Vektor Sl kann ja stets durch den von dem 
remeinsamen Ursprung der Systeme U und 2J' aus gezogenen 
^'abrstrahl dargestellt werden. 

Alsdann entsprechen der auf U bzw. 2J' bezogenen Geschwin- 
iigkeit des Endpunktes des Fahrstrahls, die oben mit tl bzw. tl' 
jezeichnet wurde, die auf U bzw. U' bezogene zeitliche Ableitung 

ron % die wir -77- bzw. -jt- schreiben. Die Gleichung (33) er- 

,ribtalso: ^,5j ^^ 

__ = ___ [„«] oder 

n diesem Zusammenhange stehen die zeitlichen Ablei- 
tungen des Vektors % die auf das feste,' und auf das mit 
1er Winkelgeschwindigkeit u rotierende Bezugssystem 
)ezogen sind. 

§ 9. Lineare Yektorfunktionen. Tensorkomponenten. 

Es finden sich in der mathematischen Physik häufig die Kom- 
Donenten eines Vektors q als lineare homogene Funktionen der 
Komponenten eines anderen Vektors t ausgedrückt: 

I ^s = Q^x^x+^.y^y-\-Q.^^z^ 

Diese ,jhomogene lineare Vektorfunktion" kann stets in 
3inen symmetrischen Teil (§) und einen antisymmetrischen (a) 
zerlegt werden: 

(37) q = g + a. 

Dabei ist die symmetrische lineare Vektorfunktion darzu- 
steUen durch: g^== s^j^ + s,,^x^ + s,,x„ 

(38) !«,= Vt.-!-s„t^+s,.r„ , 



26 



Erster Absclmitt. Vektoren und Vektorfelder 



(39) 






'xy 



^ ga; y+ Q.yx 
yx 2 ^ y 



q.zx-\-qxs 



Die antisymmetrisclie lineare Vektorfunktiondagege 
schreibt sicli: 



II 



(40) 









1 ,- 



^yx) ^x> 



Man kann sie auch folgendermaßen darstellen: 

(41) a = [tr], 
indem man unter c einen Vektor verstellt, mit den Komponente 

(42) t^=~{q,,j-qy,), c,== {•(ö'x.-^.J; f. = yC^y.-ö'xy) 

Die symmetrische lineare Vektorfunktion (38) enthält, nach (3^ 
sechs voneinander unabhängige Koeffizienten; diese sechs Groß 
bezeichnet man als „Tensorkomponenten" Wir wollen e 
analytisches Merkmal ableiten, welches erlaubt, die Tensorko: 
ponenten als solche zu kennzeichnen und sie insbesondere v 
Vektorkomponenten zu unterscheiden. Vektorkomponenten i 
8 , 8, haben die Eigenschaft, daß sie, wenn man sie mit den ei 
sprechenden Komponenten eines anderen Vektors r multiplizi< 
und die Produkte addiert, einen Skalar ergeben: 

(43) S = 8,r,+ V.+ M,- 
Es lassen sich somit die Vektorkomponenten stets au 
fassen als Koeffizienten eines homogenen linearen Au 
drucks, welcher einen Skalar S als Funktion der Koi 
ponenten eines anderen Vektors t darstellt. 

Setzt man nun in (43) für g^, 8^, §^ die Werte (38) ein, 
ergibt sich der Skalar S als homogene Funktion zweiten Grac 
der Komponenten von t: 

(44) S = s,,r/+s„t/+s,..r/+ 2s^..t,r,+ 2s,^r,r,+ 2s,,r, 



Erstes Kapitel. Die Vektoren 27 

Es lassen sich demnach die sechs Tensorkomponenten 
auffassen als die Koeffizienten eines homogenen Aus- 
drucks vom zweiten Grade, welcher einen Skalar S als 
Funktion der Komponenten eines Vektors t darstellt. 
Man sieht also, daß die Vektoren eine Klasse gerichteter 
Größen erster, die Tensoren eine Klasse zweiter Ord- 
nung bilden. Noch deutlicher wird dies aus der folgenden Dar- 
stellung. 

Mau trage den oben mit r bezeichneten Vektor als Fahrstrahl 
vom Koordinatenursprung aus ab, setze also: 

Dann folgt aus (43) 

-,-N a dS dS dS 

^^ö) *-=ä^' *=8^' *»=FF' 

Es lassen sich demnach die Vektorkomponenten als 

erste Ableitungen eines Skalars 5 nach den Koordinaten 

auffassen. 

Andererseits folgt aus (44), wenn man setzt 

_ a^ . _ ^ _ ^ 

^y'-~'dydz^ ^^-^ dzdx' ^^'■y~ dxdy' 
Die sechs Tensorkomponenten lassen sich also als 
zweite Ableitungen eines Skalars s nach den Koordi- 
naten auffassen. An diese Darstellung kann man die Unter- 
suchung der Transformationseigenschaften der Tensorkomponen- 
ten bei Wechsel des Bezugssystemes anknüpfen; doch soll hierauf 
nicht eingegangen werden. 

Lineare Vektorfunktionen treten u. a. in der Elastizitätstheorie 

auf Es sei t der Fahrstrahl, der von einem gegebenen Punkte 

pines deformierbaren Körpers nach einem beliebigen Nachbar- 

nkte P gezogen ist; ferner sei q die relative Verrückung, die 

1' gegen bei einer Formänderung des Körpers erfährt. Faßt 

man — was bei hinreichender Beschränkung des Bereiches erlaubt 

> — die Komponenten von q als lineare Funktionen der Kom- 

nenten von t auf, so gelten Gleichungen von der Form (36); 



28 



Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



c^x 


^^y- 


di\x 


<lxz = 


^^x 

dz 




%y- 


dt\y 


%z- 


^^y 

dz 


-^"^^ 


u- 


dy ' 


Qz^ = 


dz 



schreibt man für die ursprünglichen Koordinaten von P in beziij 
aufO: ^^_^^ ^^_^^ y^_^^ 

so kann man die neun Koeffizienten der linearen Vektorfunktion 
schreiben: 



(47) 



Nach den obigen Ergebnissen läßt sich nun die lineare Vekto 
funktion, welche die relative Verrückung von P gegen au 
drückt, in einen symmetrischen und einen antisjmmetrische 
Teil zerlegen. Der letztere wird durch (41) dargestellt, wohe 
nach (42) und (47), zu setzen ist: 

^\dy dz}' ^y 2\a^ dxj' 

'i\dx dyj' 

Die Verrückung a, die durch die antisymmetrische linea 
Vektorfunktion (40) bzw. (41) dargestellt wird, läßt sich, wie 
der Kinematik gezeigt wird (vgl. übrigens Gleichung (21a), di 
sich auf die Geschwindigkeit bezieht), als unendlich kleine Dr( 
hung des als starr gedachten Bereiches um den festen Punkt 
deuten; dabei wird die Drehung nach Achsenrichtung, Drehwin 
kel und Drehsinn durch den Vektor c bestimmt. 

Für die Formänderung des Bereiches hingegen ist der sym 
metrische Teil der linearen Vektorfunktion maßgebend; dere 
sechs Koeffizienten sind, nach (39) und (47): 

dt\x ^ _ di^y ^ dUz 

dy' ''~ dz ' 



(48) 



(49) 



5..,.= 



dx 



yy 



y^ 2\dy ^ dxj' ^y' ^^y 2 V 



djy 

dz 



^ dy}' 



Dies sind die «Tensorkomponenten, welche die Formände 
rung des Bereiches kennzeichnen. 



§ {i Erstes Kapitel. Die Vektoren 29 

Wie die Formänderung, so ist auch der Spannungszustaud 
eines elastischen Körpers durch ein System von sechs Tensor- 
kumponenten darzustellen. Man grenze durch eine geschlossene 
Fläche f einen Teil des Körpers ah; tt sei ein Einheitsvektor, 
welcher, für den hetreffendea Punkt der Fläche /) Richtung und 
Sinn der nach außen gezogenen Normalen angibt. Die Kraft, 
welche der außerhalb der Fläche f gelegene Teil des Körpers auf 
den inneren ausübt, läßt sich über die Fläche verteilen. Es sei 
%df die auf das Stück df entfallende Kraft. Der Vektor X, die 
auf die Flächeneinheit bezogene Kraft, wollen wir kurz die „Flä- 
ch en kraft" nennen. 

Die Flächenkraft hängt, für einen gegebenen Funkt des 
elastischen Körpers, selbstverständlich von der Stellung des Flä- 
chenstückes ab, auf das sie wirkt, d. h. von Richtung und Sinn 
des Einheitsvektors n. Und zwar pflegt die Elastizitätstheorie % 
als homogene lineare, und in der Regel als symmetrische, Vektor- 
funktion von n darzustellen: 



öO) 





^.= T..^.+ T,,n„+T,.n„ 




^y- T^.n^+ T,,n,^+ T,.%, 




\^.-T,^^.+ T.yn„ + T,^n„ 


T 


rp rp rp rj~i rp 



mit 



(51) 

Die sechs Koeffizienten der symmetrischen linearen Vektorfunk- 
tion (50 j sind die Tensorkomponenten, welche den Spannungs- 
zustand in dem betreffenden Punkte kennzeichnen. 

Die Kraft, die, durch die Fläche f hindurch, auf deren Inneres 
ausgeübt wird, ist: 
(52) ^=Cdf%, 

und ihre Komponenten sind nach (50): 

^.-fdf{ ?'„».+ r.,n,+ r..n,), 



30 



Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



§M 



Zweites Kapitel. 

Die Vektorfelder. 

§ 10, Die hydrodynamische Ahhildung. 

Im ersten Kapitel dieses Abschnittes haben wir den Begril 
des Vektors und die Regeln der Vektoralgebra in Anlehnung aif 
die Mechanik des materiellen Punktes entwickelt. Die Geschwin- 
digkeit eines solchen wurde durch einen einzigen Vektor darge- 
stellt. Die allgemeinste Bewegung des starren Körpers, der docl 
aus einer unendlichen Zahl materieller Punkte besteht, konnte^ 
wir durch zwei Vektoren abbilden, die von einem beliebig ge 
wählten Bezugspunkte aus zu konstruieren waren. In diesem Ki 
pitel nun knüpfen wir an die Aufgabe an, den Bewegungszustanj 
einer den Raum erfüllenden Flüssigkeit zu analysieren. Hier si 
die Geschwindigkeiten verschiedener Massenteilchen im allgemej 
nen als voneinander unabhängig anzusehen, es ist jedem Punkt 
sein besonderer Geschwindigkeitsvektor zuzuordnen. Die 
wegte, den Raum erfüllende Flüssigkeit repräsentiert, wie mj 
sagt, ein Vektorfeld. 

Man spricht in der mathematischen Physik von dem Feh 
einer Zustandsgröße, wenn man den W^ert der Zustandsgröße 
einem räumlichen Bereiche in seiner Abhängigkeit vom Orte b( 
trachtet, und nimmt die Werte im allgemeinen, d. h. mit Au^ 
nähme einzelner Flächen, Linien und Punkte, als stetig an. 
gibt Skalarfelder (z. B. das Temperaturfeld) und Vektorfelde 
(z. B. das Schwerkraftfeld). 

Durch das Studium der Flüssigkeitsbewegungen ist die The< 
rie der Vektorfelder außerordentlich gefördert worden, insbesoi 
dere durch die grundlegenden Untersuchungen von Helmhol^ 
über die Wirbelbewegungen. Auf ihnen fußte Maxwell, als er 
unternahm, die Faradaysche Idee des Kraftfeldes mathematis( 
zu begründen. Maxwell waren hydrodynamische Analogien s( 
gar mehr als rein mathematische Bilder; hydrodynamische VoJ 
Stellungen über den Feldmechanismus leiteten ihn bei der Auj 
Stellung der Nahe Wirkungsgesetze des elektromagnetischen Felde 



§ 11 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 31 

Wir schließen uns demnach der historischen Entwicklung an, 
wenn wir in diesem Kapitel die mathematische Theorie der Vek- 
torfelder an der Hand der hydrodynamischen Abbildung ent- 
wickeln. Ahnlich wie wir oben einem beliebigen Vektor eine 
Verrückung zugeordnet haben, ersetzen wir den Vektor, dessen 
Feld wir untersuchen, durch den Geschwindigkeitsvektor einer 
den Raum erfüllenden Flüssigkeit. Bei dieser hydrodynamischen 
Abbildung müssen wir allerdings, um nicht auf besondere Felder 
beschränkt zu sein, der Flüssigkeit zuweilen Eigenschaften zu- 
schreiben, die von denen der wirklichen Flüssigkeiten einiger- 
maßen abweichen. Das wird gestattet sein, da es sich hier nur 
um eine mathematische Analogie handelt. 

§ 11. Das wirbelfreie Feld. Das Potential und der Oradient. 

Aus einem jeden Skalarfelde können wir folgendermaßen ein 
Vektorfeld ableiten. Wir denken uns den Skalar cp von Punkt zu 
Punkt stetig veränderlich. Die Zunahme, welche er beim Fort- 
schreiten längs des Linienstückes dii erfährt, dividiert durch 
dessen Länge ds, mag die Komponente des Vektors ti in Rich- 
tung des Linienstückes ergeben. Es soll also sein 

insbesondere die Komponenten parallel den Koordinatenachsen 

^^^) ^*=ä^' ^y^J^^ ^^=^' 

Wir wollen uns davon überzeugen, daß diese Größen in der 
Tat dem Transformationsgesetze der Vektorkomponenten genügen. 
Die Richtungskosinusse des Linienstückes d^ sind: 

- 0) cos (8, ^) = If , cos (8, y) = ll , cos (8, ^) = || • 

Indem man nun cp als Funktion der Koordinaten x, i/, ansieht, 
f-rhält man d^ ^ d^ dx^ d^^ dy^ d^ dz_ ' 

'ds dx ds "^ dy ds "^ dz ds ' 

es folgt also aus (54), (55) und (56): 
57) t, -= ti^ cos (8, X) -f Ö^ cos (8, y) -f t», cos (8^ s) . 



32 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § ii 

Die durch (54) definierte Größe Ö, läßt sich also wirklich als 
Vektorkomponente auffassen; denn die Transformationsformel (57) 
stimmt mit der für Vektorkomponenten kennzeichnenden Glei- 
chung (9)*des § 3 überein. 

Der soeben eingeführte Vektor ö zeigt die Richtung des 
größten Anstieges des Skalars cp an, sein Betrag den auf die 
Längeneinheit bezogenen Betrag des größten Anstieges 



=vm^m^m- 



.dy) 

Wir nennen ihn den „Gradienten" des Skalars ^; wir woUen 
uns indessen nicht des von manchen Autoren verwandten Sym- 
boles „grad'^ für diesen Begriff bedienen, sondern einer anderen_ 
symbolischen Schreibweise, die auf Hamilton, den Erfinder dj 
Quaternionen, zurückgeht. Greifen wir nämlich auf die im §1 
eingeführten Grundvektoren ijf zurück, so können wir schreib^ 

(58) '' = (iT: + iS + 'lf)- 

Man führe nun den sogenannten Hamiltonschen Operi 
tor V ein d d ? 

dx ' * dy dz 

und rechne mit ihm nach den Regeln, die für die Multiplikati( 
eines Vektors mit Skalaren im vorigen Kapitel angegeben 
den, indem man die an Stelle der Vektorkomponenten tretend^ 
Differentialoperatoren d d d 

wie Skalare behandelt; dann erhält man 

(58a) „ = V.,= (if| + ig + l||) 

als symbolischen Ausdruck des Gradientenvektors. 

Man bilde das innere Produkt aus dem Vektor ti und de; 
Linienstücke d^: hdi = ti ds- 

es ist gleich der Länge des Linienstückes (?8, multipliziert 
der Komponente von t) in bezug auf d^. Nun integriere ms 
über eine Kurve, die vom Punkte 1 zum Punkte 2 führt. Das m> 
gebildete Linienintegral 



§ 11 Zweites Kapitel- Die Vektorfelder 33 

2 2 

(59) Ctsd%=^ ftißs; 

hat für jeden Integrationsweg in einem gegebenen Vektorfelde 
einen ganz bestimmten Wert. 

In dem hier vorliegenden besonderen Falle, wo der 
Vektor d der Gradient eines Skalars cp ist, wird nun das 
Linienintegral (59) vom Wege unabhängig, der die Punkte 1 
und 2 verbindet. In der Tat 

* öS 

ist der Zuwachs des Skalars g? auf dem Wegstücke ds\ bei der 
Bildung des Linienintegrales (59) setzen sich alle diese infinitesi- 
malen Beiträge zusammen und ergeben den gesamten Zuwachs 
von 9: 2 

(59a) jtsd%^^>2—fPi' 

Es hat also das Linienintegral des Gradienten denselben Wert 
für zwei Wege, die Anfangspunkt und Endpunkt gemein haben. 
Das Linienintegral des Gradienten verschwindet für 
jeden geschlossenen Weg: 

(59 b) (ft^d&^£^ds==0. 

Wir woUen die Flüssigkeitsströmung, die das Feld des Vek- 
tors ti abbildet, wirbelfrei nennen, wenn sein Linienintegral 
längs eines jeden geschlossenen Weges verschwindet, und auch 
das abcrebildete Feld in diesem Falle als wirbelfreies bezeichnen. 
Dann können wir den Satz aussprechen: Das Feld des Gra- 
dienten eines Skalars g? ist stets ein wirbelfreies. 

In einem Kraftfelde gibt das Linienintegral des Kraffcvektors 
die Arbeit an. Die Bedingung, daß das Linienintegral längs einer 
jeden geschlossenen Kurve Null sein soll, besagt hier das Fol- 
gende: es ist nicht möglich, durch wiederholtes Herumführen 
^inee materiellen Punktes längs eines geschlossenen Weges un- 
^enzt Arbeit zu gewinnen. Wir haben gezeigt, daß diese Be- 

AbTaham, Theorie der Elektrizität, I. 5. Aufl. 8 



34 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 12 



I 



diDgung erfüllt ist, wenn der Kraftvektor der Gradient ein 
Skalars ist. 

Umgekehrt gilt der Satz: Ein wirbelfreies Vektorfel 
ist stets als Feld des Gradienten eines Skalars aufzu- 
fassen. In der Tat, es ist durch 

p 

(60) 9? = 9o+yM8 



ein Skalar von der verlangten Eigenschaft eindeutig definiert: 
dabei bezeichnet (p^ den Wert von (p im Anfangspunkt der Ini 
grationskurve. Bei Verschiebung des Endpunktes P ändert sich 
um > d(p = tlc?8 = ti^ds. 

Mithin gut ^^-^y 

d. h. das wirbelfreie Vektorfeld ist wirklich als Gradientenf< 
darzustellen. 

Ist das Feld, um das es sich handelt, ein Kraftfeld, so n^ 
man ( — qp) das Potential, oder besser das skalare Potenti 
Die Existenz eines Potentials ist die notwendige und hinreichen! 
Bedingung dafür, daß nicht aus dem Kraftfelde auf die an 
gebene Weise Arbeit unbegrenzt zu gewinnen ist. Das wirbi 
freie Kraftfeld der Schwerkraft war es, aus dem zuerst der 
griff des Potentiales erwuchs. Auf die Hydrodynamik hat mi 
diesen Begriff übertragen, indem man den jeder wirbelfreien 
wegung zugeordneten Skalar ( — tp) als Geschwindigkeit 
Potential bezeichnete. 

§ 12. Die Ergiebigkeit eines Quellenfeldes und dieDiverge 

Der idealen Flüssigkeit, die unserer hydrodynamischen A 
bildung zugrunde liegt, schreiben wir weiterhin die Eigensch« 
der Inkompressibilität zu. Hierdurch wird eine Beschränkul 
der Bewegungsfreiheit der Flüssigkeit eingeführt, da in dem mi 
Flüssigkeit gefüllten Gebiete durch eine jede geschlossene Fläch 
im ganzen ebensoviel Flüssigkeit ausströmen wie einströmai 
muß. Mit Hilfe einer solchen Strömung könnten wir nur besor 
dere Vektorfelder abbilden. 



§12 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 35 

Um diese Bescliränkung nachträglicli wieder aufzuheben, las- 
sen wir zu, daß an gewissen Stellen des Raumes Flüssigkeit 
fortwährend neu erzeugt, an anderen solche vernichtet wird. 
Stellen der ersten Art wollen wir als Quellen, Stellen der 
zweiten Art als Senken oder auch als negative Quellen be- 
zeichnen; wir behalten uns indessen vor, das Wort Quelle auch 
in dem allgemeineren Sinne zu gebrauchen, daß es die positiven 
nnd negativen Quellen umfaßt. Durch Annahme eines geeigneten 
QueUensystemes sind wir nun in der Lage, ein beliebiges Vektor- 
feld durch eine stationäre Bewegung einer inkompresßiblen Flüssig- 
keit abzubilden. ; ; 

Wir nehmen die Quellen als stetig über den fta.um verteilt 
an. Es entsteht dann die Aufgabe, ein Maß für die Ergiebigkeit 
des QueUeasystemes zu finden. 

Wir denken uns zu diesem Zwecke im Innern der Flüssigkeit 
ein kleines rechtwinkliges Parallelepiped von den Kantenlängen 
a, 6, c. Den Koordinatenanfaug legen wir in den Mittelpunkt 
des Parallelepipeds, die Koordinatenachsen xys seinen Kanten 
parallel. Die Flüssigkeitsbewegung soll stetig und das Parallele- 
piped so klein sein, daß wir auf seinen Seitenflächen den Vektor 
mit Hilfe der Formeln berechnen können: 

61) { ».= »«.+ gi-^+af-y + ^-^' 

®^ ' ^Ä? ^ dy ^ dz 

Dabei ist ti^ der Geschwindigkeitsvektor im Mittelpunkte des 
Parallelepipeds; die Werte der Ableitungen von ö^, H^, tl, nach 
den Koordinaten beziehen sich ebenfalls auf diesen Punkt. Die 
rechten Seiten sind als Mac Laurinsche Reihen aufzufassen, welche 
mit Rücksicht auf die Kleinheit des Bereiches mit den linearen 
Gliedern abgebrochen sind. 

Wir berechnen die Flüssigkeitsmenge, die im ganzen in der 
Zeiteinheit aus dem Parallelepiped herausströmt. Wir betrachten 



36 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 12 

zuerst die beiden zur a? -Achse senkrechten Seitenflächen, für die 

ist. Durch die eine auf der Seite der positiven x liegende Fläche 
entströmt die Menge 



6 c b c 

JdyJdzti^^JdyJds {b, 



0'+^' 2"^ ay '^"^T^ '^i 



n h aUg dhx dfix 

^^ ^0«' aa; ' dy ' dz 

hier Konstanten sind, die sich auf den Mittelpunkt des Parallel 
epipeds beziehen, so fallen die mit y und 8 behafteten Glieds 
heraus, und wir erhalten 

für die Strömung durch diese Fläche, und ebenso 

für die Strömung, die idurch die gegenüberliegende Seite das Pa 
aUelepiped verläßt; die Summe beider Glieder ist 

Fügt man zwei entsprechende Ausdrücke hinzu, welche die Strc 
mung durch die beiden anderen, zur y- bzw. ;er- Achse senkrechte 
Seitenpaare angeben, so erhält man für die Ergiebigkeit der ii 
Innern des ParaUelepipeds liegenden Quellen 

\dx dy dz J 

Dieser Ausdruck gilt mit um so größerer Annähenmg, 
kleiner das ParaUelepiped ist, er gilt genau im GrenzfaUe eint 
verschwindend kleinen ParaUelepipeds, falls die der Gleichun 
(61) zugrunde liegende Voraussetzung einer stetigen Flüssigkeit 
Strömung erfüllt ist. 

Die auf die Volumeneinheit bezogene Ergiebigkeit de 






§ 12 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 37 

Flüssigkeitsqnellen nennen wir die Divergenz des Vektors 
D und schreiben symbolisch 

Der hydrodynamischen Bedeutung der Divergenz entsprechend 
ist dieselbe als skalare Größe zu betrachten. Positive Werte dieses 
Skalars zeigen an, daß an dem betrejffenden Punkte des Feldes 
Quellen, negative, daß Senken vorhanden sind. Aus jedem Vek- 
torfelde ist durch Berechnung der Divergenz ein Ska- 
larfeld, das Quellenfeld, abzuleiten. Die Divergenz 
eines Vektors ist ein eigentlicher Skalar oder ein Pseu- 
doskalar, je nachdem der betreffende Vektor ein polarer 
oder ein axialer ist; denn geht man durch ümkehrung der 
Koordinatenachsen von dem Rechtssysteme zu einem Linkssysteme 

ber, so wechseln die Differentiationssymbole ö~? 0— ; ö~- wie 

jiolare Vektorkomponenten das Vorzeichen, die Divergenz eines 
polaren Vektors behält also beim Übergang zu einem Links- 
systeme das Vorzeichen bei, die Divergenz eines axialen Vektors 
kehrt es um. 

Es ist bemerkenswert, daß man die Divergenz erhält, wenn 
man den Hamiltonschen Operator 

V == i — 4- i — + f — 
^ ^ dx^^dy^^ dz 

nach den Regeln der skalaren Multiplikation (§ 4) mit dem Vektor 

reinigt: Vll — divtl. 

In dieser Schrift wird das Zeichen V dem Gradienten vor- 
oehalten und die Divergenz immer durch div wiedergegeben. 

Wir berechnen die gesamte Flüssigkeitsströmung durch eine 
.geschlossene Fläche /*, die einen mit Flüssigkeit erfüllten Raum 
oegrenzt. Infolge derUnzusammendrückbarkeit muß die Menge 
iüssigkeit, welche die in einem Räume enthaltenen Quellen im 
_Mnzen in der Zeiteinheit erzeugen, durch die Oberfläche nach 
iiußen strömen. Führt man die Summation über alle die infinite- 
simalen Parallel epipede aus, in die man den Raum geteilt denkt, 



38 



Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



§ 13 



so erhält man den Überschuß der in der Zeiteinheit ausströmen- 
den über die einströmende Flüssigkeit. Ist n die nach außen 
weisende Normale der Fläche, so gibt df- ti„ die durch df in der 
Zeiteinheit von innen nach außen strömende Flüssigkeit an, es 
ist daher 
(63) fdv div d = Cdf)i„ . 

Diese Gleichung spricht den sogenannten Graußschen Satz aus. 
Mit Rücksicht auf die große Bedeutung dieses Satzes für die 
Elektrizitätslöhre geben wir einen zweiten streugeren Beweis, 
der von der Voraussetzung einer paraUelepipedischen Einleil 
des Raumes unabhängig ist. 

§ 13. Die Sätze von Oauß und Oreeu. 

Wir beweisen den Graußschen Satz für ein begrenztes räi 
liches Gebiet von folgenden Eigenschaften. Jede Parallele 
einer der Koordinatenachsen soll die Oberfläche f nur zwei] 
schneiden. Besitzt ein Gebiet nicht diese Eigenschaft, so läßt 
sich doch durch geeignet gelegte Schnittflächen stets in eine.ei 




Fig. 10. 

liehe Zahl von Stücken zerlegen, denen die vorausgesetzte Eig( 
Schaft zukommt. Ist der Gaußsche Satz für die einzelnen Raul 
stücke bewiesen, so folgt durch Summation seine Gültigkeit 
das ganze Gebiet, da die auf die Schnittflächen bezüglichen Bei 
träge der Flächenintegrale sich aufheben. i 



4 13 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 39 

Wir legen jetzt eine Gerade parallel zur a. -Achse. Es seien 
x\ x" die a;-Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit der 
Fläche /J ferner n, n" die nach außen weisenden, in diesen Schnitt- 
punkten ftuf der Fläche errichteten Normalen. Die erste Nor- 
male n schheßt einen stumpfen, die zweite n" einen spitzen 
Winkel mit der j;- Achse ein. Wir legen ferner einen Balken 
(Fig. 10) von dem unendlich kleinen rechteckigen Querschnitt 
dydz und mit jener Geraden als Achse; derselbe mag aus der 
Oberfläche f die Stücke dfy df" herausschneiden; dann ist 
— df cos w'a? == -j- df" cos n' X ^ dydz-. 

Wir erhalten durch Integration längs des Balkens 

x' 

wo 0^', t>J' sich auf die durch x\ x" bestimmten Schnittpunkte 
beziehen. Es wird 

dydz P-^ dx = df\s; cos {rix) + df'xs^' cos {n' x) . 

x' 

Indem man nun den ganzen Raum durch Ebenen parallel der 
{xy\ und (iC^)-Ebene in derartige Balken zerlegt, teilt man gleich- 
zeitig die Oberfläche in Stücke df ^ von denen jedes nur einmal 
vorkommt. Es ist daher 

d\ix C .. * 

cos nx . 



Jäv'^-fäf,^ 



Durch entsprechende Zerlegungen des Raumes in Balken, deren 
Längsachsen der ^ -Achse bzw. <e? -Achse parallel sind, und durch 
Integration der beiden anderen Glieder der Divergenz über den 
so zerlegten Raum erhält man entsprechende Gleichungen; die 
Addition der drei so gewonnenen Gleichungen ergibt den Gau fi- 
schen Satz 

' '4) I dv div = / dfl ö^ cosnxi- ^y cos ny-\-ti^ cos n0]=l dfl»„ . 

Die soeben gegebene Ableitung zeigt, daß der Gaußsche Satz 
nichts anderes als eine Formel der Integralrechnung ist, deren 



/■ 



40 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 

Gültigkeit nur die Stetigkeit des Vektors t) in dem betrachtete! 
Gebiete voraussetzt. Sie führt uns zu einer allgemeineren Fag 
sung der Definition der Divergenz: Der Wert der Divergens 
des Vektors d in einem Punkte P des Feldes isvird eH 
halten, indem man um den Punkt P herum eine klein« 
Fläche f legt und die nach außen tretende Strömun 

df\ berechnet; der Grenzwert, dem der Quotient auj 
dieser Strömung und Inhalt z/v des von f begrenzte] 
Raumes zustrebt, wenn man diesen mehr und mehr ver] 
kleinert, bestimmt den Wert der Divergenz im Punkte 

t 

Diese Definition ist insofern allgemeiner als diejenige de 
vorigen Paragraphen, als sie über die Form der Fläche, für welch 
die Strömung berechnet wird, keine einschränkende Voraussetzung 
macht. Der erhaltene Wert ist, wie wir erkennen, unabhängig 
von der Form der Fläche, insbesondere auch von dem der frö 
heren parallelepipedi sehen Definition zugrunde liegenden Koor 
dinatensystem. Damit ist erst die skalare Natur der Divergenj 
streng bewiesen. 

Jede für die Divergenz irgendeines Vektors erhaltene Be 
Ziehung läßt sich mit Hilfe des Gaußschen Satzes sofort in ein« 
Beziehung zwischen Raum integralen und Flächenintegralen um 
setzen. Es sei z. B. ein Vektor ti das Produkt aus einem Skalar 
und einem zweiten Vektor %: ö = ^ • ^ . 
Dann wird die Divergenz von t) 

diT 6 = ^ dir a + ^ . 8, + 1* . «„ + 1* . a„ 

^ tix ^ cy y dz '^ 

oder, da TT^, ^, ^ nach § 11 die Komponenten von V^ srnt 

(65) div ^E = :^ div $1 -h <a Vz/; . 
Die Anwendung des Gaußschen Satzes ergibt 

(66) Jdfj}jn„-^J dv{il; diY ^ + ^V^} 
für jede geschlossene, den Raum v einschließende Fläche f. 



§ 13 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 41 

Es sei zweitens der Vektor ü in dem betrachteten Bereiche 
wirbelfrei verteilt, also, nach § 11, als Gradient eines Skalars 9 
aufzufassen b == V 9? . 

Alsdann ist die Divergenz 

,67) div» = divV^=^g- + |;^ + g.. 

Die Divergenz eines Vektors erhält man, wie im vorigen Pa- 
ragraphen erwähnt wurde, mit Hilfe des Hamilti nschen Opera- 
tors, indem man diesen mit dem Vektor nach den Regeln der 
skalaren Multiplikation verknüpft. Mau schreibt daher 

Den Operator V^ = ^2 + ^^~t + ^y nennt man „Laplace- 

schen Operator", mit Rücksicht darauf, daß die Gleichung 
V^q) == die Laplacesche Gleichung heißt. 

Die Laplacesche Gleichung sagt nichts anderes aus, 
als daß die wirbelfreie Strömung ö = Vqo gleichzeitig 
quellenfrei sein soll. 

Den Gaußschen Satz auf dem Vektor V9 anwendend, erhält 
man 

(69) /rf^f^=/cf.VV. 

Wir setzen endlich in Gleichung (66) $t — Vg) und erhalten 

(70) Jdft ll -fdv { n,V\ + (V9> V^) ) . 

Diese Formel wird der „Greensche Satz" genannt; sie geht, 
wenn ^ = 1 gesetzt wird, in (69) über. 

Vertauscht man in Gleichung (70) die Skalaren 9?, ^, so er- 
hält man C 7>i C 

i^ff ff =J'^«'!9''^> + (V«pV^)) . 

Zieht man diese Gleichung von jener aUJ so fäUt das innere Pro- 
dukt (V^pV^) heraus, und man erhält die wichtige Formel 

Die Gültigkeit des Gaußschen Satzes hatte die Endlichkeit 



I 



42 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 14 

und Stetigkeit des Vektors b, dessen Divergenz einging, zur Vor- 
aussetzung. Die letzte Formel (71), die durch Raumintegration 
von div{i/^Vqp — g?Vi/^} entstanden ist, setzt demgemäß die End- 
lichkeit und Stetigkeit der Skalaren 9?, ijj und ihrer Gradienten 
in dem von der Fläche f begrenzten Gebiete voraus. 



§ 14. QueHpunkte. 

Wir haben bisher die Quellen immer als stetig verteilt, den 
Wert der Divergeüz immer als endlich vorausgesetzt. In Wirk- 
lichkeit ist diese Annahme bei allen Vektorfeldern erfüUt. In- 
dessen gibt es Fälle, wo die Verteilung der Quellen sich einer 
unstetigen nähert, indem sie nahezu auf Punkte, Linien un 
Flächen zusammengedrängt erscheinen. Da die unstetigen Ver- 
teilungen sich mathematisch zuweilen einfacher behandeln lassen 
als die stetigen, so idealisiert man wohl die Probleme, indem 
man mit unstetiger Verteilung rechnet. Man muß dabei aller 
dings, wenn man Fehlschlüsse vermeiden will, im Auge behalten 
daß man Annahmen eingeführt hat, die der Wirklichkeit nich 
genau entsprechen. 

In diesem Paragraphen wollen wir die von Quellpunkten er 
zeugte wirbelfreie Strömung behandeln. Wir gehen von den 
FaUe eines einzelnen QueUpunktes in einer den ganzen Raun 
erfüllenden Flüssigkeit aus. Nach der Symmetrie wird die dei 
QueUpunkte entströmende inkompressible Flüssigkeit sich nacl 
allen Richtungen gleichmäßig ausbreiten. Sie wird radial ab 
fließen, indem durch aUe die konzentrischen, um den Quellpunfc 
als Mittelpunkt gelegten Kugelflächen die gleiche Strömung hin 
durchtritt. Dieselbe gibt die Ergiebigkeit der Quelle an, wen: 
wir diese, wie bisher, durch das Volumen der heraustretende: 
Flüssigkeit messen. E^ soll aber von jetzt an die Ergiebigkeil 
durch die Masse der idealen Flüssigkeit bestimmt und dere 

Dichte, über die wir noch beliebig verfügen können, gleich — 

gesetzt werden. Das geschieht, um in den Formeln die Analogie 
des Strömungsfeldes und des in absoluten elektrostatischen Ein 



§ 14 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 43 

heiten gemessenen elektrisclien Kraftfeldes deutlich hervortreten 
zu lassen. 

Die so gemessene Ergiebigkeit e der Quelle beträgt 



hj<^f'- 



r^ti 



r 1 



umgekehrt drückt sich die radiale Geschwindigkeit durch die 
Ergiebigkeit folgendermaßen aus: 

(72) t.,= f; 

sie nimmt mit dem umgekehrten Quadrate der Entfernung r vom 
Quellpunkte ab und wird unendlich, wenn man in den QueU- 
punkt hineingeht. 

Die wirbelfreie Natur der Strömung bringt es mit sich, daß 
der Vektor ti sich als negativer Gradient eines Potentiales darstellt 

(73) «i = -V<jp, 9-=^ 

Im Ausdruck des Potentiales g? und der Geschwindigkeit ti 
wird, wie man sieht, der Faktor 4;t durch die über die Dichte 
getroffene Festsetzung beseitigt; er kommt aber an einer anderen 
Stelle wieder herein, nämlich in die Beziehung, welche die Er- 
giebigkeit e mit der über eine den Quellpunkt einschließende 
Fläche integrierten Normalkomponente von H verknüpft: 

(74) Jt,Jf=^47ie. 

Haben wir nun eine Reihe von h Quellpunkten von den Er- 
giebigkeiten ^1 . . . ßji, deren Felder sich überlagern, so kann man 
das resultierende Feld entweder durch geometrische Addition der 
Vektoren Ö^ . . . ti,^, oder einfacher durch algebraische Addition der 
skalaren Potentiale qp^ . . . 9)^ bestimmen 



(75) ,=2'».= -v<P, 9-2^:- 

Für eine geschlossene Fläche, die eine Zahl von Quellpunkten 
einschließt, ist das Flüssigkeitsvolumen, welches durch die Fläche 
nach außen tritt, gleich 4;rmal der algebraischen Summe der 
Ergiebigkeiten der eingeschlossenen Quellen. 



44 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 15 

Schließt die Fläclie das ganze endlich ausgedehnte Quell- 
system ein, so ist das Volum der herausströmenden Flüssigkeit 

h 



(76) 4;ce = 4;rV 



jLJ ^'' 



I 



Ist die Fläche eine Kugel, deren Mittelpunkt innerhalb des Quell- 
systems liegt, so nähert sich in dem Maße, wie der Radius B der 
Kugel wächst, die Strömung einer radialen; denn je größer der 
Kugelradius gegen den größten Abstand zweier QueUpunkte ist, 
um so geringer ist der Fehler, den man begeht, wenn man in (75) 

Tj — B 

B 

gegen 1 vernachlässigt, d. h. jedes r,. durch R ersetzt, wodurch 

(77) y-=-|. 

wird. In solchen Entfernungen wirkt das Quellsystem wie ei; 
einzelner Quellpunkt im Mittelpunkt der Kugel, dessen Ergiebig- 
keit gleich der gesamten Ergiebigkeit des QueUsystems ist. Im 
allgemeinen verschwindet daher das Potential im Unendlichen 
wie die umgekehrte erste Potenz, die radiale Geschwindigkeit 
wie die umgekehrte zweite Potenz von B. 

§ 15. Doppelqnellen. 

Besonderes Interesse verdienen diejenigen Quellen Systeme, i 
denen die Summe der Ergiebigkeiten der positiven und der nega- 
tiven Quellen NuU. ist. Hier verschwindet im Unendlichen da 
Potential von höherer als der ersten, die radiale Geschwindigkei 
von höherer als der zweiten Ordnung; die Strömung durch eine 
das ganze QueUensystem einschließende Fläche ist gleich NuU 

Das einfachste Feld dieser Art ist dasjenige, welches von zwei 
benachbarten QueUpunkten von gleicher Ergiebigkeit, aber ent- 
gegengesetztem Vorzeichen, erzeugt wird. Wir wollen dieses 
Quellensystem eine „Doppelquelle" nennen. Das Potential des 
zugehörigen wirbelfreien Feldes wird erhalten, indem der Grenz- 

wert berechnet wird, dem die Differenz zustrebt, wenn 



§ 15 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 45 

iiielipunkt und Senkpunkt ganz nahe aneinander rücken. Es 
wird für das Verständnis dieses Grenzüberganges nützlich sein, 
einige Begriffe zu erläutern, die bisher nicht zur Sprache ge- 
kommen sind. 

Wir haben in § 11 die Gradientenoperation V kennen ge- 
lernt; dieselbe gab, auf einen Skalar angewandt, den auf die 
Längeneinheit berechneten Zuwachs an, den der betreffende Skalar 
bei einer Verschiebung nach irgendeiner Richtung erfuhr. Wir 
haben nun im Felde eines Quellpunktes zwei Arten von Ver- 
schiebungen zu unterscheiden, solche, bei denen der betrachtete 
Punkt des Feldes, den wir Aufpunkt nennen wollen, verschoben, 
aber der Quellpunkt festgehalten wird, und solche, bei denen der 
Aufpunkt festgehalten und der Quellpunkt verschoben wird. Er- 
teilt man dem Quellpunkt und dem Aufpunkt gleiche und gleich- 
gerichtete Verrückungen, so behält jede Größe, die nur vom 
Abstand r der beiden Punkte abhängt, ihren Wert bei; denn der 
Abstand von QueDpunkt und Aufpunkt ändert sich bei einer 
solchen gemeinsamen Verschiebung nicht. Mithin ist für 
jede nur von r abhängige Größe eine Verrückung des 
Quellpunktes nach irgendeiner Richtung äquivalent 
einer Verrückung des Aufpunktes von dem gleichen 
Betrage, aber nach der entgegengesetzten Richtung. 
Indem wir den Zuwachs bei Verschiebung des Aufpunktes und 
des Quellpunktes V^ und V schreiben und ihn „Aufpunktgra- 
dienten" bzw. „Quellpunktgradienten" nennen, können wir den 
Satz aussprechen: Für jede Funktion des Abstandes von 
Aufpunkt und Quellpunkt ist der Aufpunktgradient 
entgegengesetzt gleich dem Quellpunktgradienten. 

Angewandt auf den umgekehrten Abstand ergibt dies; 

Die crewöhnliche, an skalare Größen sich anlehnende Betrach- 
tungsweise führt zu demselben Ergebnis, indem sie den Abstand 
von Quellpunkt und Aufpunkt 



46 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 

setzt, wo xyg die Koordinaten des Aufpunktes, Jt^J diejenigei 
des Quellpunktes sind. Es ist dann 

(19, \ ^ — — ^ — ^ — — — ^ 

^*^^^ dx~ di' dy~~dn' dz~~'M' 

woraus der obige Satz für jede ausschließlich von r abhängige 
Größe folgt. 

Bei der Aufgabe, von der wir ausgingen, nämlich das Po- 
tential einer DoppelqueUe zu berechnen, ist eine Verrückung des 
Quellpunktes vorzunehmen, und zwar in der Richtung vom Senk- 
punkte zum Quellpunkte, und um eine sehr kleine Strecke, die 
gleich dem Abstände l der beiden Punkte ist. Wir führen einen 
neuen Vektor m ein, den wir „Moment der Doppelquelle"j 
nennen; seine Richtung soU vom Senkpunkte nach dem Quell-j 
punkte weisen, und sein Betrag soU gleich sein der Ergiebigkeil 
(e) des QueUpunktes, multipliziert mit dem Abstände l voi 
Quellpunkt und Senkpunkt: |m| = e?. Dann erhalten wir ah 
Potential der Doppelquelle: 

(79) 9, = (mV,|) = -(mV„;), 

oder in skalarer Schreibweise, 

al 8^ gA , 8' 8' 8' 

(79a) f-m^si +'".-4 +"•'81 = -r'äI* + '".yy +"'»äi 

Die Formel (79) gilt als Näherungsformel für ein QueUpaai 
entgegengesetzten Vorzeichens und für Entfernungen des Auf- 
punktes, die groß sind gegen den Abstand von QueUpunkt um 
Senkpunkt. Sie gilt streng für beliebige Abstände des Auf- 
punktes von der DoppelqueUe, wenn man l gleich NuU macht;] 
dabei muß, wenn |tn| endlich bleiben soll, die Ergiebigkeit 
unendlich werden, in der Weise, daß das Produkt e-l bei dei 
Grenzübergang einem bestimmten endlichen Werte zustrebt, Dei 
Punkt r = ist natürlich bei der Doppelquelle ebenso wie befl 
der einfachen Quelle aus dem Felde auszuschließen, weil die] 
Geschwindigkeit dort unendlich wird. Hier liegt ein Fall vor, 
wo die idealisierende Voraussetzung unstetiger Verteilung der' 
Quellen, auf das Quellgebiet selbst angewandt, zum Widerspruche] 
mit der Wirklichkeit führt. 



-^ 16 Zweites Kapitel. Die Vektoren 47 

§ 16. Berechnung des wirbelfreien Yelitorfeldes 
aus dem Quellenfelde. 

Wir kehren zur Untersucliung des wirbelfreien Vektorfeldes 
mit stetig über den Raum verteilten Quellen zurück. Dabei soll, 
ebenso wie im letzten Paragraphen, die Ergiebigkeit der Quellen 
nicht durch den Rauminhalt, sondern durch die Masse der er- 
zeugten idealen Flüssigkeit von der Dichte r— definiert sein. Man 
hat dann, auf die Volumeinheit berechnet, die Ergiebigkeit 

(80) ^ = i.divö, 

und da in dem wirbelfreien Felde der Vektor ti der negativ ge- 
nommene Gradient eines Potentiales ist, 

f81) 4::tQ = div d = — div Vqp = — V'g) . 

Die letzte Gleichung lehrt, aus dem Vektor ti bzw. aus seinem 
Potentiale cp die Verteilung der Quellen zu berechnen. Es mag 
jetzt die umgekehrte Aufgabe vorgelegt sein: Aus dem ge- 
gebenen Qaellenfelde soll das Vektorfeld berechnet 
werden, das als stetig und wirbelfrei vorausgesetzt 
wird; dabei wird angenommen, daß die Quellen durchweg im 
Endlichen liegen, daß also außerhalb eines gewissen endlichen 
Bereiches q gleich Null ist. 

Es fragt sich zunächst, ob durch diese Angaben das Feld des 
Vektors ti eindeutig bestimmt ist, oder ob es nicht zwei Vektoren 
öj, Öj gibt, die beide den Voraussetzungen Genüge leisten, ohne 
daß ihre Felder durchaus übereinstimmen. Um diese Frage zu 
entscheiden, untersuchen wir den Vektor öj — Üg, den wir bei 
dieser Hilfsbetrachtung mit ü bezeichnen wollen. Sein Feld soll 
einerseits wirbelfrei, anderseits, weil ja 0^ und ö^^ dieselben Quellen 
haben, quellenfrei sein. Aus der letzteren Eigenschaft folgt, daß 
das ganze Strömungsfeld sich lückenlos in Röhren teilen läßt, 
derart, daß durch alle Querschnitte einer bestimmten Röhre die 
gleiche Flüssigkeitsmenge strömt, und daß die Röhren im End- 
lichen weder beginnen noch endigen. Ins Unendliche aber können 



48 Erster Absclinitt. Vektoren und Vektorfelder § l| 

die Röhren, von denen jede einen endliclieu Flüssigkeitsstroi 
enthält, nicht reichen; denn es verschwindet, da die gesamte Er<j 
giebigkeit der Quellen von H gleich NuU ist, die Geschwindigj 
keit im Unendlichen von höherer als der zweiten Ordnung. Es 
müßten also die Stromröhren geschlossene Röhren sein. Wir b( 
rechnen nun die kinetische Energie, die in einer solchen, hin-] 

reichend klein gewählten Röhre enthalten ist, indem wir -g— 

über die Stücke der Röhre integrieren. Ist s die Leitkurve der 
Rohre, der parallel die Strömung fließt, und q ihr Querschnitt, 
80 ist tl^ == ö/ und dv = qdSy ferner Ö^g konstant längs der Röhi 
Wir erhalten mithin für die kinetische Energie, die in der ganzer 
Röhre enthalten ist, j-* 

Da nun aber die Strömung als wirbelfrei vorausgesetzt war, 8< 
verschwindet das längs der geschlossenen Leitkurve erstreckt 
Linienintegral von ö; mithin ist die in einer jeden Röhre enl 
haltene Energie, und daher auch die gesamte kinetische Energi( 
der Flüssigkeitsströmung gleich Null. 

Das ist aber unmöglich, wofern nicht im ganzen Felde b 
mithin tj^ = ög ist. Die Felder der beiden Vektoren H^, Jjj, di( 
zunächst als verschieden betrachtet wurden, sind also in Wirk- 
lichkeit die gleichen; das gestellte Problem kann nicht mehrere 
Lösungen besitzen. 

Der soeben gegebene Eindeutigkeitsbeweis ist natürlich gana 
unabhängig davon, ob unserer idealen Flüssigkeit lebendige Kraft 
zugeschrieben wird oder nicht, er beruht nur auf dem Verschwin- 
den des mathematischen Ausdruckes 



(82) T^Jdvl 



der allerdings zweckmäßig als lebendige Kraft der Strömung ge 
deutet wird. Das tritt vielleicht klarer hervor, wenn wir dei 
geführten Beweis in analytischem Gewände wiederholen- Wir 
ßetzen in der Greenschen Formel (70) 



^ 16 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 49 

Das Oberflächenintegral verschwindet, wenn die Fläche f in 
das Unendliche rückt, und es folgt 



/ 



dvt^^^O. 



Da ö^ niemals negativ werden kann, so kann das über den 
ganzen Raum erstreckte Integral nur verschwinden, wenn tl durch- 
weg Null ist. 

Die Greenschen Sätze führen uns nun weiter zur Lösung der 
gestellten Aufgabe; sie gestatten es, aus dem Quellenfelde q zu- 
nächst das Feld des Potentiales tp zu berechnen, als dessen nega- 
tiver Gradient dann der Yektor b erhalten wird. Wir legen die 
Formel (71) zugrunde; 9, t^ bedeuteten daselbst Skalare, die 
nebst ihren Gradienten im ganzen Räume endlich und stetig sind. 
Wir verstehen unter 93 das gesuchte Potential, während wir 

r 
:zen, wo r die Entfernung von einem beliebig gewählten Punkte 
P des Feldes angibt. Der Punkt P muß dann aus dem Felde 
ausgeschlossen werden, etwa durch eine kleine Kugelfläche /q, 
damit ^ in dem ganzen Gebiete, auf das wir die Formel (71) an- 
wenden, endlich und stetig wird. 

Die Begrenzung dieses Gebietes besteht erstens aus der kleinen, 
li P als Mittelpunkt gelegten Kugel /J), zweitens aus einer das 
nze QueUengebiet einschließenden Fläche f. Das über die letz- 
tere erstreckte Integral 



/ 






verschwindet, wenn wir die Fläche f in das Unendliche rücken 
lassen; denn es wachsen zwar die Flächenelemente wie r^, aber 

g> verschwindet mindestens wie r~^. — mindestens wie r~*. Es 

ergibt daher Gleichung (71) 



1 
ö 



In dem über die kleine Kugel f^ zu erstreckenden Flächen- 
Abraham, Theorie der Elektrizität. L 5. Aufl. 4 



50 



Erster Abschnitt Vektoren xmd Vektorfelder 



integral bedeutet n diejenige Normale, die Ton dem betrachtete! 
Gebiete nach außen weist, also nach dem Mittelpunkte der Ki 
hin gerichtet ist. Es folgt 



r 



Laßt man nun die Kugel f^ mehr und mehr sich auf den Punl 
P zusammenziehen, so verschwindet in der Grenze das Glied 



/ 



■"ifU 



und das andere Glied wird 






= — 4.-19, 



wo 9 jetzt den Wert des Potentiales im Punkte P bezeichnel 
Da femer in dem Raumintegrale nach Gleichung (81) 
4xQ = dir i = — V^g> 

r 



einzufuhren und 



V- 







za setzen ist — es stellt — das Potential eines in P befindliche 



Qaellpunktes Ton der Ergiebigkeit 1 dar, dessen Feld außerl 
/j quellenfrei ist — , so erhalt man schließlich 

(83) - ^'''" 






als Wert des Potentiales in dem jetzt beliebig zu wähle 
Aufpunkte P. 

Vergleicht mui diese Formel mit der im vorigen Paragra] 
für das Potential eines SyMemes von Quellpnnkten abgeleii 
Formel (75), so bemerkt man, daß hier dj» gesamte Potentii 
ebenso durch algebraische Summation von den einzelnen 
teilen herrührender Beitrage entsteht, wie es dort durch Additi< 
der Potentiale der einzelnen Qnellpunkte entstand. Doch ful 
das jetzt für stetig verteilte Quellen erhaltene Ergebnis insofe 
weiter, mls es anefa auf das Innere des Quellengebietes anwendl 
isiw Aach hier berechnet sich das Potential nach (83), der y< 
tor ft wird alsdann als n^ativer Gradient von fp eriiatten 



i6 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 51 

er entsteht durch geometrische Addition der von dön einzebien 
Bestandteilen des Quell ensystemes erzengten Geschwindigkeiten. 
Bisweilen gelingt es auf Grund dieses Ergebnisses, durch 
bloße Symmetriebetrachtungen die von einem gegebenen Quellen- 
stem herrührende Strömung zu finden. Es mögen etwa die 
Quellen gleichförmig über eine VoUkugel vom Radius a verteilt 
sein. Nach der Symmetrie folgt, daß die Strömung überall radial 
verläuft. Mithin ist das Flüssigkeitsvolumen, das durch konzen- 
trische Kugeln vom Radius li nach außen tritt, 

und der Gaußsche Satz ergibt f ür i2 ^ a 

V e 






Die Strömung erfolgt außerhalb der mit Quellen gleichförmig 
erfüllten Kugel so, als ob sich im Mittelpunkte ein Quellpunkt 
befände, dessen Ergiebigkeit gleich der gesamten Ergiebigkeit 
der Kugel ist. 

Durch Kugeln hingegen, welche innerhalb des Quellengebietes 
liecren, tritt nur dasjenige Flüssigkeitsvolumen, welches den ein- 
. schlossenen Quellen von der Ergiebigkeit 

entspricht; die äußeren Kugelschichten, allein vorhanden, würden 
in dem inneren Hohlraum nach Symmetrie eine wirbelfreie Strö- 
mung nicht erzeugen können. Mithin ist für It^a 

Das Potential qp bestimmt man nun so, daß es im Unend- 
lichen verschwindet. Es ist für B.'>a 



eo 






folglich für jR = a (p = — ^— • q 



52 



Erster Absclinitt. Vektoren und Vektorfelder 



§M 



daher für R <a 

oder schließlich 
(83a) R^a 



a 

-ß 



Q+ \ti\dR^ 



ff 



3 



A^na^ 



.+{ 



3 r 



(83b) R^a (p = {27ca^-^R')Q. 

Das sind die Werte des Potentiales außerhalb und 
innerhalb der gleichförmig mit Quellen erfüllten Vo 11- 
kugel. 

Es ist von Interesse, den Ausdruck (82), den wir oben als 
lebendige Kraft der Strömung gedeutet haben, auf eini 
andere Form zu bringen. Das geschieht, indem wieder in (70] 
il) = (p gesetzt und diese Gleichung auf das ganze Feld ang6 
wandt wird. Das über die unendlich entfernte Grrenzfläche erj 
streckte Flächenintegral ist NuU. Es folgt 

daher mit Rücksicht auf (81): 

(84) T^^fdvQ<p. 

Die lebendige Kraft der Strömung stellt sich hiei 
dar als ein nur über das Quellengebiet zu erstrecken] 
des Integral; diese Art 'der Darstellung erweckt den Anscheii 
als ob der Sitz der Energie ausschließlich das Gebiet der Quellei 
wäre, während doch in Wirklichkeit alle Raumteile des Strq 
mungsfeldes Energie enthalten. 

Die Berechnung der Energie des Strömungsfeldes wird oi 
erleichtert, wenn man die Formel (84) zugrunde legt; in dei 
soeben behandelten Beispiele ist die Integration nur über di 
Innere der Kugel zu erstrecken; da die Dichte q hier konstai 
ist, so erhält man aus (83 b) 

a 

T = 2%Q^JdRR^{2%a?~ ^ R^) ; 



§ 17 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 53 

dieß ergibt für die homogen mit Quellen erfüllte Vollkugel 

(84a) ^=-3T5- =T-«• 

§ 17. FlächenLaft yerteilte Quellen. 

Die Überlegungen des vorigen Paragraphen fußten auf der 
Voraussetzung, daß die betrachtete wirbelfreie Strömung überall 
endlich und stetig verläuft, daß mithin weder das Potential, noch 
der Vektor ti selbst ihre Werte etwa beim Durchschreiten ge- 
wisser Flächen sprunghaft ändern. Wir wollen diese Voraus- 
setzung jetzt fallen lassen, indem wir es als zulässig ansehen, 
daß sowohl (p wie auch die Komponenten des wirbel- 
freien Vektors t = — V(p 

an gewissen Flächen Unstetigkeiten besitzen. Es 
wird genügen, eine einzige ünstetigkeitsfiäche (fjg) 
in Betracht zu ziehen (Fig. 11), die zwei Gebiete 
(1, 2) des Feldes scheidet. Da zu beiden Seiten der 
ünstetigkeitsfiäche tl der Gradient von (— (p) sein soll, ^^^' ^^ 
so werden die tangentiellen Komponenten von tl zu jeder Seite 
von /"jg sich aus .dem Anstiege des Potentiales (p beim Fort- 
schreiten längs der Fläche berechnen, ihre Sprünge aus dem 
Sprunge der Potentialwerte. Es wird daher außer dem Sprunge 
von (p nur noch der Sprung der Kormalkomponente von tl unab- 
hängig vorzuschreiben sein. Wir woUen zwei diesen Sprüngen 
proportionale Größen co, t einführen, die genauer durch folgende 
Gleichungen bestimmt sind 

Dabei sollen die Normalen Wj, n^ so gerichtet sein, daß sie von 
dem betrefienden Gebiete (1) bzw. (2) aus, um dessen Feld es sich 
gerade handelt, nach der Fläche /ij hinweisen (Fig. 11). Diese 
Festsetzung stimmt überein mit der bei der Formulierung des 
^außschen Satzes getrofi'erien, daß nämlich die Normale einer 




54 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § l( 

das Feld begrenzenden Fläche stets nach der Fläche hin gezoge 
werden soll. 

Man überzeugt sich leicht davon, daß durch Angabe der Ve 
teilung von o und r längs der ünstetigkeitsfläche, sowie dei 
räumlichen Verteilung des Quellenfeldes q, die wirbelfreie Strö 
mung eindeutig bestimmt ist. In der Tat, betrachten wir zw 
wirbelfreie Felder ö', ü", für die sowohl die räumliche Verteilung 
der Quellen wie auch die durch (85), (86) vorgeschriebenen 
Unstetigkeiten an der Fläche f^^ die gleichen sind und die im 
übrigen endlich und stetig sind. Die Differenz ü' — ö" wird dann 
ein wirbelfreies Feld darstellen, das überall quellenfrei, endlich 
und stetig ist; wir haben aber im vorigen Paragraphen gezei 
daß ein solches Feld durchweg verschwindet; es ist daher U'— tj 
gleich Null. 

Um nun das Feld bei gegebenen Unstetigkeiten auf /ig wir" 
lieh zu berechnen, gehen wir wieder, wie im vorigen Paragraphe 
von der Formel (71) aus; wir setzen dort 

wo r die von irgendeinem Punkte P des Feldes aus gerechne 
Entfernung ist. Wir legen diesen Punkt so, daß er nicht geradi 
in die Ünstetigkeitsfläche fällt. W^ir legen wieder eine klein 
Kugel um P als Mittelpunkt, um diesen Unstetigkeitspunkt vo 
^ aus dem Integrationsgebiete auszuschließen. Macht man dies 
Kugel kleiner und kleiner, so ergibt das entsprechende Fläche: 
integral in (71) wiederum als Grenzwert — 4;rg}, wo (p das P 
tential im Punkte P ist. Jetzt muß man aber auch die Unsteti 
keitsfläche f^^ aus dem Integrationsgebiete ausschließen, weil j 
Endlichkeit und Stetigkeit sowohl von qp wie von V9? in dei 
Gebiete notwendig zur Gültigkeit von (71) waren. 

Es mag /ig zunächst ein ungeschlossenes Flächenstück seil 
Wir denken uns eine derselben beiderseits dicht anliegende g 
schlossene Fläche /*, welche f^^ von dem Integrationsgebiete aus 
schließt, und berechnen für f das in (71) eingehende Integral 

0i 



J^f[T^^-'fTn] 



§ 17 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 55 

Dasselbe setzt sich aus zwei Teilen zusammen, die von den 
beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche f^^ herrühren; es wird daher 

Wir wollen nun diejenige Normalenrichtung bevorzugen, 
welche von (2) nach (1) geht, und wollen sie durch den Ein- 
heitsvektor tt zur Darstellung bringen, den wir den einzelnen 
Punkten der Fläche f^^ zuordnen (Fig. 11). Dann wird 

d ^ a- 

^«1 V r / ' dn^ ' \ r } 

Dabei bezieht sich der Zuwachs V— nicht auf Verrückung des 

Aufpunktes P, sondern auf ein Fortschreiten durch die Unstetig-^ 
keitsfläche hindurch. Da diese in einem im nächsten Paragraphen 
zu erläuternden Sinne als System von Doppelquellen zu betrachten 
ist, so schreiben wir in der Bezeichnungsweise des § 14 und mit 
Rücksicht auf (78) 

und erhalten durch Einführung der durch (85), (86) definierten 
Großen o, r: 

Hierzu ist jetzt das Glied — 4;C9> hinzuzufügen, welches von 
der um P gelegten Kugel herrührt, und die Summe ist dem über 
den ganzen Raum erstreckten Integral der Formel (71) gleichzu- 
setzen, für das sich, wie im vorigen Paragraphen, 

ergibt Wir erhalten daher 



56 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § l\ 

als das Potential, dessen negativ genommener Gradient 

ö = — V9) 
der gesuchte Vektor ist. 

Wir deuten das Ergebnis, indem wir die drei Glieder einzel 
erörtern. Das erste Glied entspricht gemäß (83) den stetig übe: 
den Raum verteilten Quellen von der Ergiebigkeit q pro Volum 
einbeit. Zu diesem kommt nun das zweite Glied, das als Potentia 
des Systemes über die Fläche /ia verbreiteter Quellen, von de- 
Ergiebigkeit (D pro Flächeneinheit, zu deuten ist. In der Tat e 
kennt man diese Bedeutung der Größe o, wenn man das Flächen- 
stück df^2 ^^ einen sehr kleinen Zylinder einschließt, dessei 
Grundflächen df\2 Parallel und gleich sind, während seine Höh 
gegen die Abmessungen der Grundflächen verschwindend kleii 
ist. Durch die Grundflächen entströmt das Flüssigkeitsvolumei 

— es weisen die Normalenrichtungen n^, n^ der Fig. 11 nach de: 
Fläche /ig hin, daher das negative Vorzeichen. Die Menge unsere 

idealen Flüssigkeit von der Dichte — , die in der Zeiteinheit de 

Flächenstücke df^^ entströmt, beträgt mithin 

es ist also wirklich co die auf die Flächeneinheit berechnete Er 
giebigkeit. 

Neben der Ergiebigkeit der räumlich verteilten Quellen 

p = .- div H 

lernen wir jetzt die Ergiebigkeit der flächenhaft verteilten Quellei 

kennen, als einen dem Sprunge der normalen Geschwindigkeit 
komponente proportionalen Skalar. Der „Divergenz" bei stetigei 
Feldern tritt bei Un Stetigkeitsflächen die „Flächen div er gen 

an die Seite. 



§ 18 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 57 

Der Formel (83) entspricht, beim Auftreten von flächenhaften 
Quellenverteilungen, die folgende 



87 a) (p =J 



dfi^a) 



r 



Es ist übrigens nicht notwendig, daß /'^o «ine ungeschlossene 
Fläche ist; auch für geschlossene Flächen gelten die gleichen Be- 
ziehungen. Man beweist das, indem man die Formel (71) auf die 
beiden Gebiete, in die der Raum durch die Unstetigkeitsfläche 
zerlegt wird, einzeln anwendet und die erhaltenen Gleichungen 
addiert Ebenso ist das Ergebnis auf den Fall zu übertragen, daß 
nicht eine einzige, sondern mehrere Unstetigkeitsflächen das Feld 
durchschneiden. Auch hier läßt sich der Einfluß der Unstetig- 
keitsflächen stets durch Annahme flächenhaft verteilter Quellen 
darstellen, solange r = ist, d. h. solange als das Potential q? bei 
Durchquerung jener Flächen sich stetig verhält. 

§ 18. DoppelscMchten, 

Besitzt hingegen das Potential qp selbst Unstetigkeiten, so 
kommt das dritte Glied in (87) für die Berechnung des Feldes 
iu Betracht, wobei t durch (86) gegeben wird. Die Vergleichung 
dieses dritten Gliedes mit dem Ausdrucke (79), der in § 15 für 
das Potential einer Doppelquelle erhalten war, zeigt, welche 
Quellenverteilung hier anzunehmen ist. 

Es sind Doppelquellen von dem Momente rn pro Flächen- 
t'inheit, di« über die Unstetigkeitsfläche hin verteilt sind. Man 
bezeichnet ein solches Quellensystem kurz als „Doppelschicht*', 
'en Vektor rn als „Moment der Doppelschicht'^ Dan einen 

inheitsvektor vorstellt, so ist nach (86) der Betrag des Mo- 
mentes, multipliziert mit 4:r, gleich dem Sprunge, den das Po- 
tential (p beim Durchschreiten der Unstetigkeitsfläche erfährt. 
Da femer n die Richtung von (2) nach (1) anzeigt und r positiv 

t, wenn beim Durchschreiten in dieser Richtung cp spruugweise 
wächst, negativ, wenn g) sprungweise abnimmt, so ist die Rich- 
tung des Vektors rn stets diejenige Normalenrichtung, die von 
niederen zu höheren Potential werten führt. 



58 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § If 

Entsprechend der Bedeutung des Gradienten alä Zuwachs einer 
skalaren Größe, kann man, wenn ein Skalar sich an einer Fläche 
sprungweise ändert, nach einem Vorschlage von F. Emde die 
Fläche als Sitz eines „Flächengradienten^^ ansehen; dieser 
Vektor wird dem Betrage nach durch den Sprung des Skalars, 
der Richtung nach durch diejenige Normale dar LFnstetigkeits- 
fläche gegeben, die im Sinne des Sprunges vom niederen zum 
höheren Werte gezogeu ist. Man kann also das obige Ergebnis 
so aussprechen: Das Moment der Doppelschicht ist gleich 
dem durch 4:t geteilten Flächengradienten des Poten- 
tiales. 

Denkt man sich zwei Parallelflächen zur Unstetigkeitsfläehe 
/ig gelegt, die eine auf der Seite der größeren, die aadere ad 
der Seite der kleineren Potential werte, und die erste mit einer| 
einfachen Schicht von Quellen, die zweite mit einer einfachei 
Schicht von Senken belegt, derart, daß zwei einander gegenüber- 
liegende Stücke der beiden Flächen im ganzen die Ergiebigkeit 
Null besitzen, und läßt man die beiden Flächen näher und näher| 
aneinanderrücken, so besitzt im Grenzfalle die erzeugte wirbel- 
freie Strömung das Potential 

(87b) g, ^ +fdf,,[rn, V, i) = - Jrf/1, (t«, V„|) - 

Das erkennt man sofort durch Betrachtungen, die durchaus 
denen entsprechen, die im § 15 zum Ausdrucke (79) für das Po 
tential einer Doppelquellö führten. Der absolute Betrag von v 
ißt dem Produkte aus Abstand der beiden Schichten und Flächen 
dichte der Quellenschicht gleichzusetzen. Wenn man nicht zur 
Grenze eines verschwindenden Abstandes übergeht, sondern zwei 
derartige Schichten in einem kleinen, jedoch endlichen Abstände 
annimmt, so gilt der obige Ausdruck für das Potential angenähert 
in solchen Auf punkten, deren Abstand von den Punkten der bei- 
den Schichten groß ist gegen den Abstand der beiden Schichten; 
er gilt in diesem Falle auch dann noch, wenn die Verteilung auf 
jeder der Schichten eine nicht streng, sondern nur angenähert 
flächenhafte ist. Solche Verteilungen der Quellen kommen in 



i> 18 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 59 

Wirklichkeit vor. Man idealisiert sie, indem man die positiven 
und negativen Quellen auf zwei Flächen zusammengedrängt denkt, 
die dann ihrerseits wieder ganz dicht aneinanderrücken. Der Po- 
tentialausdruck, der diesem idealisierten Quellensysteme zukommt, 
gilt für beliebige Entfernungen des Aufpunktes von der Doppel- 
schicht. Man muß aber im Auge behalten, daß in unmittelbarer 
Nähe des Quellengebietes und innerhalb desselben die vorgenom- 
mene Idealisierung nicht der Wirklichkeit entspricht, und muß 
sich davor hüten, hier die erhaltene Formel anzuwenden. 

Man betrachte ein Flächenstück df^^ der Doppelschicht und 
ziehe von seinem Mittelpunkte aus Fahrstrahle a r nach den Auf- 
punkten. Wir wollen sagen, ein Aufpunkt liege auf der positiven 
oder negativen Seite von df^^ , je nachdem der Fahrstrahl t mit 
der Richtung des Momentes tndf^^ des betreffenden Flächen- 
stückes einen spitzen oder einen stumpfen Winkel einschließt. 
Nun besitzt / ix rcos(ttt) 



Kv„i-) = 



im -ersten Falle einen positiven, im zweiten einen negativen Wert, 
niitliinist df,,x co.jtn) ^^oUt 

wo d^ den körperlichen Winkel angibt, unter dem das Flächen- 
stück <?/*i2 von dem betreffenden Aufpunkte aus erscheint und 
wo das obere oder das untere Vorzeichen gilt, je nachdem der 
Aufpunkt auf der positiven oder auf der negati\ren Seite der 
Doppelschicht liegt; daher wird das aus den Beiträgen der Stücke 
der Doppelschicht sich zusammensetzende Potential 



^8) (p =J : 



dSl. 



Man hat demnach den Betrag des Momentes |rj mit dem 
körperlichen Winkel dSl zu multiplizieren, unter dem das Flächen- 
stück von dem betreffenden Aufpunkte aus gesehen wird, und 
über die ganze Doppelschicht zu integrieren, wobei die Beiträge 
derjenigen Flächenstücke positiv in Rechnung zu setzen sind, auf 
deren positiver Seite der Aufpunkt liegt, diejenigen negativ, auf 
deren negativer Seite der Aufpunkt liegt. 



60 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 18- 

Im allgemeinen wird jt| längs der Fläche veränderlich seinj 
ist es konstant, so nennt man die Doppelschicht gleich- 
formier; hier wird 

(88a) (f^\r\l±dSl = ± jr|<ß. 

Dabei gibt ^ den körperlichen Winkel an, unter dem die Fläch 
von einem im Aufpunkte befindlichen Beobachter gesehen wird.- 
Das folgt ohne weiteres, wenn der Aufpunkt für alle Teile der 
Schicht auf der positiven, oder für alle auf der negativen Seite 
liegt, und hiernach ist das Vorzeichen zu bestimmen. Ist aber 
die gleichförmige Doppelschicht so beschaffen, daß der Aufpunkl 
für einzelne Teile der Schicht auf der positiven, für andere au: 
der negativen Seite sich befindet, so hat man die Potentiah 
dieser Flächenstücke einzeln aus ihren körperlichen Winkeln zi 
berechnen und die Winkel, mit dem richtigen Vorzeichen ver 
sehen, zu addieren. 

Auch für eine geschlossene Doppelschicht gelten die erhal 
tenen Ergebnisse. Ist die Doppelschicht gleichförmig und weisl 
das Moment in Richtung der äußeren Normalen, so ist außen 

9,-0; 

denn jeder von einem äußeren Punkte aus gelegte Elementar 
kegel schneidet aus der Doppelschicht eine gerade Anzahl voi 
Flächenstücken heraus, deren Potentiale dem Betrage nach gleicl 
sind und abwechselnd mit positivem und negativem Vorzeicher 
zu nehmen sind. Innen aber ist 

g? -■= — 4%T. 

Denn die von inneren Punkten ausgehenden Eleraentarkege 
schneiden aus der Doppelschicht eine ungerade Anzahl von Flä- 
chenstücken heraus, von denen das erste mit negativem Vorzeicher 
zu nehmen ist, während die folgenden sich aufheben. Das einei 
solchen geschlossenen gleichförmigen Doppelschicht entsprechend 
Feld ist außen un,d innen NuU, dabei springt aber das Potentia 
beim Durchschreiten der Doppelschicht um 4:7itj entsprechenc 
der Voraussetzung, von der wir ausgingen. 

Daß auch für ungeschlossene gleichförmige Doppelschichte: 
der Sprung des Potentiales 4rr ist, erkennt man, indem man sie 



.9 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 61 

zu einer gesclilossenen ergänzt denkt; das Potential der zu diesem 
Zwecke hinzuzufügenden Doppelscliicht ist dasselbe für zwei 
Punkte, die auf den beiden Seiten der ursprünglichen Doppel- 
schicht einander gegenüberliegen, abgesehen von den dem Rande 
benachbarten Punkten. Der Sprung 4:%t der geschlossenen Doppel- 
schicht ist also gleichzeitig der Sprung der ursprünglich ge- 
gebenen ungeschlossenen, ausgenommen in unmittelbarer Nähe 
der Randkurve. 

Auf das Potential und das Feld ungeschlossener Doppel- 
hichten kommen wir weiter unten zurück. 

§ 19. Der Wirbel oder Curl eines Vektors. 

Wir haben im § 11 ein Vektorfeld wirbelfr^i genannt, wenn 
für einen jeden im Feld verlaufenen geschlossenen Weg das 
Linienintegral 

(89) (ptid^=(f>ti,ds 

verschwindet. Als hinreichende und notwendige Bedingung hier- 
für ergab sich, daß der Vektor ti als negativer Gradient aus dem 
Felde eines Skalars cp abzuleiten sein mußte, d. h. daß die Kom- 
ponenten sich in der Form darstellen ließen 

,- dqp ^ _ _^_9 h — _ ^^ 

"•^~ dx' ^i" dy' ' dz ' 

Diese Darstellung der Vektorkomponenten als Ableitungen eines 

Skalars nach den Koordinaten ist dann und nur dann möglich, 

wenn die drei Ausdrücke 

dti^ dtiy dt)^ da, dby dt^x 

dy dz ' dz dx ^ dx dy 

in aUen Punkten des betreffenden Gebietes verschwinden. Das Ver- 
schwinden jener drei Größen kennzeichnet mithin das wirbel- 
freie Feld. 

Wir werden anderseits ein Feld als Wirbelfeld bezeichnen, 
wenn bei der abbildenden Flüssigkeitsströmung in sich zurück- 
kehrende Bewegungen vorkommen, derart, daß das Linieninte- 
gral (89) nicht für alle im Felde zu ziehenden geschlossenen 
Linien verschwindet. Es liegt nahe, dieses Linienintegral als Maß 



ß2 



Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



§1 



der Wirbelstärke zugrunde zulegen; das soll in der Tat geschehe! 
Um aber für die Wirbelstärke an einem bestimmten Punkte d( 
Feldes ein Maß zu erhalten, welches der Divergenz des QueUen-l 
feldes entspricht, wollen wir das Linienintegral für eine sehr kleine 
den betreffenden Punkt des Feldes umschlingende Kurve aus 
werten. 

Wir wählen den betreffenden Punkt des als stetig vörausg( 
setzten Feldes zum Anfangspunkte des Koordinatensystemes 
und denken uns in der (y^yEhene ein Rechteck von den Seiten - 
längen 6, c, in dessen Mittelpunkt der Punkt liegt. Wir wählei 
es so klein, daß wir auf seinem umfange mit den Gleichungen (61j 
rechnen dürfen. 

Wir durchlaufen das Rechteck in demjenigen Sinne, der siel 
der ic-Achse unseres Rechtssystemes zuordnet, wie der Umlaufi^ 
sinn der Fortschreitungsrichtung bei einer rechtsgängigen Schraubj 
zuzuordnen ist, und berechnen das Linienintegral (89) für diesei 
geschlossenen Weg. Die beiden zur y- Achse parallelen Seite^ 
liefern die Beiträge 



4 



fäy 



K,+ 



^■y 



dz 



} bzw. 1 dy 



K + 



dtiy 

dy 



. dbv c 



'dz 



Ihre Summe ist —hc 
Die beiden anderen zur ;&- Achse parallelen Seiten ergeben 



Ja. 



öo,+ 



dt, b dtt^ 



dy 2 * dz 



+ 



bzw. 



z 

ß' 



'03 



dy 






öz 



dj^ 

dy 



zusammen also h • c 

Der Wert des Linienintegrales wird mithin durch 

^ ^ \dy dz) 
mit um so größerer Annäherung gegeben, je kleiner das 



§ 19 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 63 

treffende Rechteck ist. Teilen wir jetzt durch den Flächeninhalt 
b • c und lassen denselben kleiner und kleiner werden, so bestimmt 
der Grenzwert 

(90) «.= U-S 

die im Punkte herrschende „Wirhelstärke um die a;-Achse''; 
entsprechende, durch zyklische Vertauschung der xy0 abzulei- 
tende Größen 

(90a) %--s,---3x> "^^Tx—J^ 

weben die im Punkte bestehenden Wirbelstärken um die w- 

O 

Achse bzw. 5? -Achse an. 

Diese drei Wirbelstärken sind die Komponenten eines Vek- 
tors ID, den wir den „Wirbel" des Strömungsfeldes nennen. 
Wir schreiben mit Maxwell und Heaviside 

(91) tD = curl tl = (^^^-^^) t -f [j,-^} 1 + [Tx-Jy) «• 

In der mathematischen Enzyklopädie wird statt des Zeichens 
,,curl" das Symbol verwandt 

to = rot ti (lies Rotation von ö) . 
Es ist bemerkenswert, daß auch der Curl eines Vektors mit 
Hilfe des Hamiltonschen Operators 

^ ^ dx^^ dij^^ dz 
abzuleiten ist. Mit einem Vektor nach den Regeln der skalaren 
Multiplikation verbunden, ergab dieser Operator die Divergenz 
(§ 12). Vereinigen wir ihn aber mit ti nach den Gesetzen des 
Vektorproduktes, so erhalten wir den Curl 

V« = div « 
[V«] = curl«. 
Wir merken ferner die Identität an 
(91a) curlV9? = 0, 

welche besagt, daß in einem Gradientenfelde der Wirbel stets 
NuU ist. 

Der Wirbel des polaren Strömungsvektors b ist ein axialer 
V^ektor; das ist schon daran zu erkennen, daß wir zur Festlegung 



64 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 5 20 

3 



seiner Komponenten einen Umlaufssinn mit Hilfe eines Reclits 
systemes festlegen mußten. Das analytische Merkmal dos axiale: 
Vektors, daß nämlich seine Komponenten bei Umkehrung der 
drei Achsenrichtungen die Vorzeichen behalten, ist in der Tat 
erfüllt; denn der Geschwindigkeitsvektor ti ist polar; seine Kom 
ponenten, und ebenso die Operationen 



dx^ dy ^ dz 






wechseln bei Umkehrung der drei Ächsenrichtungen das Vor 
zeichen. Allgemein gilt die Regel: Der Curl eines polarei 
Vektors ist ein axialer, der Curl eines axialen ein po 
larer Vektor. 

§ 20. Der Satz von Stokes. 

Dem Gaußschen Satze (§ 13), der zu der Divergenz in enge 
Beziehung steht, tritt jetzt ein Satz an die Seite, der dem Cui 
eines Vektors in ähnlicher Weise zugeordnet ist, und der vo: 
Stokes zuerst allgemein formuliert worden ist. Dieser Satz vei 
knüpft das Linienintegral eines Vektors d, längs einer geschloa 
senen Kurve genommen, mit dem Flächenintegrale des Wirbels tt 
das über eine von der Kurve umrandete Fläche zu erstrecken is 

Bei der Auswertung des Linienintegrals von t) muß die Kurv 
s in einem bestimmten Sinne durchlaufen werden. Wir betrach 
ten eine beliebige, von der Kurve umrandete Fläche f, die h 
ihrer ganzen Ausdehnung innerhalb des stetigen Strömungsfelde 
liegt. Der Umlaufssinn der Randkurve legt auch den Umlaufs 
sinn fest, den wir den einzelnen Stücken c?f zuordnen können 
(Fig. 12); diese Flächenstücke sind also Parallelogramme von de: 
im § 5 betrachteten Art; ihre Projektionen auf die Koordinate: 
ebenen (?f^, c?f^, d\^ besitzen einen bestimmten Umlaufssinn, der 
durch ihr Vorzeichen bestimmt ist. Das Vorzeichen ist positi 
wenn der Umlaufssinn sich der ic- Achse bzw. der y- oder ;2f-Ach8i 
zuordnet, wie der Umlaufssinn der Fortschreitungsrichtuug b 
einer rechtsgängigen Schraube; der entgegengesetzte Umlaufs^ 
ßinn hingegen findet statt, wenn das Vorzeichen negativ ist, 



31 

er 

I 



I 



.- 20 



Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 



65 



Wir nehmen nun an, daß die betrachtete Fläche von der Be- 
schaffenheit ist, daß eine jede Parallelebene zu einer der drei 
Koordinatenebenen ihren Rand nur in zwei Punkten schneidet. 
Sollte das nicht der Fall sein, so läßt sich doch die Fläche durch 
geeignete Schnittkurven stets in eine endliche Zahl von Flächen 
zerlegen, von denen jede einzelne die genannte Eigenschaft hat. 
Die über die Randkurven der eiozelnen Teilflächen erstreckten 
Linienintegrale setzen sich dann zu dem über die Randkurve der 
ganzen Fläche erstreckten zusammen, da die Beiträge der zwei- 
mal in entgegengesetztem Sinne zu durchlaufenden Randkurven 
der einzelnen Teilflächen sich herausheben. 

Wir legen jetzt zwei benachbarte Parallelebenen zur (xy)- 
Ebene im Abstände dx'^ dieselben schneiden (vgl. Fig. 12) aus 
der Fläche f einen Streifen heraus, aus der Randkurve zwei 
Stücke d9>', d'i". Dem Streifen ist ein bestimmter ümlaufssinn 
zuzuordnen, entsprechend 
dem Sinne, in dem die 
Linienstücke <?§', d^" zu 
durchlaufen sind; die Be- 
grenzungslinie des Strei- 
fens besteht aus jenen 
beiden Stücken und aus 
den Schnittkurven jener 
beiden Parallelebenen zur i^^ 
(?/^)- Ebene. Von diesen 

beiden Schnittkurven 
wollen wir diejenige, wel- 
che beim Umlauf um den 
Streifen auf d^' folgt, und auf welche sodann d%" folgt, mit 1 
und Anfangs- bzw. Endpunkt von X mit P', P" bezeichnen. Wir 
teilen weiter den Streifen durch Ebenen senkrecht zur ^-Achse 
in Flächenstücke d\. Ihre Projektionen auf die (^ii;)-Ebene sind 
Uochtecke, von dem durch 

d\y=^j^dXdx 

ungegebenen Flächeninhalte. Auch der Umlaufssinn dieser Recht- 
Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 5 




66 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 

ecke wird durch das Vorzeichen von d^^ richtig angegeben, wei 
das Vorzeichen von dx so gewählt wird, daß 

dx = dx' = — dx' 

ist, wo dx' und dx" die Projektionen der Linienstücke d^' um 
rfg" auf die a;- Achse sind; denn in diesem Falle folgt z. B., wenn 

jj- > ist, auf ein Fortschreiten in Richtung der positiven &- 

Achse ein Fortschreiten in Richtung der positiven oder negativen 
a;-Achse (längs der Projektion von ^ö"), je nachdem d^"' einen 
spitzen oder stumpfen Winkel mit der a;-Achse einschließt; im 
ersteren Falle wird daher der ümlaufssinn von d^^ positiver, im 
letzteren negativer Drehung um die ^- Achse entsprechen. M 

dem Vorzeichen von t-t kehrt sich auch der Umlaufssinn vo 

d\^ um. Da nun ^fj/= äT dldx", 

so wird das über den Streifen erstreckte Integral 



p" 

dtix dz 

dz oX 



p' 

Teilen wir anderseits unseren Streifen durch Ebenen seu 
recht zur «/-Achse in Flächenstücke, deren Projektionen auf d 
(a:?/)-Ebene ^f^ sind, so erkennt man, daß 

dl=^-^^dldx" 

nicht nur den Inhalt, sondern auch den Umlaufssinn Aiii 
Flächenstücke richtig wiedergibt; ist z. B. 

||>0, dx">(i, 

SO folgt auf wachsendes y längs /L wachsendes x längs dh'\ ws 
negativer Drehung um die^-Achse entspricht. Wir erhalten d« 
her durch Integration über den Streifen 



§ 20 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 67 

Subtrahiert man die beiden Integrale und berücksichtigt, daß 
1 längs der Kurve X konstant ist — dieselbe war ja durch eine 
zur a;-Achse senkrechte Ebene aus der Fläche herausgeschnitten 
worden — , so folort 



dtix 



and da ferner dx" = — dx', so ist 

Setzt man nun alle die Streifen, in welche die Fläche f durch 
Ebenen senkrecht zur a;- Achse geteilt wird, zusammen, so kommt 
jedes Stück dh der Randkurve nur einmal vor. Man erhält _ 

In entsprechender Weise kann man die Fläche durch Ebenen 
senkrecht zur t/-Achse oder zur ;£?- Achse in Streifen teilen und 
gelangt dann durch entsprechende Überlegungen zu folgenden, 
durch zyklische Vertauschung der xys aus der soeben bewiesenen 
Formel abzuleitenden Formeln 

Die drei Gleichungen addierend und die Größen to^, tti^, tti^ des 
vorigen Paragraphen einführend, erhält man 

JdlK-i- d^^to^-\-dlm,=Jdxts^i- dyti^+ df^ti,, 

oder, in vektorieller Fassung, nach Vertauschung der beiden 
Seiten der Gleichung, 



!2) j>tid&=h 



e^fcurlö. 
Das ist die als Stok es scher Satz bezeichnete Int egral trän sfor- 

5* 



68 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 20 

mation, die für jedes stetige Vektorfeld gültig ist. In dem Linien- 
integrale steht das skalare Produkt aus kl und öf 8, in dem Fläclien- 
integrale steht das skalare Produkt aus dem Flächenstücke d\, 
das mit einem ümlaufssinn versehen ist, und dem Wirbel to, der 
gleichfalls einen Umlaufssinn besitzt. Ist der Vektor ti polar, 
so sind beide Produkte Skalare im eigentlichen Sinne, der erste 
als Produkt zweier polarer, der zweite als Produkt zweier 
axialer Vektoren. Die obige Formulierung des Stokesschen 
Satzes ist mithin vom Koordinatensysteme unabhängig, auch; 
dann, wenn -man von einem Rechtssysteme zu einem Links-] 
Systeme übergeht. ' 

Beschränkt man sich indessen auf ein Rechtssystem, so ent 
fällt die Unterscheidung polarer und axialer Vektoren-, es wi 
dann der Umlaufssinn des Flächenstückes durch Zuordnung ein 
bestimmten Normalenrichtung festgelegt, und ebenso wird de 
Wirbel mit Hilfe einer Rechtsschraube ein Verrückungsvekt 
zugeordnet. So gelangt man zu der gewöhnlichen Fassu 
des Stokesschen Satzes 



ij 



(92a) £dsti, = fi 



dfK' 

Die Stokessche Transformation kann dazu dienen, die I 
finition des Curl eines Vektors allgemeiner und strenger 
fassen, als es im vorigen Paragraphen geschah. Um die Ko 
ponente von curl ö nach irgendeiner Richtung n zu bestimmi 
ziehe man eine Kurve 5 in einer zu n senkrechten Ebene u 
ordne mit Hilfe einer Rechtsschraube der Fortschreitungsric 
tung n einen Uralaufssinn längs der* Kurve zu. Man berech 
alsdann das Linienintegral von b und teile durch den Fläch 
inhalt Af der umschlossenen Fläche. Endlich gehe man 
Grenze über, indem man die Kurve mehr und mehr auf ein 
Punkt P zusammenzieht. Der Grenzwert, dem derQuotie 
aus dem Linienintegral von tJ und dem Flächeninhs 
Af der umschlossenen Fläche bei fortgesetzter Verkh 
nerung des letzteren zustrebt, bestimmt die Komp 
nente von curl ti nach der Normalenrichtung. Der Stok 
sehe Satz ergibt 



■ 



§ 20 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 69 

(fttgds 
(93) curl„tJ=lim ^^^y- = to^ cos (nx) + to cos (ny) -f tei^cos (nz), 

A/=0 ^/ 

wobei »x=-äj.— ^-^sw. 

die im vorigen Paragraphen angegebenen Werte besitzen. 

Diese Definition ist allgemeiner als die im vorigen Para- 
graphen zugrunde gelegte, erstens weil sie nicht mit Rechtecken, 
sondern mit beliebig gestalteten ebenen Flächen stücken operiert, 
und zweitens, weil diese nicht in die Koordinatenebenen zu fallen 
brauchen. Läßt man sie mit diesen zusammenfallen, so erhält 
man als Komponenten von curl tl die Größen tti^, to , to^ des 
vorigen Paragraphen wieder. Läßt man die Stellung der Ebene 
beliebig, so besagt (93), daß die Komponente von curl ti nach 
irgendeiner Richtung aus den Komponenten nach den Koordi- 
natenachsen wirklich nach den für Vektorkomponenten gültigen 
Regeln zu berechnen ist. Den Betrag des Vektors W wollen wir 
weiterhin kurz die „Wirbelstärke^' nennen. 

Man kann nunmehr den Stokesschen Satz anschaulich deuten, 
indem man die Fläche f in kleine, als eben anzusehende Stücke 
zerlegt und df\o^ nach der Definition (93) durch das Linien- 
integral von ü längs der Randkurve ersetzt. Diejenigen Kurven- 
Stücke, welche zwei Flächenstücke begrenzen, sind zweimal im 
entgegengesetzten Sinne zu durchlaufen; es heben sich daher die 
entsprechenden Linienintegrale auf, und es bleibt nur das über 
die Randkurve der ganzen Fläche erstreckte Integral übrig. 

Aus dem Stokesschen Satze folgt: Die Normalkompo- 

lente von curl ti, integriert über eine geschlossene 

Fläche, ist Null. In der Tat, trennen wir die geschlossene 

Fläche durch eine Kurve s in zwei un geschlossene Teile und legen 

^^wa n in Richtung der äußeren Normalen der ganzen Fläche, so 

etzt der Stokessche Satz die über die ungeschlossenen Flächen 

-treckten Integrale durch zwei Linienintegrale, die längs der 

liand kurve in entgegengesetztem Sinne zu erstrecken sind. Es 

verschwindet mithin das über die geschlossene Fläche erstreckte 

ntegral von curl„ ö; nach der Definition der Divergenz gilt daher 

04) divcurlti = 0, 



70 Erster AbscTinitt, Vektoren nnd Vektorfelder § 

eine Beziehung, die durch Ausrechnen sofort zu bestätigen is 
Aus ihr folgt umgekehrt mit Hilfe des Gaußschen Satzes 

(94 a) Mfcurl^ö = 

für eine geschlossene Fläche. 

Da nach (94) der Wirbel W ein quellenfreier Vektor ist, &ä 
kann man ein unendliches Wirbelfeld vollständig in dünne Röh- 
ren teilen, derart, daß der Vektor tu überall tangentiell zu der 
Röhren wand weist, und daß für alle Querschnitte einer be- 
stimmten RöhVe das Produkt aus Querschnitt q und Wirbelstärke 
Imi konstant ist. Diese Röhren werden vielfach als „Wirbel- 
fäden", das Produkt q\m\ als „Moment des Wirbelfadeni 
bezeichnet. Die Wirbelfäden können im Innern der Flüssigkc 
weder beginnen noch endigen. 

Die Formel (94) legt die Frage nahe, welche Bedeutung d( 
Vektor curl curl H zukommt. Die Ausrechnung ergibt als 
Komponente 

dy dz dy\dx dy) dz \dz dx) 

dxKox^ dy^ dz) "' dx^^^^ ^ ^' 

Schreiben wir kurz für den Vektor, dessen Komponenten V^l 
V^Öy, V^ö. sind, V^ü, so können wir die Gleichung für die 
Komponente und die entsprechenden für die y- und ;8?-Kom] 
nenten zusammenfassen zu der Vektorgleichung 
(96) curl curl ö = V div ö — V-ü . 

§21. Berechnung des qiiellenfreien Vektorfeldes aus dej 

Wirbelfelde. 

Wir wollen in diesem Abschnitte von einem stetigen, quellej 
freien Vektorfelde reden; wir stellen dasselbe dem in § 16 
handelten wirbelfreien Felde gegenüber. Dort war 

divö==4;r(), curlö==0. 

Hier wollen wir, um die Analogie vollständig zu machen, d( 



§ 21 Zweites Kapitel, Die Vektorfelder 71 

Wirbel to des vorigen Para;Traplien gleich Aict setzen, so daß 
mau hat 

(96) cur! b = 4:i;c , div ü = . 

Es mag nun die Aufgabe gestellt sein, aus dem Felde des 
Vektors r, der die Wirbelverteilung bestimmt, den für die quellen- 
freie Strömung maßgebenden Vektor H zu berechnen, dessen Feld 
als stetig betrachtet wird: wir setzen voraus, daß die Wirbel 
durchweg in einem endlichen Bereiche liegen, so daß der Vektor c 
außerhalb dieses Bereiches verschwindet. Es kann das Feld eines 
Vektors c nur dann als Wirbelfeld betrachtet werden, wenn durch- 
weg div c = ist; sonst wäre es nach (94) unmöglich, den Vek- 
tor tl der ersten Gleichung (96) gemäß zu bestimmen. Schreibt 
man nun das Feld c diesen Bedingungen entsprechend vor, so ent- 
steht die Frage, ob durch (96) das Strötnungsfeld tl eindeutig 
bestimmt ist. Das ist es nun in der Tat. Würden etwa zwei 
Felder ö^, Ö^ den Bedinguagen (96) Genüge leisten, so wäre das 
Feld öl— Ög zugleich queUenfrei und wirbelfrei; wir haben aber 
bereits in § 16 gezeigt, daß ein solches Feld durchweg Null ist, 
also tii, 02 nicht verschieden sein können. Wie dort das wirbel- 
freie Feld durch die Quellen eindeutig bestimmt war, so ist jetzt 
das quellenfreie Feld eindeutig durch die Wirbel bestimmt. 

Die Bedingung der wirbelfreien Strömung curl d = wurde 
erfüllt, indem tl als negativer Gradient eines skalaren Potentiales 
dargestellt wurde, das sich aus dem Quellenfelde berechnen ließ. 
In ähnlicher Weise genügen wir jetzt der Bedingung der quellen- 
freien Strömung div tl = 0, indem wir setzen 

(97) ti==curlSl. 

Aus (94) folgt, daß die Bedingung div tl = dann erfüllt ist. 
Den neuen Hilfsvektor % wollen wir das „Vektorpotential" 
des quellenfreien Feldes nennen. 

Das Vektorpotential kann natürlich bis zu einem gewissen 
Grade willkürlich bestimmt werden, ebenso wie das skalare Po- 
tential. Im skalaren Potentiale war eine additive Konstante will- 
kürlich, die bei Bildung des Gradienten fortfiel. Ähnlich wird zu 
Ä ein wirbelfreier Vektor hinzutreten können, der bei der Be- 
rechnung des Curl herausfällt. Wir wollen diese Willkür heben. 



72 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 21 

indem wir das Vektorpotential der einschränkenden Bedingung 

(98) div 51 = 

unterwerfen. Die Beziehungen (97, 98), die 51 mit tj verknüpfen, 
entsprechen durchaus den Gleichungen (96), die d aus 4:jrc be- 
stimm en. Der oben gegebene Eindeutigkeitsbeweis zeigt, daß 51, 
falls es im Unendlichen verschwindet, durch ti eindeutig bestimmt 
ist, ebenso wie ti durch 4:tc. Es muß daher auch 51 durch c ein- 
deutig bestimmt sein. 

Um nun das Vektorpotential 51 aus dem Wirbelfelde c zu be- 
rechnen, setzen wir (97) in (96) ein und erhalten 

curl curl 51 == 4;rc. 
Wenden wir aber die Rechnungsregel (95) auf 5t an und beachte 
daß nach (98) div 51 = ist, so folgt: 

(99) 47tt = -V'%. 
Diese Gleichung ergibt drei Gleichungen für die Komponente 

welche durchaus der Gleichung 

Atcq = — V^9 
entsprechen, die das skalare Potential 9 mit der Quellen Verteilung 
des wirbelfreien Feldes verknüpft. Diese Analogie führt sofor 
zu den Ausdrücken für die Komponenten des Vektorpotentiales 
die dem Ausdruck (83) des skalaren Potentiales entsprechen 

%=Jt'" ^y-JT'v ^'=JT'- 
Die drei Gleichungen für die Komponenten ersetzen wir durc 
die Vektorgleichung 

(100) 51 =jr^-- 

Es steht noch der Nachweis aus, daß der so bestimmte Vektor i 
wirklich der Bedingung (98) Genüge leistet. Um ihn zu führei 
berechnen wir • 

d~ d— d~ 
div 51 ==Jdv jc.-^ + c,-^;- 4- V ,f } =Jdv(tv4^ . 

Es ist natürlich der Aufpunktgradient, der hier zunächst eingeh 



§ 21 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 73 

Mit Rücksicht auf die Gleichung (78) des § 15 können wir ihn 
indessen durch den negativen Quell punktgradienten ersetzen. Über 
das Wirbelfeld soll also das Integral 



fäv{c^,D 



divSl: 

erstreckt werden. 

Der Integrand läßt sich mit Hilfe der Rechnungsregel (65) 
umformen-, dieselbe ergibt nämlich 



cV,- =-div(-) + ^divc: 



da femer div c = eine wesentliche Eigenschaft des Wirbel- 
feldes ist, so folgt: 

div5l = - /(^^div(^), 

wo jetzt das Raumin,tegral der Divergenz über das Wirbelfeld 
mit Hilfe des Gaußschen Satzes in ein Oberflächenintegral um- 
zuformen ist, das sich auf die Begrenzungsfläche des Wirbel- 
feldes bezieht. 

Wir legen die Flache f so, daß sie das ganze Wirbelsystem 
einschließt; dann ist auf ihr c^ = 0, und daher 

(101) div « = - / ^^^ == 0. 

Von Null verschieden würde nämlich c„ nur dann sein können, 
wenn die Fläche f Wirbelfäden durchschneiden würde; alsdann 
würde aber f nicht das ganze Wirbelsystem einschließen; denn 
wie wir im vorigen Paragraphen sahen, können die Wirbelfäden 
im Innern der Flüssigkeitsströmung nicht endigen. Falls die 
Fläche f das ganze Wirbelsystem einschließt, ist auf ihr die senk- 
rechte Wirbelkomponente durchweg gleich Null. 

Es folgt also in der Tat: Wird das Vektorpotential (100) 
aus dem gesamten Wirbelsystem berechnet, so ver- 
schwindet div 31 im ganzen Felde. 

Für das Folgende ist eine allgemeine Rechnungsregel wichtig, 
die sich auf die Divergenz des Vektorproduktes bezieht. 
Es ist 



74 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 21 

^'\dy dz) "^yKdz dx) ^Adx dy) 

oder in vektorieller Schreibweise 

(102) div [ö a] = (E curl S - © curl a . 

Diese für beliebige Vektoren ö, ^ gültige Beziehung läßt, 
sich durch Anwendung des Gaußschen Satzes sofort in eine Raum-j 
und Flächen integrale verknüpfende Gleichung umwandeln: 

(102a) fdf[f8(i]^ = fdv(i curl » - fdvS curl ß. 

Ein bemerkenswerter Sonderfall dieser Formel ergibt sich] 
wenn einer der beiden Vektoren, etwa d, im ganzen Felde nacl 
Richtung und Betrag konstant gesetzt wird; dann ist curl 
gleich Null. Setzen wir nun, gemäß Regel (22), indem wir unter 
tt einen in Richtung der äußeren Normalen von f weisenden Ein- 
heitsvektor verstehen: 

[8q„ = n[86] = (^[ttÖ], 

so folgt a M/*[n©] = d jdv curl ö, 

und da dies für beliebige Richtung des konstanten Vektors ^, 
gelten soll: 

(102b) fdf[nf&] ^jdv curl ö, 

eine Regel, der eine gewisse Analogie zum Gaußschen Satze zu- 
kommt. 

Eine zweite Anwendung von (102a) betrifft die Energie des] 
Strömungsfeldes 

Wir erhalten hierfür aus (102 n) 



§ 22 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 75 

Da im Unendliclien % mindestens von erster Ordnung, tl da- 
her mindestens von zweiter Ordnung verschwindet, so wird das 
Flächenintegral Null, wenn man die Fläche f ins Unendliche 
rücken läßt, und es folgt aus (96) 

(103) T=^\Jdv{t%). 

Die lebendige Kraft der Strömung drückt sich für 
das quellenfreie Feld durch das Integral über das halbe 
innere Produkt aus c und 91 aus, ganz ähnlich, wie für das 
wirbelfreie Feld sie sich (Gl. 84) durch das Integral über das 
halbe Produkt aus p und tp ausdrückte. Dort erschien sie als ein 
über das Quellengebiet, hier erscheint sie als ein über das Wirbel- 
gebiet erstrecktes Integral. 

§ 22. Flächenliaffc verteilte Wirbel. 

Ein Feld, welches von einer ünstetigkeitsfläche durchschnitten 
wird, kann nur dann als quellenfrei gelten, wenn nicht nur in 
den stetigen Teilen des Feldes die Divergenz div ü, sondern auch 
auf der ünstetigkeitsfläche /^g (vgl. Fig. 11 auf S. 53) die Flächen- 
divergenz von tl verschwindet, d. h. wenn die Normalkomponente 
von d stetig die Fläche f^^ durchsetzt. 

Die einfachste ünstetigkeit des durchweg quellenfreien Feldes 
ist ein Sprung der t;ing.^ntiellen Komponenten von tJ. Liegt ein 
solcher vor, so sagen wir, die Fläche sei der Sitz eines „Flächen- 
wirbels". Um ein genaues Maß für diesen zu erhalten, gehen 
wir auf unsere Definition des Wirbels zurück, als Grenzwert des 
Quotienten aus Linienintegral von H und Flächeninhalt der um- 
schlungenen Fläche. Freilich müssen wir hier, wo es sich um 
flächenhaft verteilte Wirbel handelt, das Maß der Wirbelstärke 
nicht durch den Quotienten aus einem Linienintegral und einer 
Fläche, sondern aus einem Linienintegral und einer Länge nehmen, 
ähnlich wie die Divergenz als Ergiebigkeit pro Volumeinheit, 
die Flächendivergenz hingegen als Ergiebigkeit pro Flächenein- 
heit definiert war. Wir lassen nun die (a:?/)-Ebene mit der Tan- 
gentialebene in dem betreflTenden Punkte der Fläche zusammen- 



76 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 22 

fallen, die ^-Achse mit derjenigen Normalenrichtung, die von (2) 
nach (1) weist/ und die im § 17 durch den Einheitsvektor n be- 
stimmt worden ist. 

Wir legen ferner ein kleines Rechteck in der (?/<2;)-Ebene, das 
von der Unstetigkeitsfläche halbiert wird, und umlaufen es, in- 
dem wir zunächst auf der Seite (2) parallel der y- Achse ^ dann 
von (2) nach (1) parallel der ^- Achse, sodann auf der Seite (1) 
parallel der negativen y-Achse und von (1) nach (2) parallel der 
negativen ^-Achse gehen. Läßt man die Länge der zur «/-Achse 
parallelen Seiten ^y konstant, verkleinert aber die beiden ande- 
ren mehr und mehr, so wird der Wert des längs des beschriebenen 
Weges erstreckten Linienintegrales 



f, 



,ds 

gleich (0^2 - öyi) ^y- 

Dividiert man durch ^y und geht zur Grenze über, so erhält | 
man die a;-Komponente des Flächenwirbels 



Öy2 - ^1- 



In entsprechen f er Weise folgt die «/-Komponente 



Ki — Ki 



Setzen wir den Flächen wirb el gleich 4:cg, so hat man die 
Vektorgleichung 

(104) 4Ä9 = [n,»,-M, 

Mau kann den soeben angedeuteten Grenzübergang derart ab- 
ändern, daß man das Wirbelfeld zuerst zwischen zwei zu /i^ 
parallele Flächen einschließt und dann durch Annäherung dieser 
beiden Flächen an /jg zum Grenzfalle des Flächen wirbeis über- 
geht. Dabei entwickelt sich aus dem räumlich verteilten Wirbel, 
in dem die Geschwindigkeitskomponenten noch endliche Diffe- 
rentialquotienten besitzen, die Unstetigkeitsfläche, längs deren 
die Flüssigkeitsschichten mit verschiedenen Geschwindigkeiten 
aneinander vorbeigleiten. Es liegt nahe, in diesem Falle, entspre- 
chend der Gleichung (100), das Vektorpotential des Flächen- 
wirbels folgendermaßen zu bestimmen 

(105) ^-ßfny- 



< 22 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder » 77 

Wir wollen diese Formel nocli auf einem anderen Wege be- 
crründen. Wir gehen aus von dem im § 17 gewonnenen Ergebnis, 
daß das skalare Potential eines flächenbaft verteilten Quelleu- 
systemes /*■;/.» 

ist, wenn (p selbst auf der Fläche stetig ist, diß normale Ablei- 
tung aber den durch Gleichung (85) definierten Sprung 

erfährt. Haben wir es mit einer ünstetigkeitsfläche im quellen- 
freien Felde zu tun, bei deren Durchquerung das Vektorpotential 
% selbst sich stetig verhält, aber die Ableitungen von |[^, %y, %^ 
gewisse Sprüngö erfahren 

, _d% d%^ . _ d% d% A ^ _ ^^^ . ^^. 
-i ^ Öx - ^^^ -r -^,,^ ; "^^h - '^n^ -t- ^^^ ^ ^^9. - ^^^ -r ^^^ , 

so wird die Formel (105) gelten; denn zu beiden Seiten der ün- 
stetigkeitsfläche befriedigen das skalare Potential wie die Kom- 
ponenten des Vektorpotentiales die Laplacesche Gleichung. 

Es ist nur der Nachweis erforderlich, daß diese Größen g^, 
8y? Ö«7 ^^® ^ic^ zunächst auf ein beliebiges Koordinatensystem be- 
ziehen, die Komponenten eben des Vektors g sind, den wir in (104) 
erhalten haben. Um ihn zu führen, spezialisieren wir das Koor- 
dinatensystem in derselben Weise wie oben, indem wir setzen 

dn^ dz ' dn^ dz 

und wegen der Stetigkeit von 51 bei Durchquerung der Fläche 

VdxJi \dxj^' \dy)i \dyh' 
Man erhält dann 

^^ö^ - [y^)^ \dz)i~~ \cz dx). \ dz dxh' 

4^0 - (^J^A - (^^A - /^^^ _ ^^\ _ A^^ _ ^-^y\ 
^'^^y~\dz), \dzh-\dy dz), \dV dzJi' 

woraus wegen d = curl 51 folgt • 

in Übereinstimmung mit der Gleichung (104). 



78 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 21 

Das Verschwinden der dritten, zur Unstetigkeitsfläche nor^ 
malen Komponente des Flächenwiibels, das aus den allgemeiner 
Sätzen über Wirbel fäden folgt, hängt mit dem Verschwinden 
von div 91 zu beiden Seiten der ünstetigkeit.^fläche zusamme 



3 



Der Doppel schiebt von Quellen entgegengesetzt gleicher E 
giebigkeit würde hier eine Doppelscbicbt von Flächenwirbeln 
entsprechen, dem Sprunge des skalaren Potentiales ein Sprung 
des Vektorpotentiales. Ein Beispiel wäre eine strömende, sehr 
dünne Flüssigkeitsschicht, an die beiderseits ruhende Flüssigkeit 
angrenzt. Beim Durchqueren der Schicht springt die Geschwindig- 
keit auf einen endlichen Wert und sinkt dann wieder auf NuIL 
Dabei wäre, um einen endlichen Sprung von 51 zu erhalten, diej 
Geschwindigkeit in der Schicht unendlich zu machen, derart, da; 
beim Grenzübergang das Produkt aus Geschwindigkeit und Dick 
der Schicht einem endlichen Werte zustrebt. Es ist jedoch dei 
Grenzfall eben wegen der erforderlichen unendlichen Geschwin 
digkeit nicht strenge zu verwirklichen, ebensowenig wie eim 
Doppelschicht von Quellen, innerhalb deren die normale Kom 
ponente der Geschwindigkeit unendlich werden müßte. Beide 
sind mathematische Abstraktionen, die nur bei der Darstellung 
des Feldes in einiger Entfernung von der Schicht in Betrach 
kommen 

§ 23. Zerlegung eines beliebigen Tektorfeldes in ein quellen 
freies und ein ^irbelfreies Feld. 

Es sei jetzt ein beliebiges unbegrenztes Vektorfeld d gegeben 
dasselbe sei im allgemeinen stetig; nur beim Durchschreiten ge 
wisser Flächen mögen die Komponenten von ti sich unsteti 
ändern. Es soll jedoch ti stets endlich sein , auch auf den Un 
Stetigkeitsflächen ; durch diese Festsetzung werden Doppelschich 
ten von Quellen oder Wirbeln von der Betrachtung ausgeschlossen 
Die Quellen und Wirbel des Strömungsfeldes mögen durchweg 
im Endlichen liegen. 

Dieses Feld läßt sich als Zusammensetzung eines wirbelfreien 
Feldes U' und eines quellenfreien Feldes n" darstellen, und zwar 



^ 23 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 79 

nur auf eine einzige Weise. Das Feld ü' werde so bestimmt, daß 
im ganzen Räume seine Divergenz und auf etwaigen Unstetig- 
keitsflächen f^^ seine Flächendivergenz derjenigen des gegebenen 
Vektorfeldes gleich sei, 
div ti'= div ö = 47r(>, - (0;, -f ti;^) - - (li„i + K^) = An(o. 

Hierdurch ist das wirbelfreie Feld Ij' eindeutig bestimmt. Es 
ist nach den Vorschriften der §§ 16, 17 mit Hilfe des skalaren 
Potentiales cp zu berechnen, das auf ^jg stetig ist, da ja Doppel- 
schichten ausgeschlossen sind 
(106) ö'=-V,p, ^^Jill+f^Jn^. 

Der Vektor tl — tl'= ö" ist jetzt quellenfrei; er ist, wie im 
§ 21 bewiesen wurde, eindeutig durch die Wirbelverteilung be- 
stimmt, die sich auf den Unstetigkeitsflächen auch als Flächen- 
wirbel (§22) darstellen kann; räumliche und flächenhafte Wirbel- 
verteilung von ö" fäUt mit derjenigen von ü zusammen, da ja ö' 
wirbelfrei ist: 

curl ö"= curl ti = 4:7tt, [it, ö/'— ög"] = [tt, Öj — tig] = 4^9 . 

Es wird mithin 

(107) 6"= curl « , a =j'^^ +j'^^r ■ 

Durch (106), (107) ist das Vektorfeld U in seinen wir- 
belfreien und seinen quellenfreien Bestandteil zerlegt. 
Für ein unbegrenztes Feld ist diese Zerlegung nur auf 
eine einzige Weise möglich. 

Hat man es mit einem begrenzten Vektorfelde zu tun, so ist 
die Zerlegung im allgemeinen auf vielerlei Weisen möglich. Denn 
denkt man es sich zu einem den unendlichen Raum erfüllenden 
i'elde ergänzt, so kann man in dem hinzugefügten Felde die Ver- 
teilung der Quellen und Wirbel bis zu einem gewissen Grade 
willkürlich wählen, ohne das ursprüngliche Feld dadurch zu 
idera. Grenzt man etwa in einem Vektorfelde einen Bereich 
nb, in dem weder Quellen noch Wirbel liegen, so kann man 
innerhalb dieses Bereiches das Feld nach Belieben entweder aus 
»inem Vektorpotential oder aus einem skalaren Potential ableiten; 



80 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



n 



die erstere Darstellung würde der Annalime von Wirbeln außer- 
halb des Bereiches, die zweite der Annahme von Quellen ent- 
sprechen. Ein Beispiel dieser Art werden wir im nächsten Ab- 
schnitte kennen lernen. 

Wir kehren zum unbegrenzten Felde zurück und stellen die 
Aufgabe, die Energie dieses Feldes zu berechnen. Indem wir der 
idealen Flüssigkeit unserer hydrodynamischen Abbildung wieder- 
um die Dichte ^- zuschreiben, erhalten wir für die gesamte 
lebendige Kraft des Strömungsfeldes 

Wir untersuchen zuerst das dritte Glied, das sich als ei 
über den ganzen Raum erstrecktes Integral aus dem wirbelfrei« 
Vektor 0'= — Vg) 

und dem queUenfreien Vektor ts" darstellt. Berücksichtigt mi 

divti"=0, 
so ergibt die Formel (65) 

div9)ö''==tJ"V^ = -ti'ti". 
Bei der Berechnung des Raumiutegrales 



/ dvti! ' = — / dv div (p ö' 



dürfen wir nicht ohnef weiteres über die Unstetigkeitsflächen hi 
weg integrieren, wir haben vielmehr den Raum in Gebiete 2 
zerlegen, innerhalb deren das Feld stetig ist. Zu den Begrenzung 
flächen gehören die Unstetigkeitsflächen /"jg. Jedes Stück de 
selben kommt zweimal vor als Begrenzung der beiderseits liege] 
den Gebiete (Fig. 11). Daher ergibt der Gaußsche Satz 

Das erste, über die Unstetigkeitsfläche erstreckte Integri 
verschwindet, denn es ist (p^ = (p2, da Doppelschichten au 
geschlossen waren, und 

Ki + K,-^, 



- 23 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 81 

weil der Vektor U" quellenfrei ist. Das zweite Integral, welches 
über die unendlich entfernte, das ganze Feld einschließende 
Fläche zu erstrecken ist, verschwindet, und zwar mindestens von 
der ersten Ordnung. Mithin ist 



/ 



es gilt folgender wichtige Satz: Das über den ganzen Raum 
erstreckte Integral des inneren Produktes aus einem 
quellenfreien und einem wirbelfreien Vektor ist Null. 
Nunmehr wird die lebendige Kraft der Strömung 

(108) T^-^Jdvti'^ + ^^Jdvts"^^ r+r\ 

Die Energie eines Strömungsfeldes stellt sich dar 
als Summe der Energien des wirbelfreien und des quel- 
lenfreien Bestandteiles. 

Für stetige Felder hatten wir die Berechnung der Energie 
durchgeführt, sowohl für wirbelfreie (84) wie für quellenfreie 
Felder (103). Unter Berücksichtigung der Flächen divergenz und 
des Flächenwirbels gestaltet sich jetzt die Berechnung von T' 
bzw. T" folgendermaßen 

wird mit Hilfe von (65) umgeformt in 

T' = g— j dv(p div ö'— ^ / dv div gpti'. 
Das erste Glied ergibt 



lJdv(pQ', 



das zweite wird wiederum mit Hilfe des Gaußschen Satzes um- 
geformt; der Beitrag der das ganze unendliche Feld einschließen- 
den Fläche verschwindet, und es bleibt nur der Beitrag der ün- 
stetigkeitsflächen übrig, die als Begrenzungsflächen der stetigen 
^Tebiete des Feldes auftreten; dieser Beitrag ist 

Akrah am, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 6 



I 



82 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder § 23 

Es wird daher 
(108a) r=lJdvQcp + lJdf,,G)^. 

In ähnlicher Weise wird 

StcJ 

mit Hilfe der Rechnungsregel (102) umgeformt in 

Das Raumintegral der Divergenz wird wieder mit Hilfe d 
Gaußschen Satzes in eine Summe von Flächen integralen ui 
gewandelt, wobei die Komponente des Vektorproduktes [Äö 
in Richtung der Normalen der Un Stetigkeitsfläche /J^ auftri 

Es gilt [«ti"L, = -n[5l,li/'], 

hingegen [^^ln2- ri[%,ti;']', 

denn n sollte ein Einheitsvektor sein, welcher die von 2 nach 
weisende Normalenrichtung darstellt (Fig. 11 auf S. 53). D 
Rechnungsregel (23) ergibt nun 

- tt[«,li,"] = «iLnöx"]; n[«,ti,"] = - «Jn«/']. 
Daher wird 

das über die Begrenzung des ganzen Feldes erstreckte Intej 
verschwindet auch hier. Da Doppelschichten von Wirbeln ai 
geschlossen waren, so darf das Vektorpotential auf df^^ keinj 
Sprung erfahren; es ist hier 

% = %y mitl 

Es wird daher schließlich 

(108 b) r = -\Jdvt% + ifdfn^n^ 

Auch für die Berechnung der Energie des Feldes ersetzt dw; 
Flächendivergenz vollständig die räumliche Divergenz, der fläch( 



§ 24 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 83^ 

haft verteilte Wirbel den räumlich verteilten. Wir hätten in der 
Tat die Formeln (108a), (108b) erhalten, wenn wir das Feld 
zunächst als stetig angesehen hätten und dann zum GrenzfaU des 
unstetigen Feldes übergegangen wären, wobei aus der räumlich 
verteilten Divergenz die Flächendivergenz, aus dem räumlich ver- 
teilten Wirbel der Flächenwirbel entsteht. 

§ 24. Pie Äquivalenz von Wirlbellinie nnd Doppelschicht. 

Wir denken uns wieder ein unbegrenztes, quellenfreies Strö- 
mungsl'eld. Die Strömung soll von einem einzigen Wirbelfaden 
von gegebener Leitlinie herrühren; es soU also das Linienintegral 
von tl für jede geschlossene Linie verschwinden, welche den 
Wirbeifaden nicht umschlingt; für eine geschlossene Linie hin- 
gegen, welche den Wirbelfaden umkettet, ergibt der Stokessche 
Satz /• /» 

d)tKi^ = 1 dfto^, Öl = curlti. 

Wir können die Gestalt der Fläche f bei festgehaltener Rand- 
kurve s beliebig ändern, so daß sie den Wirbelfaden in verschie- 
denen Querschnitten senkrecht durchschneidet. Da hierbei das 
Linienintegral seinen Wert nicht ändert und da das Flächenintegral 
gleich dem Momente des Wirbelfadens, d. h. gleich dem Produkte 
q\Vt\ aus Querschnitt und Wirbelstärke sich ergibt, so muß das 
Moment für alle Querschnitte des Wirbelfadens dasselbe sein. 
Der Wirbelfaden kann demnach nicht innerhalb der Flüssigkeit 
endigen; denn gesetzt, dieses wäre der Fall, so könnte man die 
Fläche f so ausbiegen, daß sie ganz im wirbelfreien Gebiete ver- 
läuft, daß mithin das Linienintegral von tl gleich Null wird 
vorhin aber war das über dieselbe Kurve erstreckte Linienintegral 
durch Betrachtung einer den Wirbelfaden schneidenden Fläche 
von Null verschieden gefunden worden. Das ist ein Widerspruch, 
der nur vermieden wird, indem der Wirbelfaden beiderseits ins 
Unendliche läuft oder eine im Endlichen verlaufende, geschlossene 
Leitlinie besitzt. 

Wir verringern nun den Querschnitt des Wirbelfadens und 
vergrößern zugleich die Wirbelstärke innerhalb des Fadens der- 



u 



Erster Absclinitt. Vektoren und Vektorfelder 



art, daß das Produkt aus beiden Größen^ das Moment des Wirbf 
fadens, konstant bleibt. Dann schrumpft der Wirbelfaden zi 
sammen und geht im Grenzfall in eine Wirbellinie über, y( 



dem Momente 



lim q\tü\ = Atc lim q\c\ = 4:jtt 

q=0 2=0 



Nach dem Stokesschen Satze gilt für jede die Wirbellinie eini 
umschlingende Kurve /» 

Das Vektorpotential dieser Wirbellinie wird gegeben durc 
den aus (100) hervorgehenden Ausdruck 

(109) « ^'^^ 



■f- 



Hierbei stellt das gerichtete Linienstück d^ die Richti 
der Wirbelachse dar, der sich der ümlaufssinn der Flüssigkeii 
bewegung zuordnet, wie der ümlaufssinn der Fortschreitun^ 
richtung bei einer rechtsgängigen Schraube. In der unmitt 
baren Nähe der Wirbellinie wird die Geschwindigkeit der Sti 
mung unendlich; in diesem Gebiete führt die Idealisierung 
Aufgabe, die in dem vorgenommeuen Grenzübergange liegt, 
unzulässigen Folgerungen. In der Tat kann ein Wirbel 
endlichem Momente ebensowenig auf eine mathematische Lii 
zusammengedrängt werden wie eine Quelle von endlicher 
giebigkeit auf einen mathematischen Punkt. Wohl aber k£ 
man einen Wirbelfaden von endlichem Querschnitt unter üi 
ständen durch eine Wirbellinie ersetzen, nämlich dann, wenn 
Abmessungen des Querschnittes klein sind sowohl gegen 
Längsabmessungen des Fadens wie gegen den Abstand des Ai 
punktes von den Stücken des Fadens. Hier leistet die Wirb( 
linie dieselben Dienste, die für das wirbelfreie Feld der Quej 
punkt oder die Doppelquelle leistete. 

Wir berechnen jetzt nach den Regeln des § 21 die Geschwij 
digkeit der Strömung, t) = curl %, wobei wir nach den Koor( 
naten xyz des Aufpunktos zu differentiieren haben; stellt r den 
von d^ nach dem Aufpunkte hin gezogenen Fahrstrahl vor, T^,. 
t^, r^ seine Komponenten, so wird 



^ 24 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 85 



rf{d,^{-^)-ä,^{r^^}ust 



"* dy dz' 
Mithin wird der Vektor 

(110) ti = r^^[c/8r]. 

Der Geschwindigkeitsvektor in irgendeinem Punkte des Feldes 
stellt sich hier dar als geometrische Summe von Geschwindigkeiten 

die von den einzelnen Stücken der Wirbellinie herrühren. Der 
Beitrag eines jeden Wirbelstückes ist proportional dem Momente 
\xx der Wirbellinie, ferner dem umgekehrten Quadrat des Ab- 
standes von Wirbelstück und Aufpunkt und dem Sinus des Win- 
kels, den die Wirbelachse und der nach dem Aufpunkte hin ge- 
zogene Fahrstrahl miteinander einschließen; die Richtung von 
(id steht senkrecht auf der Ebene, die durch Wirbelachse und 
F ahrstrahl gelegt ist. Die Vektoren <?8, t, ^Ö folgen aufeinander 
in dem Sinne wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten 
Hand. Diese Regel stimmt mit der Am pereschen Schwimm- 
regel überein, wie man erkennt, wenn man den Daumen der 
rechten Hand der Richtung vom Fuße zum Kopfe parallel und 
den Zeigefinger nach vorn streckt; der Mittelfinger weist dann 
nach links. Wir haben damit das Biot-Savartsche Gesetz ge- 
wonnen, welches in der Lehre vom Elektromagnetismus eine so 
wichtige Rolle spielt. Dabei ist zu beachten, daß die Zerlegung 
des Ausdruckes (HO) in Beiträge der einzelnen Wirbelstücke 
einigermaßen willkürlich ist; ein Wirbelstück für sich allein kann 
Qicht existieren, sondern nur die geschloss,ene Wirbellinie als 
Ganzes; nicht den hypothetischen Beiträgen der einzelnen Wirbel- 
stücke, sondern nur ihrer Vektorsumme (HO) kommt eine phy- 
sikalische Bedeutung zu. 

Man kann nun das Feld einer Wirbellinie noch von einem 
wesentlich anderen Standpunkte aus betrachten. Dasselbe ist 
aämlich, von der Wirbellinie selbst abgesehen, wirbelfrei und 
oQuß sich daher von einem skalaren Potentiale cp ableiten. Frei- 
ich ist dieses Potential nicht wie das soeben untersuchte Vektor- 



86 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



1 



Potential einwertig, sondern es nimmt bei jeder Umkreisung 
Wirbellinie um 4:7t t ab. Indessen kann man diese Vieldeutigk 
beseitigen, wenn man irgendeine von der Wirbellinie umrandete 
Fläcbe fi2 legt und diese aus dem Felde ausschließt. Dadurch 
entsteht ein Feld, welches überall quellenfrei und wirbelfrei ist; 
und /*i2 als XJnstetigkeitsfläche besitzt. Diese Unstetigkeitsfläche i 
des wirbelfreien Feldes ist nun nach den Regeln des § 18 zu be-i 
handeln. Die Geschwindigkeit d selbst hat zu beiden Seiten der ' 
Fläche den gleichen Wert; denn die Fläche verläuft ja, von der 
Randkurve abgesehen, in dem Gebiete der stetigen Strömung. 
Die Flächendivergenz ist mithin Null. Das Potential hingegen 
erfährt eine Abnahme 2 

9l ~ 92 === / ^«^^ = 4:71t, 

1 

wenn man, der Strömung der Flüssigkeit folgend, von der Se 

(1) der XJnstetigkeitsfläche, die Wirbellinie umkreisend, zur Se 

(2) gelangt; es wächst um 4;rr beim Durchschreiten der Fläcl 
Diese Unstetigkeit des Potentiales war es, die wir im § 18 dur 
eine Doppelschicht von Quellen darstellten. Wir zeigten daselb 
daß durch die Unstetigkeiten der Geschwindigkeit und des P 
tentiales das quellenfreie Feld eindeutig bestimmt ist. Mith 
ist das Feld einjsr Wirbellinie gleich dem Felde ein 
gleichförmigen Doppelschicht, die auf einer von d 
Wirbellinie umrandeten Fläche ausgebreitet ist. Dal 
ist die positive Seite der Doppelschicht durch die Amperesc 
Regel der Wirbellinie zugeordnet. Das vektoriell aufgefaßte ^ 
ment der Doppelschicht, das im § 18 mit rn bezeichnet wur 
und das von der negativen nach der positiven Seite der Dopp 
Schicht weist, entspricht dem durch d^ festgelegten Umlaufssi 
längs der Wirbellinie, wie der Fortschreitungssinn der Umlau 
bewegung bei einer Rechtsschraube. Das Moment der Wirb 
linie wird durch 47t t dargestellt, wo t eine stets positive Größe i 

Wir können jetzt die im § 18 für das Potential einer gleic 
förmigen Doppelschicht abgeleitete Beziehung (88 a) 

(111) (p^±tSl 






I 



§ 24 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 37 

unmittelbar auf den vorliegenden Fall übertragen. Sl stellt da- 
bei den körperlichen Winkel dar, unter dem vom Aufpunkte aus 
die Doppelschicht erscheint, mit positivem oder negativem Vor- 
zeichen genommen, je nachdem der Aufpunkt sich auf der posi- 
tiven oder negativen Seite der Doppelschicht befindet. Gehen 
wir von der Doppelschicht zur äquivalenten Wirbellinie über, so 
haben wir vom Aufpunkte aus Gerade durch die Punkte der 
Wirbellinie zu legen und so die Wirbellinie auf die um den Auf- 
puukt als Mittelpunkt gelegte Einheitskugel zu projizieren; der 
Flächeninhalt der Projektion ist Sl. Je nachdem der Ümlaufs- 
sinn um diese Flächenstücke der Einheitskugel durch den Um- 
laufssinn der Wirbellinie in dem einen oder anderen Sinne be- 
stimmt wird, hat man in (111) +Sl zu setzen. Hiernach ist" klar, 
daß das Potential einer Doppelschicht nur von der Randkurve 
abhängt. Es erledigt sich auch die Frage nach dem Potential 
einer Doppelschicht, für deren Stücke der Aufpunkt bald auf der 
positiven, bald auf der negativen Seite liegt. Hier wird die auf 
die Einheitskugel projizierte Randkurvesich selbst schneiden und 
demgemäß die Flächenstücke der Einheitskugel bald in dem einen, 
bald in dem anderen Sinne umlaufen; danach sind diese mit posi- 
tivem bzw. negativem Vorzeichen in Rechnung zu ziehen. End- 
lich wird auch die zu Ende des § 18 gemachte Bemerkung ver- 
ständlich, daß am Rande der Doppelschicht die angewandte Rech- 
nungsweise unzulässig wird. In der Tat ist hier die Geschwindig- 
keit der Strömung unendlich, und es ist aus diesem Grunde die 
Randkurve durch eine Röhre aus dem Felde auszuschließen, wenn 
man mit einer ungeschlossenen Doppelschicht operiert. 

Zeigt die Äquivalenz von Doppelschicht und Wirbellinie 
manche der Ej-gebnisse, die für erstere vom Standpunkte des 
Quellenfeldes aus gewonnen wurden, in neuer Beleuchtung, so 
gestattet sie anderseits, das Feld der Wirbellinie auf Grund der 
Theorie der wirbelfreien Felder zu berechnen, ohne das Vektor- 
potential zu benutzen. Wir wollen diese Ableitung angeben und 
uns davon überzeugen, daß auch auf diesem Wege die Gleichung 
(110) erhalten wird. Wir berechnen den Gradienten des Poteu- 
tiales (111), wobei wir der Einfachheit wegen den Aufpunkt auf 



38 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 



§2ji 

I 



der positiven Seite der zugeordneten Doppelschiclife annelimenj 
dann wird ö = — Vg) = — rV^ii. 

Hierbei stellt V^^ die Änderung vor, welche der körperliche 
Winkel Sl erfährt, wenn der Aufpunkt um die Längeneinheit 
verschohen wird. Verschiebt man statt dessen die Wirbellinie 
translatorisch, so ist, da fl nur von der relativen Lage von Auf- 
punkt und WirbeUinie abhängt, nach § 15 

zu setzen. Der durch Verrückung des Wirbelfadens bei festge- 
haltenem Aufpunkte entstehende Zuwachs von £1 setzt sich zu- 
sammen aus den Flächeninhalten der auf die Einheitskugel um 
den Aufpunkt projizierten Flächenstücke, welche die Stücke d\ 
der Wirbellinie bei der Veirückung bestreichen; diese Flächen 
stücke sind so zu behandeln, als ob sie mit Doppelschichten von 
Momente 1 belegt wären; ihre Potentiale zusammengenommei 
ergeben den Zuwachs von Sl. Verschiebt man nun den ganze] 
Wirbelfaden in der durch den > Einheitsvektor t^ festgelegte] 
Richtung um die Längeneinheit, so bestreicht das Stück di de 
Wirbellinie das Parallelogramm 

die Projektion desselben auf die Einheitskugel wird positiv ii 
Rechnung zu ziehen sein, wenn der jenes Vektorprodukt dar 
stellende, auf der Ebene von t, und d^ senkrechte Vektor mi 
dem von d^ nach dem Aufpunkte hingezogenen Fahrstrahl einei 
spitzen Winkel einschließt; denn in diesem Falle liegt der Auf 
punkt auf der positiven Seite der hinzukommenden Doppelschicht 
In dem entgegengesetzten Falle, wo jener Winkel ein stumpfe 
ist, liegt der Aufpunkt auf der negativen Seite. Beide Fälle faß 
man zusammen, indem man den Beitrag, den d^ zum Zuwachi 
von ü liefert, mit Rücksicht auf Formel (22) schreibt 

Integriert man nun über die Wirbellinie, so folgt 



iif^ldix] 



I 



25 Zweites Kapitel. Die Vektorfelder 89 

als Zuwachs von Sl bei einer translatorischen Verrückung der 
Wirbellinie parallel einem beliebigen Einheitsvektor i^. Wir er- 
halten mithin /» 

eine Formel, die mit (HO) übereinstimmt. 

Eine andere Methode, die Äquivalenz von Wirbellinie und 
Doppelschicht nachzuweisen, ist die, daß man dem Felde der 
Doppelschicht ein Vektorpotential zuordnet und dieses auf die 
Form (109) bringt. Wir gehen indessen an dieser Stelle hierauf 
nicht ein. 

§ 25. Kechmingsregeln. Die Operation (81 V) 8. 

De^ Rechnungsregeln, die uns bisher bei der Entwicklung 
der Theorie der Vektorfelder begegneten, treten noch eine Reihe 
weiterer Regeln an die Seite. 

Wir beginnen mit der Regel für den Curl des Produktes aus 
einem Skalar v und einem Vektor 81 
(112) curl«;tt = t;curl8l+[Vi;, 81], 

von deren Richtigkeit man sich durch Nachrechnen leicht über- 
zeugt. Ist z. B. 81 der Gradient eines zweiten Skalars p 

n = vp, 

so ist das Feld von 81 wirbelfrei, mithin 

curl % = curl Vp = 0; 
es folgt daher aus (112) 
('112a) - curl [vVp] = [Vv, Vp\ 

Es wurde bereits in § 15 die Operation (8C V) auf Skalare an- 
gewandt. (81 V)g) gab aUgemein den Zuwachs an, den der Skalar cp 
beim Fortschreiten in der Richtung von 81 erfuhr; derselbe war 
auf die Längeneinheit zu beziehen und mit dem Betrage von 81 
zu multiplizieren. Die gleiche Operation können wir nun auch 
auf einen Vektor 33 anwenden. Ist 81 ein Einheitsvektor, so steUt 
(ÄV)8 den auf die Längeneinheit berechneten Zuwachs dar, 
den der Vektor 83 erfährt, wenn man in seinem Felde in der 
durch 81 angezeigten Richtung fortschreitet. Ist 81 kein Einheits- 



90 Erster Abschnitt. Vektoren und Vektorfelder 

Vektor, so geht der Betrag von 51 als Faktor ein. Es sind 
Komponenten von (^V)35: 



(113) 



a»,. , „, a». , » a». 



(av)«,= a4^ + «i,-gr- + 9i. 



dy ' ' dz ^ 

Wir berechnen jetzt den Vektor 

(5lV)©~3ldivö. 
Seine rr-Komponente ist 
(«V)«, - a, div SB = 91,^®- - 91,^1^ + %ßf^ - 

Durch Vertauschung von % und ö folgt 

(äBV)«l, - SB, div % = SB/g*^ - Sb4|? + »,?^ - 

und durch Subtraktion der vorigen Formel von dieser 
{(35V)5( - (51V)© + 51 div 85 - ö div $1}^ 

Hier steht rechts die ic-Komponente von curl [S133]. Es gilt mÜ 
hin für den Curl des Vektorproduktes dieRechnungsrege 

(114) curl [S(8] = (8 V)t - (51V)© + 81 div ö - 8 div % 

Wir berechnen anderseits 

(5lV)© + [8lcurlÖ]. 
Die ir-Komponente ist 




dx 






Addieren wir hierzu die durch Vertauschung von % und S3 enl 
stehende Beziehung, so erhalten wir 

(115) V(Sl©) = ($1 V)ö + (© V)5l + [51 curl 8] -f [ö curl «T 



Zweiter Abschnitt. 

Das elektrische Feld. 

Erstes Kapitel. 

Das elektrostatische Feld im Lufträume. 

§ 26. Die elektrische Feldstärke. 

Reibt man eine Siegellackstange mit einem Stück Katzenfell, 
so werden diese Körper und der sie umgebende Raum in einen 
eigentümlichen Zustand versetzt, der sich dadurch kundgibt, daß 
leichte, in der Nähe befindliche Teilchen in Bewegung geraten; 
man sagt: jene Körper sind durch Reibung „elektrisch" ge- 
worden, der umgebende Raum ist ein „elektrisches Feld". 
Der elektrische Zustand haftet nicht an der Siegellackstange und 
an dem Katzenfell; er wird auf Metalle, die mit diesen Körpern 
in Berührung gebracht werden, übertragen. Die Entstehung des 
elektrischen Zustandes ist nicht an den Vorgang der Reibung 
gebunden; ein Metallstück, das durch einen metallischen Draht 
mit einem der Pole einer Batterie in Verbindung steht, äußert, 
auch nach Entfernung des Drahtes, gleichfalls elektrische Wir- 
kungen. 

Ein elektrisches Metallstück mag sich im Lufträume befinden. 
Das elektrische Feld in seiner Umgebung untersucht man mit 
Hilfe eines Probekörpers, etwa eines mit Goldblatt überzogenen 
Holundermarkkügelchens, das seinerseits durch Berührung mit 
der geriebenen Siegellackstaage oder mit dem Katzenfell elek- 
trisch gemacht ist. Dieser Probekörper wird im elektrischen Felde 
von einer Kraft Ä angegriffen. Wir denken uns diese Kraft ^ 
gemessen; sie wird nach Betrag und Richtung für die verschie- 
denen Punkte des Feldes verschieden ausfallen; sie wird auch für 



92 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 26 

einen bestimmten Punkt des Feldes verschieden sein, je nach der 
Art, wie das Holundermarkkügelchen elektrisch gemacht ist. In 
der letzteren Hinsicht jedoch herrscht eine sehr einfache Gesetz- 
mäßigkeit: war der Probekörper mit der Siegellackstange in Be- 
rührung, so sind Richtung und der Sinn der Kraft Ä, die er in 
einem gegebenen Punkte des Feldes erfährt, ganz bestimmte, und 
nur der Betrag hängt von der Art der Behandlung ab; war er 
mit dem Katzenfell in Berührung, so ist der Sinn der Kraft die 
entgegengesetzte, ihr Betrag hängt wieder von der Art der Be- 
handlung ab. Wir werden so dazu geführt, die Kraft, welche ira 
elektrischen Felde auf den Probekörper wirkt, 

(116) Ä = e.e 

zu setzen, wo der Skalar e von dem elektrischen Zustande des 
Probekörpers abhängt, während der Vektor @ von diesem Zu- 
stande unabhängig ist, aber für die verschiedenen Punkte des 
Feldes verschiedene Richtung und verschiedenen Betrag besitzt. 
In der Tat lehrt die Erfahrung, daß für zwei verschieden behan- 
delte Probekörper, die nacheinander an denselben Punkt des Feldes 
gebracht werden, die Kräfte in einem bestimmten Verhältnis 

(116a) t, : ^2 = ^1 : ^2 



stehen, das für verschiedene Punkte des Feldes das gleiche ist. 
Die Erfahrung lehrt ferner, daß auf einen gegebenen Probekörper 
in zwei verschiedenen Punkten P und P' des elektrischen Feldes 
Kräfte ^ bzw. ^' wirken, deren Beträge in einem von der Be- 
handlung des Probekörpers unabhängigen Verhältnis 
(116b) |ti:|r| = |^|:|r! 

stehen. Die beiden Aussagen (116a, b) sind in (116) enthalten. 
Ist für den ersten Probekörper e^ gegeben, so ist für jeden ande- 
ren ^2 durch (116a) bestimmt; alsdann ist © für die einzelnen 
Punkte des Feldes mit Hilfe eines beliebigen Probekörpers zu 
ermitteln. 

Den skalaren Faktor e im Ausdrucke (116) nennt 
man die „elektrische Ladung'' des Probekörpers oder 
die Menge der auf ihm befindlichen „Elektrizität", den 
vektoriellen Faktor @ die „elektrische Feldstärke" 



I Jft Erstes Kapitel. Das elektrostatische Feld im Lufträume 93 

Durch die GleichuDg(116) sind beide Größen, Elektrizitätsmenge 
und elektrische Feldstärke, eindeutig bestimmt, sobald die 
Einheit der Elektrizitätsmenge festgelegt ist. Dem entgegen- 
gesetzten Sinn der Kraft auf zwei mit der Siegellackstange bzw. 
mit dem Katzenfell berührte Probekörper trägt man dadurch 
Rechnung, daß man positive und negative Elektrizität unter- 
scheidet. Man hat ganz willkürlich der Elektrizität des mit dem 
geriebenen Katzenfell berührten Kügelcheus das positive Vor- 
zeichen gegeben und infolgedessen der Elektrizität der geriebenen 
Siegellackstange das negative. Demgemäß hat man als Richtung 
der Feldstärke (S diejenige der Kraft bezeichnet, welche der mit 
dem Katzenfell berührte Probekörper erfährt. 

Da der Vektor ^ polar ist, so sind über die Natur des Skalars 
' und des Vektors @ nur zwei Annahmen möglich. Entweder e 
ist ein eigentlicher Skalar und @ ein polarer Vektor, 
oder e ist ein Pseudoskalar und © ein axialer Vektor. Wir wollen 
uns jetzt schon für die erstere Annahme entscheiden, indem wir 
die elektrische Ladung als Skalar im eigentlichen Sinne betrach- 
ten. Zunächst ist diese Festsetzung allerdings durchaus willkür- 
lich, sie findet ihre Rechtfertigung erst in einer ziemlich ent- 
fernten Folgerung (vgl. § 51 u.59). Es würde sich indessen nicht 
empfehlen, in die Definition der Grundbegriffe eine Unbestimmt- 
heit einzuführen, die später doch wieder zu beseitigen wäre. 

Der Ausdruck (116) für die Kraft, die im elektiischen Felde 
auf einen geladenen Probekörper wirkt, ist nicht unbeschränkt 
gültig. Seine genaue Gültigkeit hört auf, wenn der Probekörper 
zu nahe an dem geladenen Körper sich befindet, und zwar um 
so eher, je größer die Ladung des Probekörpers ist. Er wird auch 
dann ungenau, wenn die Feldstärke zu stark mit dem Orte ver- 
änderlich ist, und zwar um so mehr, je größer die Abmessungen 
des Probekörpers sind (vgl. § 42). Wir werden später die Gründe 
dieser Abweichungen erkennen und in § 43 den Ausdruck für 
die Kraft entsprechend vervollständigen. Für das erste müssen 
wir uns daher eines hinreichend kleinen und hinreichend schwach 
geladenen Probekörpers bedienen, wenn wir auf Grund der Glei- 
chung (116) das elektrische Feld ermitteln. 



94 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 27 

§ 27. Der elektrische Kraftfluß. 

Wir werden in diesem Kapitel aucli ferner von dem elek- 
trischen Felde im Lufträume reden. 

Mit Hilfe eines Probekörpers denke man sich in jedem Punkte «i 
des Raumes den Vektor ^ und so das elektrische Feld ermittelt. B| 
Die hydrodynamische Abbildung, die im ersten Abschnitte (§ 10 ff.) 
behau delt wurde, vergleicht nun das elektrische Feld mit dem 
Felde einer Flüssigkeitsströmung; dabei ist dem Flüssigkeits- 
volumen ^n^f, welches in der Zelteinheit durch das Flächenstück 
df in dem durch n angezeigten Normalensinne strömt, der Aus- 
druck '^„f?/* an die Seite zu stellen. Man nennt ihn den „Kraft- 
fluß", welcher das Flächenstück df durchsetzt. Die Abbildung 
des elektrischen Kraftfeldes auf das Strömungsfeld, welche dieser 
Bezeichnung zugrunde liegt, wird sich weiterhin als sehr frucht- 
bar erweisen. 

Durch Zusammenfügung der Beiträge der einzelnen Flächen- 
stücke erhält man den Kraftfluß durch eine beliebige Fläche /", 
insbesondere durch eine geschlossene Fläche. Die Strömung durch 
eine geschlossene Fläche haben wir mit der Ergiebigkeit der 
innerhalb der Fläche befindlichen Quellen in Verbindung gebracht. 
Dementsprechend (vgl. z. B. Gl. 74) setzen wir jetzt für eine be- 
liebige geschlossene Fläche im elektrischen Felde 

(117) fdf(^^=4::te, 

indem wir unter e die gesamte Ergiebigkeit der im Innern von / 
befindlichen Quellen des Kraftflusses verstehen. 

Es lehrt nun die Erfahrung, daß ein Kraftfluß im Lufträume 
nur dort entquillt oder mündet, wo sich elektrische Ladungen 
befinden: Die Elektrizität ist die Quelle des Kraftflusses, 
Dieser Satz führt uns dazu, den positiven oder negativen Skalar e 
in (117) als Maß der Elektrizitätsmenge zu verwenden. Den 
Faktor 4ä haben wir hinzugefügt, um zur Übereinstimmung mit 
dem sogenannten „absoluten elektrostatischen Maßsysteme" zu ' 
gelangen. 



§ 28 Erstes Kapitel. Das elektrostatische Feld im Lufträume 95 

Die Gleichung (117), welche die ElektrizitätsmeDge mit dem 
elektrischen Kraftfliiß verknüpft, ist eine der wichtigsten Grund- 
gleichungen der Nahewirkungstheorie des elektrischen Feldes; 
die Gleichung besagt, daß die elektrische Ladung die Quellen des 
KraftfluBses bestimmt. Andererseits greift nach (116) die mecha- 
nische Kraft des elektrischen Feldes an den elektrischen Ladungen 
an. Die Gleichung (116) werden wir indessen nicht zu den Grund- 
gleichungen der Theorie zählen dürfen, da ihr, wie schon erwähnt, 
nur eine angenäherte Gültigkeit zukommt. Der Umfang ihrer 
Gültigkeit wird, wenn wir die Grundlagen der Theorie entwickelt 
haben werden, aus diesen abzuleiten sein. Einstweilen haben wir 
sie lediglich zu dem Zwecke herangezogen, um eine anschau- 
liche Vorstellung mit dem Begriffe des elektrischen Feldes zu 
verbinden. 

Ist die Elektrizität räumlich verteilt, so wird ihre Dichte 
durch die auf die Volumeinheit bezogene Ergiebigkeit des Kraft- 
flusses, d. h. durch die Divergenz (§ 12) von (B, bestimmt 
(117a) diY^ = 4:7CQ. 

Bei flächenhafter Verteilung der Elektrizität ist die Flächen- 
dichte CO in ganz entsprechender Weise mit der Flächendivergenz 
(§ 17) von ^ verknüpft 

(117 b) -(@„,-^^„,) = 4:ra.. 

Es ist sehr bemerkenswert, daß bei allen bekannten Arten 
der Elektrizitätserregung immer die gleiche Menge positiver wie 
negativer Elektrizität entsteht. Berücksichtigt man aUe ent- 
stehenden Ladungen, so ist deren Gesamtmenge stets gleich Null, 
die gesamte Ergiebigkeit der Quellen des Kraftflusses ist gleich 
Null. DaTin unterscheidet sich das elektrische Feld wesentlich 
von dem Schwerefelde. Im Schwerefeld sind indessen die Quellen 
des Kraftflusses durch Massen gegeben, welche weder neu ge- 
schaffen noch vernichtet werden können. 

§ 28. Das elektrostatische Potential. 

Das „elektrostatische Feld" hat, wie sein Name besagt, 
die Eigenschaft, sich mit der Zeit nicht zu ändern. Es ist 



i 



96 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 28 

allerdings durcb diese Eigenscliaft nocli nicht vollständig gekenn-B 
zeichnet. Es gibt nämlich elektrische Felder, bei denen die Elek- 
trizität sich nicht im Gleichgewichte, sondern im Zustande sta- 
tionärer Bewegung befindet. Diese elektrischen Felder sind gleich- 
falls zeitlich konstant; sie sind jedoch dadurch von den elektro 
statischen Feldern unterschieden, daß sie von Wärmeentwicklung 
begleitet sind, und daß daher ihre Aufrecht erhalt ung dauernde 
Energiezufuhr erfordert. Das elektrostatische Feld hin- 
gegen bleibt ohne Energiezufuhr bestehen. 

Andererseits ist es nicht möglich, aus dem elektrosta- 
tischen Felde durch einen Kreisprozeß, etwa indem 
man einen geladenen Probekörper in einem geschlos- . 
senen Wege herumführt, Arbeit zu gewinnen. Hat der 
Probekörper die in § 26 angenommenen Eigenschaften, so folgt 
aus Gleichung (116): im elektrostatischen Felde ist das 
Linienintegral von (§; für einen jeden geschlossenen 
Weg gleich Null; das elektrostatische Feld ist dem 
nach wirbelfrei: 
(118) curl^ = 0. 

Es ist folglich die Feldstärke im elektrostatischen Felde als 
negativer Gradient aus einem skalaren, eindeutigen Potentiale tp 
abzuleiten 

(118a) ^ = _V9); 

man nennt es das „elektro'statische Potential" Seine Ab 
nähme von einem Punkte (1) bis zu einem Punkte (2) ist gleich 
dem Linienintegrale von ^, berechnet für einen beliebigen, von 
(1) nach (2) führenden Weg g 

(118b) 9i-<P2=/^ 

i 

Das elektrostatische Feld entspricht demnach durchaus dem 
Felde einer wirbelfreien Flüssigkeitsströmung, welches im ersten 
Abschnitt behandelt worden ist. Der Ergiebigkeit e der Quellen 
entspricht hier, gemäß Gleichung (117), die Elektrizitätsmenge, 
die wir ebenso bezeichnet haben. 

Ist die Elektrizitätsverteilung gegeben, so berechnet sich das 
elektrostatische Potential und damit das wirbelfreie Feld 6 nach 



I 



•29 Erstes Kapitel. Das elektrostatische Feld im Lufträume 97 

den Lehren der §§ 14 — 18. Für eine Anzahl h von elektrischen 
Punkten wird das Potential (Gl. 75) 



(119) f-^%^ 

i = l 

für räumlich verteilte Ladungen (GL 83) ist 

(119a) 'P^f'-T'- 

und für flächenhaft verteilte (Gl. 87a) 

(119b) f-f-'i', 

während das Feld von Doppelschichten sich nach den Angaben 
des § 18 berechnen würde. 

Die Kraft, welche ein elektrischer Punkt von der Ladung e^ 
auf einen zweiten von der Ladung e^ ausübt, läßt sich aus (118a), 
(119), in Verbindung mit (116), ermitteln. Sie wirkt in Rich- 
tung der Verbindungslinie der beiden Punkte und hat den Wert 

(119c) Äi2 = t,,-^ 



12 



Für die Wechselwirkung zweier geladenen Körper, insofern als 
dieselben wie Punktladungen aufgefaßt werden können, erhalten 
wir damit das Coulomb sehe Gesetz. Die Fernwirkungstheorie 
stellt dieses Gesetz an die Spitze, während wir, dem Gedanken- 
gange der Nahevvirkungstheorie folgend, die Beziehungen (117), 
(118) als Grundlage gewählt haben, welche besagen, daß die 
Elektrizität Quelle des Kraftflusses, und daß das elektrostatische 
Feld wirbelfrei ist. Außerdem haben wir jedoch die Gleichung 
(116) verwandt, die, wie erwähnt wurde, nur unter gewissen ein- 
schränkenden Voraussetzungen zutrifft. Auch dem Coulombschen 
Gesetze, auf das weiter unten (§ 42) zurückzukommen sein wird, 
kommt daher nur eine beschränkte Gültigkeit zu. 

^ 29. Die Yerteilung der Elektrizität auf Leitern. 

Bei den Problemstellungen der Elektrostatik liegt die Sache 
meist nicht so einfach, daß die Verteilung der Elektrizität ge- 
Abraham, Theorie d^r Elektrizität. I. n. Aufl. 7 



1 



98 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 29 

geben ist, und das Potential aus (119 a, b) zu ermitteln ist. Die 
Verteilung der Elektrizität auf MetaUkörpern ist selber durch Be- 
dingungen bestimmt, zu deren Aufstellung wir uns jetzt wenden 
Wir erwähnten bereits in § 26 die Eigenschaft eines MetaU 
drahtes, Elektrizität von dem Pole einer Batterie einem Körpei 
zuzuführen. Man nennt Körper, denen diese Eigenschaft z 
kommt, „Leiter der Elektrizität'^, solche, denen sie fehlt' 
„IsoIatoren'^ Diese Körperklassen sind nicht immer strenge zu 
sondern. So gibt es Körper, z. B. der Nernstsche Glähkörper, 
die bei gewöhnlicher Temperatur Isolatoren, bei Erwärmun 
Leiter werden. Bei Luft und anderen Gasen hängt es vom Lu 
druck und von dem Betrage der Feldstärke ab, ob sie sich wii 
Leiter oder wie Isolatoren verhalten. Es steht aber fest, daß di 
Metalle unter allen Umständen Leiter der Elektrizitä 
sind. Im Innern eines Metallstückes ruft demnach ein elektrisch 
Feld stets einen elektrischen Strom hervor. 

Hieraus ergibt sich ohne weiteres eine Bedingung für da 
elektrostatische Gleichgewicht im Innern des Metalles; e 
muß, wenn anders eine Bewegung der Elektrizität nicht hervo 
gerufen werden soU, der Vektor © in dem vom metallische 
Leiter erfüllten Räume verschwinden. Berücksichtigt ma 
die bereits früher angeführte Eigenschaft der elektrischen Fei 
stärke ®, sich im Lufträume aus einem einwertigen Potentiale 
abzuleiten, so kann man jene Gleichgewichtsbediugung auch fo 
genderm aßen ausdrücken: Das elektrostatische Potential 
ist im Innern eines Leiters konstant. 

Ob wirklich im Innern eines Metallstückes kein elektrost 
tisches Feld besteht, kann man nicht direkt prüfen, da man de 
Probekörper, der zur Untersuchung des Feldes dient, nicht 
das Innere des Leiters bringen kann. Man kann indessen eine 
Hohlraum herstellen, der rings von metallischen Wänden u 
schlössen ist. Sind innerhalb des Hohlraumes keine elektrische 
Ladungen, so ist erfahrungsgemäß hier das Feld in der Tat Nu 
die metallische Umhüllung schirmt das Innere gege 
das elektrostatische Feld außerhalb befindlicher Ladunge 
FüUt man nun den Hohlraum mit dem leitenden Stoffe, so wird 



§29 Erstes Kapitel. Das elektrostatische Feld im Luftranme 99 

dadurch ein elektrisches Feld nicht entstehen. In das Innere des 
Metalles dringt mithin das elektrostatische Feld nicht ein. 

Anders liegt die Sache, wenn man in das Innere des von 
Leitern uragchlossenen Hohlraumes elektrische Ladungen hringt. 
Hier muß, nach Gleichung (117), der gesamte Kraftfluß durch 
eine den Leiter umschließende Fläche hindurch proportional der 
im Innern des Metalles und an seiner Oberfläche angesammelten 
Elektrizitätsmenge sein. In dem von dem leitenden Stofie ein- 
genommenen Räume aber darf ein Feld nicht auftreten. War 
nun vor der Einführung der Elektrizität in ihr Inneres die metal- 
lische Wand unelektrisch, so muß sie jetzt elektrisch werden, 
da ja von ihr ein Kraftfluß ausgeht. Das wird sie in der Tat, 
und zwar erhält die Außenwand Ladung von dem Betrage und 
Vorzeichen der in den Hohlraum eingeführten Elektrizität, die 
Innenwand Ladung von gleichem Betrage und von entgegen- 
gesetztem Vorzeichen, so daß im ganzen von dem Systeme der- 
jenige Kraftfluß ausgeht, welcher der hineingebrachten Ladung 
entspricht. Das Verhalten der MetaUe ist auch hier durchaus 
in Übereinstimmung mit der Annahme, daß die Elektrizität in 
ihrem Inneren frei beweglich ist, und daß im Falle des elektri- 
schen Gleichgewichtes innerhalb des Metalles kein Feld besteht. 

Betrachten wir nun das gesamte, den Raum erfüllende Feld 
sowohl außerhalb wie innerhalb der Metalle, so ist dasselbe über- 
all wirbelfrei. Wir nehmen an, daß die Luft von Ladungen frei, 
mithin hier 4^^ _ div (g = 

sei; im Innern des vom Metalle eingenommenen Raumes befindet 
sich selbstverständlich keine Ladung, weil hier kein Feld besteht. 
Wohl aber ist an der Oberfläche des Metalles eine Flächendiver- 
genz von % vorhanden, da von ihr ein Kraftfluß nach außen 
geht; dieser beträgt ©„, wenn n die nach dem Luftraum weisende 
Normale ist. 

Die Flächendichte der Elektrizität o, multipliziert mit 4;t, ist 
nun gleich dem von der Flächeneinheit ausgehenden Kraftfluß; 
es ist demnach 
(120) 4*o = e„=-||. 

T 



100 Zweiter Absclmitt. Das elektrische Feld § 29 

Noch wäre es möglich, daß außer den flächenhaft verteilten 
Quellen des Kraftflusses Doppelquellen an der Grenzfläche von 
Luft gegen Metall ihren Sitz hätten. In der Tat, eine homogene 
Doppelschicht auf dieser geschlossenen Fläche würde nach § 18 
weder innen noch außen das Feld ändern. Darin liegt eine Schwie- 
rigkeit, ihr Vorhandensein experimentell festzustellen. Wir wollen 
daher zunächst solche Doppelschichten nicht in Betracht ziehen. 
Wir kommen später in § 50 auf die Frage nach dem Bestehen 
solcher Doppelschichten zurück. 

Kennt man das wirbelfreie Feld des Vektors @, so kann man 
die Verteilung der Elektrizität nach (120) berechnen. Wäre 
anderseits die Verteilung der Elektrizität auf den Oberflächei 
der Leiter bekannt, so könnte man das Feld aus (119 b), (118 a] 
berechnen. Weder die eine noch die andere Problemstellunj 
liegt indessen in Wirklichkeit vor. Das Grundproblem de] 
Elektrostatik ist vielmehr das folgende: In dem von Ladun^ 
gen freien Lufträume gilt für das elektrostatische Potential di< 
Laplacesche Gleichung 

(121) div ^ = - div Vg? = - VV = . 

Auf den Oberflächen f^ eines jeden der Leiter muß cp einen 
stauten Wert 

(121a) ^ = 9» = constans , 

annehmen. Dieser Wert des Potentiales herrscht dann auch ii 
Innern des Leiters, da ja hier der Gradient des Potentiales vei 
schwinden soll. Nicht diese Werte aber sind im allgemeine] 
gegeben, sondern die Gesamtladung eines jeden der Leiter 

(121b) e,=fdf,.,^-±fäf,p^^. 

Gesucht ist die entsprechende Lösung der Laplaceschen Glei] 
chuDg; ist diese bis auf eine additive Konstante bekannt, so is< 
das elektrische Feld durch den Gradienten von cp eindeutig b( 
stimmt. Das so bestimmte Feld ist das elektrostatische, die eni 
sprechende Elektrizitätsverteilung tritt, im Falle des Gleichg« 
wichtes, wirklich ein. 



i? 30 Erstes Kapitel. Das elektrostatische Feld im Luftranme 101 

§ 30. Die Kapazität des Ktigelkondensators. 

Das elektrostatische Problem ist nur in wenigen Fällen ge- 
iqst. Der einfachste Fall ist eine geladene metallische Kugel. 
Es sei e die Ladung derselben, a ihr Radius; aus Symmetrie- 
gründen liegt es nahe, eine gleichförmige Verteilung der Ladung 

anzunehmen, so daß g 

o = - — i 

die Flächendichte der Elektrizität ist. Man erfüllt die Gleichungen 
(118) und (120), welche den Zusammenhang von Elektrizität 
und Kraftfluß ausdrücken — die erster e in Form einer Integral- 
gleichung, die letztere in Form einer Differentialgleichung — , 
indem man den Kraftfluß 4:%e durch aUe zur Oberfläche des 
Leiters konzentrischen Kugeln treten läßt und demgemäß die 
radiale Feldstärke ^ e 

r ^2 

setzt. Das Potential dieses wirbelfreien Feldes ist 

9' = -f + C; 

es hat auf der Kugel den konstanten Wert 



Wir müssen nun, um ein in der Natur mögliches elektro- 
statisches Feld zu erhalten, angeben, wo der Kraftfluß, welcher 
von der Kugel ausgeht, mündet. Wir woUen festsetzen, daß eine 
zweite konzentrische hohle MetaUkugel vom inneren Radius h 
die erste einschließt und daß auf dieser die negative Elektrizität 
sich befindet; da die Ladung — e gleichförmig über die Kugel 
verteilt ist, so beträgt die Flächendichte 

das Potential hat für r = & den Wert 

Diese Anordnung bezeichnet man als Kugelkondensator, 
und nennt „Kapazität" des Kondensators den Quotienten aus 



102 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 31 

der positiven Laduüg e und der Potentialdifferenz qp^ — 9^ des 
positiv geladenen und des negativ geladenen Leiters. Es ist 

/l l\ h — a 

mithin die Kapazität 

(122) K ' ""^ 



9>a — n ^ — « 

Durch Verkleinerung des Abstandes (& — a) der beiden Kugeln 
kann man sehr große Kapazitäten erzielen. 

Wenn man von der Kapazität einer einzelnen Kugel 
schlechtweg redet, so nimmt man an, daß die andere Kugel, 
welche die entgegengesetzte Ladung trägt, sich in sehr großer 
Entfernung befindet; die Kapazität der Kugel ist in diesem Falli 
gleich ihrem Radius a. Da die gesamte Elektrizitätsmenge einei 
Feldes stets gleich Null ist, so muß man in jedem Falle angebe 
wo die entsprechende Ladung entgegengesetzten Vorzeichens ihre: 
Sitz hat, d. h. wo der von der Kugel ausgehende Kraftfluß mün 
det. Bei Laboratoriumsversuchen mündet der Kraftfluß an de 
Wänden des Zimmers oder auf der Oberfläche etwa im Zimme 
anwesender Leiter. Befinden sich diese in Entfernungen, die grol 
gegen den Radius der Kugel sind, so ist die Kapazität der Kuge 
praktisch gleich ihrem Radius. 

t 
§ 31. Das gestreckte Botationsellipsoid. 

Wir woUen jetzt ein leitendes, gestrecktes Rotationsellipsoi 
betrachten, das elektrisch geladen ist; welches ist sein Feld un( 
welchen Wert hat seine Kapazität? Die Mündung des von de 
Leiteroberfläche ausgehenden Kraftflusses wird, wenn von de 
Kapazität des Ellipsoides schlechtweg die Rede ist, in sehr groß 
Entfernung verlegt, etwa auf eine zum Ellipsoid konzentrisch 
Kugelfläche. Die Aufgabe ist nun mathematisch folge ndermaßei 
zu formulieren (vgl. §29): Innerhalb des von den beiden Leiten 
begrenzten Raumes hat das Potential (p derLaplaceschen Gleichung 
(123) VV = 

zu genügen; auf den Oberflächen /*i,/'2 der Leiter nimmt es kon 
staute Werte 
(123a) (p =^ (p^^ gj ^ (p^ 






§ 31 Erstes Kapitel. Das elektrostatische Feld im Lufträume 103 

an; der Gradient von (p weist senkrecht zu diesen Flächen und 
ist nach (120) der Flächendichte co proportional 

dn 
Dabei ist o noch bis zu einem gewissen Grade willkürlich, 
es ist nur die Gesamtladung 

(123W e ^Jdt\<o = - ^Jdf, g = + tJ^f^Tn, 

vorgeschrieben. 

Es kommt meist nicht so sehr auf die Ermittelung der Elek- 
trizitätsverteilung als eben auf den Wert der Kapazität an; dieser 
ist bestimmt, wenn die Potentiale qp^, 9^2 ^'^^ beiden Leiter ge- 
funden sind; es wird dann 

(123 c) K^ 

Da es allgemeine Methoden zur Lösung des Grundproblems 
der Elektrostatik für beliebige Leiterformen nicht gibt, so wollen 
wir die Kapazität des gestreckten Rotationsellipsoides auf einem 
eigentümlichen, nur für diese besondere Leiterform gangbaren 
Wege lösen. Wir denken uns in unserer hydrodynamischen Ab- 
bildung die Verbindungslinie der Brennpunkte des Ellipsoids 
gleichförmig mit Quellen besetzt. Wir zeigen, daß die Äqui- 
potentialflächen des zugehörigen wirbelfreien Feldes konfokale 
Rotationsellipsoide sind, und daß das Feld auch die übrigen ver- 
langten Eigenschaften besitzt. 

Die Ergiebigkeit der ganzen Strecke, von der Länge 2c, 
setzen wir gleich e. Ihr Potential 






dt 



wo r den Abstand eines Aufpunktes von den Punkten der mit 
Quellen belegten Linie angibt, stellt selbstverständlich eine Lösung 
der Laplaceschen Gleichung (123) dar. Die ;?- Achse in die Quellen- 
linie, den Koordinatenanfang in ihren Mittelpunkt legend, setzen 

Tm^jl» 



104 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld. § 31 

und erhalten 

(124) , = - i,{^n(- 5+.))j:::= f,^«e4Sf:), 

wenn r^, r^ die Entfernungen des Aufpunktes von den durch 

gekennzeichneten Endpunkten der belegten Linie sind. 

Um nun zu zeigen, daß cp auf konfokalen Rotationsellipsoiden 
konstant ist, gehen wir aus von der Gleichung dieser Flächen- 
schar in der Parameterdarstellung 

. . ( 1 ^ a < oo, 

z = ca cos ß, yx^+ f= cya^— iBinß, |q <- ^ <^ ^ 

Die Flächen a =constans sind gestreckte Rotationsellipsoide, 

von den Halbachsen , ^/-s ^ 

(X = c«, o = cya^ — 1; 

für a = 1 erhält man die belegte Linie als Grenzfall eines se 
gestreckten Rotationsellipsoides. Die Flächen a = constans wer- 
den senkrecht geschnitten von den Flächen /3 = constans; dieses- 
sind nämlich konfokale Rotationshyperboloide mit den reellen. 
Halbachsen ccosß. Die Brennpunkte beider Flächen scharen sin 
die Endpunkte der belegten Linie. Mithin folgt aus bekannte: 
Eigenschaften der Kegelschnitte 

r, + ^2 = 2ca, ^1 ~" ^2 = 2^ cos ßy 
und daher r^ = ca -{- c cos ß^ r^ = Ca — c cos ß. 

Setzt man die für 0, r^, r^ erhaltenen Werte in (124) ein 
so erhält man 

(124a) <p = f ?»» (^_+i±5Jlf»^) ^l^in («± ') . 

"^ ^ ^ 2e \aco8|S — 1 -j- o: — cos |5/ 2c \a — 1/ 

Das Potential ist also in der Tat konstant auf den konfokalen 
Rotationsellipsoiden a = constans ; es verschwindet auf einer 
sehr großer Entfernung befindlichen Kugel. Denken wir uns 
irgendeines der gestreckten Ellipsoide der Schar als leitend, so 
genügt das Feld in dem von' dieser Fläche einerseits, von der 
sehr entfernten Kugel anderseits begrenzten Räume allen Bedin- 
gungen, des elektrostatischen Problemes. Das Feld ist hier wirbel- 
frei und quellenfrei, der gesamte, aus dem Ellipsoide heraus- 



§ 31 Erstes Kapitel. Das elektrostatische Feld im Lufträume 105 

tretende Kraftfluß ist gleich der Ergiebigkeit e der belegten Linie, 
endlich sind die beiden das Feld begrenzenden Leiteroberflächen 
Äquipotentialflächen. Es sind demnach die Bedingungen (123), 
(123 a), (123b) erfüllt. Vorausgesetzt, daß diese Bedingungen 
überhaupt das elektrostatische Feld eindeutig bestimmen — auf 
diese Frage kommen wir weiter unten in § 41 zurück — , ist 9 
das Potential des gesuchten Feldes. 

Sind a, hj c jetzt große und kleine Halbachse und halber 
Brennpunktabstand des leitenden EUipsoides, so ist, um dessen 
Potential cp^ zu erhalten, in (124 a) 

a = — =«= , zu setzen. Es wird 

c ya^ — b^ 

(124b) ,. = |^-Z«(|±-3 = ^M(^+lf^> 

da außerdem auf der sehr entfernten Kugel (für a = 00) 

92 = 

ist, so wird die Kapazität K des gestreckten Rotations- 
ellipsoides bestimmt durch 



Für sehr gestreckte EUipsoide, d. h. für sehr kleine Werte 
des Quotienten & : a, erhält man 

Die Kapazität eines solchen stabförmigen Leiters, der etwa 
durch einen Draht mit kreisförmigem, nach den Enden hin ab- 
nehmendem Querschnitt zu verwirklichen ist, ergibt sich um so 
kleiner, je geringer bei gegebener Länge seine Dicke ist. Die 
Elektrizitätsverteilung wird übrigens in diesem GrenzfaUe durch 
die oben zur Ableitung des Potentiales benutzte gleichförmige 
Belegung der die Brennpunkte verbindenden Strecken dargestellt. 
Die Elektrizität verteilt sich demnach über den stabförmigen 
Leiter so, daß auf gleiche Längen des Drahtes gleiche Ladungen 
entfallen. 



106 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 32 

§ 82. Ein elektrischer Punkt gegenüber einer 
leitenden Ebene. 

Wir denken uns das f'eld auf der einen Seite durch eine un- 
endliche Ebene begrenzt, welche die Oberfläche eines Leiters 
bildet. Im Abstände a von dieser Ebene, in einem Punkte Ay 
denken wir uns einen kleinen, mit der ElektrizitUtsmenge e ge- 
ladenen Körper befindlich. Die Abmessungen des Körpers sollen 
so klein sein, daß sein elektrisches Feld bei Abwesenheit der 
leitenden Ebene aus dem Potentiale 

e 

abzuleiten wäre. Es fragt sich nun, wie die leitende Begrenzungs- 
ebeue das Feld beeinflußt. Jenes Potential genügt offenbar keines- 
wegs der Bedingung, auf der leitenden Ebene konstant zu sein. 
Man kann indessen ein Feld erhalten, für welches jene Ebene 
Äquipotentialfläche ist, indem man dem Punkte Ä den spiegel- 
bildlich ihm entsprechenden B zuordnet und sich in diesem Bild- 
punkte die entgegengesetzte Ladung — e befindlich denkt. Ist r 
der Abstand eines Aufpunktes vom Bildpunkte, so stellt 

(125) «P = f-4 

das Potential des Gesamtfeldes in dem betrachteten Halbraume 
dar. Dasselbe ist gleich Null auf der Begrenzungsebene, da hier 
r == r' ist. Das wirbelfreie Feld ist auf derjenigen Seite der 
Ebene, in welcher der Punkt Ä liegt, quellenfrei, mit Ausnahme 
des Punktes Ä selbst; von diesem geht der Kraftfluß 4x6 aus. 
^ Auf der Begrenzungsebene beträgt die senkrecht zu ihr wei- 
sende elektrische Feldstärke 

'* dn dn dn r' ' 

die ihr nach (120) proportionale Flächendichte ist 
(125a) o = -i-fö =-^.4. 

Die Elektrizität verteilt sich mithin in der Weise auf der 



S 32 Erstes Kapitel. Das elektrostatische Feld im Lufträume 107 

ebenen Oberfläclie des Leiters, daß die Fläcliendiclite der dritten 
Potenz des Ab Standes vom elektrischen Punkte umgekehrt pro- 
portional ist. Als gesamte Ladung der Ebene 

wird durch Einführung von Polarkoordinaten q, O erhalten 



Z7l 00 






Es endigt mithin der ganze im Punkte A beginnende Kraft- 
fluß auf der ebenen Oberfläche des Leiters. 

Die Erscheinung, daß ein elektrisch geladener Körper auf 
der Oberfläche eines benachbarten ursprünglich ungeladenen 
Leiters Ladung entgegengesetzten Vorzeichens hervorruft, be- 
zeichnet man als „elektrische Influenz". Diese Erscheinung 
ist als Folge des Umstandes aufzufassen, daß das Feld in das 
Innere des Leiters nicht eindringen kann. Ist der Leiter von end- 
licher Ausdehnung und ohne leitende Verbindung mit anderen 
Körpern, so muß, da seine Ladung im ganzen gleich Null bleibt, 
der Kraftfluß, welcher auf der dem influenzierenden Punkte gegen- 
überliegenden Seite endigt, auf der anderen Seite wiederum den 
Leiter verlassen. In dem oben behandelten Falle eines unendlich 
ausgedehnten, das Feld nach der einen Seite hin abschließenden 
Leiters indessen ist die Ladung -f- e, die gleichzeitig mit der in- 
fluenzierten Ladung — e bei Annäherung des influenzierenden 
Punktes entstand, fortgeschafft zu denken. 

Die Lösung des Influenzproblemes mit Hilfe elektrischer 
Bilder ist von W. Thomson auf kugelförmige Leiter ausgedehnt 
worden. 

Wird in die Nähe eines geladenen Leiters ein elektrischer 
Punkt gebracht, etwa als Probekörper zur Untersuchung des 
Feldes, so überlagert sich sein durch Anwesenheit des Leiters 
beeinflußtes Feld dem ursprünglichen Felde des Leiters. Daher 
wird die Kraft, die der Probekörper erfährt, nicht der ursprüng- 
lichen, sondern der durch seine Anwesenheit veränderten Elek- 



108 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 33 

trizitätsverteilung über den Leiter hin entsprechen, die Kraft 
wird hier ein genaues Maß für die ursprünglich herrschende Feld- 
stärke nicht ergeben, um so weniger, je größer die Ladung des 
Probekörpers ist und je mehr er sich der Oberfläche des Leiters 
nähert. In unmittelbarer Nähe der Leiteroberfläche ist die im 
§ 26 gegebene Ermittelung des Vektors ^ durch den Probekörper 1 
nur dann richtig, wenn man die Ladung desselben beliebig klein 
machen kann. Strenggenommen bestimmt erst der bei fortgesetzter 
Verkleinerung der Ladung e des Probekörpers erreichte Grenzwert 



lim 

e = 



\—\ den Vektor (S. 



Zweites Kapitel. 

Dielektrika, 



I 



§ 33. Dielektrizitätskonstante und elektrische Verschiebung. 

Wir haben uns bisher auf das elektrische Feld im Lufträume 
beschränkt. Wir gehen jetzt dazu über, andere Isolatoren in Be- 
tracht zu ziehen. Faraday hat gefunden, daß die Kapazität eines 
Kugelkondensators (§ 30) sich ändert, wenn der Raum zwischen 
den Kugeln mit anderen isolierenden Stoffen, etwa Wachs oder 
Schwefel, ausgefüllt wird; die Ladung der Kugeln bei konstant 
gehaltener Potentialdifferenz wächst dann in einem bestimmten, 
nur von der betreffenden isolierenden Substanz abhängigen Ver- 
hältnis; die Kapazität des Kondensators wird jietzt nicht mehr 
durch die Formel (122), sondern durch die allgemeinere Formel 

(126) K^ — ' — = «.-^ 

gegeben. Die Konstante f , welche das dielektrische Verhalten 
eines Isolators anzeigt, wird die „Dielektrizitätskonstante^^ 
genannt. Sie ist definiert als Quotient aus der Kapazität eines 
mit dem betreffenden homogenen Dielektrikum gefüllten Kugel- 
kondensators und der Kapazität eines geometrisch gleichen Luft- 
kondensators. Es ist z. B. die Dielektrizitätskonstante von Pa- 
raffin 2,3, von Gläsern 6 bis 8, von destilliertem Wasser 76. 



§ 33 Zweites Kapitel. Dielektrika 109 

Die Dielektrizitätskonstante der Gase, insbesondere der atT 
mosphärischen Luft, hängt wesentlich von der Dichte ab, und 
zwar in der Weis«, daß für alle Gase die Werte von s mit ab- 
nehmender Dichte sich einem und demselben Grenzwerte nähern. 
Diesen Grenzwert bezeichnet man als Dielektrizitätskon- 
stante des leeren Raumes oder des „Äthers". Die Tatsache, 
daß bei starker Verdünnung des in einem Räume enthaltenen 
Stoffes die Gesetze des elektrischen Feldes von der chemischem 
Natur des Stoffes unabhängig werden, ist für die Entwicklung 
der Elektrizitätslehre überaus wichtig geworden. Sie legt die 
Annahme nahe, daß auch der leere Raum elektrische, Wirkungen 
vermittelt, daß er der Sitz eines elektrischen Feldes sein kann. 
Da man früher dem Raum nur geometrische Eigenschaften bei- 
zulegen pflegte, so hat man für den mit elektromagnetischen 
Eigenschaften behafteten Raum ein besonderes Wort „Äther*^ 
eingeführt. Es ist gut, sich zu vergegenwärtigen, daß sowohl der 
Begriff des geometrischen Raumes wie auch der Begriff des 
elektromagnetischen Äthers nur Abstraktionen sind. Die Eigen- 
schaften des Raumes, welche die Geometrie behandelt, und die- 
jenigen, welche uns durch das Studium der elektromagnetischen 
Vorgänge bekannt geworden sind, sind zwar rein begrifflich zu 
scheiden, in Wirklichkeit aber sind sie unzertrennlich; geometri- 
sche und elektromagnetische Eigenschaften zusammen kennzeich- 
nen erst den wirklichen Raum. Wir verbinden heute mit dem 
Worte „Äther" keineswegs die Vorstellung einer hypothetischen 
Substanz; vielmehr gebrauchen wir dieses historisch überlieferte 
Wort heute als Abkürzung, wenn wir ohne Weitschweifigkeiten 
von dem Räume als Träger eines elektromagnetischen Feldes 
sprechen. 

Wir haben uns bisher der Luft bei Atmosphären druck als 
Normalsubstanz bedient und auf diese die Dielektrizitätskonstan- 
ten der Körper bezogen. Bei theoretischen Untersuchungen wird 
man besser die Dielektrizitätskonstanten der Körper auf den 
Äther beziehen; die Zahlenwerte von € werden dann alle größer 
als 1, insbesondere wird für Luft unter Atmosphärendruck s gleich 
1,000590. Praktisch ist demnach der Unterschied der dielektri- 



110 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 33 

sehen Konstanten von Luft bei Atmosphären druck und bei großer 
Verdünnung meist zu vernachlässigen. Immerhin wollen wir von 
jetzt an die Festsetzung treffen, daß dieEntwickelungen des vorigen 
Kapitels sich streng genommen auf den Luftraum bei unendlicher^ 
Verdünnung der Luft, d. h. auf den Äther beziehen. Wir woLLenJ 
jetzt dazu übergehen, die Grundgesetze der Elektrostatik so zu 
verallgemeinern, daß sie beliebige isotrope Dielektrika umfassen. 

Für ein homogenes, flüssiges oder gasförmiges Dielektrikum 
geschieht gleichfalls die Ermittelung des Vektors (B mit Hilfe 
des geladenen Probekörpers (vgl. § 26). Auch hier ergibt die 
Erfahrung, daß das Feld von @ überall wirbelfrei ist (118); das- 
selbe leitet sich also aus einem Potential g? ab. Um nun die nach 
Gleichung (126) geänderte Kapazität eines Luftkondensators zuj 
erklären, muß man die durch (117) ausgedrückte Beziehung zwi- 
schen der elektrischen Feldstärke @ und der elektrischen Ladung i 
aufgeben. 

Wir führen mit Maxwell einen neuen Vektor !^ ein, welcher] 
den Vektor ß in der Gleichung (117) ersetzt, und welcher „elek- 
trische Verschiebung genannt wird. Er soU folgender Fest-I 



Setzung genügen 



(127) Jrf/-2)„ 



= Ane. 



D. h. d^ über eine geschlossene Fläche /"erstreckt 
Integral der Normalkomponente des Vektors ^ ode 
die gesamte elektrische Verschiebung durch die Fläche 
ist gleich der gesamten, von der Fläche umschlossenen 
elektrischen Ladung, multipliziert mit 4.t. Maxwell defi 
niert übrigens den Vektor ^ der elektrischen Verschiebung (eng- 
lisch ,,displacement'') so, daß in (127) der Faktor 4:r fortfällt; 
aus Gründen, die später hervortreten werden, ist in diesem Buche 
seit der vorigen Auflage die Maxwellsche Definition des Vek 
tors S geändert worden. Maxwells Bezeichnung „elektrische 
Verschiebung" liegt übrigens ein von der hydrodynamischen 
Abbildung etwas abweichendes mechanisches Bild zugrunde, indem 
sie das Feld des Vektors 2) nicht durch die in der Zeiteinheit 
stattfindende Strömung eines Fluidums abbildet, sondern durch 



5 33 Zweites Kapitel. Dielektrika Hl 

die gesamte Verschiebung, welche die Teilchen des Fluidums von 
der Gleichgewichtslage aus erfahren haben. Vom Standpunkte 
der Geometrie der Vektorfelder aus sind indessen die beiden Bil- 
der nicht wesentlich voneinander verschieden. Neuerdings wird 
^ von manchen Autoren als „elektrische Erregung" bezeichnet. 
Die Elektrizität ist, je nrich dem Vorzeichen, Quelle oder 
Senke der elektrischen Verschiebung. In dem von Elektrizität 
freien Gebiete des Isolators ist das Feld des Vektors 2) quellen- 
frei; dagegen gelten, wenn es sich um räumlich oder fläch enhaft 
verteilte Ladungen handelt, die Beziehungen 
(127 a) div2) = 4;r(), 

(127 b) -{2)„tH-D„2)=4:ra3, 

welche an dip Stelle von (117 a, b) treten. 

Da nun nach diesen Festsetzungen für den Kugelkondensator 
von gegebener Ladung die gesamte Verschiebung durch kon- 
zentrische Kugeln dieselbe ist wie früher, und da der Zusammen- 
hang von ® und g? der alte geblieben ist, so ist, um die durch 
(12G) ausgedrückte Änderung der Kapazität zu erhalten, der 
Vektor S mit <$ folgendermaßen zu verknüpfen 
(128) 2) = £-«. 

In der Tat wird dann der Quotient von Ladung, d. h. Flächen- 
integral von ^, zur Potentialdifierenz der Kugeln, d. h. dem 
Linien integral von ^, im Verhältnis s : 1 vergrößert, wenn der 
vorher leere Raum des Kugelkondensators mit dem betreffenden 
Isolator gefüllt wird. 

Überhaupt kann man das elektrostatische Problem für den 
Fall, daß das Feld von einem homogenen Isolator gefüllt ist, 
allgemein auf den Fall zurückzuführen, wo die geladenen Leiter 
sich im leeren Räume befinden. Werden die Ladungen der 
Leiter konstant gehalten, so wird das Feld des Vektors 3) 
durch Füllung des Raumes mit dem Dielektrikum nicht 
geändert, aber ® und (p werden im Verhältnis 1 : s ver- 
kleinert. Werden aber die Potentiale der Leiter kon- 
stant gehalten, so bleibt das Feld des Vektors @ un- 
geändert, mithin wird S und die elektrische Ladung 



112 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 3^ 

im Verhältnis s : 1 vergrößert. Es folgt z. B., daß die Kap: 
zit'ät eines einzelnen Leiters, im Verhältnis s : 1 vermehrt wir 
wenn der Leiter aus dem leeren Raum in ein Dielektrikum ge 
bracht wird, freilich streng genommen nur dann, wenn dasselb 
den ganzen Raum außerhalb des Leiters erfüllt. Wenn die Dielek 
trika nicht homogen sind, oder wenn Trennungsflächen zweie: 
Isolatoren im Felde verlaufen, sind besondere Betrachtungen 
notwendig. 

Für ein festes Dielektrikum ist es nicht ohne weiteres mög- 
lich, den Vektor ^ mit Hilfe des Probekörpers zu bestimmen 
und 80 die wirbelfreie Verteilung des Feldes festzustellen. Hier 
sind die soeben aufgestellten Gesetze des Feldes zunächst rein 
hypothetisch einzuführen; die Rechtfertigung ist in der Richtig- 
keit der weiterhin zu entwickelnden Folgerungen zu sehen, die 
sich auf das Feld außerhalb der festen Dielektrika oder auf die 
Kapazität der Leiter beziehen. 

§ 34. Wahre und freie Elektrizität. 

In einem elektrostatischen Felde, welches von dielektrischen 
Körpern erfüUt ist, haben wir jetzt zwei Vektoren (§; und 2) zu 
unterscheiden, die in isotropen Körpern durch (128) verknüpft 
sind. Die Quellen der elektrischen Verschiebung 2) sind nach 
(127 a, b) die Ladungen wahrer Elektrizität: 

Die räumliche Dichte der wahren Elektrizität ist 
gleich der Divergenz, ihre Flächendichte gleich der 
Flächendivergenz von 2), dividiert durch 4;r. 

Neben der „wahren Elektrizität" führen wir jetzt die „freie 
Elektrizität" durch folgende Festsetzungen ein: Die räum- 
liche Dichte q' der freien Elektrizität und die Flächen- 
dichte o' derselben sind gleich der räumlichen Diver- 
genz bzw. der Flächendivergenz des Vektors ©, divi 
diert durch 4:7C 

(129) div@ = 4:r()', 

(129a) ^ _((i^^ + @^^) = 4W. _ 

Die auf einem isolierten Leiter befindliche Menge wahrer 
Elektrizität wird durch Einführung in einen anderen Isolator 



T L~ 



§ 34 Zweites Kapitel. Dielektrika 113 

nicht geändert. Der vom Leiter ausgehende Kraftfluß aber, und 
daher die Menge der freien Elektrizität auf dem Leiter, wird da- 
durch geändert. 

Wir betrachten das Feld, das eine Anzahl geladener Leiter 
umo-ibt. Die Flächendichte der wahren Elektrizität, die an der 
Oberfläche der Leiter ihren Sitz hat, ist, wenn n die äußere 
Normale dieser Fläche bezeichnet, nach (127 b) 

(129 b) 4:7ro = 2)„. 

Wir nehmen an, daß weder im Innern der im Felde befind- 
lichen Dielektrika noch an der Trennungsfläche je zweier der- 
selben wahre Elektrizität sich befindet, dann gilt 

(129c) div2) = 0, 

(129d) 1^„i+3)„,= 0. 

Die Normalkomponente von ^ durchsetzt demnach 
stetig die Trennungsfläche zweier Dielektrika. 

Die räumliche Dichte q' der freien Elektrizität ist nach (128) 
und (129 c) im Innern homogener Isolatoren ebenfalls gleich 
NuU, sie ist aber von NuU verschieden, wenn der Isolator in- 
homogen, d. h. wenn e in demselben nicht konstant ist. Insbe- 
sondere in einer Übergangsschicht zweier Dielektrika ist freie 
Elektrizität anzunehmen; im GrenzfaUe unstetigen Überganges 
bildet sie eine Flächenbelegung von der durch (129 a) bestimmten 
Fläcbendichte o'. 

Die elektrische Feldstärke ® ist im elektrostatischen Felde 
überall wirbelfrei verteilt und daher als negativer Gradient eines 
Potentiales darzustellen 

(130) d = _ V^) , curl @ = . 

Auch an der Trennungsfläche verschiedener Stoffe treten 
keine Flächenwirbel (§ 22) des Vektors (^ auf, d. h. die tan- 
gentiellen Komponenten von © durchsetzen stetig die 
Trennungsfläche zweier Körper. 

Im Innern homogener Isolatoren ist nach (128) und (130) 
auch der Wirbel des Vektors 2) NuU, aber im Innern inhomo- 
gener Isolatoren sowie insbesondere auf der Trennungsfläche 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 8 



114 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 8{ 

verschiedener Isolatoren können Wirbel von S ihren Sitz haben y 
das Feld des Vektors 2> ist somit nicht durchweg wirbelfrei und' 
daher nicht allgemein aus einem skalaran Potential abzuleiten 

Will man das Potential 9? berechnen, so muß man natürlich, 
die Quellen des wirbelfreien Vektorfeldes 

(| = _ V9) 
in Betracht ziehen, d. h. die freie Elektrizität. 

Es ist 
(130a) ^^pll-+fif^, 

WO q\ die räumliche Dichte der freien Elektrizität, in denjenigen 
Volumelementen von NuU verschieden ist, wo £ mit dem Orte 
variiert, und o', die Flächendichte djer freien Elektrizität, nicht 
nur an der Oberfläche der Leiter, sendern auch an der Trennungs 
fl.äche je zweier Isolatoren ihren Sitz hat. 

§ 35. Die elektrischen Kraftlinien. 

Bei elementaren Darstellungen der Elektrizitätslehre pflegt 
man vielfach das elektrische Feld durch Zeichnung der „Kraft- 
linien** zu veranschaulichen. Es sind dies Kurven, deren Tan- 
gente in jedem Punkt des Feldes die Richtung des Vektors @ 
anzeigt. Man zeichnet die Kraftlinien gewöhnlich so, daß die 
Zahl der Kraftlinien, die eine gegebene Fläche durchsetzen, ein 
Maß für den durch die Fläche hindurchtretenden Krafttiuß ist. 
Es beginnen dann die Kraftlinien dort, wo freie Elektrizität po- 
sitiven Vorzeichens, sie endigen dort, wo solche negativen Vor- 
zeichens ihren Sitz hat. 

Ebenso kann man das Feld des Vektors ^ durch „Verschie- 
bungslinien" darstellen, deren Tangente in die Richtung von 
2) fällt, während ihre Zahl ein Maß des Betrages von 2) ist. Der 
Ursprung und die Mündung der Verschiebungslinien wird dann 
mit dem Sitz der wahren Elektrizität zusammenfallen. Begnügte 
man sich jedoch mit der Darstellung der Richtung der Vektoren | 
^und ^, welche in isotropen Körpern miteinander übereinstimmt, 
so kann man in solchen Körpern die Verschiebungslinien mit 
den Kraftlinien zusammenfallen lassen. 



§ 36 Zweites Kapitel. Dielektrika 115 

Aus der Stetigkeit der normalen Koroponeuten von ^ und 
der tangentialen Komponenten von © (§ 34) folgt das Bre- 
chungsgesetz der Kraftlinien an der Grenze zweier ho- 
mogener Isolatoren. Die Kraftlinien, die vom Dielektrikum 
(1) nach (2) gehen mögen, zeigen die Richtung beider Vektoren 
^ und 2) an. Es seien a^y cc^ die Winkel, welche die Richtungen 
der beiden Vektoren zu beiden Seiten der Trennungsfläche mit 
dem von (1) nach (2) gehenden Lote einschließen. Dann ist 

|2)i| cos «1= 1^2! ^^s "2J l^il si^ ^1== 1^2! sin «2? 

daher, mit Rücksicht auf (128) 

(131) tgofi :tga2=£i:f2. 

Die trigonometrischen, Tangenten der Kraftlinien- 
richtungen gegen das Lot der Trennungsfläche ver- 
halten sich wie die Dielektrizitätskonstanten der beiden 
aneinander grenzenden Isolatoren. Die Kraftlinien werden also 
beim Eintritt in einen Isolator mit größerer Dielektrizitätskon- 
stante vom Lote fortgebrochen. 

^ 36. Kngelkondensator mit zwei dielektrischen Schichten. 

Trefff^n die Kraftlinien senkrecht auf die Trennungsfläche 
zweier Isolatoren, so ändert sich ihre Richtung nicht; es ent- 
steht aber eine Flächenbelegung freier Elektrizität. Als Beispiel 
mag wieder der Kugelkondensator (§ 30) dienen. An die innere 
Kugel vom Radius a mag sich zunächst eine dielektrische Kugel- 
schicht von der Dielektrizitätskonstante £^ anschließen, die nach 
außen durch eine konzentrische Kugel vom Radius c begrenzt 
wird; der Raum zwischen dieser Kugel und der leitenden Kugel 
vom Radius h sei von einem zweiten Isolator von der Dielektri- 
zitätskonstante £2 erfüllt. 

Wahre Elektrizität sitzt nur auf der Oberfläche der beiden 
Metallkugeln, und zwar positive -f- e auf der inneren, negative 
— e auf der äußeren. Die gesamte elektrische Verschiebung durch 
die konzentrischen Kugeln ist gleich e. Die Vektoren 2), (S sind 
radial gerichtet, es ist daher im ersten Isolator 



116 



Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld 



§ 36] 



^r 



C 



im zweiten Isolator 



3).= ^, 



1 e 



1 e 



Die Grenzbedingungen, welche stetigen Übergang der Normal- 
komponenten von ^ und der tangentiellen Komponenten von (B 
verlangen, sind hierdurch erfüllt. 

Es ist die Flächendichte der wahren Elektrizität an der 
inneren Metallkugel g 



(O = 



an der äußeren Metallkugel 



4«a'' 



43rft' • 



Hingegen die Flächendichte der freien Elektrizität an dei 
inneren Metallkugel ist ^ ^ g 

«1 43ra' ' 

an der Trennungsfläche der beiden Isolatoren 
r (1 1\ e 

an der äußeren Metallkugel 

1 e 
fj 47r6* 

Die Gesamtmengen freier Elektrizität sind auf der innerer 
Metallkugel ^ ^ ^ 

auf der Trennungsfläche der beiden Isolatoren 

e'= (ö'4;cc^ = e ( — -\ , 
auf der äußeren Metallkugel 

Die algebraische Summe der freien Elektrizitäten, die ai 
den beiden Metallkugeln und auf der Trennungsfläche der beiden! 
Isolatoren sich befinden, ist gleich Null. 



I 



§ 37 Zweites Kapitel. Dielektrika 117 

Die Potentialdifferenz der beiden leitenden Kugeln ist 

c b 

a c 

Daher ist die Kapazität K des Systemes bestimmt durch 

Sind die Radien &, c groß gegen a, so kann man K ^ e^a 
setzen, d. h. die Kapazität eines Systemes ist dann gleich der Ka- 
pazität einer Kugel, die sich allein in einem ganz von dem ersten 
Isolator erfüllten Räume befindet. Die erhaltene Gleichung lehrt, 
wie groß die Dicke der dielektrischen, der Kugel anliegenden 
Schicht sein muß, damit praktisch das zweite Dielektrikum die 
Kapazität nicht mehr beeinflußt. 

§ 37. Ein elektrischer Punkt gegenüber einem 
dielektrischen Halbraume. 

Wir denken uns einen elektrischen Punkt A im Lufträume 
befindlich, im Abstände a von der ebenen Oberfläche eines Di- 
elektrikums; welchen Einfluß übt die Anwesenheit des Dielektri- 
kums aus? Die Aufgabe entspricht der im § 32 für die leitende 
Ebene gelösten. Damals jedoch brauchten wir nur das Feld im 
Lufträume in Betracht zu ziehen, da jenseits der leitenden Ebene 
überhaupt kein Feld besteht. Jetzt wird auch das Feld inner- 
halb des Isolators zu berücksichtigen sein; wir wollen annehmen, 
daß der Isolator den ganzen Halbraum einnimmt. Seine Dielek- 
trizitätskonstante sei fg, fj diejenige der Luft. 

Wir versuchen auch dieses Problem nach der Methode der 
elektrischen Bilder zu lösen. Wir denken uns wieder den Punkt J5 
jenseits der ebenen Begrenzung des Halbraumes, der A spiegel- 
bildlich entspricht, und nennen r, / die Abstände eines Aufpunktes 
von A bzw. seinem Bilde B. 

Wir setzen für das Potential im Lufträume 
_ 6 e' 

Es soll also das Feld im Lufträume der wahren Ladung e m A 



118 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 37 

und der fingierten wahren Ladung (— e') in B entsprechen. Dieser 
Ansatz genügt 'der Grundbedingung, daß Quellen elektrischer Ver- 
schiebung innerhalb des Luftraumes nur in Ä vorhanden sind; 
denn der ßildpunkt B liegt ja außerhalb des Luftraumes. 

Was nun das Feld innerhalb des Dielektrikums anbelangt, so 
wollen wir versuchen, es durch den Ansatz für das Potential 
im Dielektrikum ^^ 

•^^^^^ 

darzustellen. Es soll also das Feld in dem Isolator so beschaffen 
sein, als ob der Isolator unendlich ausgedehnt und in Ä die wahre 
Ladung e" befindlich wäre. Dieser Ansatz entspricht der Bedin- 
gung, daß innerhalb des wirklich von dem Dielektrikum erfüllten 
Halbraumes Quellen oder Senken elektrischer Verschiebung nicht 
vorkommen. 

Man zeigt, daß das Feld wirklich durch diese Ansätze darge- 
stellt wird, indem man nachweist, daß die Grenzbedingungen an 
der Begrenzungsebene des Dielektrikums durch geeignete Ver- 
fügung über die bisher unbestimmten Größen e\ e" zu erfüllen sind. 
"Was zunächst die Normalkomponenten von S anbelangt, so ist 






a 
«.8 ; 



wobei die Normalen w^, n^ von dem betreffenden Körper nach 
der Grenzfläche hinweisend angenommen sind. Die Grenzbedin 
gung (129 d) verlangt nun das Verschwinden der Flächendiver- 
genz von ^ ; da r = /, so ist die Forderung dieser ersten Grenz- 
bedingung e + e-e' = 0. 

Anderseits sollen die Tangentialkomponenten von ß zu beiden 
Seiten der Trennungsebene die gleichen Werte besitzen: dies wird 
jedenfalls dann der Fall sein, wenn <p^ = qpg längs der Ebene er- 
füllt ist, denn © ist ja der negative Gradient von (p. Die Bedin- 
gung cp^ == (f^ ist nicht nur hinreichend, sie ist auch notwendig, 
wenn Doppelschichten freier Elektrizität an der Oberfläche des 
Isolators ausgeschlossen werden. Wir verlangen also zweitens 



§ 37 Zweites Kapitel. Dielektrika 119 

Man erhält aus den beiden in e, e', e' linearen Gleichungen 
e — t 



e' = e . -' 






(133) .__._. 

Hierdurch sind die fingierten „wahren'' Ladungen (— e') in ]&, 
(-f c") in ^ bestimmt. Die Kraftlinien innerhalb des Dielektri- 
kums verlaufen so, daß sie radial von A auszugehen scheinen, 
während im Lufträume das Feld durch Überlagerung zweier von 
dem Quellpunkte A und dem Senkpunkte B herrührender Felder 
sich darstellen läßt. 

Ersetzt man das Dielektrikum durch einen Leiter, so hat man 
nach § 32, um das Potential im Lufträume zu bestimmen, dem 
Bildpunkte B die Ladung (— e) zu geben. Es ist also die störende 
Wirkung des Dielektrikums auf die Feldstärke im Lufträume, 
verglichen mit der störenden Wirkung des Leiters, zu messen 

Das Dielektrikum übt also stets einen geringeren Einfluß aus als 
der Leiter. Im Grenzfalle indessen, wo die Dielektrizitätskonstante 
fg des Isolators sehr groß ist gegen diejenige der Luft, wird e' = e, 
d. h. der Leiter beeinflußt das Feld im Lufträume eben- 
so wie ein Isolator von unendlich großer Dielektrizi- 
tätskonstante. 

Was ferner die Feldstärke innerhalb des Dielektrikums be- 
trifft, so entspricht diese der in A befindlichen frelenLadung - 
in einem unbegrenzten Dielektrikum; würde das Dielektrikum ent- 
fernt, so wäre die Feldstärke hier aus der freien Ladung — zu 

bestimmen, welche dem im Lufträume befindlichen Punkte A 
wirklich zukommt. Das Eindringen des Feldes wird demnach ge- 
messen durch den Quotienten 

Im Grenzfalle unendlicherDielektrizitätskonstante 
i. ist die elektrische Feldstärke im Innern des Isolators 
XuU, genau wie im Innern eines Leiters, 



1 



120 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 37 

Für das Eindringen der elektrischen Verschiebung trifft das 
allerdings nicht zu; dieses wird gemessen durch das Verhältnis 
der wahren Ladungen 

welches im Grenzfalle eines unendlichen Wertes von s^ gleich 2 
wird. Die Zahl der in den Halbraum eintretenden Verschiebungs- 
linien wäre offenbar, faUs der ganze Raum mit Luft gefüllt wäre, 
gleich 27ce, entsprechend der halben wahren Ladung von^; denn 
die Verschiebungslinien würden in diesem Falle von Ä radial aus- 
gehen, nach allen Seiten in gleicher Dichte. Ist hingegen der 
Halbraum von dem Dielektrikum eingenommen, so entspricht, 
wie wir sehen, die eintretende elektrische Verschiebung einer in 
Ä befindlichen wahren Ladung e"; mithin ist die Zahl der in den 
Halbraum eintretenden Verschiebungslinien 

2ae' = 4:7ce p— • 

Auf der Grenzebene der beiden Dielektrika können keine Ver- 
schiebungslinien beginnen oder endigen, weil hier keine wahre 
Elektrizität ist. Es muß demnach von den 4^6 Verschiebungs 
linien, welche im Punkte Ä beginnen, der Teil 

4:7te r — 

jenseits des Dielektrikums endigen, der Rest 

4:7ce ' — -p — 

jenseits des Luftraumes; hier sind etwa leitende Körper anzu- 
nehmen, auf denen die Verschiebungslinien endigen. Im Grenz - 
falle ^2= ^^ befindet sich die wahre Ladung —e jenseits 
des Dielektrikums, während sie in dem zum Vergleiche 
herangezogenen Falle des Leiters auf der Leiterober- 
fläche sitzt. Die freie Ladung hingegen verteilt sich in dem 
hier betrachteten Falle über die Begrenzungsebene des Dielektri- 
kums von unendlicher Dielektrizitätskonstante genau so wie über 
die Oberfläche des Leiters, da ja die Feldstärken in beiden Fällen 
die gleichen sind. 



o 



i 



§ 38 Zweites Kapitel. Dielektrika 121 

§ 38. Die Polarisation der Dielektrika. 

Wir kehren zum allgeineinen Falle beliebiger isotroper Di- 
elektrika zurück. Dieselben mögen teils an die mit wahrer Elek- 
trizität geladenen Leiter unmittelbar angrenzen, teils in den leeren 
Kaum eingebettet sein. Wir wollen jetzt versuchen, das elektrische 
Feld in zwei Felder zu zerlegen, von denen das erste (^q von der 
an der Oberfläche der Leiter befindlichen wahren Elektrizität her- 
rührt, während das zweite ß — ^q von den dielektrischen Kör- 
pern auszugehen scheint. Dabei soll ^q aus der Flächendichte o 
der wahren Elektrizität nach den Gesetzen berechnet werden, 
die für das Feld im leeren Räume gelten, also folgendermaßen 



_ rdfco 



Zn dem Potentiale q)^ liefern nur die Flächen Beiträge, in denen 
die Metalle an den leeren Raum bzw. an Dielektrika angrenzen. 
Für das Feld % — % gilt jetzt, nach (130a) 

dfico' — oi) 



V(9 - 9^0). 9^ - 9^0 = J ^ + J ' 



r 



zu dem Potentiale cp — qp^ liefern demnach alle mit freier Elek- 
trizität behafteten Stücke jder Dielektrika Beiträge sowie die 
Grenzflächen, welche Dielektrika vom Äther bzw. von den Me- 
tallen, oder welche zwei Dielektrika voneinander trennen. Dabei 
gilt an solchen Trennungsflächen, nach (127 b und 129 a), 

Im Äther sind ferner die Vektoren 2) und ^ einander gleich, 
während im Innern der Metalle ein elektrostatisches Feld über- 
haupt nicht auftritt. Es bleibt daher an den Flächen, in denen 
ein Dielektrikum an den leeren Raum oder an ein Metall angrenzt, 
nur der auf das Dielektrikum bezügliche Summand bestehen 

wo n die von dem Innern des Dielektrikums aus nach der Ober- 
fläche hinweisende Normale bezeichnet. 



t. 

fl 



122 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § S^ 

An der Trennungsfläcbe zweier Dielektrika bleibt der obige "^ 
allgemeinere Ausdruck für (co' — co) gültig, der sich aus zwei auf 
die einzelnen Dielektrika bezüglichen Gliedern zusammensetzt. 
Wir wollen jedoch den Übergang eines Dielektrikums in ei 
anderes als stetig voraussetzen, so daß die Übergangsschicht als! 
inhomogenes, mit freier räumlicher Ladung behaftetes Dielektri 
kam anzusehen ist. Es gilt hier, wie überhaupt in inhomogenen 
Isolatoren, nach (129, 129 c) 

p' = Adive = i^div(«-a)). 

Wir führen nunmehr einen neuen Vektor ^ ein 
(134) !p = ^(t>_«) = ^-J6, 

den wir „elektrische Polarisation" des Dielektrikums nennen. 
Dann wird an der Grenzfläche des Dielektrikums, sei es, daß 
MetaU. oder daß Äther an dieses angrenzt, wenn n die vom Di- 
elektrikum aus nach der Grenzfläche weisende Normale bezeichnet. 
(134a) ö' - Gj = gj,, 

und im Innern des Dielektrikums , 

(134 b) p' = -divip. 

Demgemäß ist das Potential des Feldes (ß — @o) 



^. = -/Tdiv^+/^/fp. 



Wendet man auf den von dem Dielektrikum eingenommenen 
Raum die aus dem Gaußschen Satze abgeleitete Integraltrans- 
formation (66) an, so wird 

wobei Vg den Quellpunktgradienten darstellt (vgl. § 15). 
Aufpunkt, der irgendwo im Räume liegen kann, wird bei Aus- 
führung der Verrückung festgehalten. Durch Anwendung dieser 
Umformung erhält man 

(134c) 9-<Po=fdv{^V,^) 

als Potential des Dielektrikums. 



§ 38 Zweites Kapitel. Dielektrika 123 

Die physikalische Bedeutung dieses Ausdruckes geht aus der 
Formel (79) hervor, die im § 15 für das Potential einer Doppel- 
queUe erhalten wurde. Es war, wenn m das Moment einer solchen 
bezeichnet, / i \ 

das Potential der erzeugten Strömung. Wir können demnach jetzt 
das wirbelfreie Feld (ß — (Jcq) als von Doppelquellen erzeugt an- 
sehen. Dabei ist ^dv das Moment der im Stücke dv des Di- 
elektrikums enthaltenen Doppelquellen, mithin ^ das Moment 
der Volumeinbeit. Wir können etwa das Dielektrikum in zylin- 
drische Stücke zerlegen, von dem Querschnitte 6 und der Höhe l, 
deren Grundflächen zu^ senkrecht sind. Dann ist 

das Moment des einzelnen Stückes. 

Erinnern wir uns nun der Art, wie im § 15 das Moment der 
Doppelquelle definiert wurde. Es wurde ein Quellpunkt und ein 
Senkpunkt angenommen; die vom Senkpunkt nach dem QueU- 
punkt weisende Richtung gab die Richtung von m an, das Produkt 
aus der Ergiebigkeit des Quellpunktes und dem Abstand l vom 
Senkpunkte den Betrag dieses Vektors. Wir haben demnach die 
Grundflächen aller der zylindrischen Stucke mit Ladungen + 1 ^ 1 ö 
zu belegen und diese als Doppelquelle des Kraftflusses zu be- 
trachten. Das durch (134c) gegebene Feld ^ -^ ^^ stimmt 
sowohl außerhalb wie auch innerhalb des vom Dielek- 
trikum eingenommenen Raumes mit dem Felde überein, 
welches einsolches System von Doppel quellen des Kraft- 
flusses im Äther erzeugen würde. So rechtfertigt sich auch 
die Bezeichnung des Vektors ^ als elektrische Polarisation des 
Dielektrikums. 

Wir sind bisher analytisch vorgegangen, indem wir das Di- 
elektrikum zunächst als Ganzes behaudelten und dann in Stücke 
zerlegten. Wir können auch synthetisch verfahren, indem wir 
von den einzelnen Stücken ausgehen; denken wir uns aus einem 
solchen zylindrischen Stück, dessen Mantelfläche von Kraftlinien 
gebildet wird, den Stoff entfernt, das Feld aber unverändert ge- 



1 



124 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 3& 



I 



lassen, so werden zwar an der Mantelfläche die Grenzbedingnnge; 
erfüllt sein, welche Stetigkeit der tangentiellen Komponenten vo 
(B und der normalen Komponenten von 2) verlangen, aber an den 
Grundflächen nicht ohne weiteres. Die elektrische Verschiebung 
durch die Querschnitte des Zylinders, die vor Entfernung des 
Stoffes 1^1 ^ betrug, ist jetzt nur |^| <?. Außerhalb des Zylinders 
hingegen besteht dieselbe elektrische Verschiebung wie vorher. 
Es beginnen also jetzt auf den Grundflächen des Zylinders 
Verschiebungslinien in der Zahl 

Das ist nur möglich, wenn daselbst wahre Ladungen mit dei 
Flächendichte ± !^| ihren Sitz haben. Der in dem Stücke ent- 
haltene Stoff läßt sich hinsichtlich seines Einflusses auf das elek- 
trische Feld durch eine solche Doppelbelegung ersetzen. Mai 
kann nun nacheinander den Stoff aus den einzelnen Stücken dei 
Dielektrikums entfernen und statt ihrer fingierte Flächenbelegun- 
gen der Grundfläche mit positiver und negativer Elektrizität ein- 
führen. So gelangt man zur Formel (134c) für das Potential des 
Dielektrikums. 

Ist das Produkt 0\^\ längs einer aus Kraftlinien gebildetes 
Röhre konstant, so heben sich die positiven und negativen La- 
dungen benachbarter Stücke auf. In einem homogenen Dielek- 
trikum, wo s konstant ist und daher ß, ^, 5) nur um konstante 
Faktoren verschieden sind, findet dieses statt; hier bleiben nui 
auf der Begrenzungsebene des Dielektrikums fingierte Ladungei 
übrig. In einem inhomogenen Dielektrikum hingegen, wo s vor 
Ort zu Ort wechselt, heben sich die Flächen belegungen der Stücke 
nicht auf, sie geben Anlaß zu einer räumlichen Divergenz von ©, 
d. h. zu freier Elektrizität im Innern des Dielektrikums. Diesei 
Gedankengang, mathematisch gefaßt, würde uns zur Ausgangs- 
formel für (p — (Pq zurückführen. 

Es geht aus diesen Betrachtungen hervor, daß die Annal^me 
einer elektrischen Polarisation der Isolatoren ein Kunstgriff ist, 
mit dessen Hilfe man die Bestimmung des elektrischen Feldes 
bei Anwesenheit beliebiger Dielektrika auf die im vorigen Kapitel 



§ 39 Zweites Kapitel. Dielektrika 125 

geloste Aufgabe zurückführen kann, das Feld elektrischer La- 
dungen im Äther zu ermitteln. Das Feld @ setzt sich zusammen 
aus dem von der wahren Elektrizität erzeugten und dem vom 
polarisierten Dielektrikum herrührenden P'elde. Es ist 

(135) e = - V,,, 9> »J^"" +fdv (ip V, }) 

der allgemeine Ausdruck für das gesamte Feld. 

Ist das Feld geladener Leiter im leeren Räume bekannt, und 
handelt es sich darum, den störenden Einfluß eines in das Feld 
gebrachten Isolators zu ermitteln, so reicht die Formel (135) zur 
Lösung des Problems keineswegs aus. Denn selbst, wenn die 
entstehende Polarisation des Dielektrikums bekannt wäre, so 
würde doch die Verteilung der wahren Elektrizität auf dem Leiter 
durch Einführung des Dielektrikums geändert sein, und es wäre 
unzulässig, für die Flächendichte cd der wahren Elektrizität den 
vor Einführung des Isolators geltenden Wert zu setzen. Das ist 
nur dann gestattet, wenn das eingeführte Dielektrikum so klein, 
seine Polarisation so gering oder seine Entfernung von den Ober- 
flächen der Leiter so groß ist, daß seine Rückwirkung auf die 
dortige Elektrizitäts Verteilung zu vernachlässigen ist. In diesem 
FaUe kann man das Feld (^q als gegeben betrachten; es führt 
dann die Formel (135) die Bestimmung des Gesamtfeldes auf die 
Aufgabe zurück, die Polarisation des Dielektrikums zu finden. 
Indessen, in dieser Allgemeinheit ist auch die letztgenannte Auf- 
gabe kaum lösbar. Man wird sie weiter vereinfachen, indem man 
ein gleichförmiges Feld ®q annimmt, ferner das Dielektrikum als 
gleichförmig, d. h. s als durchweg konstant betrachtet; endlich 
wird man sich auf einfache Körperformen beschränken. Wir be- 
handeln im folgenden Paragraphen die einfachste, nämlich die 
Kugel. 

§ 39. Eine gleichförmig polarisierte Kugel. 

Es soll jetzt die Polarisation ermittelt werden, welche eine 
isotrope Kugel in einem gleichförmigen äußeren Felde (Bq an- 
nimmt. Wir behaupten, daß diese Polarisation ihrerseits gleich- 



1 



126 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 39 

förmig, d. h. daß der Vektor ^ in der ganzen Kugel nach Betrag 
und Richtung konstant ist. Um diese Behauptung zu beweisen, 
bestimmen wir zunächst das Feld (I — ©q, welches von der gleich- 
förmig polarisierten Kugel herrührt, und zeigen dann, daß es, 
sich, zusammen mit ©q, den Bedingungen an der Grenzfläche de: 
Kugel anpaßt. 

Wir setzen ^ = @o + (^ — ^o)^ 

nehmen ©^ in dem betrachteten, von der dielektrischen Kugel 
eingenommenen Räume als konstant an und erhalten aus (135) 
das Potential der gleichförmig polarisierten Kugel 

Wir können diesen Ausdruck folgendermaßen deuten: Man 
berechne das Potential einer mit der konstanten räumlichen 
Dichte Q geladenen Kugel und einer mit der Dichte — q geladenen, 

um die Strecke l = —^ in einer dem Vektor ^ entgegengesetzten 

Richtung gegen die erste verschobenen, und gehe zur Grenze 
gleich Null über, indem man q immer größer macht. Der Grenz- 
wert ergibt das obige Potential der gleichförmig polarisierteö 
Kugel, deren Moment pro Volumeinheit ^ ist. Man hat nun 
solche Punkte zu unterscheiden, die außerhalb und die innerhalb 
der Kugel liegen. Es sei a der Radius der Kugel, B der Abstand 
eines Aufpunktes von ihrem Mittelpunkte. 

Außerhalb wirkt jede der beiden mit der Dichte q bzw. — ^ 
geladenen Kugeln so, als ob ihre gesamte Ladung Vqj — Vq im 
Mittelpunkte vereinigt wäre (vgl. § 16). Geht man zur Grenze 
über, indem man den Abstand l der Kugel mittel punkte kleiner 
und kleiner macht, so erhält man eine Do])pel quelle, deren Mo- 
ment dem Betrage nach gegeben ist durch 

Fpi = l«p|F; 

da ferner die Richtung und der Sinn des Momentes der Ver- 
rückung vom Mittelpunkte der negativen zu dem der positiven 
Kugel entsprechen, d. h. dem Vektor ^, so ist 

(136) y-,p„=<)JFvi = -!pi^V.A = ^|;(8l!P) 



§ 89 Zweites Kapitel. Dielektrika 127 

das Potential der gleichförmig polarisierten Kugel für R^a, 
wobei 9i den vom Mittelpunkte der Kugel nach dem Aufpuiikte 
hin. gezogenen Fahrstrahl darstellt. 

Für einen innerhalb gelegenen Aufpunkt ist das Potential der 
beiden positiv bzw. negativ geladenen Kugeln nach Gleichung 
(83b) des §16 , ^ 2. . 

Die beiden Kugeln sind jetzt um l gegen einander verschoben 
zu denken, und es ist zur Grenze l gleich Null überzugehen. Man 
erhält, wenn man berücksichtigt, daß der Quellpunktgradient von 
R^ dem Aufpunktgradienten entgegengesetzt gleich ist (vgl. 
§ 15), als Gesamtpotential 

da ferner gilt V^i^^ _ 2R, 

so wird das Potential der gleichförmig polarisierten Kugel 

(136a) 9-9o=^(«?). fürE^a. 

Man überzeugt sich leicht davon, daß für i? = a die Poten- 
tiale (136) und (136 a) stetig ineinander übergehen. Das von der 
polarisierten Kugel erzeugte Feld wird innerhalb derselben 

(136b) ^-«o=-V(9)-^o) = -x*' ^^''• 

Das Feld, das von der gleichförmig polarisierten 
Kugel erzeugt wird, ist innerhalb der Kugel selbst 
gleichförmig und der Polarisation entgegengerichtet. 

Außerhalb der Kugel mögen die Komponenten des Vektors 
S— @o auf rechtwinklige Koordinaten ic 2/^ bezogen werden, wobei 
die £?-Achse in der Richtung von ^ gelegt werde. Es ist nach (136) 

'P-<Po = %"'mi,-m\ii, daher 

<£.- «0.= V\f\ %^, %,- %^= F|!P|?^|) 
(136c) \B^a. 



128 



Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld 



. Wir fragen jetzt, welche Feldstärke (^q vor Einführung der 
dielektrischen Kugel vorhanden sein mußte, damit die Kugel, in 
das Feld gebracht, die Polarisation ^ erhält. Es liegt nahe, ^^ 
gleichfalls der <^-Achse parallel anzunehmen. Wir berechnen die 
radiale und die zur Kugel tangentielle Komponente der Feld- 
stärke @; innerhalb der dielektrischen Kugel ist nach (136 b) 



COS-ö" 



@^= Idol sin -ö- 



47t 

3 
Y 



cos -9" 



sm'9' 



B<a 






Dabei gibt d' den Winkel an, den der Fahrstrahl mit dei 
jsr- Achse einschließt, und d^. die tangentielle Komponente TOn 
die längs der Meridiane der Kugeln weist. 

Außerhalb der Kugel hingegen ist nach (186 c) 

2cos'ö' 

I !UI 



-|do|cosO-+ - 



4:7ca' 



e^=j6Jsind-'^|ip| 



sm 



B' 



R>a 



Nun verlangen die Grenzbedingungen, die an der Oberfläch 
des Dielektrikums gelten: erstens sollen die tangentiellen Kom 
ponenten von d innerhalb und außerhalb der Kugel die gleiche] 
Werte besitzen; da d^ innerhalb und außerhalb derselbe Vekto 
ist, so ist diese Bedingung für B = a bereits erfüllt. Zweiten 
sollen die Normalkomponenten der elektrischen Verschiebuuj 
innerhalb und außerhalb der Kugel für i^ = a die gleichen Wert 
besitzen. 

Im Äther ist 2) = d, im Dielektrikum 2) = £® 

Mithin verlangt die zweite Grenzbedingung 



oder 



45r 



(^ + 2) = |@J(^-1), 



und da die Richtungen der beiden Vektoren d^? ? übereinsti 
mend gewählt waren, 
(137) i| 



3 
47r 



8 — 1 

8+ 2 



< ;{9 Zweites Kapitel. Dielektrika 129 

Die so bestimmte äußere Feldstärke genügt allen Bedingungen 
des Problems. Umgekehrt, wenn die dielektrische Kugel in 
ein gleichförmiges Feld (Bq gebracht wird, so entsteht 
eine Polarisation, die gleichförmig und ©^ parallel ist 
und die genauer durch (137) bestimmt wird. Was die 
gesamte Feldstärke im Innern der Kugel anbelangt, so 
beträgt dieselbe nach (136b) 

(137a) e = eo-^«P-4^e«; 

die elektrische Verschiebung endlich ist nach (134) 

(137b) . 2) = 4xtp + ^ = 4:2 ^0- 

Das Feld außerhalb der Kugel entsteht durch Zusammen- 
setzung des ursprünglichen Feldes ^q und des Feldes, das von 
einer im Mittelpunkte der Kugel befindlichen Doppel quelle 
des Kraftflusses vom Momente (vgl. 136) 

(137 c) ip F = g^ ^ = '-~2 a« @o erzeugt wird. 

Es ist von Interesse, den Grenzfall £ == c50 zu betrachten. 
Hier wird nach (137 a) innerhalb der Kugel ^ gleich Null, das 
Potential demnach konstant; das war die Bedingung, die für die 
leitende Kugel galt; es stimmt also das dieser Grenzbedingung 
entsprechende äußere Feld überein mit dem Felde einer leitenden 
Kugel von der Gesamtladung Null. Die störende Wirkung 
einer solchen leitenden Kugel läßt sich demnach durch 
eine Doppelquelle vom Momente a^^Q im Mittelpunkte 
der Kugel darstellen. 

Alle diese Folgerungen setzen, wie schon bemerkt wurde, 
voraus, daß die in das Feld @ gebrachte Kugel, sei sie nun 
leitend oder dielektrisch, die ursprüngliche Verteilung wahrer 
Elektrizität, welche das Feld @q im Äther erzeugte, nicht wesent- 
lich ändert. 

Abraham, Theorie der Elektrisitftt. L 5. Aufl. 9 



130 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 40 



Drittes Kapitel. 

Die Energie und die mechanischen Kräfte 
des elektrostatischen Feldes. 



i 



§ 40. Nahewirkungstheorie und Fernwirkungstheorie. 

Als ein Merkmal des elektrostatischen Feldes wurde im § 28 
das Fehlen einer das Bestehen des Feldes begleitenden Wärme- 
entwickelung angesehen. Würde eine solche stattfinden, so wäre 
zur Erhaltung des Feldes eine dauernde Energiezufahr erforder- 
lich. Das ist nicht der Fall. Wohl aber ist eine einmalige Ar- 
beitsleistung notwendig, um das Feld zu erregen, eine Arbeits- 
leistung, die nach dem Energieprinzip von dem Wege, auf dem 
die Herstellung des Feldes geschah, unabhängig ist. Diese Arbeits- 
leistung ist das Maß der Energie des elektrostatischen Feldes, 
bezogen auf den unelektrischen Zustand. Beim Erlöschen des 
Feldes geht die elektrische Energie wiederum in andere Energie- 
formen über. 

Die Fernwirkungstheorie der Elektrizität sah den elek- 
trischen Zustand als einen eigentümlichen Zustand der Körper 
an und als wesentlichste Zustandsgröße die elektrische Ladung 
der Körper; dementsprechend ging sie von einer Definition der 
elektrischen Energie aus, welche diese von den Ladungen uik(i 
Potentialen der Körper abhängig machte. Die Nahe wir kungs- 
theorie hingegen sieht das ganze Feld als Träger des elektrischen 
Zustandes an und als wesentlichste Zustandsgrößen die beiden 
Vektoren (B und ^, die elektrische Feldstärke und die elektrische 
Verschiebung. Demgemäß verteilt sie die elektrische Energie 
über das ganze Feld; jeder Raum teil liefert einen Beitrag zu der 
Feldenergie, der nur von seinem elektrischen Zustande abhängt. 
Der auf die Volumeinheit entfallende Anteil an der 
Peldenergie soll nun gleich dem durch Stc geteilten 
skalaren Produkte der Vektoren @ und 2* 

^(«25) sein. 

Seine Rechtfertigung findet dieser Ansatz dadurch, daß die 



I 



§ 40 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 131 

mechanischen Kräfte des elektrostatischen Feldes, die aus ihm 
abgeleitet werden, der Erfahrung entsprechen Bevor wir dieses 
nachweisen, wollen wir indessen zeigen, daß für die gesamte 
Energie des elektrostatischen Feldes aus der Nahewirkungstheorie 
sich der gleiche Wert ergibt wie aus der Fernwirkungstheorie. 
Die gesamte elektrische Feldenergie beträgt 

(138) U=:^Jdv(ß^). 

Dabei ist nach (130) der Vektor @ wirbelfrei, — @ ist der Gra- 
dient des Potentiales (p. Der Ausdruck 

wird nun mit Hilfe der aus dem Gaußschen Satze abgeleiteten 
Formel (66) umgeformt in 

n bezeichnet dabei die äußere Normale der Begrenzungsfläche f 
des betrachteten Raumes. Der Raum, über den das Integral zu 
erstrecken ist, ist hier der leere und der von Isolatoren erfüllte 
Raum ; denn innerhalb der metallischen Leiter ist kein Feld und 
daher auch keine Feldenergie vorhanden. Auf das ganze Feld 
dürfen wir die Formel (66) allerdings nur dann anwenden, wenn 
keine ünstetigkeitsflächen das Feld durchsetzen. Wir haben uns 
bei der Anwendung jener Formel den Übergang aus einem Iso- 
lator in den anderen als stetig zu denken,' so daß nur eine räum- 
liche Divergenz von ^, nicht eine Flächendivergenz in Rechnung 
zu ziehen ist; übrigens würden auch ünstetigkeitsflächen sich 
leicht berücksichtigen lassen durch Betrachtungen, die denen 
ganz ähnlich sind, die im § 23 zur Formel (108 a) für die Energie 
des wirbelfreien Strömungsfeldes führten. Wir brauchen hierauf 
um so weniger einzugehen, als nach (129 c, d) sowohl die räum- 
liche Divergenz von ^ im Innern der Dielektrika als auch an 
der Grenzfläche zweier Dielektrika die Flächendivergenz von ^ 
verschwindet. Wahre Ladung tritt nur an der Oberfläche der 
Leiter auf. Ihre Flächendichte <x» wird nach (129 b) durch die 



132 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 40 

nach dem InDern des Isolators hinweisende Komponente von 2), 
geteilt durch 4:r, angegeben; sie ist in das Flächenintegral der 
letzten Formel einzusetzen, wobei, wegen des umgekehrten Nor- 
malensinnes, das Vorzeichen abzuändern ist. Da die unendlich 
entfernte Begrenzungsfläche f keinen Beitrag liefert, so wird die 
Energie U durch das über die Oberflächen der Leiter erstreckte 
Integral gegeben 

(138a) Ü^^JdftpGi. 

Ebenso wie wir die Energie eines wirbelfreien Strömungs- 
feldes, die zunächst über das ganze Feld verteilt war, durch Inte- 
grale über das Quellengebiet ausdrücken konnten (84 bzw. 108 a), 
so können wir die elektrostatische Energie, die nach der Max- 
wellschen Theorie über das Feld verteilt ist, auf eine Form 
bringen, in der sie über die wahren Ladungen verteilt erscheint; 
diese Verteilung derEnergie über die wahrenLadungen 
ist die von der Fernwirkungstheorie angenommene. 
Das Potential (p ist dabei natürlich das Potential der freien elek- 
trischen Ladungen. 

Ist das Feld von einem homogenen isotropen Dielektrikum 
erfüllt, so treten auch die freien Ladungen nur an der Oberflache 
der Leiter auf, und «war mit der Dichte 

o = — . 
Dann wird, nach (130 a) 

daher ^-l'ßf^^if~?~' 

Dabei kommt jedes Flächenstück der Leiteroberflächen zweimal 
vor, einmal als Träger der freien Elektrizität, die zu dem Poten- 
tial einen Betrag liefert, das andere Mal als Träger der wahren 
Elektrizität. Rechnet man jedes Flächenstück nur einmal, bo 

fällt der Faktor -^ fort, und es wird 



10 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 133 



(138b) 



1 r rdf, df,<o,^, _ ^ rrdf. 



df^(o^'(Oi' 



Hat man ein System wahrer Ladungen zuerst im leeren 
Räume und füllt dann den Raum mit einem Dielektrikum, so 
wird, bei konstant gehaltenen wahren Ladungen, die elektrosta- 
tische Energie im Verhältnis 1 : £ verkleinert, sie wird im Ver- 
hältnis 6 : 1 vermehrt bei konstant gehaltenen freien Ladungen, 
In dem gleichen Verhältnis werden die aus der Energie abgeleiteten 
bewegenden Kräfte geschwächt bzw. verstärkt. 

Da auf den Leitern das Potential (p konstante Werte 
(Pi'-'q>t"'(Ph annimmt, so kann man den allgemeinen Ausdruck 
(138 a) der elektrostatischen Energie auch folgendermaßen 
schreiben : % 

(138c) ü-^l-^qp.e,. 

»=i 

Bei der Anordnung des Kondensators, wo zwei entgegengesetzt 
gleiche Ladungen ± e vorhanden sind, wird (vgl. § '60) 

. 138d) U^ l e{,p, - <p,) - 4= ?L^-.-=:?»)^ 

Die Energie ist bei konstant gehaltener wahrer La- 
dung des Kondensators der reziproken Kapazität, bei 
konstant gehaltener Potentialdifferenz der Belegungen 
der Kapazität selbst proportional. 

Da Fern Wirkungstheorie und Nahewirkungstheorie für elektro- 
tatische Felder zu demselben Werte der Gesamtenergie gelangen, 
so müssen sie auch stets dieselben Werte für die bewegenden 
Kräfte liefern. Denn diese Kräfte ergeben sich aus der Energie 
aufCrrund mechanischer Prinzipien, wie wir sehen werden. Durch 
Beobachtungen über die Kräfte des elektrostatischen Feldes kann 
kher durchaus nicht zwischen den beiden Theorien entschieden 
Verden. Der Vorzug der MaxweUschen Theorie liegt nicht auf 
dem Gebiete der statischen, sondern auf dem der rasch wechseln- 
den Felder; dort, wo das elektrische Feld aufhört, wirbelfrei zu 



134 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 41 

sein, wo demnach ein skalares Potential nicht mehr besteht, 
wird der Ansatz, den die Femwirkungstheorie für die Energie 
macht, hinfällig. 

§ 41. l>er Thonisonsche Satz. _ 

Wir wollen in diesem Paragraphen von dem Grundproblem ■ 
der Elektrostatik handeln. Gegeben sind eine Anzahl von Leitern 
und deren wahre Ladungen ^i . . • e^, mithin die über die Leiter- 
oberflächen f^ "fh erstreckten Integrale 

wo die Normale nach dem Isolator hinweist. Im Felde mögen 
sich beliebige Dielektrika befinden; im Innern derselben soll die 
Dichte der wahren Elektrizität 
(ß) div2)==4;r^ i 

gegeben sein, und ebenso die Plächendichte der wahren Elektri 
zität an der Trennungsfläche zweier Dielektrika, d. h. 

(?) ' ^ni+2)„,= 4jr(D. 

Auch soll die Beziehung zwischen elektrischer Verschiebung 
2) und elektrischer Feldstärke ® 

(d) ^ = £<i 

gelten, wo e die Dielektrizitätskonstante des betreffenden Isola- 
tors ist. Die vier Bedingungen (a) bis (d) wollen wir die „all- 
gemeinen Bedingungen^^ nennen. Sie gelten, wie wir in 
späteren Abschnitten sehen werden, für ein ganz beliebiges elek- 
trisches Feld. Für das elektrostatische Feld kommen noch die 
folgenden „besonderen Bedingungen" hinzu: 

Es soll (B wirbelfrei, also der negative Gradient eines überall 
stetigen Potentiales sein 

Dieses Potential soll auf den Oberflächen der Leiter konstant 
sein. Es soll 

(J) (f == (fi auf /;, ^ = qPg auf /;,... 9) = 9?^ auf f^ sein. 



§ 41 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 135 

Wir denken uns neben diesem elektrostatischen Felde noch 
ein anderes Feld, dessen Feldstärke ^' und elektrische Verschie- 
bung 2)' sein mag. Die Vektoren ^', W sollen zwar den allge- 
meinen Bedingungen (a) bis (d), aber nicht den besonderen Bedin- 
gungen (f), (J) Genüge leisten. Dann behauptet der Thomsonsche 
Satz: das neue Feld d', 2)' besitzt eine größere elektrische Energie 
als das elektrostatische Feld d, ^. 

Um den Thomsonschen Satz zu beweisen, setzen wir 

r_(i==d:; 2)'- 2 = 2)". 

Das neue Feld @", 2)" hat jetzt folgende Bedingungen zu 
erfüllen: 

an den Leiteroberflächen, 

iß") div2)'' = 

im Innern eines jeden Dielektrikums, und 

(vi s;\+3>:,=o 

an der Grenze zweier Dielektrika. 
Endlich ist allgemein 

Wir setzen jetzt CT, U\ ü" für die Energien der drei Felder 
und erhalten 

%^U' =Jdv (2' W) ==fdv (^ + 2)", @ + r 
oder nach (d), (d") 

fr':= Z7-}- ü"-\- ^^Jdv(^r'). 

Nach (f) ist 

j*dv{(^,^") = - y e?i;(2>"V9), 

und nach der Formel (66) 

-Jdv(^''V(p) ^ j dv(p div !J)"- j df(p%;'; 

diese Formel ist allerdings nur auf die Gebiete anzuwenden, wo 
<p, 2) sich stetig ändern; wir haben daher die ünstetigkeitsflächen, 



136 



Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld 



§41 



die zwei Isolatoren trennen, zu der Begrenzung des Feldes zu 
reclinen. Jedes Fläclienstück einer solchen kommt zweimal vor, 
sein Beitrag verschwindet nach (/') ebenso, wie das Volum- 
integral auf der rechten Seite der letzten Gleichung infolge von 
(/S'') verschwindet. Es bleibt nur das über die Leiteroberfiächen 
erstreckte Integral r* 

in welchem wir das Vorzeichen umkehren müssen, um in Über- 
einstimmung mit der in (or, a") angewandten Bezeichnung n nach 
dem Innern des Isolators rechnen zu dürfen. Es wird somit 

Die Summe ist über die Oberflächen der Ä Leiter zu erstrecken. 
Da hier nach (f) g) konstant, so folgt aus («"): 

jdv (® S") = 2 fiJdU%: = 0. 



I 



Daher wird schließlich 



wo 



stets positiv ist, es sei denn, daß (§;" verschwindet, in welchei 
Falle ®' mit @, d. h. das mit dem elektrostatischen zu vergleichende 
Feld diesem gleich sein würde. Jedes von @, ^ verschiedene 
elektrische Feld aber, welches den allgemeinen Grundgleichungen 
(a) bis (Ö) Genüge leistet, ohne ein elektrostatisches Feld zu sein, 
besitzt eine größere Energie als das elektrostatische: 
(139) U' > U. 

Oder anders ausgedrückt: unter allen elektrischen Feldern, 
welche den allgemeinen Bedingungen (a) bis (d) Genüge leisten, 
besitzt das elektrostatische, das außerdem noch (f) und (J) 
befriedigt, die kleinste Energie. 

Der Thomsonsche Satz leitet also das Feld, welches der Gleich- 
gewichtsverteilung der Elektrizität entspricht, aus einem Minimal- 



§ 42 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 137 

prinzip ab. Dieses Minimalprinzip entspricht ganz der Gleich- 
gewichtsbedingung, die für schwere Körper im Schwerkriiftfelde 
gilt; diese Körper befinden sich im Gleichgewicht, und zwar im 
stabilen Gleichgewicht, wenn die potentielle Energie der Schwer- 
kraft in der betreffenden Konfiguration ihren kleinsten Wert an- 
nimmt. Ebenso sehen wir hier, daß das Gleichgewicht der Elek- 
trizität, die sich auf der Oberfläche festgehaltener Leiter befindet, 
durch ein Minimum der elektrischen Energie gekennzeichnet ist. 
Die elektrische Energie spielt demnach hier dieselbe 
Rolle wie die potentielle Energie in der gewöhnlichen 
Mechanik. 

Noch in anderer Hinsicht sind die obigen Entwickelungen 
bedeutungsvoU. Sie zeigen, daß es nicht zwei verschiedene Lö- 
sungen des elektrostatischen Problems geben kann. Die Unglei- 
chung (139) besagte nämlich, daß für jedes vtm elektrostatischen 
Terschiedene Feld ik\ 2)', welches den Bedingungen (a) bis (d) 
genügt, die Energie U' > ü ist. Ist nun ß', S' selbst ein elek- 
trostatisches Feld, so muß außerdem ü> V gelten, was unmög- 
lich ist. Folglich kann es nicht zwei verschiedene Lösungen des 
elektrostatischen Problems geben; durch die Bedingungen (a) 
bis (J) ist das elektrostatische Feld eindeutig bestimmt. 

Wir haben in früheren Abschnitten Lösungen des elektro- 
statischen Problems für besondere Fälle gefunden, z. B. für den 
Kugelkondensator, für das gestreckte Kotatiorsellipsoid, für eine 
dielektrische Kugel im gleichförmigen Felde. Wir stellten damals 
jedesmal eine partikuläre Lösung auf, ohne uns darum zu küm- 
mern, ob diese die einzige mögliche ist. Jetzt sehen wir nach- 
träglich, daß es in der Tat nur eine einzige Lösung geben kann. 

§ 42. Das Gesetz von Coulomb. 

Das Coulombsche Gesetz, welches die experimentelle Grund- 
lage der Fernwirkungstheorie bildet, haben wir lür zwei Punkt- 
ladungen im leeren Baume bereits in § 28 als gültig nachge- 
wiesen. Dabei haben wir aber für die mechanische Kraft den 
Ausdruck (116) ohne weiteres als gültig angenommen. Jetzt, 
wo wir über den Ausdruck der elektrischen Feldenergie verfügen, 



138 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 42 

wollen wir die bewegenden Kräfte des elektrostatischen Feldes 
aus der Energie ableiten; dabei wird sich dann ein anderer Be- 
weis für das Coulomb sehe Gesetz ergeben. Hierzu ist außer den 
im vorigen Paragraphen zusammengestellten Eigenschaften des 
elektrostatischen Feldes und dem Ansätze (138) für die Feld- 
energie noch eine dritte, zunächst hypothetische Annahme nötig, 
die den Zusammenhang zwischen Energie und mechanischen 
Kräften betrifft. 

Wir sahen (§ 40), daß die Feldenergie U nach dem Energie- 
prinzip der Arbeit gleich ist, welche bei der Herstellung des 
Feldes geleistet wurde. Wir nehmen nun an, daß die Arbeit, 
welche die Kräfte des Feldes bei einer Verrückung der 
Leiter oder Dielektrika leisten, gleich der Abnahme der 
Feldenergie ist; es sollen also andere Energieumwandlungen 
außer der zwischen der elektrostatischen Feldenergie und der ge- 
leisteten mechanischen Arbeit bei dem ganzen Vorgange nicht 
im Spiele sein. Dabei ist natürlich ein abgeschlossenes System! 
elektrischer Ladungen vorausgesetzt, und es ist angenommen, daß 
die Lagenänderung der Körper langsam genug erfolgt, um das{ 
Feld in jedem Augenblick als elektrostatisches ansehen zu können 
Alsdann soll die elektrische Feldenergie die RoUe der potentieUenl 
Energie spielen, nicht nur insofern, als der Thomsonsche Sati 
die Gleichgewichtsverteilung der Elektrizität durch einen Mindes 
wert der elektrischen Feldenergie bei festgehaltenen Körpeml 
kennzeichnet, sondern auch bezüglich der durch Lagenänderung 
der Körper aus dem Felde zu gewinnenden Arbeit. 

Nehmen wir nun eine Lagenänderung der im Felde befind 
liehen Leiter oder Dielektrika vor, so entspricht der veränderten 
Lage auch eine veränderte Gleichgewichtsverteilung der auf den 
Leiteroberflächen angesammelten wahren Elektrizität. Wir woUen 
den Übergang von dem ersten elektrostatischen Felde zu de: 
zweiten, der veränderten Lage der Körper entsprechenden, 
zwei Schritte zerlegen. Der erste Sehritt soU, bei konstant ge 
haltener Lage der Körper, die Verteilung der wahren Elektrizitäi 
so abändern, wie es der beabsichtigten Lagenänderung der Körpei 
«ntspricht, der zweite Schritt soll die Körper, ohne die Elektrizi 



§ 42 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 139 

tätsverteilung zu ändern, in die neue Lage überführen. Die ge- 
samte Änderung der Feldenergie setzt sich demgemäß aus zwei 
Änderungen d^U, d^U zusammen, d^ü stellt die Variation der 
Energie bei festgehaltener Lage und Gesamtladung der Körper 
vor, die infolge der Abänderung der Elektrizitätsverteilung ein- 
tritt, ^2 U die Variation der Energie infolge der Lagenänderung der 
Körper bei festgehaltener Elektrizitätsverteilung; auf die Reihen- 
folge der Variationen kommt es nicht an, da diese unendlich klein 
sind. Nun besagte aber der im vorigen Paragraphen bewiesene 
Thomsonsche Satz, daß die Gleichgewichtsverteilung der Elek- 
trizität bei gegebener Gesamtladung und Lage der Körper einem 
Minimum von TJ entspricht. Es ist folglich 

und die Arbeit, welche die Kräfte des elektrostatischen Feldes 
bei einer unendlich kleinen Lagenänderung leisten, ist 

(140) dJ='-öU=~d^ü. 

Die virtuelle Arbeit ist also gleich der Abnahme 
der elektrostatischen Feldenergie bei einer virtuellen 
Verrückung der Körper; dabei soll die wahre Elektri- 
zität als fest an den Stücken der Leiteroberflächen 
haftend angenommen werden. 

Um nun aus diesem allgemeinen Prinzip das Coulombsche 
Gesetz abzuleiten, denken wir uns zwei kleine Leiter, etwa mit 
Goldblatt überzogene Holiindermarkkügelchen, im leeren Räume 
befindlich, oder in ein homogenes flüssiges Dielektrikum einge- 
bettet. Es seien e^, $2 die wahren Ladungen der Kügelchen, ihre 
Abmessungen seien klein gegen den Abstand R ihrer Mittelpunkte. 
Wir bedienen uns des Ausdruckes (138 c) für die elektrostatische 
Energie, der in diesem Falle ergibt 

Dabei sind gj^, qp^ die Potentiale der freien Ladungen, die an den 
Oberflächen der beiden Kügelchen sitzen, 



9i 



=/''J?>/''r'' «^-/'^f' +/"!::' 



140 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § ?i 

Die bei einer Vergrößerung des Abstandes R von den elek- 
trischen Kräften geleistete Arbeit ist nun nach (140) 

d^ = — dgü" = — Y «i^9i — Y ^2^9'2 • 

Bei der virtuellen Verrückung ist die Dichte a der wahren 
Elektrizität auf den Kugeln konstant zu halten. Da nun der Iso- 
lator als homogen, d. h. seine Dielektrizitätskonstante als durch- 
weg konstant angenommen werden soll, so sind auch die Dichten 
der freien Elektrizität 

1 . 1 

bei der Verrückung konstant zu halten. Es sind also die Varia- 
tionen der ersten Glieder in ^j, ^^g gleich NuU zu setzen, und es 
bleiben nur die Variationen der zweiten, von den Wechselwir- 
kungen der beiden Kügelchen herrührenden Glieder übrig. 

Hier ist nun für r^^ ^^ genügender Annäherung der Abstand 
B der Kugelmittelpunkte zu setzen. Sind ferner 

die freien Ladungen der Kügelchen, so wird 

~ ^9i == ^2 ^^f ~ ^92 = ^1^-^» 

-^*Yk3— ^-j ÖR die virtuelle Arbeit 

Die Kraft, mit der die Kügelchen sich abstoßen, be- 
trägt daher 

(140a) «« = i^^=-i?'' 

wie es das Coulombsche Gesetz verlangt. 

Aus der letzten Gleichung ersieht man, wie die mechanische 
Kraft von der Dielektrizitätskonstanten des Isolators abhängt. 
Führt man die Kügelchen, die sich zuerst in Luft gegenüber- 
standen, in Petroleum über, ohne daß sie mit einem Leiter in 
Berührung kommen, so bleiben ihre wahren Ladungen konstant, 
die abstoßende Kraft verkleinert sich im Verhältnis 1 : «. Hin- 
gegen wächst die Kraft im Verhältnis s : 1, wenn wir die Kugel- 



3 42 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 141 

eben auf dasselbe Potential bringen, das sie vorher in Luft be- 
saßen, etwa durch Berührung mit den Polen einer Batterie. 

Die obige Ableitung läßt die Umstände, unter denen das 
Ooulombsche Gesetz gilt, deutlich zutage treten. Das Coulomb- 
gehe Gesetz gilt z. B. nicht mehr für die beiden Kügelcben, wenn 
außer ihnen sich im leeren Räume irgendwo ein begrenzter di- 
elektrischer Körper befindet. Dann ruft nämlich das von den 
Kügelchen erregte Feld auf der Oberfläche des Dielektrikums 
freie Ladungen hervor, welche auf die Kügelchen zurückwirken, 
falls die Entfernung nicht zu groß ist. Ebenso hört das Cou- 
lombsche Gesetz auf, genau gültig zu sein, wenn das den Raum 
erfüllende Dielektrikum nicht homogen ist, d. h. wenn s sich mit 
dem Orte ändert; dann ist es bei der obigen Betrachtung nicbt 
mehr gestattet, die freien Ladungen der Kügelchen, als den wahren 
proportional, bei der Verrückung konstant zu halten. Glücklicher- 
weise weicht für die Gase, deren Dielektrizitätskonstante wegen 
ihrer Kompressibilität vom Drucke abhängt, überhaupt der Wert 
von c so wenig von 1 ab, daß die Kräfte, welche durch die In- 
homogenität der als Isolatoren dienenden Gase bedingt sind, 
außerordentlich klein und meist ganz zu vernachlässigen sind. 

Wir wollen das allgemeine, zur Berechnung der mechani- 
schen Kräfte dienende Prinzip verwenden, um den Ansatz zu 
rechtfertigen, welchen wir früher für die Kraft auf einen in das 
Feld gebrachten Probekörper gemacht haben; würde doch das 
ganze Sy-tem der Nahewirkungstheorie eine Lücke aufweisen, 
wenn die Wirkung des Feldes, durch die zuerst der Vektor @ er- 
mittelt wurde, sich nicht jetzt auf Grund des Prinzips der virtu- 
ellen Arbeit als Folgerung der Theorie ergäbe. Wir bringen also 
jetzt ein einziges, mit Goldblatt überzogenes Holundermarkkügel- 
chen in das homogene Dielektrikum in einigem Abstände von den 
Leitern und geben ihm eine Ladung, die so gering ist, daß sie 
die Verteilung der freien Elektrizität an den Leiteroberflächen 
nicht merklich beeinflußt. Durch Hereinbringen des Probekügel- 
chens hat nun nach (138 b) das Feld einen Energiezuwachs erfahren 



^^^-Jf' 



142 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 

hier bezeichnet cjj die Dichte der wahren Elektrizität an der Ober- 
fläche des Kügelchens, o^' die Dichte der freien Elektrizität, 
die sowohl an der Oberfläche des Kügelchens wie auch auf den 
Leitern sitzen kann. Bei der virtuellen Verrückung d8 des 
Kügelchens ist nun die Dichte der wahren Elektrizität konstant 
zu halten, unserem Prinzip gemäß. Mithin ist die Dichte der 
freien Elektrizität an der Oberfläche des Kügelchens konstant 
zu halten, weil es sich in einem homogenen Dielektrikum be- 
findet. Es fällt daher in ölJ^^ alles fort, was sieh auf Wechsel- 
wirkungen der freien und wahren Ladungen des Kügelchens 
selbst bezieht. 

Es war nun angenommen, daß das Hereinbringen des Probe- 
körpers in das Feld die ursprüngliche Verteilung der freien Elek 
trizität nicht merklich ändert. Es darf demnach der Probekörper 
nicht zu nahe an die Leiteroberflächen heranrücken. 

Ist diese Bedingung erfüllt und sind femer die Abmessungen 
des Probekörpers hinreichend klein, so kann für r^^ der Abstand 
des Mittelpunktes des Kügelchens von dem betreibenden Flächen- 
stücke df^ gesetzt und das äußere Feld als über die Ausdehnung 
des Kügelchens hin gleichförmig betrachtet werden. Alsdann wird 
gemäß (140) die Arbeit bei der virtuellen Verrückung des Kügel- 
chens: ^ 

SA = - S,U,, = -j df^m, . SJ ^^f - - e,Sq>, 

WO e^ die wahre Ladung des Kügelchens, q) das Potential in 
dem Punkte ist, an welchen 'man den Mittelpunkt des Kügel- 
chens bringt. Die Kraft ^, die auf das Kügelchen wirkt, folgt aus 

(ÄdS) = d^ = - e^^g) = - e^(V(p, dg). 

Da nun diese Beziehung gelten muß, welches auch die Richtung 
des Vektors S sein mag, so müssen die Vektoren, mit denen ^ 
hier skalar multipliziert erscheint, einander gleich sein; es er- 
gibt sich mithin 

^ = — 61V9 = «1 • @, I 

als Kraft auf den Probekörper, die mit (116) voUkonamen 
übereinstimmt. 



i 43 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 143 

Ist das Kügelchen nicht klein genug, so kommt die Ungleich- 
lonnigkeit des Feldes in Betracht; sie verändert die Kraft, wie 
wir im nächsten Paragraphen zeigen werden. 

§ 43. Eine dielektrische oder leitende Kugel 
im ungleichförmigen Felde. 

Im allgemeinen kann man sagen, daß auf jeden im elektrischen 
Felde befindlichen Körper eine Kraft wirkt, sei er nun mit wahrer 
Ladung behaftet oder nicht. Hat man es etwa mit dem Felde ®q 
geladener Leiter in einem Dielektrikum von der Dielektrizitäts- 
konstanten £q zu tun, in welches ein Isolator von anderer Di- 
elektrizitätskonstante e gebracht wird, so wird dieser Isolator 
von Kräften angegriffen, wenigstens dann, wenn das Feld nicht 
streng gleichförmig ist. Um dieses zu zeigen, berechnen wir den 
Energiezuwachs U — Uq^ den das Hereinbringen eines dielektri- 
schen Körpers in das Feld zur Folge hat, wobei wir, ganz wie 
im § 39, voraussetzen, daß der dielektrische Körper keinen merk- 
lichen Einfluß auf die Verteilung wahrer Elektrizität ausübt, 
welche das Feld ^^ erzeugte. In diesem Falle ist die Energie Üq 
des ursprünglichen Feldes von der Lage des Körpers unabhängig, 
und es kann die bei einer virtuellen Verrückung des Isolators 
geleistete Arbeit aus der Abnahme von 

berechnet werden. Dieser Ausdruck gibt die Differenz der elek- 
trischen Energien zweier Systeme an, welche der gleichen Ver- 
teilung wahrer Elektrizität, aber verschiedenen Dielektrizitäts- 
konstanten £ bzw. €q entsprechen. 

Wir wollen, die ursprüngliche Problemstellung etwas verall- 
gemeinernd, £ und £q als beliebige Funktionen des Ortes ansehen. 
Es gilt identisch • 

(62)) - {%^o) = (®, 2) - 1)o) + {^~ ^0, 3)o). 
Nun entsprechen die elektrischen Verschiebungen !^ und ^q der 
i^leichen räumlichen oder flächenhaften Verteilung wahrer Ladung. 



144 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 4J 

Mithin ist ^ — ^^ durchweg quellenfrei. Ferner ist Qt, die elek- 
trostatische Feldstärke, durchweg wirbelfrei. 

Wir hatten in der allgemeinen Theorie der Vektorfelder (§ 23^ 
den Satz bewiesen: „Das über den ganzen Raum erstreckte Inte-^ 
gral des inneren Produktes aus einem quellenfreien und einem 
wirbelfreien Vektor ist Null." Demnach verschwindet das Raum- 
integral des inneren Produktes 

. (^, 2) - 1)o), 

und es wird U—Uq = -^ I dv(ß — ^q, 2)o). 

Aus dem soeben benutzten Satze folgt ferner, da auch ©q. 
wirbelfrei ist: /» 

Nun hat man aber 

Es folgt also durch Subtraktion des letzten Integrales 

(141) ü~U,^-^fdv{s-e,)%<S. 

Dieses ist der Zuwachs, den die Energie des elektrosta 
tischen Feldes erfährt, wenn bei festgehaltener Ver- 
teilung der wahren Ladungen die Dielektrizitätskon- 
stante von £q bis £ wächst; 6 — Sq ist dabei im aUgemeinen 
eine Ortsfunktion. 

Wir kehren nun zu dem im Eingange dieses Paragraphen 
gestellten Probleme zurück und wollen insbesondere annehmen, 
daß das ursprüngliche Feld im leeren Räume herrschte, d. h. 
«0 = 1 war. In dieses wird nun ein homogener Körper gebracht; 
dann ist £ — Sq nur in dem von dem Körper eingenommenen 
Räume von Null verschieden, und zwar gleich £ — 1. Da ferner 
die Polarisation, welche der Körper annimmt, ist 

so folgt aus (141) für diesen Fall 



§ 43 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 145 

Die Funktion, deren Abnahme die bei einer Verrük- 
kung des Dielektrikums von den Kräften des Feldes ge- 
leistete Arbeit angibt, ist gleich einem über das Dielek- 
trikum erstreckten Integrale; der Integrand ist, bis auf 
den Faktor (— |), gleich dem inneren Produkte aus der 
Feldstärke @o, die vor dem Hereinbringen des Dielek- 
trikums bestand, und der Polarisation ^, welche das 
Dielektrikum annimmt. 

Wir wenden das Ergebnis auf eine dielektrische Kugel an, 
deren im Felde ©^ angenommene Polarisation durch (137) be- 
stimmt ist. Es wird für diese 

(141b) ü- U,^-l- l^l-fdviS,^^ - ";-^-6,^ 

Obwohl bei der Berechnung der Polarisation der Kugel im 
§ 39 das Feld als gleichförmig vorausgesetzt wurde, können wir 
doch jetzt die Kraft bestimmen, welche auf die Kugel wirkt, 
wenn das ursprüngliche Feld ö^q nicht vollkommen gleichförmig 
war. Denn in diesem Falle stellt (141 b) eine erste Annäherung 
für den Energiezuwachs dar, welchen das elektrische Feld durch 
Hereinbringen der dielektrischen Kugel erfährt; derselbe ist 
negativ. Es nimmt also die Feldenergie beim Hereinbringen der 
Kugel ab, und zwar um so mehr, je größer die ursprüngKche 
Feldstärke war. Es ergibt sich als Näherungswert für die mecha- 
nische Kraft 
(142) ft = _ V( ET - D-„) = 1 • '^l V6/ , 

Die im inhomogenen Felde wirkende Kraft sucht die 
dielektrische Kugel nach Stellen größerer Feldstärke 
hin zutreiben; denn hier wird die Feldenergie durch die An- 
wesenheit der Kugel stärker verkleinert. Von der Richtung der 
Feldstärke ist diese Kraft unabhängig. 

Wir erwähnten am Schlüsse des § 39, daß im Grenzfalle 
£ = oü die Feldstärke @ im Innern der Kugel verschwindet. Es 
bleibt zwar in diesem FaUe nach (137 b) die elektrische Verschie- 
bung im Innern der Kugel endlich, aber die elektrische Energie 
im Innern der Kugel ist Null. Außerhalb der Kugel aber stimmt 

Abraham ,Thcori» der Elektrizität, I. 5. Aufl. 10 



146 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 

das Feld mit dem einer vollkommen leitenden Kugel von gleichem] 
Volumen überein, da das Potential auf der Kugeloberfläche kon- 
stant ist. Folglich stimmt auch die Änderung, welche die Feld-] 
energie durch die Anwesenheit einer leitenden Kugel erfährt,! 
überein mit der Änderung der Feldenergie durch eine dielek- 
trische Kugel vom gleichen Radius a und von unendlicher Dielek-j 
trizitätskonstante. Die Feldenergie nimmt beim Hereinbringen 

der leitenden Kugel um -^ do^ ab; hieraus ergibt sich 

(142a) l^^l-'v^o' 

als angenäherter Ausdruck der Kraft, die auf eine ungeladene! 
leitende Kugel im ungleichförmigen Felde wirkt. 

Wir haben im vorigen Paragraphen die Kraft, die auf ein ge- 
ladenes, mit Goldblatt überzogenes Holundermarkkügelchen wirkt, 
berechnet, ohne auf die Ungleichförmigkeit des Feldes Rücksicht 
zu nehmen. Ziehen wir diese in Rechnung, so wird 



(142b) a = e@o+YV^o' 

die gesamte Kraft sein. Man kann also, indem man den 
Radius a des Probekügelchens hinreichend klein wählt 
es stets erreichen, daß das geladene Probekügelchen 
aifch in ungleichförmigen Feldern die Feldstärke an 
zeigt, die vor seiner Anwesenheit an der betreffenden 
Stelle des Feldes herrschte. 



§ 44. Die mechanischen Kräfte im elektrostatischen Felde. 

Die beiden letzten Paragraphen haben gezeigt, daß das in 
§ 42 zugrunde gelegte Prinzip — die Berechnung der mecha 
iiischen Arbeit aus der Abnahme der elektrostatischen Feldenergie 
bei einer virtuellen Verrückung — zu Werten der bewegenden 
Kraft führt, die in den betrachteten Fällen von der Erfahrung 
bestätigt werden. 

Vo^n eben diesem Prinzipe ausgehend, soll nunmehr ein all- 
gemeiner Ausdruck für die mechanische Kraft abgeleitet werden, 
welche das elektrostatische Feld auf die Stücke eines Isolatora 






^ 44 Drittes Kapitel. Energie und mechanisclie Kräfte 147 

ausübt, üin so die virtuelle Arbeit dieser Kraft berechnen zu 
können, muß man die Änderung kennen, welche die elektrosta- 
tische Energie erfährt, wenn die Teilchen der Körper gegebene 
Verrückungen ausführen. 

Bei einer solchen unendlich kleinen Verschiebung q wird sich 
erstens die Verteilung der Elektrizität ändern, insofern als man 
diese als an der Materie haftend betrachtet; nehmen wir an, was 
für die Rechnung bequem ist, daß die Verteilung der Elektrizität 
eine räumliche sei, von der Dichte q (flächenhafte Verteilungen 
sind dann als Grenzfall räumlicher zu behandeln). Dann ist 
Q^n^f ^i® Elektrizitätsmenge, welche durch das feste Flächen- 
stück df im Sinne der Normalen n bei der Verrückung q hin- 
durchtritt. Es geht also dem von einer geschlossenen Fläche f 
begrenzten Bereiche die Elektrizitätsmenge verloren 



JQ^ndf==jdv^\YQi\, 



Der Übergang zu unendlich kleinen Raumteilen ergibt für die 
infolge der Verrückung q stattfindende „lokale" Abnahme der 
Dichte der wahren Elektrizität: 
(143) -dQ^dxvQt\. 

Zweitens wird sich bei der Verschiebung der Körper im all- 
gemeinen der Wert der Dielektrizitätskonstanten e ändern. Wir 
woUen von denjenigen Änderungen dieser Konstanten absehen, 
welche durch Dichteänderungen, oder allgemeiner durch Form- 
änderungen der Körper bedingt sind, und annehmen, daß für 
einen jeden materiellen Punkt des Isolators s konstant sei. Das 
heißt, es soll die „substanzielle Änderung" von £ gleich Null sein; 
diese setzt sich aber, wie bekannt, additiv zusammen aus der 
„lokalen" Änderung d £ an der betreffenden Stelle und der durch 
die Verrückung des materiellen Punktes an eine andere Stelle 
bedingten; die letztere ist gleich dem Betrage der Verrückung q 
multipliziert mit der in Richtung von q genommenen Kompo- 
nente des Gradienten von f, d. h. gleich dem skalaren Produkte 
von q und dem Gradienten von a; man hat also 

d£ + (qVa) = 0, 

10* 



148 Zweiter Absclinitt. Das elektrische Feld § U 

und somit für die lokale Änderung von e 
(143a) d£ = -(qV£). 

Wenn man nun irgendwie die Korperstücke ein wenig ver- 
schiebt, indem man die Elektrizität und den Wert der Dielek- 
trizitätskonstanten als an ihnen haftend betrachtet, so wird die 
elektrostatische Energie einen kleinen Zuwachs erfahren; dieser 
setzt sich additiv aus den Zuwächsen zusammen, welche der Ver- 
änderung der Ladungsverteünng q bei konstantem £, und der Ver- 
änderung von £ bei konstantem q entsprechen; bezeichnen wir 
diese mit ö^ ü, d^ üj so gilt 
(144) dU^d^U+d^U. 

Der Zustand, zu dem man so gelangt, ist allerdings kein elek 
trischer Gleichgewichtszustand; denn es werden im allgemeüien| 
nach der Verrückung die besonderen Bedingungen der Elektr 
statik nicht mehr erfüllt sein. Man muß also, um zu dem neue 
der veränderten Lage der Körper entsprechenden elektrostati 
sehen Felde zu gelangen, noch eine dritte Veränderung des Feldes 
hinzufugen. Nun findet aber bei einer Veränderung von dieser 
letzteren Art keine Änderung der elektrischen Energie statt (vgl 
§42), weil man in der Nachbarschaft eines Gleichgewichtszustandes 
bleibt, der nach dem Satze von Thomson einem Mindestwert de; 
elektrischen Energie entspricht. Es gibt also (144) den gesamte! 
Zuwachs der elektrostatischen Energie an, der den Übergang von 
dem ursprünglichen zu dem neuen, der veränderten Lage dei 
Körper entsprechenden, elektrischen Gleichgewichte begleitet 
Demnach ergibt sich, auf Grund des eingangs erwähnten Prin 
zips, die Arbeit der mechanischen Kräfte des Feldes bei der Ver 
rückung 

(144a) dÄ = -dü^-{d^^ü-{-ö,ü). 

Wir berechnen d U und d, U einzeln. 

ö ü ist der Energieunterschied zweier Felder, in denen € 
der gleichen Stelle den gleichen Wert, q aber verschiedene Wei 
hat Schreibt man diese Differenz 



U-U,^^fdv{i(B^)-i%^,) 



§ 44 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 149 

so gilt^ da ^ = «o> 

und somit = ^jdv{{^^^) - (@2)o)} . 

Man hat daher 

und, zu dem hier in Betracht kommenden Falle einer unendlich 
kleinen Änderung übergehend, 

a44b) e^u=ljdv{ß,s^). 

Hier geht nun die Veränderung d2) des Vektors der elektri- 
schen Verschiebung ein. Diese hat lediglich der Bedingung zu 
genügen, daß sie der Veränderung der Lad ungs Verteilung bei der 
Verrückung entsprechen muß, derart, daß stets die Beziehung gilt 

div 2) = 4,7CQ . 
D. h. es muß sein div dS = 4;r(J^, 

und daher nach (143) 

div d^ == — 4jt div ^q . 
Dieser Bedingung genügt der Wert von d2) 

^2) = — 4;i;()q, 
durch dessen Einführung (144 b) übergeht in 

144c) d/7= -jdviß, Qi) = -jdv{t\, Q^). 

Die Wahl von dS), die wir getroffen haben, war eine willkür- 
liche; in der Tat ist S durch die Ladungs Verteilung allein nicht 
bestimmt. Diese Willkür beeinträchtigt indessen die AUgemein- 
heit des Beweises nicht; man muß ja, um zu dem neuen Gleich- 
gewichtszustande zu gelangen, in jedem Falle noch eine Ände- 
rung des Feldes vornehmen, die jedoch, wie erwähnt, von keiner 
Energieänderung begleitet ist. Man würde also denselben Wert 
der Energieänderung erhalten, wenn man für die Veränderung 
des Vektors % einen anderen, mit der Beziehung zwischen 2) 
imd Q verträglichen Ausdruck setzen würde. Mithin würde, wenn 



150 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 44 

de gleich Null wäre, (144c) die gesamte Änderung der elektro- 1 
statischen Energie darstellen. 

Hierzu kommt jedoch im allgemeinen noch die mit d, ü be- 
zeichnete Energieänderung, die eine Veränderung der Dielektri- 
zitätskonstante bei festgehaltener Ladungsverteilung begleitet. 
Zu ihrer Berechnung können wir die Formel (141) des § 43 ver- 
wenden, die sich eben auf diesen Fall bezieht: 

Dieselbe ergibt für die unendlich kleine Änderung 

und, gemäß (143 a), 

(144d) d,ü= ^JdviB\^,V€). 

Aus (144a, c, d) folgt schließlich für die Arbeit, welche 
die mechanischen Kräfte des elektrostatischen Feldes 
bei einer unendlich kleinen Verrückung der Körper 
leisten: 

(144e) dA==Jdv{i\, 9^-i^^'^^)' 

Zu demselben Ausdruck für die Arbeit gelangt man, wenn 
man an jedem einzelnen Stücke der Körper eine Kraft ergreifen 
läßt, die, auf die Volumeneinheit bezogen, den Wert hat 



I 



(145) !^=()®-^rV£. 

In diesem Kraftausdrucke zeigt das erste Glied die Kraft an, 
welche das Feld auf die wahre Ladung ausübt. Hierzu tritt das 
zweite Glied, welches überall dort in Betracht kommt, wo e sich 
mit dem Orte ändert; es ist dem Quadrate der Feldstärke und 
dem Gefälle von s proportional. 

Aus dem Werte (144 e) für die Arbeit kann der Ausdruck 
(145) für die Kraft auf die Volumeinheit nur gewonnen werden, 
indem man sich vorstellt, daß jedes Körperstück unabhängig von 
den übrigen verschoben werden kann. Im allgemeinen sind nun 
die einzelnen Stücke nicht unabhängig voneinander beweglich; 



^ 45 Drittes Kapitel. Energie und mechaniäche KJräfte 151 

es lassen sich dann aus (144e) nur so viele Kraftgrößen berech- 
nen, als das System Freiheitsgrade besitzt. Handelt es sich z. B. 
um einen starren Körper von sechs Freiheitsgraden der Trans- 
lation und Rotation, so ergeben sich die sechs Komponenten der 
resultierenden Kraft und der resultierenden Drehkraft des elek- 
trostatischen Feldes aus (144 e); die so berechneten Werte stim- 
men mit denen überein, die man erhält, wenn man an jedem 
Stück dv die Kraft fdv angreifend denkt, und diese Einzel- 
kräfte zur resultierenden Kraft und Drehkraft zusammensetzt. In 
diesem Sinne hat man den Kraftausdruck (145) zu deuten. Oder 
allgemeiner: wenn das System n kinematische Freiheitsgrade hat, 
so ergeben sich für die n verallgemeinerten Kraftkomponenten 
der Lagraugeschen Gleichungen aus (145) die richtigen Werte. 
Übrigens haben wir hier von Unstefcigkeitsflächen abgesehen. 
Kommen solche vor, so werden besondere Betrachtungen not- 
wendig, die wir dem folgenden Paragraphen vorbehalten. 

§ 45. Die Maxwellschen Spanunngen. 

Wir denken uns jetzt im elektrostatischen Felde durch eine 
geschlossene Fläche /* ein Gebiet abgetrennt. Auf dieses Gebiet 
wirkt, wie im vorigen Paragraphen bewiesen wurde, die Gesaratkraft 

(145a) • ^^Jdv[Q^ - ^^ ^^Vfj . 

Hierfür kann auch geschrieben werden 

fl45b) ^%^^fdv{2%^\.Ya^-W^S^s]. 

Es soll nun gezeigt werden, daß sich diese Kraft durch die 
Resultierende eines Systems von Flächenkräften ersetzen läßt, die 
über die Begrenzungsfläche des Gebietes verteilt sind. Die mathe- 
matische Form dieser Betrachtung wird vereinfacht, wenn man 
sie, statt an die Kraft selbst, an die Arbeit anknüpft, welche die 
Kraft bei einer Parallelverschiebung q des ganzen Gebietes leistet. 
Diese Arbeit beträgt dA^ti^- 

so daß man hat 
I45c) ^itdA ==fdv {2(q@) div s^ - (@*q, V^)). 



152 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld j 45 

Dieser Ausdruck stimmt übrigens mit Gl. (144e) des vorigen 
Paragraphen überein, doch ist jetzt q ein konstanter Vektor. 

um die Umrechnung des hier auftretenden Raumintegrales 
in ein Flächenintegral auszuführen, knüpfen wir an die Formel ■ 
(65) an: div ^« = ^ div « -f ^V^; I 

wir setzen hier zuerst m 

t = 2(q@), % = £(^, und erhalten 

(145d) 2(q®) div 6(^. = div {2(q®)a^} - 2£@V(qe); 
sodann setzen wir = «, % = ^^q : dann folgt 

(145e) (^3q, Vs) = div {a^^q} - e div ^^q- 

Durch Subtraktion von (145 d) und (145e) ergibt sich die Identität 

2(q©) div £© - (^2^, Vf) = div {2(q@)£@ - fd'q} 
(146) -1- £{div ^.2q - 2^V(q@)}. 

Das letzte Glied der rechten Seite mag umgerechnet werden. 
Man hat, da q konstant ist, 
(146a) div <$^q == (q, V^.^), 

und ferner nach Formel (115) 

V(qß) = (qV)^-f [qcurl®], 
somit 2^V(q^) == (2^, (qV)6) + 2^[n curl ^]. 

Da weiter gilt (2^,^ V) @) = (q V) (S^ 
und 2@[q curl ^] == — 2q[S curl @], so wir 

(146b) 2(B'7{n(§;) = (qV)©^- 2q[® curl ©]. 

Durch Subtraktion von (146 a) und (146 b) folgt für das letzte 

Glied in (146): 

(146c) f{div e^q _ 2^V(qa')} == 2q[s^ curl @]. 

Dieses Glied werde nun in (146) nach links gesetzt, und (146) 
werde über das Gebiet v integriert. Dann ist nach (146) das 
Raumintegral 

(146d) fdv[2{^^) div £@-- (qßä, Vf) ^ 2^[6^, curl«]} 

gleich dem Raumintegral der Divergenz des Vektors 

2(q(S)£®-««2^, 



^ 45 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 153 

welches sich, nach dem Gaußschen Satze, in das Flächenintegral 
der noiTualen Komponente dieses Vektors umformen läßt: 

iUöe) Jdf{2{i\%){B^,, tt) - fr(qn)}. 

Die Umrechnung des Raumintegrals (146 d) in das Flächen- 
integral (146e) kann ohne weiteres dazu dienen, den Ausdruck 
(145 c) für die Arbeit bei einer Parallel Verschiebung des Gebietes 
in dem wirbelfreien elektrostatischen Felde in Form eines Flächen- 
integrales zu schreiben. Doch soll mit Rücksicht auf spätere An- . 
Wendungen hervorgehoben werden, daß die Ausdrücke (146d) 
und (146 e) einander gleich sind, welches aucli die Bedeutung 
des Skalars s und des Vektors @ sein möge. Dasselbe gilt von 
der Identität, zu der man durch Forthebung des konstanten 
Vektors q , der beiderseits lediglich als Faktor skalarer Produkte 
auftritt, gelangt: 

(147) fdv [ 2@div£@-@^£-2[£e,curl^] ]=^ j df{ 2ß(£@,n)-nf «^ } 

Diese Formel wird auch später, bei der Behandlung der mecha- 
nischen Kräfte magnetischer Felder, sich als nützlich erweisen. 
Bei der Anwendung auf das elektrostatische Feld, um die es 
sich hier handelt, ist zu beachten, daß 

curl ^ = 
ist. Mit Rücksicht hierauf wird die linke Seite von (147) gleich 
dem Ausdruck (145b) für ^n^. Man kann also ^^, die gesamte 
Kraft des elektrostatischen Feldes, als Flächenintegral schreiben: 

(147 a) ^=^Jdf%% 

wobei der Vektor %^ die Bedeutung hat 

(148) %7c%' = 2e(£ß, n) - nB%\ 

D. h. die Gesamtkraft des elektrostatischen Feldes 
läßt sich durch ein über die Begrenzungsfläche des Ge- 
bietes verteiltes System von Flächenkräften ersetzen; 
die Flächenkraft, bezogen auf die Flächeneinheit, wird durch 
(148) gegeben. Da, nach Formel (24), gilt 

«(2)n)-tt((S2)) = [2)[@tt]], 



154 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld 



I^P 



I 



SO kann man (148) auch schreiben 

(148a) S%%^ = ^(S)tt) + [^[^nj]. 

Wir wollen den Ausdruck (148) für die Flächenkraft erörtern. 
Wir betrachten zunächst ein Flächenstück, das senkrecht zur 
Richtung des Vektors (§> gestellt ist. Für ein solches ist 

die Flächenkraft hat somit die Richtung der äußeren Normale, 
sie entspricht einer Zugkraft, deren Betrag gleich der elektrischen 
Energiedichte ist. 

Wir fassen zweitens ein Flächenstück ins Auge, welches parallel 
zum Vektor @ gestellt ist; da hiern senkrecht zu (i ist, so ergibt (148) 

auch hier ist also die Flächenkraft dem Betrage nach der Energie- 
dichte gleich, sie ist aber der äußeren Normale des Gebietes, auf 
welches sie wirkt, entgegen gerichtet, d. h. sie entspricht einer 
Druckkraft. 

Die Flächenkraft (148) ist zu deuten als Zug parallel 
den elektrischen Kraftlinien, als Druck senkrecht zu 
den elektrischen Kraftlinien; der Betrag beider ist 
gleich der elektrischen Energiedichte an der betreffe n- 
den Stelle. 

Bereits Faraday hatte die mechanischen Kräfte des elektri- 
schen Feldes als Längszug und Querdruck der elektrischen Kraft- % 
Knien zu veranschaulichen gesucht; Maxwell hat diese Auffassung 
schärfer begründet und gezeigt, daß sie in der Tat die bekannten, 
auf Körper im elektrostatischen Felde wirksamen Kräfte ergibt. 
Wir gelangen zu der auf ein rechtwinkliges Achsensystem be- 
zogenen analytischen Darstellung der MaxweUschen Spannungen, 
indem wir die Beziehung (148), die zwischen den Vektoren %' 
und n besteht, in der Form einer linearen Vektorfunktion schrei- 
ben (vgl. § 9): .^ e_ j. „ Jr T^ n + r^ tt 
(149) %; = r;,n, + r,%n, + T«.n„ 



§ 45 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 155 

dabei finden sich für die Koeffizienten die Werte: 

(149a) %%TI, = .(S/- ß/ - e.^), 



(149 b) 



8Är^, = 83r2'/y = 2fe„(g,, 

8;rT/, = 8a2'j, = 2aß,ß,. 



Aus (149b) gebt hervor, daß die lineare Vektorfunktion (149) 
eine symmetrische ist; ihre sechs Koeffizienten stellen sich als ein 
System von Tensorkomponenten dar; dieses sind die soge- 
nannten „Maxwellschen Spannungen" im elektrischen Felde. 

Es springt die Analogie zu den elastischen Spannungen in 
die Augen (§ 9 Gl. (50), (51)). Insbesondere werden von den 
Maxwellschen Spannungen die Symmetriebedingungen (51) er- 
füllt. Doch darf man nicht annehmen, daß die Maxwellschen 
Spannungen etwa mit den elastischen Spannungen übereinstimmen, 
welche in den im elektrischen Felde befindlichen Körpern be- 
stehen. Diese Spannungen sind vielmehr von den Maxwellschen 
durchaus verschieden; für Flüssigkeiten und Gase, bei denen die 
elastischen Spannungen sich auf einen allseitigen Druck redu- 
zieren, ist dies ja ohne weiteres klar. 

Aus der Betrachtung, die uns zu der Flächenkraft 2^* geführt 
hat, geht hervor, daß diese Flächenkraffc, und damit die Maxwell- 
schen Spannungen, nur ein Hilfmittel sind, dessen, man sich zur 
Ermittelung der mechanischen Kräfte bedienen kann. Die ge- 
samte Kraft auf ein beliebiges Gebiet wird erhalten, indem man 
die Flächenkraft %^ über dessen Grenzfläche integriert. Hat man 
so die Kräfte für die einzelnen Raum- und Flächenstücke er- 
mittelt, so hat man diese in die Gleichgewichtsbedingungen der 
Elastizitätstheorie einzusetzen, um die wirklichen elastischen 
Spannungen zu erhalten; mit dieser Aufgabe beschäftigt sich die 
Theorie der Elektrostriktion. Die Spannungen (149a, b) 
werden vielfach, um den Gegensatz zu den wirklichen Spannungen 
hervorzuheben, als „fiktive Spannungen" bezeichnet. 



1 



I 



156 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 45 

Würde man aus den fiktiven Spannungen die Kraft pro Yolum- 
einheit berechnen, so würde man zu Gl. (145) des vorigen Para- 
graphen zurückgelangen. Dort mußten Unstetigkeitsflächen, an 
denen die Feldstärke oder die Dielektrizitätskonstante einen Sprung 
macheu, ausgeschlossen werden. Mit Hilfe der fiktiven Flächen- 
kräfte X"" können wir nun unschwer die wirkliche Flächenkraft 
berechnen, die an solchen Unstetigkeitsflächen angreift. 

Wir denken uns zu diesem Zwecke ein Stück der Unstetig- 
keitsfiäche zwischen zwei, diesseits und jenseits gelegene Flächen- 
stücke eingeschlossen, deren Abstand dem Grenzwerte Null zu- 
strebt. Für diese Flächenstücke sind die auf die Flächeneinheit 
bezogenen, fiu gierten Flächenkräfte 2^i^,2^2* einzuführen, zu dörei^ 
Berechnung wir uns der Gl. (148a) bedienen: j 

S7c%,^ = ^i(2)itti) + [^JßiHj], 

dabei bedeuten itj, tlg jedesmal die äußere Normale des begrenzten 
Gebietes, also hier der dünnen, die Unstetigkeitsfläche enthaltenden 
Schicht, d. h. die Normale, di^ von der Unstetigkeitsfläche aus 
nach dem Innern des Körpers gezogen ist, der durch die Ziffer 
1 oder 2 gekennzeichnet ist. Die Summe der beiden Fläehen- 
kräfte Xj" und X^*^ gibt die Kraft auf die Flächeneinheit der Un 
Stetigkeitsfläche an, da im GreuzfaUe die hinzutretende Kraft auf 
die Mantelfläche verschwindet, die mit jenen beiden Flächen 
stücken zusammen das Stück der Unstetigkeitsfläche ganz ein- 
schließt. Setzen wir n^ = — 113 = 11, 
so wird die auf die Einheit der Unstetigkeitsfläche w 
kende Kraft: 

(150) 8% { 2,«+S/ } = e, (S.tt) - %{Z,n) + [3i,[&,n]] - [%mM 
An der Oberfläche eines Leiters verschwindet die auf das Leiter- 
innere bezügliche fingierte Flächenkraft 22^ da im Leiter kein 
Feld besteht, und es bleibt nur 2i% die auf das Äußere bezüg- 
liche fingierte I lächenkraft, übrig, die demnach in diesem beson- 
deren Falle die wirkliche Flächenkraft darstellt; sie ist, da die 
Kraftlinien senkrecht zur Leiteroberfläche stehen, eine Zugkraft, 
deren Betrat der Dichte der Energrie gleich ist. 



I 45 Drittes Kapitel. Energie und mechanische Kräfte 157 

An der ungeladenen Trennungsfläche zweier Isolatoren ist die 
Normalkomponente von ^ stetig, mithin 

®.(2).ii)-S3(2).«) = (ei-6s)(2)in); 
da ferner die tangentiellen Komponenten von (^ stetig sind, so 
ist die Differenz von @j und ©g ^^^ ^^^^ Trennungsfläche senk- 
rechter Vektor: 

«1 - e, = n|(g,n) - («,«)) = ng -^)(35.n); 
man hat also 

e,(®.ti) - e,(3),n) = n(*_ - y (2),n)l 

Andererseits hat man, da das äußere Produkt von ß und n stetig ist, 

[2)J®in]] - [^,m,n]] = [2)i- ^,, [@,n]], 
wobei die vektorielle Differenz von ^^ und ^^ ^^^^ ^^ senkrecht 
steht; es ist also 

(35, - 2)„ n) = 0, 3)i - 3)2 =- [tt[3), - 3),, n]], 
und daher ist in 

[2)i — %y [^illj] == — n((Si, 2)i — 2)0) zu setzen 
(«1, 35, - 2),) == ^Jn[D, - 3)3, n]] == [D, - 2)„ n] • [@,n] 

== (fj — f 2) [^1 n] ^ mithin 

Es ergibt sich also schließlich aus (150) als Ausdruck für die wirk- 
liche Flächenkraft, die an der'^Trennungsfläche zweier 
Isolatoren angreift: 

(150a) 2,^ + 2/' = ^ { (J - y i^,«y + {B, - e,) [ß,n] ^} ; 

dieselbe ist senkrecht zur Fläche gerichtet. Da n die von 
dem Körper (2) nach dem Körper (1) weisende Normale bedeutet, 
so hat die Kraft diese Richtung, falls s^ > s^ ist, d. h. die Flächen- 
kraft zieht die Trennungsfläche nach derjenigen Seite, auf welcher 
die Dielektrizitätskonstante den kleineren Wert hat. In (150a) 
ist diese Zugkraft durch die normale Komponente von ^ und die 
tangentielle von (B ausgedrückt, welche diesseits und jenseits der 
Trennungsfläche die gleichen Werte haben. Bevorzugt man die 
erste Seite, so kann man auch schreiben 



158 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld 

(150b) 2,« + 2/ = n.^-'-^{g,^-^(6,n)^}- | 

Bereits im vorigen Paragraphen, und daher auch in diesem, 
ist der Umstand außer Betracht geblieben, daß sich bei einer De- 
formation der Körper ihre Dielektrizitätskonstante ändert, z. B. 
daß sie bei Flüssigkeiten und bei Gasen von der Dichte abhängt. 
Bei Berücksichtigung dieses Umstandes sind zu den Ausdrücken 
der fiktiven Spannungen, und daher auch der fäumlichen und 
der Flächenkräfte, ErgänzungFglieder hinzuzufügen; diese Er- 
gänzungsspannungen sind von H. Hertz in allgemeinster Weise 
angegeben worden. Doch sind ihre Anteile an den mechanischen 
Kräften gering, und sie mögen daher hier unberücksichtigt bleiben. 

Viertes Kapitel. 

Der elektrisclie Strom. 

§ 46. Die Gesetze yon Ohm und Joule. 

Bereits in § 41 wurde angedeutet, welche Eigenschaften des 
elektrischen Feldes die Maxwellsche Theorie als aUgemein, auch 
für zeitlich veränderliche Felder, gültig ansieht, und welche Eigen- 
schaften insbesondere die elektrostatischen Felder kennzeichnen. 
Allgemeingültig sind die Verknüpfungen zwischen der Feldstärke 
®, der Verschiebung ^ und der elektrischen Energie C7,. sowie 
die zwischen Elektrizitätsmenge und elektrischer Verschiebung; 
dem elektrostatischen Felde eigentümlich hingegen ist es, daß d 
sich aus einem einwertigen Potentiale ableitet, welches auf der 
Oberfläche der Leiter und in ihrem Innern konstant ist. 

Wir denken uns jetzt zwei Leiter, welche mit entgegengesetzt 
gleichen Ladungen versehen sind, etwa die Belegungen eines 
Kondensators. Das elektrostatische Feld, welches sich hergestellt 
hat, stören wir dadurch, daß wir die beiden Belegungen durch 
einen metallischen Draht miteinander verbinden. Da die Enden 
des leitenden Drahtes dadurch auf verschiedene Potentiale g^j, cp^ 
gebracht werden, so kann im Innern desselben der Gradient von 
9 nicht durchweg gleich Null sein; es muß sich im Innern de» 



§ 46 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 159 

Leiters ein elektrisches Feld ausbilden, so daß die Bedingung des 
elektrostatischen Gleichgewichtes nicht mehr erfüllt ist. 

Was geschieht jetzt? Man beobachtet, daß nach kurzer Zeit 
die Ladungen + e der Kondensatorbelegungen sich geändert 
haben oder ganz verschwunden sind; man sagt dann: Ein elek- 
trischer Strom hat den Leitungsdraht durchflössen, und nimmt 
die zeitliche Änderung der wahren elektrischen Ladung als Maß 

der Stromstärke: , 

■r de 

(151) ^=Tt- 

Man findet, daß gleichzeitig im Drahte eine Wärmeentwicklung 
stattgefunden hat und daß einer benachbarten Magnetnadel ein 
Drehimpuls erteilt worden ist. 

Auf die soeben erwähnte Verknüpfung des elektrischen Stro- 
mes mit dem magnetischen Felde werden wir erst im nächsten 
Abschnitte genauer eingehen. Zunächst handelt es sich darum, 
die Beziehungen festzustellen, welche zwischen dem elektrischen 
Felde und dem elektrischen Leitungsstrome sowie der Wärme- 
entwicklung bestehen; diese Beziehungen werden durch die Ge- 
setze von Ohm und Joule formuliert. 

Beide Gesetze sind allerdings nicht für den rasch verklingen- 
den Strom der Kondensatorentladung zuerst gefunden worden, 
sondern für den stationären Strom, der in einem, an die Pole 
einer elektrischen Batterie angeschlossenen Drahte fließt; die 
beiden Merkmale des elektrischen Leitungsstromes, Wärmeent- 
wicklung und magnetisches Feld, sind auch hier vorhanden. Eine 
zeitliche Änderung wahrer elektrischer Ladung allerdings wird 
durch den stationären, in einer geschlossenen Bahn fließenden 
Strom nicht bedingt. Dennoch berechtigen jene beiden Merkmale 
dazu, ihn als wesensgleich mit dem Entladungsstrome eines Kon- 
densators anzusehen. 

Wie allen zeitlich konstanten elektrischen Feldern, so kommt 
auch demjenigen des stationären Stromes die Eigenschaft zu, 
wirbelfrei zu sein und sich daher aus einem skalaren Potentiale 
(p abzuleiten. Wir denken uns einen Leitungsdraht aus homo- 
genem Materiale; den Enden Pj, Pg mögen die Potentiale (p^ 
und 9?2 zukommen; dann besagt das Ohmsche Gesetz, wie es 



160 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 46 

in den elementaren Lehrbücliem der Physik formuliert wird: 
Die Potentialdiiferenz zwischen den Enden der Leitung ist gleich j 
dem Produkte aus Stromstärke und Widerstand 

(152) gpi - 9?2 = ^-R. 

Dabei stellt (p-^ — qpg ^^^ Linienintegral der elektrischen Feld- 
stärke @ von Pj bis P^ vor, J ist die Stärke des Stromes, der 
durch die Querschnitte der Leitung von Pj nach Pg fließt, und 
R der Gesamtwiderstand des homogenen Leitungsdrahtes, welcher 
die beiden Punkte verbindet. 

Das Ohmsche Gesetz ist eine reine Erfahrungstatsache; als 
solche läßt es sich wortgetreu nur durch das Integralgesetz (152) 
wiedergeben. Für die weitere theoretische Darstellung eignen 
sich aber weit besser als die Integralgesetze die Differential- 
gesetze, die man erhält, wenn man jene auf unendlich kleine Ge- 
bietsteile überträgt. Diese geben das Naturgesetz in strengerer 
Fassung wieder, da bei unendlich kleinen Gebietsteilen eine Reihe 
möglicher Umstände vermieden wird, deren ausdrückliche Aas- 
schließung bei Leitern von endlichen Abmessungen nicht in allen 
FäUen zulässig ist. 

Wir führen an Stelle der Stromstärke J die Stromdichte de« 
elektrischen Leitungsstromes ein, die wir mit i bezeichnen. Ver- 
teilt sich die Strömung gleichförmig über den Draht, so ist der 
Betrag des der Leitlinie s parallelen Vektors i einfach der Quo- 
tient aus Stromstärke und Querschnitt 

Für ein zylindrisches Stück eines homogenen Leiters von der 
Länge ?, in welchem sich ein gleichförmiges, der Leitlinie paraUelesj 
elektrisches Feld hergestellt hat, ist ferner 

Setzt man weiter R = — . 

wo dann 6 eine Materialkonstante, die spezifische elektrische 
Leitfähigkeit, darstellt, so ergibt das Ohmsche Gesetz (152): 



§ 46 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 161 

Für isotrope Körper ist die Leitfähigkeit von der Richtung 
unabhängig. Hier gilt als differentielleForm desOhmschen 
Gesetzes: 
(152a) i = 6(B. 

Das Ohmsche Gesetz besagt also, daß für einen isotropen Leiter 
die Stromdichte der elektrischen Feldstärke parallel ist, und daß 
der Quotient der Beträge der beiden Vektoren eine Stoif konstante, 
mithin unabhängig von i und © ist. Mit der chemischen und 
physikalischen Beschaffenheit des Leiters, insbesondere mit der 
Temperatur, wird sich natürlich auch die Leitfähigkeit 6 ändern. 
Bei anisotropen, kristallinischen Leitern stimmen die Richtungen 
von i und @ im allgemeinen nicht überein; man stellt hier i 
durch eine lineare Vektorfunktion von @ dar; dies sei nur neben- 
bei bemerkt, da ein näheres Eingehen auf die Fragen der Kristall- 
physik aus dem Rahmen dieser Schrift heraustritt. 

Ebenso wie das Ohmsche wird auch das Joule sehe Gesetz 
durch die Erfahrung unmittelbar in Form eines Litegralgesetzes 
gegeben: Die Wärmeentwicklung, die pro Zeiteinheit in der 
ganzen Leitung stattfindet, ist 
ri53) Q = J(fp,-<p,) = RJ'', 

sie ist natürlich in mechanischem Maße zu messen, da wir qpj — gpg 
und J in absoluten elektrostatischen Einheiten ausdrücken. Das 
zugehörige Differentialgesetz bezieht sich auf die pro Zeitein- 
heit und pro Volumeinheit entwickelte Wärme; diese be- 
trägt 
(154) i® = (je^= V|2 

Die Gesetze von Ohm und Joule, die von der Erfahrung zu- 
nächst nur für stationäre Ströme bestätigt sind, werden als auf 
die Leiterstückchen bezogene Differentialgesetze von der Max- 
wellschen Theorie auch auf beliebig rasch wechselnde Felder 
angewandt; für die gesamte im Felde entwickelte Joulesche 
Wärme wird stets gesetzt 

(154a) Ö = / dv{m) = j dv6^^ = jdv ^l - 

Von den Differentialgesetzen (152 a) und (154) gelangt man 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 11 



162 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 47 

leicht zu den Integralgesetzen zurück , auch wenn es sich um 
einen linearen Leiter von veränderlichem Querschnitt q handelt. 
Man nennt einen Leiter „linear", wenn die Querabmessungen so 
klein gegen die Längsabmessungen sind, daß der Strom sich gleich- 
förmig über den Querschnitt verteilt und daß in jedem Querschnitt 
der Leitung ein konstanter Potentialwert (p besteht. Dann ist 

d^ fi^ 1 . J 

— - — = ^ = ------ 1 = — 

ÖS * c ^ 6q ^ 

da nun durch alle Querschnitte der gleiche Strom fließt, so er- 
gibt die Litegration längs der Leitlinie, von P^ bis P^: 

2 

(155) <jp,-<p,= J-Jg = J-iJ. 

1 

Wir finden also das Ohmsche Integralgesetz (152) wieder undJ 
darüber hinaus, einen bestimmten Ausdruck für den Widerstand] 
des linearen Leiters. 

Was die Joulesche Wärme anbelangt, so «rgibt sie sich nachj 
(154a) durch Integration 

2 2 

(155a) Q =fdsq L;' = J'f^ = J^R , 

1 1 

was mit (153) vollkommen übereinstimmt. % 

§ 4:7. Leitungsstrom und Verschiebungsstrora. 

Für den stationären elektrischen Strom, der in einem ring- 
förmigen Leiterkreise von irgendwelchen elektromotorischen 
Kräften erregt wird, gilt der allgemeine Grundsatz, daß durch 
alle Querschnitte des Kreises der gleiche Gesamtstrom fließt. 
SoUte überhaupt irgendwo Elektrizität entstehen, so entsteht doch 
immer positive und negative Elektrizität in gleichen Mengen, 
so daß die Ergiebigkeit der Quellen in Summa Null ist. Einem 
von NuU verschiedenen Werte der Divergenz von i würde dem- 
nach eine zunehmende oder abnehmende Dichte der Elektrizität 
entsprechen. Diese würde eine Änderung der elektrischen Ver- 
schiebung S und damit des Feldes % bedingen; eine solche 



I 



§ 47 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 165 

Änderung aber wäre mit der stationären Stromverteilung nicht 
yereinbar. 

Das Feld des stationären elektrischen Leitungs- 
stromes ist demnach durchweg quellenfrei. Es ist 

(156) div i = innerhalb des Leiters^ 

(156 a) i„, + {.2=0 

an der Grenze zweier Leiter, 
(156 b) i„=0 

an der Grenze gegen den Isolator. 

Betrachten wir hingegen den nichtstationären Strom, der 
einen Kondensator ladet oder entladet, so beginnt oder endigt 
der Leitungsstrom auf einer der Kondensatorplatten; wo er be- 
ginnt, nimmt die wahre Ladung entsprechend ab, wo er endigt, 
nimmt die wahre Ladung zu. Eine Senke des Leitungsstromes 
würde hiernach eine zeitlich ansteigende Dichte, eine Quelle des 
Leitungsstromes eine abnehmende Dichte der wahren Elektrizität 
ergeben. Nun beginnen aber überall dort, wo wahre Ladung 
sich befindet, elektrische Verschiebungslinien. Das Litegral der 
elektrischen Verschiebung erstreckt sich über eine Fläche, welche 
eine der Kondensatorplatten einschließt, ist gleich der mit 47C 
multiplizierten wahren Ladung der Platte, wie die Gleichung 
(127) besagt. Ist nun J die Stromstärke des auf der Platte 
endigenden Stromes, so ist nach (151) 



^-T^-U^h^^f-Lh'^ 



Die Stromstärke des Leitungsstromes, der zur Platte fließt, 
ist demnach proportional der zeitlichen Zunahme der Zahl der 
von der Platte ausgehenden Verschiebungslinien. Der Leitungs- 
strom im Drahte findet seine Fortsetzung in dem „Verschiebungs- 
strome" im Dielektrikum. Diese Auffassung des Ladungsvor- 
ganges, die sich auf die allgemeingültige Beziehung zwischen 
wahrer Elektrizität und elektrischer Verschiebung stützt, ist für 
die Maxwellsche Theorie von grundlegender Bedeutung. Sie 
gipfelt in dem allgemeinen Satze: Leitungsstrom und Ver- 

11* 



164 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld 



147» 



schiebungstrom zusammen stellen in einem ruhenden 
Körpersystem eine quellenfreie Strömung dar. 

Dem Vektor i = ^®, der Richtung und Dichte des Leitungs- 
stromes bestimmt^ tritt jetzt der Vektor 

4:7t dt A:7C dt 

an die Seite^ der Richtung und Größe des Verschiebungsstromes 
anzeigt. 

Während der Leitungsstrom nach dem Joulesche Gesetze von 
einer Wärmeentwicklung im Leiter begleitet ist, die (i®)==^@^ 
pro Volumeinheit beträgt, findet im Dielektrikum infolge des 
Verschiebungsstromes die Energieänderung 

Stt dt 8ä a< ' ^ 4jc dt 
pro Volumeinheit statt, und zwar eine Energiezunahme ^ we 
der Verschiebungsstrom einen spitzen Winkel mit dem schon 
bestehenden elektrischen Felde bildet, eine Energieabgabe, wenn 
die beiden Vektoren einen stumpfen Winkel einschließen. 

Der obige Grundsatz des quellenfreien Stromes läßt sich am 
einfachsten fassen, wenn man sich einen Körper denkt, der 
sowohl Träger eines Leitungsstromes als eines Verschiebungs- 
stromes sein kann. Nach der Anschauung Maxwells besitzt jeder 
Körper eine Leitfähigkeit 6 und eine Dielektrizitätskonstante e 
Die Dichte des „wahren*^ Stromes ist durch den Vektor 

(157) t^i + i^i^6%+^^f, 

^ ^ 4:7t dt 4:7t dt 

gegeben. Je nachdem das Feld langsamer oder rascher wechselt, 
wird der betreffende Körper mehr als Leiter oder als Dielektri- 
kum erscheinen; von der Wechselzahl wird es auch abhängen, 
ob der elektrische Strom im Körper mehr von Wärmeentwick 
lung oder von umkehrbarer Änderung elektrischer Energie be- 
gleitet ist. 

Das oben erwähnte Prinzip besagt nun: der wahre Strom r 
ist durchweg quellenfrei; es ist also 
(157 a) divc = 

im Innern eines Körpers, 



§ 47 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 165 

(157 b) '„i + c„, = 

an der Grenze zweier Körper. 

Diese Grundgleichungen sind nach (157) und (127 a, b) gleich- 
wertig mit den beiden folgenden 

,. . ,.1 a2> dg 

divi = -diy^^^ = --^-, 

die besagen: räumliche Divergenz und Flächendivergenz des 
Leitungsstromes sind bzw. gleich der zeitlichen Abnahme der 
räumlichen bzw. der Flächendichte der wahren Elektrizität. Sie 
sprechen mithin in bezug auf die Raum- und Flächenstücke den 
allgemeinen Satz aus, daß die Menge wahrer Elektrizität in 
einem ruhenden Körper nur durch einen Leitungsstrom geändert 
werden kann; sie gelten in einem jeden ruhenden Körpersystem. 
Die erste der beiden Gleichungen ergibt für die Dichte 

p'« A div@ 

der freien Elektrizität in homogenen Körpern die Beziehung: 

^ / s dg' 1 

60 = — , ^ oder, wenn 

^ 4tn dt ^ 



(158) d^ == ^-- gesetzt wird, q' ^ q^ . e -'^ , (158a) 

wenn q^ den Wert von q zur Zeit ^ = angibt. Die Dichte 
der freien Elektrizität sinkt also innerhalb jedes homogenen 
Körpers, der sowohl leitend wie dielektrisch ist, mit der Zeit in 
geometrischer Progression. Die Zeit %•, nach der q' auf den 
c"^ten Teil gesunken ist, ist nach (158) um so kleiner, je größer 
die Leitfähigkeit des Köi-pers ist. Sie wird als Relaxations- 
zeit bezeichnet. Für die Metalle ist sie unmeßbar klein, was 
damit zusammenhängt, daß der Verschiebungsstrom im MetaUe 
auch für die raschesten elektrischen Schwingungen gegen den 
Leitungsstrom verschwindet. Im Innern eines homogenen Me- 



1 



166 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 48 

talles stellt sich also in unmeßbar kurzer Zeit ein Feld dar, bei dem 

div^ = 4Ä()'=0 
ist. Für reines Wasser dagegen ist die Leitfähigkeit so gering, 
daß die Relaxationszeit von der Größenordnung meßbarer Zeiten 
wird. 

§ 48. Der Konyektionsstrom. 

Wir haben im yorigen Paragraphen nur von ruhenden Körpern 
gesprochen. Läßt man Bewegungen der Körper zu, so kann die 
Elektrizität auch ohne Leitungsstrom bewegt werden. Die Fort- 
führung der Elektrizität durch bewegte, geladene Körper be- 
zeichnet man als „Konvektionsstrom". 

Ein elektrisch geladener, isolierter Körper bewege sich etwa 
im Lufträume oder in einem mit Petroleum gefüllten Gefäße. 
Man denke sich in dem Isolator eine geschlossene Fläche. So- 
lange der Körper sich außerhalb der Fläche befindet, ist die ge- 
samte elektrische Verschiebung, die er durch die Fläche sendet, 
gleich Null; sobald er in die Fläche eingetreten ist, wird die 
elektrische Verschiebung durch die Fläche hindurch gleich der 
wahren Elektrizitätsmenge, welche der Körper in das Innere der 
Fläche eingeführt hat. Es hat also gleichzeitig mit dem Eintritt 
des Körpers die elektrische Verschiebung sich geändert, es ist 
ein Verschiebungsstrom durch die Fläche hindurchgetreten. Hier 
bilden Konvektionsstrom und Verschiebungsstrom zusammen den 
geschlossenen Strom. 

Im allgemeinen Falle werden Leitungsstrom, Konvektions- 
strom und Verschiebungsstrom zusammen einen geschlossenen 
Strom ergeben. Die Dichte des Konvektionsstromes ist offenbar 
(159) f = (>ö; 

wenn ti die Geschwindigkeit des Teilchens ist, an dem die Ladung 
mit der Dichte q haftet. Wenn konvektive Bewegungen wahrer 
Elektrizität stattfinden, so ist als quellenfrei der Vektor: 

(159a) e = i+j^„-^ + ,ti = i+-/-^ + ^»div3) 

anzusehen, welcher für ruhende Körper in den Vektor (157) 
übergeht. 



I 



§ 48 Viertes Kapitef. Der elektrische Strom 167 

Nicht immer ist es möglicli, Leitungsstrom und Konvektions- 
strom scharf voneinander zu sondern. Betrachten wir z. B. einen 
Elektrolyten, d. h. einen Körper, der beim Durchgang des Stro- 
mes eine chemische Zersetzung erfährt. Für einen solchen Körper 
gelten die beiden von Faraday entdeckten Gesetze: Die zersetzte 
Menge des Elektrolyten ist der hindurchgegangenen Elektrizitäts- 
menge proportional. In verschiedenen Elektrolyten zersetzt ein 
gegebener Strom in gleichen Zeiten chemisch äquivalente Mengen. 
Diese beiden Gesetze, die übrigens im Voltameter zur Strom- 
messung verwandt werden, deutet bekanntlich die Elektrochemie 
folgendermaßen. Es sollen Verbindungen positiver und negativer 
Elektrizitätsmengen mit wägbaren Massenteilchen, sogenannte 
, Jonen" sein, welche den Strom in Elektrolyten transportieren. 
Hier kann man im Zweifel sein, ob man es im Sinne der Max- 
wellschen Theorie mit einem Leitungsstrome oder mit einem 
Konvektionsstrome zu tun hat. Die den Leitungsstrom kenn- 
zeichnenden Gesetze von Ohm und Joule gelten auch in Elek- 
trolyten, anderseits soU die Elektrizität bei ihrer Bewegung an 
wägbare Massen gebunden sein, wie bei einem Konvektionsstrome. 
Die MaxweUsche Theorie in ihrer ursprünglichen Form geht 
einer Entscheidung dieser Frage aus dem Wege; sie begnügt 
sich mit der Feststellung, daß die Verknüpfung des Stromes mit 
der Feldstärke und mit der Wärmeentwicklung hier die gleiche 
ist wie bei den Metallen und daß es für die Bestimmung des 
wahren Stromes (159 a) nicht darauf ankommt, ob die Fortfüh- 
rung der Elektrizität in Form des Leitungsstromes oder des Kon- 
vektionsstromes erfolgt. 

Auch verzichtet die MaxweUsche Theorie in ihrer ursprüng- 
lichen, rein phänomenologischen Gestalt darauf, über die mole- 
kularen Vorgänge, welche im elektrischen Strome stattfinden, 
etwas auszusagen. Und doch legen gerade die Faradayschen Ge- 
setze die Hypothese nahe, daß der Elektrizität wie der Materie 
eine atomistische Struktur zuzuschreiben ist uud daß die Ionen 
Verbindungen chemischer und elektrischer Atome sind, die, der 
chemischen Valenz entsprechend, sich vereinigt haben. Dieser 
für die Elektrochemie so fruchtbaren Vorstellung gegenüber 



168 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 48 

nahm die Maxwellsche Theorie zunächst eine unentschiedene 
Stellung ein. 

Erst der Elektronentheorie gelang es, die atomistische 
Hypothese für die Weiterbildung der MaxweUschen Theorie zu 
verwerten. Sie konnte sich dabei insbesondere auf gewisse, den 
Elektrizitätsdurchgang durch verdünnte Gase begleitende Er- 
scheinungen, die sogenannten „Kathodenstrahlen^* berufen. 
Diese von der Kathode ausgehenden Strahlen führen negative 
Elektrizität mit sich; sie besitzen ferner eine gewisse Trägheit, 
die jedoch viel geringer ist, als die Trägheit elektrochemischer 
Ionen. Die träge Masse der in den Kathodenstrahlen bewegten 
elektrischen Partikel beträgt nur ein 2000*®^ derjenigen Masse, 
welche man bei der gleichen Ladung dem Wasserstoffion zu- 
schreibt. Das Verhältnis von Ladung und träger Masse, welches 
den Kathodenstrahlen zukommt, ergab sich als unabhängig von 
der chemischen Natur der Kathode und der GasfüUung. Es lag 
die Annahme nahe, daß man es hier mit den freien Atomen der 
negativen Elektrizität, den freien „Elektronen*^, zu tun habe. 
Diese Hypothese konnte auch von Erscheinungen Rechenschaft 
geben, welche die von radioaktiven Körpern ausgehenden nega- 
tiven Elektrizitätsteilchen aufweisen. Es ergaben nämlich di& 
messenden Versuche W. Kaufmanns, daß die träge Masse bei 
diesen sehr rasch, fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Teil- 
chen mit wachsender Geschwindigkeit ansteigt; dieses Ansteigen 
ließ sich dadurch erklären, daß man die träge Masse nur als 
Folge der elektrischen Ladung der Elektronen auffaßte. Wir 
werden hierauf ausführlicher erst im zweiten Bande dieses Werkes 
eingehen. Zunächst interessiert uns das Ergebnis, daß es Elek- 
trizitätsbewegungen gibt, die man als Konvektionsstrom auf- 
zufassen hat, obwohl sie nicht mit Bewegungen des wägbaren 
Stoffes gekoppelt sind. Die Bewegung der Elektronen findet in 
dem sonst leeren Räume statt, sie hängt nur ab von dem hier 
herrschenden elektromagnetischen Felde; die Gesetze von Ohm 
und Joule versagen hier vollkommen. 

Die Elektronentheorie geht noch einen Schritt weiter; sie 
behauptet, daß jeder Leitungsstrom im Grunde ein Konvektions- 



§ 48 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 169 

ström bewegter Elektronen ist. In Elektrolyten sollen die Elek- 
tronen an die wägbaren Atome gebunden sein, in Metallen hin- 
gegen, wo chemische Vorgänge den Strom nicht begleiten, sollen 
sich die Elektronen frei bewegen können. Fließt kein Leitungs- 
strom durch die Metalle, so sollen die Elektronen in regelloser 
Bewegung begriffen sein, ähnlich wie die Moleküle eines Gases; 
der Einfluß äußerer elektrischer Kräfte aber soll bewirken, daß 
im Mittel mehr Elektronen nach der einen Seite als nach der 
anderen wandern. So erklärt man das Entstehen eines elektri- 
schen Stromes und insbesondere die Gültigkeit der Gesetze von 
Ohm und Joule.' 

Sogar einen Teil des Verschiebungsstromes will die Elektronen- 
theorie auf den Konvektionsstrom bewegter Elektronen zurück- 
führen. Mit Rücksicht auf (134) kann man die Dichte des Ver- 
schiebungsstromes in zwei Bestandteile zerlegen: 

1^ dt> ^ d^ 1 ae 

^Tt dt dt 4:7t dt ' 

Der erste Bestandteil, der gleich der zeitlichen Änderung der 
Polarisation ist und den man passend als „Polarisationsstrom'' 
bezeichnen kann, ist durch die Anwesenheit des Dielektrikums 
bedingt, während der zweite Bestandteil auch im leeren Räume 
in Rechnung zu ziehen ist, sobald das elektrische Feld sich zeit- 
Hch ändert. Jenen ersten Bestandteil des Verschiebungsstromes 
nun faßt die Elektronentheorie als Bewegung der im Dielektri- 
kum enthaltenen, durch quasielastische Kräfte an Gleichgewichts- 
lagen gebundenen Elektronen auf. Sie kennt demnach nur zwei 
.\rten des Stromes: Verschiebungsstrom im Äther und Konvek- 
tionsstrom der Elektronen. Der Einfluß der Materie auf das 
elektromagnetische Feld soll ausschließlich auf die in ihr ent- 
haltenen Elektronen zurückzuführen sein. 

So fruchtbar nun auch die soeben dargelegte Auffassung für 
die Elektrizitätstheorie geworden ist, so erschien es doch zweck- 
mäßig, in diesem ersten Bande der „Theorie der Elektrizität" 
auf dem klassischen Standpunkte von Maxwell und Hertz stehen 
zu bleiben und erst im zweiten Bande zur Elektronentheorie 
fortzuschreiten. Das Verhältnis der beiden Theorien ist in mancher 



I 



170 Zweiter Abschnitt. Da3 elektrische Feld § 49 

Hinsicht mit dem Verhältnis der Thermodynamik und Mechanik ■ 
zur Kinetik vergleichbar. Wie nur derjenige, der Thermodynamik 1 
getrieben hat, die Erfolge der kinetischen Theorie gebührend 
einzuschätzen weiß, so kann die Elektronentheorie nur gewürdigt 
werden, wenn man sieht, daß sie zur Erkenntnis neuer, in der 
Maxwellschen Theorie nicht enthaltener Wahrheiten führt. Und 
wie die Gastheorie die hypothetischen Moleküle nach den Ge- 
setzen der Mechanik wirklicher Körper behandeln muß, so be- 
stimmt die Dynamik der Elektronen die Felder dieser hypothe- 
tischen Teilchen auf Grund derjenigen Gesetze, welche Maxwell 
für die wirklichen elektrischen Felder aufgestellt hat. Auch hat 
die Elektronen theorie den Nachweis zu erbringen, daß sie durch 
Mittelwertsbildung zu den durch die Erfahrung bestätigten Max- 
wellschen Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes 
zurückgelangt, wie die Gastheorie ihre Hypothesen dadurch recht- 
fertigt, daß sie die Übereinstimmung ihrer Folgerungen mit den 
allgemeinen Gesetzen der Thermodynamik nachzuweisen sucht. 
Wir legen aus diesen Gründen im ersten Bande dieses Werkes 
die Maxwellsche Theorie in ihrer ursprünglichen Form der Dar- 
stellung zugrunde; die Erörterung solcher Fragen, bei denen 
diese Theorie in ihrer ursprünglichen Form versagt, weisen wir 
dem zweiten Bande zu. 

§ 49. Die elektromotorischen oder eingeprägten 
elektrischen Kräfte. 

Wir kehren zurück zu dem stationären Strome, der in einer 
geschlossenen Leitung fließt. Das Ohmsche Gesetz, welches in 
§ 46 für homogene Körper ausgedrückt worden ist, ergibt für 
geschlossene lineare Leiter aus homogenem Materiale, daß J 
gleich Null ist; dies folgt aus (152) oder (155), faUs man An- 
fangspunkt und Endpunkt der Leitung zusammenfallen läßt, 
wenn anders das elektrische Feld sich aus einem einwertigen 
Potentiale ableitet. In der Tat lehrt die Erfahrung, daß in 
einem geschlossenen, physikalisch und chemisch homogenen 
Leitungskreise kein Strom fließt, es sei denn, daß äußere Ein- 
wirkungen stattfinden. Fließt in einem derartigen Kreise ein 



§ 49 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 171 

stationärer Strom, so wird man das Produkt aus Stromstärke J 
und Gesamtwiderstand R der Leitung als Maß der äußeren Ein- 
wirkungen betrachten. Man schreibt gewöhnlich 

(160) E' = JE 

und nennt E^ die elektromotorische Kraft. Besser ist es, in dieser 
Terallgemeinerten Fassung des Ohmschen lategralgesetzes E' die 
„elektromotorische Integralkraft" zu nennen. 

Der Begriff der elektromotorischen Kraft entspricht ganz dem 
Begriffe der „äußeren" oder der „eingeprägten" Kraft in der Me- 
chanik. Man versteht darunter eine Kraft, die nicht durch die 
Bedingungen, denen das betrachtete System an sich unterworfen, 
ist, mit bestimmt wird, sondern die in willkürlicher Weise mit 
Hilfe von Mitteln, die in keinem notwendigen Zusammenhange 
mit dem Systeme stehen, daran angebracht ist. So stehen in 
einem aus elastischen Körpern aufgebauten Systeme die darin 
auftretenden Spannungen oder inneren Kräfte in einem gesetz- 
mäßigen Zusammenhange unter sich und mit den Deformationen 
und Beschleunigungen; äußere Kräfte aber können in ganz wiE- 
kürlicher Weise daran angebracht werden. Allerdings wirken diese 
auf die Verteilung der inneren Spannungen bestimmend ein, aber 
nur in dem Sinne, daß die Bedingungen, denen das System unter- 
worfen ist, eine Änderung erfahren haben. Die äußeren Kräfte 
stehen daher den Vorgängen im Systeme in dem Verhältnisse von 
Ursache und Wirkung gegenüber, ganz ebenso wie die elektro- 
motorische oder eingeprägte elektrische Kraft dem elektrischen 
Felde und dem Strome eines Leitungskreises. 

Die Einführung äußerer oder eingeprägter Kräfte geschieht 
in der Mechanik zuweilen nur aus dem Grunde, weil man sich 
auf die Betrachtung eines Teilsystemes beschränkt. Sind in dem 
obigen Beispiele die äußeren Kräfte durch Lasten gegeben, die 
wir in beliebiger Verteilung anbringen können, so ist ihre Ein- 
wirkung durch die Gesetze der Mechanik bestimmt; sie werden 
zu inneren Kräften, wenn man das Schwerefeld der Erde in das 
System einbezieht. Dem entspricht auf elektrischem Gebiete die- 
jenige elektromotorische Kraft, welche man als „induzierte" be- 



172 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 4^ 

zeichnet. Diese verdankt, wie wir im dritten Abschnitte dieser 
Schrift darlegen werden, Schwankungen des magnetischen Felde» 
in der Umgebung eines ruhenden Leitungskreises oder der Be- 
wegung eines Leiters im magnetischen Felde ihren Ursprung. 
Diese Kräfte stellen sich nur dann als äußere dar, wenn man 
davon absieht, das magnetische Feld in das System einzubeziehen. 
Sie werden zu inneren Kräften, deren Wirkungsweise durch die 
Gesetze der Elektrodynamik bestimmt ist, sobald man das magne- 
tische Feld mit zu dem betrachteten Systeme rechnet. Es ist also 
Ursprung und Gesetz der induzierten elektromotorischen Kräfte 
bekannt. Sie werden den eingeprägten Kräften nur dann zuge- 
zählt, wenn man den elektrischen Strom bestimmen will, ohne 
vom magnetischen Felde zu reden. 

In anderen Fällen hingegen geschieht die Einführung äußerer 
Kräfte in der Mechanik aus dem Grunde, weil man es mit Ein- 
wirkungen auf das System zu tun hat, die vom Standpunkte der 
Mechanik aus nicht in zureichender Weise zu erklären sind. Hier- 
her gehören etwa Bewegungen von Magneten oder von elektrisch 
geladenen Körpern oder auch Bewegungen explodierender Körper. 
Wenn die Mechanik behauptet, alle in der Natur vorkommenden 
Bewegungen der Körper beschreiben zu können, so, behält sie 
sich stillschweigend vor, solche Bewegungen, die sich rein me- 
chanisch nicht deuten lassen, mit Hilfe eingeprägter Kräfte dar- 
zustellen. Diese sind in den genannten Fällen unentbehrlich, bis 
man das Gesetz der magnetischen und elektrischen Wechselwir- 
kungen bzw. der chemischen Vorgänge bei der Explosion me- 
chanisch gedeutet hat. Solange dies nicht geschehen ist, ist es 
nicht möglich, die Vorgänge vollständig auf Grund der Gesetze 
der Mechanik zu verfolgen, weil es eben nicht rein mechanische 
Vorgänge sind. Die Mechanik behandelt nur eine Seite der Natur- 
vorgänge, und sie versagt, wenn Vorgänge nichtmechanischer Art 
mitspielen. Sie verdeckt ihre Unkenntnis, indem sie die Einwir- 
kungen anderer physikalischer oder chemischer Prozesse durch 
eingeprägte Kräfte darstellt. 

Die entsprechende Bedeutung hat bisweilen die Einführung 
eingeprägter Kräfte in der Elektrizitätslehre. Die Kontaktkraft, 



I 



§ 49 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 173 

welche bei der Berührung chemisch verschiedener Körper ent- 
steht, die elektromotorische Kraft in ungleichmäßig konzentrierten 
elektrolytischen Lösungen, die thermoelektrische Kraft muß man 
als eingeprägte Kräfte behandeln, weil sie vom Standpunkte der 
reinen Elektrizitätslehre aus nicht erklärt sind. Hier spielen 
chemische und thermische Vorgänge mit, deren Gesetz nur in 
einzelnen Fällen bekannt ist. Wenn man sich auf die Beschrei- 
bung der elektromagnetischen Erscheinungen beschränkt, muß 
man hier, wo Vorgänge anderer Art mitspielen, zur Einfüh- 
rung eingeprägter elektromotorischer Kräfte seine Zuflucht 
nehmen. 

Bei der Erregung und Erhaltung elektrischer Felder spielen 
stets Kräfte nichtelektrischer Art mit. Die positive und negative 
Elektrizität würden in der Tat ihrem Vereinigungsbestreben folgen, 
und ein jedes elektrische Feld würde bald erlöschen, wenn nicht 
solche Kräfte mitwirkten. So kommt es, daß gerade die bei der Er- 
regung der Felder stattfindenden Erscheinungen der Berührungs- 
und Reibungselektrizität, des permanenten Magnetismus, in ihrer 
Wirkungsweise gar nicht oder doch nur unvollkommen verstanden 
sind. Die historische Entwicklung des Elektromagnetismus beginnt 
mit meist vergeblichen Versuchen, die genannten Erscheinungen 
aufzuklären. Faraday und Maxwell haben dann die Gesetze der 
räumlichen Verteilung und des zeitlichen Verlaufes elektromagne- 
tischer Felder erforscht und der Elektrizitätslehre eine Grund- 
lage gegeben, welche an Sicherheit derjenigen der Mechanik 
gleichkommt. Die Elektrizitätslehre kann jetzt behaupten, die 
elektromagnetischen Vorgänge zu beschreiben, mit demselben 
Rechte, wie die Mechanik behauptet, die Bewegungen der wäg- 
baren Körper zu beschreiben. Die Einwirkung solcher physika- 
lischer oder chemischer Vorgänge indessen, welche ihrefn Lehr- 
gebäude fremd sind, muß sie, ebenso wie die Mechanik, mit Hilfe 
eingeprägter Kräfte darstellen. Zu diesen Vorgängen gehören 
naturgemäß gerade diejenigen, die am längsten bekannt sind und 
die bei der Erregung der Felder stets in Erscheinung treten. 

Von dem durch die Erfahrung gegebenen Ohmschen Integral- 
i^esetze (152) gingen wir zu dem Differentialgesetze (152 a) über; 



174 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 49 

auf chemiscli oder thermiscli inhomogene Leiter dehnen wir das 
letztere aus, indem wir setzen 

(161) i = 6{(B^ + ^^) = 6iB. 

Dahei stellt ©* die an dem betreffenden Punkte des Leiters 
infolge seiner chemischen oder thermischen Lihomogenität wirk- 
same „eingeprägte oder elektromotorische Kraft" dar, 
(S* die früher allein berücksichtigte, durch die Verteilung der 
freien Ladungen bestimmte „elektrostatische Kraft", welche 
sich im Felde des stationären Stromes als negativer Gradient 
eines skalaren, einwertigen Potentiales (p darstellt: 

(161a) @' = _V^;. 

Die aus der elektrostatischen Kraft ©* und der eingeprägten 
Kraft ©^ zusammengesetzte „gesamte elektrische Feldstärke" 
@ ist nach (161) für die Dichte des Leitungsstromes an der be- 
treffenden SteUe maßgebend. 

Nehmen wir jetzt, unter Berücksichtigung der eingeprägten 
Kraft, die am Schlüsse des § 46 durchgeführte Betrachtung wieder 
auf, so erhalten wir für den linearen Leiter 

und durch Integration längs der Leitlinie, von P^ bis P, 

8 

(161b) ,p,~,f,=jJf^-E^, 



I 



2 

(161c) E'=f%^^ 



ds 



das längs der Leitlinie von P^ bis Pg genommene Linieninte^ 
der eingeprägten Kraft, oder die für diese Kurve berechnete ein- 
geprägte Integralkraft ist. Für einen geschlossenen Leiter ist E' 
die elektromotorische Integralkraft des ganzen Kreises; da hier 
die Punkte P^ und Pj zusammenfallen, so verschwindet die linke 
Seite von (161b), und diese Gleichung geht in (160) über. 



§ 60 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 175 

§ 50. Die elektrische Kontaktkraft. 

Nimmt man den Übergang in der Grenzschicht zweier che- 
misch verschiedener Leiter als stetig an, so wird die eingeprägte 
Kraft ^*, mithin (nach Gl. 161) auch die elektrostatische Kraft 
@' endlich sein, es wird daher das elektrostatische Potential q) der 
freien Ladungen, dessen Gradient — @* ist, sich stetig verhalten. 
Geht man indessen zum GrenzfaUe einer mathematischen Tren- 
nuDgsfläche über, so wird das von dem ersten Leiter zum zweiten 
erstreckte Integral von 6^, welches durch den Grenzwert des Aus- 
druckes (161c) gegeben wird, einen von Null verschiedenen Wert 
^13 annehmen können; in diesem Falle besteht eine „Kontaktkraft" 
^jg an der Trennungsfläche. Da der Ohmsche Widerstand des 
Stückes P^ Pj bei diesem Grenzübergang verschwindet, die Strom- 
stärke «7 aber stets endlich ist, so folgt aus (161b) für diesen Fall 
(161 d) ,p,-<p,^E,,; 

dies ist der elektrostatische Potentialsprung an der Trennungs- 
fläche der beiden Leiter. 

Ein solcher Potentialsprung kann den allgemeinen Gesetzen 
der Vektorfelder (§ 18) zufolge einer Doppelschicht zugeschrie- 
ben werden, und zwar hier einer Doppelschicht freier Elek- 
trizität, deren Sitz die Trennungsfläche der beiden Körper ist. 
Im Innern der homogenen Leiter ist ^^ = und die Leitfähig- 
keit endlich. Hier ist, wie bereits in § 47 bemerkt worden ist, 
die Dichte der freien Elektrizität gleich NuU. Das elektrische 
Feld rührt her von einfachen Schichten und von Doppelschichten 
freier Elektrizität, die sowohl dort, wo zwei Leiter aneinander, 
als auch dort, wo die Leiter an den Isolator grenzen, ihren Sitz 
haben können. Dabei wird, da der Übergang zweier in Berührung 
gebrachter Körper stetig ist, die Doppelschicht nicht strenge 
verwirklicht sein, sondern es werden zwei benachbarte Schichten 
freier Elektrizität auftreten, von denen die positive auf dem Kör- 
per sitzt, welcher das größere, die negative auf dem Körper, der 
das kleinere Potential angenommen hat. 

Im FaUe des elektrischen Gleichgewichtes ist das Feld (B' 
und die Verteilung der freien Elektrizität auf der Oberfläche der 



I 



176 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 50 

Leiter bestimmt, wenn die Kontaktkräfte an der Grenze der sich 
berührenden Körper und dadurch die Potentialdifferenzen je zweier 
solcher Körper gegeben sind. Im Innern der homogenen Leiter 
ist %"" = 0, mithin, da i = 0, auch %' = 0. Folglich befindet sich 
an der Grenze zweier solcher Leiter im ganzen keine freie Elek- 
trizität, da ja der Sprung der Normalkomponente von @* Null 
ist. Hier hat nur die Doppelschicht ihren Sitz, deren Moment 
durch den Sprung von (p bestimmt ist und die ebensoviel freie 
Elektrizität positiven wie negativen Vorzeichens enthält. 

Durchfließt hingegen ein Strom die Trennungsfläche zweier 
Leiter, so ist im Innern der homogenen Leiter %" zwar gleich 
Null, aber i und somit %" von NuU verschieden. Auch ist an 
der Trennungsfläche zweier Leiter die Normalkomponente von i 
nach (156 a) stetig, aber ö ist im allgemeinen unstetig, so daß 
hier sehr wohl eine Flächendivergenz von ^*, d. h. freie Elektri- 
zität positiven oder negativen Vorzeichens auftreten kann. Als- 
dann sitzt auf der Trennungsfläche der beiden Leiter außer der 
Doppelschicht noch eine einfache Belegung freier Elektrizität; 
dazu kommen ferner einfache und wahrscheinlich auch Doppel- 
schichten an der Grenzfläche gegen den Isolator. 

AUes dieses sind mathematische Folgerangen aus der Bezie- 
hung (161), die durchaus nicht darüber aufklären, durch welche 
Umstände die bei thermischer oder chemischer Inhomogenität 
auftretenden elektromotorischen Kräfte bedingt sind. Ja sie gebe 
nicht einmal darüber Auskunft, welcher Strom den in Berührung 
gebrachten Oberflächen der Leiter bei der Bildung der Doppel - 
schiebt zufließt. Denn es war bisher nur von der freien Elektri- 
zität die Rede, die von der Divergenz des Vektors @* abhängt, 
der Strom jedoch ist mit Ansammlung wahrer Elektrizität ver- 
bunden, die der Divergenz von 2» proportional ist. Die Frage 
nach der Verteilung des Vektors ^ in der Übergangsschicht 
zweier Leiter ist aber eine sehr schwierige; sie hängt mit der 
Frage zusammen, welche Dielektrizitätskonstanten den Metallen 
zukommen. Wir sind daher nicht in der Lage, über die wahre 
Elektrizität, die sich an der Oberfläche eines MetaUes bei Berüh- 
rung mit einem anderen Leiter ansammelt, etwas auszusagen. 






§ 50 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 177 

Die Zurückführung der Kontaktkraft auf eine DoppelschicM 
freier Elektrizität rührt von Helmholtz her. Nun haben wir 
in der allgemeinen Theorie der Vektorfelder (§ 24) gesehen, daß 
eine Doppelschicht von Quellen in dem umgebenden Räume die 
gleiche Strömung erzeugt wie eine auf der Randkurve der Doppel- 
schicht befindliche Wirbellinie. Wir können daher das Feld ^% 
anstatt es als wirbelfrei anzusehen und Doppelschichten anzu- 
nehmen, auf das Vorhandensein einer Wirbellinie zurückführen; 
der Sitz dieser Wirbellinie ist die Randkurve der früher ange- 
nommenen Doppelschicht. Das ist um so eher gestattet, als 
unsere Beobachtungen sich nicht auf das Innere der beiden Leiter 
beziehen. Es mag z. B. die Lötstelle eines Zinkkupferstabes be- 
trachtet werden. Aus der Erfahrung ist in der Tat nur dies be- 
kannt, daß sich außerhalb des Zinkkupferkörpers ein elektrosta- 
tisches Feld ausbildet. Dazu kommt, daß nach dem, was wir über 
die Eigenschaft der homogenen Leiter wissen, überall im Innern 
derselben im GleichgewichtsfaUe @* verschwindet. Was aber das 
cfesamte Feld ^* im Innern der MetaUe und in der Luft anbe- 
langt, so kann dasselbe nach § 24 mit demselben Rechte einer 
Doppelschicht freier Ladungen auf der Trennungsfläche Zink- 
Kupfer oder auch einem Wirbel von entsprechender Stärke auf 
der Linie zugeschrieben werden, längs deren Zink, Kupfer und 
Luft zusammenstoßen. Das Vorhandensein eines solchen Wirbels 
behauptet nun die Theorie von Heaviside. Sie nimmt an, daß 
ein magnetischer Strom längs jener Linie zirkuliert; es bedingt 
nämlich, wie wir später sehen werden, ein magnetischer Strom 
einen Wirbel der elektrischen Feldstärke. Es soU aber durchaus 
nicht behauptet werden, daß hier wirklich ein solcher Strom 
fließt, sondern nur, daß die Ausgangsstelle für das Feld in einer 
Wirbellinie zu suchen ist, und das ist in der Tat eine zulässige 
Vorstellung. Wünscht man sie weiter auszuführen, so wird man 
annehmen, daß durch Wirkungen, über die wir zunächst keine 
Rechenschaft zu geben vermögen, jedenfalls aber infolge des Zu- 
iramentreffens der drei Stoffe (Zink, Kupfer, Luft) an dieser 
otelle ein Wirbel der eingeprägten Kraft ®* hervorgerufen wird. 
Überall sonst ist ($'' quellenfrei und wirbelfrei. Dazu tritt nun 

Abraham, Theorie der* Elektrizität. I. 5. Aufl. 12 



178 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld 

ein elektrostatisches Feld (B* derart, daß im Innern der beidt 
Metalle und auch in der Lötstelle 

®« -j. @* == 

wird, sobald elektrostatisches Gleichgewicht sich hergestellt haj 
Dann ist auch @* im Innern der Metalle und an der Lötstel 
quellenfrei; nur auf den an die Luft angrenzenden OberflächeJ 
des Zinkes und des Kupfers ist eine Flächendivergenz von ^ 
vorhanden. Das Feld ^* ist, im Gegensatze zu demjenigen von 
©'', durchweg wirbelfrei. « 

Zwischen den Theorien von Helmholtz und Heaviside expei 
mentell zu entscheiden, dürfte kaum möglich sein, da beide b 
züglich des zu beobachtenden Feldes zu (Jenseiben Ergebnisse 
führen. Es ist ja überhaupt das Problem, ob die Kontaktpote 
tialdifferenz wirklich auf der Trennungsfläche Zink-Kupfer ihre 
Sitz hat, durchaus nicht gelöst. Einige Forscher neigen sogi 
der Ansicht zu, daß der Sitz der Kontaktkraft ausschließlich : 
den an die Luft angrenzenden Oberflächen der Metalle zu suche 
ist. Es ist daher jedenfalls sehr bemerkenswert, daß es e 
Theorie gibt, welche jene Frage überhaupt nicht aufwirft, inde 
sie das Zusammentreffen dreier chemisch verschiedener Körpe 
als notwendig zur Erregung einer Kontaktkraft ansieht. 

Selbst wenn man es, in Helmholtzscher Auffassung, mit dr< 
Doppelschichten an den Trennungsflächen Zink-Kupfer, Kupfei 
Luft und Luft-Zink zu tun hätte, so würde deren Ersetzung durc 
die äquivalenten Wirbellinien doch wieder nur eine einzige Heav 
sidesche Wirbellinie längs der Kurve ergeben, wo Zink, Kupfe 
und Luft zusammentreffen. 

Bekanntlich genügen die Kontaktkräfte an der Grenze vo 
Leitern erster Klasse, wenn sie überhaupt existieren, dei 
Gesetz der Spannungsreihe 

Dies folgt aus der Tatsache, daß in einem aus drei thermisc 
und chemisch homogenen Leitern erster Klasse zusammengesetzte 
Leitungskreise kein stationärer Strom fließt. 

Wird aber einer der Leiter erster Klasse durch einen solche 



§ 61 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 179 

zweiter Klasse, d. h. einen elektrolytischen Leiter ersetzt, so ist 
eine elektromotorische Kraft, im allgemeinen von der Größen- 
ordnung eines Volt, in dem Kreise vorhanden. Es ist hier 
(161 e) J^i2 + ^23 + i;3, = E^ =H 0. 

An der Grenzfläche eines MetaUes und eines Elektrolyten ist also 
jedenfalls eine Kontaktkraft anzunehmen. Die Energie, auf deren 
Kosten der elektrische Strom entsteht, ist hier chemischen Ur- 
sprungs. In gewissen Fällen, z. B. für ein Metall, das in eine ver- 
dünnte Lösung eines seiner Salze taucht, kann man den beim 
Strom durchgang stattfindenden chemischen Prozeß auf Grund der 
osmotischen Theorie verfolgen und so die Kontaktkraft theore- 
tisch bestimmen. 

Für die Joulesche Wärme wollen wir auch dort, wo eingeprägte 
Kräfte wirken, die Gleichung (154a) als gültig ansehen. Dann 
bleiben die Überlegungen, welche für lineare Leiter zu (155 a) 
geführt haben, zutreffend und ergeben, zusammen mit (160), für 
einen geschlossenen linearen Leiter mit eingeprägten Kräften 
(161 f) Q==JE\ 

Es ist also die im ganzen Kreise erzeugte Joulesche Wärme 
gleich der Arbeit, welche die eingeprägten Kräfte beim Strom- 
durchgang leisten. Diese Arbeitsleistung erfolgt auf Kosten che- 
mischer Energie, wie denn auch der Stromdurchgang durch Leiter 
zweiter Klasse stets von chemischen Vorgängen begleitet ist. In 
einem Kreise aus Leitern erster Klasse hingegen fallen mit den 
chemischen Wirkungen des elektrischen Stromes auch die elek- 
tromotorischen Kräfte chemischen Ursprungs fort. 

§ 51. Räumlich verteilte elektromotorisclie Kräfte. 

Der Kontaktkraft an der Grenze zweier chemisch verschie- 
dener Körper steht die räumlich verteilte eingeprägte Kraft gegen- 
über, die in chemisch oder thermisch inhomogenen Körpern ihren 
Sitz hat. Sie hängt ab von der Art, wie die chemische Zusam- 
mensetzung bzw. die Temperatur sich von Punkt zu Punkt ändert. 
Diese eingeprägten Kräfte kennt man am besten für verdünnte 
elektrolytische Lösungen, in denen man die Vorgänge auf 

12* 



180 • Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld 



« 



Grund der elektrolytischen Dissoziationstheorie verfolgen kanok 
Hier ruft die gesamte Feldstärke I 

einen Leitungsstrom hervor. Im Gleichgewichtsfalle muß im In- 
nern des Leiters ^ gleich Null sein. Dabei ist unter ^* der 
Durchschnittswert der elektrostatischen Kraft für ein kleines 
Volume^i zu verstehen, welches jedoch eine große Zahl von Ionen 
enthält. In molekularen Bezirken besteht auch im Gleichgewichts- 
faUe der von den Ionen ausgehende Kraftfluß, doch ist das Feld 
hier stetem Wechsel unterworfen, so daß im Durchschnitt keine 
Eichtung im Räume bevorzugt ist und daß bei der Mittelwert» 
bildung © verschwindet. Damit dies der Fall sei, muß fre; 
Elektrizität sich in der Weise ansammeln, daß die elektrostatiscl 
Kraft @* der eingeprägten Kraft @^ das Gleichgewicht hält. D 
eingeprägte Kraft ^f ist dabei die osmotische Kraft, welche d 
Konzentration der Lösung auszugleichen sucht; diese wirkt ai 
die wägbaren Atome des gelösten Stoffes und daher auch auf d 
mit jenen verkoppelten positiven und negativen Elektrizitäte 
Sie wirkt auf die positiven und die negativen Ionen in gleiche: 
Sinne, indem sie dieselben von Stellen größerer zu Stellen g 
ringerer Konzentration treibt. Die elektrostatische Kraft @* hi] 
gegen .treibt die negativen Ionen in entgegengesetzter Richtui 
wie die positiven. Die Bedingung der Stromlosigkeit gestatt 
es, wie W. Nernst zeigte, die elektromotorische Kraft in ein 
Lösung eines Elektrolyten von wechselnder Konzentration ai 
den Wanderungsgeschwindigkeiten der Ionen zu berechnen. Diei 
räumlichen elektromotorischen Kräfte, deren Bestehen mit ein 
Diffusion des Elektrolyten verbunden sind, sind viel kleiner a 
die flächenhaften Kontaktkräfte, die an der Grenze eines MetaE 
und einer elektrolytischen Lösung wirken. 

Von weit geringerem Betragß als diese im vorigen Paragraphe 
besprochenen Kontaktkräfte sind auch diejenigen eingeprägte 
Kräfte, die man als thermoelektrische bezeichnet. Dieselb 
treten in einem aus zwei MetaUen bestehenden geschlossen! 
Stromkreise auf, wenn die beiden Lötstellen verschiedene Temp 
raturen besitzen. Da den Strom hier keine Überführung wäj 



■ 



^ 51 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 181 

barer Masse, mithin aucii kein chemisclier Vorgang begleitet, so 
entstellt die Frage nach der Energiequelle, welche die elektro- 
motorische Kraft verursacht. Diese Frage wird beantwortet durch 
den Peltier-Effekt. Der Strom kühlt im allgemeinen die 
wärmere LötsteUe ab, er erwärmt die kältere; die Differenz der 
beim Durchgange der Elektrizitätsmenge 1 den Lötstellen zuge- 
führten bzw. entzogenen Wärmemengen ^j, Q^ ist im Sinne des 
ersten Hauptsatzes der Arbeit der thermoelektrischen Kräfte 
gleichwertig. Ein in entgegengesetzter Richtung fließender, durch 
sonstige elektromotorische Kräfte unterhaltener Strom würde 
umgekehrt Arbeit gegen die thermoelektrischen Kräfte leisten, 
so daß beim Durchgange der Einheitsladung die Wärme Q,^ der 
kälteren LötsteUe entzogen und öi ^^^ wärmeren Lötstelle zu- 
geführt wird. Wir haben also hier thermische Vorgänge, die, 
im Gegensatz zur Jouleschen Wärmeentwicklung, umkehrbar ver- 
laufen. Die dabei auftretenden thermoelektrischen Kräfte scheinen 
zunächst flächenhaft verteilt zu sein; es zeigt jedoch die genauere 
Untersuchung, daß es nicht gelingt, auf Grund dieser Voraus- 
setzung die Tatsachen befriedigend darzustellen. 

Wendet man nämlich auf jene umkehrbare, zwischen den 
Temperaturen Tj, T^ der Lötstellen arbeitende Wärmemaschine 
den zweiten Hauptsatz an, so erhält man 

5l = ^?. = £l=Ji 

Hiernach müßte der Peltier-Effekt der absoluten Temperatur 
der Lötstelle proportional sein, und es müßte die elektromotori- 
sche Kraft des Thermoelementes 

d. h. bei konstant gehaltener Temperatur der kälteren LötsteUe 
der Differenz der Temperaturen der beiden LötsteUen proportio- 
nal sein. Diese Folgerung wird durch die Erfahrung keineswegs 
bestätigt; es gibt im Gegenteil Thermoelemente, deren elektro- 
notorische Kraft bei Erwärmung der heißeren LötsteUe nicht 
wächst, sondern abnimmt. 

Dies führte W. Thomson zu dem Schlüsse, daß in einem Ther- 



182 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 51 

moelemente außer den fläch enhaften elektromotorischeu Kräften 
an der Grenze der beiden Metalle noch räumliche Kräfte im In- 
nern der MetaUe wirksam sind überall dort, wo ein Temperatur- 
gefäUe vorhanden ist. Hier findet, dem Peltiereffekte entsprechendJ 
der sogenannte Thomsoneffekt statt, eine umkehrbare ther* 
mische Wirkung. Man kann den Vorgang so auffassen, daß in 
einem chemisch homogenen Metalle infolge eines Temperatur- 
gefäUes eingeprägte elektrische Kräfte auftreten. Diese in beiden 
Metallen wirksamen räumlich verteilten Kräfte, zusammen mit 
den flächenhaften elektromotorischen Kräften der Lötstellen, er- 
geben die ganze elektromotorische Kraft des Thermoelementei 
der entstehende Strom ist begleitet von einem Wärmestrom, d( 
bei Umkehrung der Stromrichtung in entgegengesetztem Sinn 
verlaufen würde. 

Die Analogie der in elektrolytischen Lösungen infolge d( 
Konzentrationsgefälles und in Metallen infolge des Temperatu 
gefälles auftretenden elektromotorischen Kräfte legt es nahe, hi( 
über den Mechanismus ähnliche Vorstellungen zu entwickeln wi 
dort. Dies versuchen in der Tat die von E. Riecke, P. Drude un 
H. A. Lorentz herrührenden neueren Elektronentheorien de 
Metalle, von denen bereits in § 48 die Rede war. Die Konzei 
tration der freien Elektronen soll in verschiedenen Metallen ve 
schieden und in jedem Metall Temperaturfunktion sein, so da 
chemische und thermische Differenzen ein Konzentrationsgefäl 
und so eine eingeprägte elektrische Kraft @^ hervorrufen. Andere 
seits sollen die freien Elektronen im Sinne der kinetischen Ga 
theorie Anteil an der Wärmebewegung haben, so daß ihr Tran 
port im elektrischen Strome von einem Wärmestrom begleitet is 
Diese Vorstellung erklärt übrigens auch die merkwürdigen B 
Ziehungen, welche zwischen der elektrischen und der thermische 
Leitfähigkeit der Metalle bestehen. Es ist zu hoffen, daß die we 
tere Verfolgung der Elektronenhypothese auch sonst für die The 
rie der Metalle fruchtbar sein wird; sie liegt indessen jenseits d 
Zieles, das sich der vorliegende Band gesteckt hat. 

Das gleiche gilt von den räumlich verteilten eingeprägt 
Kräften ©", welche man heranzuziehen hat, um die Erscheinun 



§ 52 Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 183 

der Pyroelektrizität und Piezoelektrizität darzustellen. 
Diese in gewissen Kristallen bei Erwärmung bzw. Druck auftre- 
tenden Kräfte bestimmen zusammen mit der elektrostatischen 
Kraft der freien Ladungen hier keinen Leitungsstrom, sondern 
eine elektrische Verschiebung. Es mag beiläufig bemerkt werden, 
daß die Symmetrie der Kristalle, welche die genannten Erschei- 
nungen aufweisen, im Einklänge sind mit den Folgerungen, die 
man auf Grund kristallphysikalischer Grundsätze aus der polaren 
Art des elektrischen Vektors gezogen hat. 

i^ 52. Die Maßeinheiten und Dimensionen 
der elektrischen Orößen. 

Die bisherigen Entwicklungen sind noch unabhängig davon, 
wie man die Maßeinheiten für die in ihnen vorkommenden Grö- 
ßen wählen will. Dies geschieht in den verschiedenen elektrischen 
und magnetischen Maßsystemen in verschiedener Weise. Alle 
bisher aufgestellten Systeme aber beruhen auf dem Zentimeter- 
Gramm-Sekunde- System (C.-G.-S.) der Mechanik; die Kraftein- 
heit ist also stets die Dyne, die Einheit der Energie das Erg. 
Bestimmen zwei elektrische Größen eine Kraftgröße oder eine 
Energiegröße, so ist durch Festlegung der Maßeinheit der einen 
elektrischen Größe auch die Einheit der anderen festgelegt. So 
haben wir bereits zu Beginn dieses Abschnittes (in § 2Q) darauf 
hingewiesen, daß die Gleichung (116), welche das Produkt aus 
wahrer Ladung e und Feldstärke (B einer Kraft gleichsetzt, nur 
die Wahl der Einheit der Ladung freiläßt; hat man über diese 
verfügt, so ist die Einheit von @ bestimmt. Aus (118 a) folgt 
dann die Einheit, in der das Potential cp^ aus (129) diejenige, in 
der die räumliche Dichte q der freien Elektrizität zu messen 
ist. Andererseits sind unmittelbar aus der für die wahre Ladung 
gewählten Einheit die Einheiten von S durch (127), von J und 
damit von i durch (151), bestimmt. Ferner sind durch (126), 
(152) Kapazität K und Gesamtwiderstand R als Quotienten aus 
\ wahrer Ladung und Potentialdifferenz bzw. aus Potentialdifferenz 
und Stromstärke definiert und durch (128), (152 a) die Stoffkon- 
stanten h, 6. 



184 Zweiter Abschnitt. Das elektrische Feld § 52 

Man kann nun an Stelle der Einheit der wahren Ladung e 
die Einheit der Dielektrizitätskonstanten s offen lassen; diese 
beiden Größen sind miteinander durch das Coulombsche Gesetz 
verknüpft. Die verschiedenen Maßsysteme der elektrischen 
Größen werden sich also durch die für s gewählte Einheit kenn- 
zeichnen lassen. 

Das „elektrostatische Maßsystem" betrachtet s als reine 
Zahl, die für den leeren Raum gleich 1 gesetzt wird. Dieses Sy- 
stem kann sich darauf berufen, daß im leeren Räume die Unter- 
scheidung wahrer und freier Ladungen nicht notwendig ist; in 
der Tat haben wir im ersten Kapitel dieses Abschnittes, welches 
das Feld im Lufträume behandelte, nur von Elektrizität schlecht- 
weg gesprochen. Die Unterscheidung von wahrer und freier La- 
dung, von Feldstärke und elektrischer Verschiebung wurde erst 
bei der Einführung dielektrischer Körper notwendig. Vom Stand- 
punkte der Elektronentheorie, welche jedes Feld als Feld im Äther, 
jeden Strom entweder als Konvektionsstrom der Elektronen oder 
als Verschiebungsstrom im Äther betrachtet, erscheint es natur- 
gemäß, wahre und freie Ladung durch dieselbe Einheit zu messen. 
Diese Einheit ist im elektrostatischen Systeme festgelegt als die- 
jenige Ladung, welche eine ihr gleiche im Vakuum im Abstände 
von 1 cm mit der Kraft einer Dyne abstößt. 

Wünscht man indessen in den auf beliebige Dielektrika be- 
züglichen Gleichungen den Unterschied von wahren und freien 
Ladungen kenntlich zu machen, so wird man es vorziehen, Ein- 
heit und Dimension von e zunächst unbestimmt zu lassen und 
alle anderen Einheiten auf die vier Grundeinheiten der Länge, 
Massö, Zeit und Dielektrizitätskonstanten zu beziehen. Die Di- 
mensionen von wahrer Ladung e und freier Ladung e sind dann 
dadurch bestimmt, daß im Ausdrucke (140a) des Coulombschen 
Gesetzes beiderseits Größen von der Dimension einer Kraft stehen 
müssen. Die Dimension der elektrischen Verschiebung ^ folgt 
als Quotient von wahrer Ladung und Fläche, diejenige der Feld- 
stärke @ als Quotient von freier Ladung und Fläche, das Poten- 
tial (f und die elektromotorische Kraft E" sind Produkte von @ 
und Längen. Die Stromstärke J ferner ist ein Quotient aus wah- 



§52 



Viertes Kapitel. Der elektrische Strom 



185 



9> 



rer Ladung und Zeit, die Stromdichte i ein Quotient aus Strom- 
stärke und Fläche. Die Dimension von ö endlich ergibt sich aus 
dem Ohmschen Gesetz als Quotient von i und (§, oder nach (158) 
als Quotient von s und einer Zeitgröße. Wir stellen alle Dimen- 
mensionen in der folgenden Tabelle zusammen: 

Dimensionen der elektrischen Größen. 

Energie 

Ponderomotorische Kraft . 
Wahre Elektrizitätsmenge e 
Freie Elektrizitäts menge e 
Elektrische Verschiebung 2) 
Elektrische Feldstärke ^ . 
Potential der freien Elektrizität 
Elektrostatische Kapazität K 

Stromstärke J 

Stromdichte i 

Spezifische Leitfähigkeit 6 . 
Elektrischer Widerstand B . 

Streicht man in dieser Liste überall € fort, so gelangt man 
zu den Dimensionen des elektrostatischen Maßsystemes, welches 
die elektrostatischen Größen auf Masse, Länge und Zeit als Grund- 
einheiten bezieht. Umgekehrt kann man die Dimension der Masse 
durch diejenigen der Elektrizität, Länge und Zeit folgendermaßen 
ausdrücken: M = e^L~^T^' 

die Einführung dieses Ausdruckes für M würde aus allen Dimen- 
sionsformeln die gebrochenen Exponenten fortschaffen, wofern s 
im Sinne des elektrostatischen Systemes als reine Zahl betrachtet 
wird. 



M 


U 


T- 


2 

1 


M 


L 


T- 


2 

1 


m\ 


Li 


T~ 


1 1 
£2 , 


M\ 


Li 


T~ 


^-i 


Mi 


l\ 


\T- 


^K 


Ml 


L-\ 


\T- 


^-i 


M\ 


Li 
Lb 


T' 


•1 1 


Mi 


Li 


T~ 


'e\ , 


Ml 


L-i 


\T- 


'4, 






T- 


-'^ , 




L-' 


T 


B-K 



1 



Dritter Abschnitt. 

Das elektromagnetisclie Feld. 

Erstes Kapitel. 

Die magnetischen Vektoren. 

§ 53. Die Analogie der elektrischen und der 
magnetischen Orößen. 

Schon die Vertreter der Fernwirkungstheorie haben bemerkt, 
daß die Elektrostatik und die Magnetostatik vielfach Analogien 
aufweisen und bisweilen eine durchaus übereinstimmende mathe- 
matische Behandlung gestatten. 0. Heaviside, H. Hertz und 
E. Cohn haben sich bei ihrer Darstellung der Maxwellschen 
Theorie gleichfalls von der Analogie der elektrischen und der 
magnetischen Größen leiten lassen ; sie haben den Grundgleich angen 
des elektromagnetischen Feldes eine Form gegeben, welche diese 
Beziehung deutHch hervortreten läßt. Dabei wird der elektrischen 
Feldstärke ß die „magnetische Feldstärke" § gegenüber- 
gestellt, die „magnetische Induktion" 35 der elektrischen 
Verschiebung 2>. Demgemäß entspricht der räumlichen Dichte 
der wahren Elektrizität (9), die gegeben ist durch 

47tQ = div ^ , 
die Dichte q^ des „wahren Magnetismus", für welche gilt 

4:r()^ = div 33 ; 
der räumlichen Dichte der freien Elektrizität q\ gegeben durch 

4jc()'= div ß, 
entspricht die Dichte q'^ des „freien Magnetismus", die sieh 
bestimmt aus 4;cp' = div ö . 

Der Dielektrizitätskonstanten s entspricht die „magnetische 



§ 53 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 187 

Permeabilität'^ ^, welche, durch die Gleichung 8 = ,a§ defi- 
niert, das magnetische Verhalten des betrejffenden isotropen Kör- 
pers kennzeichnet. Diese Analogie führt auch zu einem Ausdrucke 
für die Energie des magnetischen Feldes. Die im Stücke dv des 
elektrischen Feldes enthaltene Energie beträgt 

du = 4-(^^) dv = 4- ^^(^^ ' 

Diesem Ausdrucke der elektrischen Energie würde der Ausdruck 

für die im Stücke dv enthaltene magnetische Energie entspre- 
chen. Die Integration über den Raum ergibt 

(162) • . T^fdv^(§t8) 

als Energie des magnetischen Feldes. 

So nützlich es nun bisweilen ist, die soeben erwähnte Ana- 
logie zu verfolgen, so darf doch nicht verschwiegen werden, daß 
manche wesentliche Unterschiede zwischen den elektrischen und 
den magnetischen Größen bestehen. Zunächst lehrt die Erfahrung, 
daß es nicht möglich ist, eine Menge von positivem oder nega- 
tivem wahren Magnetismus zu isolieren. In jedem Körper ist der 
gesamte Magnetismus gleich Null und ebenso in jedem Stücke 
eines Körpers. Wahrer Magnetismus kommt in der Natur 
überhaupt nicht vor. Das Feld des Vektors S ist demnach 
stets ein queUenfreies Feld, der magnetische Induktionsfluß durch 
eine jede geschlossene Fläche ist stets gleich Null. 

Mit dem Fehlen des magnetischen Gegenstückes der wahren 
Elektrizität ist das Fehlen magnetischer Leiter eng verknüpft. Es 
wären dies, gemäß der elektrischen Analogie, solche Körper, in 
denen das Bestehen eines magnetischen Feldes von dauernder 
Wärmeentwickelung begleitet wäre. Solche magnetischen 
Leiter gibt es in der Natur nicht. Es entfällt daher auch 
der BegrijQf der magnetischen Leitfähigkeit. 

Die magnetische Permeabilität ^ ' entspricht insofern ihrem 
elektrischen Gegenstücke, der Dielektrizitätskonstanten, als sie 



188 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 5S 

ebenfalls einem und demselben Grenzwerte zustrebt, wenn man 
ein mit einem belieolgen Gase gefülltes Gefäß auspumpt. Den 
Grenzwert bezeichnet man als Permeabilität des leeren Raumes 
oder des „Äthers". Die Nahewirkungstheorie sieht auch den 
leeren Raum als Sitz eines magnetischen Feldes, als Speicher 
magnetischer Energie an. Es liegt nahe, den leeren Raum ge- 
wissermaßen als Normalsubstanz zu wählen und den Zahlwert 
seiner Permeabilität gleich 1 zu setzen, ebenso wie wir die Dielek- 
trizitätskonstante des Äthers gleich 1 gesetzt haben (§ 33). 

Bezieht man die Permeabilitäten der Körper auf diese Ein- 
heit, so tritt wiederum eine Lücke der elektrisch-magnetischen 
Analogie zutage. Neben den paramagnetischen Körpern, 
deren Permeabilität größer als 1 ist, die mithin den dielektrischen 
Körpern entsprechen, gibt es andere, deren Permeabilität etwa» 
geringer ist als 1, die diamagnetischen Körper. Ferner ist das 
Verhalten der ferromagnetischen Metalle bemerkenswert 
deren Permeabilität nicht nur sehr groß ist — bei weichem 
Schmiedeeisen unter Umständen einige tausendmal so groß als 
für das Vakuum — , sondern für ein und dasselbe "Material sich 
in sehr weiten Grenzen zu ändern vermag. Die ferromagnetischen 
Körper zeigen außerdem bei geeigneter Behandlungsweise die 
eigentümliche Erscheinung des permanenten Magnet ismus^. 
welche der Theorie noch heute bedeutende Schwierigkeiten bi6 
tet, obwohl sie zuerst zur Entdeckung der magnetischen Felder' 
geführt hat. 

Neben der soeben erörterten Analogie der elektrischen un( 
magnetischen Größen hat noch eine zweite Art der Gegenübei 
Stellung der elektrischen und magnetischen Vektoren Interess« 
Vergleicht man das elektrostatische Feld elektrischer Ladungei 
mit dem magnetischen Felde stationärer elektrischer Ströme, s( 
findet man, daß das erstere ein Quellenfeld, das letztere ein Wir-* 
belfeld ist; die Ladungen sind der Sitz der Quellen des Vektors 
S, die elektrischen Ströme der Sitz der Wirbel des Vektors §; 
ferner ist im elektrostatischen Felde ($ wirbelfrei, im magnetischen 
Felde dagegen ist ö quellenfrei. Hiernach würden einander die 
Vektoren 2) und § einerseits, @ und ö andererseits zuzuordnen 



§ 54 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 189 

sein, in dem Sinne, in welchem Quellenfeld und Wirbelfeld ein- 
ander entsprechen. Auch diese Zuordnung der elektrischen und 
magnetischen Größen wird im folgenden zu erörtern sein. 

§ 54. Die magnetische Induktion. 

Zur Untersuchung eines magnetischen Feldes bedienen wiri* 
uns einer Probespule; wir nehmen der Einfachheit wegen an, 
daß dieselbe nur aus einer einzigen Drahtwindung besteht, daß 
die Leitlinie des Drahtes eine geschlossene ebene Kurve ist, und 
daß die Abmessungen der umschlossenen Fläche /"groß gegen 
den Radius des Drahtquerschnittes sind. Wir denken uns die 
Spule an einem Orte befindlich, an dem anfangs kein magne- 
tisches Feld vorhanden war. Nun erregen wir ein solches Feld, 
etwa durch Heranbringen eines Magneten oder eines elektrischen 
Stromes, oder auch durch Schließen eines Stromes in einer be- 
nachbarten Leitung. Dann beginnt in der Probespule ein Strom. 
J zu fließen. Ohne uns nun um den zeitlichen Verlauf dieses 
Stromes zu kümmern, warten wir, bis J gleich Null geworden 
ist-, alsdann bestimmen wir, etwa mit Hilfe eines Voltameters^ 
die Elektrizitätsmenge e, welche im ganzen infolge der Erregung 
des weiterhin konstant zu haltenden Magnetfeldes die Spule 
durchflössen hat. 

Wir denken uns den Gesamtwiderstand JR der Spule gegeben, 
ebenso den Flächeninhalt f der umschlossenen ebenen Fläche. 
Wir ordnen ferner dem Sinne, in dem die Elektrizität die Spule 
durchströmt hat, mit Hilfe einer Rechtsschraube eine zu f senk- 
rechte Richtung n zu. 

Die Gleichung 
(163) _i8„=c.^', 

in der c einen von den Maßeinheiten abhängigen universellen 
Faktor bedeutet, bestimmt die nach der Richtung n genommene 
Komponente eines Vektors 33. Diesen Vektor bezeichnen wir 
als die „magnetische Induktion'* des erregten stationären 
Magnetfeldes. Diese Bezeichnung gilt selbstverständlich strenge 
nur für gleichförmige Felder; für ungleichförmige Felder ergibt 



190 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 54 

die rechte Seite von (163) nur einen über die Fläche f genom- 
menen Mittelwert von S5„; wir müssen demnach, um jene Be- 
ziehung aufrechtzuerhalten, die Einschränkung hinzufügen: es 
sind die Abmessungen der Spulenfläche f so klein zu wählen, 
daß das magnetische Feld auf ihr als merklich gleichförmig an- 
zusehen ist. 
▼ Eine ähnliche Einschränkung bezüglich der Abmessungen des 
Probekörpers mußten wir in Kauf nehmen, als wir die elektrische 
Feldstärke % mit Hilfe einer elektrisch geladenen Probekugel 
ermittelten; eine Einsicht in die Gesetze des elektrostatischen 
Feldes, die jenem Verfahren zugrunde lagen, ergab sich erst im 
Laufe der weiteren Betrachtungen. Ebenso müssen wir hier die 
genauere Erörterung der Gesetze der induzierten Ströme, auf 
denen die Gleichung (163) beruht, einem späteren Kapitel vor- 
behalten (vgl. § 66). Die Festsetzungen dieses Paragraphen sollen 
zunächst nur dazu dienen, die Bedeutung und den Namen des 
Vektors HB zu erläutern. 

Die obige Definition des Vektors ö böruht auf dem Faraday- 
schen Induktionsgesetze. Dieses Gesetz führt (vgl. § 66) zu einer 
ähnlichen Beziehung für beliebige geschlossene lineare Leiter. 
Die Elektrizitätsmenge, welche einen solchen Leiter beim Erregen 
des Magnetfeldes durchströmt, wird nach dem Liduktionsgesetze 
durch die Gleichung gegeben 



(164) • -f^Jf = 



cBe. 



Gemäß der in (163) enthaltenen Festsetzung sagt diese Glei- 
chung folgendes aus: Man nehme irgendeine von dem linearen 
Leiter begrenzte Fläche, zerlege diese in kleine Flächenstücke df, 
auf denen das magnetische Feld als merklich gleichförmig zu 
betrachten ist, denke sich diese Flächenstücke von Probespulen 
von gegebenem Widerstände begrenzt und summiere nach Fest- 
legung eines bestimmten ümlaufssinnes die Produkte aus dem 
Widerstände der betreffenden Probespule und der bei Erregung 
des Feldes hindurchströmenden Elektrizitätsmenge. Die Summe 
dieser Produkte ist dem Produkte aus Widerstand und hindurch- 



§ 54 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 191 

geflossener Elektrizitätsmenge für den ursprüngliclien linearen 
Leiter gleich. 

Man kann sich das mit Hilfe der Probespule ermittelte Feld 
8 als Strömungsfeld veranschaulichen; die Normalkomponente 
von S, integriert über eine Fläche, ergibt dann die gesamte Strö- 
mung durch die Fläche; man nennt es darum den Induktions- 
fluß durch diese Fläche. Der Induktionsfluß durch die von einem 
linearen Leiter berandete Fläche ist es, der in (164) eingeht.; 

Nun ist die rechte Seite der Gleichung (164) von der Fläche 
f unabhängig. Betrachten wir verschiedene Flächen, die alle von 
der Leitlinie eines und desselben Drahtes umschlossen sind, so 
muß der Induktionsfluß für alle diese Flächen der gleiche sein. 
Der Induktionsfluß, der aus einer geschlossenen Fläche heraus- 
tritt, ist also stets gleich Null. Das Feld des Vektors © ist 
somit überall quellenfrei; es gilt 

(165) diva3 = 0. 

Wir haben bereits hier in ungezwungener Weise das Fehlen 
des wahren Magnetismus in die Theorie eingeführt. Wir 
gingen dabei von einem unmagnetischen Zustande des betreffen- 
den Körpers aus und dachten uns ein stationäres Magnetfeld 
erregt. Hat man es mit einem Felde im Innern permanenter 
Magnete zu tun, so kann die Anwendbarkeit der Betrachtungen 
auf den ersten Blick fraglich erscheinen, da hier anscheinend 
kein unmagnetischer Anfangszustand vorliegt. Immerhin ist die 
Annahme zulässig, daß ein solcher Zustand einmal vorhanden 
war. Denkt man sich im Innern eines ferromagnetischen Metalles 
einen engen Kanal gebohrt, in den die Probespule bzw. der lineare 
Leiter gebracht wird, und die Elektrizitätsmengen gemessen, die 
von dem Zeitpunkte des unmagnetischen Zustandes an bis zu 
dem gegenwärtigen Zeitpunkte der permanenten Magnetisierung 
hindurchgeströmt sind, so kann man auch hier die obige Be- 
stimmung des Vektors 8 anwenden, die ihn als quellenfreien 
Vektor einführt. Auch im Innern permanenter Magnete werden 
wir daher wahren Magnetismus nicht annehmen. 

Wie wir durch Untersuchung des elektrostatischen Feldes mit 



192 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 55 

Hilfe des Probekörpers zunächst das Feld des Vektors (i kon- 
struierten, so führt uns die Probespule zunächst auf den Yektor 
JB. Insofern entspricht der Vektor 33 der elektrischen Feldstärke 
@. Während aber der Vektor @ im elektrostatischen Felde wirbel- 
frei war, ist fß — und zwar allgemein — quellenfrei. Wie @ als 
wirbel freier Vektor vom elektrostatischen Potentiale, so leitet 
sich ö als queUenfreier Vektor von einem Vektorpotentiale Ä ab : 

(165 a) » = curl». 

Hiernach darf man bei stationären Feldern die Vek 
toren © und © einander zuordnen in demselben Sinne 
in dem wir im ersten Abschnitte (vgl. § 21) das wirbel- 
freie und das quellenfreie Vektorfeld einander gegen- 
überstellten. 

§ 65. Die magnetische Feldstärke. 

Wir haben im ersten Abschnitte dieses Buches gezeigt, daß 
ein den ganzen Raum queUenfrei füllendes Feld durch seine 
Wirbel bestimmt ist (vgl. § 21). Es liegt daher nahe, nach den 
Wirbeln des Vektors © zu fragen, ebenso wie im zweiten Ab- 
schnitte dieses Buches die Frage nach den Quellen des Feldes ^ 
auftrat. Ein einfacher Zusammenhang zwischen der Divergenz 
von ^ und der wahren Elektrizität lag nur für das Feld im lee- 
ren Räume vor; waren dielektrische Körper im Felde, so be- 
stimmte sich die Divergenz von 2), nicht diejenige von ^, durch 
die Dichte der wahren Elektrizität. Untersuchen wir nun die Um- 
gebung eines stromführenden Drahtes in der im vorigen Para- 
graphen angegebenen Weise mit einer Probespule, so finden wir 
nur im leeren Räume einen allgemeingültigen Zusammenhang 
zwischen dem Felde ö und dem elektrischen Leitungsstrome : es 
ist der Vektor © in dem stromlosen Gebiete wirbelfrei; seine 
Wirbel haben ausschließlich in den stromdurchflossenen Leitern 
ihren Sitz und sind der Stromdichte proportional. Sind aber para- 
magnetische oder diamagnetische Körper im Felde, so fäUt dieser 
einfache Zusammenhang fort. Es empfiehlt sich dann, einen zwei- 
ten magnetischen Vektor ^ einzuführen, den wir „magnetische 



I 55 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 193 

Feldstärke'^ oder auch „magnetische Kraft" nennen wollen; 
dessen Wiibel soll stets in dem elektrischen Strome seinen Sitz 
haben. 

Denken wir uns einen geschlossenen linearen Leiter von einem 
konstanten Strome «/"durchflössen, so ist der Vektor § folgender- 
maßen zu bestimmen. Für jede den Leiter einmal umschlingende 
Kurve 8 soll das Linienintegral von § der Stromstärke J pro- 
portional sein: 

(166) f^di^if-, 

für jede den Stromleiter nicht umschlingende Kurve aber soU das 
Linienintegral gleich Null sein. — Die in (166) auftretende uni- 
verselle Konstante c ist bereits in (163) eingeführt worden; sie 
hängt in einer später genauer zu erörternden Weise von den 
Einheiten ab, in denen J und § gemessen werden. Der Umlauf- 
sinn längs g soll der Strömungsrichtung der Elektrizität sich zu- 
ordnen, wie der ümlaufsinn der Fortschreitungsrichtung bei 
einer Rechtsschraube. 

Der diesen Bedingungen genügende Vektor § ist nun — das 
besagt das zugrunde zu legende Erfahrungsgesetz — dem Vektor 
8 der magnetischen Induktion proportional. Es gilt 

(167) » = ft§ 

für isotrope Körper. 

Die hier auftretende Stoffkonstante ^ soll, wie erwähnt, für 
den Äther gleich 1 gesetzt werden. 

Verbinden wir mit diesen Aussagen den Ansatz (162) für die 
magnetische Energie, so haben wir das magnetische Feld eines 
linearen, von einem stationären Strome durchflossenen Leiters 
erschöpfend gekennzeichnet. Schließen wir ferromagnetische 
Körper aus, in denen ft nicht konstant ist, so sind die Gleichungen 
(165), (166), (167) alle linear; es /j^berlagern sich demnach die 
Felder verschiedener Stromleiter. 

Der für die Energie des magnetischen Feldes zugrunde gelegte 
Ansatz (162) machte es notwendig, in die Beziehung zwischen 
J und § (166) dieselbe von den Maßeinheiten abhängige Kon- 
Abraham, Th«ori6 der Elektrüdtftt. I. 5. Aufl. 1.3 



194 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

stante c aufzunehmen, die in der Definitionsgleichung (163) de 
Vektors HB auftrat. Denn die Energie des magnetischen Feld 
eines Stromleiters muß offenbar unabhängig von der Wahl der 
Einheit sein, in der die Stromstärken gemessen werden, we 
anders diese Wahl mit dem absoluten C.-G.-S.-System verträglic 
ist. Soll das skalare Produkt von § und 33 von der Wahl de: 
Maßeinheiten unabhängig sein, so muß der Faktor c bei der Mul- 
tiplikation sich herausheben, da MeJ von der Dimension einer 
Energie, mithin seinerseits von der Wahl des Maßsystems unab- 
hängig ist. 

Wir denken uns den ganzen Raum von einem Stoffe kon- 
stanter magnetischer Permeabilität erfüllt. Für diesen besonderei 
FaU können wir das magnetische Feld eines linearen Leiters ohn< 
weiteres bestimmen. In diesem Falle folgt nämlich aus (165 
und (167) div a§ = ^a div § = 0, 

es ist also nicht nur ©, sondern auch § durchweg quellenfre 
verteilt. Wir haben es daher mit dem queUenfreien Felde einei 
einzigen Wirbellinie zu tun, deren Eigenschaften uns durch di< 
Entwickelungen des § 24 bekannt sind. Dem Momente Aitx dei 

Wirbellinie entspricht hier der Ausdruck Ait — , so daß die Glei 
chung (110) ergibt 

(168) ^ = 7fp[<^8t]. 

Dies ist das magnetische Feld einer geschlossene! 
Stromlinie. 

Wir können den Ausdruck als Summe der Beiträge deutei 
die von den einzelnen Stromstücken Jd% zur Feldstärke in dei 
betreffenden Aufpunkte beigesteuert werden und die sich au« 
dem Biot-Savartschen Elementargesetze bestimmen. Aber 
hier, wie auch in § 24, ist zu bemerken, daß die ZerleguD| 
einigermaßen willkürlich iff; die Stromstücke können einzel 
nicht bestehen; wir haben es vielmehr mit einem geschlossenen, 
von einem stationären Strome durchflossenen Leitungsdrahte zu] 
tun und haben nach der MaxweUschen Theorie dessen Feld al»| 
Ganzes zu betrachten. 



§ 55 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 195 

Was nun das Vektorpotential S( anbelangt, so empfiehlt es 
sich, mit MaxweU dieses Vektorpotential der magnetischen In- 
duktion © zuzuordnen gemäß Gleichung (165 a). In dem jetzt in 
Rede stehenden Falle einer überall gleichen Permeabilität ist zwar 
auch § quellen frei und daher als Curl eines Vektorpotentiales 
darzustellen; aber auf den allgemeinen Fall eines von Körpern 
verschiedener Permeabilität erfüllten Raumes würde sich eine 
solche Beziehung nicht ausdehnen lassen. Wir setzen daher 

Ö = — curl U = curl — 
und erhalten durch Vergleichung mit (109) 

(168a) a = /*y/4* 

als Vektorpotential der Stromlinie. 

Für das magnetische Feld elektrischer Ströme gibt uns die 
Erfahrung zunächst nur Integralgesetze. Wir gelangen auch hier, 
wie beim Ohmschen Gesetze, zu den für die weitere theoretische 
Behandlung zweckmäßigeren Differentialgesetzen, indem wir zu 
unendlich kleinen Gebietsteilen übergehen. 

Die Gleichung (166) ergibt 



<fdi^^^-}fxjf, 



wo f eine beliebige, von der Kurve % umrandete Fläche ist und 
i„ die Dichte der das Stück df dieser Fläche senkrecht durch- 
fließenden Strömung. 

Ziehen wir nun die Kurve 8 mehr und mehr zusammen, so 
ergibt nach § 20 die linke Seite den Curl von §•, es wird 

(169) curl§ = ^''t. 

Dieses differentielle Verknüpfungsgesetz von Lei- 
tungsstrom und magnetischem Felde wollen wir als 
erste Hauptgleichung des Elektromagnetismus be- 
zeichnen. Ihm zufolge haben die Wirbel des Vektors § aus- 
schließlich in den elektrisch durchströmten Leitern ihren Sitz, 
während im Isolator, solange als das magnetische Feld sich nicht 

13* 



I 



\ 



196 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetisclie Feld § 55 

zeitlich ändert, der Wirbel des magnetisclien Feldes überaUl 
gleich Null ist. I 

Beschränken wir uns wiederum auf den Fall einer durchweg 
konstanten Permeabilität, so können wir das magnetische Feld 
eines vollständigen Stromsystemes in ganz entsprechender. 
Weise ableiten, wie wir im § 21 des ersten Abschnittes das quellen 
freie Vektorfeld bei gegebener Wirbel Verteilung bestimmt haben. 

Es ist div6 = — div» = 0, 

und diese Gleichung zusammen mit (169) entspricht durchaus 
den Gleichungen (96) des §21. Wir haben nur dort i/c an Stella 
von c zu schreiben und ferner, da 

\ Ö = curl — 

gr 

gesetzt werden soll, — an Stelle von Ä. Dann ergibt Gleichung 
(100) ^ 

(170) « = ^/'fS 

aus diesem Vektorpotential leiten sich ö und § folgendermaßen ab 

(170a) 8 = curl?l, § = -« = - curl«. 

Hierdurch ist die vorgelegte Aufgabe gelöst. Es folgt übrig« 
aus den Entwicklungen des § 21, daß divÄ verschwindet, wem 
die Integration über das ganze von Elektrizität durchströmte G( 
biet erstreckt wird. 

Ganz ähnlich, wie wir im § 21 die Energie des queUenfreiei 
Vektorfeldes durch ein über die Wirbel erstrecktes Integral dar^ 
stellten, so können wir die magnetische Energie (162) eines be 
liebigen elektrischen Stromsystemes durch ein über das strom- 
erfüUte Gebiet erstrecktes Integral ausdrücken. Nach (162) un( 
(165 a) ist die magnetische Energie 



fjäv(§ 



curl«). . 

Die Rechnungsregel (102) ergibt 

§ curl % = ^ curl § - div [§fC], 



§ 55 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 19T 

daher T = ^jdv {^ curl §) - ^Jdv div [§ 51] . 

Die Anwendniig des Gaußschen Satzes bringt das letzte Glied 

auf die Form - ^fäm^^; 

läßt man die Begrenzungsfläclie des Feldes in das Unendliche 
rücken, so verschwindet dieses Integral für ein jedes im Endlichen 
liegende Stromsystem, und es wird nach (169) 

(170b) T^^J^dv{i%). 

Diese Umformung des Energieausdruckes (162) ist von der 
Annahme durchweg konstanter Permeabilität unabhängig. Sie 
beruht nur auf der ersten Hauptgleichung (169) und der durch 
(165) ausgedrückten Eigenschaft des Vektors ©, überall quellen- 
frei zu sein, einer Eigenschaft, die wir auch dem Felde im Innern 
permanenter Magnete zugeschrieben haben. Lassen wir die elek- 
trischen Ströme verschwinden, so verschwindet auch die rechte 
Seite des umgeformten Energieausdruckes (170b). Hiemach wäre 
die Energie eines permanenten Magneten gleich Null, wenn 
kein elektrischer Strom ihn durchfließt. Dieses Ergebnis ist mit 
der Erfahrung nicht verträglich. Wir können die Überlegung 
auch direkt an den Satz des § 23 anknüpfen: Das über den 
ganzen Raum erstreckte Integral des inneren Produktes aus 
einem quellenfreien und einem wirbelfreien Vektor ist NuU. In 
der Tat, nehmen wir allgemein 

div 8 = 
an und setzen für das Innere eines nicht von elektrischen Strömen 
durch flossenen Magneten nach (169) 

curl§ = 0, 

so folgt aus jenem Satze, daß die nach der Formel (162) be- 
rechnete Energie des Magneten gleich Null ist. Da wir nun den 
Vektor § so bestimmt haben, daß seine Wirbel durch den wahren 
elektrischen Strom bedingt sind, so bleibt uns nichts anderes 
übrig, als für ferromagnetiscbe Körper den Energie- 



i 



I 



198 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 56 

ansatz (162) aufzugeben. Das wird in der Tat bei der Be- 
handlung dieser Körper im vierten Abschnitte dieses Bandes 
geschehen. 

Der ursprüngliche Ansatz (162) für die magnetische Energie 
betrachtet, den Vorstellungen der Nahewirkungstheorie gemäß, 
das ganze Feld als Sitz der Energie. Es ist bemerkenswert, daß 
der umgeformte Ausdruck (170b), der für stationäre elektrische 
Ströme denselben Energiebetrag ergibt, eine der Fernwirkungs- 
theorie entsprechende Deutung zuläßt, indem die Energie als 
über die Stromfäden verteilt erscheint. Für die magnetische 
Energie stationärer Ströme ergeben in der Tat Nahewirkungs 
theorie und Fernwirkungstheorie den gleichen Wert. Die Vor- 
züge des Maxwellschen Energieausdruckes treten erst bei rasch 
veränderlichen Feldern hervor. 

§ 56. Der freie Magnetismus und das skalare Potential 
eines magnetisiert^n Körpers. 

Ein gegebenes System elektrischer Ströme mag im leeren 
Räume ein magnetisches Feld erregen, dessen magnetische Feld- 
stärke mit §0, dessen magnetische Induktion mit ©^ bezeichnet 
werde. Nach (170), (170a) hat man 



und 

(17: 

daher 



(171) %^^fdvl, 

daher 

(171a) §o=»o=i/7'[it], 

WO r den von dem betreffenden Punkte des Stromleiters nacl 
dem Aufpunkte hin gezogenen Fahrstrahl bezeichnet. 

Wir denken uns in dem Felde ein stromloses Gebiet abgegrenzi 
und in dieses Körper gebracht, deren magnetische Permeabilitäf 
^ von 1 verschieden ist. Es kann ^ von Punkt zu Punkt siel 
stetig ändern, sei es infolge der Inhomogenität des betreffender 
Körpers, sei es, weil in ferromagnetischen Körpern die Permeabi-j 
lität von der Feldstärke abhängt. Es können aber auch an dei 



\ 

§ 56 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 199 

Trennungsfläclie verschiedener Körper sprungweise Änderungen 
von fi vorkommen. Es wird sich nach Einfuhrung jener Körper 
ein Feld herstellen^ dessen Feldstärke § von §q und dessen In- 
duktion © von ©Q verschieden sind. Wir stellen uns d^e Auf- 
gabe, die Felder dieser Vektoren zu untersuchen. 

Nun muß, unseren Grundannahmen zufolge, wie in jedem 
Felde, so auch hier das Integral der normalen Komponente der 
Induktion für jede geschlossene Fläche gleich NuU sein. Es muß 
also nicht nur überall die räumliche Divergenz, sondern auch an 
den Trennungsflächen verschiedener Körper die Flächendivergenz 
(§17) von ö verschwinden. Daraus folgt: die Normalkom- 
ponente von ö durchsetzt stetig die Trennungsfläche 
zweier verschiedener Körper. 

Da femer das zu betrachtende Grebiet des Feldes stromlos ist, 
so muß das Linienintegral von § für jede in dem Gebiete ver- 
laufende geschlossene Kurve verschwinden. Es ist also nicht nur 
überall 

(172) curl§ = 0, 

sondern außerdem ist an den Trennungsflächen verschiedener 
Körper der Flächenwirbel (§ 22) von g gleich NuU. Daraus 
folgt: die Tangentialkomponenten von § durchsetzen 
stetig die Trennungsflächen zweier verschiedener 
Körper. 

Vergleicht man das in Rede stehende stromlose Gebiet des 
konstanten magnetischen Feldes mit dem von wahrer Elektrizität 
freien Gebiete eines elektrostatischen Feldes, so bemerkt man, daß 
hier die Heaviside-Hertzsche Analogie (§ 53) sich durchführen 
läßt. Der Gleichung 

div © = entspricht div ^ = , 
der Gleichung 

curl § = entspricht curl ^ = . 

Auch in den Grenzbedingungen entsprechen sich die Vektoren • 
#, §, deren Tangentialkomponenten, und die Vektoren ^, 33, deren 
Normalkomponenten stetig sein müssen. Man kann daher das 
im § 35 abgeleitete Brochungsgesetz der elektrischen Kraftlinien 



200 Dritter Abschiiitt. Das elektromagnetische Feld § 56 

unmittelbar auf die magnetisclien Kraftlinien übertragen. In der 
Tat, sind ccj, a^ die Winkel, welche die magnetischen Vektoren 
zu beiden Seiten der Trennungsfläche mit einer der Flächennor- 
malen einschließen, so hat man 

I »1 1 cos «1 = I ©2 I COS «2, §1 1 sin cfj = I §2 I sin «g, 

daher 
(172 a) tg«! :tga2=-^i:^2. 

Daß hier die Analogie sich vollständig durchführen läßt, liegt 
an den besonderen Voraussetzungen, die wir einführten. Ver- 
schwindet die wahre Elektrizität, so ist ^ quellenfrei, wie S5 es 
stets ist; verschwindet der elektrische Strom, so ist § wirbelfrei, 
wie es % im Falle des elektrischen Gleichgewichtes ist. Obwohl 
nun bei einer allgemeineren Problemstellung die Analogie versagt, 
so wird es doch nützlich sein, sich gerade im vorliegenden FaUe 
von ihr leiten zu lassen. 

Das wirbelfreie Feld ^ wird bestimmt sein, wenn man die 
Verteilung seiner Quellen kennt. Man setze die räumliche Diver- 
genz von§ gleich 4:r()^, die Flächendivergenz an den Trennungs- 
flächen verschiedener Körper gleich 43r(ö^. Es gibt dann q^^ die 
räumliche Dichte, co^ die Flächendichte des freien Magnetis- 
mus an. 

Freier Magnetismus tritt nur dort auf, wo ft sich ändert 
Denn an der Trennungsfläche zweier Körper derselben Perme- 
abilität wäre die Flächendivergenz von § derjenigen von 8 pro- 
portional, die stets gleich Null ist. Und für das Innere der 
Körper folgt aus dem Verschwinden der Divergenz von S5 

== div © = div ^§ = Vi div § -f (§ Vfi) , daher 

(172b) 4:r();^=div§ = - ^(§V^). 

Es tritt demnach nur dort freier Magnetismus aui 
wo die Permeabilität einen Gradienten besitzt, d, h. 
inhomogenen oder in ferromagnetischeu Körpern und an der Grenz- 
fläche zweier Körper verschiedener Permeabilität. 

Da das durch das Hereinbringen der Körper veränderte Feld 



I 



§ 56 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 201 

§ von denselben Strömen erregt ist wie das ursprüngliche Feld 
§0, so ist ^ — -§0 wirbelfrei. Da aber ^q keine Quellen besitzt, 
sondern nur Wirbel, so liegen die Quellen von ^ — ^q, wie die- 
jenigen von §, nur in den hereingebrachten Körpern, nämlich 
dort, wo sich freier Magnetismus befindet. Das skalare Poten- 
tial des Feldes § -^ §o ^^^ daher 



(172c) ^^=J^+/ 



entsprechend der Formel (130 a) für das skalare Potential des 
elektrostatischen Feldes. Kennen wir also die Verteilung des freien 
Magnetismus, so sind wir vermöge der Gleichung 

(172d) §_§„=_V,p„ 

imstande, anzugeben, wie durch Hereinbringen der Körper in das 
stromlose Gebiet das magnetische Feld geändert ist; und zwar 
beziehen sich die Formeln sowohl auf das Feld außerhalb wie 
auf das Feld innerhalb der hereingebrachten para-, dia- oder 
ferromagnetischen Körper. 

Wir können den Ausdruck für das skalare Potential des von 
diesen Körpern erregten Feldes § — '§o ^^^ ^^^^ Form bringen, 
welche der im § 38 für das Potential eines Dielektrikums erhal- 
tenen entspricht und eine entsprechende Deutung gestattet. Wir 
woUen bei der Umformung die Veränderungen der Permeabilität 
im Innern des betrachteten KÖrpersystemes als stetig ansehen 
und Unstetigkeiten nur an der Trennungsfläche gegen den Äther 
zulassen. Wir führen einen neuen Vektor 9Jl ein, den wir durch 
die Gleichung 
(173) JR„_L{®_^) 

definieren und als „Magnetisierung" bezeichnen. Er entspricht 
dem im § 38 eingeführten Vektor ^ der elektrischen Polarisation. 
Wir können schreiben 
(17aa) 3» = ;c§, 

ii-i 

wo X = y — 

die „magnetische Suszeptibilität" genannt wird. Im leeren 



202 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 56 

Räume ist die Suszeptibilität wie die Magnetisierung Null, Einen 
Körper, in dem der Vektor SW von Null verschieden ist^ bezeiclinet 
man als magnetisiert. 

Da ÜB durchweg queUenfrei ist, so folgt aus (173) 

(173b) ();^=-divaR, 

(173c) <r.-m„, 

wo n die von der Begrenzungsfläche der magnetischen Körper 
nach außen (nach dem Äther hin) gezogene Normale bezeichnet. 
Das Potential (172 c) des magnetisierten Körpers wird jetzt 



i 



^^^_ßj,_^m^ßfn„ 



Das Flächenintegral mit Hilfe der aus dem Gaußschen Satze 
abgeleiteten Gleichung (66) umformend, erhalten wir für gp^ ein 
über den magnetisierten Körper zu erstreckendes Integral 

(173d) 'P„.-fdv{m^,l). 

Dieser Ausdruck für das skalare Potential eines ma- 
gnetisiertenKörpers entspricht durchaus dem in Formel (134c) 
des § 38 für das Potential eines dielektrisch polarisierten Körpers 
abgeleiteten. Wir können ihn in entsprechender Weise deuten, 
indem wir den Körper in kleine Stücke zerlegt denken und jedes 
Stück als Träger einer Doppelbelegung von freiem Magnetismus , 
ansehen. Durch Zusammensetzung der Felder aUer magnetisierten 
Stücke ergibt sich der Ausdruck (173 d), welcher sich bei Ver- 
tauschung von QueUpunkt- und Aufpunktgradienten (vgl. § 15, 
Gl. 78) auch schreiben läßt 

9™=-p«(aBv,-^-). 

Es folgt gemäß (172d) 

(173e) §-#„=- V,9„ = vj'dv (SB V, f ) , 

ein Ausdruck, der das Feld des magnetisierten Körpers sowohl 
innerhalb wie außerhalb richtig angibt. Nach den Koordinaten- 
achsen zerlegend und die durch V^ angedeuteten Ableitungen 
nach den Koordinaten xys des Aufpunktes ausführend, erhält man 



§ 56 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 203 

111 

^t ^t ^t 



(173f) 



§, 



1 „.1 .1 



/' , g>- a»-^ C*^^ ^ 

Da §0 durch (171a) gegeben ist, so bestimmt sieb, wenn ÜK 
bekannt ist, hieraus das Feld §, und vermöge 

dann auch die magnetische Induktion im Innern des raagnetisierten 
Körpers. Die rechnerische Ermittelung der Magnetisierung eines 
Körpers in einem gegebenen Felde ist allerdings meist keine ein- 
fache Aufgabe. 

Für eine in ein gleichförmiges Feld §o gebrachte Kugel läßt 
sich die Magnetisierung und das Feld bestimmen, genau so wie 
im § 39 das entsprechende elektrostatische Problem gelöst wurde. 
Man findet (Gl. 137), daß die entstehende Magnetisierung der 
Kugel gleichförmig ist, und den Wert hat 

(173g) ^ = !j^^o- 

Im Innern der gleichförmig magnetisierten Kugel befindet 
sich, wie aus (173b) hervorgeht, kein freier Magnetismus. Der- 
selbe hat ausschließlich auf der Oberfläche seinen Sitz, wo er, 
nach (173 c) mit der Dichte 

verteilt ist; %' gibt dabei den Winkel an, den der Kugelradius an 
dem betreffenden Punkte der Oberfläche mit der Richtung des ur- 
sprünglichen Feldes §o einschließt. Die Flächendichte des freien 
Magnetismus ist Null am Äquator, sie ist auf der einen Kugel- 
hälfte positiv, auf der anderen negativ; die vom Pole der negativ 
belegten Halbkugel nach dem der positiv belegten weisende Rieh- 



204 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld] §57 

tung stimmt mit §o überein, wenn ft > 1 ist, sie weist ^q ent- 
gegen, wenn /* < 1 ist. 

Übrigens folgen aus (173g) für die Feldstärke und für die 
Induktion im Innern der Kugel die Werte 

Man sieht, daß mit wachsendem ^ die Feldstärke dem Grenz- 
werte Null, die Induktion dagegen einem endlichen Grenzwerte 
zustrebt. Dieses Verhalten — das nicht auf den besonderen Fall 
der Kugel beschränkt ist — hat praktisches Interesse, weil das 
Eisen einen hohen Wert von ft besitzt. Es wird, verglichen mit 
der Feldstärke im Luftraum, die Feldstärke im Eisen einen ge- 
ringen Betrag haben. Ein Körper aus weichem Eisen spielt darum 
im magnetischen Felde eine ähnliche Rolle wie ein Leiter im 
elektrischen Felde; auf seiner Oberfläche münden die im Luft- 
räume verlaufenden Kraftlinien nahezu senkrecht. Und was die 
Energiedichte anbelangt, so ist nach (173i) 

es ist also für große ft die Energiedichte in der Eisenkugel ge- 
ring, verglichen mit der Energiedichte, die an der betreffenden 
Stelle vor dem Heranbringen der Kugel bestand. Die magnetische 
Energie dringt also kaum in das weiche Eisen hinein, sondern 
sie speichert sich in dem Luftraum auf 

§ 57. Der freie elektrische Strom und das Yektorpotential 
eines magnetisierten Körpers. 

Wir wollen das im vorigen Paragraphen behandelte Problem 
noch von einem anderen Standpunkt aus erörtern. Wir wollen 
der Lösung eine solche Form geben, daß bei gegebener Magne- 
tisierung fSH nicht sowohl die Feldstärke § — §o? ^^^ vielmehr 
die magnetische Induktion © — ©q bestimmt wird. Da in dem 
ursprünglichen Felde /t = 1, daher ©^ = ^q war, so folgt aus 
(173) und (173f) für die a?-Komponente 



§ 57 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 205 

111 



t. ^fdv [ m!j^ + m,l~^^ + m^l^ } • 



Nun ist nach der Poissonschen Gleichung 



4.a«.==-v/^' = -/;.a».{2 



111 



dy^ ' dz' 



sowoU im Innern des magnetisierten Körpers als auch außer- 
halb, wo beide Seiten der letzten Gleichung verschwinden. Wir 
erhalten daher 

r d^ a- r 0^ d^ 



Diese Formel und die entsprechenden beiden für die «/-Kompo- 
nente und die^^-Komponente geltenden schreiben wir in Vektorform 
(174) ö - »0 = curl { tt - %] , wo 

(174a) « - «0 = -Jdv [üK V, ^~] = ^fdv [SW V, |] 

das Vektorpotential des magnetisierten Körpers darstellt. 
Diese durch Umrechnung der Ergebnisse des vorigen Para- 
graphen erhaltene Darstellung des Feldes erfordert eine eingehen- 
dere Erläuterung. Sie bestimmt direkt die vom magnetisierten 
Körper herrührende Veränderung der magnetischen Induktion ö. 
Die Darstellung mit Hilfe des skalaren Potentiales ist offenbar 
auf stromlose Felder beschränkt, in denen 
curl{^-#o) = 
ist. Die Darstellung mit Hilfe des Vektorpotentiales stützt sich 
auf die queUenfreie Beschaffenheit des Vektors © und ist daher 
nicht auf stromlose Felder beschränkt, sondern sie gilt allgemein 
für jedes konstante magnetische Feld. Wir wollen daher den 
Ausdruck für das Vektorpotential 31 unmittelbar ableiten, und 
zwar für beliebige Stromverteilung und für beliebige magnetisier- 
bare Körper. Wir wollen dabei die am Schlüsse des § 53 er- 
wähnte Zuordnung des Vektoren (S und ö einerseits, ^ und ^ 
andererseits deutlicher hervortreten lassen. 






206 Dritter Abschnitt, Das elektromagnetische Feld § 57 

Wie div ^ durch die wahre Elektrizität bestimmt wird, so 
wird curl § durch den elektrischen Strom bestimmt. Da aber im 
elektrostatischen Felde nicht 2>, sondern (^ sich allgemein als ne- 
gativer Gradient eines skalaren Potentiales darstellt, so wünscht 
man behufs Berechnung desselben nicht die Quellen von ^, son- ^ 
dern diejenigen von @ zu kennen. Daher führt man die Rech- | 
nungsgröße ein, die man als „freie Elektrizität*^ bezeichnet und 
deren Dichte der Divergenz von (i proportional ist. Hier, im 
magnetischen Felde, ist © allgemein als Curl eines Vektorpoten- 
tiales % darzustellen. Behufs Berechnung dieses Yektorpotentiales 
müßten wir die Wirbel von S5 kennen. Zunächst kennen wir in- 
dessen nur die Wirbel von §, die der wahren Stromdichte pro- 
portional sind. Daher führen wir eine Rechnungsgröße ein, welche 
die Verteilung der Wirbel von ö anzeigt und welche wir als 
„Dichte des freien elektrischen Stromes^' bezeichnen. Wir 
setzen, der Gleichung (169) für die wirkliche Stromdichte ent- 
sprechend, 

(175) currö = '^|~' 

und nennen i' die „räumliche Dichte des freien Stromes"; 
kommen ünstetigkeitsflächen in Betracht, so ergibt 

(175a) [n,»,-»,] = *^' 

die „Flächendichte j' des freien Stromes*^ Diese letztere 
Formel ergibt sich aus der in Gleichung (104) des § 22 für den 
Flächenwirbel erhaltenen; n bezeichnet dabei einen Einheitsvektor, 
der nach der durch die Ziffer 1 gekennzeichneten Seite der be- 
treffenden Trennungsfläche /"ja zweier Körper hinweist. Der freie j 
Strom stimmt im ganzen Räume mit dem Wirbel des Vektors ö 
überein, bis auf den universellen Faktor c. Der freie Strom 
ist demnach ebenso wie der wirkliche Strom im stationären Felde 
durchweg quellenfrei verteilt. 

Aus den Ergebnissen der §§ 21, 22 erhalten wir jetzt das' 
Vektorpotential 

(175b) « = 1/^ + 4-/'^^, 



§ 57 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 207 

wobei das erste Integral über den Raum, das zweite über die Un- 
stetigkeitsfläclien zu erstrecken ist. Da das Feld des freien Stromes 
als Wirbelfeld des Vektors © definiert ist, so folgt nach § 21, 
daß die Gleichung 

(175c) divSl = 

erfüllt ist, wofern nur die Integration über das ganze Wirbel- 
gebiet von 35 erstreckt wird. Kennt man die Verteilung des freien 
Stromes, so kann man das Vektorpotential und vermöge 

(175d) ö = curl« 

die magnetische Induktion finden, ähnlich wie man bei Kenntnis 
der Verteilung der freien Elektrizität das skalare Potential und 
die elektrische Kraft des elektrostatischen Feldes bestimmen kann. 
Freilich ist der freie Strom nur eine Rechnungsgröße; seine Ver- 
teilung ist keineswegs von vornherein bekannt. 
Nach (175), (112) und (169) ist 

^T^ == curl ^ü§ = ^ ^ -f [V^, §] , daher 

175e) i'=^i + ^[V^,.g]. 

Es tritt demnach dort freie Strömung auf, wo ein 
wirklicher Strom fließt' oder die Permeabilität einen 
Gradienten besitzt; letzteres kann in inhomogenen sowie in 
ferromagnetischen Körpern stattfinden. Unstetigkeitsflächen mit 
flächenhaft verteilter Strömung sind als Grenzfall eines inhomo- 
genen Körpers aufzufassen. 

Aus (195 b, e) ergibt sich für den Fall einer stetig sich ändern- 
den Permeabilität, d. h. räumlich verteilten freien Strom, der 
folgende Ausdruck des Vektorpotentiales 

i75f) ^-lß^' + ^J'iiv,,m. 

Nur ein konstantes ^ darf in dem ersten Gliede vor das Inte- 
gralzeichen gesetzt werden, wodurch der Ausdruck, weil mit 
dem Gradienten von fi das zweite Glied verschwindet, in (170) 
übergeht. 



208 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 57 

Wir wollen jetzt den freien Strom zu der Magnetisierung SR, 
die in (173) definiert wurde, in Beziehung setzen. Es ist 

^^- == curl {§ + 4:Jtm} = ^ + 4:c curl 9R, daher 

(176) |==]+curigW. 

Ganz entsprechend wie die räumliche Dichte, drückt sich die 
Flächendichte des freien Stromes durch die Flächendichte | des 
wirklichen Stromes und den Flächen wirbel von 3W aus: 

(176a) i' = i + [„,im.-aB,]. 

Wir werden indessen den wirklichen Leitungsstrom infolge 
des endlichen Widerstandes der Leiter im allgemeinen nur als 
räumlich verteilt ansehen dürfen und seine Flächendichte j daher 
gleich Null zu setzen haben. Daher wird (175 b) 

(176 b) « = Iß^' +f^ eurl 8«: +ßf [„, m,-%] 

Wir fassen die Glieder zusammen, die von der Magnetisierung 
der durch die Ziffern 1, 2 gekennzeichneten Körper herrühren, 
wobei wir berücksichtigen, daß die äußeren Normalen n^, «, der 
Begrenzungsflächen dieser Körper dem Vektor n entgegen bzw. 
ihm parallel weisen. Aus der Regel (102 b) folgt dann 

Berücksichtigt man weiter, daß nach Regel (112) 
|curl3B = curl{f}-[v,i SB] 

ZU setzen ist — selbstverständlich handelt es sich in (176b) um^ 
die Ableitungen nach den Koordinaten des magnetisierten Kör- 
pers, so daß der QuellpunktgradienJ; auftritt — , so folgt 

f^ eurl M=f^^[n, SB, - SBI,] +fdv [SW V, }] . 

Hier ist das Flächenintegral über sämtliche Begrenzungsflächen 



1 



§ 57 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 209 

zweier magnetisierter Körper^ das Raumintegral über alle magae- 
tisierten Körperstücke zu erstrecken. Durch Einsetzen in (176b) 
erhalten wir als Ausdruck des Vektorpotentiales 

(176c) « = -Lj^;V+/d4s«v,i]. 

Es stimmt durchaus überein mit dem früher auf Grund be- 
sonderer Voraussetzungen in den Formeln (171), (174 a) erhal- 
tenen. Der jetzt gegebene Beweis ist ganz allgemein. Er beruht 
neben den allgemeinen Eigenschaften der Vektorfelder nur auf 
den Grundgleichungen 

divö = 0, curl^ = ^"^ 

Die Formel (176c) gilt demnach, ebenso wie diese Grund- 
formeln, für jedes stationäre magnetische Feld, z. B. auch 
dann, wenn magnetisierbare Körper vom Strome durchflössen 
sind. Ist die Verteilung des elektrischen Stromes sowie die 
Magnetisierung der Körper bekannt, so bestimmt (175d) zu- 
sammen mit (176 c) das Feld des Vektors ö sowohl außerhalb 
wie auch innerhalb der magnetisierten und der elektrisch durch- 
strömten Körper. 

Eine homogene^ stromlose Eisenkugel nimmt in einem gleich- 
förmigen Felde §o die durch (173 g) gegebene gleichförmige 
Magnetisierung an. Nach (176) ist in ihrem Innern keine freie 
Strömung, wohl aber kreist nach (176 a) eine solche längs ihrer 
Oberfläche. Beziehen wir den Index 1 auf den umgebenden Äther, 
so daß die von (2) nach (1) weisende Normale tt mit dem vom 
Mittelpunkte aus gezogenen Fahrstrahl zusammenfällt, so wird 

Die freie Strömung kreist also längs der Breitenkreise, und 
zwar von Westen nach Osten, wenn §q vom Südpol zum Nord- 
pol weist und jit > 1 ist. Der Betrag der Flächendichte der 
Strömung ist 

Würde man die Eisenkugel beseitigen und statt ihrer dieses 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 14 



210 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 58 1 

Strom System anbringen, so würde im Äther die Verteilung von 
85 die gleiche sein, wie vorher innerhalb und außerhalb der Eisen- 
kugel. Das Feld § aber würde jetzt innerhalb der Kugel ein 
anderes sein. Wäre es hingegen möglich, die durch (173h) 
gegebene Verteilung von freiem Magnetismus durch wahren 
Magnetismus im leeren Räume zu ersetzen, so würde diese ein 
Feld § erregen, welches innerhalb und außerhalb der Kugel 
im Äther mit dem vorher von der magnetisierten Eisenkugel 
erregten übereinstimmt. Die magnetische Induktion 35 aber 
hätte innerhalb der Kugel einen anderen Betrag. 

So dient die Einführung des freien Magnetismus zur Dar- 
stellung des Feldes §, die allgemeiner verwendbare des fieien 
Stromeszur Darstellung des Feldes der magnetischen Induktion 85. j 

§ 58. Spannungen und mechanische Kräfte 
im magnetischen Felde. 

Im zweiten Abschnitte haben wir die mechanischen Kräfte 
behandelt, die im elektrostatischen Felde wirksam sind; und zwar 
haben wir zuerst, in § 44, die Volumkräfte berechnet, und haben 
dann, in § 45, gezeigt, daß sich ihre Resultierende, für ein be- 
liebiges Gebiet, durch ein System von fiktiven, über die Grenz- 
fläche des Gebietes verteilten Flächenkräften ersetzen läßt. Indem 
wir uns jetzt zur Betrachtung der bewegenden Kräfte magne- 
tischer Felder wenden, woUen wir von der im Eingange dieses 
Abschnittes (§ 53) besprochenen Hertz-Heavisideschen Analogie 
der elektrischen und magnetischen Größen ausgehen. Es soll, 
zunächst ganz hypothetisch, angenommen werden, daß für die 
magnetische Flächenkraft %^ ein Ausdruck gelte, der im 
Sinne dieser Analogie dem früher gefundenen Ausdrucke (148) 
für die elektrische Flächenkraft entspricht: 
(177) 8:;r2-= 2§(i[t§, n) - ttf^^^ 

derselbe kann auch in der in (148 a) entsprechenden Form ge- 
schrieben werden 

(177a) 8^2:-= §(©n) -f- [©[§n]] . 

Drückt man, ebenso wie es in § 45, Gl. (149), mit %^ geschah, 



§58 



Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 



211 



(177b) 



(177 c) 



2"* als lineare Vektorfunktion des Normalen vektors n aus, so 
o-elangt man zu dem Koeffizientensystem der sechs Tensorkom- 

;one;ten r s.T": = ^(C - ^ - C) , 

8»T; = 8^T;=2^f^f^, 
SnTl = 8.^t;; = 2^^^^, , 

808«r::=2^§^#^. 

Dies sind die Maxwellschen Spannungen im magnetischen 
Felde; sie lassen sich, entsprechend wie die elektrischen Span- 
nungen, als ein Längszug und Querdruck der magnetischen Kraft- 
linien deuten, die beide dem Betrage najh der magnetischen 
Energiedichte gleich sind. 

Um den zunächst ganz hypothetischen Ansatz für die magne- 
tische Flächenkraft zu rechtfertigen, woUen wir uns davon über- 
zeugen, daß die aus ihm abzuleitenden Kräfte mit den im magne- 
tischen Felde tatsächlich wirkenden übereinstimmen. Wir setzen 
also die resultierende Kraft auf ein beliebiges Glied des magne- 
tischen Feldes gleich dem Oberflächenintegral der fingierten 
Flächenkraft: 

(177d) . ^^^=fdfX'"^- 

dann folgt aus (177) 

(177e) 8:,&"'=fdf{2§{^§,n)-nii§']. 

Nun wurde in § 45 die Formel (147) bewiesen, und es wurde 
bemerkt, daß an Stelle des Skalars s und des Vektors % dort 
beliebige andere stetige Skalare und Vektoren treten können; 
schreiben wir fi statt e, § statt ^, so lautet sie: 



/■ 



d«(2§div/i§ — §*Vft 



■/• 



2[^§,curl^] 



U' 



212 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 58 



I 



Hier stimmt nun die reclite Seite mit derjenigen von (177 e 
überein; es müssen also auch die linken Seiten einander gleic' 
sein. Beachtet man, daß 

di7^§ = divö-= 

und curl § =- 4ä ist, so wirJ 

ft»-.Jd«{-^-§«V^-[^§,-i])- oder 

(177f) ft»=Jd.{[|,»]-^rV^}. 

Dieser Ausdruck für die gesamte Kraft entspricht einer auf di( 
Volumeinheit bezogenen Kraft 

(178) r» = [4,8]-^#^v^. 

Hier stellt das erste Glied diejenige Kraft dar, welche d 
magnetische Feld auf elektrisch durchströmte Körpe 
ausübt. Dieselbe ist gleich dem äußeren Produkte aus de 
elektromagnetisch gemessenen Stromdichte und dei 
Vektor ö der magnetischen Induktion. 

Um dieses Gesetz mit der Erfahrung zu vergleichen, denk 
man sich ein Gleitstück; dieses gehöre einem geschlossenen Strom 
kreise an, der von dem Strome J durchflössen wird; das Gleii 
stück sei mit dem übrigen Stromkreise durch Gleitstellen so vei 
bunden, daß es unabhängig von diesem bewegt werden kan 
Wirkt nun ein äußeres magnetisches Feld, so wirkt auf das Glei< 
stück, dessen Länge und Stromrichtung durch den Vektor 8 ge 
kennzeichnet werde, die Kraft 

t'» = r*gl&l=»g 'I [m] od( 

(178a) ^"= c [^^]- 

Dieses Gesetz für die Kraft auf ein Gleitstück wird 
der Erfahrung bestätigt. 

Die vorliegenden experimentellen Untersuchungen beziehe 
sich zwar alle auf das Feld im Lufträume und lassen es dahf 
unentschieden, ob nicht etwa § statt ö die mechanische Kral 



§ 58 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 215 

bestimmt. Auch gilt die soeben gegebene Ableitung nur für den 
Fall, daß der stromführende Draht und seine Umgebung die 
gleiche Permeabilität besitzen, da sonst in (178) das zweite, den 
Gradienten von fi enthaltende Glied zu berücksichtigen wäre. 
Doch lehrt sowohl die Betrachtung der Dimensionen als auch 
die später zu besprechende Reziprozität der induzierten und der 
bewegenden Kräfte, daß allein der Vektor ö als maßgebend für 
die mechanische Kraft in Frage kommen kann. 

Hat man es mit einem Felde in einem Körper von räumlich 
wechselnder Permeabilität zu tun, so kommt das zweite Glied im 
Kraftausdrucke (178) in Betracht. Dasselbe tritt allein, ohne 
das erste Glied, auf, wenn der magnetisierte Körper stromlos 
ist; es entspricht ganz der Kraft, die im elektrischen Felde auf 
ungeladene Körper wirkt. Insofern als diese Analogie der Kräfte, 
die auf elektrisch und magnetisch polarisierte Körper wirken, 
von der Erfahrung bestätigt wird, kann man das zweite Glied des 
Kraftausdruckes (178) als experimentell sichergestellt ansehen. 

An der Trennungsfläche zweier Körper von verschiedener 
Permeabilität greift eine wirkliche Flächenkraft an, welche ganz 
der in § 45 erhaltenen elektrischen Flächenkraft entspricht. Man 
leitet sie auf ganz ähnliche Weise aus (177a) ab, indem man die 
beiderseits der Trennungsfläche angenommenen fingiertenFlächen- 
krafte summiert, unter Berücksichtigung des stetigen Verhaltens 
der tangentiellen Komponenten von § und der normalen Kom- 
ponente von 83; die so entstehenden, (150a, b) entsprechenden 
Ausdrücke lauten 

(ITSb) V+ V = V!r-{(i ~ i)^®>")' + (f^ - .»i)[».n]'} 
und 

fl78c) V + I,™ = tt ^'^^'^'{§^' - "-''J/H^iny]- 

übrigens beziehen sich die Ergebnisse dieses Paragraphen 
nur auf den FaU, daß die Abhängigkeit der Permeabilität von 
der Feldstärke nicht in Betracht kommt. Auch sind hier, ent- 
prechend wie für das elektrische Feld in den §§44, 45, die durch 
die Veränderung der Permeabilität bei Formänderung bedingten 
Rertzschen Ergänzungsspannungen unberücksichtigt geblieben. 



^14 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 5< 

§ 59. Die beiden Hauptgleichungen. 

Die erste Hauptgleicliung war in der Form, die wir ihr ge 
geben haben (169), auf stationäre elektrische Ströme beschränkt. 
Denn nur der stationäre Leitungsstrom ist quellenfrei verteilt 
wie es Gleichung (169) verlangt. In der Tat folgt aus (169) und 
(94), daß die Divergenz von i gleich NuU ist. Ist der Leitungs 
ström nicht queUenfrei, so ist es nicht möglich, ihn dem curl § 
proportional zu setzen. Nun wissen wir aber'(§ 47), daß ein nicht- 
stationärer Strom im allgemeinen nicht durchweg queUenfrei ist. 
Während der stationäre Strom nur in geschlossenen Leitungs- 
kreisen kreist, können wechselnde Ströme auch in offenen, etwa 
durch einen Kondensator unterbrochenen Bahnen fließen. Hier 
bilden die Kondensatorbelegungen Quellen bzw. Senken des Lei 
tungsstromes. Es ist daher nicht möglich, die Form (169) dei 
ersten Hauptgleichung allgemein aufrechtzuerhalten. 

Wir haben indessen bereits in § 47 gesehen, daß in diesem 
Falle der Leitungsstrom seine Fortsetzung in dem Verscbiebungs- 
strome findet, daß also Leitungsstrom und Verschiebungsstrom 
zusammen eine quellenfreie Strömung bilden. Es ist mithin 
vom Standpunkte der Nahewirkungstheorie aus eine 
sehr naheliegende Annahme, daß im allgemeinen, für 
zeitlich wechselnde Felder, der „wahre Strom" c, der 
sich aus Leitungsstrom und Verschiebungsstrom zu- 
sammensetzt, in der ersten Hauptgleichung an Stelle 
des Leitungsstromes tritt. Das ist in der Tat die An- 
nahme, welche Maxwell gemacht hat und welche die 
Maxwellsche Theorie von den anderen, auf den An- 
schauungen der Fernwirkung aufgebauten elektrody- 
namischen Theorien unterscheidet. 

Jene Femwirkungstheorien ergaben für die Elektrostatik so- 
wie für stationäre elektrische Ströme Folgerungen, die mit denen 
der MaxweUschen Theorie übereinstimmten; nur die Deutung war 
eine andere. Dort sah man die Potentiale, das skalare Potential 
bzw. das Vektorpotential, als die wesentlichen Zustandsgrößen 
an; die Erweiterung der Theorie auf ungeschlossene Leitungs- 



§ 59 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 215 

ströme suchte man durch Abänderung der Potentiale zu erzielen. 
Die Maxwellsche Theorie, welche die elektromagnetischen Vek- 
toren als die wirklichen Zustandsgrößen betrachtet, nimmt die 
Erweiterung in den differentiellen Verkettungsgleichungen vor und 
gelangt so zu der erweiterten ersten Hauptgleichung der 
Elektrodynamik: 

(I) curl § = — 7- • C . 

Der Wirbel der magnetischen Feldstärke ist dem 
wahren Strome proportional. 

Wir ziehen zunächst nur ruhende Körper in Betracht und 
haben daher Konvektionsströme nicht zu berücksichtigen, son- 
dern für den wahren Strom c den Ausdruck (157) zu setzen: 

(la) eurl§== ~ +--3^ 

ist die allgemeinste Form der ersten Hauptgleichung 
für ruhende Körper. 

Die zweite Hauptgleichung der Elektrodynamik ergibt sich 
aus dem Faradayschen Induktionsgesetz. Wir haben das- 
selbe bereits im § 54 bei der Ermittelung des Vektors ö heran- 
gezogen, haben aber dort nur von dem Zeitintegrale des Stromes 
gesprochen, der bei Erregung eines magnetischen Feldes in einem 
linearen Leiter induziert wird. Das Faradaysche Induktionsgesetz 
reicht aber weiter, es bezieht sich auf beliebig veränderliche 
magnetische Felder. 

Um zur allgemeinen Fassung des Faradayschen Induktions- 
gesetzes zu gelangen, betrachte man einen geschlossenen linearen 
Leiter; dessen Leitlinie 8 sei die Randkurve einer Fläche /*; mit 
Hilfe einer Rechtsschraube werde dem Umlaufssinne längs des 
Leiters ein bestimmter Sinn der Flächennormalen zugeordnet, 
und der gesamte Induktionsfluß 



<5 =fdfSS„ 



berechnet, welcher die Fläche in dem betreffenden Sinne durch- 
setzt. Betrachtet man, wie früher (§ 54), 95 als einen durchweg 
quellenfreien Vektor, so ergibt sich der Induktionsfluß als un- 



216 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 59 

abhängig von der besonderen Wahl der Fläche^ die von dem 
linearen Leiter umrandet ist; er hängt nur von der Lage und 
Gestalt der Leitlinie g, d. h. der Randkurve der Fläche ab. 

Wirken nun in dem Leiter eingeprägte elektrische Kräfte ^*^ 
welche eine eingeprägte Integralkraft 



=f 



E'^(P(B'd9 



i 



"ergeben, so fließt, falls der Liduktionsfluß O sich nicht ändert, 
in dem Leiter ein Strom, dessen Stromstärke gleich dem Quotien- 
ten aus der eingeprägten Integralkraft und dem Widerstände R 
des Leitungskreises ist. Sobald aber der Induktionsfluß eine zeit- 
liche Änderung erfährt, folgt die Stromstärke nicht mehr jenem 
Gesetze; es hat vielmehr den Anschein, als ob außer jener, durch 
die thermische oder chemische Inhomogenität des Kreises be- 
dingten eingeprägten Integralkraft E*" noch eine neue, mit der 
zeitlichen Schwankung des Induktionsflusses verknüpfte Integral- 
kraft auftrete; und zwar wirkt diese bei abnehmendem O in po- 
sitivem, bei zunehmendem in negativem Sinne. Die genaue 
Fassung des Faradayschen Induktionsgesetzes lautet 

(179) jB-i:^ = -y^. 

Die rechte Seite dieser Gleichung bezeichnet man wohl auch als 
„induzierte elektromotorische Kraft''. Man hat aber, wenn man 
sich dieser Ausdrucksweise bedient, zu beachten, daß diese indu- 
zierte Kraft, oder besser Integralkraft, nur in bezug auf einen 
geschlossenen Leitungskreis definiert ist; denn sie ist durch die 
Schwankung des Induktionsflusses O bestimmt, der eine von 
der Leitlinie des Kreises berandete Fläche durchsetzt. Für eine 
ungeschlossene Leitung verliert ^, und daher auch der Begriff 
der induzierten elektromotorischen Kraft, jede Bedeutung; es hat 
daher keinen Sinn, von der „induzierten Kraft" in einem unge- 
schlossenen Drahtstücke zu sprechen. 

Das Induktionsgesetz (179) gilt nicht nur für ruhende, son- 
dern auch für bewegte Leiter. Es erhält eine übersichtlichere 
Form, wenn man, unter ^ wie in (161) den Vektor verstehend, 
dem die Stromdichte i proportional ist, setzt 



§ 5f Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 217 

Dann wii'd, gemäß der eben angegebenen Bedeutung von E^ und ^ 
179a) fd^ - fdm^- = - I ^fdf^a • 

In dieser auch für bewegte Körper gültigen Form geschrieben, 
stellt das Induktionsgesetz die „zweite Hauptgleichung der 
Elektrodynamik" dar. 

Beschränkt man sich auf den Fall der Ruhe, so kann man 
rechts, bei der Ableitung nach der Zeit, die Fläche f festhalten 
und allein den Vektor 35 differentiieren. Alsdann ergibt sich 

(179b) ^d^Qt-j> c?§^ == - v/^r^^- ; 

dies ist die zweite Hauptgleichung für ruhende Körper, in 
Form eines Integralgesetzes geschrieben. Zu diesem Integral- 
gesetze führt, wie oben dargelegt worden ist, die Erfahrung, die 
sich zunächst allerdings nur auf lineare Leiter bezieht. Doch 
bestätigt sich das so gefaßte Induktionsgesetz auch dann, wenn 
es sich um körperliche Leiter handelt, und § eine beliebige ge- 
schlossene Kurve im Innern eines solchen ist. Man kann dann, 
nachdem man die linke Seite mit Hilfe des Stokesschen Satzes in 
ein Flächenintegral umgewandelt hat, zu unendlich kleinen Ge- 
bietsteilen übergehen, und gelangt so zu der differentiellen 
Form der zweiten Hauptgleichung für ruhende Körper: 

Die MaxweUsche Theorie sieht die zweite Hauptgleichung 
nicht nur in Leitern, sondern auch in Isolatoren als gültig an. 
Hier werdefü die elektrischen Kräfte sich zwar nicht, wie in 
Leitern, durch die Erregung von Leitungsströmen bemerkbar 
machen; doch ist es zulässig und vom Standpunkte der Nahe- 
wirkungstheorie aus folgerichtig, auch hier das Vorhandensein 
elektrischer Kräfte in einem zeitlich veränderlichen magnetischen 
Felde anzunehmen. 

Stellt man die zweite Hauptgleichung (II) der ersten (la) 



218 



Dritter Abschnitt. Das elektromasrnetische Feld 



1 

§59B 



gegenüber, so fällt die Hertz-Heavisidesche Analogie der Vek 
toren (§> und § einerseits, 2> und © andererseits auf. Auf der linken 
Seite steht in der Tat jedesmal der Curl der Feldstärke @ bzw. 
^j auf der rechten Seite die zeitliche Änderung der Vektoren ^ 
bzw. 33. Die Symmetrie wird nur gestört durch das Fehlen des 
i;nagnetischen Leitungsstromes und durch die hiermit zusammen- 
hängende, dem Vektor f& auferlegte Bedingung der QueUenlosig- 
keit, der ^ im allgemeinen nicht zu genügen braucht. Man kann 
indessen diese Lücken der Analogie äußerlich verhüllen, indem 
mau der ersten Hauptgleichung (I) die zweite in der Form gegen-, 
überstellt 

4:7t j 1 a» 
• Q und g = -— -^ 

C ^ ^ 4:7t dt 



(IIa) curl { @ - @.« 



als „Dichte des wahren magnetischen Stromes" bezeic 
net. Führt man dann noch in (I) eingeprägte magnetische Kräfte 
ein, wovon wir hier noch absehen wollen, so ist die Analogie voll- 
kommen, nur das Vorzeichen ist in der zweiten Hauptgleichung 
ein anderes als in der ersten. 

Diese Verschiedenheit des Vorzeichens ist eng mit dem Me- 
chanismus der elektromagnetischen Wechselwirkungen verknüpft. 




13 a 




Ö 



13 d 



i 



Die beste Übersicht über die Vorzeichenverhältnisse wird man 
aus den vorstehenden vier Figuren erhalten, von denen Fig. 13 a 
die Amperesche Schwimm regel für einen geradlinigen Strom vor 
Augen führt. Fig. 13 b zeigt, was aus der Ampereschen Schwimm- 
regel für die Richtung des von einem elektrischen Kreisstrome 
erregten magnetischen Feldes folgt. Die Amperesche Regel ist 



§ 59 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 219 

in der Formel (168) für das Feld eines linearen Stromes ent- 
halten. Stromrichtung in den Leiterstücken, Fahrstrahl nach dem 
Aufpunkt und magnetische Feldrichtung entsprechen sich wie 
Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand. 

Eine ähnliche Vorzeichenregel über die Richtung der mit 
einem magnetischen Strome verbundenen elektrischen Kraft lie- 
fert uns das Lenzsche Gesetz. Ihm zufolge ruft der induzierte 
elektrische Strom selbst ein magnetisches Feld hervor, welches 
dem erregenden magnetischen Strome entgegengerichtet ist. Auf 
Grund dieses Gesetzes geht für die Richtung der mit einem ge- 
radlinigen magnetischen Strom verbundenen elektrischen Kraft 
Fig. 13 c aus 13 b, für einen magnetischen Kreisstrom Fig. 13 d 
aus 13a hervor. Für den magnetischen Strom und die zu- 
gehörige elektrische Kraft kehrt sich also die Ampere- 
sche Schwimmregel um. Dem entspricht das entgegengesetzte 
Vorzeichen in den beiden Hauptgleichungen. 

Daß wir bei der Festlegung der Richtung der magnetischen 
Vektoren stets von rechter oder linker Hand, von Rechtsschraube 
oder Linksschraube reden müssen, läßt schon vermuten, daß hier 
axiale Vektoren eine Rolle spielen. Das ist in der Tat der FaU. 
Wir haben schon in § 19 gesehen, daß der Curl eines polaren 
Vektors stets axialer, der Curl eines axialen Vektors stets polarer 
Natur ist. Nun müssen wir unbedingt annehmen, daß die Vek- 
toren @, i und ^ zu derselben Art von Vektoren gehören; denn 
auch in isotropen Körpern ruft ein elektrisches Feld Leitungs- 
strom bzw. elektrische Verschiebung hervor, es kann aber nur 
in Körpern von schraubenartiger Struktur ein polarer Vektor 
einen axialen, oder ein axialer Vektor einen polaren erregen. Aus 
demselben Grunde müssen die beiden magnetischen Vektoren §, 
13 Vektoren derselben Art sein. Demgemäß lassen die Dijfferen- 
tialgleichungen des elektromagnetischen Feldes nur die Wahl 
zwischen zwei Möglichkeiten: entweder alle elektrischen 
Vektoren sind polarer und alle magnetischen axialer 
Art; oder alle magnetischen Vektoren sind polarer, 
alle elektrischen axialer Art. Wir hatten uns bereits in 
§ 26 für die erstere Möglichkeit entschieden. In der Tat wirkt 



220 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 5& 

im gleichförmigeii elektrischen Felde auf ein geladenes Probe- 
kügelchen eine translatorische Kraft, während eine Magnetnadel 
im gleichförmigen Magnetfelde nur Drehkräften unterworfen ist. 
Es liegt hiernacli nahe, mit Maxwell die elektrische Kraft als 
polar, die magnetische als axial anzusehen. 

Ein bündigerer Beweis dafür, daß die erstere Möglichkeit 
zutrifft, läßt sich auf Grund des sogenannten Hall-Effektes 
erbringen. In einer dünnen Metallplatte fließe ein elektrischer 
Strom; diesem parallel ist zunächst das elektrische Feld in der 
Platte gerichtet. Nun errege man ein Magnetfeld, dessen Kraft- 
linien die Plattenebene senkrecht durchschneiden. Alsdann ent- 
steht in der Platte ein transversales elektrisches Feld, dessen 
Richtung sich umkehrt, wenn entweder der Strom oder das 
Magnetfeld umgekehrt wird. Nun kann ein polarer Vektor und 
ein axialer mit einer auf jenem senkrechten Achse sehr wohl 
einen dritten polaren Vektor bestimmen; denn die Richtung des 
letzteren kann eindeutig gekennzeichnet werden durch die Fest- 
setzung, daß sie erhalten wird, wenn man die Richtung des ersten, 
polaren Vektors um einen Rechten in dem durch den zweiten, 
axialen Vektor festgelegten Sinne dreht. Dieser dritte Vektor 
wird dann sowohl bei Umkehrung der Richtung des ersten wie 
auch bei Umkehrung des Drehsinnes des zweiten Vektors die 
Richtung umkehren. Dieser Möglichkeit entspricht der HaU- 
Effekt, wenn man den elektrischen Vektoren polare, den magne- 
tischen axiale Natur zuschreibt. Hingegen ist es nicht denkbar, 
daß ein axialer Vektor zusammen mit einem auf ihm senkrechten 
polaren eindeutig den Drehungssinn um eine Achse bestimmt, 
die senkrecht auf der Achse des ersten und der Richtung des 
zweiten Vektors ist. Denn spiegelt man dieses Gebilde an der 
Ebene, die durch die Richtung des zweiten und die Achse des 
dritten Vektors geht, die mithin auf der Achse des ersten senk- 
recht steht, so bleibt die Richtung des zweiten und der Drehsinn 
des ersten unverändert, der Drehsinn des dritten aber kehrt sich 
um. Es ist daher nicht möglich, daß in einem isotropen Körper 
ein polarer Vektor zusammen mit einem axialen in der ange- 
nommenen Weise einen dritten axialen Vektor bestimmt. Das 






§ 60 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 221 

kann nur in solchen anisotropen Körpern stattfinden, in denen 
zwei spiegelbildlich einander entsprechende Felder nicht als gleich- 
wertig zu betrachten sind. Es ist also mit der Existenz des HaU- 
Effektes in isotropen Metallen die Annahme nicht vereinbar, daß 
die elektrische Ej-aft ein axialer Vektor ist. Der Hall-Effekt 
entscheidet zugunsten der ersten der beiden mit den 
Grundgleichungen verträglichen Möglichkeiten: die 
elektrischen Vektoren sind polarer, die magnetischen 
axialer Art. 

Da die Divergenz eines polaren Vektors ein richtiger Skalar, 
die Divergjenz eines axialen Vektors hincreofen ein Pseudoskalar 
ist (§ 7), so haben wir die Dichte der wahren Elektrizität als 
Skalar im eigentlichen Sinne des Wortes zu betrachten. Die 
Dichte des wahren Magnetismus hingegen würde, wen n 
sie von Null verschieden wäre, ein Pseudoskalar sein, 
der beim Übergang von einem ßechtssystem zu einem 
Linkssystem das Vorzeichen wechselte. Der wahre Magne- 
tismus könnte daher nicht als Maß der Menge einer Substanz 
oder auch nur als Maß der zeitlichen Zunahme oder Abnahme 
einer solchen Menge betrachtet werden. 

§ 60. Die Dilterentialgleichungen des elektromagnetischen 
Feldes für ruhende Körper. 

Die beiden Hauptgleichungen der Elektrodynamik sind zu- 
nächst nur ein allgemeines Schema; dasselbe wird erst durch 
Hinzufügung der Beziehungen ausgefüllt, die einerseits die elek- 
trische Feldstärke ^ mit der elektrischen Stromdichte bzw. der 
elektrischen Verschiebung ^, andererseits die magnetische Feld- 
stärke § mit der magnetischen Induktion ö verknüpfen. Nun 
ist im elektrostatischen Felde 

ferner gilt für stationären elektrischen Strom gemäß dem 0hm- 
schen Gesetz t = (?@; 

dabei sind die Dielektrizitätskonstante e und die Leitfähigkeit 6 
Konstanten, die das elektrische Verhalten des betreffenden iso- 



222 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



tropen Körpers kenn zeichnen. Auch die magnetischen Vektoren 
© und § werden einander proportional gesetzt: 

doch ist die Permeabilität ^ nur für diamagnetische und para- 
magnetische Körper wirklich konstant, für ferromagnetische 
Körper aber hängt sie nicht nur von dem jeweiligen Felde, son- 
dern auch von der Vorgeschichte des Feldes ab. Wir schließen 
daher ferromagnetische Körper hier ausdrücklich aus, 
indem wir uns vorbehalten, im vierten Abschnitte auf dieselben 
zurückzukommen. 

DieMaxwellsche Theorie nimmt nun an, daß diePro- 
portionalität der elektrischen Vektoren (S, ^, i einer- 
seits, der magnetischen Vektoren §, f& andererseits, die 
für statische und stationäreFelder durch die Erfahrung 
bestätigt wird, auch für beliebig rasch wechselnde Fel- 
der gilt. Führt man diese Annahme in die Hauptgleichungen 
(la) und (II) ein, so erhält man die Differentialgleichungen 
des elektromagnetischen Feldes für ruhende Körper inj 
der Heaviside-Hertzschen Form: 

c dt 



(180) 



= curl § 



C 



c dt 



= curl {@-@«}. 



Ist die augenblickliche Verteilung des magne- 
tischen und des elektrischen Feldes gegeben und sind 
die eingeprägten elektrischen Kräfte bekannt, so be- 
stimmen die beiden ersten Differentialgleichungen die 
zeitliche Änderung des elektrischen Vektors @ und des 
magnetischen Vektors § an allen Punkten des Feldes. 
Sie bestimmen daher die aus einem Anfangszustande 
des Feldes entstehenden Folgezustände. 

* Wir sind zu diesen Feldgleichungen der Maxwellschen Theorie 
auf synthetischem Wege gelangt, indem wir von den durch die 
Erfahrung bestätigten Gesetzen des elektrostatischen Feldes und 
des magnetischen Feldes stationärer Ströme ausgingen und diese 



§ 60 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 223 

Gesetze in einer zwar hypothetischen, aber doch vom Standpunkte 
der Nahewirkungstheorie aus naheliegenden Weise veraUgemei- 
nerten. Ein Beweis, daß diese Gleichungen nun auch für ein 
jedes elektromagnetisches Feld gelten, läßt sich auf Grund der 
auf statische und stationäre Felder bezüglichen Erfahrungen 
selbstverständlich nicht erbringen. Die Maxwellsche Theorie 
unterscheidet sich ja gerade durch die Einführung des Verschie- 
bungsstromes in die erste Hauptgleichung wesentlich von den 
in dem Boden der Fernwirkung wurzelnden Theorien, welche im 
Gebiete der Elektrostatik und des stationären Stromes die Er- 
scheinungen ebensogut darstellen. Der Verschiebungsstrom ist 
aber der zeitlichen Änderung von @ proportional; er wird gegen- 
über dem Leitungsstrome um so mehr zur Geltung gelangen, je 
schneller die zeitlichen Änderungen des Feldes erfolgen. Daher 
waren die von Heinrich Hertz entdeckten, schnellen elektrischen 
Schwingungen für die experimentelle Prüfung der Maxwellschen 
Theorie von so großer Bedeutung. 

Der Beweis der Feldgleichungen wird nicht anders zu er- 
bringen sein als durch Entwicklung der Folgerungen, die sich 
für rasch wechselnde Felder aus ihnen ergeben "Wir werden in 
den folgenden Kapiteln, insbesondere im dritten Kapitel dieses 
Abschnittes sehen, daß sich dieselben in guter Übereinstimmung 
mit den Tatsachen befinden. 

Die Erweiterungen, die man neuerdings' der Maxwellschen 
Theorie gegeben hat, lassen das Schema der Hauptgleichungen 
unverändert. Sie füllen es aber in einer etwas anderen Weise 
aus, indem sie die Beziehungen zwischen der elektrischen Feld- 
stärke (^ und dem Leitungsstrom oder dem Verschiebungsstrom 
erweitern. Das erweist sich für anisotrope Körper als notwendig, 
sowie auch wenn man den oben erwähnten Hall-Effekt mathe- 
matisch zur Darstellung bringen will. Auch in der elektromagne- 
tischen Lichttheorie hat man zur Erklärung der Dispersions- 
erscheinungen die einfache Proportionalität der elektrischen Feld- 
stärke und der elektrischen Verschiebung aufgegeben. Daher 
haben wir es zweckmäßig gefunden, hier zunächst die beiden 
Hauptgleichungen zu entwickeln und erst dann zu den Differen- 



224 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 



i 



tialgleichungen des elektromagnetisclien Feldes herabzusteige 
weiolie der Maxwellschen Theorie in engerem Sinne eigentüm- 
lich sind. iil 

Die Ausdrücke (138) und (162) für die elektrische Feldenergie 
TJ und für die magnetische Feldenergie T konnten bisher -als^ 
einigermaßen willkürlich gewählt erscheinen. Wir wollen jet» 
zeigen, daß dem Energieprinzip genügt wird, wenn man diel 
Energie eines elektromagnetischen Feldes der Summe jener • 
beiden Ausdrücke gleichsetzt: 

(180a) Tr= f7+ T=y|*-.{,r + ^§*) . 

Wir führen den Beweis, indem wir die zeitliche Zunahme d 
Oröße W berechnen und uns davon überzeugen, daß sie für ei 
abgeschlossenes elektromagnetisches Feld dem Überschuß d 
von den eingeprägten Kräften ü* geleisteten Arbeit über die ] 
den Leitern entwickelte Joulesche Wärme gleich ist. Es ist 

1i?-Ä/H(4^) + frt»)l- 

Setzt man hier für s ~^. und /* ^y die durch die beiden Feh 
gleichungen (180) gegebenen Werte ein, so erhält man 

180b) ^§ = {Jdv [ (ß curl §) - (§ curl @) } 

+ -^fdv (§ curl @0 - fdv ö @- . 

Das erste Integral auf der rechten Seite wird mit Hilfe der a 
gemeinen Formel (102 a) in ein über die Begrenzungsfläche d 
Feldes erstrecktes Oberflächenintegral umgewandelt, nämlich 

Auf Grund derselben Formel geht das zweite Integral der rechte 
Seite über in 

+ -hjdf [e-^L + i;,Jäv{(t curl §), 
was mit Rücksicht auf (180) ergibt 



§ CO Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 225 

wenn wiederum, was hier zweckmäßig ist, die Dichte des wahren 
Stromes c = l + -r— ^, = ^@ + t— "^ 

' 4:7C dt 4:7t dt 

eingeführt wird. 

Das dritte Glied der rechten Seite von (18Öb) endlich gibt 
die in dem ganzen Felde entwickelte Joulesche Wärme an; denn 
diese beträgt 

(180c) Q ^Jdv (i ^) = fdv 6 @2. 

Wir erhalten also schließlich 

asod) ^Y^ = - -}Jäm - ^', §]» +/f?« (e^t) ^ q . 

Wir denken uns nun das ganze Feld in eine Fläche einge- 
schlossen, welche im Verlaufe des ganzen Vorganges niemals von 
einer magnetischen Störung erreicht wird, auf der also § stets 
gleich Null ist. Für das von der Fläche eingeschlossene System 
geht (180d) über in 

(180e) ^^=Jdv{m)-Q. 

Wir wollen zunächst den besonderen FaU ins Auge fassen, 
uo eingeprägte Kräfte @^ nicht vorhanden sind. Dann besagt 
die zuletzt erhaltene Gleichung: fDie zeitliche Abnahme der 
Größe W ist der entwickelten Jouleschen Wärme gleich. Da es 
sich hier um ruhende Körper handelt, wo weder kinetische Energie 
bewegter Massen noch etwa eine Arbeitsleistung mechanischer 
Kräfte in Frage kommt, so kann nach dem Energieprinzip die 
Größe W nur durch eine additive Konstante vom Werte der 
elektromagnetischen Energie abweichen; doch ist es das ein- 
fachste, diese so zu wählen, daß sie mit verschwindendem elektro- 
magnetischen Felde gleich Null wird. So ergibt sich denn, wenig- 
stens falls eingeprägte Kräfte ^^ fehlen, der Ausdruck (180a) 
für die gesamte elektromagnetische Energie mit Notwendigkeit 
aus den Feldgleichungen. 

Wenn nun die Maxwellsche Theorie diese Gesamtenergie in 
bestimmter Weise, nämlich mit der Dichte 

(180f) ^ = -L{,@2^^g2) 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 16 



226 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 60 

Über das Feld verteilt denkt, so liegt hierin allerdings eine ge-l 
wisse Wülkür. Wir hatten für gewisse besondere Felder aucli 
andere Annahmen über die Verteilung als zulässig erkannt. Doch i 
dürfte der Ansatz (180f) für die Energiedichte sich kaum durch 
einen andern, ebenso einfachen, ersetzen lassen, welcher die 
Energiedichte an jeder Stelle des Feldes nur von den daselbst j 
herrschenden Feldstärken abhängig macht. 

Nicht ganz so einfach liegt die Sache, wenn eingeprägte! 
Kräfte (B^ wirken. Die nächstliegende Deutung der Beziehung 
(180 e) ist dann die folgende. 

Das erste Glied der rechten Seite stellt die von den einge-] 
prägten elektrischen Kräften @* pro Zeiteinheit im ganzen Felde] 
geleistete Arbeit dar: 

(180g) 'i -fäv («^0 ^fdv ((S^ i + ^f); 

es leisten nach dieser Auffassung die elektromotorischen Kräfte 
nicht nur dann Arbeit, wenn ein Leitungsstrom, sondern auch 
dann, wenn ein Verschiebungsstrom den Körper durchströmt, 
in welchem jene Kräfte ihren Sitz haben. Die Gleichung (180 e) 
besagt nun: Die zeitliche Zunahme, welche die durch (180a) 
definierte Größe W erfährt, ist gleich dem Überschuß der von 
den eingeprägten elektrischen Kräften geleisteten Arbeit über die 
Joulesche Wärme. Die elektrische Energie ist dabei durch die 
gesamte elektrische Feldstärke ® bestimmt, in welcher die ein 
geprägte Kraft ^^ mitgerechnet ist. 

Es ist jedoch noch eine zweite , von jener abweichende Deu 
tung der Beziehung (180 e) möglich. Man kann setzen: 

Da nun die eingeprägte Kraft d,^ sich nicht ändert, so lange als 
der chemische und thermische Zustand des Körpers ungeändert 

bleibt, so gilt ^ = 5 -^ { ($ _ ^«} . 

Nun kann man (180 e), indem man den Anteil des Verschiebungs- 
stromes nach links schafft, schreiben: 



§ 60 Erstea Kapitel. Die magnetischen Vektoren 227 

^ = I dv (@*i) — Qj und infolge von 

(«-e^|?)=|-Ä(«-«0' wird 

wfj^ f <^ - ^'y + 1"^' > =/'''' (®'') - « • 

Diese Form der Energiegleichung gestattet die Deutung, daß 
nicht (180 g), sondern 

(180h) ^:=J'rf„(i«i) 

die Arbeitsleistung der eingeprägten Kräfte darstellt, und daß für 
die Energie, statt (180a), zu setzen ist: 

(180i) W ==J^[e((B - @0' + ^r } • 

Der zweite Ansatz (180h) für die Arbeitsleistung der einge- 
prägten Kräfte ist von dem ersten nur dann verschieden, wenn 
dort, wo eingeprägte Kräfte wirken, ein Verschiebungsstrom statt- 
findet. Nach der ersten Annahme leisten die eingeprägten Kräfte 
dann Arbeit, nach der zweiten nicht; je nachdem man sich jener 
oder dieser Annahme anschließt, hat man im Ausdrucke der elek- 
trischen Energie die eingeprägte Kraft @^ mitzurechnen oder nicht. 
Man kann zwischen den beiden Annahmen wohl nur auf Grund 
bestimmter Vorstellungen über die Wirkungsweise der eingepräg- 
ten Kräfte entscheiden. 

In einer wässerigen Lösung eines Elektrolyten wirken nach 
der osmotischen Theorie die von der ungleichmäßigen Zusammen- 
setzung herrührenden osmotischen Kräfte @^ nur auf die gelösten 
Ionen, welche den Leitungsstrom bilden. Finden nun elektrische 
Schwingungen in dem Lösungsmittel statt, so ist der Verschie- 
bungsstrom wesentlich durch das Lösungsmittel bedingt, auf 
welches die osmotischen Kräfte nicht wirken. In diesem Falle 
wird also eine Arbeitsleistung der eingeprägten Kräfte nur beim 
Leitungsstrom, nicht beim Verschiebungsstrom in Rechnung zu 
ziehen sein, entsprechend der zweiten Auffassung. Hier ist in 



15' 



228 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 61 

der Tat die Verschiebung ^ nicht der für den Leitungsstrom 
maßgebenden gesamten elektrischen Feldstärke @, sondern dem 
Vektor @ — @^ proportional, so daß von vornherein der Energie- 
ansdruck (180i) als der zutreffende erscheint. 

§ 61. Maßeinheiten und Dimensionen. 

Wir haben im § 52 gesehen, daß die verschiedenen absoluten' 
Einheitssysteme der elektrischen Größen sich durch die Einheit 
und Dimension kennzeichnen ließen, welche der Dielektrizitäts- 
konstanten € zugeschrieben werden. Das sogenannte elektrosta- 
tische Maßsystem betrachtet £ als reine Zahl, deren Wert für den 
leeren Raum gleich 1 gesetzt wird. Wir wollen jetzt, nachdem 
wir die Verkettungsgleichungen der elektrischen und magnetischen 
Größen kennen gelernt haben, eine Übersicht über die verschie- 
denen absoluten Maßsysteme geben. In den Verkettungsgleichun- 
gen (180) kommen außer s noch zwei Größen ^ und c vor, über 
deren Dimension wir noch nichts ausgesagt haben; wir haben 
deren Dimension gerade darum zunächst unbestimmt gelassen, 
weil wir der Wahl des Maßsystem es nicht vorgreifen wollten. 
Wir wurden indessen durch das Energieprinzip dazu veranlaßt, 
die Konstante c in beide Hauptgleichungen aufzunehmen. Man 
kann sich jetzt auf Grund der Feldgleichungen (180) davon 
überzeugen, daß sich, welche Verfügung man auch über die Ein- 
heiten von £ und [i trifft, für die elektrische und die magne- 
tische Energiedichte die gleiche Dimension ergibt. Zu diesem 
Zwecke multipliziere man die beiden Feldgleichungen über Kreuz; 
dabei kann man das mit der Leitfähigkeit ö behaftete Glied 
außer acht lassen, weil die Dimension von d bereits in § 52 mit 
der Dimension von £ in Verbindung gebracht worden ist. Da die 
Bildung des Curl der Division durch eine Länge in bezug auf 
die Dimension äquivalent ist, so steht auf der einen Seite ein 
Ausdruck, dessen Dimension dem Quotienten aus elektrischer 
Energiedichte und dem Produkte von Länge, Zeit und c ent- 
spricht; die Dimension der anderen Seite hingegen ist dem Quo- 
tienten aus der magnetischen Energiedichte und dem Produkte 
aus Länge, Zeit und c gleichwertig. Hätten wir die universelle 



I 



§ 61 Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 229 

Konstante c nur in eine der beiden Hauptgleichungen eingefülirt, 
so würde es unmöglich sein, beiden Energiearten die vom ab- 
soluten Maßsystem vorgeschriebene Dimension zu geben. 

Das absolute Maßsystem legt aber den zu wählenden Dimen- 
sionen noch eine weitere Einschränkung auf. Wir erkennen dieses, 
indem wir die linken und rechten Seiten der Feldgleichungen 
miteinander multiplizieren (der Leitungsstrom mag dabei wieder 
gestrichen werden, weil seine Dimension allgemein derjenigen 
des Yerschiebungsstromes gleich gemacht ist). Dann heben sich 
die Dimensionen von ^ und § heraus^ und man erhält 

(181) -^ = LT-\ 

ysii 

Die hier auftretende Verbindung der drei Konstanten c, s, ^ hat 
demnach die Dimension einer Geschwindigkeit. Es ist, wie hier 
vorweg bemerkt werden mag, die Geschwindigkeit, mit der sich 
elektromagnetische Störungen in dem betreffenden Isolator fort- 
pflanzen. Es dürfen also nur zweien der drei Konstanten will- 
kürliche Dimensionen beigelegt werden, die Dimension der dritten 
ist dann durch (181) festgelegt. Das allgemeinste absolute Maß- 
system der elektrischen und magnetischen Größen muß also die 
Dimension zweier der drei Konstanten unbestimmt lassen. 

In der beigefügten Dimensionstafel sind in der ersten Spalte 
die Dimensionen von s und c beliebig gelassen, und es ist, gemäß 
(181), ^u die Dimension gegeben 

Da])ei geht die Dimension von c, entsprechend dessen Auftreten 
in den Verkettungsgleichungen der elektrischen und magnetischen 
Größen, nur in die Dimensionsformeln der letzteren ein, und 
zwar mit ganzzahligen Exponenten. 

In der zweiten Spalte der Tafel hingegen sind die Dimen- 
sionen von /i und c beliebig, während £, entsprechend (181), die 
Dimension erhalten hat 

181b) £ = L-^T'^-'cK 

Hier sind die Dimensionsformeln der magnetischen Größen frei 



230 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 





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§ 61 



Erstes Kapitel. Die magnetischen Vektoren 



231 



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P. -^ -S 

W m t) 



232 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetisclie Feld 



von c, während in diejenigen der elektrischen Größen ganzzahlige 
Potenzen der Dimension von c eingehen. 

Setzt man, in der ersten Spalte, für e den Ausdruck (181b), 
so erhält man die Dimensionsformeln der zweiten Spalte. Um- 
gekehrt kann man von der zweiten Spalte zur ersten übergehen, 
indem man für ^ den Ausdruck (181a) einsetzt. 

Man hat es indessen vorgezogen, das Maßsystem nicht so- 
wohl möglichst allgemein zu lassen, als vielmehr es so einfach 
zu gestalten, wie es für den ins Auge gefaßten Zweck zulässig 
war. Dabei sind nun verschiedene Auffassungen möglich. Man 
kann beabsichtigen, in den Dimensionen den Unterschied von % 
und 2), von § und ö hervortreten zu lassen, so daß man etwa 
in einem gegebenen Falle prüfen kann, ob die Einführung von 
wahrer oder freier Elektrizität, von wahrem oder freiem Strome 
in eine Gleichunor die angemessene ist. Dann wird man s und a 
eine Dimension geben und wird nur c als reine Zahl betrachten, 
deren Wert man dann konsequenterweise gleich 1 setzt. Dieser 
Auffassung entsprechen die Maßsysteme, die man das „elektro- 
statische" und das „elektromagnetische" nennt. 

Im elektrostatischen System werden e und c als reine Zahlen 
betrachtet, und der Wert von c wird gleich 1 (gesetzt. Die Di- 
mensionen dieses Systemes gehen aus den Formeln, der ersten 
Spalte durch Streichen von e und c hervor. 

Im elektromagnetischen System dagegen sind ft und c reine 
Zahlen; c hat den Wert 1. Streicht man in den Formeln der 
zweiten Spalte ^i und c, so erhält man die Dimensionsausdrücke 
dieses Systems. 

Die Unterdrückung der Dimension von c macht sich dadurch 
bemerkbar, daß die Dimensionsausdrücke derselben elektrischen 
oder magnetischen Größe im elektrostatischen und elektromagne- 
tischen System sich durch ganzzahlige Potenzen einer Geschwin- 
digkeit unterscheiden. Man hat z. B., um eine elektromagnetisch 
gemessene Stromstärke auf elektrostatisches Maß umzurechnen, 
mit einer Geschwindigkeit zu multiplizieren; für diese Geschwin- 



1 



digkeit hat man experimentell gefunden c = 3 X 10^^ 7-; . Die 



§ 62 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 233 

gleiche Geschwindigkeit bzw. eine ganze positive oder negative Po- 
tenz derselben tritt bei der Umrechnung der anderen Größen auf. 
Während in diesen Systemen entweder die elektrischen oder 
die magnetischen Größen bevorzugt werden, werden in dem Gauß- 
schen Maßsysteme elektrische und magnetische Größen als 
gleichberechtigt angesehen. Es werden nämlich die Konstanten 
£ und ^ beide als reine Zahlen betrachtet, wodurch dann c nach 
(181) die Dimension einer Geschwindigkeit erhält, deren Zahlwert 
gleich 3 X 10^^ ist. Elektrische und magnetische Feldstärke wer- 
den hier beide gleich der Wurzel aus einer Energiedichte, wahre 
und freie Elektrizität werden dimensionsgleich, ebenso wahrer 
und freier Strom. Die Dimensionen dieses auch von H. Hertz zu- 
grunde gelegten Maßsystemes finden sich in der. dritten Spalte 
der Tabelle. Ihre Angaben gehen aus denen der beiden ersten 
Spalten hervor, indem man c die Dimension einer Geschwindig- 
keit gibt, und in der ersten Spalte die Dimension von s, in der 
zweiten die Dimension von ^ streicht. Der von den neueren 
Weiterbildungen der Maxwellschen Theorie gemachten Annahme, 
daß das elektromagnetische Feld eigentlich als Feld im Äther 
zu betrachten ist, paßt sich dieses Dimensionssystem am besten 
an. Denn @ und ^, § und © werden hier wesensgleich, e und ^ 
sinken daher zum Range dimensionsloser Größen herab, deren 
Zahlwert für den Äther gleich 1 gesetzt wird. Dieses Gaußsche 
Maßsystem wird den weiteren Entwicklungen zugrunde gelegt 
werden. 



Zweites Kapitel. 

Elektrodynamik quasistationärer Ströme. 

§ 62. l)ie Anwendung des Yektorpotentiales in der 
Elektrodynamik. 

Wir stellen uus in diesem Kapitel die Aufgabe, den zeitlichen 
Verlauf elektrischer Ströme in ruhenden Leitern zu untersuchen. 
Den im vorigen Kapitel entwickelten Anschauungen gemäß haben 
wir uns die Wirkung eines elektrischen Stromes, der im ersten 



234 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



1 

§6« 



Leiter fließt, auf einen zweiten Leitungskreis folgendermaßen vor- 
zustellen. Der erste 9irom erzeugt, der ersten Hauptgleichung 
entsprechend, ein magnetisches Feld §. Dieses gibt zu einem 
Liduktionsflusse durch den zweiten Leiter Veranlassung, ded| 
wesentlich von der Permeabilität der im Felde befindlichen KörnB 
per abhängt. Er beträgt 

(182) =Jdm,, 

wobei /"eine Fläche bezeichnet, die von der Leitlinie 8 des zweitei 
Kreises berandet ist. Sobald sich dieser Induktionsfluß ändei 
beeinflußt er dem Induktionsgesetz (179) gemäß den im zweitei 
Kreise fließenden Strom. 

Nun läßt sich der stets quellenfreie Vektor © als Curl de^ 
Vektorpotentiales % darstellen. Wir haben in den §§ 55 und 5' 
gelernt, für ein stationäres magnetisches Feld das Vektorpotentii 
zu berechnen, wenn die Stromverteilung bzw. die Magnetisierunj 
der Körper bekannt war. Nach dem Stokesschen Satze (§ 20] 
erhalten wir für den Induktionsfluß 

(182a) O ^J^^df=jGuvl^ ^df=j)%d%, 

und somit für die in dem geschlossenen Leitungskreis induziert^ 
elektromotorische Integralkraft 

Die in einem geschlossenen Stromkreise induzierte 
elektromotorische Integralkraft ist proportional de: 
zeitlichen Abnahme des längs der Leitlinie des Strom 
kreises erstreckten Linienintegrales des VektorpoteD 
tiales. 

Die in den §§ 55 und 57 gegebene Berechnung des Vektor 
potentiales war, wie erwähnt, auf das Feld stationärer elektri 
scher Ströme beschränkt, indem die erste Hauptgleichung in de 
Form (169) zugrunde gelegt wurde. Für den FaU, daß die Per 
meabilität ii im ganzen Räume konstant ist, ließ sich das Vektor 
Potential durch Integration über das ganze Feld der queUenfreiei 



I 



§ 62 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 235 

Sti*ömuug i bereclinen (170). Jetzt haben wir es indessen nicht 
mit einem stationären, sondern mit einem veränderlichen Strome 
zu tun. Hier ist streng genommen der Leitungsstrom i nicht 
quellenfrei, er wird erst durch den Verschiebungsstrom zu einer 
quellenfreien Strömung ergänzt. Der erweiterten ersten Haupt- 
gleichung gemäß ist hier das Vektorpotential nicht aus dem Lei- 
tungsstrome t, sondern aus dem wahren Strome c zu berechnen. 
Tut man dieses, so kann man an der bisherigen Definition des 
Vektorpotentiales (§ 21) festhalten, als eines Vektors, dessen Di- 
vergenz gleich NuU ist und dessen Komponenten der Laplace- 
"schen bzw. der Poissonschen Gleichung genügen. Man kann so 
die bisherige Entwickelung formal auf das Feld beliebig rasch 
wechselnder Ströme übertragen, indem nur neben dem Leitungs- 
strome der Verschiebungsstrom berücksichtigt wird. Hierbei ver- 
liert indessen die Lösung ihre einfache physikalische Bedeutung; 
denn der Verschiebungsstrom ist nicht auf den Leiter beschränkt, 
sondern er erfüllt den ganzen umgebenden Isolator; auch ist seine 
Verteilung meist nicht bekannt, so daß dieser Ausdruck des Vek- 
torpotentiales sich gar nicht auswerten läßt. Man ist also nicht 
imstande, auf Grund dieses Ausdruckes das Vektorpotential und, 
mit Hilfe der Gleichung (182 b), die in einem benachbarten Leiter 
induzierte elektromotorische Integralkraft zu berechnen, wenn 
man es mit hochfrequenten Wechselströmen zu tun hat. 

Es ist ja auch ohne weiteres einleuchtend, daß die Ausbrei- 
tung der von einem solchen Strome ausgehenden elektromagne- 
tischen Erregung sich nicht durch Potentialausdrücke darstellen 
lassen wird. Denn diese Ausdrücke machen das Feld im Auf- 
punkte von den gleichzeitigen Zuständen in den Quellpunkten 
der Erregung abhängig, sie berücksichtigen nicht, daß die Stö- 
rung Zeit gebraucht, um vom Quellpunkte zum Aufpunkte zu 
gelangen. Für die allgemeine Theorie des elektromagnetischen 
Feldes ist das Vektorpotential in der bisherigen Form ebenso- 
wenig verwertbar wie das skalare Potential der Elektrostatik. 

Man kann allerdings die Potentiale für die Theorie rasch ver- 
änderlicher Felder verwertbar machen, indem man die Zeit der 
Ausbreitung in Rechnung zieht, also eine gewisse „Latenszeit" 



236 Dritter Absclinitt. Das elektromagnetische Feld 



§62| 
liclitl 



einführt. Doch genügen di« so abgeänderten Ausdrücke nicht' 
mehr der Laplaceschen Gleichung, sondern der sogenannten 
Wellengleichung; die im ersten Abschnitte gegebenen Defini 
tionen des skalaren und des Vektorpotentiales sind demgemä 
wesentlich zu ändern, wenn man jenen Ausdrücken diese B 
nennung beizulegen wünscht. Wir kommen darauf im zweite; 
Bande dieses Werkes ausführlich zurück; hier im ersten Bande 
jedoch werden wir der bisherigen Definition gemäß das skalare 
Potential und das Vektorpotential aus den gleichzeitigen Ladun 
gen und Strömen berechnen. 

Wenn wir nun trotzdem in diesem Kapitel Vektor 
Potentiale verwenden, so schränken wir den Gültig 
keitsbereich der Entwicklungen von vornherein seh] 
wesentlich ein. Wir beschränken ihn auf solche Fälle 
wo der Verschiebungsstrom gegenüber dem Leitungs 
ström zu vernachlässigen ist. Wir beseitigen also gerade 
dasjenige, was die Maxwellsche Theorie von den in dem Boder 
der Fern Wirkungsvorstellung wurzelnden Theorien trennt, unc 
können daher nicht hoffen, Folgerungen zu finden, welche di( 
Maxwellsche Theorie von den Fernwirkungstheorien unterschei 
den. In den Gültigkeitsbereich der Entwicklungen dieses Kapitel 
fallen nur solche Systeme veränderlicher Ströme, deren Ände 
rungszeit (Schwingungsdauer bei Wechselströmen) groß ist gegen 
die Zeit, welche die elektromagnetischen Störungen gebrauchen 
um den Abstand zwischen den beiden entferntesten Punkten des 
Systemes zu durchmessen. Solche Ströme werden wir als quasi 
stationär bezeichnen. Wir berechnen das magnetische FeL 
quasistationärer Ströme und dessen Energie so, als ob der Stror 
stationär wäre, und bestimmen aus dem so berechneten Felde di( 
Induktionswirkungen. Ob wir in einem gegebenen Falle derar 
verfahren dürfen, das hängt, wie erwähnt, erstens von der Fre 
quenz der Sti'öme ab und zweitens von ihrem Abstände. Au: 
dem Gebiete des gewöhnlichen Wechselstromes hat sich die An 
nähme quasistationären Stromes gut bewährt; bei den hoch 
frequenten Störungen indessen, mit denen die drahtlose Tele 
graphie arbeitet, versagt sie vielfach. 



§ 63 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 237 

§ 63. Indiiktionswirkungen in einem aus zwei Stromringen 
Ibestehenden Systeme. 

Wir denken uns zwei Stromringe, deren Entfernung so ge- 
ring ist, daß den Bedingungen genügt wird, welche die Theorie 
der quasistationären Strömung stellt, und doch so groß, daß der 
kleinste Abstand der beiden Leiter groß gegen den Querschnitts- 
radius eines jeden Leiters ist. Alsdann kann für die in der Nach- 
barschaft des zweiten Leiters liegenden Aufpunkte der erste Leiter 
als linear betrachtet -Werden und umgekehrt; für die gegenseiti- 
gen Induktionswirkungen kommen dann nicht die Querschnitts- 
dimensionen, sondern nur die Leitlinien gj , §2 ^^^ beiden Strom- 
ringe bzw. deren gegenseitige Lage in Betracht. 

Es sei J^ der im ersten Leiter fließende, etwa durch ein- 
geprägte Kräfte unterhaltene Strom; nach Gleichung (168a) 
leitet sich das magnetische Feld bzw. die magnetische Liduktion 
aus dem Vektorpotentiale ab: 



(183) «.= ''f/^ 



Dieser Gleichung liegt die Voraussetzung zugrunde, daß im 
ganzen Räume die Permeabilität die gleiche ist; diese Voraus- 
setzung wollen wir zunächst festhalten. 

Da wir nun im vorigen Paragraphen gelernt haben, den In- 
ciuktionsfiuß direkt durch das Linienintegral des Vektorpoten- 
tiales auszudrücken, so können wir uns die Berechnung des Vek- 
tors 8 ersparen. Die Gleichung (182 a) ergibt als Induktionsfluß, 
den der erste Leiter durch den zweiten sendet. 



^n'=J\ndf,-fn,di, 



Führt man hier den Ausdruck (183) des Vektorpotentiales It^ 
ein, so erhält man als Induktionsfluß, den der im ersten 
Leiter kreisende Strom J^ durch eine vom zweiten Lei- 
ter begrenzte Fläche sendet, 

183a) *,= |i„./. = J.^^J''*^^. 



238 



Dritter Abschnitt. Das elektromaornetisclie Feld 



§6 



cosr] 



As = -^21 



Der hier auftretende Koeffizient von J^^ 

(183b) L^.-.ff'i'-^ff''^. _ 
wird Koeffizient der gegenseitigen Induktion der 
den linearen Leiter genannt. Er ist der Permeabilität d( 
raumerfüllenden Stoffes proportional, hängt aber im übrigei 
nur von der Form der beiden Leitlinien und ihrer gegenseitige] 
Lage ab. Es ist, behufs Auswertung des Ausdruckes für L^^} 
das innere Produkt aus je zwei gerichteten Stücken der Leitlinien 
der beiden linearen Leiter durch den Abstand der beiden Stücl 
zu dividieren und sodann über alle Paare je zweier solcher Stücl 
zu integrieren. Da das Ergebnis offenbar unabhängig davon isi 
welchen Leiter man als ersten und welchen man als zweiten be 
zeichnet, so ist 
(183c) 

Andererseits ist der Induktionsfluß, den ein im zwei 
ten Stromring fließender Strom J^ durch den erste] 

sendet, ^,, -f^2n^fi =j^%d^iy 

wofür, in entsprechender Weise, wie oben, erhalten wird 

(183d) %, = I i,, J, = J, iff^-^ . 

Die Dimension des Induktionskoeffizienten ist gleich ae: 
Produkte von Länge und Dimension der Permeabilität. In d( 
Dimensionstafel des § 61 ist dies bereits berücksichtigt und fü 
L in jeder der drei Spalten der betreffende Dimensionsausdruc 
eingeführt worden. Im Gaußschen System, wo ft eine reine Zal 
ist, wird L^^ eine Länge. 

Wenn wir nun die Induktionswirkungen in dem betrachtete 
Systeme zweier quasistationärer elektrischer Ströme erschöpfen 
darstellen wollen, so haben wir in Betracht zu ziehen, daß durc 
eine von der Leitlinie des zweiten Stromkreises umrandete Fläch 
nicht nur der erste Strom, sondern auch der zweite Strom selbi 
einen Induktionsfluß hindurchsendet. Eine elektromotorische Ii 
tegralkraft wird daher in jedem der beiden Leiter nicht nur dan 



§ 63 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 239 

induziert, wenn die Stromstärke in dem anderen, sondern auch, 
wenn die Stromstärke in dem betreffenden Leiter selbst sieb 
ändert. Der gegenseitigen Induktion tritt daher die 
Selbstinduktion an die Seite. 

Bei der Berechnung des Koeffizienten der Selbstinduktion 
tritt nun eine Schwierigkeit auf. Es ist bei der Bestimmung des 
Vektorpotentiales in den Punkten eines Leiters der in dem Leiter 
selbst fließende Strom nicht als linearer Strom zu betrachten, 
da die Entfernung je zweier Leiterstücke durchaus nicht immer 
groß gegen die Querschnittsdimensionen ist. Das magnetische 
Feld in der Nachbarschaft des Stromes und der Induktionsfluß, 
den er durch sich selbst hindurchsendet, hängt daher wesent- 
lich von der Gestalt des Querschnittes ab. Auch ist die Wahl 
der Leitlinie mit einiger Willkür verbunden. Behufs eindeutiger 
Festlegung der Koeffizienten der Selbstinduktion müssen wir 
anders verfahren. 

Wir gehen zurück auf den Ausdruck (170b), auf den wir die 
magnetische Energie eines stationären Stromsystemes gebracht 
hatten und der ganz allgemein gilt: 



184) T^ljdv{m). 



Wir wollen das Stromfeld in Stromfäden zerlegen und einen 
einzelnen Stromfaden betrachten; es ist der Rauminhalt eines 
Stückchens des Stromfadens dv = qds, wo q seinen Querschnitt, 
ds seine Länge bedeutet. Der Beitrag, den dieser Faden zur 
magnetischen Energie beisteuert, ist gleich 

Dabei bedeutet q\i\ die Stromstärke des Fadens, nach (182a) 
den Induktionsfluß durch eine von dem Faden umrandete Fläche. 
Um die magnetische Energie des Stromsystemes zu be- 
rechnen, hat man für jeden Stromfaden das Produkt 
aus Stromstärke und umschlungenem Induktionsfluß 
zu bilden, über alle Stromfäden zu integrieren und das. 
Fntegral durch 2 c zu teilen. 



240 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetisclie Feld 

Wir wenden dieses Ergebnis auf unser Problem an, indem! 
wir den Induktionsfluß in zwei Teile zerlegen, den vom ersten) 
und den vom zweiten Strome erzeugten. Der vom ersten Strome 
erzeugte Induktionsfluß ist für alle Stromfäden des zweiten l 
Stromes merklich der gleiche, da wir ja die Entfernung groß 
gegen die Querschnittsabmessungen annahmen. Der zweite Strom- 
ring ist hier als Stromfaden anzusehen und der entsprechende 
Energieanteil gleich 

2^ ^2 • c ^12-^1 = 2c2 -^12^1^2 ^^u setzen. 

Entsprechend ergibt der vom zweiten Strom durch den ersten] 
gesandte Induktionsfluß einen Energieanteil 

Die Summe der beiden von der wechselseitigen Induktion ^ 
beiden Ströme herrührenden Energieanteile ist nach (183 c) 

(184a) T^^^J,J,. 

Hierzu treten diejenigen Energieanteiie, welche von dem In 
duktionsfluß herrühren, den jeder der beiden Ströme durch seine 
eigenen Stromfäden hindurchsendet. Diese Anteile bezeichnen 
wir mit T^^, T^^ und erhalten 

(184b) T=l\,. + T,, + T^. 

Tji ist von der Anwesenheit des zweiten Stromes ganz ün 
abhängig. Sein Wert hängt nur von dem ersten Strome ab 
Steigert man dessen Stromstärke JJ,, so nimmt T^^ dem Quadrate 
von e/j proportional zu. Denn es wachsen die Stromstärken der 
einzelnen Fäden und daher auch die Induktionsflüsse alle wie J^ 
Setzen wir 

(184c) T,,^\^~J.\ 

so ist Zji eine mit L^^ dimensionsgleiche Größe, welche nur 
der Beschaffenheit des ersten Leiters abhängt, übrigens aber 
Permeabilität proportional ist, die innerhalb und außerhalb des_ 
Leiters durchweg den gleichen Wert besitzen mag. Wir nennei 
Ai ^®^ „Selbstin duktionskoeffizienten^^ des ersten Leitersi 



ci 63 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 241 

Wir behandeln zunächst den besonderen Fall eines einzelnen 
Stromkreises. Führt man in (184) den Ausdruck (170) des Vektor- 
potentiales ein, so erhält man für die Energie eines einzelnen 

Stromkreises T = ^.JdvJ^f {i'V) . 

Dabei bezeichnen dv, dv" je zwei in der Entfernung r von- 
einander befindliche Stücke des Stromkreises. Jedes Paar zweier 
Stücke kommt zweimal vor, einmal nämlich steuert das eine, das 
andere Mal das andere seinen Beitrag zum Vektorpotential bei. 
Nimmt man jedes Paar nur einmal, so ist zu setzen 

(184d) T^^jj^^''(X\'). 

Ist J die Stromstärke dieses Kreises, so ist der Selbst- 
induktionskoeffizient L gemäß (184c) zu definieren durch 

(184e) i-XJ^ = ^//^:^(l'i"). 

Der Quotient Lf\i hängt nur von der Beschaffenheit des 
Leiters ab; denn die Stromverteilung ist — wofern sie mit der 
Verteilung des stationären Stromes übereinstimmt — von der 
Stromstärke unabhängig, die Quotienten i'/Ji X'\J haben dem- 
nach Beträge und Richtungen, die nur von der geometrischen 
und physikalischen Beschaffenheit des Stromkreises, nicht aber 
von der Stromstärke J abhängen. Hat man es mit einem durch- 
weg homogenen Leiter zu tun, dessen Permeabilität gleich 1 ist 
und der sich im Lufträume befindet, so ist h durch die geome- 
trische Form des Leiters allein bestimmt. Dabei kommt nicht 
nur die Form der Leitlinie, sondern auch diejenige des Quer- 
schnittes in Betracht. Bei schnellen elektrischen Schwingungen 
allerdings kann, auch wenn im übrigen die Voraussetzungen der 
quasistationären Strömung erfüllt sind, die Stromvei*teilung von 
derjenigen des stationären Stromes abweichen. Alsdann hängt 
auch L von der Frequenz der Schwingungen ab. Doch würde 
es an dieser Stelle zu weit führen, wenn wir auf diese Fragen 
eingehen woUten (vgl. § 78). Für langsame Stromschwankungen 
ist der Solbstinduktionskoeffizient eines Stromringes 

Abraham, Theorie der Elektrizität I. B. Aufl. 16 



4 



242 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

nunmehr eindeutig durch die magnetische Energie be- 
stimmt. 

Wir setzen also für die magnetische Energie eines einzahlen 
Stromkreises 
(185), r-^c^LJK 

" Wir wollen nun diesen Leiter für sich betrachten und WechseF 
Wirkungen mit anderen Leitern ausschließen. Welche Energie 
Umsetzungen finden dann statt? 

Während bei Gleichstrom die Arbeitsleistung JE^ der ein- 
geprägten Kräfte gleich der Jouleschen Wärme J^R ist, trifft 
dies bei einem Wechselstrome nicht mehr zu. Vielmehr muß eine 
Abnahme der magnetischen Feldenergie in einem Überschuß der 
entwickelten Jouleschen Wärme über die Arbeitsleistung der ein 
geprägten elektrischen Kräfte ihr Äquivalent finden; es lautet 
demnach die Energiegleichung für einen einzelnen Stromkreis 

(18öa) J'R-JE' = -^. 

Setzt man für T den Ausdruck (185) ein, in dem L konstant ist, 

und teilt durch «7, so folgt 

(185b) JB-E' = -j,j^iLJ). 

Hier ist nun die rechte Seite als elektromotorische Integral - 
kraft der Selbstinduktion anzusprechen. Wie der Vergleich 
mit dem Induktionsgesetze (179) lehrt, ist 

(185c) = I LJ 

als der von dem Stromring durch sich selbst hindurch gesam 
Induktionsfluß anzusehen, um die Energiegleichung mit demj 
Induktionsgesetze in Einklang zu bringen. 

Zu unserem Systeme zweier Stromringe zurückkehrend, er-| 
halten wir für die gesamte magnetische Energie 

(186) y = 1 { I i,, J/ + L,,J,J, + 1 L,,J, 

Was nun die Induktionsflüsse anbelangt, so ist zu dem selbst- 
erregten Induktionsflusse (185 c) jedesmal der von dem anderen] 



§ 63 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 243 

Stromkreise herrührende Induktionsfluß hinzuzufügen. So erhält 
man für die gesamten Induktionsflüsse 

(186 a) ^i = y{Ai^i + A2^2). 

(186b) 02-l-{LnJi + L,M. 

Nunmehr ergibt die Anwendung des Induktionsgesetzes (179) 
auf jeden der beiden Kreise 
(186c) j^B,-E,'=^-^^-^, 

(186d) J,It,-E,^=-^^'. 

Diese beiden' Gleichungen bleiben übrigens auch für bewegte 
Leiter gültig. Beschränken wir uns an dieser Stelle auf den FaU 
der Ruhe, wo mechanische Energie und Arbeit nicht in Betracht 
kommen, so muß die Energiegleichung lauten: 
(186e) J,'B., + J,'R, - J,E,' - J,E,' ^ - ^f , 

d. h. der Überschuß der in beiden Kreisen erzeugten Jouleschen 
Wärme über die Arbeit der eingeprägten elektrischen Kräfte muß 
der Abnahme der magnetischen Feldenergie gleich sein. 

Wir wollen uns davon überzeugen, daß diese Gleichung in 
der Tat erfüUt ist. Aus (186c, d) folgt: 

Da im Falle der Ruhe die Koeffizienten der Selbstinduktion und 
der gegenseitigen Induktion konstant sind, so folgt aus (186 a, b) 

und (186) -|{/.t+'^-^i 

= ~ ^{^1 (^11 dt + ^1» -dt) "^ ^2 (^2 -äf + ^2 jf) } 

Ij dJ.'.j djJM.lj. dJ,'\ dT 



c- i 2 11 dt ^ 12 d^ -r 2 ^22 ^^ j ß^t' 

Es ist also die Energiegleichung (186e) wirklich erfüllt. 

Wir haben uns bei der Berechnung der Induktionskoeffizienten 

auf den Fall durchweg konstanter Permeabilität beschränkt. Diese 

Einschränkung war indessen nur zur Ableitung der Formeln 

183b), (184e) erforderlich, welche die Induktionskoeffizienten 

16* 



244 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische' Feld § 63 

bzw. die magnetische Energie auf eine Form bringen, die mehr 
der Fernwirkungstheorie als der Nahewirkungstheorie angepaßt 
ist. Es leuchtet ein, daß diese Ausdrücke abzuändern sind, wenn 
ein Körper abweichender Permeabilität in das Feld gebracht wird. 
Denn dieser Körper verändert das magnetische Feld und den Be- 
trag der magnetischen Feldenergie. Andererseits ist klar, daß 
dem Ausdruck (186) der magnetischen Energie eine allgemeinere 
Gültigkeit zukommt; denn die magnetische Energie des Feldes 



T = fjäv,r- 



kann stets — wofern ,« von der Feldstärke unabhängig ist 
drei Teile zerlegt werden: 

^ = Ä| /<^»'»#.'+ '^fdvii§,^, +fdv^§,' ], 

wo §1 die vom ersten, §2 ^i® ^^^ zweiten Strome erregte ma- 
gnetische Kraft ist. Da aber die Grundgleichungen linear sind, 
so ist §1 proportional J^^ §2 proportional J^] mithin ist der erste 
Teil der magnetischen Energie proportional zu J"^^, der zweite zu 
J1J2J der dritte zu J^^. Damit ist bewiesen, daß die magnetische 
Feldenergie stationärer Ströme sich stets in der Form (186), d. h. 
als Funktion zweiten Grades der Stromstärken darstellen lassen 
muß, deren Koeffizienten von der Beschaffenheit und Form der 
im Felde befindlichen Körper abhängen, von den Stromstärken 
aber unabhängig sind. Diese Schluß weise versagt nur bei ferro- 
magne tischen Körpern; hier hängt /Lt von der Feldstärke ab; es 
sind daher auch die Grundgleichungen nicht linear; endlich ist 
auch der zugrunde gelegte Energieausdruck bei diesen Körpern 
abzuändern, wie bereits in § 55 bemerkt worden ist. 

Es mag nochmals ausdrücklich bemerkt werden, daß die An- 
wendung des Energieausdruckes (186) quasistationäre Strömung 
voraussetzt; denn die Energie ist von den gleichzeitigen Werten 
der Stromstärken abhängig gemacht, sie ist der Energie des sta- 
tionären Stromes gleichgesetzt worden. Die Anwendung auf ver- 
änderliche Ströme zur Bestimmung der Induktionswirkungen 
imterliegt daher den im vorigen Paragraphen angeführten Ein- 
schränkungen. 



I 



§ 64 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 245 

§ 64. Mechanische Kräfte auf Stromleiter. 

Wir machen, um verwickeitere Betrachtungen zu vermeiden, 
auch weiter die Annahme, daß im ganzen Räume, im Isolator so- 
wohl wie in dem durchströmten Leiter, die Permeabilität den 
gleichen Wert habe. Alsdann ergibt der allgemeine Ausdruck 
(178), der in § 58 für die mechanische Kraft des magnetischen 
Feldes gewonnen wurde, 

(187) «" = [!»] 

für die auf die Volumeinheit bezogene Kraft. Daraus folgt, ent- 
sprechend wie Gl. (178 a), als Kraft, die an einem Stück di eines 
linearen Leiters angreift, 

(187a) t-== J.i [c?g^]. 

In diesem Paragraphen sollen nun die mechanischen Wechsel- 
wirkungen in einem aus zwei Stromringen bestehenden System 
betrachtet und zu den Induktions Wirkungen sowie zur magneti- 
tischen Energie in Beziehung gesetzt werden. 

Die Arbeit, welche die Kraft (187 a) bei einer virtuellen, durch 
den Vektor q dargestellten Verrückung des Stromstückes leistet, 

beträgt qa"» = -q[dfSS5], 

c 

oder, nach Regel (23), 

(188) qt"^=yö[qt?8]. 

Nun stellt das äußere Produkt von q und d^ das Parallelogramm 
dar, welches das Leiterstück c?8 bei der Verrückung q beschreibt; 
ihm ist ein normaler Vektor zuzuordnen, dessen Sinn mit dem- 
jenigen übereinstimmt, in welchem der Induktionsfluß durch das 
Parallelogramm als positiv gilt. Es besagt also die Gl. (188): Die 
virtuelle Arbeit, welche die mechanische Kraft des magnetischen 
Feldes bei einer Verrückung des Stromstückes leistet, ist gleich 
seiner elektromagnetisch gemessenen Stromstärke, multipliziert 
mit dem Induktionsflusse durch das bei der Verrückung bestri- 
chene Parallelogramm. 



246 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



Wir betrachten jetzt einen geschlossenen, vom Gleichströme 
J durchflossenen linearen Leiter; man erteile seinen Stücken 
beliebige virtuelle Verrückungen von der Art, daß der Leiter ein 
geschlossener bleibt. Das über die Leitlinie erstreckte Integral 

(189) ^^=^©[q<^«] 

bedeutet den Zuwachs, den der Induktionsfluß ^ durch eine von 
der Leitlinie @ umrandete Fläche bei der angenommenen Ver- 
rückung erfährt. Denn jene unendlich kleinen Parallelogramme 
ergeben zusammen den gesamten Zuwachs der berandeten Fläche, 
und die Induktionsflüsse durch alle diese Parallelogramme sind 
in (189), mit dem richtigen Vorzeichen versehen, addiert. 

Summiert man andererseits die virtuellen Arbeiten (188) der 
an den einzelnen Stromstücken angreifenden Kräfte, so ergibt 
sich für die gesamte Arbeit, nach (189), der Ausdruck 

(190) dÄ = J/cd0. 

Demnach ist die Arbeit, welche die bewegenden Krä 
des magnetischen Feldes bei einer Verrückung eines 
geschlossenen linearen Leiters leisten, gleich der elek- 
tromagnetisch gemessenen Stärke des in dem Leiter 
fließenden Stromes, multipliziert mit dem Zuwachse, 
den der Induktionsfluß durch eine vom linearen Leiter 
berandete Fläche bei de-r Verrückung erfährt. 

Dieser Satz gilt, mag nun der magnetische Induktionsfluß 
von einem anderen Stromkreise oder von einem Magneten erregt 
sein. Auch kann die Verrückung des Leiters, je nach seinen kine- 
matischen Eigenschaften, die eines starren Körpers sein oder auch 
mit einer Formänderung der Leitlinie verknüpft sein. Stets ist 
der Leiter bestrebt, diejenige Lage einzunehmen, bei der er einen 
unter den gegebenen Umständen möglichst großen Induktions- 
fluß umschlingt. 

Man beachte die enge Verknüpfung zwischen den mecha- 
nischen und elektromotorischen Kräften. Würde der Leiter, den 
auf ihn wirkenden mechanischen Kräften folgend, sich so be- 
wegen, daß deren Arbeit positiv ist, so würde der dabei statt- 



64 W 



I 



§ 64 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 247 

findende Zuwachs des umschlungenen Induktionsflusses eine in- 
duzierte Integralkraft in negativem, d. h. dem schon bestehenden 
Strome entgegengerichteten Sinne hervorrufen. Dieses Gesetz 
bestätigt das Experiment. 

Die Gleichung (190) läßt sich ohne weiteres auf die mecha- 
nischen Wechselwirkungen zweier linearer Leiter anwenden. Der ' 
Induktionsfluß, welchen der erste Leiter durch den zweiten sendet, 

beträgt, nach (183 a), ^^j ==" y -^i2«A • 

Da nun bei einer Verrückung des zweiten Leiters sich nur 
der von der gegenseitigen Lage der beiden Leitlinien abhängige 
Induktionskoeffizient, aber nicht Jj, die Stromstärke im ersten 
Leiter, ändert, so ist 

(191) dÄ^J,- ^d0,,^J,J,-^,dL,, . 

Führt man hier den von der gegenseitigen Induktion der beiden 
Ströme herrührenden Energieanteil (184a) ein: 

^n"^^l^2 ^i -^12 ; / 

so sieht man, daß die virtuelle Arbeit der zwischen den Leitern 
wirkenden Kräfte gleich der Zunahme ist, welche dieser Energie- 
anteil bei der Verrückung erfährt, wofern man dieselbe bei kon- 
stant gehaltenen Stromstärken ausgeführt denkt. Man kann also 
die virtuelle Arbeit der wechselseitigen bewegenden Kräfte gleich 
der Abnahme eines „elektrodynamischen Potentiales der 
Wechselwirkung^^ ^12 setzen: 

(192) dÄ = -dW^^y 

welches gleich der mit (— 1) multiplizierten, wechsel- 
seitigen magnetischen Energie ist 

(1 93) W,,= -T,,= ^ J, J, ^ L,, y 

seine Variation ist bei konstanten Stromstärken ausgeführt zu 
denken; so gelangt man in der Tat, von (192) und (193) aus- 
gehend, zu (191) zurück. 

Bei durchweg konstanter Permeabilität gilt, gemäß (183b), 
für das elektrodynamische Potential 



248 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

(193a) W,, = _ T,, = - j; J, ^ffi)^'' , 

ein Ausdruck, den bereits F. E. Neumann, von einer Fernwirkungs- 
theorie ausgebend, erbalten hat. 

Die Gleicbung (187 a) ist nicht anwendbar, wenn es sich um 
die Kräfte handelt, welche das Magnetfeld eines Stromes auf den 
eigenen Stromleiter ausübt; denn für das eigene Feld ist der Leiter 
nicht als linear zu betrachten, wie wir im vorigen Paragraphen 
gesehen haben. Wir können jedoch die nämliche Betrachtungs- 
weise anwenden wie dort, indem wir uns den Strom in dünne, 
geschlossene Stromfäden zerlegt denken. Das Potential der elektro- 
dynamischen Wechselwirkungen je zweier Stromfäden ist dann 
nach dem obigen entgegengesetzt gleich ihrer wechselseitigen 
magnetischen Energie; die Potentiale aller möglichen Paare von 
Stromfäden .summierend, erhält man als Gesamtpotential die ne- 
gativ genommene Energie des ganzen Stromkreises 

(194) w^-T^-^^,LJ\ 

Auch hier ist natürlich die Variation des Potentiales bei konstant 
gehaltener Stromstärke ausgeführt zu denken, so daß die virtuelle 
Arbeit der elektrodynamischen Kräfte beträgt 

(194a) dA==-ö^ = ^ J^dL. 

Befindet sich z. B. in einem Leitungskreise ein Gleitstück, 
welches längs einer Schiwie verschieblich ist, so sucht die durch 
den Strom selbst hervorgerufene elektrodynamische Kraft das 
Gleitstück im Sinne des wachsenden L zu verschieben, d. h. so, 
daß bei der der Verschiebung der Induktionsfluß, den der Strom 
durch den eigenen Leitungskreis sendet, zunimmt. Legt man die 
a;-Achse in Richtung der Schiene, so ist die Kraft 

(194b) ^^"^e^^J^'i- 

Auch für ein aus zwei Stromkreisen bestehendes System ist 
das gesamte elektrodynamische Potential gleich seiner 
negativ genommenen magnetischen Energie: 



I 



§ 65 Zweites Kapitel.' Elektrodynamik quasistationärer Ströme 249 

(195) 3^=- T ^{|iu Ji^ + L,,J,J, + I L,_,J,^]. 

Es beträgt somit die Arbeit der elektrodyn amiseben Kräfte bei 
einer Verrückung oder Formänderung der Leiter 

(195a) 8A^-SW= ^, J,HL,, + ^J,J, ÖL,, + ^ J.'dL,, ■ 

denn die Stromstärken sind bei der Verrückung konstant zu halten. 

§ 65. Der elektrische Strom als zyklisches System. 
Die Lagrangeschen Gleichungen. 

Dieser Paragraph wendet sieb nur an solche Leser, denen 
aus der analytischen Mechanik die Lagrangeschen Gleichungen 
bekannt sind. Diese Gleichungen beziehen sich auf ein mecha- 
nisches System, dessen jeweilige Konfiguration durch gewisse 
Parameter p^ gekennzeichnet ist; die Zahl n dieser Parameter 
soU der Zahl der Preiheitsgrade des Systems gleich sein, so daß 
die Parameter voneinander unabhängig sind. Von diesen Para- 
metern und von deren Anderungsgeschwindigkeiten q^^ hängt die 
lebendige Kraft T des Systemes ab. Ist diese Abhängigkeit be- 
kannt, so ergeben die Lagrangeschen Gleichungen die Trägheits- 
kräfte, die von den Massen des Systemes hervorgerufen werden. 
Es sei P;i die dem Parameter px entsprechende Trägheitskraft^ 
und ihre gesamte Arbeit bei einer Konfigurationsänderung 



7» 



X = l 



Alsdann lauten die Lagrangeschen Gleichungen: 

Um die Wirkungen der Trägheit der Massen des Systemes zu 
finden, braucht also das System keineswegs im einzelnen genau 
bekannt zu sein. Es genügt, wenn man seine lebendige Kraft in 
ihrer Abhängigkeit von den Parametern px und den Geschwindig- 
keiten qx kennt. 

um nun die Lagrangeschen Gleichungen auf das System von 
zwei Stromringen anzuwenden, welches in den beiden letzten 



250 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 65 

Paragraphen behandelt worden ist, stelle man sich vor, daß in 
dem Felde eines elektrischen Stromes irgendeine unseren Sinnen 
verborgene Bewegung vor sich gehe. Das war in der Tat eine 
der Arbeitshypothesen, von denen Maxwell sich leiten ließ. Ent- 
sprechend der Verteilung der Energie über das Feld soU diese 
Bewegung nicht auf die Stromleiter beschränkt sein, sondern sie 
soll den umgebenden Raum erfüllen. Ihre lebendige Ktaft soll 
der magnetischen Energie gleich sein, die von Maxwell daher 
auch als „elektrokinetische Energie" bezeichnet worden ist. Für 
stationäre und quasistationäre Ströme ist somit die lebendige 
Kraft der verborgenen Bewegung durch (186) als Funktion 
zweiten Grades der Stromstärken gegeben. Ihre Koeffizienten 
hängen von der Gestalt und der gegenseitigen Lage der Strom 
leiter ab. 

Der elektrische Strom gehört, vom Standpunkte dieses mecha- 
nischen Bildes aus betrachtet, einer Klasse von Bewegungen an 
welche von Helmholtz als zyklische Bewegungen bezeichnet 
worden sind. Die Parameter, welche die augenblickliche Lage 
eines zyklischen Systemes kennzeichnen, lassen sich in zwei Grup 
pen sondern. Die Parameter der einen Gruppe ändern sich währen 
der Bewegung gar nicht oder doch so langsam, daß die ihren 
Änderungsgeschwindigkeiten entsprechenden Glieder im Aus- 
drucke der lebendigen Kraft zu vernachlässigen sind. Diese Para 
meter gehen mithin zwar selbst im allgemeinen in den Ausdruck 
der lebendigen Kraft ein, aber nicht ihre Ableitungen nach der 
Zeit. Dieser ersten Gruppe gehören in dem vorliegenden Falle 
diejenigen Parameter an, welche die Lage der Stromkreise be 
stimmen. Die Parameter der zweiten Gruppe hingegen, die wir 
zyklische Parameter nennen woUen, kommen zwar selbst nichtj 
im Ausdrucke der lebendigen Kraft vor, wohl aber ihre Ab 
leitungen nach der Zeit, die zyklischen Geschwindigkeiten, 
unserem Falle mögen als zyklische Geschwindigkeiten di 
Stromintensitäten gewählt werden; die zyklischen Parameter 
sind dann deren Integrale nach der Zeit, von einem bestimmte 
Zeitpunkte an gerechnet, d. h. die Elektrizitätsmengen, die seit 
dem durch die Querschnitte der beiden Leiter hindurchgeströmt 



! 



I 



§ 66 Zweites Kapitel, Elektrodynamik quasistationärer Ströme 251 

sind; dieselben gehen nicht in den Ausdruck der lebendigen 
Kraft ein. 

Ein anderes Beispiel für eine zyklische Bewegung ist eine in- 
kompressible Flüssigkeit, die in einer geschlossenen Röhre strömt 
und dieselbe ganz erfüllt. Hier tritt bei der zyklischen Bewe- 
gung immer ein Teilchen an die Stelle des anderen, indem es 
dessen Geschwindigkeit annimmt. Die lebendige Kraft hängt da- 
her von der Lage der einzelnen Flüssigkeitsteilchen nicht ab; sie 
ist bei gegebener Form der Röhre bestimmt durch die Flüssig- 
keitsmenge, die pro Sekunde die Querschnitte durchströmt. Dieses 
ist hier die zyklische Geschwindigkeit. Ein solches System mit 
nur einem zyklischen Parameter wird als Monozykel bezeichnet. 

In dem hydrodynamischen Beispiele können wir von der 
mechanischen Bedeutung der zyklischen Geschwindigkeit Rechen- 
schaft geben. Im Falle des elektrischen Stromes ist dieses nicht 
ohne neue, das mechanische Bild genauer zeichnende Hypothesen 
möglich. Bei der Anwendung der Lagrangeschen Gleichungen 
brauchen wir indessen die zyklische Bewegung nicht genauer zu 
beschreiben; es kommt nur auf den Ausdruck der lebendigen 
Kraft T an; aus diesem können wir alles ableiten, was der Wahr- 
nehmung zugänglich ist, nämlich die elektromotorischen und 
die mechanischen Kräfte. 

Das zyklische System, auf welches wir die Lagrangeschen 
Gleichungen anwenden wollen, hat zwei zyklische Parameter i\y 
^2; es wird daher als „Bizykel" bezeichnet. Die betreffenden 
zyklischen Geschwindigkeiten q^, q^ sollen mit den Strominten- 
itäten übereinstimmen. Die entsprechenden verallgemeinerten 
Kraftkomponenten sind die elektromotorischen Kräfte, die beim 
Durchgang der Elektrizität Arbeit leisten. Wir setzen 
(196a) Ji = g^c, J2 = q^Cj 

80 daß die zyklischen Parameter p^ , p^ die elektromagnetisch ge- 
messenen Elektrizitätsmengen sind, die von einem bestimmten 
Zeitpunkte an die Querschnitte der beiden Stromringe durchflössen 
haben. Dann wird, nach (186), die lebendige Kraft des Bizykels 

('196b) r = -i- L,,q,' -f- L,,q,q, + 4 ^^22^2'- 



252 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 65 



Differentiation nach q^ und q^ und Yergleichung mit (186a, b) 
ergibt 

(196 c) 



ergibt / a T ^ -r ^ 



O rp 

^^ = ^2^1 + 42^2= ^2- 

Die Ableitungen der lebendigen Kraft nach den zyklischen 
Geschwindigkeiten werden in der Mechanik als zyklische Im- 
pulse bezeichnet. Wie (196 c) lehrt, ergeben sie die magneti- 
schen Induktionsflüsse der beiden Stromringe. 

Da die zyklischen Parameter in den Ausdruck von T nicht 
eingehen, so gilt 

(196d) g=0, g=0, 

und die Lagrangeschen Gleichungen (196) ergeben, mit Rück- 
sicht auf (196c): 

n96e^ P ^^' V ---^ 

(^iyoe) r^- ^^ , i^- ^^ . 

Dies sind die Kräfte, die auf Vermehrung von p^ und^g hinwirken, 
d.h. die induzierten elektromotorischen Integralkräfte, 
gemessen im elektromagnetischen Maße. Wie wir sehen, ergeben 
sich aus den Lagrangeschen Gleichungen diese Kräfte, in Über- 
einstimmung mit dem. Induktionsgesetz, gleich der zeitlichen Ab- 
nahme der umschlungenen Induktionsflüsse. 

Bisher wurden die Lagrangeschen Gleichungen nur auf die zyk- 
lischen Parameter angewandt. Wir wollen jetzt die Gleichungen 
aufstellen, die denjenigen Parametern entsprechen, welche die Lage 
der Stromkreise bestimmen. Wir wollen sie mit i?3, i^4 • . • be- 
zeichnen und die zugehörigen verallgemeinerten Kraftkompo- 
nenten mit Pg, P^ . . . . Dieses sind die bewegenden Kräfte, 
welche zwischen den Stromringen wirksam sind. 

Halten wir die Leiter fest und die Stromintensitäten konstant, 
so fallen aUe Ableitungen nach der Zeit fort, imd die Lagrange- 
schen Gleichungen (196) ergeben für die durch die zyklischen 
Bewegungen bedingten mechanischen Kräfte 

(196f) P, = g, P,-g,usf. 



§ 65 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 253 

Man erhält für die Ai'beit, Avelche diese Kräfte bei einer virtuellen 
Yerrückung der Leiter bzw. ihrer Teile leisten: 

(196g) $A = II dft + g dft +.... = dr. 

Es ist zu beachten, daß hier die partiellen Differentialquotienten 
nach^jj,^4 bei konstant gehaltenen zyklischen Geschwindigkeiten 
q^, q^ zu nehmen sind. Daraus folgt: Die virtuelle Arbeit der 
elektrodynamischen Kräfte ist gleich der Zunahme, 
welche die elektrokinetische Energie erfahrt, wenn die 
Verrückung bei konstant gehaltenen Stromintensitäten 
ausgeführt wird. Dieses Ergebnis stimmt nun ganz mit dem 
am Schlüsse des vorigen Paragraphen erhaltenen überein. Auch 
die bewegenden Kräfte des Systemes ergeben sich aus 
dem mechanischen Bilde des Bizykels. ^ 

Maxwells Feststellung, daß die Gesetze der Elektrodynamik 
sich aus den allgemeinen Gleichungen der Mechanik ableiten lassen, 
ist von großer Bedeutung für die theoretische Physik geworden. 
Einmal hat diese Einsicht auf die Mechanik insofern zurück- 
gewirkt, als man unter Beseitigung der Fernkräfte der Mechanik 
eine Form zu geben suchte, welche geeignet war, die im elektro- 
magnetischen Felde wirkenden Kräfte zu umfassen. Diese Rich- 
tung, die in der Hertzschen Mechanik gipfelt, hält an der Vor- 
stellung fest, daß alle physikalischen Vorgänge schließlich auf 
Bewegungen träger Massen zurückzuführen sind. Sie muß, wo 
die Bewegung der sichtbaren Massen die Erscheinungen nicht 
erklärt, verborgene Massen zu Hilfe nehmen, die in Bewegung 
begriffen sind. Der ganze Raum muß als von solchen Massen 
erfüllt betrachtet werden. Dieselben sind miteinander gekoppelt 
und übertragen so die Bewegung von einem Körper auf den 
anderen; die Hertzsche Mechanik fordert die Zurückführung aller 
Fernkräfte auf solche Mechanismen verborgener Massen. 

Die Vorstellung eines Mechanismus in dem von wägbarer 
Materie leeren Räume hat manches Gekünstelte. Aber auch der- 
jenige, der sie nicht annimmt, muß die Wichtigkeit der Entdek- 
kung anerkennen, daß die Bewegungen der Körper und die elek- 
trodynamischen Vorgänge denselben Gesetzen unterworfen sind. 



254 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

Man brauclit allerdings diese enge Beziehung der Mechanik zu? 
Elektrodynamik nicht unbedingt zugunsten der mechanischen 
Naturanschauung zu deuten. Man kann in ihr mit demselben 
Rechte einen Hinweis darauf sehen, daß die Bewegungen der 
Körper den Gesetzen der Elektrodynamik unterworfen sind. Die- 
ser Auffassung neigt in der Tat die heutige Physik zu ; sie sucht 
die Mechanik und überhaupt die ganze Physik den Gesetzen des 
elektromagnetischen Feldes anzupassen. 

§ 66. Ein Stromkreis mit Widerstand und Selbstinduktion. 

Wir betrachten einen einzelnen geschlossenen Stromring. In 
demselben mögen gewisse eingeprägte Kräfte wirken, welche durch 
die chemische und thermische Beschaffenheit der zum Stromring 
zusammengefügten Leiter bedingt sind. Zu diesen Kräften können 
noch solche elektromotorische Kräfte treten, die von Strom- 
schwankungen in anderen Stromkreisen oder von irgendwelchen 
sonstigen Änderungen des umschlungenen magnetischen Induk- 
tionsflusses herrühren. Diese Kräfte wollen wir hier zu den ein- 
geprägten rechnen, indem wir die induktive Rückwirkung unseres 
Stromringes auf die übrigen Leiter außer Betracht lassen. Das 
Linienintegral aller der eingeprägten Kräfte bezeichnen wir mit 
E. Die Summe dieser elektromotorischen Kraft und der elektro- 
motorischen Kraft der Selbstinduktion muß dann dem Produkte 
aus Widerstand und Stromstärke gleich sein: 

(197) E-y^^RJ. 

Bringen wir die Stromstärke J, die als Unbekannte zu gelten 
hat, auf die linke Seite, so wird die Differentialgleichung erhalten 

(197a) ^^^ + EJ^E. 

Deren Integration ergibt bei gegebener elektromotorischer 
Kraft die zeitliche Änderung der Stromintensität J. 

A. JB? konstant. In diesem FaUe erhält man, da auch L und 
i? Konstanten sind, als Lösung der Differentialgleichung (197 a) 



ü 



§ 66 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 255 

(198) J=^-Ce~~\ 

Die Integrationskoiistante G bestimmt sich aus den Anfangs- 
bedingungen. Wird der Strom zur Zeit ^ ==• geschlossen und 
von nun an der Einwirkung einer konstanten, eingeprägten elektro- 
motorischen Kraft unterworfen, so ist 

zu setzen, damit J für ^ = verschwindet. Wir haben dann 

(198a) J=|(l-e"^), 

wobei abkürzungsweise 

(198 b) , ^^ e^B gesetzt ist. 

Die Konstante # hat die "Dimension einer Zeit. Sie wird als 
Zeitkonstante des Stromkreises bezeichnet. Von ihr hängt 
das zeitliche Anschwellen der Stromstärke nach dem Stromschlusse 
ab. Dasselbe erfolgt um so langsamer, je größer die Selbstinduk- 
tion im Verhältnis zum Widerstände ist. 

B. J& periodisch. Wir nehmen die äußere elektromotorische 
Ki'aft als periodisch an, etwa nach dem Gesetze 

jE7 = öt sin (vt) 
schwingend; a stellt hier die Amplitude, v die Frequenz 
\Schwingungszahl m2% Sekunden) dar. Uns interessiert nur der 
Wechselstrom J von der Frequenz v, der sich unter der Einwir- 
kung dieser periodischen elektromotorischen Kraft herstellt. Dem- 
gemäß suchen wir (197 a) durch den Ansatz zu genügen 

(199) J= b sin (vt -j- /3) == 6 { sin vt cos ß + cos vt sin ^) . 
Es wird dann 

-T7=^y cos {vt -{■ ß) = hv [ cos vt cos ß — sin vt sin /3 ) . 

Soll (197 a) für alle t erfüllt sein, so haben die Konstanten 
/v, ß den Gleichungen zu genügen 

8 61/ cos /3 -f- i?& sin /3 = 0, 
199a) ^ 

^ hv ^m ß -{- Rh cos ß =^ a. 



256 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



Aus der ersten dieser Grleichungen erhält man 
(199 b) tg/5 = 

und aus der ersten und zweiten zusammen 



vL 



(199c) 



B 



cos j3 



]/i^H 






Die Gleichung (199 b) zeigt an, daß der durch (199) bestimmte] 
Strom J der Phase nach hinter der erregenden elektromotorischei 
Kraft zurückbleibt. Die Gleichung (199 c) bestimmt das Verhält- 
nis & : a der Amplituden von Strom und elektromotorischer Kraft^ 
Dasselbe wird nicht, wie bei Gleichstrom, durch den reziproker 
Widerstand It gegeben, sondern (iurch das Reziproke des Aus- 
druckes 

(199 d) B' =]/j?^ + "'-^ 

der stets größer als R ist und der „scheinbarer Widerstand^ 
oder auch „Impedanz" genannt wird. 

Wir wollen die Differentialgleichung (197 a) noch auf di( 
Probespule anwenden, die wir in § 54 zur Ermittelung det 
Vektors © verwandt haben. Die bei der zeitlichen Änderung 
des magnetischen Feldes induzierte elektromotorische Kraft ist 
nach dem Induktionsgesetz gleich 

1 



dt 



-läth^n 



Nun sollte die Probespule so klein gewählt werden, daß das 
magnetische Feld auf f gleichförmig ist; daher ist der Induk 
tionsfluß gleich Q = ^^f 

zu setzen: demnach wird die elektromotorische Kraft 



E== 



c ' dt 



Ferner war in § 54 von einem Felde die Rede, welches vom un- 
magnetischen Anfangszustande (für ^ = 0) aus erregt und dai 
konstant gehalten wird; für ein solches wird 



§ 66 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 257 

00 





und 80 ergibt Gleichung (197 a) 



M 00 



Da der induzierte Strom schließlich wieder erlischt, so ist 



fi 



t 



es fällt also das erste Glied fort. Ferner ist 



00 

fjdt^ 



die Elektrizitätsmenge, die im ganzen den Querschnitt durchströmt 
hat. Es wird daher i 

d. h. es hängt e nicht von der Selbstinduktion, sondern nur von 
dem Widerstände der Spule und dem schließlich umschlungenen 
Induktionsflusse ab. Wir durften daher in § 54, ohne von der 
Selbstinduktion der Spule zu reden, den Vektor ö durch die Glei- 
chung (163) 2^, 
- «^« = c • 7" 

bestimmen. Die Ermittelung des Vektors ö durch die 
Probespule rechtfertigt sich also durch die uns nun- 
mehr genauer bekannten Gesetze der Elektrodynamik. 

Derselbe Gedankengang, angewandt auf einen beliebigen 
Drahtring, führt übrigens zur Gleichung (164), die in § 54 ohne 
Beweis geblieben ist. 

Wir haben hier nur von der magnetischen Energie des Stromes 
gesprochen, nicht von seiner elektrischen Energie. Und doch 
wird im allgemeinen auch der stationäre Strom von einem elek- 
trischen Felde umgeben sein. 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 17 



258 Dritter Absclinitt. Das elektromagnetische Feld 



1 

^66« 

IgteBj 

1 



Denken wir uns nämlich den Kreisstrom durch eine eingeprägt 
Kraft unterhalten, die an einer bestimmten Stelle in die Strom- 
bahn eingeschaltet ist (etwa ein galvanisches Element), so entstehen 
freie elektrische Ladungen und in deren Folge ein elektrostatisches 
Feld; denn nur dadurch, daß ein tangentielles Potentialgefälle 
längs der Leitung besteht, wird der Strom in den homogenen 
Teilen der Leitung aufrechterhalten. Dem elektrostatischen Felde 
aber entspricht eine elektrische Energie. 

Die elektrostatische Energie eines geschlossenen Leitungs- 
stromes ist aber meist nur gering im Vergleiche mit der magne- 
tischen Energie, die man deshalb gewöhnlich allein als Strom- 
energie bezeichnet. Insbesondere für dünne Leitungsdrähte ist der 
elektrische Anteil der Energie zu vernachlässigen. Wir könnten 
uns in dieser Hinsicht auf das Ergebnis des § 31 berufen, wonach 
die Kapazität eines stabförmigen Leiters mit abnehmender Dicke 
kleiner und kleiner wird. Demnach wird bei gegebener Span- 
nungsverteilung längs der Leitung mit abnehmender Dicke die 
Ladung immer geringer. Da nun die elektrische Energie eines 
elektrostatischen Feldes sich durch die Produkte der Ladungen 
und Spannungen ausdrückt, so wird mit abnehmendem Quer- 
schnitte der Leitung die elektrische Energie immer geringer. Die 
magnetische Energie aber verhält sich gerade umgekehrt. Bei 
gegebenem Strome ist die Feldstärke in der unmittelbaren Um- 
gebung des Drahtes dem Abstand von der Drahtachse umgekehrt 
proportional, die magnetische Energiedichte also dem Quadrate 
derselben, die magnetische Energie wird daher logarithmisch un- 
endlich, wenn der Querschnittsradius gleich Null wird. Aus diesem 
Grunde durften wir auch bei der Berechnung der Selbstinduktion 
nicht den Leiter als linearen Leiter ansehen; die Selbstinduktion 
eines solchen würde unendlich sein. Da nun mit abnehmendem 
Querschnitt der Leitung die magnetische Energie des Stromes 
immer größer, die elektrische immer kleiner wird, so wird die 
letztere schließlich gegen die erstere zu vernachlässigen sein. 

Neben dem Querschnitt kommt allerdings noch die Leitfähig- 
keit des Materials in Frage. Wird die Strombahn von einem 
schlechten Leiter gebildet, so wird die elektrische Energie be- 



I 






§ ß7 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 259 

trächtlich. Denn hier bedürfen wir weit größerer elektrischer 
Kräfte als bei einem guten Leiter, um einen Strom von bestimmter 
Stärke, also auch ein magnetisches Feld von gegebener Energie, 
aufrechtzuerhalten. Die elektrische Energie wächst daher, bei 
gegebener magnetischer Energie, umgekehrt proportional dem 
Quadrate der Leitfähigkeit. 

Von solchen Fällen sehen wir hier ab und verstehen, wie üb- 
lich, unter der Energie eines geschlossenen Stromes ausschließ- 
lich die Energie des von ihm erzeugten magnetischen Feldes. 
Man kann übrigens die elektrostatische Energie ganz ausschließen 
wenn man die den Strom unterhaltenden eingeprägten Kräfte 
nicht auf eine kurze Strecke zusammengedrängt, sondern in pas- 
sender Wftise längs der Strombahn verteilt annimmt; durch ge- 
eignete Verteilung der eingeprägten elektrischen Kräfte kann 
man in der Tat erreichen, daß kein elektrisches Feld in der Um- 
gebung des Drahtes entsteht. 

$^67. Ein Stromkreis mit Selbstinduktion^ Kapazität und 
Widerstand. Elektrische Eigenschwingungen. 

Bisher haben wir in diesem Kapitel nur von Strömen ge- 
sprochen, die in geschlossenen Bahnen fließen. Jetzt betrachten 
wir einen Leitungsdraht, dessen Enden in die sich gegenüber- 
stehenden Platten eines Kondensators einmünden. Bei dieser An- 
ordnung wird, wie wir wissen, der Leitungsstrom durch den die 
Kondensatorplatten verbindenden Verschiebungsstrom zu einer 
geschlossenen Strömung ergänzt. Ist indessen die dielektrische 
"Schicht hinreichend dünn, so kann für die Berechnung des magne- 
tischen Feldes und der magnetischen Energie die Anordnung als 
einem geschlossenen Stromkreise gleichwertig betrachtet wer- 
den, indem der Verschiebungsstrom in der dünnen dielektrischen 
Schicht durch ein kurzes, vom Leitungsstrom durchflossenes Draht- 
stück ersetzt; gedacht wird. 

Die Einschaltung des Kondensators bringt nun aber insofern 
eine wesentlich neue Problemstellung mit sich, als seine Kapazität 
und seine elektrische Energie zu berücksichtigen sind. In der 
Tat geht z. B. aus der für die Kapazität K des Kugelkondensators 

17* 



260 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 67 

abgeleiteten Formel (122) hervor, daß die Kapazität gerade für 
geringen Abstand der Kondensatorbelegungen beträchtlich wird. 
Und aus der Formel (138 d) folgt, daß die elektrische Energie des 
Kondensators TT = — Kw^ 

ist, wenn g? jetzt für die Potentialdifferenz der Kondensatorbele • 
gungen geschrieben wird. Da andererseits die magnetische Energie 

2 c' 
ist, so beträgt die jeweilige Energie des Systemes 

(200) TF^fJ+T-'-i-Ercp^+I^J^. 

Äußere elektromotorische Kräfte sollen nicht wirksam sein, 
dann muß die Joulesche War meent Wickelung der Energieabnahme ^ 
des Systemes gleich sein: 

Da nun der Strom der einen Kondensatorbelegung Elektrizität 
entzieht und der anderen die gleiche Menge zuführt, so*hat man 

(200a) J = _|l = _z4|; 

dabei ist Leitungsstrom und Potentialgefälle längs des Drahtes 
in demselben Sinne gerechnet.. 

Wir erhalten jetzt 
(200b) RJ^^-LM^ 

eine Gleichung, die wir auch aus Gleichung (197) des vorigen 
Paragraphen gewonnen hätten, wenn wir dort für E die Poten- 
tialdifferenz der Kondensatorbelegungen setzten. 

Aus (200 a, b) folgt 
(200c) ^ + EZ^ + 4^^> = 0. 

Diese Differentialgleichung bestimmt den zeitlichen Verlauf 
der Potentialdifferenz der Kondensatorplatten. 
Nach (200 a) ist dieselbe Differentialgleichung 

(200d) j-+jj^if+4^|y=0 

für den zeitlichen Verlauf des Stromes maßgebend. 



§ 67 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 261 

Die Gleichungen sind beide von der Form 

(201)- /'-f 2dyXi/2 + ^% = 0, 

wenn abkürzungsweise gesetzt wird 

(201a) 8-\-^~ °°'' ^'=Ä-4^'- (201 b) 
Das vollständige Integral der Differentialgleichung (201) ist 
(201c) ^ = qe*x*-f.C26*»% 

worin c^, c^ Integrationskonstanten, \ und h^ aber die Wurzeln 
der quadratischen Gleichung 

(201 d) Ä;2 -f 2dÄ; + z/2 + d2 = sind. 

Wir erhalten zwei wesentlich verschiedene Arten der Entla- 
dung des Kondensators, je nachdem v^ negativ oder positiv ist. 

Ist ^>Wi> ^'<^^ 

80 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung (201 d) 
(201e) ]c^ = — d-\-vi, k^ = — d — vi reeU. 

Die Lösung (201c) ergibt in diesem Falle eine aperiodische 
Entladung. Je mehr wir aber den Widerstand B verkleinem, 
oder L vergrößern und K verkleinern, desto mehr nähern wir uns 
dem Falle, wo 9-, /T 

^<Wi' ^'><^ '«*• 

In diesem Falle findet eine oszillatorische Entla- 
dung statt. Durch Umformung der Lösung (201c) und indem 
wir die Integrationskonstanten durch andere ersetzen, erhalten wir 
201 f) y==ae-^*^\n{vt^a). 

Hier kann y sowohl Strom J wie Potentialdifferenz 9? bedeuten. 
Die Integrationskonstanten a und cc sind aus den Anfangsbedin- 
gungen zu bestimmen. 

Das hier behandelte Problem geht übrigens in das im vorigen 
Paragraphen behandelte über, wenn man K=^ 00 setzt. Dann wird 

P = dij daher 



m 



262 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

Die Gleichung (201 c) ergibt dann 

einen Ausdruck, der das vollständige Integral der Differential- 
gleichung (197 a) des geschlossenen Kreisstromes darstellt, für 
den FaU, daß die eingeprägte Kraft E gleich NuU ist. Ein Strom- 
kreis, in den ein Kondensator von unendlich großer Kapazität 
eingeschaltet ist, verhält sich demnach wie ein geschlossener 
Stromkreis. 

Ein anderer GrenzfaU wird erhalten, wenn der Widerstand 
J^ = gesetzt wird. Dann wird Ö = 0, mithin geht (201 f ) über in 
(201g) y = asin (vt + a) . 

Die Schwingung ist dann eine rein periodische. Die Schwingungs- 
frequenz V (Schwingungszahl in 2ä Sekunden) wird in diesem 
FaUe nach (201b) 
(201h) . = -^. 

Bezeichnet t die Dauer einer ganzen Schwingung, so ist 

(201i) r==^^ = ^l/X5. 

Die theoretische Möglichkeit oszillatorischer Flaschenent- 
ladungen wurde zuerst von W. Thomson erkannt. Nach ihm 
wird die Formel (201 i) für die Schwingungsdauer die „Thom- 
sonsche Formel" genannt. Daß die rechte Seite in der Tat die 
Dimension einer Zeit hat, davon überzeugt man sich an der 
Hand der Dimensionstafel des § 61. Die Wellenlänge der elek- 11 
trischen WeUen von der Schwingungsdauer r im Äther wird ge- 
geben durch 
(201k) l = ct==2:tyLK. 

Kommt der Leitungs wider stand R in Betracht, so ist die Ent- 
ladung nicht mehr streng periodisch, sondern sie erfährt eine 
Dämpfung, die sich in (201 f ) durch den Exponentialfaktor kund- 
gibt; dabei wird die elektromagnetische Energie des Kreises 
allmählich in Joulesche Wärme verwandelt. Für die Schwin- 
gungsfrequenz gilt jetzt die Formel (201k) nicht mehr genau, 



§ 67 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 263 

sondern sie ist durch die genauere Formel (201b) zu ersetzen. 
Auch die Thomsonsche Formel ist entsprechend zu berichtigen, 
doch kommt die Abweichung nicht in Betracht, falls R^ klein 

gegen ^^. ist. 

Wir woUen die Formeln auf ein Beispiel anwenden, wobei 
wir ims des Gaußschen Maßsystemes (§ 61) bedienen. Die Kapa- 
zität K können wir für einen Kugelkondensator nach Gleichung 
(126) berechnen. Hat man z. B. 

f = 5^ a = 10cm, 6= 10,2 cm j so folgt 

^=2550 cm. 
Wir denken uns eine Leydener Flasche von dieser Kapazität 
durch einen einfachen Schließungsbogen entladen; es mag etwa 

L == 10^ cm 
sein. Der Widerstand sei gleich 1 Ohm, daher in absolutem 

elektrostatischen Maße i? = — 10" -^-^ . 

Diese Zahl ist hier für II zu setzen, da das Gaußsche System 
den Widerstand elektrostatisch mißt. Demgemäß wird 

^ 81 ^^ ^ c'-K 9. 10". 2650 9 ^^ ^*^^^- 

Der Quotient jß^ : ^^:^ 

ist demnach etwa gleich 10""^. 

Der Widerstand beeinflußt also die Frequenz der Schwin- 
gungen nur sehr wenig, und man darf mit der Thomsonschen 
Formel rechnen. Dieselbe ergibt gemäß (20 li, k) 

l = 2:t y22b0 . 10' = 10« cm und 

r = g • 10-* sec. ■ 

Die Dämpfungskonstante d endlich wird nach (201a) 

d = 50, 
d. h. der Exponentialfaktor in (201 f), der die Dämpfung der 
Schwingungen ausdrückt, nimmt unter den angenommenen Ver- 
hältnissen erst nach 0,02 Sekunden den Wert 



264 Dritter Abschnitt. Daß elektromagnetische Feld § 67 



2,718 
an. Während dieser Zeit erfolgen aber 600 Schwingungen, so 
daß in der Tat für eine kleine Anzahl aufeinanderfolgender 
Schwingungen die Abnahme der Amplitude kaum merklich ist. 
Der durch (201g) dargestellte FaU der ungedämpften Schwin- 
gung hat daher als Grenzfall, der sich oft in großer Annäherung • 
mit dem wahren Vorgange deckt, eine nicht zu unterschätzende 
Bedeutung. 

Wir woUen diesen Grenzfall noch etwas eingehender erörtern. 
Setzen wir 

(202) J=a8ia(yt), 

so folgt, aus Gleichung (200b), die hier in 

^ ^ '^^dt ^bß^g^H fP = ^(^'^ cos {vt)y 
oder ^ach (:^01h) 

(202 a) (p = -^y^eos(vt). 

. Diese Form der Lösung ist bereits den Anfangsbedingungen 
angepaßt, die man zu stellen hat, falls die Belegungen des ge- 
ladenen Kondensators zur Zeit t = in leitende Verbindung 
gebracht werden; diese plötzliche Herstellung der leitenden Ver- 
bindung wird in der Tat durch den elektrischen Funken ver- 
wirklicht. Zur Zeit ^ = fließt noch kein Strom. Demgemäß 
ist die magnetische Energie NuH-; es ist die Energie nur in elek- 
trischer Form vorhanden. Sie beträgt 

202b) W=U=lK,p'^l^. 

Nun beginnt der Strom zu fließen: die elektrische Energie 
wird im Verlaufe einer Viertelschwingung in magnetische Energie 
verwandelt; zu dieser Zeit ist 
(202 c) ?7=0, TT^J^^"^. 

Im Verlaufe der nächsten Viertelschwingung kehrt die Energie 
wieder zwischen die Kondensatorplatten zurück, und dann beginnt 
das Spiel von neuem, indem die Energie bald vom Kondensator 



§ 67 Zweites Kapitel. Elektrodynamik quasistationärer Ströme 265 

in das den Leitungsdraht umgebende Magnetfeld, bald wieder 
zurückströmt; dabei ist im Mittel die magnetische Energie der 
elektrischen gleich. 

Die anfängliche Potentialdifferenz cp^ hängt von der Schlag- 
weite der Funkenstrecke ab; die Stromamplitüde a bestimmt sich 
hieraus; es ist nach (202a) 

^o=y]/~, daher 



(202 d) a^cp^cY 



Die Stromamplitüde ist daher um so größer, je größer die 
Kapazität des Kondensators und je kleiner die Selbstinduktion 
des Schließungsbogens ist. 

Die Wellenlänge des vorhin durchgerechneten Zahlenbeispiels 
betrug 10 Kilometer; dies entspricht der Größenordnung nach 
den von Feddersen beobachteten Schwingungen. Hier ist die 
Annahme quasistationärer Strömung durchaus zulässig. Denn die 
Dimensionen des Flaschenkreises sind klein gegen die Wellen- 
länge; für die Berechnung der Selbstinduktion einerseits kommt 
die kurze, vom Verschiebungsstrom eingenommene Strecke des 
Kreises nicht in Betracht, und andererseits ist die Kapazität des 
Leitungsdrahtes sehr gering gegen die Flaschenkapazität. Dem- 
gemäß ist die obige mit den Begriffen der Potentialtheorie ope- 
rierende Betrachtung hier angemessen. Wir konnten das Problem 
so behandeln, als ob das elektrische Feld augenblicklich der La- 
dung der Kondensatorbelegungen, das magnetische dem im Schlie- 
ßungskreise zirkulierenden Strome entspräche. Daher reichen 
diejenigen mathematischen Methoden aus, welche zunächst nur 
für die Elektrostatik bzw. die stationäre elektrische Strömung- 
entwickelt worden sind. Gerade dasjenige, was die Maxwellsche 
Theorie von der Fernwirkungstheorie unterscheidet, kommt bei 
diesen Schwingungen noch nicht zur Geltung. Für die experi- 
mentelle Prüfung der MaxweUschen Theorie war daher die Er- 
zeugung schnellerer elektrischer Schwingungen notwendig. 

Es war Heinrich Hertz, der zuerst lehrte, elektrische Wellen 
von wesentlich kürzerer, im Laboratorium meßbarer Wellenlänge 



266 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

zu erregen und zu beobacliten, und der so die Grundlage für 
experimentelle Prüfung der Maxwellschen Theorie schuf. Aus 
der Thomsonschen Formel folgt, daß man theoretisch die Wellen- 
länge verkleinern kann, indem man Kapazität des Kondensators 
und Selbstinduktion des Schließungsbogens möglichst klein wählt. 
Man wird also den Abstand der Kondensatorplatten möglichst 
vergrößern und, an Stelle eines mehrfach gewundenen, einen 
möglichst gestreckten Draht setzen. Tut man dies, so gelangt 
man schließlich ;zu derjenigen Erregerform, die von Hertz bei 
seinen ersten Versuchen verwandt wurde. Der Hertzsche Erreger 
besteht aus zwei Kugeln, die durch einen geradlinigen, in der 
Mitte durch die Funkenstrecke unterbrochenen Draht verbunden 
sind. Die Wellenlänge der von diesem Erreger entsandten Wellen 
betrug nur wenige Meter. Es ist sehr bemerkenswert und war 
theoretisch nicht vorauszusehen, daß der elektrische Funke die 
Eigenschaft besitzt, in einer gegen die Schwinguugsdauer dieser 
schnellen Schwingungen kurzen Zeit den die Funkenbahn aus- 
füllenden Isolator leitend zu machen und seinen Widerstand so zu 
erniedrigen, daß wirklich oszillatorische, nicht aperiodische Ent- 
ladungen eintreten. 

Bei diesenHertzschenSchwingungen ist es nun nicht 
mehr gestattet, denStrom als quasistationär anzusehen. 
In der Tat, der Leitungsstrom ist hier auch nicht näherungsweise 
geschlossen, der Verschiebungsstrom, der die eine Kugeides Erre- 
gers mit der anderen durch denisolator hindurch verbindet, kommt 
hier wesentlich in Betracht. Auch ist die Länge der offenen Bahn 
des Leitungsstromes hier durchaus nicht mehr klein gegen die 
Wellenlänge, sondern nur ein wenig kleiner als eine halbe Wellen- 
länge. Man muß daher die zeitliche Ausbreitung des Feldes berück- 
sichtigen, d. h. die Differentialgleichungen des Feldes integrieren, 
wenn man die hier stattfindenden Schwingungsvorgänge mathe- 
matisch behandeln will. Das wird insbesondere dann notwendig, 
wenn man zu noch kürzeren WeUen übergeht. Hertz selbst ge- 
langte in seinen Hohlspiegelversuchen zu einer Wellenlänge von 
60 cm herab, spätere Experimentatoren haben elektrische Wellen 
von nur wenigen Millimetern Wellenlänge beobachtet. 



g 68 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 267 

Bei der praktischen Verwendung der schnellen Schwingungen 
in der drahtlosen Telegraphie hat man es mit Wellen von 100 
bis 15000 Metern Wellenlänge zu tun. Die Sendedrähte oder An- 
tennen, die man dabei verwendet, sind ihrerseits oft von der- 
selben Größenordnung wie die Wellenlänge; auch hier darf man 
demnach nicht ohne weiteres die Annahme quasistationärer Strö- 
mung zugrunde legen. 

Diese Annahme erweist sich insbesondere insofern als unzu- 
reichend, als sie die vom Erreger ausgesandten WeUen nicht 
«nthält. Diese Wellen führen Energie mit sich, und je weiter 
bei dem Fortgange der Schwingungen die Wellenzüge sich im 
Räume ausbreiten, desto mehr muß der Energieinhalt des Wellen- 
erregers aufgezehrt werden. Auf diese Energiestrahlung nimmt 
die Theorie der quasistationären Strömung keine Rücksicht. Sie 
fahrt die Dämpfung ausschließlich auf die Joulesche Wärme zu- 
rück, während in Wirklichkeit auch bei verschwindendem Wider- 
stände die Erregerschwingungen eine Dämpfung durch Strah- 
lung erfahren. Auch sind es gerade die von dem Sendedrahte 
ausgesandten Wellen, die in der drahtlosen Telegraphie wirksam 
werden. (Vgl. § 79, 80.) 



Drittes Kapitel. 

Elektromagnetisdie Wellen. 

§ 68. Ebene Wellen in einem isotropen, homogenen 
Dielektrikum. 

Wir gehen in diesem Kapitel zur Behandlung solcher elektro- 
magnetischer Felder über, die zeitlich und räumlich rasch wech- 
seln, insbesondere der elektromagnetischen Wellen. Bei diesen 
wird die Annahme quasistationären Stromes unzulässig. Man 
hat der mathematischen Theorie der elektrischen Wellen die 
Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes für ruhende 
Körper (§ 60) zugrunde zu legen. 

Wir betrachten zunächst ein homogenes, isotropes Dielektri- 



268 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 68 

kum; ein solches ist von eingeprägten Kräften frei. Die Feld- 
gleicliungen (180) ergeben hier 

(203a) J-^ = curl#, _MJ = curie. (203b) 

Da fi konstant ist und wahrer Magnetismus nicht vorhanden 
ist, so wird 
(203c) div§ = 0. 

Dazu kommt, wenn wir wahre Ladungen im Innern des Iso- 
lators ausschließen, 
(203 d) div(i = 0. 

Durch dieses Gleichungssystem bestimmt sich die Fortpflan- 
zung elektromagnetischer WeUen in dem Dielektrikum. 

Wir können aus dem Gleichungssystem leicht einen der bei- 
den Vektoren @ oder § fortschaffen. Man eliminiert @, indem 
man von der ersten Gleichung den Curl nimmt, die zweite nach 
t ableitet und, mit dem Faktor s/c multipliziert, zur ersten addiert. 

Dann folgt y ^^ = curl curl § . 

Nach der Rechnungsregel (95) geht diese Gleichung mit' 
Rücksicht auf (203 c) über in 

(203e) ^?P = VȤ. 

Andererseits kann man auch^ eliminieren, indem man (203 a) 
mit ii/c multipliziert und nach t ableitet, hierauf von (203 b) den 
Curl nimmt und diese Gleichung sodann von der ersten abzieht. 
Man erhält dann 

(203f) lel'l^.v^g. 

Die beiden Vektoren d und § erfüllen demnach dieselbe 
Differentialgleichung. Für zeitlich nicht wechselnde Felder geht 
diese in die Laplacesche Differentialgleichung über. 

Wir suchen jetzt partikuläre Lösungen der Feldgleichungen, 
die ebenen, homogenen Wellenzügen entsprechen. Man bezeichnet 
einen Wellenzug als homogen, wenn man im Felde eine Schar 
paralleler Ebenen so legen kann, daß die elektrische und die 



c dt 


c dt ~ ^ 


s d(&y d^. 
c dt dx ' 


il d^y _ d(&. 

c dt dx 


c dt ^ dx ' 


c dt ^ dx 


dx ^' 


dx 



§ 68 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 269 

magnetisclie Feldstärke längs einer jeden dieser Ebenen sich 
nach Betrag und Richtung nicht verändern; jene Ebenen nennt 
man die Wellenebenen, ihre Normalenrichtung die Wellennor- 
male. Wir wollen die o; -Achse in die Wellennormale legen, so 
daß die Wellenebenen der (?/ <2r)-Ebene parallel werden. Da längs 
der Wellenebenen @ und g konstant sein sollen, so fallen die 
partiellen Ableitungen nach y und s; fort, und es lauten die Feld- 
gleichungen: 



(204a) 



(204 b) 

Aus (204b) folgt, daß die longitudinalen , d. h. die parallel 
der Wellennormale genommenen Komponenten der Vektoren 
^, § längs der Wellennormale sich nicht ändern. Die ersten 
beiden der Gleichungen (204 a) aber besagen, daß diese Kom- 
ponenten @^, §^ auch von der Zeit nicht abhängen. Wir kennen 
also diese Größen für alle Zeiten und für alle Werte von x, 
wenn wir ihren Wert für irgendeine Zeit und für irgendeine 
ParaUelebene zur («/ <2r)-Ebene angeben. Wir wollen nun voraus- 
setzen, daß zu Beginn des Vorganges es eine Parallelebene zur 
(j/^)-Ebene gibt, die von den Wellen noch nicht erreicht ist. 
Hier wird sein 

(204c) 6,-0, §, = 0. 

Dann verschwinden die longitudinalen Komponenten der Feld- 
stärken im ganzen Räume und zu jeder Zeit. 

Würden wir @^, §^ nicht gleich Null, sondern konstant an- 
nehmen, so würde ein konstantes elektrisches bzw. magnetisches 
Feld parallel der ic- Achse sich dem Felde der Wellen überlagern; 
konstante Felder parallel der «/-Achse oder der ;^- Achse können 
wir ebenfalls einer Lösung der Gleichungen (204 a) stets hinzu- 
fügen, da diese linearen Differentialgleichungen durch Einsetzen 



270 



Dritter Absclinitt. Das elektromagnetische Feld 



§68 



konstanter Werte von @y, @^ bzw. §^y §, erfüllt werden. Die 
Wellenfortpflanzung würde durch Hinzufügung eines" solchen 
Feldes nicht geändert werden. Daher haben solche Felder hier 
kein Interesse. Sie rühren von elektrischen Ladungen oder Strö- 
men her, die ihren Sitz außerhalb des betrachteten Feldes haben 
und die Wellen in dem hier betrachteten Falle nicht beeinflussen. 
Wir bemerken, daß die vier letzten, noch zu erfüllenden 
Gleichungen (204a) die Komponenten ^^, g^ einerseits und %^, 
§^ andererseits miteinander verknüpfen. Wir können daher diese 
Paare von Komponenten getrennt behandeln. Die Gleichungen 

(204d) '^ ^^- = - ^-^ , - i'- ^ = + ^/^ 

^ ^ c dt dx ^ c dt dx 

ergeben* nach Elimination von ^^ bzw. §^ 



(204 e) 



(204 f) 



dx^ ' c^ dt^ dx^ 

Gleichungen, die aus (203 e, f) direkt folgen, wenn man, der An- 
nahme homogener ebener Wellen entsprechend, die Ableitungen 
nach y und z streicht. Diese partiellen Differentialgleichungen 
sind aus der Theorie der schwingenden Saite bekannt. Die all- 
gemeine Lösung von (204 e) schreiben wir in der Form 



(205) %y= f{x—wt) + g{x-^ivt), wobei w = 
gesetzt wird. 



l/e^ 



(205 a) 



Die Gleichungen (204 d) werden dann erfüllt durch 



(205 b) 



^-yi{f(.^-^t)-9{^^^*))- 



Die willkürlichen Funktionen 

f{x — wt) und 9{x-\- tv t) 
stellen Wellen dar, die sich in Richtung der positiven bzw. der 
negativen a;- Achse fortpflanzen. 

Wir beschränken uns weiterhin auf die Besprechung derjenigen 
Partikulärlösung, welche durch die Funktion 

f{x — wt) 

gegeben ist. Die Form der Funktion /" ist durch die Wellenkurve 
zur Zeit ^ = bestimmt; diese Wellenkurve pflanzt sich unver- 



§ 68 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 271 

zerrt mit der Geschwindigkeit iv fort. Die Geschwindigkeit einer 
ebenen elektromagnetischen Welle in einem isotropen Isolator 
hängt also nicht von der Wellenform und Wellenlänge ah. Im 
leeren Räume, wo das Gaußsche Maßsystem 

£ = 1 und ii' = X 

setzt, wird nach (205 a) die Geschwindigkeit durch die universelle 
Konstante c gegeben, welche durch Vergleichung der elektro- 
statischen und der elektromagnetischen Einheiten gleich 

c = 3 . 10^0 — 
sec 

gefanden ist. (Vgl. § 61.) Diese Zahl stimmt nun mit der Ge- 
schwindigkeit des Lichtes im leeren Räume überein. Wir sehen 
also: im leeren Räume ist die Geschwindigkeit ebener 
elektromagnetischer Wellen der Lichtgeschwindigkeit 
c gleich. 

Nicht nur die Geschwindigkeit ist den Lichtwellen und den 
elektromagnetischen Wellen gemeinsam. Die elektromagne- 
tischen Wellen sind wie die Lichtwellen transversal. 
In der Tat fanden wir, daß weder @ noch § eine periodisch 
wechselnde longitudinale Komponente besitzen kann. Beide Vek- 
toren stehen senkrecht auf der Wellennormalen. Im leeren Räume 
zeigen demnach die elektromagnetischen Wellen und die Licht- 
weUen ein ganz entsprechendes Verhalten, wenn auch ihre 
Wellenlängen sehr verschieden sind. 

Diese Folgerungen aus seinen Feldgleichungen waren es, die 
Maxwell zur Aufstellung der elektromagnetischen Licht- 
theorie führten. Die elektromagnetische Lichttheorie betrachtet 
die Lichtstrahlen und die Wärmestrahlen als elektromagnetische 
Wellen. Sie ist der alten mechanischen Theorie des Lichtes da- 
durch überlegen, daß sie den Wert der Fortpflanzungsgeschwin- 
digkeit aus rein elektrischen Messungen zu berechnen gestattet, 
und dadurch, daß sie von vornherein nur transversale ebene 
Lichtwellen zuläßt. Die alte Theorie, welche das Licht als WeUen- 
•^jewegung eines elastischen Mediums betrachtete, konnte nur 
ohwer das Fehlen longitudinalen Lichtes erklären. Die elek- 



272 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§68 



tromagnetische Lichttlieorie schließt longitudinalesj 
Licht von vornherein aus. 

In dielektrischen Körpern, deren Dielektrizitätskonstante bzw.] 
magnetische Permeabilität von 1 verschieden ist, ist die Geschwin- 
digkeit elektromagnetischer Wellen durch (205a) gegeben. Der! 
Brechungsindex eines Dielektrikums ist demnach allgemein gleich j 

(205 c) n = ^. = VftT. 



Für den Fall insbesondere, wo ft = 1 ist, folgt die sogenannte] 
„Maxwellsche Beziehung" 
(205 d) n^ = £. 

Für Isolatoren, die weder paramagnetisch noch dia 
magnetisch sind, muß nach der elektromagnetischen] 
Lichttheorie die Dielektrizitätskonstante gleich demj 
"Quadrate des optischen Brechungsindex sein. Die expe-j 
rimenteUe Prüfung dieser Folgerung gestattet es, im Sinne der] 
elektromagnetischen Lichttheorie zu beurteilen, ob die Feld- 
gleichungen das dielektrische Verhalten der Körper diesen sei 
schnellen elektrischen Schwingungen gegenüber richtig beschrei- 
ben. Es entstanden ja, wie im § 60 dargelegt wurde, die Feld- 
gleichungen für Isolatoren dadurch aus den allgemeinen Haupt- 
gleichungen des § 59, daß die Beziehung 

von elektrostatischen auf beliebig rasch wechselnde Felder über- 
tragen wurde. Die Gültigkeit der Maxwellschen Beziehung 
(205 d) ist ein Prüfstein für die Richtigkeit dieser Annahme. 

Für Gase, z. B. Wasserstoff, Kohlenoxyd, Luft, hat L. Boltz- 
mann die Dielektrizitätskonstante s gemessen und sie in guter 
Übereinstimmung mit dem Quadrate des optischen Brechungs- 
index gefunden. Andere Körper wiederum, wie z. B. das Wasser, 
gehorchen nicht der Maxwellschen Beziehung, indem die Dielek- 
trizitätskonstante sich als weit gi-ößer ergibt als das Quadrat des 
optischen Brechungsindex. Diese Körper zeigen indessen bereits 
im Gebiete der Hertzschen Wellen Dispersion, d. h. Abhängig- 
keit der Geschwindigkeit von der Wellenlänge-. Es kann daher 



1 



§ 68 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 273 

nicht wundernehmen, daß in solchen Körpern die Lichtwellen 
eine ganz andere Geschwindigkeit besitzen, als sich aus der elek- 
trostatisch gemessenen Dielektrizitätskonstante ergibt. Dieser 
Umstand widerspricht nicht den Grundvorstellungen der elek- 
tromagnetischen Lichttheorie, da ja bereits für rein elektrische 
Wellen in solchen Körpern die Geschwindigkeit nicht durchweg 
der Maxwellschen Beziehung genügt. Man wird, um diese Ab- 
weichung von der Maxwellschen Beziehung zu erklären, das 
optische Verhalten dieser Isolatoren auf Grund der allgemeinen 
Hauptgleichungen behandeln, aber die Beziehung zwischen elek- 
trischer Feldstärke (B und elektrischer Verschiebung ^ erweitern ; 
das geschieht in der Tat in den elektromagnetischen Theorien 
der Dispersion. 

Indem wir aus dem Gleichungssjstem (204a) diejenigen Glei- 
chungen herausgriffen, welche G^^, §, miteinander verknüpfen, 
beschränkten wir die Betrachtung auf eine geradlinig polarisierte 
elektromagnetische Welle. In einer solchen folgen sich elektri- 
scher Vektor, magnetischer Vektor und Kichtung der Wellen- 
fortpflanzung wie y-j 0-, a;- Achse eines rechtshändigen Achsen- 
systems, d.h. wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten 
Hand. In der Tat kehrt sich dieser Regel gemäß die Richtung 
von § um, wenn die FortpÜanzungsrichtung umgekehrt, aber 
die Richtung von @ beibehalten wird; daher das negative Vor- 
zeichen, mit dem ^^^ ^ ^^^ 

in Gleichung (205 b) versehen ist. Die Gleichungen des Systems 
(204a), welche ß^, §y miteinander verknüpfen, gehen aus den 
für @j^, §^ geltenden hervor, indem ^^ durch ^^, §^ durch — ^^ 
ersetzt wird. Dieser Substitution entspricht eine Drehung um 
einen Rechten um die Wellennormale als Achse. Die Integration 
ergibt hier Wellen, die senkrecht zu den bisher behandelten po- 
larisiert sind, die aber im übrigen dieselben Eigenschaften auf- 
weisen wie jene. 

Ob die Polarisationsebene eines geradlinig polarisierten Strah- 
les durch den Vektor @ oder durch ^ bestimmt wird, läßt sich 
auf Grund der bisherigen Entwicklungen nicht angeben. Doch 

Atraham, Theorie der lOlektrizität. I. 5. Aufl. 18 



274 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§^ 



ergibt die Ausdehnung der elektromagnetischen Theorie auf Krii 
stalle, daß man zu den Gesetzen der Kristalloptik gelangt, wenj 
man die optische Anisotropie auf die dielektrische zurückfühi 
und die Polarisationsebene durch § und die Wellennormale legt 
Auch die Gesetze der Reflexion des Lichtes an der Oberfläch( 
durchsichtiger Körper, auf die wir hier nicht eingehen woUei 
ergeben sich aus der elektromagnetischen Theorie in Überein-« 
Stimmung mit den Formeln Fresnels, wenn man die Polarisations- 
ebene eines geradlinig polarisierten Strahles senkrecht zum Vek- 
tor % annin^mt. 

Wir woUen jetzt die Energie berechnen, welche eine ebeu( 
elektromagnetische Welle mit sich führt. Die in der Yolum-j 
einheit enthaltene Energie beträgt nach (180f) 

Da nun in einer parallel der ic- Achse fortschreitenden Welle, wi( 
sie durch den ersten Summanden in (205), (205 b) dargestellt win 
(205 e) e(^' = ^§' 

ist, so ist die Energie ebener Wellen in Isolatoren zur einei 
Hälfte elektrischer, zur anderen magnetischer Art. Während die 
Welle mit der durch (205 a) bestimmten Geschwindigkeit 
fortschreitet, tritt in der Sekunde durch den Quadratzentimetei 
einer zur Wellenebene parallelen Ebene die folgende Energie 
menge hindurch: 



(205 f) 



S = wrl^ = 



87t 



{s(&'+ii§' 



= Äl/i®^=4^«|-i§l 



Der so bestimmte Ausdruck S ist ein Maß der Energie- 
strömung oder der Strahlung. Wir wollen, an den aus dei 
Optik geläufigen Begriffen des Lichtstrahles uns anlehnend, S als 
Betrag eines Vektors deuten, dessen Richtung durch die Foi 
pflanzungsrichtung der ebenen Welle bestimmt ist. Da, wie wii 
wissen, die Fortpflanzungsrichtung mit der Richtung des äußerej 
Produktes der beiden aufeinander senkrechten Vektoren (B, 



69 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 275 

übereinstimmt, so liegt es nahe, für den „Strahlvektor" zu 
setzen 

(205 g) ^ = ^„[<^m- 

Dann wird die Strahlung nicht nur auf senkrecht zur Wellen- 
normale gestellte, sondern auch auf schief gestellte Flächen durch 
die zur Fläche senkrecht genommene Komponente von @ an- 
gegeben, da sie dem Kosinus des Winkels proportional ist, wel- 
chen die Wellennormale mit der Flächennormale einschließt. Der 
erhaltene Ausdruck des Energiestromes durch die Feldstärken 
ergab sich hier für ebene Wellen unmittelbar aus dem für die 
Energiedichte angenommenen Werte. Er ist, wie wir später (in 
§ 76) sehen werden, von allgemeiner Bedeutung. 

§ 60. Ebene Wellen in Halbleitern. 

Wenn der homogene isotrope Körper, in welchem sich die 
elektromagnetische Welle fortpflanzt, zugleich elektrisch leitet, 
so ist die Gleichung (203 a) durch Einführung des Leitungsstromes 
7A\ erweitern. Die allgemeinen Feldgleichungen (180) ergeben hier 

,06a) i^ + ^J'.g-curl^, 

,06b) _A2^_ = eurie, 

imd aus dem Verschwinden des wahren Magnetismus folgt 
^206 c) div§ = 0. 

Die Gleichung (203 d), welche das Verschwinden der freien 
Elektrizität im Innern des homogenen Mediums ausspricht, bleibt 
auch für die Wellen im Innern des homogenen Leiters gültig. 
Cm dieses einzusehen, bilden wir die Divergenz von (206a). Wir 

erhalten dann -^ . , div 65 + ' '^^ div ^ = . 

cot c 

Aus dieser Gleichung haben wir bereits im § 47 geschlossen, 
daß die räumliche Dichte der freien Elektrizität an jedem Punkte 
des Feldes nach dem Gesetze 



18* 



0'= div ® = o'e '\ # , 



276 



dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



abnimmt (vgl. 158, 158 a), wo d' die sogenannte Relaxiationszei 
ist. Das Abklingen einer durcb Qq gegebenen Anfangsverteilunf 
freier Elektrizität ist also ganz unabhängig von den elektrc 
magnetischen Störungen, die von außen her in das Innere d( 
homogenen Leiters eindringen. Nehmen wir z. B. an, daß zi 
Zeit if = das Feld im Innern des Leiters NuU war, so ist auc| 
Qq = und daher (>', die Dichte der freien Elektrizität, dauem( 
gleich NuU. Aus der so gewonnenen Gleichung 
(206 d) divQ^ = 

und aus (206c) schließen wir nun, ganz ebenso wie im vorigei 
Paragraphen, daß nur transversale ebene elektromagnetisch^ 
WeUen im Innern des homogenen Leiters sich fortpflanzen köi 
nen. Auch läßt sich die Elimination von (S bzw. § in gai 
entsprechender Weise ausführen wie dort. Sie ergibt für dies 
beiden Vektoren die Differentialgleichungen 



(206 e) 
(206f) 



'i Q*2 i- ^2 7i* ~ ^ V > 



dt' 



dt 



dt 



v^®, 



die jetzt an die Stelle von (203 e, f) treten. 

Wir untersuchen wieder ebene homogene Wellen; wir legei 
die rc-Achse in die Fortpflanzungsrichtung und zerlegen die ij 
die WeUenebenen fallenden Vektoren ^, § in ihre Komponente! 
Wir betrachten auch hier nur die Komponenten Gr^, §,, die, O] 
tisch gesprochen, einer geradlinig und zwar parallel der -er-Achsi 
polarisierten Welle angehören. Für ^^ gilt sodann die partiellj 
Differentialgleichung 



(206g) 






c^ dV- 



dt 



d'^y 
dx^ ' 



die man als „Telegraphengleichung'* bezeichnet. Derselbe! 
Differentialgleichung hat auch §^ zu genügen. 

Wir wollen uns etwa den Leiter durch die (ä^^) -Ebene b< 
grenzt denken und ebene Wellen senkrecht auf diese Ebene fallem 
annehmen. Für x = nehmen wir einen periodischen Schwii 
gungszustand als gegeben an, von der Frequenz v. Dieser Ai 



§ 69 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 277 

nähme entspricht der reelle Teil des komplexen Ausdruckes ae'"', 
durch den wir die elektrische Feldstärke ^^, in der (^;2f)- Ebene 
darstellen wollen. Wir suchen nun dei^ifferentialgleichung (206 g) 
durch den Ansatz v^ . 

[201) (B^^ae^^ «/ 

zu genügen. Der reelle Teil des Ausdruckes gibt eine physika- 
lisch zulässige Lösung der linearen Differentialgleichung. 

Damit der komplexe Ausdruck (207) die vorgelegte Diffe- 
rentialgleichung erfüllt, ist die komplexe Konstante p^ folgender- 
maßen zu bestimmen: 

(207 a) p^==^sa-i^^. 

Wir wählen für p diejenige Wurzel, deren reeller Teil positiv ist, ^ 
und zerlegen diese in den reellen und imaginären Bestandteil 
(207b) p^n — i%. 

Die physikalische Bedeutung der reellen Grrößen n, a erkennen 
wir, indem wir sie in (207) einführen; es wird 

XV X I nx\ 

(207 c) m=ae''^'e\~^l. 



Es ist, wie dieser Ausdruck zeigt, — die Geschwindigkeit, mit 

der die Wellenphasen im Leiter forteilen, daher n der Br echungs - 
index des Leiters. Da femer 

'KVX ^ItX 

_ ^ ^ „ _ 

ist, wenn X die Wellenlänge von Wellen der Frequenz v im Va- 
kuum bedeutet, so nimmt die Amplitude der Wellen im Leiter 
beim Fortschreiten um eine Wellenlänge im Verhältnis e'^^'* ab. 
Die so definierte Konstante k nennt man den „Extinktions- 
koeffizienten". 

Der Brechungsindex n und der Extinktionskoeffizient x 
hängen nun mit den elektromagnetischen Stoffkonstanten «, ^, <? 
und der Schwingungsdauer 

r = — 

V 



278 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

durch die aus (207 a^ b) folgenden Gleichungen zusammen: 
(207 d) n'-^y^^efi, 

(207 e) *wjc = ()^T. "^ 

Es folgt aus diesen beiden Gleichungen 



(207 f) 

(207g) 



n^ Ji- K^ = fiYs^ -\- 4:ö^r' , 
x2 = -^ { l/f'^'+lÄ V -s}. 



dabei 



Diese beiden Konstanten bestimmen die Geschwindigkeit und di^ 
räumliche Dämpfung der im Leiter sich fortpflanzenden elektr( 
magnetischen Wellen. 

Wir haben jetzt durch den für (B^ gemachten Ansatz (207 j 
die Differentialgleichung (206 g) erfüllt. Der entsprechenden, fü 
§^ geltenden Differentialgleichung werden wir durch einen äl 
liehen Ansatz 

(208) §^ = 6/'('-v) . 

genügen. Damit durch (207, 208) auch die Feldgleichunge^ 
(206a, b) erfüllt werden, müssen die Konstanten a, h in einei 
bestimmten Verhältnis stehen. Gleichung (206 b) ergibt 



c dt 



dx 



hieraus fol 



a — =- — (w — t;f) . 



(208 a) h 

Die Konstanten a und h stehen hiernach in einem komplexe^ 
Verhältnis. Um die physikalische Bedeutung dieses Ergebnisse 
zu erkennen, bilden wir die reellen Teile von (207, 208), nacl 
dem wir ^ _ | ^ | g. «^ J = | J | e».^ gesetzt habei 

Dann wird 



(208 b) 






27tnx , . 



inxx 



#. 



\h\e 



2nt 27tnx 



COS { 



+ ß . 



§ 69 Drittes Kapitel. Elejctromagnetische Wellen 279 

Es bestimmen also « und ß die Phasen der elektrischen und 
magnetischen Feldstärke in den Wellen. Für ebene Wellen in 
Isolatoren sind diese Phasen einander gleich; für ebene Wellen 
in dem Leiter aber folgt aus (208 a) 

(208 c) 1 e»(i^-«) = **-Il.*''. ^ setzen wir 

(208 d) . y = arc tg ( — ) , so erhalten wir 

(208e) \b\ = ^Yny+x'^ \a\ f"-"^^: und 

(208f) ß^ a~y. 

Es bleibt daher in Leitern die magnetische Feld- 
stärke der Wellen um den Winkel y der Phase nach hin- 
ter der elektrischen Feldstärke zurück. Für einen Isolator 
wird 7 = 0, und das Amplitüdenverhältnis der magnetischen und 

elektrischen Feldstärke wird gleich l/~ , entsprechend der Gleich- 
heit der elektrischöti und' magnetischen Energie der Wellen, die 
wir im vorigen Paragraphen feststellten. Gemäß (208 e) ändert 
das Hinzukommen der Leitfähigkeit ö das Verhältnis der Ampli- 
tuden und hebt die Gleichheit der beiden Energiebeträge auf. 

Wir haben die Beziehung (208 a) zwischen den komplexen 
Konstanten a und h aus der zweiten der Feldgleichungen abge- 
leitet. Die erste Feldgleichung würde nichts Neues ergeben; sie 
würde nur zu der Gleichung (207 a) für p^ zurückführen. 

Die Entwicklung Joulescher Wärme in Leitern bedingt die 
Extinktion der elektromagnetischen Wellen, die durch Gleichung 
(207g) angezeigt wird. Die elektromagnetische Licht- 
theorie behauptet also, daß die Isolatoren durchsichtig 
sind und daß nur leitende Körper dasLicht absorbieren. 
Diese Behauptung entspricht im großen und ganzen den Tat- 
sachen. Die besten Leiter, die Metalle, absorbieren das Licht am 
stärksten. Im einzelnen aber kommen, wie schon Maxwell selbst 
erkannt hat, Abweichungen vor. So sind die Eiektrolyte, obwohl 
leitend, oft durchsichtig. Diese Tatsache aber erklärt sich, wie 



280 Dritter Abschnitt. Das eiektromagnetische Feld § 61 

E. Cohn bemerkt hat, ganz ungezwungen auf Grund des Fara 
dayschen Gesetzes, wonacli in Elektrolyten der elektrische Stro: 
mit einer Massenbewegung verbunden ist. Auch in den Licht 
wellen wird gleichzeitig mit der Elektrizität die mit der Elek 
trizität verkoppelte Masse schwingen müssen. Die Trägheit de 
elektrochemischen Ionen ist aber im Verhältnis zu ihrer elek-' 
trischen Ladung so beträchtlich, daß sie ein merkliches Mitschwin 
gen in den hohen Frequenzen der, Licht weUen nicht gestattet; der 
Elektrolyt verhält sich dann wie ein Isolator. 

Die MaxweUsche Theorie berücksichtigt, indem sie aUgemeii 
i == (3 ^ setzt, die individuellen Eigenschaften der stromführenden 
Ionen oder Elektronen nicht. Sie nimmt an, daß die Leitfähig- 
keit eines Körpers für stationären Strom auch noch bei beliebig 
rasch wechselnden Strömen maßgebend ist. Ganz entsprechend, 
wie die Gültigkeit der MaxweUschen Beziehung £ = n^ für Licht- 
und Wärmestrahlen als Beweis für die Proportionalität von ^ 
und 2) in den betreffenden Isolatoren gelten konnte, so wird 
die Gültigkeit der soeben für leitende Körper gewonnenen Be- 
ziehungen in der Optik ein Prüfstein für die Richtigkeit der 
Annahme MaxweUs sein, daß Feldstärke @ und Dichte i des 
Leitungsstromes auch für die schnellsten elektrischen Schwin- 
gungen in demselben Verhältnis stehen wie für stationären Strom. 
Der Gleichung (207 g) zufolge müßte nun für Licht bestimmter 
Farbe die Absorption mit der Leitfähigkeit der Körper zuneh- 
men. Ordnet man die Körper nach ihrer Durchsichtigkeit, so 
müßte ihre Reihenfolge die gleiche sein, wie wenn man sie 
nach dem reziproken Werte des Leitvermögens ordnet. Diese 
Beziehung zwischen Durchsichtigkeit und Leitvermögen hat sich 
nun gerade bei den metallischen Leitern im sichtbaren Spektral- 
gebiet durchaus nicht bestätigt. 

Um so mehr überraschte es, als neuerdings E. Hagen und 
H. Rubens feststellten, daß im ultraroten Spektralgebiete die 
optischen Eigenschaften der Metalle durchaus den Forderungen 
der MaxweUschen Theorie Genüge leisten. Wir wollen jetzt die 
Theorie dieser Versuche entwickeln. 



§ 70 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 231^ 

§ 70. Das Reflexionsvermögen der Metalle, 

Es wurde bisher nur die Fortpflanzung elektromagnetischer 
Wellen in einem homogenen Körper betrachtet. In diesem Para- 
graphen wollen wir den Fall behandeln, daß die elektromagne- 
tischen Wellen auf die Oberfläche eines metallischen Leiters fallen. 
Wir haben neben den Differentialgleichungen, die im Innern der 
aneinander grenzenden Körper gelten, noch die Bedingungen an 
ihrer Trennungsfläche heranzuziehen. Wir hatten diese Grenz- 
bedingungen bisher nur für den Fall stationärer Felder in strom- 
losen Bereichen entwickelt (§ 56). Für ein beliebiges elektro- 
magnetisches Feld ergeben sich die Grenzbedingungen durch 
sinngemäße Anwendungen der Integralsätze, die uns zu den 
Feldgleichungen führten. Diese Integralsätze besagen, daß das 
Linienintegral der magnetischen Feldstärke längs einer Kurve 
dem elektrischen Strome durch die umschlossene Fläche, und daß 
das Linienintegral der elektrischen Feldstärke längs einer Kurve 
der zeitlichen Abnahme des umschlungenen magnetischen Induk- 
tionsflusses proportional ist. Durch Übergang zu Flächenelementen 
ergaben sich aus diesen Sätzen die beiden Hauptgleichungen der 
Elektrodynamik. Diese Differentialgesetze verknüpfen den Wirbel 
von § mit der Dichte des wahren elektrischen Stromes, den 
Wirbel von ^ mit der Dichte des magnetischen Stromes (§ 59). 

Die Anwendung der beiden Sätze auf die Trennungsfläche 
zweier Körper ergibt, daß die Dichten des elektrischen bzw. des 
magnetischen Flächenstromes dem Flächenwirbel der magne- 
tischen bzw. elektrischen Feldstärke proportional sind. Wenn 
wir zulassen, daß der elektrische Strom auf eine unendlich dünne 
Schicht an der Oberfläche eines Metalles sich zusammendrängt, 
so wird dieser Flächenstrom mit einem Flächenwirbel der magne- 
tischen Feldstärke verknüpft sein. Ein solcher flächenhafter 
Strom würde aber in der Oberflächen schiebt unendliche räum- 
liche Stromdichte besitzen. Da wir unendliche Werte der Feld- 
stärken von vornherein ausschließen, so ist unendliche räumliche 
Dichte des wahren elektrischen Stromes nur bei unendlichen 
Werten von a oder s, unendliche Raumdichte des wahren magne- 



282 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 70 

tischen Stromes nur bei unendlichen Werten von [i möglich. 
Wir werden im nächsten Paragraphen den idealen Grenzfall eines 
vollkommenen Leiters erörtern, der unendlicher Leitfähigkeit 6 
entspricht. In Wirklichkeit aber kommen jenen drei Stoffkon- 
stanten stets endliche Werte zu, es ist daher ein fläch enhafter 
elektrischer oder magnetischer Strom auszuschließen. Hieraus 
ergeben sich die Grenzbedingungen: Der Flächenwirbel der 
elektrischen sowie der magnetischen Feldstärke an 
der Trennungsfläche zweier Körper ist gleich Null. 
Das heißt (§ 22): die tangentiellen Komponenten von ^ 
und § durchsetzen stetig die Trennungsfläche zweier 
Körper. 

Auf Grund dieser Grenzbedingungen soll nun das Problem 
der Metallreflexion in Angriff genommen werden. Das Metall 
soll gegen den leeren Raum durch eine Ebene begrenzt sein, die 
wir als (2/;^)-Ebene wählen. Auf diese Ebene fällt eenkrecht ein J 
periodischer Zug ebener, geradlinig polarisierter Wellen U] 

(209) ^^=§^=Ve'T"^). "^ 

Dieser Ansatz ist in den für Wellen in Isolatoren abgeleiteten 
allgemeinen Ausdrücken (205), (205 b), enthalten, er genügt also 
den Feldgleichungen. Die a;-Achse weist nach dem Innern des 
Metalles hin. Für die reflektierte Welle machen wir den gleich 
falls mit (205), (205 b) verträglichen Ansatz 



(209 a) -«=§^=«' 



hv) 



Die reellen Teile dieser komplexen Ausdrücke soUen die ein- 
fallenden und die reflektierten Wellen darstellen. Ihre Ampli 
tüden werden durch die absoluten Beträge von a bzw. a" an- 
gegeben. Die in der einfallenden und der reflektierten Welle 
fortgepflanzten Strahlungen sind nach (205 f) den Quadraten 
ihrer Amplituden proportional. Der Quotient aus reflek- 
tierter und einfallender Strahlung 



(209 b) 



r = 



§ 70 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 283 

ist das gesuchte „Reflexionsvermögen" des Metalles 
für senkrechten Einfall. 

Um dieses zu ermitteln, haben wir die Wellen zu berücksich- 
tigen, die in das Innere des Metalles eindringen. Für die Feld- 
stärken dieser Wellen führen wir die im vorigen Paragraphen 
abgeleiteten Ausdrücke ein (207, 208, 208 a): 

(209 c) ^^==ae\'~^~\ 

(209 ä) §,= a^^^^^e"'(^~^). 

Diese Feldstärken der in das Metall eindringenden Wellen 
sind nun mit denjenigen der im leeren Räume fortgepflanzten 
durch die im Eingange dieses Paragraphen entwickelten Grenz- 
bedingungen verknüpft, welche Stetigkeit der tangentiellen Kom- 
ponenten an der Trennungsfläche fordern. Die Feldstärken an 
der einen Seite der Trennungsfläche x=0 erhält man, indem man 
diejenigen der einfallenden Welle (209) und der reflektierten ('209 a) 
addiert; die Feldstärken auf der anderen Seite der Trennungs- 
fläche werden durch (209 c, d) gegeben. 

Sollen jederzeit die Komponenten @^, §^ zu beiden Seiten 
der Trennungsfläche einander gleich sein, so müssen die kom- 
plexen Konstanten a, a', a" den Gleichungen genügen 

!/ // 
a — a = a j 
a -\- a = a . 

Dieselben ergeben 



(209 f) 

2 l f* 

daher wird das Reflexionsvermögen nach (209b) 



^ ^ f ^ . n — ix 
a = — a\-l-\- 



(210) r = i^i^--^^ 



2 (n — iiY + x« 



Brechungsindex n und Extinktionskoeffizient x des Körpers sind 
dabei für jede Frequenz v gemäß den Gleichungen (207 f, g) durch 



284 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetisclie Feld § 70 

die im Gaußschen Maße gemessenen Stoffkonstanten 8, 6, a zu 
bestimmen. Nacli der Maxwellsclien Theorie gilt (210) für jeden 
isotropen Körper, sowohl Isolator wie Halbleiter oder metalli- 
schen Leiter. 

Da indessen, wie erwähnt, in dem sichtbaren Spektralbereiche 
die von der Maxwellschen Theorie geforderten Beziehungen sich 
nicht bestätigt haben, so wollen wir der Erörterung dieses Aus- 
druckes den Fall zugrunde legen, auf den die Beobachtungen von 
E. Hagen und H. Rubens sich beziehen. Diese Forscher unter- 
suchten das Reflexionsvermögen von Metallspiegeln für langwellige 
ultrarote Strahlung von der Wellenlänge 

A = 1,2 X 10-^ cm. 

Die Schwingungsdauer r ist hier 

X 



c 



0,4 X 10-^3 Sekunde. 



Die Leitfähigkeit <? des Kupfers z. B. ist in absolutem elektro- 
statischem Maße ö == 5 14 X 10^' 

Es wird demnach 2(5r = 4,11 x 10^ 

In den Gleichungen (207 f, g) kommt nun die hypothetische 
Dielektrizitätskonstante des MetaUes vor. Nimmt man an, daß l| 
f < 4 ist, so ist für Kupfer der Quotient von e^ durch 4(?^t^ 
kleiner als 10~^. Es wird also für Kupfer, und auch für hun- 
dertmal schlechter leitende MetaUe hier £* zu streichen und 2<?r 
in (207 f, g) an SteUe der Wurzel zu setzen sein. Dann steht 
auf der rechten Seite 20t + s. Für Kupfer bedeutet hier das 
Streichen des e nur einen Fehler von 0,01 % für £ < 4, "lind auch 
für Stahl, der eine etwa zehnmal so kleine Leitfähigkeit besitzt, 
begehen wir nur einen geringen Fehler, wenn wir setzen 

(210a) n = oi== YJiöt . 

Beschränken wir uns ferner auf MetaUe, deren magnetische 
Permeabilität nicht merklich von-1 abweicht, so erhalten wir 
als Wert des Reflexionsvermögens (210) 



§ 70 Drittes Kapitel. Elektiomaguetische Wellen 285 

_ (V'ffr — l)^ + (7r _ 2 ör — Jj/tfr -f 1 
"" ly'at + l)^ -\-6r 2 6T-\-2 yär + 1 

oder, da folgerichtig 1 gegen 2^t zu vernaclilässigen ist, 
(210b) '• = 1-^- 

Diese Formel für das Reflexions vermögen der Me- 
talle gegenüber langen Wellen haben nun E. Hagen und 
H. Rubens durchweg bestätigt gefunden (nur das Wismut 
macht eine Ausnahme). So ergibt z. B. für Kupfer die theore- 
tische Formel 

1 - r = --.-.A^^- = 1,4 X 10-^ 

}/2,05 X 10* 

Der Versuch ergab 1,6 x 10~-. 

Für schlechter leitende Metalle ist das Reflexionsvermögen 
entsprechend kleiner. Es hat bei gegebener Wellenlänge immer 

das Produkt (l-r)]/(? 

für alle MetaUe den gleichen Wert; dabei bedeutet (1 —r) offen- 
bar den in das Metall eindringenden Bruchteil der Strahlung 
d. h. das Absorptionsvermögen des MetaUes. 

Geht man zu Wärme strahlen noch größerer Wellenlänge'über, 
so weicht das Reflexionsvermögen der Metalle noch weniger von 
1 ab, und der geringe Unterschied ist nur ungenau festzustellen. 
Daher haben die genannten Forscher es vorgezogen, für längere 
Wellen an Stelle des Reflexionsvermögens das Emissionsvermögen 
zu untersucheD. Nach dem Kirchhoffschen Gesetze ist bei ge- 
gebener Temperatur das Emissionsvermögen der Körper für 
Wärmestrahlen bestimmter Wellenlänge dem Absorptionsver- 
mögen proportional. Es muß demnach für alle Metalle bei 
derselben Temperatur das Produkt aus Emissionsver- 
mögen für strahlende Wärme bestimmter Wellenlänge 
und Wurzel aus der Leitfähigkeit den gleichen Wert 
haben. Auch dieses Gesetz haben die Versuche bestätigt; es 
ergab sich das Emissionsvermögen der Metalle gleich dem 



286 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§ 70 



Emissionsvermögen des schwarzen Körpers, multipliziert mit] 

übereinstimmend mit der Forderung der Theorie. 

Diese Versuche sind in mehrfacher Hinsicht lehrreich. Das] 
wichtigste Ergebnis ist: Bei den Metallen ist die von der 
Maxwellschen Theorie geforderte Beziehung i = ö@ 
selbst für die hohen Frequenzen der Wärmestrahlen 
noch gültig. Man kann das Reflexionsvermögen und Emissions- 
vermögen der Metalle aus ihrer elektrischen Leitfähigkeit be- 
stimmen und umgekehrt die Leitfähigkeit des Metalles aus denij 
Reflexionsvermögen oder Emissionsvermögen für ultrarote Strah- 
len berechnen. Dieses Ergebnis bildet neben der Gültigkeit der] 
Maxwellschen Beziehung für Gase die wichtigste Stütze der elek- 
tromagnetischen Lichttheorie. 

Wir gelangten zu der Formel (210b), indem wir e gegen 2<3^ 
vernachlässigten. Das war jedenfalls erlaubt, wenn 1 ^ £ ^ 
war. Die Gültigkeit jener Formel zeigt, daß die Dielektrizitäts- 
konstante hier nicht wesentlich in Betracht kommt; es ist dabei 
gleichgültig, welchen Wert man dieser Konstanten zuschreibt. 
M. Planck hat bei der Ableitung der Formel (210 b) die Dielek-j 
trizitätskonstante der Metalle gleich 1 gesetzt; E. Cohn hingegei 
hat befürwortet, den Wert dieser Konstanten zunächst unbe- 
stimmt zu lassen, indem er es als möglich betrachtet, daß zwischei 
den sichtbaren Strahlen und jenen laugwelligen Strahlen es eii 
Gebiet gibt, wo der Wert von s von Einfluß wird. Im sichtbarei 
Gebiete reicht, wie erwähnt, auch die Einführung zweier Kon- 
stanten 6 und s nicht zur Darstellung der Beobachtung an Me- 
tallen aus. Hier kommen offenbar die von der Maxwellschei 
Theorie nicht berücksichtigten Eigenschaften der stromführen- 
den Teilchen zur Geltung. Eine befriedigende Theorie der Metall- 
reflexion im sichtbaren und ultravioletten Gebiete steht noch aus. 

Was nun drittens die magnetische Permeabilität anbelangt^ 
so haben wir sie gleich 1 gesetzt, um zur Formel (210 b) zu ge- 
langen. Würde man ^ in den Formeln (210 \ (210 a) beibehalten,] 
so würde der Einfluß der Permeabilität zum Ausdruck gebracht 



§ 71 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 287 

werden. Nim gilt aber die Formel (210 b) auch für die ferro- 
magnetiscben Metalle Eisen und Nickel; hier ist also bei diesen 
hohen Frequenzen nicht mehr der für statische oder langsam 
wechselnde Felder gültige Wert von ^ einzuführen, sondern es 
ist ,u nicht merklich von 1 verschieden anzunehmen, d. h. S8 = § 
zu setzen. Das ist um so bemerkenswerter, als nach Versuchen 
von y. Bjerknes beim Eindringen Hertzscher Wellen in ferro- 
magnetische Metalle deren Permeabilität sich sehr wohl geltend 
macht. Es muß demnach im Intervalle zwischen den 
längeren Hertzschen Wellen und den Wärmestrahlen 
die Permeabilität der ferromagnetischen Metalle mit 
der Wellenlänge stark abnehmen. Nach neueren Versuchen 
von W. Arkadiew fällt der Wert der Permeabilität im Gebiete 
10 cm > A > 1 cm rasch ab , und wird für Wellen von einigen 
Millimetern Wellenlänge nahezu gleich eins; hiernach würde 
jene Abnahme noch im Bereiche der kürzesten elektrischen Wellen 
stattfinden. 

§ 71. Das Eindringen elektrischer Schwingungen 
in Metalle; der yollkommene Leiter. 

Die Resultate des letzten Paragraphen sind auch für die 
Theorie der elektrischen Wellen in engerem Sinne von Wichtig- 
keit. Gilt bis zu den ultraroten Wärmestrahlen herab der für 
stationären Strom maßgebende Wert der Leitfähigkeit ö, so wird 
derselbe für Hertzsche WeUen sicher gültig sein. Ist für die ge- 
ringe Schwingungsdauer der Wärmestrahlen in Metallen s gegen 
JöTj d. h. der Verschiebungsstrom gegen den Leitungsstrom zu 
vernachlässigen, so wird das für die größere Schwingungsdauer 
der elektrischen Schwingungen in engerem Sinne gewiß erlaubt 
sein. Wir dürfen demnach in Metallen an Stelle der für Halb- 
leiter gültigen Differentialgleichungen (206 e, f) allgemein die 
folgenden setzen 

,211; *J^|f = vä§, *»«i^|f = V^®. (211a) 

Für die Komponenten der Feldstärken gelten im 
Innern der Metalle Differentialgleichungen von der 



288 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§71 



Form der Wärmeleitungsgleicliung. Das Eindringen der 
elektrisclien Schwingungen in Metalle ist eine Erscheinung, 
welche dem Eindringen periodischer Temperaturschwankungen 
in Wärmeleiter ganz ähnlich ist. 

Das Absorptionsvermögen nichtferromagnetischer Metalle für 
senkrecht auffallende Wellen, d. h. der in das Metall eindringende 
und von ihm absorbierte Teil der Energie ist nach (210b): 

(211b) 1-r ^. 

Für elektromagnetische Wellen von der Wellenlänge l 
d. h. von der Schwingungsdauer 



30 ci 



t = 



10"^ sec 



wird das Absorptionsvermögen des Kupfers (ö = 5,14 x 10^' 

• . 2 



r = 



<io- 



j/5,14xl0» 

Für diese Wellen wirkt daher eine Kupferplatte nahezi 
wie ein vollkommener Spiegel. Noch genauer gilt das, wei 
man zu noch langsameren Schwingungen übergeht. Doch iE 
dann die Reflexion der Wellen schwer zu verwirklichen, wei 
dabei eine ebene Oberfläche vorausgesetzt wird, deren Ahme« 
sungen groß gegen die Wellenlänge sind. 

Wir wollen das Eindringen der Wellen in das Metall nocl 
etwas genauer verfolgen. Da wir ft = 1 gesetzt und s gestrichei 
haben, so bestimmen sich Brechungsindex n und Extinktio] 
koeffizient x aus (210a). Es ist 

(211c) n = x=y6r. 

Gleichung (208 a) ergibt als Verhältnis der Konstanten h und 
das für das Amplitüdenverhältnis und die Phasendiifferenz de^ 
elektrischen und der magnetischen Feldstärke maßgebend wai 

(211d) & = al/^(l-0, dahe^ 

(211e) |&i = |a|(/27r (Gl. 208e) un( 



(21 If) 



ß = cc — 



(Gl. 208 d, 



§71 Drittes Kapitel. Elekti-omagnetische Wellen 289 

Es ist also für jeden Wert von x die magnetische Feldstärke 
um 45^ hinter der elektrischen an Phase zurück. Die Ampli- 
tude |6| der magnetischen Feldstärke ist beträchtlich größer als 
die Amplitude |a| der elektrischen Feldstärke. 

Beim Eindringen in das Innere des Metalles nehmen die 
Amplituden der Feldstärken nach der Exponentialfunktion 

%7tXX 

e ~ 
ab (vgl. 208 b). Die Amplituden vsrerden also auf den Bruch- 
teil e~^^ ihres an der Oberfläche herrschenden Wertes in einem 

Abstände x = = ■—=r 

von der Oberfläche herabgesunken sein, die Energien mithin auf 
den Bruchteil e'^"^. Beträgt die Dicke einer metallischen Platte 

(212) d = -.iz= = c 1/^ Zentimeter , 

so dringt praktisch die Strahlung nicht durch die Platte hin- 
durch. In dem obigen Beispiele war 

^ ^ 0,44x10-% A = 30cm, 



y 6t 1/6,14x10» 

daher d= 1,32x10"^ cm. 

Eine Kupferplatte von der Dicke eines hundertstel Millimeters 
läßt somit bereits praktisch WeUen jener Wellenlänge nicht hin- 
durchdringen. 

Geht man indessen zu langsameren Schwingungen 
über, so wächst die für das Abschirmen der elektri- 
schen Wellen erforderliche Dicke der Metallplatte pro- 
portional der Wurzel aus der Schwingungsdauer. Für 
A = 3 Kilometer muß die Kupferplatte eine Dicke von einem 
Millimeter besitzen, für k = 300 Kilometer, entsprechend einer 
Schwingungsdauer von 10"^ Sekunden, eine Dicke von einem 
Zentimeter, um als Schirm für die elektromagnetischen Wechsel- 
felder zu dienen. Stationäre magnetische Felder endlich werden 
durch eine KupferhüUe von endlicher Dicke überhaupt nicht ab- 
geschirmt. 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 19 



290 



Dritter Abschnitt. Das elektromacrnetisciie Feld 



Nach (207) wird die räumliclie Stromdichte im Innern des 
Metalles durch den reellen Teil des komplexen Ausdruckes gegeben: 



(212 a) 



<?e. 






Wir woUen das über aUe Schichten erstreckte Integral 
(212 b) h-fdrA, 



berechnen. In dem idealen GrenzfaUe, wo der Strom sich ai 
eine unendlich dünne Schicht an der Oberfläche des MetaUes zt 
sammendrängt, geht dieses Integral in die Dichte des „Plächei 
Stromes" über. Wir erhalten 



(212 c) 



h 



aac 

ivp 



Andererseits folgt aus (^8), (208 a) für die magnetische Fel( 
stärke an der Oberfläche des Metalles 



(212 d) 



§. = h(^^ 






Es besteht folglich zwischen den komplexen Ausdrücken von 
und §^ die Beziehung 

(212e) ^. = tSv 

Da nun bei Vernachlässigung des vom Yerschiebungsstrom h( 
rührenden Gliedes (207 a) übergeht in 



4t7t6il 



so Wll 



(212 f) 



h^-' 



Diese Beziehung besteht nicht nur zwischen den komplexe! 
Ausdrücken von j^ und §g, sondern auch zwischen ihren reellej 
Teilen, welche den im Metalle fließenden Strom und die tangei 
tielle Komponente der magnetischen Feldstärke an der Oberfläcl 
darstellen; sie hätte auch unmittelbar aus der ersten Haupi 
gleichung abgeleitet werden können. 



§ 71 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 291 

Für einen vollkommenen Leiter (von unendlicher Leitfähig- 
keit 6) wird die Dicke der Stromschicht unendlich klein (nach 
212); iy gibt hier die Dichte des „Flächenstromes" an. Dieser 
schirmt das Innere gegen das Eindringen der elektrischen Wellen. 
Die Joulesche Wärmeentwickelung wird Null, das Ahsorptions- 
yermögen Null, das Reflexionsvermögen 1 (vgl. 211b). Der voll- 
kommene Leiter ist ein idealer Spiegel für die elektro- 
magnetischen Wellen. 

Der Satz, daß elektrische Schwingungen nicht in das Innere 
vollkommener Leiter eindringen können, ist nicht auf ebene Be- 
grenzung und senkrecht einfallende Wellen beschränkt, er gilt 
vielmehr allgemein. Um dieses einzusehen^ gehen wir aus von den 
im Innern der Metalle geltenden Differentialgleichungen (211), 
(211 a). Die räumliche Verteilung des Feldes im Innern des Leiters 
muß stetig sein, daher sind die rechten Seiten dieser Differential- 
gleichungen sicher nicht unendlich. Geht man nun zum Grenz- 
faU ^ = cx> über, so müssen die zeitlichen Änderungen der Vek- 
toren % und § gleich Null sein, damit die linken Seiten nicht 
unendlich werden. Es dringt also das Wechselfeld nicht 
in das Innere des vollkommenen Leiters ein. Da außen 
ein Feld vorhanden ist, so ist die Grenzfläche des vollkommenen 
Leiters eine ünstetigkeitsfläche des Feldes, in der endliche Flächen- 
dichten der Elektrizität und des Leitungsstromes zuzulassen sind. 
Die Verteilung der Elektrizität und des Stromes findet eben der- 
art statt, daß das Innere gegen das Eindringen des Feldes ge- 
schirmt wird. Der ideale Leiter spielt in der Elektrodynamik 
eine ähnliche Rolle wie die metallischen Leiter überhaupt in der 
Elektrostatik. Wir wollen nun die Grenzbedingungen, die an 
seiner Oberfläche vorzuschreiben sind, aufstellen. 

Als wir im vorigen Paragraphen die Grenzbedingungen ab- 
leiteten, welche Stetigkeit der tangentiellen Komponenten von % 
und § verlangten, da schlössen wir ausdrücklich den FaU = 00 
aus. Wir wollen jetzt die Grenzbedingungen angeben, welche an 
der beliebig gestalteten Oberfläche eines vollkommenen, an ein 
beliebiges Dielektrikum angrenzenden Leiters gelten, dessen In- 
neres durch eine flächenhafte Verteilung von Elektrizität und 

19» 



292 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 71 

Leitungsstrom vor dem Eindringen des elektromagnetischen 
Wechselfeldes geschützt wird. Die räumliche Dichte des magnB 
tischen Stromes muß auch hier endlich bleiben, die Flächendichte 
des magnetischen Stromes ist also Null, es verschwindet folglich 
der Flächenwirbel der elektrischen Feldstärke. Die tangentiellen 
Komponenten von (§, sind demnach auch an der Begrenzung 
fläche des vollkommenen Leiters stetig. Da nun im Innern d( 
vollkommenen Leiters das elektrische Feld Null ist, so sind 
auch außen die tangentiellen Komponenten der Feldstärke Null, 
d. h. der Vektor d steht senkrecht auf der Oberfläche 
des vollkommenen Leiters. Sein Betrag ist mit der Obe^ 
flächendichte der wahren Elektrizität durch die Beziehung v( 
knüpft 

(213) 2)„=£(l,= 4:tö 

(n äußere Normale des Leiters). Denn im Innern ist das F( 
und, da £ in Metallen keinesfalls unendlich ist, auch die Normj 
komponente der elektrischen Verschiebung Null. 

Die Flächendivergenz von ö ist Null, da wahrer Magneti 
mus nicht angenommen wird. Da innen durchweg 18 = ist, 
ist außen 

(213a) ö__=^§__=0, 

d. h. der Vektor § weist tangentiell zur Oberfläche d( 

vollkommenen Leiters. Was aber die tangentiellen Koi 

ponenten von § anbelangt, so sind sie mit denen des Fläche^ 

Stromes | durch den aus der ersten Hauptgleichung folgende 

Satz verknüpft: Der Flächenwirbel von § ist gleich der 

An/c multiplizierten Flächendichte des elektrischen Strömt 

Dieses ergibt mit Rücksicht auf den Ausdruck (104) des Fläche^ 

wirbeis A,^i 

^ M] = [§n]. 

Dabei zeigt der Einheitsvektor n die nach dem Innern d( 
Metalles hinweisende Normalenrichtung an. Wählen wir di< 
wie oben als ic- Achse, so folgt 



§ 72 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 293 



(213b) 



c ~ ^^' 
wie oben in Gleichung (212 f), und 

^^^ = - ö . 

c ^y 



Daß die Vorzeichen hier richtig gefunden sind, ist mit Hilfe 
der Ampereschen Regel leicht festzustellen. 

In der Theorie der elektrischen Schwingungen kann man die 
Behandlung mancher Aufgaben dadurch vereinfachen, daß man 
die im Felde befindKchen Leiter als vollkommene betrachtet. Man 
erzielt dadurch in vielen Fällen eine recht gute Annäherung an 
die Wirklichkeit. Man muß dabei aber immer bedenken, daß im 
Grunde die Annahme unendlicher Leitfähigkeit unzulässig ist 
und wenn Widersprüche in den auf den obigen Grenzbedingungen 
faßenden Entwickelungen hervortreten, so muß man prüfen, ob 
diese sich nicht durch Berücksichtigung des endlichen Wertes 
der Leitfähigkeit beseitigen lassen. 

§ 72. Fortpflanzung elektrischer Wellen längs 
zylindrischer Leiter. 

W^ir denken uns im Räume eine Anzahl von Leitern, die durch 
zylindrische Flächen mit parallelen Erzeugenden begrenzt sind. 
Im übrigen sei der Raum von einem homogenen isotropen Iso- 
lator mit der Dielektrizitätskonstante e und der Permeabilität ii 
erfüUt. Die Leiter werden als^unendlich gut leitend angenommen, 
so daß nur an ihrer Oberfläche Elektrizität und Leitungsstrom 
^ich befinden; alsdann gelten an den durch die Leiteroberflächen 
gebildeten Begrenzungen des Dielektrikums die am Schlüsse des 
vorigen Paragraphen entwickelten Grenzbedingungen. 

Wir legen die a; -Achse den erzeugenden Geraden der zylin- 
drischen Leiteroberflächen parallel und betrachten Wellen, die 
sich im Dielektrikum längs der a:- Achse fortpflanzen. Diese Wellen 
sollen jetzt nicht homogen sein, d. h. es sollen die Feldstärken 
von y und z abhängen. Wir wollen annehmen, daß diese längs 
der zylindrischen Leiter fortschreitenden Wellen transversal sind, 
<\. h. wir wollen die Komponenten 05^, §^ gleich Null setzen. Die 



294 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



iircH 
idin^l 



Berechtigung dieser beiden Annahmen wird nachträglich dadurc' 
zu beweisen sein, daß die Feldgleichungen und die Grenzbedin 
gungen sich durch ihre Einführung erfüllen lassen. 

Die Differentialgleichungen (203 a — d), die im Innern des Di 
elektrikums gelten, ergeben, wenn 



gesetzt wirc 



(214) 

(214a) 

(214b) 

(214 c) 

(214d) 

(214e) 





dy 


d^y 

' dz ' 


S ddy __ 

c dt 


d§. 

dx' 


e a@. d^y 

c dt '^ dx 




^ d%. 

^- dy 


diBy 

dz ' 


11 d^y 

c dt ~ 


dx ' 


c dt "^ 



d_^y 

dx ' 



= 0, 



0. 



dy '^ dz 

d^y , d^z 

~dj "^ W 

Die vier Gleichungen (214 a, c) stimmen mit den Gleichungei 
(204 a) des § 68 überein. Sie ergeben für die Komponenten @ . 
^zf ^y} §s partielle Differentialgleichungen von der Form (204 e, f)j 
Letztere werden integriert, indem man z. B. 
(215) a = f(x — wt ,yy s) setzt, wob( 



(215 a) 






die Geschwindigkeit homogener ebener Wellen ist (205 a). 

Das partikuläre Integral (215) entspricht Wellen, die mij 
der Geschwindigkeit w un verzerrt in der Richtung der rc -Achse 
forteilen. Entsprechende Ausdrücke gelten auch für die anderer 
drei Komponenten. Aus der zugrunde gelegten Annahmi 
der Transversalität der Wellen folgt demnach, daß di< 
Geschwindigkeit der Wellenphasen der Geschwindig- 
keit homogener ebener Wellen gleich ist, und daß ihre_ 
Amplitude sich beimFortschreiten nicht ändert. Komm^ 
hingegen die Absorption der Energie in den Leitern in Betracht 
so ist die Geschwindigkeit der Wellen kleiner, und es nimmf 



§ 72 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 295 

beim Fortschreiten der Welle ihre Amplitude ab; dann sind die 
Vektoren @, § nicht streng transversal. 

Wir untersuchen zunächst die Verteilung des Feldes in einer 
zur (i/<£?)- Ebene parallelen Ebene; später kommen wir dann auf 
die Fortpflanzung der Welle, d. h. die Abhängigkeit der Feld- 
stärken von X und t, zurück. 

Für gegebene Werte von x und t sind die Komponenten %y, 
(B. hier nicht unabhängig voneinander, sondern sie sind durch die 
Differentialgleichungen (214b, e) miteinander verknüpft; anderer- 
seits müssen die Komponenten §y, §^ den Differentialgleichungen 
(214), (214 d) genügen. Hierzu treten die Grenzbedingungen, die 
an der Oberfläche der Leiter gelten: An den Schnittkurven Sj, Sg • • • 
der Leiteroberflächen mit der betrachteten Wellenebene muß die 
tangentielle Komponente von @ und die Normalkomponente 
von § gleich Null sein. Wir betrachten zunächst das elektri- 
sche Feld. 

Nach (214b) verschwindet im Innern des Dielektrikums die 
o:- Komponente von curl @; auch Flächenwirbel von (B an den 
Leiteroberflächen sind durch die Grenzbedingungen ausgeschlossen. 
Es ist demnach das Linienintegral von @ für alle in Wellenebenen 
verlaufenden geschlossenen Kurven Null; dieser Vektor leitet sich, 
wenn man die Betrachtung auf solche Ebenen beschränkt, aus 
einem einwertigen Skalar ^ ab: 

(215b) e,= -||, e.= -|i. 

Nach (214e) hat dieser Skalar der Gleichung zu genügen: 

(21oc) ___+_, = 0. 

Längs der Schnittkurven der Leiteroberflächen soll den Grenz- 
bedingungen zufolge der tangentielle Gradient von ^ Null sein, 
d. h. soll auf den Kurven s^, Sg • • • konstant sein. Sein 
normaler Gradient, integriert über die Schnittkurve, ergibt den 
von jener Kurve ausgehenden Kraftfluß 

Multipliziert man mit edXj so erhält man die elektrische Ver- 



296 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetisclie Feld § 7i 

Schiebung, welche von einem Stücke des ersten Leiters von de^ 
Länge dx ausgeht. Wir wollen diese Verschiebung gleich 4:7t e^d'. 
setzen, indem wir unter e^ die auf die Längeneinheit des erstei 
Leiters berechnete wahre Ladung verstehen. Entsprechende Be- 
deutung werde den Größen e^y ^3... beigelegt. Dann gilt: 

(216 d) e,^-±^ß^^ds„ e, = -^ß-^^ds,,... 

Es wird nun eine Funktion ^ (xj y) gesucht, welche der Diffe- 
rentialgleichung (215 c) genügt, auf den Kurven s^jS^... konstant 
ist und mit den Ladungen e^, e^ durch die Gleichungen (215 d] 
verknüpft ist. Dieses Problem fällt durchaus zusammen 
mit dem elektrostatischen Probleme, bei gegebenei] 
Ladungen der unendlichen zylindrischen Leiter das 
elektrostatische Potential zu bestimmen. Denn diesem 
elektrostatische Potential genügt der Laplaceschen Gleichung 
da es von x unabhängig ist, so geht die Laplacesche Gleichun 
in ihre zweidimensionale Form (215 c) über. Auch sonst sin 
die Bedingungen die nämlichen. Wir schKeßen, wofern das elek 
trostatische Problem sich losen läßt, daß die Funktion O jene] 
Bedingungen gemäß sich bestimmen lassen muß. 

Es muß jedoch eine Einschränkung gemacht werden, die wi 
bei der Behandlung der Elektrostatik, wo wir nur von Leiten 
endlicher Ausdehnung sprachen, nicht erwähnt haben. Es muß 
damit das Problem eine physikalisch zulässige Lösung besitze 
die Summe der Ladungen 

e = e^ -f- 62 + ^3 H = 

sein für einen jeden Querschnitt durch das Leitersystem. U: 
dieses einzusehen, legen wir um eine der Leitung parallele Achs 
einen Kreiszylinder, der das ganze Leitersystem einschließt und 
dessen Querschnittsradius B groß gegen die Abmessungen de 
Leiterquerschnitte und gegen ihre Abstände ist. Die elektrische 
Verschiebung, die aus der Längeneinheit des Zylinders heraus 
tritt, ist gleich ge 

d. h. das elektrische Feld ist auf dem Zylinder gleich dem einer 



ij 72 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 297 

geladenen Linie von der Ladung e pro Längeneinheit. Außerhalb 
des Zylinders gilt derselbe Ausdruck. Es nimmt also die elek- 
trische Energiedichte mit wachsendem JR ab^ wie 



Für die außerhalb des Zylinders befindliche elektrische Energie 
erhält man somit 

B 



00 OD 



Dieser Ausdruck wird aber logarithmisch unendlich, es sei denn, 
daß e = ist. Um einen unendlichen Wert der Energie zu ver- 
meiden, müssen wir annehmen, daß die Summe aller Ladungen, 
die zwischen zwei beliebigen, die Leiter senkrecht durchschneiden- 
den Ebenen liegen, gleich Null ist. Beispiele sind das Kabel, 
dessen innerer und äußerer Zylinder entgegengesetzt geladen sind, 
oder zwei parallele, jeweils in gegenüberliegenden Querschnitten 
entgegengesetzt geladene Drähte. Wellen längs eines ein- 
zelnen Drahtes aber fallen nicht in den Gültigkeits- 
bereich der hier dargelegten Methode, weil bei solchen e 
notwendig von Null verschieden ist. Daß der Einzeldraht hier 
auszuschließen ist, liegt an den einschränkenden Annahmen un- 
endlich guter Leitfähigkeit bzw. transversaler Wellen. In der 
Tat ergibt die von A. Sommerfeld entwickelte strenge Theorie 
der längs eines Einzeldrahtes fortschreitenden Wellen, daß bei 
Berücksichtigung der endlichen Leitfähigkeit des Drahtes die 
Wellen nicht vollkommen transversal sind, und daß ihre Ge- 
schwindigkeit etwas geringer als diejenige ebener homogener 
Wellen ist. 

Beschränken wir uns auf zwei Leiter, so ist 



zu setzen. Wir verbinden zwei Punkte P^, Pg der beiden Leiter, 
die in demselben Querschnitte liegen, durch eine beliebige Kurve, 
die aber durchweg in einer zur ic- Achse senkrechten Ebene ver- 
läuft. Dann ist das Integral 



298 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§72 






^^ds =0^ — 0^ 



von dem Verlaufe der ebenen Kurve und der Lage der Punkte 
Pj, Pg auf den beiden Leitern unabhängig. Wir wollen es als 
„Spannung^' bezeichnen. Es entspricht der Potentialdifferenz 
der beiden Leiter in dem elektrostatischen Probleme, doch reden 
wir hier bei Drahtwellen besser nicht von einem Potentiale, weil 
das elektrische Feld hier keineswegs wirbelfrei ist; es verschwindet 
nur die rr-Komponente von curl @, nicht aber die beiden anderen 
Komponenten. Haben wir das elektrostatische Problem für die 
beiden unendlichen zylindrischen Leiter gelöst, so kennen wir auch 
die Kapazität der Längeneinheit des Systemes, die durch 
(215 e) c-=^(0i-^2) 

bestimmt ist, und die elektrische Energie pro Längenein- 
heit der Leitung: 
{215f) 



^=|fe<^l + ^2^2)= ' 



2 K 

Wir gehen nunmehr zum magnetischen Felde über, dessen 
Verteilung in der betreffenden Wellenebene den Differentialglei- 
chungen (214), (214d) gemäß zu wählen ist. Der Differential- 
gleichung (214 d), welche das Verschwinden des freien Magne- 
tismus im Innern des homogenen Dielektrikums ausdrückt, ge- 
nügen wir durch den Ansatz 



(^16) 






f*§,= - 



^y 



Die Gleichung (214) geht hierdurch über in 



(216a) 






0. 



Die Funktion ^f stellt, für die betreffende Querschnittsebene der 
Leitung, eine Stromfunktion des Induktionsflusses dar. Ordnet 
man die Richtungen s,w einander so zu wie die y- und die ^- Achse 
des Koordinatensystems, so folgt aus (216) 

ds' 



»«=.^§, 



Die Grenzbedingung (213a), welche verlangt, daß an der Ober- 



§ 72 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 299 

fläche eines vollkommenen Leiters die Normalkomponente der 
magnetischen Induktion verschwindet, erfüllen wir, indem wir die 
Funktion W der Bedingung unterwerfen: Längs der Kurven 
Sj, $2, in denen die Quersclinittsebene die Leiterober- 
flächen schneidet, ist ^konstant. Es mögen ^j, W^ die 
Werte sein, welche W auf diesen Kurven annimmt. 

Wir verbinden nun zwei Punkte P^ und Pg, welche auf s^ bzw. 
53 liegen, durch eine ganz in der Querschnittsebene verlaufende 
Kurve. Die durch diese Kurve hindurchtretende magnetische 
Induktion p^ p^ 

(216b) j\ds = -f'^ds =W,-% 

ergibt sich als unabhängig von dem Verlaufe der Kurve. Sie stellt 
den auf die Längeneinheit der Leitung bezogenen „Induktions- 
fluß der Leitung" dar. 

Das magnetische Feld in der Querschnittsebene ist mit den in 
den Leitern fließenden Strömen J^, J^ durch die erste Haupt- 
gleichung verknüpft; diese ergibt 

Da nach (216) #, = - J ^ 

zu setzen ist (der Strom J^ wird parallel der a;- Achse gerechnet; 
äußere Normale n und Umlaufssinn s folgen sich nach der Am- 
pereschen Regel wie y- und 5- Achse), so hat man 

(216c) Ji = — r- I w ds. , Jo = — . / ^- ds^. 

Die Funktion W ist für jede Querschnittsebene dadurch bestimmt, 
daß sie der der Gleichung (216 a) genügt, auf den Querschnitts- 
kurven Sj und s^ konstante Werte annimmt und durch (216 c) 
mit den Stromstärken Jj, J^ zusammenhängt. 

Denkt man sich die Verteilung des Flächenstromes, der senk- 
recht zu .s'i, §2 längs der Leiter fließt, durch einen stationären 
Strom verwirklicht, so würde dessen Feld in der betrachteten 
Wellenebene genau mit dem magnetischen Felde der Wellen über- 



300 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 72 

einstimmen. Das Vektorpotential tl dieses stationären Stromes 
würde parallel der a:- Achse gerichtet sein. %^ wäre von x unab- 
hängig, so daß die Laplacesche Gleichung, der % zu genügen hat, 
übergeht in ^^ ^^ _ 

Ersetzt man W durch 51^, so erhält man auf Grund der Beziehung 

ö = ^§ = curl$l 
die Gleichungen (216, 216 a, c). Die Grenzbedingung, daß 'P' für 
Sj, «2 konstant ist, gilt allerdings für den stationären Strom, der 
in den Leitern wirklich fließt, nicht, da dessen magnetisches Feld 
in das Innere der Leiter eindringt. Doch kann man die hier 
geforderte flächenhaffce Stromverteilung annähernd durch röhren- 
förmige Leiter herstellen. 

Der Form nach stimmen die Bedingungen, welche für die 
Funktionen ^ und W gelten, durchaus überein. Beide Funk- 
tionen müssen auf 5^, ^2 konstant sein, im Dielektrikum derselben 
Differentialgleichung genügen und in dem durch (215 d) bzw. 
(216 c) ausgedrückten Zusammenhange mit den Ladungen der 
Leiter bzw. den in den Leitern fließenden Strömen stehen. Ist 
das elektrische Feld der längs der Leitung fortschrei- 
tenden Wellen für gegebene Ladungen e^, e^ der Leiter 
bestimmt, so ergibt sich sofort das magnetische Feld, 
das gegebenen Strömen J^, Jg entspricht. Es gehen die 
für W geltenden Gleichungen einfach aus den für O geltenden 
hervor, indem gesetzt wird 
an Stelle von e^: «^i — ? 

an Stelle von e«: J, *- • 

Der oben für zwei Leiter eingeführten einschränkenden Bedingung 

Cj -h ^2 = 

entspricht hier die Bedingung 

Dieselbe ergibt sich auch aus dem Grundsatz des quellen- 
freien Stromes. In der Tat haben wir vorausgesetzt, daß die 



§ 72 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 301 

longitudinale Komponente von (§; verscliwindet; es werden daher 
die senkrecht zur Leitung verlaufenden Ebenen von Verschiebungs- 
strömen nicht durchflössen. Durch eine jede solche unendliche 
Ebene muß demnach im ganzen derselbe Leitungsstrom parallel 
wie entgegen der a;- Achse fließen. 

Da Hun J2 entgegengesetzt gleich J^ ist, und e^ entgegen- 
gesetzt gleich e^j so ist ^ durch J^ allein bestimmt, und zwar 

ebenso wie O durch e^ • - . Ist für eine gegebene Leitung die 

für das elektrische Feld maßgebende Funktion gefunden, so 
ist demnach die für das magnetische Feld maßgebende Funktion 

^F ohne weiteres anzugeben. Es ist einfach J^ -- statt e^ zu 

schreiben, wodurch ^ in ^ übergeht. Für jeden Punkt des 
Querschnittes gilt also «„ 

Die Kurven = konstans schneiden, da nach (215b) ^ in 
der Querschnittsebene der negative Gradient von Q ist, die elek- 
trischen Kraftlinien senkrecht. Andererseits wird die Gleichung 
der magnetischen Induktionslinien, weil nach (216) W die Strom- 
funktion des quellenfreien Vektors ^§ ist, durch ^= konstans 
gegeben. Aus der Proportionalität der Funktionen und W 
können wir jetzt den Schluß ziehen: In jeder Querschnitts- 
ebene stellen die elektrischen Kraftlinien und die ma- 
gnetischen Induktionslinien zwei zueinander orthogo- 
nale Kurvenscharen dar. 

Haben wir auf Grund der elektrostatischen Analogie be- 
rechnet, so ist nach (215 e) 

wo Ky die Kapazität der Längeneinheit der Leitung, eine von e^ 
unabhängige Konstante der Leitung ist. Aus der Beziehung 
zwischen den Funktionen und 'JP* folgt jetzt 

W^ — W^ i_ 

sj. - K' 

1 c 



302 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§72 



Wir bestimmen durch die Gleichung 



(216 d) 



^l-'P'2 = ^^i; 



die Größe X, die wir die „Selbstinduktion der Längenein- 
heit der Leitung" nennen. Dann erhalten wir 
(216 e) LK=sfi. 

Das Produkt aus Selbstinduktion und Kapazität pro 
Längeneinheit der Leitung ist gleich dem Produkte 
aus Dielektrizitätskonstante und magnetischer Per- 
meabilität des Isolators. — Da X und K auf die Längen- 
einheit bezogen sind, so sind im Gaußschen Systeme beides reine 
Zahlen, so daß in Gleichung (216 e) die Dimensionen beiderseits 
übereinstimmen. Wir können die Gleichung (215 a) für die Ge- 
schwindigkeit der Wellen jetzt auch schreiben 

(216f) W=^~A=r- 

Was die magnetische Energie pro Längeneinheit der Leitung : 
anbelangt, so wird sie durch 



(216g) 



T== 



1_ L 
2 c 



Ul' 



gegeben. 



Wir kommen jetzt auf die Abhängigkeit der Feldstärken von 
X und t zurück, d. h. auf die Fortpflanzung der Wellen längs der 
Leitung. Leitet man aus den beiden Funktionen (^, ^ vermöge 
(215 b) und (216) das elektrische und das magnetische Feld ab, 
so werden, wie wir zeigten, die Feldgleichungen (214), (214b), 
(214 d), (214 e) erfüUt. Es bleibt nur übrig, zu beweisen, daß 
(214a, c) gleichfalls befriedigt sind. Diese Gleichungen lauten jetzt 



c dydt 
c dzdt 



dydx 

dz dx 






d^W 



dzdx' 



(217) 

^ ^ c dzdt dzdx* c dydt "~ dydx 

Dieselben sind erfüllt, wenn allgemein die Beziehungen 
Sit d^ d^ 1 dW d^ 



(217b) 



gelten. 



c dt dx ' c dt dx 

Nun ist für eine Leitung, die aus zwei jeweils- entgengesetzt 



§ 72 Drittes KapiteL Elektromagnetische Wellen 303 

geladenen und von entgegengesetzten Strömen durchflossenen 
Leitern besteht, 

(217c) = e^^Q^y, z) zu setzen. 

Dabei ist ^^iy, 2) das elektrostatische Potential der beiden 
mit den Ladungen ^^ _ 4. 1 ^ 62 = -!. 

pro Längeneinheit versehenen zylindrischen Leiter. Diese Dar- 
stellung für ^ folgt aus dem oben Dargelegten mit Rücksicht 
darauf, daß die für ^ geltenden Bedingungsgleichungen linear 
sind. Entsprechend gilt, wie wir sahen, 

(217.1) ^=J,'-l-(b,{y,z). 

Demgemäß geht (217 b) über in 

(2"e) '^=-8' -f^ = te- (217f) 

Li der Kirchhoffschen, auf den Anschauungen der Fern- 
wirkungstheorie beruhenden Behandlung der elektrischen Wellen 
in Drähten wird die erste dieser Gleichungen daraus abgeleitet, 
daß die zeitliche Änderung der Ladung e^dx eines Stückes dx 
des ersten Drahtes gleich dem Überschuß des eintretenden über 
den austretenden Strom ist. Die zweite der Gleichungen aber 
kann man nach (216 e) auch schreiben 

Li dieser Gestalt wurde sie in der Fernwirkungstheorie durch 
Anwendung des Induktionsgesetzes gewonnen. Wir sehen hier, 
daß die MaxweUsche Theorie, die vom Standpunkte der Nahe- 
wirkung aus die Drahtwellen betrachtet, im vorliegenden FaUe 
zu Ergebnissen gelangt, die mit denen der Fernwirkungstheorie 
übereinstimmen. ^ 

Die Elimination von Jj ergibt für e^ die partielle Differential- 
gleichung 



deren allgemeine Lösung ist 

(218a) e^ = f{x - wt) + g{x + wt), w = 



c 



Ybii 



1 

orilt ll 



304 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

Die Gleichungen (217 e, f) werden erfüllt^ wenn außerdem gilt 
(218b) J^ = tv {f\x - wt) - g{x + tvt)]- 

Der allgemeinen Lösung entspreclien zwei Ladungs- und 
Strom wellen, die längs der Leitung in entgegengesetzten Rich- 
tungen laufen. Dureh Einführung in (217 c, d) bestimmen sich 
die Punktionen #, 'jP*, aus denen sich vermöge (215 b) und (216) 
das elektromagnetische Feld ableitet. Die so erhaltene Lösung 
ist die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichungen 
(214 — 214e) unter den vorliegenden Grenzbedingungen. Es ist! 
also die allgemeinste Lösung der Feldgleichungen und der Grenz-] 
bedingungen, welche mit dem Verschwinden der longitudinalen] 
Komponenten von @ und § verträglich ist. 

Wir betrachten die Wellen, die in Richtung der positiven i 
ic- Achse fortschreiten. Die elektrische Energie pro Längenein- 
heit der Leitung ist nach (215f), (218a) 

1 Ci« 1 p(x — wt) 



(218 c) 



U = 



2 K 



Die magnetische Energie pro Längeneinheit der Leitung hingegen j 
ist nach (216g) und (218b) 



'^^i^=l^^^(^-^0- 



2 c^ 



(218 d) T = 

Nach (216e) folgt 

(218e) T=ü, 

Die magnetische Energie der Drahtwellen ist im vor^ 

liegenden Falle der elektrischen gleich. Die pro Sekunde! 

durch eine feste Querschnittsebene hindurchtretende Energie istj 

oder nach (215 e) und (218 a, b) 

Der gesamte Energiestrom längs der Leitung ist das 
Produkt aus Stromstärke und Spannung. 

Wir behandeln jetzt die beiden wichtigsten Fälle, das Kabel 
und die Paralleldrähte. 



§ 73 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 305 

§ 73. Wellen in Kabeln. 

Die Leitung, längs der die Wellen fortschreiten, soU aus zwei 
konzentrischen, vollkommen leitenden Kreiszylindern bestehen. 
Es soll h der Querschnittsradius der äußeren Begrenzung des 
inneren Zylinders, a der Querschnittsradius der inneren Begren- 
zung des äußeren Zylinders sein. Es handelt sich nun darum, 
für dieses System das elektrostatische Problem zu lösen, d. h. 
das elektrostatische Feld zu bestimmen, das sich herstellt, wenn 
-f e^ die Ladung des inneren, — e^ die Ladung des äußeren Zylin- 
ders pro Längeneinheit ist. 

Da die beiden Zylinder als vollkommen leitend betrachtet 
werden, so ist das Feld auf den zwischen ihnen befindlichen 
leeren oder von einem dielektrischen Körper erfüllten Raum be- 
schränkt. Das Feld ist hier leicht anzugeben, da ja Symmetrie 
um die gemeinsame Achse der beiden Zylinder besteht. Legt man 
einen konzentrischen Zylinder vom Querschnittsradius r durch 
das Feld, so beträgt die elektrische Verschiebung durch die 
Längeneinheit des Zylinders: 

Es ist demnach die radiale elektrische Feldstärke 

^ rs ' dr\ s J 

Die anderen Komponenten von @ verschwinden nach Symmetrie; 
es ist daher das elektrostatische Potential 

(219) ^^.-'^J^lnr, 

mithin die Spannung zwischen dem inneren und dem äußeren 
Zylinder 

(219a) «>.-0, = ?l'-;n(|-), 

und die Kapazität der Längeneinheit des Kabels 

(219b) K = ^^,: = — *— . 

Die magnetischen Kraftlinien verlaufen in konzentrischen 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Aufl. 20 



306 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§74 



Bjreisen um die Zylinderaclisen. Der Betrag der Feldstärke ist 
nach der ersten Hauptgleichung 

mithii^ der gesamte Induktionsfluß pro Längeneinheit des Kabels 

b b 

Da andererseits die gesamte Induktion pro Längeneinheit durci 

c ^ 
ausgedrückt wird (vgl. 216 d), so folgt 

(219 c) ' L^2filn(~) 

als Selbstinduktion pro Längeneinheit des Kabels. 

Wie man sieht, genügen Kapazität und Selbstinduktion d( 
Kabels (219 b, c) der allgemeinen, im vorigen Paragraphen auf 
gestellten Beziehung (216 e): 

Je kleiner der Quotient ^ der Querschnittsradien der äußerej 

und inneren Begrenzung der dielektrischen Schicht ist, destc 
größer ist die Kapazität, desto kleiner die Selbstinduktion des 
Kabels. 



§ 74. Wellen längs zweier paralleler Drähte. 

Der Ausdruck (219) stellt das elektrostatische Potential eiiiei 
gleichförmig geladenen unendlichen Geraden dar. Man überzeugt 
sich leicht davon, daß er der Differentialgleichung (215c) Gti 
nüge leistet. Wir können aus ihm sofort neue Lösungen diesei 
Differentialgleichung ableiten, indem wir die Potentiale mehrerei 
paralleler Geraden zusammensetzen. Wir denken uns z. B. durcl 
zwei Punkte 0^ imd Og senkrecht zu ihrer Verbindungslinie zwei} 
Gerade gelegt und diese mit den Ladungen i e^ pro Längenein-j 
heit versehen. Das elektrostatische Potential ist dann 



^ 74 



Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 



307 



(220) 



= - 



2^ 
s 



Inr^ -f ^ Inr^ 



2 c, 



'O' 



Fig. 14. 



wenn r^, rg die Abstände eines Aufpunktes P von den beiden 
Geraden bezeichnet. In Figur 14 ist ein Querschnitt durch die 
Punkte Oj und Og gelegt; der Koordinatenanfang halbiert 
die Verbindungslinie O^O^f deren Länge wir gleich 2iy setzen 
wollen. 00^ zeigt die Richtung der i/ -Achse an, die ^^-Achse 
ist gleichfalls in der Querschnittsebene gelegen, während die 
or-Achse den beiden Geraden parallel weist. 

Die Punkte 0^, Og sind aus dem Felde auszuschließen, da in 
ihnen das Potential unendlich wird. Wir wollen sie in zwei zylin- 
drische Flächen einhüllen, auf denen O konstant ist. Ersetzen 
wir diese Flächen durch die Oberflächen zweier leitender Zylinder, 
so erfüllt bereits die an 
solchen Flächen dem elek- 
trostatischen Potentiale 
vorgeschriebene Grenzbe- 
dingung. Aus dem um 0^ 
gelegten Zylinder dringt 
pro Längeneinheit die elek- 
trische Verschiebung 64, 
aus dem um 0^ gelegten 
die entgegengesetzte — e^ heraus. Außerhalb der beiden Zylinder 
■ stellt demnach (220) das Potential des elektrostatischen Feldes 
dar, welches sich wirklich herstellt, wenn den beiden leiten- 
den Zylindern die Ladungen 4^6^ pro Längeneinheit gegeben 
werden. 

Nun ist, wie aus der elementaren Geometrie bekannt ist, der 
geometrische Ort der Punkte, für die das Verhältnis r^ : r^ der 
Abstände von zwei festen Punkten konstant ist, ein Kreis, der 
einen der beiden festen Punkte exzentrisch einschließt. Wir er- 
halten demnach aus (220) die Lösung des elektrostatischen Pro- 
blems für den Fall zweier Kreiszylinder. Hieraus können wir, 
auf Grund der Entwicklungen des § 72, das Feld elektrischer 
Wellen längs zweier paralleler Drähte von kreisförmigem Quer- 
schnitt ableiten. Dabei dürfen sogar die Querschnittsradien der 

20* 




308 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§ 7 



beiden Drähte verschieden sein; wir wollen uns indessen auf dei 
Fall beschränken, daß sie beide gleich b sind, und wollen mi^ 
2d den Abstand der Drahtachsen bezeichnen (vgl. Figur 14). 

Der Abstand d der Drahtachsen von ist offenbar durcl 
00^ = rj und durch den Querschnittsradius h bestimmt. Da di( 
beiden Durchschnittspunkte des 0^ umschließenden Kreises ii 
Figur 14 die Strecke 0^ 0^ in demselben Verhältnis teilen, so gill 



dahei 



7] — d-[-h~d-\-h — ri' 
odfer d^-(ri-hf = {7i-^hf-d', 

(220 a) d^ = ri' ^h\ 

Das Potential auf dem ersten Zylinder ist demnach 

Drückt man r] durch d und h aus, so wird 

d-\-h + 7] ^ d- i-b-{-yd ^^~9 ^ yj+h -4- yj^ ^ _ d 4- yd^ — b^ 
d + b — 7i d + h—yd*^P^ydli^b — yd-i'~ b 

daher 

d 4- yd^^v 



(220 b) 



^. = -x^„(l+vj!E5!) 



Auf dem anderen Zylinder hat * den reziproken, <P dah( 
den entgegengesetzten Wert 

Es ist folglich die Spannung zwischen den beiden Drähte] 

4e, , U -fj/d*^A ^ 



(220c) 






die Kapazität der Längeneinheit der Leitung bestimi 
sich aus 

(220 d) ?!-* 



/d + yd'-b'\ 



X 4 , /d + Yd'—b' 



§ 75 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 309 

Aiis(216e) folgt die Selbstinduktion derLängeneinheit 
der Leitung 

(220e ) L = ~ = 4^in\^~T--y^^-~j . 

Ist der Querschnittsdurclimesser 2 h klein gegen den Abstand 
'2d der Drahtachsen, so gelten die Näherungswerte 

(220f) L = '^ = 4i.ln{^)- 

In den WeUen, die sich längs der ParaUeldrähte fortpflanzen, 
sind die Kurven, auf denen konstant ist, eine Schar von Krei- 
sen. Diese Kreise, zu denen auch die Begrenzungskreise der 
Drahtquerschnitte gehören, teilen harmonisch den Abstand Og 0^ 
zweier fester Punkte. Mit den zu den elektrischen Kraftlinien 
orthogonalen Kurven = konstans faUen die magnetischen In- 
duktionslinien W = konstans zusammen. Die elektrischen Kraft- 
linien, die orthogonal zu jenen Kreisen verlaufen, sind gleichfalls 
Kreise; dieselben gehen, wenn man sie in das Innere der Drähte 
fortgesetzt denkt, durch die festen Punkte 0^, Og. 

Die hier entwickelte Theorie beruht auf der Voraussetzung, 
daß die elektrischen WeUen nicht merklich in das Innere der 
Drähte eindringen. Bei den schnellen Hertzschen Schwingungen, 
bei denen Paralleldrähte häufig zur Fortleitung der Wellen ver- 
wandt werden, trifft diese Voraussetzung mit großer Annäherung 
zu. Bei langsamen Schwingungen, z. B. in Fernsprechleitungen, 
ist diese Voraussetzung für dünne Drähte nicht mehr zulässig 
(vgl. § 71, Formel 212). Hier ist bei der Berechnung der Selbst- 
induktion das magnetische Feld im Drahtinneri^ zu berücksich-' 
tigen, und es ist der Einfluß des Widerstandes auf die Wellen- 
fortpflanzung in Betracht zu ziehen. 

§ 75. Kondensator am Ende der Leitung. 

Wir haben bisher angenommen, daß die Leitung beiderseits 
ins Unendliche reiche. In Wirklichkeit hat man es natürlich 
stets mit Leitungsdrähten von endlicher Länge zu tun. Wir 
woUen annehmen, daß die Drähte in die einander gegenüber- 
stehenden Platten eines Kondensators einmünden. Es sei Kq die 



310 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 7 



Kapazität des Kondensators, der bei x = liegt. Von der Sei 
der negativen x treffe ein Zug einfach periodischer Wellen ein. 
Wir stellen denselben mathematisch dar, indem wir für die do 
willkürliche Funktion f(x — wt) 

des § 72 hier den komplexen Ausdruck setzen 

(221) f{x-wt) = J.'e "v ^/. 

Nach (218a), (215 e) ist dann die Spannung im einfallender 
Wellenzuge gleich dem reellen Teile von 



i 



^.'=i 



H) 



(221a) *,' ^,-j^ ^ 

Der Strom aber ist nach (218 b) gleich dem reellen Teile voi 

(221b) J"/ = «^^V'v"-) 

Die einfallende Welle wird nun den am Ende der Leitui 
befindlichen Kondensator laden. Hierdurch wird zunächst dej 
Welle Energie entzogen. Es wird sich jedoch alsbald ein static 
närer Schwingungszustand herstellen, wobei die Energie d( 
Kondensators im Mittel konstant ist. Da Energieverluste durcl 
Joulesche Wärme und durch Strahlung nicht in Betracht gezogei 
werden, so wird sich ein reflektierter, nach der Seite der negj 
tiven X hineilender Wellenzusc ausbilden. Wir setzen für diesel 



(222) 



g(x-[-wt) = A"e 



(-^) 



iv[t-\- 



und gemäß (215 e), (218 a, b) 



(222 a) 



^r-^/ 



f+ 



K 



r) 



K 

(222 b) J/'=-M;J."e"v"'-). 

Die reellen Teile dieser Ausdrücke stellen den reflektiei 
Wellenzug dar. 

Wir setzen nun die beiden Wellen zusammen. Die so ei 
haltene Spannung O^ — ^g soll am Ende der Leitung {x == 0] 
der jeweiligen Ladung des Kondensators entsprechen. Ist e^ di< 



§ 75 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 311 

Ladung der mit dem ersten Drahte verbundenen Kondensator- 
platte, so ist hier 

(223) 0,-0,= 0,' - 0,' + 0," - 0„" = ^~ (A' + Ä") =;^ . 

Die Stromstärken + Jj andererseits müssen der zeitlichen Ände- 
rung der Ladungen +^0 der Kondensatorplatten gleich sein: 

(223a) J, = ^/ +'J/' = tve'^^(A' -^ Ä'') - ^ == ive^ . 

Durch Division der beiden letzten Gleichungen folgt 

A'wK 



(223b) 



~^ w K 



So bestimmt sich aus den am Ende der Leitung vorgeschrie- 
benen Bedingungen das Verhältnis der komplexen Konstanten 
Ä\ A, die für Amplitude und Phase der reflektierten und der 
einfallenden Welle maßgebend sind. Die absoluten Beträge von 
A' und A'\ daher auch die Spannungs- und Stromamplitüden der 
beiden Wellen sind nach (223 b) die gleichen. Wir können setzen 
f 223 c) ^'=1^1 e^S -^"=1^1 «"^' und erhalten 

A" 1 — i tg y i? 1 T T_ 

(223d) tgr-^^- 

Dabei gibt 2y den Phasenvorsprung an, um den am Ende 
der Leitung die Spannung der einfallenden Welle der- 
jenigen der reflektierten Welle voreilt. 

Die durch Zusammensetzung der beiden Wellen entstandene 
vSpannungsverteilung längs der Leitung wird gegeben durch 

(224) <Pi - <p2 = 2 '^J cos (^ - y) cos {v t) 

und die Stromverteilung durch 

(224a) j; = - ^2 = ^2 1^1 sin (^J" - y) sin {vt) , 

wie durch Addition der komplexen Ausdrücke für die Spannungen 



312 



Dritter Abschnitt. Das elektromasrnetische Feld 



§75 



und Ströme der beiden Wellen und durch Absonderung dei 
reellen Teile folgt. 

Wir ziehen zwei Grenzfälle in Betracht Der erste Grenzfalll 
soll der sein, wo die Endkapazität Kq gleich Null ist. Hier er- 
gibt (223 d), daß 7 = ist, d. h. daß für a; = die Spannungs-j 
phasen der einfallenden und der reflektierten Welle einander gleich! 
sind. Die Stromstärken der beiden Wellen sind dann für x = 
in entgegengesetzten Phasen. Demgemäß befindet sich nach (224) 
in diesem Falle am Ende der Leitung ein Spannimgsbauch, nach] 
(224a) ein Stromknoten. 

Der andere Grenzfall ist Äq = 00. Hier wird y=^, die Span- 

nungen der beiden Wellen für x = haben die Phasendiiferen: 
2'y ^TCj die Stromstärken sind in .gleichen Phasen. Demgemäß) 
ist das Ende der Leitung ein Spannungsknoten und ein Strombauch.) 
Im allgemeinen Falle verhalten sich die Spannungsphasen so, 
als ob die Endkapazität beseitigt, d. h. ^q = gesetzt wäre, dafüi 
aber die Leitung um die Strecke 



(224b) 



27r 



^ 2« 



verlängert wäre. Dann würde in der Tat die reflektierte Welle, 
welche diese Strecke zweimal durchlaufen hat, erst dann be^ 
X ==0 eintreffen, wenn die Spannung der einfallenden Welle be- 
reits den Phasenvorsprung 2y gewonnen hat. Im Grenzfalle 

jK"q= 00, 7 = ^ würde die Verlängerung der Leitung, welche derj 
Endkapazität äquivalent ist, ein Viertel der Wellenlänge betragen. 
Wir wollen uns nun die Leitung auch auf der Seite der nega- 
tiven X begrenzt denken, und zwar wollen wir an diesem Ende] 
einen Spannungsknoten der stehenden Schwingung annehmen. 
Ein solcher ist, wie erwähnt, durch Einschaltung eines Konden- 
sators von sehr großer Kapazität zu erzielen. Bei Leitungen, die] 
aus zwei Paralleldrähten bestehen, stellt man am Ende der Lei- 
tung nahezu einen Spannungsknoten her, indem man die Drähte! 
dort leitend überbrückt. Bei dieser letzteren Anordnung werden' 
die Belegungen des bei o; = befindlichen Kondensators durch' 



§ 75 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 313 

den aus den Paralleldrähten und der Brücke bestehenden Schlie- 
ßungskreis leitend, verbunden. Welche Bedingung muß erfüllt 
sein, damit die in einem solchen Kreise möglichen stehenden 
Schwingungen durch (224), (224a) dargestellt werden? 

Wir denken uns den Spannungsknoten bei x = — l gelegen^ 
während an dem anderen Ende, bei a; = 0, der Kondensator von 
der Kapazität Kq eingeschaltet ist. Wie oben gezeigt, kann man 
sich die Kapazität Kq beseitigt und dafür die Leitung um die 
Strecke (224b) verlängert denken; dann würden an den Enden 
ein Spannungsknoten bzw. Spannungsbauch liegen, so daß die 
Länge der gedachten Leitung gleich einem ungeradzahligen Viel- 
fachen der Viertel Wellenlänge sein muß: 

l + ^ = {- (2 m -f 1) . Hieraus folgt 

(225) - + 7= 2- + 7W:7t, 

wo m eine ganze Zahl ist. In der Tat verschwindet unter dieser 
Bedingung die durch (224) gegebene Spannung bei a; = — l. 

Ist die Länge l der Paralleldrähte gegeben, gerechnet vom 
Spannungsknoten bis zur Endkapazität Zq, so ergibt (225) in 
Verbindung mit (223 d) die Frequenzen v der möglichen Eigen- 
schwingungen. Diese sind bestimmt durch die transzendente 
Gleichung 

(225a) cotgg)=^f. 

Wir setzen zur Abkürzung 

(225 b) ^ = ''^ ^ ^ = I und ferner 

(225c) '^ = W' ^^^^ ^^^^ (22b a.) 

225d) |tg| = a. 

Diese transz-endente Gleichung bestimmt die Wellen- 
längen der Eigenschwingungen einer aus zwei paral- 
lelen Drähten bestehenden Leitung, die am einen Ende 
überbrückt, am anderen an einen Kondensator ange- 
schlossen ist. Dabei ist a das Verhältnis der Kapazität Kl 
der Paralleldrähte zur Kapazität Kq des Kondensators. 



314 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§75 W 



Ist a sehr klein, d, h. kommt die Kapazität der Leitung nicht 
gegen die Kapazität des Kondensators in Betracht, so ergibt (225 d) 

als kleinste Wurzel. Setzt man hier, nach (225b), (216f) 



^ _ 2jr? _ 27tiyLK 
^ wr ex ' 



2 5r}/zZ 



et 



Vi. 



so wird 
oder 



(225e) 



r^^l^yiLK,. 



Wir erhalten also, wenn wir die Kapazität des Schließungs- 
kreises vernachlässigen, für die Grundschwingung die Thomson- 
sche Formel (201 i); denn IL ist hier die Selbstinduktion der 
Paralleldrähte, da ja L die auf die Längeneinheit berechnete 
Selbstinduktion bedeutet. 

Die Formel (225d) stellt nun die Verallgemeinerung' 
der Thomsonschen Formel dar, die sich durch Berück 
sichtigung derKapazität desSchließungskreises ergibt.! 
Neben der Grundschwingung läßt sie eine Reihe von 
Oberschwingungen als möglich voraussehen. 

Jene Formel wurde zuerst von G. Kirchhoff aus der Fern- 
wirkungstheorie abgeleitet, und zwar für beliebige Form desj 
Schließungsbogens. Wir haben uns bei ihrer Ableitung aus der' 
Maxwellschen Theorie auf eine besondere Anordnung beschränkt, ; 
nämlich auf den Fall, daß der Schließungskreis aus zwei Parallel- 
drähten und einer kurzen Brücke besteht. Für diese Anordnung 
hat der Begriff der Leitungskapazität eine ganz bestimmte Be- 
deutung (vgl. § 72). Für beliebige Form des Schließungskreises 
jedoch und für Abmessungen desselben, die nicht klein gegen 
die Wellenlänge sind, schweben die Begriffe „Kapazität" und 
„Selbstinduktion" der Leitung ganz in der Luft. Das hängt damit 
zusammen, daß im allgemeinen von einem solchen Schließungs- 
kreise Wellen in den Raum hinausgesandt werden, und daß die 
elektromagnetische Energie der Schwingung nicht auf die un- 
mittelbare Nachbarschaft des Leitungskreises zusammengedrängt 



§ 76 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 315 

ist. Der Einwand, der am Schlüsse des § 67 gegen die auf der 
Annahme quasistationären Stromes fußende Thomsonsche Theorie 
der Kondensatorentladung erhoben wurde, ist auch gegen die 
Kirchhoifsche Verallgemeinerung geltend zu machen, da auch 
diese auf die ausgesandte Strahlung keine Rücksicht nimmt. 
Allein gerade der hier behandelte Fall zweier paralleler Drähte, 
die jeweils von entgegengesetzt gleichen Strömen in gegenüber- 
liegenden Querschnitten durchflössen werden, ist diesem Einwände 
nicht ausgesetzt. Hier hat die magnetische Energie in der un- 
mittelbaren Umgebung der Leitung ihren Sitz; die Strahlung ist, 
wie wir in § 80 sehen werden, zu vernachlässigen. 

§ 76. Der Poyntingsche Vektor. 

Die Maxwellsche Theorie legt, indem sie die elektromagne- 
tische Energie über das Feld verteilt denkt, die Vorstellung 
nahe, daß die Energie nicht sprungweise von einem Körper zu 
einem anderen von ihm getrennten Körper übertragen werden 
kann, sondern daß sie allmählich von Ort zu Ort wandert. Wie 
nun aus dem Gesetze der Erhaltung der Masse folgt, daß die 
Zunahme der gesamten Masse in einem Gebiete gleich der durch 
die Begrenzungsfläche in das Innere tretenden Strömung ist, so 
muß sich nach dem Gesetze von der Erhaltung der Energie die 
Zunahme der gesamten Energie des umschlossenen Feldes als 
Energieströmung durch die Begrenzungsfläche darstellen lassen. 

Eine dieser Auffassung entsprechende Theorie der Energie- 
strömung im elektromagnetischen Felde ist von Poynting ent- 
wickelt worden. Bei ihrer Darlegung knüpfen wir an die Glei- 
chung (180 d) des § 60 an, die unmittelbar aus den Feldgleichun- 
gen für ruhende, nicht ferromagnetische Körper folgte: 

(226) ''][= - ^Jdm-^, m„ +fdv{W, t)-Q. 

Dabei ist f die Oberfläche des Raumes v, der von beliebigen 
Leitern oder Isolatoren eingenommen ist, n ihre äußere Normale. 
Das zweite Glied der rechten Seite stellt, wenn die erste der in 
§ ÖO gegebenen Deutungen zutrifft, die Arbeit dar, welche von 



m 



316 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 76 

den in diesen Körpern wirkenden eingeprägten Kräften ^ ge- 
leistet wird; das dritte Glied bringt von dieser Arbeit die Jonle- 
sche Wärme Q in Abzug. Haben wir es mit einem abgeschlos-' 
senen elektromagnetischen Systeme zu tun, bei dem das erste 
Glied der rechten Seite verschwindet, so ist der Überschuß der 
geleisteten Arbeit über die entwickelte Wärme gleich der entstan- 
denen elektromagnetischen Energie, wie es das Energieprinzip 
verlangt. Dies ist auch nach der zweiten, in § 60 erörterten Auf- ■ 
fassung der Fall, nur daß an Stelle des Ausdruckes (180 g) für 
die Arbeit der eingeprägten Kräfte der Ausdruck (180 h) tritt, 
und an Stelle des Ausdruckes (180 a) für die elektrische Energie 
der Ausdruck (180i); nur in solchen Körpern, wo eingeprägte 
Kräfte und Verschiebungsströme gleichzeitig vorhanden sind, 
kommen die Unterschiede der beiden Auffassungen in Frage. 

Jetzt handelt es sich darum, wie für ein nichtabgeschlosse- 
nes, ruhendes elektromagnetisches System das Energiegesetz aus- 1 
zusprechen ist. Ist auf der Fläche /", welche das betrachtete Ge- 
biet eiu schließt, ein elektromagnetisches Feld vorhanden, so tritt 
ein (positiver oder negativer) Energiezuwachs ein, welcher durch 
das erste Glied der rechten Seite von (226) dargestellt wird. 
Dieser Energiezuwachs wird der gesamten Energieströmung 
gleichzusetzen sein, welche pro Sekunde die geschlossene Fläche / 
von außen nach innen durchströmt. Setzen wir nun mit Poyn- 
ting den Energiestrom pro Sekunde und Flächeneinheit gleich 
der zum Flächenstück senkrecht genommenen Komponente des 
Vektors 
(227) @ = ^[<g_6.,^]^ 

so führt die Integration über die geschlossene Fläche f stets zu" 
dem richtigen Werte des gesamten, durch die Fläche tretenden 
Energieflusses. Es wird der Überschuß der Arbeit der einge- 
prägten Kräfte über die Summe aus der Energiezunahme des um- 
schlossenen Gebietes und der in diesem Gebiete entwickelten Joule- 
schen Wärme gleich dem gesamten, durch die Begrenzungsfläche /*| 
nach außen tretenden Energiestrom 
(227 a) ^^:-^'^.^Q^Jdf^^. 



§ 76 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 317 

Die zweite der oben erwähnten Auffassungen läßt die Differenz 
von Arbeit der eingeprägten Kräfte und Energiezunahme unge- 
ändert. Auch für sie ist (227) eine Folge der Feldgleichungen. 
Allerdings ist die duröh den Poyntingschen Vektor (227) ge- 
gebene Verteilung des Energiestromes nicht die einzig mögliche; 
man könnte vielmehi* stets eine quellenfreie Strömung hinzufügen, 
da eine solche durch jede geschlossene Fläche den Gesamtstrom 
Null ergeben, daher in (227 a) herausfallen würde. Dennoch wer- 
den wir den Poyntingschen Ausdruck der Energieströmung als 
allgemein gültig ansehen; waren wir doch bereits in § 68 bei 
der Behandlung ebener, homogener elektromagnetischer Wellen 
in Isolatoren zu einem Ausdrucke gelangt (205 g), der aus (227) 
hervorgeht, wenn eingeprägte elektrische Kräfte fehlen. Wir 
hatten gezeigt, daß die Richtung dieses Vektors, im Sinne der 
elektromagnetischen Lichttheorie gesprochen, dem Lichtstrahl 
entspricht, und daß seine Komponente nach irgendeiner Richtung 
der Strahlung gleich ist, die pro Sekunde von der Flächeneinheit 
einer senkrecht zu dieseV Richtung gestellten Fläche aufgefangen 
wird. Wir werden aus diesem Grunde den Poyntingschen Vek- 
tor <£ gelegentlich auch als „Strahlvektor'^ bezeichnen. Denken 
wir uns das Innere der Fläche f von LichtweUen erfüllt und die 
Fläche selbst durch eine innen berußte Wand verwirklicht, die 
alle auffallende Strahlung absorbiert, so würde die Normalkom- 
ponente von S die pro Sekunde in der Flächeneinheit der berußten 
(schwarzen) Fläche entwickelte Wärme darstellen. Hier gewinnt 
also der Poyntingsche Energiestrom eine unmittelbare physika- 
lische Bedeutung. In einem beliebigen elektromagnetischen Felde 
trifft das nicht immer zu. Bisweilen ergibt der Poyntingsche 
A^ektor S Energieströme in geschlossenen Bahnen, die durch 
nichts ihr Dasein verraten. Ein Beispiel hierfür ist ein System, 
das aus einem isolierten geladenen Leiter und einem Magneten 
besteht. Im Lufträume ergibt hier (227) einen dauernden Energie- 
strom senkrecht zu den elektrischen und zu den magnetischen 
Kraftlinien. Die Energie jedes einzelnen Raumteiles aber bleibt 
konstant, so daß Quell- oder Senkpunkte der Energieströmung 
nicht auftreten. 



318 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 7 



1 



I 



Jedenfalls gibt die Integration von S„ über eine geschlossen! 
Fläche immer richtig die dem Inneren der Fläche entströmte 
Energie, d. h. die Gesamtstrahlung an. Auch dürfte es keine; 
anderen Ausdruck des Energiestromes geben, der dasselbe für ei 
beliebiges elektromagnetisches Feld in ebenso einfacher Weis« 
leistet. Denn die Nahewirkungstheorie muß von einem solche: 
Ausdrucke verlangen, daß er den Energiestrom nur von den elek 
irischen und magnetischen Vektoren abhängig macht, die an der 
betreffenden Stelle gerade herrschen. Wir werden den Poynting 
sehen Vektor daher allgemein als Maß des elektromagnetische 
Energiestromes verwenden. Es wird nützlich sein, den Sinn de 
Foyntingschen Theorie an einigen Beispielen zu erläutern. 

§ 77. Der Energiestrom in der Umgebung eines 
elektrischen Stromes. 

Daß ein elektrischer Strom Energie seiner Längsrichtun 
nach überträgt, ist gerade das, was wir von dem elektrisch 
Strome am genauesten und sichersten wissen. Fraglich ist nur 
wie sich dieser Energiestrom im einzelnen verteilt, vor allem, o\ 
die Fortleitung der Hauptsache nach in dem Metall oder in dem 
umgebenden Dielektrikum erfolgt. Früher galt es als selbst 
verständlich, daß die Energie denselben V^^eg verfolge wie dei 
elektrische Strom selbst, daß er also durch die MetaUmasse hin 
durchgehe. Die Maxwellsche Theorie lehrt jedoch, daß der Sit: 
der elektromagnetischen Energie das umgebende Dielektrikun 
ist. Die Poyntingsche Theorie führt diese Vorstellung weiter aus 
indem sie das Dielektrikum als Energieleiter betrachtet. Bei dei 
Behandlung der elektrischen Drahtwellen (§ 72) fanden wir ii 
der Tat, daß das elektromagnetische Feld in die Leitungsdrähte 
nicht eindringt, daß die Energie sich im Dielektrikum längs dei 
Drähte fortpflanzt. Dabei hatten wir allerdings auf den Wider 
stand der Drähte keine Rücksicht genommen-, würden wir ihi 
einführen, so würde sich ergeben, daß in den Leitungsdrähter 
Joulesche Wärme entwickelt wird, daß ein entsprechender Tei 
der Energie den Wellen entzogen wird, und daß hierdurch ein 
Dämpfung und eine geringfügige Verzögerung der Wellen be 



§ 77 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 319 

dingt wird. Hiervon abgesehen, hat man es mit einem nur im 
Dielektrikum sich abspielenden Vorgänge zu tun. 

Man hat den Energiestrom durchaus von dem elek- 
trischen Strome zu trennen. Der elektrische Strom kann nur 
in den Kupferdrähten fließen, nur auf diesen können elektrische 
Ladungen sich ansammeln. Daher müssen die magnetischen 
Kraftlinien die Drähte umschlingen, die elektrischen Kraftlinien 
auf den Drähten entspringen und endigen. So bilden die Drähte 
hier den Kern des elektromagnetischen Feldes und leiten in die- 
sem Sinne nicht nur die Elektrizität, sondern auch die Energie; 
sie geben nämlich dem Energiestrome die Richtung. Dennoch 
sind im allgemeinen nicht die Metalle, sondern die Dielektrika 
als Leiter des Energiestromes zu bezeichnen. Denn wir wissen, 
daß die elektrischen Wellen durch Metallplatten nicht hindurch- 
dringen, daß sie aber in Isolatoren sich fortpflanzen können. Die 
Metalle sind demnach Nichtleiter des Energiestromes, 
aber Leiter der Elektrizität. Die Dielektrika sind Lei- 
ter des Energiestromes, aber Nichtleiter der Elektri- 
zität. 

Wir betrachten einen Stromring, in welchem von eingepräg- 
ten Kräften (^^ ein stationärer Strom unterhalten wird. Die 
gesamte, für den Strom maßgebende elektrische Feldstärke ist 
hier nach Gleichung (161) 

Nach (227) ist jedoch für den Energiestrom die elektrostatische 
Feldstärke maßgebend: @» = © — ®^ 

Wir betrachten ein Stück unseres linearen Leiters und be- 
rechnen die Energie, die in den Leiter aus dem Dielektrikum ein- 
tritt. Die magnetischen Kraftlinien umschlingen den Leiter; das 
Linienintegral der magnetischen Feldstärke ist nach der ersten 

Hauptgleichung für aUe Querschnitte gleich . Für die ing 

Innere des Drahtes tretende Energie ist nur die zur Drahtachse 
parallele Komponente der elektrostatischen Feldstärke maßgebend; 

die gleich dem Potentialgefälle — -^ längs des Drahtes ist. Die 

OS 



320 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



I 



I 



Energie, die nacli dem Poyntingsclien Satze in das Stück ds des 

Drahtes tritt, ist daher ;)„ 

-^Jds; 

ds ' 

die Integration längs der Leitlinie des Drahtes ergibt 

J{^i — 92) 

für die in ein Drahtstück pro Sekunde eintretende Energie. Ist 
dieses Drahtstück thermisch und chemisch homogen, also von 
eingeprägten Kräften frei, so steUt nach (153) das Produkt aus 
Stromstärke und Potentialdifferenz die entwickelte Joulesch 
Wärme Q dar. Ist aber das Stück die Trennungsschicht zwei 
Leiter, d. h. der Sitz der eingeprägten Kontaktkraft, so wird nac 
(161b) die einströmende Energie 

Fließt also der Strom im Sinne der Kontaktkraft E^^^ i 
strömt hier nicht Energie ein, sondern aus. Es strömt den 
nach überall dort, wo die den elektrischen Strom untei 
haltenden elektromotorischen Kräfte ihren Sitz habei 
Energie in das Feld hinaus-, längs des ganzen Drahte 
strömt andererseits Energie aus dem Felde in de 
Draht ein, um dort in Joulesche Wärme verwandelt 
werden. Bei räumlich verteilten elektromotorischen Kräfte 
überlagern sich diese beiden Energieströme. Die in den ganz« 
Leitungskreis in Summa eintretende Energie ist gleich Nul 
denn das elektrostatische Potential ist einwertig, es verschwinde 
also 9?i— g?2? wenn Anfangs- und Endpunkt des Drahtstückes 
zusammenfallen. Die gesamte Arbeit der eingeprägten Kräf 
wird in Joulesche Wärme verwandelt, wie es für den stationär 
Strom das Energieprinzip verlangt. 

Übrigens ist das elektrostatische Feld ^* durchweg wirbe 
frei; es besitzt keinen Flächen wirbel an der Drahtoberfläch 
d. h. seine tangentiellen Komponenten sind stetig. Auch § ist i 
seinen tangentiellen Komponenten stetig, da von räumlich ve 
teiltem elektrischen Strome die Rede ist. Folglich setzt sich di 
normale Komponente der Energieströmung stetig in das Drah 
innere hinein fort. Die tangentieUe Komponente der Energi 



§ 77 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 321 

Strömung aber kann einen Sprung machen. Im Dralitinnem geht 
in der Tat der Energiestrom im wesentlichen in radialer Rich- 
tung vor sich- im Dielektrikum hingegen, wo das von den freien 
Ladungen des Drahtes herrührende Feld ©* nahezu radial ge- 
richtet ist, kommt ein dem Drahte paralleler Energiestrom hinzu, 
der weitaus den vorhin betrachteten, zur Drahtoberfläche nor- 
malen Energiestrom überwiegt. DieserHauptstromderEner- 
gie geht längs des Drahtes im Dielektrikum vor sich. 
Auf diesem Wege wird die Energie z. B. von der Kraftstation 
eines Elektrizitätswerkes aus den Abnehmern zugeführt. In einer 
geschlossenen Leitung indessen macht sich dieser Energiestrom 
längs des Drahtes nicht bemerkbar, wenigstens nicht bei statio- 
närem Strome, wo er in geschlossenen Bahnen verläuft. 

Der Energiestrom längs des Drahtes kommt zur Geltung bei 
nichtstationärem Strome, etwa bei den Schwingungen einer Kon- 
densatorentladung (vgl. § 67). Hier kann die Potentialdifferenz 
der Kondensatorplatten die eingeprägte Kraft der obigen Betrach- 
tung ersetzen. Nimmt nun die elektrische Energie des Konden- 
sators gerade ab, so tritt ein radialer Energiestrom vom Konden- 
sator aus in das Feld; derselbe wird sodann längs des Drahtes 
nach denjenigen Stellen des Feldes hingeführt, in denen die ma- 
gnetische Energie gerade zunimmt. Ein Bruchteil strömt unter- 
wegs in den Draht, um dort in Joulesche Wärme verwandelt zu 
werden. 

Diese Darstellung der Energieübertragung, welche 
der Poyntingschen Auffassung entspricht, ist demnach 
eine sinngemäße Ergänzung der Annahmen über die 
Energieverteilung, welche der Nahewirkungstheorie 
eigentümlich sind. Bei elektrischen Schwingungen bewährt 
sie sich; auch schließt sie sich an den in der Optik so nützlichen 
Begriff des Strahles an. 

In diesem Bande ist unter der gesamten „elektrischen Feld- 
stärke^^ © stets der Vektor verstanden, dem die elektrische Strom - 
"chte i proportional ist (Gl. 161). Für den Energiestrom ist, 
Us eingeprägte Kräfte wirken, nicht jener Vektor, sondern 
i^ — 6^ maßgebend. Dieser Vektor hat die Eigenschaft, daß seine 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. .'..Aufl. 21 



322 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 7{ 

tangentiellen Komponenten sich an der Grenzfläche zweier Kör- 
per stetig verhalten; sonst würde nämlich eine flächenhalte An- 
häufung der Energie eintreten, die mit den Grundvorstellungei] 
der MaxweUschen Theorie nicht vereinbar ist. H. Hertz dagege: 
bezeichnet in seinen Abhandlungen über die Grundgleichunge 
der Elektrodynamik als „elektrische Kraft" den für den Energie 
ström maßgebenden Vektor; er muß dann die Beziehung zwischen 
Stromdichte und elektrischer Kraft überall dort abändern, wo 
eingeprägte Kräfte auftreten. Die „elektrische Kraft" in Hertz 
scher Bezeichnung fällt also mit unserem Vektor (B — ®^ zu 
sammen, der im statischen oder stationären Felde die „elektro- 
statische Kraft" darstellte. 

§ 78. Der komplexe Poyntingsche Vektor. 

In diesem Paragraphen sollen eingeprägte elektrische Kräffc( 
nicht angenommen werden, so daß der Poyntingsche Vektoi 

(227) wird: 

(228) @ = i^[e§]. 

In dem Ausdrucke (226 a) verschwindet dann das Glied, welche^ 
die Arbeitsleistung der eingeprägten Kräfte darstellt. Kehrt maill' 
die Normalenrichtung um, versteht also, was im folgenden sich 
als zweckmäßiger erweisen wird, unter n die nach dem Inneren 
der Begrenzungsfläche f weisende Normale, so wird 

(228a) fdf^„=Q + ^J; 

d. h. der durch die Fläche f nach innen tretende Energiestroi 
ist gleich der Summe aus Joulescher Wärme und Energiezunahm« 
des umschlossenen Feldes. 

Wir wollen in diesem Paragraphen einen periodischen Schwin- 
gungszustand des Feldes betrachten und Mittelwerte über di< 
Zeit (t) einer ganzen Schwingung bilden, die wir durch einei 
horizontalen Strich über der betreffenden Größe kennzeichnen] 
Da offenbar in einem Schwingungsfelde wegen der periodische! 
Art der Feldgrößen gilt: 



§ 78 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 323 

t+T 



dW 
dt 



tJ'I^'-I {W{t + r)-W{f)]^Q, 



SO fällt aus (228 a) bei der Mittelwertsbildung das Glied, welches 
die Energiezunahme enthält, heraus^ und es wird 

(229) Jdt^„=^Q- 

d. h. der Mittelwert des gesamten, in das Innere treten- 
denEnergiestromes ist gleich demMittelwert der Joule- 
sehen Wärme. 

In der Theorie der Wirbelströme — d. h. der Ströme, die ein 
periodisches Magnetfeld im Innern eines Leiters erzeugt — , und 
bei vielen anderen Problemen kommt es hauptsächlich auf die 
Berechnung des Mittelwertes der entstehenden Jouleschen Wärme 
an. Anstatt nun, wie es am nächsten läge, eine Integration des 
skalaren Produktes aus Stromdichte i und Feldstärke % über den 
vom Leiter eingenommenen Raum vorzunehmen, kann man, auf 
Grund der soeben aus dem Poyntingschen Satze abgebildeten 
Formel, sich mit einer Integration über die Oberfläche des Lei- 
ters begnügen, was eine Ersparnis an Rechenarbeit bedeutet. 

Wir wenden die Formel (229) auf die in § 68 behandelten 
Wellen in Halbleitern an. Von der als {ys)-Wo&n.Q gewählten Be- 
grenzungsebene des Leiters tritt eine elektromagnetische Welle 
in das Innere, deren Feldstärken nach (207), (208) gegeben sind 
als reelle Teile von 

(230) e^ = a . e" ^'''^\ §, = & • e" v ~^« / . 

Dabei sind die komplexen Konstanten a und h nicht unabhängig 
voneinander, sondern verknüpft durch (208 a): 

(230 a) l = Z = »-rzi?. 

Wir errichten nun über einem Stücke der Begrenzungsebene, 
vom Flächeninhalt eines Quadratzentimeters, einen Zylinder und 
fragen nach der mittleren Jouleschen Wärme, welche in" der Se- 
kunde in diesem Zylinder entsteht. Die Höhe des Zylinders neh- 
men wir als so groß an, daß auf der gegenüberliegenden Grund- 

21* 



324 



Dritter Absclinitt. Das elektromagnetische Feld 



§ 78 



fläche die infolge der Wärmeentwicklung gedämpften Wellen 
praktisch erloschen sind. Dann ist der Energiestrom durch jene 
Grundfläche gleich Null. Ferner hat an der Mantelfläche des 
Zylinders der Energiestrom, der überall der ;2;- Achse parallel ist, 
keine normale Komponente. Es kommt also allein der Energie- 
strom durch die (y^er) -Ebene in Betracht; sein Mittelwert 

(231) C=g 

ergibt die mittlere Wärmeentwicklung im ganzen Zylinder. 
Für a; = ergibt (230): 



I 



= a • e*' 



§.= * 



oivt 



Nun darf man, um gemäß (228) den Poyntingschen Vektor zui 
bestimmen, selbstverständlich nicht ohne weiteres das Produkt j 
dieser beiden komplexen Ausdrücke bilden. Man hat vielmehr,j 
indem man setzt: ^ == |^| ^f«^ 2> = |6| e*/*, 

die reellen Teile abzuspalten: 

Be((By) == \a\ cos {vt-{-a), 
und erhält so 



i^6(§,) = |6|cos(W-f-/3)J 



und folglich als Mittelwert über die Zeit einer ganzen Schwingung] 

h\ cos (a — ß). 



'-=8^-|«l 



Da nun nach (230 a) gilt 
a !a 



. g*{a-/^ == 



»o folgt 1 



\h\ Goa (a — ß) = \a\ 



und demnach ergibt 

(231a) 



757 C 



= 8i;-i«i 



den mittleren Energiestrom durch die Grundfläche des Zylinders 
und daher nach (231) die mittlere Wärmeentwicklung im Zylinder. 
Wepmit der rechnerischen Behandlung der komplexen Größen 
bei Schwingungsaufgaben vertraut ist, weiß, wie man dieses etwas ; 
umständliche Verfahren vereinfachen kann. Wenn es sich nur um i 



§ 78 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 325 W 

die Berechnung des zeitlichen Mittelwertes handelt, kann man 
statt §^ die zu ihr konjugierte komplexe Größe einführen: 

g * _ 2,* . ß-ivt^ ^o^gi nach (230a) gilt 

6* = a* • • Man setze sodann 

(232) ®,= jH^.|j?e(e,.§/H3^Ee{aJ*). 
Dies ergibt wiederum 

(232a) ^.= £Be[aa*{^)l^J,H^.f, 

in Übereinstimmung mit (231a). 

Da nun bei Aufgaben, die sich auf das Feld von Wechsel- 
strömen beziehen, die Lösung meist von vornherein sich in kom- 
klexer Form darstellt, so liegt die Frage nahe: Läßt sich das 
zuletzt angewandte Verfahren verallgemeinern, und hat auch der 
imaginäre Teil des „komplexen Poyntingschen Vektors" 

(233) « = 8^[6r] 

eine physikalische Bedeutung? 

Um dieses zu untersuchen, gehen wir aus von den Feldglei- 
chungen für Halbleiter (206 a, b) ; sie lauten, da die Abhängigkeit 
der Vektoren @ und § von der Zeit durch den komplexen Faktor 

f^*'^ dargestellt wird: 

, ^ Ana ff. , iv8 gf, 
curl§=^^-f -®, 

(233a) curl (S = - '^'' § . 

§*, der zu § konjugierte komplexe Vektor, muß demnach der 
Differentialgleichung genügen 

(233b) curl§* = ^^e*- j*'^@*. 

Man multipliziere nun (233 b) mit ^, (233a) mit §*, und sub- 
trahiere; dann folgt 

% curl ^*- ^*curl % = ^"^^(«(g*) -f '^{ft(§§*) - K®®*)} 
oder, gemäß Regel (102), 



i? 326 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§78M 

33\T 



und schließlich, unter Einführung des komplexen Vektors U (233), 

(233c) . - div U = I ff 16^1 + iv{£\§'\ - 3^1« 

Wir integrieren nun über ein räumliches Gebiet, wobei die linki 
Seite nach dem Gaußschen Satze sich in ein über dessen Ober 

fläche erstrecktes Integral umwandelt. Beachtet man, daß — 1@^| 

und Y I ^*l ^^® zeitlichen Mittelwerte der Quadrate der Feldstärkei 

sind, so folgt (n ist die innere Normale der Fläche f): 

(234) fdfU,- e + i • 2v{T - U). 

Es ist also für ein Wechselfeld der reelle Teil des Ober- 
flächenintegrals des „komplexen Poyntingschen Vek- 
tors" U gleich der mittleren Jouleschen Wärme; de] 
imaginäre Teil hingegen ist gleich der Differenz dei 
Mittelwerte der magnetischen und der elektrische: 
Energie des umschlossenen Gebietes, multipliziert mii 
der doppelten Schwingungsfrequenz. ^ Die Spaltung dei 
komplexen Formel (234) in reellen und imaginären Teil würde 
einerseits zum Poyntingschen Satze in der Form (229) zurück^ 
führen, andererseits zu einem vom Verfasser gelegentlich auf] 
gestellten Satze. Die obige übersichtliche Zusammenfassung untei 
Verwendung eines einzigen komplexen Vektors rührt von F.Emd( 
her. Der Satz (234) gilt ebenso wie der Poyntingsche für eii 
Gebiet, welches beliebige Körper enthält; auch ünstetigkeits-j 
flächen sind nicht auszuschließen, da die Normalkomponente des 
Vektors U, wegen der zu fordernden Stetigkeit der tangentiellei 
Komponenten von ^ und ^*, sie stetig durchsetzt. 

In dem obigen Falle, wo eine ebene Welle senkrecht in einei 
Halbleiter eintritt, ist 



(235) 



tt. 



c 
8ä 



%§* 



k"^* 



aar 



n-\- ix 

es folgt also aus (234) einerseits als reeller Teil in Übereinstim^ 
mung mit (232 a) 



(235 a) 



8ä 



und andererseii 



i^ 78 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 327 



12 



(235b) T-fT^j^Ial ^, 

wobei I a i die Amplitude der elektrischen Feldstärke an der Grenz- 
ebene des Halbleiters bezeichnet. 

Für Metalle kann man (§ 70) die Dielektrizitätskonstante und 
dementsprechend die elektrische Energie gleich Null setzen. Dann 
ergibt (234) 

(236) Jdfn,^Q + i'2vT. 

Es ist so die Bestimmung der mittleren Jouleschen 
Wärme und der mittleren magnetischen Energie in 
Metallen auf eine Integration über die Oberfläche zu- 
rückgeführt. 

In dem obigen Beispiel ist nach (210 a) für alle Metalle zu 

setzen , , 

n = 7c = y^6T, 

somit ergeben (235 a, b): 

(236a) e = /-l«P-y^>- 

(236b) ^=3i^'W-y?' 

Führt man statt der Amplitude \a\ der elektrischen Feldstärke 
die Amplitude |&| der magnetischen ein, gemäß (230a): 

|6r=i«r^-'^'=!aP-'f^ -wird 

(2360) Q-rhW'-VJr' 

(236d) ^=^f^,w.y^. 

Dieses sind also bei Wellen, die von der Grenzebene aus senk- 
recht in das Innere des Metalles treten, die Mittelwerte der Joule- 
schen Wärme und der magnetischen Energie in einem über der 
Flächeneinheit der Grenzebene errichteten Zylinder. 

Wir wollen die Bedeutung der Beziehung (236) noch an 
einem anderen Beispiel erläutern. Man denke sich einen geraden 
Leitungsdraht von kreisförmigem Querschnitt in der Längsrich- 
tung von Wechselstrom durchflössen. Die elektrische Feldstärke 



328 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



78 1 



wird dann der Drahtachse parallel sein, in deren Richtung wir] 
die y -Achse legen. Zwischen den komplexen Ausdrücken für 
die tangentielle Feldstärke ^ an der Drahtoberfläche und der 
gesamten Stromstärke J wird eine Beziehung bestehen von der 
Form: 

(237) @^=(r-f-si)J-, 

wobei r und 5 reelle Konstanten darstellen. 

Welche Bedeutung haben nun diese beiden Konstanten? Um 
dies festzustellen, wenden wir auf die Längeneinheit des Drahtes 
die Formel (236) an; da der komplexe Poyntingsche Vektor U 
senkrecht zur Drahtachse gerichtet ist, so liefert zur linken Seite 
nur die Mantelfläche des zylindrischen Drahtstückes einen Bei 
trag, und zwar 



I 



JäfK^f 



^<t>ds^-,%M 



*_ 



87t y 



Sn 



fds§*; 



hier bedeutet s die ümfangslinie des Drahtquerschnittes, längs 
deren aus Symmetriegründen @ konstant ist. Nun besteht zwi- 
schen dem Linienintegral von §* und der zu J konjugiert kom- 
plexen Größe J* die Beziehung 



Lifolgedessen wird 



/ 



fds^,* 
fäfU, 



4» 



J* 



= V<^.^*. 



dfn„=(r-^si)~JJ*==(r + si) ^ 



und nach (237) | 



Der Vergleich mit (236) ergibt 



(237 a) 
(237 b) 



ö = r•^l^!^ 



2 I 



^.= 



2v 



ii«^!*- 



Dies sind die Joulesche Wärme und die magnetische Energie des 
Drahtinnern, bezogen auf dessen Längeneinheit. Es hat also, da 

— I J"!* den Mittelwert des Quadrates der Stromstärke angibt, r die 

Bedeutung des Widerstandes pro Längeneinheit; s hängt 



§ 78 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 329 

mit der „inneren Selbstinduktion (?,.) pro Längeneinheit 
des Draktes", die wir durch 

bestimmen, folgendermaßen zusammen: 
(237 c) /, = *f- 

Wir haben T,., l- für die magnetische Energie bzw. für die 
Selbstinduktion des Drahtinnern geschrieben, weil neben diesen 
— und zwar meist sie überwiegend — die magnetische Energie 
des Drahtäußem und die ihr entsprechende äußere Selbstinduk- 
tion in Betracht kommen; von diesen ist hier nicht die Rede. 

Ist nun, durch Integration der Feldgleichungen für das Draht- 
innere, die Beziehung zwischen der Stromstärke und der elek- 
trischen Feldstärke längs des Umfanges des Querschnittes in der 
komplexen Form (237) erhalten worden, so ergeben sich ohne 
weiteres Widerstand und innere Selbstinduktion. 

Mit wachsender Frequenz des Wechselstromes weicht die Ver- 
teilung des Stromes über den Drahtquerschnitt mehr und mehr 
von der gleichförmigen ab; der Strom drängt sich nach der 
Oberfläche hin und bildet schließlich nur eine dünne ober- 
flächliche Stromhaut; diese Erscheinung bezeichnet man als 
„skin (Haut)- Effekt". Im Sinne der Maxwellschen Theorie 
ist es, die Erscheinung folgendermaßen zu deuten: Das elektro- 
magnetische Feld dringt vom Dielektrikum her in das Innere 
des Leiters ein. Bei geringer Schwingungszahl dringt es so 
weit vor, daß der Strom sich gleichförmig über den Querschnitt 
verteilt; je großer jedoch die Frequenz ist, desto weniger tief 
dringt das Feld, und damit der Strom, in das lunere des Leiters 
ein. So aufgefaßt, tritt der skin-Effekt in enge Beziehung zu 
dem in § 71 behandelten Eindringen elektromagnetischer Wellen 
in Metalle. 

Hier wie dort sind an der Grenzfläche die elektrische und die 
magnetische Feldstärke im Metalle tangentiell gerichtet. Zwar 
war dort die Oberfläche eben, hier dagegen ist sie gekrümmt. 
Ist indessen der Drahtradius groß gegen die Dicke der Strom- 



I 

330 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§ 78 



haut, so wird dieser Umstand keine wesentliche Abweichung be- 
dingen, und es wird das Eindringen der Wellen hier nach dem- 
selben Gesetze stattfinden wie dort. Nun wurde in § 71 gezeigt,] 
daß Hertzsche Wellen in Kupfer bis zu einer Tiefe von höchstens 
einem hundertstel Millimeter eindringen. Somit kommt für einen] 
Draht vom Radius eines Millimeter, bei der Frequenz der Hertz- j 
sehen Wellen, die Krümmung der Drahtoberfläche nicht wesent- 
lich in Betracht; die Amplituden und Phasen der elektrischen 
und magnetischen Feldstärke verhalten sich dann so, wie es ini 
§ 69 angegeben wurde: das hier in Betracht kommende Ergebnis 
ist in den Formeln (230), (230 a) enthalten, in denen für Metalle] 
zu setzen ist: n = x =y^6r. Es gilt also mit genügender An- 
näherung die Formel: 






Ferner ist, wenn q den Drahtradius bezeichnet, 
= 2zQ'p^y also 



45rJ 



2J 

CQ '■ 



somit 



y CQ Y 6t 



Nunmehr ergibt sich aus (237) und (237 c) 



(238) 



CQ r 6X 
CO V 6T ' 






und somit 



ey,r 



27CQ 



Dieses sind die sogenannten „Rayleighschen Formeln" für 
den Widerstand und die innere Selbstinduktion der Längenein- 
heit eines Drahtes von kreisförmigem Querschnitt bei hoch 
frequentem Wechselstrom. Es sind Näherungsformeln, die aus- 
reichen, wenn die Dicke der Stromhaut klein gegen den Draht- 
radius ist; dann sind, wie man sieht, beide Größen dem Drahtradius 
umgekehrt proportional; mit abnehmender Schwingungsdauer t 

nimmt r zu wie t~^, dagegen l. nimmt ab wie r^, eben infolge 
der wachsenden Zusammendrängung des Stromes. 



: 



§ 79 Drittes -Kapitel. Elektromagnetische Wellen 331 

§ 79. Die Hertzsche Lösnng. 

Wir haben früher die Fortpflanzung ebener elektromagne- 
tischer Wellen im Räume behandelt. Nun wird eine elektro- 
magnetische WeUe erst in unendlicher Entfernung von der 
Erregungsstelle als ebene WeUe anzusehen sein. Kann die 
Maxwellsche Theorie auch über die Vorgänge in der Nähe der 
Erregungsstelle, welche das Entstehen der Welle bedingen, etwas 
aussagen ? 

Eine Lösung der Peldgleichungen , welche die Ausbreitung 
elektromagnetischer Wellen von einem Erregungspunkte aus 
darstellt, ist von H. Hertz gefunden worden; wir geben sie hier 
in vektorieller Form wieder. 

Die Feldgleichungen für den an Materie und Elektrizität 
leeren Raum lauten 

j a) |^=curlg, b) divt = 0, 

(239) ^ : 

I c) -y ^= curl %, d) div § = . 

Die beiden letzten dieser Gleichungen (c, d) werden erfüllt, wenn 

man 's 

(240) 



man setzt i ^ta 



Das elektrische und das magnetische Feld sind hier aus einem 
einzigen Vektor 3 abgeleitet, den wir den „Her tzschen Vektor** 
nennen. Damit auch den beiden ersten der Feldgleichungen (239) 
Genüge geschehe, muß der Hertzsche Vektor die partielle Diffe- 
rentialgleichung erfüllen: 

(240a) ^^- = V div 8 - curl curl 8 = V^g • 

Ein partikuläres Integral derselben ist 

(241) 8=-^-"-^-; 

dasselbe ist überall endlich und stetig, außer im Punkte r = 0, 



I 



332 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld § 79 

der, wie wir sehen werden, die Erregungsstelle ist; r bedeutet 
die Entfernung von diesem Punkte. Wir wollen uns davon über-l 
zeugen, daß (241) der partiellen Differentialgleichung (240a) 
überall, außer im Erregungspunkte, genügt. Um diesen Nach- 
weis zu führen, zeigen wir zunächst, daß für eine skalare Funk- 
tion f des Argumentes t die Differentialgleichung gilt: 



fit-') ^ „, ^ (»_>•.) 



und femer o « (— 1 = 



Indem man nun die Koordinaten zyklisch vertauscht, und zur 
zweiten Ableitung nach x diejenigen nach y und 2 hinzufügt, er- 
hält man, mit Rücksicht darauf, daß 1/r der Laplaceschen Glei- 
chung genügt: 

Man ersieht hieraus, daß die Komponenten des Hertzschen Vek- 
tors (241) in der Tat die Differentialgleichung (240a) befriedigen:! 

1 a^Sx _ ^2g^ ^s^^ 



dt' 



Führt man den Ausdruck (241) für den Hertzschen Vektor 
in (240) ein, so wird demnach eine Lösung der Feldgleichungen 
(239) erhalten, die im ganzen Räume, den Erregungspunkt r = 
ausgenommen, endlich und stetig ist: 



§ 79 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 333 

.(241a) «^Vdiv{'A„ii}_i,_i_^^_, 

(241b) §=.}curl{^A_-_5_y|. 

Wir erörtern zuerst den Ausdruck für §. Nach Gleichung 

^"')'^* curl{i:}=|curl,.' + [v.i,<,'], 

und da man hat 

V^ = -^„ curl,'(.-f) = -[-^,r(*-^)], 

80 folgt 

dies ist das magnetische Feld, welches der Hertzschen Lösung 
entspricht. 

Es mögen nun die Komponenten des Vektors p (t) periodische 
Funktionen der Zeit sein, von der Form 



m - Ä sin (-f + a) 



Dann ist die Größenordnung des ersten Gliedes in (242) 



er 



' Ä ' = g {X = CT Wellenlänge) , 



dagegen die Größenordnung des zweiten Gliedes 

cV *^' [t ) ~ X^r ' 

Diese Größenordnungen verhalten sich wie l zu 27Cr. Es wird 
demnach in Entfernungen vom Erregungspunkte, die klein gegen 
X/2n: sind, das erste Glied, dagegen in Entfernungen, die groß 
gegen 1/2 jt sind, das zweite Glied in (242) ausschlaggehend sein. 
Wir erörtern zunächst den ersten Fall. 

A) Nachbarschaft des Erregungspunktes (27tr klein 
gegen A). 

Hier ist also das zweite Glied in (242) zu vernachlässigen. 

Ferner ändert sich, wenn man t statt t setzt, nur der Phasen- 



334 Dritter Absclinitt. Das elektromagnetische Feld § 7 






winkel der trigonometrisclieii Funktionen, welche die Kompo 
nenten von p darstellen, und zwar um — 27trlX- dieser Winkel 
ist in dem jetzt zu betraclitenden Gebiete verschwindend klein 
Man hat also 

(243) §^^[p'it),t]. 

Dieser Ausdruck für das magnetische Feld in der Nähe de 
Erregungspunktes erinnert an das Biot-Savartsche Elementar 
gesetz. In der Tat, setzt man 

(243a) tji' (t) ^ J(t) ' d^^ , 

80 geht (243) in das Biot-Savartsche Elementargesetz fü 
das Feld eines Stromstückes über (vgl. § 55, Gl. (168)). 

Wenn hier das Biot-Savartsche Gesetz der Fernwirkungs 
theorie von Bedeutung wird, so ist doch nicht außer acht z 
lassen, daß es sich in (243) nur um einen verstümmelten Aus 
druck für das magnetische Feld handelt; nur in Entfernunga 
vom Stromstücke, die klein gegen A/23r sind, ersetzt er näh 
rungsweise die wirkliche Lösung (242). Um zu dieser zu g 
langen, ist zuerst in (243 a) das Argument zu ändern; en 
sprechend 

(243b) ■p-^t-r^^j(t^L.^di 

ist für das Feld in der Entfernung r die Stromstärke zu einei 
um r/c zurückliegenden Zeit maßgebend. Es pflanzt sich also 
die magnetische Kraft vom Erregungspunkte aus nach 
allen Seiten mit der Geschwindigkeit c fort. 

Aber auch dann, wenn man das mit Rücksicht auf die endÄ 
liehe Fortpflanzungsgeschwindigkeit berichtigte Biot-Savartsche 
Gesetz anwenden woUte, würde man nur zum ersten Gliede voi 
(242) gelangen. Dieses überwiegt das zweite, solange 2:tr kleii 
gegen X ist; hingegen in Entfernungen, die groß gegen X/2jt sin( 
ist das zweite Glied ausschlaggebend. Hier stellt auch das b( 
richtigte Biot-Savartsche Gesetz nicht annähernd dasjenige Feie 
dar, welches der Lösung der Feldgleichungen entspricht. Jenei 
Gesetz zufolge würde, wenn man vom Stromstücke aus in einei 
bestimmten Richtung fortschreitet, die magnetische Feldstärke 



§ 79 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 335 

mit dem umgekehrten Quadrate der Entfernung abnehmen; diese 
Lösung dagegen ergibt in großen Entfernungen eine Abnahme 
mit der umgekehrten Entfernung. Nach jenem ist die Strom- 
stärke selbst, nach dieser die zeitliche Änderung der Stromstärke 
für das Feld bestimmend. 

Diese Überlegungen zeigen, welche Rolle den Elementar- 
gesetzen in der Maxwellschen Theorie zukommt; ihre Gültigkeit 
bei Wechselfeldern beschränkt sich auf ein Gebiet, dessen Ab- . 
messungen klein gegen die Wellenlänge sind. Solange es sich 
um Wellen handelte, deren Länge nach Kilometern zählte, entzog 
sich der Unterschied zwischen ihnen und den Feldgesetzen der 
Maxwellschen Theorie der experimentellen Prüfung. Bei den 
Hertzschen Schwingungen dagegen macht er sich bemerkbar. Er 
bezieht sich nicht allein darauf, daß statt der augenblicklichen 
Ausbreitung des Feldes eine Fortpflanzung mit Lichtgeschwindig- 
keit angenommen wird. Diese Annahme hatten bereits die Fern- 
wirkungstheoretiker in ihre Elementargesetze eingeführt. Solche 
Verallgemeinerungen der Elementargesetze sind indessen mit 
einer großen Willkür verbunden ; diese Willkür wird in der Max- 
wellschen Theorie dadurch behoben, daß das elektrische und 
das magnetische Feld den differentiellen Verkettungsgleichungen 
genügen müssen. Ihnen genügen eben die Feldausdrücke der 
Hertzschen Lösung, zu deren Erläuterung wir jetzt zurückkehren. 

Daß bei hochfrequentem Wechselstrom ein abgetrenntes 
Stromstück denkbar ist, während Gleichstrom nur in einer ge- 
schlossenen Bahn fließen kann, ist darin begründet, daß der 
wechselnde Leitungsstrora durch den Verschiebungsstrom im 
Isolator zu einem geschlossenen Strome im Sinne der Maxwell- 
schen Theorie ergänzt wird. In der Tat, die Enden des Sti-om- 
stückes werden sich abwechselnd positiv und negativ aufladen, 
und das von diesen Ladungen erzeugte elektrische Feld wird bei 
seinen Schwankungen Verschiebungsströme erregen. Welches 
elektrische Feld ergibt nun die Hertzsche Lösung? 

In der Nachbarschaft des Erregungspunktes kann man, dem 
oben Gesagten gemäß, in (241a) das letzte Glied streichen, und 
setzen 



336 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

(244) (^^-V(p, 9) = -div{?^^ 

hier leitet sich also das elektrische Feld aus einem skalaren Po- 
tential ab. Nach Regel (65) wird das Potential 

(244a) <p = -».(<) V„(|), 

d. h. es entspricht nach § 15 einem elektrischen Dipole vom 
Momente |i. 

Man kann sich demnach einen Erreger, wie ihn die Hertz- 
sche Lösung fordert, folgendermaßen verwirklicht denken. Ein 
kurzes Leiterstück trage an den Enden zwei Kugeln, deren 
entgegengesetzt gleiche Ladungen ± e(t) periodisch wechseln; 
Länge und Richtung des Leiterstückes sind durch dfg gegeben. 
Dann ist 
(244b) p(t) = e{t)d^ 

das Moment diesesDipoles; sein elektrostatisches Feld stimm 

in Entfernungen, die groß gegen den Abstand der Kugeln sind, 

mit dem nach (244, 244a) berechneten überein. Der periodische 

Wechsel der Ladungen wird von einem Leitungsstrome begleitet 

sein: ^^ 

J= —' es folgt somit 

(244 c) p'(t) = J(t)d^, 

eine Beziehung, die sich mit (243a) deckt. Man sieht also: In 
Entfernungen, die [klein gegen X/2jt sind, ergibt die 
Hertzsche Lösung das magnetische Feld eines Strom- 
stückes; das elektrische Feld entspricht einem Dipole, 
dessen Pole die durch Aufladung der Enden des Strom- 
stückes entstehenden Elektrizitätsmengen sind. 

Hieraus geht hervor, daß die Länge des gedachten Erregers 
klein sein muß gegen eine Länge, die ihrerseits klein gegen 
X/27t ist; nur dann kann sein Feld in dem soeben dargelegten 
Sinne als das eines Erregungspunktes betrachtet werdeu. 

Die Feldgesetze (241 a, b) lehren nun das Feld kennen, welches 
ein so beschaffener Erreger im Räume erzeugt. Der Ausdruck 
für das magnetische Feld wurde bereits in (242) angegeben; er 



§ 79 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 337 

setzt sicli aus zwei Gliedern zusammen, welche von der Strom- 
stärke bzw. von deren zeitlicher Änderung abhängen, die zu der 
um r/c zurückliegenden Zeit im Erregungspunkte vorhanden 
waren. Der allgemeine Ausdruck für das elektrische Feld, der 
nicht hingeschrieben werden soll, setzt sich aus drei Gliedern 
zusammen, die bzw. von ^, ^' und p" abhängen, und die mit 
r~', r~^ und r~^ abnehmen, wenn man vom Erregungspunkte 
aus längs eines Fahrstrahls fortschreitet. Wir gehen jetzt zur 
Besprechung der Feldgesetze für Entfernungen über, die groß 
gegen X/27t sind. Aus Gründen, die sogleich hervortreten werden, 
nennen wir dieses Gebiet die „Wellenzone". 

B) Feld in der Wellenzone {2jtr groß gegen X). 

Bei der Berechnung von 

vdiv V /^M 

l r j 

kann man sich auf diejenigen Glieder beschränken, die durch 

Ableitung des Vektors )j, bzw. seines Argumentes t , nach 

den Koordinaten entstehen; denn die übrigen nehmen schneller 
mit wachsender Entfernung ab, und sind in dem jetzt betrach- 
teten Gebiete zu vernachlässigen. So erhält man 



div 



['<'-7-3|^-,i,('..'('-t)), 



Vdiv 
und (241a) ergibt 

« = .i.Krf'(.--9)-.Y'(*-^)), 
wofür man nach Regel (23) auch schreiben kann 
(^46) « = ;.{'['»•",_ ^]]. 

Dem elektrischen Felde ordnet sich, nach (242), das magne- 
tische zu 

Akrahaui, Theorie der iälektrizitüt. I. 5. Aofl. 22 



338 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 

1 r 



(245 a) 



n 



1 



Diese Formeln stellen das elektromagnetische Feld i: 
der Wellenzone dar. 

Wie man sieht, ist für das elektrische und für das magne- 
tische Feld lediglich das äußere Produkt der Vektoren t und — |i'1 
maßgebend. Es kommt also für das Feld in einem bestimmten] 
Aufpunkt nur die Projektion von p" senkrecht zum Fahrstrahl r] 
in Betracht; schließt ~^'' mit dem Fahrstrahl den Winkel d" ein, 
so ist der Betrag von § 

^ sin & , ^ „, 



c^'r 



und die Richtung von § steht nach (245 a) senkrecht auf dei 
Fahrstrahl und ordnet sich den Richtungen von r und jener Pro-j 
jektion von — p" zu wie der Mittelfinger dem Daumen und Zeige 
finger der rechten Hand. 

Andererseits kann man den Ausdruck (245) für die elektrisch( 
Feldstärke schreiben 

e = -[».#] = [#t,], 

wo r^ einen zum Fahrstrahl t parallelen Einheitsvektor vorstellt] 
Da nun § senkrecht auf r^ steht, so sind @ und § dem Be- 
trage nach gleich: 



(246) 



-i^i-^in 



(B bildet mit § und t ein Tripel aufeinander senkrechter Vektore 
welche in der angegebenen Reihenfolge mit den Achsen einen 
rechtshändigen Bezugssystemes zur Deckung zu bringen sind, 
a ist also parallel der Projektion von —p'\ genommen zu 

Zeit t , auf die zum Fahrstrahl r senkrechte Ebene 

c ' ^ 

und § steht senkrecht auf t und ^. 

Es liegen demnach hier ähnliche Verhältnisse vor wie bei 
ebenen elektromagnetischen Wellen (§ 68) ; die Wellen sind trans 
Versal und eilen mit Lichtgeschwindigkeit fort. Demgemäß 
haben wir das in Rede stehende Gebiet als „Wellenzone" be 



§ 79 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 339 

zeiclinet. Doch nimmt bei diesen Kugelwellen die Amplitude 
beim Fortschreiten ab wie die reziproke Entfernung vom Zentrum. 
Auch sind die Wellen nicht homogen, sondern ihre Amplitude 
ändert sich längs der Kugel mit dem Sinus des Winkels O*. Han- 
delt es sich um ein Stromstück von fester Achse, so gibt d" den 
Winkel zwischen Fahrstrahl und Achse an; die Amplitude der 
entsandten Wellen ist dann die stärkste für Richtungen senk- 
recht zur Achse, während in den Polen, wo die Achse die Kugel 
schneidet, die WeUenamplitüde gleich Null ist. 

Die Energieströmung der Wellen bestimmt der Poyntingsche 
Satz. Der Poyntingsche Vektor 

ist, nach den obigen Angaben über die Richtungen von ®, § und 
r, dem Fahrstrahl t parallel; er hat den Betrag 

(246a) S^ = ' • ®j ■ § == P^,:^'' r. 

c 

Die Energieströmung ist am stärksten senkrecht zur Achse des 
Stromstückes; sie ist Null in Richtung der Achse. Sie nimmt, 
bei der Ausdehnung der Wellenkugel, welche die Portpflanzung 
der Welle begleitet, mit dem umgekehrten Quadrate von deren 
Radius ab. Die gesamte Energieströmung durch eine Kugel vom 
Radius r beträgt 

rt 7t 

S = 2jtr^ fdd' sin {^ i@! = 2c« • / ^^ ^^^* ^ ' !^"'^,_ ^ ' 



und infolsre von 



I dd" sin^'9'== I du(l —u^) == ^ erhält man 



-1 



r246b) «=3^ '♦■"',_' 

c 

für die Gesamtstrahlung durch eine Kugelfläche. 

Die Energie, welche durch die Kugel nach außen strömt, geht 



340 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§ 79 



den Schwingungen im Erregungspunkte verloren. Die Erreger- 
schwingungen erfahren daher eine Strahlungsdämpfung. 

Ist der Strom ein rein periodischer und a seine elektromagni 
tisch gemessene Amplitude, so setze man 

(247) J=ac sin (^) , d. h. nach (244c 



r- 

J 






mithin 



Versteht man unter l die Länge des Stromstückes, so wird 



p 



cos 



/2nt 2nr\ 



und diese Größe ist nach (246) für das elektromagnetische Fel< 
in der Wellenzone maßgebend. Es wird 

<2nt 27tr\ 



(247 a) 



i^i 2nla . „ /27ct 2^r\ 



Wenn der Strom zur Zeit ^ = zu fließen beginnt und dar 
nach (247) als rein periodischer Wechselstrom verläuft, so ist 
und mithin p'(t) für ^ = stetig; jedoch p'\t) ist unstetig. Dahe 
hat man in diesem Falle eine unstetige Wellenj&ront, welche di 
von der Störung noch nicht erreichte Gebiet r^ct von dem Ge 
biete der Störung r<^ct trennt. 

Für die Gesamtstrahlung ergibt sich aus (246 b) 



(247 b) 



S^ 






cos' 



/27tt _ 27tr\ 



und für ihren zeitlichen Mittelwert 



(247 c) 



S = 



:i 



Die mittlere Gesamtstrahlung ist also proportional dem Quj 
drate des Quotienten aus Länge (t) des Stromleiters und Wellen] 
länge X. Um von der Größenordnung des Strahlungsverlusi 
eine Vorstellung zu erhalten, kann man den Widerstand R be 
rechnen, welcher, in den Leiter eingeschaltet, den gleichet 
Energieverlust durch Joulesche Wärme bedingen würde. DerselW 



§ 80 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 341 

bestimmt sich in absolutem elektromagnetischem Maße aus 

der Vergleich mit (247 c) ergibt 

(247 d) R^^^-^r, 

Division durch 10^ ergibt den äquivalenten Widerstand in 

Ohm zu 72 

80:r* • j-, Ohm. 

Das ist ein Widerstand, der keineswegs gegen den wirklichen 
Ohmschen Widerstand des Erregers zu vernachlässigen ist. Bei 
gestreckten Erregem, deren Abmessungen von der Ordnung der 
Wellenlänge sind, überwiegt sogar der Energieverlust durch 
Strahlung weitaus den Ohmschen. Man beachte übrigens, daß 
der äquivalente Widerstand (247 d) nicht wie der Ohmsche der 
Länge der Leitung proportional ist, sondern dem Quadrate der 
Länge. Auch ist dieser Widerstand, insofern als er von der 
Wellenlänge abhängt, nicht als Konstante des Senders zu be- 
trachten, sondern er ändert sich mit der Frequenz des in ihm 
fließenden Wechselstroms, und zwar wächst er mit dem Quadrate 
der Frequenz. 

§ 80. Anwendung auf die drahtlose Telegraphie. 

Ln vorigen Paragraphen sind die elektromagnetischen Wellen 
ermittelt worden, die von elektrischen Schwingungen eines Strom- 
Btückes erzeugt werden. Nun ist zwar ein Stromstück theoretisch 
denkbar, praktisch aber hat man es immer mit stromführenden 
Drähten von endlicher Länge zu tun; vielfach verwendet man 
sogar in der drahtlosen Telegraphie Antennen, deren Länge von 
der Ordnung der Wellenlänge ist. Hier sind die Annahmen, 
welche wir über die Abmessungen des durch die Hertzsche 
Lösung dargestellten Erregers machen mußten, keineswegs er- 
füllt. Dennoch ist die Hertzsche Lösung grundlegend für die 
Theorie der drahtlosen Telegraphie; auf ihr fußend, kann man 
das Feld finden, welches von hochfrequenten Wechselströmen in 



342 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



§8( 



Drähten von beliebiger Länge erregt wird^ und insbesondere das 
Feld in der Wellenzone; dies mag hier kurz dargelegt werden. 
Zunächst kann man fast stets den Draht als linearen Leitei 
ansehen; das ist nämlich erlaubt, wenn es sich um Aufpunktc 
handelt, deren Abstände vom Leiter groß gegen dessen Quer 
Schnittsabmessungen sind. Dann genügt es, für jeden Querschnitt 
den Gesamtstrom J als Funktion der Zeit zu kennen. Man kannl 
das magnetische Feld in der Umgebung des Drahtes als Über- 
lagerung der von den einzelnen Stromstücken d^ desselbenj 
erregten Felder betrachten; auch ergibt die Überlagerung dei 
einzelnen, durch Aufladung der Enden dieser Leiterstücke 
bildeten Dipole diejenige Ladungsverteilung längs des DrahtesJ 
die sich bei einer längs des Drahtes wechselnden Stromverteilung 
wirklich herstellt; das elektrische Feld in der Umgebung des 
Leiters ist, dieser Ladungsverteilung gemäß, als Überlagerung 
der Felder der einzelnen Dipole anzusehen. Diejenige Lösui 
der Feldgleichungen, welche in der Umgebung das Drahtes dag 
daselbst bestehende elektromagnetische Feld ergibt, erhält mai 
demnach durch Überlagerung der Felder der einzelnen Strom- 
stücke. Dabei ist der Beitrag jedes einzelnen Strom Stückes oder^ 
Dipoles zum Hertzschen Vektor des Gesamtfeldes aus (241) zi 
entnehmen, indem man, gemäß (244 c), setzt 

)^'(t) = J{s,t)d%. 
Nehmen wir an, daß bis zur Zeit ^ = der Draht ohne Ladung 
und Strom gewesen ist; dann folgt 

c 



und der gesamte Hertzsche Vektor ergibt sich durch Litegratioi 
längs des linearen Leiters: 



(248) 



c 

^=fffdtJis,t). 



Wie man sieht, liefert jedes Stromstück zum Hertzschen Vek- 
tor in dem um r entfernten Aufpunkte einen Beitrag; dersell 



§ 80 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 343 

hängt von der Elektrizitätsmenge ab, die bis zur Zeit t durch 

den betreffenden Querschnitt geflossen war; zu dieser Zeit ist von 
dem betreffenden Querschnitte des linearen Leiters die Störung 
ausgegangen, welche, mit Lichtgeschwindigkeit fortschreitend, 
zur Zeit t im Aufpunkte eintrifft. Aus dem Hertzschen Vektor 

(248) leitet sich das elektromagnetische Feld im ganzen Räume 
nach (240) ab. . . 

Handelt es sich nur um das Feld in der Wellenzone, so kann 
man unmittelbar von den Formeln (245), (245a) ausgehen; der 
Beitrag jedes einzelnen Stromstückes d^ hängt ab von dem Vektor 

Hier kennzeichnet s die von einem festen Punkte an gerechnete 
Drahtlänge; mit s ändert sich im allgemeinen nicht nur der 
Betrag der Stromstärke, sondern, entsprechend den verschiedenen 
Wegen, welche die Störung zurückzulegen hat, auch die Phase, 
mit der sie im Aufpunkte eintrifft. Dieser Umstand sowie auch 
die Richtung des Stromstückes d^ ist bei der Berechnung des 
Feldes zu berücksichtigen. Für das magnetische Feld in der 
Wellenzone erhält man 

(248a) % = -l!jyAäix]J'\s,t-{)- 

In besonderen Fällen vereinfacht sich die Rechnung. Wir 
betrachten z.B. eine Leitung, die zwei einander gegenüberstehende 
Platten eines Luftkondensators verbindet; es sei die Kapazität 
der Leitung klein gegen diejenige des Kondensators; auch sei die 
Wellenlänge der stattfindenden Schwingungen groß gegen die 
Abmessungen des Systems. In diesem Falle ist die Stromstärke 
für alle Querschnitte die gleiche, J ist mithin von s unabhängig; 
und, da die Wegunterschiede der von den verschiedenen Strom- 
elementen ausgehenden Wellen gegen die Wellenlänge verschwin- 
den, 80 sind die Phasendifferenzen zu vernachlässigen. Man kann 
daher (248) in diesem Falle schreiben 

r 

(249) S=fj(t)dtf^, 



344 



Dritter Abschnitt. Das elektromagnetische Feld 



80 



wobei (1) und (2) die Enden der Leitung bezeicknen. Handelt! 
es sich insbesondere um Aufpunkte, deren Entfernung vom Sender- , 
System groß gegen dessen Abmessungen sind, so hat man 



ff-iS 



d^ 



Hier steht rechts die vektorielle Summe aller Stücke d^ der^ 
Leitung; dieselbe kann durch einen Fahrstrahl ersetzt werden, 
der direkt vom Anfangspunkt zum Endpunkt der Leitung führt. 
Setzt man endlich / 



/ 



J{f)dt^e{t), 



wobei e{t) die jeweilige Ladung der Kondensatorplatte (2) be-j 
deutet, so erkennt man, daß 

t 2 2 

fj{t)dt jd^ = e(t) fd^ = p{t) 

1 1 

nichts anderes ist als das Moment des durch die beiden Konden- 
satorplatten gebildeten elektrischen Dipoles. Diesem entspricht! 
nach (249) in Entfernungen, die groß gegen die Abmessungen 
des Systemes sind, der Hertzsche Vektor des Systemes: 



(249 a) 



(-f) 



In diesem Falle eines nahezu geschlossenen Kreises, dessen Ab- 
messungen klein sind, sowohl gegen die Wellenlänge als auch 
gegen die Entfernung des Aufpunktes, gilt ohne weiteres die 
Hertzsche Lösung. Dieses Ergebnis kommt, wie man sieht, da- 
durch zustande, daß sich die Beiträge der einzelnen Stromstücke, 
bei ihrer geometrischen Summation, fast ganz aufheben. 

Das ist selbstverständlich nicht diejenige Anordnung, die 
man in der drahtlosen Telegraphie verwendet. Dort wird man 
vielmehr, um möglichst große Amplituden der entsandten Wellen 
zu erzielen, die Anordnung so treffen, daß sich die Beiträge der 
einzelnen Stromstücke verstärken. Dies findet bei der vertikalen 



§ 80 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 345 

Sendeantenne Marconis statt; dieselbe strahlt am stärksten 
senkrecht zu ihrer Richtung, d. h. längs der Erdoberfläche. In 
dieser Richtung kommen auch die Wegunterschiede der von den 
einzelnen Stromstücken der Antenne ausgesandten Wellen nicht 
in Betracht. Man kann, falls die Stromphase für alle Querschnitte 
der Antenne die gleiche ist, zur Ermittelung der Wellenampli- 
tüde die Formel (247 a) benutzen, wobei nur an Stelle der (elek- 
tromagnetisch gemessenen) Stromamplitüde a ihr Mittelwert 
tritt, gegeben durch 2 

lä = I dsüj 
1 

so ergeben sich die Feldstärken der senkrecht zur Antenne aus- 
gesandten Wellen: 

(250) i6j = ,§^ = ^_.cos(~^-- -^). . 

In Richtungen jedoch, die spitze Winkel mit der Antenne bilden^ 
sind, falls die Antennenlänge mit der Wellenlänge vergleichbar 
ist, die Wegunterschiede und die durch sie bedingten Phasen- 
differenzen der von den einzelnen Stromstücken der Antenne 
entsandten Beiträge in Rechnung zu setzen. Deswegen bedarf 
auch die Formel (247 b) für die Gesamtstrahlung in diesem Falle 
einer Berichtigung. 

Aus (250) geht hervor, daß bei gegebener Länge (l) und 
mittlerer Stromamplitüde (ä) der Antenne die Amplitude der ent- 
sandten Wellen mit wachsender Wellenlänge abnimmt. Doch 
müßte man, um beurteilen zu können, inwieweit dieser den höhe- 
ren Frequenzen günstige Umstand ausschlaggebend ist, auf die 
Theorie des Empfangssystemes näher eingaben, was hier zu weit 
führen würde. 

Hat man statt eines einzigen Leitungsdrahtes deren mehrere, 
so sind deren Hertzsche Vektoren (248) geometrisch zu sum- 
mieren, um das gesamte Feld zu erhalten. Sind die Drähte 
geradlinig und parallel, so kommt die Summation auf eine alge- 
braische heraus. 

Bei mehreren parallelen Drähten, deren Abstände klein gegen 



346 Dritter Abschnitt. Das elektromagnetisclie Feld § 80 

die Wellenlänge sind, und die in gleichem Sinne und in gleicher 
Phase vom Strome durchflössen werden, verstärken sich die von 
den einzelnen Drähten entsandten Wellen. Dies findet z. B. bei 
den sogenannten „Käfigantennen" statt. 

Fließt in zwei parallelen, gleichiangen Drähten, deren Ab- 
stand klein gegen die Wellenlänge ist, Strom in gleicher Stärke 
und in jeweils entgegengesetzter Richtung, so heben sich die 
Beiträge der beiden Drähte zum Felde in der Wellenzone auf, 
und es findet keine Entsendung von Wellen statt. Dies war der 
am Schlüsse von § 75 erwähnte Fall. 

Befinden sich zwei Drähte in der Entfernung einer halben 
Wellenlänge, und schwingen sie in gleicher Phase, so verstärken 
sich die Wellen, die senkrecht zur Ebene der beiden Drähte ent- 
sandt werden; dagegen in der Ebene der Drähte, senkrecht zu 
diesen, werden Wellen entsandt, die gleiche Amplitude, aber, 
wegen des Wegunterschiedes von einer halben Wellenlänge, ent- 
gegengesetzte Phasen besitzen ; dieser Richtungseffekt ist für die 
drahtlose Telegraphie von Interesse. 

Bisher haben wir nicht von der Rolle der Erde bei der draht- 
losen Telegraphie gesprochen. Darf man die Erde als eben und 
als vollkommen leitend ansehen, so kann man ihrem Einfluß 
durch ein Spiegelungsverfahren Rechnung tragen, ähnlich dem 
in der Elektrostatik (§ 32) gebräuchlichen. Ein Dipol geht da- 
bei in einen anderen Dipol über, derart, daß spiegelbildlich sich 
entsprechende Punkte der beiden Dipole entgegengesetzt geladen 
sind. Demnach entspricht einem vertikalen Dipol als Spiegelbild 
ein Dipol von gleichem und gleich gerichtetem Momente, einem 
horizontalen dagegen ein gespiegelter Dipol, dessen Moment den 
gleichen Betrag, aber entgegengesetzte Richtung hat. Dies er- 
klärt die gute Wirkung der vertikalen, die schlechte der hori- 
zontalen Antennen; letztere müßten nach dieser Auffassung, wenn 
sie der Erde nahe sind, überhaupt keine Wellen aussenden. Be- 
rechnet man das Feld einer vertikalen Antenne nach (250), so 
kann man die Wirkung der gut leitenden Erde dadurch berück- 
sichtigen, daß man das Spiegelbild der Antenne hinzufügt; dem 
entspricht eine Verdoppelung der Wellenamplitüden. 



§ 80 Drittes Kapitel. Elektromagnetische Wellen 347 

Kommt die Kugelgestalt und die endliche Leitfähigkeit der 
Erde in Betracht, so führt bei dem elektrodynamischen Probleme 
das Spiegelungsverfahren nicht mehr zum Ziele. Unter Vernach- 
lässigung der Krümmung, aber unter Berücksichtigung der end- 
lichen Leitfähigkeit sowie der elektrischen Eigenschaften des 
Erdreiches hat J. Zenneck die Fortpflanzung ebener Wellen be- 
handelt, während A. Sommerfeld die Lösung, die einem verti- 
kalen Dipol an der Erdoberfläche entspricht, ausgewertet und 
erläutert hat. Der Widerstand trockener Erde, der auf die Aus- 
breitung der Wellen einen wesentlichen Einfluß hat, beeinträch- 
tigt die Wirkung um so weniger, je größer die Wellenlänge ist. 
Das weit besser leitende Meerwasser kann so weit, als die Krüm- 
mung der Erde außer Betracht bleiben darf, noch als vollkommen 
leitend betrachtet werden, was die Amplitude der entsandten 
Wellen anbelangt. 

Ergänzende Ausführungen und Literaturangaben über die 
Theorie der elektrischen Wellen und der drahtlosen Telegraphie 
findet man in dem betreffenden Artikel (Bd. V, Art. 18) der En- 
zyklopädie der mathematischen Wissenschaften. 



Vierter Abschnitt. 

Weiterer Ausbau der Theorie. 

Erstes Kapitel. 

Die ferromagnetischen Körper. 

§ 81. Die magnetische Hysteresis. 

Wir haben bereits früher (§ 53) auf die Sonderstellung hj 
gewiesen, welche die ferromagnetischen Körper einnehmen. Bei 
ihnen ist die magnetische Permeabihtät keine Stoff konstante, 
sondern sie ist ihrerseits von der Feldstärke abhängig. Die Pro- 
portionahtät der Vektoren © und §, welche eine wesentüche 
Voraussetzung der Feldgleichungen und des Ausdruckes der 
magnetischen Energie war, findet hier nicht mehr statt. Wir 
mußten daher im vorigen Abschnitte, bei der Entwicklung der 
aus jenen Feldgleichungen zu ziehenden Folgerungen, öfters die 
ferromagnetischen Körper ausschließen und ihre Behandlung 
diesem letzten Abschnitte vorbehalten. 

Man könnte nun daran denken, die ferromagnetischen Körper 
in der Weise in die Maxwellsche Theorie einzuordnen, daß man 
an den Hauptgleichungen festhielte, aber an Stelle der einfachen 
Proportionalität der Vektoren § und © eine verwickeitere Funk- 
tionsbeziehung setzte. An den Hauptgleichungen werden 
wir allerdings festhalten müssen. Wir werden aber nicht 
annehmen dürfen, daß in ferromagnetischen Körpern noch der 
jeweilige Wert von ö stets durch den jeweiligen Wert von § 
bestimmt sei. Daß dem nicht so ist, zeigen die Vorgänge der 
magnetischen Hysteresis. 

Bringt man ein Eisenstück in ein magnetisches Feld und läßt 
die Feldstärke allmählich wachsen, so wächst auch die magne- 



§ 81 Erstes Kapitel. Die ferromagnetischen Körper 349 

tische Induktiou, und zwar anders, als es der einfachen Propor- 
tionalität entsprechen würde. Man kann das Anwachsen der In- 
duktion mit der Feldstärke durch eine Kurve veranschaulichen, 
indem man den Betrag von § als Abszisse, den Betrag von 8 
als Ordinate aufträgt. Läßt man aber jetzt die Feldstärke wie- 
derum abnehmen, so wird keineswegs dieselbe Kurve in ent- 
gegengesetztem Sinne beschrieben, sondern die Induktion nimmt 
nach einer anderen Kurve ab; es entspricht einer und derselben 
Feldstärke jetzt eine andere, und zwar eine größere Induktion. 
Es gibt demnach gar keine allgemeingültige Beziehung zwischen 
§ und ©, der Wert von 8 hängt nicht nur von dem jeweiligen 
Felde, sondern auch von der Vorgeschichte des Eisenstückes ab. 
Die Magnetisierung folgt nicht sogleich der Feldstärke, sondern 
es bleibt gewissermaßen ein Teil der früheren Magnetisierung 
zurück; diese Erscheinung bezeichnet man als magnetische Hyste- 
resis. Läßt man nun die Feldstärke § periodisch zunehmen und 
abnehmen, so wird die Veränderung von © durch eine geschlossene 
Kurve, die sogenannte Hysteresisschleife, dargestellt. Dabei findet 
eine Wärmeentwicklung in dem Eisen statt. 

Eine solche Wärmeentwicklung hatten wir bisher bei der 
Behandlung der Energievorgänge im magnetischen Felde nicht 
berücksichtigt. Wir haben indessen bereits im § 55 bemerkt, daß 
auch hinsichtlich des Energieausdruckes die ferromagnetischen 
Körper eine Sonderstellung einnehmen. Wir müssen jetzt die 
Behandlung der Energievorgänge von neuem aufnehmen. 

Wir denken uns das Eisenstück in einem Räume befindlich, 
der durch eine geschlossene Fläche /' begrenzt ist. Außerhalb 
dieser Fläche mögen sich ferromagne tische Körper nicht befinden; 
es mögen hier die Entwicklungen des vorigen Abschnittes ohne 
Einschränkung gelten. Dieselben ergeben, daß pro Sekunde in 
das Innere der geschlossenen Fläche f eine Energiemenge tritt, 
die sich aus dem Poyntingschen Energiestrome (§ 76) berechnet. 
Schließen wir der Einfachheit wegen eingeprägte elektrische 
Kräfte aus, so ist nach (227) 

(251) -J^jf--i„J{m\jf 



350 



Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie 



der gesamte, in der Zeiteinlieit in das Innere von f tretend« 
Energiestrom {n ist hier diejenige Normale, die nach dem Äuße- 
ren des Raumes weist, in welchem das Eisenstück sich befindet). 
Wir wollen annehmen, daß @ und ^ im Inneren dieses Raumes 
stetig verteilt sind: dann geht nach (102a) die rechte Seite vonj 
(251) über in /> 

Lj ^^ {^ curl § - § curl %]. 

Dies ist die Energie, die pro Sekunde dem Räume v zugeführt' 
wird und die daher gleich sein muß der Summe aus der Zunahme^ 
der elektromagnetischen Energie 

und der im Eisenstücke stattfindenden Wärmeeiltwicklung; diese 
letztere setzt sich zusammen aus der Jouleschen Wärme Q unc 
der infolge der magnetischen Hysteresis stattfindenden Wärme 
entwicklung, die wir mit Q^^ bezeichnen wollen; wir erhalten dahei 



im '^f+'f + ö + e. 



= ' f 



t^vj^curlg — g curl % 



Neben dieser allgemeinen Forderung der MaxweUschen Theo- 
rie legen wir die Hauptgleichungen des § 59 der Behandlung dei 
ferromagnetischen Körper zugrunde. Führt man dementsprechenc 



curl§ 



4^ . , 1 

1 + 



c c 

in (252) ein, so erhält man 



'*^ + ^+<3 + ö. 



dt 



und curl @ 



1 dJ6 
c dt 



(253) 



dt 



dt 



-M 






dt 



Nun zeigen die ferromagnetischen Körper in elektrischei 
Hinsicht kein von den anderen Leitern abweichendes Verhalten: 
es ist also /» 

Q=Jdv{%x) 

die Joulesche Wärme, und 



d 
dt 



- = j dv ^^ (@ -^-) = ^- j dv ^ = ^^ j dv ^ («: 



die Zunahme der elektrischen Energie im Räume v. 

Für die Summe aus der Zunahme der magnetischen] 



§ 81 Erstes Kapitel. Die ferromagnetisclien Körper 351 

Energie und aus der magnetischen Wärmeentwicklung 
ergibt sich 

(254) f^+Q.^-Lp^i^^'!)- 

Wir wenden diesen Ausdruck zuerst auf einen magnetischen 
Kreisprozeß von der Periode r an. Die Werte der Feldstärke §, 
der Induktion ÜB und der magnetischen Energie T, die zur Zeit t 
bestanden, kehren zur Zeit t-\-t wieder, nachdem die Hysteresis- 
schleife durchlaufen ist. Die Integration über eine Periode er- 
gibt daher t+r t+t 

(254a) SdtQ,„-^-JdvJdt[^\^). 

t t 

Für die pro Volumeinheit stattfindende Wärmeentwicklung 
in einer Periode erhalten wir 

t-k-t t+t 

(254b) fätQ„. = lJät{^'^^)^lf^d^, 

t t 

wobei das Integral der rechten Seite über den durch die Hyste- 
resisschleife angegebenen Weg zu erstrecken ist. Es gibt, wie 
' zuerst E. Warburg gezeigt hat, in der Tat die Wärmeentwick- 
lung an, welche bei dem magnetischen Kreisprozeß stattfindet; 
dieselbe ist gleich dem durch 4t% geteilten Flächeninhalte der 
Hysteresisschleife. Führen wir wieder den durch (173) definierten 
Vektor SR der Magnetisierung ein, so wird • 

und weil das über die geschlossene Kurve erstreckte Integral 

verschwindet, so ist 

(254c) j> dtQ„,==j>^dm 

ein mit (254 b) gleichwertiger Ausdruck für die Wärmeentwick- 
lung bei dem magnetischen Kreisprozeß. 



352 



Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie 



§8S 



§ 82. Der permanente Magnetismus. 

Bei der Integration über den Kreisprozeß fiel aus (254) die 
magnetische Energie heraus ; aus den obigen Betrachtungen läßl 
sich kein allgemeingültiger Ausdruck für die magnetische Euer-] 
gie eines Eisenstückes gewinnen. Man kann indessen aus (254) 
die Energieänderungen im Felde ferromagnetischer Körper be- 
rechnen, wenn man sich auf solche Vorgänge beschränkt, di( 
ohne magnetische Wärmeentwicklung verlaufen. Zu diesen Vor-j 
gangen gehören die Wechselwirkungen permanenter Magnete] 
mit denen wir uns im folgenden beschäftigen. 

Bringt man einen permanenten Magneten in einen Bau in, ii 
welchem vorher kein magnetisches Feld bestanden hat, und ii 
dem sich sonst keine magnetisierbaren Körper befinden, so herrscht 
im Innern des Magneten und in seiner Umgebung nur das selbst 
erregte oder „eigene Feld*' des Magneten. Im Innern des Mai 
gneten besteht ferner eine „remanente Magnetisierung" 
Feldstärke und Magnetisierung zusammen ergeben die ' magne- 
tische Induktion: 

(255) ^==^ + 4^m. 

Wird nun, sei es durch elektrische Ströme oder durch andere 
Magnete, ein „fremdes Feld" erregt, so erfährt p eine entspre- 
chende Änderung; auch der Magnetisierungsvektor Wt ändert sich] 
indem zu der remanenten eine „temporäre Magnetisierung'] 
tritt; diese verschwindet wieder mit dem Verschwinden des frem-i 
den Feldes, während die remanente Magnetisierung zurückbleibt^ 

Wir wollen nun im folgenden, bei der Behandlung der mecha- 
nischen Kräfte, den Fall ins Auge fassen, daß die temporäre 
Magnetisierung gegenüber der remanenten zu veru achlässigen ist; 
dieser Fall wird mit um so größerer Annäherung verwirklicht 
sein, je schwächer das fremde Feld und je stärker die remanente 
Magnetisierung ist. In Strenge ist der angenommene Fall frei- 
lich nie verwirklicht; dennoch hat seine Behandlung insofei 
Interesse, als dabei die Eigentümlichkeiten der permanenter 
Magnete deutlicher hervortreten. Die dabei vemachlässigtenj 
durch die temporäre Magnetisierung bedingten Kräfte könnei 



§ 82 Erstes Kapitel. Die ferromagneti sehen Körper 353 

übrigens unschwer berechnet werden, ähnlich wie es früher für 
magnetisch weiche Körper geschah. Wenn diese Kräfte unter 
den gegebenen Umständen gegen die von dem remanenten Ma- 
gnetismus herrührenden Kräfte zu vernachlässigen sind, werden 
wir den Körper „magnetisch hart" nennen. Für jedes Stück 
eines starren, magnetisch harten Körpers sind die Magnetisie- 
rung 9M und das von dieser herrührende Eigenfeld als konstant 
anzusehen. 

Demnach gilt bei einer Änderung d^ des fremden Feldes 
nach (255) 

(255a) d^==d§. 

Die Änderung ist umkehrbar, sie geschieht ohne Wärmeent- 
wicklung; demgemäß ist, nach (254), 

(255 b) dT = ^^fdv^d^ 

die Energieänderung des magnetisch harten Körpers. 
Die Integration ist natürlich über das ganze Feld zu erstrecken, 
auch über den Außenraum, da man die Energie des hier erregten 
Feldes mit zur Energie des Magneten rechnen muß. 

Wir betrachten nun das magnetische Feld eines Systemes 
ruhender, permanenter Magnete. Ein elektrisches Feld und ein 
elektrischer Strom sollen nicht vorhanden sein, es ist daher, der 
ersten Hauptgleichung zufolge, 
(256) curl§ = 0. 

Die Feldstärke § ist auch im Felde permanenter Ma- 
gnete wirbelfrei; sie leitet sich aus einem skalaren Potentiale 
9« ab: 
(256a) §==-V(p^. 

Wir halten ferner an der Grundannahme fest, daß 
die magnetische Induktion durchweg quellenfrei ver- 
teilt ist, d. h. daß es keinen wahren Magnetismus gibt. 
Wir legen demnach auch der Theorie der magnetisch harten 
Körper die Bedingung zugrunde 
(256 b) divö = 0. 

Die Gleichungen (256) und (256b), welche behaupten, daß 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. .'>. Aafl. 28 



354 



Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie 



§82 



yer- 



§ wirbelfrei, © aber quellenfrei verteilt ist, baben wir bereits 
im vorigen Abschnitte der Theorie der magnetischen Felder in 
stromlosen Bereichen zugrunde gelegt (vgl. § 56). Wir können 
auch jetzt, wo magnetisch harte Körper im Felde sich befinden, 
eine entsprechende Darstellung des Feldes geben. 

Wir berechnen das wirbelfreie Feld § aus seinen QuellenJ 
indem wir 
(257) div § = 47tQ'^ 

setzen und unter qI^ die „Dichte des freien Magnetismus' 

stehen. Da nach (173) 

(257 a) « = § + 4;r9K 

ist, und da die Divergenz von © durchweg Null ist, so wird 

(257 b) div § = - 4.t; div SR . 

Ist die remanente Magnetisierung eines Stahlstückes bekannt 
so ist auch die Verteilung des freien Magnetismus durch 
(257 c) (>; = -diväR 

gegeben (vgl. auch 173b). Der freie Magnetismus haftei 
also an den Stücken des magnetisch harten Körpers] 
Von einer flächenhaften Verteilung des freien Magnetismus woUei 
wir hier absehen, indem wir uns ^ stetig verteilt denken. 

Aus der gegebenen Verteilung des freien Magnetismus in dei 
permanenten Magneten berechnet sich das skalare Potential 



(257 d) 



9P, 



_ fdv^ia 



Dadurch ist dann das magnetische Feld § außerhalb und inner^ 
halb der Magnete bestimmt, falls diese in den leeren Raum ein- 
gebettet sind. Sind außerdem magnetisch weiche Körper 
Felde, so ist auch der in ihrem Innern und an ihrer Oberfläche 
befindliche freie Magnetismus in Rechnung zu ziehen; dieser isi 
indessen nicht konstant, sondern er ändert sich mit der Lage 
der permanenten Magnete. Um eine solche Erschwerung dei 
Aufgabe zu vermeiden, woUen wir weiterhin annehmen, daß di( 
Magnete in den leeren Raum eingebettet sind. Außerhalb dei 
Magnete stimmt dann ö mit § überein; innerhalb der Magnete] 



§ 82 Erstes Kapitel, Die ferroraagnetischen Körper 355 

ist 8 nacli (257a) zu berechnen, aus § und der gegebenen 
reraanenten Magnetisierung 9)1. 

Wir haben bereits im § 55 darauf hingewiesen, daß das ma- 
gnetische Feld, welches von para- und diamagnetischen Körpern 
erregt wird, kein selbständiges Dasein führt. In einem durch- 
weg stromlosen Räume, der nur von solchen Körpern erfüllt ist, 
kann ein magnetisches Feld nicht dauernd bestehen. Es müssen 
irgendwo im Räume elektrische Ströme oder permanente Magnete 
sich befinden; andernfalls kann ein magnetisches Feld nicht 
dauernd bestehen. Die para- und diamagnetischen Körper be- 
einflussen nur das Feld, aber sie erzeugen es nicht. Wir haben 
in § 55 gesehen, daß dieses Verhalten eng mit dem Energie- 
ausdruck (162) zusammenhing, und geschlossen, daß für Körper, 
die remanenter Magnetisierung fähig sind, d. h. die selbständig, 
ohne Mitwirkung elektrischer Ströme, ein magnetisches Feld zu 
erzeugen vermögen, jener Energieausdruck aufzugeben ist. Ein 
allgemeingültiger Ausdruck für die Energie ferromagnetischer 
Körper ist uns auch jetzt nicht bekannt. Wohl aber sind wir 
oben in (255 b) zu einem Ausdrucke für die Änderung der Energie 
eines magnetisch harten Körpers gelangt. 

Da SR konstant ist, wird nach (232 a) die auf die Volumein- 
heit bezogene Energieänderung: 

Außerhalb der Magnete, wo fi = 1 ist, stellt dieser Ausdruck 
ebenfalls die Änderung der magnetischen Energiedichte dar. 

Verstehen wir unter Tq die Energie des ganzen Feldes in 
einer bestimmten Anfangslage der permanenten Magnete, wo das 
Feld §Q herrscht, so bestimmt 

(258:, T-T,^ftl^^-ftl^,^ 

die Feldenergie T bei einer beliebigen Konfiguration 
der Magnete. 

Denken wir uns nun die Magnete so langsam gegeneinander 
bewegt, daß die durch die Feldänderungen entstehenden elektri- 

23* 



356 



Vierter Absclinitt. Weiterer Ausbau der Theorie 



sehen Kräfte und die dabei erregte elektrische Energie und JouU 
sehe Wärme zu vernachlässigen sind, so ist die Abnahme de 
Feldenergie gleich der Arbeit, welche die mechanischen Kraft 
bei der Bewegung leisten. Es spielt demnach für die Wec] 
Seiwirkungen permanenter Magnete die Feldenergie 
die Rolle einer potentiellen Energie. Da aber T nul 
durch eine additive Konstante von 



(258 a) 



^r.-S%%- 



verschieden ist, so lassen sich die Kräfte, welche pe] 
manente Magnete aufeinander ausüben, ableiten, ii 
dem man U„^ als potentielle Energie des Feldes eil 
führt. Die potentielle Energie erscheint dabei als verteilt üb( 
das ganze Feld, sowohl außerhalb als auch innerhalb der Mj 
gnete. Der erhaltene Energieausdruck entspricht demnach dt 
Grundvorstellungen der Nahewirkungstheorie. 

Es ist aber leicht, ü^ auf eine Form zu bringen, welche de 
Vorstellungen der Fernwirkungstheorie über die Energievertei 
lung entspricht. Nach (256 a) wird 

was auf Grund der Formel (66) übergeht in 

Das über die Begrenzungsfläche f erstreckte Integral verschwii 
det, wenn die Fläche ins Unendliche rückt. Führt man endlie 
die durch (257) gegebene Dichte p^, des freien Magnetismi 
ein, so wird 

(268b) U„ = {fdv,p^^:,. 

Hier erscheint ndn die Energie als verteilt über di 
Stücke der Magnete, in denen der freie Magnetism 
seinen Sitz hat. Berechnen wir endlich das skalare Potei 
tial 9^ aus (257 d), so wird 
(258c) U^ ^JJdj^dv,^^;^^^^ 



:^ 82 Erstes Kapitel. Die ferromagnetischen Körper 3Ö7 

Das Integral ist über alle Paare je zweier Magnetstücke zu 
nehmen, wobei jedes Paar nur einmal in Recknung zu setzen 
ist. Dieser Ausdruck führt nun unmittelbar zum Coulombschen 
Gesetze. Denn die Arbeit, welche die Kräfte des Feldes bei der 
Verschiebung zweier Magnete gegeneinander leisten, bestimmt 
sich aus der Abnahme der potentiellen Energie ü^ bei der Ver- 
schiebung. Die gleiche Arbeit wird erhalten, wenn man für die 
Wechselwirkung je zweier Stücke der beiden Magnete die ab- 
stoßende Kraft , , • , 

in Ansatz bringt, dem Coulombschen Gesetze der Fernwirkungs- 
theorie entsprechend. Aus der Gleichwertigkeit der Arbeiten 
bei einer beliebigen Verrückung folgt aber auf Grund des Prin- 
zips der virtuellen Arbeit sofort die Gleichheit der Kräfte. 

DieKräfte, welche permanenteMagnete aufeinander 
ausüben, bestimmen sich also durch das Coulombsche 
Gesetz. An den Quellpunkten des Feldes §, d. h. an den Punk- 
ten, in denen freier Magnetismus sich befindet, greifen die be- 
wegenden Kräfte an. Die Massen, an denen die Kräfte angreifen, 
fallen zusammen mit denen, die das Kraftfeld erzeugen. Damit 
sind wir nunmehr völlig bei der Darstellungsweise der Fern- 
wirkungstheorie angelangt. 

Wenn nun auch diese Darstellung mathematisch zulässig ist, 
so ist sie doch wenig geeignet, in das Wesen des Magnetismus 
Irie Einsicht zu gewähren. Haben wir» den freien Magnetismus 
ch nur als Rechnungsgröße, nicht als Substanz angesehen. 
Nun können wir die gegebene Darstellung etwas abändern. Wir 
können uns die Magnete entfernt denken und uns das Feld § 
jetzt im leeren Räume vorstellen. Im leeren Räume ist § gleich 
8, und der freie Magnetismus geht in den wahren Magnetismus 
über. Es würde demnach das Feld § auf den im leeren Räume 
verteilt gedachten wahren Magnetismus Kräfte ausüben, die ganz 
den Kräften entsprechen würden, mit denen das elektrische 
Feld ^ auf die wahre Elektrizität wirkt. Die Zusammensetzung 
dieser Kräfte führt wiederum zu den Kräften und Drehkräften, 



358 Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 8 



1 



die an dem betreffenden permanenten Magneten wirklich an 
greifen. 

In die hier gegebene Darstellung paßt indessen auch dieses 
Bild nicht. Denn wir haben das Bestehen von wahrem Magne- 
tismus ausgeschlossen; jenes vorgestellte Feld im leeren Räume, 
durch das wir das wirkliche Feld abbildeten, ist hiermit nichtj 
vereinbar. Wir wollen der in diesem Paragraphen entwickelten' 
Darstellung des Feldes permanenter Magnete jetzt eine zweite an 
die Seite stellen, welche der queUenfreien Natur der magnetischen 
Induktion von vornherein gerecht wird. 



I 



§ 83. iLquivalenz von Magneten und elektrischen Strömen^ 

Wir knüpfen an die Entwicklungen des § 57 an. Wir habei 
dort eine Darstellung des magnetischen Feldes kennen gelerni 
welche nicht sowohl das wirbelfreie Feld § durch seine QueUei 
als vielmehr das queUenfreie Feld © durch seine Wirbel bej 
stimmt. Wir führten eine dem Wirbel von ö proportional« 
Größe i' ein, die räumliche Dichte des „freien elektrischen Stroj 
mes^^, die durch die Gleichung (175) bestimmt war: 

(259) curl © = *~ ' • . 

Sind die Wirbel von © flachenhaft verteilt, so tritt noch ein 
freier flächenhafter Strom \ hinzu (vgl. 175 a). Doch woUen 
wir es vorziehen, die Wirbel zunächst als räumlich verteilt an- 
zusehen; wir behalten uns vor, später den Grenzübergang voi 
räumlichen zum Flächenwirbel zu machen. 

Setzt man nun für das Vektorpotential 

(259 a) • %^LJ^'' 

und leitet aus ihm die magnetische Induktion ab, vermöge 

(259b) « = curl St, 

so wird der Bedingung des Verschwindens der Divergenz von 
überall Genüge geleistet. 

Es handelt sich nur noch darum, den Vektor i' zu ermittel 



t? 83 Erstes Kapitel. Die ferromagnetisciien Körper 359 

Da ein wahrer Strom im Felde nicht vorhanden ist, so ist § 
wirbelfrei (256). Es folgt daher aus (257 a) und (259): 

(259 c) y = curlSn. 

Die Dichte des freien Stromes ist dem Wirbel der Magneti- 
sierung proportional. Da die Magnetisierung eines magnetisch 
harten Körpers unveränderlich sein soll, so haftet der freie 
Strom an den Stücken der permanenten Magnete. Wer- 
den die Magnete gegeneinander bewegt, so ändert sich die Ver- 
teilung und die Intensität der freien Ströme in ihrem Innern nicht. 

Durch (259 a, b, c) ist nunmehr das Feld des Vektors © so- 
wohl außerhalb wie innerhalb der Magnete bestimmt. Das Feld 
§ ist außerhalb der Magnete, im leeren Räume, dem Felde 33 
gleich; im Innern der Magnete hingegen ist § aus f8 und der 
gegebenen Magnetisierung 9W auf Grund von (257 a) zu berechnen. 

Die Darstellung des Feldes permanenter Magnete als Wirbel- 
feld ist zuerst von Ampere befürwortet worden. Ampere knüpfte 
dabei an die Äquivalenz eines Kreisstromes und einer 
magnetischen Schale an. Wir woUen nicht versäumen, diese 
Äquivalenz aus der soeben gegebenen allgemeinen Darstellung 
abzuleiten. 

Wir denken uns zu diesem Zwecke einen Zylinder aus ma- 
gnetisch hartem Stahl, dessen Begrenzungsebenen einen gegen 
ihre eigenen Abmessungen sehr kleinen Abstand h besitzen, und 
dessen Erzeugenden senkrecht zu diesen Ebenen stehen. Der 
Zylinder soU, parallel den erzeugenden Geraden, gleichförmig 
magnetisiert sein. Dieses Gebilde, insbesondere den Grenzfall 
verschwindend kleiner Höhe h des Zylinders, bezeichnet man als 
ebene magnetische Schale. 

Es sind nun die Wirbel von SW zu bestimmen; der räumliche 
Wirbel ist durchweg Null, da innerhalb der Schale SK konstant 
ist und außerhalb Wl gleichfalls konstant, nämlich gleich Null 
ist. Auf den zueinander parallelen Begrenzungsebenen des Zylin- 
ders befindet sich kein Flächenwirbel, da 3Ä hier senkrecht ge- 
richtet ist. Eine Unstetigkeit der tangentieUen Komponenten 
von 9K liegt nur an der Mantelfläche des Zylinders vor. Die 



360 Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 83 

Dichte des hier befindlichen Flächenwirbels ist gleich dem kon- 
stanten Betrage von 9Jl innerhalb des Zylinders; der Umlaufs- 
sinn ist durch die Richtung von SR im Zylinder bestimmt. Wir 
verstehen unter d^ die Stücke der Mittellinie der Mantelfläche 
des Zylinders; der Fortschrei tungssinn längs dieser Mittellinie 
soll dem Umkreisungssinne der Wirbel durch eine Rechtsschraube 
zugeordnet sein. Der freie Strom ist dann parallel zu ^If; seine 
Flächendichte ist gemäß (259 c) gleich der Dichte des Flächen- 
wirbels von SW, multipliziert mit der universellen Konstanten c. 
Senkrecht zu einer jeden der Zylindererzeugenden fließt also im 
ganzen der freie Strom : 

(260) " r=c\m\h. 

Geht man nun zum Grenzfalle eines verschwindend kleinen h 
über, indem man gleichzeitig die Magnetisierung \M\ wachsen 
läßt, derart, daß das Produkt der beiden Größen einem endlichen 
Grenzwert zustrebt, so wird der flächenhaft verteilte Strom zur 
Stromlinie. Das Vektorpotential der magnetischen Schale wird 
dann 

(260 a) « = y/^- 

Es stimmt durchweg überein mit dem Vektorpotential, wel- 
ches ein Strom von der gleichen Stromstärke, der längs der 
Randkurve der magnetischen Schale fließt, im leeren Räume er- 
zeugen würde (vgl. 168 a). 

Wir haben uns bisher auf eine ebene Schale beschränkt. Wir 
können aber ohne Schwierigkeit das Ergebnis auf eine Schale 
von gekrümmter Mittelfläche ausdehnen, deren Krümmungsradius 
groß gegen die Schalendicke ist. Wir zerlegen die Schale in 
Flächenstücke, die als eben zu betrachten sind, und wenden auf 
jedes dieser Flächenstücke die obige Betrachtung an. Längs der 
Umfangslinie eines solchen Flächenstückes ist dann der freie 
Strom J' anzunehmen, der durch (260) angegeben ist. Ist nun 
das Produkt aus der Magnetisierung i SW | der Schalenstücke und 
der Schalendicke h längs der Schale konstant, so hat J' für alle 
Umfangslinien den gleichen Wert. In dem Ausdrucke (260 a) 
des Vektorpotentiales heben sich alsdann die Beiträge derjenigen 



I 
I 



§ 8S Erstes Kapitel. Die ferromagnetischen Körper 361 

Kurvenstücke heraus, welche zwei Flächenstücke begrenzen, und 
die daher zweimal in entgegengesetztem Sinne zu durchlaufen 
sind, und es bleibt nur das Integral längs der Handkurve der 
ganzen Schale übrig. Das Vektorpotential ist auch jetzt das- 
jenige eines die Umlaufslinie der Schale umkreisenden Stromes. 
Durch das Vektorpotential ist aber das Feld 83 eindeutig be- 
stimmt. Es stimmt also im ganzen Räume das Feld des 
Vektors © und daher außerhalb der Schale auch das 
Feld des Vektors §, das von der magnetischen Schale 
erregt wird, mit dem Felde eines längs der Randkurve 
fließenden Stromes überein. 

Stellen wir andererseits das Feld •§ in der im vorigen Para- 
graphen angegebenen Weise durch seine Quellen dar, so ergibt 
es sich als herrührend von einer magnetischen Doppelschicht 
vom Momente \^\h pro Flächeneinheit. Das Feld § der Doppel- 
Bchicht wird im Innern der Schale gleichzeitig mit der Magne- 
tisierung 9)1, die entgegengesetzt zu § weist, beim Grenzüber- 
gang zu verschwindend kleinem h unendlich, wenn anders das 
Produkt \Wl\h endlich bleiben soU. Außerhalb der Schale aber 
stimmt, wie oben gezeigt wurde, das Feld § der Doppelschicht 
tiberein mit dem Felde einer die Schale umrandenden Stromlinie 
von der elektromagnetisch gemessenen Stromstärke 

c 
Damit sind wir zu der bereits in § 24 dargelegten Äquivalenz 
von Wirbelfaden und Doppelschicht zurückgelangt. 

Das Stromsystem, das wir im Innern der magnetisch harten 
Körper angenommen haben, ist selbstverständlich kein wirkliches 
Strom System. Wahren Leitungsstrom haben wir vielmehr aus- 
geschlossen, indem wir curl ^ gleich Null gesetzt haben. Dem- 
gemäß gibt das fingierte Stromsystem zu keiner Jouleschen 
Wärmeentwicklung Veranlassung, ein Durchschneiden der Strom- 
fäden zu keiner Elektrizitätsanhäufung. Jenes System „freier 
elektrischer Ströme" ist nichts als das Wirbelfeld des quellen- 
freien Vektors ©^ es dient zunächst nur zur mathematischen 
Darstellung dieses Feldes. 



362 



Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie 



§83 



Wir könüen nun aber wiederum die gegebene Darstellung 
in ähnliclier Weise abändern wie im vorigen Paragraphen. Wir 
können uns die Magnete entfernt denken und uns das Feld © 
jetzt im leeren Räume vorstellen. Im leeren Räume ist 35 gleich 
^j wir können hier den Wirbel von ö als wirklieben Strom 
deuten. Durch diese Deutung wird die Weiterbildung der Theorie 
des Magnetismus angebahnt, indem eine Erklärung durch An- 
nahme verborgener Elektrizitätsbewegungen nahegelegt wird. 
Man hat diese Erklärung zu verschiedenen Zeiten in verschie- 
dener Weise zu geben versucht, früher durch Amperesche Moie- 
kularströme, neuerdings durch umlaufende Elektronen. Die Mole- 
kulartheorien oder Elektronentheorien des Magnetismus haben 
zu zeigen, daß durch Mittelwertsbildung über die Felder der im 
Räume angenommenen Stromsysteme wirklich das Feld © ent- 
steht. Sie haben ferner von dem Zusammenhange des Vektors § 
mit dem beobachtbaren elektrischen Strome Rechenschaft zu 
geben. Ein Eingehen auf diese Theorien liegt indessen außer- 
halb des Rahmens dieses Bandes. 

Die Ausführung des gegebenen Bildes, welche sich das Feld 
der Magnete im Äther vorstellt und die Wirbel von 83 auf ver- 
borgene Elektrizitätsbewegungen zurückführt, erkläi-t die queUen- 
freie Natur von 35 ohne weiteres. Sie verdient daher den Vorzug 
vor der entsprechenden Ausführung des im vorigen Paragraphen 
gegebenen Bildes, welche im Äther Quellen von 35 annehmen 
mußte. Die Auffassung, welche wahren Magnetismus überhaupt 
ausschließt, muß jedenfalls dieses Bild für naturgetreuer halten 
als jenes erste. Es entsteht nun die Aufgabe, zu zeigen, daß 
dieses zweite Bild die mechanischen Kräfte zwischen permanenten 
Magneten richtig wiedergibt. 

Wir gehen auf den Ausdruck (255 b) für die Änderung der 
magnetischen Energie der permanent magnetisierten Korper 
zurück: /» 

Nun ist ^d^ = c^(#S3) -^d^, 



daher die Energieänderuiig bei einer Verschiebung der starren 



1 



§ 83 Erstes Kapitel. Die ferromagnetischen Körper 363 

Magnete gegeneinander 

(261) dT = ^^d j dv (§Ö) - ^^ j dv^d^ . 

Nun war aber bereits im ersten Abschnitte der Satz bewiesen 
worden (§ 23): das über den ganzen Raum erstreckte Integral 
des inneren Produktes aus einem quellenfreien und einem wirbel- 
freien Vektor ist Null. Dieser Satz ist bier anwendbar, da ^ 
durchweg wirbelfrei, © aber durchweg quellenfrei ist. Er ergibt 

(261 a) / dv (§©) = , und daher 

(261 bl dT = -^( dv^dß . 

Femer ist im Innern der permanent magnetisierten Körper, 
wo ilR für jedes Stück als konstant gilt, nach (257 a) 

*d^=^d^', 
dasselbe gilt im umgebenden Räume. Wir können daher für die 
Energieänderuug schreiben 

(261c) dT=-d f^^^W. 

Verstehen wir nun unter T^ die Energie bei einer bestimmten 
Anfangslage der Magnete, wo die magnetische Induktion S5q sein 
mag, so bestimmt 

(262) T-T.^-J'^^W+Jp^^ 

die Feldenergie bei einer beliebigen Konfiguration der 
Magnete. Dieser Energieausdruck tritt dem Ausdrucke (258) 
des vorigen Paragraphen als gleichberechtigt gegenüber. Wie 
jener dem ersten Bilde entsprach, so entspricht dieser dem 
zweiten Bilde. 
Wir setzen 



"• J Sic 



(262a, ^»=ji;»^- 

Dieses ist die magnetische Energie des Feldes, das eutsteht, 
wenn wir die freie Strömung i' durch eine wahre Strömung im 
leeren Räume ersetzt denken. Die bewegenden Kräfte, welche 
elektrische Ströme aufeinander ausüben, sind nun im § 64 aU- 



364 Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 83 

gemein aus einem elektrodynamischen Potentiale abgeleitet 
worden, welches der negativen magnetischen Energie gleich ist. 
Die elektrodynamischen Kräfte streben die Stromkreise so zu 
stellen, daß die magnetische Energie bei konstant gehaltenen 
Stromstärken möglichst groß wird. Denken wir uns nun die 
freie Strömung i', die ja bei einer Bewegung der Magnete un- 
veränderlich an iÜren Stücken haftet, durch eine wahre Strömung 
ersetzt, so haben wir die Arbeit der zwischen den Strömen 
wirksamen Kräfte der Zunahme von T^ bei konstant gehalte- 
ner Stromdichte gleichzusetzen. Die folgerichtige Durch- 
führung der in diesem Paragraphen gegebenen Dar- 
stellung führt also dazu, die Arbeit der zwischen den 
MagnetenwirksamenKräfte der Zunahme von T^ gleich- 
zusetzen. Die Zunahme der magnetischen Energie T^^ 
(262a) des vorgestellten Feldes im leeren Räume ist 
jedoch gleich der Abnahme der wirklichen Energie, 
nach Gleichung (262). Wir gelangen also auch vom Standpunkte 
dieses zweiten Bildes aus, wie von dem des ersten Bildes dazu, 
aus der wirklichen Feldenergie der permanenten Magnete wie 
aus einer potentiellen Energie die zwischen ihnen wirkenden 
mechanischen Kräfte abzuleiten. Ein Widerspruch zwischen den 
beiden Bildern besteht hinsichtlich der bewegenden Kräfte nicht, 
sondern die beiden Ausdrücke für die potentielle Energie ergeben 
dieselben Kräfte. 

Die Kräfte und Kräftepaare, welche zwischen zwei. magne- 
tischen Schalen wirken, sind den Kräften und Kräftepaaren 
gleich, welche die beiden äquivalenten linearen, längs der Raud- 
kurve fließenden Ströme aufeinander ausüben. Jede Schale sucht 
sich so zu stellen, daß möglichst viele der von der anderen Schale 
entsandten Kraftlinien sie in positivem Sinne durchsetzen j als 
positiv ist dabei diejenige Richtung bezeichnet, die sich der 
Richtung des fingierten Stromes durch die Amperesche Regel 
zuordnet; dies ist die Magnetisierungsrichtung der Schale. Das 
elektrodynamische Potential der beiden fingierten Ströme ist 
dem negativ genommenen Teile der magnetischen Energie 
gleich, der dem Produkte der beiden Stromstärken eZ/Jg' pro- 



i 



§ 83 Erstes Kapitel. Die ferromagnetischen Körper 365 

portional ist Nach § 64, Gleichung (193) ist dieses Potential 

(262b) W^^ = - "^^ I r^Mh . 

Dieser Ausdruck spielt für die Wechselwirkung der beiden Schalen 
die Rolle der potentiellen Energie. 

Für beliebige Verteilung der Magnetisierung hat man die 
Wechselwirkung der Magnete auf Grund des allgemeineren 
Energieausdruckes (184d) zu berechnen, d. h. aus einem Poten- 
tiale der Wechselwirkung 

(262c) ^ = - r„ = - i,y J-'-ÄV V ^ 

wobei die Integration über alle Paare je zweier Magnetstücke 
zu erstrecken ist und i^', i^' sich gemäß (259 c) aus der Magne- 
tisienmg berechnen; man kann auch schreiben 

(262 c) '4^ = _ T^ = -ff^^r^''' ^^^^^ ^ ' ^^^^ ^2) • 

Dieser Ausdruck bildet das Gegenstück des Ausdruckes (258 c) 
des ersten Bildes, der nach (257 c) übergeht in 

(262d) ' ü^ ^J^J^'^J-'^^ div m, div % . 

Beide Ausdrücke sind der Fern Wirkungsanschauung angepaßt; 
der Ausdruck für CT"^ zeigt Fernkräfte zwischen den Quellpunkten, 
der Ausdruck für T^ Fernkräfte zwischen den Wirbelstücken der 
permanenten Magnetisierung an. Beide Ausdrücke lassen 
erkennen, daß für die Wechselwirkungen zweier per- 
manenter Magnete das Gesetz der Gleichheit von Wir- 
kung und Gegenwirkung gilt. Denn es hängt die Arbeit 
der wechselseitigen Kräfte bei der Verrückung immer nur von 
der Änderung der relativen Lage der Magnetstücke ab. Ver- 
schieben sich zwei Magnete, ohne ihre relative Lage zu ändern, 
so ist die Summe der virtuellen Arbeiten NuU. Es wirkt also 
im ganzen keine resultierende Kraft und kein Kräftepaar, d. h. die 
Kräfte und Kräftepaare, welche die beiden Magnete aufeinander 
ausüben, sind entgegengesetzt gleich. 



366 Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 84 

§ 84. Die meclianisclien Kräfte zwischen pernianenteu 
Magneten und elektrischen Strömen. 

Wir denken uns im Felde eine Anzahl permanenter Magnete 
und außerdem, räumlich von jenen getrennt, eine Anzahl eiek- 
trisclier Ströme. Die Stromleiter sollen wie starre Körper be- 
weglich sein. Außerhalb der Magnete soll die Permeabilität ii 
durchweg gleich 1 sein, so daß außer der permanenten Magne- 
tisierung der magnetisch harten Körper eine veränderliche Magne- 
tisierung magnetisch weicher Körper nicht in Frage kommt. Die 
Wechselwirkungen der Magnete unter sich und der Ströme unter 
sich kennen wir jetzt. Welche Kräfte übt nun aher ein Strom 
auf einen Magneten und ein Magnet auf einen Strom aus? 
\ Was zunächst die Wirkung auf einen Magneten (M2) anbe- 
langt, so können .wir den Strom (<^) ersetzen durch den äquiva- 
lenten Magneten {M^). Denn dieser erzeugt ja überall die gleiche 
magnetische Induktion S5 wie der Strom; die Wirkung auf \M^) 
ist aber durch 33 bestimmt, indem jeder Stromfaden des fingierten 
Stromsystemes (J2), das (M^) ersetzt, einen möglichst großen 
Induktionsfluß zu umschlingen sucht. Die Potentialfunktiori der 
Wirkung, die Jj auf M^ ausübt, wird erhalten, indem man in 
(262c) an Stelle der Dichte i^' des in {M^) zu fingierenden 
Stromes die Dichte i^ des in (J^) wirklich fließenden setzt; sie ist 



}-ff 



i\ 



Andererseits können wir bezüglich der Gegenwirkung auf 
den Strom (J^) den Magneten (Jfg) durch das äquivalente Strom- 
system (Jj') ersetzen^ welches überall dasselbe © erzeugt. Denn 
durch das Feld © sind die Kräfte bestimmt, die auf (J^) wirken. 
Wir erhalten demnach das Potential der Wirkung, die M^ auf 
Jj ausübt, indem wir, in dem Ausdrucke des elektrodynamischen 
Potentials zweier Stromsysteme J^ und J^^ an Stelle von J^ das 
System J^ setzen, welches dem Magneten M^ äquivalent ist. 
Dieses Potential ist . /» /» ^ , . . . 



§ 84 Erstes Kapitel. Die ferromagnetischen Körper 367 

Aus der Änderung, welche das Potential der Wechselwirkung 
bei einer virtuellen Yerrückung erfährt, berechnen sich die 
Kräfte; demnach folgt erstens: Auf einen Magneten übt ein 
Strom die gleichen Kräfte aus wie der äquivalente 
Magnet. Zweitens: Auf einen Strom übt ein Magnet die 
gleichen Kräfte aus wie der äquivalente Strom. Drittens 
endlich folgt aus der Gleichheit der obigen Potentialausdrücke 
für die Wirkung des Stromes auf den Magneten einerseits, die 
t Gegenwirkung des Magneten auf den Strom andererseits: Die 
Kräfte und Drehkräfte, welche ein Strom und ein 
Magnet aufeinander ausüben, erfüllen das Gresetz von 
Wirkung und Gegenwirkung. Es kann daher ein aus einem 
Magneten und einem fest verbundenen Strome bestehendes System 
sich nicht selbst eine Beschleunigung erteilen. 

Da nicht nur für die Wechselwirkung von Magneten unter- 
einander und von Strömen untereinander das dritte Newtonsche 
Axiom gilt, sondern auch für die Wechselwirkung von Magneten 
und Strömen, so können wir schließen: von einem Magneten 
oder einem Strome werden auf einen Magneten die 
g^leichen Kräfte ausgeübt wie auf den äquivalenten 
Strom. In der Tat, es üben, wie bewiesen, Magnet (M^) und 
äquivalenter Strom (J^) auf einen Magneten (M^) die gleichen 
Wirkungen aus. Diesen Wirkungen entgegengesetzt gleich sind 
^lie Gegenwirkungen, die auf den Magneten (Mj) bzw. den äqui- 
valenten Strom (Jj) von dem Magneten {M^) ausgeübt werden. 
Die Kräfte und Drehkräfte, die (M^) auf (M^) und auf den äqui- 
valenten Strom (J^) ausübt, sind daher untereinander gleich, 
dasselbe gilt von den Kräften und Drehkräften, die ein Strom 
-/g) auf (Jfj) und den äquivalenten Strom (J^) ausübt. Wir 
können also allgemein den Satz aufstellen: die Kräfte, die 
an einem Magneten und einem äquivalenten Strome in 
einem beliebigen magnetischen Felde angreifen, sind 
einander im Sinne der Mechanik starrer Körper äqui- 
valent. Wir sind demnach imstande, in jeder Hinsicht von 
den bewegenden Kräften, welche permanente Magnete ausüben, 
und welche an ihnen angreifen, Rechenschaft zu geben, indem 



368 Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 85] 

wir das System freier Strömungen, welches der remanenten] 
Magnetisierung entspricht, durch wahre elektrische Ströme er- 
setzt denken. 



§ 85. Eingeprägte magnetische Kräfte. 

Wir dürfen uns nicht verhehlen, daß die Theorie des Ferro 
magnetismus noch große Schwierigkeiten bietet. Eine Tollkom 
mene Theorie müßte es gestatten, die magnetische Induktion 18 
zu finden, wenn das Feld § und seine Vorgeschichte bekannt 
sind. Von einer solchen Theorie sind wir noch weit entfernt. 

Von 0. Heaviside ist eine Darstellung der Theorie der magne 
tischen Härte gegeben worden, welche auf der Annahme einge 
prägter magnetischer Kräfte beruht. Ähnlich, wie sich die 
gesamte elektrische Feldstärke ^, welche in Leitern einen Strom 
erregt, in zwei Teilvektoren zerlegt, nämlich die im stationären 
Felde wirbelfreie „elektrostatische" Kraft C^* und die eingeprägte 
elektrische Kraft @% setzt Heaviside, indem er sich von de: 
Analogie der elektrischen und magnetischen Größen (§ 53) lei 
ten läßt: 

(263) ö = .it*. § = §^- + r- 

Dabei soll die magnetische Induktion 8 quellenfrei sein: 

div » = . 

In permanenten Strömen, die nicht von elektrischen Strömen 
durchflössen werden, soll die „magrietostatische Kraft*^ 
wirbelfrei sein : curl §* = . 

Nach dieser Auffassung ist es das Auftreten der „einge- 
prägten magnetischen Kraft" ^% welches die magnetisch 
harten Körper kennzeichnet. Das Problem der permanenten 
Magnetisierung würde dann darauf zurückgeführt sein, die Ver- 
teilung und die Eigenschaften dieses Vektors zu ermitteln 

Eine ähnliche Darstellungs weise ist von R. Gaus befürwortet 
worden; er glaubt durch die Annahme, daß sowohl [i wie §' 
nahezu konstant sind, das Verhalten permanenter Magnete bei 
kleinen, reversiblen Änderungen beschreiben zu können. Auf 



f|f = curl|§-r)- 


43t 6 

c 


-^^ = cari(g- 


■e«) 


div ^.^ = ^ 





§ 86 Erstes Kapitel. Die ferromagnetischen Körper 369 

Grund dieser Annalime würden die Feldgleichungen für ruhende 
ferromagnetische Körper die Form annehmen: 

(263 a) 

(263b) 

(263 c) 

Die Vektoren 

«• = e - e% §' = §-^' 

sind es, deren Tangentialkomponenten sich an der Grenzfläche 
zweier Körper — von vollkommenen Leitern abgesehen — stetig 
verhalten. Sie bestimmen den Poyntingschen Strahlvektor 

(263d) ® = ^^ t@.§,] = £ [« _ @», § _ §.] , 

so daß die Stetigkeit des senkrechten Energiestromes durch die 
Trennungsfläche zweier Körper hindurch gesichert ist. 

Wir stellen, ähnlich wie in § 81, aber indem wir jetzt die 
Arbeit der eingeprägten elektrischen Kräfte berücksichtigen, die 
Energiegleichung auf: 



dU dT dA 

dt ' dt dt 



+ Q + Q„.- -J df^„, 



und setzen rechts unter Anwendung des Gaußschen Satzes und 
der Formel (102 a): 

~Jdf<B, = - / dv div @ = ^-^J dv { @* curl §* - §« curl @* ) . 

In dem letzten Ausdruck führen wir, an Stelle von 
curl ^' = curl {% — ii,'] und curl §* = curl f& — §' ) , 
die durch die Feldgleichungen (263 a, b) gegebenen Werte ein und 
trennen dann die von den elektrischen Vektoren abhängigen 
Größen von denjenigen, welche durch die magnetischen Vektoren 
bestimmt sind; so ergeben sich die beiden Beziehungen 

Abraham, Theorie der Elektrizität. I. 5. Auf! 24 



370 Viei-ter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 85 

über die erste, elektrische Energiebeziehung hatten wir uns 
bereits in § 60 verbreitet, insbesondere über den durch die ein- 
geprägten elektrischen Kräfte vermittelten chemischen oder ther- 
mischen Energieumsatz. Die eingeprägten magnetischen Kräfte 
bedingen, da es keinen magnetischen Strom gibt, keinen der- 
artigen Energieumsatz — abgesehen von der durch Q^ aus- 
gedrückten Hysteresiswärme — , so daß eiu als Arbeitsleistung 
dieser Kräfte zu deutendes Glied in (263 e) nicht einzuführen war. 
Wird diese als Verallgemeinerung von (254) anzusprechende 
Gleichung auf reversible, d. h. von magnetischer Wärmeentwick- 
lung Q^ freie Vorgänge angewandt, so bestimmt 



I 



d^ 



(263f) dT = ^fdv^' 

die Änderung der magnetischen Energie. 

Sind nun wirklich für jedes Eisenstück /* und §*' während 
des betreffenden Vorganges unveränderliche Größen, so folgt aus 
(263) für die Energieänderung der Volumeinheit 

Diese Formel gilt auch außerhalb der permanenten Magnete, wo- 
§^ gleich Null zu setzen ist. 

Für den Energieunterschied zweier verschiedener Lagen des, 
etwa aus zwei permanenten Magneten bestehenden, System es 
folgt demnach. 

(263g) T-T, =fdv l ^ -J 'dv ^ §5 

Da der \|^belfreie Vektor §* es ist, der hier die magnetische 
Energie bestimmt, so entspricht dieser Energieausdruck dem 
ersten Bilde (§ 82); er ist eine Verallgemeinerung des Aus- 
druckes (258). Man kann hier die potentielle Energie der Wech- 
selwirkung von Magneten auf die Formen bringen 

D». --fdv l §'= ~Jdv l #« V^„ = lj'dv^„,9^, 

wo gesetzt ist: 

4xQ^ = div ^§* = - div a^' 



§ 85 Erstes Kapitel. Die ferromagnetischen Körper 371 

Dem zweiten Bilde (§ 83) dagegen entspricht der Eriergie- 
ausdruck, der aus der Gleichung 



dT=-^^ fdvf^d^' 



abzuleiten ist. Dieser Wert der Energieänderung erweist sich 
als gleichwertig mit (263 f), wenn man beachtet, daß das Volum- 
integral des skalaren Produktes aus dem quellenfreien Vektor ö 
und dem wirbelfreien Vektor §* gleich Null ist: 



j dv^^^== 







Mit Rücksicht auf (263) folgt für die Energieänderung der Volum- 
einheit 1 i f 1 ^ 

und es wird der Energieunterschied zweier Konfigurationen des 
Systemes der Magnete 

(263h) r - T„ = -/^t; «-+/3t; »l ; 

diese Formel ist als Verallgemeinerung v on (262) zu bezeichnen. 
Entsprechend wie im § 83 fassen wir diesen Ausdruck für die 
potentielle Energie der Wechselwirkung permanenter Magnete 
als elektrodynamisches Potential eines fingierten Stromsystemes 
auf, von der ma^etischen Energie: 

^».= fß'^'= f ■'"' »curl«=i' fdvii«). 

Dabei ist die fingierte Stromdichte bestimmt durch 
43ri , f » 



c 



= curl {-} = curl§^ 



Wird ft = 1 gesetzt, so geht die soeben angedeutete Dar- 
stellung in die oben, in den §§ 82 — 84, dargelegte über; dabei 
geht ^' in die dort mit § bezeichnete, wirbelfreie Feldstärke 
über, während §^ mit dem dort als konstant angenommenen 
Vektor 4:r9K zusammenfällt. Wie jene Darstellung, so ist auch 
diese auf umkehrbare, von Hysteresis freie Vorgänge beschränkt. 

24» 



372 Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie 

Zweites Kapitel. 

InduktioiisersclieiEungeii iii bewegten Körpern. 

§ 86. Induktion durch Bewegung zweier Stromringe 

Im vorigen Absclinitte haben wir ausscMießlich Vorgänge 
in ruhenden Körpern behandelt. Eine Bewegung der Körper 
haben wir nicht in Betracht gezogen. Wir gehen nunmehr dazu 
über, die Induktionserscheinungen in bewegten Körpern zu er 
örtern. 

Wir knüpfen zunächst an die im § 63 behandelte Aufgabe 
an, die Induktionswirkungen in einem aus zwei Stromringen be- 
stehenden Systeme zu ermitteln. Wir fanden (186 a, b) für den 
Induktionsfluß durch eine vom ersten Ringe umschlungene Fläche 

^1 = y ^11 ^1 + y ^12^2 y 
und für den vom zweiten Ringe umschlungenen Induktionsfluß 

^2 = y A2 ^1 + c L^i^i • 

Wir leiteten aus dem Faraday sehen Induktionsgesetze (179 
die induzierten elektromotorischen Kräfte ab ; dabei beschränktei 
wir die Betrachtung auf diejenigen elektromotorischen Kräfte, di( 
in ruhenden, starren Stromringen durch Änderungen der Strom- 
stärken induziert werden. Änderungen der relativen Lage un 
der Form der Stromringe haben wir nicht in Betracht gezoge: 

Das Faradaysche Induktionsgesetz (179) gilt nun abe 
auch für bewegte Stromkreise. Es setzt allgemein di 
induzierte elektromotorische Kraft der zeitlichen Ab- 
nahme des umschlungenen Induktionsflusses propor- 
tional. Auf Grund dieses durch die Erfahrung bestätigten Ge- 
setzes erhalten wir für die induzierten elektromotorischen Kräfte 

} ~ c Tt ^ ~ c^ Tt (^" ^1) ~'^dt (^^2 '^2) ; 

i ~ c di ^~'c^dt. (^12 ^1) - ^ dt ^^22 ^2) • 
Es entstehen somit induzierte elektromotorische Kräfte nicht 



§ 86 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 373 

durch Änderungen der Stromstärken J^j J.2, sondern auch durch 
Änderungen der Koeffizienten der gegenseitigen Induktion und 
der Selbstinduktion. Durch eine relative Bewegung der beiden 
starren Stromleiter wird allerdings nur L^<^ geändert; hat man 
es aber etwa mit biegsamen stromführenden Bändern zu tun, so 
hat man auch die Veränderlichkeit der Selbstinduktionskoeffi- 
zienten Xu und X22 zu beachten. 

Durch Einführung der Ausdrücke (264) in das Induktions- 
gesetz (179) ergeben sich die Gleichungen 

(265) \^*^ \^l 

I '-^ ^2 "~ ^2 ^ ~ c^ dt ^^12 «^1) ~~ ^ Jf (-^22 «^2) • 

Dieselben gelten für quasistationäre Strömung und für hinreichend 
langsame Bewegungen der Stromleiter. 

Für solche Bewegungen ist nun die Arbeit der mechanischen 
Kräfte leicht anzugeben. Wir haben im § 64 gesehen, daß diese 
Kräfte für ruhende Leiter sich aus der Zunahme der magnetischen 
Energie berechnen, indem die negative magnetische Energie die 
Rolle des elektrodynamischen Potentiales spielt. Es ist aber wohl 
zu beachten, daß diejenige Zunahme der magnetischen Energie 
in Rechnung zu setzen ist, die stattfindet, wenn die Stromstärken 
konstant gehalten werden. Die Arbeit der elektrodynamischen 
Kräfte bei einer virtuellen Verrückung oder Formänderung der 
linearen Leiter beträgt (vgl. 195 a): 

äA = d'T = J-, J^HL,, + i J,J,dL,, + ^ J/#i,, . 

Bei hinreichend langsamer Bewegung, d. h. solange die Ge- 
schwindigkeit der Bewegung nicht merklich das magnetische Feld 
und die Feldenergie beeinflußt, werden die elektrodynamischen 
Kj^fte die gleichen sein, die in der jeweils eingenommenen Lage 
auf den ruhenden Leiter wirken würden. Die Arbeit, welche diese 
Kräfte bei einer solchen Bewegung leisten, wird dann 

(266) ft-^e'^y-^ + h'^^^^'-^ + ^^'^y-t- 
Werden die Stromstärken wirklich konstant gehalten, so ist 



374 



Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie 



iernW 



diese Arbeitsleistung der Zunahme der Feldenergie gleich. Ändern 
sich aber bei der wirklichen Bewegung die Stromstärken, so gilt 
für die Zunahme der durch (186) bestimmten Feldenergie de 
allgemeinere Ausdruck: 

_ '"^^^^ "^^^ ~^^ ''"^ '''^ 

' TT ^-^IS T 7 d^^ ' ^ T <9 dL. 

^1 ^2 ~ir^ ^2-^32 -^ 



dt 



2^2 



dt 



Die^ Summe aus der pro Sekunde von den elektrodynamischenj 
Kräften geleisteten Arbeit (266) und aus der Zunahme der Energie] 

(266 a) ist . 

1 ] j dm,.J,) jd{L,,. 



dÄ dT 

dt ' dt 



dt 






dt 



Mit Rücksicht auf (265) erhält man 
(267) 



'^^ + ^ = '/l^V+'/2^/ 



t/-£ Jfig fJl J^2 ' 



dt ' dt 

Die von den eingeprägten elektromotorischen Kräf- 
ten chemischen oder thermischen Ursprungs geleistet! 
Arbeit liefert, soweit sie nicht als Joulesche Wärme in] 
dem Leiter verzehrt wird, diejenige Energie, welche er- 
forderlich ist, um gleichzeitig die mechanische Arbeit] 
(266) zu leisten und die magnetische Energie um den] 
Betrag (266a) zu vermehren. Damit ist der Nachweis ge- 
führt, daß das Energieprinzip von den angenommenen elektro- 
motorischen und bewegenden Kräften erfüllt ist. Das kann nicht! 
wundernehmen, da ja nach § 65 diese Kräfte sich aus den] 
Lagrangeschen Gleichungen ableiten ließen und die Energie- 
gleichung für alle diejenigen Systeme gilt, welche den Lagrange- 
schen Gleichungen genügen. 

Wir denken uns beispielsweise zwei starre Stromkreise in] 
parallelen Ebenen einander . gegenübergestellt und in gleichem] 
Sinne von Strömen durchflössen. Bei einer Annäherung der Strom- 
ringe leisten die anziehenden elektrodynamischen Kräfte Arbeit,] 
und gleichzeitig nimmt die magnetische Feldenergie zu. Die in- 
folge der Bewegung induzierten elektromotorischen Kräfte wirken 
in einem der Richtung des betreffenden Stromes entgegengesetzten 



§ 87 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 375 ' 

Sinne. Um die Stromstärken konstant zu halten, müßten somit 
die eingeprägten elektromotorischen Kräfte verstärkt werden; 
dieselben würden dann eine entsprechende xlrbeit über das zur 
Lieferung der Jouleschen Wärme erforderliche Maß hinaus 
leisten. Diese Arbeit würde zum Teil in mechanische Arbeit, 
zum Teil in masmetische Enersfie verwandelt werden. In Wirk- 
lichkeit sind indessen die eingeprägten Kräfte konstant, nicht die 
Stromstärken. Die Stromstärken werden also durch die induzierte 
elektromotorische Kraft zeitweise geschwächt, wodurch der Vor- 
gang sich verwickelt. 

Wir sehen, daß die durch Bewegung induzierten elektromoto- 
rischen Kräfte und die mechanischen Kräfte in enger Beziehung 
zueinander stehen. Dieser durch das Energieprinzip vermittelte 
Zusammenhang besteht selbstverständlich auch in allgemeineren 
FäDen. Die verschiedenen Theorien der Elektrodynamik be- 
wegter Körper können, wenn sie bezüglich der durch Bewegung 
erregten Felder sich unterscheiden, nicht umhin, auch für die 
mechanischen Kräfte verschiedene Annahmen zu machen. Von 
den in diesem Paragraphen dargelegten Wechselwirkungen zweier 
bewegter Stromringe, die in dem angegebenen Gültigkeitsbereiche 
von der Erfahrung durchweg bestätigt werden, müssen indessen 
alle Theorien Rechenschaft geben, wenn sie auch sonst vonein- 
ander abweichen mögen. 

§ 87. Die Magnetinduktioii. 

Wir gehen jetzt zur Behandlung des Falles über, wo durch 
einen linearen Leiter ein permanenter Magnet Induktionsfluß hin- 
durchsendet. Auch hier setzt das Faradaysche Induktionsgesetz 
die induzierte elektromotorische Kraft der zeitlichen Abnahme 
des umschlungenen Induktionsflusses proportional. Wir wollen, 
um den Vergleich zwischen den Entwicklungen dieses Paragra- 
phen und denen des vorigen zu erleichtern, als Magneten eine 
magnetische Schale wählen; ihr magnetisches Moment nehmen 
wir, entsprechend der Auffassung der §§ 82 — 84, als konstant an. 
Wir bezeichnen mit J^ die Stromstärke des längs der ümfangs- 
linie zu fingierenden Stromes, welcher der Schale äquivalent ist 



376 



Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Tkeorie 



§87 



(vgl. § 83). Der gesamte Induktionsfluß durch eine vom Strome 



J^ umrandete Fläcte hindurcli ist dann 



O, 



■^12«^/ + 



-^22 ^2 5 



aus dem Induktionsgesetz folgt daher als induzierte elektro-j 
motorische Kraft im Stromringre 



(268) 



1 d^. 






1 d 



, dt ^ c»^i dt c'dt^^^^'^^y 
In der Tat, die fingierte Stromstärke «7"/ des den Magneten er- 
setzenden Stromes ist konstant, weil durch die permanente Magne-I 
tisierung bestimmt. Eine Induktion im Stromringe kann daher 
nur durch eine Änderung der relativen Lage des Magneten und 
des Stromes stattfinden. Dazu tritt dann die im zweiten Gliedel 
enthaltene elektromotorische Kraft der Selbstinduktion, herrüh- 
rend von Stromschwankungen im Stromringe selber oder von| 
einer Formänderung desselben. 

Was nun die bewegenden Kräfte anbelangt, so sind diese] 
ohne weiteres anzugeben. Wissen wir doch aus den Entwick- 
lungen des § 84, daß die magnetische Schale hinsichtlich der| 
ausgeübten Kräfte sowohl wie hinsichtlich derjenigen Kräfte, die 
sie erleidet, dem linearen Strome J^ im Sinne der Mechanik 
starrer Körper äquivalent ist. Wir erhalten demnach die Arbeit, 
welche die mechanischen Kräfte bei einer langsamen Bewegung 
des Stromes bzw. des starren Magneten leisten, indem wir in 
(266) an Stelle von J^ jetzt J^' setzen. Dabei ist zu beachten, i 
daß L^ , die Größe, welche dem Selbstinduktionskoeffizienten des ; 
äquivalenten Stromes entsprechen würde, für den Magneten als] 
starren Körper konstant ist. Es ist demnach 

dA 
dt 



(268 a) 



— ^^ (e^l 



dt "*" 2*^2 dt ^ 



die Arbeitsleistung der mechanischen Kräfte, die zwischen dem 
Magneten und dem Strome wirksam sind. 

Wir müssen nun, um das Energieprinzip auch für die Magnet- 
induktion als gültig nachzuweisen, die Feldenergie des Sjstemes 
bestimmen, das von dem Strome und dem Magnete gebildet wird. 
Wir haben zwar die Energie eines nur aus elektrischen Strömen 



§ 87 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 377 

oder nur aus Magneten bestehenden Systemes bereclinet. Aber 
gerade die bier vorliegende Aufgabe haben wir bisher noch nicht 
gelöst. 

Wir knüpfen, uin ihre Lösung zu ermitteln, am besten an die 
Entwicklungen des § S2 an. Wir haben dort für die Änderung der 
Energiedichte im Innern eines magnetisch harten Körpers gefunden 

Derselbe Ausdruck gilt in dem umgebenden Räume und auch 
in dem Stromleiter, wenn die Permeabilität daselbst gleich 1 ist. 
Wir woUen dies annehmen. Dann gilt auch hier die Gleichung 
(258), welche die Feldenergie T bis auf eine Konstante bestimmt- 
wir setzen 

(268b) T=/ ^^^+const. 

Das Feld § ist im Magneten wirbelfrei (Gl. 256), im Strom- 
leiter ist es queUenfrei, da /a = 1 und div 8 = ist. Im übrigen 
Teile des Feldes ist es sowohl queUenfrei wie wirbelfrei. Wir 
können es daher in der im § 23 dargelegten Weise in ein wirbel- 
freies Feld §' und ein queUenfreies Feld §'' zerlegen; §' ist das 
vom Magneten allein, §'' das vom Strome allein erregte Feld; 
durch Überlagerung dieser beiden Felder entsteht das wirkliche 
Feld ; aus den Entwicklungen des § 23 geht nun hervor, daß aU- 

gilt. Es folgt daher 
(268 c) T=:f'H-r', 

wo T' die konstante Energie des Magneten allein, bei Abwesen- 
heit des Stromes, ist, während 

die Feldenergie des Stromes im leeren Räume ist. Es addieren 
sich demnach die Energien des permanenten Magneten 
und des Stromes. Bleibt der Stromring nach Form und 
Stromstärke ungeändert, so ist die Feldenergie von 



■S'^^'"' 



378 



Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie 



§87 



der gegenseitigen Lage des Magneten und des Stromes 
unabhängig. 

Wir wollen jetzt prüfen, ob diese Folgerung der Theorie 
permanenter Magnete mit dem Energieprinzip in Übereinstim- 
mung ist. Wir erhalten für die zeitliche Änderung der Feldener- 
gie, da ja die Energie des Magneten konstant ist: 

Addiert man hierzu die Arbeit der mechanischen Bjäfte (268 a), 
so erhält man 



dA . dl 



,dL. 



(:26«e) -^ + ^ = ^, J, 1 ,7/^ + j.^ {L^J,) 



Berücksichtigt man den Ausdruck (268) für die induzierte 
elektromotorische Kraft der Magnetinduktion, so folgt: 

dt '^ dt ~~ '^2- c dt ' 

Da ferner aus dem Induktionsgesetze folgt 

^2^2-^2 =- ,, at y 
SO erhält man schließlich 



(269) 



dA d T j ,,^. ^ 2 » 

~dt -f- ■;77 ~ "^2^2 —^2 -^2 



Die Arbeit der eingeprägten elektromotorischen Kräfte 
im Stromringe wird demnach, soweit sie nicht als Joule- 
sche Wärme verzehrt wird, in mechanische Arbeit um- 
gewandelt, bzw. zur Steigerung der magnetischen Feld- 
energie verwandt. Ein von der relativen Lage des Magneten 
und des Stromes abhängiger Energieanteil ist dabei nicht ange- 
nommen worden. Dennoch genügen die elektromotorischen Kräfte 
der Magnetinduktion dem Energieprinzip. 

Den Entwicklungen dieses Paragraphen liegt, ebenso wie 
denen des vorigen, die Annahme zugrunde, daß die Bewegungen 
des Stromes bzw. des Magneten hinreichend langsam erfolgen. 
Andernfalls wäre es nicht erlaubt, die Feldenergie der Energie 
d«s in der betreffenden Konfiguration ruhend verharrenden Sy- 
stemes gleichzusetzen und die Kräfte denjenigen, welche Magnet 



§ 88 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 379 

und Strom ruhend aufeinander ausüben würden. Indem wir die 
Annahme langsamer Bewegung zugrunde legten, haben wir still- 
schweigend das Gesetz der Gleichheit von Wirkung und 
Gegenwirkung eingeführt, das ja für ruhende Ströme und 
Magnete allgemein bewiesen worden ist (§ 84). Auch haben wir 
die mechanischen und ebenso die durch das Energieprinzip mit 
ihnen verknüpften elektromotorischen Kräfte nur von der re- 
lativen Lage der Körper abhängig gemacht. Bei allen in den 
Gültigkeitsbereich der beiden ersten Paragraphen dieses Kapitels 
fallenden Vorgängen gilt mithin das sogenannte Relativitäts- 
prinzip im Sinne der Newtonschen Mechanik: es hängen die 
Vorgänge nur von der relativen Bewegung der Körper ab, eine 
hinzugefügte gleichförmige Translation des ganzen Systemes 
ändert weder die bewegenden noch die elektromotorischen Kräfte, 
welche in dem System wirksam sind. Auch eine gemeinsame 
Rotation des ganzen Systemes ist ohne Einfluß. 

§ 88. Die zweite Hauptgleiehung tur bewegte Körper. 

Im § 59 haben wir aus dem Induktionsgesetz die zweite 
Hauptgleichung der Elektrodynamik abgeleitet, und zwar zunächst 
in der auch für bewegte Körper gültigen Form (179 a) 

(270) j)d^{(^,~^}=-^^, wo 

die zeitliche Änderung des Induktionsflusses dui-ch eine zum 
bewegten Körper gehörende, von der Kurve § berandete Fläche 
bedeutet. Wir haben uns indessen dort bei der Berechnung der 
zeitlichen Änderung von auf den Fall der Ruhe beschränkt. 
Es handelt sich jetzt darum, die Betrachtung, die zu der diflfe- 
rentieUen Form der zweiten Hauptgleichung führt, auf den all- 
gemeinen Fall der Bewegung zu übertragen. 

Der Zuwachs (270 a), den der Induktionsfluß in der Zeitein- 
einheit erfährt, läßt sich in zwei Teile zerlegen: 



380 Vierter Abschnitt. Weiterer A-usbau der Theorie § 88 



v^'^^ dt - XdtL^ldt 



Der erste Teil ist derjenige Zuwachs, der, bei ruhender Fläche f^ 
infolge der zeitlichen Änderung des magnetischen Feldes statt- 
findet: 



4 



(271a) 



llftin in TJftf.racht. o-pzocpftn Hiftry.n trif.f. rnm « 



Dieser wurde früher allein in Betracht gezogen. Hierzu tritt nun 
der zweite Teil, welcher den lediglich infolge der Bewegung der 
dem Körper angehörenden Kurve 8 stattfindenden Zuwachs von 
angibt; bei seiner Berechnung kann man das magnetische 
Feld als zeitlich konstant ansehen. 

Wir woUen in diesem Paragraphen die Bewegung des Kör- 
pers als stetig betrachten, so daß der Zusammenhang der Kurve 8 
bei der Bewegung gewahrt bleibt. Bei der im übrigen belie- 
bigen Bewegung ihrer Punkte ändert die Kurve ihre Lage im 
Räume; der veränderten Lage entspricht, im gleichen Felde, ein 
veränderter Wert des umschlungenen Induktionsflusses. Zur 
Berechnung desselben kann man eine beliebige Fläche wählen, 
die von der Kurve §, in ihrer neuen Lage, berandet wird; denn 
infolge der queUenfreien Art des Vektors © ist der Induktions- 
fluß durch zwei Flächen mit derselben Randkurve der gleiche. 
Wir wählen diejenige Fläche, die aus der ursprünglichen, von § 
in seiner alten Lage berandeten, hervorgeht, indem man den von 
der Kurve 8 bei ihrer Bewegung beschriebenen Streifen hinzu- 
fügt. Der durch die Bewegung der Kurve 8 bedingte Zuwachs 
an Induktionsfluß ergibt sich so als derjenige Induktionsfluß, 
der durch diesen Streifen hindurchtritt. Nun beschreibt jedes 
Stück d^ der Kurve in der Zeiteinheit ein Parallelogramm, dessen 
Flächeninhalt, Ebenenstellung und ümlaufssinn durch das äußere 
Produkt aus Geschwindigkeit ti und d^ gekennzeichnet ist. Der 
Induktionsfluß durch dieses Parallelogramm beträgt 

Folglich ist der gesamte Induktionsfluß durch den von der Kurve i 
in der Zeiteinheit beschriebenen Streifen, und daher der gesuchte 



§ 88 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 381 

durch die Bewegung bedingte Zuwachs des von S umschlungenen 
Induktionsflusses : 

Für die rechte Seite kann man nach dem Stokesschen Satze 
ein Flächenintegral setzen, erstreckt über die Fläche /*, für welche 
ursprünglich der Induktionsfluß berechnet wurde; dann wird 

(271e) {^}^=J#(curl[8t.]}„. 

Der gesamte, in der Sekunde stattfindende Zuwachs (271) des 
Induktionsflusses ergibt sich nun durch Addition von (271a) 
und (271c) 

(271d) ^^Jrf/-{^ + curl[©U]) , 

und durch Einführung dieses Ausdruckes nimmt die zweite Haupt- 
gleichung (270) die Form an 

(271e) ^dS (g - 6«H - vf^flw + e">-l[»t>]}^- 

Wendet man hier den Stokesschen Satz auf die linke Seite an 
und geht dann zu unendlich kleinen Flächenstücken über, so 
erhält man die zweite Hauptgleichung für bewegte Kör- 
per in differentieller Form: 

(272) curl{« - (Sf) = - |-{^ + curl[J8ti]} • 

Wie aus der Ableitung hervorgeht, ist ü der Geschwindigkeits- 
vektor der Punkte des bewegten Körpers. Die Geschwindigkeit 
ist, wenn es sich um ein konstantes magnetisches Feld handelt, 
am besten auf dasjenige Bezugssystem zu beziehen, von dem aus 
beurteilt eben das Feld sich als konstant darstellt. Ist das magne- 
tische Feld zeitlich veränderlich, so sind zeitliche Änderung von 
S und Geschwindigkeitsvektor t) auf das nämliche Koordinaten- 
system zu beziehen. Von dessen Wahl hängen zwar die beiden 
Bestandteile des Zuwachses ^, jeder für sich genommen, ab, aber 
nicht ihre Summe. Daß dem so ist, geht aus der Gl. (270a) 
hervor, die wir zugrunde gelegt haben; diese enthält überhaupt 
keine Bezugnahme auf ein bestimmtes Koordinatensystem. 



382 Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 88 

Was über die experimentelle Bestätigung der zweiten Haupt- 
gleichung in § 59 gesagt wurde^ gilt auch für bewegte Körper; 
diese Bestätigung betrifft die in Leitern erzeugten Ströme. In- 
sofern als man den Vektor ($ als Quotienten aus Stromdichte i 
und Leitfähigkeit <? bestimmt, kann man die zweite Hauptglei- 
chung — wenigstens für die praktisch herstellbaren Geschwindig- 
keiten — auch für bewegte Leiter als tatsächlich zutreffend ansehen. 
Die Übertragung auf Isolatoren indessen bleibt hypothetisch, es 
sei denn, daß man die Gl. (272) als Definition für den Wirbel 
des Vektors (B betrachtet. Dann entsteht jedoch die Frage, wie 
der demgemäß bestimmte Vektor C^ für bewegte Isolatoren mit 
dem Vektor S der elektrischen Verschiebung zusammenhängt. 
Auf diese Frage, die von den verschiedenen neueren Theorien 
der Elektrodynamik bewegter Körper in verschiedener Weise 
beantwortet wird, werden wir erst im zweiten Bande eingehen. 

Wir wollen den besonderen Fall ins Auge fassen, wo das 
magnetische Feld konstant ist, also die Induktion nur infolge der 
Bewegung stattfindet; sehen wir femer von eingeprägten Kräften 
ab, so ergibt die zweite Hauptgleichung (272) 

curl ^ = - l curl [» ö | = curl [| ö] • 
Die beiden Vektoren (f und ( ö 

besitzen also die gleichen Wirbel. Daraus folgt, nach § 23, daß 
ihre Differenz ein wirbelfreier, aus einem skalaren Potential ab- 
leitbarer, Vektor ist. Man hat also 

(273) C« = [^^ ©j-Vg-.. 

Bei der Integration über eine geschlossene Kurve fäUt der Gra- 
dient des Skalars g? wieder fort, und es wird 

(273a) j>^-da-=£dii[~^'j- 

Dieser Ausdruck für die induzierte elektromotorische Inteerral- 
kraft hätte auch direkt aus dem Induktionsgesetz und aus (271b) 
abgeleitet werden können. 



§ 89 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 383 

§89. Gleitflächen. 

Wir haben uns im vorigen Paragraphen auf die Betrachtung 
stetiger Bewegungen im magnetischen Felde beschränkt^ und 
haben gesehen, daß solche Bewegungen räumliche Wirbel der 
elektrischen Feldstärke hervorrufen. Wir gehen jetzt zur Be- 
handlung von Bewegungen über, bei denen die Geschwindigkeit 
sich an gewissen Flächen sprungweise ändert. Eine solche ün- 
stetigkeitsfläche kann als Trennungsfläche zweier, durch die Zif- 
fern (1) und (2) zu unterscheidender Körper aufgefaßt werden. 
Die beiden Körper sollen ihren Zusammenhang auch a'n der ün- 
stetigkeitsfläche nicht verlieren, d-. h. die normale Komponente 
der Geschwindigkeit soU stetig sein. Nur die tangentieUen Kom- 
ponenten der Geschwindigkeit soUen unstetig sein, derart, daß die 
Körper längs der ünstetigkeitsfläche aneinander vorbeigleiten. 
Die Fläche wird dann „Gleit fläche" genannt. An einer Gleit- 
liäche treten, ^vie jetzt gezeigt werden soll, im magnetischen 

Felde Flächenwirbel von 0; auf, 

* 

Man betrachte zwei Linienstücke cH^ und di^^ welche den 
Grenzflächen der Körper (1) und (2) angehören. Dieselben mögen 
zur Zeit t zusammenfallen, jedoch entgegengesetzten Sinn haben: 
d^^ = — d^i , so daß sie zusammen zur Zeit t ein Flächenstück 
vom Inhalte Null einschließen. Im Zeitteilchen dt beschreiben 
die beiden Linienstücke die Parallelogramme 
[t^^d^^]dt und [ögriy^?^; 
so ist bei der Gleitbewegung aus dem Parallelogramm vom In- 
halte NuU zur Zeit t, zur Zeit t -f dt ein Parallelogramm ge- 
worden, welches nach Inhalt, Stellung und Umlaufssinn gegeben 
ist durch [t,,--t>„di,]dt. 

Da die Faktoren ü^ — öo und d^^ dieses äußeren Produkts Vek- 
toren sind, die tangentieU zur Gleitfläche gerichtet sind, so ist 
dem Parallelogramm ein zur Gleitfläche senkrechter Vektor zu- 
zuo^rdnen. Demgemäß hängt der Induktionsfluß durch das Paral- 
lelogramm 
(274) <^a> = ö[l>i-Ö2, d^,]dt 



384 Vierter Absclmitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 89 

nur von der Komponente von © senkrecht zur Gleitfläche ab; 
diese Komponente ist stetig, da ja wahrer Magnetismus, der eine 
Flächendivergenz von S5 bedingen könnte, ausgeschlossen wor- 
den ist. Man kann mithin auch schreiben 

(274a) ^ = »„n[t.,-B„ d«,] = S8jB,-B,|[ci8,n]. 

Man stelle sich nun vor, daß die beiden Linienstücke f^l, und 
d^2f diesseits und jenseits der Gleitfläche, zusammen zur Zeit t 
eine geschlossene Kurve bilden; eine ausdehnbare, zwischen ihnen 
ausgespannte Membran wird in der Zeiteinheit zu dem Parallelo- 
gramm, für welches der Laduktionsfluß in (274a) erhalten wor- 
den ist. Durch die zweite Hauptgleichung ist dieser mit dem 
Linienintegral von (B — ^ — oder, in Abwesenheit eingeprägter 
Kräfte, von ü — längs der Randkurve verknüpft; man hat 

®,di, + %di, = (e, - e„ d%,) = - f ^ 

und, aach (274a) 

(274b) (g. - e„ di,) = I »J ö, - D, ) Lnrf»,] . 

Aus dieser letzten Beziehung, welche für ein beliebiges tan- 
gentielles Linienstück d^^ gilt, ersieht man, daß in der Tat die 
tangentiellen Komponenten von ^ längs der Gleitfläche sich un- 
stetig verhalten. Schreibt man die linke Seite von (274 b) 
(®i - @2, d%;) = [n, %, - %-[ . [n<^8j, 

wie aus der Formel (26) des § 6 folgt, weil tt senkrecht zu d^^ 
weist, und setzt die beiden, übrigens tangentiell gerichteten 
Vektoren, die mit dem in eine beliebige Tangentenrichtung fal- 
lenden Vektor [nc^i^i] skalar multipliziert sind, einander gleich, 
so erhält man 

(275) [«;ei-e.] = ».| {»,-».!• 

Hier steht nun links der Flächenwirbel (§ 22) des Vektors €, 
und die Gleichung besagt: An einer Gleitfläche besteht 
ein Flächenwirbel der elektrischen Feldstärke, dessen 
Dichte gleich ist der Gleitgeschwindigkeit (bezogen auf 
die Lichtgeschwindigkeit), multipliziert mit der zur 



ij 90 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 385 

Gleitfläche senkrechten Komponente der magnetischen 
Induktion. Wirken eingeprägte Kräfte, so tritt an Stelle von 
^ der Vektor d - ^'. 

In der Elektrodynamik bewegter Körper wird demnach die 
ürenzbedingung, die bei ruhenden Körpern gilt, nämlich die Stetig- 
heit der tangentieUen Komponenten von (B — oder, wenn einge- 
prägte Kräfte wirken, von (f — Qe^ — im allgemeinen nicht 
mehr zutreffen. 

§ 90. Unipolare Induktion. 

Als unipolare Induktion bezeichnet man das Auftreten indu- 
zierter elektrischer Kräfte infolge der Drehung eines zylindrischen 
permanenten Magneten um seine Achse. Mit dem elektrisch lei- 
tenden Körper des Magneten ist eine ruhende Drahtschlinge elek- 
trisch verbunden ; das eine Ende derselben gleitet auf der zylin- 
drischen Mantelfläche, das andere befindet sich auf der Polfläche 
des Magneten, und zwar in der Drehachse. Der Magnet mag 
etwa symmetrisch zu dieser Achse magnetisiert sein derart, daß 
die Vektoren SH und © in die Meridianebene fallen. 

In dem Leitungskreise, der durch den Magneten und die Draht- 
schlinge gebildet wird, tritt nun infolge der Bewegung des Ma- 
gneten eine induzierte elektromotorische Kraft auf, die bei fort- 
dauernder Bewegung einen stationären Strom erzeugt. Die indu- 
zierte Kraft macht sich natürlich nur dann bemerkbar, wenn die 
Drahtschlinge relativ zum Magneten rotiert. Es ist für das Zu- 
standekommen des Stromes gleichgültig, ob die Drahtschlinge 
ruht und der Magnet sich dreht, oder ob der Magnet ruht und 
die Drahtschlinge sich in der entgegengesetzten Richtung dreht. 

Es mag zunächst nicht nur der Draht, sondern auch die Luft, 
welche den sich drehenden Magneten umgibt, als ruhend be- 
trachtet werden. Die Oberfläche des Magneten bildet dann eine 
Gleitfläche, und da sie von magnetischem Induktionsfluß durch- 
setzt wird, so ist sie der Sitz von Flächenwirbeln des Vektors (^. 
Diese Flächenwirbel haben, nach Grleichung (275) des vorigen 
Paragraphen, hier die gleiche Richtung wie die Gresch windigkeit 

Abraham, Theorie der Elektrizität I. 5. Aufl. 25 



386 Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 90 

des Magneten an dem betreffenden Punkte seiner Oberfläche. 
Sie bedingen ein Linienintegral von @ längs einer durch den 
Magnetkorper und dann längs des Drahtrings verlaufenden ge- 
schlossenen Kurve; dijese induzierte elektromotorische Integral 
kraft ruft den Strom in dem Leitungskreise hervor, der durch 
Magnet und Drahtring gebildet ist. 

JRäumliche Wirbel von @ treten übrigens nicht auf, weder 
innerhalb noch außerhalb des Magneten. Denn berechnet man 
für eine beliebige, geschlossene, ganz innerhalb oder ganz außer 
halb des Magneten verlaufende Fläche, die also ganz dem Ma- 
gneten oder ganz der Luft angehört, den hindurchtretenden 
Induktionsfluß, so findet man, daß er zeitlich konstant ist. Es 
ist also, nach der zweiten Hauptgleichung, das Linienintegral 
von ^ längs einer Kurve, die ganz im rotierenden Magneten, 
oder ganz in der ruhenden Luft verläuft, gleich NuU; hieraus 
folgt ohne weiteres, daß räumliche Wirbel von ^ nicht vor 
kommen. Es muß sich also die gesamte induzierte elektromoto 
rische Kraft aus dem Flächenwirbel an der Gleitfläche berechnen 
lassen. 

Um diese Berechnung auszuführen, betrachten wir eine Meri- 
diankurve der Magnetoberfläche; dieselbe führt von der Achse 
aus, wo das eine Ende der Drahtschlinge aufsitzt (s = 0), bis zu 
demjenigen Punkte S^ der von dem anderen Ende getroffen wird. 
Es sei r der Abstand eines Punktes P dieser Kurve von der 
Achse des Magneten, u dessen Winkelgeschwindigkeit. Dann 
ist die Geschwindigkeit von P 

V = ur j 

und nach (275) wird die Dichte des Flächenwirbels 

Längs der Meridiankurve bis zum Punkte S integrierend, erhält 
man für den gesamten Flächenwirbel und damit für die elektro- 
motorische Integralkraft in dem Stromkreise, der durch Magnet 
und Drahtring gebildet wird: 



§ 90 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 387 

(276) E=''^f^,rds. 



Durch den Teil der Obei-fläche, der von dieser Meridiankurve bei 
einem Umlauf beschrieben wird, tritt aus dem Magneten der 
Induktionsfluß , 



Mithin kann man setzen 

(276a) . £=,;,*(.). 

Dieser Wert der induzierten Integralkraft würde sich nicht än- 
dern, wenn man, statt den Magneten sich drehen zu lassen, ihn 
festhielte, und statt dessen Draht und Luft 'im entgegengesetzten 
Sinne umlaufen ließe; denn die Gleitgeschwindigkeit und da- 
mit der Flächenwirbel bliebe der gleiche. Allerdings entspricht 
die hier anzunehmende Bewegung der Luft mit dem Drahtring 
nicht der Wirklichkeit. Indessen ändert sich das Ergebnis 
nicht, wenn man die Luft ruhen und nur den Drahtring rotieren 
läßt. Dann besteht an dessen Oberfläche eine Gleitfläche, für 
welche der gesamte Flächenwirbel von @ wiederum den Wert 
(276 a) besitzt. 

Was die viel erörterte Frage nach dem „Sitz der elektromoto- 
rischen Kraft" anbelangt, so kann die zweite Hauptgleichung sie 
nicht beantworten. Bestimmt doch das Induktionsgesetz ledig- 
lich das LinienintegTal von ^ längs einer geschlossenen Kurve. 
Welche Beiträge die einzelnen Teile des geschlossenen Leitungs- 
kreises, also hier etwa Magnet und Drahtring, zum Linienintegral 
beisteuern, darüber sagt es nichts aus. Die zweite Hauptgleichung 
bestimmt die Wirbel von 6, aber nicht @ selbst. 

Doch kann man, sobald man die Widerstände der Teile des 
Stromkreises angibt, auf Grund wohlbekannter Regeln die Vertei- 
lung des Linienintegrals von @ berechnen : Die induzierte Integral- 
kraft verteilt sich auf Magnet und Drahtschlinge im Verhältnis 
ihrer Widerstände. 



388 



Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie 



§ 91. Das Prinzip von Wirkung nnd Gegenwirkung. 

Wir haben bisher in den §§ 44, 45, 58 und 64 die Betrach- 
tung der mechanischen Kräfte auf ruhende Körper beschränkt, die 
sich in einem zeitlich konstanten elektrischen und magnetische] 
Felde befinden. Hier läßt sich die gesamte Kraft durch Über- 
lagerung der elektrischen und magnetischen Flächenkräfte be-| 
rechnen, woraus allgemein folgt, daß die Kräfte, welche zweü 
Körper durch die Trennungsfläche hindurch aufeinander ausüben, 
dem dritten Axiome Newtons Genüge leisten. Was findet nun| 
aber statt, wenn die Körper sich bewegen und wenn das elektro- 
magnetische Feld sich verändert? Auf langsame Veränderuugei 
des Feldes (quasistationäre Ströme) und langsame Bewegung dei 
Körper haben wir in dem ersten Paragraphen dieses Kapitels 
die für ruhende Körper und konstantes Feld gültigen Gesetz( 
der bewegenden Kräfte ohne weiteres übertragen. Diese Kräfte 
werden sich daher ohne merklichen Fehler aus den MaxT^eUschei 
Spannungen ableiten lassen und daher dem Prinzip von Wirkung 
und Gegenwirkung Genüge leisten. 

Die MaxweU-Hertzsche Theorie geht noch weiter; sie nimmi 
an, daß die Maxwellschen Spannungen noch in beliebig raschj 
veränderlichen elektromagnetischen Feldern die mechanischen 
Kräfte bestimmeij. Es soll also die Gesamtkraft sich stets als 
Integral über die Begrenzungsfläche des betreffenden Gebietes 
darstellen lassen: 



(277) 



« 



=/rf/- 



2'i-T 



wobei für die elektrische Flächenkraft die Formel (148) des § 4J 
gilt / 

(277a) 871:2:^'= 2(l(£@, n) - Uf C^^ 

und für die magnetische Flächenkraft die entsprechende Forme] 
(177) des § 58 

(277b) 8^2:- = 2#(^§, it) - n^^K 

Wir woUen nun untersuchen, welcher Ausdruck für die 
die Volumeinheit bezogene Kraft aus dieser Annahme folgt. Wir! 



i^ 91 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 389 

gehen dabei aus von der Formel (147) des § 45; dieselbe ergibt, 
gemäß (277 a, b): 

Sjt f df%'==fdv{2% div 8% - t^Va - 2[6i§r. curl «](, 

Stc I df%"^ ==Jdv { 2# div 11^ - §2 Vi^t - 2Ctt§ curl §] ) . 

Setzt mau nun, den Hauptgleichungen für ruhende Körper ent- 
sprechend, 

curl® = -^-^, curl§= ^ 1 + ^-^, 

und ferner 

div £((f = div ^ = 47r9, div ,«,§ = div © = 0, 
so erhält man 

(277c) fdft' =/d«{p« - 3^^ «^V. + ^l [» f ]} • 

(277d) fdfZ-^fdv[[l 8]_l-rV^-,^[»^]|. 
Die Einführung in (277) ergibt als gesamte Kraft: 

(278) ^= I dv{f+i"'-\-V}, wo 

(278a) f«=^oC«-g^^©2y^ 

(vgl. § 44, Gl. 145) und 

(278b) r.^[iö]_^§2v, 

(vgl. § 58, GL 178) die auf die Volumeinheit bezogene Kräfte 
des elektrischen und des magnetischen Feldes bedeuten. 

Hierzu tritt jetzt, der Maxwell-Hertzschen Theorie nach, eine 
neue Kraft, die im veränderlichen elektromagnetischen Felde 

'■=,;. i[^a+K»]|. 

Dieser, der zeitlichen Änderung des Poyntingschen Strahl vektors 
proportionale Vektor bestimmt die von den Maxwellschen Span- 



390 Vierter Absclinitt. Weiterer Ausbau der Theorie § 91 

nungen herrührende Kraft für den Fall eines homogenen unge- 
ladenen Isolators, wo f* und t'^ verschwinden. 

Die Maxwellschen Spannungen üben also auf die 
Teile eines ungeladenen ruhenden Isolators eine Kraft 
aus, sobald der Strahlvektor an der betreffenden Stelle 
des Feldes sich zeitlich ändert. Obwohl der Betrag dieser 
Kraft außerordentlich gering ist, so ist diese Folgerung der 
Maxwell-Hertzschen Theorie doch von wesentlicher Bedeutuncr. 

o 

Diese „bewegende" Kraft würde nämlich auch auf den leeren 
Raum wirken, in dem doch Materie, welche durch sie hewegt 
werden könnte, sich nicht befindet. 

Die von den MaxweUschen Spannungen übertragenen Kräfte 
erfüllen zwar das Gesetz von Wirkung und Gegenwirkung; wenn 
aber, wie wir gesehen haben, bei Strahlungs Vorgängen eine 
Kraft auf den Äther zur Aufrechterhaltung dieses Gesetzes ein- 
geführt werden muß, so heißt das: Für die Materie allein gilt 
das Gesetz von Wirkung und Gegenwirkung nicht. Die 
gesamte Bewegungsgröße der wägbaren Materie in einem ab- 
geschlossenen Systeme ist nicht konstant. Man hat vielmehr, 
wenn man die Sache vom Standpunkte der MaxweU-Hertzschen 
Theorie aus betrachtet, eine Rückwirkung des Äthers auf 
die Materie in Betracht ^u ziehen, deren Resultierende nach 
(278) und (278c) ist: 

(270) Ä^-/-^:^- 

Wenn bei einem Strahlungsvorgange diese Kraft nicht gleich 
Null ist, so wird die Bewegungsgröße der wägbaren Materie im 
Verlaiife des Strahlungsvorganges sich ändern. 

Daß das dritte Axiom Newtons bei der Übertragung auf die 
elektromagnetischen Vorgänge seinen Sinn wesentlich ändert, 
ist schon durch die endliche Fortpflanzungsgeschwindigkeit der 
Wirkungen bedingt. Fassen wir beispielsweise den FaU ins Auge, 
daß eine elektromagnetische Welle von einem Hertzschen Hohl- 
spiegelerreger ausgesandt wird; da der Wert der Kraft hier von 
NuU verschieden ist, so wird die WeUe dem Erreger einen, wenn 
auch geringen, Rückstoß erteilen: diese Wirkung bleibt zunächst 



§ 91 Zweites Kapitel. Induktion in bewegten Körpern 391 

ohne Gegenwirkung. Und aucli wenn die Welle später von 
anderen Körpern absorbiert ist und das Zeitintegral von (279) 
dann gleich Null geworden ist, so ist doch eine gewisse Zeit 
zwischen der Wirkung und der Gegenwirkung verstrichen ; wäh- 
rend dieser Zeit ist der Impuls der wägbaren Körper durch den 
Strahlungsvorgang geändert worden. 

Die von H. A. Lorentz entwickelte Theorie der Elektrodyna- 
mik nimmt, im Gegensatz zur Hertzschen, Kräfte, die auf den 
an Materie und Elektrizität leeren Raum wirken, überhaupt nicht 
an. Sie läßt die elektromagnetischen Kräfte nur auf die elektrisch 
geladene Materie wirken. Die Maxwellschen Spannungen werden 
hier nicht als allgemeingültige Darstellung der elektromagne- 
tischen Kräfte betrachtet. Nur in solchen Fällen, wo der Aus- 
druck (279) verschwindet, sieht auch die Lorentzsche Theorie 
das Maxwellsche Spannungssystem als vollständigen Ausdruck 
der mechanischen Kräfte des Feldes an. Mit den Maxwellschen 
Spannungen gibt diese Theorie, auf welche wir übrigens im 
zweiten Bande dieses Werkes ausführlich zurückkommen, natür- 
lich auch die allgemeine Gültigkeit des Prinzips von Wirkung 
und Gegenwirkung auf. 

Aus diesen Andeutungen geht hervor, daß hinsichtlich der 
mechanischen Kräfte die verschiedenen Theorien der Elektro- 
dynamik bewegter Körper voneinander abweichen. Sie ergeben 
allerdings alle die von der Erfahrung bestätigten Ausdrücke 
(278 a, b) für die Kräfte in stationären und quasistationären Fel- 
dern. Die Abweichungen beziehen sich nur auf rasch veränder- 
liche Felder und auf rasche Bewegungen, deren Geschwindigkeit 
mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar ist. Daß hier die ver- 
schiedenen Theorien in ihren Aussagen über die bewegenden 
Kräfte nicht ganz übereinstimmen, kann nicht wundernehmen. 
Sind doch diese Kräfte mit den Vorgängen im elektromagne- 
tischen Felde durch das Energieprinzip verknüpft; Theorien, die 
von verschiedenen Fassungen der Feldgleichungen für bewegte 
Körper ausgehen, werden auch in bezug auf die mechanische Ar- 
beit bei einer Bewegung zu verschiedenen Ergebnissen gelangen. 

Wir haben uns in diesem ersten Bande auf die Maxwellsche 



392 Vierter Abschnitt. Weiterer Ausbau der Theorie § iil 

Theorie in engerem Sinne beschränkt, die alles das enthält, was 
den auf ihr fußenden Theorien gemeinsam ist, nämlich : die Feld- 
gleichungen für ruhende Körper, auch für rasch veränderliche 
Felder; die mechanischen Kräfte für quasistationäre Felder; end- 
lich das Induktionsgesetz für bewegte Leiter. Es sind dies übri- 
gens gerade diejenigen Teile der Elektrizitätslehre, welche auf 
elektrotechnische Fragen Anwendung finden. Die außerhalb die- 
ses Gedankenkreises liegenden, zum Teil noch strittigen Fragen, 
die mit der Elektrodynamik bewegter Körper zusammenhängen, 
weisen wir dem zweiten Bande zu. Dort werden sowohl die An- 
schauungen der Elektronentheorie als auch die mehr phänomeno- 
logischen Weiterbildungen der Maxwellschen Theorie erörtert 
werden. 



Formelzusammeustellung. 

I. Allgemeine Beteln der Yektorenrechnung:. 

Alle Vektoren sind durch Frakturbuchstaben kenntlich ge- 
macht, wie Ä, 33, D usf.; die Beträge sind mit |tl|, !©!, die Kom- 
ponenten nach den Koordinatenachsen mit %^j %^y %^ bezeichnet. 
Das skalare Produkt wird Äö, oder, wenn eine Abtrennung von 
anderen Vektoren erwünscht ist, (Ä8) geschrieben; [%©] da- 
gegen stellt das Vektorprodukt dar. 

1. Vektoralgebra. 
(«) «» = »« = «,»,+ «^0,+ «,», . . .(G1.14,S.13) 

/ G1.17, S.16\ 
• \u. Gl. 20, S. 17/ 



! i I t 

»X »y ». 



(y) Jl[»^] = a[«»] = ö [^«] = »,»j,»J . . . (GL 22, S. 19) 



(Ö 



[«, [ö^]] = «(^a) - ^(%») (Gl. 24, S. 20) 

[«»] . [©2)] = ( «a)(»2)) - (»^)(«2)) . (Gl. 26, S. 20) 



2. Vektoranalysis. 



div Ä 



.^9> 



öqp 



^<p 



aa; + ^3]/ ^^ dz 



Vit 



~dx "^ dv dz 



dy 

I i j » i 
curl« = rV,«] = |,^|,A 

% % % 



(G1.58a, S.32) 

. (Gl. 62, S. 37) 

. (Gl. 91, S. 63) 



394 



Formelzusammenstellung 



(x) curl 9^ = 9? curl % + [Vqp, ^] . . 

(X) div [%^] = © curl Ä - $1 curl ö . 
(/tt) curl [51«] = (S3V)5l - (flV)© 

4- 91 div 33 - 35 div 91 . 

W V(9lö) = (9t V)« + (33V)9C 

. +[9tcurl»] + [«curl9l] . 
'VN T T-7 r-79 d^ (f . d^ cp d^ Cp 



. (Gl. 65, S. 

(GL 1 12, S. 89) 
(Gl. 102, S. 74) 

(GL 114, S. 90) 

(GL 115, S. 90) 

(GL 67,68,8.41) 

(GL91ä,S.63) 
. (GL 94, S. 69) 



(o) curl Vqp = 

(ä) div curl % = . 

(q) curl curl % = curP 91 = V div « - V^« . . (Gl. 95, S. 70) 
Satz von Gauß: 

(<y) Jdv div 91 = / df%^ (GL 64, S. 39) 

Satz von Green: 

(t) /^M{i/'V2(p + (V9,V^))=y ^/-^I^. . (GL 70, S. 41) 

{v) fdv { ö curl 91-91 curl ö } =Jdf\%^\ (GL 102a, S. 74) 
folgt aus X und 6 . 

Satz von Stokes: 
(9?) fdf curl^ %== f%d^ (GL 92, S. 67) 

Skalares Potential: 

(Z) <P-f^T (öl. 83, S. 50) 

dient zur Berechnung des wirbeKreien Feldes 

wenn div ü == 4:r^ gegeben ist. 

Vektorpotential: 

W /-' (Gl. 100,8.72) 

dient zur Berechnung des queUenfreien Feldes 



Formelzusammenstellung 395 

H = curl % , 
wenn curl d = 4;rc 

gegeben ist, und genügt der Gleichung (101) 

div« = 0, 
wenn div c = gilt. 

Zeitliche Änderung eines Vektors, beurteilt von einem 
starr rotierenden Bezugssystem aus (Drehgeschwindigkeit tt) 

(<») '^f = ^ + [«»] • •(Gl-35,S.25) 

II. Elektrisches Feld. 

(§, elektrische Feldstärke, ^ elektrische Verschiebung, 
£ Dielektrizitätskonstante, (), od Raumdichte und Flächen- 
dichte der wahren Elektrizität e; q, cd' Raumdichte und 
Flächendichte der freien Elektrizität e'; ü elektrische 
Energie, i Dichte des Leitungsstromes, c Dichte des wahren 
Stromes, ö Leitfähigkeit, Q Joulesche Wärme. 

(a) $t = e-% (Kraft auf Probekörper) . . (Gl. 116, S. 92) 

(b) 2) = £.^ (GL 128,8.111) 

(c) 4Ä^ = div1^, 4;rG) = -(2)„i+2)„2) . (GL127a,b,S.lll) 

(fij^, Wg Normalen, die nach der Trennungsfläche hin- 
weisen.) 

(d) 47CQ = div e, 4:r(D' = - (@„, + (^„,) (Gl. 129, 129a, S. 112) 

(e) TJ=~-^fdv{%^) = ^^fdvB%\ . . (Gl. 138,8.131) 

(f) i = ö^ ' (Ohmsches Gesetz) .... (GL 152a, 8. 161) 

(g) Q = fdv (i($) == I dv6(^'' . . . . (GL 154a, 8. 161) 

W ' = i + /.S = ^«+;.i? • • • -(Gl. 157,8.164) 

Kraft auf Volumeinheit 
(i) f=p^_g^rV£ (GL 145, 8. 150) 

III. Elektromagnetisches Feld. 

§ magnetische Feldstärke, © magnetische Induktion, 
9R Magnetisierung, ft Permeabilität, T magnetische Enei^e, 
i', i Raum- und Flächendichte des freien 8tromes. 



396 Formelzusammenstellung 

(k) (liv® = . . (Gl. 165, S. 191^ 

(1) © = curltl (Gl. 165a, S. 192) 

Erste Hauptgleichung: 1) wenn nur Leitungsströme 
vorkommen 

(m) curl ^-^^\ (Gl. 169, S. 195) 

2) wenn Verschiebungsströme hinzukommen: 

(n) curl§ = *^t = ^l + jlf ,, . . .(Gl.I,Ia,S.215) 

Zweite Hauptgleichung: 

(o) eurl{e-e«)=-[^ (Gl.n,S.217) 

(p) » = fi# (Gl. 167,8.193) 

(q) S»==l^(»-§)='^-^§ . . . . (Gl. 173,8. 201) 

(r) curl» = ^', [lt,»i-«3] = *f'' (Gl. 175, 175a, S. 206) 

(8) % = \J^l^+Jdv[lBi,V^\] . . (Gl. 176 c, 8.209) 

(t) «^f/^ + i^/l'f^'*'^] • (öl-175f,S.207) 

Kraft auf die Voluraeinheit im magnetischen Felde 
(u) r. = [l!8]-g^§'V^ (Gl. 178,8. 212) 

Feldgleichungen und Energieausdruck für ruhende, iso- 
trope, nichtferromagnetische Körper: 



(^) 



c et ^ c 



(Gl. 180, S. 222) 



(w) W=^-^j dv{a%^-\-ii^^) .... (Gl. 180a, S 224) 

Quasistationäre Ströme: 

L Induktionskoeffizienten, K Kapazität, R Widerstand, 
J Stromstärke, r Schwingungsdauer. ' 

Koeffizient der gegenseitigen Induktion: 



Formelzusammenstellung 397 

(x) L,, = [iff-^^-^': (ai 183 b, S. 238) 

Magnetische Energie zweier Stromringe: 
(y) T = ^[Il,,J,'-^L,,J,J,+ Il,,J,^} (GL186,S.242) 

(z) T = ^yVLK (Thomsonsche Formel) (Gl. ^01 i, S. 262) 

Elektromagnetische Wellen: 

tv Geschwindigkeit, A Wellenlänge, n Brechungsindex 
% Extinktionskoeffizient. K^ L beziehen sich hier auf die 
Längeneinheit der Leitung. 

(a) n'=s . (G1.205d,S.272) 

(Maxwellsche Beziehung, für ^ = 1 gültig) 

(B) n'==^[y?~+Tö^^+8] .... (G1.207f, S.278) 

(c) ^2^^ye^^4ö't^-£] .... (GL 207g, S.278) 
Für lange Wellen in Metallen wird: 

(b) n = K=y6r (wenn^=l) ... (Gl. 210 a, S. 284) 
und der Reflexionskoeffizient: 

(e) r = l- / (Gl. 210 b, S. 285) 

Geschwindigkeit längs guter, zylindrischer Leiter: 

(f) w=JL^~^ (G1.216e,f,S.302) 

ysti yLK 

(ö) ^-^„[^-^%^] (Gl. 227, S. 316) 

Poyntingscher Energiestrom oder Strahlvektor. Der 
komplexe Poyntingsche Vektor: 

(^) n = g'^[a5§*], rGl. 233, S. 325) 

wo §* der zu § konjugiert komplexe Vektor ist, ergibt 
für ein Schwingungsfeld 

(i) Jdf\=Q-\-i-2v{T -U]. . . . (Gl. 234, S. 326) 



398 



Formelzusammenstellung 



(«) 



(i) 

(m) 

(n) 

(•) 

(K) 
(q) 



Aus dem Hertzschen Vektor g leiten sich die Feld^ 
stärken im Vakuum folgendermaßen ab: 

c"^ dt- '' 



e = V div 8 



= curl '^^ 

c dt 



(Gl. 240,8.331) 



Für 8 muß dabei die Differentialgleichung gelten 






^v^S 



(Gl. 240 a, S. 331) 



IV. Weiterer Ausbau der Theorie. 

Feldenergie permanenter Magnete: 



(Gl. 258, S. 355) 
(Gl. 262,8.363) 



Zwei bewegte Stromringe mit eingeprägten Kräften: 



^1 



^1-^1+ ^i^rA^iM + ;:2^7 (Aj^s) 



c« dt 



c^ dt 



-E/ = ^2^2 + ^ ^ (Aae^i) + ß2 ^^ (^23^2) 



(Gl. 265, 

8. 373) 



Zweite Hauptgleichung für bewegte Körper: 

(Gl. 272, 8. 381) 



curl {@_(|«) = _ i{^ + curl [öö] 

Maxwellsche Spannungen: %% ^"' Flächenkraft der elek 
trischen und magnetischen Spannungen. 
1 



%' = 



Sit 



(B ■ 2£(@n) 



^-=,^-^{§.2K§n) 






. (Gl. 148, 8. 153) 
. (Gl. 177, 8. 210) 



Sachregister. 



Addition vou Vektoren 6. 

Äthere 109. 

Amperesche Schwimmregel 85, 218. 

Auipunktgradient 45. 

axialer Vektor 21. 

Biot-Savartsches Gesetz 85, 194, 334. 

Coulombsclaes Gesetz 97, 140. 
curl 63. 

diamagnetisch 188. 
Dielektrika 108. 
Dielektrizitätskonstante 108. 
Dimensionen 185, 230. 
Dipol, elektrischer 336. 
Divergenz 37. 
Doppelquelle 44. 
Doppelschicht von Quellen 57. 
Doppelschicht freier Elektrizität 175. 
drahtlose Telegraphie 341. 
Drahtwellen 293 ff. 

Eigenschwingungen 259. 
eingeprägte elektrische Kraft 174. 
eingeprägte magnetische Kraft 368. 
Einheitsvektor 9. 
elektrischer Strom 158 ff. 
Elektrizität 92. 
elektromagnetische Lichttheorie 271, 

279, 286. 
elektromotorische Integralkraft 171. 
Elektronen 168. 
elektrostatisches Feld 91 ff. 
Elektrostriktion 155. 
Energie, elektrische 131. 
— , magnetische 187. 
— , elektromagnetische 224. 
— , permanenter Magnete 355, 363, 

370. 
Energiestrom 315 ff. 
Extinktionskoeffizient 277. 



Feldstärke, elektrische 92. 
— , magnetische 192. 
Feldgleichungen für ruhende Kör- 
per 222. 
Ferromagnetismus 348 ff. 
Flächendivergenz 56. 
Flächengradient 58. 
Flächen kraft, elektrische 153. 
— , magnetische 210. 
Flächenwirbel 75. 
Freie Elektrizität 112. 
Freier Magnetismus 186, 200, 364. 
Freier Strom, elektrischer 206, 359. 

Gaußischer Satz 39. 
Gleitfläche 383. 
Gleitstück 212. 
Gradient 32. 
Greenscher Satz 41. 
Grenzbedingungen 113, 199, 282. 
Grundvektoren 10. 

Hall-Effekt 220. 
Hamiltonscher Operator 32. 
Härte, magnetische 363. 
Hauptgleichung, erste 215. 
— , zweite 217, 381 
Hertzsche Lösung 331. 
— Schwingungen 266. 
Hertzscher Vektor 331. 
Hysteresis, magnetische 348. 

Impedanz 256. 

Induktion, magnetische 189. 

Induktionsgesetz, Faradaysches 216, 

372. 
Induktionskoeffizient 236. 
Intiuenz, elektrische 107. 
Ionen 167. 

Joulesches Gesetz 161. 



400 



Sachregister 



Kabel 305. 
Kapazität 101, 108. 
Kathodenstrahlen 168. 
Komponenten 9. 
Kontaktkraft 175. 
Konvektionsstrom 166. 
Kraftfluß, elektrischer 94. 
Kraftlinien, elektrische 114. 
— , magnetische 200. 
Kugelkondensator 101. 

Lagrangesche Gleichungen 249. 
Laplacesche Gleichung 41. 
Leiter der Elektrizität 98. 
— , vollkommene 291. 

Magnetisierung 201. 
— , remanente 352. 
— , temporäre 352. 
Maxwellsche Beziehung 272. 
— Spannungen 155, 211, 390. 
Maßsystem , elektromagnetisches 

232. 
— , elektrostatisches 184, 232. 
— , Gaußsches 233. 
mechanische Kraft, elektrische 150. 
— , magnetische 212, 



Quellpunktgradient 45. 
quasistationärer Strom 236. 

Rayleighsche Formeln 330. 
Reflexionsvermögen 283. 
Relaxationszeit 165. 
Remanenz, magnetische 352. 
rot s. curl. 

Selbstinduktionskoeffizient 241. 
Sendeantenne 345. 
Senken 35. 
Skalare 4, 22. 
skin- Effekt 329. 
Spannung 298. 
Stokesscher Satz 67. 
Strahlvektor 275, 317. 
Stromstück 194, 336. 
Subtraktion von Vektoren 8. 
Suszeptibilität 201. 

Telegraphengleichuug 276. 
Tensorkomponenten 26. 
Thermoelektrische Kraft 180. 
Thomson-Effekt 182. 
Thomsonsche Formel 262. 
Thomson scher Satz 134. 



Ohmsches Gesetz 161. 

Paralleldrähte 306. 

paramagnetisch 188. 

Peltier-Effekt 181. 

Permeabilität, magnetische 187. 

Piezoelektrizität 183. 

polarer Vektor 21. 

Polarisation, elektrische 122. 

Polarisationsstrom 169. 

Potential, elektrodynamisches 247, 

— , elektrostatisches 96. 

— , magnetisches 202. 

— ,• skalares 34. 

— , vektorielles 71. 

Poyntingscher Vektor 316. 

— , komplexer 325. 

Produkt, skalares oder inneres 12. 

— , vektorielles oder äußeres 15. 

Pseudoskalar 22. 

Pyroelektrizität 183. 

auellen 35. 
uellpunkte 42. 



Unipolare Induktion 385. 

Vektoren 4 ff . 
Vektorfelder 30 ff. 
Vektorfanktion, lineare 25. 
Vektorpotential 71. 
— , magnetisches 205. 
Verschiebung, elektrische 110. 
Verschiebungsstrom 164. 

Wahre Elektrizität 112. 
Wahrer elektrischer Strom 164. 
Wahrer Magnetismus 187. 
Wahrer magnetischer Strom 218. 
Wellen, elektromagnetische 267 ff. 
Wirbel 63.- 
Wirbelfeld 61. 
wirbeltreies Feld 33. 
Wirbellinie 83. 
Wirkung und Gegenwirkung 388. 

Zeitliche Ableitung eines Vektors 25. 
Zeitkonstante 255. 
zyklisches System 260. 



/ 




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